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COPPE/UFRJCOPPE/UFRJ
ANÁLISE DE INCERTEZAS NO CÁLCULO DO DANO DE ESTRUTURAS
MARÍTIMAS PELA TÉCNICA BOOTSTRAP
Antonio Gonçalves de Vasconcelos Neto
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Mestre em Engenharia
Civil.
Orientador(es): Edison Castro Prates de Lima
Luís Volnei Sudati Sagrilo
Rio de Janeiro
Julho de 2009
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ANÁLISE DE INCERTEZAS NO CÁLCULO DO DANO DE ESTRUTURAS
MARÍTIMAS PELA TÉCNICA BOOTSTRAP
Antonio Gonçalves de Vasconcelos Neto
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Edison Castro Prates de Lima, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Luís Volnei Sudati Sagrilo, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.
________________________________________________
Dra. Ana Lúcia Fernandes Lima Torres, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JULHO DE 2009
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iii
Vasconcelos Neto, Antonio Gonçalves de
Análise de Incertezas no Cálculo do Dano de
Estruturas Marítimas pela Técnica Bootstrap/ Antonio
Gonçalves de Vasconcelos Neto. – Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2009.
Orientadores: Edison Castro Prates de Lima
Luís Volnei Sudati Sagrilo
VIII, 118 p.: il.; 29,7 cm.
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Civil, 2009
Referencias Bibliográficas: p. 115-118.
1. Bootstrap. 2. Fadiga. 3. Domínio do Tempo. I.
Lima, Edison Castro Prates de, et. al. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de
Engenharia Civil. III. Título
iv
Agradecimentos
A Deus.
Aos professores Edison Prates de Lima e Luis Volnei Sudati Sagrilo pela
brilhante orientação e pela indispensável ajuda na definição do tema do trabalho, e,
sobretudo pela paciência, dedicação e profissionalismo demonstrados.
Aos meus pais, Edna e Antonio (em memória) que sempre me
incentivaram na realização de meus estudos, cujo apoio foi essencial para conseguir
chegar ao ponto atual.
À minha namorada Gabrielle pela paciência demonstrada durante essa
jornada.
Aos amigos Denis Alvin Liang, Glauco de Deus Ribeiro, Daniel Saito,
Paulo Maurício Videiro, Carlos Alberto Bardanachvili e Jane Vieira Volotão Fernandes
pelo apoio e ajuda prestada.
À Dilnei Schmidt pela amizade e por ceder os resultados no domínio do
tempo que resultaram no segundo caso apresentado nesse trabalho.
E por fim, a todos que contribuíram de alguma forma, mesmo que
indireta, para a finalização desse trabalho.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE DE INCERTEZAS NO CÁLCULO DO DANO DE ESTRUTURAS
MARÍTIMAS PELO MÉTODO BOOTSTRAP
Antonio Gonçalves de Vasconcelos Neto
Julho/ 2009
Orientadores: Edison Castro Prates de Lima
Luis Volnei Sudati Sagrilo
Programa: Engenharia Civil
Este trabalho faz uma descrição da aplicação do método Bootstrap para obtermos
informações estatísticas relevantes sobre o dano em uma estrutura sujeita a um
carregamento aleatório a partir de uma única análise no domínio do tempo. O método
Bootstrap permite estimarmos o desvio padrão do dano calculado a partir da simulação
no domínio do tempo e definir intervalos de confiança dentro dos quais supostamente o
dano causado por outras realizações do mesmo processo está. Vai ser demonstrado a
partir de dois casos práticos como utilizar esses intervalos de confiança para obtermos
informações sobre o dano acumulado de uma estrutura sujeita a carregamentos
derivados de processos aleatórios.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
ANALYSIS OF UNCERTAITIES IN THE ESTIMATION OF DAMAGE IN
MARITIME STRUCTURES BY THE BOOTSTRAP TECHNIQUE
Antonio Gonçalves de Vasconcelos Neto
July/ 2009
Advisors: Edison Castro Prates de Lima
Luis Volnei Sudati Sagrilo
Department: Civil Engineering
This work describes the application of the Bootstrap technique to obtain relevant
information about the damage in a structure subjected to random loading based on a
single time domain analysis. The Bootstrap methodology allows us to estimate the
standard deviation based on the time domain analysis and to estimate confident intervals
where the damage from other time histories of the same random loading are in its
within. It is going to be shown based on two interest cases how to use these confident
intervals to obtain information on the cumulative damage of a structure subject to these
random loading.
.
vii
Sumário
1. Introdução 1
2. Processos Aleatórios................................................................................................4
2.1 Introdução....................................................................................................... 4
2.2 Medidas de um processo aleatório................................................................ 5
2.3 Casos especiais de processos aleatórios ........................................................ 6
2.3.1 Processos estacionários .......................................................................... 6
2.3.2 Processos ergódigos ................................................................................ 7
2.3.3 Processos gaussianos .............................................................................. 8
2.4 Séries de fourier.............................................................................................. 8
2.4.1 Introdução............................................................................................... 8
2.4.2 Relação entre o domínio do tempo e da freqüência........................... 12
2.5 Largura de banda de um sinal .................................................................... 15
2.6 Distribuição de máximos de um processo estacionário, gaussiano e de
banda estreita............................................................................................................ 15
2.7 Geração de séries ergódigas e gaussianas a partir da sua representação
no domínio da freqüência ........................................................................................ 19
3. Fadiga .....................................................................................................................24
3.1 Introdução..................................................................................................... 24
3.2 Leis de acumulação de dano e a regra de Palmgren-Miner ..................... 25
3.3 Curvas S-N.................................................................................................... 27
3.4 Contagem de ciclos ....................................................................................... 30
3.5 Caracterização das cargas devido ao mar.................................................. 34
3.6 Análise de fadiga baseada no domínio da freqüência ............................... 40
3.7 Exemplo ilustrativo ...................................................................................... 46
3.8 Análise de fadiga no domínio do tempo...................................................... 52
viii
4. Bootstrap................................................................................................................55
4.1 Introdução..................................................................................................... 55
4.2 Bootstrap não-paramétrico.......................................................................... 56
4.3 Bootstrap paramétrico................................................................................. 58
4.4 Exemplo ilustrativo ...................................................................................... 59
4.5 Estimativa do intervalo de confiança.......................................................... 63
4.5.1 Intervalo de confiança normal padrão ............................................... 64
4.5.2 Intervalo percentil ................................................................................ 65
4.5.3 Método BCa. ......................................................................................... 66
4.6 Exemplo ilustrativo ...................................................................................... 69
5. Aplicações...............................................................................................................76
5.1 Introdução..................................................................................................... 76
5.2 Descrição do primeiro caso.......................................................................... 77
5.3 Resultados do primeiro caso........................................................................ 84
5.4 Descrição do segundo caso........................................................................... 99
5.5 Resultados do segundo caso....................................................................... 110
6. Conclusão .............................................................................................................112
6.1 Conclusões finais......................................................................................... 112
6.2 Sugestões para trabalhos futuros.............................................................. 114
7. Referências...........................................................................................................115
1
1. Introdução
A estimativa de vida a fadiga é um importante passo para o projeto de
estruturas oceânicas. A partir dela podemos comparar diferentes opções e decidir qual
se adapta melhor ao nosso caso específico. No caso de estruturas oceânicas, a utilização
de métodos no domínio da freqüência torna esse cálculo uma tarefa prática e
comparativamente rápida em relação aos métodos no domínio do tempo que utilizam
um histórico irregular do nível de tensão da estrutura aliado a métodos de contagem de
ciclos, dentre os quais ocupa lugar de destaque o método “rainflow”, para extrair do
sinal irregular ciclos de tensão que serão utilizados para o cálculo do dano.
O método no domínio da freqüência tem a limitação de só poder ser
utilizado quando a relação entre as cargas aplicadas e a resposta da estrutura é linear.
Quando isso não for verdade, pode-se utilizar algum procedimento de linearização da
resposta estrutural ou, nos casos em que a linearização não for viável, deve-se fazer o
cálculo utilizando métodos no domínio do tempo.
No domínio do tempo, utilizamos um sinal irregular relacionado à carga
a ser aplicada, como por exemplo, as elevações da superfície do mar devido as ondas,
para calcular a resposta da estrutura. Os efeitos não lineares podem ser incluídos na
análise e neste caso a resposta no tempo
tt
∆
+
é função da resposta da estrutura no
tempo
t
e do histórico de carregamentos.
O grande inconveniente dos métodos no domínio do tempo é que eles
são computacionalmente bastante dispendiosos e demorados. Uma simulação no
domínio do tempo pode demorar bem mais que qualquer análise no domínio da
freqüência. Como as cargas em estruturas oceânicas são predominantemente de origem
ambiental, tais como onda, vento e correnteza, o histórico de tensões utilizado para o
cálculo do acúmulo de dano é na verdade uma realização de um processo aleatório. Isso
significa que existem várias realizações possíveis e todas diferentes entre si que são
representativas do mesmo processo.
2
Ao contrário dos métodos no domínio da freqüência, que fornecem
diretamente o valor esperado do dano, nos métodos no domínio do tempo será necessário
gerar diversas realizações do mesmo processo aleatório para podermos calcular o valor
esperado do dano, assim como a sua variância.
O Bootstrap é um método numérico de inferência estatística baseado em
técnicas de reamostragem que permite estimar a média e o desvio padrão a partir de
uma única amostra de uma dada variável, no nosso caso o dano. O objetivo desse
trabalho é investigar a viabilidade de se utilizar o método bootstrap para fazermos uma
estimativa do dano da estrutura devido a um processo aleatório a partir de uma única
realização no domínio do tempo.
No Capítulo 2, é feito um comentário sobre a natureza dos processos
aleatórios estacionários, ergódigos e gaussianos. Definiremos processo de banda estreita
e banda larga e sua representação matemática no domínio do tempo a partir das séries
de Fourier. Mostra-se a relação entre a representação de uma realização de um processo
aleatório no domínio do tempo e sua representação no domínio da freqüência e como a
partir do espectro de energia de um processo podemos simular suas realizações no
domínio do tempo. Ao final desse capítulo, iremos fazer uma discussão sobre a
formulação analítica de contagem de máximos de um processo aleatório, que é utilizado
na análise de fadiga e é uma ferramenta muito útil de projeto para estimarmos o dano
acumulado de um detalhe estrutural.
No Capítulo 3, iremos introduzir alguns conceitos básicos de fadiga e a
importância de considerarmos esse tipo de falha na fase de projeto. Será feita uma
pequena introdução sobre indicadores de dano e a regra de Palmgren-Miner juntamente
com as curvas S-N para a obtenção do dando acumulado. Uma vez que estamos mais
interessados em estruturas oceânicas, daremos atenção ao processo de geração de
carregamentos devido às ondas, caracterizando o longo-prazo como um conjunto de
processos aleatórios de curto prazo, e como aplicar isso ao cálculo de fadiga. Daremos
atenção ao cálculo do dano acumulado baseado em métodos no domínio da freqüência.
Serão comentadas as suas limitações a processos estacionários, gaussianos e de banda
estreita, a correção do dano estimado devido à largura de banda do espectro de resposta
e sua limitação a casos em que a resposta da estrutura é linear em relação às cargas
3
aplicadas ou que possam ser linearizadas através de formulações específicas. Faremos
um comentário sobre os métodos no domínio do tempo, que utilizam o histórico de
tensão na estrutura aliado a algum método de contagem de ciclos para a estimativa do
dano acumulado, e a necessidade de realizar diversas simulações para uma boa
estimativa do valor esperado do dano à fadiga.
No Capítulo 4, iremos apresentar a teoria envolvendo o método
Bootstrap de inferência do desvio padrão de um estimador estatístico qualquer,
calculado a partir de uma amostra aleatória de uma população. Serão comentadas as
vantagens deste método em relação às formulações teóricas de inferência, dado que é
um método numérico que dispensa o conhecimento da função densidade de
probabilidades da amostra inicial. Veremos como podemos utilizar o método Bootstrap
para construir intervalos de confiança para um estimador, fazendo a descrição dos
métodos normal padrão, percentil e BCa
(Bias-Corrected and Accelerated).
No Capítulo 5, serão apresentados dois exemplos sobre como utilizar o
método Bootstrap para criar intervalos de confiança para o dano de longo prazo de
detalhes estruturais sujeitos a carregamento de onda. O primeiro caso será utilizado para
validar o método, utilizando um histórico irregular de tensões oriundo de um processo
aleatório estacionário e gaussiano. O resultado utilizando a técnica Bootstrap será
comparado ao das formulações normalmente utilizadas no domínio da freqüência e no
domínio do tempo. O segundo caso será a aplicação da técnica Bootstrap num caso real
de cálculo de fadiga devido ao fenômeno de “
slamming
” numa estrutura offshore, onde
faremos a comparação dos resultados no domínio do tempo e dos resultados aplicando a
técnica Bootstrap.
No Capitulo 6, serão apresentadas a conclusão final do trabalho e as
sugestões para trabalhos futuros
E finalmente no capítulo 7, serão apresentadas as referências
bibliográficas.
4
2. Processos Aleatórios
2.1 Introdução
As principais cargas consideradas no projeto de estruturas marítimas são
causadas por efeitos ambientais, normalmente ondas, ventos e correntes. Essas cargas
são de natureza aleatória e dependente do tempo. Devido a isso, toda vez que fazemos
uma nova medição dessas grandezas durante um predeterminado período ”T” obtemos
uma nova realização. Um processo aleatório caracteriza-se por uma coleção de séries
randômicas onde cada série individual constitui uma realização do processo, conforme
ilustra a Figura (2.1):
FIGURA 2.1 – PROCESSO ALEATÓRIO
5
2.2 Medidas de um processo aleatório
Podemos auferir diversas medidas de um processo aleatório. A mais
simples dela é a média ou valor esperado:
( ) ( )
[ ]
( )
( )
∫
∑
∞
∞−
=
∞→
=⋅==
n
tx
dxtxpxtXEt
n
i
i
n
X
1
1
lim1;11
µ
(2.1)
Na equação acima, a função
(
)
1;txp
X
é a função distribuição de probabilidades dos
valores que cada realização
(
)
i
tx
pode assumir no instante t1 dentro de um intervalo
medido
[
]
T,0
. Podemos escrever a equação do valor médio quadrático para o processo
no mesmo instante de tempo como sendo:
( )
[ ]
( )
( )
(
)
∫
∑
∞
∞−
=
∞→
=⋅=
n
tx
dxtxpxtXE
n
i
i
n
X
1
2
22
1
lim1;1 (2.2)
A variância do processo no instante t1 pode ser então definida como sendo:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
11111
22
2
ttXEttXEtXVAR
µµ
−=−= (2.3)
A autocovariância quantifica a média dos produtos dos desvios de cada
realização nos instantes t1 e t2 comparados à média do processo, e é dada por:
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
21
21
lim22112,1
1
tt
n
txtx
ttXttXEttC
n
i
ii
n
XX
µµµµ
−
⋅
=−⋅−=
∑
=
∞→
(2.4)
6
2.3 Casos especiais de processos aleatórios
A descrição de um processo aleatório
(
)
tX
através das suas funções
densidade de probabilidade associadas iria requerer uma enorme quantidade de
informações. Felizmente é usual podermos fazer simplificações que tornam o trabalho
mais prático e nos possibilitam aproveitar uma poderosa ferramenta de projeto.
2.3.1 Processos estacionários
Processo estacionário é um processo cuja função distribuição de
probabilidade é a mesma em qualquer instante de tempo. Isso significa que suas
propriedades estátisticas independem do tempo, ou seja, o que acontece num tempo t
tem a mesma probabilidade de acontecer em qualquer outro instante de tempo tt
∆
+
.
Ou seja:
(
)
(
)
ttxptxp
XX
∆+= ;;
Para um processo aleatório estacionário temos que:
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
X
tXEtXEtXE
µ
=== 21
t
∀
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
2
21
X
tXVARtXVARtXVAR
σ
=== t
∀
A função de autocovariância é uma função apenas da diferença ttt
∆
=
−
=
12
τ
então
para qualquer tempo t,
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
[
]
(
)
τµτµτ
XXXXXXXX
CtXtXEttCttC =−+⋅−=+= ,2,1
(2.5)
Quando 0
=
τ
, ou seja, quando t1 = t2 = t temos:
(
)
(
)
(
)
[
]
2
2
0
XXXX
tXEC
σµ
=−=
(2.6)
7
Como a função de autocovariância é função apenas da diferença
τ
, podemos escrever a
seguinte relação:
(
)
(
)
(
)
(
)
ττττ
+==−=− ttCRRttC
XXXX
,,
(2.7)
Ou seja, para um processo estacionário, a função de autocovariância é uma função par.
2.3.2 Processos ergódigos
Em termos práticos é muito dispendioso, e muitas vezes impossível,
medir realizações de um mesmo processo em quantidade suficiente para podermos
auferir as funções estatísticas necessárias para descrevê-lo.
Um processo aleatório é dito ergódigo se, além de suas propriedades
estatísticas serem as mesmas em qualquer instante de tempo, elas forem iguais às
propriedades estatísticas medidas ao longo do tempo e determinadas a partir de uma
única realização.
Para um processo ergódigo, as propriedades estatísticas tornam-se
propriedades temporais de uma única realização
(
)
tx
e são redefinidas como:
[ ]
( )
[ ]
( )
µ
===
∫
∞→
T
T
dttx
T
txEtXE
0
1
lim)( (2.8)
[
]
( )
[
]
( )
∫
∞→
==
T
T
dttx
T
txEtXE
0
2
2
2
1
lim)( (2.9)
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[
]
2
0
22
1
lim1
µµ
∫
−=−==
∞→
T
T
txEdttx
T
txVARtXVAR (2.10)
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
∫
=−+⋅−=+
∞→
T
T
XX
Rdttxtx
T
ttC
0
1
lim,
τµτµτ
(2.11)
8
Um processo aleatório ergódigo é sempre estacionário, mas um processo
estacionário nem sempre é ergódigo. Quando é possível assumir que um processo
estacionário é ergódigo, o esforço necessário para descrevê-lo é drasticamente reduzido.
2.3.3 Processos gaussianos
Como vimos anteriormente, um processo aleatório X(t) pode ser descrito
por seu conjunto de variáveis aleatórias X(t
1
), X(t
2
),..., X(t
n
). Dizemos que um processo
aleatório é Gaussiano se qualquer variável aleatória X(t
i
), i =1,2,...n possui uma
distribuição Gaussiana. Como já foi dito, se o processo for ergódigo, as propriedades
estatísticas de uma única realização são representativas do processo aleatório e este é
denominado de Gaussiano se o correspondente histograma puder ser bem ajustado por
uma distribuição Gaussiana. Veja a Figura (2.2
).
FIGURA - 2.2 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UM PROCESSO ERGÓDIGO
2.4 Séries de fourier
2.4.1 Introdução
Um sinal temporal x(t), contínuo em sua duração T, pode ser
representado no domínio do tempo como uma série de senos e cossenos. A série de
Fourier é um dos desenvolvimentos matemáticos mais produtivos e bonitos, que
funciona como uma ferramenta bastante útil para vários problemas nas áreas de
9
matemática, ciências e engenharia. Um sinal x(t) é expresso através de uma série de
Fourier por:
( ) ( )
[
]
∑
∞
=
++=
1
000
sincos)(
j
jj
tjbtjaatx
ωω
(2.12)
Onde:
( )
µ
==
∫
T
dttx
T
a
0
0
1
(2.13)
( ) ( ) ( ) ( )
∑
∫
−
=
∆∆==
1
0
00
cos
2
cos
2
N
j
T
n
tjtjy
N
dttjtx
T
a
ωω
(2.14)
( ) ( ) ( ) ( )
∑
∫
−
=
∆∆==
1
0
00
sin
2
sin
2
N
j
T
n
tjtjy
N
dttjtx
T
b
ωω
(2.15)
Observa-se que um sinal contínuo no tempo pode ser adequadamente
processado por um sistema que opera em tempo discreto, desde que a taxa de
amostragem seja suficientemente grande para representar bem o sinal temporal x(t). Ou
seja, o intervalo entre as medições
t
∆
deve ser suficientemente pequeno, conforme a
Figura (2.3).
10
FIGURA 2.3– DIFERENÇA ENTRE TEMPO DISCRETO E TEMPO CONTÍNUO
Utilizando a conhecida identidade trigonométrica para somarmos dois harmônicos de
mesma freqüência:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
θωωθωθωω
+=⋅−=+ tCtsenCsentCtbta coscoscossincos
onde:
θ
cosCa
=
e
θ
sinCb
−
=
Portanto,
22
baC +=
e definimos a diferença de fase entre as duas senóides como:
−
=
−
a
b
1
tan
θ
Podemos agora reescrever a série de Fourier em sua forma trigonométrica compacta, e a
equação (2.12) torna-se:
11
( )
∑
∞
=
++=
1
00
cos)(
j
jj
tjCCtx
θω
(2.16)
Com
22
jjj
baC += e, (2.17)
−
=
−
j
j
j
a
b
1
tan
θ
(2.18)
A freqüência
0
ω
é chamada de freqüência fundamental e é dada por:
T
π
ω
2
0
= (2.19)
Uma propriedade muito importante das séries de Fourier é que elas
representam bem o sinal temporal contínuo no intervalo [0, T], mas fora desse intervalo
elas são periódicas e de período T, enquanto que se continuássemos a medir uma
realização física de um processo aleatório qualquer além do período T ele nunca se
repetiria. Para provarmos isso basta provarmos que numa série de Fourier
(
)
(
)
Ttxtx += .
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
∑
∞
=
++++=+
1
000
sincos)(
j
jj
TtjbTtjaaTtx
ωω
( ) ( )
[ ]
∑
∞
=
++++=
1
00000
sincos
j
jj
TjtjbTjtjaa
ωωωω
De (2.19), sabemos que
πω
2
0
=T , então,
πω
2
0
=Tj
∀
j = 1, 2, 3,…, logo:
( ) ( )
[ ]
∑
∞
=
++++=
1
000
2sin2cos
j
jj
tjbtjaa
πωπω
12
( ) ( )
[ ]
∑
∞
=
++=
1
000
sincos
j
jj
tjbtjaa
ωω
)(tx
=
Podemos interpretar isso seguinte raciocínio: Num período fundamental
T o harmônico de ordem n executa n ciclos completos. Logo, toda senóide do lado
direito da Equação (2.16), executa um número completo de ciclos em T. Portanto, para t
= T, todo harmônico começa como se estivesse na origem e repete a mesma seqüência
durante os próximos T segundos e assim por diante. Logo, a soma de todos os
harmônicos resulta em um sinal periódico de período T.
2.4.2 Relação entre o domínio do tempo e da freqüência
Pelo teorema de Parseval a energia média de um sinal periódico é igual à
soma das energias de suas componentes de Fourier. Sabendo que a energia média ou
potência de um sinal é dada pela expressão:
( )
∫
∞→
=
T
T
X
dttx
T
P
0
2
1
lim (2.20)
E aplicando a integral da equação (2.20) a um sinal com o formato dado pela Equação
(2.16) temos como resultado:
∑
∞
=
+=
1
22
0
2
1
j
jX
CCP
(2.21)
Se considerarmos que a média do sinal x(t) é 0 (zero), os seja, 0
0
=C teremos:
∑∑
∞
=
∞
=
+
==
1
22
1
2
22
1
j
jj
j
jX
ba
CP
(2.22)
13
Só que a integral (2.20)é exatamente a definição da média quadrática de x(t), então:
( )
[ ]
∑
∞
=
+
=
1
22
2
2
j
jj
ba
txE
(2.23)
É importante comentar nesse ponto que qualquer sinal pode ser
transformado num sinal de média 0 (zero), bastando para isso subtrair do mesmo a sua
média.
O teorema de Wiener-Khintchine (LIN, 1967) constrói a ponte entre um
sinal no domínio do tempo e sua representação no domínio da freqüência. Ele estabelece
a seguinte relação para a função de autocovariância do processo:
( ) ( ) ( )
∫
∞
=
0
cos
ωωωττ
dSpR
(2.24)
onde
(
)
ω
Sp
é chamada densidade espectral de x(t).
Fazendo 0
=
τ
, temos:
( ) ( )
∫
∞
=
0
0
ωω
dSpR
(2.25)
Só que
(
)
(
)
[
]
2
0 txER = , então, reescrevendo o lado direito da equação como uma
somatória e nos aproveitando do teorema de Parseval temos:
∑∑
∞
=
∞
=
∆=
+
1
0
1
22
)(
2
jj
jj
jSp
ba
ωω
E a partir da relação acima e com
0
ωω
j
j
= podemos escrever:
ω
ω
∆
+
=
2
)(
22
jj
j
ba
Sp
(2.26)
14
A fórmula acima relaciona o espetro de x(t) com suas componentes da
série de Fourier. Se escrevermos a parte direita da Equação (2.26) em termos da forma
compacta da série de Fourier teremos:
ω
ω
∆
=
2
)(
2
j
j
C
Sp
(2.27)
onde
j
C é a amplitude do harmônico de freqüência
j
ϖ
. A equação (2.27) estabelece
uma relação entre a contribuição para a energia total do espectro pelo harmônico de
freqüência
j
ϖ
e a sua amplitude, definindo uma forma bastante eficiente de passarmos
um sinal do domínio do tempo para o domínio da freqüência e vice-versa (veja também
a Figura 2.4).
FIGURA 2.4 – RELAÇÃO ENTRE O DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA E DO TEMPO
É importante notar que a densidade espectral possui apenas a informação
da energia de cada componente harmônico do sinal, não tendo nenhuma informação
sobre a fase do mesmo.
15
2.5 Largura de banda de um sinal
A diferença entre a freqüência mais alta e a mais baixa do espectro de um
sinal é a largura de banda do sinal. Quando a energia de um espectro está toda
concentrada numa faixa pequena do espectro, dizemos que este espectro é de banda
estreita, do contrário é de banda larga, como mostra a Figura (2.5).
FIGURA 2.5 – DIFERENÇA ENTRE UM PROCESSO DE BANDA ESTREITA (a) E UM PROCESSO DE BANDA LARGA (b)
Comparado a um processo de banda larga, um processo de banda estreita
possui as seguintes propriedades:
− Possui somente máximos positivos
− Possui somente um máximo para cada cruzamento positivo.
− Se a freqüência de cruzamentos positivos de um processo de banda estreita for a
mesma de um processo de banda larga, este possuirá menos máximos.
2.6 Distribuição de máximos de um processo estacionário, gaussiano e de
banda estreita
Para obter a distribuição de máximos de um processo estacionário,
gaussiano e de banda estreita, o primeiro passo é criar um contador para determinar o
número de cruzamentos de certo nível pelo processo, conforme ilustra a Figura (2.6
).
Para esse propósito, iremos definir um processo que conta cruzamentos positivos.
Vamos considerar o processo Z(t) definido por:
16
FIGURA 2.6 – CRIAÇÃO DE UM CONTADOR PARA OS CRUZAMENTOS POSITIVOS DE UM NIVEL X=ξ
(
)
(
)
[
]
ξ
−= tXHtZ
(2.28)
Onde H é a função de Heaviside, definida por:
( )
<
≥
=
00
01
xse
xse
xH (2.29)
O efeito disso é que o processo Z(t) assume valor unitário onde o
processo X(t) for maior do que ξ, vide as Figuras (2.6 ) (a) e (b).
Calculando a derivada de Z(t) em função do tempo temos:
( )
(
)
[
]
( ) ( )
[ ]
ξδ
ξ
−=
−
=
••
tXtX
dt
tXdH
tZ (2.30)
17
onde
[
]
δ
é a função Delta de Dirac. O efeito de
( )
tZ
•
é evidenciado fazendo a sua
integração num intervalo infinitesimal englobando o tempo t
j
. Veja Figura (2.6 -b)
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
∫∫
+
−
+
−
••
+
−
•
=−=−=
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ξδξδ
j
j
j
j
j
j
t
t
t
t
t
t
tXtXdttXtXdttZ 1
O resultado de integral
( )
tZ
•
no intervalo [t1, t2] está mostrado na Figura
(2.6 c). Ela representa todos os cruzamentos positivos e negativos de X(t). Precisamos
agora filtrar os cruzamentos negativos. Para isso é só multiplicarmos
( )
tZ
•
pela função
de Heaviside da derivada de X(t) e temos então:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
∫∫
••••
−==
2
1
2
1
)()(,,
21
t
t
t
t
dttXHtXtXdttXHtZttI
ξδξ
(2.31)
(
)
21
,, ttI
ξ
é um processo estocástico que conta o número de cruzamento positivos no
período t1, t2. O que nos interessa é o valor esperado de cruzamentos positivos de
ξ
=
x , que é dado por:
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
∫
−=
••
2
1
21
)(,,
t
t
dtxHtxtxEttIE
ξδξ
(2.32)
Assumindo que o processo seja estacionário e aplicando a definição de média temos:
( )
[ ]
( )
••
∞
•
−=
∫
xdxpxttttIE ,12,,
0
21
ξξ
(2.33)
Onde
•
xp ,
ξ
é a probabilidade conjunta de
x
e
•
x
com
ξ
=
x
. E a freqüência de
cruzamento de
ξ
=
x
é dada por:
( )
∫
∞
•••
+
=
0
,
xdxpxN
ξξ
(2.34)
18
Se o processo for Gaussiano e de média 0 (zero), então
x
e
•
x
são
estatisticamente independentes, logo:
( )
=
−
−=
•
•
•
•
•
xpxp
xx
xxp
X
X
X
X
2
2
2
2
2
exp
2
exp
2
1
,
σσ
σπσ
A fórmula para a freqüência de cruzamento positivo torna-se:
( )
−
=
•
+
2
2
2
exp
2
1
X
X
X
N
σ
ξ
σ
σ
π
ξ
(2.35)
e o valor esperado para a freqüência de cruzamento zero é:
( )
0
2
2
1
2
1
0
m
m
N
X
X
πσ
σ
π
==
•
+
(2.36)
onde os momentos espectrais são definidos por:
( )
ωωω
dSpm
n
n
∫
∞
=
0
(2.37)
Assumindo agora que x(t) é um processo de banda estreita, sabemos que
o valor esperado para a freqüência de máximos acima do nível
ξ
=
x
é igual ao valor
esperado para a freqüência de cruzamentos positivos de
ξ
=
x
.
(
)
(
)
ξξ
+
=
NN
max
O valor esperado para a quantidade total de máximos do processo é então
dado por:
(
)
(
)
00
max +
=
NN
19
A probabilidade de um máximo exceder o nível
ξ
=
x
é então:
( )
(
)
( )
(
)
( )
( ) ( )
ξξ
σ
ξ
ξ
ξ
ξ
maxmax
2
2
max
max
max
Pr11
2
exp
00
Pr
xx
X
obP
N
N
N
N
xob −===
−
===>
+
+
onde
(
)
ξ
max
x
P
é a distribuição cumulativa de probabilidade de máximos do processo. A
qual chamaremos de
(
)
ξ
P
. Então a função densidade de probabilidade de máximos é
dada por:
( )
(
)
=
−
=
−
−==
2
2
22
2
2
exp
2
exp1
XXX
d
d
d
dP
p
σ
ξ
σ
ξ
σ
ξ
ξξ
ξ
ξ
−
=
0
2
0
2
exp
mm
ξξ
; 0
>
ξ
(2.38)
A equação para
(
)
ξ
p
acima é reconhecida como a distribuição de Rayleigh.
A conclusão dessa discussão é que para um processo aleatório
estacionário, Gaussiano e de banda estreita com
(
)
[
]
0=tXE
, a distribuição de máximos
é do tipo Rayleigh.
2.7 Geração de séries ergódigas e gaussianas a partir da sua representação no
domínio da freqüência
Como visto em Price (1974), não é incomum representar um processo
aleatório em termos de sua média e de sua densidade espectral. O procedimento a seguir
descreve os passos para a geração de realizações de um processo a partir de sua
representação no domínio da freqüência.
Pela discussão anterior, sabemos que um sinal qualquer pode ser
representado em termos da somatória de seus harmônicos como uma série de Fourier.
20
Na prática, é impossível realizarmos a somatória infinita de harmônicos requerida e a
equação (2.16) torna-se uma somatória das N finitos harmônicos.
( )
∑
=
++=
N
j
jj
tjCCtx
1
00
cos)(
θω
(2.39)
Primeiramente, vamos considerar o processo X(t) representado por sua
média e pelo seu espectro de energia.
FIGURA 2.7 – DISCRETIZAÇÃO DO ESPECTRO
Sabemos que a amplitude C
j
de cada harmônico da Equação (2.39) está
relacionada com a energia no espectro através da Equação (2.27). Quanto menor for
ω
∆
, melhor a representação da energia espectral e maior será a quantidade de
harmônicos necessárias para gerar a realização.
Podemos citar aqui três métodos principais para a geração de séries
ergódigas e gaussianas a partir de sua densidade espectral. Na primeira opção, o
domínio do espectro é dividido em N intervalos de magnitude
ω
∆
:
T
π
ωω
2
0
==∆ (2.40)
T é o período da série a ser gerada. A quantidade inteira arredondada de harmônicos N,
necessária para representar o espectro é dada por:
21
=
0
int
ϖ
ϖ
f
N
, (2.41)
A freqüência do harmônico n é tida como o valor médio no intervalo n,
vide Figura (2.7 ). O inconveniente desse método é exatamente a sua periodicidade, o
que é incompatível com as propriedades de um processo aleatório. Isso não chega a ser
um problema muito grande, desde que o período T da série seja maior do que o tempo
desejado para a simulação.
O segundo método, discretiza o espectro através de áreas constantes
conforme ilustra a Figura (2.8). Como o intervalo de freqüência
ω
∆
não é constante, a
equação (2.39) resulta em uma série não-periódica. Um efeito colateral desse método é
que, como podemos notar com a ajuda da equação (2.27), se a área
ϖϖ
∆)(
j
Sp
for
constante todas os harmônicos geradas possuem a mesma amplitude. Esse método gera
um maior esforço para ser implementado e por esse motivo não foi utilizado nesse
trabalho.
FIGURA 2.8 – DISCRETIZAÇÃO DO ESPECTRO, MÉTODO DE BORGMAN
O método utilizado no caso 1 desse trabalho divide a banda de energia do
espectro em N intervalos iguais:
N
fi
ϖ
ϖ
ω
−
=∆ (2.42)
22
onde ω
i
é a freqüência inicial do espectro e ω
f
a final (veja Figura 2.9). A freqüência
representativa de cada componente harmônico é escolhida aleatoriamente dentro do
respectivo intervalo. Como o período de cada componente harmônico não é
necessariamente proporcional a
ωπ
∆2
e assim o método gera uma série não-periódica.
FIGURA 2.9 – FREQUENCIAS ALEATÓRIAMENTE ESCOLHIDAS NO INTERVALO ∆ω
Até agora nada foi dito da distribuição de probabilidades do processo.
Demonstra-se pelo teorema do limite central (SHINOZUKA & DEODATIS, 1991), que
para o processo ser Gaussiano, o número de harmônicos deve tender ao infinito.
Obviamente, na prática isso é impossível e o problema está em utilizar uma quantidade
mínima de harmônicos que garanta uma boa aproximação do histograma do sinal. Veja
a Figura (2.10 ).
FIGURA 2.10 – AJUSTE DA PDF AO SINAL
23
Sobre as fases
j
θ
dos harmônicos, sabemos que o espectro de energia
não carrega nenhuma informação sobre elas. Deste modo, existem infinitas
possibilidades para o conjunto de fases
j
θ
, cada uma delas gerando uma realização
diferente com o mesmo espectro de energia. Observa-se que o conjunto de fases
aleatórias deve ser uniformemente distribuído para que o sinal gerado seja Gaussiano.
A utilização de um número limitado de harmônicos pode aparentemente
resultar em um sinal satisfatório, mas devemos nos lembrar que o espectro de energia
realmente sendo utilizado não é o espectro original, mas uma série de pulsos de largura
infinitesimal em cada uma das freqüências escolhidas. O espectro realizado não possui
energia nenhuma no intervalo entre as freqüências adotadas.
24
3. Fadiga
3.1 Introdução
Almar-Naæss (1986) define a fadiga como sendo um processo de acúmulo
de danos, ao longo do tempo, que uma estrutura sofre em função de variações nas
cargas atuantes, sendo estas variações tanto na amplitude quanto na freqüência.
A importância de se estimar a vida à fadiga na fase de projeto é ressaltada
para que possamos obter soluções estruturais viáveis tanto tecnicamente como
economicamente, considerando a vida útil do empreendimento. Devemos sempre ter em
mente que a necessidade de inspeções durante a operação da unidade é função direta das
estimativas da vida à fadiga para os diversos pontos da estrutura. Além isso, observa-se
que as mudanças de detalhes estruturais no projeto são muito mais baratas e mais fáceis
de realizar do que a necessidade de efetuar reparos devido à iniciação de trincas de
fadiga posteriores ao início de operação da unidade.
O projeto para fadiga (tentar prever e evitar o problema) de estruturas
soldadas é baseado em curvas de amplitude constante por número de ciclos até a falha,
no entanto, unidades marítimas estão sujeitas a um histórico de carregamentos de
natureza aleatória e flutuante no tempo. Devido à fadiga ser um processo de alteração
estrutural permanente e progressivo, o conceito dos indicadores de dano é
convenientemente introduzido. Os indicadores de dano têm como objetivo quantificar o
dano estrutural em qualquer tempo durante a vida útil da estrutura. Eles podem ter um
significado específico tal como o comprimento de uma trinca ou ser parâmetro de algum
modelo matemático que se proponha a descrever o comportamento estrutural. De
qualquer forma é boa prática de projeto mantê-los tão poucos e informativos quanto
possível e normalmente são tomados como zero nos estados iniciais e tidos como
função crescente do tempo até a falha ocorrer.
25
3.2 Leis de acumulação de dano e a regra de Palmgren-Miner
Vamos assumir o caso geral de uma lei de acumulação de dano que utilize
um único indicador de dano escalar D. O valor de D é tido como 0 (zero) no estágio
inicial e como 1 (um) na falha. A acumulação de dano é determinada pela variação de
tensões, que para uma estrutura oceânica é de natureza randômica. Assumiremos ainda
que o indicador seja uma função contínua, positiva e crescente do número de ciclos de
tensões no intervalo [0,1].
O incremento no dano
n
D
∆ devido ao enésimo ciclo depende do histórico de
acumulação de dano dos n-1 ciclos anteriores e da variação de tensão devida ao enésimo
ciclo.
(
)
nnnnn
SDDDDDD
,,,,
1111 −−
=−=∆
K
ξ
, i=1,2,..., n-1, n (3.1)
Adotando uma lei de acumulação de dano que seja independente do histórico
de acumulação dos danos, ou seja, que não dependa da ordem na qual as tensões
ocorreram:
(
)
nnn
SDD
,
1−
=∆
ξ
, n=1,2,... (3.2)
Como o indicador é uma função contínua, podemos escrever a diferença
n
D
∆ como sendo
dndD
, o que nos leva a:
( )
SD
dn
dD
,
ξ
= (3.3)
Vamos por enquanto assumir que a função
ξ
está relacionada a um regime
homogêneo onde a variação de tensão S é constante. O número de ciclos N até a falha
da estrutura é função de S, ou seja, N = N(S). O indicador D redefine-se então como
s
D
, função apenas da relação entre a quantidade de ciclos n, o número de ciclos até a
26
falha N e da variação constante de tensão S,
(
)
SNnDD
s
,
ξ
=⇒ . Na Figura (3.1) são
apresentadas algumas possibilidades para indicação de dano à fadiga.
FIGURA 3.1 – ALGUMAS POSSIBILIDADES PARA A O INDICADOR DE DANO D
S.
Nos primeiros dois exemplos o indicador
s
D
não é uma função explicita de
S dependendo apenas da relação
Nn
. Eles são ditos como independentes da tensão. O
primeiro caso é ainda função linear de
Nn
.
Se assumirmos que D
s
é função apenas de
Nn
, nos valendo do caso mais
geral
(
)
NnD
s
η
= , a derivada em relação à n é:
( )
( )
s
s
D
NN
n
Ndn
dD
1
11
−
′
⋅=
′
⋅=
ηηη
(3.4)
Assumindo agora que a relação acima é válida para o caso em que a variação de tensão
não é constante temos:
( )
(
)
dnD
N
dD
1
1
−
′
⋅=
ηη
(3.5)
Reescrevendo a equação acima e integrando os dois lados da equação no intervalo [0,1],
temos:
( )
( )
∫∫
−
′
=
1
0
1
1
0
D
dD
N
dn
ηη
(3.6)
27
Como
(
)
00 =
η
e
(
)
11 =
η
fazendo a substituição de variáveis
(
)
xD
η
=
temos:
( )
( )
∫ ∫
==
′
−
1
0
1
0
1
1
dx
D
dD
ηη
(3.7)
Substituindo o resultado de (3.7) em (3.6) e substituindo a integral no lado esquerdo da
equação por uma somatória temos a seguinte condição na falha:
∑
=
i
i
i
SN
n
1
)(
(3.8)
O resultado da Equação (3.8) é atribuído a Palmgren (1924) e Miner (1945) que
chegaram ao mesmo resultado de modo independente, assumindo que a acumulação de
dano fosse linear. Essa última premissa provou-se não ser necessária para a validade de
(3.8). (MADSEN
at al.
,1986.)
A regra de Palmgren-Miner não leva em consideração o histórico das tensões
no acumulo de dano. Por causa disso, os seus resultados podem ser bastante
tendenciosos e imprevisíveis. Numerosas teorias para o cálculo do acúmulo de dano
podem ser encontradas na literatura. Entretanto, pode-se constatar que, de uma maneira
geral, a regra de Palmgren-Miner tem provado não ser pior nem melhor que nenhuma
delas, sendo muito mais simples de ser utilizada. Normalmente, nos códigos estruturais,
o acúmulo de dano permitido é muito menor que a unidade, de forma a levar em
consideração quaisquer incertezas inerentes ao cálculo. Por esse ponto de vista, a regra
de Palmgren-Miner não é apenas utilizada como uma medida do acúmulo de dano, mas
também como uma espécie de fator de segurança genérico com o objetivo de aumentar a
confiabilidade da estrutura.
3.3 Curvas S-N
Basicamente, todas as teorias sobre fadiga contêm parâmetros empíricos
que devem levar em consideração, tais como as propriedades do material utilizado,
métodos construtivos, geometria, condições de carregamento, efeitos do meio ambiente,
etc. Uma curva S-N é um gráfico de variação de tensão por ciclos até a falha. Seus
28
dados são derivados normalmente de testes de várias amostras em condições
controladas. Neles, a amostra é ensaiada através de tensões cíclicas de amplitude
constante até a falha.
Vários testes são realizados em amostras idênticas com diferentes
amplitudes para que se possa obter a curva. Um exemplo de dados para derivar uma
curva S-N está mostrado na Figura (3.2), retirada de (ABS 2007, p. 5).
FIGURA 3.2 – DADOS EXPERIMENTAIS
Cada ponto representa os ciclos até a falha (N) de uma amostra sujeita a
variações de tensão de amplitude constante (S). Nota-se que, quando os dados
experimentais são apresentados em escala logarítmica, os dados tendem a se ajustar a
uma reta, sendo amplamente utilizado o modelo linear abaixo e introduzindo a notação
σ
∆
=
S
temos:
(
)
(
)
(
)
σ
∆−= logloglog mAN
(3.9)
A e m são parâmetros empíricos a serem estimados a partir dos dados. A grandeza
(
)
Alog
é a posição onde a linha intercepta a abscissa e m é a inclinação inversa da
29
curva. Normalmente, os parâmetros da reta são obtidos através de uma regressão por
mínimos quadrados (ex: a curva que passa pelo centróide dos dados experimentais) e
intervalos de confiança para os resultados são estimados.
Os intervalos de confiança são uma medida da dispersão dos dados em
relação à curva estimada. Ambos os parâmetros A e m possuem uma incerteza, levando
a uma incerteza total que aumenta conforme a distância do centróide dos dados. A
forma do intervalo de confiança resultante é aproximada por uma hipérbole, veja a
Figura (3.3), retirada de (ALMAR NAÆSS, 1985, p.228). De qualquer forma, sabemos
que esse aumento no intervalo de confiança é mais devido ao método estatístico
utilizado do que ao comportamento típico de fadiga dos detalhes estruturais sendo
verificados. De fato, na região de falha por poucos ciclos, a curva S-N tende a ser mais
horizontal, tornando o limite superior do intervalo de confiança pouco conservador. Na
região de muitos ciclos para a falha, existe um limite de fadiga, no qual a quantidade de
ciclos para a falha tende a infinito. Nesse caso, a situação se inverte e o limite inferior
do intervalo de confiança torna-se muito conservador. Por essas razões, os limites do
intervalo de confiança são aproximados por linhas paralelas à regressão e tangentes às
hipérboles.
FIGURA 3.3 – (a) INCERTEZA NA INCLINAÇÃO DA RETA AJUSTADA. (b) INCERTEZA NO PONTO DE INTERCEPÇÃO
DA LINHA AJUSTADA COM A ABCISSA. (C) LIMITES DO INTERVALO DE CONFIANÇA RESULTANTE
O intervalo de confiança define a probabilidade de que um teste S-N
similar ao que foi realizado esteja dentro de seus limites. (ex: um intervalo de confiança
de 95% define o limite superior e inferior nos quais há 95% de chance de que os
resultados de um teste S-N com as mesmas características estejam dentro).
Alguns ajustes na curva devido a outros efeitos, tais como a presença de
tensões residuais, ainda são feitos e a partir disso o limite inferior do intervalo de
30
confiança é tomado como a curva de projeto. Para essas curvas, a média menos dois
desvios padrões é normalmente utilizada, o que caracteriza uma probabilidade de 97,5%
de confiabilidade nas curvas.
Nos códigos de projeto, os detalhes estruturais estão divididos em
diversas classes, cada uma correspondente a uma curva S-N. Os critérios de
classificação de um detalhe envolvem:
• A geometria do detalhe
• O meio onde o detalhe está inserido
• Os métodos de construção envolvidos na fabricação do detalhe
• A direção dos esforços atuantes
• Os métodos de inspeção
Como os dados para as curvas S-N são baseados em testes de laboratório
com amplitude constante, o limite de confiança estimado para as curvas não deve ser
assumido como uma medida da confiabilidade da estrutura sendo calculada. Como as
cargas que as estruturas marítimas estão sujeitas são de natureza aleatória, normalmente
causada por onda, vento e correnteza, num ambiente que difere do de realização dos
ensaios, algum desvio entre os resultados das curvas S-N e o que realmente ocorre é
mais do que esperado. Sabidamente, para alguns casos, os resultados diferem muito da
realidade, chegando inclusive a estimativas não conservadoras do dano acumulado, mas
para uma parcela significativa de detalhes, os resultados são muito próximos, (Almar-
Naæss, 1986)
3.4 Contagem de ciclos
Embora as incertezas na vida à fadiga calculada pela regra de Palmgren-
Miner sejam grandes, sua praticidade nos fornece uma excelente ferramenta para
projeto. O problema é que como as cargas envolvidas são de natureza aleatória com o
tempo, o processo de identificação de ciclos para utilizar com a regra de Palmgren-
Miner e as curvas S-N não é tão intuitivo.
31
Num processo aleatório gaussiano de banda estreita, cada cruzamento
positivo do eixo das abscissas é acompanhado por um máximo local, um cruzamento
negativo, um mínimo local e após esse novamente um cruzamento positivo. A
amplitude do cruzamento positivo e do negativo é aproximadamente a mesma, de forma
que podemos caracterizar como um ciclo o próprio processo entre cruzamentos
positivos. A amplitude varia de um ciclo para outro e como foi abordada no item 1.6 a
distribuição de máximos é do tipo Rayleigh. A existência de um máximo local de
amplitude
ξ
está necessariamente relacionada com a existência do ciclo de variação de
tensão
ξ
σ
2
=
∆
, ou seja, a probabilidade de que o máximo de amplitude
ξ
ocorra é a
mesma da que um ciclo de variação de tensão
ξ
σ
2
=
∆
ocorra.
Sabendo disso, podemos reescrever a equação (2.38) para refletir a
distribuição de ciclos de um processo aleatório, gaussiano e de banda estreita como:
( )
∆
−
∆
=∆
0
2
0
8
exp
4
mm
g
σσ
σ
(3.10)
Por definição, a quantidade de ciclos N
c
numa realização desse tipo de
processo é a mesma que a de cruzamentos positivos do eixo de abscissas e é o resultado
do produto entre a duração da realização T e da freqüência de cruzamentos positivos,
dada pela equação (2.36).
0
2
2 m
m
T
N
c
π
=
(3.11)
sendo m
0
e m
2
definidos na Equação (2.37). A Figura (3.4) mostra uma comparação
entre a distribuição do tipo Rayleigh para os máximos e para os ciclos de um mesmo
processo.
32
FIGURA 3.4 – COMPARAÇÃO ENTRE A DISTRIBUIÇÃO DE MÁXIMOS E A DISTRIBUIÇÃO DE CICLOS DE UM
PROCESSO ESTÁSSIONÁRIO, GAUSSIANO E DE BANDA ESTREITA
Para processos mais gerais, por exemplo um processo de banda larga,
não existe nenhuma formulação analítica para a distribuição de ciclos, o que leva a
necessidade de métodos numéricos para o processamento do sinal e identificação dos
ciclos. Esses métodos são chamados de métodos de contagem de ciclos.
Basicamente, para fazermos o cálculo de acumulação de dano, o sinal é
decomposto em ciclos individuais os quais são utilizados com a regra de Palmgren-
Miner e as curva S-N. Vários procedimentos foram propostos pela literatura, levando a
resultados bastante distintos. É preciso aplicar o método de contagem correto, de forma
a obter a melhor representação física do processo. Como exemplo, pode-se citar o
método da contagem de picos ou
“Peak counting”
, o método da excedência de nível, ou
“
Level crossing counting
” e o mais utilizado de todos, o “
Rainflow counting
”
(MADSEN, 1986). Para processos de banda estreita, todos fornecem basicamente o
mesmo resultado, com pequenas diferenças que na prática não influenciam o cálculo do
dano e são bastante coerentes com os resultados da Equação (3.10). Para processos de
banda larga, ciclos grandes são interrompidos por ciclos menores e a contagem de ciclos
é bastante influenciada pelo método. A partir de comparações entre experimentos e os
resultados preditos pelos métodos de contagem, parece ser consenso que o método
“
Rainflow
” fornece os melhores resultados.
33
Nesse método, o sinal é primeiro convertido numa série de picos e vales
uniformemente numerados. O eixo temporal é orientado na vertical com o sentido
positivo para baixo. A série temporal é então encarada como uma série de “telhados”
com chuva escorrendo deles. Veja a ilustração de uma contagem de ciclos pelo método
“Rainflow” na Figura (3.5), retirada de (MADSEN 1986, p.260). O caminho que a
chuva percorre é definido através das seguintes regras (WIRSCHING et. al., 1977).
1. A chuva escoará, iniciando dos picos e dos vales. Quando alcançar as
extremidades do telhado irá cair.
2. Um escoamento começado num vale irá parar quando encontrar um vale mais
negativo que o que o originou (ex., [1-8] e [9-10]). Um escoamento iniciado
num pico irá parar quando encontrar um pico mais positivo que o que o originou
(ex., [2-3], [4-5], [6-7]).
3. Se o escoamento interceptar um escoamento originado anteriormente ele para
(ex., [3-3a], [5-5a])
4. Um novo escoamento não é iniciado até que o anterior tenha parado.
FIGURA 3.5 – (a) HISTÓRICO DE CARGAS; (b) AMOSTRA DE APLICAÇÃO DO MÉTODO “RAINFLOW”
34
3.5 Caracterização das cargas devido ao mar
Como as elevações da superfície do mar não são regulares, ele não toma
a forma de uma função que possa ser prevista no domínio do tempo. Ao contrário disso,
ele é um processo verdadeiramente aleatório. Por observação, podemos descrevê-lo
como uma mistura de ondas, de diferentes tamanhos, comprimentos e direções todas
misturadas e normalmente resultantes de distúrbios atmosféricos com diferente
intensidade, locações e direções. Outros mecanismos de geração de ondas existem, mas
são na prática de pouca importância, exceto em circunstâncias especiais.
Vamos imaginar um vento constante soprando sobre uma lamina d’água
não perturbada e com espaço ilimitado. Ele irá criar pequenas perturbações que irão se
propagar sobre a superfície da água mais ou menos na mesma direção que o vento.
Se o vento continuar atuando por tempo suficiente, as perturbações irão
crescer e se transformarão verdadeiramente em ondas. Ao mesmo tempo, os ventos irão
gerar mais perturbações na superfície da água, que eventualmente também se tornarão
ondas. O processo obviamente continua até que quaisquer observações do mar
consistam da mistura de ondas de comprimentos e alturas diferentes comentada acima.
Cada onda individual aparentemente continua a se propagar como se
estivesse em condições ideais, sem a presença das outras. Ondas de maior comprimento
possuem maior celeridade e tendem a “atropelar” as outras causando uma mudança
contínua no formato da superfície do mar.
Claramente, o mar está absorvendo energia do vento. Esse processo é
contrabalançado por dois mecanismos principais, a quebra das ondas e a viscosidade da
água. Conforme o tempo passa e o mar ganha energia, esses dois processo tornam-se
mais acentuados e acabam compensando completamente os efeitos do vento e a esse
ponto chamamos de mar completamente desenvolvido. Quando os ventos finalmente
param, as ondas começam a se espalhar para os lados e a decair com os processos de
dissipação. As ondas menores, com menos energia, são mais susceptíveis aos efeitos da
quebra, deixando as ondas de maior período para serem dissipados pela viscosidade. O
processo de decaimento pode durar muitos dias, durante os quais essas ondas podem se
35
propagar por centenas de quilômetros e são conhecidas pelo nome de “
swell
”. Ondas de
“
swell
” possuem grandes períodos, com perfil regular e se misturam ao mar local gerado
pelo vento. Obviamente, as ondas de “
swell
” e o mar local não possuem nenhuma
relação.
Um modelo matemático aceito para as elevações de um ponto na
superfície do mar é caracterizá-lo como a soma de infinitas ondas variando em
freqüência , cada uma com altura infinitesimal e fase aleatória., de modo que podemos
fazer medições em campo e representar o sinal temporal discreto obtido por (2.39).
Através da estatística do sinal medido, sabemos que podemos aproximá-lo por um
processo gaussiano.
Como foi visto anteriormente, a menos que o processo aleatório seja
ergódigo, não podemos caracterizá-lo a partir de uma única série temporal, mas
sabemos pelo teorema de Parseval, que a energia total do mar deve ser igual à soma da
energia de cada onda constituinte. Então, podemos representar o mar pelo seu espectro
de energia.
Cabe comentar que não existe atualmente modelo capaz de prever com a
antecipação e eficiência necessária quando determinadas condições de mar vão se
formar, no entanto, podemos dizer com base em observações, qual a probabilidade de
determinadas condições se formarem. Mais ainda, uma vez que determinadas condições
de mar aparecem, temos uma boa idéia de suas características, como ele irá se
comportar e como ele irá afetar os corpos em seu caminho.
No início, as primeiras observações do estado de mar contavam com o
trabalho de marinheiros que relatavam as condições observadas em suas viagens. Não é
preciso dizer que isso resulta num nível elevado de subjetividade dos dados, tornando-
os pouco confiáveis. À medida que a tecnologia avançou, novas técnicas de medição do
comportamento do mar foram sendo utilizadas. Hoje em dia, contamos com medições
por satélite, por radar, bóias equipadas com acelerômetros, sensores de onda montados
em plataformas fixas ou no fundo do mar, etc...
36
Comparadas as estimativas visuais, que estão sujeitas a grandes
incertezas, os métodos automatizados de medição de ondas proporcionam um nível de
confiabilidade muito melhor. O problema é que fazer as medições de onda em uma área
significativa por um período representativo de anos é um processo bastante difícil e
dispendioso. E ao mesmo tempo, já estava a disposição uma grande quantidade de
observações visuais ao redor de todo o globo. Trabalhos foram publicados no sentido de
estabelecer relações entre as observações visuais e os dados medidos. Vide (Hoogben et.
al., 1967). A altura significativa de onda é tida como a média das alturas das 1/3
maiores ondas num estado de mar. Isso se deve ao fato que observadores visuais tendem
a desconsiderar ondas de altura menores quando fazem suas medições.
O conceito de altura significativa foi desenvolvido durante a segunda
guerra mundial como parte de um projeto de previsão das condições de altura e período
das ondas oceanográficas. Wiegel (1964), comenta o que trabalho na “Scripps
Institution of Oceanography” mostrou:
“... alturas de ondas estimadas por observadores correspondem a
uma altura média de 20 a 40 por cento das ondas... Originalmente,
o termo altura significativa estava atrelado a média dessas
observações, mas evoluiu para a média das 30 por cento maiores
ondas medidas”
Se o mar for caracterizado por um processo gaussiano a altura
significativa é dada por (RYCHLIK, 1995):
0
4
mH
S
= (3.12)
onde m
0
é o momento do espectro de mar como definido na Equação (2.37).
Pierson and Moskowitz (1964), assumiram que se o vento soprasse por
um longo período com área suficiente, as ondas entrariam em equilíbrio com o vento, e
o mar completamente desenvolvido seria alcançado, então, propuseram sua fórmula
para o espectro de mar, que no início era em termos do vento. Posteriormente, essa
37
fórmula foi reeditada para retornar o espectro de mar em termos da altura significativa
Hs e do período de cruzamento zero Tz.
( )
−=
44
3
45
23
16
exp
4
TzTz
Hs
S
ω
π
ω
π
ω
η
(3.13)
HASSELMANN et al. (1973), após analisar dados obtidos com o
“Join
North Sea Wave Project - JONSWAP”
, descobriu que o mar nunca se desenvolve
totalmente. Ele continua a mudar através de iterações não lineares entre as ondas mesmo
por longas distâncias e períodos. Esse projeto foi proposto no inicio dos anos 1970 com
o propósito de gravar os perfis do Mar do Norte de uma forma consistente, analisar os
dados por métodos espectrais e desenvolver fórmulas paramétricas que pudessem
representar os estados de mar desde sua iniciação até a fase totalmente desenvolvida.
Para isso, foram posicionadas estações de medição da costa da Alemanha até uma
distância de 160km a oeste. Então, com o vento soprando diretamente da costa, as várias
distâncias até as bóias puderam ser comparadas com a evolução do mar, tendo a certeza
de que esse mar não estava contaminado com ondas originárias de outras fontes.
A formulação JONSWAP ajustada para as condições da Bacia de
Campos é proposta na ET (Especificação Técnica) de dados oceanográficos da
PETROBRAS como sendo:
( ) ( )
(
)
( )
−
−
⋅
−⋅−⋅
⋅⋅⋅=
22
2
2
exp
4
5
2
25.1expln287.01
16
5
p
p
f
ff
p
p
f
f
f
f
TpHsfS
σ
η
γγ
(3.14)
Onde:
σ
=Parâmetro de forma =
>=
≤=
pb
pa
ffpara
ffpara
07.0
07.0
σ
σ
f = freqüência (Hz)
f
p
= freqüência de pico
=
γ
Parâmetro de pico=
491.0
4.6
−
⋅
Tp
38
Para esse espectro a relação entre Tp e Tz pode ser expressa por:
γ
γ
γ
γ
+
+
=
+
+
=
89.10
5
89.10
51
Tp
f
Tz
p
(3.15)
Uma das características mais marcantes do mar é seu caráter dinâmico.
Como as propriedades estatísticas variam com o tempo, no longo prazo, o mar é um
processo aleatório não estacionário. Mas, a partir de muita observação e modelação
matemática, hoje em dia sabemos que se subdividirmos o tempo em períodos de mais
ou menos três horas, podemos assumir um comportamento estacionário e ergódigo.
Mais do que isso, com a ajuda da estatística de extremos, pode-se provar que um
período de medição de vinte minutos é representativo dessas três horas. Funciona assim,
a cada três horas, uma bóia oceanográfica faz medições das elevações do mar num certo
ponto durante vinte minutos. Essas medições passarão por um tratamento estatístico e
um espectro de mar será ajustado para ela em termos de sua altura significativa e seu
período de pico ou de cruzamento zero, conforme mostra a Figura (3.6).
FIGURA 3.6 – CARACTERIZAÇÃO DO CURTO PRAZO
39
As estatísticas coletadas podem aparecer sob a forma de um diagrama de
dispersão, como na Tabela (3.1), que traz os resultados de um ano de observações (2920
estados de mar de 3 horas), ou após um tratamento matemático sob a forma da
distribuição conjunta de probabilidades de Hs e Tz, como na Figura (3.7
). A cada
estado de mar damos o nome de curto-prazo. Ao grupo de estados de mar, damos o
nome de longo prazo.
TABELA 3.1– DIAGRAMA DE DISPERSÃO OBTIDO A PARTIR DA
INTEGRAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA MOSTRADA NA FIGURA (7)
Hs(m) / Tz(s) 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5
0,75 0 99 0 0 0
1,25 0 645 58 0 0
1,75 0 400 572 0 0
2,25 0 32 613 0 0
2,75 0 0 304 0 0
3,25 0 0 123 4 0
3,75 0 0 38 7 0
4,25 0 0 9 7 0
4,75 0 0 3 3 0
5,25 0 0 0 3 0
5,75 0 0 0 0 0
FIGURA 3.7
– PROBABILIDADE CONJUNTA DE Hs e Tz
40
Se a resposta da estrutura aos carregamentos do mar for linear podemos
calcular o “espectro de energia da resposta”, ou apenas “espectro de resposta” como
sendo o resultado do produto do espectro de mar pelo quadrado da resposta a uma
excitação unitária para uma mesma freqüência e a partir desse espectro aplicar um
método de análise no domínio da freqüência.
(
)
(
)
(
)
2
,|,|
ωωω
ησ
RAOTHsSTzHsS
×= (3.16)
Onde:
(
)
TzHsS
,|
ω
σ
é o espectro de resposta, para um determinado estado de mar Hs, Tz
(
)
THsS
,|
ω
η
é o espectro de mar, ex: Pierson and Moskowitz, JONSWAP, para um
determinado estado de mar Hs, Tz
(
)
ω
RAO
é a função de transferência
No caso da resposta da estrutura as cargas aplicadas ser não linear, o
procedimento é gerar a partir dos dados de curto prazo um sinal temporal das elevações
da superfície do mar, e a partir desse sinal fazer uma análise no domínio do tempo que
leve em consideração a não linearidade.
3.6 Análise de fadiga baseada no domínio da freqüência
Esse método é aplicável quando existe uma relação linear entre a altura
de onda e a tensão resultante na estrutura. A grande vantagem dessa teoria é que ela é
relativamente rápida quando comparada aos métodos baseados no domínio do tempo
tornando-a uma excelente ferramenta de projeto.
Na análise de fadiga baseada no domínio da freqüência, que será
brevemente discutida agora, as variações de tensão para utilizarmos com a regra de
Palmgren-Miner são normalmente descritas em termos de sua função densidade de
probabilidade. Aqui será assumida a hipótese de uma realização de tensões proveniente
de um processo aleatório gaussiano e de banda estreita. A verificação de banda será
feita através do fator de largura de banda e a correção, caso necessário, será feita através
do fator de correção de Wirsching (ABS, 2005), ver fórmula (3.26).
41
1º Passo – Obtenção da função de transferência da estrutura
A primeira tarefa, e talvez a mais árdua de uma análise no domínio da
freqüência, é determinar a função de transferência que faz a correlação entre a variação
de tensão e o espectro de mar numa certa direção. Dependendo da estrutura a ser
analisada isso pode ser bastante trabalhoso. Ela envolve submeter à estrutura a um
conjunto de ondas de amplitude unitária e freqüência variável. Para cada freqüência,
obtemos a resposta da estrutura e construímos a função de transferência. Conforme
Figura (3.8 ).
FIGURA 3.8
– CONTRUÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANFERÊNCIA
A função de transferência deve contemplar todas as direções em que há a
incidência de ondas na estrutura.
2º Passo – Geração do espectro de resposta e cálculo dos momentos espectrais
Devemos obter o espectro de mar para cada estado de mar (Hs, Tz)
contido no diagrama de dispersão. Nos exemplos a seguir, o espectro de mar utilizado
será o de Pierson and Moskowitz devido a sua formulação mais simples. De posse da
função de transferência e do espectro de mar, obtemos o espectro de resposta da
estrutura com a ajuda da Equação (3.16).
O cálculo dos momentos espectrais é feito a partir de sua definição em
(2.37). Se houver mais do que uma direção de incidência, a equação (3.16) se
transforma em:
42
(
)
(
)
(
)
2
|,,|,,|
θωθωθω
ησ
RAOTHsSTzHsS
×= (3.17)
onde
θ
é a direção da onda incidente.
A presença de mais do que uma direção de ondas incidentes resulta em
amplificações e cancelamentos alternados das cristas e cavados causando um estado de
mar bem confuso. Qualquer espectro de mar derivado dessas condições irá conter
contribuições de ondas de diversas direções. Esse fenômeno é modelado através das
funções de espalhamento de energia cinética ver (ABS 2003) e elas modificam o
espectro de resposta da seguinte forma:
( ) ( ) ( ) ( )
∑
+
−
×=
º90
º90
2
|,,|cos
2
,,|
θ
θ
ησ
θωθωθ
π
θω
RAOTHsSTzHsS
n
(3.18)
Onde
n é um inteiro e representa o fator de concentração energética em torno da direção
θ
. Os
efeitos do aumento de n podem ser verificados na Figura (3.9).
FIGURA 3.9
– FUNÇÃO DE ESPALHAMENTO PARA DIFERENTES VALORES DE N.
43
3º Passo – Cálculo do dano
Vamos supor que uma determinada estrutura esteja sujeita a n
0
ciclos de
tensão
σ
∆
aleatoriamente distribuídos por uma função distribuição de probabilidade
(
)
σ
∆f
de forma que o número de ciclos com variação de tensão entre
σ
∆
e
(
)
σσ
∆+∆ d
é dado por
(
)
σσ
∆⋅∆⋅
dfn
0
. Dessa forma, a regra de Palmgren-Miner
torna-se:
(
)
( )
∫
∞
∆⋅
∆
∆⋅
=
0
0
σ
σ
σ
d
N
fn
D
(3.19)
Podemos reescrever a equação das curvas S-N aplicando uma exponencial a ambos os
lados da Equação (3.9):
(
)
(
)
(
)
⇒=
∆−
σ
logloglog mAN
ee
⇒
∆
=
m
A
N
σ
(
)
m
AN
−
∆⋅=∆
σσ
(3.20)
Substituindo a equação (3.20) na equação (3.19) temos:
( )
∫
∞
∆⋅∆∆=
0
0
σσσ
df
A
n
D
m
(3.21)
Assumindo o processo aleatório como gaussiano e de banda estreita,
sabemos que a distribuição de ciclos é do tipo Rayleigh, confirme a equação (3.10) e a
freqüência de cruzamento zero positivo
+
ν
(em Hz) dos ciclos é dada pela equação
(2.36). A quantidade de ciclos
0
n
de um estado de mar durante a vida T (em segundos)
da estrutura é dada por:
Tpn
⋅⋅=
+
ν
0
, onde p é a probabilidade do estado de mar
ocorrer durante a vida da estrutura. Fazendo as devidas substituições, a equação (3.21)
torna-se:
44
∫
∞
+
∆⋅
∆
−
∆
∆
⋅⋅
=
0
0
2
0
8
exp
4
σ
σσ
σ
ν
d
mmA
Tp
D
m
(3.22)
Resolvendo a integral na função (3.22), obtemos a fórmula para o dano
de um estado de mar:
(
)
( )
2
0
2
122
m
m
m
m
A
Tp
D
⋅
+Γ
⋅⋅
=
+
ν
(3.23)
Onde:
( )
∫
∞
−−
=Γ
0
1
dtetx
tx
é a função Gamma.
A fórmula acima assume que a curva S-N adotada possui apenas uma
inclinação. Hoje em dia, para tirar proveito do limiar de fadiga, uma tensão tão baixa
que a quantidade de ciclos até a falha tende a infinito, os procedimentos de análise de
fadiga adotam curvas de duas inclinações. Para curvas de duas inclinações, a Equação
(3.22) torna-se:
∫
∞
+
+∆⋅
∆
−
∆
∆
⋅⋅
=
0
0
2
0
1
8
exp
4
S
m
d
mmA
Tp
D
σ
σσ
σ
ν
∫
∆⋅
∆
−
∆
∆
⋅⋅
+
+
0
0
0
2
0
2
8
exp
4
S
m
d
mmC
Tp
σ
σσ
σ
ν
(3.24)
Onde:
S0 é a variação de tensão no ponto de inflexão onde as duas inclinações da curva S-N se
encontram.
A e m1 são respectivamente o ponto onde a curva de maior inclinação intercepta a abscissa
e a inclinação inversa dessa curva.
C e m2 são respectivamente o ponto onde a curva de menor inclinação intercepta a abscissa
e a inclinação inversa dessa curva.
45
Resolvendo a equação (3.24), temos a fórmula para o dano de um estado de
mar levando em consideração uma curva S-N de duas inclinações (DNV, 2008):
(
)
(
)
++
+Γ=
+
2
0
2
0
2
0
1
0
22
0
;
2
2
1
22
22
0
;
2
1
1
22
m
Sm
C
m
m
Sm
A
m
pTD
mm
γν
(3.25)
As funções Gama incompletas e complementares são definidas respectivamente como:
( )
∫
−−
=
a
tx
dtetax
0
1
,
γ
é a função Gama incompleta
( )
∫
∞
−−
=Γ
a
tx
dtetax
1
,
é a função Gama complementar
4º Passo – Correção no dano devido à banda do espectro de resposta
A formulação para cálculo do dano mostrado acima é válida para os
casos em que o processo aleatório é gaussiano, estacionário e de banda estreita. Nos
casos onde o espectro da resposta não é de banda estreita, há a necessidade de
utilizarmos algum método de correção para ajustarmos o dano previsto. Wirshing,
(1980), propôs multiplicar o dano com o seguinte fator:
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
(
)
mb
mamam
εελ
−−+= 11, (3.26)
onde:
(
)
mma 033.0926.0 −=
(
)
323.2587.1 −= mmb
m é a inclinação inversa da curva S-N
46
ε
é o fator de largura de banda
40
2
2
1
mm
m
−=
ε
(3.27)
O dano corrigido pelo fator acima se torna:
(
)
ελ
,mDD
c
⋅= (3.28)
3.7 Exemplo ilustrativo
Uma junta soldada de uma unidade marítima possui o RAO como apresentado na tabela
3.2. Sabendo que a vida útil da peça é de 25 anos, calcule o dano acumulado considerando
as informações de longo prazo dadas na tabela 3.1 e considerando que o espectro de mar é
bem ajustado pela formulação de Pierson and Moskowitz. Utilizar a curva S-N DNV F3
para o ar.
TABELA 3.2 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
ω (rad / s)
MPa . s
0,45 0,0000
0,48 0,0018
0,52 0,0042
0,57 0,0074
0,63 0,0093
0,70 0,0068
0,79 0,0040
0,90 0,0054
1,05 0,0019
1,26 0,0005
1,57 0,0000
47
FIGURA 3.10
– FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Vamos calcular inicialmente o dano de curto prazo para um estado de mar, por exemplo:
Hs = 1750 mm
Tz = 7,5 s
O espectro de Pierson and Moskowitz para esse estado de mar (mostrado na figura 3.11) é
dado por:
( )
−=
44
3
45
23
5.7
16
exp
5.7
17504
ω
π
ω
π
ω
η
z
S
FIGURA 3.11
– ESPECTRO DE MAR
48
O espectro de resposta para o estado de mar (vide Figura 3.12) é dado por:
(
)
(
)
(
)
2
ωωω
ησ
RAOSS ×=
FIGURA 3.12
– ESPECTRO DE MAR
Os momentos espectrais do estado de mar são:
( )
∫
∞
==
0
0
426,6
ωω
σ
dSm
( )
∫
∞
==
0
2
2
04,3
ωωϖ
σ
dSm
( )
∫
∞
==
0
4
4
624,1
ωωϖ
σ
dSm
A freqüência de cruzamento zero é calculada por:
Hz
m
m
11,0
426.6
049.3
2
1
2
1
0
2
===
+
ππ
ν
49
A curva S-N DNV F3 (vide Figura 3.13) possui as seguintes propriedades:
546,11
10=A
m1 = 3
547,14
10=C
m2 = 5
S0 = 32,75 MPa
FIGURA 3.13
– FIGURA CURVA S-N DNV F3
Segundo a tabela 3.1 probabilidade de ocorrência desse estado de mar no longo termo é
dada por:
196,0
2920
572
==p
A vida útil em segundo é:
T = 25 x 2920 x 3 x 60 x 60
(anos) (quantidade de estados de mar de 3 horas no ano) (horas) (minutos) (segundos)
8
10884,7 ⋅=T segundos
E a quantidade de ciclos para esse estado de mar durante a vida útil da unidade é de:
50
=
0
n ciclospT
78
10693,110884,7196,011,0 ⋅=⋅⋅⋅=
+
ν
O dano para o estado de mar com a curva de duas inclinações e dado por:
(
)
(
)
⋅
+
⋅
+
⋅
+Γ⋅=
2
547,14
5
2
546,11
3
7
426,622
75,32
;
2
5
1
10
426,622
426,622
75,32
;
2
5
1
10
426,62
10693,1
γ
d
0031,0
=
d
O fator de correção de banda é:
827,03033.0926.0
=
⋅
−
=
a
438,2323.23587.1
=
−
⋅
=
b
346,0
642,1426,6
049,3
11
2
40
2
2
=
⋅
−=−=
mm
m
ε
[
]
[
]
[
]
[
]
889,0346,01827,01827,011
438,2
=−−+=−−+=
b
aa
ελ
O dano corrigido para a largura de banda do estado de mar é então:
0028,0889,0003,0 =⋅=⋅=
λ
dd
C
Para os outros estados de mar do longo prazo que constam na tabela 3.1 o raciocínio é o
mesmo e um resumo do cálculo está mostrado na tabela 3.3
51
TABELA 3.3 – RESULTADOS DA ANÁLISE
ESTADO DE MAR m
0
m
2
m
4
ν0
p n
0
d
ε λ
d
c
Hs: 750 | Tz: 4,5 0,2786 0,23 0,21 0,15 0,0336 3,84E+06 2,68E-07
0,31 0,90 2,41E-07
Hs: 1250 | Tz: 4,5 0,7739 0,64 0,59 0,15 0,2206 2,52E+07 2,27E-05
0,31 0,90 2,04E-05
Hs: 1750 | Tz: 4,5 1,517 1,26 1,15 0,15 0,1373 1,57E+07 7,60E-05
0,31 0,90 6,82E-05
Hs: 2250 | Tz: 4,5 2,508 2,08 1,91 0,15 0,0110 1,25E+06 2,13E-05
0,31 0,90 1,91E-05
Hs: 2750 | Tz: 4,5 3,746 3,11 2,85 0,15 0,0003 3,89E+04 1,80E-06
0,31 0,90 1,62E-06
Hs: 1250 | Tz: 7,5 3,361 1,52 0,78 0,11 0,0202 1,71E+06 6,04E-05
0,34 0,89 5,37E-05
Hs: 1750 | Tz: 7,5 6,588 2,98 1,53 0,11 0,1959 1,65E+07 3,15E-03
0,34 0,89 2,80E-03
Hs: 2250 | Tz: 7,5 10,89 4,93 2,53 0,11 0,2103 1,78E+07 1,19E-02
0,34 0,89 1,06E-02
Hs: 2750 | Tz: 7,5 16,27 7,37 3,78 0,11 0,1045 8,82E+06 1,60E-02
0,34 0,89 1,43E-02
Hs: 3250 | Tz: 7,5 22,72 10,29 5,27 0,11 0,0411 3,47E+06 1,42E-02
0,34 0,89 1,27E-02
Hs: 3750 | Tz: 7,5 30,25 13,70 7,02 0,11 0,0134 1,13E+06 8,99E-03
0,34 0,89 8,00E-03
Hs: 4250 | Tz: 7,5 38,86 17,60 9,02 0,11 0,0034 2,89E+05 3,97E-03
0,34 0,89 3,53E-03
Hs: 4750 | Tz: 7,5 48,54 21,99 11,27 0,11 0,0007 5,74E+04 1,24E-03
0,34 0,89 1,10E-03
Hs: 2750 | Tz: 10,5 17,15 4,69 1,83 0,08 0,0003 2,23E+04 4,61E-05
0,55 0,85 3,93E-05
Hs: 3250 | Tz: 10,5 23,95 6,55 2,55 0,08 0,0010 6,76E+04 3,14E-04
0,55 0,85 2,68E-04
Hs: 3750 | Tz: 10,5 31,88 8,72 3,40 0,08 0,0021 1,35E+05 1,21E-03
0,55 0,85 1,03E-03
Hs: 4250 | Tz: 10,5 40,95 11,20 4,36 0,08 0,0021 1,35E+05 2,06E-03
0,55 0,85 1,76E-03
Hs: 4750 | Tz: 10,5 51,15 13,99 5,45 0,08 0,0014 8,99E+04 2,15E-03
0,55 0,85 1,83E-03
Hs: 5250 | Tz: 10,5 62,49 17,09 6,66 0,08 0,0007 4,46E+04 1,56E-03
0,55 0,85 1,33E-03
Hs: 5750 | Tz: 10,5 74,96 20,50 7,99 0,08 0,0003 2,23E+04 1,08E-03
0,55 0,85 9,19E-04
∑
1,000
∑
0,068
∑
0,060
52
O dano total estimado para a junta é D = 0,06. Obviamente que este
exemplo é puramente acadêmico, para ilustrar o raciocínio. A estimativa real do dano
acumulado para um detalhe soldado de uma unidade flutuante através de métodos baseados
no domínio da freqüência envolve calcularmos a função de transferência para as diferentes
direções de ondas incidentes em relação ao aproamento da unidade em diferentes condições
de carregamento. Regras de sociedades classificadoras estabelecem que um incremento de
mais de 30º entre os aproamentos considerados não é desejável, (ABS 2003). Diferentes
diagramas de dispersão para cada aproamento podem ser considerados dando-se a devida
atenção à probabilidade de ocorrência de cada um deles.
3.8 Análise de fadiga no domínio do tempo
Os métodos de cálculo de fadiga no domínio do tempo são utilizados nos
casos em que existe uma não linearidade entre a resposta da estrutura e o carregamento
aplicado e não é possível aplicar procedimentos de linearização. Nesse caso, a informação
de longo prazo contida no diagrama de dispersão é transformada em realizações no
domínio do tempo para todos os estados de mar a partir dos seus espectros. Um histórico de
cargas hidrodinâmicas é gerado a partir das realizações de cada estado de mar, sendo
utilizada uma análise estrutural no domínio do tempo para obter um histórico de tensões
correspondente a cada estado de mar.
Para cada um desses históricos de tensões no domínio do tempo, um método
de contagem de ciclos é aplicado para obter um histograma de ciclos. O dano acumulado é
calculado com a ajuda da regra de Palmgren-Miner e das curvas S-N. Observa-se que, para
um mesmo estado de mar, podemos obter infinitas realizações e, conseqüentemente,
infinitos históricos de tensão.
Ao contrário dos métodos no domínio da freqüência, que fornecem
diretamente o valor esperado do dano, nos métodos no domínio do tempo é necessário
gerar diversas realizações do mesmo processo aleatório para podermos calculá-lo.
A pergunta que fica é: quantas realizações são necessárias para calcular o
valor esperado do dano com um determinado nível de confiança? Ou seja, no caso de
querermos calcular o valor esperado do dano de um estado de mar no domínio do tempo,
53
quantas simulações devemos fazer? Infelizmente, a resposta para essa pergunta é que
devemos realizar um número necessário de simulações para caracterizar uma amostra
representativa do processo. Como exemplo, na Figura (3.14) foram calculadas 500
históricos de tensão de 1200 segundos de duração de um estado de mar. A cada 5
simulações o valor esperado para o dano das simulações foi calculado. Podemos notar que
com poucas simulações a variabilidade do valor esperado do dano é grande. Porém, à
medida que o número de simulações aumenta, o valor esperado do dano estabiliza.
FIGURA 3.14
– VALOR ESPERADO E DESVIO PADRÃO DO DANO DE UM ESTADO DE MAR PARA
DIFERENTES QUANTIDADES DE SIMULAÇÕES NO DOMÍNIO DO TEMPO
A API-RP-2SK sugere que para obtermos resultados estatisticamente
significantes com análises no domínio do tempo, um conjunto equivalente a uma faixa
entre 15 e 30 horas de simulação seria suficiente para prover dados de boa confiabilidade
para estruturas marítimas típicas. Podemos notar que os gráficos do valor esperado do dano
e do seu desvio padrão estabilizam em torno de 100 simulações e não adianta aumentar a
quantidade de simulações para mudar os resultados. Essa quantidade de simulações
equivale a mais ou menos 30 horas de simulação estando de acordo com o que a norma diz.
54
No capítulo seguinte, serão introduzidos os conceitos da técnica de
reamostragem Bootstrap, um método estatístico que a partir de uma única amostra de um
processo aleatório consegue estimar o desvio padrão de estimadores estatísticos baseados
nela. No quinto capítulo, iremos demonstrar como a partir do método Bootstrap, podemos
derivar um intervalo de confiança para o dano a partir de uma única simulação no domínio
do tempo.
55
4. Bootstrap
4.1 Introdução
No capítulo anterior, vimos que métodos no domínio do tempo não
permitem calcular diretamente o valor esperado do dano acumulado da mesma forma
que métodos no domínio da freqüência.
A partir do histórico de tensões, como comentado anteriormente,
podemos utilizar um método de contagem de ciclos, no nosso caso o método Rainflow
para obtermos um histograma de ciclos de tensão que pode ser encarado como uma
amostra de um processo probabilístico e que é utilizada para calcular o dano da
simulação. As perguntas que fazemos a seguir são: é possível quantificar a variação do
dano em torno do seu valor esperado que é desconhecido? Como podemos fazer isso? O
Bootstrap é uma metodologia geral baseada na força bruta computacional capaz de
responder a essas perguntas sem a necessidade de recorrer a uma análise teórica
detalhada do problema.
Esse capítulo é destinado a apresentar os conceitos básicos do método
Bootstrap. Ele irá inicialmente mostrar a utilização do Bootstrap no cálculo do desvio
padrão de estimadores probabilísticos e depois estender o conceito para ilustrar como
podemos utilizá-lo para calcular intervalos de confiança para esses mesmos
estimadores. No capítulo seguinte, será apresentada uma aplicação desse método para
tirar conclusões sobre o acúmulo de dano de um detalhe estrutural a partir de uma única
realização do domínio do tempo.
56
4.2 Bootstrap não-paramétrico
Seja uma amostra de dados
(
)
nn
xxxxy ,,,,
121 −
⋅⋅⋅= originária de uma
função de distribuição de probabilidades desconhecida F, a partir da qual calculamos o
parâmetro de interesse
( )
y
∧
θ
e que precisamos estimar o seu desvio padrão.
Vamos indicar o desvio padrão de
( )
y
∧
θ
por
(
)
F
σ
:
( ) ( )
=
∧
yVarF
F
θσ
(4.1)
É claro que
(
)
F
σ
é também função da quantidade de dados n e do
próprio parâmetro
( )
y
∧
θ
, mas como estes são grandezas conhecidas, por simplificação,
vamos mantê-las ocultas na notação. A estimativa Bootstrap para o desvio padrão é:
=
∧∧
F
σσ
(4.2)
onde
∧
F
indica a distribuição empírica de probabilidade dando peso
n
1
para os n
valores
nn
xxxx ,,,,
121
−
⋅⋅⋅ .
Na grande maioria dos casos, não existe nenhuma formulação simples
para calcular a Equação (4.1). Porém, é fácil estimar numericamente
=
∧∧
F
σσ
através
da utilização de um algoritmo de Monte Carlo.
Vamos primeiro caracterizar uma amostra Bootstrap
(
)
∗∗
−
∗∗∗
⋅⋅⋅=
nn
xxxxy ,,,,
121
como sendo n sorteios independentes de
∧
F
. Como
∧
F
é a
distribuição empírica definida acima a amostra Bootstrap torna-se um sorteio com
reposição, de tamanho n da amostra inicial
{
}
nn
xxxx ,,,,
121 −
⋅⋅⋅ onde cada
n
x tem a
mesma probabilidade de ser sorteado.
57
Os passos para calcular a estimativa Bootstrap através do algoritmo de
Monte Carlo (EFRON et. al., 1986) são:
i). Usando um gerador de números aleatórios com distribuição uniforme, sorteie
com reposição um grande número B de amostras Bootstrap,
(
)
(
)
(
)
(
)
ByByyy
∗∗∗∗
−⋅⋅⋅ ,1,,2,1 ;
ii). Para cada amostra bootstrap calcule o parâmetro de interesse,
( ) ( )
( )
byb
∗
∗
∧
∗
∧
=
θθ
,
BBb ,1,,2,1
−
⋅
⋅
⋅
=
iii). Calcule o desvio padrão dos valores de
( )
b
∗
∧
θ
como:
( ) ( )
2
1
1
2
1
−
⋅−
=
∑
=
∗
∧
∗
∧
∧
B
b
B
b
B
θθ
σ
(4.3)
()
( )
B
b
B
b
∑
=
∗
∧
∗
∧
=⋅
1
θ
θ
(4.4)
É fácil ver que quando
∞
→
B
,
B
∧
σ
se aproxima de
=
∧∧
F
σσ
, a
estimativa Bootstrap para o desvio padrão. Para muitas situações, B em torno de 50 a
200 é uma quantidade adequada de amostras Bootstrap. Agora, uma pergunta torna-se
relevante: porque cada amostra Bootstrap tem que ter o mesmo tamanho n da amostra
original? Bom,
(
)
F
σ
é na verdade
∧
θσ
,,
nF
, o desvio padrão para
( )
y
∧
θ
baseado
numa amostra aleatória da distribuição de probabilidades desconhecida F. A estimativa
bootstrap
∧
σ
é na verdade
∧
θσ
,,
nF
assumindo que
∧
=
F
F
. O algoritmo de Monte
Carlo não convergiria para
∧
σ
se o tamanho da amostra Bootstrap fosse diferente de n.
Bickel et. al. (1981) propuseram uma forma de corrigir o algoritmo de Monte Carlo para
58
o caso do tamanho da amostra ser diferente, mas até agora parece ter sido apontado pela
literatura nenhuma vantagem em fazê-lo.
4.3 Bootstrap paramétrico
Vamos definir a estimativa Bootstrap paramétrica para o desvio padrão
como:
=
∧∧
PAR
PAR
F
σσ
(4.5)
onde
PAR
F
∧
é uma função contínua ajustada para representar a distribuição de
probabilidades das amostras de F. Assim como no caso não paramétrico, não existe
nenhuma formulação simples para calcular
PAR
∧
σ
. Portanto, utilizamos o algoritmo do
item anterior para estimar de forma numérica seu valor. A única modificação que
iremos fazer no algoritmo para o caso paramétrico é que no item “i)” as amostras
Bootstrap não são sorteadas da distribuição empírica
∧
F
, que atribui aos valores da
amostra inicial a mesma probabilidade de ocorrência, e sim de um modelo paramétrico,
ou seja, as amostras Bootstrap de tamanho n serão sorteadas a partir da distribuição
PAR
F
∧
que fornece o melhor ajuste ao histograma de dados da amostra inicial.
O Bootstrap paramétrico é muito útil em ocasiões que sabemos qual é a
forma da distribuição de probabilidades de uma amostra.
Em (BAZÁN, 2005), observam-se duas vantagens do método Bootstrap
com relação aos métodos tradicionais:
1) Quando usado no modo não paramétrico, ele dispensa a necessidade do analista
fazer hipóteses sobre o tipo de distribuição da população envolvida;
59
2) Quando usado no modo paramétrico, ele fornece respostas mais precisas que as
fórmulas aproximadas existentes na bibliografia, e pode ainda fornecer respostas
em problemas para os quais não existem fórmulas disponíveis.
4.4 Exemplo ilustrativo
A Tabela (4.1) contém amostras das alturas de uma população. A partir
dessa amostra, calcular o desvio padrão da média da amostra por: a) Métodos teóricos,
b) Estimativa Bootstrap não paramétrica do desvio padrão da média da amostra, c)
Estimativa Bootstrap paramétrica do desvio padrão da média da amostra sabendo que as
alturas da população obedecem a uma distribuição gaussiana.
TABELA 4.1 – AMOSTRA DE ALTURAS
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
1,166 1,597 1,813 1,693 1,955 1,582 1,881 1,667 1,504 1,56
x
11
x
12
x
13
x
14
x
15
x
16
x
17
x
18
x
19
x
20
2,225 1,534 1,296 1,786 1,822 1,576 1,745 1,454 1,927 1,78
Solução:
Em (BAZÁN, 2005, p.38) temos a definição de uma fórmula para o valor
esperado da média de uma amostra e para o seu desvio padrão. Vamos primeiro assumir
F como sendo a função distribuição de probabilidades da amostra. Nesse caso, sendo n
o tamanho da amostra, sua média e a sua variância são dados por:
( )
n
x
xEx
n
i
i
F
F
∑
=
==
1
( )
[ ]
(
)
n
xx
xxExS
n
i
F
i
F
F
F
∑
=
−
=−==
1
2
2
2
)var(
60
Considerando
nn
xxxx
,,,
1,21 −
⋅⋅⋅
como variáveis estatisticamente
independentes, o valor esperado da média da amostra é dado por:
( )
[ ]
∑
∑
=
=
=
⋅
==
=
n
i
F
F
i
n
i
i
F
F
x
n
xn
n
xE
n
x
ExE
1
1
(4.6)
De forma semelhante, pode-se deduzir o valor teórico para a variância da
média da amostra por:
( )
2
1
2
1
2
1
11
−=
=
=
∑∑
∑
==
=
n
i
F
i
n
i
i
n
i
i
F
xnxE
n
xVar
n
n
x
VarxVar
(
)
n
S
n
nS
n
xxE
FF
n
i
F
i
2
2
2
2
1
2
==
−
=
∑
=
(4.7)
(
)
n
S
xVarS
F
F
x
F
==
(4.8)
A média e o desvio padrão das amostras da tabela (4.1) são dados por:
678,1
20
20
1
==
∑
=
i
i
F
x
x
( )
234,0
20
20
1
2
=
−
=
∑
=
i
F
i
F
xx
S
61
E de acordo com as Equações (4.6) e (4.8), o valor esperado da média da amostra e o
desvio padrão da média da amostra são dados por:
(
)
678,1
==
FF
F
xxE
052,0
20
191,0
==
F
x
S
Agora vamos calcular a estimativa Bootstrap não paramétrica para o desvio padrão da
média da amostra da Tabela (4.1). Para isso, foram geradas 1000
=
B
amostras
Bootstrap, de mesmo tamanho da amostra inicial, sorteadas uniformemente e com
reposição:
(
)
1
∗
y
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
y
9
y
10
1,454
1,927
2,225
1,56
1,745
1,576
1,78
1,296
1,582
1,745
y
11
y
12
y
13
y
14
y
15
y
16
y
17
y
18
y
19
y
20
1,667
1,786
1,166
1,582
1,534
1,745
1,56
1,822
1,56
1,822
,
(
)
2
∗
y
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
y
9
y
10
1,534
1,822
1,534
1,693
1,504
2,225
1,822
1,693
1,56
1,786
y
11
y
12
y
13
y
14
y
15
y
16
y
17
y
18
y
19
y
20
1,693
1,693
1,786
1,504
1,927
1,693
1,745
1,955
1,745
1,693
, ... ,
(
)
1
−
∗
By
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
y
9
y
10
1,693
1,504
1,955
1,597
1,78
1,955
1,166
1,504
1,582
1,296
y
11
y
12
y
13
y
14
y
15
y
16
y
17
y
18
y
19
y
20
1,881
1,582
1,881
1,504
1,534
1,166
1,597
1,881
1,78
1,786
,
62
(
)
By
∗
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
y
9
y
10
1,813
2,225
1,454
1,955
1,813
1,881
1,166
1,296
1,534
1,693
y
11
y
12
y
13
y
14
y
15
y
16
y
17
y
18
y
19
y
20
1,667
1,667
1,576
1,927
1,786
1,78
1,454
1,955
1,534
1,56
A média de cada amostra bootstrap (parâmetro de interesse da simulação) foi calculada:
(
)
(
)
(
)
657,111
==
∗∗
yE
θ
,
(
)
(
)
(
)
73,122
==
∗∗
yE
θ
, ... ,
(
)
(
)
(
)
631,111
=−=−
∗∗
ByEB
θ
,
(
)
(
)
(
)
687,1
==
∗∗
ByEB
θ
De acordo com o passo iii) do algoritmo mostrado anteriormente, o desvio padrão da
média da amostra foi calculado por:
()
( )
686,1
1000
1000
1
==⋅
∑
=
∗
∧
∗
∧
b
b
θ
θ
( ) ()
051,0
11000
2
1
1000
1
2
=
−
⋅−
=
∑
=
∗
∧
∗
∧
∧
b
B
b
θθ
σ
A simulação Bootstrap paramétrica foi executada a partir do mesmo
procedimento acima, a única diferença foi que ao invés das amostras Bootstrap serem
obtidas através do sorteio com reposição da amostra inicial, sabe-se que a variável
aleatória que ajusta a altura da população é do tipo normal. Com isso, ajustamos uma
variável aleatória de média
F
µ
e variância
F
2
σ
e as amostras Bootstrap foram obtidas a
partir dela. O resultado do desvio padrão da média calculado pelo método bootstrap
paramétrico é:
()
679,1=⋅
∗
∧
θ
63
054,0=
∧
B
σ
A Tabela (4.2) sumariza os resultados acima:
TABELA 4.2 – RESULTADOS DOS MÉTODOS
Média Desvio Padrão
Cálculo teórico 1,678 0,052
Bootstrap não-paramétrico 1,686 0,051
Bootstrap paramétrico 1,679 0,054
Para gerarmos as amostras Bootstrap paramétricas, devemos utilizar a
inversa da distribuição cumulativa de probabilidades da variável aleatória que
utilizarmos para parametrizar os dados iniciais. Números aleatórios com distribuição
uniforme são gerados. Esses números são então aplicados à distribuição inversa. O
resultado dessa operação é um conjunto de números aleatórios com a distribuição
desejada.
4.5 Estimativa do intervalo de confiança
No item anterior, discutimos meios de calcularmos o desvio padrão de
um determinado operador
∧
θ
. O exemplo foi em termos do valor esperado da média da
amostra, a qual é um dos poucos casos que possuímos uma fórmula teórica para
comparação. No caso de estimadores mais complexos, a utilização do Bootstrap é de
grande valia, pois fornece uma ferramenta simples como a fórmula (4.3) para
estimarmos o desvio padrão, não importa quão complicado seja o operador. Os desvios
padrões são freqüentemente utilizados para estimarmos intervalos de confiança para
∧
θ
.
Intervalos de confiança são uma estimativa dos valores entre os quais o valor de
∧
θ
vai
estar no caso de uma amostra qualquer da variável de interesse. Neste item, serão
descritos três técnicas para a construção desses intervalos. No capítulo seguinte, esses
intervalos serão utilizados para estimarmos o valor no qual o dano estimado será
sempre, por exemplo, 98% do tempo maior que o dano real.
64
4.5.1 Intervalo de confiança normal padrão
Utilizamos o valor do estimador
∧
θ
e
B
∧
σ
o valor do desvio padrão de
∧
θ
,
calculado pelo método Bootstrap, ou por outro método, para definir o intervalo de
confiança normal padrão como:
( )
α
σθθ
z
B
∧∧
±∈ (4.9)
onde
(
)
α
z
é o
α
⋅
100 ponto percentil de uma distribuição normal padrão, i.e.,
(
)
(
)
(
)
%100
α
α
=≤ zZP de uma distribuição
(
)
1,0N
. Em outras palavras,
(
)
(
)
α
α
1−
Φ=z .
O intervalo normal padrão é o intervalo em que os valores de
θ
estarão
aproximadamente (
α
21
−
)% do tempo, i.e., conforme qualquer tabela normal padrão,
(
)
645,1
05,0
−=z e
(
)
645,1
95,0
=z definem o intervalo de confiança onde o valor de
θ
esta aproximadamente 90%.
( ) ( )
ασθσθθ
αα
21,Pr
1
−=
⋅+⋅+∈=
∧
−
∧∧∧
BB
F
zzob (4.10)
Os intervalos de confiança normal padrão são uma ferramenta estatística
muito útil, uma vez que tem a grande virtude de serem automáticos. Um algoritmo pode
ser escrito que a partir dos dados da amostra y pode estimar o intervalo de confiança
normal padrão muito rapidamente através da estimativa de seu desvio padrão
B
∧
σ
.
Vamos imaginar uma amostra
(
)
nn
xxxxy ,,,,
121 −
⋅⋅⋅= obtida de forma
aleatória de uma distribuição desconhecida F. Seja
∧
θ
o valor de um estimador qualquer
calculado a partir de y e
B
∧
σ
a estimativa Bootstrap para o seu desvio padrão. Para a
maioria dos casos podemos verificar que à medida que o tamanho da amostra cresce a
distribuição de
∧
θ
torna-se cada vez mais normal com média
θµ
θ
=
∧
e desvio padrão
65
B
∧
σ
, ou seja, quando
∞
→
n
,
→
∧∧
B
N
σθθ
,
, onde
θ
é o valor real do estimador
calculado a partir da distribuição desconhecida F. Naturalmente, (4.9) é apenas uma
aproximação na maioria dos problemas embora seja muito útil como estimativa em
muitas situações.
4.5.2 Intervalo percentil
O método anterior de estimativa do intervalo de confiança utiliza apenas
a estimativa Bootstrap do desvio padrão. Isso implica em assumirmos distribuição
normal como a distribuição da amostra
(
)
nn
xxxxy ,,,,
121 −
⋅⋅⋅= . Agora, usaremos os
dados obtidos das próprias replicações Bootstrap para não termos que assumir uma
distribuição para y.
Primeiramente, vamos definir B amostras Bootstrap baseadas em y das
quais são calculadas as replicações
∗
∧
θ
. Vamos definir a função cumulativa de
probabilidades
( )
sG
∧
como:
( )
<=
∗
∧
∗
∧
sobsG
θ
Pr
(4.11)
( )
sG
∧
pode ser obtida organizando as B replicações Bootstrap
∗
∧
θ
em
ordem crescente e atribuindo a probabilidade de ocorrência
1
+
n
n
à enésima replicação.
O intervalo percentil é definido como:
( ) ( )
−∈
−
∧
−
∧
ααθ
1,
11
GG
(4.12)
66
Isso significa que se tivermos B=100 replicações Bootstrap então o
intervalo percentil 90% será definido pelo valor da 5° replicação e o valor da 95°
simulação.
Supondo que
( )
sG
∧
seja ajustada perfeitamente por uma função
cumulativa normal,
( )
−
Φ=
∧
∧
∧
σ
θ
s
sG
, ou em outras palavras, que
∗
∧
θ
tenha
distribuição normal, o intervalo percentil e o intervalo normal padrão seriam iguais.
Mas e em situações onde a distribuição de
∗
∧
θ
não é normal? Qual seria o melhor
método a adotar?
Para responder a essa pergunta, vamos considerar que
(
)
2
,
σθθ
N≈
∧
.
Nesse caso, conforme dito acima,
[
]
[
]
αθαθ
PNP
= . Suponha agora, que a distribuição de
∧
θ
não seja normal, mas que possamos ajustar uma transformação monótona
=
∧∧
θφ
g
,
cuja distribuição seja dada por
(
)
2
,
τφφ
N≈
∧
, onde
τ
é uma constante. Nesse caso, a
estimativa normal padrão do intervalo de confiança pode ser inadequada, mas o
intervalo percentil continuaria correto. “Correto” significa dizer que a equação (4.12) é
o mapeamento do intervalo
( )
α
τφ
z⋅±
∧
de volta à escala de
θ
,
[ ]
( )
⋅±=
∧
−
α
τφαθ
zg
P
1
.
Isso significa que intervalo percentil é invariante para a transformação monótona
(EFRON et. al., 1986), ou seja, se o intervalo percentil está correto na escala
(
)
θφ
g
= ,
então estará correto também na escala original de
θ
, e não é necessário conhecer a
transformação
φ
, somente que ela existe.
4.5.3 Método BCa.
Os resultados de (EFRON, 1982), mostram que existe uma
transformação
=
∧∧
θφ
g
, mais geral, que satisfaz a seguinte relação:
67
(
)
2
0
,
ιφ
ττφφ
zN
−≈
∧
(4.13)
O (
B
ias-
C
orrected and
A
ccelerated) é um procedimento para melhorar a
precisão do método percentil que é exato para problemas que podem ser mapeados com
a transformação (4.13). É um método mais genérico que fornece limites de confianças
mais precisos que o método percentil, sendo preferível na prática.
Esse método define os extremos dos limites de confiança como sendo:
[ ]
( )
( )
( )
+−
+
+Φ≡
∧
−
α
α
αθ
zza
zz
zG
BCa
0
0
0
1
1
(4.14)
onde:
Φ≡
∧∧
−
θ
Gz
1
0
(4.15)
( )
6
=
•
=
∧
tlSKEW
a
θ
θθ
(4.16)
Sendo:
( )
•
=
∧
tlSKEW
θ
θθ
’é o parâmetro de skewness no valor
∧
=
θθ
e,
( ) ( )
tftl
θ
θ
θ
log
∂
∂
=
•
O parâmetro
0
z pode ser calculado diretamente da distribuição
cumulativa de replicações Bootstrap e podemos escrever (4.15) com a forma:
68
( )
<
Φ=
∧
∗
∧
−
B
b
z
θθ
#
1
0
(4.17)
onde
( )
<
∧
∗
∧
θθ
b#
é a quantidade de replicações bootstrap menores que
∧
θ
. Podemos
afirmar que
0
z mede a tendência da mediana de
∗
∧
θ
, isto é, a discrepância entre a
mediana de
∗
∧
θ
e
∧
θ
. O intervalo de confiança
α
21
−
BCa pode ser escrito a partir da
Equação (4.14) como:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+−
+
+Φ
+−
+
+Φ∈
−
∧
−
−
∧
−
α
α
α
α
θ
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
,
1 zza
zz
zG
zza
zz
zG (4.18)
A grandeza
∧
a é chamada de aceleração porque se refere à taxa de
variação do desvio padrão de
∧
θ
em relação ao verdadeiro parâmetro
θ
. Ela pode ser
estimada em temos de seu valor “jacknife”, que é uma técnica semelhante ao Bootstrap
mas anterior a ela, para calcular a tendência e o desvio padrão de uma estimativa.
(BAZÁN, 2005).
Sejam
i
y os valores da amostra original com o i-ésimo ponto
(
)
iy
removido.
( )
i
i
ys=
∧
θ
, e vamos definir
( )
n
n
i
i
∑
=
∧
•
∧
=
1
θ
θ
. Dessa forma, a aceleração
∧
a pode
ser calculada pela expressão:
( )
( )
2
3
1
2
1
3
6
−
−
=
∑
∑
=
∧
•
∧
=
∧
•
∧
∧
n
i
i
n
i
i
a
θθ
θθ
(4.19)
69
Como pudemos observar o progresso dos métodos de estimativa do
intervalo de confiança, iniciando pelo intervalo normal padrão, passando pelo intervalo
percentil e por fim o método BCa, é marcado por um aumento na complexidade de sua
definição. Por outro lado, cada método atende a uma faixa mais abrangente de casos.
Cada um deles requer que se realizem um número cada vez maior de
cálculos. Primeiramente, a função cumulativa
∧
G para o método percentil, depois
0
z e
∧
a para o método BCa. De qualquer forma eles são métodos computacionais em sua
natureza e podem ser realizados de forma automatizada.
4.6 Exemplo ilustrativo
Para a amostra de alturas do exemplo 4.1, calcular os intervalos de
confiança 95% normal padrão assumindo os resultados da fórmula analítica para o valor
esperado e para o desvio padrão da média da amostra. Comparar os resultados com os
intervalos normal padrão, percentil e BCa estimados a partir das estimativas feitas pelo
Bootstrap não-paramétrico e pelo Bootstrap paramétrico.
Solução:
Como visto no Exemplo 4.1, a o valor esperado e o desvio padrão da média da amostra
calculados analiticamente são dados por:
( )
678,1===
∧
FFF
E
µµθ
052,0=
F
µ
σ
Definir o intervalo de confiança 95% significa definir o intervalo no qual
o valor esperado de qualquer amostra de tamanho n (no caso do Exemplo 4.1 n = 20)
estará 95% do tempo. O intervalo normal padrão assume que a distribuição do
estimador, no nosso caso a média da amostra é do tipo normal, e podemos calcular os
70
extremos do nosso intervalo de acordo com a Equação (4.10) como mostrado na Figura
(4.1).
(
)
025,0
2
95,01
95,021 =
⇒
−
=
⇒
=−
ααα
(
)
(
)
(
)
96,1025,0
11
−=Φ=Φ=
−−
α
α
z
(
)
(
)
(
)
96,1975,01
111
=Φ=−Φ=
−−−
α
α
z
FIGURA 4.1 – INTERVALO DE CONFIANÇA NORMAL PADRÃO
O limite inferior do intervalo de confiança é dado por:
( ) ( )
[ ]
052,096,1678,1;052,096,1678,1,
1
⋅+⋅−=
⋅+⋅+∈
∧
−
∧∧∧
FF
zz
µ
α
µ
α
σθσθθ
∈
θ
[1,576 ; 1,781]
A estimativa Bootstrap não-paramétrica para o valor esperado e o desvio padrão da
média são:
686,1=
∧
BNP
θ
051,0=
BNP
σ
71
O intervalo normal padrão 95% dado pelo Bootstrap não-paramétrico é:
∈
θ
[1,586 ; 1,786]
Estimar o intervalo percentil envolve ajustar uma distribuição cumulativa de
probabilidades às B replicações bootstrap
∗
∧
i
θ
, com
i
variando de 1 até B. Para isso,
organizamos os B
∗
∧
i
θ
em ordem crescente e atribuímos a eles a probabilidade
1
+
i
i
de
tal forma que:
1
Pr
+
=
<
∗
∧∧
i
i
ob
i
θθ
, o resultado disso é mostrado na Figura (4.2).
FIGURA 4.2 – FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA AJUSTADA
O intervalo percentil 95% é o intervalo que compreendem 95% dos valores de G. Em
termos práticos isso significa adotarmos como os extremos do intervalo os
ésimoB
−
⋅
α
e ésimoB
−
−
⋅
)1(
α
valores do vetor ordenado de
∗
∧
i
θ
. Como temos
B=1000 replicações bootstrap não-paramétricas:
25025,01000
=
⋅
=
⋅
α
B
72
(
)
975975,010001
=⋅=−⋅
α
B
E intervalo percentil é dado por:
( )
=
∈
∗
∧
∗
∧
∗
−⋅
∧
∗
⋅
∧
975251
,,
θθθθθ
αα
BB
∈
θ
[1, 586 ; 1,789]
O intervalo de confiança 95% BCa é construído com mostrado na fórmula (4.18).
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+−
+
+Φ
+−
+
+Φ∈
−
∧
−
−
∧
−
α
α
α
α
θ
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
,
1 zza
zz
zG
zza
zz
zG
Com
( )
033,0
1000
513
#
11
0
=
Φ=
<
Φ=
−
∧
∗
∧
−
B
b
z
BNP
θθ
onde
( )
<
∧
∗
∧
BNP
b
θθ
#
é a quantidade de replicações bootstrap menores que a estimativa
da média da média da amostra inicial. O cálculo da aceleração é dado como mostrado na
Equação (4.19):
( )
( )
2
3
1
2
1
3
6
−
−
=
∑
∑
=
∧
•
∧
=
∧
•
∧
∧
n
i
i
n
i
i
a
θθ
θθ
73
n é a quantidade de valores na amostra inicial e
i
∧
θ
é o valor do estimador (no nosso
caso a média da amostra) com o i-ésimo valor retirado.
453,1
1
=
∧
θ
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
1,166 1,597 1,813 1,693 1,955 1,582 1,881 1,667 1,504 1,56
x
11
x
12
x
13
x
14
x
15
x
16
x
17
x
18
x
19
x
20
2,225 1,534 1,296 1,786 1,822 1,576 1,745 1,454 1,927 1,78
,
598,1
2
=
∧
θ
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
1,166 1,597 1,813 1,693 1,955 1,582 1,881 1,667 1,504 1,56
x
11
x
12
x
13
x
14
x
15
x
16
x
17
x
18
x
19
x
20
2,225 1,534 1,296 1,786 1,822 1,576 1,745 1,454 1,927 1,78
,
...
,
589,1
20
=
∧
θ
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
1,166 1,597 1,813 1,693 1,955 1,582 1,881 1,667 1,504 1,56
x
11
x
12
x
13
x
14
x
15
x
16
x
17
x
18
x
19
x
20
2,225 1,534 1,296 1,786 1,822 1,576 1,745 1,454 1,927 1,78
( )
678,1
1
==
∑
=
∧
•
∧
n
n
i
i
θ
θ
0004,0=
∧
a
74
Se definirmos 1
α
e 2
α
como:
(
)
( )
( )
( )
893,1
96,10033,00004,01
96,10033,0
0033,0
1
1
0
0
0
−=
−−
−
+=
+−
+
+=
∧
α
α
α
zza
zz
z
(
)
( )
( )
( )
027,2
96,10033,00004,01
96,10033,0
0033,0
1
2
1
0
1
0
0
=
+−
+
+=
+−
+
+=
−
∧
−
α
α
α
zza
zz
z
Teremos:
{
}
(
)
{
}
(
)
[
]
2,1
11
ααθ
ΦΦ∈
−−
GG
{
}
(
)
{
}
(
)
[
]
027,2,893,1
11
Φ−Φ∈
−−
GG
θ
=
( ) ( )
=
∗
∧
∗
∧
∗
Φ⋅
∧
∗
−Φ⋅
∧
97929027,2893,1
,,
θθθθ
BB
∈
θ
[1,588 ; 1,781]
Para o bootstrap paramétrico, a mecânica do cálculo do intervalo de confiança é a
mesma, e são estimados como:
Intervalo Normal Padrão:
∈
θ
[1,574 ; 1,784]
Intervalo Percentil:
∈
θ
[1,575 ; 1,780]
Intervalo BCa:
∈
θ
[1,572 ; 1,778]
A Tabela 4.3 sumariza todos os resultados mostrados nesse exemplo:
75
TABELA 4.3 – RESULTADOS DOS MÉTODOS DE ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇA
Estimativa Analítica Bootstrap não-paramétrico Bootstrap Paramétrico
Limite
inferior
Limite
superior
Limite
inferior
Limite
superior
Limite
inferior
Limite
superior
Intervalo normal padrão
1,576 1,781 1,586 1,786 1,574 1,784
Intervalo Percentil NA NA 1,586 1,789 1,575 1,78
Intervalo BCa NA NA 1,588 1,781 1,572 1,778
Comparado os resultados na Tabela 4.3, verificamos que os resultados de
todos os métodos são muito próximos. Isso não é nenhum acidente. Na verdade, a
amostra inicial realmente for retirada de uma distribuição normal. No caso disso não ser
verdade, é esperado que o intervalo normal padrão se afaste da realidade, às vezes de
uma forma bastante acentuada (EFRON et. al. 1986). O intervalo percentil não depende
de assumirmos nenhuma distribuição e dessa forma tende a dar resultados melhores
qualquer que seja a distribuição da amostra. O método BCa tem o objetivo de melhorar
a precisão do método percentil, tentando corrigir, ou ao menos atenuar qualquer
tendência que o estimador possa apresentar, em geral ele fornece melhores resultados
que o método percentil e é preferível na prática.
76
5. Aplicações
5.1 Introdução
Nesse capítulo, iremos apresentar dois casos de aplicação da técnica
Bootstrap para nos ajudar a estimar intervalos de confiança em análises de fadiga no
domínio do tempo. Como vimos anteriormente, nas estruturas oceânicas as cargas
atuantes são, basicamente, oriundas de efeitos ambientais caracterizados por processos
aleatórios. A implicação disso é que a análise estrutural no domínio do tempo utiliza um
histórico de cargas proveniente desses processos para calcular a resposta da estrutura e
obter o correspondente histórico de tensões. Esse histórico de tensões é então utilizado
para calcular o dano acumulado na estrutura. Do ponto de vista da análise de fadiga, o
problema é que a partir de um mesmo processo aleatório podem ser geradas várias
realizações distintas no domínio do tempo.
O problema é que, embora todas as realizações sejam representativas do
mesmo processo aleatório, quando calculamos o dano acumulado de cada uma delas
verificamos que resulta um conjunto de valores de danos distintos que caracterizam uma
variável aleatória, geralmente com distribuição desconhecida. Ou seja, no domínio do
tempo precisamos calcular o dano a partir de N realizações do processo aleatório em
quantidade suficiente para que se possa ajustar adequadamente uma função de
probabilidades de uma variável aleatória representativa para o processo.
O primeiro caso, apresentado a seguir, é um exemplo acadêmico
idealizado para mostrar a utilização da técnica de Bootstrap. Nesse exemplo, vamos
assumir que a relação entre a carga e a resposta da estrutura seja linear, de modo que
possamos aplicar a formulação no domínio da freqüência apresentada anteriormente
para calcularmos diretamente o valor esperado do dano acumulado no longo-prazo.
77
Em seguida, a partir do espectro de resposta de cada estado no diagrama
de dispersão iremos gerar históricos Gaussianos de tensão e calcular o dano de longo
prazo no domínio do tempo. Essa operação será repetida 100 vezes para que possamos
ajustar um intervalo de confiança aos resultados da análise no domínio do tempo pelo
método percentil.
O próximo passo é utilizar o método de reamostragem Bootstrap para a
partir de uma única simulação estimar o intervalo de confiança 98% para o dano de
longo prazo. Vamos adotar o limite superior desse intervalo como a estimativa para o
dano. Esse valor será comparado com os resultados previstos pelos métodos no domínio
da freqüência e domínio do tempo.
O segundo caso é a aplicação do método Bootstrap a um exemplo real de
“slamming” na estrutura do “Fairlead” de um FPSO onde devido às não linearidades
envolvidas não é possível fazer uma análise no domínio da freqüência. As simulações
no domínio do tempo geradas para esse problema foram utilizadas para aplicarmos o
método Bootstrap e podermos comparar seu desempenho em um caso não linear em
comparação com o valor esperado do dano calculado a partir das simulações no domínio
do tempo.
5.2 Descrição do primeiro caso
O primeiro caso apresentado consiste no cálculo do dano acumulado de
um detalhe estrutural. Como foi dito acima, primeiramente será feito o cálculo no
domínio da freqüência, depois no domínio do tempo e, finalmente, iremos estimar o
intervalo de confiança do dano acumulado a partir do método Bootstrap.
(a) Cálculo do dano de longo-prazo no domínio da freqüência.
A metodologia do cálculo do dano acumulado no domínio da freqüência
foi apresentada anteriormente no item 3.6. A função de transferência do detalhe está
apresentada na Figura (5.1).
78
FIGURA 5.1 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO DETALHE
Para esse caso, a estatística de Hs e Tz no longo prazo será caracterizado
em termos de sua distribuição conjunta como apresentado na Figura (5.2). A partir da
integração da Equação (5.1), obtemos o diagrama de dispersão equivalente apresentado
em termos da probabilidade do estado de mar Hs, Tz ocorrer, como mostrado na Tabela
5.1.
FIGURA 5.2 – DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE HS e TZ
79
(
)
(
)
hstzfftzhsf
HsTzHsTzHs
/,
/,
⋅= (5.1)
( )
( )
−
−=
2
ln
2
1
exp
2
1
Hs
Hs
Hs
Hs
hs
hs
hsf
ξ
λ
πξ
(5.2)
603204,0=
Hs
λ
329771,0=
Hs
ξ
( )
( ) ( )
( )
−
−=
2
/
ln
2
1
exp
2
1
/
hs
hstz
tz
hstzf
Tz
Tz
Tz
HsTz
ξ
λ
πξ
(5.3)
( ) ( )( )
Hs
Hs
T
TTz
hshs
λ
ξ
ξ
ρλλ
−+= ln
( )
2
1
ρξξ
−=
TTz
hs
829504,1=
T
λ
152627,0=
T
ξ
9,0
=
ρ
TABELA 5.1 – PROBABILIDADE DO ESTADO DE MAR Hs, Tz ACONTECER
Hs(m) / Tz(s) 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5
0,75 0,000 0,034 0,000 0,000 0,000
1,25 0,000 0,221 0,020 0,000 0,000
1,75 0,000 0,137 0,196 0,000 0,000
2,25 0,000 0,011 0,210 0,000 0,000
2,75 0,000 0,000 0,104 0,000 0,000
3,25 0,000 0,000 0,041 0,001 0,000
3,75 0,000 0,000 0,013 0,003 0,000
4,25 0,000 0,000 0,003 0,003 0,000
4,75 0,000 0,000 0,001 0,001 0,000
5,25 0,000 0,000 0,000 0,001 0,000
5,75 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Por simplicidade, o espectro de mar adotado para representar a energia
dos estados de mar nesse caso foi o de Pierson-Moskovitz, apresentado anteriormente
na Equação (3.13) como:
80
( )
−=
44
3
45
23
16
exp
4
TzTz
Hs
S
ω
π
ω
π
ω
η
Os efeitos da direcionalidade das ondas incidentes foram
desconsiderados e o espectro de resposta foi calculado como mostrado na Equação
(3.16),
(
)
(
)
(
)
2
,|,|
ωωω
ησ
RAOTHsSTzHsS ×=
Os momentos espectrais foram calculados com a fórmula apresentada em
(2.37)
( )
ωωω
σ
dSm
n
∫
∞
=
0
A curva S-N adotada para esse exemplo foi a do DNV-F3 para o ar de
duas inclinações, ver Figura (5.3), e dada por:
( )
<⋅
≥⋅
=
−
−
0
0
SseC
SseA
N
r
m
σσ
σσ
σ
(5.4)
546,11
10=A , 31
=
m ,
547,14
10=C , 52
=
m , 75,320
=
S
FIGURA 5.3 – CURVA SN ADOTADA
81
O dano acumulado em cada estado de mar é calculado com a utilização da
equação de dano de curto prazo para curva de duas inclinações apresentada anteriormente
na Equação (3.25).
(
)
(
)
++
+Γ=
+
2
0
2
0
2
0
1
0
22
0
;
2
2
1
22
22
0
;
2
1
1
22
m
Sm
C
m
m
Sm
A
m
pTD
mm
γν
Devido ao espectro de resposta dos estados de mar não ser totalmente de
banda estreita, existe a necessidade de aplicarmos um fator de correção ao resultado do
dano acumulado para cada estado de mar. O fator de correção de Wirshing apresentado
na Equação (3.26) foi utilizado.
(b) Cálculo do dano de longo-prazo no domínio do tempo
Uma discussão sobre o cálculo do dano acumulado no domínio do tempo
foi apresentada no item 3.7. Observa-se que será necessário realizar N simulações e a
partir dos resultados de dano acumulado de cada uma delas calcular o valor esperado e o
desvio padrão do dano.
Cada simulação é composta pela geração de um histórico no domínio do
tempo para cada estado de mar do diagrama de dispersão apresentado na Tabela 5.1. A
formulação para a geração desses históricos foi apresentada no item 2.7.
Esse processo foi repetido para diferentes durações do histórico de
tensões de forma que pudéssemos visualizar o efeito do tamanho das realizações na
precisão da análise. As durações para os históricos de tensão calculados em segundos
foram: 1200
=
T , 2400
=
T , 3600
=
T , 7200
=
T , 10800
=
T , 12200
=
T e
30000
=
T .
Para decompor os históricos irregulares de tensões em ciclos foi utilizado
o método “rainflow”. A partir do histograma de ciclos de tensão foram calculados os
danos acumulados de cada estado de mar com a ajuda da regra de Palmgren-Miner e da
curva S-N adotada (Curva F3 DNV-Ar).
82
É importante comentar aqui que o diagrama de dispersão na Tabela 5.1
representa a probabilidade de cada estado de mar Hs, Tz acontecer durante um ano.
Precisamos ajustar o dano calculado para cada estado de mar e fazer com que este reflita
o dano durante a vida útil de 25 anos. O fator de correção é dado por:
p
T
F ⋅
⋅⋅=
10800
292025
(5.5)
onde 25 é a vida útil da estrutura em anos, 2920 é a quantidade de estados de mar de 3h
em 1 ano,
T
10800
é a razão entre a quantidade de segundos em 3 horas e o tamanho da
realização T e
p
é a probabilidade de ocorrência do estado de mar dado pela Tabela 5.1.
O dano de longo prazo de cada simulação é o somatório de todos os danos de curto
prazo.
(c) Estimativa do dano a partir do método Bootstrap
Na análise anterior, para cada simulação no domínio do tempo, foram
geradas realizações, ou históricos de tensão de cada estado de mar do diagrama de
dispersão. Para cada uma delas, o método de contagem de ciclos “rainflow” foi utilizado
e obtivemos um histograma de ciclos de tensão.
O objetivo de aplicarmos o método Bootstrap é conseguirmos definir um
intervalo de confiança para o dano acumulado a partir dos resultados de uma única
simulação no domínio do tempo, e a partir daí sermos capazes de tomar decisões de
projeto baseado nesses resultados.
Como foi dito acima, cada simulação do dano no domínio do tempo
consiste da geração de uma série temporal de tensão para cada estado de mar do longo-
prazo, i.e., para cada estado de mar do diagrama de dispersão. Para calcularmos o dano
de cada estado de mar, aplicamos o método de contagem “rainflow” e obtemos o
histograma de ciclos da série temporal, que é utilizado para com o auxílio da curva S-N
e da regra de Palmgren-Miner calcular o dano acumulado de cada estado de mar.
83
Esse histograma será utilizado como amostra inicial para aplicarmos o
método bootstrap (paramétrico ou não paramétrico, ficando condicionado apenas se
temos ou não alguma informação sobre a função distribuição de probabilidades de
ciclos de tensõs).
A análise bootstrap da simulação no domínio do tempo para o longo-
prazo será realizada a partir dos seguintes passos:
i).
Para o histórico de tensões de um estado de mar utilizar o método
“rainflow” para obter os ciclos de tensão. Esses ciclos serão
utilizados como amostra inicial para o método bootstrap.
ii).
Sendo N a quantidade de ciclos obtidos através do método de
contagem, gerar B amostras bootstrap a partir da amostra inicial
de tamanho N através de sorteio com reposição das amostras,
atribuindo probabilidade de ocorrência de
N
1
a cada ciclo. Se
tivermos conhecimento sobre a distribuição de probabilidades do
histograma de ciclos podemos utilizar a formulação do Bootstrap
paramétrico para gerar as amostras.
iii).
Para cada amostra bootstrap calcular o dano.
iv).
Repetir os passos i), ii) e iii) para todos os estados de mar do
longo prazo.
v).
Agora possuímos B amostras de dano para cada estado de mar do
longo prazo. A replicação bootstrap
i
no longo prazo, com
Bi
⋅
⋅
⋅
=
1 será assumida como sendo a soma de todas as amostras
i
de dano ao longo de todos os estados de mar.
( )
∑
=
∗
=
mardeestadososTodos
n
i
n
danoi
1
θ
vi).
Ajustar uma distribuição cumulativa de probabilidades G
experimental às B replicações Bootstrap. Para isso, organizar as
replicações
(
)
i
∗
θ
em ordem crescente e atribuir a cada uma delas
84
a probabilidade cumulativa de
1
+
B
i
. Isso significa dizer que
(
)
1
)(Pr
+
=<
∗∗
B
i
iob
θθ
.
vii).
O critério adotado para o dano previsto pelo método de
reamostragem Bootstrap será o extremo superior do intervalo de
confiança %98 .
5.3 Resultados do primeiro caso
O dano acumulado para o longo-prazo pela análise no domínio da
freqüência foi de 0,236. A Tabela 5.2 fornece um sumário dos resultados por estado de
mar.
85
TABELA 5.2 –RESULTADOS DA ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA PARA O CASO 1
ESTADO DE MAR m
0
m
2
m
4
ν0
p n
0
d
ε λ
d
c
Hs: 750 | Tz: 4,5 0,5652 0,47 0,48 0,15 0,0336 3,84E+06
1,58E-06
0,43 0,87 1,37E-06
Hs: 1250 | Tz: 4,5 1,57 1,31 1,33 0,15 0,2206 2,52E+07
1,33E-04
0,43 0,87 1,16E-04
Hs: 1750 | Tz: 4,5 3,077 2,56 2,60 0,15 0,1373 1,57E+07
4,46E-04
0,43 0,87 3,89E-04
Hs: 2250 | Tz: 4,5 5,087 4,23 4,30 0,15 0,0110 1,25E+06
1,25E-04
0,43 0,87 1,09E-04
Hs: 2750 | Tz: 4,5 7,599 6,32 6,42 0,15 0,0003 3,89E+04
1,06E-05
0,43 0,87 9,22E-06
Hs: 1250 | Tz: 7,5 6,206 3,07 1,68 0,11 0,0202 1,78E+06
2,92E-04
0,31 0,90 2,63E-04
Hs: 1750 | Tz: 7,5 12,16 6,02 3,29 0,11 0,1959 1,73E+07
1,52E-02
0,31 0,90 1,37E-02
Hs: 2250 | Tz: 7,5 20,11 9,96 5,44 0,11 0,2103 1,86E+07
5,67E-02
0,31 0,90 5,09E-02
Hs: 2750 | Tz: 7,5 30,04 14,87 8,12 0,11 0,1045 9,22E+06
7,23E-02
0,31 0,90 6,50E-02
Hs: 3250 | Tz: 7,5 41,95 20,77 11,34 0,11 0,0411 3,63E+06
5,85E-02
0,31 0,90 5,25E-02
Hs: 3750 | Tz: 7,5 55,85 27,65 15,10 0,11 0,0134 1,18E+06
3,34E-02
0,31 0,90 3,00E-02
Hs: 4250 | Tz: 7,5 71,74 35,52 19,39 0,11 0,0034 3,02E+05
1,35E-02
0,31 0,90 1,21E-02
Hs: 4750 | Tz: 7,5 89,61 44,37 24,23 0,11 0,0007 6,00E+04
3,95E-03
0,31 0,90 3,54E-03
Hs: 2750 | Tz: 10,5 14,74 6,71 3,36 0,11 0,0003 2,88E+04
4,09E-05
0,30 0,90 3,67E-05
Hs: 3250 | Tz: 10,5 20,59 9,37 4,70 0,11 0,0010 8,72E+04
2,82E-04
0,30 0,90 2,53E-04
Hs: 3750 | Tz: 10,5 27,41 12,47 6,26 0,11 0,0021 1,74E+05
1,10E-03
0,30 0,90 9,92E-04
Hs: 4250 | Tz: 10,5 35,2 16,02 8,03 0,11 0,0021 1,74E+05
1,93E-03
0,30 0,90 1,74E-03
Hs: 4750 | Tz: 10,5 43,97 20,01 10,04 0,11 0,0014 1,16E+05
2,06E-03
0,30 0,90 1,85E-03
Hs: 5250 | Tz: 10,5 53,72 24,44 12,26 0,11 0,0007 5,76E+04
1,51E-03
0,30 0,90 1,36E-03
Hs: 5750 | Tz: 10,5 64,44 29,32 14,71 0,11 0,0003 2,88E+04
1,06E-03
0,30 0,90 9,54E-04
∑
1,000
∑
0,263
∑
0,236
86
Os resultados das análises no domínio do tempo (sem utilizar o
Bootstrap) com período de duração do histórico temporal de 1200
=
T , 2400
=
T ,
3600
=
T , 7200
=
T , 10800
=
T , 12200
=
T e 30000
=
T estão apresentados na
Tabela 5.3. Esses resultados foram obtidos a partir de 100 análises no domínio do tempo
para cada um dos períodos citados acima.
TABELA 5.3 –RESULTADOS DA ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA O CASO 1
RESUMO REALIZAÇÕES Normal Padrão 98% PERCENTIL 98%
T
µ σ
erro 1% 99% 1% 99%
1200 0,200 0,035 15% 0,118 0,283 0,142 0,297
2400 0,217 0,023 8% 0,163 0,271 0,166 0,271
3600 0,220 0,019 7% 0,175 0,265 0,171 0,261
7200 0,227 0,013 4% 0,198 0,257 0,203 0,256
10800 0,230 0,009 2% 0,209 0,252 0,212 0,248
12200 0,231 0,007 2% 0,214 0,248 0,216 0,248
30000 0,235 0,004 0% 0,226 0,244 0,225 0,246
Tanto a estimativa do intervalo de confiança feito pelo método percentil,
quanto a feita pelo método normal padrão cobrem o resultado do dano de longo-prazo
calculado no domínio da freqüência para todos os períodos calculados. Quando o
período de simulação é pequeno, o desvio padrão do dano em relação ao seu valor
esperado é grande, e, conseqüentemente, o intervalo de confiança estimado pelos dois
métodos também é. À medida que o tempo de simulação aumenta podemos notar um
decréscimo no desvio padrão e obviamente no intervalo de confiança
A coluna “erro” mostra a diferença percentual na média do dano entre os
resultados do domínio do tempo e do domínio da freqüência. Quando o tamanho da
simulação é pequeno, podemos notar uma tendência no valor esperado calculado pelo
método no domínio do tempo de ser menor que o valor calculado pelo método no
domínio da freqüência. Conforme o tamanho da simulação aumenta essa tendência
tende a sumir e os resultados dos dois métodos tendem a coincidir. Da mesma forma,
para pequenos períodos, o intervalo normal padrão e o percentil diferem um pouco,
conforme o período da simulação aumenta, podemos notar que os resultados dos dois
métodos de estimativa do intervalo de confiança tendem a apresentar o mesmo
resultado, veja a Figura (5.4).
87
FIGURA 5.4 – RESULTADOS DA ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO
88
Para calcularmos o dano utilizando o método Bootstrap iremos precisar
de apenas uma análise no domínio do tempo. Como exemplo, vamos adotar a simulação
n.º 35 com período 10800
=
T segundos. Os passos para estimarmos o dano pelo
método Bootstrap a partir de uma única simulação, foram apresentados no item anterior.
Para cada estado de mar dessa simulação foi gerado um histórico de tensões e depois foi
aplicado o método “rainflow” para decompor o sinal irregular do histórico de tensões
em ciclos. Vamos supor que o método “rainflow” resultou numa quantidade N de ciclos
para um estado de mar. A partir dessa informação serão geradas B amostras bootstrap
de tamanho N através de reamostragem com reposição dos ciclos. Para cada uma dessas
amostras Bootstrap geradas o dano é calculado com a regra de Palmgren-Miner. Esse
processo se repetirá para todos os estados de mar da simulação escolhida. Cada estado
de mar possui agora B replicações Bootstrap. O dano de todas as i-ésimas replicações
para cada estado de mar com Bi
⋅
⋅
⋅
=
1 são somados para obtermos a replicação
Bootstrap para o longo-prazo. Essas replicações são em seguida colocadas em ordem
crescente e são utilizadas para ajustar a função cumulativa de probabilidades citada
anteriormente.
De acordo com o critério apresentado no item anterior, de que o
resultado adotado para o dano a partir do método Bootstrap seria o limite superior do
intervalo de confiança 98%, precisamos estimar esse intervalo a partir das replicações
Bootstrap obtidas para o longo prazo. Mesmo que o método normal padrão seja o mais
imediato e menos trabalhoso, sua utilização não é aconselhada a menos que tenhamos
conhecimento de que a distribuição de probabilidade dos danos para o processo em
questão seja do tipo normal. Nesse trabalho, o intervalo de confiança ajustado aos
valores das replicações Bootstrap para o dano de longo prazo foi o percentil, embora o
método BCa seja o mais recomendado, por se tratar de um método mais genérico e que,
teoricamente, deve apresentar melhores resultados.
O limite superior do intervalo de confiança 98% para a simulação 35 de
10800
=
T , foi de 245,0=
∗
θ
. Comparado com o dano calculado no domínio da
freqüência, essa estimativa é em torno de 4% mais conservadora. A Tabela 5.4
exemplifica o cálculo das replicações Bootstrap no longo prazo para a simulação 35. E
89
a Figura (5.5) mostra a CDF ajustada às replicações de longo prazo, o intervalo de
confiança 98% e seu limite superior.
FIGURA 5.5 – RESULTADOS DA ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO
90
TABELA 5.4 –RESULTADOS DA ANÁLISE BOOTSTRAP PARA A SIMULAÇÃO 35 – T=10800 SEGUNDOS
Amostra Bootstrap
Hs: 750 | Tz: 4,5
Hs: 1250 | Tz: 4,5
Hs: 1750 | Tz: 4,5
Hs: 2250 | Tz: 4,5
Hs: 2750 | Tz: 4,5
Hs: 1250 | Tz: 7,5
Hs: 1750 | Tz: 7,5
Hs: 2250 | Tz: 7,5
Hs: 2750 | Tz: 7,5
Hs: 3250 | Tz: 7,5
Hs: 3750 | Tz: 7,5
Hs: 4250 | Tz: 7,5
Hs: 4750 | Tz: 7,5
Hs: 2750 | Tz: 10,5
Hs: 3250 | Tz: 10,5
Hs: 3750 | Tz: 10,5
Hs: 4250 | Tz: 10,5
Hs: 4750 | Tz: 10,5
Hs: 5250 | Tz: 10,5
Hs: 5750 | Tz: 10,5
Dano total
1
8,96E-07
8,47E-05
3,16E-04 7,22E-05
6,46E-06 1,81E-04 8,86E-03 3,88E-02 4,18E-02 3,63E-02 2,31E-02 9,68E-03 2,70E-03 2,99E-05
1,62E-04 6,83E-04 1,26E-03 1,43E-03 1,23E-03
8,09E-04 1,68E-01
2
9,05E-07
8,64E-05
3,23E-04 7,40E-05
6,55E-06 1,82E-04 9,19E-03 3,92E-02 4,29E-02 3,80E-02 2,32E-02 1,03E-02 2,71E-03 2,99E-05
1,74E-04 6,89E-04 1,32E-03 1,43E-03 1,24E-03
8,23E-04 1,72E-01
3
9,44E-07
8,72E-05
3,26E-04 7,84E-05
6,63E-06 1,86E-04 9,20E-03 3,94E-02 4,30E-02 3,86E-02 2,35E-02 1,05E-02 2,73E-03 3,04E-05
1,75E-04 7,04E-04 1,34E-03 1,44E-03 1,25E-03
8,32E-04 1,73E-01
4
9,47E-07
8,76E-05
3,26E-04 7,93E-05
6,66E-06 1,86E-04 9,31E-03 3,96E-02 4,30E-02 3,87E-02 2,36E-02 1,05E-02 2,75E-03 3,07E-05
1,76E-04 7,05E-04 1,36E-03 1,44E-03 1,27E-03
8,33E-04 1,74E-01
5
9,49E-07
8,77E-05
3,27E-04 7,98E-05
6,69E-06 1,86E-04 9,37E-03 4,01E-02 4,31E-02 3,87E-02 2,36E-02 1,06E-02 2,76E-03 3,07E-05
1,78E-04 7,05E-04 1,37E-03 1,44E-03 1,27E-03
8,35E-04 1,75E-01
6
9,51E-07
8,83E-05
3,28E-04 8,01E-05
6,70E-06 1,87E-04 9,43E-03 4,05E-02 4,32E-02 3,91E-02 2,37E-02 1,06E-02 2,81E-03 3,09E-05
1,82E-04 7,20E-04 1,37E-03 1,45E-03 1,27E-03
8,44E-04 1,76E-01
7
9,54E-07
8,86E-05
3,29E-04 8,04E-05
6,72E-06 1,87E-04 9,45E-03 4,05E-02 4,34E-02 3,91E-02 2,37E-02 1,06E-02 2,83E-03 3,11E-05
1,84E-04 7,20E-04 1,38E-03 1,46E-03 1,28E-03
8,47E-04 1,76E-01
8
9,60E-07
8,87E-05
3,29E-04 8,05E-05
6,73E-06 1,87E-04 9,47E-03 4,05E-02 4,36E-02 3,92E-02 2,39E-02 1,07E-02 2,85E-03 3,12E-05
1,85E-04 7,23E-04 1,38E-03 1,46E-03 1,28E-03
8,48E-04 1,77E-01
9
9,63E-07
8,88E-05
3,29E-04 8,06E-05
6,73E-06 1,88E-04 9,49E-03 4,09E-02 4,36E-02 3,92E-02 2,40E-02 1,07E-02 2,87E-03 3,14E-05
1,86E-04 7,25E-04 1,39E-03 1,47E-03 1,28E-03
8,48E-04 1,77E-01
10
9,63E-07
8,96E-05
3,30E-04 8,06E-05
6,80E-06 1,89E-04 9,49E-03 4,10E-02 4,39E-02 3,92E-02 2,41E-02 1,07E-02 2,87E-03 3,15E-05
1,86E-04 7,34E-04 1,39E-03 1,49E-03 1,29E-03
8,48E-04 1,78E-01
, ... ,
992
1,41E-06
1,31E-04
4,69E-04 1,19E-04
9,98E-06 2,86E-04 1,43E-02 6,01E-02 6,34E-02 5,36E-02 3,22E-02 1,39E-02 3,67E-03 4,76E-05
2,77E-04 1,06E-03 1,97E-03 2,04E-03 1,72E-03
1,10E-03 2,50E-01
993
1,42E-06
1,31E-04
4,69E-04 1,19E-04
1,01E-05 2,86E-04 1,44E-02 6,02E-02 6,36E-02 5,39E-02 3,22E-02 1,39E-02 3,68E-03 4,77E-05
2,77E-04 1,06E-03 1,97E-03 2,04E-03 1,72E-03
1,11E-03 2,51E-01
994
1,43E-06
1,31E-04
4,70E-04 1,20E-04
1,02E-05 2,87E-04 1,44E-02 6,02E-02 6,40E-02 5,39E-02 3,22E-02 1,39E-02 3,69E-03 4,85E-05
2,81E-04 1,07E-03 1,97E-03 2,05E-03 1,73E-03
1,11E-03 2,52E-01
995
1,43E-06
1,32E-04
4,71E-04 1,20E-04
1,02E-05 2,88E-04 1,45E-02 6,03E-02 6,45E-02 5,40E-02 3,23E-02 1,39E-02 3,70E-03 4,88E-05
2,81E-04 1,07E-03 1,99E-03 2,06E-03 1,73E-03
1,11E-03 2,53E-01
996
1,44E-06
1,32E-04
4,71E-04 1,21E-04
1,04E-05 2,90E-04 1,46E-02 6,07E-02 6,52E-02 5,43E-02 3,23E-02 1,39E-02 3,71E-03 4,90E-05
2,83E-04 1,08E-03 2,00E-03 2,06E-03 1,76E-03
1,11E-03 2,54E-01
997
1,44E-06
1,33E-04
4,72E-04 1,21E-04
1,04E-05 2,92E-04 1,46E-02 6,07E-02 6,54E-02 5,45E-02 3,23E-02 1,41E-02 3,73E-03 4,91E-05
2,83E-04 1,09E-03 2,01E-03 2,07E-03 1,76E-03
1,12E-03 2,55E-01
998
1,46E-06
1,33E-04
5,02E-04 1,21E-04
1,04E-05 2,93E-04 1,49E-02 6,13E-02 6,56E-02 5,46E-02 3,25E-02 1,43E-02 3,74E-03 4,92E-05
2,89E-04 1,10E-03 2,02E-03 2,09E-03 1,76E-03
1,12E-03 2,56E-01
999
1,47E-06
1,34E-04
5,09E-04 1,22E-04
1,05E-05 2,93E-04 1,54E-02 6,15E-02 6,61E-02 5,52E-02 3,26E-02 1,44E-02 3,80E-03 5,06E-05
2,90E-04 1,11E-03 2,04E-03 2,15E-03 1,78E-03
1,13E-03 2,59E-01
1000
1,50E-06
1,34E-04
5,09E-04 1,26E-04
1,09E-05 2,94E-04 1,56E-02 6,19E-02 6,81E-02 5,65E-02 3,26E-02 1,47E-02 3,81E-03 5,33E-05
2,93E-04 1,11E-03 2,06E-03 2,18E-03 1,80E-03
1,13E-03 2,63E-01
91
Como possuímos 100 simulações para cada período por causa da análise
anterior no domínio do tempo, a título de comparação, foi realizada uma análise
Bootstrap para cada uma delas. Nas Figuras (5.6) até (5.12) podemos ver o limite
superior do intervalo de confiança Bootstrap 98% comparado com o valor esperado do
dano calculado no domínio do tempo para cada período. Podemos reparar que para
períodos pequenos de simulação, como por exemplo, 1200
=
T segundos e 2400
=
T
segundos, a variação do resultado estimado pelo método Bootstrap em relação ao valor
esperado do dano é muito grande, e em alguns casos, resultando inclusive em valores
bem abaixo do valor esperado do dano. Nesses casos, o método Bootstrap pode fornecer
resultados contra a segurança. Conforme o tempo de simulação aumenta, podemos
observar a tendência dos valores estimados pelo método Bootstrap de serem
conservadores em relação ao valor esperado do dano e mesmo as simulações que
resultam em estimativas Bootstrap menores que o valor esperado do dano estão em seu
entorno.
Baseado nos resultados apresentados nas Figuras (5.6) até (5.12),
podemos concluir que para os resultados das simulações com períodos menores que
3600
=
T , o método Bootstrap não apresenta bons resultados. Conforme o tempo de
simulação aumenta, o método Bootstrap tende a fornecer valores conservadores em
relação ao valor esperado do dano e a fornecer uma boa estimativa inicial para o dano
acumulado da estrutura.
92
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
SIMULAÇÕES
DANO
Simulações Bootstrap
Média Domínio do tempo
FIGURA 5.6 – RESULTADO DE 100 SIMULAÇÕES BOOTSTRAP – T = 1200 SEGUNDOS
93
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
SIMULAÇÕES
DANO
Simuação Bootstrap
Média Domínio do tempo
FIGURA 5.7 – RESULTADO DE 100 SIMULAÇÕES BOOTSTRAP – T = 2400 SEGUNDOS
94
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
SIMULAÇÕES
DANO
Simulações Bootstrap
Média Domínio do tempo
FIGURA 5.8 – RESULTADO DE 100 SIMULAÇÕES BOOTSTRAP – T = 3600 SEGUNDOS
95
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
SIMULAÇÕES
DANO
Simulações Bootstrap
Média Domínio do tempo
FIGURA 5.9 – RESULTADO DE 100 SIMULAÇÕES BOOTSTRAP – T = 7200 SEGUNDOS
96
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
SIMULAÇÕES
DANO
Simulações Bootstrap
Média Domínio do tempo
FIGURA 5.10 – RESULTADO DE 100 SIMULAÇÕES BOOTSTRAP – T = 10800 SEGUNDOS
97
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
SIMULAÇÕES
DANO
Simulações Bootstrap
Média Domínio do tempo
FIGURA 5.11 – RESULTADO DE 100 SIMULAÇÕES BOOTSTRAP – T = 12200 SEGUNDOS
98
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
SIMULAÇÕES
DANO
Simulações Bootstrap
Média Domínio do tempo
FIGURA 5.12 – RESULTADO DE 100 SIMULAÇÕES BOOTSTRAP – T = 30000 SEGUNDOS
99
Nas Figuras (5.13) a (5.19), para os diferentes períodos de simulação,
estão representados o intervalo de confiança percentil estimado para os resultados das
simulações no domínio do tempo, o valor esperado do dano calculado no domínio do
tempo, o resultado de cada uma das simulações no domínio do tempo, o intervalo entre a
maior replicação Bootstrap do dano de longo prazo e a menor e o limite superior do
intervalo de confiança Bootstrap 98%.
Podemos reparar que para tamanhos pequenos de simulação, o intervalo
de confiança para os valores do dano estimado a partir das análises no domínio do tempo
e o intervalo de confiança Bootstrap a partir de uma única análise não são coincidentes.
Conforme o tempo de simulação aumenta, esses resultados tendem a coincidir.
O fato dos intervalos de confiança calculados no domínio do tempo e o
intervalo de confiança Bootstrap estimado a partir de uma única simulação tenderem a
coincidir, conforme o tempo de simulação aumenta, explica o porque, do critério de
escolher o limite superior do intervalo de confiança 98% Bootstrap, tender a fornecer
valores conservadores a medida que o tempo de simulação aumenta.
100
FIGURA 5.13 – COMPARAÇÃO ENTRE OS INTERVALOS DE CONFIANÇA NO DOMÍNIO DO TEMPO E OS INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP – SIMULAÇÃO 1200 SEGUNDOS
101
FIGURA 5.14 – COMPARAÇÃO ENTRE OS INTERVALOS DE CONFIANÇA NO DOMÍNIO DO TEMPO E OS INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP – SIMULAÇÃO 2400 SEGUNDOS
102
FIGURA 5.15 – COMPARAÇÃO ENTRE OS INTERVALOS DE CONFIANÇA NO DOMÍNIO DO TEMPO E OS INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP – SIMULAÇÃO 3600 SEGUNDOS
103
FIGURA 5.16 – COMPARAÇÃO ENTRE OS INTERVALOS DE CONFIANÇA NO DOMÍNIO DO TEMPO E OS INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP – SIMULAÇÃO 7200 SEGUNDOS
104
FIGURA 5.17 – COMPARAÇÃO ENTRE OS INTERVALOS DE CONFIANÇA NO DOMÍNIO DO TEMPO E OS INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP – SIMULAÇÃO 10800 SEGUNDOS
105
FIGURA 5.18 – COMPARAÇÃO ENTRE OS INTERVALOS DE CONFIANÇA NO DOMÍNIO DO TEMPO E OS INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP – SIMULAÇÃO 12200 SEGUNDOS
106
FIGURA 5.19 – COMPARAÇÃO ENTRE OS INTERVALOS DE CONFIANÇA NO DOMÍNIO DO TEMPO E OS INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP – SIMULAÇÃO 30000 SEGUNDOS
107
5.4 Descrição do segundo caso
O segundo caso é baseado no trabalho de (SCHMIDT et al., 2008), sobre
o cálculo da vida à fadiga devido ao fenômeno de “slamming” em um painel reforçado
componente da estrutura de suporte do “Fairlead” de um FPSO com ancoragem tipo
“spread mooring”. Esse exemplo foi escolhido para testarmos o comportamento da
técnica bootstrap aplicada a fenômenos não lineares. Séries temporais para simular a
distância relativa entre o painel e a superfície do mar foram geradas para modelar o
fenômeno de “slamming”. Com essa modelagem, os carregamentos associados foram
gerados a partir de simulações e validados com ensaios em modelos de escala reduzida.
Com os carregamentos obtidos dessa maneira, uma análise estrutural a partir de
elementos finitos foi utilizada para determinar os ciclos de tensões associados a cada
evento de “slamming”.
Como demonstrado na literatura, (Chuang, 1973), as cargas devidas ao
fenômeno de “slamming” são profundamente dependentes da geometria da estrutura, do
ângulo de impacto e da velocidade relativa entre a estrutura e a superfície do mar. As
funções de transferência para os movimentos da unidade foram determinadas utilizando
o programa WAMIT, (WAMIT Inc, 2006). Foram utilizados seis diferentes calados:
8.0m, 10.0m, 12.2m, 14.3m, 16.0m, 18.0m e 16 aproamentos variando de 0º a 360º.
A partir da formulação de Fourier foram geradas séries temporais para os
movimentos da unidade e para a elevação da superfície do mar, e a distância entre a
estrutura e a elevação do mar foi definida como:
(
)
(
)
tyxtyxzatyxa ,,,,),,(
0
η
−+= (5.6)
onde
0
a é a distância estática entre a superfície do mar e o ponto na estrutura sendo
analisado,
(
)
tyxz ,,
é o deslocamento vertical da estrutura e
(
)
tyx ,,
η
é a elevação
instantânea da superfície do mar. O deslocamento vertical da estrutura é calculado como:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
tytxttyxz
453
sinsin,,
ξξξ
+−= (5.7)
108
onde
(
)
t
3
ξ
é o movimento de “heave”,
(
)
t
4
ξ
é o movimento de “roll”, e
(
)
t
5
ξ
é o
movimento de “pitch”.
O procedimento utilizado para caracterizar o “slamming” consiste em
verificar os cruzamentos zero negativos de ),,( tyxa . Toda vez que o sinal passa de
positivo para negativo um evento ocorreu, ver Figura (5.20). A partir daí, a velocidade
relativa e o ângulo de inclinação são computados com a ajuda dos respectivos sinais
temporais e as cargas na estrutura são calculadas, ver Figura (5.21). Um modelo da
estrutura utilizando o método de elementos finitos foi utilizado para determinar uma
função de transferência entre a carga na estrutura e a tensão resultante devido a cada
evento de “slamming”. A partir da aplicação dessa metodologia ao curto prazo, obtemos
um histórico de ciclos de tensão que é utilizado para o cálculo do dano acumulado da
estrutura.
FIGURA 5.20 - DETERMINAÇÃO DA OCORRÊNCIA DE “SLAMMING”
109
FIGURA 5.21 - DETERMINAÇÃO VELOCIDADE RELATIVA ENTRE A SUPERFÍCIE DO MAR
E A ESTRUTURA DURANTE UM EVENTO DE “SLAMMING”
Para realizar a simulação no longo-prazo, essa metodologia foi aplicada a
todos os estados de mar do “METOCEAN DATA” (PETROBRAS, 2005) a
especificação técnica de dados ambientais da PETROBRAS, para cada um dos calados
operacionais, considerando suas respectivas probabilidades de ocorrência. O dano no
longo-prazo foi caracterizado pela soma dos danos devido a cada análise no curto-prazo.
Devido às características das análises no domínio do tempo, como
explicado anteriormente no item 3.7, foram realizadas 20 simulações no longo-prazo,
cada simulação no curto-prazo teve duração de 10800
=
T segundos.
110
5.5 Resultados do segundo caso
Para a análise Bootstrap, os históricos de tensões para cada um dos
estados de mar de uma simulação foram aproveitados e a mesma metodologia explicada
no item 5.3 foi utilizada. A título de ilustrar o funcionamento do método uma análise
Bootstrap diferente foi realizada para cada uma das 20 simulações disponíveis. A Tabela
(5.5) sumariza os resultados das simulações no domínio do tempo para o detalhe 1, ver
(SCHMIDT et al., 2008). Os resultados da aplicação do método Bootstrap estão
apresentados na Figura (5.22) em contraste com o valor esperado do dano calculado
pelas simulações no domínio do tempo.
TABELA 5.5 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DE DANO DE “SLAMMING” DAS ANÁLISES NO DOMÍNIO DO TEMPO NO LONGO PRAZO
SIMULAÇÃO DANO ANUAL VIDA DANO ACUMULADO
(25 anos)
1 4,60E-03 217 0,115
2 4,55E-03 220 0,114
3 4,51E-03 222 0,113
4 4,52E-03 221 0,113
5 4,56E-03 219 0,114
6 4,49E-03 223 0,112
7 4,47E-03 224 0,112
8 4,51E-03 222 0,113
9 4,64E-03 216 0,116
10 4,49E-03 223 0,112
11 4,56E-03 219 0,114
12 4,57E-03 219 0,114
13 4,44E-03 225 0,111
14 4,66E-03 215 0,117
15 4,60E-03 217 0,115
16 4,56E-03 219 0,114
17 4,58E-03 218 0,115
18 4,46E-03 224 0,112
19 4,45E-03 225 0,111
20 4,62E-03 217 0,115
µ = 0,114
111
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Simulações
Dano
SIMULAÇÕES BOOTSTRAP
DANO MÉDIO - DOMÍNIO DO TEMPO
FIGURA 5.22 – RESULTADO DE 20 SIMULAÇÕES BOOTSTRAP – T = 10800 SEGUNDOS
Modelar a fadiga no longo prazo devido ao “slamming” envolveu gerar
realizações no domínio do tempo de duração 10800
=
T para a elevação do mar, para os
movimentos de “heave”, “pitch” e “roll” da unidade, bem como para a velocidade
relativa e para o ângulo de inclinação do ponto sendo analisado em relação à superfície
do mar. Isso para todos os estados de mar e para todos os calados de operação.
Os resultados apresentados na Figura (5.22) são todos conservadores em
relação à média dos danos calculada no domínio do tempo, mas estão muito próximos do
valor esperado do dano das simulações e cada um deles foi derivado de apenas uma
simulação.
112
6. Conclusão
6.1 Conclusões finais
As análises de fadiga no domínio do tempo são uma tarefa demorada por
natureza. Não só pelo tempo que a simulação leva para ser executada, mas também pela
necessidade de termos que realizar muitas simulações para podermos auferir alguma
informação a respeito do processo.
Nesse trabalho, foi desenvolvida uma metodologia para utilizar o método
de inferência estatística Bootstrap de forma a podermos obter informações estatísticas
relevantes sobre o dano de um processo a partir de uma única análise no domínio do
tempo.
No caso 1 do Capítulo 5, foi feita a aplicação da metodologia sobre um
mesmo processo para diferentes tamanhos de simulação. Pudemos notar que para
períodos de simulação muito pequenos ( 1200
=
T segundos e 2400
=
T segundos), a
variância do processo é muito grande e concluímos que a simulação não é representativa
do processo. Para simulações a partir de 3600
=
T segundos, os resultados melhoram
consideravelmente e, à medida que o tamanho da simulação aumenta, o resultado da
aplicação do método Bootstrap numa única simulação tende de forma conservadora para
o valor esperado do dano no domínio do tempo.
Mais do que isso, devido à premissa inerente à regra de Palmgren-Miner
de que o acúmulo de dano não é influenciado pelo seu histórico, após aplicarmos a
técnica Bootstrap em uma simulação curta no domínio do tempo cuja precisão dos
resultados não seja considerada satisfatória, como por exemplo, que forneça resultados
muito conservadores, podemos dar continuidade a mesma simulação até que atinjamos a
precisão pretendida. Por exemplo, no caso de gerarmos uma simulação com 3600
=
T e
os resultados da aplicação do método Bootstrap forem considerados muito
113
conservadores, podemos simplesmente simular mais 3600 segundos, e obtermos uma
amostra inicial, em termos de quantidade de ciclos de tensão, equivalente a uma
simulação de 7200 segundos. O resultado da aplicação do método Bootstrap a essa
amostra composta terá a precisão da aplicação do método Bootstrap a uma única
simulação de 7200
=
T segundos.
No caso 2, a análise de “slamming” na estrutura do “Fairlead” foi
escolhida para verificar o comportamento do método Bootstrap a um problema não
Gaussiano. Pudemos constatar que a aplicação do método Bootstrap a esse caso resultou
em valores muito próximos do valor esperado do dano calculado no domínio do tempo.
O diferencial desse exemplo é que sua origem foi um problema real de
engenharia. Pode-se notar que com o critério adotado, todas as análises Bootstrap
realizadas foram um pouco conservadoras em relação ao valor esperado do dano. Isso
significa que se por ventura utilizássemos qualquer uma dessas análises para tomar
decisões de projeto estaríamos pagando um preço por estarmos nos baseando numa
única simulação no domínio do tempo ao invés de calcularmos o valor esperado do dano
a partir de um conjunto de simulações representativo do processo, mas estaríamos a
favor da segurança
Quando levamos em consideração que no dia a dia de projeto
normalmente precisamos obter respostas rápidas aos problemas, o conservadorismo da
análise Bootstrap pode ser um preço pequeno frente à rapidez da obtenção de
informações com tão boa qualidade sobre o dano sendo calculado.
O argumento acima torna-se particularmente de interesse em situações
em que não podemos nos valer de métodos no domínio da freqüência e o esforço
computacional requerido para realizarmos uma análise no domínio do tempo é grande e
vem aliada à necessidade de obter informações rápidas sobre o dano acumulado em uma
estrutura.
Nesses casos, a utilização do método Bootstrap pode ser de grande valia.
Podemos realizar uma única simulação e a partir da análise Bootstrap auferir se a
estrutura possui resistência suficiente para resistir à fadiga durante a sua vida útil de
114
projeto. De acordo com os resultados do caso 1, podemos afirmar que quanto maior for o
período dessa simulação melhor será a qualidade da informação obtida.
Mais ainda, podemos simular um período pequeno, tal como
3600
=
T segundos, utilizar o método Bootstrap, obter uma resposta rápida ao problema
de fadiga e simplesmente continuar a simulação no domínio do tempo para obter
resultados mais refinados numa ocasião posterior.
A conclusão que retiramos desse trabalho é que o método Bootstrap é
uma ferramenta viável, útil e bastante prática de ser implementada para obtermos
informações relevantes sobre o dano de uma estrutura.
6.2 Sugestões para trabalhos futuros
No presente trabalho foi apresenta a viabilidade da aplicação do método
Bootstrap para a obtenção de informações importantes a respeito do dano acumulado em
estruturas sujeitas a carregamentos aleatórios. Neste trabalho, foi identificado que para
períodos pequenos de simulação a técnica Bootstrap não fornece resultados a favor da
segurança. No caso 1, o tamanho mínimo do período das simulações para obtermos bons
resultados foi identificado em 3600
=
T segundos para um exemplo Gaussiano. Um
trabalho interessante seria a aplicação da metodologia adotada no caso 1 para
identificarmos se esse limite permanece constante em casos onde a série temporal é não
linear.
No caso 2, foi demonstrada a validade do método a um caso não linear.
Um trabalho de interesse seria a aplicação do método Bootstrap para o cálculo do dano
em problemas envolvendo análises do comportamento de ” risers” e linhas de
ancoragem no domínio do tempo que é um processo não gaussiano devido ao
movimento de deriva lenta da unidade, onde a realização de cada simulação pode exigir
muito esforço computacional.
115
7. Referências
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