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Renata Machado Soares
Análise dinâmica de membranas circulares hiperelásticas
Tese de Doutorado
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do
título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientador: Paulo Batista Gonçalves
Co-orientadora: Djenane Cordeiro Pamplona
Rio de Janeiro
Abril de 2009
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
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Renata Machado Soares
Análise dinâmica de membranas circulares hiperelásticas
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título
de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora
abaixo assinada.
Prof. Paulo Batista Gonçalves
Orientador
Departamento de Engenharia Civil-PUC-Rio
Prof. Djenane Cordeiro Pamplona
Co-Orientadora
Departamento de Engenharia Civil-PUC-Rio
Prof. Reyolando Manoel Lopes Rebello da Fonseca Brasil
EPUSP-USP
Prof. Michèle Schubert Pfeil
COPPE-UFRJ
Prof. Carlos Alberto de Almeida
DEM-PUC-Rio
Prof. Deane de Mesquita Roehl
DEC-PUC-Rio
Prof. Raul Rosas e Silva
DEC-PUC-Rio
Prof. José Eugenio Leal
Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 03 de abril de 2009
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total
ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, da
autora e do orientador.
Renata Machado Soares
Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Federal
de Goiás (UFG) em março de 2002. Ingressou no mestrado
em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás
(UFG) em março de 2003, atuando na área de Instabilidade
e Dinâmica das Estruturas. Em 2005 iniciou o curso de
doutorado na PUC-Rio atuando na área de Instabilidade e
Dinâmica das Estruturas e de Membranas e Biomembranas.
Ficha Catalográfica
Soares, Renata Machado
Análise dinâmica de membranas circulares
hiperelásticas / Renata Machado Soares ; orientador:
Paulo Batista Gonçalves ; co-orientadora: Djenane
Cordeiro Pamplona. – 2009.
214 f. ; 30 cm
Tese (Doutorado em Engenharia Civil)–Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,
2009.
Inclui bibliografia
1. Engenharia civil – Teses. 2. Membranas circular
e anular. 3. Material hiperelástico neo-Hookeano. 4.
Vibrações não-lineares. 5. Deformações finitas. 6. Inclusão
rígida. I. Gonçalves, Paulo Batista. II Pamplona, Djenane
Cordeiro III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
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À Frederico, Milton e Otília.
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Agradecimentos
À Deus por ter dado forças para o cumprimento desta etapa.
Ao professor Paulo Batista Gonçalves pelo auxílio constante na realização deste
trabalho, pela sua paciência, confiança depositada e amizade.
Ao meu amado marido Frederico, pelo amor, incentivo, ajuda e compreensão ao
longo deste caminho, mesmo nos momentos turbulentos.
À minha família na figura dos meus pais, Milton e Otília, que são sinônimos de
força, coragem e amor, e dos meus irmãos André Luiz e Alessandra pelo apoio,
compreensão, carinho e amizade.
Aos amigos que fiz nesse período e que foram de fundamental importância. Em
especial à Paôla, Marianna e Nelly pelo convívio diário compartilhado, à Patrícia
e Lucas pelo auxílio com o Abaqus, à Fanny, Diego, Igor e família, André Müller
e família, Thiago Pecin, Rosendo, Magnus e Alex.
Aos amigos Eulher e Daniela pela amizade, prestatividade e acolhimento.
Ao professor e amigo Zenón J. G. N. Del Prado por seu auxílio na concretização
deste trabalho.
Aos professores da PUC-Rio pelos ensinamentos transmitidos.
Aos professores da UFG que de alguma forma contribuíram para minha formação
acadêmica.
Ao Cnpq e à Faperj pelo apoio financeiro, sem os quais este trabalho não poderia
ser realizado.
A todos que de alguma forma colaboraram para a realização deste trabalho.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Resumo
Soares, Renata Machado; Gonçalves, Paulo Batista; Pamplona, Djenane
Cordeiro. Análise dinâmica de membranas circulares hiperelásticas. Rio
de Janeiro, 2009. 214p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia
Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Nesta tese são estudadas as vibrações não-lineares de membranas circulares
inicialmente tracionadas sujeitas a deformações finitas. O material da membrana é
modelado como um material hiperelástico neo-Hookeano, isotrópico e
incompressível. Baseada na teoria de deformações finitas para membranas
hiperelásticas, uma formulação variacional é desenvolvida. Primeiro a solução da
membrana sob tração radial uniforme é obtida e então as equações de movimento
da membrana são obtidas pelo princípio de Hamilton. A partir das equações
linearizadas, as freqüências e os modos de vibração da membrana são obtidos
analiticamente. Os modos naturais são usados para aproximar o campo de
deformações não-linear usando o método de Galerkin e modelos de ordem
reduzida são deduzidos através do método de Karhunen-Loève e de métodos
analíticos. Além disso, estuda-se a influência da variação da massa específica e da
espessura ao longo da direção radial da membrana nas vibrações. A seguir a
mesma metodologia é utilizada para uma membrana anular. Por fim, estudam-se
as vibrações não-lineares da membrana anular acoplada a uma inclusão rígida que
insere tensões de tração na membrana, pois, devido ao seu peso próprio, provoca
deslocamentos estáticos transversais e axissimétricos na membrana. Os mesmos
problemas são analisados por elementos finitos utilizando o programa comercial
Abaqus.
Palavras-chave
membranas circular e anular; material hiperelástico neo-Hookeano;
vibrações não-lineares; deformações finitas; inclusão rígida.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Abstract
Soares, Renata Machado; Gonçalves, Paulo Batista (Advisor); Pamplona,
Djenane Cordeiro (Co-advisor). Dynamic analysis of hyperelastic circular
membranes. Rio de Janeiro, 2009. 214p. Tese de Doutorado -
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio
de Janeiro.
This work presents an analysis of the nonlinear vibration response of a pre-
stretched hyperelastic circular membrane subjected to finite deformations. The
membrane material is assumed to be isotropic, homogeneous and neo-Hookean.
Based on the theory of finite deformations for hyperelastic membranes, a
variational formulation is developed. First the exact solution of the membrane
under a uniform radial stretch is obtained and then the equations of motion of the
pre-stretched membrane are derived using the Hamilton’s principle. From the
linearized equations of motion, the natural frequencies and mode shapes of the
membrane are obtained analytically. Then the natural modes are used to
approximate the nonlinear deformation field using the Galerkin method. Several
reduced order models are tested using the Karhunen-Loève method and analytical
methods. Besides, the influence of the variation of the membrane thickness and
material density along the radial direction of the membrane on the vibrations is
investigated. The same methodology it is used for the annular membrane. Finally,
the non-linear vibrations of the annular membrane coupled to a rigid inclusion are
studied. The rigid inclusion inserts traction forces in the membrane and its own
weight causes static transverse and radial displacements in the membrane. The
same problems are analyzed by finite elements using the commercial program
Abaqus®.
Keywords
circular and annular membranes; hyperelastic neo-Hookean material;
nonlinear vibrations; finite deformations; rigid inclusion.
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Sumário
1 Introdução 27
1.1. Objetivos 33
1.2. Organização do trabalho 34
2 Teoria de membranas elásticas 37
2.1. Relações Geométricas 37
2.2. Sistema de coordenadas para membranas axissimétricas 39
2.3. Modelos Constitutivos 41
2.3.1. Modelo de Mooney–Rivlin 41
2.3.2. Modelo neo-Hookeano 41
2.3.3. Modelo de Ogden 42
2.3.4. Modelo Yeoh 42
2.3.5. Modelo Polinomial 42
2.3.6. Modelo Blatz-Ko 43
2.3.7. Modelo Arruda-Boyce 43
3 Formulação da membrana hiperelástica 44
3.1. Modelagem matemática 44
3.2. Funcional de energia da membrana 47
3.3. Análise estática 48
3.3.1. Equação de equilíbrio para membrana de espessura variável. 50
3.3.2. Equação de equilíbrio para membrana de espessura constante. 50
3.3.3. Método de integração numérica 51
3.4. Análise dinâmica 52
3.5. Método dos elementos finitos 57
3.5.1. Tipos de Elementos 57
4 Membrana hiperelástica circular de espessura constante 62
4.1. Análise estática 62
4.2. Análise linear da vibração livre 65
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4.3. Análise não linear da vibração livre 69
4.4. Redução do problema pelo método de Karhunen-Loève 79
4.4.1. Membrana submetida a um deslocamento inicial qualquer 84
4.5. Análise não linear da vibração forçada 85
4.6. Análise comparativa com diferentes modelos constitutivos 94
5 Membrana circular com massa específica e espessura variável 100
5.1. Variação da massa específica na direção radial da membrana circular 100
5.1.1. Análise linear da vibração livre 101
5.1.2. Análise não linear da vibração livre 105
5.2. Variação da espessura na direção radial da membrana circular 109
5.2.1. Análise estática 109
5.2.2. Análise linear da vibração livre 114
5.2.3. Análise não linear da vibração livre 118
5.2.4. Análise não linear da vibração forçada 121
6 Membrana hiperelástica anular 127
6.1. Membrana anular de espessura constante 127
6.1.1. Análise estática 127
6.1.2. Análise linear da vibração livre 130
6.1.3. Análise não linear da vibração livre 137
6.1.4. Redução do problema pelo método de Karhunen-Loève 144
6.1.5. Análise não linear da vibração forçada 147
6.2. Variação da massa específica na direção radial da membrana anular 153
6.2.1. Análise linear da vibração livre 154
6.2.2. Análise não linear da vibração livre 159
6.3. Variação da espessura na direção radial da membrana anular 162
6.3.1. Análise estática 162
6.3.2. Análise linear da vibração livre 165
6.3.3. Análise não linear da vibração livre 169
6.3.4. Análise não linear da vibração forçada 172
7 Membrana anular com inclusão rígida 177
7.1. Modelagem matemática 177
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
7.2. Funcional de energia da membrana 179
7.3. Análise estática 181
7.4. Análise dinâmica 189
7.4.1. Análise linear das vibrações livres 191
7.4.2. Análise não linear das vibrações livres 193
7.4.3. Análise não linear da vibração forçada 197
7.4.3.1. Vibração Axissimétrica 198
7.4.3.2. Vibração Assimétrica 201
8 Conclusões e sugestões 206
8.1. Conclusões 206
8.2. Sugestões 209
9 Referências Bibliográficas 210
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Lista de Figuras
Figura 1.1 – Exemplo de aplicações de membranas............................................27
Figura 3.1 – Configurações da membrana indeformada e deformada na direção
radial..................................................................................................................45
Figura 3.2 - Descrição do tipo de elemento de membrana usada pelo Abaqus®..57
Figura 3.3 – Representação gráfica dos elementos de membrana e casca. ...........58
Figura 3.4 - Descrição do tipo de elemento de casca usada pelo Abaqus®..........59
Figura 3.5 - Descrição do tipo de elemento de sólido usada pelo Abaqus®.........60
Figura 3.6 – Representação gráfica dos elementos sólidos tridimensionais. ........61
Figura 4.1 – Variação do comprimento radial tracionado (r
o
) da membrana
circular...............................................................................................................64
Figura 4.2 - Espectro das freqüências de vibração (rad/s) da membrana
circular...............................................................................................................66
Figura 4.3 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do
parâmetro de alongamento radial δ.....................................................................67
Figura 4.4 – Variação de freqüência de vibração (rad/s) em função do raio
indeformado (m), R
o
...........................................................................................68
Figura 4.5 – Modos de vibração da membrana circular.......................................68
Figura 4.6 – (a) Variação dos deslocamentos (m) da membrana circular pré-
tensionada sob grande amplitude de vibração ao longo do raio deformado. (b)
Detalhe dos deslocamentos(m) radial e circunferencial (δ = 1.1). .......................69
Figura 4.7 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) com a amplitude
modal (m) considerando-se um número crescente de modos em (4.17)...............71
Figura 4.8 - Relação freqüência (rad/s)-amplitude modal (m) para vibração
livre da membrana circular com diferentes valores de δ......................................72
Figura 4.9 - Relação freqüência de vibração normalizada–coeficiente de tração
radial, δ..............................................................................................................73
Figura 4.10 - Resposta no tempo da vibração livre da membrana circular (δ =
1.10). .................................................................................................................74
Figura 4.11 - Relação freqüência de vibração(rad/s)-deslocamento transversal
(m) da membrana circular...................................................................................75
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Figura 4.12 - Relação freqüência de vibração (rad/s)-deslocamento transversal
(m) da membrana circular com diferentes valores de δ. ......................................76
Figura 4.13 - Deslocamento transversal (m) da membrana circular em vibração
livre, em um tempo t (δ = 1.1)............................................................................76
Figura 4.14 – Variação das tensões principais (N/m
2
) da membrana em
vibração livre (δ = 1.1).......................................................................................77
Figura 4.15 – Variação das extensões principais da membrana em vibração
livre (δ = 1.1). (λ
1
: Direção radial; λ
2
: Direção circunferencial)..........................78
Figura 4.16 – Variação das extensões principais e deslocamentos transversais
(m) ao longo do raio da membrana livre de tensões iniciais. ...............................78
Figura 4.17 - Relação normalizada freqüência-deslocamento transversal (m) da
membrana circular. ............................................................................................79
Figura 4.18 – Trechos da curva freqüência-deslocamento transversal da
membrana circular em vibração livre para decomposição de Karhunen-Loève
(δ = 1.1).............................................................................................................82
Figura 4.19 - Quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs para a vibração
livre não linear da membrana circular.................................................................82
Figura 4.20 – Comparação da deformada obtida a partir da expansão (4.17)
com o primeiro POM da expansão de Karhunen-Loève......................................84
Figura 4.21 – Campo de deslocamento transversal inicial qualquer da
membrana. .........................................................................................................84
Figura 4.22 - Quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs para a vibração
livre não linear da membrana circular sob um campo de deslocamento inicial
qualquer.............................................................................................................85
Figura 4.23 – Curva de ressonância não linear da membrana circular. ................87
Figura 4.24 – Relação freqüência (rad/s)-deslocamento (m) transversal para a
vibração forçada da membrana circular com diferentes δ....................................88
Figura 4.25 – Relação freqüência (rad/s)-deslocamento transversal (m) para a
vibração forçada da membrana circular. .............................................................88
Figura 4.26 - Deslocamento transversal (m) da membrana circular em vibração
forçada, em um tempo t (δ = 1.1). ......................................................................89
Figura 4.27 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de
excitação (rad/s). Coordenada de Poincaré A
10
(m) em função da amplitude da
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
excitação P
o
(N/m
2
). (δ = 1.1; ζ = 0.05) ..............................................................90
Figura 4.28 – Diagramas de bifurcação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como
função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (Po = 1 N/m
2
; ζ = 0.05)..................90
Figura 4.29 – Diagramas de bifurcação. Amplitude de vibração A
10
(m) como
função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (ζ = 0.05; δ = 1.1). .........................91
Figura 4.30 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da
freqüência de excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da
amplitude da excitação P
o
(N/m
2
) .(ζ = 0.05)......................................................91
Figura 4.31 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de
amortecimento. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da
excitação P
o
(N/m
2
). ...........................................................................................92
Figura 4.32 – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
1010
AxA
&
(P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05).......................................................................................93
Figura 4.33 - Curva tensão (Pa)-deformação utilizada pelo MEF no cálculo das
constantes elásticas. ...........................................................................................95
Figura 4.34 - Variação do deslocamento radial (m) da membrana sob esforços
de tração radial utilizando os cinco modelos constitutivos..................................96
Figura 4.35 - Resposta no tempo para membrana circular utilizando os cinco
modelos constitutivos.........................................................................................98
Figura 4.36 – Relação freqüência de vibração (rad/s)-deslocamento transversal
(m) da membrana circular considerando diferentes modelos constitutivos do
material..............................................................................................................99
Figura 5.1 – Variação da massa específica normalizada ao longo da direção
radial da membrana (Equação (5.1))................................................................. 101
Figura 5.2 - Freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de tração
radial δ para diferentes variações da massa específica da membrana circular.... 105
Figura 5.3 - Freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de
variação da massa específica (κ). ..................................................................... 105
Figura 5.4 - Relação freqüência (rad/s)-amplitude (m) para vibração livre da
membrana circular com diferentes valores de κ................................................106
Figura 5.5 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da
membrana circular com diferentes valores de δ (κ = 0.5)..................................107
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Figura 5.6 - Relação normalizada freqüência (rad/s) - deslocamento transversal
(m) da membrana circular (κ = 0.5).................................................................. 108
Figura 5.7 - Relação freqüência de vibração (rad/s)-deslocamento transversal
(m) (δ = 1.1)..................................................................................................... 108
Figura 5.8 – Variação da espessura normalizada ao longo da direção radial da
membrana (Equação (5.10))............................................................................. 109
Figura 5.9 – Variação do comprimento radial tracionado da membrana circular
com espessura variável (η = 0.5)...................................................................... 110
Figura 5.10 – Variação do deslocamento radial (m) da membrana circular com
espessura variável para diferentes valores de η.................................................110
Figura 5.11 – Tensões principais (N/m
2
) da membrana circular tracionada com
espessura variável para diferentes valores de η. (δ = 1.10). .............................. 113
Figura 5.12 – Espessura (m) da membrana circular tracionada com espessura
variável para diferentes valores de η. (δ = 1.10)...............................................114
Figura 5.13 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do
coeficiente de tração radial δ para diferentes leis de variação da espessura da
membrana circular. .......................................................................................... 117
Figura 5.14 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do
coeficiente de variação da espessura, η. ...........................................................117
Figura 5.15 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da
membrana circular com diferentes valores de η................................................ 118
Figura 5.16 - Relação freqüência (rad/s)-amplitude (m) para vibração livre da
membrana circular com diferentes valores de δ (η = 0.5). ................................ 119
Figura 5.17 - Relação normalizada freqüência-deslocamento transversal (m) da
membrana circular (η = 0.5).............................................................................119
Figura 5.18 - Relação normalizada freqüência (rad/s) – deslocamento
transversal da membrana circular (δ = 1.1).......................................................120
Figura 5.19 - Relação freqüência de vibração (rad/s) - deslocamento
transversal (m) para dois valores de η (δ=1.10). ............................................... 120
Figura 5.20 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m)
da membrana circular com variação de espessura e massa específica................ 121
Figura 5.21 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração forçada
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
da membrana circular com diferentes valores de η (δ = 1.1)............................. 122
Figura 5.22 – Curva de ressonância para a vibração forçada da membrana
circular com espessura variável com diferentes δ. (η = 0.5).............................. 123
Figura 5.23 – Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Coordenada de
Poincaré A
10
(m) como função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (P
o
= 1
N/m
2
; ζ = 0.05; δ = 1.1). .................................................................................. 123
Figura 5.24 – Diagrama de bifurcação. Amplitude de vibração A
10
(m) como
função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (ζ = 0.05; δ = 1.1)........................124
Figura 5.25 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da
freqüência de excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da
amplitude da excitação P
o
(N/m
2
) (ζ = 0.05; δ = 1.1). ....................................... 124
Figura 5.26 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de
amortecimento. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da
excitação P
o
(N/m
2
) (δ = 1.1)............................................................................ 125
Figura 5.27 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A
10
em função da amplitude da excitação
P
o
. (δ = 1.1; ζ = 0.05).......................................................................................125
Figura 5.28 – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
1010
AxA
&
(P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; δ = 1.1). .......................................................................126
Figura 6.1 – Variação do comprimento radial tracionado da membrana anular. 128
Figura 6.2 – Tensões principais (N/m
2
) para a membrana anular tracionada de
espessura indeformada constante...................................................................... 129
Figura 6.3 – Deslocamento transversal (m) da membrana anular pré-tensionada
em vibração livre em um certo tempo t (δ = 1.1, ρ
o
= 0.2 m). ...........................132
Figura 6.4 - Espectro das freqüências naturais (rad/s) da membrana anular.
Freqüência natural em função de m (ρ
o
= 0.20 m).............................................133
Figura 6.5 - Espectro das freqüências naturais (rad/s) da membrana anular.
Freqüência natural em função de n (ρ
o
= 0.20 m)..............................................134
Figura 6.6 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do
coeficiente de tração radial da membrana anular. ............................................. 135
Figura 6.7 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do
coeficiente de tração radial para diferentes valores do raio interno da
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
membrana anular.............................................................................................. 136
Figura 6.8 - Variação de freqüência de vibração (rad/s) em função do raio
indeformado, R
o
(m).........................................................................................136
Figura 6.9 – Modos de vibração da membrana anular (ρ
o
= 0.20 m). ................137
Figura 6.10 – (a) Variação dos deslocamentos (m) da membrana circular pré-
tensionada sob grande amplitude de vibração ao longo do raio tracionado. (b)
Detalhe dos deslocamentos radial e circunferencial (δ = 1.1, ρ
o
= 0.2 m).......... 137
Figura 6.11 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) com a amplitude
modal (m), considerando-se um número crescente de modos em (6.16)
(ρ
ο
= 0.20 m).................................................................................................... 139
Figura 6.12 - Relação freqüência (rad/s) - amplitude (m) para vibração livre da
membrana anular com diferentes valores de δ. ................................................. 140
Figura 6.13 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da
membrana anular com diferentes valores de ρ
ο
.................................................140
Figura 6.14 - Relação freqüência de vibração (rad/s) - deslocamento
transversal (m). ................................................................................................141
Figura 6.15 - Deslocamento transversal (m) da membrana anular em vibração
livre, em um tempo t (δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20 m)...................................................... 142
Figura 6.16 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m)
da membrana anular.........................................................................................143
Figura 6.17 - Relação normalizada freqüência-deslocamento transversal (m) da
membrana anular com diferentes valores do raio interno. (δ = 1.1)................... 143
Figura 6.18 – Trechos da curva freqüência (rad/s) – deslocamento transversal
(m) da membrana em vibração livre para decomposição de Karhunen-Loève
(δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20 m)....................................................................................... 144
Figura 6.19 - Quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs para a vibração
livre não linear da membrana anular (δ = 1.1; ρ
o
= 0.2 m). ............................... 145
Figura 6.20 – Comparação da deformada obtida a partir da expansão (6.16)
com o primeiro POM da expansão de Karhunen-Loève (δ = 1.1; ρ
ο
= 0.2 m). .. 146
Figura 6.21 – Curva de ressonância não linear da membrana anular (ρ
o
= 0.20
m). ...................................................................................................................148
Figura 6.22 – Relação freqüência (rad/s) - deslocamento transversal (m) para a
vibração forçada da membrana anular com diferentes δ (ρ
o
= 0.20 m). .............149
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Figura 6.23 – Relação freqüência (rad/s) - deslocamento transversal (m) para a
vibração forçada da membrana anular com diferentes δ....................................149
Figura 6.24 – Diagramas de bifurcação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como
função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; ρ
o
= 0.20
m). ...................................................................................................................150
Figura 6.25 – Curvas de ressonância. Amplitude de vibração A
10
(m) como
função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (ζ = 0.05; δ = 1.1; ρ
o
= 0.20 m)....150
Figura 6.26 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da
freqüência de excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da
amplitude da excitação P
o
(N/m
2
).(ζ = 0.05; ρ
ο
= 0.20 m)................................. 151
Figura 6.27 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de
amortecimento. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da
excitação P
o
(N/m
2
). (ρ
ο
= 0.20 m).................................................................... 151
Figura 6.28 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de
excitação Ω. Coordenada de Poincaré A
10
(m) em função da amplitude da
excitação P
o
(N/m
2
) (δ = 1.1; ζ = 0.05; ρ
ο
= 0.20 m).........................................152
Figura 6.29 – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
1010
AxA
&
(P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; ρ
ο
= 0.20 m).................................................................153
Figura 6.30 - Freqüência de vibração (ω
10
) em função do coeficiente de tração
radial para diferentes variações da massa específica (ρ
ο
= 0.20 m)....................157
Figura 6.31 - Freqüência de vibração (ω
10
) em função do coeficiente de tração
radial para diferentes valores do raio interno. ...................................................158
Figura 6.32 - Freqüência de vibração (rad/s)-coeficiente de variação da massa
específica (ρ
ο
= 0.20 m). ..................................................................................158
Figura 6.33 - Relação freqüência (rad/s) - amplitude (m) para vibração livre da
membrana anular com diferentes valores de κ (ρ
ο
= 0.20 m)............................. 159
Figura 6.34 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m)
da membrana anular (δ = 1.10; ρ
ο
= 0.20 m)..................................................... 160
Figura 6.35 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da
membrana anular com diferentes valores de δ (κ = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m)................160
Figura 6.36 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m)
da membrana anular (κ = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m). .....................................................161
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Figura 6.37 - Relação freqüência de vibração (rad/s) - deslocamento
transversal (m) (δ = 1.10; ρ
ο
= 0.20 m)............................................................. 161
Figura 6.38 – Variação do comprimento radial tracionado da membrana anular
com espessura variável (η = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m).................................................. 162
Figura 6.39 – Variação do deslocamento radial (m) da membrana anular com
espessura variável para diferentes valores de η (ρ
ο
= 0.20 m)........................... 163
Figura 6.40 – Tensões principais (N/m
2
) da membrana anular tracionada com
espessura variável para diferentes valores de η. (δ = 1.10; ρ
ο
= 0.20 m). .......... 164
Figura 6.41 - Freqüência de vibração (rad/s) - razão de tração radial para
diferentes variações da espessura da membrana anular (ρ
ο
= 0.20 m). .............. 168
Figura 6.42 - Freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de
variação da espessura η para diferentes valores de δ (ρ
ο
= 0.20 m)................... 168
Figura 6.43 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da
membrana anular com diferentes valores de η (ρ
ο
= 0.20 m). ........................... 169
Figura 6.44 - Relação freqüência (rad/s) - amplitude (m) para vibração livre da
membrana anular com diferentes valores de δ (η = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m). .............. 170
Figura 6.45 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m)
da membrana anular (η = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m). .....................................................170
Figura 6.46 - Relação normalizada freqüência-deslocamento transversal (m) da
membrana circular (δ = 1.1; ρ
o
= 0.20 m)......................................................... 171
Figura 6.47 - Relação freqüência de vibração (rad/s) - deslocamento
transversal (m) (δ = 1.1; ρ
o
= 0.20 m)............................................................... 171
Figura 6.48 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m)
da membrana anular com variação de espessura e massa específica (ρ
ο
= 0.20
m). ...................................................................................................................172
Figura 6.49 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração forçada
da membrana anular com diferentes valores de η (δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20 m)...........173
Figura 6.50 – Curva de ressonância para a vibração forçada da membrana
anular com espessura variável com diferentes δ. (η = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m)............ 173
Figura 6.51 – Diagrama de bifurcação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como
função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; δ = 1.1;
ρ
ο
= 0.20 m).....................................................................................................174
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Figura 6.52 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da
freqüência de excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da
amplitude da excitação P
o
(N/m
2
) (ζ = 0.05; δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20 m).................... 174
Figura 6.53 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de
amortecimento. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da
excitação P
o
(N/m
2
) (ρ
ο
= 0.20 m)..................................................................... 175
Figura 6.54 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) em função da amplitude da
excitação P
o
. (N/m
2
) (δ = 1.1; ζ = 0.05; ρ
ο
= 0.20 m)........................................175
Figura 6.55 – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
1010
AxA
&
(P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20)........................................................176
Figura 7.1 – Configurações da membrana anular acoplada a um disco rígido....178
Figura 7.2 – Deslocamento transversal estático (m) - Peso do disco rígido (N). 185
Figura 7.3 - Variação do deslocamento radial (m) estático da membrana. ......... 186
Figura 7.4 - Variação do deslocamento radial (m) estático da membrana em
um ponto de coordenadas (ρ, θ) = (0.5; 0)........................................................ 187
Figura 7.5 - Variação do deslocamento transversal (m) estático da membrana..188
Figura 7.6 – Tensões principais (N/m
2
) da membrana anular com um disco
rígido acoplado. ...............................................................................................189
Figura 7.7 - Variação dos deslocamentos (m) da membrana ao longo do raio.
(b) Detalhe dos deslocamentos radial e circunferencial (Caso 1; h
d
= 0.05 m)... 190
Figura 7.8 – Modos de vibração da membrana anular com disco rígido............193
Figura 7.9 – Relação freqüência (rad/s)-amplitude (m) para a vibração livre da
membrana anular com um disco rígido acoplado.............................................. 195
Figura 7.10 – Relação freqüência- amplitude normalizada para a vibração livre
da membrana anular com um disco rígido acoplado ......................................... 196
Figura 7.11 – Relação freqüência- deslocamento transversal para a vibração
livre da membrana anular com um disco rígido acoplado. ................................ 197
Figura 7.12 – Curva de ressonância não linear da membrana anular com um
disco rígido acoplado vibrando axissimetricamente..........................................198
Figura 7.13 – Diagrama de bifurcação. Coordenada de Poincaré A (m) como
função da freqüência de excitação Ω (rad/s) − (P
o
= 1 N; ζ = 0.05)................... 198
Figura 7.14 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
freqüência de excitação. Coordenada de Poincaré A (m) como função da
amplitude da excitação P
o
(N).(ζ = 0.05) ..........................................................199
Figura 7.15 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de
amortecimento. Coordenada de Poincaré A (m) como função da amplitude da
excitação P
o
(N). ..............................................................................................199
Figura 7.16 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A
1
(m) em função da amplitude da
excitação P
o
(N). (h
d
= 0.02 m; ζ = 0.05)........................................................... 200
Figura 7.17 – – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
AxA
&
(P
o
= 1 N; ζ = 0.05)..........................................................................................201
Figura 7.18 – Curva de ressonância não linear da membrana anular com um
disco rígido acoplado vibrando assimetricamente............................................. 202
Figura 7.19 – Diagramas de bifurcação. Coordenada de Poincaré A (m) como
função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (Mo = 0.5 Nm; ζ = 0.01). ............. 202
Figura 7.20 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da
freqüência de excitação. Coordenada de Poincaré A (m) como função da
amplitude da excitação M
o
(Nm) (ζ = 0.01). ..................................................... 203
Figura 7.21 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de
amortecimento. Coordenada de Poincaré A (m) como função da amplitude da
excitação M
o
(Nm). .......................................................................................... 203
Figura 7.22 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A (m) em função da amplitude da
excitação M
o
(Nm). (h
d
= 0.02 m; ζ = 0.01) ...................................................... 204
Figura 7.23 – Bacia de atração no plano fase
AxA
&
(ζ = 0.05; M
o
= 0.5 Nm)...205
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Lista de Tabelas
Tabela 3.1 – Tipos de elementos de membrana disponíveis no Abaqus...............58
Tabela 3.2 – Tipos de elementos de casca disponíveis no Abaqus®....................60
Tabela 3.3 – Tipos de elementos sólidos tridimensionais tensão/deslocamento
disponíveis no Abaqus®. ...................................................................................61
Tabela 4.1 – Tensões principais (σ
1
e σ
2
) para a membrana circular tracionada. .64
Tabela 4.2 – Espessura da membrana circular tracionada (H). ............................64
Tabela 4.3 – Freqüências de vibração lineares (rad/s).........................................67
Tabela 4.4 - Participação dos modos usados na expansão modal dos quatro
primeiros POMs na resposta não linear da membrana circular............................83
Tabela 4.5 - Participação dos modos usados na expansão modal dos quatro
primeiros POMs na resposta não linear da membrana circular............................85
Tabela 4.6 - Constantes elásticas para o material da membrana. .........................95
Tabela 4.7 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana circular
considerando diferentes modelos constitutivos e coeficiente de tração radial......97
Tabela 5.1 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana circular
com massa específica variável na direção radial. .............................................. 103
Tabela 5.2 – Parâmetro da freqüência de vibração
ω
para a membrana circular
com massa específica variável na direção radial. .............................................. 104
Tabela 5.3 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana circular
com espessura variável na direção radial. ......................................................... 116
Tabela 6.1 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) da membrana anular....... 135
Tabela 6.2 - Participação dos modos usados na expansão modal dos quatro
primeiros POMs na resposta não linear da membrana anular (δ = 1.1; ρ
ο
= 0.2
m ). ..................................................................................................................146
Tabela 6.3 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana anular
com massa específica variável na direção radial (ρ
ο
= 0.20 m). ........................ 156
Tabela 6.4 – Parâmetro da freqüência de vibração
ω
para a membrana anular
com massa específica variável na direção radial (ρ
ο
= 0.20 m). ........................ 157
Tabela 6.5 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana anular
com raio interno ρ
ο
= 0.20 m e espessura variável na direção radial..................167
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Tabela 7.1 – Espessura do disco rígido e carregamento aplicado. .....................185
Tabela 7.2 – Freqüências de vibração lineares (rad/s).......................................192
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Lista de Símbolos
Símbolos latinos
A determinante do tensor métrico covariante da membrana deformada
a determinante do tensor métrico covariante da membrana indeformada
A
αβ
tensor métrico covariante da membrana axissimétrica na configuração
indeformada
a
αβ
tensor métrico contravariante da membrana axissimétrica na
configuração indeformada
A
αβ
tensor métrico covariante da membrana axissimétrica na configuração
deformada
A
αβ
tensor métrico contravariante da membrana axissimétrica na
configuração deformada
A
mn
amplitude modal
b
mn
m-ézima raiz de M
n
(R
o
)
C
1
parâmetro do material neo-Hookeano e do tipo Mooney-Rivlin
C
2
parâmetro do material do tipo Mooney-Rivlin
c parâmetro de amortecimento
Cc amortecimento crítico
E módulo de elasticidade do aço
)],([ tθx,wE
matriz da média invariante no tempo do campo vetorial
f força trativa radial distribuída ao longo do bordo da membrana
g determinante do tensor métrico na configuração indeformada
G determinante do tensor métrico na configuração deformada
G
i
vetor base na configuração deformada
g
i
vetor base na configuração indeformada
g
ij
tensor métrico covariante na configuração indeformada
g
ij
tensor métrico contravariante na configuração indeformada
G
ij
tensor métrico covariante na configuração deformada
G
ij
tensor métrico contravariante na configuração deformada
h espessura da membrana indeformada
H espessura da membrana deformada
h
d
espessura do disco rígido
h
o
valor inicial da espessura da membrana
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I
1
primeiro invariante de deformação
I
2
segundo invariante de deformação
I
3
terceiro invariante de deformação
J
n
função Bessel de primeiro tipo de ordem n
k
mn
k-ézima raiz de M
m
(R
o
)
L função de Lagrange
L
ele
comprimento do elemento utilizado no Abaqus®
m número de semi-ondas na direção radial
M(t) momento excitador dependente do tempo
M
n
função hipergeométrica confluente Whittaker M
n número de ondas na direção circunferencial
P(t) pressão hidrostática excitadora dependente do tempo
P
d
peso próprio do disco rígido
P
o
magnitude da excitação da força
P
e
força estática total no disco rígido
p força estática aplicada no disco rígido
R
matriz de correlação espacial
R
vetor posição na configuração deformada
r
vetor posição na configuração indeformada
r comprimento na direção radial da membrana deformada
Re trabalho das forças de dissipação
R
f
raio externo tracionado
R
o
raio externo indeformado
r
o
coordenada na direção radial da membrana tracionada
S fator escalar de tensão
t tempo
T
i
período de tempo
T energia cinética
U energia elástica de deformação
u deslocamento na direção radial
v deslocamento na direção circunferencial
v
d
volume incluso da configuração deformada
v
i
volume incluso da configuração indeformada
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v
matriz da variação do campo vetorial com relação ao campo médio
w deslocamento na direção transversal
W função de energia de deformação
We trabalho das forças externas
W
n
função hipergeométrica confluente Whittaker W
w
matriz de amostragem
x
i
coordenadas cartesiana na configuração indeformada
X
i
coordenadas cartesiana na configuração deformada
Y
n
função Bessel de segundo tipo de ordem n
z comprimento na direção transversal da membrana deformada
z
o
coordenada na direção transversal da membrana tracionada
Símbolos gregos
α
mn
m-ésimo valor positivo onde J
n
(α) é nula
α
i
parâmetro do material do tipo Ogden
β
comprimento na direção circunferencial da membrana deformada
β
o
coordenada na direção circunferencial da membrana tracionada
δ
taxa de alongamento na direção radial
ε
deformação nominal
γ
ij
tensor de deformações
φ
deslocamento angular provocado pela aplicação de M(t)
Γ
massa específica da membrana
Γ
d
massa específica do disco rígido
Γ
o
valor inicial da massa específica da membrana
η
valor que descreve a variação da espessura da membrana
κ
valor que descreve a variação da massa específica da membrana
λ
1
; λ
2
extensões principais no plano da membrana
λ
3
extensão normal a superfície média
λ
m
parâmetro do material do tipo Arruda-Boyce
Λ
mn
m-ésima raiz da expressão L
m
(Λ
mn
)
µ
parâmetro do material do tipo Arruda-Boyce
µ
i
parâmetro do material do tipo Ogden
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ρ
coordenada polar na direção radial da membrana
ρ
o
raio interno da membrana
σ
tensão nominal
σ
1
; σ
2
tensões nas direções principais
τ
período de amostragem
θ
coordenada polar na direção circunferencial da membrana
ω
mn
freqüências de vibração
ω
o
freqüência natural do sistema
ω
parâmetro de freqüência
Ω
freqüência da excitação do carregamento
ζ
coeficiente de amortecimento
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1
Introdução
Membranas têm sido estudadas e utilizadas em diferentes áreas do
conhecimento, tais como, biomecânica, equipamentos aeroespaciais e estruturas
arquitetônicas e civis, tendo como exemplo de aplicações: equipamentos médicos
(Teixeira et al, 2001), refletores óticos e radares espaciais (Sewall et al, 1983),
pequenas barragens e containeres para armazenamento temporário de fluidos e
coberturas de grandes vãos (Jenkins, 1996), entre outras. Membranas também são
encontradas em todos os organismos vivos, sendo o seu estudo uma área de
destaque nas pesquisas em biologia e áreas afins (Fung, 1990; Humphrey, 2002).
Nos últimos anos tém-se também observado o uso de membranas, em particular
membranas construídas com novos materiais, na construção de sensores e
atuadores (Shin et al, 2005; Wissler e Mazza, 2007). Alguns destes exemplos de
aplicação podem ser observados na Figura 1.1.
(a) Coberturas de grandes vãos (b) Equipamentos espaciais
(c) Construções temporárias (d) Estrutura Inflável
Figura 1.1 – Exemplo de aplicações de membranas.
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Introdução 28
Nas diversas áreas de aplicação o termo membrana pode ter diferentes
significados. Enfatizando a sua aplicação na área de estruturas, o termo membrana
significa uma superfície muito fina com rigidez a flexão nula ou desprezível e que
não é capaz de resistir a esforços de compressão.
Na mecânica das estruturas, a compreensão do comportamento de
membranas passa pelo estudo de seu comportamento linear e não linear, incluindo
a análise estática e dinâmica. Em muitas aplicações as membranas são compostas
de materiais elastoméricos com características hiperelásticas, sendo sua
modelagem uma importante área de pesquisas na área de mecânica das estruturas.
Neste tipo de problema, as não linearidades geométricas e do material
possuem um papel importante e, usualmente, grandes deformações devem ser
levadas em consideração. A análise dessas membranas sob grandes deformações
tem como base a elasticidade não linear, sendo que, comumente, sua solução
clássica tem como base o trabalho pioneiro de Green e Adkins (1960).
Algumas pesquisas têm sido desenvolvidas neste campo, muitas delas
relacionadas com o equilíbrio e a estabilidade de membranas de diversas
geometrias submetidas a diferentes tipos de carregamento (Ratner, 1982; Khayat e
Derdouri, 1994; Jiang e Haddow, 1995). Na maioria destes estudos são
empregados métodos numéricos, contudo há também alguns estudos com soluções
analíticas para carregamentos e geometrias bastante simples.
Pamplona e Bevilacqua (1992) estudam o problema de deformações finitas
de uma membrana circular anular submetida a carregamentos de força axial e
momentos de torção. As equações de equilíbrio e condições de contorno são
obtidas usando o princípio da energia potencial estacionária e resolvidas
numericamente, obtendo-se o ângulo de torção, o deslocamento e a deformação
radial em cada ponto da membrana. Verifica-se que o comportamento da
membrana, considerando as densidades de energia de deformação neo-Hookeana
e Mooney-Rivlin, é similar quando a membrana está submetida a pequenas cargas
axiais.
Haughton (2001), após uma breve explanação sobre as teorias bi e tri-
dimensionais utilizadas no estudo de membranas elásticas, exemplifica o uso
dessas teorias através de um estudo da inflação de uma membrana cilíndrica longa
de material incompressível descrito pela função energia de deformação de Varga.
O cilindro é inflado com uma pressão e ajustado nas extremidades para assegurar
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Introdução 29
que o seu comprimento longitudinal continue o mesmo. Verifica-se que, para esse
material, o caminho pós-crítico inicial é instável e observa-se a formação súbita de
grandes bulbos na membrana cilíndrica inflada quando se atinge a carga crítica.
Além disso, o autor expõe alguns conceitos sobre o enrugamento de membranas,
que é uma importante característica do comportamento das membranas
hiperelásticas.
Somando-se às contribuições teóricas e numéricas, existem alguns estudos
experimentais que representam um papel importante na solução de problemas de
equilíbrio e estabilidade de membranas. Segundo Jenkins (1991), estes estudos
investigam a caracterização de materiais e carregamentos, verificam modelos,
validam e determinam propriedades estruturais, tais como parâmetros modais e
condições de contorno.
Pamplona et al (2001) realizam uma análise experimental das deformações
de uma membrana cilíndrica com fluido interno. Nesse trabalho é estudada a
influência de diferentes geometrias, forças axiais iniciais e do volume de fluido no
comportamento da membrana. A membrana usada nesse experimento é composta
por uma borracha elástica, homogênea, isotrópica e é modelada como um material
neo-Hookeano incompressível. Verifica-se que membranas cilíndricas sob tração,
ao serem preenchidas com fluido, atingem um volume crítico, ou altura de líquido
crítica. Neste momento a configuração axissimétrica atinge um ponto limite e,
após atingir este ponto, a altura de líquido permanece constante ou decresce
vagarosamente com aumento do volume de fluido. Continuando a acrescentar
líquido, chega-se a um ponto em que a membrana atinge um outro volume crítico
onde perde sua forma axissimétrica.
Posteriormente, Pamplona et al (2006) estudam o comportamento não linear
e possíveis instabilidades de membranas hiperelásticas submetidas à tração axial e
pressão interna uniforme. As membranas utilizadas na análise são compostas por
elastômeros isotrópicos e homogêneos, que são modelados como um material
neo-Hookeano incompressível ou como um material do tipo Mooney-Rivlin. Os
resultados experimentais são favoravelmente comparados com resultados obtidos
numericamente, utilizando o programa comercial de elementos finitos Abaqus ®.
Observa-se que, quando a carga crítica é atingida, um bulbo forma-se subitamente
e a pressão interna decresce repentinamente. Como continuação desta pesquisa,
Gonçalves et al (2008) estudam o comportamento de cascas cilíndricas
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Introdução 30
hiperelásticas, sob tração radial e pressão interna uniforme, submetidas a grandes
deformações. O estudo da influência de imperfeições geométricas nesta classe de
problemas é encontrado em Lopes et al (2007).
Estes estudos mostram claramente que membranas e cascas de material
hiperelástico quando submetidas a pressões internas podem apresentar certos
fenômenos de instabilidade bastante peculiares.
Como mencionado anteriormente, poucos são os problemas envolvendo
grandes deformações que podem ser resolvidos de forma analítica (Green e
Adkins, 1960). Na maioria dos casos é necessário o uso de métodos numéricos
para se obter resultados confiáveis sobre o comportamento de membranas. Mas o
uso de métodos numéricos requer uma formulação precisa das não linearidades e
da lei constitutiva do material. Em virtude destas dificuldades vários autores
(Treloar, 1976; Arruda e Boyce, 1993; Beatty, 2001; Dorfmann e Odgen, 2004)
estudam experimentalmente o comportamento de membranas para escolher leis
constitutivas adequadas ao comportamento do material utilizado. Tendo por base
uma lei constitutiva, podem-se calibrar os programas computacionais e identificar
certos fenômenos não lineares característicos de certa classe de problemas.
Seguindo essa linha de estudos, Selvadurai (2006) analisa os resultados
experimentais de uma membrana hiperelástica e descreve seu comportamento
utilizando as relações constitutivas de Mooney-Rivlin, neo-Hookeana, Blatz-Ko,
Yeoh e Ogden. Esses modelos são utilizados posteriormente no estudo numérico
dos deslocamentos transversais de membranas hiperelásticas circulares. Além
disso, é realizado um trabalho experimental para determinar as respostas
assimétricas e axissimétricas da membrana circular, fixa ao longo da extremidade
e submetida a uma identação transversal por um identor esférico rígido. A seguir,
o autor compara os resultados experimentais com os resultados obtidos através de
um modelo computacional de elementos finitos usando o programa comercial
Abaqus®. Observa-se também que a seleção da função energia de deformação,
para o tratamento numérico ou analítico do problema de materiais hiperelásticos,
deve levar em consideração a magnitude das deformações que a estrutura pode
sofrer.
Dessa maneira, diversos autores estudam o comportamento estático de
membranas utilizando diferentes modelos constitutivos, geometrias e
carregamentos. Contudo, um número menor de autores tem estudado o
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Introdução 31
comportamento dinâmico de membranas hiperelásticas (Roussos e Mason, 2005;
Akyüz e Ertepinar, 1999 e Beatty, 2003). Estes estudos cobrem várias
configurações geométricas e de contorno, diversos modelos constitutivos e
métodos numéricos de análise.
Um estudo do comportamento dinâmico de membranas é realizado por
Jenkins e Korde (2006). Os autores estudam experimentalmente as vibrações de
uma membrana de poliéster. Para isso, a membrana é excitada harmonicamente e
as freqüências e os modos de vibração são medidos. Particularmente em sua
análise, os autores verificam que, quando a região de excitação é muito menor que
o diâmetro da membrana, as oscilações tornam-se mais localizadas ao longo da
região de excitação e a freqüência de excitação aumenta para uma dada tensão.
Observa-se também que as oscilações ressonantes tendem a tornar-se
extremamente localizadas com o aumento da freqüência para uma dada tensão e
que este efeito é amplificado com a redução da tensão. Essa tendência de
oscilações localizadas aparece devido à relação rigidez-inércia das membranas.
Já Mockensturm e Goulbourne (2006) estudam o comportamento dinâmico
de uma membrana esférica sujeita a um campo elétrico. Os autores utilizam um
modelo que incorpora as pressões mecânica e eletrostática, bem como os efeitos
inerciais que são importantes quando a membrana transita de uma configuração de
equilíbrio para outra. Verifica-se que as bifurcações nó-sela que ocorrem durante
a inflação e deflação de membranas hiperelásticas podem ser controladas com a
aplicação de pressão eletrostática e que as propriedades mecânicas e elétricas de
alguns elastômeros dielétricos podem ser usadas no controle das pressões críticas
de membranas sujeitas a campos elétricos.
Os estudos anteriormente apresentados são para membranas de inércia
constante. Ao se procurar na literatura estudos sobre o comportamento dinâmico
de membranas com variação de inércia encontram-se estudos analíticos e
numéricos das vibrações lineares de membranas de material elástico linear com
densidade variável ao longo da direção radial, tais como Laura et al (1998),
Gutierrez et al (1998) e Buchanan (2005).
Membranas anulares e circulares com variação da densidade de forma
polinomial ao longo da direção radial são estudadas por Jabareen e Eisenberger
(2001). Os autores obtêm soluções exatas para as freqüências naturais e modos de
vibração, axissimétricos e anti-simétricos. O método de Frobenius é aplicado para
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Introdução 32
a solução da equação linear de movimento na direção transversal da membrana
(Kreyszig, 2006).
Também, utilizando soluções em série de potências através do método de
Frobenius, Willatzen (2002) apresenta uma aproximação semi-analítica para o
cálculo das freqüências naturais e modos de vibração axissimétricos de
membranas anulares e circulares com densidade variável ao longo da direção
radial. O autor considera diferentes formas de distribuição da densidade, incluindo
a distribuição de forma polinomial.
Bala Subrahmanyam e Sujith (2001) determinam uma solução analítica para
as vibrações axissimétricas de membranas circulares e anulares com densidade
variando continuamente ao longo da direção radial. A solução é obtida através da
transformação de variáveis da equação de movimento linear em uma equação
diferencial com solução analítica conhecida. Assim, para um caso específico da
variação da densidade, a solução da equação diferencial é obtida em termos das
funções hipergeométricas confluentes de Kummer e para outro caso de variação
da densidade, em termo das funções Bessel. Verifica-se que as freqüências
naturais aumentam com o aumento do raio do orifício da membrana anular e
diminuem com o aumento da variação da densidade na direção radial.
Na análise de vibrações de membranas, uma outra classe de problemas que
tem merecido a atenção de pesquisadores é quando se acopla à membrana corpos
rígidos. Tezduyar et al (1987) analisa as deformações transversais estáticas
provocadas por um disco rígido localizado no centro de uma membrana circular,
sendo o material da membrana considerado do tipo Mooney-Rivlin, isotrópico e
incompressível.
Posteriormente, o comportamento dinâmico de uma membrana anular
acoplada a um disco rígido é analisado por Wang (2003) que estuda
analiticamente as vibrações lineares. O autor considera que a tensão provocada
pela inclusão rígida na membrana é o bastante para provocar somente pequenas
deformações estáticas e que esse centro rígido atua como uma massa
axissimétrica, podendo ter a geometria de cilindro, esfera ou disco. Wang obtém
as freqüências e os modos de vibração para a membrana e observa que, quando o
raio do centro rígido tende a zero, a solução converge para a de uma membrana
circular.
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Introdução 33
Uma análise experimental da vibração do sistema membrana-centro rígido é
realizada por Pinto (2006). As freqüências naturais do sistema são calculadas
através de um procedimento experimental utilizando um microfone com capacitor
excitado por atuadores eletrostáticos no vácuo. As freqüências obtidas
experimentalmente são comparadas favoravelmente com as freqüências obtidas
através de um modelo analítico.
Uma revisão detalhada da literatura do comportamento estático e dinâmico
de membranas, tanto teórico quanto experimental, pode ser encontrada nos
trabalhos de Jenkins e Leonard (1991), Jenkins (1996), Jenkins (2001) e Jenkins e
Korde (2006).
1.1.
Objetivos
Este trabalho tem como objetivo o estudo analítico e numérico do
comportamento dinâmico não-linear de membranas hiperelásticas, circulares
completas e anulares previamente tracionadas e submetidas a vibrações de grande
amplitude. Para isso, consideram-se as membranas como sendo constituídas por
um material neo-Hookeano, isotrópico e incompressível e utiliza-se uma
formulação baseada na teoria de elasticidade finita.
Outro objetivo é determinar modelos de dimensão (ou ordem) reduzida para
o estudo das vibrações transversais da membrana hiperelástica para grandes
deslocamentos. A dedução de modelos com um pequeno número de graus de
liberdade capazes de descrever o comportamento não-linear de estruturas
complexas é uma área de pesquisa recente e que tem experimentado grande
desenvolvimento nos últimos anos (Steindl e Troger, 2001; Rega e Troger, 2005;
Amabili e Touzé 2007). Estes modelos, além de sua aplicabilidade prática,
permitem uma análise aprofundada das oscilações não-lineares, incluindo a
obtenção de diagramas de bifurcação e bacias de atração, o que seria difícil, senão
impossível, em um sistema com elevado número de graus de liberdade.
O problema também é analisado através do método dos elementos finitos
utilizando o programa comercial Abaqus® com a finalidade de validar as
aproximações usadas na dedução dos modelos reduzidos.
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Introdução 34
Embora a análise das vibrações lineares de membranas de material elástico e
linear seja um problema clássico em matemática e engenharia, podendo ser
encontrado em qualquer livro de equações diferenciais parciais (Kreyszig, 2006),
pouco se sabe sobre as vibrações lineares e particularmente sobre as oscilações
não-lineares de grande amplitude de membranas hiperelásticas, o que justifica esta
pesquisa. Assim nesta tese são estudadas as vibrações lineares e não-lineares de
membrana circulares completas e anulares, considerando também diversos
aspectos tratados na literatura recente sobre vibrações lineares de membranas
elásticas, tais como variação de inércia e inclusões rígidas, como destacado na
revisão bibliográfica. Este trabalho é, pois, uma contribuição inédita nesta área. A
escolha desta classe de geometrias deve-se à possibilidade de se desenvolver
modelos analíticos precisos que possam servir de referência e comparação no
estudo de problemas mais complexos e ao grande uso da geometria circular, com
ou sem orifício, em aplicações práticas (Jenkins e Leonard, 1991; Jenkins, 1996;
Jenkins, 2001 e Jenkins e Korde, 2006). Este trabalho é parte da linha de pesquisa
em Instabilidade e Dinâmica das Estruturas e de Membranas e Biomembranas do
Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Em particular, este trabalho é
uma continuação dos trabalhos desenvolvidos na área de vibrações não lineares de
estruturas esbeltas, onde, através dos trabalhos de Santee (1999), Del Prado
(2001) e Silva (2008), foram desenvolvidos os algorítmos e ferramentas
numéricas usadas neste trabalho para o estudo das oscilações não-lineares. Na
área de membranas, deve-se destacar o trabalho de Xavier (2003).
1.2.
Organização do trabalho
O presente trabalho constitui-se de oito capítulos, incluindo-se esse de
introdução, onde são apresentados conceitos básicos, formulações utilizadas,
resultados obtidos, conclusões e sugestões para a continuação dessa pesquisa.
No capítulo 2 é apresentada uma sucinta explanação da teoria de membranas
e uma breve revisão bibliográfica de alguns dos modelos constitutivos que
descrevem o comportamento de membranas hiperelásticas.
No capítulo 3 apresenta-se a solução para membranas de geometria circular
e anular com espessura constante ou variável, submetidas a carregamentos trativos
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Introdução 35
axissimétricos em seu próprio plano. Desenvolve-se inicialmente a modelagem
matemática do problema para a análise estática das membranas previamente
submetidas a uma tração uniforme na direção radial e, posteriormente, são
deduzidas as equações de movimento considerando a membrana pré-tracionada
submetida a uma pressão dependente do tempo na direção transversal. Utiliza-se
uma formulação variacional que permite reduzir a uma única expressão integral
todos os elementos que influem no problema analisado. Através do princípio de
Hamilton, obtêm-se as equações gerais de movimento e as condições de contorno
para o problema. Além disso, este capítulo apresenta a modelagem do problema
usando-se o programa de elementos finitos Abaqus® e os elementos finitos
utilizado neste trabalho para a discretização da membrana.
Apresenta-se no capítulo 4 o estudo das vibrações lineares e não lineares de
membranas circulares de espessura e densidade constantes e avalia-se a influência
da pré-tração radial nas vibrações da membrana hiperelástica circular.
Apresentam-se, também, neste capítulo os estudos referentes à redução da
dimensão do problema através do método de Karhunen-Loève e de métodos
analíticos. Por fim, a influência de diferentes leis constitutivas na relação
freqüência-amplitude é estudada. Os resultados da formulação analítica são
comparados com os resultados obtidos através do método dos elementos finitos.
No capítulo 5 estuda-se a influência da variação da massa específica e da
espessura na direção radial nas vibrações lineares e não lineares da membrana
circular. Para isso, varia-se, primeiramente, a massa específica da membrana e
comparam-se os resultados obtidos, analiticamente e por elementos finitos, com
os encontrados na literatura. Posteriormente varia-se a espessura da membrana
circular e comparam-se os resultados analíticos com os obtidos por elementos
finitos.
Já no capítulo 6 apresentam-se os resultados obtidos na análise da
membrana anular submetida à tração radial uniforme e a uma pressão transversal
dependente do tempo. Novamente os resultados do estudo analítico são
comparados com os obtidos numericamente pelo método dos elementos finitos.
A seguir, no capítulo 7, apresentam-se a formulação matemática e os
resultados para o problema de vibração de uma membrana anular hiperelástica
acoplada a uma inclusão rígida na forma de um disco localizado em seu centro.
Novamente, utiliza-se a formulação variacional. Partindo da função de Lagrange e
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Introdução 36
aplicando-se o princípio de Hamilton, obtêm-se as equações diferenciais do
problema. Como nos casos anteriores, o problema também é resolvido
numericamente através do método dos elementos finitos.
Finalmente, no capítulo 8 são apresentadas as principais conclusões deste
trabalho e algumas sugestões para trabalhos futuros.
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2
Teoria de membranas elásticas
A teoria de membrana para materiais altamente deformáveis difere da
elasticidade clássica, já que as deformações na superfície média da membrana
deformada são em módulo maiores que a unidade. Dentro destas circunstâncias
utiliza-se a teoria da elasticidade para grandes deformações no desenvolvimento
da teoria de membrana.
Além da não linearidade geométrica, a não linearidade dos materiais
hiperelásticos também deve ser considerada. Isso pode ser feito através do uso de
um modelo constitutivo apropriado e válido quando se utiliza a teoria de grandes
deformações.
Se o material é hiperelástico e obedece a uma lei constitutiva não linear, as
equações de equilíbrio tornam-se altamente não lineares, particularmente quando
a geometria da membrana apresenta curvaturas e grandes deformações.
Assim, apresenta-se uma breve explanação da teoria da elasticidade para
deformações finitas usando-se a notação tensorial e vetorial propostas por Green e
Adkins (1960). Considerações sobre o caso particular de membranas circulares
são apresentadas na formulação do problema. Posteriormente, alguns modelos
constitutivos para materiais hiperelásticos são apresentados.
2.1.
Relações Geométricas
Considere um corpo tridimensional indeformado B
0
em um sistema
cartesiano fixo x
i
em um instante t = t
0
. O vetor posição de um ponto P
0
pertencente a B
0
em relação à origem é:
kk
x ir =
(2.1)
onde i
k
são os vetores unitários.
Considere que o corpo B
0
sofre uma deformação em um determinado
instante t e o ponto P
0
move-se para uma nova posição P. O vetor posição de P é:
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Teoria de membranas elásticas 38
kk
y iR =
(2.2)
Considerando-se que
i
i
x
y
∂
∂
> 0, pode-se escrever que:
),,,(
321
txxxyy
ii
=
(2.3)
O corpo B
0
pode também ser descrito em um sistema de coordenadas
curvilíneo, θ
i
, tal que:
),,(xx
321
θθθ
ii
=
(2.4)
onde x
i
são valores únicos, diferenciáveis quantas vezes necessárias, exceto em
possíveis pontos singulares. Supõe-se que o sistema de coordenadas curvilíneas se
move continuamente com o corpo e, quando B
0
é transladado para o estado
deformado B, tem-se que:
),,,(
321
tyy
ii
θθθ
=
(2.5)
Assim, em B
0
, o vetor covariante dθ
i
pode ser determinado utilizando-se a
relação (2.4):
i
i
i
ii
i
i
i
x
dxx
x
d
θ
θ
θ
θ
∂
∂
∂
=∂
∂
∂
= ,
(2.6)
Das equações (2.3) e (2.4), obtém-se:
i
i
i
i
i
i
i
y
x
x
y
dy
θ
θ
∂
∂
∂
=∂
∂
∂
=
(2.7)
Assim os vetores posição assumem a forma:
),,(
321
θθθ
rr =
),,,(
321
t
θθθ
RR =
(2.8)
Os vetores base e os respectivos tensores métricos contravariantes e
covariantes (Green e Adkins, 1960) na configuração indeformada B
0
são
definidos, para o sistema de coordenadas curvilíneas θ
i
, por:
i
jrj
ir
i
i
gg
δ
θ
=
∂
∂
= ,
r
g
j
r
i
r
jiij
xx
g
θ
θ
∂
∂
∂
∂
== gg
(2.9)
r
j
r
i
xx
g
j
i
ij
∂
∂
∂
∂
==
θθ
gg
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Teoria de membranas elásticas 39
De forma similar, os vetores base e os respectivos tensores métricos
covariante e contravariante para a configuração deformada B são definidos por:
i
jrj
ir
i
i
GG
δ
θ
=
∂
∂
= ,
R
G
j
r
i
r
jiij
yy
G
θθ
∂
∂
∂
∂
== GG
(2.10)
r
j
r
i
yy
G
j
i
ij
∂
∂
∂
∂
==
θθ
GG
O tensor de deformações é definido por (Green e Adkins, 1960):
)(
2
1
ijijij
gG −=
γ
(2.11)
Pode-se interpretar γ
ij
como sendo o tensor que mede a diferença do
quadrado do comprimento de um elemento infinitesimal de arco nos corpos
deformado e indeformado.
A função densidade energia de deformação W é determinada em função dos
invariantes de deformação (I
1
, I
2
, I
3
) e esses estão associados aos tensores
métricos apresentado nas equações (2.9) e (2.10), como:
ij
ij
GgI =
1
32
IGgI
ij
ij
=
(2.12)
g
G
I =
3
sendo:
ijij
GGgg ==
(2.13)
2.2.
Sistema de coordenadas para membranas axissimétricas
Nesta formulação assume-se que o corpo livre de tensões é composto de um
material hiperelástico e homogêneo onde há uma completa simetria elástica e
geométrica com relação ao plano médio da espessura.
Considera-se que a membrana sofre uma deformação finita e simétrica ao
plano médio x
3
= 0, onde as coordenadas após a deformação (y
i
) de um ponto P da
membrana, que originalmente possuía as coordenadas x
i
, são referentes ao mesmo
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Teoria de membranas elásticas 40
sistema cartesiano. A coordenada transversal da membrana após a deformação y
3
é geralmente descrita como uma função de y
1
e y
2
. Assim, escolhe-se um sistema
de coordenadas curvilíneas, tal que:
),(
2133
θθθ
αα
yyy ==
(2.14)
Dessa forma escreve-se para a configuração indeformada:
=
2
2221
1211
1
00
0
0
λ
αβ
aa
aa
a
=
2
2221
1211
00
0
0
λ
αβ
aa
aa
a
2
λ
a
g =
αβ
aa =
(2.15)
onde a
αβ
, a
αβ
são os tensores métricos covariantes e contravariantes associados à
coordenada θ
α
no plano médio da membrana deformada e
λ
é uma função escalar
em θ
1
, θ
2
que representa a extensão do plano médio na direção normal à espessura
da membrana.
Para a configuração deformada escreve-se:
=
100
0
0
2221
1211
AA
AA
A
αβ
=
100
0
0
2221
1211
AA
AA
A
αβ
AG
=
αβ
AA =
(2.16)
α
βρβ
αρ
δ
=AA
onde A
αβ
, A
αβ
são os tensores métricos covariantes e contravariantes associados à
coordenada θ
α
no plano médio da membrana deformada.
Dessa forma, os invariantes de deformação (I
1
, I
2
, I
3
), associados aos
tensores métricos covariantes e contravariantes, podem ser escritos da seguinte
maneira:
2
1
λ
αβ
αβ
+= AaI
2
2
1
λ
αβ
αβ
+= AaI
(2.17)
a
A
I
2
3
λ
=
onde λ é a extensão na direção normal à superfície média da membrana.
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Teoria de membranas elásticas 41
2.3.
Modelos Constitutivos
Existem na literatura vários modelos que definem as propriedades
mecânicas dos materiais, entre eles estão os modelos de materiais elásticos e
inelásticos. Dentro da classe dos materiais elásticos, têm-se os materiais
hiperelásticos.
Os modelos constitutivos para materiais hiperelásticos descrevem o
comportamento do material através da energia de deformação. Existem na
literatura várias formas específicas da função energia de deformação, tanto para
materiais compressíveis quanto incompressíveis, principalmente isotrópicos.
No estudo do comportamento de membranas de materiais hiperelásticos é
necessária a escolha de leis constitutivas que descrevam as propriedades do
material da melhor forma possível. Dentre as formulações existentes para a
energia de deformação de materiais hiperelásticos citam-se as teorias de Mooney-
Rivlin, neo-Hookeana, Ogden e Polinomial, dentre outras.
2.3.1.
Modelo de Mooney–Rivlin
A função energia de deformação pela formulação de Mooney-Rivlin é dada
por:
(
)
(
)
33
2
2
1
1
−+−= ICICW
(2.18)
onde C
1
e C
2
são parâmetros do material; I
1
é o primeiro invariante de deformação
e I
2
, o segundo invariante de deformações.
2.3.2.
Modelo neo-Hookeano
A forma da função energia de deformação considerando um material neo-
Hookeano é um caso especial da função energia de deformação de Mooney-Rivlin
quando C
2
= 0, sendo expressa por:
(
)
3
1
1
−
=
ICW
(2.19)
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Teoria de membranas elásticas 42
2.3.3.
Modelo de Ogden
A função energia de deformação proposta por Ogden é baseada em
resultados experimentais para materiais hiperelásticos. O modelo possui um
número suficiente de parâmetros que podem ser determinados experimentalmente.
O modelo de Ogden assume que a energia interna de deformação pode ser descrita
em termos das três extensões principais λ
i
(i = 1, 2, 3), na seguinte forma:
(
)
3
2
321
1
2
−++=
−−−
=
∑
iii
N
i
i
i
W
ααα
λλλ
α
µ
(2.20)
onde µ
i
, α
i
e N são constantes relacionadas com as propriedades do material.
2.3.4.
Modelo Yeoh
O modelo constitutivo para materiais hiperelásticos incompressíveis
proposto por Yeoh assume que a forma da energia interna de deformação é
independente do segundo invariante de deformação e pode ser representada como
uma série na seguinte forma:
( )
∑
=
−=
N
i
i
i
ICW
1
1
3
(2.21)
onde N é o número de termos da série e C
i
são parâmetros do material. Para um
único termo da série, o modelo de Yeoh se reduz a forma neo-Hookeana. Os
termos de mais alta ordem da série possibilitam obter resultados mais próximos
dos dados experimentais de deformação.
2.3.5.
Modelo Polinomial
Este modelo apresenta a seguinte forma da função energia de deformação:
( ) ( )
ji
N
ji
ij
IICW 33
21
1
−−=
∑
=+
(2.22)
Os modelos de Mooney-Rivlin e neo-Hookeano podem ser obtidos através
deste modelo escolhendo-se adequadamente os valores de C
ij
.
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Teoria de membranas elásticas 43
2.3.6.
Modelo Blatz-Ko
Usando resultados experimentais de materiais hiperelásticos compressíveis,
Blatz e Ko propuseram uma função energia de deformação dependente do
segundo e do terceiro invariante de deformação da seguinte forma:
−+= 52
2
3
3
2
I
I
IG
W
(2.23)
onde G é o módulo cisalhante elástico linear. Para um material incompressível
basta considerar I
3
= 1 na função de energia de deformação.
2.3.7.
Modelo Arruda-Boyce
Arruda e Boyce (1993) propuseram um modelo constitutivo baseado nas
grandes deformações de borrachas e considerando o estado de deformações tri-
dimensional dependente de um sistema reticulado. Comparando seus resultados
experimentais com os dados apresentados na literatura, os autores chegaram à
seguinte função energia de deformação:
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
8
5
1
6
4
1
4
3
1
2
2
11
673750
)243(519
7000
)81(19
1050
)27(11
20
)9(
2
)3(
mmmm
IIIII
W
λλλλ
µ
(2.24)
onde µ e λ
m
são constantes relacionadas com as propriedades do material e I
1
é o
primeiro invariante de deformação.
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3
Formulação da membrana hiperelástica
Neste capítulo é apresentada a modelagem matemática de membranas
circulares e anulares previamente submetidas a esforços radiais de tração. Essa
membrana é constituída de um material isotrópico e incompressível, o qual é
modelado como um material neo-Hookeano.
Como o material da membrana considerada é altamente elástico, considera-
se a teoria da elasticidade para grandes deformações, tendo por base a teoria de
membranas apresentada por Green e Adkins (1960).
Assim, obtêm-se a equação de equilíbrio da membrana sob tração radial
uniforme e as equações de movimento da membrana previamente tracionada.
3.1.
Modelagem matemática
Uma modelagem matemática para um problema de membranas
hiperelásticas de geometria circular ou anular, espessura constante ou variável é
apresentada a seguir. Utiliza-se uma formulação variacional que permite reduzir a
uma única expressão integral todos os elementos que influem no problema
analisado. Através do princípio de Hamilton obtêm-se as equações gerais de
movimento e as condições de contorno para o problema.
Assim, seja uma membrana anular e plana de espessura h(
ρ
), raio externo
indeformado R
o
, raio interno indeformado
ρ
ο
,
e massa específica
Γ
. A membrana
com bordo interno fixo é submetida a um deslocamento radial axissimétrico,
alcançando um raio tracionado final R
f
e, então, é fixada ao longo de seu bordo
externo. Posteriormente à aplicação do deslocamento radial estático, perturba-se a
membrana através de uma pressão dependente do tempo na direção transversal à
superfície média.
Para a consideração da membrana de geometria circular completa considera-
se o raio indeformado interno
ρ
o
= 0 e, inicialmente, considera-se a espessura
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Formulação da membrana hiperelástica 45
variável na direção radial h(
ρ
) e, posteriormente, nas equações de equilíbrio e
movimento, particulariza-se a espessura como constante.
As geometrias indeformada e deformada são apresentados na Figura 3.1.
x
2
x
3
R
o
P
o
x
1
θ
ρ
x
2
x
3
R
o
P
o
x
1
θ
ρ
r
X
3
R
f
β
R
o
X
1
X
2
P
z
r
X
3
R
f
β
R
o
X
1
X
2
P
z
(a) Indeformada (b) Deformada
Figura 3.1 – Configurações da membrana indeformada e deformada na direção radial.
Dessa maneira, para a superfície média indeformada, apresentada na Figura
3.1 - a, tem-se:
θρ
cos
1
=x
θρ
senx =
2
(3.1)
0
3
=x
onde
ρ
é a coordenada na direção radial da membrana indeformada,
θ
é a
coordenada na direção circunferencial da membrana indeformada e x
3
é a
coordenada na direção transversal à membrana indeformada.
Para a configuração deformada da superfície média após a tração e
perturbação transversal apresentada na Figura 3.1 - b, tem-se:
),,(cos),,(
1
ttrX
θρβθρ
=
),,(),,(
2
tsentrX
θρβθρ
=
(3.2)
),,(
3
tzX
θρ
=
onde r é a coordenada radial da membrana deformada;
β
é a coordenada
circunferencial da membrana deformada; X
3
é a coordenada na direção transversal
à membrana deformada e:
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Formulação da membrana hiperelástica 46
),,(),(),,( turtr
o
θρθρθρ
+=
),,(),(),,( tvt
o
θρθρβθθρβ
++=
(3.3)
),,(),(),,( twztz
o
θρθρθρ
+=
onde u(
ρ
,
θ
t), v(
ρ
,
θ
t) e w(
ρ
,
θ
t) representam os deslocamentos dependentes do
tempo nas direções radial, circunferencial e transversal respectivamente; r
o
(
ρ,θ
),
β
o
(
ρ,θ
) e z
o
(
ρ,θ
) representam as coordenadas de um ponto qualquer da membrana
tracionada estaticamente nas direções radial, circunferencial e transversal
respectivamente.
As extensões principais são definidas pela razão entre os comprimentos
deformado e indeformado, dS e ds, respectivamente, nas direções principais. Ou
seja:
i
i
i
ds
dS
=
λ
(3.4)
Assim, para a membrana submetida a esforços de tração, tem-se:
2
,
2
,
2
2
,1
ρρρ
βλ
zrr ++=
(3.5)
ρβλ
θθθ
2
,
2
,
22
,2
zrr ++=
(3.6)
onde
ρ
ρ
,
)(
)(
=
∂
∂
e
θ
θ
,
)(
)(
=
∂
∂
.
A extensão normal à superfície média,
λ
3
, é dada implicitamente em termos
das duas extensões principais no plano pela suposição de incompressibilidade do
material, ou seja, 1
3
=I . A partir da equação (2.17), tem-se:
A
a
=
3
λ
(3.7)
ou fisicamente:
h
H
=
3
λ
(3.8)
onde H é a espessura da membrana deformada.
Considerando o sistema de coordenadas polares (ρ, θ), os tensores métricos
covariantes e contravariantes da membrana indeformada são definidos por:
=
2
0
01
ρ
αβ
a
(3.9)
=
2
1
0
01
ρ
αβ
a
(3.10)
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Formulação da membrana hiperelástica 47
e da membrana deformada por:
++++
++++
=
2
,
2
,
2
2
,,,,,
2
,,
,,,,
2
,,
2
,
2
,
2
2
,
θθθθρθρθρ
θρθρθρρρρ
αβ
βββ
βββ
zrrzzrrr
zzrrrzrr
A
(3.11)
1
)(
−
=
αβ
αβ
AA
(3.12)
O invariante de deformação I
1
é dado por:
2
,,,,
2
,,
2
,
2
,
2
2
,
2
,
2
,
2
2
,
2
2
2
,
2
,
2
2
,
2
,
2
,
2
2
,
3
1
2
1
)())((
θρθρθρθθθρρρ
θθθ
ρρρ
ββββ
ρ
ρ
β
βλ
zzrrrzrrzrr
zrr
zrrI
i
i
++−++++
+
++
+++==
∑
=
(3.13)
3.2.
Funcional de energia da membrana
A função de energia de deformação, W, para materiais hiperelásticos, pode
ser descrita em função dos invariantes de deformação da superfície média da
membrana, I
1
, I
2
e I
3
, obtendo-se a função
),,,,,,,,(
,,,,,,
θρββ
θρθρθρ
zzrrrW
.
A energia elástica de deformação, U, é a integral volumétrica da função W,
na configuração indeformada, sendo para a membrana plana dada por:
ρθρθρββρ
ρ
π
θρθρθρ
ρ
dddzzzrrrWU
o
o
R
h
∫ ∫ ∫
=
2
0
,,,,,,
)(
0
),,,,,,,,,(
(3.14)
O termo referente ao trabalho das forças externas, W
e
, é realizado pela força
uniformemente distribuída ao longo do bordo externo, f, que produz o
deslocamento radial, pela pressão hidrostática excitadora uniformemente
distribuída na superfície da membrana dependente do tempo, P(t) e do peso
próprio
Γ
g, onde
Γ
é a massa específica da membrana e g é a aceleração da
gravidade. Considera-se que o peso próprio da membrana age perpendicularmente
à superfície média da membrana.
A pressão realiza trabalho sobre a variação do volume sofrido pela
membrana (Tielking e Feng, 1974), ou seja:
)()()(
id
vvtPvtP −=∆
(3.15)
onde v
i
é o volume incluso da configuração indeformada (Figura 3.1- a), que é
nulo, e v
d
é o volume incluso da configuração deformada (Figura 3.1- b).
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Formulação da membrana hiperelástica 48
Assim, o trabalho das forças externas pode ser escrito como:
zgvtPrfW
o
R
oe
Γ+∆+−=
=
)()(2
ρ
ρρπ
(3.16)
A energia cinética, T, é dada por:
ρθρ
β
ρ
π
ρ
ddzd
zrr
T
o
o
R
h
∫ ∫
++
∫
Γ=
2
0
222
)(
0
2
))((
&
&
&
(3.17)
onde
t∂
∂
=
•
)(
)(
.
A função que representa o amortecimento é dada por:
ρθρζω
ρ
π
ρ
ddzd
w
R
o
o
R
h
oe
∫ ∫ ∫
Γ=
2
0
)(
0
2
2
&
(3.18)
onde
ζ
é o coeficiente de amortecimento e
ω
o
é a freqüência natural do sistema.
Definidos os funcionais de energia, equações (3.14) a (3.18), chega-se à
seguinte função de Lagrange:
ee
WURTL +−+=
(3.19)
Partindo da função de Lagrange chega-se às equações diferenciais para cada
caso particular analisado neste estudo.
3.3.
Análise estática
Para a membrana anular plana submetida apenas a esforços de tração radial
axissimétrico, tem-se:
ρ
λ
d
dr
o
=
1
(3.20)
ρ
λ
o
r
=
2
(3.21)
ρ
ρ
λ
,
3
oo
rr
=
(3.22)
Neste caso os tensores métricos covariantes e contravariantes da membrana
tracionada são dados por:
=
2
2
,
0
0
o
o
r
r
A
ρ
αβ
(3.23)
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Formulação da membrana hiperelástica 49
=
2
2
,
1
0
0
1
o
o
r
r
A
ρ
αβ
(3.24)
e o primeiro invariante de deformação I
1
é definido por:
2
,
2
2
2
2
2
,
1
ρ
ρ
ρ
ρ
oo
o
o
rr
r
rI ++=
(3.25)
Dessa forma, a função energia de deformação pode ser descrita como
),,(
,
ρ
ρ
oo
rrWW =
.
Para obter a equação de equilíbrio, parte-se da energia potencial total,
definida como a diferença entre a energia de deformação elástica e o trabalho
realizado pela força trativa externa, f. Aplicando-se o princípio da energia
potencial total estacionária e utilizando-se integração por partes, obtém-se a
equação de equilíbrio na direção radial:
0)(
)(
)()(
,,
=
−
+−
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρρρ
ooo
dr
dW
d
d
h
dr
dW
d
hd
h
dr
dW
h
(3.26)
e a condição de contorno:
o
R
o
Rf
dr
dW
h
o
o
πρρπ
ρ
ρ
2)(2
,
=
(3.27)
Neste caso as componentes de deslocamento estático circunferencial e
transversal, β
0
e z
o
respectivamente, são nulos.
Além disso, a membrana anular também está submetida à seguinte condição
de contorno:
ooo
r
ρρ
=)(
(3.28)
As tensões principais de uma membrana de material hiperelástico são dadas
por:
i
ii
W
λ
λσ
∂
∂
=
(3.29)
Para a membrana circular as tensões principais podem ser escritas como:
22
,
2
24
,
1
1
)(2
oo
oo
rr
rrC
ρ
ρ
ρ
σ
−
=
(3.30)
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Formulação da membrana hiperelástica 50
22
,
2
4
42
,
1
2
)(2
oo
oo
rr
rrC
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
−
=
(3.31)
As equações das tensões principais para a membrana anular com variação da
espessura e com espessura constantes são escritas da mesma maneira, porém, a
coordenada radial estática r
o
(ρ) é diferente em cada caso.
3.3.1.
Equação de equilíbrio para membrana de espessura variável.
Para a membrana, obtém-se a equação de equilíbrio e condição de contorno,
substituindo-se o primeiro invariante de deformação (3.25) na função energia de
deformação (2.19) e depois nas equações (3.26) e (3.27). Assim, para uma
membrana de espessura variável h(
ρ
) a equação de equilíbrio é dada por:
0
)(
)(
)(
3
)(
)(
3
)(
3
)(
,
3
,
2
3
4
,
2
3
,
3
,
2
2
,
2
,
3
3
=
−+
+
−
+−−
ρ
ρρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
o
oooo
o
oo
o
oo
o
r
rr
d
dh
rr
rh
rr
r
rr
r
h
(3.32)
e a condição de contorno em ρ = R
o
como:
(
)
3
4
,
2
3
,
2
1
)(2
ρρ
ρ
ρ
ρ
−=
oo
ooo
rr
rrR
Ch
f
(3.33)
3.3.2.
Equação de equilíbrio para membrana de espessura constante.
Para uma membrana anular de espessura indeformada constante, após a
substituição da função energia de deformação nas equações (3.26) e (3.27),
obtém-se a equação de equilíbrio:
0
)(
33
)(
3
,
4
,
2
3
3
,
2
2
,
2
,
3
3
=
+−+−−
ρρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρρρ
ρ
o
oooo
o
oo
o
r
rrrr
r
rr
r
(3.34)
e a condição de contorno em ρ = R
o
:
(
)
3
4
,
2
3
,
2
1
2
ρρ
ρ
ρ
−=
oo
ooo
rr
rrR
Ch
f
(3.35)
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Formulação da membrana hiperelástica 51
3.3.3.
Método de integração numérica
Por ser a equação diferencial da membrana, apresentada anteriormente
(3.32), altamente não-linear torna-se necessário em certos casos a utilização de
métodos numéricos para a resolução deste sistema. Pode-se obter uma solução
numérica de forma eficiente transformando o problema de valor de contorno em
um problema de valor inicial e utilizando-se, a seguir, métodos de integração
numérica. Um método de integração numérica amplamente testado na literatura
para resolver este tipo de problema é o método de Runge-Kutta.
O sistema de equações corresponde ao chamado problema de valor de
contorno onde uma condição de contorno é conhecida em
ρ
=
ρ
o
e uma é
conhecida em
ρ
=R
o
. Porém, necessita-se de duas condições iniciais, então a
condição de contorno livre é inicialmente arbitrada e ajustada pelo shooting
method (Krayterman, 1990) e a integração numérica realizada pelo método de
Runge-Kutta, sendo a convergência da solução obtida pelo método de Newton-
Raphson.
Dessa maneira, neste trabalho é usada uma metodologia incremental-
iterativa, onde, a partir de uma configuração de equilíbrio conhecida, é obtida uma
nova configuração de equilíbrio associada a um incremento do parâmetro de
controle. Isto é feito usando-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem para
integrar o sistema de equações diferenciais que descreve o problema e o algoritmo
de Newton Raphson para minimizar o erro nas condições de contorno.
No shooting method é feita inicialmente uma escolha dos valores das
variáveis livres e prescritas de um ponto inicial, x
i
, do domínio de integração,
onde se tem que as variáveis prescritas devem ser consistentes com as condições
de contorno específicas do ponto, e as livres são arbitradas. As equações
diferenciais são integradas numericamente como em um problema de valor inicial,
chegando ao ponto final do domínio, x
f
. São em geral encontradas discrepâncias
entre as variáveis obtidas por integração numérica em x
f
e os respectivos valores
prescritos neste ponto, já que os valores das condições iniciais livres não são
conhecidos a priori. Torna-se então necessário efetuar um ajuste das condições de
contorno livres em x
i
em função das discrepâncias detectadas em x
f
. Os
procedimentos de integração das equações e de ajuste das condições iniciais são
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Formulação da membrana hiperelástica 52
repetidos sistematicamente até que todas as condições de contorno prescritas em x
f
sejam satisfeitas com o grau de precisão desejado.
Neste caso as equações diferenciais de primeira ordem utilizadas na
integração numérica são:
ρ
ρ
d
dr
y
o
=)(
(3.36)
ρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρρρρ
d
dh
h
rr
rrr
rrr
rrrrrrr
d
dy
oo
ooo
ooo
ooooooo
1
)3(
)3(
33
)(
4
,
2
2
4
,
2
,
3
4
,
2
22
,
3
3
5
,
3
,
4
4
,
4
+
−
−
+
+−−
−=
(3.37)
e as condições iniciais:
foo
RRr =)(
(3.38)
ooo
r
ρρ
=)(
(3.39)
Após um estudo de corvergência em função das coordenadas tracionadas da
membrana circular, adota-se um passo de tamanho igual a 1x10
-5
m para as
integrações numéricas através do método de Runge-Kutta.
3.4.
Análise dinâmica
Nessa análise tem-se por objetivo o estudo das vibrações lineares e não-
lineares das membranas em estudo. Partindo da função de Lagrange, apresentada
em (3.19), e aplicando o princípio de Hamilton, chegam-se às equações
diferenciais de movimento:
0
,,
,
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
t
r
L
tr
L
r
L
r
L
θρ
θρ
(3.40)
0
,,
,
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
t
L
t
LLL
ββθβρβ
θρ
(3.41)
0
,,
,
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
t
z
L
tz
L
z
L
z
L
θρ
θρ
(3.42)
Dessa forma, substituindo o primeiro invariante de deformações (3.13) na
função de Lagrange (3.19) e posteriormente nas equações de movimento (3.40) a
(3.42) obtêm-se as equações de movimento em função dos deslocamentos. Após a
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Formulação da membrana hiperelástica 53
linearização do sistema encontram-se as seguintes equações de movimento
lineares para a membrana circular, ou anular, de espessura variável na direção
radial:
a) Direção radial
0
),,(),,(
)(
)(
)(
)(2
),,(
)(
)(3
),,(
)(
)(
),,(
)(
)(6
)(
)(4
)(
)(
1
)()()(
)(12
)(
)(
8
)(
)(
6
)()(
)(6
)(
)(12
),,(
)(
)(6
)(
)(4
)(
)(
1
)(
)(
1
7
)(
)(12
)(
)(9
)(
)(
6
)()(
)(6
)(
)(12
),,(
)(
)(7
)(
)(3
)(
)(
1
)(
)(9
)(
)(
1
6
)(
)(12
)(
)(
1
7
)()(
)(6
)(
)(6
),,(
)(
)(3
)(
)(
2
2
6
6
1
2
3
42
2
2
6
6
7
6
3
42
3
4
4
32
6
7
2
7
6
2
2
6
6
2
42
7
5
3
32
6
6
2
3
3
4
22
7
5
2
2
6
5
2
32
5
6
2
42
2
4
5
7
2
3
32
6
6
2
2
5
642
2
2
2
42
6
6
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
Γ+
+
∂∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
t
tu
C
t
tu
h
r
r
hC
tv
r
r
tu
r
r
tv
r
r
r
r
d
dh
h
rrr
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
tu
r
r
r
r
d
dh
h
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
tu
r
r
r
r
d
dh
h
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
tu
r
r
r
r
c
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ooo
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
θρ
ζ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
θρ
ρ
ρ
ρρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
(3.43)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Formulação da membrana hiperelástica 54
b) Direção circunferencial
0
),,(),,(
)(
)(
)(
)(2
),,(
)(
)(2
)(
)(
),,(
)(
)(
1
)(
)(3
),,(
)(
)(
),,(
)(
)(3
),,(
)(
)(
)(
)(
1
3
)()(
)(3
)(
)(
1
2
),,(
)(
)(
)(
)(
11
)(
)(2
2
2
6
6
1
7
7
6
8
2
2
6
8
2
4
42
2
2
6
8
2
3
42
3
4
2
2
2
42
6
7
2
6
8
7
7
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
Γ
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
+−
+
∂
∂
−
t
tv
C
t
tv
h
r
r
hC
tv
r
r
r
r
tv
r
r
r
r
tv
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r
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r
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ζ
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ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρθ
θρ
ρ
ρ
ρρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρρ
ρ
ρ
(3.44
)
c) Direção transversal
0
),,(),,(
)(
)(
)(
)(2
),,(
1
)(
)(
)(
)(
),,(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
)(
)(
2)(
)(
3
)(
)(
1
)(
)(
)(
4
),,(
)(
)(
)(
)(
2
2
6
6
1
2
2
2
6
6
2
4
2
6
6
4
2
2
3
3
24
2
6
6
2
2
22
2
2
6
6
2
4
2
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
t
tw
C
t
tw
h
r
r
hC
tw
r
r
r
r
tw
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r
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d
dh
h
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o
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o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
o
θρ
ζ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
(3.45)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Formulação da membrana hiperelástica 55
Considerando a espessura da membrana indeformada constante pode-se
simplificar as equações lineares de movimento, obtendo-se:
a) Direção radial
0
),,(),,(
)(
)(
2
),,(
)(
)(3
),,(
)(
)(
),,(
)(
)(12
)(
)(12
)(
)(
8
)(
)(
6
)()(
)(6
)(
)(12
),,(
)(
)(
1
7
)(
)(12
)(
)(9
)(
)(
6
)()(
)(6
)(
)(12
),,(
)(
)(9
)(
)(
1
6
)(
)(12
)(
)(
1
7
)()(
)(6
)(
)(6
),,(
)(
)(3
)(
)(
2
2
6
6
1
2
3
42
2
2
6
6
3
4
4
32
6
7
2
7
6
2
2
6
6
2
42
6
6
2
3
3
4
22
7
5
2
2
6
5
2
32
2
4
5
7
2
3
32
6
6
2
2
5
642
2
2
2
42
6
6
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
Γ+
+
∂∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
t
tu
C
t
tu
r
r
C
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r
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r
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ζ
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ρ
ρ
ρ
θρ
θρ
ρ
ρ
ρρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
θ
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ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
(3.46)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Formulação da membrana hiperelástica 56
b) Direção circunferencial
0
),,(),,(
)(
)(
2
),,(
)(
)(2
)(
)(
),,(
)(
)(
1
)(
)(3
),,(
)(
)(
),,(
)(
)(3
),,(
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)(3
)(
)(3
)(
)(
1
2
),,(
)(
)(
1
)(
)(2
2
2
6
6
1
7
7
6
8
2
2
6
8
2
4
42
2
2
6
8
2
3
42
2
2
2
42
3
4
6
7
2
6
8
7
7
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
Γ
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
t
tv
C
t
tv
r
r
C
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r
r
r
r
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r
r
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r
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θρ
ζ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρθ
θρ
ρ
ρ
ρρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
(3.47)
c) Direção transversal
0
),,(),,(
)(
)(
2
),,(
)(
)(
1
)(
)(
),,(
)(
)(
2)(
)(
3
)(
)(
1
)(
)(
)(
4
),,(
)(
)(
)(
)(
2
2
6
6
1
2
2
2
4
2
2
6
6
3
3
24
2
6
6
2
2
42
2
2
4
2
26
6
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
Γ
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
t
tw
C
t
tw
r
r
C
tw
r
r
r
r
tw
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r
r
r
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rr
r
r
tw
r
r
r
r
c
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
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o
o
o
o
θρ
ζ
θρ
ρ
ρ
ρ
θ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
(3.48)
O grifo é aqui usado para diferenciar os termos das equações diferenciais
dos seus coeficientes que são funções do estado de tensões iniciais.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Formulação da membrana hiperelástica 57
3.5.
Método dos elementos finitos
O método dos elementos finitos é um procedimento numérico que pode ser
aplicado a problemas de geometria irregular, condições de contorno arbitrárias e
diversas propriedades dos materiais. Esse método combina vários conceitos
matemáticos estabelecendo e resolvendo um sistema de equações lineares ou não
lineares e tem sido extensivamente usado para análise de problemas
suficientemente complexos para serem solucionados através dos métodos
analíticos clássicos ou métodos numéricos simplificados.
É um método versátil, fundamentado na divisão do contínuo em estudo em
elementos. A forma de divisão depende do problema a ser analisado, exigindo
uma familiarização do usuário com as características dos diversos elementos
finitos passíveis de utilização, ou mesmo a tentativa de vários tipos de divisão.
Neste estudo é utilizado o programa Abaqus®, versão 6.5. Uma breve
abordagem dos tipos de elementos fornecidos pelo programa para a análise de
membranas hiperelásticas é feita a seguir.
3.5.1.
Tipos de Elementos
Existem dois tipos de elementos de membranas disponíveis no Abaqus®:
elementos gerais de membrana e elementos de membrana axissimétricos.
Estes elementos são definidos pelo código apresentado na Figura 3.2.
M 3D 4 R
Membrana
Dimensão
Número de nós
Integração Reduzida
M 3D 4 R
Membrana
Dimensão
Número de nós
Integração Reduzida
Figura 3.2 - Descrição do tipo de elemento de membrana usada pelo Abaqus®.
Tem-se no Abaqus® elementos triangulares com 3 e 6 nós e elementos
quadrilaterais com 4, 8 e 9 nós, como mostram a Tabela 3.1 e a Figura 3.3.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Formulação da membrana hiperelástica 58
Tabela 3.1 – Tipos de elementos de membrana disponíveis no Abaqus.
Sigla Tipo Nº de nós
M3D3 triangular 3
M3D4 quadrilateral 4
M3D4R
quadrilateral com integração
reduzida
4
M3D6 triangular 6
M3D8 quadrilateral 8
M3D8R
quadrilateral com integração
reduzida
8
M3D9 quadrilateral 9
M3D9R
quadrilateral com integração
reduzida
9
1
23
1
2
3
4
1
3
4
5
6
2
1
5
4
3
2
6
7
8
9
1
5
4
3
2
6
7
8
1
23
1
23
1
2
3
4
1
2
3
4
1
3
4
5
6
2
1
3
4
5
6
2
1
5
4
3
2
6
7
8
9
1
5
4
3
2
6
7
8
Figura 3.3 – Representação gráfica dos elementos de membrana e casca.
Elementos de membrana são usados para modelar estruturas que não
apresentem resistência à flexão, principal característica de membranas. A escolha
do tipo específico de elemento a ser usado, dentro do universo de elementos
disponíveis, foi o de melhor modelar uma membrana da qual se esperava grandes
deslocamentos e deformações.
A biblioteca do Abaqus® inclui também três grupos de elementos de casca:
Casca Fina, Casca Espessa e de Finalidade Geral. Os elementos de casca de
Finalidade Geral levam em consideração a deformação por cisalhamento, as quais
se tornam muito pequenas à medida que se diminui a espessura da estrutura. Os
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Formulação da membrana hiperelástica 59
elementos de Casca Espessa são necessários quando é importante considerar-se os
efeitos de cisalhamento através da espessura da casca. Como critério prático
considera-se que uma casca é espessa quando sua espessura for maior que 1/15 do
menor vão, do contrário é considerada fina.
Por sua vez, os elementos indicados para casca fina desprezam estes efeitos,
já que nas cascas finas estes efeitos são muito pequenos em comparação aos de
flexão. Esta aproximação é feita pela imposição da condição de Kirchoff: admite-
se que a seção plana normal à seção média da casca permanece plana e normal
durante a deformação.
Neste trabalho, para análise de membranas hiperelásticas, foram adotados
tanto elementos de membrana como de casca. Um estudo foi realizado para
identificar o elemento mais apropriado em função do carregamento, bem como da
geometria utilizada. Os elementos de casca são definidos na forma esquemática
ilustrada na Figura 3.4.
S 4 R 5
Casca
Número de nós
Integração Reduzida
Graus de Liberdade
S 4 R 5
Casca
Número de nós
Integração Reduzida
Graus de Liberdade
Figura 3.4 - Descrição do tipo de elemento de casca usada pelo Abaqus®.
Tem-se no Abaqus® elementos de casca triangulares com 3 e 6 nós e
elementos quadrilaterais com 4, 8 e 9 nós, como apresentados na Tabela 3.2 e na
Figura 3.3.
Para alguns tipos de análises, tais como a de histerese do material, a
discretização do modelo no Abaqus® não pode ser realizada com elementos de
casca ou de membrana. Uma maneira de controlar esse problema é com o uso de
elementos sólidos tridimensionais.
Na biblioteca do Abaqus® existem inúmeros elementos sólidos que podem
ser de uma, duas ou três dimensões, axissimétricos ou cilíndricos. Neste trabalho é
utilizado o elemento sólido tridimensional quando não é possível a discretização
do problema com elementos de casca e de membrana. Os elementos sólidos são
definidos no Abaqus® da maneira apresentada na Figura 3.5:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Formulação da membrana hiperelástica 60
Tabela 3.2 – Tipos de elementos de casca disponíveis no Abaqus®.
Sigla Tipo Nº de nós
STRI3 triangular (casca fina) 3
S3 triangular (geral – deformação finita) 3
S3R triangular com integração reduzida 3
S3RS
triangular com baixa deformação de
membrana
3
STRI65
triangular (casca fina) 6
S4 quadrilateral (geral – deformação finita) 4
S4R quadrilateral com integração reduzida 4
S4RS
quadrilateral com integração reduzida e
baixa deformação de membrana
4
S4R5 quadrilateral (casca fina) 4
S8R quadrilateral (casca espessa) 8
S8R5 quadrilateral (casca fina) 8
S9R5 quadrilateral (casca fina) 9
C 3D 8 R H
Elemento contínuo
Dimensão
Número de nós
Integração Reduzida
Híbrido com pressão constante
C 3D 8 R H
Elemento contínuo
Dimensão
Número de nós
Integração Reduzida
Híbrido com pressão constante
Figura 3.5 - Descrição do tipo de elemento de sólido usada pelo Abaqus®.
Os elementos sólidos tridimensionais disponíveis no Abaqus® são
apresentados na Figura 3.6 e na Tabela 3.3.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Formulação da membrana hiperelástica 61
1
2
3
4
6
10
1
2
3
4
8
9
5
7
2
6
3
1
4
5
2
6
3
1
4
5
7
13
12
10 11
8
15
9
3
7
8
1
2
5
6
3
7
8
1
2
5
6
4
10
19
15
20
18
9
17
12
16
11
14
13
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
6
10
1
2
3
4
8
9
5
7
6
10
1
2
3
4
8
9
5
7
10
1
2
3
4
8
9
5
7
1
2
3
4
8
9
5
7
2
6
3
1
4
5
2
6
3
1
4
5
2
6
3
1
4
5
7
13
12
10 11
8
15
9
2
6
3
1
4
5
7
13
12
10 11
8
15
9
3
7
8
1
2
5
6
3
7
8
1
2
5
6
3
7
8
1
2
5
6
4
10
19
15
20
18
9
17
12
16
11
14
13
3
7
8
1
2
5
6
4
10
19
15
20
18
9
17
12
16
11
14
13
Figura 3.6 – Representação gráfica dos elementos sólidos tridimensionais.
Tabela 3.3 – Tipos de elementos sólidos tridimensionais tensão/deslocamento disponíveis
no Abaqus®.
Sigla Tipo Nº de nós
C3D4 tetraedro 4
C3D4H tetraedro híbrido 4
C3D6 prisma triangular 6
C3D6H prisma triangular híbrido 6
C3D8 quadrilateral 8
C3D8H quadrilateral híbrido 8
C3D8I quadrilateral com modos incompatíveis 8
C3D8IH quadrilateral com modos incompatíveis e híbrido
8
C3D8R quadrilateral com integração reduzida 8
C3D8RH quadrilateral com integração reduzida e híbrido 8
C3D10 tetraedro quadrático 10
C3D10H tetraedro quadrático híbrido 10
C310M tetraedro quadrático modificado 10
C310MH tetraedro quadrático modificado e híbrido 10
C3D15 prisma triangular quadrático 15
C3D15H prisma triangular quadrático híbrido 15
C3D20 quadrilateral quadrático 20
C3D20H quadrilateral quadrático híbrido 20
C3D20R quadrilateral quadrático com integração reduzida 20
C3D20RH
quadrilateral quad.com int.reduzida e híbrido 20
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4
Membrana hiperelástica circular de espessura constante
Membranas possuem uma resposta estrutural única devido à sua espessura
extremamente fina e sua rigidez a flexão nula. Além disso, as características
geométricas da membrana, tais como curvatura e axissimetria, e os diversos tipos
específicos de materiais influenciam nessa resposta.
Neste capítulo é realizada uma particularização da formulação apresentada
para uma membrana hiperelástica circular completa. Para isso, se considera na
formulação apresentada anteriormente que o raio indeformado interno
ρ
o
= 0.
Além disso, adota-se a simplificação da espessura considerando-a constante e
avaliam-se a resposta estática e as vibrações linear e não linear.
Os resultados da formulação analítica são comparados com os resultados
obtidos através do método dos elementos finitos.
4.1.
Análise estática
A solução analítica da equação de equilíbrio (3.34), satisfazendo a condição
de contorno r
o
(R
o
) = R
f
para uma membrana sob deslocamento radial uniforme é:
ρδρ
=)(
o
r
(4.1)
onde:
o
f
R
R
=
δ
(4.2)
As tensões principais são obtidas substituindo a coordenada radial estática
(4.1) nas expressões das tensões principais (3.30) e (3.31). Assim, para uma
membrana circular de espessura constante, as tensões principais são dadas por:
4
6
1
21
)1(2
δ
δ
σσ
−
==
C
(4.3)
Da mesma forma, partindo das equações (3.20) a (3.22), obtêm-se as
extensões principais da membrana estudada como:
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 63
δλλ
==
21
(4.4)
2
3
1
δ
λ
=
(4.5)
Utilizando a relação física da extensão principal na direção transversal (3.8)
e a equação (4.5), chega-se à seguinte relação entre as espessuras da membrana
circular indeformada (h) e tracionada (H):
2
δ
h
H =
(4.6)
Os resultados numéricos apresentados posteriormente neste trabalho são
para uma membrana de raio externo indeformado R
o
= 1 m e espessura
indeformada h = 0.001m. O material da membrana é considerado do tipo neo-
Hookeano, isotrópico e incompressível com uma constante do material
C
1
= 0.17 MPa (Selvadurai, 2006) e massa específica
Γ
= 2200 Kg/m
3
(Pinto,
2006).
Todos os resultados numéricos dimensionais apresentados posteriormente
neste trabalho possuem as seguintes unidades: tensões em N/m
2
, deslocamentos e
amplitudes em metros, freqüências em rad/s e tempo em segundos.
Para a solução via método dos elementos finitos, utilizou-se, no programa
comercial Abaqus®, elementos de membrana M3D4R e M3D3. Após a análise de
convergência em termos das tensões principais discretizou-se a membrana circular
com uma malha de 9789 elementos de comprimento L
ele
< 0.028 R
o
.
Dessa forma, obteve-se a configuração tracionada da membrana circular
para diferentes valores da coeficiente de tração radial (δ). Na Figura 4.1
apresenta-se a variação da coordenada radial r
o
(
ρ
) obtida pela resposta analítica
(AN) e pelo método dos elementos finitos (MEF), para três valores de δ.
As membranas circulares apresentadas na Figura 4.1 possuem a seguinte
distribuição radial:
1.1
=
δ
ρρ
1.1)( =
o
r
(4.7)
5.1
=
δ
ρρ
5.1)( =
o
r
(4.8)
0.2
=
δ
ρρ
0.2)( =
o
r
(4.9)
Os valores das tensões principais
σ
1
e
σ
2
obtidos para a membrana circular,
através das duas metodologias, são apresentados na Tabela 4.1.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 64
Figura 4.1 – Variação do comprimento radial tracionado (r
o
) da membrana circular.
Tabela 4.1 – Tensões principais (σ
1
e σ
2
) para a membrana circular tracionada.
σ
1
; σ
2
(N/m
2
)
δ
Analítico MEF
1.1 179175 179175
1.5 697840 697840
2.0 1338750 1338750
Ressalta-se que, tanto pelos resultados numéricos quanto pela solução
analítica, se observou que as tensões principais para a membrana circular
tracionada (σ
1
e σ
2
) e a coordenada radial tracionada (r
o
) independem da
espessura da membrana indeformada.
Na Tabela 4.2 apresenta-se os valores da espessura da membrana tracionada
obtidos analiticamente e através do método dos elementos finitos e, observa-se em
todos os casos apresentados uma boa conformidade entre os resultados.
Tabela 4.2 – Espessura da membrana circular tracionada (H).
Η
(m)
δ
Analítico MEF
1.1 0.000826 0.000826
1.5 0.000444 0.000444
2.0 0.000250 0.000250
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 65
4.2.
Análise linear da vibração livre
Ao linearizar as equações de movimento, a equação na direção transversal
fica desacoplada das duas equações relativas as deslocamentos no plano da
membrana. Para a análise das vibrações lineares transversais, parte-se da equação
de movimento na direção transversal da membrana (3.48) na qual é substituído o
raio da membrana tracionada (4.1), obtendo-se a seguinte equação linear de
movimento:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
Γ
=
∂
∂
2
2
22
2
6
1
2
2
111
1
2
θρ
ρρ
ρδ
www
C
t
w
(4.10)
A equação (4.10) é similar à equação clássica de ondas onde a
2
é: (Kreyszig,
2006)
−
Γ
=
6
1
2
1
1
2
δ
C
a
(4.11)
O deslocamento transversal w(ρ, θ, t) pode ser obtido resolvendo-se a
equação (4.10), juntamente com as condições de contorno. Assim, a solução
analítica do deslocamento transversal da membrana circular, obtida utilizando
separação de variáveis, é:
)cos()cos()(),,( tn
R
JAtw
mn
o
mnnmn
ωθ
ρ
αθρ
=
(4.12)
onde A
mn
corresponde a amplitude modal; J
n
é a função Bessel de primeiro tipo de
ordem n; m o número de semi-ondas radiais; n o número de ondas
circunferenciais; α
mn
é m-ésimo valor positivo onde J
n
(α) é nula; R
o
é o raio da
membrana indeformada; t é o tempo e ω
mn
é a freqüência de vibração.
Substituindo o deslocamento transversal (4.12) na equação de movimento
(4.10), obtém-se a seguinte equação para as freqüências naturais da membrana
circular:
−
Γ
=
62
1
1
1
2
δ
αω
o
mnmn
R
C
(4.13)
Considerando o limite de
∞
→
δ
conclui-se que, quando o raio tracionado
aumenta, as freqüências convergem para:
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 66
Γ
=
∞→
2
1
)(
2
o
mnmn
R
C
αω
δ
(4.14)
A Figura 4.2 ilustra os espectros de freqüência, calculados analiticamente, da
membrana circular com diferentes níveis de tração e permite observar que, para
cada valor de n, a variação das freqüências de vibração em relação ao número de
semi-ondas radiais é linear e que a menor freqüência de vibração ocorre para uma
combinação de ondas m = 1 e n = 0.
δ = 1.1 δ = 1.5
δ = 2.0
Figura 4.2 - Espectro das freqüências de vibração (rad/s) da membrana circular.
Para a solução via método dos elementos finitos, utiliza-se novamente uma
malha com 9789 elementos de membrana M3D4R e M3D3. Os resultados
analíticos (AN) e obtidos por elementos finitos (MEF) são comparados na Tabela
4.3.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 67
Tabela 4.3 – Freqüências de vibração lineares (rad/s)
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 19.7298 19.7273 28.5533 28.5502 29.6617 29.6579
1 1 31.4360 31.4429 45.4953 45.5053 47.2709 47.2709
1 2 42.1331 42.1413 60.9770 60.9902 63.3433 63.3596
Na Figura 4.3 apresenta-se a relação entre a freqüência de vibração e o
coeficiente de tração radial (δ) da membrana para três modos de vibração.
Observa-se que, para pequenos valores de δ, ocorre um grande aumento na
freqüência natural e que a curva apresenta uma convergência monotônica. Os
valores das freqüências tendem a um valor constante à medida que δ aumenta.
Esse comportamento é observado para todos os modos de vibração.
Figura 4.3 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do parâmetro de
alongamento radial δ.
A relação entre a freqüência de vibração e o raio inicial indeformado (R
o
) é
apresentada na Figura 4.4. Verifica-se que para valores pequenos do raio
indeformado ocorre uma rápida diminuição da freqüência de vibração e que a
curva tende a valores constantes à medida que R
o
cresce. Esse comportamento é
observado para diferentes valores da razão δ e modos de vibração com diferentes
combinações de ondas (m e n).
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 68
Figura 4.4 – Variação de freqüência de vibração (rad/s) em função do raio indeformado
(m), R
o
.
Os modos de vibração da membrana circular associados às três menores
freqüências naturais são apresentados na Figura 4.5.
m = 1; n = 0 m = 1; n = 1 m = 1; n = 2
Figura 4.5 – Modos de vibração da membrana circular.
Ressalta-se que as freqüências lineares de vibração independem da
espessura da membrana circular indeformada (h).
Para um sistema amortecido, o deslocamento transversal pode ser escrito da
seguinte maneira (Kin, 1998):
−
−
+−
=
−
4
)
4
sin(
2
)
4
cos(
*)cos()(),,(
2
2
2
2
2
2
)
2
(
c
t
c
c
t
c
en
R
JAtw
mn
mn
mn
tc
o
mnnmn
ω
ω
ω
θ
ρ
αθρ
(4.15)
onde c é o parâmetro de amortecimento dado por
c
Cc
ζ
= ; ζ é o coeficiente de
amortecimento e Cc é o amortecimento crítico.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 69
4.3.
Análise não linear da vibração livre
Primeiramente a resposta não-linear da vibração livre da membrana sob
grandes e pequenas amplitudes de vibração é obtida utilizando o método dos
elementos finitos. As componentes do deslocamento da vibração livre u, v e w ao
longo do raio deformado da membrana (δ = 1.10) para uma configuração
axissimétrica de grande amplitude são ilustradas na Figura 4.6. Os resultados
numéricos mostram que durante as vibrações transversais as componentes u e v
são desprezíveis quando comparadas com o deslocamento transversal w.
Resultados semelhantes foram encontrados na vibração forçada da membrana
submetida à uma pressão hidrostática.
(a) (b)
Figura 4.6 – (a) Variação dos deslocamentos (m) da membrana circular pré-tensionada
sob grande amplitude de vibração ao longo do raio deformado. (b) Detalhe dos
deslocamentos(m) radial e circunferencial (δ = 1.1).
Assim, no desenvolvimento de um modelo de baixa dimensão para as
vibrações transversais não-lineares de uma membrana os deslocamentos u e v são
desprezados e a equação (3.42) reduz-se a:
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 70
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
1
4
2
15
484
2
1
4
2
2
2
2
1
23
2
,
2
2
,
222
2
,
2
2
,
222
2
,
2
1
2
2
,
2
2
,
222
3
3
2
,
2
2
,
222
2
,
5
,,
425
2
2
1
3
2
,
2
2
,
222
2
,
2
2
,
224
2
,
6
=
∂
∂
−
∂
∂
Γ
−
++
+++−
+
∂
∂
Γ
−
++
+
++
−−−
+
∂
∂
Γ
−
++
+++−
t
w
w
C
ww
www
wC
ww
ww
www
wC
ww
www
θρ
ρρδδ
ρρδρρ
ρ
ρ
ρρδδ
ρ
ρρδδ
ρρδρ
ρ
ρρδδ
ρρδρρ
ρθ
ρθθ
ρθ
ρθ
ρθρθ
ρθ
ρθρ
(4.16)
A precisão destas hipóteses é confirmada nas análises seguintes.
Para se obter a resposta não linear da membrana circular pré-tensionada, o
campo de deslocamentos transversal w pode ser aproximado por um somatório de
MxN modos ortogonais, dado por:
)cos()()(),,(
1 0
θ
ρ
αθρ
n
R
JtAtw
o
mnn
M
m
N
n
mn
∑ ∑
= =
=
(4.17)
onde A
mn
(t) corresponde à amplitude do deslocamento em função do tempo.
O método de Galerkin é utilizado para se obter as equações diferenciais
ordinárias não lineares no domínio do tempo.
Na análise das vibrações livres estuda-se a vibração associada à menor
freqüência natural (m = 1 e n = 0) que corresponde ao primeiro modo
axissimétrico.
Para isso, o deslocamento transversal (4.17) é aproximado com N = 0 e
considerando-se um número crescente de modos radiais (M = 1, 2 e 3). As
equações algébricas não-lineares resultantes do emprego do método de Galerkin-
Urabe (Urabe e Reiter, 1966; Bour, 1972) são resolvidas e a relação freqüência de
vibração - amplitude modal é obtida. A variação de cada amplitude modal A
i0
em
(4.17) é apresentada na Figura 4.7 considerando-se um número crescente de
modos M para três diferentes valores de δ.
Os resultados mostram que um modelo reduzido com apenas um grau de
liberdade (expansão 1, com M = 1) é suficiente para se obter respostas corretas
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 71
sob grandes deslocamentos. As amplitudes dos modos subseqüentes (A
20
e A
30
)
são muito pequenas quando comparadas com A
10
.
(a) A
10
(b) A
20
(c) A
30
δ = 1.1
(d) A
10
(e) A
20
(f) A
30
δ = 1.5
(g) A
10
(h) A
20
(i) A
30
δ = 2.0
Figura 4.7 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) com a amplitude modal (m)
considerando-se um número crescente de modos em (4.17).
Na Figura 4.8 ilustra-se a relação freqüência de vibração - amplitude modal
para diferentes valores do coeficiente de tração radial, δ.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 72
Figura 4.8 - Relação freqüência (rad/s)-amplitude modal (m) para vibração livre da
membrana circular com diferentes valores de δ.
Observa-se que, para pequenas amplitudes de vibração, ocorre um grande
aumento na freqüência de vibração e que, com o aumento da amplitude de
vibração, o efeito hardening diminui e a curva muda de direção tendendo a um
valor constante para grandes amplitudes de vibração. Esse valor constante da
freqüência de vibração refere-se ao valor da freqüência quando o coeficiente de
tração radial tende ao infinito.
Verifica-se, também, que a membrana menos tracionada exibe uma resposta
altamente não linear e que essa não linearidade diminui com o aumento do
coeficiente de tração radial e a resposta fica praticamente linear para um raio
tracionado igual a duas vezes o raio indeformado. Todas as freqüências descrevem
o mesmo comportamento não-linear observados para m = 1 e n = 0.
Calculando o limite da equação de movimento não-linear na direção
transversal, (3.42), com
∞
→
δ
, obtém-se a equação de movimento linear (4.10).
Assim, a freqüência natural e a relação freqüência-amplitude convergem para o
mesmo valor de ω quando δ aumenta. Este valor é dado pela equação (4.14). Ou
seja, o valor da freqüência de vibração não linear da membrana circular
permanece dentro de uma faixa de valores entre a freqüência natural linear e a
freqüência com
∞
→
δ
e, tem-se que a relação entre essas freqüências depende
de δ e pode ser dada por:
( )
−
=
∞→
1
6
6
δ
δ
ω
ω
δ
mn
mn
(4.18)
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 73
Essa dependência da freqüência quando
∞
→
δ
, normalizada pela
freqüência natural linear, em relação à δ pode ser melhor observada através da
Figura 4.9 onde se verifica que a relação entre as freqüências tende para o valor
unitário com o aumento do coeficiente de tração radial.
Figura 4.9 - Relação freqüência de vibração normalizada–coeficiente de tração radial, δ.
Para a análise numérica por elementos finitos é utilizado um modelo com
uma malha com 576 elementos de casca S4R e S3 que gera um sistema com 1731
equações. O modelo utilizado na análise não linear possui uma discretização
menos refinada que na análise linear devido à dificuldade e ao tempo de
processamento deste tipo de análise, já que ela é uma análise que consome muito
mais tempo e memória que a linear. O elemento de casca é utilizado nesta análise,
também, devido ao menor tempo de processamento gasto quando comparado ao
elemento de membrana, sendo que ambos os modelos produzem os mesmos
resultados neste tipo de análise. Ressalta-se que para essa análise não linear por
elementos finitos o tempo gasto para obter as respostas apresentadas em cada
gráfico é de aproximadamente de dois a três dias, enquanto que para a mesma
resposta obtida de forma analítica gastam-se aproximadamente 10 minutos.
Para o cálculo da vibração livre por elementos finitos, excitou-se o primeiro
modo de vibração da membrana circular (n = 0 e m = 1) impondo-se um campo de
deslocamentos inicial igual à solução analítica e obteve-se, para uma dada
amplitude inicial, a resposta no tempo para um sistema levemente amortecido,
como ilustrado na Figura 4.10.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 74
Figura 4.10 - Resposta no tempo da vibração livre da membrana circular (δ = 1.10).
A partir desta resposta no tempo, obtida por elementos finitos, e utilizando a
metodologia proposta por Nandakumar e Chatterjee (2005), pode-se obter a
relação freqüência de vibração-deslocamento transversal para um ponto qualquer
da membrana. Para isso considera-se o deslocamento de dois picos positivos e
sucessivos nos tempos t
1
e t
2
e calcula-se sua média w
1
. Posteriormente, toma-se o
deslocamento negativo w
2
do pico entre t
1
e t
2
. Então, se define a amplitude do
deslocamento transversal como:
2
)(
21
ww
w
+
=
(4.19)
O período e a freqüência de vibração são calculados através da seguinte
equação:
12
ttT
i
−=
(4.20)
i
T
1
=
ω
(4.21)
Com os valores dos deslocamentos transversais e das freqüências de
vibração, obtém-se a relação freqüência - deslocamento. Assim, os resultados
obtidos por elementos finitos são comparados com os resultados obtidos
analiticamente, utilizando-se os modelos de pequena dimensão para um ponto de
coordenadas (0.5; 0) da membrana indeformada. Esses resultados são
apresentados na Figura 4.11 para três valores de δ.
Observa-se na Figura 4.11 que a solução obtida por elementos finitos é mais
precisa para as membranas sob os menores níveis de tração. Isso ocorre devido ao
tamanho do passo de tempo utilizado na análise por elementos finitos, já que a
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 75
freqüência é obtida através do inverso do período de tempo (T
i
), como
apresentado na equação (4.21).
δ = 1.02 δ = 1.1
δ = 1.5 δ = 2.0
Figura 4.11 - Relação freqüência de vibração(rad/s)-deslocamento transversal (m) da
membrana circular.
Nas membranas menos tracionadas a variação da freqüência é maior para
um mesmo intervalo de deslocamento, como pode ser melhor observado na Figura
4.12 que ilustra a relação freqüência de vibração-deslocamento transversal para
diferentes valores do coeficiente de tração radial, δ. Assim, quanto mais
tracionada a membrana menor o passo de tempo necessário para se obter com
precisão os valores das freqüências e, portanto, maior esforço computacional é
exigido.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 76
Figura 4.12 - Relação freqüência de vibração (rad/s)-deslocamento transversal (m) da
membrana circular com diferentes valores de δ.
Na Figura 4.13 apresenta-se o deslocamento transversal da membrana
circular em vibração livre em um tempo t obtido através de elementos finitos.
Compara-se esse resultado com o obtido pela equação (4.17) utilizando apenas o
primeiro modo axissimétrico e a mesma amplitude da resposta numérica.
Observa-se que a equação (4.17) é uma resposta com boa precisão para a vibração
livre da membrana circular.
Figura 4.13 - Deslocamento transversal (m) da membrana circular em vibração livre, em
um tempo t (δ = 1.1).
Em virtude da grande variação de freqüência não-linear no intervalo em
estudo escolheram-se três trechos distintos da curva para determinar a variação
das tensões principais (σ
1
e σ
2
) da membrana. Na Figura 4.14 mostra-se os três
trechos escolhidos na curva freqüência-deslocamento e a variação das tensões.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 77
(a) Trechos da curva freqüência-deslocamento
σ
1
σ
2
(b) Trecho 1
σ
1
σ
2
(c) Trecho 2
σ
1
σ
2
(d) Trecho 3
Figura 4.14 – Variação das tensões principais (N/m
2
) da membrana em vibração livre
(δ = 1.1).
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 78
A parcela da extensão principal relativa a análise dinâmica, ou seja, o
acréscimo de extensão devido a vibração da membrana é avaliado nos mesmos
trechos apresentados na Figura 4.14-a. Assim, a variação desse acréscimo das
extensões principais (λ
1
e λ
2
) ao longo da direção radial da membrana são
mostradas na Figura 4.15.
Trecho 1 Trecho 2 Trecho 3
Figura 4.15 – Variação das extensões principais da membrana em vibração livre (δ = 1.1).
(λ
1
: Direção radial; λ
2
: Direção circunferencial)
Para uma membrana apoiada em sua extremidade externa, livre de
carregamentos de tração radial e, submetida apenas ao peso próprio tem-se a
variação das tensões principais e dos deslocamentos transversais ao longo do raio
indeformado da membrana apresentada na Figura 4.16. Ressalta-se que quando se
traciona radialmente a membrana, diminui-se o deslocamento transversal e a não
linearidade da solução em virtude do peso próprio. Assim, o efeito do peso
próprio será desconsiderado na análise dinâmica.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Coordenada radial indeformada (ρ)
1
1.004
1.008
1.012
1.016
1.02
E
x
t
e
n
s
õ
e
s
P
r
i
n
c
i
p
a
i
s
λ
1
λ
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Coordenada radial indeformada (
ρ
)
-0.2
-0.16
-0.12
-0.08
-0.04
0
D
e
s
l
o
c
a
m
e
n
t
o
t
r
a
n
s
v
e
r
s
a
l
(a) Extensões Principais (b) Deslocamento Transversal
Figura 4.16 – Variação das extensões principais e deslocamentos transversais (m) ao
longo do raio da membrana livre de tensões iniciais.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 79
A variação da freqüência no intervalo de interesse pode ser melhor
comparada através dos resultados apresentados na Figura 4.17, onde mostra-se a
relação normalizada freqüência-deslocamento da membrana. A freqüência de
vibração foi normalizada com relação à freqüência natural de cada caso. Observa-
se através da Figura 4.17 que, quanto mais tracionada a membrana menor o grau
de não-linearidade da resposta.
Figura 4.17 - Relação normalizada freqüência-deslocamento transversal (m) da membrana
circular.
4.4.
Redução do problema pelo método de Karhunen-Loève
A expansão do deslocamento transversal (4.17) utilizada consegue descrever
corretamente o comportamento hardening da membrana com um número pequeno
de modos. Entretanto, é necessário identificar a importância de cada modo na
energia total do sistema e a participação de cada modo da expansão modal (4.17)
nos modos não-lineares de vibração.
O método de Karhunen-Loève, também conhecido como decomposição
ortogonal completa (POD, em inglês, proper orthogonal decomposition), é uma
maneira de quantificar a participação desses modos na energia total do sistema. O
método consiste na análise de uma série de dados da resposta do sistema obtida da
solução de um modelo matemático preciso ou de um resultado experimental
(Gonçalves, 2008). Nesta tese, os dados são obtidos a partir das respostas no
tempo encontradas através do método dos elementos finitos.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 80
A formulação matemática do método de Karhunen-Loève está apresentada,
detalhadamente, nos trabalhos de Wolter (2001), Ritto (2205), Bellizi e Sampaio
(2006) e Gonçalves (2008). Neste trabalho, utiliza-se o método direto de
Karhunen-Loève que é apresentado de forma concisa a seguir.
Considere um campo vetorial real que descreve os deslocamentos
transversais da membrana, ),,( t
θ
ρ
w . Este campo vetorial é decomposto em duas
partes: uma média invariante no tempo E[ ),,( t
θ
ρ
w ] e
)],,([),,(),,( tEtt
θ
ρ
θ
ρ
θ
ρ
wwv
−
=
(4.22)
que é a variação temporal com relação à média.
Para a aplicação do método, parte-se de um campo de deslocamentos
discretos em certo instante. Para obter um vetor representativo do campo de
deslocamentos da membrana ( ),,( t
θ
ρ
w ), utiliza-se o campo de deslocamentos
discretos obtidos através da resposta por elementos finitos, apenas na direção
radial da membrana já que o problema é axissimétrico. Ou seja, os deslocamentos
são avaliados em N pontos distribuídos uniformemente ao longo de ρ.
Assim, para cada instante de tempo é obtido um vetor com N elementos,
)(,),(),(
21
twtwtw
N
L . Tomando-se M intervalos de tempos igualmente
espaçados ),,,(
21 MM
tttMt L
τ
= , onde
τ
é um período de amostragem, obtém-
se a seguinte matriz de amostragem de dimensão NM
×
:
[ ]
==
)()()(
)()()(
)()()(
21
22221
11211
21
MNMM
N
N
N
twtwtw
twtwtw
twtwtw
L
MOMM
L
L
L wwww
(4.23)
onde cada coluna representa a variação temporal do deslocamento em um
determinado ponto do raio da membrana e cada linha representa o campo de
deslocamentos da casca em um certo instante de tempo t
M
.
Usando as hipóteses de ergodicidade (Bellizi e Sampaio, 2006), o valor
médio do campo vetorial é obtido somando-se a variação temporal de cada ponto
amostrado e dividindo o resultado pelo número de linhas da matriz de
amostragem. A variação do campo vetorial com relação ao valor médio é dada
por:
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 81
−=
∑∑∑
∑∑∑
===
===
M
i
iN
M
i
i
M
i
i
M
i
iN
M
i
i
M
i
i
twtwtw
twtwtw
M
11
2
1
1
11
2
1
1
)()()(
)()()(
1
L
OMM
L
wv
(4.24)
Finalmente, como no método de Karhunen-Loève a variação temporal com
relação à média
v
é uma variável ergódica, a matriz de correlação espacial pode
ser escrita da seguinte forma:
vvR
T
M
1
=
(4.25)
onde
R
é uma matriz simétrica e positiva definida.
Os autovetores de (4.25) que são ortogonais devido a matriz
R
ser
simétrica, são os modos ortogonais próprios ou POMs (do inglês, proper
orthogonal modes) e os autovalores associados são os valores ortogonais próprios
ou POVs (do inglês, proper orthogonal values) e fornecem a medida da energia
média contida em cada modo, ou seja, cada autovalor λ
k
pode ser interpretado
como a medida da energia média do sistema projetada no eixo ϕ
k
do espaço
funcional.
O conceito de energia vem do fato de nas primeiras aplicações em
turbulência, o campo
v
representar a velocidade de escoamento do fluido e,
portanto, neste caso, cada autovalor representa o dobro da energia cinética média
contida no respectivo modo. A energia média do campo é igual à soma de todos
os autovalores.
Assim, observando as relações freqüência – deslocamento transversal
associadas ao primeiro modo axissimétrico (n = 0 e m = 1), obtidas analiticamente
(expansões 1, 2 e 3) e por elementos finitos, em virtude da grande variação de
freqüência não-linear no intervalo em estudo escolheram-se três trechos distintos
da curva para determinar a série de dados. O primeiro trecho é escolhido onde a
membrana vibra em baixa amplitude, o segundo trecho próximo à mudança de
direção da curva freqüência-deslocamento e o terceiro trecho onde a curva tende a
um valor constante com grande amplitude de vibração.
Na Figura 4.18 são mostrados os três trechos escolhidos na curva
freqüência-deslocamento transversal para a determinação da série de dados
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 82
necessária para a decomposição de Karhunen-Loève. Neste estudo utilizam-se as
respostas das membranas inicialmente tracionadas com δ = 1.1.
Figura 4.18 – Trechos da curva freqüência-deslocamento transversal da membrana
circular em vibração livre para decomposição de Karhunen-Loève (δ = 1.1).
Os quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs, para o problema de
vibração livre para a membrana circular são apresentados na Figura 4.19. Eles
representam mais de 99,99% da energia total do sistema.
POV = 99,98% POV = 0,018% POV = 0,003% POV = 0,00038%
Trecho 1
POV = 99,89% POV = 0,0956% POV = 0,0124% POV = 0,00075%
Trecho 2
POV = 99,99% POV = 0,0088% POV = 0,0026% POV = 0,00032%
Trecho 3
Figura 4.19 - Quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs para a vibração livre não
linear da membrana circular.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 83
De fato, a maior parte da energia nos três trechos, está concentrada no
primeiro modo (POV > 99,89%). A partir destes resultados, pode-se derivar um
modelo reduzido para a análise não linear da membrana e identificar a
importância relativa de cada modo da expansão (4.17).
Para quantificar essa importância relativa de cada modo em (4.17) em cada
POM, cada POM é expandido em séries usando os modos presentes em (4.17).
A Tabela 4.4 apresenta os coeficientes modais para cada POM ilustrado na
Figura 4.19. A principal contribuição para o primeiro POM, que é responsável por
mais de 96,89 % da energia total, é basicamente o primeiro modo axissimétrico
A
10
.
Tabela 4.4 - Participação dos modos usados na expansão modal dos quatro primeiros
POMs na resposta não linear da membrana circular.
Trecho 1
POM POV A
10
A
20
A
30
A
40
1 99,98% 0.35194 -0.00484 -0.00199 -0.00016
2 0,018% 0.26697 -0.48810 -0.13656 -0.01095
3 0,003% 0.01415 -0.52705 0.67960 0.05451
4 0,00038% -0.03153 -0.02727 -0.59101 -0.04746
Trecho 2
POM POV A
10
A
20
A
30
A
40
1 99,89% 0.35036 -0.00309 0.00040 0.00003
2 0,0956% 0.27064 -0.51417 -0.06642 -0.00532
3 0,0124% -0.00547 -0.49283 0.48598 0.03898
4 0,00075% -0.01689 0.08442 -0.76640 -0.06147
Trecho 3
POM POV A
10
A
20
A
30
A
40
1 99,99% 0.34949 -0.00027 -0.00191 -0.00015
2 0,0088% 0.26665 -0.40981 -0.21234 -0.01703
3 0,0026% 0.05019 -0.59065 0.64393 0.05165
4 0,00032% -0.02825 -0.04675 -0.56674 -0.04546
Na Figura 4.20 é apresentada a deformada da membrana dada pelo primeiro
POM ilustrados na Figura 4.19. Observa-se que há uma boa concordância entre a
deformada obtida usando a expansão modal (4.17) com um modo (M = 1) e
usando o primeiro POM da expansão de Karhunen-Loève. Com este estudo,
comprova-se matematicamente que um modelo simples com um grau de liberdade
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 84
é capaz de descrever o comportamento não-linear da membrana incluindo grandes
deformações.
Trecho 1 Trecho 2 Trecho 3
Figura 4.20 – Comparação da deformada obtida a partir da expansão (4.17) com o
primeiro POM da expansão de Karhunen-Loève.
4.4.1.
Membrana submetida a um deslocamento inicial qualquer
Neste item utiliza-se o método de Karhunen-Loève para identificar a
participação de cada modo da expansão modal (4.17) nos modos não-lineares de
vibração da membrana submetida a um deslocamento inicial qualquer.
Para isso a resposta não-linear da vibração livre da membrana é obtida
utilizando o método dos elementos finitos. Para o cálculo da vibração livre por
elementos finitos, impôs-se um campo de deslocamentos inicial não simétrico,
apresentado na Figura 4.21, e obteve-se, para uma dada amplitude inicial, a
resposta no tempo para um sistema levemente amortecido, determinando a série
de dados necessária para a decomposição de Karhunen-Loève. Neste estudo
utilizam-se as respostas das membranas inicialmente tracionadas com δ = 1.1.
Figura 4.21 – Campo de deslocamento transversal inicial qualquer da membrana.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 85
Os quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs, para esse problema de
vibração livre são apresentados na Figura 4.22. Eles representam mais de 99,96%
da energia total do sistema.
POV = 99,47% POV = 0,49% POV = 0,00133% POV = 0,007%
Figura 4.22 - Quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs para a vibração livre não
linear da membrana circular sob um campo de deslocamento inicial qualquer.
Apresentam-se na Tabela 4.5 os coeficientes modais para cada POM
ilustrado na Figura 4.22. A principal contribuição para o primeiro POM, que é
responsável por mais de 99,47 % da energia total, é basicamente o primeiro modo
axissimétrico A
10
. Já a principal contribuição para o segundo POM é basicamente
o segundo modo de vibração A
11
.
Tabela 4.5 - Participação dos modos usados na expansão modal dos quatro primeiros
POMs na resposta não linear da membrana circular.
POM POV A
10
A
20
A
30
A
40
1 99,47% -0.0624 0.000307 0.000493 0.000039
2 0,49% -0.0916 0.05092 0.012566 0.001008
3 0,0013% 0.02183 -0.02546 -0.06621 -0.00531
4 0,007% 0.03609 -0.041137 0.005359 0.000429
4.5.
Análise não linear da vibração forçada
Na análise das vibrações forçadas considera-se a vibração transversal
axissimétrica provocada por uma pressão excitadora uniforme dependente do
tempo P(t). O trabalho realizado pela pressão, apresentado em (3.15), depende do
volume da membrana na configuração deformada, dado por:
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∫ ∫ ∫∫
==
π
θπ
2
0 0 00
2
r zz
d
ddrdzrdzrv
(4.26)
Como ρ e θ são as variáveis independentes, os limites de integração são
modificados (Tielking e Feng 1974) e o trabalho realizado por P(t) pode ser
escrito como:
∫ ∫
=
o
o
R
d
ddzrrv
ρ
π
ρ
ρθ
2
0
,
(4.27)
Da mesma forma que na vibração livre não linear, os campos de
deslocamentos radial u e circunferencial v são desprezíveis em relação ao campo
de deslocamento transversal w. Assim, a equação de movimento não linear da
membrana circular sob vibração forçada axissimétrica transversal é dada por:
0)(
2
2
,,
=−
∂
∂
−
∂
∂
Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
ρ
ζρρ
θ
ρ
ρ
θρ
d
dr
rtP
t
w
C
t
w
z
W
z
W
o
oc
(4.28)
onde a pressão excitadora uniforme dependente do tempo é dada por:
)cos()( tPtP
o
Ω=
(4.29)
sendo P
o
é a magnitude da excitação e Ω é a freqüência de excitação.
A vibração axissimétrica transversal é associada ao primeiro modo
axissimétrico (n = 0 e m = 1) e utiliza-se o deslocamento transversal (4.17)
aproximado com N = 0 e aumentando o número de modos radiais (M = 1, 2 e 3).
O método de Galerkin é utilizado para se obter as equações diferenciais ordinárias
não lineares no domínio do tempo.
Para obtenção dos resultados numéricos da membrana sem amortecimento,
consideram-se a força com amplitude de excitação P
o
= 1 N/m
2
. A variação das
amplitudes modais A
i0
com a freqüência de vibração é apresentada na Figura 4.23.
Novamente, os resultados mostram que as amplitudes dos modos A
20
e A
30
são muito pequenas quando comparadas com A
10
.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 87
(a) A
10
(b) A
20
(c) A
30
δ = 1.1
(d) A
10
(e) A
20
(f) A
30
δ = 1.5
(g) A
10
(h) A
20
(i) A
30
δ = 2.0
Figura 4.23 – Curva de ressonância não linear da membrana circular.
Na Figura 4.24 apresenta-se a curva de ressonância com diferentes valores
de δ. Observa-se que as curvas tendem a um mesmo valor constante para grandes
amplitudes de vibração
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 88
Figura 4.24 – Relação freqüência (rad/s)-deslocamento (m) transversal para a vibração
forçada da membrana circular com diferentes δ.
A partir destas respostas e da obtida pelo método de Karhunen-Loève,
verifica-se que um modelo reduzido com apenas um grau de liberdade (expansão
1, com M = 1) é suficiente para se obter respostas corretas sob grandes
deslocamentos. Os demais resultados são calculados utilizando essa expansão com
um modo axissimétrico.
Posteriormente obtém-se a curva de ressonância (freqüência-deslocamento
transversal) para um ponto de coordenadas (0.5; 0) da membrana indeformada. O
método dos elementos finitos também é usado para o cálculo de alguns pontos da
curva de ressonância juntamente com a metodologia proposta por Nandakumar e
Chatterjee (2005). Os resultados são apresentados na Figura 4.25. Neste caso
despreza-se na resposta por elementos finitos a resposta inicial transiente e obtêm-
se a amplitude e freqüência após a resposta atingir o regime permanente.
(a) δ = 1.1 (b) δ = 1.5 (c) δ = 2.0
Figura 4.25 – Relação freqüência (rad/s)-deslocamento transversal (m) para a vibração
forçada da membrana circular.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 89
Na Figura 4.26 apresentam-se os deslocamentos laterais da membrana
circular em vibração forçada em um tempo t obtidos através de elementos finitos.
Compara-se esse resultado com o obtido pela equação (4.17) utilizando apenas o
primeiro modo axissimétrico e a mesma amplitude da resposta numérica.
Observa-se que a equação (4.17) também é uma resposta precisa para a vibração
forçada da membrana.
Figura 4.26 - Deslocamento transversal (m) da membrana circular em vibração forçada,
em um tempo t (δ = 1.1).
O método de continuação é utilizado para o cálculo dos diagramas de
bifurcação do mapa de Poincaré (Nayfeh e Balachandran, 1995) da membrana
circular tracionada. Na Figura 4.27 apresentam-se diagramas de bifurcação em
função da amplitude da excitação para diferentes valores da freqüência da
excitação para a membrana com δ = 1.1. As linhas contínuas representam
posições de equilíbrio estáveis e as linhas tracejadas representam posições de
equilíbrio instáveis.
Dependendo do valor de P
o
e Ω, a membrana pode exibir uma ou três
respostas. Por exemplo, para uma freqüência de excitação Ω = 21 rad/s, próxima à
menor freqüência natural, há duas soluções estáveis e uma instável para um dado
valor de P
o
. Os trechos estáveis e instáveis estão conectados por bifurcações do
tipo nó-sela onde o multiplicador de Floquet atravessa o círculo unitário através
de +1 (NS nas figuras). Para valores da freqüência de excitação distantes da região
de ressonância só é observada uma resposta (estável).
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 90
Figura 4.27 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de excitação
(rad/s). Coordenada de Poincaré A
10
(m) em função da amplitude da excitação P
o
(N/m
2
).
(δ = 1.1; ζ = 0.05)
No diagrama de bifurcação apresentado na Figura 4.28 ilustra-se a
coordenada de Poincaré A
10
em função da freqüência de excitação para três
diferentes valores de δ e amplitude da excitação P
o
= 1 N/m
2
.
(a) δ = 1.1 (b) δ = 1.5 (c) δ = 2.0
Figura 4.28 – Diagramas de bifurcação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da
freqüência de excitação Ω (rad/s) (Po = 1 N/m
2
; ζ = 0.05).
Observa-se em cada caso da Figura 4.28 duas bifurcações nó-sela. Como era
esperado, com o aumento do coeficiente de tração radial, a não-linearidade da
resposta diminui, diminuindo a região da freqüência onde as soluções instáveis
existem.
Na Figura 4.29 apresentam-se os diagramas de bifurcação para valores
crescentes de P
o
para a membrana com δ = 1.1.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 91
Figura 4.29 – Diagramas de bifurcação. Amplitude de vibração A
10
(m) como função da
freqüência de excitação Ω (rad/s) (ζ = 0.05; δ = 1.1).
Na Figura 4.30 são mostrados os diagramas de bifurcação que têm como
parâmetro de controle a magnitude da força, P
o
, para valores crescentes do
coeficiente δ. Em cada caso a freqüência de excitação é escolhida na região
principal de ressonância do sistema com ganho de rigidez, sempre à direita da
freqüência natural da membrana pré-tensionada. Esta é a região onde os efeitos
não-lineares são mais importantes. Novamente observa-se a influência decrescente
da não-linearidade com o aumento de relação δ.
(a) δ = 1.1; Ω = 21 rad/s (b) δ = 1.5; Ω = 29 rad/s (c) δ = 2.0; Ω = 29.8 rad/s
Figura 4.30 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da excitação P
o
(N/m
2
) .(ζ = 0.05)
A influência do amortecimento é ilustrada na Figura 4.31 onde os diagramas
de bifurcação são obtidos com diferentes valores de amortecimento.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 92
0 1 2 3 4 5 6 7
Amplitude da excitação (P
o
)
0
0.1
0.2
0.3
C
o
o
r
d
e
n
a
d
a
d
e
P
o
i
n
c
a
r
é
(
A
10
)
ζ
= 0.05
ζ
= 0.075
ζ
= 0.1
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
Amplitude da excitação (P
o
)
0.15
0.175
0.2
0.225
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7
Amplitude da excitação (P
o
)
0
0.1
0.2
0.3
C
o
o
r
d
e
n
a
d
a
d
e
P
o
i
n
c
a
r
é
(
A
10
)
ζ
= 0.05
ζ
= 0.075
ζ
= 0.1
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
Amplitude da excitação (P
o
)
0.15
0.175
0.2
0.225
0.25
δ = 1.1; Ω = 21 rad/s
δ = 1.5; Ω = 29 rad/s δ = 2.0; Ω = 29.8 rad/s
Figura 4.31 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de amortecimento.
Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da excitação P
o
(N/m
2
).
Observa-se que a membrana apresenta o mesmo tipo de comportamento
para os diferentes valores de amortecimento.
A influência do amortecimento aumenta com o aumento do coeficiente de
tração radial. Além disso, o amortecimento diminui a região onde a multiplicidade
das soluções e os saltos entre as soluções estáveis co-existentes podem ocorrer.
Finalmente, analisa-se o comportamento das bacias de atração das soluções
na região principal de ressonância. A Figura 4.32 ilustra as bacias de atração para
três conjuntos de parâmetros. Os parâmetros são escolhidos de tal modo que a
resposta permaneça na região principal de ressonância onde ocorrem três
soluções: uma solução de média amplitude instável, uma solução de pequena
amplitude estável e uma solução de grande amplitude estável. A Figura 4.32
corresponde à bacia de atração no plano fase
1010
AxA
&
e as cores diferentes
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Membrana hiperelástica circular de espessura constante 93
correspondem aos atratores distintos realçados por uma cruz preta nas bacias de
atração.
(a) δ = 1.1; Ω = 21 rad/s (b) δ = 1.5; Ω = 29 rad/s
(c) δ = 2.0; Ω = 29.8 rad/s
Figura 4.32 – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
1010
AxA
&
(P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05).
A cor cinza escuro corresponde à bacia de atração da oscilação de grande
amplitude e a cor cinza claro corresponde à oscilação de pequena amplitude. Com
o aumento do coeficiente de tração radial a complexidade da forma da bacia
diminui com um número menor de faixas claras e escuras. Nota-se que na região
principal de ressonância a maioria das condições iniciais conduz a soluções que
convergem ao atrator de grande amplitude.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 94
4.6.
Análise comparativa com diferentes modelos constitutivos
Um material com uma relação tensão – deformação conhecida de forma
experimental pode ser descrito por diferentes modelos constitutivos. Neste item
parte-se da relação tensão – deformação do material neo-Hookeno (Selvadurai,
2006) e calculam-se as constantes elásticas do material para os modelos de
Arruda-Boyce, de Mooney-Rivlin, de Ogden e de Yeoh. Posteriormente, compara-
se a solução da membrana em vibração livre utilizando os cinco modelos
constitutivos diferentes. Em todos os casos o material é considerado isotrópico e
incompressível.
A determinação das constantes é feita através dos resultados obtidos
experimentalmente ou numericamente para a curva tensão-deformação. Estes
resultados são introduzidos na análise numérica, realizada pelo método dos
elementos finitos através do programa Abaqus®, onde se supõe que o
comportamento do material pode ser descrito pelas diferentes teorias. Assim, é
possível assumir a equação constitutiva que se ajuste de forma mais adequada aos
resultados conhecidos.
Estas constantes são determinadas através do método dos mínimos
quadrados que minimiza o erro relativo em tensões. Para n pares de valores de
tensão-deformação o erro relativo a ser minimizado é dado por:
2
1
1
∑
−=
=
n
i
test
i
th
i
T
T
e
(4.30)
onde T
i
test
são os valores de tensão obtidos experimentalmente e T
i
th
são os valores
de tensão obtidos através das relações constitutivas. Para materiais
incompressíveis dados de ensaios uniaxiais são necessários e, para materiais
compressíveis, testes de compressão volumétrica.
A membrana de material neo-Hookeano, anteriormente analisada, é utilizada
como referência. Os valores das tensões e deformações obtidos para essa
membrana neo-Hookeana são fornecidos na entrada de dados do programa
Abaqus ®.
Para a análise numérica utilizou-se uma malha de 576 elementos de
membrana M3D3 e M3D4R, gerando assim um sistema com 1731 equações.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 95
Os resultados obtidos para as constantes dos modelos de Arruda-Boyce,
Mooney-Rivlin, Ogden e Yeoh, bem como as constantes do material neo-
Hookeano utilizadas são apresentados na Tabela 4.6.
Tabela 4.6 - Constantes elásticas para o material da membrana.
neo-Hookeano C
1
= 170000 Pa
Mooney-Rivlin C
1
= 169720.3 Pa C
2
= -18.7 Pa
Yeoh C
1
= 163694.04 Pa C
2
= 209 Pa C
3
= -1.84 Pa
Arruda-Boyce
µ = 331373.66 Pa λ
m
= 18
Ogden (N=3)
µ
1
= 1279517.5 Pa α
1
= 1.47875
µ
2
= -16902.5 Pa α
2
= 1.90802
µ
3
= -949448.8 Pa α
3
= 1.07815
Na Figura 4.33 apresenta-se a curva tensão - deformação da membrana sob
tração uniaxial obtida através do programa Abaqus® para o cálculo das constantes
elásticas do material, usando-se os diferentes modelos constitutivos.
Figura 4.33 - Curva tensão (Pa)-deformação utilizada pelo MEF no cálculo das constantes
elásticas.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 96
Observa-se na Figura 4.33 que os resultados apresentam uma boa
concordância para os cinco modelos constitutivos analisados, sendo o modelo de
Odgen o que mais diverge da curva tensão-deformação padrão adotada.
Ilustra-se na Figura 4.34 a variação do deslocamento radial estático da
membrana submetida a um esforço de tração axissimétrico radial que produz um
raio final (R
f
) igual ao dobro da membrana indeformada (δ = 2). Observa-se
consonância dos resultados para os cinco modelos constitutivos utilizados.
Figura 4.34 - Variação do deslocamento radial (m) da membrana sob esforços de tração
radial utilizando os cinco modelos constitutivos.
Posteriormente, apresentam-se as freqüências e os modos de vibração da
membrana submetida a três diferentes níveis de tração na Tabela 4.7.
Observa-se que a menor freqüência de vibração ocorre para uma
combinação de ondas m = 1 e n = 0 e que a seqüência de modos (número de
ondas) é a mesma em todos os casos. Além disso, pode-se observar que a variação
dos valores das freqüências fica entre 0.8% e 5%, sendo a maior variação para o
modelo de Ogden.
Os modos de vibração possuem a mesma forma que os apresentados na
Figura 4.5.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 97
Tabela 4.7 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana circular
considerando diferentes modelos constitutivos e coeficiente de tração radial.
δ = 1.10
m n
neo-
Hookeano
Mooney-
Rivlin
Yeoh
Arruda-
Boyce
Ogden
1 0 19.771 19.754 19.404 19.538 18.699
1 1 31.412 31.384 30.827 31.040 29.708
1 2 41.817 41.780 41.040 41.323 39.550
δ = 1.50
m n
neo-
Hookeano
Mooney-
Rivlin
Yeoh
Arruda-
Boyce
Ogden
1 0 28.614 28.587 28.137 28.289 26.607
1 1 45.460 45.417 44.703 44.945 42.272
1 2 60.520 60.463 59.513 59.834 56.276
δ = 2.0
m n
neo-
Hookeano
Mooney-
Rivlin
Yeoh
Arruda-
Boyce
Ogden
1 0 29.724 29.693 29.343 29.418 28.278
1 1 47.224 47.175 46.619 46.738 44.926
1 2 62.869 62.803 62.063 62.221 59.809
Para o cálculo da vibração livre não linear da membrana excita-se o
primeiro modo de vibração da membrana circular (n = 0 e m = 1), impondo-se um
campo de deslocamentos inicial, e obtém-se, para uma dada amplitude inicial, a
resposta no tempo para um sistema levemente amortecido. Na Figura 4.35
apresenta-se um exemplo desta resposta no tempo com os mesmos parâmetros
iniciais para os cinco modelos de material.
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 98
Figura 4.35 - Resposta no tempo para membrana circular utilizando os cinco modelos
constitutivos.
Observa-se, através da Figura 4.35, que o deslocamento transversal da
membrana é quase o mesmo utilizando os modelos constitutivos neo-Hookeano,
de Mooney-Rivlin, de Arruda-Boyce e de Yeoh, principalmente no início da
vibração. Porém, para o modelo de Odgen, ocorre uma divergência dos valores do
deslocamento transversal, sendo que essa divergência aumenta com o tempo.
A partir desta resposta no tempo, obtida por elementos finitos, e utilizando a
metodologia proposta por Nandakumar e Chatterjee (2005), pode-se obter a
relação freqüência de vibração-deslocamento transversal (w) para um ponto
qualquer da membrana.
Assim, os resultados obtidos por elementos finitos utilizando os cinco
diferentes modelos constitutivos são comparados, utilizando-se uma razão de
tração δ = 1.1. Esses resultados para um ponto de coordenadas (0.5; 0) da
membrana indeformada são apresentados na Figura 4.36, sendo sempre
comparados com o resultado adotado como referência (modelo neo-Hookeano).
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Membrana hiperelástica circular de espessura constante 99
Figura 4.36 – Relação freqüência de vibração (rad/s)-deslocamento transversal (m) da
membrana circular considerando diferentes modelos constitutivos do material.
Observa-se o mesmo comportamento hardening em todos os exemplos e
que, com o aumento da amplitude de vibração, esse efeito diminui e a curva tende
a um valor constante para grandes amplitudes de vibração. Assim, pode-se afirmar
que o comportamento dinâmico não-linear da membrana é o mesmo, independente
do modelo constitutivo.
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5
Membrana circular com massa específica e espessura variável
No estudo de membranas, quando se fala da variação da sua inércia, logo se
recai na variação da sua massa específica ou da sua espessura. Na literatura
encontram-se diversos estudos tratando da variação da massa específica de
membranas circulares, principalmente na direção radial (Jabareen e Eisenberger,
2001; Bala Subrahmanyam e Sujith, 2001; Willatzen, 2002; Buchanan,2005).
Todos estes resultados são restritos à análise das vibrações lineares usando a
teoria elástica de membranas.
Por isso, inicialmente, estuda-se o caso da membrana circular de espessura
constante, porém com variação da massa específica na direção radial e comparam-
se os resultados com os encontrados na literatura.
Posteriormente, estuda-se o problema da membrana circular com variação
da espessura.
5.1.
Variação da massa específica na direção radial da membrana circular
Neste problema considera-se que a massa específica da membrana varia na
direção radial da seguinte maneira (Jabareen e Eisenberger, 2001; Bala
Subrahmanyam e Sujith, 2001; Willatzen, 2002):
)1()(
2
ρκρ
+Γ=Γ
o
(5.1)
onde
Γ
o
é um valor constante e κ é um valor constante conhecido que descreve a
variação da massa específica ao longo do raio indeformado. Tem-se que a massa
específica cresce do centro para o bordo quando κ > 0 e decresce quando κ < 0,
como pode ser observado na Figura 5.1 .
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 101
Figura 5.1 – Variação da massa específica normalizada ao longo da direção radial da
membrana (Equação (5.1)).
A resposta estática neste caso é a igual à apresentada no item 4.1.
5.1.1.
Análise linear da vibração livre
Para a análise linear das vibrações livres parte-se da equação de movimento
na direção transversal da membrana (3.48) na qual é substituído o raio da
membrana tracionada (4.1), obtendo-se a seguinte equação de movimento:
0
111
1
)1(
2
2
2
2
2
22
2
62
1
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
+Γ t
wwww
C
o
θρ
ρρ
ρδκρ
(5.2)
O deslocamento transversal w é obtido através da transformação da equação
de movimento linear (5.2) em uma equação diferencial que possue solução
analítica. Empregando a separação das variáveis ρ, θ e t, tem-se que a solução da
equação (5.2) pode ser escrita em função dessas variáveis da seguinte maneira:
)cos()cos()(),,( tnGAtw
mnmn
ωθρθρ
=
(5.3)
onde A
mn
corresponde à amplitude modal; G(ρ), à função em ρ do deslocamento
transversal; m, ao número de semi-ondas radiais; n, ao número de ondas
circunferenciais e ω
mn
, à freqüência natural de vibração.
Substituindo (5.3) em (5.2), obtém-se a seguinte equação de movimento
linear em função da direção radial:
0)(
)1(2
)1(
)(1)(
2
2
6
1
262
2
2
=
−
−
+Γ
++
ρ
ρδ
ωδκρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
G
n
C
d
Gd
d
Gd
mno
(5.4)
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 102
A equação (5.4) é similar as equação diferencial Whittaker (Abramowitz e
Stegun, 1972). Utilizando a solução da equação diferencial de Whittaker
(Abramowitz e Stegun, 1972) juntamente com as condições de contorno do
problema, obtém-se a seguinte solução analítica para o deslocamento transversal
da membrana circular:
)cos()cos(
1
;
2
;
4
),,(
2
tnIK
nKI
MAtw
mnnmn
ωθ
ρ
ρκ
κ
θρ
−
=
(5.5)
sendo:
)1(2
6
1
6
−
Γ
=
δ
δ
C
k
K
mno
(5.6)
onde M
n
é a função hipergeométrica confluente Whittaker do tipo M; k
mn
é o m-
ésimo valor positivo onde a função Whittaker com
o
R=
ρ
é nula.
A função hipergeométrica confluente Whittaker é uma forma alterada da
função hipergeométrica, sendo uma forma alternativa de solução linearmente
independente para as equações hipergeométricas confluentes dadas por (Wolfram
mathworld, 2008):
( )
(
)
( )
!21
5.0
;;
0
25.0
i
x
exxM
i
i
i
i
x
n
∑
∞
=
−+
+
−+
=
β
αβ
βα
β
(5.7)
onde ( )
i
é o símbolo Pochhammer dado por )1()1()( +++= jxxxx
i
L para j ≥ 0
(Wolfram mathworld, 2008).
Substituindo o deslocamento transversal (5.5) na equação de movimento
(5.2) obtém-se a freqüência natural da membrana circular com massa específica
variável como:
mnmn
k=
ω
(5.8)
Os deslocamentos radial u e circunferencial v são desprezíveis em relação
ao deslocamento transversal w, sendo suas contribuições em termos de inércia e
rigidez desprezadas na análise das vibrações transversais da membrana.
As freqüências e os modos de vibração lineares foram calculados através da
formulação analítica e comparados com os resultados obtidos pelo método dos
elementos finitos.
Para a solução via método dos elementos finitos, utiliza-se uma malha com
2880 elementos de membrana M3D4R e M3D3 que gera um sistema com 8643
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 103
equações. A malha é discretizada com 40 elementos na direção radial e 72 na
direção circunferencial, divididos em 40 conjuntos axissimétricos com 72
elementos cada. Para a variação da massa específica, cada conjunto de elementos
recebe o valor dado na equação (5.1) onde ρ é a distância do centro da membrana
até centro do elemento na direção radial.
Os resultados analíticos (AN) e obtidos por elementos finitos (MEF) para
diferentes valores de κ em (5.1) são comparados na Tabela 5.1.
Tabela 5.1 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana circular com
massa específica variável na direção radial.
κ = −0.5
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 20.859 20.925 31.989 30.283 33.230 31.458
1 1 34.324 34.411 49.676 49.801 51.603 51.734
1 2 42.773 42.581 61.903 68.141 64.305 70.786
κ = 0.5
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
ΑΝ MEF ΑΝ MEF ΑΝ MEF
1 0 18.721 18.710 27.094 27.078 28.145 28.129
1 1 28.873 29.029 41.786 42.012 43.408 43.642
1 2 38.328 38.219 55.470 55.312 57.623 57.459
κ = 0.595
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
ΑΝ MEF ΑΝ MEF ΑΝ MEF
1 0 18.543 18.529 26.837 26.816 27.878 27.856
1 1 28.648 28.625 41.461 41.427 43.069 43.035
1 2 37.705 37.591 54.568 54.404 56.685 56.515
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 104
Observa-se que os valores das freqüências obtidos pelos dois métodos são
concordantes, tendo uma menor variação nos primeiros modos de vibração.
Verifica-se também que as freqüências decrescem à medida que κ cresce, ou seja,
aumenta a densidade no bordo da membrana.
Os modos de vibração possuem a mesma forma que os apresentados na
Figura 4.5.
Os valores para o parâmetro de freqüência,
)1(2
6
1
6
−
Γ
=
δ
δ
ωω
C
o
mn
, obtidos
com os resultados deste trabalho são favoravelmente comparados com os
resultados apresentados por Bala Subrahmanyam e Sujith (2001) na Tabela 5.2.
Os autores calculam esse parâmetro de freqüência analiticamente para membranas
circulares completas e anulares com diversos coeficientes de heterogeneidade κ.
Porém, os autores utilizam como resposta da equação diferencial uma função
hipergeométrica de Kummer (Abramowitz e Stegun, 1972).
Tabela 5.2 – Parâmetro da freqüência de vibração
ω
para a membrana circular com
massa específica variável na direção radial.
)1(2
6
1
6
−
Γ
=
δ
δ
ωω
C
o
mn
κ
Bala et al
(2001)
AN MEF
0.5 2.2819 2.2819 2.2806
1.0 2.1736 2.1736 2.1702
1.5 2.0778 2.0778 2.0728
Na Figura 5.2 apresenta-se uma relação entre a freqüência de vibração e o
coeficiente de tração radial (δ) da membrana para diferentes distribuições da
massa específica. Observa-se um grande aumento na freqüência natural para
pequenos valores de δ e que a curva tende a um valor constante quando
∞
→
δ
,
tal como no caso da membrana com densidade constante.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 105
Figura 5.2 - Freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de tração radial δ
para diferentes variações da massa específica da membrana circular.
Na Figura 5.3 apresenta-se uma relação entre a freqüência de vibração e o
coeficiente de variação da massa específica (κ) da membrana para diferentes
valores de δ. Observa-se uma diminuição na freqüência natural com o aumento do
valor do coeficiente de variação da massa específica e que, para valores de δ
maior que dois a curva já é bem próxima da curva com
∞
→
δ
que define o limite
superior da freqüência.
Figura 5.3 - Freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de variação da
massa específica (κ).
5.1.2.
Análise não linear da vibração livre
Na análise das vibrações não lineares da membrana circular os
deslocamentos u e v são desprezados e a equação de movimento não linear na
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 106
direção transversal da membrana circular com massa específica variável é dada
por:
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
0)1(
2
1
4
2
15
484
21
4
2
2
2
2
2
1
23
2
,
2
2
,
222
2
,
2
2
,
222
2
,
2
1
2
2
,
2
2
,
222
3
3
2
,
2
2
,
222
2
,
5
,,
425
2
2
1
3
2
,
2
2
,
222
2
,
2
2
,
224
2
,
6
=+Γ
∂
∂
−
∂
∂
−
++
+++−
+
∂
∂
−
++
+
++
−−−
+
∂
∂
−
++
+++−
κρ
θρ
ρρδδ
ρρδρρ
ρ
ρ
ρρδδ
ρ
ρρδδ
ρρδρ
ρ
ρρδδ
ρρδρρ
ρθ
ρθθ
ρθ
ρθ
ρθρθ
ρθ
ρθρ
o
t
w
w
C
ww
www
w
C
ww
ww
www
w
C
ww
www
(5.9)
Para a análise não linear, aproxima-se o campo de deslocamentos
transversais w pela Equação (5.5) e utiliza-se o método de Galerkin para se obter
as equações diferenciais ordinárias não lineares no domínio do tempo.
Estuda-se as vibrações associadas à menor freqüência natural (m = 1 e
n = 0), resolvendo-se a equação de movimento não linear (5.9). Obtém-se assim a
relação freqüência de vibração-amplitude que é apresentada na Figura 5.4 para
diferentes valores do coeficiente de variação da massa específica κ.
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
Figura 5.4 - Relação freqüência (rad/s)-amplitude (m) para vibração livre da membrana
circular com diferentes valores de κ.
Na Figura 5.5 ilustra-se a relação freqüência de vibração - amplitude modal
para diferentes valores da coeficiente de tração radial para κ = 0.5.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 107
Figura 5.5 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da membrana
circular com diferentes valores de δ (κ = 0.5).
Observa-se nas Figura 5.4 e 5.5 o mesmo comportamento hardening, maior
para as menores amplitudes de vibração e tendendo a um valor constante nas
grandes amplitudes de vibração, em todos os casos apresentados. Esse valor
constante da freqüência de vibração refere-se ao valor da freqüência quando a
coeficiente de tração radial tende a infinito.
Verifica-se, também, que a membrana menos tracionada exibe uma resposta
altamente não linear e que essa não linearidade diminui com o aumento do
coeficiente de tração radial e a resposta fica praticamente linear para um raio
tracionado igual a duas vezes o raio indeformado, como já foi observado no
capítulo 4.
Além disso, observa-se que a variação da massa específica não influencia no
tipo do comportamento não-linear da membrana circular. Para uma variação com
aumento da massa específica, ao longo da direção radial (κ > 0), os valores das
freqüências de vibração diminuem deslocando a curva para a esquerda. Enquanto
que, para uma variação com diminuição da massa específica na direção radial
(κ < 0) os valores das freqüências de vibração aumentam deslocando a curva para
a direita.
Na Figura 5.6 mostra-se a relação normalizada freqüência-deslocamento da
membrana para um ponto de coordenadas (0; 0.5) da membrana indeformada. A
freqüência de vibração foi normalizada com relação à freqüência natural de cada
caso. Novamente observa-se que quanto mais tracionada a membrana menor o
grau de não-linearidade da resposta.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 108
Figura 5.6 - Relação normalizada freqüência (rad/s) - deslocamento transversal (m) da
membrana circular (κ = 0.5).
A relação freqüência – deslocamento também é obtida a partir da resposta
no tempo, encontrada por elementos finitos, e utilizando a metodologia proposta
por Nandakumar e Chatterjee (2005). Essa relação é favoravelmente comparada
com a relação obtida analiticamente para um ponto de coordenadas (0.5; 0) da
membrana indeformada, para duas variações da massa específica. Esses resultados
são apresentados na Figura 5.7.
Para a solução por elementos finitos é utilizado um modelo com uma malha
com 2880 elementos de casca S4R e S3 que gera um sistema com 8643 equações.
κ = 0.5 κ = -0.5
Figura 5.7 - Relação freqüência de vibração (rad/s)-deslocamento transversal (m)
(δ = 1.1).
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 109
5.2.
Variação da espessura na direção radial da membrana circular
Para a membrana com espessura variável considera-se uma variação na
direção radial da configuração indeformada da seguinte maneira:
2
)(
ηρ
ρ
ehh
o
=
(5.10)
onde h
o
é um valor de referência e η é uma constante que descreve a variação da
espessura ao longo do raio indeformado. Quando η > 0 tem-se que a espessura
cresce do centro para o bordo e decresce quando η < 0, como pode ser observado
na Figura 5.8.
Figura 5.8 – Variação da espessura normalizada ao longo da direção radial da membrana
(Equação (5.10)).
5.2.1.
Análise estática
Neste caso não há solução exata para a equação não-linear de equilíbrio. A
solução estática da membrana com espessura variável sob deslocamento radial
uniforme é obtida de forma aproximada através da integração numérica das
equações (3.36) e (3.37), atendendo as condições de contorno (3.38) e (3.39).
As componentes de deslocamento estático circunferencial e transversal, β
0
e
z
o
respectivamente, são nulas.
Para a solução via método dos elementos finitos, utiliza-se, no programa
comercial Abaqus®, 1440 elementos sólidos tri-dimensionais C3D8RH e C3DH
que gera um sistema com 10086 equações. Ressalta-se que os resultados obtidos
com os elementos sólidos foram comparados com resultados utilizando elementos
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 110
de membrana apresentando bons resultados. Optou-se pelo uso dos elementos
sólidos para melhor representar a variação da espessura ao longo do raio da
membrana.
Dessa forma, obtém-se a configuração tracionada da membrana circular para
diferentes valores do coeficiente de tração radial (δ). Na Figura 5.9 apresenta-se a
variação do comprimento radial tracionado obtido pela integração numérica (IN) e
pelo método dos elementos finitos (MEF), para membranas circulares com três
valores de δ e coeficiente de variação da espessura η = 0.5.
Figura 5.9 – Variação do comprimento radial tracionado da membrana circular com
espessura variável (η = 0.5).
Para visualizar a influência da variação radial da espessura no raio
tracionado (r
o
), apresenta-se na Figura 5.10 a variação do deslocamento radial
após a aplicação da tração radial na membrana circular para diferentes valores do
coeficiente de variação da espessura. Os valores apresentados são os obtidos pela
integração numérica.
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
Figura 5.10 – Variação do deslocamento radial (m) da membrana circular com espessura
variável para diferentes valores de η.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 111
Observa-se que a variação de r
o
(
ρ
) é levemente parabólica. A função que
representa a variação da coordenada radial tracionada é então determinada através
do método dos mínimos quadrados, sendo dada por:
ρρρρρ
4
2
3
3
2
4
1
)( aaaar
o
+++=
(5.11)
onde a
i
são constantes que dependem da configuração tracionada da membrana.
As membranas circulares apresentadas na Figura 5.10 possuem as seguintes
distribuições radiais:
75.0
=
η
+
+
−
=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
123.1002.0035.0010.0)(
234
50.0
=
η
+
+
−
=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
123.1002.0035.0010.0)(
234
50.0
−
=
η
+
+
−
=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
078.1005.0004.0012.0)(
234
1.1
=
δ
75.0
−
=
η
+
+
−
=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
067.1013.0009.0028.0)(
234
(5.12)
75.0
=
η
+
+
−
=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
705.1029.0369.0134.0)(
234
50.0
=
η
+
+
−
=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
637.1017.0218.0064.0)(
234
50.0
−
=
η
+
+
−
=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
367.1032.0021.0080.0)(
234
5.1
=
δ
75.0
−
=
η
+
+
−
=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
303.1081.0071.0186.0)(
234
(5.13)
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 112
75.0
=
η
+
+
−
−=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
347.2046.0564.0171.0)(
234
50.0
=
η
+
+
−
−=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
233.2023.0336.0080.0)(
234
50.0
−
=
η
+
+
+
−=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
764.1036.0104.0096.0)(
234
0.2
=
δ
75.0
−
=
η
+
+
+
−=
oooo
o
RRRR
r
ρρρρ
ρ
647.1087.0039.0225.0)(
234
(5.14)
Substituindo a equação de r
o
(ρ), dada em (5.11), nas equações das tensões
principais σ
1
e σ
2
, dadas em (3.30) e (3.31), obtém-se uma expressão analítica
aproximada (AN) para as tensões. Essa expressão, juntamente com as soluções
obtidas pela integração numérica (IN) e por elementos finitos (MEF) são
favoravelmente comparadas na Figura 5.11 para uma membrana circular com
δ = 1.10 e diferentes valores do coeficiente de variação da espessura.
Observa-se na Figura 5.11 que as tensões principais variam de forma
parabólica e que, para uma variação com aumento da espessura, ao longo da
direção radial (η > 0), os valores das tensões principais diminuem. Enquanto que,
para uma variação com diminuição da espessura na direção radial (η < 0) os
valores das tensões principais aumentam. Finalmente observa-se que, quanto
maior é a variação de η, maior é a variação das tensões ao longo da direção radial.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 113
σ
1
σ
2
Figura 5.11 – Tensões principais (N/m
2
) da membrana circular tracionada com espessura
variável para diferentes valores de η. (δ = 1.10).
Na Figura 5.12 apresentam-se os valores da espessura da membrana circular
tracionada obtidos por integração numérica e por elementos finitos considerando
diferentes valores do coeficiente de variação da espessura e δ = 1.10. Apresenta-se
também uma expressão analítica aproximada para a espessura obtida a partir da
substituição da aproximação de r
o
(ρ) (5.11) em )/(
,
ρ
ρ
oo
rrhH = , obtida através
de (3.22) e (3.8) .
Observa-se em todos os casos apresentados uma boa conformidade entre os
resultados obtidos. Assim, a aproximação analítica é usada para a dedução das
equações de movimento.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 114
Figura 5.12 – Espessura (m) da membrana circular tracionada com espessura variável
para diferentes valores de η. (δ = 1.10)
5.2.2.
Análise linear da vibração livre
Para a análise linear da vibração livre, parte-se da equação de movimento
linear na direção transversal da membrana dada em (3.45) que, para a membrana
circular com a variação da espessura, é dada pela seguinte equação diferencial
parcial com coeficientes variáveis:
0
),,(
),,(
2
223
4
1
),,(1),,(
12
2
2
24
3
33
2
2425
2
2
2
42
2
22
2
24
2
1
=
∂
∂
Γ+
+
∂
∂
−
′
+
′
−
′
+
′
′′
−−+
+
∂
∂
′
+−
+
∂
∂
′
+−
t
tw
tw
rrrrrrrr
r
tw
rr
tw
rr
C
oooooooo
o
oooo
θρ
ρ
θρ
ρη
ηρρρ
ρ
ρ
θ
θρρ
ρρ
θρρ
(5.15)
onde r
o
(ρ) é dado por (5.11).
Como apresentado para vibração livre da membrana com variação da massa
específica, a solução da equação de movimento linear (5.15) é obtida resolvendo a
equação diferencial parcial pelo método de separação das variáveis ρ, θ e t na
equação (5.15) e tem-se que o deslocamento transversal w escrito em função
dessas variáveis como apresentado em (5.3).
Substituindo (5.3) em (5.15) obtém-se a seguinte equação de movimento
linear, em função da direção radial, similar a equação diferencial Whittaker
(Abramowitz e Stegun, 1972):
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 115
0)(
2
)(
2
223
4
1)(
1
2
2
42
22
1
2
24
3
33
2
2425
2
2
2
24
2
=
+
′
−
Γ
+
−
′
+
′
−
′
+
′
′′
−−+
′
+−
ρ
ρ
ρ
ω
ρ
ρ
ρη
ηρρρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
G
n
rr
n
C
d
Gd
rrrrrrrr
r
d
Gd
rr
oo
mn
oooooooo
o
oo
(5.16
)
Utilizando a solução da equação diferencial de Whittaker (Abramowitz e
Stegun, 1972) juntamente com as condições de contorno do problema obtém-se a
seguinte expressão para o deslocamento transversal da membrana circular:
)cos()cos(;
2
;
42
1
),,(
2
tn
n
B
b
MAtw
mn
mn
nmn
ωθηρ
η
θρ
Γ
+
−
=
(5.17)
sendo:
(
)
( )
( )
242
1
33
)(2
)(
ooofo
oof
RRrRRC
RrR
B
−
′
′
=
(5.18)
onde A
mn
corresponde à amplitude modal; M
n
, à função hipergeométrica
confluente Whittaker M apresentada em (5.7); m, ao número de semi-ondas
radiais; n, ao número de ondas circunferenciais; b
mn
, ao m-ésimo valor positivo
onde a função Whittaker com
o
R=
ρ
é nula; ω
mn
à freqüência de vibração e
)()(
o
o
oo
R
d
dr
Rr
ρ
=
′
.
Substitui-se o deslocamento transversal (5.17) na equação de movimento
(5.15), aplica-se o método de Galerkin e pela solução de um problema de auto-
valor obtém-se as freqüências naturais da membrana circular com espessura
variável.
Como dito anteriormente, os deslocamentos radial u e circunferencial v são
desprezíveis em relação ao deslocamento transversal w, sendo suas contribuições
em termos de inércia e rigidez desprezadas na análise das vibrações transversais
da membrana.
Para a solução via método dos elementos finitos, utiliza-se a mesma malha
empregada na análise estática, com elementos sólidos tri-dimensionais C3D8RH e
C3DH. Os resultados analíticos (AN) e obtidos por elementos finitos (MEF) são
comparados na Tabela 5.3
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 116
Tabela 5.3 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana circular com
espessura variável na direção radial.
η = −0.75
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 17,448 17,691 25,400 25,025 25,987 25,914
1 1 29,763 29,472 42,314 42,738 44,096 44,866
1 2 40,722 40,217 58,421 58,464 61,023 61,349
η = −0.5
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 18,743 18,416 26,253 26,234 27,166 27,163
1 1 30,434 30,225 43,434 43,743 45,080 45,650
1 2 41,349 40,959 59,376 59,360 61,739 61,955
η = 0.5
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 21,056 20,860 30,787 30,711 32,190 32,166
1 1 31,986 32,141 47,242 46,760 49,712 48,806
1 2 42,331 42,381 62,125 61,605 65,172 64,259
η = 0.75
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 21,193 21,345 32,800 32,662 33,565 33,429
1 1 32,109 32,358 47,962 47,763 50,995 49,681
1 2 42,244 42,389 62,503 62,086 65,388 64,974
Apresenta-se na Figura 5.13 a variação da freqüência de vibração ω
10
com o
coeficiente de tração radial (δ) da membrana para três diferentes leis de variação
da espessura. Como nos casos anteriores, observa-se um grande aumento na
freqüência natural para pequenos valores de δ e que a curva tende ao valor
constante da quando
∞
→
δ
.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 117
Figura 5.13 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de
tração radial δ para diferentes leis de variação da espessura da membrana circular.
Na Figura 5.14 apresenta-se a influência do coeficiente de variação
espessura (η) nas freqüências de vibração. Observa-se um aumento na freqüência
natural com o aumento do valor do coeficiente de variação da espessura η. Isso
ocorre devido ao aumento da espessura para valores crescentes de η e,
conseqüentemente, da rigidez da membrana, o que proporciona um aumento da
freqüência de vibração. Além disso, verifica-se também que, para valores de δ
maiores que dois, a curva já é bem próxima da curva limite superior com
∞
→
δ
.
Figura 5.14 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de
variação da espessura, η.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 118
5.2.3.
Análise não linear da vibração livre
Como nos casos anteriores, com base nos resultados obtidos por elementos
finitos, na análise das vibrações não lineares da membrana circular os
deslocamentos u e v são desprezados e a equação de movimento não linear na
direção transversal da membrana circular com espessura variável se reduz a:
02
2
2
,,,
=
∂
∂
Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
t
w
z
W
z
W
z
W
ρρ
θ
ρ
ρ
ρη
θρρ
(5.19)
Para a análise não linear aproxima-se a resposta não linear pela expressão
(5.17) e utiliza-se o método de Galerkin-Urabe para se obter a relação freqüência
de vibração-amplitude associada à menor freqüência natural (m = 1 e n = 0).
Essa relação é apresentada na Figura 5.15 para diferentes valores do
coeficiente de variação da espessura η. Observa-se que para valores crescentes de
η as freqüências de vibração aumentam deslocando a curva para a direita.
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
Figura 5.15 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da membrana
circular com diferentes valores de η.
Na Figura 5.16 ilustra-se a relação freqüência de vibração - amplitude modal
para diferentes valores de δ com η = 0.5.
Observa-se nas Figura 5.15 e 5.16 que a variação da espessura não
influencia no tipo do comportamento da membrana circular, apresentando o
mesmo comportamento hardening, maior para as menores amplitudes de vibração
e tendendo a um valor constante nas grandes amplitudes de vibração. Esse valor
constante da freqüência de vibração refere-se ao valor da freqüência quando a δ
tende ao infinito. Além disso, observa-se que a não linearidade diminui com o
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 119
aumento do coeficiente de tração radial e que a resposta fica praticamente linear
para um raio tracionado igual a duas vezes o raio indeformado (δ = 2.0).
Figura 5.16 - Relação freqüência (rad/s)-amplitude (m) para vibração livre da membrana
circular com diferentes valores de δ (η = 0.5).
Na Figura 5.17 mostra-se a relação normalizada freqüência-deslocamento da
membrana para um ponto de coordenadas (0; 0.5) da membrana indeformada. A
freqüência de vibração foi normalizada com relação à freqüência natural de cada
caso. Novamente observa-se que, quanto mais tracionada a membrana, menor o
grau de não-linearidade da resposta.
Figura 5.17 - Relação normalizada freqüência-deslocamento transversal (m) da membrana
circular (η = 0.5).
A relação normalizada freqüência – deslocamento transversal da membrana
para diferentes valores de η e com δ = 1.1 é apresentada na Figura 5.18. Observa-
se que para pequenos deslocamentos as curvas com diferentes valores de η se
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 120
sobrepõe e que para grandes deslocamentos a não linearidade aumenta levemente
para valores crescentes de η.
Figura 5.18 - Relação normalizada freqüência (rad/s) – deslocamento transversal da
membrana circular (δ = 1.1).
A relação freqüência-deslocamento também é encontrada a partir da
resposta no tempo obtida por elementos finitos juntamente com o metodologia
proposta por Nandakumar e Chatterjee (2005) e é favoravelmente comparada com
a relação obtida analiticamente, para um ponto de coordenadas (0.5; 0) da
membrana indeformada, para duas variações da massa específica (η = ±0.5).
Esses resultados são apresentados na Figura 5.19.
η = 0.5 η = -0.5
Figura 5.19 - Relação freqüência de vibração (rad/s) - deslocamento transversal (m) para
dois valores de η (δ=1.10).
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 121
Como a membrana circular com coeficiente de variação da espessura
η = 0.5 possui a mesma massa total que a membrana circular com coeficiente de
variação de massa específica κ = 0.595, comparam-se as suas relações
normalizadas freqüência-deslocamento na Figura 5.20. A freqüência de vibração
foi normalizada com relação à freqüência natural de cada caso e o deslocamento
apresentado é no ponto de coordenadas (0.5; 0) da membrana indeformada.
Figura 5.20 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m) da
membrana circular com variação de espessura e massa específica.
Observa-se que, apesar da massa da membrana ser a mesma, os resultados
não se sobrepõem, mas apresentam valores bem próximos e o mesmo
comportamento global.
5.2.4.
Análise não linear da vibração forçada
Na análise das vibrações forçadas considera-se a vibração transversal
axissimétrica provocada por uma pressão excitadora uniforme dependente do
tempo P(t). Além disso, da mesma forma que na vibração livre não linear, os
campos de deslocamentos radial u e circunferencial v são desprezíveis em relação
ao campo de deslocamento transversal w.
Dessa maneira, a equação de movimento não linear da membrana circular
com espessura variável na direção transversal sob vibração forçada axissimétrica é
dada por:
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 122
0)(2
2
2
,,,
=−
∂
∂
−
∂
∂
Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
ρ
ζρρ
θ
ρ
ρ
ρη
θρρ
d
dr
rtP
t
w
C
t
w
z
W
z
W
z
W
o
oc
(5.20)
onde a pressão excitadora é
)cos()( tPtP
o
Ω=
.
Como a vibração axissimétrica transversal é associada ao primeiro modo
axissimétrico (n = 0 e m = 1), utiliza-se o deslocamento transversal (5.17).
Para obtenção dos resultados numéricos, consideram-se a força com
amplitude de excitação P
o
= 1 N/m
2
. A relação freqüência de vibração – amplitude
é apresentada na Figura 5.21 para diferentes valores do coeficiente de variação da
espessura η.
Figura 5.21 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração forçada da
membrana circular com diferentes valores de η (δ = 1.1).
As curvas de ressonância para diferentes valores de δ são apresentadas na
Figura 5.22 para uma variação da espessura com η = 0.5. Observa-se que, para um
dado valor de η, as curvas tendem a um mesmo valor constante para grandes
amplitudes de vibração.
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 123
(a) Amplitude (b) Deslocamento transversal
Figura 5.22 – Curva de ressonância para a vibração forçada da membrana circular com
espessura variável com diferentes δ. (η = 0.5)
O método de continuação é utilizado para o cálculo dos diagramas de
bifurcação do mapa de Poincaré da membrana circular tracionada que são
apresentadas na Figura 5.23, para uma membrana com coeficiente de tração radial
δ = 1.1, amplitude da excitação P
o
= 1 N/m
2
e três diferentes valores de η.
Figura 5.23 – Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da freqüência de excitação Ω (rad/s) (P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; δ = 1.1).
Observa-se que dependendo do valor de P
o
e Ω, a membrana pode exibir
uma ou três respostas e que os ramos estáveis e instáveis estão conectados por
bifurcações do tipo nó-sela (NS nas figuras).
Na Figura 5.24 apresentam-se os diagramas de bifurcação do mapa de
Poincaré para valores crescentes de P
o
. Observa-se que, para valores crescentes da
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 124
magnitude da carga, a não-linearidade da solução aumenta e que todos os casos
apresentam o mesmo tipo de comportamento hardening.
(a) η = 0.5 (b) η = -0.5
Figura 5.24 – Diagrama de bifurcação. Amplitude de vibração A
10
(m) como função da
freqüência de excitação Ω (rad/s) (ζ = 0.05; δ = 1.1)
Na Figura 5.25 apresenta-se o diagrama de bifurcação em função da
amplitude da excitação P
o
para valores selecionados de Ω na região principal de
ressonância e dois valores de η. Observam-se em cada caso duas bifurcações do
tipo nó-sela e que, para o caso onde η = -0.5, a não-linearidade da resposta é
menor, levando a uma menor faixa de P
o
onde se observa multiplicidade de
soluções.
(a) Ω = 22 rad/s; η = 0.5 (b) Ω = 19 rad/s; η = -0.5
Figura 5.25 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da excitação P
o
(N/m
2
) (ζ = 0.05; δ = 1.1).
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 125
Na Figura 5.26 apresentam-se diagramas de bifurcação em função da
amplitude da excitação, para diferentes valores de amortecimento. Observa-se que
o amortecimento influencia na multiplicidade das soluções e nos saltos entre as
soluções estáveis co-existentes diminuindo, com o aumento do amortecimento as
regiões onde isso pode ocorrer.
(a) Ω = 22 rad/s; η = 0.5 (b) Ω = 19 rad/s; η = -0.5
Figura 5.26 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de amortecimento.
Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da excitação P
o
(N/m
2
)
(δ = 1.1)
Na Figura 5.27 apresenta-se diagramas de bifurcação em função da
amplitude da excitação para diferentes valores da freqüência da excitação para a
membrana com δ = 1.1 e dois valores de η (±0.5).
(a) η = 0.5 (b) η = -0.5
Figura 5.27 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de excitação.
Coordenada de Poincaré A
10
em função da amplitude da excitação P
o
. (δ = 1.1; ζ = 0.05)
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Membrana circular com massa específica e espessura variável 126
Observa-se na Figura 5.27 que para os valores das freqüências de excitação
na região principal de ressonância há duas soluções estáveis e uma instável para
uma grande faixa de P
o
. Para valores da freqüência de excitação distantes da
região de ressonância só é observada uma resposta (estável).
A Figura 5.28 ilustra as das bacias de atração para valores de parâmetros
escolhidos de tal modo que a resposta permaneça na região principal de
ressonância onde ocorrem três soluções. A Figura 5.28 corresponde à projeção da
bacia de atração no plano fase
1010
AxA
&
e as cores diferentes correspondem aos
atratores distintos realçados nas bacias de atração pela cruz negra.
A cor cinza escuro corresponde à bacia de atração da oscilação de grande
amplitude e a cor cinza claro corresponde à oscilação de pequena amplitude.
Nota-se que na região principal de ressonância para a membrana com η = -0.5 a
maioria das condições iniciais conduz a soluções que convergem ao atrator de
grande amplitude, o que não ocorre para a membrana com η = 0.5.
(a) Ω = 22 rad/s; η = 0.5 (b) Ω = 19 rad/s; η = -0.5
Figura 5.28 – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
1010
AxA
&
(P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; δ = 1.1).
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6
Membrana hiperelástica anular
Neste capítulo apresenta-se o estudo de uma membrana hiperelástica de
geometria anular. Para isso, se considera na formulação apresentada anteriormente
no terceiro capítulo um raio indeformado interno
ρ
o
diferente de zero e que a
membrana está inicialmente fixa ao longo deste bordo interno.
Inicialmente, adota-se a simplificação da espessura considerando-a
constante e avaliam-se a resposta estática e as vibrações lineares e não lineares.
Posteriormente, considera-se a variação radial da massa específica e da espessura,
e avalia-se a sua influência nas respostas da membrana hiperelástica anular.
6.1.
Membrana anular de espessura constante
6.1.1.
Análise estática
Por ser a equação diferencial da membrana, apresentada anteriormente em
(3.34), altamente não-linear utiliza-se a integração numérica para a resolução
deste sistema. Assim, o sistema de equações de primeira ordem, apresentado em
(3.36) e (3.37) é utilizado juntamente com as condições de contorno (3.38) e
(3.39) na resolução do problema através da integração numérica.
Para os resultados numéricos considera-se uma membrana de raio externo
indeformado R
o
= 1 m, espessura indeformada h = 0.001m e dois valores do raio
interno ρ
o
= 0.2 m e ρ
o
= 0.3 m. O material da membrana é o mesmo considerado
anteriormente.
Para a solução via método dos elementos finitos, utiliza-se, no programa
comercial Abaqus®, elementos de membrana M3D4R e M3D3. Após a análise de
convergência em termos das tensões principais discretiza-se a membrana anular
com uma malha elementos de comprimento L
ele
< 0.028 R
o
. Isso gera para a
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Membrana hiperelástica anular 128
membrana com raio interno ρ
o
= 0.2 m uma malha de 9789 elementos e para a
membrana com ρ
o
= 0.3 m uma malha de 7070 elementos.
Dessa forma, obteve-se a configuração tracionada da membrana anular para
diferentes valores do coeficiente de tração radial (δ). Na Figura 6.1 apresenta-se a
variação do comprimento radial tracionado obtido pela integração numérica (IN) e
pelo método dos elementos finitos (MEF), para três diferentes valores de
deslocamento aplicado.
ρ
o
= 0.2 m ρ
o
= 0.3 m
Figura 6.1 – Variação do comprimento radial tracionado da membrana anular.
Após obter a configuração tracionada da membrana através da integração
numérica, a coordenada radial tracionada da membrana anular pode ser
aproximada pelo método dos mínimos quadrados como:
EDCBAr
o
++++=
ρρρρρρ
22
log)log()(
(6.1)
onde A, B, C, D e E são constantes que dependem da propriedades da membrana
anular tracionada.
As membranas anulares apresentadas na Figura 6.1 possuem as seguintes
coordenadas radiais tracionadas em função da coordenada indeformada ρ:
• ρ
o
= 0.2 m
1.1
=
δ
084.0905.0111.0)log(066.0)log(045.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
(6.2)
5.1
=
δ
423.0529.0559.0)log(331.0)log(231.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
(6.3)
0.2
=
δ
760.0252.0987.0)log(580.0)log(426.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
(6.4)
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Membrana hiperelástica anular 129
• ρ
o
= 0.3 m
1.1
=
δ
158.0754.0187.0)log(104.0)log(093.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
(6.5)
5.1
=
δ
791.0228.0937.0)log(522.0)log(468.0)(
22
+−+−=
ρρρρρρ
o
r
(6.6)
0.2
=
δ
387.1997.0609.1)log(887.0)log(854.0)(
22
+−+−=
ρρρρρρ
o
r
(6.7)
Os valores das tensões principais
σ
1
e
σ
2
, obtidos para a membrana anular
através das equações (3.30) e (3.31) e por elementos finitos, são apresentados na
Figura 6.2. Observa-se que, quanto mais tracionada a membrana, maior a variação
das tensões principais e que, os valores da tensão principal σ
1
diminuem ao longo
do coordenada radial indeformada, enquanto a variação de σ
2
ao longo da
coordenada radial indeformada é crescente.
ρ
o
= 0.2
ρ
o
= 0.3
Figura 6.2 – Tensões principais (N/m
2
) para a membrana anular tracionada de espessura
indeformada constante.
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Membrana hiperelástica anular 130
Ressalta-se que, tanto pelos resultados numéricos quanto pelas equações
analíticas, se observou que as tensões principais para a membrana anular
tracionada (σ
1
e σ
2
) e a coordenada radial tracionada (r
o
) independem da
espessura da membrana indeformada.
Observa-se em todos os casos apresentados uma boa conformidade entre os
resultados obtidos analiticamente e pelo método dos elementos finitos.
6.1.2.
Análise linear da vibração livre
Para a análise linear, parte-se da equação de movimento na direção
transversal da membrana (3.48) na qual é substituído o raio da membrana
tracionada (6.1), obtendo-se a seguinte equação de movimento linear:
0
),,(
2
),,(
)loglog(
1
*
)2log2(
1
),,(
)loglog(
1
*
)2log2(
2
)loglog(
1
*
)2log2(
3
)loglog(
)23log2(
*
)2log2(
41
),,(
)loglog(
1
*
)2log2(
1
2
2
1
2
2
422
2
2
2
322
3
2
222
4
222
2
5
2
2
2
222
4
2
=
∂
∂
Γ
+
∂
∂
++++
++++
+−
+
∂
∂
++++
++++
−
+
++++
++++
+
+
++++
+++−
++++
−−
+
∂
∂
++++
++++
+−
t
tw
C
tw
EDCBA
DCBBA
tw
EDCBA
DCBBA
EDCBA
DCBBA
EDCBA
CBBA
DCBBA
tw
EDCBA
DCBBA
θρ
θ
θρ
ρρρρρ
ρρρρρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρρρρρ
ρρρρρ
ρ
ρρρρρ
ρρρρρ
ρ
ρρρρρ
ρρ
ρρρρρ
ρ
ρ
ρ
θρ
ρρρρρ
ρρρρρ
ρ
(6.8)
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Membrana hiperelástica anular 131
Para a solução do problema, partiu-se da semelhança entre a equação (6.8) e
a equação clássica de ondas (Kreyszig, 2006). Considerando que os termos em
função de ρ que acompanham o deslocamento transversal w em (6.8) representam
uma tensão S atuante na direção radial e podem ser aproximados por esta tensão, a
equação (6.8) pode ser aproximada por:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Γ
=
∂
∂
2
2
22
2
2
2
),,(1),,(1),,(),,(
θ
θρ
ρ
ρ
θρ
ρ
ρ
θρθρ
twtwtwS
t
tw
(6.9)
A equação (6.9) é similar à equação clássica de ondas que pode ser resolvida
utilizando a separação das variáveis ρ, θ e t (Kreyszig, 2006) juntamente com as
condições de contorno do problema. Então o deslocamento transversal pode ser
descrito como )()()(),,( tYQGtw
θ
ρ
θ
ρ
=
e, a equação (6.9) torna-se:
++=
Γ
θθρρρ
θρ
ρ
θρ
ρ
θρ
,
2
,,
)()(
1
)()(
1
)()(
)(
)(
QGQGQG
StY
tY
&&
(6.10)
Resolvendo a equação (6.10) (Kreyszig, 2006) tem-se que, o deslocamento
transversal w(ρ, θ, t) pode ser aproximado pela solução da equação clássica de
ondas dada por:
)cos()cos(),,( tn
R
Y
R
JCAtw
o
mn
n
o
mn
nmn
ωθ
ρρ
θρ
Λ
−
Λ
=
(6.11)
onde:
(
)
( )
mnn
mnn
J
Y
C
Λ
Λ
=
( ) ( )
ΛΛ−Λ
Λ=Λ
mn
o
o
nmnnmnnmn
o
o
nmnm
R
YJY
R
JL
ρρ
)(
(6.12)
e A
mn
corresponde à amplitude modal; J
n
é a função Bessel de primeiro tipo de
ordem n; Y
n
é a função Bessel de segundo tipo de ordem n; m, o número de semi-
ondas radiais; n, o número de ondas circunferenciais; Λ
mn
é a m-ésima raiz de
L
m
(Λ
mn
); R
o
é o raio da membrana indeformada; t é o tempo e ω
mn
é a freqüência
de vibração.
Na Figura 6.3 compara-se favoravelmente o deslocamento transversal
apresentado em (6.11) com o resultado obtido por elementos finitos para a
membrana anular com δ = 1.1, ρ
o
= 0.2 m.
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Membrana hiperelástica anular 132
Figura 6.3 – Deslocamento transversal (m) da membrana anular pré-tensionada em
vibração livre em um certo tempo t (δ = 1.1, ρ
o
= 0.2 m).
Substituindo o deslocamento transversal (6.11) na equação de movimento
(6.8), obtém-se a seguinte expressão para a freqüência natural da membrana
anular:
( )
′
−
Γ
Λ=
4
2
2
1
)(
1
1
2
ooo
mnmn
RrR
C
δ
ω
(6.13)
Considerando o limite de
∞
→
δ
, conclui-se que, quando o raio tracionado
aumenta, as freqüências convergem para:
Γ
Λ=
∞→
2
1
)(
2
o
mnmn
R
C
δ
ω
(6.14)
Sendo este um limite superior para a freqüência ω
mn
.
Na Figura 6.4 são mostrados os espectros de freqüência de vibração para
valores selecionados de n e variando-se o número de semi-ondas radiais, m. Estes
espectros são calculados analiticamente, para a membrana anular com ρ
o
= 0.2 m e
diferentes níveis de tração. Observa-se que, para cada valor de n, a variação das
freqüências de vibração em relação ao número de semi-ondas radiais é linear e
que a menor freqüência de vibração ocorre para uma combinação de ondas m = 1
e n = 0 (modo axissimétrico).
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Membrana hiperelástica anular 133
δ = 1.1 δ = 1.5
δ = 2.0
Figura 6.4 - Espectro das freqüências naturais (rad/s) da membrana anular. Freqüência
natural em função de m (ρ
o
= 0.20 m).
Na Figura 6.5 ilustra-se, novamente, os espectros da freqüência de vibração,
porém variando o número de ondas circunferenciais, n. Observa-se que a variação
das freqüências em relação ao número de ondas circunferenciais é levemente não
linear.
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Membrana hiperelástica anular 134
δ = 1.1 δ = 1.5
δ = 2.0
Figura 6.5 - Espectro das freqüências naturais (rad/s) da membrana anular. Freqüência
natural em função de n (ρ
o
= 0.20 m).
Para a solução via método dos elementos finitos, utiliza-se a mesma malha
utilizada na análise estática. Os resultados analíticos (AN) e obtidos por elementos
finitos (MEF) são comparados na Tabela 6.1.
Na Figura 6.6 apresenta-se uma variação da freqüência de vibração com o
coeficiente de tração radial (δ) da membrana para três modos de vibração.
Observa-se que, para pequenos valores de δ ocorre um grande aumento na
freqüência natural e que, a curva tende a um valor constante para maiores valores
da razão de tração radial. Esse comportamento é observado para todos modos de
vibração com diferentes combinações de ondas (m e n).
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Membrana hiperelástica anular 135
Tabela 6.1 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) da membrana anular.
ρ
ο
= 0.20 m
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 32.307 32.512 45.561 45.716 47.113 47.431
1 1 34.751 35.725 50.293 50.788 52.244 52.513
1 2 42.840 43.491 62.000 62.349 64.406 64.615
ρ
ο
= 0.30 m
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 38.200 38.827 53.390 53.465 54.423 54.926
1 1 40.607 40.984 55.873 56.795 58.042 58.440
1 2 46.879 46.796 64.950 65.629 67.471 67.725
ρ
ο
= 0.20 m ρ
ο
= 0.30 m
Figura 6.6 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de
tração radial da membrana anular.
Já na Figura 6.7 apresenta-se a relação entre a freqüência de vibração e δ
para o primeiro modo de vibração (m = 1 e n = 0), considerando diferentes valores
do raio interno, ρ
o
. Verifica-se que quanto maior o raio interno, maior o valor da
freqüência e que o mesmo tipo de comportamento é observado quando se varia δ
independente do valor do raio interno, ρ
ο
.
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Membrana hiperelástica anular 136
Figura 6.7 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de
tração radial para diferentes valores do raio interno da membrana anular.
A relação entre a freqüência de vibração e o raio interno indeformado (R
o
) é
apresentada na Figura 6.8. Verifica-se que, para valores pequenos do raio
indeformado, ocorre uma rápida diminuição da freqüência de vibração e que a
curva tende a valores constantes à medida que R
o
cresce. Esse comportamento é
observado para diferentes valores do raio interno.
Figura 6.8 - Variação de freqüência de vibração (rad/s) em função do raio indeformado,
R
o
(m).
Três dos modos de vibração da membrana anular são apresentados na Figura
6.9. Independente do tamanho do raio interno ρ
o
a configuração do modo (m, n)
de vibração é a mesma.
Ressalta-se que as freqüências lineares de vibração independem da
espessura da membrana anular indeformada (h).
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Membrana hiperelástica anular 137
m = 1; n = 0 m = 1; n = 1 m = 1; n = 2
Figura 6.9 – Modos de vibração da membrana anular (ρ
o
= 0.20 m).
6.1.3.
Análise não linear da vibração livre
A resposta não-linear da vibração livre da membrana sob grandes e
pequenas amplitudes de vibração é obtida utilizando o método dos elementos
finitos. Na Figura 6.10 apresenta-se os deslocamentos da membrana pré-
tensionada sob vibração livre, onde se observa que os deslocamentos radial u e
circunferencial v são desprezíveis em relação ao deslocamento transversal w, tal
como nos casos anteriores.
(a) (b)
Figura 6.10 – (a) Variação dos deslocamentos (m) da membrana circular pré-tensionada
sob grande amplitude de vibração ao longo do raio tracionado. (b) Detalhe dos
deslocamentos radial e circunferencial (δ = 1.1, ρ
o
= 0.2 m).
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Membrana hiperelástica anular 138
Para a análise não linear da membrana anular, parte-se da equação de
movimento não linear na direção transversal da membrana dada em (3.45) e
obtém-se para a vibração livre da membrana anular a seguinte equação:
0
2
2
,,
=
∂
∂
Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
t
w
z
W
z
W
ρρ
θ
ρ
ρ
θρ
(6.15)
Assim, para análise não linear o deslocamento transversal w é aproximado
por um somatório de M modos ortogonais, dado por:
)cos()(),,(
1 0
θ
ρρ
θρ
n
R
Y
R
JCtAtw
o
mn
n
o
mn
n
M
m
N
n
mn
Λ
−
Λ
=
∑ ∑
= =
(6.16)
onde A
m
(t) corresponde à amplitude do deslocamento em função do tempo e C e
Λ
mn
são dados em (6.12).
O método de Galerkin-Urabe é utilizado para resolver as equações de
movimento obtendo-se a relação freqüência-amplitude modal. Estuda-se a
vibração associada à menor freqüência natural (m = 1 e n = 0) que corresponde ao
primeiro modo axissimétrico. Para isso, o deslocamento transversal (6.16) é
aproximado com N = 0 e aumentando o número de modos radiais (M = 1, 2 e 3).
A variação de cada amplitude modal A
i0
em (6.16) é apresentada Figura 6.11
considerando-se um número crescente de modos M para três diferentes valores de
δ para a membrana com raio interno ρ
ο
= 0.20 m.
Os resultados mostram que um modelo reduzido com apenas um grau de
liberdade (expansão 1, com M = 1) é suficiente para se obter respostas corretas
sob grandes deslocamentos. As amplitudes dos modos subseqüentes (A
20
e A
30
)
são muito pequenas quando comparadas com A
10
.
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Membrana hiperelástica anular 139
(a) A
10
(b) A
20
(c) A
30
δ = 1.1
(d) A
10
(e) A
20
(f) A
30
δ = 1.5
(g) A
10
(h) A
20
(i) A
30
δ = 2.0
Figura 6.11 – Variação da freqüência de vibração (rad/s) com a amplitude modal (m),
considerando-se um número crescente de modos em (6.16) (ρ
ο
= 0.20 m).
Na Figura 6.12 ilustra-se a relação freqüência de vibração-amplitude modal
para diferentes valores da razão de tração radial, δ. Observa-se o mesmo
comportamento que ocorre para as membranas circulares.
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Membrana hiperelástica anular 140
ρ
ο
= 0.20 m ρ
ο
= 0.30 m
Figura 6.12 - Relação freqüência (rad/s) - amplitude (m) para vibração livre da membrana
anular com diferentes valores de δ.
Já na Figura 6.13 ilustra-se a relação freqüência de vibração-amplitude
modal para diferentes valores do raio interno da membrana. Observa-se que,
quanto maior o raio interno maiores são as freqüências de vibração para uma dada
amplitude (A
10
) e que o comportamento hardening é observado em todos os casos
apresentados.
Figura 6.13 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da membrana
anular com diferentes valores de ρ
ο
.
No estudo da vibração não-linear pelo método dos elementos finitos, é
utilizado um modelo com uma malha com 576 elementos de casca S4R que gera
um sistema com 1731 equações. Da mesma maneira que para a membrana
circular, o modelo utilizado na análise não linear possui uma discretização menos
refinada que na análise linear devido à dificuldade e ao tempo de processamento
deste tipo de análise.
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Membrana hiperelástica anular 141
Para o cálculo da vibração livre por elementos finitos, excitou-se o primeiro
modo de vibração da membrana anular (n = 0 e m = 1) impondo-se um campo de
deslocamentos inicial igual à solução analítica e obteve-se, para uma dada
amplitude inicial, a resposta no tempo para um sistema levemente amortecido.
A partir desta resposta no tempo e utilizando a metodologia proposta por
Nandakumar e Chatterjee (2005), obtém-se a relação freqüência de vibração-
deslocamento transversal para um ponto qualquer da membrana.
Assim, os resultados obtidos por elementos finitos são comparados com os
resultados obtidos analiticamente utilizando-se os modelos de pequena dimensão
para um ponto de coordenadas (0.5; 0) da membrana indeformada. Esses
resultados são apresentados na Figura 6.14, onde se observa uma boa
concordância.
δ = 1.1 δ = 1.5
ρ
o
= 0.20 m
δ = 1.1 δ = 1.5
ρ
o
= 0.30 m
Figura 6.14 - Relação freqüência de vibração (rad/s) - deslocamento transversal (m).
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Membrana hiperelástica anular 142
Cabe ressaltar que a modelagem por elementos finitos considera os
deslocamentos no plano da membrana u e v e seus efeitos inerciais, o que não é
considerado no módulo reduzido.
Na Figura 6.15 apresenta-se o deslocamento transversal da membrana anular
em vibração livre em um tempo t obtido através de elementos finitos. Compara-se
esse resultado com o obtido pela equação (6.16) utilizando apenas o primeiro
modo axissimétrico e a mesma amplitude da resposta numérica. Observa-se que a
equação (6.16) é uma resposta com boa precisão para a vibração livre da
membrana anular.
Figura 6.15 - Deslocamento transversal (m) da membrana anular em vibração livre, em
um tempo t (δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20 m).
A variação da freqüência no intervalo de interesse pode ser melhor
comparada através dos resultados apresentados na Figura 6.16, onde mostra-se a
relação normalizada freqüência-deslocamento da membrana. A freqüência de
vibração foi normalizada com relação à freqüência natural de cada caso e os
resultados apresentados são os obtidos utilizando a formulação analítica.
Observa-se através da Figura 6.16 que, quanto mais tracionada a membrana
menor o grau de não-linearidade da resposta, impondo uma necessidade de maior
precisão nos períodos de tempo utilizados no método dos elementos finitos e,
conseqüentemente, nas freqüências.
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Membrana hiperelástica anular 143
ρ
ο
= 0.20 m ρ
ο
= 0.30 m
Figura 6.16 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m) da
membrana anular.
Na Figura 6.17 apresenta-se a relação freqüência-deslocamento transversal
normalizada variando-se o raio interno ρ
o
. Observa-se o mesmo comportamento
hardening em todos os casos e que as curvas das membranas com raio interno
diferente de zero se sobrepões inicialmente, mas tendem a diferentes valores de
ω/ ω
o
à medida que o deslocamento transversal cresce. Nota-se também que a
membrana anular apresenta inicialmente uma variação mais acentuada da
freqüência com a amplitude quando comparada à membrana sem orifício
(ρ
o
= 0.0), o que implica em um maior grau de não-linearidade.
Figura 6.17 - Relação normalizada freqüência-deslocamento transversal (m) da membrana
anular com diferentes valores do raio interno. (δ = 1.1)
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Membrana hiperelástica anular 144
6.1.4.
Redução do problema pelo método de Karhunen-Loève
A redução do problema da membrana anular pelo método de Karhunen-
Loève é feita para identificar a importância de cada modo da expansão do
deslocamento transversal (6.16) na energia total do sistema. Com isso, pode-se
verificar a participação de cada modo da expansão modal nos modos não lineares
de vibração.
Para isso observam-se as relações freqüência-deslocamento transversal
associadas ao primeiro modo axissimétrico (n = 0 e m = 1), obtidas analiticamente
(expansões 1, 2 e 3) e por elementos finitos, e escolhem-se em virtude da grande
não-linearidade da resposta três trechos distintos da curva para determinar a série
de dados. Assim, para uma melhor representação do comportamento da
membrana, calculam-se expansões que representem o deslocamento transversal
para as membranas utilizando o método de Karhunen-Loève considerando
pequenas, médias e grandes amplitudes de vibração.
Na Figura 6.18 são mostrados os três trechos escolhidos na curva
freqüência-deslocamento transversal para a determinação da série de dados
necessária à decomposição de Karhunen-Loève. Neste estudo utilizam-se as
respostas das membranas com ρ
ο
= 0.20 m inicialmente tracionadas com δ = 1.1.
Figura 6.18 – Trechos da curva freqüência (rad/s) – deslocamento transversal (m) da
membrana em vibração livre para decomposição de Karhunen-Loève (δ = 1.1;
ρ
ο
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 145
Os quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs, para o problema de
vibração livre para a membrana anular são apresentados na Figura 6.19 para cada
um dos três trechos.
POV = 99,74% POV = 0,22% POV = 0,028% POV = 0,00586%
Trecho 1
POV = 99,79% POV = 0,15% POV = 0,0438% POV = 0,00873%
Trecho 2
POV = 99,92% POV = 0,0501% POV = 0,0238% POV = 0,0025%
Trecho 3
Figura 6.19 - Quatro primeiros POMs e seus respectivos POVs para a vibração livre não
linear da membrana anular (δ = 1.1; ρ
o
= 0.2 m).
Os quatro primeiros POMs em cada trecho representam mais de 99,99% da
energia total do sistema. De fato, a maior parte da energia está concentrada no
primeiro modo (POV > 99,74%). A partir destes resultados, pode-se derivar um
modelo reduzido para a análise não linear da membrana e identificar a
importância relativa de cada modo da expansão (6.16).
A Tabela 6.2 apresenta os coeficientes modais para cada POM ilustrado na
Figura 6.19. A principal contribuição para o primeiro POM, que é responsável por
mais de 99,74 % da energia total, é basicamente o primeiro modo axissimétrico
A
10
.
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Membrana hiperelástica anular 146
Tabela 6.2 - Participação dos modos usados na expansão modal dos quatro primeiros
POMs na resposta não linear da membrana anular (δ = 1.1; ρ
ο
= 0.2 m ).
Trecho 1
POM POV A
10
A
20
A
30
A
40
1 99,74% 0.64981 -0.01377 -0.00109 0.00035
2 0,22% 0.15164 -0.72898 0.01031 -0.00142
3 0,028% 0.01361 0.07770 -0.06809 -0.01096
4 0,00586% -0.01721 -0.01608 0.000243 -0.04719
Trecho 2
POM POV A
10
A
20
A
30
A
40
1 99,79% 0.64675 -0.00173 -0.00068 0.00030
2 0,15% 0.04419 -0.01097 -0.06544 -0.00303
3 0,0438% 0.15663 -0.73041 0.01746 -0.00548
4 0,00873 -0.02342 0.04683 -0.01274 -0.02653
Trecho 3
POM POV A
10
A
20
A
30
A
40
1 99,92% 0.64590 -0.00035 -0.00009 0.00006
2 0,0501% 0.15728 -0.58375 -0.02547 -0.00225
3 0,0238% 0.05963 -0.44520 0.06397 0.00498
4 0,0025% -0.01560 -0.02212 -0.01184 -0.03930
Na Figura 6.20 é apresentada a deformada da membrana dada pelo primeiro
POM ilustrados na Figura 6.19. Observa-se que há uma boa concordância entre a
deformada obtida usando a expansão modal (6.16) com um modo (M = 1) e
usando o primeiro POM da expansão de Karhunen-Loève. Portanto, verifica-se
matematicamente que um modelo simples com um grau de liberdade é capaz de
descrever o comportamento não-linear da membrana incluindo grandes
deformações.
Trecho 1 Trecho 2 Trecho 3
Figura 6.20 – Comparação da deformada obtida a partir da expansão (6.16) com o
primeiro POM da expansão de Karhunen-Loève (δ = 1.1; ρ
ο
= 0.2 m).
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Membrana hiperelástica anular 147
6.1.5.
Análise não linear da vibração forçada
Da mesma maneira que para a membrana circular, na análise da vibração
forçada da membrana anular considera-se a vibração transversal axissimétrica
provocada por uma pressão hidrostática uniforme dependente do tempo P(t) e que
os campos de deslocamentos radial u e circunferencial v são desprezíveis em
relação ao campo de deslocamento transversal w.
Dessa maneira, a equação de movimento não linear da membrana anular sob
vibração forçada transversal é dada por:
0)(
2
2
,,
=−
∂
∂
−
∂
∂
Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
ρ
ζρρ
θ
ρ
ρ
θρ
d
dr
rtP
t
w
C
t
w
z
W
z
W
o
oc
(6.17)
onde a pressão excitadora P(t) é a mesma apresentada em (4.28) para a membrana
circular.
Como a vibração axissimétrica transversal é associada ao primeiro modo
axissimétrico (n = 0 e m = 1), aproxima-se o deslocamento transversal pela
expansão (6.16) com N = 0 e aumentando o número de modos radiais (M = 1, 2 e
3).
Para obtenção dos resultados numéricos, considera-se a força com amplitude
excitação P
o
= 1 N/m
2
. A variação das amplitudes modais A
i0
com a freqüência de
vibração é apresentada na Figura 6.21.
Novamente, os resultados mostram que as amplitudes dos modos A
20
e A
30
são muito pequenas quando comparadas com A
10
. A partir destas respostas e da
obtida pelo método de Karhunen-Loevè verifica-se que um modelo reduzido com
apenas um grau de liberdade (expansão 1, com M = 1) é suficiente para se obter
respostas corretas sob grandes deslocamentos. Os demais resultados são
calculados utilizando essa expansão com um modo axissimétrico.
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Membrana hiperelástica anular 148
(a) A
10
(b) A
20
(c) A
30
δ = 1.1
(d) A
10
(e) A
20
(f) A
30
δ = 1.5
(g) A
10
(h) A
20
(i) A
30
δ = 2.0
Figura 6.21 – Curva de ressonância não linear da membrana anular (ρ
o
= 0.20 m).
Na Figura 6.22 apresenta-se a curva de ressonância (freqüência-
deslocamento transversal) para um ponto de coordenadas (0.5; 0) da membrana
indeformada com diferentes valores de δ e ρ
ο
= 0.20 m. Observa-se que as curvas
tendem a um mesmo valor constante para grandes amplitudes de vibração
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Membrana hiperelástica anular 149
Figura 6.22 – Relação freqüência (rad/s) - deslocamento transversal (m) para a vibração
forçada da membrana anular com diferentes δ (ρ
o
= 0.20 m).
Na Figura 6.23 apresenta-se a curva de ressonância (freqüência-
deslocamento transversal) para um ponto de coordenadas (0.5; 0) da membrana
indeformada com diferentes valores do raio interno. Observa-se que as curvas
apresentam o mesmo tipo de comportamento hardening, sendo que o grau de não-
linearidade cresce com ρ
o
no intervalo analisado.
Figura 6.23 – Relação freqüência (rad/s) - deslocamento transversal (m) para a vibração
forçada da membrana anular com diferentes δ.
O método de continuação é utilizado para o cálculo dos diagramas de
bifurcação do mapa de Poincaré da membrana anular tracionada com ρ
o
= 0.20 m
que são apresentadas na Figura 6.24, para três diferentes valores de tração radial e
amplitude da excitação P
o
= 1 N/m
2
. As linhas contínuas representam posições de
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Membrana hiperelástica anular 150
equilíbrio estáveis e as linhas tracejadas representam posições de equilíbrio
instáveis.
(a) δ = 1.1 (b) δ = 1.5 (c) δ = 2.0
Figura 6.24 – Diagramas de bifurcação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da
freqüência de excitação Ω (rad/s) (P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; ρ
o
= 0.20 m).
Observa-se na Figura 4.28 duas bifurcações nó-sela em cada caso e que com
o aumento da tração radial, a não-linearidade da resposta diminui, diminuindo a
região da freqüência onde as soluções instáveis existem e portanto a possibilidade
de variações bruscas das amplitudes de vibração
Na Figura 6.25 apresenta-se os diagramas de bifurcação para valores
crescentes de P
o
para a membrana anular com ρ
o
= 0.20 m e δ = 1.1. Observa-se
que todos os casos apresentam o mesmo tipo de comportamento hardening
independente da magnitude da carga.
Figura 6.25 – Curvas de ressonância. Amplitude de vibração A
10
(m) como função da
freqüência de excitação Ω (rad/s) (ζ = 0.05; δ = 1.1; ρ
o
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 151
Na Figura 6.26 apresenta-se o diagrama de bifurcação em função da
magnitude da força P
o
, para valores selecionados da freqüência de excitação na
região principal de ressonância, estando esta sempre à direita da freqüência
natural da membrana pré-tensionada. Como no caso da membrana circular,
observa-se a influência decrescente da não-linearidade com o aumento de relação
δ para a membrana anular.
(a) δ = 1.1;Ω = 33.50 rad/s
(b) δ = 1.5; Ω = 46.10 rad/s
(c) δ = 2.0; Ω = 47.35 rad/s
Figura 6.26 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da excitação
P
o
(N/m
2
).(ζ = 0.05; ρ
ο
= 0.20 m)
Diagramas de bifurcação que tem como parâmetro de controle a magnitude
da força, P
o
, para diferentes valores de amortecimento são apresentados na Figura
6.27. Verifica-se que a influência do amortecimento aumenta com o aumento da
tração radial e que o amortecimento diminui a região onde a multiplicidade das
soluções e os saltos entre as soluções estáveis co-existentes podem ocorrer.
(a) δ = 1.1; Ω = 33.50 rad/s
(b) δ = 1.5; Ω = 46.10 rad/s
(c) δ = 2.0; Ω = 47.35 rad/s
Figura 6.27 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de amortecimento.
Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da excitação P
o
(N/m
2
).
(ρ
ο
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 152
Na Figura 6.28 apresentam-se diagramas de bifurcação em função da
amplitude da excitação para diferentes valores da freqüência da excitação, para a
membrana com δ = 1.1 e ρ
ο
= 0.20 m.
Figura 6.28 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de excitação
Ω. Coordenada de Poincaré A
10
(m) em função da amplitude da excitação P
o
(N/m
2
)
(δ = 1.1; ζ = 0.05; ρ
ο
= 0.20 m)
Dependendo do valor de P
o
e Ω, a membrana pode exibir uma ou três
respostas. Para valores de Ω próximos à menor freqüência natural, há duas
soluções estáveis e uma instável para uma grande faixa de P
o
. Os ramos estáveis e
instáveis estão conectados por bifurcações do tipo nó-sela. Para valores da
freqüência de excitação distantes da região de ressonância só é observada uma
resposta (estável).
Por fim, ilustra-se na Figura 6.29 as bacias de atração para três conjuntos de
parâmetros escolhidos de tal modo que a resposta permaneça na região principal
de ressonância. A Figura 6.29 corresponde à bacia de atração no plano fase
1010
AxA
&
e as cores diferentes correspondem aos atratores distintos: a cor cinza
escuro corresponde à bacia de atração da oscilação de grande amplitude e a cor
cinza claro corresponde à oscilação de pequena amplitude. Os atratores são
realçados por uma cruz preta nas bacias de atração.
Observa-se neste caso o mesmo comportamento notado para a membrana
circular, ou seja, com o aumento da tração radial a complexidade da topologia da
bacia diminui com um número menor de faixas claras e escuras e que, na região
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Membrana hiperelástica anular 153
principal de ressonância a maioria das condições iniciais conduz a soluções que
convergem ao atrator de grande amplitude.
(a) δ = 1.1; Ω = 33.50 rad/s (b) δ = 1.5; Ω = 46.10 rad/s
(c) δ = 2.0; Ω = 47.35 rad/s
Figura 6.29 – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
1010
AxA
&
(P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; ρ
ο
= 0.20 m).
6.2.
Variação da massa específica na direção radial da membrana anular
Neste ítem estuda-se a membrana anular com variação da massa específica
na direção radial e comparam-se os resultados com os encontrados na literatura.
Para isso, considera-se que a massa específica da membrana varia na direção
radial da mesma forma que no capítulo 5, ou seja:
)1()(
2
ρκρ
+Γ=Γ
o
(6.18)
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Membrana hiperelástica anular 154
onde
Γ
o
é um valor constante e κ é um valor constante conhecido que descreve a
variação da massa específica ao longo do raio indeformado.
A resposta estática neste caso é a igual à apresentada no item 4.1, sendo
r
o
(ρ) dado pela equação (4.1).
6.2.1.
Análise linear da vibração livre
A equação de movimento linear para a membrana anular com variação da
massa específica é dada por:
0
),,(
)1(
),,(23
4
1
),,(
1
),,(
12
2
2
2
33
2
2425
2
2
2
42
2
22
2
24
2
1
=
∂
∂
+Γ+
+
∂
∂
′
−
′
+
′
′′
−−+
+
∂
∂
′
+−
+
∂
∂
′
+−
t
tw
tw
rrrrrr
r
tw
rr
tw
rr
C
o
oooooo
o
oooo
θρ
κρ
ρ
θρρρ
ρ
ρ
θ
θρ
ρ
ρρ
θρ
ρ
(6.19)
Como apresentado para vibração livre da membrana circular no capítulo 5, a
equação de movimento linear (5.2) pode ser resolvida pelo método de separação
das variáveis ρ, θ e t na equação (5.2) como apresentado em (5.3).
Substituindo (5.3) em (6.19), obtém-se a seguinte equação diferencial linear,
em função da coordenada radial com coeficientes variáveis, semelhante à equação
diferencial Whittaker (Abramowitz e Stegun, 1972):
0)(
2
)1(
)(23
4
1)(
1
2
2
42
22
1
22
33
2
2425
2
2
2
24
2
=
+
′
−
+Γ
+
′
−
′
+
′
′′
−−+
′
+−
ρ
ρ
ρ
ωκρ
ρ
ρρρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
G
n
rr
n
C
d
Gd
rrrrrr
r
d
Gd
rr
oo
mno
oooooo
o
oo
(6.20
)
Utilizando a solução da equação diferencial de Whittaker (Abramowitz e
Stegun, 1972) juntamente com as condições de contorno do problema, obtém-se a
seguinte aproximação para o deslocamento transversal da membrana anular com
variação da massa específica ao longo da direção radial:
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Membrana hiperelástica anular 155
)cos()cos(
1
*;
2
;
4
;
2
;
4
),,(
22
tn
IK
nKI
WCIK
nKI
MAtw
mn
nnmn
ωθ
ρ
ρκ
κ
ρκ
κ
θρ
−
−
−
=
(
6.21)
sendo:
(
)
( )
))((2
)(
242
1
33
ooofo
foomno
RRrRRC
RRrk
K
−
′
′
Γ
=
(6.22)
−
−
=
IK
nKI
W
IK
nKI
M
C
on
on
2
2
;
2
;
4
;
2
;
4
ρκ
κ
ρκ
κ
(6.23)
−
−
−
−
−
=
IRK
nKI
WIK
nKI
M
IRK
nKI
MIK
nKI
WkZ
onon
ononmn
22
22
;
2
;
4
;
2
;
4
;
2
;
4
;
2
;
4
)(
κ
κ
ρκ
κ
κ
κ
ρκ
κ
(6.24)
onde A
mn
corresponde à amplitude modal; M
n
, à função hipergeométrica
confluente Whittaker M; W
n
, à função hipergeométrica confluente Whittaker W
(Wolfram mathworld, 2008); m, ao número de semi-ondas radiais; n, ao número
de ondas circunferenciais; k
mn
, à m-ésima raiz de Z(k
mn
); ω
mn
, à freqüência de
vibração e
ρ
d
Rdr
Rr
oo
oo
)(
)( =
′
.
A função hipergeométrica confluente Whittaker do tipo W é dada por
(Wolfram mathworld, 2008):
(
)
(
)
xUexxW
x
n
;;;;
25.0
βαβα
β
−+
=
(6.25)
onde U(
α
,
β
, x)
i
é a função hipergeométrica confluente de segundo tipo.
Substitui-se o deslocamento transversal (6.21) na equação de movimento
(6.19) e aplica-se o método de Galerkin. Da solução do problema de autovalor
resultante, obtém-se a freqüência natural da membrana anular com massa
específica variável.
As freqüências e os modos de vibração lineares foram calculados através da
formulação analítica e comparados com os resultados obtidos pelo método dos
elementos finitos para uma membrana anular de raio interno ρ
ο
= 0.20.
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Membrana hiperelástica anular 156
Para a solução via método dos elementos finitos, utiliza-se uma malha com
2304 elementos de membrana M3D4R que gera um sistema com 7128 equações.
Os resultados obtidos pela formulação analítica (AN) e por elementos finitos
(MEF) para diferentes valores de κ são comparados na Tabela 6.3.
Tabela 6.3 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana anular com massa
específica variável na direção radial (ρ
ο
= 0.20 m).
κ = −0.5
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 35.472 36.108 51.101 50.697 53.259 52.303
1 1 39.519 39.776 56.931 56.289 59.336 58.189
1 2 49.197 48.765 70.872 69.738 73.863 72.268
κ = 0.5
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 29.486 29.759 42.254 41.888 44.038 43.235
1 1 32.462 32.599 46.765 46.215 48.740 47.787
1 2 39.720 39.366 57.220 56.307 59.636 58.340
κ = 0.595
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 29.038 29.305 41.216 41.256 42.536 42.584
1 1 31.925 32.089 45.533 45.497 47.039 47.045
1 2 38.703 38.709 55.554 55.367 57.466 57.366
Observa-se que os valores das freqüências obtidos pelos dois métodos são
concordantes, tendo uma menor variação nos primeiros modos de vibração.
Os modos de vibração possuem a mesma forma que os apresentados na
Figura 6.9.
Os valores para o parâmetro de freqüência,
( )
( )
))((2
)(
242
1
33
ooof
fooo
mn
RRrRC
RRr
−
′
′
Γ
=
ωω
, obtidos com os resultados deste trabalho
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Membrana hiperelástica anular 157
são favoravelmente comparados com os resultados apresentados por Bala
Subrahmanyam e Sujith (2001) na Tabela 6.4.
Tabela 6.4 – Parâmetro da freqüência de vibração
ω
para a membrana anular com massa
específica variável na direção radial (ρ
ο
= 0.20 m).
( )
( )
))((2
)(
242
1
33
ooof
fooo
mn
RRrRC
RRr
−
′
′
Γ
=
ωω
κ
Bala et al
(2001)
AN MEF
0.5 3.4969 3.5155 3.5480
1.0 3.2431 3.2431 3.2873
1.5 3.0538 3.0358 3.0749
Na Figura 6.30 apresenta-se uma relação entre a freqüência de vibração e o
coeficiente de tração radial (δ) da membrana para diferentes distribuições da
massa específica. Observa-se que quanto maior o valor do coeficiente da massa
específica (κ), ou seja, quanto maior a massa da membrana próximo ao bordo
externo, menores são as freqüências de vibração.
Figura 6.30 - Freqüência de vibração (ω
10
) em função do coeficiente de tração radial para
diferentes variações da massa específica (ρ
ο
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 158
Apresenta-se na Figura 6.31 a variação da menor freqüência de vibração
com δ para membranas com raio interno diferentes. Observa-se que, quanto maior
o raio interno maiores são as freqüências.
κ = 0.5 κ = −0.5
Figura 6.31 - Freqüência de vibração (ω
10
) em função do coeficiente de tração radial para
diferentes valores do raio interno.
A relação entre a freqüência de vibração e o coeficiente de variação da
massa específica (κ) da membrana para diferentes valores de δ é apresentada na
Figura 6.32. Observa-se uma diminuição na freqüência natural com o aumento do
valor do coeficiente de variação da massa específica e com δ.
Figura 6.32 - Freqüência de vibração (rad/s)-coeficiente de variação da massa específica
(ρ
ο
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 159
6.2.2.
Análise não linear da vibração livre
Na análise das vibrações não lineares da membrana anular os deslocamentos
u e v são desprezados e a equação de movimento não linear da direção transversal
da membrana circular com massa específica variável é dada por:
0)1(
2
2
2
,,
=
∂
∂
+Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
t
w
z
W
z
W
o
ρκρρ
θ
ρ
ρ
θρ
(6.26)
Então, aproxima-se a resposta não linear pela resposta linear (5.5) e utiliza-
se o método de Galerkin-Urabe para se obter a relação freqüência de vibração-
amplitude associada à menor freqüência natural (m = 1 e n = 0) que é apresentada
na Figura 6.33 para diferentes valores do coeficiente de variação da massa
específica κ. Observa-se que para valores crescentes de κ as freqüências de
vibração aumentam, deslocando a curva para a direita.
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
Figura 6.33 - Relação freqüência (rad/s) - amplitude (m) para vibração livre da membrana
anular com diferentes valores de κ (ρ
ο
= 0.20 m).
A relação normalizada freqüência – deslocamento transversal para um ponto
de coordenadas (0; 0.5) da membrana indeformada, para diferentes valores de κ e
com δ = 1.1 e ρ
ο
= 0.20 m é apresentada na Figura 6.34.
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Membrana hiperelástica anular 160
Figura 6.34 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m) da
membrana anular (δ = 1.10; ρ
ο
= 0.20 m).
Observa-se que para pequenos deslocamentos as curvas com diferentes
valores de κ se sobrepõe, mas tendem a diferentes valores de ω/ω
o
à medida que
w cresce. Verifica-se que a menor não-linearidade ocorre para a membrana de
densidade constante (κ = 0.0).
Na Figura 6.35 ilustra-se relação freqüência de vibração - amplitude modal
para diferentes valores da razão de tração radial com κ = 0.5.
Figura 6.35 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da membrana
anular com diferentes valores de δ (κ = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m)
Verifica-se, para a membrana anular, o mesmo tipo de comportamento
hardening notado para a membrana circular.
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Membrana hiperelástica anular 161
Na Figura 6.36 mostra-se a relação normalizada freqüência-deslocamento da
membrana com diferentes valores de δ. Novamente, observa-se que, quanto mais
tracionada a membrana, menor o grau de não-linearidade da resposta.
Figura 6.36 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m) da
membrana anular (κ = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m).
A relação freqüência – deslocamento também é obtida a partir da resposta
no tempo, encontrada por elementos finitos. Essa relação é favoravelmente
comparada com a relação obtida analiticamente, para um ponto de coordenadas
(0.5; 0) da membrana indeformada, para duas variações da massa específica.
Esses resultados são apresentados na Figura 6.37.
κ = 0.5 κ = -0.5
Figura 6.37 - Relação freqüência de vibração (rad/s) - deslocamento transversal (m)
(δ = 1.10; ρ
ο
= 0.20 m)
Para a solução por elementos finitos é utilizado um modelo com uma malha
com 2880 elementos de casca S4R e S3 que gera um sistema com 8643 equações.
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Membrana hiperelástica anular 162
6.3.
Variação da espessura na direção radial da membrana anular
Para a membrana com espessura variável considerou-se que a variação da
espessura na direção radial da configuração indeformada é dado por:
)(exp)(
2
ρηρ
o
hh =
(6.27)
onde, como no capítulo 5, h
o
é um valor de referência e η é uma constante que
descreve a variação da espessura ao longo do raio indeformado.
6.3.1.
Análise estática
A solução estática da membrana com espessura variável sob deslocamento
radial uniforme é obtida através da integração numérica das equações (3.36) e
(3.37) atendendo as condições de contorno (3.38) e (3.39).
Para a solução via método dos elementos finitos, utiliza-se, no programa
comercial Abaqus®, 1152 elementos sólidos tri-dimensionais C3D8RH que gera
um sistema com 8496 equações.
Dessa forma, obteve-se a configuração tracionada da membrana anular com
raio interno ρ
ο
= 0.20 m e diferentes valores de δ. Na Figura 6.38 apresenta-se a
variação do comprimento radial tracionado obtido pela integração numérica (IN) e
pelo método dos elementos finitos (MEF), para membranas anulares com três
valores de δ e coeficiente de variação da espessura η = 0.5.
Figura 6.38 – Variação do comprimento radial tracionado da membrana anular com
espessura variável (η = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 163
Para visualizar a influência da variação radial da espessura ao longo do raio
tracionado (r
o
), apresenta-se na Figura 6.39 a variação do deslocamento radial
após a aplicação da tração radial na membrana anular para diferentes valores do
coeficiente de variação da espessura. Os valores apresentados são os obtidos pela
integração numérica.
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
Figura 6.39 – Variação do deslocamento radial (m) da membrana anular com espessura
variável para diferentes valores de η (ρ
ο
= 0.20 m).
Uma função que representa a variação da coordenada radial tracionada é
então determinada através do método dos mínimos quadrados, sendo dada por:
543
2
2
2
1
)ln()ln()( aaaaar
o
++++=
ρρρρρρ
(6.28)
onde a
i
são constantes que dependem da configuração tracionada da membrana.
As membranas anulares com raio interno ρ
ο
= 0.20 m apresentadas na
Figura 6.39 apresentam as seguintes distribuições radiais:
75.0
=
η
095.0)ln(056.0944.0)ln(072.0061.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
50.0
=
η
096.0)ln(055.0909.0)ln(086.0095.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
50.0
−
=
η
025.0)ln(0220.0071.1)ln(057.0003.0)(
22
++++=
ρρρρρρ
o
r
1.1
=
δ
75.0
−
=
η
022.0)ln(050.0219.1)ln(157.0098.0)(
22
++++−=
ρρρρρρ
o
r
(6.29)
75.0
=
η
340.0)ln(239.0171.1)ln(175.0011.0)(
22
+++−−=
ρρρρρρ
o
r
50.0
=
η
401.0)ln(246.0809.0)ln(332.0289.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
50.0
−
=
η
088.0)ln(095.0462.1)ln(386.0050.0)(
22
++++=
ρρρρρρ
o
r
5.1
=
δ
75.0
−
=
η
174.0)ln(001.0304.2)ln(974.0011.0)(
22
−+++−=
ρρρρρρ
o
r
(6.30)
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Membrana hiperelástica anular 164
75.0
=
η
825.0)ln(513.00676.0)ln(706.0498.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
50.0
=
η
744.0)ln(459.0636.0)ln(675.0619.0)(
22
+++−=
ρρρρρρ
o
r
50.0
−
=
η
262.0)ln(219.0585.1)ln(487.0153.0)(
22
++++=
ρρρρρρ
o
r
0.2
=
δ
75.0
−
=
η
087.0)ln(086.0673.2)ln(306.1586.0)(
22
−+++−=
ρρρρρρ
o
r
(6.31)
Os valores das tensões principais
σ
1
e
σ
2
da membrana anular com δ = 1.10
e diferentes valores do coeficiente de variação da espessura, obtidos através da
integração numérica e por elementos finitos, são comparados favoravelmente na
Figura 6.40.
σ
1
σ
2
Figura 6.40 – Tensões principais (N/m
2
) da membrana anular tracionada com espessura
variável para diferentes valores de η. (δ = 1.10; ρ
ο
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 165
Observa-se na Figura 6.40 que para uma variação com aumento da
espessura,, ao longo da direção radial (η > 0), os valores das tensões principais
diminuem em direção a borda externa da membrana. Enquanto que, para uma
variação com diminuição da espessura na direção radial (η < 0), os valores das
tensões principais aumentam. Quanto maior é a variação de η, maior é a variação
das tensões ao longo da direção radial. Observa-se neste caso uma variação de
tensões bem mais complexa que nos casos anteriores.
6.3.2.
Análise linear da vibração livre
Para a análise linear da vibração livre, parte-se da equação de movimento
linear na direção transversal da membrana dada em (3.42) que para este caso se
reduz à seguinte equação diferencial parcial com coeficientes variáveis:
0
),,(
),,(
2
223
4
1
),,(
1
),,(
12
2
2
24
3
33
2
2425
2
2
2
42
2
22
2
24
2
1
=
∂
∂
Γ+
+
∂
∂
−
′
+
′
−
′
+
′
′′
−−+
+
∂
∂
′
+−
+
∂
∂
′
+−
t
tw
tw
rrrrrrrr
r
tw
rr
tw
rr
C
oooooooo
o
oooo
θρ
ρ
θρ
ρη
ηρρρ
ρ
ρ
θ
θρ
ρ
ρρ
θρ
ρ
(6.32)
onde r
o
é dado por (6.28).
Novamente, utiliza-se da mesma metodologia de separação de variáveis,
usada para a membrana circular e apresentada no capítulo 5. Dessa forma, obtém-
se uma equação semelhante à equação diferencial de Whittaker (Abramowitz e
Stegun, 1972), dada em (5.16). Utilizando a solução da equação diferencial de
Whittaker juntamente com as condições de contorno do problema obtém-se a
seguinte aproximação para o deslocamento transversal da membrana circular:
−
Γ
−
−
−
−
Γ
−
−
=
−
22
5.0
;
2
;
42
1
;
2
;
42
1
*)cos()cos(),,(
2
ηρ
η
ηρ
η
ρ
ωθθρ
ηρ
n
B
b
WC
n
B
b
M
e
tnAtw
mn
n
mn
n
mnmn
(6.33)
sendo:
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Membrana hiperelástica anular 166
(
)
( )
))((2
)(
242
1
33
ooofo
foo
RRrRRC
RRr
B
−
′
′
=
(6.34)
−
Γ
−
−
−
Γ
−
−
=
2
2
;
2
;
42
1
;
2
;
42
1
o
mn
n
o
mn
n
n
B
b
W
n
B
b
M
C
ηρ
η
ηρ
η
(6.35)
−
Γ
−
−
−
Γ
−
−
−
−
Γ
−
−
−
Γ
−
−
=
22
22
;
2
;
42
1
;
2
;
42
1
;
2
;
42
1
;
2
;
42
1
)(
o
mn
no
mn
n
o
mn
no
mn
mn
R
n
B
o
W
n
B
b
M
R
n
B
b
M
n
B
b
WnbZ
η
η
ηρ
η
η
η
ηρ
η
(6.36)
onde A
mn
corresponde à amplitude modal; M
n
é a função hipergeométrica
confluente Whittaker M; W
n
é a função hipergeométrica confluente Whittaker W;
m, o número de semi-ondas radiais; n, o número de ondas circunferenciais; b
mn
é a
m-ésima raiz de Z(b
mn
); ω
mn
é a freqüência de vibração e
ρ
d
Rdr
Rr
oo
oo
)(
)( =
′
.
Substitui-se o deslocamento transversal (6.33) na equação de movimento
(6.32), aplica-se o método de Galerkin e da solução do problema de auto-valor
resultante obtêm-se as freqüências naturais da membrana anular com espessura
variável.
As freqüências e os modos de vibração lineares são comparados com os
resultados obtidos pelo método dos elementos finitos. Para a solução via método
dos elementos finitos, utiliza-se a mesma malha empregada na análise estática
com elementos sólidos tri-dimensionais C3D8RH. Os resultados analíticos (AN) e
obtidos por elementos finitos (MEF) são comparados na Tabela 6.5
Apresenta-se na Figura 6.41 a variação da freqüência de vibração ω
10
com a
tração radial (δ) da membrana para três diferentes leis de variação da espessura.
Novamente, observa-se um grande aumento na freqüência natural para pequenos
valores de δ.
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Membrana hiperelástica anular 167
Tabela 6.5 – Freqüências de vibração lineares (rad/s) para a membrana anular com raio
interno ρ
ο
= 0.20 m e espessura variável na direção radial.
η = −0.75
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 31.129 31.015 44.079 43.301 45.936 44.948
1 1 34.079 34.052 47.719 48.147 49.522 50.205
1 2 41.982 41.512 59.632 59.634 62.161 62.461
η = −0.5
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 31.701 31.639 44.563 44.190 46.121 45.665
1 1 34.702 34.726 48.719 49.045 50.367 50.884
1 2 42.636 42.270 60.580 60.536 62.863 63.061
η = 0.5
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 33.190 33.034 46.902 46.804 48.771 48.814
1 1 35.920 36.204 52.126 51.595 54.569 53.778
1 2 43.723 43.778 63.452 62.862 66.308 65.401
η = 0.75
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
m n
AN MEF AN MEF AN MEF
1 0 33.472 32.224 47.416 47.518 49.603 49.628
1 1 35.911 36.284 52.744 52.186 55.769 54.526
1 2 43.631 43.802 63.874 63.235 67.284 66.096
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Membrana hiperelástica anular 168
Figura 6.41 - Freqüência de vibração (rad/s) - razão de tração radial para diferentes
variações da espessura da membrana anular (ρ
ο
= 0.20 m).
Na Figura 6.42 apresenta-se a influência do coeficiente de variação
espessura (η) na menor freqüência de vibração da membrana com raio interno
ρ
ο
= 0.20 m. Observa-se um aumento dos valores da freqüência natural com o
aumento do valor de η. Isso ocorre devido ao aumento da espessura para valores
crescentes de η e, conseqüentemente, da rigidez da membrana, o que proporciona
um aumento da freqüência de vibração. Deve-se lembrar que ocorre também um
aumento da massa que é, entretanto, compensada pelo maior aumento de rigidez.
Figura 6.42 - Freqüência de vibração (rad/s) em função do coeficiente de variação da
espessura η para diferentes valores de δ (ρ
ο
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 169
6.3.3.
Análise não linear da vibração livre
Desprezando os deslocamentos u e v com base nos resultados obtidos por
elementos finitos, a equação de movimento não linear na direção transversal da
membrana anular com espessura variável se reduz a:
02
2
2
,,,
=
∂
∂
Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
t
w
z
W
z
W
z
W
ρρ
θ
ρ
ρ
ρη
θρρ
(6.37)
Para a análise não linear aproxima-se a resposta não linear pela expressão
(6.33) e utiliza-se o método de Galerkin-Urabe para se obter a relação freqüência
de vibração-amplitude associada à menor freqüência natural (m = 1 e n = 0).
Essa relação é apresentada na Figura 6.43 para membrana anulares com raio
interno ρ
ο
= 0.20 m e com diferentes valores do coeficiente de variação da
espessura η. Observa-se que, para valores crescentes de η, as freqüências de
vibração aumentam deslocando a curva para a direita.
δ = 1.1 δ = 1.5 δ = 2.0
Figura 6.43 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração livre da membrana
anular com diferentes valores de η (ρ
ο
= 0.20 m).
Na Figura 6.44 ilustra-se a relação freqüência de vibração-amplitude modal
para diferentes valores da razão de tração radial com η = 0.5. Verifica-se o mesmo
tipo de comportamento hardening observado nas membranas circulares.
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Membrana hiperelástica anular 170
Figura 6.44 - Relação freqüência (rad/s) - amplitude (m) para vibração livre da membrana
anular com diferentes valores de δ (η = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m).
Na Figura 6.45 mostra-se a relação normalizada freqüência-deslocamento da
membrana para um ponto de coordenadas (0; 0.5) da membrana indeformada com
raio interno ρ
ο
= 0.20 m. Novamente verifica-se que, quanto mais tracionada a
membrana, menor o grau de não-linearidade da resposta.
Figura 6.45 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m) da
membrana anular (η = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m).
A relação normalizada freqüência-deslocamento transversal da membrana
anular com raio interno ρ
ο
= 0.20 m, δ = 1.1 e valores crescentes de η é
apresentada na Figura 6.46. Observa-se que as curvas com diferentes valores de η
se sobrepõe inicialmente, mas tendem a diferentes valores de ω/ ω
o
à medida que
o deslocamento transversal cresce. Nota-se que o grau de não-linearidade é uma
função de η sendo a maior não-linearidade observada para η = 0.75.
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Membrana hiperelástica anular 171
Figura 6.46 - Relação normalizada freqüência-deslocamento transversal (m) da membrana
circular (δ = 1.1; ρ
o
= 0.20 m).
A relação freqüência-deslocamento também é obtida a partir da resposta no
tempo obtida por elementos finitos juntamente com a metodologia proposta por
Nandakumar e Chatterjee (2005) e é favoravelmente comparada com a relação
obtida analiticamente, para um ponto de coordenadas (0.5; 0) da membrana
indeformada e para duas variações da massa específica na Figura 6.47.
η = 0.5 η = -0.5
Figura 6.47 - Relação freqüência de vibração (rad/s) - deslocamento transversal (m)
(δ = 1.1; ρ
o
= 0.20 m).
Como a membrana anular com coeficiente de variação da espessura η = 0.5
possui a mesma massa total que a membrana anular com coeficiente de variação
de massa específica κ = 0.595, comparam-se as suas relações normalizadas
freqüência-deslocamento na Figura 6.48. A freqüência de vibração foi
normalizada com relação à freqüência natural de cada caso e o deslocamento
apresentado é no ponto de coordenadas (0.5; 0) da membrana indeformada.
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Membrana hiperelástica anular 172
Figura 6.48 - Relação normalizada freqüência – deslocamento transversal (m) da
membrana anular com variação de espessura e massa específica (ρ
ο
= 0.20 m).
Observa-se que, apesar da massa da membrana ser a mesma, os resultados
do deslocamento não se sobrepõe, mas possuem valores bem próximos e com o
mesmo comportamento global, sendo maior a não-linearidade observada para a
variação da massa específica.
6.3.4.
Análise não linear da vibração forçada
Novamente considera-se a vibração transversal axissimétrica provocada por
uma pressão hidrostática uniforme dependente do tempo P(t) e os campos de
deslocamentos radial u e circunferencial v desprezíveis.
Assim, a equação de movimento não linear da membrana anular com
espessura variável sob vibração forçada axissimétrica é dada por:
0)(2
2
2
,,,
=−
∂
∂
−
∂
∂
Γ+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
ρ
ζρρ
θ
ρ
ρ
ρη
θρρ
d
dr
rtP
t
w
C
t
w
z
W
z
W
z
W
o
oc
(6.38)
onde a pressão excitadora P(t) é dada em (4.29).
Como a vibração axissimétrica transversal é associada ao primeiro modo
axissimétrico (n = 0 e m = 1), utiliza-se o deslocamento transversal (6.33)
aproximado com N = 0 e aumentando o número de modos radiais (M = 1, 2 e 3).
Para obtenção dos resultados numéricos, consideram-se a força com
amplitude excitação de P
o
= 1 N/m
2
. A relação freqüência de vibração-amplitude é
apresentada na Figura 6.49 para diferentes valores do coeficiente de variação da
espessura η.
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Membrana hiperelástica anular 173
Figura 6.49 - Relação freqüência (rad/s) – amplitude (m) para vibração forçada da
membrana anular com diferentes valores de η (δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20 m).
As curvas de ressonância para diferentes valores de δ são apresentadas na
Figura 6.50 para uma variação da espessura com η = 0.5. Observa-se que as
curvas tendem a um mesmo valor constante para grandes amplitudes de vibração.
(a) Amplitude (b) Deslocamento transversal
Figura 6.50 – Curva de ressonância para a vibração forçada da membrana anular com
espessura variável com diferentes δ. (η = 0.5; ρ
ο
= 0.20 m)
O método de continuação é utilizado para o cálculo dos diagramas de
bifurcação do mapa de Poincaré da membrana anular tracionada. Os diagramas de
bifurcação são apresentadas na Figura 6.51, para uma membrana anular com
ρ
ο
= 0.20 m, δ = 1.1 considerando P
o
= 1 N/m
2
e três diferentes valores de η.
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Membrana hiperelástica anular 174
Figura 6.51 – Diagrama de bifurcação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da
freqüência de excitação Ω (rad/s) (P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20 m).
Observa-se que, dependendo do valor de P
o
e Ω, a membrana pode exibir
uma ou três respostas e que os ramos estáveis e instáveis estão conectados por
bifurcações do tipo nó-sela (NS nas figuras).
Na Figura 6.52 apresenta-se o diagrama de bifurcação que tem como
parâmetro de controle a magnitude da força P
o
para valores selecionados de Ω na
região principal de ressonância e dois valores de η. Observam-se em cada caso
duas bifurcações do tipo nó-sela e que para o caso onde η = 0.5 a faixa da
magnitude da carga onde as soluções instáveis existem é menor.
(a) Ω = 33.7 rad/s; η = 0.5 (b) Ω = 32.5 rad/s; η = -0.5
Figura 6.52 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da excitação
P
o
(N/m
2
) (ζ = 0.05; δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20 m).
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Membrana hiperelástica anular 175
A influência do amortecimento é ilustrada na Figura 6.53 onde os diagramas
de bifurcação são obtidos com diferentes valores de amortecimento. Observa-se o
mesmo comportamento anteriormente observado para a membrana circular.
(a) δ = 1.1; Ω = 33.7 rad/s; η = 0.5 (b) δ = 1.1; Ω = 32.5 rad/s; η = -0.5
Figura 6.53 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de amortecimento.
Coordenada de Poincaré A
10
(m) como função da amplitude da excitação P
o
(N/m
2
)
(ρ
ο
= 0.20 m).
Na Figura 6.54 apresenta-se diagramas de bifurcação em função da
amplitude da excitação para diferentes valores da freqüência da excitação para a
membrana anular com raio interno ρ
ο
= 0.20 m, δ = 1.1 e dois valores de η.
(a) η = 0.5 (b) η = -0.5
Figura 6.54 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de excitação.
Coordenada de Poincaré A
10
(m) em função da amplitude da excitação P
o
. (N/m
2
) (δ = 1.1;
ζ = 0.05; ρ
ο
= 0.20 m)
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Membrana hiperelástica anular 176
A Figura 6.55 ilustra as das bacias de atração para valores de parâmetros
escolhidos de tal modo que a resposta permaneça na região principal de
ressonância onde ocorrem três soluções. Essa figura corresponde à bacia de
atração no plano fase
1010
AxA
&
e as cores diferentes correspondem aos atratores
distintos (cinza escuro corresponde a bacia de atração da oscilação de grande
amplitude e cinza claro corresponde a oscilação de pequena amplitude). Os
atratores são realçados nas bacias pela cruz negra.
Nota-se que na região principal de ressonância a maioria das condições
iniciais conduz a soluções que convergem para o atrator de maior amplitude.
(a) Ω = 33.7 rad/s; η = 0.5 (b) Ω = 32.5 rad/s; η = -0.5
Figura 6.55 – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
1010
AxA
&
(P
o
= 1 N/m
2
; ζ = 0.05; δ = 1.1; ρ
ο
= 0.20).
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7
Membrana anular com inclusão rígida
Neste capítulo é apresentado o estudo desenvolvido para uma membrana
anular plana indeformada a qual é acoplada uma inclusão rígida em forma de
disco. Como o material da membrana considerada é hiperelástico, utiliza-se a
teoria da elasticidade para grandes deformações.
Inicialmente, apresenta-se a modelagem matemática do problema e,
posteriormente, estuda-se o seu comportamento estático e dinâmico linear e não
linear.
7.1.
Modelagem matemática
Para a modelagem matemática, considera-se que a inclusão rígida produz,
devido ao seu peso, deslocamentos estáticos transversais e axissimétricos na
membrana, ou seja, o peso é transversal ao plano que contem a membrana
indeformada. Nesta análise, considera-se além do peso da inclusão, a atuação de
cargas transversais aplicadas no centro da inclusão rígida.
Utiliza-se uma formulação variacional e, através do princípio de Hamilton,
obtêm-se as equações gerais de movimento e as condições de contorno para o
problema.
Assim, seja uma membrana indeformada, anular e plana com uma inclusão
central rígida na forma de um disco. A membrana possui espessura constante h e
raio final indeformado R
o
, sendo fixa em seu bordo externo, como ilustrado na
Figura 7.1. A inclusão rígida possui raio ρ
o
e espessura h
d
.
Posteriormente à aplicação da carga estática, perturba-se a membrana de
forma axissimétrica, através da aplicação de uma carga transversal F (Figura 7.1-
c), ou de forma assimétrica, através de um momento M (Figura 7.1-d).
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Membrana anular com inclusão rígida 178
x
2
x
1
x
3
R
o
θ
ρ
ρ
ο
P
o
x
2
x
1
x
3
R
o
θ
ρ
ρ
ο
P
o
θ
θ
r
o
X
3
z
o
X
1
X
2
P
θ
θ
r
o
X
3
z
o
X
1
X
2
P
(a) Configuração indeformada (b) Configuração deformada estática
θ
θ
X
3
F
r
z
X
1
X
2
P
θ
θ
X
3
F
r
z
X
1
X
2
P
θ
z
M
r
β
X
3
X
2
X
1
P
φ
θ
z
M
r
β
X
3
X
2
X
1
P
φ
(c) Perturbada axissimétrica (d) Perturbada assimétrica
Figura 7.1 – Configurações da membrana anular acoplada a um disco rígido.
Dessa maneira, para um ponto P
o
na configuração indeformada, apresentada
na Figura 7.1-a, tem-se:
θρ
cos
1
=x
θρ
senx =
2
(7.1)
33
xx =
onde
ρ
é a coordenada na direção radial da membrana indeformada,
θ
é a
coordenada na direção circunferencial e x
3
é a coordenada na direção transversal à
membrana.
Para o mesmo ponto na configuração deformada, após a tração e
perturbação, tem-se:
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Membrana anular com inclusão rígida 179
),,(cos),,(
1
ttrX
θρβθρ
=
),,(),,(
2
tsentrX
θρβθρ
=
(7.2)
),,(
3
tzX
θρ
=
onde r é o raio da membrana perturbada;
β
é a coordenada circunferencial da
membrana perturbada; X
3
é a coordenada na direção transversal à membrana
deformada e:
),,(),(),,( turtr
o
θρθρθρ
+=
),,(),(),,( tvt
o
θρθρβθθρβ
++=
(7.3)
),,(),(),,( twztz
o
θρθρθρ
+=
onde u(
ρ
,
θ
t), v(
ρ
,
θ
t) e w(
ρ
,
θ
t) representam os deslocamentos dependentes do
tempo nas direções radial, circunferencial e transversal respectivamente; r
o
(
ρ,θ
),
β
o
(
ρ,θ
) e z
o
(
ρ,θ
) representam um ponto qualquer da membrana tracionada
estaticamente nas direções radial, transversal e circunferencial, respectivamente.
Observa-se que as componentes das coordenadas nas duas configurações
são idênticas às apresentadas no item 3.1 do capítulo 3. Dessa maneira, as
extensões principais são dadas por (3.5) a (3.7), os tensores covariantes e
contravariantes são dados por (3.9) a (3.12) e, finalmente, o primeiro invariante de
deformação é dado por (3.13).
7.2.
Funcional de energia da membrana
Como a função de energia de deformação, W, pode ser descritas em função
dos invariantes de deformação de superfície média da membrana, I
1
, I
2
e I
3
,
obtém-se a função ),,,,,,,,(
,,,,,,
θρββ
θρθρθρ
zzrrrW .
A energia elástica de deformação, U, é escrita como a integral volumétrica
da função W, na configuração indeformada, sendo, para a membrana anular plana,
dada por:
ρθρθρββρ
ρ
π
θρθρθρ
dddzzzrrrWU
o
o
R
h
∫ ∫ ∫
=
2
0
,,,,,,
0
),,,,,,,,,(
(7.4)
O termo referente ao trabalho, W
e
, realizado pelas forças externas é dado
por:
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Membrana anular com inclusão rígida 180
φ
ρρρρ
)()( tMztFzPW
oo
ee
++=
==
(7.5)
onde Pe é a força estática aplicada na direção transversal e F(t) e M(t) são uma
força e um momento excitadores respectivamente, dependentes do tempo e φ é o
deslocamento angular provocado pela aplicação de M(t).
Na energia cinética, T, considera-se a influência da inclusão rígida, tendo-
se:
ρθθ
φ
ρ
ρθρρθρ
ρ
π
ρ
π
ρ
ρ
π
ddhh
dd
w
hdd
wvu
hT
o
o
o
o
dodd
dd
R
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
Γ+
Γ+
++
Γ=
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
222
)sin(
2
2
)(
2
)(
0
&
&
&&&
(7.6)
onde h e
Γ
são a espessura e a massa específica da membrana respectivamente; h
d
e
Γ
d são a espessura e a massa específica do disco rígido respectivamente; e
t∂
∂
=
•
)(
)(
.
O terceiro termo da energia cinética corresponde à força distribuída ao
longo da extremidade interna da membrana, provocada pela inércia rotacional do
disco rígido quando este é submetido a um momento.
A função que representa o amortecimento é dada por:
ρθρζω
ρ
π
ddzd
w
R
o
o
R
h
oe
∫ ∫ ∫
Γ=
2
0 0
2
2
&
(7.7)
onde
ζ
é o coeficiente de amortecimento e
ω
o
é a menor freqüência natural do
sistema.
Definidos os funcionais de energia, equações (3.14)-(3.18), chega-se à
seguinte função de Lagrange:
ee
WURTL +−+=
(7.8)
Partindo da função de Lagrange e aplicando o princípio de Hamilton,
chegam-se às equações diferenciais para cada caso particular analisado neste
estudo.
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Membrana anular com inclusão rígida 181
7.3.
Análise estática
Para a membrana anular plana submetida apenas a esforços de tração, as
extensões principais podem ser escritas da seguinte maneira:
22
1
+
=
ρρ
λ
d
dz
d
dr
oo
(7.9)
ρ
λ
o
r
=
2
(7.10)
2
,
2
,
3
ρρ
ρ
λ
ooo
zrr +
=
(7.11)
onde ro é o comprimento radial estático da membrana deformada, zo é o
comprimento transversal estático da membrana deformada, e
ρ
ρ
)(
)(
=
∂
∂
.
Neste caso, o primeiro invariante de deformação I
1
é definido por:
)(
2
,
2
,
2
2
2
2
2
,
2
,
1
ρρ
ρρ
ρ
ρ
ooo
o
oo
zrr
r
zrI
+
+++=
(7.12)
Dessa forma, a função energia de deformação pode ser descrita como
),,,(
,,
ρ
ρρ
ooo
zrrWW = .
Nesta análise consideram-se, primeiramente, os deslocamentos estáticos
axissimétricos provocados pelo peso do disco rígido e pela aplicação de uma
carga no centro do disco rígido. Têm-se então, um problema axissimétrico
submetido a dois diferentes casos de carregamento:
• Caso 1: Apenas a força relativa ao peso do disco rígido (P
e
= P
d
);
• Caso 2: A força relativa ao peso do disco rígido (P
d
) somada à uma força
(p) de mesma intensidade, porém sem influência da massa do disco (P
e
= P
d
+ p).
Aplicando-se o princípio da energia potencial estacionária, obtêm-se as
equações de equilíbrio:
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Membrana anular com inclusão rígida 182
0=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
ρ
ρ
ρ
oo
r
W
r
W
(7.13)
0=
∂
∂
∂
∂
−
ρ
ρ
o
z
W
(7.14)
e as condições de contorno:
0=
∂
∂
ρ
o
r
W
(7.15)
ooo
RRr =)(
(7.16)
0)( =
oo
Rz
(7.17)
Para facilitar o desenvolvimento do problema, o sistema de equações de
equilíbrio pode ser particularizado para cada caso de carregamento. Dessa
maneira, para os casos estudados, onde todos os deslocamentos são
axissimétricos, tem-se que as coordenadas radial e transversal da membrana
deformada podem ser escritas apenas em função da coordenada radial
ρ
. Assim, o
sistema de equações ((7.13)-(7.14)) torna-se:
0
)(
4
)(
2
)()(
4
)(
3
)(
2
3
2
,
2
,
2
,,,
3
2
2
,
2
,
3
2
,
3
,
2
2
,
2
,
2
3
3
2
,
2
,
2
2
,
3
2
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
3
3
1
=
+
−
+
−
+
+
+
+−
+
+−
+
−
ρρ
ρρρρ
ρρ
ρ
ρρ
ρρρρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ooo
ooo
ooo
o
o
oooooo
o
ooo
o
o
ooo
o
zrr
zzr
zrr
r
r
zrrzrr
r
zrr
r
r
zrr
r
C
(7.18)
0
)(
4
)()(
4
)(
3
)(
2
2
3
2
,
2
,
2
,,,
3
,
2
2
,
2
,
2
3
3
2
,
2
,
2
2
,
3
2
2
,
2
,
2
,
2
2
2
,
2
,
3
,,
3
,
1
=
+
+
+
−
+
++
+
−
+
+
ρρ
ρρρρ
ρρ
ρρρρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ooo
ooo
o
oooooo
o
ooo
o
ooo
oo
o
zrr
rzr
z
zrrzrr
z
zrr
z
zrr
rz
z
C
(7.19)
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Membrana anular com inclusão rígida 183
As tensões principais de uma membrana de material hiperelástico são
obtidas através da equação dada em (3.29). Para esse exemplo, as tensões
principais podem ser escritas como:
+
−+=
)(
)(2
2
,
2
,
2
2
2
,
2
,
11
ρρ
ρρ
ρ
σ
ooo
oo
zrr
zrC
(7.20)
+
−=
)(
2
2
,
2
,
2
2
2
2
12
ρρ
ρ
ρ
σ
ooo
o
zrr
r
C
(7.21)
Como as equações de equilíbrio da membrana são altamente não lineares,
utiliza-se o método de integração numérica para a solução do problema.
Para a solução numérica através da integração numérica se utiliza o shooting
method e o método de Runge-Kutta. Para o problema necessita-se de quatro
condições iniciais e apenas duas são conhecidas ((7.16) e (7.17)). Assim, é usada
uma metodologia incremental-iterativa, onde, as condições de contorno livres são
inicialmente arbitradas e ajustadas pelo shooting method, sendo a convergência da
solução obtida pelo método de Newton-Raphson e a integração numérica obtida
pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem.
Neste caso, as equações diferenciais de primeira ordem, utilizadas na
integração numérica, são:
ρ
ρ
d
dr
y
o
=)(
1
(7.22)
ρ
ρ
d
dz
y
o
=)(
2
(7.23)
[
] [
]
oooo
oooooooooo
oooooooo
ooooooooo
rrzr
rzrrzrzrrz
rrzrrrzr
rzzrrrrzr
d
dy
6524
2
,
2
,
34
2
,
2
,
24
4
,
2
,
2
,
4
,
6
,
6
,
,
332
2
,
2
,,
5
2
,
2
,
6
42
4
,
2
2
,
2
,
6
,
54
2
,
2
,
1
3)(
)(2)573(
)(43)(3
)4)(()()(
)(
ρρ
ρρ
ρρρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρρρρρρρρ
ρρρρρρ
ρρρρρρ
−++
++++++
++−+++
+−++−+=
(7.24)
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Membrana anular com inclusão rígida 184
[
] [
]
oooo
oooooooooo
oooooooo
oooooooo
rrzr
rzrzrzrzrr
zrzrrrzr
zrzrrzzr
d
dy
554
2
,
2
,
33
2
,
2
,,
23
2
,
3
,
4
,,
5
,
,,
5
,
4
,
42
2
,
2
,
,
322
2
,
2
,
5
,
4
2
,
2
,
2
3)(
)(2)422(
63)(4
)(4))(
)(
ρρ
ρρ
ρρρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρρρρρρρρ
ρρρρρρ
ρρρρρρ
−++
+++++
+−+++
++−+=
(7.25)
e as condições iniciais dadas em (7.16) e (7.17).
Desta maneira, obtém-se a configuração deformada da membrana submetida
a diferentes valores de carregamento trativo (P
e
) e, posteriormente, as respectivas
funções aproximadas que representam essa configuração. Essas funções são
obtidas utilizando o método dos mínimos quadrados.
Assim, as coordenadas radial e transversal podem ser aproximadas pelas
funções:
)()(
76
2
5
3
4
4
3
5
2
6
1
aaaaaaar
o
++++++=
ρρρρρρρ
(7.26)
)lnlnlnln()(
3
4
2
321
ρρρρρρρρ
bbbbz
o
+++=
(7.27)
Para avaliar os resultados obtidos através da integração numérica e as
expressões (7.26) e (7.27), a membrana é também analisada através do programa
de elementos finitos Abaqus®.
Para a análise numérica no Abaqus foi utilizada uma malha de 1262
elementos de casca S4R na membrana e, 60 elementos rígidos R3D3 na inclusão
rígida. Além disso, considera-se o nó central da inclusão rígida como o nó de
referência onde se considera a aplicação da massa e da inércia.
Os resultados numéricos apresentados posteriormente neste trabalho são
para uma membrana com as mesmas propriedades apresentadas anteriormente e
para um disco rígido de raio ρ
o
= 0.2 m e espessura h
d
variável, com módulo de
elasticidade E = 2.10 x 10
11
Pa e massa específica
Γ
d
= 7860 Kg/m
3
.
Para variação do peso do disco rígido variou-se a sua espessura (h
d
). Na
Figura 7.2 ilustra-se a variação do deslocamento transversal estático da membrana
em função do peso do disco rígido. Observa-se que o comportamento inicial é
altamente não-linear, mas que, a partir de um certo nível de carregamento, esta
relação torna-se praticamente linear.
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Membrana anular com inclusão rígida 185
Figura 7.2 – Deslocamento transversal estático (m) - Peso do disco rígido (N).
Como dito anteriormente, consideram-se dois casos de carregamento: no
primeiro (Caso 1) considera-se como carga aplicada apenas o peso próprio do
disco rígido e, no segundo (Caso 2) considera-se o peso do disco rígido somado a
uma força atuante de mesma intensidade, porém, sem a influência de massa.
Neste estudo são consideradas três espessuras diferentes para o disco rígido
(h
d
) que geram os carregamentos apresentados na Tabela 7.1.
Tabela 7.1 – Espessura do disco rígido e carregamento aplicado.
Carga (N)
Espessura (m)
Caso 1 Caso 2
0.02 193.79 387.58
0.05 484.47 968.95
0.10 968.95 1937.90
Ilustra-se nas Figura 7.3 (a) e (c) a variação do deslocamento radial da
membrana em função da coordenada radial indeformada para os valores de força
aplicada (P
e
) nos dois casos estudados. Ilustra-se também a variação do
comprimento radial estático, r
o
em função de ρ nas Figura 7.3 (b) e (d).
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Membrana anular com inclusão rígida 186
(a) (b)
Caso 1
(c) (d)
Caso 2
Figura 7.3 - Variação do deslocamento radial (m) estático da membrana.
Observa-se que a variação do deslocamento radial estático ao longo da
coordenada radial indeformada é aproximadamente parabólica. Os valores dos
deslocamentos radiais estáticos para a membrana com h
d
= 0.10 m são positivos,
ao contrário dos outros valores apresentados na Figura 7.3. Isso ocorre devido à
variação não linear que o deslocamento radial tem em função da carga trativa
aplicada à membrana. Isso pode ser melhor observado através da Figura 7.4, que
mostra a variação deste deslocamento em um ponto de coordenadas (0.5, 0) da
membrana indeformada em função da carga estática aplicada na membrana.
Observa-se entretanto que estes deslocamentos são muito pequenos o que torna a
variação de r
o
com ρ praticamente desprezível.
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Membrana anular com inclusão rígida 187
0 400 800 1200 1600 2000
Carga
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
D
e
s
l
o
c
a
m
e
n
t
o
r
a
d
i
a
l
e
s
t
á
t
i
c
o
Figura 7.4 - Variação do deslocamento radial (m) estático da membrana em um ponto de
coordenadas (ρ, θ) = (0.5; 0).
Os raios das membranas deformadas estaticamente (r
o
) apresentados na
Figura 7.3 podem ser aproximados pelas seguintes funções polinomiais em ρ:
• Caso 1
h
d
= 0.02 m
02293.0.77732600.783036+
1.51609-1.68893+0.99961-0.243494)(r
2
3456
o
++
=
ρρ
ρρρρρ
(7.28)
h
d
= 0.05 m
017743.0.8515100.40362+
0.63575-0.62370+0.33796-0.07714)(r
2
3456
o
++
=
ρρ
ρρρρρ
(7.29)
h
d
= 0.10 m
01020.0.1362310.64443-
1.358581.49932-0.863230.20410)(r
2
3456
o
−+
++−=
ρρ
ρρρρρ
(7.30)
• Caso 2
h
d
= 0.02 m
02222.0.7987800.63488+
1.13737-1.21150+0.69592-0.16592)(r
2
3456
o
++
=
ρρ
ρρρρρ
(7.31)
h
d
= 0.05 m
01020.0.1362310.64443-
1.358581.49932-0.863230.20410)(r
2
3456
o
−+
++−=
ρρ
ρρρρρ
(7.32)
h
d
= 0.10 m
01512.0.1171510.24023-
0.157120.04800.101010.03412)(r
2
3456
o
−+
++−=
ρρ
ρρρρρ
(7.33)
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Membrana anular com inclusão rígida 188
As coordenadas transversais estáticas da membrana tracionada (z
o
) são
ilustrados na Figura 7.5.
(a) Caso 1 (b) Caso 2
Figura 7.5 - Variação do deslocamento transversal (m) estático da membrana.
As coordenadas transversais estáticas (z
o
) da membrana, apresentadas na
Figura 7.5, podem ser aproximados pelas seguintes funções polinomiais em ρ:
• Caso 1
h
d
= 0.02
)ln()82541.0.3773800.34028-0.14578()(z
23
o
ρρρρρ
++=
(7.34)
h
d
= 0.05
)ln()29481.0.4697900.38783-0.15887()(z
23
o
ρρρρρ
++=
(7.35)
h
d
= 0.10
)ln()049470.3808100.16537-0.03566()(z
23
o
ρρρρρ
++=
(7.36)
• Caso 2
h
d
= 0.02
)ln()25804.0.4561900.39367-0.16528()(z
23
o
ρρρρρ
++=
(7.37)
h
d
= 0.05
)ln()049470.3808100.16537-0.03566()(z
23
o
ρρρρρ
++=
(7.38)
h
d
= 0.10
)ln()93198.0.1370900.12001-0.06483()(z
23
o
ρρρρρ
++=
(7.39)
Observa-se que as coordenadas radiais e transversais da membrana
tracionada acoplada a um disco rígido de espessura h
d
= 0.10 m do Caso1 e da
membrana tracionada a um disco rígido de espessura h
d
= 0.05 m do Caso 2 são
iguais, como era esperado, já que as cargas transversais (P
e
) aplicadas nas duas
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Membrana anular com inclusão rígida 189
membranas são de mesma intensidade (equações (7.36) e (7.38),
respectivamente). Nota-se que ao contrário de r
o
, z
o
varia de forma marcante com
ρ e h
d
, sendo esta variação não-linear.
Os valores das tensões principais
σ
1
e
σ
2
obtidos para a membrana anular,
através dos elementos finitos e analiticamente (equações (3.30) e (3.31)), são
comparados favoravelmente na Figura 7.6.
Caso 1
Caso 2
Figura 7.6 – Tensões principais (N/m
2
) da membrana anular com um disco rígido
acoplado.
7.4.
Análise dinâmica
Nessa análise tem-se por objetivo o estudo das vibrações lineares e não-
lineares da membrana anular com inclusão rígida. Após a tração estática,
analisada anteriormente, a membrana é perturbada de duas diferentes maneiras
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Membrana anular com inclusão rígida 190
isoladas: uma axissimétrica e outra assimétrica. Portanto, serão apresentados os
resultados para vibrações axissimétricas e assimétricas separadamente.
Os campos de deslocamentos radial u e circunferencial v são desprezíveis
em relação ao deslocamento transversal w, como pode ser observado na Figura 7.7
que apresenta os deslocamentos da membrana pré-tensionada obtidos por
elementos finitos. Assim sendo, as contribuições destes deslocamentos em termos
de inércia e rigidez são desprezadas na análise das vibrações transversais da
membrana.
Figura 7.7 - Variação dos deslocamentos (m) da membrana ao longo do raio. (b) Detalhe
dos deslocamentos radial e circunferencial (Caso 1; h
d
= 0.05 m).
Através do método de Ritz o campo de deslocamentos transversal w pode
ser aproximado por uma função que atenda as condições de contorno e
continuidade. Dessa maneira, aproxima-se o deslocamento transversal z
o
(ρ) por
uma função similar à utilizada na análise estática. Assim, para a vibração
axissimétrica tem-se:
)()(),,(
ρθρ
o
ztAtw =
(7.40)
e para a vibração assimétrica:
θρθρ
senztAtw
o
)()(),,( =
(7.41)
o
o
tA
t
ρ
ρ
φ
ρ
)(
)( =
(7.42)
onde A(t) corresponde à amplitude de vibração, z
o
(
ρ
) é uma aproximação do
deslocamento transversal,
φ(
t
)
é o deslocamento angular provocado pela
perturbação assimétrica e
ρ
o
é o raio interno da membrana.
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Membrana anular com inclusão rígida 191
Para a determinação das equações de movimento aplica-se o princípio de
Hamilton e encontra-se a seguinte equação de movimento para a membrana
anular:
0
)(
Re
)()(
)(
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
tAtA
W
tA
U
tA
T
td
d
e
&
(7.43)
onde T é a energia cinética, U é a energia elástica de deformação, W
e
é o trabalho
dos esforços externos e R
e
é o trabalho das forças de dissipação, apresentados
anteriormente em (3.14) a (3.18).
Chega-se, assim, à equação não-linear de movimento da membrana para
vibração axissimétrica:
0)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
)(
2)3(
)(
0
0
2
2
2
22
2
2
2
2
0
11
=++
+
∂
∂
Γ−
∂
∂
Γ+
+
∂
∂
Γ+
−
∂
∂
∫
∫∫ ∫
ooe
R
ooooodd
R
o
R
ztPzP
dz
t
tA
h
t
tA
zh
dz
t
tA
hddI
tA
Ch
o
oo
o
ρ
ρρ
π
ρρρωζπρρπ
ρρρπρθρ
(7.44)
e para vibração assimétrica:
0)()(
)(
2
)(
4)3(
)(
0
2
2
2
22
2
0
11
=++
∂
∂
Γ−
+
∂
∂
+
−
∂
∂
∫
∫ ∫
φρρρωζπ
ρρθρ
ρ
ρ
π
tMzPdz
t
tA
h
t
tA
hddI
tA
Ch
oe
R
oo
od
R
o
o
o
(7.45)
onde A(t) = A cos(ω
ο
t); ζ é uma taxa de amortecimento crítico; ω
o
é a freqüência
natural do sistema e, P(t) e M(t) são forças de excitação.
Na análise dinâmica por elementos finitos é utilizada a mesma malha que na
análise estática.
7.4.1.
Análise linear das vibrações livres
Para a análise linear as equações de movimento (7.44) e (7.45) são
linearizadas, obtendo-se a seguinte equação linear para a vibração livre
axissimétrica:
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Membrana anular com inclusão rígida 192
02
)(
)3(
4
2
22
2
,
3
2
,
2
,
2
2
,
2
,
4
,
3
1
=
Γ−Γ−
+
+
−
−
∫
∫
=
ωρρρ
ρρρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρρρ
o
o
o
o
o
R
ooddo
R
o
ooo
ooo
zhdzh
dz
zrr
rzz
hC
(7.46)
e para a vibração livre assimétrica:
04
)(
)3(
)(
)(
2
2
22
3
2
,
2
,
2
2
,
2
,
4
,
3
3
2
,
2
,
4
2
,
2
,
4
,
2
3
2
,
4
1
=Γ−
−
−
+
−
−
−
+
∫
ωρρρ
ρρ
ρ
π
ρρ
ρρρ
ρ
ρρ
ρρρ
ρ
odd
ooo
ooo
R
ooo
ooo
oo
o
hd
zrr
rzz
zrr
rzr
zz
z
hC
o
o
(7.47)
Substituem-se as coordenadas radiais e transversais estáticas (equações
(7.28)-(7.39)) e soluciona-se as equações, obtendo-se as freqüências de vibração.
Na Tabela 7.2 apresentam-se os valores das freqüências de vibração
axissimétricas e assimétricas, obtidos através da formulação analítica e do método
dos elementos finitos. São apresentados resultados para as três diferentes
espessuras do disco rígido nos Casos 1 e 2.
Tabela 7.2 – Freqüências de vibração lineares (rad/s).
Vibração Axissimétrica
Caso 1 Caso 2
MEF Analítico MEF Analítico
h
d
= 0.02 m
7.5046 7.4986 8.4434 8.4471
h
d
= 0.05 m
5.5414 5.5640 5.6007 5.6774
h
d
= 0.10 m
3.9765 4.0349 3.8199 3.8499
Vibração Assimétrica
Caso 1 Caso 2
MEF Analítico MEF Analítico
h
d
= 0.02 m
16.161 16.8748 18.763 19.4013
h
d
= 0.05 m
12.640 12.1613 13.399 12.9289
h
d
= 0.10 m
9.5346 9.5753 9.6305 9.5851
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Membrana anular com inclusão rígida 193
Observa-se uma boa concordância entre os valores das freqüências de
vibração obtidos pela solução analítica e pelo método dos elementos finitos. Além
disso, observa-se que, com o aumento da espessura do disco rígido, o que provoca
o aumento da sua massa, as freqüências diminuem e que o aumento do
carregamento sem aumento da massa do disco provoca, na maioria dos exemplos,
um aumento das freqüências de vibração.
Verifica-se, também, que as freqüências de vibração da membrana
tracionada acoplada a um disco rígido de espessura h
d
= 0.10 m do Caso 1 e da
membrana tracionada a um disco rígido de espessura h
d
= 0.05 m do Caso 2 não
são iguais. Apesar das membranas estarem tracionadas por uma força transversal
(P
e
) de mesma intensidade, a massa do disco rígido nos dois exemplos é diferente,
já que no Caso 2 apenas metade da força aplicada é devida ao peso próprio do
disco e a outra metade é a uma força sem influência de massa.
As formas dos modos lineares de vibração para a membrana anular são
apresentadas na Figura 7.8.
(a) Vibração Axissimétrica (b) Vibração Assimétrica
Figura 7.8 – Modos de vibração da membrana anular com disco rígido.
7.4.2.
Análise não linear das vibrações livres
Na membrana em vibração livre parte-se das equações apresentadas em
(7.44) e (7.45) , desconsiderando as forças de excitação e dissipação. As equações
de movimento são resolvidas e a relação freqüência de vibração-amplitude é
obtida sendo apresentada na Figura 7.9 para as vibrações axissimétricas e
assimétricas da membrana anular.
Observa-se que com o aumento da amplitude de vibração ocorre uma
diminuição na freqüência na maioria dos exemplos apresentados. Porém, esse
efeito softening não acontece para o exemplo da membrana acoplada a um disco
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Membrana anular com inclusão rígida 194
rígido de espessura h
d
= 0.02 m e vibrando assimetricamente. Neste exemplo
observa-se um comportamento hardening para o Caso 1 e, para o Caso 2, observa-
se que para pequenas amplitudes de vibração ocorre um aumento na freqüência e
que, com o aumento da amplitude de vibração a curva muda de direção, ocorrendo
uma diminuição da freqüência para grandes amplitudes de vibração. Observa-se
esse mesmo comportamento para o Caso 2 da membrana vibrando
axissimetricamente acoplada a um disco de espessura h
d
= 0.10 m.
7 7.4 7.8 8.2 8.6
Freqüência de vibração (
ω
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A
m
p
l
i
t
u
d
e
(
A
)
Caso 1
Caso 2
5 5.2 5.4 5.6 5.8
Freqüência de vibração (
ω
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A
m
p
l
i
t
u
d
e
(
A
)
Caso 1
Caso 2
h
d
= 0.02 m h
d
= 0.05 m
3.7 3.8 3.9 4 4.1
Freqüência de vibração (
ω
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A
m
p
l
i
t
u
d
e
(
A
)
Caso 1
3.68 3.72 3.76 3.8 3.84 3.88
Freqüência de vibração (
ω
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A
m
p
l
i
t
u
d
e
(
A
)
Caso 2
h
d
= 0.10 m
Vibração Axissimétrica
Segue
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Membrana anular com inclusão rígida 195
h
d
= 0.02 m
9.3 9.4 9.5 9.6
Freqüência de vibração (
ω
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A
m
p
l
i
t
u
d
e
(
A
)
Caso 1
Caso 2
h
d
= 0.05 m h
d
= 0.10 m
Vibração Assimétrica
Figura 7.9 – Relação freqüência (rad/s)-amplitude (m) para a vibração livre da membrana
anular com um disco rígido acoplado.
Na Figura 7.10 apresenta-se a relação normalizada freqüência-amplitude
para a vibração livre da membrana anular com inclusão rígida. A freqüência de
vibração foi normalizada com relação à freqüência natural de cada caso.
Verifica-se que as curvas das relações normalizadas das duas membranas
vibrando axissimetricamente após serem tracionadas por um carregamento de
mesma intensidade (h
d
= 0.10 m do Caso1 e h
d
= 0.05 m do Caso 2), se
sobrepõem. Com exceção da membrana vibrando assimetricamente acoplada a um
disco rígido de h
d
= 0.02 m no Caso 1, as membranas apresentam um
comportamento predominantemente softening, um comportamento bastante
diferente dos observados nos casos anteriores. Observa-se também que o grau de
não-linearidade varia de forma marcante com h
d
, sendo mais acentuado no modo
axissimétrico.
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Membrana anular com inclusão rígida 196
Vibração Axissimétrica Vibração Assimétrica
Figura 7.10 – Relação freqüência- amplitude normalizada para a vibração livre da
membrana anular com um disco rígido acoplado
Cabe ressaltar que neste problema, a massa do disco é bem superior à massa
total da membrana, sendo o disco o principal responsável pelas forças de inércia,
atuando a membrana como uma mola não-linear.
Posteriormente, obtém-se a relação freqüência normalizada-deslocamento
transversal para um ponto da membrana indeformada de coordenadas (0.5; π/2). O
método dos elementos finitos também é usado para calcular essa relação para
alguns exemplos e observa-se na Figura 7.11 que os resultados obtidos pelas duas
metodologias apresentam o mesmo comportamento, corroborando a qualidade da
modelagem matemática e aproximações adotadas na solução analítica.
Nota-se neste exemplo, analisando-se a faixa de variação de
o
ωω
, que a
não-linearidade deste problema é bem menor que nos casos anteriores. Isto se
deve aos grandes deslocamentos transversais iniciais da membrana, z
o
(ρ), o que
leva a membrana a trabalhar em um regime quase linear.
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Membrana anular com inclusão rígida 197
h
d
= 0.05 m Caso1 h
d
= 0.05 m Caso2
Vibração Axissimétrica
h
d
= 0.02 m Caso1 h
d
= 0.05 m Caso1
Vibração Assimétrica
Figura 7.11 – Relação freqüência- deslocamento transversal para a vibração livre da
membrana anular com um disco rígido acoplado.
7.4.3.
Análise não linear da vibração forçada
A membrana anular sujeita a uma tensão inicial de tração (peso do disco
rígido) é, então, submetida a uma força de excitação distribuída ao longo da sua
extremidade interna dada por:
Axissimétrica
)cos()( tPtP
o
Ω=
(7.48)
Assimétrica
)cos()( tMtM
o
Ω=
(7.49)
onde P
o
(N) e M
o
(Nm) são as amplitudes da excitação e
Ω
a freqüência da
excitação.
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Membrana anular com inclusão rígida 198
7.4.3.1.
Vibração Axissimétrica
As vibrações axissimétricas forçadas da membrana anular são obtidas
utilizando a solução modal, considerando uma força com amplitude excitação
P
o
= 1 N. A curva de ressonância é apresentada na Figura 7.12.
(a) h
d
= 0.02 m (b) h
d
= 0.05 m (c) h
d
= 0.10 m
Figura 7.12 – Curva de ressonância não linear da membrana anular com um disco rígido
acoplado vibrando axissimetricamente.
Os diagramas de bifurcação do mapa de Poincaré da membrana são obtidos
utilizando o método da continuação e apresentados na Figura 7.13, para uma
amplitude da excitação P
o
= 1 N e valores crescentes da espessura do disco rígido
e, conseqüentemente, da pré-tensão aplicada à membrana. As linhas contínuas
representam posições de equilíbrio estáveis e as linhas tracejadas representam
posições de equilíbrio instáveis.
(a) h
d
= 0.02 m (b) h
d
= 0.05 m (c) h
d
= 0.10 m
Figura 7.13 – Diagrama de bifurcação. Coordenada de Poincaré A (m) como função da
freqüência de excitação Ω (rad/s) − (P
o
= 1 N; ζ = 0.05).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510772/CA
Membrana anular com inclusão rígida 199
Observa-se em cada caso da Figura 7.13 que, para uma magnitude de força
unitária, a membrana pode exibir uma ou três respostas, dependendo do valor de
Ω. Os diagramas apresentam duas bifurcações nó-sela que conectam os ramos
estáveis com os instáveis.
Na Figura 7.14 apresenta-se, para valores selecionados da freqüência de
excitação na região principal de ressonância, o diagrama de bifurcação que tem
como parâmetro de controle P
o
. Verifica-se com o aumento da tração na
membrana o aumento da faixa de carregamento onde as soluções instáveis
existem, ou seja, um aumento da região de ressonância não-linear.
(a) h
d
=0.02 m; Ω=7.4 rad/s
(b) h
d
=0.05 m; Ω=5.5 rad/s
(c) h
d
=0.10 m; Ω=4.0 rad/s
Figura 7.14 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A (m) como função da amplitude da excitação
P
o
(N).(ζ = 0.05)
Ilustram-se na Figura 7.15 os diagramas de bifurcação para diferentes
valores de amortecimento. O aumento do amortecimento diminui a região onde a
multiplicidade das soluções e os saltos entre as soluções estáveis co-existentes
podem ocorrer, ou seja, diminui a não-linearidade da resposta.
(a) h
d
= 0.02m; Ω= 7.4 rad/s
(b) h
d
= 0.05m; Ω= 5.5 rad/s
(c) h
d
= 0.10m; Ω= 4.0 rad/s
Figura 7.15 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de amortecimento.
Coordenada de Poincaré A (m) como função da amplitude da excitação P
o
(N).
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Membrana anular com inclusão rígida 200
Na Figura 7.16 apresentam-se diagramas de bifurcação em função da
amplitude da excitação, para diferentes valores da freqüência da excitação para a
membrana com h
d
= 0.02 m. Para as freqüências de excitação bem próximas à
menor freqüência natural, há duas soluções estáveis e uma instável. Para valores
da freqüência de excitação distantes da região de ressonância só é observada uma
resposta estável, como esperado.
Figura 7.16 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de excitação.
Coordenada de Poincaré A
1
(m) em função da amplitude da excitação P
o
(N). (h
d
= 0.02
m; ζ = 0.05)
Bacias de atração no plano fase AxA
&
das soluções na região principal de
ressonância são ilustradas na Figura 7.17 . As cores diferentes correspondem aos
atratores distintos, cinza escuro corresponde a bacia de atração da oscilação de
grande amplitude e cinza claro corresponde a oscilação de pequena amplitude. Os
atratores são realçados por uma cruz preta nas bacias de atração.
Com o aumento da tração inicial, a complexidade da forma da bacia
aumenta com um número maior de faixas claras e escuras aumentando assim a
sensibilidade às condições iniciais. Nota-se que na região principal de
ressonância, para as membranas mais tracionadas, a maioria das condições iniciais
conduz a soluções que convergem para o atrator de menor amplitude. Este é mais
um aspecto onde o presente exemplo difere dos casos anteriores.
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Membrana anular com inclusão rígida 201
(a) h
d
= 0.02 m; Ω = 7.4 rad/s (b) h
d
= 0.05 m; Ω = 5.5 rad/s
(c) h
d
= 0.10 m; Ω = 4.0 rad/s
Figura 7.17 – – Bacia de atração no plano fase das condições iniciais
AxA
&
(P
o
= 1 N;
ζ = 0.05).
7.4.3.2.
Vibração Assimétrica
A vibração assimétrica forçada ocorre após o disco rígido ser carregado por
um momento excitador M(t), descrito em (7.49), o que provoca na membrana
vibrações como a ilustrada na Figura 7.7 -b.
Para a solução analítica, considera-se uma força com amplitude de excitação
M
o
= 0.5 Nm e obtêm-se as curvas de ressonância para a membrana acoplada a um
disco rígido. Essas curvas são apresentadas na Figura 7.18 para valores crescentes
da espessura do disco e, conseqüentemente, da pré-tensão aplicada à membrana.
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Membrana anular com inclusão rígida 202
Verifica-se que inicialmente para pequenos valores de pré-tensão a
membrana apresenta um comportamento hardening e, à medida que a pré-tensão
aumenta, a membrana passa a apresentar perda de rigidez (softening) com o
aumento das amplitudes de vibração.
(a) h
d
= 0.02 m (b) h
d
= 0.05 m (c) h
d
= 0.10 m
Figura 7.18 – Curva de ressonância não linear da membrana anular com um disco rígido
acoplado vibrando assimetricamente.
Novamente, o método de continuação é utilizado para o cálculo dos
diagramas de bifurcação do mapa de Poincaré. Na Figura 7.19 são ilustrados os
diagramas de bifurcação da membrana utilizando uma amplitude da excitação
M
o
= 0.5 Nm. Observa-se que para as membranas que possuem um
comportamento com perda de rigidez (b e c) o aumento da pré-tensão aumenta a
faixa de freqüência onde as soluções instáveis existem. A não-linearidade da
membrana com ganho de rigidez (Figura 7.19-a) é maior que a não-linearidade
dos outros dois casos.
(a) h
d
= 0.02 m (b) h
d
= 0.05 m (c) h
d
= 0.10 m
Figura 7.19 – Diagramas de bifurcação. Coordenada de Poincaré A (m) como função da
freqüência de excitação Ω (rad/s) (Mo = 0.5 Nm; ζ = 0.01).
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Membrana anular com inclusão rígida 203
Na Figura 7.20 apresenta-se, para valores selecionados da freqüência de
excitação na região principal de ressonância, o diagrama de bifurcação em função
da amplitude da excitação M
o
. Como nos casos anteriores, os diagramas
apresentam duas bifurcações nó-sela que conectam os ramos estáveis com os
instáveis.
(a) h
d
= 0.02 m;
Ω = 17.5 rad/s
(b) h
d
= 0.05 m;
Ω = 12.12 rad/s
(c) h
d
= 0.10 m;
Ω = 9.5 rad/s
Figura 7.20 – Diagramas de bifurcação para valores selecionados da freqüência de
excitação. Coordenada de Poincaré A (m) como função da amplitude da excitação
M
o
(Nm) (ζ = 0.01).
A influência do amortecimento é ilustrada na Figura 7.21.
(a) h
d
= 0.02 m;
Ω = 17.5 rad/s
(b) h
d
= 0.05 m;
Ω = 12.12 rad/s
(c) h
d
= 0.10 m;
Ω = 9.5 rad/s
Figura 7.21 – Diagramas de bifurcação com diferentes valores de amortecimento.
Coordenada de Poincaré A (m) como função da amplitude da excitação M
o
(Nm).
Na Figura 7.22 apresenta-se diagramas de bifurcação em função da
amplitude da excitação para diferentes valores da freqüência da excitação para a
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Membrana anular com inclusão rígida 204
membrana com h
d
= 0.02 m. Observa-se o mesmo comportamento da
multiplicidade de soluções notado para a vibração axissimétrica.
Figura 7.22 - Diagramas de bifurcação com diferentes valores da freqüência de excitação.
Coordenada de Poincaré A (m) em função da amplitude da excitação M
o
(Nm).
(h
d
= 0.02 m; ζ = 0.01)
Por fim, analisou-se o comportamento das bacias de atração das soluções na
região principal de ressonância. A Figura 7.23 ilustra as bacias de atração no
plano fase
AxA
&
. Observa-se que a membrana acoplada ao disco com h
d
= 0.05 m
apresenta uma bacia menos complexa, com um número menor de faixas claras
(oscilação de menor amplitude) e escuras (oscilação de maior amplitude). Nota-se
que a maioria das condições iniciais conduz a soluções que convergem ao atrator
(cruz preta) de menor amplitude.
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Membrana anular com inclusão rígida 205
(a) h
d
= 0.02 m; Ω = 17.5 rad/s (b) h
d
= 0.05 m; Ω = 12.12 rad/s
(c) h
d
= 0.10 m; Ω = 9.5 rad/s
Figura 7.23 – Bacia de atração no plano fase
AxA
&
(ζ = 0.05; M
o
= 0.5 Nm).
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8
Conclusões e sugestões
8.1.
Conclusões
Este trabalho trata do comportamento dinâmico de membranas
hiperelásticas circulares, completas e anulares, previamente tracionadas. Em
particular são estudadas as vibrações não lineares livres e forçadas de grande
amplitude. Isto é feito através de uma análise paramétrica detalhada onde são
analisados: a relação não-linear freqüência-amplitude, curvas de ressonância,
diagramas de bifurcação, co-existência de soluções e bacias de atração.
Para a análise desses fenômenos não-lineares, difíceis de serem analisados
usando modelos com um grande número de graus de liberdade, este trabalho
desenvolve modelos de dimensão (ou ordem) reduzida para o estudo das vibrações
transversais da membrana hiperelástica submetida a grandes deslocamentos. Estes
modelos são deduzidos com base na análise das equações não-lineares de
movimento e de uma investigação numérica do problema através de uma
modelagem refinada por elementos fintos. A modelagem por elementos finitos
permitiu justificar várias simplificações do modelo analítico tais como desprezar o
efeito dos deslocamentos no plano da membrana nas vibrações não-lineares. A
qualidade da modelagem é também comprovada através do método de Karhunen-
Loève, usando-se os dados obtidos através da análise por elementos finitos e da
expansão dos modos ortogonais próprios em séries dos modos normais de
vibração. Com isto mostra-se que a análise conjunta através do método dos
elementos finitos e de Karhunem-Loève pode ser usada de forma eficiente na
dedução de modelos para estruturas com outras geometrias, condições de contorno
e carregamento.
O uso conjunto do método de Karhunen-Loève com séries de modos
normais para dedução de modelos eficientes com poucos graus de liberdade é uma
contribuição original desta linha de pesquisa. Deve-se destacar que a dedução de
modelos precisos com poucos graus de liberdade para análise dinâmica não-linear
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Conclusões e sugestões 207
é uma área de pesquisa de crescente importância em engenharia e que não foram
encontrados estudos anteriores sobre a dedução de modelos reduzidos para
membranas na literatura.
Para a dedução dos modelos de ordem reduzida, é apresentada inicialmente
uma formulação variacional para a análise dinâmica de membranas circulares
submetidas a um estado de tensões iniciais usando a teoria de elasticidade finita
para membranas hiperelásticas.
A escolha da geometria circular sob tração radial se deve à sua importância
tecnológica e científica. Além de ser usada em várias aplicações práticas, essa
geometria, em função de sua simplicidade e simetrias, permite se obter soluções
analíticas tanto para o problema estático e quanto para o problema dinâmico.
Sendo este um estudo pioneiro na área de vibrações de membranas hiperelásticas,
estas soluções podem ser usadas como benchmark em futuras pesquisas.
A análise paramétrica e o estudo da estrutura das equações não lineares de
movimento levaram a uma série de observações e conclusões a respeito do
comportamento dinâmico de membranas hiperelásticas, em particular sobre a
influência do estado de tensões iniciais nos resultados.
Verifica-se em todos os casos que, à medida que aumenta a tração radial, as
freqüências naturais crescem de forma não linear a partir de zero e tendem a um
valor constante para valores de raio deformado maiores que duas vezes o raio
inicial. É deduzida em cada caso uma expressão analítica para o limite superior da
freqüência associada a cada modo de vibração.
Verifica-se também que a não-linearidade da resposta da membrana
hiperelástica diminui com o aumento da amplitude de vibração, diminuindo a
importância de modos mais altos na resposta de grande amplitude. Este
comportamento é diferente do encontrado na maioria dos elementos estruturais
desta classe, tais como placas e cascas, onde o grau de não-linearidade aumenta
com a amplitude de vibração e está associada ao crescente efeito da flexão.
Observa-se que a freqüência cresce inicialmente com a amplitude (exceto no caso
com inclusão rígida) e tende assintoticamente para um limite superior que é o
mesmo observado para a freqüência natural do modo em estudo. Isto é
comprovado matematicamente através do limite das equações de movimento
quando o raio deformado tende a infinito.
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Conclusões e sugestões 208
O grau de não-linearidade da relação freqüência-amplitude cresce à medida
que a tensão inicial devida à deformação radial decresce, sendo a não linearidade
bastante acentuada para membranas levemente tracionadas.
Esta não linearidade tem influência marcante nas vibrações forçadas da
membrana. Quando se analisa as curvas de ressonância e diagramas de bifurcação
da membrana, observa-se que em uma ampla faixa de variação da magnitude e
freqüência da excitação há a coexistência de vibrações de pequena e grande
amplitude, o que pode levar a mudanças bruscas na amplitude de vibração na
presença de perturbações ou em virtude da variação dos parâmetros da excitação.
Esta faixa onde distintas soluções estáveis coexistem cresce à medida que a tensão
inicial decresce. Nesta região, a análise das bacias de atração mostra que a maioria
das condições iniciais leva a oscilações de grande amplitude. Este comportamento
é distinto do da maioria das estruturas onde, na região de ressonância não linear, a
maioria das condições iniciais levam a oscilações de pequena amplitude.
A variação da massa específica ou da espessura ao longo da direção radial
da membrana, não modifica o comportamento global das vibrações não lineares
da membrana.
A consideração de uma inclusão rígida cujo peso, agindo na direção
transversal à membrana, é responsável pela pré-tração inicial modifica bastante o
comportamento da membrana. Além de diminuir o grau de não linearidade da
resposta, dependendo do nível de tração inicial, a membrana pode apresentar um
comportamento com ganho ou perda de rigidez.
Por fim, os resultados da membrana analisada usando modelos constitutivos
baseados em diferentes invariantes mostram que a membrana exibe a mesma
relação de freqüência-amplitude não-linear para todos os modelos testados.
Assim, devido a sua precisão, a formulação apresentada e resultados teóricos
podem servir como importantes caminhos para o desenvolvimento de modelos
numéricos e analíticos completamente não-lineares que podem englobar
geometrias e condições de contorno mais complexas.
Os resultados obtidos com os modelos reduzidos se comparam de forma
favorável com os obtidos usando-se o método dos elementos finitos. Verifica-se
na utilização do método dos elementos finitos a necessidade de um grande esforço
computacional para a obtenção de resultados, tais como as relações freqüência-
deslocamento de membranas pré-tensionada. Dessa maneira, os modelos de
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Conclusões e sugestões 209
dimensão reduzida demonstram ser uma alternativa para a minimização desse
esforço.
8.2.
Sugestões
A análise de membranas hiperelásticas é um assunto de grande relevância
científica e tecnológica. Apesar disto, encontram-se na literatura poucas
contribuições sobre o comportamento dinâmico não linear destas estruturas,
particularmente quando as mesmas estão submetidas a grandes deformações.
Nesta tese alguns tópicos relativos à vibração não linear destas estruturas foram
analisados. Assim, sugere-se o prosseguimento dos estudos nesta área de
pesquisa, enfocando, dentre outros, os seguintes tópicos:
• Análise das vibrações não lineares e instabilidade dinâmica de membranas
hiperelásticas com outras geometrias, tais como membrana cilíndrica.
• Análise do comportamento dinâmico de membranas com material
ortotrópico.
• Estudo do fenômeno de flambagem localizada em membranas,
denominado enrrugamento.
• Investigação experimental do comportamento de membranas hiperelásticas
sob vibrações livres e forçadas de grande amplitude.
• Análise do comportamento dinâmico e estabilidade de membranas de
material visco-elástico.
• Estudo do comportamento dinâmico e estabilidade de membranas
construídas com novos materiais tais como as membranas de material magneto-
reológico e suas aplicações no controle de vibrações.
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9
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de Janeiro.
XAVIER, S. R. Comportamento não-linear e instabilidade de membranas e
cascas hiperelásticas. Rio de Janeiro, 2003. 180p. Tese de doutorado –
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro.
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