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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
MILTON CASSIANO
O Jogo do NIM: uma alternativa para reforçar o Algoritmo
da Divisão no sexto ano do Ensino Fundamental
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2009
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
MILTON CASSIANO
O Jogo do NIM: uma alternativa para reforçar o Algoritmo
da Divisão no sexto ano do Ensino Fundamental
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a
orientação da Professora Doutora Maria José
Ferreira da Silva.
PUC/SP
2009
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Banca Examinadora
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Dissertação por processos de foto copiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _________________________São Paulo e Data: _________
Dedico este trabalho a todos aqueles
que me apoiaram e acreditaram em mim
e compartilharam comigo momentos
alegres e adversos.
“O tempo é algo que não volta atrás,
portanto, plante seu jardim e decore sua
alma ao invés de esperar que alguém lhe
mande flores”.
(Willian Shakespeare)
AGRADECIMENTOS
A Deus pela força, capacidade e discernimento em conduzir
a realização deste estudo.
À minha orientadora Doutora Maria José Ferreira da
Silva, pela competência e dedicação que me orientou,
fazendo com que esta pesquisa se concretizasse.
Aos professores Doutores Saddo Ag Almouloud e Ana
Chiummo, por suas contribuições tão pertinentes para
realização e desenvolvimento deste estudo.
A Lídia e Ana Maria, responsáveis pela Bolsa
Mestrado pelo apoio, incentivo e, também, por me
instruírem de modo competente a respeito de toda a
documentação referente à bolsa.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, por
custear os estudos e, assim, permitir que eu pudesse avançar
profissionalmente proporcionando a realização desta
pesquisa.
Aos colegas do curso de graduação que mesmo
distantes torciam por meu sucesso e aos colegas do
Mestrado pelo apoio, auxilio e companheirismo
durante o curso. Em especial aos amigos Gilson e Ana
Maria pelo apoio, carinho e auxilio em diversas etapas
desta árdua jornada. Sempre dispostos a ajudarem sem
medir esforços.
À EE Sapopemba e em especial, aos alunos do sexto ano A
(2008), pela com boa vontade de participarem do pré-teste,
oficinas com o jogo do NIM e do pós-teste, permitindo,
assim, o desenvolvimento deste estudo. Às professoras Ana
Maria e Luzia, por abrirem mão de suas aulas e fornecerem
os estudantes para aplicação das oficinas. Agradeço,
também, aos coordenadores Rubens e Márcia, pelo apoio,
compreensão e a todos, os professores que compartilharam
comigo as etapas deste trabalho e, também, a professora
Cristiane que sempre se mostrou solicita a me ajudar.
Aos professores do Centro Universitário Fundação
Santo André Leila Modanez, Antonio Carlos Cattaruzzi
e Antonio Carlos Garcia, pelo incentivo que me deram
durante a graduação, para que eu desse andamento a
minha vida acadêmica, cursando o Mestrado.
A Ana Rebeca, Cristiane e Eliana por disporem de seu tempo
e contribuírem com suas importantíssimas observações
durante as oficinas do jogo do NIM.
Aos mestres que passaram em minha vida, em especial,
aos professores do Programa de Mestrado em
Educação Matemática da PUC-SP que por meio de
sabias contribuições ajudaram nesta pesquisa.
A meus pais e irmãos, que compartilharam todos os
momentos de alegria e angústia, desde o processo seletivo
até a etapa final.
Ao Gilson que, inúmeras vezes, abriu mão de seus
afazeres para auxiliar, trazendo contribuições
importantes a meu trabalho.
A Ivete, Ivo, Rebeca, Rosania, Sonia, Patrícia e Victoria, que
inúmeras vezes motivaram-me a seguir adiante mesmo
mediante as dificuldades.
Ao secretário Francisco que, por várias vezes, com
competência instruiu-me como melhorar meu trabalho,
dando-me valiosas dicas.
Finalmente, agradeço a todos os que de maneira direta ou
indireta contribuíram de maneira significativa, para a
conclusão desta pesquisa.
O Autor
RESUMO
O jogo sempre fez parte do dia a dia das crianças desde os primeiros anos de
idade. Assim, quando jogam elas questionam, fazem perguntas, concentram-se,
abstraem, usam a imaginação e ficam horas a fio brincando. Desse modo, este
estudo teve como objetivo verificar como o jogo do NIM pode auxiliar na
construção ou aprimoramento do Algoritmo da Divisão. Foi realizada uma
pesquisa qualitativa, com aplicação de um pré-teste para que alguns alunos
fossem selecionados para participarem das oficinas que envolviam o jogo do NIM.
O presente estudo baseou-se na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau
(1996) e a escolha metodológica apoiou-se nos pressupostos da Engenharia
Didática de Artigue (1996) que contribuíram para o alcance de nossos objetivos.
Diante dos resultados apresentados no pré-teste e mesmo no pós-teste, as
dificuldades apresentadas pelos estudantes, perante o Algoritmo da Divisão,
ficaram claras, o que pode ser de grande valia para estudos futuros a respeito do
tema.
Palavras-Chave: Jogos educacionais, Algoritmo da Divisão, Jogo do NIM.
ABSTRACT
Games have always been a part of the daily life from children since the first years
of age. Thus, when they play, they question, ask questions, focus, abstract, use
their imagination and spend hours playing. This way, the purpose of this study was
to verify how the NIM game can help the construction or improvement of the
division algorithm. A qualitative research was done with the application of a prior
test and some students were selected to participate in the workshops that involved
the NIM game. This study was based on Brouseau’s Theory of Didactic Situations
(1996) and the methodological choice was based on the theory of Didactic
Engineering from Artigue (1996) that contributed to the achievement of our goals.
Facing the results presented in the prior test and even in the after test, the
difficulties presented by the students were clear, regarding the division algorithm
and that can be of great value for future studies about the theme
Keywords: Educational games, algorithm, NIM game, learning teaching.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 13
CAPÍTULO I ................................................................................................................ 17
1 Problemática ........................................................................................................ 17
1.1 Justificativa ..................................................................................................... 17
1.2 Aspectos metodológicos ................................................................................ 21
1.3 Quadro teórico ............................................................................................... 26
CAPÍTULO II ............................................................................................................... 33
2 Um breve estudo a respeito da utilização de jogos ............................................. 33
2.1 Definição do jogo e suas classificações ......................................................... 33
2.2 Características dos jogos ............................................................................... 36
2.3 Jogo e educação ............................................................................................ 38
2.4 Aspectos históricos dos jogos ........................................................................ 41
2.5 Vantagens e desvantagens da utilização de jogos em sala de aula .............. 42
2.6. O jogo do NIM ............................................................................................... 48
2.6.1 Como jogar o NIM? .............................................................................. 48
2.6.2 Estudo Matemático do jogo do NIM ..................................................... 49
CAPÍTULO III .............................................................................................................. 55
3 Divisão ................................................................................................................. 55
3.1 Escolha do Algoritmo da Divisão ................................................................... 55
3.2 Erros comuns no Algoritmo da Divisão .......................................................... 60
3.3 Tipos de algoritmos para a divisão ................................................................ 60
3.3.1 Método curto ........................................................................................ 61
3.3.2 Método longo ....................................................................................... 62
3.3.3 Algoritmo Americano/Inglês ou das subtrações sucessivas ................ 63
3.3.4 Divisão Egípcia .................................................................................... 65
3.3.5 Método dos múltiplos do divisor .......................................................... 66
3.3.6 Método da divisão em fatores .............................................................. 67
3.3.7 Método da divisão por decomposição ................................................. 67
3.3.8 Método anônimo .................................................................................. 68
3.3.9 Método da Galera ou Galé .................................................................. 69
CAPÍTULO IV .............................................................................................................. 71
4 A Sequência de ensino ........................................................................................ 71
4.1 A escola e os sujeitos da pesquisa ................................................................ 71
4.2 Pré-teste ......................................................................................................... 73
4.2.1 Análise do pré-teste .............................................................................. 73
4.3 Descrição da aplicação da sequência ............................................................ 81
4.4 Primeira Parte: Atividade com o NIM utilizando palitos ................................. 82
4.5 Segunda parte ................................................................................................ 131
4.6 Pós-teste ........................................................................................................ 143
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................ 147
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 151
APÊNDICE A: PRÉ/PÓS TESTE ................................................................................ 155
APÊNDICE B: TABELA DE RESULTADOS DO PRÉ-TESTE .................................. 156
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Distribuição dos N palitos do NIM .............................................................. 49
Figura 2: Distribuição do jogo do NIM, com r = 1 ...................................................... 51
Figura 3: Distribuição do jogo do NIM onde r = 0 ...................................................... 52
Figura 4: Maneira "diferente" de distribuir os palitos quando r = 0 ............................ 52
Figura 5: Método da galera apresentado por eves (2004) ........................................ 69
Figura 6: Erro cometido pelo aluno Rafael ................................................................ 74
Figura 7: "Acerto" do aluno Marcelo .......................................................................... 75
Figura 8: Erros cometidos pelo aluno Marcel ............................................................ 75
Figura 9: Erro cometido pelo aluno Luis .................................................................... 76
Figura 10: Erro cometido pela aluna Graziela ........................................................... 77
Figura 11: Erro cometido pelo aluno Eduardo ........................................................... 78
Figura 12: Erro cometido pela estudante Luana ....................................................... 78
Figura 13: Erros cometidos pelo estudante Gabriel .................................................. 79
Figura 14: Representação para a retirada do último palito para se obter a vitória .... 85
Figura 15: Representação dos últimos palitos a serem retirados da atividade 1 ...... 85
Figura 16: Representação de todos os palitos a serem retirados na atividade 1 ...... 86
Figura 17: Estratégia máxima por meio do Algoritmo da Divisão para a atividade 1 86
Figura 18: Representação da jogada do formador com aluno Jonas ........................ 92
Figura 19: Esquema apresentado pelo grupo na atividade 1 .................................... 94
Figura 20: Representação para a retirada do último palito para se obter a vitória .... 96
Figura 21: Representação dos últimos palitos retirados da atividade 1 .................... 96
Figura 22: Representação de todos os palitos que devem ser retirados na
atividade 1 ................................................................................................. 97
Figura 23: A notação do estudante Jonas para atividade 2 ...................................... 99
Figura 24: Esta figura diz respeito a estratégia agrupando palitos de 6 em 6 .......... 103
Figura 25: Esta figura representa a estratégia agrupando de 4 em 4 palitos ............ 104
Figura 26: Representação da atividade 3 formulada pelo grupo 2 ............................ 108
Figura 27: Esquema no qual intervimos para elucidar quais palitos levam à derrota 109
Figura 28: Simulação da atividade 3 ......................................................................... 110
Figura 29: Agrupamento dos palitos da atividade 4 .................................................. 111
Figura 30: Adaptação do Algoritmo da Divisão para a estratégia máxima da
atividade 4 ................................................................................................. 113
Figura 31: Esquema montado pelo estudante Jonas para a atividade 4 .................. 116
Figura 32: Representação da divisão da atividade 4 durante a oficina ..................... 116
Figura 33: Representação da divisão da atividade 3 ................................................ 117
Figura 34: Agrupamentos de palitos da atividade 5 .................................................. 119
Figura 35: Estratégia máxima para a atividade 5 ...................................................... 119
Figura 36: Divisão da dupla Jonas e Ricardo ............................................................ 121
Figura 37: Simulação da jogada do formador com o estudante Lucas na
atividade 5 ............................................................................................... 122
Figura 38: Estratégia máxima apresentada pelo grupo 2 .......................................... 125
Figura 39: Esquema da atividade 6 apresentado pelo grupo 2 ................................. 125
Figura 40: Estratégia da atividade 6 apresentada durante intervenção .................... 126
Figura 41: Estratégia máxima para atividade 7 ......................................................... 127
Figura 42: Agrupamento da atividade 7 .................................................................... 127
Figura 43: Representação da atividade 7 pelo grupo 2 ............................................. 128
Figura 44: Representação da atividade 7 pelo grupo 3 ............................................. 130
Figura 45: Simulação da atividade 7 – formador jogando com o grupo 3 ................. 130
Figura 46: Simulação da atividade 7 - formador jogando com o grupo 2 .................. 130
Figura 47: Algoritmo da Divisão da atividade 8 ......................................................... 132
Figura 48: Estratégia do grupo 1 para a atividade 8 ................................................. 134
Figura 49: Estratégia apresentada por Jonas na atividade 8 .................................... 135
Figura 50: Estratégia máxima da atividade 9 ............................................................ 136
Figura 51: Representação do grupo 1 na atividade 9 ............................................... 137
Figura 52: Estratégia de Ricardo para a atividade 9 ................................................. 137
Figura 53: Prova real apresentada por Lucas na atividade 9 .................................... 138
Figura 54: Representação da estratégia adotada pelo estudante Paulo para
resolver a atividade 9 ................................................................................ 138
Figura 55: Cálculos auxiliares da estudante Gabriela na resolução do item b) da
atividade 11 ............................................................................................... 141
Figura 56: Erro cometido pela estudante Carolina no item c) da atividade 11 .......... 142
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Referente ao método da divisão egípcia .................................................... 65
Quadro 2: Erros e acertos dos alunos em cada questão do pré-teste ........................ 80
Quadro 3: Jogadas possíveis para a atividade 1 ........................................................ 87
Quadro 4: Todas as possibilidades possíveis para a atividade 3 ................................ 104
Quadro 5: Frequência dos alunos nas oficinas ........................................................... 143
Quadro 6: Comparação de pré-teste com pós-teste ................................................... 144
Quadro 7: Comparativo entre o desempenho dos pré-teste e pós-testes ................... 145
INTRODUÇÃO
1
Meu primeiro contato com o jogo do NIM (um jogo de palito) ocorreu em
2000 quando era eletricista em uma empresa prestadora de serviço. Na ocasião,
um colega, mecânico da empresa, apresentou-me o jogo, mas “não tinha nome”.
Ele alinhou 15 porcas (objeto metálico que se encaixa ao parafuso) sobre uma
bancada e disse que iria jogar comigo e que cada um de nós poderíamos retirar
de uma a três porcas e quem retirasse a última, perderia o jogo. Desse modo,
joguei com ele algumas vezes e perdi. Ele me disse que o segredo do jogo era
sair com duas porcas. Perguntei a meu colega como ele sabia que ganhava se
saísse com duas porcas? Ele me disse: “Iniciando com duas (porcas) ganha e
pronto”! Depois disso, joguei com outros funcionários e acabei por desenvolver
uma lógica que me garantiria a vitória sempre que eu saísse com as duas porcas
como meu colega ensinou-me. No entanto, eu não sabia o nome do jogo e, assim,
dizia que era o “jogo das porquinhas”, pelo fato de meu primeiro contato com esse
jogo ter sido com tal objeto.
Em 2001, comecei a graduação em Licenciatura Matemática no Centro
Universitário Fundação Santo André e ensinava a meus colegas o tal “jogo das
porquinhas” e não fazíamos quaisquer tipos de reflexão. Para que faríamos?
Vencer o oponente já bastava. Isso era o que eu pensava na época. Na
graduação, comecei a trabalhar em uma escola pública como professor eventual.
Por diversas vezes, não sabia o que passar aos alunos até mesmo porque,
muitas das vezes as aulas não eram de disciplinas da área de exatas. O que
fazer? Desse modo, também ensinei o jogo das porquinhas aos alunos. Assim,
mantinha os alunos entretidos e, ao mesmo tempo, fazia com que eles
procurassem alguma lógica no jogo. Durante meu período como professor tanto
____________
1
Esta dissertação contempla as novas regras de acordo ortográfico vigente no país.
13
eventual como efetivo, percebi que os alunos divertiam-se com o “jogo das
porquinhas”.
Em minha experiência em sala de aula, também pôde perceber que os
alunos do sexto ano do Ensino Fundamental até os do terceiro ano do Ensino
Médio apresentavam grande dificuldade para realizar o Algoritmo da Divisão.
Observei ao tentar ensinar que a falta de domínio na tabuada era um grande
empecilho.
Nas aulas da graduação, alguns professores nos instruíam a trabalhar de
modo diferenciado para fazer com que o estudante se motivasse e pudesse ter
um ponto de vista diferenciado.
Ao ingressar no Mestrado, resolvi que gostaria de trabalhar com o algum
tipo de jogo, mas qual? A professora Maria José que, até então, não era minha
orientadora, recomendou-me, a princípio, a leitura dos trabalhos da Regina Célia
Grando, Júlia Borin e Tizuko Morchida Kishimoto. Nessas leituras, aprendi que
embora o jogo pelo jogo, tenha seu valor, o jogo em sala de aula deve ter um
caráter educacional. Descobri que o jogo que eu chamava de “jogo das
porquinhas”, é muito antigo e é chamado de jogo do NIM. Tanto Grando (2004b)
como Borin (2004), sugerem que o NIM possa ser utilizado para o ensino de
alguns conteúdos, entre eles o Algoritmo da Divisão. Desse modo, resolvi juntar o
uso do jogo com o Algoritmo da Divisão que despertou meu interesse pelas
dificuldades apresentadas desde os alunos do Ensino Fundamental até o Ensino
Médio. Empreguei a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, como
quadro teórico para a aplicação de uma sequência didática que envolvesse o jogo
do NIM e o Algoritmo da Divisão.
Nosso trabalho consta de quatro capítulos, além das considerações finais.
No primeiro capítulo, ressaltamos a justificativa de nosso tema, aspectos
metodológicos e a embasamento do quadro teórico. No segundo capítulo,
fazemos um breve estudo sobre jogos, em que elucidamos aspectos históricos,
vantagens e desvantagens e também explicamos sobre o jogo do NIM. No
terceiro capítulo mostramos pesquisas que apontam problemas referentes ao
Algoritmo da Divisão, bem como os erros freqüentes e alguns métodos utilizados
para a resolução do algoritmo.
14
No quarto capítulo abordamos a sequência didática que constou do pré-
teste, análises a priori, análises a posteriori e o pós-teste. Neste capítulo,
analisamos as respostas fornecida pelos alunos de acordo com a Teoria das
Situações Didáticas.
15
CAPÍTULO I
1 Problemática
Neste capítulo, abordaremos nossa justificativa para a escolha do trabalho
com o jogo e com o Algoritmo da Divisão, incluindo a questão de pesquisa e os
objetivos, seguidos dos aspectos metodológicos e nosso quadro teórico.
1.1 Justificativa
O jogo sempre fez parte do dia a dia das crianças, desde os primeiros anos
de idade. Assim quando jogam, elas questionam, fazem perguntas, concentram-
se, abstraem, usam a imaginação e ficam horas a fio brincando. Para Grando
(2004b), em alguns casos, os pais acreditam que brincar e jogar em excesso
podem ser prejudiciais à criança, acreditando, assim, que jogo e estudo não estão
relacionados, porém não percebem o quanto os jogos podem ser instrutivos e
beneficiar a aprendizagem quando esta integração é bem elaborada e
estruturada.
Para Brenelli (2006), o fracasso escolar, assim como as dificuldades em
ensinar fazem parte de uma realidade desafiadora, e como as crianças, de um
modo geral, apresentam uma aptidão natural a jogos e brincadeiras, existe, então,
maneiras de desencadear contextos educacionais via jogos. A autora sugere a
possibilidade de trabalhar com jogos, como uma alternativa para combater as
dificuldades existentes no sistema de ensino.
17
Desse modo, Smole et al. (2007) citam que o emprego do jogo na escola
não é novo, sendo seu potencial para o ensino e a aprendizagem bastante
conhecido em muitas áreas do conhecimento.
Na pré-escola, em atividades educacionais, as brincadeiras e jogos são
constantes no cotidiano do aluno em atividades educacionais. Quando a criança
avança para as séries seguintes e entra no Ensino Fundamental parece haver
uma ruptura no processo. Os jogos e as brincadeiras praticamente desaparecem
e, em seu lugar, aparece quase sempre o método do “giz e lousa”, no qual, na
maioria das vezes o estudante torna-se um ouvinte na sala de aula.
Segundo Fini e Jesus (2001), ao longo dos tempos, os jogos são, com
frequência, lembrados como uma alternativa para solucionar problemas da prática
pedagógica. Menezes et al. (2007) confirmam essa idéia e acrescentam que os
jogos têm sido adotados para ajudar a superar a crise em que o sistema
educacional se encontra. Mas, de acordo com Grando (2004b), apesar de um
número crescente de pesquisadores dedicarem-se ao aprofundamento do estudo
da prática de jogos em sala de aula, sua utilização com a intenção de ensinar
ainda é pouco explorada.
Nesse sentido, para Romero (2007), os jogos podem ser utilizados para
introduzir conceitos, amadurecê-los ou preparar o aluno para aprofundar itens já
estudados. Essa escolha dependerá da intenção do professor, por isso o emprego
de jogos em sala de aula não deve ser efetuada sem um prévio estudo, pois sua
utilização é um facilitador cujo objetivo é trabalhar bloqueios, não servindo assim
como um passatempo recreativo. As ideia da autora são reforçadas por Inácio,
Lupinacci e Muller (2007) que também defendem o uso dos jogos em sala de aula
com os mesmos propósitos.
Em se tratando de aulas de Matemática, Smole et al. (2007), consideram
que o uso do jogo mostra uma mudança significativa nos processos de ensino e
aprendizagem que permite mudar o modelo tradicional de ensino, que muitas
vezes tem no livro didático e nos exercícios padronizados seu principal recurso
didático.
18
Desta forma, em nosso trabalho pretendemos utilizar o jogo do NIM como
alternativa para permitir que alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, que têm
dificuldade no Algoritmo da Divisão, atribuam-lhe significado, além de construir
e/ou melhorar o uso desse algoritmo. Acreditamos que a utilização dos jogos
possa dar ao aluno uma possibilidade de aprendizagem, visto que sua eficácia
depende de outros fatores como: maneira como o jogo é abordado, escolha do
jogo para uma idade adequada, entre outros.
Mas o que é o NIM? Onde surgiu? Qual sua origem? O NIM é um dos
jogos mais antigos que se tem conhecimento e de acordo com Gardner (1998),
embora sua origem seja desconhecida, tudo leva a crer que tenha surgido na
China. Ainda, segundo o autor, uma análise completa desse jogo foi publicada
pela primeira vez, em 1901, por Charles Leonard Bouton. O nome NIM também
foi dado por Bouton e ao que tudo indica, parece vir do inglês arcaico que significa
roubar ou tomar. O NIM foi o primeiro jogo de que se tem relatos a ser estudado
matematicamente.
Assim ganhou notoriedade quando em 1940, nos Estados Unidos da
América (EUA) foi criada uma máquina (que pesava cerca de uma tonelada), cujo
nome era Nimatron, e sua única finalidade era jogar o NIM. Em um festival
britânico, em 1951, foi criado um robô cuja função também era jogar o NIM e o
nome desse robô era Nimrod.
Seja qual for o tipo de jogo, sua abordagem deve vir acompanhada de
reflexões e indagações. Na utilização dos jogos, percebemos um potencial para
que possamos reforçar um conteúdo matemático, em nosso caso, o Algoritmo da
Divisão e, com isso, esperamos que o aluno possa reformular, explorar
possibilidades durante o jogo e, ao término das oficinas com o NIM, que seja
capaz de refazer o conteúdo que apresentou dificuldade durante a execução do
pré-teste.
A escolha do Algoritmo da Divisão, também, conhecido como Algoritmo de
Euclides, ocorreu por percebermos em nossa experiência a dificuldade que os
alunos encontram nessa operação e, também, com base em relatos de alguns
pesquisadores como Saiz (1996), Carreher, Carraher e Schliemann (2003), entre
outros. Estes pesquisadores concluíram em seus trabalhos que os estudantes
19
apresentam dificuldades para resolver exercícios de maneira formal
2
. Ainda,
segundo os autores, quando conteúdos são transmitidos de forma prática, isto é,
quando são abordados relacionados, de alguma maneira, ao cotidiano dos
alunos, estes apresentaram uma melhora significativa nos resultados.
Saiz (1996) ao analisar as dificuldades do uso do Algoritmo da Divisão com
crianças dos sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental, diagnosticou falhas
referentes à interpretação e também ao uso da estrutura do Algoritmo da Divisão
por parte dos alunos. A pesquisadora concluiu que o professor não pode deixar
de lado tais dificuldades, simplesmente alegando que o aluno deverá prestar mais
atenção ou exercitar mais, pois esses erros constituem-se em obstáculos que não
são superados por meio de uma quantidade maior de exercícios ou mais atenção.
Ainda com respeito ao Algoritmo da Divisão, Gregolin (2002), Castela
(2005) e Cunha (2007) ao trabalharem com alunos do Ensino Fundamental em
suas pesquisas, observaram que os alunos têm dificuldades para compreender o
Algoritmo da Divisão, sobretudo, quando é ensinado de maneira mecânica. Mack
(1990 apud Castela 2005, p. 18) afirma que: os alunos que aprendem os
algoritmos apenas como uma ação mecânica e não como apoio no conhecimento
informal sentem mais dificuldade em construir algoritmos significativos.
Diante do exposto, almejamos desenvolver nossa pesquisa, com os temas:
jogos e Algoritmo da Divisão. Respaldados em pesquisas que apontam que
alunos do Ensino Fundamental (sexto ao nono ano) ainda apresentam
dificuldades com relação a esse algoritmo, fizemos a escolha do jogo do NIM e o
aplicaremos com os alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola
pública estadual da cidade de São Paulo. Serão escolhidos alunos que
apresentam dificuldades na divisão (no que diz a respeito a seu algoritmo) com o
objetivo de ampliar e/ou construir conhecimentos a respeito do Algoritmo da
Divisão, utilizando o jogo do NIM e tomando como base a Teoria das Situações
Didáticas.
O objetivo de nosso estudo baseia-se em: Verificar como o jogo do NIM
pode auxiliar na construção ou no aprimoramento do algoritmo da divisão.
____________
2
O termo “formal” está de acordo com Castela (2005) e refere-se a exercícios com enunciados do tipo:
calcule, resolva, entre outros.
20
Com base em nosso objetivo e nas escolhas que fizemos, pretendemos
responder à seguinte questão de pesquisa:
Uma sequência de ensino que utiliza o jogo do NIM pode
contribuir para que estudantes do sexto ano com
dificuldade no Algoritmo da Divisão, possam construir
e/ou aprimorar esse conhecimento?
A seguir, relataremos aspectos metodológicos e o referencial teórico nos
quais esta pesquisa se apóia.
1.2 Aspectos metodológicos
Será realizada uma pesquisa qualitativa que, de acordo com Lüdke e André
(1988), apresenta as seguintes características:
• sua realização ocorre em ambiente natural e é, neste local, onde se
coletam os dados e o pesquisador é seu principal instrumento. O
pesquisador deve ter um contado direto e estreito com a situação, sem
se influenciar;
• os dados são predominantemente descritivos. O pesquisador deve se
atentar à maior quantidade de elementos possíveis no ambiente, pois
até mesmo um aspecto supostamente trivial pode ser a chave para a
compreensão do problema estudado;
• a preocupação com o processo é maior do que com o produto. O
pesquisador tem o interesse em saber como ocorre o processo durante
as atividades;
• o “significado” que as pessoas (no caso as que são observadas) dão às
coisas são focos da atenção do observador. O que acontece é que o
grupo observado pode usar termos de maneira equivocada, mas sua
linha de raciocínio está correta, cabendo, assim, ao pesquisador checar
essas palavras/informações; e
21
• a análise dos dados tende a seguir um processo indutivo. O pesquisador
não busca evidências que comprovem suas hipóteses. As coletas de
dados fornecerão elementos que poderão ou não “fortalecer” a
hipóteses.
As pesquisadoras, também, mencionam que a pesquisa qualitativa
proporciona ao pesquisador condições de realizar novas descobertas e observar
novos fatores relevantes que possam surgir durante a realização da pesquisa.
Para as autoras:
Mesmo que o investigador parta de alguns pressupostos teóricos
iniciais, ele procurará se manter constantemente atento a novos
elementos que podem emergir como importantes durante o estudo
[...] novos aspectos poderão ser detectados, novos elementos ou
dimensões poderão ser acrescentados, na medida em que o
estudo avance. (LÜDKE e ANDRÉ, 1988, p.18).
Para validar a construção e a análise das atividades, que trataremos neste
trabalho, tomamos como base alguns pressupostos da Engenharia Didática. Esta
escolha garantirá ao pesquisador avaliar as atividades propostas fundamentado
na teoria ao confrontar a análise a priori com os dados coletados durante as
atividades.
A noção de Engenharia Didática surgiu no início da década de 1980.
Segundo Artigue (1996), o objetivo da Engenharia Didática compara-se ao
trabalho de um engenheiro quando arquiteta um projeto, ao apoiar-se em
conhecimentos científicos, submetendo-se, assim, a um controle de tipo científico
e que, ao mesmo tempo, faze-se necessário o estudo de objetos mais complexos
que os objetos depurados da ciência.
Para Douady (1993 apud MACHADO, 2008, p. 234) Engenharia Didática,
é:
[...] uma sequência de aula(s) concebida(s), organizada(s) e
articulada(s) no tempo, de forma coerente, por um professor-
engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para uma
certa população de alunos. No decurso das trocas entre professor
e alunos, o projeto evolui sob as reações dos alunos e em função
das escolhas e decisões do professor.
22
A Engenharia Didática é caracterizada, segundo Artigue (1996), por um
esquema experimental com base em realizações didáticas em sala de aula, outra
característica, segundo a autora é a maneira como ocorre a validação
3
. Na
maioria dos casos, é feita uma comparação entre a análise a priori e a posteriori.
De acordo com Artigue (1996), a Engenharia Didática possui quatro fases.
1. Análises prévias ou preliminares
Para Almouloud (2007), um dos objetivos dessas análises é identificar
problemas de ensino e aprendizagem do objeto de estudo e descrever
fundamentos teóricos e metodológicos e hipóteses da pesquisa.
Nesta fase, as análises preliminares podem comportar as seguintes
vertentes: estudos da organização matemática, análise da organização didática
do objeto matemático escolhido e definição da questão de pesquisa.
O objetivo desta fase é nortear, dar uma base de sustentação ao
pesquisador a respeito de sua pesquisa. Fazendo um prévio estudo de como se
dá a abordagem do assunto escolhido, apontando quais as dificuldades
encontradas pelos discentes em aprendê-lo e pelos docentes em ensiná-lo.
Justificando, assim, qual a importância e o que poderá acrescentar ao ensino e á
abordagem realizada durante a pesquisa.
2. Concepção e análise a priori
Almouloud (2007) afirma que, com a finalidade de responder e validar
questões levantadas na fase anterior, o pesquisador deve elaborar uma
sequência de situações-problema. Esta sequência didática, além de ser de suma
importância para a construção dessa fase, deverá considerar algumas
características:
• Os conhecimentos anteriores não deverão ser suficientes para a
realização total do problema proposto.
____________
3
Validação é, segundo Artigue (1996), a quarta fase da Engenharia Didática, que elucidaremos mais adiante.
23
• Os alunos não deverão ter dificuldade para interpretar os dados do
problema, podendo assim se esforçar para obter a solução da situação
proposta.
• Vários domínios do conhecimento devem estar envolvidos na resolução
do problema.
Para o autor:
as situações problemas devem ser concebidas de modo a permitir
ao aluno agir, se expressar, refletir e evoluir por iniciativa própria,
adquirindo assim novos conhecimentos. O papel do professor é o
de mediador e orientador, suas intervenções devem ser feitas de
maneiras a não prejudicar a participação do aluno no processo de
aprendizagem (ALMOULOUD, 2007, p. 174-175).
Percebemos que tanto na Engenharia Didática, como na Teoria das
Situações Didáticas, o aluno é o maior responsável pela construção de seu
conhecimento e cabe ao professor dar subsídios e elementos necessários para
que o estudante progrida na edificação de seu saber. Nesta fase, também, o
professor deve levar em consideração os confrontos das ideias dos alunos, cujo
intuito é a consolidação dos novos conhecimentos.
De acordo com Artigue (1996), a análise a priori deve conter: a descrição
do local e as características da situação-adidática; uma análise da situação
decorrente das possibilidades de articulação do estudante para escolha, ação,
validação durante a situação proposta; uma “previsão” dos comportamentos dos
estudantes no contato com a situação problema apresentada.
Segundo Almouloud (2007), a análise a priori é muito importante, pois da
qualidade desta análise dependerá o sucesso da situação-problema e é, nesta
fase, que o pesquisador irá controlar a realização das atividades e compreender
os fatos que serão observados.
3. Experimentação
Esta fase inicia-se quando ocorre o contato do pesquisador/professor com
os estudantes “objetos” da investigação preterida. Nesta etapa da pesquisa, é
aplicada toda a construção realizada nas fases anteriores. As observações
24
buscam constatar se o que foi previsto nas fases anteriores, realmente, acontece
nesta fase.
Para Machado (2008), na experimentação deve-se supor:
a) registros de observações feitas durante a experimentação;
Para a autora toda a observação deve ter sido preparada por uma análise a
priori conhecida pelo observador, além disso, os objetivos da observação
também, devem ser delimitados previamente.
Realizamos quatro oficinas para comprovarmos nosso experimento que foi
realizado pautados nas ideias de Machado (2008). Para verificar os registros de
observações feitos na experimentação. Colocamos cada grupo numa mesa e em
cada uma delas uma observadora e um gravador de voz para que se fosse
registrada a maior quantidade de informações referentes à sequência didática.
b) aplicação dos instrumentos de pesquisa;
As regras do jogo do NIM foram entregues a cada dupla e logo após,
também, a quantidade de palitos correspondentes a cada atividade aos
estudantes. Pedimos para que eles verificassem a quantidade de palitos e
começassem a jogar. Conforme sentíamos necessidade, fazíamos intervenções
coletivas, geralmente, em forma de pergunta. Por vezes, optávamos por
explicações locais. Nas três primeiras oficinas, foram montados três grupos,
porém na quarta, em razão da falta de alunos, foram formados apenas 2 grupos.
c) explicitação dos objetos e condições de realização à população de
estudantes participantes de pesquisa.
d) estabelecimento do contrato didático
4
.
Nesta fase, as escolhas feitas nas etapas anteriores devem ser
respeitadas. Caso tenha mudança entre as fases da análise a priori e da
____________
4
Segundo Brousseau (1996, p. 51), contrato didático é uma relação que determina – explicitamente em
pequena parte, mas, sobretudo implicitamente – aquilo que cada parceiro, professor e aluno, a
responsabilidade de gerir e pelo qual será de uma maneira ou outra, responsável perante o outro.
25
experimentação, o resultado esperado poderá divergir do esperado,
comprometendo, assim, a análise a posteriori.
4. Análise a posteriori e validação
Após a experimentação, pode acontecer dos instrumentos da observação
não terem sido suficientes para a compreensão adequada da situação-problema;
para tanto, os dados podem ser complementados por meio de outras
metodologias externas, tais como: entrevistas individuais ou questionários.
A análise a posteriori dependerá exclusivamente das ferramentas utilizadas
na coleta de dados (gravação de voz, observações e registros dos alunos). Esta
análise a posteriori será confrontada com a análise a priori, estimando, assim, a
reprodutibilidade dos fenômenos didáticos identificados. Passaremos agora a
destacar os procedimentos metodológicos deste estudo.
1.3 Quadro teórico
O quadro teórico da presente pesquisa tem como base a Teoria das
Situações Didáticas de Guy Brousseau que foca no aluno a responsabilidade da
construção de seu conhecimento e atribui ao professor o papel de mediador entre
o saber e o aluno. Desta maneira, o aluno age, reflete, cria hipóteses e constrói
seus conhecimentos. Esta teoria, de acordo com Almouloud (2007), foi criada com
a finalidade de modelar o processo de ensino e aprendizagem de conceitos
matemáticos e tem como objeto principal a situação que ocorre com a interação
entre o aluno, professor e o saber.
De acordo com Brousseau (1996), assim como acontece com a sociedade
humana, o estudante aprende por meios das dificuldades, das contradições e dos
desequilíbrios. De tal forma, que os alunos, tendem a se adaptarem às situações
propostas manifestando novas respostas que são a prova de sua aprendizagem.
26
A situação didática, conforme Almouloud (2007), é um conjunto de relações
estabelecidas de maneira implícita ou explícita entre os estudantes, o milieu
5
e o
professor para que os alunos adquiram um conhecimento. O docente deve criar
um ambiente propício a fim de que os alunos aprendam.
Segundo o autor, parte essencial da situação didática é a situação
adidática, que é uma situação onde o professor cria condições de ensinar,
explorando o conhecimento prévio que o aluno já possui, porém não revela ao
estudante o conteúdo que está sendo abordado na situação. O aluno é
responsável pela construção de seu conhecimento. Em nosso trabalho,
desejamos que o aluno aprimore e/ou construa o Algoritmo da Divisão via jogo do
NIM, porém isso não lhe será revelado de imediato.
Durante as oficinas, os educandos realizarão as atividades propostas que
lhe permitirão criar estratégias para ganhar o jogo. Para sempre vencer o jogo,
por hipótese, o aluno perceberá a necessidade de desenvolver o Algoritmo da
Divisão.
Na situação adidática, ocorre, ainda, o que chamamos de devolução, ato
pelo qual o professor, com questionamentos conduz os estudantes a reflexões, a
pensar, analisar o problema e, assim, fazer com que cada um seja o responsável
por construir seu próprio conhecimento. Desta forma, o professor é um mediador
entre o educando e o saber.
Para Freitas (1999), a devolução tem o significado de transferência de
responsabilidade, no caso, o professor passa a responsabilidade do
conhecimento ao aluno. O sucesso na situação adidática significa que o aluno por
conta própria, conseguiu sintetizar um conhecimento.
Existe também a situação não didática que não pertence a Teoria das
Situações Didáticas (TSD), em que não ocorre a intenção de ensinar. Podemos
perceber esta situação, quando utilizamos de um jogo em sala de aula, porém
sem o intuito de explorar qualquer objeto matemático.
____________
5
Segundo Almouloud, (2007, p. 32) milieu é um fator de dificuldades, de contradições, de desequilíbrio, um
pouco como acontece na sociedade humana.
27
O processo de aprendizagem na Teoria das Situações Didáticas apresenta
quatro fases, nas quais o estudante não possui a mesma relação com o saber em
cada uma delas. Conforme cita Almouloud (2007), essas fases, são denominadas
de ação, formulação, validação e institucionalização. Nas três primeiras fases,
cabe ao aluno a construção do próprio conhecimento. Na última, ou seja, na
institucionalização é quando o professor revela ao estudante os saberes
envolvidos nessa sequência de ensino. A devolução ocorre durante as três
primeiras fases.
Fase da ação
Nesta fase o aprendiz tem contato pela primeira vez com o problema e
retira dele todas as informações necessárias para começar a agir e interagir em
busca de respostas. Estas respostas são mais de caráter experimental sem que
se obtenha explicações ou justificativas.
O aluno passa a ter contato com um problema, cuja solução é exatamente
aquilo que o professor deseja ensinar. Aqui pode haver uma interação entre os
alunos, caso a atividade seja feita em grupo. Neste contato com outras ideias, o
estudante começa a ter maior familiarização com o problema e a construir seu
saber. Neste momento, esperam-se justificativas “rudimentares”, dos alunos sem
formalismo matemático. Nesta fase, existem devoluções entre o aluno e o
problema, sendo assim o estudante pode mudar de opinião e agregar elementos
que o façam chegar à resposta desejada.
Caso o aluno perceba ter dúvidas na resolução em algumas das atividades
da sequência, o professor não deve fornecer as soluções. O papel do professor é
mediar a relação entre o aluno e o saber com o objetivo de que o aluno reflita e
possa, assim, construir seu conhecimento. Isso é a devolução a que nos
referimos, que também poderá ocorrer nas próximas duas fases. Os estudantes
serão sempre instigados a buscarem soluções, estratégias, caminhos que os
levem a construir a solução da situação que lhes foi apresentada.
No caso de nossa sequência didática, os alunos agirão assim que entrarem
em contato com os palitos e com as regras do NIM. Saberão quando perdem ou
28
ganham o jogo, optarem por retirar x ou y palitos, isso faz parte da fase de ação
da TDS em nossa sequência do jogo.
Fase da formulação
Nesta fase, existe troca de informações entre os alunos e/ou entre os
grupos que podem ocorrer via oral ou escrita. As respostas são de caráter mais
experimentais sem que se tenham explicações ou justificativas. Nesta fase, há
diálogos entre os estudantes cuja finalidade é formular uma resposta mais
elaborada que na fase anterior dentro daquilo que construíram.
Segundo Freitas (1999), o professor faz perguntas que envolvam porquês,
explique, justifique e outros questionamentos que fazem com que os alunos se
aproximem mais das soluções das atividades. A cada nova informação recebida,
a construção do saber poderá estar mais perto do objetivo que se almeja.
Durante as oficinas com o NIM, a troca de informações será constante. O
fato de jogarem em duplas favorecerá para que os estudantes desenvolvam
estratégias. Dessas interações com o parceiro de jogo, com os adversários, ou
mesmo em intervenções coletivas, os alunos poderão criar hipóteses e
estratégias para vencerem o jogo, que não sejam apenas jogadas ao acaso.
Fase da validação
Nesta fase, o aluno deve convencer os demais estudantes de que sua
resposta está “correta”. É possível que lhe sejam pedidos maiores
esclarecimentos e, assim o discente deverá explicitar melhor suas ideia, até que,
ou ele seja convencido de que está no caminho errado, ou que ele convença os
demais de suas ideia. Nesta fase, ocorre um debate no qual as ideia são aceitas
ou refutadas. Pode haver uma ideia ser aceita pelo grupo e não ser
necessariamente a correta. O principal objeto da validação são as afirmações que
foram elaboradas nas fases de ação e formulação. Nesta fase, o aluno utiliza
provas para justificar suas respostas, contestar ou recusá-las.
Até esta fase, o aluno sempre é o principal responsável pela construção de
seu conhecimento. Na validação, são esperadas respostas mais estruturadas e
formalizadas.
29
Assim, os alunos/duplas tentarão convencer que suas estratégias são
corretas e para tanto terão de argumentar, convencer os parceiros e adversários,
de que sua estratégia é verdadeira.
Fase da institucionalização
Nesta etapa, o professor revela quais são os conhecimentos que estão
sendo explorados na sequência de atividades. Aqui ocorre o desfecho da
situação, tornando o conhecimento “público”, e o professor explica e analisa as
possibilidades levantadas nas fases anteriores. Para Almouloud (2007), uma vez
institucionalizado, o saber passa a ser um patrimônio matemático da classe.
De acordo com Brousseau (1996), em uma aula tradicional, como apenas o
professor é o responsável pela transmissão do conhecimento, ocorre somente a
última fase da Teoria das Situações Didáticas, no caso, a institucionalização.
Quando uma institucionalização é feita antes do tempo, o estudante poderá
ter suas etapas de construção do conhecimento interrompidas, sendo privado de
trilhar seu conhecimento com os próprios esforços; porém, quando feita de
maneira tardia, ela poderá deixar erros e interpretações equivocadas, dificultando,
assim, sua compreensão.
De acordo com Almouloud (2007), é na institucionalização que o professor
desenvolve progressivamente uma linguagem plausível a todos os alunos. Nesta
fase, o professor mostra que por meio da sequência didática foi possível adquirir
conhecimentos novos. Caso o aluno mostre alguma resposta errada e que ainda
se passava por verdadeira, não tendo sido percebido o erro pelos próprios
estudantes, nesta ocasião o erro deverá ser desfeito.
Almouloud (2007) cita que na Teoria das Situações Didáticas, as fases não
são independentes, estão interligadas de tal forma que não é possível determinar
com precisão onde termina uma fase e onde inicia a outra.
Neste estudo, nossa escolha da Teoria das Situações Didáticas ocorreu
pelo fato de alguns autores como Cunha (1997), Castela (2005), revelarem em
suas pesquisas que os alunos apresentaram dificuldades na operacionalização do
30
Algoritmo da Divisão em que, muitas vezes, o processo de aprendizagem deu-se
mecanicamente e/ou descontextualizado. Gregolin (2002) relatou erros cometidos
por alunos do Ensino Fundamental e afirma que os alunos apresentam
dificuldades em detalhes dos quais, muitas vezes, os professores nem se dão
conta. Nesse sentido, uma abordagem diferenciada da tradicional torna-se uma
opção para explorar o Algoritmo da Divisão se faz necessário.
Como relatamos, a Teoria das Situações Didáticas foi utilizada, tanto na
concepção como na aplicação das atividades. Após a coleta dos dados,
confrontaremos os resultados obtidos com as análises a priori, nas quais
identificaremos as fases propostas pela Teoria das Situações Didáticas e, assim,
perceberemos se uma alternativa não tradicional de trabalho com Algoritmo da
Divisão pode potencializar a construção de conhecimentos a seu respeito, por
alunos de uma classe do sexto ano do Ensino Fundamental que apresentaram
dificuldades com esse algoritmo.
Para responder a nossa questão de pesquisa, aplicaremos inicialmente, um
pré-teste em uma sala do sexto ano do Ensino Fundamental a fim de diagnosticar
aqueles com dificuldades nesse pré-teste com o Algoritmo da Divisão. Os alunos
que tiverem um índice não satisfatório (alunos com uma grande quantidade de
erros e/ou com questões em branco) serão convidados a participarem, nos
mesmos horários de suas aulas, de oficinas, em que uma sequência que prevê a
utilização do jogo do NIM será aplicada para que possam reelaborar seus
conhecimentos a respeito do Algoritmo da Divisão.
Após a realização dessas oficinas, será aplicado um pós-teste, cujo
propósito é a verificação dos possíveis progressos dos alunos que participaram
da intervenção em relação a todos que fizeram o pré-teste.
Nossos instrumentos de coleta de dados serão observações, gravações de
voz e documentos escritos pelos alunos.
Durante a aplicação das atividades nas oficinas, basear-nos-emos na
Teoria das Situações Didáticas e, dessa forma, poderemos comparar uma aula
tradicional com uma aula cujo viés seja essa teoria. No próximo tópico,
31
esclareceremos a Teoria das Situações Didáticas e como esta servirá de apoio
para conceber, aplicar e analisar os dados.
Sendo assim, fizemos um estudo a respeito do Algoritmo da Divisão e seus
métodos, além de um estudo sobre jogos, mais especificamente, sobre o jogo do
NIM, uma vez que nossa pretensão era que o aluno conseguisse construir
conhecimentos sobre o Algoritmo da Divisão, utilizando o referido jogo.
32
CAPÍTULO II
2 Um breve estudo a respeito da utilização de jogos
Neste capítulo trataremos da definição de jogo, de seu uso como
instrumento de ensino e, por fim, destacaremos algumas vantagens e
desvantagens da utilização do jogo em sala de aula.
2.1 Definição do jogo e suas classificações
Para Jacquin (1963) o jogo estabelece uma relação com a criança que se
compara com o mesmo vínculo que o adulto tem com o trabalho, quando escolhe,
por afinidade, aptidão e prazer, ou seja, assim como o adulto escolhe seu
emprego e tem gosto ao realizá-lo, o jogo escolhido pela criança também deve
proporcionar prazer. A criança opta por brincar/jogar porque é divertido e
prazeiroso.
Mas não é elementar definir o que é jogo. Para Kishimoto (1998), o termo
jogo é uma dessas palavras que o fato de lhe ser atribuído em tantas ocasiões e
com os mais variados aspectos, dificulta uma definição relativamente simples. A
dificuldade aumenta quando observamos o comportamento humano. Ao vermos
uma criança com um arco e flecha, podemos achar que ela está brincando, mas
se essa criança for um indígena, possivelmente, estará treinando para a caça o
que não tem relação alguma com o jogar/brincar.
A palavra jogo por si só tem um significado vasto e abrangente. Quantas
vezes a ouvimos jogo em nosso cotidiano? “Vamos jogar bola?”, “No Congresso,
33
tem muito jogo político”. Quantos tipos de jogos conhecemos? Jogos de
tabuleiros: Ludo, Xadrez, Damas, Gamão, Go, Mancala, entre muitos outros.
Jogos esportivos: Natação, Vôlei, Futebol, Badmington, Tênis, etc. Jogos de
cartas: Buraco, Truco, Paciência, Canastra, entre outros. Jogos de lógica:
Sudoku, Palavras Cruzadas, etc. Bom, a quantidade e variedade de jogos é
imensa.
Wittgenstein (1975 apud Kishimoto, 1998) classifica as semelhanças entre
os jogos como “semelhança de família” e menciona um parentesco entre os tipos
de jogos de acordo com suas características. Vejamos o que Wittgenstein diz a
respeito dos jogos:
Refiro-me a jogos de tabuleiros, de cartas, de bola, torneios
esportivos, etc... O que é comum a todos eles? Não diga: ‘Algo
deve ser comum a eles, senão não se chamariam ‘jogos’ – mas
veja se algo é comum a todos. – Pois, se você os contemplar, não
verá na verdade algo que seja comum a todos, mas verá
semelhanças, parentescos, e até toda uma série deles. Como
disse: não pense, mas veja! – Considere, por exemplo, os jogos
de tabuleiros, com seus múltiplos parentescos. Agora passe para
os jogos de cartas: aqui você encontra muitas correspondências
com aqueles da primeira classe, mas muitos traços comuns
desaparecem e outros surgem. Se passarmos aos jogos de bola,
muita coisa comum se conserva, mas muitos se perdem. – São
todos ‘recreativos’? Compare o xadrez com o jogo de amarelinha.
Há em todos um ganhar e um perder ou uma concorrência entre
os jogadores? Pense nas paciências. [...] Então este é o resultado
desta consideração: vemos uma rede complicada de
semelhanças, que se envolvem e se cruzam mutuamente.
Semelhanças de conjunto e de pormenor (WITTGENNSTEIN,
1975, p. 42-43 apud KISHIMOTO, 1998, p. 2-3).
Percebemos que, apesar de alguns jogos terem tantas diferenças de
outros, ainda sim são jogos. Mas o que vem a ser um jogo, então? Recorremos a
alguns autores em busca da definição do que é um jogo e encontramos as
seguintes respostas:
Segundo o dicionário Ferreira, (1995, p. 377) o jogo é: 1. Atividade física ou
mental organizada por um sistema de regras que definem a perda ou o ganho. 2.
Brinquedo, passatempo, divertimento.
34
Chateau (1978 apud GRANDO, 2004a) afirma que o jogo é uma busca de
superação de si mesmo, por si mesmo. É o autoconhecimento que se estabelece
na luta “contra” o adversário.
Huizinga (1971, p. 33) define o jogo como sendo:
[...] uma atividade ou ocupação voluntária, exercida dentro de
certos e determinados limites de tempo e de espaço, segundo
regras livremente consentidas, mas absolutamente obrigatórias,
dotado de fim em si mesmo, acompanhado de tensão e de alegria
e de uma consciência de ser diferente da vida quotidiana.
Ainda, de acordo com o autor, todos os jogos têm regras para determinar o
que se pode ou não fazer durante as jogadas. Embora exista um desejo grande
de vencer, todas as regras devem ser seguidas, embora alguns jogadores
possam infligir as regras por desconhecimento ou para obter vantagens na
partida.
Bright, Harvey e Wheeler (1985 apud GRANDO, 2004a, p. 2), denominam
o jogo como sendo:
Uma atividade voluntária em que o sujeito se dedica livremente.
Um desafio contra uma tarefa ou um adversário.
Possui regras.
O estado exato que se alcança durante o jogo não se conhece a
priori, antes de começar o jogo.
O jogo termina depois de um número finitos de movimentos.
Como nosso objetivo é ampliar e/ou construir o conhecimento a respeito do
Algoritmo da Divisão, utilizando o jogo NIM, tomando como base a Teoria das
Situações Didática, aos alunos do sexto ano do Ensino Fundamental, não faz
sentido o uso de um jogo “qualquer
6
”. Portanto, utilizaremos a definição de
Grando (2004a) em nossa pesquisa por ser a que, de acordo com nosso objetivo
melhor define o significado da palavra jogo.
____________
6
Referimo-nos a um jogo qualquer que é utilizado como um passatempo, e que não se tem como meta o
ensino de um determinado conteúdo.
35
2.2 Características dos jogos
Existem diversas características quando se trata de jogos, assim,
recorremos a alguns autores, que explicitam características comuns aos jogos.
Evidentemente, existem características peculiares que não se aplicam a todos os
jogos.
De acordo com Jacquin (1963), para uma criança o jogo deve ser uma
ação espontânea, em que ela deve jogar simplesmente por gosto e prazer. O jogo
não pode ser forçado, ou seja, a criança não deve jogar contra sua própria
vontade, pois se ela não aceitar o jogo, desde o início, é provável que não se
sinta prazer enquanto estiver jogando.
Segundo o autor, percebemos que uma característica do jogo é a
voluntariedade, isto é, em momento algum a criança deve ser forçada a jogar e a
iniciativa de participar deve partir exclusivamente dela. Em nossas oficinas com o
NIM, deixaremos claro aos estudantes que eles têm a opção de não participarem,
caso não se sintam estimulados ou interessados. Até mesmo porque, como
mencionamos, a voluntariedade é uma característica do jogo. Se jogarem
desestimulados, poderão comprometer o resultado de nossa pesquisa.
Romero (2007, p. 55) menciona uma série de características que um bom
jogo deve conter:
Constitui fonte de prazer;
É uma atividade voluntária, deve ser livre e representar liberdade;
Possui regras e a desobediência das mesmas estraga o jogo;
A incerteza é um fator presente;
Deve propor algo interessante e desafiador; e
Deve permitir que todos os jogadores possam participar
ativamente, do começo ao fim.
Dessas características, tanto a primeira mencionada por Romero (2007)
como a de Jacquin (1963) são as que possivelmente podem “destoar” quando
vemos a possibilidade de unir jogo e aprendizado. Como aprender pode ser
prazeroso?
36
A própria Romero (2007) responde que o jogo em sala de aula precisa
proporcionar prazer sem perder o foco do conteúdo do qual se deseja ensinar. A
criança deve se sentir envolvida, estimulada, adquirir conhecimentos sem que
para isso se perca a ludicidade.
Kishimoto (1998) menciona outras características que todos os jogos
possuem:
Regras, elas podem ser implícitas ou explícitas. As implícitas, são aquelas
encontradas no jogo de faz de conta. Uma menina é a mamãe, a outra é a
filhinha, e a boneca é a irmãzinha. Já as regras explícitas, são as que devem ser
respeitadas em quaisquer circunstâncias, a exemplo dos jogos de vôlei e damas.
Tempo e espaço, pois o jogo deve ser realizado em um local adequado,
deve haver um número finito de jogadas, ou seja, o jogo precisa ter um fim.
A incerteza faz parte dos jogos. A priori não se sabe qual o rumo que o
jogo tomará durante seu andamento. A ação dependerá de fatores internos,
motivação, estratégia e da conduta de seus adversários e/ou parceiros. O fato da
incerteza fazer parte dos jogos, não implica que o vencedor seja aquele que tiver
mais sorte. Incerteza não está diretamente ligada à sorte. Segundo a autora, em
um jogo em que a sorte é fator determinante, definitivamente não é um bom jogo.
A sorte pode até ajudar, mas acima de tudo é a estratégia que deve levar o
jogador a ganhar ou a perder.
Huizinga (1971) e Jacquin (1963) concordam em alguns aspectos. Para
ambos, o jogo deve ser uma atividade espontânea, realizada de maneira
voluntária, com regras estabelecidas onde as recompensas são a satisfação e o
prazer.
Conforme citam Kamii (1991) e Krulik (1993 apud SMOLE et al. (2007):
• o jogo deve ser para dois ou mais jogadores, sendo uma atividade que
as crianças realizam juntas;
• o jogo deverá ter um objetivo a ser alcançado pelos jogadores, ou seja,
ao final haverá um vencedor.
37
Conforme referem os autores, o jogo deverá permitir que os alunos
assumam papéis interdependentes, opostos e cooperativos, isto é, os jogadores
devem perceber a importância de cada um na realização dos objetivos do jogo, na
execução das jogadas e observar que um jogo não se realiza a menos que cada
jogador concorde com as regras estabelecidas e coopere seguindo-as e
aceitando suas consequências; o jogo precisa ter regras estabelecidas que não
sejam modificadas , assim, cada jogador deve perceber que as regras são um
contrato aceito pelo grupo e sua violação representa uma falta no jogo, deve
haver a possibilidade de usar estratégias, estabelecer planos, executar jogadas e
avaliar a eficácia desses elementos nos resultados obtidos; enfim, não deve ser
mecânico e sem significado aos jogadores.
Desse modo, como nosso trabalho aborda o uso do jogo em sala de aula
relataremos no próximo tópico a relação existente entre o lúdico e o pedagógico.
2.3 Jogo e educação
Embora a idéia JOGO X EDUCAÇÃO pareça controversa até mesmo pela
maneira como alguns autores definem jogos, Kergonard (1906, p. 161 apud
KISHIMOTO, 1998, p. 18), consegue unir os dois termos em uma idéia.
Sei muito bem que à primeira vista estas duas palavras – a
pedagogia pelos jogos colocadas juntas, fazem um efeito de
certas uniões infelizes, caracterizadas, sobretudo pela
incompatibilidade de caráter dos cônjuges; mas esta impressão
cessa no momento em que se reflete, porque se compreende,
então que a pedagogia, em vez de estar limitada a instrução,
abraça a cultura completa do ser.(KERGONARD, 1906, p. 161,
apud KISHIMOTO, 1998, p. 18)
No meio docente, é comum surgirem dúvidas sobre jogos e jogos
educativos, exatamente, por parecer uma “união infeliz” o brincar com o aprender.
Kishimoto (1998) vê o jogo como suporte da brincadeira cuja utilização cria
momentos lúdicos, que prevalece a incerteza e não buscam quaisquer tipos de
resultados. Mas, se o jogo serve de suporte para um conhecimento futuro, tem a
finalidade de ser usado como uma ferramenta em que se almeja determinado tipo
38
de resultado, então, o jogo e/ou brinquedo passa a ser classificado como material
pedagógico.
Decroly (1978 apud KISHIMOTO, 1993) usa a seguinte definição:
Os jogos educativos não constituem senão que uma das múltiplas
formas que podem tornar o material do jogo, mas que têm por
meta dominante a de fortalecer à criança objetivos susceptíveis de
favorecer a certos conhecimentos e também permitir repetições
em relação a retenção e às capacidades intelectuais da criança
(Ibid, p. 113).
Para essa autora, o jogo é um recurso, é mais um instrumento para o
professor potencializar o conhecimento do aluno. É um elo que une prazer a
conhecimento. Assim como Decroly (1978), acreditamos que jogar e aprender
pode ser uma opção para o ensino e que o jogo e a aprendizagem não estão em
lados opostos, pois bem utilizados podem levar a bons resultados. No entanto,
cabe ao professor estruturar e estudar maneiras apropriadas de organizar o jogo
com conteúdos educacionais, tomando os devidos cuidados para que o aluno não
se interesse demais pelo lúdico, esquecendo-se da aprendizagem ou que o jogo
vire um momento à parte e independente da aula, descompassado do conteúdo.
Moura defende o uso do jogo no ensino, e pontua que:
O jogo, na educação matemática, passa a ter o caráter de material
de ensino quando considerado promotor de aprendizagem. A
criança colocada diante de situações lúdicas apreende a estrutura
lógica da brincadeira e, deste modo apreende também a estrutura
matemática presente (MOURA, 2007, p. 80).
O autor também descreve que a união do caráter lúdico com o educacional
pode trazer benefícios à aprendizagem do aluno, pois ele se diverte e aprende ao
mesmo tempo. A diversão não é negligenciada em função do conhecimento nem
o conhecimento é anulado em prol da diversão. Vemos no uso do jogo um
“convite” ao aluno para que ele possa se aprimorar e buscar um novo
conhecimento.
Para Kamii e DeVries (1991), um bom jogo no processo educacional deve
conter três itens.
39
• O jogo deve apresentar uma situação interessante e desafiadora para a
criança;
• Possibilitar que a criança tenha condições de se autoavaliar; e
• Permitir que a criança tenha condições de jogar ativamente do início ao
fim do jogo.
Deve-se tomar alguns cuidados quanto à escolha de um jogo. Se um jogo
for tido por um estudante como sendo “muito fácil”, ele tenderá a perder o
interesse, pois não necessitará de esforços e estratégias para vencer. Mas se o
jogo for classificado como “muito difícil”, poderá ser rejeitado, pois ao jogá-lo
inúmeras vezes a criança poderá ser vencida pelo desânimo, sendo
desestimulada por conta da dificuldade. O ideal é que o jogo seja um meio termo,
nem difícil e nem fácil demais, exigindo da criança técnicas e raciocínios que ela
seja capaz de efetuar enquanto joga. Para Kishimoto (1998), o que acontece
quando ocorre falta de interesse, é que o jogo pode estar em uma faixa etária não
condizente a idade da criança.
Mas afinal, qual a função do jogo educativo?
Kishimoto (1998) afirma que são duas as funções. Função lúdica é
quando a criança joga de maneira voluntária e por pura diversão, ganhando ou
perdendo, o importante é o prazer de jogar. A função educativa é quando algo é
ensinado ao aluno e este amplia seus conhecimentos.
O grande desafio do jogo educativo é saber equilibrar essas duas funções.
Se em sala de aula prevalecer apenas a função lúdica, a atividade poderá parecer
mais um passatempo comum. Caso prevaleça a função educativa, o aluno poderá
perder o interesse em jogar comprometendo assim o resultado do jogo. Desta
maneira a aula se parecerá mais com uma aula comum. Isso é uma grande
polêmica em relação ao uso do jogo. Kishimoto (1998, p.22) alega que essa
polêmica cessa quando se conhece a natureza dos jogos educativos: “Qualquer
jogo empregado pela escola aparece sempre como um recurso para a realização
das finalidades educativas e, ao mesmo tempo, um elemento indispensável ao
desenvolvimento infantil”.
40
Mas então, como diferenciar o jogo educativo do jogo não educativo? Isso
dependerá do tratamento dado pelo professor. Para Moura (2007), se a intenção
do professor for construir um significado, explorar um conhecimento, elaborar e
organizar situações, dispondo de um jogo e fazer com que o aluno tome
consciência desse conhecimento, esse jogo será um jogo educativo que
possibilitará ao aluno um aprendizado intermediado pelo professor.
A utilização do jogo, como forma de ensinar, não é algo recente e tão
pouco de exclusividade da Matemática. Povos antigos já usufruíam do jogo como
uma maneira de ensinar em diversas áreas do conhecimento, como veremos a
seguir.
2.4 Aspectos históricos dos jogos
Segundo diversos autores, entre eles Kishimoto (1993), Grando (2004b), e
Moura (2007), os jogos são utilizados naturalmente por crianças desde cedo e foi
também um recurso muito explorado por vários povos antigos com o intuito de
transmitir conhecimento e cultura.
Kishimoto (2007) assegura que os jogos têm ligação com o ensino desde a
Antiguidade com Aristóteles, Sêneca, São Tomás de Aquino, entre outros
estudiosos, que se utilizaram de jogos para ensinar/educar. Os jogos eram
difundidos com vários propósitos, tais como: atividades físicas, intelectuais e
escolares. O jogo na educação não tem uma ligação exclusivamente com a
Matemática, e sua utilização era e é abordada em vários campos do
conhecimento.
Almeida (1984 apud ROMERO, 2007) também menciona que os jogos
fizeram parte da cultura de povos antigos, como: os egípcios, gregos, romanos e
outros, cujo intuito era educar e, ao mesmo tempo, recrear. Para alguns desses
povos, o jogo era uma forma que os adultos utilizavam para passar seus
conhecimentos aos mais jovens. Vemos aqui que a ligação do divertimento com o
conhecimento já acontecia há muito e muito tempo.
41
No século XVI, o jogo educativo ganhou destaque com Ignácio de Loyola,
militar e nobre, que compreende a importância dos jogos de exercícios para a
formação do ser humano e, também preconiza-o no auxilio ao ensino. No decorrer
da História, vários tipos de jogos foram utilizados: como jogos de bola e corridas
que envolviam atividade física na época do Renascimento. No século XVII,
porém, os jogos abordaram outras áreas do conhecimento como Geografia,
Moral, História e Religião.
Almeida afirma que, no início do século XX, ocorreu realmente uma
expansão dos jogos educativos, isso em consequência do crescente aumento da
rede de ensino infantil e das discussões da relação jogo/educação. Empresas de
jogos educativos procuram melhorar não só a qualidade de seus produtos, mas
também as normas de segurança dos mesmos. Tudo isso para levar à escola um
material de qualidade que possibilitasse uma melhor aprendizagem.
2.5 Vantagens e desvantagens da utilização de jogos em sala de aula
De acordo com Lara (2004), o uso de jogos em sala de aula, vem
aumentando, porém, existem vantagens e desvantagens em seu emprego nas
aulas de Matemática. Inicialmente, abordaremos as vantagens e, posteriormente,
as desvantagens. Diversos autores defendem que o jogo auxilia na
aprendizagem.
Segundo Kishimoto:
A utilização do jogo potencializa a exploração e a construção do
conhecimento, por contar com a motivação interna, típica do
lúdico, mas o trabalho pedagógico requer a oferta de estímulos
externos e a influência de parceiros bem como a sistematização
dos conceitos em outras situações que não jogos. Ao utilizar de
modo metafórico a forma lúdica (objeto suporte de brincadeira)
para estimular a construção do conhecimento, o brinquedo
educativo conquistou espaço definitivo na educação infantil
(KISHIMOTO, 2007, p. 37-38).
Já para Moura (2007), o fato de os alunos aprenderem ao utilizar os jogos,
justifica sua presença na sala de aula. Percebemos aqui um forte argumento pelo
42
qual o autor defende a utilização de jogos, vendo essa possibilidade de aprender
jogando, acreditamos na importância da aprendizagem via jogo. O estudante
pode ter uma visão diferenciada que o levará a aquisição do conhecimento.
Grando (2004b) menciona alguns benefícios decorrentes do trabalho com
jogos em sala de aula, como:
• auxilia na (re) significação de conceitos já aprendidos;
• o aluno aprende a tomar decisões e saber avaliá-las;
• favorece a interação social e o trabalho em grupo; e
• desenvolve criatividade, senso crítico, participação e observação.
A autora afirma ainda que, quando o jogo é interessante ao aluno, pode
despertar a vontade de conhecê-lo cada vez mais para vencer e se superar, pois,
quando o aluno erra ao jogar, busca entender o erro cometido, para poder tirar
proveito quando jogar novamente. Percebemos que o errar é natural enquanto se
joga e que não traz consequências negativas, por esse motivo o aluno busca
minimizá-lo.
Outra vantagem de jogar é defendida por Rêgo e Rêgo (2004) ao
afirmarem que o jogo pode:
Proporcionar à criança o prazer da “redescoberta” é um direito que
lhe tem sido negado em detrimento do próprio ensino. Quando ela
é capaz de descobrir uma regra chegar a enunciá-la, esta regra
está sabida para sempre, e o tempo gasto é apenas alguns
minutos. Se, ao contrário, na ânsia de economizar tempo e
esforço, damos a regra, o “saber pronto” para a criança usar,
estamos oferecendo uma tarefa muito mais difícil e
desinteressante, e a sua aprendizagem vai tomá-nos vários dias;
voltaremos a insistir no assunto daí a semanas, daí a meses,
porque haverá sempre o “esquecimento”, o que nós nunca
confessamos a nós mesmos é que a criança esquece justamente
porque nunca chegou a aprender (REGO e REGO, 2004, p. 17).
Segundo Kamii e Devries (1991, p. 1) “uma vantagem dos jogos sobre as
folhas de exercício é que, nos jogos, as crianças podem supervisionar umas as
outras e falar imediatamente sobre um erro que tiver sido feito”. O fato de a
criança argumentar, trocar informações, discutir sobre possibilidades pode
mostrar o quanto ela está aprendendo, e isso sem a ação direta do professor.
43
Nessa situação, vemos implicitamente as fases da Teoria das Situações
Didáticas, na qual os alunos irão agir, formular, validar, tentando convencer seus
colegas de que suas decisões são as corretas e por meio desses diálogos
construirão gradativamente um saber matemático.
As vantagens mencionadas por Schneider (2007), também nos levam à
Teoria das Situações Didáticas, segundo a autora, o uso do jogo em sala de aula
proporciona ao aluno o levantamento de hipóteses, fazer comparações,
argumentar e, desta forma, caberá ao professor orientar para a busca de suas
soluções. Com isso, o estudante torna-se mais crítico e não um mero “receptor de
informações”. As vantagens mencionadas por Bragança e Silva (2007), também,
são na mesma linha dessa autora.
Por sua vez, Brenelli (2006) defende o uso do jogo e menciona a
importância do contexto lúdico, que propicia ao aluno o desenvolvimento da
criatividade, a afirmação da personalidade e o domínio de si. Outra vantagem é
que o jogo possui um contexto educacional que pode garantir aos alunos a
motivação e, ao mesmo tempo, pode possibilitar a construção e o aprimoramento
dos conteúdos.
Groenwald e Timm (1998) salientam que os jogos quando bem planejados,
tornam-se um recurso pedagógico eficaz para a construção do conhecimento
matemático e, para isso, deve apresentar: caráter lúdico, desenvolvimento de
técnicas intelectuais e formação de relações sociais. Notamos que os autores
ressaltam que o jogo deve conter a parte lúdica e a educativa para poder auxiliar
na eficácia da aprendizagem. Devem ser bem estruturados e elaborados, caso
contrário, os resultados poderão não corresponder às expectativas almejadas
pelo docente. Se, por um lado, esses aspectos auxiliam no ensino, as ausências
de uns desses aspectos podem gerar desvantagens, como veremos mais adiante.
Inácio, Lupinacci e Muller (2007) justificam e apoiam o uso dos jogos pelo
fato que os alunos aprendem a seguir regras, conter impulsos e respeitar aos
colegas. Além disso, também, permitem o desenvolvimento do raciocínio lógico,
deixam as aulas mais dinâmicas e não priorizam a reprodução por meio da
repetição. Podemos notar que a utilização do jogo traz também benefícios sociais,
pois propicia uma interação melhor entre as crianças, que aprendem a ouvir, falar,
44
argumentar, respeitar as decisões e atitudes dos demais, isto é, o jogo auxilia
também, na formação do indivíduo.
Além de poder ser utilizado como um recurso para diminuir e/ou amenizar
bloqueios criados durante a vida escolar do aluno. De acordo com Borin:
Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática
é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos
de nossos alunos que temem a Matemática e sentem-se
incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo, onde é
impossível uma atitude passiva e a motivação é grande, notamos
que, ao mesmo tempo em que estes alunos falam Matemática,
apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais
positivas frente a seus processos de aprendizagem (BORIN, 2004,
p. 9).
Percebemos que uma abordagem diferente pode dar ao aluno melhor
compreensão do assunto que está sendo ensinado. Além disso, muitos alunos já
trazem consigo bloqueios de séries anteriores, assim, julgam-se sem aptidão para
a aprendizagem Matemática e incapazes de entender conceitos matemáticos, e o
uso do jogo pode auxiliar para que esses bloqueios sejam amenizados.
Lara (2007) compartilha das mesmas ideia que Menezes (2007) que, por
sua vez, vê a vantagem do jogo como forma de adquirir conhecimento e permitir
ao estudante uma aprendizagem mais significativa, em que haja conexão entre o
conhecimento anterior e atual, sem ser necessário privilegiar a memorização.
Deve-se, também, incentivar o aluno a defender suas próprias ideia e pontos de
vista. É evidente que para que estes argumentos tenham sentido, o docente deve
preparar uma situação em que ocorra a conexão entre os conhecimentos, caso
contrário, o uso do jogo não terá o resultado esperado.
Rêgo e Rêgo defendem a importância dos jogos, pois para eles:
Seu uso adequado poderá promover com eficiência: a) a
ampliação da linguagem do aluno, facilitando a comunicação de
ideia matemáticas; b) produção de estratégias de resolução de
problemas e de planejamento ações; c) a capacidade de fazer
estimativas e cálculos mentais; d) a introdução ao uso de métodos
de investigação científica e da notação matemática e estimular
sua concentração, raciocínio, perseverança e criatividade.
45
Em particular, a interpretação e uso das regras de um jogo têm
um grande valor didático, levando os alunos a aprenderem a
questionar, negociar, colocar seu ponto de vista e discutir com os
colegas, aprendendo a perder e a ganhar (REGO e REGO, 2004,
p. 25-26).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, PCN (BRASIL,
1998) enfatizam que a utilização de jogos, em sala de aula, permite ao professor
avaliar alguns aspectos importantes nos estudantes, tais como: a compreensão
que ele faz do jogo, a facilidade para encontrar estratégias para vencer, a
descrição do processo que o leva a determinada estratégia e, também, a
capacidade de levantar hipóteses e fazer previsões de suas jogadas.
Piaget (1970) defende o uso do jogo, alegando que este é um meio tão
poderoso para o ensino de crianças que em todo lugar que se consegue a
introdução de um conceito via jogos, as crianças apaixonam-se, mesmo que o
conteúdo seja classificado como maçante.
Os PCN (1998) destacam os benefícios que a utilização dos jogos pode
trazer à sala de aula.
Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas,
pois permitem que sejam apresentados de modo atrativo e
favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de
resolução e busca de soluções. Propicia a simulação de
situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas o que
estimula o planejamento das ações, possibilitam a construção de
uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações
sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural
no decorrer da ação sem deixar marcas negativas. (BRASIL,
1998, p. 46).
Dentre as diversas vantagens mencionadas, acreditamos que a (re)
significação de conceitos pode trazer um grande benefício ao aluno, uma vez que
o estudante reverá um conteúdo abordado sob outro ponto de vista e, assim,
amplificará sua visão a respeito desse conteúdo.
Suas vantagens são várias, assim, podemos notar que já seriam
suficientes para justificar o uso do jogo como um instrumento pedagógico.
Embora tenha tantos benefícios, por que muitos docentes ainda se recusam a
46
usar o jogo? Da mesma forma, que o jogo possui vantagens, também, apresenta
desvantagens. Estas podem ser prejudiciais à aprendizagem. Destacaremos
agora certas desvantagens que podem comprometer a aprendizagem.
Para Ide (2002) o jogo não deve ser visto apenas como um passatempo ou
uma brincadeira qualquer, que acontece com frequência, pois pode ocorrer do o
aluno associar as aulas de Matemática a passatempos e, desta forma,
desinteressar-se pelo caráter educacional. Quando isso se verifica, os estudantes
podem interagir com a parte da aula em que ocorre o jogo e durante a intervenção
do professor para a função educativa não apresentarem o interesse necessário.
De acordo com Romero (2007), muitos professores repudiam o emprego
dos jogos por alegarem que a sala de aula vira uma grande desordem, além de
causar indisciplina e ser um mero passatempo. Bragança e Silva (2007)
confirmam essas ideia e afirmam que falar da utilização de jogos em sala de aula
causa certa inquietação no corpo docente e que em lugar de procurarem novas
maneiras de ensinar (utilizando jogos, por exemplo), acabam por encontrar novas
maneiras de revisar. Desta forma, acabam por ver o jogo como um obstáculo e
não como uma ferramenta que auxilia na aprendizagem.
Grando (2004b) apresenta alguns motivos nos quais que a utilização do
jogo pode fracassar, entre eles, o tempo gasto, uma vez que a utilização dos
jogos, quando bem elaborada e com o intuito de ensinar, exige mais tempo que
as aulas convencionais ou que possa comprometer outros conteúdos da grade
curricular. Os alunos podem também ter a falsa ideia de que todos os conteúdos
poderão ser ensinados por meio de jogos e criarem a expectativa de que a cada
novo assunto haverá um novo jogo. Existe ainda possibilidade da perda do
caráter pedagógico, mas o aluno se interessa apenas por jogar e perde o
interesse pelo conteúdo. Pode também acontecer de algum aluno não querer
jogar, e o professor abrigá-lo, perdendo assim a voluntariedade (que é uma das
características dos jogos).
Conforme as vantagens e desvantagens apresentadas, acreditamos no
potencial do jogo e optamos por seu uso exatamente, por entender que suas
vantagens justificam-no e que algumas das desvantagens podem ser minimizadas
com planejamento e o objetivo de ampliar o conhecimento de nossos alunos.
47
No entanto, Kishimoto (1993) destaca que, mesmo com a riqueza de
situações de aprendizagem propiciada com a manipulação e utilização de jogos, a
priori, nunca teremos a certeza de que os resultados obtidos na construção do
conhecimento será aquele esperado pelo professor.
Desse modo, utilizaremos o jogo do NIM em nosso trabalho, buscando com
que os alunos construam ou aprimorem seus conhecimentos sobre o Algoritmo da
Divisão, apoiando-nos na Teoria das Situações Didáticas.
2.6. O jogo do NIM
2.6.1 Como jogar o NIM?
Material: alguns palitos de fósforos, botões, tampas de garrafas ou outros
objetos similares.
Objetivo do jogo
7
: jogando alternadamente, será o perdedor o jogador que
retirar o último palito. O jogo não permite a retirada de 0 (zero) palitos, isto é, não
é permitido ao jogador não realizar uma jogada (pular sua vez de jogar).
Regras: os palitos são dispostos na mesa, um ao lado do outro,
preferencialmente, (caso os palitos, fiquem dispostos de maneira aleatória,
acreditamos que poderá ser mais difícil estabelecer uma relação entre a retirada
de cada um dos participantes).
Cada dupla deve retirar, alternadamente, uma determinada quantidade de
palitos, em uma ordem, seja da esquerda pra direita, ou vice-versa. Haverá a
quantidade mínima de um palito e uma máxima pré-estabelecida a ser retirada.
Quem retirar o último palito, será o perdedor do jogo.
Nossa sequência baseou-se, parcialmente, no livro da Borin (2004), ao
qual a autora refere-se ao NIM como Jogo da Corrente. Cada palito do NIM
corresponde a um elo do Jogo da Corrente. Entre esses jogos, a diferença é que
____________
7
Este objetivo pode variar. Em algumas versões, o vencedor será o jogador que retirar o último palito. Ao
optarmos por esse objetivo, deixaremos claro no enunciado proposto.
48
no primeiro os palitos são retirados e, no segundo, a corrente é dada em forma de
um tabuleiro, e conforme os jogadores vão jogando, marcam uma letra dentro do
elo para saberem quem efetuou as jogadas.
A seguir, abordaremos o conteúdo matemático que trabalharemos com o
jogo do NIM: Algoritmo da Divisão.
2.6.2 Estudo Matemático do jogo do NIM
Ao analisar a regra para que seja retirado no mínimo 1 palito e, no máximo,
n palitos, alternadamente, será considerado perdedor aquele que retirar o último
palito. Para a análise, consideraremos:
N: número total de palitos dispostos na mesa (dividendo).
k: quantidade de “blocos” de n + 1 palitos (quociente).
n: a quantidade máxima de palitos que podem ser retirados.
n + 1: quantidade que cada “bloco” de palitos deve conter com n + 1 < N
(divisor).
r: quantidade que sobra de palitos (resto), com r ≤ n+1.
Temos que: N, k, n e r pertencem ao conjunto dos números naturais e que
. rnkN ++= )1(
●●● ●●● ●●● ●●● ●●●
n + 1 n + 1 r
k blocos de n + 1 palitos
k (n +1) + r
Figura 1: Distribuição dos N palitos do NIM
Como podemos ver na Figura 1, montamos k blocos de n + 1. Como o
divisor é n + 1, os restos possíveis são: n, n – 1, n – 2,... ,2 , 1 e 0. Desta forma, o
Algoritmo da Divisão pode ser representado assim:
49
N n + 1
r k
Agora será discutida a estratégia para vencer a partida com base no resto
encontrado. Dado N e n, consideremos o caso em que r = 2, e, portanto, n + 1 =
3. Neste caso, como o resto é 2, o jogador que iniciar a partida retira 1 palito na
jogada inicial e deixa o outro palito, para que seu adversário retire na última
jogada. Para que isso aconteça, o jogador que iniciar, após a retirada do primeiro
palito, deve completar
8
a quantidade de palitos retirada por seu oponente para
que resulte sempre em 3 palitos, a cada jogada.
Este procedimento é sempre válido para r ≥ 2. Caso o resto fosse 3, a ideia
seria análoga. O jogador inicia a jogada, retirando dois palitos e deixa um para a
última retirada. A partir da jogada inicial, deve complementar a jogada de seu
adversário de modo a formar blocos de 4 palitos.
Considerando, por exemplo, 77 palitos, pode retirar até 2 palitos e a
retirada do último palito determina o perdedor. Temos a divisão:
77 3
17 25
2
Nessa situação, N = 77, n + 1 = 3, k = 25 e r = 2. Observando que o resto é
igual a 2, consideramos um palito para a primeira retirada e o outro para a última
retirada. A partir da segunda retirada, basta o jogador completar as jogadas de
seu adversário com retiradas cuja soma resulte em grupos de três palitos.
Considerando agora, o total de 96 palitos, podendo retirar no máximo 6
palitos, perde quem retirar o último palito. Como 6 é o maior resto para a divisão
por 7, temos:
____________
8
Quando nos referimos ao termo completar cada jogada, estamos nos referindo que, após a retirada da
jogada inicial, a quantidade de palitos do adversário somada com a jogada de palitos do jogador que
iniciou, deve resultar em n + 1 palitos.
50
96 7
26 13
5
Neste caso, N = 96, n + 1 = 7, k = 13 e r = 5. Considerando que um palito
será utilizado na última retirada, os outros quatro serão retirados na primeira
jogada. A partir da segunda retirada, basta que o jogador que começou o jogo,
complete em suas jogadas as de seu adversário, totalizando grupos de 7 palitos.
Analisaremos agora o caso de r = 1. Neste caso, não é possível dividir em
duas etapas a retirada do resto, como no caso anterior. Sendo assim, não é
assegurada a vitória ao jogador que iniciar a partida.
Quando um jogador iniciar a partida, caso seu adversário complete as
jogadas, de modo que a soma da retirada de seu adversário com a sua seja n + 1,
será o vencedor. Desta maneira, sobrará um palito para a retirada final que,
seguindo esse procedimento, será retirado para o jogador que iniciou a partida.
Conforme ilustrado na Figura 2.
●●● ●●● ●●● ●●●
n + 1 n + 1 r (1)
k blocos de n+1
k (n +1) + r
Figura 2: Distribuição do jogo do NIM, com r = 1
Finalmente temos o caso em que
0
=
r
, isto é, N é múltiplo de k e nesse
caso . )1( += nkN
Como não sobram palitos para a jogada inicial nem para a jogada final,
desmonta-se um “bloco” de palitos e, desta forma, estes palitos serão distribuídos
entre as jogada inicial e final. Assim, resta um palito para a jogada final e n palitos
para a jogada inicial, conforme a ilustração das Figuras 3 e 4.
51
●●● ●●● ●●● ●●● ●●●
n + 1 n + 1 n + 1
k (n + 1)
Figura 3: Distribuição do jogo do NIM onde r = 0
O que deve ser feito é “desmanchar” um bloco de 1
+
n palitos para que
esse bloco faça o papel do resto e, assim, distribuir esses palitos entre a primeira
e a última jogada.
●●● ●●● ●●● ●●● ●●●
n + 1 n + 1 n +1
k (n + 1) – (n + 1) “resto” (n +1)
Figura 4: Maneira "diferente" de distribuir os palitos quando r = 0
Consideremos, por exemplo, 246 palitos, podendo retirar até 5 palitos e
quem retirar o último será o perdedor. A divisão seria:
246 6
06 41
0
Como o resto é zero, e alguém precisa iniciar a jogada, podemos verificar a
validade do Algoritmo da Divisão da seguinte maneira:
6640641246
+
×
=
×
=
Neste caso, deixamos um palito para a última jogada e retiramos cinco
palitos na jogada inicial.
Concluímos que, o jogador que inicia a partida, para vencer, o resto da
divisão deverá ser maior ou igual a 2 (r ≥ 2) ou a divisão deve ser exata. Caso o
resto seja um, a vitória não será assegurada ao jogador que iniciar a partida.
52
Não faz sentido o jogo do NIM ser disputado por adversários em que um
dos participantes conheça a estratégia máxima. Se ambos conhecerem, o jogo
será monótono, pois sempre o jogador que iniciar será o vencedor. Se um dos
dois souber a estratégia máxima, o vencedor poderá perder a motivação por não
lhe ser algo desafiador, e seu adversário poderá ficar sem motivação por perder
sempre. O indicado é que os adversários não saibam jogar e aprendam a
desenvolver a estratégia enquanto jogam.
Durante a ação pode, por exemplo, acontecer também do aluno sair com a
quantidade de palitos que lhe garanta a vitória e, ainda, assim perder e pode
também ocorrer de um jogador sair com uma quantidade que não corresponda à
quantidade ideal, segundo a estratégia máxima e mesmo assim ganhar. Isso
dependerá da prática, habilidade e domínio das estratégias que desenvolverão
durante as jogadas.
Para a utilização do NIM, empregamos o Algoritmo da Divisão, mas, por
que a divisão requer atenção de pesquisadores? Quais são os problemas
enfrentados por discentes e docentes em seu cotidiano? No capítulo 3,
discorreremos sobre estas indagações.
53
CAPÍTULO III
3 Divisão
Neste capítulo, relataremos nossa escolha pelo Algoritmo da Divisão,
alguns métodos do Algoritmo da Divisão e tipos de erros comuns apresentados
por alunos.
3.1 Escolha do Algoritmo da Divisão
Em nossas leituras, constatamos e concordamos com Cunha (1997);
Castela (2005) e outros que afirmam que o Algoritmo da Divisão, quando
apresentado aos alunos, pela execução de exercícios de fixação de modo
repetitivo, que os estudantes encontram dificuldade de aprendizagem. Em alguns
casos, estudantes que fazem exercícios exaustivamente podem não saber o que
estão fazendo. Por sua vez, Rego e Rego (2004) enfatizam que conteúdos que
são fornecidos prontos, tendem a cair no esquecimento; quando são retomados,
uma breve revisão não é suficiente para recordá-los. Isso se deve pelo fato do
aluno não ter aprendido o conteúdo e sim decorá-lo.
Castela (2005) menciona uma situação em que foi dado a um aluno um
problema de caráter aritmético e que o estudante deveria calcular
8
3
8
2
+
e
rapidamente respondeu
16
5
. Após a utilização de material manipulativo, o
estudante mudou sua resposta para
8
5
, mas mostrou-se confuso com essa
55
reposta. Embora estivesse convicto de que sua primeira resposta estava errada,
não soube justificar porque sua segunda resposta estava correta. Quando o
problema foi apresentado como um cálculo aritmético, o aluno errou, mas quando
o mesmo problema representou uma situação-problema para esse estudante, ele
obteve sucesso, apesar da dúvida.
Percebemos que a maneira como o conteúdo é abordado, pode trazer
benefícios ou malefícios à aprendizagem. O problema se dá quando o saber é
transmitido por meio de uma única abordagem, caso esta não seja muito eficaz,
poderá comprometer o conteúdo ensinado. O tipo de abordagem usado pela
autora foi importante, pois foram empregadas em uma mesma situação, duas
abordagens distintas.
Situações semelhantes aconteceram com Carraher, Carraher e Schliemann
(2003) que pesquisaram alunos carentes que trabalhavam como ambulantes ou
feirantes. Estas crianças/adolescentes utilizavam com muita frequência cálculos
com adição, subtração e multiplicação, embora a divisão não fosse tão frequente,
também aparecia no cotidiano dessas crianças, como por exemplo: o quilo de
cebola custa x, 200 gramas custam
5
x
, além de outros exemplos mais complexos.
Os autores aplicaram dois tipos de testes para alunos com idades entre 9 e
15 anos. O primeiro, um teste informal, com questões práticas aplicadas no
cotidiano do trabalho desses estudantes, ocorreu no local onde eles trabalhavam.
O segundo tipo de teste, verificou-se ocorreu de maneira formal, ou seja, foi um
escrito e dividido em duas partes: uma em forma de problemas relacionados ao
local que os estudantes trabalhavam, e, outra, de maneira aritmética com
enunciados do tipo: efetue, resolva. Tanto no testes informais, como nos formais,
as questões eram similares. Os autores concluíram que o índice de acerto no
teste informal foi de 98,2%, já o teste formal teve 73,7% de acerto em exercícios
que se referiam a problemas e apenas 36,8% de acerto nos exercícios de caráter
aritmético.
Com isso Carreher, Carraher e Schliemann, concluíram que:
56
A escola nos ensina como deveríamos multiplicar, subtrair somar
e dividir; esses procedimentos formais, quando seguidos
corretamente, funcionam. Entretanto, as crianças e adolescentes
no presente estudo demonstraram utilizar métodos de resolução
de problemas que, embora totalmente corretos, não são
aproveitados na escola (CARREHER, CARREHER e
SCHLIEMANN, 2003, p. 38).
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL,
1998), quando um assunto é abordado com uma linguagem matemática, pode
ocorrer do aluno não assimilar o conteúdo. Desta forma, é viável que o conteúdo
seja abordado de diversas maneiras e, se possível, utilizando outros recursos que
não só a linguagem matemática, como por exemplo; seminários, simulação com
exemplos do cotidiano, utilização da língua materna, para que o aluno tenha uma
visão mais ampla e geral do saber. De acordo com o PCN:
[...] ocorre muitas vezes que esses alunos não conseguem
exprimir suas ideia usando adequadamente a linguagem
matemática, isto não significa que não tenham construído nenhum
tipo de conceito ou desenvolvido procedimentos (BRASIL, 1998,
p. 62).
A utilização de um mesmo tipo de avaliação poderá levar a equívocos
como os que acabamos de ver.
Ainda com respeito aos algoritmos da divisão, Castela (2005) realizou uma
pesquisa com alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental cujo intuito foi
verificar se os alunos eram capazes de formular o Algoritmo da Divisão. Nesta
pesquisa, a autora elaborou dois tipos de questões: questões contextualizadas
ligadas a situações-problema e questões formais, com enunciados do tipo:
“calcule” e “resolva”. Dos 28 alunos que participaram dessa pesquisa, nove deles
acertaram mais as questões contextualizadas que as formais. Por outro lado,
apenas quatro alunos tiveram mais sucesso nas questões formais do que nas
contextualizadas. Desse modo, a autora concluiu que a maior parte dos alunos
apresenta maior dificuldade para fazer exercícios descontextualizados. Dentre os
alunos que cometeram erros nos exercícios contextualizados, alguns não erraram
o Algoritmo da Divisão, mas cometeram erros na interpretação do enunciado.
57
Ainda, segundo a pesquisadora, os alunos apresentam uma dificuldade
considerável em exercícios “desprovidos” de significados.
Por sua vez, Cunha (1997), ao realizar uma pesquisa para verificar como
ocorriam os processos de aprendizagem da divisão e da multiplicação, sugeriu,
aos alunos, de sexto e oitavo anos do Ensino Fundamental, as seguintes tarefas:
1) 414 ÷[ ] = 23 2) [ ] ÷ 59 = 27
A autora tinha como objetivo constatar como os alunos resolveriam esses
exercícios, quais os possíveis erros cometidos por eles e se eles apresentavam
uma clareza quanto à identificação do dividendo, divisor e quociente no Algoritmo
da Divisão; e como os estudantes relacionariam tais elementos dentro da
atividade proposta. De acordo com a autora, o índice satisfatório de acertos é de
75%. O oitavo ano, obteve um desempenho acima do satisfatório. Já a turma do
sexto ano ficou abaixo desse índice com quase 72 % de acertos. Então, Cunha
(1997) concluiu que boa parte dos alunos do sexto ano não possuíam clareza de
como se dá a relação entre divisor, quociente e dividendo.
Apesar de Carreher, Carraher e Schliemann (2003) e Castela (2005)
constatarem que os estudantes não apresentam dificuldade em problemas
práticos mas sim em exercícios formais; Cunha (1997) centralizou sua pesquisa
na parte formal. Esses autores com pesquisas diferentes puderam perceber
deficiências dos alunos ao trabalhar com as quatro operações, sobretudo com a
divisão.
Em nosso trabalho, temos como objetivo que o NIM seja uma ferramenta
que sirva de suporte para ampliar e/ou construir o Algoritmo da Divisão via Teoria
das Situações Didáticas. Sendo assim esperamos que, após as oficinas com o
jogo do NIM, os estudantes possam obter um melhor desempenho no trato com
este algoritmo.
O tópico a seguir aborda erros, envolvendo o Algoritmo da Divisão,
mencionados por Gregolin (2002) cujo intuito foi verificar como aconteciam esses
erros.
58
3.2 Erros comuns no Algoritmo da Divisão
Gregolin (2002, p. 106) em seu trabalho constatou algumas dificuldades, na
operacionalização do Algoritmo da Divisão, apresentadas por estudantes do
Ensino Fundamental, como podemos ver a seguir
a) b)
22 8
- 18 2
4
20 4
0 4
Tanto no item a) como no item b, o autor atribuiu os erros a falta de
domínio da tabuada. No item a) o estudante errou na hora de multiplicar 2 x 8
escrevendo 18 ao invés 16. Já no item b) esse aluno que escreveu que 4 vezes 4
resulta 20, tanto que ele colocou resto zero.
Outro erro apresentado por Gregolin (2002 p.98) foi o seguinte:
938 67
348 1
De acordo com o autor, este aluno não apresentou erros na multiplicação,
mas falhou na hora de realizar a subtração. Quando foi realizar mentalmente a
subtração, 93 – 67, respondeu 34 em lugar de 26, como seria o correto. Ainda de
acordo com o autor, esta resposta foi estruturada pelo aluno que fez o “maior
menos o menor” independente se o algarismo estava no minuendo ou no
subtraendo.
Gregolin (2002, p. 99) ainda relatou outro tipo de erro em sua pesquisa.
4.560 16 16 16 16
32 2 x 1 x 2 x 3
16 32 48
59
Após cometer esse erro, o estudante não conseguiu mais avançar em seus
cálculos, pois não sabia mais como continuar a resolução desse algoritmo
sozinho, tendo necessidade do auxílio da professora. Este erro chama a atenção
pelo fato de que o aluno tomou o cuidado para que a multiplicação não excedesse
o valor de 45, usando, assim, o quociente 2 e não 3, porém colocou o produto
abaixo dos algarismos das dezenas. Ficando, desta forma, 60 – 32. Se o
minuendo fosse realmente 60, estaria correto e o quociente seria 3 (16 x 3 = 48,
que é menor que 60).
No trabalho de Gregolin (2002), ficou claro que o erro cometido pelo
estudante ocorre em três etapas no Algoritmo da Divisão. Um dos erros diz
respeito a estrutura do algoritmo, quando o estudante tem dificuldade em saber
quais algarismos do dividendo devem ser divididos pelo divisor, quando se deve
“abaixar” o número ou de qual número deve ser feito a subtração. Este erro talvez
se deva a uma forma decorada e desassociada de sentido, no qual o estudante
não conseguiu assimilar e/ou entender os procedimentos para resolução do
algoritmo. O outro erro diz respeito à multiplicação quando apresenta dificuldade
na operacionalização ou por não saber a tabuada. E por fim, um erro frequente foi
a dificuldade para realizar as subtrações, sobretudo, quando algum algarismo do
minuendo é menor que o algarismo correspondente do subtraendo. Alguns alunos
fizeram “o maior menos o menor”, mas não perceberam que, para isso, deveriam
olhar o número e não apenas um algarismo do número.
3.3 Tipos de algoritmos para a divisão
Neste tópico, listamos alguns algoritmos para a divisão. Acreditamos que,
pelo menos, dois ou três deles poderiam ser abordados ao ensinar o Algoritmo da
Divisão.
60
3.3.1 Método curto
Neste método, o professor pode sugerir ao aluno que efetue todos os
cálculos que achar necessário “ao lado” do algoritmo. Assim, ele poderá ver quais
valores lhe interessam e descartará os que não for usar. Exemplo:
149 3
29 49
2
Procedemos da seguinte maneira:
Catorze dividido por 3 resulta em 4 (colocando o número quatro no
quociente), então, temos
1243
=
×
. Mentalmente fazemos 21214
=
− .
“Abaixamos” o 9. Agora temos 29 dividido por 3 que resulta em 9, coloca-se o 9
no quociente. Novamente fazendo mentalmente temos:
2739
=
×
e
22729
=
−
.
Este método é mais simples quando o divisor possui um algarismo, porém,
quando temos dois ou mais algarismos no divisor, as dificuldades aumentam
consideravelmente.
Uma pergunta que pode ser feita e não deve ficar sem resposta é: o que é
“abaixar o 9”, isto é, por que ao realizarmos uma parte dos cálculos “abaixamos” o
número que está acima e junta-se este número ao “resto”? Muitas vezes, esse
procedimento é feito mecanicamente e o aluno nem reflete sobre essa ação no
algoritmo. No exemplo anterior, quando dividimos 14 por 3, estamos, na verdade,
dividindo 140 por 3 e obtendo um quociente igual a 4 dezenas, isto é,
104
×
,
tendo como resto duas dezenas. Duas dezenas (subtração de
) somadas
a 9 unidades (“abaixa o 9”), temos
1214 −
29920
=
+
(unidades). Dividindo 29 unidades
por 3, temos 9 unidades e resto de duas unidades. No quociente, temos
implicitamente
49940 =
+
. Esta soma no quociente fica mais evidenciada quando
utilizamos o método das subtrações sucessivas.
61
3.3.2 Método longo
Segundo Cunha (1997), este método não possui a data precisa de sua
origem, mas é um dos primeiros relatos de que se tem registro, é datado de 1460.
Este método consiste em realizar todas as subtrações no próprio Algoritmo da
Divisão em lugar de realizá-las separadamente.
Como o próprio nome diz, é um processo mais longo, porém pode dar ao
estudante maior chance de sucesso em sua realização. Exemplo:
1.428 8
– 8 178
62
– 56
68
– 64
4
36 36 36 36 36
x 9 x 8 x 7 x 6 x 5
304 288 252 216 180
Neste caso, foram realizados os seguintes procedimentos: 14 dividido por 8
é 1. Coloca-se um no quociente. Uma vez 8 é oito. Catorze menos 8 é 6. Abaixa o
dois (no método curto já explicamos o que quer dizer esse “abaixar” o número).
Agora temos 62 dividido por 8 que resulta 7. Sete vezes 8 é 56. Sessenta e dois
menos 56 é 6. Abaixa o 8. Então, 68 dividido por 8 é 8. Oito vezes 8 é 64.
Realizando a subtração de 68 menos 64 obtemos o resto 4. Temos que 1.428
dividido por 8 resulta em 178 e tem resto 4. Vemos que as subtrações são
efetuadas abaixo do dividendo, na primeira, pode-se ter a falsa ideia de que o
cálculo é 14 menos 8, mas, na realidade, é 1.400 menos 800. O professor deve
estar atento a tais procedimentos quando for ensinar Algoritmo da Divisão por
este método.
Estes cálculos podem ser anotados ou apagados durante a resolução do
Algoritmo da Divisão, como já mencionamos no método curto.
62
Para começar esse processo, verificamos que os dois primeiros números
do divisor 27 são menores que 36, então, usaremos os 3 primeiros algarismos, no
caso 272. Agora temos 272 dividido por 36. Vinte e sete dividido por 3 é 9, então,
ao “testar” 9 vezes 36, perceberemos que resulta em um número maior que 272,
no caso é 304, ou seja, 9 é um número muito “alto”, ultrapassa o valor do
dividendo. A ideia é então utilizar um número menor. Oito? Trinta e seis vezes 8 é
288, que também é maior que 272. Será que o resultado desta divisão é 7? Sete
vezes 36 resulta em 252 que é menor que 272. Efetuando 272 – 252 obtemos 20.
Abaixando o nove ficamos com 209 dividido por 36. Continuamos as etapas
seguintes analogamente às anteriores, percebendo que 6 é um número muito
alto. Temos que o valor correto é 5, obtendo, assim, o resto 29 e o quociente 75.
Esta forma é muito parecida com o método múltiplos do divisor.
3.3.3 Algoritmo Americano/Inglês ou das subtrações sucessivas
9
Este método, segundo o Instituto Politécnico de Leiria, é conhecido como
métodos das estimativas, nele, são realizadas algumas subtrações até que o
dividendo torne-se menor que o divisor. Consideremos o cálculo a seguir.
1.721 75
– 750 10 + 10 + 2
971
– 750
221
– 150
71
Neste tipo de algoritmo, foram realizados os seguintes procedimentos:
neste processo, é realizada a divisão, utilizando as outras três operações:
multiplicação, subtração e adição.
____________
9
Este método foi retirado do site http://blogs.esecs.ipleiria.pt/eb1mat/files/2007/03/textos_divisao.pdf
(consultado em 03/08)
63
Para iniciáramos a divisão, por exemplo, tomamos o número 10 como uma
parcela do quociente. Neste método, podemos observar a possibilidade de
escolha de outros números como parcela desse quociente. Sabendo que
, então, subtraímos este valor do dividendo. Temos que
e colocamos 10 no quociente. Percebe-se ainda que 971 é
maior que 75. O cálculo agora é 971 dividido por 75. Tomamos novamente o
número 10 como mais uma parcela desse quociente e subtraímos do resto 750.
Logo, temos que 971 – 750 = 221 e, assim, escrevemos o número 10 no
quociente. Este resultado obtido após essa subtração é menor que 750, logo, no
quociente teremos um número menor que 10. Se multiplicarmos 2 x 75 teremos
como produto dessa multiplicação o número 150, que é menor que 221, então,
realizando essa subtração 221 – 150 chegamos ao número 71 que é menor que o
divisor 75. Como multiplicamos 75 por 2, colocamos o 2 no quociente. Sabemos
que o resto é 71. Somando os valores do quociente, temos 10 + 10 + 2 = 22. O
quociente é 22 e o resto é 71
7507510 =×
971750721.1 =−
Durante a realização deste método, as parcelas obtidas podem variar,
conforme a escolha do estudante, mas o quociente obtido ao final do cálculo
deverá ser o mesmo. Por exemplo: 20 x 75 = 1500, logo 1.721 – 1.500 = 221. Agora
temos que 2 x 75 é 150, e que 221 – 150 é 71. Nosso quociente é 20 + 2 = 22.
Para o Instituto Politécnico do Porto, esse tipo de divisão é conhecido por
método anglo-saxônico, referindo-se ao método da subtração sucessiva apenas
quando são efetuadas diversas subtrações, tendo o dividendo como subtraendo e
o divisor como minuendo. Ex: 22 ÷ 6.
22
- 6
16
- 6
10
-6
4
3
64
Neste caso o quociente é 3, porque três é a quantidade de vezes que o
divisor (6) foi subtraído do dividendo (22) e o resto é 4.
3.3.4 Divisão Egípcia
De acordo com Cunha (1997), este método é uma das formas mais antigas
de divisão usada pelos egípcios; consiste em colocar o divisor e o dividendo lado
a lado e em duas colunas. Na coluna do dividendo escreve-se 1 e na coluna do
divisor, repete-se o próprio divisor. Escrevendo sucessivamente os dobros até
que este valor aproxime-se do dividendo. Como mostram os dados da Tabela 1.
Quadro 1: Referente ao método da divisão egípcia
1.721 75
1 75
2 150 (*)
4 300 (*)
8 600
16 1.200 (*)
Agora são escolhidos o números na coluna da direita cuja soma aproxima-
se mais do dividendo. No caso é 1200 porque
650.1200.1300150 =
+
+
. Fazendo
a subtração
650.1721.1
−
temos o resto 71. Somando os valores correspondentes
da coluna da esquerda temos
221642
=
+
+
que é o quociente. Assim,
.
717522650.1 +×=
Este método torna–se cansativo quando o dividendo for um número muito
elevado e o divisor um número pequeno.
65
3.3.5 Método dos múltiplos do divisor
10
Este método consiste em multiplicar o divisor por um, dois, três, quatro e
assim por diante, até encontrar o valor que mais se aproxime e, também, que não
ultrapasse o dividendo. Este valor é subtraído do dividendo e o processo continua
até encontrar nessa subtração um valor menor que o divisor, que será o resto.
Consideremos a seguinte divisão:
396 17
– 34 23
056
– 51
05
17 x 5 = 85
17 x 1 = 17 17 x 6 = 102
17 x 2 = 34 17 x 7 = 119
17 x 3 = 51 17 x 8 = 136
17 x 4 = 68 17 x 9 = 153
Neste tipo de divisão, procederemos do seguinte modo:
,
, , e assim, sucessivamente. Depois observando esses
resultados, verificamos quais dos produtos mais se aproximam dos dividendos
inferiormente.
17117 =×
17217 =×
513x17 =
Caso iniciássemos nossa divisão com o número 3 no quociente,
efetuaríamos o seguinte cálculo:
51173
=
×
. Logo, perceberíamos que
não é possível, portanto, o quociente 3 não é adequado. Escolheres então um
quociente menor, no caso o número 2. Abaixando o número 6, fica fácil perceber
que o número que satisfaz essa condição é 3, pois o cálculo dos múltiplos de 17
mostra que
, sendo possível essa subtração final.
5139 −
317 ×
Acreditamos que este seja um bom método, mas pode se gastar mais
tempo para realizar as multiplicações entre os algarismos de 1 a 9 e o divisor,
mas o estudante tem uma visão melhor de quando o número escolhido é alto
____________
10
Este método foi retirado do site:
http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/textos/numeros_calculo/algoritmos/algoritmos_divisao.pdf (consultado
em 03/08)
66
demais. Neste método acreditamos que pode verificar-se uma maior incidência de
erro na multiplicação, uma vez que ela ocorre diversas vezes.
3.3.6 Método da divisão em fatores
Cunha (1997) relata que este método consiste em decompor o divisor para
efetuar cálculos com divisores menores. Por exemplo:
12180 ÷
90 6
30 15
0
180 2
00 90
Sabemos que
, então,
6212 ×= 902180
=
÷
e
15690
=
÷
O mesmo cálculo poderia ser realizado de outras maneiras, visto que o
número 12 pode ser decomposto por outros números:
32212 ××=
4312 ×=
Este método é eficaz quando a divisão é exata, e o aluno tem domínio dos
critérios de divisibilidade (conteúdo abordado no sexto ano do Ensino
Fundamental). O cálculo também pode facilitar quando o estudante sente
dificuldade para efetuar divisões com dois algarismos no divisor e ao realizar uma
divisão por um dos fatores da decomposição do divisor, o novo divisor poderá ter
um algarismo. A dificuldade do método se dá quando o dividendo e o divisor não
tiverem divisores em comum, isto é, quando eles forem primos entre si.
3.3.7 Método da divisão por decomposição
11
Consideremos a seguinte divisão:
____________
11
Este método foi retirado do site:
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01038041/webfolios/alexsander/numeros%20natura
is.html (consultado em 03/08)
67
1.459 5
De acordo com a Universidade Federal do Rio Grande do Sul, temos que
1459950400000.1
=
++=
e, assim, dividindo cada uma das parcelas por 5
temos:
5
4
5
5
5
50
5
400
5
000.1
++++
=
29111080200
=
+
+
+
. Logo, na divisão de
1.459 por 5 o quociente é 291 e o resto é 4. Em alguns casos, pode ser mais
complicado resolver esse cálculo por este método. Por exemplo, 134 ÷ 4.
4
4
4
30
4
100
++
= 25 + ? + 1. Como a divisão de 30 por 4 não é exata e30
dividido por 4 resulta em 7, tendo resto 2, então o quociente é dado por:
1725 ++
que dá 33 e o resto é 2.
3.3.8 Método anônimo
12
De acordo com a Universidade Federal do Rio Grande do Sul, este método
pode ser descartado pelo professor por não ser usual, pois método, funciona para
realizar divisões. Vamos observar o exemplo a seguir:
1.459 5
– 5 1 10 80 200
54
– 50
404 1 + 10 + 80 +200 = 291
– 400
1.004
–1.000
4
____________
12
Este método foi retirado do site:
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01038041/webfolios/alexsander/numeros%20natura
is.html (consultado em 03/08)
68
Este tipo de algoritmo é resolvido com os algarismos da direita para a
esquerda e não da esquerda para a direita, como na forma usual. Ao efetuar a
divisão de 9 por 5, isso resulta em uma unidade e resto 4. Ao abaixar o cinco,
podemos perceber que o cinco é o algarismo referente às dezenas, logo ficamos
com 5 dezenas e mais 4 unidades, ou seja, 54. Continuando a resolver, usando
mesmo raciocínio, obtemos quociente 10 e resto 4. Abaixando o 4, que é
referente ao algarismo das centenas, temos agora 404 para dividir por 5. Assim,
sucessivamente. Após chegarmos a um resto menor que o divisor, somamos as
parcelas do quociente e, assim, obteremos o valor real dessa divisão, neste caso:
29120080101
=
+++
.
3.3.9 Método da Galera ou Galé
De acordo com Cunha (1997) e Eves (2004) o nome é em razão da forma
como a representação deste método (que lembra uma embarcação antiga usada
na guerra cujo nome era Galera) após serem efetuados. Parece ter origem hindu
e foi amplamente utilizado até 1600 por permitir o uso do ábaco. A Figura 5
mostra como Eves (2004, p. 324) aplica este método:
Figura 5: Método da Galera apresentado por Eves (2004)
69
Como acabamos de mostrar, existem determinadas maneiras de efetuar o
Algoritmo da Divisão. Alguns métodos são mais longos, outros nem tanto, uns
métodos são práticos para alguns casos e não a outros casos. O ideal é que haja
uma mescla no uso do Algoritmo da Divisão para que os alunos possam ter a
possibilidade de aprender por mais de um método, porque se apenas uma única
forma lhes for transmitida e eles não a assimilarão e poderão carregar essa
dificuldade para as demais séries. O aluno deverá também entender o algoritmo e
não apenas decorá-lo.
Em nossas oficinas via NIM, utilizaremos o Algoritmo da Divisão pelo
método curto quando o divisor possuir um algarismo e o método longo quando o
divisor tiver dois algarismos. Caso alguns dos estudantes apresentem outros
métodos, apresentaremos ao grupo, ressaltando que existem de fato várias
formas de resolver o Algoritmo da Divisão. Acreditamos que as subtrações
contidas nas divisões com um algarismo no divisor sejam razoavelmente simples,
podendo ser efetuadas implicitamente sem grandes dificuldades. Já as
subtrações com divisor de dois algarismos, podem apresentar maiores
dificuldades quando feitas pelo método curto, fazendo-se necessário a subtração
explícita.
Em nossa sequência didática iremos nos centralizar nos métodos curto e
longo, segundo Gregolin (2002) são os mais usados pelo meio docente e os mais
abordados pelos livros didáticos.
70
CAPÍTULO IV
4 A Sequência de ensino
Neste capítulo, apresentaremos o pré-teste e a sequência das atividades,
com nossas análises a priori e a posteriori. Esta sequência tem por objetivo fazer
com que os alunos construam o Algoritmo da Divisão, e apliquem de modo
satisfatório ao jogo do NIM, como uma maneira de encontrar a estratégia
vencedora.
4.1 A escola e os sujeitos da pesquisa
Nossa pesquisa foi realizada em uma sala de aula da Escola Estadual
Sapopemba que se situa em uma região carente da zona leste da cidade de São
Paulo. Fundada, em 1996, a escola possui 20 salas de aula que funcionam nos
três períodos do sexto ano do Ensino Fundamental ao terceiro ano do Ensino
Médio. A escola dispõe de sala de informática (raramente utilizada), sala de vídeo
e laboratório de ciências (ambos utilizados com frequência) e duas quadras: uma
para jogar vôlei e outra coberta para futsal, handebol e basquete.
No período noturno, as salas são divididas entre o nono ano do Ensino
Fundamental até o terceiro ano do Ensino Médio. Os demais períodos não têm
séries fixas, pois variam, conforme a demanda de alunos. Atualmente, a escola
possui, aproximadamente, 2.500 alunos dos quais cerca de 1.300 pertencem ao
Ensino Médio e 1.200 do Ensino Fundamental. Poucos alunos estão fora da idade
escolar, tanto que são raros os casos que a idade dos estudantes ultrapassa os
19 anos, mesmo no período noturno. Embora a escola localize-se em um bairro
71
carente, a grande parte dos alunos tem acesso à internet, seja em Lan Houses,
seja em suas próprias residências.
Os sujeitos de nossa pesquisa são estudantes do sexto ano do Ensino
Fundamental do período vespertino. Quando o pré-teste
13
foi aplicado, estavam
presentes 36 alunos, com idade entre 10 e 13 anos. Segundo os professores que
lecionam para esses estudantes, é uma classe bem disciplinada e participativa.
Após a realização do pré-teste apoiado nos resultados apresentados,
selecionamos alguns estudantes para a oficina com o jogo do NIM. Montamos
três grupos de quatro alunos em que cada quarteto se dividiram em duplas, para
a realização de cada atividade. O grupo contou com a presença de 3 meninas e o
restante de meninos.
Os alunos trabalharam em duplas e caso as ideia divergissem, os
integrantes da dupla deveriam convencer um ao outro sobre as jogadas. Pode ser
que na realização de alguma jogada as opiniões fossem diferentes dentro da
mesma dupla. Neste caso, antes de jogarem, a dupla deveria conversar entre si e
tentar convencer um ao outro de que sua opção seria mais apropriada.
Para melhor comodidade dos participantes, eles poderiam escolher com
quem jogariam. Assim, no decorrer das oficinas, caso houvesse necessidade,
poderíamos realizar as trocas dos participantes se percebêssemos que o fato
seria benéfico à pesquisa.
Por exemplo, se uma dupla dissesse que vencia com a jogada inicial de 2
palitos e uma outra de um quarteto diferente dissesse que sempre poderia vencer
realizando a jogada inicial com 1 palito; poderíamos colocar uma dupla com a
outra para que constatassem quem realmente estava correto; assim,
esperávamos que houvesse um confronto de ideias. No entanto, também podia
ocorrer que ambas as duplas estivessem erradas.
____________
13
O pré-teste encontra-se no Apêndice A
72
4.2 Pré-teste
Aplicamos um pré-teste com o objetivo de diagnosticar entre os alunos de
uma sala do sexto ano do Ensino Fundamental, aqueles que apresentavam
dificuldades na operação da divisão. O pré-teste contou com cálculos, via
Algoritmo da Divisão, em que o divisor apresentava um ou dois algarismos. Os
estudantes com resultados insatisfatórios seriam convidados a participar de
algumas oficinas, onde aplicaríamos nossa sequência didática baseada no jogo
do NIM. Por meio de um pós-teste, verificaríamos se houve melhora no
desempenho dos alunos comparado ao pré-teste, e em caso de melhora, o
quanto esses alunos progrediram no Algoritmo da Divisão.
Os estudantes do sexto ano A do Ensino Fundamental receberam o pré-
teste e solicitamos que, em caso de dúvida, não apagassem seus cálculos, pois
estes poderiam ser de grande importância para nossa pesquisa. Solicitamos
também, que não utilizassem qualquer tipo de calculadora, celulares nem
tabuadas impressas. Salientamos que não se preocupassem com o êxito na
resolução dos exercícios, pois não representariam notas para qualquer disciplina.
4.2.1 Análise do pré-teste
O pré-teste ocorreu no dia 04/09 e durou de 50 minutos. O perfil da classe
é de uma sala boa, apesar de alguns alunos apresentarem dificuldades, segundo
a própria professora de Matemática da turma. A idade dos 36 alunos participantes
do pré-teste variava entre 11 e 13 anos.
O pré-teste era composto de dez divisões, nas quais as cinco primeiras
foram apresentadas com o símbolo ÷. As outros cinco foram representadas com a
“chave”. Nos sete itens iniciais, o divisor possuía um algarismo e nos três
seguintes, dois algarismos no divisor. O enunciado foi o seguinte: resolva as
divisões deixando seus respectivos restos.
Alguns alunos podem resolver as divisões, utilizando da tentativa e erro;
que número (quociente) multiplicado pelo divisor resultará no dividendo? Seria
73
uma espécie de prova real em que um dos valores (o valor do quociente) seria
“chutado”. Este tipo de raciocínio até tem seu valor, porém nos mostra uma
deficiência do aluno para dividir. Poderemos também no deparar com erros
referentes às operações da adição e da multiplicação, além de outros por falta de
atenção.
Acreditamos que a maior ocorrência de erro, será nos itens h), i) e j) pois
são algoritmos com números com dois algarismos no divisor. Gregolin (2002)
menciona que os estudantes apresentam uma dificuldade maior em
operacionalizar Algoritmo da Divisão, quando o divisor possui um número com
mais de um algarismo, em que a maior incidência de erros recai sobre a estrutura
do algoritmo.
A partir deste teste diagnóstico, selecionaremos os alunos que
apresentarem mais dificuldades para participarem da oficina com o NIM.
O erro apresentado na Figura 6 é um caso de falha na divisão, usando o
método da subtração sucessiva.
Figura 6: Erro cometido pelo aluno Rafael
74
Nestes itens, percebemos que o estudante também não se deu conta de
que o quociente ficou maior que o dividendo. Este aluno foi o único dos 36 a fazer
pelo método das subtrações sucessivas, apesar do erro apresentado. Bastaria
que somasse os valores obtidos no quociente, e o resultado estaria correto, tanto
que a resposta do item a) é
)59(14
+
e do item é
)29(11
+
.
No item b) um estudante acertou, mas não passou de coincidência, visto o
valor que ele escreveu como resto. A Figura 7 ilustra tal procedimento.
Figura 7: "Acerto" do aluno Marcelo
Neste caso, em particular, apesar do valor do quociente estar correto,
coincidentemente o valor do resto “apareceu” na segunda linha (02). Mas isso foi
apenas uma coincidência, tanto que nos demais algoritmos, usando esta mesma
“técnica”, não apareceu o resto em lugar algum, como podemos perceber na
Figura 8 os item c), d) e e).
Figura 8: Erros cometidos pelo aluno Marcelo
75
No item c) o aluno fez: 13 dividido por 5 resulta em 2, e 2 vezes 5 é 10,
para 13 restam 3 (este 3 é o que está abaixo do 13). Em seguida, fez: 8 dividido
por 5 resulta em 1, e 1 vezes 5 é 5, para 8 sobram 3 (este 3 é o 3 que está abaixo
do 8). Chegando assim ao resultado 21 desta divisão. Nos itens c) e d) desta
figura, o estudante usou o mesmo procedimento. Notamos que mesmo que o
estudante tivesse realizado a subtração como deixou indicado, não traria qualquer
relevância ao algoritmo e, nestes casos, o resto sequer apareceu, levando nos a
crer que a “aparição” do resto no item b) foi apenas uma coincidência.
A seguir, o erro encontrado no item d) do pré-teste, e também, do pós-teste
pelo mesmo estudante. A Figura 9 retrata o erro cometido pelo aluno Luis.
Figura 9: Erro cometido pelo aluno Luis
O estudante, provavelmente, tenha realizado os seguintes procedimentos:
37 dividido por 6 resulta em 6 e colocou o 6 no quociente. Como 6 vezes 6 é 36, o
estudante escreveu 36 abaixo do 37 e mesmo sem registrar o sinal de menos, fez
a subtração e obteve resto 1. Como 1 não divide por 6, o educando colocou 0 no
quociente e abaixou o 7, ficando 17 dividido por 6. Daí em diante, o procedimento
está correto. Novamente nos deparamos com mais um estudante que não
percebeu que o quociente está maior que o dividendo, mesmo o divisor sendo um
número maior que 1.
Uma estudante que apresentou um resultado muito bom no pré-teste,
escreveu um pequeno x (sinal de vezes) na chave, possivelmente, para estar
sempre lembrando que deve multiplicar o quociente pelo divisor. A Figura 10
76
mostra como essa aluna fez o algoritmo, porém este item, em especial, contém
um erro que relataremos a seguir.
Figura 10: Erro cometido pela aluna Graziela
Na figura 10 queremos ressaltar dois aspectos. Primeiro, como
mencionamos o sinal de vezes (x) na chave que foi escrito em todos os itens. O
segundo aspecto, é um erro parecido com o qual havíamos previsto na análise do
pré-teste. Inicialmente, a aluna escreveu 1 (122) no quociente. Pela sua escrita
percebemos que a estudante realizou os seguintes procedimentos:
881
=
×
(número que aparece abaixo do 7 (779), utilizando, assim, o método longo do
Algoritmo da Divisão. A seguir, fez
178
=
−
(maior menos o menor, independente
do número estar no minuendo ou no subtraendo). Esse tipo de erro havíamos
relatado com base nos trabalhos de Gregolin (2002). Daí em diante, não houve
outros erros no algoritmo.
A aluna demonstrou clareza na relação: divisor, quociente, resto e
dividendo e talvez, por isso, não encontrou grandes dificuldades na
operacionalização dos cálculos propostos mesmo cometendo alguns erros como
acabamos de citar.
Deparamo-nos com um tipo de erro no qual o aluno mesclou o método
longo com o método das subtrações sucessivas e o se estudante perdeu-se no
desenvolvimento do algoritmo. A Figura 11 ilustra esse erro.
77
Figura 11: Erro cometido pelo aluno Eduardo
O estudante começou o algoritmo corretamente pelo método longo.
e como e
9877 =÷ 7289 =× 57277
=
−
. Abaixando o 9, ficou com .
Nesta etapa do algoritmo, o aluno escreveu 6 e como
859 ÷
4886
=
×
e .
Com o “resto 11” continuou fazendo a divisão por 8 e obteve o valor 1 no
quociente. Daí em diante aconteceu outro erro de subtração, mas vamos analisar
o que se verificou até esta etapa da divisão.
114959 =−
Outro erro que também ocorreu com o método da subtração sucessiva, a
estudante misturou esse processo com o método curto, conforme ilustrado na
Figura 12. Havíamos previsto este tipo de erro em nossas análises a priori, mas
sem o emprego da vírgula.
Figura 12: Erro cometido pela estudante Luana
A aluna dividiu 57 por 4 e chegou ao resultado 10, então,
e
. Tendo agora o 17 dividido por 4, obteve como resultado 4 e resto 1.
40410 =×
174057 =−
78
Abaixando o 4, restou a divisão de 14 por 4, obtendo a resposta 3 e resto 2.
Assim como no exemplo anterior, obteve-se um “resto” maior que o divisor.
Um dos estudantes cometeu um erro na divisão com dois algarismos,
mostrando que ele ainda está fortemente ligado à ideia do Algoritmo da Divisão
com apenas um algarismo no divisor. No item h), ele se perdeu nas ideia e não
conseguiu concluir seu raciocínio, mas no item i) ele foi adiante, deixando claro
sua maneira de resolver o Algoritmo da Divisão com 2 algarismos no divisor,
conforme mostra a Figura 13.
Figura 13: Erros cometidos pelo estudante Gabriel
No item h), (exercício da esquerda), o estudante começou dividindo 8 por 2
chegou à resposta 4. Assim, multiplicou 4 por 2 e obteve 8, (deveria multiplicar 4
por 25). Fazendo pelo método longo, efetuou
088
=
−
e abaixou o 7. Realizando
o mesmo procedimento, dividiu 7 por 2, chegou ao resultado 2. Multiplicou 2 (do
quociente) por 2 (do divisor) e obteve 4. Então,
347
=
−
e abaixou o 5. Daí em
diante não soube como continuar. O estudante praticamente ignorou o algarismo
5 que correspondia ao valor da dezena.
A mesma ideia aconteceu no item i). A ideia foi análoga ao exercício h),
tanto que se multiplicarmos 457 por 3 e adicionarmos 3, teremos:
. Na verdade, a divisão realizada não foi por 32 e sim por 3.
Em momento algum, o aluno multiplicou o quociente por 32 (divisor), multiplicou
somente por 3.
374.133457 =+×
79
Como imaginamos, boa parte dos estudantes realizou o método curto da
divisão para divisores formados por número com um algarismo e o método longo
para divisores com formados com número que com dois algarismo.
Alguns erros que mencionamos na análise a priori, realmente, apareceram.
Erros esses em que os estudantes subtraíram e multiplicaram de forma
equivocada, mas surgiram outros em que foi compreender o raciocínio do
estudante, porém deparamos-nos com erros tão “complexos” que não
conseguimos compreender a linha de raciocínio dos alunos.
Como previmos na análise a priori, a maioria dos alunos errou ou
simplesmente não fiz os item: h), i) e j) possivelmente porque seus divisores eram
compostos de números de dois algarismos. Constatamos também diversos erros
mencionados por Gregolin (2004), sobretudo na multiplicação e na subtração. A
seguir os dados do Quadro 2 mostram o desempenho dos 36 estudantes em cada
uma das questões.
Quadro 2: Erros e acertos dos alunos em cada questão do pré-teste
Questões
d
esempenho
a b c d e f g h i j
Corretas
21 19 19 15 7 18 14 10 8 0
Em branco
0 1 1 2 5 5 7 11 12 13
Erradas
15 16 16 19 24 13 15 15 16 23
Analisando os dados, podemos perceber que os itens e, h, i e j, foram os
em que mais ocorreram questões erradas ou em branco. Surpreendemo-nos com
o item e), pois foi a questão que apresentou a maior quantidade de erros e, no
entanto, o divisor possuía um número com apenas um algarismo.
No Apêndice B, encontra-se uma tabela em que é possível verificar a
quantidade de acertos, questões em branco e os erros de cada estudante que
participou do pré-teste. Os alunos que participaram das oficinas com NIM, foram
identificados pelo nome e os demais, por um número.
80
Verificamos que erros referentes à multiplicação ocorreram em
praticamente todos os itens. Foram totalizados 15 erros de multiplicação
diferentes, comprometendo assim, os resultados do Algoritmo da Divisão. É difícil
saber se os erros foram caracterizados por desconhecimento da tabuada ou por
distração. Constatamos vários erros referentes à estrutura do algoritmo.
Acreditamos que o NIM com sua respectiva estratégia possa resgatar o algoritmo,
bem como ajudar no aperfeiçoamento da divisão.
4.3 Descrição da aplicação da sequência
Com o jogo do NIM, foram realizadas quatro oficinas; a escolha dos alunos
ocorreu em função de seu no pré-teste. A primeira oficina ocorreu no dia 27/10 na
qual aplicamos as duas primeiras atividades da sequência didática. Abordamos as
atividades 3 e 4 na segunda oficina que se verificou no dia 10/11, isso porque
uma das observadoras não pôde comparecer no dia 03/11. Em razão de uma
reunião na escola, a terceira oficina foi no dia 24/11 e foram realizadas as
atividades 5, 7 e 8. Por fim, a oficina 4 que continha as atividades 9, 10 e 11
verificou-se no dia 01/12. O pós-teste ocorreu no dia 8/12. Todas as oficinas
duraram de 100 minutos. Começaram às 13h 50 e terminaram às 15h 30. O pós-
teste, assim como o pré-teste duraram 50 minutos cada.
Aos estudantes, que participaram das oficinas que escolhemos por causa
do desempenho no pré-teste, fornecemos as regras do jogo do NIM.
Esperávamos que em alguma das atividades da sequência os alunos
encontrassem a estratégia máxima
14
, e fizessem uma associação com o
Algoritmo da Divisão. A priori não revelamos aos educandos como ocorre tal
estratégia, mas fornecemos condições para que eles construíssem tal estratégia e
potencializassem seus conhecimentos sobre o Algoritmo da Divisão.
Os jogadores foram organizados em quartetos e, após receberem as
regras do jogo, montaram e disputaram dupla contra dupla. Optamos pela escolha
das atividades em duplas para dialogarem. Isso favoreceu as trocas de
____________
14
Grando (2004b) define a estratégia máxima como que permite ao jogador vencer sempre que possível.
81
informações, ideia e, assim, os alunos puderam entrar em comum acordo para
realização de cada jogada.
Como a jogada inicial é fator determinante para obtenção da vitória
(estratégia máxima), houve um revezamento para saber quem iniciaria o jogo ora
saia uma dupla, ora a dupla adversária. Para decidir qual dupla começaria
jogando, sugerimos que fosse tirado “par ou ímpar”, ou mesmo, uma das duplas
começasse se fosse de comum acordo entre os participantes. Entregamos aos
participantes lápis e papel e aconselhamos que anotassem suas jogadas e
estratégias, caso sentissem necessidade.
Entregamos à professora que leciona Matemática para a série em que
aplicamos nossa sequência didática, uma lista com os 16 alunos que obtiveram
baixo desempenho no pré-teste, para que ela nos recomendasse 12 desses
alunos. Entregamos um número de nomes superior, pois poderia ocorrer de
algum ter faltado ou alguém se recusar a participar das oficinas com o jogo do
NIM.
Todas as oficinas ocorreram na sala de informática onde havia três mesas
circulares, facilitando, assim, a maior interação entre as duplas.
Pedimos para que os estudantes montassem quartetos e que se
sentassem em uma das cadeiras ao redor da mesa onde havia uma observadora.
Apresentamo-nos ao grupo de alunos e, também, às observadoras, enfocando
que elas estavam ali com o propósito de nos ajudar na pesquisa e que iriam
registrar como eles interagiriam frente às situações propostas. Após, solicitamos
que eles também se apresentassem.
4.4 Primeira Parte: Atividade com o NIM utilizando palitos
Na hora de enviar os alunos, a professora, mandou um aluno a mais do
que o solicitado, ficando, assim com 13 alunos e não 12. Optamos montar um
grupo com um trio contra uma dupla. Pelo fato do NIM ser um jogo de estratégia e
os alunos estarem em condições de igualdade para jogar, acreditamos que
82
mesmo com um aluno a mais o grupo não levaria vantagem. Adotamos nomes
fictícios para a identificação do grupo de estudantes.
Nestas atividades com palitos, os estudantes receberam uma folha com as
regras que foram lidas com eles. Depois, entregamos a quantidade de palitos
suficiente para a realização de cada uma das atividades. Pedimos que os
estudantes conferissem a quantidade para evitar possíveis problemas.
Primeira atividade
Dispondo de 17 palitos, podendo retirar 1 ou 2 palitos, será perdedor a dupla
que retirar o último palito.
O objetivo desta atividade é um primeiro contato do aluno com o NIM.
Neste primeiro contato com o jogo, o estudante esta na fase da ação. Caso tenha
dúvida a respeito das regras, poderá consultá-las sempre que for necessário, pois
receberam-na por escrito. Esperamos que alguns quartetos alinhassem seus
palitos, outros, poderiam deixá-los esparramados. Acreditamos que os grupos que
deixaram seus palitos esparramados, poderiam sentir mais dificuldade para
desenvolver uma estratégia, porque com os palitos alinhados, fica mais fácil ao
estudante perceber a estratégia vencedora.
A priori, é possível que os alunos/duplas joguem diversas vezes de forma
aleatória, mas, após um número jogadas, esperamos que começassem a criar
estratégias que os levassem a vitória. Por ser o primeiro contato dos estudantes
com o jogo, acreditamos que dificilmente buscassem por estratégias para vencer,
até mesmo porque o jogo era uma novidade. Poderemos fazer algumas perguntas
para investigar as duplas que pensassem no modo de ganhar o jogo. As
perguntas foram semelhantes a estas: “Vocês acham que a vitória neste jogo
depende meramente da sorte”? “Será que existe uma maneira de vencer
sempre”?
Dependendo das respostas dos alunos para essas questões, poderíamos
direcioná-los à utilização de algum tipo de estratégia, mas o mais importante é
83
que percebessem que jogar de “qualquer maneira”, ou seja, de forma aleatória,
não os levaria a vencer o jogo.
Era possível que, após uma determinada quantidade de jogadas, os
estudantes fizessem afirmações do tipo: “tem que sair com ”x” palitos para ganhar
o jogo” ou ”basta eu repetir a quantidade de palitos que meu adversário retirou
para que eu vença”. De fato, o aluno pode até ganhar várias partidas jogando
mesmo sem utilizar a estratégia máxima, mas isso não significa que uma
estratégia incorreta garanta-lhe a vitória sempre. Caberá ao formador, analisar
atentamente as estratégias e com devoluções, questionar o aluno para que ele
reflita e repense suas jogadas.
Como Grando (2004b) e Borin (2004), esperávamos que os estudantes
começassem a estabelecer estratégias “de trás para frente”, isto é, que
simulassem quais eram suas possibilidades de jogada, partindo do último palito,
até chegar a quantidade ideal para sua saída.
A priori, esperávamos que os alunos, após algumas jogadas, percebessem
que o jogador que retirasse o 14º palito, seria o perdedor, a menos que seu
adversário joguasse demasiadamente errado
15
. Já que restavam 4 palitos (14º,
15º 16º e 17º), quem retirar quaisquer quantidade proposta na atividade perderá o
jogo. O jogador terá apenas duas possibilidades para realizar sua jogada:
• retirar 1 palito, isto é, o 14º. Seu adversário possivelmente, retirará os 2
palitos seguintes (15º e 16º), restando apenas o último a ser retirado.
• se opção for por retirar 2 palitos, no caso, os 14º e15º, seu adversário
possivelmente retirará um palito (16º), deixando o último a ser retirado.
Em resumo, quem retirar o 13º palito será o vencedor e, dessa forma,
quem retirar o 14º palito será o perdedor do jogo.
Em lugar do 17º, agora será o 14º palito que determinará a vitória ou a
derrota de cada jogador. As Figuras 14 e 15 mostram como as duplas podem se
____________
15
Quando nos referimos em jogar demasiadamente errado, queremos dizer que o aluno jogue “sem pensar”.
Por exemplo, seu adversário retirou o 14º palito, é evidente que para vencer o próximo jogador deverá
retirar 2 palitos, isto é, o 15º e o 16º palito, caso retire apenas um, perderá.
84
articular para efetuar suas jogadas para vencer o jogo. A letra P abaixo de alguns
palitos indica que o jogador/dupla que o retirar “perderá” o jogo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
P
Figura 14: Representação para a retirada do último palito para se obter a vitória
Desta maneira, conforme os alunos forem efetuando suas
jogadas/retiradas perceberão que deverão retirar o 13º palito para vencer e,
assim, sucessivamente.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
P P
Figura 15: Representação dos últimos palitos a serem retirados da atividade 1
Seguindo a linha de raciocínio de Grando (2004b), acreditamos que o
mesmo raciocínio deve acontecer até que alguns alunos descubram que a melhor
saída é começar retirando um palito. Desta forma, acreditamos também que o
aluno perceberá que a retirada de alguns palitos específicos os levá-los-ão à
derrota. Na ordem decrescente, os palitos das posições: 17ª, 14ª, 11ª, 8ª, 5ª e 2ª,
por isso, jogarão visando a não retirada desses palitos. Os números que
representam as posições, são uma sequência, mais precisamente uma
Progressão Aritmética (PA) de razão 3.
Nosso intuito aqui não é introduzir o conceito da Progressão Aritmética, até
mesmo porque alunos do sexto ano do Ensino Fundamental não estudam este
assunto. A Figura 16 mostra detalhadamente quais os palitos quando retirados
levam o jogador a derrota (palitos com “risco” são aqueles que se retirados, levam
o jogador à derrota) e a razão (r) de três unidades para que se obtenha a
estratégia máxima.
85
Figura 16: Representação de todos os palitos a serem retirados na atividade 1
Alguns estudantes poderão concluir que o jogador que retirar o 8º palito
perderá, mas talvez não consigam concluir que o mesmo acontece com os 5º e o
2º palitos. Mesmo que os estudantes cheguem até esta conclusão, acreditamos
que dificilmente associarão essa estratégia ao Algoritmo da Divisão. Caso os
estudantes cheguem ao Algoritmo da Divisão (o que acreditamos que não
ocorrerá ainda nesta atividade), a Figura 17 ilustra a estratégia máxima para
ganhar referente a essa atividade.
3
2
5
17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
P P P P P P
+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3
1
p
alito
p
ara a última
j
o
g
ada. 1
p
alito
p
ara a
j
o
g
ada inicial.
Figura 17: Estratégia máxima por meio do Algoritmo da Divisão para a atividade 1
O dividendo é 17, isto é, a quantidade total de palitos. O divisor 3 refere-se
à razão da PA. Em uma divisão com divisor 3, os restos possíveis são 0, 1 e 2.
Como deve ser efetuada alguma retirada, encontramos a razão dessa PA
efetuando a soma:
(soma dos valores possíveis da retirada de cada
jogador).
321 =+
De acordo com Borin (2004), existe outra maneira de perceber porque
chegamos ao valor do divisor igual a 3.
86
Quadro 3: Jogadas possíveis para a atividade 1
Jogador A Jogador B Soma das jogadas A + B
1 palito 1 palito 2 palitos
1 palito 2 palitos 3 palitos (●)
2 palitos 1 palito 3 palitos (●)
2 palitos 2 palitos 4 palitos
Esta tabela mostra que 3 palitos (●) é a quantidade de palitos que pode ser
“montada” pelo jogador B independente da quantidade de retiradas efetuadas
pelo jogador A. Para quaisquer quantidade que o jogador A retirar, o jogador B
poderá montar “blocos” de 3 palitos, assim ele complementará as jogadas de seu
oponente sem depender de um erro.
Caso cheguem à estratégia máxima, esperamos que os alunos percebam
que o resto da divisão representa 2 palitos, um deles deverá ser o 17º palito, ou
seja, aquele que será deixado para seu adversário na última rodada, e o outro
palito será aquele que deverá iniciar a partida para vencer o jogo. A partir da
jogada inicial, o jogador completará suas jogadas complementando que seu
adversário jogar, retirando o que falta para formar 3 palitos. Se o adversário retirar
1, para se vencer, faz-se necessário retirar
)321(2
=
+
. Caso o adversário retire 2
palitos, deve-se retirar 1 palito
(
)
312
=
+
.
Nesta atividade, para se obter a vitória, o jogador deve começar com um
palito, e a partir daí complementar sua jogada para que a quantidade de palitos
retirados por seu oponente mais a quantidade de palitos de sua retirada resulte no
total de três palitos. Mas o que acontece quando o adversário sair? Como
percebemos nesta atividade existem palitos que, ao serem retirados, determinam
o jogo a favor de um jogador ou de seu adversário, por exemplo, o 8º, 11º, 14º e
outros. A ideia é tentar induzir o adversário ao erro, até mesmo porque, antes da
institucionalização, cada dupla poderá chegar a conclusões diferentes em
momentos distintos e essas conclusões poderão não ser as que levam à
estratégia máxima.
87
Por ser o primeiro contato dos alunos com o NIM, acreditamos que os
alunos talvez não cheguem à conclusão que aluno que sair com um palito e
complementar sua jogada com a do adversário, obtendo soma 3 será o vencedor.
Nas demais atividades poderão chegar à estratégia máxima, mas ainda assim
poderão ter dificuldade para associá-la com o Algoritmo da Divisão.
Análise a posteriori da atividade 1
Na hora de enviar os alunos para nossa oficina, a professora mandou um
estudante a mais. Preferimos trabalhar em um dos grupos com uma dupla e um
trio. Neste primeiro encontro, os grupos foram os seguintes:
Grupo 1: as duplas eram Aurélio e Bruno contra Carolina e Daniela. A
observadora foi Cristiane.
Grupo 2: formaram dupla Erik e Gabriela contra a dupla Ricardo e Jonas. A
observadora foi Eliana.
Grupo 3: a dupla Samuel e Vagner contra o trio formado por Lucas, Kelvin
e Maurício. A observadora desse grupo foi Ana Rebeca.
Uma das observadoras percebeu que o grupo em que estava, apresentava
dificuldades para entender o que estava sendo solicitado. Então, lemos a
atividade com os alunos para que compreendessem e começassem a jogar.
Deixamos à disposição dos alunos papel e lápis para que escrevessem se
sentissem necessidade. No início, a folha serviu apenas como placar para saber
quais duplas venciam as jogadas. Destacamos que as duplas jogaram livremente,
ou seja, a quantidade de partidas jogadas variou entre os grupos, e os grupos
jogaram, muitas vezes, mais de dez vezes.
Sugerimos que os palitos ficassem alinhados para favorecer na hora de
criarem e/ou perceberem algumas estratégias. O grupo 2 optou jogar sem alinhar
seus palitos inicialmente.
88
Grupo 1
Na primeira partida, todos os integrantes jogaram de maneira aleatória. Na
partida seguinte, Aurélio mencionou que viu algo semelhante em algum programa
de televisão. Percebemos que, após algumas partidas, Aurélio começou a jogar
de maneira mais pensada, olhando, observando as jogadas de seus adversários,
a partir de uma determinada quantidade de palitos restante. Quando restavam
cerca de 6 ou 7 palitos, Aurélio tomava a frente na dupla e, geralmente vencia.
Na sexta rodada, Aurélio acertadamente mencionou que, ao sobrar quatro
palitos, o jogador que efetuasse a próxima retirada, perderia e nos justificou sua
fala longe da dupla adversária:
Se elas tirarem 1, nós tiramos 2, e elas pegam o último. Se elas
tirarem 2, nós tiramos 1 e, da mesma forma, elas perdem.
Ao traçar suas estratégias, o aluno não quer compartilhar suas conclusões
com seus oponentes, para não correr o risco de ser superado pela dupla
adversária.
Depois de algumas jogadas, observamos que a estratégia de Aurélio era
falha. Ele não tinha domínio dela como um todo, tentava transpor uma vaga
lembrança do que tinha visto na televisão, contando também com a desmotivação
e distração da dupla adversária.
A dupla Bruno e Aurélio venceu a maioria das jogadas e tanto Carolina
como Daniela demonstraram-se desinteressadas. Perguntamos se ambas
queriam voltar para a classe, visto que as atitudes que apresentavam, tais como,
conversas paralelas ou “piadinhas” não eram de quem estava levando a atividade
a sério. Apesar de terem ficado, a dupla rendeu muito aquém do que
esperávamos.
Em certo momento, Aurélio lembrou-se de um programa que ele viu na TV
Cultura. O nome do jogo era Corrida ao Espaço e contava com 17 bonecos em
formato de astronauta. Destes, os 16 primeiros eram verdes e o último vermelho e
quem o retirasse, perderia o jogo. Aurélio afirmou:
89
Tinha que ficar 5. (para o final). Se for sua vez, você perde. Se for
a vez deles (outra dupla), você ganha.
O comentário mencionado por Aurélio está correto para o jogo Corrida ao
Espaço, mas o aluno ainda não encontrou uma forma de associá-lo ao NIM.
Carolina disse que, também, viu o mesmo programa que Aurélio, porém ao
contrário do colega, não buscava refletir e pensar sobre suas jogadas, jogava
aleatoriamente.
Mesmo durante as intervenções coletivas que foram realizadas em razão
do avanço dos demais grupos, deixamos claro que a retirada de certos palitos era
fundamental para se ganhar ou perder, alguns alunos ainda se atrapalhavam ao
jogar. Exemplo disso foi que Daniela e Carolina, com 5 palitos restantes, tendo a
possibilidade de retirar um palito e vencer o jogo, tirou 2 palitos e “entregou” a
vitória à dupla adversária. Aurélio chegou a mencionar em diálogo conosco a
seguir (A: Aurélio e F: Formador).
A: Que tontas! Era só elas tirarem um palito que elas ganhavam, e
a gente perdia.
F: Por que você está falando isso?
A: Se elas tirassem 1 palito, a gente teria de tirar um ou dois
palitos. Se a gente tira 1 palito, sobravam 3 (palitos), aí era só
elas tirarem 2. Se a gente tirasse 2 (palitos), também sobraria 3
palitos, então, era só elas tirarem 1 palito. Se elas tirassem 1
palito ao invés de 2, não tinha como a gente ganhar.
Após este comentário, não houve novas contribuições para a resolução da
atividade 1 por parte do grupo.
Grupo 2
Nas primeiras jogadas, este grupo deu-se conta da vitória, desde que a
dupla tirasse o palito que deixasse 3 palitos a serem retirados. Esta condição
garantiria a vitória ao jogador que fosse retirar os 2 palitos, deixando um para o
adversário. Antes disso, as jogadas eram sempre de maneira aleatória. Este
grupo, durante a atividade 1, sempre deixou os palitos esparramados.
90
Na sexta rodada, ao sobrar 4 palitos para que a dupla Erik e Gabriela
fizesse a retirada, Jonas disse:
Já era! Se vocês tirarem 1 (palito), eu pego 2 (palitos) e se vocês
tirarem 2 (palitos) e tiro só 1 (palito) e vocês perdem do mesmo
jeito.
Assim, o grupo percebeu que o ideal para vencer é sempre tentar deixar 4
palitos, sendo a próxima jogada a do adversário. A partir desta informação a dupla
Gabriela e Erik começou a interagir, visto que antes jogava sem qualquer tipo de
diálogo. A dupla adversária formada por Jonas e Ricardo estava mais entrosada e
buscava estratégias desde o início. Suas anotações eram feitas longe do alcance
da dupla adversária, visto que seus oponentes poderiam usar as estratégias
contra eles. A dupla nos disse que queria tentar descobrir quais outros palitos que
os adversários devem retirar para que perdessem.
Algumas vezes, pudemos perceber, neste grupo, que mesmo com
estratégias não corretas, algumas duplas venciam, seja pela “dificuldade”, seja
pela distração apresentada pela dupla adversária. Mesmo depois de afirmarmos,
que quem retirasse alguns palitos como os que estavam nas posições 17º, 14º e o
11º seriam os perdedores, Gabriela e Erik não procuravam evitar esses palitos.
Fizemos tal afirmação com base no avanço do Grupo 3. Como o grupo joga com
os palitos esparramados, sente dificuldade para perceber isso.
Por diversas vezes, retirando o 11º palito Jonas venceu, para ele isso era
condição que o levava à vitória. Afirmou que, quando sobravam 7 palitos ele fosse
jogar, com certeza, ele seria o vencedor, contrariando o que já havíamos
mostrado. Sendo assim o desafiamos ao jogo, com o intuito de mostrar-lhe, que
ele estava equivocado.
Desenhamos os 7 palitos em uma folha na mesa no grupo do que ele
pertencia (simulando os sete últimos palitos) e dissemos para ele começar, uma
vez que o estudante era enfático ao afirmar que, nesta circunstâncias, ele
ganharia o jogo, conforme é mostrado na Figura 18. Os palitos com a letra J são
os que Jonas “retirou” e com a letra F (formador) os que nós retiramos.
91
J: Tiro 1 palito.
F: Então, eu tiro 2 palitos.
J: Agora eu tiro 2 palitos.
F: Então, eu vou tirar um palito.
J: Perdi! Realmente, achava que eu fosse vencer.
Figura 18: Representação da jogada do formador com aluno Jonas
Perguntei a Jonas se ele tinha se dado conta do equívoco de sua
estratégia e se já estava convencido de que quem retirasse o 11º palito, isto é,
quando sobravam 7 palitos, o jogador que fizer a retirada perderá. Ele afirmou
que já estava convencido de que suas estratégias estavam equivocadas. Após
essa intervenção, o grupo jogava para chegar até o 10º palito e quem retirasse tal
palito já era considerado o vencedor. Este grupo não avançou mais do que isso
nesta atividade. Os integrantes desse grupo não conseguiram perceber quais
palitos não deveriam ser retirados, além dos já mencionados.
Grupo 3
Na primeira rodada, como esperado, foram sendo retirados os palitos de
forma aleatória, mas na segunda jogada os integrantes desse grupo perceberam
que, ao se aproximar dos palitos “finais”, teriam de parar e pensar para poderem
vencer.
Na terceira rodada, surge a primeira estratégia. De acordo com a Teoria
das Situações Didáticas, os alunos já estão na fase de formulação. Vagner sugere
para Samuel a retirada de palitos da seguinte maneira:
Se eles tirarem 1 (palito), você tira 2 (palitos) e se eles tirarem 2
(palitos), você tira só 1 (palitos).
92
Vagner acha melhor enfileirar os palitos, já Lucas diz que não faz diferença
alguma.
O grupo tinha claro que a solução para vencer o jogo consistia em
complementar a jogada do adversário com a própria jogada para obter soma igual
a 3. A ideia estava parcialmente certa, mas, ao realizar essa estratégia desde o
início, sobravam 2 palitos para o final, pois eram montados 5 “blocos” de 3 palitos
. Desta forma sobravam 2 palitos. O jogador que complementava as
jogadas do adversário (segundo a jogar) perdia o jogo. Alguns alunos da dupla ao
perceberem isso, começaram a utilizar essa estratégia até certa quantidade de
palitos, depois repensavam em como vencer. Em certa ocasião, faltando 6 palitos,
Vagner pediu a Samuel que esperasse ele pensar, antes de realizar a jogada.
Samuel, por sua vez, com a ideia de complementar, ignorou o pedido do parceiro
e jogou. O trio formado por Maurício, Kelvin e Lucas venceu a partida. Vagner
adverte que se ele tivesse calma para esperar, eles possivelmente teriam vencido
o jogo.
()
=× 1535
Após algumas partidas, os integrantes desse grupo convenceram–se de
que, ao restar 7 palitos, o jogador que iniciar o jogo, perderá. Lucas justificou:
Quando sobram 7 palitos e eles tiram 1 palito, nós tiramos 2
palitos. Se eles tirarem 2 palitos, nós tiramos 1 palito. Vão sobrar
4 palitos e aí se eles tirarem 1 palito, nós tiraremos 2 e se eles
tirarem 2 (palitos), a gente tira 1 (palito). De qualquer jeito, eles
perdem.
Embora os estudantes tivessem a estratégia de complementar as jogadas,
sem motivo “aparente”, eles mudavam a estratégia.
Após algumas jogadas, perceberam também que quem retirasse o 8º palito
(deixasse 10 palitos sobrando), perderia o jogo, e bastaria complementar as
jogadas de modo a obter a soma 3 na jogada da dupla adversária com a própria
dupla. Perceberam, ao restar 10 palitos, quem jogasse já perderia e, assim, não
haveria mais necessidade de jogar. Perguntamos ao grupo quais os palitos que
ao serem retirados, levariam à dupla a derrota? Eles responderam quando
faltavam 1, 4, 7 e 11. Evidentemente, essas não eram as posições dos palitos
mas sim quantos palitos faltavam. Percebemos que havia um conflito quando se
93
falava “qual palito”? O que para o jogo é referente à posição (primeiro,
segundo,...), para os alunos, eram referentes a quantos palitos faltavam ser
retirados, isto é, quantos ainda tinham na mesa. Então, quando falávamos no 11º
palito, o estudante achava que devia deixar 11 palitos na mesa.
Sugerimos a todos os grupos, que escrevessem em uma folha os números
referentes a cada palito na ordem: 1, 2, 3,.....,16, 17, e escrevessem quais
deveriam ser retirados. Assim, para a dupla que perdesse poderia ficar mais
simples entender o que queríamos dizer.
O grupo aceitou a sugestão e, após alguns minutos, perguntamos
novamente quais palitos, ao serem retirados, levaria a dupla à derrota, obtivemos
como resposta que os palitos 17º, 14º, 11º e 8º. A retiradas desses palitos fariam
com que a dupla perdesse.
Vagner percebeu que o jogador que retirasse o quinto palito, também,
perderia. Perguntamos como havia chegado a essa conclusão? Ele explicou:
Se seu adversário retirar o quinto palito, eu vou retirar o sexto e
sétimo. Logo meu adversário irá retirar o oitavo palito e como foi
mostrado, quem retirar o oitavo perde. Caso eles retirem 2 palitos
(quinto e sexto palito), a gente tira o sétimo e eles terão de retirar
o oitavo palito.
O grupo nos mostrou uma folha com um esquema da Figura 19.
Figura 19: Esquema apresentado pelo grupo na atividade 1
Até o término desta atividade, os alunos desse grupo tinham a convicção
de que quem retirasse o quinto palito perderia, mas não chegaram à conclusão de
com quantos palitos teriam de iniciar para vencer, mas tinham clareza de que
quem retirasse os 5º, 8º, 11º, 14º e o 17º palitos perderia o jogo.
94
Comparados com nossas análises a priori, os alunos ficaram aquém do
que esperávamos, pois não chegaram a mencionar que a saída para vencer era
com 1 palito. Deparamo-nos com situações que não esperávamos, sobretudo,
com respeito a dificuldade dos estudantes compreenderem que a posição dos
palitos não representava a quantidade de palitos que restavam. Esse impasse
gastou um tempo razoável, resolvemos encerrar a atividade e iniciar a segunda
atividade.
Não houve nenhuma associação entre o jogo e o Algoritmo da Divisão
durante a aplicação da primeira atividade, o que já esperávamos por ser um
contato inicial com o jogo.
Segunda atividade
Esta atividade possui uma quantidade de palitos maior que a anterior,
porém a quantidade de palitos que pode ser retirada, é a mesma.
Escolhemos esta quantidade de palitos, pois, além de não ser muito
grande, facilita a manipulação, também, preferimos trabalhar com a quantidade de
palitos para cada retirada para que os estudantes se sintissem familiarizados com
a atividade.
A priori, acreditamos que a maioria dos alunos, desta vez, tentaria analisar
as jogadas de seus adversários, jogando com cautela e buscando vencer de
imediato, pois já sabia que jogando aleatoriamente, suas chances de vitória
seriam reduzidas.
Acreditamos que alguns alunos utilizariam ideia da atividade anterior e
outros, ainda poderiam continuar jogando de forma aleatória.
Supusemos que, após algumas jogadas, assim como aconteceu na
atividade anterior, os estudantes perceberiam que o jogador que retirasse o 23º
palito (restando 4), seria o perdedor, a menos que seu adversário jogasse
desatentamente. Uma vez que restavam 4 palitos, quem retirasse quaisquer
quantidades (1 ou 2 palitos) perderia. Como não pode retirar os 3 palitos (o
95
máximo permitido nesta atividade são 2), deixando o último palito para o
adversário; o jogador que for retirar o 23º teria duas possibilidades de jogar:
• retirar 1 palito, isto é, o 23º. Seu adversário retirará os 2 palitos
seguintes, restando apenas o último a ser retirado.
• Se opção for por retirar 2, no caso o 23º e o 24º, seu adversário retirará
um palito (25º), deixando o último a ser retirado.
Em resumo, quem retirar o 22º palito e deixar os demais, ou seja, os quatro
próximos palitos para seu adversário continuar a jogada, será o vencedor.
Após um determinado número de jogadas, possivelmente, os alunos não
jogaram para ver quem iria retirar o 26º palito, mas sim para ver quem retiraria o
22º palito, pois aí já podiam ter percebido que aquele jogador que começar sua
jogada retirando o 23º será o perdedor. Seria como se o jogo fosse “encurtado”.
Ao invés do 26º, agora será o 23º palito que determina a vitória ou a derrota de
cada jogador. As Figuras 20 e 21 mostram como o aluno poderá organizar os
palitos para efetuar as retiradas adequadas para vencer o jogo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
P
Figura 20: Representação para a retirada do último palito para se obter a vitória
Desta maneira, conforme os alunos forem efetuando suas jogadas,
perceberão que quem retirar o 22º palito vencerá e, assim, sucessivamente.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
P P
Figura 21: Representação dos últimos palitos retirados da atividade 1
Desta forma o aluno poderá perceber que a retirada de alguns palitos
específicos os leva-los-á à derrota, conforme ilustrado na Figura 22.
96
Figura 22: Representação de todos os palitos que devem ser retirados na atividade 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
P P P P P P P P P
+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Nesta atividade, os alunos poderão associar que a partir da jogada inicial, a
soma da quantidade de palitos que seu adversário retirou somada com a sua
resulte três palitos. Como consequência, se ele iniciar o jogo retirando um palito,
será o vencedor. Alguns alunos poderão relacionar a soma de três palitos já na
jogada inicial. Por exemplo; uma dupla retira um palito e a outra dupla dois palitos
(1 + 2 = 3) complementando, assim, cada jogada de seu adversário que perderá o
jogo, pois continuando, deste modo, retirará o 24º palito. Como o resto da divisão
de 26 por 3 dá 2, isto significa que temos 1 palito para a 1ª jogada e 1 para a
última.
Acreditamos que o mesmo raciocínio deverá ocorrer até que o aluno
descubra que a melhor saída é começar retirando um palito.
Como a quantidade de palitos a serem retirados é a mesma da atividade
anterior, a tabela é igual à que foi mostrada na atividade 1 (Quadro 2).
Análise a posteriori da atividade 2
Dispondo de 26 palitos e podendo retirar no mínimo 1 palito e, no máximo, 2,
será decretado o perdedor jogador que retirar o último palito.
Na atividade 2, entregamos aos alunos 26 palitos e pedimos que
verificassem a quantidade.
97
Grupo 1 (Aurélio e Bruno, Carolina e Daniela)
Aurélio afirma que se pudesse retirar até 3 palitos, seria mais fácil.
Acreditamos que ele ainda está se referindo à estratégia do jogo Corrida ao
Espaço, mas não consegue transpor tal estratégia para o NIM. Possivelmente, ele
viu apenas um caso isolado, tanto que a alteração na quantidade de elementos
(palitos no caso do NIM e bonecos no caso Corrida ao Espaço) faz com que ele
não vença sempre.
A dupla formada por Carolina e Daniela continua sem qualquer tipo de
motivação e chega até a perder o jogo mesmo quando a “vitória é certa”. Em
função disso, optamos fazer algumas trocas de participantes. Nesse grupo,
trocamos Lucas do (Grupo 3) no lugar do Aurélio com a finalidade de tentar
equilibrar as vitórias e derrotas das duplas.
Lucas começa dizendo que a soma da retirada de palitos da dupla
adversária com a dupla dele, deverá ser sempre 3 palitos. Ao jogarem, sempre
quando faltam, aproximadamente, 7 ou 8 palitos, Lucas e Bruno começam a
contar os palitos e tentam desenvolver uma técnica para vencer.
Após algumas partidas trocamos novamente Lucas por Erik com o intuito
de ver se as duplas avançavam em suas estratégias.
Enquanto a dupla formada por Bruno e Erik tentava traçar uma estratégia
que as levasse à vitória, Carolina e Daniela continuavam a jogar aleatoriamente e,
deste modo, não deram contribuições relevantes ao jogo nessa segunda
atividade.
Lucas mencionou que:
quem retirar o 14º palito perderá o jogo, desde que a outra dupla
faça grupos de três em três palitos. Aí vão chegar nos palitos 17º,
20º, 23º e 26º.
O estudante poderia ter descoberto outros valores desta sequência, mas
“apenas” somou, pois se tivesse subtraído 3 palitos do 14º, possivelmente,
encontraria outros valores.
98
Grupo 2 (Erik e Gabriela, Ricardo e Jonas)
Jonas começa a fazer suas anotações em forma de subtração:
e assim, sucessivamente. A Figura 23 mostra como o
estudante começou a fazer esta atividade, sempre procurando encontrar uma
lógica, uma estratégia que lhe desse vantagem para vencer.
22224125126 =−=−=−
Figura 23: A notação do estudante Jonas para atividade 2
Apesar de ser possível entender o que o estudante quis representar, esta
forma de representação está errada. A representação correta seria:
26 – 1 = 25
25 – 1 = 24
24 – 2 = 22
O aluno Jonas tinha relacionado de alguma forma as jogadas, por isso
registrou cuidadosamente cada retirada. Segundo Brousseau, o aluno está
tentando formular, que é a segunda fase da TDS.
Após uma determinada quantidade de partidas, a dupla formada por Erik e
Gabriela não venceu mais. O grupo ainda jogou o NIM com palitos todos
esparramados diferentemente dos demais grupos.
Jonas percebeu quando os adversários retiram o oitavo palito, sua dupla
(Jonas e Ricardo) vence e, para tanto, deve fazer com que a soma da quantidade
99
de palitos da jogada de seu adversário com sua quantidade de palitos resulte em
3 palitos, para vencer sempre.
Em certa partida, restam 8 palitos e é a vez da dupla Erik e Gabriela
jogarem. Erik, então, retira 2 palitos, restando 6 para serem retirados.
Imediatamente Jonas diz:
Que burro! Se ele tirasse 1, nós perdíamos, pois ficavam 7 palitos.
Perguntamos por que ele tinha tanta certeza disso e ele prosseguiu:
Porque percebemos que quem retirasse o 20º palito perderia. Se
ele tirasse só 1 (palito), a gente seria obrigado a retirar o palito
20º. Depois deste, o 23º é o próximo que quando tirado fará
perder. Quando os adversários retiram esses palitos, a gente só
faz montes de 3 em 3.
Nesse grupo percebemos que Jonas e Ricardo estavam mais entrosados e
avançando na busca de uma estratégia, o que não ocorria com a dupla
adversária.
Em certo momento Erik percebeu que restavam 7 palitos a serem retirados,
e ele jogaria. Deu-se conta que sua derrota seria certa; no entanto, contrariando
as regras do jogo, ele faz de conta que retira uma quantidade de palitos, mas não
retira quantidade alguma (pela regra, deve retirar a quantidade de 1 e 2 palitos). A
dupla adversária não percebeu a trapaça e o jogo seguiu. Entretanto, mesmo
trapaceando, Erik equivocou-se na jogada posterior e perdeu o jogo. O
comportamento de Erik é classificado por Huizinga (1971), como desmancha–
prazer, isso porque infringiu as regras para beneficiar-se, mesmo com a trapaça
não conseguiu levar vantagem.
Após algumas jogadas trocamos Lucas (Grupo 3) por Erik para ver se a
quantidade de vitórias equilibrar-se-ia entre os grupos.
Ricardo ficou sempre esperando por um comando de Jonas para realizar a
jogada que por sua vez, ficou anotando e buscando uma maneira de vencer.
Jonas sentiu-se desafiado pelo jogo a tal ponto que, em dado momento, chegou a
deixar seu parceiro jogando sozinho para focar sua atenção em suas anotações
como as da Figura 23. Este aluno nos revelou que para ele não importava vencer
100
ou perder mas sim entender como se fazia para vencer sempre. O que Jonas faz
na realidade é a formulação, segundo a Teoria das Situações Didáticas. O
estudante começa a estruturar formas de jogar e vencer o jogo, testando
possibilidades e hipóteses para chegar à vitória.
A estudante Gabriela jogava de forma aleatória, quando se prontificava a
jogar, pois, geralmente limitava-se a obedecer aos comandos de Lucas: “Retira 1.
Agora tira 2”. Com a chegada de Lucas a esse grupo, essa dupla começou a
vencer mais partidas. Isso incomodou Jonas de tal maneira que ele buscava
desesperadamente por uma estratégia vencedora cada vez mais.
Grupo 3 (Samuel e Vagner contra Lucas, Kelvin e Maurício)
Ao começar a nova atividade, o grupo logo quis saber se esta atividade era
mais difícil que a anterior. Respondemos que o nível de dificuldade era o mesmo
e que a única diferença era a quantidade de palitos disponível.
Lucas insistiu, equivocadamente, que deveria agrupar desde o inicio de 3
em 3 blocos de palitos, mas, ao fazer uma simulação percebeu que não venceria
se jogasse dessa modo.
Os jogadores perceberam logo que, ao chegar ao 22º palito, (restando 4 na
mesa), a próxima dupla que jogasse perderia.
Vagner registra e anota as jogadas, buscando por uma estratégia, já
Samuel apenas retira os palitos e preocupa-se apenas quando faltam poucos
palitos para acabar o jogo. Percebemos que, de acordo com a TDS, o estudante
Vagner formula uma estratégia com o intuito de vencer.
Após determinado tempo, optamos por trocar Lucas, por Aurélio (Grupo1)
para ver se ocorre maior equilíbrio no Grupo 1.
Vagner e Samuel mostram-se bem empenhados e concentrados para
descobrir como vencer o jogo. Vagner percebeu que quem retirasse o 14º
perderia, assim como os 17º, 20º, 23º e 27º.
101
Samuel disse que já entendeu o esquema do jogo e afirmou:
Se a posição é par, deve tirar 2 palitos;
Se a posição é ímpar, deve tirar 1 palito.
Explicamos que, embora essa estratégia servisse em alguns casos, ela era
falha, pois se ele for jogar e restarem 5 palitos (no caso, é o 22º), então, pela
lógica que julga estar correta para vencer, deverá retirar 2 palitos, afinal 22 é par.
Retirando 2 palitos, sobrarão apenas 3 palitos, e o adversário retirará 2 para
vencer. Assim, Samuel se convenceu que sua estratégia era equivocada. Samuel
e Vagner tentaram formular uma estratégia objetivando a vitória.
Mostramos que não só os o 26º, 23º e 20º, mas também outros palitos
levam o jogador a perder, assim como na atividade anterior. Apesar do esforço do
grupo, não houve avanços. Acreditamos que, com um pouco mais de tempo, o
grupo chegaria a outros palitos.
Por ser a segunda atividade no mesmo dia da primeira, os estudantes
poderiam ter desempenhos melhores, conforme acreditamos, por exemplo, a
posição dos palitos a serem retirados levaria o jogador à derrota, eram até certo
ponto idênticas. Na atividade 1, eram os palitos: 2º, 5º, 8º, 11º, 14º e 17º. Já na
atividade 2, eram: 2º, 5º, 8º, 11º, 14º, 17º, 20º, 23º e 26º.
Dissemos aos alunos que havia uma estratégia que faz com que o jogador
que começar o jogo seja o vencedor. Pedimos, então, que eles pensassem na
estratégia e em numa próxima oficina retornaríamos ao assunto.
Terceira atividade
Tendo 15 palitos, com a possibilidade de serem retirados de 1 até 3 palitos,
jogando alternadamente, será declarado perdedor aquele que retirar o
último palito.
Nossa meta para esta atividade, foi verificar se o aluno mobilizava os
conhecimentos construídos nas atividades anteriores para esta que é similar à
anterior, porém, a quantidade de palitos fornecidos e a quantidade de palitos que
102
podem ser retirados são diferentes. Embora acreditássemos que os estudantes
poderia optar por um número de palitos adequados para a saída e fazer
agrupamentos corretos, possivelmente, não chegariam ao Algoritmo da Divisão
cuja estratégia máxima seria o resto da divisão de 15 por 4 = 3, isto significa que
temos um palito para 1ª jogada e 2 para a última.
Esperávamos que os alunos não jogassem mais de forma aleatória, mas,
tracem suas estratégias baseadas nas atividades anteriores.
Acreditamos que os alunos não estivessem mais na fase da ação, mas
sobretudo na fase da formulação. Aqui eles já deveriam tentar esboçar uma
estratégia que os levasse a vencer, mais estruturada e elaborada que, nas
anteriores, mesmo que fosse uma estratégia falha. A ideia de pensar de trás pra
frente até resolve este tipo de jogo, mas como na segunda parte da atividade,o
número de palitos é relativamente alto se comparado com as atividades da
primeira fase, seria muito trabalhoso e até inviável o uso de palitos.
Como podiam ser retirados 1, 2 ou 3 palitos, esperávamos que alguns
alunos concluam que teriam de montar “blocos” de 6 em 6 palitos. Como na
atividade anterior, podiam ser retirado de 1 ou 2 dois palitos, resultando no divisor
, aqui existia uma possibilidade que fosse articulado o seguinte
pensamento:
1
. Caso o aluno elaborasse sua estratégia dessa forma, o
pesquisador não deveria fornecer a resposta de imediato. Os alunos deveriam
jogar e perceber que existia algum problema com essa estratégia. A Figura 24
representa a estratégia, caso os alunos venham a agrupar de 6 em 6 palitos.
()
=++
213 +
632
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P P P
+ 6 + 6
Figura 24: Esta figura diz respeito a estratégia agrupando palitos de 6 em 6
Os alunos poderão se dar conta do equívoco, quando seu adversário, por
exemplo, retirar 1 palito e ele perceber que não poderá retirar 5 para montar um
103
bloco com 6 palitos, visto que o máximo permitido é a retirada de 3 palitos. Caso
isso aconteça, faremos devoluções para que o aluno perceba o equívoco e
aprenda qual a quantidade correta de palitos a ser agrupadas. Contudo, o aluno
pode optar pelo agrupamento de 4 em 4 palitos, utilizando a estratégia de trás
para frente, como é ilustrada na Figura 25.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P P P P
+ 4 + 4 + 4
Figura 25: Esta figura representa a estratégia agrupando de 4 em 4 palitos
Outra estratégia esperada para perceber que o agrupamento é de 4 em 4,
seria seguindo o raciocínio do Quadro 4.
Quadro 4: Todas as possibilidades possíveis para a atividade 3
Jogador A Jogador B Soma da jogada de A+ B
1 palito 1 palito 2 palitos
1 palito 2 palitos 3 palitos
1 palito 3 palitos 4 palitos(●)
2 palitos 1 palito 3 palitos
2 palitos 2 palitos 4 palitos (●)
2 palitos 3 palitos 5 palitos
3 palitos 1 palito 4 palitos(●)
3 palitos 2 palitos 5 palitos
3 palitos 3 palitos 6 palitos
Nos dados desta tabela percebemos que 4 palitos (●) é quantidade que o
jogador B pode obter independente da jogada do jogador A, isto é, para qualquer
quantidade de palitos que o jogador A retire, B pode complementar sua jogada
104
obtendo soma igual a 4 palitos. Os alunos que jogarem a princípio, buscando
montar blocos de 6 palitos, somente terão sucesso se em todas as retiradas, o
adversário retirar 3 palitos, caso seja retirada outra quantidade a estratégia não
funcionará, ou seja, não é uma estratégia que garantirá sempre a vitória.
Nesta atividade, observaremos se haverá algum avanço da atividade
anterior para esta. Esperamos que os alunos consigam avançar e cheguem à
estratégia máxima e a associarem-na com a divisão.
Análise a posteriori da atividade 3
Fizemos uma recapitulação das atividades anteriores na lousa para que os
estudantes recordassem como se jogava o NIM e, também, para que
relembrassem o que tinham feito na oficina anterior.
Relembramos que na atividade 1, possuía tinha 17 palitos e podiam ser
retirados 1 ou 2 palitos. Alguns estudantes perceberam que quem retirasse os
palitos 17º, 14º, 11º, 8º e 5º perderia o jogo. Não chegaram à conclusão que o 2º
palito também levaria à derrota e, portanto, a retirada desse palito deveria ser
evitada. Para vencer, era necessário a retirada de 1 palito. A atividade 2, possuía
26 palitos podiam retirar 1 ou 2 palitos, os alunos também não chegaram até um
valor que garantisse a vitória do jogador que inicia. Descobriram apenas alguns
palitos que se retirados, faziam com que o jogador perdesse. Logo esses palitos
deveriam ser evitados. Foram os seguintes palitos: 26º, 23º, 20º, 17º e 14º.
A seguir, entregamos os palitos para cada grupo e pedimos que contassem
e conferissem com a quantidade de palitos que constava na folha que também foi
entregue.
Grupo 1.
Duplas: Aurélio e Paulo contra Carolina e Daniela
Logo no início, os jogadores efetuaram as retiradas dos palitos de forma
totalmente aleatória, aparentemente, sem qualquer tipo de raciocínio ou reflexão.
Após algumas partidas, começaram a registrar qual dupla vencia mais.
105
Ao restar 9 palitos a serem retirados, Aurélio para e analisa a jogada,
porém não obtém sucesso. Comenta que está tentando aplicar a estratégia do
jogo que ele viu na televisão. Isso de certo modo nos surpreendeu, pois no jogo
que ele viu também poderia ser retirada a quantidade de 1 até 3 palitos, no
entanto eram 17 palitos e, em nossa atividade, 15 palitos.
Após algumas jogadas, a dupla Paulo e Aurélio concluiu que quando
sobram 5 palitos, o jogador que efetuar a jogada perderá, isto é, quem retirar o
11º palito perderá o jogo. Por que isso acontece? Aurélio nos explicou:
Restando 5 palitos, o jogador poderá retirar 1, 2 ou 3 palitos. Caso
eu retire 1 palito, e meu adversário ao retirar 3 palitos, ele
vencerá. Se eu retirar 2 (palitos), e meu adversário também retirar
2 palitos, ele também vencerá. E se eu retirar 3 palitos, e ele 1
(palito) e, também, vencerá. Não tem jeito. Então, quando sobram
5 palitos, já sei quem vai ganhar. É aquele que não for a vez de
jogar. Para que eu vença não poderei retirar o 11º palito.
O estudante estava correto em sua fala, e mesmo na primeira atividade já
havia nos dito que quando fosse possível a retirada de um, dois ou três palitos,
isso aconteceria.
Conforme os grupos foram avançando, fizemos intervenções gerais. Em
dado momento um dos grupos percebeu que, além dos 15º e 11º palitos, o 7º e
posteriormente, o 3º palitos ao serem retirados, faziam com o jogador perdesse.
Concluíram que essas posições deveriam ser evitadas para obter sucesso na
partida (ganhar o jogo). Para começar, o jogador deveria retirar 2 palitos e, após
essa jogada, deveria fazer agrupamento de 4 em 4 palitos, forçando o adversário
a retirar o terceiro, o sétimo, depois o 11º e por fim o 15º palitos. Neste momento,
fizemos as simulações na lousa, para mostrar a todos os grupos, como alguns
alunos chegaram a tal estratégia.
Após essa intervenção, alguns alunos desse grupo começaram a tentar
fazer com que seus adversários retirassem as posições que mencionamos
anteriormente, porém percebemos que alguns estudantes ainda confundiam
retirar o 7º palito (posição que ele ocupa) com deixar 7 palitos.
106
Explicamos, então, a esse grupo quando nos referimos ao terceiro palito,
não significa que devem restar apenas 3 palitos para serem retirados no jogo,
mas sim que ele é o 3º palito, da esquerda para direita e que se eles colocassem
os palitos enfileirados e os numerassem, poderiam entender com mais facilidade.
Após esta explicação, o grupo passa a numerar em uma folha e coloca os
palitos embaixo de cada número. Durante a jogada, Carolina percebe em sua vez
de jogar que irá retirar o 11º palito, isto é, que sobraram 5 palitos e desiste de
jogar, por já reconhecer sua derrota.
Grupo 2
Duplas: Gabriela e Erik contra Jonas e Ricardo
Erik se anima-se vendo que, nesta atividade existe uma possibilidade maior
de palitos que podem ser retirados em comparação com a atividade anterior.
Logo na primeira atividade, Ricardo descobre que perdeu quando sobraram
5 palitos, mesmo assim continuou e retirou 1 palito. Gabriela e Erik
acertadamente retiraram 3 palitos e venceram.
Este grupo ainda joga o NIM com os palitos esparramados. Percebemos
que há uma grande dificuldade neste grupo em saber quantos palitos ainda
restam e quantos devem ser retirados. Assim com o grupo 1, que tem dificuldade,
por exemplo, de associar quando for retirado o 11º palito, sobrariam 4 palitos.
Informamos que os palitos ordenados poderiam facilitar na hora de traçar uma
estratégia. Sugerimos, também, a todos os grupos que pegassem uma folha e a
numerassem de 1 até 15 e colocassem os palitos abaixo das posições escritas na
folha.
Desta forma, poderia ser mais simples para os alunos identificarem os
palitos a serem retirados. Grando (2004b) sugere que os palitos estejam
alinhados. Por exemplo; sobram 5 palitos. Os jogadores já perceberam que quem
retirar qualquer quantidade de palitos, perde. Isto quer dizer que a dupla que
retirar o 11º palito perderá.
107
Após fazerem o que sugerimos, o grupo se dá conta que quem retirar o 11º
palito perderá.
Se a gente deixar 5 palitos para a outra dupla, eles perdem.
Pergunto a esse grupo quais outros palitos que devem ser evitados, para
que se possa vencer o jogo? Jonas empenha-se em buscar uma resposta,
enquanto Erik, Gabriela e Ricardo continuam jogando. Em seguida, Jonas nos
mostra uma folha com o seguinte esquema da Figura 26:
Figura 26: Representação da atividade 3 formulada pelo grupo 2
Perguntamos ao grupo, o que eles puderam perceber com o esquema feito
por Jonas?
O próprio Jonas respondeu:
Percebi que o jogador que retirar os 3º, 7º, 11º e 15º perderá o
jogo.
Perguntamos se eles haviam percebido alguma relação entre as posições
dos palitos. O grupo respondeu que os números aumentam de 4 em 4.
Perguntamos, então, como eles deveriam sair para vencer o jogo?
Novamente, Jonas toma a frente e responde:
Se a gente sair com 2 palitos, eles (apontando para a outra dupla)
já vão pegar o terceiro palito e se eu fizer “blocos” de 4 em 4, eles
tirarão os outros (palitos) que faz perder, e aí a gente ganha.
Daqui em diante, o grupo passou não jogar mais, pois sabia como desde a
primeira retirada como fazer vencer desde o início. Basta não retirar os palitos
com a letra P.
108
Grupo 3
As duplas são: Lucas e Samuel contra Kelvin e Maurício.
Assim como o grupo 2, este logo na primeira partida percebeu que quando
sobram 5 palitos, a dupla que jogar irá perder. Então, jogavam até chegar ao 10º
palito e a partir daí já sabiam quem era o vencedor.
Lucas nos explicou:
Se a dupla adversária retirar:
1 palito, a gente tira 3 palitos; se eles tiram 2 palitos, a gente
também tira 2 palitos, e se eles tirarem 3 palitos, nós tiramos 1
palito. E, de qualquer maneira, a gente ganha.
O grupo não consegue avançar em relação a outros palitos que ao serem
retirados levam os jogadores a perder, então, jogam aleatoriamente até chegar
próximo de sobrar 5 palitos e, a partir deste ponto, já sabem como jogar para
vencer. Lucas está tão focado, buscando a vitória que fica irritado quando
expomos suas estratégias aos demais alunos. Afirmou para a observadora:
Não vou falar mais pra ele (formador), o que estou pensando. Ele
fala pra todo mundo e, assim, os outros ganham da gente com as
minhas próprias ideia.
A afirmação de Lucas deu-se conforme as intervenções coletivas que
fizemos para mostrar uma ideia correta ou errada apresentada pelo estudante.
Pontuamos que fazíamos essas intervenções, objetivando favorecer aos alunos a
busca da estratégia vencedora e, por consequência, o Algoritmo da Divisão.
Em razão do avanço do grupo 2, fizemos um esquema na lousa baseado
nas anotações de um dos alunos. A Figura 27 ilustra esse esquema:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P P P P
4 4 4
Figura 27: Esquema no qual intervimos para elucidar quais palitos levam à derrota
109
Fizemos, então, uma simulação e sempre perguntávamos para os
estudantes, como deveríamos proceder para vencer baseados no esquema feito
na lousa. (F: Formador e X: Estudantes)
F: Quando você for começar, devo começar com quantos palitos?
X: 2.
F: Certo! Se seu adversário retirar 1 palito, o que você deve fazer?
X: Retirar 3 (contando nos dedos).
F: Isso mesmo! E se ele tirar 2 agora?
X: Eu também tiro 2.
F: Isso. E se ele tirar mais 1 palito?
X: Aí eu tiro 3, e ele perde.
A simulação ficou conforme a Figura 28:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X F X F X F X F
Figura 28: Simulação da atividade 3
Perguntamos ao grupo como faria para vencer o jogo? Jonas disse:
Saio com dois palitos e depois que você jogar, eu retiro a
quantidade de palitos que falta para 4.
Por notarmos que alguns alunos ainda estavam apenas jogando por jogar,
ou seja, sem buscar uma estratégia para vencer (não tinham formulado nenhuma
conjectura), pedimos para que continuassem jogando e acompanhamos com
alguns relatos na lousa. Após essa intervenção, notamos que os alunos
melhoraram suas estratégias.
Em momento algum, os estudantes tentaram formar blocos de 6 palitos,
como era esperado na análise a priori desta, pois eles buscaram a estratégia de
trás para frente o que inviabilizou a formação de blocos de 6 em 6 palitos.
110
Quarta atividade
Tendo 40 palitos e podendo retirar no mínimo 1 e no máximo 3 palitos,
jogando alternadamente, quem retirar o último palito será o perdedor.
Esta atividade é ligeiramente diferente das anteriores. Ao utilizarmos o
Algoritmo da Divisão, obteremos resto zero.
Esperamos que alguns dos alunos tenham formulado a estratégia máxima,
mas caso algum deles não tenha conseguido, ao término desta atividade, faremos
a institucionalização do objeto matemático (Algoritmo da Divisão) envolvido no
jogo do NIM.
A escolha por um número de palitos (40 palitos) maior que nas atividades
anteriores favorece a busca de uma estratégia que não seja a manipulação
desses palitos, pois, ao utilizar essa quantidade de palitos, pode ser que fique
desestimulante alinhar todos os palitos, sendo necessária a busca de uma
estratégia. Como a quantidade de palitos a ser retirada é a mesma da atividade
anterior, esperamos que os alunos não tenham dúvidas se deverão agrupar em
blocos de 4 ou em blocos de 6 palitos.
Ouviremos as explicações dos alunos e, desta forma, como acreditamos
que alguns já descobriram a estratégia máxima e outros já estarão bem próximos
de chegar a explicitá-la, faremos neste momento a institucionalização. Ilustramos
com a Figura 29 todos os palitos que, ao serem retirados, levam o jogador à
derrota e esperamos que os alunos agrupem os palitos desta forma.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
P P P P P P P P P P
+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
Figura 29: Agrupamento dos palitos da atividade 4
Faremos vários questionamentos, como por exemplo, foram feitos
agrupamentos de quantos palitos? Quantos grupos foram feitos? Quantos
111
sobraram? Dessa forma, esperamos que os estudantes possam construir o
Algoritmo da Divisão que explicitaremos ao final da atividade. Perguntas como:
Quantos blocos de 4 palitos vocês montaram? E se fosse uma quantidade maior
de palitos, como resolveriam a situação? Esperamos que, após tais
questionamentos, os estudantes estejam perto de associar a estratégia máxima
ao Algoritmo da Divisão.
Nesta atividade, se os alunos seguirem o raciocínio utilizado nas atividades
anteriores, esperamos que façam 9 agrupamentos de 4 palitos
()
, e
verifiquem que sobram 4 palitos
3649 =×
(
)
43640
=
−
. Destes 4 palitos, 1 seria o palito
final a ser retirado; portanto, os outros três seriam os palitos que deveriam ser
retirados inicialmente para assim vencer o jogo.
Neste caso, ao efetuar o Algoritmo da Divisão, verificarão que a divisão é
exata. Mas, ao compará-lo com a distribuição dos palitos que, efetivamente,
ocorreu, poderão chegar às seguintes conclusões: Nos casos anteriores, uma
parte do resto (um palito) era destinada à última jogada e os demais palitos eram
utilizados na jogada inicial. Nessa atividade, com o resto sendo zero, esperamos
que surjam questões do tipo: O que deve ser feito? Quem começar terá a
garantia da vitória? Caso essas questões não sejam elaboradas pelos alunos,
são perguntas que poderemos fazer aos estudantes com o intuito de estimulá-los
a pensar para que constatem suas ideia, por meio do uso de palitos e sozinhos
consigam encontrar as respostas.
O desejável é que os alunos discutam entre si e cheguem às suas próprias
conclusões. Destacamos, ainda, que nesta atividade pode haver algum tipo de
desequilíbrio, pois com os palitos poderão chegar a uma determinada conclusão e
com o cálculo poderão ficar em dúvida de como será a saída para começar e
ganhar o jogo.
Ainda nessa atividade, retomaremos as atividades anteriores com o
propósito de discutir com os estudantes (mesmo que eles não tenham visualizado
a estratégia máxima via Algoritmo da Divisão) que é possível vencer, fazendo o
cálculo e interpretando o resto da divisão.
112
Os alunos poderão ficar com dúvida quanto à aplicação da estratégia
máxima. Mesmo com os cálculos realizados, eles deveram jogar para saber como
sair da situação e, posteriormente, formular sua estratégia. A estratégia máxima
referente a esta atividade está na Figura 30. Esperamos que os alunos ao
efetuarem a divisão e a confrontarem com o jogo, verifiquem que com os 9
agrupamentos de 4 palitos e os 4 palitos restantes façam a associação com a
operação.
4
04
9
40
1 palito para a última jogada. 3 palitos para a jogada inicial
Figura 30: Adaptação do Algoritmo da Divisão para a estratégia máxima da atividade 4
Desta forma, é como se o “resto fosse 4” e, assim, o jogador poderia testar
sua estratégia como já mencionamos. Apesar da representação ser de uma
maneira diferente, não podemos esquecer que o quociente correto é 10, apesar
dele está se apresentando nessa estratégia como 9.
Institucionalizado o objeto matemático que garantiu a estratégia máxima
para vencer, nas atividades posteriores serão propostas situações que favoreçam
aos alunos a apropriação desse saber. Ressaltamos, ainda, que o momento da
institucionalização, por meio da estratégia máxima revelada, poderá desmistificar
falsas estratégias de como se obter a vitória e que alguns estudantes ainda
possam julgar como verdadeiras.
Análise a posteriori da atividade 4
Foram entregues 40 palitos para cada grupo, e eles automaticamente
conferiram a quantidade. Vários alunos alegaram que a quantidade de palitos era
muito grande que estava ficando ruim até para fazer as anotações.
113
Grupo 1 (Aurélio e Paulo, Carolina e Daniela)
Logo no inicio da oficina, trocamos Daniela com Lucas (Grupo 3), pois
tínhamos notado o pouco envolvimento da dupla (Carolina e Daniela) com as
atividades, assim, esperávamos um maior envolvimento.
O grupo continuava a jogar aleatoriamente, mas após algumas partidas a
dupla Lucas e Carolina começou a realizar suas jogadas, agrupando palitos de 4
em 4, mas percebeu que não venciam utilizando essa estratégia. Aurélio, para
vencer, esforçava-se para que seus oponentes retirassem os mesmos palitos
(palitos das posições 3°, 7°, 11° e 15°, quando tinham 17 palitos para retirar de 1
a 3 palitos), também, eram feitos agrupamentos de 4 em 4. Após algumas
tentativas sem sucesso, a dupla percebeu que sua estratégia não lhe garantiria a
vitória, passando a jogar de forma aleatória e quando restavam poucos palitos
analisavam a jogada. Dessa forma, percebiam que, ao restarem 5 palitos, e,
posteriormente, 9 o jogador que efetuasse a jogada, perderia o jogo, isto é, o 36°
e o 32° deveriam ser evitados para vencer.
Grupo 2 (Jonas e Ricardo contra Gabriela e Erik)
Notamos que este grupo trabalhava de forma mais organizada, pois
dispunha os palitos enfileirados um após o outro sobre uma folha, numeravam de
1 até 40 e escreviam a letra P (perde) abaixo do número 40. Passaram a subtrair
,
36440 =− 32436
=
−
,
28432
=
−
, percebendo que esses números eram
referentes aos palitos que deveriam ser evitados, visto que conduziam à derrota.
Jonas, então, disse:
Qualquer número múltiplo de quatro que alguém retirar, já perde.
A partir daí o grupo jogou somente uma vez e notou que estava certo. Por
isso, não queiria mais jogar. Sabiam desde a primeira retirada quem seria o
vencedor ou o perdedor.
Fazendo referência à Teoria das Situações Didáticas, notamos que esse
grupo formulou uma estratégia e colocou-a em teste. Podemos dizer que
114
passaram pela fase de formulação e validação, como pararam de jogar,
aguardaram o momento da institucionalização.
Grupo 3 (Maurício e Kelvin contra Samuel e Lucas
No inicio desta atividade, trocamos Lucas por Daniela.
Este grupo também resolveu numerar uma folha com números de 1 até 40
e colocar os palitos abaixo de cada número. O grupo joga aleatoriamente e
percebe assim como na atividade anterior, quando sobram 5 palitos, o jogador
que for retirar, perde o jogo.
Kelvin desde o início joga complementando as jogadas de seu adversário
de modo que a soma dos palitos de seu oponente com a retirada de seus palitos
resulte 4 palitos. Deste modo, percebeu que acabou deixando 4 palitos para seu
adversário e, assim, se deu conta que sua estratégia não o fazia vencer.
Neste momento, os grupos já haviam trabalhado com a situação dessa
atividade o tempo que julgamos suficiente. Assim, fizemos fazer uma intervenção
coletiva para tentar que os grupos trocassem ideia entre eles e pudessem avaliar
as estratégias de seus pares e, dessa forma fazer suas escolhas futuras.
Perguntamos aos alunos porque nesta atividade e na atividade anterior
eles montaram blocos de 4 em 4 palitos?
O grupo 2 respondeu:
Com blocos de 4 palitos, poderiam fazer com que os adversários
pegassem os palitos que a gente quer que eles peguem. Também
achamos que 4 é a soma da quantidade mínima com a máxima
(de palitos).
Perguntamos, também, o que eles achavam que tinha a ver a soma da
quantidade mínima com a máxima? O aluno Jonas respondeu:
Nas duas primeiras atividades, eram formados blocos de 3 palitos
e a soma da retirada mínima (1 palito) com a retirada máxima (2
palitos) resultavam 3 (palitos). Nesta atividade formamos blocos
de 4 em 4 palitos e a quantidade mínima é 1 e a máxima são 3
palitos. 1 + 3 = 4.
115
Explicamos que nessa atividade, daria para montar 10 blocos de 4 palitos,
pois
.
)10440(40104 =÷=×
Como o resto da divisão de 40 por 4 é zero, perguntamos com quantos
palitos devemos iniciar o jogo?
O aluno Jonas olha suas anotações e responde:
E se desmanchar um bloco de 4 palitos? Aí a gente teria 9 blocos
de 4 palitos, e dos 4 que sobraram, 1 palito fica para a última
rodada, e eu posso sair com 3 palitos.
Perguntamos a este aluno se ele achava que isso daria certo e ele
respondeu:
Acho que sim. Se a gente sair com 3 palitos, eles vão pegar o
quarto palito, depois o oitavo e aí, fazendo blocos de 4 em 4
faremos eles pagarem todos os palitos que ”perdem” o jogo.
Mostramos o raciocínio de Jonas na lousa para ver se era possível fazer
como ele disse e o esquema que ele fez está representado na Figura 31.
Figura 31: Esquema montado pelo estudante Jonas para a atividade 4
1 5 10 15 20 25 30 35 40
P P P P P P P P P P
3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1
Palitos
palito
para para
começar o final
Na lousa, fizemos a divisão referente à representação do aluno Jonas, pois
nosso objetivo era trabalhar com o Algoritmo da Divisão. A Figura 32 ilustra a
situação. Perguntamos aos estudantes pela validade da divisão efetuada.
40
– 36
9
4
1
p
ara o final
3
p
ara come
ç
a
r
4
Figura 32: Representação da
divisão da atividade 4 durante a
oficina
116
Alguns alunos responderam que estava correto, outros, no entanto, falaram
que estava errado. Um dos alunos argumentou que tirando a prova real daria
certo, porém outro retrucou que o resultado dessa divisão seria 10. Discutimos as
respostas dos alunos, pontuando que o resto de uma divisão deve ser menor que
o divisor e que a situação apresentada ilustraria a estratégia de Jonas, isto é, se o
resultado da divisão do número 40 pelo número 4 é 10, entendemos que esse 10
representa 10 grupos de 4 e que podemos separar 9 desses grupos e trabalhar
com um deles à parte (1 palito será para a retirada final e os outros 3 para a
retirada inicial).
Passamos, então, a discutir a divisão presente nas atividades anteriores,
fazendo referência sempre ao algoritmo. Começamos com a proposta da
atividade 3 (15 palitos podendo retirar no mínimo 1 palito e no máximo 3) e
retomamos a estratégia que um dos grupos descobriu para vencer, ou seja, 2
palitos na saída, seguidos de 3 blocos de 4 palitos e mais 1 palito final, totalizando
15 palitos
(
. A Figura 33 representa essa situação representada
na lousa, usando o princípio de formar blocos de 4 em 4.
)
151432 =+×+
15
3
3
1 para o final 2 para começar
4
Figura 33: Representação da divisão da atividade 3
Perguntamos aos estudantes se existiam vantagens em fazer os cálculos,
com relação ao que eles fizeram com os palitos? Ricardo respondeu:
Se fosse uma quantidade de palitos muito grande, a gente não
teria mais que ficar desenhando os palitos. É só fazer a conta e
depois retirar, de acordo com os resultados.
Todos concordaram com a resposta apresentada pelo colega. A seguir
recapitulamos a atividade 2 (26 palitos podendo retirar no mínimo 1 palito e no
máximo 2), que havia sido apresentada na oficina anterior. Relembramos que na
atividade 2 um dos grupos tinha mencionado que quem retirasse o vigésimo palito
117
perderia, fazendo, assim, 2 grupos de 3 palitos. Ressaltamos que caso
continuassem, descobririam 8 blocos de 3 palitos, além de um palito para o final e
um palito para o início. Então teriam: 1 palito na saída, seguidos de 8 blocos de 3
palitos e mais 1 palito final, totalizando 26 palitos
(
)
261381
=
+
×
+
. Fizemos a
representação via Algoritmo da Divisão na lousa, como na atividade 3.
Por último, retomamos a atividade 1 (17 palitos podendo retirar no mínimo
1 palito e no máximo 2), e lembramos que um dos grupos conseguiu montar 4
blocos de 3 palitos, afirmaram ainda que quem retirasse o quinto palito perderia.
Perguntamos como eles poderiam associar essa atividade ao Algoritmo da
Divisão, várias foram as observações dos estudantes e, no final, concluíram o que
esperávamos, ou seja, 1 palito na saída, seguidos de 5 blocos de 3 palitos e mais
1 palito final, totalizando 17 palitos
(
)
171351
=
+
×
+
. Fizemos a representação
com o Algoritmo da Divisão na lousa.
Ressaltamos que com a execução dos cálculos (Algoritmo da Divisão),
mostramos, também, por meio de figuras (palitos desenhados) quais os palitos
que o jogador ao retirar o levará a perder, e os alunos puderam constatar nesse
procedimento qual a estratégia vencedora para o jogo.
Quinta atividade
Com 45 palitos e podendo retirar de 1 até 6 palitos, jogando
alternadamente, quem retirar o último palito perde.
Como na atividade anterior, temos uma quantidade de palitos que
acreditamos não ser de fácil manipulação, assim, esperamos que o objeto
matemático institucionalizado na atividade anterior, possa ser usado para resolver
essa situação-problema. Portanto, temos uma atividade de familiarização, ou seja,
esperamos que os alunos não joguem de forma aleatória. Logo, esperamos que
os alunos reconheçam o 7 como divisor, podendo alguns ainda pensarem que o
divisor é 6.
118
Com base no pré-teste, observamos alguns erros relativos ao domínio da
tabuada, esperamos algumas dificuldades ao efetuar o cálculo com o divisor 7. Na
Figura 34 apresentamos a disposição dos palitos e destacamos aqueles que
levam à derrota o jogador que os retirar.
Figura 34: Agrupamentos de palitos da atividade 5
A figura 34 ilustra a estratégia máxima que leva o jogador a vencer, isto é,
mostra o Algoritmo da Divisão no qual se espera que o estudante estruture e
efetue suas jogadas
7
03
6
45
1 5 10 15 20 25 30 35 40 45
P P P P P P P
+ 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7
1 palito para a última jogada.
2 palitos para a jogada inicial.
Figura 35: Estratégia máxima para a atividade 5
Nesta atividade, o aluno deverá saber que para vencer, precisará retirar o
penúltimo palito. Assim, o jogador que iniciar o jogo com dois palitos e a partir da
jogada de seu adversário complementá-la com sua jogada, agrupando-a de 7 em
7 palitos. Neste caso, a vitória também é assegurada ao jogador que inicia a
partida, desde que ele conheça a estratégia máxima
(
)
451762 =
+
×
+
.
Análise a posteriori da atividade 5
Começamos essa oficina retomando alguns pontos que foram discutidos
nas atividades anteriores, sobretudo, os que se referem à estratégia vencedora e
ao Algoritmo da Divisão. Fomos à lousa e fizemos a resolução das atividades 3 e
4, como a representação dos palitos seguida dos cálculos.
119
Grupo 1: Aurélio e Bruno contra Daniela e Carolina.
Aurélio diz a Bruno que deve deixar 7 palitos para o final, para que a dupla
adversária faça a retirada e perca o jogo. Nas primeiras jogadas, os alunos jogam
aleatoriamente até sobrarem apenas 7 palitos para o final. Quando faltam 11
palitos para serem retirados, Aurélio retira 4 palitos, afinal ele acredita que ao
restarem 7 palitos, ele ganhará a partida. Daniela retira 6 palitos fazendo com que
a dupla adversária perca o jogo. Aurélio e Bruno deram conta que a quantidade
correta a ser deixada para seus adversários seja de 8 e não 7 palitos.
Destacamos ainda que esse grupo em alguns momentos mostrou-se
desinteressado pelas atividades desenvolvidas, notamos, inclusive, que a dupla
Daniela e Carolina burlava as regras, retirando mais palitos que o estipulado pelas
regras do jogo, o que segundo Grando (2004b) ocorre com alguns alunos em
atividades com jogos.
No decorrer das atividades apresentadas os avanços foram poucos, ou
seja, o grupo jogava da mesma forma quando o jogo lhes foi apresentado
(jogavam de forma aleatória).
Grupo 2: Jonas e Ricardo contra Gabriela e Erik.
Jonas espanta-se com a quantidade de palitos máxima a ser retirada, pois
acha um número muito “alto”. Como constatamos em sua fala:
Nossa! Pode tirar até 6? Tudo isso?
Nas primeiras partidas, as duplas “lideradas” por Jonas de um lado e Erik
do outro lado, jogam aleatoriamente, mas após algumas partidas, questionamos o
grupo qual a quantidade de palitos necessária para que um jogador inicie o jogo e
vença?
Ricardo diz que deve fazer 45 ÷ 6. Já Jonas discorda e diz que o correto é
45 ÷ 7. Pedimos, então, que eles discutissem e juntos chegassem a uma
conclusão. Após algumas simulações feitas pelo grupo, chegaram à conclusão de
que Jonas estava certo. Então, fazem a divisão utilizando o método dos múltiplos
120
do divisor. Enquanto Jonas monta o Algoritmo da Divisão, Gabriela e Erik fazem a
tabuada do 7 que ficou representada na Figura 36.
Figura 36: Divisão da dupla Jonas e Ricardo.
Por meio deste raciocínio, o grupo concluiu que deve deixar um para a
partida final e 2 para começar o jogo. Observamos que a aluna Gabriela, ao
construir a tabuada do 7, contava nos dedos somando 7 a cada valor obtido.
Assim, constatamos que a aluna não tem a tabuada memorizada, mas sabe como
chegar aos valores corretos. Percebemos que, às vezes, este grupo atrapalhava-
se ao retirar os palitos em grupos de 7, para resolver o problema, sempre que a
dupla adversária retirava uma quantidade de palitos, eles colocavam esses palitos
em um canto da mesa ao alcance da vista da dupla adversária para que pudesse
contar e constatar quantos palitos foram retirados e quantos ainda precisariam
retirar. De certo modo, esta atitude nos surpreendeu pelo fato do grupo
compartilhar suas estratégias, deixando-as a vista dos outros, inferimos que
estavam preocupados na construção coletiva da estratégia vencedora e, assim,
avançarem nos conhecimentos sobre divisão.
Grupo 3: Vagner e Maurício contra Lucas, Samuel e Kelvin.
Os integrantes desse grupo também não utilizaram a estratégia que foi
discutida e jogaram de forma aleatória, até restar quase 10 palitos. Então,
começaram a contar e a analisar como jogar. Desta forma, perceberam que quem
realizasse a jogada quando faltarem 8 palitos, perderiam o jogo.
Samuel menciona que devem ser feitos agrupamentos de 7 em 7 palitos,
mas não os associa ao Algoritmo da Divisão. Após algumas jogadas, Samuel se
121
contradiz e diz que os grupos devem ser de 6 em 6 palitos. Pedimos ao trio
(Lucas, Samuel e Kelvin) para conversarem entre si e tentarem chegar a uma
conclusão sobre os agrupamentos e, também, quanto à forma de vencer quando
começarem. Eles conversam e observam algumas anotações e concluem que são
agrupamentos de 7 em 7 palitos.
Lucas diz que sabe como vencer e para tanto quer que joguemos contra
ele, a fim de mostrar, que realmente “entendeu”. Perguntamos se ele gostaria de
começar a partida. Ele não acha necessário, então, nós começamos. Segue o
esquema das jogadas, em que F significa formador e L o estudante Lucas, na
Figura 37.
P P P P P P P
F L F L F L F L F L F L F L
Quando realizou essa jogada,
Lucas, percebeu que havia
perdido o jogo.
Figura 37: Simulação da jogada do formador com o estudante Lucas na atividade 5
Na atividade 5, a vitória é assegurada para quem começa jogando. O fato
de Lucas nos permitir iniciar a partida já mostra que ele estava equivocado quanto
à sua estratégia. Quando realizou sua última jogada, o estudante deu-se conta de
que havia perdido. A letra P em cima de alguns palitos, indica que tais palitos ao
serem retirados pelo jogador, representam a perda do jogo, caso a adversário
saiba jogar. Estes palitos são descobertos quando de utiliza a estratégia máxima
ou quando faz o raciocínio de trás para frente. Percebemos que o grupo 3 e
Lucas, em especial, insistiam em uma estratégia que se mostrou errada desde a
atividade 1. A estratégia desse aluno era sempre montar grupos de 7. Ao
restarem 8 palitos para serem retirados, o estudante finalmente deu-se conta de
que essa estratégia era falha.
Jonas do grupo 2 pergunta se pode jogar conosco, para mostrar como fez.
Escrevemos na lousa a representação dos “palitos” o seguinte diálogo
ocorreu entre o formador (F) e o aluno Jonas (J):
122
F: Quem começa? Eu ou você?
J: Se eu começar, eu ganho, e se você começar, por conhecer o
jogo, você também irá ganhar.
F: Ok!. Então, você começa.
J: Começo com 2.
F: Eu tiro 1.
J: (Contando nos dedos) Tiro 6.
F: Tiro 3.
J: Então, eu tiro 4.
F: Tiro 1 palito.
J: Tiro 6 de novo.
F: Quatro palitos.
J: 3.
F: Agora tiro 2.
J: Eu tiro 5 palitos.
F: Tiro só 1 palito.
J: Agora eu tiro 6! Perdeu.
F: Como você sabia como ganhar?
J: Eu peguei o total de palitos e dividi por 7, que é a soma da
quantidade mínima com a quantidade máxima de palitos que
podem ser retirados. Então, ficou:
45
3
6
7
J: Como eu sabia que tinha de deixar um palito para a última
rodada, então, dos 3 palitos que ficam no resto, eu comecei com
2.
Notamos que este aluno construiu bem a estratégia máxima, pois fez toda
a associação que esperávamos, logo está em condições de avançar e ser
desafiado por divisões com números maiores, nas quais elas aparecem como
uma estratégia para vencer o jogo. É o que faremos nas próximas atividades.
Sexta atividade
Com 51 palitos e podendo retirar no mínimo 1 palito e no máximo 4, jogando
alternadamente, aquele que retirar o último palito será o perdedor.
Nas cinco primeiras atividades, sempre era possível sair e garantir a vitória.
Nesta atividade, ser o primeiro a jogar, pode significar perder, caso o adversário
123
conheça a estratégia máxima. Assim, temos mais uma atividade de familiarização,
o diferencial do vencedor ser aquele que não começa jogando.
Pode ser que alguns alunos já comecem pelo Algoritmo da Divisão, e a
apresente alguma dificuldade na interpretação do resto. Outros, no entanto,
poderão alinhar os palitos e analisarem os procedimentos de trás pra frente.
Os estudantes que optarem iniciar pelo Algoritmo da Divisão, poderão
utilizar os palitos para verificarem como deverão proceder, uma vez que o resto
da divisão é 1 e tal situação ainda não havia ocorrido nas atividades anteriores.
Esperávamos que os estudantes soubessem que 1 palito era para a última
retirada, mas poderão apresentar dúvidas no que diz respeito a quantos palitos
serão necessários retirar inicialmente para ganhar. Inferimos que a ideia de quem
começar perde, não ficou clara aos alunos, pois a situação é nova.
Deste modo, esperamos que os estudantes discutam entre si e possam
chegar à conclusão de que a dupla que sair, não lhe será garantida a vitória.
Neste caso, ele ficará a espera de um “erro” de seu oponente.
Análise a posteriori da atividade 6
As duplas de todos os grupos continuaram as mesmas da atividade 5, pois
nesse dia não julgamos necessário realizar a troca de componentes.
Grupo 1.
As duplas não fazem qualquer menção ao uso do Algoritmo da Divisão,
adotando a estratégia da primeira atividade, isto é, tentam chegar a um valor
próximo do final. Assim, quando faltam poucos palitos para terminar o jogo,
analisam o que poderá acontecer nas próximas retiradas. Percebemos que este
grupo, mesmo após a institucionalização e socialização das estratégias utilizadas
pelas duplas, ainda insistem em começar a jogar sem uma análise prévia (via
Algoritmo da Divisão).
124
Grupo 2.
Este grupo utilizou o Algoritmo da Divisão logo no começo, mesmo antes
de alinhar os palitos (como estava previsto na análise a priori), conforme a Figura
38. Segue também um questionamento de um dos integrantes das duplas.
Figura 38: Estratégia máxima apresentada pelo grupo 2
Jonas nos perguntou:
Com quantos palitos, eu devo sair para ganhar? Sei que eu devo
fazer blocos de 5 em 5 e, também, sei que terei de deixar um para
o final do jogo, mas não sei como ganhar se eu sair?
Sugerimos, então, que o grupo utilizasse os palitos para constatarem o
que dizia o Jonas e, assim, em conjunto pudessem discutir a respeito dos
questionamentos levantados por ele.
Após alguns minutos, o grupo nos entregou o esquema da Figura 39.
Figura 39: Esquema da atividade 6 apresentado pelo grupo 2.
O grupo concluiu que o jogador que retirasse o primeiro palito, perderia, ou
seja, não estava assegurada a vitória à dupla que iniciasse a jogar.
125
Os alunos Jonas e Erik buscavam compreender e fazer uso da estratégia
vencedora e não “somente” vencer o jogo. Após a conclusão, o grupo não jogou
mais, uma vez que já sabia quem seria o vencedor.
Grupo 3
As duplas desse grupo continuaram fazendo agrupamentos de 5 em 5,
desde o início e perceberam a dupla que iniciou o jogo, perdeu. A estratégia
estava parcialmente correta, porém faltava saber com quantos palitos começar
para agregar a estratégia que o grupo vinha insistindo no jogo. O grupo insistiu
nessa estratégia, mesmo após as intervenções que fizemos. Depois de algumas
jogadas, o grupo realizou a divisão por meio de seu algoritmo, porém não sabia o
que fazer com o número 1 (o resto).
Fizemos uma intervenção e discutimos com os grupos todas as estratégias
usadas e apresentamos como o grupo 2 tinha resolvido acertadamente essa
atividade. Escrevemos na lousa a representação dessa estratégia para melhor
compreensão, como mostra a Figura 40. Em seguida, demos início a atividade 7
Figura 40: Estratégia da atividade 6 apresentada durante intervenção.
Sétima atividade
Com 49 palitos e podendo retirar de 1 até 3 palitos, vence o jogador que
retirar o último palito.
Temos mais uma atividade de familiarização, na qual o aluno usará o
Algoritmo da Divisão na busca da estratégia vencedora, porém temos a mudança
de que o vencedor será quem retirar o último palito.
Os alunos poderão montar o Algoritmo da Divisão (Figura 41) podendo não
perceber com quantos palitos deverão sair. Em vista disso, é possível que os
126
1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
P P P P P P P P P P P
estudantes remetam-se ao raciocínio que tiveram nas primeiras atividades,
elaborando suas estratégias de trás para frente. Comparando suas jogadas com o
a divisão efetuada, eles poderão assimilar e compreender melhor a estratégia
vencedora.
4
09
01
12
49
1 palitos para a jogada inicial.
“Nenhum” palito para a última jogada.
Figura 41: Estratégia máxima para atividade 7
Como na atividade anterior, o resto era 1, o jogador que iniciava a partida
perdia o jogo. É possível que alguns alunos apresentem essa estratégia. Pode
ocorrer ainda dos estudantes pensarem que o vencedor é quem não retirar o
último palito, como nas atividades anteriores. No que diz respeito ao contrato
didático, podemos afirmar que houve uma quebra deste, pois nas seis primeiras
atividades, o perdedor era quem retirava o último palito e, nesta atividade, perde
quem não retirar o último palito. A Figura 42 ilustra como se deve proceder para
vencer. Optamos em trocar a letra P (perde) por G (ganha). Os palitos foram
numerados de 5 em 5 para facilitar sua identificação.
1 5 10 15 20 25 30 35 40 45
G G G G G G G G G G G G G
+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
Figura 42: Agrupamento da atividade 7
Nesta atividade, tínhamos como hipótese que a maioria dos estudantes já
utilizaria o Algoritmo da Divisão para buscar a estratégia vencedora, podendo
encontrar dificuldades para determinar o valor do divisor, para efetuar a divisão ou
até mesmo para interpretar o resultado obtido no resto dessa divisão.
127
Análise a posteriori da atividade 7
Inicialmente, destacamos que os alunos estavam tão acostumados com o
contrato didático vigente (perde quem retira o último palito), que começaram a
resolução da atividade sem uma leitura cuidadosa. Pontuamos ainda que uma
das duplas relatou em voz alta que percebeu a diferença entre essa atividade e as
outras, passaremos a relatar esses episódios.
Grupo 1
Da mesma forma que, nas atividades anteriores, este grupo não utiliza o
Algoritmo da Divisão, jogando, segundo a regra antiga, perde quem retirar o
último palito. Após algumas jogadas, pedimos ao grupo para que relessem a
atividade 7. Aurélio percebeu, então, que deveriam restar 6 palitos para que a
dupla adversária perdesse. Mas notamos que a estratégia de deixar 6 palitos no
final, mostrou um envolvimento com o jogo, pois, assim, poderia vencer.
Grupo 2.
O aluno Jonas comenta com os integrantes do grupo que o jogador que
retirar o último palito será o vencedor e não o perdedor e, assim, não deve utilizar
a mesma estratégia de antes. O grupo efetua a divisão fazendo uso do algoritmo,
conforme a figura 43.
Figura 43: Representação da atividade 7 pelo grupo 2
128
A partir da estratégia montada, os alunos alinharam os palitos e
começaram a jogar. Jonas disse para Ricardo que bastava sair com 2 palitos e, a
partir daí, era só fazer grupos de 5 palitos e, assim, eles ganhariam. Assim o
fizeram. Começaram a jogar, Ricardo e Jonas perderam o jogo com a estratégia
que julgavam estar correta. Conferiram o cálculo e Ricardo relatou:
Sei onde está o erro. Aqui (aponta para onde está escrito 2 para o
final) não são 2 palitos para o final, mas sim “nenhum” (zero). Tem
que sair com os 4 palitos, e completar de cinco em cinco. Aí
pegaremos o último palito.
O grupo concorda com a opinião do aluno Ricardo. Começa a jogar, e o
aluno Jonas deixa-o sair.
Segue o diálogo entre o formador (F) e Jonas (J).
F: É o Ricardo que vai começar o jogo?
J: Sim, é ele.
F: Se ele sair, quem vai ganhar o jogo, segundo a estratégia que
vocês desenvolveram?
J: O Ricardo mesmo vai ganhar.
F: Se sabe que ele vai ganhar, por que você permite que ele saia
mesmo sabendo que você vai perder?
J: Não tem problema. Para mim, o mais importante é que eu
entendi como jogar e agora, vencer é uma consequência.
De acordo com a Teoria das Situações Didáticas, notamos que o aluno
Jonas deparou-se com o problema, formulou uma conjectura, discutiu com seus
pares e validou-a. O que estava em jogo, não era o ganhar e perder e sim a
validação da estratégia vencedora.
Grupo 3
Notamos que o grupo iniciou a resolução da atividade, utilizando-se do
Algoritmo da Divisão, (Figura 44), porém, como esperávamos com a análise a
priori, não interpretaram o problema corretamente (contrato didático), ou seja, o
resto da divisão foi interpretado da mesma forma que nas atividades anteriores.
129
Figura 44: Representação da atividade 7 pelo grupo 3
Pedimos ao grupo para que demonstrarem sua estratégia ou se gostariam
de jogar conosco. Eles responderam que gostariam de jogar, acreditamos que tal
atitude estava fundamentada na análise prévia da estratégia que tinham
realizado. O formador foi à lousa, desenhou os palitos e passaram a jogar. Segue
o esquema das jogadas do formador (F) com os integrantes (X) do grupo 3,
conforme a Figura 45, este grupo jogou.
1 5 10 15 20 25 30 35 40 45
X F X F X F X F X F X F X F X F X F X F
Figura 45: Simulação da atividade 7 – formador jogando com o grupo 3
O grupo ficou feliz por ter “vencido”, porém pedimos ao grupo que lessem a
atividade 7 com atenção. Lucas diz:
Caramba, agora que a gente entendeu, perdemos por falta de
atenção.
Fizemos uma intervenção final, para discutir as estratégias dos grupos,
objetivando a troca de informações entre eles. Os integrantes do grupo 2
prontificaram-se a mostrar como executaram essa atividade. Na Figura 46 o
formador é representado por F e o grupo 2 de estudantes por Y.
1 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Y F Y F Y F Y F Y F Y F Y F Y F Y F Y
Figura 46: Simulação da atividade 7 - formador jogando com o grupo 2.
130
Destacamos que o grupo 1 estava preocupado apenas em ganhar, poucas
vezes, buscaram algum tipo de estratégia para vencer. O grupo 2 realmente
compreendeu como funciona o jogo do NIM, pois seus integrantes, buscaram
sempre uma forma de chegar à estratégia vencedora. Ilustramos esse fato com o
diálogo entre o formador (F) e o aluno Jonas (J), ao término da oficina:
J: Agora vou jogar com a minha irmã e vou ganhar todas (as
partidas) dela.
F: Quantos anos ela tem?
J: Sei lá. Mas ela está no colegial.
F: Você vai realmente saber ganhar dela?
J: Vai ser fácil! É só eu fazer as contas, ver com quantos (palitos),
eu tenho que sair e pronto. Ganho tranquilamente.
Por outro lado, o grupo 3 que, em geral, não vinha atacando as atividades
por meio do Algoritmo da Divisão, começou essa atividade dessa forma. Apesar
do grupo não ter lido a atividade com a devida atenção, pontuamos o quão foi
positivo começarem buscando uma estratégia (via a divisão) de vencer. Como já
relatamos, se não tivesse ocorrido essa quebra de contrato didático o grupo teria
desenvolvido a estratégia máxima a contento.
4.5 Segunda parte
A partir de agora, esperamos que o aluno seja capaz de desenvolver a
estratégia máxima, utilizando o Algoritmo da Divisão. Queremos saber se ele
saberá a quantidade de palitos que será retirada e quantos palitos devem ser
retirados na primeira jogada. Mas o que diferenciará esta atividade das anteriores
é que a quantidade de palitos será um valor ainda maior e não tendo a
possibilidade de dispor dos palitos. Queremos constatar se, quando os alunos não
dispuserem de materiais manipulativos, os palitos, se eles terão sucesso
trabalhando de maneira abstrata. Em alguns dos itens, será dado o próprio
Algoritmo da Divisão.
Nas atividades que seguem, acreditamos que alguns alunos poderão fazer
desenhos, tentando visualizar os palitos e, desta forma, perceber como nas
atividades anteriores, agrupando os palitos desenhados, verificando os palitos
131
que sobram e separando-os de tal forma a ter um palito para a última rodada e o
restante para a primeira rodada. Outros alunos, porém, poderão recorrer de
imediato ao Algoritmo da Divisão.
Nas atividades a seguir, faremos as seguintes perguntas aos estudantes:
Com quantos palitos, você deverá sair para ser o vencedor?
Quantos “grupos” deverão montar (sem contar a primeira e a última
jogada) para ser o vencedor?
Com essa perguntas, verificaremos se o aluno associa o jogo ao Algoritmo
da Divisão, destacando o quociente, o divisor e o resto e, assim, desenvolver a
estratégia máxima.
Oitava atividade
Tendo 672 palitos, jogando alternadamente e podendo retirar o mínimo o de
1 palito e o máximo de 5 palitos, o perdedor será aquele que retirar o último
palito. Com quantos palitos deve-se iniciar para que se ganhe o jogo?
Explique sua estratégia.
A Figura 47 ilustra a representação da estratégia máxima.
6
07
12
00
112
672
Resto zero.
Figura 47: Algoritmo da Divisão da atividade 8
Escolhemos o dividendo 672 e o divisor 6, de modo que o aluno não
recorresse aos agrupamentos com “pauzinhos”, daí esperamos que os estudantes
optem por usar o Algoritmo da Divisão e cheguem à resposta correta no
quociente.
132
Os alunos podem apresentar dificuldades em saber com quantos palitos
devem sair para vencer, visto que o resto é zero. Se for o caso, retomaremos a
atividade 4, para que os estudantes recordem como proceder no jogo quando se
deparam com o resto zero. Esperamos que o aluno entenda que ele pode ter 111
grupos de 6 palitos e mais 6 palitos
)66111672(
+
×
=
, assim serão retirados 5
palitos na jogada inicial e sobrará 1 para a jogada final.
Além disso, para alguns alunos a institucionalização realizada antes pode
ter sido feita antecipadamente, cabendo alguns momentos de institucionalização
local, em situações do tipo: na decisão se o divisor é 5 ou 6, como também em
alguns erros com relação à divisão ao se usar seu algoritmo – como os
mencionados por Gregolin (2002), sobretudo com respeito a multiplicação.
Análise a posteriori da atividade 8
Antes de distribuirmos a atividade 8, retomamos os resultados principais
dos encontros passados, para tal rediscutimos a atividade 2 (26 palitos podendo
retirar no mínimo 1 e no máximo 2). Percebemos que os estudantes tinham uma
grande dificuldade com relação à multiplicação e à divisão, pois ao fazermos (com
eles) o cálculo na lousa e perguntarmos: quanto é 26 dividido por 3? Os
estudantes demoravam a responder e quando davam a resposta, na maioria das
vezes, eram valores errados. Aguardávamos pela resposta correta. Quando
finalmente davam a resposta correta, deparávamos-nos com outra dificuldade dos
alunos. “Quanto é 8 vezes 3”? Tinha-se uma variedade de respostas. Relemos e
refizemos todos os cálculos das atividades anteriores com eles.
Para esta última oficina, vieram 8 estudantes. Formamos dois grupos de 4
alunos. Após a montagem dos grupos, entregamos a atividade 8.
Grupo 1. Uma dupla formada por Gabriela e Ricardo e a outra por Erik e
Jonas.
No início, o grupo mostrou-se indeciso se a divisão seria por 5 ou por 6 e,
até mesmo, fez a divisão com divisor 5 e depois com divisor 6. Revendo as
133
anotações das atividades anteriores chegaram a um comum acordo de que a
divisão correta era por 6 e não por 5. O grupo, então, teria de analisar o resto da
divisão para poder saber com quantos palitos saíria. Erik e Jonas fizeram a
divisão sem grandes dificuldades, mas a dupla Gabriela e Ricardo apresentou
dificuldade. Passaram a construir a tabuada do 5 e, assim, chegaram mesma
resposta da outra dupla. Perguntamos se a divisão estava mesmo correta, e a
dupla mostrou-se insegura. Sugerimos que fizessem a prova real. Após a prova
real, a dupla constatou que tinha acertado a divisão.
Por ter resto zero, o grupo mostrou-se confuso com relação qual seria a
estratégia vencedora. Como previsto, fizemos uma institucionalização local da
atividade 4, na qual aparecia o resto zero. O aluno Jonas relata:
É mesmo! É só desmontar um bloco de 6 palitos e aí fica tudo
certo.
Resumimos o que o grupo 1 fez em termos de cálculo com a Figura 48.
672
07
12
6
111
6
672
07
12
0
112
6
5 para o começo
1 para o final
Figura 48: Estratégia do grupo 1 para a atividade 8
Jonas escreveu sua estratégia sem a ajuda de Erik, notamos um pouco de
confusão ao usar termos matemáticos “mais rigorosos”. Aconselhamos o
estudante a escrever em uma linguagem mais simples. Desta forma, o estudante
conseguiu explicar sua estratégia. Pedimos ao aluno que discutisse com seu
grupo e se todos concordavam com a estratégia que tinham escrito. O grupo
ouviu e aceitou bem o argumento mostrado pelo colega. A resposta escrita por
Jonas encontra-se na Figura 49.
134
Figura 49: Estratégia apresentada por Jonas na atividade 8
Grupo 2. As duplas eram: Carolina e Paulo e a outra dupla Lucas e Kelvin.
Lucas entendeu como associar o enunciado da atividade ao Algoritmo da
Divisão, mas errou na hora de efetuar o cálculo, já que apresentava grande
dificuldade com a tabuada. Paulo e Carolina não sabiam o que é preciso fazer
para começar a atividade. Acreditamos que a dificuldade de Paulo devia-se ao
fato dele ter faltado duas das oficinas. Por outro lado, acreditamos que a
dificuldade de Carolina a associar os dados do enunciado ao Algoritmo da Divisão
está relacionada com a falta de interesse que a estudante demonstrou nas
atividades das oficinas anteriores, podemos afirmar que o jogo não a motivou.
Explicamos individualmente e a estudante Carolina disse que entendeu o que
deveria ser feito, mas também apresentou dificuldades na hora de fazer a divisão,
pois a dificuldade com a tabuada era grande.
Lucas e Paulo com muito esforço chegaram ao resultado correto da
divisão.
Ao intervirmos para a socialização das respostas, explicitamos na lousa os
métodos curto e longo do Algoritmo da Divisão, visto que os alunos utilizaram
esses dois métodos. Fizemos também a interpretação do resto.
Também efetuamos a prova real (valor do quociente multiplicado pelo valor
do divisor somado com o resto é igual ao dividendo), explicitamos para os alunos
que essa era uma forma de verificar se erraram ou acertaram a divisão.
Destacamos ainda o cuidado que se deve ter ao tirar a prova real, pois erros na
multiplicação e adição podem acarretar julgar um resultado correto como errado.
Por esse motivo, é necessário ter muita atenção ao realizar as operações de
multiplicação e adição, além de dominar a tabuada.
135
Nona atividade
Jogando alternadamente e podendo retirar o mínimo de 1 palito e o máximo
de 11 palitos num total de 789 palitos e sabendo que quem retirar o último
palito será decretado o perdedor. Com quantos palitos deve começar para
que se vença o jogo?
Nesta atividade, queremos saber como o aluno age quando encontra uma
divisão com dois algarismos no divisor. O método longo do Algoritmo da Divisão
está representado na Figura 50, mas os alunos podem usar outros métodos,
como o curto ou o das subtrações sucessivas.
12
789
–
7
2
65
69
– 60
09
1 palito para a última jogada
8 palitos para a jogada inicial.
Figura 50: Estratégia máxima da atividade 9
A partir desta atividade, esperamos que os alunos saibam a quantidade de
blocos a serem formados para montar o Algoritmo da Divisão. É possível que
estudantes tenham dificuldade para resolver a divisão e apareçam os erros
mencionados por Gregolin (2002), ou os erros similares ao pré-teste ou mesmo
“novos” tipos de erros.
Análise a posteriori da atividade 9
Grupo 1
Este grupo realizou a divisão pelo método do múltiplo do divisor, da mesma
maneira que fizeram nas atividades anteriores, conforme a Figura 51.
136
Figura 51: Representação do grupo 1 na atividade 9
Após construírem a “tabuada do 12”, as duplas resolveram com facilidade a
divisão por meio de seu algoritmo e cada dupla escreveu a estratégia de maneira
similar. Ricardo escreveu o que consta na Figura 52.
Figura 52: Estratégia de Ricardo para a atividade 9
Grupo 2
Paulo, Carolina e Lucas iniciam a montagem do Algoritmo da Divisão
corretamente, chegando ao divisor 12. Inferimos que conseguiram associar este
algoritmo com o jogo do NIM.
Carolina não avança com a divisão. A aluna tem muita dificuldade em
multiplicar, pois como já relatamos não domina a tabuada. Percebemos, dessa
forma, como é forte quando Gregolin (2002) menciona que a dificuldade na
multiplicação compromete o ensino da divisão.
137
Apesar da dificuldade inicial, Paulo e Lucas conseguem juntos efetuar a
divisão, mas se confundem na hora de fazer a prova real, não sabendo qual
número será multiplicado e qual será somado. A Figura 53 ilustra como Lucas
realizou a prova real.
Figura 53: Prova real apresentada por Lucas na atividade 9
O erro apresentado por Lucas mostra que tem dificuldades com o algoritmo
da multiplicação, pois ao multiplicar ”1” vezes 789, o estudante não se dá conta
de que este “1” na realidade é 10. Após a explicação para o grupo, a dupla
conseguiu entender como fazer a prova real.
O estudante Paulo utiliza a estratégia de contar, usando os “pauzinhos”
como mostra a Figura 54. Sua estratégia é similar à do grupo 1, mas com uma
notação diferente. Pudemos perceber que o estudante fez seis linhas de 12
palitos e que a sétima linha está incompleta, pois 7 vezes 12 é maior que 78. O
aluno usou o mesmo tipo de raciocínio aos demais divisores. Embora seja muita
mais trabalhosa, essa notação fez com que o estudante acertasse a divisão.
Figura 54: Representação da estratégia adotada pelo estudante Paulo para resolver a atividade 9
138
Na socialização das estratégias vencedoras apresentadas pelas duplas,
efetuamos na lousa a divisão pelo método longo, seguido da prova real. No
entanto, Jonas nos questionou como ficaria a divisão feita pelo método curto.
Efetuamos a divisão também por esse método para atender ao aluno Jonas.
Ressaltamos ainda que durante as intervenções para socialização das
respostas, efetuávamos as divisões de modo interativo, de maneira que os alunos
participassem do processo de obtenção das respostas.
Décima atividade
Resolva as seguintes divisões:
a) 2172 ÷ 9 =
b) 4715 ÷ 26 =
c) 2584 ÷ 31 =
Tendo como meta nosso objetivo principal que é ampliar e/ou construir
conhecimentos sobre o do Algoritmo da Divisão utilizando o jogo do NIM.
Propusemos essa atividade para perceber como uma atividade sem o viés do
jogo é realizada pelos alunos, uma vez que o objeto matemático em questão
(divisão com seu algoritmo) precisa ser descontextualizado a fim de que possa
ser usado em outros contextos além do jogo.
Optamos por propor operações de divisão com números formados por um
e dois algarismos no divisor (divisão que, em geral, aparece na qual na escola
básica de ser efetuada sem o uso de calculadora). Optamos por escolher os
números, nos quais segundo o pré-teste realizado, ocorreu um número
significativo de erros. Nesse sentido, pretendemos verificar como o aluno ampliou
os conhecimentos sobre a divisão em relação ao que ele dispunha anteriormente.
Pela a dificuldade com a adição e multiplicação que detectamos no pré-
teste, acreditamos que a maior dificuldade será com os itens b) e c), porém
esperamos que alguns alunos consigam resolvê-los totalmente ou que enfrentem
de maneira positiva a situação, ou seja, tentem realizar a divisão para que
139
possamos compreender o que o faz errar. Assim, esperamos por alguns erros
iguais aos que surgiram no pré-teste.
No que diz respeito aos métodos, esperamos que os alunos utilizem
métodos longos e curtos (os que mais apareceram no pré-teste), para efetuarem
as divisões apresentadas nessa atividade.
Análise a posteriori da atividade 10
O propósito desta atividade era basicamente efetuar divisões. Percebemos
que mesmo os integrantes do grupo 1 que realizaram as atividades 8 e 9, com
certa facilidade, apresentaram algumas dificuldades para realizar essas divisões.
Pode ser que tais dificuldades apareceram por questão da descontextualização
da atividade proposta, pois como relatamos na análise a priori precisávamos sair
do cenário do jogo. Castela (2005) ao realizar um trabalho com um grupo de
estudantes, concluiu em sua pesquisa que os alunos acertaram mais os
exercícios contextualizados que os similares descontextualizados já tinha
acenado para essa possibilidade. O grupo 2 continuou tendo dificuldade
sobretudo com a tabuada.
Durante a entrega desta atividade, Jonas (grupo 1) disse:
Não precisa fazer nada? Só as continhas?
Nesta fala, percebemos que a descontextualização da atividade gerou um
certo desânimo por parte desse estudante. Respondemos que era apenas para
fazer as divisões. Inferimos que fazer as ”continhas”, não era algo que a motivava
ou que a fazia sentir desafiado, contudo ele se empenhou para resolver a
atividade.
Percebemos que esse grupo apresentou maior dificuldade no item c). Os
integrantes do grupo faziam sempre pelo método do múltiplo do divisor. Mesmo
avançando, o grupo ainda se perdia em alguns momentos mediante as tabuadas.
A Figura 55 ilustra como a aluna Gabriela fez os cálculos auxiliares para resolver
a divisão, nos quais percebemos alguns erros.
140
Figura 55: Cálculos auxiliares da estudante Gabriela na resolução do item b) da atividade 11
A estudante faz suas multiplicações por soma sucessiva, como uma forma
de auxiliar na resolução da multiplicação que, por sua vez, é um cálculo auxiliar
para resolver a divisão. Toda essa estrutura acaba por conter falhas, levando-a ao
erro. O problema da soma sucessiva é que ao errar uma das somas, as demais
também são comprometidas. Ao escrever
42226
=
×
, a estudante errou os
outros fatores e, por consequência a divisão também pois ao invés de somar
, fez . Após esses erros, os demais múltiplos estavam
comprometidos. Percebemos erros similares aos relatos cometidos pela mesma
aluna no item c). Problemas relacionados com adição para resolver divisões já
foram mencionados por Gregolin (2002), no qual o autor também alega
dificuldades que envolvem a multiplicação, comprometem na compreensão do
Algoritmo da Divisão.
782652 =+ 682642 =+
Erik, Jonas e Ricardo acabaram por descobrir que o resultado estava
errado no momento de fazer a prova real, de tal forma, que ao voltarem à divisão
e, por consequência, a multiplicação, descobriram o erro. Por outro lado, no grupo
2, Lucas e Kelvin resolveram a primeira divisão e queriam saber se acertaram.
Recomendamos que, para ter certeza, deveriam fazer a prova real. Eles fizeram e
constataram que acertaram. Percebemos que esses alunos avançaram em
141
relação à divisão, pois fizeram a prova real para constatar que acertaram e,
também, para voltar à divisão e descobrir o erro cometido.
Nas divisões dos itens b) e c), notamos uma dificuldade maior dos alunos
Lucas e Kelvin, pois o aluno Kelvin ficou apenas tentando copiar do colega a
resolução. Notamos a ausência de diálogos e uma tentativa sem sucesso para
efetuar essas divisões.
Carolina não conseguiu realizar nenhum cálculo corretamente, fazendo
multiplicações ao lado da conta principal. A estudante cometeu erros como o
apresentado na Figura 56. Realizou a estrutura do Algoritmo da Divisão
corretamente, mas errou na multiplicação e/ou na soma.
Figura 56: Erro cometido pela estudante Carolina no item c) da atividade 11
Fizemos uma intervenção coletiva, resolvendo com os participantes as
divisões por meio de seu algoritmo, além de efetuarmos a prova real.
Ressaltamos que a participação dos estudantes nesse processo deu-se de
maneira satisfatória, eles respondiam aos questionamentos feitos pelo formador,
além de se empenharem em dar a resposta mais acertada.
Mais uma vez, salientamos a dificuldade apresentada pelos estudantes no
uso das tabelas de multiplicação (tabuada) e adições. Inferimos que tal fato
comprometeu em grande medida o sucesso desses alunos ao efetuarem as
divisões, acreditamos que se tais dificuldades não fossem encontradas, haveria
um desempenho melhor que o observado.
142
Com o fim das oficinas, onde foram realizadas as atividades de 1 a 10,
fizemos um pós-teste com os alunos envolvidos nas oficinas do jogo do NIM, uma
vez que nosso objetivo era perceber as contribuições desse jogo para um resgate
e/ou ampliação do uso do algoritmo para efetuar divisões.
Após, a realização do pós-teste, confrontamo-lo com os dados do pré-teste
para constatar possíveis avanços e, mais especificamente, como os alunos
enfrentaram esse teste pela segunda vez, pois as atividades do pós-teste eram as
mesmas do pré-teste.
Destacamos que a ausência de alguns alunos às oficinas, foi um fator
negativo, pois tais ausências podem ter comprometido o desempenho desses
alunos, mediante a aplicação do pós-teste. Nos dados do Quadro 6, verificamos a
frequência dos alunos participantes nas oficinas.
Quadro 5: Freqüência dos alunos nas oficinas
Quantidade de oficinas que participou Nome dos alunos
duas oficinas Bruno, Vagner e Paulo
três oficinas Aurélio, Daniela, Maurício e Samuel
quatro oficinas Carolina, Erik, Gabriela, Jonas. Ricardo, Lucas e Kelvin
No estudo realizado, houve a colaboração de 14 estudantes, porém como
relatamos nem todos participaram de todas as oficinas. Inferimos que os alunos
do grupo 2, que participaram das quatro oficinas, apresentou um desempenho
melhor nas atividades que realizamos, sobretudo, no sentido de argumentar,
debater e defender suas formulações.
4.6 Pós-teste
As questões do pós-teste são as mesmas aplicadas no pré-teste que se
encontram no apêndice A. Fizemos essa escolha, pois tínhamos a intenção de
comparar os resultados apresentados pelos alunos antes e depois das oficinas
143
com o jogo do NIM e, assim, poder inferir nos possíveis avanços a respeito da
divisão por meio de seu algoritmo.
Em razão da ausência de alguns alunos, não foi possível aplicar o pós-
teste a todos os estudantes que participaram das oficinas. Dos 14 participantes, 7
alunos fizeram o pós-teste. Os dados do Quadro 7 mostram uma comparação
entre o pré-teste e o pós-teste.
Nos dados do Quadro 7, a primeira linha referente ao nome de cada
estudante mostra o desempenho no pré-teste e a segunda linha, seu
desempenho durante a aplicação do pós-teste. Assim, é possível comparar o
desempenho de cada aluno item a item.
Quadro 6: Comparação de pré-teste com pós-teste
Questões
alunos
a b c d e f g h i j
resultados
E CC C ECEEEE
4C
,
0B
,
6
E
Ricardo
C CC E ECECEE
5C
,
0B
,
5
E
C E E E E E E C E E
2C
,
0B
,
8
E
Gabriela
E
E
E
E
E
C
C
C
E
B 3C
,
1B
,
6
E
C C C C E B B B B B
4C
,
5B
,
1
E
Jonas
E CC C ECCEEE
5C
,
0B
,
5
E
E C E E B C E E E B
2C
,
2B
,
6
E
Samuel
E CE E EEEEEC
2C
,
0B
,
8
E
E EC C BBCEEE
3C
,
2B
,
5
E
Vagner
E EE C EEEECE
2C
,
0B
,
8
E
E E E E E B B B B B
0C
,
5B
,
5
E
Kelvin
E E E E E E E E E E
0C
,
0B
,
10
E
E E C E C C E E E C
3C
,
1B
,
6
E
Bruno
E C C E E C C E E E
4C
;
0B
,
6
E
Os dados do Quadro 8 fazem um comparativo entre as questões corretas,
deixadas em branco e erradas nos pré-testes e pós-testes.
144
Quadro 7: Comparativo entre o desempenho dos pré-teste e pós-testes
Resultados
Teste
Acertos Em branco Errados
Pré-teste 20 17 43
Pós-teste 23 01 56
Nos dados quadros apresentados, percebemos que a quantidade de erros
cometidos por esses alunos aumentou quando comparamos o pré-teste com o
pós-teste, porém a quantidade de itens em branco diminuiu. Isto mostra que os
estudantes tentaram fazer as divisões ou, pelo menos, começaram.
Ao analisar os dados do Quadro 7, observamos que quatro dos oitos
estudantes aumentaram a quantidade de acertos no pós-teste e um teve um
desempenho melhor no pré-teste.
145
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente trabalho enquadra-se como mais um aporte no que diz respeito
à divisão de números naturais e seu algoritmo. Nesse sentido, ele se propõe a
contribuir com questões relativas ao ensino e ao aprendizado desse objeto
matemático, mais especificamente, a retomada desta temática com alunos que
apresentam dificuldades relativas ao Algoritmo da Divisão. Para tal, elaboramos e
aplicamos uma sequência de atividades a alunos do 6° ano do Ensino
Fundamental com o objetivo de ampliar e/ou construir conhecimentos a respeito
do Algoritmo da Divisão, utilizando o jogo do NIM e tomando como base a Teoria
das Situações Didáticas.
Os aspectos metodológicos considerados foram de grande valia, pois em
uma pesquisa qualitativa o pesquisador não busca uma evidência para confirmar
suas hipóteses, mas, sobretudo, o que os dados coletados podem fornecer de
elementos que poderão ou não confirmar suas hipóteses, assim, podemos dizer
que esta pesquisa proporcionou ao pesquisador realizar novas descobertas e
observar fatores relevantes que surgiram durante sua realização. O trabalho com
os pressupostos da Engenharia Didática, permitiu que avaliássemos,
criticássemos e melhorássemos as atividades da sequência e, por último, analisar
os dados, quando confrontamos a análise a priori com a análise a posteriori.
Ressaltamos que elaboramos, aplicamos e discutimos os dados coletados
tomando como base a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e aspectos
relativos ao se desenvolver um trabalho de ensino com o viés dos jogos, nos
quais destacamos as autoras Grando, Borin, Brenelli e Kishimoto, além de
pesquisas abordando o ensino e aprendizagem da divisão, das quais destacamos
os trabalhos de Cunha, Gregolin e Castela.
147
Desta forma, o marco teórico da Teoria das Situações Didáticas foi uma
escolha acertada, pois essa teoria coloca o educando em um processo de
desequilíbrio para que ele possa reorganizar seu pensamento na construção de
seu conhecimento, isto é, o saber resulta da adaptação do aluno que dá novas
respostas a uma situação que, anteriormente, ele não dominava, ocorrendo a
aprendizagem quando ocorre essa adaptação.
Assim, uma vez que as atividades foram pensadas, planejadas e
desenvolvidas com base na Teoria das Situações Didáticas, a escolha das
variáveis didáticas e o papel do professor (fazendo devoluções) foram
fundamentais. Constatamos no decorrer das oficinas e com os dados coletados,
que alguns estudantes tomaram para si a responsabilidade pela construção de
seu conhecimento.
Com relação às variáveis didáticas escolhidas e seus respectivos valores,
pudemos constatar na atividade 4 (institucionalização), bem como na atividade 8
(sem uso de palitos), que a escolha por uma divisão, cujo o resto era zero, para
iniciar as discussões matemáticas do jogo e a primeira atividade sem uso de
material manipulativo (palitos), não foi acertada. Assim, considerando o caráter
reprodutível das atividades desenvolvidas com o fundamento da Teoria das
Situações Didáticas, o valor dessas variáveis deve ser melhor dimensionado e/ou
revisto para um futuro trabalho.
Vale ressaltar que a abordagem das atividades da oficina com o jogo do
NIM favoreceu para que os alunos aceitassem melhor o convite para participar de
atividades a respeito de divisão com o uso de seu algoritmo. Encontramos essa
evidência quando propusemos a última atividade, com o objetivo de
descontextualizar o objeto matemático, e um dos alunos retrucou que naquele
momento era somente fazer as contas. Pontuamos, ainda, que em um trabalho
que pretende abordar um conteúdo matemático com jogos, alguns alunos podem
não se envolver de forma satisfatória, foi o que aconteceu com a dupla de alunas
Carolina e Daniela.
Por outro lado, percebemos que a maioria dos alunos envolveu-se com as
atividades propostas, mostrando-se mais autônomos ao enfrentarem novas
questões, desenvolvendo estratégias próprias para a solução, formulando e
148
validando conjecturas. O resultado foi possível porque o formador garantiu a
adidaticidade das situações adidáticas fazendo devoluções, e os alunos sentiram-
se mais livres para produzirem e testarem seus conhecimentos.
Retomando nossa questão de pesquisa:
Uma sequência de ensino que utiliza o jogo do NIM pode
contribuir para que estudantes do sexto ano com
dificuldade no Algoritmo da Divisão possam construir
e/ou aprimorar esse conhecimento?
No que diz respeito a aprimorar conhecimentos a respeito do Algoritmo da
Divisão, não tivemos sucesso, notamos que os alunos passaram a enfrentar as
questões relativas à divisão, pois, ao confrontarmos o pré-teste com o pós-teste,
percebemos que os alunos envolvidos passaram a fazer todas as questões
propostas, o que não ocorreu antes das oficinas. Inferimos que as dificuldades
com a adição e multiplicação no campo dos naturais corroboraram para que os
alunos não tivessem sucesso ao enfrentarem divisões, como por exemplo, com
divisores formados por números com dois algarismos. Gregolin (2002) já tinha
destacado esse fato em sua pesquisa.
No entanto, o trabalho foi desenvolvido com os alunos que apresentaram
maior dificuldade no pré-teste, assim podemos afirmar que a abordagem de
resgatar a divisão com o jogo do NIM contribuiu para a motivação e como porta
de entrada para começar a trabalhar esse problema. Assim, inferimos que o jogo
do NIM pode ser utilizado com sucesso para começar um trabalho de resgate com
questões referentes à divisão e ao uso de seu algoritmo, sobretudo, em um
trabalho de interpretação do resto da divisão, em geral, esquecido nos trabalhos
escolares.
Dificuldades relativas à frequência dos alunos nas oficinas devem ser
consideradas em outros trabalhos.
Os dados coletados nos levam a fazer algumas reflexões ao final deste
trabalho. Será que se tivéssemos feito um trabalho a priori com a multiplicação,
adição e subtração, teríamos obtido dados diferentes no que diz respeito a
ampliar e/ou resgatar conhecimentos relativos ao uso do Algoritmo da Divisão
149
com o viés do jogo do NIM? O jogo do NIM poderá ser usado para introduzir o
tema divisão na escola básica? Como melhorar o convite em um trabalho de
ensino e aprendizagem da Matemática com uso de jogos, de tal maneira que
todos os alunos envolvam-se de forma efetiva? São questões que não
vislumbramos responder, mas, que poderão servir de referência para trabalhos
futuros, sobretudo, no que diz respeito ao objeto matemático divisões de números
naturais.
150
REFERÊNCIAS
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UFPR, 2007.
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Matemáticas. Lisboa: PIAGET, 1996, p. 193-217.
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do tri-lance. In IV Congresso Internacional de Matemática,2007, Canoas, RS.
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9º. Porto Alegre: Artmed, 2007.
153
APÊNDICES
Apêndice A: Pré/Pós teste
Nome: Série: Idade:
Resolva as divisões a seguir deixando seus respectivos restos.
a) 57 ÷ 4 =
b) 79 ÷ 7 =
c) 138 ÷ 5 =
d) 377 ÷ 6 =
e) 779 ÷ 8 =
f)
574 4
g)
609 5
h)
875 25
i)
1374 32
j)
3239 18
155
Apêndice B: Tabela de resultados do pré-teste
Questões
Alunos
a b c d e f g h i j
Desempenho
dos alunos
1 C C C C B C C C B E
7C, 2B, 1E
Maurício C B B B B C C E E E 3C, 4B, 3E
3 C E C E C C C C C E 7C, 0B, 3E
4 E C C E E C C C E E 5C, 0B, 5E
Daniela C C E C E E E B B B 3C, 3B, 4E
6 C C
C
C E C C C C E 8C, 0B, 2E
7 E E E E E E E E E E 0C, 0B, 10E
8 E E E E E E B B B B 0C, 4B, 6E
9 E E E E E E B B B B 0C, 4B, 6E
Paulo C C C E E C E B B B 4C, 3B, 3E
Kelvin E E E E E E E E E E 0C, 0B, 10E
12 E E E E E B B B B B 0C, 5B, 5E
13 C C C C E C E C C E 7C, 0B, 3E
14 C C E E E E C C E E 4C, 0B, 6E
15 C C C C E C C C E E 7C, 0B, 3E
16 C C C C E C B B B B 5C, 4B, 1E
Aurélio C C E E E C C E E E 4C, 0B, 6E
Ricardo E C C C E C E E E E 4C, 0B, 6E
19 C C C C E C C E C E 6C, 0B, 4E
20 C C C C C E E C E E 6C, 0B, 4E
21 C C E C E E E E E E 3C, 0B, 7E
22 C C C C C C C E C E 7C, 0B, 3E
Vagner E E C C B B C E E E 3C, 2B, 5E
24 C C C E C C C E C E 7C, 0B, 3E
25 C E C C C C C C C E 8C, 0B, 2E
Carolina E E E E E E E B B B 0C, 3B, 7E
27 C C C C C C C E C E 8C, 0B, 2E
Erik E E E E E E E E E E 0C, 0B, 10E
29 E E E E E E E B B B 0C, 3B, 7E
Lucas C B C B B B B B B B 2C, 7B, 1E
31 E E E E E B B B B B 0C, 5B, 5E
Bruno E E C E C C E E E B 3C, 1B, 6E
Samuel E C E E B C E E E B 2C, 2B, 6E
Jonas C C C C E B B B B B 4C, 5E, 1E
35 E E E E E E E E E E 0C, 0B, 10E
Gabriela C E E E E E E C E E 2C, 0B, 8E
156
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