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MARILENE ROSA DOS SANTOS
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO ÁREA DE
PARALELOGRAMO: UM ESTUDO SOB A ÓTICA DO CONTRATO
DIDÁTICO E DAS VARIÁVEIS DIDÁTICAS.
UFRPE
PERNAMBUCO
2005
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2
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS
NÍVEL DE MESTRADO
MARILENE ROSA DOS SANTOS
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO ÁREA DE
PARALELOGRAMO: UM ESTUDO SOB A ÓTICA DO CONTRATO
DIDÁTICO E DAS VARIÁVEIS DIDÁTICAS.
Dissertação apresentada à Banca
Examinadora do Programa de Pós-
graduação em Ensino das Ciências da
Universidade Federal Rural de
Pernambuco, como exigência parcial para
obtenção do título de MESTRE EM
ENSINO DAS CIÊNCIAS, sob orientação
da Professora Doutora Paula Moreira Baltar
Bellemain.
UFRPE
RECIFE
2005
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3
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO ÁREA DE
PARALELOGRAMO: UM ESTUDO SOB A ÓTICA DO CONTRATO
DIDÁTICO E DAS VARIÁVEIS DIDÁTICAS.
MARILENE ROSA DOS SANTOS
Dissertação defendida e aprovada pela Banca Examinadora:
Orientadora:
___________________________________________________________
Paula Moreira Baltar Bellemain, Drª
Examinador externo:
_____________________________________________________
Profª Maria Auxiliadora Vilela Paiva, Drª
Examinador externo:
_____________________________________________________
Profº Paulo Figueiredo Lima, Dr.
Examinador interno:
_____________________________________________________
Profª Heloisa Flora Brasil Nóbrega Bastos, PhD.
RECIFE, 01 DE AGOSTO DE 2005
4
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________Local e Data:_____________
5
Ficha catalográfica
Setor de Processos Técnicos da Biblioteca Central – UFRPE
S237r Santos, Marilene Rosa dos
Resolução de problemas envolvendo área de parale-
logramo: um estudo sob a ótica das variáveis didáticas
e do contrato didático / Marilene Rosa dos Santos –
2005.
178 f. : il., tabs.
Orientador: Paula Moreira Baltar Bellemain
Dissertação (Mestrado em Ensino das Ciências) –
Universidade Federal Rural de Pernambuco. Departa-
mento de Educação.
Inclui referências e anexos.
CDD 372.7
1. Livro didático
2. Paralelogramo
3. Área do paralelogramo
4. Educação matemática
5. Contrato didático
6. Variável didática
I. Bellemain, Paula Moreira Baltar
II. Título
6
Agradecimentos
A Deus,
Por permitir que eu esteja agradecendo, dando-me forças e determinação para
continuar a jornada e por ter posto em meu caminho pessoas especiais, que
participaram deste trabalho e o enriqueceram, cada um a seu modo, cada um a seu
tempo.
Aos meus familiares,
Pelo amor expresso de várias formas: meu marido, Jorge Rafael, pela paciência,
compreensão, cooperação e apoio irrestrito; minha filha, Ranielle, que apesar dos
poucos anos de vida, demonstrou maturidade suficiente para compreender uma
mudança em nossas vidas; a Selma que ajudou a cuidá-la; a minha mãe, Marluce, que
sempre teve a preocupação em me propiciar condições para estudar; aos meus irmãos
pelo incentivo e in memória a minha filha, que não tive oportunidade de amamentá-la,
beijá-la e incentivá-la para o caminho do bem e do amor ao próximo.
A todos os professores do programa de Pós-graduação em Ensino das Ciências,
Pelos seus ensinamentos psicológicos, filosóficos, de teorias do conhecimento e de
tópicos, que me foram úteis não só para esta pesquisa, mas também para a vida.
Minha gratidão especial, a professora doutora Helaine Sivini, por tudo que me
ensinou, por saber quando eu precisava de ajuda e quando podia fazer sozinha.
Sempre me fez acreditar que eu seria capaz de realizar um bom trabalho.
A professora Drª Paula Baltar Bellemain,
Pela sugestão do tema para pesquisa, que veio ao encontro de minhas indagações.
Pela orientação dedicada, incentivo, apoio constantes e amizade nos momentos
difíceis.
Aos meus colegas de mestrado,
7
Pelos momentos de estudo e discussão, e em especial a Iraquitan, Marinalva,
Weydson, Vladimir, Eduardo, Fátima, Geni, Sandra, Gilberto, Isabel, Suzane, Gisella
e Gracivane, pelas valiosas sugestões, incentivo nos momentos mais difíceis e pela
amizade adquirida.
Aos companheiros de profissão,
Que me incentivaram a ingressar, em particular a Almeri Freitas, e concluir o
mestrado, em especial, a todos os professores da Escola Polivalente Maria do
Carmo Pinto Ribeiro, da Prefeitura da Cidade do Paulista, a Joseane Brito, Laércio
Gomes e Fernando que com competência fizeram a revisão do texto. A Marcos
Honorato pelos socorros em informática, facilitando meu trabalho. A Gilson Soares e
a Jorge Duarte por terem me ensinado a valorizar e gostar das grandezas
geométricas. Á escola, ao professor e os alunos que participaram da pesquisa, os
quais contribuíram significativamente com esse estudo.
Ao Grupo Pró-Grandeza,
Em especial ao professor Dr. Paulo Figueiredo Lima pelas contribuições teóricas que
deram suporte aos nossos estudos.
Aos professores,
Heloisa Bastos, Paulo Figueiredo, Paula Baltar e Verônica Gitirana que participaram
da qualificação e da pré-banca contribuindo significativamente para o nosso estudo.
A professora Maria Auxiliadora Vilela Paiva pela participação na banca, pelos
comentários e valiosas sugestões.
8
RESUMO
Esta pesquisa teve por objetivo investigar as possíveis relações entre a abordagem
da área do paralelogramo em uma coleção de livros didáticos para as séries finais
do ensino fundamental e os procedimentos utilizados pelos alunos de uma 8ª série
na resolução de problemas relativos a esse tema. A fundamentação teórica está
alicerçada no modelo de área como grandeza, proposto nos trabalhos de Douady &
Perrin-Glorian e Bellemain & Lima e na Teoria das Situações Didáticas desenvolvida
por Brousseau e seus seguidores, particularmente nas noções de contrato didático e
variável didática. Os procedimentos metodológicos inspirados em Bessot & Le Thi
Hoai, consistiram na análise de uma coleção de livros didáticos de Matemática,
seguida da aplicação de um teste com alunos, usuários dos livros. Participaram
desta pesquisa 21 alunos da 8ª série de uma escola pública da cidade do Recife. As
atividades do teste foram elaboradas de forma que rompessem com algumas regras
de contrato didático supostamente vigente e os valores das variáveis didáticas
identificadas fossem ora aqueles predominantes na coleção de livros didáticos, ora
valores não habituais. As análises dos resultados indicaram convergências e
divergências, entre a abordagem dos livros e os procedimentos dos alunos
referentes à área do paralelogramo. Por exemplo, tanto na coleção como nos
procedimentos dos alunos, o lado tomado como base é geralmente o horizontal
(mesmo quando não se trata do lado de maior comprimento). Os livros didáticos
analisados focalizam inicialmente a medida de área e apenas em um momento
posterior trabalham a invariância da área por decomposição e recomposição. Esta
escolha diverge daquela indicada na revisão de literatura segundo a qual a
associação precoce da superfície a um número favorece a confusão entre as
grandezas comprimento e área. Contrariamente à nossa expectativa, nas atividades
propostas a maioria dos alunos mostrou distinguir área e perímetro.
PALAVRAS-CHAVE: Livro didático, área do paralelogramo, contrato didático e
variável didática.
9
ABSTRACT
This research had the objective to investigate the possible relation between the
concept of parallelogram area in a didactic book collection for the last grades of
elementary school and the procedures used by students of an 8
th
grade class in the
solutions to the problems related to this theme. The theoretical fundation is based on
the model of area as magnitude, as it is in the works of Douady & Perrin-Glorian and
Bellemain & Lima and in Theory of didactic situations developed by Brousseau and
his disciple, particulary by the notions of didactic contract and didactic variables.The
methodological procedures inspired by Bessot & Le Thi Hoai, consisted on the
analysis of a collection of didactic Mathematics books, followed by the application of
a test with students, users of the books. Twenty-one students of an 8
th
grade class of
a federal public elementary school took part in this research in the city of Recife. The
activities proposed were made in order to look alike on the books, but breaking with
some rules of the didactic contract suppose standing the value of the didactic
variables identified it was, in the time predominant in the didactic book collection, in
the time value not used. The analysis of results indicated convergence and
divergence among the abordage of the books and procedures by the students about
the parallelogram area. For example, in the collection like in the procedures of the
students, the side like base is generally the horizontal side (also when it´s not
aborded the greatest side). The didactic book analyzed for beginning the measure of
area only in a posterior moment worked the constancy of the area for decomposition
and composition. This choice is against that one indicated in literature revision by the
premature association of the surface to a number help the confusion between the
magnitude length and area. Contrary to our expectation, on the activities proposed to
great part of the students showed to discolour area and perimeter.
KEY-WORDS: Didactic book, Parallelogram area, Didactic Contract and – Didactic
variables.
10
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS 10
LISTA DE QUADROS 11
LISTA DE FIGURAS 12
INTRODUÇÃO
14
CAPÍTULO 1 – REVISÃO DA LITERATURA, FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E
PROBLEMÁTICA.
18
1.1 - Grandezas Geométricas na fronteira entre os campos das grandezas e
medidas e da geometria
20
1.2 – Estudos anteriores sobre o ensino e a aprendizagem do paralelogramo,
de área de superfícies planas e de área do paralelogramo.
23
1.3 – As noções de contrato didático e de variável didática 34
1.4 - Objetivos
43
CAPÍTULO 2 – PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
44
2.1 – Sujeitos 46
2.2 – A coleção analisada 47
2.3 - Explicitação de variáveis didáticas focadas 49
2.3.1 – Figura do paralelogramo 49
2.3.2 - Problemas envolvendo área do paralelogramo 51
2.4 – O teste
55
CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS
67
CAPÍTULO 4 – O TESTE
90
4.1 – Análise a priori das atividades propostas aos alunos da 8ª série: 91
4.1.1 – Atividade 1 91
4.1.2 – Atividade 3 97
4.1.3 – Atividade 4 100
4.1.4 – Atividade 5 102
4.1.5 – Atividade 6 104
4.2 – Análise de resultados das atividades aplicadas com alunos da 8ª série: 106
4.2.1 – Análise quantitativa dos testes 107
4.2.2 – Análise qualitativa: 109
4.2.2.1 – Análise qualitativa da atividade 1 109
4.2.2.2 - Análise qualitativa da atividade 3 112
4.2.2.3 - Análise qualitativa da atividade 4 117
4.2.2.4 - Análise qualitativa da atividade 5 122
4.2.2.5 - Análise qualitativa da atividade 6 127
CONSIDERAÇÕES FINAIS
133
REFERÊNCIAS
140
ANEXOS:
1- Quadro com a análise dos livros didáticos
143
2- Dedução da fórmula do paralelogramo no livro didático 146
3 - Análise dos resultados de cada teste 148
4 – Normas para publicação do artigo 149
5 - Artigo 151
11
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Desempenho dos alunos a respeito do conceito de área - SAEPE
(2003)
25
Tabela 2 - Freqüência da figura do paralelogramo na coleção analisada
72
Tabela 3 – Resultados relativos à posição da figura do paralelogramo na
coleção analisada
73
Tabela 4 - Resultados relativos à orientação do lado de maior comprimento na
coleção analisada
73
Tabela 5 – Resultados relativos à inclinação da figura do paralelogramo na
coleção analisada
74
Tabela 6 – Resultados relativos à natureza das soluções
85
Tabela 7 – Exposição das respostas de áreas corretas relativas à atividade 5
103
Tabela 8 – Resultados quantitativos do teste aplicado com 21 alunos da 8ª
série
108
12
LISTA DE QUADROS
Quadro 01: disposição das atividades em relação à posição dos lados do
paralelogramo
60
Quadro 02: disposição das atividades em relação à inclinação do paralelogramo
60
Quadro 03: disposição das atividades em relação à orientação do lado de maior
comprimento.
61
Quadro 04: disposição das atividades em relação à existência da figura
61
Quadro 05: disposição das atividades em relação à natureza das soluções
62
Quadro 06: disposição das atividades em relação aos dados dos problemas
62
Quadro 07: disposição das atividades em relação à posição do lado tomado como
base
63
Quadro 08: disposição das atividades em relação ao comprimento do lado tomado
como base
63
Quadro 09: disposição das atividades em relação à posição da altura traçada
64
13
LISTA DE FIGURAS
Figura 01- Paralelogramo prototípico na França segundo nossa interpretação
24
Figura 02 - Exemplos de problemas envolvendo área de paralelogramo
31
Figura 03 – Exemplos de paralelogramos com alturas interiores e exteriores
33
Figura 04 – Invariância da área com relação à escolha da base
33
Figura 05 – Triangulação da relação professor-aluno vista sob a ótica do saber
36
Figura 06 - Exemplos de paralelogramos na posição horizontal, vertical e oblíqua.
49/
50
Figura 07 -Exemplos de paralelogramos relativos à orientação do lado de maior
comprimento.
50
Figura 08 - Inclinação da figura do paralelogramo
51
Figura 09 – Exemplo de atividade com a presença da figura
51
Figura 10 – Exemplo de atividade que não exige um procedimento numérico e/ou
algébrico
52
Figura 11 – Atividade apresentando apenas os dados necessários para a sua
resolução
53
Figura 12 – Atividade onde existem dados desnecessários para a resolução
53
Figura 13 - Atividade onde não são fornecidos os dados imediatos
53
Figura 14 – Atividades onde o lado tomado por base está na horizontal, vertical e
oblíqua.
54
Figura 15 – Atividades onde a altura tomada é interior e exterior ao paralelogramo
55
Figura 16 – Paralelogramos da atividade 1
56
Figura 17 - Paralelogramos da atividade 2
57
Figura 18 - Paralelogramo da atividade 3
57
Figura 19 - Paralelogramo da atividade 4
58
Figura 20 - Paralelogramos da atividade 5
58
Figura 21 - Paralelogramo extraído do dicionário do livro didático na parte referente
à palavra paralelogramo.
71
Figura 22 – Exercício extraído do livro didático da 6ª série página 251
76
Figura 23 - Exemplo de base e altura extraída do livro didático da 7ª série página
196
78
Figura 24 – Exercício extraído do livro didático da 7ª série página 189
80
Figura 25 - Exercício extraído do livro didático da 7ª série página 192
81
Figura 26 – Exercício extraído do livro didático da 7ª série página 200
82
14
Figura 27 - Exercício extraído do livro didático da 7ª série página 201 questão 20
82
Figura 28 – Exercício extraído do livro didático da 7ª série página 202 questão 24
83
Figura 29 - Exercício extraído do livro didático da 7ª série página 202 questão 25
83
Figura 30 - Exercício extraído do livro didático da 8ª série página 142
84
Figura 31 - Exercício extraído do livro didático da 8ª série página 145
84
Figura 32 - Análise do protocolo A10 em relação à atividade 1
110
Figura 33- Análise do protocolo A20 em relação à atividade 1
110
Figura 34 – Análise do protocolo A13 em relação à atividade 1
111
Figura 35 – Análise do protocolo A08 em relação à atividade 3
113
Figura 36 - Análise do protocolo A18 em relação à atividade 3
114
Figura 37 - Análise do protocolo A21 em relação à atividade 3
115
Figura 38 - Análise do protocolo A15 em relação à atividade 3
116
Figura 39 – Análise do protocolo A04 em relação à atividade 4
118
Figura 40 - Análise do protocolo A17 em relação à atividade 4
119
Figura 41 – Análise do protocolo A15 em relação à atividade 4
120
Figura 42 - Análise do protocolo A21 em relação à atividade 4
121
Figura 43 - Análise do protocolo A19 em relação à atividade 4
122
Figura 44 - Análise do protocolo A07 em relação à atividade 5
124
Figura 45 - Análise do protocolo A21 em relação à atividade 5
126
Figura 46 - Análise do protocolo A18 em relação à atividade 5
126
Figura 47 - Análise do protocolo A09 em relação à atividade 6
128
Figura 48 - Análise do protocolo A07 em relação à atividade 6
129
Figura 49 - Análise do protocolo A08 em relação à atividade 6
130
Figura 50 - Análise do protocolo A11 em relação à atividade 6
131
15
INTRODUÇÃO
O objeto de estudo desta pesquisa é o ensino e a aprendizagem do conceito de área
e mais especificamente da área do paralelogramo.
Embora, na matemática escolar, geralmente considere-se área como um conteúdo
do campo da geometria, consideraremos aqui, em consonância com os trabalhos de
Douady & Perrin-Glorian (1989), como componente do campo das grandezas
geométricas.
O campo das grandezas geométricas, por sua vez, está inserido, de uma forma
geral, no estudo das grandezas e medidas, o qual nos Parâmetros Curriculares
Nacionais é considerado um “articulador entre diversos conteúdos matemáticos, por
proporcionar um vasto campo de problemas que permitem consolidar e ampliar a
noção de número e possibilitar a aplicação de noções geométricas”. (BRASIL,1997,
p.85).
O conceito de área, em particular, tem um papel importante no currículo de
Matemática da escola básica, por várias razões: sua aplicação no cotidiano e nas
práticas profissionais como, por exemplo, estimar a medida da área de um terreno,
pintar uma parede, colocar cerâmica no piso, etc.. Por permitir a articulação com
outros conceitos da Matemática, tais como: fração, produtos notáveis etc. Por
favorecer a conexão com outras disciplinas escolares como, por exemplo, Geografia,
quando se estuda escala, Física, no estudo de pressão. Para que o conceito de área
cumpra tais funções no currículo é necessária uma sólida construção conceitual.
Sabemos que durante muito tempo, o ensino do conceito de área foi marcado por
um foco muito forte, no treino das conversões de unidades e na introdução de
16
fórmulas sem que houvesse a atribuição do seu significado. E por isso, o processo
de ensino e aprendizagem do conteúdo área é permeado, por inúmeras dificuldades,
já constatadas por avaliações de rede, sondagens e pesquisas, em diversos países.
Na França, avaliações de rede, relatadas por Baltar
1
(1996, apud BELLEMAIN e
LIMA, 2002), indicam que os alunos, no nível equivalente ao 2º e 3º ciclos do Ensino
Fundamental brasileiro, têm, geralmente, aproveitamento inferior a 50% nas
questões sobre os conceitos de área e perímetro.
No Brasil, especificamente no Estado de Pernambuco, avaliações de rede,
realizadas pelo Sistema de Avaliação Educacional de Pernambuco – SAEPE (2003)
sobre o desempenho dos alunos, revelaram as dificuldades conceituais no campo
das grandezas geométricas e suas medidas, em especial área, cujos percentuais de
acerto, na grande maioria dos descritores, são inferiores a 35%.
O papel do conceito de área no currículo da escola básica e as dificuldades
conceituais de aprendizagem freqüentes justificam nossa escolha de tomá-lo como
objeto de estudo.
Nosso interesse se volta, de maneira particular, para a área do paralelogramo. Por
um lado, verifica-se a persistência de lacunas conceituais, em alunos, já apontadas
por diversas pesquisas, tais como: calcular a área do paralelogramo fazendo o
produto dos comprimentos dos lados, considerar o paralelogramo como retângulo
deformado, etc. Por outro lado, não encontramos na literatura pesquisada, estudos
que abordem, sob diferentes aspectos, esse tema.
Com o intuito de investigar os processos de ensino e aprendizagem da área do
paralelogramo, surgiu esta pesquisa, que consiste em investigar possíveis relações
entre a abordagem da área do paralelogramo em uma coleção de livros didáticos e
os procedimentos que os alunos da 8ª série do Ensino Fundamental apresentavam
na resolução de problemas, relativos a esse tema.
1
BALTAR, P. M. Enseignement et apprentissage de la notion d’aire de surface planes: une étude de l’acquisition des relations entre les
longueurs et les aires au collège. 1996. Tese (Doutorado em Didática da Matemática). Université Joseph Fourier, Grenoble.
17
Assim, as questões que nortearam a pesquisa eram:
• Quais as regularidades na coleção de livros didáticos, quanto à área e à figura do
paralelogramo?
• Quais os procedimentos dos alunos na resolução de problemas, envolvendo área
de paralelogramo?
• Que relações podem ser observadas entre as regularidades na coleção de livros
didáticos e os procedimentos dos alunos na resolução de problemas, envolvendo
área de paralelogramo?
Procuramos aprofundar nossa compreensão dos erros cometidos pelos alunos por
meio da análise de uma coleção de livros didáticos e da resolução de um teste por
alunos de 8ª série. Na busca de resposta as nossas indagações utilizamos as
noções de contrato didático e variável didática. Esses elementos teóricos são
conceitos da Teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU, 1986) que, por sua vez,
é uma teoria central da Didática da Matemática, a qual consideramos uma das linhas
da Educação Matemática.
A noção de contrato didático permite investigar as supostas expectativas dos alunos
em relação aos problemas propostos no livro didático e no teste. Consideramos o
livro didático como um representante do ensino na divisão de tarefas: uma parte sob
a responsabilidade de um professor e outra sob a responsabilidade do aluno, ambos
hipotéticos e usuários desse livro.
A noção de variável didática contribui no sentido de identificar características de
figuras e problemas no livro didático, que têm influência sobre as regras de
resolução utilizadas pelo aluno. Para cada uma das variáveis didáticas focadas,
evidenciamos valores predominantes e valores poucos freqüentes na coleção de
livros didáticos analisada.
O texto que se segue estrutura-se em cinco capítulos.
No primeiro, apresentamos a Revisão de literatura e Fundamentação teórica, as
quais conduziram à elaboração da problemática e conseqüentemente à explicitação
dos objetivos da pesquisa. Inicialmente realizamos uma discussão sobre as relações
18
entre a linha da Didática da Matemática francesa e da Educação Matemática como
um campo mais amplo. Em seguida, debatemos a escolha que é feita na pesquisa
de considerar as grandezas geométricas como fronteira entre os campos da
geometria e das grandezas e medidas. Apresentamos ainda, estudos relativos à
figura do paralelogramo, à área de superfícies planas e da área do paralelogramo. E
finalmente, discutimos as noções de contrato didático e variável didática.
No segundo capítulo, abordamos os procedimentos metodológicos, que se
inspiram naqueles utilizados por Bessot & Le Thi Hoai (1994). Analisamos uma
coleção de livros didáticos de Matemática e aplicamos um teste com alunos de uma
8ª série do Ensino Fundamental usuários deste livro, de forma que as atividades
propostas rompessem com algumas regras de contrato didático supostamente
vigente e os valores das variáveis didáticas identificadas fossem ora aqueles
predominantes na coleção de livros didáticos, ora valores não habituais.
O terceiro capítulo é dedicado à análise dos livros didáticos, por meio da qual
identificamos regularidades, as quais levam à caracterização de um contrato didático
relativo à área do paralelogramo, regendo as relações entre professor e alunos,
ambos hipotéticos, usuários dos livros da coleção.
O quarto capítulo é reservado à análise a priori e análise de resultados das
atividades do teste.
Nas considerações finais, tecemos comentários sobre a pesquisa e seus possíveis
desdobramentos. Em seguida, apresentamos nossa bibliografia e os anexos.
19
REVISÃO DA LITERATURA,
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E
PROBLEMÁTICA.
20
1- REVISÃO DA LITERATURA, FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E
PROBLEMÁTICA.
Esta pesquisa se insere em uma perspectiva teórica chamada Educação
Matemática, que segundo Pais (2001, p.10)
É uma grande área de pesquisa educacional, cujo objeto de estudo é a
compreensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao
ensino e à aprendizagem da matemática, nos diversos níveis da
escolaridade, quer seja em sua dimensão teórica ou prática.
Entre as várias tendências da Educação Matemática, destacamos na nossa
pesquisa, a Didática da Matemática, que teve sua origem segundo Gálvez (1999,
p.26):
a partir da atividade desenvolvida basicamente por matemáticos, nos
Institutos de Investigação acerca do Ensino das Matemáticas (IREM),
criados na França logo após a Reforma Educativa do final dos anos 60, com
a qual se deu impulso ao ensino da “matemática moderna”.
Inicialmente, os IREM dedicaram-se à formação continuada de professores,
produção de materiais de apoio para o trabalho docente e posteriormente à
produção do conhecimento para subsidiar a prática do professor e buscar otimizar as
relações entre ensino e aprendizagem. Para Chevallard et al. (2001, p.59), a:
Didática da matemática é a ciência do estudo e da ajuda para o estudo da
matemática. Seu objetivo é chegar a descrever e caracterizar os processos
de estudo - ou processos didáticos - para propor explicações e respostas
sólidas para as dificuldades com as quais se deparam todos aqueles
(alunos, professores, pais, profissionais, etc.) que se vêem levados a
estudar matemática ou a ajudar outros a estudá-la.
De acordo com o enfoque adotado na Didática da Matemática, professor e aluno
encontram-se em sala de aula assumindo papéis específicos, guiados pela
assimetria com relação ao saber em jogo: o professor tem por função ensinar
determinado saber matemático e o papel do aluno é aprender esse saber.
São, assim, estabelecidos os três elementos centrais do sistema didático – o
professor, o aluno e o saber matemático, objeto de aprendizagem, indicando que
esses elementos devem ser fortemente integrados entre si e em constantes
21
interações. Dessa forma, a Didática da Matemática defende o interesse de investigá-
los em suas interrelações.
É característica da Didática da Matemática estudar os fenômenos relacionados com
o ensino e a aprendizagem em Matemática, enfatizando a especificidade dos
conteúdos envolvidos, no nosso caso, área do paralelogramo.
Como explicitado na introdução, o conceito de área está inserido no campo das
grandezas geométricas. Segue-se então uma breve discussão da posição conceitual
das grandezas geométricas com relação aos campos da geometria e das grandezas
e medidas.
Com o intuito de situarmos mais precisamente nosso objeto de estudo, é feita a
revisão de literatura referente à figura do paralelogramo, do conceito de área de
superfícies planas e a área do paralelogramo. Nesse trabalho adota-se o modelo de
área como grandeza proposto por Douady e Perrin Glorian (1989) e utilizado nos
trabalhos de Bellemain e Lima (2002).
A fim de investigar os processos de ensino e aprendizagem da área do
paralelogramo escolhemos os conceitos de contrato didático e variável didática,
ambos elementos da Teoria das Situações Didáticas, a qual é o objeto da terceira
parte desse capítulo.
Tomando por base todos esses componentes, podemos estabelecer os objetivos:
geral e específicos da pesquisa.
1.1- Grandezas geométricas na fronteira entre os campos das grandezas e
medidas e da geometria.
De forma geral, na Matemática escolar, considera-se área como um conteúdo do
campo da geometria. Tal escolha encobre um aspecto central em nosso trabalho,
que será detalhado adiante: a consideração da área como uma grandeza associada
a figuras geométricas. Portanto, o conceito de área é aqui tomado como
22
componente do campo das grandezas geométricas. São também grandezas
geométricas comprimento, volume e ângulo.
As grandezas geométricas estão inseridas, de uma forma mais ampla, no campo das
grandezas e medidas, porém têm uma forte conexão com a geometria. De nosso
ponto de vista, as grandezas geométricas fazem a fronteira entre os campos das
grandezas e medidas e da geometria.
Além de favorecer a articulação com outros eixos da matemática, as grandezas
geométricas possibilitam a exploração de uma abordagem que destaca a presença,
utilidade social e a construção histórica do conhecimento matemático. Ao mesmo
tempo, pesquisas anteriores revelam, de uma forma geral, a existência de lacunas
conceituais relativas ao processo de ensino-aprendizagem dessas grandezas,
especialmente no Ensino Fundamental, como destaca Lima (1995, p. 49),
O ensino das grandezas geométricas faz parte de quase todo currículo
escolar nos últimos cem anos. No entanto, sob o ponto de vista da didática
desses conceitos, muitos problemas persistem, assegurando atualidade e
importância à discussão sobre eles. Na verdade, tal discussão faz parte de
uma reflexão mais ampla sobre o ensino do conceito de grandeza. Esse
conceito, que permeia a formação escolar desde o seu inicio, é
relativamente pouco investigado nos trabalhos em Educação Matemática.
Tanto o campo da geometria, como os das grandezas geométricas sofreram um
abandono na matemática escolar nas últimas décadas (PAVANELLO, 1993;
LORENZATO, 1995; PEREZ, 1995; CÂMARA DOS SANTOS & CÂMARA, 1999).
Um dos indícios desse abandono é a posição predominante dos capítulos dedicados
a esses temas no final do livro didático.
Observa-se mais recentemente uma tendência de resgate da importância desses
campos para a formação dos alunos, mas persistem grandes lacunas herdadas das
dificuldades intrínsecas ao tratamento dos conteúdos desses campos e amplificadas
pelo descaso com que foram tratadas na escola durante um longo período.
Desde o final da década de 90, com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN
propõe-se que os conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental sejam
organizados em 4 grandes blocos: Espaço e Forma, Grandezas e Medidas,
Números e Operações e Tratamento da Informação. A álgebra, no terceiro e quarto
ciclo, está inserida no bloco Números e Operações. Preconiza-se nesse documento
23
nacional de referência curricular, que os conteúdos sejam trabalhados de forma
articulada, privilegiando as conexões intra-matemáticas, da matemática com outras
disciplinas ou ainda com situações da vida cotidiana e das práticas sociais.
O bloco intitulado Espaço e Forma contempla o estudo das formas, as noções
relativas à posição, estudo dos ângulos, localização de figuras e deslocamento no
plano, sistemas de coordenadas, semelhança, transformações geométricas, etc. O
bloco das Grandezas e Medidas inclui o estudo das grandezas físicas (tempo,
temperatura, massa, etc.) e geométricas (comprimento, área e volume) e de suas
medidas.
O campo das grandezas e medidas é reconhecido nos PCN como um espaço
apropriado para a articulação com outros blocos do conhecimento, e em particular
quando se trata de conteúdos relativos às grandezas geométricas, existem ricas
possibilidades de interligações, proporcionando um vasto campo de problemas “que
permitem consolidar e ampliar a noção de número e possibilitar a aplicação de
noções geométricas” (BRASIL, 1998, p.85). Vale salientar que as grandezas
geométricas são abordadas nos PCN em todos os ciclos do ensino fundamental.
Como já foi dito, o conteúdo que nos interessa mais diretamente – área – é situado
nos PCN como um conteúdo do campo das grandezas e medidas. O mesmo ocorre
com as grandezas geométricas comprimento e volume e com os conceitos de
perímetro e capacidade associados. Apenas o conceito de ângulo, que do nosso
ponto de vista também é grandeza
2
situa-se no bloco Espaço e Forma.
Nos PCN, o conceito da área de superfícies planas inicia-se no 2º ciclo do Ensino
Fundamental. Focaliza-se no 3º ciclo o cálculo de área pela decomposição e/ou
composição em figuras de áreas conhecidas, enquanto que, no 4º ciclo volta-se para
a questão das fórmulas de áreas de figuras planas.
2
Para um aprofundamento da noção de grandeza, o leitor poderá consultar Bellemain e Lima (2002)
24
1.2- Estudos anteriores sobre o ensino e a aprendizagem do paralelogramo, de
área de superfícies planas e da área do paralelogramo.
Em observações assistemáticas constatamos que a figura do paralelogramo aparece
muitas vezes, no livro didático brasileiro ou na própria abordagem do professor, com
o lado de maior comprimento na posição horizontal, inclinação
3
para a direita e altura
interna. Dessa forma, os alunos, por vezes, não o reconhecem em outra posição, em
outra inclinação ou ainda apresentam dificuldades na resolução de problemas
envolvendo área do paralelogramo, quando a figura é diferente da habitual.
Pesquisa realizada por Brito, Pirola e Lima (1997), em uma escola pública do Estado
de São Paulo, com alunos de 1ª e 3ª séries do Ensino Médio, mostrou que poucos
sujeitos conseguiram relacionar o atributo “lados paralelos” à figura do
paralelogramo. Um fato que merece ser assinalado é que 46,7% dos estudantes da
3ª série do Ensino Médio não souberam definir esta figura. Supomos que uma das
justificativas para isso acontecer é o fato do aluno não distinguir o desenho e a figura
geométrica.
Para Capponi e Laborde (1994) o desenho é a representação gráfica de uma idéia,
enquanto que a figura geométrica é um objeto geométrico descrito pelo texto que a
define. Analisando a relação existente entre desenho e figura, afirmam que, no
ensino da geometria, parece não existir diferença entre esses dois conceitos e
ressaltam a complexidade dessa relação, alegando que a passagem de um para o
outro depende da interpretação e do conhecimento prévio de quem o analisa.
Esses autores enfatizam que “desenhos prototípicos de objetos geométricos
constituíram-se ao longo do tempo, resultantes de influências ao mesmo tempo
perceptivas e culturais” (p.53). Apresentam um desenho prototípico de
paralelogramo na França e explicitam no texto que a diagonal AC é perpendicular ao
lado AD. Para maiores esclarecimentos, a seguir apresentamos uma figura com
essas características:
3
Tomaremos aqui, o termo inclinação de maneira coloquial, designando para que lado o paralelogramo está
voltado, seja para a direita ou para a esquerda.
25
Figura 01: Exemplo de paralelogramo prototípico na França segundo nossa interpretação.
Observa-se que além da característica explicitada (perpendicularidade entre
diagonal e lado), o desenho prototípico de um paralelogramo na França apresenta
as características que apontamos anteriormente como freqüentes no ensino de
Matemática no Brasil: o lado de maior comprimento encontra-se na posição
horizontal e a inclinação do paralelogramo é para a direita.
Segundo Noirfalise (1990) as figuras prototípicas têm o papel de viabilizar
resoluções de problemas, na medida que elas condensam informações. Por isso,
não se pretende aqui abolir as figuras prototípicas. Entendemos que os protótipos
podem contribuir no processo de ensino, no sentido de introduzir uma noção, auxiliar
no resgate dos conhecimentos prévios como, por exemplo, usar a idéia de base
como um modelo de chão, mas que precisa ser ampliada para que não gere
problemas na aprendizagem.
Em relação à área de figuras planas, avaliações de rede realizadas no Brasil sobre o
desempenho dos alunos, como por exemplo, as do Sistema de Avaliação
Educacional de Pernambuco - SAEPE (2003), também revelam dificuldades
conceituais dos alunos a respeito das grandezas geométricas, em especial área,
como mostram os resultados gerais a seguir:
26
Tabela 1- Desempenho dos alunos a respeito do conceito de área – SAEPE (2003)
MODALIDADE
DESCRITOR CURRICULAR
PERCENTUAL DE
ACERTO
4ª Série
Ensino
Fundamental
• Reconhecer a conservação ou modificação de
medidas dos lados, do perímetro, da área em
ampliação e/ou redução de figuras poligonais
usando malhas quadriculadas.
• Comparar medida de grandezas utilizando
unidades de medida (comprimento, tempo e área)
convencionais, ou não.
• Resolver problemas envolvendo o cálculo e/ou
comparação de áreas de figuras planas,
desenhadas em malhas quadriculadas, ou não.
47,5%
44,1%
24,3%
8ª Série
Ensino
Fundamental
• Reconhecer a conservação ou modificação de
medidas dos lados, do perímetro, da área em
ampliação e/ou redução de figuras poligonais
usando malhas quadriculadas.
Resolver problemas envolvendo área de figuras
planas.
33,8%
19,1%
3ª Série do
Ensino Médio
Resolver problemas envolvendo o cálculo de área
de figuras planas.
Resolver problemas envolvendo a área total e/ou
volume de um sólido.
18,9%
15,2%
Também na França, avaliações de rede relatadas por Baltar (1996, apud
BELLEMAIN & LIMA, 2002) indicam que os alunos, no nível equivalente ao 2º e 3º
ciclos do Ensino Fundamental brasileiro, têm geralmente aproveitamento inferior a
50% nas questões sobre os conceitos de área e perímetro. Essa pesquisa revelou
também que os erros mais freqüentes entre os alunos avaliados são: confusão entre
área e perímetro, uso inadequado de unidades, utilização de fórmulas errôneas - ex:
área do paralelogramo tomada como o produto dos comprimentos de seus lados.
Sobre a evolução do conceito de área, Lima (1995, p.49) considera que:
Comparar superfícies para avaliar qual delas ocupa mais lugar no plano é
uma operação muito comum desde os tempos imemoriais. Para tornar mais
27
precisa essa comparação, os homens desenvolveram o processo de medir
a área de uma superfície. A palavra Geometria, como se sabe, é
testemunha da importância que a operação de medir a terra tem na origem
do conhecimento científico. Na medição de área atribuiu-se um número a
cada superfície, ou seja, constrói-se uma função com valores numéricos,
de modo que comparar superfícies reduz-se a comparar números. Nesse
processo, uma etapa central é a escolha de uma superfície à qual se atribui
o valor 1, ou seja, é a seleção de uma superfície unitária ou unidade de
medida.
Quanto à aprendizagem do conceito de área, um dos resultados importantes é a
classificação das concepções de área em dois pólos, as concepções geométricas
4
e
as concepções numéricas
5
, proposta por Perrin-Glorian e Douady
6
(1988, apud
BELLEMAIN e LIMA, 2002) e por Balacheff
7
(1988, apud BELLEMAIN e LIMA,
2002). Perrin-Glorian e Douady afirmam que alguns alunos desenvolvem uma
concepção forma ou uma concepção número ou ambas, mas de forma isolada.
As concepções numéricas para Perrin-Glorian e Douady (1988, apud BELLEMAIN e
LIMA, 2002) seriam aquelas, segundo as quais, o aluno só considera os aspectos
pertinentes para o cálculo. Então, uma vez que ele considera que a área é um
número ou que focaliza apenas o aspecto numérico, alguns erros associados a esta
concepção podem ocorrer, como por exemplo: a omissão ou utilização inadequada
das unidades de medida trabalhadas.
Para Balacheff (1988, apud BELLEMAIN e LIMA, 2002), as concepções geométricas
caracterizam-se pela confusão entre área e superfície, perímetro e contorno. Então,
um dos erros associados a essa concepção é, por exemplo, a confusão entre área e
perímetro.
A partir da caracterização dessas concepções geométricas e numéricas e da
identificação de erros decorrentes dessas concepções, Douady e Perrin-Glorian
(1989) propõem que a abordagem do conceito de área enquanto grandeza favorece
a construção das relações necessárias entre os aspectos geométricos e numéricos.
4
Também indicadas pelo termo “concepção forma”
5
Também indicadas pelo termo “concepção número”
6
PERRIN-GLORIAN M.J., DOUADY R. Conceptions des élèves à propos d’aires de surfaces planes. In
Laborde C. (org.) Actes du premier colloque Franco-Allemand de Didactique de Mathématiques et de
l’informatique. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1988. p.161-172
7
BALACHEFF, N. Processus de preuve chez des élèves de collège. 1988. Tese (doctorat d’état em Didactique
dês Mathématiques). Université Joseph Fourier, Grenoble.
28
Além disso, elas preconizam que uma associação precoce da superfície a um
número favorece o amálgama entre diferentes grandezas.
Compreendemos que a construção do conceito de área como grandeza articula-se,
portanto, com a superação de concepções numéricas e geométricas, pelo menos,
em nível local.
Na abordagem do conceito de área como grandeza, segundo essas pesquisadoras,
devem-se distinguir três quadros
8
:
• Quadro geométrico: constituído por superfícies planas;
• Quadro numérico: consistindo nas medidas das superfícies planas, que
pertencem ao conjunto R
+
;
• Quadro das grandezas: ao qual pertence a área - constituído por classes de
equivalência de superfícies de mesma medida.
Expressões compostas de um número e de uma unidade de medida são uma
maneira de designar área como grandeza.
Segundo essas autoras, a compreensão dos alunos em relação à construção do
conceito de área caracterizada acima é beneficiada pela abordagem de área como
grandeza autônoma, pois favorece a conexão entre os quadros geométrico e
numérico. Para tanto, é necessário que o aluno, antes de aprender a medir área,
diferencie área e superfície, assim como área e número. Além disso, é preciso
abordar, ainda nesse período, as diferenças entre área e perímetro.
Ainda sobre o conceito de área enquanto grandeza, concordamos com Bellemain e
Lima (2002, p.29), quando afirmam que:
A área de uma superfície plana aparece como um objeto matemático
distinto da superfície plana, pois superfícies diferentes podem possuir a
mesma área. Também se distingue do número que está associado a essa
superfície quando se escolhe uma superfície unitária para medi-la, pois
mudar a superfície unitária altera a medida de área, mas a área permanece
a mesma.
8
Para Douady (1986), um quadro é constituído por objetos da matemática, das relações entre esses objetos, de
suas formulações eventualmente diversas e das imagens mentais que o sujeito associa a um momento dado aos
objetos e suas relações.
29
Por tudo isso, adotamos a mesma hipótese de estudo de Douady e Perrin-Glorian
(1989, p.395), segundo a qual “o desenvolvimento no ensino do conceito de área
enquanto grandeza permite aos alunos estabelecer as relações necessárias entre os
dois quadros (geométrico e numérico)”.
Quanto à fundamentação matemática, recorremos a Bellemain e Lima (2002, p.121),
que apresentam, em consonância com a proposta de modelização de Douady e
Perrin-Glorian (1989), uma estrutura matemática referente ao conceito de área de
superfícies planas. Uma superfície é então um subconjunto limitado do plano
euclidiano. Consideramos uma função f, dita função área, definida num conjunto S
de superfícies, com valores em R
+
, e que possua três propriedades julgadas
apropriadas para caracterizarem a grandeza área:
• Positividade: f(A)>0, ∀ A∈ S
• Aditividade: f(A∪B) = f(A) + f(B), se A∩B=φ
• Invariância por isometrias: Se uma figura plana A é transformada em outra B, de
modo que a distância entre dois pontos quaisquer de A fica inalterada em B,
então f(A)= f(B)
Adotadas as propriedades acima, toma-se, então, um quadrado U, como superfície
unitária e f
U
a função área tal que f
U
(U) = 1. Então, estabelece-se, a medida de área
da superfície A, na unidade de medida U, representada por f
U
(A).
Assim, a função área permite construir no conjunto das superfícies planas, as
classes de equivalência das superfícies que têm a mesma área. Daí definirmos que:
Duas superfícies têm a mesma área se pertencem à mesma classe de
equivalência;
Duas superfícies têm áreas diferentes se não pertencem à mesma classe de
equivalência.
Em relação à grandeza comprimento, Bellemain e Lima (2004) propõem um modelo
análogo, no qual se consideram como objetos geométricos, curvas - incluindo
segmentos de reta e linhas poligonais. Estabelece-se uma função comprimento, que
atribui números reais – as medidas – a curvas de um conjunto apropriado. Assim, o
conceito de comprimento é definido como uma classe de equivalência de curvas que
30
‘têm a mesma medida’. Desse modo, o comprimento de uma curva fechada (seja ela
poligonal ou não) é o que chamamos de perímetro.
Os PCN propõem que as atividades com áreas devem ser baseadas em
procedimentos que favoreçam a compreensão das noções envolvidas. Alguns
desses procedimentos contribuem para a construção do conceito de área como
grandeza. Por exemplo, obter, pelo processo de decomposição e recomposição,
figuras que tenham mesma área que uma figura inicial, para as quais se dispõe de
meio de cálculo de área usando uma fórmula conhecida. Esse tipo de procedimento
reforça a idéia que figuras distintas podem ter mesma área, favorecendo a distinção
entre os quadros geométricos e das grandezas. Por outro lado, procedimentos de
medida por contagem, estimativas e aproximações contribuem para a compreensão
dos elementos envolvidos nas várias formas de medir área.
Voltando à reflexão sobre as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos
alunos, vamos retomar de maneira articulada três fontes de erros importantes,
segundo as pesquisas anteriores à nossa, como mencionado anteriormente:
confusão entre área e perímetro, uso de fórmulas errôneas e uso inadequado de
unidades.
Segundo os PCN é bastante freqüente, nos trabalhos com grandezas e medidas, os
alunos confundirem noções de área e de perímetro ou estabelecerem relações
incorretas entre elas. Esse documento enfatiza ainda que, uma das possíveis razões
para isso é que raramente os alunos são colocados ante situações-problema em que
as duas noções estejam presentes simultaneamente.
Sobre essa confusão entre área e perímetro, Baltar (1996, citada em BELLEMAIN e
LIMA, 2002, p.30) classifica a distinção entre área e perímetro sob, pelo menos,
quatro pontos de vista distintos:
• Topológico - segundo o qual os conceitos de área e de perímetro
correspondem a objetos geométricos distintos, a área sendo associada à
superfície e o perímetro a seu contorno;
• Computacional - que corresponde à aquisição das fórmulas de área e
perímetro de figuras usuais;
• Variacional – que consiste na aceitação de que área e perímetro não
variam necessariamente no mesmo sentido, de que superfícies de mesma
área podem ter perímetros distintos e vice-versa.
• Dimensional – evidenciando que uma superfície e seu contorno são
objetos matemáticos de naturezas distintas no que diz respeito às
31
dimensões, o que traz conseqüências imediatas sobre o uso das unidades
adaptadas à expressão das medidas de área e perímetro.
Quanto à utilização das fórmulas para o cálculo de área, os Parâmetros Curriculares
Nacionais alertam que:
experiência tem mostrado que os alunos que aprendem mecanicamente
fórmulas costumam empregá-las de forma também mecânica e acabam
obtendo resultados sobre os quais não têm nenhum tipo de crítica e
controle, além de as esquecerem rapidamente. ( BRASIL, 1998, p. 131)
Focalizando mais especificamente a área do paralelogramo, percebemos nas
pesquisas anteriores, referências importantes de dificuldades conceituais de
aprendizagem relativas aos elementos mencionados acima, particularmente ao uso
de fórmulas articulado com a distinção entre área e perímetro, tais como:
• Baltar (1996, apud BELLEMAIN e LIMA, 2002) apresenta alguns teoremas-em-
ação
9
errados, mobilizados pelos alunos quanto à área do paralelogramo, tais como:
* Dois paralelogramos de mesmos lados têm mesma área;
* A área de um paralelogramo é o produto das medidas de seus lados;
* Girar um lado do paralelogramo ao redor de um vértice conserva a área.
• Vinh Bang e Lunzer
10
(1965), Douady e Perrin-Glorian (1989) e Baltar (1996)
“observam que os alunos tendem a considerar o paralelogramo como retângulos
deformados, confundindo conseqüentemente as variações de área e perímetro.”
(BELLEMAIN e LIMA, 2002).
Diante do exposto, cabe mencionar que as dificuldades na dissociação entre área e
perímetro dos paralelogramos existem e que as pesquisas mostram que elas são
persistentes e reforçadas por teoremas-em-ação a respeito do conceito de área. Um
dos fatores que explica essas lacunas é que existe um foco no aspecto numérico e
da fórmula e numa forma mecânica e padronizada de se trabalhar o conceito de
área do paralelogramo.
Ao mesmo tempo, a crítica pertinente à maneira como o ensino vem sendo
estruturado, não parece suficiente para explicar as dificuldades dos alunos. Há
9
Segundo Vergnaud (1998): um teorema-em-ação é uma proposição que se supõe verdadeira
10
VINH BANG, LUNZER Conservations spatiales: Etude d’épistemologie génétique. Paris: PUF, 1965.
32
indícios de uma origem não apenas didática, mas também epistemológica para as
lacunas, erros e dificuldades dos alunos relativas a esse conteúdo, uma vez que em
contextos educacionais distintos, percebem-se semelhanças nítidas nos seus
comportamentos.
No entanto, não encontramos na literatura pesquisada, estudos que analisassem,
sob diferentes focos, a questão específica da área do paralelogramo e os erros
associados a ele, o que despertou de maneira particular, o nosso interesse por esse
tema. Focalizamos na nossa pesquisa os aspectos estático e didático do conceito,
deixando os aspectos epistemológico e dinâmico para pesquisas posteriores.
Freqüentemente, o conceito é apresentado ao estudante de forma pronta e acabada,
desvinculado de qualquer contexto. É o caso, por exemplo, do professor que ao
ensinar a maneira de calcular a área do paralelogramo, apresenta verbalmente a
fórmula: “a área do paralelogramo é a base vezes a altura”. Desse modo, deixa de
valorizar a invariância da área com relação à escolha do lado tomado como base e
de apresentar situações nas quais tal fórmula poderia ser aplicada. Neste caso, do
aluno é exigido apenas o conhecimento e a aplicação, geralmente mecânica, da
fórmula em exercícios artificiais.
Da mesma forma que, quando solicitado para calcular a área do paralelogramo, o
aluno aplica simplesmente a fórmula da área, pois apenas são dados no enunciado
e/ou na figura as medidas de comprimento de um lado e da altura relativa a esse
lado. Para melhor ilustração, observe o exemplo a seguir:
Figura 02: Exemplos de problemas envolvendo área de paralelogramo
33
Essa forma de apresentação do conceito se insere num processo de ensino-
aprendizagem de Matemática, amplamente criticado, no qual as fórmulas e regras
são trabalhadas sem compreensão e apenas baseadas no processo de repetição.
Retomando a frase: “a área do paralelogramo é base vezes a altura”, nos
questionamos que significado é atribuído aos termos base e altura? Nossa hipótese
é a de que existe uma polissemia
11
entre esses termos, tanto na língua materna
como na Matemática e que não são explorados suficientemente na escola.
Sabemos que a idéia de base na língua materna tem vários significados, entre eles
aquele ligado a chão, piso, alicerce, inclusive na matemática, quando pensamos, por
exemplo, na base de um cilindro.
Em relação à idéia de base e altura na Matemática, especificamente no
paralelogramo, identificamos pelo menos, dois significados: base no sentido de se
referir ao objeto geométrico, quando dizemos, por exemplo, “a base é este lado” ou à
grandeza comprimento, ao falarmos “a base mede 3 cm”. Desse modo, os conceitos
de base e altura permeiam o quadro geométrico e o das grandezas. No entanto, não
encontramos em pesquisas anteriores uma abordagem em que esse aspecto fosse
enfatizado, discutindo os possíveis reflexos dessas questões na aprendizagem.
Como vimos anteriormente, existem diferentes usos para as palavras base e altura e
essa diversidade de sentidos para as palavras poderá interferir na construção, pelo
aluno, do conceito de área do paralelogramo.
Do ponto de vista do objeto geométrico, pode-se considerar base como sendo
qualquer um dos lados do paralelogramo e a altura um segmento de reta
perpendicular, em que uma das extremidades é um vértice e a outra se situa na reta
suporte do lado oposto a ele.
11
De acordo com o Novo Dicionário Aurélio, século XXI, em sua versão eletrônica 3.0 publicada pela Lexikon
Informática e Editora Nova Fronteira, diz-se que há polissemia quando um termo é utilizado com várias
significações.
34
Do ponto de vista das grandezas, base é o comprimento do lado escolhido e a altura
é a distância entre os dois lados paralelos que são tomados como base.
Para isso, quando o lado tomado por base do paralelogramo é o de maior
comprimento é possível traçar alturas interiores ao paralelogramo. Do mesmo modo
que, se o lado tomado por base não for o de maior comprimento e dependendo da
inclinação da figura, qualquer altura traçada cairá no exterior do paralelogramo.
Podemos observar isto, na figura a seguir, em que o paralelogramo ABCD admite
altura interior. No entanto, as alturas do paralelogramo ABEF cairão no exterior da
figura:
Figura 03: exemplos de paralelogramos com alturas interiores e exteriores
Quanto à fórmula da área do paralelogramo, sabemos que é dada pelo produto do
comprimento de um dos lados pelo comprimento da altura relativa a ele.
Sendo assim, considere na figura a seguir, ABCD um paralelogramo, em que a e b
são comprimentos dos lados AB e BC respectivamente. Da mesma forma, x e y são
os respectivos comprimentos das alturas relativas a BC e AB. Os prolongamentos
dos lados AB e BC interceptam respectivamente as alturas y e x nos pontos E e E1,
determinando (pelo caso ângulo/ângulo/ângulo) triângulos semelhantes: BCE e
ABE1. Sendo assim:
y
x
=
b
a
. Logo, x.b = a.y
Figura 04: Invariância da área com relação à escolha da base
35
Portanto, a área de ABCD tanto pode ser dada pelo produto de x por b, como pelo
produto de y por a. Podemos então concluir que a área do paralelogramo é
invariante com relação à escolha do lado tomado como base.
Por tudo isso, neste estudo, um dos aspectos focalizados é identificar os erros
cometidos pelos alunos pesquisados, a respeito de resolução de problemas
envolvendo a área do paralelogramo.
Nosso foco não é saber quem errou ou quem acertou, simplesmente, mas sim
desvelar o conhecimento do aluno a respeito do nosso objeto de estudo. Então, o
erro nessa perspectiva tem um caráter de permitir compreender melhor o que nos
propomos a estudar nesta pesquisa. Dessa forma, concordamos com Pinto (2000)
em relação ao erro:
numa abordagem tradicional, o erro era observado pelo professor como
indicador do mau desempenho do aluno, um sintoma visível do seu
fracasso, assim como o acerto era o sinal mais evidente de seu sucesso
(...). Enquanto que, “uma decorrência do princípio construtivista é o fato de o
erro apresentar-se como uma oportunidade didática para o professor
organizar melhor seu ensino, a fim de criar situações apropriadas para o
aluno superar seus erros e apropriar-se dos conhecimentos necessários à
sua atuação efetiva na sociedade.(p. 11)
Portanto, entendemos que o conhecimento do erro pode ser, do ponto de vista do
ensino, um meio para atuar de maneira mais pertinente no sentido de contribuir para
a evolução do conhecimento dos alunos.
1.3 – As noções de contrato didático e de variável didática.
Partindo da idéia de erro citada acima e com o intuito de compreender melhor o
conhecimento dos alunos em relação à área do paralelogramo optamos por adotar a
ótica das noções de contrato didático e variável didática.
Por um lado, o contrato didático é um modelo criado pelo pesquisador para
investigar os direitos e deveres implícitos dos alunos e do professor, com relação
aos objetos do saber matemático ensinado. Por outro, a variável didática é uma
ferramenta importante na categorização dos problemas matemáticos a serem
propostos aos alunos, na elaboração de problemas adaptados para desestabilizar
36
regras de ação errôneas, na escolha de problemas que contribuam
significativamente para a aprendizagem e na análise dos procedimentos de
resolução mobilizados pelos alunos, inclusive nos erros cometidos. Ambas as
noções estão inseridas na Teoria das Situações Didáticas, proposta por Guy
Brousseau e seus seguidores.
Sabemos que no cotidiano da sala de aula há um conjunto de expectativas e regras,
freqüentemente implícitas, que determinam papéis desempenhados pelo professor e
pelos alunos no processo de ensino e aprendizagem.
Esse conjunto de regras ou comportamentos do professor em relação aos alunos, ou
vice-versa, que condiciona o funcionamento da educação escolar, seja no contexto
de sala de aula ou numa dimensão mais ampla, relativamente a um conhecimento
específico, chama-se contrato didático.
O termo didático na França, onde surgiu à noção de contrato didático, está
relacionado a conteúdos específicos e não à didática geral. No entanto, esta noção é
fortemente confundida com a noção de contrato pedagógico.
É comum observarmos, professores listarem regras de disciplina e de convivência,
combate à violência e outros elementos que não são específicos de um saber e
intitularem de contrato didático. No entanto, estão se referindo, de uma forma geral,
a contrato pedagógico, pois segundo Chevallard et al (2001, p.203) é ele que regula
as interações entre alunos e professores, as quais não dependem do conteúdo do
estudo, ou seja, regem os aspectos gerais que afetam o ambiente escolar não
específico do saber a ser estudado. Como bem enfatiza Aquino (2000, p.74) o
contrato pedagógico é o delineamento das rotinas de trabalho e de convivência entre
os parceiros, bem como suas justificativas nucleares.
Outra particularidade do contrato didático em relação aos demais contratos é o fato
de grande parte de suas regras ser implícita. Contudo, essas regras são muito
importantes numa relação didática, sendo fundamental para a aprendizagem.
37
CONTRATO
DIDÁTICO
Segundo Brousseau (1986, p.51), o contrato didático consiste em um:
conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos
e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo
professor.Esse contrato é o conjunto de regras que determinam, uma
pequena parte explicitamente, mas sobretudo implicitamente, o que cada
parceiro da relação didática deverá gerir e aquilo que, de uma maneira ou
de outra, ele terá de prestar conta perante o outro. Este sistema de
obrigações recíprocas se assemelha a um contrato. O que nos interessa é o
contrato didático, quer dizer a parte do contrato que é específica ao
conteúdo: o conhecimento matemático visado.
Nesse sentido, contrato didático é um elemento teórico que se desenvolveu nos
estudos franceses da Didática da Matemática, numa tentativa de explicar algumas
das causas de fracassos no ensino - aprendizagem e conhecer melhor a relação
professor-alunos em relação ao saber.
Então, o contrato didático existe no contexto de uma relação didática, a qual é
constituída do conjunto de trocas entre os alunos e o professor relativas ao saber.
Trata-se, portanto, de uma relação ternária, na qual nenhum dos três pólos do
triângulo pode ser isolado dos outros dois. Observe na figura a seguir, proposta por
Joshsua e Dupin (1993, p. 7), que todos os elementos estão em constantes
interações e a relação professor-aluno é vista sob a ótica do saber.
Figura 05- Triangulação da relação professor-aluno vista sob a ótica do saber
Embora acreditemos, baseadas nas teorias pedagógicas, que nas relações entre
professor e aluno ambos ensinam e ambos aprendem, na perspectiva da Didática da
Matemática focaliza-se o aspecto assimétrico, uma vez que professor e aluno têm
posições diferentes em relação ao saber que está em jogo na aprendizagem.
PROFESSOR
(com ideologia particular)
ALUNO(S)
(com uma estrutura cognitiva particular)
SABER
(submetido à transposição didática)
38
Por outro lado, se a relação do aluno com o saber é de uma forma no início do
processo de ensino-aprendizagem, ela deverá ter mudado ao final. Com essa
mudança em sua relação com o saber e desenvolvendo a partir daí, novos
conhecimentos, o contrato didático torna-se obsoleto. Para Jonnaert e Borght (2002,
p.167):
Se no início da atividade o professor detém as chaves do saber, o aluno,
por sua vez, formula muitas questões a propósito desse saber. Contudo, ao
final da aprendizagem, o aluno deve ter modificado essa relação com o
saber, sem o que ele não terá aprendido. O contrato didático tem como
principal função otimizar essas mudanças de relações com o saber. Mais do
que isso, são essas relações com o saber que permitem diferenciar o
contrato didático de qualquer outro envolvimento no qual a relação com o
saber não é um objetivo.
Desta forma, podemos perceber que o contrato didático não é estático, uma vez que
o estudante muda gradualmente sua relação com o saber. Jonnaert & Borght (2002,
p.177) destacam ainda que a relação didática está inserida no tempo.
Almouloud (1996) evidencia algumas regras de contrato didático, freqüentes no
ensino de Matemática, tais como:
• Na matemática, um problema resolve-se a partir de operações;
• Todos os dados necessários à resolução de um problema encontram-se no
enunciado, raramente são apresentados dados inúteis;
• Há sempre uma resposta para uma questão matemática e o professor a conhece.
Exemplificando as regras de contrato didático acima, no processo de ensino e
aprendizagem, Chevallard (1988, citado em Silva, 1999) analisa o entendimento de
97 alunos, entre 7 e 8 anos, quanto à resolução de um problema cujo enunciado
apresenta dados sem uma relação lógica entre si.
Esse problema, conhecido como A Idade do Capitão, tem o seguinte enunciado:
“Num navio há 26 carneiros e 10 cabras. Qual a idade do capitão?”. Dos 97 alunos,
76 calcularam a idade do capitão, realizando operações numéricas com os números
que aparecem no enunciado. O autor analisa as respostas dos alunos, deslocando a
questão da logicidade para a questão do contrato didático e conclui que a lógica que
rege o contrato didático é a de que um problema tem uma e uma só resposta e, para
se chegar a ela, todos os dados propostos devem ser utilizados.
39
Conclui-se que, diante das respostas dos alunos, existem regras vigentes, ainda que
implícitas, completamente internalizadas por eles. Regras essas que, quando
aplicadas, levam a uma gama de erros dos alunos e a incoerências no estudo
desses erros pelos professores.
Nessa primeira abordagem sobre o contrato didático, existem muitos elementos a
observar. Relacionaremos abaixo o que Brousseau
12
(1988, apud ARRUDA et al.,
2003), considera mais importante nesse jogo das relações entre professor-aluno-
saber:
Divisão de responsabilidade - a relação didática não é controlada, exclusivamente
pelo professor, pois a responsabilidade do aluno é levada em conta;
Conscientização do implícito - a relação didática funciona muito mais sobre as regras
“não faladas”, do que aquelas formuladas e explicitadas;
Relação com o saber - existe entre professor e aluno uma relação assimétrica com o
saber em jogo.
Construção da comunicação didática - o contrato didático fixa o papel do
conhecimento e da aprendizagem e é mediante a ele que se busca o que impede ou
favorece o acesso dos alunos ao conhecimento e, ainda, o que bloqueia a entrada
destes no processo da aprendizagem.
Uma das formas principais de evidência da existência do contrato didático é quando
um dos elementos (professor ou aluno) transgride algumas de suas regras, em
função do encaminhamento da prática pedagógica. Nesse momento, existe uma
ruptura no contrato que em muitos casos, precisa ser renegociado, conduzindo a
aprendizagens. Assim, o contrato didático tem um caráter dinâmico, pois através das
transgressões e rupturas surgem novas regras.
A título de exemplo, extraímos os comentários de Almouloud (1996, p. 83) sobre a
ruptura de contrato relativa ao ensino de Geometria, no nível equivalente às séries
finais do Ensino Fundamental na França.
O ensino de geometria no primeiro grau ( caso da França):
- Nas quinta e sexta séries: reconhecimento de figuras e de
configurações, saber usar os instrumentos de desenho para
12
BROUSSEAU, G “ Le contrat didactique: Le Milieu.” . RDM, Paris, v. 9, n. 3, p. 309-336, 1988
40
desenvolver as aptidões gráficas. As figuras são consideradas neste
níveis como objetos geométricos concretos nos quais se pode agir
diretamente, elas são significados dos termos utilizados para designa-
los.
- Nas sétima e oitava séries: os alunos deverão dar outro estatuto para as
figuras, aquele de representações de objetos ideais e abstratos. As
figuras desenhadas tomam o estatuto de significando.
Como podemos observar, o que antes os alunos podiam fazer na 5ª e 6ª série, ou
seja, tomarem medidas sobre a figura e conjecturarem em relação a ela, na 7ª e 8ª
não podem mais, isto é, houve uma ruptura do contrato didático, para que eles
avançassem em conhecimento. No entanto, muitos alunos têm dificuldade para
adaptar-se a essa renegociação do contrato.
Vale ressaltar também que nesses elementos do contrato didático encontra-se
também o processo de avaliação, pois geralmente o professor sinaliza o que parece
importante do conteúdo e o que ele espera do aluno no instrumento de avaliação,
sendo dessa forma um acesso a cláusulas de contrato didático.
Diversas pesquisas tentam explicar a estrutura e o funcionamento do contrato
didático em situações de ensino-aprendizagem, como por exemplo:
Medeiros (1999) realizou uma pesquisa com alunos da 5ª série do Ensino
Fundamental, com o objetivo de observar como a relação professor-aluno-
conhecimento, inserida no sistema didático e observada à luz do contrato didático,
podia ser alterada, em uma atividade com problemas abertos, comparando-as com
problemas fechados. Os resultados apontam para mudanças no contrato didático
durante a atividade com problemas abertos.
Na sua introdução no campo dos conceitos da didática, o contrato didático foi
definido em termos de expectativas, direitos e deveres de professor e aluno. No
entanto, alguns didatas escolheram não considerarem situações nas quais os alunos
e professores bem especificados estivessem efetivamente juntos, ou seja, reduzir o
contrato didático ao resultado da devolução. Eles buscaram nos livros didáticos,
regras ou indícios de cláusulas de contrato didático.
41
Assim, a pesquisa realizada na França, por Bessot e Le Thi Hoai (1994), com alunos
no nível equivalente ao 3º ciclo do Ensino Fundamental no Brasil, não se refere à
realidade da sala de aula. Elas analisam os livros didáticos, identificando regras de
contrato didático, e os procedimentos utilizados pelos alunos que usam esses livros,
quando os
problemas propostos rompem com o contrato didático em vigor, a
respeito do conceito da raiz quadrada. Acreditamos ser interessante o estudo acima
e nos propusemos a verificar se no caso da área do paralelogramo, o modelo
teórico-metodológico dessa pesquisa ajudaria a compreender os erros que os alunos
cometem.
Assim, a partir da análise da coleção de livros didáticos buscamos a divisão de
responsabilidade entre professor e aluno (ambos hipotéticos e usuários do livro)
quanto à resolução de problemas sobre área do paralelogramo. Em particular,
verificarmos de quem é a responsabilidade sobre a escolha do lado tomado por base
no cálculo de área.
Em seguida, verificarmos quais os procedimentos que os alunos utilizavam quando
os problemas propostos em um teste ora estavam em consonância com as
regularidades e regras identificadas, ora rompiam com as mesmas.
Outro elemento da Teoria das Situações Didáticas revelou-se útil em nossas
análises: a noção de variável didática, que permite caracterizar classes de
problemas associados a aspectos particulares, no nosso caso, área do
paralelogramo.
Segundo Grenier (1988), as variáveis didáticas são características do problema que
têm influência sobre as regras de resolução utilizadas pelo aluno, o que provoca
uma mudança no status das respostas.
Vamos exemplificar com um breve estudo de variáveis didáticas potenciais,
envolvidas em problemas relativos à medida de área de figuras planas no Ensino
Fundamental.
42
Uma primeira variável potencial é o tipo de figura. Valores possíveis dessa variável
são, por exemplo, retângulo, paralelogramo, círculo ou ainda figuras não usuais que
podem ser decompostas em figuras para as quais dispomos de métodos para medir
a área. Dependendo do tipo de figura, os procedimentos de resolução privilegiados
podem ser diversos: cálculo usando uma fórmula, decomposição e adição das áreas
de sub-figuras, decomposição e recomposição seguida do cálculo de área usando
uma fórmula, entre outros. Os diferentes valores de variável “tipo de figura”
conduzem ao favorecimento de distintos modos de resolução, envolvendo
conhecimentos diversos.
Suponhamos que seja fixado o valor “retângulo” para a variável “tipo de figura” e que
o retângulo seja desenhado junto ao enunciado da figura. Surgem então novas
variáveis didáticas a serem consideradas, com seus respectivos valores: o suporte
no qual é desenhado o retângulo (papel branco, papel quadriculado, papel
pontilhado, etc.), as medidas de comprimento dos lados (inteiras, racionais,
irracionais), as características das unidades de medida (as medidas de comprimento
dos lados do retângulo são dadas em uma mesma unidade, ou há necessidade de
fazer alguma conversão antes de calcular a área?) e assim por diante.
Com efeito, se o retângulo está desenhado na malha quadriculada, os seus lados
têm medidas de comprimento inteiras e o quadradinho de malha é tomado como
uma superfície unitária, os procedimentos de contagem da quantidade de unidades
de área necessárias para ladrilhar o retângulo, ou ainda a multiplicação do número
de linhas pelo número de colunas são favorecidos. O mesmo não ocorre se o
retângulo for desenhado em papel branco, as medidas de comprimento de seus
lados são irracionais e não há homogeneidade quanto às unidades de comprimento.
Neste segundo caso, o procedimento privilegiado consiste em realizar as conversões
de unidade necessárias e calcular a área, utilizando a fórmula A = b x h.
A identificação de variáveis didáticas é fortemente imbricada com o estudo das
dificuldades que os alunos encontram na resolução dos problemas e das respostas
corretas ou erradas que fornecem. Da mesma forma, os objetivos de aprendizagem
de uma situação problema são intrinsecamente ligados aos valores das variáveis. É,
43
portanto, necessário conhecê-las para otimizar as aprendizagens que estão
realmente em jogo.
Então, em um processo de ensino poderemos fazer escolhas de valores de variáveis
didáticas, para fortalecer o aparecimento de um determinado tipo de procedimento.
Essas variáveis vão permitir organizar uma seqüência de situações para conduzir a
aprendizagem visada.
Identificar variáveis didáticas e seus valores ajuda a construir situações didáticas
pertinentes. Em cada momento, fixar os valores de certas variáveis contribui para
fortalecer a mobilização de certos conhecimentos e desfavorecer a mobilização de
outros, em função das aprendizagens visadas.
Então, ao escolher diversos valores para a variável didática, o professor enriquece o
processo de ensino-aprendizagem, no sentido de fazer surgir vários conhecimentos
relativos a um mesmo conteúdo.
Por outro lado, em um processo de diagnóstico é importante conhecer as variáveis
didáticas e escolher valores para essas variáveis. Assim poderemos diferenciar o
aluno que está raciocinando certo, sobre determinado conteúdo, daquele que está
mobilizando uma concepção errônea, porém produzindo uma resposta correta.
Desse modo, os valores dessas variáveis podem permitir a utilização de um
conhecimento fora de seu domínio de validade, contribuindo para que o pesquisador
compreenda mais profundamente como o aluno está pensando.
Nessa pesquisa, partimos do pressuposto que as concepções dos alunos têm uma
validade em algum domínio, a questão é ver se as atividades do teste permitem sair
desse domínio e verificar se o conhecimento do aluno é correto ou se é errôneo e
está produzindo uma resposta correta,
Assim, a análise dos fenômenos relacionados ao ensino e à aprendizagem de
Matemática exige um estudo mais cauteloso da relação professor, aluno e saber.
Por isso, acreditamos que as noções de contrato didático e de variável didática
44
conjuntamente podem indicar alguns caminhos para melhor compreender esse jogo
de relações em torno do saber, em particular a área do paralelogramo.
Tomando a revisão da literatura relatada, definimos os seguintes objetivos para a
pesquisa, expostos a seguir:
1.4- OBJETIVOS
• GERAL
Investigar possíveis relações entre a abordagem da área do paralelogramo
em uma coleção de livros didáticos para as séries finais do Ensino Fundamental e os
procedimentos utilizados pelos alunos de uma 8ª série na resolução de problemas
relativos a esse tema.
• ESPECÍFICOS
o Identificar regularidades na coleção de livros didáticos, relativas aos
conteúdos área e paralelogramo, sob as óticas das noções de contrato
didático e de variável didática;
o Caracterizar os procedimentos, corretos e errôneos, utilizados pelos
alunos na resolução de problemas, envolvendo área de paralelogramo,
identificando indícios de concepções geométricas e numéricas, assim como
a construção do conceito de área como grandeza.
o Analisar as relações que podem ser observadas entre as regularidades na
coleção de livros didáticos e os procedimentos dos alunos na resolução de
problemas, envolvendo área de paralelogramo.
45
PROCEDIMENTOS
METODOLÓGICOS
46
2- PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Os procedimentos metodológicos desta pesquisa se inspiraram claramente no
estudo realizado por Bessot e Le Thi Hoai (1994) a respeito da noção de raiz
quadrada. Para tal, apoiamo-nos na hipótese adotada pela referida pesquisa, em
que as interrelações entre o texto-aula do livro e os exercícios revelam, em parte, um
contrato didático, uma vez que elas especificam o conjunto de ações legitimamente
exigidas dos alunos pelo professor, que adota os livros didáticos e reconhecidos
como tal pelos alunos, usuários do livro em relação ao conhecimento matemático em
foco, no nosso caso, área do paralelogramo.
Desse modo, tivemos na nossa pesquisa dois instrumentos de coleta de dados: a
análise documental de uma coleção de livros didáticos e a aplicação de um teste,
versando sobre a área do paralelogramo. As escolhas da coleção a ser analisada e
dos sujeitos da pesquisa são, portanto, intimamente interligadas.
Nos procedimentos metodológicos realizados por Bessot e Le Thi Hoai (1994), a
escolha inicial foi pela coleção de livros didáticos e posteriormente pela turma que
faz uso desse livro. No nosso caso, escolhemos a escola em função de sabermos
que a mesma desenvolve um trabalho com geometria e grandezas e medidas desde
a 5ª série. Assim, nossos sujeitos possuíam um conhecimento relativamente sólido
da questão em foco. A partir dessa decisão, propusemo-nos a analisar a coleção de
livros didáticos adotada na escola, mas consideramos que essa coleção é uma das
melhores no mercado, atualmente.
No decorrer da apreciação do livro didático, na elaboração do teste e na análise dos
resultados percebemos a necessidade de introduzir de maneira sistemática e
explícita a noção de variável didática.
Essa noção funcionou, implicitamente, desde o início da pesquisa, uma vez que
norteou a observação das regularidades, identificação de certas variáveis e de
valores privilegiados no livro didático. Assim como, na elaboração e realização das
primeiras análises a priori do teste. No entanto, ela foi tomando importância, no
sentido de permitir um estudo, sistemático e explícito, que tornou útil do ponto de
47
vista teórico, tanto para a pesquisa como para a construção de seqüências didáticas
em pesquisas posteriores.
Embora a noção de variável didática tenha permeado a pesquisa, como dissemos
anteriormente, de maneira implícita e assistemática desde o inicio da pesquisa, a
sua introdução tardia levou em algumas categorias, à ausência de certos valores,
que poderiam ter sido explorados no teste.
Nosso interesse era, portanto, identificar por meio da análise da coleção, regras de
contrato didático potenciais e valores de variáveis didáticas privilegiadas na
abordagem dos livros didáticos relativas à área do paralelogramo.
Partindo da caracterização acima, formulamos problemas, nos quais houvesse
rupturas com as supostas regras de contrato didático estabelecidas e com os valores
de variáveis didáticas privilegiadas nos livros da coleção. E finalmente, observamos
os procedimentos dos alunos na resolução dos problemas assim constituídos, e em
particular, os erros que eles cometem relativos à área do paralelogramo.
2.1 – Sujeitos
A pesquisa foi desenvolvida em uma escola pública da cidade do Recife, que
oferece o Ensino Fundamental a partir da 5ª série e o Ensino Médio.
A escolha por essa escola justifica-se porque contrariamente às pesquisas descritas
na introdução, os professores abordam conceitos de geometria e grandezas e
medidas desde a 5ª série e, desta forma, os alunos teriam conhecimento suficiente
para tratar o tema que é o foco da pesquisa. Além disso, por meio de entrevista
realizada na escola constatamos que os professores utilizam nas suas aulas o livro
didático adotado, embora não se limitem a ele.
Escolhemos uma 8ª série do Ensino Fundamental, composta por 27 alunos, com
idades que variavam entre 14 e 17 anos. Também, por meio de entrevista realizada
na escola constatamos que esses alunos estudam nessa instituição desde a 5ª série
e que são usuários do livro didático a ser analisado, desde esse período. Além
48
desses fatos, a escolha justifica-se, também, pelo fato de os alunos já terem
estudado alguns tópicos de geometria e grandezas e medidas em séries anteriores,
inclusive área de paralelogramo, o que possibilitaria provavelmente perceber
procedimentos de resolução e possíveis regras de contratos didáticos vigentes em
relação ao saber em foco.
Nossa hipótese é que o livro didático espelha razoavelmente um contrato didático
hipotético entre professor e alunos em relação ao saber em foco. Então, é a partir da
análise do livro didático que investigaremos o que está sob a responsabilidade do
professor e do aluno, ambos hipotéticos, usuários da coleção adotada na escola.
Verificando assim, as possíveis regras que regem a relação livro-aluno.
2.2 – A coleção analisada
A análise do livro didático permite ter acesso aos aspectos oficiais do objeto de
ensino, no caso a área do paralelogramo, pois existem indicadores lingüísticos que
dividem o texto do saber ensinado em: “texto-aula” sob a responsabilidade de um
professor hipotético utilizador do livro e “exercício” sob a responsabilidade do aluno.
Como podemos perceber no esquema a seguir:
Esquema 01: relativo à repartição de responsabilidade entre professor e aluno no livro didático.
Mesmo sem a presença física do professor, podemos identificar o que é
hipoteticamente da responsabilidade dele, quando adota o livro didático, e o que é
da responsabilidade do aluno que utiliza esse livro.
TEXTOS EXERCÍCIOS
Conteúdos no livro didático
TEXTO-AULA
Sob a responsabilidade do
professor
EXERCÍCIOS
Sob a responsabilidade do aluno
49
A coleção adotada na escola é MATEMÁTICA, cujos autores são Luiz Márcio
Imenes e Marcelo Lellis, na sua 1ª edição em 2000. A referida coleção é uma das
mais antenadas com a produção científica em Educação Matemática, hoje no
mercado. No guia do Programa Nacional do Livro Didático de 1999 foi recomendada
com distinção.
Optamos por analisar a coleção e não o livro específico da 8ª série, no qual o nosso
objeto de estudo está inserido, pelo fato dos PCN abordarem o conceito de área
desde a 5ª série e dos resultados preliminares da análise do livro didático apontarem
para uma abordagem de conteúdos em forma espiral, de modo que os temas são
apresentados para os alunos durante todo o Ensino Fundamental.
Para a análise dos livros da coleção foram tomados três focos: a figura do
paralelogramo, a abordagem do conceito de área e a área do paralelogramo. Para
tanto, os seguintes critérios de análise foram adotados:
• Freqüência e conexão com outros conteúdos: observamos a freqüência em que a
figura do paralelogramo aparece nos livros da coleção e os conteúdos com os
quais se conecta;
• Identificação de regularidades nas figuras do paralelogramo nos quatro volumes
da coleção;
• Caracterização da abordagem do conceito de área ao longo da coleção;
• Caracterização da relação existente entre texto-aula e exercícios nos capítulos
referentes à área do paralelogramo, a fim de identificarmos indícios de
regularidades e regras de contrato didático, entre o professor e o aluno, ambos
hipotéticos e usuários da coleção.
• Identificação das escolhas de valores de algumas variáveis didáticas relativas
aos conteúdos de área e paralelogramo privilegiados na coleção.
50
Dividimos nossa análise em dois grandes blocos: o primeiro, que trata da figura do
paralelogramo e o segundo, relativo aos problemas que envolvem a área dessa
figura.
2.3 – Explicitação das variáveis didáticas focadas
2.3.1- A figura do paralelogramo
14
Para a análise dos resultados dessa categoria adotamos três eixos importantes para
o nosso objeto de estudo: a posição relativa dos lados do paralelogramo, a
inclinação da figura e a orientação do lado de maior comprimento.
• Posição relativa dos lados do paralelogramo
Neste critério, analisamos se as figuras estavam desenhadas de forma que um dos
lados estivesse na horizontal, vertical ou ambas na posição oblíqua, com o objetivo
de verificarmos se o fato delas estarem em determinada posição influencia na idéia
de base pelo aluno. Com efeito, se a figura está sempre na mesma posição, a
tendência do aluno vai ser de reforçar uma idéia de base tipo “padrão” ou não vai
construir um conhecimento importante que é a invariância da área em relação à
escolha do lado tomado por base. Para maiores esclarecimentos, observe as figuras
a seguir:
Figura 06a: um dos lados na posição vertical
14
Consideramos os paralelogramos não-retângulos para essa análise.
51
Figura 06b : ambos os lados na posição obliqua Figura 06c: um dos lados na posição horizontal
• Orientação do lado de maior comprimento
15
Tomando como referência o paralelogramo que possui um dos lados na posição
horizontal, verificamos também se ele era ou não o de maior comprimento, pois
dependendo do tratamento dado à figura poderá induzir no aluno uma idéia de base,
como sendo, por exemplo, o lado horizontal e de maior comprimento. Observe as
figuras a seguir:
Figura 07a: Posição horizontal de menor comprimento
Figura 07b: Posição horizontal de maior comprimento
• Inclinação da figura
No mesmo sentido, observamos se os paralelogramos que possuíam um dos lados
na posição horizontal estavam inclinados para a direita ou para a esquerda, pois se
a figura do paralelogramo estiver sempre para uma determinada inclinação, o aluno
poderá não reconhecê-la em outra. A seguir estão as possibilidades de inclinação da
figura:
15
Além dos paralelogramos não retângulos, também não consideramos para essa análise os losangos.
52
Figura 08b: inclinação do paralelogramo para a direita
Figura 08a: inclinação do paralelogramo para a esquerda
2.3.2- Problemas envolvendo área do paralelogramo
Quanto aos problemas que envolvem área do paralelogramo, dividimos nossa
análise em: existência de figuras, natureza das soluções, dados fornecidos, posição
do lado tomado como base, comprimento do lado tomado como base e posição da
altura tomada.
• Existência de figura
Verificamos se nas questões, apresentadas nos livros dessa coleção, havia a
presença ou ausência de figuras, com o intuito de verificarmos se a existência ou
não de figura influencia na resolução do problema pelo aluno. Abaixo seguem
exemplos de duas questões, em que na primeira há a presença da figura do
paralelogramo e na segunda não:
1- Calcule a área do paralelogramo abaixo:
Figura 09: exemplo de atividade com a presença de figura
53
2- Seja um paralelogramo ABCD tal que o lado AB mede 6 dm e o lado BC mede 4 dm.
Sabendo que a altura relativa ao lado AB mede 3 dm, é possível determinar o comprimento
da altura relativa ao lado BC? Justifique sua resposta.
• Natureza das soluções
Observamos, também, se os problemas apresentados exigiam um procedimento
numérico e/ou algébrico, como por exemplo, nas atividades 1 e 2, descritas no item
anterior, ou não exigiam este tipo de procedimento, como na atividade a seguir:
1- Qual das figuras abaixo possui a maior área? Justifique a sua resposta
Figura 10: exemplo de atividade que não exige um procedimento numérico e/ou algébrico
• Dados fornecidos
Sabemos que uma das regras de contrato didático, em vigor no ensino, relativa à
resolução de problema indica que a imensa maioria das questões trabalhadas em
sala de aula fornece, apenas, os dados necessários e suficientes para resolver o
problema. Tal prática leva a uma compreensão, por parte do aluno, que não lhe
cabe selecionar os dados para resolver a questão, como é o caso, de forma mais
geral, da idade do capitão, relatado na nossa fundamentação teórica.
Em relação à área do paralelogramo, a literatura mostra também que um dos erros
freqüentes é aquele no qual o aluno realiza o produto dos comprimentos dos lados.
E dessa forma, se no problema só são fornecidos os dados necessários e
suficientes, o aluno não terá oportunidade de cometer o erro, para que ele seja
invalidado.
54
Por tudo isso, observamos os dados fornecidos para a resolução dos problemas nos
livros dessa coleção. A seguir apresentamos três atividades, a primeira com dados
necessários e suficientes, a segunda de forma que o aluno precisa decidir que
dados tomar para resolver a questão e a terceira não são fornecidos todos os dados
imediatos.
1- Calcule a área do paralelogramo abaixo:
Figura 11: exemplo de atividade apresentando apenas os dados necessários para a sua resolução
2- Calcule a área do paralelogramo abaixo:
Figura 12: exemplo de atividade onde existem dados desnecessários para a resolução
3- Calcule a área do paralelogramo abaixo:
Figura 13: exemplo de atividade onde não são fornecidos os dados imediatos
.
55
• Posição do lado tomado como base
Neste critério, tínhamos por objetivo verificar qual era a idéia de base que os livros
dessa coleção abordavam. Para isso, observamos se nos problemas que envolviam
área do paralelogramo, o lado tomado por base encontrava-se na posição horizontal,
vertical ou oblíqua. Observe, a seguir, exemplos de atividades onde os lados
tomados por base estão em diversas posições.
1- Calcule a área dos paralelogramos abaixo:
a) b)
Figura 14a: O lado tomado por base está na posição horizontal
Figura 14b: O lado tomado por base está na posição vertical
c)
Figura 14c: O lado tomado por base está na posição oblíqua.
• Comprimento do lado tomado como base
Com o objetivo também de analisarmos a idéia de base que os livros dessa coleção
abordavam, observamos se o lado tomado por base era o de maior comprimento,
como podemos perceber nas figuras 14b e 14c acima ou o de menor comprimento,
como na figura 14
a.
56
• Posição da altura traçada
E por último, tínhamos o intuito de verificarmos qual a idéia de altura que era
abordada nos livros dessa coleção. Para tanto, observamos se as alturas tomadas
eram exteriores ou interiores à figura do paralelogramo. Observe, a seguir, um
exemplo de atividade, no qual a altura tomada está no interior do paralelogramo
(item a) e no item b no exterior.
1- Calcule as áreas dos paralelogramos abaixo:
a)
Figura 15a: exemplo de atividade, onde a altura tomada é interior ao paralelogramo
.
b)
Figura 15b: exemplo de atividade, onde a altura tomada é exterior ao paralelogramo
.
2.4- O teste
Aplicamos o teste a seguir, composto por 6 atividades, no entanto só analisamos
cinco. Descartamos a Atividade 2, segundo sugestão da banca de qualificação do
projeto, pois percebemos que a questão poderia gerar dúvidas por parte dos alunos,
no que se refere à análise da perspectiva da figura, visto que a reprodução da
questão não ficou de boa qualidade.
57
Atividade 1
Observe os paralelogramos abaixo:
Figura 16: apresentação da atividade 1
a) Qual das figuras acima tem a menor área?________________________
b) Quais das figuras acima têm a maior área? _______________________
c) Entre elas há figuras que têm a mesma área? Justifique sua resposta.
Justifique sua resposta
58
Atividade 2
(Descartada, como relatada anteriormente)
Figura 17: apresentação da atividade 2
Atividade 3
Observe o paralelogramo abaixo:
Figura 18: apresentação da atividade 3
a) Com uma régua, meça os comprimentos necessários para calcular a área do
paralelogramo e registre os dados coletados na figura.
b) Qual a área aproximada do paralelogramo? Justifique sua resposta
Rua A
Rua D
Rua C
Rua B
Terreno
a)
b)
e)
c)
d)
Um terreno com o formato mostrado na figura foi
herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em
quatro lotes de mesma área.
Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para
que fossem analisadas pelos demais herdeiros.
Nos esquemas abaixo, lados de mesmo comprimento
têm símbolos iguais. Assinale as alternativas em que os
quatro lotes possuem necessariamente mesma área.
JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA
As ruas A e B são paralelas
As ruas C e D são paralelas
59
Atividade 4
Figura 19: apresentação da atividade 4
a) Desenhe um retângulo, cuja área seja a mesma do paralelogramo acima.
Justifique sua resposta.
c) Desenhe um retângulo, cujo perímetro seja o mesmo do paralelogramo acima.
Justifique sua resposta
Atividade 5
Calcule a área dos paralelogramos abaixo:
Figura 20: apresentação da atividade 5
60
Atividade 6
Seja um paralelogramo ABCD tal que o lado AB mede 6 dm e o lado BC mede 4
dm. Sabendo que a altura relativa ao lado AB mede 3 dm, é possível determinar
o comprimento da altura relativa ao lado BC? Justifique sua resposta.
• Condições de aplicação e caracterização do teste
A duração de aplicação do teste foi planejada para 100 minutos. Fornecemos ao
aluno um kit com os seguintes materiais: lápis grafite com borracha, tesoura, papel
seda, papel quadriculado, cordão e régua. Disponibilizamos estes materiais no
intuito de ampliar as possibilidades de procedimentos, sejam eles certos ou errados,
na resolução dos problemas.
Para cada atividade do teste fizemos uma análise a priori, abordando os seguintes
aspectos: justificativa das principais escolhas na elaboração da atividade: variáveis
didáticas e seus valores e os procedimentos de resoluções esperados.
Embora, nesse momento da pesquisa, não tivéssemos usando de maneira explícita
e sistemática a noção de variável didática, na medida que estávamos realizando a
análise a priori, usamos implicitamente e intuitivamente essa noção. A análise de
resultados está dividida em dois blocos: análise quantitativa e qualitativa.
Adotamos um código formado por dois signos: a letra maiúscula A, indicando aluno;
associada a um número natural, para indicar a ordem do aluno, com o intuito de
identificarmos cada protocolo. Assim teremos protocolos A01, A21 etc.
Na elaboração das atividades do teste foram feitas escolhas de valores de variáveis
didáticas, citadas anteriormente a respeito da análise do livro didático: posição
relativa dos lados do paralelogramo, inclinação da figura, orientação do lado de
maior comprimento, existência da figura, natureza das soluções, dados fornecidos,
posição do lado tomado por base, comprimento do lado tomado como base e
posição da altura traçada.
61
Assim, elas foram dispostas em relação às atividades da seguinte maneira: nos
quadros 1, 2 e 3 abaixo, estão as disposição das questões em relação à figura do
paralelogramo e nos quadros 4, 5, 6, 7, 8 e 9 estão aquelas relativas aos problemas
que envolvem área.
Como podemos perceber, no quadro abaixo estão as disposições das atividades do
teste em relação à posição dos lados do paralelogramo. No entanto não formulamos
nenhuma questão, onde a posição dos lados da figura fosse oblíqua. Esse fato
justifica-se porque nosso marco teórico, como dito anteriormente, era apenas a
noção de contrato didático e que variável didática foi introduzida tardiamente no
trabalho como instrumento explícito e sistemático para responder as nossas
indagações.
Posição dos lados do paralelogramo
Posição
horizontal
Posição
vertical
Posição
obliqua
Atividade 1 X X
Atividade 3 X
Atividade 4 X
Atividade 5 X X
Atividade 6
Quadro 01: disposição das atividades em relação à posição dos lados do paralelogramo
Quanto à inclinação do paralelogramo, elaboramos duas questões, como podemos
perceber no quadro abaixo, em que a inclinação da figura está voltada para a
esquerda. A atividade 6 não tem figura e por isso ela não é assinalada.
Inclinação do paralelogramo
Inclinação
para direita
Inclinação
para
esquerda
Atividade 1 X X
Atividade 3 X
Atividade 4 X
Atividade 5 X
Atividade 6
Quadro 02: disposição das atividades em relação à inclinação do paralelogramo
62
Em relação à orientação do lado de maior comprimento, formulamos problemas nos
quais os dois valores da variável didática aparecem. A atividade 6 não tem figura e
por isso não é assinalada. Observe no quadro a seguir:
Orientação do lado de maior comprimento
Posição
horizontal de
menor
comprimento
Posição
horizontal de
maior
comprimento
Atividade 1 X X
Atividade 3 X
Atividade 4 X
Atividade 5 X X
Atividade 6
Quadro 03: disposição das atividades em relação à orientação do lado de maior comprimento
Em relação à existência de figura nos problemas que envolvem área do
paralelogramo, elaboramos a atividade 6, em que há ausência de figuras. Observe o
quadro a seguir:
Existência da figura
Ausência
Presença
Atividade 1 X
Atividade 3 X
Atividade 4 X
Atividade 5 X
Atividade 6 X
Quadro 04: disposição das atividades em relação à existência da figura
Quanto à natureza das soluções, formulamos dois problemas que não exigiam
procedimentos numéricos, ou seja, poderiam ser resolvidos sem a necessidade de
utilizar o aspecto algébrico ou numérico. Nessas questões, iremos observar que tipo
de procedimento o aluno mobiliza para resolver a questão. A seguir podemos
perceber quais das atividades foram formuladas numericamente e quais não foram.
63
Natureza das Soluções
Há exigência
de solução
Numérica
Não há
exigência
de solução
numérica
Atividade 1 X
Atividade 3 X
Atividade 4 X
Atividade 5 X
Atividade 6 X
Quadro 05: disposição das atividades em relação à natureza das soluções
Em relação aos dados que são apresentados nos problemas sobre área do
paralelogramo, podemos observar no quadro abaixo, que apenas uma de nossas
atividades apresenta dados desnecessários para resolver a questão, em duas
questões os dados são necessários e suficientes e, nas outras duas, não são
apresentados todos os dados necessários para a resolução de problemas.
Dados dos problemas
Apresenta
exclusivamente os
dados necessários e
suficientes
Apresenta
dados
desnecessários
Não são
apresentados
todos os
dados
necessários
Atividade 1 X
Atividade 3 X
Atividade 4 X
Atividade 5 X
Atividade 6 X
Quadro 06: disposição das atividades em relação aos dados dos problemas
Quanto à posição do lado tomado como base, nas questões 4 e 5 determinamos um
dos lados do paralelogramo como base, enquanto que nas demais questões, os
alunos tiveram a oportunidade de escolher. A atividade 6 não tem figura. Mesmo
assim, observamos o tratamento dado à idéia de base na resolução da questão pelo
aluno. Para maiores esclarecimentos, observe o quadro a seguir:
64
Posição do lado tomado como base
Horizontal
Vertical
Oblíqua
Atividade 1
Atividade 3
Atividade 4 X
Atividade 5 X X
Atividade 6
Quadro 07: disposição das atividades em relação à posição do lado tomado como base
Em relação ao comprimento do lado tomado como base, nas atividades 4 e 5
determinamos esse comprimento. No entanto, nas demais questões, essa decisão
era do aluno. A atividade 6 não tem figura, mesmo assim observamos o tratamento
dado à idéia de base na resolução da questão. Observe o quadro a seguir:
Comprimento do lado tomado como base
Lado de
maior
comprimento
Lado de
menor
comprimento
Atividade 1
Atividade 3
Atividade 4 X
Atividade 5 X X
Atividade 6
Quadro 08: disposição das atividades em relação ao comprimento do lado tomado como base
Quanto à posição da altura traçada, nas atividades 4 e 5, determinamos tanto alturas
internas quanto externas. No entanto, nas demais questões, o aluno poderia traçá-
las de acordo com as suas necessidades, inclusive na atividade 6, em que não há
presença de figura, mas que ele precisava solucionar o problema. Para maiores
esclarecimentos, observe o quadro a seguir:
65
Posição da altura traçada
Altura tomada
no interior do
paralelogramo
Altura tomada
no exterior do
paralelogramo
Atividade 1
Atividade 3
Atividade 4 X
Atividade 5 X X
Atividade 6
Quadro 09: disposição das atividades em relação à posição da altura traçada
Além desses critérios que guiaram a elaboração do teste, durante a análise dos
resultados observamos, também, outros elementos que se articulam com a nossa
fundamentação teórica.
Com esse intuito, selecionamos dois blocos de categorização: o primeiro de razão
quantitativa, que expressa o resultado de acertos e erros das questões e o segundo
qualitativa, que trata de aspectos a serem observados nos procedimentos de
resolução dos alunos.
Quanto aos procedimentos de resolução dos alunos, elaboramos algumas
categorias que nortearam a análise:
• Utilização de procedimentos numéricos, algébricos e/ou geométricos.
A partir do que está exposto na nossa revisão de literatura, percebemos que os
alunos podem resolver os problemas utilizando um tipo de procedimento ou
combinações de procedimentos. O que ocorre geralmente é a utilização de fórmulas
sem o suporte do aspecto geométrico e numérico, conduzindo a erro. Então, o que
vamos observar é que tipo de procedimento o aluno utiliza diante de situações-
problema, em que não se exige um determinado tipo de procedimento.
Dessa forma, mesmo sabendo que esses aspectos estão interligados, consideramos
um procedimento numérico aquele em que, mesmo sem a exigência do
procedimento, o aluno utiliza uma situação de medida implícita, contar o número de
66
quadradinhos necessários para cobrir a superfície, ou o número obtido usando uma
fórmula. Desta forma, o aluno mede as áreas para comparar as medidas obtidas e
deduz a ordem das áreas da ordem dos números.
Quanto aos procedimentos geométricos, consideramos aquele em que o aluno utiliza
processos de corte-colagem, composição ou decomposição de figuras, sejam eles
através de desenhos ou na justificativa da questão, para a comparação ou cálculo
de área das figuras.
Em relação aos procedimentos algébricos, consideramos o uso de qualquer tipo de
fórmulas para o cálculo de área, sejam eles através da escrita ou na justificativa da
questão.
• Indícios de concepções numéricas e geométricas
Nesta categoria observamos se os alunos utilizavam o material disponível para
resolver os problemas sobre área do paralelogramo, pois dependendo do tipo de
material utilizado, seja ele papel transparente, quadriculado, régua e/ou corte-
colagem podem ser observados indícios de mobilização, de concepções numérica,
geométrica ou de área enquanto grandeza.
• Idéia de base e altura
A partir de uma análise realizada nos livros didáticos da coleção, tentamos identificar
se o conhecimento, a respeito da invariância da área com relação à escolha da
base, estava construído nos alunos pesquisados. Por outro lado, se para o aluno a
base é um lado específico, que idéia de base e altura era mobilizada na resolução
dos problemas de área do paralelogramo.
A idéia então, era verificar se ao calcular a área os alunos tomavam por base o lado
que se encontrava na posição horizontal, vertical ou oblíqua, ou se o lado tomado
por base era o de maior ou de menor comprimento.
67
Dessa forma, poderíamos encontrar situações em que o lado tomado por base era o
de maior comprimento e posicionado na horizontal e, desse modo, não
conseguiríamos identificar que idéia de base estava sendo mobilizada pelo aluno.
Sendo assim, propomos atividade na qual essa condição não é respeitada,
ajudando-nos a perceber que idéia o aluno escolhe.
Sabemos que as idéias de base e altura, nos problemas que envolvem a área do
paralelogramo, estão interligadas, pois consideramos base o lado perpendicular à
altura. Sendo assim, observamos se a altura escolhida pelos alunos, seja para as
questões de comparação ou para as de cálculo de área, era interna ou externa ao
paralelogramo. Consideramos altura interna aquela cujo segmento de reta é
perpendicular ao lado oposto a ele, passando no interior do paralelogramo e,
externa, quando passa no exterior do paralelogramo. Nosso objetivo era verificar se
o fato de tomar uma determinada altura influencia na resolução de problemas pelos
alunos.
• Representações simbólicas
Nesta categoria, estão a representação gráfica e a inclinação da figura diante de
questões, em que são exigidos o desenho (atividade 4) ou naquelas em que não é
exigido, mas o aluno poderá fazê-lo (atividade 6).
Observamos se diante da atividade 4 os alunos criavam retângulos com a mesma
dimensão dada ou não. Consideramos desenhos a representação gráfica de um
objeto geométrico. Do mesmo modo, verificaremos se os alunos esboçarem o
paralelogramo na atividade 6, se a inclinação é voltada para a direita ou para a
esquerda.
• Uso de unidades de medida
Verificamos se após resolver as questões, aquelas cujas respostas exigem, os
alunos usavam uma unidade de medida e se esta era adequada. Consideramos as
unidades de medidas escritas ou através de símbolos. Da mesma forma que
verificamos se os alunos, diante da questão 5 realizam ou não as conversões de
unidades de medida necessárias para o cálculo de área.
68
ANÁLISE DOS LIVROS
DIDÁTICOS
69
3- ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS
Neste capítulo, são analisados os dados relativos à coleção de livros didáticos
utilizada pelos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental, tomando como referência
a fundamentação teórica e os objetivos já expostos.
Essa coleção organiza seus conteúdos de maneira espiral. Uma das preocupações
explícitas no manual pedagógico é a de não esgotar um determinado conteúdo
numa série, respeitando a integração dos temas a serem estudados e
estabelecendo o uso de uma abordagem voltada para a solução de problemas ao
ensinar conceitos novos. Dessa forma, permite que o aluno veja o mesmo tópico
com enfoques diferentes e novo aprofundamento.
Os livros dessa coleção organizam-se em capítulos, os quais são subdivididos em
itens temáticos. Em cada item temático encontramos sistematicamente uma sessão
de leitura, que aqui chamaremos de texto-aula, uma sessão intitulada conversando
sobre o texto, outra de exercícios a serem realizados em sala de aula e outra de
exercícios para casa. Observam-se, ainda, algumas sessões intituladas ação
propondo atividades práticas.
Segundo o manual pedagógico “cada item pode ser trabalhado em sala de aula
seguindo um roteiro-padrão: 1- Leitura; 2- Conversando sobre o texto; 3- Ação (o
professor promove a ação quando houver); 4- Exercícios; 5- Exercícios para casa”
(p.10). Porém, os autores explicitam que essa ordem não é rígida, admitindo que
diversas modificações podem ser feitas no roteiro-padrão.
Podemos encontrar ao final de cada livro seções intituladas supertestes e dicionário
ilustrado. Particularmente, na 8ª série encontra-se também o vestibulinho. Ao longo
do texto, de vez em quando, os autores remetem os alunos ao dicionário ilustrado,
que tem por objetivo, segundo o manual pedagógico, “explicar os conceitos num
nível adequado ao jovem aluno” (p. 12)
70
Nos blocos de folhas especiais, que se localizam no final de cada livro, encontramos
materiais que podem ser utilizados nas atividades propostas no livro do aluno, tais
como: malha quadriculada, triangular, tabuleiro de jogos, jogos, etc.
No livro do professor, encontramos ainda o manual pedagógico, no qual se discutem
os pressupostos que nortearam a elaboração da obra, os conteúdos a serem
desenvolvidos, a avaliação. Sugerem-se ainda atividades a serem desenvolvidas
com os alunos e a utilização de recursos didáticos. O manual pedagógico esclarece
a proposta pedagógica, visando a colaborar com o professor na implementação e
enriquecimento dela.
Quanto à postura do professor, o manual do pedagógico comenta que “o principal
recurso do professor é o constante diálogo sobre o conhecimento matemático com
sua turma” e ressalta que é por meio do diálogo, que “o professor poderá encontrar
novas abordagens dos conteúdos, reorientar sua programação e encontrar maneiras
adequadas de ajudar cada aluno”. (p. 13)
Em relação à aprendizagem o manual pedagógico afirma que:
Hoje sabemos que a aprendizagem não ocorre apenas quando se
apresenta um conteúdo de forma organizada, nem mesmo quando os
alunos repetem os modelos estudados. Ela somente se completa pela
reflexão do aluno em face das várias situações que envolvem uma mesma
idéia. (p.03)
• Seções dos itens temáticos sob a ótica do contrato didático
A parte relativa ao texto-aula não se limita a textos informativos. Abordam-se
questionamentos para o aluno, informações, exemplos, apresentam-se ilustrações,
histórias em quadrinhos, situações da vida cotidiana. Interpretamos como tendo o
papel de problematizar as noções que estão sendo trabalhadas. Segundo o manual
pedagógico esse texto-aula pode ser lido individualmente, em grupo ou junto com o
professor.
Conversando sobre o texto é o momento que permite refletir sobre a leitura realizada
anteriormente e discutir o tema que está sendo abordado.
71
Segundo o manual pedagógico:
“Trata-se de um grupo de questões que surgem após o texto, que devem
ser formuladas e respondidas oralmente. O conversando é uma inovação
importante: incentiva a troca de idéias; promove a exposição e organização
do pensamento de cada um; reforça o aprendizado”. (p.11)
A seção Ação não aparece em todos os itens. Tem caráter variado podendo ser uma
entrevista, dobradura, atividade de medida, a demonstração de uma fórmula, um
jogo, etc. Tais atividades são promovidas pelo professor, mas sua realização é da
responsabilidade do aluno.
Nas seções relativas aos Exercícios, a análise feita da coleção indica um nível de
reflexão no trabalho do aluno, no sentido de resolver os exercícios, individual ou em
grupo na própria sala de aula. Nesse momento tem a oportunidade de verificar as
mais variadas soluções encontradas para o mesmo problema, além do mais, o
professor pode colaborar, orientar e discutir as principais soluções. O manual
pedagógico salienta que “essa série de exercícios aborda novos conceitos e convida
os alunos a descobertas, não usando apenas a fixação” (p.11).
As análises feitas da coleção, quanto aos Exercícios para casa, designam um nível
de aplicação no trabalho do aluno. É o momento de resolver as questões, sozinho e
em casa, aprofundando o conhecimento estudado. Segundo o manual pedagógico
“aqui sem dúvida, é o momento em que os alunos, trabalhando individualmente,
podem comprovar a interiorização dos conceitos e técnicas aprendidos em sala de
aula” (p.11).
O nosso objeto de estudo, área do paralelogramo, aparece explicitamente pela
primeira vez no livro da 7ª série, no Capítulo 9 intitulado Perímetros, áreas e
volumes e retorna no Capítulo 5 da 8ª série, com o título Medidas, no item
Calculando áreas e volumes.
No entanto, os textos referentes ao conceito de área e à figura do paralelogramo,
são trabalhados desde a 5ª série, pois a abordagem desta coleção, como já
dissemos, é em espiral: os conteúdos não se esgotam numa determinada série,
volta-se a eles várias vezes, mas com enfoques diferentes e novo aprofundamento.
72
Nesse sentido, embora tendo analisado de forma breve toda a coleção, demos mais
atenção aos livros da 7ª e 8ª séries, nas quais a área do paralelogramo está mais
presente.
Como já foi explicitado, adotamos três grandes focos que guiaram nossa pesquisa: o
paralelogramo, a abordagem do conceito de área e a área do paralelogramo.
• O paralelogramo
16
Com o objetivo de caracterizar a figura do paralelogramo, resolvemos observar
inicialmente, com que freqüência a figura aparece nos livros da coleção estudada e
com quais conteúdos se conecta. Em seguida, verificamos se elas estavam
desenhadas de forma que a posição de um dos lados do paralelogramo estivesse na
horizontal, vertical ou oblíqua. E finalmente, observamos se as figuras que possuíam
um dos lados na posição horizontal estavam inclinadas para a direita ou para a
esquerda.
Encontramos no dicionário ilustrado da 5ª a 8ª série, a definição de paralelogramo
como sendo um “quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos”. Além disso,
percebemos que em todos os volumes, exceto no livro da 8ª série, é apresentada
uma figura do paralelogramo, como veremos a seguir:
Figura 21: paralelogramo extraído do dicionário do livro didático na parte referente à palavra paralelogramo
Ainda no dicionário, no vocábulo Propriedade, em todas as séries, também aparece
a figura do paralelogramo com as mesmas características da figura acima, ou seja,
16
Consideramos para essa análise, somente os paralelogramos não-retângulos.
73
inclinação para a direita e seu lado de maior comprimento encontra-se na posição
horizontal.
O paralelogramo é apresentado nessa coleção em todas as séries, mas em
algumas, nas quais é objeto de estudo, a freqüência é maior, como podemos
perceber na tabela a seguir:
Tabela 02: Freqüência da figura do paralelogramo na coleção analisada
5ª série 6ª série 7ª série 8ª série
Número de vezes em que a figura do paralelogramo
aparece na coleção adotada
19 10 31 14
A figura do paralelogramo é vista logo no primeiro capítulo da 5ª série, nos itens
giros, cantos e ângulos, mosaicos e polígonos e quadriláteros, estendendo-se aos
demais capítulos e séries.
No item quadrilátero, na parte referente ao texto-aula, os autores definem
quadrilátero e apresentam exemplos da vida real em que aparecem as figuras do
trapézio, paralelogramo, losango, quadrado e retângulo.
Em relação ao paralelogramo, o exemplo da vida real apresentado é a imagem, no
chão, de uma janela de vidros retangulares atravessada pela luz solar. A figura do
paralelogramo é apresentada nesse momento, com um dos lados na posição
horizontal, o qual é o de maior comprimento, e sua inclinação é para a direita.
Destacamos o fato de os autores convidarem, em seguida, os alunos usuários do
livro, a conhecerem as propriedades das figuras nos exercícios para sala de aula,
Percebemos que essa abordagem contribui para que eles compreendam as
propriedades dos quadriláteros ao invés apenas de decorá-las.
Ao longo de toda a coleção, a figura do paralelogramo é exibida articulada com
diversos conteúdos, tais como: o estudo dos ângulos, polígonos, quadriláteros,
paralelismo, medida, simetria, área, perímetro, semelhança, etc. (ver Anexo 1).
74
Na tabela a seguir
17
, podemos verificar a síntese dos resultados relativos à posição
da figura do paralelogramo na coleção analisada.
Tabela 03: Resultados relativos à posição da figura do paralelogramo na coleção analisada
Série Total de figuras Posição horizontal
Posição vertical Posição oblíqua
5ª 19 15 02 02
6ª 10 07 01 02
7ª 31 29 01 01
8ª 14 11 0 03
Os dados apresentados na tabela acima indicam que há predominância das figuras,
nas quais um dos lados do paralelogramo encontra-se na posição horizontal (pelo
menos 70% das figuras, em cada série). Mas observa-se também, que existe uma
preocupação por parte dos autores em explorar figuras em diversas posições,
inclusive naquele em que ambos os lados do paralelogramo são oblíquos.
Tomando as figuras que apresentam um dos lados na posição horizontal,
verificamos, em seguida, o comprimento dos lados e a inclinação da figura. Observe,
na tabela a seguir, os resultados referentes ao comprimento e à posição:
Tabela 04: Resultados relativos à orientação do lado de maior comprimento na coleção analisada
Série Total de figuras que apresentam
um dos lados na posição
horizontal
Lado na posição
horizontal de maior
comprimento
Lado na posição
horizontal de menor
comprimento
5ª 15 14 01
6ª 07 06 01
7ª 29 25 04
8ª 11 08 03
Como podemos perceber na tabela acima, em cada série, pelo menos 70% das
figuras têm o lado horizontal como aquele de maior comprimento. Apesar disso,
deve-se destacar a preocupação dos autores em posicionar paralelogramos, de tal
maneira que o lado horizontal seja aquele de menor comprimento.
Com esses fatos, nos questionamos se o significado atribuído à palavra base na
língua portuguesa (apoio, alicerce) não está sendo reforçado pela maneira como o
17
Não consideramos para essa análise os retângulos e nem os losangos.
75
livro didático trata a figura, o que poderá provocar dificuldades nos alunos, na
resolução de problemas envolvendo área do paralelogramo.
Quanto à inclinação da figura, apresentamos os resultados obtidos na tabela a
seguir:
Tabela 05: Resultados relativos à inclinação da figura do paralelogramo na coleção analisada
Série Total de figuras Inclinação para a
esquerda
Inclinação para a
direita
Percentual de freqüência
para a direita
5ª 15 0 15 100%
6ª 07 0 07 100%
7ª 29 3 26 89%
8ª 11 0 11 100%
Como podemos perceber na tabela acima, a inclinação do paralelogramo para a
direita é o que prevalece nos livros dessa coleção. Fato que nos chamou atenção foi
na 5ª, 6ª e 8ª série, todas as figuras se apresentarem com essa inclinação. Nos
questionamos aqui, se, diante de uma atividade, em que essa condição seja
desrespeitada, o aluno sentirá dificuldade ou até mesmo bloqueio de resolver o
problema.
• A abordagem do conceito de área
18
O objetivo neste ponto é caracterizar a abordagem do conceito de área, pois
dependendo do enfoque do livro, em relação ao ensino do conceito de área, vai
favorecer ou bloquear determinadas concepções: numéricas e geométricas, ou
ainda, contribuir para a construção da idéia de área enquanto grandeza.
Para o estudo do conceito de área procuramos no dicionário ilustrado o significado
da palavra área, com o intuito de perceber se o conceito abordado fortalecia
determinadas concepções.
18
Nesta pesquisa, só analisamos o conceito de área a partir da 5ª série, no entanto, ele é objeto de ensino desde a
3ª série do Ensino Fundamental e por isso, nós não temos informações sobre como foi abordado este conceito
anteriormente.
76
Em todos os livros desta coleção, encontramos no dicionário ilustrado, a mesma
definição para o conceito de área: medida de uma superfície.
Ao observarmos o conceito de área, no livro da 5ª série, percebemos que os autores
introduzem este tema com um problema de comparação de dois pátios, em que se
espera que o aluno conte quantas lajotas há em cada pátio. Concluem afirmando
que “Aquele com mais lajotas é o mais espaçoso, ou seja, o de maior área. Usando
a lajota como unidade de medida, a área de cada pátio é o número de lajotas que
ele contém” (p. 219). Em seguida, apresentam as unidades de medida de área
convencionais mais usadas: quilômetro quadrado, metro quadrado e o centímetro
quadrado.
Para deduzir a fórmula da área do retângulo, os autores partem da quantidade de
unidades quadradas (1cm
2
) que cabem em uma região medida, levando a
generalização da fórmula, como sendo o produto do comprimento de um lado pelo
outro. Logo após, apresenta a fórmula: A = c x l , onde A representa a área do
retângulo, c o comprimento e l a largura. Obtém-se ainda, a partir do retângulo, a
fórmula da área do quadrado: A = l
2
.
Percebemos que, mesmo os autores definindo o conceito de área como medida de
superfície, prevalecendo o aspecto numérico, existem algumas características
elogiáveis na abordagem do conceito de área na coleção. Primeiro, a situação inicial
parte de um problema contextualizado, referente a aspecto da vida cotidiana.
Segundo, porque essa situação é de comparação, embora seja numérica e, por fim,
a situação não parte de usos de fórmulas, nem utiliza unidades convencionais. O
que ao nosso ver é importante para o processo de ensino-aprendizagem.
Por outro lado, discordamos de algumas escolhas. O fato de partir de uma situação
de comparação, a qual exige a necessidade de medir, fortalece o aspecto numérico.
Da mesma forma que, quando se coloca a “área de cada pátio é o número de lajotas
que a contêm”, reforça-se também a idéia de que é preciso efetivamente ladrilhar
para poder comparar a área. Para Douady e Perrin-Glorian (1989) uma associação
precoce da superfície a um número favorece o amálgama entre diferentes
grandezas.
77
Constatamos que na 6ª série, os autores retomam e ampliam o conceito de área por
meio do tangram
19
possibilitando a decomposição e composição de figuras. Como
poderemos observar a seguir, nessa questão, é solicitado do aluno que identifique
figuras de mesma área e compare áreas e perímetros de figuras construídas com
exemplares de triângulos iguais a um modelo dado.
Figura 22: exercício extraído do livro didático da 6ª série página251
Esse tipo de abordagem é interessante, pois fortalece a idéia de área enquanto
grandeza - destacando que figuras diferentes podem ter mesma área.
Observamos ainda, figuras que têm mesma área e perímetros diferentes, mesmo
perímetro e áreas diferentes e ainda, figuras que têm mesma área e mesmo
19
O Tangram é um quebra-cabeça chinês, de origem milenar. Ao contrário de outros quebra-cabeças, ele é
formado por apenas sete peças com as quais é possível criar e montar cerca de 1700 figuras entre animais,
plantas, pessoas, objetos conhecidos, etc. As regras desse jogo consistem em usar as sete peças em qualquer
montagem, colocando-as lado a lado sem sobreposição. ( SOUZA & ET AL, 1995). No entanto, no uso didático
ampliou-se essas regras, podendo ser construídas figuras, por exemplo, usando só os triângulos.
78
perímetro. Sendo assim, essa atividade proporciona, entre outras coisas, ao aluno
verificar a dissociação entre área e perímetro e ajuda a invalidar as concepções
geométricas.
A idéia de área também é ampliada na 7ª série. No item idéias para o cálculo de
área, a parte referente a texto-aula apresenta recursos de decomposição e
recomposição de figuras quaisquer, com o objetivo de formar retângulos,
estabelecendo que se “nenhum pedaço da figura foi inutilizado, a área do retângulo
é igual à área da figura inicial” (p. 187). Na parte conversando sobre o texto, os
autores lançam duas perguntas sobre o conceito de área
20
: “Que fórmula se usa
para calcular a área de um retângulo? Explique essa fórmula e o seu porquê”, e
“quais são as idéias que o texto apresenta para o cálculo de áreas?”.
Na parte referente a exercícios e exercícios para casa, exigem-se dos alunos a
utilização dos recursos que foram trabalhados no texto como, por exemplo,
decomposição, recomposição e completamento de figuras para o cálculo de área.
Acreditamos que a exploração desses recursos prepara os alunos para a
compreensão das fórmulas. Também verificamos a dissociação entre área e
perímetro e problemas envolvendo escalas.
No item Fórmulas para o cálculo de áreas, os autores focalizam as fórmulas das
áreas do paralelogramo e triângulo através de deduções
21
. Chamam a atenção para
a possibilidade de escolher um lado como base e tomar a sua altura correspondente,
afirmando que “Num quadrilátero ou num triângulo, depois de escolhermos o lado
que será a base, a altura é a distância dos pontos mais distantes da base até ela”
(p.196). Em seguida apresentam algumas figuras ilustrando o que pode ser base e
altura.
20
Como já foi explicitado, a fórmula de área do retângulo foi introduzida no livro da 5ª série
21
A discussão sobre a fórmula de área do paralelogramo é foco da seção seguinte.
79
Figura 23: Exemplo de base e altura extraída do livro da 7ª série página 196
Como podemos perceber no texto, existe implicitamente a idéia de que qualquer
lado pode ser tomado como base. Por outro lado, como sabemos, na língua
materna, o termo base está ligado a chão e a escolha de posicionar todas as figuras
com o lado tomado por base na horizontal não favorece a ampliação do significado
de base.
No conversando sobre o texto, surge um grupo de questões refletindo sobre as
idéias apresentadas no texto anterior. Observe-se:
•
“
Que outras fórmulas você conhece?”.
• Que diz o texto a respeito das fórmulas? Explique com suas próprias
palavras.
• Qual é a fórmula da área do paralelogramo? Explique o seu porquê.
• O que é altura do paralelogramo? Explique com suas palavras.
• Qual é a fórmula da área do triângulo? Por que é tão parecida com a
fórmula da área do paralelogramo? Por que se divide por 2, na fórmula da
área do triângulo?
• O que é altura do triângulo? Explique com suas palavras.
• O texto apresenta uma seqüência dedutiva, isto é, de uma propriedade
se deduz outra e, dessa, deduz-se outra ainda. Quais são essas
propriedades?” (p. 197)
Depois na Ação são deduzidas as fórmulas da área do trapézio e do losango, por
meio de um processo de construção, e com recursos de decomposição,
recomposição e completamento.
Finalizando a coleção, observa-se que as atividades exploradas no livro da 8ª série,
quanto ao conceito de área, possibilitam aos alunos fazer decomposição e
recomposição de figuras mais complexas, procurando transformá-las em outras mais
simples de mesma área.
80
Para determinar áreas de figuras curvilíneas, os autores introduzem o conceito de
área adotando um procedimento de cálculo aproximado por compensação, utilizando
para isso, malha quadriculada.
O Capítulo 5 dessa série apresenta três itens: Sistemas decimais e não-decimais,
Calculando áreas e volumes e, por último, Perímetro e área do círculo. Focalizamos
nossa análise nos dois últimos itens.
No item calculando áreas e volumes, na parte referente ao texto-aula, os autores
mostram alguns recursos para o cálculo de área, vistos em séries anteriores, como
por exemplo, compensações, decomposição e recomposição e, em seguida,
apresentam as fórmulas da área de algumas figuras básicas: trapézio, triângulo,
losango, retângulo e o paralelogramo.
Para obter as fórmulas p = 2
πr e A = πr
2
, os autores adotam uma abordagem mais
complexa do que as utilizadas em séries anteriores. Buscam, a partir de polígonos
regulares inscritos ou circunscritos, o perímetro e a área do círculo. O objetivo é
mostrar que, quanto maior for a quantidade de lados do polígono regular, mais
próximos ele estará do círculo e, conseqüentemente, seu perímetro e sua área
também se aproximarão.
Segundo o manual pedagógico, “essa abordagem contém idéias difíceis e não se
deve esperar que seja inteiramente compreendida. Aliás, um currículo em espiral
existe por isso mesmo: quase nada pode ser inteiramente compreendido em uma
única experiência” (p.38).
Observamos que, por um lado, alguns aspectos da abordagem do livro reforçam as
concepções numéricas de área, tais como iniciar por ladrilhamento, abordar o
ladrilhamento com figuras utilizando as peças do tangram em números inteiros de
vezes, o próprio significado da palavra área no dicionário ilustrado ou a pouca
ênfase na possibilidade de comparar sem medir.
Por outro lado, o fato de explorar e destacar a idéia da invariância da área por
composição e decomposição de figuras, utilizar o tangram para mostrar que figuras
81
de mesma área podem ter perímetros diferentes, contribuem para invalidar as
concepções geométricas e para construir a noção de área como grandeza.
Outro aspecto que contribui para a construção da noção de área como grandeza é a
exploração de uma leitura da fórmula, relacionada com os invariantes geométricos
da figura, como é o caso da Figura 28 que será comentada adiante.
• Área do paralelogramo
A área do paralelogramo começa efetivamente a ser trabalhada na 7ª série,
especificamente, no Capítulo 9, no item idéias para o cálculo de áreas e volumes, na
parte referente a exercícios e amplia-se esse conteúdo nos itens que se seguem.
Destacamos o Exercício 4 da página 189, que pela primeira vez apresenta a figura
do paralelogramo neste estudo e na distinção entre área e perímetro. Como
poderemos observar a seguir:
Figura 24: exercício extraído do livro didático da 7ª série página 189
Como podemos perceber na atividade acima, espera-se que os alunos observem a
decomposição do paralelogramo e a recomposição da figura formando um retângulo,
ajustado na malha centimetrada e depois verifiquem a quantidade de centímetros
quadrados que a figura possui.
82
Em outra atividade (Questão 14, p. 192) pede-se para verificar a área na malha
centimetrada, as medidas dos comprimentos dos lados e depois se espera que os
alunos reflitam sobre o erro de uma pessoa ao multiplicar as medidas dos
comprimentos dos lados de um paralelogramo para obter a área. Observe:
Figura 25: exercício extraído do livro didático da 7ª série página 192
Refletir sobre esse tipo de erro é muito importante, pois ele é um dos mais
freqüentes entre os alunos, de acordo com pesquisas anteriores como, por exemplo,
Baltar (1996).
No item “Fórmulas para o cálculo de áreas”, na parte referente ao texto-aula, a
fórmula de área do paralelogramo é deduzida através dos recursos de
decomposição e recomposição, partindo da fórmula da área do retângulo, já vista em
séries anteriores, chamando a atenção, também, para o conceito de altura
22
. (ver
anexo 2)
Buscamos, no dicionário ilustrado, o significado para as palavras base e altura de
uma figura. A definição atribuída à base é o lado perpendicular à altura. E altura um
segmento de reta desenhado a partir de um vértice perpendicularmente ao lado
oposto a ele. Essas definições apresentam vantagens para o ensino, na medida que
não restringem a escolha do lado tomado como base e nem a possibilidade da altura
ser interna ou externa.
Em relação aos exercícios para serem trabalhados em classe, em uma das questões
é apresentada também uma situação, na qual é solicitado que se identifique nos
22
Considerando que esse trabalho é desenvolvido em duas folhas optamos por reproduzi-lo em anexo
83
cadernos de dois alunos fictícios, o erro cometido por eles no cálculo da área.
Observe a Questão 18 a seguir:
Figura 26: exercício extraído do livro didático da 7ª série página 200
Como podemos observar na questão anterior, em um dos cadernos, o erro consiste
em multiplicar as medidas de comprimento dos lados do paralelogramo. Aqui
novamente os autores expressam nitidamente a preocupação com esse tipo de erro.
Além dos autores chamarem a atenção para os erros, em outra atividade (Questão
20, p. 201) exploram também a importância de se tomar qualquer lado como base,
desde que se tenha a altura correspondente. Observe:
Figura 27: exercício extraído do livro didático da 7ª série página 201 questão 20
84
Com o objetivo de explicitar que paralelogramos de mesma base e altura têm a
mesma área, os autores exploram a comparação de áreas sem medida, como
podemos perceber na Questão 24 a seguir:
Figura 28: exercício extraído do livro didático da 7ª série página 202 questão 24
Como podemos observar, os autores trabalham a noção de grandeza através da
interpretação da fórmula, mesmo que não tenha sido o ponto de partida, como é
preconizado na pesquisa de Douady & Perrin-Glorian (1989).
Na parte dos Exercícios para casa, só encontramos uma atividade referente ao
cálculo de área do paralelogramo, a qual apresenta a figura numa posição não
convencional. Também são oferecidas as medidas dos comprimentos dos lados e
uma das alturas do paralelogramo, de forma que os alunos precisam decidir que
dados escolher para determinar a área. Como podemos observar a seguir:
Figura 29: exercício extraído do livro didático da 7ª série página 202 questão 25
Esse tipo de abordagem é muito importante para o ensino, pois contribui para que
haja uma reflexão sobre o processo de escolha dos dados sobre a figura.
85
Com relação ao livro da 8ª série, na parte referente aos exercícios, das nove
questões apresentadas, apenas uma explora a área do paralelogramo. Essa
questão enfatiza o aspecto algébrico, pois, além de não apresentar dados
numéricos, exige do aluno a dedução da fórmula. Os autores do livro dão um roteiro
para auxiliá-los, o que contribui para a construção do significado da fórmula. Apesar
disso, existe uma marca na linguagem que remete à unicidade da base e altura,
observe:
Figura 30: exercício extraído do livro didático da 8ª série página 142
E finalmente, nos exercícios para casa, encontramos apenas uma atividade, que
aborda o nosso objeto de estudo. É uma questão de aplicação direta da fórmula, em
que é dada exclusivamente a medida do comprimento de um dos lados tomado por
base e da altura correspondente. Observamos que, apesar de um dos lados do
paralelogramo encontrar-se na posição horizontal, não é o de maior comprimento.
Veja a seguir:
Figura 31: exercício extraído do livro didático da 8ª série página 145
86
Durante a análise do Capítulo 9 da 7ª série e do Capítulo 5 da 8ª série, podemos
observar algumas regularidades no tratamento dado à área do paralelogramo.
Constatamos que, em todos os problemas que envolvem cálculo de área do
paralelogramo, existe a presença de figuras.
Sabemos que problemas com ausência de figuras, dependendo da maneira como
são propostos e formulados podem ressaltar uma aplicação mecânica da fórmula, o
que prejudica a aprendizagem. Por outro lado, nos indagamos se o fato de termos a
inexistência de problemas nos quais não haja figura, poderá gerar alguma lacuna
por parte dos alunos, no sentido de que, ao se defrontarem com um problema que
não seja respeitada esta condição, sintam dificuldade de resolvê-lo.
Constatamos também que, embora a abordagem do livro explore diversos
procedimentos, em relação à natureza das soluções, a ênfase maior é em problemas
que requerem uma solução numérica. Como podemos perceber na Tabela 6 abaixo:
Tabela 06: Resultados relativos à natureza das soluções
Categoria Série Há exigência de solução numérica Não há exigência de solução
numérica
7ª 05 02 Natureza da
solução
8ª 02 01
Sabemos que esse tipo de abordagem pode contribuir para a passagem de
concepções geométricas à construção de área enquanto grandeza, na medida em
que figuras diferentes podem ter áreas iguais.
Se pensarmos em divisão de responsabilidade, entre professor e aluno (ambos
hipotéticos) usuários do livro, podemos nos perguntar: o que se espera de um aluno,
diante de um problema envolvendo área do paralelogramo? Que ele calcule ou não?
Nos questionamos, se esse tipo de abordagem não cria uma expectativa no sentido
de que, diante de um problema, por exemplo, de comparação de área sem medida,
o aluno sinta a necessidade de calcular.
Em relação aos dados fornecidos para se resolver um problema envolvendo área do
paralelogramo, percebemos que das 07 questões encontradas no livro da 7ª série,
87
duas delas são atividades na malha quadriculada. Outra questão com três
paralelogramos permite verificar que paralelogramos de mesma base e altura têm
mesma área. Duas questões apresentam exclusivamente as medidas de
comprimento de um dos lados e da altura relativa a esse lado.
Esse grupo de questões não contribui para a explicitação do erro que consiste em
calcular a área multiplicando as medidas dos lados da figura e, assim, tal erro seja
invalidado. Por outro lado, constatamos uma preocupação nítida dos autores em
desestabilizar esse erro, como citado anteriormente, por exemplo, na Figura 27. E,
finalmente, duas questões apresentam dados desnecessários para o cálculo de
área: as medidas de comprimento dos lados e uma altura correspondente. De forma
que o aluno precisa decidir que dados são necessários para resolver a questão.
No livro da 8ª série, aparecem três problemas envolvendo a área do paralelogramo,
um deles apresenta exclusivamente as medidas de comprimento de um dos lados e
da altura relativa a esse lado. Em outro, são fornecidos dados desnecessários para
resolução da questão. E no vestibulinho, é proposta uma atividade na malha
quadriculada.
Fato que merece também atenção especial é que, na imensa maioria dos problemas
que envolvem o cálculo de área do paralelogramo (82% na 7ª série e 100% na 8ª
série), o lado tomado por base é o que se encontra na posição horizontal.
Nos questionamos se esse tipo de abordagem está contribuindo suficientemente
para o fortalecimento do conceito de invariância da área, em relação à escolha do
lado tomado por base, uma vez que poderá levar o aluno a uma construção
conceitual restrita.
Por outro lado, verificamos que, na 7ª série, 70% dos problemas que envolvem
cálculos da área do paralelogramo, o lado tomado por base é o de maior
comprimento. Enquanto na 8ª série esse percentual cai para 33%, o que
acreditamos ser importante. Fato que nos chamou a atenção é que durante a análise
dos livros da 7ª e 8ª séries, só encontramos uma figura de paralelogramo na qual é
88
tomado como base o lado de menor comprimento e a altura estava no interior do
paralelogramo.
Realizando uma análise mais transversal, chegamos à seguinte conclusão: dentre
todos os problemas envolvendo área do paralelogramo na 7ª série (16), cerca de
80% deles (13) apresentam o lado tomado por base na posição horizontal. Além
disso, em 12 desses paralelogramos (92%) o lado tomado por base na horizontal é o
de maior comprimento.
Na 8ª série, todos os problemas envolvendo área do paralelogramo (03),
apresentam o lado tomado por base na posição horizontal, no entanto, apenas um
deles o lado tomado por base na horizontal é o de maior comprimento.
De uma forma geral, quanto à divisão de responsabilidade entre professor e aluno,
não identificamos nada que fosse introduzido na parte texto-aula e que não fosse
explorado nos exercícios. Por outro lado, há atividades que exigem do aluno
conhecimentos que não estão de maneira explícita no texto-aula.
Vale salientar que, com esta análise, verificamos algumas regularidades no livro
didático que correspondem a privilegiar certos valores das variáveis didáticas
focadas em nossa pesquisa:
1- A posição do paralelogramo é de tal forma, que um dos lados encontra-se na
horizontal;
2- No paralelogramo, o lado horizontal é o de maior comprimento;
3- A inclinação da figura do paralelogramo é para a direita;
4- Sempre existe a presença de figuras nos problemas sobre área do
paralelogramo.
Assim, nossas análises nessa coleção mostram que o desenho prototípico do
paralelogramo, tem o lado de maior comprimento posicionado na horizontal e a
inclinação da figura é para direita, confirmando a hipótese feita na fundamentação
teórica, a partir de observações assistemáticas.
89
A revisão de literatura mostrou que uma das regras de contrato didático, freqüentes
na resolução de problemas de Matemática, é aquela segundo a qual todos os dados
necessários à resolução de um problema encontram-se no enunciado e raramente
são apresentados dados inúteis. Ou seja, é da responsabilidade do professor
oferecer os dados do problema e não o aluno pesquisá-lo. Então, de maneira geral,
com relação ao cálculo de área do paralelogramo, essa regra é confirmada quando
são dadas exclusivamente as medidas de comprimento de um lado e da altura
correspondente.
Constatamos que nos livros didáticos analisados existe nitidamente uma
preocupação em não fortalecer essa regra nos problemas que envolvem área do
paralelogramo. Pois, embora sejam dadas exclusivamente as medidas de
comprimento de um lado e da altura correspondente há momentos em que essa
regra é rompida, ora fornecendo dados desnecessários, ora não apresentando todos
os dados numéricos necessários.
Majoritariamente temos, nos problemas que envolvem área do paralelogramo, as
figuras sendo traçadas de forma que o lado de maior comprimento está posicionado
na horizontal. Quando tais condições não são respeitadas simultaneamente surgem
duas regras de contrato didático possíveis:
• Nos problemas que envolvem cálculo de área do paralelogramo, o lado tomado
por base é o que se encontra na posição horizontal;
• Nos problemas que envolvem cálculo da área do paralelogramo, o lado tomado
por base é o de maior comprimento.
No caso acima, o contrato está funcionando no sentido de que, na maioria das
situações, o professor hipotético tem a atribuição de designar qual é o lado tomado
como base e do aluno é exigida a realização do produto dos comprimentos dessa
base pela altura relativa a ela. Inclusive nas atividades com malha quadriculada,
embora não sejam dadas medidas, existe implicitamente a escolha de um dos lados
como base, que é aquele que está traçado sobre o papel quadriculado, seja ele na
vertical ou horizontal, e não o que está inclinado.
90
Quando essa regra é rompida, ou seja, quando o problema não fornece
explicitamente o comprimento de um dos lados, ou fornece os comprimentos de
ambos os lados e das alturas relativas aos mesmos, o aluno vai mobilizar uma idéia
de base e altura. Acreditamos que para o aluno, a área do paralelogramo é o
produto do comprimento de apenas um de seus lados pela altura relativa a ele, ou
seja, fazemos a hipótese de que para o aluno não há invariância da área
relativamente à escolha do lado tomado como base.
Além das regras citadas acima, também detectamos, na análise da coleção, que um
problema envolvendo área de paralelogramo requer uma solução numérica e que
nos cálculos de área do paralelogramo, a altura tomada é interna.
Apesar das observações feitas acima, nada impede que professor e aluno, ambos
reais, estabeleçam entre si outras regras de contrato didático, uma vez que, a
postura do professor, os exemplos de atividades, a interação entre eles, etc. podem
alterar significativamente o que o livro didático propõe.
No próximo capítulo serão expostas a análise a priori e a análise de resultados do
teste.
91
O TESTE
92
4- O TESTE
Neste capítulo, são apresentadas a análise a priori relativa ao teste aplicado com os
alunos da 8ª série do Ensino Fundamental, tomando como referência os objetivos da
pesquisa e a nossa fundamentação teórica e, em seguida, as análises quantitativa e
qualitativa dos dados coletados.
4.1- Análise a priori das atividades propostas aos alunos da 8ª série
4.1.1 – Atividade 1
Observe os paralelogramos abaixo:
a) Qual das figuras acima têm a menor área?_______________________
b) Quais das figuras acima têm a maior área? _______________________
c) Entre elas há figuras que têm a mesma área? Justifique sua resposta.
93
• Justificativa das principais escolhas na elaboração da atividade: variáveis
didáticas e seus valores.
O interesse principal por esta atividade, justifica-se, de um lado, pelo fato de ela não
ter dados numéricos, rompendo, desta forma, com a regra de contrato didático,
segundo a qual um problema, envolvendo área de paralelogramo, requer sempre
uma solução numérica. Embora a formulação do problema não exija, nem favoreça
esse tipo de resolução, os materiais disponibilizados permitem que os alunos
resolvam numericamente, como será argumentado em seguida.
A atividade aborda a comparação de áreas e, como os procedimentos favorecidos
pela formulação, não são numéricos possibilita-se resolvê-la usando processos de
composição e decomposição das figuras, utilizando para isto, procedimentos de
sobreposição.
Ao elaborar essa atividade, desenhamos as figuras em papel branco, pois, ele
favorece menos a mobilização de procedimentos numéricos do que no papel
quadriculado ou pontilhado. Apesar de a atividade ser apresentada sem medidas,
disponibilizamos régua graduada, permitindo assim, que o aluno obtenha dados
numéricos e resolva numericamente a questão.
Disponibilizamos papel quadriculado para permitir observar se os alunos mobilizam
procedimentos de comparação e decomposição articulados com a contagem de
quadradinhos. Do mesmo modo, oferecemos papel transparente, que permite
resolver a questão através do processo de inclusão, sobreposição e decomposição
de figuras.
Por outro lado, se os alunos utilizarem uma resolução numérica, temos a
possibilidade de investigar qual a idéia que os alunos têm de base e altura. Por isso,
desenhamos as figuras em diversas posições e inclinações, com lado de maior
comprimento na horizontal ou vertical. Para isso, as figuras B e D são retângulos, A
e E são paralelogramos, de tal forma que o lado de maior comprimento está
posicionado na
horizontal; F também é um paralelogramo que possui um dos lados
posicionado na horizontal, no entanto, não é o de maior comprimento, apresentando
94
também, inclinação contrária as demais figuras; C é um paralelogramo que não tem
nenhum lado posicionado na horizontal, provocando uma ruptura na regra de
contrato didático, segundo a qual nos problemas que envolvem cálculos de área do
paralelogramo, o lado tomado por base é o que se encontra na posição horizontal.
• Procedimentos de resolução esperados
As figuras foram construídas utilizando um software de geometria dinâmica e se
caracterizam da seguinte forma:
• A figura A é um paralelogramo, cujo lado posicionado na horizontal mede 4 cm, o
lado oblíquo mede 3 cm e a área mede 9,83 cm
2
• A figura B é um paralelogramo retângulo, cujo lado horizontal mede 2,5 cm, o
lado vertical mede 5,5 cm e a área mede 13,75 cm
2
.
• A figura C é um paralelogramo, cujo lado posicionado na vertical mede 5 cm, o
lado obliquo mede 4 cm e a área mede 17,73 cm
2
.
• A figura D é um paralelogramo retângulo, cujo lado horizontal mede 5 cm, o lado
vertical mede 3,5 cm e a área mede 17,5 cm
2
.
• A figura E é um paralelogramo, cujo lado posicionado na horizontal mede 6,0 cm,
o lado oblíquo mede 4 cm e a área mede 11,44 cm
2
.
• A figura F é um paralelogramo, cujo lado posicionado na horizontal mede 4,5 cm,
o lado oblíquo mede 5 cm e a área mede 17,73 cm
2
.
Portanto, temos as seguintes respostas corretas, de acordo com o software: as
figuras C e F apresentam as maiores áreas, assim como possuem áreas iguais, A é
a que possui menor área e observando ainda, a ordem crescente das áreas temos
A, E, B, D, C e/ou F.
Como visto na nossa fundamentação teórica a respeito de contrato didático relativo à
geometria na França, os alunos da 5ª e 6ª séries podem tomar medidas sobre a
figura e conjecturar em relação a ela, no entanto, na 7ª e 8ª séries eles começam a
raciocinar sobre figuras idealizadas.
95
Então, o primeiro procedimento esperado, é aquele em que nossos alunos seguem a
mesma lógica do contrato didático na França, ou seja, raciocinam em termos da
medida teórica. Desse modo, se recusam a resolver a atividade, pois podem esperar
que sejam dadas informações suficientes, para eles decidirem quem é menor, maior
ou igual em relação à área, considerando as figuras como representantes de objetos
geométricos idealizados.
Caso os alunos não utilizem o kit de material disponível, eles poderão tentar usar as
informações visuais como instrumento de comparação das áreas dos
paralelogramos, empregando o processo de composição e decomposição de figuras
por operações mentais. Visualmente, percebemos que a área da figura A é menor
que todas as outras áreas, no entanto, esse procedimento não permite decidir sobre
a maior e as que têm áreas iguais. Então, um dos procedimentos esperados é
aquele no qual o aluno resolverá a questão usando procedimentos de corte-
colagem, explicitando a equivalência de duas figuras, através da igualdade das
áreas de retângulos e paralelogramos de mesma base e mesma altura.
Ao utilizar o kit de material, o aluno poderá comparar as áreas, desenhando os
paralelogramos no papel transparente e, em seguida, sobrepondo para compará-los
dois a dois, utilizando, para isto, um processo de inclusão e sobreposição. Durante
este processo, o aluno poderá deduzir que a área da figura A é menor que as áreas
das figuras B, C, D e F, porém não vai poder comparar com a área da figura E,
podendo utilizar neste caso, a idéia de corte-colagem.
Outro procedimento esperado é aquele no qual o aluno resolverá a questão
utilizando papel quadriculado, combinando com outros procedimentos, como por
exemplo, decomposição, recomposição, compensação. Inicialmente fará o decalque
dos paralelogramos no papel transparente, recorta-os, os sobrepõe sobre o papel
quadriculado e, em seguida, contará o número de quadradinhos, comparando as
áreas das figuras. Assim, a que tiver o maior número de quadradinhos terá maior
área, da mesma forma que paralelogramos que tenham a mesma área apresentarão
o mesmo número de quadradinhos.
96
Um outro procedimento também esperado é que, em cada figura, os alunos utilizem
a régua para encontrar a medida dos comprimentos dos lados e suas alturas, ou
seja, também manipulem os objetos que estão desenhados.
Sabemos que, do ponto de vista da medida teórica, existe a invariância da área com
relação à escolha da base. No entanto, usando uma medição prática, podemos ter
uma diferença aceitável, no cálculo da área em cada uma das figuras apresentadas,
que pode chegar até 0,6 cm
2
.
Se o aluno tem a noção de invariância da área de acordo com a escolha da base,
não irá importar o lado tomado. No entanto, ele encontrará alguns entraves, se não
tiver esse conhecimento construído, pois para ele a base do paralelogramo é um
determinado lado, que pode ser o de maior comprimento ou que está posicionado na
horizontal.
Se a base para o aluno é o lado que está posicionado na horizontal, ele terá a
possibilidade de calcular a área das figuras A, B, D, E e F, porém não tem como
calcular a área da figura C. O que nos leva a crer, que a tendência para o cálculo da
área dessa figura, será tomar como base o lado de maior comprimento, embora não
houvesse nada de errado, pensar que a base poderia ser o lado menor. Então,
dependendo do lado tomado por base, poderemos observar nesse procedimento
também, que conceito de altura ele mobiliza.
Contudo, dependendo da imprecisão do instrumento, régua, e do lado tomado por
base, os resultados de medição aproximados para os cálculos de área são os
seguintes:
A
(A)
= 3,3 cm X 3 cm = 9,9 cm
2
ou A
(A)
= 4 cm X 2,5 cm = 10 cm
2
A
(B)
= 2,5 cm X 5,5 cm = 13,75 cm
2
A
(C)
= 4 cm X 4,5 cm = 18 cm
2
ou A
(C)
= 5 cm X 3,5 = 17,5 cm
2
A
(D)
= 5 cm X 3,5 cm = 17,5 cm
2
A
(E)
= 6 cm X 2 cm = 12 cm
2
ou A
(E)
= 4 cm X 3 cm = 12 cm
2
A
(F)
= 4 cm X 4,5 cm = 18 cm
2
ou A
(F)
= 3,5 cm X 5 cm = 17,5 cm
2
97
Como o problema foi formulado de forma que o aluno resolva a questão sobre o
desenho e não sobre a figura, consideraremos para os limites desse problema e
para o que queremos investigar em relação à idéia de base e altura, as seguintes
resoluções corretas:
* A figura que apresenta a menor área é a figura A
* As figuras que apresentam as maiores áreas, dependendo da escolha da
base e da imprecisão do instrumento são as figuras C e/ou F.
* As figuras que possuem a mesma área, dependendo também da escolha da
base e da imprecisão do instrumento, podem ser as figuras C, D e F ou C e F.
Quanto aos erros poderemos ter aquele, segundo o qual, o aluno mede os
comprimentos dos lados dos paralelogramos com a régua, adiciona esses
comprimentos e obtém uma ordenação nos números, na qual deduz uma ordenação
de áreas. Assim, ele está utilizando fórmulas erradas para calcular a área ou não
dissocia área e perímetro sob outros pontos de vistas, seja ele topológico, no qual o
aluno não distingue interior e contorno, seja ele variacional, cujo procedimento é
calcular o perímetro e acreditar que, se o perímetro é maior, então a área também
será.
Outro erro possível, consiste em multiplicar os comprimentos dos lados do
paralelogramo, considerando-os como retângulos deformados e em seguida
comparar os números obtidos, para deduzir a ordem sobre as figuras. E ainda,
podemos ter alunos que, após medirem os comprimentos dos lados com a régua,
decidem a ordem das áreas dos paralelogramos a partir das ordenações dos
comprimentos dos lados do paralelogramo. Estes procedimentos também foram
observados em pesquisas anteriores, como a de Vinh Bang e Lunzer (1965),
Douady e Perrin-Glorian (1989), Baltar (1996) e Bellemain e Lima(2002).
Em qualquer procedimento poderemos encontrar alunos resolvendo corretamente ou
não a questão, mas não expressando as unidades de medidas trabalhadas,
revelando assim, indícios de uma concepção numérica. E ainda, podemos ter alunos
que expressam de forma inadequada as unidades de medida, destacando que
possivelmente, para eles não há distinção entre comprimento e área.
98
4.1.2 – Atividade 3
Observe o paralelogramo abaixo:
a) Com uma régua, meça os comprimentos necessários para calcular a área
do paralelogramo e registre os dados coletados na figura.
b) Qual a área aproximada do paralelogramo? Justifique sua resposta
• Justificativa das principais escolhas na elaboração da atividade: variáveis
didáticas e seus valores.
Ao elaborar esta atividade escolhemos desenhar o paralelogramo numa posição não
convencional, ou seja, o lado de menor comprimento posicionado na horizontal, e a
inclinação da figura além de ser voltada para a esquerda é de tal forma que, se o
lado tomado por base for o posicionado na horizontal, teremos as alturas no exterior
do paralelogramo. Também não indicamos as medidas dos comprimentos dos lados.
Temos deste modo, como objetivos principais da atividade, verificar se os alunos
escolhem corretamente os dados numéricos para a resolução da questão, se a
mudança na inclinação da figura influencia na maneira como resolvem o problema e,
ainda, quais as idéias de base e altura mobilizadas.
Dessa forma, o interesse principal por esta atividade, justifica-se, de um lado, pelo
fato de a figura do paralelogramo encontrar-se de uma forma não convencional, ou
seja, com um dos lados na posição horizontal e de maior comprimento, com
inclinação para a direita.
99
Por outro lado, a atividade rompe com a regra de contrato didático mais geral no
ensino da Matemática, não fortalecida no livro didático, mas que nos propusemos a
observar nos procedimentos dos alunos, segundo a qual nos problemas que
envolvem cálculo da área de um paralelogramo cabe ao professor dar as medidas
de comprimento de um dos lados e da altura relativa a esse lado. Dessa forma, não
é da responsabilidade do aluno pesquisar os dados.
Além do mais, após a verificação das medidas dos comprimentos dos lados, que
lado irão tomar por base? O que está na posição horizontal e, assim, a altura relativa
é exterior à figura ou o lado de maior comprimento? Desse modo, que altura é
tomada? Interior ou exterior ao paralelogramo?
As medidas de comprimento dos lados e das alturas relativas a eles, em
centímetros, são números decimais. Isto se justifica por sabermos que uma das
fontes de erros no tratamento de problemas de área, envolvendo medidas decimais,
é a manipulação de operações nesse conjunto numérico e, assim, poderemos
observar, também, se os alunos manipulam corretamente com esses números.
Como foi dito explicitamente no enunciado da questão, os alunos deverão, de posse
de uma régua, medir os comprimentos necessários para o cálculo de área e, em
seguida, registrar esses dados na figura, pois com base nisso, poderemos
possivelmente, identificar o que eles consideram como base e altura.
A figura do paralelogramo foi construída num software de geometria dinâmica. O
lado posicionado na horizontal mede 2,5 cm, o lado oblíquo mede 6 cm e a área
mede 10,75 cm
2
Contudo, devido à imprecisão que o material poderá apresentar, consideraremos
como corretos também os resultados que apresentarem uma diferença de 0,5 cm na
medida do comprimento tomado por base e/ou na altura relativa a essa base.
Sendo assim, considere x a medida, em centímetros, do lado de maior comprimento
do paralelogramo; y a medida, em centímetros, do lado de menor comprimento; z a
100
altura interna relativa ao lado de maior comprimento e t a altura relativa ao lado de
menor comprimento, então os intervalos aceitáveis são:
5,5
≤ x ≤ 6,5 2 ≤ y ≤ 3
1,3 ≤ z ≤ 2,3 4 ≤ t ≤ 5
E conseqüentemente, o intervalo aceito para as medidas de área em centímetros
quadrados é 7,15 ≤ A(cm
2
) ≤ 15
• Procedimentos de resolução esperados
Se o aluno tem uma noção de paralelogramo muito restrita pela figura prototípica,
ele poderá não reconhecer a figura. Caso contrário alguns procedimentos irão surgir.
Um dos procedimentos esperados é aquele no qual o aluno toma por base o lado do
paralelogramo, cujo comprimento se encontra na posição horizontal, assim como a
sua respectiva altura. Utiliza, em seguida, a fórmula da área do paralelogramo,
encontrando como medida de área aproximada 11 cm
2
. Outro procedimento
esperado é aquele em que o aluno toma como base o lado de maior comprimento e
encontra a altura relativa a este lado, aplica a fórmula obtendo como área
aproximada 11,5 cm
2
. Ambas as respostas são consideradas corretas devido à
imprecisão do instrumento.
De acordo com a nossa fundamentação teórica, poderemos antecipar alguns erros:
o primeiro de origem computacional, em que o aluno mede os comprimentos dos
lados do paralelogramo e, em seguida, os soma, obtendo como resposta, a área de
17,4 cm
2
. O segundo, que aparece na literatura como um dos erros freqüentes, a
utilização de fórmulas erradas, no nosso caso, o aluno, após medir os comprimentos
dos lados, os multiplica, realizando uma extensão indevida da fórmula da área do
retângulo, encontrando a área aproximada de 15,5 cm
2
.
Existe um erro que pode aparecer em qualquer procedimento, seja ele certo ou
errado, no qual o aluno encontra os dados correspondentes e realiza o cálculo de
área, porém não registra a unidade de área utilizada ou usa inadequadamente outra
unidade, ou seja, trabalha com medidas de comprimentos em centímetros e a
medida de área é dada em centímetros.
101
4.1.3– Atividade 4
a) Desenhe um retângulo, cuja área seja a mesma do paralelogramo acima.
Justifique sua resposta.
b) Desenhe um retângulo, cujo perímetro seja o mesmo do paralelogramo
acima. Justifique sua resposta
• Justificativa das principais escolhas na elaboração da atividade: variáveis
didáticas e seus valores.
A escolha por esta atividade foi pelo fato de a questão trabalhar simultaneamente
área e perímetro. Mesmo a atividade apresentando todos os dados necessários para
a sua realização, o fato de desenhar um retângulo com a mesma área do
paralelogramo, exige que o aluno decida, qual dos dados apresentados deve
escolher para a realização da questão, assim como para desenhar um retângulo
com o mesmo perímetro.
Sendo assim, o interesse por esta atividade justifica-se pelo fato que são
apresentadas na atividade as medidas dos comprimentos dos lados e a medida da
altura relativa a um dos lados. Rompemos com a regra de contrato didático na qual,
nos problemas que envolvem cálculo da área de um paralelogramo são dadas
exclusivamente as medidas de comprimento de um dos lados e da altura relativa a
esse lado. Vale salientar que, se olharmos para o conjunto das atividades, não há
ruptura de contrato, pois todos os dados são necessários para resolver pelo menos
um dos itens da questão. No entanto, se tomarmos cada item separadamente há
dados desnecessários.
102
Por outro lado, o aluno não precisa calcular a área e/ou perímetro para resolver a
questão, rompendo também, desta forma, com a regra de contrato didático, segundo
a qual um problema, envolvendo área de paralelogramo requer uma solução
numérica.
• Procedimentos de resolução esperados
Um dos procedimentos esperados é aquele em que o aluno utiliza o papel
transparente, em seguida, desconsidera as medidas apresentadas, desenha o
paralelogramo, corta-o no segmento equivalente à altura e, por meio, da
decomposição e recomposição produz um retângulo comparando com o
paralelogramo, verificando assim, que ambas as figuras possuem a mesma área. Da
mesma forma, para construir um retângulo com o mesmo perímetro do
paralelogramo apresentado pode contornar a figura com cordão e, em seguida,
montar uma figura retangular cujo perímetro tem o comprimento do cordão.
Outro procedimento é aquele no qual o aluno, para resolver o problema, desenha
um retângulo com medidas de comprimento dos lados de 6,7 cm e 2,4 cm, obtendo
desta forma, a mesma medida de área do paralelogramo apresentado. Do mesmo
modo, desenhará um retângulo, cujas medidas de comprimento dos lados serão
6,7cm e 4 cm, que terá o mesmo perímetro do paralelogramo.
Um procedimento também esperado é aquele em que o aluno calcula a área e o
perímetro do paralelogramo e, em seguida, encontra um retângulo com mesma área
e depois outro, com o mesmo perímetro do paralelogramo, sem necessariamente,
ter mesmas medidas de comprimento dos lados ou de base e altura.
Um procedimento errado esperado é aquele, no qual o aluno simplesmente desenha
um retângulo com as medidas dos lados do paralelogramo, ou seja, 4 cm e 6,7 cm
considerando que terá mesma área que o paralelogramo dado e repete o mesmo
procedimento para o perímetro. Há diferentes origens possíveis para esse tipo de
erro, um deles do ponto de vista variacional. Sendo assim, mobilizam um teorema-
em-ação falso, pois para ele, figura de mesma área tem mesmo perímetro.
103
Outro erro consiste em confundir área e perímetro do ponto de vista topológico: no
qual o aluno desenha o retângulo com lados medindo 4 cm e 6,7 cm para
representar a área e um outro, com lados 2,4 cm e 6,7 cm para o perímetro, não
confundindo dessa forma, área e perímetro.
4.1.4– Atividade 5
Calcule a área dos paralelogramos abaixo:
• Justificativa das principais escolhas na elaboração da atividade: variáveis
didáticas e seus valores.
Ao elaborar esta atividade escolhemos desenhar os três paralelogramos, um com o
lado de comprimento maior na vertical (figura A), outro na horizontal (figura C) e um
outro na posição oblíqua (figura B). No entanto, em todos apresentamos a medida
dos lados e uma altura correspondente a um dos lados. Em dois dos paralelogramos
(figuras B e C), apresentamos também unidades de medidas diferentes, com o
intuito de observamos a influência dos problemas relacionados com o uso de
unidades.
Nenhuma das figuras foi desenhada em verdadeira grandeza. Tampouco estão
desenhadas em escala. Logo, os alunos devem raciocinar sobre objetos idealizados
104
e não sobre o desenho. Então, a possibilidade de eles raciocinarem sobre o
desenho é desfavorecida pela característica da atividade.
O interesse por esta atividade justifica-se, pelo fato de a questão apresentar dados
numéricos desnecessários, levando o aluno a decidir, qual a medida do lado que
corresponde à altura apresentada, rompendo desta forma, com a regra de contrato
didático, segundo a qual nos problemas que envolvem cálculo da área de um
paralelogramo são dadas exclusivamente as medidas de comprimento de um dos
lados e da altura relativa a esse lado.
Por outro lado, temos o interesse de investigar, se diante da figura que é
apresentada a altura exterior ao paralelogramo (B) ou na qual, o lado tomado por
base não está na posição horizontal (A), se alguns alunos sentem dificuldades ou,
até mesmo bloqueio, no processo de resolução do problema.
• Procedimentos de resoluções esperados
Esperamos que nesta atividade os alunos encontrem como respostas as áreas
abaixo, levando a crer que, independentemente dos dados desnecessários, a
posição dos paralelogramos e as unidades de medidas diferentes apresentados nas
figuras, o aluno resolve a questão corretamente:
Tabela 7 – Exposição das respostas de áreas corretas relativas à atividade 5
Figura Medida de área em
cm
2
Medida de área em
m
2
Medida de área em
dm
2
A - 12,5 -
B 30000 3 -
C 3000 - 30
.
Quanto aos erros, temos aquele em que o uso da fórmula é inadequado, como
citada nas pesquisas anteriores. O aluno poderá, diante da questão, realizar uma
extensão indevida da fórmula da área do retângulo, isto é, em vez de fazer o produto
105
do lado tomado por base pela altura relativa a esse lado, ele multiplica os
comprimentos dos lados da figura.
Outros erros poderão acontecer relativos à produção de fórmulas tais como: o aluno
determina as áreas dos paralelogramos, multiplicando todos os números
encontrados na figura. Utiliza todos os dados apresentados na questão e, para
determinar a área, multiplica a medida de comprimento tomado como base a sua
altura correspondente e, em seguida, divide pela medida do outro comprimento do
paralelogramo. Além do uso da fórmula ser inadequado, em ambos os erros, o aluno
segue a lógica da regra de contrato mais geral no ensino da Matemática, segundo a
qual para resolver um problema, é necessário utilizar todos os dados do enunciado.
Um erro também esperado é aquele, em que o aluno realiza o produto dos números,
levando em consideração apenas o aspecto numérico da questão, por exemplo, 30
cm x 10 dm= 300. Nesse sentido, desconsidera que para multiplicar medidas é
necessário que elas estejam na mesma unidade.
Outro erro esperado em todos os procedimentos é aquele, também relacionado com
o aspecto numérico, no qual o aluno resolve a questão, mas não expressa a unidade
de medida trabalhada. E ainda, poderemos encontrar procedimentos, em que ele
utiliza uma unidade de medida para o cálculo de área e expressa o resultado em
outra, por exemplo, trabalha com as medidas de unidades em cm e registra cm ou
m
2
.
4.1.5– Atividade 6
Seja um paralelogramo ABCD tal que o lado AB mede 6 dm e o lado BC mede 4
dm. Sabendo que a altura relativa ao lado AB mede 3 dm, é possível determinar
o comprimento da altura relativa ao lado BC? Justifique sua resposta.
106
• Justificativa das principais escolhas na elaboração da atividade: variáveis
didáticas e seus valores.
O interesse principal por esta atividade justifica-se, pelo fato de ela abordar a
invariância da área com relação à escolha da base. Então, se o aluno responder
corretamente a questão é porque ele tem esse conhecimento construído, caso
contrário, iremos analisar o conjunto das outras questões para verificarmos que idéia
de base ele possui.
Ao elaborar essa atividade escolhemos não desenhar a figura do paralelogramo,
pois, durante a análise do livro didático, constatamos que todos os problemas
envolvendo área de paralelogramo, apresentavam uma figura. Então, nosso objetivo
é observar como o aluno reage a essa mudança de valor na variável didática, a
existência de figuras.
A unidade de medida escolhida para esta questão é o decímetro pois, com essa
unidade de medida, dificultaria o desenho por parte dos alunos, uma vez que ele não
poderia desenhar na folha de papel ofício a figura em verdadeira grandeza.
Não é necessário o aluno desenhar a figura para responder a questão, no entanto,
se ele desenhar a figura, usando alguma escala, para solucionar o problema,
verificaremos também, se no desenho um dos lados é posicionado na horizontal e,
neste caso, se o lado horizontal é o de maior comprimento. Verificaremos também
se a altura traçada é interior ou exterior ao paralelogramo. Com isso, perceberemos
se há um protótipo para o aluno.
Ao observar o enunciado da atividade, o aluno perceberá que as unidades de
medidas são iguais, logo, não será necessário realizar nenhuma conversão.
• Procedimentos de resolução esperados
A partir dos dados expostos no problema, é possível determinar o comprimento da
altura relativa ao outro lado, pois como a altura relativa ao lado AB mede 3 dm e o
comprimento AB mede 6 dm, a área do paralelogramo é 18 dm
2
. Então, para
107
descobrirmos o comprimento da outra altura, basta saber que, se a área é 18 dm
2
e
se a medida de comprimento do outro lado é 4 dm, então a altura relativa ao lado BC
é de 4,5 dm (pois todas as medidas de comprimento são dadas em decímetros e 18
: 4 = 4,5).
Um procedimento esperado para esta atividade é aquele em que o aluno observa o
enunciado da questão, desenha a figura numa escala menor, em seguida justifica
que é possível encontrar a resposta e depois realiza os cálculos que determinam a
altura relativa ao lado BC. Com esse procedimento, o aluno percebe a necessidade
da presença da figura e, mesmo com as medidas de comprimento dadas em
decímetros, utiliza a escala 1:10 e desenha a figura com os comprimentos em
centímetros. Em seguida, observa a figura e responde corretamente a questão,
percebendo também a invariância da área com relação à escolha da base.
Um procedimento errôneo esperado é aquele no qual, o aluno não desenha a figura
do paralelogramo, não realiza nenhum cálculo e justifica que é impossível resolver o
problema. Interpretamos que, nesse caso, a idéia da invariância da área de um
paralelogramo com relação à escolha do lado tomado como base não está
construída.
4.2- Análise de resultados das atividades aplicadas com os alunos da 8ª série
A análise dos resultados refere-se ao exame dos protocolos dos alunos de uma
turma de 8ª série do Ensino Fundamental de uma escola pública da Cidade do
Recife e divide-se em dois blocos. No primeiro, apresentamos uma análise
quantitativa, na qual tecemos breves comentários sobre os índices de acertos, erros
e ausência de resposta para cada questão do teste. No segundo, é realizada uma
análise de natureza mais qualitativa, na qual são discutidos os procedimentos de
resolução dos alunos diante das questões propostas, que envolvem área de
paralelogramo.
A aplicação do teste, composto por seis atividades, teve duração de 100 minutos. No
momento da sua aplicação, dos 27 alunos que compõem a turma, só compareceram
21 alunos. Após a distribuição dos testes e do kit de materiais, chamamos a atenção
108
dos alunos quanto à importância de justificarem suas respostas para cada questão.
Não houve problemas com o tempo, inclusive alguns alunos terminaram antes do
tempo previsto.
Como já foi explicitado na metodologia, das seis atividades propostas no teste, só
iremos analisar cinco, pois descartamos a Atividade 2, uma vez que percebemos
que a questão poderia gerar dúvidas por parte dos alunos, no que se refere à
análise da figura desenhada em perspectiva, devido à reprodução da questão que
não ficou de boa qualidade.
4.2.1- Análise quantitativa dos testes
A tabela, a seguir, apresenta os erros, acertos e ausência de resposta por
atividades. Relembremos os intervalos e margens de aceitação para definir certo ou
errado, em cada questão:
- na Atividade 1, a menor área é a da figura A, as figuras que apresentam as
maiores áreas, dependendo da escolha da base são as figuras C e/ou F e as
que possuem a mesma área, C, D e F ou C e F.
- na Atividade 3 o intervalo aceito para área é 7,15 ≤ A (cm
2
) ≤ 15.
- na Atividade 4 consideramos corretos os resultados que caracterizavam o
perímetro e a área através da escrita ou pelo desenho.
- na Atividade 5, a área da figura A é de 12,5 m
2
; a área da figura B pode ser
dada em metros quadrados (3 m
2
) ou em centímetros quadrados (30000 cm
2
)
e a área da figura C é de 3000 cm
2
ou 30 dm
2
- na Atividade 6, consideramos corretos os procedimentos realizados com ou
sem desenho, no qual intervinha a idéia de invariância da área de um
paralelogramo com respeito à escolha do lado tomado como base.
De maneira global, consideramos corretas as respostas, nas quais o aluno realizava
o cálculo de área corretamente, mesmo se não apresentava a unidade de área
trabalhada. No entanto, consideramos erradas as respostas nas quais o aluno usa
de forma inadequada as unidades, não percebendo, por exemplo, que comprimento
109
e área, sendo grandezas de natureza distintas, também têm unidades de medidas
diferentes.
Tabela 8: Resultados quantitativos do teste aplicado com 21 alunos de uma turma de 8ª série
ATIVIDADES
CATEGORIAS
1 2 3 4 5
fig. A
5
fig. B
5
fig. C
6
Não
respondeu
-
-
-
01
02
04
02
03
Total de erros
06
-
06
04
07
06
08
12
Total de
acertos
15
-
15
16
12
11
11
06
Percentual de
acertos
71,4%
-
71,4%
76,1%
57,1%
52,3%
52,3%
28,5%
Observando a tabela acima, percebemos que, no conjunto das atividades, houve um
índice baixo de ausência de respostas. Nas Questões 1 e 3 todos os alunos
responderam, na Questão 4 apenas um aluno deixou de responder, nas Questões
5a e 5c dois alunos, na Questão 6 três alunos e tivemos a maior quantidade de
ausência de respostas na Questão 5b. Interpretamos essa constatação como indício
de que os alunos têm uma boa familiaridade com o conteúdo em foco na pesquisa.
Constatamos, também, que as Atividades 1, 3, 4 apresentam elevados índices de
acertos, pois mais de 70% dos alunos acertaram. Por outro lado, a Atividade 5, em
todos os seus itens, apresentou resultados inferiores a 60%. E, na Atividade 6,
percebemos um índice de acertos muito baixo em relação às demais atividades.
Observamos que a Atividade 4, que é a única que aborda de maneira direta a
dissociação entre área e perímetro, apresentou o maior índice de acerto, com
aproximadamente 76%.
Realizando uma análise transversal por teste
23
, dos 21 alunos pesquisados, em
relação a acertos e erros, constatamos quatro blocos: o primeiro, formado por 4
alunos (cerca de 19%) que acertaram todas as questões; o segundo, composto de 5
alunos que acertaram todas as atividades, exceto a Questão 6; no terceiro agrupam-
23
A tabela com acertos e erros por aluno encontra-se no Anexo 3.
110
se 3 alunos que erraram somente as duas últimas questões e finalmente o quarto
bloco no qual constam 3 alunos (cerca de 14%) que erraram todas as questões
24
Para um estudo mais minucioso desses acertos e erros, assim como dos
procedimentos que os alunos utilizaram para resolver as questões, realizamos uma
análise qualitativa.
4.2.2- Análise qualitativa
Nossa análise qualitativa toma como referência as categorias de análise descritas na
metodologia, quanto aos procedimentos de resolução dos alunos e à análise a priori
do teste.
Durante a observação detalhada dos protocolos dos sujeitos, percebemos que o
único material utilizado, dentre aqueles fornecidos no Kit de material, foi a régua
graduada. O uso desse instrumento de medida, como será detalhada nas análises
específicas de cada uma das atividades, se conecta com um conjunto de indícios da
força das concepções numéricas na resolução dos problemas envolvendo área do
paralelogramo.
4.2.2.1- Análise qualitativa da Atividade 1
Analisando esta atividade percebemos que, embora os alunos pudessem resolvê-la
por procedimento não-numérico, conforme análise a prior, todos eles resolveram
(corretamente ou não) numericamente, e para isso usaram a régua graduada.
Dos 21 alunos pesquisados, 15 resolveram corretamente a Questão 1, da seguinte
forma: escolheram um lado para ser tomado como base, mediram o comprimento
desse lado e da altura relativa a ele, em seguida, aplicaram a fórmula de área e
finalmente compararam as áreas das figuras. Veja a justificativa no protocolo A10 a
seguir:
24
Não conseguimos caracterizar um perfil para os demais alunos que responderam o teste.
111
Figura 32: Análise do protocolo A10 em relação à atividade 1
Como podemos perceber no protocolo anterior, existe uma marca na linguagem do
aluno que remete à unicidade da base, ou seja, para ele o lado tomado por base não
é qualquer um. Em todas as figuras possíveis, toma por base o lado que está
posicionado na horizontal. Fato que merece destaque é que esse aluno faz parte do
grupo que acerta todas as questões, mas erra a última, exatamente, a que trata da
invariância da área com relação à escolha da base.
Constatamos que, o procedimento que conduz a erro mais utilizado (3 alunos) é
aquele em que o aluno multiplica os comprimentos dos lados do paralelogramo,
como destacado na análise a priori, o que reforça os resultados das pesquisas
anteriores. Observe, a seguir, o cálculo de área de alguns paralelogramos do
protocolo A20, assim como a sua justificativa:
Figuras 33: Análise do protocolo A20 em relação à atividade 1
112
Entre os procedimentos, existe um que não esperávamos. Observe alguns
paralelogramos do protocolo A13 a seguir, em que o aluno encontra uma das
diagonais dos paralelogramos e, em seguida, determina a altura relativa a esta
diagonal e depois multiplica o valor da diagonal pela altura correspondente.
Figuras 34: Análise do protocolo A13 em relação à atividade 1
A análise dos testes mostrou que todos os alunos, de uma maneira explícita ou não,
utilizaram fórmulas para comparar as áreas e que apenas 3 alunos, além disso,
usaram processos de corte-colagem, composição ou decomposição de figuras, ou
seja, três alunos recorreram a outros procedimentos para se chegar ao numérico.
O fato de os alunos buscarem dados numéricos nas figuras da Questão 1, que era
uma atividade que envolvia comparação de áreas, usarem raramente processos de
corte-colagem, composição e decomposição indicam indícios de uma concepção
numérica de área.
Apesar da maioria dos alunos ter utilizado uma unidade de medida adequada para
trabalhar com a área das figuras, existe ainda nesse grupo um índice elevado (43%)
de alunos que não usam nenhuma unidade de medida, fato que nos chama atenção,
pois, na ocasião em que o aluno utiliza a régua graduada para medir os segmentos,
a unidade de comprimento mais conveniente seria o cm, o que parece ilustrar para
nós, que o aspecto numérico está desconectado da noção de grandeza.
Constatamos que a idéia predominante de base é aquela que corresponde ao lado
posicionado na horizontal. No entanto, se a mobilização dessa idéia não é possível,
por causa da figura, mobiliza-se a idéia de base como o lado de maior comprimento.
Da mesma forma, constatamos também que 62% dos alunos utilizaram a altura que
estava no interior do paralelogramo.
113
4.2.2.2- Análise qualitativa da Atividade 3
Constatamos nesta atividade que, para a maioria dos alunos, a inclinação da figura
parece não influenciar na resolução do problema, assim como a escolha dos dados
numéricos para calcular a área do paralelogramo não parece provocar dificuldades
expressivas.
Percebemos que vários procedimentos foram utilizados para determinar a área do
paralelogramo. Entre os procedimentos mais utilizados, destacam-se aqueles em
que os alunos medem os comprimentos dos lados, tomam um lado por base,
determinam a sua respectiva altura e calculam a área. Assim temos 08 alunos que
tomaram por base o lado que se encontra na posição horizontal e, nesse caso, a
altura relativa era externa ao paralelogramo e 05 alunos tomaram por base o lado
oblíquo, que é o de maior comprimento.
Fato que merece destaque é que dois alunos utilizaram o seguinte procedimento:
formaram um retângulo que pode ser decomposto pelo paralelogramo apresentado
na questão e dois triângulos retângulos congruentes, calcula a área do retângulo e
subtrai as áreas dos triângulos retângulos. Este tipo de procedimento não é o mais
econômico, mas revela a idéia de aditividade das áreas e o uso de propriedades
geométricas, na medida que utiliza o processo de complementaridade da figura. Veja
o procedimento de A08 a seguir:
114
Figura 35: Análise do protocolo A08 em relação à atividade 3
Quanto aos erros cometidos, destaca-se, com cerca de 19% de utilização (04
alunos), aquele no qual os alunos, após medirem os comprimentos, multiplicam os
comprimentos dos lados do paralelogramo, realizando uma extensão indevida da
fórmula de área do retângulo.
115
Figura 36: Análise do protocolo A18 em relação à atividade 3
Como podemos perceber no protocolo anterior, este tipo de erro já identificado em
pesquisas anteriores, novamente, é confirmado nesta questão, correspondendo à
mobilização do teorema-em-ação, segundo o qual a área de um paralelogramo é
dada pelo produto das medidas de seus lados.
Dois alunos utilizaram um procedimento não previsto na análise a priori: fizeram o
produto dos comprimentos dos lados do paralelogramo e dividiram por 2. Trata-se de
uma fórmula errônea, possivelmente inspirada pelas fórmulas de área de um
retângulo e de um triângulo. Observe o protocolo A21 a seguir:
116
Figura 37: Análise do protocolo A21 em relação à atividade 3
Vale salientar, que essa atividade foi elaborada de forma que fosse privilegiada a
natureza numérica da solução. Todos os alunos utilizaram um procedimento
numérico, do mesmo modo, que usaram fórmulas para resolver a questão, seja
direta ou indiretamente. No entanto, deve-se ressaltar a mobilização simultânea de
conhecimentos do campo geométrico por 8 alunos que fizeram combinações de
procedimentos, ou seja, usaram fórmulas, mas também processos de corte-colagem,
composição ou decomposição de figura para calcular a área.
Quanto à escolha da base e da altura, percebemos que 12 alunos (57%) da turma
tomaram por base o lado do paralelogramo que se encontrava na posição horizontal,
e, neste caso, a altura correspondente era exterior ao paralelogramo, confirmando
de certo modo, a regra de contrato didático, segundo a qual nos problemas que
envolvem cálculos de área do paralelogramo, o lado tomado por base é o que se
encontra na posição horizontal.
No entanto, 05 alunos, escolheram como base o lado de maior comprimento,
tomando uma altura interior à figura, ou seja, confirmando a regra segundo a qual
117
nos problemas que envolvem cálculos da área do paralelogramo, o lado tomado por
base é o de maior comprimento.
Vale salientar que 04 alunos mobilizaram esses conceitos erradamente, pois existe
a utilização implícita de uma fórmula que corresponde ao produto dos comprimentos
dos lados. Caberia uma investigação mais profunda para verificar se o erro se situa
na identificação dos elementos base e altura a figura ou na fórmula (produto dos
comprimentos dos lados x produto dos comprimentos da base pela altura). Observe
o protocolo A15 a seguir
Figura 38: Análise do protocolo A15 em relação à atividade 3
118
Em relação ao uso de unidades de medida, constatamos, novamente, que quase a
metade da turma (43% dos alunos) não usou nenhuma unidade de medida na
resolução da questão, levando-nos a crer que o aspecto numérico está
desconectado da noção de grandeza.
4.2.2.3- Análise qualitativa da Atividade 4
Como dito anteriormente na análise quantitativa, esta atividade teve índices
elevados de acertos, indicando que, particularmente nesta atividade, a maioria dos
alunos dissocia a área do perímetro.
O procedimento mais utilizado (14 alunos) foi aquele no qual eles percebem que não
é necessário calcular a área e/ou perímetro para resolver a questão, bastando
manipular com os dados. Observe o protocolo a seguir:
119
Figura 39: Análise do protocolo A-04 em relação à atividade 4
Durante a análise, encontramos alguns erros não esperados e que nos chamam a
atenção, mas que não soubemos interpretar. Em ambos os casos, acreditamos que
120
uma entrevista com esses alunos ajudaria a compreender o que eles fizeram.
Observe os protocolos A17 e A15 a seguir:
Figura 40: análise do protocolo A17 em relação à atividade 4
Em relação ao protocolo A15, encontramos um procedimento que mostra claramente
a confusão entre área e perímetro. No entanto, não conseguimos identificar sob que
ponto de vista (topológico, variacional). Observe:
121
Figura 41 : análise do protocolo A15 em relação à atividade 4
122
Encontramos um procedimento errado, em que o aluno desenha o retângulo com as
medidas dos lados 4 cm e 6,7 cm representando aquele de mesma área e não
responde o item b da questão. É possível que o aluno não dissocie área e perímetro.
No entanto, esse tipo de procedimento pode estar relacionado a vários pontos de
vista. Observe o protocolo A21a seguir:
Figura 42: análise do protocolo A21 em relação à atividade 4
Diante dessa questão, cerca de 30% da turma, ou seja, 06 alunos utilizaram
procedimentos numéricos para resolver o problema, assim como, um baixo índice
não deixa explícito o uso de fórmulas, porém 09 alunos (43%) utilizam
procedimentos geométricos. Vale salientar que essa atividade foi elaborada de forma
que os alunos não precisassem usar procedimentos numéricos.
123
Fatos que merecem destaques são que cerca de 14% da turma (03 alunos)
simplesmente não desenham os retângulos solicitados, porém caracterizam
(corretamente ou não) as figuras, como vimos no protocolo 40. Também 14% deles
criaram corretamente retângulos que correspondem às condições solicitadas, mas
cujos comprimentos dos lados são diferentes daqueles do paralelogramo. Mesmo
utilizando procedimentos numéricos, os alunos são capazes de produzir figuras
novas, ou seja, há um desprendimento da figura, como podemos observar, no
protocolo A19 a seguir:
Figura 43: Análise do protocolo A19 em relação à atividade 4
Constatamos também que cerca de 57% da turma (12 alunos) não usa unidade de
medida para expressar as dimensões do retângulo criado, o perímetro da figura ou a
área.
4.2.2.4- Análise qualitativa da Atividade 5
Durante a análise da Atividade 5, constatamos que, mesmo com os paralelogramos
em posições e inclinações diferentes, o procedimento de resolução que mais os
alunos utilizaram foi aquele no qual, o aluno escolhe corretamente os dados para
calcular a área das figuras, aplica a fórmula e, em seguida, apresenta o resultado,
inclusive com as unidades de medida trabalhadas. Este fato aconteceu em todas as
figuras, exceto na figura B, em que o índice de resolução foi inferior a 50%, ou seja,
9 alunos resolveram a questão por esse procedimento.
124
Esta atividade foi construída de forma que os procedimentos numéricos fossem
privilegiados e de fato as soluções numéricas foram majoritariamente apresentadas
pelos alunos.
Como visto na análise quantitativa, a figura A teve o maior índice de acerto nessa
questão. Supomos que esse fato ocorreu porque não era necessário realizar
mudanças de unidades, o lado tomado por base é aquele de maior comprimento,
mesmo na posição vertical e a altura estava no interior do paralelogramo.
Constatamos, durante a análise, que nas figuras A e C, 16 alunos não deixam
explícito o uso de fórmulas, mas se percebe que eles a utilizam para resolver as
questões. No entanto, cerca de 90% deles (19) não utilizam e nem deixam explícito
o uso de processos de composição, decomposição e corte-colagem de figuras.
Quanto à figura B, 4 alunos deixaram de responder essa questão. É possível que
alguns fatores tenham contribuído para isso. Primeiro, pelo fato de a altura
determinada estar no exterior da figura, segundo, porque o lado de menor
comprimento está na posição horizontal e, por último, pela escolha da base, que é a
de menor comprimento. Além disso, para o cálculo de área dessa figura seria
necessário realizar mudanças de unidades. Por outro lado, a Atividade 3
apresentava praticamente os mesmos valores de variáveis didáticas e, no entanto, o
índice de ausência de respostas foi zero. Por isso, não temos elementos conclusivos
que interpretem coerentemente as razões que justifique esse índice.
Ainda na figura B, percebemos que o uso de processos de composição,
decomposição e corte-colagem foi mais evidente em relação às outras figuras (4
alunos o utilizaram), porém os alunos que não deixam explícito o uso de fórmulas,
mas se percebe que eles a utilizam para resolver as questões diminuiu para 13.
Também percebemos combinação de procedimentos, como podemos observar na
Figura 44, que será descrita a seguir.
Encontramos um procedimento correto de resolução, não previsto na análise a priori.
O aluno calcula as áreas das figuras A e C de forma tradicional, no entanto, na figura
125
B, ele acrescenta no paralelogramo, um triângulo retângulo formando um trapézio-
retângulo, conforme o protocolo a seguir.
Figura 44: Análise
do protocolo A07 em relação à atividade 5
126
Como podemos perceber no protocolo anterior, o aluno calcula o comprimento de
um dos catetos do triângulo retângulo, por meio do Teorema de Pitágoras, em
seguida calcula a área do trapézio-retângulo e subtrai a área do triângulo retângulo
para determinar a área do paralelogramo proposto. Esse procedimento, também não
é o mais econômico (como o citado na página 112 para a Figura 35) indicando
implicitamente que não é permitido calcular a área do paralelogramo, quando o lado
de menor comprimento está posicionado na horizontal.
Quanto aos erros, no cálculo de área das figuras A e C, os alunos utilizaram um
procedimento no qual, após a resolução da questão, o aluno expressa de forma
incorreta a unidade de medida trabalhada ou simplesmente a ignora. No entanto,
para a figura B, o procedimento mais utilizado foi aquele em que os alunos
realizavam a extensão indevida da fórmula de área do retângulo.
Entre os demais erros, destacamos um que foi comum às três figuras, ou seja,
aquele em que o uso de fórmulas não é adequado, no primeiro, o aluno multiplica
todos os dados apresentados nas figuras, independentemente de realizar ou não as
mudanças de unidades necessárias e, em seguida, divide o produto encontrado por
dois. No segundo utiliza todos os dados fornecidos na figura, isto é, realiza o
produto, por exemplo, da medida de comprimento de um lado pela altura relativa a
esse lado e, em seguida, divide pelo outro dado fornecido.
Em ambos os procedimentos, é possível, que esses alunos funcionem segundo a
regra de contrato didático, na qual para resolver um problema é necessário utilizar
todos os dados apresentados na questão. Veja os protocolos A21 e A18 a seguir:
127
Figura 45: Análise do protocolo A21 em relação à atividade 5
Figura 46: Análise do protocolo A18 em relação à atividade 5
128
Quanto às unidades de medida trabalhadas, na figura A não era exigida do aluno a
conversão de unidades, mas apenas metade da turma expressou seus resultados
usando a unidade de medida adequada para a área do paralelogramo. Nas figuras B
e C, resultados superiores a 70% dos alunos, converteram as unidades de medidas,
antes de calcular as áreas das figuras, porém no momento de expressar as
respostas, do mesmo modo que a figura A, apenas a metade da turma usou a
unidade de medida adequada para o cálculo de área.
Por outro lado, constatamos que alguns alunos usaram de maneira inadequada as
unidades de medida. Sendo 33% da turma na figura A, 24% na figura B e 29% na
figura C
4.2.2.5- Análise qualitativa da Atividade 6
Retomando a análise quantitativa referente a esta questão, temos: dos 21 alunos
pesquisados, 3 não responderam o problema e 6 acertaram essa atividade. O que
consideramos um baixo índice de acerto (28,5%).
Percebemos que, dos 18 alunos que tentaram resolver a questão, apenas 02 não
esboçaram a figura do paralelogramo. Os demais (16) desenham a figura com um
dos lados na posição horizontal. Fato interessante é que 12 deles, além de
desenharem um dos lados na horizontal, também tomavam este lado como o de
maior comprimento, com o intuito de determinar o comprimento da altura relativa ao
lado BC. A inclinação para direita é predominante nos desenhos dos alunos (15).
Da mesma forma, cerca de 67% da turma, ou seja, 14 alunos, traçaram a altura
dada no problema no interior do paralelogramo e apenas um aluno traçou de forma
que a altura estivesse no exterior da figura.
Em relação às unidades de medida trabalhadas, apenas 06 alunos usaram a
unidade de medida adequada para expressar o comprimento da altura solicitada.
Vale salientar que, nesta atividade, não era necessário realizar conversões de
unidades.
129
A atividade foi elaborada de forma que a natureza da solução fosse numérica, e com
isto, percebemos que cerca de 70% dos alunos que responderam a questão
utilizaram procedimentos numéricos, mas também, encontramos procedimentos
geométricos, como é o caso do protocolo A07, que será descrito em breve.
Podemos observar que o procedimento mais utilizado pelos alunos (5) que
acertaram a questão, com 83% de acertos aproximadamente, é aquele que consiste
em desenhar a figura numa escala menor e, em seguida, realizar os cálculos de
área. Mesmo nesse grupo de aluno, não temos a garantia de que a invariância da
área em relação à escolha da base esteja realmente construída. Visto que,
desenharam e registraram as medidas sobre o desenho. Nesse caso, não temos
informações que comprovem que eles articularam esses procedimentos, com a
invariância da área com relação a escolha do lado tomado por base.
Quanto à utilização de fórmulas, 57% da turma, isto é, 12 alunos, não deixam
explícito o uso. Dos seis alunos que acertaram a questão, quatro utilizaram
explicitamente a fórmula, como podemos perceber no protocolo A09 abaixo:
Figura 47: Análise do protocolo A 09 em relação à atividade 6
130
Constatamos um procedimento correto não esperado na análise a priori, em que
diante do problema, o aluno utiliza a régua para encontrar a medida da altura, ou
seja, desenha o paralelogramo na escala de 1:10. Assim, cada centímetro no papel
corresponde a 10 centímetros no real e, em seguida, traça a altura relativa ao lado
BC, determinando a sua medida através da régua, encontrando um valor
aproximado de 4,4 cm. Observe este procedimento no protocolo A07 a seguir:
Figura 48: Análise do protocolo A07em relação à atividade 6
131
Quanto aos erros, destaca-se com índice de 43% aquele no qual, o aluno desenha a
figura, sem se preocupar com a escala e, em seguida, justifica que com os dados
apresentados é impossível encontrar a resposta ou então justifica de forma errada
que é possível. Observe o protocolo A08 a seguir:
Figura 49: Análise do protocolo A08 em relação à atividade 6
Encontramos um procedimento errado não esperado na análise a priori, em que o
aluno esboça um desenho prototípico de um paralelogramo na França, com a
diagonal AC perpendicular ao lado BC, como descrito por Capponi & Laborde (1994,
p.53), relatada na nossa fundamentação teórica, e em seguida determina, através do
Teorema de Pitágoras, a medida do comprimento da diagonal (altura relativa ao lado
BC). O aluno encontrará como resposta um valor aproximado para a altura relativa
ao lado BC. Podemos perceber isto, no protocolo A11 a seguir:
132
Figura 50: Análise do protocolo A11 em relação à atividade 6
• Análise qualitativa transversal dos resultados obtidos nos protocolos
Em relação ao bloco de alunos que acertaram todas as atividades, percebemos que
nas questões que eles podiam escolher o lado tomado por base, a decisão era
tomar o lado que se encontrava na posição horizontal. Existe ainda nesse grupo,
uma coerência com relação ao uso da fórmula e todos os alunos utilizam
adequadamente as unidades de medida. Ao longo das atividades não confundem
área e perímetro. É comum o uso de procedimentos numéricos e todos (4)
desenham a figura na Atividade 6, com um dos lados na horizontal, sendo que a
maioria deles (3) inclinam o paralelogramo para a direita.
Quanto ao grupo de alunos (5) que acertaram todas as questões, exceto a última,
observamos também, que a escolha do lado tomado por base é aquela que se
encontra na posição horizontal. Também existe uma coerência no uso de fórmulas e
133
as unidades de medida trabalhadas ora são usadas adequadamente, ora não são
expressas. A confusão entre área e perímetro, nesse grupo de aluno, parece não
existir e procedimentos numéricos são predominantes.
Para o conjunto dos três alunos que acertaram as três primeiras questões, não
existe uma escolha comum para o lado tomado como base, há alunos que tomam o
lado na posição horizontal, outro de maior comprimento e um outro não
conseguimos identificar. Há coerência em relação ao uso de fórmulas. Existem
alunos que usam adequadamente as unidades de medida, outros não. Temos ainda,
alunos que não expressam essas unidades. Nesse grupo, também os alunos
dissociam área e perímetro e prevalecem entre eles procedimentos numéricos.
É predominante entre os alunos que erraram todas as questões, tomarem o lado que
está posicionado na horizontal por base. Existe uma coerência no uso de fórmulas,
mesmo errôneas, pois se a fórmula utilizada for o produto dos comprimentos dos
lados, essa mesma será utilizada em todas as questões. No entanto, as unidades de
medidas ora são utilizadas, ora são evitadas. Todos confundem área e perímetro e
os procedimentos numéricos são fortemente usados.
Ademais, temos ainda um grupo (4) que não tem uma coerência em termos de
acertos e erros, como nos blocos formados anteriormente, mas que para todas as
questões, determinam as áreas dos paralelogramos realizando o produto dos
comprimentos dos lados.
134
Considerações finais
Realizando uma retrospectiva, ainda que breve, do nosso trabalho, iniciamos este
estudo partindo da revisão de literatura relativa ao conceito de área. As pesquisas
anteriores evidenciaram dois tipos de concepções de área - geométrica e numérica.
Adotamos a abordagem de área como uma grandeza, como uma alternativa que
permite a superação dessas concepções.
Estudos diversos apontavam erros sobre a área do paralelogramo, no entanto, não
encontramos na literatura algo específico sobre esse tema. Assim, propusemo-nos
a evidenciar alguns aspectos que poderiam aprofundar a compreensão dos erros
que os alunos cometiam, como por exemplo: uso de fórmulas erradas, confusão
entre área e perímetro, utilização inadequada de unidades de medida etc.
Escolhemos, então, investigar a relação entre a abordagem da área do
paralelogramo em uma coleção de livros didáticos para as séries finais do Ensino
Fundamental e os procedimentos utilizados pelos alunos de uma 8ª série na
resolução de problemas relativos a esse tema.
Portanto, as perguntas que nortearam esse trabalho foram: Quais as regularidades
na coleção de livros didáticos, quanto à área e à figura do paralelogramo? Quais os
procedimentos dos alunos na resolução de problemas envolvendo área do
paralelogramo? Que relações podem ser observadas entre as regularidades na
coleção de livros didáticos e os procedimentos dos alunos na resolução de
problemas, envolvendo área de paralelogramo? Essas perguntas deram origem aos
nossos objetivos, os quais sintetizaremos a seguir.
De modo específico, identificamos regularidades na coleção de livros didáticos,
relativas aos conteúdos área e paralelogramos, através da noção de variável
didática, que permitiu o surgimento das principais escolhas de valores para a
elaboração do teste e da noção de contrato didático, que ajudou a esclarecer
algumas expectativas em relação ao saber em jogo e a explicitar possíveis regras de
contrato didático relativas ao tema.
135
Percebemos que, quanto à figura do paralelogramo, a coleção de livros didáticos
apresenta algumas regularidades, tais como:
1- O paralelogramo é desenhado freqüentemente (índices superiores a 60% em
todas as séries) de tal forma, que um dos lados encontra-se na posição
horizontal.
2- No paralelogramo, o lado de maior comprimento encontra-se na posição
horizontal (índices de freqüência superiores a 60% em todas as séries).
3- A inclinação da figura do paralelogramo é para a direita (índices de freqüência
superiores a 89% em todas as séries).
4- Sempre existe a presença de figuras nos problemas sobre área do
paralelogramo.
Assim, a figura prototípica do paralelogramo, que prevalece nos livros didáticos
dessa coleção é aquela em que o lado de maior comprimento encontra-se na
posição horizontal e a figura está inclinada para direita. Por outro lado, percebemos
uma preocupação dos autores em romper com essas regularidades.
Quanto à abordagem do conceito de área percebemos alguns indícios de
concepções numéricas, tais como: em todos os livros dessa coleção, na parte
referente ao dicionário, encontramos a mesma definição para a área - medida de
uma superfície. O conceito de área é abordado de início, por ladrilhamento,
prevalecendo o aspecto numérico. Por outro lado, os autores trabalham processos
de composição e decomposição, os quais contribuem para fortalecer a idéia de área
enquanto grandeza, pois estabelecem uma relação entre o quadro geométrico e o
das grandezas.
Ao caracterizarmos os procedimentos, corretos e errôneos, utilizados pelos alunos
na resolução de problemas, constatamos que, de uma forma global, o erro mais
comum para o cálculo de área do paralelogramo é aquele em que o aluno utiliza
fórmulas erradas, podendo ser associado a um indício de concepção numérica.
Também é indício dessa concepção, o fato dos alunos utilizarem a régua graduada
na Atividade 1, omitir ou usar inadequadamente as unidades de medida, levando-
nos a crer que para eles só interessa a pertinência do cálculo.
136
Quanto às relações que poderiam ser observadas entre as regularidades na coleção
de livros didáticos e os procedimentos dos alunos na resolução de problemas,
envolvendo área do paralelogramo, analisamos que o livro didático parece não
contribuir suficientemente para a idéia de base como um lado qualquer, pois
percebemos, muitas vezes, o uso de protótipos sem a sua devida ampliação e
marcas de linguagem que remetem à unicidade da base e altura. Acreditamos que
por isso, os índices de acertos foram baixos na Atividade 6, em que o conhecimento
em jogo, era a invariância da área com relação à escolha do lado tomado como
base.
De um modo geral, existe uma relação de convergência e divergência entre a
abordagem do livro didático e os procedimentos dos alunos, como veremos a seguir:
Quanto à relação de convergência percebemos que tanto na coleção de livros
didáticos como nos procedimentos dos alunos há indícios da importância do uso das
figuras como suporte de representação. No livro didático todos os problemas
relativos à área do paralelogramo apresentam figuras e os alunos mostram na
resolução dos problemas propostos, especificamente na Atividade 6 (em que não há
figura), a necessidade de desenhá-las para resolver o problema. Logo, o valor
presença de figura é predominante na variável didática existência de figura.
Em relação à variável didática referente à posição dos lados do paralelogramo
constatamos que o valor predominante é aquele em que um dos lados está
posicionado na horizontal. Nos procedimentos dos alunos quando o problema não
apresenta figura, eles desenham predominantemente com um dos lados na posição
horizontal e freqüentemente o lado desenhado na horizontal é o de maior
comprimento convergindo com os valores encontrados nos livros didáticos. Ou seja,
os alunos possuem um protótipo de paralelogramo, embora, não se limite a ele.
O valor da variável didática predominante para a inclinação da figura é para direita,
tanto no livro, quanto nos procedimentos dos alunos quando desenham a figura na
atividade 6. Apesar disso, esse aspecto não parece provocar dificuldades na
resolução de problemas pelos alunos.
137
A altura no interior do paralelogramo é predominante tanto nos livros didáticos como
nos procedimentos dos alunos. Outra convergência é a escolha do lado tomado
como base ser o lado posicionado na horizontal.
Percebemos que a escolha do lado tomado por base ser o de maior comprimento é
secundária em relação à posição horizontal, tanto nos livros quanto nos
procedimentos dos alunos.
O livro didático apresenta uma preocupação nítida em trabalhar a dissociação entre
área e perímetro. E nos procedimentos dos alunos temos um índice elevado de
alunos que nas atividades propostas não confundem área e perímetro. Esta é mais
uma relação de convergência, que encontramos entre a abordagem do livro e os
procedimentos dos alunos.
Também encontramos relação de divergência no sentido de o livro escolher
trabalhar inicialmente área com medida e posteriormente com processos de
composição e decomposição. De acordo com Douady e Perrin Glorian, a associação
precoce da superfície a um número favorece a confusão entre as grandezas em jogo
e o trabalho de área como grandeza deve ser anterior ao processo de medida.
Então, esperávamos que os alunos pesquisados e usuários do livro didático
apresentassem dificuldades relativas à dissociação entre comprimento e área. No
entanto, eles distinguem nas atividades propostas essas duas grandezas.
Quanto às regras de contrato didático, percebemos que, algumas estão instaladas
tanto no livro didático como nos procedimentos dos alunos, como por exemplo: um
problema, envolvendo área de paralelogramo requer uma solução numérica e nos
problemas que envolvem cálculos da área do paralelogramo, o lado tomado por
base é o que se encontra na posição horizontal. Alguns comportamentos dos alunos
podem ser interpretados como indícios de um funcionamento segundo essas regras
de contrato didático. Diante de questões em que essas regras não são respeitadas,
ou há um bloqueio, no sentido do aluno não resolver a questão, ou dificuldades de
resolução do problema, como é confirmado nas Atividades 1 e 6 do teste proposto.
138
A Questão 6 é apresentada aos alunos, após uma seqüência de atividades relativas
à área do paralelogramo. Pode-se formular uma regra de contrato didático mais
geral no ensino da Matemática, na qual quando o professor aplica um teste, logo
após o estudo de um determinado conteúdo, o aluno deverá usar esse
conhecimento para resolver as questões propostas. A tendência do aluno seria,
portanto, tentar resolver a questão, utilizando a fórmula de área do paralelogramo,
que foi foco de todo o teste. No entanto este fato, na maioria dos casos, não
aconteceu. Acreditamos que a idéia de área como produto de um lado específico
pela altura relativa a ele é mais forte do que a tentativa de respeitar o contrato
didático.
Na coleção de livros didáticos analisada, a possibilidade de o aluno realizar o
produto dos comprimentos dos lados e, assim, o conhecimento ser invalidado é
mínima, pois, por exemplo, das sete questões apresentadas no livro da 7ª série, em
apenas duas existe a possibilidade de o aluno decidir que dados numéricos eram
necessários para resolver a questão. Acreditamos que seja por isso também, que
quase a metade da turma sentiu dificuldades em resolver a Questão 5, em todos os
seus itens, na qual eles precisavam decidir que dados tomar para solucionar o
problema.
Apesar disso, de uma maneira geral, percebemos que existe nitidamente uma
preocupação, dos autores da coleção, de não fornecerem apenas os dados
necessários para a resolução do problema relativos à área do paralelogramo. Visto
que, em diversos momentos eles desestabilizam várias fontes de erros, inclusive:
calcular a área do paralelogramo fazendo o produto dos comprimentos dos lados. No
entanto, esse erro mostra-se persistente nos procedimentos dos alunos.
Assim também sugerimos a investigação de um estudo epistemológico a respeito da
área do paralelogramo, pois o próprio fato de que a área do paralelogramo parece
ser um aspecto problemático da construção do conceito, em diferentes contextos
educacionais, aponta para uma possível origem epistemológica das dificuldades dos
alunos. Acreditamos que esse aspecto deveria ser investigado, visto que se há essa
origem ela está sendo reforçada, de uma certa forma, pela abordagem didática.
139
Encontramos limites no nosso instrumento de coleta de dados. Diante de alguns
procedimentos de resoluções dos alunos, surgiu uma diversidade de interpretações
possíveis, cujo esclarecimento teria sido beneficiado pela realização de uma
entrevista. Tal recurso ajudaria a compreender melhor o procedimento do aluno,
como por exemplo: a questão da presença ou ausência de figuras, a distinção entre
área e perímetro sob diferentes pontos de vista ou a escolha da altura nos
problemas que envolviam área do paralelogramo.
No entanto, acreditamos que, a construção mais sistemática das variáveis didáticas
e seus valores, torna-se um subsídio importante para a elaboração de novos
instrumentos metodológicos de coleta de dados. Considerando assim, escolhas
ainda mais criteriosas e que permitam investigar dados que não pudemos considerar
nessa pesquisa, pois não tínhamos esse marco teórico, no momento de nossas
escolhas, que é o caso, por exemplo, da inexistência de paralelogramos no teste
com ambos os lados na posição oblíqua.
Sugerimos que nas próximas pesquisas sejam verificadas novamente essas
abordagens, de forma que seja considerado o aspecto dinâmico, pois um dos itens
investigados em pesquisas anteriores, como por exemplo, Vinh Bang & Lunzer, era
aquele relativo à deformação das figuras, em que o aluno vê o paralelogramo como
um retângulo deformado, justificando a questão do produto dos comprimentos dos
lados e seus efeitos sobre área e perímetro.
Sugerimos também, que seja investigada a construção do conceito de área proposta
pelos autores dos livros didáticos, ou seja, trabalhar primeiro, o aspecto da medida
de área e depois, com a questão de composição e decomposição, com intuito de
analisar que elementos das respostas dos alunos reforçam a idéia de área enquanto
grandeza.
Por outro lado, a idéia de base como lado horizontal não está apenas na escola, a
própria língua materna relaciona a idéia de que base é chão, piso, solo e, estes,
estão posicionados na horizontal. Nessa pesquisa não observamos esses aspectos,
mas que seria interessante observar a influência dessas questões sobre a idéia de
base.
140
Sabemos do trabalho laborioso que é organizar uma coleção de livro didático, com
todas as orientações didáticas e conceituais, por isso, acreditamos que a escolha da
coleção de livros didáticos foi pertinente, uma vez que ela busca invalidar as
dificuldades e os erros apontados por diversas pesquisas. No entanto, esses erros
persistem, mostrando o quanto eles estão enraizados em algo que vai além do
didático.
Nas próximas pesquisas poderiam também, como sugestão, ser investigadas regras
de contrato didático e valores de variáveis didáticas, relativas aos conteúdos área e
paralelogramo, subjacentes à prática do professor.
Entendemos que é importante que os livros didáticos e o professor, em seu trabalho
contínuo em sala de aula, explorem mais a produção de paralelogramos, fazendo
variar outras condições, como por exemplo, posições e inclinações da figura,
possibilitando inclusive, outros tipos de atividades que favoreçam a compreensão
pelo aluno da invariância da área com relação à escolha do lado tomado por base.
141
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Livro didático analisado:
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a 8ª série).
ANEXO 1
5ª SÉRIE
Pág. Quantidade de
figuras do
paralelogramo
Assunto
abordado
Posição
dos lados
Comprimento dos
lados
Inclinação da
figura
Presença ou
ausência de
figuras
Natureza
das
soluções
Dados
fornecidos
Posição do
lado
tomado
como base
Comprimento do
lado tomado como
base
Posição da
altura
traçada
35 01 ângulo horizontal maior direita presença
46 01 polígonos horizontal maior direita presença
49 02 ângulo horizontal maior direita presença
52 01 quadrilátero
horizontal maior direita presença
53 01 paralelismo obliqua - - presença
54 02 quadrilátero
horizontal maior direita presença
55 02 ângulo horizontal maior direita presença
55 01 ângulo obliqua - - presença
56 01 medida horizontal maior direita presença
56 01 medida horizontal menor direita presença
186 01 simetria horizontal maior direita presença
187 01 simetria horizontal maior direita presença
190 01 simetria vertical - - presença
281 01 superteste vertical - - presença
296 01 dicionário horizontal maior direita presença
298 01 dicionário horizontal maior direita presença
6ª SÉRIE
Pág. Quantidade de
figuras do
paralelogramo
Assunto
abordado
Posição dos
lados
Comprimento dos
lados
Inclinação da
figura
Presença ou
ausência de
figuras
Natureza
das
soluções
Dados
fornecidos
Posição
do lado
tomado
como
base
Comprimento do
lado tomado
como base
Posição
da altura
traçada
72 01 Polígonos vertical - - presença
173 01 horizontal maior direita presença
251 02 Área e
perímetro
horizontal Maior/ menor direita presença
253 01 Área e
perímetro
horizontal maior direita presença
254 02 Área e
perímetro
obliquas - - presença
279 01 Superteste horizontal maior direita presença
296 01 Dicionário horizontal maior direita presença
298 01 Dicionário horizontal maior direita presença
145
7ª SÉRIE
Pág. Quantidade de
figuras do
paralelogramo
Assunto
abordado
Posição dos
lados
Comprimento
dos lados
Inclinação
da figura
Presença
ou
ausência de
figuras
Natureza das
soluções
Dados
fornecidos
Posição do
lado
tomado
como base
Comprimento
do lado
tomado como
base
Posição da
altura traçada
66 01 ângulo horizontal maior direita presença
74 01 simetria horizontal maior direita presença
112 01 Paralelismo horizontal maior direita presença
113 01 Paralelismo horizontal maior direita presença
116 01 Paralelismo horizontal maior direita presença
116 01 paralelismo horizontal menor direita presença
133 01 Polígonos vertical - - presença
134 01 Polígonos horizontal menor direita presença
136 01 Polígonos horizontal maior direita presença
189 01 Área/perímetro horizontal menor direita presença SN Quadriculado - - -
192 01 Área horizontal maior direita presença SN Quadriculado - - -
194 01 Área horizontal maior direita presença conteúdo -
horizontal maior
interna
195 03 Área horizontal maior direita presença conteúdo -
horizontal maior
interna
196 01 Área horizontal menor esquerda presença Conteúdo -
horizontal
menor externa
197 01 Área horizontal maior direita presença Conteúdo -
horizontal maior
interna
198 01 Dedução de
fórmula
horizontal maior direita presença Conteúdo - - - -
200 02 Área horizontal maior Direita /
esquerda
presença SN 1Desnecessário
/ 1necessário
horizontal maior
interna
201 02 Área horizontal maior direita Presença Comparação necessário
Horizontal
/ obliqua
Maior/
menor
interna
202 03 Área e perímetro
horizontal maior 2direita/
1esquerda
Presença SN Não apresenta
dados
horizontal maior
3 internas
3 externas
202 01 Área/perímetro obliqua - - Presença SN desnecessário obliqua maior externa
252 02 Semelhança horizontal maior direita Presença Conteúdo - - - -
286 01 Dicionário horizontal maior direita Presença Conteúdo -
horizontal maior
interna
303 01 Dicionário horizontal maior direita Presença Conteúdo - - - -
306 01 Dicionário horizontal maior direita Presença conteúdo - - - -
146
8ª SÉRIE
Pág. Quantidade de
figuras do
paralelogramo
Assunto
abordado
Posição
dos lados
Comprimento
dos lados
Inclinação
da figura
Presença
ou
ausência
de figuras
Natureza
das
soluções
Dados
fornecidos
Posição
do lado
tomado
como
base
Comprimento
do lado tomado
como base
Posição
da altura
traçada
11 02 semelhança horizontal maior direita presença
140 01 Áreas/volume
horizontal menor direita presença Conteúdo necessário horizontal menor externa
142 01 Áreas/volume
horizontal maior direita presença algébrica desnecessário
horizontal maior interna
145 01 Áreas/volume
horizontal menor direita presença SN necessário horizontal menor externa
203 01 Paralelismo obliqua - - presença
206 01 Paralelismo obliqua - - presença
207 01 Paralelismo obliqua - - presença
257 01 Simetrias horizontal maior direita presença
258 01 Simetria horizontal maior direita presença
259 01 Simetria horizontal menor direita presença
290 01 Superteste horizontal maior direita presença
301 01 Vestibulinho horizontal maior direita presença SN quadriculado
341 01 Dicionário horizontal maior direita presença
SN - Exige solução numérica
Conteúdo - apresentação do assunto
149
ANEXO 2
149
149
Anexo 3
ANÁLISE DOS RESULTADOS DE CADA TESTE-
ACERTOS E ERROS - 21 ALUNOS DE UMA 8ª SÉRIE
ALUNO ATIV. 01 ATIV. 03 ATIV. 04 ATIV. 05 ATIV. 06 (%)PERCENTUAL.
1 A A A A A 100
6 A A A A A 100
7 A A A A A 100
9 A A A A A 100
2 A A A A E 86
4 A A A A NR 86
10 A A A A E 86
11 A A A A E 86
14 A A A A E 86
3 A A A C/E/E E 57
8 A A A NR/E/NR
E 43
12 A A A E/E/E E 43
15 E E E E/E/E E 0
20 E E NR NR NR 0
21 E E E E/E/E NR 0
13 E A A E/NR/E E 29
16 A A E E/NR/E E 29
18 E E A E/E/E E 14
17 A E E A E 57
5 E E A A A 71
19 A A A E/NR/E A 86
A ACERTOS
E ERROS
NR NÃO RESPONDEU
149
Anexo 4
Normas para publicação da Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática
1- Os textos devem ser inéditos, e enviado unicamente em arquivo formato “DOC”, por
via eletrônica para [email protected]
2- O texto deverá conter título, seguido do(s) nome(s) do(s) autor(es) e da(s)
respectiva(s) instituição(ões).
3- O texto deverá ser digitalizado em word para windows, formato A4, fonte Times New
Roman, corpo 12, recuo 0, espaçamento 0, alinhamento justificado e entrelinhas 1,5
4- O texto não deverá superar 40 páginas para artigos, 20 páginas para relatos de
experiência, 10 páginas para crônicas e 5 páginas para resenhas.
5- As citações literais, com mais de cinco linhas, deverão ser colocadas com parágrafo
recuado de 4 cm, em itálico, seguidas do sobrenome do autor, em letras maiúscula,
ano de publicação e página citada (tudo entre parênteses). As citações com menos de
cinco linhas, em itálico, poderão ser incorporadas ao texto.
6- No final do trabalho, em ordem alfabética, serão incluídas as referências bibliográficas
do texto, obedecendo às normas atuais da ABNT.
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