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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ANÁLISE DE ALGUNS ASPECTOS NO ESTUDO DE TORRES ESTAIADAS.
por
Vicente Bergamini Puglia
Dissertação para obtenção do Título de
Mestre em Engenharia
Porto Alegre, Abril de 2009.
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ii
ANÁLISE DE ALGUNS ASPECTOS NO ESTUDO DE TORRES ESTAIADAS.
por
Vicente Bergamini Puglia
Engenheiro Mecânico
Dissertação submetida ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica, PROMEC, da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio
Grande do Sul, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Título de
Mestre em Engenharia
Área de Concentração: Mecânica dos Sólidos
Orientador: Prof. Dr. Ignacio Iturrioz
Co-orientadora: Profª. Drª. Letícia Fleck Fadel Miguel
Aprovada por:
Prof. Dr. Jorge Daniel Riera
Prof. Dr.
Acir Mércio Loredo-Souza
Prof. Dr. Zacarias Chamberlain Pravia
Prof. Dr. Horácio Antônio Vielmo
Coordenador do PROMEC
Porto Alegre, Abril de 2009.
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iii
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer ao meu orientador Prof. Dr. Ignácio Iturrioz, pela paciência,
atenção, ensinamento e incentivo a trilhar mais esta jornada.
Aos meus pais e familiares pelo apoio e carinho demonstrados em todos esses anos.
Aos meus amigos e colegas de laboratório pelos momentos de descontração que foram
fundamentais para o termino deste mestrado.
Também gostaria de agradecer ao Prof. Dr. Mario José Paluch (in memorian) pela
iniciativa de desenvolver pesquisas com engenharia do vento na Universidade de Passo Fundo,
sendo que estas pesquisas foram fundamentais para o desenvolvimento desta dissertação.
Também gostaria de agradecer a ele pelo incentivo dado ainda quando eu estava na graduação a
continuar nesta área de pesquisa e vir a fazer o mestrado na UFRGS.
iv
RESUMO
As de torres treliçadas estaiadas são muito utilizadas e são foco de atenção na pesquisa
da engenharia moderna, apresentando-se como um desafio na avaliação das excitações que sobre
elas atuam, assim como a determinação das respostas dos elementos que as compõem.
Para realizar um estudo neste sentido se realiza no presente trabalho a avaliação estrutural
de uma torre treliçada estaiada, localizada na Universidade de Passo Fundo. Esta torre se
encontra instrumentada, registrando velocidades de vento de forma contínua, sendo possível
determinar nos registros existentes ventos característicos de tormentas TS e EPS. Se conta
também com a caracterização dinâmica desta torre para qual foram determinadas suas
freqüências naturais de vibração.
Utilizando a informação supracitada foram criados modelos estruturais de diferentes
níveis de complexidade que foram calibrados utilizando as informações disponíveis. A excitação
devida a tormentas foi montada, comparando espectros de excitação clássicos disponíveis na
literatura técnica e os registros experimentais de tormentas reais disponíveis.
Também foi analisado um montante da torre submetido à compressão onde sua seção
transversal é uma cantoneira de abas iguais. Foi determinada a carga de colapso deste perfil
considerando as não linearidades físicas e geométricas incorporadas no mesmo. Foi prestada
singular atenção ao estudo da influência das imperfeições, utilizando para isto expressões
propostas pela bibliografia especializada e o quadro de imperfeições que foi extraído do
escaneamento tridimensional de um montante real.
Finalmente os diferentes aspectos estudados são discutidos nesta dissertação os quais
permitem conhecer melhor o comportamento estrutural de torres estaiadas, em forma global, dos
componentes que as compõem e das solicitações que atuam sobre elas. A forma em que se
estudaram estes aspectos sem duvida enriqueceram a discussão do complexo tema da incerteza
de modelo um dos atuais frentes na pesquisa da engenharia moderna.
Palavras chave: Torres estaiadas, Excitação devida ao vento, imperfeições geométricas,
incerteza de modelo.
v
ABSTRACT
“Analysis of different aspects to be taken into account in the study of guyed masts”.
The analysis of frames guyed masts are widely used and are the focus of attention in the
research of modern engineering, presenting a challenge in the evaluation of excitations that act
on them, and determining the responses of the component elements.
To undertake a study to that effect, in this essay is made the evaluation of a structural
truss of guyed masts, located at the University of Passo Fundo. This tower has equipments that
record wind speeds in a continuous manner, being able to determine data about TS and EPS
storms in the existing records. It also determines the natural frequencies of vibration as a
dynamic characteristic of the tower.
Using the above information, structural models of different levels of complexity were
created, being calibrated using the available data. The excitement caused by storms was created
by comparing the excitation spectra classics available in the technical literature and the
experimental records of actual storms available.
Also discussed was an amount subject to compression of the tower where its cross section
is a corner of tabs equal. Was determined from the load profile given the collapse of physical and
geometric nonlinearities embedded in it. Individual attention was given to the study of the
influence of imperfections, using it to expressions proposed by the specialized literature and the
framework of imperfection that was extracted from three-dimensional scanning of an actual
amount.
Keywords: Guyed masts, excitation of the wind, geometric imperfections, uncertainty of
model.
vi
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 Objetivos 3
1.1.1 Objetivos específicos 3
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 4
2.1 Ventos 4
2.1.1 Formação dos ventos 4
2.1.2 Tipos de ventos e suas características 6
2.1.2.1 Tormenta EPS – Extended Pressure System 6
2.1.2.2 Tormentas Elétricas – Thunderstorm (Tormentas TS) 7
2.1.3 Intervalo de tempo 10
2.1.4 Funções de correlação 10
2.1.5 Escalas de turbulência 12
2.1.6 Velocidade média 13
2.1.7 Velocidade flutuante 14
2.1.8 Simulação de um registro de vento a partir de sua componente média e o espectro
de sua componente flutuante 16
2.1.9 Formas de carregamento 17
2.2 Dinâmica estrutural 18
2.2.1 Discretização espacial 18
2.2.2 Domínio da freqüência 20
2.2.3 Forma de determinar a matriz de amortecimento 21
2.2.4 Análise implícita 25
2.2.5 Análise explícita 25
2.2.6 Comparação de análises: implícita x explícita 26
2.3 Análise dos cabos 27
2.3.1 Equações básicas de Veletsos para modelar os cabos como molas. 28
2.4 Não-linearidades 29
2.4.1 Não-linearidade física 29
2.5 Instabilidade 31
2.6 Aços laminados 33
2.6.1 Propriedades mecânicas dos aços laminados 33
vii
2.6.2 Tensões residuais dos aços laminados 34
2.7 Acelerômetros 36
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 38
3.1 Resposta dinâmica de torres estaiadas sob cargas de vento 38
3.2 Análise dos cabos 39
3.3 Análise de flambagem 40
4 METODOLOGIA 41
4.1 Implementação dos modelos numéricos 41
4.2 Descrição da análise para determinar a carga de colapso do montante da torre
submetido a compressão 42
4.3 Técnicas de solução numérica 43
4.4 Determinação dos modos e freqüências de vibração 44
4.5 Análise harmônica 44
4.6 Análise transiente 45
4.7 Metodologia utilizada para escanear as excentricidades do montante de seção L 45
4.8 Digitalização tridimensional a laser 46
4.8.1 Procedimento do escaneamento da barra 50
4.9 Descrição dos acelerômetros utilizados para determinação das freqüências da torre 53
4.10 Descrição dos anemômetros utilizados para aquisição dos registros da velocidade do
vento 55
5 DESCRIÇÃO DA TORRE E DOS MODELOS NUMÉRICOS IMPLEMENTADOS 57
5.1 Breve histórico do Laboratório Anemométrico 57
5.2 Modelo físico da torre estudada 57
5.3 Perfis de aço laminado 61
5.4 Estudos realizados 62
5.4.1 Determinação das componentes flutuantes para a tormenta EPS 62
5.4.2 Determinação da velocidade do vento 62
5.4.3 Aplicação do carregamento na estrutura 65
5.4.4 Determinação da rigidez equivalente da torre 66
5.4.5 Modelagem dos cabos 70
5.5 Descrição dos modelos numéricos implementados 71
viii
5.5.1 Descrição do modelo completo (MC) 72
5.5.1.1 Geometria 72
5.5.1.2 Propriedades geométricas e constantes dos elementos 72
5.5.2 Descrição do modelo equivalente (ME) 74
5.5.2.1 Geometria 74
5.5.2.2 Propriedades geométricas e constantes dos elementos utilizados no modelo
equivalente 74
5.6 Condições de contorno 75
5.7 Determinação das freqüências naturais da torre 76
6 VALIDAÇÃO DOS MODELOS NUMÉRICOS 79
6.1 Análise modal das estruturas 79
6.1.1 Análise modal das estruturas MCM e MEM 79
6.1.2 Análise modal das estruturas MCC e MEC 79
6.2 Análise no domínio da freqüência 81
7 ANÁLISE DA TORRE SUBMETIDA À AÇÃO DE UMA TORMENTA EPS 84
7.1 Análise transiente 84
7.2 Resposta da análise transiente com carregamento EPS 85
7.3 Histórico dos deslocamentos da estrutura no domínio do tempo 88
8 ENSAIO DE COMPRESSÃO EM UM ELEMENTO DA TORRE SOB DIFERENTES
TIPOS DE NÃO-LINEARIDADES 89
8.1 Modelagem numérica da cantoneira escaneada 89
8.1.1 Geometria do perfil 89
8.2 Propriedades físicas dos elementos 93
8.3 Condições de contorno 93
8.4 Relações constitutivas utilizadas na análise 94
8.5 Análise linear de instabilidade 95
8.6 Análise não-linear da cantoneira 96
9 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS 101
9.1 Resposta da torre 101
ix
9.2 Analise do montante e a influência na forma de considerar as imperfeições geométricas
102
9.2.1 Considerações sobre incerteza de modelos 102
9.3 Sugestões para futuros trabalhos 102
9.3.1 Análise das respostas da torre: 102
9.3.2 Análise do perfil escaneado 103
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 104
x
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 – Exemplos de torres estaiadas......................................................................................... 1
Figura 2 – O efeito da força de Coriolis na superfície da Terra. Representação esquemática de
fluxo em torno de uma zona de baixa pressão. A força de gradiente de pressão é representada
pelas flechas azuis. A força de Coriolis, sempre perpendicular à velocidade, em vermelho. ........ 5
Figura 3 – Ciclone extratropical formado no hemisfério sul.......................................................... 6
Figura 4 – Perfil de velocidade de uma tormenta EPS ................................................................... 7
Figura 5 – Estágios de uma tormenta TS........................................................................................ 9
Figura 6 – Estágio inicial de contato com o solo. Fonte: [JUNIOR, J. P. 2005]............................ 9
Figura 7 – a) Esquema de um escoamento descendente. Fonte: [JUNIOR, J. P. 2005]. b) Perfil de
velocidade de uma TS................................................................................................................... 10
Figura 8 – Funções de correlação cruzada da componente longitudinal, com retardo nulo (i=k=1;
τ = 0), Fonte: [BLESSMANN, 1995]. .......................................................................................... 12
Figura 9 – Escala espacial da turbulência. Fonte: [BLESSMANN, 1995]................................... 12
Figura 10 – Escala espacial da componente Vi na direção j. Fonte: [BLESSMANN, 1995]....... 13
Figura 11 – Escalas espaciais da componente longitudinal da turbulência. Fonte:
[BLESSMANN, 1995].................................................................................................................. 13
Figura 12 – Esquema que ilustra a forma de proceder na integração numérica ........................... 24
Figura 13 – Comparação de custo operacional entre análise implícita e explícita [Hibbit,
Karlsson & Sorensen Inc., 1995].................................................................................................. 27
Figura 14 – Representação dos cabos na estrutura ....................................................................... 28
Figura 15 – Esquema de carregamento que é aplicado em um cabo ............................................ 28
Figura 16 – Curvas tensão x deformação típicas de materiais elasto-plásticos............................ 30
Figura 17 – (a) Material com endurecimento isótropo e (b) com endurecimento cinemático...... 31
Figura 18 – Situação típica de flambagem linear.......................................................................... 32
Figura 19 – Viga com carregamento axial e no plano transversal................................................ 32
Figura 20 – Diagrama tensão – deformação................................................................................. 34
Figura 21 – Tensões residuais de tração na região central e de compressão nas bordas.............. 35
Figura 22 – Esquematização de um acelerômetro capacitivo, a) Condição de “0 g” sem influência
da aceleração gravitacional, b) Condição de “1 g” com influência da aceleração gravitacional.. 36
Figura 23 – Circuito esquematizado............................................................................................. 37
Figura 24 – Fluxograma para análise da carga crítica de flambagem........................................... 43
xi
Figura 25 – Scanner tridimensional a laser modelo Digimill 3D. Equipamento instalado no
LdSM/UFRGS .............................................................................................................................. 46
Figura 26 – Funcionamento do eixo Z do equipamento CNC Digimill 3D.................................. 47
Figura 27 – Tabela de configuração dos parâmetros do cabeçote laser........................................ 49
Figura 28 – Tela de configuração dos parâmetros do processo de digitalização.......................... 50
Figura 29 – Escaner fazendo leitura da superfície da cantoneira.................................................. 51
Figura 30 – A esfera fixada na superfície da cantoneira serviu como ponto de referência durante
o tratamento da nuvem de pontos ................................................................................................. 51
Figura 31 – Nuvem de pontos da cantoneira escaneada ............................................................... 52
Figura 32 – Planos geométricos da superfície da cantoneira escaneada....................................... 53
Figura 33 – Acelerômetro usado no experimento......................................................................... 54
Figura 34 – Osciloscópio usado para captar os sinais dos acelerômetros..................................... 54
Figura 35 – Cabo Coaxial 10Base2 e conector tipo BNC ............................................................ 55
Figura 36 – Visão geral da torre e disposição dos anemômetros ao longo da estrutura............... 58
Figura 37 – Fixação dos cabos na estrutura da torre..................................................................... 59
Figura 38 – Chumbadores responsáveis pela fixação dos cabos .................................................. 59
Figura 39 – Fixação da base da estrutura da torre ........................................................................ 59
Figura 40 – Fixação entre segmentos da estrutura........................................................................ 60
Figura 41 – Módulo da estrutura................................................................................................... 60
Figura 42: Representação geométrica da estrutura....................................................................... 61
Figura 43 – Espectro de Davenport válido para o domínio da freqüência variando de 0,001Hz até
30Hz.............................................................................................................................................. 62
Figura 44 – Espectro de Davenport gerado para a componente flutuante utilizada na tormenta
EPS, faixa de freqüência utilizada de 1 à 30Hz............................................................................ 63
Figura 45 – a) Velocidade do vento de um trecho da tormenta do tipo EPS proveniente do
registro anemométrico, b) Registro de vento da tormenta EPS com a adição da componente
flutuante. ....................................................................................................................................... 64
Figura 46 – FFT do registro anemométrico juntamente com a componente flutuante................. 65
Figura 47 – Histórico de força de uma tormenta EPS .................................................................. 66
Figura 48 – a) Aplicação da força unitária no conjunto de módulos da estrutura; b) Visualização
da deformada e do deslocamento obtido após aplicação da carga................................................ 67
Figura 49 – Rotação em relação ao eixo y, produzida na estrutura por uma força unitária ......... 69
xii
Figura 50 – Aplicação do momento unitário no conjunto de módulos; b) Vista isométrica,
visualização do giro unitário do conjunto; c) Vista superior do conjunto de módulos e indicação
do giro de estrutura deformada..................................................................................................... 69
Figura 51 – Distribuição dos cabos de sustentação na torre......................................................... 71
Figura 52 – Disposição das seções geométricas da torre.............................................................. 72
Figura 53 – Modelos da torre completa usando elementos de molas e elementos de cabos para
representação dos estais................................................................................................................ 73
Figura 54 – Representação esquemática do modelo equivalente da torre .................................... 74
Figura 55 – Modelo equivalente da torre estaiada, usando elementos de mola e elementos de
cabo para representação dos estais................................................................................................ 75
Figura 56 – Detalhe das condições de contorno dos modelos ...................................................... 76
Figura 57: Indicação da localização dos acelerômetros na torre .................................................. 77
Figura 58 – Sinal adquirido por um acelerômetro instalado na torre a 19m de altura.................. 77
Figura 59 – FFT do sinal adquirido por um acelerômetro instalado na torre a 19m de altura ..... 78
Figura 60 – Modos de vibração das estruturas MCM e MEM ..................................................... 79
Figura 61 – Modos de vibração das estruturas MCC e MEC ....................................................... 80
Figura 62 – Desenho dos modelos sobre os quais se realizou a analise no domínio da freqüência
onde se iniciaram os pontos onde foram registradas as respostas e o ponto onde se aplico a carga
impulsiva....................................................................................................................................... 82
Figura 63 – Resposta da análise harmônica MCC, MEC, MCM, MEM...................................... 83
Figura 64 – Condições de contorno e forma de carregamento aplicado para tormenta EPS........ 85
Figura 65 – Resposta MEM e MCC com carregamento EPS....................................................... 86
Figura 66 – Deslocamento modelo equivalente mola carregamento EPS.................................... 87
Figura 67 – Deslocamento modelo completo cabo carregamento EPS........................................ 87
Figura 68 – Deslocamentos de alguns pontos no MEM e MCC, reposta da estrutura sob ação de
uma tormenta EPS......................................................................................................................... 88
Figura 69 – Vista da distribuição das 30 seções transversais no modelo numérico ..................... 91
Figura 70 – Vista das três regiões correspondentes à média das coordenadas das dez seções
transversais.................................................................................................................................... 92
Figura 71 – Vista correspondente à média das 30 seções transversais......................................... 92
Figura 72 – Condições de contorno na modelagem da cantoneira ............................................... 94
Figura 73 – Gráfico tensão-deformação: modelo elasto-plástico trilinear adotado para simular o
comportamento do aço.................................................................................................................. 95
Figura 74 – Modos de flambagem do perfil sem imperfeição geométrica. .................................. 95
xiii
Figura 75 – Carga de Colapso para perfis com imperfeição geométrica teórica.......................... 97
Figura 76 – Simulações considerando diversas formas de implementar as imperfeições
geométricas escaneadas. ............................................................................................................... 98
Figura 77 – Distribuição de tensão axial do um perfil de cantoneira escaneado.......................... 99
Figura 78 – Comparação das cargas de colapso das diferentes simulações realizadas. ............. 100
xiv
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 – Características das lentes do scanner 3D utilizadas pelo LdSM/UFRGS 48
Tabela 2 – Propriedades mecânicas dos perfis laminados 61
Tabela 3 – Rigidez das molas em relação aos cabos 71
Tabela 4 – Freqüências naturais extraídas do ensaio experimental 78
Tabela 6 – Coordenadas dos pontos geométricos do perfil escaneado 90
Tabela 7 – Carga de Colapso com imperfeição geométrica teórica 96
Tabela 8 – Carga de Colapso de um perfil cantoneira escaneado 97
xv
LISTA DE SÍMBOLOS
( ):
V ref
Velocidade média de referência
α e β: coeficientes experimentais
α
e
δ
: parâmetros de integração
ψ: ângulo de fase
α: ângulo entre o solo e cabo
ρ: densidade do ar
φ: fase do deslocamento
ϕ: latitude ou ângulos entre os vetores ϕ e v
Φ: matriz modal
ω: módulo de velocidade angular
Ω: velocidade angular
σ
1
(z): desvio padrão das flutuações
ω
max
: freqüência natural máxima
ω
nn
: freqüência de vibração do sistema
∆t: intervalo de tempo
a: aceleração
A: área da secção transversal
A: área superficial do eletrodo
A
e
: área de obstrução do elemento
C: matriz amortecimento
C
1,2
: capacitância
C
as
: coeficiente de arrasto
Cr: matriz diagonal de amortecimento
d: deslocamento
xvi
d: distância
D: matriz dinâmica
E: módulo de elasticidade
f(t): força de excitação no tempo
F(t): força devida ao vento
F: força
f: freqüência
F
a
: força de excitação
F
c
: Força de Coriolis
f
esc
: superfície de escoamento
F
i
: Força de inércia
F
max
: amplitude da força máxima
G: módulo de elasticidade torcional
I: deslocamento
I: momento de inércia
I
1
(z): velocidade do ponto de determinação do desvio padrão
I
p
: momento polar de inércia
K: matriz de rigidez
k: rigidez da estrutura
Kr: matriz de rigidez diagonal
K
st
: coeficiente de rigidez da mola resultante
l: comprimento do conjunto de seis módulos
L
1
: comprimento inicial do cabo
L
e
: comprimento final do cabo
L
ij
: escala de turbulência
m: massa
xvii
M: matriz de massa
Mr: matriz de massa diagonal
P: carga axial
q(t,z): pressão dinâmica
Q
pp
: função potencial plástica
Q
y
: carregamento (peso próprio mais a ação do vento)
r: módulo do vento de direção radial
R
ij
: função de correlação
S
2
: rugosidade superficial
S
i
(f): densidade espectral da velocidade do vento
t: tempo
T
o
: tensão inicial aplicada
T
r
: tensão de ruptura
u(z): velocidade média do vento proposta por Prandtl
U: amplitude de oscilação
ü: vetor de aceleração
u: vetor de deslocamento
V(t,z): somatório das velocidades definidas pelo registro anemométrico
v: velocidade da partícula para um sistema de referencia fixo a terra
(10):
V velocidade média a 10m de altura
[
]
y
vetor deslocamento
( ):
V r
vetor velocidade média
v
i
(t,z): flutuação da velocidade do vento
w: deslocamento
X: deslocamento da massa
z: altura
xviii
γ: rotação em torno do eixo y
κ: fator de forma
λ: multiplicador plástico
ξ: razão de amortecimento
σ
1,2,3
: tensão normal
Є: permissividade do ar
є
e
: deformação elástica
є
p
: deformação plástica
є
p
: deformação total
1
1 INTRODUÇÃO
As torres estaiadas são em geral qualquer tipo de torre vertical elevada, muito esbelta, são
muito utilizadas na área de transporte de energia elétrica em alta tensão e de telecomunicação em
geral. Sua altura varia de uns poucos metros, até mais de cem metros. Sua posição vertical e
estabilidade são garantidas por meio de no mínimo três cabos oblíquos amarrados no corpo da
torre em um ou vários níveis e ancorados em bases de concreto. As torres são construídas quase
que exclusivamente de aço ou ligas leves.
Usualmente possuem seções transversais circulares ocas (tipo tubo), triangulares ou
quadradas, construídas mediante barras sólidas, tubos, cantoneiras, de modo a formar uma
estrutura treliçada. O sistema estrutural depende das condições de construção, serviço,
econômica e forma de produção, na Figura 1 são mostrados alguns exemplos de torres estaiadas.
Normalmente, devido a sua esbeltez e flexibilidade, a principal solicitação deste tipo de
estrutura é a ação do vento, tanto a ação estática do vento (pressão equivalente produzida pela
pressão média do vento), quanto os efeitos dinâmicos.
Figura 1 – Exemplos de torres estaiadas
As características particulares mencionadas fazem com que esse tipo de estrutura seja
crítico do ponto de vista técnico, já que não só o colapso total ou parcial, mas também vibrações
excessivas podem comprometer a qualidade e confiabilidade das transmissões, como diminuir a
vida útil de outros componentes que trabalham relacionados à torre.
Os modelos matemáticos para análise estática não apresentam maiores dificuldades. Os
maiores problemas surgem na análise dinâmica onde os cálculos são substancialmente mais
2
complexos, portanto a escolha certa do modelo teórico e as hipóteses a serem utilizadas merecem
um estudo detalhado.
Outro aspecto a ser levado em conta é o modelo da excitação principal a qual este tipo de
estrutura está submetida, neste caso o vento. Existem diferentes formas de considerar o
carregamento do vento. A forma mais simples consiste em considerar carregamentos estáticos
equivalentes como é o caso do tratamento abordado em alguns códigos ou normas (como
exemplo ver norma IASS, 1981). Uma outra forma é admitir que a ação do vento possa ser
representada como um processo aleatório estacionário ou não.
Obtendo este processo a partir de medições experimentais ou a partir de simulações de
registros das componentes da velocidade do vento, a partir de espectros de potência teóricos
como os propostos por [DAVENPORT, 1961b] e [HARRIS, 1968].
A partir das medições “in situ” das excitações que atuam sobre estruturas, abre-se um
novo horizonte onde é possível conhecer melhor as características das tormentas esperadas em
cada região. Nas quais não só mudam de intensidade e direção mais provável de atuação, se não
também de perfil espacial e duração. Sobre este último aspecto, no sul do continente americano é
possível identificar dois tipos de vento: as tormentas EPS (Extended Pressure System) e as
tormentas TS (Thunderstorm), sobre as quais será realizada uma descrição detalhada nas seções
2.1.2.1 e 2.1.2.2.
Alem das solicitações produzidas pela ação do vento, existem outros carregamentos que
superpostos à ação do vento podem produzir severas condições de trabalho na estrutura
analisada. Entre elas cabe mencionar o tensionamento produzido pelos estais. No contexto
ilustrado na presente dissertação se pretende estudar alguns aspectos citados definindo-se então a
continuação dos objetivos deste trabalho.
3
1.1 Objetivos
O objetivo geral do presente trabalho é realizar um estudo de diferentes aspectos da
análise estrutural de torres estaiadas treliçadas, a partir do estudo de caso de uma torre estaiada
específica.
1.1.1 Objetivos específicos
Foi também possível definir os seguintes objetivos específicos:
- Calibrar quatro modelos numéricos de diferentes níveis de complexidade utilizando para
isso medições experimentais e a comparação entre as respostas dos dois modelos supracitados;
-Discutir a validade dos métodos existentes para determinar o espectro da excitação de
vento a ser utilizado por este tipo de estrutura.
- Verificar a resposta dos modelos implementados sob ação de um histórico de vento
imposto.
- Análise numérica de um montante comprimido da torre levando em consideração
diferentes tipos de não-linearidades e avaliando a influência das imperfeições geométricas
existentes.
4
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Este capítulo foi dividido em duas partes. Na primeira parte serão apresentados tópicos
teóricos referentes à análise estrutural da torre e das excitações que atuam sobre ela. A segunda
parte se refere aos conteúdos teóricos básicos utilizados no estudo experimental de um elemento
da torre (cantoneira de abas iguais) solicitada a uma carga axial compressiva.
2.1 Ventos
O vento pode ser considerado como o ar em movimento. Resulta do deslocamento de
massas de ar, derivado dos efeitos das diferenças de pressão atmosférica entre duas regiões
distintas e é influenciado por efeitos locais como a geografia e a rugosidade do solo.
Essas diferenças de pressão têm uma origem térmica que está diretamente relacionada
com a radiação solar e os processos de aquecimento das massas de ar. Formam-se a partir de
influências naturais, como latitude e altitude. Existem diversos tipos de classificação de vento
que serão vistos no decorrer deste capítulo.
2.1.1 Formação dos ventos
O movimento do ar sobre a superfície terrestre tem como causa principal a diferença de
pressão atmosférica. Essa diferença de pressão é causada pela energia solar que origina variações
na temperatura do ar [BLESSMANN, 1995].
O movimento de grandes massas de ar é afetado principalmente pela rotação da Terra,
que provoca dois efeitos, um destes efeitos está relacionado com a aceleração centrífuga que
pode ser desprezado, o outro é chamado de aceleração de Coriolis, que se manifesta sempre que
houver uma movimentação de massas de ar em relação à superfície da Terra. A força de Coriolis
age perpendicularmente à direção de movimento de uma partícula de ar, causando um desvio no
movimento das partículas de ar, para um observador situado na Terra (Figura 2). Essa força é
dada pela equação (1). Existem também as forças de inércia causadas pelas trajetórias curvas das
partículas de ar. A força de inércia é dada pela equação (2).
2
2
c
F m Vsen
ω ϕ
=
(1)
2
i
F m r
ω
=
(2)
Onde:
5
m: massa da partícula de ar;
V: velocidade desta partícula para um sistema de referência fixo à Terra;
ω
: módulo de velocidade angular da Terra;
ϕ
: latitude ou ângulo entre os vetores
ϕ
e V;
r: módulo do vetor direção radial.
Figura 2 – O efeito da força de Coriolis na superfície da Terra. Representação esquemática
de fluxo em torno de uma zona de baixa pressão. A força de gradiente de pressão é
representada pelas flechas azuis. A força de Coriolis, sempre perpendicular à velocidade,
em vermelho.
Analisando o equilíbrio das forças
i
F e
c
F , sob a condição de que não tenha interferência
das forças de atrito e que as pressões se mantenham constantes, podem-se considerar dois casos:
- Isóbaras paralelas: a força de Coriolis
c
F e a força de pressão P estão em equilíbrio,
ambas atuando perpendicularmente às isóbaras e em sentido contrário, gerando o que se chama
de vento geostrófico, agindo na direção paralela às isóbaras.
- Isóbaras curvas: quando a força de pressão, força de Coriolis e a força de inércia estão
em equilíbrio há um vento chamado vento gradiente, o mesmo é tangente às isóbaras. O
gradiente de pressão neste caso é equilibrado.
Altura gradiente é a altura medida a partir da superfície da Terra, onde a velocidade do
vento atinge a velocidade gradiente [BLESSMANN, 1995]. A camada limite atmosférica da
velocidade do vento é alterada principalmente pela rugosidade do terreno, dimensões e
distribuição dos obstáculos naturais e artificiais e da variação da temperatura na direção vertical.
Estes fatores já citados originam turbulências na camada limite atmosférica. A velocidade média
6
do vento varia desde zero junto à superfície terrestre até a velocidade gradiente há uma altura do
solo.
2.1.2 Tipos de ventos e suas características
Podem ser encontrados dois tipos de tormentas que geram duas classes de ventos fortes
bem caracterizados: tormentas extratropicais ou tormentas EPS (Extended Pressure System) e
tormentas elétricas (TS - Thunderstorm). A seguir será descrito com detalhes os ventos que cada
uma delas produz.
2.1.2.1 Tormenta EPS – Extended Pressure System
São conhecidos também como tormentas extratropicais, se caracterizam por movimentos
circulatórios do ar em torno de centros de baixa pressão, que podem ser originados pela ação
mecânica de cadeias de montanhas sobre correntes atmosféricas de grandes dimensões ou pela
interação de massa de ar ao longo de frentes. São caracterizadas por uma atmosfera
verticalmente estável, com uma velocidade média razoavelmente constante ao longo da duração
do evento, a tormenta pode variar de horas até dias, a mesma atinge grandes dimensões. Na
Figura 3 é mostrado um ciclone extratropical no hemisfério sul e na Figura 4 é mostrado o perfil
de velocidade de uma tormenta EPS.
Figura 3 – Ciclone extratropical formado no hemisfério sul
7
Figura 4 – Perfil de velocidade de uma tormenta EPS
Ciclones tropicais: Possuem características semelhantes aos ciclones extratropicais, no
entanto são mais intensos e mais localizados. São formados a partir do ar úmido e quente
existente sobre grandes extensões de água com temperatura superior a 27 ºC. Eles se originam
em latitudes entre 5º e 30º do globo terrestre, nestas latitudes a força de Coriolis é mais
significativa, [BLESSMANN, 1995]. O movimento do ar quente e úmido é levado para o centro
da circulação forçando a ascensão do ar, este se expande e esfria com isso uma grande
quantidade de vapor de água contido na massa de ar é condensado. Para que ocorra o fenômeno
são necessárias três condições [SG Nº50 IAEA 1984].
- Água do mar precisa estar quente com temperatura da superfície acima de 27ºC;
- O ar a baixas alturas deve convergir para o interior da área do ciclone;
- O fluxo de ar a grandes alturas precisa estar em expansão para que a circulação de ar
seja sustentável.
2.1.2.2 Tormentas Elétricas – Thunderstorm (Tormentas TS)
São conhecidas também pelo nome de trovoadas ou tormentas TS. A característica
principal é uma atmosfera verticalmente instável, o gradiente térmico vertical provoca
movimento vertical de ar com formação de nuvens a grandes alturas. A força ascensional que
movimenta verticalmente o ar pode ter sua origem no aquecimento da superfície terrestre, em
8
uma frente fria, na diferença de temperatura entre terra e mar ou no movimento do ar subindo a
encosta de montanhas.
Esse tipo de tempestade é chamado tormenta elétrica, pois a fricção da chuva e do gelo
com o ar origina diferença de potencial elétrico em diferentes partes da nuvem, ou entre nuvens,
e solo, resultando em descargas elétricas.
O desenvolvimento de uma tormenta elétrica inicia-se com a formação de nuvens
cumulus, elevação do ar quente e úmido até uma altura de cerca de 8km, sendo a temperatura do
ar circundante menor que a do ar ascendente, há uma altura de 12km as nuvens transformam-se
em cumulusnimbus, iniciando-se a formação de gotas de água, cristais de gelo e neve, devido à
alta altitude e conseqüente baixa temperatura, inicio de precipitação devido ao desequilíbrio
entre os elementos gotas, cristais de gelo com as correntes ascendentes.
Em seguida a intensidade de precipitação aumenta devido ao resfriamento do ar em
função da queda dos elementos acima mencionados. Essas correntes descendentes são bruscas e
acompanhadas de chuva torrencial.
As correntes descendentes aumentam em área transversal e passam a fazer parte de toda
nuvem. Não havendo mais ar quente e úmido a precipitação acaba. Na Figura 5 é mostrado um
esquema dos estágios de uma tormenta do tipo TS.
9
Figura 5 – Estágios de uma tormenta TS
A expressão escoamento descendente é utilizada para designar as expressões downburst e
downdraft, este escoamento consiste num rápido jato de ar que desce verticalmente. Quando este
escoamento atinge o solo o jato se converte em um fluxo horizontal denominado wind share ou
tesouras de vento. As tesouras de vento implicam mudanças rápidas de direção nas velocidades
de vento podendo ser um fator de risco em pousos e decolagens de aeronaves e para estabilidade
estrutural, principalmente em linhas e torres de transmissão. As Figura 6 e Figura 7 (a) e (b)
mostram respectivamente os estágios iniciais e finais de contato de um escoamento descendente
assim como o perfil de velocidade de uma tormenta TS [JUNIOR, J. P. 2005].
Figura 6 – Estágio inicial de contato com o solo. Fonte: [JUNIOR, J. P. 2005]
10
Figura 7 – a) Esquema de um escoamento descendente. Fonte: [JUNIOR, J. P. 2005]. b)
Perfil de velocidade de uma TS
2.1.3 Intervalo de tempo
Tempestades extratropicais e tropicais são ventos fortes com estabilidade neutra, estes
ventos mantêm uma velocidade média razoavelmente constante por vários minutos. As agitações
mecânicas do ar são formadas por flutuações do escoamento de ar, formando um grande número
de turbilhões. Esses turbilhões originam rajadas de vento que ocorrem em uma freqüência e
intensidade aleatória, as mais fortes são de pequena duração e atuam numa pequena região. A
turbulência também está relacionada com o número e a dimensão dos obstáculos, por exemplo,
árvores, torres, prédios, morros.
Ao definir a velocidade do vento devem ser considerados apenas turbilhões que tenham
dimensões suficientes para envolver plenamente a edificação ou parte de interesse. As dimensões
dos turbilhões são caracterizadas pelas correspondentes escalas de turbulência espacial, onde
essas escalas são definidas a partir das funções de correlação. As escalas de turbulência e as
funções de correlação serão detalhadas no decorrer deste capítulo.
2.1.4 Funções de correlação
As funções de auto-correlação são uma forma de descrever as características espaciais da
turbulência, sendo divididas em correlação temporal, que permite o estudo da repetição da
turbulência, e correlação espacial que é o estudo da não uniformidade espacial da ação das
rajadas [ZAMPIRON, I. 2008].
11
As funções de correlação temporal descrevem a dependência geral entre o valor de uma
componente da flutuação em um instante
t
e o valor desta componente em um instante
t
τ
+
. No
vento horizontalmente uniforme, esta função é dada pela equação (3).
( ; ) ( ; ). ( ; )
i i i
R z v z t v z t
τ τ
= +
(3)
As funções de correlação espacial apresentam a dependência entre a componente
i
do
vetor rajada obtido em um ponto
r
e a componente
k
do sinal obtidos em um ponto
'
r
, com
defasagem temporal
τ
, equação (4).
( , ') ( ; ). ( '; )
ik i k
R r r v r t v r t
τ
= +
(4)
Na prática, são consideradas iguais as componentes da flutuação
i k
=
, sem defasagem de
tempo e com os pontos alinhados em uma das direções do sistema de coordenadas retangular,
com afastamento
j
S
.
Considerando a componente longitudinal da turbulência
1
i k
= =
, tem-se a correlação
cruzada longitudinal, lateral e vertical, respectivamente Figura 8.
11 1 1 1 1
( ) ( ; ). ( , )
R S v x t v x S t
= +
(5)
11 2 1 1 2
( ) ( ; ). ( , )
R S v y t v y S t
= +
(6)
11 3 1 1 3
( ) ( ; ). ( , )
R S v z t v z S t
= +
(7)
Tomando o valor da auto-correlação
0
τ
=
para
0
j
S
=
, o resultado é igual ao valor da
variância.
2 2
( ,0) (0)
i
i ii i
R z R v
σ
= = =
(8)
12
Figura 8 – Funções de correlação cruzada da componente longitudinal, com retardo nulo
(i=k=1; τ = 0), Fonte: [BLESSMANN, 1995].
2.1.5 Escalas de turbulência
Há dois tipos de turbulência, a espacial e a temporal, cada uma delas definida pelo
comprimento de correlação da série aleatória que caracteriza a flutuação. Saber estes valores
permite conhecer as características do vento estudado tanto no domínio do tempo quanto no
domínio espacial.
As escalas de turbulência são definidas como a área sob a respectiva curva da correlação
cruzada normalizada, Figura 9.
0
( ) ( )
ij ii j j
L r S ds
ρ
∞
=
∫
(9)
Figura 9 – Escala espacial da turbulência. Fonte: [BLESSMANN, 1995].
Onde,
i
indica a componente
i
v
do vetor rajada em ambos os pontos (r e r’) e
j
é a
direção da componente da escala em estudo e conseqüentemente, direção do segmento de reta
que liga r e r’, Figura 10.
13
Figura 10 – Escala espacial da componente Vi na direção j. Fonte: [BLESSMANN, 1995].
Admitindo uma uniformidade em cada plano horizontal e considerando a componente
1
v
a expressão (9) é mostrada na seguinte forma,
11 11
0
( ) ( )
j j
L r S ds
ρ
∞
=
∫
(10)
Onde, j = 1, 2 e 3 são respectivamente as componentes longitudinais, laterais e verticais.
Cada uma dessas escalas indica a dimensão média desses redemoinhos na respectiva direção,
Figura 11.
Figura 11 – Escalas espaciais da componente longitudinal da turbulência. Fonte:
[BLESSMANN, 1995].
2.1.6 Velocidade média
A velocidade média é influenciada pela rugosidade do terreno. A mesma exibe um perfil
que vai da velocidade gradiente até próximo a zero junto à superfície. Quanto maior a rugosidade
do terreno, maior será a agitação do ar e maior será o intercâmbio turbulento, alterando o perfil
da velocidade e sua altura gradiente.
O perfil da velocidade média pode ser tratado por diferentes equacionamentos, avaliando
a influência da rugosidade superficial através de diferentes parâmetros, como será abordado a
seguir.
14
Velocidade de fricção: O perfil vertical da velocidade do vento depende da rugosidade
superficial e da velocidade média do vento. Este parâmetro foi proposto por Prandtl é definido
pela equação (11) [BLESSMANN, 1995].
*
( )
( )
t
z
u z
τ
ρ
=
(11)
Coeficiente de arrasto superficial: é o escoamento do ar fluindo sobre uma superfície
terrestre e relaciona pressões dinâmicas e tensão de cisalhamento sobre a superfície. Este
parâmetro pode ser definido relacionando a velocidade de fricção com a velocidade média,
equação (12) os valores destes coeficientes variam em função das diferentes categorias de
terreno.
2
*
0
( )
as
ref
u
c
V z
=
(12)
Lei Logarítmica: Essa lei é baseada nas hipóteses das tensões deslizantes constantes e no
comprimento de mistura proporcional à altura sobre o terreno [BLESSMAN, 1995], [SIMIU e
SCANLAN, 1985] indicam que a equação (13) é aplicável até cerca da 100m de altura.
*
0 0
( ) 1
ln
V z z
u k z
=
(13)
Lei Potencial: Baseia-se no intercâmbio da quantidade de movimento em uma camada
limite turbulento, aplicando ao problema meteorológico os estudos feitos na teoria das camadas
limites, essa lei é valida para tormentas do tipo EPS, equação (14).
( )
10
(10)
p
V z z
V
=
(14)
Onde: z é qualquer altura dentro da camada limite atmosférica,
( )
V z
é a velocidade
média, a uma altura z,
(10)
V velocidade média a 10m de altura sobre o terreno.
2.1.7 Velocidade flutuante
As flutuações da velocidade do vento ocorrem em torno de um valor médio e são
chamadas de rajadas e ocorrem em seqüência aleatória de intensidade e freqüência.
15
Além da solicitação estática do vento, que depende de sua velocidade média, aparecem
solicitações dinâmicas, que dependem da energia cinética nas flutuações e de como se distribui
pelas diversas freqüências [BLESSMAN, 1995].
As flutuações no domínio do tempo, em torno de um valor médio, apontam para uma
maneira de considerar um vetor velocidade média
( )
V r
, onde a velocidade é em função do vetor
posição r. O sistema de direções possui 3 eixos coordenados retangulares, onde o eixo 1 (eixo
das abscissas x) é orientado na direção e sentido da velocidade média.
O vetor flutuação de velocidade (vetor rajada) pode ser decomposto em três direções,
equação (15).
1 2 3
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
V r t V r t V r t V r t
= + +
(15)
A irregularidade das flutuações não permite um tratamento determinístico, conduzindo a
um estudo por meio da teoria de probabilidade e média estatística.
A distribuição de probabilidade fornece a freqüência relativa de ocorrência das
velocidades, a distribuição de Gauss em geral fornece uma boa representação da distribuição de
velocidades na turbulência atmosférica. Ficando ela definida em forma aproximada por apenas
dois valores: velocidade média e desvio padrão.
Intensidade da turbulência pode ser definida pela razão entre o desvio padrão das
flutuações e uma velocidade de referência a certa altura ou pode ser a velocidade do ponto de
determinação do desvio padrão, equação (17). [BLESSMANN, 1995], a partir de trabalhos de
[HARRIS, 1970] e [DAVENPORT, 1961] propõe uma expressão para a componente
longitudinal do desvio padrão das flutuações, a partir de médias feitas ao vento natural e
fornecida pela equação (16).
1
( ) 2,58 (10)
as
z C V
σ
=
(16)
1
10
( ) 2,58
p
as
I z C
z
=
(17)
Onde, C
as
é o coeficiente de arrasto superficial e
(10)
V é a velocidade média sobre uma
hora, a dez metros de altura e p é o expoente da lei potencial de variação de S
2
.
16
O espectro de potência das rajadas indica a distribuição da energia contida nestas rajadas
em uma faixa de freqüência, a representação do espectro de potência de uma componente da
velocidade do vento apresenta uma distribuição contínua de freqüências.
A densidade espectral da velocidade do vento, S
i
(f), tem por unidade
2
( / )m s
Hz
, sendo
usada a variância como elemento de normalização, dada pela equação (18).
2
( ; )
( )
i
i
S z f
f
z
σ
(18)
Vários autores têm proposto funções de espectro de potência para caracterizar a
distribuição da energia nas tormentas, e os mais importantes são Davenport e Harris, modelos
que se apresentam a continuação.
[DAVENPORT, 1961] sugeriu a seguinte expressão para o espectro de energia da
componente longitudinal da turbulência, em ventos fortes, equação (19).
2
1 1
2
2 4/3
*
0
1
( ) 4
(1 )
f S f X
u
X
=
+
(19)
Onde,
1
( )
S f
é a densidade espectral da componente longitudinal da turbulência na
freqüência
f
,
f
é a freqüência em Hz,
as
C
é o coeficiente de arrasto superficial referido à
velocidade média a 10m de altura,
2
*
0
u
é a velocidade de fricção, em m/s,
1
X
freqüência
adimensional,
1
(10)
X f L V=
.
[HARRIS, 1968], sugere a seguinte expressão para o espectro de potência, equação (20).
2
1 1
2
2 5/6
*
0
1
( ) 4
(2 )
f S f X
u
X
=
+
(20)
Tanto para a expressão de Davenport, quanto para a expressão de Harris o espectro de
potência da componente longitudinal das rajadas, em ventos fortes, independe da altura sobre o
terreno, dentro do âmbito de validade da mesma.
2.1.8 Simulação de um registro de vento a partir de sua componente média e o espectro
de sua componente flutuante
A velocidade do vento é composta pela adição de duas parcelas, a parcela referente à
componente média e a parcela referente à componente flutuante. A componente da velocidade
17
média é determinada a partir da lei logarítmica expressa pela equação (13), sendo esta equação
(13) só é válida para perfis de ventos médios de tormentas do tipo EPS. Para determinar a
componente flutuante [SHINOZUKA e JAN, 1972], propõe a série que se apresenta em (21) que
consiste na superposição de funções harmônicas de amplitudes variando com a freqüência de
acordo com o espectro de potência utilizado, o qual se mostra na equação (21).
1
( , ) 2 ( , ) cos(2 )
N
i i j j j j
j
v t z S f z f f t
π ϕ
=
= ∆ +
∑
(21)
A faixa de freqüências é dividida em N intervalos, sendo
1
i j j
f f f
+
∆ = −
, o ângulo de fase
j
ϕ
é um valor aleatório de uma função de distribuição de probabilidade uniforme com valores
pertencentes ao intervalo 0 a 2π, o espectro de potência representado por
( , )
i j
S f z
se refere à
componente
i
da velocidade flutuante.
2.1.9 Formas de carregamento
A determinação das forças devidas à ação do vento num tempo t é definida para cada nó
pertencente a um elemento da estrutura e em função da altura da estrutura. A partir dos registros
de velocidade do vento obtidos são determinados os valores da pressão dinâmica definida pela
equação (22).
2
( , ) ( ( , ))
2
q t z V t z
ρ
=
(22)
Onde
( , )
V t z
é o somatório das velocidades definidas pelo registro anemométrico com as
componentes flutuantes determinadas de forma teórica e
ρ
é igual 1,226kg/m³, definido nas
condições normais de temperatura e pressão atmosférica, 15C° e 1atm, respectivamente.
As forças devidas ao vento, apresentadas na equação (23), são determinadas em função
da pressão dinâmica do vento, área de obstrução ou área de sombra do elemento e pelo
coeficiente de arrasto C
a
que avalia a influência do formato da estrutura. Neste caso não foi
considerado o fator de redução da estrutura para barras de comprimento infinito que leva em
conta os efeitos tridimensionais do escoamento, [ZAMPIRON, I. 2008].
( ) ( , )
e a
F t q t z A C
=
(23)
Onde
e
A
é a área de obstrução do elemento,
a
C
é o coeficiente de arrasto para o elemento
e
( , )
q t z
é a pressão dinâmica exercida pelo vento.
18
2.2 Dinâmica estrutural
2.2.1 Discretização espacial
É comum em sistemas complexos de infinitos graus onde o modelo matemático que o
representa é um sistema de equações diferenciais no domínio do tempo e do espaço, empregando
técnicas de discretização, sendo a mais popular destas o método dos elementos finitos [BATHE,
1998]. É possível simplificar o sistema de equações passando a ter um sistema algébrico de n
graus de liberdade mantendo a dependência diferencial com o tempo. É usual apresentar este
sistema de equações em forma matricial como segue:
0
Mu Ku
+ =
&&
(24)
Sendo M a matriz de massa do sistema e considerando que a mesma é diagonal quadrada
de dimensões n x n, onde n é o número de GDL do sistema. Fisicamente esta matriz representa as
propriedades de inércia do sistema, ela pode ser determinada colocando-se na diagonal principal
os valores da correspondente a cada GDL. Para um sistema discreto com n GDL a matriz de
massa pode ser expressa por:
1
2
0 0
0 0
0 0
n
m
m
M
m
=
L
L
L L L L
L
(25)
A matriz da rigidez K também possui dimensão quadrada de n x n, e representa a rigidez
elástica do sistema. A matriz K é formada definindo-se os elementos
ij
k
, os quais podem ser
obtidos impondo-se um deslocamento unitário em
j
e medindo-se a força na direção
i
. Para um
sistema com n GDL a matriz de rigidez pode ser expressa de seguinte forma:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
k k k
k k k
K
k k k
=
L
L
L L L L
L
(26)
Em sistemas com amortecimento, a matriz C pode ser determinada de forma análoga à
matriz de rigidez, em vez de impor um deslocamento unitário é usada para determinar a matriz C
uma velocidade unitária.
O vetor deslocamento possui uma dimensão n x 1, sabendo que a solução é apresentada
pela expressão (27).
19
( )
1
2
( )
nn n
n
C
C
u t sen t
C
ω φ
= +
r
M
(27)
Realizando a derivada segunda em relação ao tempo da expressão (27), é obtido o vetor
de aceleração também com dimensão n x 1, conforme é apresentado na expressão (28).
( )
1
2
2
( )
nn nn n
n
C
C
u t sen t
C
ω ω φ
= − +
r
&&
M
(28)
Substituindo as equações (27) e (28) na equação do movimento (24).
(
)
(
)
2
0
nn n nn n n nn n
MC sen t KC sen t
ω ω φ ω φ
− + + + =
r r r
(29)
Como
(
)
0
nn n
sen t
ω φ
+ ≠
para todo tempo, a equação (29) ficaria,
2
0
nn n n
MC KC
ω
− + =
r r r
(30)
Determinando a solução diferente da trivial, ou seja, o determinante dos coeficientes da
matriz é igual à zero, equação (31).
2
0
nn
M K
ω
− + =
(31)
Multiplicando a expressão (31) pela inversa da matriz de massa (M
-1
), obtém-se a
expressão (32).
2
0
nn
D
ω
− + =
(32)
Onde a matriz dinâmica é definida como
1
D M K
−
=
, e fazendo
2
nn
λ ω
=
e lembrando que
I é a matriz identidade, obtém-se a expressão (33).
0
I D
λ
− =
(33)
Observa-se que para cada freqüência natural há um vetor
n
C
r
que fornece um modo de
vibração do sistema para essa freqüência. Os
nn
ω
são as freqüências em que o sistema pode
vibrar na ausência de excitação externa, ou seja, o sistema dinâmico definido pelas matrizes M e
20
K pode vibrar de maneira livre em uma ou mais freqüências naturais. O vetor associado a cada
freqüência denomina-se modo de vibração e constitui fisicamente a forma na qual o sistema vai
vibrar nessa freqüência.
Agrupando todos os modos de vibração de um sistema em uma matriz de maneira
crescente, forma-se a matriz modal
Φ
, sendo que as freqüências naturais são proporcionais aos
autovalores e os modos de vibração para cada freqüência natural estão representados pelos
autovetores do sistema.
1 2
n
C C C
Φ =
r r r
L
(34)
2.2.2 Domínio da freqüência
Análise no domínio da freqüência é uma técnica usada para determinar o estado de
resposta permanente de uma estrutura linear sob ação de um carregamento no domínio do tempo
desprezando as vibrações transientes que ocorrem no início da excitação. Esta análise consiste
em determinar a resposta da estrutura no domino da freqüência.
Quando a estrutura ou sistema linear é submetido a uma excitação periódica ou cíclica a
resposta também será cíclica e com a mesma freqüência de excitação. A resposta da análise no
domínio da freqüência prediz o comportamento dinâmico de uma estrutura, permitindo a
verificação da existência de ressonância numa determinada faixa de freqüência de excitação em
que a estrutura trabalhe.
Considerando a equação geral do movimento,
..
.
a
M u Cu Ku F
+ + =
(35)
A solução desta equação consiste de duas partes, a função complementar, que é a solução
da equação homogênea, e a solução particular. A função complementar, neste caso, é uma
vibração livre amortecida. A solução particular para a equação acima é uma oscilação de estado
permanente da mesma freqüência ω que a excitação. Onde a solução particular é mostrada pela
equação (36).
i i t
u Ue e
φ
Ω
=
(36)
Onde U a amplitude de oscilação,
Ω
a velocidade angular,
φ
é a fase do deslocamento,
t
é o tempo e
f
a freqüência imposta no sistema. O valor da amplitude de oscilação e da fase
21
podem ser diferentes em cada grau de liberdade da estrutura. Usando a notação complexa, na
equação (36) se apresenta a solução do problema em forma compacta e eficiente, que também
pode-se escrever como segue:
(
)
cos
i t
u U isen e
φ φ
Ω
= +
(37)
Esta ultima expressão (37) pode ser expressa também como segue ,
(
)
1 2
i t
u U i U e
Ω
= +
(38)
O vetor de forças pode ser definido analogamente como se ostra a continuação na
Equação (39).
max
i i t
F F e e
Ψ Ω
=
(39)
Em forma análoga a como tratamos o deslocamento temos aghora a equação (39)
reescrita como,
(
)
1 2
i t
F F i F e
Ω
= +
(40)
ou pela Equação (41)
(
)
max
cos
i t
F F isen e
Ω
= Ψ + Ψ
(41)
Onde
max
F
é a amplitude da força máxima,
Ψ
é o ângulo de fase,
Ω
é a velocidade
angular,
t
é o tempo.
Substituindo as equações (38), (40) na equação (35).
[
]
[
]
[
]
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 2
i t i t
M i C K U i U e F i F e
Ω Ω
−Ω + Ω + + = +
(42)
Observa-se que na expressão (42), pode-se cancelar o fator
i t
e
Ω
por aparecer em ambos os
lados da equação. Sendo então possível achar o vetor de deslocamentos complexo quando atua
sobre o sistema uma excitação harmônica de uma determinada freqüência
Ω
.
2.2.3 Forma de determinar a matriz de amortecimento
A forma mais simples de levar em conta as forças de amortecimento é considerá-las como
uma função da velocidade (amortecimento viscoso). Sendo assim, a equação de movimento fica:
22
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}
M u C u K u f t
•• •
+ + =
(43)
As matrizes de massa [
M
] e de rigidez [
K
] são razoavelmente simples de se obter. Porém,
a de amortecimento [
C
] não é tão fácil de ser determinada na prática. Assim, uma simplificação
utilizada é considerar que a [
C
] é uma combinação linear das matrizes [
M
] e [
K
]. A principal
vantagem desta simplificação é que ao aplicar a decomposição modal sobre a equação de
movimento, metodologia referida a seguir, a qual permite através de uma mudança de base
desacoplar um sistema de equações de n incógnitas, acoplado em n sistemas de equações
desacopladas chegando a uma matriz de massa diagonal transformada e uma matriz de rigidez
transformada. Considerando que a matriz de amortecimento é uma combinação linear da matriz
de massa e de rigidez então automaticamente na base modal a matriz
C
também será diagonal.
Desta forma a matriz
C
proposta fica
[ ] [ ] [ ]
C M K
α β
= +
(44)
Sendo que α e β são coeficientes determinados experimentalmente. Esta forma de se
representar o amortecimento é conhecida como Amortecimento de Rayleigh [ZIENKIEWICZ,
1982].
2.2.4 Método de Superposição Modal
Este método permite desacoplar equações de movimento lineares acopladas em n
equações de um grau de liberdade . É possível resolver estas equações para diferentes tipos de
excitações considerando sistemas de um grau de liberdade e uma vez resolvidos os problemas
citados voltar a acoplar todo o sistema obtendo a solução da equação de movimento original.
O método de superposição modal baseia-se na propriedade de a matriz de massa e de
rigidez serem ortogonais às matrizes cujas colunas são formadas pelos autovetores do problema
estudado [Ф]. Por tal propriedade, que pode ser facilmente demonstrada [CLOUGH, 1993], tem-
se:
[ ] [ ][ ] [ ] ( )
[ ] [ ][ ] [ ] ( )
T
r
T
r
M M matriz diagonal
K K matriz diagonal
Φ Φ =
⇓
Φ Φ =
(45)
Desta forma, partindo da equação (44) e considerando uma mudança de base do vetor
deslocamento é possível escrever a equação (46).
23
[ ] [ ][ ]
u Y
→ →
= Φ
(46)
onde
→
Y
é o vetor de deslocamento expresso em outra base, chamada de coordenadas
modais. Assim, a equação do movimento fica.
[ ] [ ] [ ] [ ( )]
M Y C Y K Y f t
•• •
→ → → →
Φ + Φ + =
(47)
Pré-multiplicando ambos os membros por
T
Φ
tem-se
[ ] [ ] [ ] [ ( )]
T T T T
M Y C Y K Y f t
•• •
→ → → →
Φ Φ +Φ Φ +Φ = Φ
(48)
sendo C o amortecimento de Rayleigh equação (44), é possível escrever a equação (49)
[ ] [ ] [ ] [ ( )]
T
r r r
M Y C Y K Y f t
•• •
→ → → →
+ + = Φ
(49)
onde [M
r
], [C
r
] e [K
r
] são matrizes diagonais. Desta forma, um sistema de N equações
acopladas apresentadas na equação (58) pode ser reduzido a um sistema de N equações
desacopladas de apenas 1GDL, onde as incógnitas serão cada uma das componentes do vetor
→
Y
.
Obtendo-se tal vetor, é possível encontrar
→
u aplicando a equação (47).
Para a maioria dos tipos de cargas e de estruturas prevalece a contribuição dos modos de
mais baixas freqüências frente aos outros. Isto significa uma vantagem, porque a soma expressa
por (49) pode ser truncada desde que já se tenha obtido o grau de precisão desejada da resposta.
Assim sendo, só será necessária a determinação das freqüências e seus modos mais baixos.
Os modelos computacionais devem ter o nível de discretização de acordo com a
quantidade de modos incluídos na resposta. Uma vez que uma malha mais refinada é capaz de
captar mais altas freqüências com menores erros, e devido ao tipo de solicitação, a correta
determinação da mesma se torna mais importante.
Assim, a aplicação deste método se restringe para casos onde prevaleçam baixas
freqüências, tornando-se realmente atrativo computacionalmente.
2.2.5 Integração Direta das Equações de Movimento
Outra forma de expressar a equação de movimento é a seguinte:
24
( ) ( )
i ext
M u f t f t
••
+ =
(50)
onde f
i
são as forças internas do sistema incluídas as forças restitutivas (associadas à
rigidez da estrutura) e as forças dissipativas (associadas às diferentes formas de dissipação de
energia).
Outra maneira de resolver as equações de movimento com NGDL é através da integração
direta no tempo do sistema da equação de movimento expressa em (43).
Neste método se realiza a determinação dos deslocamentos nodais em um dado instante
(t+∆t), a partir do conhecimento dos deslocamentos nos instantes anteriores (t-∆t) e (t). Em
princípio, duas considerações são importantes na implementação deste tipo de procedimento:
• A equação de equilíbrio dinâmico (incluindo todos os efeitos de forças elásticas, inércia e de
amortecimento) é satisfeita somente em alguns instantes discretos do intervalo que ocorre o
fenômeno dinâmico, onde tais instantes estão separados por intervalos de tempo ∆t. Ou seja,
através da discretização espacial chega-se à equação de movimento (sistema de N graus de
liberdade diferenciais), agora se analisa como discretizar tal equação no tempo.
• Dentro de cada intervalo de tempo, portanto entre dois instantes consecutivos, é assumida
uma lei de variação para os deslocamentos, velocidades e acelerações nodais, conforme Figura
12.
Figura 12 – Esquema que ilustra a forma de proceder na integração numérica
Dependendo de como é realizada a aproximação da função u(t) dentro do intervalo, ter-
se-á diferentes métodos de integração.
Existe uma primeira classificação dos métodos em implícitos e explícitos.
25
2.2.4 Análise implícita
Segundo este método é possível expressar a velocidade e aceleração no tempo (t+∆t)
como segue:
[
]
(1 )
t t t t t t
u u u u t
δ δ
+∆ +∆
= + − + ∆
& & && &&
(51)
2
1
2
t t t t t t
u u u t u u t t
α α
+∆
= + ∆ + − + +∆ ∆
&& & && &&
(52)
Os parâmetros
α
e
δ
podem ser utilizados para obter estabilidade e boa precisão na
integração. Quando 4/1
=
α
e 2/1
=
δ
evidencia-se o Método de Newmark, o qual é
incondicionalmente estável [BATHE, 1996].
A característica dos esquemas de integração implícitos condiciona que a equação do
movimento seja calculada no tempo t+∆t, ou seja,
[
]
[
]
[
]
( )
t t t t t t t t
M u C u K u f
+∆ +∆ +∆ +∆
+ + =
&& &
(53)
Substituindo as equações (52) e (53) e trabalhando-se algebricamente chega-se a:
2
2
1
2
2
1 1
2 (1 )
2
t t
t t t t t t t t
t
M C K u
t
t
F M u u u C u t u tu
t t t
δ
α α
δ δ
δ δ
α α α α
+∆
+∆
∆
+ − + =
∆
∆
= + + + + − +∆ − + ∆
∆ ∆ ∆
& && & &
(54)
Cada iteração da análise implícita requer a solução simultânea das equações para os
elementos do problema [HIBBIT et al., 1995]. Sendo assim, o custo computacional aumenta com
o número de graus de liberdade analisados.
2.2.5 Análise explícita
O procedimento mais efetivo dentro das metodologias explícitas é o método das
Diferenças Centrais. As acelerações e velocidades são calculadas no tempo t.
( )
2
1
{ } { } 2{ } { }
t t t t
t t
u u u u
t
+∆ +∆
= − +
∆
&&
(55)
( )
1
{ } { } { }
2
t t t t
t
u u u
t
−∆ −∆
= − +
∆
&
(56)
26
E são substituídas na equação do movimento
( )
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }
t t t
t
M u C u K u f
+ + =
&& &&
(57)
Trabalhando algebricamente a equação (57)
( )
2 2 2
1 1 2 1 1
[ ] [ ] { } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }
2 2
t t t t t t
M C u f K M u M C u
t t t t t
+∆ +∆
+ = − − − −
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
(58)
Desta forma, os deslocamentos calculados para o tempo (t+∆t) são obtidos em função
dos valores conhecidos no tempo t. É importante observar que a solução é montada utilizando a
equação de equilíbrio no tempo t e, por este motivo, o procedimento de integração é chamado de
explícito [BATHE, 1996]. Ainda como observação, nota-se na equação (58) que para tal
esquema de integração a fatorização da matriz de rigidez na solução passo a passo não é
requerida. Isto permite resolver problemas nos quais as matrizes de rigidez estejam mal
condicionadas (estrutura hipostática).
Este método é condicionalmente estável, pois converge para intervalos de integração
menores que um determinado valor crítico, sendo este aproximado no caso de sistemas lineares,
pela expressão (59).
max
2
t
ω
∆ ≤
(59)
Onde ω
max
é a freqüência circular natural mais alta obtida.
Este procedimento é utilizado geralmente quando o problema a ser resolvido é transiente
(impactos, explosões, etc.), e quando as não-linearidades no comportamento do material são
esperadas em regiões localizadas. Neste caso seria necessário um intervalo de tempo de
integração suficientemente pequeno para descrever o fenômeno estudado.
2.2.6 Comparação de análises: implícita x explícita
Em termos de equacionamento, pode-se visualizar nas equações (54) e (58) as diferenças
entre os dois tipos. Para o esquema implícito, o equilíbrio é realizado para tempo (t+∆t), já no
esquema implícito ocorre ao contrário, a equação é verificada no tempo t.
Outra diferença existente entre estas análises é que a convergência não poder ser
alcançada na forma implícita quando há descontinuidades significantes na solução. Em termos de
visualização, acontece quando alguns elementos ficam sem condições de contorno na solução.
27
Pode ser interpretado para este caso como uma desvantagem em relação à solução explícita, pois
a análise apresenta um erro e não prossegue.
[HIBBIT et al., 1995] também apresentam comparações entre ambas as análises. A
primeira delas relaciona o custo operacional, o qual se comporta conforme Figura 13.
Figura 13 – Comparação de custo operacional entre análise implícita e explícita [Hibbit,
Karlsson & Sorensen Inc., 1995]
Pode-se notar pelas comparações anteriormente expostas, que dependendo do tipo de
problema um ou outro método se torna mais adequado para cada análise.
O método de integração explícita é mais adequado quando grandes não-linearidades são
esperadas na equação de movimento. Neste caso também a propriedade dos métodos implícitos
de ser incondicionalmente estável deixa de ser verdadeira.
2.3 Análise dos cabos
Os cabos são elementos estruturais nos quais as rigidezes à flexão e ao corte são
praticamente nulas o que leva a considerá-los atuantes somente à tração.
Conforme a Figura 14 adota-se um modelo estrutural onde a torre é considerada como
uma viga, no espaço ou no plano, apoiada nos pontos de fixação dos cabos. Há, portanto,
necessidade de determinar o valor das seções nesses pontos, bem como as relações entre estas e
os deslocamentos das extremidades dos cabos. Esses últimos são os denominados coeficientes de
mola.
O cálculo tanto das reações como dos coeficientes de mola, não é algo que possa ser
obtido diretamente, pelo fato de que o comportamento estrutural do cabo pode incluir a não-
linearidade física e geométrica do mesmo.
28
Figura 14 – Representação dos cabos na estrutura
2.3.1 Equações básicas de Veletsos para modelar os cabos como molas.
Uma maneira de obter os coeficientes de molas lineares dos cabos é utilizando as
equações básicas de Veletsos. [VELETSOS, 1973]
Figura 15 – Esquema de carregamento que é aplicado em um cabo
Onde:
α = ângulo entre o cabo e o solo;
Q
y
= carregamento (peso próprio + ação do vento);
T
0
= tensão inicial aplicada;
L
1
= comprimento do cabo.
As equações de Veletsos atendem perfeitamente o comportamento não-linear dos cabos.
2
1
1
0
1
1
8
y
e
Q L
L L
T
= +
(60)
Onde, L
e
é o comprimento do cabo após a ação do carregamento e da tensão.
Desta forma Ke é a rigidez de uma mola equivalente ao cabo que se expressa como
segue:
29
2
cos
e
e
AE
K
L
α
=
(61)
Nesta ultima expressão, A é área da seção transversal do cabo e E é o seu módulo de
elasticidade.
2.4 Não-linearidades
2.4.1 Não-linearidade física
São as não-linearidades embutidas nas equações que vinculam as tensões com as
deformações, existem várias leis constitutivas que modelam o comportamento dos materiais,
uma destas leis é a plasticidade ou elasto-plasticidade que modela o comportamento seguido
pelos metais (entre outros materiais) quando submetidos a cargas moderadas e altas. A lei
constitutiva mais simples e utilizada para modelar o comportamento de materiais em geral
submetidos a excitações moderadas é a elasticidade linear, neste caso o tensor tensão é
proporcional ao tensor deformação tendo uma relação linear entre eles. Quando o material é
elasto-plastico esta linearidade é válida até o material atingir um estado de tensões que pode ser
determinado, no caso de um sistema solicitado axialmente este estado é alcançado quando se
atinge a tensão de escoamento. Quando o material ultrapassa este estado de tensões crítico
começa a plastificar, estado que se caracteriza porque nele o material sofre deformações
irreversíveis. A deformação total que um material elastoplástico sofre pode ser definida como a
soma das deformações elástica (
e
ε
) e plástica (
p
ε
), apresentado na equação (62).
e p
ij ij ij
ε ε ε
= +
(62)
Para definir um modelo plástico é necessário definir o comportamento de três aspectos:
critério de escoamento, regra de fluxo e regra de endurecimento. O critério de escoamento
permite definir para que estado de tensões o material estudado escoa. Pode ser definido como
uma superfície no espaço Euclidiano das tensões principais. O estado de tensões pode estar
dentro da superfície de escoamento (
0
esc
f
<
), o que significa que o material tem comportamento
elástico linear, ou estar sobre a superfície de escoamento (
0
esc
f
=
), o que significa que o
material está plastificando. Um dos critérios de escoamento mais utilizado é o de Von Mises
[Von Mises, 1913], que pode se representado pela equação em termos das tensões principais, a
superfícies de escoamento de Von Mises é definida pela equação (63).
30
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 2 2 3 3 1
1
0
6
esc
f k
σ σ σ σ σ σ
= − + − + − − =
(63)
Onde, σ
1,
σ
2
e
σ
3
são as tensões nas três direções principais.
3
esc
k
σ
=
Assim, a superfície de escoamento de Von Mises pode ser representada graficamente por
um cilíndro de raio
2
3
esc
σ
centrado no eixo hidrostático.
A regra de fluxo é outro aspecto a ser definido para caracterizar o comportamento de um
material elasto-plástico. Esta regra determina a direção da deformação plástica, e é definida
como [CRIESFIELD, 1988].
fpp
p
Q
ε λ
σ
∂
=
∂
(64)
onde
λ
é um escalar positivo referido como multiplicador plástico e
fpp
Q
é a função
potencial plástica. Normalmente
fpp
Q
é considerada a própria função que caracteriza o critério de
escoamento (
esc
f
), assim a regra de fluxo é considerada associada e as deformações plásticas têm
direção normal à superfície de escoamento. Em termos práticos isto implica que só haverá
deformações plásticas quando o estado de tensões tenda a mover o estado tensional em direção
normal à superfície de escoamento.
Os metais são divididos em materiais elasto-plásticos perfeitos, não sofrem
endurecimento após escoamento e elasto-plásticos endurecíveis que podem ter endurecimento
linear e não-linear, Figura 16.
Figura 16 – Curvas tensão x deformação típicas de materiais elasto-plásticos
31
A regra de endurecimento descreve a mudança na superfície de escoamento durante a
plastificação do material, determinando assim as condições para a deformação subseqüente. Os
dois modelos mais utilizados são: material com endurecimento isótropo e com endurecimento
cinemático. No endurecimento isótropo a superfície de escoamento permanece centrada na sua
origem inicial e aumenta seu diâmetro conforme as deformações plásticas se desenvolvem. No
endurecimento cinemático o tamanho da superfície de escoamento permanece constante e a
superfície translada no espaço das tensões com o desenvolvimento das deformações plásticas,
também conhecido como efeito Bauschinger.
Figura 17 – (a) Material com endurecimento isótropo e (b) com endurecimento cinemático
2.5 Instabilidade
Dos problemas que se apresentam na engenharia é possível classificá-los em problemas
de primeira ordem e de segunda ordem.
Análise para problemas de primeira ordem é possível assumir a hipótese de que as
configurações deformadas e indeformadas são as mesmas sem modificar o cálculo das
solicitações da estrutura.
As análises para os problemas de primeira ordem podem ser resolvidas utilizando a
equação da carga crítica de flambagem.
A primeira pessoa a formular o fenômeno de instabilidade foi Euler. Ele realizou a
análise de uma viga, Figura 18, chegando à equação diferencial apresentada pela expressão (65).
A resolução da equação diferencial permite obter o valor da carga crítica.
2
2
d
w PW
dx EI
−
=
(65)
32
Figura 18 – Situação típica de flambagem linear
Algumas observações a respeito do fenômeno de flambagem se apresentam a seguir:
- Alem da flambagem global por flexão de elementos unifilares comprimidos em peças
com baixa rigidez torcional podem acontecer outros modos de flambagem (flambagem torcional
e flambagem flexo-torcional). Estes modos de flambagem se caracterizam por apresentar modos
bem característicos.
- Analisando o fenômeno de instabilidade, pode-se deparar com o caso de uma viga que
esteja carregada tanto na direção axial, como no plano transversal, Figura 19. A equação
diferencial que expressa matematicamente o problema é apresentada pela expressão (66).
q
P P
x
L
Figura 19 – Viga com carregamento axial e no plano transversal.
4 2
4 2
d w d w
EI P q
dx dx
=
m
(66)
- Vigas fletidas no sentido de sua maior inércia apresentam outro tipo de instabilidade
característico onde flamba a parte da viga que fica submetida à compressão devido ao momento
fletor aplicado. Esta forma de flambagem chamada de flambagem lateral tem expressões
características.
33
- Estruturas bidimensionais também apresentam formas de flambagem, tanto as placas
como as cascas, sendo que no caso das placas a principal característica a salientar é que carga
crítica não leva a estrutura ao colapso e sim a uma configuração de menor rigidez.
- Uma estrutura unifilar formada com seções pouco compacta (relação largura de seus
elementos /espessura elevada) pode acontecer que seus elementos flambem como placas.
- Em todos os elementos estruturais pode acontecer uma interação entre diferentes modos
de flambagem, e também uma interação entre a flambagem e o colapso plástico da estrutura. Isto
complica a determinação da carga crítica que o elemento unifilar possa ter.
- A influência de excentricidades ou tensões residuais é muito difícil de avaliar e
dependendo do tipo estrutural (elemento unifilar, placa ou casca) ela pode ser mais o menos
importante para determinar a carga de colapso. No caso de elementos unifilares as normas de
calculo levam em conta as excentricidades através de expressões semi-empíricas que foram
ajustadas com resultados experimentais em função da forma do perfil e de como o mesmo é
fabricado.
Sobre os tópicos aqui observados podem ser encontrados maiores detalhes em, [H.G.;
BULSON, P.S., 1980].
No Anexo é demonstrado um exemplo de uma análise de flambagem de uma placa
utilizando os conceitos expostos neste item.
2.6 Aços laminados
É um processo metalúrgico pelo qual o aço é transformado nos principais produtos
siderúrgicos utilizados pela indústria. Os lingotes são aquecidos até uma certa temperatura e
introduzidos em laminadores que tem a função de conformar os lingotes no perfil desejado, este
processo demanda de várias etapas até o perfil chegar a sua forma desejada. Após este processo é
feito um tratamento térmico nos perfis conformados com o objetivo de reduzir as tensões
internas provocadas pela laminação.
2.6.1 Propriedades mecânicas dos aços laminados
As propriedades mecânicas exercem grande importância na resistência dos materiais dos
perfis de aço. Afetando desde o processo de conformação até o dimensionamento da barra. As
principais propriedades a serem consideradas são a resistência ao escoamento, resistência à
ruptura, e a ductilidade do aço.
34
Estas propriedades são determinadas por meio de ensaios de tração simples de onde se
obtém o diagrama tensão – deformação. O comportamento linear deste diagrama é valido até um
determinado valor de tensão, sua inclinação define o módulo de elasticidade do material como se
observa na Figura 20. Cabe informar que para o presente trabalho foi utilizado o módulo de
elasticidade, tensão de escoamento e tensão de ruptura admitidos pela Norma NBR 8800:1986 e
NBR 14762:2001.
Figura 20 – Diagrama tensão – deformação
Atualmente existe uma crescente utilização dos aços denominados HPS (
high
performance steel
), no Brasil essa mudança vem ocorrendo na substituição do aço ASTM A36
pelo ASTM A572 ou ASTM A588, estas melhoras nas propriedades ocorreram no aumento da
resistência ao escoamento que por conseqüência eleva a relação inércia/peso dos perfis.
2.6.2 Tensões residuais dos aços laminados
São tensões originárias das operações de fabricação e resfriamento desigual das chapas de
aço após a laminação a quente. Os valores destas tensões dependem basicamente da geometria da
seção transversal, tipo de aço e dos processos utilizados na fabricação dos perfis.
Existem alguns métodos para avaliação das tensões residuais, destacam-se o método de
seccionamento em tiras e também métodos não-destrutivos como raios-X e abertura de pequenos
furos associados a extensômetros específicos.
As tensões residuais nos perfis laminados são especialmente de natureza térmica. As
diferentes velocidades de resfriamento, após a laminação, conforme o grau de exposição, da
35
chapa ou perfil laminado, leva ao aparecimento de tensões que permanecem nas peças,
recebendo o nome de tensões residuais. Em chapas, por exemplo, as extremidades resfriam-se
mais rapidamente que a região central, contraindo-se; quando a região central da chapa resfria-
se, as extremidades, já solidificadas, impedem essa região de contrair-se livremente. Assim, as
tensões residuais são de tração na região central e de compressão nas bordas, Figura 21.
É importante mencionar que mesas e almas são usualmente espessas quando comparadas
a dos perfis formados a frio, apresentam uma variação significativa do valor residual ao longo da
espessura [MAIA, 2008].
Figura 21 – Tensões residuais de tração na região central e de compressão nas bordas
Estas tensões causam uma redução da tensão de proporcionalidade, tensão máxima
referente ao trecho linear do diagrama tensão-deformação, o regime elástico sofre transição
gradual para o patamar de escoamento de maneira gradual, sendo que para as tensões acima da
tensão de proporcionalidade o regime passa para o inelástico. A presença de tensões residuais é a
principal causa da não-linearidade do trecho do diagrama tensão-deformação para tensões
superiores à tensão de proporcionalidade. Para perfis sem tensão residual o comportamento
tensão-deformação tenderia a ser bilinear.
Segundo que foi exposto por [DUBINA D. UNGURENU, 2002], a inclusão de tensões
residuais na análise numérica é geralmente complicada devido à falta de dados experimentais
para embasar os valores a serem adotados tanto quanto à magnitude como quanto à distribuição
adequada. Adicionalmente, as distribuições propostas para estas tensões sugeridos na literatura
indicam muita divergência.
36
2.7 Acelerômetros
Os acelerômetros são dispositivos que permitem medir acelerações em estruturas, eles
podem ser de diversos tipos, entre eles é descrito o funcionamento dos acelerômetros capacitivos
que consistem em um elemento comparável a uma membrana circular engastada no centro, sendo
que esta membrana possui uma rigidez à flexão e possui uma região com massa distribuída,
Figura 22. Essa membrana é montada entre duas placas (eletrodos) circulares com uma área
superficial (A), existe uma distância (d) entre a membrana e os eletrodos este espaço é
preenchido por ar. Na Figura 22 a) é representada a condição onde a aceleração gravitacional não
está influenciando na resposta do acelerômetro, na Figura 22 b) é representada a condição onde a
aceleração gravitacional está influenciando a resposta do acelerômetro.
Figura 22 – Esquematização de um acelerômetro capacitivo, a) Condição de “0 g” sem
influência da aceleração gravitacional, b) Condição de “1 g” com influência da aceleração
gravitacional
Quando um elemento é acelerado, Figura 22 b), é criado uma força de inércia associada à
massa existente na borda da membrana, de acordo com a segunda Lei de Newton, equação (67).
Essa força produzida cria um deslocamento X na membrana aproximando a mesma ao eletrodo.
37
Onde esta distância depende da rigidez à flexão da membrana, que pode ser representada pela
expressão (68).
F ma
=
(67)
F
X
k
=
(68)
A mudança da distância X proporcionada pela membrana faz com que ocorra uma
alteração na capacitância do acelerômetro, de acordo com as equações (69) e (70).
1
( )
A
C
d X
ε
=
+
(69)
2
( )
A
C
d X
ε
=
−
(70)
Onde, (
A
) área superficial do eletrodo, (
ε
) permissividade do ar, (d) distância entre a
membrana e o eletrodo na condição da não existência da aceleração gravitacional e (X) é o
deslocamento da massa.
Existe junto ao acelerômetro um micro circuito que utiliza uma ponte capacitiva, essa
ponte tem a função de modular e transformar o sinal em um valor que possa ser interpretado.
Após a ponte de capacitância existe um padronizador de ganho (amplificador) com finalidade de
limitar a margem de atuação do acelerômetro em um valor já pré-estipulado, por exemplo, 3g,
10g, 20g. Após a passagem do sinal pelo amplificador este sinal é filtrado, a função deste filtro é
eliminar sinais de vibração de alta freqüência e também eliminar ruídos provenientes do
acelerômetro. Outra forma de eliminar possíveis ruídos do acelerômetro é a realização de um
tratamento do sinal já adquirido usando algum
software
que realize esta função, Figura 23.
Figura 23 – Circuito esquematizado
38
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 Resposta dinâmica de torres estaiadas sob cargas de vento
Durante a revisão bibliográfica, houve dificuldade em encontrar trabalhos referentes à
avaliação do comportamento de torres estaiadas submetidas somente a cargas de vento, grande
parte dos trabalhos realizados mostra estudos feitos de ações combinadas de vento e carga de
gelo.
[B. F. SPARLING, A. G. DAVENPORT, 1994]
mencionam que as torres devido a sua
esbeltez são suscetíveis à excitação dinâmica sob ação de vento turbulento. Os autores sugerem
que a resposta através da análise não-linear estática serve para determinar a posição de equilíbrio
sob a carga média de vento e a solução estática serve para determinar a rigidez dos estais. Neste
trabalho também foi realizado um estudo da resposta de fundo da estrutura com variação do
vento em baixa freqüência, sendo que a resposta ressonante foi calculada utilizando análise
modal convencional.
Determinação da resposta de torres de transmissão à ação do vento [LOREDO-SOUZA et
al., 2005], se utilizaram três métodos para calcular a reposta de torres de transmissão à ação do
vento. Os métodos utilizados foram:
Método estatístico usando linhas de influência, este método descrito por [LOREDO-
SOUZA, 1996], sugere equações para o cálculo de cada uma das três componentes da resposta
da torre. As três componentes são: resposta média, resposta
background
e resposta ressonante.
Método do fator de velocidade de rajada (FVR), adotado pelas normas, é um
procedimento usado para o projeto de estruturas de transmissão, baseado na hipótese de um
comportamento estático da estrutura, onde um certo padrão de carregamento do vento é
admitido, respeitando uma lei potencial. Os coeficientes de força aerodinâmicos são
determinados e as correspondentes pressões, calculadas. No FVR, a velocidade média horária do
vento é multiplicada por um fator de rajada.
Método do fator de rajada (MFR), este método é sugerido por [DAVENPORT, 1979],
através deste método pode-se considerar os efeitos dinâmicos na resposta dessas estruturas. A
abordagem é baseada em métodos estatísticos os quais levam em conta a correlação espacial e
espectro de energia da velocidade do vento e a resposta dinâmica do sistema de transmissão.
39
[ZAMPIRON, I. 2008] aborda em seu trabalho diversos aspectos de projeto de uma torre
de telecomunicações, normas, características de cada tipo de torre (aço e concreto), peso de
diferentes tipos de estrutura. O autor também apresenta um modelo numérico para determinação
da resposta da estrutura sob diversas condições de vento, além de descrever as formas de
obtenção destes ventos e aplicação das forças dinâmicas na estrutura. São avaliadas também as
incertezas de modelo inseridas pela forma de determinação do vento turbulento.
[PONTE Jr., J. 2005] propõe em sua tese um modelo para descrever o campo de
velocidade do vento originado numa tormenta elétrica. O escoamento descendente que ocorre
durante uma TS madura é modelado como um campo de fluxo axial simétrico, sendo que a
evolução da velocidade do vento com o tempo é considerada por meio de uma função de
modulação empírica e as flutuações da velocidade ao redor da velocidade média em evolução são
representadas por um processo aleatório do tipo ruído branco em faixa. O modelo é validado
comparando as velocidades do vento determinadas em eventos simulados, com registros de
estações meteorológicas.
[MIGUEL, L. F. F., et al., 2007] desenvolveram um modelo de análise de incertezas de
resposta de uma linha de transmissão (LT), sujeita a ventos do tipo EPS, onde os resultados
foram comparados com o código IEC 60826. Foi desenvolvido um modelo numérico simulando
um campo de ação de vento em 3D, onde foi simulado um campo de velocidade de vento do tipo
EPS em três dimensões, admitindo a velocidade média e flutuações do vento. Também foi
considerada uma correlação do vento no espaço 3D. Através deste método foi determinada a
resposta dinâmica da estrutura e comparada a mesma com a resposta desta estrutura utilizando o
código IEC 60826. Os autores do trabalho concluíram que em alguns casos a análise dinâmica
está a favor da segurança e em outros casos o código IEC 60826 favorece a segurança no projeto
de estruturas.
3.2 Análise dos cabos
Para modelagem de cabos em estruturas não existe uma regra definida para representar os
cabos em elementos finitos, alguns pesquisadores, como é o caso de [HENNEMAN, J. C. F. e
HAGEMANN, C. A., 1990] sugerem o uso de modelos massa – molas para representação dos
estais com pouca curvatura. É importante a contribuição do seu primeiro modo de vibração,
porém com a perda de tensão e conseqüente aumento da curvatura, passa a ser significativa à
contribuição dos demais modos e o modelo massa – mola torna-se impreciso.
40
[KAROUMI, R., 1998] sugere em seu artigo que os cabos podem ser representados por
elementos de barra, porém estes elementos devem ser modelados sem rigidez à flexão,
compressão e sem resistência ao momento fletor, no entanto o autor usou em seu trabalho um
elemento elástico adaptado com expressões catenárias, onde este modelo pode ser usado para
representar cabos que tenham grandes flechas.
[PAIXÃO, R. F. e RIERA, J. D. 1991], analisaram o comportamento dinâmico de cabos
através de análises lineares e não-lineares. Através de resultados de ensaios experimentais foi
definido que para cabos estacionários com tensão inicial baixa não se pode aplicar a teoria linear.
Para solucionar este problema os autores sugerem através de ensaios experimentais uma nova
equação aproximada para a freqüência fundamental em função da amplitude de vibração dos
cabos estacionários ou em movimento, sendo que esta formulação é definida a partir das
equações lineares e não-lineares.
3.3 Análise de flambagem
[GRIGOLETTI, G. C., 2008] propõe uma otimização paramétrica de uma seção
transversal de perfil U e U enrijecidos formados a frio quando submetidos à compressão. O autor
do trabalho utilizou como ferramenta o Método das Faixas Finitas Restringidas, Método da
Resistência Direta e o Método das larguras efetivas. O autor utilizou para verificar os resultados
um modelo em elementos finitos considerando a não-linearidade física e geométrica, o qual foi
calibrado com resultados experimentais encontrados na literatura. Cabe salientar que neste
modelo foram representadas as excentricidades nos perfis estudados fator de importância crucial
para determinar um valor de carga de colapso compatível com valores experimentais. Nesta
dissertação foi modelado um montante comprimido da torre estaiada estudada seguindo as
mesmas premissas apresentadas por [GRIGOLETTI, G. C., 2008].
[CHODRAUI, G. M. de B., 2006] apresenta uma análise experimental em perfis U, U
enrijecidos e cantoneiras simples e duplas e uma análise numérica não-linear, considerando os
efeitos das imperfeições geométricas globais e localizadas (de chapa e distorcional), bem como
das tensões residuais, de modo a se obter teoricamente um valor confiável da força normal de
compressão resistente da barra. Os resultados permitiram constatar a viabilidade do emprego das
atuais curvas de resistência à compressão para os perfis formados a frio.
41
4 METODOLOGIA
4.1 Implementação dos modelos numéricos
Para modelagem dos casos estudados neste trabalho foi usado o
software
Ansys [2006].
Será apresentada a seguir uma breve explicação teórica dos elementos usados para confeccionar
os modelos numéricos da torre e da cantoneira. Foram utilizados nos modelos, elementos de viga
para a modelagem da estrutura metálica e elementos de mola e cabo para a modelagem dos
estais. Para modelagem do montante da torre foi usado elemento de casca. A seguir é feita uma
breve descrição de cada elemento.
O elemento de viga utilizado no modelo é o BEAM188, sendo baseado na teoria de vigas
de Timoshenko. O BEAM188 é um elemento de barra quadrático em 3D. O elemento tem seis
graus de liberdade em cada nó, translações nas direções x, y e z e rotações ao redor dos eixos x, y
e z. O eixo x do elemento é sempre o eixo longitudinal da viga com os eixos y e z formando a
seção transversal. Este elemento pode possuir um sétimo grau de liberdade devido ao
empenamento se esta opção for selecionada. A principal vantagem de se trabalhar com esse
elemento é a facilidade em orientá-las no espaço. As propriedades mecânicas necessárias são o
módulo de Young, o coeficiente de Poisson e a densidade, [ANSYS, 2006].
O elemento de cabo utilizado foi o LINK10. O elemento LINK10 tem a propriedade de
resistir a esforços unicamente axiais, sendo eles de tração (unicamente) ou compressão
(unicamente). O elemento tem três graus de liberdade em cada nó, sendo estes os deslocamentos
em x, y e z. As constantes requeridas para o elemento são a área da sua seção transversal e a
tensão inicial no elemento (cabo). As propriedades dos materiais são as mesmas do elemento de
viga, [ANSYS, 2006].
O elemento de mola utilizado foi o COMBIN14. O elemento COMBIN14 possui duas
opções mola-amortecedor longitudinal ou massa-amortecedor torcional, foi utilizada a opção
massa-amortecedor longitudinais onde o elemento possui três graus de liberdades em cada nó
com deslocamentos em x, y e z. Rotações e flexões não são consideradas neste elemento,
[ANSYS, 2006].
O elemento de casca utilizado foi o SHELL181. Este elemento é adequado para analisar
estruturas com espessuras finas a moderadas. Este elemento possui 4 nós com seis graus de
liberdade em cada nó, translações nos eixos x, y, z e rotações entorno dos eixos x, y, z. Este
42
elemento pode ser usado em aplicações lineares com grandes rotações e ou grandes deformações
em aplicações não-lineares, [ANSYS, 2006].
4.2 Descrição da análise para determinar a carga de colapso do montante da torre
submetido a compressão
Na Figura 24 se apresenta o fluxograma que resume a metodologia utilizada para
deteminar a carga de colapso do montante da torre submetido a compressão. Foi seguida a
Metodologia sugerida por [GRIGOLETTI, G. C., 2008]. Esta metodologia foi implementada no
sistema ANSYS. Se realizam a seguir alguns comentários sobre o fluxograma:
- E possível observar na Figura 24 que como primeiro passo se realiza o calculo da carga
critica de flambagem elástica da viga para a partir do modo associado a mesma calcular a
excentricidade proposta para o perfil o qual será uma configuração de imperfeições dadas pelo
modo de flambagem escalado por uma constante.
- Após esta determinação os passos seguidos no fluxograma são os comumente seguidos
na analise não linear física e geométrica de estruturas utilizando elementos finitos. Maiores
detalhes sobre particularidades deste analise podem-se encontrar em [GRIGOLETTI, G. C.,
2008].
43
Figura 24 – Fluxograma para análise da carga crítica de flambagem
4.3 Técnicas de solução numérica
As análises lineares de estabilidade envolvem a resolução de um problema de autovalores
definido pelas matrizes de rigidez elástica e geométrica do perfil, sendo essa resolução feita no
ANSYS através do método da iteração em subespaços [BATHE, 1998].
As trajetórias de pós-flambagem elasto-plásticas são determinadas por meio de uma
técnica numérica incremental-iterativa baseada no método de Newton-Raphson. Para determinar
o ponto limite (valor da resistência última) e para ser possível descrever o ramo ascendente ou
descendente da trajetória de equilíbrio de uma barra é necessário recorrer a estratégias de
resolução com controle de deslocamentos ou de comprimento de arco. Neste trabalho utilizou-se
44
via ANSYS, o método de Riks (controle do comprimento do arco, [RIKS, 1979 e CRISFIELD,
1981, 1982], que é um método iterativo altamente eficiente para resolver as equações de
equilíbrio não-lineares do perfil, desde que se configurem corretamente os incrementos e
tolerâncias pertinentes ao método.
4.4 Determinação dos modos e freqüências de vibração
Os “
n
” valores encontrados para as freqüências circulares naturais (
ω
i
), que dependem do
número de graus de liberdade do sistema. O Ansys associa cada freqüência circular natural do
sistema com um autovalor, sendo que para cada autovalor existe um autovetor associado ao
deslocamento o qual define a forma de vibrar do sistema com uma freqüência natural
ω
i
.
4.5 Análise harmônica
O
software
Ansys [2006] disponibiliza no cálculo da análise harmônica três métodos de
solução, o Método
Full
, Reduzido, Superposição Modal.
Método
Full
é o mais fácil dos três métodos, ele usa o sistema de matrizes para calcular a
resposta harmônica sem a redução do tamanho da matriz, sendo que as matrizes podem ser
simétricas ou assimétricas. Este método tem como vantagem, facilidade de uso, pois não é
necessário escolher os principais graus de liberdade ou formas modais, este método de solução
usa a matriz completa não sendo necessária a aproximação da matriz de massa, calcula todas as
tensões e deformações num único passo, aceita todos os tipos de carregamentos e deslocamentos
iguais ou diferentes de zero. Sua desvantagem é o custo computacional frente aos outros
métodos.
Método reduzido simplifica o problema usando os principais graus de liberdade e as
matrizes reduzidas, sendo que após determinado os deslocamentos dos principais graus de
liberdade do sistema, a solução pode ser expandida para todos os GDL. Suas vantagens estão
numa maior velocidade e menor custo computacional da solução quando comparado com o
Método
Full
. As desvantagens estão na solução do cálculo dos deslocamentos iniciais que devem
ser feitos somente para os principais GDL do sistema, não se aplica carregamentos nos
elementos do sistema e todos os carregamentos aplicados devem ser feitos nos principais GDL.
Método da Superposição Modal é a soma fatorada das formas modais (autovetores) feitas
através da análise modal da resposta da estrutura. Suas vantagens são a velocidade e o menor
custo computacional quando comparado com outros dois métodos já mencionados, pode-se
aplicar os carregamentos nos elementos precedendo a análise modal do sistema e após
45
determinar a resposta da análise harmônica da estrutura, este método permite o uso de pré-
tensionamento nos elementos e permite também a aplicação do amortecimento modal. A
desvantagem deste método é que não podem ser aplicados deslocamentos diferentes de zero na
estrutura.
4.6 Análise transiente
O
software
Ansys [2006] como foi escrito anteriormente utiliza o Método de
Newmark
para realizar os cálculos de integração numérica. Para melhorar o custo computacional durante a
integração o Ansys [2006] disponibiliza três métodos de solução para análise dinâmica
transiente:
Full, Mode Superposition, Reduced
. Será apresentada uma breve descrição do método
Full
, este método foi usado no modelo numérico da torre, por se tratar de um método que
abrange todos os graus de liberdade do sistema e permite a solução de não-linearidades no
cálculo da resposta do sistema.
O método
Full
usa todo o sistema matricial para calcular a reposta transiente. É o método
mais simples dos três citados, pois o mesmo permite todos os tipos de não-linearidade. Neste
método não é necessário selecionar os principais graus de liberdade ou modos, permite o uso de
carga em modelos usando elementos sólidos
,
os deslocamentos e tensões são calculados num
único passo. Mais informações podem ser encontradas no help do Ansys.
4.7 Metodologia utilizada para escanear as excentricidades do montante de seção L
No estudo teórico experimental que se realizou de um elemento da torre, este elemento é
formado por um perfil L laminado. Uma das dificuldades na modelagem numérica da resposta
não-linear de perfis metálicos submetidos a cargas de compressão é a grande sensibilidade na
determinação da carga de colapso das excentricidades que o perfil possa ter. Este problema foi
levantado por [GRIGOLETTI, 2008] e [CHOUDRI, 2006], entre outros. Existem metodologias
implementadas nos
softwares
comerciais como o utilizado neste trabalho onde para modelar as
excentricidades se realiza uma combinação linear dos modos de flambagem do elemento
utilizando diversos critérios para ponderá-los [CHOUDRI, 2006].
Para realizar uma avaliação mais rigorosa sobre que metodologia numérica é a mais
adequada para modelar as excentricidades se realizou o escaneamento tridimensional de um
elemento do perfil. Adquirindo a geometria do mesmo junto com suas excentricidades,
posteriormente foi realizado um modelo em elementos finitos desta geometria, considerando uma
análise não-linear física e geométrica, também foi realizada a simulação numérica do perfil
46
escaneado e comparados os resultados. A descrição das análises realizadas assim como a
comparação dos resultados experimentais e numéricos obtidos são apresentados no Capítulo 8. A
continuação se descreve o equipamento e metodologia utilizada para realizar o escaneado do
elemento de perfil L.
4.8 Digitalização tridimensional a laser
Foi utilizado o scanner tridimensional a Laser, marca Tecnodrill, modelo Digimill 3D,
Figura 25, instalado nas dependências do Laboratório de Design e Seleção de Materiais (LdSM)
da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). O referido equipamento foi
desenvolvido em parceria com o LdSM e com a empresa Tecnodrill, de Novo Hamburgo – RS.
Figura 25 – Scanner tridimensional a laser modelo Digimill 3D. Equipamento instalado no
LdSM/UFRGS
O Digimill 3D é um equipamento CNC (controlado numericamente por computador), o
qual possui dois cabeçotes, um para usinagem e outro para digitalização, ou seja, trata-se de um
equipamento híbrido fresadora CNC e scanner tridimensional a Laser. Em seu funcionamento, o
Scanner 3D movimenta-se sobre o plano dos eixos X e Y, através do CNC, enquanto o cabeçote
Laser vai medindo a altura no eixo Z. Como resultado da varredura são obtidos arquivos de texto
com os pontos da superfície do objeto descritos em coordenadas (x, y, z), ou seja, a já definida
nuvem de pontos. Pode-se controlar a resolução (espaçamento entre os pontos), a qual é função
47
da precisão de posicionamento nos eixos CNC, neste caso 0,0015mm (1,5
µ
m). Os três eixos da
máquina funcionam através de fusos acionados por servomotores, conforme a Figura 26.
Figura 26 – Funcionamento do eixo Z do equipamento CNC Digimill 3D
O cabeçote laser utilizado tem por característica adquirir até 1000 pontos por segundo,
sendo a precisão de sua medida variável conforme a lente utilizada. Também de acordo com a
lente selecionada o equipamento pode operar em diferentes faixas de aquisição de dados. Estas
faixas são menores à medida que é aumentada a resolução da lente. No LdSM são usadas três
lentes (Tabela 1), de 25mm, 75mm e 100mm. Para a maioria das aplicações é utilizada a lente de
100mm, devendo-se isto a sua boa resolução e grande faixa de trabalho, proporcionando uma
maior velocidade de digitalização. Nas medições de maior precisão utiliza-se a lente de 25mm, a
qual possui precisão máxima de 0,0002mm (0,2
µ
m).
A primeira etapa na digitalização de uma peça é a escolha da lente a ser utilizada de
acordo com a necessidade. As lentes foram calibradas especificamente para cada cabeçote e os
dados de sua calibração ficam armazenados em uma memória dentro do próprio cabeçote sendo
acessados pelo
software
de aquisição cada vez que o equipamento é ligado. Uma vez
48
determinada a lente, esta deve então ser informada ao
software
, através de lista disponível no
mesmo.
Tabela 1 – Características das lentes do scanner 3D utilizadas pelo LdSM/UFRGS
Para ajustar o cabeçote à faixa de operação, basta posicioná-lo na altura adequada sobre a
peça, através do eixo Z. Ainda deve ser escolhida a potência utilizada no laser para leitura, a
mesma é dividida em uma escala que varia de 0 a 63 e possui um ajuste fino que tem a mesma
variação. Quanto mais escura a superfície (maior absorção) ou mais polida (maior espalhamento)
maior tende a ser a potência utilizada. A potência máxima (nível 63) do cabeçote é 1mW. A tela
de configuração dos parâmetros do cabeçote laser, Figura 27, apresenta a faixa de operação e a
potência escolhida e, com base nestas, retorna a medida e um parâmetro de qualidade do sinal em
percentagem. O sistema pode ser configurado para capturar apenas os pontos que possuam
qualidade do sinal maior que determinado valor. A Optimet, fabricante do cabeçote, recomenda a
utilização do valor de 80% para este parâmetro, no entanto a Tecnodrill, fabricante do Digimill
3D, recomenda a utilização de 65% em seu equipamento e inclusive mantém este valor como
padrão no
software
de aquisição.
49
Figura 27 – Tabela de configuração dos parâmetros do cabeçote laser
Depois de configurados os parâmetros do cabeçote laser, devem ser configurados os
parâmetros do processo, Figura 28. O equipamento opera realizando uma varredura em uma área
retangular definida por dois pontos. Para definir esta área, posiciona-se o escaner em cada ponto
desejado e clica-se em “selecionar”. Nesta etapa devem ser definidos a direção de digitalização
(x ou y) e o espaçamento entre os pontos e entre as linhas (resolução). Por exemplo, se escolhida
a direção de x, o espaçamento entre pontos corresponderá ao espaçamento das coordenadas x e o
espaçamento entre linhas corresponderá ao espaçamento entre as coordenadas y. Uma vez que o
cabeçote permite adquirir até 1000 pontos por segundo, o sistema ajusta automaticamente a
velocidade de varredura de acordo com a resolução selecionada. O ajuste é realizado tomando
como base o valor de 850 pontos por segundo, a fim de minimizar erros devido à velocidade de
comunicação com o computador. Se houver necessidade, a velocidade de varredura ainda pode
ser diminuída e, neste caso, a taxa de aquisição será menor do que os 850 pontos por segundo.
Por fim seleciona-se o nome e o local para salvar o arquivo e inicia-se o procedimento de
digitalização. A Figura 28 apresenta a tela de configuração dos parâmetros do processo de
digitalização, onde se pode observar o valor padrão de qualidade do sinal em 65%.
50
Figura 28 – Tela de configuração dos parâmetros do processo de digitalização
4.8.1 Procedimento do escaneamento da barra
A peça a ser escaneada é um perfil de abas iguais com dimensões de 25,4mm x 25,4mm x
3,175mm x 500mm este perfil tem as mesmas características que um elemento utilizado na torre.
A cantoneira foi apoiada na mesa do escaner, também se teve o cuidado de recobrir a cantoneira
com um revelador de líquido penetrante, para garantir que a superfície varrida pelo laser ficasse
mais opaca e clara possível isto serviu para diminuir ao máximo a absorção da luz incidida sobre
o objeto, Figura 29.
A varredura a laser da superfície da cantoneira laminada foi feita com uma resolução de 1
ponto a cada 1mm nas direções X, Y e Z. Como o cabeçote a laser fica posicionado na parte
superior da máquina e o mesmo não possui rotação, foi necessário fazer a varredura de uma
região da superfície após isso rotacionar a peça para conseguir fazer uma nova leitura de outra
vista da região, isso também foi feito devido ao tamanho da peça e a complexidade existente nos
cantos da cantoneira, para que fosse possível a montagem da nuvem de pontos foi necessário
usar pontos de referencia na peça, que são pequenas esferas fixadas na mesma, essas esferas
auxiliam na identificação das áreas em comum entre as nuvens, Figura 30.
51
Figura 29 – Escaner fazendo leitura da superfície da cantoneira
Figura 30 – A esfera fixada na superfície da cantoneira serviu como ponto de referência
durante o tratamento da nuvem de pontos
Após escaneadas e somadas as áreas e feita a aquisição das nuvens de pontos, iniciou-se
um tratamento dessas informações com
software
de CAD, onde foram feitas filtragens na nuvem
de pontos para diminuir os pontos menos significativos. Essa filtragem mantém os pontos mais
importantes que servem para representar a superfície da peça e conseqüentemente deixar o
Esfera fixada na
superfície da
cantoneira
52
arquivo mais fácil de manipulá-lo, Figura 31, com a nuvem de pontos pronta foi gerada a malha
tridimensional na superfície da peça.
Figura 31 – Nuvem de pontos da cantoneira escaneada
Para gerar as superfícies da cantoneira foi necessário usar um
software
que fosse
compatível com a extensão STL (Estereolitografia) e que disponibilizasse informações sobre a
geometria da cantoneira escaneada, para isso foi usado o SolidWorks. Após geradas as
superfícies da cantoneira começou o trabalho de identificação das propriedades geométricas ao
longo da seção transversal da mesma. Para isso a peça foi seccionada em 30 planos ao longo do
eixo longitudinal da cantoneira. Em cada plano foram identificados três pontos de referência,
Ponto 1, Ponto 2 e Ponto 3 coincidentes com os planos médios da peça. O Ponto 1 e o Ponto 3
variavam em relação aos eixos Y e Z, o Ponto 2 não tem variação em relação aos eixos, pois este
ponto é uma resultante dos outros dois pontos (Ponto 1 e Ponto 3). Esses pontos serviram para
determinar as propriedades geométricas de cada seção, como por exemplo, angulação entre as
abas e diferença entre os centros de gravidade de cada seção, Figura 32.
53
Figura 32 – Planos geométricos da superfície da cantoneira escaneada
Determinadas essas coordenadas das seções transversais, as mesmas serviram para
modelar em elementos finitos a cantoneira que foi escaneada. Isso será visto com mais detalhes
no Capítulo 8.
4.9 Descrição dos acelerômetros utilizados para determinação das freqüências da torre
Para determinação dos modos, freqüências e razão de amortecimento a partir de ensaios
experimentais na torre meteorológica localizada na Universidade de Passo Fundo, objeto de
vários dos estudos aqui realizados, foram usados quatro acelerômetros capacitivos axiais modelo
3701D1FA3G da marca PCB Piezotronics, Figura 33, estes acelerômetros foram instalados em
quatro níveis diferentes de altura ao longo do comprimento da torre.
54
Figura 33 – Acelerômetro usado no experimento
A instalação dos acelerômetros ocorreu após o desenvolvimento de um modelo numérico
com o qual se fez uma análise modal, identificando as regiões da estrutura onde ocorriam
maiores deslocamentos, sendo que nestas regiões foram instalados os acelerômetros.
A alimentação usada nos acelerômetros foi uma fonte de corrente continua de 5V, onde
foram ligados os acelerômetros, a ligação da fonte até os acelerômetros foi feita por cabo
monofásico com ligação em paralelo. Os acelerômetros foram posicionados na torre a 13m, 19m,
25m e 31m de altura e fixados na mesma através de parafusos. A leitura do sinal enviado pelos
acelerômetros foi feita por meio de um osciloscópio modelo HP 54601B, este modelo de
osciloscópio tem a característica de poder ser conectado através de uma interface em um
computador e enviar os dados adquiridos do osciloscópio para o computador através de arquivos
no formato de texto, Figura 34.
Figura 34 – Osciloscópio usado para captar os sinais dos acelerômetros
55
A ligação dos acelerômetros até o osciloscópio foi feita por meio de cabo coaxial
10BASE2 com impedância de 50 ohms, sendo que entre o osciloscópio e os acelerômetros foi
instalada uma caixa de distribuição com o propósito de facilitar a manutenção dos equipamentos.
Para a conexão dos cabos na caixa de distribuição e conexão ao osciloscópio foram usados
conectores do tipo BNC, Figura 35.
Figura 35 – Cabo Coaxial 10Base2 e conector tipo BNC
Para o tratamento dos sinais enviados pelos acelerômetros foi usado um filtro passa baixa
de 15Hz, esse filtro foi desenvolvido com uso do Matlab. Após a filtragem dos sinais foram
determinadas as razões de amortecimento e as transformadas de Fourier.
Para excitar os acelerômetros foram dados impulsos “pancadas” nos estais localizados
mais próximos dos acelerômetros instalados, com estas pancadas os estais vibravam de forma
livre e transmitiam essa vibração para a estrutura da torre, fazendo com que ela vibrasse também
de forma livre. Essa vibração livre era captada pelos acelerômetros e o sinal era reenviado para o
osciloscópio onde o mesmo captava essas informações e as transmitia para o computador
armazená-las. Este trabalho referente à aquisição das freqüências naturais da torre estaiada foi
realizado por [PUGLIA, V. B. e PALUCH, M. J., 2005], os resultados são apresentados na seção
5.7 deste trabalho.
4.10 Descrição dos anemômetros utilizados para aquisição dos registros da velocidade do
vento
O registro de vento foi adquirido por meio de três anemômetros posicionados na torre a
20m, 30m e 40m de altura e um sensor de direção do vento posicionado a 40m de altura. O sinal
56
enviado pelos sensores vai para um condicionador de sinal e em seguida para o computador. A
taxa de aquisição do sinal é de 32Hz, ou seja, são feitas 32 leituras do vento a cada segundo. Esse
sinal após armazenado num computador é feito uma média aritmética dos 32 registros por
segundo para 1 registro por segundo. Em seguida esse sinal é transformado de Volts para
velocidade [m/s]. O cálculo da média e da transformação do sinal de Volts para velocidade é
feito através de rotinas desenvolvidas em Matlab.
57
5 DESCRIÇÃO DA TORRE E DOS MODELOS NUMÉRICOS IMPLEMENTADOS
5.1 Breve histórico do Laboratório Anemométrico
A iniciativa da construção da torre para medição de ventos é devida a vários professores
do departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Passo Fundo, UPF. O Prof. M.Sc.
Adans Marroquim, Prof. M.Sc. Moacyr Fauth e pelo Prof. Carasek, este atualmente aposentado.
O Prof. Carasek tinha obtido da CEEE alguns segmentos de torre que deviam ser avaliados,
recalculados.
Estes primeiros cálculos foram feitos pelo Prof. Dr. Zacarias Chamberlain do
departamento da Engenharia Civil da UPF, depois confirmados pelo Prof. Dr. Ignácio Iturrioz. A
torre foi erguida e alguns anemômetros foram colocados nela. Porém somente com a vinda do
Prof. Dr. Mario Paluch, é que o interesse voltou-se para a Engenharia de Ventos, e com o apoio
do Prof. Ph.D. Acir Mércio Loredo-Souza do departamento de Engenharia Civil da UFRGS
foram colocados melhores sensores e sistemas de aquisição de dados a 10, 20, 30 e 40 metros de
altura.
O Prof. Dr. Paluch lutou até o ultimo dia de sua vida pela manutenção do chamado
Laboratório Anemométrico da Universidade de Passo Fundo. Nestes últimos seis anos (2003,
2004, 2005, 2006, 2007 e 2008) foram colhidos dados de várias tormentas e de velocidade
média, direção, entre outros graças aos investimentos da bolsa recém-doutor do Prof. Dr. Paluch.
A torre de medição de ventos foi uma construção coletiva, porém devemos destacar
aqueles que se envolveram mais diretamente com elas, citados acima, e sem esquecer todos
aqueles bolsistas das engenharias civil, mecânica e elétrica, que ajudaram a fazê-la funcionar e
manter os sistemas de aquisição funcionado.
5.2 Modelo físico da torre estudada
A estrutura analisada é uma torre estaiada localizada na Universidade de Passo Fundo,
Rio Grande do Sul. Esta torre pertence ao laboratório anemométrico da Universidade e tem como
função coletar registros meteorológicos como velocidade do vento, temperatura, irradiação solar,
pressão atmosférica, umidade do ar, os anemômetros estão colocados em três níveis de altura na
estrutura da torre, 20m, 30m e 40m, respectivamente, Figura 36.
A torre é um pórtico espacial composto por 12 segmentos de 3m e um segmento de 4m
totalizando 40m de altura. A estrutura é amarrada por cabos pré-tensionados do tipo trançado
58
com 7 fios e diâmetro nominal de Ø1/4”, dispostos em seis níveis de altura, sendo que estes são
presos na estrutura por meio de olhais, Figura 37, e fixados ao solo através de chumbadores,
Figura 38, assim como a base da estrutura da torre é fixada por quatro chumbadores, Figura 39.
Os módulos são compostos por cantoneiras de abas iguais e barras redondas de aço
laminado SAE 1020, sendo que os segmentos são fixados entre si com parafusos M6x18, Figura
40. Cada segmento, por sua vez, é dividido em seções de 500mm de altura e seção transversal
triangular eqüilátera de 0,3m de lado, Figura 41. Na Figura 42 é mostrada em detalhe a estrutura
da torre.
Figura 36 – Visão geral da torre e disposição dos anemômetros ao longo da estrutura
Anemômetros
59
Figura 37 – Fixação dos cabos na estrutura da torre
Figura 38 – Chumbadores responsáveis pela fixação dos cabos
Figura 39 – Fixação da base da estrutura da torre
Cabos
60
Figura 40 – Fixação entre segmentos da estrutura
Figura 41 – Módulo da estrutura
Parafusos
M6x18
61
Figura 42: Representação geométrica da estrutura
5.3 Perfis de aço laminado
No trabalho estudado são apresentados três tipos de perfil de aço laminado, que são
responsáveis por dar forma geométrica e resistência à estrutura da torre estudada, dois tipos são
cantoneiras laminadas sendo que uma delas possui dimensões de 19,05mm x 19,05mm x
3,175mm a outra cantoneira possui dimensão de 25,4mm x 25,4mm x 3,175mm. O terceiro perfil
laminado tem seção transversal circular com diâmetro de ¾”. As propriedades mecânicas
consideradas para estes perfis, são mostradas na Tabela 2, os valores apresentados foram
definidos com bases em tabelas de perfis comercializados.
Tabela 2 – Propriedades mecânicas dos perfis laminados
Propriedades mecânicas
Densidade
3
Kg m
7850
Coeficiente de Poisson 0,3
Módulo de Elasticidade
[
]
GPa
210
Módulo de cisalhamento
[
]
GPa
80
62
5.4 Estudos realizados
A continuação se descrevem os estudos realizados sobre as ações de vento e
comportamento da torre antes descrita.
5.4.1 Determinação das componentes flutuantes para a tormenta EPS
Para determinação da componente flutuante, apresentada pela equação (21), foi
determinado primeiramente um espectro de potência de Davenport utilizando a equação (19),
onde condições iniciais para determinação do gráfico,
2
*
0
u
foi definida pela equação (13), sendo
que os parâmetros de rugosidade adotados foram estipulados com base nas tabelas apresentadas
por [BLESSMANN, 1995]. A velocidade média a 10m de altura
(10)
V
, foi definida como a
média do histórico do registro anemométrico da tormenta EPS, a faixa de freqüência (
f
)
utilizada variando de 0,001 até 30Hz com um valor de L = 1200m, a Figura 43 mostra o gráfico
do espectro de potência de Davenport, os cálculos para determinação do espectro de potência
foram feitos em Matlab.
Figura 43 – Espectro de Davenport válido para o domínio da freqüência variando de
0,001Hz até 30Hz
5.4.2 Determinação da velocidade do vento
Para determinar um histórico de vento foi usado um registro anemométrico proveniente
de uma tormenta do tipo EPS. Esse registro foi obtido durante uma tempestade que ocorreu na
63
região de Passo Fundo no dia 09 de Novembro de 2007, durante essa tempestade a torre de
televisão também pertencente a Universidade de Passo Fundo entrou em colapso. Devido a este
fato foi usado este registro anemométrico obtido durante a tempestade, para obter a resposta da
torre estudada. A taxa de aquisição destes registros era muito baixa, em torno de um dado por
segundo e isso faz com que as flutuações de velocidade de vento não sejam expressivas. Para
contornar este problema foi criada de forma teórica uma componente flutuante, esta componente
flutuante foi somada ao registro anemométrico. A taxa de pontos por segundo da componente
flutuante foi definida como 30 pontos por segundo. Para determinar a componente flutuante foi
usada a equação (21). O espectro de potência utilizado na equação (21) foi o espectro de
Davenport definido pela equação (19), a faixa de freqüência utilizada para gerar as componentes
flutuantes para o registro – tormenta EPS, variava de 1 até 30Hz, isto pode ser visto em destalhe
na Figura 44.
Figura 44 – Espectro de Davenport gerado para a componente flutuante utilizada na
tormenta EPS, faixa de freqüência utilizada de 1 à 30Hz
A Figura 45 a) mostra uma tormenta do tipo EPS, onde é mostrada a componente da
velocidade do vento proveniente do registro anemométrico e a Figura 45 b) apresenta o registro
de vento da tormenta EPS com a adição da componente flutuante gerada a partir do espectro de
Davenport.
64
Figura 45 – a) Velocidade do vento de um trecho da tormenta do tipo EPS proveniente do
registro anemométrico, b) Registro de vento da tormenta EPS com a adição da componente
flutuante.
Na Figura 46 é mostrado uma FFT da combinação do registro anemométrico com a
adição das componentes flutuantes geradas em função do espectro de Davenport.
65
Figura 46 – FFT do registro anemométrico juntamente com a componente flutuante.
Neste trabalho a velocidade média foi substituída por um registro de velocidade de vento
com uma taxa de um ponto por segundo onde cada valor de velocidade corresponde a uma média
durante o intervalo de um segundo. A velocidade flutuante foi adicionada em função das
velocidades referentes ao registro. O período de simulação do vento da componente referente à
velocidade flutuante do vento para uma tormenta EPS ocorreu durante o intervalo de 100s.
5.4.3 Aplicação do carregamento na estrutura
Utilizando o histórico de vento da tormenta EPS, onde a mesma já está adicionada sua
componente flutuante, pode-se determinar as pressões dinâmicas e conseqüentemente definir as
forças que atuam ao longo da estrutura. Para definir essas forças é necessário determinar alguns
coeficientes. Como coeficiente de arrasto C
a
para estrutura estudada é definido o valor 2,4 e a
área de sombra A
e
foi definida em 0,2266m². Aplicando a equação (22) em função dos registros
de velocidade são obtidas as pressão dinâmica referente à tormenta utilizada. Definidas as
pressões dinâmicas pode-se utilizar a equação (23) para determinar as forças atuantes nos nós
dos elementos da estrutura, a Figura 47 mostra um gráfico com as forças discretizadas no
domínio do tempo para a tormenta EPS.
66
Figura 47 – Histórico de força de uma tormenta EPS
5.4.4 Determinação da rigidez equivalente da torre
Para realizar um modelo numérico de viga equivalente da torre foi necessário determinar
algumas condições de equivalência entre o modelo numérico com estrutura treliçada e este
modelo numérico equivalente onde o mastro da torre é modelado como uma viga equivalente.
Estas condições de equivalência são definidas pela rigidez à flexão e torção da estrutura e pelo
fator de forma.
Para conseguir esta equivalência foi considerado um conjunto com seis módulos de
estrutura real da torre com o objetivo de determinar as propriedades equivalentes da viga. Nesse
conjunto de seis módulos que possuem 3[m] de altura foram consideradas as mesmas
propriedades geométricas existentes na estrutura da torre real. A rigidez à flexão foi determinada
impondo uma força unitária no C.G. da seção transversal localizado no topo do módulo. A
vinculação do conjunto foi definida com restrições aos deslocamentos e rotação em todas as
direções, esta vinculação foi definida na base do conjunto. Para garantir que a força unitária
aplicada na estrutura fosse uniformemente distribuída pela estrutura e para garantir que houvesse
somente esforço por flexão foi definida no topo da estrutura uma superfície em casca com
rigidez infinita. E no centróide dessa superfície que tem a forma de um triângulo eqüilátero foi
aplicada uma força unitária em uma direção e posteriormente foi obtida e resposta da estrutura
em termos de deslocamento. Detalhes do explicado podem ser apreciados na Figura 48.
67
Figura 48 – a) Aplicação da força unitária no conjunto de módulos da estrutura; b)
Visualização da deformada e do deslocamento obtido após aplicação da carga.
O valor do deslocamento obtido foi de
6
6,46 10
x m
−
, considerando análise linear pode-se
dizer que a rigidez é definida pela equação(71).
F
k
d
=
(71)
Onde, F é a força unitária aplicada no centróide da superfície localizada no topo da
estrutura,
d
é o deslocamento da estrutura e
k
é a rigidez da estrutura.
Substituindo o valor F por um valor unitário, na equação (71).
1
k
d
=
(72)
Fazendo uma analogia com a teoria de vigas onde a rigidez que estaria sendo ativada
neste caso seria a expressa pela equação (73) e considerando que o módulo equivalente da torre
pode ser comparado com uma viga em balanço, então se pode chegar à igualdade na equação
(74).
3
3
EI
k
l
=
(73)
68
3
1 3
EI
k
d l
= =
(74)
Com o resultado obtido do deslocamento produzido pela flexão de uma força unitária e
conhecendo os valores da altura do conjunto e o módulo de elasticidade E, pode-se determinar
então o momento de inércia equivalente da estrutura da torre definido pela equação (75).
3
6 4
6,6342 10
3
l
I x m
dE
−
= =
(75)
Onde, d é o deslocamento produzido por uma força unitária, E é o módulo de elasticidade
estipulado em 210GPa,
l
comprimento do conjunto de seis módulos da estrutura definido igual a
3m e I momento de inércia à flexão da estrutura.
Para determinação do fator de forma foi calculada a rotação
γ
ao redor do eixo y frente à
ação de uma carga unitária horizontal sobre o conjunto dos 6 módulos. O valor da rotação obtida
foi de
5
0,3 10
x rad
γ
−
= , detalhes do explicado podem ser observados na Figura 49. Utilizando a
equação (76), onde
γ
é a rotação entorno do eixo y,
G
é o módulo de elasticidade torcional,
definido em
80 GPa
e
A
é a menor área da seção transversal da estrutura, cujo valor é
4
4,536 10 ²
x m
−
.
GA
κ
γ
=
(76)
Isolando o fator de forma
κ
e substituindo os valores já conhecidos na equação (76),
chega-se à seguinte expressão (77).
5 4
. . 0,3 10 80 4,535 10
G A x x
κ γ
− −
= = ⋅ ⋅
(77)
108,56
κ
=
(78)
69
Figura 49 – Rotação em relação ao eixo y, produzida na estrutura por uma força unitária
Para achar a rigidez equivalente torcional se procede em forma similar aplicando agora
um momento unitário torcional no centróide do conjunto de 6 módulos como se indica na Figura
50, esta condição foi útil para analisar a rigidez à torção e conseqüentemente determinar o
momento de inércia polar da estrutura usando a equação de rigidez à torção em sistemas
contínuos, equação (79).
Figura 50 – Aplicação do momento unitário no conjunto de módulos; b) Vista isométrica,
visualização do giro unitário do conjunto; c) Vista superior do conjunto de módulos e
indicação do giro de estrutura deformada.
70
p
I G
k
l
=
(79)
Onde, k é a rigidez torcional, Ip é o momento de inércia polar e G é o módulo de
elasticidade torcional.
Considerando k linear e elástico pode-se defini-lo pela equação (80), igualando as
equações (79) com a (80) e considerando um momento unitário chega-se à equação (81).
M
k
θ
=
(80)
1
p
I G
l
θ
=
(81)
Através da análise em elementos finitos da estrutura treliçada obtêm-se as rotações
θ
nos
nós do topo da estrutura, sendo que o valor encontrado foi de
3
0,4 10
x
θ
−
= . Conhecendo os
valores de 80
G GPa
=
e
3
l m
=
, obtém-se os resultados do momento de inércia polar da
estrutura
p
I
, equação (82).
6 4
2,4364 10
p
l
I x m
G
θ
−
= =
(82)
5.4.5 Modelagem dos cabos
Neste trabalho foram adotadas duas representações dos cabos, uma considerando os cabos
como elementos de mola, e outra representação usada foi modelar os cabos com elementos que
só trabalham quando solicitados à tração.
Estas duas configurações que serão descritas neste capítulo serviram para o modelo
equivalente e para o modelo completo. A área transversal considerada para os cabos foi de
3,2x10
-5
m², em relação às constantes dos elementos a deformação inicial foi definida com sendo
10% da tensão de ruptura (Tr) do cabo, onde o valor da Tr é de 13500N.
Os elementos que modelam os cabos foram discretizados em elementos de 0,4m de
comprimento. O módulo de elasticidade usado nos cabos foi de 108GPa, coeficiente de Poisson
de 0,27 e densidade de 5685kg/m³, sendo que as propriedades mecânicas dos cabos foram
obtidos de manuais técnicos, [CIMAF, Companhia industrial e mercantil de artefatos de ferro,
1995].
71
Para representação dos cabos como mola foi considerada a rigidez equivalente dos cabos,
desprezando o seu amortecimento. A rigidez foi determinada através da expressão (83), onde o
módulo de elasticidade e a área transversal foram determinados através de manuais técnicos para
cabos. A posição das molas ao longo da estrutura pode ser visualizada nas Figura 54 e Figura 56.
A Tabela 3 lista estes valores e a Figura 51 mostra a posição dos cabos na torre.
EA
k
L
=
(83)
Tabela 3 – Rigidez das molas em relação aos cabos
Estal (
Figura 51
)
a b c d e f
k [N/m] 0,85x10
5
1x10
5
1,20x10
5
1,62x10
5
1,98x10
5
2,59x10
5
Figura 51 – Distribuição dos cabos de sustentação na torre
É importante ressaltar aqui que os valores apresentados neste tópico, inclusive os da
Tabela 3, já estão calibrados e que a metodologia para a sua determinação será apresentada no
tópico correspondente.
5.5 Descrição dos modelos numéricos implementados
Foram confeccionados quatro modelos numéricos, dois representando a torre completa
com todas as suas características geométricas, porém um usando elementos de molas e outro
usando elementos de cabo para representar os estais, estes modelos serão chamados de Modelo
Completo com Molas (MCM) e Modelo Completo com Cabos (MCC). Outros dois modelos
utilizados foram modelados utilizando as propriedades equivalentes a uma viga da treliça da
torre chamado no texto de modelo equivalente neste modelo equivalente os estais também foram
representados como elementos de mola e elementos de cabo, estes modelos serão chamados de
72
Modelo Equivalente com Molas (MEM) e Modelo Equivalente com Cabos (MEC). Ambos
foram representados, no espaço tridimensional, com material constitutivo isotrópico e linear.
Características de ambos os modelos são apresentadas a seguir.
5.5.1 Descrição do modelo completo (MC)
5.5.1.1 Geometria
Foi representado em elementos finitos um pórtico espacial com as mesmas características
geométricas do modelo real da torre. Foi levada em consideração a orientação das seções
transversais das cantoneiras, assim como sua geometria. Na Figura 52 pode ser vista a disposição
dos elementos e suas medidas.
Figura 52 – Disposição das seções geométricas da torre
5.5.1.2 Propriedades geométricas e constantes dos elementos
As cantoneiras horizontais, verticais e as barras redondas são representadas no modelo
numérico com o mesmo tipo de elemento, BEAM188 e possuem as mesmas características
físicas, isto é, módulo de elasticidade de 210GPa, coeficiente de Poisson de 0,3 e densidade de
7850kg/m³, o amortecimento da estrutura foi implementado usando a matriz de amortecimento
da estrutura proporcional à matriz de massa, equação (84).
Cantoneira vertical de
abas iguais – 25,4mm x
3,175mm x 500mm
Cantoneira horizontal de
abas iguais – 19,05mm x
3,175mm x 300mm
Barra redonda – Φ 6,35mm
x 580mm
73
[
]
[
]
C M
α
=
(84)
Onde
α
é dado por
2
α ζω
=
, sendo o valor da razão de amortecimento,
ζ
, definido em
1% e a freqüência natural
ω
referente ao primeiro modo de vibração da estrutura.
A discretização de todos os elementos da estrutura da torre teve um tamanho máximo de
0,25m. A Figura 53 mostra dois modelos usando elementos de pórtico espacial, sendo que num
dos modelos os estais estão representados como elementos de cabo e no outro modelo da torre os
estais foram substituídos por elementos de mola. As condições de contorno destes modelos serão
apresentadas na Figura 56.
Figura 53 – Modelos da torre completa usando elementos de molas e elementos de cabos
para representação dos estais
74
5.5.2 Descrição do modelo equivalente (ME)
5.5.2.1 Geometria
A estrutura treliçada descrita anteriormente foi substituída por uma coluna em balanço
com 40m de comprimento sustentada por estais, foram utilizadas as mesmas propriedades físicas
– Coeficiente de rigidez à flexão, torção, fator de forma e momento de inércia da torre completa,
Figura 54.
Figura 54 – Representação esquemática do modelo equivalente da torre
5.5.2.2 Propriedades geométricas e constantes dos elementos utilizados no modelo
equivalente
A viga que representa o modelo equivalente da torre é um tubo de seção quadrada com
uma área de seção transversal de 6,498x10
-4
m
2
. Essa dimensão representa a menor área da seção
transversal da torre. Foram considerados o momento de inércia equivalente à flexão e o módulo
equivalente à torção. O momento de inércia à flexão é o mesmo para os planos Izz e Iyy igual a
6,6047x10
-6
m
4
e o momento de inércia torsional J é de 2,0110x10
-6
m
4
. Para este caso também
foi admitido um fator de forma de 108,56 na direção Y e Z. Foi admitido um módulo de
elasticidade de 210GPa, coeficiente de Poisson de 0,3 e densidade de 7850kg/m³. Na seção 5.4.4
é detalhado como chegar a estes valores.
A Figura 55 mostra os modelos usando estrutura equivalente, sendo que num dos
modelos os estais estão representados com elementos de cabo e no outro modelo da torre
equivalente os estais foram substituídos por elementos de mola. As condições de contorno destes
modelos são apresentadas na Figura 56.
75
Figura 55 – Modelo equivalente da torre estaiada, usando elementos de mola e elementos
de cabo para representação dos estais
5.6 Condições de contorno
As condições de contorno foram definidas da mesma forma para todos os modelos
estudados. Considerou-se engastados todos os nós da base da torre e fixos os deslocamentos nos
pontos de união dos cabos com o solo.
76
Figura 56 – Detalhe das condições de contorno dos modelos
5.7 Determinação das freqüências naturais da torre
Para garantir que o modelo completo e o equivalente se comportem de forma fiel à
estrutura real foi realizada a verificação dos modelos numéricos a partir de resultados de ensaios
experimentais. Estes ensaios serviram para determinar as razões de amortecimento da estrutura e
também determinar as freqüências naturais da mesma.
A primeira etapa do trabalho foi a determinação das freqüências naturais da torre em
estudo. Para isso se utilizaram os dados experimentais de aceleração no tempo gerados a partir de
uma excitação do tipo impulso nos cabos. Os dados foram coletados por quatro acelerômetros
localizados na torre conforme a Figura 57.
77
Figura 57: Indicação da localização dos acelerômetros na torre
Conforme descrito anteriormente, cada um destes acelerômetros adquiriu uma resposta
diferente para a mesma excitação, a Figura 58 apresenta o sinal captado por um acelerômetro
localizado a 19m de altura. Esse sinal é proveniente de uma excitação impulsiva dado em um
estal localizado próximo ao acelerômetro. Isso ocorre, pois os diferentes modos de vibração da
torre possuem maior deslocamento em diferentes alturas. Por exemplo, se supõem que a torre se
comporta como uma viga engastada-livre, o primeiro modo seria melhor registrado pelo
acelerômetro localizado a uma altura de 31m, então é conveniente adquirir a freqüência natural
para o primeiro modo nos registros do acelerômetro posicionado a 31m, e assim foi feito para as
outras freqüências naturais.
Figura 58 – Sinal adquirido por um acelerômetro instalado na torre a 19m de altura
78
Com os dados adquiridos, foram gerados os espectros da transformada de Fourier para a
determinação das freqüências naturais. Cada um dos acelerômetros forneceu diferentes respostas,
sendo consideradas como efetivas as que possuíam picos de espectro que coincidissem com os
picos de deslocamento dos modos de vibração. Na Figura 59 é mostrada uma resposta da FFT de
um acelerômetro instalado na torre a 19m de altura.
Figura 59 – FFT do sinal adquirido por um acelerômetro instalado na torre a 19m de
altura
Com as medições das freqüências naturais proveniente das análises experimentais,
iniciou-se a calibração dos modelos, realizando a análise modal de cada modelo estrutural e
ajustando a rigidez das molas ou a deformação inicial dos elementos dos cabos do modelo
numérico até que as freqüências naturais dos modelos numéricos se aproximassem das
freqüências naturais obtidas experimentalmente. Foram utilizados os quatro primeiros modos na
análise modal para ajustar os modelos numéricos.
Na Tabela 4 são apresentados os quatro primeiros modos e suas respectivas freqüências
obtidas experimentalmente para os pontos onde foram instalados os acelerômetros, Figura 57.
Tabela 4 – Freqüências naturais extraídas do ensaio experimental
Modos
Freqüências
Naturais
[Hz]
1° 5,37
2° 6,05
3° 8,63
4° 10,40
79
6 VALIDAÇÃO DOS MODELOS NUMÉRICOS
6.1 Análise modal das estruturas
6.1.1 Análise modal das estruturas MCM e MEM
Na Figura 60 são mostrados os quatro primeiros modos de vibração dos MCM e MEM,
respectivamente. Os dois primeiros modos de ambos os modelos são semelhantes, porém com
uma leve diferença entre as freqüências naturais de vibração. Quando é comparado o terceiro e
quarto modo de vibração de ambos os modelos existe uma diferença na forma dos modos e uma
diferença nas freqüências relacionadas a cada modo de vibração.
Figura 60 – Modos de vibração das estruturas MCM e MEM
6.1.2 Análise modal das estruturas MCC e MEC
Na Figura 61 são mostrados os modos de vibração dos MCC e MEC. As formas modais
de ambos os casos se apresentaram de forma semelhante, assim como a iteração cabo / estrutura,
porém no quarto modo houve uma pequena mudança na forma modal quando são comparados os
respectivos modos de ambos os casos, MCC e MEC da Figura 61. As freqüências naturais
referentes aos modos também se apresentaram de forma semelhante entre os casos, porém com
uma pequena diferença entre os valores. Essa diferença provavelmente tenha ocorrido pela
aproximação numérica existente entre o modelo equivalente e o modelo completo.
Analisando os quatro casos dos modelos numéricos pode-se chegar à conclusão que os
modelos que foram construídos com elementos de mola no lugar dos estais tiveram uma resposta
aproximada quando comparados entre eles, ou seja, comparando o MCM e o MEM apresentaram
uma semelhança nas formas modais e nas freqüências naturais. O mesmo ocorre quando são
80
comparados os MCC e MEC, as formas modais e as freqüências naturais se apresentam de forma
semelhante.
Comparando os MEM e MCM, Figura 60 e MCC e MEC, Figura 61, existe uma leve
diferença nas formas modais e no valor das freqüências naturais, essa diferença pode ser
atribuída à aproximação existente na rigidez da mola com a rigidez dos cabos.
Figura 61 – Modos de vibração das estruturas MCC e MEC
Comparando os valores apresentados na Tabela 4 com os resultados das freqüências
naturais obtidas numericamente das Figura 60 e Figura 61, ambos os resultados estão coerentes,
por conseqüência pode-se afirmar que as respostas dos modelos numéricos terão consistência
frente às respostas da estrutura real.
Observa-se que os resultados obtidos com os MEM e MCM, Figura 60, tiveram uma
melhor aproximação em comparação com os resultados experimentais do que os modelos MEC e
MCC, Figura 61, isso ocorreu devido a uma limitação do modelo com cabos, onde os ajustes
para estes modelos foram determinados com um único parâmetro que permitia ajustar as
deformações iniciais dos cabos como um todo. Nos modelos MEM e MCM os ajustes de rigidez
81
das molas foram definidas com seis parâmetros distintos que corresponde há um ajuste da rigidez
a cada nível de estal.
6.2 Análise no domínio da freqüência
A análise no domínio da freqüência para os modelos estudados serviu para validar e
verificar a resposta dos modelos submetidos à análise modal, obtendo-se as respostas no domínio
da freqüência.
Na Figura 62 se apresenta os modelos usados para determinar a reposta no domínio da
freqüência, a excitação imposta no modelo foi localizada no topo da estrutura, essa excitação é
uma força unitária impulsiva na direção do eixo z, após aplicação da carga deixou-se a estrutura
vibrar livremente. A forma do carregamento foi definida no Ansys [2006] como um
STEP
, foram
definidos 200 passos para o cálculo da análise no domínio da freqüência, numa faixa de
freqüências de 0 até 20Hz. O método de solução usado foi o Método
Full
, este método foi
escolhido por usar todas as matrizes durante a solução da análise.
82
Figura 62 – Desenho dos modelos sobre os quais se realizou a analise no domínio da
freqüência onde se iniciaram os pontos onde foram registradas as respostas e o ponto onde
se aplico a carga impulsiva
Na Figura 63 são apresentadas as repostas das análises no domínio da freqüência
realizadas para os modelos MCM, MCC, MEC e MEM. Foram escolhidos dois pontos ao longo
do comprimento da estrutura para obtenção da resposta, a 19m e 31m. Esses pontos foram
escolhidos com o propósito de serem os mesmos pontos onde foram instalados os acelerômetros.
É possível observar coerência entre os valores das freqüências onde aparecem as maiores
amplitudes em 19m e 31m, Figura 63, com coordenadas modais significativas em cada modo
para estes pontos, Figura 60 e Figura 61.
Para facilitar a comparação para o MCC na Figura 63 foram colocados os modos das
freqüências naturais que aparecem em forma mais clara no registros no domínio da freqüência.
Nas respostas dos MCM e MEM, percebe-se que as maiores amplitudes do ponto a 31m
corresponde ao primeiro modo de vibração na análise modal, o ponto localizado a 19m
corresponde ao segundo e terceiro modo de vibração na análise modal.
Nas respostas dos MCC e MEC não são mostradas com clareza as amplitudes no domínio
da freqüência quando comparados às respostas das freqüências naturais da análise modal. Isso
ocorre provavelmente pela influência da vibração dos cabos na estrutura da torre, onde são
mostradas as respostas dos MCC e MEC. Observando-se os gráficos nota-se que as amplitudes
são distribuídas no domínio da freqüência ao contrário do que ocorre nos gráficos dos MCM e
MEM, isso aconteceu provavelmente devido à influência da vibração dos cabos na estrutura da
torre.
Porém, pode-se notar no MEC que a maior amplitude corresponde a uma região próxima
à freqüência do primeiro modo de vibração da análise modal localizado na torre no ponto a 31m
de altura. No MCC observam-se que as maiores amplitudes são correspondentes às freqüências
do primeiro e terceiro modo de vibração da análise modal, localizados nos pontos a 31m e 19m
de altura, respectivamente.
83
Figura 63 – Resposta da análise harmônica MCC, MEC, MCM, MEM
84
7 ANÁLISE DA TORRE SUBMETIDA À AÇÃO DE UMA TORMENTA EPS
7.1 Análise transiente
O objetivo desta análise é obter a resposta da estrutura sob ação de um carregamento
variável no tempo. As respostas podem ser dadas em termos de deslocamentos, velocidades ou
acelerações e também se pode apresentar a resposta no domínio da freqüência.
Na Figura 64 são mostrados os carregamentos que foram impostos nas estruturas, este
carregamento é proveniente de um vento do tipo EPS, na Figura 47 é apresentado o histórico de
força que foi imposto nas estruturas. Ambos os carregamentos foram divididos em três partes,
nas quais foram definidas suas áreas de influência, cada área de influência corresponde a um
carregamento em função da altura.
Tomando como referência a Figura 47, a primeira área de influência localizada na região
inferior da estrutura, Figura 64, corresponde ao carregamento de cor azul. Área de influência
localizada no meio da estrutura corresponde ao carregamento na cor vermelha e o carregamento
na cor verde representa a área de influência localizada no topo da estrutura. O tempo total de
carregamento foi de 100s, sendo que o tempo de aplicação de cada carga foi de 0,03s. Foi
definido este tempo de aplicação da carga com justificativa de que a taxa de aquisição dos
anemômetros instalados na torre são de 32Hz, procurou-se representar de melhor forma a
incidência do vento na estrutura real nos modelos numéricos.
85
Figura 64 – Condições de contorno e forma de carregamento aplicado para tormenta EPS
7.2 Resposta da análise transiente com carregamento EPS
As respostas dos modelos numéricos sob ação de uma tormenta EPS são mostradas na
Figura 65 onde a mesma mostra a FFT da resposta da estrutura no domínio da freqüência para
três pontos distribuídos ao longo dos modelos utilizados para análise. Esses pontos foram
escolhidos com o propósito de serem regiões ao longo do comprimento da torre que
apresentaram maiores deslocamentos durante a análise modal e por serem locais onde foram
instalados os acelerômetros utilizados experimentalmente. Nas Figura 66 e Figura 67 são
mostrados os deslocamentos máximos sofridos pelos modelos durante o processo de análise.
Na Figura 65 é apresentada a resposta do MEM, na primeira amplitude a resposta do
modelo no domínio da freqüência foi de 5,67Hz, na segunda amplitude a resposta do modelo
corresponde a 6,27Hz, a terceira amplitude corresponde a uma freqüência de 7,31Hz e a quarta
amplitude corresponde a uma resposta no domínio da freqüência em 8,16Hz.
86
Na Figura 66 são mostrados os deslocamentos ao longo da estrutura, sendo que o
deslocamento máximo sofrido pela estrutura foi de 15,1mm.
A resposta do MCC é mostrada na Figura 65, a primeira amplitude corresponde aos
pontos 31m, 25m e 19m e está localizada na faixa de freqüência de 4,74Hz. A segunda, terceira e
quarta amplitude também são correspondentes aos pontos localizados a 31m, 25m e 19m de
altura, sendo que estas amplitude estão posicionadas na faixa de freqüência 5,42Hz, 6,58Hz,
7,85Hz, respectivamente. A distribuição dos deslocamentos ao longo da estrutura é mostrada na
Figura 67, onde o deslocamento máximo sofrido pela estrutura ocorreu no topo da mesma com
valor de deslocamento de 17,9mm.
Figura 65 – Resposta MEM e MCC com carregamento EPS
87
Figura 66 – Deslocamento modelo equivalente mola carregamento EPS
Figura 67 – Deslocamento modelo completo cabo carregamento EPS
Pode-se observar na Figura 65, que as amplitudes obtidas da analise transiente vão
diminuindo a medida que se aumenta a freqüência da resposta, isso acontece porque as
amplitudes da componente flutuante do vento também diminuem a medida que se aumenta as
freqüências, isso pode ser visto de acordo com a Figura 46.
88
7.3 Histórico dos deslocamentos da estrutura no domínio do tempo
Os históricos de deslocamentos no domínio do tempo sob o carregamento de uma
tormenta do tipo EPS, pode ser visto na Figura 68, todos os modelos ensaiados apresentaram
tipos semelhantes de deslocamentos nos pontos selecionado em função do tempo.
Pode-ser observar que no início da resposta a estrutura sofre influência das flutuações do
carregamento, após os 20s de atuação das forças devidas a ambas as tormentas, a estrutura se
comportou de forma estática mesmo sob influência das flutuações das forças provenientes da
tormenta EPS. Isso ocorreu provavelmente devido à alta taxa das componentes flutuantes de
velocidade do vento e também devido à esbeltez da estrutura, fazendo com que a mesma não
fosse influenciada pelas flutuações do carregamento e conseqüentemente, se comportando de
forma estática.
Figura 68 – Deslocamentos de alguns pontos no MEM e MCC, reposta da estrutura sob
ação de uma tormenta EPS
89
8 ENSAIO DE COMPRESSÃO EM UM ELEMENTO DA TORRE SOB DIFERENTES
TIPOS DE NÃO-LINEARIDADES
Neste capítulo serão descritos os procedimentos utilizados para análise de flambagem de
uma barra com as mesmas características geométricas da torre. Foi escaneado
tridimensionalmente um elemento da torre com a intenção de adquirir suas propriedades de não-
linearidade geométrica e com estes dados comparar os resultados dos ensaios numéricos de
compressão axial da geometria escaneada com uma geometria perfeitamente reta onde foi
inserida imperfeições com um dos métodos propostos na literatura técnica.
8.1 Modelagem numérica da cantoneira escaneada
8.1.1 Geometria do perfil
Esta análise foi desenvolvida com intenção de analisar a carga crítica de flambagem de
um dos elementos da torre mencionada nos capítulos anteriores. Foi escolhido um perfil de
cantoneira vertical por ser mais solicitado a cargas axiais, essas cargas são provenientes do
próprio peso da estrutura e proveniente do pré-tensionamento dos cabos. Foram desenvolvidos
três modelos diferentes com as coordenadas geométricas coletadas, isso foi feito para verificar se
a carga crítica de flambagem estava coerente, a única mudança que foi feita nos três modelos que
são descritos foi na sua geometria. As vinculações, carregamentos, propriedades físicas, tipo de
elemento adotado, análises não-lineares permaneceram da mesma forma nos três casos. As
formas geométricas adotadas em cada um dos modelos são descritas a seguir. O comprimento
adotado para modelar o perfil foi de 500mm para os três casos de geometria, foram usados como
referência as coordenadas dos Pontos 1, 2 e 3. Na Figura 32 são mostradas as coordenadas
geométricas dos pontos escaneados, essas coordenadas serviram para criar os modelos de análise
de flambagem.
90
Tabela 5 – Coordenadas dos pontos geométricos do perfil escaneado
Planos
Ponto 1
Ponto 2
Ponto 3
X (mm)
Y (mm)
Z (mm)
X (mm)
Y (mm)
Z (mm)
X (mm)
Y (mm)
Z (mm)
Plano 1
11,62 24,75 -2,09 11,62 0,0 0,0 11,62 -2,05 -24,25
Plano 2
23,24 24,80 -2,09 23,24 0,0 0,0 23,24 -2,03 -24,19
Plano 3
34,85 24,78 -2,01 34,85 0,0 0,0 34,35 -1,96 -24,17
Plano 4
46,47 24,73 -1,92 46,47 0,0 0,0 46,47 -1,87 -24,13
Plano 5
58,09 24,71 -1,88 58,09 0,0 0,0 58,09 -1,84 -24,09
Plano 6
69,71 24,71 -1,90 69,71 0,0 0,0 69,71 -1,84 -24,09
Plano 7
81,33 24,77 -1,83 81,33 0,0 0,0 81,33 -1,77 -24,02
Plano 8
92,94 24,78 -1,81 92,94 0,0 0,0 92,94 -1,59 -23,97
Plano 9
104,56
24,76 -1,65 104,56
0,0 0,0 104,59
-1,59 -23,97
Plano 10
116,18
24,75 -1,17 116,18
0,0 0,0 116,18
-1,13 -23,82
Plano 11
127,80
24,77 -1,30 127,8 0,0 0,0 127,8 -1,24 -23,65
Plano 12
139,42
24,71 -1,14 139,42
0,0 0,0 139,42
-1,11 -23,88
Plano 13
151,03
24,64 -1,43 151,03
0,0 0,0 151,03
-1,38 -23,83
Plano 14
162,65
24,65 -1,38 162,65
0,0 0,0 162,65
-1,33 -23,8
Plano 15
174,32
24,70 -1,27 174,27
0,0 0,0 174,27
-1,22 -23,77
Plano 16
185,89
24,61 -1,25 185,89
0,0 0,0 185,89
-1,21 -23,9
Plano 17
197,51
24,58 -1,19 197,51
0,0 0,0 197,51
-1,16 -23,83
Plano 18
209,12
24,49 -1,18 209,12
0,0 0,0 209,12
-1,14 -23,77
Plano 19
220,74
24,26 -0,93 220,74
0,0 0,0 220,74
-0,9 -23,59
Plano 20
232,36
24,43 0,87 232,36
0,0 0,0 232,36
-0,84 -23,47
Plano 21
243,98
24,36 -1,10 243,98
0,0 0,0 243,98
-1,06 -23,51
Plano 22
255,60
24,33 -1,03 255,6 0,0 0,0 255,6 -0,99 -23,44
Plano 23
267,21
24,30 -0,97 267,21
0,0 0,0 267,21
-0,94 -23,4
Plano 24
278,83
24,24 -0,84 278,83
0,0 0,0 278,83
-0,82 -23,54
Plano 25
290,51
24,19 -0,94 290,45
0,0 0,0 290,45
0 -23,71
Plano 26
302,07
24,02 -1,05 302,07
0,0 0,0 302,07
-1,02 -23,52
Plano 27
313,69
24,20 -0,80 313,69
0,0 0,0 313,69
-0,78 -23,63
Plano 28
325,30
24,17 -0,77 325,3 0,0 0,0 325,3 -0,76 -23,69
Plano 29
336,92
24,10 -0,55 336,92
0,0 0,0 336,92
-0,54 -23,61
Plano 30
348,55
24,08 -0,68 348,55
0,0 0,0 348,54
-0,67 -23,8
Caso 1: Neste modelo numérico foram usadas as coordenadas dos Pontos 1, 2 e 3 de cada
seção transversal para descrever o perfil, Figura 32 e
Tabela 5. Totalizando 30 seções com diferentes valores entre si e distribuídos
uniformemente ao longo dos 500mm de comprimento da cantoneira, Figura 69.
91
Figura 69 – Vista da distribuição das 30 seções transversais no modelo numérico
Caso 2: As 30 seções determinadas anteriormente foram dividas em três partes, sendo que
cada parte continha dez seções transversais com seus respectivos Pontos 1, 2 e 3. Destas dez
seções de cada parte foi feita uma média das coordenadas dos Pontos 1, 2 e 3, e estes valores
médios das coordenadas de cada ponto foram localizados no modelo numérico, sendo que um em
cada extremo e outro na metade do comprimento da barra, Figura 70.
92
Figura 70 – Vista das três regiões correspondentes à média das coordenadas das dez seções
transversais
Caso 3: Das 30 seções transversais foram feitas uma média das coordenadas de cada
ponto, resultando em um único valor médio, ver Figura 71.
Figura 71 – Vista correspondente à média das 30 seções transversais
93
8.2 Propriedades físicas dos elementos
A cantoneira e as chapas localizadas nos extremos da mesma são representadas no
modelo numérico com o mesmo tipo de elemento, SHELL181 e possuem as mesmas
características físicas, isto é, coeficiente de Poisson de 0,3 e densidade de 7850kg/m³. O módulo
de elasticidade de 205GPa é correspondente à cantoneira, para as chapas o módulo de
elasticidade de 205GPa foi multiplicado por 100000, isso foi feito para garantir que as chapas
não deformassem com aplicação da carga e que toda solicitação fosse distribuída para a
cantoneira. Os atributos das constantes reais são referentes à espessura da cantoneira e espessura
das chapas no valor 3,175mm e 15mm, respectivamente.
8.3 Condições de contorno
As condições de contorno aplicadas nos três modelos são as mesmas, foi selecionado um
ponto em cada extremo das chapas que ficam perpendiculares à cantoneira sendo, um dos pontos
para engaste e outro para aplicação da força. O ponto de engaste foi restringido em todas as
direções Ux, Uy e Uz, as rotações neste ponto foram permitidas em todas as direções. No ponto
de aplicação da carga foram restringidos os deslocamentos nas direções Uy e Uz e a rotação foi
restringida somente em torno do eixo X, esta restrição da rotação foi feita com a intenção de
evitar movimento de corpo rígido durante o processo de análise, Figura 72.
Esses pontos selecionados estão localizados exatamente no centróide da cantoneira onde
ambos os planos de inércia I
zz
e I
yy
tem o valor de 6,35mm, o valor do centróide tem como
referência o valor teórico. O motivo para ter sido usado o valor teórico do centróide e somente
dois pontos de vinculação foi tentar aproximar ao máximo o ensaio numérico de um ensaio
experimental.
94
Figura 72 – Condições de contorno na modelagem da cantoneira
8.4 Relações constitutivas utilizadas na análise
Foi considerado o material como elastoplastico com três inclinações para modelar
adequadamente o encruamento previsto. A parcela elástica linear é definida pelos valores do
módulo de elasticidade e pelo coeficiente de Poisson, a parcela plástica exibe o comportamento
usualmente adotado para o aço, onde o modelo com encruamento isotrópico e superfície de
escoamento de Von Mises [Chen e Han, 1987].
A Figura 73 mostra o gráfico do comportamento do aço, modelo elasto-plástico trilinear,
adotado. É importante ressaltar que para a construção do gráfico tensão-deformação do aço,
Figura 73, os valores adotados correspondem aos valores convencionais, portanto as tensões e
deformações convencionais (“engineering values”), obtidas deste gráfico, foram convertidas para
as tensões e deformações verdadeiras (“true values”), uma vez que o ANSYS quando realiza a
análise não-linear para grandes deformações, utiliza rotinas que trabalham com as tensões e
deformações verdadeiras.
Restrições em
Ux, Uy e Uz
Restrições em Uy,
Uz, Rotx.
Ponto de aplicação
da carga
95
Figura 73 – Gráfico tensão-deformação: modelo elasto-plástico trilinear adotado para
simular o comportamento do aço
8.5 Análise linear de instabilidade
Foi realizada inicialmente a análise linear de instabilidade com o propósito de determinar
os modos de flambagem do perfil estudado e sua carga crítica linear elástica de flambagem, o
valor obtido da carga crítica de flambagem para o primeiro modo foi de 29249N e as cargas
críticas para o segundo e terceiro modo são de 97983N e 149484N, respectivamente. Na Figura
74 são mostrados os três primeiros modos de flambagem do perfil L laminado de abas iguais
com dimensões de 25,4mm x 25,4mm x 3,175mm, sendo que este perfil analisado é das mesmas
características geométricas do perfil que faz parte do montante da estrutura da torre estudada.
Figura 74 – Modos de flambagem do perfil sem imperfeição geométrica.
96
8.6 Análise não-linear da cantoneira
Foram realizadas seis simulações numéricas utilizando análise não-linear, primeiramente
foram consideradas as imperfeições geométricas com e a amplitude máxima da excentricidade
dada por L/1000, L/1500 e L/2000 respectivamente, onde L é o comprimento do perfil analisado.
A forma da imperfeição geométrica inicial adotada é uma combinação linear dos modos
de instabilidade do perfil, determinados por meio de uma prévia análise linear de estabilidade,
análise de autovalores. Primeiramente se faz uma análise de estabilidade por autovalores via
ANSYS, o qual fornece os valores das forças críticas (autovalores) e os correspondentes modos
de flambagem (autovetores), para então quando possível se escolher os modos puros de
flambagem, referentes aos modos de instabilidade local, global, e distorcional quando aplicável.
Maiores detalhes podem ser visto nas teses de doutorado de [GRIGOLETTI, 2008] e
[CHODRAUI, 2006]. Neste estudo foi considerado o primeiro modo de flambagem como forma
de imperfeição geométrica inicial.
Na Figura 75 é mostrado o carregamento imposto no perfil estudado com diferentes
imperfeições geométricas determinadas para o perfil analisado. Observa-se na Figura 75 que na
medida em que a imperfeição geométrica é menor, a carga de colapso proveniente da análise
não-linear aumenta se aproximando da carga crítica de flambagem.
Tabela 6 – Carga de Colapso com imperfeição geométrica teórica
Imperfeição
Geométrica
Carga [N]
L/1000 17866
L/1500 19222,1
L/2000 20103,4
97
Figura 75 – Carga de Colapso para perfis com imperfeição geométrica teórica.
Foram também determinadas as cargas de colapso de cantoneras sobre as quais foram
impostas imperfeições obtidas a partir do escaneamento tridimensional do próprio elemento. A
implementação das imperfeições escaneadas foi feita de três formas diferentes, formas descritas
nas Figura 69, Figura 70, Figura 71. Na Tabela 7 se apresentam as cargas críticas de flambagem
provenientes dos ensaios das análises não-lineares de instabilidade dos três tipos de ensaios
realizados no perfil escaneado. Observa-se que não houve uma significativa mudança na carga de
colapso na medida em que foram feitas aproximações nas seções geométricas do perfil
escaneado. Na Figura 76 se apresenta a curva carga deslocamento para o elemento estudado para
as simulações realizadas com as imperfeições escaneadas aplicadas de diferentes formas.
Tabela 7 – Carga de Colapso de um perfil cantoneira escaneado
Perfil L Carga [N]
30 seções 20238,8
10 seções 20625,1
1 seção 20501,1
98
Figura 76 – Simulações considerando diversas formas de implementar as imperfeições
geométricas escaneadas.
A Figura 77 mostra a distribuição de tensão no eixo x, eixo longitudinal do perfil, pode
ser observado que existe uma distribuição de tensão compressiva na cor azul na região central do
perfil, nos três casos estudados. Isso acontece como já foi mencionado anteriormente, devido ao
baixo índice de imperfeição geométrica, fazendo com que exista uma maior concentração de
tensão compressiva na região central do perfil.
99
Figura 77 – Distribuição de tensão axial do um perfil de cantoneira escaneado
Comparando os ensaios realizados com perfil teórico com várias imperfeições
geométricas com os três casos do perfil escaneado onde as imperfeições já estão incorporadas na
geometria do mesmo e observando a Figura 78. Percebe-se que as cargas de colapso ficaram
próximas em todas as simulações, porém pode-se observar que as cargas de colapso dos três
casos do perfil escaneado se aproximaram da imperfeição geométrica teórica de L/2000. Como
os resultados dos perfis escaneados ficaram muito próximos, foi apresentado no gráfico da
100
Figura 78 somente uma curva na qual esta representa a média das três curvas do perfil
escaneado.
É visto pelo gráfico também que na região elástica todos os casos estudados se
comportaram de forma semelhante apresentando uma inclinação similar entre os casos nas retas
da região elástica, também pode ser observado um comportamento semelhante entre as curvas
dos casos ensaiados. A carga crítica do montante analisado sem imperfeições foi sensivelmente
superior as cargas de colapso das cargas das simulações realizadas. Também na Figura 78 se
evidência que a resposta força - deslocamento utilizando a imperfeição teórica com uma
magnitude de L/2000 ficou muito próximo a curva da simulação onde as imperfeições foram
escaneadas, porém para uma melhor certeza do resultado seria necessário realizar um estudo
estatístico de perfis escaneados.
Figura 78 – Comparação das cargas de colapso das diferentes simulações realizadas.
101
9 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS
Neste trabalho se realizou o estudo de vários aspectos de uma torre estaiada localizada no
campus da universidade de Passo Fundo, esta torre serve de estação metereológica registrando a
velocidade do vento a diferentes alturas sobre a mesma. Existem medições experimentais da
torre dos modos e freqüência da torre. Estes valores experimentais foram utilizados para simular
diferentes aspectos de seu comportamento estrutural. Foram feitos modelos globais de diferentes
níveis de complexidade, também foi discutido formas de avaliar a excitação do vento sobre a
torre e a modelagem de um dos montantes da torre. No decorrer do trabalho foram obtidas as
seguintes conclusões.
9.1 Resposta da torre
Os resultados das repostas obtidas através do uso dos modelos utilizados na análise
numérica foram representados de forma satisfatória. Indicativo disto são os valores obtidos como
deslocamentos horizontais máximos, aproximadamente 18mm para a tormenta EPS. As
freqüências naturais de vibração medidos foram encontradas em forma experimental.
-O conteúdo da freqüência da resposta apresentou valores próximos da freqüência dos
primeiros modos de vibração, também é mostrado nas respostas que as amplitudes vão
decrescendo a medida que se aumenta a freqüência.
-Os resultados das análises modais dos modelos ensaiados ficaram coerentes aos
resultados obtidos durante o ensaio experimental realizado para determinar as freqüências
naturais da estrutura real.
-As respostas das análises modais foram validadas também através das simulações de
análise harmônica nos quais os resultados das respostas obtidas foram satisfatórios quando
comparados com os resultados das análises modais.
Outro fator que pode ser observado é na Figura 68 onde é mostrado o histórico de
deslocamento no domínio do tempo, na qual a estrutura sofre deslocamentos no início do tempo.
Após certo tempo a estrutura deixa de oscilar sendo que a excitação aplicada e equivalente a uma
carga estática, esse fator provavelmente acontece devido à alta taxa da componente de flutuação
do vento, definida nos carregamentos das tormentas EPS e também pela esbeltez dos modelos,
fazendo com que a resposta da estrutura não flutue em função dos carregamentos aplicados.
Levando em consideração essa ausência de flutuação na resposta da estrutura pode-se considerar
satisfatório somente o cálculo da resposta dos modelos através da análise estática.
102
9.2 Analise do montante e a influência na forma de considerar as imperfeições
geométricas
O método de escaneamento do perfil pode ser usado como uma ferramenta para
determinar imperfeições geométricas em perfis com geometria complexa ou em seções que
necessitam de uma precisão de cálculo muito avançada. Porém, este método como ferramenta
demanda de um tempo e custo computacional elevado já que é necessário ter uma quantidade de
resultados satisfatórios para poder estimar com certa precisão da imperfeição geométrica
existente em um perfil. Para o uso em perfis com geometria simples esta ferramenta pode não ser
considerada como a mais útil para determinação das imperfeições geométricas. Uma vez que os
resultados obtidos através dos ensaios não-lineares dos casos do perfil escaneado não
apresentaram diferenças significativas quando comparados aos resultados dos ensaios não-
lineares dos perfis de cantoneira com imperfeição geométrica incorporada no ensaio de forma
teórica. Desta forma se estaria validando os métodos teóricos propostos na literatura técnica para
avaliar as excentricidades.
9.2.1 Considerações sobre incerteza de modelos
Avaliando diferentes modelos de diferentes níveis de complexidade para os diferentes
temas abordados ficou clara a variabilidade dos resultados e a necessidade de sempre cruzar
informações com modelos que trabalhem sobre hipóteses de trabalho diferente e calibrando eles
com valores experimentais.
9.3 Sugestões para futuros trabalhos
As sugestões para trabalhos futuros podem ser dividas em duas partes, a primeira a
respeito da análise das respostas da torre e a segunda análise de não linearidades de perfis
escaneados.
9.3.1 Análise das respostas da torre:
- Determinar a influencia do pré tensionamento dos cabos em relação as freqüências
naturais da estrutura;
- Determinar a resposta da estrutura sob ação de uma tormenta gerada teoricamente.
- Realizar um estudo mais aprofundado a respeito do conteúdo da freqüência da resposta
onde a mesma apresentou valores a baixos da metade da freqüência dos primeiros modos de
103
vibração, um estudo mais detalhado de este aspecto seria necessário para avaliar o significado
desta resposta.
9.3.2 Análise do perfil escaneado
- Ensaiar o perfil escaneado e comparar a curva carga deslocamento obtida com os
resultados numéricos de carga deslocamentos aqui apresentados.
- Obter as imperfeições geométricas através do escaneado de elementos com seções
transversais mais complexas e ensaiar ditos perfis e determinar sua carga de colapso
experimentalmente.
104
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