( PDF ) Desenvolvimento e teste de esquemas "upwind" de alta resolução e suas aplicações em escoamentos incompressíveis com superfícies livres.

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Desenvolvimento e teste de esquemas “upwind”

de alta resolução e suas aplicações em

escoamentos incompressíveis com superfícies

livres

Rafael Alves Bonﬁm de Queiroz

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SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 20 de março de 2009

Assinatura:

Desenvolvimento e teste de esquemas “upwind” de alta resolução e

suas aplicações em escoamentos incompressíveis com superfícies

livres

Rafael Alves Bonﬁm de Queiroz

Orientador: Prof. Dr. Valdemir Garcia Ferreira

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemá-

ticas e de Computação — ICMC/USP como parte dos re-

quisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências -

Ciências de Computação e Matemática Computacional.

USP - São Carlos

Março/2009

Trabalho realizado com o apoio da FAPESP através do processo 06/05910-1.

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Deus onipotente e misericordioso olhai

com bondade este trabalho cientíﬁco

e fazei que ele atinja

os ﬁns que vos agradam.

Por Cristo, nosso Senhor.

Agradecimentos

Primeiramente a Deus, pelo dom da vida e novo alento.

Ao meu papai Arlindo e à minha mamãe Salete, pelo amor e motivação para os meus estudos.

Aos meus irmãos Danilo, João Marcos e Lucas, às minhas irmãs Aline e Amanda, pelo carinho.

Ao amigo e professor Dr. Valdemir Garcia Ferreira do ICMC-USP, pela orientação e conﬁança.

Ao meu padrinho Hércules e às minhas madrinhas Elza e Leonice, por toda a ajuda e torcida.

À minha namorada Amanda, por me fazer ainda mais feliz.

Ao amigo e professor Dr. João Fernando Marar da UNESP - Bauru, pelos ensinamentos e

orientação em iniciação cientíﬁca.

Aos amigos Cássio M. Oishi, Fernando Akira Kurokawa, Fernando Pacanelli Martins e Rafael

Gigena Cuenca, pelos trabalhos em equipe e toda ajuda.

À minha amiga Analice Costacurta Brandi, pelos materiais didáticos disponibilizados e dispo-

sição em explicar a sua dissertação para mim.

Ao professor Dr. Raúl Antonino Feijóo do LNCC e ao professor Dr. Philippe Remy Bernard

Devloo da UNICAMP, pela participação como membros da banca da minha Defesa de Mestrado.

Ao professor Dr. Fabrício Simeoni de Sousa do ICMC-USP e ao professor Dr. Paulo Seleghim

Júnior da EESC - USP, pela participação como membros da banca do meu Exame de Qualiﬁcação.

Ao professor Dr. João Luiz Filgueiras de Azevedo do CTA/IAE, pelo estímulo e interesse que

despertou em mim pela área de CFD através de sua palestra proferida no XXIX CNMAC em 2006.

A todos os professores e alunos dos grupos de pesquisa do LCAD e funcionários do ICMC-USP,

pela saudável convivência e apoio dado durante a realização deste trabalho.

À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), pelo suporte ﬁnanceiro

para a realização do meu projeto de pesquisa (número do processo: 06/05910-1).

Resumo

Este trabalho são apresentados os resultados do desenvolvimento e teste

de esquemas “upwind” de alta resolução para o controle da difusão

numérica em leis de conservação gerais e problemas em dinâmica dos ﬂui-

dos. Em particular, são derivados dois novos esquemas: o ALUS (“Adaptive

Linear Upwind Scheme”) e o TOPUS (“Third-Order Polynomial Upwind

Scheme”). Esses esquemas são testados no transporte de escalares, em equa-

ções 1D tipo convecção-difusão, em sistemas hiperbólicos 1D, nas equações

de Euler 2D da dinâmica dos gases e nas equações de Navier-Stokes in-

compressíveis 2D/3D. Os esquemas são então associados a uma modelagem

algébrica não linear para a simulação de problemas de escoamentos incom-

pressíveis turbulentos 2D com/sem superfícies livres.

Palavras-chave: Esquemas “upwind” de alta resolução; Modelagem da

turbulência; Escoamentos compressíveis e incompressíveis; Equações de

Navier-Stokes instantâneas e médias; Leis de conservação; Simulação nu-

mérica; Método de diferenças ﬁnitas; Escoamentos com superfícies livres;

Esquemas TVD; Transporte convectivo.

Abstract

N this work, results of the development and testing of high-resolution

upwind schemes for controlling of the numerical diffusion for general

conservation laws and ﬂuid dynamics problems are presented. In particular,

two new high-resolution upwind schemes are derived, namely, the ALUS

(Adaptive Linear Upwind Scheme) and the TOPUS (Third-Order Polyno-

mial Upwind Scheme). These schemes are tested in scalar transport, 1D

convection-diffusion equations, 1D hyperbolic systems, 2D Euler equations

of the gas dynamics, and in 2D/3D incompressible Navier-Stokes equati-

ons. The schemes are then combined with a nonlinear Reynolds stress al-

gebraic equation model for the simulation of 2D incompressible turbulent

ﬂows with/without free surfaces.

Keywords: High-resolution upwind schemes; Turbulence modelling; Com-

pressible and incompressible ﬂows; Averaged and instantaneous Navier-Sto-

kes equations; conservation laws; Numerical simulation; Finite difference

method; Free surface ﬂow; TVD schemes; Convective transport.

iii

Sumário

Resumo i

Abstract iii

1 Introdução 1

2 Modelagem Matemática - Tema da Pesquisa 5

2.1 Equação de Advecção 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Equação de Convecção-Difusão 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Equações de Águas Rasas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Equações de Euler 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Equações de Euler 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Equações Instantâneas de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Equações Médias de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.8 Modelagem κ − ε da Turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.9 Modelagem Não Linear para Tensões de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.10 Modelo Oldroyd-B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Esquemas “Upwind” de Alta Resolução 15

3.1 Formulação de Variáveis Normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Esquema TOPUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Esquema ALUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Modelagem Computacional 23

4.1 Discretização dos Termos Convectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Algoritmo para Simulação de Escoamentos Incompressíveis Laminares . . . . . . 29

4.3 Algoritmo para Simulação de Escoamentos Incompressíveis Turbulentos . . . . . . 30

5 Resultados Numéricos 1D 33

5.1 Advecção Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Equação Linear de Convecção-Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.4 Equação de Buckley-Leverett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5 Equação de Águas Rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.6 Problemas de Riemann para as Equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.6.1 Tubo de Choque de Sod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.6.2 Tubo de Choque de Shu-Osher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.6.3 Tubo de Choque de Shu-Osher Modiﬁcado . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6.4 Tubos de Choque de Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Resultados Numéricos 2D e Aplicações 59

6.1 Problemas Incompressíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.1 Escoamento de Poiseuille em Regime Laminar . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.2 Escoamento numa Expansão Brusca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.1.3 Colapso de uma Coluna de Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.1.4 Jato Livre sobre uma Superfície Rígida Impermeável . . . . . . . . . . . . 74

6.1.5 Aplicação: Escoamentos de um Fluido Viscoelástico . . . . . . . . . . . . 80

6.1.6 Aplicação: Problema “Sluice Gate” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.1.7 Aplicação: Jato num Corpo de Fluido em Repouso . . . . . . . . . . . . . 86

6.2 Problemas Compressíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.1 Diamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.2 RAE 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.3 NACA 0012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7 Resultados Numéricos 3D e Aplicações 101

7.1 Colapso de um Bloco de Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2 Ressalto Hidráulico Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3 Jatos Oscilantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.4 Interação Fluido-Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8 Contribuições do Autor 109

8.1 Artigos Publicados e Submetidos em Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2 Artigos Publicados em Anais de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Conclusões e Trabalhos Futuros 113

A Demonstração da Propriedade TVD para o TOPUS com α = 2 115

B Limitador de Fluxo Flexível e Simétrico Baseado no Esquema TOPUS 117

C Formulação Espacial e Variável Normalizada dos Esquemas ALUS e TOPUS 119

D Limitador TOPUS para a simulação de escoamentos aerodinâmicos compressíveis 121

Referências Bibliográﬁcas 123

Lista de Figuras

3.1 Posições D, R e U em relação a face computacional f , o sinal da velocidade v

fornece o sentido do escoamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Metodologia NVF: (a) Esquemas convectivos clássicos no NVD, (b) Critério CBC. 16

3.3 Curvas características do esquema TOPUS: (a) região TVD de Harten [61], (b)

limitador na região TVD de Sweby [139]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Curvas características do esquema ALUS: (a) região TVD de Harten [61], (b)

limitador na região TVD de Sweby [139]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Célula computacional mostrando o ponto P de discretização dos termos convecti-

vos, seus vizinhos, as faces envolvidas f e g na aproximação e a variável convec-

tada φ sendo transportada com velocidade v

na direção y. . . . . . . . . . . . . . 24

5.1 Simulação do caso 1 com número de Courant θ = 0.05 − Resultados numéri-

cos para advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU,

Lax-Wendroff, TOPUS e VONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Simulação do caso 1 com número de Courant θ = 0.5 − Resultados numéri-

cos para advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU,

Lax-Wendroff, TOPUS e VONOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3 Simulação do caso 2 com número de Courant θ = 0.05 − Resultados numéri-

cos para advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU,

Lax-Wendroff, TOPUS e VONOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4 Simulação do caso 2 com número de Courant θ = 0.5 − Resultados numéri-

cos para advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU,

Lax-Wendroff, TOPUS e VONOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.5 Simulação do caso 3 com número de Courant θ = 0.05 − Resultados numéri-

cos para advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU,

Lax-Wendroff, TOPUS e VONOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.6 Simulação do caso 3 com número de Courant θ = 0.5 − Resultados numéri-

cos para advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU,

Lax-Wendroff, TOPUS e VONOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.7 Soluções exatas(“quadrados”) e resultados numéricos (“estrelas”) para o problema

da camada de limite obtidos com a utilização de esquemas “upwind” de alta reso-

lução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.8 Caso 1: Comparação entre as soluções exata e numéricas da equação de Burgers. . 43

vii

5.9 Caso 2: Soluções numéricas da equação de Burgers com viscosidade. . . . . . . . 44

5.10 Caso 3: Soluções numéricas da equação de Burgers com viscosidade. . . . . . . . 45

5.11 Simulação numérica de uma onda de choque usando o ALUS: (a) comparação

entre as soluções numérica e exata; (b) perﬁl transiente da solução numérica. . . . 46

5.12 Simulação numérica de uma onda de choque usando o TOPUS: (a) comparação

entre as soluções numérica e exata; (b) perﬁl transiente da solução numérica. . . . 46

5.13 Simulação numérica de uma onda de rarefação usando os esquemas convectivos

ALUS, Superbee, TOPUS e VONOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.14 Resultados numéricos da equação de Buckley-Leverett: (a) caso 1; (b) caso 2. . . . 48

5.15 Soluções numéricas e de referência para a profundidade h no problema “dam-break”. 50

5.16 Soluções numéricas e de referência para a vazão hu no problema “dam-break”. . . 51

5.17 Soluções numéricas do tubo de choque de Sod obtidas com os esquemas ADB-

QUICKEST, ALUS, Lax-Wendroff, SMART, Superbee e TOPUS. . . . . . . . . . 53

5.18 Soluções numéricas do tubo de choque de Shu-Osher obtidas com os esquemas

ADBQUICKEST, ALUS, Lax-Wendroff, SMART, Superbee e TOPUS. . . . . . . 54

5.19 Soluções numéricas do tubo de choque de Shu-Osher modiﬁcado obtidas com os

esquemas ADBQUICKEST, ALUS, ARORA, MINMOD, Superbee e TOPUS. . . 56

5.20 Caso 1: Soluções numéricas do tubo de choque de Toro obtidas com os esquemas

ADBQUICKEST, ALUS, ARORA, MINMOD, SMART e TOPUS. . . . . . . . . 57

5.21 Caso 2: Soluções numéricas do tubo de choque de Toro obtidas com os esquemas

ADBQUICKEST, ALUS, ARORA, SMART, Superbee e TOPUS. . . . . . . . . . 58

6.1 Comparação entre as soluções numéricas (“estrelas”) e semi-analíticas (“linhas

contínuas”) para o escoamento de Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2 Resultados numéricos para a velocidade u obtidos nas simulações do escoamento

de Poiseuille usando o esquema TOPUS e três malhas diferentes a Reynolds Re =

500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3 Geometria para o problema conﬁnado numa expansão brusca. . . . . . . . . . . . 63

6.4 Resultados numéricos para a velocidade u obtidos nas simulações do escoamento

numa expansão brusca a Reynolds Re = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.5 Resultados numéricos para a velocidade u obtidos nas simulações do escoamento

numa expansão brusca a Reynolds Re = 800. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.6 Perﬁl da componente u da velocidade do problema da expansão brusca quando

Re = 600, mostrando a melhoria da solução numérica com o reﬁnamento da malha. 66

6.7 Resultados numéricos do campo de velocidade na direção x obtidosnas simulações

do problema da expansão brusca usando o modelo κ − ε. . . . . . . . . . . . . . . 68

6.8 Resultados numéricos do campo de velocidade na direção x obtidosnas simulações

do problema da expansão brusca usando o modelo algébrico RSAEM. . . . . . . . 69

6.9 Geometria do problema do colapso de uma coluna de ﬂuido: a = 0.05m e b = 0.1m. 70

6.10 Distribuição do campo de pressão obtida na simulação do problema do colapso de

coluna de ﬂuido 2D em regime turbulento usando os esquemas ALUS e TOPUS. . 71

6.11 Comparação entre os dados experimentais e os resultados numéricos obtidos nas

simulações usando o esquema ALUS com e sem modelagem de turbulência. . . . . 72

6.12 Comparação entre os dados experimentais e os resultados numéricos obtidos nas

simulações usando o esquema TOPUS com e sem modelagem de turbulência. . . . 73

6.13 Geometria de um jato livre incidindo sobre um contorno rígido. . . . . . . . . . . . 75

6.14 Resultados numéricos para o campo de pressão do escoamento em regime laminar

de um jato livre incidindo sobre um contorno rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.15 Comparação entre a solução analítica de Watson e as soluções numéricas obtidas

com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS no caso laminar,

p= x

/(aRe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.16 Comparação entre a solução analítica de Watson e os resultados numéricos obtidos

com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS combinados com

o modelo κ − ε, r= x

/(aRe

1/4

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.17 Comparação entre a solução analítica de Watson e os resultados numéricos obtidos

com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS combinados com

o modelo RSAEM, r= x

/(aRe

1/4

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.18 Soluções numéricas obtidas na simulação com o esquema TOPUS no instante t =

2.175s na malha de 200 × 40 células a Reynolds Re = 0.01. . . . . . . . . . . . . 81

6.19 Comparação entre as soluções numéricas, obtidas com a utilização do esquema

TOPUS a Reynolds Re = 0.01 em diferentes malhas, e analíticas. . . . . . . . . . 82

6.20 Resultados numéricos da componente v da velocidade obtidos usando o esquema

TOPUS a Reynolds Re = 0.15 e a Weissenberg W e = 2.5 . . . . . . . . . . . . . . 86

6.21 Continuação da Figura 6.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.22 Geometria do problema de um jato penetrando num corpo de ﬂuido. . . . . . . . . 88

6.23 Evolução dos contornos do campo de pressão do problema “sluice gate”. . . . . . . 89

6.24 Evolução dos contornos da componente de velocidade u do problema “sluice gate”. 90

6.25 Evolução dos contornos da componente de velocidade v do problema “sluice gate”. 91

6.26 Contornos de pressão de um jato penetrando numa porção de ﬂuido em repouso. . . 92

6.27 Contornos da componente u da velocidade de um jato penetrando numa porção de

ﬂuido em repouso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.28 Contornos da componente v da velocidade de um jato penetrando numa porção de

ﬂuido em repouso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.29 Convergência do método numérico na simulação do escoamento supersônico ao

redor de um aerofólio diamante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.30 Simulação do escoamento transônico ao redor do aerofólio RAE 2822: (a) análise

de convergência; (b) comparação entre os resultados numéricos e dado experimen-

tal para o coeﬁciente de pressão Cp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.31 Resultados numéricos da distribuição de pressão e Mach ao redor do aerofólio

RAE 2822. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.32 Resultados numéricos da distribuição da pressão P: (a) ao redor do aerofólio RAE

2822; (b) detalhe da região do choque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.33 Resultados numéricos da distribuição Mach: (a) ao redor do aerofólio RAE 2822;

(b) detalhe da região do choque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.34 Resultados numéricos da distribuição de densidade ρ: (a) ao redor do aerofólio

RAE 2822; (b) detalhe da região do choque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.35 Comparação entre os resultados numéricos e dado experimental para o coeﬁciente

de pressão Cp ao redor do aerofólio NACA 0012 a Mach 0.3 e ângulo de ataque 0

. 98

6.36 Comparação entre os resultados numéricos e dado experimental para o coeﬁciente

de pressão Cp ao redor do aerofólio NACA 0012 a Mach 0.5 e ângulo de ataque 8

. 99

6.37 Comparação entre os resultados numéricos e dado experimental para o coeﬁciente

de pressão Cp ao redor do aerofólio NACA 0012 a Mach 0.75 e ângulo de ataque 4

. 99

7.1 Solução numérica do colapso de um bloco de ﬂuido sob à ação da gravidade utili-

zando o esquema TOPUS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.2 Distribuição da pressão calculada na simulação do colapso de um bloco de ﬂuido

usando os esquemas ALUS e TOPUS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.3 Comparação entre a frente principal x

max

do ﬂuido, em função do tempo, calculada

pelas soluções numéricas e experimentais do colapso de um bloco de ﬂuido. . . . . 104

7.4 Resultado numérico fornecido pelo código “Freeﬂow-3D” equipado o esquema

“upwind” de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.5 Comparação qualitativa entre os resultados numérico e experimental do ressalto

hidráulico circular, Re = 150. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.6 Comparação qualitativa entre os resultados numérico e experimental do ressalto

hidráulico circular em regime de transição para a turbulência, Re = 1.0 × 10

. . . . 106

7.7 Soluções numéricas para escoamentos de jatos oscilantes. . . . . . . . . . . . . . . 107

7.8 Solução numérica do choque de uma onda contra um obstáculo rígido. . . . . . . . 108

B.1 Curvas características do limitador FSFL na região TVD de Sweby [139]. . . . . . 118

Lista de Tabelas

5.1 Estudo da convergência de esquemas convectivos de alta resolução, associado com

um método de diferenças ﬁnitas explícito, aplicado a solução da equação da ca-

mada limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Estudo da convergência dos esquemas ALUS e TOPUS aplicados à equação de

Burgers com viscosidade ν = 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.1 Estudo da convergência dos esquemas de alta resolução, relacionados com o mé-

todo implícito de Crank-Nicolson, aplicados ao problema de Poiseuille a Reynolds

Re = 500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2 Comparação entre resultados experimentais e numéricos obtidos para o problema

conﬁnado numa expansão brusca usando diferentes esquemas convectivos e núme-

ros de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3 Valores da recirculação obtidos para o problema de expansão brusca no caso tur-

bulento usando o modelo κ − ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4 Valores da recirculação obtidos para o problema de expansão brusca no caso tur-

bulento usando o modelo RSAEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5 Escoamento viscoelástico num canal - Erro E

entre as soluções numérica e

analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.6 Escoamento viscoelástico num canal - Taxa da convergência do método numérico

na norma 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.7 Comparação entre os resultados numéricos e teórico da inclinação da onda de cho-

que oblíqua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Lista de Símbolos e Notações

u, v, w: componentes da velocidade no sistema de coordenadas cartesianas 3D

x, y, z: coordenadas espaciais no sistema de coordenadas cartesianas 3D

: velocidade normal ao contorno

: velocidade tangencial ao contorno

: viscosidade turbulenta

δi: espaçamento da malha (i = x, y, z)

δt: espaçamento temporal

: tempo de relaxação

: tempo de retardamento

: i-ésima componente da aceleração gravitacional

: tensor de tensões de Reynolds

: tensor extra tensão

xr: comprimento de recirculação

xg: ponto do domínio em que velocidade troca de sinal (escoamento numa expansão brusca)

Cp: coeﬁciente de pressão

c: comprimento da corda do perﬁl do aerofólio

f: face da célula computacional

h: profundidade do ﬂuido no canal ou altura da superfície livre ou diâmetro do injetor

p ou P: pressão

t: tempo

D: posição “Downstream”

L: escala de comprimento

N: número de células computacionais

Q: vazão do ﬂuido

R: posição “Remote-Upstream”

U: posição “Upstream”

: escala de velocidade

: velocidade do ﬂuido

F r = U



(L|g|): número de Froude

Re = (LU

)/ν: número de Reynolds

W e = (λ

)/L: número de Weissenberg

θ = (uδt)/δx: número de Courant

1D: unidimensional

2D: bidimensional

xiii

Lista de Símbolos e Notações xiv

3D: tridimensional

α: parâmetro constante do esquema TOPUS

β: parâmetro constante do esquema FSFL ou razão de retardamento (β = λ

/λ

)

ε: dissipação de energia cinética

κ: energia cinética turbulenta

µ: coeﬁciente de viscosidade dinâmica do ﬂuido

ν: coeﬁciente de viscosidade cinemática do ﬂuido

ρ: densidade ou massa especíﬁca

φ: variável genérica não normalizada ou grandeza (φ = u, v, κ ou ε)

ψ: função limitadora de ﬂuxo

φ: variável genérica normalizada

Lista de Acrônimos

ADBQUICKEST – “Adaptative Bounded QUICK with Estimated Streaming Terms”

ALUS –“Adaptive Linear Upwind Scheme”

CBC –“Convection Boundedness Criterion”

CDS –“Central-Differencing Scheme”

CFD –“Computational Fluid Dynamics”

CHARM – “Cubic / Parabolic High-Accuracy Resolution Method”

CLAWPACK – “Conservation LAW PACKage”

CUBISTA - “Convergent and Universally Bounded Interpolation Scheme for the Treatment of Ad-

vection”

DNS –“Direct Numerical Simulation”

EDOs – Equações Diferenciais Ordinárias

EDPs – Equações Diferencias Parciais

ENO –“Essentially Non-Oscillatory”

FOU –“First-Order Upwind”

FSFL–“Flexible and Symmetric Flux Limiter”

GENSMAC - “Generalized-Simpliﬁed-Marker-and-Cell”

HLPA –“Hybrid-Linear Parabolic Aproximation”

ISNAS –“Interpolation Scheme which is Nonoscillatory for Advected Scalars”

LES –“Large Eddy Simulation”

MINMOD – “MINimum MODulus”

MUSCL – “Monotonic Upwind Scheme for Conservation Laws”

NV –“Normalized Variable”

NVD –“Normalized Variable Diagram”

NVF –“Normalized Variable Formulation”

NVSF –“Normalized Variable and Space Formulation”

QUICK –“Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics”

QUICKEST – “QUICK with Estimated Streaming Terms”

RANS –“Reynolds-Averaged Navier-Stokes”

RSAEM – “Reynolds Stress Algebraic Equation Model”

SMART–“Sharp and Monotonic Algorithm for Realistic Transport”

SOU –“Second-Order Upwind”

TOPUS –“Third-Order Polynomial Upwind Scheme”

TVD –“Total Variation Diminishing”

VONOS –“Variable-Order Non-Oscillatory Scheme”

Lista de Acrônimos xvi

WACEB –“Weighted Average Coefﬁcients Ensuring Boundedness”

WENO –“Weighted ENO”

CAPÍTULO

Introdução

A grande maioria dos problemas de escoamento de ﬂuidos encontrados em aplicações tecnoló-

gicas é caracterizada por possuiralto poder convectivo,especialmente aqueles no regime turbulento

com superfícies livres móveis. Computar soluções numéricas representativas para essa classe de

problemas, especialmente no caso dominado por convecção, é um assunto importante, desaﬁador e

que exige o desenvolvimento de esquemas numéricos eﬁcientes, robustos e precisos. Conseqüen-

temente, o tema tem sido uma das principais preocupações da comunidade cientíﬁca moderna em

CFD (“Computational Fluid Dynamics”). Fundamentalmente, dois pilares sustentam o sucesso na

simulação numérica desses problemas, a saber: i) o desenvolvimento de esquemas “upwind” de

alta resolução; e ii) a modelagem da turbulência.

Esquemas convectivos “upwind” de alta ordem (maior ou igual a 2) são técnicas numéricas

especializadas para aproximar termos convectivos lineares (ou não lineares) de leis de conservação,

tais como as equações de Euler da dinâmica dos gases ou as equações de Navier-Stokes para o

movimento dos ﬂuidos (ver, por exemplo, [157]). A idéia básica por trás destas estratégias é usar

um esquema numérico tão preciso quanto possívelem regiões suaves e, ao mesmo tempo, adicionar

dissipação numérica controlada em regiões de gradientes elevados. Seus objetivos principais são

manter estabilidade da solução numérica, capturar descontinuidadesou choques (sem a presença de

oscilações numéricas ou, em casos extremos, com oscilações limitadas), ser computacionalmente

simples, econômico e conseguir convergência.

Para alcançar esses objetivos, mais simplicidade na implementação, eﬁciência computacional

e robustez, uma estratégia bastante comum (ver, por exemplo, [21, 41, 71, 85, 94, 148, 154, 161,

163]) tem sido combinar variáveis normalizadas de Leonard [81] ou limitadores de ﬂuxo [139]

com as condições para estabilidade não linear (ou critérios de limitação) TVD (“Total Variation

Diminishing”) de Harten [61] (ver também Sweby [139]) e CBC (“Convection Boundedness Cri-

terion”) de Gaskell e Lau [53]. A restrição TVD visa conseguir com o tempo variação limitada de

propriedades físicas e impor um auto ajuste do esquema de acordo com os gradientes locais e o

critério CBC é para produzir solução limitada.

Nas últimas décadas, muitas tentativas têm sido feitas para derivar o esquema convectivo

“upwind” de alta resolução perfeito, isto é, aquele que satisfaz todas as exigências mencionadas

anteriormente, e entre elas destacam-se a proposta do esquema HLPA (“Hybrid-Linear Parabo-

lic Approximation”) de Zhu [166], do SMART (“Sharp and Monotonic Algorithm for Realistic

Transport”) por Gaskell e Lau [53], do WACEB (“Weighted Average Coefﬁcient Ensuring Boun-

dedness”) por Song et al. [133], do VONOS (“Variable-Order Non-Oscillatory Scheme”) de Varo-

nos e Bergeles [152] e, mais recentemente, a proposta do CUBISTA (“Convergent and Universally

Bounded Interpolation Scheme for the Treatment of Advection”) de Alves et al. [3]. Por satis-

fazerem o critério de estabilidade CBC, tais esquemas vêm sendo utilizados com sucesso numa

variedade de aplicações (veja os trabalhos [2, 18, 57, 78, 94, 96, 98, 120, 127, 149, 163], entre

muitos outros). Entretanto, a ausência do número de Courant (veja [83]) em suas formulações,

além da falta de robustez em resolver problemas de evolução, e o desejo de simular problemas

de escoamento de ﬂuidos em condições adversas motivaram o desenvolvimento de uma versão

limitada do esquema QUICKEST (“QUICK with Estimated Streaming Terms”) de Leonard [81],

chamada QUICKEST adaptativo nas referências [43, 46, 47, 49] ou ADBQUICKEST (“ADapta-

tive Bounded QUICKEST”) na referência [48].

Vale salientar que há também outra classe de esquemas de alta resolução soﬁsticados chama-

dos ENO (“Essentially Non-Oscillatory”) e seus relacionados WENO (“Weighted ENO”), que são

apropriados para capturar descontinuidades e pontos extremos com alta ordem de precisão (ver

[63]). Nesses esquemas, alta ordem é alcançada usando polinômios interpoladores de graus ele-

vados que não garantem resultados não oscilatórios. Seus compromissos são relaxar as condições

CBC/TVD e, ao invés de considerar moléculas computacionais ﬁxas, escolher moléculas compu-

tacionais variáveis. O preço a ser pago por esse procedimento é, além da diﬁculdade de imple-

mentação, o número muito elevado de operações aritméticas requeridas a cada passo no tempo. A

diferença entre ENO/WENO e esquemas CBC/TVD é que os esquemas ENO/WENO têm a propri-

edade de reter a mesma ordem de precisão espacial em todo o domínio, inclusive nas vizinhanças

de descontinuidades e pontos extremos, enquanto que os esquemas CBC/TVD oferecem primeira

ordem de precisão nessas regiões críticas. Em outras palavras, a dissipação numérica contida nos

esquemas ENO/WENO é intrinsecamente menor que aquela nos esquemas CBC/TVD. Por outro

lado, em muitas aplicações - como os escoamentos incompressíveis - segunda ordem de precisão

é suﬁciente (ver [72]). Também, esquemas ENO/WENO são usados na simulação da turbulência

com LES (“Large Eddy Simulation”) [121], em que se conclui freqüentemente que eles são muitos

dissipativos [43].

No que tange à modelagem de turbulência [32, 159], existem poucas maneiras de se simular

numericamente escoamentos incompressíveis nesse regime e, dentre elas, destacam-se três me-

todologias principais, a saber: a) a DNS (“Direct Numerical Simulation”) [121, 134]; b) a LES

[121]; e c) a RANS (“Reynolds-Averaged Navier-Stokes”) [135]. Na DNS, todas as escalas da

turbulência são computadas numericamente, a partir das equações instantâneas de Navier-Stokes

e continuidade, sem levar em consideração o fato de que as pequenas e as grandes escalas da tur-

bulência possuem características físicas diferentes. A necessidade de uma malha computacional

excessivamenteﬁna e de um tamanho de passo no tempo bastante reduzido exige demanda elevada

de recursos computacionais, sendo a DNS limitada para problemas a baixos valores do número

de Reynolds. Na LES, formulada com base num processo de ﬁltragem das equações instantâ-

neas de conservação, permite-se, da mesma maneira como na DNS, computar as escalas maiores

(“grid-scale”) da turbulência, e os efeitos das estruturas de pequenas escalas (“subgrid-scale”) são

modelados. Os praticantes dessa metodologia argumentam que as escalas pequenas da turbulência

são mais homogêneas e isotrópicas e, portanto, fáceis de modelar. Entretanto, quando a malha

computacional é muito ﬁna, o número de escalas que requer modelagem torna-se muito pequeno

e, conseqüentemente, a metodologia LES aproxima-se da DNS. A RANS é semelhante à LES,

em que a média temporal de Reynolds, um caso particular de ﬁltro, é adotada para simpliﬁcar a

modelagem “submalha”, ou seja, informações sobre ﬂutuações turbulentas são obtidas do tensor

de tensões de Reynolds.

O estudo realizado nesta pesquisa foi motivado pela necessidade de novos esquemas “upwind”

de alta resolução robustos/fáceis de implementar e uma modelagem da turbulência barata. Assim,

o presente trabalho de mestrado é um passo nesta direção. Em particular, ele está relacionado à

solução numérica de leis de conservação gerais e escoamentos incompressíveis em regime transi-

tório com superfícies livres móveis a números de Reynolds elevados. Atenção especial é voltada

para o desenvolvimento, a análise e a implementação de esquemas de convecção e modelagem

da turbulência de duas equações [22, 76]. Outra motivação para o desenvolvimento de esquemas

“upwind” está no fato de que as leis de conservação e equações da dinâmica dos ﬂuidos resolvi-

das neste trabalho de mestrado aparecem em muitos problemas de interesse prático (por exemplo,

aerodinâmica e hidrodinâmica).

No contexto do método das diferenças ﬁnitas (ver, por exemplo, [83]) e fazendo o uso de variá-

veis normalizadas e/ou limitadores de ﬂuxo e dos critérios de limitação CBC e/ou TVD, o objetivo

do presente trabalho é desenvolver, analisar e implementar esquemas convectivos “upwind” de

alta resolução para aplicações na simulação numérica - direta ou por modelagem - de problemas

de escoamentos de ﬂuidos. Em particular, objetiva-se, pela aplicação dos novos esquemas TVD

ALUS/TOPUS, corroborar a asserção de Arora e Roe [10] de que esquemas TVD, associados ao

avanço temporal explícito de primeira ordem, têm méritos em problemas transientes.

Também se emprega neste trabalho uma combinação dos esquemas ALUS e TOPUS com a

modelagem algébrica não linear de Shih et al. [123] para estimar o tensor de tensões de Reynolds

mais a modelagem κ − ε padrão de Launder e Spalding [76] para a viscosidade turbulenta. Estas

metodologias foram adotadas com o objetivo de superar o alto custo associado à modelagem κ −

ε para baixos Reynolds e a exigência de recursos computacionais expressivos das metodologias

DNS e LES a altos Reynolds [121]. Objetiva-se ainda simular numericamente a turbulência nos

escoamentos incompressíveis com superfícies livres móveis.

Os novos esquemas “upwind” e a modelagem da turbulência foram, nos contextos de diferen-

ças ﬁnitas e variáveis primitivas, discretizados e implementados no ambiente “Freeﬂow” [20] para

simulação de problemas de escoamentos incompressíveis, transientes e viscosos, em qualquer re-

gime do número de Reynolds. A meta deste trabalho de mestrado foi o desenvolvimento, a análise

e a implementação de esquemas TVD simples e que atendam, ao máximo, as exigências mencio-

nadas anteriormente, cujo objetivo maior é o de simular numericamente escoamentos transientes

tridimensionais (3D) com superfícies livres móveis numa faixa ampla de Reynolds.

O restante do texto está organizado em sete capítulos, como segue. No capítulo 2 são apresen-

tados a modelagem matemática e o tema da pesquisa. O desenvolvimento dos esquemas ALUS

TOPUS é discutido no capítulo 3. A modelagem computacional necessária para a compreensão do

texto é resumida no capítulo 4. No capítulo 5 são aplicados (e comparados com outros esquemas

bem conhecidos da literatura) os esquemas desenvolvidos em leis de conservação unidimensionais

(1D). A simulação de escoamentos bidimensionais (2D) de ﬂuidos newtonianos e viscoelásticos,

incompressíveis/compressíveis, transientes e viscosos num vasto número de Reynolds é descrita

no capítulo 6. No capítulo 7 são apresentados os resultados das simulações dos escoamentos tran-

sientes 3D com superfícies livres móveis. No capítulo 8 são documentados os artigos cientíﬁcos

[30, 48, 50, 102, 105, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115] produzidos pelo autor e seus colaborado-

res durante o desenvolvimento deste trabalho. Em seguida, as conclusões e propostas de trabalhos

futuros são delineadas. No apêndice A é demonstrado o esquema TOPUS TVD. O desenvolvi-

mento de um novo limitador de ﬂuxo ﬂexível e simétrico baseado no esquema TOPUS é descrito

no apêndice B. A formulação espacial e variáveis normalizadas [33] para o ALUS e TOPUS é

apresentada no apêndice C. No apêndice D é formulado o limitador TOPUS para a simulação de

escoamentos aerodinâmicos compressíveis. A dissertação é encerrada com as referências biblio-

gráﬁcas.

CAPÍTULO

Modelagem Matemática - Tema da

Pesquisa

Neste capítulo são apresentadas as Equações Diferencias Parciais (EDPs) básicas para testar o

desempenho dos esquemas “upwind”, objeto dessa dissertação.

2.1 Equação de Advecção 1D

Para a simulação do transporte de escalares, o seguinte modelo é adotado:

∂u

∂t

+ a

∂u

∂x

= 0, (2.1)

u(x, 0) = u

(x), x ∈ [x

, x

], (2.2)

u(x

, t) = u

, u(x

, t) = u

e u

são constantes), (2.3)

em que t é o tempo; u é a variável dependente, assemelhando-se a velocidade de um escoamento

num meio ﬂuido; a é constante; u

(x) é a condição inicial; x

e x

são, respectivamente, os

extremos direito e esquerdo do domínio 1D. A solução exata de (2.1) é u(x, t) = u

(x − at) (ver

[92]).

2.2 Equação de Convecção-Difusão 1D

A equação de convecção-difusão é uma EDP simples linear ou não que modela uma variedade

de problemas em dinâmica dos ﬂuidos (ver, por exemplo, [68, 158]) e é propensa à formação de

choques, mesmo nos casos de dados iniciais suaves. Ela serve, por exemplo, no caso da equação de

Burgers, como um modelo simpliﬁcado (combinando convecção não linear e difusão linear) para

o entendimento da turbulência [13]. A equação de convecção-difusão considerada neste trabalho é

dada por

∂u

∂t

∂

∂x



f(u)



= ν

∂

∂x

, (2.4)

u(x, 0) = u

(x), x ∈ [x

, x

], (2.5)

2.2 Equação de Convecção-Difusão 1D 6

u(x

, t) = u

, u(x

, t) = u

e u

são constantes), (2.6)

em que f(u) é a função ﬂuxo e ν é o coeﬁciente de viscosidade (constante). Assumindo em (2.4)

as condições

ν = 0 e f(u) =

+ 0.2 5(1 − u)

, (2.7)

obtém-se a equação de Buckley-Leverett, uma lei geral de conservação hiperbólica 1D [1].

A equação de Burgers viscosa é obtida de (2.4) adotando

ν > 0 e f(u) = 0.5u

, (2.8)

e de Burgers inviscida considerando

ν = 0 e f(u) = 0.5u

. (2.9)

Em particular, a solução analítica em regime permanente (“steady”) da equação de Burgers

viscosa, para x ∈ [0, 1], com condições de contorno

u(0) = tanh



0.25



, u(1) = −tanh



0.25



é dada por (ver referência [24])

u(x) = tanh



0.25 − 0.5x



. (2.10)

Em especíﬁco, a solução analítica da equação de Burgers inviscida, com condição inicial

u(x, 0) =



, x ∈ [x

,0),

, x ∈ [0, x

(2.11)

e de contorno

u(x

, t) = u

, u(x

, t) = u

e u

são constantes)

tem as soluções analíticas (ver referência [1]):

• Onda de choque (u

≥ u

)

u(x, t) =



, x − 0.5 (u

+ u

) t ≤ 0,

, x − 0.5 (u

+ u

) t ≥ 0.

(2.12)

• Onda de rarefação (u

< u

)

u(x, t) =







≤ u

Υ, u

< u

≥ u

(2.13)

A equação da camada limite (“boundary layer”) é obtida considerando (2.4) com

ν > 0 e f(u) = au, a − constante. (2.14)

Essa equação com a = 1, condição inicial u(x, 0) = 0, e condições de contornos u(0, t) = 0 e

u(1, t) = 1 apresenta a solução analítica em regime permanente [24]

u(x) =



1 − exp







1 − exp





, x ∈ [0, 1]. (2.15)

2.3 Equações de Águas Rasas 1D 7

2.3 Equações de Águas Rasas 1D

O sistema hiperbólico de equações de águas rasas [82] é deﬁnido por









= 0, (2.16)

u(x, 0) = u

(x), h(x, 0) = h

(x), x ∈ [x

, x

], (2.17)

em que h(x, t) é a profundidade do ﬂuido no canal e g é a constante gravitacional.

As condições de contorno adotadas, neste estudo, para resolver (2.16) são especiﬁcadas pelas

condições homogêneas de Neumann.

2.4 Equações de Euler 1D

Estas EDPs constituem um sistema hiperbólico de leis de conservação que modela, por exem-

plo, o problema do tubo de choque. A equação toma a forma

∂U

∂t

∂F

∂x

= 0, (2.18)

U(x, 0) = U

(x), x ∈ [0, x

], (2.19)

U(0, t) = U

(t), U(x

, t) = U

(t), (2.20)

em que











U = [ρ, ρu, e]

F = [ρu, ρu

+ p, u(e + p)]

e =

(γ−1)

ρu

(2.21)

Em (2.20), U

(t) e U

(t) são, respectivamente, as condições de contorno em x = 0 e x = x

(ver detalhes na referência [147]). Em (2.21), as variáveis ρ, e e p são a densidade, a energia total

e a pressão, respectivamente; e a constante γ = 1.4 (o gás é considerado ideal).

2.4 Equações de Euler 1D 8

2.5 Equações de Euler 2D

Estas EDPs modelam o escoamento de um gás compressível expressando a conservação de

massa, quantidade de movimento e energia. Elas são dadas por

∂Q

∂t

∂E

∂x

∂F

∂y

= 0, (2.22)

em que











Q = [ρ, ρu, ρv, e]

E = [ρu, ρu

+ p, ρuv, (e + p)u]

F = [ρv, ρuv, ρv

+ p, (e + p)v]

e =

(γ−1)

ρ(u

+ v

(2.23)

Na equação (2.23), u e v são as componentes da velocidade. Condições de contorno periódicas,

com escorregamento na superfície rígida e fronteira livre (“far-ﬁeld”) são adotadas para resolver

(2.22). Essas condições estão bem descritas nas referências [29, 65].

2.6 Equações Instantâneas de Navier-Stokes

No caso em que o ﬂuido é considerado um meio homogêneo incompressível, a massa especí-

ﬁca ρ(x, t) = ρ

das partículas não varia durante o seu movimento e as propriedades de transporte

são constantes. As equações matemáticas das leis físicas de conservação, consideradas para a

simulação de escoamentos em regime laminar, neste trabalho, são as equações instantâneas de

Navier-Stokes e continuidade dadas por

∂u

∂t

∂(u

)

∂x

= −

∂p

∂x

∂

∂x



∂u

∂x



F r

, i = 1, 2, 3, (2.24)

∂u

∂x

= 0, (2.25)

nos quais u

é a i-ésima componente do campo de velocidade, p é a pressão cinemática (pressão

divididapela massa especíﬁca), Re = LU

/ν e F r = U



L|g|são, respectivamente, os números

de Reynolds e Froude, e g

é a i-ésima componente da aceleração gravitacional. O parâmetro

ν é o coeﬁciente de viscosidade cinemática molecular (constante) do ﬂuido dado por ν = µ/ρ

(µ é a viscosidade dinâmica do ﬂuido), e U

e L são as escalas de velocidade e comprimento

característicos, respectivamente. As condições de contorno [17, 42] consideradas, neste trabalho,

para resolver o sistema formado por (2.24) e (2.25) são:

• Condição de contorno de entrada de ﬂuido

= U

, u

= 0, (2.26)

em que u

é a velocidade normal ao contorno e u

é a velocidade tangencial ao contorno;

2.6 Equações Instantâneas de Navier-Stokes 9

• Condição de contorno de saída de ﬂuido

∂u

∂n

= 0,

∂u

∂n

= 0, (2.27)

em que n e t denotam direções normais e tangenciais à entrada e à saída, respectivamente;

• Condição de contorno sem escorregamento na superfície rígida

= 0, u

= 0; (2.28)

• Condição de contorno com escorregamento na superfície rígida

= 0,

∂u

∂n

= 0; (2.29)

• Condição de contorno na superfície livre [145, 146]

n · (σ · n) = 0, (2.30)

m1 · (σ · n) = 0, (2.31)

m2 · (σ · n) = 0 (2.32)

em que m1 = (m1

, m1

) e m2 = (m2

, m2

) são os vetores tangentes à super-

fície livre, n = (n

, n

) é o vetor unitário normal externo à superfície e σ é o tensor de

tensões total dado por

σ = −pI + 2µD, (2.33)

2.7 Equações Médias de Reynolds

Para a simulação dos efeitos da turbulência, as leis físicas de conservação instantâneas (2.24) e

(2.25), no caso 2D, são transformadas nas equações médias de Reynolds (ver referência [159] para

detalhes)

∂

∂t

∂(

)

∂x

= −

∂

∂x

∂

∂x



∂

∂x



F r

−

∂(

)

∂x

, i = 1, 2, (2.34)

∂

∂x

= 0, (2.35)

em que u

é a i-ésima componente da velocidade média; p é a pressão média; u

é o tensor de

tensões de Reynolds deﬁnido em (2.36) e (2.51), que resulta das não linearidades presentes nas

equações do movimento.

2.8 Modelagem κ − ε da Turbulência 10

2.8 Modelagem κ − ε da Turbulência

A idéia para a simulação da turbulência com a modelagem κ −ε é acoplar às equações médias

de Navier-Stokes (2.34)-(2.35) duas EDPs de transporte, para descrever a evolução da viscosidade

adicional ν

em (2.41). Uma dessas equações modela a distribuição de κ, a energia cinética média

local do movimentoﬂutuante, por todo o campo de escoamento; a outra governa uma característica

turbulenta de dimensão diferente ε = ν(

∂u

/∂x

)

, a taxa média de dissipação (ou de destruição)

da energia cinética. O conhecimento das grandezas κ e ε permite a avaliação da viscosidade

turbulenta local ν

em (2.41). De posse de κ, ε e ν

, o tensor de tensões de Reynolds em (2.34) é

estimado pela aproximação linear de Boussinesq [16] dada por

= −ν

κδ

, i = 1, 2, (2.36)

∂

∂x

∂u

∂x

. (2.37)

Em resumo, o modelo κ − ε é dado por (ver [159])

∂κ

∂t

∂(κu

)

∂x

∂

∂x



1 +



∂κ

∂x



+ ν

∂u

∂x

− ε, (2.38)

∂ε

∂t

∂(εu

)

∂x

∂

∂x



1 +



∂ε

∂x





1ε

∂u

∂x

− C

2ε



, (2.39)

, (2.40)

= C

κT

, (2.41)

em que σ

= 1.0 e σ

= 1.3, que aparecem em (2.38) e (2.39), são coeﬁcientes de difusão

turbulentos; C

1ε

= 1.44, C

2ε

= 1.92 e C

= 0.09 são constantes empíricas. Mais detalhes

desta modelagem da turbulência podem ser encontrados, por exemplo, em [42, 76]. A seguir são

descritas as condições iniciais e de contorno adotadas neste trabalho para resolver as equações

médias de Reynolds com modelagem κ − ε da turbulência.

As condições iniciais e de contorno para as variáveis médias velocidade e pressão são as mes-

mas descritas na seção 2.6. Neste estudo, similarmente a Brandi [17], as condições iniciais para as

variáveis turbulentas são deﬁnidas por

κ = 0.08Re, ε =

100κ



. (2.42)

Para as variáveis turbulentas κ e ε, as condições de contorno de entrada de ﬂuido coincidem

com as condições iniciais impostas para tais variáveis em (2.42). No contorno de saída do ﬂuido,

as variáveis turbulentas são calculadas pela aplicação da condição de Neumann

∂κ

∂n

= 0,

∂ε

∂n

= 0. (2.43)

Próximos ao contorno rígido são aplicadas uma modiﬁcação das leis clássicas de parede (ver

Durbin [35], Sondak e Pletcher [131]) para as variáveis κ e ε iguais àquelas adotadas por Brandi

2.8 Modelagem κ − ε da Turbulência 11

[17]. Na subcamada turbulenta, κ e ε são deﬁnidas são implementadas como (ver detalhes em

Anderson et al. [5], Ferziger e Peri

c [51])

κ = Re

∗

)



, ε = Re

∗

)

, (2.44)

em que u

∗

é a velocidade de atrito [131] e K = 0.41 é a constante de von Kárman (ver Patel [100]).

Na subcamada viscosa, a variável κ é calculada utilizando a correção de Sondak e Pletcher [131]

κ = Re

∗

)







, (2.45)

em que y

é dado por

∗

. (2.46)

Neste trabalho, y

é calculado por y

ln(y

) + 5 (ver detalhes em [132]). A modelagem para

a variável ε na subcamada viscosa é deﬁnida por

ε =

∗



, (2.47)

em que a escala de comprimento l

∗

de Norris e Reynolds [95] é calculada da seguinte forma

∗

√

Reκ



√

Reκ + 5.3)

. (2.48)

As condições de contorno na superfície livre para o caso 2D turbulento são deﬁnidas por [17,

146]

p +

3Re

κ −

(1 + ν

)



∂u

∂x

∂v

∂y



∂u

∂y

∂v

∂x





= 0, (2.49)

(1 + ν

)



∂u

∂x

+ 2

∂v

∂y



∂u

∂y

∂v

∂x



+ m

)



= 0. (2.50)

2.9 Modelagem Não Linear para Tensões de Reynolds

Nesta seção é apresentado o modelo não linear algébrico para o tensor de tensões de Reynolds

proposto por Shih et al. [123]. Ele é denotado neste estudo pelo acrônimo RSAEM (“Reynolds

Stress Algebraic Equation Model”). A aplicação desse modelo na simulação de escoamentos tur-

bulentos com superfícies livres tem sido pouco explorada na literatura, e isto justiﬁca o interesse

em implementá-lo/aplicá-lo neste trabalho de pesquisa.

2.9 Modelagem Não Linear para Tensões de Reynolds 12

Em suma, o modelo algébrico para o tensor de tensões de Reynolds é deﬁnido por

κδ

− ν



∂u

∂x

∂u

∂x



τ1

+ η



∂u

∂x

∂u

∂x

∂u

∂x

∂u

∂x

−

∂u

∂x

∂u

∂x



τ2

+ η



∂u

∂x

∂u

∂x

−



∂u

∂x





τ3

+ η



∂u

∂x

∂u

∂x

−



∂u

∂x





, (2.51)

em que

= C

∗

, C

∗

2/3

+ η + αξ

, (2.52)

ξ =

κΩ

, Ω =



2Ω

∗

Ω

∗

, Ω

∗



∂u

∂x

−

∂u

∂x



, (2.53)

η =

κD

, D =



. (2.54)

Na equação (2.51), δ

é o delta de Kronecker, C

τ1

= −4, C

τ2

= 13, C

τ3

= −2 e A

= 1000. Em

(2.52), têm-se A

= 1.25 e α = 0.9 (veja os detalhes em [123]).

Para a avaliação do tensor algébrico em (2.51), utilizam-se as equações de transporte (2.38)

e (2.39), respectivamente, para obter as variáveis turbulentas κ e ε. As condições iniciais e de

contorno adotadas para simular este modelo são as mesmas descritas na seção 2.8.

2.10 Modelo Oldroyd-B

Considerando a formulação EVSS (“Elastic Viscous Split Stress”) [116], o escoamento 2D de

um ﬂuido incompressível viscoelástico do tipo Oldroyd-B [15, 88] é modelado por

∂u

∂t

∂(u

)

∂x

= −

∂p

∂x

∂

∂x



∂u

∂x



∂T

∂x

F r

, i = 1, 2, (2.55)

+ W e



∂T

∂t

∂ (u

)

∂x

+ T

∂u

∂x

+ T

∂u

∂x



2(1 − β)



∂u

∂x

∂u

∂x



, (2.56)

∂u

∂x

= 0, (2.57)

em que T

é o tensor extra tensão, W e = λ

/L é o número de Weissenberg, β = λ

/λ

é a

razão de retardamento, λ

é o tempo de relaxação e λ

é o tempo de retardamento.

Para resolver as EDPs (2.55), (2.56) e (2.57), neste trabalho, as condições de contorno adotadas

para o campo de velocidade são iguais àquelas mencionadas na seção 2.6. No início do processo

numérico, T

= 0. Os valores das componentes do tensor T

nos contornos [126] são deﬁnidos

como seguem:

2.10 Modelo Oldroyd-B 13

• Condição de contorno de entrada de ﬂuido

= T

= 0; (2.58)

• Condição de contorno de saída de ﬂuido

∂T

∂n

∂T

∂n

∂T

∂n

; (2.59)

• Condições de contorno sem escorregamento na superfície rígida:

– Contorno rígido paralelo ao eixo x

(t+δt)

= exp



−

δt

W e



(t)

+ δt



∂u

∂y

exp



−

δt

W e



∂u

∂y



(2.60)

(t+δt)

= exp



−

δt

W e



(t)

(1 − β)

∂u

∂y



1 − exp



−

δt

W e



(2.61)

= 0, (2.62)

em que δt é o espaçamento temporal;

– Contorno rígido paralelo ao eixo y

(t+δt)

= exp



−

δt

W e



(t)

+ δt



∂v

∂x

exp



−

δt

W e



∂v

∂x



(2.63)

(t+δt)

= exp



−

δt

W e



(t)

(1 − β)

∂v

∂x



1 − exp



−

δt

W e



(2.64)

= 0; (2.65)

• Condição de contorno na superfície livre

p −

2β



∂u

∂x

∂v

∂y



∂u

∂y

∂v

∂x





+ T

+ 2T

+ T

= 0, (2.66)

2β



∂v

∂y

−

∂u

∂x





∂u

∂y

−

∂v

∂x



− n

)



+(T

− T

) n



− n



= 0.

(2.67)

2.10 Modelo Oldroyd-B 14

Estimativas de erros

Neste trabalho, os erros entre as soluções numérica e exata são calculados pelas seguintes relações:

E



i=1



i,exata

− φ

i,numérica





i=1



i,exata



, (2.68)

E









i=1



i,exata

− φ

i,numérica





i=1



i,exata



, (2.69)

E

∞

max

1≤i≤n



i,exata

− φ

i,numérica



max

1≤i≤n



i,exata



. (2.70)

Tema da Pesquisa

Desenvolver, analisar e implementar esquemas “upwind” de alta precisão (maior ou igual a dois),

que são CBC/TVD, para os termos convectivos das equações de transporte (2.1), (2.4), (2.16),

(2.18), (2.22), (2.24), (2.34), (2.38), (2.39), (2.55) e (2.56) constituem os temas principais deste

trabalho de mestrado. Além disso, outro tema relevante, aqui considerado, é analisar e implementar

a aproximação de Boussinesq e uma modelagem algébrica não linear para o tensor de tensões de

Reynolds visando a simulação de escoamentos incompressíveis transientes em regime turbulento

com e sem superfícies livres móveis.

CAPÍTULO

Esquemas “Upwind” de Alta Resolução

Neste capítulo são apresentados os esquemas ALUS e TOPUS desenvolvidos neste trabalho.

3.1 Formulação de Variáveis Normalizadas

A metodologia NVF (“Normalised Variable Formulation”) foi proposta por Leonard [80] com

objetivo de se obter esquemas convectivos capazes de resolver gradientes elevados e, ao mesmo

tempo, manter estabilidade nas soluções numéricas. Considerando as posições D (“Downstream”),

R (“Remote-Upstream”) e U (“Upstream”) em relação a face computacional f da molécula com-

putacional ilustrada na Figura 3.1, uma variável genérica φ formulada em NV (“Normalised Vari-

able”) de Leonard [80] é deﬁnida como segue

φ =

φ − φ

− φ

, (3.1)

em que φ

e φ

são, respectivamente, os valores não normalizados da grandeza φ nos pontos D e

R. Por exemplo,

= (φ

− φ

)/(φ

− φ

Leonard [80] construiu também o NVD (“Normalised Variable Diagram”) para representar a

relação entre as variáveis normalizadas

. Por exemplo, na Figura 3.2a os esquemas CDS

(“Central-Differencing Scheme”) [101], FOU (“First-Order Upwind”) [25], QUICK (“Quadratic

Figura 3.1: Posições D, R e U em relação a face computacional f, o sinal da velocidade v

fornece

o sentido do escoamento.

3.1 Formulação de Variáveis Normalizadas 16

(a) (b)

Figura 3.2: Metodologia NVF: (a) Esquemas convectivos clássicos no NVD, (b) Critério CBC.

Upstream Interpolation for Convective Kinematics”) [79], SOU (“Second-Order Upwind”) [125]

estão representados nesse diagrama.

Segundo Leonard [80] qualquer esquema, em geral não linear, formulado em NV que passe

pelos pontos O(0, 0), P (1, 1 ) e Q(0.5, 0.75) do NVD (ver Figura 3.2a) é de segunda ordem de

exatidão; e se ele também passar pelo ponto Q com inclinação de 0.75 é de terceira ordem. Leonard

recomenda que para valores de

menores que 0 ou maiores que 1, o esquema FOU deve ser

usado.

Considerando-se a importância de soluções limitadas no transporte de propriedades físicas,

Gaskell e Lau [53] propuseram o critério de limitação CBC. No contexto NV, um esquema con-

vectivo produz solução limitada se ele está inteiramente contido na região hachurada na região

CBC mostrada na Figura 3.2b, isto é, o esquema deve satisfazer às seguintes condições:











∈ [

, 1 ], para

∈ [0, 1],

= 0, para

= 0,

= 1, para

= 1,

, para

/∈ [0, 1].

(3.2)

Apesar do critério CBC de Gaskell e Lau [53] tratar o problema de estabilidade adequadamente,

ele não garante convergênciada solução numérica. Para convergência, as restrições TVD de Harten

[61] devem ser satisfeitas. No contexto NV essas restrições são expressas por:







∈ [

, 2

] e

≤ 1, para

∈ [0, 1],

, para

/∈ [0, 1].

(3.3)

Abaixo, estão listados alguns exemplos de esquemas “upwind” de alta resolução em váriaveis

normalizadas de Leonard [80].

3.1 Formulação de Variáveis Normalizadas 17

• ADBQUICKEST [49, 67]











(2 − θ)

∈ [0,a),

(1 − |θ|)( 1 −

) −

(1 − θ

)(1 − 2

∈ [a, b],

1 − θ + θ

∈ ( b,1],

/∈ [0, 1],

em que θ =

uδt

δx

é o número de Courant; e os parâmetros a e b são:

a =

2 − 3|θ| + θ

7 − 6 θ − 3|θ| + 2θ

, b =

−4 + 6θ − 3|θ| + θ

−5 + 6θ − 3|θ| + 2θ

• CUBISTA [3]











1.75

∈ [0,0.375),

0.75

+ 0.3 75,

∈ [0 .3 75, 0.75],

0.25

+ 0.7 5 ,

∈ (0.75,1],

/∈ [0, 1],

• VONOS [152]











∈ [0,

0.375(1 + 2

∈ [

,0.5),

1.5

∈ [0.5,

∈ [

,1],

/∈ [0, 1],

• WACEB [133]











∈ [0,0.3),

0.75

+ 0.3 75,

∈ [0.3,

∈ (

, 1 ],

/∈ [0, 1],

3.2 Esquema TOPUS

Fundamentalmente, o esquema TOPUS

pode ser visto como uma generalização do esquema

SMARTER de Waterson e Deconinck [154], e sua idéia básica é usar uma combinação de esque-

mas de baixa e alta ordem por meio de uma função troca (o limitador). Em particular, considera-se

parte de um polinômio de quarto grau inteiramente contido na região CBC e impõe-se as con-

dições de Leonard [80], isto é, o esquema deve passar pelos pontos O(0, 0), Q(0.5, 0 .75) (para

atingir segunda ordem), P (1, 1) e com inclinação 0.75 em Q (para alcançar terceira ordem) (ver

Figura 3.2a).

Na Filosoﬁa, TOPUS é a ilha da Utopia, que segundo o pensador inglês Thomas Morus é um lugar ideal da

sociedade igualitária.

3.2 Esquema TOPUS 18

Vale salientar que no passado essa mesma idéia foi utilizada para a construção dos esque-

mas NOTABLE de Pascau e Perez [99], CHARM (“Cubic / Parabolic High-Accuracy Resolution

Method”) de Zhou [164, 165] e ISNAS (“Interpolation Scheme which is Nonoscillatory for Advec-

ted Scalars”) de Zijlema [167, 168], e atualmente tais esquemas tem sido nomeados por Waterson

e Deconinck [154] como SMARTER. Entretanto, a novidade no esquema TOPUS é a presença em

sua formulação de um parâmetro livre permitindo uma generalização do esquema SMARTER.

A motivação para a construção do esquema TOPUS surgiu das deﬁciências do SMARTER,

a saber: (i) não estar inteiramente contido na região TVD; (ii) violar o princípio de monotoni-

cidade de Sweby [139]; (iii) não possuir em sua formulação um parâmetro livre; e (iv) fornecer

resultados não satisfatórios para problemas de escoamentos incompressíveis 3D com superfícies

livres móveis. Outra motivação para o desenvolvimento do TOPUS (e também do ALUS) está no

fato de que as leis de conservação e equações da dinâmica dos ﬂuidos consideradas neste trabalho

aparecem com freqüência em problemas de interesse prático.

Em resumo, no contexto NV, o esquema TOPUS para o cálculo dos ﬂuxos numéricos nas

interfaces das células computacionais é deﬁnido por

= a

+ a

∈ [0, 1], (3.4)

em que a

, a

, e a

são coeﬁcientes constantes. Nota-se que

passa pelo ponto O(0, 0) do

NVD, ou seja,

= 0 ⇒

= 0. A determinação dos coeﬁcientes a

, a

e a

, sendo um

deles livre, é feita impondo-se as outras condições de Leonard [80] para se obter terceira ordem de

exatidão, isto é,

• No ponto Q(0.5, 0.75):

(0.5)

+ a

(0.5)

+ a

(0.5)

+ a

(0.5) = 0.75,

+ 2a

+ 4a

+ 8a

= 12. (3.5)

• No ponto P (1 , 1):

+ a

= 1. (3.6)

• No ponto Q(0.5, 0.75) com inclinação 0.75:

= 0.5 ⇒

′

= 4a

+ 3a

+ 2a

+ a

= 0.75,

(0.5)

+ 3a

(0.5)

+ 2a

(0.5) + a

= 0.75,

+ 3a

+ 4a

= 3. (3.7)

Considerando-se a

= α e o sistema formado por (3.5), (3.6) e (3.7), obtêm-se os coeﬁcientes:

−α + 10

, a

5α − 10

, a

= −2α + 1. (3.8)

3.2 Esquema TOPUS 19

E fora da região NVD, o TOPUS coincide com o esquema FOU. Em suma, o esquema convectivo

TOPUS em NV é deﬁnido por



+ (−2α + 1)



5α−10





−α+10



∈ [0, 1],

/∈ [0, 1].

(3.9)

Aplicando a deﬁnição de NV (ver equação (3.1)) em (3.9), o esquema TOPUS resultante em va-

riáveis não normalizadas é dado por



+ (φ

− φ

)



+ (−2α + 1)



5α−10





−α+10





∈ [0, 1],

/∈ [0, 1],

(3.10)

em que

− φ

Em (3.9), para α ∈ [−2, 2], o esquema TOPUS está inteiramente contido na região CBC. Vale

mencionar que, neste trabalho, apenas o TOPUS com α = 2 foi testado em leis de conservação 1D

e aplicado na simulação de escoamentos de ﬂuidos 2D/3D. No caso em que α = 2, o esquema TO-

PUS é TVD (ver Figura 3.3a e demonstração no apêndice A). O esquema SMARTER de Waterson

e Deconinck [154] é obtido fazendo-se α = 0.

O limitador de ﬂuxo ψ(r

) para o esquema TOPUS é obtido reescrevendo (3.9) por (veja [139])

ψ(r

)(1 −

), (3.11)

em que r

é deﬁnido por

1 −

; (3.12)

Das equações (3.9) e (3.11) resulta ψ(r

) = 0, para

/∈ [0, 1]. Da equação (3.12),

obtém-se r

< 0, para

/∈ [0, 1]. Segue então que ψ(r

) = 0, para r

< 0. Para r

≥ 0,

considera-se ψ(r

) expresso como

ψ(r

) = 2



+ b

+ c



. (3.13)

De forma que substituindo (3.13) em (3.11) obtém-se

= (−a)

+ (a −b)

+ (b − c)

+ (c + 1)

. (3.14)

Comparando-se (3.9), para

∈ [0, 1], com (3.14) as constantes a, b e c são determinadas, e o

limitador resultante é

ψ(r

) = −2α

+ (2α − 2)

+ (−0.5α + 3)

, (3.15)

ou utilizando-se (3.12) obtém-se

ψ(r

) =

(−0.5α + 1)r

+ (α + 4)r

+ (−0.5α + 3)r

(1 + r

)

, r

≥ 0. (3.16)

3.2 Esquema TOPUS 20

Em resumo, o limitador para o esquema TOPUS é dado por

ψ(r

) =



(−0.5α+1)r

+(α+4)r

+(−0.5α+3)r

(1+r

)

, r

≥ 0,

0, r

< 0.

(3.17)

A Figura 3.3b mostra no plano ψ − r

o limitador do esquema TOPUS para α = −2, α = 0 e

α = 2. Nota-se que o limitador está inteiramente na região TVD de Sweby [139] para α = 2.

Para a implementação computacional, reescreve-se esse limitador como

ψ(r

) =

0.5 (|r

| + r

)



(−0.5α + 1)r

+ (α + 4)r

+ (−0.5α + 3)



(1 + |r

. (3.18)

Derivando a equação (3.17), para r

≥ 0, em relação a r

tem-se

′

) =

(−2.5α − 1)r

+ (3α + 2)r

− 0.5α + 3

(1 + r

)

, (3.19)

Nota-se que o TOPUS com α = 2 satisfaz uma restrição do princípio de monotonicidade de Sweby

[139], isto é, ψ

′

(0) = 2. Além disso, o TOPUS é monotônico de segunda ordem [139], pois o seu

limitador de ﬂuxo satisfaz ψ(1) = 1. De fato, percebe-se que o limitador (3.17) satisfaz

ψ(1) =

(−0.5α + 1) + (α + 4) + (−0.5α + 3)

(1 + 1)

= 1. (3.20)

Ainda mais, de acordo com Zijlema[168] o limitador (3.17) satisfazψ

′

(1) = 0.25, que é a condição

para alcançar terceira ordem de precisão. Na notação mais usual, o esquema TOPUS é

ψ(r

) = max



0.5 (|r

| + r

)



(−0.5α + 1)r

+ (α + 4)r

+ (−0.5α + 3)



(1 + |r



Abaixo, estão listados alguns exemplos de limitadores de ﬂuxo de esquemas “upwind” de alta

resolução obtidos da mesma forma que o limitador TOPUS. Outros exemplos serão citados nos

capítulos 5 e 6.

• ADBQUICKEST

ψ(r

) = max



0, min



(1 − θ),

2 + θ

− 3|θ| + (1 − θ

, 2 ( 1 − θ)





• CUBISTA

ψ(r

) = max



0, min [2r

(1 − C

), 0 .75 + 0.25r

, 2 ( 1 − C

)]



em que C

= C

= 0.25;

3.2 Esquema TOPUS 21

• VONOS

ψ(r

) = max



0, min [r

, 0 .7 5 + 0.25r

, 1 8r

, 2 ]



;

• WACEB

ψ(r

) = max



0, min [2r

, 0 .7 5 + 0.25r

, 2 ]



(a) (b)

Figura 3.3: Curvas características do esquema TOPUS: (a) região TVD de Harten [61], (b) limita-

dor na região TVD de Sweby [139].

3.3 Esquema ALUS

O interesse em desenvolver outro esquema TVD, que possua o número de Courant (|θ| ≤ 1)

em sua formulação (veja [83]) e seja matematicamente mais simples (sem perder em exatidão) que

o esquema ADBQUICKEST de Ferreira et al. [49], motivou a derivação do esquema ALUS

Em analogia ao esquema ADBQUICKEST, a estratégia para obter o esquema ALUS é deﬁnir

o limitador ψ como



ψ(r

) = 0, para r

≤ 0,

0 ≤ ψ(r

) ≤ min{ 2r

, 1 − |θ|} , para r

> 0,

(3.21)

o qual pode ser reescrito na forma mais utilizada na literatura (veja, por exemplo, [3, 154]) como

ψ(r

) = max {0, min [2r

, 1 − |θ|]}. (3.22)

Da mesma forma como feito para o esquema TOPUS na seção 3.2, o limitador (3.21) satisfaz as

restrições TVD de Sweby [139], isto é,



ψ(r

) = 0, para r

≤ 0,

0 ≤ ψ(r

) ≤ min{ 2r

, 2 }, para r

> 0.

(3.23)

No contexto bíblico, ALUS é um local, onde os israelitas acamparam durante as suas vagueações pelo deserto.

3.3 Esquema ALUS 22

(a) (b)

Figura 3.4: Curvas características do esquema ALUS: (a) região TVD de Harten [61], (b) limitador

na região TVD de Sweby [139].

Na Figura 3.4, os casos a e b mostram, respectivamente, o esquema ALUS na região TVD de

Harten [61] e o seu limitador na região TVD de Sweby [139].

Substituindo (3.21) em (3.11) e usando (3.12) obtém-se o esquema ALUS em NV











∈ [0,λ

0.5



(1 + |θ|)

+ (1 − |θ|)



∈ (λ

,1],

/∈ [0, 1].

(3.24)

em que λ

é a intersecção das retas 0.5



(1 + |θ|)

+ (1 − |θ|)



e 2

, que é dada por

1 − |θ|

3 − |θ|

A formulação do ALUS em variáveis não normalizadas, obtida do mesmo modo para o es-

quema TOPUS, é dada por







2φ

− φ

∈ [0,λ

0.5 [(1 + |θ|)φ

+ (1 − |θ|)φ

] ,

∈ ( λ

,1],

/∈ [0, 1].

(3.25)

Outra forma de se reescrever o limitador (3.21) é utilizar as equações (3.12), (3.11) e (3.24),

isto é,

ψ(r

) =











, r

∈



1−|θ|



1 − |θ|, r

∈



1−|θ|

, +∞



0, r

∈ (−∞, 0).

(3.26)

CAPÍTULO

Modelagem Computacional

Neste capítulo é discutida a discretização dos termos convectivos das equações de transporte

(2.1), (2.4), (2.16), (2.18), (2.22), (2.24), (2.34), (2.38), (2.39), (2.55) e (2.56). Também são apre-

sentados algoritmos para a solução computacional das equações de Navier-Stokes (instantâneas e

médias).

As equações de advecção 1D, de convecção-difusão 1D, de Navier-Stokes (instantâneas e mé-

dias), da modelagem da turbulência e do modelo Oldroyd-B foram discretizadas pelo método de

diferenças ﬁnitas [129]. No caso particular de escoamentos incompressíveis, foi utilizada uma

malha deslocada

(“staggered grid”) [9] para a discretização das equações Navier-Stokes (com

ou sem modelagem), e o sistema discreto de equações resultante foi implementado no sistema de

simulação “Freeﬂow” de Castelo et al. [20] (ver também [17, 42, 126] para mais detalhes). Este

ambiente computacional computa as equações de transporte e da continuidade baseado no método

GENSMAC (“Generalized-Simpliﬁed-Marker-and-Cell”) [145, 146]. No caso de sistemas hiper-

bólicos (águas rasas 1D e de equações de Euler 1D/2D), o método de volumes ﬁnitos [82, 147]

foi empregado para as discretizações. Para resolver as equações de águas rasas, o pacote com-

putacional CLAWPACK (“Conservation LAW PACKage”) de LeVeque [82] foi equipado com os

esquemas ALUS e TOPUS. Para solucionar as equações de Euler 2D, o ﬂuxo na face do volume

é aproximado pelo método “upwind” tipo Godunov proposto por Roe [117] com reconstrução de

variáveis [65] combinado com o limitador de ﬂuxo do esquema TOPUS.

Para a marcha no tempo, foi utilizado em todas as equações dependentes do tempo o método

de Euler explícito, com exceção na simulação dos escoamentos de Poiseuille e viscoelásticos onde

se utilizou o método implícito de Cranck-Nicolson [129]. Para os termos difusivos e gradientes de

pressão, diferenciação centrada de segunda ordem foi adotada.

Os termos convectivos (objeto deste capítulo) são aproximados pelos esquemas “upwind” de

alta precisão ALUS e TOPUS.

Neste tipo de malha, a pressão e as variáveis turbulentas κ, ε e ν

são aproximadas no centro da célula e as

componentes da velocidade u e v nas faces (i +

, j) e (i, j +

), respectivamente.

4.1 Discretização dos Termos Convectivos 24

4.1 Discretização dos Termos Convectivos

Um representante típico para os termos convectivos das equações de transporte (2.1), (2.4),

(2.16), (2.18), (2.22), (2.24), (2.34), (2.38), (2.39), (2.55) e (2.56) pode ser colocado na forma

∂(u

φ)

∂x



= −



∂(uφ)

∂x



∂(vφ)

∂y





, (4.1)

em que φ é a variável convectada (por exemplo u, v, κ, ε, etc.) e u

a velocidade de convecção.

O ponto P em (4.1) representa a posição em que o termo convectivo é avaliado. Por exemplo, a

Figura 4.1 ilustra esse ponto P de avaliação bem como as posições D, R e U, e as faces f e g das

células computacionais.

Figura 4.1: Célula computacional mostrando o ponto P de discretização dos termos convectivos,

seus vizinhos, as faces envolvidas f e g na aproximação e a variável convectada φ sendo transpor-

tada com velocidade v

na direção y.

As derivadas no lado direito de (4.1) são aproximadas no ponto P por

∂(uφ)

∂x



≈

(uφ)



− (uφ)



δx

− u

δx

, (4.2)

∂(vφ)

∂y



≈

(vφ)



− (vφ)



δy

− v

δy

, (4.3)

Por simplicidade e sem perda de generalidade, considera-se a variável φ = u em (4.3) trans-

portada com velocidade v

na direção y (ver Figura 4.1). Nesse caso, P =



i +

, j



, f = j +

g = j −

, e aquela derivada é estimada como

4.1 Discretização dos Termos Convectivos 25

∂(vu)

∂y



(

)



,j+

− v

,j−



δy

(4.4)

em que v

e v

são aproximados, respectivamente, utilizando-se as médias

= v

,j+

i+1,j+

+ v

i,j+

)

= v

,j−

i+1,j−

+ v

i,j−

)

. (4.5)

Para completar a aproximação, os esquemas TOPUS (caso α = 2) e ALUS em variáveis

não normalizadas são empregados. Esses esquemas estão deﬁnidos nas equações (3.10) e (3.25),

respectivamente. Para tanto, os valores da propriedade transportada u nas posições (i +

, j +

)

e (i +

, j −

) são obtidos utilizando-se os pontos vizinhos D, R e U, os quais são deﬁnidos de

acordo com a direção das velocidades de convecção (sinais de v

e v

). Em resumo, tem-se:

• Aproximações para u

,j+

quando v

≥ 0; nesse caso as posições D, R e U assumem,

respectivamente, os valores D=(i +

, j + 1), R=(i +

, j − 1) e U=(i +

, j). E o valor

,j+

usando-se os esquemas ALUS e TOPUS é obtido como:

– Esquema ALUS:

,j+











− u

,j−1

, ˆu

∈ [0, λ

0.5(1 + | θ|)u

+ 0.5 ( 1 − |θ|)u

,j+1

, ˆu

∈ (λ

, 1 ],

, ˆu

/∈ [0, 1].

– Esquema TOPUS:

,j+











,j−1



,j+1

− u

,j−1



(2ˆu

− 3ˆu

+ 2ˆu

) , ˆu

∈ [0, 1],

, ˆu

/∈ [0, 1],

em que

ˆu

= ˆu

− u

,j−1

,j+1

− u

,j−1

• Aproximações para u

,j+

quando v

< 0: D=(i+

, j), R=(i+

, j +2) e U=(i+

, j +1)

– Esquema ALUS:

,j+











,j+1

− u

,j+2

, ˆu

,j+1

∈ [0, λ

0.5(1 + | θ|)u

,j+1

+ 0.5 ( 1 − |θ|)u

, ˆu

,j+1

∈ (λ

, 1 ],

,j+1

, ˆu

,j+1

/∈ [0, 1].

4.1 Discretização dos Termos Convectivos 26

– Esquema TOPUS:

,j+











,j+2



− u

,j+2



(2ˆu

− 3ˆu

+ 2ˆu

) , ˆu

∈ [0, 1],

,j+1

, ˆu

/∈ [0, 1],

em que

ˆu

= ˆu

,j+1

− u

,j+2

− u

,j+2

• Aproximações para u

,j−

quando v

≥ 0: D=(i+

, j), R=(i+

, j −2) e U=(i+

, j −1)

– Esquema ALUS:

,j−











,j−1

− u

,j−2

, ˆu

,j−1

∈ [0, λ

0.5(1 + | θ|)u

,j−1

+ 0.5 ( 1 − |θ|)u

, ˆu

,j−1

∈ (λ

, 1 ],

,j−1

, ˆu

,j−1

/∈ [0, 1].

– Esquema TOPUS:

,j−











,j−2



− u

,j−2



(2ˆu

− 3ˆu

+ 2ˆu

) , ˆu

∈ [0, 1],

,j−1

, ˆu

/∈ [0, 1],

em que

ˆu

= ˆu

,j−1

− u

,j−2

− u

,j−2

• Aproximações para u

,j−

quando v

< 0: D=(i +

, j −1), R=(i +

, j + 1), U=(i+

, j)

– Esquema ALUS:

,j−











− u

,j+1

, ˆu

∈ [0, λ

0.5(1 + | θ|)u

+ 0.5 ( 1 − |θ|)u

,j−1

, ˆu

∈ (λ

, 1 ],

, ˆu

/∈ [0, 1].

– Esquema TOPUS:

,j−











,j+1



,j−1

− u

,j+1



(2ˆu

− 3ˆu

+ 2ˆu

) , ˆu

∈ [0, 1],

, ˆu

/∈ [0, 1],

em que

ˆu

= ˆu

− u

,j+1

,j−1

− u

,j+1

4.1 Discretização dos Termos Convectivos 27

Outro exemplo de aproximação “upwind” usando os esquemas ALUS e TOPUS é ilustrado

no caso em que a variável transportada, com velocidade u na direção x, é a variável turbulenta κ.

Nesse caso, a aproximação para a derivada convectiva correspondente é dada por

∂(uκ)

∂x



(uκ)



− (uκ)



δx

, (4.6)

em que P , f e g assumem, respectivamente, as posições (i, j), i+

e i−

. Desta forma, a equação

(4.6) torna-se

∂(κu)

∂x



(i,j)

− u

i−

δx

, (4.7)

Aproximações para a grandeza κ na equação (4.7) são implementadas usando-se os esquemas

ALUS e TOPUS como seguem:

• Aproximações para κ

quando u

≥ 0: D=(i + 1, j), R=(i − 1, j) e U=(i, j)

– Esquema ALUS:











2κ

i,j

− κ

i−1,j

, ˆκ

i,j

∈ [0, λ

0.5(1 + |θ|)κ

i,j

+ 0.5 ( 1 − |θ|)κ

i+1,j

, ˆκ

i,j

∈ (λ

, 1 ],

i,j

, ˆκ

i,j

/∈ [0, 1].

– Esquema TOPUS:







i−1,j

+ (κ

i+1,j

− κ

i−1,j

) (2ˆκ

− 3ˆκ

+ ˆκ

) , ˆκ

/∈ [0, 1],

i,j

, ˆκ

/∈ [0, 1],

em que

ˆκ

= κ

i,j

− κ

i−1,j

i+1,j

− κ

i−1,j

• Aproximações para κ

quando u

< 0: D=(i, j), R=(i + 2, j) e U=(i + 1, j),

– Esquema ALUS:











2κ

i+1,j

− κ

i+2,j

, ˆκ

i+1,j

∈ [0, λ

0.5(1 + |θ|)κ

i+1,j

+ 0.5 ( 1 − |θ|)κ

i,j

, ˆκ

i+1,j

∈ (λ

, 1 ],

i+1,j

, ˆκ

i+1,j

/∈ [0, 1].

4.1 Discretização dos Termos Convectivos 28

– Esquema TOPUS:







i+2,j

+ (κ

i,j

− κ

i+2,j

) (2ˆκ

− 3ˆκ

+ ˆκ

) , ˆκ

∈ [0, 1],

i+1,j

, ˆκ

/∈ [0, 1],

em que

ˆκ

= ˆκ

i+1,j

− κ

i+2,j

i,j

− κ

i+2,j

• Aproximações para κ

i−

quando u

i−

≥ 0: D=(i, j), R=(i − 2, j) e U=(i − 1, j)

– Esquema ALUS:

i−











2κ

i−1,j

− κ

i−2,j

, ˆκ

i−1,j

∈ [0, λ

0.5(1 + |θ|)κ

i−1,j

+ 0.5 ( 1 − |θ|)κ

i,j

, ˆκ

i−1,j

∈ (λ

, 1 ],

i−1,j

, ˆκ

i−1,j

/∈ [0, 1].

– Esquema TOPUS:

i−







i−2,j

+ (κ

i,j

− κ

i−2,j

) (2ˆκ

− 3ˆκ

+ ˆκ

) , ˆκ

∈ [0, 1],

i−1,j

, ˆκ

/∈ [0, 1],

em que

ˆκ

= ˆκ

i−1,j

− κ

i−2,j

i,j

− κ

i−2,j

• Aproximações para κ

i−

quando u

i−

< 0: D=(i − 1, j), R=(i + 1, j) e U=(i, j)

– Esquema ALUS:

i−











2κ

i,j

− κ

i+1,j

, ˆκ

i,j

∈ [0, λ

0.5(1 + |θ|)κ

i,j

+ 0.5 ( 1 − |θ|)κ

i−1,j

, ˆκ

i,j

∈ (λ

, 1 ],

i,j

, ˆκ

i,j

/∈ [0, 1].

– Esquema TOPUS:

i−







i+1,j

+ (κ

i−1,j

− κ

i+1,j

) (2ˆκ

− 3ˆκ

+ ˆκ

) , ˆκ

∈ [0, 1],

i,j

, ˆκ

i,j

/∈ [0, 1],

em que

ˆκ

= ˆκ

i,j

− κ

i+1,j

i−1,j

− κ

i+1,j

As outras derivadas convectivas nas equações de conservação são implementadas de maneira

análoga às aproximações dos termos não-lineares nas equações (4.4) e (4.7). É importante observar

que os esquemas ALUS e TOPUS fazem uso de três pontos vizinhos (D, U, e R) para estimar uma

variável convectada. Portanto, podem ocorrer valores fora do domínio de solução para as células

computacionais que estão próximas às fronteiras. Neste caso, o esquema FOU de primeira ordem

é empregado.

4.2 Algoritmo para Simulação de Escoamentos Incompressíveis Laminares 29

4.2 Algoritmo para Simulação de Escoamentos Incom-

pressíveis Laminares

Os passos de um ciclo computacional do algoritmo são descritos na seqüência para resolver

as EDPs (2.24) e (2.25), e o método de cálculo é baseado no método da projeção de Chorin [23].

Considera-se que no tempo t

as condições iniciais e de contorno são conhecidas para o campo

de velocidade e pressão [146]. O campo de velocidade no tempo t = t

+ δt é calculado pela

seqüência de passos:

Passo 1: Atualizam-se as condições de contorno nas regiões de entrada e saída de ﬂuido e nas

paredes rígidas. Calcula-se o campo de velocidade na superfície livre usando-se as equações (2.30)

e (2.31). A pressão na superfície livre é determinada utilizando-se a equação (2.32) [146];

Passo 2: Calcula-se o campo de velocidade intermediária ˜u

por meio de

˜u

= u

+ δt



−

∂(u

)

∂x

−

∂ ˜p

∂x

∂

∂x



∂u

∂x



F r



, i = 1, 2, 3, (4.8)

em que ˜p é uma pressão arbitrária satisfazendo a condição correta para a pressão na superfície

livre;

Passo 3: Resolve-se a equação de Poisson para o potencial auxiliar ψ

∂

∂x



∂ψ

∂x





∂˜u

∂x



, i = 1, 2, 3, (4.9)

com ψ = 0 nas regiões de saída e superfície livre, e com

∂ψ

∂n

= 0 nos contornos de entrada e rígido

(ver, por exemplo, [4]). Neste trabalho, o método gradiente conjugado [64] foi usado para resolver

o sistema de equações lineares (4.9);

Passo 4: Atualiza-se o campo de velocidade por (ver detalhes em [34])

= ˜u

−

∂ψ

∂x

, i = 1, 2, 3; (4.10)

Passo 5: Atualiza-se a pressão da seguinte maneira (para detalhes veja [146])

p = ˜p +

δt

; (4.11)

Passo 6: Calculam-se, por Euler explícito [11], as posições das partículas marcadoras repre-

sentando o ﬂuido por meio do sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)

= u

, i = 1, 2, 3; (4.12)

E volta-se ao Passo 1 para dar início ao próximo ciclo computacional.

4.2 Algoritmo para Simulação de Escoamentos Incompressíveis Laminares 30

4.3 Algoritmo para Simulação de Escoamentos Incom-

pressíveis Turbulentos

Nesta seção são apresentados os passos do algoritmo para o cálculo das variáveis u, v, κ e ε

nas EDPs (2.34), (2.35), (2.38) e (2.39). Como na seção anterior, considera-se que no instante t

as variáveis dependentes são conhecidas e as condições de fronteira associadas estão especiﬁcadas

[146]. As equações médias de Navier-Stokes e as equações que descrevem as características da

turbulência são resolvidas de maneira desacoplada (da mesma maneira como foi feito na seção

anterior): as equações médias do movimento e continuidade são resolvidas primeiro, mantendo-se

todas as grandezas turbulentas “congeladas”; a seguir, as equações para as variáveis turbulentas

são resolvidas [42]. A seqüência de um ciclo computacional é descrita como segue:

Passo 1: Com a viscosidade turbulenta ν

conhecida no tempo inicial t

, ou num ciclo prévio,

computa-se um campo de velocidade tentativo ˜u

em t = t

+ δt, por meio de

˜u

= u

+ δt



−

∂(u

)

∂x

−

∂ ˜p

∂x

∂

∂x



∂u

∂x



F r

−

∂(

)

∂x



, i = 1, 2.

(4.13)

Neste estudo, o tensor de tensão de Reynolds u

é calculado pelo modelo κ −ε padrão (2.36)

ou pelo modelo RSAEM (2.51);

Passo 2: Resolve-se a equação de Poisson para o potencial auxiliar ψ

∂

∂x



∂ψ

∂x





∂˜u

∂x



, i = 1, 2, (4.14)

utilizando-se as mesmas condições do Passo 3 do algoritmo descrito na seção 4.2;

Passo 3: Atualiza-se o campo de velocidade por (ver [34])

= ˜u −

∂ψ

∂x

, i = 1, 2; (4.15)

Passo 4: Atualiza-se a pressão a partir da equação (ver [146])

p = ˜p +

δt

; (4.16)

Passo 5: Calcula-se energia cinética turbulenta κ como

(n+1)

= κ

(n)

+ δt



−

∂(κu

)

∂x

∂

∂x



1 +



∂κ

∂x



+ ν

∂u

∂x

− ε



, i = 1, 2,

(4.17)

em que D

é deﬁnido em (2.37) e (n + 1) denota o passo atual;

Passo 6: Obtém-se a dissipação de energia ε por

(n+1)

= ε

(n)

+ δt



−

∂(εu

)

∂x

∂

∂x



1 +



∂ε

∂x





1ε

∂u

∂x

− C

2ε



;

(4.18)

Passo 7: Calcula-se a viscosidade turbulenta ν

por (2.41) ou (2.52), dependendo do modelo

de turbulência escolhido;

4.3 Algoritmo para Simulação de Escoamentos Incompressíveis Turbulentos 31

Passo 8: Determinam-se as posições das partículas marcadoras através da aplicação do método

de Euler [11] ao sistema de EDOs

= u

, i = 1, 2; (4.19)

Passo 9: Atualizam-se as condições de contorno necessárias para o próximo ciclo.

4.3 Algoritmo para Simulação de Escoamentos Incompressíveis Turbulentos 32

CAPÍTULO

Resultados Numéricos 1D

Com o objetivo de demonstrar o comportamento, a validade, a ﬂexibilidade e a robustez dos

esquemas ALUS e TOPUS, neste capítulo, um número extensivo de resultados numéricos 1D

são apresentados. Comparações com soluções exatas e resultados de outros esquemas “upwind”

consagrados na literatura são também apresentadas.

5.1 Advecção Linear

Aqui, os resultados da solução numérica de (2.1), com condições iniciais e tempo de simula-

ção distintos, são considerados. Esses dados foram publicados em anais de eventos e periódicos

(ver [48, 105, 110, 111, 115]). As condições de contorno em (2.3) são u

= u

= 0. Os se-

guintes esquemas foram adotados para simular este problema: ADBQUICKEST, ALUS, FOU,

Lax-Wendroff [77], TOPUS e VONOS.

• Caso 1: considera-se a equação (2.1) com a = 1, x ∈ [0, 2] e condição inicial [74]

(x) =











exp



−log 50



x−0.15

0.05





, x ∈ [0, 0.2),

1, x ∈ (0.3, 0.4),

20x − 10 , x ∈ (0.5, 0.55),

−20x + 1 2 , x ∈ [0.55, 0.66),



1 −



x−0.75

0.05



, x ∈ (0.7, 0.8),

0, x ∈ I,

(5.1)

em que I = [0.2, 0.3] ∪ [0.4, 0.5] ∪ [0.66, 0.7] ∪ [0.8, 2].

Neste caso foram adotados uma malha de N = 400 células (δx = 5 × 10

−3

), espaçamentos

temporais δt = 2.5 × 10

−4

e δt = 2.5 × 10

−3

, e tempo de simulação t = 1.0. Os números

de Courant considerados nas simulações foram θ = 0.05 e θ = 0.5 (θ = (aδt)/δx). Os

resultados numéricos usando os vários esquemas “upwind” mencionados acima estão mos-

trados nas Figuras 5.1 e 5.2. Como se pode ver a partir dessa ﬁgura, os esquemas ALUS

5.1 Advecção Linear 34

e FOU apresentaram dissipação numérica evidente, com o ALUS um pouco menos dissi-

pativo. Observa-se também por essas ﬁguras que os esquemas Lax-Wendroff e VONOS

sofreram oscilações indesejáveis. Por outro lado, os esquemas ADBQUICKEST e TOPUS

forneceram, quando comparados com a solução exata [92], resultados de boa qualidade. Di-

ferentemente do ADBQUICKEST, nota-se na Figura 5.2, que o TOPUS capturou bem os

picos presentes na solução do problema quando se utilizou θ = 0.5.

• Caso 2: com o objetivo de testar o comportamento dos esquemas ALUS e TOPUS num

problema mais difícil (“W-shape”), proposto por Wei e Gu [156], adota-se a equação (2.1)

com a = 1, x ∈ [−1, 1] e condição inicial

(x) =











1, x ∈ [0, 0.2],

4x − 0.6, x ∈ (0.2, 0.4],

−4x + 2.6, x ∈ (0.4, 0.6],

1, x ∈ (0.6, 0.8],

0, x ∈ S = [−1, 0) ∪ (0 .8 , 1].

(5.2)

Neste caso, foram adotadas as mesmas condições (malha, números de Courant, espaçamen-

tos temporais) das simulações do caso 1. O tempo ﬁnal de simulação foi t = 0.25. Os

resultados numéricos usando os vários esquemas “upwind” mencionados anteriormente es-

tão apresentados nas Figuras 5.3 e 5.4. Neste caso, os comportamentos dos esquemas foram

similares aos observados no Caso 1. Porém, os picos e vales foram bem resolvidos com os

esquemas ADBQUICKEST, ALUS e TOPUS, sem apresentar qualquer vestígio de oscilação

não física.

• Caso 3: neste caso, utiliza-se a equação (2.1) com a = 1, x ∈ [−1, 1] e condição inicial [62]

(x) =







−x sin(

3πx

), x ∈



−1, −



|sin(2πx)|, x ∈



−



2x − 1 −

sin(3πx), x ∈



, 1



(5.3)

Para a simulação desse problema altamente descontínuo, foram consideradas as mesmas

condições (malha, números de Courant, espaçamentos temporais) do caso 1. O tempo de

simulação t = 0.125 foi adotado. Nas Figuras 5.5 e 5.6 são apresentadas as compara-

ções entre as soluções exata e numéricas. Pode-se inferir claramente dessas comparações as

mesmas conclusões daquelas extraídas nos casos anteriores. Cabe salientar que o método

numérico de diferenças ﬁnitas explícito combinado com as estratégias “upwind” ALUS e

TOPUS forneceu soluções satisfatórias para ambos os números de Courant utilizados nos

casos delineados nesta seção.

5.1 Advecção Linear 35

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

ADBQUICKEST

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

ALUS

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

FOU

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

Lax-Wendroff

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

TOPUS

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

VONOS

Figura 5.1: Simulação do caso 1 com número de Courant θ = 0.05 − Resultados numéricos para

advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU, Lax-Wendroff, TOPUS

e VONOS

5.1 Advecção Linear 36

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

ADBQUICKEST

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

ALUS

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

FOU

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

Lax-Wendroff

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

TOPUS

-10

-8

-6

-4

-2

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Exata

VONOS

Figura 5.2: Simulação do caso 1 com número de Courant θ = 0.5 − Resultados numéricos para

advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU, Lax-Wendroff, TOPUS

e VONOS.

5.1 Advecção Linear 37

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

ADBQUICKEST

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

ALUS

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

FOU

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

Lax-Wendroff

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

TOPUS

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

VONOS

Figura 5.3: Simulação do caso 2 com número de Courant θ = 0.05 − Resultados numéricos para

advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU, Lax-Wendroff, TOPUS

e VONOS.

5.1 Advecção Linear 38

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

ADBQUICKEST

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

ALUS

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

FOU

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

Lax-Wendroff

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

TOPUS

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

VONOS

Figura 5.4: Simulação do caso 2 com número de Courant θ = 0.5 − Resultados numéricos para

advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU, Lax-Wendroff, TOPUS

e VONOS.

5.1 Advecção Linear 39

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

ADBQUICKEST

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

ALUS

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

FOU

-1

-0.5

0.5

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

Lax-Wendroff

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

TOPUS

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

VONOS

Figura 5.5: Simulação do caso 3 com número de Courant θ = 0.05 − Resultados numéricos para

advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU, Lax-Wendroff, TOPUS

e VONOS.

5.1 Advecção Linear 40

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

ADBQUICKEST

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

ALUS

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

FOU

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

Lax-Wendroff

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

TOPUS

-1

-0.5

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Exata

VONOS

Figura 5.6: Simulação do caso 3 com número de Courant θ = 0.5 − Resultados numéricos para

advecção de escalar usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, FOU, Lax-Wendroff, TOPUS

e VONOS.

5.1 Advecção Linear 41

5.2 Equação Linear de Convecção-Difusão

Nesta seção são apresentadas soluções numéricas para a equação linear de convecção-difusão

(2.4) com a condição (2.14) (problema “boundary layer”). Os resultados fornecidos pelo TOPUS

foram parcialmente publicados em anais de evento (ver [114]). Para solução numérica dessa EDP

no domínio x ∈ [0, 1], foram consideradas a condição inicial u(x, 0) = 0 e a de contorno u(0, t) =

u(1, t) = 1. A solução analítica deste problema é dada pela equação (2.15) [24]. As soluções

exatas e numéricas a três viscosidades (ν = 0.01, 0.1 e 1) são mostradas na Figura 5.7, onde

Re = 1/ν. Nessa ﬁgura, as soluções numéricas foram obtidas com os esquemas ADBQUICKEST,

ALUS, SMART e TOPUS em três malhas diferentes (N = 10, 80 e 640 células computacionais),

com espaçamento temporal δt = 0.01/N e tempo ﬁnal de simulação t = 0.5. Observa-se a partir

dessa ﬁgura que os resultados numéricos com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, SMART

e TOPUS estão, de maneira geral, em boa concordância com as soluções exatas e são bastante

semelhantes entre si. É interessante destacar também que estes dados são consistentes com aqueles

de Corre e Lerat [24] para este problema.

Na Tabela 5.1 são apresentadas estimativas, em várias normas, da taxa de convergência de cada

um dos esquemas usando ν = 0.02, δt = 0.01/N e tempo ﬁnal t = 0.5. Nota-se por essa tabela

que as estimativas dessas taxas obtidas com os esquemas ALUS e TOPUS são superiores àquelas

do ADBQUICKEST e SMART. Observa-se, ainda, por essa mesma tabela que o esquema TOPUS

forneceu uma taxa maior entre as malhas de N = 80 e N = 160 células. Cabe mencionar ao

leitor que o método numérico de diferenças ﬁnitas implementado com os esquemas “upwind” de

alta resolução não consegue computar a solução numérica em malhas grosseiras com Re = 1/ν

elevado.

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers

A seguir dois casos envolvendo a obtenção da solução numérica de (2.4) com e sem viscosi-

dade são descritos. Os resultados obtidos foram parcialmente publicados em anais de eventos e

periódicos (ver [48, 103, 105, 109, 110, 111, 115]).

Equação de Burgers com viscosidade

Nesse caso, adota-se a equação (2.4), com a condição (2.8), e sujeita a três condições iniciais.

Os esquemas ALUS e TOPUS foram utilizados nas simulações.

• Caso 1: neste caso são consideradas, para x ∈ [0, 1], as condições de contorno u(0, t) =

tanh(0.25/ν) e u( 1, t) = −ta nh(0.25/ν) e inicial u(x, 0) = tanh ((0.25 − 0.5x)/ν). A

solução analítica desta EDP é deﬁnida em (2.10). Para acessar a convergência do processo

numérico, as malhas de N = 100 (δx = 0.01), N = 200 (δx = 0.005), N = 400 (δx =

0.0025) e N = 8 00 (δx = 0.00125) células computacionais foram adotadas. O espaçamento

temporal foi δt = 0.0001 e o tempo ﬁnal de simulação t = 1.5. Para a viscosidade utilizou-se

ν = 0.05.

A Figura 5.8 mostra as soluções exata e numéricas obtidas usando os esquemas ALUS e

TOPUS na malha de N = 100 células. Dessa ﬁgura, percebe-se que a solução numérica é

muito similar à exata. O resultado do estudo da convergência é apresentado na Tabela 5.2,

onde nota-se que a segunda ordem foi atingida. Além disso, os resultados numéricos obtidos

na simulação do esquema ALUS foram “ligeiramente” melhores que aqueles fornecidos pelo

TOPUS.

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers 42

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

ABDQUICKEST

Re = 1, N = 10

Re = 10, N = 80

Re = 100, N = 640

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

ALUS

Re = 1, N = 10

Re = 10, N = 80

Re = 100, N = 640

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

SMART

Re = 1, N = 10

Re = 10, N = 80

Re = 100, N = 640

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

TOPUS

Re = 1, N = 10

Re = 10, N = 80

Re = 100, N = 640

Figura 5.7: Soluções exatas (“quadrados”) e resultados numéricos (“estrelas”) para o problema da

camada de limite obtidos com a utilização de esquemas “upwind” de alta resolução.

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers 43

Tabela 5.1: Estudo da convergência de esquemas convectivos de alta resolução, associado com um

método de diferenças ﬁnitas explícito, aplicado a solução da equação da camada limite.

Erro Ordem Erro Ordem Erro Ordem

Esquema N E

E

∞

E

∞

ADBQUICKEST 80 1.375×10

−2

— 1.012 ×10

−2

— 6.800 ×10

−3

—

160 6.253×10

−3

1.137 4.476 ×10

−3

1.177 2.690 ×10

−3

1.338

320 2.268×10

−3

1.463 1.621 ×10

−3

1.465 9.100 ×10

−4

1.564

640 7.725×10

−4

1.554 5.596 ×10

−4

1.534 3.000 ×10

−4

1.601

ALUS 80 2.174×10

−2

— 1.619×10

−2

— 1.094×10

−2

—

160 5.684×10

−3

1.935 4.061×10

−3

1.995 2.450×10

−3

2.159

320 1.209×10

−4

2.233 8.420×10

−4

2.270 4.700×10

−4

2.382

640 1.714×10

−4

2.828 1.081×10

−4

2.961 5.999×10

−5

2.972

SMART 80 2.081×10

−1

— 1.430×10

−1

— 9.215×10

−2

—

160 1.271×10

−1

0.711 8.767×10

−2

0.706 5.065×10

−2

0.863

320 7.035×10

−2

0.853 4.899×10

−2

0.840 2.697×10

−2

0.909

640 3.701×10

−2

0.927 2.596×10

−2

0.916 1.391×10

−2

0.955

TOPUS 80 2.688×10

−2

— 1.966×10

−2

— 1.318×10

−2

—

160 6.237×10

−3

2.108 4.466×10

−3

2.140 2.680×10

−3

2.298

320 1.306×10

−3

2.256 9.398×10

−4

2.248 5.300×10

−4

2.338

640 2.495×10

−4

2.388 1.891×10

−4

2.313 1.100×10

−4

2.295

-1

-0.5

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ALUS

Exata

-1

-0.5

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

TOPUS

Exata

Figura 5.8: Caso 1: Comparação entre as soluções exata e numéricas da equação de Burgers.

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers 44

Tabela 5.2: Estudo da convergência dos esquemas ALUS e TOPUSaplicados à equação de Burgers

com viscosidade ν = 0.05.

Erro Ordem Erro Ordem Erro Ordem

Esquema N E

E

∞

E

∞

ALUS 100 9.916×10

−5

— 1.513×10

−4

— 3.100×10

−4

—

200 2.431×10

−5

2.028 3.764×10

−5

2.007 7.898×10

−5

1.973

400 5.985×10

−6

2.022 9.396×10

−6

2.002 2.003×10

−5

1.979

800 1.448×10

−6

2.047 2.330×10

−6

2.012 5.007×10

−6

2.000

TOPUS 100 1.110×10

−4

— 1.677×10

−4

— 3.401×10

−4

—

200 3.052×10

−5

1.863 4.493×10

−5

1.900 8.900×10

−5

1.934

400 7.946×10

−6

1.941 1.164×10

−5

1.949 2.301×10

−5

1.952

800 2.012×10

−6

1.982 2.973×10

−6

1.969 6.021×10

−6

1.934

• Caso 2: as condições iniciais e de contorno utilizadas, neste teste, são u(x, 0) = sin(2πx)

e u(0, t) = u(1, t) = 0 , respectivamente. Essas condições foram escolhidas com o objetivo

de promover a formação do choque. Nas simulações foram adotados uma malha de 400

células computacionais (δx = 0.0025), ν = 0.001, espaçamento temporal δt = 0.00125 e

tempo ﬁnal de simulação t = 1. A Figura 5.9 mostra as soluções numéricas em diferentes

tempos. Nota-se a partir dessa ﬁgura, que houve a formação de uma descontinuidade na

posição x = 0.5, e que as soluções numéricas do ALUS e TOPUS capturaram este choque

livre de oscilações. Os esquemas ALUS e TOPUS tiveram desempenho similar neste teste.

-1

-0.5

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ALUS

t = 0.000

t = 0.125

t = 0.250

t = 0.500

t = 1.000

-1

-0.5

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

TOPUS

t = 0.000

t = 0.125

t = 0.250

t = 0.500

t = 1.000

Figura 5.9: Caso 2: Soluções numéricas da equação de Burgers com viscosidade.

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers 45

• Caso 3: neste caso teste, as condições iniciais e de contorno adotadas foram, respectiva-

mente, u(x, 0) = 1 + cos(x) e u(0, t) = u(2π, t) = 1 + cos(t), em que x ∈ [0, 2π]. Na simu-

lação desse teste foi empregada uma malha de 2500 células computacionais (δx = 0.0008π),

viscosidade ν = 0.001, passo temporal δt = 0.0001 e tempo ﬁnal de simulação t = 3.5. Os

perﬁs transientes obtidos com os esquemas ALUS e TOPUS estão mostrados na Figura 5.10.

Da mesma forma como ocorreu anteriormente, os esquemas ALUS e TOPUS apresentaram

soluções transientes livres de oscilações numéricas e boa resolução dos choques. Observa-se

também que esses dados transientes são consistentes com aqueles apresentados por Fatkullin

e Hesthaven [40].

0.5

1.5

2.5

1 2 3 4 5 6

ALUS

t = 0.0

t = 0.5

t = 1.5

t = 2.5

t = 3.5

0.5

1.5

2.5

1 2 3 4 5 6

TOPUS

t = 0.0

t = 0.5

t = 1.5

t = 2.5

t = 3.5

Figura 5.10: Caso 3: Soluções numéricas da equação de Burgers com viscosidade.

Equação de Burgers sem viscosidade

A equação de Burgers sem viscosidade é dada pela equação (2.4) adotando as condições (2.9).

Seguem dois casos aqui investigados, visando a obtenção da solução numérica de problemas mais

complexos.

• Caso 1 (Onda de choque) [1]: neste caso, a condição inicial (equação (2.11)) adotada é

= 0.8 e u

= 0.2 para x ∈ [−1, 1]. Para a simulação foram utilizados uma malha de

200 células computacionais (δx = 0.01), marcha no tempo δt = 0.009 e tempo ﬁnal de

simulação t = 0.5. Nas Figuras 5.11a e 5.12a são apresentados os resultados numéricos com

ALUS e TOPUS mais a solução exata dada em (2.12) [1]. Vê-se por essa ﬁgura que houve

boa concordância entre as soluções numérica e exata. Nota-se também, por essa mesma

ﬁgura, que ocorreu vestígios de difusão numérica próximo ao ponto x = 0.225. Os erros -

E

(ver equação (2.69)) - cometidos pelos esquemas ALUS e TOPUS foram 4.3 ×10

−2

4.4×10

−2

, respectivamente. As ﬁguras 5.11b e 5.12b mostram os perﬁs transientes obtidos.

Mais uma vez, é possível notar que essas soluções numéricas estão livres de oscilações.

Vale destacar, ainda, que os resultados numéricos aqui apresentados são superiores aqueles

obtidos por Ahmed [1] usando os esquemas FOU, Lax-Wendroff e Warming-Beam [153].

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers 46

(a) (b)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

ALUS

Exata

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

t=0.0

t=0.25

t=0.5

t=0.75

t=1.0

t=1.25

t=1.5

Figura 5.11: Simulação numérica de uma onda de choque usando o ALUS: (a) comparação entre

as soluções numérica e exata; (b) perﬁl transiente da solução numérica.

(a) (b)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

TOPUS

Exata

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1

t=0.0

t=0.25

t=0.5

t=0.75

t=1.0

t=1.25

t=1.5

Figura 5.12: Simulação numérica de uma onda de choque usando o TOPUS: (a) comparação entre

as soluções numérica e exata; (b) perﬁl transiente da solução numérica.

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers 47

• Caso 2 (Onda de rarefação) [1]: neste teste, a condição inicial (2.11) é u

= 0.0 e u

= 0.5

para x ∈ [−1.5, 1]. Nessa simulação, o tempo ﬁnal de simulação é t = 2 .0 , o espaçamento

temporal δt = 0.01625 e a malha empregada possui 200 células computacionais (δx =

0.0125). O problema foi simulado usando-se os esquemas convectivos ALUS, Superbee

[118], TOPUS e VONOS. Na Figura 5.13 é apresentada a comparação entre as soluções

numéricas e a exata dada por (2.13) [1]. Pode-se notar por essa ﬁgura que o resultado obtido

com o esquema TOPUS foi melhor que aqueles dos outros esquemas. Observou-se também

que o esquema ALUS apresentou dissipação numérica próximo ao ponto x = 0.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

ALUS

Exata

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Superbee

Exata

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

TOPUS

Exata

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

VONOS

Exata

Figura 5.13: Simulação numérica de uma onda de rarefação usando os esquemas convectivos

ALUS, Superbee, TOPUS e VONOS.

5.3 Problemas de Riemann para a Equação de Burgers 48

5.4 Equação de Buckley-Leverett

Nesta seção são apresentados resultados numéricos obtidos para a equação de Buckley-Leve-

rett [7] deﬁnida em (2.4) com (2.7). Para resolver esta complicada equação, foram utilizados os

esquemas ALUS, FOU e TOPUS. Como Ahmed [1], dois casos de teste foram simulados:

• Caso 1: neste teste, a condição inicial (2.5) é dada por

u(x, 0) =



0.5, x = 0,

0, x ∈ (0, 1].

(5.4)

A malha empregada na simulação possui 30 células (δx = 0.033). O tempo ﬁnal de simula-

ção e o espaçamento temporal foram t = 0.162 e δt = 0.009, respectivamente. O resultado

numérico está ilustrado na Figura 5.14a. Nota-se que o FOU apresentou comportamento

difusivo. Também, observa-se que os esquemas ALUS e TOPUS não produziram oscilações

numéricas na região da descontinuidade (x = 0.26).

• Caso 2: a condição inicial (2.5) abordada neste caso é expressa por

u(x, 0) =



0.75, x = 0,

0, x ∈ (0, 3].

(5.5)

A malha considerada nesta simulação tem 50 células (δx = 0.06). O tempo ﬁnal de simu-

lação e o espaçamento temporal foram t = 0.9 e δt = 0.009, respectivamente. O resultado

numérico está ilustrado na Figura 5.14b. Mais uma vez, na região do choque, os esquemas

ALUS e TOPUS produziram soluções numéricas livres de oscilações.

(a) (b)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ALUS

FOU

TOPUS

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ALUS

FOU

TOPUS

Figura 5.14: Resultados numéricos da equação de Buckley-Leverett: (a) caso 1; (b) caso 2.

É importante destacar que os resultados numéricos fornecidos nas simulações do ALUS e

TOPUS são superiores aqueles obtidos por Ahmed [1] utilizando os esquemas Lax-Wendroff,

Lax-Friedrichs e Warming-Beam.

5.5 Equação de Águas Rasas 49

5.5 Equação de Águas Rasas

O problema conhecido por “dam-break” (ver [82]) , modelado pelo sistema hiperbólico 1D

(2.16), aparece freqüentemente na literatura com o objetivo de testar novos esquemas numéri-

cos. Ele também é adotado neste trabalho para testar os esquemas convectivos ADBQUICKEST,

ALUS, Superbee e TOPUS. Para tanto, a condição inicial é dada por

h(x, 0) =



3, x ∈ [−5, 0],

1, x ∈ (0, 5],

(5.6)

u(x, 0) = 0. (5.7)

Para a resolução do problema, foi utilizado o pacote computacional CLAWPACK de LeVeque

[82] equipado com os limitadores de ﬂuxo dos esquemas ADBQUICKEST, ALUS, Superbee e

TOPUS. Este robusto código computa a solução numérica de equações diferenciais hiperbólicas

no contexto de volumes ﬁnitos usando uma abordagem de propagação de onda (ver detalhes em

[82]) . Neste teste foram empregados uma malha de 100 células computacionais (δx = 0.1) e

tempo ﬁnal de simulação t = 2. As Figuras 5.15 e 5.16 mostram as soluções numéricas e de

referência (usando o método Godunov [82] e uma malha de 1000 células), para a profundidade h

e vazão hu , respectivamente. Por essas ﬁguras, observa-se que os esquemas Superbee e TOPUS

produziram soluções numéricas de boa qualidade e em concordância com a de referência.

CLAWPACK is a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic

partial differential equations using a wave propagation approach.

5.5 Equação de Águas Rasas 50

1.5

2.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

ADBQUICKEST

1.5

2.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

ALUS

1.5

2.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

Superbee

1.5

2.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

Superbee

1.5

2.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

TOPUS

Figura 5.15: Soluções numéricas e de referência para a profundidade h no problema “dam-break”.

5.5 Equação de Águas Rasas 51

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

ADBQUICKEST

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

ALUS

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

Superbee

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Godunov

TOPUS

Figura 5.16: Soluções numéricas e de referência para a vazão hu no problema “dam-break”.

5.5 Equação de Águas Rasas 52

5.6 Problemas de Riemann para as Equações de Euler

Este é um problema interessante e que aparece também com freqüência na literatura para testar

esquemas numéricos. A seguir, três problemas de Riemann são simulados com o uso dos esquemas

ADBQUICKEST, ALUS, ARORA [10], Lax-Wendroff, MINMOD [119], SMART, Superbee e

TOPUS. Os resultados expostos nesta seção foram parcialmente publicados em anais de eventos e

periódicos [48, 75, 106, 109, 110, 114, 115].

5.6.1 Tubo de Choque de Sod

Neste problema, proposto por Sod [130], é considerada a equação (2.18), x ∈ [0, 1], sujeita às

condições iniciais

[ρ, u, p]



[1, 0, 1 ]

, x ∈ [0, 0.5),

[0.125, 0, 0.1]

, x ∈ [0.5, 1].

(5.8)

Nesse problema, foram considerados o tempo ﬁnal de simulação (instante de ocorrência do cho-

que) t = 0.2 e o espaçamento temporal δt = 0 .6 δx. Duas malhas com N = 50 (δx = 0.02)

e N = 200 (δx = 0.005) células computacionais foram adotados nas simulações. A Figura

5.17 mostra as soluções numéricas, usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, Lax-Wendroff,

SMART, Superbee e TOPUS, e de referência (FOU na malha de 2000 células - δx = 0.0005).

Nota-se por meio dessa ﬁgura que o TOPUS resolveu bem o choque, quando comparado com os

demais esquemas. Cabe mencionar também que a convergência das soluções numéricas para a de

referência foi melhor para o esquema TOPUS.

5.6.2 Tubo de Choque de Shu-Osher

Neste tubo de choque, proposto por Shu-Osher [124], é considerada a equação (2.18), x ∈

[−1, 3], suplementada com a condição inicial

[ρ, u, p]



[3.86, 2.63, 10.33]

, x ∈ [−1, −0.8),

[1 + 0.2 sin(5x), 0, 1]

, x ∈ [−0.8, 3].

(5.9)

Para a simulação deste problema, o tempo ﬁnal de processamento foi t = 1 (instante de ocorrência

do choque) e espaçamento temporal de δt = 0.6δx. Duas malhas com N = 200 (δx = 0 .0 2) e

N = 300 (δx = 0.0133) células computacionais foram adotadas. A solução de referência para esse

problema foi obtida da mesma forma como feito no tubo de choque de Sod. A Figura 5.18 apre-

senta as soluções numéricas obtidas usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, Lax-Wendroff,

SMART, Superbee e TOPUS e a de referência. Vê-se por essa ﬁgura, que a simulação usando-se

o TOPUS forneceu resultados em boa concordância com a solução de referência. Ainda mais, o

esquema ALUS teve comportamento similar ao do ADBQUICKEST.

5.6 Problemas de Riemann para as Equações de Euler 53

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

ADBQUICKEST, N = 50

ADBQUICKEST, N = 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

ALUS, N = 50

ALUS, N = 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

Lax-Wendroff, N = 50

Lax-Wendroff, N = 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

SMART, N = 50

SMART, N = 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

Superbee, N = 50

Superbee, N = 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

TOPUS, N = 50

TOPUS, N = 200

Figura 5.17: Soluções numéricas do tubo de choque de Sod obtidas com os esquemas ADBQUIC-

KEST, ALUS, Lax-Wendroff, SMART, Superbee e TOPUS.

5.6 Problemas de Riemann para as Equações de Euler 54

1.5

2.5

3.5

4.5

1 1.5 2 2.5 3

Esquema FOU

ADBQUICKEST, N = 200

ADBQUICKEST, N = 300

1.5

2.5

3.5

4.5

1 1.5 2 2.5 3

Esquema FOU

ALUS, N = 200

ALUS, N = 300

1.5

2.5

3.5

4.5

1 1.5 2 2.5 3

Esquema FOU

Lax-Wendroff, N = 200

Lax-Wendroff, N = 300

1.5

2.5

3.5

4.5

1 1.5 2 2.5 3

Esquema FOU

SMART, N = 200

SMART, N = 300

1.5

2.5

3.5

4.5

1 1.5 2 2.5 3

Esquema FOU

Superbee, N = 200

Superbee, N = 300

1.5

2.5

3.5

4.5

1 1.5 2 2.5 3

Esquema FOU

TOPUS, N = 200

TOPUS, N = 300

Figura 5.18: Soluções numéricas do tubo de choque de Shu-Osher obtidas com os esquemas ADB-

QUICKEST, ALUS, Lax-Wendroff, SMART, Superbee e TOPUS.

5.6 Problemas de Riemann para as Equações de Euler 55

5.6.3 Tubo de Choque de Shu-Osher Modiﬁcado

Este problema de Riemann, proposto por Titarev e Toro [144], é uma variação do tubo de

choque de Shu-Osher [124]. Ele constitui um excelente teste para esquemas “upwind” de alta

resolução. Considera-se a equação (2.18), x ∈ [−5, 5], com condições iniciais dadas por

[ρ, u, p]



[1.515695, 0.523346, 1.805]

, x ∈ [−5, 4.5),

[1 + 0.1 sin(20πx), 0, 1]

, x ∈ [4.5, 5].

(5.10)

Para a simulação deste problema, foram empregados os seguintes dados: tempo ﬁnal de proces-

samento t = 5 (instante de ocorrência do choque); espaçamento temporal δt = 0.0024; e malha

computacional de N = 2500 células computacionais (δx = 0.004). A solução de referência foi

considerada usando o esquema FOU numa malha de 20000 células (δx = 0.0005). A Figura 5.19

apresenta as soluções numéricas obtidas usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, ARORA,

MINMOD, Superbee e TOPUS e de referência. Novamente, com base nessa ﬁgura, ﬁca clara a

superioridade do esquema TOPUS.

5.6.4 Tubos de Choque de Toro

Neste tubo de choque, proposto por Toro [147], é considerada a equação (2.18), x ∈ [0, 1],

sujeita a duas condições iniciais.

• Caso 1: neste caso, a condição inicial é expressa por

[ρ, u, p]



[1, 0, 1 000]

, x ∈ [0, 0.5),

[1, 0, 0 .0 1]

, x ∈ [0.5, 1].

(5.11)

Para a simulação desse caso, o tempo ﬁnal de processamento t = 0.012 (instante do choque),

o espaçamento temporal δt = 0.6δx, e duas malhas de N = 200 (δx = 0.05) e N = 400

(δx = 0.0025) células foram utilizados. A solução de referência para este problema foi

obtida com a simulação do esquema FOU numa malha de 4000 células (δx = 0.00025).

A Figura 5.20 mostra as soluções de referência e as numéricas obtidas nas simulações dos

esquemas ADBQUICKEST, ALUS, ARORA, MINMOD, SMART e TOPUS. Dessa ﬁgura,

percebe-se que as soluções obtidas com MINMOD e TOPUS são livres de difusão numérica.

Também nota-se que essas soluções são bastante consistentes com a de referência.

• Caso 2: neste caso, a condição inicial é dada por

[ρ, u, p]



[5.99924, 19.5975, 460.894]

, x ∈ [0, 0.4),

[5.99242, −6.19633, 46.095]

, x ∈ [0.4, 1].

(5.12)

Para a simulação desse caso, o tempo ﬁnal de processamento t = 0.035 (instante do cho-

que) foi utilizado. O espaçamento temporal, as malhas empregadas e a solução de referência

foram iguais a do caso descrito anteriormente. A Figura 5.21 apresenta as soluções de refe-

rência e as numéricas obtidas nas simulações usando os esquemas ADBQUICKEST, ALUS,

ARORA, SMART, Superbee e TOPUS. Dessa ﬁgura, nota-se que as simulações dos esque-

mas Superbee e TOPUS produziram resultados mais próximos da solução de referência, com

a convergência do método usando o TOPUS sendo mais satisfatória do que com o Superbee.

5.6 Problemas de Riemann para as Equações de Euler 56

0.9

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-2 -1 0 1 2 3

Esquema FOU

ADBQUICKEST

0.9

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-2 -1 0 1 2 3

Esquema FOU

ALUS

0.9

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-2 -1 0 1 2 3

Esquema FOU

ARORA

0.9

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-2 -1 0 1 2 3

Esquema FOU

MINMOD

0.9

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-2 -1 0 1 2 3

Esquema FOU

Superbee

0.9

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-2 -1 0 1 2 3

Esquema FOU

TOPUS

Figura 5.19: Soluções numéricas do tubo de choque de Shu-Osher modiﬁcado obtidas com os

esquemas ADBQUICKEST, ALUS, ARORA, MINMOD, Superbee e TOPUS.

5.6 Problemas de Riemann para as Equações de Euler 57

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

ADBQUICKEST, N = 200

ADBQUICKEST, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

ALUS, N = 200

ALUS, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

ARORA, N = 200

ARORA, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

MINMOD, N = 200

MINMOD, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

SMART, N = 200

SMART, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

TOPUS, N = 200

TOPUS, N = 400

Figura 5.20: Caso 1: Soluções numéricas do tubo de choque de Toro obtidas com os esquemas

ADBQUICKEST, ALUS, ARORA, MINMOD, SMART e TOPUS.

5.6 Problemas de Riemann para as Equações de Euler 58

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

ADBQUICKEST, N = 200

ADBQUICKEST, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

ALUS, N = 200

ALUS, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

ARORA, N = 200

ARORA, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

SMART, N = 200

SMART, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

Superbee, N = 200

Superbee, N = 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Esquema FOU

TOPUS, N = 200

TOPUS, N = 400

Figura 5.21: Caso 2: Soluções numéricas do tubo de choque de Toro obtidas com os esquemas

ADBQUICKEST, ALUS, ARORA, SMART, Superbee e TOPUS.

CAPÍTULO

Resultados Numéricos 2D e Aplicações

Até este ponto vários problemas 1D tem sido simulados, com o objetivo de veriﬁcar a validade,

a ﬂexibilidade e a robustez dos esquemas “upwind” propostos nesta dissertação. Neste capítulo,

problemas de escoamentos de ﬂuidos 2D complexos são simulados com o uso dos esquemas ALUS

e TOPUS, entre outros. Ambas as formulações incompressível e compressível são consideradas.

6.1 Problemas Incompressíveis

Nesta seção são apresentados resultados numéricos de uma variedade de problemas de esco-

amentos de ﬂuidos incompressíveis 2D com ou sem superfícies livres. O código computacional

“Freeﬂow” (versão 2D) de Castelo et al. [20] foi usado nas simulações desses problemas.

6.1.1 Escoamento de Poiseuille em Regime Laminar

Para a simulação desse problema conﬁnado, os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA

e TOPUS foram utilizados. Em particular, as soluções numéricas obtidas nas simulações com o

esquema ADBQUICKEST foram parcialmente publicadas em periódico (ver [48]). O problema

consiste do escoamento transiente entre duas placas planas situadas em y = 0.0m e y = L = 1.0m.

O domínio computacional é 5L × L. Inicialmente, o ﬂuido é movimentado por um gradiente de

pressão, gradualmente, ele escoa através do canal e, ﬁnalmente, atinge o regime estacionário. A

solução semi-analítica (ver [91, 140]) para a componente u da velocidade é deﬁnida por

u = −4y(y −1) −



n=0

(2n + 1)

sin(πy(2n + 1)) exp(−Re

−1

(2n + 1)

t), (6.1)

em que x é a coordenada na direção das linhas de corrente do escoamento, y é a coordenada na

direção normal ao canal e Nt é o número de termos da série. Para as comparações com os dados

numéricos, foram usados Nt = 1 000 termos na série (6.1). O código “Freeﬂow-2D” equipado com

os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS e o método de Crank-Nicolson [26]

para a marcha no tempo rodou esse problema usando os seguintes dados: três malhas - 100×20

(δx = δy = 0 .05 m), 200×40 (δx = δy = 0.025 m) e 400×80 (δx = δy = 0.012 5 m); tempo

de processamento t = 20s; e números de Reynolds Re = 0.01 e Re = 500. No contorno de

6.1 Problemas Incompressíveis 60

entrada do ﬂuido, a condição inicial foi calculada por (6.1). A Figura 6.1 mostra, no caso do

número de Reynolds ser Re = 0.01 e a malha de 100 ×20 células, a comparação entre as soluções

semi-analíticas para a velocidade u em x = δx e as soluções numéricas nos tempos t = 0.000157s,

t = 0.0005s, t = 0.001s e t = 4s. Observa-se por essa ﬁgura que os resultados numéricos

obtidos com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS concordam muito bem

com as soluções semi-analíticas. Os contornos da componente de velocidade u, no tempo t = 20s,

fornecidos com a simulação do esquema TOPUS em três diferentes malhas estão ilustrados na

Figura 6.2. Esses contornos resultantes com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA

mostram ser qualitativamente semelhantes aos obtidos com o TOPUS e, por esse motivo, foram

omitidos.

Com o objetivo de se estimar a ordem de convergência dos esquemas simulados, calcularam-se

os erros E

e E

. A Tabela 6.1 apresenta esses erros e as estimativas da ordem. Pode-se con-

cluir pelos resultados dessa tabela que a segunda ordem de convergência foi praticamente atingida.

Nota-se, ainda, que o esquema TOPUS apresentou melhores resultados na malha mais grosseira.

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

ADBQUICKEST

t = 0.000157

t = 0.000500

t = 0.001000

t = 4.000000

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

ALUS

t = 0.000157

t = 0.000500

t = 0.001000

t = 4.000000

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

CUBISTA

t = 0.000157

t = 0.000500

t = 0.001000

t = 4.000000

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

TOPUS

t = 0.000157

t = 0.000500

t = 0.001000

t = 4.000000

Figura 6.1: Comparação entre as soluções numéricas (“estrelas”) e semi-analíticas (“linhas contí-

nuas”) para o escoamento de Poiseuille.

6.1 Problemas Incompressíveis 61

(a) 100 × 20 células

(b) 200 × 40 células

Figura 6.2: Resultados numéricos para a velocidade u obtidos nas simulações do escoamento de

Poiseuille usando o esquema TOPUS e três malhas diferentes a Reynolds Re = 500.

6.1 Problemas Incompressíveis 62

Tabela 6.1: Estudo da convergência dos esquemas de alta resolução, relacionados com o método

implícito de Crank-Nicolson, aplicados ao problema de Poiseuille a Reynolds Re = 500.

Erro Ordem Erro Ordem

Esquema Malha E

E

100×20 8.963 ×10

−4

— 3.654 ×10

−4

—

ADBQUICKEST 200×40 2.333×10

−4

1.942 1.327 ×10

−4

1.461

400×80 7.588×10

−5

1.620 4.165 ×10

−5

1.672

100×20 9.132×10

−4

— 3.726 ×10

−4

—

ALUS 200×40 2.339×10

−4

1.965 1.329×10

−4

1.487

400×80 7.576×10

−5

1.626 4.166×10

−5

1.674

100×20 9.047×10

−4

— 3.694×10

−4

—

CUBISTA 200×40 2.334×10

−4

1.955 1.328×10

−4

1.476

400×80 7.580×10

−5

1.623 4.165×10

−5

1.673

100×20 9.168 ×10

−4

— 3.748 ×10

−4

—

TOPUS 200×40 2.340×10

−4

1.970 1.330 ×10

−4

1.495

400×80 7.608 ×10

−5

1.621 4.178 ×10

−5

1.671

6.1.2 Escoamento numa Expansão Brusca

Nesta seção são apresentados resultados numéricos para o problema do escoamento conﬁnado

2D numa expansão brusca

[138] nos regimes laminar e turbulento. Esses resultados foram parci-

almente publicados em anais de eventos (ver referência [111, 113]).

Caso Laminar

Os dados numéricos aqui apresentados foram obtidos com os esquemas ADBQUICKEST,

ALUS, CDS, CUBISTA, FOU, TOPUS, VONOS e WACEB. A geometria do problema, cujo do-

mínio é 4m × 0.2m, está ilustrada na Figura 6.3. O objetivo principal nesse problema consiste em

estimar o comprimento da recirculação principal xr, que é determinada como sendo o ponto sobre

a primeira seqüência de células adjacentes ao contorno rígido inferior, em que a componente u da

velocidade troca de sinal.

Os dados do modelo utilizado nas simulações são o diâmetro do injetor h = 0.1m, a velocidade

de injeção U

= 1ms

−1

e o parâmetro de escala L = 0 .2 m. Conforme Brandi [17], as simulações

deste escoamento conﬁnado foram realizadas a Reynolds Re =100, 200, 400, 600 e 800 numa

malha de 400 ×20 (δx = δy = 0.01m) células computacionais. Na entrada do canal é imposto um

perﬁl parabólico deﬁnido por

u(y) =

−4U

y. (6.2)

Os resultados numéricos para a recirculação xr, usando os vários esquemas e os dados experimen-

tais de Armaly et al. [8], estão mostrados na Tabela 6.2. Nota-se por essa tabela que os resultados

numéricos obtidos com os esquemas estão em boa concordância com os dados experimentais.

Também, percebe-se que a estimativa para a recirculação com o esquema CDS é melhor, quando

comparada com os outros esquemas, e as estimativas com o ALUS e TOPUS ﬁcaram próximas

daquela obtida com o esquema centrado. Os contornos da componente de velocidade u, no tempo

Este problema é conhecido na literatura por “backward facing step”.

6.1 Problemas Incompressíveis 63

t = 100s, a Reynolds 100 e 800 estão mostrados, respectivamente, nas Figuras 6.4 e 6.5. Dessas

ﬁguras, é possível observar que com o aumento do número de Reynolds implicou num aumento

da recirculação xr e aparecimento de uma outra recirculação no topo do canal para Re = 800.

Ressalta-se que esses resultados estão, qualitativamente, consistentes com os dados dos trabalhos

de Brandi [17] e de Stuart e Dochan [138].

Figura 6.3: Geometria para o problema conﬁnado numa expansão brusca.

Tabela 6.2: Comparação entre resultados experimentais e numéricos obtidos para o problema con-

ﬁnado numa expansão brusca usando diferentes esquemas convectivos e números de Reynolds.

100 200 400 600 800

Experimental [8] 3.06 5.16 8.72 11.28 14.34

ADBQUICKEST 3.137 5.140 8.141 9.731 10.713

ALUS 3.135 5.181 8.382 9.973 10.691

CDS 3.138 5.213 8.561 10.358 10.997

CUBISTA 3.133 5.139 8.151 9.710 10.666

FOU 2.749 4.337 6.942 8.906 10.230

TOPUS 3.128 5.145 8.224 9.827 10.777

VONOS 3.163 5.148 8.016 9.553 10.576

WACEB 3.137 5.151 8.200 9.799 10.735

Além disso, um teste de convergência das soluções numéricas, para a componente u, foi feito

com Reynolds 600 em três malhas consistindo de 200 × 10, 400 × 20 e 800 × 40 células com-

putacionais. Esses dados estão mostrados na Figura 6.6, onde se observa como foi calculado o

comprimento de recirculação

(xr). Pode-se observar nessa ﬁgura que o maior valor de xg, e

portanto o maior xr, é obtido quando se utiliza a malha mais ﬁna. Comparando-se o valor de xr

com aqueles da Tabela 6.2, que foram obtidos numa malha de 4 00 × 20 células, ﬁca claro que a

solução numérica se aproxima do dado experimental (xr = 11.28) com o reﬁnamento da malha.

Neste trabalho, tem-se xr = (xg − 1)/0.1, em que xg é o ponto onde a velocidade troca de sinal.

6.1 Problemas Incompressíveis 64

(a) ADBQUICKEST

(b) ALUS

(d) CUBISTA

(e) FOU

(f) TOPUS

(g) VONOS

(h) WACEB

Figura 6.4: Resultados numéricos para a velocidade u obtidos nas simulações do escoamento numa

expansão brusca a Reynolds Re = 100.

6.1 Problemas Incompressíveis 65

(a) ADBQUICKEST

(b) ALUS

(d) CUBISTA

(e) FOU

(f) TOPUS

(g) VONOS

(h) WACEB

Figura 6.5: Resultados numéricos para a velocidade u obtidos nas simulações do escoamento numa

expansão brusca a Reynolds Re = 800.

6.1 Problemas Incompressíveis 66

(a) ADBQUICKEST (xr = 10.0 55) (b) ALUS (xr = 10.153)

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

malha 200 x 10

malha 400 x 20

malha 800 x 40

u = 0

xg = 2.0055

replacements

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

malha 200 x 10

malha 400 x 20

malha 800 x 40

u = 0

xg = 2.0153

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

malha 200 x 10

malha 400 x 20

malha 800 x 40

u = 0

xg = 2.0074

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

malha 200 x 10

malha 400 x 20

malha 800 x 40

u = 0

xg = 2.0083

(e) VONOS (xr = 9.966) (f) WACEB (xr = 10.080)

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

malha 200 x 10

malha 400 x 20

malha 800 x 40

u = 0

xg = 1.9966

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

malha 200 x 10

malha 400 x 20

malha 800 x 40

u = 0

xg = 2.0080

Figura 6.6: Perﬁl da componente u da velocidade do problema da expansão brusca quando Re =

600, mostrando a melhoria da solução numérica com o reﬁnamento da malha.

6.1 Problemas Incompressíveis 67

Caso Turbulento

Também, para a simulação do escoamento numa expansão brusca, foram utilizados os modelos

κ −ε clássico e o modelo algébrico RSAEM. Os resultados numéricos aqui apresentados são para

esse problema, cujo domínio é 4m × 0 .3 m, em regime turbulento. Os esquemas utilizados nas

simulações foram os mesmos do caso laminar, com exceção dos esquemas CDS e FOU. Como

no caso laminar, o objetivo principal é estimar o comprimento da recirculação principal xr. Os

dados do modelo simulado são: diâmetro do injetor h = 0.1m; velocidade de injeção U = 1ms

−1

;

parâmetro de escala L = 0.3m; número de Reynolds Re = 1.32 × 10

e três malhas: 200 × 15

(δx = δy = 0.02m), 400 × 30 (δx = δy = 0.01m) e 800 × 60 (δx = δy = 0.005m) células

computacionais.

Tomando-se como base os dados numérico de Tangham e Speziale [136] e experimental de

Eaton e Johnston [36], cujos valores da recirculação são xr = 6.0 e xr = 7.1, respectivamente;

as Tabelas 6.3 e 6.4 apresentam as comparações desses dados com os numéricos obtidos com os

modelos de turbulência κ − ε e RSAEM, respectivamente. Observando a primeira tabela, nota-se

que o esquema ADBQUICKEST forneceu resultado mais perto do experimental na malha grossa

(200 ×15 células) quando comparado com os outros esquemas. Por outro lado, a simulação com o

TOPUS na malha ﬁna (800×60 células) forneceu um valor mais próximo do experimental. Quanto

aos dados apresentados na segunda tabela, nota-se que a combinação da modelagem RSAEM e

TOPUS forneceu resultados bastante satisfatórios. Em suma, as Tabelas 6.3 e 6.4 demonstram que

os resultados numéricos obtidos com os modelos de turbulência simulados estão em concordância

com Speziale e Thangam [136]. Como ilustração, os contornos da componente de velocidade u,

no tempo t = 100s, obtidos usando os modelos κ −ε e RSAEM estão mostrados, respectivamente,

nas Figuras 6.7 e 6.8.

Tabela 6.3: Valores da recirculação obtidos para o problema de expansão brusca no caso turbulento

usando o modelo κ − ε.

Malha (número de células)

Esquema “upwind” 200 × 15 400 × 30 800 × 60

ADBQUICKEST 6.9783 6.1302 5.5768

ALUS 7.7915 6.3045 5.6214

CUBISTA 7.2878 6.1952 5.5939

TOPUS 7.9848 6.6994 6.1756

VONOS 6.2253 5.7561 5.4209

WACEB 7.2263 6.1604 5.5065

6.1 Problemas Incompressíveis 68

(a) ADBQUICKEST

(b) ALUS

(d) TOPUS

(e) VONOS

(f) WACEB

Figura 6.7: Resultados numéricos do campo de velocidade na direção x obtidos nas simulações do

problema da expansão brusca usando o modelo κ − ε.

6.1 Problemas Incompressíveis 69

(a) ADBQUICKEST

(b) ALUS

(d) TOPUS

(e) VONOS

(f) WACEB

Figura 6.8: Resultados numéricos do campo de velocidade na direção x obtidos nas simulações do

problema da expansão brusca usando o modelo algébrico RSAEM.

6.1 Problemas Incompressíveis 70

Tabela 6.4: Valores da recirculação obtidos para o problema de expansão brusca no caso turbulento

usando o modelo RSAEM.

Malha (número de células)

Esquema “upwind” 200 × 15 400 × 30 800 × 60

ADBQUICKEST 4.9626 4.6576 4.5389

ALUS 5.3447 4.7722 4.5606

CUBISTA 5.1222 4.7122 4.5478

TOPUS 5.4326 4.9411 4.8958

VONOS 4.6680 4.4576 4.4875

WACEB 5.0157 4.6876 4.5440

6.1.3 Colapso de uma Coluna de Fluido

Nesta seção são apresentadas as soluções numéricas confrontadas com dados experimentais

do problema

do colapso de uma coluna de ﬂuido. Os resultados mostrados nesta seção foram

parcialmente publicados em anais de eventos e periódico (ver referências [48, 112, 113]). Esse

problema é um teste bastante signiﬁcativo para validação de métodos numéricos para escoamentos

com superfícies livres móveis. Ele consiste de uma coluna de ﬂuido conﬁnado entre paredes, que

inicialmente está em repouso, conforme ilustrado na Figura 6.9. Em seguida, uma das paredes é

removida subitamente e o ﬂuido ﬁca livre para escoar sob à ação do campo gravitacional. Martin

e Moyce [87] foram os primeiros pesquisadores a estudar experimentalmente tal problema em

detalhes. Em seguida, Koshizuka e Oka [70] investigaram a distribuição do campo de velocidade

e a taxa de colapso da coluna de água. Mais recentemente, o experimento de Martin e Moyce [87]

foi repetido com outras técnicas por Stansby et al. [137].

Figura 6.9: Geometria do problema do colapso de uma coluna de ﬂuido: a = 0.05m e b = 0.1m.

As simulações foram feitas sem (direta) e com modelagem da turbulência (modelos κ − ε e

RSAEM), ambas associadas com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS. Os

seguintes dados foram empregados nas simulações: domínio computacional 0.3m×0 .1 5m e malha

de 150 × 75 células (δx = δy = 0.002m) computacionais. As escalas envolvidas no problema são

L = a e U

√

0.4905m/s, de maneira que o número de Reynolds é Re = 9.91×10

. As Figuras

6.11 e 6.12 ilustram, respectivamente, os resultados obtidos com e sem modelagem de turbulência

Este problema é conhecido na literatura por “broken dam”.

6.1 Problemas Incompressíveis 71

combinados com os esquemas ALUS e TOPUS para a frente do ﬂuido (x

max

) em função do tempo.

Os resultados obtidos com os esquemas ADBQUICKEST e CUBISTA foram omitidos, pois eles

mostraram-se qualitativamente semelhantes. Como pode ser visto por essas ﬁguras, houve boa

concordância entre os dados numéricos e experimentais de Koshizuka e Oka [70] e de Martin e

Moyce [87]. A Figura 6.10 ilustra, nos tempos t = 0.05s, t = 0.10s, t = 0.15s e t = 0.20s, os

campos de pressão do escoamento.

(a) ALUS (b) TOPUS

0.05s 0.05s

0.10s 0.10s

0.15s 0.15s

0.20s 0.20s

Figura 6.10: Distribuição do campo de pressão obtida na simulação do problema do colapso de

coluna de ﬂuido 2D em regime turbulento usando os esquemas ALUS e TOPUS.

6.1 Problemas Incompressíveis 72

(a) Simulação direta

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

ALUS

max



2g/L

(b) Modelo κ − ε

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

ALUS

max



2g/L

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

ALUS

max



2g/L

Figura 6.11: Comparação entre os dados experimentais e os resultados numéricos obtidos nas

simulações usando o esquema ALUS com e sem modelagem de turbulência.

6.1 Problemas Incompressíveis 73

(a) Simulação direta

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

TOPUS

max



2g/L

(b) Modelo κ − ε

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

TOPUS

max



2g/L

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

TOPUS

max



2g/L

Figura 6.12: Comparação entre os dados experimentais e os resultados numéricos obtidos nas

simulações usando o esquema TOPUS com e sem modelagem de turbulência.

6.1 Problemas Incompressíveis 74

6.1.4 Jato Livre sobre uma Superfície Rígida Impermeável

Nesta seção são apresentadas simulações de escoamentos nos regimes laminar e turbulento de

um jato livre incidindo perpendicularmente numa superfície rígida impermeável sob o efeito do

campo gravitacional. Nessas simulações foram utilizados os esquemas ADBQUICKEST, ALUS,

CUBISTA, TOPUS e VONOS. Os resultados mostrados nesta subseção foram parcialmente publi-

cados em anais de eventos (ver [112, 113]).

Caso Laminar

Aqui são apresentados os resultados numéricos no caso laminar. A geometria considerada para

simular o problema está ilustrada na Figura 6.13. A solução analítica do Watson nesse caso é dada

por (ver [155])

h(x) =











√

ν(x+l)

, para x ≥ x

a +

√

−2π)

√

δ(x), para x < x

(6.3)

em que h(x) é a altura da superfície livre, U

é a velocidade de injeção do ﬂuido, Q é vazão do

ﬂuido, a = Q/U

, c = 1.402. Os termos δ(x), x

e l são, respectivamente, deﬁnidos por:

δ(x) =



√

2(π −c

√

νx



√

3(π −c

√

2π



aRe,

l =



√

3(2c

√

3 − π)

2π



aRe.

Os dados do problema simulado, cujo domínio tem dimensões 0.4m × 0.04m, são o diâmetro

do injetor L = 0.01m (escala de comprimento ), a velocidade de injeção U

= 1ms

−1

, a constante

gravitacional g = 9.81ms

−2

e a altura do injetor a partir da superfície rígida H = 0.037 m. Nas

simulações foram empregadas três malhas de 200×20 (δx = δy = 0.002m), 40 0 ×40 (δx = δy =

0.001m) e 800 × 80 (δx = δy = 0.0 005m) células computacionais e Reynolds Re = 2 × 10

A Figura 6.15 apresenta as comparações entre as soluções numéricas obtidas com os esque-

mas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA, TOPUS e a solução analítica de Watson [155]. A partir

dessas ﬁguras, vê-se que as soluções numéricas convergiram para a solução analítica com o reﬁ-

namento da malha. As simulações com o esquema TOPUS nas malhas de 200 × 20 e 400 × 40

células produziram soluções numéricas oscilatórias, a qual foi estabilizada quando se empregou a

malha mais ﬁna. Em contrapartida, o esquema ALUS não apresentou vestígios de instabilidades.

Como ilustração, a Figura 6.14 apresenta o campo de pressão no tempo t = 2s.

6.1 Problemas Incompressíveis 75

Figura 6.13: Geometria de um jato livre incidindo sobre um contorno rígido.

(a) ADBQUICKEST (b) ALUS

Figura 6.14: Resultados numéricos para o campo de pressão do escoamento em regime laminar de

um jato livre incidindo sobre um contorno rígido.

6.1 Problemas Incompressíveis 76

(a) ADBQUICKEST (b) ALUS

1.5

2.5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Analitica

Malha 200x20

Malha 400x40

Malha 800x80

h/a

x/(aRe)

1.5

2.5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Analitica

Malha 200x20

Malha 400x40

Malha 800x80

h/a

x/(aRe)

1.5

2.5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Analitica

Malha 200x20

Malha 400x50

Malha 800x80

h/a

x/(aRe)

1.5

2.5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Analitica

Malha 200x20

Malha 400x40

Malha 800x80

h/a

x/(aRe)

Figura 6.15: Comparação entre a solução analítica de Watson e as soluções numéricas obtidas com

os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS no caso laminar, p= x

/(aRe).

6.1 Problemas Incompressíveis 77

Caso Turbulento

Neste caso, Watson [155] também apresenta uma solução analítica, a qual foi utilizada para

veriﬁcar os esquemas “upwind” abordados nesta subseção. A solução de Watson nesse caso é

dada por

h(x) =











81(7A)

800





(x + l), x ≥ x

a +



1 −



δ(x), x < x

(6.4)

em que A = 0.239 e k = 0.26 0 . Em (6.4), os parâmetros δ(x), x

e l são calculados por

δ(x) =



320(9A − 2)





aν



320(9A − 2)

81 × 7

aRe

l =

160(1 − 2A)

9 × 7

aRe

Os dados do problema simulado, cujo domínio tem dimensões 0.2m × 0.05m, são o diâmetro

do injetor L = 0 .01m, a escala de velocidade U

= 1ms

−1

(a velocidade de injeção), a escala de

comprimento L, a constante gravitacional g = 9.81ms

−2

, e a altura do injetor a partir da superfície

rígida H = 0.015m. Nas simulações foram empregadas as malhas 200 ×50 (δx = δy = 0.001m),

400 × 100 (δx = δy = 0 .0 005m) e 800 × 200 (δx = δy = 0.00025m) e Reynolds Re = 5 × 10

As Figuras 6.16 e 6.17 mostram as comparações das soluções numéricas, obtidas com os mo-

delos κ − ε e RSAEM, e analítica de Watson. Pode-se perceber dessas ﬁguras que, de maneira

geral, as soluções numéricas nas malhas grossa e intermediária convergiram para a solução na ma-

lha mais ﬁna. Observa-se também que as simulações com a modelagem κ − ε (Figura 6.16) não

apresentaram oscilações, ao passo que as simulações com a modelagem RSAEM (Figura 6.17)

apresentaram problemas, isto é, essa modelagem associada com os esquemas ALUS e CUBISTA

mostrou-se inadequada. Em suma, pode-se concluir que, nesse problema com superfície livre,

a modelagem κ − ε mostrou ser superior. E isso é na opinião do autor uma surpresa, uma vez

que o modelo matemático do RSAEM é mais rigoroso e propõe eliminar algumas deﬁciências da

modelagem clássica.

6.1 Problemas Incompressíveis 78

(a) ADBQUICKEST (b) ALUS

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Analitica

Malha 200x50

Malha 400x100

Malha 800x200

h/a

x/(aRe

1/4

)

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Analitica

Malha 200x50

Malha 400x100

Malha 800x200

h/a

x/(aRe

1/4

)

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Analitica

Malha 200x50

Malha 400x100

Malha 800x200

h/a

x/(aRe

1/4

)

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Analitica

Malha 200x50

Malha 400x100

Malha 800x200

h/a

x/(aRe

1/4

)

Figura 6.16: Comparação entre a solução analítica de Watson e os resultados numéricos obtidos

com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS combinados com o modelo κ−ε,

r= x

/(aRe

1/4

6.1 Problemas Incompressíveis 79

(a) ADBQUICKEST (b) ALUS

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Analitica

Malha 200x50

Malha 400x100

Malha 800x200

h/a

x/(aRe

1/4

)

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Analitica

Malha 200x50

Malha 400x100

Malha 800x200

h/a

x/(aRe

1/4

)

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Analitica

Malha 200x50

Malha 400x100

Malha 800x200

h/a

x/(aRe

1/4

)

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Analitica

Malha 200x50

Malha 400x100

Malha 800x200

h/a

x/(aRe

1/4

)

Figura 6.17: Comparação entre a solução analítica de Watson e os resultados numéricos obti-

dos com os esquemas ADBQUICKEST, ALUS, CUBISTA e TOPUS combinados com o modelo

RSAEM, r= x

/(aRe

1/4

6.1 Problemas Incompressíveis 80

6.1.5 Aplicação: Escoamentos de um Fluido Viscoelástico

Nesta seção são apresentados os resultados numéricos obtidos na simulação de escoamentos

viscoelásticos com/sem superfícies livres de um ﬂuido Oldroyd-B [58, 88]. Nessas simulações, os

esquemas ALUS e TOPUS foram usados para estimar os termos convectivos das EDPs (2.55) e

(2.56).

6.1.5.1 Escoamento num Canal

Neste problema é considerado um canal de dimensões 5m × 1m vazio. Inicialmente, o ﬂuido

é injetado na seção de entrada e, após um determinado tempo, ele alcança a região de saída. As

soluções analíticas do problema em estado estacionário são dadas por [15]

u(y) = −6y(y − L), v(y) = 0, (6.5)

(y) = 2W e (1 − β)



∂u

∂y



, T

(y) = (1 − β)



∂u

∂y



, T

(y) = 0. (6.6)

Para a simulação deste problema, os seguintes dados foram utilizados: escala de comprimento

L = 1.0m, velocidade de injeção U

= 1ms

−1

, tempo de relaxação λ

= 2.0s, tempo de re-

tardamento λ

= 1.0s, número de Weissenberg W e = 2.0 e números de Reynolds Re = 0.0 1

e Re = 0.1. Quatro malhas foram adotadas para a simulação: M1 = 25 × 5, M2 = 50 × 10,

M3 = 100 × 20 e M4 = 200 × 40 (células computacionais). Os resultados apresentados na

seqüência são obtidos com o uso dos esquemas ALUS e TOPUS.

A Figura 6.18 mostra os contornos obtidos com o TOPUS no tempo t = 2.175s para a veloci-

dade u, a pressão p e os tensores T

e T

. Os perﬁs estacionários para u, T

e T

na metade do

canal (x = 2.5m) e no tempo t = 100s são apresentados na Figura 6.19. Esses perﬁs obtidos com

o esquema ALUS mostram ser qualitativamente semelhantes aos obtidos com o esquema TOPUS

e, por essa razão, foram omitidos.

Com o objetivo de comparar os esquemas ALUS e TOPUS nesse problema, os erros E

entre as soluções numéricas e analíticas (ver [15]) em cada malha foram calculados. Esses dados

mais as estimativas para a ordem numérica estão mostrados nas Tabelas 6.5 e 6.6, respectivamente.

Nota-se que ambos os esquemas apresentaram resultados similares e atingiram, no global, ordem

de convergência próximo de 2.

6.1 Problemas Incompressíveis 81

(a) u

(b) p

(d) T

Figura 6.18: Soluções numéricas obtidas na simulação com o esquema TOPUS no instante t =

2.175s na malha de 200 × 40 células a Reynolds Re = 0.01.

6.1 Problemas Incompressíveis 82

(a) Soluções numéricas e exata da componente u da velocidade.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Exata

(b) Soluções numéricas e exata da componente T

do tensor de tensão.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0.5

Exata

do tensor de tensão.

−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200

0.5

Exata

Figura 6.19: Comparação entre as soluções numéricas, obtidas com a utilização do esquema TO-

PUS a Reynolds Re = 0.01 em diferentes malhas, e analíticas.

6.1 Problemas Incompressíveis 83

Tabela 6.5: Escoamento viscoelástico num canal - Erro E

entre as soluções numérica e analí-

tica.

Erro E

Esquema Re Malha u T

25 × 5 5.4210 ×10

−2

1.2187 ×10

−1

5.6288 ×10

−2

50 × 10 1.4995 ×10

−2

1.9986 ×10

−2

6.8054 ×10

−3

0.01 100 × 20 3.5969 ×10

−3

8.0583 ×10

−3

2.7897×10

−3

200 × 40 9.1137 ×10

−4

2.1099 ×10

−3

1.4114 ×10

−3

ALUS

25 × 5 5.4213 ×10

−2

1.2184 ×10

−1

5.6278 ×10

−2

50 × 10 1.4995 ×10

−2

1.9979 ×10

−2

6.8117 ×10

−3

0.1 100 × 20 3.5968 ×10

−3

8.0649 ×10

−3

2.7921 ×10

−3

200 × 40 9.1133 ×10

−4

2.1118 ×10

−3

1.4113 ×10

−3

25 × 5 5.4168 ×10

−2

1.2234 ×10

−1

5.6382 ×10

−2

50 × 10 1.5037 ×10

−2

1.9567 ×10

−2

6.8238 ×10

−3

0.01 100 × 20 3.5895 ×10

−3

8.3832 ×10

−3

2.8868 ×10

−3

200 × 40 9.1447 ×10

−4

2.0753 ×10

−3

1.4258 ×10

−3

TOPUS

25 × 5 5.4171 ×10

−2

1.2231 ×10

−1

5.6373 ×10

−2

50 × 10 1.5037×10

−2

1.9561×10

−2

6.8282 ×10

−3

0.1 100 × 20 3.5894 ×10

−3

8.3899 ×10

−3

2.8891 ×10

−3

200 × 40 9.1443 ×10

−4

2.0768 ×10

−3

1.4260 ×10

−3

6.1 Problemas Incompressíveis 84

Tabela 6.6: Escoamento viscoelástico num canal - Taxa da convergência do método numérico na

norma 2.

Taxa de convergência - E

Esquema Re Malha u T

25 × 5 – – –

50 × 10 1.8541 2.6082 3.0481

100 × 20 2.0597 1.3104 1.2866

0.01 200 × 40 1.9806 1.9333 0.9829

ALUS

25 × 5 – – –

50 × 10 1.8542 2.6084 3.0465

100 × 20 2.0597 1.3088 1.2866

0.1 200 × 40 1.9807 1.9332 0.9843

25 × 5 – – –

50 × 10 1.8489 2.6444 3.0466

100 × 20 2.0667 1.2228 1.2411

0.01 200 × 40 1.9728 2.0141 1.0177

TOPUS

25 × 5 – – –

50 × 10 1.8490 2.6445 3.0454

100 × 20 2.0667 1.2213 1.2409

0.1 200 × 40 1.9728 2.0143 1.0187

6.1 Problemas Incompressíveis 85

6.1.5.2 Jato Oscilante

Nesta subseção são apresentados resultados numéricos obtidos na simulação de um jato osci-

lante. É importante informar ao leitor que soluções analíticas e experimentais não são disponíveis

na literatura para uma comparação quantitativa com os dados numéricos descritos neste trabalho.

O objetivo aqui é investigar o comportamento do método GENSMAC equipado com os esquemas

ALUS e TOPUSquando aplicado na simulação de um problema de escoamento de ﬂuido altamente

viscoso. Pretende-se apenas mostrar que o método simula com sucesso o fenômeno de dobras (em

inglês “buckling” - ver as referências [27, 28, 58, 69]).

Para a simulação deste problema envolvendo um jato viscoelástico, foram adotados os se-

guintes dados: escala de comprimento L = 3.0 × 10

−3

m (comprimento do injetor); constantes

temporais λ

= 1.5 × 10

−2

s, λ

= 3.0 × 10

−3

s; escala de velocidade U

= 0.5ms

−1

; altura do

injetor H = 0.047m; constante gravitacional g = 9.81ms

−2

. Os números de Reynolds e de Weis-

senberg das simulações foram, respectivamente, Re = 0.15 e W e = 2.5. Nas simulações, a malha

utilizada possui 100 × 75 células (δx = δy = 5.0 × 10

−4

m). O espaçamento temporal e o tempo

ﬁnal de simulação são δt = 3.0 × 10

−5

s e t = 0.78s, respectivamente.

Na Figura 6.20 (e sua continuação 6.21) são mostrados os resultados numéricos obtidos em

diferentes tempos de simulação para o campo de velocidade na direção vertical (eixo y) utilizando

o método GENSMAC combinado com o esquema TOPUS. É importante informar ao leitor que

soluções analíticas e experimentais não são disponíveis na literatura para uma comparação quan-

titativa com os dados numéricos descritos neste trabalho. Porém, vale salientar que esses dados

numéricos estão em boa concordância com os resultados de Grossi [58] e de Kim et al. [69]. Além

disso, estes resultados são consistentes dentro da metodologia de simulação de escoamentos visco-

elásticos apresentada por Martins [88]. Os resultados obtidos com o ALUS foram qualitativamente

semelhantes aos obtidos com o TOPUS e, por isso, eles foram omitidos.

6.1 Problemas Incompressíveis 86

(a) t = 0.081s (b) t = 0.09s

Figura 6.20: Resultados numéricos da componente v da velocidade obtidos usando o esquema

TOPUS a Reynolds Re = 0.15 e a Weissenberg W e = 2.5.

6.1.6 Aplicação: Problema “Sluice Gate”

Nesta subseção são apresentados resultados numéricos para o problema “sluice gate” (ver

[60, 93]). Os resultados obtidos na simulação deste problema foram parcialmente publicados em

anais de eventos e periódico (ver [48, 112]). O problema é geralmente usado como um modelo

para estudar escoamentos em estruturas hidráulicas [93, 122], onde se determinam os efeitos da

superfície livre e a distribuição de pressão. Esse problema é parecido com o do colapso de um

ﬂuido descrito na subseção 6.1.3, porém com um violento movimento da superfície livre gerado

pelo “sluice gate”.

Os dados para a simulação do problema são os mesmos daqueles utilizados no problema do

colapso de uma coluna de ﬂuido (ver subseção 6.1.3). As soluções numéricas para o campo de

pressão e componentes da velocidade obtidas sem modelagem de turbulência com os esquemas

ALUS e TOPUS estão apresentadas, respectivamente, nas Figuras 6.23, 6.24 e 6.25. Dessas ﬁguras

vê-se claramente a formação das estruturas turbilhonares (grandes vórtices) e suas interações com

a superfície livre.

6.1.7 Aplicação: Jato num Corpo de Fluido em Repouso

Nesta subseção são apresentados os resultados numéricos da simulação de um jato penetrando

num corpo de ﬂuido em repouso a uma distância H = 0.6m da superfície livre (ver Brandi [17]).

Os resultados apresentados nesta subseção foram parcialmente publicados em anais de eventos

(ver [112]). A geometria do modelo simulado está ilustrada na Figura 6.22. Nesta aplicação

os seguintes dados foram adotados: D = 0.05m; velocidade do ﬂuido no injetor U = 2ms

−1

;

Reynolds Re = 5 × 10

; e malha de 100 × 100 células computacionais (δx = δy = 0.01 m). Os

esquemas ALUS e TOPUS são usados nesta aplicação.

6.1 Problemas Incompressíveis 87

(e) t = 0.60s (f) t = 0.78s

Figura 6.21: Continuação da Figura 6.20.

6.1 Problemas Incompressíveis 88

Figura 6.22: Geometria do problema de um jato penetrando num corpo de ﬂuido.

As soluções numéricas obtidas para o campo de pressão e para as componentes u e v da velo-

cidade estão mostradas nas Figuras 6.26, 6.27 e 6.28, respectivamente. Nessas ﬁguras, percebe-se,

inicialmente, a formação de um par de vórtices com orientações contrárias. Esse par de vórtices

se movimenta em direção à superfície livre, provocando a formação de grandes ondulações na

mesma. Grandes estruturas turbilhonares, ao longo de todo o domínio do problema, podem ser

visualizadas no tempo ﬁnal t = 3s. Em suma, pode-se notar que pequenos e grandes vórtices

apareceram no escoamento transiente simulado, provocando fortes efeitos na superfície livre. É

importante salientar que os resultados numéricos obtidos nesta aplicação estão em concordância

com as soluções numéricas de Brandi [17] e Ferreira et al. [44].

6.1 Problemas Incompressíveis 89

(a) ALUS (b) TOPUS

0.10s 0.10s

0.20s 0.20s

0.30s 0.30s

0.40s 0.40s

Figura 6.23: Evolução dos contornos do campo de pressão do problema “sluice gate”.

6.1 Problemas Incompressíveis 90

(a) ALUS (b) TOPUS

0.10s 0.10s

0.20s 0.20s

0.30s 0.30s

0.40s 0.40s

Figura 6.24: Evolução dos contornos da componente de velocidade u do problema “sluice gate”.

6.1 Problemas Incompressíveis 91

(a) ALUS (b) TOPUS

0.10s 0.10s

0.20s 0.20s

0.30s 0.30s

0.40s 0.40s

Figura 6.25: Evolução dos contornos da componente de velocidade v do problema “sluice gate”.

6.1 Problemas Incompressíveis 92

(a) ALUS (b) TOPUS

0.5s 0.5s

1.0s 1.0s

2.0s 2.0s

3.0s 3.0s

Figura 6.26: Contornos de pressão de um jato penetrando numa porção de ﬂuido em repouso.

6.1 Problemas Incompressíveis 93

(a) ALUS (b) TOPUS

0.5s 0.5s

1.0s 1.0s

2.0s 2.0s

3.0s 3.0s

Figura 6.27: Contornos da componente u da velocidade de um jato penetrando numa porção de

ﬂuido em repouso.

6.1 Problemas Incompressíveis 94

(a) ALUS (b) TOPUS

0.5s 0.5s

1.0s 1.0s

2.0s 2.0s

3.0s 3.0s

Figura 6.28: Contornos da componente v da velocidade de um jato penetrando numa porção de

ﬂuido em repouso.

6.1 Problemas Incompressíveis 95

6.2 Problemas Compressíveis

Nesta seção, são apresentados resultados numéricos de escoamentos compressíveis ao redor de

aerofólios obtidos nas simulações com os limitadores de ﬂuxo dos esquemas TOPUS e van Albada

[150]. A formulação matemática do limitador TOPUS adotada nestes problemas compressíveis

é descrita no apêndice D. Não se utilizou o limitador do esquema ALUS, pois ele é uma função

contínua por partes (não suave). Limitadores diferenciáveis, como o TOPUS e o van Albada,

permitem transições suaves entre regiões do escoamento e outras vantagens (ver Bigarella [14]). A

modelagem matemática dos escoamentos aerodinâmicos aqui abordados é deﬁnida pelas equações

de Euler 2D delineadas na seção 2.5. Para obtenção das soluções numéricas, as reconstruções do

método Roe de segunda ordem [29, 65, 117] em variáveis conservadas (Cons) e primitivas (Prim)

são aplicadas. Uma malha estruturada do tipo “O” [65, 66] com 251 ×151 volumes de controle foi

adotada nas simulações. As soluções numéricas descritas abaixo foram parcialmente publicadas

em anais de eventos e periódico (ver referências [30, 103, 109]).

6.2.1 Diamante

Resultados numéricos da simulação do escoamento supersônico ao redor de um aerofólio dia-

mante [6] são aqui delineados. Os dados do modelo simulado são o choque oblíquo com ângulo

de deﬂecção 10

e número de Mach 1.5. As soluções numéricas fornecidas com a utilização dos

limitadores de ﬂuxo TOPUS e van Albada para o ângulo do choque, cujo resultado teórico é 56.5

(ver [6]), são apresentadas na Tabela 6.7. Nota-se por essa tabela que a estimativa para o ângulo

do choque obtida com o TOPUS, em ambas as reconstruções, está bem próxima daqueles de van

Albada e teórico. A convergência do processo numérico usando o TOPUS é mostrada na Figura

6.29, onde pode-se ser visto que ela não é afetada por esse limitador em ambas as reconstruções

do método Roe [117].

Tabela 6.7: Comparação entre os resultados numéricos e teórico da inclinação da onda de choque

oblíqua.

Limitador Reconstrução de variáveis Inclinação da onda de choque

Conservadas 56.74

van Albada Primitivas 56.79

Conservadas 57.53

TOPUS Primitivas 57.04

Resultado teórico [6] - 56.5

6.2.2 RAE 2822

São apresentados agora os resultados numéricos obtidos na simulação do escoamento transô-

nico ao redor de um aerofólio RAE 2822 a Mach 0.725 e ângulo de ataque 2.310

[160]. A Figura

6.30a mostra a convergência do método numérico com o limitador TOPUS nas duas reconstruções

do método Roe [29, 65, 117], onde Log(Res) denota o logaritmo do resíduo calculado em cada

iteração do método. Observa-se por essa ﬁgura que o método numérico convergiu em ambas as

reconstruções. A Figura 6.30b mostra a comparação entre os resultados numéricos com TOPUS

e van Albada e o dado experimental de Slater [128] para o coeﬁciente de pressão (Cp), onde x/c

denota a razão entre as coordenadas dos pontos do domínio e o comprimento da corda do perﬁl do

6.2 Problemas Compressíveis 96

Iterações

Log(Res)

0 1000 2000 3000 4000

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

TOPUS- Cons

TOPUS- Prim

Figura 6.29: Convergência do método numérico na simulação do escoamento supersônico ao redor

de um aerofólio diamante.

aerofólio (x ∈ [0,c]). Vê-se nessa ﬁgura que os resultados com TOPUS e van Albada são, pratica-

mente, idênticos, e os quais estão em concordância com o experimento de Slater. As distribuições

de pressão e Mach, obtidos com o TOPUS, ao redor do aerofólio são ilustradas nas Figuras 6.31.

Os perﬁs de pressão, número de Mach e densidade simulados com o TOPUS nas duas re-

construções estão apresentados nas Figuras 6.32, 6.33 e 6.34, respectivamente. Em particular, os

detalhes da posição e intensidade do choque podem ser visualizados nas Figuras 6.32b, 6.33b e

6.34b. Observa-se por essas ﬁguras que ambas as reconstruções são muito similares.

(a) (b)

Iterações

Log(Res)

10000 20000 30000 40000

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

TOPUS - Cons

TOPUS - Prim

x/c

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

van Albada - Cons

van Albada - Prim

TOPUS - Cons

TOPUS - Prim

Experimental

Figura 6.30: Simulação do escoamento transônico ao redor do aerofólio RAE 2822: (a) análise de

convergência; (b) comparação entre os resultados numéricos e dado experimental para o coeﬁci-

ente de pressão Cp.

6.2 Problemas Compressíveis 97

(a) Pressão (P) (b) Mach

-0.5 0 0.5

-0.5

0.5

0.949472

0.917288

0.885105

0.852922

0.820738

0.788555

0.756372

0.724188

0.692005

0.659821

0.627638

0.595455

0.563271

0.531088

0.498905

0.466721

0.434538

0.402355

-0.5 0 0.5

-0.5

0.5

MACH

1.24

1.16

1.08

0.92

0.84

0.76

0.68

0.6

0.52

0.44

0.36

0.28

0.2

0.12

0.04

Figura 6.31: Resultados numéricos da distribuição de pressão e Mach ao redor do aerofólio RAE

2822.

(a) (b)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0.4

0.6

0.8

TOPUS- Cons

TOPUS- Prim

0.1 0.15

0.4

0.6

TOPUS- Cons

TOPUS- Prim

Figura 6.32: Resultados numéricos da distribuição da pressão P: (a) ao redor do aerofólio RAE

2822; (b) detalhe da região do choque.

(a) (b)

Mach

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

TOPUS- Cons

TOPUS- Prim

Mach

0.05 0.1 0.15

0.8

1.2

TOPUS- Cons

TOPUS- Prim

Figura 6.33: Resultados numéricos da distribuição Mach: (a) ao redor do aerofólio RAE 2822; (b)

detalhe da região do choque.

6.2 Problemas Compressíveis 98

(a) (b)

Figura 6.34: Resultados numéricos da distribuição de densidade ρ: (a) ao redor do aerofólio RAE

2822; (b) detalhe da região do choque.

6.2.3 NACA 0012

Resultados numéricos obtidos com os limitadores TOPUS e van Albada para o escoamento

ao redor do aerofólio NACA 0012 [160] são mostrados nesta subseção. As simulações foram

realizadas utilizando três combinações de Mach e ângulo de ataque: Mach 0.3 com ângulo 0

;

Mach 0.5 com ângulo 8

; e Mach 0.75 com ângulo 4

Nas Figuras 6.35, 6.36 e 6.37 estão mostradas as comparações dos dados numéricos obtidos

(em variáveis primitivas e conservadas) e experimentais de Thibert et al. [143] para o coeﬁciente

de pressão Cp nas três combinações de Mach e ângulo de ataque descritas acima. De maneira

geral, observa-se por essas ﬁguras que o esquema TOPUS simulou muito bem o problema, sendo

difícil dizer qual esquema forneceu o melhor resultado: se o van Albada ou se o TOPUS.

(a) Variáveis conservadas (b) Variáveis primitivas

X/C

0 0.25 0.5 0.75 1

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.1

van Albada

TOPUS

Experimental

X/C

0 0.25 0.5 0.75 1

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.1

van Albada

TOPUS

Experimental

Figura 6.35: Comparação entre os resultados numéricos e dado experimental para o coeﬁciente de

pressão Cp ao redor do aerofólio NACA 0012 a Mach 0.3 e ângulo de ataque 0

6.2 Problemas Compressíveis 99

(a) Variáveis conservadas (b) Variáveis primitivas

X/C

0 0.25 0.5 0.75 1

-4

-3

-2

-1

van Albada

TOPUS

Experimental

X/C

0 0.25 0.5 0.75 1

-4

-3

-2

-1

van Albada

TOPUS

Experimental

Figura 6.36: Comparação entre os resultados numéricos e dado experimental para o coeﬁciente de

pressão Cp ao redor do aerofólio NACA 0012 a Mach 0.5 e ângulo de ataque 8

(a) Variáveis conservadas (b) Variáveis primitivas

X/C

0 0.25 0.5 0.75 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

van Albada

TOPUS

Experimental

X/C

0 0.25 0.5 0.75 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

van Albada

TOPUS

Experimental

Figura 6.37: Comparação entre os resultados numéricos e dado experimental para o coeﬁciente de

pressão Cp ao redor do aerofólio NACA 0012 a Mach 0.75 e ângulo de ataque 4

6.2 Problemas Compressíveis 100

CAPÍTULO

Resultados Numéricos 3D e Aplicações

Para demonstrar a aplicabilidade dos esquemas “upwind” de alta resolução ALUS e TOPUS

em problemas altamente complexos, neste capítulo são apresentadas simulações numéricas , sem

modelagem da turbulência, de problemas de escoamentos incompressíveis transientes 3D com

superfícies livres móveis a vários Reynolds. O sistema de simulação “Freeﬂow” (versão 3D) de

Castelo et al. [20], equipado com os esquemas ALUS e TOPUS, foi utilizado para as simulações.

Quatro tipos de problemas são considerados: colapso de um bloco de ﬂuido; ressalto hidráulico

circular; jatos oscilantes; e interação ﬂuido-estrutura. A seguir, são apresentados os detalhes das

simulações.

7.1 Colapso de um Bloco de Fluido

Este escoamento de um colapso de um bloco de ﬂuido sob à ação da gravidade constituem uma

versão 3D do problema 2D descrito na seção 6.1.3. Desta forma, nesta seção, pretende-se validar

o código “Freeﬂow-3D” equipado com as novas estratégias “upwind” denominadas de ALUS e

TOPUS. Os resultados descritos abaixo foram parcialmente publicados em anais de eventos e

periódico (ver referências [48, 112, 113]).

Para a simulação do problema, considera-se um bloco de ﬂuido em repouso com dimensões

0.05m × 0.1m × 0.1m. As escalas envolvidas no problema são L = 0.05m e U

√

0.4905m/s,

de maneira que o número de Reynolds é Re = 9.91 × 10

. Uma malha de 150 × 50 × 75 (δx =

δy = δz = 0.0 02m) células computacionais foi usada. A Figura 7.1 mostra a solução numérica

do colapso, em quatro tempos, obtida com o esquema TOPUS, onde pode se ver a evolução do

escoamento como um todo. As distribuições de pressão obtidas com os esquemas ALUS e TOPUS

são mostradas na Figura 7.2 (caso (a) - ALUS e caso (b) - TOPUS).

A Figura 7.3 mostra o confronto entre os dados numéricos obtidos com o ADBQUICKEST,

ALUS, CUBISTA e TOPUS, e os dados experimentais de Koshizuka/Oka e Martin/Moyce [70, 87]

para a frente do ﬂuido (x

max

) em função do tempo. As soluções numéricas são extraídas no plano

de corte y = 0.0 5m. De maneira geral, observa-se nessa ﬁgura a boa concordância entre os dados

numéricos e os dados experimentais.

101

7.1 Colapso de um Bloco de Fluido 102

0.05s 0.15s

0.10s 0.20s

Figura 7.1: Solução numérica do colapso de um bloco de ﬂuido sob à ação da gravidade utilizando

o esquema TOPUS.

7.2 Ressalto Hidráulico Circular

Nesta seção são apresentados resultados numéricos para o ressalto hidráulico circular obtidos

com os esquemas ALUS e TOPUS incrementado no ambiente de simulação “Freeﬂow-3D” [20].

Esses resultados foram publicados em anais de eventos (ver [105, 112]). Ressaltos hidráulicos

são problemas que aparecem em aplicações tecnológicas (ver, por exemplo, [12]) e podem ser

observados no movimento de líquidos em camadas ﬁnas (películas) sobre superfícies sólidas. Nes-

ses problemas estão presentes o transporte de energia, a transferência de massa e, sobretudo, em

analogia com as ondas de choque, a presença de uma descontinuidade no movimento. Tais peculia-

ridades mais a presença da superfície livre móvel criam sérias diﬁculdades no tratamento numérico

desses problemas. O conhecimento do campo de velocidade em várias regiões do escoamento é

indispensável para o bom entendimento dos fenômenos envolvidos.

Escoamentos radiais em camadas ﬁnas formam uma classe especial de películas que podem

ser observadas quando jatos circulares de ﬂuido incidem sobre superfícies sólidas planas e imper-

meáveis. Nessas condições, os jatos espalham radialmente pelas superfícies a partir do ponto de

estagnação. Os efeitos de inércia, gravidade, viscosidade e tensão superﬁcial governam tais proble-

mas. Segundo a literatura (veja, por exemplo, [19, 73, 141]) durante o espalhamento a espessura de

ﬂuido decresce e, então, a uma certa distância cresce repentinamente sob à ação de um gradiente de

pressão adverso. Esse gradiente pode causar separação da película em alguma distância radial, le-

vando à formação de um fenômeno interessante conhecido como ressalto hidráulico circular. Hoje

em dia, as várias formas do ressalto hidráulico constituem excelentes problemas com superfícies

livres para validar métodos numéricos. O desaﬁo maior tem sido simular numericamente as estru-

turas poligonais de Ellegard e seus colaboradores [38, 39]. Por exemplo, no trabalho de Ferreira et

7.2 Ressalto Hidráulico Circular 103

(a) ALUS (b) TOPUS

0.05s 0.05s

0.1s 0.10s

0.15s 0.15s

0.20s 0.20s

Figura 7.2: Distribuição da pressão calculada na simulação do colapso de um bloco de ﬂuido

usando os esquemas ALUS e TOPUS.

7.2 Ressalto Hidráulico Circular 104

(a) ADBQUICKEST (b) ALUS

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

ADBQUICKEST

max



2g/L

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

ALUS

max



2g/L

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

CUBISTA

max



2g/L

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Dado experimental de Koshizuka e Oka (1996)

Dado experimental de Martin e Moyce (1952)

TOPUS

max



2g/L

Figura 7.3: Comparação entre a frente principal x

max

do ﬂuido, em função do tempo, calculada

pelas soluções numéricas e experimentais do colapso de um bloco de ﬂuido.

7.2 Ressalto Hidráulico Circular 105

al. [45] fez-se uma tentativa de simular o fenômeno com o código “Freeﬂow-3D” equipado com o

esquema de primeira ordem FOU, cujo resultado está apresentado na Figura 7.4. Vê-se claramente

neste resultado que, por causa da dissipação numérica, o fenômeno não foi simulado corretamente,

isto é, ao invés de produzir um salto hidráulico circular, o código forneceu um salto hidráulico

“quadrado”.

Figura 7.4: Resultado numérico [45] fornecido pelo código “Freeﬂow-3D” equipado o esquema

“upwind” de primeira ordem.

Com o objetivo de mostrar que o código “Freeﬂow-3D” atual, isto é, equipado com os esque-

mas ALUS e TOPUS, de fato simula o ressalto hidráulico circular, apresentam-se a seguir dois

casos teste:

• Caso 1 - Simulação do ressalto hidráulico circular à Reynolds Re = 150: neste caso, os

seguintes dados foram empregados: dimensão do domínio computacional 0.1m × 0.1m ×

×0.02m, diâmetro do injetor 0.01m e altura do injetor 0.002m, e velocidade de injeção

0.5m/s. Na simulação desse caso são adotados uma malha de 100 × 100 × 20 (δx =

δy = δz = 0.001 m) células computacionais e tempo ﬁnal de simulação t = 0.5 s. O

resultado numérico obtido na simulação do problema com o TOPUS é apresentado na Figura

7.5b. Nota-se dessa ﬁgura que o método numérico capturou o fenômeno físico presente

no escoamento, como ilustrado na Figura 7.5a. A simulação desse caso com o esquema

ALUS forneceu resultados bem próximos daqueles obtidos com o esquema TOPUS (não

mostrados).

• Caso 2 - Simulação do ressalto hidráulico circular à Reynolds Re = 1.0 × 10

: aqui, os se-

guintes dados foram empregados: dimensão do domínio computacional 0.6m × 0.6m ×

×0.05m, diâmetro do injetor 0.05m, altura do injetor 0.001m, e velocidade de injeção

1.0m/s. Na simulação desse caso são adotados uma malha de 120 × 120 × 10 (δx = δy =

δz = 0.00 5 m) células computacionais e tempo ﬁnal de simulação t = 1.5s. O resultado

numérico obtido na simulação do problema com o TOPUS é apresentado na Figura 7.6b.

Nota-se neste caso que o método numérico capturou também o fenômeno físico, como está

7.2 Ressalto Hidráulico Circular 106

ilustrado na Figura 7.6a. A simulação desse caso com o esquema ALUS forneceu também

resultados bem próximos daqueles obtidos como o esquema TOPUS (omitidos).

(a) Dado experimental [90] (b) Resultado numérico

Figura 7.5: Comparação qualitativa entre os resultados numérico e experimental do ressalto hi-

dráulico circular, Re = 150.

(a) Dado experimental [37] (b) Resultado numérico

Figura 7.6: Comparação qualitativa entre os resultados numérico e experimental do ressalto hi-

dráulico circular em regime de transição para a turbulência, Re = 1.0 × 10

7.2 Ressalto Hidráulico Circular 107

7.3 Jatos Oscilantes

Soluções numéricas das instabilidades físicas em jatos oscilantes são apresentadas nesta seção.

Estes dados numéricos foram publicados em anais de eventos (ver [105]). Instabilidades físicas

em jatos de ﬂuido a baixos Reynolds podem ser observadas facilmente no cotidiano. Por exemplo,

o mel de abelha escorrendo de uma colher, ou ainda o creme condicionador caindo na mão no

banho diário. Esses problemas tornam-se instáveis quando o injetor situa-se a certa distância de

uma superfície sólida. Sob certas condições especíﬁcas, como foi mostrado experimentalmente por

Cruickshank [27], alguns ﬂuidos com alto coeﬁciente de viscosidade aﬁnam devido ao efeito da

tensão superﬁcial e à presença do campo gravitacional, e ao aderirem a superfícies rígidas formam

dobras ou espirais, e, por essa razão, são denominados de jatos oscilantes. Taylor [142] foi talvez

um dos pioneiros a estudar tal fenômeno.

Para a simulação das instabilidades em jatos oscilantes, os seguintes dados foram empregados:

dimensão do domínio computacional 0.1m × 0.1m × 0.1m; diâmetro do injetor 0.01m; altura

do injetor 0.09m; e velocidade de injeção 1.0m/s. Nas simulações são utilizados os números de

Reynolds Re = 0.25 e Re = 0.50 e uma malha de 100 × 100 × 100 (δx = δy = δz = 0.001m)

células computacionais. O tempo de simulação considerado é 1 .5 s. Como pode ser observado na

Figura 7.7, as instabilidades físicas foram capturadas com sucesso para os jatos circular a Reynolds

0.25 e planar a Reynolds 0.5. Mais uma vez, isto mostra que o esquema TOPUS, embora proposto

para simular problemas a altos Reynolds, pode ser utilizado também, com sucesso, na simulação

de escoamentos a baixos Reynolds. A simulação desse problema com o esquema ALUS forneceu

resultados bem próximos daqueles obtidos como o esquema TOPUS, os quais foram omitidos.

(a) Jato circular – Re = 0.25 (b) Jato planar – Re = 0.50

Figura 7.7: Soluções numéricas para escoamentos de jatos oscilantes.

7.3 Jatos Oscilantes 108

7.4 Interação Fluido-Estrutura

Apresenta-se aqui a solução numérica [105] obtida na simulação de um problema envolvendo

a interação ﬂuido - estrutura. Nesse problema o esquema TOPUS foi utilizado. A interação

ﬂuido-estrutura é um tópico importante em muitos campos da engenharia hidráulica. Exemplos

incluem o estudo de ondas contra estruturas (ver [31, 52]), e a simulação de quebra de ondas por

Löhner et al. [86]. Uma situação bastante simpliﬁcada de ﬂuido-estrutura, e útil para validar mé-

todos numéricos, é o efeito combinado da superfície livre do ﬂuido e sua viscosidade, tal como o

choque de uma onda de superfície contra um obstáculo (ver [59, 84]). Este problema foi simulado

a Reynolds Re ≈ 5.15 × 10

numa malha de 170 × 70 × 70 (δx = δy = δz = 0.0 10 m) células

computacionais. A altura do obstáculo é H = 0.5m, e está situado a distância de 1m de uma

das faces da caixa. A Figura 7.8 mostra a interação de uma onda e um obstáculo após t = 1.5s.

Como se pode ver por meio desta ﬁgura, o esquema TOPUS mostrou ser útil também em proble-

mas envolvendo a interação ﬂuido-estrutura. O esquema ALUS forneceu, praticamente, o mesmo

resultado como o apresentado pelo TOPUS.

Figura 7.8: Solução numérica do choque de uma onda contra um obstáculo rígido.

CAPÍTULO

Contribuições do Autor

Neste capítulo são apresentados os principais trabalhos produzidos pelo autor e seus colabora-

dores durante esta pesquisa.

8.1 Artigos Publicados e Submetidos em Periódicos

Resumo do artigo: “An assessment of a high-order ﬁnite difference upwind scheme for the

simulation of convection-diffusion problems” [48]

O artigo apresenta o estudo do desenvolvimento e aplicação do esquema QUICKEST adap-

tativo (chamado doravante ADBQUICKEST), uma versão do esquema QUICKEST de Leonard

para problemas não-estacionários, empregando discretização dos termos convectivos lineares e

não lineares. O esquema é aplicado numa ampla gama de problemas em dinâmica dos ﬂuidos

computacional, onde os fenômenos de transporte são de interesse especial. Em particular, o de-

sempenho do esquema é investigado por meio de um estudo extensivo de simulações numéricas de

problemas envolvendo advecção-difusão. O esquema, implementado no contexto da metodologia

das diferenças ﬁnitas, combina uma boa resolução de choques (ou descontinuidades) com uma boa

aproximação de partes suaves das soluções. Para averiguar o desempenho do esquema, sete pro-

blemas testes foram considerados, a saber: (i) advecção de escalares; (ii) equação de Burgers não

linear; (iii) equações de Euler da dinâmica dos gases; (iv) escoamento newtoniano num canal; (v)

jato newtoniano com simetria radial; (vi) escoamento não newtoniano num duto; e (vii) colapso

de ﬂuido sob à ação do campo gravitacional. Os experimentos numéricos mostram claramente

que o esquema ADBQUICKEST fornece resultados mais consistentes que aqueles encontrados na

literatura. A partir deste estudo, a ﬂexibilidade e robustez desse esquema “upwind” de alta reso-

lução são conﬁrmadas por demonstrando sua capacidade em resolver uma variedade de problemas

lineares e não lineares com ou sem soluções descontínuas.

109

8.1 Artigos Publicados e Submetidos em Periódicos 110

Resumo do artigo: “An upwind differencing scheme for conservation laws and related ﬂuid

dynamics problems” [50]

O artigo mostra o desenvolvimento do esquema TOPUS, no contexto NVD/CBC/TVD e di-

ferenças ﬁnitas, para discretização dos termos convectivos lineares e não lineares presentes em

leis de conservação e problemas relacionados em dinâmica dos ﬂuidos. Para averiguar o desem-

penho do esquema, oito problemas testes foram considerados, a saber: (i) advecção de escalares;

(ii) equação de Burgers com e sem viscosidade; (iii) equações de Euler da dinâmica dos gases;

(iv) escoamento newtoniano num canal; (v) jato newtoniano com simetria radial; (vi) colapso de

ﬂuido sob à ação do campo gravitacional; (vii) ressalto hidráulico circular; (viii) escoamento com-

pressível ao redor de aerofólios. Os experimentos numéricos mostram claramente que o esquema

TOPUS fornece resultados mais consistentes que aqueles encontrados na literatura. Fica evidente

a partir deste estudo que esse novo esquema polinomial “upwind” de alta resolução é bastante

robusto para resolver uma variedade de problemas lineares e não lineares com ou sem choques.

Resumo do artigo: “Uma avaliação computacional de esquemas de alta resolução em proble-

mas advectivos-difusivos” [102]

No presente trabalho é apresentada uma avaliação computacional dos esquemas de alta resolu-

ção WACEB, CUBISTA e QUICKEST adaptativo em resolver problemas lineares e não lineares

de advecção-difusão. Utilizando-se a metodologia de diferenças ﬁnitas, esses esquemas são anali-

sados e implementados no contexto de variáveis normalizadas de Leonard. Para acessar o desem-

penho dos esquemas, dois problemas testes são considerados, a saber: advecção de um escalar; e o

problema de Riemann para as equações de Euler 1D. Os resultados numéricos obtidos nesses testes

mostram que os três esquemas funcionam bem, com o esquema QUICKEST adaptativo fornecendo

os melhores resultados no caso não linear. Como aplicação, o esquema QUICKEST adaptativo é

utilizado na solução numérica das equações de Burgers 1D com viscosidade e de Navier-Stokes

3D (problemas do ressalto hidráulico e jatos oscilantes).

Resumo do artigo: “A high resolution CBC/TVD upwind scheme for unsteady ﬂows with

shock waves” [104]

O artigo apresenta o esquema de alta resolução CBC/TVD denominado TOPUS. Aplicações

em problemas envolvendo leis de conservações gerais são realizadas para acessar o desempenho

desse esquema. Em particular, a equação de Buckley-Leverett e o escoamento supersônico ao

redor do aerofólio NACA 0012 são adotados. Os resultados numéricos conﬁrmam a robustez do

TOPUS na obtenção de solução com descontinuidades.

Resumo do artigo: “A new high resolution TVD scheme for unsteady ﬂows with shock waves”

[109]

O artigo apresenta a formulação matemática de um novo esquema TVD de alta resolução deno-

minado TOPUS. Aplicações em problemas envolvendo escoamentos transientes com descontinui-

dades modelados pelas equações de Euler e de Burgers são realizadas para aferir seu desempenho.

Em particular, tubos de choque 1D (Sod, Shu-Osher, Toro), Burgers 1D sem viscosidade, escoa-

mento supersônico ao redor do aerofólio diamante e escoamento transônico ao redor do aerofólio

RAE 2822 foram as aplicações realizadas. Os resultados obtidos para os problemas compressíveis

usando o TOPUS mostram boa concordância com dados experimentais.

8.1 Artigos Publicados e Submetidos em Periódicos 111

8.2 Artigos Publicados em Anais de Eventos

Resumo do artigo: “Evaluation of a new TVD limiter for transonic and supersonic ﬂows” [30]

Este artigo trata da avaliação do limitador de ﬂuxo derivado do esquema TOPUS em simulações

de escoamentos transônicos e supersônicos. Os resultados obtidos com este limitador TVD foram

comparados com dados experimentais e soluções numéricas fornecidas pelo esquema van Albada.

Esses resultados mostramque o TOPUS consegue capturar o choque livrede oscilações e é bastante

apropriado para as simulações de escoamentos transônicos e supersônicos ao redor de aerofólios.

Resumo do artigo: “The performance of a high order upwind scheme for the numerical simu-

lation of ﬂuid ﬂow problems” [75]

O objetivo deste artigo é apresentar o desempenho do esquema QUICKEST adaptativo em

simulações numéricas das equações de Euler e de Navier-Stokes 2D. A metodologia de diferen-

ças ﬁnitas é usada na discretização das EDPs. Os resultados numéricos obtidos com o esquema

QUICKEST adaptativo foram comparados com aqueles obtidos com os esquemas SMART e Su-

perbee. O QUICKEST adaptativo foi o esquema que teve o melhor desempenho nos experimentos

numéricos realizados.

Resumo do artigo: “Esquemas polinomiais upwind e suas aplicações em escoamentos incom-

pressíveis 3D transientes” [105]

Este artigo apresenta a aplicação dos esquemas “upwind” de terceira ordem (TOPUS com α =

0 e α = 2) em simulações de escoamentos incompressíveis 3D (jatos oscilantes, salto hidráulico,

interação ﬂuido-estrutura). Para testar os esquemas, neste estudo, foram consideradas as equações

de advecção de um escalar e o problema de Riemann para as equações de Euler 1D. De modo geral,

nas veriﬁcações 1D ambos os esquemas forneceram soluções numéricas bastante satisfatórias e

sem oscilações. Os resultados numéricos nas aplicações 3D indicam que os fenômenos físicos a

baixos e a altos Reynolds podem ser simulados com conﬁança.

Resumo do artigo: “Numerical simulation of turbulent free surface ﬂows using a combination

of a new high order upwind scheme and a realizable Reynolds stress algebraic model” [108]

Este artigo apresenta a aplicação do TOPUS, um novo esquema “upwind” de alta resolução, em

simulação de escoamentos turbulentos 2D com superfícies livres. Para estimar o tensor de tensões

de Reynolds, um modelo algébrico não linear foi implementado. A discretização das equações mé-

dias de Navier-Stokes é realizada com a metodologia de diferenças ﬁnitas numa malha deslocada.

A veriﬁcação e a validação do método numérico são realizadas considerando, respectivamente, os

escoamentos turbulentos de um jato incidindo numa superfície rígida e o colapso de um bloco de

ﬂuido 2D. Como aplicação 2D, os problemas “sluice gate” e de um jato penetrando num ﬂuido em

repouso são simulados. A combinação do esquema TOPUS com o modelo não linear, respectiva-

mente, para estimar o termo convectivo e tensor de tensões de Reynolds é bastante robusta para

simular escoamentos turbulentos.

Resumo do artigo: “Desenvolvimento e aplicação de esquemas upwind de terceira ordem para

transporte convectivo” [110]

Este artigo apresenta a investigação de dois esquemas “upwind” de terceira ordem (TOPUS

com α = 0 e α = 2) em simulações de problemas transientes lineares (advecção) e não linea-

res (tubo de choque). Os resultados numéricos obtidos são comparados com soluções exatas e de

8.2 Artigos Publicados em Anais de Eventos 112

referência, mostrando concordância bastante razoável entre si. Os dois esquemas tiveram desem-

penhos similares nos testes.

Resumo do artigo: “Direct computation of incompressible turbulent free surface ﬂow using a

new high order upwind scheme” [112]

Este artigo apresenta a aplicação do TOPUS em simulação direta (sem modelagem de turbu-

lência) de escoamentos turbulentos 2D/3D com superfícies livres. A discretização das equações de

Navier-Stokes é realizada com a metodologia de diferenças ﬁnitas numa malha deslocada. O mé-

todo numérico utilizado é uma adaptação da metodologia SMAC (“Simpliﬁed Marker-And-Cell”)

para simular escoamentos com superfícies livres a alto número de Reynolds. O método numérico

combinado com o TOPUS é veriﬁcado e validado, respectivamente, nos problemas de um jato

2D incidindo numa superfície impermeável e do colapso de um bloco de ﬂuido 2D/3D. Como

aplicação, três problemas são adotados: jato 2D penetrando num ﬂuido em repouso, “sluice gate”

2D e salto hidráulico 3D. Os resultados obtidos nos testes mostram que o TOPUS forneceu solu-

ções conﬁáveis quando comparadas com dados analíticos e experimentais. As soluções numéricas

obtidas nas aplicações são bastante consistentes com o fenômeno físico dos problemas simulados.

Resumo do artigo: “New high order upwind techniques for advective term discretizations”

[113]

Este artigo apresenta os esquemas ALUS e TOPUS para discretização de termos convectivos

das equações de Navier-Stokes. Para teste desses esquemas, a equação de Burgers 1D sem visco-

sidade é adotada. Como aplicação destas novas estratégias “upwind”, o problema conﬁnado com

expansão brusca 2D (regime laminar) e o jato incidindo numa superfície rígida são simulados.

Os resultados numéricos do ALUS e TOPUS são comparados com soluções analíticas e experi-

mentais. A capacidade desses esquemas “upwind” para resolver os problemas modelados pelas

equações de Navier-Stokes 2D/3D e de Burgers inviscida 1D é conﬁrmada neste estudo.

Resumo do artigo: “A polynomial upwind scheme for convection discretization” [114]

O objetivo deste artigo é avaliar o esquema TOPUS em simulações de problemas 1D lineares

(camada limite) e não lineares (Burgers com viscosidade, tubo de choque de Toro) dominadas por

convecção. Os resultados fornecidos durante a simulação do TOPUS são bastante consistentes com

soluções analíticas e demonstram que no mínimo segunda ordem de exatidão é alcançada para os

problemas adotados neste estudo.

Resumo do artigo: “Development and implementation of polynomial scheme for the numeri-

cal solution of 1D conservation laws” [115]

O artigo apresenta o desenvolvimento e a implementação do esquema TOPUS, no contexto

de diferenças ﬁnitas e NVD/CBC/TVD, para tratamento dos termos convectivos em leis de con-

servação 1D. Esta nova estratégia polinomial “upwind” foi testada em problemas 1D modelados

pelas equações de Euler e de Navier-Stokes. Comparações com os esquemas ADBQUICKEST,

CUBISTA, SMARTER, Superbee, WACEB foram consideradas neste estudo. Os resultados forne-

cidos na simulação usando o esquema TOPUS são conﬁáveis quando comparados com as soluções

analíticas e de referências.

Conclusões e trabalhos futuros

Neste trabalho de mestrado foram apresentados os resultados do desenvolvimento e teste dos

esquemas “upwind” de alta resolução ALUS e TOPUS. O propósito foi controlar a difusão numé-

rica em leis de conservação 1D/2D e escoamentos de ﬂuidos transientes 2D/3D. O desempenho,

a validação e a veriﬁcação desses novos esquemas foram analisados com respeito a vários proble-

mas teste, a saber: advecção de escalares 1D; problemas de convecção-difusão 1D; problemas de

Riemann para a equação de Euler, Burgers e águas rasas 1D; e escoamentos transônicos/supersô-

nicos 2D ao redor de aerofólios. A partir dos resultados 1D, pode-se concluir que os esquemas

ALUS e TOPUS são estratégias “upwind” robustas para capturar descontinuidades, quando com-

paradas com soluções analíticas e de referências. Destaca-se dos resultados obtidos para advecção

de escalares e transporte pelas equações de Burgers e Euler que os esquemas ALUS e TOPUS

aqui propostos são qualitativamente superiores que a muitos esquemas convectivos consagrados

na literatura. Para escoamentos sobre aerofólios, o esquema TOPUS forneceu resultados compatí-

veis com aqueles de van Albada [150] (um esquema de referência) e dados experimentais. Como

aplicações os esquemas ALUS e TOPUS foram usados na simulação de escoamentos 2D e 3D

laminares e turbulentos com superfícies livres móveis numa ampla faixa do número de Reynolds,

cujos resultados demonstraram que eles constituem ferramentas efetivas para estudar escoamentos

complexos com superfícies livres. Em particular, para a simulação do fenômeno da turbulência,

uma modelagem algébrica não linear para o tensor de Reynolds foi analisada e implementada no

sistema de simulação “Freeﬂow-2D”.

Em resumo, os resultados apresentados neste trabalho fornecem uma gama bastante signiﬁ-

cativa de dados (mais precisos) de simulações numéricas utilizando-se os dois novos esquemas

CBC/TVD: ALUS e TOPUS. Isto permitirá no futuro pesquisadores comparar seus dados com os

aqui apresentados.

A pesquisa cientíﬁca descrita neste texto pode ser incrementada de várias maneiras, sobretudo

no que diz respeito à combinação de esquemas de diferenças “upwind” de alta resolução e mode-

lagem da turbulência κ − ε com aproximação não linear para o tensor de tensões de Reynolds. Os

aspectos mais relevantes dos temas que serão considerados na pesquisa futura incluem:

– Os esquemas ALUS e TOPUS podem ser aplicados também numas variedades de problemas

de escoamentos incompressíveis com superfícies livres móveis. Como exemplos, pode-se citar os

problemas envolvendo tensão superﬁcial, transferência de calor, fenômenos de convecção e difusão

que ocorrem nos ﬂuidos não-newtonianos com efeitos de elasticidade e os problemas multifásicos

(em particular gás - sólido);

– O problema fundamental da precisão dos esquemas apresentados aqui em escoamentos 3D

realísticos é um assunto importante que precisa ser bem explorado. Para tanto, a simulação das

113

8.2 Artigos Publicados em Anais de Eventos 114

diferentes estruturas poligonais do salto hidráulico circular de Ellegard e colaboradores (ver [38,

39]) constitui um excelente exemplo de validação;

– A captura correta do choque, isto é a ausência de pontos soluções no choque, é um tema atual

e merece ser investigado no contexto da pesquisa aqui descrita. Para tanto, pretende-se associar os

esquemas ALUS e TOPUS com a técnica RCM (“Random Choice Method”) de Glimm [56] (ver

também aplicação em [162]);

– A combinação dos esquemas ALUS e TOPUS e modelagem algébrica do tensor de tensões

de Reynolds para a simulação de escoamentos turbulentos com superfícies livres é outra proposta

interessante de pesquisa para o futuro. Em relação à modelagem do tensor de Reynolds, neste

trabalho foi implementado o modelo algébrico de Shih et al. [123], pretende-se no próximo passo

implementar e aplicar os modelos não lineares de Gatski e Speziale [54] e de Girimaji [55] em

simulação de escoamentos com e sem superfícies livres;

– Um novo limitador de ﬂuxo ﬂexível e simétrico baseado no esquema TOPUS, cujo desenvol-

vimento é apresentado no apêndice B, será contemplado nas próximas aplicações. Destaca-se que

a simetria é uma propriedade muito desejável [10] que afeta positivamente a resolução do choque;

– A modelagem matemática dos esquemas ALUS e TOPUS no contexto NVSF (“Normalized

Variable and Space Formulation”) de Darwish e Moukalled [33] é um assunto de grande interesse

na comunidade cientíﬁca em CFD, a qual merece investigação (ver a formulação já desenvolvida

no apêndice C);

– Implementação dos esquemas de alta resolução (ALUS, FSFL e TOPUS) desenvolvidosneste

trabalho de mestrado em outros ambientes computacionais de CFD, por exemplo, nos códigos

abertos MFIX (“Multiphase Flow with Interphase eXchanges”) [89] e OpenFOAM (“Open Field

Operation and Manipulation”) [97, 107].

– Comparação do desempenho do ALUS e TOPUS com outros esquemas de alta resolução

no tocante a tempo de CPU necessário para a obtenção da solução de um problema predomi-

nantemente convectivo. Devido a simplicidade matemática do ALUS e TOPUS, espera-se que

eles sejam mais eﬁcientes que os demais esquemas da literatura (VONOS, WACEB, CUBISTA e

ADBQUICKEST).

– O código “Freeﬂow” atual emprega malhas uniformes para discretizar o domínio de solução.

Um reﬁnamento localizado da malha computacional é, então, fator essencial para uma análise mais

elaborada dos métodos aqui apresentados, quando aplicados nas vizinhanças de paredes rígidas e

camadas cizalhantes, pois é muito importante resolver com boa precisão a camada limite, uma vez

que é nela onde os gradientes elevados aparecem.

APÊNDICE

Demonstração da Propriedade TVD para

o TOPUS com α = 2

Neste apêndice apresenta-se a demonstração que o esquema TOPUS formulado em (3.9) com

α = 2, isto é,







− 3

+ 2

∈ [0, 1],

/∈ [0, 1],

(A.1)

satisfaz a propriedade TVD de Harten [61]. Para que um esquema convectivo tenha essa proprie-

dade, no contexto NV, ele deve satisfazer as seguintes restrições (ver Figura 3.3a):







∈ [

, 2

] e

∈ (−∞, 1], para

∈ [0, 1],

, para

/∈ [0, 1].

(A.2)

Vê-se claramente de (A.1) que o esquema assume

para

/∈ [0, 1] .

Agora, deve-se mostrar que o esquema (A.1) satisfaz as outras 3 (três) restrições TVD:

≥

para 0 ≤

≤ 1.

Dem. Seja h =

−

. Substituindo (A.1) em h obtém-se h = 2

− 3

Agora, deve ser provado que h ≥ 0 para 0 ≤

≤ 1. De fato, pois as raízes de h são −

0 e 1 (multiplicidade 2), e com o estudo do sinal de h conclui-se que h ≥ 0 para 0 ≤

≤ 1;

115

Apêndice A Demonstração da Propriedade TVD para o TOPUS com α = 2. 116

≤ 2

para 0 ≤

≤ 0.5.

Dem. Seja g =

− 2

. Então g = 2

− 3

. Agora, deve ser provado que g ≤ 0

para 0 ≤

≤ 0.5 . As raízes reais de g são 0 (multiplicidade 3) e 1.5. Segue da análise do

sinal de g que g ≤ 0 para 0 ≤

≤ 1.5. Em particular, g ≤ 0 para 0 ≤

≤ 0.5;

≤ 1 para 0.5 ≤

≤ 1.

Dem. Seja p =

−1. Então p = 2

−3

+ 2

−1. Deve ser provado que p ≤ 0 para

0.5 ≤

≤ 1. As raízes de p são z

= 0.6647417705 − 0.40112 72789i (i é a unidade ima-

ginária), z

, 1 e -0.8294835411. Sabe-se que os polinômios trocam de sinal somente

em seus zeros reais. Portanto, p ≤ 0 para −0.8294835411 ≤

≤ 1. Em particular, p ≤ 0

para 0.5 ≤

≤ 1.

Em suma, das demonstrações acima, conclui-se que o esquema TOPUS em (A.1) é TVD.

APÊNDICE

Limitador de Fluxo Flexível e Simétrico

Baseado no Esquema TOPUS

Neste apêndice é apresentado um novo limitador de ﬂuxo ﬂexível e simétrico baseado no es-

quema TOPUS, tal limitador nomeado por FSFL (“Flexible and Symmetric Flux Limiter”) é mais

uma contribuição deste trabalho de mestrado. A justiﬁcativa para desenvolvê-lo é o fato do es-

quema TOPUS não apresentar esta desejável propriedade de simetria [10], que matematicamente

corresponde a

ψ(r

)

= ψ





. (B.1)

Baseando-se no limitador TOPUS em (3.17), a formulação geral do FSFL é dada por

ψ(r

) =











+br

+cr

(1+r

)

, r

≥ 0,

0, r

< 0,

(B.2)

em que os parâmetros a, b e c devem ser determinados. Para tanto, impõem-se as condições: (i)

ψ(1) = 1 (para garantir, no mínimo, segunda ordem de exatidão), (ii) a = β (variável livre - torna

o limitador de ﬂuxo ﬂexível) e (iii) a propriedade de simetria em (B.1). Com a aplicação dessas

três condições em (B.2), o limitador resultante é

ψ(r

) =











βr

+(8−2β)r

+βr

(1+r

)

, r

≥ 0,

0, r

< 0,

(B.3)

em que β ∈ [0, 2]. Esta faixa de valores de β é estabelecida através de duas restrições que ψ(r

)

deve respeitar para que o limitador seja TVD (ver Figura B.1), são elas:







ψ(r

) ≥ 0, para r

≥ 0 ,

′

) ≤ 2, para r

tendendo a 0 (princípio de monotonicidade de Sweby [139]).

(B.4)

117

Apêndice B Limitador de Fluxo Flexível e Simétrico Baseado no Esquema TOPUS. 118

Figura B.1: Curvas características do limitador FSFL na região TVD de Sweby [139].

Da mesma forma que o limitador TOPUS, o limitador FSFL pode ser reescrito por

ψ(r

) = max



0.5 [|r

| + r

) (βr

+ (8 − 2β)r

+ β]

(1 + |r



Substituindo (B.3) em (3.11), deriva-se um esquema polinomial “upwind” em NV







(−2β + 4)

+ (4β − 8)



−5β+8





β+2



∈ [0, 1],

/∈ [0, 1].

(B.5)

APÊNDICE

Formulação Espacial e Variável

Normalizada dos Esquemas ALUS e

TOPUS

Neste apêndice são apresentados os esquemas ALUS e TOPUS no contexto da metodologia

NVSF de Darwish e Moukalled [33] para malhas não uniformes. Essa metodologia amplia a apli-

cabilidade da abordagem NVF de Leonard [80] para domínios discretizados não uniformemente.

A metodologia NVSF possui a variável normalizada

φ da NVF deﬁnida em (3.1) e acrescenta

ˆx =

x − x

− x

, (C.1)

em que x

e x

são, respectivamente, as localizações dos pontos “Downstream” e “Upstream” da

malha em relação a origem (veja referência [33] para mais detalhes).

Esquema TOPUS

O esquema TOPUS no intervalo [x

, x

] é deﬁnido por

φ = a

+ a

x, (C.2)

sujeito a:











φ = φ

, para x = x

φ = φ

, para x = x

φ = φ

, para x = x

(C.3)

Aplicando as restrições (C.3) em (C.2) e normalizando as variáveis com as deﬁnições (3.1) e

(C.1), resulta-se o modelo NVSF do TOPUS



+ a

, α ∈ [−2, 2],

∈ [0, 1],

/∈ [0, 1],

(C.4)

119

Apêndice C Formulação Espacial e Variável Normalizada dos Esquemas ALUS e TOPUS. 120

em que

−αˆx

+ 2αˆx

+ (1 − α)ˆx

− 3ˆx

ˆx

+ ˆx

(ˆx

+ 1 ) ˆx

ˆx

(ˆx

− 1)

, (C.5)

αˆx

− 3αˆx

+ 2 (α − 1)ˆx

+ 3ˆx

ˆx

+ ˆx

(1 − ˆx

) ˆx

− ˆx

ˆx

(ˆx

− 1)

, (C.6)

−2αˆx

+ 3αˆx

+ (1 − α)ˆx

+ ˆx

(ˆx

− 2ˆx

)

ˆx

(ˆx

− 1)

, (C.7)

ˆx

é o valor normalizado da distância entre a face f do volume de controle e a origem.

Esquema ALUS

Darwish e Moukalled [33] reformula vários esquemas de alta resolução ( SMART [53], MIN-

MOD [61], MUSCL (“Monotonic Upwind Scheme for Conservation Laws”) [151] e outros). Fica

claro dessas reformulações (em especial a do MUSCL), que

= 2

em NVSF é dado por



2ˆx

− ˆx

ˆx



. (C.8)

Considerando a formulação NVF do ALUS em (3.24), a equação (C.8) e as deﬁnições (3.1) e

(C.1), a reformulação resultante do esquema ALUS para malhas não uniformes é













2ˆx

−ˆx

ˆx



∈ [0,λ

+ c

∈ (λ

,1],

/∈ [0, 1],

(C.9)

em que

1 − |θ|

3 − |θ|

, (C.10)

ˆx

+ (1 − |θ|) (ˆx

− ˆx

)

ˆx

, (C.11)

(1 − |θ|) (ˆx

− ˆx

)

ˆx

. (C.12)

APÊNDICE

Limitador TOPUS para a simulação de

escoamentos aerodinâmicos

compressíveis

Neste apêndice é apresentado o limitador TOPUS TVD (caso α = 2)

ψ(r

) =

+ |r

|) (3r

+ 1 )

(|r

| + 1)

formulado para simulação de escoamentos aerodinâmicos compressíveis (por exemplo, esco-

amentos ao redor de aerofólios). Esse limitador, no contexto apresentado por Bigarella [14] (dis-

cretização por volumes ﬁnitos e r

= num

/den), é reescrito por [30, 103, 109]

Ψ(num

, den) =

(|num

|den + num

|den|) (3num

den + den

+ ǫ

LIM

)

den(|den| + |num

+ ǫ

LIM

, (D.1)

em que ǫ

LIM

é um parâmetro de controle do limitador (constante); num

e den são determinados,

respectivamente, por

num

= ˆq

− q

, (D.2)

den = (q

)

− q

. (D.3)

Nas equações (D.2) e (D.3), têm-se

q(x, y, z) = q

+ ∇q

−→

r , (D.4)

em que (x, y, z) são as coordenadas de um ponto genérico da i-ésima célula, q

é o valor discreto

da propriedade q na i-ésima célula, e

−→

r denota a distância do centróide da célula ao ponto de

coordenadas (x, y, z). Para mais detalhes sobre (D.2), (D.3) e (D.4), veja a tese de Bigarella [14].

Neste trabalho, simulações de escoamentos ao redor de aerofólios com o limitador (D.1) foram

realizadas (ver seção 6.2). Para tanto, inicialmente, foi estudada a inﬂuência do parâmetro de

121

Apêndice D Limitador TOPUS para a simulação de escoamentos aerodinâmicos compressíveis.122

controle ǫ

LIM

na convergência do método numérico de Roe de segunda ordem [29, 65, 117].

Foram testados ǫ

LIM

com os valores 10

−1

, 10

−2

, 10

−4

, 10

−6

, 10

−8

e 1 0

−10

. Nesses testes ocorreu

convergência do método numérico, com exceção para ǫ

LIM

= 10

−10

(ver referência [30]) . Vale

mencionar que foi escolhido ǫ

LIM

= 10

−8

para o limitador TOPUS nas simulações de escoamentos

compressíveis descritas neste trabalho.

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