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Esteban Maldonado Quispe
Análise Dinâmica de um
Aterro Reforçado com
Geossintéticos
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil da PUC-
Rio. Área
de concentração: Geotecnia
Orientador: Celso Romanel
Rio de Janeiro, 01 de Agosto de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611833/CA
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Esteban Maldonado Quispe
Análise Dinâmica de um Aterro Reforçado
com Geossintéticos
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada
pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Celso Romanel
Orientador
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
João Luis Pascal Roehl
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Michéle Dal Toé Casagrande
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
José Eugênio Leal
Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico da PUC-Rio
Rio de Janeiro, 01 de Agosto de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611833/CA
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Ficha Catalográfica
CDD: 624
Maldonado Quispe, Esteban
Análise dinâmica de um aterro reforçado com
geossintéticos / Esteban Maldonado Quispe;
orientador: Celso Romanel. – Rio de Janeiro, PUC,
Departamento de Engenharia Civil, 2008.
v.,134 f. : il. ; 29.7 cm.
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de
Engenharia Civil.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia civil – Tese. 2. Geossintéticos. 3.
Análise numérica. 4. Aterro. 5. Solo reforçado. 6.
Análise dinâmica. I. Romanel, Celso. II. Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução
total ou parcial do trabalho sem autorização da
universidade, do autor e do orientador.
Esteban Maldonado Quispe
Graduou-se em Engenharia Minas em 1991 pela
Universidad Nacional del Centro del Peru (UNCP) e
em Engenharia Civil em 2002 pela Universidad
Peruana Los Andes (UPLA). Ingressou em 2006 no
curso de Mestrado em Engenharia Civil da Pontifícia
Universidade Católica de Rio de Janeiro, na área de
Geotecnia, onde desenvolveu dissertação de mestrado
na linha de pesquisa em geomecânica computacional.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611833/CA
Agradecimentos
A Deus, por conduzir-me por caminhos de sabedoria e com Sua benção.
Aos meus queridos irmãos, Celestino, Pablo, Guillermo e Martha, pelo amor e
apoio moral mesmo à distância.
À memória de meus pais que sempre estão em minha mente e no meu coração.
Ao Professor Celso Romanel, por sua orientação, paciência e conhecimentos
transmitidos durante a elaboração deste trabalho, meus mais sinceros
agradecimentos.
A meus professores Mohamed Mehdi Hadi (UPLA-Perú) e Orison Delzo Salomé
(UNCP-Perú) por seu apoio moral para tornar este mestrado realidade.
À Paola Regina e Vivian Rodrigues Marchesi pelas respostas às minhas
questões e pela amizade brindada.
Ao Denys Parra, por seu apoio na elaboração deste trabalho.
Aos meus amigos e colegas da PUC-Rio, pelo carinho e amizade.
Aos funcionários e a todos os professores do Departamento de Engenharia Civil
da PUC-Rio.
À Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) por dar-me a
valiosa oportunidade de ter sido aluno desta grande instituição.
Ao CNPq e À CAPES pela concessão da bolsa de estudos que me possibilitou o
suporte financeiro durante minha estada no Brasil.
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Resumo
Maldonado, Esteban Quispe. Romanel, Celso (Orientador). Análise
Dinâmica de um Aterro Reforçado com Geossintéticos. Rio de Janeiro,
2008. 134p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Este trabalho tem como objetivo analisar a resposta sísmica do talude de um
aterro (10,40m de altura e 76° de inclinação), reforçado com geossintéticos (09
camadas de reforço horizontal com 10 m de comprimento) localizada em zona de
atividade sísmica, no Peru. Os aspectos investigados compreendem o estudo da
estabilidade de taludes sob condição estática, a resposta dinâmica da estrutura, a
influência das condições de contorno, do tipo de amortecimento do solo e
do
ângulo de atrito do solo que forma o aterro aterro. As análises dinâmicas foram
realizadas utilizando o programa computacional FLAC (ITASCA, 2005), com
representação dos reforços geossintéticos como elementos de cabo. O
comportamento mecânico do material de rejeito foi simulado através do modelo
elastoplástico de Mohr-Coulomb, considerando tanto o amortecimento de
Rayleigh (dependente da freqüência), quanto o amortecimento histerético
(dependente da deformação cisalhante do solo), com o objetivo de verificar os
efeitos na resposta dinâmica do aterro e na distribuição das cargas máximas nos
reforços. Um melhor entendimento de comportamento de taludes reforçados,
principalmente sob ação de carregamentos sísmicos, é essencial para um adequado
projeto de engenharia, tanto em termos técnicos quanto econômicos, em diversos
países andinos da América do Sul.
Palavras-chave
Geossintéticos, análise numérica, aterro, solo reforçado, análise dinâmica.
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Abstract
Maldonado, Esteban Quispe. Romanel, Celso (advisor). Dynamic Analysis
of a Geosynthetic Reinforced Embankment. Rio de Janeiro, 2008. 134p.
M.Sc. Thesis – Department of Civil Engineering, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
The main objective of this research is to investigate the seismic response of a
soil slope reinforced with geosynthetics, located in an active seismic region of
Peru. The 10.40m high slope was reinforced with 9 horizontal layers of
geosynthetics 10m long. The aspects studied in this work are related to the slope
static stability, the dynamic response of the embankment under seismic excitation,
the effects of the boundary conditions and the different types of mechanical
damping, the influence of the friction angle of the soil that forms the
embankment. The seismic analysis was carried out with the computational
program FLAC, where the reinforcement layers were represented by means of
cable elements. The soil mechanical behavior was simulated through the Mohr-
Coulomb elastoplastic constitutive model, considering both the frequency-
dependent Rayleigh damping and the hysteretic damping (dependent on the soil
shear deformation) with the objective to understand the influence of all these
variables on the dynamic response of the structure and on the distribution of
traction forces along the reinforcements. A good knowledge about the mechanical
behavior of soil reinforced structures is essential for an efficient engineering
design, under the technical and economical points of view, mainly in the Andean
countries of South America.
Keywords
Geosynthetics, numerical analysis, embankment, reinforced soil, dynamic
analysis.
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Sumário
1. Introdução 19
1.1. Motivação e objetivos 19
1.2. Estrutura da dissertação 20
2. Revisão Bibliográfica 21
2.1. Introdução 21
2.2. Tectônica de placas 21
2.2.1. Deriva dos continentes 21
2.2.2. Sismicidade no Peru 25
2.3. Propagação de ondas planas de tensão 26
2.4. Solos reforçados com geossintéticos 29
2.4.1. Geossintéticos 31
2.4.1.1. Geotêxteis 31
2.4.1.2. Geogrelhas 33
2.4.2. Desempenho de solos reforçados sob carregamentos sísmicos 33
2.4.3. Mecanismos de ruptura em solos reforçados 36
2.5. Estabilidade de estruturas de contenção com solos reforçados 38
2.5.1. Estabilidade externa 38
2.5.2. Estabilidade interna 38
2.5.3. Análise estática de taludes de solo reforçado 40
2.5.4. Análise dinâmica de taludes de solo reforçado 42
2.6 Modelo linear equivalente 45
2.6.1. Estimativa de G
max
47
2.6.2. Curva de redução do módulo cisalhante 49
2.6.3. Razão de amortecimento 50
3. Modelagem numérica com programa FLAC 53
3.1. Descrição geral do programa FLAC 53
3.2. Modelagem do aterro 56
3.3. Modelagem do reforço 57
3.3.1. Comportamento axial 57
3.3.2. Comportamento cisalhante na interface solo-reforço 58
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3.3.3. Propriedades do reforço 60
3.4. Aspectos da modelagem dinâmica 60
3.4.1. Contornos silenciosos 60
3.4.2. Contornos de campo livre 62
3.4.3. Transmissão de ondas 64
3.4.4. Filtragem do registro sísmico 64
3.4.5. Correção da linha base 65
3.4.6. Carregamento dinâmico 66
3.4.7. Amortecimento mecânico 68
3.4.7.1. Amortecimento de Rayleigh 68
3.4.7.2. Amortecimento histerético 71
3.4.7.3. Amortecimento local 73
4. Estabilidade estática do aterro reforçado 75
4.1. Introdução 75
4.2. Propriedades dos materiais 75
4.2.1. Propriedades do solo 75
4.2.2. Propriedades do reforço e interface 76
4.3. Discretização 77
4.4. Estabilidade estática do aterro 79
4.5. Deslocamentos laterais e forças nos reforços 81
5. Análise dinâmica do aterro reforçado 84
5.1. Sismo de projeto 84
5.2. Perfil do solo 86
5.3. Análise 1D com o programa SHAKE 89
5.4. Análise 1D com o programa FLAC e amortecimento histerético 90
5.5. Modelagem dinâmica do aterro reforçado com FLAC 93
5.5.1. Propriedades dos solos e reforços 93
5.5.2. Malha, condições de contorno, tamanho de zonas 93
5.5.3. Filtragem 95
5.5.4. Correção da linha base 96
5.5.5. Carregamento dinâmico 99
5.5.6. Freqüência fundamental do sistema 101
5.6. Resultados do análise dinâmica do aterro reforçado 103
5.6.1. Influência dos contornos 103
5.6.2. Influência de amortecimento mecânico 107
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5.6.2.1. Amortecimento de Rayleigh 107
5.6.2.2. Amortecimento histerético 107
5.6.2.3. Amortecimento local 111
5.7. Comparações dos resultados 112
5.8. Influência do ângulo de atrito no amortecimento histerético 115
6. Conclusões e sugestões 117
Referências bibliográficas 120
Anexos 127
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Lista de figuras
Figura 2.1 – Teoria da deriva dos continentes segundo Taylor (1910), Wegener
(1915) 23
Figura 2.2 – Placas tectônicas principais (USGS, Washington, 2001). 24
Figura 2.3 – Elementos característicos de um terremoto. 24
Figura 2.4 – Esquema de zona subducção no Peru, movimentos de placas e
distribuição de sismos (H.Talavera, IGP,1993). 25
Figura 2.5 – Deformações produzidas por ondas P (apud Kramer, 1996) 27
Figura 2.6 – Deformações produzidas por ondas SV (apud Kramer,1996). 27
Figura 2.7 – Deformações causadas por ondas superficiais: (a) ondas Rayleigh;
(b) ondas de Love (apud Kramer, 1996). 28
Figura 2.8 – Relação entre C
R
, Cs, e Cp em função do coeficiente de Poisson
(apud Richard & Woods 1970). 28
Figura 2.9 – Ondas sísmicas registradas a 10.000 km do epicentro: a) sismo de
foco profundo; b) sismo de foco superficial (apud Sauter, 1989). 29
Figura 2.10 – Aterro reforçado de 35m de altura na cidade de Taichung, Taiwan.
30
Figura 2.11 – Sistema de muro de contenção reforçado usando geossintéticos.
31
Figura 2.12 - Arranjo estrutural de geotêxteis. 32
Figura 2.13 - Exemplos de geogrelhas. 33
Figura 2.14 - Fissuração atrás dos reforços de comprimento curto, no topo do
muro Valencia ( EUA), após terremoto de Northridge, em 1994 (Bathurst e
Cai, 1995). 35
Figura 2.15 - Ruptura de paramento de blocos de concreto de muro reforçado
com geossintéticos após terremoto Chi - Chi, de magnitude 7.3, em Tai -
Chung (Taiwan). 35
Figura 2.16 - Sistema de instrumentação com acelerômetros, potenciômetros e
condição da face do modelo construído por Perez (1999). 36
Figura 2.17 - Mecanismo de reforço de estruturas de contenção em solos
reforçados (apud Huasmann, 1990). 37
Figura 2.18 - Tensões principais em solos reforçados (apud Hausmann,1990). 38
Figura 2.19 - Modos de ruptura de estruturas em solo reforçado (apud Lee,
2000). 39
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611833/CA
Figura 2.20 - Zonas ativa e resistente (Ehrlich e Mitchell, 1994). 40
Figura 2.21 - Seção transversal da barragem de Lower San Fernando antes e
após o sismo de 1971. 43
Figura 2.22 - Procedimento de dupla integração no tempo no método de
Newmark (Smith, 1995). 45
Figura 2.23 - Comportamento cíclico típico dos solos (Kramer, 1996): a) Relação
tensão-deformação cisalhante para o primeiro ciclo de carregamento. b)
Variação da rigidez em função do nível de deformação por cisalhamento
47
Figura 2.24 - Variação do módulo de cisalhamento K
2max
para areias com
diferentes densidades relativas - Seed e Idriss (1970). 48
Figura 2.25 - Faixa de variação de G/G
max
com a deformação cisalhante para
areias (Seed e Idriss, 1970). 49
Figura 2.26 - Faixa de variação de G/G
max
com a deformação cisalhante para
pedregulhos (Seed e Idriss, 1970). 49
Figura 2.27 - Efeito do índice de plasticidade na curva de redução do módulo de
cisalhamento de solos coesivos (Vucetic e Dobry,1991). 50
Figura 2.28 - Variação da razão de amortecimento para areias (Seed e Idriss,
1970). 51
Figura 2.29 - Comparação da variação da razão de amortecimento para solos
com pedregulho e areias (Seed et al.., 1986). 51
Figura 2.30 - Efeito do índice de plasticidade nas curvas de variação da razão de
amortecimento vs deformação cisalhante para solos coesivos (Vucetic e
Dobry,1991). 52
Figura 3.1 - Exemplo de modelagem no programa FLAC. 53
Figura 3.2 - Comportamento do material para elementos de cabo. 58
Figura 3.3 - Comportamento do material de interface. 59
Figura 3.4 - Modelo para análise sísmica de uma estrutura de superfície e com
condição de contorno em campo livre. 63
Figura 3.5 - Processo de correção da linha base. 66
Figura 3.6 - Condições de contorno e carregamento dinâmico. 67
Figura 3.7 - Variação da razão de amortecimento crítica normalizada em relação
à freqüência angular. 70
Figura 3.8 - Limite superior da curva de redução do modelo de cisalhamento
para areias proposta por Seed & Idriss(1970). 71
Figura 3.9 - Curvas de degradação de G no modelo linear equivalente
implementado nos programas computacionais SHAKE e FLAC v.5. 72
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Figura 3.10 - Curvas de aumento da razão crítica de amortecimento no modelo
linear equivalente implementado nos programas computacionais SHAKE e
FLAC v.5 73
Figura 4.1 - Instalação de geogrelha e colocação de material de rejeito na
construção do aterro reforçado (Peru). 78
Figura 4.2 - Construção da etapa final do aterro reforçado com geossintéticos na
barragem de rejeitos III da mina San Rafael (Peru). 78
Figura 4.3 - Discretização adotada para análise estática. 79
Figura 4.4 - Análise de estabilidade do aterro sem reforço - contornos de máxima
velocidade de deformação cisalhante e vetores de velocidade. 80
Figura 4.5 - Análise de estabilidade do aterro com reforço - contornos de máxima
velocidade de deformação cisalhante. 80
Figura 4.6 - Variação de fator de segurança com a altura do talude com e sem
reforço. 81
Figura 4.7 - (a) Deslocamentos horizontais na face do talude. (b) Tração máxima
nos reforços de geossintético. 82
Figura 4.8 - Equilíbrio local de uma camada de reforço. 83
Figura 4.9 - Ábaco para projeto de taludes reforçados (R.I.Woods,1993). 83
Figura 5.1 - Curvas de isoacelerações para 10% de excedência em 100 anos
(Alva e Castillo, 1993), Peru. 85
Figura 5.2 - Registro de acelerações do terremoto de Moquegua de 23/06/2003.
86
Figura 5.3 - Registro normalizado das acelerações do terremoto de Moquegua
de 23/06/2003 em relação à aceleração máxima de 0.19g no embasamento
rochoso. 86
Figura 5.4 - Material do rejeito: curvas de variação do módulo G e da razão de
amortecimento para areias(Seed e Idriss, 1970; Idriss, 1990). 87
Figura 5.5 - Material de botafora: curvas médias de variação do módulo G e da
razão de amortecimento para areias e pedregulhos. 88
Figura 5.6 - Amplificação da aceleração na profundidade de 12m (SHAKE). 89
Figura 5.7 - Relação da tensão versus deformação cisalhante do material da
camada 3 do aterro (SHAKE). 90
Figura 5.8 - Modelo unidimensional utilizado no FLAC. 91
Figura 5.9 - Resposta das acelerações na profundidade de 12m (FLAC). 92
Figura 5.10 - Tensão cisalhante versus deformação cisalhante na camada de
número 3, a 5m de profundidade do topo do aterro (FLAC). 92
Figura 5.11 - Malha do modelo adotado no FLAC. 94
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Figura 5.12 - Modelo de aterro reforçado com materiais e condições de contorno
indicados (FLAC). 95
Figura 5.13 - História de aceleração horizontal na fase intensa do sismo. 97
Figura 5.14 - Espectro de potência do registro de acelerações da figura 5.13
(FLAC). 97
Figura 5.15 - História de aceleração horizontal na fase intensa do sismo
considerando filtro em 7.3 Hz. 98
Figura 5.16 - Espectro de potência do registro de acelerações da figura 5.15
considerando filtro em 7.3 Hz. 98
Figura 5.17 - História dos deslocamentos com linha base corrigida e não-
corrigida (FLAC). 99
Figura 5.18 - História das velocidades com linha base corrigida e não-corrigida
(FLAC). 99
Figura 5.19 - Ajuste necessário para concordar os registros de ondas de
velocidade e de ondas de tensão cisalhante: (a) na base do modelo, em
função dos deslocamentos horizontais; (b) na base do modelo, em função
das velocidades horizontais. 101
Figura 5.20 - História das velocidades horizontais (m/s) não-amortecidas no
ponto nodal (15,15) usando o FLAC. 102
Figura 5.21 - Espectro de potência das velocidades horizontais não-amortecidas
no ponto nodal (15,15). Freqüência fundamental =1.048 Hz. 102
Figura 5.22 - Influência da introdução de contornos de campo livre: (a) na
distribuição dos deslocamentos horizontais; (b) na distribuição de forças de
tração nos reforços. 104
Figura 5.23 - Influência da consideração de contornos de campo livre no registro
de velocidades do nó (31,29), no topo do talude. 104
Figura 5.24 - Contornos de deslocamentos horizontais ao final da excitação
sísmica. Análise não-amortecida. 105
Figura 5.25 - Contorno de máximos incrementos de deformação cisalhante ao
final da excitação sísmica. Análise não-amortecida. 106
Figura 5.26 - Distribuição de esforços de tração nos reforços do aterro ao final da
excitação sísmica. Análise não-amortecida. 106
Figura 5.27 - Contornos de deslocamentos horizontais ao final da excitação
sísmica. Amortecimento de Rayleigh. 107
Figura 5.28 - Contornos de incrementos máximos de deformação cisalhante ao
final da excitação sísmica. Amortecimento de Rayleigh. 108
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Figura 5.29 - Forças máximas de tração nas camadas de reforço do aterro ao
final da excitação sísmica. Amortecimento de Rayleigh. 108
Figura 5.30 - Contornos de deslocamentos horizontais ao final da excitação
sísmica. Amortecimento histerético e de Rayleigh (0.5%). 109
Figura 5.31 - Contornos de incrementos máximos de deformação cisalhante, ao
final da excitação sísmica. Amortecimento histerético e de Rayleigh (0.5%).
110
Figura 5.32 - Forças máximas de tração nas camadas de reforço ao final da
excitação sísmica. Amortecimento histerético e de Rayleigh (0.5%) 116
Figura 5.33 - Contornos de deslocamentos horizontais ao final da excitação
sísmica. Amortecimento local. 111
Figura 5.34 - Contornos de incrementos máximos de deformação cisalhante, ao
final da excitação sísmica. Amortecimento local. 112
Figura 5.35 - Forças máximas de tração nas camadas de reforço ao final da
excitação sísmica. Amortecimento local. 112
Figura 5.36 - Influência do amortecimento mecânico no deslocamento horizontal
da face do aterro reforçado. 113
Figura 5.37 - Influência do amortecimento mecânico na força de tração máxima
no aterro reforçado. 114
Figura 5.38 - História dos deslocamentos no topo do aterro reforçado (nó 31,29).
114
Figura 5.39 - Influência do ângulo de atrito nos deslocamentos horizontais da
face do talude do aterro reforçado. 115
Figura 5.40 - Influência de ângulo de atrito nas forças de tração máxima nos
reforços do aterro. 116
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Lista de tabelas
Tabela 2.1 – Tipos de geossintético e principais funções (Koerner,1998) 31
Tabela 2.2 – Resumo do desempenho de estruturas de solo reforçado sob ação
sísmica (Nova – Roessing, 1999) 34
Tabela 2.3 - Fator de segurança mínimo em talude de solo reforçado (Holtz et
al., 1997) 41
Tabela 2.4 – Estimativa de K
2,max
(Seed e Idriss, 1970) 48
Tabela 3.1 - Modelos constitutivos disponíveis no programa FLAC v.5 55
Tabela 3.2 – Valores típicos da razão de amortecimento crítico 70
Tabela 4.1 - Propriedades da fundação e solo de aterro 76
Tabela 4.2 – Características do rejeito do aterro 76
Tabela 5.1 – Valores representativos de critérios de projeto considerando
movimentos sísmicos 84
Tabela 5.2 – Perfil de depósito do solo e respectivas propriedades 87
Tabela 5.3 - Propriedades do solo de fundação e aterro 93
Tabela 5.4 – Propriedades das geogrelhas 93
Tabela 5.5 – Cálculo de tamanho máximo da zona (elemento) 95
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Lista de símbolos
A Área da seção transversal do reforço
A
laço
Àrea do laço de histerese
B Largura do aterro
p
C
Velocidade de onda primária
s
C
Velocidade de onda secundária
R
C
Velocidade de onda Rayleigh
C Coesão
comp
C
Coesão do material compósito
r
D
Densidade relativa
E Módulo de Young
FS Fator de segurança
Fs Força cisalhante desemvolvida ao longo da interface
reforço-solo
Fi
Força nodal
)(
ω
Fij
Função de transferencia entre camadas i e j
f
Freqüência
G Módulo de cisalhamento
max
G
Módulo de cisalhamento máximo
sec
G
Módulo de cisalhamento secante
H Altura de aterro
J Rigidez do reforço
K Módulo de deformação volumétrica
o
K
Coeficiente de empuxo
bond
K
Rigidez cisalhante da interface
s
k
Rigidez cisalhante
n
k
Rigidez normal
L Comprimento da zona reforçada
o
l
Comprimento inserido na zona resistente
i
n
Vetor unitário
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P Poropressão
P
a
Pressão atmosférica
P
y
Límite de escoamento
r
a
Raio do círculo a
h
S
Espaçamento horizontal
v
S
Espaçamento vertical
bond
S
Coesão da argamassa
friction
S
Ângulo de atrito da argamassa
)(s
S
Valor inicial da tensão
T Resistência ao cisalhamento do solo
tn Tensão normal ao contorno
ts Tensão cisalhante ao contorno
y
T
Resistência ao escoamento do solo
pullout
T
Resistência ao arrancamento do reforço
c
u
Deslocamento axial do cabo
m
u
Deslocamento axial do solo
.
)(
u
b
i
Vetor de velocidade do nó "b"
n
v
Componente da velocidade normal ao contorno
s
v
Componente da velocidade tangencial ao contorno
yx
vv ,
Componentes das velocidades nas direções x e y
m
x
V
Velocidade na direção x do nó do contorno na malha
principal
m
y
V
Velocidade na direção y do nó do contorno na malha
principal
ff
x
V
Velocidade na direção x do nó do contorno na malha
de campo livre
ff
y
V
Velocidade na direção y do nó do contorno na malha
de campo livre
W Peso de solo
W
d
Energia dissipada no ciclo
W
s
Energia de deformação máxima
i
ω
Freqüência angular
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)()(
,
SS
yx
Coordenada do nó inicial
)()(
,
ee
yx
Coordenada do nó final
ρ
Massa específica
i
ξ
Razão de amortecimento crítico
m
´
σ
Tensão normal efetiva media
γ
Deformação cisalhante
sg
φ
Ângulo de atrito na interface solo-geossinténtico.
β
Ângulo do talude
F
∆
Incremento de força axial
ff
xx
σ
Tensão horizontal média em nó do contorno da malha
de campo livre
ff
xy
σ
Tensão cisalhante média em nó do contorno da malha
de campo livre
n
σ
Tensão normal aplicada
s
σ
Tensão cisalhante aplicada
β
α
,
Coeficientes de Rayleigh
ε
Deformação axial
λ
Comprimento de onda
L
α
Coeficiente de amortecimento local
φ
Ângulo de atrito
)(
.
b
i
u
Vetor de velocidade no nó "b"
ψ
Ângulo de dilatância
y
S∆
Tamanho da zona vertical média nos nós do contorno
γ
Peso específico
zz
σ
Tensão fora-do-plano
l
∆
Comprimento do elemento na direção de propagação
da onda
τ
Tensão cisalhante
υ
Coeficiente de Poisson
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1
Introdução
1.1.
Motivação e Objetivos
Nos últimos anos, a utilização de geossintéticos como técnica de reforço
de solos tem aumentado significativamente devido a sua excelente flexibilidade e
uniformidade, resistência à corrosão, rapidez de construção e baixo custo.
De acordo com Informações da literatura, o desempenho de estruturas de
contenção reforçadas com geossintéticos sujeitas a carregamentos sísmicos tem
apresentado resultados variáveis, às vezes contraditórios. O terremoto de Kobe,
no Japão (1995), causou sérios danos a estruturas convencionais de alvenaria,
muros de gravidade e estruturas de contenção de solos em concreto armado,
enquanto que em estruturas de solo reforçadas com geogrelhas e paramento de
concreto os prejuízos foram apenas marginais (Tatsuoka et al., 1995). Por outro
lado, no terremoto de Chi-Chi, em Taiwan (1999), sérios danos foram
observados em estruturas de contenção de solos reforçados com paramento de
blocos de concreto, conforme reportado por Koseki & Hayano (2000).
Usualmente, aterros reforçados com geossintéticos são projetados
empregando o método de equilíbrio limite (método pseudo-estático)
considerando uma força horizontal de inércia proporcional ao coeficiente sísmico
regional, não sendo considerados fatores como duração do terremoto,
freqüências de excitação, efeitos do solo de fundação, rigidez do reforço, tipos
de paramentos, etc.
Apesar da grande evolução recentemente verificada na análise sísmica de
obras de terra, vários aspectos ainda requerem estudo e investigação mais
aprofundados para melhor elucidar o comportamento de aterros reforçados e
assim possibilitar um adequado projeto de engenharia, tanto em termos técnicos
quanto econômicos, em diversas regiões sob diferentes graus de risco sísmico.
Este trabalho tem como objetivo analisar a resposta sísmica de um aterro
de rejeitos de mineração de 10,40m de altura, com talude de 76° de inclinação
com a horizontal e 09 camadas de reforço com geossintéticos, de 10m de
comprimento, localizado em zona de alta atividade sísmica do Peru.
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20
O objetivo específico é avaliar a estabilidade do talude de aterro sob
condições estáticas, avaliar a resposta dinâmica do aterro reforçado e verificar
os possíveis mecanismos de ruptura.
Análises dinâmicas foram realizadas utilizando o programa
computacional FLAC (ITASCA, 2005), representando-se as camadas de reforço
horizontais por elementos de cabo. O comportamento mecânico do material de
rejeito foi simulado através do modelo elastoplástico de Mohr-Coulomb,
considerando amortecimento de Rayleigh (dependente da freqüência),
amortecimento histerético (dependente da deformação cisalhante do solo) e
amortecimento local (adição e subtração de massa em pontos nodais em certos
tempos do ciclo de excitação, disponível no programa FLAC). Diferentes
alternativas para a representação de contornos do modelo discreto também
foram estudadas na simulação do comportamento dinâmico do aterro, adotando-
se contornos silenciosos e contornos de campo livre, comparando-se os
resultados numéricos obtidos nas análises.
1.2.
Estrutura da dissertação
O trabalho está dividido em seis capítulos. O capítulo 2 apresenta uma
revisão bibliográfica sobre os fundamentos do comportamento dinâmico dos
solos, comportamento de aterros reforçados com geossintéticos e uma descrição
geral de técnicas de projeto, considerando-se as situações estática, pseudo-
estática e dinâmica.
O capítulo 3 aborda a modelagem numérica usando o programa FLAC -
Fast Lagrangian Analysis of Continua (ITASCA, 2005), enquanto que o capítulo 4
é reservado para uma análise da estabilidade estática de aterros, com e sem
reforços.
A modelagem numérica do comportamento dinâmico do aterro reforçado
com geossintéticos é descrita no capítulo 5. No capítulo 6 apresentam-se as
conclusões do trabalho e sugestões para pesquisas futuras na área de
comportamento dinâmico de obras de terra.
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2
Revisão Bibliográfica
2.1.
Introdução
Dezenas de milhões de pessoas em todo o mundo vivem sob condições de
risco sísmico susceptíveis a perdas de vidas humanas e grandes prejuízos
econômicos com o comprometimento e paralisação de serviços e de
infraestruturas públicas. Terremotos têm ocorrido e continuarão a ocorrer, sendo
impossível prevê-los com antecedência, mas apenas mitigar seus efeitos através
da adoção de projetos sismo-resistentes.
O estudo dinâmico de aterros de solo reforçado com geossintéticos requer
entendimento de vários aspectos básicos de engenharia sísmica. A teoria da
tectônica de placas é atualmente bastante aceita na geologia moderna,
explicando que a ocorrência de sismos de subducção são provenientes da
liberação de energia quando placas tectônicas da crosta terrestre apresentam
súbito movimento relativo. A costa oriental da América do Sul é uma região de
alta atividade sísmica, decorrente da subducção da placa de Nazca (oceânica)
sob a placa Sul-Americana (continental), com terremotos freqüentes e de grande
magnitude registrados nos países andinos. O maior terremoto já ocorrido até
hoje, do qual se tem notícia, foi o terremoto no sul do Chile, no dia 22 de maio de
1960, que atingiu a magnitude de 9.7 na escala Richter e vitimou 5.700 pessoas.
2.2
Tectônica de placas
2.2.1.
Deriva dos Continentes
A litosfera está formada por uma série de placas que compõem a
superfície terrestre, algumas destas abrigando continentes, outras não. As
placas deslocam-se sobre o manto terrestre, muito lentamente (2 a 10cm/ano)
sob trajetórias complexas. Segundo Taylor (1910), Alfred Wegener (1912), T.
Wilson (1963), J. Maxwell (1968) e outros, há uns 225 milhões de anos atrás
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22
existia um proto-continente chamado Pangea, rodeado por um oceano chamado
Pantalassa, apresentado na Figura 2.1(a).
Há 180 milhões de anos, o norte e o sul de Pangea começaram a se
separar, sendo o norte conhecido como Laurásia e o sul por Gondwana. Os
deslocamentos ocorridos incluíram rotações horárias para a Laurásia e anti-
horárias para a parte sul da antiga Pangea, ordenando os movimentos de
rotação da Terra para algo mais próximo do equilíbrio - Figura 2.1(b).
Há 135 milhões de anos os atuais continentes estavam mais bem
delineados, com o início da separação entre os atuais continentes da África e da
América do Sul, e a Índia avançando para a sua posição atual. A Austrália
seguia seu lento deslocamento para o norte e a Eurásia e a África haviam-se
mantido na mesma posição relativa. A distribuição continental que existia há 135
milhões de anos é mostrada na Figura 2.1(c), na qual aparecem limites
convergentes e divergentes das massas continentais.
Há 65 milhões de anos a situação dos continentes correspondia
aproximadamente àquela ilustrada na Figura 2.1(d). Eurásia e África se uniram,
África e América do Sul estavam completamente separadas e deslocavam-se em
direções opostas, enquanto que a Índia atingia a sua posição atual e a Austrália
separava-se da Antártica. A Figura 2.1(e) apresenta a situação atual dos
continentes.
A crosta da terra está dividida em 16 placas tectônicas principais e várias
secundárias. Dentre as principais (Figura 2.2) citam-se as placas Africana, da
Antártida, Arábica, Australiana, das Caraíbas, de Cocos, Euroasiana, das
Filipinas, de Nazca, Norteamericana, do Pacífico, Indiana, de Scotia, Juan de
Fuca e a placa Sulamericana.
Em conseqüência da interação entre as placas tectônicas, a litosfera está
constantemente submetida a forças que a deformam gradualmente,
armazenando energia de deformação que, atingindo valor elevado, pode
produzir uma fratura repentina do material no interior da crosta e liberação sob
forma de calor, principalmente, e ondas sísmicas que se propagam através dos
materiais geológicos sólidos (ondas de tensão). A zona onde ocorre a fratura é
conhecida como foco ou hipocentro e a projeção deste foco sobre a superfície é
chamada de epifoco ou epicentro. As distâncias do foco ao ponto onde é
registrado o movimento superficial do terreno é chamada distância focal (R
f
). A
definição de distância epicentral (R
e
) é ilustrada na Figura 2.3.
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23
Figura 2.1 - Teoria da deriva dos continentes segundo Taylor (1910), Wegener (1915).
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24
Figura 2.2 - Placas tectônicas principais (USGS, Washington, 2001).
SUPERFÍCIE
EPICENTRO
HIPOCENTRO
(Rf) = DISTÂNCIA
FOCAL
(Re) = DISTÂNCIA EPICENTRAL
ONDAS
Figura 2.3 – Elementos característicos de um terremoto.
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25
2.2.2.
Sismicidade no Peru
A atividade sísmica no Peru é principalmente decorrente da interação das
placas tectônicas de Nazca e Sul-Americana, que geram basicamente sismos de
subducção (Figura 2.4) de altas magnitudes e freqüências. De menor ocorrência,
registram-se também sismos intraplacas e por falhas geológicas.
Observa-se que a atividade sísmica na zona Norte e no Centro do Peru
está distribuída em duas faixas sísmicas ao longo da Cordilheira dos Andes, uma
no ocidente e exclusivamente produto das atividades de subducção com
hipocentros superficiais e intermediários, e a outra, oriental aos Andes, que
envolve tanto processos de subducção, com hipocentros de profundidades de
até 300 km, como também processos secundários como a compressão do
Escudo Brasileiro. Estas duas faixas sísmicas se juntam na zona de transição
sismotectónica (13°-14° Sul), para constituir em uma ampla faixa sísmica na
região sismotectónica do Peru (Deza, 1990).
No Norte e Centro do Peru o processo de subducção se realiza com
ângulo de 20-30° até a profundidade de 100km, enquanto que na região Sul do
país o processo de subducção inicia-se com ângulo de 30°, constantes até a
profundidade de 300km (H. Tavera, 1993).
Figura 2.4 - Esquema da zona subducção no Peru, com movimentos de placas e
distribuição de sismos (H. Tavera, IGP, 1993).
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26
2.3
Propagação de Ondas Planas de Tensão
Duas classes de ondas de tensão podem ser identificadas em excitações
sísmicas: as ondas de corpo e as ondas de superfície.
As ondas de corpo se classificam em ondas primárias (ou P) e em ondas
secundárias (ou S). As ondas P são chamadas longitudinais ou compressivas e
se propagam na mesma direção da vibração das partículas (Figura 2.5).
As ondas S são as que fazem vibrar uma partícula na direção
perpendicular à sua trajetória de propagação e são conhecidas como ondas
transversais ou de cisalhamento. Dependendo da direção de vibração da
partícula (polarização) são ainda conhecidas como ondas SV (movimento
contido no plano de propagação) ou SH (movimento normal ao plano de
propagação) – Fig. 2.6.
A velocidade de propagação C
p
de ondas P é dado pela teoria da
elasticidade linear como:
)21)(1(
)1(
2
υυρ
ν
ρ
λ
−+
−
=
+
=
E
G
C
p
(2.1)
onde
ρ
é a massa específica do material,
λ
e G são as constantes de Lamé (G
é também definido como o módulo cisalhante), E é o módulo de Young e
v
o
coeficiente de Poisson.
Igualmente, a velocidade de propagação C
s
de ondas S pode ser escrita
como:
)1(2
υρρ
+
==
EG
C
s
(2.2)
e a relação entre as velocidades de propagação de ondas P e S,
)21(
)1(2
2
υ
ν
ρ
λ
−
−
=
+
=
G
C
C
s
p
(2.3)
de onde se verifica que C
p
≥
C
s
2 .
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27
Figura 2.5 – Deformações produzidas por ondas P (apud Kramer, 1996).
Figura 2.6 – Deformações produzidas por ondas SV (apud Kramer, 1996).
As ondas de superfície se propagam na parte superficial da Terra e se
manifestam com maior freqüência em sismos pouco profundos. Os movimentos
produzidos por estas ondas estão em geral restritos a profundidades inferiores a
30km. Esta classe de ondas pode ainda ser subdividida em:
Ondas Love (L), que acontecem em formações estratificadas, provocando
movimentos similares aos da onda SH, fazendo vibrar partículas
superficiais na direção perpendicular à direção de propagação da onda
(Figura 2.7 b).
Ondas Rayleigh (R) produzem movimentos elípticos de partículas
superficiais, contidos no plano de propagação da onda (Figura 2.7a).
Ondas R têm velocidade de propagação ligeiramente inferior às ondas
SV dependendo, no caso de ondas elásticas, do valor do coeficiente de
Poisson do material (Figura 2.8). Para fins de engenharia, a velocidade
de propagação de ondas R pode ser aproximadamente calculada a partir
da velocidade de propagação da onda S pela seguinte expressão
aproximada:
C
R =
0
862
1
14
1
,
,
+
+
υ
υ
. Cs (2.4)
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28
(a)
(b)
Figura 2.7 – Deformações causadas por ondas superficiais: (a) ondas de Rayleigh; (b)
ondas de Love (apud Kramer, 1996).
Figura 2.8 - Relação entre CR, Cs e Cp em função do coeficiente de Poisson (Richart &
Woods 1970).
Em eventos de foco profundo prevalecem as ondas de corpo P e S,
enquanto que em sismos de foco superficial predominam as ondas de superfície.
A Figura 2.9 mostra os registros de dois sismos com origem no arquipélago de
Tonga, no Pacífico, sendo o primeiro de foco profundo e o segundo de foco
superficial, ambos detectados em Albuquerque, Novo México, a 10.000Km de
distância. O sismo de foco profundo gerou ondas de corpo P e S de grande
amplitude, mas relativamente pouca atividade produzida por ondas de superfície
foi registrada. Por outro lado, no caso do sismo de foco superficial observa-se
claramente que a maior parte da energia foi liberada sob forma de ondas de
superfície de grande amplitude.
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29
S
P
O
N
D
A
S
D
E
S
U
P
E
R
F
Í
C
I
E
N
U
C
L
E
O
P
S
S
P
N
U
C
L
E
O
P
S
(A)
(B)
LOCAL DE REGISTRO
LOCAL DE REGISTRO
ONDAS DE
SUPERFÍCIE
ONDAS DE
SUPERFÍCIE
HIPOCENTRO
HIPOCENTRO
Figura 2.9 - Ondas sísmicas registradas a 10.000km do epicentro: a) sismo de foco
profundo; b) sismo de foco superficial (apud Sauter, 1989).
Para sismos profundos, devido a sucessivas reflexões e refrações entre
materiais de diferentes velocidades de propagação, as ondas alcançam a
superfície da Terra quase verticalmente, reduzindo a geração de ondas de
superfície.
2.4.
Solos reforçados com geossintéticos
A humanidade tem construído estruturas de contenção de solos desde a
antiguidade, em muros de defesa e na construção de templos e monumentos
religiosos (Kerisel, 1992). Logo aprendeu-se, com a elevação e maior porte das
estruturas, que um dos fatores predominantes no controle da estabilidade era o
empuxo exercido pelo solo e que este poderia ser reduzido através de um
adequado sistema de reforço.
Evidências de aplicações de solos reforçados estão em muitas estruturas
históricas. Por exemplo, muros de adobe reforçados com bambu podem ser
encontrados na cidade histórica de Chan-Chan, na costa norte do Peru,
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30
construídos há mais de 600 anos por civilização pré-inca em zona de atividade
sísmica.
Quando comparados com estruturas de contenção convencionais, muros
de aterro reforçado oferecem vantagens significativas. Eles são de custo menor,
especialmente no caso de muros altos, mais flexíveis do que muros de concreto
armado ou muros de gravidade e são muito apropriados para áreas ativas
sismicamente.
A tecnologia moderna de solos reforçados foi desenvolvida inicialmente na
França, por H. Vidal durante a década de 1960. Atualmente, os fundamentos do
projeto e da construção de muros de solo reforçado estão bem estabelecidos, e
muitas obras foram construídas com êxito em todo o mundo nos últimos 40 anos
(Figura 2.10).
Estruturas de solo reforçado são também referidas como estruturas de solo
mecanicamente estabilizadas. O solo é tipicamente reforçado com materiais
relativamente leves e flexíveis, como geossintéticos (Figura 2.11), extensíveis e
que apresentam alta resistência à tração (Leshchinsky, 1995). O reforço
aumenta a tensão de cisalhamento na massa de solo alterando o padrão de
distribuição das tensões no maciço (Clayton et al.,1993). Durante a construção
de estruturas de solos reforçados, camadas de reforço são colocadas no interior
do aterro. Solos secos e não-coesivos são predominantemente usados como
aterro, pois possuem maiores resistências ao cisalhamento e permitem com
mais facilidade a drenagem de água de seus vazios, evitando a geração de
excessos de poropressão.
Figura 2.10 - Aterro reforçado de 35m de altura na cidade de Taichung, Taiwan.
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31
Figura 2.11 - Sistema de muro de contenção reforçado usando geossintéticos: a) com
face de geossintéticos com auto – envelopamento; b) com segmento ou modo de bloco
de concreto; c) com painel pré-moldado na altura total.
2.4.1.
Geossintéticos
Geossintético, como definido pela ASTM (1994), é um “produto planar
manufaturado a partir de um material polímero e utilizado em combinação com
solo, rocha ou outros materiais relacionados com a engenharia geotécnica, como
parte integral de um projeto, estrutura ou sistema”.
A Tabela 2.1 apresenta um resumo dos tipos de geossintéticos
disponíveis e suas funções.
Tabela 2.1 – Tipos de geossintéticos e principais funções (Koerner, 1998).
Função
Geossintéticos
Separação Reforço
Filtro Drenagem Barreira
Impermeável
Geotêxtil 1 ou 2 1 ou 2 1 ou 2 1 ou 2 1 ou 2*
Geogrelha n/a 1 n/a n/a n/a
Georede n/a n/a n/a 1 n/a
Geomembrana 2 n/a n/a n/a 1
Geocomposto 1 ou 2 n/a 1 ou 2 1 ou 2 1 ou 2
*quando impregnado com asfalto
1- Função principal; 2 – função secundária; n/a – não se aplica prioritariamente.
2.4.1.1.
Geotêxteis
Geotêxteis são produtos têxteis, flexíveis e porosos, cuja principal
característica relaciona-se com a sua capacidade de drenagem, tanto através do
tecido quanto ao longo do mesmo. As fibras dos geotêxteis são produzidas por
processo e fusão dos polímeros e posterior extrusão, conferindo-lhes uma forma
alongada característica.
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32
Os geotêxteis classificam-se em tecidos e não-tecidos, conforme mostra a
Figura 2.12, em função do arranjo estrutural de suas fibras. Nos geotêxteis
tecidos, os fios ou filamentos são entrelaçados segundo direções preferenciais,
empregando-se máquinas têxteis convencionais, enquanto para os geotêxteis
não-tecidos a interligação das fibras ou filamentos é feita de forma aleatória.
Esta interligação pode ser realizada por entrelaçamento mecânico com agulhas
(agulhados), por fusão parcial (termoligados), com o uso de produtos químicos
(resinados) ou por reforço (reforçados).
Geossintéticos podem ser empregados como elementos de separação,
elementos de reforço (taludes íngremes e aterros sobre solos moles), elementos
filtrantes (em substituição a filtros / drenos de areia), em aterros hidráulicos, na
base de aterros sanitários (com ou sem geração de chorume), como elemento
impermeável a líquidos ou vapores, quando impregnados com asfalto, e no
controle de processos de erosão.
Entre as vantagens de geotêxteis, podem ser citadas a resistência a danos
mecânicos durante sua instalação, o incremento da resistência à tração e ao
cisalhamento de solos, aumento da capacidade de carga de maciços e da
estabilidade de taludes, excelente capacidade de retenção de partículas finas,
livre fluxo de água evitando a geração de excessos de poropressão, boas
características de flexibilidade e deformabilidade, permitindo sua aplicação em
camadas de solos irregulares e, principalmente, o baixo custo de construção
quando comparado a estruturas de contenção convencionais.
Entretanto, os geotêxteis apresentam algumas desvantagens que poderão,
em certas circunstâncias, inviabilizar a sua aplicação, devido à baixa resistência
à tração ou devido à ocorrência de deslocamentos durante a construção que
possam comprometer o alinhamento da estrutura.
Figura 2.12 - Arranjo estrutural de geotêxteis.
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33
2.4.1.2.
Geogrelhas
As geogrelhas são estruturas planas em forma de grelha, com a existência
de aberturas, conforme ilustra a Figura 2.13. As geogrelhas são muito mais
rígidas que os geotêxteis e, portanto, seu emprego é quase exclusivamente para
reforço, embora sejam utilizadas também como elementos de separação. As
principais características das geogrelhas são a alta resistência à tração, boa
interação solo/geogrelha, alta resistência a danos de instalação, além de serem
inertes e não-contaminantes.
As principais aplicações das geogrelhas são em reforço de muros de
arrimo, aterros, separação/reforço em rodovias não-pavimentadas e ferrovias,
muros de gabião, controle de erosão e encontro de pontes, reforço de
fundações, reforço de pavimento asfáltico, reforço de concreto ou aplicadas em
conjunto com geotêxteis ou geomembranas, formando os denominados
geocompostos.
Figura 2.13 – Exemplos de geogrelhas.
2.4.2.
Desempenho de solos reforçados sob carregamentos sísmicos
Grandes eventos sísmicos mostram que a maioria das estruturas de solo
reforçado tendem a experimentar deformações permanentes, embora em
algumas situações tenham também sido reportados casos de maior dano ou do
próprio colapso da estrutura, conforme Tabela 2.2, Figuras 2.14 e 2.15.
A Figura 2.14 se refere a uma pesquisa com muros de solo reforçados com
altura superior a 4.5m em área da cidade de Los Angeles, imediatamente após o
terremoto Northridge, de 17 de junho de 1994 (Magnitude-momento = 6.7).
Segundo Sandri (1994), nenhuma evidência visual de dano foi observada em 9
das 11 estruturas localizadas entre 23 a 113km do epicentro do sismo. Duas
estruturas (muros de Valencia e Gould) apresentaram fissuras no seu interior e
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34
trincas de tração na massa de solo reforçado, que foram claramente atribuídos à
ação do carregamento sísmico. A Figura 2.14 mostra o muro de Valencia com
camadas de reforços curtos no topo, que possivelmente facilitaram a formação
das trincas. Bathurst e Cai (1995) analisaram ambas estruturas e mostraram que
a localização das fissuras poderia ser razoavelmente prevista usando métodos
de cálculo pseudo-estáticos (Mononobe-Okabe).
A Figura 2.15 mostra danos a muro de contenção com solo reforçado com
geossintéticos e paramento de blocos de concreto, após o terremoto Chi - Chi de
1999 (magnitude 7.3). Segundo Koseki e Hayano (2000), o espaçamento de
reforços ( 80cm) embora atendessem às especificações da NCMA (1997) não
preveniram a ocorrência de excessos de deformação no paramento de blocos de
concreto. Os autores também indicaram evidências de ruptura dos reforços na
conexão, arranque de pinos entre série de blocos e indicações de aberturas no
paramento.
Tabela 2.2 - Resumo do desempenho de estruturas de solo reforçado sob ação sísmica
(Nova - Roessing, 1999)
Sismo, Pais, Ano Mag
(M
L
)
Distância
epicentro
(km)
Aceleração
Horizontal
(g)
No. de
Muros
Tipo de
Muro
Altura
do
Muro
Projeto
Sísmico
Danos
Reportados
Gemona, Itália
1976
6.4 25-40 3
Bloco
modular
4-6 não
Nenhum
Liege, Bélgica
1983
5 0.8 0.15-0.2 2
Bloco
modular
4.5-6 não
Nenhum
Honshu,
Japão 1983
7.7 80-275 0.1-0.3 em
140 km
49
Bloco
modular
Um muro –alguns
cm de recalque
Edgecumbe,
NZ 1987
6.3 30 1
Bloco
modular
6
Nenhum
Chiba-Ken
Toho-Oki
Japão 1987
6.7 40 0.22-0.33 2
Geotêxtil
não- tecido
5.5
Nenhum
11-100 0.1-0.55 20
Bloco
modular
5-10
Parcial Nenhum
Loma Prieta,
CA, USA
1989
7.1
11-130 0.1-0.4 >1
Geogrelha
3-24
Um muro-0.2%H
movimento(topo)
Kushiro-Oki
Japão 1993
7.8 40 0.30 1
Geogrelha
4.4
Nenhum
2.5-84 0.1-0.9 20
Bloco
modular
4-17
Fragmentação de
painel,
Fissuração.
61 0.1 1
Bloco
modular
16
Embarrigamento
no centro
(3%H)
8-113 0.2-0.5 >1
Geogrelha
3-15
Nenhum
Northridge
CA,USA
1994
6.7
19 0.35 1
Estrutura de
terra estabi-
lizado mecá-
nicamente
12
Fissuração, 2.5
cm de recalque
diferencial.
16-40 Até 0.8 3
Grelha de
fibra
3-8
Nenhum
Hyogoken-
Nanbu, Japão
1995
6.9
(M
w
)
16 Até 0.8 1
Grelha de
fibra
6
Movimento lateral
de 30cm, frag-
mentação de
painel, fissuração.
Chi - Chi
Taiwan
1999
7.3 15-40 Até 1.0 6
Geogrelha
2-40
Fissuração,
recalque
diferencial de 2m-
um muro com
embarrigamento.
Nisqually,
WA,USA ,2001
6.8 23 Até 0.25 1
Geogrelha /
face de
bloco
4
Colapso
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35
Figura 2.14 - Fissuração atrás dos reforços de comprimento curto, no topo do muro de
Valencia (EUA), após terremoto de Northridge, em 1994 (Bathurst e Cai ,1995).
Figura 2.15 - Ruptura do paramento de blocos de concreto do muro reforçado com
geossintéticos, após o terremoto Chi – Chi, de magnitude 7.3, em Tai-Chung (Taiwan).
Diversos modelos experimentais também foram construídos e
instrumentados para fins de pesquisa, com o objetivo de quantificar o
comportamento sísmico de aterros reforçados. Dentre estes, pode-se mencionar
o ensaio em centrifuga de Andersen (1997) e o ensaio de mesa vibratória de
Perez (1999), mostrado na Figura 2.16, e desenvolvido na Universidade de
Washington.
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36
Figura 2.16 - Sistema de instrumentação com acelerômetros, potenciômetros e condição
da face do modelo construído por Perez (1999).
2.4.3.
Mecanismos de Ruptura em Solos Reforçados
Henri Vidal(1969) ilustra o mecanismo fundamental de solo reforçado e
introduz esta técnica no projeto alternativo de estruturas de contenção de solos.
Duas aproximações têm sido usadas para explicar o mecanismo de reforço: o
sistema discreto e o do material compósito aproximado.
O sistema discreto, mostrado na Figura 2.17, indica que tensões
cisalhantes adicionais são transferidas de uma massa de solo potencialmente
instável para o reforço sob duas formas: atrito e coesão, sendo o atrito a
componente de resistência ao cisalhamento, que é proporcional á tensão normal
que atua no reforço. Como resultado desta transferência, a massa de solo torna-
se menos instável e o empuxo gerado pelo solo reforçado é também reduzido.
A outra aproximação para explicar o mecanismo de reforço de solo
reforçado é analisá-lo como um material compósito. Schlosser e Long(1972),
Yang e Singh (1974) utilizaram conceito de coesão aparente. Hausmann (1976)
e Lee (1976) também interpretaram o mecanismo de reforço usando conceitos
similares. A Figura 2.18 resume a aproximação por um material compósito, no
mecanismo de reforço, usando o critério de ruptura de Mohr-Coulomb
(Hausmann, 1990).
No círculo de Mohr o sub-índice 0 representa um elemento de solo
reforçado em sua condição inicial. Assumindo que este elemento tem reforço
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37
inserido no plano horizontal, e um par de tensões principais (vertical e horizontal)
é aplicado, então com o incremento da tensão vertical o círculo gradualmente
tocará a envoltória de resistência representada pela linha A, associada ao solo
não-reforçado com estado de tensão identificado pelo sub-índice 1, até
tangenciar a linha B, associada com a envoltória de resistência para o solo
reforçado e denotado pelo estado de tensão com sub-índice 2.
A diferença entre as tensões principais σ21 e σ11 é o acréscimo de tensão
vertical adicional, que somente pode ser imposto devido à existência do reforço.
As envoltórias de ruptura representadas pelas linhas B e C se referem ao solo-
reforçado. A primeira, admitindo que o ângulo de atrito do solo permanece o
mesmo (φ
solo
= φ
comp1
) e que o aumento da resistência se deve à coesão adicional
c
comp
do material compósito, enquanto que a segunda (linha C) considera que o
acréscimo de resistência deve-se ao aumento do ângulo de atrito do solo
reforçado (φ
comp2
). As equações 2.5 e 2.6 se referem às linhas B e C,
respectivamente, da Figura 2.18. Boyle (1995) verificou que a hipótese
representada pela linha C é a mais apropriada para explicar o mecanismo de
reforço de solos.
)Blinha(tanC
1compcomp
φσ+=τ (2.5)
)Clinha(tan.
2comp
φ
σ
=
τ
(2.6)
Figura 2.17 - Mecanismo de reforço de estruturas de contenção em solos reforçados
(apud Huasmann, 1990).
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38
Figura 2.18 - Tensões principais em solos reforçados (apud Hausmann, 1990).
Para mecanismo de ruptura de solos reforçados com fibras, Hausmann e
Lee (1976) e Gray e Ohashi (1983) concluem que sob baixas tensões de
confinamento a ruptura no reforço de solo frequentemente ocorre devido a
deslizamentos relativos na interface solo-reforço, enquanto que para altas
tensões de confinamento a ruptura acontece geralmente pela ruptura à tração do
próprio reforço.
2.5.
Estabilidade de Estruturas de Contenção com Solos Reforçados
2.5.1.
Estabilidade Externa
Os muros de solos reforçados, seja por meio de aço ou geossintéticos,
devem satisfazer aos mesmos critérios da análise de estabilidade externa de
estruturas de contenção convencionais. Conforme a Figura 2.19, a verificação de
estabilidade externa incluem análises de estabilidade global da estrutura, ruptura
por deslizamento na base, tombamento, capacidade de carga e ocorrência de
recalques excessivos.
2.5.2.
Estabilidade Interna
A estabilidade interna considera a integridade do volume de solo reforçado,
como mostrado nas Figuras 2.19 e 2.20. O colapso, no caso, acontece pelo
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39
rompimento por tração ou pelo arrancamento dos reforços. A Figura 2.20 mostra
que há uma tendência de movimento da região do solo reforçado identificado
como “zona ativa”, com transferência de carga, por tensões de cisalhamento, ao
geotêxtil que é mobilizado à tração. Essa solicitação no geotêxtil, por sua vez, é
resistida pela parte do reforço embutido além da superfície potencial de ruptura,
na região chamada de “zona resistente”.
a) Estabilidade externa
b) Estabilidade interna e local
Figura 2.19 - Modos de ruptura de estruturas em solos reforçados (apud Lee, 2000).
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40
Figura 2.20 - Zonas ativa e resistente (Ehrlich e Mitchell, 1994).
2.5.3.
Análise estática de taludes de solo reforçado
Os métodos que podem ser usados para análise de taludes de solo
reforçados são os mesmos utilizados em análises tradicionais de estabilidade de
taludes, como o método de equilíbrio limite e o método dos elementos finitos.
No método de equilíbrio limite, as forças no reforço são adicionadas às
tradicionais equações de equilíbrio de forças e momentos das diversas versões
do método das fatias publicadas na literatura. O solo é admitido como material
rígido-perfeitamente plástico e o fator de segurança é pesquisado nas potenciais
superfícies de ruptura que podem ser admitidas planas, circulares, espirais
logarítmicas, na forma de cunhas, etc. A hipótese de distribuição das tensões de
tração ao longo do reforço geralmente a considera constante ou linear.
O método de equilíbrio limite, ainda que largamente empregado em
análises de estabilidade, sofre certas restrições teóricas (usam algumas ou todas
as equações de equilíbrio para calcular valores médios da tensão cisalhante
mobilizada τ e da tensão normal
σ
ao longo da potencial superfície de ruptura,
introduzem hipóteses para suplementar as equações de equilíbrio, visto que o
número de incógnitas do problema é em geral superior ao número de equações
fornecidas pela estática, não distinguem situações de escavações ou aterro) que
podem ser removidas pela aplicação de um método mais versátil e abrangente,
como o método dos elementos finitos.
O método dos elementos finitos é geralmente empregado para a
simulação do colapso do talude, calculando-se diretamente o valor do fator de
segurança pela redução progressiva dos parâmetros de resistência (equação
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41
2.7) ou, alternativamente, pelo aumento progressivo do carregamento externo,
até a ocorrência da ruptura do talude. Neste último caso, o fator de segurança é
definido em termos do carregamento, sendo interpretado como o coeficiente que
se deve majorar o carregamento real para produzir o colapso do maciço de solo.
A redução dos parâmetros de resistência dos solos envolvidos nesta
análise é feita por
M
c
*c =
(2.7a)
M
tan
tan*
φ
φ
= (2.7b)
onde M é o parâmetro que reduz os valores de c e tan
φ
nas sucessivas análises
não-lineares pelo MEF, até a ruptura do talude quando, então, M = FS (fator de
segurança).
Esta técnica foi empregada por diversos pesquisadores, dentre os quais
Zienkiewics et al. (1975), Naylor (1982), dentre outros. Como comentado por
Zienkiewics et al. (1975), o fator de segurança é igual ao valor pelo qual os
parâmetros devem ser reduzidos, de modo que a solução por elementos finitos
não mais apresente convergência numérica ou exiba grandes deformações em
diversos pontos do talude.
Esta técnica de simulação do colapso foi incorporada em vários programas
computacionais comerciais como o Plaxis v.8 e o FLAC v.5.
De acordo com Holtz et al. (1997) os valores mínimos do fator de
segurança para estabilidade interna e externa de um talude de solo reforçado
devem ser iguais aos listados na Tabela 2.3.
Tabela 2.3 – Fator de segurança mínimo em talude de solo reforçado (Holtz et al., 1997).
Mecanismo de Ruptura Fator de segurança mínimo
Deslizamento horizontal da estrutura
reforçada ao longo de sua base.
Superfície de ruptura profunda.
Carregamento dinâmico
Estabilidade interna
1.5
1.3
1.1
1.3
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42
2.5.4.
Análise dinâmica de taludes de solo reforçado
O método mais comum para análise de estabilidade dinâmica de taludes
é o método pseudo-estático onde os efeitos do terremoto são representados por
pseudo-acelerações horizontal e vertical constantes que produzem forças
inerciais aplicadas no centro de gravidade da massa de solo deslizante. É um
método simples, atualmente incorporado em muitos programas computacionais
para análise da estabilidade sísmica de taludes, considerando superfícies
potenciais de ruptura planas, circulares e curvas, mas cujos resultados
dependem da precisão dos coeficientes sísmicos empregados para definição das
componentes da força de inércia.
É evidente que a utilização de um método onde as forças de inércia são
admitidas constantes constitui-se, à primeira vista, numa abordagem bastante
simplificada para a complexa tarefa de analisar-se os efeitos dinâmicos
transientes causados por excitações sísmicas em taludes de solo. Além disso,
por tratar-se de um método de equilíbrio limite, onde o solo é idealizado como
material rígido-perfeitamente plástico, nenhuma informação a respeito dos
campos de deformação e de deslocamento pode também ser obtida.
Se o solo fosse realmente rígido, as forças inerciais induzidas pelo
terremoto seriam iguais ao produto das acelerações do sismo pela massa de
material instável. No entanto, reconhecendo o fato de que solos não são
materiais rígidos, e de que a aceleração máxima esperada é momentânea e não
atua apenas em um sentido constante, os coeficientes sísmicos utilizados na
prática devem corresponder a valores inferiores ao da aceleração máxima do
sismo. Vários pesquisadores sugeriram valores de projeto (Seed, 1979; Hynes-
Griffin e Franklin, 1984; Marcuson, 1980) mas não há uma regra fixa, única e
simples para a seleção adequada destes coeficientes, a não ser o conhecimento
de que devem estar baseados em um nível antecipado de acelerações e
correspondam a uma fração da aceleração horizontal máxima (MHEA –
maximum horizontal equivalent acceleration) esperada no sismo de projeto.
As limitações do método pseudo-estático são conhecidas (este conceito
para análise dos efeitos de terremotos em taludes é muito impreciso, para dizer
o mínimo – Terzaghi, 1950) e uma detalhada análise de deslizamentos históricos
(Seed et al., 1975) mostra casos de ruptura de taludes mesmo quando o fator de
segurança pseudo-estático calculado foi superior a 1, como no caso do colapso
da barragem Lower San Fernando, no sul da Califórnia (1971), responsável na
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43
época por 80% do abastecimento d´água da cidade de Los Angeles, EUA, onde
a crista da barragem foi rebaixada em 30 pés com o deslizamento de talude na
face de montante (Figura 2.21). Para esta obra, o fator de segurança pseudo-
estático calculado no projeto foi igual a 1.3 considerando-se um coeficiente
sísmico de 0.15.
Devido a estas dificuldades, têm sido empregados procedimentos
alternativos para análise da estabilidade de taludes que levem em conta a
ocorrência de deslocamentos permanentes do talude, como o clássico método
de Newmark (1965). De acordo com o California’s Seismic Hazards Mapping Act
– Special Publication 117 (1997), taludes que apresentam um fator de segurança
pseudo-estático superior a 1.1, determinado usando um coeficiente sísmico
apropriado, podem ser considerados estáveis. Se FS < 1.1 o engenheiro
projetista deve usar o método de Newmark, ou outro método baseado em
análises tensão x deformação, para determinar a magnitude dos deslocamentos
do talude induzidos pelo terremoto ou então tomar providências para minimizar
seus efeitos.
O método de Newmark (1965) envolve a determinação prévia de uma
aceleração de escoamento, definida com base na força inercial necessária para
que o fator de segurança pseudo-estático atinja o valor FS = 1. Em seguida, o
procedimento utiliza o registro da história das acelerações do terremoto de
Figura 2.21 - Seção transversal da barragem de Lower San Fernando antes e após o sismo de
1971 (http://quake.wr.usgs.gov/prepare/factsheets/LADamStory/Xsection.gif)
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44
projeto, integrando-o numericamente no tempo por duas vezes sempre que a
amplitude da aceleração ultrapassar o valor da aceleração de escoamento
previamente estabelecida (Figura 2.22). Como resultado destas integrações,
obtém-se os deslocamentos permanentes acumulados, já que para fatores de
segurança pseudo-estáticos inferiores a 1 (correspondentes a acelerações
superiores à de escoamento) a massa de solo não está mais em equilíbrio,
sofrendo aceleração devido às forças não-balanceadas. Percebe-se assim que
os deslocamentos permanentes são afetados pela duração do sismo, bem como
pela amplitude das acelerações.
O método mais geral para investigação do comportamento sísmico de
taludes envolve a análise tensão x deformação do problema dinâmico,
normalmente executada com auxílio do método dos elementos finitos ou outra
técnica numérica. Os resultados podem descrever a história de tensões, efeitos
de amortecimento, freqüências naturais e a variação temporal do campo de
deslocamentos no talude, entre outros aspectos, mas a precisão dos mesmos
dependerá fundamentalmente de uma representação satisfatória do
comportamento tensão x deformação dos solos que formam o talude.
Modelos constitutivos para representação do comportamento sísmico de
solos podem ser agrupados em 3 classes: modelo linear equivalente, modelos
não-lineares cíclicos e modelos elasto-plásticos avançados.
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45
O modelo linear equivalente é o mais simples e mais freqüentemente
utilizado (GeoStudio 2004, FLAC v.5) sendo também empregado na investigação
do comportamento do aterro reforçado do presente trabalho. Uma descrição
geral do modelo é apresentada a seguir.
2.6.
Modelo Linear Equivalente
Num carregamento cíclico, o comportamento tensão-deformação de solos
é não-linear e exibe um laço de histerese como mostra a Figura 2.23, onde a
diferença entre as curvas de carregamento e de descarregamento representa a
energia dissipada no solo (amortecimento do material). Este laço de histerese
Figura 2.22 – Procedimento da dupla integração no tempo no método de Newmark (Smith,
1995)
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46
pode ser descrito de duas maneiras: na primeira, acompanhando as curvas de
carregamento e de descarregamento (trajetória do laço em si mesmo) e, na
segunda, pela adoção de parâmetros que descrevam sua forma geral. Em
termos gerais, duas importantes características da forma do laço de histerese
são sua inclinação e largura. A inclinação do laço depende da rigidez do solo,
que pode ser descrita em qualquer ponto pelo módulo de cisalhamento tangente
(G
tan
), que varia ao longo do ciclo, mas que pode ter seu valor médio aproximado
pelo módulo de rigidez secante (G
sec
).
c
c
G
γ
τ
=
sec
(2.8)
onde
c
τ
e
c
γ
são a amplitude de tensão cisalhante e a amplitude da deformação
cisalhante, respectivamente.
A largura do laço de histerese está relacionado com sua área A
laço
, que é
uma medida da dissipação de energia, podendo ser convenientemente descrita
pela razão de amortecimento histerético ξ
2
csec
laço
s
d
G
A
2
1
W4
W
γ
π
=
π
=ξ
(2.9)
onde
d
W é a energia dissipada no ciclo,
s
W a energia de deformação
máxima e
laço
A a área do laço de histerese. Os parâmetros
sec
G e
ξ
são
frequentemente referidos como parâmetros do material linear equivalente e
podem ser usados para certos tipos de análise da resposta dinâmica de solos.
O método linear equivalente não fornece informações sobre
deslocamentos inelásticos, porque somente o movimento oscilatório é modelado,
e como se trata de material elástico, considerações de resistência e ruptura não
são possíveis através deste modelo, tampouco. Sua aplicação se deve
principalmente à facilidade de implementação computacional e à rapidez de
processamento na obtenção de respostas dinâmicas, razões pela quais é ainda
bastante utilizado na prática.
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47
Figura 2.23 – Comportamento cíclico típico dos solos (Kramer, 1996): a) Relação tensão
- deformação cisalhante para o primeiro ciclo de carregamento. b) Variação da rigidez
em função do nível de deformação por cisalhamento.
2.6.1.
Estimativa de G
max
Ensaios de laboratório mostram que o módulo de cisalhamento secante
varia com o nível de deformações cisalhantes, sendo máximo (G
max
) para
pequenas amplitudes (Figura 2.23) e decaindo de valor à medida que as
deformações crescem. Uma caracterização da rigidez do solo depende, portanto,
do valor de G
max
e da forma com que seu valor se degrada em função do nível
de deformações cisalhantes.
Como a maioria dos ensaios geofísicos induzem deformações menores
do que 3 x 10
-4
%, a velocidade de onda S pode ser utilizada para cálculo de
G
max
conforme equação 2.2.
Quando medições de velocidade de onda não são disponíveis, G
max
pode
ser estimado de várias maneiras, através de expressões empíricas publicadas
na literatura.
Para areias, Seed e Idriss (1970) propuseram a seguinte relação:
5.0´
max,2max
)(1000
m
KG
σ
= em psf (2.10)
5.0
a
´
m
amax,2max
)
p
(pK7.21G
σ
=
em Pa (2.11)
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48
onde
´
m
σ
é tensão normal efetiva média, p
a
a pressão atmosférica e
max,2
K
determinado em função do índice de vazios ou da densidade relativa,
conforme Tabela 2.4 e Figura 2.24.
Tabela 2.4 - Estimativa de
max,2
K
(Seed e Idriss, 1970).
E
max,2
K
(
)
%
r
D
max,2
K
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
70
60
51
44
39
34
30
40
45
60
75
90
34
40
43
52
59
90
Figura 2.24 - Variação do módulo de cisalhamento K
2max
para areias em diferentes
densidades relativas – Seed e Idriss (1970).
Ensaios de campo têm consistentemente mostrado que velocidade de
ondas cisalhantes em pedregulhos são significativamente maiores do que em
areias, indicando portanto que valores de G
max
para pedregulhos são também
maiores do que para areias. Valores de
max,2
K
para pedregulhos estão
tipicamente no intervalo entre 80 a 180 (Seed et al., 1986).
Para solos coesivos, estimativas preliminares do módulo cisalhante
máximo podem ser obtidos a partir do índice de plasticidade, OCR e resistência
não-drenada.
Valores de G
max
podem ser também obtidos de ensaios de campo (SPT,
CPT) e existem várias correlações publicadas na literatura que, entretanto,
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49
devem ser usadas somente para estimativas preliminares, visto a variabilidade
dos resultados apresentados pelos diversos autores e pelo fato da dificuldade
intrínseca de se correlacionar um parâmetro (G
max
) para pequenas deformações
com valores de ensaios de campo obtidos a níveis de deformações muito
maiores.
2.6.2.
Curva de Redução do Módulo Cisalhante
Com respeito à forma com que o valor do módulo cisalhante se degrada
em função do nível das deformações cisalhantes, são conhecidos os estudos
pioneiros de Seed e Idriss (1970) para areias (Figura 2.25) e de Seed et al.
(1986) para pedregulhos (Figura 2.26).
Figura 2.25 - Faixa de variação de G/G
max
com a deformação cisalhante para areias
(Seed e Idriss, 1970).
Figura 2.26 - Faixa de variação de G/Gmax com a deformação cisalhante para
pedregulhos (Seed e Idriss, 1970).
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50
Zen et al. (1978) e Kokushu et al. (1982) notaram a influência da
plasticidade dos solos na forma da curva de redução do módulo cisalhante, com
valores correspondentes a solos altamente plásticos decaindo mais lentamente
do que para valores associados a solos de baixa plasticidade. Dobry e Vucetic
(1987) e Sun et al.(1988) concluíram que a forma da curva de redução do
módulo é mais influenciada pelo índice de plasticidade do que pelo índice de
vazios, conforme mostra a Figura 2.27. Estas curvas mostram que o valor limite
da deformação cisalhante cíclica é maior para solos de alta plasticidade do que
para solos de baixa plasticidade. Esta característica é extremadamente
importante, podendo influenciar fortemente a maneira pela qual o depósito de
solo amplificará ou atenuará o movimento sísmico. A curva de redução de
módulo para IP = 0, na Figura 2.27, é semelhante à curva média obtida para
areias por Seed e Idriss (1970) – Figura 2.25.
Figura 2.27 - Efeito do índice de plasticidade na curva de redução do módulo de
cisalhamento de solos coesivos (Vucetic e Dobry,1991).
2.6.3.
Razão de Amortecimento
Seed e Idriss (1970) apresentaram a variação experimental da razão de
amortecimento com a deformação cisalhante para areias (amortecimento
histerético), conforme Figura 2.28, enquanto que Seed et al. (1986) obtiveram
resultados similares para solos com pedregulhos (Figura 2.29). Verifica-se que
as curvas são bastante similares entre si.
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51
Figura 2.28 – Variação da razão de amortecimento para areias (Seed e Idriss, 1970).
Figura 2.29 - Comparação da variação da razão de amortecimento para solos com
pedregulho e areias (Seed et al., 1986).
Assim como o observado com a curva de redução do módulo cisalhante, o
comportamento do amortecimento é também influenciado pelas características
de plasticidade do solo. Razões de amortecimento em solos altamente plásticos
são menores que os valores obtidos em solos de baixa plasticidade para o
mesmo nível de amplitude de deformação cisalhante cíclica. Para índice de
plasticidade IP = 0 a curva de amortecimento da Figura 2.30 é aproximadamente
igual àquela obtida para areias por Seed e Idriss (1970) e pedregulhos por Seed
et al. (1986).
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52
Figura 2.30 - Efeito do índice de plasticidade nas curvas de variação da razão de
amortecimento vs deformação cisalhante para solos coesivos (Vucetic e Dobry, 1991).
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3
Modelagem numérica com o programa FLAC
3.1.
Descrição geral do programa FLAC
FLAC v.5 (ITASCA, 2005) é um programa para análise 2D (estados planos
de deformação, de tensão e axissimetria) baseado no método das diferenças
finitas, utilizando um algoritmo explícito no tempo para determinar a solução de
problemas envolvendo solos, rochas e outros materiais que apresentem fluxo
plástico quando as tensões de escoamento são atingidas.
A terminologia utilizada no FLAC é semelhante à usual do método dos
elementos finitos (Figura 3.1), com algumas exceções, como o emprego da
palavra zonas em vez de elementos.
O corpo sólido é dividido pelo usuário em uma malha formada por zonas
quadrilaterais através de um algoritmo (pouco versátil e algo ineficiente, diga-se
de passagem). Como regra geral, o razão comprimento/altura de uma zona deve
ser mantida tão próximo quanto possível da unidade e não se deve ultrapassar a
razão 1/5 sob pena de obtenção de resultados potencialmente imprecisos.
Figura 3.1 – Exemplo de modelagem no programa FLAC (Manual FLAC v.5).
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54
As equações de movimento são resolvidas, mesmo quando o sistema está
em equilíbrio estático, o que permite ao programa acompanhar processos
fisicamente instáveis sem muitas dificuldades numéricas como, por exemplo, a
ruptura progressiva de taludes e seu colapso.
Um esquema de solução explicita no tempo é utilizada, permitindo a
solução de problemas tensão x deformação não-lineares. Não é necessário o
armazenamento de matrizes (como geralmente acontece no método dos
elementos finitos), possibilitando assim que um grande número de zonas sejam
modeladas com pouca memória RAM de computador.
No entanto, o programa FLAC tem desvantagens em certas situações,
quando comparado com implementações baseadas no método dos elementos
finitos: a) problemas lineares são executados em tempos maiores de
processamento no FLAC do que normalmente levariam em programas de
elementos finitos; b) o tempo de processamento no FLAC é proporcional à razão
entre o maior e o menor período natural do sistema sendo modelado, o que faz
com que certos problemas sejam modelados de forma muito ineficiente como,
por exemplo, em casos contendo grandes disparidades de tamanho de
elementos ou valores de módulos de elasticidade.
FLAC v.5 contém 11 modelos constitutivos implementados no código
computacional para modelagem mecânica de solos e rochas, conforme Tabela
3.1. Adicionalmente são disponíveis 5 módulos extras para análises dinâmicas,
térmicas, de acoplamento fluido-mecânico, para materiais apresentando
comportamento visco-plástico (creep) e a possibilidade de inclusão de novos
modelos constitutivos definidos pelo usuário.
O FLAC também opera no modo large-strain no qual os incrementos de
deslocamentos são adicionados às coordenadas da malha que tal maneira que
esta se desloca e se deforma juntamente com o material que representa. Este
tipo de formulação é conhecido como Lagrangeana Modificada. A relação
constitutiva em cada passo do método explícito é formulada com pequenas
deformações, mas é equivalente a uma abordagem a grandes deformações para
muitos passos de cálculo.
Além da utilização de comandos FLAC específicos, o programa também
contém uma poderosa linguagem de programação denominada FISH,
possibilitando que o usuário escreva suas próprias funções e assim amplie a
utilidade do programa e o potencial de suas aplicações. Muitas funções FISH já
foram escritas por usuários do FLAC e encontram-se armazenadas em uma
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55
biblioteca especial, podendo ser diretamente utilizadas ou modificadas para
atender às condições específicas do problema em análise.
Através da linguagem de programação FISH é possível prescrever
variações de propriedades na malha, plotar e imprimir variáveis definidas pelo
usuário, implementar algoritmos de geração de malhas, especificar condições de
contorno variáveis no tempo e espaço, desenvolver modelos constitutivos
especiais, etc.
A utilização do FLAC não é tão simples quanto no caso da maioria dos
programas de elementos finitos orientados a aplicações da engenharia
geotécnica (Plaxis, GeoStudio, dentre os principais), exigindo do usuário o
conhecimento de um número razoável de comandos e de seus atributos, bem
como boas noções de programação na linguagem FISH. Uma vez que estes
aspectos sejam conhecidos e o usuário esteja bem familiarizado com a estrutura
do programa, este se torna, sem dúvida, no mais completo software hoje
disponível para estudo de problemas envolvendo solos e rochas.
Tabela 3.1- Modelos constitutivos disponíveis no programa FLAC v.5
Modelo Material Exemplo de Aplicação
Nulo Vazio
Furos, escavações, regiões
nas quais o material será
adicionado em estágio
posterior.
Elástico linear
Homogêneo, isotrópico
continuo; comportamento
tensão-deformação linear.
Materiais manufaturados
(aço), submetidos a
carregamentos inferiores ao
limite de elasticidade.
Elástico
transversalmente isotrópico
Materiais laminados
esbeltos exibindo
anisotropia elástica
Materiais laminados (ardósia
ou rocha tipo xisto),
submetidos a carregamentos
inferiores ao limite de
elasticidade.
Ducker - Prager
Aplicação limitada; argila
mole com baixa coesão.
Modelo comum para
comparação com programas
de elementos finitos.
Mohr-Coulomb
Materiais granulares;
solos, rocha, concreto.
Aplicado de forma
generalizada em problemas
da Mecânica dos Solos.
Mohr-Coulomb com
amolecimento/
endurecimento
Materiais granulares que
exibem comportamento
não-linear de
amolecimento ou
endurecimento
Estudos de pós-ruptura,
ruptura progressiva.
Modelo de Juntas Materiais laminados
esbeltos exibindo
anisotropia de resistência
Escavações em camadas
estratificadas
Modelo de Juntas com
deformação bi linear e
Materiais laminados que
exibem endurecimento ou
Estudos em pós-ruptura de
materiais laminados.
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56
amolecimento/endurecimento
amolecimento de material
não-linear.
Escoamento Duplo
Materiais granulares com
baixa cimentação onde
tensões causam
decréscimo de volume
permanente.
Barragens de enrocamento.
Cam-Clay Modificado Materiais cuja
deformabilidade e
resistência são funções
de variação de volume
Problemas geotécnicos em
argila normalmente
adensadas.
Hoek – Brown
Rocha isotrópica e
homogênea.
Problemas geotécnicos em
rochas.
3.2.
Modelagem do aterro
O modelo elasto-perfeitamente plástico de Mohr-Coulomb foi utilizado
para representação do solo do aterro. Cinco parâmetros do material foram
necessários para sua descrição numérica: dois parâmetros elásticos (módulo de
deformação volumétrica K, módulo de cisalhamento G), dois parâmetros de
plasticidade (ângulo de atrito φ, coesão c) e o ângulo de dilatância ψ.
O ângulo de dilatância é empregado em análises numéricas para corrigir a
excessiva variação volumétrica negativa (expansão) do solo prevista pelo
modelo de Mohr-Coulomb com lei de fluxo associada. Exceto no caso de argilas
fortemente pré-adensadas, solos coesivos tendem a apresentar pouca dilatância
(ψ~0). Em areias, a dilatância depende da densidade relativa e do ângulo de
atrito; para areias de quartzo a ordem de magnitude da dilatância pode ser
aproximada por ψ = φ - 30º e para valores de φ < 30º o ângulo de dilatância é
geralmente considerado nulo. Um ângulo de dilatância positivo em condições
drenadas implica que o solo vai sofrer expansão de volume contínua, sem atingir
a condição de estado crítico, o que é claramente irrealista; em condições não-
drenadas uma dilatância positiva, associada à condição de não-variação de
volume, leva a geração de poropressões negativas (sucção). Em uma análise
não-drenada em termos de tensões efetivas a resistência do solo, logo, pode ser
superestimada.
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57
3.3.
Modelagem do reforço
O programa FLAC também dispõe de 7 elementos estruturais para
representação de apoios, elementos de ligação e de interface entre diferentes
materiais. Elementos de viga (beam elements) e de cabo (cable elements)
podem ser utilizados para a modelagem de reforços com geossintéticos.
Segundo Bathusrt e Hatami (1999), elementos de cabo constituem-se na
melhor alternativa (elementos de cabo foram adotados nesta pesquisa) pois têm
melhor eficiência computacional quanto ao tempo de processamento, os
parâmetros de interface são mais fáceis de serem especificados e as
informações geradas sobre a distribuição de tensões e deformações ao longo do
reforço são suficientes para compreensão do comportamento do solo.
3.3.1.
Comportamento axial
O comportamento axial do sistema pode ser assumido como controlado
inteiramente pelo elemento de reforço, o qual é usualmente esbelto, oferecendo
pouca resistência à flexão e tratado como elemento 1D capaz de resistir à tração
uniaxial. A rigidez axial é definida em termos da área da seção transversal A do
material de reforço e do seu módulo de Young E.
O incremento de força axial, ,F∆ é calculado do deslocamento axial
incremental por:
tt
u
L
EA
F ∆−=∆ (3.1)
onde L é o comprimento do elemento e
ii
t
tuu ∆=∆
para i = 1,2
2211
tutu
∆
+
∆
=
2
][
2
][
21
][
1
][
1
)()( tuutuu
abab
−+−=
onde os sobrescritos a e b referem-se a nós e t
1
, t
2
representam os valores dos
cossenos diretores em relação à direção axial do cabo.
Valores da força de escoamento à tração (yield) e da força de escoamento
à compressão (ycomp) podem ser atribuídos (Figura 3.2) pelo usuário. Caso
não informados, o programa considera-os nulos.
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58
Figura 3.2 - Comportamento do material para elementos de cabo (manual FLAC v.5).
3.3.2.
Comportamento cisalhante na interface solo-reforço
O comportamento cisalhante na interface solo-reforço, quando do
deslocamento relativo entre o solo e o reforço, é descrito numericamente pela
rigidez cisalhante da interface k
bond
(Figura 3.3b):
)uu(k
L
F
mcbond
s
−=
(3.2)
onde:
=
s
F Força tangencial desenvolvida ao longo da interface reforço – solo;
k
bond
= Rigidez cisalhante da interface;
=
c
u
deslocamento axial do cabo;
=
m
u deslocamento axial do solo;
L = comprimento do elemento de contribuição.
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59
a) Resistência ao cisalhamento na b) Força tangencial na interface
interface versus deslocamento relativo.
Figura 3.3 - Comportamento do material de interface (manual FLAC v.5).
A máxima força tangencial que pode ser desenvolvida na interface,
normalizada em relação ao comprimento do elemento L, é uma função da
coesão e do ângulo de atrito na interface, de acordo com (Figura 3.3-a):
perímetroSS
L
Fs
frictioncbond
*)tan(*
´
max
σ
+=
(3.3)
onde:
bond
S : força resistente devida à coesão na interface (força/comprimento do
reforço)
friction
S : ângulo de atrito na interface
perímetro : perímetro exposto do elemento de cabo
´
c
σ
: tensão efetiva normal média atuante na interface, definida por
1
)p
2
(´
zznn
C
+
σ+σ
−=σ
(3.4)
onde:
p = poro pressão;
zz
σ
= tensão fora do plano;
nn
σ
=
21
2
2
2
1
2 nnnn
xyyyxx
σσσ
++
1
convenção de sinais do programa FLAC segue à notação tradicional de Resistência dos
Materiais.
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60
i
n = cossenos diretores do vetor unitário normal ao elemento de cabo
3.3.3.
Propriedades do reforço
Os elementos de cabo do FLAC v.5 necessitam da especificação, como
dados de entrada, dos seguintes parâmetros:
a) Área da seção transversal do reforço;
b) Massa específica do reforço, para análises dinâmicas;
c) Módulo de Young do material do reforço;
d) Comprimento do reforço (opcional). Se não informado, é considerado
contínuo na direção fora do plano;
e) Resistência à tração do material de reforço;
f) Resistência à compressão do material de reforço; se não especificada,
assumida nula;
g) Perímetro exposto do reforço;
h) Rigidez cisalhante na interface (força / comprimento do cabo /
deslocamento relativo);
i) Força resistente devida à coesão (força/comprimento do cabo)
j) Ângulo de atrito na interface (graus);
3.4.
Aspectos da modelagem dinâmica
3.4.1.
Contornos silenciosos
A modelagem de problemas de geomecânica envolve meios que, na
escala da análise, podem muitas vezes serem considerados infinitos.
Escavações subterrâneas profundas são geralmente assumidas como
circundadas por um meio infinito enquanto que estruturas na superfície são
consideradas assentes sobre um semi-espaço. Métodos numéricos
dependentes da discretização de regiões finitas requerem que condições de
contorno sejam adequadamente prescritas. Em análises estáticas, condições de
contorno rígidas podem ser realisticamente empregadas através da prescrição
de apoios fixos colocados a alguma distância da região de interesse. Em
problemas dinâmicos, contudo, tal tipo de contorno poderia causar a reflexão de
ondas novamente para o interior do modelo e não permitir a necessária radiação
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61
de energia. A utilização de malhas de grandes proporções poderia minimizar o
problema, considerando-se que o amortecimento do material dissiparia a maior
parte da energia gerada pelas ondas refletidas nos contornos distantes, mas
esta solução levaria a tempos de computação extremamente elevados. A
alternativa é utilizar contornos silenciosos (em oposição ao ruído introduzida nos
resultados numéricos por contornos rígidos), como os propostos por Lysmer e
Kuhlemeyer (1969) e usados no FLAC, no qual amortecedores independentes
são dispostos ao longo dos contornos do modelo nas direções normal e
tangencial. Este método é quase completamente eficiente para ondas com
ângulos de incidência superiores a 30º , medidos em relação aos contornos.
Para menores ângulos de incidência ou para ondas de superfície ainda ocorre
absorção de energia pelos amortecedores, mas esta não é perfeita (daí porque
estes contornos são também conhecidos como de transmissão imperfeita).
Todavia, esta técnica tem a vantagem de que opera no domínio do tempo e sua
eficiência foi comprovada ao longo dos anos em vários programas
computacionais baseados no método dos elementos finitos e das diferenças
finitas. Um aperfeiçoamento deste tipo de contorno foi sugerido por White et al.
(1970) considerando que as características dos amortecedores dependem
também do coeficiente de Poisson.
A formulação de contornos silenciosos proposta por Lysmer e Kuhlemeyer
(1969) considera os seguintes valores de tensão normal e tangencial ao
contorno, respectivamente:
npn
vCt
ρ
−=
(3.5)
sss
vCt
ρ
−= (3.6)
onde:
=
n
t tensão normal ao contorno
=
s
t
tensão cisalhante ao contorno
=
ρ
massa específica
=
p
C
velocidade de onda P
=
s
C velocidade de onda S
=
n
v componente normal da velocidade no contorno
=
s
v componente tangencial da velocidade no contorno
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62
Os valores das tensões t
n
e t
s
no FLAC são aplicados em cada passo de
tempo.
3.4.2.
Contornos de campo livre
A análise numérica da resposta dinâmica de estruturas, como barragens
(Figura 3.4), requer a discretização da região adjacente à sua fundação. O
registro sísmico é geralmente representado por ondas planas SV propagando-se
verticalmente e as condições de contorno devem considerar o movimento de
campo livre que ali existiria caso a estrutura estivesse ausente. Para impor este
tipo de condição, de tal maneira que os contornos conservem suas
características de absorção de ondas, o programa FLAC executa o problema de
propagação de ondas 1D, na hipótese de campo livre, realizado
simultaneamente com a análise da malha principal.
Desta maneira, ondas planas propagando-se verticalmente não sofrem
distorção no contorno porque as condições de campo livre são idênticas àquelas
do modelo semi-infinito. Se a malha principal é uniforme, e se não houvesse
estrutura na superfície, então os amortecedores laterais não seriam ativados
porque os contornos livres executam o mesmo movimento da malha principal.
Todavia, se o movimento da malha principal for diferente (causado, por exemplo,
pela radiação de ondas secundárias pela estrutura) então os amortecedores
absorveriam energia de maneira similar aos contornos silenciosos anteriormente
descritos.
Figura 3.4 - Modelo para análise sísmica de uma estrutura de superfície e com condição
de contorno em campo livre (manual do FLAC v.5).
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63
Os contornos laterais da malha principal são acoplados aos das malhas de
campo livre por amortecedores viscosos para simular um contorno silencioso
(ver Figura 3.4), e as forças desbalanceadas da malha de campo livre são
aplicadas nos contornos da malha principal. Ambas as condições são expressas
pelas equações (3.7) e (3.8), relativas somente ao contorno da esquerda na
Figura 3.4. Expressões semelhantes podem ser escritas em relação ao contorno
da direita.
[
]
y
ff
xx
ff
x
m
xPX
SvvCF ∆−−−=
σρ
)( (3.7)
[
]
y
ff
xy
ff
y
m
ys
SvvCFy ∆−−−=
σρ
)( (3.8)
onde:
ρ
= massa específica do material ao longo do contorno vertical do
modelo;
p
C
= velocidade de onda P no contorno;
s
C
= velocidade de onda S no contorno;
y
S∆
= tamanho vertical medida da zona entre nós do contorno;
m
x
v = velocidade na direção x do nó do contorno na malha principal;
m
y
v = velocidade na direção y do nó do contorno na malha principal;
ff
x
v
= velocidade na direção x do nó do contorno na malha de campo
livre;
ff
y
v
= velocidade na direção y do nó do contorno na malha de campo
livre;
ff
xx
σ
= tensão normal média no nó de contorno da malha de campo
livre;
ff
xy
σ
= tensão cisalhante média no nó de contorno da malha de campo
livre
O modelo de campo livre consiste em uma coluna 1D de largura unitária.
Está discretizada em n elementos consistentes com as zonas da malha principal,
ao longo dos contornos laterais. As massas dos elementos são concentradas
(lumped) nos n+1 pontos nodais. Uma variação linear do campo de
deslocamentos é assumida no interior de cada elemento do modelo de campo
livre (isto é, admitindo-se uma distribuição constante de tensões ou deformações
no interior de cada elemento).
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64
3.4.3.
Transmissão de ondas
Distorções numéricas da propagação de ondas podem ocorrer em uma
análise dinâmica em conseqüência da modelagem. Tanto o espectro de
freqüências da excitação dinâmica quanto as características de propagação das
ondas no sistema podem afetar a precisão numérica da transmissão de ondas
através do modelo discreto. Kuhlemeyer e Lysmer (1973) mostraram que para
uma representação acurada da transmissão de ondas o tamanho do elemento
l
∆
deve ser menor do que aproximadamente 1/10 a 1/8 do comprimento de
onda λ associado à maior freqüência do registro de entrada.
10
λ
≤∆l
(3.9)
3.4.4.
Filtragem do registro sísmico
Para certas análises (por exemplo em registros exibindo altas velocidades
de pico com rápidos intervalos de subida), a aplicação da equação (3.9) pode
resultar em tamanhos de zonas e passos de tempo muito pequenos, implicando
em tempos de processamento e quantidade de memória proibitivos. Em tais
circunstâncias, o registro sísmico (história de acelerações, velocidades ou
deslocamentos) deve ser tratado, reconhecendo-se que a maior parte da
potência do sismo está contida nas componentes de baixa freqüência. Por um
processo de filtragem das altas freqüências, uma malha com zonas maiores
pode ser utilizada sem significativa mudança nos resultados esperados.
O procedimento de filtragem pode ser executado com uma rotina de filtro
passa-baixo
2
utilizando a técnica de Transformada Rápida de Fourier (FFT). O
programa FLAC tem disponível uma rotina escrita na linguagem FISH,
denominada FILTER.FIS, pronta para filtrar registros considerando-se
determinada freqüência de corte f
c
.
Baixas freqüências também podem ser filtradas através de uma rotina de
filtro passa-alta, removendo-se aquelas cujo período é maior do que a duração
do terremoto, pois as mesmas tendem a causar valores não nulos no final da
história de velocidades e deslocamentos.
2
Filtro passa-baixo é o nome comum dado a um circuito eletrónico que permite a passagem
de baixas frequências e atenua a amplitude das frequências maiores que uma frequência de corte
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65
3.4.5.
Correção da linha base
O processo de correção da linha base pode ser usado para prescrever
velocidade e deslocamento residuais nulos ao final do movimento do terremoto.
Este processo, mostrado na Figura 3.5, pode ser explicado como:
a) a historia das velocidades pode ser obtida pela integração no tempo da
história das acelerações. Neste cálculo, a velocidade final pode resultar não-
nula como na Figura 3.5ª;
b) a integração no tempo da história das velocidades pode resultar também em
um deslocamento final não-nulo, como na Figura 3.5b;
c) uma onda de velocidade de baixa freqüência pode ser selecionada de forma
que a velocidade e deslocamento finais tornam-se nulos. Esta onda pode ser
uma função polinomial ou periódica com parâmetros livres (Figura 3.5 c) que
podem ser ajustados para obtenção dos resultados desejados, como
mostrado na Figura 3.5d. A correção da linha base no programa FLAC pode
ser feita pelo usuário através da rotina da biblioteca FISH denominada
BASELINE.FIS.
Se a correção da linha base não for executada, a história das acelerações
não corrigidas resultará em um erro linear nas história das velocidades e um erro
quadrático na história dos deslocamentos (Kramer, 1996).
Outra técnica para correção da linha base é aplicar um deslocamento
adicional no final dos cálculos, se for constatada a existência de um
deslocamento residual no modelo. Isto pode ser feito aplicando-se uma
velocidade fixa na malha com o objetivo de reduzir os deslocamentos a zero.
Esta ação não afetará o mecanismo de deformação do modelo.
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66
Figura 3.5 - Processo de correção da linha base (manual do FLAC v.5).
3.4.6.
Carregamento dinâmico
No FLAC, a aplicação do carregamento dinâmico no contorno do modelo
pode ser sob uma das seguintes maneiras: uma história de acelerações, uma
história de velocidades, uma história de tensões ou uma história de forças. As
duas primeiras são aplicadas nos casos com fundação sobre base rígida (rocha)
e os dois últimos para casos com fundação sobre base flexível (solo), conforme
mostra a Figura 3.6.
Uma restrição quando considerando-se histórias de aceleração ou de
velocidade é que estes carregamentos dinâmicos não podem ser aplicados
sobre contornos silenciosos, porque as características destes seriam
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67
significativamente alteradas. Para prescrever-se movimentos sísmicos sobre
contornos silenciosos, uma condição de carregamento em termos de tensões
deve ser utilizada, com o registro de velocidades transformado em um registro
de tensões e em seguida aplicado.
(a) Base Flexível.
(b) Base Rígida.
Figura 3.6 - Condições de contorno e de carregamento dinâmico (manual FLAC v.5).
Uma onda de velocidade pode ser convertida em uma onda de tensão
usando a formulação elástica:
npn
vC )(2
ρ
σ
=
(3.10)
sss
vC )(2
ρ
σ
=
(3.11)
onde:
n
σ
= tensão normal aplicada;
s
σ
= tensão cisalhante aplicada;
ρ
= massa específica;
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68
p
C = velocidade de propagação de onda P;
s
C = velocidade de propagação de onda S;
n
v = velocidade normal da partícula;
s
v = velocidade tangencial da partícula.
A formulação acima assume propagação de ondas planas. O fator 2 nas
equações 3.10 e 3.11 leva em conta o fato de que a tensão aplicada deve ser
duplicado em relação àquela prevista em um meio infinito, porque metade da
energia é absorvida pelo contorno viscoso.
3.4.7.
Amortecimento mecânico
Sistemas dinâmicos naturais contém algum grau de amortecimento da
energia de vibração, caso contrário oscilariam indefinidamente. O amortecimento
do material explica o comportamento inelástico dos materiais pois parte da
energia interna do ciclo de carregamento é absorvida pelo material durante o
ciclo de descarregamento, fazendo com que ambas as trajetórias não sejam
coincidentes, o que caracteriza materiais inelásticos.
O programa computacional FLAC utiliza um algoritmo dinâmico para duas
classes gerais de problemas: quase-estáticos e dinâmicos.
Problemas quase-estáticos requerem maiores amortecimentos para rápida
convergência ao equilíbrio e o algoritmo usado no programa FLAC nestes casos
é o do amortecimento local. Para situações de problemas dinâmicos são
disponíveis os amortecimentos de Rayleigh, o amortecimento histerético e, em
casos especiais, também o amortecimento local.
3.4.7.1.
Amortecimento de Rayleigh
O amortecimento de Rayleigh foi originalmente usado na análise dinâmica
de estruturas e corpos elásticos para amortecer os modos de oscilação natural
do sistema. As equações são expressas de forma matricial, onde a matriz de
amortecimento
[
]
C é utilizada com componentes proporcionais às matrizes de
massa [M] e de rigidez [K].
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69
]K[]M[]C[
β
+
α
=
(3.12)
onde
=
α
constante de amortecimento proporcional à massa
=
β
constante de amortecimento proporcional à rigidez
Para baixas freqüências do sistema, a primeira componente α é
dominante, enquanto que para altas freqüências β é mais relevante (Figura 3.7).
Para um sistema com múltiplos graus de liberdade, a razão de
amortecimento critico,
i
ξ
, em qualquer freqüência angular do sistema,
i
ω
, pode
ser escrita como ( Bathe e Wilson, 1976):
iii
ξωωβα
2
2
=+ (3.13)
ou
+=
i
i
i
ωβ
ω
α
ξ
2
1
(3.14)
A Figura 3.7 mostra a variação da razão de amortecimento critico
normalizado em relação à freqüência angular,
i
ω
. Três curvas são mostradas:
para componentes de massa e rigidez isoladamente e a soma de ambas as
componentes. Como pode-se observar, o amortecimento proporcional à massa
do sistema é dominante nos intervalos das baixas freqüências angulares,
enquanto que o amortecimento proporcional à rigidez domina para freqüências
angulares mais altas.
A curva representando a soma de ambas as componentes atinge um valor
mínimo em
( )
2
1
min
βαξ
=
(3.15)
( )
2
1
min
/
βαω
=
(3.16)
ou
minmin
ω
ξ
α
=
(3.17)
minmin
/
ω
ξ
β
=
(3.18)
A freqüência mínima é escrita como
π
ω
2/
minmin
=
f
(3.19)
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70
Note que somente na freqüência
min
f
o amortecimento de Rayleigh é
composto por partes iguais de amortecimento proporcional à massa e
proporcional à rigidez.
Figura 3.7 - Variação da razão de amortecimento critico normalizada em relação à
freqüência angular.
No FLAC o amortecimento de Rayleigh é especificado através dos
parâmetros
min
f (Hz) e
min
ξ
.
Como o amortecimento em solos é praticamente independente da
freqüência, podemos estimar ξ
min
(conforme Tabela 3.2) e calcular ω
min
como
aproximação da freqüência angular predominante do sistema não-amortecido.
Tabela 3.2 – Valores típicos da razão de amortecimento crítico
Tipo de solo Razão de amortecimento
crítico
Referência
Pedregulho e areia seca 0.03 – 0.07 Weissmann e Hart (1961)
Areia seca e saturada 0.01 – 0.03 Hall e Richardt (1963)
Areia seca 0.03 Whitman (1963)
Areia seca e saturada
Pedregulho
0.03 – 0.06 Barkan (1962)
Argila 0.02 - 0.05 Barkan (1962)
Areia siltosa 0.03 – 0.10 Stevens (1965)
Areia seca 0.01 – 0.03 Hardin (1965)
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71
3.4.7.2.
Amortecimento histerético
O modelo linear equivalente tem sido usado por muitos anos para calcular
a resposta dinâmica de maciços de solos e rochas e no estudo de problemas de
propagação de ondas. O método não captura diretamente qualquer efeito não-
linear, pois assume linearidade durante o processo de resolução. Funções que
descrevem a degradação do módulo de cisalhamento (Figura 3.8) e aumento da
razão de amortecimento com os níveis das deformações cisalhantes são
utilizadas e já foram apresentadas no Capítulo 2.
Figura 3.8 – Limite superior da curva de redução do módulo de cisalhamento para areias,
proposta por Seed & Idriss (1970).
Uma motivação adicional para utilização dos dados obtidos em ensaios
cíclicos de laboratório em um modelo de amortecimento histerético é que a
necessidade de amortecimentos adicionais, como o de Rayleigh, seria eliminada.
O amortecimento de Rayleigh é pouco usual entre os usuários de programas
computacionais envolvendo solos ou rochas, pois envolve uma drástica redução
no passo de tempo da solução e, consequentemente, um significativo acréscimo
no tempo de processamento.
O problema principal com o amortecimento histerético implementado na
versão 5 do programa FLAC, utilizada na elaboração desta dissertação, é que a
curva de degradação do módulo G (ou G
sec
) é obtida diretamente de ensaios de
laboratório (Seed e Idriss, 1970; Hardin e Drnevich, 1972) mas o valor
correspondente da razão de amortecimento crítico ξ
i
é obtida com base na
formulação teórica da equação (2.9), abaixo reproduzida:
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72
2
csec
laço
s
d
G
A
2
1
W4
W
γ
π
=
π
=ξ
(2.9)
onde
d
W é energia dissipada no ciclo,
s
W a energia de deformação
máxima e
laço
A a área do laço de histerese.
Em conseqüência, a curva de degradação do módulo coincide com aquela
presente em outros programas computacionais que empregam o modelo linear
equivalente, como o SHAKE (Figura 3.9), mas as curvas de aumento da razão
de amortecimento crítico são incompatíveis, para todo o intervalo de
deformações, com aquelas obtidas de ensaios de laboratório (Seed e Idriss,
1970) e incorporadas diretamente no programa SHAKE (Figura 3.10).
Devido à inconsistência observada nas curvas de aumento da razão de
amortecimento crítico, que não podem ser modificadas pelo usuário do programa
FLAC, é sugerido então que uma abordagem de compromisso seja adotada,
procurando-se concordar as curvas teóricas e de laboratório no intervalo de
deformações esperado no problema em análise.
Figura 3.9 – Curvas de degradação de G no modelo linear equivalente implementado
nos programas computacionais SHAKE e FLAC v.5.
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73
Figura 3.10 - Curvas de aumento da razão crítica de amortecimento no modelo linear
equivalente implementado nos programas computacionais SHAKE e FLAC v.5.
3.4.7.3.
Amortecimento local
O amortecimento local foi desenvolvido para simulações de equilíbrio
estático. No entanto, apresenta algumas características que o fazem atrativo
também para simulações dinâmicas. O algoritmo consiste em amortecer o
movimento de aceleração pela adição de massa aparente em certos instantes de
tempo (quando a velocidade for nula) e remoção em outros instantes, quando a
aceleração for nula (i.e. nos instantes de velocidade máxima). Durante um ciclo
de oscilação, a massa total do sistema é portanto conservada, mas a energia
cinética é removida duas vezes do sistema. Note que no ponto de velocidade
máxima a massa aparente é removida, mas não há descontinuidade na
aceleração, pois a mesma é nula neste instante.
A quantidade de energia dissipada ∆W é proporcional à máxima energia
de deformação transiente W e a razão ∆W / W é independente da freqüência,
podendo ser relacionada com uma razão de amortecimento crítico ξ através de
(Kolsky, 1963):
πξ
=
α
L
(3.20)
onde α
L
é o coeficiente de amortecimento local.
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74
O amortecimento local parece dar bons resultados em casos simples onde
o amortecimento é independente da freqüência e não há necessidade da
estimativa de freqüências naturais do sistema sendo modelado. Para situações
exibindo registros com complexas formas de ondas, há evidências que o
amortecimento local subamortece as componentes de alta freqüência, podendo
introduzir “ruídos” de alta freqüência na solução.
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4
Estabilidade estática do aterro reforçado
4.1.
Introdução
Neste capítulo apresenta-se a avaliação da estabilidade estática de um
aterro de rejeitos de mineração reforçado com geossintéticos. A obra está
localizada na Mina San Rafael (Peru), na altitude de 4500 acima do nível do mar,
na longitude 70°19´ Oeste e latitude 14°13´ Sul, tendo sido construído com o
objetivo de incrementar a capacidade de armazenamento de uma barragem de
rejeitos.
O aterro, sobre fundação compressível, possui 10.40m de altura,
inclinação de talude de 76º, protegido por geomembrana lisa de 1 mm de
espessura, sendo reforçado com 3 camadas de geogrelhas uniaxiais de 200
kN/m de resistência à tração na parte inferior e 6 camadas de geogrelhas
uniaxiais de 150 kN/m de resistência à tração na parte superior. O espaçamento
vertical entre as 9 camadas de geogrelhas é de 1.20m e a espessura da camada
de solo superior é de 0.80m, totalizando o valor de 10.40m de altura do aterro.
Na análise de estabilidade estática foram avaliadas as geometrias das
potenciais superfícies de deslizamento, forças de tração máximas nos reforços,
deslocamentos na face do talude e fatores de segurança, para diferentes
elevações considerando ou não a existência de reforços.
As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam diferentes fases de construção do aterro
reforçado com geossintéticos da barragem de rejeitos III da mina San Rafael.
4.2.
Propriedades dos materiais
4.2.1.
Propriedades do solo
O solo do aterro reforçado constitui-se de rejeito de mineração de estanho
e cobre. As propriedades do aterro e da fundação são apresentadas nas Tabelas
4.1 e 4.2.
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76
O paramento da estrutura foi assumido como um material com coesão
igual a 30 kPa e os demais parâmetros iguais aos valores das propriedades do
solo de aterro. O material de fundação é rejeito recompactado com ângulo de
atrito de 35° e coesão nula.
O comportamento mecânico do material do aterro e da fundação foram
representados no estudo numérico através do modelo elastoplástico de Mohr-
Coulomb.
Tabela 4.1 - Propriedades da fundação e do solo de aterro
Propriedade Aterro Solo de fundação
Massa especifica (kg/m
3
) 1938 1887
Módulo de Young, E (kPa) 39.216 52.255
Coeficiente de Poisson,
υ
0.30 0.30
Ângulo de atrito (°) 30 35
Módulo de Cisalhamento, G (kPa) 15.083 20.098
Módulo de deformação volumétrica, K (kPa) 32.680 43.546
Tabela 4.2 - Características do rejeito do aterro.
Limites de consistência: ASTM - D427 / D4318
Limite de liquidez (%)
Limite de plasticidade (%)
Índice de plasticidade (%)
Limite de contração (%)
NP
NP
NP
---
Umidade: ASTM - D2216
Umidade (%) 15.2
Resultados: ASTM – D2487 / D3282
Material: - Pedregulho (n° 4<ø<3”) (%)
- Areia (n° 200<ø<n° 4) (%)
- Finos (ø< n°200) (%)
0
56.9
43.1
Classificação dos solos: - AASHTO
- SUCS
A-4(0)
SM
Proctor Padrão: ASTM – D698 A
Umidade ótima (%)
Densidade seca máxima (g/cm
3
)
17.6%
1.629
4.2.2.
Propriedades do reforço e interface
O comprimento L da zona reforçada, em relação à geometria do aterro foi
selecionado pela correlação L/H = 0.96 onde H é a altura do talude. A razão de
reforço mínimo típica para o projeto estático de estruturas de solo reforçado é
L/H=0.7 (FHWA, 1996).
Para os reforços (geossintéticos) e material de interface foram atribuídas
as seguintes propriedades:
a) Geogrelha com resistência à tração (yield) de 150 kN/m e resistência à
compressão (ycomp) nula
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77
Espessura t = 0.005m
Área da seção transversal A = t.1 = 0.005 m
2
Perímetro exposto = 2(t+1) ~ 2m
Rigidez à tração sob deformação de 2%
%2,wwt
J
= 1510 kN/m
Rigidez à tração reduzida
1
=
%2
J 755 kN/m
Módulo de elasticidade E =
t
J
%2
=
005
.
0
755
= 151.000 kPa
b) Geogrelha com resistência à tração (yield) de 200 kN/m e resistência à
compressão (ycomp) nula
Espessura t = 0.005m
Área da seção transversal A = t.1 = 0,005 m
2
Perímetro exposto = 2(t+1) ~ 2m
Rigidez à tração sob deformação de 2%
%2,wwt
J
= 1910 kN/m
Rigidez à tração reduzida
3
=
%2
J 955 kN/m
Módulo de elasticidade E =
t
J
%2
=
005
.
0
955
= 191.000 kPa
c) Material de interface
Ângulo de atrito (s
friction
) = 30°
Resistência coesiva (s
bond
) = 0
Rigidez cisalhante na interface (k
bond
) = 10
10
N/m/m.
4.3.
Discretização
Para as simulações numéricas foram geradas malhas de diferenças finitas
cujas dimensões dependem da altura e da configuração do aterro. Optou-se por
uma discretização mais intensa na região dos reforços com o propósito de obter
uma maior precisão nos resultados numéricos.
Cada camada de reforço tem 16 segmentos (elementos de cabo); as
extremidades de cada reforço são fixadas aos nós da malha para simular tanto a
ancoragem do reforço como sua conexão à face externa do talude.
3
Redução da rigidez à tração é necessária para considerar carregamento lento de reforços,
efeitos de temperatura, fibras usadas, etc. Para geogrelhas, 50% de redução é recomendada por
Lee, Holtz e Allen (1999).
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78
Figura 4.1 – Instalação de geogrelha e colocação de material de rejeito na construção do
aterro reforçado (Peru).
Figura 4.2 – Construção da etapa final do aterro reforçado com geossintéticos na
barragem de rejeitos III da mina San Rafael (Peru).
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79
Como condição de contorno, considerou-se uma restrição dos
deslocamentos horizontais nos contornos laterais e de ambas as componentes
de deslocamento (horizontal e vertical) no contorno inferior. A Figura 4.3 mostra
o aspecto geral da geometria do aterro, das condições de contorno e da posição
dos reforços (geossintéticos).
Figura 4.3 – Discretização adotada para análise estática.
4.4.
Estabilidade estática do aterro
Em análises de estabilidade estática, foram determinados através do
programa FLAC e do método direto de simulação do colapso (Capítulo 2), os
fatores de segurança para diversas alturas de aterro, considerando-se ou não a
existência de reforços.
Na Figura 4.4, o contorno da máxima velocidade de deformação cisalhante
(em azul) indica a potencial superfície de ruptura enquanto que os vetores de
velocidade mostram a tendência de ruptura rotacional. O fator de segurança
calculado como FS = 0.66 evidencia que o talude de 10.40m de altura é instável,
sendo imprescindível a introdução de reforço no aterro para garantir condições
mínimas de estabilidade.
Em seguida, analisou-se a estabilidade do mesmo talude, mas com
reforços (geossintéticos). A Figura 4.5 mostra que o aterro passa a ter
comportamento estável, com fator de segurança FS = 1.90. Apresenta também o
comportamento típico ao de um muro de gravidade, com a potencial superfície
de ruptura passando abaixo da base da estrutura, como citado por Mitchell e
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80
Villet (1987) no caso de fundação compressível. A superfície de ruptura na
região não reforçada indica que a estabilidade externa constitui um aspecto
importante da análise do aterro reforçado, devido aos esforços ativos exercidos
pela massa de solo sobre a região reforçada. Outra observação se refere à
presença de pequenas deformações de cisalhamento na zona de ancoragem
dos reforços.
Figura 4.4 – Análise de estabilidade do aterro sem reforço - contorno da máxima
velocidade de deformação cisalhante e vetores de velocidade.
Figura 4.5 - Análise de estabilidade do aterro com reforço - contorno da máxima
velocidade de deformação cisalhante.
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81
Da Figura 4.6 pode-se observar que para ambos os casos, como
esperado, há uma tendência de incremento do fator de segurança à medida que
decresce a altura do talude. Nota-se que no caso do aterro sem reforço, acima
de 6m de altura, já ocorre o colapso do aterro, enquanto que para o caso de
aterro reforçado o talude é estimado estável até a sua altura máxima de 10.40m
(FS = 1.90).
Figura 4.6 – Variação de fator de segurança com a altura do talude com e sem reforço.
4.5
Deslocamentos laterais e forças nos reforços
A Figura 4.7a mostra o gráfico de deslocamentos horizontais da face do
talude, estudado com auxílio do programa FLAC na etapa final da construção.
Os resultados apresentam maiores deslocamentos na região intermediária do
aterro reforçado.
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82
(a)
(b)
Figura 4.7 – a) Deslocamentos horizontais na face do talude (b) Tração máxima nos
reforços de geossintéticos.
A Figura 4.7b apresenta as forças de tração máximas nas camadas de
reforço, ao final da construção, estimadas numericamente pelo FLAC e
analiticamente pelo método de Woods (1993), descrito logo abaixo, verificando-
se que o método analítico proposto por Woods superestima a carga de reforço
máximo porque não considera os efeitos da deformação do material.
O método de Woods permite uma estimativa da força de tração no reforço
analisando-se o equilíbrio horizontal de cada camada, como indicado na Figura
4.8.
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83
O valor da tração no reforço pode ser estimado por
´
vhv
KoSST
σ
=
(4.1)
onde
´
v
σ
é tensão efetiva vertical, KO é coeficiente de empuxo (Figura 4.9),
v
S
e
h
S
são espaçamentos verticais e horizontais entre os reforços. No caso de
geogrelhas
h
S
deve ser tomado igual a 1.
Figura 4.8 - Equilíbrio local de uma camada de reforço.
Figura 4.9 - Ábaco para projeto de taludes reforçados (R.I. Woods,1993).
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5
Análise dinâmica do aterro reforçado
5.1.
Sismo de projeto
O território peruano está localizado em uma das regiões de mais alto grau
de atividade sísmica do planeta. Castillo e Alva (1993) publicaram o estudo do
Perigo Sísmico do Peru, utilizando uma metodologia que integra informações
sismotectônicas, parâmetros sismológicos e leis de atenuação regionais para
diferentes mecanismos de ruptura. Os resultados foram expressos sob forma de
curvas de perigo sísmico, relacionando-se acelerações com a sua probabilidade
anual de excedência.
Para um aterro de barragem, conforme critérios de projeto especificados
na Tabela 5.1, admite-se um tempo de retorno de 950 anos, com probabilidade
de excedência de 10% e vida útil de 100 anos. Nestas condições, para o local
previsto da barragem, obtém-se então valores máximos de aceleração ao nível
do embasamento rochoso da ordem de 0.28g (Figura 5.1).
Tabela 5.1 - Valores representativos de critérios de projeto considerando movimentos
sísmicos.
Tipo de Obra Vida Útil
(t anos)
Probabilidade
de
Excedência
Tempo de
Retorno
(anos)
Instalações essenciais com
capacidade muita limitada para resistir a
deformações inelásticas e perigo de
poluição
Equipamento de subestação de alta
voltagem
Pontes ou viadutos de estradas
principais, barragens, aterros reforçados.
Tanques de armazenamento de
combustível
Prédios para moradia.
Construções provisórias que não
ameacem obras de maior importância
50 a 100
50
100
30
50
15
0.01
0.03
0.10
0.05
0.10 – 0.20
0.30
<5000
1600
950
590
225-500
40
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85
Figura 5.1 - Curvas de isoacelerações para 10% de excedência em 100 anos (Alva e
Castillo, 1993), Peru.
Para a análise dinâmica foi considerado o movimento sísmico (história de
acelerações) registrado em 23 de junho de 2003 na Estação Moquegua pelo
CISMID – PERU (Figura 5.2).
A consideração da aceleração máxima como critério de projeto tem-se, no
entanto, revelado muito conservadora (tendo em visto que esta aceleração seria
atingida em somente um instante de tempo) e foi então aplicado um fator de
redução de 2/3 com o objetivo de estudar-se os efeitos da aceleração média do
registro tempo-história ao invés da aceleração máxima. Os valores do
acelerograma de Moquegua foram então modificados, normalizando-se o
registro para uma aceleração máxima de 0.19g (Figura 5.3).
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86
Figura 5.2 - Registro de acelerações do terremoto de Moquegua de 23/06/2003.
Figura 5.3 - Registro normalizado das acelerações do terremoto de Moquegua de
23/06/2003 em relação à aceleração máxima de 0.19g no embasamento rochoso.
5.2.
Perfil de solo
O depósito de solo de fundação tem 41m de profundidade e foi subdividido
em 18 camadas (conforme sugestões do programa computacional SHAKE para
evitar distorção de propagação de ondas) formadas por materiais com módulo de
cisalhamento G
max
dependente do estado de tensão. Os solos são modelados no
contexto dinâmico como materiais lineares equivalentes, com módulo de
cisalhamento e razão de amortecimento crítico ajustados em função do nível das
deformações cisalhantes. A Tabela 5.2 apresenta as principais propriedades e a
localização das camadas de solo no depósito, enquanto que as Figuras 5.4 e 5.5
ilustram as curvas de variação do módulo de cisalhamento e razão de
amortecimento crítico para os materiais de rejeito e do botafora,
respectivamente.
a
max
= 0.30g
a
max
= 0.19g
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87
Tabela 5.2 - Perfil do depósito do solo e respectivas propriedades.
Camada Profundidade
(m)
Material
γ
(kN/m
3
)
max,2
K
ν
Coeficiente
de Poisson
m
σ
(kPa)
máx
G
(MPa)
V
s
(m/s)
1
0 – 2 Rejeito 18.5 55 0.30 22.90 57.593 174.7
2
2 – 4 Rejeito 18.5 55 0.30 45.81 81.449 207.8
3
4 – 6 Rejeito 18.5 55 0.30 68.71 99.754 230.0
4
6 - 8 Rejeito 18.5 55 0.30 91.62 115.187 247.1
5
8 - 10 Rejeito 18.5 55 0.30 114.52 128.783 261.3
6
10 – 12 Rejeito 19 60 0.30 138.05 154.245 282.2
7
12 - 14 Rejeito 19 60 0.30 161.57 166.871 293.5
8
14 - 16 Rejeito 19 60 0.30 185.10 178.606 303.6
9
16 - 19 Rejeito 20 60 0.30 213.14 191.658 306.6
10
19 - 22 Rejeito 20 60 0.30 232.08 199.994 313.2
11
22 - 25 Rejeito 20 60 0.30 251.02 207.996 319.4
12
25 - 28 Rejeito 20 60 0.30 269.97 215.702 325.2
13
28 - 31 Rejeito 20 60 0.30 288.91 223.141 330.8
14
31 - 34 Botafora 24 90 0.28 307.85 230.340 336.1
15
34 - 37 Botafora 24 90 0.28 320.34 352.448 379.5
16
37 - 39 Botafora 24 90 0.28 337.19 361.599 384.4
17
39 - 41 Botafora 24 90 0.28 354.04 370.525 389.1
18
Rocha 24 0.22 6386 1615.4
Figura 5.4 – Material do rejeito: curvas de variação do módulo G e da razão de
amortecimento para areias (Seed e Idriss, 1970; Idriss, 1990).
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88
Figura 5.5 – Material do botafora: curvas médias de variação do módulo G e do razão de
amortecimento para areias e pedregulhos.
No entanto, a modelagem de todo o depósito de solo exigiria uma malha
com um grande número de zonas que demandaria altos recursos de tempo de
processamento e de memória. Assim, nesta fase da análise decidiu-se verificar
a resposta dinâmica na profundidade de 12m abaixo do topo do aterro (2 m
abaixo do pé do talude) através do programa computacional SHAKE (análise 1D)
e, em seguida, comparar seus resultados com uma análise 1D similar executada
com auxílio do programa FLAC.
Caso os resultados de ambas as análises fossem consistentes, então a
próxima etapa da investigação consistiria em utilizar uma malha para o programa
FLAC com contorno inferior situado a 2m abaixo do pé do talude (contorno
silencioso), onde seria aplicado o carregamento dinâmico correspondente,
expresso em termos de tensões cisalhantes.
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89
5.3.
Análise 1D com o programa SHAKE
O programa SHAKE é amplamente utilizado em aplicações de engenharia
sísmica para determinação da resposta de depósitos de solo formados por
camadas de solo horizontais. Em sua formulação, utiliza o modelo linear
equivalente.
Os dados de entrada para o programa SHAKE foram os registros do sismo
da Figura 5.3 e as propriedades das camadas estão apresentadas na Tabela 5.2
e Figuras 5.4 e 5.5.
A Figura 5.6 mostra o resultado da resposta dinâmica com o carregamento
dinâmico aplicado sob forma de história de acelerações na base rochosa situado
a 41m de profundidade do topo do aterro. O ponto de controle está localizado na
profundidade 12m abaixo da superfície do aterro ou 2m abaixo do pé do talude.
Observa-se que, neste caso, a aceleração foi amplificada, passando de 0.19g a
0.34g.
A Figura 5.7 mostra a relação tensão versus deformação cisalhante obtida
pelo programa SHAKE, a uma profundidade de 5 m na camada de número 3. É
linear a relação entre tensão e deformação, pois o material é considerado
elástico, com módulo cisalhante (G) de 51.2 MPa e fator de redução do módulo
(G/G
max
) igual a 0.51. A partir desses dados encontra-se uma razão de
amortecimento crítico aproximada de 7.5% na curva correspondente para areias
de Seed e Idriss (Figura 5.4) e o valor corresponde à areia siltosa da Tabela 3.2.
Figura 5.6 – Amplificação da aceleração na profundidade de 12m (SHAKE).
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90
Figura 5.7 – Relação da tensão versus deformação cisalhante no material da camada 3
do aterro (SHAKE).
5.4.
Análise 1D com o programa FLAC e amortecimento histerético
A simulação é agora novamente repetida com o programa computacional
FLAC, considerando amortecimento histerético para todos os materiais do perfil
de solo em análise unidimensional.
O modelo constitui-se de uma coluna de 41m de profundidade (Figura 5.8),
com zonas elásticas de 0.85m de altura e propriedades semelhantes às
empregadas anteriormente na análise com o programa SHAKE. O valor de
0.85m da altura das zonas foi estabelecido em função da condição de restrição
expressa pela equação 3.9. O movimento vertical é restrito nos contornos
laterais do modelo. O registro de acelerações horizontais (Figura 5.3) é aplicado
na base da coluna.
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91
Figura 5.8 - Modelo unidimensional utilizado no FLAC.
O amortecimento histerético é adicionado neste modelo através da
aproximação de uma função analítica do módulo tangente para (G/Gmax) versus
deformação cisalhante semelhante às curvas obtidas por Seed e Idriss (1970)
para as areias.
Foram computados os valores de tensões cisalhantes versus deformações
cíclicas em diferentes pontos de interesse, bem como da razão de amplificação
de acelerações, com o objetivo de comparar estes resultados numéricos com
aqueles obtidos previamente através do programa SHAKE.
Na Figura 5.9 observa-se que para pontos situados a 12m de profundidade
do topo do talude, a amplificação da aceleração máxima calculada com o
programa FLAC foi igual a 0.36g enquanto que pelo programa SHAKE este valor
foi de 0.34g, valores bastante próximos entre si.
Na Figura 5.10, para o ponto situado a 5m de profundidade do topo do
aterro, na camada de número 3, é mostrada a história de tensões cisalhantes
versus deformações cisalhantes obtida com a função FISH shrstr37 (anexo I),
com ilustração dos laços de histerese entre os ciclos de carregamento e
descarregamento.
É evidente que os gráficos das Figuras 5.7 e 5.10 não coincidem, o
primeiro dos quais não exibindo aparentemente os efeitos do amortecimento
histerético. A possibilidade de explicar estas diferenças vem do fato, já
mencionado no Capítulo 3, de que no programa SHAKE a curva de
amortecimento histerético reproduz diretamente os resultados de ensaios (Seed
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92
e Idriss, 1970) enquanto que no programa FLAC o amortecimento é calculado
teoricamente com base na função de degradação do módulo de cisalhamento,
este sim retirado de observações experimentais de laboratório.
Figura 5.9 - Resposta das acelerações na profundidade de 12m (FLAC).
Figura 5.10 - Tensão cisalhante versus deformação cisalhante na camada de número 3,
a 5m de profundidade do topo do aterro (FLAC).
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93
5.5.
Modelagem dinâmica do aterro reforçado com FLAC
5.5.1.
Propriedades dos solos e reforços
As propriedades do aterro reforçado usadas nas análises dinâmicas foram
apresentadas na Tabela 5.2 e complementadas pelas Tabelas 5.3 e 5.4 abaixo.
Tabela 5.3 - Propriedades do solo de fundação e aterro.
Propriedades Fundação Aterro
Massa especifica (kg/m3) 1938 1887
Coeficiente de Poisson,
υ
0.30 0.30
Ângulo de atrito (°) 30
Módulo de cisalhamento G (MPa) 824.5 Função FISH
Modulo deformação volumétrica K (MPa) 1786.42 Função FISH
Tabela 5.4 - Propriedades das geogrelhas.
Geogrelha Resistência à
tração
kN/m
Rigidez a 2% de
deformação
(kN/m)
Módulo de
Elasticidade
(kPa)
Camadas 1 – 3
(Inferior)
200 1910 191x10
3
Camadas 4 - 9 150 1510 151x10
3
A variação com a tensão normal octaédrica do módulo de cisalhamento
máximo foi estimada nas diversas zonas do aterro com base em uma função
FISH para avaliar as expressões de Seed e Idriss (equação 2.11). Uma vez
conhecidos G
max
e
υ
em cada zona, os correspondentes valores do módulo de
deformação volumétrica K podem ser obtidas através de relação estabelecida
pela teoria da elasticidade linear.
O valor da massa específica do reforço, necessário para as análises
dinâmicas, foi considerado igual a ρ = 1200 kg/cm
3
.
5.5.2.
Malha, condições de contorno, tamanho de zonas
O paramento do talude de aterro, de 1.33m de largura, foi admitido como
um material elastoplástico com as mesmas propriedades do aterro, mas exibindo
coesão c = 30 kPa.
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94
A uma região da malha com largura de 3m, próxima ao contorno lateral
esquerdo, foi atribuída propriedades iguais à do aterro mas com coesão muito
grande e equivalente a 8 x 8*10
12
Pa. Este procedimento foi necessário para
prevenir a ocorrência de escoamento plástico junto ao contorno esquerdo pois o
FLAC não admite a utilização de contorno de campo livre no contato quando há
existência de fluxo plástico.
A análise dinâmica do modelo de aterro reforçado sujeita à ação sísmica
foi realizado usando um modelo numérico com a mesma altura (H) e número de
camadas de reforço descritas para o caso das análises estáticas mencionadas
na seção anterior. A malha para o estudo dinâmico está ilustrada na Figura 5.11,
considerando-se uma fundação com apenas 2m de profundidade.
Figura 5.11 - Malha numérica do modelo no FLAC.
Neste problema considera-se que o solo de fundação se estende até a
profundidade de 41m, necessitando-se, portanto, da utilização de um contorno
silencioso na base inferior da malha de modo a absorver as ondas refletidas pelo
talude e superfície do terreno.
A Figura 5.12 mostra os diferentes tipos de materiais e tipos de contorno
empregados na análise dinâmica do aterro reforçado através do programa
computacional FLAC v.5.
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95
Figura 5.12 - Modelo do aterro reforçado com materiais e condições de contorno
indicados (FLAC).
O tamanho da zona na direção de propagação da onda é limitado pela
equação 3.9, resultando em
f
v
y
s
10
≤∆
(5.1)
hz
sm
y
30
.
7
*
10
/05.87
≤∆ =1.19m
No entanto, o tamanho da maior zona do modelo foi de 0.40m no aterro e
1m na fundação, inferiores ao limite máximo de 1.19m estabelecido acima. A
Tabela 5.5 mostra os resultados dos cálculos executados.
Tabela 5.5 - Cálculo de tamanho máximo da zona (elemento).
Camada
ρ
(kg/m
3
)
G
máx
(kPa)
V
s
(m/s)
f
Hz
∆
y
máx
(Zona)
(m)
∆
y
máx
(zona)
escolhido (m)
Fundação
1938 824.500 652.26 7.30 8.93 1.00
Aterro 1887 14.300 87.05* 7.30 1.19 0.40
* Menor velocidade de onda cisalhante na zona do aterro.
5.5.3.
Filtragem
Para a análise dinâmica com o programa FLAC somente a fase intensa de
40 segundos de duração foi considerada, conforme mostra a Figura 5.13.
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96
Antes de aplicar este registro como carregamento sísmico do problema, o
acelerograma deve ser filtrado para remover as componentes de alta freqüência.
O registro obtido na profundidade 2m abaixo do pé do talude com o programa
SHAKE apresentou aceleração máxima de 0.34g, conforme Figura 5.13. Na
Figura 5.14 observa-se que o espectro de acelerações correspondente
apresenta freqüências que excedem ao valor 12 Hz.
Considerando-se uma freqüência de corte de 7.3 Hz, 99% da potência é
ainda mantida para as análises dinâmicas subseqüentes. A filtragem do registro
de acelerações pode ser feita através de um filtro passa-baixo ou pelo emprego
da Transformada Rápida de Fourier (FFT) na rotina FILTER.FIS disponível na
biblioteca FISH.
As Figuras 5.15 e 5.16 são semelhantes às Figuras 5.13 e 5.14, mas
considerando-se os efeitos do filtro que remove as acelerações superiores à 7.3
Hz.
5.5.4.
Correção da linha base
A função FISH INT.FIS integra o registro de acelerações filtradas da Figura
5.15 para produzir as correspondentes histórias de velocidades e
deslocamentos. Contudo, o deslocamento observado após o término deste
processo de integração resultou em um valor residual aproximado de -0.7085 m.
A correção da linha base é executada acrescentando uma onda senoidal de
baixa freqüência ao registro das velocidades. Os parâmetros que descrevem
esta onda são ajustados de forma que o deslocamento final torne-se nulo. A
história de velocidades e deslocamentos, com e sem correção da linha base,
estão mostradas nas Figuras 5.17 e 5.18.
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97
Figura 5.13 – História de aceleração horizontal na fase intensa do sismo.
Figura 5.14 - Espectro de potência do registro de acelerações da Figura 5.13 (FLAC).
a = 0.34g
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98
Figura 5.15 – História de aceleração horizontal na fase intensa do sismo considerando
filtro de 7.3 Hz.
Figura 5.16 - Espectro de potência do registro de acelerações da figura 5.15
considerando filtro de 7.3 Hz.
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99
Figura 5.17 – História dos deslocamentos com linha base corrigida e não corrigida
(FLAC).
Figura 5.18 - História das velocidades com linha base corrigida e não corrigida (FLAC).
5.5.5.
Carregamento dinâmico
Para aplicar um carregamento dinâmico sobre contorno silencioso (como
na base inferior do modelo da Figura 5.12) este deve ser especificado em termos
de forças ou tensões, porque os efeitos do contorno silencioso poderiam ser
anulados caso o carregamento fosse especificado em termos de acelerações ou
velocidades.
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100
O registro de velocidades filtrado, e com correção da linha base,
conforme Figura 5.18, é convertido em um registro de tensões cisalhantes de
acordo com as equações seguintes:
(
)
sss
vCa
ρ
σ
=
(5.2)
(
)
sss
vC
ρ
σ
2
=
(5.3)
onde:
s
σ
= tensão cisalhante aplicada
ρ
= massa específica
S
C
= velocidade de propagação de ondas S
s
v
= velocidade horizontal da partícula.
O fator a = 2 na equação (5.3) leva em conta que para um meio elástico
linear, isotrópico, homogêneo e semi-infinito, metade da energia de deformação
é absorvida pelo contorno viscoso.
O valor da constante “a” deve ser monitorado durante as análises
dinâmicas porque pequenos ajustes em seu valor podem ser necessários para o
problema dinâmico particular sendo investigado. É necessário que o valor da
constante “a” produza velocidades na base do modelo (contorno silencioso)
iguais àquelas da história de velocidades do sismo corrigido (Figura 5.18).
A Figura 5.19 ilustra a história dos deslocamentos e velocidades
horizontais na base do modelo da Figura 5.11 para distintos valores de “a”,
considerando a aplicação do mesmo registro de tensões cisalhantes no contorno
inferior da malha. Pode ser observado que para a = 2 as diferenças são
significativas entre os valores determinados com base na equação (5.3) e os
valores diretamente obtidos a partir dos registros das histórias de deslocamentos
e das velocidades horizontais. Já para a = 1.15 ambos os registros tendem a
concordar de modo mais satisfatório.
O ajuste para converter o registro de velocidades em um registro de tensão
cisalhante foi feito considerando o valor da constante a = 1.15 na equação (5.2).
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101
(a)
(b)
Figura 5.19 - Ajuste necessário para concordar os registros de ondas de velocidades e
de ondas de tensões cisalhantes (a) na base de modelo, em função dos deslocamentos
horizontais; b) na base do modelo, em função das velocidades horizontais.
5.5.6.
Freqüência fundamental do sistema
Antes de aplicar diversos tipos de amortecimento do material, uma análise
da resposta dinâmica do sistema não-amortecido é executada para
determinação de sua freqüência fundamental. Velocidades são monitoradas em
diferentes pontos do solo de aterro e dos elementos de reforço. Com estes
registros de velocidade, análises posteriores com o emprego da Transformada
Rápida de Fourier (FFT) permitem então determinar a freqüência dominante que,
para este problema, foi igual a 1.048 Hz. O conhecimento deste valor é
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102
necessário para a definição dos parâmetros de Rayleigh em algumas das
análises dinâmicas onde se empregou o amortecimento de Rayleigh.
As Figuras 5.21 e 5.22 mostram o resultado do registro de velocidades
horizontais e o respectivo espectro de potência para o ponto (15,15) do aterro,
situado atrás da região de reforço.
Figura 5.20 – História das velocidades horizontais (m/s) não-amortecidas no ponto nodal
(15,15) usando FLAC.
Figura 5.21 - Espectro de potência das velocidades horizontais não-amortecidas no
ponto nodal (15,15). Freqüência fundamental = 1.048 Hz.
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103
5.6.
Resultados da análise dinâmica do aterro reforçado
5.6.1.
Influência dos contornos
Para investigar a influência da consideração de contornos laterais de
campo livre, estes foram substituídos por contornos laterais rígidos em análises
dinâmicas do aterro de solo reforçado. O contorno silencioso inferior (contorno
viscoso) foi mantido em ambos os tipos de análises.
A Figura 5.22(a) apresenta os deslocamentos horizontais observados no
final do terremoto na face do talude de aterro reforçado, admitindo-se primeiro a
existência de contornos laterais de campo livre e contorno inferior viscoso, e
segundo considerando contornos laterais rígidos e contorno inferior viscoso.
Como esperado, os deslocamentos são maiores com contornos laterais de
campo livre e contorno inferior viscoso, onde a distribuição dos deslocamentos
apresentou um significativo embarrigamento na altura média do aterro, conforme
mostra a Figura 5.22a.
A Figura 5.22b mostra o resultado das forças de tração máximas nas
camadas do reforço ao final do terremoto, notando-se que para a situação de
contornos laterais de campo livre as maiores forças atuam nas camadas
intermediárias do reforço, atingindo o valor de 70 kN/m na segunda camada, um
valor 10% maior do que aquele obtido considerando o modelo de contorno
laterais rígidos e contorno inferior viscoso.
(a)
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104
(b)
Figura 5.22 - Influência de introdução de contornos de campo livre: a) na distribuição dos
deslocamentos horizontais; b) na distribuição da forças de tração nos reforços.
A Figura 5.23 apresenta os resultados do registro de velocidades em um
ponto nodal do topo da região reforçada do aterro. Observe-se que quando são
introduzidos contornos viscosos e de campo livre existe uma maior amplificação
das velocidades durante o movimento sísmico.
Figura 5.23 - Influência da consideração de contornos de campo livre no registro de
velocidades do nó (31,29), do topo do talude.
Bathurst e Hatami (1999) analisaram os efeitos de diferentes condições
laterais na resposta sísmica de muros de contenção de solos reforçados e
concluíram que as condições de contorno de campo livre fornecem os maiores
valores de deslocamentos horizontais da face de um talude, bem como maiores
valores das forças de tração ao longo dos reforços, principalmente naqueles
situados em alturas intermediárias.
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105
A Figura 5.24 ilustra a distribuição dos contornos de deslocamentos
horizontais no aterro reforçado, ao final de uma simulação não-amortecida,
considerando condições de contorno laterais de campo livre e de contorno
viscoso na parte inferior da malha. Como esperado, observe-se que os maiores
deslocamentos ocorrem próximos à face do talude.
A Figura 5.25 ilustra a identificação da potencial superfície de ruptura do
talude com base nos contornos de incrementos máximos de deformação
cisalhante, enquanto que a Figura 5.26 mostra a distribuição das forças de
tração nas camadas de reforço ao final da excitação sísmica.
Figura 5.24 - Contornos de deslocamentos horizontais ao final da excitação sísmica.
Análise não-amortecida.
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106
Figura 5.25 - Contorno de máximos incrementos de deformação cisalhante ao final de
excitação sísmica. Análise não-amortecida.
Figura 5.26 – Distribuição de forças de tração nos reforços do aterro ao final da excitação
sísmica. Análise não-amortecida.
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107
5.6.2.
Influência do amortecimento mecânico
5.6.2.1.
Amortecimento de Rayleigh
Uma simulação dinâmica utilizando amortecimento Rayleigh, com
freqüência dominante de 1.048Hz e razão de amortecimento crítico de 7.5% foi
executada no aterro de solo reforçado, durante os 40 segundos da fase intensa
do sismo.
As Figuras 5.27, 5.28 e 5.29 mostram alguns dos resultados numéricos
obtidos após o final da excitação.
5.6.2.2.
Amortecimento histerético
A dissipação de energia em solos é em grande parte de natureza
histerética. A simulação anterior do comportamento do aterro reforçado é
novamente repetida atribuindo-se parâmetros de amortecimento histerético. A
curva de degradação do módulo de cisalhamento é aquela proposta por Seed e
Idriss (1970) e mostrada na Figura 3.9. A partir desta, a curva de aumento da
razão de amortecimento crítico é obtida de forma teórica pelo programa FLAC
v.5.
Figura 5.27 - Contorno de deslocamentos horizontais ao final da excitação sísmica.
Amortecimento de Rayleigh.
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108
Figura 5.28 - Contornos de incrementos máximos de deformação cisalhante ao final da
excitação sísmica. Amortecimento de Rayleigh.
Figura 5.29 - Forças máximas de tração nas camadas de reforço do aterro ao final da
excitação sísmica. Amortecimento de Rayleigh.
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109
O amortecimento histerético disponível no FLAC v.5 não fornece suficiente
amortecimento para níveis de deformação muito baixos ou para altas
componentes de freqüência, sendo aconselhável, nestas situações, aliar-se o
amortecimento histerético com o amortecimento de Rayleigh. Esta combinação
de amortecimentos permite que o número de passos impostos para estabilidade
numérica seja reduzido automaticamente, diminuindo assim o tempo de
execução do problema no computador.
Os parâmetros do amortecimento de Rayleigh são 0.5% de razão de
amortecimento crítico e freqüência fundamental f = 1.048 Hz.
As Figuras 5.30, 5.31 e 5.32 mostram os efeitos, ao final da excitação
sísmica, do amortecimento histerético combinado com amortecimento de
Rayleigh. Observa-se na Figura 5.31 a geometria da potencial superfície de
ruptura, do tipo bi-linear, com ângulos de elevação de 15° a 30° e maior
concentração de deformações cisalhantes na área de ancoragem acima da
superfície de ruptura estimada.
Figura 5.30 - Contornos de deslocamentos horizontais ao final da excitação sísmica.
Amortecimento histerético e de Rayleigh (0.5%).
.
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110
Figura 5.31 - Contornos de incrementos máximos de deformação cisalhante, ao final da
excitação sísmica. Amortecimento histerético e de Rayleigh (0.5%).
Figura 5.32 - Forças máximas de tração nas camadas de reforço ao final da excitação
sísmica. Amortecimento histerético e de Rayleigh (0.5%).
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111
5.6.2.3.
Amortecimento Local
O programa FLAC v.5 incorporou em sua implementação um tipo de
amortecimento local, concebido originalmente para problemas estáticos, mas
que pode ser usado, com cautela, também em análises dinâmicas.
Uma razão de amortecimento critica de 7.5% foi admitida para o problema
em análise e este valor foi substituído na equação 3.20 para definição do
coeficiente de amortecimento local.
As Figuras 5.33, 5.34 e 5.35 apresentam os resultados da simulação do
aterro reforçado considerando amortecimento local. Observe-se que estas
figuras mostram resultados bastante semelhantes com aqueles obtidos
considerando-se somente o amortecimento de Rayleigh.
Figura 5.33 - Contornos de deslocamentos horizontais ao final da excitação sísmica.
Amortecimento local.
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112
Figura 5.34 - Contornos de incrementos máximos de deformação cisalhante ao final da
excitação sísmica. Amortecimento local.
Figura 5.35 - Forças máximas de tração nas camadas de reforço ao final da excitação
sísmica. Amortecimento local.
5.7.
Comparação dos resultados
A Figura 5.36 mostra os resultados da análise dinâmica do aterro reforçado
usando diferentes tipos de amortecimento mecânico. De acordo com os
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113
resultados, o amortecimento de Rayleigh e o amortecimento local implicaram em
menores deslocamentos horizontais na face do aterro reforçado, atingindo
ambos os valores próximos a 0.33m no topo do talude, com curvas quase
semelhares em todas as elevações, caracterizada por pequenos
embarrigamentos na parte média do talude.
Na Figura 5.36 observa-se que a variação das curvas dos deslocamentos
horizontais na face do talude, considerando-se amortecimento de Rayleigh e
amortecimento histerético + 0.5% Rayleigh, foi de 0.33m a 0.50m,
respectivamente, no topo do talude.
Outro aspecto importante a ressaltar é que a adição ao amortecimento
histerético de 0.5% de amortecimento de Rayleigh permitiu melhores absorções
de energia, causando maiores deslocamentos da face e melhores condições de
uniformidade na distribuição dos deslocamentos horizontais ao longo da altura
do talude,
A Figura 5.37 apresenta as curvas de forças axiais máximas nos reforços.
Observa-se que as curvas correspondentes ao amortecimento local e
amortecimento de Rayleigh apresentaram valores significativamente menores do
que as curvas com amortecimento histerético, onde a força de tração máxima
atingiu o valor de 68 KN/m na segunda camada de reforço. No entanto, a curva
de forças máximas de tração nos reforços, considerando amortecimento
histerético + 0.5% Rayleigh, apresentaram valores ainda maiores, chegando até
a 87.5 KN/m na segunda camada de reforço.
Figura 5.36 - Influência do amortecimento mecânico no deslocamento horizontal da face
do aterro reforçado.
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114
Figura 5.37 - Influência do amortecimento mecânico na força de tração máxima do aterro
reforçado.
Figura 5.38 – História dos deslocamentos no topo do aterro reforçado (nó 31,29).
A Figura 5.38 apresenta a história de deslocamentos horizontais no topo
do aterro reforçado, no ponto nodal (31,29). Note-se os maiores deslocamentos
considerando amortecimento histerético +0.5% combinado com o amortecimento
de Rayleigh. As curvas das histórias de deslocamentos relacionadas com o
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115
amortecimento local ou amortecimento de Rayleigh isoladamente são menores e
bastante similares entre si.
5.8.
Influência do ângulo de atrito no amortecimento histerético
Aproveitamento o modelo do item anterior, verificou-se a influência do
ângulo de atrito do material do aterro, considerando-se o caso de amortecimento
histerético mais 0.5% de amortecimento de Rayleigh na freqüência dominante de
1.048 Hz. A Figura 5.39 mostra os resultados ao final da excitação sísmica,
notando-se, como esperado, que os deslocamentos relativos horizontais da face
do talude diminuem à medida que o ângulo de atrito do material do aterro
aumenta.
Figura 5.39 - Influência do ângulo de atrito nos deslocamentos horizontais da face do
talude do aterro reforçado.
A Figura 5.40 mostra os resultados das forças de tração máxima nas
camadas de reforço ao final da excitação sísmica, considerando diferentes
ângulos de atrito. Note-se que a curvas de forças máximas de tração nos
reforços diminuem na mesma proporção em que incrementa o ângulo de atrito
do material do aterro, como antecipado.
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116
Figura 5.40 - Influência de ângulo de atrito nas forças de tração máxima nos reforços do
aterro.
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6
Conclusões e sugestões
A realização de estudos numéricos sobre o comportamento estático e
dinâmico de aterros reforçados com geossintéticos é importante para
compreender melhor os mecanismos de deformação e de resistência de tais
estruturas, principalmente em regiões de grande atividade sísmica, como os
paises andinos da América do sul.
Os resultados quantitativos e qualitativos obtidos com o emprego do
programa computacional FLAC v.5 permitiram verificar os efeitos de diferentes
condições de contorno, tipos de amortecimento, ângulo de atrito do material de
rejeito, distribuição dos reforços no aterro, etc.
Com relação ao comportamento do aterro para barragem de rejeitos III da
Mina San Rafael, Peru, as principais conclusões foram:
1. O fator de segurança estática do aterro sem reforço foi estimado
em 0.66, sendo necessário o emprego de reforços (geossintéticos)
para garantir sua estabilidade. O aterro reforçado passou a
apresentar então comportamento estável com fator de segurança
de 1.90.
2. Em uma análise estática de estabilidade externa do aterro verificou-
se que o comportamento de região de aterro reforçado se comporta
mecanicamente como um bloco ou muro de arrimo de gravidade
com superfície de ruptura passando abaixo da base da estrutura de
contenção.
3. O resultado de análise dinâmico considerando amortecimento
histerético mostra que a geometria da superfície de ruptura do
aterro reforçado, no caso das análises dinâmicas, é do tipo bi-
linear.
4. Efeitos de amplificação da propagação vertical de ondas S através
de diferentes tipos de solo foram verificados em simulações 1D
realizadas com os programas computacionais FLAC e SHAKE. Em
ambos os programas foram considerados o amortecimento
histerético, de acordo com as curvas de degradação do módulo de
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118
cisalhamento e razão de amortecimento critico propostas por Seed
e Idriss (1970), para areias. Os resultados de ambas as simulações
foram bastante satisfatórios, avaliando-se uma aceleração máxima
0.36g com o programa FLAC e 0.34g com o programa SHAKE.
5. Os resultados numéricos mostram a ocorrência de maiores
deslocamentos horizontais da face do talude do aterro para
condições de contornos laterais de campo livre e contorno inferior
viscoso, em comparação com o caso de contornos laterais rígidos e
contorno inferior viscoso.
6. A simulação dinâmica do aterro reforçado mostrou similar
comportamento mecânico do aterro para amortecimento Rayleigh e
local, atingindo em ambas as análises valores próximos de 0.33m
de deslocamento horizontal relativo no topo de talude. No entanto,
para amortecimento histerético +0.5% Rayleigh este valor
incrementou para 0.50m.
7. Na simulação dinâmica do aterro, as forças axiais máximas nos
reforços correspondentes ao amortecimento local e amortecimento
de Rayleigh apresentaram valores bastante similares, atingindo 68
kN/m na segunda camada de reforço. No entanto, para
amortecimento histerético+0.5% Rayleigh esses valores atingiram
87.5 kN/m também na segunda camada de reforço.
8. Com base nos resultados obtidos, observa-se que os efeitos do
amortecimento do material no comportamento dinâmico do aterro
influenciam significativamente os resultados. Na simulação através
do programa FLAC, a melhor opção parece ser a consideração do
amortecimento histerético combinada com 0.5% de amortecimento
de Rayleigh, porque há melhor controle das deformações e uma
razoável diminuição do tempo de execução do problema no
computador. As análises feitas somente com amortecimento de
Rayleigh geralmente envolvem tempos de processamento muito
maiores.
9. Na análise dinâmica verificou-se que quanto menor o ângulo de
atrito do solo do aterro maior o desenvolvimento das forças de
tração nos reforços.
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119
Como sugestão para trabalhos futuros, entende-se que seriam
interessantes e recomendadas a realização das seguintes análises
adicionais:
a. Estudo da otimização da distribuição e do efeito do
comprimento das camadas de reforço sob carregamentos
estáticos e dinâmicos.
b. Análise do aterro reforçado sob a ação de diferentes
registros sísmicos e freqüências.
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Anexos
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Anexo 1 – Modelo FLAC para camadas de depósito de solo não-
linear
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
config dynamic
;-------------------------------------------------------------------------
;Geração de malha e propriedades do modelo
;-------------------------------------------------------------------------
grid 1,41
model elastic
gen 0.0,0.0 0.0,41.0 1.0,41.0 1.0,0.0
gen 0.0,0.0 0.0,41.36 1.0,41.36 1.0,0.0
group 'User:botafora3' j 1 2
model elastic group 'User:botafora3'
prop density=2449.0 bulk=7.18593E8 shear=3.70525E8 group 'User:botafora3'
group 'User:botafora2' j 3 4
model elastic group 'User:botafora2'
prop density=2449.0 bulk=7.01284E8 shear=3.616E8 group 'User:botafora2'
group 'User:botafora1' j 5 7
model elastic group 'User:botafora1'
prop density=2449.0 bulk=6.83537E8 shear=3.52449E8 group 'User:botafora1'
group 'User:rejeito6' j 8 10
model elastic group 'User:rejeito6'
prop density=2041.0 bulk=4.99071E8 shear=2.3034E8 group 'User:rejeito6'
group 'User:rejeito5' j 11 13
model elastic group 'User:rejeito5'
prop density=2041.0 bulk=4.83472E8 shear=2.23141E8 group 'User:rejeito5'
group 'User:rejeito4' j 14 16
model elastic group 'User:rejeito4'
prop density=2041.0 bulk=4.67354E8 shear=2.15702E8 group 'User:rejeito4'
group 'User:rejeito3' j 17 19
model elastic group 'User:rejeito3'
prop density=2041.0 bulk=4.50659E8 shear=2.07996E8 group 'User:rejeito3'
group 'User:rejeito2' j 20 22
model elastic group 'User:rejeito2'
prop density=2041.0 bulk=4.33322E8 shear=1.99995E8 group 'User:rejeito2'
group 'User:rejeito1' j 23 25
model elastic group 'User:rejeito1'
prop density=2041.0 bulk=4.15261E8 shear=1.91659E8 group 'User:rejeito1'
group 'User:fundação3' j 26 27
model elastic group 'User:fundação3'
prop density=1938.0 bulk=3.8698E8 shear=1.78606E8 group 'User:fundação3'
group 'User:fundação2' j 28 29
model elastic group 'User:fundação2'
prop density=1938.0 bulk=3.61554E8 shear=1.66871E8 group 'User:fundação2'
group 'User:fundação1' j 30 31
model elastic group 'User:fundação1'
prop density=1938.0 bulk=3.34199E8 shear=1.54246E8 group 'User:fundação1'
group 'User:aterro5' j 32 33
model elastic group 'User:aterro5'
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128
prop density=1887.0 bulk=2.79029E8 shear=1.28783E8 group 'User:aterro5'
group 'User:aterro4' j 34 35
model elastic group 'User:aterro4'
prop density=1887.0 bulk=2.49572E8 shear=1.15187E8 group 'User:aterro4'
group 'User:aterro3' j 36 37
model elastic group 'User:aterro3'
prop density=1887.0 bulk=2.16135E8 shear=9.97547E7 group 'User:aterro3'
group 'User:aterro2' j 38 39
model elastic group 'User:aterro2'
prop density=1887.0 bulk=1.76474E8 shear=8.14494E7 group 'User:aterro2'
group 'User:aterro1' j 40 41
model elastic group 'User:aterro1'
prop density=1887.0 bulk=1.24786E8 shear=5.75934E7 group 'User:aterro1'
;------------------------------------------------------------------------------------
;Função FISH para calcular deformação cisalhante em zona 37
;------------------------------------------------------------------------------------
def shrstr37
shrstr37=(xdisp(1,37)-xdisp(1,36))/(y(1,37)-y(1,36))
end
;-------------------------------
;Condições de contorno
;------------------------------
fix x y j 1
fix y
;---------------------------------
;Historias
;---------------------------------
history 1 xaccel i=1, j=30
history 2 xaccel i=2, j=30
history 3 vsxy i=1, j=37
history 4 shrstr37
history 5 dytime
;---------------------------------
;Aplicação de aceleração
;---------------------------------
hist 100 read mqroca.his
apply xacc 1 hist 100 j=1
apply yacc 0.0 j=1; commando que prevem rocking
ini dy_damp hyst default -3.325 0.823
set dynamic on
set step 1000000
solve dytime 163
--------------------
;Resultados
--------------------
his write 1 vs 5 tab 6
his write 3 vs 4 tab 8
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129
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Anexo 2: Análise dinâmica de aterro reforçado com geossinteticos
usando FLAC v.5
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
;------------------------------
;Estado1.sav
;------------------------------
config dynamic
grid 35,28
gen (0.0,0.0) (0.0,2.0) (18.0,2.0) (18.0,0.0) ratio 0.95,1.0 i 1 16 j 1 3
gen (0.0,2.0) (0.0,12.4) (15.4,12.4) (18.0,2.0) ratio 0.95,1.0 i 1 16 j 3 29
gen (18.0,0.0) (18.0,2.0) (28.0,2.0) (28.0,0.0) i 16 31 j 1 3
gen (18.0,2.0) (15.4,12.4) (25.4,12.4) (28.0,2.0) i 16 31 j 3 29
gen (28.0,0.0) (28.0,2.0) (33.0,2.0) (33.0,0.0) ratio 1.05,1.0 i 31 36 j 1 3
gen (28.0,2.0) (25.4,12.4) (33.0,12.4) (33.0,2.0) ratio 1.05,1.0 i 31 36 j 3 29
model elastic i=1,35 j=1,28
model null i 31 35 j 3 28
group 'null' i 31 35 j 3 28
group delete 'null'
struct node 1 grid 16,3
struct node 2 grid 31,3
struct node 3 grid 16,6
struct node 4 grid 31,6
struct node 5 grid 16,9
struct node 6 grid 31,9
struct node 7 grid 16,12
struct node 8 grid 31,12
struct node 9 grid 16,15
struct node 10 grid 31,15
struct node 11 grid 16,18
struct node 12 grid 31,18
struct node 13 grid 16,21
struct node 14 grid 31,21
struct node 15 grid 16,24
struct node 16 grid 31,24
struct node 17 grid 16,27
struct node 18 grid 31,27
struct cable begin node 1 end node 2 seg 16 prop 2001
struct cable begin node 3 end node 4 seg 16 prop 2001
struct cable begin node 5 end node 6 seg 16 prop 2001
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130
struct cable begin node 7 end node 8 seg 16 prop 2002
struct cable begin node 9 end node 10 seg 16 prop 2002
struct cable begin node 11 end node 12 seg 16 prop 2002
struct cable begin node 13 end node 14 seg 16 prop 2002
struct cable begin node 15 end node 16 seg 16 prop 2002
struct cable begin node 17 end node 18 seg 16 prop 2002
struct prop 2001
struct prop 2002
struct prop 2001 density 1200.0 e 191000000 area 0.0050 kbond 1.0E10 yield 200000.0
sfriction 30.0 perimeter 2.000
struct prop 2002 density 1200.0 e 151000000 area 0.0050 kbond 1.0E10 yield 150000.0
sfriction 30.0 perimeter 2.000
group 'A:fundação' j 1 2
model elastic group 'A:fundação'
prop density=1938.0 bulk=1.78642E9 shear=8.245E8 group 'A:fundação'
group 'c:nãoescoamento' i 1 2 j 3 28
model mohr group 'c:nãoescoamento'
prop density=1887.0 cohesion=8E12 friction=30.0 dilation=0.0 tension=1e10 group
'c:nãoescoamento'
group 'b:aterro' i 3 28 j 3 28
model mohr group 'b:aterro'
prop density=1887.0 cohesion=1e10 friction=30.0 dilation=0.0 tension=1e10 group
'b:aterro'
group 'b:paramento' i 29 30 j 3 28
model mohr group 'b:paramento'
prop density=1887.0 cohesion=1e10 friction=30.0 dilation=0.0 tension=1e10 group
'b:paramento'
def install
loop i (1,30)
loop j (3,jzones)
yc=(y(i,j)+y(i+1,j)+y(i,j+1)+y(i+1,j+1))/4.0
zz= y(3,jgp)-yc
syy_mod= p_e*zz
sxx_mod= syy_mod*p_ratio/(1.00-p_ratio)
s_m=(syy_mod+(2*sxx_mod))/3
shear_mod(i,j)=218.8*k_max*(s_m^0.5)*1000
bulk_mod(i,j)=2*shear_mod(i,j)*(1+p_ratio)/(3*(1-2*p_ratio))
end_loop
end_loop
end
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131
set p_ratio=0.3 P_e=18.50 k_max=55
install
fix x y j 1
fix x i 1
fix x i 36 j 1 3
set gravity=9.8
set dyn=off
history 999 unbalanced
solve
;--------------------
;Estado2.sav
;--------------------
group 'A:fundação' j 1 2
model elastic group 'A:fundação'
prop density=1938.0 bulk=1.78642E9 shear=8.245E8 group 'A:fundação'
group 'c:nãoescoamento' i 1 2 j 3 28
model mohr group 'c:nãoescoamento'
prop density=1887.0 cohesion=8E12 friction=30.0 dilation=0.0 tension=00 group
'c:nãoescoamento'
group 'b:aterro' i 3 28 j 3 28
model mohr group 'b:aterro'
prop density=1887.0 cohesion=0 friction=30.0 dilation=0.0 tension=0 group 'b:aterro'
group 'b:paramento' i 29 30 j 3 28
model mohr group 'b:paramento'
prop density=1887.0 cohesion=30000 friction=30.0 dilation=0.0 tension=0 group
'b:paramento'
def change_shear
loop i (1,30)
loop j (3,jzones)
s_m=abs(sxx(i,j)+syy(i,j)+szz(i,j))/3
shear_mod(i,j)=6919.5*k_max*(s_m^0.5)
bulk_mod(i,j)=2*shear_mod(i,j)*(1+p_ratio)/(3*(1-2*p_ratio))
endloop
endloop
end
set p_ratio=0.3 k_max=55
change_shear
solve
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611833/CA
132
;------------------------------------
;tratasismo.sav
;-----------------------------------
set dyn on
set=large
his 1 read mqs.his
his write 1 table 1
set echo off
def tab_ind
fft_in=1
fft_out=2
end
tab_ind
call fft.fis
fftransform
call int.fis
set int_in 2 int_out 3
integrate
ret
;filtraçao a-t
call filter.fis
set fc=7.30
set filter_in=1
set filter_out=4
filter
ret
set fft_in=4
set fft_out=9
fftransform
ret
;
call int.fis
set int_in 4 int_out 5
integrate
ret
call int.fis
set int_in 5 int_out 6
integrate
ret
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611833/CA
133
;correção de linha de base (Tabela7)
set echo off
call baseline.fis
set itab_unc=5 itab_corr=17 drift=-7.085e-01 ttime=40.05
set npnts=1336 itab_cvel=7
baseline
ret
call int.fis
set int_in 7
set int_out 8
integrate
;--------------------------------------
;Não_amortecido.sav
;--------------------------------------
apply ffield
apply sxy -1453684 hist table 7 from 1,1 to 36,1
apply xquiet yquiet from 1,1 to 36,1
set dyn on
ini xvel=0 yvel=0
ini xdis=0 ydis=0
history 1 xvel i=15, j=15
history 2 dytime
his nstep 150
set step 10000000
solve dytime 40.05
his write 1 vs 2 table 10 ; frequencia central
set fft_in=10
set fft_out=11
fftransform
;------------------------------------
;Amort_Rayleigh.sav
;------------------------------------
set dy_damping rayleigh= 0.075 1.048
apply ffield
apply sxy -1453684 hist table 7 from 1,1 to 36,1
apply xquiet yquiet from 1,1 to 36,1
set dyn on
ini xvel=0 yvel=0
ini xdis=0 ydis=0
history 2 xdisp i=31, j=29
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611833/CA
134
history 3 xvel i=31, j=29
history 4 dytime
his nstep 150
set step 10000000
solve dytime 40.05
;-------------------------------
;Amort_histeretico.sav
;-------------------------------
initial dy_damp hyst default -3.325 0.823
set dy_damping rayleigh=0.005 1.048 stiffness
apply ffield
apply sxy -1453684 hist table 7 from 1,1 to 36,1
apply xquiet yquiet from 1,1 to 36,1
set dyn on
ini xvel=0 yvel=0
ini xdis=0 ydis=0
history 2 xdisp i=31, j=29
history 3 xvel i=31, j=29
history 4 dytime
his nstep 300
set step 10000000
solve dytime 40.05
;---------------------------------
;Amort_local
;---------------------------------
set dy_damp=local 0.23562
apply ffield
apply sxy -1453684 hist table 7 from 1,1 to 36,1
apply xquiet yquiet from 1,1 to 36,1
set dyn on
ini xvel=0 yvel=0
ini xdis=0 ydis=0
history 2 xdisp i=31, j=29
history 3 xvel i=31, j=29
history 4 dytime
his nstep 300
set step 10000000
solve dytime 40.05
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