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UFSCar - UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ANÁLISE DA PUNÇÃO E FLECHAS EM LAJES MACIÇAS SEM VIGAS DE
CONCRETO ARMADO DE ACORDO COM AS PRESCRIÇÕES DA NBR 6118:2003
Eng°. Antônio Mário Ferreira
São Carlos, 2005
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UFSCar - UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ANÁLISE DA PUNÇÃO E FLECHAS EM LAJES MACIÇAS SEM VIGAS DE
CONCRETO ARMADO DE ACORDO COM AS PRESCRIÇÕES DA NBR 6118:2003
Texto apresentado à Universidade Federal de São Carlos,
Departamento de Engenharia Civil, para obtenção do
título de Mestre em Construção Civil. Área de
concentração: Sistemas Construtivos de Edificações.
Eng°. Antônio Mário Ferreira
Orientador:Prof. Dr. Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho
São Carlos, 2005
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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária da UFSCar
F383ap
Ferreira, Antônio Mário.
Análise da punção e flechas em lajes maciças sem vigas
de concreto armado de acordo com as prescrições da
NBR 6118:2003 / Antônio Mário Ferreira. -- São Carlos :
UFSCar, 2005.
182 p.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2005.
1. Engenharia de estruturas. 2. Lajes sem vigas. 3.
Flecha. 4. Punção. I. Título.
CDD: 624.1 (20
a
)
DEDICATÓRIA
À Glauce e Pablo
Esposa e Filho
i
AGRADECIMENTOS
A “Deus”.
Ao professor Dr. Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho, pela honra em tê-lo
como orientador passando uma abrangente visão aos problemas de Engenharia, e
pela sincera amizade cultivada durante esse período, esperando que perdure.
Aos meus pais Sr. Antônio e Dona Geni, pela constante presença e cobrança.
Aos meus sogros Sr. Valdecir e Dona Nilza, pela compreensão aos
transtornos causados em alguns momentos.
Aos grandes amigos, professores Toseto e Carlos Bocchi, pelo apoio a auxilio
na elaboração deste.
Aos meus irmãos, José Luís e Renato, pelo incentivo e admiração que
demonstraram a esta pesquisa.
A todos meus familiares, pelo apoio demonstrado.
Aos amigos, colegas, professores e funcionários do PPG-CIV.
Ao amigo André e sua esposa Paula, pelo auxilio na correção final do texto.
À Marlene Adame, pelo auxilio na tradução do Abstract.
Enfim a todos aqueles que colaboraram direta e indiretamente para
elaboração deste.
ii
RESUMO
Este trabalho apresenta algumas das prescrições da NBR 6118:2003, com o
objetivo de estudar, analisar e discutir aspectos referentes à determinação de esforços
para a verificação à punção, detalhamento da armadura para combatê-la e aos
deslocamentos verticais (flecha), nos sistemas de lajes-sem-vigas maciças, uma vez
que as mesmas sofreram significativas alterações.
Será feita uma análise comparativa da consideração da não linearidade física
apresentada pelo programa de cálculo estrutural CYPECAD com a feita de acordo
com a NBR 6118:2003, utilizando para isso a analogia de grelha através do programa
GPLAN, como também serão resolvidos alguns exemplos tanto para a determinação
de esforços e armação de combate à punção como para dos deslocamentos verticais
nas lajes-sem-vigas. Finalizando será feito um estudo de caso de um edifício em
lajes-sem-vigas que apresentava problemas de deslocamentos verticais, como
também falhas de projeto no dimensionamento das lajes à punção, assuntos esses
merecedores de uma maior atenção, preocupação e abrangência aos olhos da
NBR 6118:2003.
Especificamente, serão abordados os seguintes assuntos:
• características gerais do sistema;
• métodos de determinação de esforços e dimensionamento à punção;
• verificação de deslocamentos verticais das lajes;
• utilização de programas para determinação de esforços e deslocamentos;
• realização de alguns exemplos e um estudo de caso.
Palavras Chave: Laje sem vigas, punção, flechas
iii
ABSTRACT
This work shows some NBR 6118:2003 prescriptions, intending to study,
analyze and discuss the aspects regarding to the determination of the efforts to check
the punch and the detailed framework to struggle it and the deflection (arrow), in the
systems of flat plates since they had suffered significant changes.
It will be done a comparative analysis of consideration of the non physical
linearity presented by structural calculation program CYPECAD to that one done
according to NBR 6118:2003, using a grill analogy through the GPLAN program to
do that, as it will be also solved some examples to determine the strain and the
framework structure to the punch as to deflection in the flat plates. At last, it will be
done a study of case of a building in solid flat plates that presents deflection
problems, as well as project failures in the dimension of the flat to punch, which
subjects deserve a high attention and concern under the vision and sight of NBR
6118:2003.
Specifically it will be dealt the following subjects:
• General features of the system;
• Methods to determine the strain and dimension to the punch;
• Verification of the deflection of the flat;
• Utilization of the programs to determine the strain and deflection;
• Performance and some examples and a study of the case.
Keywords: flat plates, punch, deflection.
iv
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
1
Considerações iniciais
1
Justificativas
2
Objetivos
3
Planejamento
4
CAPÍTULO 1 6
SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES-SEM-VIGAS 6
1. 1 Histórico 6
1. 2 Conceitos básicos 7
1. 3 Tipologia da laje-sem-vigas 10
1. 4 Vantagens das lajes-sem-vigas 14
1. 5 Desvantagens das lajes-sem-vigas 15
1. 6 Revisão bibliográfica 17
CAPÍTULO 2 24
PUNÇÃO EM LAJE-SEM-VIGAS 24
2. 1 Introdução 24
2. 2 Cálculo das tensões atuantes 29
2.2. 1 Pilar interno, com carregamento simétrico 29
2.2. 2 Pilar interno com efeito de momento fletor em uma das direções 32
2.2. 3 Pilar interno com efeito de momento fletor em duas direções 34
v
2.2. 4 Pilares de borda 35
2.2.4. 1 Pilares de borda quando não agir momento fletor no plano paralelo à
borda livre
35
2.2.4. 2 Pilares de borda quando agir momento fletor no plano paralelo à
borda livre
38
2.2. 5 Pilares de canto 39
2. 3 Cálculo das Tensões Resistentes 42
2.3. 1 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto
na superfície crítica C (na face do pilar)
42
2.3. 2 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto
nas superfícies críticas C’ e C”
43
2.3. 3 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto
na superfície crítica C’ em lajes com armaduras de punção
44
2. 4 Armadura de punção obrigatória 45
2. 5 Armadura de flexão obrigatória (colapso progressivo) 46
2. 6 Perímetro crítico próximo a aberturas nas lajes-sem-vigas 47
2. 7 Detalhamento da armadura de punção 48
CAPÍTULO 3 52
DESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS EM LAJE-SEM-VIGAS
(FLECHAS)
52
3. 1 Introdução 52
3. 2 Deslocamentos 58
3.2. 1 Flecha imediata ou inicial 61
3.2. 2 Flechas finais 62
vi
3. 3 Cálculo das flechas 63
3.3. 1 Estados limites de serviços (ELS) 63
3.3.1 1 Estado limite de deformação excessiva 65
3.3.1 2 Estados limites de vibrações excessivas 68
3.3. 2 Cálculo dos deslocamentos nas lajes-sem-vigas 69
3.3.2. 1 Cálculo dos deslocamentos por meio de procedimento numérico 70
3.3.2. 2 Cálculo dos deslocamentos por meio do processo elástico
aproximado
73
3.3.2. 3 Características da seção do elemento de laje sem vigas trabalhando
no estádio I
77
3.3.2. 4 Características da seção do elemento de laje sem vigas trabalhando
no estádio II
82
3.3.2. 5 Efeito da fissuração 86
3.3.2. 6 Fluência 90
3. 4 Exemplo de aplicação da Analogia de Grelhas e do Cypecad 93
CAPÍTULO 4 98
EXEMPLOS 98
4. 1 Apresentação 98
4.1. 1 Exemplos de verificação à punção 98
4.1.1. 1 Características da laje 102
4.1.1. 2 Verificação nos contornos críticos dos respectivos pilares 105
4.1. 2 Deslocamentos em lajes-sem-vigas 133
4.1.2. 1 Deslocamentos iniciais 133
4.1.2. 2 Cálculo do efeito da fluência 136
vii
4.1.2. 3 Cálculo da flecha total no tempo infinito 137
4.1. 3 Estudo de caso 139
4.1.3. 1 Características do edifício 141
4.1.3. 2 Estudo inicial 147
4.1.3. 3 Cálculo da Punção 152
4.1.3. 4 Verificação da flecha para a laje L2 167
4.1.3.4. 1 Deslocamentos iniciais 168
4.1.3.4. 2 Cálculo dos deslocamentos para as diversas Combinações 168
4.1.3.4. 3 Cálculo do efeito da fluência 169
4.1.3.4. 4 Cálculo da flecha total no tempo infinito 170
CONCLUSÃO 172
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 175
BIBLIOGRAFIA 178
viii
RELAÇÃO DE FIGURAS
Figura 1. 1 Mushroom System 7
Figura 1. 2 Laje (placa) de espessura h constante 8
Figura 1. 3 Efeito da punção em laje-sem-vigas 10
Figura 1. 4 Laje-sem-vigas (flat plate) 11
Figura 1. 5 Laje-sem-vigas aliviada 11
Figura 1. 6 Laje-cogumelo com ábaco ou pastilha 12
Figura 1. 7 Laje-cogumelo com captéis 12
Figura 1. 8 Vista em cortes dos diversos tipos de lajes-sem-vigas (SOUZA,
1998)
13
Figura 1. 9 Laje convencional (“two-way slab”) 13
Figura 1. 10 Detalhe de estribos verticais e a 45
0
21
Figura 2. 1 Diagrama de esforços em um pórtico virtual de uma estrutura em
laje-sem-viga
24
Figura 2. 2 Equilíbrio no nó extremo “E” e no nó interno “I” 25
Figura 2. 3 Perímetro crítico em pilares internos de borda e de canto 27
Figura 2. 4 Determinação da altura “d”, F
sd
e de M
sd
29
Figura 2. 5 Distância da face do pilar até última linha de conectores 30
Figura 2. 6 Perímetro crítico para pilares de seção circular e para alguns
casos especiais (reentrância)
31
Figura 2. 7 Dimensões do pilar com relação a sua excentricidade 32
Figura 2. 8 Troca das dimensões C
1
e C
2
, para o cálculo M
sd
33
ix
Figura 2. 9 Perímetro crítico e perímetro crítico reduzido em pilares de
borda
35
Figura 2. 10 Excentricidade do perímetro crítico reduzido para o contorno
C’, em pilares de borda
36
Figura 2. 11 Perímetro crítico reduzido, excentricidade, situações de
consideração de momentos para cálculo de pilares de canto.
39
Figura 2. 12 Definição da região para cálculo de ρ
x
e ρ
y
, e da altura útil “d” 43
Figura 2. 13 Contorno paralelo a C’ com armadura total A
sw
44
Figura 2. 14 Armadura contra colapso progressivo 46
Figura 2. 15 Perímetro crítico junto à abertura na laje 46
Figura 2. 16 Detalhamento da armadura de punção vista em planta 47
Figura 2. 17 Armadura de punção vista em corte 48
Figura 2. 18 Armadura de punção tipo pino 49
Figura 2. 19 Armadura de punção tipo estribos 50
Figura 2. 20 Armadura de punção com armadura de montagem em vigas
cruzadas
50
Figura 3. 1 Seção de pilares alongados na direção do maior vão 54
Figura 3. 2 Deslocamentos provenientes de recalque no solo 55
Figura 3. 3 Sistema de lajes, formas e escoras em edifícios de vários
pavimentos (SBAROUNIS apud FIGUEIREDO FILHO, 1989)
56
Figura 3. 4 Elemento, isostático, sob ação de serviço trabalhando nos dois
estádios (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2004)
64
Figura 3. 5 Vão efetivo 68
Figura 3. 6 Cálculo dos deslocamentos em laje-sem-vigas 75
Figura 3. 7 Processo dos pórticos múltiplos 76
x
Figura 3. 8 Elemento de seção transversal retangular 79
Figura 3. 9 Seção transversal retangular no estádio II puro 81
Figura 3. 10 Tensões, forças e deformações em uma seção qualquer no
estádio II
82
Figura 3. 11 Seção transversal em forma de "T" no estádio II puro. 84
Figura 3. 12 Caso 1 (arq. CYPECAD e malha do GPLAN3) 93
Figura 3. 13 Caso 2 (arq. CYPECAD e malha do GPLAN3)
94
Figura 4. 1 Planta baixa 99
Figura 4. 2 Perspectiva isométrica 99
Figura 4. 3 M
sy
– isovalores (carregamento permanente) 101
Figura 4. 4 M
sx
– isovalores (carregamento permanente) 102
Figura 4. 5 Piso A1; As
x
inferior 103
Figura 4. 6 Piso A1; As
x
superior 103
Figura 4. 7 Piso A1; As
y
inferior 104
Figura 4. 8 Piso A1; As
y
superior 104
Figura 4. 9 Arranjo da armadura de punção para o pilar P5 108
Figura 4. 10 Arranjo da armadura de punção para o pilar P4 115
Figura 4. 11 Arranjo da armadura de punção para o pilar P2 122
Figura 4. 12 Arranjo da armadura de punção para o pilar P4 129
Figura 4. 13 Isovalores dos deslocamentos referentes à ação permanente 133
Figura 4. 14 Isovalores dos deslocamentos referentes à ação variável 134
Figura 4. 15 Malha montada pelo CYPECAD (2003) 134
Figura 4. 16 Planta Baixa do pavimento tipo do edifício em estudo 142
Figura 4. 17 Corte AA (seção longitudinal) 143
xi
Figura 4. 18 Corte BB (seção transversal) 144
Figura 4. 19 Planta de forma do projeto inicial (Pilares / Vigas / Lajes) 145
Figura 4. 20 Planta de cargas 146
Figura 4. 21 Malha de representação da coordenada de deslocamentos
máximos e armadura de punção
151
Figura 4. 22 Equilíbrio de esforços no pilar P5 155
Figura 4. 23 Determinação do coeficiente K para pilar P5 159
Figura 4. 24 Detalhamento da armadura de punção no pilar P5 162
Figura 4. 25 Determinação do coeficiente K para o pilar P11 164
Figura 4. 26 Detalhamento da armadura de punção no pilar P11 167
xii
RELAÇÃO DE TABELAS
Tabela 2. 1 Perímetros críticos 29
Tabela 2. 2 Valores do coeficiente K (tabela 19.2 da NBR 6118:2003) 31
Tabela 2. 3 Expressões de W
p
para pilares internos de seção retangular 33
Tabela 2. 4 Perímetros críticos 34
Tabela 2. 5 Excentricidade dos perímetros críticos reduzidos para pilares de
borda de seção retangular
36
Tabela 2. 6 Módulo de resistência plástica para pilares de borda de seção
retangular sem momento paralelo à borda livre
37
Tabela 2. 7 Módulo de resistência plástica para pilares de borda de seção
retangular com momento paralelo à borda livre
38
Tabela 2. 8 Perímetros críticos 40
Tabela 2. 9 Excentricidade dos perímetros críticos reduzidos para pilares de
canto de seção retangular
40
Tabela 2. 10 Módulo de resistência plástica para pilares de canto de seção
retangular com momento perpendicular a uma borda
41
Tabela 3. 1 Valores do coeficiente γ
f2
(Tabela 11.2 da NBR 6118:2003) 59
Tabela 3. 2 Limites para deslocamentos (tabela 13.2 da NBR 6118:2003) 65
Tabela 3. 3 Limites para deslocamentos (tabela 13.2 da NBR 6118:2003) 66
Tabela 3. 4 Limites para deslocamentos (tabela 13.2 da NBR 6118:2003) 67
Tabela 3. 5 Características mecânicas do concreto 72
Tabela 3. 6 Características geométricas de seções retangulares no estádio I,
sem a presença de armadura
80
Tabela 3. 7 Características geométricas de seções retangulares no
estádio I, com a presença de armaduras.
80
xiii
Tabela 3. 8 Valores do coeficiente ξ em função do tempo
(tabela 17.1 da NBR 6118:2003)
91
Tabela 3. 9 Apresentação dos resultados dos exemplos calculados 96
Tabela 4. 1 Esforços nos pilares 101
Tabela 4. 2 Deslocamentos máximos por hipótese (laje piso da academia) 135
Tabela 4. 3 Deslocamentos e limites de aceitabilidade sensorial 136
Tabela 4. 4 Valores de deslocamentos para diferentes concretos
(NBR 6118:1980 e NBR 6118:2003)
148
Tabela 4. 5 Carregamento proveniente do peso próprio, nos pilares P5 e P11
151
Tabela 4. 6 Esforços nos pilares P5 e P11 para o estudo de caso (laje 14cm)
153
Tabela 4. 7 Equilíbrio dos esforços e suas combinações 156
Tabela 4. 8 Esforços para verificação da punção 157
Tabela 4. 9 Deslocamentos por hipótese (laje L2 estudo de caso) 168
Tabela 4. 10 Deslocamentos conforme combinação (laje estudo de caso) 169
xiv
RELAÇÃO DE FOTOS
Foto 4. 1 Deslocamento na primeira laje do estudo de caso (vista pelas trinas
e fissuras)
139
Foto 4. 2 Deslocamento na primeira laje do estudo de caso (vista pela régua)
140
Foto 4. 3 Detalhe da espessura inicial das lajes. 140
1
INTRODUÇÃO
Considerações iniciais
Com os avanços tecnológicos e a necessidade cada vez maior de se conseguir
meios e métodos construtivos em que seja possível conciliar segurança, rapidez,
economia, qualidade e durabilidade, o homem vem sempre desenvolvendo novas
técnicas e métodos construtivos. Essa evolução pode ser constatada pelo fato de que
muitas situações existentes hoje em dia, tanto em termos estruturais, de materiais e
de cálculo, são diferentes das que ocorriam no passado, ou que nem mesmo existiam,
tais como:
• lajes-sem-vigas (com e sem capitéis) com momentos fletores e forças
cortantes de grande magnitude na ligação laje pilar;
• elementos sujeitos a grandes variações de temperatura (como, por exemplo,
as usinas hidrelétricas, termelétricas e nucleares);
• concreto protendido com aderência inicial, posterior e, mais recentemente,
sem aderência, com as cordoalhas engraxadas;
• concretos especiais, tais como: com alta resistência inicial, de elevada
resistência e durabilidade;
• aços de alta resistência, principalmente, para concreto protendido;
• aditivos das mais variadas naturezas e finalidades para melhoria da qualidade
e aplicabilidade dos concretos;
• sistemas de cura de grande eficiência;
• sistemas estruturais que vêm sendo cada vez mais empregados no Brasil,
como, por exemplo, a pré-fabricação, industrializada ou não;
• disponibilidade de computadores de alta capacidade e programas de cálculo
que possibilitam análises de alternativas e cálculos mais corretos, complexos
e precisos.
2
Sob esse aspecto, os pavimentos de edifícios têm também apresentado
crescente evolução, tanto no que se refere ao sistema estrutural quanto aos métodos e
meios de cálculo. Basta relacionar alguns dos diversos tipos de pavimentos hoje
disponíveis para executar uma edificação: lajes maciças, lajes nervuradas, lajes com
vigotas pré-moldadas, lajes alveolares, lajes protendidas, lajes lisas e cogumelo,
sendo este último um sistema estrutural no qual as lajes estão diretamente apoiadas e
rigidamente ligadas aos pilares. O sistema de lajes-cogumelo, surgido em 1905 com
a iniciativa pioneira de “C. A. P. TURNER” (MELGES, 2001), foi utilizado para
garantir a segurança e diminuir as tensões de cisalhamento nas ligações dessas lajes
com os pilares, usando capitéis e “drop panels”. Embora tenham a mesma função, de
acordo com Ghosh (1983), capitel é o aumento da seção transversal do pilar próximo
à sua ligação com a laje, ao passo que “drop panel” é o aumento da espessura da laje
nessa região.
Quanto aos métodos de cálculo, a evolução também foi grande, passando do
cálculo manual com a solução da equação diferencial das placas (só possível para
poucos casos), com a solução da equação por meio de séries, normalmente com a
ajuda de tabelas, até os métodos mais modernos utilizados atualmente (diferenças
finitas, analogia de grelha, elementos finitos, elementos de contorno, etc.), cuja
possibilidade de uso se deve ao grande avanço ocorrido na área computacional.
Além disso, as lajes são os componentes básicos das estruturas, pois são elas
que primeiro recebem as cargas para depois transferi-las aos demais elementos do
sistema. Como as lajes-sem-vigas vêm ganhando uma considerável fatia na
construção civil, este trabalho está direcionado ao estudo de dois tópicos de extrema
importância na elaboração do projeto desse sistema: a punção e os deslocamentos
verticais, uma vez que esses dois aspectos sofreram significativas modificações e
aprofundamentos na NBR 6118:2003.
Justificativas
Atualmente, existem diversas soluções para se executar pavimentos de
edificações e é possível afirmar que as lajes-sem-vigas têm apresentado um
considerável crescimento, com a evolução dos já tradicionais métodos e o
3
surgimento de novas alternativas de acordo com as recomendações da
NBR 6118:2003. Diante dessas várias possibilidades, sempre existirão dúvidas
quanto ao seu comportamento, possibilidades de utilização, características e
situações favoráveis para seu melhor aproveitamento.
Outro fator que justifica uma abordagem desse assunto é a existência de
diversos métodos e programas de cálculo, o que torna, muitas vezes, difícil decidir
qual método ou programa utilizar.
Justifica também o estudo, a crescente importância (totalmente pertinente)
que se tem dado à análise não linear, principalmente, na verificação do estado limite
de deslocamentos excessivos.
Finalmente, a entrada em vigor da NBR 6118:2003 motiva a análise das
alterações por ela introduzidas na verificação à punção e deslocamentos para as lajes-
sem-vigas.
Objetivos
Com o grande crescimento no emprego do sistema de lajes-sem-vigas na
construção civil em nosso país e sabendo-se que para esse tipo de laje a maior
preocupação para os projetistas está na verificação da punção e dos deslocamentos, o
principal objetivo deste trabalho é estudar e analisar as principais alterações impostas
pela NBR 6118:2003.
De um modo geral, como principais objetivos do trabalho, podem ser
relacionados:
a) apresentar as alterações mais significativas impostas pela NBR 6118:2003
referentes aos seguintes assuntos:
• verificação da punção, soluções, cálculo e detalhamento de
armadura transversal;
• estimativa e verificação de deslocamentos da laje, com a
consideração da não linearidade, avaliando os efeitos da fissuração
4
e fluência do concreto;
b) apresentar os principais aspectos referentes à punção e deslocamentos nas
lajes-sem-vigas, inclusive destacando os principais experimentos já
realizados por pesquisadores;
c) efetuar o estudo de caso de um edifício em lajes-sem-vigas (com vigas de
borda), com a análise do projeto e propostas de alternativas e soluções
para as deficiências encontradas. Para isso, será empregado o programa de
cálculo estrutural CYPECAD versão 2003.2.i com registro n° 17.402
(MULTIPLUS, 2003), analisando os resultados (esforços e
deslocamentos) por ele apresentado.
Planejamento
O presente trabalho divide-se em quatro capítulos:
No início, é apresentada uma introdução ao trabalho, fazendo algumas
considerações iniciais enfocando o sistema de lajes-sem-vigas com relação aos
grandes avanços tecnológicos; justificativas para a realização deste trabalho; os
objetivos e seu planejamento.
No capítulo 1 faz-se uma apresentação dos sistemas estruturais de lajes-sem-
vigas, composto por um histórico, conceitos básicos do sistema e pesquisa
bibliográfica de acordo com a evolução dos estudos e experimentos, até alguns
trabalhos mais recentes.
O segundo capítulo aborda o problema da punção, enfocando os métodos de
cálculo, armaduras de combate à punção, detalhamentos e comentários.
Os deslocamentos das lajes, indicando como considerar a análise não linear,
com os efeitos da fissuração e fluência do concreto, nas verificações do estado limite
de serviço, serão abordados no capítulo 3.
Dessa forma, o quarto capítulo dedica-se à apresentação de alguns exemplos,
utilizando o programa CYPECAD (2003), e a um estudo de caso com análise do
projeto e acompanhamento de algumas das etapas de armação e concretagem da laje.
5
Por fim, apresentam-se as conclusões e considerações a que se chegou com
esta pesquisa.
6
CAPÍTULO 1
SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES-SEM-VIGAS
1. 1 Histórico
No início do século as lajes-sem-vigas, também chamadas de lajes-cogumelo,
eram patenteadas, chegando a existir em grande número, com uma maior
concentração nos EUA, onde as mesmas eram diferenciadas umas das outras apenas
por alguns detalhes de forma e armação. Por essa razão, dificilmente se conseguia
executar esse sistema sem infringir algumas dessas patentes.
A patente mais antiga foi requerida por C.A.P. Turner, denominada
MUSHROOM SYSTEM (figura 1.1), segundo SOUZA (1998).
Nos dias atuais, essas patentes já expiraram e as lajes tornaram-se de domínio
público. Com isso, o sistema passou a ter livre utilização, mas, em virtude de
diversos problemas ocorridos com seu emprego no passado, sua utilização não
conseguiu, inicialmente, ganhar mercado ou competir com os métodos tradicionais.
Os problemas acontecidos no passado referem-se ao caso de acidentes fatais
como, por exemplo, do desabamento do PREST-O-LITE BUILDING, em
Indianápolis, Indiana, em dezembro de 1911, que causou a morte de nove pessoas e
deixou outras vinte gravemente feridas (CASTELO BRANCO,1989).
Atualmente, esse tipo de laje vem ganhando maior confiabilidade e
aceitabilidade entre os usuários e construtores, em virtude de alguns fatores, tais
como:
• emprego da informática para o cálculo dos esforços e deslocamentos; além
disso, alguns aspectos que dificultavam sua utilização estão sendo mais
estudados e pesquisados;
• o emprego de materiais com qualidade superior (concreto e aço com maiores
resistências);
• mão-de-obra especializada e treinada.
7
L
Figura 1. 1 Mushroom System (SOUZA, 1998)
1. 2 Conceitos básicos
De acordo com a NBR 6118:2003, item 14.7.8, lajes-cogumelo são lajes
apoiadas diretamente nos pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são as apoiadas
nos pilares sem capitéis.
Será adotado neste trabalho, como forma de diferenciação dessas lajes, a
seguinte nomenclatura:
Lajes-sem-vigas, para o caso de lajes lisas (flat plates em inglês);
Lajes-cogumelo, para as lajes que contenham algum tipo de engrossamento nos
apoios, tanto nos pilares quanto nas lajes (flat slab em inglês);
Laje convencional, para as lajes que se apóiam em vigas ou paredes.
As lajes (placas de concreto armado) são estruturas planas bidimensionais,
nas quais a espessura h é muito menor que as outras duas dimensões, sob ações
predominantemente transversais (normais ao seu plano médio), conforme indicado
na figura 1.2.
8
h
Figura 1. 2 Laje (placa) de espessura h constante
Em estruturas convencionais, do tipo laje/viga/pilar, as lajes, geralmente
horizontais, têm como função fundamental transmitir os carregamentos provenientes
de seu peso próprio, de sobrecargas de utilização, peso de pisos e revestimentos,
paredes colocadas diretamente sobre as lajes e outras para as vigas nas quais se
apóiam e destas para os pilares.
Elas também têm outras funções importantes, como auxiliar na garantia do
contraventamento das estruturas, funcionando como diafragmas (chapas horizontais
infinitamente rígidas no seu plano) que distribuem as cargas horizontais atuantes
entre as estruturas de contraventamento (pórticos), promovendo a estabilidade global
da estrutura. Também as lajes maciças, quando construídas monoliticamente com as
vigas, podem ter a região adjacente a elas como fazendo parte das mesmas (largura
colaborante), aumentando, assim, a seção transversal e a rigidez das vigas, que
passam a ter a forma de um T ou um L invertido.
São muitas as possibilidades de classificação das lajes, variando entre os
diversos autores, mas essencialmente sem grandes diferenças. Uma classificação
possível é dada a seguir, por diferentes critérios:
a) Quanto à sua forma:
• poligonais (retangulares, quadradas, triangulares, etc.);
• elípticas, circulares, anelares;
• esconsas (oblíqua / inclinada), etc.
b) Quanto à situação estática e de apoios:
• contínuas;
9
• isoladas;
• simplesmente apoiadas;
• engastadas (total ou parcialmente);
• apoiadas em vigas (apoios deslocáveis) ou sobre paredes (apoios
indeslocáveis);
• apoiadas discretamente sobre pilares (lajes-sem-vigas, lajes-cogumelo);
• apoiadas diretamente no solo (radieres).
c) Quanto à sua natureza:
• lajes maciças: constituídas por uma placa maciça de concreto armado ou
protendido;
• lajes nervuradas: são lajes em que a zona de tração é constituída por nervuras,
em que são concentradas as armaduras de tração e, obrigatoriamente,
possuem uma mesa de concreto na região comprimida (no caso de momentos
positivos); entre as nervuras dessas lajes pode ser colocado material inerte,
sem função estrutural;
• lajes aliviadas: são lajes do tipo nervuradas ou alveolares com vazios
internos;
• lajes pré-fabricadas: são lajes que podem ser compostas por vigotas (tipo
trilho e treliça) e lajes em painéis do tipo π e alveolares;
• lajes protendidas: são lajes com armadura ativa, com aderência inicial ou
posterior.
d) Quanto ao comportamento estrutural:
• armadas em uma só direção, com comportamento essencialmente de viga;
• armadas em duas direções ou em cruz, com comportamento de placa.
Para as lajes-sem-vigas, o maior problema no seu projeto e uso ainda é a
maneira de avaliar a sua capacidade de carga, devido à dificuldade de representar o
comportamento dessas lajes com modelos matemáticos.
10
Por ser um sistema no qual a laje se apóia diretamente nos pilares em uma
região muito pequena, apresenta na ligação laje/pilar alta concentração de tensões o
que, na maioria das vezes, faz com que o dimensionamento deva ser analisado de
maneira mais criteriosa.
A redistribuição de momentos fletores garante uma boa reserva na capacidade
à flexão nas lajes-sem-vigas. Em decorrência desse motivo, sua capacidade de
resistência, geralmente, é ditada pelo cisalhamento (efeito punção) e não pela flexão,
levando, assim, a uma ruptura por punção na ligação laje-pilar.
Este tipo de ruptura nas lajes-sem-vigas ocorre em forma de um deslocamento
vertical formando uma superfície crítica, com inclinação aproximada de 30º em
relação ao seu plano (figura 1.3) e, na maioria dos casos, acontece sem a ocorrência
de escoamento da armadura de flexão, ou seja, é uma ruptura frágil (abrupta), sem
aviso.
Figura 1. 3 Efeito da punção em lajes-sem-vigas
1. 3 Tipologia das lajes-sem-vigas
As lajes-cogumelo e lajes-sem-vigas podem assumir diferentes formas e
nomes, conforme se descreve na seqüência.
Lajes-sem-vigas de vãos não muito grandes, 5m a 6m, com carregamentos
acidentais uniformes usuais de (1,0 a 3,0 kN/m
2
) podem ser projetadas com altura
constante inclusive na região dos pilares (SOUZA, 1998). Esta opção tem a
vantagem de deixar a superfície inferior plana em sua totalidade, sem obstáculos
(figuras 1.4 e 1.8A).
11
Figura 1. 4 Laje-sem-vigas (laje lisa)
Lajes-sem-vigas aliviadas: são obtidas quando se deseja um alívio nos
carregamentos, resultando em lajes do tipo nervuradas e alveolares. Essas lajes
devem possuir maciços nas regiões de apoio dos pilares, evitando ou minimizando o
efeito de punção nessas regiões, conforme figuras 1.5 e 1.8B.
Figura 1. 5 Laje-sem-vigas aliviada
Nas situações em que os esforços devidos à punção são muitos elevados, pode
ser necessário aumentar a área resistente em torno do pilar. Uma solução é promover
o engrossamento da espessura da laje junto ao pilar (ábaco, pastilha, “drop panel”).
Sua forma pode ser quadrada, retangular ou circular (figuras 1.6 e 1.8C).
12
Figura 1. 6 Laje-cogumelo com ábaco ou pastilha
Uma outra solução para combater os efeitos da punção é aumentar a seção
transversal do pilar que são os capitéis que podem ser tronco-piramidais ou tronco-
cônicos. A dificuldade está na sua execução. Eles podem, inclusive, ser projetados
associados aos ábacos. Essas são as verdadeiras lajes-cogumelo (figuras 1.7; 1.8D;
1.8E e 1.8F).
Figura 1. 7 Laje-cogumelo com capitéis
Com a grande evolução que houve, em termos de possibilidades de cálculo e
dimensionamento, bem como dos materiais (concretos de elevada resistência, com
fibras, etc.), para o projeto e construção das lajes-sem-vigas, capitéis e ábacos só são
utilizados em casos especiais, mesmo porque comprometem duas das principais
vantagens desse sistema que são a simplicidade de fôrmas e a obtenção de tetos lisos
e planos, que permitem ampla liberdade na definição dos espaços internos.
13
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
0.30
hh
h/2
h
/5
30 cm
'/15
/20
h 14 ou 16 cm
45º
2/9
/9
h/2
45º
/10
45º
00
0
0
0
0
2/5
0
h 14 ou 16 cm
0
/10
0
0
Figura 1. 8 Vista em cortes dos diversos tipos de lajes-sem-vigas (SOUZA, 1998)
Na figura 1.9 é apresentado o sistema de laje convencional, no qual as lajes
apóiam-se nas vigas e estas nos pilares. Atualmente, dentre os vários sistemas
conhecidos, este é o mais utilizado.
Figura 1. 9 Laje convencional
14
1. 4 Vantagens das lajes-sem-vigas
Mesmo com as graves falhas decorrentes do efeito de punção, normalmente
encontrados neste tipo de laje no passado, elas apresentam vantagens no seu uso e
aplicação, fazendo com que seu estudo e pesquisa se intensifiquem cada vez mais.
Algumas das principais vantagens são relacionadas a seguir:
a) Disposição arquitetônica
Permitem grande facilidade de alteração no espaço interno, podendo-se
remover ou executar paredes em diversas formas e posições, não dependendo de
forros falsos para esconder as vigas e pode também ocorrer uniformização nas alturas
de vedações e aberturas. Pelo fato de não possuírem vigas, o pé-direito dos
pavimentos pode ser diminuído, como também a altura total do edifício. Há ainda
uma maior ventilação e facilidade de limpeza.
b) Fôrmas
É um dos itens que mais se diferencia dos demais, pelo fato destas lajes não
possuírem vigas, reduzindo-se, assim, a área de fôrma e, conseqüentemente, seu
custo.
É possível um melhor reaproveitamento, pois, pelo fato de serem executadas
geralmente com um número menor de requadros, devido a ausência de vigas, sua
desforma é facilitada sobremaneira, reduzindo-se possíveis danos nas mesmas. Sua
simplicidade de montagem e desforma reduzem a necessidade do uso de mão-de-
obra qualificada.
c) Concreto
Embora o seu consumo também esteja próximo ao sistema convencional, há
uma maior facilidade no lançamento e adensamento, com menor risco de “bicheiras”,
provocado pelo mau adensamento, excesso de armadura em recortes ou encontros de
diferentes elementos estruturais.
d) Compatibilização
Na compatibilização com outros projetos, a ausência de vigas facilita a
distribuição destes e implantação desses sistemas, principalmente no plano
15
horizontal, podendo ainda contar com as alvenarias.
e) Execução
Em função das vantagens anteriormente citadas, o tempo final de execução é
reduzido, decorrente do menor tempo na execução das fôrmas, montagem das
armaduras, concretagem e desforma. Além disso, outras tarefas ficam facilitadas, tais
como: o revestimento de acabamento final; ainda que eventualmente, os
revestimentos de gesso como sanca e guarnições com a finalidade de esconder
ressaltos de vigas. Sua geometria plana facilita a inspeção e a montagem das
armaduras, uma vez que as operações de corte e dobra foram reduzidas. Nesta
configuração, todas as armaduras correspondem apenas às armaduras das lajes.
A montagem das armaduras é mais rápida e simples, pois apenas a região do
encontro do pilar com a laje necessita de maior atenção, em função da eventual
existência de armaduras especiais para combater os efeitos de punção.
1. 5 Desvantagens das lajes-sem-vigas
Como exposto anteriormente, a punção é um das principais desvantagens das
lajes-sem-vigas, embora existam outras que também devam ser analisadas, sendo
algumas delas relacionadas a seguir:
a) Ações laterais
Quando comparadas com estruturas convencionais, as lajes-sem-vigas têm
uma menor rigidez às ações laterais. Este problema pode ser minimizado pelo
emprego de núcleos rígidos, paredes estruturais e pilares de grande dimensão na
direção de menor inércia do edifício.
b) Flechas
Mesmo existindo limites relacionados ao vão/espessura que dispensam o
cálculo ou a verificação dos deslocamentos, nas situações em que estes não são
atendidos, ou ainda, naquelas em que se deseja fazer uma verificação nesses
deslocamentos, a maioria dos processos utilizados para tal cálculo é bastante
complexa, por envolverem um grande número de variáveis.
16
Em geral, como os deslocamentos não estão diretamente ligados à capacidade
de resistência das lajes calculadas no ELU (Estado Limite de Utilização), muitas
vezes, ao se efetuar a verificação no ELS (Estado Limite de Serviço), seus limites
não são atendidos. Em vista disso, a ocorrência de deslocamentos que ultrapassem os
limites determinados pode causar danos, desconforto e até mesmo interferir na
própria estrutura.
Dentre as patologias que surgem devido aos deslocamentos excessivos,
relacionam-se:
- paredes com fissuras e trincas;
- esquadrias, portas e janelas danificadas ou com mau funcionamento;
- vibrações excessivas no piso, causando desconforto ao usuário;
- interferência no funcionamento da própria estrutura.
Devido à complexidade da análise do estudo dos deslocamentos e sendo o
mesmo de grande importância para este tipo de laje, isto pode se tornar uma
desvantagem ao sistema.
c) Punção
Embora existam vários trabalhos publicados nessa área, a punção que ocorre
neste tipo de laje constitui-se em constante objeto de pesquisa em função da
gravidade de suas conseqüências e que, dependendo da situação, pode inviabilizar o
emprego do sistema.
A adoção de pilares de grandes seções e capitéis, ábacos e/ou engrossamento
das lajes, por exemplo, podem provocar uma modificação na arquitetura e,
conseqüentemente, alterar o resultado final. Por serem de difícil execução e também,
em muitas vezes, provocarem uma alteração indesejável na arquitetura, deve-se
adotar outro processo para combater as tensões de punção nas lajes-sem-vigas, como
a utilização de armaduras transversais na região próxima ao pilar, a diminuição nos
vãos das lajes, aumentando o número de pilares ou a utilização de vigas de borda, se
possível.
Esse fenômeno, que ocorre na ligação das lajes com o pilar, pode se agravar
17
ainda mais quando há transferência de momentos fletores da laje para o pilar. Tal
fenômeno é mais crítico em pilares posicionados nas bordas e cantos de lajes e
quando se manifesta caracteriza-se por uma ruptura abrupta e frágil.
1. 6 Revisão bibliográfica
O início das pesquisas sobre o efeito da punção em lajes-sem-vigas atribui-se
a Talbot (1913), que ensaiou 197 lajes tipo sapatas, sem armadura de combate ao
cisalhamento, observando que 20 dessas lajes atingiram a ruína por punção.
Outro pesquisador de grande importância nesses estudos foi Graf (1933), que
realizou outros ensaios comparando a resistência do concreto à resistência à punção
dos mesmos e novas observações foram feitas.
A primeira tentativa de quantificar a influência da resistência à flexão na
resistência à força cortante foi feita por Hognestad (1953). Já Elstner e Hognestad
(1956) fizeram a primeira proposta para o cálculo da contribuição da armadura de
punção na resistência da ligação e Moe (1961) foi um dos primeiros a analisar os
casos assimétricos caracterizados por pilares de borda, de cantos e internos com
carregamentos assimétricos (MELGES, 2001).
Em (Regan ,1985 apud Melges, 2001) tem-se a menção da existência de três
possibilidades de ruptura da ligação laje-pilar reforçada com armadura de punção:
1ª) ruptura em uma superfície junto à face do pilar;
2ª) ruptura na região transversalmente armada;
3ª) ruptura além da região armada.
Figueiredo Filho (1989) salienta que os pilares de borda e de canto são os
mais críticos em relação à punção, pelo fato de os momentos fletores não
balanceados serem maiores e a área em torno do pilar em contato com a laje ser
menor, como também a existência de torção nas bordas das lajes junto à ligação com
os pilares.
O autor estudou e pesquisou, de uma forma abrangente e explicativa, alguns
parâmetros que interferem no efeito da punção nas lajes-sem-vigas, os quais estão
18
diretamente relacionados com:
• resistência do concreto;
• a altura útil e relação c/d que diz respeito à relação entre o lado do pilar
quadrado e ou diâmetro dos pilares redondos e a altura útil da laje;
• relação entre o lado maior e o lado menor dos pilares retangulares;
• taxa de armadura a flexão;
• relação momento fletor / força cortante;
• velocidade de carregamento;
• aberturas nas lajes;
• armaduras de cisalhamento ou armaduras de combate à punção.
Vários métodos de análise da resistência à punção também foram pesquisados
e estudados como:
• análises baseadas na variação linear da tensão de cisalhamento;
• análises baseadas na teoria elástica de placas finas;
• analogia de vigas.
O autor concluiu àquela época que era aconselhável o uso dos métodos
prescritos pelas normas vigentes, que limitavam o efeito da armadura de
cisalhamento (mesmo se existisse em grande quantidade) e, dentre os casos
estudados, o mais indicado foi o método proposto pela NBR 6118:1980, juntamente
com as recomendações dos complementos do CEB para pilares em bordas e cantos.
No cálculo dos deslocamentos, o mesmo realizou algumas comparações entre
a solução aproximada da equação diferencial das placas elásticas, elementos finitos e
analogia de grelhas, obtendo resultados bastante próximos para os deslocamentos
obtidos através do método dos elementos finitos (realizados em Martinelli et al 1986)
comparados com os obtidos pela solução aproximada da equação diferencial das
placas isótropas, fornecendo assim uma estimativa da confiabilidade que se pode ou
não adotar para esses métodos.
Castelo Branco (1989) esclarece que é fundamental o cálculo e o
19
detalhamento das armaduras de flexão nos cantos de lajes-sem-vigas, em função da
transferência de momento fletor e da dificuldade de reduzir este esforço e seus
efeitos.
Outro aspecto importante relatado pelo autor diz respeito ao CEB. Este
Comitê constata que, quando uma laje estiver corretamente armada à flexão, os
valores das tensões de cálculo serão bastante inferiores aos observados em ensaios.
Conclui, portanto, que os valores das reações nos pilares de canto obtidos através de
ensaios são inferiores aos previstos pela metodologia do CEB. Caso essas reações
sejam superiores e dentro de certos limites que precisam ser mais conhecidos, a
punção deverá ser cuidadosamente estudada.
O autor também relata que a análise de dados de ruptura de lajes-sem-vigas,
em ligações com pilares externos, é – consideravelmente – mais difícil do que em
pilares internos, devido principalmente à influência dos efeitos da flexão, do projeto
e detalhamento das armaduras de flexão.
Silvany (1996) realizou um estudo comparativo de deslocamentos em lajes-
cogumelo utilizando os processos simplificados de Rangan , o das vigas cruzadas, os
programas SAP IV, que considera a fissuração do concreto através de uma sub-rotina
e um outro proposto por Corrêa (1991), que faz análise plástica e elastoplástica.
A autora concluiu que o aspecto da fissuração é muito importante no cálculo
dos deslocamentos, pois foi constatado um aumento percentual nos deslocamentos
imediatos calculados por elementos finitos, quando foi considerada a fissuração.
Outro fator é que a resistência à tração, adotada nos cálculos, teve uma influência
grande na estimativa dos deslocamentos, com um considerável aumento quando essa
resistência é diminuída. Já para o processo de Rangan, o qual considera a laje
bastante fissurada, os resultados apresentados por ele foram os que mais se
aproximaram dos valores medidos.
Azevedo (1999) usou um sistema de ensaio dotado de atuador hidráulico
servo-controlado, programado para ensaio com deformação controlada e aquisição
contínua dos dados. Isso permitiu a avaliação do comportamento da ligação após o
carregamento máximo aplicado ao modelo, bem como a realização de medições de
resistência residual. Percebeu-se que o emprego do concreto de alta resistência,
20
juntamente com o uso de conectores tipo pino como armadura de punção, aumentou
substancialmente a resistência da ligação e, quando combinado com fibras de aço,
obteve-se um considerável aumento na ductilidade dessas ligações.
Embora outros pesquisadores tenham alcançado o mesmo resultado, Melges
(2001) ensaiou vários modelos submetidos à punção e concluiu que, de um modo
geral, a armadura de combate à punção eleva significativamente a resistência do
modelo a esse tipo de ruptura, seja ele de concreto armado ou protendido. Observou-
se ainda que, embora diminuindo a taxa de armadura dos modelos de concreto
armado, para que se introduzissem as cordoalhas de protensão, os valores
experimentais obtidos mostraram que a presença da protensão aumentou a resistência
da ligação. O autor concluiu ainda que a norma que melhor refletia o comportamento
da ligação laje/pilar era a revisão da NBR 6118:2000, hoje substituída pela
NBR 6118:2003.
Guarda et al (2002) em seu trabalho de verificações de ruína por punção, com
o intuito de afastar a possibilidade de ruína do tipo frágil das ligações laje-pilar em
lajes-sem-vigas, concluiu que essas verificações se tornaram bem mais detalhadas e
eficientes, podendo-se observar um acréscimo de resistência obtido com o emprego
de armadura de punção. A autora realizou experiências com e sem o emprego de
armadura de combate à punção, utilizando as recomendações de acordo com o
projeto de revisão da NBR 6118:2000 e empregando conectores do tipo pino.
Azevedo e Hanai (2003), analisando a resistência à punção e a ductilidade das
ligações laje-pilar em doze modelos, nos quais foram efetuadas combinações de
emprego de concreto de alta resistência, diferentes volumes de fibras de aço,
chegaram a vários resultados. Em pesquisa sobre resistência e ductilidade das
ligações laje-pilar em lajes-sem-vigas de concreto de alta resistência, armado com
fibra de aço e armadura transversal de pinos (armaduras de combate à punção), os
autores concluíram que:
a) nos modelos que não continham armadura transversal, a adição de fibras é mais
eficiente nos concretos de alta resistência do que nos concretos convencionais; o
aumento da resistência do concreto influencia no valor da carga de ruptura,
principalmente ao utilizar armadura transversal de combate à punção;
21
b) as fibras, exclusivamente, não têm tanta influência no acréscimo da carga de
ruptura quando comparadas com a presença da armadura transversal e ao emprego de
concreto de alta resistência. Porém, interferem sensivelmente na ductilidade das
ligações, podendo até modificar o modo de ruptura de punção pura para uma ruptura
combinada de punção-flexão, quando utilizado concreto convencional e armadura
transversal. No caso da utilização de concreto de alta resistência e armadura
transversal, há uma predominância da flexão;
c) a presença da armadura transversal e o valor da resistência à compressão do
concreto interferem na carga última obtida em cada ligação laje-pilar, enquanto que
as fibras (percentual em torno de 1,50%) interferem, substancialmente, na ductilidade
na presença de concreto de alta resistência e armadura transversal.
Vale observar que foram estudados somente pilares de centro.
Barreto e Melo (2004) ensaiaram quatro lajes-cogumelo de concreto armado,
de dimensões 1600 x 1600 x 130 mm, com estribos inclinados a 45°, concreto de
resistência variando entre 56 e 68 MPa e com as lajes submetidas a carregamento
simétrico.
O estudo provou que os estribos colocados a 45° apresentam algumas
vantagens se comparados com estribos a 60° e 90°, pois os mesmos podem ser
colocados após a armadura de flexão ter sido posicionada, como também a maior
eficácia em aumentar a resistência última de lajes-sem-vigas ao puncionamento.
Os estribos inclinados a 45° proporcionaram uma maior rigidez às lajes
durante os ensaios e uma maior ductilidade na ruptura das mesmas, permitindo que
maiores deslocamentos fossem alcançados em comparação com as lajes com estribos
verticais contínuos, conforme mostra a figura 1.10.
22
Estribos inclinados a 45Estribos verticais
o
Figura 1. 10 Detalhe de estribos verticais e a 45
0
Martinelli e Campos Filho (2004) apresentaram um programa computacional,
elaborado através do método dos elementos finitos, para análise tridimensional de
situações de punção em lajes de concreto armado com e sem armadura de
cisalhamento. Para simular a fissuração do concreto, utilizou-se um modelo de
fissuras distribuídas que leva em consideração a contribuição do concreto entre
fissuras. A redução na capacidade de transferência de esforço devido ao aumento da
abertura da fissura é incluída por meio de uma redução do módulo de elasticidade
transversal correspondente ao plano fissurado.
Após a execução dos programas, analisaram comparativamente os resultados
numéricos com valores experimentais e obtiveram boas aproximações para lajes sem
armadura de cisalhamento e lajes com estribos verticais e inclinados, sendo
encontradas algumas divergências nos valores numéricos para as deformações nos
estribos em relação aos valores experimentais. Isso, porém, era esperado, pois os
valores numéricos expressam uma deformação média ao longo de certo comprimento
do estribo, enquanto os valores experimentais correspondem a deformações medidas
em um único ponto da armadura.
Dessa forma, constata-se que os estribos contribuem satisfatoriamente na
minimização das tensões de cisalhamento.
Souza, Melo, e Gomes (2004) analisaram a punção em lajes-cogumelo de
concreto armado com furos adjacentes ou distantes 2d e 4d (em que “d” é a altura da
laje) de um pilar central e concluíram que as lajes com furos adjacentes ao pilar
23
apresentaram maiores perdas, com cargas em torno de 36% menores em relação à
carga de ruptura da laje de referência sem furos. As lajes com furos situados a 2d da
face do pilar apresentaram cargas menores à medida que os furos aumentaram de
tamanho, enquanto que a laje com furos situados a 4d da face do pilar apresentou
carga de ruptura próxima (um pouco superior) da laje de referência sem furos. Além
disso, sua superfície de ruptura não alcançou os furos, indicando que aberturas
posicionadas a essa distância podem não influenciar na resistência à punção de lajes-
cogumelo.
24
CAPÍTULO 2
PUNÇÃO EM LAJE-SEM-VIGAS
2. 1 Introdução
No estudo da punção em lajes-sem-vigas, faz-se necessário estabelecer o
conceito de superfície de ação e de perímetro crítico.
Superfície de ação é aquela região da ligação laje/pilar onde ocorre o efeito da
punção a uma distância 2d da última linha de conectores (em que “d” é a altura da
laje). Perímetro crítico define-se como a superfície vertical formada pela intersecção
de planos ou superfícies paralelos aos lados ou contornos do pilar de apoio, ou ainda,
perímetro da área concentrada de aplicação de uma carga a uma distância 2d da face
do pilar.
A ruptura por punção é possível de ocorrer em pontos de carregamentos
concentrados. Nas lajes-sem-vigas essa ruína pode ocorrer na região em que a laje se
apóia nos pilares ou em regiões de aplicação de cargas pontuais, como também pode
acontecer em outros elementos estruturais, como lajes convencionais, blocos de
fundação, sapatas, etc. A verificação concentra-se nos pontos seguintes:
a) Obtenção dos esforços (últimos ou majorados) transmitidos pela laje ao pilar ao
longo da superfície de ação da punção, desprezando as cargas compreendidas entre o
perímetro crítico e o pilar;
b) Calcular a superfície crítica de punção mais desfavorável à volta do pilar;
c) Calcular os momentos de inércia combinados e o produto de inércia em relação a
determinados eixos, para obter as direções principais;
d) Calcular as tensões ao longo do perímetro crítico e compará-las com as tensões
resistentes do concreto e, se for o caso, obter o reforço necessário, quer seja através
de barras inclinadas ou de estribos verticais.
Para melhor compreensão da determinação dos esforços, pode-se tomar como
exemplo um pórtico com 3 nós para se efetuar o equilíbrio das tensões axiais,
transversais e de flexão, conforme detalhado na figura 2.1.
25
Diagrama de esforço axial no pilarDiagrama de esforço transversal na laje
N
1i
2i
N
E
1E
N
Q
I
Dir
Q
I
I
Q
Esq
Q
E
E
I
I
M
Eixos da Estrutura
Diagrama de momento fletor no pilarDiagrama de momento fletor na laje
I
M
Dir
Esq
M
I
E
M
I
E
Figura 2. 1 Diagrama de esforços em um pórtico virtual de uma estrutura em
laje-sem-viga
26
Ao analisar o equilíbrio do nó de extremidade “E” e do nó interno “I”,
conforme figura 2.2:
DirEsq
Q
Li Li
Q
Pi-2
N
N
Pi-1Pe-1
N
N
Pe-2
Q
LE
IE
DirEsq
EI
Li
M
Pi-1
M
M
Pi-2
M
Li Le
M
Pe-2
M
M
Pe-1
Figura 2. 2 Equilíbrio no nó extremo “E” e no nó interno “I”
Conclui-se que:
M
Li
Esq
< M
Li
Dir
M
e
= M
Pe-1
+ M
Pe-2
∆M
i
= M
i
Dir
– M
i
Esq
= M
Pi-1
+ M
Pi-2
Em que:
M
Li
Esq
é o momento na laje no nó interno “I” à esquerda;
M
Li
Dir
é o momento na laje no nó interno “I” à direita;
27
M
Pe-1
é o momento no nó de extremidade “E” no topo
M
Pe-2
é o momento no nó de extremidade “E” na base
Da análise dos esforços de flexão, conclui-se que o momento desequilibrado
no tramo (M
e
no apoio externo e ∆M
i
no apoio interno) é o valor do momento
transmitido aos pilares. Este é igual, pela mesma razão, à soma dos momentos na
cabeça do tramo inferior e no pé do tramo superior de pilares. Uma fração α deste
momento provoca tensões tangenciais na superfície crítica (α.M
e
e α. ∆M
i
).
Analogamente, ao se analisar o equilíbrio de esforços transversais e axiais,
conforme visto na figura 2.2, pode-se observar que a carga transmitida pela laje ou
pelos tramos ao pilar é igual ao valor da cortante, sendo Q
e
para os pilares extremos e
para os pilares internos corresponde à somatória dessas cortantes dada por:
Q
i
= Q
i
Esq
+ Q
i
Dir
.
Esses valores coincidem com a diferença dos esforços axiais entre a cabeça
do tramo inferior do pilar e o pé do tramo superior do pilar, ou seja:
Q
e
= N
Pe-2
– N
Pe-1
Q
i
= Q
i
Esq
+ Q
i
Dir
= N
Pi-2
– N
Pi-1
Por conseguinte, conhecidos os esforços nos pilares que podem ser
determinados por meio do cálculo de um pórtico plano ou espacial (em duas
direções), obtém-se de forma rápida e simples os valores dos esforços que a laje
transmite ao pilar e que são determinantes para a análise de tensões tangenciais na
verificação dos esforços de punção.
De acordo com as prescrições da NBR 6118:2003, o cálculo da punção
baseia-se na verificação do cisalhamento em superfícies críticas obtidas pela
multiplicação da altura da laje pela faixa considerada como contorno crítico ou
perímetro crítico Essas regiões críticas são definidas de acordo com o que se segue.
Ver figura 2.3.
- C é o contorno crítico da face do pilar;
- C’ é o contorno a uma distância 2d da face do pilar;
- C” é o contorno a uma distância 2d da última linha de armaduras;
28
Sendo estas situações analisadas isoladamente, conforme as prescrições da
NBR 6118:2003 dadas a seguir:
Trecho curvo
Borda livre da laje Borda livre da laje
2d
2d
2d
2d
2d
C"
2d
C'
C
2d
C
C'
2d
2d
C"
2d
2d
2d
C"
2d
2d
2d
C'
C
PILAR DE CANTOPILAR DE BORDAPILAR INTERNO
Figura 2. 3 Perímetro crítico em pilares internos de borda e de canto
O modelo adotado pela norma compara uma tensão uniforme de
cisalhamento, atuando em cada uma das superfícies críticas perpendiculares ao plano
médio da laje, com uma determinada tensão resistente. As verificações são as
seguintes:
a) para quando não for prevista a armadura de punção, realizam-se duas verificações:
- compressão no concreto no contorno C, limitada pela expressão:
Rd2sd
τ≤τ
(item 19.5.3.1 da NBR 6118:2003)
- punção no contorno C’, limitada pela expressão:
Rd1sd
τ≤ τ
(item 19.5.3.2 da NBR 6118:2003)
b) para quando for prevista armadura de punção deverão ser feitas três verificações:
29
- Compressão no concreto no contorno C, limitada pela expressão:
Rd2sd
τ≤τ
(item 19.5.3.1 da NBR 6118:2003)
- punção no contorno C’, limitada pela expressão:
Rd3sd
τ≤ τ
(item 19.5.3.3 da NBR 6118:2003)
- punção no contorno C”, limitada pela expressão:
Rd1sd
τ≤ τ
(item 19.5.3.2 da NBR 6118:2003)
2. 2 Cálculo das tensões atuantes
Para o cálculo das tensões atuantes, deve-se conhecer, primeiramente, a
posição do pilar, sua geometria, assim como os tipos de ações nele atuantes, ou tipo
de ação atuante na laje.
São apresentadas equações
1
para determinação dos perímetros críticos e do
módulo de resistência plástica da seção correspondentes aos perímetros para os
diferentes tipos de situações de pilares.
2.2. 1 Pilar interno, com carregamento simétrico
Para o caso em que o carregamento pode ser considerado simétrico, a tensão
atuante nos pilares internos pode ser determinada conforme a seguir (figura 2.4).
1
Algumas destas equações foram desenvolvidas pelo autor e as mesmas também podem ser
encontradas na NBR 6118:2003 e em Guarda et al (2002)
30
M
2d
1d
M
Laje
Pilar
d
3d 3d
h
dy
dx
M
sd 2d
MM
1d
=+
-=
1d
NN
2dsd
F
N
2d
1d
N
A
sy
A
sx
Figura 2. 4 Determinação da altura “d”, F
sd
e de M
sd
u.d
F
= τ
sd
sd
sendo,
F
sd
= N
2d
- N
1d
em que:
N
2d
é a ação na base do pilar superior;
N
1d
é a ação no topo do pilar inferior;
F
sd
: é a força ou reação concentrada de cálculo.
A figura 2.4 ilustra a situação em questão.
u.d: é a área da superfície crítica;
d: é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’ distante 2d do
contorno C, dada por:
2
d+d
=d
yx
(figura 2.4);
u: é o perímetro do contorno crítico C, C’ e C”, e para pilares retangulares e
circulares pode ser determinado pelas expressões contidas na tabela 2.1:
31
Tabela 2. 1 Perímetros críticos
Contorno u – para pilares retangulares u – para pilares circulares
C u= 2.(c
1
+c
2
) u=π.2.r
C’ u = 2.(c
1
+ c
2
) + 4.π.d u=π.2.r’
C” u = 2.(c
1
+ c
2
) + 4.π.d + 2.π.i u=π.2.r”
em que:
- C
1 e
C
2
: são as dimensões do respectivo pilar;
- i : é a distância da face do pilar até a última linha de conectores,
conforme figura 2.5:
2d
Contorno crítico C"
i
2d2d
com armadura de punção
Contorno crítico C'
Figura 2. 5 Distância da face do pilar até última linha de conectores
No item 19.5.2.6 da NBR 6118:2003, para casos especiais de definição do
contorno crítico, em casos onde o contorno C apresentar reentrâncias, o contorno
crítico C’ deve ser paralelo ao polígono circunscrito ao contorno C, conforme mostra
a figura 2.6:
32
c)b)a)
C"
2d
2d
2d
2d
2d
2d
C"
C"
r"
r'
r
Trecho
curvo
curvo
Trecho
2d
C'
C
C
C'
C
C'
C
Figura 2. 6 Perímetro crítico para pilares de seção circular e para alguns casos
especiais (reentrância)
2.2. 2 Pilar interno com efeito de momento fletor em uma das direções
sd sd
sd
p
FK.M
τ = +
ud W .d
em que:
K: é o coeficiente que fornece a parcela de momento fletor M
sd
transmitida ao
pilar por cisalhamento, que depende da relação C
1
/C
2
(relação entre as
dimensões do pilar) e tem os valores indicados na tabela 2.2.
33
Tabela 2. 2 Valores do coeficiente K (tabela 19.2 da NBR 6118:2003)
C
1
/C
2
0,5 1,0 2,0 3,0
K 0,45 0,60 0,70 0,80
Em que:
C
1
é a dimensão do pilar, paralela à excentricidade da força;
C
2
é a dimensão do pilar, perpendicular à excentricidade da força. (Figura 2.7)
C
2
1
C
sd
M
Figura 2. 7 Dimensões do pilar com relação a sua excentricidade
M
sd
:
pode ser obtido pela expressão:
M
sd
= M
2d
+ M
1d
, conforme pôde ser visto na figura 2.4.
W
p
: é o módulo de resistência plástica da seção correspondente ao perímetro
crítico e pode ser calculado desprezando-se a curvatura dos cantos, por
meio da expressão:
u
p
0
W = e d
∫
A
em que:
- dA: é o comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;
- e: é a distância de dA ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o
qual atua o momento fletor M
sd
;
Para pilares de seção circular, W
p
pode ser obtido pela expressão:
34
2
p
W = (D+4d)
em que:
- D: é o diâmetro do pilar.
- d: é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico.
Para pilares internos e de seção retangular, W
p
pode ser determinado pelas
expressões contidas na tabela 2.3.
Tabela 2. 3 Expressões de W
p
para pilares internos de seção retangular
Contorno W
p
C
21
2
1
p
C.C+
2
C
= W
C’
1
2
221
2
1
p
C.d.π.2+d.16+d.C.4+C.C+
2
C
= W
C”
i.C.π+i.4+i.d.16+i.C.2+C.d.π.2+d.16+d.C.4+C.C+
2
C
= W
1
2
21
2
221
2
1
p
2.2. 3 Pilar interno com efeito de momento fletor em duas direções
sd sd1 sd2
sd
p1 p2
FK.M K.M
τ = + +
ud W .d W .d
em que:
M
sd1
e M
sd2
: são os momentos fletores desbalanceados de cálculo nas duas
direções;
K
1
e K
2
: são os coeficientes de transmissão de momentos, dados na
tabela 2.2;
W
p1
e W
p2
: são os módulos de resistência plástica, dados na tabela 2.3, sendo
que para o cálculo dos respectivos momentos, as dimensões C
1
e C
2
são
trocadas, conforme figura 2.8:
35
M
sd2
C
2
1
CC
2
1
C
sd1
M
Figura 2. 8 Troca das dimensões C
1
e C
2
, para o cálculo M
sd
2.2. 4 Pilares de borda
Para os pilares de borda, duas situações devem ser verificadas: uma delas é
quando não agir momento fletor no plano paralelo à borda livre e a outra é quando
existir momento fletor nas duas direções.
2.2.4. 1 Pilares de borda quando não agir momento fletor no plano paralelo à
borda livre
sd 1 sd1
sd
*
p1
FK.M
τ = +
W.d
ud
em que:
F
sd
= N
2d
- N
1d
: conforme já foi mostrada no item 2.1, figura 2.4;
u*: é o perímetro crítico reduzido do contorno analisado, conforme figura 2.9;
M
sd1
é o momento de cálculo resultante;
W
p1
: módulo de resistência plástica na direção perpendicular à borda livre.
Para pilares de borda e de seção retangular
u* pode ser determinado pelas
expressões da tabela 2.4.
36
Tabela 2. 4 Perímetros críticos
Contorno u* – para pilares retangulares
C u*= 2.a+C
2
C’ u*= 2.a+C
2
+ 2.π.d
C” u*= 2.a+C
2
+ 2.π.d +π.i
Em que:
- a: é o menor valor entre 1,5.d ou 0,5.C
1
;
-
i: é a distância da face do pilar até a última linha de conectores,
conforme já visto no item 2.1, figura 2.5;
Borda livre
da laje
Borda livre
da laje
Perímetro crítico u
Perímetro crítico
reduzido u*
a £ 1,5d e 0,5C
a £ 1,5d e 0,5C
Perímetro crítico
reduzido u*
Borda livre
da laje
M
sd
paralelo
à borda livre
à borda livre
prerpendicular
sd
M
C"
C'
C
2d
2d
2d
2d
2d
2d
2d
2d
C
1
2
C
Figura 2. 9 Perímetro crítico e perímetro crítico reduzido em pilares de borda
37
M
sd1
é dado pela expressão:
M
sd1
= (M
sd
– M
sd
*
) ≥ 0
Em que:
- M
sd
: momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre;
- M
sd
*: é o momento de cálculo resultante da excentricidade do
perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar, no plano
perpendicular à borda livre e
M
sd
*
= Fsd . e*
- e*: é a excentricidade do perímetro crítico reduzido, conforme
figura 2.10, e pode ser determinado pelas expressões contidas
na tabela 2.5.
Nota: as expressões da tabela 2.5 foram montadas de acordo com a
integral
2
:
u*
*
0
u*
0
e.d
e =
d
∫
∫
A
A
Tabela 2. 5 Excentricidade dos perímetros críticos reduzidos para pilares de
borda de seção retangular
Contorno E* – para pilares retangulares
C
12
2
1
*
2
C.C
C.a-a +
2
e =
2.a+C
C’
12
22
121
*
2
C.C
C .a-a + +2.C .d+8.d +
π.d.C
2
e =
2.a+C +2.πd
C”
12 1
22 2
1212
*
2
C.C π.i.C
C .a-a + +2.C .d+8.d +
π.d.C + C .i +8.d.i + + 2.i
22
e =
2.a+C +2.πd+π.i
2
Essa integral para o cálculo do módulo de resistência plástica do perímetro crítico reduzido, em
situações de excentricidade, foi desenvolvida por Guarda et al (2002).
38
C
1
2d
C
2
2d
2d
1
C /2 e*
ab
Borda livre
da laje
a
1,5d e 0,5C
Figura 2. 10 Excentricidade do perímetro crítico reduzido para o contorno C’,
em pilares de borda
W
p1
pode ser determinado por meio das expressões contidas na tabela 2.6.
Tabela 2. 6 Módulo de resistência plástica para pilares de borda de seção
retangular sem momento paralelo à borda livre
Contorno W
p1
C
2
C.C
2
C
=W
21
2
1
p1
+
C’
1
2
2
21
2
1
p1
C.d.πd.8d.C.2
2
C.C
2
C
=W ++++
C”
2
1
21
2
2
21
2
1
p1
i.2
2
C.i.π
i.d.8i.CC.d.πd.8d.C.2
2
C.C
2
C
=W ++++++++
2.2.4. 2 Pilares de borda quando agir momento fletor no plano paralelo à borda
livre
sd 1 sd1 2 sd2
sd
*
p1 p2
FK.M K.M
τ = + +
W.d W.d
ud
em que:
Valem as definições para pilares de borda para quando não agir momento
39
fletor no plano paralelo à borda livre, juntamente com as relacionadas a
seguir;
K
2
: assume os valores estabelecidos para K dados na tabela 2.2, substituindo-
se C
1
/C
2
por
2
1
C
.C
2
e C
1
e C
2
são especificados na figura 2.10;
M
sd2
: momento de cálculo no plano paralelo à borda livre;
W
p2
: módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre e pode
ser determinado pelas expressões contidas na tabela 2.7.
Tabela 2. 7 Módulo de resistência plástica para pilares de borda de seção
retangular com momento paralelo à borda livre
Contorno W
p2
C
2
2
p2 1 2
C
W= +C.C
4
C’
2
2
2
p2 1 2 1 2
C
W = + C .C + 4.C .d + 8.d +
π.d.C
4
C”
2
2 2
22
p2 1 2 1 2 1
C π.i.C
W = + C .C + 4.C .d + 8.d +
π.d.C + 2.C .i + 8.d.i + + 2.i
42
2.2. 5 Pilares de canto
Para o pilar de canto, aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não
age momento no plano paralelo à borda livre.
sd 1 sd1
sd
*
p1
FK.M
τ = +
W.d
ud
As verificações são feitas separadas para cada uma das direções,
considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada.
O coeficiente K
1
é obtido normalmente na tabela 2.2 em função da proporção
C
1
/C
2
referentes aos lados do pilar, conforme figura 2.11:
- F
sd
= N
2d
- N
1d
40
- M
sd
= M
2d
+ M
1d
- M
sd1
= (M
sd
– M
sd
*
) ≥ 0
- M
sd
*
= Fsd . e*
Borda livre ignorada
Borda livre adotada
Borda livre ignorada
Borda livre adotada
a ≤ 1,5d e 0,5C
C
1
2d
2d
b
2
C
C /2
2
b
a ≤ 1,5d e 0,5C
2d2d
e*
1
C /2
C
C'
C"
Prerímetro crítico
reduzido
u*
sd1
M
sd1
M
u*
reduzido
Prerímetro crítico
C"
C'
C
C /2
1
2d 2d
a ≤ 1,5d e 0,5C
b
2
C /2
e*
C
2
b
2d
2d
1
C
a ≤ 1,5d e 0,5C
Figura 2. 11 Perímetro crítico reduzido, excentricidade, situações de
consideração de momentos para cálculo de pilares de canto
41
O perímetro crítico reduzido u* pode ser determinado pelas expressões
contidas na tabela 2.8.
Tabela 2. 8 Perímetros críticos
Contorno u* – para pilares retangulares
C u*= a
1
+a
2
C’ u*= a
1
+a
2
+ π.d
C” u*= a
1
+a
2
+ π.d+ (π.i)/2
A excentricidade para o cálculo do momento fletor perpendicular a uma borda
do pilar de canto pode ser determinada pelas expressões contidas na tabela 2.9.
Tabela 2. 9 Excentricidade dos perímetros críticos reduzidos para pilares de
canto de seção retangular
Contorno e* – para pilares de seção retangular
C
2
11 1 2 1
*
12
C.a-a +a .C
e =
2.(a +a )
C’
22
11 1 2 1 2 1
*
12
C .a -a +a .C +4.a .d+8.d +
π.d.C
e =
2.(a +a +π.d)
C”
1
22 2
11 1 2 1 2 1 2
*
12
π.i.C
C .a -a +a .C +4.a .d+8.d +
π.d.C +2.a .i+8.d.i+ +2
.i
2
e =
π.i
2.(a +a +π.d+ )
2
O módulo de resistência plástica W
p1
pode ser determinado pelas expressões
contidas na tabela 2.10.
42
Tabela 2. 10 Módulo de resistência plástica para pilares de canto de seção
retangular com momento perpendicular a uma borda
Contorno W
p2
C
2
112
p1
CC.C
W= + .
42
C’
2
112 1
2
p1 2
CC.C
π.d.C
W= + +2.C.d+4.d+
42 2
C”
2
112 1 1
22
p1 2 2
CC.C π.d.C π.i.C
W = + + 2.C .d + 4.d + + C .i +8.d.i + + i
42 2 4
2. 3 Cálculo das Tensões Resistentes
As tensões resistentes são calculadas para as superfícies críticas C, C’ e C”
para as verificações necessárias.
2.3. 1 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na
superfície crítica C (na face do pilar)
Rd2 v cd
τ =0,27.α .f
em que:
α
v
: é o coeficiente de efetividade do concreto dado por α
v
= (1- f
ck
/250), com
f
ck
em MPa (f
ck
é a resistência característica do concreto à compressão);
f
cd
: é a resistência de cálculo do concreto;
f
ck
: é a resistência característica do concreto;
No item 19.5.3.1 da NBR 6118:2003, τ
rd2
pode ser aumentado em 20% por
efeito de estado múltiplo de tensões junto a um pilar, quando os vãos que chegam a
esse pilar não diferem mais de 50% e que não exista aberturas junto ao pilar.
43
2.3. 2 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto nas
superfícies críticas C’ e C”
A superfície C’ refere-se às lajes sem armaduras de punção, e a superfície C”
às lajes com armaduras de punção. As equações são:
1
3
Rd1 ck
20
τ =0,13.(1+ ).(100.ρ.f )
d
em que:
xy
d+d
d=
2
, conforme já visto na figura 2.4, do item 2.2.1;
xy
ρ= ρ .ρ
;
ρ
x
e ρ
y
: são as taxas de armadura nas duas direções, determinadas como se
segue:
A largura ou a faixa para obtenção da taxa de armadura será igual à dimensão
ou área da seção do pilar carregado, acrescida 3d para cada um dos lados, conforme
vê-se na figura 2.12.
Quanto ao pilar de borda ou de canto, prevalece a distância até a borda,
quando essa for menor que 3d.
o
x
x1 2
n de barras na direção "x" . área de cad
a barra
ρ =
d .(C ou C +2 . (3 . d))
o
y
y1 2
n de barras na direção "y" . área de cad
a barra
ρ =
d .(C ou C +2 . (3 . d))
44
Laje
Pilar
d
3d 3d
h
dy
dx
C ou C
12
A
sx
A
sy
Figura 2. 12 Definição da região para cálculo de ρ
x
e ρ
y
, e da altura útil “d”
2.3. 3 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na
superfície crítica C’ em lajes com armaduras de punção
1
sw ywd
3
Rd3 ck
r
20 d A .f .sen
α
τ =0,10.(1+ ).(100.ρ.f ) +1,50. .
dSu.d
em que:
S
R
≤ 0,75.d
S
R
: é o espaçamento radial entre as linhas de armadura de punção, não maior
que 0,75.d, conforme figura 2.13.
A
sw
: é a área de armadura de punção num contorno completo paralelo a C’,
conforme figura 2.13.
α: é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da
laje;
u: é o perímetro crítico, ou perímetro crítico reduzido no caso de pilares de
borda ou de canto;
45
Contorno crítico C"
Contorno crítico C'
Contorno paralelo a C'
com armadura total A
individual pada cada contorno
S
S
r
e
sw
e
S
r
S
0
S
Figura 2. 13 Contorno paralelo a C’ com armadura total A
sw
f
ywd
: é a resistência de cálculo da armadura de punção com os respectivos
valores:
- não maior que 300 MPa para conectores;
- não maior que 250 MPa para estribos em lajes com espessuras até
15cm;
- 435 MPa para estribos em lajes com espessuras maiores que 35cm.
Vale observar que para os casos intermediários de espessuras de lajes com
armaduras em estribos é permitida a interpolação linear de f
ywd
.
2. 4 Armadura de punção obrigatória
Uma das desvantagens no emprego das lajes-sem-vigas é quanto à rigidez
global da estrutura, ou seja, garantir uma boa estabilidade global frente às ações
46
laterais provenientes de vento, ou de excentricidades de natureza diversas. Para dar
uma maior confiabilidade a essas lajes, frente a essa desvantagem e
consequentemente aumentar a estabilidade global da estrutura, deve ser prevista uma
armadura de punção, mesmo que a tensão solicitante, numa distância 2d da face do
pilar no contorno
C’, seja menor que a resistida (
sd Rd1
τ τ
≤
).
De acordo com a NBR 6118:2003, essa armadura garante um equilíbrio de no
mínimo 50% de F
sd
, em que:
sd 2d 1d
F = N -N
sd
s, mín.
yd
0,50.F
A
f
≥
2. 5 Armadura de flexão obrigatória (colapso progressivo)
Para garantir a ductilidade local e a proteção contra o colapso progressivo, a
NBR 6118:2003 prevê um mínimo para a armadura de flexão que atravessa o
contorno C e a que a mesma deva estar devidamente ancorada além do contorno C’,
conforme figura 2.14, e essa armadura mínima de flexão é dada pela equação abaixo:
sdyd s
F .fA ≥
em que:
A
s,min
: é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das
faces do pilar
47
Contorno C'
Ab
Armadura de flexão
F
sd 2d
NN
1d
=-
2d
Armadura contra colapso progressivo
Contorno C
Figura 2. 14 Armadura contra colapso progressivo
2. 6 Perímetro crítico próximo a aberturas nas lajes-sem-vigas
Se numa laje existir abertura situada a menos de 8d do contorno C, não deve
ser considerado o trecho do contorno crítico
C’, entre as duas retas que passam pelo
centro de gravidade da área de aplicação da força e que tangencia o contorno da
abertura, ou seja, esse trecho deve ser subtraído, conforme figura 2.15.
a reduzir
Perímetro crítico
< 8d
2d
Abertura
C'
C
Figura 2. 15 Perímetro crítico junto à abertura na laje
48
2. 7 Detalhamento da armadura de punção
A armadura de punção, mesmo quando for a mínima exigida pela
NBR 6118:2003, deve ser estendida em contornos paralelos a C’, até que, num
contorno C” afastado 2d do último contorno de armadura, ela não seja mais
necessária, ou seja, τ
sd
≤ τ
sd1
, e as mesmas devem ser dispostas em pelo menos três
linhas de conectores tipo pinos ou estribos verticais, como detalhado na figura 2.16.
Perímetro crítico u*
Perímetro crítico u*
Armadura de punção adicional
Armadura de punção calculada
Perímetro crítico u'
Perímetro crítico u'
C"
C"
2d
d
d
2d
£ 2d
£ 2d
Figura 2. 16 Detalhamento da armadura de punção vista em planta
Quanto ao espaçamento, devem distanciar um máximo de 0,5.d da face do
pilar ou da área concentrada de aplicação de uma carga e depois com um máximo de
49
0,75.d entre ambas, conforme detalhada na figura 2.17.
Corte A
A
Armadura de punção
C'
2d
≤ 0,50.d
≤ 0,75.d
C'
≤ 0,75.d
≤ 0,50.d
2d
Figura 2. 17 Armadura de punção vista em corte
Quando utilizada armadura do tipo pino, as mesmas seguem algumas
recomendações de acordo com figura 2.18 (FIGUEIREDO FILHO, 1989).
50
flexão
Armadura de
≥
≥
≥
Área da placa de ancoragem
≥ 10x a área do pino
Solda
Diâmetro do pino "D"
nas formas
Furos para fixação
superior
Placa de ancoragem
Solda
Barra de ancoragem inferior
Figura 2. 18 Armadura de punção tipo pino (FIGUEIREDO FILHO 1989)
Também é possível executar a armação com estribos verticais es estes devem
seguir as mesmas restrições da armação do tipo pino e podem ser detalhados de
acordo com a figura 2.19.
Quando a armadura de punção for disposta em forma de vigas cruzadas, a
armadura longitudinal para posicionar os estribos não são calculadas, sendo
aconselhável um mínimo de 4
∅ 12,5mm, conforme figura 2.20 (MULTIPLUS, 2003).
Os ganchos de ancoragem da armadura de flexão próximos dos pilares de
canto praticamente não trabalham como armadura transversal, portanto, os mesmos
não devem ser computados quando do seu cálculo e detalhamento.
51
Ramos verticais
EstribosCavaletesEscadas
Figura 2. 19 Armadura de punção tipo estribos
4 ∅ 12,5mm
Figura 2. 20 Armadura de punção com armadura de montagem em vigas
cruzadas
52
CAPÍTULO 3
DESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS EM LAJE-SEM-VIGAS (FLECHAS)
3. 1 Introdução
A ocorrência de deslocamentos transversais excessivos é tida como uma
desvantagem no emprego do sistema de lajes-sem-vigas, principalmente quando
comparada ao sistema tradicional de laje/viga/pilar. Esses deslocamentos, quando
ultrapassam determinados limites, podem causar desconforto ao usuário, danos a
elementos não-estruturais e interferir diretamente no funcionamento da própria
estrutura. O emprego de técnicas de cálculo e de materiais de alta resistência resulta
em estruturas bastante leves e esbeltas, atendendo a resistência à flexão dessas lajes,
por isso, em certos casos, a verificação dos deslocamentos se torna mais importante.
A NBR 6118:2003, por sua vez, não trata o problema da maneira como
deveria ser tratado, dedicando especial atenção no que diz respeito à flexão e,
conseqüentemente, dando aos projetistas pouca orientação sobre os deslocamentos
nas lajes-sem-vigas. Algumas normas, como a ACI 318-89, CEB-FIP MC-90,
EUROCODE 2 (1992), estabelecem uma altura útil mínima para elementos a partir
da qual não é mais necessária a verificação dos deslocamentos. Isso leva à conclusão
de que tais elementos, ao longo do tempo, estarão sempre dentro dos limites
aceitáveis, e para aqueles com altura útil menor que a estabelecida, deve-se, então,
calculá-los e compará-los com os valores limites determinados.
Por outro lado, para a NBR 6118:2003 não existe altura útil a partir da qual
não seja necessário o cálculo dos deslocamentos; sempre é recomendada a avaliação
das flechas nos elementos estruturais. Esses deslocamentos, quando ocorrem, são
influenciados por uma série de fatores, tais como:
A) Fatores devido aos materiais:
• retração do concreto: este fenômeno está relacionado à diferença na taxa de
armadura superior e inferior, como também à quantidade de cimento
empregado na composição do concreto. Isso significa que em concretos de
alta resistência os benefícios obtidos pelo aumento da resistência e do módulo
53
de deformação passam a ser pequenos ou, até mesmo, nulos frente às altas
características de deformação produzidas pelo mesmo (FIGUEIREDO
FILHO, 1989);
• fluência: provocada pela ação de carga referente ao seu peso próprio e outras
de pequena variabilidade durante a etapa de construção, ocorrida devido ao
acúmulo de materiais, apoio de escoramentos para os pavimentos superiores e
a própria parcela dos carregamentos acidentais referentes ao mobiliário e
utensílios domésticos. El-Sheikh e Chen (1988), verificaram que uma grande
parcela desse deslocamento ocorre no primeiro ano de vida útil da estrutura;
• resistência do concreto: o aumento da resistência à tração eleva o momento
de fissuração e aumenta a rigidez efetiva pela colaboração do concreto
tracionado. Essa melhora na qualidade do concreto pode reduzir
significativamente os deslocamentos. Silvany (1996) sugere que seja utilizado
o valor de resistência correspondente aos 28 dias de idade do concreto para o
cálculo dos deslocamentos, embora esses deslocamentos possam se alterar de
acordo com a variação da resistência do concreto; isso garante que seja
incluída uma maior parcela dos carregamentos em idades menores para sua
determinação;
• módulo de elasticidade: é um fator de rigidez da peça ligado ao material
utilizado, isto é, depende dos módulos de elasticidade da pasta de cimento e
do agregado, variando consideravelmente de acordo com a relação de
quantidade dos mesmos na mistura;
• fissuração: ocorre quando os momentos solicitantes excedem o valor do
“momento de fissuração”. A relação entre a rigidez da seção não fissurada e a
rigidez da seção fissurada é muito grande; isso significa que as fissuras têm
influência no deslocamento transversal final. A NBR 6118:2003, no seu item
19.3.1, determina que, para verificação dos valores limites estabelecidos para
a deformação da estrutura, mais propriamente para rotações e deslocamentos
em elementos estruturais lineares, devem ser realizados, considerando-se a
rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, a presença de armadura, a
existência de fissuras e as deformações deferidas no tempo. Esse assunto será
54
abordado mais detalhadamente no item 3.3.2.5.
B) Fatores devidos ao projeto:
• dimensionamento: ocorre quando o projetista busca máxima economia, com
vistas apenas à obtenção da resistência satisfatória, ou seja, que atenda às
solicitações impostas nas verificações no estado limite último (ELU),
desconsiderando as verificações de deslocamento no estado limite de serviço
(ELS);
• não-linearidade: quando os deslocamentos são determinados sem um
refinamento no cálculo ou sem considerar a não linearidade física do concreto
armado, podendo ser utilizado um momento de inércia efetivo (inércia de
Branson);
• metodologia utilizada: quando se empregam métodos inadequados ou, até
mesmo, desatualizados de cálculo;
• disposição arquitetônica: construção de grandes paredes atravessando o meio
de vãos, sem elementos estruturais próprios para a situação, provocando
trincas e rachaduras nas mesmas;
• relação entre os lados dos painéis das lajes: quando a relação entre os
mesmos for relativamente grande;
• pilares: quando se empregam técnicas de adoção de seção e disposição
arquitetônica de pilares como, por exemplo, o emprego de seções alongadas
na direção do maior vão (conforme figura 3.1), que pode contribuir na
diminuição das tensões nos mesmos;
• adoção de armaduras mínimas: utilização de armadura superior de
compressão, pois, de acordo com Montoya et al (1994), essa armadura ajuda
a reduzir as tensões ali solicitantes, bem como aumentar a ductilidade daquela
região;
55
0.20 0.80 0.200.80
4.40
4.00
0.30
0.30
1.00
0.40
0.30
4.00 4.00
6.004.00
1.00
0.40
Figura 3. 1 Seção de pilares alongados na direção do maior vão
C) Fatores relacionados à etapa de construção:
• recalques: quando ocorrem recalques nas escoras conforme figura 3.2;
• carregamentos: quando as cargas de construção estiverem acima das cargas
de serviço;
• ações de construção: quando as cargas de construção provenientes das
escoras dos pavimentos superiores, conforme processo construtivo utilizado
em edifícios de vários pavimentos, produzem ações de construção que
atingem valores muitos altos, isso porque essas ações aumentam a cada nova
concretagem, conforme figura 3.3;
• cura: quando realizada inadequadamente;
• concretagem: quando a armadura superior da laje (armadura negativa nos
apoios) sai da sua posição durante a etapa de concretagem ou durante a
preparação ou posicionamento da mesma.
56
ao recalque no solo
Deslocamento devido
Recalque no solo
Figura 3. 2 Deslocamentos provenientes de recalque no solo
57
1
2
3
4
n - 1
n
escoradas
Lajes desformadas
e novamente
Laje com concreto fresco
Ação variável de construção
escoras
Formas e
Figura 3. 3 Sistema de lajes formas e escoras em edifícios de vários pavimentos
(SBAROUNIS apud FIGUEIREDO FILHO, 1989)
58
Scanlon e Thompson (1990) desenvolveram uma metodologia para levar em
conta as ações de construção no cálculo dos deslocamentos. Essa técnica consiste em
calcular o momento fletor com as ações de serviço associada às demais. Dessa
maneira, o momento máximo atuante é dado por:
M
a
= 2,3.M
pp
ou M
a
= M
pp
+ M
v
o maior dos dois valores
em que:
M
pp
é o momento devido ao peso próprio da estrutura e
M
v
é o momento devido às ações variáveis.
Essa técnica garante que seja considerado o carregamento proveniente das
escoras ou do acúmulo de materiais de construção em determinados locais
considerados críticos. Porém, vale lembrar que se as ações variáveis acidentais forem
menores das que foram utilizadas para a situação adotada, o dimensionamento
tornar-se-á anti-econômico ou super-dimensionado.
Silvany (1996) salienta que as ações de construção, quando atuam em
concretos novos, provocam fluência maior do que em concretos que foram
carregados após um período de tempo maior e, mesmo com a retirada das cargas,
esse deslocamento não é reduzido. Seria, então, aconselhável combatê-los com
emprego de mais escoras por um período maior ou até o término da obra.
3. 2 Deslocamentos
Para verificação dos deslocamentos em lajes-sem-vigas, primeiramente deve
ser determinado o inicial ou imediato que normalmente ocorre na fase de construção,
para que, posteriormente, possa ser calculada a flecha final. Vale lembrar que os
mesmos são comparados com limites pré-estabelecidos de acordo com os estados
limites de serviço a que está sujeita a estrutura.
Para os estados limites de serviço, os deslocamentos são analisados em
função do tempo de permanência e do tipo do carregamento considerado, sendo que
para suas combinações empregam-se três maneiras diferentes de consideração que,
de acordo com o item 4.1.2.2 da NBR 8681:2003, podem ser classificadas da
59
seguinte forma:
• combinações quase permanentes: são as que podem atuar sobre a estrutura
durante mais da metade do período de vida previsto para a mesma;
• combinações freqüentes: são as que se repetem aproximadamente 10
5
vezes
durante um período de vida de 50 anos ou que tenha uma duração total igual a
uma parte não desprezível desse período da ordem de 5%;
• combinações raras: são as que podem atuar no máximo algumas horas
durante o período de vida da estrutura mas que, mesmo assim, podem colocá-
la em risco.
Quanto às ações, essas também são classificadas pela NBR 8681:2003 em
ações permanentes, variáveis e excepcionais. Nesse caso, deve ser considerado todo
tipo que possa interferir na segurança da estrutura, tanto no estado limite último
como no de serviço.
Conforme item 11.7 da NBR 6118:2003, essas ações devem ser majoradas
por um coeficiente γ
f
dado pela expressão:
γ
f
= γ
f1
. γ
f2
. γ
f3
em que:
γ
f1
considera a variabilidade das ações;
γ
f2
considera a simultaneidade das ações, em que γ
f2
= ψ
0
, ψ
1
ou ψ
2
de
acordo com tabela 3.1 (tabela 11.2 da NBR 6118:2003);
γ
f3
considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja
por desvios gerados nas construções, seja por deficiência do método
de cálculo empregado.
No item 11.7.2 da NBR 6118:2003, em geral o coeficiente de ponderação das
ações para os estados limites de serviço é dado pela seguinte expressão:
γ
f
= γ
f2
em que:
γ
f2
= 1 para as combinações raras;
60
γ
f2
= ψ
1
para as combinações freqüentes e
γ
f2
= ψ
2
para as combinações quase permanentes.
Tabela 3. 1 Valores do coeficiente γ
f2
(Tabela 11.2 da NBR 6118:2003)
γ
f2
Ações
ψ
0
ψ
1
ψ
2
Locais em que não há predominância de pesos de
equipamentos que permaneçam fixos por longos
períodos de tempo nem de elevadas concentrações de
pessoas
2)
0,5 0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo ou de elevadas concentrações de
pessoas
3)
0,7 0,6 0,4
Cargas acidentais
de edifícios
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0
Temperatura
Variação uniforme de temperatura em relação à média
anual local
0,6 0,5 0,3
2)
Edifícios residenciais
3)
Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos
Após definir todas as ações e suas combinações, determina-se o valor de
cálculo para cada caso dado por F
d,serv
, de acordo com o que segue:
• Para as combinações quase-permanentes de serviço, todas as ações variáveis
são consideradas com seus valores quase permanentes, dados pela expressão:
d,serv gi,k 2 j qj,k
F = F .F
+ψ
∑∑
• Para as combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal é
tomada com seu valor freqüente e todas as demais ações variáveis com seus
valores quase permanentes, dados pela expressão:
d,serv gi,k 1 q1,k 2j qi,k
F = F +
ψ . F + ψ . F
∑∑
61
• Para as combinações raras de serviço, a ação variável principal é tomada com
seu valor característico e todas as demais com seus valores freqüentes, dados
pela expressão:
d,serv gi,k q1,k 1j qj,k
F = F + F +
ψ . F
∑∑
3.2. 1 Flecha imediata ou inicial
A denominação flecha imediata ou inicial corresponde ao deslocamento que
ocorre imediatamente após a aplicação dos carregamentos devido ao seu peso próprio
quando as escoras são retiradas ou sob qualquer outro tipo de ação de curta duração.
No caso de as cargas de construção não serem elevadas, esses deslocamentos
também são chamados de deslocamentos elásticos, pelo motivo de a laje ainda não
estar fissurada. Esse deslocamento elástico é calculado em edifícios sob condições
normais, ou seja, que não apresentem carregamentos elevados na fase de construção,
para auxiliar na previsão dos deslocamentos finais.
Na fase inicial de projeto, é muito importante tomar certos cuidados com
esses deslocamentos, visto que, em certos casos, as cargas de construção podem ser
maiores que o seu próprio peso, causando uma fissuração prejudicial. Tais
deslocamentos também podem surgir, por exemplo, em decorrência da própria
velocidade da obra. Sob o ponto de vista econômico é interessante e satisfatória uma
desforma rápida para um maior reaproveitamento das formas e escoras, mas as
conseqüências são prejudiciais do ponto de vista estrutural, durável e até mesmo
estético, pois podem causar grandes deslocamentos iniciais que, na maioria dos
casos, são irreversíveis.
A NBR 14931:2003, nos seus itens Sistemas de fôrmas (7) e
Cura e retirada de formas e escoramentos (10), traz recomendações referentes aos
cuidados no dimensionamento e execução, bem como na cura do concreto e retirada
das formas e escoramentos. Ela indica como efetuar uma avaliação do tempo de
permanência para posterior remoção e precauções a serem observadas durante a sua
retirada.
El Sheikh e Chen (1988) analisaram a influência da velocidade de construção
62
(um piso a cada dois dias) nos deslocamentos e verificaram que, em concretos
normais, se comparados com um concreto de alta resistência inicial, os
deslocamentos aumentaram em mais de 50% com a desforma rápida.
3.2. 2 Flechas finais
As flechas finais representam os deslocamentos que tendem a crescer com o
decorrer do tempo em elementos estruturais de concreto armado, devido a alguns
fatores como, por exemplo, a fluência, ações de longa duração, fissuração e retração.
Na sua verificação é esperado que os mesmos estejam dentro dos limites aceitáveis
de acordo com os índices estabelecidos pelo estado limite de deformação excessiva.
O que torna difícil avaliar esses deslocamentos é como quantificar a
interferência direta da fluência nos mesmos. Pesquisas realizadas nos EUA por
Yu e Winter (1960) em vigas de pequena escala com variação da armadura de
compressão mostraram que os deslocamentos devidos à retração e à deformação
lenta, verificados em três idades diferentes (6, 30 e 60 meses), foram no máximo três
vezes o valor dos deslocamentos imediatos. Isso fez com que algumas normas
passassem a recomendar o uso de multiplicadores a serem aplicados aos
deslocamentos imediatos.
Vários pesquisadores encontraram valores bem maiores do que três para a
relação entre os deslocamentos finais e os medidos para carregamentos iniciais, com
diferenças que podem chegar a até 12 vezes mais
1
.
Em função desses e de vários outros parâmetros é que se torna difícil e muito
complexa uma avaliação mais precisa desses deslocamentos. Além disso, a exatidão
dos resultados pode ser prejudicada pelo grande número de variáveis envolvidas no
processo, tais como:
- humanas;
- materiais e ambientais que operam em conjunto;
1
Informações mais detalhadas sobre esse assunto podem ser encontradas em Silvany (1996),
Figueiredo Filho (1989), Taylor e Heiman (1977), Blakey (1961) e Jenkins (1965).
63
- prática construtiva utilizada;
- história do carregamento.
3. 3 Cálculo das flechas
A NBR 6118:2003 não estabelece critérios específicos para o cálculo de
deslocamentos em lajes-sem-vigas, bem como não indica espessuras mínimas, as
quais dispensem o cálculo dos deslocamentos. Ela apenas indica o valor do módulo
de elasticidade longitudinal e transversal estimado a ser utilizado nas análises
elásticas de projeto, isso para quando não forem feitos ensaios e não existirem dados
mais precisos sobre concreto usado na idade de 28 dias, dado por:
E
ci
= 5600 f
ck
1/2
E
cs
= 0,85.E
ci
Quando utilizado o processo elástico aproximado para cálculo dos esforços
que, neste caso, consiste em considerar faixas de lajes trabalhando como vigas, serão
usadas também as recomendações para as mesmas no cálculo dos deslocamentos.
Para o cálculo dos deslocamentos adicionais, os quais ocorrem devido à
aplicação das cargas de longa duração em função da fluência, é utilizado um fator α
f
de multiplicação da flecha imediata.
3.3. 1 Estados limites de serviços (ELS)
As verificações dos estados limites de serviço estão relacionadas com a
durabilidade das estruturas, aparência, conforto e com a boa utilização funcional da
mesma, tanto para os usuários como para o caso de sustentação de máquinas ou
equipamentos especiais e, segundo o item 3.2 da NBR 6118:2003, essas verificações
são classificadas de acordo com alguns estados, da seguinte forma:
• estado limite de formação de fissuras (ELS-F): no qual se inicia a formação
das fissuras;
• estado limite de fissuração ou de abertura das fissuras (ELS-W): compreende
64
as verificações de elementos que trabalham em ambientes agressivos ou
regiões externas da edificação, de maneira a garantir a durabilidade e a
segurança quanto aos estados limites últimos. Nesse estado, as fissuras se
apresentam com aberturas iguais aos valores máximos especificados no item
13.4.2 da NBR 6118:2003, uma vez que essas fissuras abrem caminho para
passagem de agentes que causam a oxidação da armadura e até mesmo a
deterioração do concreto;
• estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF): no qual se verificam as
flechas, ou seja, é o estado em que as deformações atingem os limites
estabelecidos para a utilização normal da estrutura;
• estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE): estado em que as vibrações
atingem os limites estabelecidos para utilização normal da estrutura;
• estado limite de descompressão (ELS-D), estado limite de descompressão
parcial (ELS-DP) e estado limite de compressão excessiva (ELS-CE): essas
verificações são feitas em estruturas de concreto protendido.
No E.L.S., os elementos estruturais solicitados à flexão, na sua maioria,
trabalham parcialmente nos dois estádios: estádio I e estádio II – conforme figura
3.4 – e a separação entre eles é definida pelo momento de fissuração M
r,
tratado no
item 3.3.2.5.
65
Tensões no concreto
c,1
σ
>
σ
c,2
'
ct
f
<
' '
c
σ
1
x
x
1
σ
c
' '
<
f
ct
'
c
σσ
c
'
ct
f
<
' '
c
σ
1
x
Fissuras no concreto
r
estádio 2 (M > M )
Região no Região no
estádio 1estádio 1
Região no
Viga sob carga de serviço
Diagrama de momento fletor
r
M
Carregamento "p"
Figura 3. 4 Elemento, isostático, sob ação de serviço trabalhando nos dois
estádios (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2004)
Neste trabalho será empregada apenas a verificação do ELS - DEF e do
ELS - VE devido ao fato de as mesmas estarem diretamente relacionadas com os
deslocamentos.
3.3.1 1 Estado limite de deformação excessiva
Para as verificações dos estados limites de deformações excessivas, devem-se
seguir as análises:
• combinação das ações a serem empregadas;
• as características geométricas das seções dos elementos;
• os efeitos da fissuração;
• os efeitos da fluência;
66
• comparação das flechas calculadas com os valores limites, pois elas estão
diretamente ligadas à destinação ou tipo de elemento estrutural e, de acordo
com a NBR 6118:2003, são valores práticos utilizados para verificar o estado
limite de deformação excessiva da estrutura.
Esses limites sejam por deslocamentos ou por vibrações indesejáveis em
elementos estruturais, são classificados da seguinte maneira:
o efeitos estruturais em serviços: são os deslocamentos que podem
impedir a utilização adequada da construção e seus limites são
classificados de acordo com a tabela 3.2. (tabela 13.2 da
NBR 6118:2003);
Tabela 3. 2 Limites para deslocamentos (tabela 13.2 da NBR 6118:2003)
Razão da
limitação
Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite
Superfícies que
devem drenar
água
Coberturas e varandas Total ℓ / 250
1)
Total
ℓ / 350 +
contraflecha
2)
Pavimentos que
devem
permanecer
planos
Ginásios e pistas de
boliche
Ocorrido após a construção
do piso
ℓ / 600
Elementos que
suportam
equipamentos
sensíveis
Laboratórios
Ocorrido após nivelamento
do equipamento
De acordo com
recomendação do
fabricante do
equipamento
1)
As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por
contraflechas, de modo a não acumular água.
2)
Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação da contraflecha,
entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio no plano maior que ℓ / 350.
o efeitos em elementos não estruturais: são os deslocamentos que
podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de
não fazerem parte da estrutura, estão ligados a ela e seus limites são
classificados de acordo com a tabela 3.3 (tabela 13.2 da
NBR 6118:2003);
67
Tabela 3. 3 Limites para deslocamentos (tabela 13.2 da NBR 6118:2003)
Razão da
limitação
Exemplo Deslocamento a considerar
Deslocamen-to
limite
Alvenaria, caixilhos e
revestimentos
Após a construção da parede
ℓ / 500
3)
ou
10 mm ou
θ = 0,0017 rad
4)
Divisórias leves e
caixilhos telescópicos
Ocorrido após a instalação da
divisória
ℓ / 250
3)
ou
25 mm
Movimento lateral de
edifícios
Provocado pela ação do vento
para combinação freqüente (ψ
1
= 0,30)
H / 1700 ou
H
i
/ 850
5)
entre
pavimentos
6)
Paredes
Movimentos térmicos
verticais
Provocado por diferença de
temperatura
ℓ / 400
7)
ou
15 mm
Movimentos térmicos
horizontais
Provocado por diferença de
temperatura
H
i
/ 500
Revestimentos colados
Ocorrido após a construção do
forro
ℓ / 350
Forros
Revestimentos pendurados
ou com juntas
Deslocamento ocorrido após
construção do forro
ℓ / 175
Pontes rolantes Desalinhamento de trilhos
Deslocamento provocado pelas
ações decorrentes da frenação
H
i
/ 400
3)
O vão ℓ deve ser tomado na direção da qual a parede ou divisória se desenvolve;
4)
Rotação nos elementos que suportam paredes;
5)
H é a altura total do edifício e H
i
, o desnível entre dois pavimentos vizinhos;
6)
Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de
ações horizontais. Não devem ser incluídos deslocamentos devidos a deformações axiais dos pilares. O
limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a
duas paredes de contraventamento, quando H
i
representa o comprimento do lintél;
7)
O valor ℓ refere-se à distancia entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.
o efeitos em elementos estruturais: são os deslocamentos que podem
afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando
afastamento em relação à hipótese de cálculo adotada. Se esses
deslocamentos forem relevantes para o elemento estrutural analisado,
68
seus respectivos efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da
estrutura deverão ser considerados de maneira que sejam incorporados
ao modelo estrutural adotado.
3.3.1 2 Estados limites de vibrações excessivas
O estado limite de vibrações excessivas é o estado em que se verifica a
aceitabilidade sensorial, característico das vibrações, podendo tornar-se indesejável e
até mesmo interferir no efeito visual. Seus limites são classificados de acordo com a
tabela 3.4 (tabela 13.2 da NBR 6118:2003).
Tabela 3. 4 Limites para deslocamentos (tabela 13.2 da NBR 6118:2003)
Razão da
limitação
Exemplo Deslocamento a considerar
Deslocamen-to
limite
Visual
Deslocamentos visíveis
em elementos estruturais
Total ℓ / 250
Outro
Vibrações sentidas no
piso
Devido a cargas acidentais ℓ / 350
Com relação às tabelas de valores limites anteriormente apresentados, a
NBR 6118:2003 traz algumas notas:
- Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão ℓ
suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movam. Quando se
tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do
comprimento do balanço.
- Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que
o valor ℓ é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, em
que interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse
valor a duas vezes o vão menor.
- O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações
características ponderadas pelos coeficientes, definidos de acordo com a seção 11 da
69
NBR 6118:2003.
- Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por
contraflechas.
O item 14.7.2.2 da NBR 6118:2003 que trata dos apoios estabelece que,
quando os mesmos puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à
translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela expressão:
ef 0 1 2
aa
=++
AA
(conforme figura 3.5);
em que:
ℓ
ef
comprimento efetivo;
ℓ
0
comprimento entre as faces internas dos apoios;
a
1
menor valor entre (t
1
/2 e 0,3.h);
a
2
menor valor entre (t
2
/2 e 0,3.h).
Apoio de vão extremo
h
Apoio de vão intermediário
00
1
tt
2
Figura 3. 5 Vão efetivo
3.3. 2 Cálculo dos deslocamentos nas lajes-sem-vigas
De acordo com o item 14.7.8 da NBR 6118:2003, a análise estrutural das
lajes sem vigas, incluindo o cálculo dos deslocamentos, pode ser realizada de duas
maneiras:
70
o mediante o emprego de procedimento numérico adequado pelas
diferenças finitas, elementos finitos e elementos de contornos;
o por meio do processo elástico aproximado, conforme segue.
3.3.2. 1 Cálculo dos deslocamentos por meio de procedimento numérico
Quando se emprega o procedimento numérico adequado, por exemplo, por
diferenças finitas, elementos finitos e elementos de contorno, os mesmos são
executados por programas computacionais e, na sua maioria, já o fazem
considerando a não linearidade do concreto, por meio de algumas alterações como: o
coeficiente de rigidez a torção, utilização da inércia média dada por Branson, ou até
mesmo o “coeficiente de Poisson”, o qual faz com que o módulo de deformação
transversal do concreto diminua.
Figueiredo Filho (1989) realizou uma comparação entre o método de analogia
de grelha, a solução aproximada da equação diferencial das placas elásticas e o
método dos elementos finitos. Para que os deslocamentos obtidos analiticamente na
aplicação do método de analogia de grelha fossem razoavelmente próximos dos
deslocamentos reais, o mesmo utilizou a seguinte característica mecânica do
concreto:
E
c
= 14,0 GPa G
c
= 2,10 GPa
Pode-se notar que, para determinação do módulo de deformação transversal,
foi utilizada a seguinte relação:
G
c
= 0,15 . E
c
Percebe-se que a equação leva em conta de maneira aproximada o efeito da
fissuração do concreto.
Por meio disso, o autor concluiu que os valores obtidos pela analogia de
grelhas ficaram bem próximos dos valores obtidos pelo método dos elementos
finitos, apresentando uma conformidade aceitável entre ambos.
Carvalho (1994) estudou a análise não linear por meio da analogia de grelhas
e analisou a influência do “coeficiente de Poisson” (ν) na consideração da rigidez da
71
seção do elemento de viga e do elemento de placa, em que foi considerada uma faixa
de largura b e altura h.
A rigidez de uma viga de seção retangular é dada por:
3
v
b.h
KE.
12
=
A rigidez da placa é dada por:
3
p
2
b.h
K=E.
12.(1-
ν )
A diferença de rigidez entre os elementos apresentados está diretamente
ligada à variação de ν.
Na análise da viga isolada, o “coeficiente de Poisson” não altera o valor dos
deslocamentos, porém na grelha esse valor é afetado, pois, na formulação da grelha,
é usado o valor do módulo de elasticidade transversal dado por:
E
G=
2.(1+
ν)
Dessa maneira, quando ocorre o aumento do “coeficiente de Poisson”, a
rigidez da placa dada por K
p
(teoria das placas delgadas ou teoria de Kirchhoff)
também aumenta, conseqüentemente diminuem seus deslocamentos. Por outro lado,
no emprego da analogia de grelhas, que considera a não linearidade, ao se alterar o
módulo de elasticidade transversal G, com o aumento do “coeficiente de Poisson” (ν)
resulta aumento dos deslocamentos.
Tendo conhecimento dessas técnicas, torna-se possível a utilização do
método de analogia de grelhas, através do GPLAN3, efetuando-se algumas
configurações preliminares, conforme descrito a seguir:
• as características geométricas que devem ser consideradas para as barras da
grelha equivalente são de dois tipos: as do elemento placa (laje maciça) e as
do elemento viga-placa (viga-laje para o caso de laje maciça apoiada em
vigas, na consideração da rigidez da laje com a viga onde a mesma se apóia;
lajes nervuradas e lajes de vigotas pré-moldadas). O cálculo da inércia à
flexão dos elementos de placa é feito considerando-se uma faixa de largura b,
72
a qual é dada pela soma da metade dos espaços entre os elementos vizinhos, e
altura h, representada pela espessura da placa. Para se avaliar a parcela
geométrica da rigidez à torção, no estádio I, segundo Hambly (1976), deve-se
considerar o dobro da rigidez à flexão. Assim, pode-se formular para um
elemento de placa:
3
f
b . h
I=
12
3
tf
b . h
I = 2 . I =
6
em que:
I
f
e I
t
são respectivamente os momentos de inércia à flexão e à torção do
elemento de placa.
• para o elemento viga-placa, na flexão, pode-se considerar uma parte da placa
trabalhando como mesa da viga, configurando – dependendo da posição –,
uma viga de seção T ou meio T. Uma vez determinada a largura colaborante,
a inércia à flexão da seção resultante pode ser calculada supondo a peça
trabalhando tanto no estádio I como no II.
• de maneira simplificada, a inércia à torção do elemento viga no estádio I pode
ser calculada admitindo-a com seção retangular, sem levar em consideração a
contribuição da laje adjacente; ainda, para considerar as lajes apoiadas nas
vigas, seu valor pode ser, em primeira aproximação, tomado como 10%
daquele dado pela resistência dos materiais, ou seja:
3
t
b. h
I =0,1.
3
em que:
b e h são, respectivamente, a largura e altura do elemento viga.
Os valores do módulo de deformação longitudinal à compressão do concreto
E
c
(MPa), do módulo de deformação transversal do concreto G
c
(MPa) e do
“coeficiente de Poisson” (ν), relativo às deformações elásticas, podem ser
determinados a partir das recomendações da NBR 6118:2003, de acordo com a
73
tabela 3.5
2
.
Tabela 3. 5 Características mecânicas do concreto
Módulos e “coef. Poisson” NBR 6118:1980 NBR 6118:2003
Módulo de deformação
longitudinal
cck
E 6600. f 3,5
=+
cck
E 5600. f
=
Módulo secante de
deformação longitudinal
(ações de curta duração)
cck
E 0,9.6600. f 3,5
=+
cck
E 0,85.5600. f
=
Módulo de deformação
transversal
cc
G0,4.E
=
cc
G0,4.E
=
“Coeficiente de Poisson”
ν = 0,2 ν = 0,2
Uma outra maneira de levar em conta o efeito da fissuração do concreto é o
emprego da inércia média de Branson, tratado no item 4.3.2.3.
No final deste capítulo, serão feitos dois exemplos de cálculos e serão
utilizados o processo de analogia de grelhas por meio do GPLAN3 e método dos
elementos finitos com o CYPECAD 2003, efetuando-se as comparações entre os
resultados obtidos.
3.3.2. 2 Cálculo dos deslocamentos por meio do processo elástico aproximado
Este processo pode ser utilizado para os casos em que os pilares estiverem
dispostos em filas ortogonais, de maneira regular e com vãos com pouca diferença
entre si. Esse método consiste em adotar pórticos múltiplos em cada direção, para
obtenção dos esforços solicitantes e conseqüentemente dos deslocamentos. Será
2
Nessa tabela são apresentados também os valores anteriores à NBR 6118:2003, em comparação
com os atuais.
74
elaborado aqui um pequeno roteiro para o cálculo dos deslocamentos em vigas de
concreto armado, dentro dos princípios e dos conceitos estabelecidos na
NBR 6118:2003 e de acordo com fruto de diversos estudos realizados em Carvalho e
Figueiredo Filho (2004):
•
Vale lembrar que, quando o cálculo dos deslocamentos em lajes sem vigas é
realizado pelo processo dos pórticos equivalentes, considerado como um
processo aproximado, esta metodologia também pode ser aplicada quando os
momentos fletores são determinados pelo método direto proposto pelo ACI.
A análise é feita baseando-se nos trabalhos realizados por Nilson,
Arthur, Walters (1975) e Kripanarayanan, Branson (1976), observando-se cada
direção separadamente, pois o deslocamento da laje na borda apresenta diferença
com relação ao seu centro. Isso ocorre devido à variação do momento fletor e da
rigidez à flexão ao longo da largura da seção da laje.
Dividindo-se a laje em faixas, como propõe o método, têm-se duas faixas de
pilares e a faixa central. O deslocamento total no centro de uma faixa é dado pela
expressão:
faixa ref,faixa
θ,esq θ,dir
W = W + W + W
Para determinar o deslocamento de referência na faixa W
ref,faixa
, faz-se
necessário determinar um deslocamento de referência W
ref
, o qual corresponde ao
deslocamento de uma viga biengastada, com carregamento distribuído
uniformemente, dado de acordo com a expressão seguinte:
4
ref
c port
p .
W =
384 . E . I
A
em que:
p é o carregamento distribuído uniformemente;
ℓ é o vão na direção considerada;
E
c
é o módulo de elasticidade do concreto;
I
port
é o momento de inércia da seção de largura total do pórtico.
75
O deslocamento de referência na faixa W
ref,faixa
é correspondente à
multiplicação da seguinte relação:
faixa
ref,faixa
cfaixa
port
ref
c port
M
W
E.I
=
M
W
E.I
faixa c port
ref,faixa ref
port c faixa
M E . I
W = W . .
ME . I
O deslocamento W
θ
é referente à rotação do apoio.
θ
θ .
W =
8
A
em que:
θ é a rotação do pilar no nível analisado e é dada por:
eq
M
=
K
∆
θ
em que:
∆M é o momento descompensado no pilar e
K
eq
é a rigidez do pilar equivalente.
O valor final do deslocamento no centro da laje é dado pela soma do
deslocamento na faixa dos pilares em uma direção e o deslocamento na faixa central
na outra direção, ou seja, perpendicular à primeira, conforme figura 3.6 dado na
expressão:
total mx cy my cx
W = W + W = W + W
76
cx
W
W
cx
W
cy
W
t
cy
W
Linha de apoio
x
A
A
y
W
cy
my
W
cy
W
Linha de apoio
Linha de apoio
W
cx
W
mx
cx
W
y
A
A
x
Linha de apoio
Figura 3. 6 Cálculo dos deslocamentos em laje-sem-vigas
(NILSON; ARTHUR; WALTERS, 1975)
Para o processo em que se adota o elemento de laje como viga, a
consideração da fissuração do concreto é feita utilizando a inércia média de Branson.
Nesse caso, para sua determinação, é necessário conhecer algumas características
geométricas da seção do elemento, trabalhando no estádio I, com e sem a presença de
armação, e no estádio II puro.
77
3.3.2. 3 Características da seção do elemento de laje sem vigas trabalhando no
estádio I
No elemento do pórtico de largura b e altura h, a faixa de laje é considerada
como viga conforme figura 3.7.
Figura 3. 7 Processo dos pórticos múltiplos
Considerando que as vigas sejam executadas com materiais que seguem as
leis da “resistência dos materiais”, o cálculo dos deslocamentos em um ponto
qualquer é feito pelo princípio dos trabalhos virtuais, a partir da função dos
momentos fletores devido ao carregamento atuante, à carga unitária concentrada, dos
valores do módulo de elasticidade dos materiais e da inércia da seção transversal, de
acordo com a seguinte equação:
x=
01
x=0
M . M
a = dx
E . I
∫
A
78
em que:
a é a flecha, quando o ponto de verificação escolhido coincidir com o
deslocamento máximo (nomenclatura da NBR 6118:2003);
M
0
é o momento fletor devido ao carregamento atuante;
M
1
é o momento fletor devido a uma carga unitária concentrada (virtual);
x é a cota de 0 a ℓ da seção geométrica da viga;
E é o modulo de elasticidade do material;
I é a inércia da seção transversal da viga;
No entanto, para um elemento de concreto armado, o cálculo da flecha é mais
complexo, devido ao fato do material não ser homogêneo, pois apresenta a presença
de armadura, como também de regiões fissuradas ou não no mesmo elemento. Isso
faz com que, ao ser analisado sob ação de serviço, trabalhe em dois estádios ao
mesmo tempo, o que diminui consideravelmente sua rigidez em regiões onde o
concreto estiver fissurado, como pôde ser visto na figura 3.4.
Por não haver linearidade entre os esforços e deslocamentos nas verificações
dos estados limites de serviço, é preciso considerar diversas combinações de ações.
Inicialmente consideram-se as inércias da seção do concreto armado trabalhando nos
estádios I e II, já que se em uma viga há seções trabalhando nas duas situações, sua
rigidez é substancialmente afetada pelo momento e pelo grau de fissuração do
concreto. Assim, para fazer com que essa condição se reflita e possibilite o cálculo
da flecha, considerando essa não linearidade do concreto armado, faz-se necessária a
obtenção de uma inércia média, calculada pelo trabalho nos estádios I e II.
Em elementos de concreto armado, a armadura e o concreto trabalham
solidariamente e o posicionamento da armadura afeta de maneira direta o centro de
rotação e a rigidez da seção. Nesse caso, deve ser feita a homogeneização da seção
que consiste em considerar, na área de aço, uma área de concreto equivalente,
supondo-se que, a partir daí, exista uma linearidade entre tensão e deformação (Lei
de Hooke) e, como as deformações do aço e do concreto são iguais, pode-se afirmar:
79
cs s s s s s s s c s
ε =ε = R =A . σ = A . ε . E = A .
ε . E
em que:
R
s
é a força atuante;
A
s
é a área de armadura;
Є
s
é a deformação específica do aço;
E
s
Módulo de deformação longitudinal do aço;
Além disso, na homogeneização, para encontrar uma área de concreto
equivalente à área de aço e que suporte a mesma força, pode-se escrever:
s c,equiv c c
R=A .
ε . E
em que:
E
c
é o módulo de deformação longitudinal do concreto;
Ao se igualar as duas expressões anteriores de R
s
, é possível encontrar a
relação entre a área de concreto e a de aço:
ss
s c s c,equiv c c c,equiv
c
A.E
A . ε . E = A . ε . E A
E
→=
Chamando a relação entre o módulo de deformação do concreto e do aço de
α
e
, tem-se:
c,equiv s e
A = A .
α
Para uma seção transversal retangular de concreto armado, a qual é composta
por uma área de concreto dada por
b.h e uma área de aço A
s
, a área equivalente é
escrita da seguinte forma:
c,equiv s e
A = A . (
α - 1)
Na expressão anterior, tira-se 1 de
α
e
para considerar que, na posição da
armadura, a área de concreto já foi computada uma vez quando utilizado para o
cálculo da área b.h.
Ao se efetuar a homogeneização da seção que é a transformação da área de
aço em concreto equivalente, pode-se, depois disso, calcular de maneira usual todas
80
as características geométricas da seção.
Para estruturas hiperestáticas como vigas, grelhas e pórticos, por exemplo,
faz-se necessária a definição das características geométricas dos diversos elementos
para a determinação dos esforços solicitantes, mesmo que seja através do emprego de
programas computacionais. É usual escolher inicialmente as características das
seções transversais compostas somente por concreto, desconsiderando a presença de
armadura.
Para seções retangulares, conforme figura 3.8, as expressões para
determinação das características geométricas no estádio I sem a presença de
armaduras encontram-se na tabela 3.6 e para o estádio I com a presença de armaduras
estão na tabela 3.7.
Seção tranversal retangular com armadura - Estádio I
Seção tranversal retangular sem armadura - Estádio I
cg
w
b
A
S
b
w
h
cg
S
A
d
y
h
h
y
cg
Figura 3. 8 Elemento de seção transversal retangular
81
Tabela 3. 6 Características geométricas de seções retangulares no estádio I, sem
a presença de armadura
Expressões
Área da seção
gw
A = b . h
Centro de gravidade
w
cg
g
h
b . h .
2
y =
A
Momento de inércia à
flexão
3
w
2
gwcg
b.h h
I = + b . h . (y - )
12 2
Tabela 3. 7 Características geométricas de seções retangulares no estádio I, com
a presença de armaduras.
Expressões
Área da seção
hw se
A = b . h + A . (
α - 1)
Centro de
gravidade
wse
h
g
h
b . h . + A . (
α - 1) . d
2
y =
A
Momento de
inércia à flexão
3
w
22
hwcgseh
b.h h
I = + b . h . (y - ) + A . (α - 1)
. (y - d)
12 2
em que:
s
e
cs
E
=
E
α
cs ck
E = 0,85 . 5600 . f
82
3.3.2. 4 Características da seção do elemento de laje sem vigas trabalhando no
estádio II
Este é o estádio em que as tensões resistentes de tração do concreto abaixo da
linha neutra são menores que as atuantes provocando, assim, a fissuração ou estado
de fissuração. Nesse estado, os esforços de tração são resistidos apenas pela
armadura localizada abaixo da linha neutra.
Usualmente esse estado é chamado de estádio II puro, pelo fato de todo o
concreto da região fissurada ser desprezado. O momento atuante é maior que o
momento de fissuração e atua até o início do escoamento da seção. As tensões de
compressão do concreto se distribuem triangularmente, conforme figura 3.9. Os
esforços de tração são resistidos apenas pela armadura abaixo da linha neutra. O
escoamento do aço e do concreto não ocorre.
A
S
w
b
A
S
'
d
'
II
h
x
d
x
II
t
R
R
c
s
M > M
r
Figura 3. 9 Seção transversal retangular no estádio II puro
Antes de iniciar o cálculo do momento de inércia no estádio II puro, é
necessário determinar a posição da linha neutra que, dependendo do tipo de seção,
segundo Carvalho e Figueiredo Filho (2004), pode ser determinada como segue:
a) Determinação da posição x da linha neutra para uma seção qualquer
Seja uma seção com um eixo de simetria, no estádio II, e com armaduras de
tração A
s
(com tensão
1
σ
) e de compressão
'
s
A
(com tensão
2
σ
), conforme a figura
3.10, submetida a um momento fletor M.
83
s
A
A'
s
y
b
1
σ
s
A
σ
y
σ
1
ε
d
yy
b
ε
y
2
A'
s
2
ε
σ
y
ε
cc
σ
Deformações
y
x
y
d '
d
d
A
s
s
A'
Tensões
Figura 3. 10 Tensões, forças e deformações em uma seção qualquer no estádio II
Em um elemento de concreto distante y da linha neutra, de área
yy
db
⋅
e
tensão
y
σ
, a resultante de força nesse elemento será
yyy
db
⋅
⋅
σ
. Integrando para
toda a zona de concreto comprimido (região acima da linha neutra de profundidade
x), resulta:
yy
x
0
yc
dbF ⋅σ⋅=
∫
(1)
O equilíbrio de esforços normais na seção (forças no concreto comprimido e
nas armaduras), destacando novamente que x é a profundidade da linha neutra no
estádio II, é dado por:
0AAdb
1s2
'
syy
x
0
y
=σ⋅−σ⋅+⋅σ⋅
∫
(2)
Considerando, agora, que as seções permanecem planas (linearidade de
deformações) e que no estádio II as tensões também são lineares e, novamente,
tomando y como a distância da linha neutra até o elemento, resulta:
x)xd()'dx(y
c
e
1
e
2
y
σ
=
−⋅α
σ
=
−⋅α
σ
=
σ
(3)
84
em que:
e
α
a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto (relação
de equivalência) e
c
σ
a máxima tensão de compressão no concreto.
Substituindo na equação (2) as tensões
y
σ
,
1
σ
e
2
σ
em função de
c
σ
,
tiradas das relações (3), obtém-se:
0
x
)xd(
A
x
)'dx(
Ad
x
y
b
ec
s
ec
'
sy
c
x
0
y
=
−
⋅
α
⋅
σ
⋅−
−
⋅
α
⋅
σ
⋅+⋅
⋅
σ
⋅
∫
0)xd(A)'dx(Adyb
ese
'
sy
x
0
y
=−⋅α⋅−−⋅α⋅+⋅⋅
∫
Chamando
x
xyy
0
Sbyd
=⋅⋅
∫
de momento estático da zona comprimida de
concreto em relação à linha neutra, tem-se:
0)xd(A)'dx(AS
ese
'
sx
=−⋅α⋅−−⋅α⋅+
(4)
Finalmente, chamando de
ef,x
S
o momento estático da seção homogênea,
formada pela zona comprimida de concreto mais as armaduras multiplicadas pelo
coeficiente de equivalência e lembrando que na seção de concreto já foi considerada
uma vez a armadura comprimida, resulta:
(
)
0)xd(A)'dx(1ASS
ese
'
sxef,x
=−⋅α⋅−−⋅−α⋅+=
(5)
Com a equação (5) é possível determinar o valor de x (profundidade da linha
neutra no estádio II) para uma seção qualquer.
b) Determinação da posição x
II
da linha neutra no estádio II para seções retangulares
ou T
Resolvendo a integral
y
x
0
yx
dybS ⋅⋅=
∫
para uma seção retangular de
largura b
w
(b
y
= b
w
= cte) e altura h, obtém-se:
85
2
x
b
2
y
bdybdybS
2
w
x
0
x
0
2
wywy
x
0
yx
⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅=
∫∫
(6)
Observa-se que S
x
é o produto da área acima da linha neutra pela distância do
seu centro à linha neutra. De forma genérica, é o produto de uma área acima (ou
abaixo) da linha neutra pela distância do seu centro geométrico até a própria linha
neutra.
Assim, para uma seção retangular ou T, no estádio II, ou seja, quando atua
um momento maior que o de fissuração, para se encontrar a posição da linha neutra
basta fazer com que o momento estático da seção homogênea (
ef,x
S
) seja igual a
zero. Para a seção T indicada na figura 3.11, resulta:
M>Mz
x
ε
ε
h
d
x
A
d'
h
a) seção transversal b) deformações b) tensões e resultantes
σ
II
II
c
s
c
s
t
s
A
'
b
f
r
C
T
b
w
f
c
Figura 3. 11 Seção transversal em forma de "T" no estádio II puro.
() ()( )
()
fII
'
x,ef f w f II w II e s II
es II
hx
S=b-b.h.x- +b.x. +
α -1 .A . x -d' -
22
-
α .A . d-x =0
() () () ()
2
w
2' '
f
fw fII fw II e sII e s
es esII
h
b
b-b .h.x -b-b . + .x +
α -1 .A .x - α -1 .A .d'-
22
-α .A .d+α .A .x
=0
(7)
86
( ) () ()
()
w
2''
II f w f e s e s II e s
2
f
es fw
b
.x + b -b .h +
α -1 .A +α .A .x - α -1 .A .d'-
2
h
-
α .A .d- b -b . =0
2
(8)
Essa é uma equação do segundo grau completa, da forma:
0axaxa
3II2
2
II1
=+⋅+⋅
em que:
2/ba
w1
=
(
)
(
)
se
'
sewff2
AA1bbha ⋅α+⋅−α+−⋅=
() ()
wf
2
f
se
'
se
'
3
bb
2
h
AdA1da −⋅−⋅α⋅−⋅−α⋅−=
com
'
d
sendo a distância do centro de gravidade da armadura comprimida
'
s
A até a borda comprimida de concreto.
Para situações em que a viga tem seção transversal retangular e não há
armadura negativa, as equações também são válidas, bastando fazer
fw
bb
=
,
0h
f
=
e
0A
'
s
=
.
Com a posição x
II
da linha neutra é possível calcular o momento de inércia no
estádio ΙΙ puro da seção homogeneizada, pela equação abaixo:
0
3
wII
2''2
xII e s II e s II
b . x
I = + α . A . (x - d) + (α - 1) .
A . (x - d)
3
3.3.2. 5 Efeito da fissuração
Calculadas as respectivas inércias nos dois estádios, Branson (1968) propõe
um modelo simplificado que admite para todo o elemento de concreto uma única
inércia, representando, assim, o elemento trabalhando nos dois estágios. Dessa
87
forma, o autor procura considerar de uma maneira empírica e semiprobabilística o
efeito da fissuração do concreto quando submetido à flexão, no cálculo dos
deslocamentos. Essa expressão utiliza um procedimento que adota um valor
intermediário da inércia no estádio I e o valor final da inércia do estádio II puro, de
acordo com o que segue:
rr
nn
mI II
at at
MM
I = ( ) . I + [1 - ( ) ] . I
MM
em que:
I
m
é o momento de inércia efetivo para viga bi-apoiada e momento de
inércia médio para vigas continuas;
I
I
é a inércia da seção no estádio I (bruta ou homogeneizada);
I
II
é a inércia da seção no estádio II puro;
M
r
é o momento de fissuração do concreto dado por:
ct c
r
t
.f .I
M =
y
α
em que:
α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à
tração na flexão com a resistência à tração direta e assume dois
valores:
1,2 para seções
T ou duplo T;
1,5 para seções retangulares;
y
t
é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais
tracionada;
I
c
é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
f
ct
é a resistência à tração direta do concreto e, de acordo com o
item 8.2.5 da NBR 6118:2003, a resistência à tração direta do
concreto pode ser considerada da seguinte forma:
f
ct
= 0,90.f
ct,sp
88
f
ct
= 0,70.f
ct,t
ou, na falta de ensaios para obtenção de f
ct,sp
e f
ct,f
, pode ser
avaliado o seu valor médio ou característico, por meio das
seguintes equações:
f
ct,m
= 0,30.f
ck
2/3
f
ctk,inf
= 0,70.f
ct,m
f
ctk,sup
= 1,30.f
ct,m
em que:
f
ct,m
e f
ck
são expressos em MPa (sendo f
ck,j
≥ 7 Mpa e estas
expressões também podem ser usadas para idades diferentes
de 28 dias).
De acordo com o item 17.3.1 da NBR 6118:2003, para
determinação do momento de fissuração, deve ser usado o
f
ct,inf
, no estado limite de formação de fissura e o f
ct,m
, no
estado limite de deformação excessiva. Nesse caso, a equação
apresentada anteriormente fica da seguinte forma:
2
3
ck c
r
t
α . 0,30 . f . I
M =
y
M
at
é o momento atuante na seção mais solicitada;
n é um índice que assume dois valores:
4 - quando a análise é feita apenas em uma seção da peça;
3 - quando a análise é feita ao longo de todo seu comprimento;
No item 17.3.2.1.1 da NBR 6118:2003, para avaliação aproximada de flecha
em vigas de concreto armado, foi feita uma adaptação da expressão de Branson, que
calcula uma rigidez equivalente da viga, de acordo com o seguinte:
rr
33
eq cs c II cs c
at at
MM
(E.I) = E .{( ) . I + [1 - ( ) ] . I }
E . I
MM
≥
em que:
89
I
c
é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
I
II
Momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II
calculado com o coeficiente
s
e
cs
E
=
E
α
;
E
cs
módulo de elasticidade secante do concreto que, de acordo com o item
8.2.8 da NBR 6118:2003
cs ck
E = 0,85 . 5600 . f
, dado em MPa.
Utilizados os procedimentos descritos acima, pode-se então efetuar o cálculo
dos deslocamentos imediatos ou instantâneos, em vigas, pela equação da resistência
dos materiais abaixo:
4
c
eq
.p.
a
(E.I)
α
=
A
;
em que:
p é carga proveniente da situação em serviço a ser verificada;
ℓ é o vão da viga
(E.I)
eq
é a rigidez equivalente;
α
e
coeficiente que depende da condição estática do sistema como, por
exemplo, para vigas simplesmente apoiadas e com carregamentos
uniformemente distribuídos α
e
= 5/384
Carvalho (1994) destaca que para a utilização da expressão de Branson para
lajes, a mesma pode ser usada junto com a técnica de dividir o elemento em trechos e
fazer o carregamento da estrutura por etapas, avaliando, em cada uma, qual o nível
de fissuração do trecho.
Deve ser lembrado que na utilização da expressão da resistência dos materiais
no cálculo dos deslocamentos dados acima, a seção ao longo da peça deve ser
constante e nos valores de deslocamentos obtidos não está sendo considerado o efeito
da fluência do concreto. Esse será o assunto do próximo item.
90
3.3.2. 6 Fluência
Fluência é o efeito que ocorre no concreto, provocando a perda de sua
resistência e o aparecimento de deformações (deslocamentos) indesejáveis, quando
ele estiver sendo solicitado por tensões constantes.
Esse fenômeno, depois de ocorrido, pode ser parcialmente reversível. Isso
ocorre quando se retira o carregamento que o ocasionou, fazendo com que uma
parcela desse deslocamento seja restituída imediatamente; uma outra parte seja
restituída ao longo do tempo e o restante torna-se permanente. Essas parcelas podem
ser caracterizadas por:
•
deformações rápidas: são as que ocorrem nas primeiras 24 horas após a
aplicação do carregamento. Essas deformações são irreversíveis;
•
deformação lenta: são compostas por uma parte reversível e outra
irreversível.
A retração, que é a variação volumétrica que uma peça de concreto sofre ao
longo do tempo, causado principalmente pela saída de água da pasta de concreto,
provocando um fenômeno também chamado de “murcha”, pode contribuir para o
aumento das deformações. No entanto, por essa parcela ser muito pequena, ela é
desprezada na maioria dos cálculos.
A fluência origina-se por causa das ações permanentes, porém, para o cálculo
das mesmas, é utilizada a combinação quase permanente, dada pela expressão
abaixo, conforme já foi visto no item 3.2:
d,serv gi,k 2 j qj,k
F = F .F
+ψ
∑∑
A utilização da combinação quase-permanente ocorre porque se considera
que parte da carga acidental atua permanentemente ao longo do período de vida da
estrutura.
O efeito da fluência ocorre apenas onde o concreto estiver sendo solicitado e
sem a presença de armadura. Além disso, de acordo com Carvalho e Figueiredo Filho
(2004), em peças fletidas, onde a armadura é posicionada na região tracionada, a
contribuição do concreto à tração é desprezada para o efeito de cálculo, admitindo-
91
se, assim, que não ocorre a fluência nessa região.
Na NBR 6118:1980, para as ações de longa duração, permitia-se avaliar os
deslocamentos finais com o produto do valor do deslocamento imediato pela relação
das curvaturas final e inicial, na seção de maior momento em valor absoluto, por
meio da expressão a seguir:
cs
d
ε+ε
α=
em que:
ε
s
era considerado constante;
ε
cf
= 3.ε
ci
para aplicação do carregamento logo após execução;
ε
cf
= 2.ε
ci
para aplicação do carregamento seis meses após a
concretagem.
Para a NBR 6118:2003, de acordo com seu item 17.3.2.1.2, para o cálculo
aproximado da flecha adicional deferida no tempo, decorrente de cargas de longa
duração, em função da fluência, multiplica-se a flecha imediata pelo fator α
f
, dado
pela seguinte expressão:
f
'
∆ξ
α =
1 + 50 .
ρ
em que:
'
s
'
A
ρ =
b . d
o valor de ρ’ será ponderado no vão da mesma forma que o cálculo da inércia
equivalente I
eq
.
A
s
’
é a área de armadura de compressão no trecho considerado;
ξ é um coeficiente em função do tempo que pode ser obtido de duas
maneiras:
Pela expressão
∆ξ = ξ(t) – ξ(t
0
);
92
em que:
t0,32
ξ (t) = 0,68 . (0,996 ) . t
para t ≤ 70 meses;
ξ (t) = 2
para t > 70 meses;
t é o tempo em meses quando se deseja o valor da flecha
diferida
t
0
é a idade em meses relativa à aplicação da carga de
longa duração. Para o caso em que as parcelas de
carregamento de longa duração forem aplicadas em
idades diferentes, pode-se tomar para
t
0
o valor
ponderado a seguir:
i0i
0
i
P . t
t=
P
∑
∑
P
i
é a parcela de carga;
t
0i
é a idade em meses em que se aplicou cada
parcela P
i
.
Ou pela tabela 3.8 (tabela 17.1 da NBR 6118:2003)
Tabela 3. 8 Valores do coeficiente ξ em função do tempo
(tabela 17.1 da NBR 6118:2003)
Tempo(t)
meses
0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40
≥
70
Coeficiente
ξ(t)
0 0,54
0,68
0,84
0,95
1,04
1,12
1,36
1,64
1,89
2
O valor da flecha total no tempo infinito será dado pela multiplicação da
flecha imediata por (1+α
f
), de acordo com o que segue:
f, t,0 f
a = a . (1 +
α )
∞
93
3. 4 Exemplo de aplicação da Analogia de Grelhas e do Cypecad
Dois dos exemplos de analogia de grelhas semelhantes aos que foram
realizados por Figueiredo Filho (1989), que utilizou o programa GPLAN3 ANSER
(Análise de Sistemas Estruturais e Reticulados), em comparação com a equação
diferencial das placas elásticas e também por Carvalho (1994), foram utilizados neste
trabalho.
Aqui, os exemplos foram calculados da seguinte forma:
Quando da aplicação do processo de analogia de grelhas, para consideração
da não linearidade, foram calculados de acordo com duas diferentes considerações:
1
a
) Foi alterado o módulo de deformação transversal do concreto, adotando
G
c
=0,15.E
c
;
2
a
) Foram alteradas as características geométricas da seção, pela Inércia
Média de Branson.
No caso da aplicação do processo dos elementos finitos, foi utilizado o
programa computacional CYPECAD (2003).
Os modelos adotados, de acordo com as figuras 3.12 e 3.13, possuem as
seguintes características:
Caso 1
Laje maciça apoiada em viga em todo seu contorno, sistema convencional -
laje/viga/pilar, (figura 3.12)
Concreto C-30
Aço CA-50
ℓ
x
= ℓ
y
4,00 m
Laje maciça h = 16 cm
Seção pilares 15 x 15 cm
Seção vigas 120 x 15 cm
Carregamento total 15,00 kN/m
2
(Apenas carregamento permanente).
94
Caso 2
Laje maciça apoiada diretamente nos pilares, sistema de laje-sem-vigas, (figura 3.13)
Concreto C-30
Aço CA-50
ℓ
x
= ℓ
y
4,00 m
Laje maciça h = 16 cm (mínimo exigido pela NBR 6118:2003)
Seção pilares 15 x 15 cm
Carregamento total 15,00 kN/m
2
(Apenas carregamento permanente).
0,15 0,15
1,20
Corte A
A
1,00 1,00 1,00 1,00
1,001,001,001,00
4,15
4,00
4,00
4,15
54321
21 22 23 24 25
16 17 18 19 20
678910
1514131211
0,16
Figura 3. 12 Caso 1 (arq. CYPECAD e malha do GPLAN3)
95
11 12 13 14 15
109876
2019181716
2524232221
12345
4,15
4,00
4,00
4,15
1,00 1,00 1,00 1,00
1,001,001,001,00
A
Corte A
0,16
Figura 3. 13 Caso 2 (arq. CYPECAD e malha do GPLAN3)
Os dados de entrada para o cálculo das lajes no GPLAN3 tiveram alguns
valores alterados em duas situações:
Na primeira ocasião, foram utilizadas: a área e a inércia da seção bruta, o módulo de
deformação longitudinal secante e o módulo de deformação transversal
0,15 do
longitudinal.
- A
g
0,16 m
2
- y
cg
0,08 m
- I
I
3,41 x 10
-4
m
4
- I
f
6,82 x 10
-4
m
4
- E
c
2,61 x 10
7
kN/m
2
(E
c
=4760.√f
ck
)
- G
c
3,91 x 10
6
kN/m
2
(G
c
=0,15.E
c
)
Na segunda ocasião, foram utilizadas: uma área de aço - que teve como ponto de
96
partida para sua adoção os esforços calculados com uma inércia no estádio I sem a
presença de armadura através dos esforços obtidos no caso 1 – e, por esta área de
aço, foram determinadas, a área e a inércia da seção homogeneizada e a posição da
linha neutra no estádio II puro. Posteriormente, calculou-se o momento de fissuração
para que pudesse ser calculada a inércia média de Branson, o módulo de deformação
longitudinal secante e o módulo de deformação transversal
0,40 do longitudinal, de
acordo com os valores a seguir:
- A
s
5,10 cm
2
- A
h
0,1636 m
2
- y
h
0,0814 m
- I
h
3,41 x 10
-4
m
4
- x
II
0,03m
- I
II
6,33 x 10
-5
m
4
- M
r
18,53 kN.m
- I
m(Br)
2,66 x 10
-4
- I
f
5,32 x 10
-4
m
4
- E
c
2,61 x 10
7
kN/m
2
(E
c
= 4760.√f
ck
)
- G
c
1,04 x 10
7
kN/m
2
(G
c
= 0,4.E
c
)
Os resultados referentes aos exemplos anteriores estão relacionados a seguir
na tabela 3.9 e, para ambos os casos, estão apresentados o momento fletor e o
deslocamento apenas para os nós de n° 11 e 13:
97
Tabela 3. 9 Apresentação dos resultados dos exemplos calculados
Nó 11 Nó 13
Lajes Programa
a (mm) M (kN.m) a (mm) M (kN.m)
CYPECAD 0,14 70,30 3,19 10,12
GPLAN3
I
m
(Branson)
0,14 52,24 3,14 12,61
Laje com
viga
Concreto
30 MPa
GPLAN3
(G
c
= 0,15E
c
)
0,13 49,18 2,92 15,17
CYPECAD 6,13 33,34 9,71 20,82
GPLAN3
I
m
(Branson)
6,34 28,17 10,88 19,47
Laje-sem-
viga
Concreto
30 MPa
GPLAN3
(G
c
= 0,15E
c
)
5,41 30,51 8,46 16,98
Com relação à tabela anterior, conclui-se que os resultados apresentados por
ambos os “softwares” foram bastante satisfatórios. Pode-se considerar que os
mesmos efetuam seus cálculos levando em conta o efeito da fissuração do concreto,
tanto para o caso em que foi alterado o módulo de elasticidade transversal do
concreto, quanto para o caso do uso da inércia média de Branson, na aplicação do
processo de analogia de grelhas. Este último pode-se dizer, foi o que mais se
aproximou do método dos elementos finitos.
Para obtenção dos resultados mais próximos, aconselha este breve estudo que
se faz necessário estabelecer uma malha para o GPLAN3 mais refinada, ou seja,
reduzindo o espaçamento entre os nós, assim como também desenvolver mais
trabalhos e pesquisas, atentando-se principalmente aos tópicos referentes as
prescrições impostas pela NBR 6118:2003.
98
CAPÍTULO 4
EXEMPLOS
4. 1 Apresentação
Na primeira parte deste capítulo serão resolvidos exemplos de cálculo de
verificação da punção para três tipos de situações: pilar interno, pilar de borda e pilar
de canto.
Na segunda parte, serão resolvidos exemplos de deslocamentos transversais
nas lajes sem vigas.
Por último, será feito um estudo de caso do projeto de um edifício residencial
executado em lajes sem vigas.
Em todos os casos serão aplicadas as prescrições da NBR 6118:2003.
4.1. 1 Exemplos de verificação à punção
O exemplo se refere ao piso superior de uma academia de ginástica composto
por quatro painéis retangulares medindo 6,0m x 4,0m, sendo dois painéis na direção
menor e dois painéis na direção maior, conforme figura 4.1 (planta baixa) e
figura 4.2 (perspectiva).
99
30,00 kN concentrada
Apoio de aparelho de ginastica
3.703.70
5.70 5.70
0.30 0.40 0.30
0.300.400.30
(30x30)
P7
(40/30)
P8 P9
(30x30)
(30x40)
P4
(40/40)
P5
P6
(30x40)
(30x30)
P1
(30x30)
P2
(40/30)
P3
L1
h=16
4.004.00
6.006.00
AA
BB
B
B
0.16
A
A
0.16
Figura 4. 1 Planta baixa
Figura 4. 2 Perspectiva isométrica
100
Os carregamentos considerados sobre as lajes são os seguintes:
• piso com regularização 1,00 kN/m
2
• peso próprio da laje que tem h=16cm 4,00 kN/m
2
• carregamento proveniente de alvenarias divisórias 1,50 kN/m
2
• sobrecarga acidental de uso 5,00 kN/m
2
-------------
Total 11,50 kN/m
2
• Carga permanente concentrada de 30 kN proveniente de um aparelho de
ginástica com posição definitiva (figura 4.1). O concreto deverá ter resistência
de 30 MPa. Serão analisados os pilares P1, P2, P4 e P5, que representam
situações de canto, borda e centro.
A análise estrutural foi realizada mediante o emprego de elementos finitos,
executada através do programa CYPECAD (2003). Os momentos fletores nas lajes
estão apresentados por hipótese (carregamento permanente) na forma de isovalores
nas figuras 4.3 e 4.4 e, neste caso, são apresentados apenas os momentos fletores M
x
e M
y
. O resultado do equilíbrio dos esforços axial vertical e transmitidos aos pilares
pela laje estão apresentados na tabela 4.1 em kN.
A taxa de armadura de flexão e de montagem nas lajes, bem como o seu
detalhamento, estão apresentados nas figuras 4.5, 4.6, 4.7 e 4.8, sendo A
sx
inferior /
superior e A
sy
superior / inferior, as quais serão utilizadas para determinação da
altura d da laje.
101
Tabela 4. 1 Esforços nos pilares
Esforços
Pilar
N (kN) M
sy
(kN.m) M
sx
(kN.m)
P1 (Canto) 81,40 35,80 11,20
P2 (Borda) 175,00 16,20 25,10
P4 (Borda) 139,20 43,20 0,00
P5 (interno) 387,70 4,90 1,80
Obs.:
O programa CYPECAD (2003) utiliza convenção de momentos trocados,
sendo assim, o momento em x para o programa representa em y neste trabalho.
Figura 4. 3 M
sy
– isovalores (carregamento permanente)
102
Figura 4. 4 M
sx
– isovalores (carregamento permanente)
4.1.1. 1 Características da laje
A laje adotada para o exemplo possui as seguintes características:
Concreto
MPa 21,43 =
1,4
30
=f
cd
;
Aço CA-50;
Cobrimento c = 2,00 cm;
Altura h = 16,00 cm de acordo com item 13.2.4.1 f) da
NBR 6118:2003.
103
P4 P5
P2
P1
15
10Ø12.5c/18 C=400 R.I.
175
142
8Ø12.5c/19 C=740 R.I.
1
5
0
112
28Ø8c/9 C=700 R.I.
2
5
0
2
5
0
127
12Ø12.5c/7 C=730 R.I.
7
5
112
28Ø8c/9 C=700 R.I.
2
5
0
15
13Ø12.5c/20 C=390 R.I.
2
5
0
15
12Ø12.5c/7 C=390 R.I.
7
5
A
sx superior
A
sy superior
A
A
sy inferior
sx inferior
A
A
sy superior
sx superior
A
A
sx inferior
sy inferior
A
B
Figura 4. 5 Piso A1; A
sx
inferior
14
P2
P5
P4
P1
14
8Ø10c/15 C=250
125
225
42
14
10Ø12.5c/8 C=250
75
14
14
15Ø5c/16 C=240
225
14
14
3Ø6.3c/19 C=240
50
14
14
3Ø6.3c/19 C=240
50
14 14
10Ø16c/10 C=440
100
14 14
21Ø12.5c/6 C=420
125
14 14
4Ø16c/12.5 C=450
50
197
14 14
23Ø10c/9 C=440
200
14 14
4Ø16c/12.5 C=450
50
200
Figura 4. 6 Piso A1; A
sx
superior
104
100
6Ø10c/18 C=840
225
25Ø8c/9 C=846
10
P2
P5
P4
P1
400
45Ø6.3c/9 C=846
10
400
10
Figura 4. 7 Piso A1; A
sy
inferior
15
15
15
75
15
P2
P5
P4
P1
15Ø6.3c/16 C=330
200
225
225
118
14 14
20Ø12.5c/9 C=310
175
14
7Ø12.5c/18 C=380
125
14
7Ø12.5c/15 C=320
100
14
7Ø8c/15 C=320
100
14 14
7Ø12.5c/18 C=380
125
14
15
4Ø12.5c/20 C=170
14
6Ø6.3c/19 C=180
100
14
10
14Ø8c/9 C=160
125
14
15Ø5c/10 C=190
150
14
15Ø5c/10 C=190
150
Figura 4. 8 Piso A1; A
sy
superior
105
4.1.1. 2 Verificação nos contornos críticos dos respectivos pilares
Com todos os esforços nos pilares são feitas as verificações nos contornos C,
C’ e C”. O cálculo será iniciado pelo pilar interno P5, passando-se posteriormente
para os pilares de borda P4 e P2 e finalmente para o pila de canto P1.
• PILAR P5 (Pilar de centro com momento fletor nas duas direções)
a) Determinação de d
Armadura de flexão na direção “x” Ø 12,50 mm As
x
superior
Armadura de flexão na direção “y” Ø 12,50 mm As
y
superior
2
d+d
=d
yx
d
x
= 16 – 2 – 0,625 = 13,375 cm
d
y
= 16 – 2 – 1,875 = 12,125 cm
2
25,50
=
2
12,125+13,375
=d
cm 12,75 = d
b) Verificação do contorno C
Esforços:
F
sd
= 1,4 x 387,70 = 542,78 kN
M
sdx
= M
sd1
= 1,4 x 1,80 = 252,00 kN.cm
M
sdy
= M
sd2
= 1,4 x 4,90 = 686,00 kN.cm
Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na
superfície crítica C (na face do pilar).
106
cd
ck
cdvRd2
).f
250
f
-0,27.(1 = .f0,27. α=τ
1,4
30
).
250
30
-0,27.(1 =τ
Rd2
MPa 5,09 = τ
Rd2
Verificação das tensões atuantes
Para o cálculo da tensão atuante no contorno C, é necessário antes,
determinar o perímetro do contorno crítico u, e os módulos de resistência plástica
W
p1
e W
p2
.
Cálculo de u para o contorno C
cm 160 = 40)+2.(40 = )C+2.(C=u
21
Determinação do coeficiente K, que depende da relação entre C
1
/C
2
e é
extraído da tabela 19.2 da NBR 6118:2003; sendo o pilar quadrado K
1
= K
2
e
conseqüentemente W
p1
= W
p2
.
0,60 = K=K ⇒ 1 =
40
40
=
C
C
21
2
1
2
2
21
2
1
p2p1
cm 2400 = 40 . 40 +
2
40
=.CC+
2
C
= W=W
.dW
.MK
+
.dW
.MK
+
ud
F
= τ
p2
sd22
p1
sd11sd
sd
kN/cm 0,284 =
12,75 . 2400
686 . 0,60
+
12,75 . 2400
252 . 0,60
+
160.12,75
542,78
= τ
2
sd
MPa 2,84 = τ
sd
Rd2sd
τ≤ τ∴
OK!
Caso essa verificação não fosse atendida, seria então aconselhável voltar e
107
rever alguns parâmetros, como por exemplo, adotar uma nova espessura para a laje
ou emprego de capteis, aumentar a seção do pilar, ou aumentar a resistência do
concreto.
c) Verificação do contorno C’
Cálculo da taxa de armadura nas duas direções.
x
21.1,23
ρ = = 0,0171
13,375.(40 + 2.3.12,125)
y
14.1,23
ρ = = 0,0121
12,125.(40 + 2.3.12,75)
0121,0.0171,0=ρ.ρ=ρ
yx
0144,0=ρ
Cálculo da tensão resistente.
3
1
3
1
ckRd1
)30 . 0,0144 . ).(100
12,75
20
+0,13.(1=).fρ).(100.
d
20
+0,13.(1=τ
MPa 1,02=τ
Rd1
Cálculo das tensões atuantes.
Da mesma forma que para o contorno
C, para o cálculo da tensão atuante no
contorno
C’, é necessário antes determinar o perímetro do contorno crítico u’, e os
módulos de resistência plástica
W
p1
e W
p2
.
12
u'=2 . (C +C )+4 . π . d = 2.(40+40)+4 . π . 12,75 = 320,65 cm
1
2
221
2
1
p
C.d.π.2+d.16+d.C.4+C.C+
2
C
= W
40 . 12,75 . π. 2+12,75 . 16+12,75 . 40 . 4+40 . 40+
2
40
= W
2
2
p
108
2
p2p1
cm 10254 = W=W
kN/cm 0,137 =
12,75 . 10254
686 . 0,60
+
12,75 . 10254
252 . 0,60
+
75320,65.12,
542,78
= τ
2
sd
MPa 1,37 = τ
sd
Rd1sd
τ> τ∴
NÃO OK! Neste caso é necessária armadura de punção.
Quando se fizer necessária a armadura de punção, primeiramente a adota para
verificá-la posteriormente, e nesse caso, para adotá-la, é necessário respeitar certas
recomendações referentes ao espaçamento mínimo entre ambas de acordo com item
19.5.3.4 da NBR 6118:2003.
Será adotada armadura de conectores tipo pinos de diâmetro 6,30 mm em aço
CA-50, distribuídos de acordo com a figura 4.9.
16
2
0,42
0,32
2
0,63
25
2
4
9,5
9,5
6
e
r
0
S ≤ 0,50d = 6,00 cm
S ≤ 0,75d = 9,50 cm
S ≤ 2d = 25 cm
Figura 4. 9 Arranjo da armadura de punção para o pilar P5
Para obtenção da resistência de cálculo do aço
f
ywd
para o tipo de armadura
adotada, é necessário a interpolação linear que depende da espessura da laje adotada:
16-35
f-435
=
15-35
300-435
ywd
109
MPa 306,75 = f
ywd
Dessa forma a área total para cada linha de armadura em estribos de combate
à punção de acordo com o que foi apresentado na figura 4.9, será:
2
sw
cm 7,50 = 0,312 . 24 = A
Novamente se verifica a tensão resistente, considerando a armadura adotada,
de acordo com
τ
Rd3
:
u.d
.senα.fA
.
S
d
1,50.+).fρ).(100.
d
20
+0,10.(1=τ
ywdsw
r
3
1
ckRd3
12,75 . 320,65
90sen . 306,75 . 7,50
.
9,50
12,75
. 1,50+
+30) . 0,0144 . (100 . )
12,75
20
+(1 . 0,10=τ
0
3
1
Rd3
MPa 1,92=τ
Rd3
Rd3sd
τ ≤ τ∴ OK!
d) Verificação
do contorno C”
Cálculo da tensão resistente.
3
1
3
1
ckRd1
)30 . 0,0144 . ).(100
12,75
20
+0,13.(1=).fρ).(100.
d
20
+0,13.(1=τ
MPa 1,02=τ
Rd1
Cálculo das tensões atuantes:
Novamente aqui, da mesma forma que para o contorno
C’, para o cálculo da
tensão atuante no contorno
C”, é necessário antes determinar o perímetro do
contorno crítico
u”, e os módulos de resistência plástica W
p1
e W
p2
.
i = 6 + 9,5 + 9,5 = 25cm
110
12
u"=2 . (C +C )+4 . π . d 2 . . i = 2.(40+40)+4 . π . 12,75 2. .25
+
π+π
u" = 478,15 cm
i.C.π+i.4+i.d.16+i.C.2+C.d.π.2+d.16+d.C.4+C.C+
2
C
= W
1
2
21
2
221
2
1
p
+40.75,12.π.2+75,12.16+75,12.40.4+40.40+
2
40
= W
2
2
p
25.40.π+25.4+25.75,12.16+25.40.2+
2
2
p2p1
cm 23004 = W=W
kN/cm 0,090 =
12,75 . 23004
686 . 0,60
+
12,75 . 23004
252 . 0,60
+
75478,15.12,
542,78
= τ
2
sd
MPa 0,90 = τ
sd
Rd1sd
τ ≤ τ∴
OK!
e) Verificação do colapso progressivo
Essa verificação se faz em função da taxa de armadura de flexão positiva que
cruza cada uma das faces do pilar no contorno
C.
sdyd s,
F ≥ .fA
A
sx
= 3 Ø 12,5 mm
A
sy
= 6 Ø 8 mm
2
s
cm 13,38 = 2.6.0,5 + 2.3.1,23 =A
kN 542,78 ≥ kN 581,73 ⇒ 542,78 ≥
1,15
50
. 13,38
OK!
111
• PILAR P4 (Pilar de borda sem momento fletor no plano paralelo à borda
livre)
a) Determinação de d
Armadura de flexão na direção “x” Ø 10,00 mm As
x
superior
Armadura de flexão na direção “y” Ø 12,50 mm As
y
superior
2
d+d
=d
yx
d
x
= 16 – 2 – 0,50 = 13,50 cm
d
y
= 16 – 2 – 1,625 = 12,375 cm
2
25,875
=
2
12,375+13,50
=d
cm 12,94 = d
b) Verificação do contorno C
Esforços:
F
sd
= 1,4 x 139,20 = 194,88 kN
M
sdy
= 1,4 x 43,20 = 60,48 kN.m = 6048,00 kN.cm
M
sdy
= M
sd
é o momento fletor perpendicular à borda livre.
C
1
= 30 cm (medida perpendicular à borda livre)
C
2
= 40 cm (medida paralela à borda livre)
Verificação da tensão resistente
cd
ck
cdvRd2
).f
250
f
-0,27.(1 = .f0,27. α=τ
112
1,4
30
).
250
30
-0,27.(1 =τ
Rd2
MPa 5,09 = τ
Rd2
Verificação das tensões atuantes
Cálculo de
u* para o contorno C
{
cm 15 = 30 . 0,50 =C . 0,50
cm 19,41 = 12,94 . 1,5 =d . 1,5
≤ a
1
cm 15= a
cm 70 = 40)+2.(15 = *u
cm 11,79 =
40 + 15 . 2
2
40 . 30
+ 15 - 15 . 30
⇒
C+2.a
2
.CC
+a-.aC
= e
2
2
21
2
1
*
Determinação do momento de cálculo resultante da excentricidade M
sd*
kN.cm 2297,63 = 11,79 . 194,88 = e . F=M
*
sdsd*
Determinação do momento de cálculo resultante M
sd
kN.cm 3750,37 = 2297,63) - (6048 = M - M=M
*
sdsdsd1
Determinação do módulo de resistência plástica W
p1
2
2
21
2
1
p1
cm 1050 =
2
30.40
+
2
30
=
2
.CC
+
2
C
=W
Determinação de K
1
0,75 =
40
30
=
C
C
2
1
pela tabela 19.2 da NBR 6118:2003 extrai o valor de K
0,525 = K =
K-0,60
0,75-1
=
0,45-0,60
0,60-1
1
1
113
Tensão atuante
2
p1
sd11
*
sd
sd
kN/cm 0,360 =
12,94 . 1050
3750,37 . 0,525
+
12,94 . 70
194,88
=
d .W
M . K
+
d .u
F
= τ
MPa 3,60 = τ
sd
Rd2sd
τ≤ τ∴
OK!
c) Verificação do contorno C’
Cálculo da taxa de armadura nas duas direções:
x
8.0,8
ρ = = 0,0040
13,5.(40 + 2.3.12,94)
y
5.1,23
ρ = = 0,0071
12,375.(30 + 3.12,94)
0071,0.0049,0=ρ.ρ=ρ
yx
0053,0=ρ
Cálculo da tensão resistente:
3
1
ckRd1
)f . ρ . (100 . )
d
20
+(1 . 0,13=τ
3
1
Rd1
30) . 0,0053 . (100 . )
12,94
20
+(1 . 0,13=τ
MPa 0,73=τ
Rd1
Cálculo das tensões atuantes:
cm 191,52 = 12,94 . π. 2+40)+2.(15 = d . π. 2+)C+(a . 2=u
2
114
dπ2.+C+2.a
π.d.C+8.d+.d2.C+
2
.CC
+a-.aC
= e
2
1
2
2
21
2
1
*
22
*
30 . 40
30 . 15 - 15 + + 2 . 40 . 12,94 + 8 . 12,94 + π . 12,94 . 30
2
e =
2 . 15 + 40 + 2 . π . 12,94
*
e = 29,18 cm
1
2
2
21
2
1
p1
C.d.π+d.8+d.C.2+
2
C.C
+
2
C
=W
22
2
p1
cm 4647,57 = 30 . 12,94 . π+ 12,94 . 8 + 12,94 . 40 . 2+
2
40 . 30
+
2
30
=W
kN.cm 5686,59 = 29,18 . 194,88 = e . F=M
*
sdsd*
kN.cm 361,41 = 5686,59) - (6048 = M - M=M
*
sdsdsd1
sd 1 sd1
sd
*
p1
F K . M 194,88 0,5 . 361,41
τ = + = +
W . d 191,52 . 12,94 4647,57 . 12,94
u. d
2
sd
τ = 0,081 kN/cm = 0,81 MPa
Rd1sd
τ> τ∴
Neste caso é necessária armadura de punção.
Será adotada armadura de conectores tipo pinos de diâmetro 6,30 mm em aço
CA-50, distribuídos de acordo com a figura 4.10.
115
0,63
2
0,32
0,42
2
16
Borda livre
40
30
S ≤ 0,50d = 6,00 cm
S ≤ 0,75d = 9,50 cm
S ≤ 2d = 25 cm
0
r
e
Armadura adicional
15 25
9,5
9,5
6
Figura 4. 10 Arranjo da armadura de punção para o pilar P4
Resistência de cálculo do aço
f
ywd
16-35
f-435
=
15-35
300-435
ywd
MPa 306,75 = f
ywd
2
sw
cm 5,30 = 0,312 . 17 = A
Verificação da tensão resistente
τ
Rd3
u.d
.senα.fA
.
S
d
1,50.+).fρ).(100.
d
20
+0,10.(1=τ
ywdsw
r
3
1
ckRd3
+30) . 0,0053 . (100 . )
12,94
20
+(1 . 0,10=τ
3
1
Rd3
12,94 . 191,52
90sen . 306,75 . 5,30
.
9,50
12,94
. 1,50+
0
116
MPa 1,90=τ
Rd3
Rd3sd
τ ≤ τ∴
OK!
d) Verificação do contorno C”
Cálculo da tensão resistente:
3
1
ckRd1
)f . ρ . (100 . )
d
20
+(1 . 0,13=τ
3
1
Rd1
30) . 0,0053 . (100 . )
12,94
20
+(1 . 0,13=τ
MPa 0,73=τ
Rd1
Cálculo das tensões atuantes:
i = 6 + 9,5 + 9,5 = 25cm
i . π+ d . π. 2+)C+(a . 2=u
2
cm 270,27 = 25 .π + 12,94 . π. 2+40)+2.(15 =u
.iπ+dπ2.+C+2.a
i.2+
2
C.i.π
+i.d.8+i.C+π.d.C+8.d+.d2.C+
2
.CC
+a-.aC
= e
2
2
1
21
2
2
21
2
1
*
π.25+2.π.π.12,+40+2.15
2.25+
2
π.25.30
+8.12,94.25+
+40.25+π.12,94.30+8.12,94+2.40.12,94+
2
30.40
+15-30.15
= e
2
22
*
cm 45,34= e
*
kN.cm 8835,86 = 45,34 . 194,88 = e . F=M
*
sdsd*
kN.cm 2787,86- = 8835,86) - (6048 = M - M=M
*
sdsdsd1
0 = M ⇒ 0 ≥M - M=M ∴
sd1
*
sdsdsd1
117
2
1
21
2
2
21
2
1
p1
i.2+
2
C.i.π
+i.d.8+i.C+C.d.π+d.8+d.C.2+
2
C.C
+
2
C
=W
+30.94,12.π+94,12.8+94,12.40.2+
2
40.30
+
2
30
=W
2
2
p1
2
25.2+
2
30.25.π
+25.94,12.8+25.40+
2
p1
cm 10666,83 = W
12,94 . 10666,83
0 . 0,5
+
12,94 . 270,27
194,88
=
d .W
M . K
+
d .u
F
= τ
p1
sd11
*
sd
sd
2
sd
kN/cm 0,056 = τ
MPa 0,56 = τ
sd
Rd1sd
τ ≤ τ∴ OK!
e) Verificação do colapso progressivo
sdyd s,
F ≥ .fA
A
sx
= 3 Ø 12,5 mm
A
sy
= 3 Ø 10 mm
2
s
cm 8,49 = 2.3.0,8 + 3.1,23 =A
194,88 ≥ 369 ⇒ 194,88 ≥
1,15
50
. 8,49
OK!
• PILAR P2 (Pilar de borda com efeito de momento fletor nas duas
direções)
118
a) Determinação de d
Armadura de flexão na direção “x” Ø 16,00 mm As
x
superior
Armadura de flexão na direção “y” Ø 8,00 mm As
y
superior
2
d+d
=d
yx
d
x
= 16 – 2 – 0,80 = 13,20 cm
d
y
= 16 – 2 – 2 = 12,00 cm
2
25,20
=
2
12,00+13,20
=d
cm 12,60 = d
b) Verificação do contorno C
Esforços:
F
sd
= 1,4 x 142,40 = 199,36 kN
M
sdy
= 1,4 x 16,20 = 22,68 kN.m = 2268 kN.cm
M
sdx
= 1,4 x 25,10 = 35,14 kN.m = 3514 kN.cm
M
sdy
= M
sd1
é o momento fletor perpendicular à borda livre.
M
sdx
= M
sd2
é o momento fletor paralelo à borda livre.
C
1
= 30 cm (medida perpendicular à borda livre)
C
2
= 40 cm (medida paralela à borda livre)
Tensão resistente.
cd
ck
cdvRd2
).f
250
f
-0,27.(1 = .f0,27. α=τ
119
1,4
30
).
250
30
-0,27.(1 =τ
Rd2
MPa 5,09 = τ
Rd2
Tensões atuantes.
{
cm 15 = 30 . 0,50 =C . 0,50
cm 19,41 = 12,94 . 1,5 =d . 1,5
≤ a
1
cm 15= a
cm 70 = 40)+2.(15 = = *u
cm 11,79 =
40 + 15 . 2
2
40 . 30
+ 15 - 15 . 30
⇒
C+2.a
2
.CC
+a-.aC
= e
2
2
21
2
1
*
kN.cm 2350,45 = 11,79 . 199,36 = e . F=M
*
sdsd*
kN.cm 82,45- = 2350,45) - (2268 = M - M=M
*
sdsdysd1
0 = M ⇒ 0 ≥M - M=M ∴
sd1
*
sdsdsd1
2
2
21
2
1
p1
cm 1050 =
2
30.40
+
2
30
=
2
.CC
+
2
C
=W
2
2
21
2
2
p2
cm 1600 = 40 . 30+
4
40
=.CC+
4
C
=W
Determinação de K
1
e K
2
0,75 =
40
30
=
C
C
2
1
0,525 = K =
K-0,60
0,75-1
=
0,45-0,60
0,60-1
1
1
0,667 =
2.30
40
=
2.C
C
1
2
0,5 = K =
K-0,60
0,667-1
=
0,45-0,60
0,60-1
2
1
120
60,12.1050
3514.50,0
+
60,12.1050
0.525,0
+
60,12.70
36,199
=
.dW
.MK
+
.dW
.MK
+
du
F
= τ
p2
sd22
p1
sd11
*
sd
sd
MPa 3,13 = τ
sd
Rd2sd
τ≤ τ∴
OK!
c) Verificação
do contorno C’
Cálculo da taxa de armadura nas duas direções:
x
7 . 2
ρ = = 0,0092
13,20 . (40+2 . 3 . 12,60)
y
14 . 0,50
ρ = = 0,0086
12,00 . (30+3 . 12,60)
0086,0.0092,0=ρ.ρ=ρ
yx
0088,0=ρ
Tensão resistente.
3
1
ckRd1
)f . ρ . (100 . )
d
20
+(1 . 0,13=τ
3
1
Rd1
30) . 0,0088 . (100 . )
12,60
20
+(1 . 0,13=τ
MPa 0,87=τ
Rd1
Tensões atuantes.
cm 189,38 = 12,60 . π. 2+40)+2.(15 = d . π. 2+)C+(a . 2=u
2
dπ2.+C+2.a
π.d.C+8.d+.d2.C+
2
.CC
+a-.aC
= e
2
1
2
2
21
2
1
*
121
22
*
30 . 40
30 . 15 - 15 + + 2 . 40 . 12,60 + 8 . 12,94 + π . 12,60 . 30
2
e =
2 . 15 + 40 + 2 . π . 12,60
*
e = 29,20 cm
1
2
2
21
2
1
p1
C.d.π+d.8+d.C.2+
2
C.C
+
2
C
=W
22
2
p1
cm 4518,78 = 30 . 12,60 . π+ 12,60 . 8 + 12,60 . 40 . 2+
2
40 . 30
+
2
30
=W
2
2
121
2
2
p2
C.d.π+d.8+d.C.4+C.C+
4
C
=W
22
2
p2
cm68,5969=40.60,12.π+60,12.8+60,12.30.4+40.30+
4
40
=W
kN.cm 5821,31 = 29,20 . 199,36 = e . F=M
*
sdsd*
kN.cm 3553,31- = 5821,31) - (2268 = M - M=M
*
sdsdsd1
0 = M ⇒ 0 ≥M - M=M ∴
sd1
*
sdsdsd1
.dW
.MK
+
.dW
.MK
+
du
F
= τ
p2
sd22
p1
sd11
*
sd
sd
60,12.68,5969
3514.50,0
+
60,12.78,4518
0.525,0
+
60,12.38,189
36,199
= τ
sd
MPa 1,30 = τ
sd
Rd1sd
τ> τ∴
NÃO OK! Neste caso é necessária armadura de punção.
Será adotada armadura de conectores tipo pinos de diâmetro 6,30 mm em aço
CA-50, distribuídos de acordo com a figura 4.11.
122
0,63
2
0,32
0,42
2
16
Borda livre
40
30
S ≤ 0,50d = 6,00 cm
S ≤ 0,75d = 9,50 cm
S ≤ 2d = 25 cm
0
r
e
Armadura adicional
15 25
9,5
9,5
6
Figura 4. 11 Arranjo da armadura de punção para o pilar P2
Resistência de cálculo do aço
f
ywd
16-35
f-435
=
15-35
300-435
ywd
MPa 306,75 = f
ywd
2
sw
cm 5,30 = 0,312 . 17 = A
Tensão resistente
τ
Rd3
:
u.d
.senα.fA
.
S
d
1,50.+).fρ).(100.
d
20
+0,10.(1=τ
ywdsw
r
3
1
ckRd3
+30) . 0,0088 . (100 . )
12,60
20
+(1 . 0,10=τ
3
1
Rd3
12,60 . 189,38
90sen . 306,75 . 5,30
.
9,50
12,60
. 1,50+
0
123
MPa 2,02=τ
Rd3
Rd3sd
τ ≤ τ∴
OK!
d) Verificação
do contorno C”
Tensão resistente:
3
1
ckRd1
)f . ρ . (100 . )
d
20
+(1 . 0,13=τ
3
1
Rd1
30) . 0,0088 . (100 . )
12,60
20
+(1 . 0,13=τ
MPa 0,87=τ
Rd1
Tensões atuantes.
i = 6 + 9,5 + 9,5 = 25cm
i . π+ d . π. 2+)C+(a . 2=u
2
cm 268,13 = 25 .π + 12,60 . π. 2+40)+2.(15 =u
.iπ+dπ2.+C+2.a
i.2+
2
C.i.π
+i.d.8+i.C+π.d.C+8.d+.d2.C+
2
.CC
+a-.aC
= e
2
2
1
21
2
2
21
2
1
*
π.25+.12.60π2.+40+2.15
2.25+
2
π.25.30
+8.12,60.25+
+40.25+π.12,60.30+8.12,60+2.40.12,60+
2
30.40
+15-30.15
= e
2
22
*
cm 44,90= e
*
2
1
21
2
2
21
2
1
p1
i.2+
2
C.i.π
+i.d.8+i.C+C.d.π+d.8+d.C.2+
2
C.C
+
2
C
=W
124
2
2
2
p1
2.25+
2
π.25.30
+8.12,60.25+40.25+
+π.12,60.30+8.12,60+2.40.12,60+
2
30.40
+
2
30
=W
2
p1
cm 10470,03 = W
2
2
12
2
121
2
2
p2
i.2+
2
C.i.π
+i.d.8+i.C.2+C.d.π+d.8+d.C.4+C.C+
4
C
=W
2
2
2
p2
2.25+
2
π.25.40
+8.12,60.25+
+2.30.25+π.12,60.40+8.12,60+4.30.12,60+30.40+
4
40
=W
2
p2
cm 12814,68=W
kN.cm 8851,26 = 44,90 . 199,36 = e . F=M
*
sdsd*
kN.cm 6683,26- = 8851,26) - (2268 = M - M=M
*
sdsdsd1
0 = M ⇒ 0 ≥M - M=M ∴
sd1
*
sdsdsd1
.dW
.MK
+
.dW
.MK
+
du
F
= τ
p2
sd22
p1
sd11
*
sd
sd
60,12.68,12814
3514.50,0
+
60,12.03,10470
0.525,0
+
60,12.13,268
36,199
= τ
sd
MPa 0,69 = τ
sd
Rd1sd
τ ≤ τ∴
OK!
e) Verificação do colapso progressivo
sdyd s,
F ≥ .fA
A
sx
= 6 Ø 12,5 mm
125
A
sy
= 6 Ø 8 mm
2
s
cm 17,76 = 6.0,5 + 2.6.1,23 =A
OK! 194,88 ≥ 772,17 ⇒ 199,36 ≥
1,15
50
. 17,76
• PILAR P1 (Pilar de canto)
a) Determinação de d
Armadura de flexão na direção “x” Ø 12,50 mm As
x
superior
Armadura de flexão na direção “y” Ø 12,50 mm As
y
superior
2
d+d
=d
yx
d
x
= 16 – 2 – 0,625 = 13,375 cm
d
y
= 16 – 2 – 1,875 = 12,125 cm
2
25,50
=
2
12,125+13,375
=d
cm 12,75 = d
b) Verificação do contorno C
Esforços:
F
sd
= 1,4 x 68,03 = 95,62 kN
M
sdx
= 1,4 x 10,90 = 15,26 kN.m = 1526,00 kN.cm
M
sdy
= 1,4 x 28.90 = 40,46 kN.m = 4046,00 kN.cm
M
sd
é o momento fletor perpendicular à borda livre.
126
M
sd
será M
sdy
na primeira análise e M
sdx
na segunda análise.
Como pilar é quadrado C
1
= C
2
, não há necessidade de troca de posições, ou
seja, permanece o mesmo valor para ambos o caso.
Tensão resistente.
cd
ck
cdvRd2
).f
250
f
-0,27.(1 = .f0,27. α=τ
1,4
30
).
250
30
-0,27.(1 =τ
Rd2
MPa 5,09 = τ
Rd2
Tensões atuantes.
{
cm 15 = 30 . 0,50 =C . 0,50
cm 19,12 = 12,75 . 1,5 =d . 1,5
≤ a
1
cm 15= a
cm 30 = 2.(15) = *u
cm 11,25 =
15)+2.(15
15.30+15-30.15
=
)a+2.(a
.Ca+a-.aC
= e
2
21
12
2
111
*
kN.cm 1075,72 = 11,25 . 95,62 = e . F=M
*
sdsd*
kN.cm 2970,27 = 1075,72) - (4046 = M - M=M
*
sdsdsd1
2
2
21
2
1
p2
cm675=
2
30.30
+
4
30
=
2
C.C
+
4
C
=W
Determinação de K
1
1 =
30
30
=
C
C
2
1
pela tabela 19.2 da NBR 6118:2003 extrai o valor de K
127
0,60 = K
1
2
p1
sd11
*
sd
sd
kN/cm 0,457 =
12,75 . 675
2970,27 . 0,60
+
12,75 . 30
95,62
=
d .W
M . K
+
d .u
F
= τ
MPa 4,57 = τ
sd
Rd2sd
τ≤ τ∴ OK!
d) Verificação
do contorno C’
Cálculo da taxa de armadura nas duas direções:
x
10.1, 23
ρ = = 0,0134
13,375.(30 + 3.12,75)
y
4.1, 23
ρ = = 0,0059
12,125.(30 + 3.12,75)
0059,0.0134,0=ρ.ρ=ρ
yx
0089,0=ρ
Tensão resistente.
3
1
ckRd1
)f . ρ . (100 . )
d
20
+(1 . 0,13=τ
3
1
Rd1
30) . 0,0089 . (100 . )
12,75
20
+(1 . 0,13=τ
MPa 0,87=τ
Rd1
Tensões atuantes.
cm 70,16 = 12,75 . π+15+15 = d . π+a+a=u
21
)π.d+a+2.(a
π.d.C+8.d+.d4.a+.Ca+a-.aC
= e
21
1
2
212
2
111
*
128
cm11,28=
)π.12,75+15+2.(15
π.12,75.30+8.12,75+4.15.12,75+15.30+15-30.15
= e
22
*
kN.cm 2687,87 = 28,11 . 95,62 = e . F=M
*
sdsd*
kN.cm 1358,12 = 2687,87) - (4046 = M - M=M
*
sdsdsd1
2
C.d.π
+d.4+d.C.2+
2
C.C
+
4
C
=W
1
2
2
21
2
1
p1
2
30.75,12.π
+75,12.4+75,12.30.2+
2
30.30
+
4
30
=W
2
2
p1
2
p1
692,68cm2=W
sd 1 sd1
sd
*
p1
F K . M 95,62 0,60 . 1358,12
τ = + = +
W . d 70,16 . 12,75 2692,68 . 12,75
u. d
2
sd
τ = 0,130 kN/cm = 1,30 MPa
Rd1sd
τ> τ∴
Neste caso é necessária armadura de punção.
Será adotada armadura de conectores tipo pinos de diâmetro 6,30mm em aço
CA-50, distribuídos de acordo com a figura 4.12.
129
9,59,56
25
0,63
2
0,32
0,42
2
16
Borda livre
S ≤ 0,50d = 6,00 cm
S ≤ 0,75d = 9,50 cm
S ≤ 2d = 25 cm
0
r
e
Armadura adicional
15 25
30
30
15
Figura 4. 12 Arranjo da armadura de punção para o pilar P4
Resistência de cálculo do aço f
ywd
16-35
f-435
=
15-35
300-435
ywd
MPa 306,75 = f
ywd
2
sw
cm 2,17 = 0,31 . 7 = A
Tensão resistente
τ
Rd3
.
u.d
.senα.fA
.
S
d
1,50.+).fρ).(100.
d
20
+0,10.(1=τ
ywdsw
r
3
1
ckRd3
+30) . 0,0089 . (100 . )
12,75
20
+(1 . 0,10=τ
3
1
Rd3
12,75 . 70,16
90sen . 306,75 . 2,17
.
9,50
12,75
. 1,50+
0
130
MPa 2,17=τ
Rd3
Rd3sd
τ ≤ τ∴
OK!
d) Verificação
do contorno C”
Tensão resistente.
3
1
ckRd1
)f . ρ . (100 . )
d
20
+(1 . 0,13=τ
3
1
Rd1
30) . 0,0089 . (100 . )
12,75
20
+(1 . 0,13=τ
MPa 0,87=τ
Rd1
Tensões atuantes.
i = 6 + 9,5 + 9,5 = 25cm
2
i . π
+ d . π+a+a=u
21
cm 109,52=
2
25 . π
+ 12,75 . π+15+15=u
22
11 1 2 1 2 1 2
1
2
*
12
C .a -a +a .C +4.a .d+8.d +π.d.C +2.a .i +
π.i.C
+ 8.d.i + +2.i
2
e =
π.i
2.(a +a +π.d+ )
2
)
2
π.25
+π.12,75+15+2.(15
2.25+
2
π.25.30
+8.12,75.25+
+2.15.25+π.12,75.30+8.12,75+4.15.12,75+15.30+15-30.15
= e
2
22
*
cm 44,17= e
*
131
kN.cm 4223,53 = 44,17 . 95,62 = e . F=M
*
sdsd*
kN.cm 177,53- = 4223,53) - (4046 = M - M=M
*
sdsdsd1
0 = M ⇒ 0 ≥M - M=M ∴
sd1
*
sdsdsd1
2
2
2
p1
25+
4
π.25.30
+8.12,75.25+
+30.25+
2
π.12,75.30
+4.12,75+2.30.12,75+
2
30.30
+
4
30
=W
2
p1
cm 7208,31 = W
12,75 . 7208,31
0 . 0,6
+
12,75 . 109,52
95,62
=
d .W
M . K
+
d .u
F
= τ
p1
sd11
*
sd
sd
2
sd
kN/cm 0,068 = τ
MPa 0,68 = τ
sd
Rd1sd
τ ≤ τ∴ OK!
e) Verificação do colapso progressivo
sdyd s,
F ≥ .fA
A
sx
= 4 Ø 12,5 mm
A
sy
= 2 Ø 12,5 mm
2
s
cm 7,38 = 2.1,23 + 4.1,23 =A
OK! 95,62 ≥ 320,86 ⇒ 95,62 ≥
1,15
50
. 7,38
A verificação à punção, de acordo com as recomendações da
NBR 6118:2003, é bem mais completa que a prescrita pela versão de 1980, que só
132
tratava de pilares centrais sem atuação de momentos. Agora são tratados de casos de
pilares centrais, de borda e de cantos, com ou sem momentos nas ligações das lajes
com os pilares, apresenta procedimentos para detalhamento da armadura quando
necessária e trata também da prevenção contra colapso progressivo. Assim, a Norma
proporciona uma maior confiabilidade na adoção de sistemas sem vigas, trazendo
mais segurança aos projetistas ao tratar de casos que anteriormente não eram
considerados.
133
4.1. 2 Deslocamentos em lajes-sem-vigas
Para o mesmo exemplo anterior será calculado o deslocamento utilizando-se
o método dos elementos finitos. O programa apresenta os deslocamentos por
hipótese, isto é, o deslocamento para cada tipo de ação atuante, permanente, variável
principal, variável secundária, vento e todos os demais que existirem
Na determinação da flecha final, será efetuada a combinação das ações de
acordo com a situação a ser verificada, ou seja, combinação freqüente, combinação
quase-permanente, combinação permanente e combinação rara, utilizando os
deslocamentos apresentados por hipótese de carga e a fluência será determinada de
acordo com as recomendações impostas pela NBR 6118:2003.
4.1.2. 1 Deslocamentos iniciais
Foi utilizado o programa CYPECAD (2003) e o mesmo apresenta os
deslocamentos
1
na forma de isovalores de acordo com as figuras 4.13 e 4.14 e
também por nó, conforme figura 4.15, desenho da malha utilizada no cálculo
Figura 4. 13 Isovalores dos deslocamentos referentes à ação permanente
1
A consideração da não linearidade física do concreto armado, pelo programa, pode ser vista com
maiores detalhes no item 3.4 do capítulo 3
134
Figura 4. 14 Isovalores dos deslocamentos referentes à ação variável
0,25
0,25
Carga Concentrada 3,00 tf
8,15
3,15
6,00 6,00
4,004,00
Figura 4. 15 Malha montada pelo CYPECAD (2003)
135
Através dos gráficos dos isovalores, foram retirados os deslocamentos
máximos e os mesmos são os apresentados na tabela 4.2.
Tabela 4. 2 Deslocamentos máximos por hipótese (laje piso da academia)
Coordenada “x” Coordenada “y” Hipótese Deslocamentos (mm)
Permanente 7,74
3,15 m 8,15 m
Variável 3,28
Combinações de cargas para o cálculo das flechas:
Combinação quase-permanente
onde ψ
2
= 0,3
Combinação freqüente
onde ψ
1
= 0,4
Combinação rara
onde ψ
1
= 0,3 para pressão dinâmica de vento
Todos os deslocamentos, conforme a combinação, estão apresentados na
tabela 4.3 e comparados com os respectivos valores limites de aceitabilidade
sensorial.
136
Tabela 4. 3 Deslocamentos e limites de aceitabilidade sensorial
Flecha da carga
permanente (mm)
Flecha da carga
acidental (mm)
Ação
Flecha de acordo
com a combinação
(mm)
Limites para
aceitabilidade
sensorial
Permanente 7,74 ℓ/250 Ok
Quase-
permanente
8,72 ℓ/250 Ok
Freqüente 9,05 ℓ/250 Ok
7,74 3,28
Rara 11,02 ℓ/250 Ok
Limites para verificação de acordo com a aceitabilidade sensorial da carga
acidental:
Ação flecha limite
Acidental 3,28mm ℓ/350 = 6000/350 = 17,14mm
Ok! Satisfaz a condição!
Caso na verificação da carga acidental não fosse atendido os limites
estabelecidos pela NBR 6118:2003, seria necessário efetuar a verificação de
possíveis vibrações sentidas no piso caso a estrutura fosse destinada para fins de
apoio de aparelhos que necessitassem de total estabilidade.
4.1.2. 2 Cálculo do efeito da fluência
Embora as parcelas das deformações devida à fluência sejam oriundas das
ações permanentes, porém, para calculá-las, utiliza-se a combinação
quase permanente, uma vez que, em edificações, parte da carga acidental atua em um
longo período de vida útil da estrutura.
137
Para a determinação de
t
0
referente à idade em meses relativa a data de
aplicação da carga de longa duração, será adotado o 14° dia, que coincide com a
retirada do escoramento
0
t 14 / 30 0,47==
Determinação dos coeficientes
ξ
Para a idade
t
0
t 0,32 0,47 0,32
0
ξ(t ) = 0,68 . 0,996 . t = 0,68 . 0,996 . 0,47 = 0,53
Para o infinito
ξ() = 2∞
(fixo para idades maiores de que 70 meses)
Como não foi utilizada armadura de compressão, ρ
’
= 0
Determinação do fator
α
f
:
f
'
∆ξ 2 - 0,53
α = = = 1,47
1
1 + 50 . ρ
Cálculo da contraflecha
De acordo com a nota 2 da tabela 13.2 da NBR 6118:2003, os deslocamentos
podem ser parcialmente compensados pela especificação da contraflecha; entretanto,
a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio no plano maior que
ℓ / 350, portanto a contraflecha será:
cf
6000
α = = = 17,14mm
350 350
A
4.1.2. 3 Cálculo da flecha total no tempo infinito
O valor da flecha total no tempo infinito será a flecha determinada através da
combinação rara, somada com a multiplicação do fator
α
f
pela flecha determinada da
combinação quase permanente, menos a contra flecha.
total,
α = [ 11,02 (8,72 x 1,47)] - 17,14 6,70 mm
∞
+
=
138
Limite para deslocamento conforme tabela 13.2 da NBR 6118:2003
limite
6000
α = = = 24,00 mm
250 250
A
total, limite
α é < que a
∞
∴
A condição de deformação é atendida.
Os procedimentos de verificação (ou cálculo) dos deslocamentos ganharam
uma nova dimensão sob a perspectiva da NBR 6118:2003. No cálculo de esforços e
deslocamentos iniciais a Norma passa a permitir o emprego de procedimento
numérico adequado possibilitando a utilização, por exemplo, dos métodos das
diferenças finitas, dos elementos finitos e elementos de contorno, facilitando assim
um trabalho que anteriormente era considerado de difícil execução para o cálculo das
lajes-sem-vigas, como pôde ser visto no capítulo 3
139
4.1. 3 Estudo de caso
O objeto de estudo nesse item é o projeto de um edifício residencial multi-
familiar no qual foi feito um laudo técnico no sistema estrutural empregado.
Esse laudo foi realizado pelo fato de o mesmo ter apresentado um
deslocamento excessivo na primeira laje logo após serem retiradas a fôrma e o
escoramento conforme as fotos 4.1 e 4.2. Outra patologia que também induziu na
realização deste, foi a preocupação dos empreendedores com relação aos efeitos de
punção nessas lajes, uma vez que o projeto inicial não detalhava armadura para esta
finalidade, o que contribuía ainda mais na falta de confiabilidade ao sistema, frente
aos problemas já apresentados inicialmente, sabendo que as lajes inicialmente tinham
12 cm de espessura, conforme foto 4.3.
Foto 4. 1 Deslocamento na primeira laje do estudo de caso (vista pelas trincas e
fissuras)
140
Foto 4. 2 Deslocamento na primeira laje do estudo de caso (vista pela régua)
Foto 4. 3 Detalhe da espessura inicial das lajes.
141
4.1.3. 1 Características do edifício
O edifício contém 22 pavimentos divididos da seguinte maneira: 2 subsolos;
1 térreo; 14 tipos; 1 duplex, 1 barrilete; 1 reservatório superior e 1 cobertura do
reservatório. Cada laje do tipo e duplex contém dois apartamentos, conforme figuras
4.16; 4.17 e 4.18 que são os projetos referentes a planta baixa do pavimento tipo e
cortes, apresentando as seguintes alturas:
- do passeio (calçada) até a cobertura da caixa d’água 60,50 metros;
- do primeiro subsolo até a cobertura da caixa d’água 65,10 metros.
- de piso a piso entre pavimentos 03,00 metros
Inicialmente foi feito o cálculo com as mesmas características do projeto que
estava sendo executado no canteiro de obras, conforme figura 4.19 que é a planta de
forma da estrutura, com as seguintes características:
Concreto C18
Aço CA-50A
Norma NBR 6118:1980 Laje h=12cm (foto 4.3)
142
Figura 4. 16 Planta baixa do pavimento tipo do edifício em estudo
143
Figura 4. 17 Corte AA (seção longitudinal)
144
Figura 4. 18 Corte BB (seção transversal)
145
Figura 4. 19 Planta de forma do projeto inicial (Pilares / Vigas / Lajes)
146
Os carregamentos estão detalhados na figura 4.20 a seguir sendo divididos em
Permanentes: provenientes do peso próprio da estrutura, do piso mais revestimento
e alvenarias.
Variável proveniente do carregamento acidental referente à própria ocupação a que
se destina.
Cargas permanentes = 0.1 tf/m2
Sobrecarga = 0.2 tf/m2
(tf/m2)
(tf)
(tf/m)
Carga superficial
Carga concentrada
Simbologia de cargas:
Grupo: Duplex
1.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
1
2
2
2
2
1
0
.
7
0
.
7
0
.
7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.70.7
0.7
0.7
0.7
Carga linear (Paredes)
1.00
1
1
Figura 4. 20 Planta de cargas
147
4.1.3. 2 Estudo inicial
Inicialmente uma série de verificações foi feita, no sentido de encontrar uma
maneira para solucionar os problemas de deslocamento excessivo, conforme já
apresentado nas fotos 4.1 e 4.2 e que garantisse não apenas um aumento na
segurança frente às ações de punção nessas lajes, mas também um baixo custo, sendo
que, na ocasião, já se encontravam concluídos a fundação, os blocos de ancoragem
da fundação e os pilares com o sistema de lajes-sem-vigas com vigas de borda, até o
piso do primeiro tipo.
Em vista dessa situação, foram analisadas as seguintes opções:
1º) Aumento da resistência do concreto e concreto com fibras nos apoios;
2º) Adoção de paredes divisórias com materiais mais leves;
3º) Adoção de vigas internas;
4º) Aumento da espessura da laje.
Na ocasião da execução do referido laudo, já havia entrado em vigor a
NBR 6118:2003, portanto, na alteração da resistência do concreto, os cálculos foram
realizados da seguinte forma:
- inicialmente foram utilizadas as recomendações da NBR 6118:1980 com as
mesmas características do projeto original para posterior verificações dos limites
máximos estabelecidos para os deslocamentos e dos efeitos de punção.
- em seguida, foi calculado novamente, adotando a resistência do concreto para
25, 30, 40 e 50 MPa, seguindo as recomendações da NBR 6118:2003, também com
as mesmas características do projeto inicial (espessura 12 cm).
No cálculo, onde se seguiram as recomendações da NBR 6118:2003, para
determinação da relação das curvaturas para efeito da fluência, foi considerada uma
faixa de laje trabalhando como viga bi-apoiada de largura unitária b
w
e altura h
f
.
Os valores dos deslocamentos para as diferentes resistências do concreto
148
estão apresentados na tabela 4.4 e a malha do processo dos elementos finitos
montada pelo CYPECAD (2003) com as coordenadas do nó de maior deslocamento
e detalhamento da armadura de punção com aviso área insuficiente, na situação
empregando concreto C18 e NBR 6118:1980, estão apresentados na figura 4.21.
Tabela 4. 4 Valores de deslocamentos para diferentes concretos
(NBR 6118:1980 e NBR 6118:2003)
Deslocamentos em relação à resistência do concreto (mm) laje h = 12 cm
Combinações
C18
NBR 6118:
1980
C25
NBR 6118:
2003
C30
NBR 6118:
2003
C40
NBR 6118:
2003
C50
NBR 6118:
2003
Permanentes (hipótese) 13,08 14,57 13,30 11,52 10,30
Variáveis (hipótese) 2,62 2,94 2,70 2,33 1,72
Quase permanente 13,60 15,45 14,11 12,22 10,81
Frequente 14,91 15,74 14,38 12,45 10,98
Rara 15,70 17,51 15,99 13,85 12,02
Contraflecha 24,08 15,71 15,71 15,71 15,71
Efeito da fluência 1,62 1,57 1,57 1,57 1,57
Flecha no infinito 11,04 26,09 22,47 17,35 13,31
Flecha limite 11,00 22,00 22,00 22,00 22,00
Situação
Não Ok! Não Ok! Não Ok! Ok! Ok!
Como pode ser observado, os deslocamentos começaram a ser satisfatórios a
partir do concreto com resistência maior ou igual a 40 MPa; no entanto, não foi
adotada essa opção devido a alguns fatos, tais como:
• a empresa contratada não possuía qualificação para execução desse tipo de
serviço, que demanda mão de obra especializada com controle mais rigoroso;
149
• o rompimento contratual demandava numa multa rescisória inviável;
• em vista das recomendações normativas e outras por pesquisas na área, a
punção só apresenta uma garantia satisfatória quando se adota lajes de alturas
maiores ou também o emprego de concreto de alta resistência com adição de
fibras nos apoios, o que torna a opção ainda mais inviável;
• o canteiro não tem frente de serviço suficiente para duas equipes de trabalho
ou seja, uma para os serviços mais grosseiros e outra para aqueles que
necessitem de mão de obra qualificada.
• alterando-se o tipo de concreto, ou contratando mão-de-obra especializada,
encareceria sobremaneira o empreendimento.
Figura 4. 21 Malha de representação da coordenada de deslocamentos máximos
e armadura de punção
150
A segunda opção não foi possível ser adotada devido ao seguinte:
• na comercialização inicial, o projeto havia sido apresentado com paredes
divisórias em alvenaria e sua alteração implicaria na justificativa dessa
substituição aos proprietários, o que poderia causar insatisfação e insegurança
aos mesmos; e pelo fato de que o sistema de gesso acartonado, que estava
sendo estudado para a questão, apresentava algumas desvantagens estruturais
quando comparado com alvenarias de tijolos cerâmicos, impossibilitando
ainda mais o seu emprego.
A terceira opção também foi descartada devido a que:
• o emprego de vigas internas descaracterizaria totalmente a proposta comercial
inicial, onde foram apresentadas como características inovadoras e também
mais vantajosa em comparação com outros processos;
• o possível acréscimo no tempo de execução e no custo com a implementação
de formas e mão-de-obra;
• o impedimento de possíveis alterações na disposição final da arquitetura, que
era uma opção dada ao consumidor de optar por diferentes disposições
arquitetônicas.
A quarta alternativa, que é o aumento na espessura das lajes, foi a que
apresentou as melhores opções e vantagens, uma vez que, com esse ganho, há um
aumento na segurança frente aos efeitos de punção como também aos deslocamentos
transversais. Na adoção dessa técnica, alguns parâmetros foram analisados, tais
como:
• com uma parte da estrutura já executada (fundação, blocos de ancoragem e
pilares até o primeiro pavimento tipo), ao se aumentar a espessura das lajes,
aumentava-se também os carregamentos nos pilares e conseqüentemente nas
fundações; então iniciaram-se os cálculos adotando-se as espessuras de 12cm
que correspondiam à que já estava sendo executada para obtenção dos
carregamentos nos pilares, e depois foram analisadas espessuras de 13, 14, 15
e 16 cm;
151
• para a utilização das recomendações da NBR 6118:2003, seria necessário
adotar lajes com espessura mínima de 16cm e isso acarretaria uma acréscimo
acentuado nos carregamentos provenientes do peso próprio da estrutura,
então optou-se em adotar as lajes com espessura de 14cm
2
e concreto de
resistência mínima de 30MPa que não necessita de controle tecnológico tão
rigoroso quanto para concretos de resistências maiores bem como seu preço
não difere muito do concreto de 18MPa.
Os carregamentos provenientes do peso próprio da estrutura, de acordo com
as diferentes espessuras das lajes, estão apresentados na tabela 4.5 abaixo.
Tabela 4. 5 Carregamento proveniente do peso próprio, nos pilares P5 e P11
Carregamento permanente nos pilares conforme espessura da laje
(cota da fundação)
Pilares
Laje 12cm Laje 13cm Laje 14cm Laje 15cm Laje 16cm
P5 3084,40 kN 3152,20 kN 3219,50 kN 3283,80 kN 3332,90 kN
P11 3630,90 kN 3710,78 kN 3732,60 kN 3807,20 kN 3823,20 kN
Acréscimo - 1,022 1,021 1,020 1,015
Pode-se observar que os acréscimos não são lineares, pois, quanto maior a
espessura da laje, maior a rigidez nas suas ligações; conseqüentemente há uma
melhor distribuição dos carregamentos.
A fundação permaneceu sem alterações, pois a empresa que a executou
garantiu o acréscimo proveniente do peso próprio para as lajes de 14 cm sem ter que
sofrerem modificações, justificando que já havia uma margem de segurança capaz de
absorver esses acréscimos.
2
Justifica essa espessura, o fato de já estar executada a fundação e armação inicial dos pilares, o que
aumentaria significativamente as cargas nos mesmos.
152
A seguir será feita a verificação da punção para os pilares P5 e P11, por
apresentarem a condição de ação, isso porque não possuem vigas conectadas a eles e
terem as lajes apoiadas diretamente sobre os mesmos.
Os deslocamentos serão verificados apenas para a laje L2, por ser a que
apresenta o sistema aqui estudado. Foram escolhidos somente esses pilares e essa laje
no projeto, porque o mesmo apresenta simetria, conforme já visto na figura 4.19
Foi utilizada a seguinte configuração para o cálculo:
Concreto
MPa 21,43 =
1,4
30
=f
cd
; Cobrimento c=1,50cm
Aço CA-50 Altura h=14,00cm
Também o cobrimento da armadura, difere das prescrições da
NBR 6118:2003, pelo motivo de que assim, ganha-se uma maior altura “d”.
4.1.3. 3 Cálculo da Punção
A tabela 4.6 apresenta os esforços nos pilares P5 e P11, ambos em dois
níveis: no piso 22 e no piso 8.
153
Tabela 4. 6 Esforços nos pilares P5 e P11 para o estudo de caso (laje 14cm)
Base Extremidade superior
Pilar Piso Tramo Hipótese
N (tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
N (tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
Permanente 14,31 -0,09 -1,96 12.52 -0.49 1.86
Sobrecarga 4,00 0,09 0,03 4.00 -0.07 -0.00
Vento 1 -1,34 -0,90 0,46 -1.34 1.02 -0.71
Vento 2 1,34 0,90 -0,46 1.34 -1.02 0.71
Vento 3 0,64 0,36 -0,53 0.64 -0.39 1.90
22 53.95/56.81
Vento 4
-0,64 -0,36 0,53 -0.64 0.39 -1.90
Permanente 32.51 -0.63 -2.17 30,72 0,80 1,87
Sobrecarga 7.91 0.08 0.02 7,91 -0,07 -0,03
Vento 1 -1.42 -0.90 0.31 -1,42 1,00 -0,23
Vento 2 1.42 0.90 -0.31 1,42 -1,00 0,23
Vento 3 0.71 0.36 -0.35 0,71 -0,35 1,85
21 50.95/53.81
Vento 4 -0.71 -0.36 0.35
-0,71 0,35 -1,85
Permanente 245,58 -0,51 -2,05 243.79 0.51 2.70
Sobrecarga 55,85 0,06 -0,06 55.85 -0.07 0.13
Vento 1 -3,02 -1,78 0,65 -3.02 1.68 -0.40
Vento 2 3,02 1,78 -0,65 3.02 -1.68 0.40
Vento 3 4,07 0,49 -3,06 4.07 -0.47 1.26
9 14.95/17.81
Vento 4
-4,07 -0,49 3,06 -4.07 0.47 -1.26
Permanente 264.86 -0.35 -4.31 263,08 0,38 2,71
Sobrecarga 60.16 0.11 -0.39 60,16 -0,09 0,16
Vento 1 -3.13 -1.74 -0.19 -3,13 1,55 -0,20
Vento 2 3.13 1.74 0.19 3,13 -1,55 0,20
Vento 3 4.10 0.43 -4.42 4,10 -0,41 0,84
P5
8 11.95/14.81
Vento 4 -4.10 -0.43 4.42
-4,10 0,41 -0,84
154
Base Extremidade superior
Pilar Piso Tramo Hipótese
N (tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
N (tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
Permanente 54,57 -0,63 0,26 52.78 0.51 -0.19
Sobrecarga 9,11 -0,42 0,08 9.11 0.61 -0.04
Vento 1 -1,90 0,04 0,08 -1.90 2.52 -0.09
Vento 2 1,90 -0,04 -0,08 1.90 -2.52 0.09
Vento 3 0,03 0,09 -0,87 0.03 -0.22 0.95
22 50.95/53.81
Vento 4
-0,03 -0,09 0,87 -0.03 0.22 -0.95
Permanente 74.45 -0.90 0.32 72,66 1,37 -0,34
Sobrecarga 12.86 -0.41 0.11 12,86 0,49 -0,11
Vento 1 -2.71 -0.00 0.07 -2,71 2,72 -0,07
Vento 2 2.71 0.00 -0.07 2,71 -2,72 0,07
Vento 3 0.07 0.10 -0.93 0,07 -0,20 1,01
21 47.95/50.81
Vento 4 -0.07 -0.10 0.93
-0,07 0,20 -1,01
Permanente 302,97 -1,00 0,57 301.18 0.55 -0.55
Sobrecarga 56,53 -0,45 0,11 56.53 0.34 -0.11
Vento 1 -13,80 -3,74 -0,08 -13.80 1.22 0.07
Vento 2 13,80 3,74 0,08 13.80 -1.22 -0.07
Vento 3 -0,95 0,14 -1,35 -0.95 0.07 1.27
9 14.95/17.81
Vento 4
0,95 -0,14 1,35 0.95 -0.07 -1.27
Permanente 325.30 -0.73 0.52 323,52 0,36 -0,56
Sobrecarga 60.91 -0.35 0.12 60,91 0,29 -0,11
Vento 1 -14.75 -4.83 -0.03 -14,75 0,44 0,07
Vento 2 14.75 4.83 0.03 14,75 -0,44 -0,07
Vento 3 -1.15 0.11 -1.34 -1,15 0,11 1,15
P11
8 11.95/14.81
Vento 4 1.15 -0.11 1.34
1,15 -0,11 -1,15
Para obtenção dos valores dos esforços transmitidos pela laje Aos pilares, é
necessário fazer o equilíbrio dos mesmos, utilizando-se os valores que estão
155
destacados na tabela 4.6, conforme o apresentado na figura 4.22.
+
x
0,80
-0,09
Ação Permanente
X
Z
30,72
14,31
Equilíbrio de forças no pilar P5
Piso 21
Piso 22
+50,81
+53,81
+50,95
+53,95
Base
Extremidade Superior
N=30,72-14,31 = 16,41 tf
M =-0,09+0,80 = 0,71 tf.m
Figura 4. 22 Equilíbrio de esforços no pilar P5
Efetuado o equilíbrio nas extremidades dos pilares, faz-se a combinação dos
esforços para se descobrir a situação mais crítica. Na tabela 4.7 abaixo, na coluna da
esquerda, apresenta-se o equilíbrio nas extremidades dos pilares para todas as ações
e, na coluna da direita, as combinações, destacando-se a célula para a mais
desfavorável:
156
Tabela 4. 7 Equilíbrio dos esforços e suas combinações
Pilar P5 Extremidade do piso 21
Equilíbrio de esforços Combinações
N
(tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
Situação
N
(tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
16,41 0,71 -0,09 Perm + Sobrec + Vento 1 20,24 0,83 0,14
3,91 0,02 0,00 Perm + Sobrec + Vento 2 20,40 0,63 -0,32
-0,08 0,10 0,23 Perm + Sobrec + Vento 3 20,39 0,74 1,23
0,08 -0,10 -0,23 Perm + Sobrec + Vento 4 20,25 0,72 -1,41
0,07 0,01 1,32
-0,07 -0,01 -1,32
Pilar P5 Extremidade do piso 8
Equilíbrio de esforços Combinações
N
(tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
Situação
N
(tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
17,5 -0,13 0,66 Perm + Sobrec + Vento 1 21,70 -0,39 1,21
4,31 -0,03 0,10 Perm + Sobrec + Vento 2 21,92 0,07 0,31
-0,11 -0,23 0,45 Perm + Sobrec + Vento 3 21,84 -0,08 -1,46
0,11 0,23 -0,45 Perm + Sobrec + Vento 4 21,78 -0,24 2,98
0,03 0,08 -2,22
-0,03 -0,08 2,22
Pilar P11 Extremidade do piso 21
Equilíbrio de esforços Combinações
N
(tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
Situação
N
(tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
18,09 0,74 -0,08 Perm + Sobrec + Vento 1 19,51 3,49 -0,08
3,75 0,07 -0,03 Perm + Sobrec + Vento 2 21,13 -2,03 -0,10
-0,81 2,76 0,01 Perm + Sobrec + Vento 3 20,36 0,62 0,05
0,81 -2,76 -0,01 Perm + Sobrec + Vento 4 20,28 0,84 -0,23
0,04 -0,11 0,14
-0,04 0,11 -0,14
157
Pilar P11 Extremidade do piso 8
Equilíbrio de esforços Combinações
N
(tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
Situação
N
(tf)
Mx
(tf.m)
My
(tf.m)
20,55 -0,64 0,01 Perm + Sobrec + Vento 1 19,37 -2,57 -0,10
4,38 -0,16 0,00 Perm + Sobrec + Vento 2 21,27 4,03 -0,08
-0,95 -3,30 -0,01 Perm + Sobrec + Vento 3 20,12 0,98 -0,29
0,95 3,30 0,01 Perm + Sobrec + Vento 4 20,52 0,48 0,11
-0,20 0,25 -0,20
0,20 -0,25 0,20
O equilíbrio e a combinação dos esforços foram feitos em dois níveis:
nível +53,81m e nível +14,81m para obtenção da situação mais crítica, visto que a
ação de vento produz deslocamentos horizontais maiores em estruturas altas e,
conseqüentemente, maiores tensões nessas regiões; no entanto, o esforço mais
desfavorável ocorreu no piso mais baixo. Portanto, serão utilizados os esforços
obtidos no nível +14,81m, conforme o apresentado na tabela 4.8, que é o nível do
segundo pavimento tipo, para verificação da punção.
Nota:
A tabela a seguir apresenta os esforços em (kN) e as tabelas apresentadas
anteriormente estão em (tf), isso porque o programa CYPEDAD (2003) utilizado
para obtenção desses, trabalha com essa configuração.
Tabela 4. 8 Esforços para verificação da punção
Ações
Pilar
N (kN) M
sy
(kN.m) M
sx
(kN.m)
P5
217,80 -2,40 29,80
P11
212,70 40,30 -0,80
158
Pilar P5
a) Determinação de
d
Armadura de flexão na direção “x” Ø 12,50 mm A
sx
superior
Armadura de flexão na direção “y” Ø 12,50 mm A
sy
superior
2
d+d
=d
yx
d
x
= 14 – 1,5 – 0,625 = 11,875 cm
d
y
= 14 – 1,5 – 1,875 = 10,625 cm
2
22,50
=
2
625,10+11,875
=d
cm 11,25 = d
b) Verificação do contorno C
Pilar interno momento fletor nas duas direções
Esforços:
F
sd
= 1,4 x 217,80 = 304,92 kN
M
sdx
= M
sd1
= 1,4 x 29,80 = 4172,00 kN.cm
M
sdy
= M
sd2
= 1,4 x 2,40 = 336,00 kN.cm
Cálculo da tensão resistente
cd
ck
cdvRd2
).f
250
f
-0,27.(1 = .f0,27. α=τ
1,4
30
).
250
30
-0,27.(1 =τ
Rd2
MPa 5,09 = τ
Rd2
159
Verificação das tensões atuantes
Perímetro do contorno crítico
u
cm 250 = 25)+2.(100 = )C+2.(C=u
21
Determinação do coeficiente
K que conforme figura 4.23 tem os seguintes
sentidos de momentos fletores:
C2
C1
25
100
sdy
M = M
M
C1
C2
25
100
M
sdx
M = M
P5
(25x100)
sd1
sd1
sd2
sd2
Figura 4. 23 Determinação do coeficiente K para pilar P5
0,45 =K ⇒ 0,25 =
100
25
=
C
C
1
2
1
0,80 =K ⇒ 4,00 =
25
100
=
C
C
2
2
1
Módulos de resistência plástica
W
p1
e W
p2
.
2
2
21
2
1
p1
cm 2812,50 = 25 . 100 +
2
52
=.CC+
2
C
= W
2
2
21
2
1
p2
cm 7500,00 = 100 . 25 +
2
100
=.CC+
2
C
= W
160
.dW
.MK
+
.dW
.MK
+
ud
F
= τ
p2
sd22
p1
sd11sd
sd
kN/cm 0,171 =
11,25 . 7500,00
336 . 0,80
+
11,25 . 2812,50
4172,00 . 0,45
+
250.11,25
304,92
= τ
2
sd
MPa 1,71 = τ
sd
Rd2sd
τ≤ τ∴
OK!
c) Verificação
do contorno C’
Cálculo da taxa de armadura nas duas direções.
x
25.1,23
ρ = = 0,0172
10,625.(100 + 2.3.11,25)
y
11.1,23
ρ = = 0,0123
11,875.(25 + 2.3.11, 25)
0172,0.0123,0=ρ.ρ=ρ
yx
0145,0=ρ
Cálculo da tensão resistente.
3
1
3
1
ckRd1
)30 . 0,0145 . ).(100
11,25
20
+0,13.(1=).fρ).(100.
d
20
+0,13.(1=τ
MPa 1,07=τ
Rd1
Cálculo das tensões atuantes.
Perímetro do contorno crítico
u’,
cm 391,37 = 11,25 . π. 4+25)+2.(100 = d . π. 4+)C+(C . 2=u
21
Módulos de resistência plástica
W
p1
e W
p2
.
161
1
2
221
2
1
p
C.d.π.2+d.16+d.C.4+C.C+
2
C
= W
25 . 11,25 . π. 2+11,25 . 16+11,25 . 100 . 4+25.100+
2
25
= W
2
2
p1
2
p1
cm 11104,65 = W
100 . 11,25 . π. 2+11,25 . 16+11,25 . 25 . 4+100.25+
2
100
= W
2
2
p2
2
p1
cm 17718,58 = W
11,25 . 17718,58
336 . 0,80
+
11,25 . 11104,65
4172,00 . 0,45
+
25391,37.11,
304,92
= τ
sd
MPa 0,85 = τ
sd
Rd1sd
τ< τ∴
Satisfaz a condição, não sendo necessária a armadura de
punção.
d) Verificação do colapso progressivo
sdyd s,
F ≥ .fA
A
sx
= 15 Ø 12,5 mm
A
sy
= 3 Ø 12,5 mm
2
s
cm 44,28 = 2.15.1,23 + 2.3.1,23 =A
kN 304,92 ≥ kN 1925,22 ⇒ 304,92 ≥
1,15
50
. 44,28
OK! Satisfaz a
condição.
162
e) Armadura de punção obrigatória
sd
s, mín.
yd
0,50.F
A
f
≥
2
s, mín.
0,50.304,92
A 3,51cm
50
1,15
≥=
Adotaram-se 30 conectores de Ø 4,20mm por linha, com área total de 5,54
cm
2
, conforme detalhamento na figura 4.24
S ≤ 0,50d = 5,60 cm
S ≤ 0,75d = 8,50 cm
S ≤ 2d = 22,50 cm
0
r
e
0,63
2
0,32
0,42
2
14
1
9
,
6
0
5,60
8,50
22,50
Figura 4. 24 Detalhamento da armadura de punção no pilar P5
163
Pilar P11
a) Determinação de
d
Para armadura de flexão na direção “x”
Ø 12,50 mm longitudinal superior
Para armadura de flexão na direção “y”
Ø 12,50 mm transversal superior
2
d+d
=d
yx
d
x
= 14 – 1,5 – 0,625 = 11,875 cm
d
y
= 14 – 1,5 – 1,875 = 10,625 cm
2
22,50
=
2
625,10+11,875
=d
cm 11,25 = d
b) Verificação do contorno C
Pilar interno com efeito de momento fletor nas duas direções
Esforços:
F
sd
= 1,4 x 212,70 = 297,78 kN
M
sdx
= M
sd1
= 1,4 x 0,80 = 112,00 kN.cm
M
sdy
= M
sd2
= 1,4 x 40,30 = 5642,00 kN.cm
Cálculo da tensão resistente:
cd
ck
cdvRd2
).f
250
f
-0,27.(1 = .f0,27. α=τ
164
1,4
30
).
250
30
-0,27.(1 =τ
Rd2
MPa 5,09 = τ
Rd2
Verificação das tensões:
Perímetro do contorno crítico
u
cm 250 = 25)+2.(100 = )C+2.(C=u
21
Determinação do coeficiente
K (conforme figura 4.25)
100
M
sd1
25
C1
C2
= M
sdx
M
sd1
P11
(100x25)
25
C2
C1
M
sd2
sd2
= MM
sdy
100
Figura 4. 25 Determinação do coeficiente K para o pilar P11
0,80 =K ⇒ 4,00 =
25
100
=
C
C
1
2
1
0,45 =K ⇒ 0,25 =
100
25
=
C
C
2
2
1
Módulos de resistência plástica
W
p1
e W
p2
.
2
2
21
2
1
p1
cm 7500,00 = 100 . 25 +
2
100
=.CC+
2
C
= W
2
2
21
2
1
p2
cm 2812,50 = 25 . 100 +
2
52
=.CC+
2
C
= W
165
kN/cm 0,187 =
11,25 . 2812,50
5642,00 . 0,45
+
11,25 . 7500,00
112,00 . 0,80
+
250.11,25
297,78
= τ
2
sd
MPa 1,87 = τ
sd
Rd2sd
τ≤ τ∴ OK!
c) Verificação do
contorno C’
Cálculo da taxa de armadura nas duas direções.
0168,0=
)cm25,11.3.2+cm25.(cm875,11
cm23,1.15
=ρ
2
x
0152,0=
)cm25,11.3.2+cm100.(cm625,10
cm23,1.22
=ρ
2
y
0152,0.0168,0=ρ.ρ=ρ
yx
0160,0=ρ
Cálculo da tensão resistente.
3
1
3
1
ckRd1
)30 . 0,0160 . ).(100
11,25
20
+0,13.(1=).fρ).(100.
d
20
+0,13.(1=τ
MPa 1,10=τ
Rd1
Cálculo das tensões atuantes.
Perímetro do contorno crítico
u’,
cm 391,37 = 11,25 . π. 4+25)+2.(100 = d . π. 4+)C+(C . 2=u
21
Módulos de resistência plástica
W
p1
e W
p2
.
1
2
221
2
1
p
C.d.π.2+d.16+d.C.4+C.C+
2
C
= W
166
100 . 11,25 . π. 2+11,25 . 16+11,25 . 25 . 4+100.25+
2
100
= W
2
2
p1
2
p1
cm 17718,58 = W
25 . 11,25 . π. 2+11,25 . 16+11,25 . 100 . 4+25.100+
2
25
= W
2
2
p2
2
p2
cm 11104,65 = W
11,25 . 11104,65
5642,00 . 0,45
+
11,25 . 17718,00
112,00 . 0,80
+
25391,37.11,
297,78
= τ
sd
MPa 0,88 = τ
sd
Rd1sd
τ< τ∴
Satisfaz a condição, não sendo necessária armadura de
punção.
d) Verificação do colapso progressivo
sdyd s,
F ≥ .fA
A
sx
= 5 Ø 12,5 mm
A
sy
= 14 Ø 12,5 mm
2
s
cm 46,74 = 2.14.1,23 + 2.5.1,23 =A
kN 297,78 ≥ kN 2032,17 ⇒ 297,78 ≥
1,15
50
. 46,74
OK! Satisfaz a
condição.
e) Armadura de punção obrigatória
sd
s, mín.
yd
0,50.F
A
f
≥
167
2
s, mín.
0,50.297,78
A 3,42cm
50
1,15
≥=
Adotaram-se 30 conectores de Ø 4,20mm por linha com área total de 5,54
cm
2
, conforme detalhamento na figura 4.26
22,50
8,50
5,60
1
9
,
6
0
14
2
0,42
0,32
2
0,63
e
r
0
S ≤ 0,50d = 5,60 cm
S ≤ 0,75d = 8,50 cm
S ≤ 2d = 22,50 cm
Figura 4. 26 Detalhamento da armadura de punção no pilar P11
4.1.3. 4 Verificação da flecha para a laje L2
A verificação da flecha, será realizada apenas na laje L2, porque o projeto
possui simetria, conforme já apresentado na figura 4.19, e por conter a característica
do sistema que é objeto desse trabalho, sendo apoiada internamente diretamente
sobre os pilares.
Para a determinação da flecha final, será seguida a seguinte ordem:
- cálculo dos deslocamentos iniciais;
- deslocamentos de acordo com a combinação (ELS-DEF);
- efeito da fluência e,
- a flecha no tempo infinito.
O ponto de deslocamento máximo da respectiva laje, pode ser visto na figura
4.21
168
4.1.3.4. 1 Deslocamentos iniciais
A tabela 4.9 apresenta os deslocamentos por hipótese de acordo com a ação.
Tabela 4. 9 Deslocamentos por hipótese (laje L2 estudo de caso)
Ação Deslocamento (mm)
Permanente 6,42
Variável 1,21
Vento 1 0,11
Vento 2 -0,11
Vento 3 0,17
Vento 4 -0,17
Os valores acima, foram calculados com 100% do valor de sua ação.
4.1.3.4. 2 Cálculo dos deslocamentos para as diversas Combinações
Os deslocamentos de acordo com cada combinação bem como as verificações
para a aceitabilidade sensorial, apresentam-se na tabela 4.10
169
Tabela 4. 10 Deslocamentos conforme combinação (laje estudo de caso)
Ação
Flecha de acordo
com a combinação
(mm)
Limites para
aceitabilidade
sensorial
Permanente 6,42 ℓ/250 Ok
Quase-permanente 6,79 ℓ/250 Ok
Freqüente 6,91 ℓ/250 Ok
Rara 7,68 ℓ/250 Ok
Limites para verificação de acordo com a aceitabilidade sensorial da carga
acidental:
Ação flecha limite
Acidental 1,21mm ℓ/350 = 5500/350 = 15,71mm
Ok! Satisfaz a condição!
4.1.3.4. 3 Cálculo do efeito da fluência
Para a determinação de t
0
referente à idade em meses relativa a data de
aplicação da carga de longa duração, será adotado o 7° dia que coincide com a
desforma e retirada do escoramento, ficando assim:
0
t7/300,23==
Determinação dos coeficientes
ξ
Para a idade t
0
t 0,32 0,23 0,32
0
ξ(t ) = 0,68 . 0,996 . t = 0,68 . 0,996 . 0,23 = 0,42
Para o infinito
ξ() = 2∞
(fixo para idades maiores de que 70 meses)
170
Como não foi utilizada a armadura de compressão, ρ
’
= 0
Determinação do fator α
f
:
f
'
∆ξ 2 - 0,42
α = = = 1,58
1
1 + 50 . ρ
Cálculo da contra flecha
cf
5500
α = = = 15,71mm
350 350
A
4.1.3.4. 4 Cálculo da flecha total no tempo infinito
total,
α = [ 7,68 (6,79 x 1,58)] - 15,71 2,70 mm
∞
+
=
Limite para deslocamento conforme tabela 13.2 da NBR 6118:2003
limite
5500
α = = = 22,00 mm
250 250
A
limite
∞
total,
aque < é α
∴
A condição de deformação é atendida.
Os problemas de deslocamentos nas lajes, conforme pode ser visto nas fotos
4.1 e 4.2 e a verificação à punção que foram os itens analisados nesse estudo de caso,
apresentaram resultados satisfatórios frente aos problemas que apresentavam.
Inicialmente foi calculado o esforço e os deslocamentos na laje através do programa
de cálculo estrutural CYPECAD, e isso foram feito utilizando as prescrições da
NBR 6118:1980 com as mesmas características do projeto inicial, e com as da
NBR 6118:2003 utilizando concreto de diferentes resistências, para que pudesse ser
feita uma comparação entre os valores obtidos por ambos, conforme já visto na
tabela 4.4. Esses resultados demonstraram que os cálculos realizados com as
171
prescrições da NBR 6118:2003, apresentam valores mais conservadores, ficando
com resultados maiores mesmo com a utilização de concretos de maior resistência,
passando a obter deslocamentos menores com concretos de resistência a partir de
40 MPa, com isso conclui-se essa norma passa a tratar dos deslocamento de maneira
mais segura, com valores mais próximos da realidade.
Para a verificação à punção, mesmo estando a laje com espessura de 14 cm
que é menor que a prescrita pela NBR 6118:2003 (16 cm), os resultados
apresentados não necessitaram de armadura transversal, isso porque os pilares
analisados, possuíam seções alongadas, distribuindo assim os esforços por uma área
ou perímetro maior. Em contra partida, essa preocupação pode ser minimizada,
quando da verificação da taxa mínima de armadura e da verificação do colapso
progressivo.
172
CONCLUSÕES
Na verificação à punção, de acordo com as recomendações da
NBR 6118:2003, é bem mais completa que a prescrita pela versão de 1980, que só
tratava de pilares centrais sem atuação de momentos. Agora são tratados de casos de
pilares centrais, de borda e de cantos, com ou sem momentos nas ligações das lajes
com os pilares, apresenta procedimentos para detalhamento da armadura quando
necessária e trata também da prevenção contra colapso progressivo. Assim, a Norma
proporciona uma maior confiabilidade na adoção de sistemas sem vigas, trazendo
mais segurança aos projetistas ao tratar de casos que anteriormente não eram
considerados.
Ao analisar os resultados obtidos com os exemplos, pode-se perceber que a
punção é de fato importante e geralmente, com cargas pouco maiores que as usuais,
resulta na necessidade de armadura específica, mesmo em pilares centrais; como era
de se esperar, a presença de momentos em uma ou duas direções aumenta a
solicitação à punção.
Fica claro, com o que foi observado neste trabalho, que deve ser feito um
estudo mais amplo em relação à utilização de programas computacionais para a
verificação à punção, principalmente naquelas situações em que se verifica a
necessidade de armadura transversal. Isto porque se observou que a armadura
especificada pelo programa de cálculo estrutural CYPECAD foi muito superior à
encontrada, para o mesmo caso, ao se empregar as prescrições da NBR 6118:2003.
Outros programas também deveriam ser analisados.
O programa calcula a armadura transversal em função dos esforços cortantes
atuantes por nó, em uma malha quadrada espaçada de 25 cm, não considerando
portanto uma área ou perímetro crítico, mas sim a região do próprio nó. Já para a
NBR 6118:2003, esses esforços são considerados iguais para todo o perímetro,
seguindo linhas de armação uniformemente espaçada e utilizando barras de mesmo
diâmetro. A vantagem que o programa apresenta é que a armadura é colocada apenas
nas regiões onde são de fato necessárias mas, em contra partida, apresenta uma maior
173
dificuldade na sua montagem, por não ser uniformemente distribuída e por possuir
diâmetros diferentes e, principalmente, por não considerar que situações diferentes
poderão ocorrer durante todo o período de vida da estrutura. Em relação à taxa de
armadura, as prescrições da Norma apresentam uma sensível diferença para menor,
em comparação às obtidas pelo programa CYPECAD.
Na verificação dos deslocamentos, os mesmos ganharam uma nova dimensão
sob a perspectiva da NBR 6118:2003. No cálculo de esforços e deslocamentos
iniciais, a Norma passa a permitir o emprego de procedimento numérico adequado,
possibilitando a utilização, por exemplo, dos métodos das diferenças finitas, dos
elementos finitos e dos elementos de contorno, facilitando assim um trabalho que
anteriormente era considerado de difícil execução para o cálculo das lajes-sem-vigas,
como pôde ser visto no capítulo 3.
No cálculo dos deslocamentos iniciais feitos pelo programa CYPECAD, que
utiliza o processo dos elementos finitos, o mesmo já considera a não linearidade do
concreto. Outro aspecto que foi alterado e propiciou maior facilidade na sua
determinação é o cálculo da flecha final no tempo infinito, que passou a utilizar
apenas um coeficiente multiplicador dos deslocamentos iniciais, não dependendo
portanto da relação entre as curvaturas final e inicial, na seção de maior momento
fletor, conforme prescrevia a NBR 6118:1980.
Essa facilidade no cálculo e na verificação dos deslocamentos permite uma
nova postura dos projetistas, que podem verificar deslocamentos ou flechas para
qualquer tipo de laje, com uma maior segurança.
No estudo de caso onde foram analisados os problemas de deslocamentos na
laje L2, conforme pode ser visto nas fotos 4.1 e 4.2 e a verificação à punção nos
pilares P5 e P11, ambos apresentaram resultados satisfatórios, justificando a grande
importância que teve a implementação das prescrições da NBR 6118:2003.
Inicialmente foram calculados os esforços e os deslocamentos na laje através do
programa de cálculo estrutural CYPECAD, e isso foi feito utilizando as prescrições
da NBR 6118:1980, com as mesmas características do projeto inicial, e as da
NBR 6118:2003, utilizando concreto de diferentes resistências, para que pudesse ser
feita uma comparação entre os valores obtidos por ambos, conforme já visto na
174
tabela 4.4. Esses resultados demonstraram que os cálculos realizados com as
prescrições da NBR 6118:2003 apresentam valores mais conservadores, ficando com
resultados maiores mesmo com a utilização de concretos de maior resistência,
passando a obter deslocamentos menores com concretos de resistência a partir de
40 MPa. Com isso conclui-se essa norma passa a tratar dos deslocamento de maneira
mais segura, com valores mais próximos da realidade.
Para a verificação à punção, mesmo estando a laje com espessura de 14 cm,
que é menor que a prescrita pela NBR 6118:2003 (16 cm), os resultados
apresentados não necessitaram de armadura transversal, isso porque os pilares
analisados possuíam seções alongadas, distribuindo assim os esforços por uma área
ou perímetro maior. Em contrapartida, essa preocupação pode ser minimizada,
quando da verificação da taxa mínima de armadura e da verificação do colapso
progressivo.
Recomenda-se neste trabalho uma maior abrangência de estudos e pesquisas
para obtenção de uma melhor análise para verificação à punção em pilares com
seções alongadas. Embora a Norma permita que seja aplicada uma região reduzida
para pilares laterais e de canto, ela nada mais prescreve para situações dessa
natureza. Outro assunto que merece uma melhor interpretação diz respeito ao
diâmetro mínimo das armaduras, pra que se estabeleçam parâmetros iniciais de
cálculo.
175
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