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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
CENTRO DE CIÊNCIAS DA EDUCAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
CURSO DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
UMA ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS E ARTIGOS SOBRE HISTÓRIA
Dissertação submetida ao Colegiado do
Curso em Educação Científica e
Tecnológica em cumprimento parcial
para a obtenção do título de Mestre em
Educação Científica e Tecnológica
Dr. Arden Zylbersztajn (CFM/UFSC)
Orientador
Dr. José Peres Angotti (CED/UFSC)
Co-orientador
José Roberto Peters
Florianópolis, Santa Catarina, maio de 2005
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SUMÁRIO
RESUMO ...............................................................................................................................3
ABSTRACT ...........................................................................................................................4
APRESENTAÇÃO.................................................................................................................5
INTRODUÇÃO......................................................................................................................6
JUSTIFICATIVA.................................................................................................................10
PRIMEIRAS NOTAS METODOLÓGICAS.......................................................................12
ASPECTOS TEÓRICOS......................................................................................................20
SEGUNDAS NOTAS METODOLÓGICAS.......................................................................43
ANÁLISES...........................................................................................................................54
CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................104
APÊNDICES ......................................................................................................................108
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................................139
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3
RESUMO
ESTE TRABALHO PRETENDE realizar uma análise qualitativa e quantitativa de artigos
sobre história da matemática e, também, de livros didáticos do Ensino Fundamental, que
estão à disposição dos professores.
As análises terão dois momentos: no primeiro os artigos das três revistas —
Bolema, Zetetiké e Educação Matemática em Revista — serão analisados para que sejam
utilizados como suporte teórico para subsidiar as discussões acerca da utilização da história
da matemática no ensino da matemática.
No segundo momento os artigos da Revista do Professor de Matemática que tratam
da história da disciplina e os livros didáticos do Ensino Fundamental, nos aspectos em que
utilizam a história, serão analisados. Estas análises fornecerão um paralelo entre o que
dispõe o professor — qualitativa e quantitativamente — com as políticas oficiais para o
Ensino Fundamental preconizadas no âmbito estadual pelas Diretrizes.
Palavras Chave: Educação Matemática, História da Matemática, Livros Didáticos, Ensino
Fundamental.
4
ABSTRACT
THE MAIN GOAL of the following study is to execute a qualitative and quantitative
analyses on History of Mathematics articles and Elementary Schools’ didactic books
available to teachers.
These analyses are going to have two moments: the analyses of articles from three
magazines – “Bolema”, “Zetetiké” and “Educação Matemática em Revista” — as they are
going to be used as theoretical support for discussions about the History of Mathematics’
use in Mathematics’ Education.
At a second moment will be analyzed articles relating the History of Mathematics
from the magazine “Revista do Professor de Matemática” and didactic books in use for
Elementary Schools through the aspects of their use of the History of Mathematics. These
analyses will provide comparisons between the teacher’s resources – qualitatively and
quantitatively – considering the official politics for the Elementary School Education as
ruled by the State Educational Guidelines (Diretrizes).
Keywords: Mathematics Education, History of Mathematics, Didactic books, Elementary
Education.
5
APRESENTAÇÃO
“É no junto do que sabe bem,
que a gente aprende o melhor...”
Guimarães Rosa
SEMPRE QUE REFLITO sobre minha prática pedagógica e também sobre minha
experiência em educação — e lá se vão anos desde que ingressei no magistério — me
lembro da simplicidade dos jagunços Riobaldo e Diadorim, personagens de Guimarães
Rosa, em Grande Sertão: Veredas.
Uma simplicidade impregnada de “filosofia”, carregada de um jeito de ver o mundo
que só os sem — ou com pouca — instrução formal às vezes são capazes. Uma
simplicidade que, eu professor, tenho à mão todos os dias em minhas aulas. E, então, meu
aluno não é também um desbravador de sertões, como eram Riobaldo e Diadorim? Estes
não eram “tábulas rasas”. Era gente simples. Sabiam das coisas, mas de um outro jeito.
Assim, eu, o “instruído formalmente”, trago todas as minhas inquietações, pois
tenho um compromisso político e social com meus alunos, que me seguem pela minha
experiência e pela minha função de mediador — rastreador, diria Guimarães. Um
compromisso que me leva a aprender sempre, principalmente com eles.
Lembrei — como sempre — de Guimarães Rosa: “Para um trabalho que se quer,
sempre a ferramenta se tem”. Para este trabalho, a história da matemática seria a minha
ferramenta. Porém, em minha formação de professor de matemática não tive aulas de
história. E esta pesquisa nasceu daí, dessa necessidade. Vejamos onde vai dar.
6
INTRODUÇÃO
NA MAIORIA DAS vezes, a imagem que se transmite aos alunos dos Ensinos
Fundamental e Médio, bem como aos futuros professores em muitas universidades, é de
que a matemática é formada por uma série de conteúdos já feitos e acabados, imutáveis,
que já “nasceram” prontos, sem que houvesse, em sua gênese, uma série de problemas e
algumas crises. E não é o caso apenas das instituições, é também de muitos manuais
didáticos utilizados pela escola.
Este não é um “problema” somente da matemática. As ciências naturais — física,
química e biologia — “sofrem do mesmo mal”. O físico francês Paul Langevin, falando
sobre a importância educativa da história das ciências, afirmou que:
se tivesse permanecido com as primeiras lições de ciências de meus professores (...) se não
tivesse tomado contato posterior e diferente com a realidade, teria acreditado que a ciência
estava pronta e que não restava mais nada a descobrir (LANVEGIN, 1992, p. 9).
Da mesma forma, Lee (2003), criticando a ciência ensinada nas escolas aponta que
ignorar o método crítico e a importância da ciência, até como forma de pensar tende a se
tornar obstáculo ao conhecimento e, ainda, que se o pensamento crítico científico fosse
ensinado desde o início da fase escolar seria um ótimo instrumento de cidadania, pois
divulgar nas escolas a ciência — metódica e ordenada — como apenas uma série de leis e
teorias cria nos estudantes e na própria comunidade visões dogmáticas da ciência e
estereotipadas do cientista.
Especificamente para a matemática, e no mesmo sentido, apontam vários autores
que constatam que nos currículos oficiais e nos livros didáticos a disciplina é mostrada
como algo que tem resultados, mas não história. Para estes, entretanto, a matemática não
constitui um saber pronto e acabado e que estudar as origens do conhecimento atual, em
muitos casos, pode ser mais proveitoso para o ensino.
Entendo, entre outras coisas, que a utilização da história da matemática no ensino da
disciplina contribui sobremaneira para que se crie, nos educandos, uma compreensão maior
7
e melhor dos mecanismos de apropriação do conhecimento científico e, em particular, do
conhecimento matemático. Comungo com a tese defendida por Dieudonné (1990), que
afirma não ser possível compreender a matemática atual sem ter idéias — no mínimo
sumárias — de sua história.
E entre os aspectos de se estudar a história da matemática está a filosofia da
matemática, que põe em discussão questões sobre a natureza dos conhecimentos
matemáticos e discute ontológica e epistemologicamente os seus objetos de estudo. E,
ainda, que fornece ao professor e aos alunos a oportunidade de utilizar a história como
instrumento provocador para que se possa “vivenciar” a produção do conhecimento a partir
de informações históricas.
A medievalista francesa Regine Pernoud faz uma comparação “entre a possibilidade
de abertura proporcionada pelo genuíno estudo de história com a que se pode obter pelas
viagens: em ambos os casos nos deparamos com o ‘outro’, distante de nós no tempo ou no
espaço” (apud, LAUAND, 1986, p. 19). Este encontro é de fundamental importância para
nos colocar frente-a-frente com as experiências humanas, que, de certa forma, nos
trouxeram até aqui.
Assim, “viajando” pela história — que atuaria como um antídoto à
descontextualização da disciplina — temos a possibilidade de ampliar nossos limites e de
entender nossas limitações. Porém, o próprio Lauand nos lembra que, no caso da história,
nossos cicerones, livros e professores,
nem sempre sabem dirigir a atenção àquilo que realmente interessa, conduzindo-nos antes a
apressadas correrias superficiais pelos estereotipados ‘pontos turísticos` da história sem que
captemos nada de significativo. Ou, ainda pior, levando-nos a lojas com ele aconchavadas e
onde a mercadoria é falsificada e o preço exorbitante (1986, p. 20).
Caraça (1975) escreve que a ciência pode ser encarada sob dois aspectos diferentes:
como exposta nos livros didáticos, ensimesmada; ou como coisa criada, onde se procura
acompanhá-la no seu desenvolvimento, assistindo da maneira como foi sendo elaborada. O
autor entende que a matemática encarada neste último aspecto a matemática aparece-nos
como “um organismo vivo, impregnado de condições humanas”. Uma construção humana:
criada pelas necessidades sociais, políticas e culturais da humanidade.
8
São todas essas perspectivas — de ciência viva, humana, produtora de
conhecimentos e com suas dimensões culturais, políticas e sociais — que vislumbro com a
utilização da história da matemática no ensino da disciplina. E aqui surge a minha grande
questão de pesquisa: o material à disposição do professor — livros didáticos e revistas
especializadas — apresentam uma história da matemática que ofereça estas perspectivas a
todos os envolvidos no processo de ensino-aprendizagem? Portanto, este trabalho tem por
objetivo principal investigar a presença — qualitativa e quantitativa — da história da
matemática nos livros didáticos do Ensino Fundamental e nas revistas que estão à
disposição do professor de matemática.
Para tal, selecionei alguns livros de matemática e as revistas Bolema, Zetetiké,
Educação Matemática em Revista e Revista do Professor de Matemática (RPM). Chamei as
três primeiras de “revistas de reflexão”, por apresentarem artigos com subsídios teóricos
que reforçam a discussão sobre a educação matemática. Os artigos destas três revistas
enriquecerão o referencial teórico e poderão ser utilizados por professores que desejem
enveredar pelos caminhos da história da matemática em suas aulas. A última — Revista do
Professor de Matemática — chamei de “revista de consulta”, por oferecer ao professor
material de utilização direta em sala de aula.
Antes dos ASPECTOS TEÓRICOS — que apresentam as vantagens de se utilizar
a história da matemática no ensino —, nas PRIMEIRAS NOTAS METODOLÓGICAS,
trago a análise das três “revistas de reflexão” e a descrição da investigação feita sobre seus
artigos para que estes atuem como aporte teórico na discussão que se pretende neste
trabalho.
Nas SEGUNDAS NOTAS METODOLÓGICAS coloco os critérios utilizados
para a escolha dos livros didáticos e a descrição da “revista de consulta”. Além disso, neste
capítulo trato dos mecanismos utilizados para a análise dos livros e da RPM, preparando o
leitor para o capítulo seguinte — ANÁLISES —, onde, entre outras coisas, tentarei
estabelecer um paralelo entre o que dispõe o professor — qualitativa e quantitativamente —
com as políticas oficiais para o Ensino Fundamental preconizadas no âmbito estadual pelas
Diretrizes. As políticas oficiais constituem um subtítulo dos aspectos teóricos.
No último capítulo — CONSIDERAÇÕES FINAIS — minha idéia é levantar um
rol de conclusões sobre o tema discutido e, se possível, também lançar questões para que
9
possam contribuir para o quadro atual e, quem sabe, apontar futuras pesquisas. Após este
último capítulo seguem os APÊNDICES e as REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
A opção pelos livros didáticos e pelas revistas aqui estudadas foi motivada por
serem estes veículos os mais próximos e de maior utilização pelo professor. Os livros
didáticos são distribuídos nas escolas e escolhidos pelos próprios professores. A Revista do
Professor de Matemática (RPM) é de fácil acesso e muitos professores a utilizam. As outras
três revistas, com uma penetração menor, também fazem parte do material que o professor
pode dispor para, principalmente, refletir sobre a educação matemática. Apesar de muitos
sites da internet abordar o assunto, optei por não utilizar a rede como fonte de pesquisa por
esta ainda estar muito distante da realidade das escolas públicas, principalmente em
Joinville, Santa Catarina, cidade onde moro e sou professor.
10
JUSTIFICATIVA
PARECE QUE A matemática tem sido ensinada de maneira a afugentar os alunos. Muitos
escolhem suas carreiras universitárias ou profissionalizantes nas áreas em que acreditam
não precisar de matemática. Em minha experiência pessoal no magistério este quesito de
escolha me chamou atenção várias vezes.
Entendo que a matemática deva ser ensinada de forma a permitir a formação de
alunos críticos que percebam as mudanças conceituais e os problemas que existiram e que
existem na construção dos seus conhecimentos. Penso que a utilização da história da
matemática no seu ensino ajude a formar alunos que contextualizem os conhecimentos e os
insiram numa perspectiva de construção humana e coletiva.
Em minhas aulas sempre utilizei a história da matemática — aprendida por conta
própria —, mas somente como um instrumento motivador, para iniciar ou terminar as aulas.
Uma experiência interessante que começou a me fazer “virar os olhos com mais atenção”
para a história da matemática — num aspecto que transcendia a simples motivação. Foi
quando, numa aula de álgebra que ministrava para alunos de Processamento de Dados, li o
seguinte texto:
Para representar a incógnita nesse tratado de álgebra, Khayyam utiliza o termo árabe Chay,
que significa ´coisa`; essa palavra, grafada Xay nas obras científicas espanholas, foi
progressivamente substituída por sua inicial x, que se tornou o símbolo universal do
desconhecido (MAALOUF, 1991, p. 43).
Uma aluna comentou que se soubesse disso na primeira vez que teve contato com a
álgebra — no Ensino Fundamental — teria “dado significado àquela letra no meio de tantos
números”.
Através da história da matemática, Otte (1991) e Ferreira et alli (1992) “apostam”
na contextualização e, conseqüentemente, na busca de “significação” do conhecimento
matemático. Na ciência, como escreve Matthews (1995), a história pode ajudar a supera o
“mar de falta de significação” que inunda as salas de aula de ciências. Acredito que a
história da matemática pode ajudar o aluno — e o professor — a conhecer a existência de
11
crises no desenvolvimento das matemáticas; as evoluções conceituais que se deram durante,
após e por causa destas crises; as suas limitações. E, também, os problemas ainda não
resolvidos.
A matemática não é uma superprodução onde os atores principais são gênios —
mesmo que a genialidade esteja presente nos processos de criação —, que fizeram tudo
individualmente, do começo ao fim de cada teoria. Na maioria homens, sem falhas e sem
dúvidas. E é com este enredo que a história deve contar para procurar atuar na melhoria das
atitudes dos alunos — e professores — frente à matemática. Penso que o contato com a
história é imprescindível para oferecer uma visão dinâmica da disciplina, de sua evolução e
desenvolvimento e, desta forma, dar significação aos seus conceitos.
Creio que a utilização da história da matemática na sala de aula dá outra
significação ao ato de “apr(e)ender” e, sem dúvida, todas as publicações e pesquisas que
auxiliem alunos e professores nestas verdadeiras viagens — onde mais do que encontrar o
“outro”, se encontra motivação para empreender novas aventuras — são bem vindas.
12
PRIMEIRAS NOTAS METODOLÓGICAS
PARA A AVALIAÇÃO das “revistas de reflexão”, que embasam os aspectos teóricos —
próximo item deste trabalho — escolhi o método de análise de conteúdo que, para Bardin,
se presta ao estudo “das motivações, atitudes, valores, crenças, tendências” e, também, para
o desvendar das ideologias que podem existir nos dispositivos legais, princípios, diretrizes
etc., que, à simples vista, não se apresentam com a devida clareza. Bardin define o método
como um
conjunto de técnicas de análise das comunicações, visando, por procedimentos sistemáticos
e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, obter indicadores quantitativos ou não,
que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção
(variáveis inferidas) das mensagens” (apud TRIVIÑOS, 1995, p. 160).
Desta maneira, o método é um meio para meio para estudar as “comunicações”
entre homens, com ênfase no conteúdo das mensagens, privilegiando a linguagem escrita,
por ser estável e disponível. E, a partir das informações fornecidas pelo conteúdo da
mensagem, pode-se levantar e testar hipóteses.
A análise de conteúdo, segundo Triviños (1995), pode ser dividida em três partes: 1.
Pré-Análise, onde se faz a organização e leitura geral do material. Nesta fase o investigador
formula os objetivos gerais da pesquisa, suas hipóteses e, também, determina o campo no
qual deve fixar sua atenção. 2. Descrição Analítica, etapa onde são feitas a codificação,
classificação e categorização do material organizado. Nesta fase é feito um estudo
aprofundado do material — orientado, em princípio, pelas hipóteses e pelo referencial
teórico. 3. Interpretação Inferencial, onde se dá a reflexão com base nos materiais
empíricos e se estabelecem as relações com a realidade e os indicativos para proposições.
Quivy e Campenhoudt (1992) também destacam o método para a análise de
conteúdo que incide sobre mensagens. Nesta, a escolha dos termos utilizados pelo locutor, a
sua freqüência e o seu modo de disposição; a construção do “discurso” e o seu
desenvolvimento são fontes de informações a partir dos quais o investigador tenta construir
um conhecimento.
13
Para estes autores, o método é indicado para análise das ideologias, sistemas de
valores, representações e aspirações; exame da lógica de funcionamento das organizações,
pela análise dos documentos que produzem; estudo de produções culturais e artísticas;
análise dos processos de difusão e de socialização; análise de estratégia, do que está em
jogo num conflito, das componentes de uma situação problemática, das interpretações de
um acontecimento etc. e para a reconstituição de realidades passadas não materiais:
mentalidades, sensibilidades etc. Destes, a indicação que mais se aproxima a este trabalho é
a “análise dos processos de difusão e de socialização”, que envolve mais amiúde os
manuais escolares e, por extensão, todos os referenciais utilizados pelo professor para
preparar e ministrar suas aulas.
A partir deste momento fiz o que Triviños (1995) chama de pré-análise, fazendo a
escolha e a separação entre os três tipos de materiais que podem auxiliar os professores na
preparação e atuação em sala de aula: (1) As “revistas de reflexão”, utilizadas para pesquisa
teórica por parte do professor e, também, para embasamento deste trabalho — Zetetiké,
Bolema e Educação Matemática em Revista; (2) A “revista de consulta”, que traz
experiências de prática docente e textos sobre história da matemática, que podem ser
inseridos nas aulas — Revista do Professor de Matemática (RPM) e (3) Livros didáticos de
matemática do Ensino Fundamental, que estão diretamente ligados à sala de aula.
Além da pré-análise, nestas primeiras notas metodológicas também analisarei as
“revistas de reflexão” utilizando o que Triviños (1995) classifica como descrição analítica:
codificação, classificação e categorização do material escolhido. Utilizarei os artigos destas
revistas — Bolema, Zetetiké e Educação Matemática em Revista — como suporte teórico
nas discussões acerca da história da matemática no ensino.
Revistas de Reflexão – Zetetiké
A revista Zetetiké é uma publicação do Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em
Educação Matemática (CEMPEM) da Faculdade de Educação da UNICAMP
(FEUNICAMP), de Campinas, São Paulo. Publicada desde março de 1993 — primeiro
anualmente e, a partir do terceiro número, semestralmente — é uma revista teórico-
14
científica e de reflexão especializada em Educação Matemática. Os objetivos propostos
pela revista são:
1) divulgar a produção científica acadêmica em Educação Matemática, em especial aquela
dos docentes, graduandos e pós-graduandos da Faculdade de Educação da UNICAMP e 2)
constituir um veículo de integração científico-pedagógica entre pesquisadores e educadores
matemáticos de todos os graus de ensino
1
”.
Além dos artigos, a revista traz um banco de teses de doutorado e de dissertações de
mestrado relativas à Educação Matemática produzidas e/ou defendidas no Brasil desde
1991. E, também, os resumos das teses e das dissertações defendidas na Faculdade de
Educação da UNICAMP.
Fontes (1994), para “atender às inúmeras solicitações dos leitores a respeito da
palavra ZETETIKÉ, escolhida para denominar a revista” (p. 9), escreve sobre a origem do
nome Zetetiké. Doutor em Letras Modernas e professor do Departamento de Metodologia
de Ensino da Faculdade de Educação da UNICAMP, o autor levanta “algumas hipóteses
para explicar o título da revista” (p. 9). Uma delas é que a palavra seria uma transliteração
do adjetivo grego dzètêtiké, que em sua forma feminina pode ser traduzido como algo
próximo de “apta para indagar”. O autor também cita o Novo Dicionário Aurélio, que traz o
verbete “ZETÉTICA. [Do grego zetetiké (subentendendo-se techné: arte de procurar).]
Método de investigação...” (p. 10).
O mesmo verbete aparece em Russ (1994):
ZETÉTICA
– (adj.) Etim. Grego zetetikos, que ama a pesquisa. A. Sentido filosófico:
qualifica como investigadora a escola cética. B. Matemática: a análise zetética é o nome
dado pelo matemático francês Viète (1540 – 1603) ao que denominamos hoje o método
analítico” (RUSS, 1994, p. 316).
E é esta última definição que levou os criadores da revista a “transliterarem” o
verbete para nomear a revista, segundo Nota dos Editores (p. 11) ao final do artigo de
Fontes.
1
Encontrados em http://www.cempem.fae.unicamp/br/indexzetetike.html, acesso em 20/10/2003.
15
Revistas de Reflexão – Bolema
O Departamento de Matemática da UNESP de Rio Claro, São Paulo, é o responsável pela
publicação do Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), que teve seu primeiro
número lançado em 1985. De lá para cá são 19 revistas, além de três números especiais
(1989, 1992 e 1994). A revista, voltada principalmente para a reflexão de pesquisadores em
matemática, é constituída de entrevistas, artigos, resenhas, resumos e notícias.
Revistas de Reflexão – Educação Matemática em Revista
Educação Matemática em Revista
2
é uma publicação semestral da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática (SBEM). Teve seu primeiro número lançado no segundo semestre de
1993. As primeiras quatro revistas traziam temas específicos: 1. Etnomatemática, 1993; 2.
Ensino da Matemática no 1
o
Grau, 1994 (1
o
semestre); 3. Séries Iniciais, 1994 (2
o
semestre); e 4. Geometria, 1995. Os demais números da revista têm artigos, resenhas,
entrevistas e comunicações.
No editorial do segundo número da revista são definidos os objetivos da publicação:
“(...) tornar-se um lócus de expressão, discussão e busca de soluções para os problemas do
ensino da matemática ao nível de 1
o
e 2
o
graus, nos cursos de Magistério e de Licenciatura
em Matemática s constituir-se em fonte coletiva de melhoria desse ensino” (p. 2).
Pré-Análise dos Artigos das Revistas de Reflexão
Descritas as revistas, procurei um meio de analisar os artigos e estabelecer categorias de
modo a separar os que tenham interesse específico em história da matemática. Fiorentini
(1993), no primeiro número da revista Zetetiké, para “divulgar aos educadores-
pesquisadores em Educação Matemática o ´BANCO DE TESES EDUMAT`, que vem sendo
organizado pelo CEMPEM na Faculdade de Educação da UNICAMP” (p. 55), realiza um
estudo descritivo para cobrir as pesquisas em educação matemática, realizadas no Brasil
desde a década de 70. A análise descritiva, “após abordar o problema da divulgação, da
2
Até o número 4, de 1995, a revista era chamada de “A Educação Matemática em Revista”. Após este número “perdeu” o
artigo definido A. E é este último que utilizarei neste trabalho, exceto na bibliografia nos artigos anteriores àquela data.
16
dispersão e da descontinuidade das pesquisas” (p. 55), descreve as principais
características de sua produção.
O autor afirma que a
tentativa de organizar o campo da Educação Matemática em núcleos temáticos3 não tem
sido tarefa fácil. Isto decorre, em primeiro lugar, do fato de essa área de conhecimento ser
ainda emergente (...) Em segundo lugar, a própria natureza interdisciplinar do objeto de
pesquisa da Educação Matemática (...) (FIORENTINI, p. 65-66).
E, para realizar a organização das 204 Dissertações/Teses EDUMAT, foi feito um
cruzamento entre dois esquemas classificatórios: o utilizado pela revista alemã “ZDM –
Zentralblat für Didaktik der Mathematik” e a classificação proposta por Eduardo Martinez
em 1990 (apud FIORENTINI. 1993).
Escolhida a maneira de classificar os trabalhos, o autor, após uma acurada leitura
das dissertações e teses, separa-as por focos temáticos (ver o quadro a seguir). Alguns dos
trabalhos “dependendo da maneira como abordam seus temas, tanto podem estar num só
foco temático, como em dois ou até em três” (FIORENTINI, 1993, p. 66).
1. Currículo
2. Materiais didáticos e meios de ensino
3. Erros, problemas e dificuldades do ensino e da aprendizagem
4. Cotidiano escolar
5. Etnomatemática e educação de adultos
6. Relação da matemática com outras disciplinas
7. Formação do professor de matemática
8. Prática docente
9. Psico-cognição e aprendizagem
10. Fundamentos históricos e epistemológicos
11. Ideologia e/ou concepções e significados
12. História do ensino de matemática
13. Políticas oficiais sobre o ensino de matemática
QUADRO 1 – Focos temáticos – Fiorentini, 1993.
De todos os focos temáticos, o décimo é o que tem como principal tema a história
da matemática, com seus aspectos filosóficos e epistemológicos. Separei, então, os artigos
das três revistas — Bolema, Zetetiké e Educação Matemática em Revista — com a
utilização do quadro desenvolvido por Fiorentini. Depois dessa etapa, analisei mais amiúde
aqueles artigos que trazem como foco principal a história da matemática. Com este
levantamento viso a busca de subsídios teóricos para embasar este trabalho.
17
Para isso, fiz a classificação dos 297 artigos — 123 da revista Bolema, 91 da revista
Zetetiké e 83 da Educação Matemática em Revista —, ligando-os aos focos temáticos, da
seguinte maneira: (a) primeira seleção
: leitura dos títulos, resumos e palavras chave. Os
artigos que não puderam ser classificados após esta primeira seleção passaram para a (b)
segunda seleção: leitura das introduções e leitura superficial do artigo. Após esta, os artigos
que não têm definido a que focos pertencem passaram por uma (c) terceira seleção: leitura
mais apurada do artigo. Por se tratarem de artigos — com temas mais específicos que
dissertações ou teses — minha opção foi a de colocar cada um em somente um foco
temático, diferentemente do que foi feito por Fiorentini. A escolha do foco a que cada
artigo pertence foi feito pela maior ênfase que este dava a determinado foco. A seguir o
quadro com a distribuição total dos artigos nas três revistas. A tabela possui a data e
número da publicação, o número de páginas e a quantidade de artigos.
A
A1–n1–inverno/85 4 3
A
A1–n1–mar/1993 94 3
A AI–n1–1993 65 5
B
A1–n2–primavera/85 4 2
B
A2–n2–1994 91 7
B AI–n2–1994 66 8
C
A2–n3–primavera/86 4 3
C
A3–n3–mar/1995 114 5
C AII–n3–1994 58 8
D
A3–n4–1988 78 5
D
A3–n4–nov/1995 120 5
D AIII–n4–1995 64 7
E
A3–n5–1988 100 4
E
V4–n5–jan-jun/1996 122 7
E AIII–n5–1996 28 3
F
Especial–n1–1989 98 3
F
V4– n6–jul-dez/1996 180 11
F AV–n6–1998 23 3
G
A5–n6–1990 74 4
G
V5– n7–jan-jun/1997 151 8
G AVI–n7–1999 61 6
H
A6–n7–1991 122 6
H
V5–n8–jul-dez/1997 146 4
H AVII–n8–2000 80 7
I
A7–n8–1992 136 8
I
V6– n9–jan-jun/1998 170 5
I AVIII–n9/10–2001 67 7
J
Especial–n2–1992 118 7
J
V6–n10–jul-dez/1998 147 6
J AVIII–n 11–2001 72 7
K
A8–n9–1993 116 8
K
V7–n11–jan-jun/1999 122 5
K AIX–n 12–2002 72 8
L
A9–n10–1994 114 7
L
V7–n12–jul-dez/1999 149 6
L AIX–Ed. Especial–2002 14 14
M
Especial–n3–1994 118 7
M
V8–n13/14–jan-dez/2000 166 5
N
A10–n11–1995 100 7
N
V9–n15/16–jan-dez/2001 203 6
O
A11–n12–1997 118 6
O
V10–n17/18–jan-dez/2002 157 4
P
A12–n13–1999 122 5
P
V11–n19–jan-jun/2003 132 4
Q
A13–n14–2000 110 5
R
A14–n15–2001 142 7
S
A14–n16–2001 136 7
T
A15–n17–2002 150 6
U
A15–n18–2002 136 8
V
A16–n19–2003 142 5
QUADRO 2 – Distribuição dos artigos das revistas de reflexão
18
Analisados os 297 artigos para colocá-los nos focos temáticos, obtive o quadro a
seguir.
Bolema Zetetiké Ed. Mat. em Rev.
Foco Temático
% % %
1
Currículo 19 15,4 16 17,6 15 18,1
2
Materiais didáticos e meios de ensino 20 16,3 7 7,7 13 15,7
3
Erros, problemas e dif. do ensino e da aprendizagem 3 2,4 4 4,4 1 1,2
4
Cotidiano escolar 2 1,6 1 1,1 7 8,4
5
Etnomatemática e educação de adultos 8 6,5 6 6,6 5 6,0
6
Relação da matemática com as outras disciplinas 1 0,8 2 2,2 1 1,2
7
Formação do professor de matemática 1 0,8 12 13,2 5 6,0
8
Prática docente 11 8,9 4 4,4 7 8,4
9
Psico-cognição e aprendizegem 8 6,5 14 15,4 3 3,6
10
Fundamentos históricos-filosóficos e epistemológicos 29 23,6 10 11,0 5 6,0
11
Ideologia e/ou concepções e significados 10 8,1 7 7,7 13 15,7
12
História do ensino da matemática 4 3,3 6 6,6 1 1,2
13
Políticas oficiais sobre o ensino da matemática 4 3,3 2 2,2 7 8,4
OUTROS 3 2,4 — — — —
123 91 83
QUADRO 3 – Distribuição dos artigos das revistas de reflexão nos focos temáticos
De todos os 123 artigos da revista Bolema, 14 — representando 11,4% — podem
servir de aporte teórico para as discussões sobre a inclusão da história da matemática no
ensino da matemática. Destes, 12 estão no foco temático Fundamentos histórico-filosóficos
e epistemológicos (FOSSA, 1991; OTTE, 1991; BICUDO, 1992; D´AMBÓSIO, 1992;
FERREIRA et alli, 1992; MEDEIROS e MEDEIROS, 1992; OTTE, 1992; CASABÒ,
1993; SOUZA, 1993; JARDIMETTI, 1994; OTTE, 1994 e SCHUBRING, 2002), um no
foco temático Currículo (OLIVEIRA, 1993) e um no foco História do ensino da matemática
(VALENTE, 2002a).
Na revista Zetetiké, dos 91 artigos, oito — 8,8% do total — têm discussões acerca
da história da matemática e podem, como aqueles da revista Bolema, servir de aporte
teórico aos professores que queiram incluir a história no ensino e, também, ajudar nas
discussões deste trabalho. Destes, quatro estão no foco Fundamentos histórico-filosóficos e
epistemológicos (MIGUEL, 1995; BRITO e CARDOSO, 1997; MIGUEL, 1997;
SCHUBRING, 1998). Os outros quatro artigos estão assim distribuídos: Currículo
(GRATTAN-GUINNES, 1997); Etnomatemática e educação de adultos (FASHEH, 1998);
19
Prática docente (MENDONÇA, 1996) e História do ensino de matemática (FIORENTINI,
1995).
A revista Educação Matemática em Revista tem oito artigos — 9,6% dos 83
analisados — que possuem contribuições acerca da história da matemática no ensino da
disciplina. Dois deles no foco formação do professor de matemática (PIRES, 2000 e
PAIVA, 2002), cinco em Fundamentos históricos-filosóficos e epistemológicos (MIGUEL,
1994; FRAGOSO, 2000; ZUFFI, 2001; PAVANELLO et al, 2002 e VALENTE, 2002b). O
outro artigo está no foco temático Ideologia e/ou concepções e significados
(BITTENCOURT, 1998).
De todos os 297 artigos pesquisados nas três revistas 30 (10,1%) podem contribuir
para as discussões que pretendo fazer aqui neste trabalho. E, a partir deste levantamento,
estes foram novamente lidos e “participaram” como elementos de referência nas discussões
propostas. A utilização do quadro de classificação de Fiorentini (1993) em focos temáticos
foi de fundamental importância para a categorização e separação dos artigos utilizados
aqui, por isso, o seu destaque nestas primeiras notas metodológicas.
Nas segundas notas metodológicas, após o capítulo ASPECTOS TEÓRICOS, a
revista de consulta (RPM) e os livros didáticos também sofrerão uma pré-análise, passarão
por uma descrição analítica e “participarão” da reflexão que tentarei fazer para estabelecer
suas relações com a defesa da utilização da história da matemática e as políticas oficiais
para o ensino da disciplina.
20
ASPECTOS TEÓRICOS
Um Papel para a História
Uma das faces das pesquisas em educação matemática é caminhar no sentido de encontrar
instrumentos metodológicos para serem usados no ensino da disciplina. Através de
reflexões teóricas os pesquisadores desbravam seus campos de pesquisa na intenção de
fornecer subsídios para uma maior compreensão da matemática.
Neste sentido, Baroni e Nobre (1999), apontam que o movimento de educação
matemática incorpora, de tempos em tempos, alguns componentes novos que visam, em
uma primeira instância, fornecer instrumentos metodológicos que possam ser utilizados
pelo professor de matemática em suas atividades didáticas. Entre estes “instrumentos”,
estão a resolução de problemas; a modelagem matemática; a etnomatemática e a
informática. A história da matemática também é um deles e, nos últimos tempos, vem
ganhando destaque nas pesquisas em educação, como afirmam Fossa (1991 e 2001a) e
Schubring (2002).
Porém, mesmo entendendo que as pesquisas acadêmicas sobre a história da
matemática tenham avançado, Baroni e Nobre afirmam que a história da matemática — tal
como a análise, a álgebra, a topologia etc. — constitui uma área do conhecimento
matemático, um campo de investigação científica, por isso seria uma ingenuidade
considera-la somente um instrumento metodológico.
Para defender a tese da importância do estudo da história da matemática, Silva da
Silva (2001) cita o historiador Otto Becken que “(...) elege a história como uma entre as
cinco componentes necessárias para uma melhor compreensão dos conhecimentos
matemáticos” (p. 134). Além da história, figuram na relação de Becken: resolução de
problemas, modelagem e aplicações; habilidades técnicas — com o uso de calculadoras e
computadores; compreensão de conceitos — argumentação, justificação e provas e
habilidades de comunicação — com linguagem e símbolos — notação e etimologia. Para o
historiador, a história da matemática está colocada junto à cultura e ambas nos levam ao
campo da epistemologia.
21
Porém, corre-se o risco — ao se tratar a história da matemática apenas como um
simples instrumento metodológico —, de reduzir a sua importância e desviá-la para o status
de apenas um coadjuvante no ensino da disciplina, quando, na verdade, pode se tornar peça
importante, senão principal, na sua aprendizagem. Pois, como escreve D’Ambrosio,
as práticas educativas se fundam na cultura, em estilos de aprendizagem e nas tradições, e a
história compreende o registro desses fundamentos. Portanto, é praticamente impossível
discutir educação sem recorrer a esses registros e a interpretações dos mesmos
(D´AMBRÒSIO, 1999, p. 97).
E, mais adiante, em outro trecho, que as
idéias matemáticas comparecem em toda a evolução da humanidade, definindo estratégias
de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando instrumentos para esse fim, e
buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência
(D´AMBRÒSIO, 1999, p. 97).
Assim, para o autor, mais que um simples instrumento metodológico, a história da
matemática — e sua interpretação — é vista como imprescindível na educação matemática,
pois para ele perceber a história da matemática é essencial nas discussões sobre a disciplina
e seu ensino. Essa percepção remete à idéia de que a história da matemática não pode ser
vista apenas como anedótica, lendária, ou, como escrevem Baroni e Nobre:
ao desenvolvermos estudos relativos às contribuições da História da Matemática para a
Educação Matemática, percebemos que é necessária muita cautela, pois pode-se incorrer no
erro de simplesmente assumir a História da Matemática como elemento motivador ao
desenvolvimento do conteúdo. Sua amplitude extrapola o campo da motivação e engloba
elementos cujas naturezas estão voltadas a uma interligação entre o conteúdo e sua atividade
educacional (BARONI e NOBRE, 1999, p. 132).
Outros autores acompanham este ponto de vista — de considerar ingênua a
utilização da história da matemática apenas como elemento motivador. Fossa (1991)
entende que a história da matemática “dificilmente despertará qualquer interesse na
Matemática em si”, (p. 85), pois, para o autor, na verdade, a história poderá afugentar os
alunos contrariando a sua utilização pedagógica se for tratada de maneira apenas
decorativa. O autor continua afirmando que é o importante é encarar a história da
matemática também como recurso para a apresentação de conteúdos matemáticos. Nesse
sentido, Otte afirma que
22
a História tem sido, tradicionalmente, usada como uma fonte para estimular a motivação dos
alunos para o fazer matemática. Parece óbvio que um tal emprego da História é
insatisfatório visto que o aluno, muito rapidamente, aprende que o conteúdo real vem
somente depois de se ter acabado de “contar a história” (OTTE, 1992, p. 104).
Para Schubring (1998) a história da matemática tem uma função que transcende
aquela tradicional e insatisfatória da motivação para a aula. E, além desses autores,
Jardinetti (1994), Fossa (2001b) e Miguel (1997) também discutem a inclusão da história
da matemática para além da simples utilização como elemento motivador. Brito e Cardoso
(1997) entendem que a história unicamente narrativa também não colabora para a
construção de conceitos matemáticos.
Silva da Silva, em dois trechos selecionados, reforça estas idéias. No primeiro,
argumentando sobre a possibilidade de ingenuamente achar que a história da matemática
pode, sozinha, resolver todos os problemas da educação matemática:
uma visão um tanto ingênua sobre o papel da História da Matemática atribui a esta uma
função quase mágica, como se o deu domínio ou a sua aplicação possibilitasse a resolução
de todos os sérios problemas envolvidos no processo ensino-aprendizagem da Matemática
(SILVA da SILVA, 2001, p. 129).
No segundo, a autora mostra que a utilização da história da matemática requer uma
mudança de visão da matemática:
se a encararmos como uma ciência quase auto-suficiente, pronta e acabada e acreditarmos
que existam duas castas de pessoas: aquelas que a dominam e ensinam e uma outra que é
instruída pela primeira, dificilmente, haveria espaço para a História da Matemática no
processo de ensino-aprendizagem. Mas, se por outro lado, a encararmos como apenas uma
das muitas formas de conhecimento, ou ainda como um tipo de manifestação cultural ou
atividade humana mais geral, então, a história desse conhecimento reveste-se de significado
e estudar a História da Matemática é uma forma de entender melhor as relações do homem
com o conhecimento matemático dentro de um certo contexto cultural (SILVA da SILVA,
2001, p. 129-130).
Utilizando toda a cautela — como recomendam vários pesquisadores — e para não
enveredar por teses que apenas tornem simplória a utilização da história da matemática,
alguns trabalhos apresentam defesas da necessidade da utilização da história da matemática.
Silva da Silva (2001), por exemplo, cita o historiador Dirk Struick, que justifica a
relevância do estudo da matemática como forma de entendermos melhor as crenças de
23
estudantes e professores de Matemática. O estudo da história da matemática, segundo
Struik,
satisfaz o desejo de sabermos das origens da Matemática; pode ser um auxílio no ensino e
na pesquisa; ajuda a entender nossa herança cultural; proporciona um campo em que o
especialista em Matemática e o de outros campos da ciência podem encontrar interesse
comum; oferece um pano de fundo para a compreensão das tendências em Educação
Matemática e aumenta o interesse dos alunos pela matéria (apud SILVA da SILVA, 2001,
p. 133).
A autora também cita John Fauvel, que aponta “(...) boas razões para justificar o
uso da História no ensino da Matemática” (apud SILVA da SILVA, 2001, p. 134). Para
Fauvel, algumas dessas razões são: aumentar a motivação para a aprendizagem; dar uma
face humana à Matemática; mostrar aos alunos como os conceitos são desenvolvidos,
auxiliando sua compreensão; mudar a percepção dos alunos sobre a Matemática e fornecer
oportunidades e ajuda para explicar o papel da Matemática na sociedade.
Dentre as vantagens de se estudar (ou conhecer) a história da matemática — tanto
para alunos quanto para professores — a contextualização e a busca de significação para os
conteúdos estudados aparecem como pontos fundamentais, pois desmistificam a disciplina
dando-lhe um caráter de construção humana. Neste sentido, Pereira entende que, sendo a
matemática um fator integrante do contexto social, ela incentiva a formação do cidadão na
maior amplitude possível e, ainda, que a história da matemática poderá contribuir para a
construção do conhecimento matemático no sentido de o estudante atribuir maior
significado ao que ele aprende. Para este autor, a história da matemática
possui elementos que podem imprimir ao ensino e à aprendizagem das concepções
matemáticas uma maior qualidade e significação, fazendo, assim, dos agentes envolvidos no
âmbito escolar, professor e aluno, indivíduos mais críticos, integrados a um saber que
perpassa os séculos e que envolve inúmeras áreas (PEREIRA, 2002, p. 20).
No ensino da matemática somente há pouco que o estudo da história vem tomando
corpo como instrumento metodológico ou como linha de pesquisa. Na física, química e
biologia, a discussão sobre a utilização da história (da filosofia e da sociologia, também) no
ensino é um pouco mais antiga, como afirma Leite (2002).
Matthews, falando sobre ciência, escreve:
24
A tradição contextualista assevera que a história da ciência contribui para o ensino porque:
(1) motiva e atrai os alunos; (2) humaniza a matéria; (3) promove uma compreensão melhor
dos conceitos científicos por traçar seu desenvolvimento e aperfeiçoamento; (4) há um valor
intrínseco em se compreender certos episódios fundamentais na história da ciência — a
Revolução Científica, o darwinismo, etc; (5) demonstra que a ciência é mutável e instável e
que, por isso, o pensamento científico atual está sujeito a transformações que (6) se opõem a
ideologia cientificista; e, finalmente, (7) a história permite uma compreensão mais profícua
do método científico e apresenta os padrões de mudança na metodologia vigente.
(MATTHEWS, 1995, p. 172).
Peduzzi apresenta várias características que “a pesquisa, em condições de sala de
aula e com materiais históricos apropriados, de boa qualidade” (p. 157) podem ser
utilizadas pelo professor para, entre outras, possa
(...) propiciar o aprendizado significativo de equações (...) que o utilitarismo do ensino
tradicional acaba transformando em meras expressões matemáticas (...); ser bastante útil
para lidar com a problemática das concepções alternativas; incrementar a cultura geral do
aluno, admitindo-se, neste caso, que há um valor intrínseco em se compreender certos
episódios fundamentais que ocorreram na história do pensamento científico (...);
desmistificar o método científico, dando ao aluno os subsídios necessários para que ele
tenha um melhor entendimento do trabalho do cientista; mostrar como o pensamento
científico se modifica com o tempo, evidenciando que as teorias não são ‘definitivas e
irrevogáveis’, mas objeto de constante revisão; chamar a atenção para o papel das idéias
metafísicas (e teológicas) no desenvolvimento das teorias científicas mais antigas; contribuir
para um melhor entendimento das relações da ciência com a tecnologia, a cultura e a
sociedade; propiciar o aparecimento de novas maneiras de ensinar certos conteúdos;
melhorar o relacionamento professor-aluno; levar o aluno a se interessar mais pelo ensino da
Física (PEDUZZI, 2001, p. 157-158).
Matthews escreve sobre ciências naturais (física, química, e biologia), Peduzzi
acerca da ciência (especificamente a física). Porém todas as justificativas apresentadas —
quando necessário e com a devida adaptação — podem ser utilizadas em favor da utilização
da história da matemática na educação matemática. Matthews defende a utilização da
história e da filosofia das ciências no ensino. Esta defesa ruma para uma “abordagem
`contextualizada`” (p. 166), o que, acredito, dá mais significado à aprendizagem. O autor
acredita na reformulação dos currículos para que se possa utilizar a História, Filosofia e
Sociologia no ensino de ciências.
Almeida (2004) também segue esta linha. A autora diz que o ensino de física
justifica-se pela “mediação cultural ampla e diversificada que deve ocorrer na escola”. (p.
96). E, na perspectiva de mediação cultural, o ensino de ciência atinge um amplo espectro
que deve conduzir o aluno a atingir, entre outros, os seguintes objetivos:
25
internalização de conceitos e leis (...); reconhecimento das condições sociais em que
determinadas leis da natureza e certos conceitos foram produzidos; bem como o
entendimento de suas influências sobre a sociedade; a compreensão de modos de produção
da ciência; a possibilidade de crítica em relação a aplicações e implicações sociais da
instituição científica; a aquisição de habilidades e atitudes pertinentes ao fazer científico; o
incremento da auto-estima pela inserção em questões próprias do seu tempo” (p. 96). E,
completa, “na busca de tentar atingir alguns desses objetivos, a incorporação de aspectos da
filosofia e da história da ciência, no ensino escolar das ciências da natureza, já foi muitas
vezes recomendada por pesquisadores da educação em ciências com diferentes enfoques, e
para o ensino de diferentes disciplinas e níveis de ensino (ALMEIDA 2004 p. 97).
Entendo que esta inclusão — não como tópicos específicos, mas como filosofia
norteadora — privilegia as dimensões e interesses pessoais, éticos, culturais e políticos da
comunidade onde se insira esta forma de ensino. Desta forma, além de aumentar a
significância do binômio ensino-aprendizagem, coloca-se o ensino numa perspectiva de
construção humana.
Muitos dos livros — ou manuais — didáticos atuais, como já foi dito anteriormente,
apresentam uma matemática já “feita”, pronta e acabada. A gênese dos conceitos não
aparece e isso dá uma falsa impressão que o que está posto é definitivo. Esconde-se a
necessidade que se tem de provar e demonstrar. Escondem-se as crises e as revoluções —
na matemática, o surgimento das geometrias não-euclidianas são um exemplo dessas crises
e revoluções.
Chervel (apud VALENTE, 2002a), chega até a afirmar que todos os livros
didáticos, em uma certa época, dizem a mesma coisa, é o que ele chama de “fenômeno da
vulgata”. Para Valente, os conceitos ensinados, a terminologia adotada, a organização da
seqüência de ensino e dos capítulos, o conjunto de exemplos fundamentais ou o tipo de
exercícios realizados são praticamente idênticos ou apresentam pouquíssima variação.
Fossa diz que
o professor geralmente lança mão de raras preciosidades que ele acha encravadas no fim dos
capítulos do livro texto, e acaba utilizando-as mais como recreio mental, para fugir por uns
momentos de assuntos mais sérios, do que como parte integral da matéria a ser ministrada
(FOSSA, 2001b, p. 59).
Esta história apenas “ilustrativa” ou recreativa torna-se para os alunos uma
“matemática que não é matemática” — e, às vezes, nem cai na prova —, que não contribui
para o conhecimento matemático. Faltam ligações com a outra matemática, considerada por
muitos como séria, difícil e chata.
26
Porém, enquanto atividade humana, a matemática está ligada à “produção da
subsistência dos povos” (SOUZA, 1999, p. 138) e a sua história, bem como a da ciência
“pode ser caracterizada brevemente como a transição de um pensamento empírico, um
pensamento em termos de objetos concretos, para um pensamento em termos de relações
entre objetos” (OTTE, 1994, p. 71
)
. Uma história que evolui — do empirismo babilônio e
egípcio à formalização grega, por exemplo — e deixa questões em aberto (BICUDO,
1999). Assim, o seu ensino — e os materiais didáticos utilizados — têm que levar em conta
esta evolução e estas questões. Nobre (1996) aponta que “no processo pedagógico, a forma
como é tratado um assunto é de extrema importância para a sua compreensão” (p. 31).
Desta forma, a história da matemática tem, então, muito a contribuir para isso.
Como e qual História?
Fossa (2001a) explica a simbiose que existe entre história da matemática e educação
matemática dizendo que “a maneira em que se apreenda a matemática colora a maneira em
que se compreende a sua história, enquanto a história contextua o seu ensino” (p. 9).
Concordo com o autor que, desta forma, a utilização da história está intimamente ligada
com a concepção de matemática existente e a formação do professor. Muitos autores dão
indícios de como se deve utilizar a história da matemática no ensino de matemática, muitas
vezes em temas específicos, mas que podem ser extrapolados.
Para Mendes, quando um professor de matemática decide utilizar a história como
recurso de ensino-aprendizagem pode seguir por dois caminhos. No primeiro
é necessário que sua atividade seja revestida também pela pesquisa. Isso significa ser
necessário ao professor levantar na história da matemática, problemas que necessitem
respostas, visando assim torná-los como ponto de partida das atividades pedagógicas a
serem desenvolvidas em sala de aula (MENDES, 2001, p. 229).
Assim,
sua classe transformar-se-á em um ambiente no qual os estudantes posicionar-se-ão como
investigadores preocupados em responder certas questões abertas no contexto da matemática
escolar e que poderão ser respondidas a partir da investigação dos aspectos históricos
referentes ao problema investigado (MENDES, 2001, p. 229).
27
Os resultados obtidos irão subsidiar a organização sistemática do conhecimento
matemático objetivado pelo conteúdo programático. O autor entende que esta investigação
possa contribuir para que os estudantes possam perceber os “porquês” matemáticos. Porém,
segundo acredita o autor, este caminho é mais viável em instituições de ensino superior,
principalmente nos cursos de licenciatura em matemática. O segundo caminho
diz respeito à utilização das informações históricas presentes nos livros de história da
matemática ou similares e, a partir de tais informações, elaborar atividades de ensino
visando com isso fomentar a construção de noções matemáticas pelo aluno” (MENDES,
2001, p. 230).
Porém, o autor não deixa claro quais são os “similares” e qual a participação dos
livros-textos neste método.
Fragoso (2000) sugere uma abordagem histórica dos temas a serem ensinados para
evidenciar o desenvolvimento dos conteúdos desde as sua origens. Nesta abordagem o
aluno entra em contato com os métodos de resolução de problemas e também com as
notações de cada tempo. Para o autor isso vai valorizar ainda mais a colaboração dos
matemáticos que participaram do seu desenvolvimento. O autor sugere o método com a
resolução de equações do segundo grau. Zuffi (2001), na mesma linha, com um trabalho
sobre funções, acredita que
o conhecimento da gênese histórica dos conceitos matemáticos pode ser uma ferramenta de
grande valia para a elaboração da linguagem matemática e para uma compreensão mais
profunda desses conceitos (ZUFFI, 2001, p. 10).
Outra autora, Mendonça, diz que devemos:
reconhecer que a matemática é resultado de um processo histórico e, por isso, grande parte
de sua maneira de operar as relações quantitativas e geométricas, suas notações e arranjos
lingüísticos, têm um passado que é fonte de origem para os modelos atuais (MENDONÇA,
1996, p. 64).
Assim, o conhecimento dos métodos do passado pode ajudar — por
“tradição/hereditariedade” — no entendimento dos métodos atuais.
A intenção, neste caso, é mostrar ao aluno, entre outras coisas, que o método atual
“herdou” o sistema posicional — onde, no número 11, por exemplo, o primeiro um vale dez
(uma dezena) e o segundo uma unidade — da numeração hindu-arábica e, além disso, o
28
algoritmo ou a seqüência de passos para efetuar a operação. E, como mostra também a
autora, as nossas “heranças” não são apenas hindus ou árabes, é resultado de um processo
de evolução e documentação histórica — o texto exemplifica apresentando três métodos
para multiplicar, entre as diferentes formas apresentadas por Pacioli, em seu trabalho
intitulado “Summa” publicado em 1494. Os métodos vão se assemelhando ao utilizado hoje
em dia.
Grattan-Guinnes (1997) reconhece que o ensino de cálculo raramente envolve sua
história. Em conseqüência disso, as várias tradições conflitantes de termos, notações e
idéias são transmitidas de forma parcial e mal digerida. Desta forma acredita que estudar a
prática de cada versão pode revelar suas diferenças e, também, os pontos em comum. As
tradições a que se refere o autor são os traços de diferentes tendências — como, por
exemplo, as notações de Newton e as de Leibnitz, no cálculo ou, ainda, as notações
algébricas com o passar do tempo — que aparecem em livros-textos de nosso tempo e que
os autores normalmente apresentam uma, omitindo a outra.
Brito e Cardoso (1997) trabalhando com cálculo diferencial em cursos para
professores, optam por abordar a história da matemática de maneira a privilegiar os
aspectos filosóficos que forneçam problemas que possam ser utilizados na construção de
conceitos matemáticos. Com isso, utilizam “a História da Matemática como fonte de
problematização” (p. 129). As autoras buscam, na história da matemática, problemas que
levaram ao desenvolvimento de conceitos e realizam uma reconstituição histórica, tendo em
vista a formulação de problemas que, de algum modo, pudessem contemplar algumas
dúvidas dos alunos freqüentemente observadas no processo de aprendizagem.
Os problemas utilizados são: os paradoxos de Zenão; o traçado da reta tangente à
espiral, de Arquimedes; o dilema do cone, de Demócrito; os métodos de derivação de
Newton e Leibniz; o método de derivação de Karl Marx e a tentativa de Robinson de
fundamentação do cálculo diferencial. Brito e Cardoso optam por uma abordagem que
privilegia os aspectos filosóficos e que fornece problemas que podem ser usados na
construção de conceitos, pois entendem que:
a participação da História da Matemática no processo de aprendizagem por meio da mera
narração dos, assim denominados, “fatos históricos” não fornece subsídios para que os
alunos desenvolvam desenvolvam novas concepções de Matemática além da tradicional
(BRITO e CARDOSO, 1997, p. 141).
29
Concordo que a utilização de exemplos históricos (GRATTAN-GUINNES, 1999) e
a “recriação imaginativa de situações históricas em termos de um problema prático”
(FOSSA, 1991, p. 86), também podem inserir o aluno num “ambiente” histórico, propício
para a apreensão dos conhecimentos. Da mesma forma, Schubring destaca que:
uma vez que o saber escolar é mais acentuadamente uma condensação da evolução histórica
do que o conhecimento resultante de pesquisa atua podemos, desde já, considerar um
primeiro aproveitamento produtivo da história da matemática para a didática: a análise de
problemas técnicos ou epistemológicos do saber matemático que provocam erros por parte
dos alunos (SCHUBRING, 1998, p. 17).
Nesta perspectiva, o autor aponta para a utilização de problemas históricos que
representassem obstáculos epistemológicos, como é o caso da aprendizagem dos números
negativos. O autor tinha como objetivo examinar se, a partir do uso dado por Viète e Stevin
aos números negativos se pode falar do seu reconhecimento não problemático.
Para tal, o autor examina o status do conceito de números negativos na França,
Inglaterra e Alemanha — que, à época, tinham as maiores comunidades de matemáticos —
desde a segunda metade do século XVIII. Baseando-se em livros-texto de aritmética e
álgebra, monografias e artigos o autor encontra debates e controvérsias sobre o conceito.
Na segunda metade daquele século, encontra-se, por exemplo, “posicionamentos tanto de
rejeição quase absoluta na Inglaterra, de ambivalência na França, quanto de clara
aceitação na Alemanha” (p. 19). Emergem deste estudo algumas conclusões, uma delas é
que a
famosa regra dos sinais (menos por menos igual a mais) (...) constitui-se muito mais um
obstáculo de caráter didático: teve efeito que os professores construíssem uma imagem da
matemática segundo a qual esta ciência tem condições de provar todas as suas proposições
(SCHUBRING, 1998, p. 20).
E, ao final do texto, o autor conclui que:
não podemos fechar os olhos para o fato de que da escola partem impulsos dogmatizantes e
formalizantes que afetam o desenvolvimento da ciência tal como o exagero fundamentalista
de bases seguras. No entanto, pode ser uma tarefa meritória para a história da matemática
descobrir aqueles pontos nos quais a busca justificadas de fundamentos se converte em
formalismo (SCHUBRING, 1998, p. 31).
30
Em Schubring (2002) esta utilização — de problemas históricos — é retomada
através da análise dos erros e obstáculos que acompanham a noção de multiplicação.
Concluindo, o autor afirma que
esse problema histórico mostra que a relação entre o ensino e a história é muito mais
indireta que direta; não se pode utilizar a história para um ´prognóstico` dos erros dos
alunos, mas a história apresenta um metasaber sobre a matemática, que constitui uma fonte
de reflexão para o professor (SCHUBRING, 2002, p. 50).
Para D´Ambrósio uma
maneira de praticar a história no ensino é fazer acompanhar cada ponto do currículo
tradicional por uma explanação do contexto sócioeconômico e cultural no qual aquela teoria
ou prática se criou, como e porque se desenvolveu” e, completa, “também é muito
interessante gastar um tempinho falando sobre as pessoas que estamos estudando
(D´AMBRÒSIO, 1996a, p. 12).
Além disso, o autor ressalta a importância de também relacionar a matemática com
todos os aspectos que a rodeiam: políticos, filosóficos, religiosos, artísticos etc. E, também
importante, que o professor aprofunde essas discussões o mais amplamente possível, o que
depende, é claro, de sua formação.
No mundo inteiro a maneira de como a utilizar a história da matemática no ensino
da disciplina ainda não obteve consenso. Como escreve Ferreira:
Há educadores, por exemplo, que trazem para um trabalho em sala de aula os originais que
geraram o conceito que está sendo estudado (...) outros (...) propõem uma adaptação dos
antigos problemas geradores de conceitos para a realidade do aluno de hoje. Agindo assim,
o aluno, instigado por um problema atual, deve procurar na sua solução a construção dos
conceitos matemáticos necessários para isto (FERREIRA, 1996, p. 5-6).
A união da análise do discurso matemático com a análise histórico-epistemológica
de conceitos matemáticos revela-se, na concepção de Hariki (1996), como um instrumento
essencial para a investigação em didática da matemática. Isto porque os
objetos matemáticos, muitas vezes penosamente construídos pelos matemáticos ao longo
dos séculos, sofrem um verdadeiro processo de esquartejamento conceitual nas mãos de
muitos autores de livros-textos (HARIKI, 1996, p. 36).
Assim, o autor apresenta como exemplo “um método para fazer o resgate
ontológico das curvas especiais” (p. 36), no caso, a Lemniscata de Bernoulli. E, mais do
31
que isso, uma alternativa para se construir o conhecimento utilizando a história da
matemática. Sintetizando, a metodologia proposta é composta dos seguintes passos: 1.
discurso matemático; 2. livros de história da matemática; 3. softwares educacionais e 4.
pensamento matemático.
No discurso matemático o professor deve começar com os livros-textos (“mesmo
que sejam ruins”), pois eles fornecerão os dados iniciais, a realidade mais imediata, o
problema que se quer resolver. Nesta fase o professor também pode recorrer a dicionários,
enciclopédias etc. Os livros de história da matemática — quando possível, o professor deve
recorrer às fontes originais ou primárias — trarão a gênese dos conceitos, dos objetos e das
teorias matemáticas. Os softwares educacionais não são apenas instrumentos auxiliares,
mas “também motivadores da pesquisa didática em matemática” (p. 46). E, por fim, o
pensamento matemático — incontrolável e que “não pára, sendo a busca de generalização
um de seus movimentos mais fortes” (p. 46) — que deve permear todos os passos.
Penso que este “modelo” é factível. O passo três — softwares educacionais — não é
imprescindível e pode não existir em determinados casos — onde não haja ou não se
necessite de softwares ou, ainda, onde não exista a disponibilidade de computadores.
Porém, a aplicação do método pede um professor diferente: um pesquisador.
Outro aspecto que pode ser levado em conta quando se pensa em introduzir a
história da matemática no ensino da matemática é a utilização de fontes primárias (dos
originais) na sala de aula. Ler Euclides em Euclides, por exemplo. E é sobre este tema —
utilização de fontes primárias — que escrevem Arcavi e Bruckheimer A princípio,
esclarecem os autores, é necessário:
estabelecer objetivos para o seu uso (incluindo a população a ser atendida), o tipo de fonte
adequada a este objetivo e a metodologia didática necessária para explorar e dar suporte à
fonte escolhida (ARCAVI e BRUKHEIMER, 2000, p. 55).
Os livros de história da matemática — as “histórias gerais” (p. 56) — são, para os
autores, as fontes secundárias, que “podem parecer um bom ponto de partida” (p. 56) para
a introdução da história na sala de aula. Porém, estas fontes carregam consigo alguns
problemas: 1. Apresentação em seqüência cronológica. 2. Tópicos parcamente considerados
ou omitidos. 3. Atribuição de uma visão particular do autor. 4. Transmissão de julgamentos
de valores dos autores. 5. Transmissão de valores de julgamentos das condições dos
32
conceitos matemáticos. E estes problemas só podem ser sanados quando há a comparação
entre o “fato” — fonte primária — e a versão — fonte secundária, pois, “na ausência de
uma fonte primária distorções são quase inevitáveis” (p. 58). Para estes autores,
a história é mais rica do que aquela exposta na maioria das fontes secundárias (às quais não
sugerimos que sejam deixadas de lado) e são defensáveis (se confrontadas com as histórias
concorrentes) porque foram elaboradas com base nas fontes primárias” (ARCAVI e
BRUKHEIMER, 2000, p. 59).
Isso reforça a tese de que o professor deva ser um pesquisador para confrontar as
“histórias” existentes, quando optar por utilizar a história da matemática na sala de aula.
Isso, sem dúvida, representaria uma carga extra para o professor que não teve em sua
formação o contato com a história da matemática ou a teve totalmente separada das
disciplinas ditas técnicas.
Entre as vantagens (e maneiras) de se utilizar a história da matemática no ensino da
disciplina, os autores apontam para: mostrar as representações alternativas; explicitar a
existência de dúvidas e contradições na matemática; o uso das fontes primárias como
interlocutores; a simplicidade e motivação didática; a possibilidade de, com a história,
mostrar a evolução das idéias e a história da matemática como fonte de redescobrimento e
de “vitrine” para os aspectos culturais.
No primeiro item — representações alternativas — os autores escrevem que
a história da matemática fornece exemplos de diferentes sistemas representacionais que não
podem somente ajudar a estudantes a compreenderem o papel da representação, mas
também que os modos de calcular podem depender da representação (ARCAVI e
BRUKHEIMER, 2000, p. 59)
e, também,
que quando as crianças têm que comparar e diferenciar uma representação já conhecida,
dada como alternativa, elas não somente a aprendem, mas mais importante, sua atenção
concentra-se na anterior, fornecendo uma oportunidade de redescobrir as propriedades do
sistema conhecido (...) neste caso, o uso de uma fonte primária não somente traz o sabor do
passado, mas também carrega em si o desafio de decifrar e promover discussões sobre as
representações e algoritmos alternativos na matemática” (ARCAVI e BRUKHEIMER,
2000, p. 61).
Uma das representações alternativas importantes no ensino da matemática é o dos
sistemas de numeração. Outros autores (KARLSON, 1961; BOYER, 1974; AABOE, 1984;
33
IFRAH, 1989; DAVIS, 1992; GUNDLACH, 1992; KENNEDY, 1992; STRUIK, 1992;
MORETTI, 1999; COURANT e ROBBINS, 2000) também reconhecem a importância
destas representações.
A história da matemática também é capaz de suscitar as dúvidas e contradições
existentes na matemática — para este ponto é importante também ver BOCHNER, 1991 e
BELL, 1995 —, principalmente com o contato direto com as fontes primárias. Para Arcavi
e Bruckheimer,
fontes primárias podem dar exemplos vividamente documentados da formação genuína da
atividade matemática e pela sua leitura pode-se legitimar o aparecimento de dúvidas
(ARCAVI e BRUKHEIMER, 2000, p. 62).
A leitura de uma fonte primária provoca um “´diálogo estabelecido` com as idéias
expressas nela. A fonte, então, torna-se um interlocutor a ser interpretado, questionado,
respondido e contra-argumentado” (p. 64). Além disso, a simplicidade e motivação didática
que podem ser encontradas no contato com as fontes primárias podem auxiliar o professor
na sala de aula. Diferentemente do que muitos pensam, as fontes primárias podem ser “mais
amigáveis do que suas elaborações mais recentes” (p. 66). “Simplicidade e afabilidade
podem também ser encontradas nas explicações propostas em algumas fontes primárias
para as leis matemáticas, básicas, mas formais, que os professores e os projetistas de
currículos escolares se esforçam em encontrar” (p. 67). Um exemplo, dado no texto, está na
definição de números reais dada por Dedekind, em seu livro “Essays on the Theory of
Numbers, de 1924”.
Os autores ainda escrevem que alguns textos antigos freqüentemente fazem uso de
linguagem do senso comum e explicações racionais que podem enriquecer o repertório
didático de professores e fazerem sentido aos alunos. Um exemplo disso é a apresentação
de Viète sobre as leis algébricas, em seu “In Artem Analyticen Isagog”.
A crença comum entre tantos professores e estudantes sobre a natureza estática e
imutável dos conceitos matemáticos pode ser abalada com a utilização das fontes primárias.
Por isso, os autores sugerem que estas “podem oferecer um contato ´não-mediado` com o
modo pelo qual as idéias foram definidas em certas épocas, diferentes de como as usamos
hoje”. (p. 67). Isso geraria a oportunidade de conferir a mudança de idéias. E, além disso, a
história da matemática poderia ser usada — através das fontes primárias — como fonte de
34
redescobrimento e afirmação dos aspectos culturais, pois, como afirmam, “todas as
culturas têm escrito documentos matemáticos” (p.71).
Entretanto, como frisam os próprios autores,
as fontes primárias deverão ser usadas com descrição. Tendo resolvido todos os problemas
não-triviais de disponibilidade e seleção, sugerimos, de maneira geral, que sejam
apresentados pequenos fragmentos, auxiliados por questões cuidadosamente formuladas.
Em qualquer caso os fragmentos usados devem possuir propósitos educacionais claros
(ARCAVI e BRUKHEIMER, 2000, p.72).
Fried (2001) fala de duas estratégias básicas para a inclusão da história da
matemática no programa escolar. A primeira é feita através da introdução, nas aulas, de
casos históricos, curtas biografias e problemas isolados, que não comprometam ou alterem
o currículo. É a chamada “estratégia de adição”. A segunda muda a maneira como os
materiais são apresentados. É a chamada “estratégia de acomodação”, pois é feita pela
acomodação ou adequação dos pontos do currículo às circunstâncias históricas.
Para Fried, ambas apresentam o problema de acumular um currículo já abarrotado.
Outro problema é o da relevância dos temas históricos. A adoção desta ou daquela
estratégia — por relevância — torna o professor que optar pela abordagem histórica em um
“tipo de editor de história, aceitando o que é relevante e eliminando o que não é” (p. 394).
E a relevância pode remeter a outro problema, explica Fried, os professores estão
comprometidos com a matemática moderna, pré-requisitos para estudos futuros e “este
compromisso deverá ser subordinado à tentativa de introduzir um programa de história
para as necessidades do currículo da matemática moderna” (p. 395). Desta forma, para o
autor, a história da matemática não será estudada, mas apenas usada.
Fried aponta para uma importante diferença entre estudar e usar, quando escreve
quando a história é usada para justificar, elevar, explicar e encorajar distintos temas
modernos e suas práticas, inevitavelmente torna-se o que é chamado “anacrônico” ou
história liberal (FRIED, 2001, p. 395).
O termo anacrônico foi cunhado por Kragh em 1987 e história liberal por
Butterfield entre 1931 e 1951, ambos citados por Fried, que entende que na historiografia
liberal “o presente é a medida do passado” (p. 395). O que ela considera significante —
relevante — na história é precisamente o que leva a algo de importância estimada no
35
presente. Por isso, “Butterfield descreveu o historiador liberal como o criador de uma
´gigante ilusão de ótica`” (p. 395). O historiador produz o que aparenta ser uma clara e
determinada imagem do passado, mas que de fato não passa de uma distorção. Butterfield
considera a história liberal pior que uma má ou falsa história, que dificilmente pode ser
considerada história.
Resta então — fala Fried — ao professor de matemática escolher:
ou (1) permanece cumpridor do ensino da matemática moderna e suas técnicas arriscando-se
a ser liberal, isto é, não-histórico em sua abordagem, ou, no melhor dos cenários, trivializar
a história, ou (2) tomar uma abordagem genuinamente histórica da matemática arriscando a
gastar tempo em coisas irrelevantes à matemática que deve ser ensinada (FRIED, 2001, p.
397-398).
E esta escolha é cruel, pois, se de um lado o professor tem o compromisso de
ensinar a matemática moderna, por outro pode cair nas “irrelevâncias históricas”, se o
método de abordagem histórica não for corretamente escolhido ou aplicado.
Para Fried, ou se adota uma abordagem de “acomodação radical”, onde “o estudo da
matemática torna-se o estudo de textos matemáticos, assim como a literatura é o estudo de
grandes obras de prosa e poesia” (p. 401), ou, então, de “separação radical”, para “obter o
engajamento dos estudantes num estudo de história da matemática possuidor de
significados, que pode posicionar a história da matemática em uma trilha diferente daquela
do curso regular” (p. 403). As duas escolhas são radicais “porque vão direto às fundações
de como pensar matemática, o ensinar matemática, e, quanto a isso, o ensinar a história da
matemática” (p. 408).
Uma discussão que aponta para a impossibilidade de uma história “genuína”
também pode ser vista em Matthews (1995). O autor escreve que em 1970 as “justificativas
a favor da história foram expostas a um duplo ataque” (p. 172). Por um lado Martin Klein,
que dizia ser a pseudo-história a única possível nos cursos de ciências, de outro a
possibilidade de que “a exposição à história da ciência enfraquecia as convicções
científicas necessárias à conclusão bem sucedida da aprendizagem da ciência” (p. 172),
que “adveio, em parte, da análise feita por Thomas Kuhn” (p. 172). O argumento utilizado
por Klein era de que “basicamente, os professores de ciências (especialmente os de física)
selecionam e usam materiais históricos com outros propósitos pedagógicos e científicos”,
escreve Matthews (1995: 173).
36
Klein, no texto de Matthews, fala que uma das dificuldades de se usar a história é a
“diferença fundamental que há entre a perspectiva do físico e a do historiador” (p. 173).
Desta forma, para Klein, a história usada pelo físico só pode ser de má qualidade. “Então, é
melhor não se usar a história do que usar-se história de má qualidade” (p. 173).
No mesmo texto há a citação de Whitaker, 1979, que cunha o termo “quasi-
história”. Este termo, escreve Matthews
não é apenas o que Klein chama de pseudo-história, ou história simplificada, onde erros
podem acontecer devido a omissões, ou onde a história pode ficar aquém do alto padrão de
´verdade, toda a verdade, nada mais que a verdade`. Na quasi-história, tem-se uma
falsificação da histdória com aspecto de história genuina, semelhande ao que Lakatos
chamava de ´reconstruções racionais` da história (1978), onde a história é escrita para
sustentar uma determinada versão de metodologia científica e onde as figuras são retratadas
à luz da metodologia ortodoxa atua” (MATTHEWS, 1995, p. 174).
Como já citado, Arcavi e Bruckheimer (2000), diziam que as fontes secundárias
carregavam consigo, como problemas das “histórias gerais”, os julgamentos de valores e
interpretações — visão particular — dos autores sobre conceitos e fatos. E este é um dos
motivos para que estes autores sugiram a utilização de fontes primárias. No texto de
Matthews, as influências das visões sociais, nacionais, psicológicas e religiosas do
historiador e, num grau ainda maior, as crenças do historiador “afetará o seu modo de ver,
selecionar e trabalhar o material que dispõe” (p. 174).
A segunda investida — segundo MATTHEWS, 1995 — contra a utilização da
“história genuína da ciência nos cursos de ciências sustentava que ela poderia solapar o
espírito cientítico neófito. Este ponto de vista foi defendido por Thomas Kuhn, dentre
outros” (p. 176). Em seu trabalho mais influente, A Estrutura das Revoluções Científicas,
Kuhn afirma que deveria haver uma distorção da história para que cientistas do passado
pudessem ser mostrados como que trabalhando o mesmo conjunto de problemas que os
cientistas modernos. “Essa distorção tem como meta fazer com que o cientista em formação
sinta-se parte integrante de uma tradição bem sucedida na busca da verdade” (p. 176).
Matthews diz que “as acusações lançadas por Klein e Kuhn são sérias, mas seus
pontos principais podem ser acomodados sem que seja necessário excluir a história dos
cursos de ciências” (p. 177). A simplificação da matéria exigida pela pedagogia leva
também a uma simplificação da história. Porém, esta simplificação da história não é
argumento suficiente para a sua supressão. Para Matthews, a “tarefa da pedagogia é, então,
37
a de produzir uma história simplificada que lance luz sobre a matéria, mas que não seja
uma mera caricatura do processo histórico” (p. 177).
Assim, a situação educacional e o público alvo é que vai definir o quão complexa ou
simplificada deve ser a história apresentada. “O problema hermenêutico da interpretação
na história da ciência, longe de dificultar ou impedir o uso da história, pode tornar-se uma
boa ocasião para que alunos sejam apresentados a importantes questões de como lemos
textos e interpretamos os fatos” (p. 177), completa Matthews. Essa discussão — das várias
e possíveis interpretações — colaboraria para mostrar a subjetividade da ciência.
Miguel (1997) ao discutir as potencialidades pedagógicas da utilização da história
da matemática no ensino cita argumentos reforçadores e questionadores para a sua
utilização. Entre os que reforçam estão que a história é fonte de: motivação; objetivos;
métodos; seleção de problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos. E, ainda, que
é instrumento de: desmistificação e desalienação do ensino; formalização de conceitos;
promoção do pensamento independente e crítico; unificador dos vários campos da
matemática; promotor de atitudes e valores; conscientização epistemológica; promotor de
aprendizagem significativa; resgate da identidade cultural. O autor apresenta pontos que
justificam, individualmente, cada um destes argumentos. Porém, se tomados isoladamente,
eles apresentam-se frágeis para a defesa da inclusão da história no ensino.
Paralelamente aos doze argumentos reforçadores, Miguel apresenta quatro
argumentos questionadores muito fortes: ausência de literatura adequada; a natureza
imprópria da literatura disponível; o fator complicador que pode representar o elemento
histórico e, ainda, a ausência na criança do sentido do progresso histórico. O autor termina
o seu texto dizendo
parece-nos mais adequado assumir uma posição intermediária que acredita que a história —
apenas quando devidamente reconstituída com fins explicitamente pedagdógicos e
organicamente articulada com as demais variáveis que intervêm no processo de
planejamento didático — pode e deve desempenhar um papel subsidiário em Educação
Matemática, qual seja, o de um ponto de referência para a problematização pedagógica
(MIGUEL, 1997, p. 101)
e, também,
38
isso porque (...) nem a história da matemática escrita sob o ponto de vista do matemático,
nem as breves e episódicas referências à matemática que aparecem nas obras dos
historiadores de ofício conseguem realçar aqueles elementos e aspectos que poderiam,
eventualmente, trazer uma real contribuição aos professores que têm a intenção de planejar
as suas aulas lançando mão de tal recurso (MIGUEL, 1997, p. 101).
Para Miguel, a história deveria ser “pedagogicamente orientada (...) viva, humana,
esclarecedora e dinâmica” (p. 103), para que fosse considerada útil, substituindo, assim,
as enfadonhas histórias evolutivas das idéias matemáticas, quase sempre desligadas das
necessidades externas e/ou internas que estivaram na base de sua origem e transformação,
poderia constituir-se em ponto de referência para uma prática pedagógica problematizadora
(MIGUEL, 1997, p.103).
Para tanto, tal história, deveria privilegiar certos temas, determinados problemas e
métodos; enfatizar a reconstituição dos resultados obtidos e do contexto epistemológico,
psicológico, sócio-político e cultural; alcançar as dimensões morais e éticas; resgatar
aspectos estéticos e, também, estimular a afetividade, a imaginação e a criatividade.
História na Formação de Professores
D´Ambrósio (1996a) recomenda que todos os cursos de licenciatura em matemática
ofereçam história da matemática. Recomendação esta que, segundo o autor, é pouco
seguida. A mesma idéia aparece em Pires (2000), quando escreve que os currículos de
cursos de licenciatura em matemática deveriam ser elaborados de forma a desenvolver
competências profissionais. Entre estas competências, para o autor, está a “capacidade de
compreender a Matemática com base numa visão histórica e crítica, tanto no estado atual
como nas várias fases da sua evolução” (p. 12).
Creio, aliás, que a utilização da história da matemática — seja qual for o método
escolhido — pede um professor diferente: talvez um profissional pensado por Miguel e
Brito (1996), alguns parágrafos adiante, que seja um investigador, para poder instigar os
alunos à pesquisa. E este professor só pode vir de cursos que integrem a história da
matemática aos seus currículos. Pavanello e Andrade (2002) apostam na melhoria da
qualidade do professor se este tivesse em sua formação abordagens históricas, não como
uma disciplina separada das demais (cálculo, álgebra etc.), mas integrada em todas as
disciplinas.
39
Valente (2002b) entende que
para atender os requisitos de formação do educador matemático, a disciplina “História da
Matemática” deveria ser redefinida a partir do objetivo principal de levar o aluno da
licenciatura a conhecer e dar significado à disciplina Matemática, seu objetivo de ensino no
curso fundamental e médio (VALENTE, 2002b, p.94).
Para isso, conclui, “estudar-se-ia não estritamente a história da matemática dos
matemáticos, mas o que foi se constituindo num saber escolar” (p. 94). Paiva (2002) pensa
num curso de matemática em que as disciplinas estejam “dispostas de forma a permitir que
os conteúdos da Matemática, História da Matemática, disciplinas pedagógicas e da área
social estejam integradas” (p. 101).
Silva da Silva (2001) constata que existem mais de 130 cursos de licenciatura e
bacharelado em instituições brasileiras. A autora recolheu os currículos de 28 instituições e,
destas, apenas 16 oferecem a disciplina de História da Matemática: 13 como obrigatórias e
três como optativas. As maiores dificuldades apontadas pelas instituições para ofertar a
disciplina estão: falta de professores qualificados e dificuldade de acesso à bibliografia e
outros materiais para o ensino. Silva da Silva apresenta uma lista com 35 obras de história
da matemática em língua portuguesa e espanhola.
A autora já havia publicado (DYNNIKOV, 1996, p. 81-96) a resenha de 28 livros,
nas línguas portuguesa e espanhola, além de, em anexo, listar mais 30 obras sobre a história
da matemática. O grande problema é que a maioria deles encontra-se com suas edições
esgotadas — só são encontrados em sebos ou em cópias. Porém, o mercado editorial — não
com a velocidade que se desejaria — tem colocado novas obras à venda.
Sobre a história da matemática na formação do professor de matemática também
escrevem Miguel e Brito (1996) apontando que essa discussão no Brasil ainda é recente (p.
18). E, que, para os autores, o ponto de vista a ser defendido é o “de que a história da
matemática não deva se constituir apenas em mais uma disciplina isolada das demais” (p.
49). Sendo assim, haveria uma “indesejável separação radical entre matemática e história
da matemática e a oposição entre o lógico e o histórico” (p. 49). A tese defendida é a de
uma participação orgânica da história da matemática na formação desse profissional. Isso
significa uma tentativa de imprimir historicidade às disciplinas de conteúdo específico.
40
O resultado disso, segundo os autores, seria um professor que teria contempladas
todas as dimensões da matemática (lógica, epistemologia, ética, estética etc.) e da educação
matemática (psicologia, política, didática, metodologia etc.). Um professor que levaria, à
sua prática docente, discussões mais amplas acerca de matemática, cultura, sociedade,
tecnologia, arte, filosofia etc. O discurso matemático se abriria, então, aos demais discursos
que o complementam. E, esse novo professor, não substituiria o rigor matemático pela
história, pois entenderia que o rigor também é um componente histórico da matemática (p.
50).
As Políticas Oficiais
Um grande impulsionador das discussões acerca da inclusão da história da matemática no
ensino de matemática — ou da história da ciência no seu ensino — está nas políticas
oficiais dos governos e órgãos reguladores da educação. A tomada de posturas destes tem
reflexos no andamento de pesquisas e na produção de material didático e pedagógico.
Vários países — entre eles, Inglaterra, País de Gales, Holanda e Estados Unidos —
já discutiram e projetos de ensino que contemplam a inclusão da história da ciência nos
currículos (MATTHEWS, 1995). Na matemática também há discussões neste sentido
como, por exemplo, as levantadas nos Estados Unidos pelo National Council of Teachers of
Mathematics – NCTM (LORENZETO, 1993 e FRIED, 2001) e pela Mathematical
Association of America ou internacionalmente pelo International Study Group on the
Relationship between the History and Pedagogy of Mathematics – ISGHPM (FRIED,
2001).
No Brasil, estas discussões aparecem nos Parâmetros Curriculares Nacionais -
PCNs, que:
constituem um referencial de qualidade para a educação no Ensino Fundamental em todo o
País. Sua função é orientar e garantir a coerência dos investimentos no sistema educacional,
socializando discussões, pesquisas e recomendações, subsidiando a participação de técnicos
e professores brasileiros, principalmente daqueles que se encontram mais isolados, com
menor contato com a produção pedagógica atual (BRASIL, 2001a, p. 13).
Nas considerações preliminares, o PCN que trata da matemática no Ensino
Fundamental caracteriza a área da matemática como:
41
a atividade matemática não é ´olhar para as coisas prontas e definidas`, mas a construção e a
apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e
transformar suas realidade (...) o conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos
como historicamente construído e em permanente evolução. O contexto histórico possibilita
ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e contribui para a
compreensão do lugar que ela tem no mundo (BRASIL, 2001b, p. 19-20).
São também apontados alguns caminhos para “fazer matemática” na sala de aula: o
recurso à resolução de problemas e o recurso à história da matemática. Para a defesa da
inclusão da história da matemática diz que
a história da matemática, mediante um processo de transposição didática e juntamente com
outros recursos didáticos e metodológicos, podem oferecer uma importante contribuição ao
processo de ensino e aprendizagem em Matemática (BRASIL, 2001b, p. 46).
Equivalentes aos PCNs, que tratam da educação no âmbito nacional, a Proposta
Curricular de Santa Catarina – PC/SC orienta as ações da educação no Estado. Na Proposta
de 1991 — revisada e aprofundada em 1998 —, falando sobre a matemática o texto enfatiza
que
na verdade, há que se transformar o ensino de Matemática em Educação Matemática, a fim
de que a partir da qual o educando tenha condições reais de atuar como agente
transformador social (SANTA CATARINA, 1991, p. 50).
Entendiam os organizadores da proposta que educar era mais amplo que ensinar. E,
para isso — educar — havia a necessidade de “situar o educando no contexto sócio-
político-econômico, possibilitando-lhe compreender sua posição numa sociedade dividida
em classes” (p. 51).
A proposta de ensino de matemática neste documento procurava levar em conta a
história da matemática, pois esta
é rica em exemplos que mostram como a construção Matemática não ocorreu de forma
linear, mas teve equívocos, tropeços e distorções. Daí a importância de fazer referência
histórica aos conteúdos, aos procedimentos, ao contexto cultural em que ocorreram, as
soluções dos problemas em outras épocas, oportunizando [ao estudante] uma visão mais
crítica e mais apurada da situação (SANTA CATARINA, 1991, p. 51).
42
A revisão e aprofundamento da proposta de 1991, meta da Secretaria de Estado da
Educação e do Desporto (SED) no período 95-98 teve como objetivo “proporcionar aos
professores as condições teórico-metodológicas para a implementação da proposta nas
escolas estaduais” (SANTA CATARINA, 1998: 105). Neste texto há a explicação do que
se entende por Educação Matemática:
uma postura político-ideológica de quem se propõe a ensinar Matemática, o que implica na
compreensão de que todos têm o direito de se apropriar do conhecimento matemático
sistematizado e de que é dever da escola a sua socialização. Para educar matematicamente
os sujeitos é necessário buscar elementos teóricos e conceitos nos diversos campos da
Ciência, entre eles História, Psicologia, Sociologia, Filosofia e Antropologia, que
subsidiarão o trabalho pedagógico (SANTA CATARINA, 1998, p. 106).
O aprofundamento da Proposta também aumentou a “sugestão” para que se utilize a
história no ensino de matemática — ou na Educação Matemática, como quer o documento
— mostrando-a como “um conhecimento vivo, dinâmico e social e cultural”, propondo que
os estudos devam acontecer de
forma contextualizada, tanto no aspecto sócio-histórico de produção do conhecimento,
quanto nas relações com os demais conteúdos da Matemática, bem como com as outras
áreas do conhecimento (SANTA CATARINA, 1998, p. 112).
Outro documento importante no Estado são as Diretrizes, que
definem a base, a raiz, o fundamento e a essência da organização curricular da Educação
Básica da rede Pública Estadual, presente em todas e cada uma de suas Escolas. Portanto,
elas têm como objetivo e como razão de ser subsidiar a elaboração dos Projetos Político-
Pedagógicos das Unidades Escolares (SANTA CATARINA, 2001, p. 13).
Neste documento, na área de matemática, o eixo contextualização prevê, nas
competências e habilidades esperadas pelos estudantes, que estes entendam a matemática
como uma produção histórico-cultural possível de transformação. Mesmo que discordantes
em alguns pontos, todos os documentos apontam para a utilização da história da
matemática e reconhecem as características desta disciplina — criação humana, dimensão
cultural etc. — já vistas anteriormente neste trabalho.
43
SEGUNDAS NOTAS METODOLÓGICAS
NOS ASPECTOS TEÓRICOS fiz um levantamento de vários autores que falam sobre a
utilização da história da matemática no ensino da disciplina. Para isso, além da bibliografia,
utilizei vários artigos das revistas de reflexão. Nestas segundas notas metodológicas
pretendo escolher os livros didáticos e os artigos da revista de consulta (RPM) e estabelecer
um roteiro para verificar se estes instrumentos — que estão à disposição do professor —
são suficientes para garantir a inserção da história da matemática no ensino. Esta
verificação suscita questões paralelas: a história da matemática aparece nestes
instrumentos? E se aparece, como se dá esta aparição? Com que freqüência e com que
enfoque?
Então, primeiramente, descreverei os critérios que utilizei para a escolha e análise
de dois instrumentos que o professor tem à disposição diretamente na sala de aula. A opção
por estes foi a facilidade de acesso que os professores têm à RPM e ao fato de os livros
didáticos serem distribuídos nas escolas através do Programa Nacional do Livro Didático –
PNLD, do Governo Federal.
Revista de Consulta – Revista do Professor de Matemática (RPM)
A Revista do Professor de Matemática é uma publicação quadrimestral da Sociedade
Brasileira de Matemática (SBM), com apoio da Universidade Presbiteriana Mackenzie e da
Universidade de São Paulo. O primeiro número foi publicado em 1982 e em sua primeira
página uma mensagem ao leitor explica o escopo da revista: “constituir num ponto de
encontro de professores de Matemática atuantes nos 1
o
e 2
o
graus, contando experiências,
procurando respostas, discutindo sugestões, divulgando notícias”. E desde o seu
lançamento já são 52 números editados.
44
Segundo o “Índice da RPM
4
”, os artigos publicados estão divididos por assunto: A.
Álgebra; B. Computação; C. Conjuntos e Lógica; D. Contagem e Probabilidade; E. Ensino;
F. Estatística; G. Funções; H. Geometria; I. Grafos; J. História; K. Jogos e Recreações; L.
Números; M. Números Inteiros e N. Trigonometria. Alguns assuntos têm subdivisões —
Álgebra: A1. Igualdades, desigualdades, equações e inequações; A2. Logaritmos e
exponenciais; A3. Matrizes e sistemas; A4. Seqüências e progressões; A5. Raízes
quadradas e outras; A6. Razões e proporções e A7. Outros. Geometria: H1. Ângulos; H2.
Astronomia; H3. Círculos; H4. Cônicas; H5. Construções geométricas; H6. Ensino; H7.
História; H8. Polígonos; H9. Sólidos; H10. Triângulos e H11. Outros. Números: L1.
Números e L2. Representação. Números Inteiros: M1. Divisibilidade e congruência; M2.
Equações; M3. Operações; M4. Primos e M5. Outros.
Além destes, as 52 revistas também trazem notícias sobre concursos (17) — com
comentários sobre as provas de alguns deles —, 26 crônicas e resenhas de 59 livros e de
cinco coleções de livros. São apresentados problemas para resolução, principalmente das
Olimpíadas de Matemática, realizadas no Brasil pela Sociedade Brasileira de Matemática –
SBM. A RPM também envolve a participação do leitor nas sessões “cartas do leitor” e “o
leitor pergunta”.
Primeiramente, fiz um levantamento quantitativo — da freqüência — de todos 482
artigos das 52 revistas e construí o primeiro quadro a seguir. O segundo passo foi uma
breve leitura dos 66 artigos das revistas 45 a 52 para distribuí-los segundo o assunto. O
resultado está na seqüência, nos próximos dois quadros — com as subdivisões da Álgebra,
Geometria, Números e Números Inteiros. Muitos artigos podem ser colocados em mais de
um assunto — como, por exemplo, o artigo “Números muito grandes”, de Geraldo Ávila,
da RPM 25, de 1994, que pode ser colocado nos índices A2. Logaritmos e exponenciais e
L1. Números. Isso explica a diferença entre os números totais de artigos: 482 no primeiro
quadro e 589 no segundo.
4
O Índice da RPM 01-44 apresenta a distribuição dos artigos por assunto do número 1, de 1982 ao número 44, de 2000.
45
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QUADRO 4 – Distribuição dos artigos da revista de consulta (RPM)
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QUADRO 5 – Distribuição dos artigos da RPM por assunto
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QUADRO 6 – Subdivisão dos assuntos da RPM
Dos assuntos em que se dividem os artigos da RPM, Geometria (145 artigos) e
Álgebra (100 artigos) são os mais presentes. E, nas subdivisões, Sólidos (H9), dentro da
Geometria e Igualdades, desigualdades, equações e inequações (A1), na Álgebra são os que
46
mais aparecem. Os artigos — 64, representando 13,3% do total
5
— trazem textos sobre
história da matemática. Estes primeiramente serão analisados para determinar se os
assuntos tratados estão dentro do programa do Ensino Fundamental ou do Ensino Médio.
Só serão analisados os artigos referentes ao Ensino Fundamental. Os critérios de análise
aparecerão mais adiante.
Os 64 artigos foram lidos. Destes, 31 (48,4% do total) se referem ao Ensino
Fundamental. Estes últimos serão analisados mais amiúde. O próximo quadro mostra os
artigos que serão analisados com os assuntos a que pertencem. Este quadro será importante
no relacionamento entre história da matemática, a Revista de Consulta – RPM e as
Diretrizes.
ART1 J/L1 ART26 J/L1 ART40 J ART56 H10
ART3 A1/J ART29 J ART42 M5 ART58 J
ART4 K ART30 M4 ART44 J ART59 J
ART8 H7 ART31 J ART46 H3/J/L1 ART60 H7
ART10 H7/H9/J ART34 J ART52 J/L1/L2 ART61 J
ART11 H2 ART36 A1/J ART53 M2 ART63 J
ART19 J/L1 ART37 A1/H7 ART54 L1/M1 ART64 J
ART25 H10/J ART39 J ART55 M2/M5
QUADRO 7 – Distribuição dos artigos do Ensino Fundamental por assunto.
Livros Didáticos
Lee afirma que
o livro didático, que deveria ser considerado apenas como uma fonte de consulta, um apoio
às práticas pedagógicas, é, apesar disso, tomado pelos professores como referência ou
mesmo roteiro principal no preparo e condução de suas aulas (LEE, 2003, p. 168).
Portanto, a importância do livro didático — “um meio de comunicação de tão
grande alcance” (BRASIL, 2002: 10) — não pode ser subestimada e, desta forma,
investigações que o tenham como alvo são importantes.
5
Os artigos estão relacionados nas Referências Bibliográficas
47
A primeira providência que tomei foi a de pesquisar autores que realizaram
investigações em manuais didáticos, para tentar levantar categorias que nortearão a minha
investigação. A maioria dos trabalhos encontrados foi nas ciências naturais — biologia,
física e química —, que possuem uma tradição maior neste tipo de investigação.
Leite (2002) cita vários trabalhos feitos sobre análise de conteúdo histórico em
livros escolares. O quadro a seguir traz um resumo destes trabalhos com o nome do
pesquisador e data da pesquisa na primeira coluna, os livros investigados na segunda e
algumas observações sobre a pesquisa na terceira coluna. Destaque para os resultados mais
ou menos parecidos alcançados em todas as pesquisas.
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QUADRO 8 – Pesquisas sobre conteúdo histórico em livros didáticos – LEITE, 2002.
As pesquisas citadas no quadro anterior foram levantadas por Leite (2002), para
embasar teoricamente a sua tentativa de construir um
instrumento que ajude a analisar e/ou decidir que materiais e conteúdos históricos serão
incluídos em livros escolares. Este instrumento pode também ser útil aos professores
refletirem tanto sobre os materiais didáticos disponíveis e as aulas que eles fazem quanto
tomar a história da ciência como referência (LEITE, 2002, p. 342).
Para isso, a autora amplia as questões feitas aos livros didáticos na pesquisa de
Solbes e Traver, 1996: “La utilización de la Historia de las Ciencias en la enseñanza de la
Física y la Química”, publicada da revista Enseñanza de las Ciencias (p. 103-111).
48
Na pesquisa, estes dois autores, após uma breve introdução sobre a importância,
relevância e implicações da utilização da história da ciência no seu ensino, lançam uma
hipótese que norteará o desenvolvimento do trabalho:
Nossa hipótese é que, em geral, se ignoram os aspectos históricos na imagem da física e da
química que se transmite e quando se utilizam são introduzidos tergiversações e erros
históricos. Como conseqüência disso, os alunos têm uma imagem deformada de como se
constroem e evoluem os conceitos científicos (SOLBES e TRAVER, 1996, p. 134)
Na justificativa de sua hipótese escrevem que, no ensino da física e da química, a
utilização dos recursos históricos é escassa e privilegia somente alguns aspectos da história
interna das ciências: biografias, anedotas ou grandes inventos e a história de alguns
conceitos ou modelos. Entre os erros e tergiversações introduzidos pela utilização da
história no ensino os autores citam: iniciar os temas com observações ou experimentos
cruciais; fazer crer que o principal motivo que impulsiona a criação é de índole formal,
matemática; mostrar que a ciência é obra basicamente de grandes gênios, de seu talento
inato, esquecendo o seu caráter coletivo.
E, também, devido a uma idéia da ciência e do currículo caracterizados pela
neutralidade e objetividade, são introduzidos erros por omissão de alguns aspectos
históricos: não se mostra o caráter tentativo da ciência, os erros que aparecem no processo
de criação que gera novas idéias científicas, como se as teorias nascessem completas; não
se mostram as limitações das teorias e os problemas pendentes de solução. Tudo isso é fruto
do ideal dogmático da ciência como acumuladora de verdades. Pela mesma visão
acumulativa, não se mostram as crises nem os problemas nas teorias, que produzem a troca
de conceitos, modelos etc. Outro erro é a omissão do contexto global em que foram geradas
as teorias científicas.
Como conseqüência os alunos têm uma visão caracterizada por considerar a ciência
como descobrimento e não como uma construção de conhecimentos. Que a ciência é
puramente empírica, onde os conhecimentos científicos se formam por indução a partir de
“dados puros”: observações e experimentos. Os alunos ignoram o papel dos problemas no
desenvolvimento da ciência e, em particular, os problemas que originaram o
desenvolvimento de algumas teorias importantes. Pensam que a ciência é constituída
basicamente pelas “fórmulas”, cuja aplicação mecânica permite resolver os problemas. O
49
delineamento linear e acumulativo do desenvolvimento científico não mostra a existência
de crises. A ciência é vista como fruto do trabalho de alguns gênios e não como uma
atividade humana coletiva: uma imagem das ciências físicas alijadas do contexto histórico
social de que faz parte.
Entre os instrumentos para verificar a hipótese, os autores aplicaram um
questionário a diferentes livros-texto para constatar o escasso papel dado à ciência e à
presença de erros e tergiversações como os anteriormente apontados. As perguntas do
questionário são as seguintes: 1. Aparecem biografias mais ou menos detalhadas de
cientistas? 2. Aparecem breves referências marginais sobre os aspectos biográficos ou
simples anedotas? 3. Apresentam o desenvolvimento histórico de alguns conceitos e teorias
científicas? 4. Aparecem citações textuais de autores científicos? 5. Apresentam a ciência
como obra somente de grandes gênios e não como obra coletiva e homens e também de
mulheres? 6. Contêm erros implícitos do tipo empirista ou indutivista? 7. Não mostram o
caráter tentativo de toda investigação científica? 8. Apresentam um enfoque basicamente
formalista destacando o desenvolvimento matemático e a aplicação de fórmulas? 9.
Apresentam uma visão unicamente acumulativa do desenvolvimento da ciência sem
destacar a aparição de grandes crises nos paradigmas científicos? 10. Oferecem uma visão
histórica e socialmente descontextualizada dos principais trabalhos científicos? 11.
Propõem atividades explícitas do uso da história como trabalho para os alunos?
Ao final da pesquisa os autores realmente confirmam sua hipótese inicial. Leite
amplia as questões que serão feitas aos livros didáticos. A autora parte do pressuposto que
A história da ciência pode melhorar o ensino e o aprendizado, mas se usada de maneira
inadequada pode, pelo contrário, distorcer as idéias dos estudantes sobre a natureza da
ciência e suas inter-relações com a tecnologia, a política, a religião e assim por diante
(LEITE, 2002, p. 343).
Ela entende que “o efeito de se usar a história da ciência no ensino depende
principalmente em qual história da ciência é usada e como é usada” (p. 343), por isso a
pertinência da pesquisa.
A autora define oito dimensões principais “percebidas como relevantes a tal
instrumento” (p. 343): 1. Tipo de organização da informação histórica; 2. Materiais usados;
3. Correção e exatidão da informação histórica; 4. Contextos nos quais a informação
50
histórica é relacionada; 5. Qualidade do conteúdo histórico; 6. Atividades de aprendizado
lidando com a história da ciência; 7. Consistência interna do livro e 8. Bibliografia sobre a
história da ciência. As quatro primeiras dimensões têm o foco na informação histórica
incluída nos livros escolares. A quinta e a sexta dimensão tratam do papel dado para a
informação pelo livro escolar. A sétima refere-se à consistência do livro em termos da
história da ciência. E, finalmente, a última concentra-se na bibliografia relacionada com a
história da ciência.
Estas duas investigações — SOLBES e TRAVER, 1996 e LEITE, 2002 — serão
utilizadas como ponto de partida para uma parte da pesquisa delineada neste trabalho: a
pesquisa dos livros didáticos de Ensino Fundamental. As questões serão adaptadas à
matemática para a investigação.
A seleção dos Livros Didáticos
Para esta investigação, selecionei 53 livros — 14 livros da 5ª série, 12 da 6ª série, 15 da 7ª
série e 12 da 8ª série —, todos do Ensino Fundamental, que estão ou foram adotados em
escolas públicas de Ensino Fundamental, de Joinville, Santa Catarina e estavam disponíveis
nas bibliotecas das escolas
6
e terem sido mencionados por professores com quem conversei
informalmente. Entre estes livros, muitos estão entre os recomendados pelo Guia de Livros
Didáticos, do Programa Nacional de Livros Didáticos (BRASIL, 2002). Os livros
escolhidos estão relacionados nas Referências Bibliográficas
7
.
As 13 coleções recomendadas no Guia (Brasil, 2002) possuem três classificações:
Recomendados com distinção (marcados com ), por se destacarem “em se aproximar
o mais possível do ideal representado pelos princípios e critérios [estabelecidos para a
avaliação dos livros didáticos]. Constituem propostas pedagógicas elogiáveis, criativas e
instigantes. (p. 13)”; Recomendados (marcados com ), por cumprirem “todos os
requisitos mínimos de qualidade exigidos” (p. 13) e Recomendados com ressalvas
(marcados com ), que são “trabalhos isentos de erros conceituais ou preconceitos que
6
Conjunto Educacional Governador Celso Ramos e Colégio Estadual Engenheiro Annes Gualberto.
7
A legenda LDA5 representa: LD – Livro Didático; A – Coleção (ou livro) A; 5 – 5ª série. Os números 6, 7 e 8
representam, respectivamente, 6ª, 7ª e 8ª séries.
51
obedecem aos critérios mínimos de qualidade, mas por este ou aquele motivo, não estão a
salvo de ressalvas” (p. 13).
Os 53 livros
8
que escolhi para este trabalho podem ser reunidos em 19 coleções (de
A a S). Destas, 11 estão entre os recomendados pelo Guia: B, D e G, com ; K, L e O,
com e C, E, F, H, e I, com . Os demais — A, J, M, N, P, Q, R e S — não aparecem.
Além daqueles, escolhi também estes por: a) sua disponibilidade em bibliotecas escolares
(ver nota 7) – A, J, M, N, P, Q, R e S; b) serem também utilizados por professores daquelas
unidades escolares – P, R e S; c) serem edições anteriores de autores que tem seus livros
recomendados no Guia – A; d) serem edições posteriores de autores que tem seus livros
recomendados no Guia – J; e) serem de outra composição de autores – M, N e P.
Selecionados os livros, fiz o primeiro levantamento quantitativo: divisão dos
capítulos e anexos, número de páginas, número de exercícios e, também, quantas vezes
(páginas) aparecem referências à história da matemática — valor absoluto e percentual — e
o número de exercícios utilizando a história da matemática — valores absolutos e
percentuais. Os resultados desta primeira leitura dos livros estão nos quadros colocados no
item I, dos APÊNDICES e estão divididos por séries. O número de “páginas com história”
refere-se a todas aquelas páginas que têm — mesmo que mínima — alguma referência à
história da matemática. Neste primeiro momento não está em discussão a qualidade da
história apresentada pelos livros, somente a quantidade.
O levantamento anterior está resumido no quadro a seguir, onde mostro somente os
totais de cada série e o total geral. A divisão por capítulos (ou unidades) que fiz nos livros
será utilizada na análise (próximo capítulo), quando farei uma comparação quantitativa,
primeiramente, entre a “quantidade de história disponível” nos livros com o “Quadro de
Ênfase dos Conceitos Científicos Essenciais”
9
proposto pelas Diretrizes (SANTA
CATARINA, 2001). Este documento oficial do Estado aponta para a matemática cinco
conceitos científicos essenciais: número, Álgebra, geometria, medidas e estatística.
Série
Páginas
Pg. c/ História
Exercícios
Exs. c/ História
5
a
3801
264
–
(6,9%)
12277
83
–
(0,7%)
8
Os livros estão relacionados nas Referências Bibliográficas
9
Ver item VI, nos APÊNDICES.
52
6
a
3226
173
–
(5,4%)
10072
43
–
(0,4%)
7
a
4168
271
–
(6,5%)
11681
22
–
(0,
2%)
8
a
3421
405
–
(11,8%)
9501
76
–
(0,8%)
Total
14616
1113
–
(7,6%)
43531
224
–
(0,5%)
QUADRO 9 – Resumo das tabela de freqüência quantitativa dos livros didáticos
O quadro mostra que a 8
a
e a 5
a
série, nesta ordem, têm, proporcionalmente mais
páginas e exercícios com história. A partir destes dados é que farei a comparação entre o
disponível (livros e RPM) e os conceitos científicos, preconizados pelas Diretrizes. E, além
da quantidade, procurarei — através da pesquisa da qualidade da história disponível na
revista de consulta – RPM e dos livros didáticos — verificar se esta história pode ser
utilizada em todas as séries do Ensino Fundamental, quais as suas qualidades e deficiências.
Instrumentos da pesquisa qualitativa – o que perguntar?
Na análise dos artigos da Revista do Professor de Matemática – RPM e dos livros didáticos
seguirei — tendo a orientação do trabalho de Leite, 2002 — o roteiro mostrado a seguir.
Para os livros didáticos, antes de aplicar o roteiro, fiz a sua descrição: como estão
organizados. Os dados estão no item II – Estrutura Interna dos Livros Didáticos, nos
APÊNDICES. Também, antes de aplicar o roteiro, fiz uma pesquisa nas introduções e
apresentações dos livros para levantar se os autores dão algum indício de utilização da
história da matemática em suas obras.
Roteiro de pesquisa
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•
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•96
•
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•
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10
Experimentos ou provas, teoremas etc.
11
Somente para os livros didáticos.
53
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•1>6C2
QUADRO 10 – Roteiro de pesquisa.
No próximo capítulo farei as análises dos livros didáticos e da revista de
consulta – RPM. E, ainda, pretendo comparar os dados obtidos com as Diretrizes para
rumar para as considerações finais.
12
Idem.
13
Idem.
14
Idem.
54
ANÁLISES
Livros Didáticos
Antes de começar as análises dos livros didáticos lembro Thuillier, quando diz que “a
lógica da história não é a dos compêndios” (THUILLIER, 1994, p. 93) como um alerta
para não esperar muito e me surpreender com o muito que encontrar. Então, seguindo, para
fazer a primeira análise qualitativa dos livros didáticos — antes de aplicar o roteiro de
pesquisa — levei em conta a presença, nas introduções ou apresentações, de indícios de que
os livros utilizariam ou não a história da matemática. De todas as 19 coleções somente
cinco delas — A, 1994; B, 2000; C, 2002; K, 1999 e L, 2001 — sugerem que a história da
matemática estará presente no desenvolvimento dos conteúdos.
O autor das coleções A e B escreve na apresentação da coleção A: “os principais
temas deste volume
15
são desenvolvidos com os olhos no futuro e os pés no chão. A
história da matemática é mesclada com problemas reais, cultura, aplicações significativas,
exploração de jogos e materiais manipulativos para a construção dos conceitos e suas
aplicações” e, no início dos volumes da coleção B, em uma seção chamada “Recado”:
“Você vai viajar pela matemática. As muitas abordagens históricas feitas neste livro farão
você perceber que a matemática é uma ciência dinâmica, em evolução” (p. 5).
A coleção C é apresentada com um texto em que os autores dizem que os alunos
encontrarão nos livros “um pouco de história e alguns desafios” (p. 2). Na introdução da
coleção K, numa mensagem aos alunos, os autores escrevem “A matemática não é uma
ciência mágica como algumas vezes parece ser. Seus conceitos foram construídos lenta e
coletivamente ao longo da história da humanidade por mercadores, artesãos, viajantes,
astrônomos, cientistas, estudiosos e por muitos outros trabalhadores simples e anônimos.
Para que você perceba isso, introduzimos nos capítulos a seção Pensando no assunto. Nela
você terá contato com a história da criação de alguns importantes conceitos matemáticos e
também poderá vislumbrar aplicações atuais e futuras desta ciência” (p. 3, grifos dos
autores).
15
Todos os volumes têm a mesma apresentação.
55
Na apresentação da coleção L o autor escreve: “Como a matemática se transformou
ao longo dos séculos! Mas esse desenvolvimento não foi (não é) um processo harmonioso,
no qual as leis matemáticas vão evoluindo contínua e gradualmente. Na realidade o que
ocorre é uma dura e difícil luta entre as novas idéias e as antigas. Quantos exemplos temos
na história da matemática de que novas idéias prevaleceram apesar do fracasso (aparente)
de geniais matemáticos que não viveram tempo suficiente para vê-las contribuindo para o
avanço da ciência. É esta Matemática, criada pelos mais brilhantes matemáticos, ilustres e
simples desconhecidos, que iremos estudar. A Matemática deve muito a eles. Por isso,
procure também conhece-los” (p. 3).
Aplicação do Roteiro de Pesquisa aos Livros Didáticos
1. Tipo e organização da informação histórica
A primeira dimensão que olhei nos livros didáticos foi o tipo e organização da informação
histórica. Através desta, procurei nos livros o que se fala sobre os matemáticos; suas
descobertas, invenções ou idéias e sobre o período em que estas aconteceram. O quadro
está dividido em duas subdimensões. A primeira — Matemáticos — me mostrou se os
livros, ao introduzirem aspectos históricos, os colocam como sendo inventados ou
produzidos por pessoas que têm dados biográficos (pelo menos data de nascimento e morte)
e com características pessoais; se os textos mencionam episódios em que estes estejam
envolvidos; se o matemático é caracterizado com algum adjetivo (gênio, famoso etc.) ou se
existem aspectos em suas vidas que os desabonem. Dividi as análises por séries. Um
mesmo matemático pode estar presente em várias séries.
A segunda subdimensão — Evolução da matemática — está dividida em dois itens.
O primeiro é o tipo da evolução que vai trazer à tona os seguintes aspectos: 1) menção à
descoberta científica – onde verifiquei se os livros fazem menção a alguma descoberta,
invenção ou idéia matemática e 2) descrição de descoberta científica – se além da menção
anterior é descrito o processo ou a maneira como se chegou aos resultados (neste item
considerei também as provas e demonstrações matemáticas apresentadas). No segundo item
— pessoa responsável — verifiquei se a descoberta, invenção ou idéia é atribuída a um
56
matemático individualmente, a um grupo de matemáticos trabalhando juntos ou a uma
comunidade ou povos (como os egípcios, os babilônios etc.).
5
a
série
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De todos os volumes da 5
a
série, alguns livros — D5, I5, Q5 e R5 — não
apresentam nenhum dado biográfico de matemáticos. Destes, o livro D5 não tem nada
sobre história da matemática. No item dados biográficos, com pelo menos a nacionalidade e
datas de nascimento e morte, aparecem os matemáticos gregos Euclides de Alexandria, que
viveu no século III a.C., nos livros A5, B5, C5 e K5; Eratóstenes de Cirene (276 – 194 a.C),
nos livros A5, B5, C5, E5, F5; Heron (século I d.C) e Arquimedes de Siracusa (287 – 212
a.C.) em L5. Também aparece o árabe Al-Khowarizmi (780 – 850) em E5 e F5; os
franceses Viète (1540 – 1603), em F5, K5 e O5; Galois (1811 – 1832), em L5; Descartes
(1596 – 1650), em L5 e Fermat (1601 – 1665), em L5. O alemão Euler (1707 – 1783), em
57
L5. O italiano Leonardo de Pisa (1175 – 1240) — conhecido também como Fibonacci —,
em F5. O escocês John Napier (1550 – 1617), em S5. E, por fim, o holandês Stevin (1548 –
1620), em P5. Outros matemáticos são mencionados, porém, sem nenhuma informação
sobre dados biográficos: os gregos Pitágoras, em A5, C5 e K5; Diofante, em F5 e o “jovem
italiano de apenas 16 anos” (p. 96) Paganini, em L5.
Alguns livros citam as obras dos matemáticos: Aritmética, de Stevin, em C5; Os
Elementos, de Euclides, em F5; Líber Abaci, de Leonardo de Pisa, em F5. Em P5 aparecem
am informações de que Viète “publicou um livro que fazia a defesa do uso de frações
decimais” e também que, muito ”importante também foi a contribuição do engenheiro
holandês Simon Stevin. Em 1585, ele publicou um livrete, com sete páginas, mostrando
uma nova maneira de escrever as frações decimais e ensinando as pessoas a fazer contas
com elas.” (p. 157). E, apesar de o livro P5, na mesma página, trazer uma ilustração (fac-
símile) de uma página do livro de Stevin, não há o nome dos livros dos dois matemáticos. A
mesma coisa acontece em E5, p. 11 e F5, p. 23, que cita Al-Khowarizmi como o “autor do
primeiro livro árabe com explicações detalhadas dos cálculos hindus”, sem dar o nome ao
livro.
Ainda nos dados biográficos e características dos matemáticos encontrei Al-
Khowarizmi, que “ganhou tanta reputação nos países da Europa ocidental que seu nome se
tornou sinônimo do próprio sistema de numeração inventado pelos hindus” (E5, p. 11) e
que, além de ser “matemático, astrônomo e geógrafo”, foi “o mais brilhante matemático
árabe de todos os tempos” (L5, p. 24). Viète “foi muito importante para a introdução e
adoção de símbolos matemáticos e ficou conhecido como o ´pai da Álgebra`” (K5, p. 240)
e, por isso, é considerado “um dos mais importantes matemáticos de sua época” (P5, p.
197). Eratóstenes era matemático e astrônomo (F5, p. 125) e Fermat era “advogado de
profissão, mas matemático de coração” (L5, p. 96).
Investigando o item Episódios / anedotas, encontrei quatro referências nos livros da
5
a
série. Nenhum deles se trata de anedota. Os episódios são: 1) “Olhando uma estante de
papiros, o grego Eratóstenes montou a primeira tábua de primos. (...)” (E5, p. 99). O autor,
citando como fonte um texto de João Luiz Guimarães, na revista Superinteressante (pp.
66/67 – outubro, 1997) fala da maneira como o matemático grego teria tido a idéia para
montar o que ficou conhecido como crivo de Eratóstenes. A idéia de que o matemático
58
tenha mesmo olhado para uma estante de papiros me parece mais como uma licença
poética. 2) “Na época de Viète, Espanha e França estavam em guerra e ele, que era
advogado, especializou-se em decifrar códigos secretos interceptados de mensageiros
espanhóis” (K5, p. 240). Sobre este episódio, BOYER, 1974, p. 222, escreve que os
espanhóis acreditavam que o matemático Francês tinha um pacto com o demônio por
decifrar seus códigos. 3) Galois (1811-1832). A última noite do matemático, que teria uma
morte prematura em um duelo, é contada numa seção do livro chamada “A vida e os
matemáticos” (L5, p. 80). 4) Usando fontes secundárias (Boyer e Ribnikov) o autor
apresenta um episódio da vida de Arquimedes (287-212a.C.): “Durante os dois anos que
durou o cerco de Siracusa, os soldados romanos não conseguiram entender como aquela
parafernália de espelhos, à distância, ateava fogo aos seus navios” (L5, p. 264).
Nos itens Menção à descoberta científica e Descrição de descoberta científica os
livros da 5
a
série são econômicos. No primeiro, é mencionada a invenção do ábaco (A5, B5,
C5 e L5), sem especificar que povo o inventou; do Crivo de Eratóstenes. (A5, B5, E5, F5 e
I5), pelo matemático grego; a invenção do zero (C5, F5 e L5), pelos indus; a existência de
infinitos números primos (C5), por Euclides; uma forma especial de escrever frações com
potência de 10 nos denominadores (E5, O5 e P5), pelo francês Viète; a maneira de escrever
números decimais com vírgula e ponto (K5), por Stevin; a descoberta de números amigos
— números em que a soma de todos os fatores do primeiro, com exceção dele próprio,
resulta no segundo e vice-versa. — (L5), pelos matemáticos Fermat, Euler e Paganini, de
maneira independente; o sistema cartesiano (L5), pelo matemático francês René Descartes e
como surgiram os símbolos das operações (P5). O segundo item traz a descrição do ábaco
(A5, B5, I5 e L5); do Crivo de Eratóstenes (C5, E5 e F5); das frações com potência de 10
nos denominadores (E5, O5 e P5); de como escrever números decimais com vírgula e ponto
(K5) e do sistema cartesiano (L5).
Os livros A5 e B5 fazem menção a seis períodos: os registros numéricos na
Antiguidade, com os egípcios, 3000 a.C. (A5, p. 11 e B5, p. 18), Babilônios, 2000 a.C. (A5,
p. 13 e B5, p. 19) e Maias, 500 a.C. (A5, p.14 e B5, p. 20); a existência dos Pitagóricos, por
volta de 600 a.C. (A5, p. 18 e B5, p. 25), sobre o quadrado mágico chinês, conhecido há
quase cinco mil anos (A5, p. 57 e B5, p. 64) e apresentam uma tabela com a evolução dos
números indo-arábicos através dos tempos (A5, p. 8 e B5, p.15). Com exceção deste último,
59
nenhum período é relacionado com o outro e todas as informações dadas, inclusive as da
tabela, têm um caráter apenas informativo. Os cinco primeiros períodos não mostram como
realmente como se deu a evolução dos conceitos envolvidos. A tabela dos números indo-
arábicos relaciona períodos distintos como realmente se deu a evolução da escrita dos
números. Outros livros (C5, p. 16; E5, p.27; F5, p. 28 e I5, p.21) também apresentam estas
tabelas, todas cópias (fac-símile) de originais. O livro C5 apresenta mais dois períodos:
Euclides (cerca de 300 a.C.) (p. 116), para mencionar Os Elementos e, também, o
surgimento dos números decimais, em 1585, “no livro Aritmética do holandês Simon
Stevin” (p. 226). Também aqui o caráter é apenas ilustrativo, sem que se possa estabelecer
alguma relação com outros períodos ou com a real evolução dos conceitos.
O livro E5 traz mais dois períodos: “Um matemático francês do século XVI, de
nome Viète, estabeleceu uma forma especial de escrever frações com potências de 10 nos
denominadores” (p. 153) e os “egípcios ganharam tanta fama que alguns matemáticos
gregos buscaram no Egito novas aplicações na Geometria. Os gregos (por volta de 600
a.C.) começam a sistematizar os conhecimentos geométricos que foram adquirindo” (p,
185). Há aqui uma relação entre períodos diferentes. O primeiro relaciona a maneira de se
escrever as frações desde os egípcios até o século XVI, quando Viète aparece. Este período
também aparece em O5, p. 173; K5, p. 240; P5, p. 197 e S5, p.152. O segundo mencionado,
que também aparece em F5, p. 35, faz uma relação entre a maneira de se fazer geometria
entre os egípcios e a maneira grega de trabalhar com as questões geométricas. Mas, há
sempre a linearidade: do que era antes para o como é agora. O século IX é citado em F5, p.
23, para informar sobre o árabe al-Khowarizmi, que foi, através do seu livro, o responsável
pela divulgação do sistema de numeração indo-arábica na Europa. O livro não relaciona o
período desta divulgação com os anteriores a ela. O livro L5, p. 96, cita o século XVIII,
com as contribuições de matemáticos como Fermat, Euler e Paganini. Os três, trabalhando
independentemente, descobrem números amigos. O livro não relaciona os números amigos
deste período com os gregos da escola de Pitágoras, que também os procuravam. A
informação, portanto, é apenas ilustrativa e, fica parecendo, que o conceito de números
amigos — ou amigáveis, como preferem alguns autores: BOYER, 1974, por exemplo —
nasceu ali, no século de Fermat.
60
Na investigação sobre Pessoa responsável, encontrei como matemáticos isolados
Pitágoras (A5, B5, C5 e K5), sempre mencionado como mestre dos pitagóricos, que
“adoravam os números e as diferentes maneiras de representá-los” (C5, p.53); Euclides
(A5, B5, C5, E5, F5 e K5), responsável pela organização, n´Os Elementos, da matemática
grega ou como matemático que provou a existência de infinitos números primos;
Eratóstenes (A5, B5, C5, E5, F5 e I5), pela invenção de um método para descobrir números
primos, o crivo de Eratóstenes; Stevin (C5, K5, P5 e S5), por sua participação no
desenvolvimento da notação decimal; Al-Khowarizmi (E5, F5 e L5), que foi o responsável,
através do seu livro, pela divulgação dos numerais indo-arábicos na Europa; Viète (E5, F5,
K5, O5 e P5), também pela sua contribuição com os números decimais; Diofante (F5), que
utilizava símbolos para escrever suas equações; Leonardo de Pisa (F5), pela seqüência de
Fibonacci; Fermat, Euler e Paganini (L5), pelos trabalhos com a teoria dos números;
Descartes (L5), pelo sistema cartesiano. E, ainda, Arquimedes (L5), Heron (S5), Napier
(S5) e Galois (L5). Como grupos de matemáticos quatro livros citam os pitagóricos, como
eram chamados os discípulos de Pitágoras. Fermat, Euler e Paganini (em L5) trabalham na
mesma coisa (encontrar números amigos), porém, o fazem de forma independente, por isso
não os coloquei no item grupo de matemáticos. As comunidades (ou povos) que encontrei
nos livros são: hindus (A5, B5, C5, E5, F5, I5, L5, Q5, R5 e S5), árabes (A5, B5, E5, F5,
I5, L5, Q5, R5 e S5), maias (A5, B5, E5, F5, I5 e S5), romanos (A5, B5, E5, F5, I5, K5, L5,
R5 e S5), gregos (A5, B5, E5, F5 e I5), chineses (A5, B5, E5, F5, I5, K5 e S5), egípcios
(A5, B5, C5, E5, F5, I5, K5, L5, O5, P5 e S5) e babilônios (A5, B5, C5, E5, F5, I5 e S5),
A história da matemática que aparece nos livros da 5
a
série é muito mais
informativa que formativa. Geralmente, está colocada em boxes como ilustração da “outra”
matemática que é tratada no livro. Pouca coisa é fundamental para que os alunos tenham
uma visão epistemológica dos conceitos tratados. E, quando aparece como fundamental —
em quase todos os livros os sistemas de numeração egípcios, babilônicos e romanos é
fundamental para resolução de exercícios propostos —, mas não acrescenta muito em
termos de consolidação de conceitos, pois acabam em si mesmas. Não há continuidade.
Raros são os exercícios destes pontos que pedem uma reflexão sobre a nossa forma de
escrever os números e aquela utilizada por aqueles povos. Apesar disso, os livros não
trazem contradições importantes entre si e não passam ao aluno uma história falseada
61
(cheia de anedotas). De todos estes livros o ponto que talvez cause mais polêmica está em
L5, p. 264, no episódio em que Arquimedes — com suas invenções — põe fogo nos navios
romanos. Este episódio é controverso. Cientistas atuais vêem com desconfiança a
possibilidade de que o grego pudesse (e tivesse conhecimentos científicos) para incendiar
os navios romanos. Há um texto interessante sobre isso em Thuillier (1994), p. 33-56.
Portanto, se a história nos livros da 5
a
série não ajuda em termos de aprendizado com a
história — fica mais no aprendizado da história — ela não atrapalha e pode ser até utilizada
como motivadora. Apenas isso.
6
a
série
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Os dados biográficos do filósofo e matemático francês Descartes (1596 – 1650)
aparecem nos livros A6, p. 207; B6, p. 195; M6, p. 182 e P6, p. 142. Em M6 há uma
história “curiosa”: “Dizem que ele estava descansando na cama, quando viu uma mosca
62
pousada na parede. A mosca voou, mas Descartes ficou pensando. Como poderia explicar
a uma outra pessoa qual era a posição exata da mosca na parede?” (p. 182). A história da
mosca também aparece em L6, p. 145. O livro G6 conta uma história que teria acontecido
com o matemático alemão Gauss: “numa longínqua cidade alemã, corria o ano de 1777.
Um austero professor de Matemática passou um exercício trabalhoso para seus alunos:
somem todos os números de 1 a 100. O professor mal acabara de passar a tarefa e seu
aluno Karl Frederic Gauss anunciava a resposta: está aqui o resultado. Como é que Gauss
fez as contas tão depressa?” (p. 13). Este episódio aparece também em K6, p. 197 e P6, p.
61. Ainda sobre Gauss, os livros trazem que ele era um: “menino muito engenhoso” (G6, p.
14); que “se transformaria mais tarde no maior matemático de sua época” (K6, p. 198) e
que “Gauss (1777 – 1855) é tão famoso quanto Arquimedes, Newton ou Einstein” (P6, p.
61). O mais interessante aqui é que enquanto a o episódio envolvendo Gauss ocorre,
segundo G6, em 1777, o livro P6 traz esta mesma data como a do nascimento do
matemático alemão. O livro G6 superestimou a capacidade do matemático, visto que Gauss
nasceu realmente naquela data. Em L6 aparecem os dados biográficos de Cantor (1845-
1918), que criou a teoria dos conjuntos (p. 50).
A história da inscrição supostamente gravada no túmulo de Diofante
16
aparece nos
livros H6, p. 83 e, com pequenas diferenças no texto, em L6, p. 110 e Q6, nas “Histórias
para gostar de matemática”, no final dos livros da coleção. Neste último, no texto “Os
primórdios da álgebra: a idade de Diofanto” (com “o” no final, diferente daqueles dois que
grafam o nome do matemático com “e”) o livro apresenta o matemático grego, “que viveu
no século III d.C.” como “o pai da álgebra”. Em L6, a história sobre a idade de Diofante
(325 – ?) é apresentada não como a inscrição no túmulo do matemático, mas como um
poema da matemática grega Hipatia (? – 415).
O professor que optar por este último livro poderia crer mais nesta história que nas
outras, pois ela é apresentada com referência (fonte secundária) enquanto os outros são
textos do autor
17
. As fontes citadas em L6 são Boyer e Kline, ambos livros de história da
matemática. Porém, BOYER, 1974, escreve: “pouco se sabe da vida de Diofante, além de
uma tradição referida numa coleção de problemas datando do quinto ou sexto século,
16
As versões (ou traduções) de originais de fragmentos, de textos ou de problemas estão todas reunidas no item III, nos
APÊNDICES.
17
Vou considerar, neste trabalho, texto do autor sempre que o texto não trouxer referência direta a outros autores, mesmo
que o livro tenha bibliografia.
63
chamada ´Antologia Grega`” (p. 130) e segue com a suposta inscrição do túmulo de
Diofante vista anteriormente, que faria parte da lista de problemas daquela antologia. Mais
à frente “Teon [de Alexandria, que viveu em 365] também é responsável por uma edição de
Os elementos que se preservou; é lembrado também como o pai de Hipatia, uma jovem
culta que escreveu comentários sobre Diofante, Ptolomeu e Apolônio” (p. 139). E, ainda,
“Simplicius [que viveu em 520] era primariamente um filósofo, mas em seus dias circulava
uma obra usualmente descrita como a Antologia grega, cujas partes matemáticas lembram
fortemente os problemas no Papiro Ahmes de mais de dois milênios antes. A Antologia
continha cerca de seis mil epigramas; desses mais de quarenta são problemas
matemáticos, presumivelmente reunidos por Metrodorus, um gramático talvez do século
quinto ou sexto. A maior parte deles, inclusive o epigrama acima sobre a idade de
Diofante, leva a equações lineares simples (...) Os problemas não devem ser originais de
Metrodorus, mas reunidos de várias fontes. ” (p. 140). Ou seja, Hipatia escreveu sobre
Diofante, porém, pelo menos no texto de Boyer, não se pode dar a ela a autoria da suposta
inscrição no túmulo de Diofante. Outra confusão que pode surgir ao professor é sobre a
paternidade da álgebra. Enquanto Q6 afirma que Diofanto é o “pai da álgebra”, L6,
apoiado nos mesmos autores (Boyer e Kline) dá o título de “pai da álgebra” ao francês
François Viète (p. 103). Esse mesmo título já havia aparecido em K5, p. 240.
A história dos sinais mais (+) e menos (–) é contada em A6, p. 92: os comerciantes
da Alemanha, no século XII, marcavam os tonéis com mais (plus) ou menos (minus) vinho.
Daí teriam vindo os sinais. O livro ainda mostra que no papiro de Rhind os egípcios
usavam sinais especiais para mais e para menos, mas não relaciona estes com aqueles. O
livro H6, referindo-se também à criação dos sinais de + e de –, escreve que “a necessidade
de controlar (ou ter a noção de) seus bens levou o homem a criar os números naturais e
manipula-los adequadamente. No século VI a.C. as moedas já começavam a ser usadas,
porém a partir do século XV as grandes navegações fizeram o comércio tornar-se a
principal atividade econômica dos mais importantes países europeus. Os comerciantes
conheciam muito bem os números e suas operações. Registros de estoques de venda e de
empréstimos de mercadorias e dinheiro eram cuidadosamente efetuados. Foi nesse
ambiente ativo, que algum instante impossível de precisar, surgiu a idéia de representar
por meio de sinais os números o excesso (plus: p) e a deficiência (minus: m)” e continua
64
“as letras p (que representava plus: mais) e m (que representava minus: menos) foram
gradativamente substituídas pelos sinais + e –“ e, ainda, que “historicamente, sabe-se que
o professor alemão Johann Widman publicou uma obra em 1489 sobre aritmética
comercial, constituindo o mais antigo livro em que aparecem os sinais + e – impressos” (p.
11). Há, porém, entre estes dois livros uma diferença de cerca de três séculos: do século XII
(A6) para o XV (H6).
Os livros G6, p. 205; J6, p. 101; K6, p. 216 e S6, p. 88 contam a história do
nascimento da álgebra a partir do livro Al-jabr wa-al-muqãbalah, escrito pelo matemático
árabe Al-Khuwarizmi. Na álgebra se usam letras para representar os números desconhecidos
e “esse uso de letras começou com os matemáticos árabes de 1000 anos atrás. Um dos
motivos foi que na época, repartir uma herança podia ser um problemão. Entre os árabes,
as heranças costumavam ser repartidas de modo a favorecer o filho mais velho. (...) Diante
da dificuldade de repartir, os matemáticos da época tiveram a brilhante idéia de
representar por letras uma das quantidades desconhecidas” (G6, p. 205). Em L6, Leibniz
(1646-1716) é chamado de “o último sábio” (p. 223) e aparece a invenção do sinal de igual
(=) por Robert Recorde (1510-1557) (p. 117). A história da medida da circunferência da
Terra, feita pelo grego Eratóstenes (274 – 204 a.C.), aparece em Q6, nas “Histórias para
gostar de matemática”, no final do livro.
Nos livros da 6
a
série são mencionadas e descritas algumas descobertas (ou idéias
ou invenções) matemáticas: a criação dos sinais de mais e menos (A6, p. 92 e H6, p. 11); o
método de Gauss para soma de uma série (G6, p. 13; K6, p. 197 e P6, p. 61); a álgebra (G6,
p. 205 e K6, p. 216); a regra da falsa posição — para determinar “quantidades
desconhecidas” numa equação — (K6, p. 217); o método utilizado por Arquimedes para
determinar o valor de π (K6, p. 324); a invenção do sinal de igualdade, por Robert Recorde
(L6, p. 117); a invenção e construção dos eixos cartesisanos (M6, p. 182 e P6, p. 142); a
medida da circunferência da Terra, por Eratóstenes, em Q6, nas “Histórias para gostar de
matemática” e a regra da falsa posição, para resolver equações (S6, p. 89). A teoria dos
conjuntos, criada por Cantor é apenas mencionada (L6, p. 50) e a invenção das
porcentagens também é apenas mencionada (S6, p. 179). A evolução da história dos sinais
de mais e menos, desde o papiro de Rhind até os dias atuais (como em A6 e H6, por
exemplo) dá uma idéia da real evolução da representação dos sinais. Mesmo com as
65
diferenças que já mencionei sobre os períodos em que se firmaram os sinais “+”, para mais
e “–“, para menos. O aluno pode acompanhar a evolução plus → p → +, por exemplo. Em
todos os livros o que mais se aproxima da evolução real de um conceito é a resolução de
equações. Em S6 encontramos: “Entretanto, o uso de equações é muito mais antigo,
passando pelo matemático grego Diofanto, no século III d.C., e chegando até a 1700 a.C.
com os babilônios e os egípcios. A evolução do processo de resolução de equações
abrange um período que vai de 1700 a.C. até 1700 d.C., caracterizando-se principalmente
pelo uso dos símbolos e pela utilização de vários métodos” (p. 88). Os livros da 6
a
série
apresentam uma história da matemática bem mais consistente que os da série anterior. Aqui
os assuntos são mais fundamentais que lá. Por exemplo, os livros que mostram o método de
Gauss para resolver a soma de uma série utilizam a história como aporte para introduzir as
fórmulas de soma dos termos de uma progressão aritmética. Mas, mesmo assim, a maior
parte das entradas no campo da história continua se dando em seções extras, para
voluntários como tópicos apenas informativos e a impressão é de que se não estivessem ali
não fariam nenhuma falta.
7
a
série
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Na 7
a
série, os livros N7, O7 e R7 não trazem nada sobre história da matemática. Os
livros A7 e B7 são exatamente iguais nas informações históricas que carregam. A variação
está no tratamento que recebem: B7 têm mais ilustrações e — como acontece com todos os
livros da coleção —, alguns tópicos foram colocados em uma seção chamada “Revistinha”
no final de cada capítulo. Além disso, outra diferença fica por conta da paginação. Nestes
livros temos os dados biográficos de: Gauss (1777-1855), “um dos maiores matemáticos da
história” (A7, p. 76 e B7, p. 140); Al-Khowarizmi, “que viveu entre os séculos VIII e IX”
(A7, p. 144 e B7, p. 198); Tales de Mileto, “o primeiro matemático grego que se tem
notícia e que viveu no século VI a.C.” (A7, p.149 e B7, p. 203) — “o pai da Matemática
grega” aparece também em L7, p. 160 e em Q7, p. 188, onde Tales é descrito como “um
dos sete sábios da Antiguidade” —; Pitágoras “nasceu em Samos, uma ilha do mar Egeu,
no século VI a.C.” (A7, p. 201 e B7, p. 262) — Pitágoras “homem muito culto e inteligente”
também aparece em K7, p. 25 e em Q7, p. 188 —; Diofanto, que “viveu no século III d.C.
Muitos matemáticos o consideram o pai da álgebra” (A7, p. 224 e B7, p. 297). Nestes
livros aparecem três episódios: a história da soma de 1 a 100, feita por Gauss (A7, p. 77 e
B7, p. 141); a suposta inscrição no túmulo de Diofanto (A7, p. 224 e B7, p. 297) e a
“história do jogador de dados”, que seria a responsável pelos “primeiros estudiosos do
cálculo de probabilidades no século XVII” feitos pelos franceses Blaise Pascal e Pierre de
Fermat (A7, p. 234 e B7, p. 319). Os dois primeiros episódios já haviam aparecido em
livros da 6
a
série. O terceiro — apesar de ser tratado, em ambos os livros, em boxes como
curiosidade — traz um interessante texto com o título “E tudo começou com uma aposta”,
onde mostra que os dois matemáticos envolvidos desenvolveram os estudos através de troca
de correspondência.
67
O matemático grego Eratóstenes (276 – 196 a.C.) aparece em D7, p. 39; K7, 263 e
L7, p. 90. Nos dois primeiros livros pela invenção do “crivo de Eratóstenes” e em L7, além
do crivo, pela medida da circunferência da Terra, realizada pelo matemático grego. Além
disso, de todos os livros que analisei, este é o único que conta algo que não são somente
loas aos seus personagens: “Os gregos o chamavam de Beta (
β
), a segunda letra do seu
alfabeto, querendo dizer que o reconheciam como o segundo em tudo, mas nunca o melhor
em nada. Tinham certa razão. Natural de Cirene, Eratóstenes (276 – 196 a.C.) foi um
atleta bastante popular durante a sua juventude em Atenas, destacando-se em várias
modalidades esportivas. Além disso, foi autor de livros de Astronomia, Geometria, de
poesias e textos para teatro. No entanto, nunca conseguiu ser o primeiro em nenhuma
dessas atividades. Mas, façamos justiça. Além de desenvolver um método para encontrar
números primos, o Crivo de Eratóstenes, nenhum matemático ou astrônomo da
Antiguidade se igualou a ele nos cálculos para medir a circunferência da Terra. Nesse
assunto, sim, ele foi o primeiro” (p. 90). Para este texto — destinado a voluntários — o
autor usa como fonte secundária o livro de Edwin e Floid, Geometria moderna.
Arquimedes (287-212 a.C.) aparece em D7, p. 226; G7, p. 238; J7, p. 122; L7, p. 28
e p. 264; P7, p. 243 e S7, p. 184. As aparições são pelo seu envolvimento na determinação
do valor de
π
(D7 e L7); pelo episódio em que o grego descobre que a coroa do rei que,
segundo o ourives era de ouro puro, continha ouro e prata (G7, J7, L7 e P7); pela
determinação da fórmula para o cálculo do volume da esfera e pela história do cerco de
Siracusa (P7) e, também, é mencionado por utilizar, a exemplo de outros matemáticos
gregos, a álgebra geométrica (S7). Já discuti sobre o episódio do cerco de Siracusa —
“Conta-se até que, usando espelhos e lentes, ele concentrou os raios solares sobre as velas
dos navios romanos, incendiando boa parte da frota inimiga” (P7, p. 243) — na análise de
L5, anteriormente. Descartes, “filósofo e matemático francês” (1596 a 1650) aparece em
K7, p. 197; H7, p. 119 e Q7, p. 115, que afirma que o filósofo que “pela primeira vez
associou a álgebra à geometria” deixou “uma contribuição valiosa no campo da
matemática, filosofia e da lógica”. O livro Q7 fala da morte de Descartes em 1665
enquanto os outros dois livros em 1650.
A determinação do valor de
π
é o ponto que mais matemáticos reúne desde
Arquimedes (por volta do século III a.C.), passando por Ptolomeu (por volta do século III
68
d.C., no Egito); Liu Hui (por volta do século III d.C.); Isu Ch´ung-Chih, no fim do século
V; al-Kashi, no século XV até que Euler, em 1737, torna conhecido o símbolo π. (L7, p.
28). Esta busca também aparece em K7, p. 22 e D7, p. 226. Este é o ponto que melhor
mostra a evolução real de um conceito matemático: vários matemáticos ou povos
trabalhando sobre o mesmo assunto, diferentes valores, diferentes métodos. Acredito que o
estudo do número
π
é o que fornece o melhor material histórico para o professor. Porém,
em quase todos os livros (de todas as séries onde aparece) a história geralmente está em
boxes separados, para voluntários.
Outros matemáticos que aparecem são: Aristóteles (384 – 322 a.C.) em E7 e S7;
Euclides (século III a.C.) em E7, L7 e S7; Stifel (1486 – 1567) em E7; o advogado e
matemático francês Viète (1540-1603), “conhecido como o pai do moderno cálculo literal”
em E7 e P7; Cardano (1501 – 1576) “médico e matemático italiano, considerado o mais
competente algebrista do seu tempo”, em E7; Leonardo de Pisa, em Q7; Apolônio (262 –
190 a.C.), Eutócio (480 – 540 d.C.), Proclus (411 – 485 d.C.) e Eudóxio (408 – 355 a.C.)
em S7. Os pitagóricos (por volta do século VI a.C.) — uma “seita misteriosa” fundada por
Pitágoras — diziam que “Tudo é número” e entre seus membros existiam “brilhantes
matemáticos” aparecem em L7, p. 9 e em Q7, p. 188. Este último conta que “Pitágoras é
levado como cativo para a babilônia e, ao contrário de Tales, que se interessou somente
pelas idéias matemáticas, volta à Grécia trazendo um conhecimento mítico-religioso
adquirido no Egito e na Babilônia. Funda a escola pitagórica, uma escola filosófico-
matemática”.
Nos livros da 7
a
série há a menção à invenção do sinal de igualdade criado por
Recorde, em 1557 (A7, p. 31 e B7, p. 48); à invenção da álgebra “para resolver problemas
de heranças, legados, partições, processos legais e comércio” (A7, p. 144 e B7 p. 198 e P7,
p. 202); aos primeiros estudos sobre probabilidade (A7, p. 234 e B7, p. 319); à procura do
valor de π através dos tempos (D7, p. 226; H7, p. 48; K7, p. 22 e L7, p. 28); ao uso
sistemático de letras para representar quantidades desconhecidas por Viète (E7, p. 26 e P7,
p. 203); ao surgimento das frações (E7, p. 97 e S7, p. 25) e ao descobrimento dos
irracionais pelos gregos (L7, p. 19 e S7, p. 25). Há, ainda a descrição do método de Gauss
para a soma de séries (A7, p. 76 e B7, p. 140); do teorema de Pitágoras — mostrado a partir
da generalização da relação que já era conhecida dos egípcios [“e chineses” (D7, p. 216)]
69
— (A7, p. 201; B7, p.262; D7, p. 216; G7, p. 205; K7, p. 25 e P7, p. 218); das coordenadas
cartesianas (H7, p. 119; K7, p. 197 e P7, p. 203); da medida da circunferência da Terra, por
Eratóstenes (K7, p. 201 e L7, p. 90); do crivo de Eratóstenes (D7; p. 39; G7, p. 28; L7, p.
70 e P7, p. 9); do método de Arquimedes para determinar a composição da coroa do rei
(G7, p. 216; J7, p. 122; L7, p. 264 e P7, p. 243) e do método mesopotâmico para calcular a
raiz quadrada de um número (L7, p. 22) e do método utilizado por Arquimedes para
determinar o valor de π (L7, p. 28).
A quantidade e a qualidade de história nos livros da 7
a
série é superior às duas
outras. Aqui há mais elementos que o professor possa usar para suas aulas. O grande
problema continua sendo que a história vem quase sempre em boxes separados da “outra”
matemática, sendo muito mais ilustrativa e “motivadora” que instrutiva e ponto para
construção de conceitos. Mas, não há grandes divergências entre um livro e outro.
8
a
série
C C +C 8C C AC
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4)( $ #
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7.2M
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9M(A L
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70
A vida dos matemáticos (dados biográficos, características pessoais etc.) e as suas
características aparecem em quase todos os livros da 8ª série, que é a série que mais tem
informações históricas e, também, a que mais apresenta divergências. Apesar de muitos
livros que analisei terem bibliografias, somente dois deles — D8 e L8 —, quando tinham
informações históricas, citavam as fontes logo após. Desta forma, fica difícil apontar se as
contradições se devem a fontes diferentes ou erros cometidos nas edições dos livros. A
maioria das divergências está nas datas e nas histórias da vida dos matemáticos ou das
“entidades” tratadas. Nos dados biográficos dos livros da 8ª série aparecem os matemáticos:
Hiparco (190 – 125 a.C.), em E8, p. 215 e em K8, p. 229; John Venn (1834 – 1923), em
C8, p. 9; Arquimedes (287 – 212 a.C.), em B8, p. 56; C8, p. 35; P8, p. 257 e em Q8, nas
“Histórias para gostar de matemática”; Al-Khowarizmi (século IX), em A8, p. 88; B8, p.
88; C8, p. 74 e P8, p. 123; Pascal (1623-1662), em C8, p. 84; Descartes (1596-1650) em
A8, p. 192; C8, p. 164 e L8, p. 131; Bhaskara (1114 – 1185), em A8, p. 88. B8, p. 90; K8,
p. 154; N8, p. 43 e P8, p. 123; Lewis Carrol (1832 – 1898), em A8, p. 114 e B8, p. 144;
Bertrand Russel (1872 – 1970), em A8, p. 116 e B8, p. 147; Euclides (330 – 275 a.C.), em
A8, p. 128; B8, p. 31 e Q8, nas “Histórias para gostar de matemática”; Fermat (1601 –
1665), em A8, p. 140 e B8, p. 171; Goldbach (1690 – 1764), em A8, p. 138 e B8, p. 169;
Pitágoras, em A8, p. 170; B8. p. 227; K8, p. 53; L8, p. 36 e N8, p. 104; Euler (1707 –
1783), em A8, p. 190; Tales (640 – 550 a.C), em A8, p. 127; B8. p. 157; C8, p. 222; D8, p.
188; E8, p. 149; J8, p. 147; K8, p. 86; L8, p. 191; N8, p. 76 e Q8, nas “Histórias para
gostar de matemática”; Tartaglia (1500 – 1557), em L8, p. 86; Cardano (1501 – 1576), em
L8, p. 86 e Scipione del Ferro (1465 – 1526), em L8, p. 87.
O astrônomo grego Hiparco é tratado como o “pai da trigonometria”, em E8, p. 215
e em L8, p. 207; Viète, como “o pai da álgebra”, em P8, p. 258 e Tales como “pai da
astronomia, da geometria e da aritmética” em Q8, nas “Histórias para gostar de
matemática”. Vários episódios aparecem nos livros da 8ª série. O episódio da medida da
altura da pirâmide por Tales pode ser visto em A8, p. 127; B8, p. 157; C8, p. 222; D8, p.
188; E8, p. 149; J8, p. 147; K8, p. 86; L8, p. 191; N8, p. 93 e Q8, nas “Histórias para
gostar de matemática”. Em Q8 também aparece o episódio de Tales e a velha: “certa vez
Tales passeava ao lado de uma velha escrava, e contemplava as estrelas e as constelações,
71
pensando em um problema de astronomia. Completamente absorto em seus pensamentos,
caiu num buraco. Então, a velha escrava lhe disse: — Como espera saber o que há no céu
se não consegue ver o que está sob seus pés”. O livro C8 conta o episódio do casamento de
Lilavati, filha de Bhaskara (p 65). O roubo de uma fórmula — episódio sobre a resolução
de equações de 3
o
grau — envolvendo Scipione Del Ferro, Tartaglia e Cardano aparece em
A8, p. 97; B8, p. 130 e em L8, p. 86). A inscrição feita por Fermat nas margens do livro de
Diofanto aparece em A8, p. 140 e B8, p. 171.
Pitágoras, Tales e Arquimedes são os matemáticos que aparecem mais vezes nos
livros da 8ª série e sobre suas vidas há muitas divergências. O nascimento de Pitágoras, por
exemplo, aparece de diversas maneiras nos textos dos livros: “nasceu por volta de 582
a.C.” (A8, B8 e L8) ou “por volta de 580 a.C.” (Q8) ou “em 596 a.C.” (R8). Tales talvez
seja o personagem da história da matemática que mais histórias têm a seu respeito e, por
isso mesmo, mais divergências. A começar pelas datas em que viveu: “século VI a.C.” (A8,
D8, J8 e N8); ou “do final do século VII a.C até a metade do século VI a.C.” (P8); ou
“cerca de 600 anos antes de Cristo” (E8); ou “aproximadamente de 624 a.C a 548 a.C.”
(B8); ou “por volta de 640 a.C. até 500 a.C.” (K8); ou “cerca de 624 a.C a 546 a.C.” (L8)
ou, ainda, “de 640 a.C. a 550 a.C.” (Q8).
É considerado o “primeiro matemático” (A8, B8, D8, J8, K8, N8, P8 e Q8) de que
se tem notícia, “embora a profissão de matemático seja recente” (A8). Entre outras
atividades foi também “comerciante” (J8) — “um rico” (E8) “e um próspero negociante”
(K8 e N8) — “de azeite, sal e outros produtos” (A8). Por conta disso, “viajou muito pelo
Oriente e por todo o império grego — que incluía o Norte da África —, onde esteve em
contato com o saber geométrico dos egípcios e dos babilônios” (A8, E8 e Q8). Era também
“filósofo” (B8, C8 e P8), “apaixonado pela geometria” (J8), “bastante culto, hábil político,
engenheiro (embora não se usasse tal denominação na época) e astrônomo” (K8) e
considerado “um dos sete sábios da Grécia” (B8), o “primeiro deles” (Q8). “Embora só
tardiamente tenha se dedicado aos estudos, Tales foi reconhecido, ainda em vida, como o
´pai da astronomia, da geometria e da aritmética`” (Q8). “Pitágoras chegou a conhecer
Tales, e a conselho seu viajou para o Egito”. (Q8).
Das muitas histórias que se conta sobre Tales, está a “de que ele teria previsto um
eclipse solar ocorrido em 585 a.C.” (A8) — “no dia 28 de maio de 585 a.C.” (C8). Porém a
72
mais famosa de suas proezas teria sido “a medição das pirâmides do Egito a partir do
tamanho da sombra de um bastão” (A8, B8), “dando início à trigonometria” (B8). Esta
história tem várias versões: “certa vez apresentou-se ao Rei Amasis, do Egito, oferecendo-
se para calcular a altura de uma pirâmide, sem escalar o monumento” (C8); “ao visitar o
Egito, foi desafiado a determinar a altura da pirâmide de Quéops sem ter que escala-la”
(D8); “numa de suas viagens ao Egito, foi desafiado a medir a altura da grande pirâmide de
Quéops” (E8); “certa ocasião, viajando pelo Egito, ao ver as grandes pirâmides, tentou
resolver um problema: Como calcular a altura de uma pirâmide sem medi-la diretamente?”
(J8); “numa viagem ao Egito, ofereceu-se para determinar a altura da pirâmide real, sem
escalar o monumento” (K8); “Tales estava viajando pelo Egito. O faraó já conhecia a sua
fama. Ouvira dizer que ele era capaz de uma incrível façanha: podia calcular a altura de
qualquer construção, por maior que fosse sem precisar subir nele. Por ordem do monarca,
alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do visitante e pediram-lhe que calculasse a
altura da Grande Pirâmide de Quéops. Tales ouviu-os com atenção e se dispôs a atendê-los
imediatamente” (L8); “certa vez visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele
assombrou o faraó e toda a corte egípcia: medindo a sombra da pirâmide de Queóps, ele
calculou a altura da pirâmide. Seu único auxiliar foi um bastão de madeira, que ele cravou
verticalmente no solo” (N8); “conta a lenda que ele teria obtido a altura de uma pirâmide
sem medi-la, o que assombrou o faraó egípcio” (P8); “o fato histórico pelo qual ele é
sempre lembrado é o de ter medido a altura da pirâmide de Quéops através da semelhança
de dois triângulos” (Q8). Os livros divergem na história, mas não na maneira que a
pirâmide foi medida: “uma vara, duas sombras e uma idéia genial: triângulos semelhantes!”
(L8).
“São atribuídas a Tales também a formulação e a demonstração de proposições
geométricas. É provável que algumas dessas proposições, ou todas, fossem conhecidas dos
egípcios e babilônios, mas esses povos tinham uma vocação científica mais voltada para
questões práticas. Coube a Tales “desligar” a geometria do mundo real. Suas
demonstrações e proposições relacionavam-se primeiro com figuras abstratas, sem a
preocupação com aplicações práticas” (A8). “Com o método de semelhança de triângulos,
Tales inaugurou o processo de medida indireta, largamente usado até hoje em astronomia e
para medir distâncias de locais inacessíveis” (C8, D8 e J8). “Acredita-se que ele tenha
73
provado que a soma da medida dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180
o
. Outro
teorema atribuído a ele é conhecido simplesmente como teorema de Tales” (P8).
As controvérsias históricas também acompanham Arquimedes, “inventor e
matemático grego, viveu entre 287 a.C. a 212 a.C.” (B8 e Q8); “foi o primeiro a obter de
uma maneira científica o valor de
π
:
7
22
que é igual a
7
1
3+
, ou, na notação decimal,
3,142857....” (A8 e C8). “Arquimedes foi um pouco mais longe e calculou que o verdadeiro
valor de π é um número que satisfaz a seguinte desigualdade:
71
223
< π <
7
220
. Para calcular
este valor, construiu um polígono regular com 96 lados. Tal polígono estava próximo de
uma circunferência; ele então calculou a razão do perímetro do polígono 96-ágono pelo
diâmetro” (A8). “Arquimedes, na Grécia antiga, atribuía a
π
um valor intermediário entre 3
7
1
e 3
77
10
” (E8). “Arquimedes no séc. III a.C. usou este valor para
π
, no seu livro A medida
do círculo:
π
= 3,1418785” (J8). “Por volta de 400 a.C, os matemáticos gregos imaginaram
um método para calcular
π
. Eles propunham que se calculassem os perímetros de polígonos
inscritos e circunscritos que se aproximavam da circunferência. Entretanto, o sistema de
numeração usado pelos gregos era tão trabalhoso que, mesmo conhecendo um método para
chegar a um valor de
π
, as dificuldades com os cálculos fizeram com que passassem 150
anos até que Arquimedes, por volta de 250 a.C., obtivesse o valor aproximado
7
22
” (P8).
“Arquimedes se tornou mais tarde um gênio da matemática, da física e grande construtor de
máquinas e aparatos bélicos. Para calcular o número
π
, Arquimedes usou o método da
exaustão. Esse método consistia em calcular o comprimento da circunferência por
aproximação, utilizando polígonos inscritos e circunscritos à circunferência” (Q8).
A história do valor de
π
— “um número muito famoso na Matemática” (A8, B8 e
C8) — aparece também em vários livros. Neste ponto, as maiores divergências são de
informação: alguns se aprofundam mais que outros: “a relação entre o comprimento da
circunferência e o seu diâmetro foi descoberta há mais de 4000 anos” (C8); “o símbolo
usado para designar a constante obtida pela razão entre a medida do contorno de uma
circunferência e seu diâmetro é a letra grega
π
, inicial da palavra contorno, escrita em
grego:
περτµεροζ
. Foi popularizado pelo matemático suíço Leonhard Euler, em 1737”
(A8); “a partir do século XVIII, esse número passou a ser indicado pela letra grega
π
(pi),
inicial da palavra
περιϕερεια
, que significa periferia, circunferência” (C8); “a descoberta
74
de que
π
é um número irracional só aconteceu no século XVII, em 1761 (J8); “o francês
Lambert provou que
π
é um número irracional, ou seja, tem uma expansão decimal infinita,
e não periódica” (A8 e P8); “por mais de mil anos, os matemáticos tentaram resolver o
problema da quadratura do círculo, até concluir que existem alguns números reais,
π
e
π
,
por exemplo, que não podem ser construídos usando somente com régua e compasso” (L8).
O número π é, sem dúvida, mesmo com todas as divergências apontadas, a melhor
maneira que encontrei nos livros para se mostrar a evolução real da história de um conceito
matemático, pois “empenho em se determinar o valor exato desse número tão fugidio tem
uma longa história, quase tão antiga quanto a história da própria matemática” (P8).
Juntos, os livros da 8ª série mostram a história deste número desde o papiro de Rhind até os
cálculos com computadores.
Porém, mesmo tendo mais história da matemática que as outras, a 8ª série
geralmente mostra a evolução das idéias é sentido linear da história: primeiro os egípcios,
depois um grego, um árabe e finalmente chegando na Europa, por exemplo. Algumas vezes
há relação entre as descobertas, como no caso do teorema de Pitágoras: “os egípcios não
conheciam o teorema, mas sabiam que com uma certa trinca de números 3, 4 e 5 podia-se
obter um triângulo retângulo” (A8 e B8). Outras vezes parece que aquele assunto nasceu
ali, naquele momento — no livro B8, p. 28, aparece uma tabela
18
que mostra a evolução
dos números decimais através dos tempos, que mostra períodos discretos, como se não
houvesse dúvida de que aquilo se deu exatamente naquele momento —, por obra e gênio
daquele matemático, como no trecho: “um acontecimento fantástico na matemática! Foi
imaginado por Descartes, um filósofo e matemático francês, em 1619. Ele criou um sistema
de coordenadas retangulares, também chamado de coordenadas cartesianas em sua
homenagem” (J8).
Crises são apresentadas bem poucas, como no texto “os pitagóricos entram em
crise”, que conta: “o teorema de Pitágoras garantia que
2
é a medida da diagonal do
quadrado de lado unitário. Aí é que as coisas começaram a complicar, pois na Antiguidade
eram conhecidos apenas os números inteiros (positivos) e fracionários. Como
2
não é
inteiro nem fracionário, que número é então? Para os pitagóricos os números regulavam o
18
Ver item IV, nos APÊNDICES.
75
universo. Mas que domínio era esse, se os números não conseguiam ´dar conta` nem do
aspecto mais imediato do universo, a Geometria?” (B8). Este texto está na página 51 do
livro e o mais interessante é que, na página 31, este mesmo livro traz: “atribui-se a Euclides
de Alexandria, século III a.C., uma prova de que o número
2
não é racional. Euclides
supôs que
2
pudesse ser representado por uma razão entre números inteiros. Seguindo
essa hipótese ele chegou a um resultado absurdo”. Não há ligação alguma que faça o aluno
pular de uma para a outra, além do que, como acontece em muitos casos e livros, são
introduzidos termos ou noções que aparecem somente uma vez e não são explicadas: a
prova de Euclides, por exemplo, o livro não fala que em matemática há uma técnica de
provar algo “por absurdo”. No texto, o que parece é que o resultado alcançado por Euclides
era inexplicável, um verdadeiro absurdo.
Geralmente é um matemático, individualmente, que descobre ou inventa — estes
dois termos aparecem indistintamente em vários livros — alguma coisa. As comunidades
(ou povos) — egípcios, babilônios etc. — aparecem quando toda ela está envolvida, por
características próprias ou unidade de atuação ou, então, por não se poder determinar
nomes individualmente. Poucas vezes aparece mais de um matemático ou comunidade, da
mesma época, trabalhando na mesma coisa. Por exemplo, Al-Khowarizmi e Bhaskara
trabalharam na resolução das equações do 2
o
grau (A8, B8, C8, D8, E8 e J8), mas cada um
com seu método e na sua época, como se um não tivesse conhecimento dos resultados ou
dos trabalhos do outro.
Neste caso — da resolução das equações de 2º grau —, somente um livro diz que a
fórmula de Bhaskara não é dele: “só temos a contar mais uma coisinha: a fórmula de
Bhaskara, curiosamente, não foi deduzida por Bhaskara. Como já dissemos, a fórmula de
Bhaskara não foi proposta por Bhaskara. E não se sabe por que a fórmula acabou sendo
batizada com seu nome. Alias, diga-se de passagem, esse não é o único caso em que se
atribui uma descoberta a alguém que não a realizou. Bhaskara viveu na Índia por volta de
1150. Esse ilustre matemático resolveu vários problemas complicados, alguns dos quais
envolviam equações de 2
o
grau. No entanto, muito antes dele, a resolução da equação já era
conhecida. Os historiadores encontraram indícios de que, na civilização da babilônia, em
1700 a.C., já eram resolvidas algumas equações de 2
o
grau. Depois dessa época remota,
parece ter sido Al-Khiwarizmi, no século IX, o maior especialista no assunto. Ele viveu em
76
Bagdá e é considerado um dos principais criadores da álgebra. Escreveu o livro Al-jabr we
muqabalah, cujo título inspirou o nome dado a essa ciência. Nessa obra, Al-Khowarizmi
apresentou exemplos de como resolver equações de 2
o
grau. O interessante é que ele não
usava fórmulas, nem símbolos algébricos. Ele trabalhava com palavras e figuras!” (P8).
Poucos, mas também aparecem casos em que mais de um matemático trabalhavam
com o mesmo assunto e ao mesmo tempo: como o caso da resolução de equações do 3
o
grau, que envolve Scipiode Del Ferro, Cardano e Tartaglia (A8, B8 e L8). Mas, nesse caso
o que aparece é a “história do roubo de uma fórmula”, que parece afirmar que quando dois
trabalham em uma mesma coisa é por que um roubou a idéia de outro: “Cardano ficou
assombrado, pois Tartaglia tinha aprendido a resolver outros tipos de equações cúbicas,
além daquele resolvido por Ferro. Astutamente, convidou Tartaglia para visitá-lo. E usou
de todas as artimanhas para conseguir arrancar o segredo do cauteloso e desconfiado
Tartaglia (...)” (L8, p. 225). Nos três livros a história é colocada em um box para
voluntários e, além disso, no livro A8 vem com a recomendação: “Não se assuste. Você não
precisará saber ou usar essa fórmula [da resolução de equações do 3º grau] durante este
ano” (p. 97).
A história mostrada nos livros da 8ª série não difere das outras séries: é muito mais
ilustrativa que outra coisa. Por exemplo, em J8, p. 206, lê-se que “Eratóstenes ´mediu a
cintura` da Terra” (p. 206). O livro conta a mesma história que já havia aparecido em Q6,
L7 e K7. Em todos estes livros o único que comenta os erros cometidos pelo matemático
grego é o livro Q6. Ou seja, os outros não mostram que a medida alcançada — apesar dos
méritos do método e da iniciativa pioneira do matemático grego — continha erros, que,
segundo GUNDLACH,1992, era de “apenas 50 milhas menos que o diâmetro polar pelos
dados atuais” (p. 58).
77
2. Materiais usados para apresentar a informação histórica
5
a
série
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> 0
0
+0
80
0
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No geral, o que mais aparece nos livros para apresentar as informações históricas
são os textos ou artigos do autor. Considerei nesta categoria todos aqueles textos que não
remetiam a nenhuma referência bibliográfica. As fontes secundárias — textos com
referência — são poucas nesta série: apenas nos livros B5, E5, L5, K5 e P5. Os livros
usados como fonte são: História da Matemática, de Boyer, 1974 (L5, pp. 80 e 97; K5,
p.108 e L5, p. 97); Historia de las Matemáticas, de Ribnikov, 1987 (L5, pp. 97 e 264 e P5,
p. 157); Os números – a história de uma grande invenção, de Ifrah, 1989 (B5, p. 15); os
números indo-arábicos do século XIII e do século XV, publicados em 1994 no Correio da
Unesco (E5, p. 27); o crivo de Eratóstenes, publicado na revista Superinteressante,
outubro, 1997 (E5, p. 99) e as origens indo-arábicas da Europa medieval, de André Allard
(L5, p. 26). Experimento histórico só aparece no livro L5, onde se pede aos alunos que
resolvam um exercício do papiro de Ahmes (p. 18) e que a resposta seja dada em números
egípcios.
São, ao todo, nove versões originais de textos. Aqui não considerei as fotos e fac-
símiles de documentos como Os Elementos, de Euclides e o Papiro de Rhind, por exemplo,
que aparecem apenas para ilustrar os textos. Só considerei as traduções ou reproduções —
como no caso dos números indo-arábicos e do quadrado mágico chinês — que vão além da
mera ilustração. A evolução dos símbolos indo-arábicos através dos tempos aparece em A5,
p. 8; B5, p. 15; E5, p. 12; F5, p. 28; I5, p. 20; K5, p. 42 e S5, p. 3. O quadrado mágico
chinês aparece em A5, p. 57 e K5, p. 42. O único texto original (tradução) é o exercício do
papiro de Ahmes, que está no livro L5, p. 18.
78
Imagens de equipamentos, geralmente para ilustrar os textos que falam dos sistemas
de numeração, aparecem em oito livros da 5
a
série. São cerca de 21 fotos e uma ilustração.
As fotos são: calculadora (A5, p. 8; B5, p.15; E5, p. 184 e K5, p. 239); ábaco (A5, p. 5; B5,
p. 13 e F5, p. 22); computador (B5, p. 67 e S5, p. 3); relógio (A5, p. 8; B5, p. 15 e S5, p.
16); telefone (A5, p. 8 e S5, p. 3); máquina de escrever (A5. p. 8); termômetro (B5. p. 15);
ampulheta (A5, p. 57); cronômetro (A5, p. 57); relógio digital (A5, p. 57); painel de
elevador (S5, p. 3) e teodolito (P5, p. 198). E há ainda a ilustração de um ábaco (C5, p. 10).
São usados também muitos mapas — do “mundo grego”, da localização da civilização
maia, por exemplo —, que aparecem nos livros A5, B5, E5, K5 e S5 e tabelas —
principalmente dos sistemas de numeração egípcia, romana, maia etc. — nos livros A5, B5,
E5, F5, I5, L5 e S5.
Com relação aos matemáticos, os livros trazem as gravuras de Euclides (B5, p. 141
e F5, p. 35); Pitágoras (K5, p. 109); Viète (O5, p. 173) e a caricatura de Viète (E5, p. 184) e
de Euclides (E5, p. 185). São incluídas algumas obras de arte para ilustrar os textos: o
quadro Melancolia, de Dürer, que mostra em um de seus cantos um quadrado mágico
aparece em A5, p. 58 e B5, p. 91; detalhe do afresco Escola de Atenas, de Rafael,
mostrando Euclides e seus discípulos (F5, p. 211); uma foto de pintura rupestre (K5, p. 25)
e um painel de azulejos (os azulejos náuticos da Quinta de São Lourenço) (P5, p. 157).
Muitas fotos são utilizadas para ilustrar os textos: um calendário maia (B5, p. 22); o
coliseu de Roma (B5, p. 22 e K5, p. 12); hieróglifos (B5, p. 67); o rio Nilo (C5, p.116; K5,
p. 25; L5, p. 109 e S5, p. 232) e a pirâmide de Quéops (S5, p. 232). Além destas, fotos de
documentos originais também são usados: papiro de Ahmes (ou de Rhind) (C5, p. 9; E5, p.
101; F5, p. 16; K5, p. 114); Os Elementos, de Euclides (K5, p. 25) e o fac-símile de uma
página da obra de Stevin (P5, p. 158). E, ainda, muitas ilustrações, charges e histórias em
quadrinhos. A ilustração do crivo de Eratóstenes, por exemplo, aparece em C5, p. 91; E5, p.
100 e F5, p. 126 e a dos estiradores de cordas egípcios — que utilizavam as cordas para
medir terras — aparecem em F5, p. 149; I5, p. 232; L5, p. 109; P5, p. 106 e S5, p. 232.
79
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a
série
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A 6
a
série utiliza pouca coisa para apresentar as informações históricas e,
novamente, como na série anterior, o texto do autor é o que mais aparece. As poucas fontes
secundárias estão em L6, que utiliza como referência três livros — História da Matemática,
de Boyer. 1974 (pp. 50, 103, 110, 117 e 223); Mathematical thought from ancieent to
modern times, de Kline, 1966 (pp. 103, 110, 117 e 144) e Historia de las Matemáticas, de
Bell, 1949 (p. 223) —– e em H6, que utiliza o livro Contando a História da Matemática, de
Oscar Guelli (p. 83). Os experimentos históricos mostrados pelos livros são: a medida da
altura da pirâmide, efetuada por Tales (A6, p. 194 e B6, p. 262); a soma da série de 1 a 100,
realizada por Gauss (G6, p. 13) e a medida da circunferência da Terra, por Eratóstenes (Q6,
nas Histórias para gostar de matemática).
Somente quatro versões originais de textos aparecem nos livros da 6
a
série. E todos
eles são problemas: um de um livro de Bhaskara (K6, p. 239 e M6, p. 105) e três do papiro
de Rhind (L6, p. 183; P6, pp. 239 e 242). A foto da pirâmide de Quéops aparece em A6, p.
194 e B6, p. 262 e do papiro de Rhind em L6, p. 183 e P6, p. 240. O livro (fac-símile) do
matemático Recorde, onde aparece pela primeira vez o sinal de igualdade (=), está em J6, p.
98 e L6, p. 117 e o fac-símile da capa de Os Elementos, de Euclides, aparece em L6, p. 144.
Além disso, são utilizadas ilustrações (A6, B6, H6, M6 e Q6); charges (G6, H6 e P6);
histórias em quadrinhos (G6 e P6); tabelas (G6 e P6); mapas (K6); a caricatura de Viète
(L6, p. 103) e a gravura de Leibniz (L6, p. 223). De todos os materiais utilizados dois
chamam atenção. Um é a ilustração de uma mosca pousada no sistema cartesiano (M6, p.
182), pois o livro defenda o episódio de que Descartes teria inventado o sistema “inspirado”
numa mosca pousada na parede. O outro é uma charge para ilustrar os sistemas de
numeração (G6, p. 206), onde se vê uma múmia (talvez para representar a morte do sistema
de numeração egípcio).
80
7
a
série
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Somente o livro L7 traz fontes secundárias citando os livros História da
Matemática, de Boyer. 1974 (pp. 19, 28, 90, 160 e 173); Mathematical thought from
ancieent to modern times, de Kline, 1966 (pp. 19 e 173); History of Mathematics, de Smith,
1995 (p. 90) e Geometria Moderna – parte II, de Edwin e Floid (p. 90 e 264). Entre os
experimentos históricos os livros da 7
a
série trazem a suposta prova oferecida por Pitágoras
para o teorema que leva o seu nome (A7, p. 201; B7, p. 266; K7, p. 27 e P7, p. 222); a
determinação da composição da coroa do rei, por Arquimedes (J7, p. 122 e P7, p. 243) e a
medida da circunferência da Terra, por Eratóstenes (K7, p. 266).
Nove versões originais de textos aparecem nos livros da série: símbolos indo-
arábicos através dos tempos (A7, p. 31; B7, p. 51); equações de Viète (A7, p. 52; B7, p. 34
e P7, p. 203); “inscrição no túmulo” de Diofanto (A7, p. 224); um problema geométrico
egípcio (E7, p. 114); fragmento do prefácio do livro Al-jabr, de Al-Khowarizmi (P7, p.
202) e a proposição 32, livro I, de Os Elementos, de Euclides (S7, p. 185). Várias
gravuras de matemáticos aparecem para ilustrar os livros da 7
a
série: Gauss (A7, p. 76);
Tales (A7, p. 149); James Abram Garfield (1831-1881) presidente dos Estados Unidos, que
teria provado o teorema de Pitágoras (B7, p. 270); Euclides (E7, p. 26); Aristóteles (E7, p.
27), Viète (E7, p. 27; G7, p. 145); Cardano (E7, p. 38) e Pitágoras (Q7, nas Histórias para
gostar de matemática). Além destas, aparecem, caricaturados, Viète (E7, p. 39); Cardano
(E7, p. 115); Arquimedes (J7, p. 122; L7, p. 264) e Pitágoras (K7, p. 27).
Também há fotos (ou fac-similes) de documentos originais: papiro de Rhind (A7, p.
32; B7, p. 51; E7, p. 99 e J7, p. 26); o livro do matemático Robert Recorde (A7, p. 33 e B7,
p. 51); uma placa — de argila — babilônica do século VI a.C. (E7, p. 98); um texto antigo
81
escrito em caracteres egípcios e demóticos (E7, p. 114). Em termos de obras de arte, para
ilustrar os textos os livros trazem um cartaz de Max Bill, sobre o teorema de Pitágoras (A7,
p. 201 e B7, p. 266); um detalhe do afresco Escola de Atenas, de Raphael (B7, p. 270); o
Engenho de rodas, de Leonardo da Vinci (B7, p. 270) e Euclides, numa pintura de Justo de
Gand (E7, p. 151).
Outros materiais utilizados são: fotos — detalhe da mesquita de Córdoba (B7, p.
198); pirâmides (B7, p. 266; E7, p. 150); o Partenon (E7, p. 151); números triangulares e
quadrados (G7, p. 24, P7, p. 9); mesquita dourada, em Bagdad (P7, p. 203); ruínas de um
grande anfiteatro romano em Siracusa (P7, p. 243) —; ilustrações (A7, B7, D7. G7, K7 e
P7); mapas (A7 e K7); tabelas (D7); histórias em quadrinhos (G7 e P7); charges (K7 e L7)
e gráficos (Q7 e S7).
8
a
série
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C
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C .C
C
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Novamente, a maior parte dos textos referentes à história — como nas séries
anteriores — são “textos do autor”. Porém, a 8
a
série é a que mais utiliza fontes
secundárias, apesar destas estarem presentes em apenas dois livros: D8 e L8. As fontes
citadas são: História da Matemática de Boyer. 1974 (D8, p. 70; L8, pp. 13, 36, 52, 60, 86,
97. 207, p. 214); Número: a linguagem da ciência de Dantzig (D8, p. 70); História da
Geometria de Eves, 1992 (D8, pp. 99 e 243) e Dando corda na trigonometria, de Guelli,
1993 (D8, p. 189); Historia de las Matemáticas, de Ribnikov, 1987 (L8, pp. 52. 86);
História concisa das Matemáticas, de Struik, 1989 (L8, p. 36, 97); Mathematical thought
ancient to modern times, de Kline, 1966 (L8. pp. 36, 60, 207); Álgebra moderna –
Estructura y método, de Dolciani, Berman e Freilich, 1967 (L8, pp. 131, 175); A
Matemática de Pitágoras a Newton, de Radice, 1987 (L8, pp. 175, 191) e History of
Mathematics, de Smith, 1995 (L8, p. 215).
82
É também a série que mais utiliza textos originais. São vários textos, entre versões
(traduções) de fragmentos de livros e exercícios (problemas): um texto de Heródoto — o
pai da História —, historiador grego que viveu no século V a.C. (A8, p. 13 e B8, p. 25);
fragmentos do livro Al-jabr, de Al-Khowarizmi (A8, p. 89; B8, p. 119; D8, p. 71 e P8, p.
123); os postulados e axiomas de Os Elementos, de Euclides (A8, p. 129 e B8, p. 159); o
texto de Fermat — já citado no item 1 deste roteiro — escrito nas margens de um livro (A8,
p. 140 e B8, p. 171); um problema do livro Lilavati, de Bhaskara (C8, p. 65); um problema
“que aparece num livro do séc. XII, de autoria do matemático Bhaskara” (L8, p. 180 e N8,
p. 115); um problema atribuído a matemáticos da Índia nos séculos XI e XII (L8, p. 180); o
problema 48 — cálculo aproximado da área de um círculo substituindo-o por um octógono
— do “papiro escrito pelo sacerdote egípcio Ames por volta de 1650 a.C.” (P8, p. 233); um
antigo problema indiano, escrito em forma de verso (K8, p. 159 e L8, p. 58); um fragmento
do livro Introdução à Álgebra, de Leonard Euler (L8, p. 59); um problema indiano escrito
em versos (L8, p. 74); um problema de geometria gravado em uma tabuleta de argila por
um escriba mesopotâmico (L8, p. 225) e um problema do livro Lilavati, de Bhaskara (D8,
p. 69).
Os livros trazem as fotos de Alice, que teria inspirado Lewis Carol a escrever Alice
no País das Maravilhas (A8, p. 114); da Pirâmide de Queóps (B8, p. 198; C8, p.222; E8, p.
149; L8, p. 191); do papiro de Rhind (fac-símile) (B8, p. 55; D8, p. 68; E8, p. 239); de uma
tábua de argila conhecida como mapa babilônico do mundo (E8, p. 58); de uma árvore com
grandes raízes para ilustrar um texto sobre raiz quadrada (J8, p. 20); do Coliseu de Roma
(P8, p. 257); do Palais de la Découverte, em Paris, que tem uma sala onde está gravado,
numa parede circular, o número
π
, determinado pelo matemático Shanks (P8, p. 259), do
matemático Lewis Carrol (A8, p. 114; B8, p. 144). E, ainda, a caricatura de Descartes (A8,
p. 192; C8, p. 164; E8, p. 100); de Tales (E8, p. 148 e Q8, nas Histórias para gostar de
matemática) e de Arquimedes (Q8, nas Histórias para gostar de matemática). A Gravura
de Euclides (B8, p. 31); de Euler (B8, p. 77); de Tales (B8, p. 157); de Fermat (B8, p. 171)
e de Arquimedes (E8, p. 238).
Alguns experimentos históricos são descritos: o método de Tales para medir a altura
da pirâmide (A8, p. 127; B8, p. 158; K8, p. 86; N8, p. 93); o método de Arquimedes para
determinar o valor de
π
(B8, p. 56); o método de Eratóstenes para calcular a ciscunferência
83
da Terra (C8, p. 39; E8, p. 206); o método dos babilônios para resolver equações do 2
o
grau
(A8, p. 88; B8, p. 119; L8, p. 60); o método de Al-khowarizmi para resolver equações do 2
o
grau (A8, p. 89; B8, p. 140; C8, p. 74; L8, p. 52) e o método de completar quadrados (B8,
p. 88). Nas ilustrações aparecem os poliedros de Platão (D8, p. 100); pirâmides (A8, p. 127;
B8, p. 158; D8, p. 188; E8, p. 149; J8, p. 147; K8, p. 86; L8, p. 191; N8, p. 93 e Q8, nas
Histórias para gostar de matemática); método de Al-khowarizmi, para resolver equações
do 2
o
grau (A8, p. 65; B8, p. 140; J8, p. 66); hieróglifos (E8, p. 194); a demonstração do
teorema de Pitágoras (A8, p. 125; B8, p. 213; C8, p. 253; E8, p. 196; J8, p. 164; L8, p. 26);
uma gravura da Universidade de Bolonha (B8, p. 130); escribas egípcios (L8, p. 38); um
mapa do Brasil (fac-símile), feito pelo cartógrafo Pierre Desceliers em 1550 (L8, p. 132).
Algumas obras de arte são utilizadas para ilustrar os textos sobre história: a gravura
cadeira da noiva, desenho que mostra a prova do teorema de Pitágoras que está no livro Os
Elementos, de Euclides e que veiculou na Europa durante a primeira grande guerra (B8, p.
51); e as obras de Antonio Peticov, Imanência da seção áurea e Airuoca Waell, que
mostram a espiral formada por retângulos divididos em seção áurea (B8, p. 212); um
detalhe do afresco Escola de Atenas, de Rafael (B8, p. 227) e o afresco, completo, Escola
de Atenas, de Rafael (L8, p. 36). Além disso, os livros da 8
a
série trazem charges (A8, B8,
C8, J8, K8, L8, N8 e P8); tabelas (B8 e L8); figuras (A8, B8, C8, E8, J8, K8, L8, N8 e P8);
mapas (A8, B8, D8 e E8) e gráficos (A8, B8 e J8).
3. Contexto ao qual a informação histórica é relacionada
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19
O símbolo “—” significa não e o símbolo “×”, sim.
84
Neste item — assim como nos itens 6 e 7, a seguir — fiz a análise levando em conta
as coleções e não os livros individualmente. Isto porque nestes a unidade da coleção
favorece essa análise. O contexto ao qual a informação histórica é relacionada tem cinco
divisões: científico, tecnológico, social, político e religioso. No primeiro contexto —
científico — analisei se a informação histórica estava relacionada com os conhecimentos
científicos e matemáticos disponíveis na época em que ocorreram as invenções ou
descobertas. E, também, se na narração da história, por parte dos autores, existe alguma
preocupação em colocar a história de uma forma que mostre o caráter científico e
epistemológico das invenções ou descobertas, como neste texto de E5: “Por volta de 600
a.C. os matemáticos gregos começaram a sistematizar os conhecimentos geométricos
adquiridos, fazendo com que a Geometria deixasse de ser puramente experimental. Este
trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito principalmente pelo
matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C. e reunido numa obra de 13 volumes,
chamada Os Elementos” (p. 35). Todos os livros que analisei têm essa dimensão muito
patente. E, também, é a dimensão que mais aparece nos textos. Os livros das coleções M e
R só apresentam o caráter científico da matemática.
Para o contexto tecnológico avaliei se a informação histórica tinha relação com a
tecnologia disponível. Para dividir ciência e tecnologia — neste trabalho não faço distinção
entre tecnologia e técnica — me baseei em Thuillier (1994), quando ele diz que “em nossa
sociedade reina uma divisão do trabalho que opõe fortemente a técnica e a ciência, o
engenheiro e o ´sábio`. Da mesma forma, no interior da história existem barreiras muito
nítidas: de um lado a história das técnicas, do outro a história das ciências” (p. 93). E,
deste “púlpito”, fui buscar nos livros textos em que a história (ou o autor contando a
história) faz tal divisão, como, também em E5: “no Egito Antigo, a Geometria era
amplamente utilizada. Os agrimensores usavam-na para medir terrenos, enquanto os
construtores recorriam a ela para fazer edificações. Os egípcios ganharam tanta fama que
os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações da
Geometria” (p. 35), que, como em outros textos de outros livros opõe a geometria prática
dos egípcios e babilônios, por exemplo, à chamada geometria científica dos gregos. Além
disso, também vi a dimensão tecnológica nos textos em que os autores tratavam da
linguagem — vista por mim como ferramenta —, como, por exemplo, o aparecimento dos
85
sinais para as operações ou na evolução da álgebra retórica para a álgebra com a utilização
de símbolos (letras) para a designação das incógnitas.
Ao analisar se os autores relacionavam a informação histórica às condições de vida
e de valores das sociedades, percebidos na época das invenções e descobertas encontrei a
dimensão social, como nos caso da invenção da álgebra, para resolver problemas de
heranças ou do aparecimento dos sinais de mais (+) e menos (–) para facilitar, por exemplo,
os trabalhos contábeis. Nos livros, a dimensão social anda muito próxima às dimensões
científica e tecnológica e, à exceção dos livros da coleção M e R, todos os demais têm as
três primeiras dimensões. Parece-me que os autores querem justificar — mais do que
contextualizar — as invenções e descobertas em termos de uma linha que vai da prática
(tecnológica) a uma organização formal (científica) para atender problemas reais (social).
A dimensão política que deveria me mostrar se o autor faz alguma relação entre a
matemática e a política. Para esta dimensão apenas um livro dá indícios da relação existente
entre política e matemática. É o livro S6, quando fala que “a idéia de porcentagem teve
origem pelo menos no século I a.C., em Roma, quando o imperador Augusto estabeleceu
vários impostos sobre mercadorias vendidas e sobre libertação e venda de escravos” (p.
179). A dimensão religiosa aparece somente em quatro livros (K, L, Q e S) quando
mencionam a sociedade fundada por Pitágoras — os pitagóricos — que teria um caráter
“filosófico-religioso” (S6, p. 147). Os demais livros que mencionam os discípulos de
Pitágoras (A5, A8, B5, B7, B8 e C5) o fazem somente no seu caráter científico. Porém, as
menções à dimensão religiosa dos pitagóricos são apenas ilustrativas, que não permitem
grandes discussões sobre a influência religiosa (ou filosófica) na produção destes
matemáticos.
4. Qualidade do conteúdo histórico
Neste item discutirei o papel da informação no aprendizado da matemática. Este está
dividido em duas dimensões: papel do conteúdo histórico e população alvo. A primeira
avalia a importância: fundamental ou complementar ao aprendizado. A segunda, a quem se
dirige a informação: quando tem status fundamental é dirigida a todos os alunos, se os
autores dão indícios de que a informação tem papel complementar ela é dirigida a
estudantes proeminentes e, finalmente, quando os autores a consideram opcional ou
86
colocam a informação em boxes separados do texto principal é voltada a voluntários.
Analisei este item para cada série em separado.
Alguns livros trazem seções — no meio do texto ou anexos no final dos capítulos ou
unidades — específicas, onde se trata da história da matemática: “Revistinha” (B); “Jornais
e Revistas” (E); “Leitura +” (I); “Pensando no assunto” (K); “A vida e a matemática”, “O
ábaco”, “O caso...”, “Laboratório de...” e “A vida e os matemáticos” (L); “Um toque a
mais (A+)” (P); “Histórias para gostar de matemática” (Q) e “Para saber mais – A
matemática na história” (S). Muitas vezes os autores colocam a informação em boxes com
os títulos: “Curiosidade” (C e O); “Um pouco de história (D) e “Desafio” (M).
5
a
série
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Entre as informações fundamentais estão: os números primos e o crivo de
Eratóstenes (A5, B5 e F5); os sistemas de numeração (E5, F5, I5, K5, L5 e S5); a geometria
(K5 e S5); as frações (L5, O5 e P5) e o sistema cartesiano (L5). As demais informações
históricas da 5
a
série são complementares e dirigidas a voluntários. Muitas vezes a mesma
informação é dada em diferentes livros, mas o tratamento é diferenciado: fundamental para
um e complementar para o outro. Um exemplo disso é o crivo de Eratóstenes, que aparece
em vários livros da série e só é considerado fundamental para os três livros citados. Aqui
neste item vou mencionar somente o que é considerado fundamental, segundo os critérios
explicados anteriormente.
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São informações fundamentais nesta série o sistema cartesiano (A6, B6, L6, M6 e
P6); a descrição do método de Arquimedes determinar o valor do número π (K6); o
problema proposto retirado do papiro de Rhind (L6); os sistemas de numeração (P6) e as
frações (P6). No livro M6 há um problema extraído do livro do matemático hindu
Bhaskara, que é complementar para “Estudantes proeminentes”. O problema esta encerrado
num box com o título “Desafio”. Tanto o problema do papiro de Rhind, quanto o de
Bhaskara estão descritos nas versões originais, no item 2 deste roteiro, visto anteriormente.
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Nos livros da 7
a
série os temas históricos fundamentais são: a linguagem da
matemática (A7 e B7); a história de Gauss, para realizar a soma de uma seqüência numérica
(A7 e B7); o teorema de Pitágoras (A7; B7; G7 e P7); os números primos (G7 e P7); os
números reais (S7); o crivo de Eratóstenes (D7); a determinação do número π (K7); o
sistema cartesiano (K7); os pitagóricos (L7) e a geometria de Euclides (L7). O livro G7
ainda traz como fundamentais dois exercícios: sobre o crivo de Eratóstenes e sobre a
verificação do valor calculado para o número π, por Arquimedes. Os demais temas são
complementares.
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8
a
série
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Esta é a série que mais tem temas de história como fundamentais para o ensino da
matemática que são: os números racionais (A8); os números irracionais (A8 e B8); o
número
π
(A8 e B8); o método de complementar quadrados (A8; B8 e E8); Bhaskara (A8;
B8; C8; E8; J8; K8; N8; P8; Q8 e R8); equações de 2
o
grau (S8); equações da forma x
n
= a
(S8); lógica (A8 e B8); o teorema de Pitágoras (A8; B8; E8 e K8); geometria (A8 e B8);
cálculo de áreas (S8); Tales e a medição da pirâmide (C8; D8; K8 e N8); trigonometria (B8
e S8); a conjectura de Goldbach (A8); a conjectura de Fermat (A8 e B8); coordenadas
cartesianas (A8) e história e aplicações da Estatística (B8).
5. Atividades de aprendizado que lidam com a história da matemática
Há um total de 224 exercícios ou problemas envolvendo a história da matemática nos livros
que analisei. O quadro a seguir dá um resumo destes números e, logo após, mostrarei a
situação por séries. A 5
a
e a 8
a
série são as que mais apresentam estes exercícios. E, como
já mostrei anteriormente
20
a última série é a que possui, proporcionalmente, o maior
número de exercícios que utilizam a história da matemática.
Cada exercício recebe um item — “composição” — de cada uma das três
classificações: Estado das Atividades; Nível das Atividades e Tipo de Atividade. Na
primeira o exercício pode ter o caráter compulsório (C) — todos os alunos devem fazê-los
— ou serem livres (L), dirigidos a alunos voluntários. Para esta primeira classificação optei
por colocar todas as atividades marcadas “para casa”, as colocadas em boxes separados e
aquelas em que os autores davam indícios de que seriam “extras” — para aprender mais ou
para complementar o aprendizado etc. — na categoria dos exercícios livres. O Nível das
20
Ver o Quadro 12, nas SEGUNDAS NOTAS METODOLÓGICAS.
89
Atividades, a segunda classificação, pode ser normal (N) ou de aprofundamento (A). Só
considerei cinco exercícios nesta última categoria: um em M6, marcado como “Desafio”;
três em K8, onde o autor utiliza um ícone nos exercícios mais elaborados e um em N8, na
seção “Superlegal”, que, segundo o autor “são exercícios curiosos que solicitam uma
solução mais criativa”.
A terceira classificação — Tipo de Atividade — tem cinco categorias. A Leitura
Orientada (LO), que consiste em resolver questões a partir da leitura de um texto histórico.
Os exercícios da segunda categoria, Pesquisa Bibliográfica (PB), pedem que as
informações sobre a história da matemática sejam encontradas e apresentadas na forma de
um ensaio ou redação. Analisar dados obtidos por matemáticos no passado é a terceira
categoria: Analisar Dados Históricos (ADH). Coloquei todos aqueles exercícios que
pediam para que os alunos repetissem experimentos históricos em Fazer Experimentos
Históricos (FEH). E, por fim, coloquei os exercícios feitos para memorizar informações na
categoria Outros (O), que foi a mais utilizada. No quadro a seguir mostro a situação geral
por série. Os quatro quadros seguintes são específicos por série.
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A divisão por composição é mostrada no próximo quadro. A maior parte dos
exercícios é de caráter compulsório, em todas as séries. Os números marcados com [*]
referem-se àqueles que são problemas ou exercícios originais (do próprio Bhaskara ou do
papiro de Rhind, por exemplo). Os exercícios estão descritos no item V, nos APÊNDICES.
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6. Consistência interna do livro (com relação às informações históricas)
A consistência interna do livro com relação às informações históricas determina a
homogeneidade ou heterogeneidade da obra. O livro que utiliza a informação histórica da
mesma forma em todos os capítulos e que faz uma integração entre estes a partir destas
92
informações é considerado homogêneo. Caso a maneira de se apresentar a informação
histórica mude, o livro é considerado heterogêneo. Quando a coleção — como escolhi
analisar este item — é considerada heterogênea ela tem subclassificações: poucos capítulos
organizados historicamente; poucos capítulos com seções historicamente organizadas;
seções sobre história da matemática em alguns capítulos; algumas seções de capítulos com
história e capítulos sem informações históricas.
Todos os livros que analisei guardam internamente uma homogeneidade na maneira
de apresentar a matemática: a estrutura interna das coleções está mais detalhada no item II
dos APÊNDICES. Porém, a informação histórica acerca da matemática não é disposta da
mesma maneira. Por isso, nenhuma das coleções é homogênea. Os quadros a seguir
mostrarão a consistência interna dos livros que analisei.
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7. Bibliografia sobre a história da matemática
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93
Alguns livros não têm bibliografia (A, C, I, J, M, N, Q e R). Os livros de história da
matemática mais utilizados pelos autores nas referências bibliográficas são os de Aaboe,
Bell, Boyer, Ifrah e Struik.
Aplicação do Roteiro de Pesquisa aos Artigos da Revista de Consulta – RPM
1. Tipo e organização da informação histórica
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Os 31 artigos trazem os dados biográficos de 26 matemáticos: Hiparco (por volta de
1450 a.C.) (ART11); Pitágoras (por volta de 580 a.C.) (ART34); Apolônio (séc. III a.C.)
(ART31); Heron (séc II a.C) (ART25); Arquimedes (287 – 212 a.C.) (ART19; ART40 e
ART61); Ptolomeu (87 – 165) (ART19); Diofanto (séc. III d.C.) (ART26; ART37 e
ART53); Tsu Ch´ung-Chih (430 – 501) (ART19); Aryabhata (por volta do ano 500)
(ART19); Brahmagupta (por volta do ano 628) (ART19); Bhaskara (1114 – c1185)
(ART19 e ART58); Leonardo de Pisa – Fibonacci (1170 – 1250) (ART8 e ART52);
Copérnico (1473 – 1543) (ART11); Viète (1540 – 1603) (ART3; ART29 e ART58); Kepler
(1571 – 1630) (ART8); Oughtred (1574 – 1660) (ART63); Descartes (1596 – 1650)
(ART40 e ART64); Fermat (1601 – 1665) (ART26; ART42; ART59 e ART64); Newton
(1642 – 1727) (ART40); Jacob Bernoulli (1654 – 1705) (ART40); Jean Bernoulli (1667 –
1748) (ART40); Euler (1707 – 1783) (ART26; ART39; ART40; ART59 e ART63);
Lambert (1728 – 1777) (ART40); Gauss (1777 – 1855) (ART40; ART44 e ART59); Lamé
(1795 – 1870) (ART54) e Dirichlet (1805 – 1859) (ART30). Encontrei a única diferença
significativa nos artigos 8 e 52, enquanto o primeiro dá o ano de 1250 para a morte de
Fibonacci, o segundo escreve 1240, uma diferença de 10 anos.
Poucos artigos trazem as características pessoais ou detalhes da vida dos
matemáticos. Estas características e detalhes podem ser importantes para mostrar o estilo de
vida dos matemáticos, da época em que viveram e as dimensões e influências de suas
produções. Por exemplo, quando se sabe que Leonardo de Pisa “foi educado na África e
95
viajou muito pela Europa e Ásia Menor” (ART8, p. 12 e ART52, p. 5) pode-se fazer uma
ligação com o fato dele ser o responsável pela divulgação — através do Líber Abaci — da
matemática hindu e árabe — principalmente o sistema de numeração — pela Europa. Tales
é apontado como um “rico negociante da cidade jônia de Mileto” (ART34, p. 15), que
viajou muito e que trouxe grandes contribuições à matemática pelo contato com os povos
que visitou. O fato de que Descartes ter se mostrado desde jovem “(...) meditativo,
impressionando seus mestres pela independência e pela insistência em não aceitar sem
reflexão os ensinamentos recebidos” (ART64, p. 9) pode dar indícios das suas
contribuições à matemática, como a sua participação na criação da geometria analítica,
mesmo que não tenha sido “realmente um matemático profissional” (ART64, p. 14).
E, assim como Descartes, outros matemáticos não eram profissionais, tais como
Viète (ART3, p. 18) e Fermat, para quem “a matemática era o seu hobby predileto”
(ART26, p. 8). Gauss é mostrado como “perfeccionista, metódico, circunspecto, um
perfeito contra-exemplo para o tradicional estereótipo do gênio matemático” (ART44, p.
2). Provavelmente o autor do artigo entende que estereótipo do “gênio matemático” tenha
que ter características opostas a estas, o que, a meu ver, também é um estereótipo.
São relatados vários episódios nos artigos que analisei, nenhum deles é anedótico. A
inscrição de Fermat nas margens do livro Arithmetica, de Diofanto — onde o matemático
escreve que a margem era demasiado pequena para conter a demonstração do chamado
último teorema de Fermat — aparece nos artigos 26, p. 8 e 55, p.57; a história de
Arquimedes e a coroa do rei está no artigo 61, p. 13; o episódio envolvendo Gauss e a soma
dos números de 1 a 100 no artigo 44, p. 1 e os dados sobre a vida de Diofanto aparece no
artigo 53, p. 46. Todos estes episódios já haviam aparecido nos livros didáticos que
analisei. Nestes episódios a diferença fica por conta dos dados de Diofanto, que no artigo é
relatado como um problema que aparece na Antologia Grega, do 5
o
ou 6
o
século. Outros
episódios aparecem nos artigos e não nos livros. Um deles refere-se a Descartes, que “em
1649 aceitou um convite da rainha Cristina da Suécia para formar uma Academia de
Ciências em Estocolmo e também para instruí-la em Filosofia. Conta-se que sua aluna, um
tanto excêntrica, marcava as aulas para as quatro horas da madrugada e Descartes, que
nunca teve boa saúde, sucumbiu aos rigores do inverno escandinavo em 1650” (ART64, p.
14) e os outros dois são pedidos de matemáticos para que se marcasse seus túmulos com
96
questões relativas à matemática. O primeiro é de Arquimedes que queria que se colocasse
em sua lápide a esfera inscrita no cilindro, no que, segundo alguns historiadores, teria sido
atendido (ART10). O segundo refere-se ao pedido de Gauss: que se gravasse em seu
túmulo um polígono regular de 17 lados. Mas, “o pedido não pode ser atendido, pois o
escultor encarregado de realizar o trabalho verificou que a figura do polígono se
confundia com a de um círculo”
21
(ART44).
No item Famosos/gênios os artigos também têm suas contribuições: Leonardo de
Pisa “tornou-se famoso por conhecer toda a matemática então acumulada” (ART8, p. 12);
Bhaskara foi um dos mais importantes matemáticos do século 12 (ART58, p. 54); Aristarco
é “o Copérnico da Antiguidade” (ART11, p. 7); Fermat é considerado o “maior matemático
francês do século XVII” (ART26, p. 9); Tales é o “pai da matemática dedutiva” (ART34, p.
16); Arquimedes, Newton e Gauss são considerados “os três maiores matemáticos de todos
os tempos” (ART61, p. 11); Gauss é “o príncipe dos matemáticos” (ART59, p. 11); Jean
Bernoulli, “que considerava a si mesmo, e com justiça, ´o Arquimedes de sua era`”
(ART40, p. 2); Dase era “um calculador prodígio” (ART19, p.5); Descartes é o “pai da
filosofia moderna” (ART64, p. 9) e Diofanto é o “pai da álgebra” (ART53, p. 47). E, por
fim, Euler, “o incomparável príncipe da matemática (...) o mais fecundo de todos os
cientistas” (ART40, p. 3) que em 1737 passa a usar a letra grega
π
para designar a razão
entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, porém, “alguns anos antes o
inglês William Jones propusera a mesma notação, sem muito êxito. Questão de prestígio”
(ART46, p. 19). Além de tudo, como dito acima, Euler tinha prestígio.
Entre a menção e descrição de descobertas ou invenções científicas os artigos —
como eu esperava — são bem mais profícuos que os livros didáticos. São pelo menos dez
menções a invenções ou descobertas: a invenção da geometria (ART1); a existência dos
quadrados mágicos (ART4); a irracionalidade de π, por Lambert e que π é um número
transcendente
22
, por Lindemann (ART19); a geometria grega (ART34); a álgebra
geométrica grega (ART37); a divisão do círculo em n partes com régua e compasso, feita
por Gauss (ART44 e ART59); o cálculo de π (ART46); a prova da conjectura de Fermat —
também chamado de o último teorema de Fermat — por Andrew Wiles (ART55); a
21
Certa vez contei esta história a um grupo de alunos e um deles falou: — “vai ver que é por isso que esse cara [Gauss]
vem assombrar a gente!” Ele se referia à exigência de que aprendessem o método da soma de números de uma PA.
22
Um número transcendente não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais.
97
resolução de equações do 2
o
grau por babilônios, hindus e europeus (ART58). Destas
menções, o artigo 1 traz as diferentes opiniões sobre a invenção da geometria (e da
matemática): Heródoto
23
, historiador grego, entende que tenha origem prática, nas
medições de terra pelos egípcios; Platão — através da sua obra Fedro
24
— dá a ela uma
origem divina e Aristóteles sugere que tenha origem egípcia “como conseqüência da
ascensão de uma classe sacerdotal, que dispunha de tempo suficiente para o estudo” (p. 4).
A concordância dos três está somente na sua no Egito.
As descobertas ou invenções descritas são: o método de Viète para resolução de
equações do 2
o
grau (ART3); a construção de quadrados mágicos (ART4); a construção do
retângulo áureo (ART8); a divisão áurea (ART8 e ART60); a seqüência de Fibonacci
(ART8); a relação entre o cilindro e a esfera, de Arquimedes (ART 10); o método utilizado
por Copérnico para calcular os períodos de revolução dos planetas e sua distância do Sol
(ART11); métodos para a determinação de
π
(ART19); a demonstração da fórmula de
Heron para calcular a área de triângulos (ART25); a demonstração do Pequeno Teorema de
Fermat
25
(ART26); métodos de resolução de equações do 2
o
grau (ART29); prova de
Euclides para a existência de infinitos números primos (ART30); sistema cartesiano
(ART31); a regra da falsa posição (ART36); números amigos (ART42); demonstração da
soma da série de 1 a 100, feita por Gauss (ART44); a resolução de Fibonacci para
k
nnnn
m
111
21
+= (ART52); demonstração do algoritmo de Euclides para o mdc (ART54); o
teorema de Pitágoras (ART56); do método de Arquimedes para estabelecer a falsificação da
coroa do rei (ART61); descrição da criação da linguagem simbólica da matemática
(ART63) e como encontrar geometricamente as raízes de uma equação do 2
o
grau, por
Descartes (ART64).
O artigo 58 — A fórmula é de Bhaskara? — já no seu título questiona a autoria da
referida fórmula. Semelhante a P7 — o único livro didático a contestar a autoria do
matemático indiano — o autor do artigo diz que o hábito de dar este nome à fórmula se
estabeleceu no Brasil por volta de 1960 e que “não se encontra o nome de Bhaskara para
essa fórmula na literatura internacional” (p. 54). E mais, expõe as razões para isso: (a) há
registros de problemas que envolvem equações do 2
o
grau em textos babilônicos de 4 mil
23
Ver item III, nos APÊNDICES.
24
Idem.
25
Se p é um número primo e a um inteiro não divisível por p, então a
p-1
– 1 é múltiplo de p.
98
anos; (b) Bhaskara nasceu no século XII e (c) até o fim do século XVI “não se usava a
fórmula para obter as raízes de uma equação do 2
o
grau, simplesmente porque não se
representavam por letras os coeficientes de uma equação” (p. 54), prática que se inicia com
Viète.
No item Pessoa responsável aparecem os matemáticos: Al-Khowarizmi (ART29);
Andrew Wiles (ART55); Apolônio (ART34); Aristarco (ART11); Arquimedes (ART10;
ART11; ART34 e ART46); Bhaskara (ART3 e ART29); Borel (ART19); Bouger (ART63);
Chu Shih-Chieh (ART29); Dase (ART19); Descartes (ART19; ART29; ART31 e ART42);
Diofanto (ART34); Eratóstenes (ART10; ART30 e ART34); Euclides (ART8; ART19;
ART30; ART34; ART37; ART54 e ART60); Euler (ART19; ART42 e ART46); Fermat
(ART53 e ART55); Garfield (ART56); Gauss (ART61); Gregory (ART19); Hariot
(ART63); Hipacia (ART34); Hiparco (ART34); Horner (ART29); Kepler (ART11);
Lambert (ART19 e ART46); Leibniz (ART19; ART40; ART46 e ART63); Leonardo da
Vinci (ART56); Leonardo de Pisa – Fibonacci (ART54 e ART63); Lindemann (ART19;
ART37 e ART46); Machim (ART19); Newton (ART11 e ART61); Paganini (ART42);
Papus (ART56); Pitágoras (ART8; ART42 e ART56); Polya (ART56); Rahn (ART63);
Recorde (ART63); Shanks (ART19 e ART46); Sharp (ART19); Sridhara (ART29); Tales
(ART1 e ART34); Viète (ART42); Wallis (ART19) e Willian Jones (ART46);
Nos grupos de matemáticos, os pitagóricos aparecem no artigo 34 e os povos (ou
comunidades de matemáticos) são: os árabes (ART29; ART52 e ART63); os babilônios
(ART19; ART46; ART56 e ART58); os chineses (ART4; ART19; ART29; ART34;
ART54 e ART56); os egípcios (ART1; ART19; ART29; ART34; ART36; ART37; ART46;
ART52; ART56 e ART60); os gregos (ART1; ART19; ART29; ART34; ART37; ART56;
ART59 e ART60); hindus (ART19; ART29 e ART56) e os Mesopotâmicos (ART29 e
ART34);
2. Materiais usados para apresentar a informação histórica
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Todos os artigos — à exceção do ART39 — têm equações para apresentar as
informações históricas. Dos matemáticos há gravuras de Viète (ART3); Pitágoras (ART34);
Euler (ART39); Gauss (ART59) e Descartes (ART64). Ilustrações: quadrados mágicos
(ART4); de pirâmides (ART60) e do princípio de Arquimedes (ART61). Fac-símiles: do
quadrado mágico chinês, que data de 2850 a.C.; do papiro de Rhind (ART36) e do original,
de 1637, do Discurso do Método, de Descartes (ART64). Fotos: Partenon e casa na França
(ambos construídos na proporção áurea) (ART8) e da Medalha Fields
26
, que traz no anverso
a efígie de Arquimedes e no reverso a esfera inscrita no cilindro (ART10). Além disso, os
artigos trazem figuras geométricas, gráficos, tabelas e mapas.
Vinte e seis versões originais de textos (ou fragmentos) aparecem nos artigos:
fragmento de Heródoto e de Fedro, de Platão, sobre a invenção da geometria (ART1, p. 4);
original do Líber Abaci, de Fibonacci (ART8, p. 12); comentário de Kepler sobre a
geometria (ART8, p. 14); texto de Plutarco, escritor grego do 1
o
século d.C., sobre
Arquimedes (ART10, p. 11); carta de Arquimedes a Eratóstenes na introdução de O
Método (ART10, p. 14); comentário de Arquimedes em O Método (ART10, p. 17); método
da exaustão descrito no livro 10, de Os Elementos, de Euclides (ART19, p. 2); problema
mesopotâmico e “receita” para resolve-lo; “receita” grega para resolver a equação x
2
– 10x
+ 9 = 0 (ART29, p. 21); problema de Bhaskara e “receita” para resolve-lo (ART29, p. 22);
“receita” de Descartes para resolver equações do tipo x
2
= bx + c
2
(ART29, p. 24);
26
A Medalha Fields é o prêmio de maior prestígio em matemática, concedido aos matemáticos que se destacam pelas suas
pesquisas.
100
problema do papiro de Rhind (ART36, p. 19); problema-desafio da antigüidade (ART36, p.
20); problema formulado pelos matemáticos egípcios há cerca de 400 anos (ART37, p. 31);
inscrição de Fermat à margem da Arithmetica de Diofanto (ART42, p. 14); problema de
Fibonacci, no Liber Abaci (ART52, p. 6); “receita” de Fibonacci — no Liber Abaci — para
transformar o número
n
m
em uma soma de frações com numerador unitário (ART52, p. 7);
problema do livro Antologia Grega, do 5
o
ou 6
o
século, sobre a idade de Diofanto (ART53,
p. 46); manuscrito chinês, datado de mais de mil anos antes de Cristo (ART56, p.14);
equações de Viète (ART63, p. 45); primeira frase do livro Discurso sobre o método para
raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências, de Descartes e duas partes do livro —
páginas 302 e 303 —, que contém instruções detalhadas para resolver equações quadráticas
geometricamente (ART 64, pp. 10, 11, 12 e 13).
Os experimentos históricos apontados nos artigos são: método de Viète para
resolução de equações do 2
o
grau (ART3); Retângulo áureo (ART8); razão áurea (ART8 e
ART 60); seqüência de Fibonacci (ART8); Arquimedes e a relação entre o cilindro e a
esfera (ART10); métodos para determinar o valor de
π
[Arquimedes; Ptolomeu; Aryabhata;
Descartes; John Wallis; Sharp; Machim]; a irracionalidade e a transcendência de
π
(ART19); a demonstração de Heron para cálculo da área de triângulos (ART25);
demonstração do pequeno teorema de Fermat (ART26); métodos para resolução de
equações do 2
o
grau [Egito, Mesopotâmia, Grécia, Índia, Mundo árabe, China e Europa]
(ART29); a prova de Euclides para a existência de infinitos números primos (ART30); a
regra da falsa posição (ART36); a soma da série de 1 a 100, por Gauss (ART44); a
demonstração de Fibonacci para
k
nnnn
m
111
21
+= (ART52); a demonstração do algoritmo de
Euclides para o mdc (ART54); seis demonstrações do teorema de Pitágoras (ART56);
Arquimedes e a coroa do rei (ART61) e a determinação geométrica das raízes da equação
do 2
o
grau por Descartes (ART64). Marquei como fontes secundárias os artigos que têm
bibliografia — mostrados no próximo item —, os demais contam somente com o texto do
autor.
101
3. Bibliografia sobre a história da matemática
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De todos os 31 artigos, 15 (48,4%) não têm bibliografia. Os livros de história da
matemática mais usados pelos autores dos artigos são de Boyer, Eves e Aaboe.
As Diretrizes, os Livros Didáticos e os Artigos da RPM
O Quadro de Ênfase dos Conceitos Científicos Essenciais, das Diretrizes, sugerem aos
professores de Santa Catarina a intensidade (ou ênfase) — [1] Menor intensidade, [2]
Média intensidade e [3] Maior intensidade — que estes devem dar aos conteúdos
ministrados em sala de aula. Grosso modo, representa um roteiro para o professor preparar
suas aulas. E nesse “roteiro” há a sugestão que se procure explorar a produção histórico-
cultural dos conceitos. O Quadro está dividido em cinco grandes conceitos (ou temas):
número, álgebra, geometria, medidas e estatística. Em vista disso, construí alguns quadros
para fazer o cruzamento dos conteúdos que encontrei nos Livros Didáticos e nos Artigos
27
com as sugestões das Diretrizes.
Os primeiros quatro quadros — divididos por séries — fazem o cruzamento entre a
qualidade do conteúdo histórico fundamentais para os livros e os conceitos das Diretrizes.
27
Para os Livros Didáticos utilizei todos os conceitos que defini como fundamentais para todos os alunos, segundo o item
4. Qualidade do conteúdo histórico e todos os exercícios — Compulsórios e Livres — do item 5. Atividades de
aprendizado que lidam com a história da matemática, ambos do Roteiro de Pesquisa. Para os artigos, as informações
do Quadro 9, nas SEGUNDAS NOTAS METODOLÓGICAS.
102
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O quadro seguinte faz o cruzamento dos exercícios que encontrei nos livros
didáticos com os conceitos das Diretrizes.
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103
E, por fim, o último quadro, que faz a distribuição dos artigos da RPM nos
conceitos das Diretrizes.
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Não encontrei artigos ou exercícios sobre estatística e a maior concentração de
ocorrências, em ambos, está no conceito número. Na próxima fase deste trabalho estão as
considerações finais, onde farei a discussão de tudo o que mostrei até agora e, também,
tentarei apontar para novas pesquisas.
104
CONSIDERAÇÕES FINAIS
QUANDO COMECEI ESTE trabalho acreditava que qualquer história era melhor que
nenhuma história. Pensava que o simples fato de dar a conhecer aos alunos alguns aspectos
que revelassem os porquês das coisas — esta era uma das faces da minha definição interna
de história — era essencial para desvendar os mistérios da disciplina e mostrar a face
humana da matemática. Neste sentido, eu usava a história como um elemento
impulsionador para dar uma introdução aos conteúdos e tentar atingir a atenção dos alunos
para temas que, muitas vezes, nada tinham a ver com eles. A história agia como elemento
motivador e só isso. Eu fazia viagens por pontos turísticos.
Ao pesquisar sobre o assunto — o uso da história da matemática no ensino da
disciplina — me dei conta da minha ingenuidade em encarar a história somente como
motivadora — mesmo que ela seja — e como algo que iria despertar, por si só, o gosto dos
alunos. Mesmo no meu entendimento de que a história era uma construção humana, afeita
às vicissitudes de épocas, sociedades e políticas, estes aspectos não entravam nas minhas
falas e planejamentos de aulas. Até porque a história que eu utilizava — aprendida por
conta própria — era desvinculada da “outra” matemática e eu “nem colocava na prova”.
Era muito biográfica e ia mais pelo lado da curiosidade do que pelo da construção de
conhecimentos. Preparava o cenário, mas não participava do desenrolar do roteiro.
E, dessa forma, não havia espaço para controvérsias, para as versões diferentes e —
nem pensar — para as crises enfrentadas pelos matemáticos ou grupos de matemáticos que
faziam a ciência. Internamente, mesmo tendo em conta a importância epistemológica,
cultural e política da história eu me concentrava nos produtos acabados de “gênios”,
homens diferentes dos demais, que realizavam trabalhos solitários e — na minha concepção
da época — imprescindíveis para a humanidade. Eram homens reverenciados. E quando se
reverencia perde-se a capacidade da crítica.
Mas os alunos são muito sábios — já dizia Guimarães Rosa: “mestre não é quem
sempre ensina, mas quem de repente aprende” — e numa dessas minhas incursões na
105
história, como já comentei na justificativa desse trabalho, uma aluna comentou que a
história contada havia despertado o significado do x no meio dos números. Então, a partir
dali, a história passou a ter uma importância maior para mim. Mas eu esbarrava na minha
formação. Os estudos “por conta” tiveram que virar pesquisa, não só da história, mas da
importância dela no contexto escolar e na disciplina da matemática. Pulei de encarar a
história como simples elemento motivador para encarar uma linha de pesquisa que me
desse subsídio para atuar na aquisição dos conhecimentos por parte dos alunos e para
justificar o seu uso em sala de aula.
Convencido da importância da história imagino que posso rebater os que são contra
ela. Se não há tempo para a história e a matemática nos currículos já abarrotados, façamos a
matemática ser contada através de sua história e não separada como tópicos de curiosidade.
Se a única história possível não é a genuína — há uma diferença entre a perspectiva do
matemático e a do historiador —, façamos com que o matemático se torne historiador e isso
é uma prerrogativa dos cursos de formação de professores. Se não há literatura adequada,
vamos investir em pesquisa, em debates e em discussões.
Por causa destas reflexões é que fui pesquisar os livros didáticos e os artigos da
Revista do Professor de matemática (RPM) para saber como e qual história estava
disponível aos professores. Tive uma boa surpresa com a quantidade de história que
encontrei nos livros e nos artigos. Mas, nem tão boa assim quando o pesquisei a qualidade e
distribuição dela, principalmente nos livros.
Os maiores problemas que encontrei serão discutidos a partir daqui. Os livros
didáticos têm uma distribuição da história que deixa lacunas. Muitos conteúdos
28
aparecem
muito mais que outros e alguns nem aparecem. Nos livros didáticos da 5
a
série, por
exemplo, há muito sobre número e geometria e nada de álgebra, medidas e estatística. Já os
artigos têm muito pouco sobre medidas e nada sobre estatística. O professor que utiliza
somente estas fontes para preparar suas aulas não pode utilizar a história nesses temas.
A maioria dos livros e artigos não trazem as fontes que utilizaram, deixando o
professor sem a possibilidade de buscar mais ou de consultar outras diferentes. Quase não
são discutidos erros, crises ou controvérsias nos processos de criação e descoberta da
matemática. Somente um livro discute, por exemplo, que a fórmula de Bhaskara não é do
28
Nesta análise os conteúdos dos livros referem-se àqueles dos Conceitos Científicos Essenciais das Diretrizes —
número, álgebra, geometria, medidas e estatística — tratados como fundamentais nos livros.
106
matemático indiano. Geralmente os livros trazem versões únicas de acontecimentos
matemáticos — um exemplo disso é a invenção da geometria que é sempre apresentada
como tendo origem prática, quando num dos artigos analisados há pelo menos três versões:
de Platão, Heródoto e Ariostóteles. Pouco se fala das condições sociais e políticas da época
em que surgiram os conceitos ou que foram feitas as descobertas ou invenções e não há
ligações entre períodos distintos. Uma das poucas exceções é a determinação do número
π
,
porém as menções de tempo são sempre no sentido linear.
Os textos originais que aparecem nos livros são sempre fragmentados e aparecem
mais para informar (ilustrar) que para formar. As maiores divergências que aparecem são
de datas (principalmente nos dados biográficos dos matemáticos) e de textos (traduções).
Os dados biográficos dos matemáticos são importantes, principalmente se fornecerem
informações quanto à época, num sentido social e político. Mas, os livros se atem mais às
datas. Os exercícios que envolvem a história são pouco explorados. Poderiam ter uma
atuação mais forte no aprendizado, com a discussão de erros e a correspondência deles com
a matemática atual.
Os problemas que me parecem mais sérios nos livros são — na maioria das vezes —
a disposição dos conteúdos sobre história à margem: boxes separados e tratamento de
curiosidade. Parecem que não fazem parte da matemática ensinada, caracterizando o desejo
de somente ilustrar. E, também, a superficialidade com que são tratados, visto que
raramente a formação, a gênese, dos conceitos.
Mas, no geral, os livros têm muita história. Mesmo que faltem alguns conteúdos, o
professor que decidir utilizar a história em sala de aula poderá utilizar os livros analisados e
os artigos. Porém, é imprescindível que este professor — se desejar enveredar pelo
caminho da história — se torne um pesquisador e busque outras fontes. Se ficar somente
com os livros e artigos corre o risco de ter uma história “capenga” e cheia de lacunas.
Chegando ao final deste trabalho mudei muito minha visão sobre a história da
matemática no ensino, mas uma coisa eu continuo pensando: qualquer história é melhor que
nenhuma história, pois quem a usa um dia pára, pensa e pode virar um pesquisador para
melhorar. Porém, os livros didáticos e os artigos da RPM — que foram estudados neste
trabalho —, que estão à disposição do professor não dão conta de toda a história. Os livros
didáticos estão cheios de lacunas, mas representam um bom começo se aliados aos livros de
107
história da matemática e aos paradidáticos. Os artigos da RPM também não abarcam todos
os tópicos, mas têm um material muito bom para se trabalhar com história.
E, pra terminar como comecei — com Guimarães Rosa — lembrei quando
Diadorim disse: “Riobaldo, a colheita é comum, mas o capinar é sozinho”. Assim, espero
ter contribuído para as discussões.
108
APÊNDICES
I – Análise Quantitativa dos Livros Didáticos
5
a
Série – 14 livros didáticos
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123
II – Estrutura Interna dos Livros Didáticos
Os livros foram editados entre os anos de 1991 e de 2002 — M e R em 1991; A em 1994; N e Q em 1995; E
e I em 1998; D, H, K e O em 1999; B e F em 2000; G, J e L em 2001; C, P e S em 2002 — e foram
assinados por 26 autores (17 homens e nove mulheres). Através de indicações dos livros foi possível
estabelecer o grau de formação de 23 dos autores
29
. Destes, 11 são licenciados em matemática; um é bacharel
em matemática; um licenciado em física; um licenciado em ciências com habilitação em matemática; um
bacharel e licenciado em matemática; um bacharel e licenciado em ciências matemáticas; um licenciado e
pós-graduado em matemática; dois licenciados em matemática e mestres em educação matemática; um mestre
em educação matemática; um licenciado em matemática, engenheiro mecânico de produção e mestre em
matemática; um licenciado em matemática, pós-graduado em educação e mestrando em educação; um
licenciado em matemática, jornalista e doutorando em didática da matemática.
As coleções A (1994); C (2002); I (1998); J (2001); M (1991); N (1995); Q (1995) e R (1991), não
têm bibliografia. As coleções E (1998); F (2000); K (1999); L (2001); e S (2002), têm bibliografia o final dos
volumes. A coleção B, 2000, tem uma seção, ao final de todos os volumes, chamada de “Para saber e gostar
mais de Matemática” — onde o autor escreve “preparamos algumas indicações de leitura bem legais.
Aproveite!” (8
a
série, p. 324) — que apresenta uma série de sugestões de livros para os alunos. Os volumes
desta coleção também apresentam referências bibliográficas. Os livros da coleção
D
(1999) trazem uma
bibliografia recomendada e comentada para o aluno, onde recomenda e faz um breve resumo de cada obra
citada. As coleções G (2001) e H (1999) têm sugestões bibliográficas para os alunos. As coleções O (1999) e
P (2002) têm sugestões de leituras para os alunos, onde apresentam livros paradidáticos e, também, uma lista
com referências bibliográficas.
As Coleções
A) – Coleção Matemática atual, 1994.
O autor, Antônio José Lopes Bigode, é licenciado em matemática e jornalista profissional. Os livros são
divididos em unidades e estas em capítulos. Os capítulos trazem textos e os exercícios são denominados de
atividades. Não há atividades de múltipla escolha. Os livros não têm bibliografia.
B) – Coleção Matemática hoje é feita assim, 2000.
O autor é o mesmo da coleção anterior. Esta, porém, traz uma pequena biografia (com foto) do autor e a
informação que teria iniciado o doutorado em Didática da Matemática em 1995. Os livros são divididos em
unidades e estas em capítulos. Os capítulos trazem textos com a teoria e os exercícios são denominados de
atividades. Não há atividades de múltipla escolha. Ao final de cada capítulo há uma lista de exercícios
denominada “Retomando” — que traz exercícios complementares ao capítulo — e um anexo chamado
“Revistinha”, que apresenta curiosidades, histórias de matemáticos e outros pontos que servem para
enriquecer os temas discutidos no capítulo. Ao final, todos os livros têm um glossário e a seção “para saber e
gostar mais de matemática”, que apresenta indicação de livros para os alunos. Todos os livros têm
bibliografia.
C) – Coleção Matemática vida, 2002.
Na página 3 aparece uma pequena biografia (com foto) dos autores: Vicenzo Bongiovanni, licenciado em
matemática, engenheiro mecânico de produção e mestre em matemática; Olímpio Rudinin Vissoto Leite,
licenciado em matemática e José Luiz Tavares Laureano, licenciado em matemática. Os livros são divididos
29
Os livros didáticos Q não têm nome dos autores, a edição é de responsabilidade da Editora Scipione. Os livros R não
apresentam nenhum currículo de seus três autores.
124
em unidades e estas em capítulos. Os capítulos começam com pequenos textos com definições e exemplos. Os
exercícios aparecem após os títulos “Fazendo você aprende”; “Treinando em casa”; “Calculando” e
“Brincando com números”. Ao final de cada unidade existem duas séries de exercícios: “Opcionais da
unidade” e “Exercícios complementares da unidade”. Os livros não têm bibliografia.
D
) – Coleção
Matemática na vida e na escola
, 1999.
As autoras — Ana Lúcia Gravato Bordeaux Rego e Cléa Rubinstein, ambas licenciadas em matemática e
mestras em educação matemática; Elisabeth Maria França Borges, licenciada e pós-graduada em matemática;
Elizabeth Ogliari Marques e Gilda Maria Quitete Portela, licenciadas em matemática — são apresentadas
(através do currículo) no início do livro. Os livros são divididos em unidades. Estas têm um pequeno texto
introdutório e apresentam exercícios. As listas de exercícios têm as seguintes denominações: “Atividades”;
“Exercícios” e “Exercícios complementares”. Cada unidade também tem alguns exercícios chamados
“Desafios”. Ao final do livro há uma “Bibliografia recomendada e comentada para o aluno”.
E) – Coleção A conquista da matemática – nova, 1998.
José Ruy Giovanni, bacharel e licenciado em matemática; Benedito Castrucci, bacharel e licenciado em
ciências matemáticas e José Ruy Giovanni Jr., licenciado em matemática são apresentados no início através
do currículo. Os capítulos, em que se dividem os livros, iniciam com um texto introdutório geral. Depois, as
subdivisões de cada capítulo têm definições e exemplos e exercícios com o título “Fixação”. Ao final de cada
capítulo a seção “Retomando o que aprendeu” apresenta uma série de exercícios e o anexo “Jornais e
Revistas” traz curiosidades que aparecem em publicações impressas e que têm interesse relativo ao capítulo.
Os livros ainda trazem, ao seu final, uma bibliografia.
F) – Coleção Matemática pensar e descobrir: novo, 2000.
José Ruy Giovanni e José Ruy Giovanni Jr. assinam esta coleção. Os livros são divididos em unidades e estas
em capítulos. Após pequenos textos introdutórios, os capítulos apresentam séries de exercícios com os títulos:
“Pense e descubra” e “Vamos resolver”. No meio dos capítulos há também quadros denominados “Desafio”,
que propõem exercícios. Ao final de cada unidade uma lista de exercícios (de múltipla escolha) denominada
“Auto-avaliação” traz exercícios sobre toda a unidade. Os livros terminam trazendo uma bibliografia.
G) – Coleção Matemática, 2001.
O mestre em educação matemática Luiz Márcio Imenes e o bacharel em matemática Marcelo Lellis são os
responsáveis por esta coleção que está dividida em capítulos. Estes estão divididos em itens — que começam
com um pequeno texto introdutório. Após cada texto existe a seção “Conversando sobre o texto”, que faz com
que os alunos produzam pequenos textos sobre o que foi lido. Após esta seção há os “Exercícios” e os
“Exercícios para casa”. Em alguns capítulos há uma seção denominada “Ação”, que convida os alunos a
fazerem construções geométricas ou algébricas para, através da manipulação (modelação) de objetos,
verificarem os tópicos discutidos anteriormente. Ao final dos livros as “Sugestões bibliográficas para o aluno”
trazem indicações de leitura.
H) – Coleção Matemática em movimento, 1999.
O autor, Adilson Longen — licenciado em matemática, pós-graduado em educação e mestrando em educação
— é apresentado através do currículo (com foto). A divisão dos temas se dá por capítulos e as seções
“Aplicando os conhecimentos”; “Matemática em movimento” e “Respondendo questões” aparecem com
exercícios logo após pequenos textos introdutórios. Outras quatro seções — “Para pensar (individual)”; Para
discutir (com a turma)”; “Pesquisando significados” e “Descobrindo os números” trazem questões de pesquisa
em que há a necessidade de que os alunos produzam textos para a resposta. No final dos livros, a seção
“Sugestões de leituras para os alunos”, traz dicas de leituras sobre determinados temas tratados nos capítulos.
125
I) – Coleção Matemática: idéias e desafios, 1998.
Duas autoras — Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga —, ambas licenciadas em matemática, assinam a autoria
desta coleção. Os livros são divididos em capítulos. Os exercícios aparecem com os títulos: “Exercícios”;
“Problemas”; “Exercícios complementares” e “Seção livre”. Nesta última o aluno é convidado a resolver
desafios propostos que têm relação com os assuntos tratados anteriormente no capítulo. Em alguns capítulos
aparece um quadro denominado “Leitura +”, que mostra curiosidades matemáticas. Os livros não apresentam
bibliografia.
J) – Coleção Matemática: idéias e desafios, 2001.
As mesmas autoras da coleção anterior em uma edição “revista e atualizada”. Porém, todos os comentários
feitos para a anterior valem para esta.
K) – Coleção Matemática, 1999.
Walter Spinelli, licenciado em física e Maria Helena Soares de Souza, licenciada em matemática são os
autores desta coleção. Os capítulos, após um texto introdutório, trazem exercícios para serem resolvidos.
Outras seções que aparecem com desafios e problemas são: “Jogo rápido”; “Colocando em questão” e
“Pensando no assunto”. A seção “Jogando com o tema” apresenta jogos para que os alunos possam “brincar”
e aprender através de uma atividade lúdica. Estes jogos estão relacionados com os temas discutidos até a sua
apresentação e são colocados no final de cada capítulo. A bibliografia aparece no final dos livros.
L) – Coleção Matemática: uma aventura do pensamento, 2001.
Oscar Guelli, formado em matemática, assina a autoria desta coleção. Os capítulos que dividem os livros
trazem textos introdutórios com o título “A vida e a matemática”. Os exercícios seguem estes textos. Outras
seções dos livros são: “O ábaco”, uma espécie de “jornal” da matemática, que traz curiosidades sobre a
disciplina; “O caso...”, seção que traz curiosidades e exercícios, como, por exemplo, “O Caso da Figura
Talhada em Pedra” (8
a
série, p. 26), que mostra uma demonstração do teorema de Pitágoras encontrada em
textos hindus; “Jogando com a calculadora”, que propõe que os alunos resolvam problemas utilizando
calculadoras eletrônicas; “Jogando com a matemática”, com desafios lógicos e algébricos; “Laboratório de
...”, seção que traz exercícios, construções geométricas, propostas de pesquisas interdisciplinares,
demonstrações de teoremas etc. E, ainda, a seção “A vida e os matemáticos”, que geralmente fecha o capítulo
contando histórias de matemáticos. Ao final dos livros há um “Banco de exercícios e problemas”, com
exercícios complementares a cada capítulo; uma bibliografia e um índice de assuntos.
M) – Coleção Matemática na medida certa, 1991.
Sobre os autores desta coleção somente aparecem os nomes: José Jakubovic “Jakubo” e Marcelo Lellis. Este
último também é autor da coleção G. A divisão dos livros é por capítulos e nestes, depois de um texto
introdutório, existem “Exercícios”; “Exercícios para casa” e, em certos capítulos, “Desafios”, que são
problemas que exigem mais dos alunos. Os livros não têm bibliografia.
N) – Coleção Matemática na medida certa, 1995.
Os mesmos autores da coleção anterior. Nesta aparece um pequeno currículo coletivo de ambos, mostrando
suas realizações “individualmente, conjuntamente, ou, ainda, na companhia de outros colegas” (p. 1), sem
destacar, porém, as de cada um e nem a sua formação. A coleção está estruturada de forma que cada capítulo
é formado de pequenos tópicos que tem, em geral, a seguinte estrutura: teoria, para ser lida pelos alunos;
Exercícios; Exercícios para casa; Superlegal, que são exercícios “curiosos (...) ou que solicitam uma solução
mais criativa” (p. 4) e Ação, que são sugestões de atividades, jogos, experimentos e trabalhos. Os livros não
têm bibliografia.
126
O) – Coleção Matemática na medida certa, 1999.
Aos dois autores das coleções anteriores junta-se Marília Centurión. Nesta coleção aparece um pequeno
currículo dos autores: Jakubovic e Centurión são licenciados em matemática e Lellis é bacharel em
matemática. Os livros seguem a mesma estrutura dos da coleção N. A bibliografia, colocada ao final de cada
volume, é dividida em três partes: Paradidáticos para o aluno, Bibliografia sugerida para o professor e
Periódicos.
P) – Coleção Matemática para todos, 2002.
Os mesmos autores da coleção G — Imenes e Lellis — assinam esta coleção, que está, a princípio, estruturada
como aquela: divisão em capítulos, que estão divididos em itens. Os itens começam com um pequeno texto
introdutório. Após cada texto existe a seção “Conversando sobre o texto”, que faz com que os alunos
produzam pequenos textos sobre o que foi lido. Após esta seção há os “Problemas e exercícios” e os
“Problemas e exercícios para casa”. Em alguns capítulos há uma seção denominada “Ação”, que convida os
alunos a fazerem construções geométricas ou algébricas para, através da manipulação (modelação) de objetos,
verificarem os tópicos discutidos anteriormente. Nesta coleção, ao final de cada capítulo, há um anexo “Um
toque a mais (A+)”, que tem o objetivo de enriquecer as discussões feitas anteriormente, contar histórias,
curiosidades matemáticas e também propor exercícios e experimentos. Ao final de cada livro aparece a
bibliografia dividida em duas partes: “Sugestões de leitura para o aluno” e “Referências bibliográficas”. Além
disso, os livros trazem, após a bibliografia, “Problemas e exercícios complementares”; “Supertestes para você
avaliar a si mesmo”, que são exercícios de múltipla escolha e um “Dicionário”. O livro da 8
a
série traz, ainda,
a seção “Você e os vestibulinhos”, testes que podem ser usados naquelas escolas que realizam exame de
seleção para os alunos do Ensino Fundamental ingressarem no Ensino Médio.
Q) – Coleção Matemática – Conceitos e Histórias, 1995.
Esta coleção, diferentemente das outras, não tem autores: a editora Scipione é a responsável pela edição. Os
livros estão divididos em capítulos com partes teóricas e exercícios. Ao final de cada capítulo há exercícios
complementares. No final de cada volume há “Histórias para gostar de matemática”, que são textos sobre
matemáticos, descobertas matemáticas e histórias de ficção sobre matemática. No livro da 8
a
série há um
anexo, “Iniciação à estatística”, que introduz os alunos a esta parte da matemática. Os livros não trazem
bibliografia.
R) – Coleção Matemática e realidade, 1991.
Os autores Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado são os responsáveis por esta coleção, que está
dividida em capítulos com partes teóricas e exercícios. Além de não apresentar o currículo dos autores os
livros não trazem bibliografia.
S) – Coleção Matemática, 2002.
Edwaldo Bianchini, o autor desta coleção, é licenciado em ciências, com habilitação em matemática. Os livros
são divididos em capítulos e tem três seções: “Para saber mais”, com assuntos diversos (estatística, geometria,
história da matemática etc.) — esta seção, quando trata de temas relativos à história da matemática, chama-se
“Para saber mais – A matemática na história” —; “Pense mais um pouco”, com exercícios diferenciados para
desenvolver o raciocínio e “Matemática & Jogos”, que contém jogos com regras e estratégias, abordando um
determinado conteúdo matemático. Em cada capítulo, após a teoria, seguem os “Exercícios propostos” e os
“Exercícios complementares”. Ao final de cada capítulo há um bloco de “Testes”, com exercícios de múltipla
escolha, inclusive de vestibulares. O final de cada volume traz um suplemento de consulta, onde estão
reunidas “diversas informações que podem ajudar os alunos a eliminar dúvidas durante a resolução de
exercícios” (p. 3) e, também, a bibliografia.
127
III – Versões (ou traduções) de originais encontrados nos livros didáticos e artigos
Reuni neste anexo as versões (traduções) ou fragmentos de textos originais que aparecem nos livros didáticos
do Ensino Médio e nos artigos da Revista do Professor de Matemática. Algumas vezes encontrei o mesmo
texto em mais de um livro ou artigo, mas as diferenças de construção eram insignificantes para mostrar aqui
as diferentes maneiras como estavam redigidas. Nestes casos optei em citar o texto ou fragmento apenas uma
vez e informar onde elas apareciam em outros livros ou artigos.
Diofante
“E os números podem mostrar — oh, milagre — quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte constituiu sua
formosa infância. E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quando de pêlos cobriu-se o
seu rosto. E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos. Passou-se um
qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de seu filho, que entregou à terra seu corpo, sua
formosa vida, que durou somente a metade da de seu pai. E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo
sobrevivido apenas quatro anos ao descanso de seu filho. Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe
chegou a morte?” (H6, p. 83; L6, p. 110; Q6, nas “Histórias para gostar de matemática”; A7, p. 224; B7, p.
297 e ART53, p. 46).
Fermat
(1) A inscrição de Fermat no livro de Diofante – “Por outro lado, é impossível decompor um cubo em soma
de dois cubos, um biquadrado em uma soma de biquadrados, ou em geral qualquer potência em soma de
duas potências de igual expoente, com exceção do quadrado. Encontrei uma demonstração dessa proposição,
realmente maravilhosa, porém a margem do livro é demasiado estreita para conte-la” (A8, p. 140 e B8, p.
171).
(2) “essa margem é demasiadamente estreita para contê-la” (ART42, p. 14).
Problemas do papiro de Rhind ou egípcios
(1) “Quando ia a Sto. Ives, / encontrei um homem com sete mulheres; / cada mulher tinha sete sacos, / cada
saco tinha sete gatos, / cada gato tinha sete gatinhos. / Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, / quantos iam a
Sto. Ives?” (K5, p 114).
(2) “São sete casas e em cada casa tem sete gatos. Cada gato comeu sete ratos. Se não tivesse morrido, cada
rato teria comido sete espigas de trigo. Cada espiga de trigo produziria sete arrobas de grãos. Quantas
arrobas se salvaram?” (L5, p. 18).
(3) “Uma quantidade, sua metade, todos juntos são 9. Diga-me: qual é a quantidade?” (L6, p. 183).
(4) “Aha mais um quinto de aha dá 12; quanto é aha? (A palavra egípcia aha significa quantidade)” (P6, p.
239).
(5) “Aha mais um sétimo de aha dá 19; quanto é aha?” (P6, p. 242). Este problema, que é o número 24 do
papiro, também aparece em E7 como “um problema geométrico egípcio” e com o texto “Ah, seu inteiro, seu
sétimo fazem dezenove” (p. 114).
(6) Problema 48 — cálculo aproximado da área de um círculo substituindo-o por um octógono — do “papiro
escrito pelo sacerdote egípcio Ames por volta de 1650 a.C.” (P8, p. 233).
(7) “Um montão, seus dois terços, sua metade, todos ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?”
(ART36, p. 19).
(8) Problema formulado pelos matemáticos egípcios há cerca de 400 anos – “Um número, o seu dobro, a sua
terça parte, todos ao juntar-se fazem 10. Diga-me qual é o número?” (ART37, p. 31).
Problemas atribuídos a Bhaskara (ou problemas indianos)
(1) Bhaskara – “Dois namorados tanto se abraçaram que se parte o colar de pérolas da moça. Um terço das
pérolas caiu no chão, um quinto ficou no sofá, um sexto foi achado pela moça e um décimo foi encontrado
pelo moço; seis pérolas ficaram no fio. Quantas pérolas tinha o colar?” (K6, p. 239 e M6, p. 105).
(2) Do livro Lilavati, de Bhaskara – “Diga-me, bela jovem de olhos cintilantes, qual é o número que somado
à sua metade, mais três quartos de seu quociente por 7 e adicionado ao dobro de sua terça parte é igual a
16?” (C8, p. 65).
128
(4) Do livro Lilavati, de Bhaskara – “De um monte de puras flores de lótus, um terço, um quinto e um sexto
foram oferecidos respectivamente para os deuses Siva, Vixnu e ao Sol; um quarto foi dado de presente a
Bhavani. As restantes seis flores foram dadas ao venerável preceptor. Diga-me rapidamente, o número total
de flores” (D8, p. 69).
(5) Problema “que aparece num livro do século XII, do matemático Bhaskara” – “Um pavão está no alto de
uma coluna vertical de 6m de altura, ao pé da qual fica a toca de uma cobra. De repente o pavão vê a cobra,
que se encontra a 18m da toca. A cobra também vê o pavão, e corre para a toca. O pavão faz um vôo em
linha reta e alcança a cobra antes que ela atinja a toca. Pobre cobra! Sabendo-se que o pavão voou a mesma
distância percorrida pela cobra, diga a quantos metros da toca a cobra foi alcançada” (L8, p. 180 e N8, p.
115);
(6) Problema de um livro indiano – “Macaquinhos se divertem / divididos em dois grupos. / Quadrado de seu
oitavo na floresta espairece. / Com roncos alegres, / doze atroam sobre a campina. / Saberás quantos, ao
todo, / são os monos desse bando?” (K8, p. 159) e “Alegravam-se os macacos / divididos em dois bandos: /
sua oitava parte ao quadrado / no bosque brincava. / Com alegres gritos, doze / gritando no campo estão. /
Sabes quantos macacos há / Na manada no total?” (L8, p. 58).
(7) Problema indiano escrito em versos – “Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da
metade do enxame, pousou sobre um jasmim, tendo deixado para trás
9
8
do enxame; apenas uma abelha
voava ao redor de um loto, atraída pelo zumbido de suas amigas que caíra imprudentemente na armadilha da
florzinha de doce fragrância. Quantas abelhas formavam o enxame?” (L8, p. 74).
(8) Problema atribuído a matemáticos da Índia dos séculos XI e XII – “Nas duas margens de um rio crescem
duas palmeiras. A altura de uma é 30 e da outra, 20, e entre os dois troncos há uma distância de 50. Na copa
de cada palmeira há um pássaro. De repente, os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície
do rio, entre as duas palmeiras. Eles partem e alcançam o peixe ao mesmo tempo. Se os pássaros
percorreram a mesma distância, a que distância do tronco da palmeira menor surgiu o peixe?” (L8, p. 180).
(9) Problema de Bhaskara – “Um capital de 100 foi emprestado a uma certa taxa de juro ao ano. Após 1 ano,
o capital foi retirado e o juro obtido foi aplicado durante mais 1 ano. Se o juro total foi de 75, qual foi a taxa
ao ano?” (ART29, p. 22).
(10) “Receita” para resolver o problema de Bhaskara – “Eleve a metade do capital ao quadrado, acrescente o
resultado ao produto dos juros totais pelo capital, extraia a raiz quadrada e diminua a metade do capital, o
que leva à solução procurada” (ART29, p. 22).
Equações de Viète
(1) 5 in A aequalis 25 (A7, p. 52; B7, p. 34).
(2) 2 in A minus 1 aequalis 9 (A7, p. 52; B7, p. 34).
(3) A quadratus aequalis 49 (A7, p. 52; B7, p. 34).
(4) 3C + 2 aequatur 26 (P7, p. 203).
(5)5 in A quad et 9 in A planu minus 5 aequatur 0 (ART63, p. 45).
Os Elementos, de Euclides
(1) Proposição 32, livro I – “se em qualquer triângulo, um dos lados é estendido, o ângulo exterior produzido
é igual à soma dos ângulos interiores opostos e a soma dos três ângulos internos do triângulo é igual a dois
ângulos retos” — (S7, p. 185).
(2) Postulados – 1
o
. “Pode-se traçar uma linha reta de um ponto qualquer a outro ponto qualquer”; 2
o
.
“Pode-se prolongar arbitrariamente um segmento de reta”; 3
o
. “Com qualquer centro e qualquer raio se
descreve um círculo”; 4
o
. “Dois ângulos retos quaisquer são iguais entre si”; 5
o
. “Se uma reta, interceptando
duas outras retas, forma ângulos interiores do mesmo lado menores do que ângulos retos, então as duas
retas, caso prolongadas indefinidamente, se encontram do mesmo lado em que os ângulos são menores que
dois ângulos retos” (A8, p. 129 e B8, p. 159).
(3) Axiomas – I. “Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si”; II. “Se a coisas iguais se juntarem outras
iguais, os todos serão iguais”; III. “Se de coisas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais”; IV.
“Se a coisas desiguais se juntarem coisas iguais, os todos serão iguais”; V. “Se de coisas desiguais se tirarem
coisas iguais, os restos serão desiguais”; VI. “Duas quantidades que se ajustam perfeitamente uma com a
outra são iguais”; VII. “O todo é maior do que qualquer de suas partes” (A8, p. 129 e B8, p. 160).
(4) Método da exaustão descrito no livro 10 – “Dadas duas grandezas distintas, se da maior subtrairmos uma
grandeza maior do que sua metade e do que restar, uma grandeza maior do que sua metade, e se este
129
processo for repetido continuamente, restará alguma grandeza menor do que a menor das duas grandezas
iniciais” (ART19, p. 2).
Heródoto, historiador grego
(1) Sobre a geometria egípcia – “Disseram-me que este rei (Sesóstris) tinha repartido todo o Egito entre os
egípcios, e que tinha dado a cada um uma porção igual e retangular de terra, com a obrigação de pagar por
ano um certo tributo. Se a porção de algum fosse diminuída pelo rio (Nilo), ele que fosse procurar o rei e lhe
expusesse o que tinha acontecido à sua terra, a fim de saber de quanto ela estava diminuída e de só fazer
pagar o tributo conforme o que tivesse ficado de terra. Eu creio que foi daí que nasceu a Geometria e que
depois ela passou aos gregos” (A8, p. 13 e B8, p. 25).
(2) O mesmo teor do anterior, com algumas diferenças de texto – “Esse rei realizou na partilha das terras,
concedendo a cada egípcio uma porção igual, com a condição de lhe ser pago todos os anos um certo tributo;
se o rio carregava alguma parte de alguém, o prejudicado ia procurar o rei e expor-lhe o acontecido. O
soberano enviava agrimensores ao local para determinar a redução sofrida pelo lote, passando o dono a pagar
um tributo proporcional à porção restante.Eis, segundo me parece, a origem da geometria, que teria passado
desse país para a Grécia” (ART1, p.4).
Fragmentos e problemas do livro Al-jabr, de Al-Khowarizmi
(1) Fragmento do prefácio de Al-Khowarizmi para o Al-jabr, onde o autor explicava que desejava ensinar de
maneira fácil os cálculos de que “os homens necessitam em casos de heranças, legados, partições, processos
legais e comércio (...)” (P7, p. 202).
(2) Sobre a álgebra – “Os números que aparecem nos cálculos pela restauração e pela redução são de três
classes: as raízes, os quadrados e os números simples, que não se referem nem asa raízes nem aos quadrados
[...] Um número que pertence a uma destas três classes pode ser igual a um dos números das outras duas
classes, por exemplo: quadrados iguais a raízes; quadrados iguais a números; raízes iguais a números” (A8,
p. 89 e B8, p. 119).
(3) Sobre os três casos possíveis — x
2
+ px = q; x
2
+ q = px e x
2
= px + q — de equações do 2
o
grau – “[...]
estas três espécies de números podem combinar-se entre si e dar lugar a três tipos compostos que são:
quadrados e raízes iguais a números; quadrados e números iguais a raízes; quadrados iguais a raízes e
números” (A8, p. 89).
(4) Problema de Al-Khowarizmi para o primeiro caso — x
2
+ px = q — “Qual é o quadrado que somado a 10
raízes dá o número 39?” (A8, p. 89 e B8, p. 119). Este problema também aparece em P8 com o texto “qual é
o número cujo quadrado somado com seu décuplo resulta em 39?” (p. 123).
(5) Receita para resolver o problema (3) – “Deves tomar a metade do número das raízes, neste caso o 5, e
multiplica-lo por si mesmo; e obténs 25, ao que somas o número 39, com o resultado 64. Toma a raiz
quadrada deste número que é 8, e subtrai a a metade das raízes 5 e obténs 3, que é o valor que se procura”
(A8, p. 89 e B8, p. 119).
(6) Receita para resolver a equação x
2
+21 = 10x – “Deves tomar a metade das raízes, neste caso 5,
multiplica-la por si mesmo; obténs 25, ao que deve subtrair os números, neste caso 21, obtendo 4. Extrai a
raiz quadrada que é 2 e a subtrai do número da metade das raízes que era 5. e obténs 3, que é a solução. Se
desejas podes também somar este valor 2 à metade das raízes que é 5 e obténs 7, que também é a solução”
(A8, pp. 89 e 90; B8, p. 119).
(7) Problema do livro Al-jabr – “Dividir dez em duas partes de modo que a soma dos produtos obtidos,
multiplicando cada parte por si mesma, seja igual a cinqüenta e oito” (D8, p. 71).
Leonard Euler
Fragmento do livro Introdução à Álgebra, de Euler – “Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para uma
feira. Embora uma levasse mais ovos que a outra, as duas receberam a mesma quantia em dinheiro. Uma
delas disse então: — se eu tivesse o mesmo número de ovos que você, eu teria recebido 15 kreuzers. Ao que a
segunda respondeu: — Se eu tivesse o mesmo número de ovos que você, teria recebido
3
20
de kreuzer.
Quantos ovos carregava cada uma?” (L8, p. 59).
130
Mesopotâmia
(1) Problema de geometria gravado em uma tabuleta de argila por um escriba mesopotâmico – “Uni os pontos
médios dos lados de um quadrado de lado 1, obtendo quatro triângulos. Qual a área da superfície formada
por esses triângulos juntos?” (L8, p. 225).
(2) Problema mesopotâmico – “Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870?”
(ART29, p. 21).
(3) “Receita” para resolver o problema mesopotâmico – “Tome a metade de 1 e multiplique por ela mesma.
Some o resultado a 870. Obtém-se um quadrado cujo lado somado à metade de um vai dar o lado do
quadrado procurado” (ART29, p. 21).
Platão
Fedro, de Platão – “Na cidade egípcia de Náucratis, existiu um antigo e famoso deus, cujo nome era Thoth; o
pássaro chamado íbis lhe era consagrado e ele foi inventor de muitas artes, tais como a aritmética, a arte de
calcular, a geometria, a astronomia e os dados, mas sua maior descoberta foi o uso das letras” (ART1, p. 4).
Leonardo de Pisa – Fibonacci
(1) Original do Líber Abaci, de Fibonacci – “Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida
e, a partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-
nascidos, quantos casais existirão ao final de um ano?” (ART8, p. 12).
(2) Fibonacci, no Liber Abaci – “Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir
de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos,
quantos casais existirão ao final de um ano?” (ART52, p. 6).
(3) “Receita de” Fibonacci — no Liber Abaci — para transformar o número
n
m
em uma soma de frações com
numerador unitário – “a regra ... é que você divide o número maior pelo menor; e quando a divisão não é
exata, verifique entre que dois naturais a divisão está. Tome a maior parte, subtraia-a, e conserve o resto ...”
(ART52, p. 7).
Kepler
“A Geometria possui dois grandes tesouros: um é o Teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um
segmento em média e extrema razão. Podemos comparar o primeiro a uma porção de ouro e o segundo a
uma jóia preciosa” (ART8, p. 14).
Plutarco
Texto de Plutarco, escritor grego do 1
o
século d.C. — “A Vida dos Homens Ilustres” — “... entre o muito que
inventou parece-me que o que mais apreciava era a demonstração da proporção que há entre o cilindro e a
esfera nele contida, pelo que pediu a seus parentes que, quando morresse, mandassem colocar sobre sua
sepultura um cilindro contendo uma esfera com uma inscrição da proporção pela qual o que contém excede o
conteúdo” (ART10, p. 11).
Arquimedes
(1) Carta de Arquimedes a Eratóstenes, na introdução de O Método – “Saudações. Enviei-lhe em outra
ocasião alguns teoremas descobertos por mim, meramente enunciados, deixando-lhe a tarefa de descobrir as
demonstrações então omitidas... Vendo em você um dedicado estudioso, de considerável eminência em
Filosofia e um admirador da pesquisa matemática, julguei conveniente escrever-lhe para explicar as
peculiaridades de um certo método pelo qual é possível investigar alguns problemas de Matemática por
meios mecânicos... Certas coisas primeiro se tornaram claras para mim pelo método mecânico, embora
depois tivessem de ser demonstradas pela Geometria, já que sua investigação pelo referido método não
conduzisse a provas aceitáveis. Certamente é mais fácil fazer as demonstrações quando temos previamente
adquirido, pelo método, algum conhecimento das questões do que sem esse conhecimento... Estou convencido
de que ele será valioso para a Matemática, pois pressinto que outros investigadores da atualidade ou do
futuro descobrirão, pelo método aqui descrito, outras proposições que não me ocorreram” (ART10, p. 14).
(2) Comentário de Arquimedes em O Método – “Deste teorema, segundo o qual o volume da esfera é quatro
vezes o do cone tendo por base um círculo máximo da esfera e altura igual ao raio da esfera, eu concebi a
idéia de que a superfície da esfera é quatro vezes a de um de seus círculos máximos; pois, a julgar pelo fato
de que a área do círculo é igual à de um triângulo que tem por base a circunferência e altura igual ao raio,
131
vejo que, do mesmo modo, o volume da esfera é igual ao do cone com base igual à superfície da esfera e
altura igual ao raio” (ART10, p. 17).
Descartes
(1) Para resolver equações do tipo x
2
= bx + c
2
, Descartes usava o seguinte método: “Traça-se um segmento
LM, de comprimento c, e, em L, levanta-se um segmento NL igual a
2
b
e perpendicular a LM. Com centro em
N, construímos um círculo de raio
2
b
e traçamos a reta por M e N que corta o círculo em O e P. Então ma
raiz procurada é o segmento OM” (ART29, p. 24).
(2) Primeira frase do livro Discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências,
de Descartes – “Todo problema de Geometria pode ser facilmente reduzido a tais termos que o conhecimento
de certos comprimentos basta para construí-lo” (ART64, p. 10)
Partes do Livro I do Discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências —
páginas 302 e 303 —, que contém instruções detalhadas para resolver equações quadráticas geometricamente.
(3) “Por exemplo, se eu tenho z
2
= az + b
2
, eu construo o triângulo retângulo NLM com um lado LM, igual a
b, raiz quadrada da quantidade conhecida b
2
, e o outro lado, LN, igual a
2
1
a, a metade da outra quantidade
conhecida que estava multiplicada por z, que eu supunha ser a linha desconhecida. Então, prolongando MN,
a hipotenusa (base) deste triângulo, até O, tal que NO seja igual a NL, o comprimento inteiro OM é a linha z
procurada. Isto se exprime da seguinte maneira:
22
4
1
2
1
baaz ++=
” (ART64, p. 10).
(4) “Mas, se eu tenho y
2
= – ay + b
2
, onde y é a quantidade cujo valor eu desejo, construo o mesmo triângulo
retângulo NLM, e sobre a hipotenusa (base) MN ponho NP igual a NL e o restante PM é y, a raiz procurada.
Então tenho
22
4
1
2
1
baay ++−=
. Da mesma forma, se eu tivesse x
4
= – ax
2
+ b
2
, PM seria x
2
e eu teria
22
4
1
2
1
baax ++−=
e assim para os outros casos. Finalmente, se eu tenho z
2
= az – b
2
, faço NL igual
a
a
2
1
e LM igual a b como antes; então ao invés de ligar os pontos M e N, traço MQR paralela a LN e com
centro em N descrevo um círculo a partir de L que corta MQR nos pontos Q e R. A linha procurada z pode
ser MQ ou MR porque, neste caso, pode ser expressa de duas formas, a saber:
22
4
1
2
1
baaz −+=
e
22
4
1
2
1
baaz −−=
. E se o círculo com centro no ponto N e passando pelo ponto L não corta nem toca a
linha reta MQR, não há raiz alguma para a equação, de modo que podemos dizer que a construção do
problema proposto é impossível” (ART 64, pp. 12 e 13).
Grécia
“Receita” grega para resolver a equação x
2
– 10x + 9 = 0 – “trace o segmento AB = 10. Por P, ponto médio de
AB, levante o segmento perpendicular PE = 3 e, com centro em E e raio PB, trace um arco de circunferência
que corta AB no ponto Q. A raiz desejada será dada pelo comprimento AQ” (ART29, p. 21).
Problema-desafio da Antigüidade
“doze anéis de prata pesam tanto quanto oito anéis de ouro. Se trocarmos um anel de prata por um anel de
ouro a diferença será de 6 tzin. Digam-me, quanto pesa um anel de prata e um anel de ouro?” (ART36, p.
20).
China
Manuscrito chinês, datado de mais de mil anos antes de Cristo, onde se encontra a seguinte informação:
“Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raiz quadrada dessa soma é a
hipotenusa” (ART56, p.14)
132
IV – Evolução da notação decimal
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LDB8, p. 28
133
V – Exercícios envolvendo história da matemática
Os 224 exercícios dos livros que analisei estão descritos — separados pela “composição” — a seguir. Os que
estão marcados com [*] são aqueles que têm a versão (ou tradução) no item III, acima.
+$ 0
2
6
C
N+MBMO !& &
L L %&
1. “Quantos símbolos diferentes os romanos usavam para escrever os números?” (E5, p. 24);
2. “Até quando o sistema romano de numeração foi usado?” (E5, p. 24);
3. “O texto conta como começou o uso de letras na matemática? O que você entendeu sobre isso?” (G6, p.
206);
4. “Explique, com suas palavras, como obter o número
π
” (C8, p. 37);
5. “Qual o valor obtido pelo grego Arquimedes, no século III a.C.?” (C8, p. 37).
+$ 0
2
6
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&
1. “O que é sistema de numeração?” (C5, p. 12);
2. “Como as frações podem ter surgido? Explique com as suas palavras” (P5, p. 108);
3. “É possível supor que os habitantes das cavernas não precisavam dos números no seu dia-a-dia? Por
quê?” (P6, p. 8);
4. “Como alguns estudiosos explicam as marcas no osso de lobo?” (P6, p. 8);
5. “Como você relaciona a criação dos números ao nascimento da agricultura, da pecuária, do comércio e
das cidades?” (P6, p. 8);
6. “Qual a desvantagem de escrever números fazendo marquinhas num pedaço de osso?” (G6, p. 9);
7. “Quem consegue escrever 1005 no sistema egípcio? E no sistema romano?” (G6, p. 9);
8. “Por que não usamos mais nem o sistema egípcio nem o romano?” (G6, p. 9);
9. “O sistema romano obedece a certas regras. Por exemplo: nenhum símbolo pode ser repetido mais do
que três vezes em seguida. Alguém percebeu uma outra regra desse sistema?” (G6, p. 9);
10. “Explique, com suas palavras, a relação de Pitágoras. A que tipo de triângulo ela se refere?” (P7, p.
223);
11. “Por que Bháskara não poderia ter sido o primeiro matemático a resolver equações do 2
o
grau?” (K8, p.
156).
+$ 0
2
6
C
N+MBM8@O !& !"&
!#&
#&
1. Aplicação do crivo de Eratóstenes (F5, p. 126);
2. Aplicação do método de Gauss para soma de seqüências (F5, p. 72);
3. “Pense na soma 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100; a soma de Gauss. Somando das pontas para o meio,
isto é, fazendo 1 + 100, 2 + 99 etc., quanto dá cada soma?” (G6, p. 14);
4. “Alguém pode explicar porque o resultado é sempre este?” (G6, p. 14);
5. “Verificar com a calculadora os resultados de Arquimedes para
π
(
7
22
)” (G7, p. 260);
6. “Suponha que você tenha que determinar a medida (C) do contorno de uma circunferência cujo diâmetro
é 5m. a) 3 (Bíblia); b) 3,16 (egípcios); c)
7
22
(Arquimedes); d)
71
223
(também Arquimedes); e)
113
355
(chineses); f) Compare as medidas. As diferenças são significativas?” (A8, p. 36 e B8, p. 57);
7. “Dê a forma decimal (com auxílio de uma calculadora) das seguintes aproximações de
π
: a)
81
256
; b)
8
25
; c)
7
22
; d)
71
223
; e)
113
355
” (A8, p. 37 e B8, p. 57);
134
8. “Conferir os cálculo de Ahmes (papiro de Rhind: De acordo com o papiro egípcio do escriba Ahmes, a
área de um campo circular de 9 unidades de diâmetro é equivalente à de um quadrado de lados medindo
8 unidades)” (A8, p. 42 e B8, p. 62);
9. Dois exercícios de aplicação da conjectura de Goldbach (A8, p. 140; B8, p. 171);
10. Problema de Fibonacci (A8, p. 189);
11. Exercício sobre o triângulo de Pascal (C8, p. 84).
+$ 0
2
6
C
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%& NKO !"&
#NKO "&
NKO
"&
1. Aplicação do crivo de Eratóstenes (B5, p. 140; G7, p. 28 e P7, p. 9);
2. Aplicação do método da gelosia (grade) — usado pelos hindus para multiplicar dois números —
transmitido aos europeus pelos árabes (F5, p. 74);
3. Um exercício do papiro Ahmes, em que é pedido que o aluno dê a resposta em números egípcios (L5, p.
18) [*];
4. Um exercício do papiro de Rhind (L6, p. 183) [*];
5. Um exercício que pede aos alunos para repetir a soma de todos os números de 1 até 100, como feito por
Gauss (G6, p. 14);
6. “Resolva as equações de Viète
”
(A7, p. 34 e B7, p. 52) [*];
7. “Calcule a raiz quadrada até a 2
a
aproximação. Use como 1
a
aproximação um número inteiro: a)
5
;
b)
11
; c)
17
; d)
5,92
; e)
8,156
”, através de um método utilizado por um “escriba
desconhecido do vale da Mesopotâmia” (L7, p. 24);
8. “Construa um quadrado inscrito numa circunferência e determine a razão entre o perímetro do
quadrado e o diâmetro da circunferência” (A8, p. 36 e B8, p. 57);
9. “Construa um hexágono inscrito numa circunferência e determine a razão entre o perímetro do
quadrado e o diâmetro da circunferência” (A8, p. 36 e B8, p. 57);
10. “A partir do hexágono construído na questão anterior, construa um dodecágono regular. Determine a
razão entre o perímetro do dodecágono e o diâmetro da circunferência” (A8, p. 36 e B8, p. 57);
11. Aplicação da fórmula babilônica
(
)
2
2
2
bb
cx ++=
(A8, p. 90);
12. “Resolva a equação x
2
+ 21 = 10x pela fórmula de Bhaskara e compare os passos da sua solução com as
etapas descritas na receita de Al-kwowarizmi” (A8, p. 91);
13. Exercício para calcular a circunferência da Terra pelo método de Eratóstenes (C8, p. 39);
14. Um exercício do livro Lilavati, de Bhaskara (D8, p.69) [*];
15. Um exercício do livro Al-jabr, de Al-Khowarizmi (D8, p. 70) [*];
16. Quatro exercícios de aplicação do método de Al-Khowarizmi (D8, p. 75);
17. Usando o processo de complemento de quadrados, o aluno é convidado a determinar o conjunto solução
de equações do 2
o
grau (E8, p. 72);
18. Um exercício sobre a duplicação do cubo (L8, p. 46);
19. Um exercício para utilizar o método de Tales e medir a altura de uma árvore (N8, p. 94).
+$ 0
2
6
C
N+MBMO %% "#&
% " &
# "&
&
1. Sistema de numeração egípcia (14 exercícios), romana (49 exercícios) e maia (3 exercícios) (5
a
série);
2. Sistema de numeração egípcia e romana (G6 e P6 – 6
a
série);
3. “Efetuar pelo método de Gauss, a soma de todos os números inteiros compreendidos entre 4 e 16” (A7,
p. 79);
4. “Use o método de Gauss para calcular a soma dos 60 números pares positivos” (A7, p. 79 e B7, p. 71);
5. Dois exercícios de aplicação do teorema de Pitágoras (P7, p. 224);
6. Aplicação da fórmula de Bhaskara (A8, B8, C8, K8, N8, P8, Q8 e R8);
7. Aplicação do método de Tales, utilizado para medir a altura da pirâmide (C8 e J8);
8. Aplicação do método de Al-Khowarizmi, para resolver equações do 2
o
grau (D8)
9. Aplicação do teorema de Pitágoras (E8, J8, K8 e P8);
135
10. “Usando
π
= 3,14, ache o comprimento da circunferência que tem a) 10 m de raio; b) 12 dm de
diâmetro” (C8, p. 37)
11. “Conte os vértices, faces e arestas dos poliedros de Platão” (D8, p. 100).
+$ 0
2
6
C
N+MM9@ O L L L L L L &
1. Construção do retângulo áureo (K8, p. 63).
+$ 0
2
6
C
N+MMO L L L L L L %&
1. Exercício sobre o discriminante da fórmula de Bháskara (K8, p. 157);
2. Aplicação do teorema de Pitágoras (K8, p. 191).
+$ 0
2
6
C
NMBMO L L L L !#&
L L
1. “Diga quantos anos se passaram entre: a) os primeiros estudos de geometria dos gregos e o uso de letras
nas equações; b) a época dos matemáticos árabes e de Viète; c) a época de Viète e a nossa” (G7, p. 145).
+$ 0
2
6
C
NMBMO & &
L L L L
1. “(a) Em que época surgiram as frações? (b) Para que elas foram inventadas?” (P5, p. 109);
2. “(a) Qual a primeira maneira de escrever os números adotada pelos seres humanos? (b) Há cerca de
quantos anos existe o sistema egípcio de numeração? E o romano?” (G6, p. 11).
+$ 0
2
6
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%&
1. “Comprovar, com uma calculadora, se os pares de números descobertos por Paganini (1184 e 1210)
e Fermat (220 e 284) são realmente números amigos” (L5, p. 96);
2. “Com o auxílio da régua e do transferidor, construa o triângulo 3, 4 e 5 utilizado pelos ´estiradores
de cordas`” (S5, p. 232);
3. “Sobre a inscrição no túmulo de Diofanto: Por que é possível concluir que ele tenha chegado a essa
idade (84 anos)?” (A7, p. 225) [*];
4. Aplicação do teorema de Pitágoras (D7, p. 216);
5. Exercício em que o aluno é convidado a “repetir” o problema da coroa falsificada (P7, p. 244);
6. “Experimente o leitor resolver a equação x
2
– x = 870 (somente raiz positiva) pela receita dos
babilônios e pela nossa fórmula” (L8, p. 60);
7. “Usando uma calculadora preencher uma tabela com os valores de
π
de Arquimedes, dos romanos,
dos chineses e de Wallis” (P8, p. 259).
+$ 0
2
6
C
NMBM9@O NKO
& !NKO &
#NKO "&
NKO
"&
1. Um problema do papiro de Rhind (K5, p 114) [*];
2. Dois do papiro de Rhind (P6, pp. 239 e 242) [*];
3. Um problema de Bhaskara — que é apresentado como desafio em M6, p. 105 — (K6, p. 239) [*];
4. “Resolva pelo método da falsa posição a seguinte equação:
63
13
=+
x
x
.” (S6, p. 89);
5. Aplicação do crivo de Eratóstenes (D7, p. 39);
6. Um problema do papiro de Rhind (E7, p. 114) [*];
7. O problema de Arquimedes e a coroa do rei (G7, p. 238);
136
8. “Resolva o problema da herança tentando imitar Al-Khowarizmi. Veja bem, a primeira condição é usar
apenas palavras, não símbolos” (P7, p. 203)
9. Resolver a equação de Viète (P7, p. 203);
10. “Resolva a equação x
2
+ 21 = 10x pela fórmula de Bhaskara e compare os passos da sua solução com as
etapas descritas na receita de Al-kwowarizmi” (B8, p. 119);
11. Um problema do livro Lilavati, de Bhaskara (C8, p. 65) [
*
];
12. Um antigo problema indiano, escrito em forma de verso (K8, p. 159) [*];
13. Resolução de equações do 2
o
grau pelo processo geométrico de Euclides (K8, p. 162);
14. Aplicação do método de Al-Khowarizmi para resolução de equações do 2
o
grau (L8, p. 52);
15. Dois problema indiano antigo (L8, p. 58 e 74) [*];
16. Um problema formulado por Leonard Euler (L8, p. 59) [*];
17. “Com a transformação dos babilônios e a nossa fórmula quadrática, encontre o conjunto solução de
equações do 2
o
grau” (L8, p. 71);
18. Dois exercícios atribuídos a matemáticos da Índia dos séculos XI e XII (L8, p. 180) [*];
19. Um exercício antigo de geometria, encontrado numa tabuleta de argila (L8, p. 225) [*];
20. O problema 48 do papiro de Rhind (P8, p. 233) [*].
+$ 0
2
6
C
NMBMO ! !& $&
!#&
%&
1. Exercício sobre o sistema de numeração egípcia (I5, p. 11);
2. Exercícios sobre o sistema de numeração romana (I5, p. 24 e S5, p. 18);
3. Exercícios sobre o sistema de numeração romana e egípcia (G6, pp. 11 e 12);
4. Exercício de soma de séries, onde é sugerido que se use a estratégia de Gauss (G6, p. 17);
5. “Como dividir 725 moedas de ouro entre meus três filhos de modo que o do meio receba 35 a mais do
que o caçula e o mais velho receba o dobro do do meio?” (G7, p. 216);
6. Aplicação da fórmula de Bhaskara (N8, p. 49 e P8, p. 113).
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1. Um problema de Bhaskara (M6, p. 105) [*];
2. Um problema de Bhaskara (N8, p. 115) [*].
137
VI – Quadro de Ênfase dos Conceitos Científicos Essenciais para o Ensino Fundamental
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ART35. GOUVÊA, Fernando Q. Em busca da “demonstração maravilhosa” de Fermat. RPM 15 –
1989, pp. 14-17.
ART36. GUELLI, Oscar. A regra da falsa posição. RPM 15 – 1989, pp. 18-22.
145
ART37. GUELLI, Oscar. Visualizando as equações. RPM 16 – 1990, pp. 29-35.
ART38. HELLMEINSTER, Ana C. P. Uma aula de Matemática no ano 1000. RPM 42 – 2000, pp. 19-
27.
ART39. LA PENHA, Guilherme M. Editorial (Leonard Euler). RPM 3 – 1983a, p. 1.
ART40. LA PENHA, Guilherme M. Leonardo Euler. RPM 3 – 1983b, pp. 2-4.
ART41.
LA PENHA
, Guilherme M. Euler e a topologia. RPM 3 – 1983c, pp. 12-14.
ART42. LA PENHA, Guilherme M. Euler e a teoria dos números. RPM 4 – 1984, pp. 12-15.
ART43. LEITE, Paulo F. Irrelevâncias (Norbert Wiener). RPM 1 – 1982, pp. 16/17.
ART44. LEITE, Paulo F. Pérolas (Carl Friedrich Gauss). RPM 4 – 1984, pp. 1-3.
ART45. LEITE, Paulo F. Números de Fermat. RPM 7 – 1985, pp. 23-25.
ART46. LIMA, Elon L. O que é o número
π
? RPM 6 – 1985a, pp. 18-20.
ART47. LIMA, Elon L. Sobre a evolução de algumas idéias matemáticas. RPM 6 – 1985b, pp. 1-8.
ART48. LIMA, Elon L. De onde vêm os nomes das funções trigonométricas? E por que o círculo
trigonométrico tem raio igual a 1?. RPM 8 – 1986, pp. 13/14.
ART49. MILIES, César P. A emergência dos números complexos. RPM 24 – 1993, pp. 5-15.
ART50. MILIES, César P. A solução de Tartaglia para a equação do 3º grau. RPM 25 – 1994, pp. 15-
22.
ART51. OLIVA, W. M. A independência do axioma das paralelas e as geometrias não-euclidianas.
RPM 2 – 1983, pp. 28-31.
ART52. PITOMBEIRA, João B. Um problema de Fibonacci. RPM 17 – 1990, pp. 4-9.
ART53. PITOMBEIRA, João B. e LA ROCQUE, G. Uma equação diofantina e suas resoluções. RPM
19 – 1991, pp. 39-47.
ART54. PITOMBEIRA, João B. Euclides, Fibonacci e Lamé. RPM 24 – 1993, pp. 32-40.
ART55. RODRIGUES, Flávio W. Finalmente Fermat descansa em paz. RPM 29 – 1995, p. 27.
ART56. ROSA, Euclides. Mania de Pitágoras. RPM 2 – 1983, pp. 14-17.
ART57. ROSA, Euclides. Como abrir um túnel, se você sabe Geometria. RPM 5 – 1984, pp. 2-5.
ART58. RPM. A fórmula é de Bhaskara? RPM 39 – 1999, p. 54.
ART59. SÁNCHEZ, Jesús A. P. Um dia inesquecível na vida de Gauss. RPM 37 – 1998, pp. 11-13.
ART60. SARAIVA, José C. V. As pirâmides do Egito e a razão áurea. RPM 48 – 2002, pp. 3–6.
ART61. SOUZA, Severino. Arquimedes e a coroa do rei. RPM 9 – 1986, pp. 11-15.
ART62.
SOUZA
, Severino. Será que foi assim? RPM 19 – 1991, pp. 26-28.
ART63. VENTURI, Jacir J. Símbolos e notações matemáticas. RPM 41 – 1999, pp. 45/46.
ART64. WAGNER, Eduardo. Um pouco sobre Descartes. RPM 19 – 1991, pp. 9-14.
LIVROS DIDÁTICOS ANALISADOS
LDA5 – BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática atual, 5
a
série São Paulo: Atual, 1994.
LDA6 – BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática atual, 6
a
série São Paulo: Atual, 1994.
LDA7 – BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática atual, 7
a
série São Paulo: Atual, 1994.
LDA8 – BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática atual, 8
a
série São Paulo: Atual, 1994.
LDB5 – BIGODE, Antônio José Lopes Matemática hoje é feita assim, 5
a
série São Paulo: FTD, 2000.
LDB6 – BIGODE, Antônio José Lopes Matemática hoje é feita assim, 6
a
série São Paulo: FTD, 2000.
LDB7 – BIGODE, Antônio José Lopes Matemática hoje é feita assim, 7
a
série São Paulo: FTD, 2000.
LDB8 – BIGODE, Antônio José Lopes Matemática hoje é feita assim, 8
a
série São Paulo: FTD, 2000.
LDC5 – BONGIOVANNI, Vicenzo [et al.] Matemática vida, 5ª série São Paulo : Ática, 2002.
LDC8 – BONGIOVANNI, Vicenzo [et al.] Matemática vida, 8ª série São Paulo : Ática, 2002.
LDD5 – FRANÇA, Elizabeth [et al.] Matemática na vida e na escola, 5
a
série São Paulo : Ed. do Brasil,
1999.
LDD7 – FRANÇA, Elizabeth [et al.] Matemática na vida e na escola, 7
a
série São Paulo : Ed. do Brasil,
1999.
LDD8 – FRANÇA, Elizabeth [et al.] Matemática na vida e na escola, 8
a
série São Paulo : Ed. do Brasil,
1999.
LDE5 – GIOVANNI, José Ruy [et al.] A conquista da matemática – nova, 5
a
série São Paulo : FTD,
1998.
146
LDE7 – GIOVANNI, José Ruy [et al.] A conquista da matemática – nova, 7
a
série São Paulo : FTD,
1998.
LDE8 – GIOVANNI, José Ruy [et al.] A conquista da matemática – nova, 8
a
série São Paulo : FTD,
1998.
LDF5 – GIOVANNI, José Ruy [et al.] Matemática pensar e descobrir : novo, 5
a
série São Paulo : FTD,
2000.
LDG6 – IMENES, Luis Márcio; LELIS, Marcelo Matemática, 6ª série São Paulo : Scipione, 1997 .
LDG7 – IMENES, Luis Márcio; LELIS, Marcelo Matemática, 7ª série São Paulo : Scipione, 1997.
LDH6 – LOGEN, Adilson Matemática em movimento, 6
a
série São Paulo : Editora do Brasil, 1999.
LDH7 – LOGEN, Adilson Matemática em movimento, 7
a
série São Paulo : Editora do Brasil, 1999.
LDI5 – MORI, Iracema; DULCE, S.Onaga; Matemática: idéias e desafios, 5
a
série São Paulo : Saraiva,
1998. 6
a
ed.
LDJ6 – MORI, Iracema; DULCE, S Onaga; Matemática: idéias e desafios, 6
a
série São Paulo : Saraiva,
2001. 10
a
ed.
LDJ7 – MORI, Iracema; DULCE, S.Onaga; Matemática: idéias e desafios, 7
a
série São Paulo : Saraiva,
2001. 10
a
ed.
LDJ8 – MORI, Iracema; DULCE, S.Onaga; Matemática: idéias e desafios, 8
a
série São Paulo : Saraiva,
2001. 10
a
ed.
LDK5 – SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter Matemática, 5
a
série São Paulo : Ática, 1999.
LDK6 – SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter Matemática, 6
a
série São Paulo : Ática, 1999.
LDK7 – SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter Matemática, 7
a
série São Paulo : Ática, 1999.
LDK8 – SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter Matemática, 8
a
série São Paulo : Ática, 1999.
LDL5 – GUELLI, Oscar Matemática: uma aventura do pensamento, 5
a
série São Paulo : Ática, 2001.
LDL6 – GUELLI, Oscar Matemática: uma aventura do pensamento, 6
a
série São Paulo : Ática, 2001.
LDL7 – GUELLI, Oscar Matemática: uma aventura do pensamento, 7
a
série São Paulo : Ática, 2001.
LDL8 – GUELLI, Oscar Matemática: uma aventura do pensamento, 8
a
série São Paulo : Ática, 2001.
LDM6 – JAKUBOVIC, J. e LELLIS, M. Matemática na medida certa, 6
a
série São Paulo : Scipione,
1991. 3
a
Ed
LDN7 – JAKUBOVIC, José e LELLIS, Marcelo Matemática na medida certa, 7
a
série São Paulo :
Scipione, 1995.
LDN8 – JAKUBOVIC, José e LELLIS, Marcelo Matemática na medida certa, 8
a
série São Paulo :
Scipione, 1995.
LDO5 – JAKUBOVIC, José [et al.] Matemática na medida certa, 5
a
série São Paulo : Scipione, 1999.
LDO7 – JAKUBOVIC, José [et al.] Matemática na medida certa, 7
a
série São Paulo : Scipione, 1999.
LDP5 – IMENES, Luiz M. e LELLIS, Marcelo. Matemática para todos: 5
a
série. São Paulo : Scipione,
2002.
LDP6 – IMENES, Luiz M. e LELLIS, Marcelo. Matemática para todos: 6
a
série. São Paulo : Scipione,
2002.
LDP7 – IMENES, Luiz M. e LELLIS, Marcelo. Matemática para todos: 7
a
série. São Paulo : Scipione,
2002.
LDP8 – IMENES, Luiz M. e LELLIS, Marcelo. Matemática para todos: 8
a
série. São Paulo : Scipione,
2002.
LDQ5 – SCIPIONE. Matemática Scipione – Conceitos e histórias. 5
a
série. São Paulo : Scipione, 1995.
LDQ6 – SCIPIONE. Matemática Scipione – Conceitos e histórias. 6
a
série. São Paulo : Scipione, 1995.
LDQ7 – SCIPIONE. Matemática Scipione – Conceitos e histórias. 7
a
série. São Paulo : Scipione, 1995.
LDQ8 – SCIPIONE. Matemática Scipione – Conceitos e histórias. 8
a
série. São Paulo : Scipione, 1995.
LDR5 – IEZZI, Gelson [et al.]. Matemática e Realidade – 5
a
série. São Paulo : Atual, 1991.
LDR6 – IEZZI, Gelson [et al.]. Matemática e Realidade – 6
a
série. São Paulo : Atual, 1991.
LDR7 – IEZZI, Gelson [et al.]. Matemática e Realidade – 7
a
série. São Paulo : Atual, 1991.
LDR8 – IEZZI, Gelson [et al.]. Matemática e Realidade – 8
a
série. São Paulo : Atual, 1991.
LDS5 – BIANQUINI, Edwaldo. Matemática, 5
a
série. São Paulo : Moderna, 2002. 5
a
Ed.
LDS6 – BIANQUINI, Edwaldo. Matemática, 6
a
série. São Paulo : Moderna, 2002. 5
a
Ed.
LDS7 – BIANQUINI, Edwaldo. Matemática, 7
a
série. São Paulo : Moderna, 2002. 5
a
Ed.
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