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U
NIVERSIDADE
F
EDERAL DO
R
IO
G
RANDE DO
S
UL
E
SCOLA DE
E
NGENHARIA
D
EPARTAMENTO DE
E
NGENHARIA
Q
UÍMICA
P
ROGRAMA DE
P
ÓS
-G
RADUAÇÃO EM
E
NGENHARIA
Q
UÍMICA
Análise, Controle e Otimização Operacional
de um Reator de Zymomonas mobilis
com Multiplicidade de Equilíbrios
D
ISSERTAÇÃO DE
M
ESTRADO
Fabio Cesar Diehl
Porto Alegre
2009
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U
NIVERSIDADE
F
EDERAL DO
R
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NGENHARIA
Q
UÍMICA
P
ROGRAMA DE
P
ÓS
-G
RADUAÇÃO EM
E
NGENHARIA
Q
UÍMICA
Análise, Controle e Otimização Operacional
de um Reator de Zymomonas mobilis
com Multiplicidade de Equilíbrios
Fabio Cesar Diehl
Dissertação de Mestrado apresentada como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia.
Área de concentração: Pesquisa e Desenvolvimento
de Processos.
Orientador:
Prof. Dr. Jorge Otávio Trierweiler
Porto Alegre
2009
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UNIVERSIDADE FEDERAL
DO
RIO
GRANDE DO
SUL
ESCOLA
DE
ENGENHARIA
DEPARTAMENTO
DE
ENGENHARIA QUíMICA
PROGRAMA
DE
PÓS-GRADUAÇÃO
EM
ENGENHARIA QUíMICA
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação Análise, controle e
otimização operacional
de
um reator
de
Zymomonas mobilis com multiplicidade de
equilíbrios, elaborada por Fabio Cesar
DieW,
como requisito parcial para obtenção do Grau de
Mestre em Engenharia.
Comissão Examinadora:
“Se você pensa que pode ou que não pode,
de qualquer forma você está correto.”
Henry Ford (
1863 - = 1947)
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço ao Prof. Dr. Jorge Otávio Trierweiler pela orientação,
incentivo e ajuda. Certamente muito desta dissertação se deve à sua participação ativa,
originalidade, e credibilidade depositada no meu trabalho.
Ao Grupo de Integração, Modelagem, Simulação, Controle e Otimização de Processos
(GIMSCOP), em especial ao Prof. Dr. Marcelo Farenzena e ao M. Sc. Marcelo Escobar pela
ajuda técnica nos momentos de dificuldade. Ainda, gostaria de agradecer o apoio e amizade
dos colegas de laboratório Anderson Paim (principalmente pelas horas de discussões pseudo-
intelectuais) e Cassiano Ranzan (pelo coleguismo).
Ao Departamento de Engenharia Química (DEQUI) pela estrutura e a todos os
professores da pós-graduação pela excelência e dedicação na qualificação dos alunos. Além
disso, agradeço a grande amizade dos colegas de mestrado mais próximos: Thiago, Ciça, Gi,
Tatá, Jovani, Guilherme, Cris, Guga, Flack e Gabriel. Aos demais colegas de departamentos e
amigos da graduação, fico grato pela convivência, afinal nesses dois anos (muitos ainda virão)
todos vocês foram minha família aqui em Porto Alegre.
À Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) pela oportunidade e a
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio
financeiro.
Aos meus pais Cesar e Neusa pelo suporte e incentivo, sem vocês certamente nada disso
teria sido possível. Agradeço meu irmão Fernando e todos meus amigos de Caxias do Sul pelo
companheirismo sempre. Agradeço ainda ao Gustavo pelos dois anos de convivência.
Resumo
A bactéria Zymomonas mobilis atraiu considerável interesse nas últimas décadas devido ao
seu metabolismo único e a suas eficientes características fermentativas na produção de etanol
através de açúcares simples. Além disso, dependendo do substrato utilizado outros produtos
podem ser obtidos como ácido lático, ácido acético, ácido fórmico, acetona, levana, e sorbitol.
Na literatura, a Z. mobilis tem sido proposta como microrganismo mais promissor que a
convencional levedura Sacharomyces cerevisiae para a produção industrial de etanol. Na
fermentação em modo contínuo o microrganismo apresenta oscilações (i.e., bifurcações Hopf)
em baixas taxas de diluição (D
f
< 0,1/h). Diversos modelos têm sido propostos para descrever
a dinâmica oscilatória do cultivo contínuo de Z. mobilis. Entre tais está o modelo de Jöbses et
al. (1986) que foi ajustado experimentalmente em baixas taxas de diluição (D
f
< 0,1/h) e
concentrações médias de substrato alimentado (Cso = 150 kg/m³). Recentemente, o modelo
foi extrapolado por Elnashaine et al. (2006) que encontrou uma região operacional muito mais
rentável a altas taxas de diluição (D
f
< 2,0/h) e concentração de substrato (Cso = 200 kg/m³).
Embora o modelo de Jöbses não tenha sido validado nesta região, nossa contribuição assumirá
que esta extrapolação é aceitável e então uma estratégia de controle foi proposta para manter o
sistema trabalhando nesta região operacional. Para uma aplicação industrial bem sucedida da
Z. mobilis, é necessário uma estratégia de controle eficiente e simples. Esse trabalho analisa o
problema de controle e otimização de um biorreator contínuo de biosíntese de etanol pela
bactéria modelado por Jöbses et al. (1986). Esse sistema apresenta multiplicidade de
equilíbrios em determinadas condições operacionais. A idéia é manter o processo próximo à
região de maior produtividade, localizada nas proximidades de um conjunto de bifurcações
sela (onde o sistema torna-se instável). Baseado em uma análise sistemática da
controlabilidade do sistema usando o índicie não-linear RPN percebe-se que é possível
controlar o processo usando um controlador linear. Finalmente o trabalho aborda algumas
características importantes no sistema de controle como a utilização de uma transformada nas
ações do controlador com vistas a manter o biorreator no ótimo operacional.
Palavras-chave: etanol, bifurcação, metodologia RPN, controle de biorreator, CEKF.
Abstract
Zymomonas mobilis has attracted considerable interest over the past decades pursuant to its
unique metabolism and ability to rapidly and efficiently produce ethanol from simple sugars.
In addition to ethanol depending on the substrate other fermentation products can occur, such
as lactic acid, acetic acid, formic acid, acetone, and sorbitol. In the literature, Zymomonas
mobilis has been proposed as a more promising microorganism than conventional yeast
Saccharomyces cerevisiae for industrial production of ethanol. The major drawback of this
microorganism is that it exhibits sustained oscillations (i.e., Hopf bifurcation) for low dilution
rates (i.e.,
0.1
when grown in continuous mode. This leads to decreased ethanol
productivity and less efficient use of available substrate. Various models have been proposed
to describe the oscillatory dynamics of continuous Zymomonas mobilis cultures. One of them
is the Jöbses et al. (1986) model that was fitted to experimental data with low dilution rate
(i.e.,
0.1
and middle inlet substrate concentration (i.e.,
150 /
. Later,
it was extrapolated outside of this operating region by Elnashaie et al. (2006), who have found
a much more profitable operating region at higher dilution rates (
2.0
and inlet
concentrations (
200 /
. Notwithstanding the Jöbses’s models has not been
validated at this region, our contribution will assume that this extrapolation is acceptable and
we will propose a control strategy to maintain the system working at this more profitable
operating region. For a successful application of any industrial Z. mobilis facility, it is
necessary to have an efficient and simple control strategy. This work analyzes the control and
optimization problem of a continuous Z. mobilis bioreactor modeled by Jöbses et al. (1986).
This system has steady state multiplicity in part of the operating range. The idea is to maintain
the process close to the manifold border where is achievable the highest ethanol production.
Based on a systematically analysis of the operational controllability using the nonlinear RPN
indices it is identified that the process can be controlled using a linear controller. Finally in
this work is proposed a variable transformation that makes easy to maintain the bioreactor
close to the optimum.
Keywords: ethanol, bifurcation, RPN methodology, bioreactor control, CEKF.
Sumário
Capítulo 1 - Introdução ......................................................................................... 1
1.1 Visão geral e motivacional ...................................................................................... 2
1.2 Estrutura da dissertação .......................................................................................... 4
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica ....................................................................... 7
2.1 Sistemas não-lineares: da bifurcação ao caos ......................................................... 8
2.2 Estabilidade de sistemas dinâmicos ........................................................................ 9
2.3 Espaço de fase e bifurcações ................................................................................. 14
2.4 Ferramentas computacionais e análise numérica .................................................. 27
Capítulo 3 - Singularidades na biosíntese de Etanol ...................................... 31
3.1 Bifurcação em processos químicos e bioquímicos ............................................... 32
3.2 Combustíveis alternativos: bioetanol .................................................................... 34
3.2.1 Processo produtivo ....................................................................................... 35
3.2.2 A levedura Saccharomyces cerevisiae ......................................................... 38
3.2.3 A bactéria Zymomonas mobilis ................................................................... 40
3.3 Modelos matemáticos ........................................................................................... 43
3.3.1 Modelo de Jöbses et al. (1986)..................................................................... 45
3.4 Análise de bifurcação do modelo de Jöbses.......................................................... 48
3.4.1 Parâmetros de controle ................................................................................. 57
Capítulo 4 - Controlabilidade, Observabilidade e Ótimo Operacional .......... 59
4.1 Região operacional ótima ...................................................................................... 60
4.4.1 Conversão de substrato em produto ............................................................. 60
4.4.2 Mínima formação de biomassa .................................................................... 61
4.4.3 Máxima produtividade ................................................................................. 63
4.2 Estrutura de controle ............................................................................................. 65
4.3 Análise de controlabilidade operacional ............................................................... 69
4.3.1 SVD e condicionamento mínimo ................................................................. 73
4.3.2 RHP-zero e -pólo .......................................................................................... 76
4.3.3 Interação estática/dinâmica........................................................................... 77
4.3.4 RPN e rRPN ................................................................................................. 80
4.3.5 Região de viabilidade ................................................................................... 82
4.3.6 Medida de não-linearidade: índice nRPN ..................................................... 84
4.3.7 Sistema de controle ....................................................................................... 88
4.4 Análise de observabilidade .................................................................................... 90
Capítulo 5 - Sistema de Controle ...................................................................... 93
5.1 Solução do problema de restrição .......................................................................... 94
5.2 Parametrização ...................................................................................................... 95
5.2.1 Controle local ............................................................................................... 96
5.2.2 Controle global ............................................................................................. 99
5.3 Estimador de estados ........................................................................................... 103
5.3.1 Matrizes de covariância Q e R .................................................................... 106
5.3.2 Matriz de covariância inicial P0 e condições iniciais ................................. 110
5.4 Implementação do sistema de controle no modelo não-linear ............................ 112
5.4.1 Limite de atuação........................................................................................ 116
5.4.2 Feedback: CP medido e CS estimado ......................................................... 117
5.4.3 Feedback: CS medido e CP estimado ......................................................... 119
Capítulo 6 - Considerações Finais ................................................................. 121
6.1 Conclusão ............................................................................................................ 122
6.2 Recomendações e sugestões para trabalhos futuros ............................................ 124
Referência Bibliográficas ................................................................................ 129
Lista de Figuras
Figura 2.1: Estabilidade de Lyapunov (a) e estabilidade assintótica (b) ............................. 11
Figura 2.2: Comparação da trajetória de três sistemas: (a)
xx
=
&
; (b)
xx 2
=
&
; (c)
xx =
&
. . 13
Figura 2.3: Comportamento de centro (a) e ciclo limite (b), para diversas condições
iniciais. .............................................................................................................. 16
Figura 2.4: Resposta de um sistema no domínio do tempo para um nodo estável (a) e um
nodo instável (b). ............................................................................................... 16
Figura 2.5: Resposta de um sistema no domínio do tempo para um foco estável (a) e um
foco instável (b). ................................................................................................ 17
Figura 2.6: Órbita de soluções de um sistema bidimensional para duas condições iniciais:
(a) uma variável de estado no domínio do tempo, (b) espaço de fase e (c) duas
variáveis de estado no domínio do tempo ......................................................... 17
Figura 2.7: sela: equação 2.17 (a) e diagrama de bifurcação (b). ....................................... 19
Figura 2.8: Bifurcação transcrítica: (a) equação (15) e (b) diagrama de bifurcação ........... 21
Figura 2.9: Bifurcação pitchfork supercrítica: (a) equação 2.16 e (b) diagrama de
bifurcação. ......................................................................................................... 22
Figura 2.10: Localização dos autovalores no plano complexo em função de
μ
.................. 23
Figura 2.11: Retrato de fase da formação de uma bifurcação Hopf: (a) supercrítica e (b)
subcrítica ........................................................................................................... 24
Figura 2.12: Bifurcação Hopf em sistemas lineares .............................................................. 25
Figura 2.13: Diagrama de órbita do modelo logístico de crescimento populacional ............ 25
Figura 2.14: Sensibilidade às condições iniciais ................................................................... 26
Figura 2.15: Espaço de fase das equações de Lorenz: caos ................................................... 26
Figura 3.1: Espaço de fase: biestabilidade (C
So
= 200 kg/m³ e D = 1 h
-1
).. ......................... 49
Figura 3.2: Simulação dinâmica do modelo de Jöbses et al. (1986) para CI.a e CI.b. ....... 50
Figura 3.3: Diagrama de bifurcação para C
So
= 200 kg/m³.. ................................................ 51
Figura 3.4: Resultados experimentais da fermentação alcoólica através da Zymomonas
mobilis ............................................................................................................... 52
Figura 3.5: Resposta oscilatória divergente, D = 0,045 h
-1
. ................................................ 54
Figura 3.6: Resposta oscilatória convergente, D = 0,07 h
-1
. ................................................ 54
Figura 3.7: Diagrama de bifurcação de codimensão-2: C
S
. ................................................. 55
Figura 3.8: Diagrama de bifurcação de codimensão-2: C
e
... ............................................... 55
Figura 3.9: Diagrama de bifurcação de codimensão-2: C
x
. ................................................. 56
Figura 3.10: Diagrama de bifurcação de codimensão-2: C
P
.. ............................................... 56
Figura 4.1: Função objetivo J
1
: ramo estável superior(a), instável(b) e estável inferior(c).61
Figura 4.2: Função objetivo J
2
: ramo estável superior(a), instável(b) e estável inferior(c).62
Figura 4.3: Função objetivo J
3
: ramo estável superior (a), instável (b), estável inferior (c) e
sobreposição das soluções (d). .......................................................................... 64
Figura 4.4: Região estável superior (—) e instável (---) ..................................................... 65
Figura 4.5: Manipulação de C
Po
conduzindo o sistema ao patamar de “superprodução” ... 67
Figura 4.6: Rota de equilíbrios percorrida .......................................................................... 67
Figura 4.7: Comportamento de C
S
em relação à D em duas (a) e três dimensões (b). ....... 68
Figura 4.8: Ganho de C
P
em relação à C
So
para o ramo superior ........................................ 68
Figura 4.9: Pontos operacionais .......................................................................................... 70
Figura 4.10: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): ponto de operação P
nA
.......................................... 71
Figura 4.11: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): ponto de operação P
nB
.......................................... 72
Figura 4.12: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): ponto de operação P
nC
.......................................... 72
Figura 4.13: Número de condicionamento mínimo .............................................................. 75
Figura 4.14: Pólos e zeros de P
nA
(a). Trecho ampliado (b). ................................................. 76
Figura 4.15: Pólos e zeros de P
nB
(a). Trecho ampliado (b). ................................................. 76
Figura 4.16: Pólos e zeros de P
nC
(a). Trecho ampliado (b). ................................................ 77
Figura 4.17: RGA dinâmico .................................................................................................. 79
Figura 4.18: Fronteira de estabilidade: a origem da divisão entre as combinações viáveis de
D e C
So
para as regiões operacionais ................................................................. 83
Figura 4.19: Região de operação A (a) e região de operação C (b). ..................................... 83
Figura 4.20: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): pontos de operação da região A ............................ 86
Figura 4.21: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): pontos de operação da região C. ........................... 87
Figura 4.22: Sistema observador. .......................................................................................... 90
Figura 5.1: Espaço E
M
: área de atuação do controlador ...................................................... 96
Figura 5.2: Simulação dos controladores da região A ........................................................ 99
Figura 5.3: Simulação dos controladores da região C ......................................................... 99
Figura 5.4: Sistema de controle global: MPC MIMO ....................................................... 102
Figura 5.5: Sistema de controle global: PI MIMO ............................................................ 102
Figura 5.6: Estimador de estado ........................................................................................ 104
Figura 5.7: Fonte de dados: degraus em C
So
e D = 1,5 h
-1
. ............................................... 105
Figura 5.8: Resultados do CEKF: C
P
filtrado e C
S
estimado ............................................ 108
Figura 5.9: Resultados do CEKF: C
S
filtrado e C
P
estimado. ........................................... 109
Figura 5.10: Avaliação de P
0
. Filtragem de C
P
(a), trecho ampliado da filtragem de C
P
(b),
estimativa de C
S
(c), trecho ampliado da estimativa de C
S
(d) e variação da
entrada D para a geração dos dados de referência com C
So
= 200 kg/m³ (e) ... 111
Figura 5.11: Estrutura do PI MIMO com atraso em C
So
..................................................... 113
Figura 5.12: Simulação do PI MIMO no modelo não-linear: comportamento servo .......... 114
Figura 5.13: Simulação do PI MIMO no modelo não-linear: comportamento regulatório . 115
Figura 5.14: Estratégia de restrição de atuação ................................................................... 116
Figura 5.15: Sistema PI MIMO e CEKF: C
P
filtrado e C
S
estimado ................................... 118
Figura 5.16: Valor de C
S
padrão e estimado ........................................................................ 119
Figura 5.17: Sistema PI MIMO e CEKF: C
S
filtrado e C
P
estimado ................................... 120
Figura 5.18: Valor de C
P
padrão e estimado ....................................................................... 120
Figura 6.1: 2D-espectrofluorômetro. ................................................................................. 126
Figura 6.2: Fluoróforos capazes de serem determinados pelo 2D-espectrofluorômetro (a) e
espectro de fluorescência gerado pelo equipamento (b) ................................. 126
Figura 6.3: Predição utilizando um chemometric model filtrando dados de um 2D-
espectrofluorômetro e medidas off-line (pontuais) das variáveis .................... 127
Lista de Tabelas
Tabela 2.1: Classificação topológica de equilíbrios no plano .......................................... 15
Tabela 3.1: Parâmetros do modelo de Jöbses ................................................................... 48
Tabela 3.2: Pontos de bifurcação ..................................................................................... 53
Tabela 4.1: Variáveis de estado no equilíbrio .................................................................. 70
Tabela 4.2: RGA ............................................................................................................... 79
Tabela 4.3: RPN e rRPN .................................................................................................. 82
Tabela 4.4: Definição da região operacional .................................................................... 84
Tabela 4.5: nRPN ............................................................................................................. 85
Tabela 5.1: Sintonia dos controladores PI. ....................................................................... 98
Tabela 5.2: Sintonia dos controladores MPC ................................................................... 98
Tabela 5.3: Sintonia do controlador PI MIMO .............................................................. 101
Tabela 5.4: Ajuste das matrizes de covariância Q e R. .................................................. 107
Tabela 5.5: Ajuste das matrizes de covariância Q e R. .................................................. 119
1.1
V
ISÃO GERAL E MOTIVACIONAL
1
Capítulo 1
Introdução
“Não há dúvida que o futuro da humanidade depende, em grande parte, da liberdade que os
investigadores tenham de explorar as suas próprias idéias. Embora não se possa considerar
descabido os investigadores desejarem tornarem-se famosos, a verdade é que o homem que
se dedicar à pesquisa com o objetivo de conseguir riqueza ou notoriedade escolheu mal a sua
profissão.”
Alexander Fleming (
1881 - = 1955)
2 1.
I
NTRODUÇÃO
1.1 Visão geral e motivacional
Inerente à evolução da humanidade vão surgindo diferentes exigências econômicas,
sociais e, atualmente, ambientais. Isso resulta da fusão das necessidades e vontades do homem
ao gradativo acúmulo de conhecimento adquirido, seja esse empírico ou conceitual. De um
modo simplificado, pode-se perceber no passado o emprego de tecnologia e biologia na
produção de gêneros alimentícios fermentados (pães e bebidas). Com a expansão das relações
comerciais, aliada aos anseios da modernidade e ao desenvolvimento científico iniciou-se
uma era dominada pela manufatura industrial. Neste contexto, a biotecnologia teve seu marco
revolucionário a partir da descoberta da penicilina, por Alexander Fleming em 1928, que
possibilitou o desenvolvimento de uma série de antibióticos em todo o mundo. Antes disso,
no final do século XIX, a fermentação industrial já era uma realidade na síntese de etanol e
ácido lático. Mas foram as grandes guerras que definitivamente motivaram a produção
industrial de produtos advindos de processos fermentativos (Stanbury et al., 1995). Durante a
primeira guerra mundial foram desenvolvidos processos de fermentação de glicerol e acetona
pela Alemanha e Inglaterra, respectivamente. Já na segunda guerra mundial os Estados
Unidos incorporaram a produção dos antibióticos penicilina e a estreptomicina. Após isso,
ainda houve avanços relativo à síntese química de DNA e manipulações genéticas, que deram
origem ao campo de estudo denominado engenharia genética. Isso permitiu a alteração de
organismos vivos formados pela hibridização do DNA em nível molecular. Entre outros, o
resultado foi o desenvolvimento de microorganismos capazes de sintetizar insulina humana,
utilizada no tratamento de diabéticos. Hoje é crescente o desenvolvimento da indústria de
bioprocessos, havendo fortes relações de multidisciplinaridade que envolve uma diversidade
de áreas da biologia, química e engenharia.
Historicamente, o caminho mais eficaz para a obtenção de incremento produtivo, em
uma planta de bioprocesso, está ligado à evolução das cepas utilizadas nos processos
fermentativos (Aynsley et al., 1993). Entretanto, os últimos anos revelam significantes
avanços na área de supervisão e controle dos bioprocessos, pelo fato de possibilitar reduções
nos custos de produção, incremento na conversão das reações, além de manter a qualidade do
produto desejado (Yamuna Rani e Ramachandra Rao, 1999). Essa alternativa vem a
possibilitar que a planta seja conduzida às condições operacionais ótimas pelo sistema
supervisório. Desta forma, o sistema de controle age reproduzindo as ações de um operador
experiente, o que torna habitual sua referência como inteligência computacional (Bakhtadze,
1.1
V
ISÃO GERAL E MOTIVACIONAL
3
2004). O principal objetivo desta técnica é desenvolver um sistema de supervisão que utilize
conhecimentos do bioprocesso e de controle, associados com estratégias de estimação de
estados (soft-sensor), identificação e otimização em tempo real.
O conhecimento do comportamento quantitativo do processo passa pelo
desenvolvimento e análise de descrições matemáticas. Tais descrições, chamadas de modelos
matemáticos, são abstrações de processos reais que permitem a sua caracterização em diversas
situações operacionais (Bequette, 1998; Luyben, 1996). Em geral, é comum o emprego dos
modelos no estudo de características estáticas e dinâmicas do sistema através de simulação
computacional. No entanto, a análise por esse método é insuficiente quando o nível de
complexidade do processo é considerável. Uma avaliação mais completa é possível através da
análise da dinâmica não-linear, que é fundamentada em diagramas de soluções estacionárias
associados ao mapeamento de singularidades dinâmicas (Berezowski, 2000; Pavlou, 1999).
De uma forma geral, aplicações envolvendo engenharia e biotecnologia apresentam elevada
complexidade originada em aspectos físico-químicos, bioquímicos e genéticos (Bonomi e
Schmidell, 2001). A utilização de técnicas de análise de sistemas não-lineares em
bioprocessos é relatada em diversos trabalhos como, por exemplo, o de Alhumaizi et al.
(2006), Namjoshi et al. (2003), Zhang e Henson (2001), Ajbar e Alhumaizi (2000) e Pavlou
(1999).
Mais especificamente, os trabalhos de Elnashaine et al. (2006), Maheca-Botero et al,
(2006), Garhyan e Elnashaine (2004) e Garhyan et al. (2003) revelam interessantes
singularidades na biosíntese de etanol, através da fermentação de glicose com a bactéria
Zymomonas mobilis. Baseados no modelo contínuo de Jöbses et al. (1986), os autores revelam
a existência de multiplicidade de equilíbrios, bifurcação Hopf e mudança de estabilidade do
sistema. Há o surgimento de pontos operacionais de alta conversão de substrato em produto
que torna de interesse um estudo mais detalhado do modelo, assim como o desenvolvimento
de um sistema de controle capaz de manter o sistema neste ponto de operação. Ferramentas de
controle avançado e análises de controlabilidade são empregadas para o projeto desse sistema
de controle.
Em suma, pode-se afirmar que a relevância e motivação do trabalho dizem respeito,
em termos nacionais e internacionais, ao:
4 1.
I
NTRODUÇÃO
• O interesse político-ambiental na substituição de combustíveis de origem fóssil por
combustíveis renováveis;
• A intensificação de programas de pesquisa na busca de maneiras alternativas de
sintetizar bioetanol;
• O crescente e promissor desenvolvimento da biotecnologia;
• A reestruturação e otimização da indústria convencional fermentativa para a produção
de bioenergia e biomateriais, em substituição à petroquímica, que conduzirá a um
novo paradigma industrial: as biorrefinarias (Koutinas et al., 2006; Zverlov et al.,
2006). O uso de subprodutos agrícolas (fontes de hidratos de carbono, proteínas,
lingnina e gorduras) na fabricação de múltiplos produtos (polímeros, combustíveis,
etc.) será provavelmente essencial para a viabilidade econômica do futuro (Zverlov et
al., 2006; Lynd et al., 1999).
1.2 Estrutura da dissertação
A dissertação encontra-se dividida em seis capítulos. O Capítulo 1 trata da introdução
e motivação do tema abordado. O Capítulo 2 faz uma descrição de conceitos fundamentais à
análise de sistemas não-lineares, além de apresentar uma breve revisão sobre as principais
ferramentas computacionais utilizadas na área.
No Capítulo 3 é apresentada uma visão global do processo de produção de etanol,
destacando rotas e características de agentes fermentativos. O modelo Jöbses et al. (1986),
para a fermentação contínua de glicose com Zymomonas mobilis, é descrito e analisado
através de simulações dinâmicas e diagramas de bifurcação.
No Capítulo 4 é definida a região ótima de operação do reator, e aspectos relativos à
controlabilidade e observabilidade são analisados. Uma estrutura de controle multivariável é
proposta e são avaliadas características como condicionamento, pólos e zeros, interação e
não-linearidade com vistas à definição do projeto de controle mais adequado.
1.2
E
STRUTURA DA DISSERTAÇÃO
5
O Capítulo 5 reúne aspectos gerais do projeto de controle. Entre esses se encontra a
parametrização de controladores preditivos e puramente feedback. O desempenho do sistema
de controle é avaliado através de simulações no modelo não-linear do processo.
Posteriormente, a retroalimentação dos controladores é testada utilizando-se estimadores de
estado.
As conclusões finais do trabalho estão relacionadas no Capítulo 6, onde são resumidos
os principais aspectos resultantes da dissertação, além de recomendações e sugestões para
futuros trabalhos.
6 1.
I
NTRODUÇÃO
1.2
E
STRUTURA DA DISSERTAÇÃO
7
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
“(...) pode acontecer que pequenas diferenças nas condições iniciais venham a produzir
diferenças muito grandes nos fenômenos finais. Um pequeno erro nos antecedentes pode
produzir um erro enorme nos acontecimentos posteriores. A predição se torna impossível e
temos um fenômeno fortuito.”
Jules Henri Poincaré (
1854 - = 1912)
8 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
2.1 Sistemas não-lineares: da bifurcação ao caos
Até algumas décadas atrás inúmeros cientistas e engenheiros assumiam que modelos
matemáticos simples possuíam comportamentos previsíveis. Contudo, nos últimos vinte ou
trinta anos inúmeras pesquisas revelaram modelos simples com incapacidade de predição em
longos períodos de tempo. Essa característica, até então desconhecida, é efeito da alta
sensibilidade desses sistemas às condições iniciais (CIs) (Bequette, 1998). Entende-se por
condições iniciais os valores das variáveis no tempo inicial de integração. Um exemplo
clássico é o modelo de Lorenz para predição das condições climáticas, composto por três
equações diferenciais ordinárias (EDOs) não-lineares. Segundo Williams (1997) o então
matemático Edward Lorenz trabalhava com simulação numérica das condições climáticas, no
Instituto de Meteorologia de Massachusetts (MIT). Certo dia, decidido a examinar um
conjunto de CIs e parâmetros por períodos de tempo maiores do que costumava, iniciou uma
simulação utilizando resultados intermediários de outra simulação. Todavia, os dados
referentes às CIs diferenciavam-se ligeiramente daquelas geradas na simulação prévia. Lorenz
iniciou a simulação e saiu da sala. Retornando algumas horas depois, para inspecionar os
“dois meses” de previsão que pretendia analisar, deparou-se com resultados totalmente
diferentes da simulação original. A alta sensibilidade às condições iniciais, característica de
suas equações, geraram resultados distintos. Essa descoberta conduziu Lorenz a concluir que
a predição de certos sistemas para longos períodos de tempo era impossível, não importava
quantas equações ou variáveis fossem utilizadas. Estava sendo criada a Teoria do Caos.
Muito antes disso, em meados do final do século XIX, o francês Poincaré introduziu o
conceito de bifurcação, o qual definia o termo como uma mudança qualitativa no diagrama de
fase de um sistema dinâmico, conforme a variação de algum parâmetro de controle. Em um
sistema de equações diferenciais, uma bifurcação no estado estacionário ocorre se há
alterações no número de soluções de equilíbrio ou na estabilidade do sistema (Bequette,
1998). Na realidade, Poincaré foi o verdadeiro descobridor do caos quando estudou um
problema envolvendo três corpos. Ele percebeu que era simples determinar o movimento
planetário gravitacional em um sistema de dois corpos, no entanto quando eram considerados
três corpos o sistema de equações tornava-se não integrável.
Bifurcações e caos são fenômenos observados em sistemas não-lineares. Não-
linearidade significa que a saída não é diretamente proporcional à entrada, ou que a mudança
2.2
E
STABILIDADE DE SISTEMAS DINÂMICOS
9
em uma variável não produz uma mudança proporcional na variável relacionada. Em outras
palavras, os valores do sistema não são proporcionais aos valores em tempos próximos
(Williams, 1997). Nesses sistemas, análises baseadas em simulação dinâmica podem ser
incapazes de captar comportamentos característicos relevantes ou mesmo ser inconclusivas.
Sendo assim, análises da dinâmica não-linear, fazem-se necessárias para sistemas complexos
como reatores químicos e biorreatores (Bequette, 1998). Em geral, modelos matemáticos
utilizados em engenharia utilizam variáveis contínuas, sendo comum sua representação
através de equações diferenciais (EDs) (Kusnetsov, 1998), porém modelos discretos também
são eventualmente utilizados. Segundo Bequette (1998) modelos discretos compostos por uma
única equação podem apresentar comportamentos complexos como o caos. Já modelos
contínuos, necessitam de pelo menos três EDs para que haja a possibilidade da ocorrência de
caos. Willians (1997) define caos como sendo o aspecto desordenado da evolução, em longo
prazo, que satisfaz certos critérios matemáticos especiais e que ocorre em sistemas dinâmicos,
determinísticos e não-lineares. Uma das técnicas mais importantes, no estudo de sistemas não-
lineares, é a análise do espaço de fase. Através dessa técnica é possível caracterizar
comportamentos como o efeito das condições iniciais e da estabilidade de soluções
estacionárias.
2.2 Estabilidade de sistemas dinâmicos
A teoria da estabilidade representa um papel fundamental em sistemas de engenharia,
com ênfase na área de controle de processos. Chen (2004) afirma que, de uma maneira geral,
estabilidade significa que a saída de um sistema apresenta uma trajetória com limites
definidos ou com tendência a atingir um estado de equilíbrio. Segundo o autor,
conceitualmente existem diversos tipos de estabilidade, entre esses três noções básicas são de
interesse na dinâmica não-linear: a estabilidade em relação ao equilíbrio, a estabilidade orbital
e a estabilidade estrutural. As primeiras definições de estabilidade datam de Torricelli e
Lagrange, por volta de 1644 e 1788, respectivamente. Contudo a evolução dos conceitos
fundamentais de sistemas e estabilidade de trajetórias se deu ao longo da história até
Lyapunov desenvolver sua tese The General Problem of Motion Stability, em 1892. Essa
monografia é tão essencial que suas idéias e técnicas são utilizadas em pesquisas e aplicações
referentes à estabilidade de sistemas dinâmicos até hoje.
10 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
O estudo dessa área da matemática requer a revisão de alguns conceitos de suma
importância para sua compreensão. Sistema autônomo, não-autônomo, equilíbrio, estabilidade
assintótica, ciclo limite, entre outros são exemplos de termos muito utilizados neste campo da
ciência e serão descritos a seguir.
Sistemas não-lineares contínuos no tempo são, em geral, delineados por equações
diferencias da forma
[
)
∞
∈
= ,),,(
0
tttxfx
&
(2.1)
onde
)(txx =
é o estado do sistema,
f
é a função não-linear diferenciável,
t
a dimensão
temporal e
x
&
indica o termo diferencial
dtdx /
. Nas equações diferenciais que representam
fenômenos físicos, o termo
0
t
que representa o tempo no instante inicial de integração é
normalmente considerado zero. O sistema (2.1) é dito ser autônomo se na função
f
a
variável tempo não aparece explicitamente (Chen, 2004). Exemplos de sistema autônomo e
não-autônomo são apresentados na equação (2.2) e (2.3), respectivamente.
A forma generalizada da representação de um sistema autônomo, com uma única
variável de estado é mostrada na equação (2.4). Um equilíbrio, ponto fixo ou estado
estacionário do sistema autônomo (2.4), se existir, é uma solução da equação algébrica (2.5),
onde
*
x
representa a solução no equilíbrio (Wiggins, 2003). O espaço real
n
R
, em que os
estados do sistema pertencem, é chamado de espaço de estado (state space) (Chen, 2004).
xdt
dx
+
=
1
1
(2.2)
x
t
dt
dx
+
=
1
(2.3)
n
Rxtxxfx ∈==
00
)(),(
&&
(2.4)
0)(
*
=xf
(2.5)
2.2
E
STABILIDADE DE SISTEMAS DINÂMICOS
11
Um ponto
Xx ∈
*
é chamado de um equilíbrio (ponto fixo) se
00
xx
t
=
ϕ
para todo
Tt ∈
(Kusnetsov, 1998). Geometricamente, um sistema dinâmico é representado como uma
família da evolução de operadores
t
ϕ
, atuando em um espaço de estado
X
parametrizado por
um tempo
t
contínuo ou discreto pertencente a um conjunto
T
. Geralmente o termo
“equilíbrio” é utilizado para sistemas contínuos no tempo enquanto que o termo ponto fixo é
utilizado para sistemas discretos no tempo.
De uma maneira aproximada,
*
x
é uma solução de equilíbrio, no sentido de Lyapunov,
se a saída do sistema viaja por uma trajetória perto e ao redor do equilíbrio (Chen, 2003). Da
mesma forma, a estabilidade assintótica pode ser definida pelo
*
)(lim xtx
t
=
∞→
(Wiggins,
2003), ou seja, há uma tendência de convergência do sistema para
*
x
. A Figura 2.1 ilustra a
estabilidade de Lyapunov e a estabilidade assintótica.
Figura 2.1: Estabilidade de Lyapunov (a) e estabilidade assintótica (b).
Fonte: Wiggins, 2003.
Uma determinada solução é estável no sentido de Lyapunov se para qualquer
tolerância (
ε
) maior que zero existe uma fronteira
0)( >=
εδδ
tal que
δ
<)(
0
tx
e
ε
<)(tx
para todo
0
tt ≥
(Liao et al., 2007). A instabilidade é uma característica de sistemas
em que a trajetória da variável de estado rompe o limite delimitado por
ε
.
(b)
(a)
12 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
Trajetórias periódicas no tempo podem caracterizar movimentos de equilíbrio. Assim,
se uma trajetória fechada por
O
permanece fechada em
O
, então o movimento é dito
orbitalmente estável. Tais trajetórias fechadas são conhecidas como ciclos limites, e quando
esses se aproximam de
O
, quando o tempo tende ao infinito, o movimento é dito
assintoticamente orbitalmente estável, no sentido de Lyapunov. Segundo Wiggins (2003) uma
órbita periódica, com condição inicial
0
x
, pode ser definida como (2.6).
{
}
00000
)(,),(|),( xtxtttxxRxtxO
n
=≥=∈=
+
(2.6)
Considerando que
n
RS ∈
seja um conjunto arbitrário e
n
Rp ∈
um ponto arbitrário, a
distância entre o ponto
p
e o conjunto
S
é definido por (2.7).
xpSpd
Sx
−=
∈
inf),(
(2.7)
Uma solução periódica
)(tx
é dita orbitalmente estável se, dado
0>
ε
, existe um
0)( >=
ε
δ
δ
tal que, para qualquer solução
)(ty
satisfazendo
δ
<− )()(
00
tytx
, então
ε
<
+
)),(),((
00
txOtyd
para
0
tt >
(Wiggins, 2003).
O terceiro conceito de interesse no estudo da dinâmica não-linear, segundo Chen
(2003), diz respeito à estabilidade estrutural. Se a dinâmica de um sistema, no espaço de
estado, muda radicalmente, por exemplo, pelo surgimento de um novo equilíbrio ou uma nova
órbita periódica, devido a uma pequena perturbação externa, então o sistema é considerado
estruturalmente instável. Kusnetsov (1998) define estabilidade estrutural como a invariância
qualitativa do retrato de fase em relação a uma pequena perturbação. O autor estabelece a
seguinte consideração, em relação à perturbação
n
Rxxfx ∈= ),(
&
(2.8)
n
Rxxgxfx ∈+=
),()(
φ
&
(2.9)
onde
f
e
g
são funções suaves e
φ
é um parâmetro tênue. Se
0
=
φ
a equação (2.9) passa a
ser a equação (2.8). Em (2.9),
)(xg
φ
representa o distúrbio do sistema, e sua intensidade é
controlada pelo parâmetro
φ
.
2.2
E
STABILIDADE DE SISTEMAS DINÂMICOS
13
Em outras palavras, estabilidade estrutural significa que a família de trajetórias de uma
figura geométrica é similar. Por exemplo, os sistemas
xx =
&
e
xx 2=
&
apresentam essa
similaridade, ao contrário dos sistemas
xx =
&
e
xx =
&
. As três trajetórias são exibidas na
Figura 2.2.
A linearização de um sistema de equações diferenciais, ou seja, a obtenção de sua
matriz Jacobiana, permite a análise de sua estabilidade local através dos autovalores dessa
matriz. A definição de matriz Jacobiana é mostrada a seguir (Kusnetsov, 1998). Seja o sistema
bidimensional (2.10), onde
0=x
é um equilíbrio e
0)0( =f
. A matriz Jacobiana são os
valores resultantes de (2.11).
nT
Rxxxxfx ∈== ),(),(
21
&
(2.10)
0)(
)(
=
∂
∂
=
xf
x
xf
J
(2.11)
Se todos autovalores reais da Jacobiana (comumente representados por λ
i
, onde i
representa o número de autovalores) apresentarem valores reais negativos, para determinado
equilíbrio, diz-se que a solução é assintóticamente estável (stable node ou sink). Caso
contrário a solução é dita assintóticamente instável, onde o surgimento de autovalores com
parte real negativa e positiva aponta para pontos sela instáveis (saddle point) e autovalores
com parte real maior que zero indicam nodos instáveis (unstable node ou source) (Wiggins,
2003).
Figura 2.2: Comparação da trajetória de três sistemas: (a)
xx =
&
; (b)
xx 2=
&
; (c)
xx =
&
.
Fonte: Chen, 2004.
(a) (b) (c)
14 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
2.3 Espaço de fase e bifurcações
A teoria da bifurcação é uma linha de pesquisa muito complexa que foi originalmente
esboçada por Poincaré (Williams, 1997). Suponha que o sistema contínuo (2.12) e o discreto
(2.13), apresentem determinada propriedade (como por exemplo, o número de soluções de
equilíbrio ou sua estabilidade) invariante para determinado parâmetro
μ
em um intervalo
aberto
),( ba
, mas essa propriedade não se mantém para nenhum intervalo maior. Então, os
pontos
a
e
b
são chamados de pontos de bifurcação.
Rxfx
∈
=
μ
μ
),;(
&
(2.12)
Rxgx
nn
∈
=
+
μ
μ
),;(
1
(2.13)
O termo bifurcação foi definido por Poincaré como uma mudança qualitativa no
diagrama de fase de um sistema dinâmico, conforme a variação de algum parâmetro de
controle (Bequette, 1998). Um diagrama de fase, muitas vezes referido como retrato de fase,
plano de fase ou espaço de fase, é uma representação geométrica da estrutura orbital de um
sistema dinâmico e consequentemente uma ferramenta muito usual na análise de suas
propriedades qualitativas (Médio e Lines, 2001). Em outras palavras, é uma técnica utilizada
para o estudo de comportamentos transientes no domínio do tempo, e consiste em graficar
curvas de uma variável de estado versus outra variável de estado, onde cada curva é baseada
em uma condição inicial (Bequette, 1998). Um plano de fase pode ser uma curva no R
2
ou no
R
3
, que permite análises relativas à convergência do sistema em relação às condições iniciais.
Com vistas a generalizar comportamentos de sistemas no plano, é apresentada a classificação
topológica de equilíbrios da Tabela 2.1 (Médio e Lines, 2001; Kusnetsov, 1998; Bequette,
1998). Desta forma é possível relacionar os autovalores de um sistema com suas
características em um espaço de fase. Pontos estáveis são atratores e pontos instáveis
repulsores de soluções. O surgimento de autovalores complexos conjugados é a causa da
ocorrência de diagrama de fase com o formato de espiral ou foco.
Outra forma do retrato de fase, não apresentada na Tabela 2.1, diz respeito a
comportamentos periódicos, tais como centros e ciclos limite (Figura 2.3). Bequette (1998)
destaca a diferença entre as duas trajetórias afirmando que centros podem ocorrer em sistemas
lineares, enquanto que ciclos limite surgem em sistemas não-lineares. A grande diferença
2.3
E
SPAÇO DE FASE E BIFURCAÇÕES
15
entre os dois comportamentos é que ciclos limite são órbitas fechadas, ou seja, perturbações
não mudam trajetórias fechadas como em centros onde as perturbações levam o sistema a
novas órbitas.
Tabela 2.1: Classificação topológica de equilíbrios no plano.
Adaptado: Médio e Lines, 2001.
Autovalor no plano
complexo
Espaço de fase Estabilidade
nodo
estável
foco
sela
instável
nodo
instável
foco
16 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
Figura 2.3: Comportamento de centro (a) e ciclo limite (b), para diversas condições iniciais.
Adaptado: Bequette, 1998.
O diagrama de fase é capaz de captar a essência de um equilíbrio, revelando suas
características no domínio do tempo. Nodos estáveis e instáveis são capazes de atrair ou
repelir soluções, como pode ser visto na Figura 2.4, onde fica clara a idéia de convergência e
divergência na dimensão temporal. Em ambos os sistemas a solução estacionária é
0=x
.
Comportamentos oscilatórios, típicos de autovalores complexos, podem ser
visualizados na Figura 2.5. Seus retratos de fase são espirais com tendência de convergência
(para equilíbrios estáveis) e divergência (para equilíbrios instáveis). A Figura 2.6 ilustra o
comportamento de um ciclo limite no domínio do tempo e seu retrato de fase (Strogatz, 1994).
Figura 2.4: Resposta de um sistema no domínio do tempo para um nodo estável (a) e um
nodo instável (b).
Adaptado: Bequette, 1998.
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x1
x2
-2 -1 0 1 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
(a) (b)
(a) (b)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-18000
-16000
-14000
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
t
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
x
(a)
(b)
2.3
E
SPAÇO DE FASE E BIFURCAÇÕES
17
Figura 2.5: Resposta de um sistema no domínio do tempo para um foco estável (a) e um foco
instável (b).
Adaptado: Bequette, 1998.
Figura 2.6: Órbita de soluções de um sistema bidimensional para duas condições iniciais: (a)
uma variável de estado no domínio do tempo, (b) espaço de fase e (c) duas variáveis de estado
no domínio do tempo.
Adaptado: Bequette, 1998.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
x2
0 2 4 6 8 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
t
x
(a) (b)
(a) (b)
(c)
0 5 10 15 20
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
t
x
20151050
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
t
x
0
10
20
30
40
50
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1
t
x2
(c)
18 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
Kusnetsov (1998) define bifurcação como o surgimento de um retrato de fase de
topologia não equivalente, sob a variação de alguma variável, chamada parâmetro de
bifurcação (μ). Sendo assim, bifurcação é uma mudança topológica em um sistema quando μ
atravessa um valor crítico chamado de ponto de bifurcação (μ
c
). Segundo Bequette (1998), μ
c
é localizado onde ambas função e sua primeira derivada são iguais a zero (2.14).
0);( =
∂
∂
=
x
f
xf
μ
(2.14)
Quando um parâmetro de bifurcação é varrido e os pontos de equilíbrio referentes à
variável de estado são graficados, obtém-se um diagrama de bifurcação. Tais diagramas são
gerados a partir de análises lineares pontuais da estabilidade (Bequette, 1998), onde regiões
estáveis são representadas por linhas contínuas e regiões instáveis por linhas pontilhadas.
Setas podem ser adicionadas para enfatizar convergência ou divergência. O tipo de transição
que ocorre em μ
c
determina a sua classificação quanto ao tipo de bifurcação. Em sistemas
contínuos de primeira ordem eles podem ser de três tipos: sela, transcrítica e pitchfork
(forquilha ou tridente).
A bifurcação do tipo saddle-node ou simplesmente sela também é classificada como
fold bifurcation por alguns autores. A característica dessa singularidade é a mudança de
estabilidade de forma monotônica. Na equação (2.15) (Bequette, 1998) a solução de equilíbrio
é
μ
±=
*
2,1
x
.
Rxxxfx ∈−==
μμμ
,;);(
2
&
(2.15)
Há dois conjuntos de soluções para μ > 0. À medida que μ
decresce e torna-se
negativo os dois pontos de equilíbrio coalescem e deixam de existir, havendo uma mudança
qualitativa nas propriedades dinâmicas quando μ = 0 (Figura 2.7). Pelo fato do modelo
possuir apenas um estado, a linearização é simplesmente a primeira derivada de (2.15). Sendo
assim a Jacobiana é um escalar equivalente ao autovalor do sistema (Bequette, 1998). A
equação (2.16) é a linearização de (2.15) e revela a inexistência de soluções com significado
físico para valores de μ < 0, já que o equilíbrio torna-se um número complexo.
2.3
E
SPAÇO DE FASE E BIFURCAÇÕES
19
Figura 2.7: Bifurcação sela: equação 2.15 (a) e diagrama de bifurcação (b).
Fonte: Médio e Lines,
2001.
*
,
2
**
x
x
f
x
−=
∂
∂
μ
(2.16)
A bifurcação sela também é dita ser uma bifurcação descontínua ou catastrófica,
porque o ponto crítico μ
c
representa o fim de um ramo estável. Se houver um caminho sobre o
ramo estável através de μ
c
então a bifurcação é dita contínua e deixa de ser um saddle-node.
Para a ocorrência de uma fold bifurcation há três condições a serem satisfeitas, que serão
descritas a seguir.
Para uma função genérica f(x,μ), a condição necessária para a ocorrência de uma
bifurcação local é que o ponto de equilíbrio x
*
seja não-hiperbólico no valor crítico μ = μ
c
(Médio e Lines, 2001). Um equilíbrio x
*
de um sistema é dito hiperbólico se todos autovalores
da Jacobiana, avaliados nesse ponto, tem partes reais diferentes de zero (Chen, 2004). A
condição (i) captura a característica não-hiperbólica.
0
),(
*
=
∂
∂
x
xf
c
μ
(i)
A condição (ii) assegura a existência de um máximo ou mínimo e não apenas um
ponto de inflexão. Isso garante que a curva do ponto fixo se mantém inteiramente em “um dos
lados” de μ = μ
c
(Médio e Lines, 2001).
(a) (b)
20 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
0
),(
2
*2
≠
∂
∂
x
xf
c
μ
(ii)
A condição (iii) assevera a existência de uma única função μ = μ(x) definida, próxima
à μ
c
, tal que f[x,μ(x)] (Médio e Lines, 2001).
0
),(
*
≠
∂
∂
μ
μ
c
xf
(iii)
As condições (i) e (iii) são genéricas, isto é, se elas verificam-se para certo valor de μ
arbitrariamente próximo a ele haverá outro valor ligeiramente diferente onde esta condição se
mantém (Médio e Lines, 2001).
Na bifurcação transcrítica ocorre a mudança de estabilidade das soluções. Considere o
sistema (2.17)
Rxxxxfx ∈−==
μμμ
,;);(
2
&
(2.17)
onde as soluções de equilíbrio são x
1
*
= 0 e x
2
*
= 0. A Jacobiana é mostrada em (2.18), onde μ
é o parâmetro de bifurcação no ponto da linearização.
*
,
2
*
x
x
f
x
−=
∂
∂
μ
μ
(2.18)
Para μ > 0 o equilíbrio x
1
*
é instável, pois seu autovalor é um número real positivo e
x
2
*
é estável, pois apresenta um autovalor real negativo. Para valores de μ < 0 ocorre o
inverso em relação às estabilidades. Quando μ passa por zero não há surgimento nem
desaparecimento de equilíbrios, apenas as estabilidadem (Figura 2.8).
Para a ocorrência de uma bifurcação transcrítica é necessário que sejam satisfeitas três
condições (Médio e Lines, 2001). Duas delas são as mesmas requeridas na bifurcação sela: (i)
e (ii). Para que se tenha duas curvas ou pontos fixos cruzando o ponto μ
c
a condição (iii) deve
ser trocada pela (iii’).
0
),(
0
),(
*2*
≠
∂∂
∂
=
∂
∂
μ
μ
μ
μ
x
xf
e
xf
cc
(iii’)
2.3
E
SPAÇO DE FASE E BIFURCAÇÕES
21
Figura 2.8: Bifurcação transcrítica: (a) equação (2.17) e (b) diagrama de bifurcação.
Fonte:
Médio e Lines, 2001.
O terceiro tipo de bifurcação, chamado de pitchfork, é caracterizada pelo aparecimento
ou desaparecimento de equilíbrios e pela ocorrência de mudança da estabilidade (Médio e
Lines, 2001). Considere a equação diferencial
Rxxxxfx ∈−==
μμμ
,;);(
3
&
(2.19)
onde as soluções de equilíbrio são
0
*
1
=x
e
μ
±=
*
3,2
x
. A Jacobiana é mostrada em 2.20.
2
*
,
3
*
x
x
f
x
−=
∂
∂
μ
μ
(2.20)
Para μ < 0 duas raízes se tornam números complexos, existindo então apenas um
equilíbrio x
1
*
= 0 estável, que se torna instável ao cruzar a origem. Para μ > 0 surgem dois
equilíbrios estáveis adicionais não triviais. Consequentemente em μ = 0 a equação 2.19
apresenta uma mudança qualitativa na sua estrutura de órbita. Em suma um pitchfork se
caracteriza pelo fato de que x = 0 é um conjunto de soluções estáticas e existe uma segunda
curva que à intercepta (x
*
,μ
c
) situada inteiramente em um dos lados de μ
c
. Para uma função
genérica f(x,μ) com um ponto fixo x
*
, em um parâmetro μ
= μ
c
, (i) e (iii’) são condições
necessárias para uma bifurcação pitchfork, todavia (ii) deve ser substituída por (ii’) (Médio e
Lines, 2001).
0
),(
0
),(
3
*3
2
*2
≠
∂
∂
=
∂
∂
x
xf
e
x
xf
cc
μμ
(ii’)
(a) (b)
22 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
As condições ( ii’ ) e ( iii’ ) implicam que no ponto μ
c
da curva de pontos fixos μ ( x )
0
)(
&0
)(
2
*2*
≠=
dx
xd
dx
xd
μμ
(2.21)
o que garante que no plano (x,μ), a segunda curva de equilíbrios fica inteiramente no lado
direito da μ
= μ
c
se a segunda derivada é positiva. Se a segunda derivada for negativa a curva
se localiza no lado esquerdo.
Quando o equilíbrio não trivial aparece para μ > μ
c
se diz haver uma bifurcação
pitchfork supercrítica (Figura 2.9). O inverso índica a existência de uma bifurcação pitchfork
subcrítica.
Figura 2.9: Bifurcação pitchfork supercrítica: (a) equação (2.19) e (b) diagrama de
bifurcação.
Fonte: Médio e Lines, 2001.
A mudança de característica monotônica para periódica, ou seja, o surgimento de um
ciclo limite, em um sistema contínuo, é chamado de bifurcação Hopf. É um fenômeno que
vem sendo identificado em inúmeros reatores químicos e bioquímicos (Strogatz, 1994). Essa
bifurcação só é possível, em sistemas contínuos, quando há mais de uma equação diferencial
envolvida em sua modelagem.
2.3
E
SPAÇO DE FASE E BIFURCAÇÕES
23
A bifurcação Hopf tem essa designação devido ao matemático Heinz Hopf que
generalizou o teorema de sistemas com duas dimensões, observado anteriormente por
Poincaré e Andronov, para n dimensões. Sendo assim esse fenômeno também é chamado de
bifurcação Poincaré-Andronov-Hopf (Kusnetsov, 1998). Há dois fenômenos que podem fazer
sistemas de equações diferenciais perderem sua estabilidade, uma delas é a ocorrência de
bifurcação sela e a outra de bifurcação Hopf (Médio e Lines, 2001). Neste caso, a perda da
estabilidade se dá ao variar um parâmetro de bifurcação, fazendo com que a parte real
negativa, do par complexo conjugado dos autovalores, atravesse a ordenada do plano
imaginário tornando-se positiva. Uma bifurcação Hopf surge quando a parte real dos
autovalores se anula em função de um parâmetro μ. Como pode ser visto na Figura 2.10,
genericamente um ponto Hopf surge quando μ = 0. O retrato de fase da formação de uma
bifurcação Hopf supercrítica pode ser visualizado na Figura 2.11(a), onde
α
é o parâmetro de
bifurcação. Para
α
≤ 0 o equilíbrio é um foco, enquanto que para
α
> 0 o sistema apresenta
uma órbita periódica, ambos estáveis (Kusnetsov, 1998). Na Figura 2.11(b) ocorre o inverso,
surgindo uma bifurcação Hopf subcrítica. Em outras palavras o termo supercrítico é definido
como o surgimento de um ciclo limite no ponto de bifurcação e o termo subcrítico como o
desaparecimento do ciclo limite no ponto de bifurcação (Kusnetsov, 1998). Obviamente este
conceito é relativo à direção de varredura da variável de controle.
Figura 2.10: Localização dos autovalores no plano complexo em função de
μ
.
Adaptado: Bequette, 1998.
Em um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares a formação de uma
bifurcação Hopf gera comportamento de centro ao invés de ciclos limite. Isto pode ser
visualizado na Figura 2.12, onde o ponto Hopf surge em
α
= 0. Perturbações no sistema
quando
α
= 0 induzem a formação de diferentes órbitas fechadas.
Diagramas de bifurcação revelam comportamentos referentes à estabilidade de
equilíbrios, multiplicidade de soluções e pontos de bifurcação. Contudo, particularidades
referentes à periodicidade de soluções não são captadas por esses diagramas. Os diagramas de
órbita representam a periodicidade de soluções em relação a um parâmetro de bifurcação. A
24 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
Figura 2.13 mostra o diagrama de órbita de um modelo discreto de crescimento populacional
(Strogatz, 1994), onde podem ser visualizadas soluções de diversas características:
monotônica, de período oscilatório 2, 4, 8, etc. até uma região onde o período tende ao infinito
levando o sistema ao caos.
Figura 2.11: Retrato de fase da formação de uma bifurcação Hopf: (a) supercrítica e (b)
subcrítica.
Fonte: Kusnetsov, 1998.
Figura 2.12: Comportamento de centro.
Fonte: Kusnetsov, 1998.
(a)
(b)
2.3
E
SPAÇO DE FASE E BIFURCAÇÕES
25
Figura 2.13: Diagrama de órbita do modelo logístico de crescimento populacional.
Adaptado: Bequette, 1998.
O comportamento caótico, de um sistema discreto no domínio do tempo, pode ser
visto na Figura 2.14. Propriedades típicas desses sistemas, como resposta aperiódica e alta
sensibilidade às condições iniciais, podem ser observadas. Tal comportamento revela
capacidade preditiva apenas em curtos períodos de tempo, por exemplo, até o passo 5 existe
uma similaridade entre os resultados das simulações, todavia para tempos maiores as
respostas aperiódicas tornam-se distintas para cada CI.
As equações de Lorenz, citadas no início do Capítulo, para predição das condições
meteorológicas, constituem um sistema caótico composto de três equações diferenciais
ordinárias não-lineares. O plano de fase de duas dessas variáveis é ilustrado na Figura 2.15,
onde as trajetórias nunca se cruzam e alterações nas condições iniciais levam à formação de
diferentes espaços de fase. No entanto, a forma da figuração no plano se mantém
independentemente de perturbações. Isso é conseqüência do atrator do sistema, chamado de
atrator estranho pela primeira vez em 1971 por Ruelle e Takens (Strogatz, 1994).
26 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
Figura 2.14: Sensibilidade às condições iniciais.
Adaptado: Strogatz, 1994.
Figura 2.15: Espaço de fase das equações de Lorenz: caos.
Fonte: Strogatz, 1994.
2.4 Ferramentas computacionais e análise numérica
Durante as últimas décadas, consideráveis esforços têm sido feito no sentido de
desenvolver softwares de análise de bifurcação. Dentre esses pode-se citar alguns pacotes tais
como AUTO, CONTENT, LOCBIF, PITCONT, BIFPACK, etc. (Castillo, 2004). Segundo
Krauskopf et al. (2007) os primeiros pacotes e códigos não interativos emergiam no início da
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
passo (tempo)
poulação
CI 1
CI 2
CI 3
2.4
F
ERRAMENTAS COMPUTACIONAIS E ANÁLISE NUMÉRICA
27
década de 80 escritos em Fortran. Eles permitiam traçar diagramas de equilíbrio, ciclos limites
e bifurcações básicas. Os mais utilizados, nessa geração, foram o AUTO86 e o LINLBF, que
empregavam diferentes métodos numéricos em suas análises. O autor afirma que o AUTO86
mostrava-se superior, em relação ao LINLBF, para problemas com equações diferenciais
ordinárias multidimensionais complexas.
No final da década de 80, quando estações de trabalho e personal computers (PCs)
tornaram-se largamente disponíveis em centros de pesquisas e universidades surgiram os
programas interativos. Todos aplicativos dessa geração tinham interfaces gráficas simples
com botões, janelas, menus e suportavam a entrada de EDOs através de compilação em
Fortran ou C. A partir de então as curvas podiam ser produzidas diretamente em janelas
gráficas. A primeira versão interativa do AUTO86 foi desenvolvida na universidade de
Princeton por Taylor e Kevrekidis. Outros exemplos dessa geração são o XPPAUT e o
SCIGMA. Mais tarde surgiu a versão AUTO94 com capacidades numéricas estendidas e o
AUTO97 com excepcional eficiência numérica (Krauskopf et al., 2007). As últimas versões
são o AUTO2000 e seu sucessor AUTO-07p lançado em 2007.
Os primeiros ambientes de software, para análise de bifurcação, foram o DSTOOL e o
CONTENT, desenvolvidos na década de 90. Ambos os programas suportam a simulação de
EDOs e permitem a definição/modificação de modelos dinâmicos, análises mais completas e a
exportação de resultados em formatos gráficos sem deixar o programa. O último projeto, da
geração atual, é um interativo toolbox do Matlab
®
chamado MATCONT que é baseado na
experiência do desenvolvimento e uso do CONTENT por Dhooge, Govaerts, Kuznetsov,
Mestrom, Riet e Soutois (Dhooge et al., 2006).
Para Kasnyk (2007) o problema de computar singularidades de alta ordem pode ser
dividido em dois subproblemas, isto é, a geração de um sistema de equações expandido e a
solução numérica do sistema não-linear.
A solução do primeiro subproblema requer extensiva manipulação simbólica,
especialmente para modelos de processos químicos complexos de alta ordem. Essas
manipulações podem não estar longe de serem feitas manualmente, mas é altamente desejável
que a geração do sistema expandido seja feita automaticamente pela ferramenta
computacional (Kasnyk et al., 2007).
28 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
O segundo subproblema é equivalente a encontrar as raízes de um sistema algébrico. A
primeira aproximação diz respeito à utilização de métodos de intervalos matemáticos, que
garantem a detecção de todas as soluções, mas são aplicáveis somente em sistemas de baixa
ordem. Para sistemas maiores o custo computacional torna-se proibitivo devido à explosão
combinatória das variáveis. A segunda aproximação utiliza métodos de continuação. Esses
algoritmos convergem apenas localmente para a maioria dos casos necessitando de um bom
ponto inicial para a geração do diagrama de bifurcação. Para contornar esse problema é feita
uma aproximação passo a passo, iniciando com a continuação de uma singularidade de baixa
ordem e adicionando um parâmetro ao modelo quando uma singularidade é localizada. Essa
aproximação não garante rigidamente a localização do centro da singularidade, mas
atualmente é o único método passível de ser aplicado em modelos complexos de alta ordem
de processos químicos (Kasnyk et al., 2007).
A continuação numérica é uma técnica para computar consecutivas seqüências de
pontos que se aproximam de um ramo desejado. Uma descrição de idéias matemáticas
fundamentais relevantes à continuação e análise de bifurcação é apresentada em Krauskopf et
al. (2007), Kohout et al. (2002), Dhooge et al. (2006) e Kasnyk et al. (2007). Em suma essas
idéias são expostas a seguir.
Considere um modelo na forma (2.22), onde
α
é um parâmetro que pode ser varrido
e
x
é o vetor de estado pertencente ao espaço de estado
n
R
. Métodos de continuação
determinam soluções estáticas de um sistema indeterminado na forma (2.23). A solução desse
sistema pode ser parametrizada pela introdução de um parâmetro adicional
γ
(2.24).
n
Rxxf
dt
dx
∈= ),,(
α
(2.22)
),(0
α
xf=
(2.23)
max
0)),(),((0
γ
γ
γ
α
γ
≤
≤
= xf
(2.24)
2.4
F
ERRAMENTAS COMPUTACIONAIS E ANÁLISE NUMÉRICA
29
O caminho da solução numérica ao longo do parâmetro
γ
é construído através de
algoritmos de predição e correção. O passo preditor dá uma primeira estimativa do próximo
ponto na curva de soluções enquanto que o passo corretor encontra a solução exata partindo
do resultado da predição.
O controle do tamanho de passo (h) é uma etapa de grande importância nesses
algoritmos. Passos muito pequenos podem significar trabalho computacional desnecessário e
passos muito grandes podem negligenciar informações referentes às curvas. Um método
relativamente simples e seguro é o controle dependente da convergência. Se ao computar a
próxima solução usando o passo h
i
houver convergência, então
n
denota o numero de
interações de Newton necessárias. O novo tamanho de passo h
i+1
será baseado em h
i
, n e
parâmetros de incremento ou decremento do passo.
Na etapa de correção, para encontrar o ponto x
i+1
na curva, é utilizado um
procedimento de Newton, com parametrização baseada no método pseudo-arclength
continuation. Uma segunda técnica, comumente utilizada é a continuação de Moore-Penrose.
Mais detalhes e informações, sobre os fundamentos matemáticos e implementações dessas
técnicas, são encontradas nas referências supracitadas.
Castillo (2004) apresenta, em seu trabalho, métodos de detecção e computação de
pontos de bifurcação. Tradicionalmente a detecção de pontos especiais é feita através do
monitoramento de funções teste. Uma função teste é uma função
),(
α
τ
x
que permite o
reconhecimento de características especiais de um determinado ponto. A mudança de sinal,
em uma dessas funções, indica o surgimento de um ponto de bifurcação. Por exemplo, a
detecção de pontos críticos pode ser feita através da análise do determinante da matriz
Jacobiana do sistema
[
]
),(det),(
α
α
τ
xJx =
. Mesmo para sistemas pequenos essa função teste
não é recomendada, já que o determinante de uma matriz não mede o condicionamento da
mesma. Em suma a singularidade de matrizes Jacobianas deve ser testada por métodos
diferentes da análise do seu determinante. Algumas alternativas são as análises do número de
condicionamento ou o cálculo de autovalores próximos de zero.
30 2.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
2.4
F
ERRAMENTAS COMPUTACIONAIS E ANÁLISE NUMÉRICA
31
Capítulo 3
Singularidades na Biosíntese de Etanol
“Podemos considerar o estado do universo como o efeito de seu passado e a causa de seu
futuro. Um intelecto que, em um dado instante, conhecesse todas as forças que governam a
natureza e as posições de suas partículas, se esse intelecto fosse também vasto o suficiente
para analisar essas informações, compreenderia em uma única formulação os movimentos
dos maiores corpos do universo e os do menor átomo; para tal intelecto nada seria incerto e
o futuro, assim como o passado, estariam evidentes a seus olhos.”
Pierre Simon Laplace (
1749 -
=
1827)
32 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
3.1 Bifurcação em processos químicos e bioquímicos
Nas últimas décadas, a literatura relativa a comportamentos dinâmicos de sistemas
quimicamente reativos mostra que a teoria da bifurcação representa uma indispensável
ferramenta para a análise de processos não-lineares complexos.
Um grande problema no projeto e análise de plantas químicas é a determinação de
estados estacionários. O interesse, relativo aos estados estacionários, está em se produzir um
retrato do comportamento do sistema para uma ampla faixa de regiões operacionais. Isto é
habitualmente chamado de diagrama de bifurcação (Berezowski, 2000) ou diagrama de
operação (Pavlou, 1999). Este diagrama é particularmente usual quando se almeja confrontar
observações experimentais com predições matemáticas, possibilitando avaliar os efeitos das
condições operacionais no desempenho dinâmico de reatores e biorreatores. Segundo Pavlou
(1999), o primeiro emprego da análise não-linear foi realizado por Jost et al., em 1973, no
estudo da dinâmica de interação predador-presa em um fermentador de laboratório.
A simulação dinâmica de modelos não-lineares pode ser uma ferramenta pouco eficaz
para a análise de seus comportamentos. Em processos como fermentações, as simulações
dinâmicas são ineficientes, inconclusivas e podem não ser aptas a localizar singularidades
responsáveis por comportamentos dinâmicos como bifurcações e caos. Por exemplo, as
simulações nunca convergem para soluções instáveis, a escolha das condições iniciais pode
ocultar equilíbrios estáveis e em geral são necessárias muitas simulações para se determinar o
comportamento global do processo frente a um parâmetro. Assim, algumas particularidades,
de considerada relevância, podem ser negligenciadas devido às restrições de análises via
simulação dinâmica (Garhyan et al., 2003). Para suprir essa deficiência, a análise de
bifurcação surge como uma poderosa ferramenta capaz de proporcionar uma caracterização
mais eficiente e completa do modelo. Na realidade o melhor método para a avaliação do
comportamento de modelos complexos está em associar a simulação dinâmica e a análises de
bifurcação (Zhang e Henson, 2001).
A análise não-linear é importante também no sentido de detectar o nível de dificuldade
operacional de pontos de equilíbrio (Gamboa-Torres e Flores-Tlacuahuac, 2000). Por
exemplo, em alguns casos pode ser mais apropriado operar um reator ao redor de um estado
instável embutido em uma região de múltiplas soluções. A operação neste ponto instável pode
3.1
B
IFURCAÇÃO EM PROCESSOS QUÍMICOS E BIOQUÍMICOS
33
ser mais conveniente se a conversão é mais atrativa neste local. No entanto, o padrão dos
ramos está sujeito às características e considerações da modelagem, sendo que a
representatividade dos resultados está intrinsecamente ligada à qualidade do modelo
matemático. Além do mais, diagramas de bifurcação permitem um melhor entendimento da
influência de parâmetros de projeto e dimensionamento no surgimento de múltiplos estados
estacionários. Assim, pode auxiliar na etapa de projeto para prever comportamentos
dinâmicos e singularidades, eliminando características prejudiciais à capacidade operacional
de controle (Russo e Bequette, 1998).
Características como bifurcações Hopf, multiplicidade de entrada/saída e o surgimento
de ramos operacionais estáveis/instáveis são comuns em reatores do tipo CSTR (continuous
stirred tank reactors), seja com sistema reacional químico ou biológico. Multiplicidade de
entrada ocorre quando diferentes valores da variável manipulada (escolhida como entrada do
sistema) produzem o mesmo valor na variável de saída. A multiplicidade de saída ocorre
quando um mesmo valor de uma variável de entrada produz diferentes saídas no sistema
(Gamboa-Torres e Flores-Tlacuahuac, 2000).
O surgimento de múltiplos estados estacionários, em sistemas quimicamente reativos,
foi primeiramente observada por Liljernoth em 1919. No entanto, o grande interesse em
relação ao fenômeno em reatores químicos se deu na década de 50, por influência das escolas
de Minnesota e Pragua (Garhyan et al., 2003). Na mesma época, o bioquímico russo Boris
Belousov estudava processos metabólicos celulares, quando se deparou com uma
surpreendente descoberta. Ao misturar ácido cítrico e íons bromato em uma solução de ácido
sulfúrico, catalisado por cério, observou que a coloração amarela da mistura tornava-se
desbotada e voltava a ficar amarelada por dezenas de vezes até atingir o equilíbrio (Strogatz,
1994). Atualmente não é surpresa que reações químicas e bioquímicas possam oscilar
espontaneamente. Muitas investigações em bioprocessos têm revelado experimentalmente a
presença de oscilações prolongadas em fermentadores. As relações matemáticas
desenvolvidas para esses processos têm mostrado concordância satisfatória com observações
experimentais, capturando em detalhes as singularidades existentes (Garhyan et al., 2003).
34 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
3.2 Combustíveis alternativos: bioetanol
A queima de combustíveis fósseis acarreta um impacto significativo na qualidade do
meio ambiente. Atualmente o consumo mundial atingiu os 1.000 barris de petróleo por
segundo (França, 2008; OPEC, 2008). A emissão de dióxido de carbono, proveniente da
reação de combustão, é um dos principais responsáveis pelo aquecimento global, por
contribuir com o avanço do efeito estufa. A substituição dos combustíveis fósseis por
renováveis atenuaria o aumento da temperatura do globo terrestre, já que a geração/consumo
de CO
2
é cíclica para esses combustíveis. Isto significa que o dióxido de carbono gerado na
sua queima é consumido pelos vegetais no processo de fotossíntese. Atualmente o etanol e o
biodiesel são os combustíveis, de origem renovável, mais promissores quando a questão é a
migração da matriz energética mundial. Em especial, a indústria sucroalcooleira, no Brasil,
mostra-se interessante pelo fato de que reduz os gases do efeito estufa em aproximadamente
20% (Porto, 2005).
O etanol apresenta duas grandes vantagens em relação ao biodiesel. A primeira delas
diz respeito ao balanço energético produtivo. Segundo Macedo (1998), em média para cada
unidade de energia aplicada na produção do etanol, a partir da cana de açúcar, são geradas
aproximadamente nove unidades de energia com o álcool produzido. Neste balanço está
incluída a utilização do bagaço, resultante da extração do caldo de cana, na geração de energia
elétrica. O balanço de energia para o biodiesel e para o álcool etílico produzido do milho
aproxima-se de um, ou seja, apenas uma unidade de energia é gerada para cada unidade
utilizada na produção (França, 2008).
A segunda vantagem do álcool etílico diz respeito ao mercado consolidado do insumo.
A fermentação alcoólica é uma tecnologia bem desenvolvida e o exemplo brasileiro comprova
o sucesso de sua utilização como combustível.
O etanol gerado no continente americano representa mais de dois terços de toda
produção mundial. Em 1998 foram produzidos 31,2 bilhões de litros do combustível em todo
mundo, sendo que 20,3 bilhões de litros foram produzidos nas Américas (Ferreira, 2003 apud
Berg, 1999). Atualmente o Brasil produz cerca de 21,5 bilhões de litros de etanol da cana de
açúcar e os Estados Unidos 24,5 bilhões de litros do milho, soma que representa 85% da
produção mundial (França, 2008). Os números revelam o grande crescimento do interesse
3.2
C
OMBUSTÍVEIS ALTERNATIVOS
:
BIOETANOL
35
mundial no biocombustível nos últimos 10 anos. A maior parcela responsável por isso se dá
pelo fato de que o maior consumidor de combustíveis do mundo, os EUA, se renderam às
vantagens do etanol. Hoje o investimento americano em pesquisa, para o desenvolvimento
tecnológico da produção de etanol, é de 1,5 bilhões de dólares por ano (o equivalente a 15
vezes mais que o investimento brasileiro). O foco das pesquisas norte americanas está no
desenvolvimento de uma tecnologia para a produção de etanol através de matéria prima
celulósica. Em suma, é um processo que visa transformar a celulose, material orgânico mais
abundante do planeta, em açúcar para posterior fermentação (Teixeira Jr. e Cesar, 2007).
O grande investimento do Brasil na tecnologia de síntese de etanol se deu na década
de 70, quando o país se viu obrigado a buscar substitutos para os combustíveis derivados de
petróleo, devido à crise energética mundial da época. Hoje, o Brasil é o país com a maior
tecnologia de processo fermentativo alcoólico do mundo e possui um mercado garantido
devido à adição do álcool anidro à gasolina e ao desenvolvimento do motor multicombustível
(Porto, 2005). Entretanto, os EUA são fortes candidatos a ocupar a posição de liderança
tecnológica nos próximos anos devido ao desenvolvimento do processo de produção de álcool
através da celulose.
Além da utilização como combustível, o álcool etílico tem aplicações na fabricação de
detergentes, adesivos, pesticidas, explosivos, cosméticos, corantes, produtos farmacêuticos,
etc. (Black, 1999), o que o torna um produto altamente flexível. No patamar tecnológico atual,
novos termos como biorefinarias e alcoolquímica (o equivalente a petroquímica) vêm
tomando espaço para descrever a fabricação de produtos plásticos e resinas do álcool. Como
exemplo pode-se citar a substituição da nafta por etanol para a produção de policloreto de
vinila (PVC) (França, 2008).
3.2.1 Processo produtivo
O etanol pode ser obtido de três maneiras: por destilação, via sintética ou fermentativa
(Lima et al., 2001). No Brasil, a rota mais usual é a fermentativa. A obtenção através de
destilação só tem significado em algumas regiões vinícolas para o controle de determinadas
castas de vinho. A via sintética, que gera o álcool etílico a partir de hidrocarbonetos, só é
economicamente atrativa em países com grandes reservas de petróleo e avançada indústria
36 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
petroquímica. A via fermentativa é a maneira mais importante para a obtenção do etanol no
país, porque as matérias-primas disponíveis são abundantes e diversificadas devido às
peculiaridades climáticas e territoriais encontradas.
As matérias-primas para a fermentação podem ser amiláceas e feculentas, açucaradas
ou celulósicas. As de origem amiláceas e feculentas requerem uma etapa de hidrólise, a
sacarificação, na qual o amido é transformado em açúcar fermentescível. Isso dificulta o
processo industrial e restringe a fermentação de cereais à produção de bebidas no Brasil. As
matérias celulósicas são vultuosas, mas a produção de etanol ainda não é viável
economicamente através desse processo devido à restrições tecnológicas na etapa de hidrólise,
necessária a sacarificação. Esse fato associado aos baixos teores de açúcares obtidos na
hidrólise da celulose, dificulta a consolidação industrial da fermentação celulósica (Lima et
al., 2001). No Brasil a cana-de-açúcar é a matéria-prima de maior importância econômica
para a produção de etanol industrial. O açúcar predominante neste agro-insumo é a sacarose,
composta primordialmente de glicose e frutose em proporções equivalentes.
A obtenção do álcool, através de fermentação, é constituída de três etapas
fundamentais: o preparo do substrato, a fermentação e a destilação. A primeira fase é o
tratamento da matéria-prima para a extração dos açúcares fermentescíveis e é distinto para os
diferentes materiais utilizados. A fermentação é a etapa de transformação dos açúcares em
etanol e dióxido de carbono. Enfim, a destilação consiste em duas operações: a primeira
refere-se à retirada de uma mistura hidroalcoólica impura do fermentado e a segunda na
purificação dessa mistura.
Mais precisamente, o termo fermentação, derivado do latim fervere, significa ferver e
descreve a aparência da ação de fermentos em açúcares. Este aspecto é devido à liberação de
bolhas de dióxido de carbono causadas pelo catabolismo anaeróbio dos açúcares presentes no
substrato (Stanbury et al., 1995). O termo tem sido utilizado industrialmente para descrever
qualquer síntese de produtos através da utilização de microorganismos. O processo de
fermentação inclui três configurações operacionais típicas: batelada, batelada alimentada e
contínua. A fermentação batelada processa um grande volume de meio contendo nutrientes e
substrato. Nesta configuração a taxa de crescimento microbial e síntese bioquímica aumentam
até atingir um ápice e após esse máximo tendem a decair até o final da operação. É o processo
fermentativo mais básico e não é frequentemente praticado em escala industrial. A operação
3.2
C
OMBUSTÍVEIS ALTERNATIVOS
:
BIOETANOL
37
em batelada alimentada visa aumentar a eficiência da fermentação e é caracterizada pela baixa
concentração de componentes no meio inicial. Após certo crescimento, dos microorganismos,
é adicionado substrato ao meio, de modo que a biosíntese metabólita seja conduzida com o
incremento desejado. A maioria das fermentações industriais é feita desta maneira. Na
operação em modo contínuo uma corrente de entrada alimenta o fermentador na mesma taxa
em que uma corrente de saída remove o fermentado, sem que o volume do reator seja
alterado. Por ser um processo contínuo permite melhorias na produtividade e diminui o
investimento em equipamento por não necessitar de vultuosas dimensões como processos
batelada. Contudo, apresenta desvantagens como, por exemplo, dificultar produções em
pequena escala, além do que a operação estéril e a manutenção são mais desafiadoras do que
nos outros modos operacionais (Oka, 1999).
As enzimas, grupo de substâncias orgânicas de natureza geralmente protéica, são os
catalisadores das reações de fermentação. O histórico das transformações fermentativas,
através do uso de enzimas puras ou preparos enzimáticos industriais, mostra evoluções em
larga escala, na ausência de microorganismos, com vantagens sobre o controle do processo
(Reguly, 1996). Mesmo assim os processos com bactérias e leveduras são, ainda,
preponderantes.
Como resultado do mecanismo enzimático, o metabolismo celular dos
microorganismos remete à classificação dos mesmos em relação à aerobiose ou anaerobiose
do processo fermentativo. Em qualquer um dos casos os microorganismos extraem energia da
oxidação da matéria orgânica, que é fundamentalmente um processo de desidrogenação desta.
Em geral, os processos anaeróbios, são normalmente mais interessantes, pois cada célula
rende maior quantidade de produtos. Esses processos são constituídos de nove reações
enzimáticas diferentes acopladas, formando a via glicolítica anaeróbia de Emden-Meyerhof.
Nas transformações aeróbias a via glicolítica é chamada de ciclo de Krebs (Reguly, 1996).
Os microorganismos utilizados na fermentação são responsáveis pelas características
do processo de obtenção do álcool etílico. Algumas particularidades buscadas são: a alta
conversão por unidade de substrato assimilado, alta capacidade de fermentação, termo
tolerância, estabilidade e tolerância às concentrações de etanol, substrato e a baixos valores de
pH. As leveduras e as bactérias são microorganismos amplamente utilizados para a produção
industrial do etanol. Entre tais destacam-se as leveduras Saccharomyces cerevisiae,
38 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
Saccharomyces uvarum (carlsbergensis), Schizosaccharomyces pombe e Kluyveromyces e as
bactérias Zymomonas mobilis, Clostridium sporogenes, Clostridium thermohydrosulfuricum e
Thermoanaerobacter athanolicus (Kosaric e Vardar-Sukan, 2001). Dentre as diversas opções
citadas a Saccharomyces cerevisiae é o microorganismo tradicionalmente mais utilizado na
produção industrial de etanol.
Novos métodos de obtenção do etanol têm sido desenvolvidos como, por exemplo, a
partir da extração da celulose da madeira, digerida em açúcares e fermentada por bactérias
termofílicas do gênero Clostridium. Segundo Black (1999) e Atlas (1997), esse
microorganismo possibilita o trabalho em altas temperaturas, que permite a utilização de
menos energia na purificação do álcool, e sua taxa metabólica é mais rápida em comparação
com outros fermentos. Outro método emprega a bactéria Zymomonas mobilis, que apresenta
alta capacidade de fermentação (Medigan et al., 2000), podendo fermentar açúcares duas
vezes mais rápido do que as leveduras (Najafpour, 2007; Leão, 2005; Black, 1999; Atlas,
1997). Nas últimas três décadas pesquisadores tem reivindicado a substituição da clássica
Saccharomyces cerevisiae pela Zymomonas mobilis, alegando que a bactéria possui
“características fermentativas superiores” às leveduras (Bai et al., 2008).
3.2.2 A levedura Saccharomyces cerevisiae
Os fungos são seres eucarióticos, ou seja, o núcleo celular de tais microorganismos é
rodeado por uma membrana e apresenta vários organelos de forma ordenada. Por muito
tempo, os fungos foram considerados vegetais, contudo por volta de 1969 passaram a ser
classificados em um reino a parte devido a algumas características próprias que os
diferenciam das plantas. Por exemplo, não sintetizam clorofila, sendo assim não são capazes
de fazer fotossíntese e armazenam glicogênio como material de reserva ao invés de amido
podendo ser encontrados no ar, solo, água, vegetais e animais. Morfologicamente é
conveniente distinguí-los em leveduras e bolores. Os bolores apresentam forma filamentosa
constituída de células multinucleadas chamadas de hifas; ao conjunto de hifas dá-se o nome
micélio. As leveduras são geralmente unicelulares, de forma esférica, elíptica ou filamentosa
sendo que o tamanho pode variar de 1,0 a 5,0
μ
m de diâmetro e 5,0 a 30,0
μ
m de
comprimento (Alterthum, 2001). As leveduras podem se reproduzir de três maneiras. O
3.2
C
OMBUSTÍVEIS ALTERNATIVOS
:
BIOETANOL
39
método mais comum é através de gemulação (brotamento), onde uma nova célula brota do
núcleo até a membrana celular gerando uma protuberância na levedura-mãe. Durante sua
vida, uma célula madura é capaz de gerar, em média, 24 células-filhas. Outra forma de
reprodução é a esporulação, onde há formação de esporos sexuados que permitem
combinações genéticas, mutações, hibridação e seleção. Esses processos permitem as
mudanças evolutivas dos microorganismos. No seu ciclo evolutivo, algumas leveduras, como
as Saccharomyces cerevisiae podem gerar esporos sexuados reproduzindo-se através da fusão
de esporos. Também pode ocorrer a reprodução por fissão, onde a levedura se alonga e o
núcleo é divido em duas células-filhas (Leão, 2005).
A utilização de levedo, com finalidades industriais, iniciou-se por volta de 1781 na
produção de bebidas. Neste período, os holandeses estudavam as leveduras de fermentação
para a produção de gim, enquanto que os ingleses produziam fermento de panificação. A
evolução de processos fermentativos, envolvendo leveduras, passou por Pasteur que constatou
um maior rendimento, na geração de biomassa, nos processos aeróbios. Entre 1916 e 1925
iniciou-se o chamado processo moderno de produção de leveduras através de processos
descontínuos alimentados. Atualmente, os estudos sobre a citologia de leveduras são feitos
através de diversas técnicas de microscopia. O gênero Saccharomyces é considerado o mais
conhecido e estudado entre as leveduras, devido a sua aplicação na panificação, fabricação de
vinho e outras bebidas alcoólicas (Leão, 2005). A produção de álcool etílico é outro
importante emprego da levedura, visto que o etanol é um combustível alternativo renovável
que vem se tornando cada vez mais atrativo.
A S. cerevisiae é uma levedura que geralmente apresenta-se na forma esférica
unicelular. Como a maioria dos microorganismos, metaboliza a glicose pela via Embden-
Meyerhof (Lin e Tanaka, 2005). As hexoses, monossacarídeos de 6 carbonos (em geral
C
6
H
12
O
6
), são reagentes primários no metabolismo da fermentação alcoólica e seu rendimento
estequiométrico é de 0,511 grama de etanol por grama de hexose. Todavia, reações
secundárias resultam na redução do rendimento teórico, sendo que a presença de fibras,
gomas, leveduras selvagens, etc. podem reduzir o rendimento industrial em até 90%. O
principal objetivo da levedura, ao metabolizar anaerobicamente o açúcar, é gerar adenosina
trifosfato (ATP) que é um nucleotídeo responsável pelo armazenamento de energia
empregada na realização de diversos trabalhos fisiológicos e biossínteses necessárias à
manutenção da vida, crescimento e multiplicação dos microorganismos. O etanol e o gás
40 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
carbônico são resultantes da excreção microbial e não possuem utilidade metabólica para a
célula em anaerobiose (Lima et al., 2001). Na fermentação alcoólica com S. cerevisiae, o
etanol passa a ter efeito inibitório na taxa de crescimento celular acima de 15 g/L e a
concentração máxima, acima da qual as células não crescem, é de 112 g/L. A partir de 115
g/L a produção do álcool é completamente inibida (Porto, 2005 apud Luong, 1985). A
inibição pelo produto é menos tóxica quando comparada à inibição causada pelo substrato.
Isso porque as altas concentrações de substrato alteram a rota metabólica e desativam algumas
enzimas importantes. O efeito inibidor causado pelo substrato é percebido quando a
concentração supera 150 g/L (Porto, 2005 apud Thatipalama et al., 1992).
3.2.3 A bactéria Zymomonas mobilis
A célula bacteriana apresenta características dos seres procarióticos, isto é, o material
genético da célula não é separado do citoplasma por uma membrana nuclear. Seu processo
reprodutivo é feito, na grande maioria dos casos, por divisão binária simples, na qual uma
célula divide-se ao meio após atingir determinado tamanho. Tipicamente, o formato assumido
por tais microorganismos, é esférico, cilíndrico ou espiralado. O diâmetro das bactérias
esféricas varia entre 0,5 e 4,0
μ
m, enquanto que o comprimento das cilíndricas raramente
ultrapassa 19,0
μ
m. A morfologia bacteriana pode ser melhor observada quando as bactérias
apresentam-se coradas. O método de coloração de Gram é o mais utilizado, sendo que permite
uma divisão em dois grandes grupos: gram-positivas e gram-negativas, dependendo das
características da parede celular do microorganismo (Alterthum, 2001).
A Zymomonas mobilis é uma bactéria gram-negativa que produz etanol
anaerobicamente a partir de glicose pela via Entner-Doudoroff (via glicolítica anaeróbia
restrita a procariontes) (Lee e Huang, 2000). Sua existência foi relatada pela primeira vez por
dois microbiologistas ingleses, Parker e Rillier, no início do século XX, que a chamavam
“bactéria da doença da cidra” (vinho de maçã). Estudos desse microorganismo revelaram
diversas propriedades terapêuticas, todavia as pesquisas a seu respeito ficaram sem grandes
evoluções, devido às dificuldades de se isolar a bactéria. Em 1950 o cientista brasileiro
Oswaldo Gonçalves de Lima trouxe do México ao Brasil a bactéria isolada e a armazenou
para futuras pesquisas sobre fermentações e produção de antibióticos. O pesquisador foi o
3.2
C
OMBUSTÍVEIS ALTERNATIVOS
:
BIOETANOL
41
segundo a conseguir isolar o microorganismo. Entretanto, as pesquisas não evoluíram nos
anos seguintes. Por volta de 1975, um trabalho realizado por cientistas da Universidade de
Sidney, na Austrália, utilizando a Z. mobilis para produção de álcool, reativou o interesse pela
bactéria no Brasil. Estudos sobre a fermentação, utilizando melaço e caldo de cana com o
emprego de Zymomonas mobilis, foram iniciados e comparados com resultados típicos da
fermentação com Saccharomyses cerevisiae. Verificou-se que o rendimento das bactérias era
menor do que aqueles apresentados pelas leveduras, porque a fermentação da sacarose
produzia a levana e o sorbitol, dois subprodutos que provocam a queda do rendimento
fermentativo. Desta forma foi concluído que a utilização dessa bactéria, no Brasil, não era
vantajosa devido às características da matéria-prima abundante, a sacarose da cana-de-açúcar.
Quando o substrato é glicose, a Z. mobilis apresenta uma grande vantagem produtiva sobre a
S. cerevisiae, que é a capacidade de fermentar aproximadamente duas vezes mais rápido
(Najafpour, 2007; Leão, 2005; Black, 1999; Atlas, 1997). Isso se dá em conseqüência da sua
via glicolítica que lhe proporciona características únicas, resultando na produção de menos
biomassa e mais álcool do que as leveduras (Lin e Tanaka, 2005). Além do mais, conforme
apontado por Gunasekaran e Raj (1990), a Z. mobilis apresenta necessidades nutricionais
simples e maior tolerância ao etanol do que a maioria das leveduras.
Na África e na Ásia a Zymomonas mobilis ocupa uma posição industrial similar a que
a Saccharomyses cerevisiae ocupa na Europa e América do Norte. A Z. mobilis geralmente
não é o único microorganismo empregado em processos fermentativos, entretanto
frequentemente é o organismo predominante e responsável pela maior parte da produção de
etanol. Apresenta boa tolerância às altas concentrações de etanol (acima de 120 g/L) (Lin e
Tanaka, 2005) e de substrato (Najafpour, 2007). O fato de ser uma bactéria gram-negativa a
torna mais atrativa, já que esse tipo de microorganismo permite manipulações genéticas mais
rápidas (Medigan et al., 2000).
Embora tenha sido apontada por pesquisadores como a melhor solução na produção
industrial de etanol, nas décadas de 70 e 80, não foi bem aceita devido ao fato de fermentar
somente glicose, frutose e sacarose (Lin e Tanaka, 2005). Além disso, as altas taxas de
conversão do microorganismo só são conseguidas utilizando-se glicose. A eficiência do
processo é reduzida significativamente, quando o substrato da fermentação é sacarose ou
frutose, devido à formação de subprodutos. Contudo, melhoras na produção de etanol,
42 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
buscando minimizar a formação de subprodutos, a partir do uso de invertase para hidrólise da
sacarose são apontadas por Lee e Huang (2000).
Uma peculiaridade interessante da fermentação com essa bactéria é o surgimento de
comportamentos oscilatórios sob determinadas condições operacionais. Este comportamento é
referenciado por inúmeros autores (Elnashaine et al., 2006; Maheca-Botero et al., 2006;
Garhyan e Elnashaine, 2004; Garhyan et al., 2003; Bruce et al., 1991) e o seu surgimento se
dá a partir da interação entre a taxa de crescimento das células e a produção de etanol.
Maheca-Botero et al. (2006) mostram que a operação em estados periódicos pode resultar em
uma maior conversão global quando comparada com a operação no correspondente estado
estacionário. Os autores ainda mostram, em seu trabalho, que a remoção de etanol do reator
por membranas elimina o comportamento oscilatório, ou seja, a membrana atua como
estabilizador para o biorreator. Garhyan e Elnashaine (2004) usaram análises de bifurcação
para mostrar a existência de comportamentos caóticos, sob determinadas faixas operacionais,
e afirmam que algumas vezes a produtividade média de um fermentador, sob tais condições, é
maior do que a operação em seu correspondente estado estacionário. Além de características
caóticas e oscilatórias, os autores também constataram a existência de múltiplos estados
estacionários e regiões operacionais instáveis. Tais observações revelam o vasto
comportamento complexo de um sistema de fermentação com o emprego da bactéria Z.
mobilis.
Mesmo que a fermentação alcoólica através de Saccharomyces cerevisiae seja a mais
utilizada industrialmente hoje, a questão da escolha da tecnologia mais apropriada ainda
necessita de análises mais profundas, já que há divergências, por parte de pesquisadores, em
relação ao assunto. A elevada taxa produtiva da Zymomonas mobilis, fermentando glicose,
associada aos avanços tecnológicos da hidrólise como pré-processo álcool-fermentativo e ao
excêntrico comportamento não-linear proporcionado pelas bactérias, tornam relevante o
estudo da Z. mobilis como uma alternativa propícia frente à permuta tecnológica na cadeia
produtiva do etanol.
3.3
M
ODELOS MATEMÁTICOS
43
3.3 Modelos matemáticos
Para o entendimento de propriedades quantitativas de processos são utilizadas
descrições matemáticas. Essas descrições, chamadas de modelos matemáticos, são abstrações
de processos reais que permitem a caracterização do seu comportamento quando suas entradas
são conhecidas. Os modelos são basicamente divididos em três grupos: os teóricos,
fenomenológicos ou constitutivos, formam modelos baseados puramente em princípios físicos
e químicos; os empíricos, obtidos através de relações de dados do processo; e os modelos
semi-empíricos, que combinam fundamentos teóricos e aproximações empíricas (Mikles e
Fikar, 2007). Os modelos fenomenológicos possuem capacidades extrapolativas, ao contrário
dos empíricos que são interpolativos tornando a faixa de validade restrita a faixa de dados
utilizados no seu desenvolvimento (Bequette, 1998).
É rara a existência de um único modelo que descreva um determinado processo. Em
geral a complexidade do modelo depende da finalidade do seu uso. Por exemplo, se apenas
uma aproximação do resultado for suficiente, então um modelo simplificado pode ser
utilizado (Bequette, 1998). O desenvolvimento de um modelo rigoroso, que leve em
consideração todos os fenômenos envolvidos a nível microscópico, em geral é tão complexo
que o tempo necessário a sua formulação torna-se muito longo e a sua resolução
possivelmente impraticável (Luyben, 1996). Sendo assim faz-se necessário um compromisso
entre uma descrição rigorosa e uma resposta adequada. Isso envolve uma série de
considerações com objetivo de simplificação. No artigo Modeling in Chemical Engineering
publicado em 2002, Levenspiel cita uma passagem da monografia de Denbigh (1951), que
conduz a idéia de que a abstração da complexidade do mundo real, através de considerações
de situações mais ou menos idealizadas, é sempre necessária na ciência com a finalidade de
permitir a análise dos fenômenos desejados.
Certamente o resultado mais importante, no desenvolvimento de modelos
matemáticos em engenharia química, está no entendimento do comportamento do processo
proporcionado pelos mesmos. As relações de causa-efeito entre as variáveis podem ser vistas
de forma mais clara. Segundo Luyben (1996), os modelos matemáticos podem ser úteis em
pesquisas e no desenvolvimento de plantas, como por exemplo:
44 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
1.
Pesquisa e desenvolvimento: determinação de mecanismos cinéticos e parâmetros
através de dados laboratoriais ou de plantas piloto; estudo dos efeitos de diferentes
condições operacionais para otimização e controle; auxílio em cálculos de scale-up.
2.
Projeto: permite flexibilidade no dimensionamento e na determinação do melhor
arranjo dos equipamentos no processo; facilita a análise de interações entre várias
partes de uma planta, principalmente quando existe integração mássica e energética;
proporciona simulações de start up, shutdown e situações de emergência; além de
auxiliar na avaliação de estruturas e estratégias de controle.
3.
Operação: ajuda no diagnóstico de problemas de controle e processo; permite o
treinamento de operadores; é imprescindível na otimização operacional da planta; é
mais seguro, barato e rápido no estudo do comportamento da planta quando
comparado a testes experimentais, desde que o modelo seja devidamente validado.
Embora a engenharia bioquímica englobe diversos processos, como a transferência de
massa e calor, a pesquisa em modelagem matemática citada na literatura técnica especializada
refere-se fundamentalmente às reações biológicas e, recentemente, às reações que ocorrem no
interior das células. Em razão da complexidade do processo real (que envolve leis físico-
químicas, bioquímicas e genéticas), somada às limitações matemáticas, os modelos, em geral,
fornecem uma predição consistente somente para algumas propriedades (Bonomi e Schmidell,
2001). Inúmeras características dos processos fermentativos tornam o desenvolvimento de
modelos matemáticos rigorosos uma tarefa árdua. Entre essas pode-se citar: as baixas
velocidades de reação, a complexidade da mistura reagente e da capacidade do sistema de
sintetizar seu próprio catalisador, ausência de sensores para automação em tempo real,
problemas de esterilidade, entre outros.
Modelos rigorosos, que consideram as células dos microorganismos como indivíduos
distintos com propriedades únicas e levam em conta variações intracelulares e extracelulares,
são conhecidos como modelos estruturados e segregados. Modelos mais simples, chamados
não-segregados, podem ser formulados negligenciando-se as variações químicas
intracelulares. Se a heterogeneidade da população celular for desconsiderada, então o modelo
é dito não-estruturado. A modelagem mais simples origina os chamados modelos não-
estruturados e não-segregados (Garhyan e Elnashaie, 2004).
3.3
M
ODELOS MATEMÁTICOS
45
Diversos modelos para a fermentação contínua de glicose, com a bactéria Zymomonas
mobilis, são propostos na literatura. Alguns desses são: o não-segregado e estruturado de
Jöbses et al. (1986), que divide a biomassa em dois compartimentos e introduz um
componente chave, que leva em consideração a influência da concentração de produto do
meio reativo; o estruturado de Ghommidh et al. (1989), que divide a biomassa em três
compartimentos: células viáveis, mortas e inviáveis (inaptas para se dividir mas hábeis para
produção de etanol); o modelo de Jarsebski (1992) que é uma extensão do modelo de
Ghommidh, incluindo inibição por produto e limitações referentes ao substrato; o não-
segregado e não-estruturado de Daugulis et al. (1997), validado por McLellan et al. (1999),
que propõe uma aproximação macroscópica incorporando o conceito de taxa de crescimento
específica dinâmica (considera o histórico recente de inibições do processo); e o desenvolvido
por Lee e Huang (2000), que consiste em um modelo estruturado baseado em análises
metabólicas e dados experimentais, para misturas de glicose e frutose.
Neste trabalho o modelo de Jöbses et al. (1986) foi utilizado como base de todas as
análises apresentadas. Este modelo, experimentalmente validado, tem sido muito utilizado
para estudos de comportamentos não-lineares por pesquisadores como Elnashaine et al.
(2006), Maheca-Botero et al. (2006), Garhyan e Elnashaine (2004) e Garhyan et al. (2003).
Esses autores têm verificado experimentalmente características não-lineares apontadas por
análises de bifurcação no modelo de Jöbses et al. (1986), mostrando a sua representatividade
e capacidade de capturar diversas singularidades de interesse.
3.3.1 Modelo de Jöbses et al. (1986)
Em processos fermentativos, a biomassa atua como biocatalisador para a conversão do
substrato em produtos. Além disso, é sintetizada pelo processo, o que caracteriza um exemplo
de autocatálise. Diversos modelos têm sido propostos para descrever comportamentos
oscilatórios da Zymomonas mobilis como mencionado anteriormente. O modelo de Jöbses et
al. (1986) é um modelo não-segregado e estruturado que divide a biomassa em dois
compartimentos. Nas equações apresentadas, C
i
representa a concentração mássica do
componente i e r
i
sua taxa de conversão. Os subíndices S, e, x e P referem-se ao substrato
46 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
(glicose), a um componente chave e, a biomassa (Z. mobilis) e ao produto (etanol),
respectivamente.
A equação (3.1) é um modelo largamente utilizado em modelagem de processos
fermentativos e descreve o consumo de substrato pelos microorganismos. É uma equação
linear que considera que parte do substrato consumido tem finalidade de manutenção da vida
dos microorganismos e parte utiliza o substrato para a produção de biomassa nova. Assim, Y
Sx
é o fator de rendimento da conversão de substrato em biomassa, m
S
é um fator de manutenção
(Jöbses et al., 1985), onde o primeiro termo considera a taxa de crescimento e o segundo a
conservação microbiana. A taxa de crescimento da biomassa é normalmente expressa por
(3.2).
xSx
Sx
S
Cmr
Y
r +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
(3.1)
xx
Cr
μ
=
(3.2)
A relação entre a concentração de substrato e a taxa de crescimento específico é dada
pela equação de Monod (3.3), onde K
S
é a constante de Monod e
μ
max
é a taxa específica de
crescimento máxima.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
SS
S
CK
C
max
μμ
(3.3)
Jöbses et al. (1986) sugerem um modelo estruturado baseado na introdução de um
componente chave e de biomassa que torna a inibição por produto um efeito de influência
indireta na fermentação. Mais precisamente, o modelo considera que o etanol causa alterações
na taxa de crescimento específica máxima
μ
max
. A resposta da taxa de crescimento específica
máxima em relação a mudanças em C
P
pode ser percebida ao longo de até 30 horas para a Z.
mobilis. Assim, supondo que
μ
max
é proporcional a um componente chave interno
e
, com
atividade expressa em termos de concentração, a taxa de formação desse componente é
inibida pela concentração de etanol que consequentemente está influenciando
μ
max
. A equação
(3.4) representa a taxa de formação de
e
, que leva em consideração a concentração de
substrato, produto e do próprio componente chave e.
3.3
M
ODELOS MATEMÁTICOS
47
(
)
(
)
ePSe
CCfCfr
=
(3.4)
A função f(C
S
) é dada pela relação de Monod (3.3) e f(C
P
) é um polinômio de grau
dois proveniente de dados experimentais, onde os termos k
1
, k
2
e k
3
são constantes empíricas.
Assim, a inibição por produto afeta de forma indireta a fermentação.
2
321
)()(
PPP
CkCkkCf +−=
(3.5)
O componente
e
pode ser expresso como uma fração da biomassa x como pode ser
visto na equação (3.6).
x
e
e
C
C
y =
(3.6)
O modelo dinâmico de Jöbses et al. (1986) é um modelo de quatro dimensões
constituído pelas equações de balanço material (3.7) a (3.10), com os seguintes componentes:
substrato (S), biomassa (x), produto (P) e o componente chave (e). Na equação (3.10), Y
Px
é o
fator de rendimento de biomassa em produto, enquanto que m
P
é um fator de manutenção
baseado na formação de produto.
()
SSoxS
SS
eS
Sx
S
CCDCm
CK
CC
Ydt
dC
−+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
1
(3.7)
()
xxo
SS
eSx
CCD
CK
CC
dt
dC
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
(3.8)
()
()
eeo
SS
eS
PP
e
CCD
CK
CC
CkCkk
dt
dC
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−=
2
321
(3.9)
()
PPoxP
SS
eS
Px
P
CCDCm
CK
CC
Ydt
dC
−++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
(3.10)
A conversão de substrato e de produto, definidas respectivamente nas equações (3.11)
e (3.12), auxiliam a avaliar o desempenho do fermentador em diferentes condições
operacionais.
48 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
.
()
So
SSo
S
C
CC
X
−
=
(3.11)
()
So
PoP
P
C
CC
Y
−
=
(3.12)
Os valores dos parâmetros do modelo apresentados no trabalho de Jöbses et al. (1986)
e utilizado por Elnashaine et al. (2006), Maheca-Botero et al. (2006), Garhyan e Elnashaine
(2004) e Garhyan et al. (2003), podem ser visualizados na Tabela 3.1.
Tabela 3.1: Parâmetros do modelo de Jöbses.
Parâmetro Valor Unidade
C
Po
– Concentração de produto alimentado 0
3
/ mkg
C
eo
– Concentração de produto chave alimentado 0
3
/ mkg
C
xo
– Concentração de biomassa alimentada 0
3
/ mkg
K
S
– Constante de Monod 0,5
3
/ mkg
k
1
– Constante empírica 16
1−
h
k
2
– Constante empírica 0,497
kghm /
3
k
3
– Constante empírica 0,00383
hkgm
26
/
m
S
– Fator de manutenção baseado no consumo de substrato 2,16
kghkg /
m
P
– Fator de manutenção baseado na formação de produto 1,10
kghkg /
Y
Sx
– Fator de rendimento da conversão de biomassa em substrato 0,0244498
kgkg /
Y
Px
– Fator de rendimento da conversão de biomassa em produto 0,0526315
kgkg /
3.4 Análise de bifurcação do modelo de Jöbses
A caracterização estática/dinâmica do sistema bioreativo foi efetuado a partir de
análises de bifurcação, utilizando-se o continuation toolbox Matcont, implementado no
software Matlab
®
. Os parâmetros de bifurcação analisados foram: a taxa de diluição e a
concentração de substrato alimentado. Algumas respostas do modelo no tempo, em pontos
operacionais comuns e de bifurcação, foram originadas de simulações montadas em Simulink
3.4
A
NÁLISE DE BIFURCAÇÃO DO MODELO DE
J
ÖBSES
49
no Matlab
®
. O método numérico utilizado foi o ode45, um método não rígido de precisão
média, baseado na formulação de Runge-Kutta explícito com coeficientes de Dormand-
Prince. O método de continuação numérico, implementado no toolbox Matcont, necessita dos
valores das variáveis de estado e dos parâmetros (D e C
So
) de um equilíbrio, para iniciar a
construção dos diagramas de bifurcação. Sendo assim, simulações foram feitas de modo a
identificar estados estacionários necessários à inicialização do algoritmo.
Segundo alguns estudos, em certas regiões operacionais o sistema apresenta
multiplicidade de saída (Elnashaine et al., 2006; Maheca-Botero et al., 2006; Garhyan e
Elnashaine,
2004; Garhyan et al., 2003). Mais precisamente, três ramos de soluções surgem,
sendo que dois desses abrangem conjuntos de soluções estáveis (a Figura 3.1 ilustra a
biestabilidade para duas CIs). O ramo de estados estacionários instáveis liga-se diretamente a
um dos ramos estável. Sendo assim, para se traçar um diagrama de bifurcação são necessárias
no mínimo duas soluções estacionárias, uma em cada região estável.
Figura 3.1: Diagrama de fase: biestabilidade (C
So
= 200 kg/m³ e D = 1 h
-1
).
A Figura 3.2 mostra o resultado de duas simulações dinâmicas do modelo de Jöbses.
Dependendo das condições iniciais, o sistema pode convergir para uma das duas soluções
estáveis. Para alterar o ponto de convergência, a CI manipulada foi a concentração de etanol
dentro do reator. Quando esta é baixa o sistema tende a convergir para um estado de menor
conversão de substrato em açúcares, enquanto que altas concentrações de álcool conduzem o
sistema a altas conversões. Os valores das condições iniciais foram: CI.a = { C
S
= 10 kg/m³,
C
e
= 3 kg/m³, C
x
= 0,1 kg/m³ e C
P
= 20 kg/m³}. Para CI.b os estados iniciais são os mesmos,
20 40 60 80 100
0
2
4
6
8
10
12
14
Cp (kg/m³)
Ce (kg/m³)
CI.b
CI.a
[kg]/m³]
Cs=10,0
Ce=3,0
Cx=0,1
Cp=20,0
[kg]/m³]
Cs=10,0
Ce=3,0
Cx=0,1
Cp=95,0
50 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
exceto o valor da concentração de etanol, que assume o valor de 100 kg/m³. A concentração
de substrato alimentado e a taxa de diluição adotadas foram de 200 kg/m³ e 1 h
-1
,
respectivamente.
Figura 3.2: Simulação dinâmica do modelo de Jöbses et al. (1986) para CI.a e CI.b.
A Figura 3.3a-d mostra o diagrama de bifurcação para alta concentração de substrato
alimentado e a Figura 3.3e-f exibe a ampliação de alguns trechos da Figura 3.3d. O parâmetro
de bifurcação D foi varrido, enquanto C
So
foi mantido em 200 kg/m³. A Tabela 3.2 mostra as
coordenadas de cada singularidade. O diagrama revela algumas características do fermentador
como, por exemplo, a multiplicidade de estados estacionários e existência de bifurcação Hopf.
A solução trivial, quando não há reações bioquímicas no sistema de fermentação (i.e., quanto
o reator é “lavado”), não está representada nos diagramas de bifurcação. Nesta situação a taxa
de conversão de substrato em produto é zero, o que resulta em C
P
= 0 kg/m³ e C
S
= C
So
.
0 2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
120
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
CI.a
CI.b
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Tempo (h)
Ce (kg/m³)
CI.a
CI.b
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
Tempo (h)
Cx (kg/m³)
CI.a
CI.b
0 2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
120
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
CI.a
CI.b
3.4
A
NÁLISE DE BIFURCAÇÃO DO MODELO DE
J
ÖBSES
51
Figura 3.3: Diagrama de bifurcação para C
So
= 200 kg/m³.
Quando a taxa de diluição é maior do que 2,26 h
-1
existem apenas um conjunto de
soluções para o sistema, ou seja, a multiplicidade de equilíbrios desaparece. Este único ramo
0 0.05 0.1 0.15 0.2
50
55
60
65
70
75
80
D (1/h)
Cp (kg/m³)
1
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
D (1/h)
Cx (kg/m³)
4
3
1
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
20
40
60
80
100
120
D (1/h)
Cs (kg/m³)
1
2
4
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
4
6
8
10
12
14
D (1/h)
Ce (kg/m³)
4
3
12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
30
40
50
60
70
80
90
100
110
D (1/h)
Cp (kg/m³)
1
2
3
4
2 2.1 2.2 2.3 2.4
85
90
95
D (1/h)
Cp (kg/m³)
4
3
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
52 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
de soluções é estável e mostra a tendência da fermentação em produzir menos etanol quanto
maior for D, como pode ser visto na Figura 3.3d.
Taxas de diluição menores do que 2,26 h
-1
recaem em uma região onde existe
multiestabilidade. Surgem um ramo de soluções de equilíbrio de alta conversão e outro de
baixa conversão. Uma comparação entre os ramos estáveis estáticos pode ser feita
considerando as conversões de substrato e de produto no reator. Quando a taxa de diluição é
igual a 1,0 h
-1
, o ramo estável de alta conversão apresenta melhoras de 94,6% para X
S
e 94,5%
para Y
P
.
A biestabilidade abre uma importante discussão referente ao start up do processo,
podendo conduzir o mesmo a regiões operacionais muito distintas. Elnashaie et al. (2006)
validam experimentalmente a existência da multiplicidade. Dois experimentos contínuos,
iniciados em batelada, foram conduzidos simulando diferentes condições iniciais. A Figura
3.4 mostra os resultados desses testes para C
So
= 200 kg/m³ e D = 0,25 h
-1
.
Figura 3.4: Resultados experimentais da fermentação alcoólica através da Zymomonas
mobilis.
Fonte: Elnashaie et al., 2006.
Quando a taxa de diluição é maior do que 2,26 h
-1
existem apenas um conjunto de
soluções para o sistema, ou seja, a multiplicidade de equilíbrios desaparece. Este único ramo
de soluções é estável e mostra a tendência da fermentação em produzir menos etanol quanto
maior for D, como pode ser visto na Figura 3.3d.
3.4
A
NÁLISE DE BIFURCAÇÃO DO MODELO DE
J
ÖBSES
53
Taxas de diluição menores do que 2,26 h
-1
recaem em uma região onde existe
multiestabilidade. Surgem um ramo de soluções de equilíbrio de alta conversão e outro de
baixa conversão. Uma comparação entre os ramos estáveis estáticos pode ser feita
considerando as conversões de substrato e de produto no reator. Quando a taxa de diluição é
igual a 1,0 h
-1
, o ramo estável de alta conversão apresenta melhoras de 94,6% para X
S
e 94,5%
para Y
P
.
A biestabilidade abre uma importante discussão referente ao start up do processo,
podendo conduzir o mesmo a regiões operacionais muito distintas. Elnashaie et al. (2006)
validam experimentalmente a existência da multiplicidade. Dois experimentos contínuos,
iniciados em batelada, foram conduzidos simulando diferentes condições iniciais. A Figura
3.4 mostra os resultados desses testes para C
So
= 200 kg/m³ e D = 0,25 h
-1
.
Tabela 3.2: Pontos de bifurcação.
Abaixo de D
Hopf
há um ramo estável de alta conversão, bem como um ramo de
soluções periódicas instáveis. Garhyan e Elnashaie (2004) afirmam que a operação nas
regiões oscilatórias são mais atrativas, por produzirem mais álcool, do que a operação no
ponto estacionário equivalente. Contudo, nesta faixa operacional, a conversão de substrato em
produto é maior na região estável superior (Figura 3.3d). Mesmo assim a taxa de produção de
etanol, nesta ordem de D, é muito baixa para ambos os ramos operacionais.
O ponto de bifurcação 4 representa a uma mudança qualitativa do comportamento do
sistema acompanhada de uma inversão da estabilidade, ou seja, os equilíbrios tornam-se
instáveis ao passar pelo ponto 4. Isso caracteriza uma bifurcação sela (saddle point).
Ponto
Tipo de
Bifurcação
D
(h-1)
C
S
(kg/m³)
C
e
(kg/m³)
C
x
(kg/m³)
C
P
(kg/m³)
1 Hopf 0.05 80,67 0,08 1,47 58,08
2 Hopf virtual 0.06 51,99 0,12 1,94 71,83
3 Hopf virtual 2,19 5,75 11,03 4,64 90,44
4 Sela 2,26 3,45 12,17 4,70 91,51
54 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
Figura 3.5: Resposta oscilatória divergente, D = 0,045 h
-1
.
Figura 3.6: Resposta oscilatória convergente, D = 0,07 h
-1
.
0
200
400
60
70
80
90
100
50
55
60
65
70
Cs (kg/m³)
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
0
200
400
0
0.05
0.1
0.15
0.2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Ce (kg/m³)
Tempo (h)
Cx (kg/m³)
0
200
400
1
1.2
1.4
1.6
1.8
50
55
60
65
70
Cx (kg/m³)
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
0
200
400
1
1.2
1.4
1.6
1.8
60
70
80
90
100
Cx (kg/m³)
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
0
200
400
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Ce (kg/m³)
Tempo (h)
Cx (kg/m³)
0
200
400
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
54
56
58
60
62
Cx (kg/m³)
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
0
200
400
70
75
80
85
90
54
56
58
60
62
Cs(kg/m³)
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
0
200
400
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
70
75
80
85
90
Cx (kg/m³)
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
3.4
A
NÁLISE DE BIFURCAÇÃO DO MODELO DE
J
ÖBSES
55
Para a construção dos diagramas de bifurcação das Figuras 3.7 a 3.10, a taxa de
diluição foi varrida de 0 a 5 h
-1
, para diversas concentrações de substrato na corrente de
alimentação, variando entre 150 e 220 kg/m³. É possível observar a tendência de extinção da
multiplicidade de estados estacionários conforme a alimentação de substrato torna-se menos
concentrada. Em contrapartida, o ramo de baixa conversão, visto na Figura 3.10, não
apresenta sensibilidade às variações de C
So
. Este fato, somado à tendência proporcional de
aumento da região de alta conversão com C
So
, está possivelmente associado à característica do
modelo de não levar em consideração a inibição por substrato.
Figura 3.7: Diagrama de bifurcação de codimensão-2:
S
C
.
Figura 3.8: Diagrama de bifurcação de codimensão-2:
e
C
.
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
-50
0
50
100
150
200
D (1/h)
Cso (kg/m³)
Cs (kg/m³)
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
-10
0
10
20
30
D (1/h)
Cso (kg/m³)
Ce (kg/m³)
56 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
Figura 3.9: Diagrama de bifurcação de codimensão-2:
x
C
.
Figura 3.10: Diagrama de bifurcação de codimensão-2:
P
C
.
3.4.1 Parâmetros de controle
Embora modelos matemáticos sejam abstrações de fenômenos reais, implicando até
certo ponto em resultados dúvidosos, o modelo de Jöbses et al. (1986) mostra-se bem
consolidado. Desde a sua publicação, experimentalmente validada, em 1986, vem mostrando
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
-2
0
2
4
6
D (1/h)
Cso (kg/m³)
Cx (kg/m³)
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
20
40
60
80
100
120
D (1/h)
Cso (kg/m³)
Cp (kg/m³)
3.4
A
NÁLISE DE BIFURCAÇÃO DO MODELO DE
J
ÖBSES
57
boas predições em relação a diversas condições operacionais. Além disso, singularidades
como bifurcações Hopf e multiplicidade de soluções estacionárias, reveladas por análises não-
lineares, são comprovadas através de testes experimentais em fermentadores contínuos.
De posse dos diagramas de bifurcação e do conhecimento da existência real de
multiestabilidade, surge um importante ponto referente aos estados estacionários da
fermentação. Claramente percebe-se que a operação de uma unidade de produção de etanol é
mais eficiente quando alcançado o ramo de soluções estáveis que surge no ramo superior da
Figura 3.10. Nesta região é possível a obtenção de aproximadamente duas vezes mais produto
do que quando se opera o sistema na outra zona estável. Um sistema de controle bem
projetado pode levar o sistema, em regime contínuo, a manter a operação no ramo de
“superprodução”. Entretanto, se observado este ramo, na Figura 3.3d, percebe-se que o ganho
do processo, frente às variações da taxa de diluição, assume valores extremamente baixos
tornando inapropriado e ineficaz o controle do processo através dessa variável. Por outro lado,
a percepção de que a concentração de etanol, no reator, é uma condição inicial de alta
influência no estado da fermentação, leva a conjectura de que um sistema de controle
adequado deve manipular tal variável.
Na realidade, duas variáveis devem ser manipuladas para levar o processo ao
desempenho ótimo, onde é factível a obtenção da melhor relação operacional entre a
conversão de etanol e a produtividade. A produtividade (
ϕ
) está fortemente ligada ao balanço
material de álcool e ao tempo de residência do fermento, sendo que sua definição é dada pela
equação (3.13).
(
)
PoP
CCD
−
=
ϕ
(3.13)
Assim, é possível concluir que em um sistema de controle as duas variáveis
manipuladas devem ser a taxa de diluição e a concentração de etanol no reator. A primeira
influi significativamente na produtividade, enquanto que a segunda é indicadora da conversão
do biorreator. A maximização desses dois fatores conduz a condição operacional ótima do
processo.
58 3.
S
INGULARIDADES NA
B
IOSÍNTESE DE
E
TANOL
3.4
A
NÁLISE DE BIFURCAÇÃO DO MODELO DE
J
ÖBSES
59
Capítulo 4
Controlabilidade, Observabilidade e Ótimo Operacional
“Sofisticação e elegância não se traduzem necessariamente em desempenho efetivo na
planta. O sistema de controle mais simples, que atende aos requisitos, é sempre o melhor.”
William L. Luyben (
1934)
60 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
4.1 Região operacional ótima
A busca de regiões ou pontos operacionais de melhor custo-benefício, ou seja, a
determinação das soluções mais eficientes, ou ótimas, para determinado problema é chamado
de otimização. Uma grande variedade de problemas de projeto, construção, operação, análise
e controle de plantas químicas podem ser resolvidos através dessa premissa. Esses problemas
tipicamente apresentam inúmeras soluções e a otimização é a ferramenta utilizada na seleção
das melhores soluções através de métodos quantitativos (Edgar et al., 2001). Basicamente a
formulação de um problema de otimização baseia-se nos seguintes componentes: uma função
objetivo e restrições (geralmente o modelo do processo).
A importância da determinação das zonas mais atrativas, no sistema de fermentação
em estudo, envolve decisões relativas à minimização da conversão de substrato em biomassa,
maximização da conversão de substrato em produto e da produtividade. Sendo assim, três
funções objetivo, considerando-se a relevância da seletividade e produtividade, são
analisadas.
4.1.1 Conversão de substrato em produto
A matéria prima básica de um processo fermentativo é o substrato. Este serve de fonte
de energia para as atividades metabólicas dos microorganismos garantindo a manutenção da
vida e reprodução através de suas atividades metabólicas. Industrialmente, uma conversão de
substrato em produto mais eficiente reflete em um processo com menores perdas de matéria
prima e consequentemente maior rentabilidade. A função objetivo J
1
representa essa
conversão e sua maximização revela o ótimo operacional nesse sentido.
SSo
P
CC
C
J
−
=
1
(4.1)
A Figura 4.1 é a representação gráfica de J
1
em função da concentração inicial de
substrato e da taxa de diluição. As regiões ilustradas nesta figura representam o conjunto de
soluções estáveis superior (ramo de “superprodução”), instáveis e estáveis inferior. As curvas
4.1
R
EGIÃO OPERACIONAL ÓTIMA
61
são apresentadas separadamente, pois certas soluções são comuns aos três ramos, o que
dificulta a sua visualização gráfica.
Uma análise qualitativa revela algumas peculiaridades conclusivas em relação à busca
do ótimo. Primeiramente esse ótimo trata-se de um conjunto de soluções que envolvem o
ramo estável superior e o instável. Claramente percebe-se que essa função objetivo não é
conclusiva em termos de ótimo global (condição de melhor eficiência do processo na síntese
de etanol), visto que as melhores soluções indicadas são muito próximas da taxa de diluição
zero, o que representa um tempo de residência tendendo ao infinito. Outro aspecto que fica
em aberto é referente à concentração de substrato alimentada, visto que a função objetivo é
insensível a tal variação. Por fim, J
1
isolada não é a função mais apropriada para a avaliação
do ótimo operacional.
Figura 4.1: Função objetivo J
1
: ramo estável superior (a), instável (b) e estável inferior (c).
4.1.2 Mínima formação de biomassa
Durante a fermentação os microorganismos consomem substrato com a finalidade de
manutenção da vida e reprodução. Sob determinadas condições, a bactéria Zymomonas
mobilis, apresenta-se em maior ou menor concentração no reator. A razão desta concentração
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0.46
0.48
0.5
0.52
Cso (kg/m³)
D (1/h)
J1
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0.46
0.48
0.5
0.52
Cso (kg/m³)
D (1/h)
J1
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0.46
0.48
0.5
0.52
cso (kg/m³)D (1/h)
J1
(a) (b)
(c)
62 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
em relação à diferença entre o substrato alimentado e o da mistura reacional formam a função
objetivo J
2
, que representa a conversão de substrato em biomassa. A minimização de J
2
representa um melhor aproveitamento de glicose na formação de etanol, significando
implicitamente um menor consumo de substrato para a reprodução e um maior
aproveitamento na manutenção da vida, que consequentemente se reflete em um estado
superior da biosíntese.
SSo
x
CC
C
J
−
=
2
(4.2)
Graficamente a função objetivo J
2
pode ser visualizada na Figura 4.2 em função da
concentração inicial de substrato e da taxa de diluição. O conjunto de curvas apresentadas
ilustra os ramos instável, estável superior e inferior, como indicado na legenda da figura. As
curvas não estão sobrepostas devido à coexistência de certas soluções, o que prejudica a
visualização dos resultados.
Figura 4.2: Função objetivo J
2
: ramo estável superior (a), instável (b) e estável inferior (c).
De modo qualitativo, é perceptível que existe uma região ótima comum ao ramo
instável e o estável superior. Da mesma forma que J
1
, a equação J
2
é inconclusiva quando o
objetivo é uma análise global. Isto porque as soluções ótimas encontram-se em faixas onde a
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Cso (kg/m³)
D (1/h)
J2
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Cso (kg/m³)
D (1/h)
J2
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Cso (kg/m³)
D (1/h)
J2
(a)
(b)
(c)
4.1
R
EGIÃO OPERACIONAL ÓTIMA
63
taxa de diluição tende a zero. Além disso, nenhuma informação pertinente à concentração de
substrato na alimentação é resultante da análise dessa função objetivo. Assim sendo, somente
J
2
não é apropriada para a determinação do ótimo global. Contudo é possível concluir que a
região onde a conversão de substrato em biomassa é mínima quando a conversão de substrato
em produto é máxima.
4.1.3 Máxima produtividade
As funções objetivo supracitadas referem-se a uma busca do ótimo num sentido de
seletividade (conversão máxima de substrato em produto e mínima em biomassa). Contudo,
essas análises são pouco conclusivas se não for levado em conta a taxa de geração de produto,
a produtividade. Na esfera industrial, pouco vale uma conversão total de substrato em
produtos se o processo requer um tempo de residência excessivamente alto. Com vistas a
avaliar as características relativas à capacidade de produção de etanol, foi proposta a função
objetivo J
3
que leva em consideração a quantidade de produto formada assim como a taxa de
diluição do reator. Na Figura 4.3 é possível verificar o comportamento das curvas de J
3
em
relação à concentração inicial de substrato e a taxa de diluição.
P
DCJ
=
3
(4.3)
Obviamente, a função tende a crescer conforme a taxa de diluição aumenta, visto que
esse parâmetro provoca um aumento diretamente proporcional na produtividade. Dentre as
regiões possíveis de se operar destacam-se a composta por soluções estáveis (na zona de
“superprodução”) e instáveis, Figura 4.3a e 4.3b respectivamente. O ramo, referente à Figura
4.3c, apresenta valores de J
3
inferiores às outras regiões, o que torna sua atratividade muito
baixa.
Para todos os valores de
So
C
é possível perceber que o ótimo buscado está na fronteira
de estabilidade, como pode ser visto na Figura 4.3d. Contudo o sistema operando próximo a
essa região pode trazer riscos referentes à repulsão do ramo instável e atração do ramo estável
inferior, ou seja, perturbações podem fazer o processo ser atraído para outro estado de
equilíbrio, o de menor conversão.
64 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
Figura 4.3: Função objetivo J
3
: ramo estável superior (a), instável (b), estável inferior (c) e
sobreposição das soluções (d).
Outro aspecto interessante diz respeito ao fato de que para cada valor de concentração
de substrato alimentado existe um valor ótimo da função objetivo. Esse ótimo refere-se à
bifurcação sela do modelo que varia com os dois parâmetros da análise de bifurcação
bidimensional. À medida que as concentrações iniciais de substrato aumentam, o máximo da
função analisada também aumenta, revelando uma falha existente no modelo de Jobses et al.
(1986): a inibição por substrato. Certamente a fermentação irá sofrer influência de
determinadas concentrações de açúcares alimentados, que prejudicarão a conversão do
sistema. O fato da curva 4.3c não apresentar sensibilidade à variação de C
So
e das curvas 4.3a
e 4.3b não sofrerem efeitos inibitórios, em altas concentrações de C
So
, indicam que há regiões
de incertezas no modelo utilizado. Contudo, Elnashaie et al. (2006) comprovaram a existência
da região de “superprodução” para concentrações de substrato alimentado de 200 kg/m³, o que
aumenta a confiabilidade dos resultados da análise não-linear, no modelo de Jobses et al.
(1986) até tal concentração. Ainda que exista uma região ótima para cada C
So
, o ponto
escolhido para posteriores análises será em 200 kg/m³ com uma taxa de diluição de 2 h
-1
. Caso
as incertezas do modelo levem futuramente à conclusão da inviabilidade de operação real em
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0
100
200
300
400
D (1/h)
Cso (kg/m³)
J3
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0
100
200
300
400
D (1/h)
Cso (kg/m³)
J3
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0
50
100
150
D (1/h)Cso (kg/m³)
J3
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
0
100
200
300
400
D (1/h)
Cso (kg/m³)
J3
(a)
(b)
(c)
(d)
4.2
E
STRUTURA DE CONTROLE
65
tal equilíbrio, as considerações e análises descritas neste trabalho serão validas para outros
valores de C
So
e D.
Fica clara a vantagem de se trabalhar no ramo estável superior o mais próximo
possível das bifurcações sela. A Figura 4.4 mostra a perspectiva em duas dimensões dessa
região para uma concentração de C
So
igual a 200 kg/m³.
Apesar da região ótima de operação ser aquela que mais se aproxima da fronteira de
estabilidade, a biestabilidade conduz a uma importante consideração: o risco de mudança de
equilíbrio durante a operação próximo ao ponto sela. No processo real, o sistema está
constantemente sujeito a distúrbios potencialmente hábeis a alterar o estado estacionário ideal,
podendo induzir a reação a uma conjuntura indesejada. Deste modo, o controle do processo
torna-se mais relevante no sentido de prevenir tal situação.
Figura 4.4: Região estável superior (—) e instável (---).
4.2 Estrutura de controle
O objetivo de um sistema de controle é manter as saídas y da planta com um desejado
comportamento, através da manipulação das entradas u. O projeto desse sistema é baseado
numa série de procedimentos que pode ser resumido na modelagem e análise do modelo,
determinação da configuração de controle mais apropriada, escolha dos tipos de
controladores, especificações de performance, design dos controladores e simulação dos
resultados em malha fechada. Em adição a tal metodologia encontra-se a escolha dos
0 0.5 1 1.5 2
0
50
100
150
200
D (1/h)
J3
66 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
sensores, atuadores, hardwares e sintonia on line dos controladores, se necessário (Skogestad
e Postlethwaite, 1996).
A estrutura de controle de um sistema representa a escolha das entradas e saídas. Essas
variáveis são escolhidas através da sua capacidade de atingir as metas globais do processo. No
caso do reator de fermentação com Z. mobilis, a escolha dessas variáveis deve ser feita de tal
forma que a manipulação e manutenção da operação sejam feitas com eficácia, o que significa
manter o processo na região operacional ótima. Para que isso seja possível, é necessário em
primeiro lugar se determinar uma maneira de conduzir o equilíbrio para o estado desejado.
Como visto no Capítulo 3, as condições iniciais da simulação do modelo eram capazes de
conduzir os estados para diferentes equilíbrios devido à biestabilidade e à região instável.
Essas características geram um campo de atração/repulsão que é o responsável por conduzir o
sistema para determinado ramo de soluções.
Nas simulações realizadas a CI referente à concentração de produto, revelou
considerada influência no estado de convergência do modelo para um ponto estático.
Associado a isso, a manipulação dessa variável numa planta real é certamente mais simples
comparada aos demais estados do sistema. Por conseguinte, os fatos apontam para a
manipulação de C
Po
quando a meta é levar à condição reacional a região de “superprodução”.
A Figura 4.5 mostra uma simulação, em malha aberta, onde é possível observar a
transição dinâmica das soluções estacionárias do modelo, sendo que A
1
*
, C
1
*
e C
2
*
representam equilíbrios do sistema. No tempo igual a 5 h um aumento em D faz com que haja
uma passagem do ramo estável superior para o ramo estável inferior. Em 15 h a taxa de
diluição volta ao seu valor inicial. Contudo essa ação não é eficiente quando a finalidade é
conduzir o processo à zona de alta conversão. Em 20 h foi adicionado etanol ao reator
resultando na transição de ramos operacionais, do inferior para o superior, com êxito.
A trajetória dos estados estacionários, conseqüentes da resolução do modelo, pode ser
visualizada na Figura 4.6. Desta forma é perceptível que a adição de etanol é uma ação
apropriada quando o quesito é a transposição da região de atuação.
Outra questão relevante na configuração de controle diz respeito às variáveis
manipuladas para se alcançar o ótimo operacional. Na Figura 4.6, o ponto A
1
*
está nas
proximidades dessa região para uma concentração de C
So
de 200 kg/m³. Nesta faixa
4.2
E
STRUTURA DE CONTROLE
67
operacional o ganho de C
P
é muito baixo para variações de D, contudo a Figura 4.7 mostra
que a taxa de diluição apresenta uma forte relação com a concentração de substrato, na zona
de “superprodução”. O ganho de C
S
em relação a D, visto na Figura 4.7a, torna propício o
controle de C
S
através da manipulação de D, para a região em questão. Nestes diagramas as
linhas contínuas representam o ramo de alta conversão, enquanto que as curvas pontilhadas
indicam as soluções instáveis.
Figura 4.5: Manipulação de C
Po
conduzindo o sistema ao patamar de “superprodução”.
Figura 4.6: Rota de equilíbrios percorrida.
0 5 10 15 20 25 30
0
20
40
60
80
100
120
Concentração (kg/m³)
0 5 10 15 20 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo (h)
D (1/h) (----)
Cpo(t)
Cp(t)
D(t)
C1*
C2*
A1*A1*
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
30
40
50
60
70
80
90
100
110
D (1/h)
Cp (kg/m³)
180
220
Cso[kg/m³]
200
C1*
C2*
A1*
68 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
D (1/h)
Cs (kg/m³)
210
180
200
190
Cso[kg/m³]
220
0
1
2
3
4
160
180
200
220
0
20
40
60
80
Cs (kg/m³)
D (1/h) Cso (kg/m³)
Figura 4.7: Comportamento de C
S
em relação à D em duas (a) e três dimensões (b).
Quando analisado o ganho da concentração de produto C
P
frente a variações na
concentração de substrato alimentado C
So
,
Figura 4.8, é possível constatar sua potencialidade
como variável manipulada para o sistema controle. As regiões apresentadas na figura
equivalem às soluções estáveis de alta conversão (linhas contínuas) e às soluções instáveis
(linhas pontilhadas).
A estrutura de controle analisada possui duas entradas e duas saídas. As entradas são a
taxa de diluição (D) e a concentração de substrato alimentado (C
So
), enquanto que as saídas
são as concentrações de produto (C
P
) e de substrato (C
S
). Essas variáveis, posteriormente
associadas à alimentação de etanol para manipulação do campo de convergência, apresentam
grande potencial para alcançar as condições operacionais requeridas.
Figura 4.8: Ganho de C
P
em relação à C
So
para o ramo superior.
0
1
2
3
4
5
140
160
180
200
220
70
80
90
100
110
120
Cso (kg/m³)
Cp (kg/m³)
D (1/h)
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
69
4.3 Análise de controlabilidade operacional
O entendimento do processo, frequentemente baseado em modelos matemáticos, é
essencial para o êxito de um sistema de controle. Além de tornar viável o estudo de
particularidades da planta, de forma relativamente rápida, possibilita uma série de análises
que servem de base para definições do projeto de controle. Entre estas, cabe mencionar o grau
de não-linearidade, a interação e o emparelhamento dos canais. Além disso, as limitações
dinâmicas de um sistema linearizado podem ser identificadas através do mapeamento dos
zeros e pólos da região operacional. Apesar de a maioria das descrições matemáticas de
processos serem não-lineares, a utilização de modelos lineares é comum, desde que o
comportamento do sistema na região operacional possa ser descrito satisfatoriamente por
aproximações lineares. Neste sentido, a teoria de controle é muito bem desenvolvida e as
equações lineares permitem uma obtenção de resultados simples e rápidos. Alguns resultados
mostrados ao longo do trabalho foram gerados pelo RPN-Toolbox 3.0, uma ferramenta
implementada em Matlab
®
para o estudo da controlabilidade de sistemas.
Um modo de descrever um modelo linearizado, em um ponto de operação, é a
representação em espaço de estado (Mikles e Fikar, 2007). A relação (4.4) mostra a relação de
variáveis do modelo de Jöbses em espaço de estado, onde x, u e y são os estados, entradas e
saídas do sistema, respectivamente. Os coeficientes A, B, C e D são resultantes da linearização
do modelo. As matrizes dos coeficientes da representação no espaço de estado podem ser
vistas em (4.5), onde o subscrito s indica estado estacionário.
Nas posteriores análises, serão avaliados três pontos operacionais nominais (P
nA
, P
nB
e
P
nC
), conforme Figura 4.9, cada um pertencente a um conjunto de soluções do modelo. As
variáveis D e C
So
escolhidas foram de 2 h
-1
e 200 kg/m³ respectivamente, pelo fato de ser um
valor próximo à mudança de estabilidade, região operacional considerada ótima. A Tabela 4.1
relaciona as coordenadas dos pontos operacionais.
DuCxy
BuAxx
+=
+=
&
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
dt
dC
dt
dC
dt
dC
dt
dC
x
P
e
x
S
&
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
P
e
x
S
C
C
C
C
x
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
So
C
D
u
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
P
S
C
C
y
(4.4)
70 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
(4.5)
Tabela 4.1: Variáveis de estado no equilíbrio.
Equilibrio
()
³/mkgC
Ss
(
)
³/mkgC
xs
(
)
³/mkgC
es
()
³/ mkgC
Ps
P
nA
1,2326 4,7348 13,3139 92,5656
P
nB
8,7786 4,5550 9,6290 89,0513
P
nC
111,3433 2,1119 4,2421 41,2873
Figura 4.9: Pontos operacionais.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
40
50
60
70
80
90
100
D (1/h)
Cp (kg/m³)
3
1
2
()() ()
()
()
() ()
()
()
()
()
()() ()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
+
−
−
+
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
+−
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
+
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++
=
00
00
1000
0001
0
0
0
1
2
01
01
01
23
2
321
2
321
DC
CC
CC
CC
DCC
B
D
CKY
C
m
CK
C
CKY
C
CK
kCkCC
D
CK
CkCkkC
CK
C
CK
CkCkkC
CK
C
D
CK
C
CK
C
CKY
C
mD
CK
C
CKY
C
A
PPo
eeo
xxo
sSSo
s
SsSPx
Ss
P
SsS
Ss
SsSPx
es
SsS
PsSses
s
SsS
PsPsSs
SsS
Ss
SsS
PsPses
SsS
Ss
s
SsS
Ss
SsS
es
SsSSx
Ss
Ss
SsS
Ss
SsSSx
es
P
nA
P
nB
P
nC
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
71
0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Tempo (h)
Cs
D
0 1 2 3 4
-1.5
-1
-0.5
0
Tempo (h)
Cp
D
0 1 2 3 4
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
Tempo (h)
Cs
Cso
0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo (h)
Cp
Cso
A resposta do modelo linearizado, a um degrau unitário em D e C
So
, para os pontos de
operação P
nA
, P
nB
e P
nC
é mostrada de forma respectiva nas Figuras 4.10, 4.11 e 4.12. Para P
nA
e P
nC
as respostas são estáveis, ao contrário de P
nB
que instabiliza quando aplicada a variação
nas entradas da matriz de transferência. Os ganhos da Figura 4.10 induzem a idéia de
emparelhamento direto para o ponto P
nA
, pois revelam maior sensibilidade entre as entradas e
saídas do modelo. Já o ponto P
nC
, visto na Figura 4.12, mostra que a variação de C
P
em
relação a C
So
é insignificante, o que remete a idéia de inversão do emparelhamento. Entretanto
a diferença de grandeza nas unidades pode levar a conclusões precipitadas do
emparelhamento. Uma análise mais apropriada será discutida na Seção 4.3.4.
Figura 4.10: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): ponto de operação P
nA
.
72 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
x 10
7
Tempo (h)
Cs
D
0 1 2 3 4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x 10
7
Tempo (h)
Cp
D
0 1 2 3 4
-20
-15
-10
-5
0
5
x 10
4
Tempo (h)
Cs
Cso
0 1 2 3 4
0
2
4
6
8
x 10
4
Tempo (h)
Cp
Cso
0 2 4 6 8
0
5
10
15
20
25
30
Cs
D
0 2 4 6
-15
-10
-5
0
Tempo (h)
Cp
D
0 2 4 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (h)
Cs
Cso
0 2 4 6
0
2
4
6
8
x 10
-4
Tempo (h)
Cp
Cso
Figura 4.11: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): ponto de operação P
nB
.
Figura 4.12: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): ponto de operação P
nC
.
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
73
4.3.1 SVD e condicionamento mínimo
Analogamente a um sistema monovariável (single input/single output, SISO), a matriz
de ganhos G(s→0) de um sistema multivariável (multi input/multi output, MIMO) é obtida
com a matriz de transferência tendendo a zero, o que tem o mesmo significado de tender o
tempo ao infinito para uma descrição no domínio do tempo. Através da decomposição em
valores singulares (SVD) da matriz de ganhos é possível analisar seu condicionamento, que é
uma forma de se quantificar o grau de direcionalidade do sistema. Entende-se por grau de
direcionalidade o quão variável é o ganho entre as saídas e entradas do processo. Neste
sentido, a magnitude da energia imposta na entrada é uniforme e obedece à relação de
direções dada pela norma Euclidiana unitária. Quando o ganho varia significativamente, entre
diferentes direções de entrada, o sistema é dito mal condicionado. Já quando este ganho
apresenta baixas variações o sistema é dito bem condicionado (Seborg et al, 1989).
A definição (4.9) ilustra a SVD, onde as matrizes M, U, V
H
representam
genericamente G(0), as direções de saída e entrada, respectivamente. A matriz diagonal
Σ
reúne os ganhos máximo
σ
e mínimo
σ
, onde a razão entre estes define o condicionamento
γ
do sistema. Valores elevados de
γ
indicam um condicionamento ruim, o que pode acarretar
na perda de graus de liberdade do sistema e na dificuldade no projeto de controladores,
independentemente do emparelhamento ou de técnicas avançadas de controle. Mais
precisamente, o significado de uma matriz mal condicionada diz respeito ao controlador
requer grandes mudanças nas variáveis manipuladas para influenciar as variáveis controladas
(Seborg et al, 1989).
H
VUM Σ=
(4.9)
σ
σ
γ
=
(4.10)
Em (4.11), (4.12) e (4.13) são apresentadas as matrizes de ganho, a matriz
Σ
e o
condicionamento para os três pontos de operação do fermentador. O ponto P
nA
é relativamente
bem condicionado, enquanto que os P
nB
e P
nC
não mostram valores de condicionamento tão
bons.
74 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
5479,03010,1
1765,05543,2
)0(
nA
G
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
0825,07397,6
1772,17023,14
)0(
nB
G
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0004,05524,5
9990,08159,11
)0(
nC
G
(4.11)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Σ
4040,00
08958,2
nA
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Σ
4146,00
02112,16
nB
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Σ
4243,00
00868,13
nC
(4.12)
1679,7=
nA
γ
1036,39
=
nB
γ
8453,30
=
nC
γ
(4.13)
O número de condicionamento está intrinsecamente ligado ao escalonamento das
unidades da matriz. Isso significa que um mau condicionamento pode estar relacionado com a
ordem de grandeza das variáveis de entrada e/ou de saída e não com o grau de direcionalidade
natural do sistema. Sendo assim, faz-se necessária uma relativização das variáveis envolvidas,
o que resulta no chamado condicionamento mínimo
γ
*
. Na realidade, em termos de controle o
que realmente interessa é o condicionamento mínimo, pois este permite a análise do
condicionamento em uma situação relativizada, ou seja, com o sistema escalonado
(Trierweiler, 1997). O número de condicionamento mínimo é expresso matematicamente pelo
problema de otimização (4.14), que significa obter o menor número de condicionamento para
todas as possibilidades de escalonamento. Nesta formulação L e R são matrizes diagonais,
reais e não nulas responsáveis pelo escalonamento na saída e na entrada, respectivamente.
)(min)(
,
*
LMRM
RL
γγ
=
(4.14)
O resultado do cálculo do condicionamento mínimo mostrado em (4.15), na freqüência
zero, revela que os maus condicionamentos apresentados em (4.13) se devem ao
escalonamento das entradas e saídas do sistema. Todos os pontos operacionais são bem
condicionados tornando factível a inversão da planta, ou seja, o projeto dos controladores.
3617,2
*
=
nA
γ
2841,2
*
=
nB
γ
000,1
*
=
nC
γ
(4.15)
O condicionamento mínimo apresentado em (4.15) é uma medida no estado
estacionário, visto que o neste caso a freqüência s tende a zero. Contudo, a análise de
γ
*
para
demais freqüências revela características da controlabilidade durante o transiente. Isso
explicita as velocidades com que o sistema deve atuar para que haja melhor robusteza do
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
75
controlador. A Figura 4.14, gerada no RPN-Toolbox 3.0, mostra o comportamento de
γ
*
na
freqüência para os diversos pontos de operação.
A análise do condicionamento mínimo dinâmico para P
nA
apresenta duas regiões
operacionais onde é mais adequada a atuação; a primeira delas está na faixa de freqüência de
10
0
à 10
1
, enquanto que a segunda se localiza nas maiores faixas de freqüência analisadas.
Isso imprime certa dificuldade no sistema de controle visto que as melhores condições de
controlabilidade variam de forma heterogênea à abscissa da Figura 4.3. Contudo, o valor
absoluto de
γ
*
para qualquer região é baixo, o que não compromete o desempenho de um
sistema de controle para o processo. Para o ponto de operação P
nB
é mais apropriado o
trabalho em altas freqüências para se alcançar um estado de melhor performance, ou seja,
qualitativamente o controlador deve ser rápido. O ponto P
nC
não apresenta variações
expressivas do condicionamento mínimo, o que significa que não há restrições significativas
quanto a faixa de freqüência operacional.
Figura 4.13: Número de condicionamento mínimo.
4.3.2 RHP-zero e -pólo
A caracterização dinâmica qualitativa de um modelo linearizado, pode ser traçada por
seus zeros e pólos. Os autovalores da matriz Jacobiana dos estados ou a matriz de coeficientes
A, da descrição em espaço de estado, representam os pólos do sistema. Os pólos, raízes do
denominador de uma função de transferência G(s), definem comportamentos como respostas
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
0.1
10
0.2
10
0.3
Frequência (rad/h)
PnA
PnB
PnC
76 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
oscilatórias (pólo complexo conjugado) ou monotônicas (pólo real), além de revelar o caráter
da estabilidade de G(s). Um pólo estável localiza-se no semi-plano esquerdo (left-half plane,
LHP), do plano complexo s, enquanto que um pólo instável localiza-se no semi-plano direito,
(right-half plane, RHP) (Skogestad e Postlethwaite, 1996).
A dinâmica de um processo também é afetada pelos valores de s que zeram o
numerador da função de transferência. Esses valores são chamados de zeros e sua presença
não influi no número ou na posição de pólos, a menos que haja uma sobreposição dos mesmos
gerando um cancelamento mútuo. Zeros surgem dos efeitos da competição de dinâmicas em
paralelo, podendo ser responsável por respostas inversas (RHP-zero) e sobre-elevações
comumente referenciadas como overshoots (Seborg et al, 1989). Em sistemas multivariáveis
os zeros são chamados de zeros de transmissão, para que sejam diferenciados daqueles
provenientes dos canais, e sua direção implica em ganho nulo da matriz de transferência
(Skogestad e Postlethwaite, 1996). O mapeamento dos zeros (○) e pólos (×) dos pontos três
pontos operacionais podem ser visualizados no plano complexo s das Figuras 4.15, 4.16 e
4.17.
Figura 4.14: Pólos e zeros de P
nA
(a). Trecho ampliado (b).
Figura 4.15: Pólos e zeros de P
nB
(a). Trecho ampliado (b).
-2.2 -2.15 -2.1 -2.05 -2 -1.95 -1.9
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x 10
-3
Eixo Real
Eixo imaginário
-8 -6 -4 -2 0 2 4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x 10
-3
Eixo Real
Eixo imaginário
(a)
(b)
-100 -80 -60 -40 -20 0
-2
-1
0
1
2
x 10
-3
Eixo Real
Eixo Imaginário
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
-2
-1
0
1
2
x 10
-3
Eixo Real
Eixo Imaginário
(a)
(b)
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
77
Figura 4.16: Pólos e zeros de P
nC
(a). Trecho ampliado (b).
O ponto P
nA
não apresenta RHP-zeros e RHP-pólos, e a reposta do sistema tem caráter
superamortecido devido aos pólos reais negativos. A existência de um zero complexo
próximo à origem justifica o transiente verificado anteriormente na Figura 4.10, onde
aparentemente há duas dinâmicas envolvidas na resposta.
A natureza divergente do ponto P
nB
é captada pela existência de um RHP-pólo. A
característica monotônica da resposta se dá devido ao pólo ser um número real. As demais
características dinâmicas são pouco significativas perante a influência do pólo positivo.
Finalmente, o ponto P
nC
apresenta todos os pólos e zeros no semi-plano esquerdo. A
característica oscilatória das trajetórias de saída do processo é causada pela existência de um
pólo complexo. Esta região de trabalho apresenta as menores limitações a um sistema de
controle.
4.3.3 Interação estática/dinâmica
Problemas de controle MIMO são inerentemente mais complexos do que problemas
SISO, devido a interações entre as variáveis manipuladas e controladas. Essas interações são
sentidas quando uma variável manipulada afeta mais de uma saída do processo e torna a
seleção do emparelhamento uma árdua tarefa. Por exemplo, se um sistema multivariável
apresenta n entradas e n saídas, onde n = 5, existem 120 possíveis configurações diferentes de
estrutura de controle (Seborg et al, 1989). Um emparelhamento incorreto pode resultar no
baixo desempenho do sistema de controle e na redução das margens de estabilidade da malha.
-2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1
-4
-2
0
2
4
Eixo Real
Eixo Imaginário
-2.1 -2.05 -2
-1
-0.5
0
0.5
1
Eixo Real
Eixo Imaginário
(a)
(b)
78 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
A primeira aproximação sistemática da interação entre malhas de controle foi
desenvolvida na década de 60 e necessita apenas de informações do processo no estado
estacionário. A análise é baseada no conceito de ganho relativo (
λ
) que, representada na
forma matricial, é habitualmente referenciada como RGA (relative gain array).
Intuitivamente, a magnitude das respostas do processo pode dar idéia do emparelhamento,
contudo a escolha das unidades pode ocultar a natureza do sistema. O RGA é uma medida que
independe do escalonamento, o que revela a real essência do comportamento dos canais
(Skogestad e Postlethwaite, 1996). A definição de ganho relativo
λ
ij
, entre uma variável
controlada C
i
e uma variável manipulada M
j
, é mostrada a seguir por (4.16), enquanto que a
matriz RGA (
Λ
) pode ser visualizada em (4.17). K
open-loop
e K
closed-loop
representam o ganho em
malha aberta e o ganho em malha fechada, respectivamente.
loopclosed
loopopen
C
j
i
M
j
i
ij
K
K
M
C
M
C
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
λ
(4.16)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=Λ
333231
232221
131211
3
2
1
321
λλλ
λλλ
λλλ
C
C
C
MMM
(4.17)
O RGA de cada um dos pontos de operação é apresentado na Tabela 4.2 e é possível
verificar que para o ponto P
nA
o emparelhamento mais adequado é o direto, enquanto que para
os outros dois pontos de operação o emparelhamento deve ser invertido. Quando o ganho
relativo aproxima-se de 1 há exclusivamente efeito direto entre a entrada u e a saída y e se
esse valor for zero indica a existência de efeito indireto apenas. Quanto maior for o ganho
relativo mais interação é percebida e caso este valor seja negativo um indesejável efeito surge
causando uma “batalha” entre os controladores (Seborg et al, 1989). No fermentador em
questão, a análise de RGA revela baixas interações quando o emparelhamento é ajustado de
forma apropriada, aumentando o potencial de controlabilidade dos pontos de operação.
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
79
Tabela 4.2: RGA.
P
nA
P
nB
P
nC
1,20 -0,20 -0,18 1,18 0,01 0,99
-0,20 1,20 1,18 -0,18 0,99 0,01
Emparelhamento: (D, C
So
) – (C
S
, C
P
)
O RGA discutido até então é uma medida estática, ou seja, revela informações do
processo no estado estacionário. Contudo uma análise do RGA dinâmico é relevante pelo fato
de que mapeia as freqüências, definindo regiões de operação de maior ou menor interação. A
análise dinâmica do comportamento da interação pode identificar o nível de acoplamento na
freqüência de trabalho do controlador. Eventualmente, o desempenho almejado para um
controlador pode implicar na troca do emparelhamento do sistema, devido a alterações
expressivas no RGA. O RGA dinâmico, resultante do RPN-Toolbox 3.0, para os três pontos
operacionais é mostrado na Figura 4.18. O emparelhamento utilizado nesta análise foi
determinado pela avaliação do RGA estático.
Figura 4.17: RGA dinâmico.
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
0.996
0.9965
0.997
0.9975
0.998
0.9985
0.999
0.9995
1
1.0005
Frequência (rad/h)
PnC - Emparelhamento: (D, Cso) – (Cp, Cs)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
Frequência (rad/h)
PnB - Emparelhamento: (D, Cso) – (Cp, Cs)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1
.
4
Frequência (rad/h)
PnA - Emparelhamento: (D, Cso) – (Cs, Cp)
80 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
Como visto, P
nA
exibe certa interação para baixas freqüências que tende a aumentar
conforme a freqüências cresce. Em altas freqüências (acima de 0,01) o RGA indica que o mais
adequado é a inversão do emparelhamento. O RGA de P
nB
, gerado com o emparelhamento
invertido, revela que o trabalho com controladores rápidos elimina totalmente a interação
entre os canais. Caso sejam utilizados controladores lentos, surgirá certa interação que tende a
diminuir conforme a velocidade desses controladores é incrementada. No ponto P
nC
o
emparelhamento é trocado e a análise dinâmica, da matriz de ganhos relativos, conduz a
conclusão de que tanto controladores lentos como rápidos podem ser utilizados de forma
descentralizada, já que a interação é praticamente inexistente.
4.3.4 RPN e rRPN
O projeto de um sistema de controle confiável requer robustez e estabilidade dos
controladores. A estabilidade pode ser genericamente conceituada através da premissa de que
sinais finitos na entrada da malha, em qualquer ponto, resultam em sinais também finitos na
saída da malha. O conceito de robustez está essencialmente ligado à definição de estabilidade,
onde a robustez reflete a capacidade de uma malha de controle manter a estabilidade, quando
parâmetros do processo afastam-se dos seus valores nominais (Skogestad e Postlethwaite,
1996).
O desempenho de um sistema é um fator que envolve a relação entre a entrada e a
saída de uma malha fechada. Geralmente representado por T, o desempenho é uma função do
desempenho desejado, sendo limitado por efeitos de fase não mínima (RHP-zeros, RHP-pólos
e tempo morto), por saturação de variáveis manipuladas e ruídos de medição e/ou processo
(Seborg et al, 1989). Na definição (4.18), C e G representam as funções de transferência do
controlador e do processo, respectivamente. O sistema de controle apresenta um desempenho
robusto se uma vez projetado um controlador, para determinada condição, o processo se
mantenha estável para nenhum dos seus pontos operacionais.
CG
CG
T
+
=
1
(4.18)
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
81
Uma forma sistemática de se quantificar a possibilidade de operação de forma robusta,
para um determinado desempenho, foi proposto por Trierweiler (1997). O Robust
Performance Number (RPN), desenvolvido pelo autor, permite a determinação da
“facilidade/dificuldade” de se operar um sistema, com um desejado desempenho, sem a
necessidade de testes com controladores específicos.
A definição matemática de RPN (
Γ
sup
(G,T,
ω
)) leva em consideração o
condicionamento mínimo do sistema
γ
*
(G(j
ω
)), o desempenho na freqüência de corte T(j
ω
) e
o máximo valor singular da matriz de transferência
σ
(I- T(j
ω
)) T(j
ω
).
Uma forma relativizada de se quantificar o quanto alcançável é o desempenho
desejádo, é através do RPN relativo denotado por rRPN. Este índice é dependente das áreas
formadas pelo RPN e pelo seu mínimo valor, o RPN
min
. O valor mínimo de RPN é obtido para
o menor valor de condicionamento mínimo teoricamente possível. Para uma descrição mais
detalhada da metodologia deve-se consultar o trabalho de Trierweiler (1997).
() () ()()
()()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=Γ=
∈
ωγ
ωγωωσω
ω
jG
jGjTjTITGRPN
R
*
*
sup
1
)()(sup,,
(4.19)
∫
∫∫
−
=
max
min
max
min
max
min
log
loglog
min
min
ϖ
ω
ϖ
ω
ϖ
ω
ω
ωω
dRPN
dRPNRPNd
rRPN
(4.20)
Para o sistema analisado, o RPN e o rRPN, calculados no RPN-Toolbox 3.0, estão
relacionados na Tabela 4.4. O desempenho desejado d
j
relaciona as velocidades de 2, 6 e 12
vezes mais rápido do que o canal mais lento em malha aberta do ponto operacional em
questão. O subíndice j indica o desempenho desejado do canal e os emparelhamentos são: (D,
C
So
) – (C
S
, C
P
) para P
nA
e (D, C
So
) – (C
P
, C
S
) para os pontos P
nB
e P
nC
.
Heuristicamente, valores de RPN acima de 3,0 são considerados elevados e indicam
que o sistema apresenta fortes efeitos de fase não mínima, o que implica em severas
limitações para os controladores. Nenhum dos pontos operacionais apresenta valores elevados
de RPN, independentemente do desempenho, o que induz à conclusão de que é possível a
operação de forma robusta. No entanto o rRPN leva a uma interpretação ligeiramente distinta.
82 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
Quanto mais distante do desempenho alcançável for o desempenho desejável, maior será o
indicador rRPN. Valores maiores do que 1,0 são característicos de situações onde a
desempenho não é atingível. No caso em estudo, apenas G
B
apresenta essa particularidade.
Entretanto, à medida que o tempo de subida desejado aumenta, melhores são os valores de
rRPN. Isso ocorre devido ao fato do ponto P
nB
ser instável, o que requer atuação rápida para
estabilizar o sistema. Para G
B
com tempo de subida de 0,085 h, o equivalente a 13 vezes mais
rápido do que a malha aberta do ponto P
nC
, o rRPN é igual a 1,0. Assim, conclui-se que o
desempenho robusto para G
B
é alcançável em velocidades acima desta. Os demais pontos, G
A
e G
C
, apresentam baixos valores de rRPN, o que conduz a conclusão de que os desempenhos
desejados são realmente factíveis de serem alcançados.
Tabela 4.4: RPN e rRPN.
Desempenho relativo ao
ponto nominal P
nA
Desempenho relativo ao
ponto nominal P
nC
d
2x
d
6x
d
12x
d
2x
d
6x
d
12x
Tempo de subida do canal
mais lento em malha aberta
2,180 1,110
Desempenho
Rise time (h) 1,09 0,363 0,182 0,555 0,185 0,092
Overshoot (%) 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0
P
nA
(G
A
) 1,6848 1,5993 1,5936 1,6123 1,5981 1,6551
RPN
P
nB
(G
B
) 3,3002 2,2801 1,9327 2,5565 1,9292 2,0717
P
nC
(G
C
) 1,5194 1,5171 1,5082 1,5030 1,5124 1,5202
P
nA
(G
A
) 0,1113 0,1102 0,1154 0,1092 0,1153 0,1234
rRPN
P
nB
(G
B
) 16,1589 5,6489 2,6955 8,5509 2,7476 1,1200
P
nC
(G
C
) 0,0047 0,0048 0,0049 0,0048 0,0049 0,0049
4.3.1 Região de viabilidade
A partir das análises dos diagramas de bifurcação de codimensão-2, é possível se obter
a curva que representa a fronteira de estabilidade das soluções estacionárias do modelo de
Jöbses et al (1986). Esta curva, representada na Figura 4.19, relaciona as coordenadas dos
parâmetros C
So
e D onde o sistema torna-se marginalmente estável. O ramo de soluções
superiores, que conduz o processo a um patamar de alta conversão, é representado pela região
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
83
A. A região B corresponde às soluções instáveis e a região C aos equilíbrios de baixa
conversão. De uma forma teórica, esse limite de estabilidade divide o campo de entrada do
sistema (C
So
e D) em uma área com multiplicidade e outra com equilíbrios únicos. Desta
forma, a região C de baixa produção de etanol pode assumir todas as combinações de (C
So
e
D), enquanto A e B apenas existem em um dos lados da fronteira de estabilidade.
Um conjunto de pontos operacionais foi definido de modo a gerar dois politopos,
mostrados na Figura 4.20, para a análise da não-linearidade do sistema. O politopo A
representa a região de alta conversão e o politopo C a região baixa conversão. A Tabela 4.3
mostra as coordenadas desses pontos. Com o intuito de conservar o mesmo critério de análise,
os valores dos parâmetros para ambas as regiões foi mantida sob o mesmo intervalo de
variações. O grau de não-linearidade e suas características são analisados na próxima Seção
por modelos linearizados nos pontos operacionais dos politopos A e C.
Figura 4.18: Fronteira de estabilidade: a origem da divisão entre as combinações viáveis de D
e C
So
para as regiões operacionais.
Figura 4.19: Politopo A (a) e politopo C (b).
0 1 2 3 4
150
160
170
180
190
200
210
220
D (1/h)
Cso (kg/m³)
Região C
Região A, B e C
0 1 2 3 4
150
160
170
180
190
200
210
220
D (1/h)
Cso (kg/m³)
P2A
P3A
PnA
P1A
P4A
0 1 2 3 4
150
160
170
180
190
200
210
220
D (1/h)
Cso (kg/m³)
P3C
P2C
PnC
P1C
P4C
(
a
)
(
b
)
84 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
Tabela 4.3: Definição dos politopos para as regiões A e C.
Ponto de
Operação
D (h
-1
)
C
So
(kg/m³)
Politopo A
(C
S
; C
P
)
Politopo C
(C
S
; C
P
)
P
n(A,C)
2,00
200 (1,23; 92,57) (111,34; 41,29)
P
1(A,C)
2,25
200 (2,75; 91,83) (114,22; 39,94)
P
2(A,C)
1,30
200 (0,40; 93,07) (102,29; 45,56)
P
3(A,C)
0,50
180 (0,31; 84,24) (68,90; 52,09)
P
4(A,C)
4,00
220 (2,04; 101,38) (151,16; 32,02)
4.3.2 Medida de não-linearidade: índice nRPN
Farenzena e Trierweiler (2004) propuseram um modo quantitativo de se determinar a
não-linearidade de um sistema politópico, fundamentado na metodologia RPN, o Nonlinear
Robust Performance Number (nRPN – equação 4.21). O nRPN, capaz de avaliar a não-
linearidade de determinada região de operação, é baseado na razão entre a diferença da área
do RPN e de um número denominado RPN
#
. O RPN
#
é um índice que leva em consideração a
máxima variação de direcionalidade (
Δγ
#
(P)) dos modelos que compõem o politopo P, a
variação do ganho multivariável (
σ
#
(P(j
ω
))) na freqüência de operação e por um termo
(
υ
#
(P(0)) capaz de captar a inversão de ganho multivariável do sistema no estado estacionário.
Sob tal concepção, o nRPN representa a não-linearidade estática e dinâmica do multimodelo,
captadas pelos indicadores nRPN
stat
e nRPN
dyn
. No sentido de estabelecer o tipo de
controlador mais apropriado para o processo, a definição da contribuição estática e dinâmica,
na não-linearidade, é fundamental. O equacionamento completo e a descrição matemática
detalhada, relativa à formulação do método, são apresentados em Farenzena (2003).
A Tabela 4.5 mostra a análise de nRPN para o biorretor de Zymomonas mobilis, para
três multimodelos. Os politopos A (emparelhamento direto) e C (emparelhamento inverso)
referem-se às regiões operacionais A e C, enquanto que o politopo M (emparelhamento direto)
é um multimodelo misto constituído pelos modelos da região A e C.
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
85
∫
∫∫
−
=
max
min
max
min
max
min
log
loglog
#
ϖ
ω
ϖ
ω
ϖ
ω
ω
ωω
RPNd
RPNddRPN
nRPN
(4.21)
Os resultados mostram que o politopo A é mais não-linear do que o politopo C. Em A
há uma predominância estática da não-linearidade, enquanto que em C a não-linearidade é
essencialmente dinâmica. Obviamente o politopo M apresenta o maior índice de não-
linearidade, com contribuições estáticas e dinâmicas. Entretanto desempenhos rápidos tendem
a minimizar os efeitos não-lineares de caráter dinâmico, o que leva a conclusão de que altos
desempenhos tornam a não-linearidade essencialmente estática para o sistema como um todo.
A resposta dos modelos linearizados, para os politopos A e C, está relacionada na Figura 4.21
e 4.22. As subdivisões (a), (b), (c) e (d) dessas figuras mostram o comportamento de C
S
e C
P
a
degraus unitários em D e C
So
. Para (a) e (b) o degrau foi aplicado na taxa de diluição e para
(c) e (d) na concentração de substrato alimentado. Tais distúrbios foram aplicados no tempo
equivalente a uma hora. Os resultados reforçam as conclusões obtidas na análise do índice
nRPN.
Tabela 4.5: nRPN.
Desempenho relativo ao
ponto nominal P
nA
Desempenho relativo ao
ponto nominal P
nC
d
2x
d
6x
d
12x
d
2x
d
6x
d
12x
Tempo de subida do canal
mais lento em malha aberta (h)
2,180 1,110
Desempenho
Rise time (h) 1,09 0,363 0,182 0,555 0,185 0,092
Overshoot (%) 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0
Politopo A 0,965 0,844 0,791 0,885 0,792 0,745
nRPN
Politopo C 0,260 0,234 0,236 0,237 0,236 0,240
Politopo M 1,792 1,477 1,276 1,610 1,280 1,126
Politopo A 0,612 0,612 0,612 0,612 0,612 0,612
nRPN
stat
Politopo C -0.313 -0.313 -0.313 -0.313 -0.313 -0.313
Politopo M 0,844 0,844 0,844 0,844 0,844 0,844
Politopo A 0,098 -0,151 -0,293 -0,060 -0,290 -0.444
nRPN
dyn
Politopo C 0,430 0,394 0,387 0,399 0,397 0,402
Politopo M 0,895 0,517 0,232 0,684 0,238 0,102
86 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
2
4
6
8
10
Tem
p
o
(
h
)
Cs
Degrau unitário em D
PnA
P1A
P2A
P3A
P4A
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Tem
p
o
(
h
)
Cp
Degrau unitário em D
PnA
P1A
P2A
P3A
P4A
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1.5
-1
-0.5
0
Tempo (h)
Cs
Degrau unitário em Cso
PnA
P1A
P2A
P3A
P4A
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo (h)
Cp
Degrau unitário em Cso
PnA
P1A
P2A
P3A
P4A
Figura 4.20: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): pontos de operação da região A.
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
87
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-20
0
20
40
60
80
Tempo (h)
Cs
Degrau unitário em D
PnC
P1C
P2C
P3C
P4C
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-40
-30
-20
-10
0
10
Tempo (h)
Cp
Degrau unitário em D
PnC
P1C
P2C
P3C
P4C
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tem
p
o
(
h
)
Cs
Degrau unitário em Cso
PnC
P1C
P2C
P3C
P4C
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
x 10
-
4
Tem
p
o
(
h
)
Cp
Degrau unitário em Cso
PnC
P1C
P2C
P3C
P4C
Figura 4.21: Resposta a degrau unitário na taxa de diluição (D) e na concentração de
substrato alimentado (C
So
): pontos de operação da região C.
88 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
4.3.3 Sistema de controle
Um sistema de controle deve satisfazer requisitos servo e regulatórios, ou seja, deve
ser capaz de seguir referências ou rejeitar distúrbios. Essa premissa, aplicada ao reator de
fermentação alcoólica em estudo, conduz a uma importante questão: a transição de regiões de
equilíbrio. O biorreator, analisado através da modelagem proposta por Jöbses et al. (1986),
apresenta multiplicidade de equilíbrios dentro de uma faixa operacional. Mais precisamente
surgem dois conjuntos de soluções estáveis e um instável. Dentre os ramos estáveis, há um
cuja conversão de substrato em produto é substancialmente mais atrativa, a qual foi
denominada região A, ramo superior ou zona de “superprodução”. Entretanto, no outro
conjunto de equilíbrios estável, dito região C ou ramo inferior, a operação é intuitiva.
Características de atração/repulsão conduzem os estados do sistema (C
S
, C
x
, C
e
e C
P
)
naturalmente para equilíbrios estáveis, onde a convergência é dependente dos valores iniciais
desses estados. No sentido de levar o reator aos equilíbrios da região A, o controle do
processo deve ser feito através do feedback de estados. Mais precisamente, a variável C
Po
apresenta influência acentuada no campo de convergência, sendo capaz de conduzir o ponto
de conversão pela sua manipulação. Além disso, a adição de etanol no meio reacional é uma
ação relativamente simples em uma planta real.
A linearização do modelo, nos ramos de operação estável superior (P
nA
), instável (P
nB
)
e estável inferior (P
nC
), é a base para uma série de análises referentes às características de
controlabilidade do reator. Inicialmente, o critério de controlabilidade de Kalman é satisfeito,
indicando que é possível controlar os estados do modelo através da manipulação da taxa de
diluição (D) e da concentração de substrato alimentado (C
So
). Pela estrutura de controle
proposta, os estados que se deseja controlar são C
S
e C
P
. A análise de RGA dessa estrutura
revela que para o ponto P
nA
o emparelhamento deve ser direto (D manipulando C
S
e C
So
manipulando C
P
), enquanto que para os demais pontos de operação o emparelhamento deve
ser invertido. Mesmo com alguma interação nos pontos P
nA
e P
nB
, o RGA é baixo, o que
significa que controladores descentralizados podem ser utilizados, principalmente para o
ponto P
nC
que não apresenta interação significante em nenhuma freqüência de operação.
Independentemente da freqüência analisada, o sistema mostra-se bem condicionado e
a caracterização dinâmica, através da análise de pólos e zeros, não impõe grandes limitações,
já que não há zeros de transmissão positivos e o único pólo positivo é responsável pela
4.3
A
NÁLISE DE CONTROLABILIDADE OPERACIONAL
89
instabilidade de P
nB
. Essa instabilidade requer velocidade de atuação, na malha de controle,
para que seja possível alcançar a estabilidade do processo. Entretanto, a região instável não é
de interesse ao projeto de controle, pois o ramo superior apresenta uma maior conversão de
matéria-prima em produto.
De um modo geral, a operação rápida beneficia o desempenho do processo. Os índices
de condicionamento mínimo, RGA, RPN e nRPN são favorecidos em altas freqüência de
trabalho e não há grandes limitações dinâmicas na velocidade de ação dos controladores.
Segundo o RPN, o desempenho robusto é alcançável para os pontos P
nA
e P
nC
,
enquanto que para o P
nB
o desempenho robusto só pode ser alcançado para velocidades
maiores do que treze vezes a velocidade do canal mais lento, em malha aberta, de P
n3
. Uma
extensão do método, o nRPN, revela a existência de não-linearidade, predominantemente
estática na região A. A região C apresenta uma não-linearidade com predominância dinâmica.
De uma maneira global, o processo é não-linear com contribuições estáticas e dinâmicas
como verificado nos modelos do politopo M. O nRPN deste politopo, que representa as
regiões A e C, revela que o trabalho com desempenhos rápidos reduz a influência da não-
linearidade dinâmica tornando a parcela estática dominante. Neste contexto, pode surgir a
necessidade de se projetar controladores não-lineares com compensação estática, chamados
gain scheduling (Ogunnaike e Ray, 1994). No entanto, a ordem de grandeza do nRPN
stat
(0,844) revela que é possível operar o processo, de forma global, através de um controlador
linear.
A operação na região viável do ramo superior de soluções (região A) implica em se
criar restrições de atuação das entradas (D e C
So
) para que o sistema não seja levado ao ramo
inferior de soluções. Mais precisamente, essa restrição deve ser a fronteira de estabilidade.
Isso significa que os controladores não devem ultrapassar esta barreira, sendo este seu limite
de atuação. Quanto mais perto da fronteira de estabilidade, mais suscetível está o processo de
migrar da região A para a região C, devido a distúrbios externos. No Capítulo 5 será discutido
um método para limitar o campo de atuação da ação de controladores puramente retro
alimentados (PID) e preditivos (MPC).
90 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
4.4 Análise de observabilidade
Na teoria de controle, um sistema linear é dito observável se o cálculo dos seus
estados internos é exequível através de medidas externas, dentro de um intervalo de tempo
finito (Simon, 2006). Uma planta é totalmente observável se todos seus estados são
observáveis (Bubnicki, 2002).
O conceito de observabilidade é conveniente para contornar o problema de restauração
das variáveis de estado não medidas, a partir de variáveis mensuráveis. Estimar tais variáveis
é de vital relevância, por exemplo, para sistemas de controle ótimo quando determinados
estados não são acessíveis de forma direta (Ogata, 1982). O esquema de um estimador de
estados baseado em observação pode ser visto na Figura 4.23.
Figura 4.23: Sistema observador.
Adaptado: Bubnicki, 2002.
Primordialmente definido por Kalman para representações no espaço de estado, o
conceito de observabilidade não se restringe unicamente a tal forma de descrição (Wolovich,
2000). Uma planta é dita completamente observável se o posto de sua matriz de
observabilidade (
ο
ˆ
), que representa o número de linhas ou colunas linearmente
independentes, é igual ao número de estados (n
s
) do sistema (Ogata, 1982). A condição (4.22)
é suficiente para que um sistema seja dito completamente observável.
(
)
s
np
=
ο
ˆ
(4.22)
A matriz
ο
ˆ
é mostrada em (4.23), onde o sobrescrito t indica que as matrizes de
coeficientes A e C, do espaço de estado, são transpostas.
()
(
)
(
)
t
n
ttttt
CACACA
s
110
...
ˆ
−
=
ο
(4.23)
u
Observador
Planta
y
x
4.4
A
NÁLISE DE OBSERVABILIDADE
91
A determinação da observabilidade, do sistema de fermentação com Zymomonas
mobilis, vem a ser importante a partir do momento em que a predição de estados, de difícil
aquisição, torna-se viável. Isso significa que há possibilidades de se inferir propriedades do
meio a partir da leitura on line de um único estado.
Para ambos três pontos de operação nominais supracitados, o posto da matriz de
observabilidade resultou em
(
)
4
ˆ
=
ο
p
. Como
4
=
s
n
, o critério (4.22) é satisfeito revelando
que o sistema é completamente observável. Isso significa que todos os estados podem ser
estimados a partir da medida da concentração de substrato (C
S
) ou da concentração de etanol
(C
P
) no meio reacional.
92 4.
C
ONTROLABILIDADE
,
O
BSERVABILIDADE E
Ó
TIMO
O
PERACIONAL
4.4
A
NÁLISE DE OBSERVABILIDADE
93
Capítulo 5
Sistema de Controle
“Robôs fazem carros em fábricas, mas nenhum robô pode arrumar uma cama, ou limpar sua
casa. Computadores podem resolver equações diferenciais, mas não conseguem entender
uma simples história infantil; podem vencer pessoas no xadrez, mas não são capazes de
encher o seu copo.”
Marvin Minsky (
1927)
94 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
5.1 Solução do problema de restrição
No Capítulo anterior foi definida a região de viabilidade para a alta produção de
etanol. Esta faixa operacional, denominada região A, está dentro do campo dimensional dos
parâmetros C
So
e D e sua origem é proveniente da fronteira de estabilidade. Esse limite de
estabilidade é uma curva que divide o sistema em dois segmentos: um com três conjuntos de
equilíbrios e outro somente com um conjunto de equilíbrios. Determinadas combinações de
C
So
e D, que resultam em múltiplas soluções estacionárias do modelo de Jöbses, formam o
espaço E
M
. A inexistência de soluções de alto rendimento se dá numa faixa dita não desejável,
denominada espaço operacional E
S
. Em outras palavras E
S
apresenta uma única solução
estacionária para o modelo de Jöbses.
A fronteira de estabilidade representa o limite de operação do sistema de controle,
quando se visa o trabalho na área da região A. Isso significa que se o sistema estiver sendo
operado na região A, a transposição desta fronteira irá levar os estados do processo ao ramo de
soluções inferiores, a região C. Esse fato implica em certo risco operacional e requer ações do
sistema de controle no sentido de evitar a mudança do ramo de equilíbrios.
A solução deste problema está em se restringir os valores das variáveis C
So
e D de
modo que sua atuação seja feita na área operacional desejável. Esta área, relativa ao espaço
com multiplicidade E
M
, pode ser visualizada na Figura 5.1. As linhas Lc
so
e Ld representam
restrições de igualdade, com a finalidade de tornar finita a mobilidade dos parâmetros de
entrada. A alteração de seus valores nominais não implica em modificações significativas no
projeto de controle.
A curva L’, formada pela reta tangente ao ponto o’ da fronteira de estabilidade, é uma
restrição que impede as variáveis C
So
e D de assumir valores correspondentes ao espaço não
desejável E
S
. Para a verificação desta restrição os eixos transpostos C
So
’ e D’ são rotacionados
no ângulo
β
e então o vetor x
o
das ações de controle são recalculadas nos eixos C
So
’’
e D
’’
.
Assim, C
So
’’
deve ser positivo para que a região de saída do sistema de controle esteja dentro
da área de atuação da região de operação viável.
A transformação nas variáveis de controle é facilmente realizável através da matriz de
rotação R. Assim, C
So
’’
> 0 garante que as entradas do sistema de controle estão inseridas em
5.2
P
ARAMETRIZAÇÃO
95
E
M
, assegurando a operação nesta faixa de trabalho. Obviamente esta garantia considera a
inexistência de perturbações causadas por distúrbios não medidos nessas entradas ou na
planta.
() ()
() ()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
ββ
ββ
cossin
sincos
R
(5.1)
Figura 5.1: Espaço E
M
: área de atuação do controlador.
5.2 Parametrização
Neste trabalho são avaliados controladores puramente retro alimentados (feedback) e
preditivos. Configurações multi-SISO e MIMO são consideradas no decorrer dos testes. A
parametrização ou sintonia desses controladores constitui a escolha e ajuste dos seus
parâmetros. Tais ajustes foram determinados pelo RPN-Toolbox 3.0 para duas condições
operacionais definidas no Capítulo 4: a região de alta conversão (A) e a região de baixa
conversão (C). Os projetos locais foram baseados nos modelos linearizados nos pontos de
operação nominais P
nA
para a região A e P
nC
para a região C.
Espaço E
M
Espaço E
S
96 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
As sintonias dos controladores PID deste trabalho são baseadas em Escobar (2006),
que generalizou a abordagem SISO desenvolvida por Faccin (2004). Em suma é uma
metodologia sistemática para o projeto de controladores estruturados de baixa ordem. Permite
a seleção do desempenho para o sistema, que é aproximado do domínio da freqüência para um
controlador de ordem e estrutura determinado pelo projetista A fatoração em blocos do
controlador PID, permite considerar as distintas formas nas quais a ação derivativa é
implementada nas versões comerciais (Escobar, 2006).
Controladores preditivos também são avaliados no trabalho. Basicamente um MPC é
configurado por algumas variáveis como o tempo de amostragem, o horizonte de controle e
predição, e matrizes de pesos das entradas e saídas. Esses parâmetros podem ser ajustados
com base em um modelo linear do processo. Os controladores preditivos, utilizados neste
trabalho, são resultado da sintonia definida por Trierweiler e Farina (2003). A estratégia dos
autores é baseada na metodologia RPN.
As ações de controle do MPC são calculadas por um algoritmo de otimização que
compara as saídas preditas com uma trajetória de referência (se utilizada), definida pelo
desempenho desejado para o processo, entre outros possíveis termos (Camacho e Bordons,
1999).
5.2.1 Controle local
Os controladores PID têm dominado as aplicações industriais por mais de 50 anos
(Wang et al., 2008). Em um primeiro momento no formato SISO, ganhou espaço em
problemas MIMO a partir do desenvolvimento da teoria de controle moderna. No caso em
estudo, as duas versões são avaliadas para a região de alta conversão A, enquanto que para a
região de baixa conversão C apenas a versão SISO é utilizada, isto porque a análise de RGA
revela que a interação entre os canais de controle é pequena para P
nA
e praticamente
inexistente para P
nC
.
Desconsiderando o ramo instável, não existem comportamentos de fase não-mínima
(RHP-zeros, RHP-pólos e tempo morto). Neste caso, desempenhos rápidos tendem a reduzir
os valores de rRPN, o que significa que uma melhor performance pode ser obtida com
5.2
P
ARAMETRIZAÇÃO
97
controladores rápidos. Sendo assim, todos os controladores projetados e simulados neste
trabalho terão desempenho com tempo de subida de 0,10 h e overshoot de 10 %. Neste
desempenho, o tempo de subida é aproximadamente doze vezes mais rápido que a resposta
mais lenta (d
12x
), em malha aberta, para os pontos nominais das duas regiões de operação
estável P
nA
e P
nC
.
Todos controladores feedback utilizados são compostos de ação proporcional e
integral. Sua representação no domínio da freqüência é expressa em (5.2), onde os parâmetros
K
P
e
τ
i
são o ganho e a constante de tempo integral do controlador. A Tabela 5.1 relaciona os
parâmetros de controladores PI SISO e MIMO para P
nA
e P
nC
. O emparelhamento é indicado
ao final da tabela.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
s
K
s
K
s
K
s
K
PI
i
P
i
P
i
P
i
P
22,
22,
21,
21,
12,
12,
11,
11,
1
1
1
1
1
1
1
1
ττ
ττ
(5.2)
Neste trabalho, a sintonia dos controladores preditivos segue a estratégia,
implementada no RPN-Toolbox 3.0, descrita por Trierweiler e Farina (2003). Cabe salientar
que a implementação dessa metodologia em um MPC comercial é bastante simples e para
tanto é necessário incluir matrizes de escalonamento nos pesos do algoritmo de otimização.
Os pesos resultantes são as matrizes não escalonadas W
U
e Q
U
(Trierweiler e Farina, 2003),
referentes às entradas e saídas respectivamente.
Os controladores MPCs utilizam duas entradas e duas saídas, o que caracteriza um
sistema MIMO. Sua parametrização está relacionada na Tabela 5.2 para as regiões A e C,
baseados respectivamente nos modelos linearizados dos pontos P
nA
e P
nC
. Da mesma forma,
esses modelos são utilizados na etapa de predição dos controladores. O método RPN de
projeto gera o valor máximo permitido de tempo de amostragem (T
S
) que foi reduzido em
aproximadamente a metade.
Os resultados dos modelos lineares com os controladores PI e MPC podem ser
visualizados nas Figuras 5.2 e 5.3. Nas simulações efetuadas no RPN-Toolbox 3.0, o set point
de C
P
foi variado em uma unidade e C
S
mantido constate. A magnitude dos distúrbios
aplicados foi de 0,2 para a taxa de diluição e 1,0 para a concentração de substrato na
98 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
alimentação. A ordenada dos gráficos das simulações representa o desvio da variável
controlada e manipulada de um valor nominal.
Tabela 5.1: Sintonia dos controladores PI.
Região A
Região C
Parâmetros SISO MIMO
SISO
K
P,11
K
P,12
-0,11 0,0 -0,18 -0,10 -0,12 0,0
K
P,21
K
P,22
0,0 13,7 7,09 15,6 0,0 7,39
τ
i,11
τ
i,12
-0,02 0,0 -0,02 -0,10 0,10 0,0
τ
i,21
τ
i,22
0,0 0,45 0,45 0,47 0,0 0,41
Emparelhamento:
P
nA
(
D
,
C
So
) – (
C
S
,
C
P
) e
P
nC
(
D
,
C
So
) – (
C
P
,
C
S
)
Tabela 5.2: Sintonia dos controladores MPC.
Parâmetros Região A Região C
T
S
– Tempo de amostragem (h) 0,01 0,01
P – Horizonte de predição 12,00 12,00
M – Horizonte de controle 3,00 3,00
[W
U
D
W
U
C
So
]
– Peso das entradas [1,020 0,020] [0,671 0,002]
[Q
U
C
P
Q
U
C
S
]
– Peso das saídas [0,326 0,339] [0,147 0,010]
Para a região A os controladores PI apresentaram desempenho semelhante, com ligeira
vantagem na utilização do sistema de controle multivariável. Contudo o controlador
descentralizado apresentou resultados satisfatórios a ponto de que sua utilização, frente ao PI
MIMO, não compromete a eficiência do sistema de controle. O MPC resulta em boa
eficiência quando analisadas as suas características servo, entretanto as propriedades
regulatórias mostraram-se inferiores às dos controladores PI.
Nos resultados apresentados na simulação da Figura 5.3, para a região C, fica claro
que o PI SISO é mais adequado do que o MPC MIMO. Embora o comportamento servo do
MPC e do PI sejam semelhantes, a capacidade de rejeição a distúrbios do MPC é muito
5.2
P
ARAMETRIZAÇÃO
99
inferior. Para este ponto de operação não foi implementado o PI MIMO, pois seus resultados
são praticamente iguais ao PI SISO em questão.
Figura 5.2: Simulação dos controladores da região A.
Figura 5.3: Simulação dos controladores da região C.
5.2.2 Controle global
Os sistemas de controle locais, apresentados na Seção anterior, permitem controlar o
processo em situações distintas: na região A ou C. Para que um controlador linear possa
operar em ambas as regiões operacionais é necessário que as características não-lineares da
planta sejam suficientemente baixas. Segundo o índice nRPN, o trabalho com desempenho
rápido reduz a contribuição dinâmica da não-linearidade tornando-a essencialmente estática.
Para esse tipo de predominância não-linear é indicado o uso de uma estratégia de
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
Tempo (h)
Concentrações
PI SISO
PI MIMO
MPC MIMO
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
5
10
Tempo (h)
Ação de Controle
PI SISO
PI MIMO
MPC MIMO
0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (h)
Concentrações
PI SISO
MPC MIMO
0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0
2
4
6
Tempo (h)
Ação de Controle
PI SISO
MPC MIMO
100 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
compensação de ganho conhecida como gain scheduling (Ogunnaike e Ray, 1994). No
entanto com o valor de nRPN
stat
igual a 0,88, para o desempenho com tempo de subida de 0,1
h e sobre elevação de 10 %, acredita-se que um controlador linear seja apto para atuar de
forma global no processo.
Um controlador global deve operar com a mesma parametrização e emparelhamento
em ambas as situações de trabalho (região A e C). Contudo, nas análises de RGA, do Capítulo
anterior, verificou-se que o emparelhamento indicado troca quando se muda a região de
operação. As matrizes de ganho para os pontos de operação nominais P
nA
e P
nC
são
apresentadas abaixo. Na matriz de ganho K
nC
há um canal com ganho aproximadamente nulo,
o que indica que a manipulação na variável C
So
não causa efeitos em C
P
. Esse fato torna o
emparelhamento (D, C
So
) – (C
S
, C
P
) inapropriado quando a finalidade é o controle global do
biorreator.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
5479,03010,1
1765,05543,2
P
S
So
nA
C
C
CD
K
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0004,05524,5
9990,08159,11
P
S
So
nC
C
C
CD
K
(5.3)
Um fato interessante que ocorre está relacionado aos determinantes das matrizes de
ganho. Normalmente, a troca do emparelhamento indicado está relacionada à mudança de
sinal do determinante, o que não ocorre com as matrizes K
nA
e K
nC
. A mudança no sinal do
determinante está relacionada à mudança no ganho multivariável, o que é bastante crítico para
qualquer estratégia de controle. A razão para este comportamento incomum está relacionada
com a mudança do sinal de um dos canais das matrizes quando se troca o ramo de operação.
Os controladores foram testados para os modelos lineares do politopo M, que é
composto pelos politopos A e C. Na simulação o set point de C
P
foi variado em uma unidade,
enquanto que C
S
foi mantido constante. O distúrbio aplicado foi de magnitude unitária para
C
So
e de 0,2 para D. O emparelhamento utilizado foi (D, C
So
) – (C
P
, C
S
).
Nessas condições os controladores PI e MPC projetados para a região A, relacionados
na Tabela 5.2 e 5.3, instabilizam a malha de controle na região C. Já os controladores para a
região C, anteriormente sintonizados, mostram-se aptos a controlar o sistema na região A.
5.2
P
ARAMETRIZAÇÃO
101
O MPC mostrado na Figura 5.4, com os parâmetros ajustados para o ponto P
nC
da
região C (Tabela 5.2), foi capaz de controlar o sistema em ambas regiões operacionais, com
exceção de P
3C
do politopo C que gera resultados instáveis. Este ponto não está representado
graficamente na Figura 5.4 e sua resposta instável está ligada à proximidade com que se
encontra do ponto Hopf da região C. Pontos próximos a bifurcações Hopf apresentam fortes
oscilações no transiente, o que resulta em discrepâncias significativas entre a predição do
MPC (que utiliza um modelo linearizado em P
nC
) e o resultado do modelo em P
3C
.
O PI SISO projetado para o ponto P
nC
da região C, apresentado anteriormente na
Tabela 5.1, mostrou bom desempenho para todos os pontos de operação, exceto para P
3A
e P
4A
do politopo A. Para esses pontos o controlador instabilizou o sistema. Sendo assim, um
controlador PI MIMO, projetado para o ponto de operação P
nC
, foi avaliado. A sintonia desse
controlador está relacionada na Tabela 5.3.
A simulação do PI MIMO, para modelos lineares, pode ser visualizada na Figura 5.5.
Os resultados são satisfatórios e uma boa performance foi verificada para todos os 10 modelos
do politopo M. Assim é possível afirmar que um controlador linear multivariável pode
controlar o processo em ambos os ramos de trabalho. Além disso, o PI apresenta melhor
desempenho do que o MPC. Embora as características servo do MPC e do PI sejam
equivalentes, a capacidade de rejeição a distúrbios do PI é muito superior a do MPC. Isto leva
a conclusão de que dentre os controladores projetados, o PI MIMO é o mais adequado.
Tabela 5.3: Sintonia do controlador PI MIMO.
Parâmetros Valores
K
P,11
K
P,12
-0,160 7,077
K
P,21
K
P,22
12,266 6,420
τ
i,11
τ
i,12
0,113 0,003
τ
i,21
τ
i,22
0,673 0,361
102 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
Figura 5.4: Sistema de controle global: MPC MIMO.
Figura 5.5: Sistema de controle global: PI MIMO.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Tempo (h)
Concentrações
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
5
10
Tempo (h)
Ação de Controle
Politopo A
Politopo C
Politopo A
Politopo C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Concentrações
Tempo (h)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
Tempo (h)
Ação de Controle
Politopo A
Politopo C
Politopo A
Politopo C
5.3
E
STIMADOR DE ESTADOS
103
5.3 Estimador de estados
A otimização em tempo real, em processos químicos, tem se tornado cada vez mais
atrativa nos últimos anos, devido aos avanços na capacidade computacional e ao
desenvolvimento de métodos para a solução de problemas de otimização não-linear. Assim, a
atualização on-line de modelos, baseado em variáveis secundárias, torna possível a estimação
em tempo real de variáveis de difícil aquisição, estados e/ou parâmetros variantes no tempo
(Tonel, 2008). A intenção de inferir estados (e/ou parâmetros) está ligada a realimentação de
rotinas de controle na busca de melhores desempenhos. Um algoritmo, implementado com
essa finalidade, é chamado de estimador de estados.
Estimadores de estado podem ser de natureza determinística ou heurística, de caráter
linear ou não-linear. Dentre as técnicas lineares estão o determinístico Observador de
Luenberger (Friedland, 2000) e o estocástico Filtro de Kalman (KF) (Levine, 2000). Esses
métodos de estimação possuem versões não-lineares, ditas estendidas, como o Filtro de
Kalman Estendido (EKF) (Athans, 2000).
Baseado na formulação de espaço de estado de sistemas lineares dinâmicos, o Filtro de
Kalman é uma solução recursiva ótima aplicada a estados estacionários e transientes. É
computacionalmente muito eficiente devido ao seu método recursivo, que disponibiliza de
forma incremental as informações do histórico do processo, eliminando a necessidade de
acesso a grandes bancos de dados (Haykin, 2001). A natureza estocástica do KF vem da
confiança de suas entradas baseadas em funções de densidade probabilística, assumindo
distribuição Gaussiana nos ruídos de medição e estimação (Levine, 2000). A essência da
classificação de estimador ótimo vem do fato de utilizar, em uma etapa de correção das
predições, uma função de otimização quadrática com finalidade de minimizar o erro de
estimação (Welch e Bishop, 2001).
A idéia fundamental de um estimador de estado, esquematizada em forma discreta na
Figura 5.5, utiliza três alimentações: as entradas do processo u, as saídas do processo y e a
predição de um modelo. O subíndice k denota o instante presente, enquanto que k-1 o
momento anterior. A dependência do tempo t reflete a representatividade em período
transiente. Os parâmetros são representados por p e os ruídos por w e v. Além das variáveis de
104 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
estado não mensuradas, o estimador permite a filtragem de variáveis medidas que são
corrompidas por ruído de medição.
Figura 5.6: Estimador de estado.
Basicamente, o estimador de Kalman possui uma etapa de predição e outra de
estimação. A predição é realizada por um modelo do processo e a estimação é a correção
desse valor. Nesta etapa de correção há uma atualização da matriz de covariância dos erros
dos estados através da Matriz Dinâmica de Riccati. A covariância, segundo a teoria da
probabilidade e estatística, por vezes chamada de medida da dependência linear de duas
variáveis, é considerada o grau de variância conjunta de duas variáveis. As matrizes de
covariância dos estados e dos ruídos tendem a distribuir o erro encontrado entre as variáveis
medidas e a simulação. Assim, são utilizadas em um problema de otimização, com a
finalidade de minimização dos erros. A partir dos sinais minimizados dos ruídos são
corrigidos os estados e as saídas, compondo respectivamente os estados corrigidos e as saídas
filtradas (Welch e Bishop, 2001).
Detalhes e deduções das diversas formulações do Filtro de Kalman e derivados não
serão abordados no trabalho. Contudo descrições são largamente difundidas na literatura,
como por exemplo, em Petersen e Savkin (1999), Haykin (2001), Welch e Bishop (2001). A
seguir será avaliada a eficiência de um Filtro de Kalman Estendido com restrições (CEKF)
utilizadas na etapa de otimização. O CEKF permite delimitar a região de busca durante a
otimização, tornando mais eficiente a convergência do problema. Esta etapa é realizada por
um algoritmo de Programação Quadrática (QP) e implementada no software Matlab
®
. Ainda,
5.3
E
STIMADOR DE ESTADOS
105
a formulação do método de atualização (predição e correção) da matriz de covariância P,
implementada no CEKF do trabalho, é apresentada em Salau et al (2007).
A estrutura de controle proposta no Capítulo 4 requer a retro alimentação de dois
estados do sistema, C
S
e C
P
. A utilização do CEKF permite estimar uma das variáveis através
da leitura de outra, uma vez que o sistema é totalmente observável havendo a medida de C
S
ou
C
P
. Isto possibilita a redução do custo com a instrumentação do reator. Além disso, o ruído da
variável medida é reduzido pelo efeito de filtragem do estimador de estados.
Na avaliação do CEKF, foram utilizados dados de entrada gerados através de
simulação computacional. O sinal do processo foi corrompido com valores randômicos com a
intenção de representar a leitura de um medidor em linha que inerentemente apresenta ruídos.
Para os testes do CEKF foi gerada a fonte de dados mostrada na Figura 5.7, onde se manipula
uma variável de entrada (C
So
) enquanto que a outra (D) permanece constante. O inverso,
entrada D manipulada e C
So
invariável, gera resultados semelhantes aos encontrados nas
Seções 5.3.1 e 5.3.2. As linhas contínuas representam os resultados computacionais da
simulação do modelo frente aos distúrbios em linha descontínua. Os pontos são provenientes
dos dados simulados acrescidos de ruído randômico.
Figura 5.7: Fonte de dados: degraus em C
So
e D = 1,5 h
-1
.
0 5 10 15 20 25 30
85
90
95
100
Cp (kg/m³)
0 5 10 15 20 25 30
180
190
200
210
Tempo (h)
Cso --- (kg/m³)
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
0 5 10 15 20 25 30
180
190
200
210
220
Cso --- (kg/m³)
106 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
5.3.1 Matrizes de covariância Q e R
Alguns parâmetros do Filtro de Kalman podem ser ajustados conforme as
características do sistema, para a obtenção de resultados mais apropriados. Para configurá-los
é necessário conhecer as rotinas CEKF. Em resumo, a etapa de correção dos estados e das
saídas é mostrada na forma discreta no tempo k em (5.4),
k
est
k
cort
k
wxx
+=
k
med
k
filt
k
vyy
−=
(5.4)
onde
corr
k
x
e
filt
k
y
são os estados corrigidos e as saídas filtradas do CEKF, respectivamente. O
resultado da simulação é
est
k
x
e as saídas medidas
med
k
y
, enquanto que as correções dos
valores da simulação são feitas por
k
w
e
k
v
determinados através da solução de (5.5). Esse
problema de otimização é sujeito as restrições (5.6), (5.7) e (5.8), que visam manter dentro de
uma faixa operacional viável os estados estimados (x
min
e x
max
) e as saída medidas (y
min
e y
max
).
As saídas simuladas, representadas por
(
)
est
k
xg
, são função dos estados preditos, enquanto que
a matriz H tem origem na Jacobiana dessas saídas pelos estados simulados. A dedução dessas
restrições são descritas em Simon (2006).
kk
T
kkk
T
kk
vw
vRvwPw +=
ψ
,
min
(5.5)
est
kk
est
k
xxwxx
−≤≤−
maxmin
(5.6)
(
)
(
)
est
kkk
est
k
xgyvHwxgy
−≤+≤−
maxmin
(5.7)
(
)
kk
est
k
med
k
vHwxgy +=−
(5.8)
A matriz R é a matriz de covariância dos ruídos de medida e a matriz P é a matriz de
covariância dos erros de estimação. A matriz P é constantemente atualizada segundo a
equação dinâmica de Riccati, mostrada na forma discreta em (5.9). Nesta equação,
ϕ
tem
origem nos coeficientes da representação em espaço de estado do sistema e a matriz Q na
covariância do processo.
()
(
)
(
)
k
T
kkkk
T
kkk
T
kkk
T
kkkk
QPHRHPHHPPP ++−=
−
+
ϕϕϕϕ
1
1
(5.9)
5.3
E
STIMADOR DE ESTADOS
107
A qualidade do processo de estimação de estados não mensurados passa pelo ajuste e
sintonia das matrizes Q e R. De forma simplificada, essas variáveis são como pesos
ponderando a confiabilidade no modelo (Q) e nas medidas do processo (R). Embora não
exista ainda nenhuma metodologia consolidada para a obtenção destes parâmetros, muitos
estudos como Zhou & Luecke (1994) e Leu & Baratti (2000) tem procurado encontrar de
forma sistemática o melhor ajuste das covariâncias de ruído Q e R. Na prática, as matrizes Q e
R são consideradas constantes e sintonizadas na base da tentativa e erro, contrabalançando as
confianças entre o modelo adotado e as variáveis mensuradas.
Os valores desses parâmetros, utilizados nos testes mostrados nas Figuras 5.8 e 5.9,
são relacionados na Tabela 5.4. As condições iniciais das variáveis de estado são as mesmas
do estado estacionário do inicio do teste. A matriz diagonal P foi inicializada com valores
elevados (P
0
=
10
6
) com a finalidade de facilitar a convergência do CEKF.
Tabela 5.4: Ajuste das matrizes de covariância Q e R.
Q R
Caso 1 1,0 1,0
Caso 2 1,0 1000
Caso 3 0,001 1,0
A implementação do CEKF, para a predição de estados e filtragem de saídas, revela
resultados satisfatórios com destaque para a sintonia do Caso 2. As demais sintonias
mostraram algumas dificuldades de convergência, no início da simulação, defasando os
valores estimados dos valores considerados padrão de referência. De uma forma geral, a
característica de filtragem dos ruídos é superior quando C
P
é medido. A exceção é o Caso 2,
onde a capacidade de redução de ruído é suficientemente apropriada para ambas as situações
com C
P
ou C
S
medido.
108 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
Figura 5.8: Resultados do CEKF: C
P
filtrado e C
S
estimado.
0 5 10 15 20 25 30
85
90
95
100
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Entrada
Referência
Filtrado
0 5 10 15 20 25 30
0
2
4
6
8
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Referência
Estimado
0 5 10 15 20 25 30
85
90
95
100
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Entrada
Referência
Filtrado
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Referência
Estimado
0 5 10 15 20 25 30
85
90
95
100
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Entrada
Referência
Filtrado
0 5 10 15 20 25 30
0
2
4
6
8
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Referência
Estimado
Caso 1
Caso 1
Caso 2
Caso 2
Caso 3
Caso 3
5.3
E
STIMADOR DE ESTADOS
109
Figura 5.9: Resultados do CEKF: C
S
filtrado e C
P
estimado.
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
4
5
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Entrada
Referência
Filtrado
0 5 10 15 20 25 30
80
85
90
95
100
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Referência
Estimado
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Entrada
Referência
Filtrado
0 5 10 15 20 25 30
85
90
95
100
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Referência
Estimado
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
4
5
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Entrada
Referência
Filtrado
0 5 10 15 20 25 30
80
85
90
95
100
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Referência
Estimado
Caso 1
Caso 1
Caso 2
Caso 2
Caso 3
Caso 3
110 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
Outra característica interessante diz respeito à razão entre R e Q. No Caso 2 e 3 a
razão entre essas variáveis foi de R/Q = 1000, fato que não significou necessariamente
desempenhos iguais. Fica claro a eficiência superior do ajuste relativo ao Caso 2, o que leva a
conclusão de que os valores absolutos de R e Q influem de forma significante nos resultados
do CEKF, no que diz respeito à resposta inicial. O comportamento final dos dois casos foi
essencialmente o mesmo. A dependência inicial se deve ao valor inicial da matriz de
covariância dos estados P
0
a qual foi mantida fixa diagonal e igual a 10
6
em todos os casos
analisados. Os valores absolutos acabam influenciando fortemente a atualização da matriz de
covariância conforme se pode constatar através da análise da equação (5.5). A próxima Seção
analisa com maiores detalhes o efeito das condições iniciais
5.3.2 Matriz de covariância inicial P
0
e condições iniciais
A matriz de covariância inicial (P
0
) é utilizada apenas na inicialização do Filtro de
Kalman, uma vez que é constantemente atualizada nos ciclos de cálculo do algoritmo. P
0
é
uma matriz quadrada de mesma dimensão do número de estados do modelo utilizado no Filtro
de Kalman. O habitual é utilizar uma matriz diagonal com valores elevados, desta forma a
convergência dos estados do sistema torna-se mais rápida. A matriz P
0
tem relação com a
confiabilidade nas condições iniciais dos estados, quanto menor a confiança maior o valor de
P
0
. Desta forma o algoritmo tem mais flexibilidade de convergência.
Nos testes da Seção anterior, foram utilizadas condições iniciais equivalentes aos
estados do sistema em regime permanente. Sabe-se que os estados são utilizados na
atualização da matriz P e, portanto as condições iniciais são de grande influência nas
estimações futuras, já que P incorpora todo o histórico do processo. Com a finalidade de
avaliar as matrizes de covariância inicial, P
0a
= 10
9
e P
0b
= 10
0
, foi utilizada a condição inicial
(5.10). Esta CI é relativa ao ponto de equilíbrio de baixa conversão D = 2,0 h
-1
e C
So
= 200
kg/m³, enquanto que a fonte de dados é totalmente proveniente do ramo de soluções de alta
conversão. Os resultados podem ser visualizados na Figura 5.10, onde os dados de referência
têm origem em uma série de distúrbios em D (Figura 5.10e). A sintonia de R e Q são as do
Caso 2, pois o desempenho do CEKF é semelhante tanto para os dados gerados por variações
em C
So
como em D.
5.3
E
STIMADOR DE ESTADOS
111
2880,412422.41119,23416,111 ====→
PexS
CCCCCI
(5.10)
Depois de ativado o CEKF percebe-se que num curto espaço de tempo ambas as
parametrizações de P
0
geram estimativas iguais. Aproximadamente entre 1,5 h e 2,0 h os
resultados tornam-se distintos, revelando que P
0a
chega mais rapidamente aos valores padrão.
Esse fato justifica a importância de valores elevados para P
0
quando há muitas incertezas nos
valores dos estados na partida do CEKF. Até cerca de 4 h as estimativas são de baixa
qualidade, pelo fato do que a matriz P tem propriedades recursivas tornando incrementais as
informações anteriores ao instante da correção das predições. A partir das 10 h de simulação
os resultados da estimação e filtragem são satisfatórios para ambos estimadores. Entretanto
observa-se uma boa qualidade na filtragem e estimação do CEKF com P
0a
a partir de 3 h.
Figura 5.10: Avaliação de P
0
. Filtragem de C
P
(a), trecho ampliado da filtragem de C
P
(b),
estimativa de C
S
(c), trecho ampliado da estimativa de C
S
(d) e variação da entrada D para a
geração dos dados de referência com C
So
= 200 kg/m³ (e).
0 5 10 15 20 25 30
91.5
92
92.5
93
93.5
94
94.5
95
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
0 2 4 6 8
65
70
75
80
85
90
95
100
Tempo (h)
Referência
Poa
Pob
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
0 1 2 3 4
0
50
100
150
Tempo (h)
Referência
Poa
Pob
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
Tempo (h)
D (1/h)
(
a
)
(
b
)
(
c
)
(
d
)
(
e
)
112 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
5.4 Implementação do sistema de controle no modelo não-linear
Nesta Seção são apresentados os resultados da implementação do sistema de controle
no modelo não-linear de Jöbses et al (1986). O controlador utilizado é o PI MIMO global,
cujos parâmetros estão relacionados na Tabela 5.3. O sistema é avaliado quanto as suas
características servo e regulatória, sem restrições nas ações de controle e com as restrições
previamente discutidas na Seção 5.1. Além disso, é apresentada uma análise do desempenho
da realimentação dos controladores através de um CEKF.
A estrutura do PI MIMO, implementada no Simulink do Matlab
®
, é ilustrada na Figura
5.11. Antes de ser somada com o Bias de C
So
, a ação de controle mostrada na figura passa por
uma função de atraso, de tempo, já que em um sistema real a manipulação de C
So
implica
inerentemente em algum atraso na mudança dos seus valores. Isso ocorre porque a solução
C
So
precisa ser preparada, por um misturador por exemplo, antes de ser injetada no biorreator.
Para considerar esse atraso foi adicionada, na variável manipulada C
So
, uma função de
transferência de primeira ordem com ganho igual a 1,0 e constante de tempo de 0,1667, o que
distribui o atraso em 10 minutos no formato de uma resposta de primeira ordem.
Na Figura 5.12 pode ser vista a atuação do PI MIMO na região A, considerando
disponível para o feedback as variáveis C
S
e C
P
sem ruídos. O comportamento servo do
controlador é analisado em duas simulações: uma considerando o atraso de tempo no sistema
e outra desconsiderando tal característica na manipulação de C
So
. O desempenho dos
controladorres é satisfatório para o conjunto de set points empregado. As respostas rápidas do
canal relativo à C
S
se devem ao fato de sua variável de manipulação ter influência direta na
concentração de substrato. Neste caso o controle de C
S
é pouco interferido por fatores
bioquímicos, o que faz com que o comportamento dos sistemas com e sem atraso seja
praticamente o mesmo. Para a variável controlada C
P
o efeito do atraso em C
So
é percebido
causando certa oscilação e overshoot na malha, comportamentos inexistentes no sistema sem
atraso de tempo. Mesmo assim o desempenho servo do sistema de controle é satisfatório.
O comportamento regulatório do controlador é avaliado para distúrbios nas variáveis
manipuladas da planta alteradas do valor nominal (D = 2 h
-1
e C
So
= 200 kg/m³) com o
aumento de D e a redução de C
So
em 20%. Os resultados podem ser vistos na Figura 5.13,
5.4
I
MPLEMENTAÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE NO MODELO NÃO
-
LINEAR
113
onde verificar-se uma boa capacidade de rejeição a distúrbios tanto para o sistema sem atraso
quanto para o sistema com atraso de tempo.
Figura 5.11: Estrutura do PI MIMO com atraso em C
So
.
As características servo e regulatória do sistema de controle projetado mostraram-se
bastante eficientes, como visto nas simulações anteriores. Embora os distúrbios aplicados, na
análise do comportamento regulatório, tenham direção e magnitude suficientes para que a
coordenada (D, C
So
)
seja levada para o espaço sem multiplicidade E
S
, o controlador é capaz
de ajustar o processo antes dos estados convergirem para a região C. Isso se deve a atuação
rápida do sistema de controle que garante a rejeição a distúrbios dessa natureza tanto para o
caso sem atraso quanto para o caso com atraso de tempo em C
So
.
A boa performance do comportamento servo se deve ao fato de que todos os set points
aplicados eram alcançáveis, o que garante a permanência do processo na região A. Uma
mudança equivocada de set point pode conduzir o equilíbrio para o espaço E
S
onde não
existem soluções de alta conversão de substrato em produto. Neste caso o processo será
atraído pela região C, levando o estado estacionário para a região de baixa conversão. Para
contornar as conseqüências de tais situações as entradas do sistema devem ser limitadas. A
próxima Seção avaliará a implementação da estratégia de restrição, apresentada no início do
Capítulo, para limitar as ações de controle nesse sentido.
114 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
Figura 5.12: Simulação do PI MIMO no modelo não-linear: comportamento servo.
Outro aspecto importante refere-se à robustez do controlador. Os testes realizados,
para o sistema com atraso de tempo em C
So
, mostram a capacidade de adaptação do PI MIMO
à incertezas, já que seu projeto foi desenvolvido para a situação sem atraso. Se desejado,
melhores desempenhos podem ser alcançados projetando-se novos controladores para a
situação que melhor se enquadrar às características de atuação do sistema real. Deste ponto
em diante todos os controladores apresentados utilizarão a função de atraso em C
So
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
90
92
94
96
98
100
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Set Point
Sistema sem atraso
Sistema com atraso
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
Tempo (h)
D (1/h)
Sistema sem atraso
Sistema com atraso
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.5
1
1.5
2
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Set Point
Sistema sem atraso
Sistema com atraso
0 1 2 3 4 5 6 7 8
150
200
250
Tempo (h)
Cso (kg/m³)
Sistema sem atraso
Sistema com atraso
5.4
I
MPLEMENTAÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE NO MODELO NÃO
-
LINEAR
115
Figura 5.13: Simulação do PI MIMO no modelo não-linear: comportamento regulatório.
5.4.1 Limite de atuação
A forte correlação entre os estados que descrevem a fermentação torna inviável a
operação em alguns equilíbrios. Conforme visto nos diagramas de bifurcação, tal
inviabilidade se dá pelo limite de combinações existentes entre os estados que geram as
soluções estacionárias. Isso significa que set points inadequados podem alterar o ramo
operacional do processo, ou ainda levar o sistema a oscilações contínuas podendo instabilizar
a malha de controle. O caso mais crítico é o que envolve a transição da região operacional A
para a C, pelo fato de que reduz a produtividade do reator e ainda requer a adição de produto
que o sistema volte a convergir para a situação de alta conversão.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
88
89
90
91
92
93
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Sistema sem atraso
Sistema com atraso
Set Point
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
1.4
1.6
1.8
2
Tempo (h)
D (1/h)
Sistema sem atraso
Sistema com atraso
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
1.225
1.23
1.235
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Sistema sem atraso
Sistema com atraso
Set Point
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
200
220
240
260
Tempo (h)
Cso (kg/m³)
Sistema sem atraso
Sistema com atraso
116 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
Na Seção 5.1 foi descrita uma estratégia que delimita o trabalho no espaço com
multiplicidade E
M
. A eficiência desta estratégia será testada para uma mudança inapropriada
no set point de C
P
, reduzindo a variável de 92,6 para 80,0 kg/m³. Será considerada uma
saturação mínima de D igual a 1,0 h
-1
com a finalidade de limitar a produtividade do reator.
Caso isto não seja levado em conta o sistema mantém-se na região A e atinge o set point,
porém com taxas de diluição muito baixas o que implica em tempos de residência
excessivamente altos, fato este indesejável em nível de produtividade. Sob tais condições os
resultados são mostrados na Figura 5.14 para o sistema com e sem as restrições da Seção 5.1
Figura 5.14: Restrição das variáveis manipuladas.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
20
40
60
80
100
Tempo (h)
Cp (kg/m³)
Sistema sem restrição
Sistema com restrição
Set Point
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
2
3
4
Tempo (h)
D (1/h)
Sistema sem resstrição
Sistema com restrição
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
10
20
30
40
50
Tempo (h)
Cs (kg/m³)
Sistema sem restrição
Sistema com restrição
Set Point
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
120
140
160
180
200
Tempo (h)
Cso (kg/m³)
Sistema sem restrição
Sistema com restrição
5.4
I
MPLEMENTAÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE NO MODELO NÃO
-
LINEAR
117
O sucesso da estratégia, quando a finalidade é manter a operação na região A, se deve
às restrições nas variáveis de atuação conforme apresentado na Figura 5.1. Embora o set point
de C
P
não seja atingido o processo não muda de região operacional, o que satisfaz o propósito
da estratégia de controle. Já o sistema sem a restrição acaba por recair em um estado
estacionário pertencente à região C, fato este que é indesejado por reduzir a conversão de
substrato em etanol.
5.4.2 Feedback: C
P
medido e C
S
estimado
O sucesso de um sistema de controle está inerentemente ligado às informações,
retroalimentadas no mesmo. Medidas do processo são essenciais para sucesso das estratégias
de controle. Em relação à medida é conveniente a seguinte classificação: in situ, on-line e off-
line. Sensores in situ estão diretamente em contato com o meio, o que torna a medição
intrusiva mesmo que o elemento sensor não seja (i.e., existência de membranas). As respostas
desse sensor são geralmente rápidas devido a sua proximidade com o meio, porém apresenta
certa resistência à esterilização. Sensores on-line não ficam em contato com o meio, uma
amostra é retirada e seu tempo de resposta é maior do que o sensor in situ. Contudo o tempo
de resposta é consistente com outras constantes de tempo do sistema. Por fim, os sensores off-
line são utilizados para análises mais complexas, as amostrar retiradas passam por
procedimentos laboratoriais e o tempo de resposta é excessivamente elevado (McMillan,
1999). Os transdutores também podem ser classificados pelo tipo de variável medida.
Sensores físicos medem grandezas físicas (temperatura, pressão, vazão, etc.) e são em geral
bem estabecidos. Já os sensores químicos quantificam espécies químicas básicas (pH, O
2
,
CO
2
, condutividade, etc.). Requerem certa manutenção, mas mesmo assim são considerados
bem consolidados. Por último os sensores bioquímicos medem espécies diretamente
envolvidas em biorreações (biomassa, substrato, produto, etc.). Sensores bioquímicos, em
geral, apresentam custos elevados e por muitas vezes sua resposta apresenta um elevado
tempo morto (i.e. utilização de HPLC). Sendo assim, a estimação de estados apresenta-se
como uma importante ferramenta em conjunto com o sistema de controle.
O CEKF descrito na Seção 5.3 foi implementado no modelo não-linear de Jöbses et al.
(1986), controlado pelo PI MIMO cuja sintonia é mostrada na Tabela 5.3. A variável
118 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
“medida” foi C
P
acrescido de ruído randômico e a variável estimada foi C
S
. Os parâmetros do
CEKF estão descritos na Tabela 5.5 e os resultados podem ser visualizados na Figura 5.15.
Uma comparação entre o C
S
estimado e o real é mostrada na Figura 5.16. O valor chamado de
real, padrão de comparação do desempenho da estimação, é a saída da simulação da planta.
Os resultados mostram boa performance do sistema de controle com o feedback do estimador
de estados.
Figura 5.15: PI MIMO e CEKF: C
P
filtrado e C
S
estimado.
5.4
I
MPLEMENTAÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE NO MODELO NÃO
-
LINEAR
119
Tabela 5.5: Ajuste das matrizes de covariância Q e R.
Q R P
0
Amostragem (s) X
0
Condição 10
1
10
3
10
6
10
1
CI da planta
Figura 5.16: Valor de C
S
padrão e estimado.
5.4.3 Feedback: C
S
medido e C
P
estimado
O CEKF implementado na Seção 5.4.2 utilizado invertendo-se a variável medida e
estiamada, ou seja, o PI MIMO passou a ser realimentado por C
S
filtrado e C
P
estimado. A
variável “medida” foi acrescida de ruído randômico, representado de forma discreta por
pontos na Figura 5.17 que ilustra os resultados da simulação. Os parâmetros do CEKF são os
mesmos descritos na Seção anterior. Uma comparação entre o C
P
estimado e o considerado
padrão é mostrada na Figura 5.18. Os resultados mostram bom desempenho dos controladores
com a retroalimentação do CEKF.
Em ambas as situações, Seção 5.4.2 e 5.4.3, o sistema de controle mostrou-se
apropriado. Contudo, de uma forma qualitativa os resultados com C
S
medido e C
P
estimado
aparentam serem melhores.
d
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
Cs (kg/m³)
*Real
Estimado
120 5.
S
ISTEMA DE
C
ONTROLE
Figura 5.17: Sistema PI MIMO e CEKF: C
S
filtrado e C
P
estimado.
Figura 5.18: Valor de C
P
padrão e estimado.
5.4
I
MPLEMENTAÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE NO MODELO NÃO
-
LINEAR
121
Capítulo 6
Considerações Finais
“Não há, talvez, na natureza nada mais velho que o movimento, e não faltam volumosos
livros sobre tal assunto, escritos por filósofos. Apesar disso, muitas das suas propriedades
(...) não foram observadas nem demonstradas até ao momento. (...) Com efeito, que eu saiba,
ninguém demonstrou que o corpo que cai, partindo de uma situação de repouso, percorre em
tempos iguais, espaços que mantêm entre si uma proporção idêntica à que se verifica entre os
números ímpares sucessivos começando pela unidade.”
Galileu Galilei (
1564 -
=
1642)
122 6.
C
ONSIDERAÇÕES
F
INAIS
6.1 Conclusões
A reestruturação da indústria tradicional para a geração de bioenergia e biomateriais
vem impulsionando investimentos em pesquisas por todo o mundo. Precursor de tal tendência
é a sustentabilidade econômica e ambiental da sociedade contemporânea.
Os biocombustíveis podem reduzir significativamente o impacto da queima de
combustíveis fósseis no meio ambiente. Além disso, a previsão da escassez do petróleo, e
conseqüentemente do seu mercado, é uma incógnita, a única certeza é que esse recurso é
finito. Neste contexto, o etanol vem ocupando uma posição de destaque e sua síntese
industrial é convencionalmente realizada via fermentação de hidratos de carbono pela
levedura Saccaromyces cerevisiae. Em contrapartida, a fermentação de glicose com a bactéria
Zymomonas mobilis apresenta vantagens divido às altas taxas de produção de etanol, à boa
tolerância do microorganismo em altas concentrações de substrato e produto, além de que sua
manipulação genética é relativamente simples pelo fato de ser uma bactéria gram-negativa.
Diversos são os modelos matemáticos propostos na literatura para o processo de
fermentação contínua utilizando a Z. mobilis. Dentre tais, o modelo de Jöbses et al. (1986)
vem sendo alvo de pesquisas referentes a comportamentos dinâmicos não-lineares. Alguns
trabalhos publicados nos últimos anos revelam a existência de singularidades neste modelo
como bifurcação Hopf, multiplicidade de equilíbrios e mudança de estabilidade. A existência
de três ramos de soluções estacionárias é a característica que mais chama a atenção. A
multiplicidade é composta por dois ramos de soluções estáveis e um conjunto de soluções
instável. Em um dos ramos estável a conversão de substrato em produto é aproximadamente
duas vezes maior do que a alcançada na operação trivial do sistema. Diagramas de bifurcação
de codimensão-2 revelaram o comportamento desses ramos para os parâmetros taxa de
diluição e concentração de substrato alimentado no reator. Embora o modelo de Jöbses et al.
(1986) tenha sido validado, e que a multiplicidade tenha sido verificada experimentalmente
(ao menos para baixas taxas de diluição) existem indícios de que a inibição por substrato não
é corretamente considerada na descrição matemática. Isto se deve ao fato de que os diagramas
de bifurcação tridimensionais mostram a inexistência de inibição da concentração de produto
pela concentração de substrato alimentado. Maiores estudos experimentais são necessários,
para validar os resultados do modelo, contudo as considerações descritas no trabalho são
válidas já que a multiplicidade é comprovadamente real.
6.1
C
ONCLUSÕES
123
A definição de ótimo operacional levou em conta o aspecto produtividade, concluindo
que o ótimo operacional é a fronteira de estabilidade definida pelo conjunto de pontos sela,
mais precisamente, no lado estável deste limite. Sendo assim, a finalidade de um sistema de
controle é manter o processo nesta faixa de operação, para isso duas características são
fundamentais: a manipulação do equilíbrio dentro de um conjunto de soluções e a transição de
região operacional. Por definição a região A é aquela cuja conversão é mais atrativa, é nela
que se deseja trabalhar. A região B é instável e a região C reúne soluções de baixo
rendimento. Sistemas com multiplicidade de equilíbrios apresentam complexos
comportamentos relativos à convergência, devido a campos atratores e repulsores gerados
pela natureza da estabilidade das soluções. No entanto, essa particularidade pode ser induzida
pela manipulação dos estados do sistema. Para conduzir o processo de um equilíbrio da região
C para a região A é proposta a manipulação da concentração de etanol no meio reacional.
Além da convergência ser sensível a tal estado, a adição de etanol em um reator é uma ação
bastante simples de ser realizada. Essa ação é considera emergencial e, portanto a
manipulação da concentração de produto alimentado não é levada em consideração na
estrutura de controle.
A estrutura de controle proposta tem características multivariável, onde as variáveis
controladas são a concentração de produto e substrato e as variáveis manipuladas são a taxa
de diluição e a concentração de substrato na alimentação. A partir de então, modelos
linearizados em pontos do processo ditos nominais, foram utilizados para análises de
controlabilidade. Primeiramente, o critério de Kalman é satisfeito e o reator é dito de estados
completamente controláveis. Independentemente da freqüência analisada, o sistema mostra-se
bem condicionado e a caracterização dinâmica, através da análise de pólos e zeros, não impõe
grandes limitações, já que não há zeros de transmissão positivos e o único pólo positivo
encontra-se na região instável B, onde não é desejada a operação. A interação entre os canais
é baixa e é indicada a troca do emparelhamento entre a região A e C. O desempenho robusto é
alcançável e a não-linearidade é predominantemente estática na região A, enquanto que C
apresenta uma não-linearidade com predominância dinâmica. A não-linearidade global
(região A e região C) tem origens estáticas e dinâmicas, sendo que controladores rápidos são
capazes de eliminar a contribuição dinâmica tornando a não-linearidade essencialmente
estática. Segundo o índice nRPN essa contribuição estática não é muito elevada, o que torna
factível a utilização de um sistema de controle linear para toda a planta. De um modo geral, a
operação rápida beneficia o desempenho do processo. Os índices de condicionamento
124 6.
C
ONSIDERAÇÕES
F
INAIS
mínimo, RGA, RPN e nRPN são favorecidos em altas freqüência de trabalho e não há grandes
limitações dinâmicas na velocidade de ação dos controladores.
As análises de controlabilidade são a base para o projeto dos controladores, que foram
projetados segundo a metodologia RPN implementada no software RPN-Toolbox 3.0,
desenvolvido na linguagem de programação Matlab®. Controladores PIs e MPCs foram
avaliados em modelos lineares para atuação local e global. Entende-se como atuação local o
trabalho independente nas regiões A e C, enquanto que a atuação global refere-se à operação
em ambas as regiões. Os resultados são satisfatórios, com destaque para os controladores PIs,
já que a ação regulatória dos MPCs não foi tão adequada quanto a dos PIs. O PI MIMO,
projetado para o controle global da planta, foi avaliado no modelo não-linear apresentando
bons resultados e boa robustez. Além disso, foi descrita uma estratégia de restrições das ações
de controle que asseguram a operação na faixa de alta conversão, restringindo o sistema
quanto a transição da região A para C.
Sendo o modelo completamente observável, foi avaliado um estimador de estados
(CEKF) para a retroalimentação do sistema de controle também foi avaliada, como alternativa
à redução da instrumentação necessária para a operação de um processo real. Os resultados
são satisfatórios com destaque para o caso onde a concentração de substrato é medida e a
concentração de produto é estimada.
6.2 Recomendações e sugestões para trabalhos futuros
Tendo em vista que os resultados da dissertação são basicamente fundamentados no
modelo de Jöbses et al. (1986) e que este modelo não foi validado para todas as regiões
mapeadas pelos diagramas de bifurcação, um estudo experimental mais criterioso deve ser
desenvolvido. A validade dos parâmetros constantes do modelo deve ser analisada para as
diversas condições operacionais, principalmente no que diz respeito a região com
multiplicidade de equilíbrios. Uma atenção especial deve ser dada a característica de inibição
por substrato, já que as regiões de maior produtividade trabalham com concentrações elevadas
de substrato alimentado.
6.2
R
ECOMENDAÇÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
125
Com o modelo experimentalmente validado o sistema de controle deve ser
implementado para avaliação do seu comportamento no sistema real. Para tal, faz-se
necessária a quantificação das variáveis responsáveis pela retroalimentação dos controladores
em tempo real, o que torna factível a tomada de ações de caráter servo e regulatório. Para
contornar a dificuldade em quantificar algumas variáveis em tempo real surgem as inferências
ou analisadores virtuais (Gonzalez, 1999), que são módulos de cálculo que podem predizer
propriedades chave do produto através da medição de outras variáveis do processo de fácil
obtenção. A inferência é basicamente constituída de algoritmos e modelos matemáticos e sua
qualidade é medida pela precisão de suas estimativas (Miranda e Lusa, 2003). A
implementação da análise virtual é simples e apresenta custos relativamente baixos, desde que
exista um sistema de instrumentação e aquisição de dados já implantados (Diehl et al., 2009).
Estimadores de estado, conceitualmente introduzidos no Capítulo 5, não deixam de serem
analisadores virtuais e fazem parte da alternativa de retroalimentação de sistemas de controle.
Mesmo que sejam utilizados analisadores virtuais e/ou estimadores de estado, ainda
haverá a necessidade de se medir propriedades reais do processo. Tais medidas são utilizadas
como entradas em algoritmos de predição e sua obtenção depende da utilização de
transdutores. Dentre as características buscadas nesses sensores estão a precisão, resolução,
sensibilidade, confiabilidade e praticidade (Webster, 1999). Além disso, quando se fala em
bioprocessos é essencial atentar para os riscos de contaminação do meio. Uma barreira segura
deve ser mantida entre o interior e o exterior de fermentadores e tal restrição varia conforme o
princípio do medidor utilizado. Um exemplo são os sensores óticos, que permitem monitorar
componentes extra e intracelular sem interferir no bioprocesso (Scheper et al., 1999).
Nos últimos anos os sensores óticos vem se tornando cada vez mais importantes em
aplicações biotecnológicas. Detectores óticos podem ser interfaceados através do vidro de
escotilhas de reatores. Assim sendo, trata-se de um método de medida in-situ, não-invasivo e
em tempo real (Hantelmann et al., 2006; Scheper et al., 1999). Todo tipo de espectroscopia é
possível através dessa técnica. Neste contexto sensores de fluorescência vem sendo
investigados na determinação de biomassa e células viáveis, caracterização do biorreator,
estudos metabólicos (i.e. transição aeróbica/anaeróbica) e principalmente no monitoramento
de bioprocessos. Associar a utilização de espectroscopia de fluorescência com inferidores
vem se mostrando uma ferramenta poderosa na quantificação de variáveis chave de
bioprocessos. É essencial a utilização de analisadores virtuais ou estimadores de estado para
126 6.
C
ONSIDERAÇÕES
F
INAIS
traduzir o que é lido on-line pelo espectroscópio em informação útil à operação do sistema.
Um espectro completo pode ser gerado em aproximadamente um minuto, em um 2D-
espectrofluorômetro. Tal equipamento, capaz de monitorar simultaneamente todos os
fluoróforos do meio, é ilustrado na Figura 6.1. Na Figura 6.2 são vistos os fluoróforos
biogênicos capazes de serem detectados por espectroscopia de fluorescência 2D. O número de
informações gerada por tal equipamento é extremamente alta. Se uma varredura completa de
espectro é realizada a cada 10 minutos, são gerados aproximadamente 150.000 pontos de
medida (o equivalente a 1,5 MB) em 24 horas. Para filtrar o elevado número de informação
são utilizadas técnicas de regressão multivariável, redes neuronais, PCA, PLS, etc. Em outras
palavras analisadores virtuais vêm sendo empregados no tratamento das informações
produzidas por espectrometria em 2D. Esses modelos são chamados de chemometric models
(Solle et al., 2003; Hitzmann et al., 1998).
Figura 6.1 – 2D-espectrofluorômetro.
Fonte: Scheper et al. (1999).
Figura 6.2 – Fluoróforos capazes de serem determinados pelo 2D-espectrofluorômetro (a) e
espectro de fluorescência gerado pelo equipamento (b).
Fonte: Scheper et al. (1999).
(a) (b)
6.2
R
ECOMENDAÇÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
127
Uma série de publicações vem reportando aplicações de 2D-espectrofluorescência em
processos biotecnológicos. Em Boehl et al. (2003) técnicas de espectroscopia de fluorescência
são empregadas com sucesso na predição de biomassa, proteínas e concentração de alcalóides
durante o cultivo fúngico de Claviceps purpurea, para a produção de fármacos. Fritzsche et
al. (2007) utiliza análises espectrais e chemometric models para monitoramento de pH, onde a
medida pode ser calculada independentemente da intensidade absoluta e da temperatura da
amostra. No trabalho de Surribas et al. (2006) é avaliado o desempenho da espectroscopia 2D
para a estimação de variáveis de estado da fermentação (concentração de biomassa, substrato
e produto). Boehl et al. (2001) mostram a possibilidade da aplicação do método não-invasivo
na determinação de diversas variáveis simultaneamente, através de modelos gerados pela
técnica PLS (Partial Least Square), na produção de cerveja. Um artigo muito interessante é o
de Geissler et al. (2003), onde são apresentados resultados da predição da concentração de
substrato, biomassa e produto através de dados provenientes de 2D-espectrofuorescência para
a fermentação de Saccharomyces cerevisiae. Os resultados podem ser visualizados na Figura
6.3, onde a linha contínua representa a predição e os pontos medidas off-line (resultado de
análises de laboratório).
Figura 6.3 – Predição utilizando um chemometric model traduzindo dados de um 2D-
espectrofluorômetro e medidas off-line (pontuais) das variáveis.
Fonte: Geissler et al. (2003).
Finalmente um conhecimento mais aprofundado do modelo matemático do processo,
associado às estratégias de controle deste trabalho e a utilização da predição de variáveis,
através da espectrometria de fluorescência 2D, são as bases necessárias para a obtenção de um
processo produtivo de etanol por Z. mobilis extremamente eficiente.
128 6.
C
ONSIDERAÇÕES
F
INAIS
6.2
R
ECOMENDAÇÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
129
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ONSIDERAÇÕES
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