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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
SUPERFÍCIES ASSOCIADAS PELA TRANSFORMAÇÃO DE
RIBAUCOUR
Walter Lucas Pinto Júnior
MANAUS
2009
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Walter Lucas Pinto Júnior
SUPERFÍCIES ASSOCIADAS PELA TRANSFORMAÇÃO DE
RIBAUCOUR
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Matemática da Universidade Fe-
deral do Amazonas, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Matemática,
área de concentração em Geometria Diferencial.
Orientador: Prof. Dr. Cícero Mota
MANAUS
2009
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AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, pela oportunidade a mim concedida e
por seu sustento a cada dia.
A minha melhor metade: Tagna de Souza pelo seu inestimável amor e
compreensão.
A minha filhinha: Hillary de Souza por ser motivo de mais alegria em
minha vida.
A Walter Lucas e Rita Inês pela educação e criação que me deram. Só a
eternidade pode testemunhar o quanto vocês são importantes para mim.
Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Cícero Mota, por sua imarscecível
competência e pelo seu tempo dedicado a mim sempre que necessário.
Agradeço a Prof
a
. Dr
a
. Keti Tenenblat, por sua gentileza e disponibili-
dade com que me ajudou.
Agradeço ao Prof. Dr. Ivan Tribuzi, por sua paciência e incentivo que
nunca me faltaram.
Agradeço a todos os meus professores do Departamento de Matemática
da UFAM e aos amigos que me ajudaram.
A Fucapi pela paciência, compreensão e apóio.
Agradeço ao CNPq que possibilitou o uso do programa Maple obtido pelo
Projeto Casadinho.
Finalmente agradeço a banca examinadora pelas sugestões dadas, que
contribuiram para a melhoria desta dissertação.
RESUMO
SUPERFÍCIES ASSOCIADAS PELA
TRANSFORMAÇÃO DE RIBAUCOUR
Orientador: Cícero Mota
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Neste trabalho faremos um estudo acerca de Transformações de
Ribaucour e usaremos a definição proposta por K.Tenenblat em
[1]. Estudaremos acerca dos aspectos geométricos de tais transfor-
mações e obteremos como aplicações algumas superfícies de Dupin
no R
3
que estão associadas por uma tal Transformação. Apresen-
taremos também a visualização dessas superfícies usando recursos
de computação gráfica.
Palavra chave: Superfícies de Dupin, Formas Diferenciais, Trans-
formações de Ribaucour.
ABSTRACT
SURFACES ASSOCIATED THE RIBAUCOUR
TRANSFORM
In this paper we will study about Ribaucour Transformations and we
will use the definition proposed by K.Tenenblat in [1]. We will study con-
cerning the geometric aspects of such transformations and we will obtain
as applications some Dupin surfaces in the R
3
that are associated by a such
Transformation. We will also present the visualization of those surfaces using
resources of graphic computation.
Key Word: Dupin Surfaces, Differential Forms, Ribaucour Transform.
Sumário
1 Preliminares 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Superfície Regular do R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Primeira e Segunda Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . 4
1.4 O Método do Referencial Móvel em R
3
. . . . . . . . . . . . . 8
2 Transformações de Ribaucour 20
2.1 Transformação de Ribaucour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Teorema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Teorema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Teorema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Teorema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Teorema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Superfície de Dupin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Aplicações da Transformação de Ribaucour 53
3.1 Aplicação ao Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Aplicação ao Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Aplicação a um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Aplicação a uma Esfera S
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Conclusão 72
A Scripts do Maple 73
A.1 Script do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A.2 Script do Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.3 Script do Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.4 Script da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
INTRODUÇÃO
Neste trabalho vamos considerar a transformação de Ribaucour entre duas
superfícies. Obteremos como aplicações alguns exemplos de superfícies de
Dupin no R
3
que estão associadas a uma tal transformação. Usaremos técni-
cas de computação gráfica para visualizar essas superfícies associadas. Para
esta visualização usaremos o Maple que nos foi disponibilizado pelo Programa
Casadinho do CNPq e o JavaView.
No capítulo 1 são apresentadas algumas definições e resultados clássicos
da geometria diferencial como o de superfícies regulares, formas quadráti-
cas, aplicação normal de Gauss, formas diferenciais e etc. No capítulo 2
nós falaremos sobre a transformação de Ribaucour para uma definição local
e apresentaremos alguns teoremas e, veremos uma caracterização de uma
transformação de Ribaucour para superfícies no espaço euclidiano R
3
em
termos de equações diferenciais. Assim, obteremos uma condição necessária
e suficiente para que uma para tal uma transformação transforme uma su-
perfície de Dupin em outra tal superfície. No capítulo 3 nós aplicaremos a
tranformação de Ribaucour para algumas superfícies do R
3
como o plano,
o toro, o cilindro e a esfera e em seguida exibiremos mediante computação
gráfica as devidas superfícies que lhes estão associadas. E por fim no âpên-
dice disponibilizaremos os scripts usados do Maple para gerar essa superfícies
associadas a transformação de Ribaucour.
Capítulo 1
Preliminares
1.1 Introdução
Neste primeiro capítulo apresentaremos algumas definições e resultados clás-
sicos da Geometria Diferencial como de Superfícies Regulares, Formas Dife-
renciais, o Triedro Móvel de Cartan. Todos serão restritos ao R
3
. Algumas
demonstrações serão incluídas mas, outras serão omitidas por questões de
simplicidade. O material aqui apresentado se encontra em [5], [6] e [7].
1.2 Superfície Regular do R
3
Definição 1.2.1. Dizemos que um subconjunto aberto S ⊂ R
3
é uma su-
perfície regular do R
3
se, para todo p ∈ S, existem uma vizinhança V de p
em R
3
e uma aplicação X : U ⊂ R
2
→ V ⊂ S tais que:
i) X é um homeomorfismo diferenciável;
ii) a diferencial (dX)
q
: R
2
→ R
3
é biunívoca para todo q ∈ U.
Na figura 1.1 temos uma situação em que X = X(u, v).
1
p
(u,v)
V
x
y
z
0
V S
U
S
U
u
v
X
Figura 1.1: Superfície Regular
Definição 1.2.2. Sejam S
1
e S
2
duas superfícies regulares. Uma aplicação
diferenciável f : S
1
→ S
2
é dita um difeomorfismo de S
1
em S
2
se f admite
inversa f
−1
: S
2
→ S
1
que seja diferenciável. Neste caso dizemos que S
1
e S
2
são duas superfícies difeomorfas.
Assim sendo, se α : ( −ε, ε ) → S
1
com α(0) = p for uma curva parame-
trizada diferenciável, chamamos de vetor tangente a S
1
em p ∈ S
1
, o vetor
α
(0) = p.
Proposição 1.2.1. Seja X : U ⊂ R
2
→ S
1
uma parametrização de uma
superfície regular S
1
e seja q ∈ U. O subespaço vetorial de dimensão dois
dX
q
(T
q
(U)) ⊂ T
X(q)
(R
3
) constitue um conjunto de vetores tangentes a S
1
em
X(q).
2
Esse subespaço é chamado de plano tangente a S
1
em p e vamos representá-
lo por T
p
S
1
. Da proposição acima podemos concluir que, o plano tangente
independe da parametrização. Com efeito, a escolha da parametrização X
determina uma base
∂X
∂u
(p),
∂X
∂v
(p)
de T
p
S
1
, chamada também de base
associada a parametrização X. A partir de agora, usaremos a seguinte nota-
ção:
∂X
∂u
(p) ≡ X
u
,
e
∂X
∂v
(p) ≡ X
v
.
Definição 1.2.3. Seja p ∈ S
1
. Um vetor unitário normal ao plano tangente
T
p
S
1
recebe o nome de vetor normal em p. Para cada ponto de S
1
existem
sempre dois vetores normais e opostos entre si. Assim sendo, sempre que
X(u, v) for um sistema de coordenadas locais em p, o vetor normal em p é
dado por:
N =
X
u
∧ X
v
| X
u
∧ X
v
|
.
Definição 1.2.4. Uma superfície regular S
1
⊂ R
3
é dita orientável, se e
somente se existe um campo diferenciável N : S
1
→ R
3
de vetores normais
definidos em S
1
.
3
1.3 Primeira e Segunda Formas Quadráticas
O produto interno usual do R
3
⊃ S
1
, induz, em cada plano tangente
T
p
(S
1
) de uma superfície regular S
1
, um produto escalar, que o representa-
remos por ,
p
de uma tal maneira que se tomarmos dois vetores quaisquer
v
1
e v
2
∈ T
p
(S
1
) ⊂ R
3
, o v
1
, v
2
p
é igual do produto interno usual definido em
R
3
. A esse produto interno, que é uma forma bilinear simétrica em T
p
(S
1
),
corresponde uma forma quadrática I
p
: T
p
(S
1
) −→ R
+
, definida por:
I
p
(v) = v , v
p
= | v |
2
≥ 0. (1.1)
Definição 1.3.1. A forma quadrática I
p
em T
p
(S
1
), definida por (1.1), é
chamada a Primeira Forma Fundamental da superfície regular S
1
⊂ R
3
no
ponto p ∈ S
1
.
O que a primeira forma fundamental nos fornece é a maneira de como
a superfície S
1
herda o produto interno do R
3
. Essa métrica herdada pela
superfície S
1
não só enriquece toda a teoria das superfícies mas, também nos
permite fazer medidas de entes matemáticos sobre a superfície tais como, o
comprimento de curvas, o ângulo entre dois vetores tangentes e a área de
regiões limitadas na superfície S
1
. No entanto, não trataremos de tais entes
nesse trabalho. Todavia, atentamos para o fato de que tais medidas são
sempre possíveis de serem calculadas, sem nos preocuparmos com o espaço
onde a superfície habita.
4
Agora, consideremos v ∈ T
p
(S
1
) que também é o vetor tangente a uma
curva parametrizada regular dada por γ(t) = X(u(t), v(t)), com t ∈ (−ε, ε)
e p = γ(0) = X(u
o
, v
o
).
Tendo em vista que {X
u
, X
v
} é uma base de T
p
(S
1
) , vamos expressar a
primeira forma quadrática nesta base associada a um sistema de coordenadas
X(u, v) em p. Assim, temos que:
I
p
(γ
(0)) = γ
(0) , γ
(0)
p
.
= X
u
u
+ X
v
v
, X
u
u
+ X
v
v
p
.
= E(u
)
2
+ 2F (u
)
2
(v
)
2
+ G(v
)
2
. (1.2)
onde os valores:
E = X
u
, X
u
,
F = X
u
, X
v
,
G = X
v
, X
v
.
recebem o nome de Coeficientes da Primeira Forma Fundamental na base
{X
u
, X
v
} de T
p
(S
1
).
Definição 1.3.2. Sejam S
1
e S
2
duas superfícies regulares. Chama-se uma
isometria de S
1
em S
2
, um difeomorfismo ϕ : S
1
→ S
2
tal que, ∀p ∈ S
1
e
todo par v
1
e v
2
∈ T
p
(S
1
) tem-se que: v
1
, v
2
= dϕ
p
(v
1
), dϕ
p
(v
2
). Nesse
caso, S
1
e S
2
são ditas isométricas.
5
Definição 1.3.3. Seja S
1
uma superfície regular, orientável e no qual se
tem fixado um campo N de vetores normais. A aplicação N : S
1
→ S
2
é a
aplicação que define a orientação de S
1
e é chamada aplicação normal de
Gauss.
Em coordenadas locais X : U ⊂ R
2
−→ S
1
, a aplicação de Guass é
dada por N =
X
u
∧ X
v
| X
u
∧ X
v
|
. Portanto, ela é uma aplicação diferenciável.
Além disso, se tomarmos T
p
(S
1
) e T
N(p)
(S
2
) sendo planos paralelos do R
3
,
podemos identificar ambos por uma translação e considerar por fim, que
dN
p
: T
p
(S
1
) → T
p
(S
1
).
Considerando β = {u
1
, u
2
} como sendo uma base de T
p
(S
1
) então po-
demos concluir que dN
p
(u
1
), u
2
= u
1
, dN
p
(u
2
) visto que dN
p
é linear.
Ou seja, dN
p
: T
p
(S
1
) → T
p
(S) é uma aplicação linear auto-adjunta o que
nos permite associar a ela uma forma quadrática Q em T
p
(S
1
), dada por
Q(v) = dN
p
(v), v, v ∈ T
p
(S
1
). Isso nos leva a seguinte definição:
Definição 1.3.4. A forma quadrática II
p
, definida em T
p
(S
1
) que é dada
por II
p
(v) = −dN
p
(v), v é chamada a segunda forma fundamental de S
1
em p.
Como dN é uma aplicação linear auto-adjunta, ela é diagonalizável, isto
é, existe uma base ortonormal β = {e
1
, e
2
} e números reais λ
1
e λ
2
tais que
6
dN
p
(e
1
) = λ
1
.e
1
e dN
p
(e
2
) = λ
2
.e
2
. Os números λ
1
e λ
2
são chamados de
curvaturas principais e os vetores e
1
e e
2
são chamados de direções principais
de S
1
em p.
Definição 1.3.5. Se uma curva regular e conexa γ em S
1
é tal que para todo
p ∈ γ a tangente a γ é uma direção principal de S
1
em p, então γ é dita uma
linha de curvatura de S
1
.
Definição 1.3.6. Definimos a curvatura Gaussiana em um ponto p ∈ S
1
como o número K = det(dN) = λ
1
λ
2
.
7
1.4 O Método do Referencial Móvel em R
3
Nesta seção vamos desenvolver a teoria das superfícies utilizando o método
do referencial móvel devido a E. Cartan. Este método consiste em esco-
lher adequadamente, para cada ponto da superfície, uma base ortonormal de
vetores de R
3
de tal forma, que dois deles sejam tangentes à superfície.
Seja X : U ⊂ R
2
→ R
3
uma superfície parametrizada regular e q = (u, v)
pontos de U, chama-se triedro móvel associado à superfíce X, um terno de
funções diferenciáveis e
1
, e
2
, e
3
de U em R
3
tal que, para todo q ∈ U,
o conjunto de vetores e
1
(q), e
2
(q), e
3
(q) é uma base ortonormal de R
3
e
e
1
(q), e
2
(q) são vetores tangentes à superfície X em q.
Segue-se da definição que os vetores e
1
, e
2
formam uma base do plano
tangente T
q
X e e
3
(q) é um vetor normal à superfície X.
Podemos concluir que o triedro móvel sempre existe para qualquer super-
fície parametrizada regular. Podemos sempre considerar triedros do tipo:
e
1
∝ X
u
e
2
∝ X
v
− X
v
, e
1
e
1
e e
3
= N = e
1
∧ e
2
.
Se considerarmos e
1
, e
2
e N sendo um triedro móvel associado a uma
superfície parametrizada regular X : U ⊂ R
2
→ R
3
. Para cada q ∈ U e cada
V ∈ R
2
temos que dX
q
(V ) ∈ T
q
X. Como os vetores e
1
, e
2
formam uma base
e dX
q
(V ) ∈ T
q
X, concluí-se que dX
q
(V ) pode ser escrito como combinação
linear de e
1
, e
2
, ou seja:
8
dX
q
(V ) = (ω
1
)
q
(V )e
1
(q) + (ω
2
)
q
(V )e
2
(q). (1.3)
que, pode também ser expresso da seguinte maneira dX = ω
1
e
1
+ ω
2
e
2
.
Aplicando o produto interno com e
1
e e
2
na última equação acima e tendo
em vista que e
1
, e
2
= 0 concluímos que:
(ω
1
)
q
(V ) = dX
q
(V ), e
1
(q). (1.4)
(ω
2
)
q
(V ) = dX
q
(V ), e
2
(q). (1.5)
ou ω
i
= dX, e
i
Analogamente consideremos as funções diferenciais e
i
: U → R
3
com
i = 1, 2, 3, assim, temos que para cada q ∈ U, a diferencial de e
i
em q é uma
aplicação linear (de
i
)
q
: R
2
→ R
3
. Como os vetores e
1
, e
2
e N formam uma
base ortonormal de R
3
, para todo V ∈ R
2
, (de
i
)
q
(V ) é combinação linear
desta base, ou seja,
(de
i
)
q
(V ) = (ω
i1
)
q
(V )e
1
(q) + (ω
i2
)
q
(V )e
2
(q) + (ω
i3
)
q
(V )N(q). (1.6)
ou (de
i
) = (ω
i1
)e
1
+ (ω
i2
)e
2
+ (ω
i3
)N.
9
Fazendo 1 ≤ i ≤ 3 obtemos as seguintes equações:
de
1
= ω
11
e
1
+ ω
12
e
2
+ ω
13
N, (1.7)
de
2
= ω
21
e
1
+ ω
22
e
2
+ ω
23
N, (1.8)
dN = ω
31
e
1
+ ω
32
e
2
+ ω
33
N. (1.9)
Aplicando o produto interno com e
1
, e
2
, e N nas últimas três equações
acima e tendo em vista que e
i
, e
j
= δ
ij
concluímos que:
ω
11
= de
1
, e
1
, ω
12
= de
1
, e
2
, ω
13
= de
1
, N,
ω
21
= de
2
, e
1
, ω
22
= de
2
, e
2
, ω
23
= de
2
, N,
ω
31
= dN, e
1
, ω
32
= dN, e
2
, ω
33
= dN, N.
ou
ω
ij
= de
i
, e
j
, 1 ≤ i, j ≤ 3. (1.10)
Para cada q que tomamos, (ω
1
)
q
, (ω
2
)
q
, e (ω
ij
)
q
, são funções lineares de
R
2
em R o que permite concluir que ω
1
, ω
2
, e ω
ij
, são 1-formas diferenciais
em U.
Assim sendo, considerando as 1-formas ω
1
, ω
2
, e ω
ij
de U, dX e de
i
, as
expressões acima podem se resumir da seguinte maneira:
dX = ω
1
e
1
+ ω
2
e
2
, (1.11)
de
i
= ω
i1
e
1
+ ω
i2
e
2
+ ω
i3
N. (1.12)
10
com 1 ≤ i ≤ 3 onde,
ω
1
= dX, e
1
, (1.13)
ω
2
= dX, e
2
, (1.14)
ω
ij
= de
i
, e
j
. (1.15)
com 1 ≤ i, j ≤ 3 são 1-formas diferenciais em U.
Considerando X = X(u, v), temos ainda que dX = X
u
du + X
v
dv e
de
i
= (e
i
)
u
du + (e
i
)
v
dv e, fazendo o produto interno de dX com e
1
e e
2
e
analogamente de de
i
com e
j
e considerando as equações (1.13), (1.14), e (1.15)
obtemos,
ω
1
= X
u
, e
1
du + X
v
, e
1
dv, (1.16)
ω
2
= X
u
, e
2
du + X
v
, e
2
dv, (1.17)
ω
ij
= (e
i
)
u
, e
j
du + (e
i
)
v
, e
j
dv. (1.18)
Por outro lado podemos verificar que qualquer 1-forma diferencial em
U é uma combinação linear de ω
1
, ω
2
. Considerando que {X
u
(q), X
v
(q)} e
{e
1
(q), e
2
(q)} ambas são bases de T
q
X podemos escrever,
X
u
= a
11
e
1
+ a
12
e
2
, (1.19)
X
v
= a
21
e
1
+ a
22
e
2
. (1.20)
11
Fazendo o produto interno com e
1
, e e
2
nas equações (1.19) e (1.20)
obtemos a
11
= X
u
, e
1
, a
12
= X
u
, e
2
, a
21
= X
v
, e
1
, e a
22
= X
v
, e
2
que
são funções diferenciáveis em U tais que:
a
11
a
12
a
21
a
22
(q) = 0.
Decorre das equações (1.16) e (1.17) que:
ω
1
= a
11
du + a
21
dv, (1.21)
ω
2
= a
12
du + a
22
dv. (1.22)
Portanto,
ω
1
∧ ω
2
= (a
11
du + a
21
dv) ∧ (a
12
du + a
22
dv) = (a
11
a
22
− a
12
a
21
)du ∧ dv,
ω
1
∧ ω
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
du ∧ dv.
12
Assim concluímos que ω
1
e ω
2
são 1-formas lineares independentes e qua-
quer 1-forma diferencial em U é uma combinação linear de ω
1
e ω
2
em que
os coeficientes são funções diferenciáveis. Além disso, observamos que se
V
1
e V
2
∈ R
2
são tais que,
dX
q
(V
1
) = e
1
(q), (1.23)
dX
q
(V
2
) = e
2
(q). (1.24)
então,
(ω
i
)
q
(V
j
) =
1, se i = j
0, se i = j
1 ≤ i, j ≤ 2.
Assim, decorre das equações (1.19) e (1.20) que
e
1
= b
11
X
u
+ b
12
X
v
, (1.25)
e
2
= b
21
X
u
+ b
22
X
v
. (1.26)
onde a matriz (b
ij
) é a matriz inversa da matriz (a
ij
). Logo,
V
1
= b
11
∂
∂u
+ b
12
∂
∂v
, (1.27)
V
2
= b
21
∂
∂u
+ b
22
∂
∂v
. (1.28)
13
onde
∂
∂u
e
∂
∂v
é a base canônica de R
2
.
Dizemos que as 1-formas ω
1
, ω
2
formam o coreferencial do triedro móvel
associado à superfície X e as formas ω
ij
, 1 ≤ i, j ≤ 3, são denominadas
formas de conexão do triedro.
O fato mais importante no método do referencial móvel é que as formas
ω
1
, ω
2
, ω
ij
satisfazem as chamadas equações de estrutura de Elie Cartan que
passaremos a enunciar:
Teorema 1.4.1. (Equações de estrutura do R
3
) - Seja e
1
, e
2
, N um re-
ferencial ortonormal móvel em um aberto U ⊂ R
2
associado a uma superfície
X : U ⊆ R
2
→ R
3
. Sejam ω
1
, ω
2
o coreferencial associado a {e
i
} e ω
ij
as
formas de conexão de U no referencial {e
i
}. Então:
ω
ij
= −ω
ji
, 1 ≤ i, j ≤ 3, (1.29)
dω
1
= ω
2
∧ ω
21
, (1.30)
dω
2
= ω
1
∧ ω
12
, (1.31)
0 = ω
1
∧ ω
13
+ ω
2
∧ ω
23
, (1.32)
dω
12
= ω
13
∧ ω
32
, (1.33)
dω
13
= ω
12
∧ ω
23
, (1.34)
dω
23
= ω
21
∧ ω
13
. (1.35)
A demonstração desse resultado pode ser encontrada em [5] e [7].
14
Proposição 1.4.1. A forma diferencial ω
12
é determinada pela equações:
dω
1
= ω
2
∧ ω
21
, (1.36)
dω
2
= ω
1
∧ ω
12
. (1.37)
Seja q ∈ U e X : U ⊂ R
2
→ R
3
uma superfície parametrizada regular.
Na seção 1.3 vimos que a primeira forma fundamental I
q
é um aplicação
definida em T
q
X tomando valores em R dada por I
q
(w) = w, w com
w ∈ T
q
X. Assim w = dX
q
(V ) com V ∈ R
2
. Nestas condições temos que
I
q
(dX
q
(V )) = dX
q
(V ), dX
q
(V ), ou seja, a primeira forma fundamental
pode ser considerada como uma aplicação de R
2
em R, respresentada por I
q
,
que pra cada V ∈ R
2
associa
I
q
((V )) = dX
q
(V ), dX
q
(V ). (1.38)
Sejam {e
1
, e
2
, N} um triedro móvel associado a superfície X e {ω
1
, ω
2
}e {ω
ij
},
com 1 ≤ i, j ≤ 3 respectivamente, o coreferencial e as formas de conexão do
triedro. Como já vimos que dX = ω
1
e
1
+ ω
2
e
2
, segue-se de 1.58 que:
I(dX) = dX, dX = ω
1
e
1
+ ω
2
e
2
, ω
1
e
1
+ ω
2
e
2
,
ou
15
I(dX) = ω
2
1
+ ω
2
2
. (1.39)
Da mesma forma, como N ortogonal a superfície podemos obter a segunda
forma quadrática sendo dada por:
II(dX) = −dX, dN = ω
1
ω
13
+ ω
2
ω
23
.
Consideremos uma superfície S do R
3
. Sejam e
1
, e
2
, e N, o campo de
vetores tangentes ortonormais a S e N o campo de vetores normais unitá-
rios localmente definidos. Sejam ω
1
, ω
2
o co-referencial associado ao campo
e
1
, e
2
, N e w
ij
, 1 ≤ i, j ≤ 3 as formas de conexão determinadas por:
dw
i
=
3
j=i
w
ij
∧ w
j
, w
ij
+ w
ji
= 0.
Como
e
i
, e
j
= δ
ij
, 1 ≤ i ≤ 3,
de
i
, e
j
+ e
i
, de
j
= 0,
segue-se que
w
ij
+ w
ji
= 0.
pois, de (1.10) temos que, de
i
, e
j
= ω
ij
.
Por outro lado, sabemos de (1.12) que:
16
de
i
= ω
i1
e
1
+ ω
i2
e
2
+ ω
i3
N.
Portanto, fazendo o produto interno com N obtemos:
ω
i3
= de
i
, N, (1.40)
que satisfaz ω
1
∧ ω
13
+ ω
2
∧ ω
23
= 0.
A conexão normal dada por w
i3
= de
i
, N satisfaz
i
w
i
∧ w
i3
= 0.
Considerando as equações de estrutura do teorema 1.4.1, temos que w
13
=
b
11
ω
1
+ b
12
ω
2
onde b
12
= b
21
. Assim, a equação de Gauss é dada por:
dw
ij
=
3
k=1
w
ik
∧ w
kj
+ w
i3
∧ w
3j
, (1.41)
e as equações de Codazzi são:
dw
i3
=
j
w
ij
∧ w
j3
.
Sempre que a superfície for parametrizada pelas linhas de curvatura orto-
gonais X(u
1
, u
2
), a primeira forma fundamental é dada por I = ω
2
1
+ω
2
2
, con-
forme já vimos em 1.40, visto que I(v) = v, v, v ∈ T
p
S onde dX =
i
w
i
e
i
em que w
i
= a
i
du
i
com 1 ≤ i ≤ 2 e a
i
são funções diferenciáveis tais que
| a
i
|=|
∂X
∂u
i
|≡| X
u
i
|. Além disso e
i
, e
j
= δ
ij
. As direções principais são
os campos de vetores e
i
= X
u
i
/a
i
onde, X
u
i
denota a derivada parcial de X
17
com relação a u
i
.
Segue que,
ω
ij
=
1
a
i
a
j
−
∂a
i
∂u
j
ω
i
+
∂a
j
∂u
i
ω
j
onde 1 ≤ i, j ≤ 3.
De fato, temos que ω
i
= a
i
du
i
e logo
dω
i
=
3
j=1
∂a
i
∂u
j
du
j
∧ du
i
= −
3
j=1
1
a
i
a
j
∂a
i
∂u
j
a
i
du
i
∧ a
j
du
j
= −
3
j=1
1
a
i
a
j
∂a
i
∂u
j
ω
i
∧ ω
j
.
Segue-se então que:
ω
ij
= −
1
a
i
a
j
∂a
i
∂u
j
ω
i
+
1
a
i
a
j
∂a
j
∂u
i
ω
j
=
1
a
i
a
j
−
∂a
i
∂u
j
ω
i
+
∂a
j
∂u
i
ω
j
,
w
ij
=
1
a
i
a
j
(−a
i,j
w
i
+ a
j,i
w
j
). (1.42)
Desde que as curvas coordenadas sejam linhas de curvaturas, temos que:
dN(e
i
) = λ
i
e
i
, w
i3
= −λ
i
w
i
. (1.43)
18
Então as equações de Codazzi reduzem-se para
dλ
i
(e
j
) = (λ
i
− λ
j
)w
ij
(e
i
), i = j. (1.44)
19
Capítulo 2
Transformações de Ribaucour
Neste capítulo iremos definir transformação de Ribaucour. Iniciaremos este
capítulo demonstrando uma caracterização local das Transformações de Ri-
baucour para superfícies no espaço euclidiano R
3
e em seguida usaremos
Transformações de Ribaucour para mostrar como obtermos superfícies de
Dupin. Este já é um resultado clássico [2] sempre que as superfícies são pa-
rametrizadas pelas linhas de curvaturas. Por fim, provaremos uma condição
necessária e suficiente para que uma dada Transformação de Ribaucour esteja
associada a uma superfície de Dupin.
2.1 Transformação de Ribaucour
Definição 2.1.1. Sejam S e
S duas superfícies orientadas do R
3
com N e
N sendo as respectivas aplicações normais de Gauss. Dizemos que S e
S são
associadas pela transformação de Ribaucour (vide figura 2.1), se e somente
se, existir uma função diferenciável h definida em S e um difeomorfismo
20
Ψ : S →
S tais que:
i) p + h(p).N(p) = Ψ(p) + h(p).
N(Ψ(p)), ∀p ∈ S.
ii) o subconjunto p + h(p).N(p), ∀p ∈ S é uma superfície bidimensional.
iii) ψ preserva linhas de curvaturas.
Figura 2.1: Transformação de Ribaucour
21
Definição 2.1.2. Dizemos que S e
S são localmente associadas por uma
transformação de Ribaucour se para todo p ∈ M, existir uma vizinhança co-
ordenada de p ∈ M que está associada por uma transformação de Ribaucour
a um subconjunto aberto de
S. Semelhantemente, podemos considerar a
noção de superfícies localmente parametrizadas e associadas por uma trans-
formação de Ribaucour.
2.2 Teorema 1
Teorema 2.2.1. Seja S uma superfície orientada de R
3
.Assumamos que
e
1
, e
2
sejam as direções principais ortonormais, λ
1
e λ
2
as correspondentes
curvaturas principais e N é o campo de vetores normais unitário em S. Uma
superfície
S é localmente associada a S pela transformação de Ribaucour, se
e somente se, ∀p ∈ S, existir uma parametrização X : U ⊂ R
2
→ S de uma
vizinhança coordenada de p e uma função diferenciável h : U → R tal que
X = X + h(N −
N). (2.1)
é uma parametrização de
S e o campo de vetores normais unitários
N de
S
é dado por
N =
1
∆ + 1
2.Z
1
e
1
+ 2.Z
2
e
2
+ (∆ − 1)N
. (2.2)
22
onde
Z
1
=
dh(e
1
)
1 + hλ
1
, Z
2
=
dh(e
2
)
1 + hλ
2
, e ∆ =
Z
1
2
+
Z
2
2
. (2.3)
e h satisfaz as equações diferenciais
dZ
2
(e
1
) + Z
1
w
12
(e
1
) − Z
1
Z
2
λ
1
= 0. (2.4)
dZ
1
(e
2
) + Z
2
w
21
(e
2
) − Z
2
Z
1
λ
2
= 0. (2.5)
Para demonstrarmos o teorema, precisaremos dos seguintes lemas:
Lema 2.2.1. Sejam β = {e
1
, e
2
, N} e
N como no teorema 2.2.1. Escreva-
mos:
N = b
1
e
1
+ b
2
e
2
+ b
3
N, (2.6)
d
N(e
1
) = L
1
1
e
1
+ L
2
1
e
2
+ L
3
1
N, (2.7)
d
N(e
2
) = L
1
2
e
1
+ L
2
2
e
2
+ L
3
2
N. (2.8)
Então:
23
1 = (b
1
)
2
+ (b
2
)
2
+ (b
3
)
2
, (2.9)
L
k
i
= db
k
(e
i
) +
2
k=1
b
j
ω
jk
e
i
+ b
3
λ
i
δ
ik
, (2.10)
L
3
i
= db
3
(e
i
) − b
i
λ
i
. (2.11)
com 1 ≤ i, k ≤ 2.
Demonstração: 1. Com efeito, temos que |
N| = 1 logo,
|
N|
2
= (b
1
)
2
+ (b
2
)
2
+ (b
3
)
2
= 1.
Para obtermos cada L
k
i
das equações (2.12) e (2.13) vamos proceder da
seguinte maneira: Derivemos a equação (2.6) e usemos o fato de que ω
i3
=
dNe
i
, N, dN(e
i
) = λ
i
e
i
e que de
i
= ω
i1
e
1
+ ω
i2
e
2
+ ω
i3
N, 1 ≤ i ≤ 2.
Fazendo as devidas simplificações, temos que:
d
N(e
1
) =
db
1
(e
1
) + b
1
ω
11
(e
1
) + b
2
ω
21
(e
1
) + b
3
λ
1
e
1
+
+
db
2
(e
1
) + b
1
ω
12
(e
1
) + b
2
ω
22
(e
2
)
e
2
+
+
db
3
(e
1
) − b
1
λ
1
N. (2.12)
24
e,
d
N(e
2
) =
db
1
(e
2
) + b
1
ω
11
(e
2
) + b
2
ω
21
(e
2
)
e
1
+
+
db
2
(e
2
) + b
1
ω
12
(e
2
) + b
2
ω
22
(e
2
) + b
3
λ
2
e
2
+
+
db
3
(e
2
) − b
2
λ
2
N. (2.13)
comparando d
N(e
1
) e d
N(e
2
) das últimas expressões acima com os de 2.7 e
2.8 concluímos que os coeficientes são dados por:
L
1
1
= db
1
(e
1
) + b
1
ω
11
(e
1
) + b
2
ω
21
(e
1
) + b
3
λ
1
, (2.14)
L
2
1
= db
2
(e
1
) + b
1
ω
12
(e
1
) + b
2
ω
22
(e
2
), (2.15)
L
3
1
= db
3
(e
1
) − b
1
λ
1
, (2.16)
L
1
2
= db
1
(e
2
) + b
1
ω
11
(e
2
) + b
2
ω
21
(e
2
), (2.17)
L
2
2
= db
2
(e
2
) + b
1
ω
12
(e
2
) + b
2
ω
22
(e
2
) + b
3
λ
2
, (2.18)
L
3
2
= db
3
(e
2
) − b
2
λ
2
. (2.19)
Assim, o lema está provado.
Lema 2.2.2. Sejam X,
X, h, λ
1
e λ
2
como no teorema 2.2.1 acima. Então,
1 + hλ
i
= 0 ∀ i.
Demonstração: 2. Pela definição (2.1), existe uma parametrização local X
de S,
X de
S e uma função h definida em S tal que
X + h
N = X + hN,
25
onde
N é um campo de vetores normais unitários de
S, que pode ser consi-
derado como definido em 2.6.
Então,
< d
X(e
1
),
N >= 0, (2.20)
e
< d
X(e
2
),
N >= 0. (2.21)
Como
X = X + h(N −
N) temos que:
d
X(e
i
) = dX(e
i
) + dh(e
i
)(N −
N) + h(dN(e
i
) − d
N(e
i
)). (2.22)
Usando o fato de que,
26
dX(e
1
) = w
1
(e
1
)e
1
+ w
2
(e
1
)e
2
, (2.23)
dX(e
1
) = w
1
(e
2
)e
1
+ w
2
(e
2
)e
2
, (2.24)
dN(e
1
) = λ
1
e
1
, (2.25)
dN(e
2
) = λ
2
e
2
. (2.26)
concluímos que,
d
X(e
1
) = (1 + hλ
1
)e
1
+ dh(e
1
)(N −
N) − hd
N(e
1
), (2.27)
d
X(e
2
) = (1 + hλ
2
)e
2
+ dh(e
2
)(N −
N) − hd
N(e
2
). (2.28)
visto que ω
i
(e
j
) = δ
ij
, ∀ 1 ≤ i ≤ 2.
Conseqüentemente, desenvolvendo as equações (2.20) e (2.21) obtemos que:
(1 + hλ
1
)b
1
+ dh(e
1
)(b
3
− 1) = 0, (2.29)
(1 + hλ
2
)b
2
+ dh(e
2
)(b
3
− 1) = 0. (2.30)
Usando o fato de que
X seja uma transformação de Ribaucour de X
implica que 1+hλ
1
= 0, e 1+hλ
2
= 0. De fato, se considerarmos a superfície
centrada em X
0
= X + hN então de (2.27) e (2.28) podemos escrever que:
27
dX
0
(e
1
) = (1 + hλ
1
)e
1
+ dh(e
1
)N, (2.31)
dX
0
(e
2
) = (1 + hλ
2
)e
2
+ dh(e
2
)N. (2.32)
Vamos considerar nos próximos passos que 1 ≤ i ≤ 2. Com efeito vamos
assumir que (1 + hλ
i
)(p) = 0 no ponto p. Então, segue-se de (2.29) e (2.30)
que dh(e
i
)(b
3
− 1)(p) = 0 e conseqüentemente dh(e
i
)(p) = 0. Caso contrário,
teríamos que b
3
(p) = 1 ⇒ b
1
(p) = b
2
(p) = 0. Logo N =
N e portanto,
X(p) = X( p) = X
0
(p). Conseqüentemente h(p) = 0, pois
X = X + hN
o que nos leva a uma contradição. Assim, concluímos que dh(e
i
)(p) = 0
e dX
0
(e
i
)(p) = 0 contradiz o fato de que a superfície centrada em X
0
é
bi-dimensional.
Lema 2.2.3. Sejam Z
1
, Z
2
e ∆ como no teorema 2.2.1; b
1
, b
2
, b
3
como no
lema 2.2.1 e 1 + hλ
i
= 0 ∀ i como no lema 2.2.2. Então:
b
1
= Z
1
(1 − b
3
), (2.33)
b
2
= Z
2
(1 − b
3
), (2.34)
b
3
=
∆ − 1
∆ + 1
. (2.35)
Demonstração: 3. Como 1 + hλ
i
= 0 ∀ i, concluímos de (2.29) e (2.30)
que (2.33) e (2.34) são satisfeitas. Assim, b
1
= Z
1
(1 − b
3
) e b
2
= Z
2
(1 − b
3
).
28
Vamos agora determinar b
3
. Com efeito, de (2.9) podemos escrever:
Z
1
(1 − b
3
)
2
+
Z
2
(1 − b
3
)
2
+
b
3
2
= 1.
que implica em,
(1 − b
3
)
2
.∆ + (b
3
)
2
− 1 = 0.
ou ainda,
(∆ + 1)(b
3
)
2
− 2∆b
3
+ (∆ − 1) = 0.
cuja soluções são b
3
= 1 e b
3
=
∆ − 1
∆ + 1
. Como b
3
= 1 ⇒ b
3
=
∆ − 1
∆ + 1
. Além
disso, substituindo b
3
em 2.33 e 2.34 obtemos 2.2.
Demonstração: 4. (⇒) Vamos demonstrar o teorema 2.2.1. Pelos lemas
2.2.2 e 2.2.3 sabemos que 2.3 estão satisfeitas. Resta mostrar que 2.4 e 2.5
são válidas. Assim, mostraremos que as equações diferenciais 2.4 e 2.5 que
está satisfeita por h, é uma conseqüência da propriedade
< d
N(e
i
), d
X(e
j
) >= 0, ∀ i = j.
Desde que
X preserve linhas de curvatura, nós temos
< d
X(e
i
), d
X(e
j
) >=< d
N(e
j
), d
X(e
i
) >=< d
N(e
j
), d
N(e
i
) >= 0 ∀ i = j.
29
Conseqüentemente, usando as equações (2.7) e (2.8) e as equações (2.27)
e (2.28), nós obtemos
d
N(e
1
), d
X(e
2
) = 0, (2.36)
d
N(e
2
), d
X(e
1
) = 0. (2.37)
que equivale a escrever:
L
1
1
e
1
+ L
2
1
e
2
+ L
3
1
N, (1 + hλ
2
)e
2
+ dh(N −
N) − hd
N = 0, (2.38)
L
1
2
e
1
+ L
2
2
e
2
+ L
3
2
N, (1 + hλ
1
)e
1
+ dh(N −
N) − hd
N = 0. (2.39)
aplicando o produto interno e fazendo as devidas simplificações encontramos
as seguintes equações:
L
2
1
(1 + hλ
2
) + L
3
1
dh(e
2
) = 0, (2.40)
L
1
2
(1 + hλ
1
) + L
3
2
dh(e
1
) = 0. (2.41)
que pode ser expresso por L
2
i
(1 + hλ
j
) + L
3
i
dh(e
j
) = 0, para i = j.
Usando os valores de L
2
1
, L
3
1
, L
1
2
e L
3
2
já obtidos de (2.14) - (2.19) nas
equações (2.38) e (2.39) acima, e fazendo as devidas simplificações concluímos
30
que as equações
dZ
2
(e
1
) + Z
1
w
12
(e
1
) − Z
1
Z
2
λ
1
= 0
e
dZ
1
(e
2
) + Z
2
w
21
(e
2
) − Z
2
Z
1
λ
2
= 0.
do teorema acima são satisfeitas. O que prova o teorema.
31
2.3 Teorema 2
Teorema 2.3.1. Seja S e
S superfícies orientadas de R
3
. Suponha que exis-
tam parametrizações X e
X de S e
S respectivamentes com as seguintes
propriedades
X = X + h(N −
N) é uma parametrização de
S e
N é o campo
de vetores normais unitários de
S dado por
N =
1
∆ + 1
2.Z
1
e
1
+ 2.Z
2
e
2
+ (∆ − 1)N
(2.42)
onde
Z
1
=
dh(e
1
)
1 + hλ
1
, Z
2
=
dh(e
2
)
1 + hλ
2
, e ∆ =
Z
1
2
+
Z
2
2
(2.43)
e h satisfaz as equações diferenciais
dZ
2
(e
1
) + Z
1
w
12
(e
1
) − Z
1
Z
2
λ
1
= 0, (2.44)
dZ
1
(e
2
) + Z
2
w
21
(e
2
) − Z
2
Z
1
λ
2
= 0. (2.45)
então
S é uma superfície associada pela transformação de Ribaucour.
Demonstração: 5. ⇐ Reciprocamente, assuma que h é uma solução de
(2.4) e (2.5), então nós definimos as funções Z
1
e Z
2
e como em (2.3),
b
1
, b
2
e b
3
como em (2.6). Segue de (2.14)-(2.19) e de (2.4) e (2.5)que
32
L
2
1
+ Z
2
L
3
1
= 0, (2.46)
L
1
2
+ Z
1
L
3
2
= 0. (2.47)
Com efeito, vamos considerar a equação (2.4) dada por:
dZ
2
(e
1
) + Z
1
w
12
(e
1
) − Z
1
Z
2
λ
1
= 0.
De (3.17)temos que b
2
= Z
2
(1 − b
3
).
Derivando esta equação obtemos:
dZ
2
(e
1
) =
db
2
(e
1
)(1 − b
3
) + db
3
(e
1
)b
2
(1 − b
3
)
2
.
Assim,
db
2
(e
1
)(1 − b
3
) + db
3
(e
1
)b
2
(1 − b
3
)
2
+ Z
1
w
12
(e
1
) − Z
1
Z
2
λ
1
= 0.
Considerando ainda os valores de Z
1
e Z
2
em (2.33) e (2.34) obtemos:
[db
2
(e
1
) + b
1
ω
12
(e
1
) + b
2
ω
22
(e
2
)](1 + hλ
2
) + [db
3
(e
1
) − b
1
λ
1
]dh(e
2
) = 0.
que com as devidas simplificações temos que:
33
L
2
1
(1 + hλ
2
) + L
3
1
dh(e
2
) = 0. (2.48)
Dividindo a última equação por (1 + hλ
2
) = 0 mostramos que (2.46) vale.
De maneira análoga mostra-se que (2.47) é verdadeira à partir de (2.5).
Além disso, de (2.14) e (2.18) podemos concluir que:
L
1
1
=
2
+ 1
dZ
1
(e
1
) + Z
2
w
21
(e
1
) − 2Z
1
d(e
1
)
+ 1
+ ( − 1)
λ
1
2
. (2.49)
L
2
2
=
2
+ 1
dZ
2
(e
2
) + Z
1
w
12
(e
2
) − 2Z
2
d(e
2
)
+ 1
+ ( − 1)
λ
2
2
, (2.50)
Com efeito vamos considerar a expressão de L
2
2
na equação (2.18). Assim,
L
2
2
= db
2
(e
2
) + b
1
ω
12
(e
2
) + b
2
ω
22
(e
2
) + b
3
λ
2
.
Como b
1
= Z
1
(1 − b
3
), b
2
= Z
2
(1 − b
3
), b
3
=
− 1
+ 1
e além do mais,
db
2
(e
2
) = dZ
2
(e
2
)(1 − b
3
) − db
3
(e
2
)Z
2
, (2.51)
db
3
(e
2
) =
2d(e
2
)
( + 2)
3
. (2.52)
34
Logo, substituindo essa duas últimas equações na expressão (2.18) de L
2
2
encontramos (2.46). Segue-se de forma análoga a expressão (2.47).
Então usando a definição de em (2.3) e as equações (2.4) e (2.5), segue-
se diretamente que
Z
1
L
1
1
+
(Z
1
)
2
−
+ 1
2
L
3
1
= 0, (2.53)
Z
2
L
2
2
+
(Z
2
)
2
−
+ 1
2
L
3
2
= 0. (2.54)
Consideremos
X e
N como em (2.1) e (2.2) respectivamente. Precisamos
mostrar que
X é associado a X pela transformação de Ribaucour. Com
efeito, observemos primeiramente que
N é um campo de vetor unitário. De
fato,
|
N|
2
= (b
1
)
2
+ (b
2
)
2
+ (b
3
)
2
= (1 − b
3
)
2
+ (b
3
)
2
= 1,
onde a última equação resultado do uso da expressão de b
3
.
Nós verificaremos a seguir que
N é normal a
X. Da definição de
X,
temos que d
X(e
1
) e d
X(e
2
) são determinados pelas equações (2.27) e (2.28).
Conseqüentemente, usando o fato que |
N| = 1, podemos concluir que:
35
d
X(e
1
),
N = 0, (2.55)
d
X(e
2
),
N = 0. (2.56)
< d
X(e
1
),
N > = (1 + hλ
1
)e
1
+ dh(e
1
)(N −
N) − hd
N(e
1
),
N .
= (1 + hλ
1
)e
1
+ dh(e
1
)(N −
N) − hd
N(e
1
), b
1
e
1
+ b
2
e
2
+ b
3
N .
= (1 + hλ
1
)b
1
+ dh(e
1
)(b
3
− dh(e
1
)).
= (1 + hλ
1
)b
1
+ dh(e
1
)(b
3
− 1).
= (1 + hλ
1
)Z
1
(1 − b
3
) + dh(e
1
)(b
3
− 1).
= (−(1 + hλ
1
)Z
1
+ dh(e
1
))(b
3
− 1).
= (−dh(e
1
) − dh(e
1
))(b
3
− 1).
= 0.
Analogamente se mostra que (2.52) é satisfeita.
Para mostrar que as direções principais são preservadas, mostraremos
primeiramente que < d
N(e
i
), d
N(e
j
) >= 0 i = j.
Este último resultado vem do produto interno a seguir decorrido das
devidas simplificações. Assim, temos:
36
< d
N(e
1
), d
N(e
2
) > = L
1
1
e
1
+ L
2
1
e
2
+ L
3
1
N, L
1
2
e
1
+ L
2
2
e
2
+ L
3
2
N.
= L
1
1
L
1
2
+ L
2
1
L
2
2
+ L
3
1
L
3
2
.
=
(Z
1
)
2
+ (Z
2
)
2
− ( + 1) + 1
L
3
1
L
3
2
.
= ( − ( + 1) + 1) L
3
1
L
3
2
.
= 0.
onde nas duas últimas equações usamos (2.53) e a definição de . Agora,
usando a equação anterior e as equações (2.27), (2.28), (2.46), e (2.47), con-
cluímos que ∀ i = j,
d
N(e
1
), d
X(e
2
) = L
1
1
e
1
+ L
2
1
e
2
+ L
3
1
N, (1 + hλ
2
)e
2
+ dh(e
2
)(N −
N) − hd
N(e
2
).
= L
1
1
e
1
+ L
2
1
e
2
+ L
3
1
N, (1 + hλ
2
)e
2
+ dh(e
2
)N.
= L
2
1
(1 + hλ
2
) + L
3
1
dh(e
2
) = 0.
= 0.
pois, segundo a equação (2.40) temos que L
2
1
(1 + hλ
2
) + L
3
1
dh(e
2
) = 0.
Finalmente, concluímos que as imagens dos campos de vetores e
i
, e
j
por
d
X são ortogonais para todo i = j. De fato,
37
< d
X(e
1
), d
X(e
2
) > = (1 + hλ
1
)e
1
, d
X(e
2
) + dh(e
1
)N, d
X(e
2
).
= −(1 + hλ
1
)
dh(e
2
)b
1
+ hL
1
2
(dh(e
1
)(1 − b
3
) − hL
3
2
).
= 0,
onde essa última igualdade segue da definição de b
1
, b
2
e b
3
e das equações
(2.42) e (2.43). Além disso, geralmente,
X é uma superfície de bi-dimensão,
desde que,
d
X(e
i
) + h
λ
i
d
X(e
i
) = (1 + hλ
i
)e
i
+ dh(e
i
)(N −
N),
d
X(e
i
)(1 + h
λ
i
) = (1 + hλ
i
)e
i
+ dh(e
i
)(N −
N),
|d
X(e
i
)||(1 + h
λ
i
)| ≤ |(1 + hλ
i
)||e
i
| + |dh(e
i
)||(N −
N|,
|d
X(e
i
)||1 + h
λ
i
| = |1 + hλ
i
|. (2.57)
Nosso próximo passo consiste em mostrar como linearizar o problema afim
de obtermos a função h.
Proposição 2.3.1. Suponha que h seja uma função que não se anula sa-
tisfazendo as equações (2.4) e (2.5), então ψ =
1
h
Z
1
ω
1
+ Z
2
ω
2
é uma
1-forma fechada e existe uma função Ω que não se anula, definida em um
domínio simplesmente conexo que é dado pelas equações dΩ(e
1
) =
Ω
h
Z
1
e
dΩ(e
2
) =
Ω
h
Z
2
.
38
Demonstração: 6. Considerando a diferenciação exterior de ψ, obtemos
dψ =
1
h
dZ
1
(e
2
) − Z
1
dh(e
2
)
h
− Z
2
ω
12
(e
2
)
ω
2
∧ ω
1
, (2.58)
dψ =
1
h
dZ
2
(e
1
) − Z
2
dh(e
1
)
h
− Z
2
ω
21
(e
1
)
ω
1
∧ ω
2
. (2.59)
Como consequência da equação (2.4) e (2.5) nós concluímos que o coefici-
ente de ω
j
∧w
i
para j < i se anula. Conseqüentemente, em qualquer domínio
simplesmente conexo, existe uma função diferenciável f tal que df = ψ. Tome
Ω = e
f
⇒ f = log(Ω). Então, d(f) = ψ ⇒ d(logΩ) = ψ ⇒
dΩ(e
i
)
Ω
= ψ(e
i
).
Assim sendo, dΩ(e
1
)/Ω = ψ(e
1
) e dΩ(e
2
)/Ω = ψ(e
2
), o que conclui a
demonstração.
Baseado em um resultado prévio, para cada função h que não se anula,
que é uma solução de (2.4) e (2.5), consideraremos sempre Ω como dado pela
proposição anterior e definimos
Ω
1
= dΩ(e
1
), (2.60)
Ω
2
= dΩ(e
2
), (2.61)
W =
Ω
h
. (2.62)
39
Com esta notação, (2.4) e (2.5) é dado por
dΩ
1
(e
2
) = Ω
2
ω
12
(e
2
), (2.63)
dΩ
2
(e
1
) = Ω
1
ω
21
(e
1
). (2.64)
dΩ = Ω
1
ω
1
+ Ω
2
ω
2
. (2.65)
dW = −
Ω
1
λ
1
ω
1
+ Ω
2
λ
2
ω
2
. (2.66)
e
h = Ω/W. (2.67)
Proposição 2.3.2. Uma função h que não se anula é uma solução de (2.4) e (2.5)
definida em um domínio simplesmente conexo, se e somente se, h = Ω/W
onde Ω e W são funções que não se anulam e que satisfazem (2.59) − (2.62).
Com a seguinte notação, temos que:
40
dh(e
1
) =
Ω
1
W
(1 + Ωλ
1
/W ), (2.68)
dh(e
2
) =
Ω
2
W
(1 + Ωλ
2
/W ), (2.69)
1 + hλ
1
= 1 + Ωλ
1
/W, (2.70)
1 + hλ
2
= 1 + Ωλ
2
/W. (2.71)
Então,
Z
1
=
Ω
1
W
, (2.72)
Z
2
=
Ω
2
W
, (2.73)
∆ =
1
W
2
(Ω
1
)
2
+ (Ω
2
)
2
.
(2.74)
Assim podemos reescrever o teorema 2.2.1 da seguinte maneira:
2.4 Teorema 3
Teorema 2.4.1. Seja S uma superfície parametrizada de R
3
que é dada por
X : U ⊂ R
2
−→ S. Assumamos que e
1
e e
2
sejam as direções principais,
λ
1
e λ
2
as correspondentes curvaturas principais e N é o campo de vetores
normais unitário em S. Uma superfície
S é localmente associada a S pela
41
transformação de Ribaucour, se e somente se, existir funções diferenciáveis
W, Ω, Ω
1
, Ω
2
: V ⊂ U −→ R, que satisfazem as relações (2.63) - (2.65) e
X : V ⊂ R
2
−→
X é uma parametrização de
X dada por
X = X −
2Ω
(Ω
1
)
2
+ (Ω
2
)
2
+ W
2
Ω
1
e
1
+ Ω
2
e
2
− W N
. (2.75)
Observação 1: Observemos inicialmente que
dΩ
1
= dΩ
1
(e
1
)ω
1
+ dΩ
1
(e
2
)ω
2
e dΩ
2
= dΩ
2
(e
1
)ω
1
+ dΩ
2
(e
2
)ω
2
.
Então (2.63) e (2.64) é equivalente a
dΩ
1
∧ ω
1
− Ω
2
ω
12
(e
2
)ω
2
∧ ω
1
= 0, (2.76)
dΩ
2
∧ ω
2
− Ω
1
ω
21
(e
1
)ω
1
∧ ω
2
= 0. (2.77)
Em notação clássica, sempre que X é parametrizada pelas linhas de cur-
vaturas X(u, v), o sistema de equações (2.63) - (2.66) pode ser escrito como
42
∂Ω
1
∂u
2
= Ω
2
1
a
1
∂a
2
∂u
1
, (2.78)
∂Ω
2
∂u
1
= Ω
1
1
a
2
∂a
1
∂u
2
, (2.79)
∂Ω
∂u
1
= a
1
Ω
1
, (2.80)
∂Ω
∂u
2
= a
2
Ω
2
, (2.81)
∂W
∂u
1
= −a
1
Ω
1
λ
1
, (2.82)
∂W
∂u
2
= −a
2
Ω
2
λ
2
. (2.83)
onde as funções a
1
e a
2
correspondem à métrica da superfície S, ou seja,
ds
2
= a
2
1
du
2
1
+ a
2
2
du
2
2
.
O seguinte resultado mostra-nos que para cada solução Ω
1
, Ω
2
da equação
(2.63) e (2.64), existe uma família de soluções de 2 parâmetros do sistema
formado pelas equações (2.65) e (2.66).
Proposição 2.4.1. As equações (2.63) e (2.64) são as condições de integra-
bilidades do sistema de equações para as equações (2.65), (2.66) para Ω e W.
Demonstração: 7. Considere o ideal I gerado pelas 1-formas:
α = dΩ −
Ω
1
ω
1
+ Ω
2
ω
2
,
β = dW +
Ω
1
λ
1
ω
1
+ Ω
2
λ
2
ω
2
.
43
Nós mostraremos que se (2.63) e (2.64) se aplica então I é fechado sob
diferenciação exterior.
De fato,
dα = d(dΩ) − d
Ω
1
ω
1
+ Ω
2
ω
2
.
= −(dΩ
1
∧ ω
1
+ dΩ
2
∧ ω
2
) − (Ω
1
ω
2
∧ ω
21
+ Ω
2
ω
1
∧ ω
12
).
= 0.
onde essa última igualdade segue-se da observação 1.
Analogamente, usando 2.62 temos,
dβ = d(dω) + d(Ω
1
λ
1
ω
1
) + d(Ω
2
λ
2
ω
2
). (2.84)
= d(−Ω
1
λ
1
ω
1
− Ω
2
λ
2
ω
2
) + d(Ω
1
λ
1
ω
1
) + d(Ω
2
λ
2
ω
2
). (2.85)
= 0. (2.86)
A partir de agora, sempre que for dito que duas superfícies estão local-
mente associadas pela transformação de Ribaucour, estaremos assumindo que
existem funções Ω
1
, Ω
2
, Ω e W localmente definidas, satisfazendo o sistema
(2.63)-(2.66). Além disso, observamos que desde que as linhas normais a
pontos correspondentes se intercepetem a uma distância h =
Ω
W
, segue que
dh(e
i
) = 0, 1 ≤ i ≤ 2 se e somente se Ω
i
= 0.
44
2.5 Teorema 4
Teorema 2.5.1. Assumamos que
S é localmente associada a M pela trans-
formação de Ribacour. Seja e
1
, e
2
as direções principais e λ
1
, λ
2
as corres-
pondentes curvaturas principais de S. Então as curvaturas principais de
S
são dadas por:
λ
1
=
dS(e
1
)W + Ω
1
λ
1
S
Ω
1
S − ΩdS(e
1
)
se Ω
1
= 0, (2.87)
λ
2
=
dS(e
2
)W + Ω
2
λ
2
S
Ω
2
S − ΩdS(e
2
)
se Ω
2
= 0, (2.88)
λ
1
=
W T
1
+ λ
1
S
S − ΩT
1
se Ω
1
≡ 0, (2.89)
λ
2
=
W T
2
+ λ
2
S
S − ΩT
2
se Ω
2
≡ 0. (2.90)
onde Ω
1
, Ω
2
, Ω e W satisfazem o sistema de equações (2.63)-(2.66) e
S = W
2
+ (Ω
1
)
2
+ (Ω
2
)
2
, (2.91)
45
T
1
= 2
Ω
2
ω
21
(e
1
) − W λ
1
, (2.92)
T
2
= 2
Ω
1
ω
12
(e
2
) − W λ
2
. (2.93)
Demonstração: 8. Tomemos X e
X parametrizações de M e
M respectiva-
mente associadas pela Transformação de Ribacour. As curvaturas principais
de
M são dadas por
λ
1
=
< d
N(e
1
), d
X(e
1
) >
< d
X(e
1
), d
X(e
1
) >
, (2.94)
λ
2
=
< d
N(e
2
), d
X(e
2
) >
< d
X(e
2
), d
X(e
2
) >
. (2.95)
Como
X é associada pela Transformação de Ribacour, temos que:
d
X = dX + dh(N −
N) + h(dN − d
N),
onde h =
Ω
W
e
N é dado pela equação (2.2) agora, d
N(e
1
) =
λ
1
d
X(e
1
) e
d
N(e
2
) =
λ
2
d
X(e
2
) então, das últimas equações nós obtemos
(1 + h
λ
1
)d
X(e
1
) = (1 + h
λ
1
)e
1
+ dh(e
1
)(N −
N), (2.96)
(1 + h
λ
2
)d
X(e
2
) = (1 + h
λ
2
)e
2
+ dh(e
2
)(N −
N). (2.97)
46
Conseqüentemente, usando a equação (2.6), obtemos:
(1 + h
λ
1
)
2
d
X(e
1
), d
X(e
1
) = (1 + hλ
1
)
2
+ 2(dh(e
1
))
2
− 2dh(e
1
)[(1 + hλ
1
)b
1
+ dh(e
1
)b
3
],
(1 + h
λ
2
)
2
d
X(e
2
), d
X(e
2
) = (1 + hλ
2
)
2
+ 2(dh(e
2
))
2
− 2dh(e
2
)[(1 + hλ
2
)b
1
+ dh(e
2
)b
3
].
Então de (2.3) e (2.16) - (2.18) temos:
(1 + h
λ
1
)
2
d
X(e
1
), d
X(e
1
) = (1 + hλ
1
)
2
, (2.98)
(1 + h
λ
2
)
2
d
X(e
2
), d
X(e
2
) = (1 + hλ
2
)
2
. (2.99)
Por outro lado, usando as equações (2.8) e (2.9) e (2.96) e (2.97), temos
que:
d
N(e
1
), d
X(e
1
) =
1
1 + h
λ
1
(1 + hλ
1
)L
1
1
+ dh(e
1
)L
3
1
, (2.100)
d
N(e
2
), d
X(e
2
) =
1
1 + h
λ
2
(1 + hλ
2
)L
1
1
+ dh(e
2
)L
3
1
. (2.101)
Assumamos que Ω
i
= 0, e dh(e
i
) = 0 com 1 ≤ i ≤ 2. Então de (2.53) e
(2.54) tem-se que:
L
1
1
+ Z
1
L
3
1
=
∆ + 1
2Z
1
L
3
1
, (2.102)
L
2
2
+ Z
2
L
3
2
=
∆ + 1
2Z
2
L
3
2
. (2.103)
47
conseqüentemente
d
N(e
1
), d
X(e
1
) =
(1 + hλ
1
)(∆ + 1)
2Z
1
(1 + h
λ
1
)
L
3
1
, (2.104)
d
N(e
2
), d
X(e
2
) =
(1 + hλ
2
)(∆ + 1)
2Z
2
(1 + h
λ
2
)
L
3
2
. (2.105)
Concluímos, usando (2.94) - (2.95) e (2.98) - (2.99), que
λ
1
e
λ
2
são dados
por
λ
1
=
(∆ + 1)L
3
1
2dh(e
1
) − h(∆ + 1)L
3
1
se Ω
1
= 0, (2.106)
λ
2
=
(∆ + 1)L
3
2
2dh(e
2
) − h(∆ + 1)L
3
1
se Ω
2
= 0. (2.107)
onde L
3
1
e L
3
2
estão definidos em (2.12) e (2.15).
Observe que ∆ + 1 = S/W
2
, onde S é definida em(2.91).
Então
(∆ + 1)L
3
1
= 2
dS(e
1
)
S
− 2
dW (e
1
)
W
, (2.108)
(∆ + 1)L
3
2
= 2
dS(e
2
)
S
− 2
dW (e
2
)
W
. (2.109)
Conseqüentemente, segue de (2.60), (2.612) e do fato que h = Ω/W que
λ
1
e
λ
2
são dados por (2.94 e 2.95).
48
Se Ω
1
= Ω
1
≡ 0, isto é dh(e
1
) = dh(e
1
) ≡ 0, então Z
1
= Z
2
= 0 e
consequentemente temos de (2.4) e (2.5) que dZ
1
(e
2
) = dZ
2
(e
1
) = 0. Então,
obtemos de (2.3) que d∆(e
1
) = d∆(e
2
) = 0. Usando as equações (2.14) e
(2.19), concluímos que L
3
1
= L
1
1
= L
3
2
= L
1
2
= 0. Além disso, L
1
1
e L
2
2
são
determinado por (2.102 e 2.103). Agora segue que,
|d
X(e
1
)|
2
=
1 + hλ
1
− hL
1
1
2
, (2.110)
|d
X(e
2
)|
2
=
1 + hλ
2
− hL
2
2
2
. (2.111)
Desde d
N(e
1
) = L
1
1
e
1
e d
N(e
2
) = L
2
2
e
2
, obtemos:
d
X(e
1
), d
N(e
1
) = (1 + hλ
1
− hL
1
1
)L
1
1
, (2.112)
d
X(e
2
), d
N(e
2
) = (1 + hλ
2
− hL
2
2
)L
2
2
. (2.113)
Então, de (2.94) e (2.95) podemos obter que,
λ
1
=
L
1
1
1 + hλ
1
− hL
1
1
se Ω
1
≡ 0, (2.114)
λ
2
=
L
2
2
1 + hλ
2
− hL
2
2
se Ω
2
≡ 0. (2.115)
onde,
49
L
1
1
=
1
∆ + 1
2Z
1
ω
11
(e
1
) + 2Z
2
ω
21
(e
1
) + (∆ − 1)λ
1
quando Ω
1
≡ 0,
L
2
2
=
1
∆ + 1
2Z
1
ω
12
(e
2
) + 2Z
2
ω
22
(e
2
) + (∆ − 1)λ
2
quando Ω
2
≡ 0.
Usando (2.3) temos que ∆ + 1 = S/W
2
, ∆ − 1 = (S − 2W
2
)/W
2
e,
L
1
1
=
W T
1
+ λ
1
S
S
e L
2
2
=
W T
2
+ λ
2
S
S
.
onde T
1
e T
2
são definidos por (2.92) e (2.93) desde que,
1 + hλ
1
− hL
1
1
=
S − ΩT
1
S
e 1 + hλ
2
− hL
2
2
=
S − ΩT
2
S
.
Então, concluímos de (2.114) e (2.115) que (2.89) e (2.90) valem.
2.6 Teorema 5
Teorema 2.6.1. Seja S uma superfície de Dupin de R
3
cujas curvaturas
principais e direções principais correspondentes são determinadas através de
λ
1
, λ
2
e e
1
, e
2
respectivamente. Seja
S uma superfície de R
3
localmente
associada a S pela transformação de Ribaucour. Então
S é uma superfície
de Dupin se e somente se, as funções Ω
1
, Ω
2
, Ω e W satisfazem as seguintes
condições adicionais.
50
i) d
dS(e
1
)
Ω
1
(e
1
) = d
dS(e
2
)
Ω
2
(e
2
) = 0, sempre que Ω
1
= 0 e Ω
2
= 0;
ii) d
T
1
S
(e
1
)= d
T
2
S
(e
2
) = 0, sempre que Ω
1
= Ω
2
= 0,
onde S, T
1
eT
2
são dados por (2.91), (2.92) e (2.93).
Demonstração: 9. Assuma que Ω
1
= 0 ou Ω
2
= 0 isto é, h depende
de u ou de v. Desde que S seja uma superfície de Dupin, procede de
(2.87) e (2.88) que d
λ
1
(e
1
) = d
λ
2
(e
2
) = 0, se e somente se,
d
dS(e
1
)W + Ω
1
λ
1
S
Ω
1
S − ΩdS(e
1
)
(e
1
) = 0, (2.116)
d
dS(e
2
)W + Ω
2
λ
2
S
Ω
2
S − ΩdS(e
2
)
(e
2
) = 0. (2.117)
Usando (2.65) e (2.66), estas equações equivalem a
S(W + Ωλ
1
)
Ω
1
d(dS(e
1
))(e
1
) − dS(e
1
)dΩ
1
(e
1
)
= 0, (2.118)
S(W + Ωλ
2
)
Ω
2
d(dS(e
2
))(e
2
) − dS(e
2
)dΩ
2
(e
2
)
= 0. (2.119)
Desde que S(W + Ωλ
i
) e S(W + Ωλ
i
) sejam = 0, concluímos que i) está
satisfeita.
51
Se h é independente das variáveis u e v, isto é, Ω
1
≡ Ω
2
≡ 0, então
segue-se de (2.63), (2.64) e (2.65) e (2.66) que dΩ(e
1
) = dΩ(e
2
) = dW (e
1
) =
dW (e
2
) = 0 e dΩ
1
(e
2
) = dΩ
2
(e
1
) = 0. Além disso, vimos pelo teorema
(2.5.1) que
λ
1
e
λ
2
são determinados por (2.89) e (2.90). Conseqüentemente,
d
λ
1
(e
1
) = d
λ
2
(e
2
) = 0, se e só se,
(W + Ωλ
1
)
SdT
1
(e
1
) − T
1
dS(e
1
)
= 0, (2.120)
(W + Ωλ
2
)
SdT
2
(e
2
) − T
2
dS(e
2
)
= 0. (2.121)
Portanto, concluímos que ii) é satisfeita, o que prova teorema.
2.7 Superfície de Dupin
Definição 2.7.1. Uma superfície S ⊂ R
3
é dita uma Superfície de Dupin
se suas curvaturas principais forem constantes ao longo das correspondentes
linhas de curvaturas. Sempre que as curvaturas principais forem constantes,
S também é chamada de uma superfície isoparamétrica.
Quando a superfície for uma superfície de Dupin teremos sempre que
dλ
1
(e
1
) = dλ
2
(e
2
) = 0.
52
Capítulo 3
Aplicações da Transformação de
Ribaucour
Neste capítulo nós geraremos as superfícies de Dupin aplicando o teorema
(3.5.1) do capítulo anterior para o plano, o toro, cilindro e a esfera. Esses
exemplos nos mostrarão que a transformação de Ribaucour são usadas para
gerar superfícies de Dupin.
3.1 Aplicação ao Plano
Proposição 3.1.1. Considere o plano no espaço euclidiano R
3
, parametri-
zado por X(u, v) = (u, v, 0). Então,
X é uma superfície de Dupin para-
metrizada localmente e associada a X por uma transformação de ribaucour,
se e só se,
53
X = X −
2(f
1
+ f
2
)
(f
1
)
2
+ (f
2
)
2
+ c
2
(f
1
, f
2
, −c), (3.1)
onde
f
1
= a
1
u
2
+ b
1
u + c
1
, (3.2)
f
2
= a
2
v
2
+ b
2
v + c
2
. (3.3)
a
1
, a
2
, b
1
, b
2
, c
1
, c
2
∈ R e c = 0 .
Demonstração: 10. Como as curvaturas principais de X são λ
1
= λ
2
= 0
e a métrica E = G = 1 e F = 0, segue-se das equações (2.78) − (2.83) que
Ω = f
1
+ f
2
, W = c = 0, h =
Ω
c
, Ω
1
= f
1
e, Ω
2
= f
2
onde f
1
e f
2
são funções diferenciáveis. Para cada uma dessas funções, a
superfície
X dada por (2.71) é uma transformação de Ribaucour do plano.
Das equações (2.78) − (2.83) podemos escrever:
54
∂Ω
1
∂v
= 0 visto que
∂a
2
∂u
= 0. (3.4)
∂Ω
2
∂u
= 0 visto que
∂a
1
∂v
= 0. (3.5)
∂Ω
∂u
= Ω
1
e
∂Ω
∂v
= Ω
2
. (3.6)
∂W
∂u
=
∂W
∂v
= 0 pois, λ
1
= λ
2
= 0. (3.7)
Assim,
∂
∂v
∂Ω
∂u
= 0 ⇒
∂Ω
∂u
= f
1
(u). (3.8)
∂
∂u
∂Ω
∂v
= 0 ⇒
∂Ω
∂v
= f
2
(v). (3.9)
Integrando as equações (3.8) e (3.9) temos:
Ω = f
1
(u) + A(v). (3.10)
∂Ω
∂v
=
∂A
∂v
. (3.11)
Logo: Ω = f
1
(u) + f
2
(v) e de 3.7 concluímos que W = c = 0.
Além disso, das equações 3.6, 3.8 e 3.9, concluímos que
Ω
1
= f
1
e, Ω
2
= f
2
.
55
Agora, vamos impor que a superfície associada seja de Dupin.
Afim de obtermos a superfície de Dupin associada a X, vamos considerar
as expressões de (2.91 e 2.93) com Ω
1
= f
1
, Ω
2
= f
2
e W = c. Logo,
S = c
2
+ (f
1
)
2
+ (f
2
)
2
. (3.12)
T
1
= T
2
= 0. (3.13)
Derivando 3.12 temos,
dS
du
(e
1
) = 2f
1
f
1
. (3.14)
dS
dv
(e
2
) = 2f
2
f
2
. (3.15)
Se f
1
for uma função constante então,
dS
du
= 0. Como λ
1
= 0, concluímos
que
˜
λ
1
= 0 . De igual modo, concluímos que
˜
λ
2
= 0 se f
2
também for
constante, pois, λ
2
= 0.
Caso contrário, isto é, se f
1
, e f
2
não são constantes, concluímos do
teorema (2.6.1), que
X é uma superfície de Dupin, se e somente se,
d
dS(e
1
)
Ω
1
(e
1
) = d
dS(e
2
)
Ω
2
(e
2
) = 0.
Então segue-se que:
56
d
2f
1
f
1
Ω
1
= d
2f
1
f
1
f
1
= d ( 2.f
1
) = 0 ⇒ f
1
= 0. (3.16)
d
2f
1
f
1
Ω
1
= d
2f
2
f
2
f
2
= d ( 2.f
2
) = 0 ⇒ f
2
= 0. (3.17)
De (3.16) e (3.17) concluímos que existem escalares a
1
, a
2
, b
1
, b
2
, c
1
, c
2
∈
R, tal que:
f
1
= a
1
u
2
+ b
1
u + c
1
e f
2
= a
2
v
2
+ b
2
v + c
2
satisfazendo (3.2) e (3.3).
Se a
1
= a
2
= 0, e b
1
e b
2
= 0 então de (2.94) e (2.95) obtemos que
˜
λ
1
=
˜
λ
2
= 0. Se a
1
e a
2
= 0, então
˜
λ
1
=
4a
1
c
((f
2
)
2
− 4a
1
f
2
+ A
1
)
,
onde a constante A
1
= b
2
1
+ c
2
− 4a
1
c
1
e,
˜
λ
2
=
4a
2
c
((f
1
)
2
− 4a
2
f
1
+ B
1
)
,
onde a constante B
1
= b
2
2
+ c
2
− 4a
2
c
2
Assim, a superfície de Dupin é dada pela equação (3.1).
57
Nota: Na proposição (3.1.1) observa-se que a hiperfície de Dupin tem as
seguintes propriedades:
a) Geralmente, quando os coeficientes a
1
= a
2
e não nulos, então as curva-
turas
˜
λ
1
e
˜
λ
2
são distintas.
b) Se a
1
= 0 ou a
2
= 0, então
˜
X tem curvatura principal igual a zero. Em
particular, se a
1
= a
2
= 0 então,
˜
X é um subconjunto aberto do plano.
c) Se a
1
= a
2
= a = 0, concluímos que as curvaturas principais independem
dos parâmetros u e v e são dadas por
˜
λ
1
=
˜
λ
2
=
4ac
b
2
1
+ b
2
2
− 4a(c
1
+ c
2
)
isto é, são constantes e não nulas. Então,
˜
X é um subconjunto aberto
da esfera.
Com a parametrização do plano desta proposição obtivemos as seguintes
superfícies associadas pela transformação de Ribaucour. Na figura a seguir,
exibimos seis visualizações destas superfícies com os parâmetros configurados
para os valores que a acompanham.
58
Figura 3.1: Superfície associada ao Plano pela Transformação de Ribaucour
59
3.2 Aplicação ao Toro
Proposição 3.2.1. Considere o toro do R
3
cuja parametrização é dada por
X(u, v) = ((a + r.cosv).cosu, (a + r.cosv).senu, r.senv) .
˜
X será uma parametrização da superfície de Dupin localmente associada
a X pela transformada de ribaucour, se e somente se,
˜
X for dada por 2.75
onde
Ω
1
= −a
1
.sen(u) + b
1
.cos(u),
Ω
2
= −a
2
.sen(v)+b
2
.cos(v)−a
1
.cos(u).sen(v)−b
1
.sen(u).sen(v)−c
1
.sen(v)
Ω = (a + r.cosv).f
1
+ r.f
2
+ A, W = −f
1
.cosv − f
2
+ B.
f
1
= a
1
.cos(u) + b
1
.sen(u) + c
1
, (3.18)
f
2
= a
2
.cos(v) + b
2
.sen(v) + c
2
. (3.19)
onde a
1
, b
1
, c
1
, a
2
, b
2
, c
2
, A e B são constantes reais desde que Ω
2
≡ 0 então
Ω
1
≡ 0.
60
Demonstração: 11. As curvaturas principais do toro são dadas por
λ
1
=
cosv
a + r.cosv
, λ
2
=
1
r
.
Os coeficientes da métrica são dados por
a
1
= a + r.cosv a
2
= r.
Isto sucede das equações (2.78) − (2.83) que
Ω
1
= −a
1
.sen(u) + b
1
.cos(u), Ω
2
= −f
1
senv + f
2
(v).
onde f
1
e f
2
são funções diferenciáveis de u e v respectivamente. Além disso
Ω = (a + r.cosv).f
1
+ r.f
2
+ A W = −cosv.f
1
− f
2
+ B,
onde A e B são constantes.
Afim de usarmos o teorema (2.6.1) vamos considerar as funções S e T
i
definidas por (2.91) a (2.93) . Então,
S = f
2
1
+f
2
2
+(f
1
)
2
+(f
1
)
2
−2.f
1
.(f
2
.senv − f
2
.cosv)−2.B.(f
1
.cosv +f
2
)+ B
2
61
e
T
1
= 2(−Ω
2
.senv − W λ
1
) T
2
= −2W λ
2
.
Se Ω
1
e Ω
2
= 0 i = 1, 2, então teremos que
dS(e
1
)
Ω
1
e
dS(e
2
)
Ω
2
são inde-
pendente de u e v isto equivale a obtermos f
1
e f
2
satisfazendo as equações
(3.18) e (3.19) .
Se Ω
1
= Ω
1
≡ 0 então f
1
(u
1
) = c
1
, Ω
2
, W e S não dependem de u. Então
a condição ii) do teorema 2.6.1 é trivialmente satisfeita.
Se considerarmos Ω
2
= 0 então necessariamente temos que f
1
= c
1
e
f
2
= −c
1
.cosv + c
2
onde c
1
e c
2
= B são constantes reais. Neste caso, a
superfície associada é paralela ao toro e as curvaturas principais são
λ
1
=
−λ
1
1 + 2hλ
1
e
λ
2
=
−λ
2
1 + 2hλ
2
donde temos que h =
ac
1
+ rc
2
+ A
B − c
2
.
Com o Toro da proposição 3.2.1 vejamos algumas das superfícies associada
pela Transformação de Ribaucour com segue-se abaixo.
62
Figura 3.2: Superfície associada ao Toro pela Transformação de Ribaucour
63
3.3 Aplicação a um Cilindro
Proposição 3.3.1. Vamos considerar a parametrização do cilindro dado por
X(u, v) = (cosu, senu, v). Então
X é uma parametrização da superfície de
Dupin localmente associada a X pela transformada de ribaucour se, e somente
se,
X = X − ρ. ( ((c − f
1
).senu)
, (( c − f
1
).cosu)
, f
2
) (3.20)
onde ρ =
2(f
1
+ f
2
)
(f
1
)
2
+ (f
2
)
2
+ (c − f
1
)
2
e
f
1
= a
1
cosu + b
1
senu + c
1
+ c, (3.21)
f
2
= a
2
v
2
+ b
2
v + c
2
. (3.22)
e
a1, b
1
, c, c
1
, c
2
, b
2
, a
2
∈ R.
Demonstração: 12. As curvaturas principais e a métrica para a superfície
S são λ
1
= 1, λ
2
= 0 e a
j
= 1, para 1 ≤ j ≤ 2. Assim, decorre das equações
(2.78) a (2.83) que
64
Ω
1
= f
1
, , Ω
2
= f
2
, Ω = f
1
+ f
2
, W = −f
1
+ c e h =
Ω
(−f
1
+ c)
,
onde f
1
(u) e f
2
(v) são funções de u e v respectivamente.
Para qualquer uma dessas funções a parametrização da superfície
X defi-
nida por (2.75) é uma transformação de Ribaucour do cilindro. Afim de que
X seja uma superfície de Dupin vamos considerar a expressão definida por
(2.91)
S = ( −f
1
+ c)
2
+ (f
1
)
2
+ (f
2
)
2
,
e
T
i
=
2(f
1
− c) se i = 1,
0 se i ≥ 2
Vamos primeiramente assumir que Ω
i
= 0 isto é, f
i
é uma função não
constante de u ou v, onde
dS(e
i
)
Ω
i
=
2(f
1
− c) + 2f
1
se i = 1,
2f
i
se i ≥ 2
Portanto, a condição i) do teorema (2.6.1) é satisfeita se, e somente se f
i
e f
j
são dadas como em (3.21) e (3.22). Além disso, as curvaturas principais
associada são dadas por
65
λ =
2c
1
W + S
S − 2Ωc
1
se i = 1,
4c
i2
W
S − 4Ωc
i2
se i ≥ 2.
Se Ω
i
= 0 para algum i, isto é, f
i
= c
i
é uma constante, c
1
= c se i = 1.
Então a condição ii) do teorema (2.6.1) é trivialmente verificada e
λ =
−(c − c
1
)
2
+ (f
2
)
2
(c − c
1
)(c + c
1
+ 2f
2
) + (f
2
)
2
se i = 1,
0 se i ≥ 2
Concluímos então que, em ambos os casos as funções f
1
e f
2
são dadas
por (3.21) e (3.22). De (3.48) obtemos a superfície de Dupin associada que
é dada por (3.20).
Com o Cilindro da proposição (3.3.1) obtivemos as seguintes superfícies
associada pela Transformação de Ribaucour com segue-se abaixo. Veja figu-
ras abaixo:
66
Figura 3.3: Superfície associada ao Cilindro pela Transformação de Ribau-
cour
67
3.4 Aplicação a uma Esfera S
2
Proposição 3.4.1. Considere a esfera S
2
cuja parametrização é dada por
X(u, v) = (senucosv, senusenv, cosu). Então
X é uma parametrização de
uma superfície de Dupin localmente associada a X,se e somente se,
X é dada
por (2.71) onde
Ω
1
= cosuf
2
+ f
1
, Ω
2
= f
2
. (3.23)
Ω = senuf
2
+ f
1
, W = −(senuf
2
+ f
1
). (3.24)
e
f
1
= a
1
cosu + b
1
senu + c
1
(3.25)
f
2
= a
2
cosv + b
2
senv + c
2
. (3.26)
onde a
1
, b
1
, c
1
, a
2
, b
2
, c
2
são constantes reais.
68
Demonstração: 13. As curvaturas principais da superfície M são dadas
por λ
1
= λ
2
= 1. A primeira forma fundamental de M fica escrita como
ds
2
= a
2
1
du
2
+a
2
2
dv
2
onde, a
2
= senu e a
1
= 1. Decorre da equação(3.4), (3.5)
e (3.6) que Ω
1
, Ω
2
, Ω e W são dados como em (3.21) e (3.22), onde f
1
e f
2
acima definidas são funções diferenciáveis.
Para obtermos a superfície de Dupin
X localmente associada a X pela
transformada de Ribaucour, vamos considerar as equações de S , T
1
e T
2
de
(2.91) a (2.93) que ficam escritas da seguinte maneira:
S = f
2
1
+ f
2
2
+ 2f
2
(f
1
senu + f
1
cosu) + (f
1
)
2
+ (f
2
)
2
,
T
1
= −2W.
e
T
2
= −2W + 2cosuΩ
1
.
Consideremos inicialmente os casos para os quais as funções Ω
1
e Ω
2
são
não-nulas. Desde que Ω
1
ou Ω
2
= 0, podemos concluir do teorema 2.6.1 que
as funções f
1
e f
2
são dadas por (3.25) e (3.26).
Assuma Ω
1
≡ 0, então isto equivale a f
2
= c
2
e f
1
= −c
2
senu + c
1
, onde
c
1
= 0. Neste caso, não necessariamente temos que Ω
2
≡ 0. Então a condição
69
ii) do teorema (2.6.1) é satisfeita para i = 1, 2.
a) Para escolha geral das constantes envolvidas nas funções (3.25) e (3.26),
obtemos
λ
1
e
λ
2
são independentes de u
1
e u
2
e possuem multiplicidade
um.
b) se a
1
= a
2
= b
0
, b
1
= −c
2
e c
1
= 0 (ou seja Ω
1
= Ω
2
= 0), então
X tem
uma curvatura principal de multiplicidade 2, chamada
λ
1
=
λ
2
que é
uma função independente de u e v.
c) Se c
1
= 0 e c
2
+ b
1
= 0 então
λ
1
= 1 e
λ
2
= 1.
d) Se c
1
= 0, c
2
+ b
1
= 0 e a
2
2
+ b
2
2
= 0 então
λ
1
=
λ
2
= 1.
Assim, observamos que a transformação de Ribaucour transforma su-
perfícies de Dupin em outras superfícies de Dupin. Uma hiperfície
de Dupin cujas curvaturas principais tem multiplicidades constantes é
chamada de superfície própria de Dupin.
Com a esfera da proposição 3.4.1 e suas considerações obtivemos a se-
guinte superfície associada pela Transformação de Ribaucour com segue-se
abaixo. Veja figura a seguir.
70
Figura 3.4: Superfície associada a Esfera pela Transformação de Ribaucour
71
Capítulo 4
Conclusão
Conforme foi visto no teorema 1 e nos exemplos das aplicações apre-
sentadas, as superfícies associadas pela transformação de Ribaucour podem
ser obtidas sempre que restritas as hipóteses do teorema 1 e do teorema 3.
Percebemos que para certas superfícies como o plano por exemplo, as su-
perfícies associadas se parecem em alguns casos, com a de um parabolóide
hiperbólico e em outros com um subconjunto de uma esfera. Num caso par-
ticular assemelham-se a um subconjunto de um plano ou de um cilindro.
Já para o toro, os aspectos das superfícies obtidas assumiram características
bem diversificadas e desconhecidas das superfícies mais tradicionais. Porém
em alguns casos, a aparência de um elipsóide ou de um subconjunto de um
esfera podem ser percebidos sem dificuldades. Nos casos do cilindro e esfera
pode-se perceber mais ainda que as superfícies associadas possuem aspectos
insólitos quando comparados as superfícies a que estamos mais familiarizados.
Assim, transformação de Ribaucour leva superfícies de Dupin em superfícies
de Dupin.
72
Apêndice A
Scripts do Maple
Segue-se abaixo, os scripts feito no Maple para gerar cada umas das su-
perfícies apresentadas como aplicações deste trabalho. Cada um deles está
integrado ao JavaView.
A.1 Script do Plano
> restart: libname:
> installationPath:="C:\\Arquivos de programas\\Maple 10\\JavaViewLib";
> libname:=installationPath,libname:
> with(plots): with(linalg): with(JavaViewLib):
> a1:=1; a2:=1; b1:=1; b2:=-1; c1:=-1; c2:=1; c:=1;
> X:= (u,v) -> <u,v,0>;
> f1:= u -> a1*u^2+b1*u+c1;
> f2:= v -> a2*v^2+b2*v+c2;
73
> Diff1 := u -> 2*a1*u+b1;
> Diff2 := v -> 2*a2*v+b2;
> A:= (u,v) -> 2*(f1(u)+f2(v));
> A(0,10);
> B:= (u,v) -> Diff1(u)^2 + Diff2(v)^2 +c^2;
> B(0,0);
> Z := (u,v) -> <Diff1(u), Diff2(v),-c>;
> Y := (u,v) -> X(u,v) - ( A(u,v)/B(u,v) ) * (Z(u,v));
> plot3d(Y(u,v),u=-1..1,v=-1..1): runJavaView(%);
74
A.2 Script do Toro
> with(plots): with(linalg):
installationPath:="c:\\Arquivos de programas\\Maple 10\\JavaViewLib":
libname:=installationPath,libname: with(JavaViewLib):
> a:=7; r:=4; a1:=0; b1:=0; c1:=1; a2:=0; b2:=0; c2:=-4; A:=0; B:=0;
> X:= (u1,u2) -> < (a+r*cos(u2))* cos(u1), (a+r*cos(u2))*sin(u1), r*sin(u2)>;
> plot3d(X(u1,u2),u1=0..2*Pi,u2=-Pi/2..3*Pi/2,numpoints=2000):
> N:= (u1,u2) ->
< (a+r*cos(u2))*cos(u1)*r*cos(u2), (a+r*cos(u2))*sin(u1)*r*cos(u2),
(a+r*cos(u2)) * (sin(u1))^2 * r * sin(u2) +
+ (a+r*cos(u2))* (cos(u1))^2 * r * sin(u2)>;
> f1 := u1 -> a1 * cos(u1) + b1 * sin(u1) + c1;
> f2 := u2 -> a2 * cos(u2) + b2 * sin(u2) + c2;
> Diff1 := u1 -> -a1* sin(u1) + b1* cos(u1);
> Diff2 := u2 -> -a2* sin(u2) + b2* cos(u2);
> W:=(u1,u2) -> -f1(u1) * cos(u2) - f2(u2) +B;
> Omega:=(u1,u2) ->(a+r*cos(u2)) * ( a1 * cos(u1) + b1 * sin(u1) + c1 ) +
+ r* ( 2 * cos(u2) + b2 * sin(u2) + c2 )+A;
> Omega2 := (u1,u2) -> (7+4*cos(u2))*f1(u1)+4*f2(u2);
> Omega2(0,0);
> Omega1:= u1 -> -a1* sin(u1) + b1* cos(u1);
> Omega2:=(u1,u2) -> (-a2* sin(u2) + b2* cos(u2)) -
(a1 * cos(u1) + b1 * sin(u1) + c1) * sin(u2);
75
> Z:=(u1,u2) -> (Omega1(u1))^2+(Omega2(u1,u2))^2 + (W(u1,u2))^2;
> expand(Z): simplify(Z):
> Y := (u1,u2) ->
X(u1,u2) - (2*Omega(u1,u2)/Z(u1,u2) ) * ( (-W(u1,u2))*(N(u1,u2)) );
> Y(u1,u2);
> plot3d(Y(u1,u2), u1=-Pi/2..Pi/2, u2=-Pi/2..Pi/2, numpoints=1900);
76
A.3 Script do Cilindro
> restart: libname:
> installationPath:="C:\\Arquivos de programas\\Maple 10\\JavaViewLib":
> libname:=installationPath,libname:
> with(plots): with(linalg): with(JavaViewLib):
> a1:=2; b1:=1; c1:=0; c:=0; a2:=0; b2:=0; c2:=0;
> X:= (u,v) -> <cos(u),sin(u),v>;
> f1 := u -> a1*cos(u)+b1*sin(u)+c+c1;
> f2:= v -> a2*v^2 + b2 *v + c2;
> Diff1 := u -> -a1*sin(u)+b1*cos(u);
> Diff2 := v -> 2*a2 *v+ b2;
> A:=(u,v) -> 2*((a1*cos(u)+b1*sin(u)+c+c1)+(a2*v^2 + b2 *v + c2));
> B:=(u,v) -> ( -a1*sin(u)+b1*cos(u) )^2 + ( 2*a2 * v+ b2 )^2 +
+(c-(a1*cos(u)+b1*sin(u)+c+c1))^2;
> C:=(u,v) -> A(u,v)/B(u,v);
> Z := (u,v) ->
< (a1*sin(u)-b1*cos(u)) * sin(u) + cos(u) * (-a1*cos(u)-b1*sin(u)-c1) ,
(a1*sin(u)-b1*cos(u)) * cos(u) - sin(u) * (-a1*cos(u)-b1*sin(u)-c1) ,
2*a2 *v+ b2 >;
> Y := (u,v) -> X(u,v)- A(u,v)/B(u,v) * Z(u,v);
> plot3d(Y(u,v),u=-1..1,v=-1..1,numpoints=800,lightmodel=light2);
> runJavaView(%);
77
A.4 Script da Esfera
> with(plots): with(linalg):
installationPath:="c:\\Arquivos de programas\\Maple 10\\JavaViewLib":
libname:=installationPath,libname: with(JavaViewLib):
> a1:=0; b1:=2; c1:=3; a2:=-1; b2:=0; c2:=6;
> X:= (u1,u2) -> < sin(u1)*cos(u2), sin(u1)*sin(u2), cos(u1)>;
> plot3d(X(u1,u2),u1=0..2*Pi,u2=Pi..2*Pi,numpoints=2000):
> N:= (u1,u2) ->
< ( sin(u1) )^2 * cos(u2), ( sin(u1) )^2 * sin(u2), cos(u1)* sin(u1) >;
> f1 := u1 -> a1 * cos(u1) + b1 * sin(u1) + c1;
> f2 := u2 -> a2 * cos(u2) + b2 * sin(u2) + c2;
> Diff1 := u1 -> -a1* sin(u1) + b1* cos(u1);
> Diff2 := u2 -> -a2* sin(u2) + b2* cos(u2);
> W:=(u1,u2) -> - ( sin(u1) * f2(u2) + f1(u1));
> Omega:=(u1,u2) -> -(sin(u1) * f2(u2) + f1(u1));
> Omega1 := (u1,u2) -> cos(u1)* f2(u2) + Diff1(u1);
> Omega2:= (u2) -> -a2 * sin(u2) + b2 * cos(u2);
> Z:=(u1,u2) -> (Omega1(u1,u2))^2+(Omega2(u2))^2 + (W(u1,u2))^2;
> expand(Z): simplify(Z):
> Y := (u1,u2) ->
X(u1,u2) - (2*Omega(u1,u2)/Z(u1,u2) ) * ( ((Omega1(u1,u2) +
78
+ Omega2(u2))-W(u1,u2))*(N(u1,u2)) );
> plot3d(Y(sinh(u1),u2), u1=-Pi..Pi, u2=-Pi..Pi, numpoints=9000);
> runJavaView(%);
79
Referências Bibliográficas
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81
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