( PDF ) Distribuição de freqüência e temporal de chuvas intensas Luciana Espíndula de quadros cascavel

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA AGRÍCOLA

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA E TEMPORAL DE CHUVAS INTENSAS

LUCIANA ESPÍNDULA DE QUADROS

CASCAVEL – Paraná - Brasil

Julho de 2008

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LUCIANA ESPÍNDULA DE QUADROS

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA E TEMPORAL DE CHUVAS INTENSAS

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Agrícola

em cumprimento parcial aos requisitos

para obtenção do título de Mestre em

Engenharia Agrícola, área de

concentração em Engenharia de

Recursos Hídricos e Saneamento

Ambiental.

Orientador: Prof. Dr. Manoel Móises

Ferreira de Queiroz

CASCAVEL - Paraná - Brasil

Julho de 2008

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LUCIANA ESPÍNDULA DE QUADROS

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA E TEMPORAL DE CHUVAS INTENSAS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Agrícola, em cumprimento parcial aos requisitos para obtenção do

título de Mestre em Engenharia Agrícola, área de concentração Engenharia de

Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental, aprovada pela seguinte banca

examinadora:

Orientador: Prof. Dr. Manoel Moisés Ferreira de Queiroz

Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas, UNIOESTE

Prof. Dr. Altair Bertonha

Universidade Estadual de Maringá, UEM.

Prof. Dr. Marcio Antonio Vilas Boas

Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas, UNIOESTE

Cascavel, 24 julho de 2008.

iii

1 Ficha catalográfica

2 Elaborada pela Biblioteca Central do Campus de Cascavel - Unioeste

Q18d

Quadros, Luciana Espíndula de

Distribuição de freqüência e temporal de chuvas intensas. / Luciana

Espíndula de Quadros — Cascavel, PR: UNIOESTE, 2008.

60 f. ; 30 cm

Orientador: Prof. Dr. Manoel Móises Ferreira de Queiróz

Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual do Oeste do

Paraná.

Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Engenharia

Agrícola, Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas.

Bibliografia.

1. Chuvas intensas. 2. Distribuição GEV. 3. Hietograma. I. Queiróz,

Manoel Móises Ferreira de. II. Universidade Estadual do Oeste do

Paraná. III. Título.

CDD 21ed. 551.57

Bibliotecária: Jeanine da Silva Barros CRB 9/1362

À minha avó Zoltina Rodrigues Quadros,

que foi a pessoa mais amável e

fácil de se gostar que já conheci,

com muita saudade, dedico.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pela vida.

Ao meu esposo que compartilha comigo cada passo vencido, cada

alegria e me dá forças para conquistar meus objetivos.

A minha mãe, por estar ao meu lado em todos os momentos, agradeço

pelo seu amor, orgulho e por sempre me incentivar a querer mais e mais; e por

todo o esforço empregado em um projeto arriscado chamado filho.

A minha irmã Daniela e Evandro, por disponibilizarem sua casa durante

o curso de mestrado, por seus companheirismos, pela compreensão, carinho,

paciência. Não tenho palavras para agradecer vocês.

Ao meu irmão Diogo, que este meu esforço sirva de exemplo para seus

estudos.

Àquelas pessoas que sei que torcem por mim de verdade, minhas tias,

tios, primas, primos, amigas e amigos. Obrigado por acreditarem em mim.

Ao mestre e amigo Prof. Dr. Manoel Moisés Ferreira de Queiroz, por

dar-me oportunidade da realização deste trabalho, obrigado pela sua

compreensão nas minhas ausências, obrigado pelos conselhos, pelo

compartilhamento de seu conhecimento e por ter me aceitado como orientada.

Ao pessoal do Centro de Engenharias e Ciências Exatas, da Unioeste -

Foz do Iguaçu, principalmente ao Prof. Sérgio Dálmas, pelo incentivo desde a

graduação, pelo conhecimento e pelo exemplo.

Aos amigos do Consfat e da UTFPR, pelo maravilhoso ambiente de

trabalho que me proporcionam.

SUMÁRIO

LISTA DE TABELAS.........................................................................................vii

LISTA DE FIGURAS ........................................................................................ viii

RESUMO ......................................................................................................xi

ABSTRACT .....................................................................................................xii

INTRODUÇÃO.............................................................................. 1

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.......................................................... 3

2.1

Distribuição Temporal das Chuvas ............................................... 3

2.2

Distribuição Generalizada de Valores Extremos........................... 7

2.3

Método de Chicago....................................................................... 8

MATERIAL E MÉTODOS............................................................ 11

3.1

Material....................................................................................... 11

3.2

Distribuição de Valores Extremos (GEV).................................... 12

3.3

Método dos Momentos LH.......................................................... 14

3.4

Estimativa dos Parâmetros da Distribuição GEV........................ 16

3.5

Razões de Momento e Coeficiente de Variação LH ................... 17

3.6

Teste de Qualidade de Ajuste da Distribuição GEV, via Momentos

LH ............................................................................................... 18

3.6.1

Teste Estatístico Proposto por Wang (1997) .............................. 18

3.6.2

Teste Estatístico Proposto por Kolmogorov-Smirnov.................. 21

3.7

Método de Chicago..................................................................... 21

3.8

Rotina em Matlab........................................................................ 25

RESULTADOS E DISCUSSÃO .................................................. 26

CONCLUSÕES........................................................................... 55

REFERÊNCIAS................................................................................................ 56

vii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 -

Valores limites mínimos da precipitação em função da duração de

chuva .......................................................................................... 11

Tabela 2 -

Valores limites mínimos da precipitação em função da duração de

chuva .......................................................................................... 17

Tabela 3 -

Valores dos coeficientes bi e ci (i=0,...4) das expressões de b e c

da equação 23 ............................................................................ 20

Tabela 4 -

Valores das intensidades máxima anuais do município de

Cascavel..................................................................................... 27

Tabela 5 -

Dados do ajuste da distribuição GEV com diferentes durações

fornecidos pelo Matlab................................................................ 38

Tabela 6 -

Valores de chuvas máximas (mm) para diferentes períodos de

retorno e duração obtidos das distribuições GEV e Gumbel....... 41

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 -

Fatores que caracterizam a distribuição temporal pelo método de

Chicago....................................................................................... 10

Figura 2 -

Distribuição das três formas de valores extremos representados

pela GEV em função da variável Gumbel................................... 13

Figura 3 -

Relação entre a curva i-d-f e o hietograma sintético................... 22

Figura 4 -

Características do hietograma definido pelo método de Chicago.

.................................................................................................... 23

Figura 5 -

Ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas anuais

com duração de 10 minutos, aplicando-se os cinco níveis de

momentos LH.............................................................................. 28

Figura 6 -

Ajuste das distribuições GEV e da distribuição Gumbel à série de

chuvas máximas anuais com duração de 10 minutos................. 28

Figura 7 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

10 minutos. ................................................................................. 29

Figura 8 -

Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 20 minutos. ........................................... 30

Figura 9 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

20 minutos. ................................................................................. 30

Figura 10 -

Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 30 minutos. ........................................... 31

Figura 11 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

30 minutos. ................................................................................. 31

Figura 12 -

Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 60 minutos. ........................................... 32

Figura 13 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

60 minutos. ................................................................................. 32

Figura 14 -

Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 120 minutos. ......................................... 33

Figura 15 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

120 minutos. ............................................................................... 33

Figura 16 -

Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 180 minutos. ......................................... 34

Figura 17 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

180 minutos. ............................................................................... 34

Figura 18 -

Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 360 minutos. ......................................... 35

Figura 19 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

360 minutos. ............................................................................... 35

Figura 20 -

Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 720 minutos. ......................................... 36

Figura 21 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

720 minutos. ............................................................................... 36

Figura 22 -

Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 1440 minutos. ....................................... 37

Figura 23 -

Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

1440 minutos. ............................................................................. 37

Figura 24 -

Ajuste logarítmico para uma duração de 20 minutos.................. 42

Figura 25 -

Ajuste logarítmico para uma duração de 180 minutos................ 42

Figura 26 -

Ajuste logarítmico para uma duração de 1440 minutos.............. 42

Figura 27 -

Ajuste logarítmico para um período de retorno de 2 anos. ......... 43

Figura 28 -

Ajuste logarítmico para um período de retorno de 20 anos. ....... 43

Figura 29 -

Ajuste logarítmico para um período de retorno de 50 anos. ....... 43

Figura 30 -

Curva intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 5 anos.............................. 46

Figura 31 -

Curva intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 50 anos............................ 47

Figura 32 -

Curva intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 100 anos.......................... 48

Figura 33 -

Curva intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 500 anos.......................... 49

Figura 34 -

Curva Intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 1000 anos........................ 50

Figura 35 -

Hietograma de projeto para um período de retorno de 10 anos

para durações de 30, 60 e 90 minutos........................................ 52

Figura 36 -

Hietograma de projeto para um período de retorno de 50 anos

para durações de 30, 60 e 90 minutos........................................ 53

Figura 37 -

Hietograma de projeto para um período de retorno de 250 anos

para durações de 30, 60 e 90 minutos........................................ 54

RESUMO

Este trabalho visa contribuir para o planejamento de atividades que são

influenciadas pela intensidade da água precipitada, em que os resultados

condicionam decisões de ordem técnica ou estratégica em atividades como

agropecuária, construção civil e turismo. O objetivo é ajustar um modelo de

distribuição de probabilidades de chuva intensa pela distribuição generalizada

de valores extremos (GEV), utilizando momentos LH para estimar seus

parâmetros e o teste estatístico proposto por Wang (1998) para verificação da

qualidade dos ajustes desenvolvidos no ambiente Matlab. Foram analisadas

séries históricas de precipitação máximas para diferentes durações, obtidas de

pluviográfos no município de Cascavel-PR. Além disso, as referidas séries

foram ajustadas por meio da distribuição Gumbel para efeito de comparação

com a GEV. Os resultados mostram que a distribuição do tipo VEI da GEV, que

corresponde à distribuição Gumbel, não é adequada para grandes períodos de

retorno, pois subestima os valores da distribuição tipo VEII. Como resultados

são apresentados as estimativas dos parâmetros da GEV, os valores das taxas

de momentos LH, o período de retorno para cada duração de chuva e o

hietograma de projeto.

Palavras-chave: chuvas intensas, distribuição GEV, momentos LH,

hietograma.

xii

ABSTRACT

STUDY ABOUT MAXIMUM RAINFALL ACCORDIND GENERALY

EXTREME VALUES DISTRIBUTION - GEV

This work aiming at contribute for the planning of activities that are influenced

by the intensity of hasty water, in that the results condition technical or strategic

decisions of order in activities as farming, civil construction and tourism. It was

analizy historical series of maximum haste for different durations obtained of

raingouge in the town of Cascavel-PR, planning an intense rain probability

distribution model through the distribution generalized be adjusted Moments LH

for estimate his parameters and the statistical test proposed by Wang (1998) for

verification of the quality of the settlements developed in the environment

Matlab. Beyond that, them referred series were adjusted through the

distribution Gumbel for effect of comparison with the GEV. The results show

that the distribution of the kind VEI of the GEV, that corresponds the distribution

Gumbel, is not adequate for big periods of return therefore substime the values

of the distribution kind VEII. As results are presented the estimates of the

parameters of the GEV, the values of the rates for the time being LH, the period

of each return duration of rain and the hydrographs of project.

Keywords: intense rains, distribution GEV, moments LH, hietograma.

3 INTRODUÇÃO

O desenvolvimento econômico e social da cidade de Cascavel ampliou

significativamente a área urbana da cidade, provocando uma substituição de

áreas, antes ocupadas pela vegetação e hoje ocupadas por concreto e asfalto.

Essa urbanização determinou a construção de muitas obras hidráulicas e o

estudo de precipitações intensas tornou-se essencial para a segurança dessas

construções, pois qualquer falha ou evento não controlado, além dos danos

sociais e econômicos conseqüentes, pode causar a perda de muitas vidas. As

precipitações intensas também causam danos em áreas rurais, portanto este

conhecimento é fundamental para controle de erosão do solo.

Para este trabalho é necessário o estudo de uma série pluviográfica de

um longo período de tempo, para que seja possível considerar as freqüências

como probabilidades, pois as leis probabilísticas são sintéticas e têm como

finalidade a descrição das características gerais dos fatos. Essas relações de

freqüência são traduzidas numa família de curva intensidade-duração, uma

para cada freqüência ou período de retorno (MARTINEZ JUNIOR & MAGNI,

1999). A determinação dessas relações envolve o ajuste de uma distribuição

estatística aos valores máximos anuais, com diferentes durações que variam

de minutos até quatro (4) dias (SILVA; CLARKE, 2004).

Segundo QUEIROZ (2002), vários modelos de distribuição de

probabilidade e métodos de estimação de seus parâmetros foram propostos

pela literatura científica, principalmente nas últimas 5 décadas. Apesar do

esforço desprendido, muito dos procedimentos existentes são caracterizados

pelo baixo grau de precisão das cheias estimadas, principalmente, quando há

necessidade de extrapolação dos dados amostrais para grandes períodos de

retorno. A distribuição de probabilidade generalizada de valores extremos

(GEV) tem encontrado muitas aplicações em hidrologia, com crescente

aceitação para descrição dos eventos máximos naturais, principalmente de

dados de cheias máximas anuais.

Com a finalidade de contribuir para o estudo da distribuição de chuvas

máximas em Cascavel, foram estabelecidos como objetivos deste trabalho:

apresentar e implementar uma metodologia de ajuste da distribuição

generalizada de valores extremos aos dados de precipitações intensas com

diferentes durações; estimar o período de retorno de 2, 5, 10, 15, 20, 30, 50,

100, 250, 500 e 1000 anos para o maior valor de precipitação registrado entre

os anos de 1972 a 1985 e de 1999 a 2006 para durações de 10, 20, 30, 60,

120, 180, 360, 720 e 1440 minutos; determinar a distribuição temporal da

chuva pelo Método de Chicago para reconhecer os intervalos críticos de

chuvas.

4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

4.1 Distribuição Temporal das Chuvas

Uma das grandes preocupações da comunidade científica na última

década diz respeito às alterações climáticas e as suas conseqüências para a

humanidade. O principal responsável por essas alterações é a emissão

descontrolada de gases, conhecido como efeito estufa (BACK, 2001).

O aquecimento global tem como conseqüências diretas à alteração na

freqüência e distribuição das chuvas, aumentando as ocorrências de secas e

de cheias (KARL; DIAZ; KUKLA, 1988). Um estudo sobre variação da

distribuição da precipitação na superfície do planeta, no período de 1900 a

1988, mostrou que, em grande parte do planeta, houve um aumento da

precipitação, porém em algumas regiões foi registrada uma diminuição da

precipitação (DAI:, FUNG; GENIO, 1997). O estudo da precipitação se torna

complexo pelo fato de não ser uma variável contínua regionalmente, pois os

dados de alturas de chuvas podem apresentar qualquer valor dentro de um

intervalo de variação possível de tempo. Além disso, a sua medição contém

erros muito específicos, de acordo com a qualidade da estação que, por sua

vez, pode variar de país para país (NERY: VARGAS; MARTINS, 1999).

O Estado do Paraná é responsável por um percentual significativo na

produção de grãos em nível nacional e, geralmente, extremos climáticos

afetam esta produção. Em 1982 e 1983, por chuvas excessivas, ocorreram

perdas em diversos cultivos, chegando a um milhão e quinhentas toneladas da

produção de grãos, aproximadamente. Em 1993, a economia paranaense, teve

um prejuízo de 153 milhões de dólares devido ao fenômeno da geada (NERY;

VARGAS; MARTINS, 1996). Poucos estudos foram desenvolvidos sobre as

condições climáticas em Cascavel, PR, e foram realizados somente

monitoramentos das precipitações máximas e análise de escoamento

superficial, mas sem analisar as condições pluviométricas dos municípios,

(PRUSKI, 1990, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK, 2006).

De acordo com CRUCIANI, MACHADO & SENTELHAS (2002), a

caracterização da variabilidade temporal das chuvas intensas é, ao longo de

sua duração, imprescindível para quantificar adequadamente os efeitos

ocasionados, pois inúmeros são os problemas de interesse da engenharia,

causados por chuvas intensas, de modo especial o controle do escoamento

superficial, em áreas urbanas e rurais. Conforme MOLIN et al. (1996), esses

projetos baseiam-se nos resultados dos estudos hidrológicos desenvolvidos

para estimar a magnitude das vazões de projeto. Sempre que possível essa

estimativa deve ser obtida a partir da série histórica de vazões referentes ao

local da obra. No caso de pequenas bacias hidrográficas, essas séries

históricas geralmente não existem. Neste caso, a estimativa da vazão de

projeto é feita a partir da análise de chuvas intensas observadas numa ou mais

estações meteorológicas ou climatológicas da região. Estima-se para a

freqüência de ocorrência estabelecida, o total precipitado em um período igual

ao tempo de concentração da bacia hidrográfica correspondente. O valor

estimado deve ser corrigido em função da área da bacia e, finalmente, deve-se

estabelecer qual hietograma será definido para essa chuva.

Na engenharia hidrológica, chuvas intensas são aquelas que provocam

cheias nos sistemas de drenagem, por exemplo, são chuvas que geram

escoamentos pluviais nas galerias e canais, tais que as vazões de pico atingem

valores próximos da capacidade do sistema. As chuvas intensas podem

também causar enchentes, isto é, podem gerar vazões superiores à

capacidade do sistema de drenagem, resultando em inundações (RIGHETTO,

1998).

Para estimar os parâmetros de chuvas intensas, trabalha-se com

regressão múltipla não-linear, utilizando-se séries históricas de dados de

chuvas máximas com vários tempos de duração, extraídos de pluviogramas

cotados (MELLO et al., 2003; OLIVEIRA et al., 2000).

Em decorrência da grande dificuldade, em função da escassez de

informações dessa natureza, da baixa densidade da rede de pluviógrafos e do

pequeno período de observações disponível (CECÍLIO; PRUSKI, 2003; BACK,

2006), a maioria dos estudos de chuvas intensas possui séries inferiores

àquela recomendada pela Organização Mundial de Meteorologia (OMM), que é

de 30 anos (SILVA et al., 2002).

GENOVEZ & ZUFFO (2000) afirmam que a precisão da estimativa da

intensidade depende de uma boa série de dados de pluviógrafo ou pluviômetro,

entretanto, Aron et al. (1987) determinaram curvas regionais de intensidade,

duração e freqüência (IDF) de precipitação pluvial para o Estado da

Pennsylvania (EUA) utilizando séries históricas de 10 anos de duração.

BUTTON & BEN-ASHER (1983) utilizaram séries com oito anos de

dados para obtenção da relação entre intensidade, duração e freqüência, na

região de Avdat, Israel e MARCELLINI (1994) utilizou séries de,

aproximadamente, 10 anos para determinar as relações IDF de postos

pluviográficos na região do Estado de São Paulo.

As equações de chuvas intensas originam-se das relações

intensidade-duração-freqüência das chuvas (IDF) que também podem ser

expressas de forma gráfica. O conhecimento da equação de chuvas intensas

possibilita a aplicação de modelos matemáticos para estimativa de parâmetros

como o tempo de concentração e a distribuição temporal da precipitação

(BACK, 2006). Um modelo que pode ser adotado é a descrição matemática de

um processo natural físico, químico ou biológico e consiste de equações,

gráficos, tabelas ou expressões lógicas. Como o modelo é uma simplificação

da realidade, ele não consegue preencher todas as exigências da natureza,

pela aleatoriedade e complexidade dos fenômenos físicos envolvidos na sua

formação. Por isso, a incerteza na saída do modelo é inevitável. Se um modelo

é confiável ou não vai depender da aceitabilidade da incerteza inerente ao seu

resultado (SANTOS et. al., 2001, MARCELLINI, 1994).

As características das relações IDF variam de um local para outro local

e só podem ser determinadas mediante análise estatística de uma série de

observações. Essas três características de precipitação variam conforme a

latitude, longitude, tipo de cobertura do solo e época do ano (FENDRICH,

OBLADEN; AISSE, 1991). GARCEZ (1974) afirma que não há possibilidade de

se estender resultados obtidos em uma região para outra.

DAMÉ et al. (2006) compararam os valores de intensidade-duração-

frequência de ocorrência da precipitação (IDF) de chuvas máximas, obtidas a

partir de dados pluviográficos com a técnica de desagregação de chuva pelo

método das relações (MR), para cinco cidades do Rio Grande do Sul. Foram

utilizadas séries de dados de precipitação máxima diária, por meio das quais

foram constituídas séries de dados de precipitação máxima diária anual, uma

para cada localidade, bem como cinco curvas IDF, obtidas de dados

pluviográficos das localidades estudadas. Os dados foram comparados por

meio do cálculo do Erro Padrão da Estimativa (EPE) os valores de intensidades

máximas obtidos pelo MR com àqueles obtidos pela equação analítica, que

representa a curva IDF, fazendo-se uso dos dados pluviográficos. Apenas uma

cidade apresentou menor EPE, significando que a intensidade máxima de

precipitação obtida com a equação IDF e o MR foram semelhantes. Para as

demais localidades isso não foi verificado.

FENDRICH (2003) obteve a equação de chuva intensa para a cidade

de Cascavel, PR, pela leitura de pluviogramas e utilizando a distribuição

Gumbel para um período de 14 anos (1972-1985), a equação encontrada foi:

( )

776,0

141,0

.92,1062

LONGO, SAMPAIO & SUSZEK (2006) fizeram um estudo semelhante

de precipitações para o mesmo município, mas utilizaram a distribuição

Gumbel pelo método de desagregação de chuvas, com uma série de 24 anos

(1972-1996), para determinar a equação de chuva intensa e obtiveram a

seguinte equação:

( )

7204,0

1729,0

65,9

.54,778

LONGO, SAMPAIO & SUSZEK (2006) compararam as duas equações

para um tempo de retorno de 5 a 200 anos e tempo de duração de 5 a

1440 minutos e observaram uma pequena diferença no comportamento da

chuva intensa, mas não sendo significativa ao nível de 1% de probabilidade, e

concluíram que as equações foram equivalentes, em virtude de considerarem

duas ou mais chuvas ocorridas no mesmo dia como sendo uma única chuva e

também de o período estudado pelo autor compreender 10 anos a menos que

o período utilizado por eles, mesmo utilizando dados da mesma estação

climatológica.

ZUFFO (2004) desenvolveu um estudo em Campinas, SP, mostrando a

necessidade de revisões periódicas e atualizações nas equações de chuvas

para evitar os subdimensionamentos das obras hidráulicas urbanas e rurais

contra as enchentes.

4.2 Distribuição Generalizada de Valores Extremos

A distribuição generalizada de valores - GEV é utilizada em muitas

áreas, sendo uma das principais, a engenharia estrutural, cujo objetivo principal

é projetar estruturas que resistam aos níveis mais extremos de certos

processos ambientais (PRETI, 2005). Os três tipos possíveis de distribuição de

valores extremos em uma única forma vêm sendo utilizados para representar a

distribuição de valores extremos em diferentes campos, principalmente em

análise de freqüência de cheias, com considerável aceitação para descricção

do fluxo máximo de cheias anuais. Na prática, a distribuição GEV é usada para

modelar uma extensa variedade de extremos naturais, como cheias, chuvas,

velocidade do vento, temperaturas e outros extremos (MARTINS; STEDINGER,

2000; QUEIROZ, 2002; PRETI, 2005).

PRETI et al. (2007) mostraram que valores de volumes afluentes

máximos associados aos diferentes valores de períodos de retorno obtidos por

meio de seus respectivos ajustes da distribuição GEV possibilitaram estimar a

curva volume duração na sua forma quadrática sem ter que recorrer a

procedimentos de interpolação usualmente empregados.

Em estudo sobre as precipitações intensas na bacia do Rio São

Francisco, SILVA & CLARKE (2004) concluíram que o uso da distribuição

Gumbel não foi ajustada e a distribuição GEV foi ajustada às quatro seqüências

obtidas. Estas distribuições foram ajustadas pelo método dos momentos-L.

CASTILHO, SILVA & RODRIGUES (1999) analisaram a freqüência das

séries de máximas para vazões na bacia do Rio Doce localizada na região

sudeste brasileira entre os estados de Minas Gerais e Espírito Santo pela

distribuição Gumbel e GEV. Para a estimativa dos parâmetros utilizaram o

método dos momentos ponderados e para testar a aderência das distribuições

realizaram o teste de Kolmogoroff- Smirnov e Qui-quadrado, das onze estações

analisadas. Em oito delas, a distribuição GEV apresentou o melhor ajuste para

a série de vazões máximas anuais e, em três, a distribuição Gumbel.

QUEIROZ & CHAUDHRY (2006) ajustaram dados de vazões de

42 estações fluviométricas instaladas em rios da sub-bacia 64, da Bacia

hidrográfica do Paraná, estado do Paraná, por meio da distribuição GEV e

momentos LH. A aderência foi feita utilazando o teste de Kolmogoroff-Smirnov.

O ajuste foi considerado adequado a 5% de significância para os ajustes das

séries de cheias anuais.

BAUTISTA, ZOCCHI & ANGELOCCI (2004) ajustaram dados de

velocidades máximas de ventos pela distribuição GEV, num período de

43 anos em Piracicaba, SP. A partir do ajuste inicial da distribuição GEV, a

distribuição de Gumbel demonstrou ser a mais adequada para modelar os

dados de velocidade máxima de vento em todos os meses do ano na região do

estudo.

SILVA et al. (1999) fizeram um ajuste de distribuição de probabilidade

de chuvas intensas usando as distribuições de Gumbel, Log-Normal a dois e

três parâmetros, Pearson e Log-Pearson tipo III para o estado do Rio de

Janeiro, utilizando uma série de 16 anos de dados pluviográficos de

13 estações meteorológicas; e para o Espírito Santo, utilizando uma série de

10 anos de 9 estações meteorológicas. Após as análises, verificaram que a

distribuição modelo de Gumbel foi a que melhor se ajustou em todas as

durações estudadas.

4.3 Método de Chicago

A chuva de projeto é construída, geralmente, de modo artificial com

base nas características estatísticas de chuvas intensas na bacia ou em

regiões com características meteorológicas semelhantes. Os valores

assumidos pelas variáveis aleatórias intensidade média e/ou altura de

precipitação são, geralmente, expressos como função de dois parâmetros

básicos: a) período de retorno (TR) em anos; e b) duração crítica do evento

crit

) em minutos (ENOMOTO, 2004).

Segundo BEMFICA, GOLDENFUM & SILVEIRA (2000), as chuvas (ou

hietogramas) de projeto são a metodologia de representação simplificada da

distribuição temporal da precipitação. O “hietograma” é uma forma gráfica que

mostra a intensidade da chuva ao longo de sua duração. As “chuvas de

projeto” são metodologias de representação simplificada da distribuição

temporal da precipitação, utilizadas basicamente como entrada em modelos de

simulação de chuva-vazão e para determiná-la são necessários três elementos

básicos: 1) a altura precipitada ou a intensidade média para a duração e o

período de retorno considerados; 2) a duração do evento; 3) a distribuição

temporal (ou hietograma) da chuva. A vantagem dessa metodologia é sua

grande simplicidade, mas para a associação com o tempo de retorno da chuva,

baseada na suposição da linearidade do sistema é inconveniente, pois supõe

que uma bacia hidrográfica é um sistema não-linear.

O método de Chicago determina os padrões de chuva de projeto

baseando-se na curvas IDF. É conveniente para pequenas áreas de drenagem.

Foi desenvolvido, inicialmente, para a cidade de Chicago e é utilizado para

drenagem urbana com duração da ordem de até 3 horas. Assim, o hietograma

padrão representa uma chuva intensa de curta duração, como parte de uma

chuva de longa duração. Os fatores mais importantes que caracterizam a

distribuição temporal da precipitação são: a) o volume de precipitação que cai

durante o período de chuva intensa; b) precipitação antecedente; e, c) e

localização do pico de intensidade máxima, representado pela Figura 1,

RIGHETTO (1998).

Figura 1 - Fatores que caracterizam a distribuição temporal pelo método de

Chicago.

Fonte: MARCELLINI (1994).

Para a localização do pico de intensidade da chuva, BEMFICA,

GOLDENFUM & SILVEIRA (2000) determinaram um coeficiente r, que é uma

medida do adiantamento do padrão de chuva, por duas formas: uma pela

análise da posição do pico em eventos chuvosos históricos críticos e a outra

pela determinação da precipitação antecedente ao pico nesses mesmos

eventos históricos. Os autores obtiveram valores bastante distintos e

concluíram que, comparando a segunda forma com os registros históricos, esta

não é necessariamente verdadeira, pois obtiveram valores superiores para

cada evento, o que é ilógico. Assim, por esta forma o método de Chicago não

se adaptou às características pluviográficas de Porto Alegre. Porém, pela forma

da análise da posição do pico em eventos reais, o valor do coeficiente r foi

similar, quando comparado a outras regiões.

O método busca basicamente reproduzir padrões de chuva observados

(BEMFICA; GOLDENFUM; SILVEIRA, 2000).

5 MATERIAL E MÉTODOS

5.1 Material

Cascavel situa-se no terceiro planalto do estado, na região Oeste

Paranaense, com uma altitude variando em torno dos 785 metros e uma área

de 2.091 km², latitude -24° 57' 21'' e longitude 53 ° 27' 19''. O clima é subtropical

mesotérmico superúmido com temperatura média anual em torno de 18ºC. A

temperatura máxima média em janeiro é de 28,6ºC e, em julho, a mínima

média é de 11,2º C, com ocorrência de geadas.

As séries de dados pluviográficos de Cascavel de 1972 a 1985 foram

obtidas pela leitura de cartas pluviográficas cedidas pelo Instituto Agronômico

do Paraná – IAPAR. Para isso, consideraram-se duas ou mais chuvas

ocorridas durante o intervalo de 24 horas em uma única chuva e precipitações

mínimas adotadas para cada intervalo de duração. Os valores limites estão

apresentadas na Tabela 1, de acordo com AYRES & LOPES (1985).

Tabela 1 - Valores limites mínimos da precipitação em função da duração de

chuva

TEMPO (min.) PRECIPITAÇÃO (mm)

10 10

20 15

30 20

60 30

120 35

180 40

360 45

720 50

1440 55

Os anos com mais de um intervalo de tempo sem valores de alturas

pluviométricas correspondentes foram eliminados, para evitar oscilações nas

médias. Os anos com um único intervalo de tempo, sem altura pluviométrica

correspondente, tiveram este valor preenchido com o mínimo para tal intervalo.

As séries de 1999 a 2006 foram cedidas pelo Instituto Tecnológico

SIMEPAR.

5.2 Distribuição de Valores Extremos (GEV)

Para cada série, a fim de estimar a função de probabilidade de

ocorrência, que está relacionada com a variação da intensidade com a

freqüência, que permite a extrapolação para um número maior em anos, em

relação ao número de anos de observação é calculada a distribuição

generalizada de valores extremos – GEV, que engloba as três formas

assintóticas de distribuição de valores extremos conhecidas como: valor

extremo do tipo I (VEI), valor extremo do tipo II (VEII) e valor extremo do tipo III

(VEIII), classificadas pelas equações a seguir:

( ) ( )

























−

−−=≤=

kxXPxF

1exp

para k≠0 (1)

( ) ( )

























−

−−=≤=

xXPxF expexp

para k≡0 (2)

em que:

+∞

∞

−

, k=0 - distribuição VEI;

+∞

≤

, k<0 - distribuição VEII;

≤

∞

−

, k>0 - distribuição VEIII.

Em que u é um parâmetro de posicionamento com

+∞

∞

−

um parâmetro de escala com

+∞

e k é um parâmetro de forma com

+∞

∞

−

. Assim, quando k>0 o limite superior da distribuição assintótica

VEIII torna-se

αω

e quando k<0 o limite inferior da distribuição

assintótica VEII torna-se

αε

O p-ésimo quantil da distribuição GEV é dado pela seguinte relação,

decorrente da equação 1:

( )( )

[

]

10,ln1 <<−−+= pp

(3)

Combinando a distribuição de Gumbel com a sua variável reduzida z

tem-se:

(

)

−

Obtendo-se F(x) = exp[-exp(-z)] que resulta em:

(

)

(

)

[

]

xfz lnln

−

(4)

A equação 4 é conhecida como a variável reduzida de Gumbel, que

também se relaciona com o período de retorno (T), T = 1/F(x); logo, a

equação 4 pode ser usada para definir z, em relação às distribuições VEI, VEII

e VEIII. Assim, em um gráfico intensidade z versus x, define-se o

comportamento das três formas de distribuição de valores extremos, como

mostra a Figura 2.

Figura 2 - Distribuição das três formas de valores extremos representados

pela GEV em função da variável Gumbel.

Fonte: QUEIROZ (2006).

Com o aumento dos valores z, os valores de x do tipo VEI aumentam

segundo uma linha reta, ao passo que os valores de x do tipo VEII crescem

mais rapidamente seguindo uma curva côncava, ambos aumentado de forma

ilimitada na parte superior. Já os valores de x do tipo VEIII crescem seguindo

uma curva convexa para um limite superior finito.

5.3 Método dos Momentos LH

Seja X

, X

,....,X

uma amostra aleatória de uma população com função

densidade de probabilidade f(x), e função distribuição F(x) e

nnnn

xxx

::2:1

...

≤≤≤

as estatísticas de ordem obtidas da amostra acima, o valor esperado do

i-ésimo menor valor da variável é dado pela seguinte expressão (HOSKING,

1990).

( )

( ) ( )

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

∫

−−

−

−−

!1!

xdFxFxFx

iin

ini

(5)

Dada uma amostra de tamanho n, retirada de uma distribuição

F(x) = P(X ≤

x), com base na combinação linear das mais elevadas estatísticas

de ordem e na equação 5, os momentos LH são definidos como:

( )( )

[

]

111 +⋅+

ηη

(6)

( ) ( ) ( ) ( )

[

]

2.12.22

++++

−=

ηηηη

XXE

(7)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[

]

3.13.23.33

++++++

+−=

ηηηηηη

XXXE

(8)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

[

]

4.14.24.34.44

++++++++

−+−=

ηηηηηηηη

XXXXE

(9)

em que:

, maior valor esperado na amostra de tamanho 1

, corresponde a

uma medida de posicionamento da distribuição;

, metade da diferença entre

o maior e o segundo maior valor esperados na amostra de tamanho 2

caracteriza a expansão da parte superior da distribuição;

reflete como está a

assimetria da parte superior da distribuição, pelos três maiores valores

esperados na amostra de tamanho 3

provê uma medida da

pontiagudez da parte superior da distribuição, por meio dos quatros maiores

valores esperados na amostra de tamanho 4

Quando 0

, momentos LH se tornam iguais aos momentos L;

quando

aumenta, os momentos LH refletem mais e mais as características

da parte superior da distribuição e dos valores extremos máximos dos dados.

Momentos LH são chamados momentos L

, momentos L

, .... para

= 1, 2, ...,

respectivamente. Normalizando os momentos LH, obtém-se o coeficiente de

variação LH (

), assimetria (

) e curtose (

), respectivamente, como:

;

(10)

Ordenando-se a amostra em x

(1)

≤ x

(2)

≤ ......... ≤ x

(n),

a estimativa dos

momentos LH é feita como segue:

( )

∑

−

(11)

( )

nii

xCCC

∑

−−

−

−=

ηη

(12)

( )

iniinii

xCCCCC

∑

−−−

−

+−=

ηηη

(13)

( )

iniiniinii

xCCCCCCC

∑

−−−

−−

−

−+−=

ηηηη

.33

(14)

em que:

( )

jmj

−













quando j > m.

5.4 Estimativa dos Parâmetros da Distribuição GEV

Dada uma amostra, os três parâmetros

e u da distribuição GEV

podem ser estimados considerando-se a estimativa dos momentos LH

amostrais, pelas equações 11, 12, 13 e 14, para um valor selecionado de

≠

, como segue (WANG, 1997):

( )( )

[

]

−

++Γ−+= 111

ηκ

(15)

(

)

(

)

( ) ( )

[

]

κκ

ηη

−−

+++−

= 12

(16)

(

)

(

)

( )( ) ( )( ) ( )( )

[

]

κκκ

ηηηηηη

−−−

++−+++++−

= 1223234

(17)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )( )( ) ( )( )( )













+++++++−

+Γ+

−−

κκ

ηηηηηη

καη

1232343

3453456

(18)

Assim, os parâmetros

e u da distribuição GEV podem então ser

estimados, substituindo-se os três primeiros momentos LH nas equações 15,

16 e 17 pelos seus respectivos estimadores amostrais nas equações 11, 12 e

13, para cada valor de h selecionado (WANG, 1997).

Para facilitar o procedimento computacional, Wang (1997) propôs uma

equação aproximada para o cálculo de k, tomando como base as equações 16

e 17 e a equação 10 que definem

, que corresponde a

[

]

[

]

[

]

32310

ηηη

ταταταα

+++=k

, cujos coeficientes

variam em

função de

(Tabela 2). Uma vez obtido o valor de k, as equações 16 e 15

fornecem, respectivamente

e u.

Tabela 2 - Valores limites mínimos da precipitação em função da duração de

chuva

0 0,2849 -1,8213 0,8140 -0,2835

1 0,4823 -2,1494 0,7269 -0,2103

2 0,5914 -2,2351 0,6442 -0,1616

3 0,6618 -2,4548 0,5733 -0,1273

4 0,7113 -2,5383 0,5142 -0,1027

Análises de dados observados e dados obtidos, via simulação Monte

Carlo, mostraram que momentos LH reduzem as influências indesejáveis que

os menores eventos amostrais podem exercer na estimação de eventos com

grandes períodos de retorno, em relação ao uso de momentos L (WANG, 1997;

QUEIROZ, 2002).

5.5 Razões de Momento e Coeficiente de Variação LH

As razões de momentos e coeficiente de variação LH da distribuição

GEV são calculadas de acordo com as relações da equação 10 com as

equações 15, 16, 17 e 18, resultando nas seguintes expressões:

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

( )( )

[ ]

kku

−

−−

++Γ−+

+++−+Γ+

111

121.2

ηα

ηηαη

(19)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )













+++−

++−+++++−

−−

−−−

kkk

1223234

ηη

ηηηηηη

(20)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )













+++−

+++++++−+++++++−

−−

−−−−

kkkk

12323433453456

ηη

ηηηηηηηηηηηη

(21)

em que:

são, respectivamente, o coeficiente de variação LH, a

assimetria LH e a curtose LH. As razões dos momentos LH e coeficiente de

variação LH amostrais são obtidas relacionando-se os momentos LH

amostrais, indicados por meio das equações 11, 12, 13 e 14, seguindo-se as

fórmulas em 10, cujos momentos LH da distribuição GEV são substituídos por

seus respectivos estimadores.

5.6 Teste de Qualidade de Ajuste da Distribuição GEV, via Momentos

5.6.1 Teste Estatístico Proposto por Wang (1997)

A distribuição GEV pode ser ajustada para uma série de dados,

igualando-se os seus três primeiros momentos LH aos respectivos momentos

LH amostrais, como indicado (WANG, 1997). A curtose LH da população (

) é

uma função da assimetria LH populacional (

), em que ambos dependem

apenas do parâmetro de forma k. Como o valor estimado da curtose LH

amostral (

) não é usado no ajuste da distribuição GEV (WANG, 1998),

considerou-se este parâmetro para desenvolver a estatística do teste de

qualidade de ajuste. Deste modo, e dado um particular estimador amostral

precisa-se conhecer p(

), porém não é tão simples encontrar p (

quando depende de

da população, contudo, dado

, é possível inferir

populacional, usando-se o teorema de Bayes, mostrado a seguir:

(

)

(

)

(

)

ηηηηη

τττττ

33333

ˆˆ

| ppp = (22)

em que: p(

) é uma distribuição a priori que pode ser informativa ou não

informativa, então, dado p(

) encontra-se:

(

)

(

)

(

)

ηηηηηηηη

ττττττττ

33333434

ˆˆ

dPPp

∫

= (23)

em que: p(

) em (19) e p(

) em (20) podem ser derivadas de

), utilizando-se simulação Monte Carlo. Portanto, teoricamente é

possível comparar

com p(

) para inferir se a distribuição subjacente é

significativamente diferente da distribuição GEV. Apesar disso, proceder por tal

inferência requer esforço computacional o que, em geral, não é prático (WANG,

1998).

Wang (1998) desenvolveu um teste de qualidade de ajuste da GEV

com base em p(

) como uma aproximação de p(

), além de

assumir que as distribuições de

e de

da GEV, seguem uma distribuição

conjunta normal. Para descrição completa da distribuição conjunta normal,

precisa-se conhecer a média, o desvio padrão e o coeficiente de correlação

dos estimadores amostrais

, suas médias são assumidas para

representar os valores populacionais de

, respectivamente, em que é

negligenciado algum erro de estimação. Os desvios padrão e coeficiente de

correlação denotados como

(

)

τσ

(

)

τσ

(

)

ηη

ττρ

, respectivamente, são

funções de

e do tamanho da amostra, e podem ser encontrados pela

simulação Monte Carlo.

A distribuição condicional amostral de

, quando

normalmente distribuída com média

e com desvio padrão, dado como segue

(WANG, 1998):

( ) ( ) ( )

[

]

4334

ˆˆ

ηηηηηη

ττρτστττσ

−==

(24)

Um teste de hipótese de que uma série de dados vem da distribuição

ajustada, pode ser conduzido na base da estimativa amostral

pela

comparação da seguinte estatística (Wang, 1998):

( )

ηηη

ηη

τττσ

ττ

334

−

Z (25)

com valores críticos de uma distribuição normal padrão.

O desvio padrão na equação 25:

(

)

ηηη

τττσ

334

= é função de

e do

tamanho da amostra, e pode ser calculado com

(

)

τσ

e ρ(

) pela

equação 24, usando-se a simulação Monte Carlo. Para evitar o enorme esforço

computacional envolvido nas várias fases do teste, Wang (1998) propôs a

seguinte aproximação:

(

)

334

+==

ηηη

τττσ

(26)

em que:

[

]

[

]

[

]

[

]

32310

nnnn

bbbbbb

ττττ

++++= (27)

[

]

[

]

[

]

[

]

32310

nnnn

cccccc

ττττ

++++= (28)

Os coeficientes b

, b

, c

e c

variam com os valores de

e estão apresentados na Tabela 3.

Tabela 3 - Valores dos coeficientes bi e ci (i=0,...4) das expressões de b e c

da equação 23

0 0,0745 0,0555 0,0067 -0,3090 0,2240 1,0100 -0,0282 -2,9336 4,0801 -1,0874

1 0,0579 -0,0328 0,1524 -0,4102 0,2672 1,3403 -0,8291 -3,8777 9,5371 -5,7866

2 0,0488 -0,0527 0,1620 -0,3856 0,2566 1,8800 -2,2233 -2,5825 10,4350 -7,3887

3 0,0380 -0,0309 0,0354 -0,1233 0,0878 2,6784 -4,8418 3,5255 2,3736 -3,2076

4 0,0241 0,0024 -0,0813 0,0733 -0,0210 3,7793 -8,3485 11,5170 -7,9095 1,9459

A equação 26 tem a mesma forma daquela utilizada por

CHOWDHURY, STEDINGER & LU (1991) para o coeficiente de variação L e

assimetria L e assegura que a variância é assintótica e inversamente

proporcional ao tamanho da amostra, enquanto o segundo termo assegura tal

efeito em amostras pequenas.

O diagrama de momentos LH também permite avaliar, graficamente, a

qualidade dos ajustes da distribuição GEV, comparando-se os coeficientes

teóricos e amostrais de assimetria e curtose. O diagrama de momentos LH tem

a vantagem de possibilitar a comparação dos ajustes de diversas séries de

dados, em um mesmo gráfico.

5.6.2 Teste Estatístico Proposto por Kolmogorov-Smirnov

Para testar a adequacidade das distribuições, empregou-se também o

teste de Kolmogorov-Smirnov e para escolher a distribuição que melhor se

ajustou entre os 5 ajustes realizados pela GEV, para valores LH variando de

0 a 4.

5.7 Método de Chicago

Segundo MARCELLINI (1994), a chuva de projeto para a duração t

duração máxima, deve ter a mesma intensidade média i, obtida da relação

intensidade-duração-freqüência, que é expressa da seguinte forma:

)(

(29)

Em que:

i = é a intensidade média em pol./hora;

= é a duração da chuva, em minutos;

a, b, c = são constantes.

Figura 3 - Relação entre a curva i-d-f e o hietograma sintético.

A área sob o hietograma define a lâmina precipitada (P), dada por:

∫

⋅=

dttiP

)(

, P em (mm) (30)

ou:

P =

, P em (mm) (31)

Diferenciando a equação acima, tem-se:

(32)

Substituindo em (29) tem-se:

)(

⋅

(33)

Diferenciando a equação 33 em função de t

tem-se:

(

)

[

]

( )

ctba

+−

(34)

Combinado-se a equação 34 com a equação 32, tem-se:

(

)

[

]

( )

ctba

−

(35)

A equação 35 representa o hietograma de projeto da tormenta do tipo

completamente adiantada e com a mesma intensidade média para todas as

durações.

Para tornar a equação aplicável a um tipo de tormenta intermediário

deve-se proceder da seguinte maneira: dentro do período de duração da chuva

máxima td, há a divisão entre o período que ocorre antes do pico da chuva e o

que ocorre depois. É introduzido o símbolo "r" para representar a duração que

ocorre antes do momento mais intenso e expresso como relação da duração da

chuva máxima, conforme a Figura 3.

Figura 4 - Características do hietograma definido pelo método de Chicago.

TEMPO (min)

I (mm/h)

Precip. Antec. = A(t)

Volume precipitado no período de

máxima.

Volume total precipitado I

= Intensidade

média durante o

período de

Da Figura 4 tem-se:

trt .

(36)

trt ).1(

−

(37)

em que:

= tempo anterior ao pico em minutos, medido do pico para a

esquerda;

= tempo posterior ao pico em minutos, medido do pico para a direita;

r = medida do avanço da tormenta.

Se r = 1, a tormenta é do tipo completamente atrasada e tem o pico no

final da duração; Se r = 0, a tormenta é do tipo completamente adiantada e o

hietograma tem o seu pico no início da chuva. Para tormentas do tipo

intermediário, o valor de r estará entre 0 e 1.

Substituindo-se as equações 36 e 37 em 35 tem-se a intensidade antes

do pico:

( )

















































−

(38)

A intensidade depois do pico é:

( )

























−

























−

(39)

em que:

= é a intensidade de chuva antes do pico, em mm/hora para o caso

estudado;

= é a intensidade de chuva depois do pico, em mm/hora;

= tempo anterior ao pico em minutos, medido do pico para a

esquerda;

= tempo posterior ao pico em minutos, medido do pico para a direita;

r = medida do avanço da tormenta;

a, b, c = são constantes.

Este método torna muito simples a análise de um hietograma de

projeto. Salienta-se, que ele faz a sua análise, baseado em dados obtidos das

relações intensidade-duração-freqüência e não no comportamento de uma

tormenta isolada. Este método mantém o pico do hietograma,

independentemente da duração a ser considerada, desde que seja mantido o

período de retorno, isto pelo fato de o método manter a intensidade média

obtida da relação intensidade-duração-freqüência utilizada, MARCELLINI

(1994).

5.8 Rotina em Matlab

Os procedimentos de ajuste da distribuição GEV e Gumbel com base

em momentos LH e do teste de qualidade de ajuste para a mesma estão

sistematizados numa rotina em Matlab, desenvolvida por Queiroz & Chaudhry

(2006) e que procede ao ajuste para qualquer tamanho da amostra.

6 RESULTADOS E DISCUSSÃO

A Tabela 4 apresenta as séries de intensidade máxima de precipitação

para a cidade de Cascavel de 1972 a 1985 e de 1999 a 2006, num total de

22 anos. Foram considerados os dados de maior intensidade de chuva de cada

ano de registro, obtendo-se a série de máximos anuais.

As séries foram ajustadas à distribuição GEV. Estimando-se os três

parâmetros com base em momentos LH foram calculadas as taxas de

momentos LH, o coeficiente de variação, o coeficiente de assimetria, o

coeficiente de curtose e os valores do teste de qualidade de ajuste, segundo

Wang (1998) e Kolmogorov-Smirnov.

Os resultados do processo de ajuste da GEV a uma série de dados de

intensidades máximas podem ser apresentados para os diferentes valores de

. Para

= 0, o ajuste de momentos LH corresponde aos momentos L que

atribuem o mesmo peso para os dados durante o processo de ajuste. À medida

que o valor de

aumenta, os valores amostrais mais altos recebem maiores

ponderações. O ajuste da GEV da série de chuvas máximas anuais de

10 minutos, referentes aos cinco valores de

(LH

, LH

e LH

), são

plotados em um gráfico apresentado na Figura 5. O melhor ajuste da

distribuição GEV, determinado a partir do menor valor do teste de Wang

(1998), é apresentado na Figura 6. Verifica-se que a distribuição apresenta

convergência assintótica do tipo I (VEI). No mesmo gráfico está o ajuste da

distribuição Gumbel à série de 10 minutos.

Na Figura 7 apresentam-se os valores de chuvas máximas para

diferentes valores de período de retorno, obtidos das distribuições GEV e

Gumbel com duração de 10 minutos. Verifica-se que ambas não têm muita

diferença entre si. O que é comprovado pelo valor de k=-0,0318 (Tabela 5),

pois, de acordo com Queiroz (2006), na prática, quando -0,04<k<0,04

considera-se que o ajuste se aproxima consideravelmente da distribuição

Gumbel. Observa-se também que a pouca diferença entre as duas curvas

acontece para os maiores valores de período de retorno.

Tabela 4 - Valores das intensidades máxima anuais do município de Cascavel

Altura/ano 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

10 min

24,2

27,5

16,5

- - - - - - - -

20 min

30,5

31,5

30,2

34,3

- - - - - - - -

30 min

27,5

25,4

47,5

37,4

36,8

38,5

47,6

35,5

33,5

38,4

61,8

30,5

- - - - - - - -

1 hora

66,5

45,5

36,8

45,7

49,7

45,2

51,1

41,3

74,3

35,4

38,6

60,8

40,6

45,8

41,4

46,4

24,2

43,6

2 horas

67,7

53,5

48,5

41,6

36,8

52,5

75,8

36,8

72,4

103,4

41,8

55,2

53,2

50,4

37,4

77,2

3 horas

41,8

71,5

59,6

51,3

42,2

- 61

76,7

75,5

40,5

81,6

139,2

45,4

59,4

65,4

53,0

44,6

94,6

6 horas

76,6

57,5

80,4

60,6

57,5

48,7

- 74

107,9

49,4

87,4

191,6

52,4

71,4

75,2

71,8

57,6

123,4

12 horas

62,5

80,4

62,6

65,5

84,8

55,5

110

125,9

49,7

87,4

201,2

62,0

75,8

109,8

82,6

62,2

128,2

24 horas

89,6

80,4

66,4

87,9

111

126,5

111

118 151,1

- 99,2

201,2

65,0

120,4

112,2

86,0

79,0

128,2

Figura 5 - Ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas anuais com

duração de 10 minutos, aplicando-se os cinco níveis de momentos

LH.

Figura 6 - Ajuste das distribuições GEV e da distribuição Gumbel à série de

chuvas máximas anuais com duração de 10 minutos.

Figura 7 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

10 minutos.

O melhor ajuste da distribuição GEV e da distribuição Gumbel para as

durações de 20, 30, 60, 120, 180, 360, 720 e 1440 minutos e os valores de

chuvas máximas para diferentes períodos de retorno obtidos das duas

distribuições são apresentados nas Figuras 8 a 23, respectivamente.

Figura 8 - Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 20 minutos.

Figura 9 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

20 minutos.

Figura 10 - Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 30 minutos.

Figura 11 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

30 minutos.

Figura 12 - Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 60 minutos.

Figura 13 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

60 minutos.

Figura 14 - Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 120 minutos.

Figura 15 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

120 minutos.

Figura 16 - Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 180 minutos.

Figura 17 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

180 minutos.

Figura 18 - Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 360 minutos.

Figura 19 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

360 minutos.

Figura 20 - Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 720 minutos.

Figura 21 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

720 minutos.

Figura 22 - Melhor ajuste da distribuição GEV à série de chuvas máximas

anuais com duração de 1440 minutos.

Figura 23 - Valores de chuvas máximas para diferentes valores de período de

retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel com duração de

1440 minutos.

Tabela 5 - Dados do ajuste da distribuição GEV com diferentes durações fornecidos pelo Matlab

Parâmetros da distribuição GEV Taxas de momentos Lh Testes estatísticos

Duração k α u cv ca cc mLH Zw Zk H P

10 min -0.0318 4.4898 19.0914 0.1017 0.2881 0.2065 2 0.4982 0,1429 0 0.9971

20 min

0.0024 4.6223 29.8812 0.0784 0.2416 0.2047 1 0.6130 0,1429 0 0.9971

30 min -0.3803 3.4940 35.1864 0.1010 0.4699 0.2767 2 0.2869 0,2143 0 0.8622

60 min -0.2655 5.4195 40.6090 0.0997 0.4082 0.2398 2 0.1158 0,1364 0 0.9786

120 min -0.1152 11.9365 45.4090 0.1379 0.3070 0.1811 1 0.0561 0,0909 0 1.0000

240 min -0.1536 14.7540 53.4032 0.1866 0.2703 0.1756 0 0.3028 0,1429 0 0.9728

360 min -0.5261 8.0296 68.7284 0.1636 0.5448 0.3655 3 0.1108 0,3333 0 0.1545

720 min -0.3641 13.0641 74.5130 0.1446 0.4631 0.2984 4 0.1792 0,3043 0 0.1951

1440 min -0.1034 23.6353 84.7352 0.1801 0.2360 0.1504 0 0.3916 0,1429 0 0.9728

A Tabela 5 apresenta os resultados de ajuste da distribuição GEV para

todas as intensidades de precipitação estudadas, das quais são mostrados os

valores dos três parâmetros da GEV (em que k é o parâmetro de forma, α é o

parâmetro de escala e u é o parâmetro de posição), das taxas de momentos e

dos testes de aderências aplicados, com os respectivos valores teóricos.

A duração de chuva máxima de 20 minutos apresenta convergência

assintótica do tipo I (VEI), ou seja, aproxima-se da distribuição Gumbel, assim

como a duração de 10 minutos. Nenhuma distribuição de valores extremos

converge assintoticamente à forma do tipo III (VEIII), e as demais convergem

para o tipo II (VEII), que corresponde a k<0. Portanto, as durações apresentam

convergência para distribuição GEV, pois 77,7% apresenta k<0, e este resultado

corrobora os obtidos por SILVA & CLARKE (2004) que fizeram um estudo de

precipitações máximas para a bacia do Rio São Francisco e, em sua análise, a

distribuição Gumbel não foi apropriada e a distribuição GEV foi ajustada.

CASTILHO, SILVA & RODRIGUES (1999) fizeram também um ajuste em que,

das onze estações analisadas, em oito a distribuição GEV apresentou o melhor

ajuste para a série de vazões máximas anuais, e em três a distribuição Gumbel.

O parâmetro “α” reflete a variabilidade dos dados da série histórica para

cada duração, já o parâmetro “u”, que é um parâmetro de posicionamento,

representa à média dos dados extremos. Percebe-se que o valor do parâmetro

de posicionamento “u” é diretamente proporcional à duração, isso é condizente,

pois o parâmetro expressa a magnitude dos dados.

O coeficiente de variação de todos os ajustes é considerado baixo já que

todos os valores ficaram abaixo de 20%, isso significa que o conjunto de dados é

razoavelmente homogêneo. Observa-se que quanto maior a duração da chuva

maior o valor do coeficiente de variação, isso pode ser explicado pelo fato de se

ter dados de 10, 20 e 30 minutos, oito anos a menos que os dados de 60 minutos

ou mais.

As taxas de momento representam as características dos dados

amostrais em que, geralmente, os coeficientes de assimetria e curtose de dados

hidrológicos apresentam assimetria positiva e faixa de variação de curtose,

semelhantes aos encontrados à faixa de momento.

Outra fator que torna importante a determinação das taxas de momento

refere-se ao seu emprego na estatística do teste de aderência, proposto por

Wang (1998).

Verifica-se, nos dados da Tabela 5, que os melhores ajustes da GEV às

séries estudadas ocorreram para diferentes valores de momentos LH (2 valores

=0 e

=1, 3 valores de

=2, 1 valor de

=3 e

=4), mostrando que os

momentos L (igual LH0), em que houve duas ocorrências, não seriam suficientes

para obter os melhores ajustes, considerando o comportamento dos dados

históricos das séries, assim não representaria bem os valores máximos das

referidas séries.

Todos os ajustes da distribuição GEV às séries de intensidades máximas

anuais, foram adequadamente ajustadas conforme o teste proposto por Wang

(1998) com 5% de significância.

O ajuste da série de intensidade de 360 minutos e 720 minutos não

foram ajustadas pelo teste de Kolmogoroff- Smirnov, pois Zw>0,29, o que pode

ser explicado pelo fato de os testes de Kolmogoroff- Smirnov, Qui-quadrado e

Método da Máxima Verossimilhança serem testes assintóticos, portanto precisam

de um número grande de amostras (em torno de 300).

Todos os parâmetros e taxas de momento encontrados nestes ajustes

corroboram os obtidos por Queiroz (2002) e Preti (2005).

Os gráficos das figuras 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 e 23, de valores de

chuvas máximas para diferentes valores de período de retorno, mostram uma

diminuição da precipitação máxima com o aumento do período de retorno.

Nos gráficos que apresentam duração de mais de 30 minutos há uma

grande diferença entre a distribuição Gumbel e GEV para grandes períodos de

retorno, assim a distribuição GEV pode ser considerada mais precisa se

comparada com a distribuição Gumbel, pois a distribuição GEV respeita as

tendências dos dados, tornando a análise mais realística. Logo, esta forma de

distribuição apresenta-se a mais adequada para descrever precipitações

máximas, pois permite considerar os limites reais do processo hidrológico que

são esperados. A seguir é apresentada a forma assintótica do tipo VEII.

Tabela 6 - Valores de chuvas máximas (mm) para diferentes períodos de retorno e duração obtidos das distribuições GEV

e Gumbel

Período de Retorno (T)

Duração 2 5 10 15 20 30 50 100 250 500 1000

10 minutos 20,7466 25,9888 29,5649 31,6204 33,0762 35,1328 37,7420 41,3300 46,1772 49,9321 53,7680

20,3440 25,8727 29,5332 31,5985 33,0445 35,0644 37,5894 40,9952 45,4795 48,8655 52,2491

GEV

Gumbel

20 minutos 31,5746 36,8019 40,2550 42,2005 43,5615 45,4611 47,8330 51,0276 55,2258 58,3895 61,5458

31,1534 36,6700 40,3225 42,3832 43,8261 45,8416 48,3611 51,7594 56,2339 59,6125 62,9886

GEV

Gumbel

30 minutos 36,5605 42,2518 47,6199 51,3973 54,4284 59,2775 66,5183 78,8418 100,9587 123,6061 153,0715

36,7301 44,8703 50,2599 53,3006 55,4296 58,4037 62,1214 67,1359 73,7383 78,7237 83,7054

GEV

Gumbel

60 minutos 42,6952 50,5944 57,2961 61,7096 65,1087 70,3279 77,7131 89,4265 108,5630 126,4443 147,9269

42,6146 52,7357 59,4367 63,2174 65,8645 69,5623 74,1846 80,4194 88,6285 94,8270 101,0210

GEV

Gumbel

120 minutos 49,8775 64,9528 76,0732 82,7847 87,6826 94,8105 104,2124 117,8154 137,4785 153,7682 171,4006

51,2383 66,1483 76,0201 81,5896 85,4893 90,9367 97,7462 106,9311 119,0244 128,1559 137,2807

GEV

Gumbel

240 minutos 58,9658 78,2895 93,0642 102,1827 108,9295 118,8832 132,2500 152,0479 181,5727 206,7974 234,8383

60,7545 81,1142 94,5942 102,1994 107,5244 114,9629 124,2613 136,8033 153,3168 165,7858 178,2458

GEV

Gumbel

360 minutos 71,9742 87,0653 103,3299 115,7705 126,2859 144,0103 172,3518 225,1197 331,8801 454,5970 631,2512

73,8730 101,8207 120,3246 130,7643 138,0739 148,2847 161,0486 178,2649 200,9330 218,0491 235,1529

GEV

Gumbel

720 minutos 79,6354 100,5833 120,0498 133,6209 144,4481 161,6695 187,1907 230,1962 306,3618 383,3566 482,4132

74,9816 110,3383 133,7476 146,9549 156,2023 169,1199 185,2676 207,0479 235,7253 257,3790 279,0170

GEV

Gumbel

1440 minutos 93,5640 123,0832 144,6194 157,5278 166,9081 180,5022 198,3347 223,9504 260,6245 290,7200 323,0304

95,5365 125,2181 144,8699 155,9572 163,7203 174,5646 188,1204 206,4047 230,4791 248,6571 266,8220

GEV

Gumbel

y = 4,7427Ln(x) + 29,094

= 0,9987

0 200 400 600 800 1000 1200

Período de Retorno - anos

Chuvas Máximas - mm

Figura 24 - Ajuste logarítmico para uma duração de 20 minutos.

y = 28,157Ln(x) + 28,818

= 0,986

100

150

200

250

0 200 400 600 800 1000 1200

Período de Retorno - anos

Chuvas Máximas - mm

Figura 25 - Ajuste logarítmico para uma duração de 180 minutos.

y = 36,701Ln(x) + 60,258

= 0,9948

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

Período de Retorno - anos

Chuvas Máximas - mm

Figura 26 - Ajuste logarítmico para uma duração de 1440 minutos.

y = 14,253Ln(x) - 13,372

= 0,9881

100

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Duração da Chuva - minutos

Chuvas Máximas - mm

Figura 27 - Ajuste logarítmico para um período de retorno de 2 anos.

y = 27,935Ln(x) - 39,682

= 0,987

100

120

140

160

180

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Duração da Chuva - minutos

Chuvas Máximas - mm

Figura 28 - Ajuste logarítmico para um período de retorno de 20 anos.

y = 36,038Ln(x) - 56,434

= 0,9722

100

150

200

250

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Duração da Chuva - minutos

Chuvas Máximas - mm

Figura 29 - Ajuste logarítmico para um período de retorno de 50 anos.

Fazendo-se um ajuste de curvas para os valores de intensidade de

chuva em função do período de retorno dada pela distribuição GEV para cada

duração (Tabela 6), tem-se um ajuste logarítmico para as durações de 10 a

1440 minutos. As figuras 23, 24 e 25 mostram os ajustes para durações de

20 minutos, 180 minutos e 1440 minutos, respectivamente. Aplicando a

derivada para determinar a taxa de variação da intensidade máxima de chuva

em função do período de retorno em cada ajuste observou-se que a média do

período de retorno que possui um maior incremento é para um valor em torno

de 100 anos, o que está de acordo com os tempos de retorno adotados em

projetos de estruturas hidráulicas, como em projetos de drenagem urbana.

Fazendo-se um ajuste de curvas para os valores de intensidade de

chuva em função da duração da chuva dada pela distribuição GEV para cada

período de retorno é definido também um ajuste logarítmico. As figuras 26, 27 e

28 mostram os ajustes para períodos de retorno de 2, 20 e 50 anos,

respectivamente. Aplicando a derivada para cada função, para determinar a

taxa de variação da intensidade máxima da chuva, em função da duração da

chuva verificou-se que o valor do incremento vai aumentando de acordo com o

crescimento da duração da chuva extrema. A média dos valores mais críticos

da duração que possui um maior incremento ocorre nos primeiros 150 minutos,

e é nesta faixa que ocorrem os problemas de enchentes.

A equação de chuva intensa obtida para o período de retorno de 2 a

1000 anos para duração de 10, 20, 30, 60, 120, 180, 360, 720 e 1440 minutos,

obtida pelo ajuste da distribuição GEV, é dada por:

( )

65,0

1595,0

5413,6

.7652,703

em que:

I = intensidade da chuva máxima mm/h;

Tr = período de retorno;

= tempo de duração da chuva (min).

A equação de chuva intensa, obtida para mesmo período de retorno e

para a mesma duração pelo ajuste da distribuição Gumbel, é dada por:

( )

6647,0

1236,0

9182,1

.0765,699

Nas figuras 30 a 34 são apresentadas as curvas intensidade-duração-

freqüência das equações ajustadas com a distribuição GEV e Gumbel,

comparando-se com as equações ajustadas por FENDRICH (2003) e LONGO,

SAMPAIO & SUSZEK (2006) para um período de retorno de 5, 50, 100, 500 e

1000 anos, respectivamente.

Na Figura 30 observa-se para uma duração de até 20 minutos que a

distribuição Gumbel é semelhante com o ajuste feito por Fendrich (2003), o que

é condizente, pois este pesquisador usou a distribuição Gumbel para seu

ajuste, mas com dados pluviográficos com 8 anos a menos que os utilizados

neste trabalho. O ajuste feito por LONGO, SAMPAIO & SUSZEK (2006) tem

valores bem abaixo, comparados com o ajuste feito pela distribuição GEV. Para

durações mais longas, a GEV tem valores de intensidades mais altos se

comparados com as outras distribuições. A GEV e Gumbel estão bem próximas,

sobressaindo-se em relação a Fendrich (2003) e LONGO, SAMPAIO &

SUSZEK (2006). Os valores da intensidade de distribuição GEV chegam a

duplicar quando comparados especificamente com o ajuste feito por Fendrich

(2003).

Nas figuras 30 a 34, os ajustes feitos pelas distribuições GEV, Gumbel e

Fendrich (2003) são bem semelhantes para durações de até 10 minutos nos

períodos de retorno estudados. A distribuição feita por LONGO, SAMPAIO &

SUSZEK (2006) tem valores abaixo, quando comparada com as demais. Para

longas durações, a distribuição GEV sempre se sobressai em relação às outras.

Observa-se que, quanto maior o período de retorno, a distribuição feita por

LONGO, SAMPAIO & SUSZEK (2006) assemelha-se com a distribuição

Gumbel. Nestas outras figuras acontece o mesmo que na Figura 30, Os valores

da intensidade de distribuição GEV chegam a duplicar quando comparados com

o ajuste feito por Fendrich (2003) para longa duração.

Figura 30 - Curva intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 5 anos.

Figura 31 - Curva intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 50 anos.

Figura 32 - Curva intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 100 anos.

Figura 33 - Curva intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 500 anos.

Figura 34 - Curva Intensidade-duração-freqüência das equações obtidas pela

GEV e Gumbel (FENDRICH, 2003, LONGO; SAMPAIO; SUSZEK,

2006) para um período de retorno de 1000 anos.

As figuras 35, 36 e 37 mostram o hietograma de projeto para estimar o

ponto crítico da chuva, caracterizado pela distribuição temporal da chuva, para

um período de retorno de 10, 50 e 250 anos e para durações de chuva de 30,

60 e 90 minutos.

Observa-se que, para um período de retorno de 10 anos e para uma

duração de 30 minutos, a média de intensidade de chuva é, aproximadamente,

100 mm. A chuva mais crítica está entre 10 e 15 minutos, quando chega a

ultrapassar a intensidade de 200 mm. Para uma duração de 60 minutos a média

de intensidade é de, aproximadamente, 65 mm e o intervalo crítico está entre 20

e 30 minutos, com uma intensidade que chega a ultrapassar 160 mm. E, para

uma duração de 90 minutos, a intensidade média é de 50 mm e o intervalo

crítico está entre 30 e 45 minutos, quando a intensidade da chuva máxima

chega a 140 mm.

Verifica-se também que, quanto menor a duração da chuva maior é a

sua intensidade média. Portanto é as chuvas curtas que atingem as vazões de

pico além da capacidade do sistema, ocorrendo assim um escoamento pluvial

nas galerias e canais.

Para o período de retorno de 50 e 250 anos, para durações de 30, 60 e

90 minutos, os intervalos críticos, também, estão entre 10 e 15 minutos, 20 e 30

minutos e 30 e 45 minutos, respectivamente.

A posição do pico divide o hietograma em dois setores: intensidades

crescente e decrescente. Este pico se localiza nos intervalos críticos e

observa-se que quanto maior a duração maior é a área determinada pela curva.

0 10 20 30 40 50 60

100

120

140

160

180

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 10 anos

dist. discreta

intensidade media

0 10 20 30 40 50 60

100

150

200

250

300

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 10 anos

i(t,T)

i(t)

0 5 10 15 20 25 30

100

150

200

250

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 10 anos

dist. discreta

intensidade media

0 5 10 15 20 25 30

100

150

200

250

300

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 10 anos

i(t,T)

i(t)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

120

140

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 10 anos

dist. discreta

intensidade media

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

150

200

250

300

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 10 anos

i(t,T)

i(t)

Figura 35 - Hietograma de projeto para um período de retorno de 10 anos

para durações de 30, 60 e 90 minutos.

0 5 10 15 20 25 30

100

150

200

250

300

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 50 anos

dist. discreta

intensidade media

0 5 10 15 20 25 30

100

150

200

250

300

350

400

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 50 anos

i(t,T)

i(t)

0 10 20 30 40 50 60

100

150

200

250

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 50 anos

dist. discreta

intensidade media

0 10 20 30 40 50 60

100

150

200

250

300

350

400

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 50 anos

i(t,T)

i(t)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

120

140

160

180

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 50 anos

dist. discreta

intensidade media

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

150

200

250

300

350

400

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 50 anos

i(t,T)

i(t)

Figura 36 - Hietograma de projeto para um período de retorno de 50 anos

para durações de 30, 60 e 90 minutos.

0 5 10 15 20 25 30

100

150

200

250

300

350

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 250 anos

dist. discreta

intensidade media

0 5 10 15 20 25 30

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 250 anos

i(t,T)

i(t)

0 10 20 30 40 50 60

100

150

200

250

300

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 250 anos

dist. discreta

intensidade media

0 10 20 30 40 50 60

100

200

300

400

500

600

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 250 anos

i(t,T)

i(t)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

150

200

250

tempo - minuto

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 250 anos

dist. discreta

intensidade media

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

200

300

400

500

600

tempo - min

intensidade - mm/h

Periodo de Retorno = 250 anos

i(t,T)

i(t)

Figura 37 - Hietograma de projeto para um período de retorno de 250 anos

para durações de 30, 60 e 90 minutos.

7 CONCLUSÕES

De acordo com os resultados obtidos pode-se concluir que:

• Todos os ajustes foram aceitos pelo teste de Wang com 5% de

significância.

• Para durações de 10 e 20 minutos o melhor ajuste da GEV resultou

na forma VEI que corresponde à distribuição Gumbel. Para as

demais durações resultou na forma VEII.

• Para períodos de retorno mais elevados a distribuição Gumbel

subestima a VEII.

• Como a GEV respeita a tendências dos dados, as equações atuais,

que foram ajustadas pela distribuição Gumbel, podem ser

inadequadas para grande períodos de retorno.

• Pelo ajuste de curvas para os valores de intensidade de chuva em

função do período de retorno dada pela distribuição GEV, a maior

taxa de variação da intensidade da chuva foi para o período de

retorno de 100 anos.

• Pelo ajuste de curvas para os valores de intensidade de chuva em

função da duração da chuva dada pela distribuição GEV, conclui-se

que é nos primeiros 150 minutos que ocorrem os maiores problemas

de drenagem.

• Pelo hietograma de projeto, o intervalo crítico para duração da chuva

de 30, 60 e 90 minutos está entre 10 e 15 minutos, 20 e 30 minutos e

30 e 45 minutos, respectivamente.

Os resultados obtidos neste estudo satisfazem aos objetivos propostos,

no entanto, a realização de um estudo com uma série de dados maior

complementaria o presente estudo e contribuiria para o avanço do

conhecimento na área.

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