Download PDF
ads:
Alex Fabiano de Almeida
Projeto ótimo baseado em confiabilidade de pórticos
planos de concreto armado
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito
parcial para a obtenção do título de Doutor em
Engenharia Civil. Ênfase: Estruturas
Orientadora: Marta de Souza Lima Velasco
Co-orientador: Luiz Eloy Vaz
Rio de Janeiro
Março de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Alex Fabiano de Almeida
Projeto ótimo baseado em confiabilidade de pórticos
planos de concreto
armado
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção
do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão
Examinadora abaixo assinada.
Marta de Souza Lima Velasco
Orientadora
DEC / PUC-Rio
Luiz Eloy Vaz
Co-Orientador
DME / UFRJ
Andréia Abreu Diniz de Almeida
DEC / PUC-Rio
Sylvia Regina Mesquita de Almeida
EEC / UFG
Sergio Hampshire C. Santos
DME / UFRJ
Claudia R. Eboli
DME / UFRJ
José Eugênio Leal
Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 05 de março de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
ads:
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total
ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do
autor e do orientador.
Alex Fabiano de Almeida
Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Estadual
de Goiás, UEG, em fevereiro de 2001. Ingressou no curso de
mestrado em Engenharia Civil (Estruturas) da Universidade
Federal de Goiás, UFG, em março de 2002, atuando na área
de Otimização de Estruturas. Concluiu o curso de Mestrado
em Engenharia Civil em fevereiro de 2004.
Ficha Catalográfica
CDD: 624
Almeida, Alex Fabiano de
Projeto ótimo baseado em confiabilidade de
pórticos planos de concreto armado / Alex Fabiano de
Almeida; orientadora: Marta de Souza Lima Velasco;
co-orientador: Luiz Eloy Vaz. – 2008.
147 f. : il. ; 30 cm
Tese (Doutorado em Engenharia Civil)–
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio
de Janeiro, 2008.
Inclui bibliografia
1. Engenharia civil – Teses. 2. Concreto
armado. 3. Confiabilidade. 4. Otimização. 5. RBDO. I.
Velasco, Marta de Souza Lima. II. Vaz, Luiz Eloy. III.
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
À minha mãe: Maria Madalena Abadias,
pelos ensinamentos, compreensão e amor.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Agradecimentos
A Deus, por ter me concedido o dom da vida, inteligência e sabedoria;
À professora Marta e ao professor Eloy, pela paciência, orientação acadêmica e
pessoal;
Às minhas amigas Maria Fernanda e Paola pela amizade e as muitas vezes que
me deixaram falando sozinho;
Ao meu amigo Walter Edgley pelo companheirismo;
Aos colegas do doutorado;
Ao CNPq, pelo apoio financeiro;
Aos amigos que fiz nesse período e que foram de fundamental importância;
À minha mãe e aos meus irmãos, pelo estímulo, compreensão e amor
imensurável, obrigado por serem minha família.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Resumo
Almeida, Alex Fabiano de; Velasco, Marta de Souza Lima; Vaz, Luiz
Eloy. Projeto ótimo baseado em confiabilidade de pórticos planos de
concreto armado. Rio de Janeiro, 2008. 147p. Tese de Doutorado -
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do
Rio de Janeiro.
Este trabalho compara o projeto ótimo determinístico (DDO) com o
projeto ótimo baseado em confiabilidade (RBDO) de pórticos planos de
concreto armado. A estrutura é modelada por uma malha de elementos finitos
usando elementos de barras e considerando a não-linearidade geométrica e dos
materiais. Na formulação do problema de otimização proposto as variáveis de
projeto são definidas para cada elemento finito da malha. Elas são as armaduras
superior e inferior das seções transversais de extremidade do elemento, a altura
da seção do elemento, as áreas de armadura transversal e o parâmetro D usado
para descrever os estados limites últimos de acordo com a norma brasileira
NBR 6118 (ABNT, 2004). Os algoritmos de otimização utilizados são os de
programação quadrática seqüencial (PQS), programação linear seqüencial
(PLS) e o método das direções viáveis (MDV).
As variáveis randômicas do problema de RBDO são a resistência à
compressão do concreto, as resistências à tração e à compressão do aço, assim
como as cargas aplicadas. As funções de comportamento são de dois tipos, a
primeira é relativa à carga crítica da estrutura e a segunda ao controle de
deslocamento para o estado limite de utilização. Para o cálculo da probabilidade
de falha de uma função de comportamento, em cada iteração do problema de
RBDO, o método FORM (PMA) utilizará o algoritmo HMV para obtenção do
ponto de projeto. Análise de sensibilidade é feita pelo método analítico.
Palavras-chave
Concreto Armado; Confiabilidade; Otimização; RBDO.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Abstract
Almeida, Alex Fabiano de; Velasco, Marta de Souza Lima (Advisor); Vaz,
Luiz Eloy (Co-Advisor). Reliability-based design optimization of
reinforced concrete plane frames. Rio de Janeiro, 2008. 147p. DSc.
Thesis – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
This work compares the Deterministic Design Optimization (DDO) with
the Reliability-Based Design Optimization (RBDO) of reinforced concrete plane
frames. The structure is modeled by a finite element mesh using bar elements
and considering both geometric and material nonlinearities. In the formulation of
the proposed optimization problem the design variables are defined for each
element of the finite element mesh. They are the areas of tensile and
compressive reinforcement at the element ends, the depth of the element
rectangular cross-section, the areas of shear reinforcement, and the parameter D
used to describe the deformation limit sates for the element cross-sections
defined according to the Brazilian code for the design of concrete structures
NBR 6118 (ABNT, 2004). The optimization algorithms used are the Sequential
Linear Programming (SLP), the Sequential Quadratic Programming (SQP) and
the Method of Feasible Direction (MFD).
The random variables of the RBDO problem are the concrete compressive
strength, the steel compressive and tensile strength, as well as some applied
loads. The performance functions are of two types, the first relates to the critical
load of the structure and the second to the control of displacements in the
serviceability state. For performing the calculation of the probability of failure
for the associated performing function in each iteration of the RBDO problem,
the method FORM (PMA) will be used in connection with the HMV algorithm
for obtaining the project point. The sensitivity analyses are carried out by the
analytical method.
Keywords
Reinforced concrete plane frames; Reliability; Optimization; RBDO.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Sumário
1 Introdução 23
1.1. Considerações iniciais e objetivos 23
1.2. Histórico e revisão bibliográfica 25
1.2.1. Otimização via DDO (Deterministic Design Optimization) 25
1.2.2. Análise de confiabilidade 26
1.2.3. Otimização via RBDO 29
1.3. Procedimento proposto neste trabalho 35
1.4. Organização do trabalho 36
2 O conceito de RBDO 38
2.1. Definições necessárias 38
2.2. Exemplo ilustrativo 39
3 Análise de pórticos planos de concreto armado 41
3.1. Introdução 41
3.2. Análise não-linear de pórticos planos 41
3.2.1. Considerações iniciais 41
3.2.2. Características dos materiais 42
3.2.3. Deformação axial e curvatura 44
3.2.4. Esforços internos no elemento 46
3.2.5. Equação de equilíbrio 47
3.2.6. Modelos de elementos finitos 48
3.3. Cargas críticas 50
4 Análise de confiabilidade de estruturas 52
4.1. Conceitos básicos de probabilidade 53
4.1.1. Parâmetros de uma variável aleatória 54
4.1.2. Distribuições probabilísticas 57
4.1.3. Função densidade de probabilidade conjunta 57
4.2. Estado limite 58
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
4.2.1. Função de falha (função de comportamento ou função de estado
limite) 59
4.3. Índice de confiabilidade 61
4.4. Método de simulação de Monte Carlo (MC) 65
4.5. Método de confiabilidade de 1ª ordem (FORM) 66
4.6. Confiabilidade de sistemas 69
4.7. Determinação dos coeficientes parciais de segurança para um
projeto específico 71
4.8. Fator de importância 72
4.9. Níveis dos métodos de projeto 72
5 Projeto de Otimização Determinístico (DDO) 74
5.1. Introdução 74
5.2. Dimensionamento ótimo de uma seção de concreto armado à
flexão composta reta 74
5.3. Descrição do problema proposto via método DDO 78
5.3.1. Variáveis de projeto 78
5.3.2. Função objetivo 80
5.3.3. Restrições de resistência 81
5.3.4. Restrições para o ELS 83
5.3.5. Restrições com relação à altura das vigas 84
5.3.6. Restrições referentes às armaduras 84
5.3.7. Restrição relativa ao fator de carga crítica 85
5.3.8. Restrições laterais 85
5.3.9. Adimensionalização de variáveis 86
5.3.10. O problema de DDO 87
6 Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO) 89
6.1. Condição de proximidade de projeto 93
6.2. Análise de confiabilidade pelo RIA (Reliability Index Approach) 94
6.3. Análise de confiabilidade por PMA (Performance
Measure Approach) 95
6.4. Análise de confiabilidade híbrida por PMA 95
6.4.1. Método do valor médio avançado (AMV) 96
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
6.4.2. Método do valor médio conjugado (CMV) 96
6.4.3. Método do valor médio híbrido (HMV) 97
6.5. Variáveis aleatórias do problema 98
6.5.1. Propriedades mecânicas do concreto 98
6.5.2. Propriedades mecânicas da armadura longitudinal 99
6.5.3. Carregamento externo 99
6.5.4. Fatores de modelagem 100
6.6. O problema RBDO 101
7 Análise de sensibilidade 104
7.1. Introdução 104
7.2. Esforços internos resistentes 104
7.3. Esforços internos solicitantes 106
7.4. Deslocamentos 107
7.5. Carga crítica 108
7.6. Função objetivo 109
7.7. Restrições 110
7.8. Funções de comportamento 112
8 Aplicação numérica 114
8.1.1. Primeiro exemplo de aplicação 114
8.1.2. Segundo exemplo de aplicação 118
8.1.3. Terceiro exemplo de aplicação 121
8.1.4. Quarto exemplo de aplicação 124
9 Considerações finais 131
9.1. Conclusões 131
9.2. Sugestões para trabalhos futuros 132
10 Referências bibliográficas 133
Apêndice A 139
Apêndice B 145
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Lista de figuras
Figura 2.1 – Geometria do exemplo e carregamento atuante. 39
Figura 3.1 – Diagrama tensão-deformação de cálculo do concreto. 43
Figura 3.2 - Diagrama tensão-deformação de cálculo do aço classe A. 44
Figura 3.3 – Sistema de coordenadas de referência dos elementos finitos. 45
Figura 3.4 – Configuração deformada de um trecho de elemento. 45
Figura 3.5 – Convenção de sinal para esforços no elemento. 47
Figura 3.6 – (a) Modelo 1 e (b) modelo 2 com seus respectivos eixos
de referência e graus de liberdade locais. 50
Figura 3.7 – (a) Ruína por ruptura e (b) ruína por perda de estabilidade. 51
Figura 4.1 – Representação gráfica do coeficiente de correlação. 56
Figura 4.2 – Representação da superfície de falha na PDF conjunta:
(a) espaço original U; (b) espaço reduzido V. 60
Figura 4.3 – Margem de segurança. 63
Figura 4.4 - Função de falha com duas variáveis randômicas no
espaço normal padrão reduzido. 67
Figura 4.5 – Definição de sistema na análise de confiabilidade
de estruturas, sistema em série. 70
Figura 4.6 – Definição de sistema na análise de confiabilidade
de estruturas, sistema em paralelo. 70
Figura 5.1 – Envoltória resistente de uma seção (Melo et al. 2004). 75
Figura 5.2 – Domínios de estado limite último de uma seção transversal. 76
Figura 5.3 – Funções ε
S
(D) e ε
I
(D). 77
Figura 5.4 –Padrões de distribuição da armadura longitudinal (A
ss
e A
si
). 79
Figura 6.1 – Exemplo ilustrativo do processo de DDO vs. RBDO. 91
Figura 6.2 – Processo iterativo para o RBDO. 92
Figura 6.3 – Análise rápida de confiabilidade no RBDO. 94
Figura 7.1 – Tensão e deformação na seção. 105
Figura 7.2 – Diagrama tensão-deformação de cálculo do aço
classe A – Regiões. 113
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Figura 8.1 – (a) Dimensões e carregamento (b) malha e variáveis de projeto. 115
Figura 8.2 – (a) (b) Malha e variáveis de projeto. 118
Figura 8.3 – Geometria do terceiro exemplo. 122
Figura 8.4 – Variáveis de projeto do terceiro exemplo nos elementos. 122
Figura 8.5 – (a) Dimensões, carregamento e malha (b) variáveis de projeto. 125
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Lista de tabelas
Tabela 2.1 – Variáveis do exemplo ilustrativo. 40
Tabela 2.2 – Resultados obtidos para o exemplo de RBDO. 40
Tabela 4.1 – Grau de dependência de correlação entre variáveis
(Soares e Venturini, 2001). 56
Tabela 4.2 – Relação entre Índice de confiabilidade
β
ββ
β
e probabilidade
de falha P
f
. 64
Tabela 4.3 – Classes de conseqüências e confiabilidade, e valores de índices
de confiabilidade (JCSS
1
, 2000; CEN, 2001; Gulvanessian et al., 2002). 65
Tabela 5.1 – Valores limites para D (Melo et al. 2004). 78
Tabela 5.2 – Taxas mínimas de armadura de flexão (NBR 6118, 2003). 84
Tabela 7.1 – Regiões e limites de integração. 105
Tabela 7.2 – Casos de deformação. 107
Tabela 8.1 – Variáveis aleatórias da 1ª aplicação. 116
Tabela 8.2 – Valores iniciais e finais das variáveis de projeto do
primeiro exemplo. 117
Tabela 8.3 – Coeficientes parciais de segurança da 1ª aplicação. 117
Tabela 8.4 – Fatores de importância da 1ª aplicação. 118
Tabela 8.5 – Variáveis aleatórias da 2ª aplicação. 119
Tabela 8.6 – Valores iniciais e finais das variáveis de projeto
do segundo exemplo. 120
Tabela 8.7 – Comparação de resultados obtidos da 2ª aplicação via
RBDO pelo método FORM e pelo método de Monte Carlo (MC). 120
Tabela 8.8 – Coeficientes parciais de segurança da 2ª aplicação. 121
Tabela 8.9 – Fatores de importância da 2ª aplicação. 121
Tabela 8.10 – Variáveis aleatórias da 3ª aplicação. 123
Tabela 8.11 – Valores iniciais e finais das variáveis de projeto
do terceiro exemplo. 123
Tabela 8.12 – Coeficientes parciais de segurança da 3ª aplicação. 124
Tabela 8.13 – Fatores de importância da 3ª aplicação. 124
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Tabela 8.14 – Parâmetros probabilísticos e determinísticos da 4ª aplicação. 129
Tabela 8.15 – Valores iniciais e finais das variáveis de projeto do
quarto exemplo. 129
Tabela 8.16 – Coeficientes parciais de segurança da 4ª aplicação. 130
Tabela 8.17 – Fatores de importância da 4ª aplicação. 130
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Lista de símbolos
Símbolos romanos
A
0
si
armadura longitudinal inferior de referência
A
0
ss
armadura longitudinal superior de referência
A
0
sw
armadura transversal de referência
A parâmetro usado na definição da curva tensão deformação do aço
tipo B
A
c
área de concreto
a
i
constantes
A
m
área da seção transversal do m-ésimo elemento
A
s
área de aço
As’ área da seção da armadura longitudinal de compressão
A
s,min
área de aço mínima
A
si
armadura longitudinal inferior
Â
si
variável adimensional relativa à armadura longitudinal inferior
A
ss
armadura longitudinal superior
Â
ss
variável adimensional relativa à armadura longitudinal superior
A
sw
armadura transversal
Â
sw
variável adimensional relativa à armadura transversal
A
sw,m
armadura transversal por unidade de comprimento do elemento
A
sw,min
armadura transversal mínima
A
sw,nec
armadura transversal necessária
A
Total
área de aço total numa seção de concreto armado
b largura da seção
B parâmetro usado na definição da curva tensão deformação do aço
tipo B
bw largura da alma numa seção de viga T
c cobrimento da armadura
C parâmetro usado na definição da curva tensão deformação do aço
tipo B
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
C
a
custo do aço por unidade de volume
c
ac
relação entre os custos C
a
e C
f
C
c
custo do concreto por unidade de volume
C
f
custo da fôrma por unidade de área
c
fc
relação entre os custos C
f
e C
c
Cov() covariância entre duas variáveis aleatórias
C
s
custo do aço por unidade de peso
d distância da reta 0
=
G até a origem, no espaço das variáveis
reduzidas
D parâmetro de deformação que descreve as configurações resistentes
no ELU
D
*
parâmetro D ótimo para W = 1
d’ distância do cg da armadura à borda mais próxima da seção
E(X) valor médio, ou a média, de uma variável aleatória X
E(X
2
) valor médio quadrático de uma variável aleatória X
E
s
modulo de elasticidade transversal do aço
f
0
valor da função objetivo para o ponto inicial
F vetor das forças nodais internas da estrutura
f(x) função objetivo
f
c
resistência à compressão do concreto
f
cd
valor de cálculo da resistência à compressão do concreto
f
ck
valor característico da resistência à compressão do concreto
f
cm
valor médio da resistência à compressão do concreto
F
X
(x) função cumulativa de probabilidades
f
X
(x) função densidade de probabilidade
F
X,Y
() função cumulativa de probabilidades conjunta
f
X,Y
() função densidade de probabilidade conjunta
f
y
tensão de escoamento do aço
f
yd
tensão de escoamento de cálculo do aço
f
yk
valor característico da resistência à compressão do aço
f
ym
valor médio da resistência à compressão do aço
G função de falha ou função de comportamento
g
i
(x) restrições de desigualdade
h altura da seção transversal
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
h
0
valor inicial da variável h
hf altura da mesa de concreto numa seção de viga T
h altura na seção de referência
h
ˆ
variável adimensional relativa à altura da seção
H
S
carga horizontal
I
i
fator de importância das variáveis aleatórias para cada função de
falha
J Jacobiano
K
T
matriz de rigidez tangente
l comprimento do elemento reto
L matriz triangular inferior, obtida da decomposição de Choleski da
matriz dos coeficientes de correlação
M momento de flexão
M
*
R
momento fletor resistente para D
*
m vetor das médias
M
R
momento de flexão resistente de projeto
M
S
momento solicitante de cálculo
N
*
R
esforço normal resistente para D
*
N força normal
n
(k)
direção de máximo declive normalizada no ponto
)(k
HMV
v
ndr numero de deslocamentos nodais restritos
ne número de elementos do modelo
neq número de graus de liberdade da estrutura
nh número de alturas diferentes como variáveis
N
R
força normal resistente
N
S
força normal solicitante de cálculo
ns número de seções de extremidade
nsc número de seções de extremidade com todas as armaduras
comprimidas
nsi número de armaduras longitudinais inferiores
nss número de armaduras longitudinais superiores
nst número de armaduras tracionadas na flexão
nsw número de armaduras de cisalhamento
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
nvp numero de variáveis de projeto
P vetor das forças nodais externas
P
s
vetor das forças nodais externas em serviço
P
k
vetor das forças nodais externas características
P
m
vetor das forças nodais externas médias
P
f
probabilidade de falha
q deslocamentos locais generalizados
Q esforço cortante
q
u
componente de q na direção axial
q
v
componente de q na direção transversal
R capacidade resistente da seção
S esforço solicitante na seção
s
m
espaçamento entre as fissuras
t idade relativa à data de aplicação da carga de longa duração
t
0
tempo quando se deseja o valor da flecha diferida
TOL tolerância para convergência
T
m
matriz de transformação do elemento m
u componente de deslocamento no eixo x
U espaço original das varáveis aleatórias
U* ponto de projeto no espaço original das variáveis aleatórias
U
k
i
valor característico desta variável
U
*
i
valor correspondente à variável i no ponto de projeto quando a
probabilidade de falha é alcançada
u vetor de variáveis aleatórias
u
i
deslocamentos nodais locais na direção axial
u
j,lim
valores admissíveis para cada deslocamento j
u
x
componente de deslocamento num ponto genérico na direção x
u
y
componente de deslocamento num ponto genérico na direção y
v componente de deslocamento no eixo y
V espaço normal padrão reduzido das varáveis aleatórias
V* ponto de projeto no espaço das variáveis reduzidas
Var(X) variância de uma variável aleatória X
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
V
Sd
valor da força cortante solicitante correspondente às cargas de
projeto
v
i
deslocamentos nodais locais na direção transversal
V
R
vetor resistente de cálculo
V
S
vetor solicitante de cálculo
V
si,m
volume da armadura longitudinal inferior do m-ésimo elemento
V
ss,m
volume da armadura longitudinal superior do m-ésimo elemento
V
st,m
volume da armadura transversal do m-ésimo elemento
W função objetivo do sub-problema de determinação do parâmetro D
X eixo cartesiano global; variável aleatória
x eixo cartesiano local
x vetor de variáveis de projeto
x
ˆ
vetor de variáveis de projeto adimensionais
x
i,max
restrições laterais que definem os limites máximos
x
i,min
restrições laterais que definem os limites mínimos
Y eixo cartesiano global; variável aleatória
y eixo cartesiano local
y
a
ordenada que representa a deformação na fibra inferior de
integração
y
b
ordenada que representa a deformação na fibra superior de
integração
y
SI
ordenada que dista do cg da seção de concreto até o cg da
armadura longitudinal inferior
y
SS
ordenada que dista do cg da seção de concreto até o cg da
armadura longitudinal superior
Símbolos gregos
Φ cumulativa da distribuição normal padrão
Γ matriz gamma,
1−
=Γ L
Ψ vetor de forças desequilibradas da estrutura
α sensibilidade ou gradiente normalizado no ponto de projeto
α
m
fator de escala na restrição usado em termos de N e M
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
α
n
fator de escala na restrição usado em termos de N
α
s
coeficiente experimental dado em função do diâmetro da barra
β
índice de confiabilidade
β
s
índice de confiabilidade do sistema
β
t
índice de confiabilidade alvo
χ curvatura no centro de gravidade
ε
0
deformação axial no centro gravidade
ε
c
deformação específica do concreto
ε
ci
deformação específica do concreto na fibra inferior do concreto
ε
cs
deformação específica do concreto na fibra superior do concreto
ε
c2
deformação igual a 0,002 no concreto
ε
cu
deformação última de compressão no concreto
ε
I
deformação na fibra extrema inferior
ε
s
deformação específica do aço
ε
S
deformação na fibra extrema superior
ε
x
componente de deformação longitudinal
ε
yd
deformação de escoamento de cálculo do aço
ε
yu
deformação última de tração no aço
δ coeficiente de variação
φ diâmetro da barra de aço longitudinal
φ() PDF normal padrão
φ
u
função de interpolação generalizada relativa aos deslocamentos q
u
φ
v
função de interpolação generalizada relativa aos deslocamentos q
v
γ coeficiente parcial de segurança
γ
c
coeficiente de minoração do concreto
γ
f
coeficiente de ponderação das ações
γ
m
coeficiente de ponderação das resistências
η
b
coeficiente de conformação superficial das barras da armadura
κ coeficiente usado na restrição de viga parede
λ
*
carga critica de instabilidade
λ
0
fator de carga inicial
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
λ
f
valor do fator de proporcionalidade correspondente as cargas de
projeto
λ
r
carga critica de ruína por falha do material
λ
*
inf
limite inferior para λ
*
µ
N
U
média normal equivalente
µ valor médio, ou a média, de uma variável aleatória
ν
* ponto de projeto no espaço V (MPP)
ν
R
vetor unitário dos esforços resistentes
ν
S
vetor unitário dos esforços solicitantes de cálculo
θ rotações dos nós do elemento
ρ
ik
correlação entre dois componentes
ρ
max
taxa de armadura máxima admissível
ρ
min
taxa de armadura mínima admissível
ρ
r
taxa geométrica da armadura da seção transversal de concreto
ρ
X,Y
coeficiente de correlação
ρ
′
taxa de armadura comprimida
σ
i
desvio padrão de uma variável aleatória i
σ
N
U
desvio padrão normal equivalente
σ
σσ
σ matriz de desvios padrões
σ
c
tensão à compressão no concreto
σ
s
tensão normal no aço; tensão de serviço na armadura
σ
SI
tensão na armadura longitudinal inferior
σ
SS
tensão na armadura longitudinal superior
σ
x
tensão normal na direção x
τ
max
valor de cálculo da tensão convencional de cisalhamento no
concreto
τ
wu
valor ultimo de cisalhamento no concreto
ω
lim
abertura limite de fissuras
ξ coordenada axial adimensional
ξ(t) coeficiente função do tempo
ζ critério para determinação do tipo do método
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Lista de abreviaturas
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
AMV Advanced Mean Value
CDF Cumulative Density Function
CMV Conjugate Mean Value
DDO Deterministic Design Optimization
ELS Estados Limites de Serviço
ELU Estados Limites Últimos
FORM First Order Reliability Method
HLRF Hasofer-Lind-Rackwitz-Fiessler
HMV Hybrid Mean Value
MC Monte Carlo
MPP Most Probable Point
MV Mean Value
PDF Probability Density Function
PL Programação Linear
PLS Programação Linear Seqüencial
PM Programação Matemática
PMA Performance Measure Approach
PQS Programação Quadrática Seqüencial
RBDO Reliability-Based Design Optimization
RIA Reliability Index Approach
RSM Response Surface Method
SORM Second Order Reliability Method
SLP Sequential Linear Programming
SQP Sequential Quadratic Programming
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
1
Introdução
1.1.
Considerações iniciais e objetivos
Um projetista deve lidar com a existência de incertezas nas variáveis de
projeto de maneira que faça com que o desempenho do projeto, como esperado,
seja seguro e confiável. Para este propósito dois métodos têm sido utilizados para
quantificar as incertezas nas variáveis de projeto de engenharia e seus efeitos no
nível de segurança do projeto. O primeiro é o projeto baseado no método
semiprobabilístico. Nesse método os fatores parciais de segurança são utilizados
sobre as resistências dos materiais e sobre as cargas aplicadas visando obter uma
probabilidade de falha adequada. Esse método será aqui denominado de método
determinístico (Deterministic Design Optimization, DDO), pois, uma vez que os
fatores parciais de segurança são aplicados, as variáveis passam a serem tratadas
como determinísticas. O segundo método é o projeto baseado em confiabilidade,
no qual as propriedades estatísticas das variáveis envolvidas no projeto são
utilizadas para se dimensionar a estrutura com um valor alvo de confiabilidade.
Na busca do projeto mais interessante (mais leve, mais barato,...) o emprego
de técnicas de programação matemática tem se tornado muito populares tanto para
os métodos determinísticos quanto para os baseados em confiabilidade.
No campo da otimização estrutural determinística, os projetistas não
conhecem a probabilidade de falha que a solução encontrada pode oferecer. O
objetivo da Otimização Baseada na Confiabilidade (Reliability-Based Design
Optimization, RBDO) é projetar estruturas econômicas que apresentem
probabilidades de falha menor ou igual a valores prescritos definidos pelo usuário.
Desta forma, busca-se neste trabalho conciliar a otimização determinística
de pórticos planos de concreto armado com os conceitos de incertezas em relação:
às dimensões nominais, às propriedades dos materiais envolvidos e às solicitações
atuantes. Para a parte de otimização determinística de pórticos planos de concreto
armado é usado o algoritmo implementado por Melo (2000b), que otimiza o custo
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
24
da função objetivo segundo os custos do volume de concreto, do aço e das fôrmas.
Para a parte de confiabilidade utiliza-se o algoritmo do método de confiabilidade
de 1ª ordem (FORM – first order reliability method), com as opções de enfoque
pelo índice de confiabilidade (RIA – Reliability Index Approach) ou pela medida
de desempenho (PMA – Performance Measure Approach).
A partir da realização de adaptações necessárias para a utilização conjunta
dos dois algoritmos, Melo (2000b) e FORM, desenvolveu-se um programa de
computador, na linguagem C, para o projeto ótimo de pórticos planos de concreto
armado sujeitos também a restrições de confiabilidade. Inicialmente, pretende-se
utilizar restrições associadas a duas funções de falha. A primeira, relativa ao
estado limite de utilização, envolvendo restrição ao deslocamento e a segunda,
relativa ao estado limite último, envolvendo a carga limite da estrutura. A análise
proposta aplica-se a concretos com classes de resistência pertencente ao grupo I
(
50Cf
ck
≤
) sugerido pela NBR 8953 (ABNT, 1992).
Uma análise de confiabilidade da estrutura ótima obtida via DDO é
realizada para se verificar se sua confiabilidade é comparável àquela prescrita no
RBDO. A estrutura é discretizada pelo método dos elementos finitos e são
consideradas as não-linearidades do material e geométrica.
As considerações sobre as distribuições e os parâmetros probabilísticos
utilizados neste trabalho amparam-se no código de modelos probabilísticos do
Comitê Internacional de Segurança de Estruturas (Joint Committee on Structural
Safety, JCSS
123
, 2000, 2001) e nas normas brasileiras NBR 6118 (ABNT, 2004) e
NBR 6123 (ABNT, 1988). Neste trabalho são consideradas como variáveis
aleatórias no processo de avaliação das restrições de confiabilidade: a resistência à
compressão do concreto (
f
c
); a tensão de escoamento do aço (f
y
); as cargas
permanentes e as cargas variáveis (e.g., vento).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
25
1.2.
Histórico e revisão bibliográfica
1.2.1.
Otimização via DDO (Deterministic Design Optimization)
Segundo Melo (2000b), o primeiro trabalho documentado sobre otimização
estrutural foi o de Maxwell (1869) que buscava o projeto de treliças de peso
mínimo.
Os primeiros trabalhos em programação linear (PL) surgiram na década de
30 do século XX. George Dantzig, em 1947, apresentou um método de PL que se
designa método “simplex” e que se revelou bastante eficaz. Muitos métodos de
programação matemática (PM) têm surgido desde então, para serem aplicados às
diversas classes de problemas (lineares, não-lineares, restritos, irrestritos).
Com o decorrer dos últimos anos foram desenvolvidas inúmeras formas de
avaliação do projeto ótimo determinístico de estruturas de concreto armado. A
nível internacional pode-se citar os estudos de Friel (1974), Holzer e Solmers
(1977), Kang et al. (1993), Balling e Yao (1997), Liang et al. (2000), Liang et al.
(2002), Leps e Sejnoha (2003), enquanto no cenário nacional destacam-se os
trabalhos de Horowitz (1988), Eboli (1989), Souza Jr. (1992), Urban (1992),
Melo (2000a, 2000b), Melo et al. ( 2004), Almeida (2001), Almeida (2004) e
Rodrigues Jr. (2005).
Em um dos trabalhos mais recentes, desenvolvido por Rodrigues Jr. (2005),
é proposta uma formulação para o projeto ótimo de pilares de edifícios altos de
concreto armado. As dimensões da seção transversal, a armadura longitudinal dos
pilares e a resistência característica do concreto são variáveis de projeto. A
estratégia utilizada é de solução em multinível, onde no problema global
determinam-se as dimensões das seções transversais e a resistência do concreto, e
nos subproblemas são determinadas apenas as armaduras longitudinais dos
pilares. A função objetivo do problema de otimização é o custo total das colunas
do edifício. Os edifícios são modelados como pórticos espaciais considerando a
não-linearidade geométrica da estrutura.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
26
1.2.2.
Análise de confiabilidade
Dentre os métodos mais utilizados na análise de confiabilidade têm-se o
método de simulação de Monte Carlo (MC) e o método analítico de primeira
ordem (FORM). O método de MC surgiu oficialmente no ano de 1949 com o
artigo
The Monte Carlo Method de autoria dos matemáticos John Von Newmann
e Stanislaw Marcin Ulam (Ulam, 2007). O método FORM faz parte do grupo dos
chamados métodos do segundo momento que, segundo Melchers (2002), tiveram
seus conceitos difundidos inicialmente por Mayer (1926), embora só tenham
obtido uma maior aceitação com o trabalho de Cornell (1969).
Segundo Soares et al. (2002), o primeiro trabalho que aplica métodos de
confiabilidade a estruturas de concreto armado data de 1947, quando Freudenthal
publica seu trabalho sobre conceitos de confiabilidade aplicados a projetos de
estruturas. Desde então, os principais códigos internacionais têm proposto
incorporar esses conceitos.
Para melhor compreensão dos passos da pesquisa com relação à análise de
estruturas de concreto armado considerando as incertezas que envolvem seus
parâmetros, é traçado aqui um breve histórico de alguns trabalhos desenvolvidos.
Val et al. (1995) propõem um novo método de busca do ponto de projeto da
análise de confiabilidade através do método das direções conjugadas. Além disso,
o trabalho faz comparação da eficiência de convergência entre os principais
algoritmos de otimização utilizados para a busca do ponto de projeto. Para esta
comparação foi utilizado um pórtico de concreto armado, onde as variáveis
aleatórias que descrevem o problema são: as cargas permanente e acidental; a
resistência à compressão do concreto (
f
c
); a tensão de escoamento do aço (f
y
); e as
alturas das seções transversais (
h). No cálculo dos gradientes, necessário nos
métodos baseados em gradientes, foi utilizado o método das diferenças finitas
centrais. Foi utilizado o método das direções conjugadas, que não necessita de
avaliação dos gradientes da função de comportamento e mostrou-se mais estável
que os outros métodos. Entretanto, este novo método mostrou-se menos eficiente
no âmbito de tempo computacional requerido quando comparado com os métodos
baseados em gradientes.
Frangopol et al. (1996) fizeram estudos sobre a confiabilidade de pilares de
concreto armado esbeltos e curtos. As superfícies de falha foram geradas através
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
27
dos históricos de tensão e de deformação nas fibras extremas não sendo
considerada a resistência à tração do concreto. A análise de confiabilidade foi feita
através do método de simulação de MC. Foram feitas verificações de
confiabilidade de pilares de concreto armado, com variação da seqüência de
carregamento e de correlação entre as cargas. Foi constatado que, em alguns
casos, a confiabilidade de pilares de concreto armado pode depender da seqüência
de carregamento, e que depende da correlação entre os carregamentos. Nos casos
onde as correlações são menores que a unidade (
ρ
<1,0), elas se apresentaram
conservativas para a maioria das regiões de falha por compressão. Entretanto,
para as regiões de falha por tração, elas se mostraram não-conservativas. Sendo
assim, a suposição de carregamento proporcional usada na maioria das normas de
projeto para pilares de concreto armado pode não ser conservativa na região de
falha por tração.
Em Real e Filho (2001) foram estudados os efeitos da variabilidade das
dimensões geométricas e das propriedades dos materiais na análise de vigas e
pilares de concreto armado. Foi constatado que a variabilidade das propriedades
do concreto influenciam muito, tanto as flechas das vigas sob cargas de serviço
quanto a carga de ruptura dos pilares sob flexo-compressão e com um
determinado índice de esbeltez. Para os pilares estudados, a ruptura ocorreu
devido ao esmagamento do concreto sem que o aço entrasse em escoamento. Para
as vigas dúcteis, a aleatoriedade das propriedades mecânicas das armaduras
influenciaram muito a aleatoriedade da carga de ruptura. Os efeitos das incertezas
na resposta da estrutura foram avaliados empregando o método de Monte Carlo.
Outra metodologia é apresentada por Araújo e Real (2002) que verificaram
a confiabilidade de vigas de concreto armado quanto aos estados limites últimos
(modo de falha por flexão) e quanto aos modos de comportamento de utilização
(por deformação excessiva e fissuração inaceitável). Nas aplicações estudadas foi
constatado que o estado limite de deformações excessivas predomina com maior
probabilidade de falha, pois o valor máximo permitido para a flecha é o que
determina o cálculo da altura da viga. A confiabilidade da viga é avaliada através
do método de Monte Carlo, que, dependendo do tamanho do problema, pode ser
muito caro computacionalmente.
Soares et al. (2002) fizeram análises de confiabilidade de elementos de
barras de concreto armado usando o método de superfície de resposta. Para a
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
28
análise da confiabilidade são empregados de forma acoplada um modelo de
elementos finitos não-linear com o método de superfície de resposta e, para a
determinação do índice de confiabilidade,
β
,
o método FORM. A função de
comportamento utilizada é representada pela diferença da carga última da
estrutura pela carga real aplicada. Foram consideradas como aleatórias as
seguintes variáveis: a resistência à compressão do concreto; a tensão de
escoamento do aço; as cargas permanentes e acidentais. O modelo utilizado
considera a não-linearidade dos materiais e a não-linearidade geométrica. Foram
avaliados os índices de confiabilidade de estruturas de concreto armado, para a
verificação da segurança obtida pelo uso dos fatores parciais de segurança,
estabelecidos pelas principais normas internacionais. Segundo Soares et al.
(2002), conclui-se o seguinte: o método empregado mostrou-se eficiente,
reduzindo o custo computacional da análise da confiabilidade de elementos
complexos de concreto armado; a não-linearidade das estruturas de concreto
armado tem forte influência na determinação da confiabilidade; e, por último, os
fatores parciais de segurança utilizados nas normas internacionais são adequados,
embora, algumas vezes, possam ser excessivamente conservativos.
No estudo realizado por Gomes (2003), uma viga bi-apoiada de concreto
armado foi analisada com ênfase nas incertezas da avaliação do comportamento
estrutural. Foi desenvolvido um modelo para a geração de campos estocásticos
multidimensionais não-Gaussianos. A análise da confiabilidade foi realizada
utilizando-se o método FORM, assumindo como função de falha a flecha máxima
na seção localizada no centro do vão, ou seja, o valor da flecha não deve
ultrapassar um valor prescrito. O módulo de elasticidade do material é
considerado como um campo estocástico.
Em Szerszen e Nowak (2005) foram desenvolvidas análises de
confiabilidade de colunas de concreto armado sujeitas à carga excêntrica. As
variáveis aleatórias foram as seguintes: a resistência à compressão do concreto
(
f
c
); a tensão de escoamento do aço (f
y
); as dimensões da seção transversal (b, h); e
o diâmetro da barra de aço longitudinal (
φ
). A análise de confiabilidade foi feita
utilizando as simulações de Monte Carlo. No estudo é proposto um novo modelo
para o fator de redução de resistência dos pilares de concreto armado sujeitos à
carga excêntrica.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
29
Em Santos e Eboli (2006) foram feitas avaliações da confiabilidade
estrutural com base nas normas da ABNT. Neste trabalho foram avaliadas as
probabilidades de ruína de seções retangulares de concreto armado,
dimensionadas à flexão composta reta, com armadura simétrica. O trabalho
analisa diversas situações, variando-se as taxas de área de armadura longitudinal e
as relações entre os valores de cargas permanentes e acidentais. As variareis
aleatórias consideradas no trabalho foram: a tensão de escoamento no aço (
f
y
); a
tensão de compressão no concreto (
f
c
); a solicitação permanente (G); a solicitação
acidental (
Q); o fator de modelagem da resistência (m
R
) e o fator de modelagem
das ações (
m
S
). As principais considerações feitas a partir dos resultados foram
que: os coeficientes parciais de segurança devem ser ajustados, a partir de um
processo de análise crítica baseado na confiabilidade; os índices de confiabilidade
foram maiores nos casos em que o percentual de carga permanente na carga total
foi mais alto, devido à maior variabilidade das cargas acidentais; os índices de
confiabilidade foram sempre maiores na região em que a resistência do concreto
domina sobre a resistência do aço, o que sugere uma reavaliação dos valores
numéricos dos coeficientes de minoração das resistências do aço e do concreto nas
Normas Brasileiras.
Além destes trabalhos podem-se citar outros, que também envolvem análise
de confiabilidade de estruturas de concreto armado, tais como: Ellingwood (1996,
2003), Araújo (2001), Diniz (2005), Lopes et al. (2006) e Neves et al. (2006).
Dentre outras aplicações relevantes em confiabilidade podem-se citar os trabalhos
a seguir: Ang e Cornell (1974), Hasofer e Lind (1974), Rackwitz e Fiessler
(1978), Choudhori e Chokraborty (2005), Yang et al. (2006), Lee e Kwak (2006),
Saleh e Morais (2006) e Choi et al. (2006).
1.2.3.
Otimização via RBDO
O objetivo do RBDO é desenvolver projetos econômicos e confiáveis,
introduzindo critérios de confiabilidade no processo de otimização. Segundo
Kharmanda et al. (2004) o primeiro trabalho que introduziu a idéia de análise de
confiabilidade em conjunto com otimização de projeto foi desenvolvido por
Stevenson em 1967.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
30
Dos trabalhos desenvolvidos recentemente em RBDO, pode-se citar os
seguintes: Wang e Grandhi (1993), Sepulveda e Epstein (1993), Enevoldsen
(1993), Al-Harthy e Frangopol (1994), Moses (1997), Kleiber et al. (1999),
Choi e Youn (2001), Youn et al. (2003, 2004), Müller et al. ( 2003), Eboli et
al. (2004), Youn e Choi (2004), Eboli e Vaz (2005), Papadrakakis et al. (2005),
Tsompankis et al. (2005), Nogueira (2005), Almeida et al. (2005), Youn et
al. (2005), Almeida et al. (2006), Lagoros e Papadopoulos (2006), Zou e
Mahadevan (2006) e Almeida et al. (2007).
Wang e Grandhi (1993) desenvolveram em seu trabalho, otimização de
estruturas baseadas em confiabilidade, um novo algoritmo para a avaliação das
restrições de confiabilidade. Este algoritmo, como demonstrado por eles, tem a
vantagem de convergir com poucas iterações, mesmo para funções altamente não-
lineares, o que muitas vezes não acontece com algoritmos mais usados tal como o
HLRF (Hasofer e Lind, 1974; Rackwitz e Fiessler, 1978). Os exemplos analisados
por eles incluem funções de alta não-linearidade numérica, para demonstrar a
eficiência do algoritmo proposto, tais como, uma placa, uma turbina e uma
estrutura plana de barras. Apesar dos inúmeros exemplos, o foco do trabalho é
fazer uma comparação para comprovar a eficiência do algoritmo proposto, não
apresentando os resultados das otimizações onde foram restritos os deslocamentos
em nós de interesse. Nestes exemplos são considerados somente materiais com
comportamento linear, sendo as características geométricas e físicas dos materiais
consideradas como variáveis aleatórias.
Sepulveda e Epstein (1993) propuseram a minimização do peso de projetos
de estruturas sujeitos a restrições de confiabilidade em condições de serviço
(deslocamento restrito e tensões). São consideradas como variáveis aleatórias: as
cargas e as tensões internas permitidas. Para a análise das restrições de
confiabilidade é utilizado o método de simulação de Monte Carlo. Como
exemplificação do método proposto, é determinado o projeto ótimo de uma treliça
de alumínio plana de dez barras, minimizando o seu peso. Através dos exemplos o
autor conclui que na maioria dos casos a otimização determinística conduz a
resultados com baixos níveis de confiabilidade. O método de aproximação se
mostrou eficiente em número de análises requeridas para convergência onde ele
considera como restrição de serviço a limitação de deslocamento em um dos nós.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
31
Al-Harthy e Frangopol (1994) apresentam um algoritmo para a obtenção do
projeto ótimo baseado em confiabilidade de vigas pré-moldadas de concreto pré-
tensionadas. A função objetivo busca minimizar a área de cordoalha de protensão
e as restrições de confiabilidade verificam as tensões nas fases inicial, final e de
estado limite último. Para a otimização do projeto é usado o algoritmo do método
das direções viáveis. São tomadas como variáveis aleatórias: o carregamento; as
propriedades dos materiais; os níveis de força para a pré-tensão; e alguns
coeficientes necessários para o modelo estrutural nos estágios inicial, final e
último. É utilizado o método do segundo momento para a avaliação da
confiabilidade (Rackwitz and Fiessler, 1978).
Müller et al. (2003) implementaram otimização de estruturas reticuladas
considerando incertezas, tais como pórticos e treliças. Para a otimização foi
utilizado o algoritmo de pontos interiores e, para a determinação da resposta
considerando as incertezas, foram utilizados os métodos de análise estatística
linear e de simulação de Monte Carlo. Foram consideradas como variáveis
aleatórias os parâmetros mecânicos, tais como: o módulo de elasticidade, a tensão
de escoamento do material e as cargas atuantes. No problema de RBDO foi
considerado o peso da estrutura como função objetivo sujeita a restrições de
confiabilidade para os deslocamentos e as tensões. No trabalho foram analisados
dois exemplos: o primeiro é um pórtico plano com três elementos e o segundo
uma treliça plana de dez elementos. Através dos resultados obtidos no trabalho, os
autores afirmam que a análise estatística linear é um bom método para a análise da
resposta estatística de estruturas reticuladas planas de comportamento linear
elástico. A utilização da simulação de Monte Carlo não é recomendável em
problemas de otimização considerando incertezas, nos quais são utilizados
métodos iterativos, o que conduziria a um número excessivo de análises,
inviabilizando o processo.
Para a avaliação do RBDO deve-se trabalhar com restrições probabilísticas
que podem ser formuladas ou pelo RIA ou pelo PMA (Choi e Youn, 2001).
Destes dois, o RIA foi o primeiro a ser idealizado. Através de um processo
iterativo procura-se determinar o índice de confiabilidade,
β
, para a função de
falha estabelecida nesse enfoque. Contudo, muitas vezes sua convergência é lenta
ou nem chega a acontecer (Youn et al., 2003). Para contornar esse problema, foi
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
32
proposto um método alternativo, o PMA, que se mostrou mais eficiente do que o
RIA (Tu et al., 1999).
Mesmo o PMA quando utilizando o método AMV (Advanced Mean Value),
mostrou-se instável em diversos casos nos quais a função avaliada era côncava.
Por esse motivo foi proposto por Youn et al. (2004) um método híbrido (HMV-
Hybrid Mean Value) que associa dois métodos (AMV e CMV- Conjugate Mean
Value), resolvendo o problema tanto para funções côncavas quanto para as
convexas.
Mesmo com o método HMV, o processo de RBDO pode não ser eficiente o
bastante no caso de problemas com muitas variáveis aleatórias ou onde o cálculo
da sensibilidade de projeto é inviável. Desta forma, para atender a estes requisitos
foi proposta em Youn e Choi (2004) uma nova metodologia, onde o método HMV
é integrado a um novo método, RSM (Response Surface Method), baseado no
método dos mínimos quadrados. Este novo método, segundo o autor, diminui o
esforço computacional mantendo uma boa precisão.
Desde o início da utilização da análise de confiabilidade como restrição em
projetos ótimos (RBDO) muitas formulações diferentes vêm sendo propostas para
melhorar o seu desempenho computacional garantindo a confiabilidade de seus
resultados. Dentre estas destacam-se três: RBDO tradicional (ou Parallel-loop
RBDO); serial-loop RBDO; e single-loop RBDO (Youn et al., 2005). Os métodos
parallel e serial loop têm dupla iteração, na análise de confiabilidade e de
otimização. Por outro lado, o método
single-loop remove uma iteração no
processo da análise de confiabilidade, mas pode causar problemas de perda de
precisão e de instabilidade numérica no problema.
Youn et al. (2005) desenvolveram uma formulação (PMA+) que, segundo
eles, mostrou-se mais eficiente computacionalmente na maioria dos casos, quando
comparada com outros métodos de RBDO. Tal formulação destaca-se por três
passos básicos: o processo do RBDO é iniciado tomando como ponto inicial o
projeto obtido pela execução de uma otimização determinística; a verificação e
utilização das restrições probabilísticas que estejam ativas; aproveitamento do
projeto da iteração anterior, quando satisfeita a condição de proximidade, para que
haja diminuição da quantidade de avaliações da função de falha.
Buscando também a diminuição do tempo computacional para análise de
confiabilidade no método RBDO, Zou e Mahadevan (2006) propõem em seu
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
33
trabalho um algoritmo que se destaca pelos seguintes passos: utilização do DDO
como ponto inicial, se for possível; identificação e utilização das restrições
potencialmente ativas; construção de aproximações de primeira ordem em séries
de Taylor para todas as restrições potencialmente ativas. No método, a análise de
confiabilidade é desacoplada do processo de otimização, onde a análise de
confiabilidade e as iterações de otimização são avaliadas seqüencialmente até a
convergência dos resultados da otimização. As propriedades estatísticas dos
parâmetros mecânicos aleatórios são assumidas como variáveis de projeto.
Segundo os autores o método mostra-se mais eficiente que o método RBDO
tradicional e compara-se em eficiência com o método PMA desacoplado.
Eboli et al. (2004) apresentam em seu trabalho uma aplicação do parâmetro
beta de confiabilidade em otimização de estruturas. Neste trabalho foi utilizado o
método FORM para a avaliação da probabilidade de falha dos exemplos, em
conjunto com um algoritmo de Programação Quadrática Seqüencial (PQS) para a
otimização. Foram analisados dois exemplos, sendo o primeiro um pórtico plano
sob a ação de cargas verticais e vento, onde as variáveis aleatórias foram as
propriedades mecânicas dos materiais, as cargas atuantes e os fatores de
modelagem. Para este primeiro exemplo foi verificada a confiabilidade de uma
determinada seção sujeita a restrições de deslocamento e tensões. O segundo
exemplo faz uma comparação com a treliça de dez elementos utilizada em
Müller et al. (2003), onde foram consideradas como variáveis aleatórias os
módulos de elasticidade dos elementos e as tensões axiais de resistência. Através
deste trabalho, conclui-se que, com a utilização do parâmetro beta e do método
FORM, foi possível efetuar inúmeras análises para ambos os exemplos em um
tempo bem inferior ao que seria necessário com a utilização da simulação de MC.
Nogueira (2005) apresenta um modelo de otimização acoplado à
confiabilidade para a análise de estruturas de barras de concreto armado. O
modelo mecânico utilizado leva em consideração a não-linearidade física dos
materiais e os efeitos não-lineares geométricos. Com relação à modelagem
mecânica, foi utilizado um modelo que busca representar o dano para o concreto.
O problema de otimização considera como variáveis de projeto a altura do
elemento, a armadura tracionada e a armadura comprimida. Para a análise
mecânica é utilizado o Método dos Elementos Finitos onde se emprega o
elemento de pórtico para a discretização, e na análise de confiabilidade é utilizado
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
34
o Método das Superfícies de Respostas com aproximação da função estado limite
a partir de polinômios de segundo grau. As variáveis escolhidas para representar a
aleatoriedade do problema foram a resistência média à compressão do concreto e
a resistência média do aço. O modelo acoplado de otimização e confiabilidade é
empregado para análise de vigas de concreto armado. O autor conclui que, ao se
otimizar uma estrutura, a probabilidade de falha tende a aumentar, o que pode
conduzir a estados contra a segurança em projetos. Salienta ainda que a
confiabilidade também pode ser usada para avaliar a segurança de diversos
sistemas estruturais, comparando sua eficiência, bem como para se determinar as
variáveis que mais influenciam no comportamento global da estrutura.
Em Eboli (2005) foi realizada a otimização de uma treliça plana de 10
barras sujeita a restrições de confiabilidade. Essas restrições foram estabelecidas
com relação ao deslocamento máximo e às tensões de resistência. A análise da
confiabilidade foi realizada utilizando-se o método FORM. Foram analisados dois
enfoques diferentes para a determinação do ponto de projeto, o RIA e o PMA. O
RIA mostrou-se menos confiável do que o PMA, pois não apresentou
convergência para determinadas situações, o que não acontece com o PMA. Além
desta constatação, o trabalho forneceu uma interessante ferramenta para
projetistas ao considerar as incertezas com relação aos módulos de elasticidade
das barras e as tensões últimas de resistência.
Em Almeida
et al. (2005, 2006) são otimizadas seções e pilares de concreto
armado, respectivamente, considerando a aleatoriedade das propriedades dos
materiais e das cargas atuantes. O FORM é utilizado para a análise da
confiabilidade. Através de exemplos de aplicação, os autores concluem que o
projeto convencional ou mesmo o DDO podem conduzir a projetos com níveis de
confiabilidade inapropriados. Além do mais, ao se adotar o RBDO pode-se,
também, calibrar os coeficientes parciais de segurança para um estado limite de
uma estrutura específica e obter o fator de importância das variáveis aleatórias
sem nenhum custo adicional para o processo, pois os mesmos são um subproduto
do RBDO.
Pereira (2007) desenvolveu em seu trabalho um algoritmo para a otimização
baseada em confiabilidade de treliças espaciais. As variáveis aleatórias e de
projeto são as seções transversais, as coordenadas nodais, as propriedades dos
materiais (módulo de elasticidade e tensão de escoamento) e os carregamentos. A
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
35
não-linearidade geométrica é considerada. Foram consideradas funções de
comportamento para a análise de confiabilidade em relação aos deslocamentos e
em relação às tensões.
1.3.
Procedimento proposto neste trabalho
A partir da revisão bibliográfica citada nos itens anteriores, pode-se analisar
a contribuição do presente trabalho na área de RBDO. Neste trabalho é utilizado o
processo analítico (FORM) na análise de confiabilidade e algoritmos de PM na
otimização do projeto. A estrutura é discretizada pelo método dos elementos
finitos e são consideradas as não-linearidades do material e geométrica. Este
trabalho visa apresentar uma comparação entre dois procedimentos para o projeto
ótimo de pórticos planos de concreto armado (DDO x RBDO).
O primeiro procedimento (DDO) é na verdade um dimensionamento ótimo
baseado no método semiprobabilístico, chamado aqui de determinístico, porque
todas as variáveis são tratadas como se elas fossem determinísticas durante o
processo de otimização. Nessa metodologia, o tratamento estatístico das variáveis
aleatórias é feito “a priori”, antes da otimização e, por isso, é denominada método
semiprobabilístico de projeto. O método é usado pela grande maioria das normas
de projeto de vários países, inclusive as do Brasil. O segundo procedimento
(RBDO) trata a aleatoriedade das variáveis durante a otimização, o que permite
realizar uma análise de confiabilidade em cada iteração do processo de otimização
e prescrever uma probabilidade de falha desejada para as restrições de projeto. O
dimensionamento das armaduras da seção é feito com a hipótese de
comportamento determinístico nas duas formulações. As restrições de
confiabilidade no RBDO são associadas a duas funções de falha. A primeira é
relativa ao estado limite de utilização, envolvendo restrição ao deslocamento e a
segunda é relativa ao estado limite último, envolvendo a carga limite da estrutura.
Ao adotar a otimização via RBDO neste trabalho, espera-se obter um
projeto confiável e econômico. Obtêm-se também os coeficientes parciais de
segurança e o fator de importância de cada variável aleatória. Esse fator de
importância auxilia na escolha da variável aleatória que necessita de um controle
maior. Assim, caso não se obtenham índices de confiabilidade satisfatórios, os
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
36
parâmetros probabilísticos dessas variáveis de maior importância podem ser
alterados.
Dentro do contexto da revisão bibliográfica, este trabalho é o primeiro a
utilizar técnicas de programação matemática (e.g., SQP - Sequential Quadratic
Programming, SLP - Sequential Linear Programming) para a obtenção do projeto
ótimo de estruturas de pórtico plano de concreto armado sujeitas a restrições
determinísticas e não-determinísticas considerando-se a não-linearidade física e
geométrica do problema. As restrições não-determinísticas utilizam o método de
segundo momento (FORM) com o enfoque da medida de desempenho (PMA). O
procedimento adotado fornece como dados de saída para o projeto ótimo: as
alturas das seções (
h); as áreas de aço longitudinais (A
ss
e A
si
) e as áreas de aço
transversais (
A
sw
).
1.4.
Organização do trabalho
O capítulo 2 apresenta o conceito de RBDO, através de definições básicas e
de um exemplo ilustrativo.
No capítulo 3 são apresentados os critérios e detalhes para a análise de
pórticos planos de concreto armado, considerando a não-linearidade dos materiais
e a não-linearidade geométrica.
No capítulo 4 são apresentados os conceitos básicos necessários para
compreensão da análise de confiabilidade de estruturas. O capítulo inicia-se
apresentando os conceitos dos parâmetros essenciais para o estudo da
confiabilidade de estruturas e, em seguida, são descritos os estados limites e a
função de comportamento. São introduzidos os conceitos de índice de
confiabilidade e o método de confiabilidade de primeira ordem (FORM). O item
4.6 trata de confiabilidade de sistemas para o caso em que se têm mais de uma
função de falha, verificando-se inicialmente se o caso é um sistema em série ou
em paralelo. Em 4.7 são definidos os conceitos para a calibração de coeficientes
parciais de segurança.
No capítulo 5 são descritos os detalhes necessários para compreensão do
problema de otimização determinística (DDO) em seções de concreto armado
submetidas à flexo-compressão, incluindo a forma de inicialização do parâmetro
D.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Introdução
37
No capítulo 6 é apresentada a metodologia para o projeto de otimização
baseado em confiabilidade (RBDO), onde são expostos os dois tipos de enfoque
para a avaliação da confiabilidade: o enfoque do índice de confiabilidade (RIA) e
o enfoque da medida de desempenho (PMA). São também apresentadas as
variáveis aleatórias do problema proposto.
No capítulo 7 são descritas as sensibilidades analíticas utilizadas no
programa desenvolvido. Estas sensibilidades representam a variação de uma
função devida à variação de uma variável.
No capítulo 8 são apresentados os exemplos de aplicação desenvolvidos.
Por fim, no capítulo 9 são apresentadas conclusões referentes aos exemplos
de aplicação de RBDO em estruturas de concreto armado e as sugestões para
trabalhos futuros. Nos apêndices A e B são apresentados alguns conceitos de
análise de confiabilidade de sistemas e distribuições probabilística,
respectivamente.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
2
O conceito de RBDO
Este capítulo apresenta uma introdução ao conceito de RBDO, através de
definições básicas e de um exemplo ilustrativo.
2.1.
Definições necessárias
Este trabalho aborda dois conceitos: otimização e teoria da confiabilidade de
estruturas.
No campo da otimização de estruturas, muitos algoritmos eficientes para a
busca do projeto ótimo têm sido elaborados, tais como SQP, SLP e direções
viáveis (Haftka e Gurdal, 1993). Também no campo da teoria da confiabilidade de
estruturas, várias técnicas eficientes têm sido desenvolvidas nos últimos 30 anos
para se estimar a confiabilidade, tais como FORM e SORM.
Com a associação desses dois conceitos, pretende-se neste trabalho obter
uma ferramenta que determine o valor ótimo de projeto de pórticos planos de
concreto armado sujeitos a restrições determinísticas e de confiabilidade. Com a
introdução do conceito de análise de confiabilidade de estruturas, busca-se
representar de uma forma mais precisa as características aleatórias de variáveis
significativas em um projeto de estruturas. Serão considerados dois tipos de
variáveis:
1. Vetor das variáveis de projeto (x): são variáveis determinísticas
definidas a fim de otimizarem o sistema;
2. Vetor das variáveis randômicas (u): representam as incertezas na
estrutura (variáveis aleatórias).
Esta metodologia de otimização baseada na confiabilidade (RBDO em
inglês) visa obter um projeto ótimo preservando o nível de confiabilidade
adequado. De uma forma geral, formula-se o problema RBDO como,
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
O conceito de RBDO
39
aSujeito
xfcustoMinimizar )(
(2.1a)
0),(
≤
−
ts
PfuxPf
(2.1b)
0)(
≤
xg
(2.1c)
sendo
Pf
s
a probabilidade de falha do sistema e Pf
t
a probabilidade de falha
desejada (target). As restrições de confiabilidade e determinísticas são
representadas pelas (2.1b) e (2.1c), respectivamente.
Assim, o problema (2.1) busca minimizar a função de custo,
f(x), sujeita às
restrições de confiabilidade mínima para os sistemas em estudo (Eq. 2.1b) e às
restrições determinísticas (Eq. 2.1c) quando necessário.
2.2.
Exemplo ilustrativo
Seja uma viga bi-apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída
como mostra a Figura 2.1.
G é a função de comportamento (Eq. 2.2) que
representa se o projeto é ou não satisfatório, indicando que a viga não estará apta
para a utilização devido a deslocamento excessivo caso se tenha
G < 0, sendo
(
)
lim
,
1),(
u
Lwu
LwG −=
(2.2)
onde: u
lim
=L/350 é o deslocamento limite; u é o deslocamento da estrutura para
uma determinada configuração. L é o comprimento da viga e w é a intensidade da
carga distribuída (Figura 2.1), ambas são consideradas variáveis aleatórias do
exemplo. As características destas variáveis aleatórias são definidas na Tabela 2.1.
m20
mkNw /6=
b
h
cmt 1
=
Figura 2.1 – Geometria do exemplo e carregamento atuante.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
O conceito de RBDO
40
Variável símbolo Distribuição Média Desvio
Padrão
Carga distribuída w (kN/m) Normal 6,00 1,50
Comprimento do vão L (m) Normal 20,00 0,05
Largura da seção b (cm) Determinística 50 -
Altura da seção h (cm) Determinística 150 -
Tabela 2.1 – Variáveis do exemplo ilustrativo.
Utilizando os dados acima, deseja-se dimensionar a seção transversal da
viga, assumindo um material homogêneo com módulo de elasticidade do aço
(E
s
= 2,1x10
8
kN/m
2
) e o índice de confiabilidade alvo (β
t
= 1,5). Para isso,
otimizam-se as dimensões da seção da viga considerando-se como restrição de
confiabilidade a limitação para o deslocamento máximo no centro do vão da viga.
Sendo
β
s
o índice se confiabilidade do sistema (índice de confiabilidade da
viga ao deslocamento excessivo, neste caso
). β
t
relaciona-se de forma
inversamente proporcional com a probabilidade de falha da função de
comportamento, P
f
. Desta forma ao considerar-se β
t
= 1,5 tem-se P
f
= 6,68x10
-2
.
Dimensões
β
s
P
f
b=50 h=150 9,67 2,02x10
-20
b=42,9 h=130 5,94 1,42x10
-8
b=36,4 h=111 3,83 6,40x10
-5
b=24,9 h=78
1,52>β
t
6,42x10
-2
Tabela 2.2 – Resultados obtidos para o exemplo de RBDO.
Na Tabela 2.2, encontram-se alguns dos resultados obtidos para este
exemplo de RBDO. Observa-se que à medida que o algoritmo de otimização
reduz as dimensões da estrutura, a probabilidade de a estrutura não satisfazer a
função de comportamento aumenta. No fim do processo obtêm-se as dimensões
ótimas com uma probabilidade de falha satisfatória para o estado limite de
utilização onde se considerou o efeito das incertezas da carga aplicada e do
comprimento do elemento estrutural.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
3
Análise de pórticos planos de concreto armado
3.1.
Introdução
A sistemática convencional de projeto baseia-se em processos de análises
sucessivas, envolvendo um grande número de variáveis e um grande número de
verificações. Com base nos resultados de uma primeira análise, o projetista
modifica as configurações de projeto caso os critérios de projeto tenham sido
violados, objetivando encontrar uma estrutura que atenda aos referidos critérios.
Muito dificilmente a escolha adotada representa a melhor configuração possível,
ou a mais econômica, apenas representa uma escolha viável. O processo de
otimização de estruturas pode ser entendido como a finalização ideal de um
processo de análises sucessivas, que continuaria até que se encontrasse a estrutura
mais econômica no espaço das soluções viáveis. Na busca por esse objetivo,
podem-se utilizar técnicas de otimização numérica.
Assim, a busca por um projeto ótimo necessita da análise da estrutura. Neste
trabalho será utilizada para a análise de pórticos planos de concreto armado a
mesma metodologia empregada por Melo (2000b) que executa a análise não-
linear geométrica e do material tendo por opção a utilização de dois tipos de
elementos finitos distintos.
3.2.
Análise não-linear de pórticos planos
3.2.1.
Considerações iniciais
No trabalho é adotada uma formulação não-linear para análise estática de
pórticos planos de concreto armado. Os elementos finitos são elementos de estado
plano de tensões de eixo reto e seção transversal constante e retangular.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
42
Para a discretização da estrutura foram implementados por Melo (2000b)
dois modelos de elementos finitos que têm por diferença principal a aproximação
utilizada para a representação da componente do deslocamento axial. No primeiro
modelo, os deslocamentos axial e transversal são aproximados por polinômios
linear e cúbico, respectivamente. Já no segundo elemento a aproximação da
componente axial foi composta por um polinômio quadrático, e a componente
transversal por um cúbico. É utilizado o método iterativo de Newton-Raphson
para a resolução do sistema de equações não-lineares.
A não-linearidade geométrica é tratada considerando a hipótese de rotações
moderadas. No caso dos materiais, são assumidas as relações tensão-deformação
não-lineares.
No trabalho não são considerados os efeitos dinâmicos, considerando
somente um caso de carga onde o processo de carregamento é suposto estático. As
cargas aplicadas são consideradas atuando somente nos pontos nodais do modelo
discretizado. Caso elas estejam atuando ao longo dos elementos, elas são
substituídas por cargas nodais equivalentes.
3.2.2.
Características dos materiais
Para o dimensionamento de seções de concreto armado, a NBR 6118
(ABNT, 2004) recomenda o diagrama parábola-retângulo para descrever a relação
tensão x deformação no concreto na região comprimida e despreza-se a
contribuição do concreto para a resistência à tração. As tensões negativas são
consideradas de compressão como mostra a Figura 3.1, de onde se têm,
cdc
σ
σ
−= se
2cccu
ε
ε
ε
−
≤
≤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
22
2
c
c
c
c
cdc
ε
ε
ε
ε
σσ
se
0
2
≤
≤
−
cc
ε
ε
0=
c
σ
se
0≥
c
ε
( 3.1)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
43
sendo,
00
0
5,3=
cu
ε
00
0
2
2
=
c
ε
cdcd
f85,0=
σ
cckcd
ff
γ
=
( 3.2 )
c
ε
é a deformação no concreto,
c
σ
é a tensão de compressão,
cd
f
é o valor de
cálculo da resistência à compressão,
c
γ
é o coeficiente de minoração ( 4,1=
c
γ
) e
ck
f
é o valor característico da resistência à compressão.
c
ε
c
σ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
22
2
c
c
c
c
cdc
ε
ε
ε
ε
σσ
cd
σ
−
2c
ε
−
cu
ε
−
Figura 3.1 – Diagrama tensão-deformação de cálculo do concreto.
Para os aços, a mesma norma recomenda usar (Figuras 3.2):
sss
E
ε
σ
=
se
yds
εε
≤
ydss
fsign )(
ε
σ
=
se
yds
εε
>
( 3.3)
onde
s
σ
é a tensão normal no aço;
s
ε
é a deformação no aço;
yd
ε
é a deformação
de escoamento de cálculo do aço;
yd
f é a tensão de escoamento de cálculo do
aço;
s
E é o modulo de elasticidade transversal do aço e
(
)
xsign é a função que
retorna o sinal da função dada (se
0≥x a função retorna +1, caso contrário, ela
retorna -1).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
44
s
ε
s
σ
yd
f
−
yd
ε
−
cu
ε
−
yd
ε
su
ε
Figura 3.2 - Diagrama tensão-deformação de cálculo do aço classe A.
Para a análise da resposta da estrutura em termos de esforços internos
solicitantes, deve-se trabalhar com os valores médios das resistências, ou seja,
substitui-se o
cd
f
pelo seu valor médio,
cm
f
, e o
yd
f
pelo seu valor médio,
ym
f
.
Os coeficientes de ponderação das ações são iguais os recomendados pela
NBR 6118 (ABNT, 2004). Para o cálculo dos esforços internos resistentes segue-
se também a NBR 6118.
3.2.3.
Deformação axial e curvatura
O sistema de coordenadas de referência dos elementos adotado está
representado na Figura 3.3, considerando-se que o carregamento aplicado atua no
plano
x-y permanecendo neste plano após a deformação.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
45
x
y
l
z
•
Figura 3.3 – Sistema de coordenadas de referência dos elementos finitos.
As componentes de deslocamento finais de P0 nas direções x e y são u e v, e
as componentes de deslocamento finais de P nas direções
x e y são u
x
e u
y
(Figura
3.4).
Figura 3.4 – Configuração deformada de um trecho de elemento.
Com base na hipótese de Navier-Bernoulli e das rotações moderadas, a
equação que descreve
x
ε
devida ao campo de deslocamentos pode ser escrita
como
x
v
y
x
v
x
u
x
2
2
2
2
1
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
ε
( 3.4 )
ou
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
46
χ
ε
ε
y
x
−
=
0
2
0
'
2
1
' vu +=
ε
''v=
χ
( 3.5 )
onde
0
ε
é a deformação axial;
χ
é a curvatura; ()’ e ()’’ significam as derivadas
de primeira e segunda ordens em relação a x.
3.2.4.
Esforços internos no elemento
Na formulação adotada por Melo (2000b) obtêm-se as equações de
equilíbrio não-lineares para o pórtico obtidas pelo principio dos trabalhos virtuais.
Os esforços internos para o equilíbrio são: a força normal
N; a resultante das
tensões do concreto e do aço; e o momento
M, resultante dos momentos
produzidos pelas tensões internas do concreto e do aço em relação ao centróide da
seção transversal. Utilizando-se as convenções de sinais da Figura 3.5, tem-se:
∫∫ ∫∫
++==
mmc
AA
mSSmSSmSImSIXX
AAdAdAN
,
,,,,
σσσσ
∫∫ ∫∫
−−−=−=
mmc
AA
mSSmSSmSSmSImSImSIXX
AyAydAydAyM
,
,,,,,,
σσσσ
( 3.6)
Os esforços das Equações (3.6) são definidos para uma seção qualquer do
elemento finito
m. Assim, tem-se A
SI,m
, A
SS,m
para as armaduras longitudinais
inferior e superior, A
c,m
para a área de concreto,
σ
SI,m
,
σ
SS,m
para as tensões nas
armaduras longitudinais inferior e superior e y
SI,m
, y
SS,m
para as ordenadas que
distam do centro de gravidade da seção de concreto até o centro de gravidade das
armaduras longitudinais inferior e superior, respectivamente.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
47
x
y
sentidos positivos
N
N
M
M
Q
Q
Figura 3.5 – Convenção de sinal para esforços no elemento.
3.2.5.
Equação de equilíbrio
O problema de solução das equações de equilíbrio não-lineares (Eq. 3.7) é
resolvido de forma incremental pelo método de Newton-Raphson
0
=
−=Ψ PF
(3.7)
sendo F o vetor das forças nodais internas da estrutura e P o vetor das forças
nodais externas. O problema possui neq equações não-lineares, sendo neq o
número de graus de liberdade da estrutura.
O processo iterativo utiliza incrementos de deslocamento (Eq. 3.8) até que
as forças desequilibradas se anulem (
0
≅
Ψ
). Assim têm-se as equações de
equilíbrio incrementais.
)1()()1( ++
Δ+=
kkk
uuu
(3.8)
(
)
(
)
PuFu
kk
−=Ψ
)()(
(
)
(
)
(
)
kkk
T
uuuK Ψ−=Δ
+ )1()(
( 3.9)
Onde
()
)(
)(
ku
k
T
u
F
uK
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=
( 3.10)
sendo
(
)
)(k
T
uK a matriz de rigidez tangente e
(
)
(
)
k
uΨ o vetor de forças
desequilibradas da estrutura.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
48
3.2.6.
Modelos de elementos finitos
Para a discretização da estrutura foram implementados por Melo (2000b)
dois modelos de elementos finitos.
Para ambos os modelos, os deslocamentos
u e v são aproximados em função
de deslocamentos nodais locais generalizados
{
}
T
v
T
u
T
qqq =
.
v
T
v
u
T
u
qv
qu
φ
φ
=
=
( 3.11)
O primeiro modelo utilizado tem os deslocamentos axial e transversal
aproximados por polinômios lineares e cúbicos, respectivamente. As funções de
interpolação generalizada são dadas por:
{
}
ξξφ
−= 1
T
u
{
}
)1()23()1()1)(21(
2222
ξξξξξξξξφ
−−−−−+= ll
T
v
( 3.12)
onde
lx=
ξ
é a coordenada adimensional. Com relação aos deslocamentos
nodais generalizados
q, para este modelo tem-se
{}
{}
2211
21
θθ
vvq
uuq
T
v
T
u
=
=
( 3.13)
O segundo modelo utilizado tem os deslocamentos axial e transversal
aproximados por polinômios quadráticos e cúbicos, respectivamente. As funções
de interpolação generalizada são dadas por:
{
}
)1(4)12(231
2
ξξξξξξφ
−−+−=
T
u
{
}
)1()23()1()1)(21(
2222
ξξξξξξξξφ
−−−−−+= ll
T
v
( 3.14)
para os deslocamentos nodais generalizados
q, deste modelo, tem-se,
{}
{}
2211
321
θθ
vvq
uuuq
T
v
T
u
=
=
( 3.15)
Através das funções de interpolação, definem-se a matriz de rigidez
tangente do elemento (
k
T
) e o vetor de forças nodais internas no elemento (f), para
os dois modelos implementados.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
49
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=
q
f
k
T
( 3.16)
dx
dq
M
dq
v
dq
v
dq
v
N
dq
N
dq
v
dq
u
k
m
l
mm
T
mm
T
mmm
m
T
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
′′
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
∂
′
∂
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
∂
+
′
∂
=
( 3.17)
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
′′
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
′
∂
′
+
∂
′
∂
=
m
l
m
dx
q
v
M
q
v
v
q
u
Nf
( 3.18)
Assim, a matriz de rigidez tangente da estrutura (
K
T
) e o vetor de forças
nodais internas da estrutura (
F), para os dois modelos implementados são:
()
∑
=
=
nel
m
m
m
T
T
mT
TkTK
1
( 3.19)
()
∑
=
=
nel
m
m
T
m
fTF
1
( 3.20)
onde
T
m
T
é a transposta da matriz de transformação do elemento m que é definida
a partir das relações geométricas entre os deslocamentos generalizados do
elemento (
q) nos eixos locais xy e os deslocamentos generalizados da estrutura
nos eixos globais
XY.
66
100000
0cos000
000100
0000cos
0cos000
0000cos
x
sen
sen
sen
sen
T
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
( 3.21)
A Figura 3.6 mostra os eixos globais XY, os eixos locais xy e os graus de
liberdade globais para cada modelo de elemento finito utilizado.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
50
x
y
2
u
1
u
1
θ
2
θ
1
v
2
v
1
2
l
(a)
Y
X
x
y
2
u
1
u
1
θ
2
θ
1
v
2
v
1
2
l
3
3
u
(b)
Figura 3.6 – (a) Modelo 1 e (b) modelo 2 com seus respectivos eixos de referência e
graus de liberdade locais.
3.3.
Cargas críticas
Para um elemento reto de concreto armado submetido à flexo-compressão,
verifica-se que, sob a ação de carregamento crescente, podem ser alcançados dois
tipos diferentes de falha, impossibilitando sua utilização:
• ruptura do material, que ocorre quando algum dos critérios de falha
do material é violado em algum ponto da estrutura;
• colapso por instabilidade do elemento ou da estrutura, que se
caracteriza pela perda de equilíbrio.
Buscando estimar o coeficiente de colapso da estrutura para ambos os casos,
Melo (2000b) apresenta a análise da carga crítica de instabilidade (
λ
*
) e o cálculo
da carga crítica de ruína por falha do material (
λ
r
).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de pórticos planos de concreto armado
51
a
M
•
Deslocamentos
= Momento fletor
Ruína por ruptura
a
M
•
Deslocamentos
= Momento fletor
Ruína por instabilidade
•
Ruína por ruptura
(a) (b)
Figura 3.7 – (a) Ruína por ruptura e (b) ruína por perda de estabilidade.
Na Figura 3.7(a) visualiza-se um exemplo onde uma seção de concreto
armado submetida à flexo-compressão monotonicamente falha por não atender o
critério de resistência (
r
λλ
≥
*
), e na Figura 3.7(b) a estrutura atinge o colapso por
instabilidade antes de ocorrer a falha por não atender o critério de resistência
(
r
λλ
<
*
).
Neste trabalho é utilizado o algoritmo implementado por Melo (2000b) que
executa uma busca de ordem zero para a determinação da carga crítica, baseada na
inspeção do sinal do determinante da matriz de rigidez tangente. Partindo-se de
λ
0
, executa-se o procedimento de bissecção até determinar o intervalo que contém
o valor crítico e, em seguida, faz-se uma busca pelo método da seção áurea até
identificar
λ
*
. Verificações nas seções de extremidade dos elementos são
realizadas durante o processo para constatar se houve falha no critério de
resistência das seções.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
4
Análise de confiabilidade de estruturas
Nos primórdios da engenharia civil, o desconhecimento técnico-científico
conduzia a projetos excessivamente seguros, mas em contrapartida de custo muito
elevado. Hoje em dia, o progresso científico nos permite projetar estruturas
confiáveis e econômicas.
Na teoria da confiabilidade de estruturas, muitas técnicas eficientes têm sido
desenvolvidas nos últimos 30 anos para se estimar a confiabilidade. Dentre elas
têm-se, principalmente, o método de confiabilidade de primeira ordem (First
Order Reliability Method, FORM) e o método de confiabilidade de segunda
ordem (Second Order Reliability Method, SORM) (Melchers, 2002). O FORM
propicia, na maioria dos problemas, uma precisão satisfatória com um tempo de
análise computacional reduzido quando comparado a outros métodos, o que
justifica sua larga utilização nas mais diversas aplicações de projeto, como por
exemplo neste trabalho. São considerados dois tipos de variáveis:
1. Variáveis determinísticas x: são as incógnitas do problema de
dimensionamento ótimo. Elas formam o vetor que representa os
parâmetros de controle do sistema, sendo elas as dimensões
geométricas da estrutura e as áreas transversais de aço longitudinal e
transversal (vide seção 5.3.1);
2. Variáveis randômicas u: essas variáveis representam as incertezas
associadas à estrutura, sendo as propriedades mecânicas dos
materiais e as ações externas. São identificadas por suas
distribuições e por seus parâmetros probabilísticos. Em conjunto
com o vetor x, elas são usadas no processo de otimização baseado
em confiabilidade (Vide seção 6.5).
No FORM, a análise de confiabilidade requer a identificação das
distribuições e dos parâmetros probabilísticos de cada variável aleatória. Sendo
assim, é necessário compreender cada um destes parâmetros para que haja uma
boa caracterização das variáveis aleatórias que compõem o problema.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
53
4.1.
Conceitos básicos de probabilidade
Há dois tipos de experimentos: determinísticos e não-determinísticos.
Quando os resultados dos experimentos de um determinado fenômeno são
previsíveis, o fenômeno é chamado de determinístico. Caso contrário, se os
resultados dos experimentos não forem previsíveis, o fenômeno é chamado de
aleatório ou não-determinístico. Neste último caso, cada experimento deve ser
associado a um valor de probabilidade de ocorrência do evento relacionado ao
fenômeno em observação.
Usualmente uma função densidade de probabilidade
)(xf
X
, é identificada
por PDF (Probability Density Function). Sendo expressa matematicamente em
(4.1) a probabilidade da variável X assumir valores entre a e b.
∫
=≤≤
b
a
X
dxxfbXaP )()(
( 4.1)
onde X é a variável aleatória (randômica). Para que
)(xf
X
seja considerada uma
PDF ela deve satisfazer as seguintes condições:
•
0,0)( ≥xf
X
para qualquer x ;
•
0,1)( =
∫
∞
∞−
dxxf
X
;
•
)()( bXaPdxxf
b
a
X
≤≤=
∫
.
( 4.2)
A função cumulativa de probabilidades (Cumulative Distribution Function,
CDF),
)(xF
X
, é definida por:
•
0,0)( =−∞
X
F ;
•
0,1)(0 ≤≤ xF
X
;
•
0,1)( =∞
X
F
.
( 4.3)
Existem muitas funções teóricas que satisfazem as condições descritas para a
PDF e para a CDF. A escolha de uma delas para representar um determinado
fenômeno (ou variável) depende, basicamente, de se fazer ajustes em relação aos
dados coletados. A PDF que mais se aproximar do histograma que representa os
dados coletados para a variável, será utilizada para representá-la na análise.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
54
4.1.1.
Parâmetros de uma variável aleatória
A operação matemática que é utilizada para a obtenção da expectância é a
integração ponderada de uma variável randômica. A expectância de uma função
de uma variável randômica é:
∫
+∞
∞−
≡ dxxfxgXgE
x
)()()(
( 4.4)
onde g(x) é a função da variável randômica e f
x
(x) é a PDF de X. Como se pode
observar pela Eq. (4.4) a expectância de uma função de uma variável randômica é
a integral do produto de g(x) por f
x
(x).
A principal expectância é conhecida como média ou valor esperado
(primeiro momento) de uma variável aleatória X e é obtida com g(x) = X:
∫
∞
∞−
==
Xx
dxxxfXE
μ
)()(
( 4.5)
Outras expectâncias importantes de uma função de uma variável randômica
são:
1.
o valor quadrado médio (segundo momento) de uma variável
randômica,
∫
+∞
∞−
≡ dxxfxXE
x
)(
22
( 4.6)
2.
a variância (segundo momento em torno da média ou segundo
momento central) de uma variável randômica é definida como
()() ()
∫
+∞
∞−
−=−=−≡
2
2
22
)()(
XxXX
XEdxxfxXEXVar
μμμ
( 4.7)
3.
o desvio padrão da variável randômica é definido como
)(XVar
X
+=
σ
( 4.8)
O coeficiente de variação, δ, de X é expresso pelo desvio padrão dividido
pela média:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
55
X
X
μ
σ
δ
=
( 4.9)
Por convenção, δ é adotado sempre positivo, mesmo que a média venha a
ser negativa.
A expectância também pode ser aplicada a mais de uma variável randômica.
Assim, a expectância de uma função de várias variáveis randômicas g(x
1
,x
2
,...,x
n
)
é definido como
∫∫
∞+
−∞=
∞+
−∞=
≡
xn
nnxn
x
n
dxdxdxxxxfxxxg
XXXgE
………
…
212121
1
21
),,,(),,,(
),,,(
( 4.10)
Quando se fala de expectância de duas variáveis randômicas, existem dentre
elas algumas que são freqüentemente úteis, tais como:
1.
o valor esperado do produto de duas variáveis randômicas X
j
e X
k
é
∫∫
+∞
∞−=
+∞
∞−=
≡
k
kj
j
x
kjkjxxkj
x
kj
dxdxxxfxxXXE ),(
,
( 4.11)
onde de f
xj,xk
(x
j
, x
k
) é a PDF conjunta de X
j
e X
k
;
2.
quando existirem duas variáveis randômicas, existirão várias medidas
estatísticas que podem ser usadas para capturar como as duas
variáveis randômicas se movem juntas através do tempo. As duas
mais largamente usadas são a correlação (coeficiente de correlação) e
a covariância. A covariância fornece uma medida não padronizada do
grau no qual elas se movem juntas, e é estimada tomando o produto
dos desvios da média para cada variável em cada período. Assim, a
covariância entre X
j
e X
k
é definida como
()( )
(
)
∫∫
∞+
∞−=
∞+
∞−=
−−=
−=−−≡
k
kj
j
x
kjkjxxkkjj
x
kjkjkkjjkj
dxdxxxfxx
XEXEXXEXXEXXCov
),())((
,
μμ
μμ
( 4.12)
∫∫
+∞
∞−=
+∞
∞−=
≡≡
k
kj
j
x
kjkjxxj
x
jj
dxdxxxfxXE ),(
,
μ
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
56
∫∫
+∞
∞−=
+∞
∞−=
≡≡
k
kj
j
x
kjkjxxk
x
kk
dxdxxxfxXE ),(
,
μ
3.
o coeficiente de correlação estabelece um índice de relação linear
entre duas variáveis aleatórias e pode ser representado
matematicamente por,
(
)
XkXj
kj
kj
XXCov
σσ
ρ
,
=
( 4.13)
onde
σ
Xj
e
σ
Xk
são os desvios padrões das variáveis randômicas.
O coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias tem seu valor
sempre dentro do intervalo (
11
≤
≤
−
kj
ρ
) como pode ser visualizado na Figura
4.1 e classificado verbalmente pela Tabela 4.1.
x
y
•
•
•
•
•
•
x
y
•
•
•
•
•
•
x
y
•
•
•
•
•
•
•
1
,
=
YX
ρ
0
,
=
YX
ρ
1
,
−=
YX
ρ
x
y
•
•
•
•
•
•
10
,
<<
YX
ρ
•
•
•
Figura 4.1 – Representação gráfica do coeficiente de correlação.
Intervalo do ρ
Grau de dependência
0,0 à 0,3 Baixo
0,3 à 0,5 Médio
0,5 à 0,7 Importante
0,7 à 0,9 Forte
0,9 à 1,0 Muito Forte
Tabela 4.1 – Grau de dependência de correlação entre variáveis (Soares e Venturini,
2001).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
57
Quando ρ
j k
= 0 diz-se que as variáveis aleatórias são estatisticamente
independentes ou não-correlacionadas, pois suas características estatísticas não se
alteram devido à presença de uma outra variável, ou seja, a realização de uma
variável não depende ou influi na realização da outra variável. A maioria das
variáveis da análise de estruturas pertence a este grupo.
4.1.2.
Distribuições probabilísticas
Todas as funções que atendam às condições estabelecidas em (4.2) para uma
função PDF podem ser usadas como distribuição de probabilidades. Buscando-se
que a PDF represente estatisticamente da melhor forma possível um determinado
fenômeno, as mais diversas distribuições podem ser utilizadas. Nas diversas
bibliografias (Hart, 1982; Nowak, 2000; JCSS
3
, 2000; JCSS
2
, 2001; Melchers,
2002) são apresentadas várias funções de distribuição de probabilidades que
podem ser utilizadas na prática da engenharia, tais como:
• Distribuição normal ou Gaussiana;
• Distribuição lognormal;
• Distribuição exponencial;
• Distribuição de Rayleigh;
• Distribuição uniforme;
• Distribuição Tipo I (máximos extremos) ou Gumbel;
• Distribuição Tipo I (mínimos extremos);
• Distribuição Tipo II (máximos extremos);
• Distribuição Tipo III (mínimos extremos) ou Weibull;
• Distribuição Gamma;
• Distribuição Beta.
No Apêndice B são apresentados mais detalhes com relação às principais
distribuições de probabilidades.
4.1.3.
Função densidade de probabilidade conjunta
Em análises onde se tenha duas ou mais variáveis aleatórias, é necessário
estabelecer o comportamento conjunto destas variáveis. Para a compreensão deste
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
58
comportamento de dependência, será empregada aqui a descrição para duas
variáveis aleatórias dependentes entre si, X e Y. Contudo, estes mesmos conceitos
se estendem para um número qualquer de variáveis aleatórias.
Através da PDF conjunta,
f
X,Y
(x,y), das variáveis aleatórias dependentes
entre si, X e Y, determina-se a CDF conjunta de probabilidades, por:
∫∫
∞−∞−
=≤≤=
ab
YXYX
dydxyxfbYaXPbaF ),(),(),(
,,
( 4.14)
onde a PDF conjunta das variáveis aleatórias deve satisfazer as condições
seguintes:
•
0,0),(
,
≥yxf
YX
para qualquer x e y;
• 0,1),(
,
=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dydxyxf
YX
;
• ),(),(
,
dYcbXaPdydxyxf
b
a
YX
d
c
≤≤≤≤=
∫∫
.
( 4.15)
4.2.
Estado limite
O conceito de um estado limite relacionado à confiabilidade de estruturas
pode ser definido como o limite entre um desempenho aceitável ou não aceitável
da estrutura. Este limite é representado matematicamente por uma função de
comportamento ou função de estado limite.
A função de falha pode representar vários estados limites que
impossibilitem a utilização de uma determinada estrutura, onde tradicionalmente
cada modo de falha pode ser considerado separadamente e, assim, pode-se definir
para cada modo um estado limite específico.
Três tipos de estados limites podem ser considerados, segundo a NBR 6118
(ABNT, 2004):
1.
Estados limites últimos (ELU) – correspondem ao esgotamento da
capacidade resistente da estrutura como um todo ou de parte da mesma.
Podem-se citar alguns exemplos de modos de falha:
• Perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido;
• Esgotamento, total ou parcial, da capacidade resistente da
estrutura, devido às solicitações normais, tangenciais e efeitos de
segunda ordem.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
59
2. Estados limites de serviço (ELS) – caracterizam a não recomendação de
utilização da estrutura, mesmo que não tenha sido esgotada a capacidade
resistente da mesma. Alguns exemplos de modos de falha são:
• Estado limite de formação de fissuras – estado em que se inicia a
fissuração;
• Estado limite de abertura de fissuras – estado em que as fissuras se
apresentam com aberturas iguais aos máximos valores
especificados. Quando ultrapassado pode possibilitar corrosão da
armadura, penetração de agentes externos e perda irreversível de
resistência da seção de concreto;
• Estado limite de deformações excessivas – estado no qual os
limites de deformação estabelecidos para utilização normal da
estrutura são atingidos;
• Estado limite de vibrações excessivas – estado no qual as vibrações
atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da
construção.
3.
Estados limites de fadiga (ELF) – estão relacionados com o acúmulo de
danos à estrutura devido à atuação de cargas cíclicas que geram um
mecanismo que envolve a formação e a propagação de fissuras até o
colapso da estrutura. O ELF ocorre nas barras de aço inseridas no
concreto, particularmente naquelas sob tração.
4.2.1.
Função de falha (função de comportamento ou função de estado
limite)
As funções de comportamento ou de estado limite são formuladas utilizando
equações fornecidas em normas que descrevem os diversos estados limites.
Tomando como exemplo a seção de uma viga que esteja submetida a um
momento fletor devido a cargas externas, para se garantir que a capacidade
resistente da seção não seja ultrapassada (condição R>S, também conhecido como
problema básico) pode-se estabelecer a seguinte função de falha:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
60
SRSRG
−
=
),(
( 4.16)
onde R representa a capacidade resistente da seção e S o esforço solicitante na
seção.
Considerando inicialmente as variáveis no espaço original
U, sendo R e S
variáveis independentes com distribuições normais (Figura 4.2a), é possível obter
as variáveis normais reduzidas (padrão, ou seja, com média zero e desvio padrão
unitário), r e s:
R
R
R
r
σ
μ
−
=
( 4.17)
S
S
S
s
σ
μ
−
=
( 4.18)
No espaço das variáveis reduzidas,
V (ou seja, com média zero e desvio
padrão unitário, Figura 4.2b) a função de falha G(V) pode ser escrita como:
SSRR
srVG
μ
σ
μ
σ
−
−
+
=)(
( 4.19)
onde σ e μ são o desvio padrão e a média das variáveis randômicas,
respectivamente.
R
S0
G(R,S) = 0
Superfície de falha
G(R,S) < 0
G(R,S) > 0
Região segura
Região de falha
Ponto de
Projeto
r
s
0
G(r,s) = 0
Superfície de falha
G(r,s) < 0
d
G(r,s) > 0
PDF
conjunta
PDF
Conjunta
f
R,S
Média
f
r,s
(r,s)
(a) (b)
(R,S)
Figura 4.2 – Representação da superfície de falha na PDF conjunta: (a) espaço original
U; (b) espaço reduzido V.
A função de falha delimita o limite desejável e não desejável de tensões na
seção (G=0). Desta forma, quando G
≥ 0 a estrutura está segura ou atende ao
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
61
critério de comportamento desejado, já quando G < 0 a estrutura não está segura
ou não atende ao critério de desempenho desejado. A probabilidade de falha (P
f
) é
dada pela probabilidade de ocorrer G < 0, e é representada da seguinte forma:
)0()0(
<
=
<
−= GPSRPP
f
( 4.20)
A Figura 4.2 mostra, para o caso de duas variáveis aleatórias normais,
independentes e contínuas (R e S), a superfície de falha (definida por G = 0), o
espaço seguro (dado por G > 0) e o espaço de falha (definido por G < 0). A área
hachurada representa a região onde a função de comportamento assume valores
menores do que zero. Na Figura 4.2 os círculos representam valores constantes da
função PDF, f
R,S
(R,S), e d a menor distância de G(r,s)=0 até a origem.
Pode-se descrever o exemplo anterior de uma forma mais geral fazendo
u={X
1
, X
2,...,
X
n
} como o vetor das variáveis randômicas que pode representar os
parâmetros de resistência, cargas, dimensões e outros. Logo, a função de
comportamento fica G(X
1
, X
2,...,
X
n
) dependente do vetor u.
4.3.
Índice de confiabilidade
Na Figura 4.2b é mostrada a superfície de falha do problema básico
G(r,s) = G(V) = 0 no espaço das variáveis reduzidas. Através da geometria
analítica é fácil demonstrar que a distância da reta G(V)=0 até a origem, no
espaço das variáveis reduzidas é igual a:
22
SR
SR
d
σσ
μμ
+
−
=
( 4.21)
que é também conhecido como índice de confiabilidade,
β
. Portanto, a distância
do ponto sobre a superfície de falha mais próximo a origem é o próprio índice de
confiabilidade.
Deve ser observado que o ponto sobre a superfície de falha mais próximo à
origem é também o ponto sobre a reta com maior probabilidade de ocorrência, ou
seja, o ponto com maior valor de função PDF, f
R,S
(R,S) sobre a superfície de falha.
Este ponto é chamado de ponto de projeto ou ponto mais provável de falha (MPP-
Most Probable Point).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
62
Estendendo-se para um número n qualquer de variáveis aleatórias normais
estatisticamente independentes X
i
= N(μ
i
, σ
i
), usando X
i
para identificar as
variáveis aleatórias envolvidas na análise e x para suas correspondentes variáveis
reduzidas, caso G(u) seja uma função linear das variáveis X
i
tem-se:
()
∑
=
+=
n
i
ii
XaauG
1
0
( 4.22)
onde a
i
são as constantes. Assim, o índice confiabilidade é representado como
∑
∑
=
=
+
=
n
i
ii
n
i
ii
a
aa
1
22
1
0
σ
μ
β
( 4.23)
Uma outra forma de interpretação e obtenção de
β
é encontrada na
literatura. Tomando-se novamente o
problema básico G(u)=R - S, como uma
combinação linear de duas variáveis randômicas normais padrão independentes.
Assim,
G(u) é considerada uma função de variáveis aleatórias normais
independentes, para a qual é possível mostrar que:
SRuG
μ
μ
μ
−
=
)(
( 4.24)
SR
uG
22
)(
σσσ
+=
( 4.25)
sendo
SRuG
μ
μ
μ
,,
)(
,
SRuG
σ
σ
σ
,,
)(
as médias e os desvios padrões das variáveis
aleatórias e da função de comportamento. Desta forma, pode-se determinar a
probabilidade de falha como,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ=≤=
)(
)(
)0.0)((
uG
uG
f
k
uGPP
σ
μ
( 4.26)
onde Φ é a função cumulativa da distribuição normal padrão. Fazendo
k = G(u) = 0 obtém-se a probabilidade da função de falha ser violada.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
63
Seguro
Falha
)(uG
)(
)(
uf
uG
f
P
0
)(uG
μ
)(uG
β
σ
0)( <uG 0)( >uG
Figura 4.3 – Margem de segurança.
A Figura 4.3 mostra a representação gráfica do índice de confiabilidade,
β
, e
da probabilidade de falha, P
f
. Assim tem-se:
SR
SR
uG
uG
22
)(
)(
σσ
μμ
σ
μ
β
+
−
⇒=
( 4.27)
duufP
uG
uGf
∫
≤
=
0)(
)(
)(
( 4.28)
Observa-se, portanto, que o índice
β
mede a distância entre o valor médio de
G(u) e a origem (ponto zero) em unidades de desvios padrões de G(u). Para uma
função qualquer, o método FORM aproxima G(u) por um hiperplano que passa
pelo MPP e é tangente a G(u) nesse ponto, permitindo assim o cálculo
aproximado de β pela Equação (4.27), ou seja, os valores calculados da média e
da variância de G(u) são aproximados devido à linearização da função.
A avaliação da Equação (4.28) para o problema básico (R, S) pode ser obtida
exatamente. De uma forma geral, a função G(u) pode não ser linear e conter várias
variáveis randômicas, ou seja, conduzindo a uma função PDF conjunta de
múltiplas variáveis randômicas e correlacionadas, f
G(u)
(u), no espaço original U.
Tal integral n-dimensional (n é o número de variáveis randômicas) num domínio
complexo (G(u) ≤ 0) é de difícil obtenção e muitas vezes dispendiosa
computacionalmente. Por isso costuma-se calcular o índice de confiabilidade
β
no
espaço reduzido V (espaço normal padrão) e correlacioná-lo com a probabilidade
de falha (métodos de segundo momento), P
f
(Eq. (4.29) e Tabela 4.2).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
64
)()(
1
ββ
−Φ=Φ−=
−
ff
PouP
( 4.29)
Com o objetivo de obter o índice de confiabilidade,
β
, para as mais variadas
distribuições e funções de desempenho com variáveis dependentes ou não, foram
elaborados vários métodos ao longo das ultimas décadas. Entre eles destacam-se
por sua relativa eficiência e simplicidade os métodos de segundo momento
(Second-Moment Methods, FORM e SORM). Como já mencionado, o método
FORM que é um método de segundo momento de primeira ordem, lineariza a
função de comportamento no ponto de projeto. O termo segundo momento se
deve à necessidade somente da utilização das médias e das variâncias.
P
f
β
10
-1
1,28
10
-2
2,33
10
-3
3,09
10
-4
3,71
10
-5
4,26
10
-6
4,75
Tabela 4.2 – Relação entre Índice de confiabilidade
β
e probabilidade de falha P
f
.
4.3.1.1.
Índices de confiabilidade relacionados à vida do projeto
As normas brasileiras ainda não regulamentaram a verificação dos níveis de
confiabilidade requeridos para as estruturas. Entretanto, o CEN (2001) define, três
níveis de classes de conseqüência, para a análise de confiabilidade. A Tabela 4.3
estabelece valores mínimos de índices de confiabilidade relacionados com as
classes de conseqüências e confiabilidade para os estados limites últimos (ELU) e
os estados limites serviço (ELS). Além disso, são feitas correspondências com os
períodos de referência de um e 50 anos. Por exemplo, para uma estrutura
pertencente à classe de conseqüência CC2 e considerando o ELU com um período
de referência de 50 anos tem-se β = 3,8 (Tabela 4.3), ou seja, estima-se que haverá
uma probabilidade de falha máxima de P
f
= 7,2x10
-5
em 50 anos.
Muitas vezes as análises de estruturas civis de concreto armado são
consideras pertencentes à classe de conseqüência CC2. Esta classe corresponde a
conseqüências médias para a perda de vidas humanas, econômicas, sociais ou
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
65
consideráveis conseqüências ambientais, sendo aplicável a escolas, residências,
hotéis e etc.
Valores de
β
ELU ELS
Classe de
Conseqüências
Classe de
Confiabi-
lidades
1 ano de
período de
referência
50 anos de
período de
referência
1 ano de
período de
referência
50 anos de
período de
referência
CC3 RC3 5,2 4,3 - -
CC2 RC2 4,7 3,8 2,9 1,5
CC1 RC1 4,2 3,3 - -
Tabela 4.3 – Classes de conseqüências e confiabilidade, e valores de índices de
confiabilidade (JCSS
1
, 2000; CEN, 2001; Gulvanessian et al., 2002).
4.4.
Método de simulação de Monte Carlo (MC)
O método de MC surgiu oficialmente, no ano de 1949, com o artigo The
Monte Carlo Method de autoria dos matemáticos John Von Neumann e Stanislaw
Ulam. Este método de cálculo de probabilidade, que se baseia em simulações
aleatórias, é um dos mais antigos do gênero, sendo de fácil compreensão física e
amplamente utilizado pelos engenheiros. Este método apresenta boa precisão e é
de fácil implementação computacional, não exigindo maiores conhecimentos
matemáticos.
Como o próprio nome indica, o método de simulação de MC envolve a
geração de um grande número de valores randômicos para cada variável aleatória.
Com estes valores, a função de comportamento é avaliada e assim observados
seus resultados. No caso da análise da confiabilidade de estruturas, isto quer dizer
que cada variável randomicamente gerada vai formar um vetor
u
i
={X
1
, X
2,...,
X
n
}
de variáveis randômicas. A função de comportamento é então avaliada G(u
i
), se
ela for violada (i.e. G(u
i
)≤ 0), a estrutura ou o elemento não satisfez às condições
mínimas exigidas. Assim o experimento é repetido muitas vezes e em cada vez
um novo vetor
u
i
={X
1
, X
2,...,
X
n
} é gerado. Finalmente, se um número N de
experimentos são feitos, a probabilidade de falha é dada aproximadamente por:
(
)
N
uGn
P
i
f
0)( ≤
≈
( 4.30)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
66
onde n(G(u
i
)
≤
0) é o número de vezes que a função de comportamento teve
valores G(u
i
)
≤
0 e N é o número de avaliações da função de comportamento
necessárias para a precisão desejada.
Apesar da simplicidade do método de simulação de MC, o tempo necessário
para a obtenção da probabilidade via MC demanda inúmeras análises da função de
comportamento, ou seja, a sua utilização não é recomendável em problemas de
otimização considerando incertezas, nos quais são utilizados métodos iterativos, o
que conduziria a um número excessivo de análises, inviabilizando o processo.
Para mais detalhes sobre este método podem ser consultadas as seguintes
referências: Hart (1982), Soares e Venturini (2001) e Melchers (2002).
4.5.
Método de confiabilidade de 1ª ordem (FORM)
No método FORM as variáveis aleatórias u, cujas distribuições são
quaisquer, correlacionadas ou não (espaço original
U), são transformadas em
variáveis normais padrões reduzidas e independentes (espaço normal padrão
V). A
função de comportamento
G(U) é escrita em função das variáveis no espaço V
como
G(V). A superfície de falha G(V) = 0,0 é aproximada por uma superfície
linear (ou hiperplano) no ponto com a menor distância até a origem, identificado
como V
*
(ponto de projeto no espaço das variáveis reduzidas ou ponto mais
provável de falha, ‘MPP – Most Probable Point’), que é também o ponto sobre o
hiperplano, cujo valor da função densidade de probabilidade conjunta das
variáveis é maior.
Com a obtenção do ponto, determina-se o índice de confiabilidade (
β
) que é
a distância deste ponto até a origem, calculada pela Eq. (4.31). A probabilidade de
falha (P
f
) pode ser então simplesmente calculada pela Eq. (4.32).
(
)
*
)( VGsign
μβ
=
( 4.31)
()
)()(
β
−Φ≅==
∫
F
Vf
dVVfFPP
( 4.32)
onde, F indica o domínio de falha G(V)< 0, conforme ilustra a Figura 4.4 para um
caso bidimensional (duas variáveis aleatórias),
Φ
é a CDF normal padrão e V
*
é o
ponto de projeto (MPP) no espaço reduzido.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
67
v
2
0
Superfície de falha
v
1
G(v
1
, v
2
) = 0G(v
1
, v
2
) = 0
G(v
1
, v
2
) > 0G(v
1
, v
2
) > 0
Região segura
G(v
1
, v
2
) < 0
Região de falha
d
=
β
FORM
MPP
Superfície de falha aproximada
Figura 4.4 - Função de falha com duas variáveis randômicas no espaço normal padrão
reduzido.
Como se pode observar, a determinação do ponto V
*
(MPP) é um dos passos
fundamentais para a obtenção da probabilidade de falha pelo método FORM. Para
encontrar este ponto, formula-se um problema de otimização P (ou de
programação não-linear) com uma restrição, tal que:
P: minimizar
V
Sujeito a G(V) = 0
( 4.33)
A obtenção do ponto de projeto V
*
, leva a um problema de otimização, que
pode ser resolvido por vários algoritmos. O algoritmo mais usado na análise de
confiabilidade estrutural é o desenvolvido por Hasofer e Lind (1974) e
aprimorado por Rackwitz e Fiessler (1978). Este algoritmo é comumente
identificado como HLRF e é resumido pela seguinte expressão recursiva:
[]
)( )( )(
)(
1
2
1
kkkTk
k
k
GGG
G
VVVV
V
V ∇−∇
∇
=
+
( 4.34)
onde )(
k
G V∇ é o gradiente da função de falha no espaço reduzido e G(V
k
) é o
valor da função de falha, ambos avaliados no ponto V
k
.
Outros algoritmos também são recomendáveis para a avaliação de V
*
, tais
como: programação quadrática seqüencial (PQS) e método do gradiente projetado.
Para a análise de confiabilidade pelo método FORM é necessário um
processo iterativo, como descrito resumidamente a seguir:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
68
1. Escolher um ponto de partida U no espaço original (geralmente o vetor das
médias) e calcular a matriz dos coeficientes de correlação normais
equivalentes;
jiji
UU
E
UU
F
ρρ
=
( 4.35a)
onde
E
UU
ji
ρ
é o coeficiente de correlação equivalente das variáveis aleatórias U
i
e U
j
e F depende do tipo de distribuição de ambas as variáveis (Melchers,
2002);
2.
Calcular as médias e desvios padrões normais equivalentes no ponto de
partida através das expressões
(
)
(
)
{
}
()
k
iU
k
iU
N
U
Uf
UF
i
i
i
1-
=
Φ
φ
σ
( 4.35b)
(
)
(
)
k
iU
N
U
k
i
N
U
UFU
iii
1−
Φ−=
σμ
( 4.35c)
e montar a matriz σ e o vetor
m, com os respectivos desvios padrões e
médias normais equivalentes;
3.
Avaliar a função de falha G(U), o Jacobiano e o gradiente de G(V) no
espaço reduzido através das expressões a seguir,
)( )(
UV GG
=
( 4.35d)
1
J
−
Γ=
σ
( 4.35e)
)( )( )(
1
UJV GG
T
∇=∇
−
( 4.35f)
onde
1−
=Γ L e contém a inversa da matriz triangular inferior, L, obtida da
decomposição de Choleski da matriz dos coeficientes de correlação
normais equivalentes;
4.
Transformar o ponto de partida para o espaço reduzido usando
transformação de Nataf (Melchers, 2002);
m) J(U V
−
=
( 4.35g)
5.
Avaliar o novo ponto
1+k
V através do algoritmo HLRF (Eq. 4.34);
6.
Avaliar o índice de confiabilidade;
(
)
1
)(
+
=
k
VGsign
μβ
( 4.35h)
7.
Avaliar o novo ponto U
k+1
no espaço original através da expressão a
seguir;
(
)
)(
111 kk
T
kk
VVJUU −+=
+−+
( 4.35i)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
69
8. Tomar U
k+1
como novo ponto de partida e repetir os passos 2 a 8 até a
convergência, i.e.,
TOL
V
VV
k
kk
≤
−
+
+
1
1
( 4.35j)
9.
Avaliar a probabilidade de falha pelo método FORM através de:
)(
β
−Φ=
FORM
f
P
( 4.35k)
Entretanto, há casos em que se pode ter mais de uma função de
comportamento, G(
U). Nesses casos há que se efetuar a análise de confiabilidade
de sistemas.
4.6.
Confiabilidade de sistemas
Para o caso onde se têm mais de uma função de falha, verifica-se
inicialmente se o sistema é um sistema em série ou em paralelo. A probabilidade
de falha de cada função de falha pode ser calculada, usando o método FORM,
para cada modo de falha, sendo depois avaliada a probabilidade do sistema falhar
como um todo, considerando a contribuição de todos os modos.
É considerado um sistema em
série quando a falha de um dos seus
componentes significa a falha completa do mesmo e neste caso a probabilidade de
falha do sistema é dada pela probabilidade de qualquer um dos componentes
falhar (Figura 4.5). Esta probabilidade é expressa pela união dos eventos que
representam a falha dos componentes individuais, ou seja:
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
≤=
=
∪
j
i
i
s
f
GPP
1
0.0V
( 4.36)
onde
j é o número de componentes individuais identificados na análise.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
70
v
2
v
1
0
g
2
(V)=0
g
1
(V)=0
β
2
β
1
12
β
1
β
2
Figura 4.5 – Definição de sistema na análise de confiabilidade de estruturas, sistema em
série.
Um sistema é considerado em paralelo quando a falha do mesmo somente
ocorre após a falha de todos os seus componentes (Figura 4.6). A probabilidade de
falha deste sistema é expressa pela intersecção dos eventos que representam a
falha dos componentes individuais:
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
≤=
=
∩
j
i
i
P
f
GPP
1
0.0V
( 4.37)
v
2
v
1
0
g
2
(V)=0
g
1
(V)=0
β
2
β
1
1
β
1
2
β
2
Figura 4.6 – Definição de sistema na análise de confiabilidade de estruturas, sistema em
paralelo.
Outros detalhes são comentados no apêndice A.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
71
4.7.
Determinação dos coeficientes parciais de segurança para um
projeto específico
Em projetos estruturais dimensionados pelo método semiprobabilístico, os
estados limites são verificados utilizando-se certos valores de projeto para as
variáveis. O valor de projeto resulta do produto ou divisão do valor característico
(no sentido mais desfavorável ao projeto) da variável por um coeficiente parcial
de segurança. O valor característico é definido como um valor que, de acordo com
a distribuição de probabilidades da variável, representa um determinado
percentual que pode ser ultrapassado. Esses valores característicos dependem do
tipo de material e da classe da estrutura.
Na determinação dos coeficientes parciais de segurança de uma estrutura
específica, determinam-se, para um estado limite, os valores destes coeficientes
depois de se obter o resultado ótimo, ou seja, após se obter um resultado cujo
valor desejado da probabilidade de falha é alcançado.
Assim, a determinação dos coeficientes parciais de segurança pode ser feita
com a caracterização estatística das variáveis aleatórias do problema e com a
determinação de um valor alvo (ou aceitável) para a probabilidade de falha. Em
seguida determina-se um projeto inicial (dimensões iniciais) e procede-se
iterativamente obtendo novas dimensões e avaliando as respectivas probabilidades
de falha da função de comportamento considerada pelo método FORM, até que se
obtenha um projeto que satisfaça a probabilidade de falha desejada.
Após se chegar ao projeto ótimo e se obter, pelo FORM, o MPP desse
projeto, os fatores parciais de segurança podem ser obtidos em relação a cada
variável aleatória a partir de:
k
i
i
fi
U
U
*
=
γ
( 4.38)
*
i
k
i
mi
U
U
=
γ
( 4.39)
onde
γ
fi
é fator parcial de segurança relacionado às ações impostas à estrutura, γ
mi
é fator parcial de segurança relacionado às resistências dos materiais,
*
i
U
é o valor
correspondente à variável
i no ponto de projeto quando a probabilidade de falha é
alcançada e
k
i
U é o valor característico desta variável.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
72
Vários trabalhos têm sido desenvolvidos nos últimos anos com relação a
este assunto, tais como: Ellingwood (1996), Nowak e Szerszen (2004),
Diniz (2005) e Santos e Eboli (2006).
4.8.
Fator de importância
O fator de importância das variáveis aleatórias para cada função de falha,
Eq. (4.40), é fornecido, também, pelo método FORM, sendo determinado pelo
quadrado da sensibilidade, Eq. (4.41), que é o gradiente da função de
comportamento normalizado no ponto de projeto (
V
*
).
2
ii
I
α
=
( 4.40)
)(
)(
*
*
VG
VG
∇
∇
=
α
( 4.41)
esse fator indica qual o nível de importância de cada variável aleatória para a
obtenção da confiabilidade da estrutura no ponto de projeto.
4.9.
Níveis dos métodos de projeto
De acordo com Soares e Venturini (2001), são mencionados na literatura
quatro níveis para a classificação quanto ao nível do método de projeto de
confiabilidade de uma estrutura:
• Métodos de nível I são métodos de confiabilidade que usam apenas
um parâmetro estatístico (valor médio) para cada variável aleatória
do projeto. Este método também é conhecido por método das tensões
admissíveis;
• Métodos de nível II são métodos de confiabilidade que usam dois
parâmetros estatísticos (valores característicos) para cada variável
aleatória do projeto (média e desvio padrão). Este método também é
conhecido por método semiprobabilístico;
• Métodos de nível III são métodos de confiabilidade que usam como
medida a probabilidade de falha e assumem como conhecidas às
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de confiabilidade de estruturas
73
funções de distribuições probabilísticas das variáveis aleatórias do
projeto;
• Métodos de nível IV são métodos de confiabilidade que buscam a
união da otimização com a estatística, assim sendo, é um projeto
ótimo que leva em consideração as incertezas das variáveis de
interesse.
Através dos níveis citados acima se pode agora classificar este trabalho
como fazendo parte dos métodos de nível IV. Pois o mesmo busca o projeto ótimo
de estruturas planas de concreto armado considerando as incertezas das variáveis
de interesse.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
5
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
5.1.
Introdução
O DDO (Deterministic Design Optimization) é um método de projeto ótimo
baseado no método de projeto semiprobabilístico. No método semiprobabilístico a
segurança é considerada garantida pelo uso de fatores de majoração para as cargas
e de minoração para as resistências. Após a utilização dos fatores de segurança, o
problema de otimização trata as variáveis como determinísticas e busca minimizar
a função objetivo (custo, volume de material, etc.). As variáveis podem estar
sujeitas às restrições de: geometria, segurança, estabilidade, serviço, etc. Este
problema é representado da seguinte forma:
Minimizar f(x)
Sujeito a g
i
(x)
≤
0, i = 1,..., m
h
j
(x) = 0, j = 1,..., n
x
min
≤ x
≤
x
max
( 5.1)
onde x designa o vetor das variáveis de projeto determinísticas, g
i
(x) as restrições
de desigualdade, h
j
(x) as restrições de igualdade e x
min
e x
max
são,
respectivamente, os limites mínimos e máximos para as variáveis de projeto.
Os valores dos fatores de segurança utilizados dependem principalmente das
normas de projeto e, algumas vezes, da experiência do engenheiro.
5.2.
Dimensionamento ótimo de uma seção de concreto armado à
flexão composta reta
Neste trabalho o dimensionamento de um pórtico plano de concreto armado
requer a avaliação dos esforços solicitantes e resistentes nas seções críticas
(seções das extremidades do elemento). A necessidade de obtenção destes
esforços origina um subproblema também dependente das variáveis de projeto (h,
altura da seção; A
ss
e A
si
, armaduras longitudinais; A
sw
, armaduras transversais e
os parâmetros de deformação D). Todas essas variáveis de projeto serão
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
75
detalhadas no próximo item, com exceção dos parâmetros de deformação D que
são tratados neste item.
O critério adotado para o cálculo da resistência de uma seção crítica é o
apresentado por Melo et al. (2004), onde se verifica a capacidade resistente em
problemas de otimização de estruturas constituídas de barras de concreto armado.
O parâmetro D é avaliado através da solução de um problema de maximização
sem restrição do co-seno do ângulo entre os vetores solicitante {V
S
}
T
=[M
S
N
S
] e
resistente {V
R
}
T
=[M
R
N
R
], como mostra a Figura 5.1 e é definido na Eq. (5.2).
Através da maximização do problema exposto na Eq. (5.2), que busca o parâmetro
D para
O
0=
θ
, obtém-se W = 1. Este valor já era esperado, pois o valor máximo
da função é bem conhecido.
),(
***
RR
NMR
)(DM
)(DN
θ
),(
RR
NMR
),(
SS
NMS
sssi
AA >
Figura 5.1 – Envoltória resistente de uma seção (Melo et al. 2004).
Após a determinação das características da seção e dos esforços solicitantes,
o parâmetro de deformação D pode ser obtido através do seguinte problema de
programação matemática sem restrição:
Maximizar
θ
cos)(
=
DW
( 5.2)
{}{}
()()
[]
2
1
2222
SSRR
SRSR
SR
NMNM
NNMM
vvW
++
+
=•=
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
76
onde {v
R
} e {v
S
} são os vetores unitários nas direções dos esforços resistentes e
solicitantes, respectivamente.
Resolvendo-se o problema (5.2), tem-se o parâmetro de deformação
D
*
e os
esforços [
M
R
*
N
R
*
], que definem o vetor apresentado na Figura 5.1. Caso o
módulo par solicitante [
M
S
N
S
] não ultrapasse o módulo do par resistente depois
do alinhamento dos vetores, a seção irá resistir ao par solicitante.
Na Figura 5.2 apresentam-se os domínios de estado limite último de uma
seção transversal, segundo a NBR 6118 (ABNT, 2004), onde ocorre:
1.
Ruptura convencional por deformação plástica excessiva:
• reta a – tração uniforme;
• domínio 1 – tração não uniforme, sem compressão;
• domínio 2 – flexão simples ou composta sem ruptura à
compressão do concreto (
5,30
<
≤
c
ε
%o);
2.
Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto:
•
domínio 3 – flexão simples (seção subarmada) ou composta;
•
domínio 4 – flexão simples (seção superarmada) ou
composta;
•
domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas;
•
domínio 5: compressão não uniforme, sem tração;
•
reta b – compressão uniforme.
h
-3,5%
o
Alongamento
Encurtamento
Domínios
1
-2%
o
10%o
ε
yd
d
d’
2
3
4
4a
5
a
b
Figura 5.2 – Domínios de estado limite último de uma seção transversal.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
77
No problema definido na Equação (5.2) a variável de projeto é o parâmetro
de deformação
D (Eboli, 1989) que define a configuração deformada resistente da
seção. Em Eboli (1989) as deformações das fibras extremas correspondentes aos
domínios definidos na Figura 5.2 são definidas em função do parâmetro
D como
representado pela Figura 5.3.
IS
ε
ε
,
D
26241914
13
12
7
2
0
Domínios da NB-6118
12
43e 54 ea
34e
2
1
FIBRA EXTREMA SUPERIOR
FIBRA EXTREMA INFERIOR
10‰
-2‰
-3.5‰
Figura 5.3 – Funções ε
S
(D) e ε
I
(D).
Neste trabalho é utilizado o parâmetro de deformação D de forma
adimensional, ou seja, o valor de
D varia de zero a um, como adotado em
Melo (2000b). A adimensionalização é feita para se ter mais estabilidade
numérica no algoritmo de solução do problema de otimização. Na Tabela 5.1 são
apresentados os valores limites para o parâmetro de deformação
D utilizados neste
trabalho em cada domínio do ELU, onde
h
é a altura na seção de referência e d’ é
a distância do centro de gravidade da armadura à borda mais próxima da seção.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
78
Domínios Limites
1
27
10
0 ≤≤ D
2
2
1
27
10
≤≤ D
3
(
)
3
105,23
27
1
2
1
×−≤≤
yd
D
ε
4
()
27
5,23
105,23
27
1
3
≤≤×− D
yd
ε
4a
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−≤≤
h
dh
D
'5,3
27
27
1
27
5,23
5
(
)
1
'5,3
27
27
1
≤≤
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
− D
h
dh
Tabela 5.1 – Valores limites para D (Melo et al. 2004).
Para determinação dos esforços resistentes ou para construção da envoltória
da Figura 5.1, que é obtida variando-se o parâmetro D de zero a um, as seguintes
expressões são utilizadas:
∫∫ ∫∫
++==
AAc
sssssisiXXR
ADADdADdADDN )()()()()(
σσσσ
( 5.3)
∫∫ ∫∫
−−−=−=
AAc
sssssssisisiXXR
AyDAyDdAyDdAyDDM )()()()()(
σσσσ
( 5.4)
5.3.
Descrição do problema proposto via método DDO
Neste trabalho é utilizado o algoritmo apresentado por Melo (2000b) com
algumas adaptações para a NBR 6118 (ABNT, 2004) para se obter o projeto
ótimo determinístico, que é descrito a seguir.
5.3.1.
Variáveis de projeto
As variáveis de projeto são contínuas. Elas relacionam-se com cada
elemento do modelo de elementos finitos e são descritas a seguir:
1.
A altura da seção transversal, h. A altura pode assumir diferentes valores
no mesmo vão, mas um único valor no mesmo elemento. O número
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
79
máximo de variáveis correspondentes a (h) é dado quando ele se iguala ao
número de elementos do modelo (ne);
2.
As armaduras longitudinais inferiores e superiores nas seções dos nós de
extremidade. Sendo o número de variáveis igual (Figura 5.4):
•
ao valor de ne para as armaduras inferiores dos nós i (A
si,i
);
•
ao valor de ne para as armaduras inferiores dos nós j (A
si,j
);
•
ao valor de ne para as armaduras superiores dos nós i (A
ss,i
);
•
ao valor de ne para as armaduras superiores dos nós j (A
ss,j
).
Nó i e j representam a extremidade esquerda e direita do elemento,
respectivamente.
3.
A armadura transversal por unidade de comprimento, A
sw
. A
sw
é
considerada constante ao longo do elemento, sendo assim, o número de
variáveis correspondentes é igual ao valor de ne;
4.
Os parâmetros de deformação D, que descrevem as configurações
resistentes no ELU, das seções de extremidades. Sendo, ne variáveis para
os parâmetros D dos nós i (D
i
), e ne variáveis para os parâmetros dos nós j
(D
j
).
O número máximo de variáveis de projeto será 8ne.
(a)
(b)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
(c)
1
2/3
4/5
5/6
7/8
9
Figura 5.4 –Padrões de distribuição da armadura longitudinal (A
ss
e A
si
).
A Figura 5.4 apresenta três padrões de distribuição de armadura longitudinal
possíveis para este trabalho. Ao se igualar as armaduras dentro do elemento, tem-
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
80
se a distribuição mostrada pela Figura 5.4a, ou seja, por exemplo (A
si,i
= A
si,j
). Ao
se igualar as armaduras associadas a um mesmo nó, tem-se a distribuição
mostrada pela Figura 5.4b, ou seja, por exemplo (A
si,i+1
= A
si,j
). Por último o caso
geral, sem vinculação (Figura 5.4c), ou seja, por exemplo (A
si,i
≠
A
si,j
≠
A
si,i+1
).
Na Figura 5.4 os números abaixo de cada item representam um exemplo, onde
uma estrutura é formada por 5 elementos, portanto: na Figura 5.4a tem-se 5
variáveis (A
si
); na Figura 5.4b tem-se 6 variáveis (A
si
) e na Figura 5.4c tem-se 9
variáveis (A
si
).
5.3.2.
Função objetivo
A função objetivo assumida representará o custo total dos materiais do
pórtico e o custo da fôrma. Ela é representada matematicamente por
()
∑∑∑
===
++++=
ne
m
m
ne
m
mfmmmc
ne
m
mstmssmsia
lhClhbCVVVCf
111
,,,
2
( 5.5)
(
)
m
m
jsiisi
msi
l
AA
V
2
,,
,
+
=
( 5.6)
(
)
m
m
jssiss
mss
l
AA
V
2
,,
,
+
=
( 5.7)
(
)
chblAV
mmmmswmst
4
,,
−
+
=
( 5.8)
onde,
ssa
CC
γ
= é o custo do aço por unidade de volume;
C
s
é o custo do aço por unidade de peso;
C
c
é o custo do concreto por unidade de volume;
C
f
é o custo da fôrma por unidade de área;
γ
s
é o peso especifico do aço;
V
si,m
é o volume da armadura longitudinal inferior do m-ésimo elemento;
V
ss,m
é o volume da armadura longitudinal superior do m-ésimo elemento;
V
st,m
é o volume da armadura transversal do m-ésimo elemento;
A
sw,m
é a armadura transversal por unidade de comprimento do elemento;
b
m
é a largura da seção do m-ésimo elemento;
h
m
é a altura da seção do m-ésimo elemento;
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
81
l
m
é o comprimento da seção do m-ésimo elemento;
c é o cobrimento da armadura.
A primeira parcela representa o custo das armaduras necessárias, a segunda
o custo do concreto e a última representa o custo da fôrma. É considerada a
utilização de estribos de dois ramos, sem a inclusão do comprimento dos ganchos
do estribo.
5.3.3.
Restrições de resistência
A estrutura deve atender a critérios que avaliem a capacidade resistente das
seções de extremidades dos elementos. Nesta formulação, utilizam-se restrições
em cada seção de extremidade, ou seja, um total de 4ne (onde ne é o número de
elementos). Para que a seção resista à solicitação de flexo-compressão, as
restrições definidas por (5.9) e (5.10) devem ser atendidas:
()()
(
)
(
)
uxNNsignxNNsign
SSRS
,≥
( 5.9)
()
()
()
()
(
)
()
uxN
uxM
NMsign
xN
xM
NMsign
S
S
SS
R
R
SS
,
,
≥ se 0
≠
S
N
()()
(
)
(
)
uxMMsignxMMsign
SSRS
,≥ se 0
=
S
N
(5.10)
onde N
R
(x) é o esforço resistente normal e M
R
(x) é o momento resistente de
cálculo numa seção de extremidade do elemento. Para o cálculo de M
R
(x) e N
R
(x)
é considerado que f
c
= f
cd
e f
y
= f
yd
. N
S
é a força normal solicitante e M
S
é o
momento solicitante de cálculo. Para o cálculo de M
S
e N
S
é considerado f
c
= f
cm
e
f
y
= f
ym
. Sign(x) retorna o sinal da expressão dada (se
0≥x
Sign(x) retorna +1,
caso contrario é retornado -1).
São estabelecidas também as restrições quanto ao esmagamento da biela
comprimida e para o cálculo da armadura transversal necessária, sendo uma
restrição para cada elemento, ou seja, ne restrições. Estas restrições são
representadas matematicamente por:
2RdSd
VV
≤
(5.11)
()
dbffV
cdckRd
250127,0
2
−
=
(5.12)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
82
necswsw
AA
,
≥
(5.13)
SdswcRd
VVVV ≥
+
=
3
(5.14)
(
)
(
)
swswywdnecswsw
enfdsAV
α
α
coss9,0
,
+
=
(5.15)
onde,
V
Sd
- é a força cortante solicitante de cálculo na seção;
V
Rd2
- é a força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das
diagonais comprimidas de concreto;
f
cd
- é a resistência característica de dimensionamento do concreto à
compressão;
V
Rd3
- é a força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração
diagonal;
V
c
- é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos
complementares ao de treliça (considera-se para este trabalho
V
c
= 0);
V
sw
- a parcela absorvida pela armadura transversal;
α
sw
- é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao
eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar valores
na faixa 45° ≤ α
sw
≤ 90° ( assumindo-se que a armadura vertical é
composta por estribos verticais, ou seja, α
sw
= 90°);
f
ywd
- é a resistência de projeto da armadura de cisalhamento;
b - é largura da seção;
d - é a altura útil da seção transversal;
A
sw
/s - é a área da seção transversal total de estribos por metro linear de
viga.
É considerado o modelo I da NBR 6118 (ABNT, 2004) que admite
diagonais de compressão inclinadas de θ = 45° em relação ao eixo longitudinal do
elemento estrutural.
Para a análise destas restrições, que fazem parte do ELU, os coeficientes de
ponderação das resistências e das ações são considerados segundo o estabelecido
pela NBR 6118.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
83
5.3.4.
Restrições para o ELS
Para evitar que a estrutura sofra deslocamentos que ultrapassem os limites
de deformação excessiva estabelecidos pela NBR 6118 (ABNT, 2004), são
impostas restrições aos deslocamentos nodais
u
j
, calculados com as ações externas
de serviço como segue
(
)
lim,jjj
uuusign ≤ j = 1,..., ndr
(5.16)
onde
u
j,lim
é o valor admissível para cada deslocamento j e ndr é o numero de
deslocamentos nodais restritos.
Em casos de controle de deslocamento nodal excessivo em vigas, considera-
se a flecha adicional diferida decorrente das cargas de longa duração em função da
fluência. De maneira aproximada pode-se obter a flecha total através do produto
da flecha imediata pelo fator
α
f
dado pela expressão:
ρ
ξ
α
′
+
Δ
=
501
f
(5.17)
db
sA
′
=
′
ρ
(5.18)
(
)
(
)
0
tt
ξ
ξ
ξ
−
=Δ
()
(
)
32,0
996,068,0 tt
t
=
ξ
para t
≤
70 meses
()
2=t
ξ
para t > 70 meses
(5.19)
sendo
t
0
a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração;
t o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;
ρ
′
a taxa de
armadura comprimida;
ξ(t) o coeficiente função do tempo e As’ a área da seção da
armadura longitudinal de compressão. O valor da flecha total é obtido ao
multiplicar-se a flecha imediata por (1 +
α
f
).
Para a análise do ELS os coeficientes de ponderação das resistências e das
ações podem ser conservadoramente tomados iguais a um (
γ
m
=
γ
f
= 1 ).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
84
5.3.5.
Restrições com relação à altura das vigas
Com o intuito de não permitir o comportamento de viga parede na estrutura,
é estabelecido um limite superior para a altura total da viga,
lh
κ
≤
(5.20)
onde
κ = 0,5 para vigas simplesmente apoiadas de um único tramo e κ = 0,333
nos demais casos e
l é o vão da viga.
5.3.6.
Restrições referentes às armaduras
As restrições que se referem às armaduras de flexão estabelecem valores
mínimos para as armaduras de tração. A Tabela 5.2 estabelece os valores mínimos
para armadura de flexão segundo a norma NBR 6118. As restrições são
representadas matematicamente a seguir:
min,ss
AA ≥
(5.21)
Valores mínimos de ρ
min
(A
s,min
/A
c
)
Forma da
seção
f
ck
ω
mín
20 25 30 35 40 45 50
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
Tabela 5.2 – Taxas mínimas de armadura de flexão (NBR 6118, 2003).
Para a armadura transversal são determinados limites com relação à área
mínima
A
sw,min
:
min,swsw
AA ≥
(5.22)
Sendo,
sw
ywk
mct
sw
senb
f
f
s
A
α
,
min,
2,0=
(5.23)
onde,
α
sw
- é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao
eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar valores
na faixa 45° ≤ α
sw
≤ 90° (assumindo-se que a armadura vertical é
composta por estribos verticais, ou seja, α
sw
= 90
o
);
f
ywk
- é a resistência ao escoamento da armadura de cisalhamento;
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
85
f
ct,m
- é a resistência à tração média do concreto (
3/2
,
3,0
ckmct
ff = );
b - é largura da seção;
A
sw
/s - é a área da seção transversal total de estribos por metro linear de
viga.
Para a análise destas restrições, que fazem parte do ELU, os coeficientes de
ponderação das resistências e das ações são considerados segundo o estabelecido
pela NBR 6118 (ABNT, 2004).
5.3.7.
Restrição relativa ao fator de carga crítica
Esta restrição estabelece a garantia de que a carga devida aos esforços
solicitantes não ocasione a perda de estabilidade, i.e., garanta que o valor do fator
de carga crítica de instabilidade (
λ
*
) seja maior que o valor do fator de
proporcionalidade correspondente às cargas de projeto (
λ
f
). Quando
f
λλ
<
*
o
equilíbrio não é satisfeito. Para que isso seja prevenido tem-se a restrição
*
inf
*
λλ
≥
(5.24)
sendo λ
*
inf
uma constante com
f
λλ
≥
*
inf
. Entretanto, λ
*
inf
não deve ser
confundido com um coeficiente de segurança estrutural, mas entendido como uma
forma de se assegurar que a estabilidade do equilíbrio para cargas de projeto é
pelo menos igual às definidas por λ
f
.
5.3.8.
Restrições laterais
As restrições laterais definem os limites mínimos e máximos para as
variáveis de projeto.
max,min, iii
xxx ≤≤ i = 1...nvp.
(5.25)
onde nvp é o numero de variáveis de projeto.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
86
5.3.9.
Adimensionalização de variáveis
Para não ocorrer instabilidade numérica nos algoritmos de otimização
devido à diversidade de unidades de medidas presentes nas restrições, nas
variáveis de projeto e na função objetivo, é recomendável que se faça a
adimensionalização das grandezas envolvidas. Para isso são empregados os
seguintes fatores de escala:
1.
as variáveis de projeto e a função objetivo são adimensionalizadas
dividindo as mesmas por seus respectivos valores iniciais,
0
ˆ
i
i
h
h
h
= i = 1,...,nh
0
,
,
,
ˆ
jsi
jsi
jsi
A
A
A =
j = 1,...,nsi
0
,
,
,
ˆ
kss
kss
kss
A
A
A = k = 1,...,nss
0
,
,
,
ˆ
lsw
lsw
lsw
A
A
A = l = 1,...,nsw
(5.26)
)(
)(
)
ˆ
(
ˆ
0
xf
xf
xf
=
(5.27)
onde nh, nsi, nss, nsw são o número de: alturas, armaduras
longitudinais inferiores, armaduras longitudinais superiores e
armaduras de cisalhamento, respectivamente. Os parâmetros de
deformação D já são adimensionais. Após a adimensionalização
tem-se o novo vetor de variáveis adimensionais,
x
ˆ
;
2.
a restrição relativa à força normal é multiplicada pelo fator
)(1
0
cdn
fbh=
α
;
3.
a restrição relativa à excentricidade é primeiro reescrita
multiplicando-a pela força normal resistente e depois pelo fator
(
)
cdm
fhb
20
)(1=
α
. Para essa transformação, é necessário que haja
a igualdade de sinais dos esforços;
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
87
4. as demais restrições são adimensionalizadas através dos seus
respectivos valores mínimos ou máximos admissíveis.
5.3.10.
O problema de DDO
Após a adimensionalização, a função objetivo e as restrições do problema
de DDO estão apresentadas a seguir. Este problema tem como objetivo encontrar
o vetor das variáveis adimensionais que represente o valor ótimo da função
objetivo efetiva,
()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++=
∑∑∑
===
ne
m
m
ne
m
mmfcmmmm
ne
m
mstmssmsiac
c
lhhclhhbVVVc
f
C
xf
11
00
1
,,,
0
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
(5.28)
submetida às seguintes restrições:
() ()
(
)
[]
0,
≤
−
i
n
i
RS
i
S
xNuxNNsign
α
i = 1...ns.
() ()
()
()
()
0
,
,
≤
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
i
m
i
R
S
S
R
i
S
xM
uxN
uxM
xNMsign
α
se 0
≠
S
N i = 1...ns.
() () ()
[]
0,
≤
−
i
m
i
RS
i
S
xMuxMMsign
α
se 0
=
s
N i = 1...ns.
()
01
lim,
≤−
j
j
j
u
u
usign j = 1...ndr.
01
ˆ
0
≤−
k
kk
l
hh
κ
k = 1...nh.
0
ˆ
1
min,
0
≤−
l
ll
s
ss
A
AA
l = 1...nst.
01
2
≤−
Rd
Sd
V
V
k = 1...ne.
0
ˆ
1
,
0
≤−
k
kk
necsw
swsw
A
AA
k = 1...ne.
0
ˆ
1
min,
0
≤−
k
kk
sw
swsw
A
AA
k = 1...ne.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Determinístico (DDO)
88
01
*
inf
*
≤−
λ
λ
max,min,
ˆˆˆ
iii
xxx ≤≤
i = 1...nvp.
(5.29)
sendo ns o número de seções de extremidade, ndr o número de deslocamentos
restritos, nst o número de armaduras tracionadas na flexão, nh o número de alturas
diferentes como variáveis, ne o número de elementos,
caac
CCc
=
e
cffc
CCc =
.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
6
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
Nos últimos anos muitos estudos têm sido disponibilizados na literatura com
relação ao RBDO. Enquanto, por um lado, as pesquisas sobre confiabilidade de
estruturas têm se concentrado na descrição probabilística das cargas envolvidas e
dos parâmetros dos materiais e nos métodos de análise da confiabilidade do
projeto. Por outro lado, a otimização busca trabalhar com algoritmos eficientes
que localizem pelo menos um mínimo local para sistemas particularmente grandes
utilizando restrições determinísticas. Assim, é possível, nos projetos estruturais,
estabelecer uma conexão entre confiabilidade e otimização. Esta conexão pode ser
realizada considerando todas as incertezas que podem ser modeladas como
variáveis randômicas.
Assumindo-se geometrias satisfatórias, materiais apropriados e valores das
cargas solicitantes conhecidos, pode-se realizar a análise para determinar o
comportamento detalhado da estrutura. Mudanças no carregamento, variabilidade
nas propriedades dos materiais e incertezas com respeito aos modelos analíticos
contribuem conjuntamente para que exista a probabilidade de que a estrutura não
se comporte como pretendido. Para lidar com essas incertezas, têm sido
desenvolvidos métodos de análise que, para estruturas cada vez mais complexas,
buscam precisar na análise a influência destas incertezas e computar a
confiabilidade das mesmas.
Nos últimos dez anos tem ocorrido um crescente aumento na análise de
confiabilidade de estruturas, a qual permite o cálculo da probabilidade de falha da
estrutura. Quanto à confiabilidade dos projetos ótimos obtidos via DDO, dois
casos são possíveis:
• Caso 1: Alto nível de confiabilidade. Quando se escolhem valores
elevados para os coeficientes de segurança de certos parâmetros, o
custo estrutural é significantemente aumentado, devido ao nível de
confiabilidade que se torna maior que o necessário para a estrutura.
Ou seja, o projeto é seguro, mas muito pouco econômico;
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
90
• Caso 2: Baixo nível de confiabilidade. Quando se escolhem valores
baixos para os coeficientes de segurança, os níveis de confiabilidade
estrutural podem assumir valores menores do que os apropriados.
Isto indica que muitas vezes a confiabilidade de um DDO pode ser
muito baixa e necessitar ser avaliada por análises probabilísticas.
Para ambos os casos pode-se observar que há a necessidade de realizar a
avaliação da análise de confiabilidade no processo de otimização a fim de se
controlar o nível de confiabilidade e minimizar a função de custo estrutural. A
avaliação da análise de confiabilidade nos projetos de otimização em engenharia é
chamada de RBDO.
De uma forma geral a formulação do problema RBDO é definida por:
0)0)((
)(
1
≤+−=+≤Φ
−
tst
uGaSujeito
xfcustoMinimizar
βββ
(6.1)
onde
β
t
é o índice de confiabilidade desejado (alvo),
β
s
o índice de confiabilidade
do sistema e Φ a cumulativa da distribuição normal padrão. No problema (6.1)
busca-se minimizar a função de custo
f(x), onde x é o vetor das variáveis de
projeto, sujeita à restrição de confiabilidade mínima para o sistema em estudo, que
é representado pela função de comportamento
G(u), onde u é o vetor das variáveis
aleatórias.
Deve-se ter em mente que várias análises são requeridas no espaço das
variáveis randômicas a fim de se avaliar a confiabilidade do sistema. O processo
de otimização é executado no espaço das variáveis de projeto que são
determinísticas. Conseqüentemente, para se obter uma estrutura ótima e confiável,
as variáveis de projeto devem ser repetidamente alteradas, e cada conjunto de
variáveis de projeto corresponde a um novo espaço de variáveis randômicas, que
precisa ser manipulado para a avaliação da confiabilidade estrutural neste ponto.
A restrição probabilística do problema (6.1) pode ser representada, também,
por:
(
)
0)(
1
≥−Φ=
−
tGP
FG
β
(6.2)
onde G
P
e F
G
são, respectivamente, a medida de desempenho e a função
cumulativa probabilística.
O problema de RBDO utilizando o índice de confiabilidade,
β
, na restrição
não-determinística é definido pela Equação (6.1). Essa formulação é chamada de
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
91
enfoque do índice de confiabilidade, ou, Reliability Index Approach (RIA, em
inglês). Similarmente, quando se usa a restrição da Equação (6.2) no lugar da
restrição dada em (6.1) a formulação passa a ser chamada de enfoque da medida
de desempenho, ou, Performance Mesure Approach (PMA).
Região viável, g(X)<0Região viável, g(X)<0
Ótimo Determinístico (DDO)
RBDO com a
confiabilidade desejada
X
2
X
1
0
Região inviável, g(X)>0Região inviável, g(X)>0
Superfície g
2
(X)=0
Superfície g
1
(X)=0
PDF
-f
X
(X)
PDF
-f
X
(X)
Ponto inicialPonto inicial
Figura 6.1 – Exemplo ilustrativo do processo de DDO vs. RBDO.
A Figura 6.1 é representada por duas variáveis aleatórias, X
1
e X
2
, duas
restrições, g
1
(X) e g
2
(X), um processo de obtenção do projeto ótimo
determinístico (DDO), o ponto de projeto ótimo baseado em confiabilidade
(RBDO) e
f
X
(X) que representa a função densidade de probabilidade (PDF).
Devido às várias incertezas no sistema, o projeto de otimização determinística
(DDO) pode conduzir a projetos com níveis de confiabilidade não satisfatórios
que correspondem aos pontos negros na região viável. Como se pode observar, o
exemplo da Figura 6.1 mostra que, algumas vezes, o projeto de otimização
necessita ser movido para dentro da região viável (região com comportamento
satisfatório) para aumentar a confiabilidade das restrições de projeto enquanto
minimiza-se a função de custo (função objetivo). Este processo é chamado de
otimização baseada em confiabilidade (Reliability-Based Design Optimization,
RBDO). Observa-se que para solução via RBDO, os pontos entorno do ótimo, que
correspondem aos vários pontos cinzas na Figura 6.1 se encontram
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
92
majoritariamente na rigião viável. Ele estabelece uma probabilidade máxima P
f
de
comportamento não-satisfatório para cada restrição de confiabilidade definida.
Lista de parâmetros de projeto, função de custo,
restrições probabilísticas, e parâmetros randômicos.
Lista com um ponto de projeto inicial d
(0)
e k = 0
Avaliar a função de custo
e o gradiente
Análise Determinística
Avaliar as restrições probabilísticas
e determinísticas
Otimização
Parar
Parar
ConvergênciaConvergência
Atualiza o
Projeto
k=k+1
Projeto Ótimo com nível de
Confiabilidade Prescrito - β
Projeto Ótimo com nível de
Confiabilidade Prescrito - β
Sim
Não
Cálculo do G(u)
Busca do MPP
(PMA)
G
p
e U*
Modelo
atualizado
Análise de Confiabilidade
Convergência
Não
Sim
Cálculo das variáveis para
o ponto inicial (DDO)
Análise de
confiabilidade
β
ELS
e β
ELU
(RIA)
11
44
33
22
77
66
55
10
88
99
11
Figura 6.2 – Processo iterativo para o RBDO.
A Figura 6.2 ilustra o processo iterativo do problema de RBDO (Eq. (6.1),
onde se pode observar que são representados os passos do processo:
1.
definição dos parâmetros iniciais;
2.
determinação do ponto inicial para o RBDO obtido pelo projeto
ótimo determinístico (DDO);
3.
avaliação da função de custo e dos gradientes;
4.
análise determinística necessária para o cálculo das restrições
determinísticas;
5.
avaliação das restrições e das sensibilidades determinísticas e
probabilísticas. Em cada análise de uma restrição probabilística é
feita uma análise de confiabilidade pelo método FORM-PMA;
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
93
6. execução do procedimento para determinação do próximo passo no
algoritmo de otimização escolhido;
7.
verificação da convergência do processo;
8.
caso não ocorra a convergência, continua-se o processo iterativo;
9.
caso ocorra a convergência, interrompe-se o processo iterativo;
10.
análise de confiabilidade pelo método FORM-RIA das restrições
probabilísticas para a determinação dos índices de confiabilidade β;
11.
projeto de otimização baseado em confiabilidade atingido.
O problema de RBDO utilizado adota alguns procedimentos recomendados
por Youn et al. (2005) e Zou e Mahadevan (2006) para melhorar o tempo
computacional do RBDO clássico, tais como:
•
adotar o resultado do DDO como ponto inicial para o RBDO;
•
tomar para as análises do FORM o ponto de projeto da iteração
anterior devido à proximidade do último ponto de projeto (condição
de proximidade de projeto, comentada no item seguinte).
Estes dois procedimentos contribuem de forma significativa na redução do
número de avaliações da função de comportamento inclusa nas restrições
probabilísticas, esta redução proporciona um decréscimo significativo no tempo
de processamento do RBDO.
A Figura 6.1 ilustra o processo iterativo que é tratado neste trabalho, ou
seja, otimiza pórticos planos de concreto armado sujeitos a restrições
determinísticas e não-determinísticas.
6.1.
Condição de proximidade de projeto
Para reduzir o tempo computacional da avaliação das restrições
probabilísticas no processo do RBDO, Youn et al. (2005) recomendam o uso da
observação da condição de proximidade de projeto (Eq. 6.3). O objetivo é efetuar
a análise de confiabilidade o mais rápida e eficientemente possível utilizando a
informação da iteração de projeto prévia, quando esta satisfaz a condição de
proximidade de projeto. Resumindo, caso seja satisfeita a condição de
proximidade de projeto, o FORM utiliza o MPP da iteração do processo de
otimização prévia V
*(k-1)
como ponto inicial para a busca do novo MPP ao invés
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
94
do ponto com valores médios V
1
= βn(0) (vetor das médias das variáveis
randômicas, Figura 6.3).
()
(
)
(
)
()
d
kkk
xxd
ε
≤−=Δ
−1
(6.3)
onde Δd é a medida de proximidade de projeto;
x é o vetor das variáveis de
projeto e ε
d
é uma constante para a identificação da proximidade de projeto.
β
t
0
Lento
V*
(k)
V
1
=β
t
n(0)
(a) Sem condição de proximidade
d
k
d
ε
>Δ
)(
β
t
0
Rápido
V*
(k)
V
1
=V*
(k-1)
(b) Com condição de proximidade
d
k
d
ε
≤Δ
)(
Figura 6.3 – Análise rápida de confiabilidade no RBDO.
A Figura 6.2 mostra a ilustração da análise rápida de confiabilidade no
RBDO – PMA considerando a condição de proximidade que aproveita o MPP da
iteração anterior do RBDO (Figura 6.2b) e sem considerar a condição de
proximidade (Figura 6.2a). V
*(k)
e
V
*(k-1)
são os pontos de projeto no espaço
normal padrão para as análises de confiabilidade da iteração
k e k-1 no processo
do RBDO.
6.2.
Análise de confiabilidade pelo RIA (Reliability Index Approach)
No RIA, o índice de confiabilidade de primeira ordem (
β
s
), que se utiliza do
FORM para a sua determinação, é obtido pela formulação de uma problema de
otimização com uma restrição de igualdade no espaço
V (espaço reduzido). No
fim do processo iterativo do FORM obtém-se o ponto mais provável de falha ou
MPP (Most Probable Point) e assim
(
)
0)(
*)(
=
=
VGs
vGsign
μβ
.
Vários algoritmos de otimização podem ser empregados para a obtenção do
MPP. Neste trabalho é utilizado o algoritmo HLRF, já citado anteriormente, para
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
95
a avaliação da performance de confiabilidade pelo RIA, devido a sua simplicidade
e sua eficiência.
6.3.
Análise de confiabilidade por PMA (Performance Measure
Approach)
A análise de confiabilidade por PMA pode ser formulada como uma análise
inversa de confiabilidade do método RIA. A medida de performance
probabilística de primeira ordem é obtida de um problema de otimização não-
linear no espaço reduzido
V definido por:
Minimizar G(V)
Sujeito a
t
V
β
=
(6.4)
onde o ponto ótimo na superfície alvo de confiabilidade é identificado como o
MPP (
t
v
ββ
=
*
).
Diferentemente do RIA, para o PMA, somente o vetor de direção
**
tt
vv
ββββ
==
precisa ser determinado sobre a superfície esférica devida à restrição
de igualdade
t
V
β
= .
O problema representado na Eq. (6.4) pode ser resolvido por vários
algoritmos de otimização. Contudo, o método HMV (Hybrid Mean Value) é o
mais recomendado para o PMA devido a sua simplicidade e sua eficiência, tanto
para funções côncavas quanto para convexas (Youn et al., 2003).
6.4.
Análise de confiabilidade híbrida por PMA
O método HMV é composto por dois métodos: o AMV (Advanced Mean
Value), mais recomendado para problemas com funções de comportamento
côncavas, e o CMV (Conjugate Mean Value), para convexas.
No HMV é realizada uma verificação para identificar se a função é côncava
ou convexa e a partir desta verificação seleciona-se qual método será utilizado
para determinar o MPP (AMV ou CMV). A verificação realizada é a seguinte:
)).((
111 −++
−−=
kkkkk
nnnn
ς
se
0)(
1
>
+k
sign
ς
função convexa - CMV
se 0)(
1
≤
+k
sign
ς
função côncava - AMV
(6.5)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
96
onde n
k
é a direção de máximo declive normalizada no ponto
)(k
HMV
v
e
1+k
ς
é o
critério para determinação do tipo do método a ser utilizado em cada iteração.
)(
)(
)(
)(
)(
)(
k
HMVV
k
HMVV
k
HMV
vG
vG
vn
∇
∇
−=
(6.6)
O PMA é o método que tem se mostrado computacionalmente mais
eficiente do que o RIA para solução de problemas de RBDO (Youn et al., 2003).
6.4.1.
Método do valor médio avançado (AMV)
Cabe lembrar que o método AMV (Advanced Mean Value) é mais
recomendado para problemas com funções de comportamento côncavas.
O método AMV começa com o método do valor médio (MV – Mean Value)
(Youn et al., 2003), definido por:
)0(
*
nv
tMV
β
=
(6.7)
)(
)(
)0(
μ
μ
G
G
n
V
V
∇
∇
−=
(6.8)
onde n(0) é a direção de máximo declive normalizada definida no ponto
correspondente aos valores médios, μ.
Assim, iterativamente o método AMV atualiza o vetor direção do método
de máximo declive e é formulado por:
)(,*
)()1()1( k
AMVt
k
AMVMVAMV
vnvvv
β
==
+
(6.9)
)(
)(
)(
)(
)(
)(
k
AMVV
k
AMVV
k
AMV
vG
vG
vn
∇
∇
−=
(6.10)
6.4.2.
Método do valor médio conjugado (CMV)
Quando aplicado a funções côncavas, o método AMV tende muitas vezes a
ter uma convergência lenta ou até mesmo não convergir, pois este método atualiza
a direção utilizando somente o MPP corrente. Esse tipo de dificuldade pode ser
transposta usando o MPP corrente e o anterior, o que é realizado no método da
média conjugada (Conjugate Mean Value - CMV). O CMV determina a nova
direção de busca através da combinação de
)(
)2( −k
CMV
un , )(
)1( −k
CMV
un e )(
)(k
CMV
un com
igual peso para as três direções.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
97
)2()2()1()1()0(
,,0
AMVCMVAMVCMVCMV
vvvvv ===
(6.11)
)()()(
)()()(
)2()1()(
)2()1()(
)1(
−−
−−
+
++
++
=
k
CMV
k
CMV
k
CMV
k
CMV
k
CMV
k
CMV
t
k
CMV
vnvnvn
vnvnvn
v
β
(6.12)
onde a Eq. (6.12) é para k ≥ 2 e,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
k
CMVV
k
CMVV
k
CMV
vG
vG
vn
∇
∇
−=
(6.13)
Através do CMV que utiliza a direção de busca pelo método do máximo
declive conjugado (Eq. 6.12) consegue-se uma boa convergência e estabilidade
para funções côncavas. Contudo, para funções convexas ele é ineficiente, segundo
Youn et al. (2003).
6.4.3.
Método do valor médio híbrido (HMV)
Como visto nas seções anteriores o HMV determina através da Expressão
6.5 qual método (AMV ou CMV) que deve ser utilizado para determinar o MPP.
O método HMV adotado neste trabalho é resumido a seguir:
1.
Para k = 0 e com uma tolerância para convergência igual a
3
10
−
=TOL avalia-se a direção de máximo declive no espaço
reduzido V;
)(
)(
)(
)0(
)0(
)0(
HMVV
HMVV
HMV
vG
vG
vn
∇
∇
−=
(6.14)
2.
Se a função é do tipo convexa ou k < 3, calcula-se o MPP utilizando
o método AMV. Se a função é do tipo côncava e k
3≥ calcula-se o
MPP utilizando o método CMV;
Se AMV então
(
)
)()1( k
HMV
t
k
HMV
vnv
β
=
+
Se CMV então
)()()(
)()()(
)2()1()(
)2()1()(
)1(
−−
−−
+
++
++
=
k
HMV
k
HMV
k
HMV
k
HMV
k
HMV
k
HMV
t
k
AMV
vnvnvn
vnvnvn
v
β
(6.15)
)(
)(
)(
)(
)(
)(
k
HMVV
k
HMVV
k
HMV
vG
vG
vn
∇
∇
−=
(6.16)
3.
Avalia-se a função de comportamento )(
)(k
HMV
vG e o índice de
confiabilidade
β
(k+1)
, no novo MPP
)1( +k
HMV
v
(
)
TOLvG
t
kk
HMV
≤−Δ
++
ββ
)1()1(
,)(max
(6.17)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
98
)(
)()(
)(
)1(
)()1(
)1(
+
+
+
−
=Δ
k
HMV
k
HMV
k
HMV
k
HMV
vG
vGvG
vG
(6.18)
se atingido o critério de convergência o processo é interrompido,
caso contrário passa-se para o item seguinte;
4.
Calcula-se o gradiente
)(
)1( +
∇
k
HMVV
vG
da função de comportamento e
faz-se a verificação se a função é côncava ou convexa a partir da
Eq. (6.5), e determina-se qual o método deve ser utilizado
(AMV ou CMV). Faz-se k=k+1 e repetem-se os passos,
especificados a cima, a partir do item dois até a convergência.
6.5.
Variáveis aleatórias do problema
Para a definição das variáveis aleatórias a serem consideradas na análise
devem-se observar as incertezas com relação à resistência e às cargas aplicadas.
Os possíveis casos de incertezas relativos à resistência dos elementos
estruturais podem ser (Nowak e Collins, 2000):
•
Análise – incertezas quanto aos métodos aproximados de análise e
modelos idealizados de tensão-deformação;
•
Materiais – incertezas quanto às propriedades dos materiais:
resistências, módulos de elasticidade; composição química e etc;
•
Fabricação – incertezas quanto às dimensões de componentes,
momento de inércia.
Os itens seguintes descrevem as variáveis aleatórias consideradas nesse
trabalho.
6.5.1.
Propriedades mecânicas do concreto
Neste trabalho é considerada como variável aleatória à resistência à
compressão do concreto, tendo o seu valor médio definido pela seguinte
expressão:
()
)/(
65,11
2
cmkN
f
f
ck
cm
δ
−
=
(6.19)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
99
onde f
ck
é a resistência característica à compressão do concreto e δ é o coeficiente
de variação da resistência à compressão do concreto.
Segundo o JCSS
3
(2000) a distribuição apropriada para descrever o
comportamento aleatório da resistência à compressão do concreto é a distribuição
Lognormal. Soares e Venturini (2001) recomendam para a tensão no concreto o
valor de δ entre 10% e 25%. O seu valor característico é determinado de acordo
com a NBR 6118 (ABNT, 2004), ou seja, o f
ck
é o valor que corresponde a 5% de
probabilidade de ser ultrapassado (distribuição normal), no sentido desfavorável
para a segurança.
6.5.2.
Propriedades mecânicas da armadura longitudinal
A distribuição que melhor descreve o comportamento aleatório da
resistência de escoamento do aço característica (f
yk
) é a distribuição Lognormal
(JCSS
3
, 2000). Segundo Soares e Venturini (2001) deve-se usar para a resistência
do aço valores de δ entre 6% e 12%. Os valores médios ou valores esperados para
estas variáveis são obtidos por:
)/(2
2
cmkNff
yw
fykym
σ
+=
(6.20)
2
/21000 cmkNEE
sms
==
(6.21)
sendo
σ
fyw
o desvio padrão da resistência de escoamento do aço, com valor
recomendado pelo JCSS
3
(2000) de 3 kN/cm
2
e E
s
o módulo de deformação
longitudinal do aço. Para este trabalho E
s
não é considerado como variável
aleatória. O valor usado na análise de confiabilidade é de E
s
=2,05x10
4
kN/cm
2
(JCSS
3
, 2000). O valor característico f
yk
é definido de acordo com a NBR 6118
(ABNT, 2004), onde f
yk
é o valor que corresponde a 5% de probabilidade de ser
ultrapassado no sentido desfavorável para a segurança.
6.5.3.
Carregamento externo
A questão de qual distribuição e qual coeficiente de variação adotar para um
determinado tipo de carregamento externo para projetos de estruturas de concreto
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
100
armado é comentada por Nowak e Collins (2000), JCSS
2
(2001) e Melchers
(2002).
Diversos tipos de cargas podem atuar em uma estrutura. Podem-se
classificar as cargas em três categorias gerais com relação aos dados estatísticos
obtidos, são elas:
•
Tipo I – para esse tipo de carga é considerado que os dados obtidos
não dependem do tempo. Exemplos de cargas deste tipo são: cargas
permanentes e cargas acidentais de longa duração ou permanência;
•
Tipo II – para esse tipo de carga é considerado que os dados são
dependentes de intervalos de tempo. Cargas que se enquadram nesta
categoria são: as cargas de ventos, as cargas de neve, e as cargas
acidentais de curta duração;
•
Tipo III – nesta categoria as cargas ocorrem durante eventos
extremos tais como terremotos e tornados.
De uma forma geral, as funções mais adotadas para representarem o
comportamento das ações externas utilizadas na engenharia são (Soares e
Venturini, 2001):
•
Permanente: Log-normal ou Normal
∴
δ = 8% a 15%;
•
Acidental: Gumbel ou Weibull
∴
δ = 10% a 30%;
•
Onda: Gumbel ou Weibull
∴
δ = 40%.
Os valores característicos são determinados de acordo com a NBR 6118
(ABNT, 2004). Para as cargas permanentes, os valores característicos
P
k
são
iguais às suas respectivas médias
P
m
(P
k
= P
m
), no caso das cargas acidentais, seus
valores característicos correspondem de 25% a 35% de probabilidade de serem
ultrapassados no sentido desfavorável, para um período de recorrência de 50 anos,
ou seja, dentro de um período de 50 anos existe uma probabilidade de 25% a 35%
de ocorrência de cargas superiores às cargas de projeto.
6.5.4.
Fatores de modelagem
Para o cálculo dos diversos tipos de elementos estruturais, muitas vezes são
feitas aproximações das tensões, forças axiais, forças cortantes e momentos
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
101
fletores. Na maioria das vezes não são considerados os efeitos tridimensionais, as
imperfeições e a não-homogeneidade dos materiais.
Desta forma, as incertezas do modelo dependem muito do tipo da estrutura
(pórticos, placas, cascas, etc), sendo necessário se considerar um fator de
modelagem para o cálculo da resistência dos elementos estudados, que considere
estas incertezas (JCSS
3
, 2000 e Santos e Eboli, 2006). Contudo, esse trabalho não
considerará tais fatores devido à dificuldade de se obter dados confiáveis para
esses fatores quando aplicados a análise não-linear geométrica.
6.6.
O problema RBDO
Este problema tem como objetivo encontrar o vetor das variáveis
adimensionais que represente o valor ótimo da função objetivo efetiva
()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++=
∑∑∑
===
ne
m
m
ne
m
mmfcmmmm
ne
m
mstmssmsiac
c
lhhclhhbVVVc
f
C
xf
11
00
1
,,,
0
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
(6.22)
submetido às seguintes restrições (restrição probabilística (6.23) e restrições
determinísticas (6.24):
(
)
0)(),(
1
≤−Φ−=
−
tGP
FyxG
β
(6.23)
() ()
(
)
[]
0,
≤
−
i
n
i
RS
i
S
xNuxNNsign
α
i = 1...ns.
(6.24a)
() ()
()
()
()
0
,
,
≤
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
i
m
i
R
S
S
R
i
S
xM
uxN
uxM
xNMsign
α
se 0
≠
S
N i = 1...ns.
() () ()
[]
0,
≤
−
i
m
i
RS
i
S
xMuxMMsign
α
se
0
=
s
N
i = 1...ns.
(6.24b)
01
lim
≤−
ω
ω
l
l = 1...nst.
(6.24c)
01
ˆ
0
≤−
k
kk
l
hh
κ
k = 1...nh.
(6.24d)
0
ˆ
1
min,
0
≤−
l
ll
s
ss
A
AA
l = 1...nst.
(6.24e)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
102
01
2
≤−
Rd
Sd
V
V
k = 1...ne.
(6.24f)
0
ˆ
1
,
0
≤−
k
kk
necsw
swsw
A
AA
k = 1...ne.
(6.24g)
0
ˆ
1
min,
0
≤−
k
kk
sw
swsw
A
AA
k = 1...ne.
(6.24h)
max,min,
ˆˆˆ
iii
xxx ≤≤
i = 1...nvp.
(6.24i)
a maioria das variáveis presentes nas Equações (6.22) e (6.24) já foram
apresentadas no item referente a DDO. As funções de comportamento necessárias
para a análise probabilística que representam a Eq.(6.23) são as seguintes:
()
()
01
),(
,
lim,
≤−=
j
j
jP
u
yxu
usignyxG
j = 1...ndr.
( 6.25a)
()
0),(1,
*
≤−= yxyxG
P
λ
.
(6.25b)
onde x e y representam, respectivamente, as variáveis de projeto determinísticas e
as variáveis aleatórias que compõem o problema, u
j
(x,y) é o deslocamento nodal e
λ
*
(x, y) é o fator de majoração de uma dada representação da carga aplicada que
produzirá o colapso da estrutura.
A carga crítica λ
*
(x, y) da Equação (6.25b) também pode se entendida como
o coeficiente que é capaz de provocar o colapso da estrutura quando multiplicado
pelas cargas randômicas atuantes na mesma. Considera-se no momento da análise
da restrição probabilística (Eq. 6.25b), as propriedades aleatórias das resistências
(f
c
e f
y
) e das cargas atuantes. Em cada avaliação da função de comportamento
(FORM – PMA) é determinada a carga aplicada λ
*
(x, y) que produzirá o colapso
da estrutura considerando os valores do vetor das variáveis randômicas (y) em
cada iteração. Assim, esta restrição impõe que λ
*
(x, y) ≥ 1, ou seja, que a carga
crítica da estrutura calculada a partir de uma configuração formada pelo
parâmetros determinísticos (x) e pelas variáveis randômicas (y) seja superior a 1.
Essa restrição garante que, no final da otimização via RBDO, a estrutura terá pelo
menos uma probabilidade de falha máxima P
f
= 7,2x10
-5
em 50 anos (β = 3,8)
para o ELU (carga crítica).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Projeto de Otimização Baseado em Confiabilidade (RBDO)
103
A Equação (6.25a) restringe a probabilidade máxima de ocorrência de
deslocamentos superiores ao estabelecido como limite (u
j,lim
). Essa restrição
garante que, no final da otimização via RBDO, a estrutura terá pelo menos uma
probabilidade de falha máxima P
f
= 6,68x10
-2
em 50 anos (β = 1,5) para o ELS
(deslocamento restrito).
A otimização foi realizada com os algoritmos de Programação Quadrática
Seqüencial (SQP em inglês), Programação Linear Seqüencial (SLP em inglês) e
Método das Direções Viáveis (MFD em inglês), sendo utilizado o que tiver
melhor comportamento após testes preliminares. Para a determinação das
sensibilidades da restrição de confiabilidade foi utilizado o proposto por
Enevoldsen (1993).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
7
Análise de sensibilidade
7.1.
Introdução
Este capítulo descreve as sensibilidades analíticas utilizadas no programa
desenvolvido. Estas sensibilidades representam a variação de uma função devido
à variação de uma variável de interesse (variáveis de projeto ou variáveis
probabilísticas).
7.2.
Esforços internos resistentes
A sensibilidade dos esforços internos resistentes é determinada pela
Eq. (7.1). Sendo si e ss os índices que representam as áreas de aço inferior e
superior, respectivamente.
x
A
A
xx
A
A
x
dA
xx
N
ss
ssss
sssi
sisi
si
A
x
R
C
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∫∫
σ
σ
σ
σ
σ
x
A
yA
x
y
Ay
x
x
A
yA
x
y
Ay
x
dAy
xx
M
ss
ssssss
ss
ssssss
ss
si
sisisi
si
sisisi
si
A
x
R
C
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
∫∫
σσ
σ
σσ
σ
σ
(7.1)
A parcela devido ao concreto é dividida em três regiões: 1, 2 e 3 (Figura
7.1). Sendo ε
a
e ε
b
as deformações nas fibras que representam, para cada caso, os
limites inferior e superior de integração, respectivamente.
y
a
e y
b
são,
respectivamente, as ordenadas das deformações nas fibras inferior e superior de
integração. Na Tabela 7.1 são representadas as deformações e ordenadas
necessárias nas integrações a seguir.
() ()
()
[]
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
−+−−
∂
∂
+−
∂
∂
+
−=
∂
∂
∫∫
x
xx
b
dA
x
ababc
a
aca
b
bcb
c
cd
reg
x
χ
εεεεε
ε
εεχε
ε
εεχε
χε
σ
σ
2322
2
22
22
2
2.
3
2323
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
∫∫
x
y
x
y
bdA
x
ab
cd
reg
x
σσ
3.
(7.2)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
105
()
[]
()
[]
()
[]
()
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−+−
−
∂
∂
−−+−
∂
∂
−−++
∂
∂
−+−
−=
∂
∂
∫∫
x
x
x
x
b
ydA
x
ab
abcabc
a
aacac
b
bbcbc
ababc
c
cd
reg
x
χ
εε
εεεεεεεε
ε
εεεεεεεχ
ε
εεεεεεεχ
ε
εεεεεχ
χε
σ
σ
44
33
20
22
02
32
2002
32
2002
0
3322
2
32
2
2.
3
2412
226
226
32
6
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
∫∫
x
y
y
x
y
ybydA
x
a
a
b
bcd
reg
x
σσ
3.
0
1.
=
∂
∂
∫∫
reg
x
dA
x
σ
0
1.
=
∂
∂
∫∫
reg
x
ydA
x
σ
cd
σ
−
2c
ε
cs
ε
Região 1
Região 2
Região 3
h
y
cs
=h/2
ci
ε
ss
ε
si
ε
y
ci
=h/2
y
ss
y
si
y
2
Figura 7.1 – Tensão e deformação na seção.
Domínios Regiões
ε
a
ε
b
y
a
y
b
reta a 1 - - - -
1 1 - - - -
2a 1, 2 0
ε
cs
- -
2b, 3, 4 e 4a 1, 2, 3 0
-ε
c2
y
2
y
cs
5 2, 3
ε
ci
-ε
c2
y
2
y
cs
reta b 2 - - y
ci
y
cs
Tabela 7.1 – Regiões e limites de integração.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
106
7.3.
Esforços internos solicitantes
As sensibilidades dos esforços internos solicitantes são obtidas derivando-se
as Equações (3.7) nos pontos de integração em relação aos termos explícitos de
x
(Eq. 7.3).
x
A
A
xx
A
A
x
dA
xx
uxN
ss
ssss
sssi
sisi
si
A
x
S
C
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∫∫
σ
σ
σ
σ
σ
),(
x
A
yA
x
y
Ay
x
x
A
yA
x
y
Ay
x
dAy
xx
uxM
ss
ssssss
ss
ssssss
ss
si
sisisi
si
sisisi
si
A
x
S
C
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
∫∫
σσ
σ
σσ
σ
σ
),(
(7.3)
A Eq. (7.3) está em função das variáveis de projeto
x e das deformações
caracterizadas pelo campo de deslocamento
u obtido na análise (Eq. 3.6). Devido
à característica do concreto a sua sensibilidade é dividida em três regiões: 1, 2 e 3.
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+−
∂
∂
+−=
∂
∂
∫∫
xx
b
dA
x
a
aca
b
bcb
c
cd
reg
x
ε
εεε
ε
εεε
χε
σ
σ
22
2
2
2.
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
∫∫
x
y
x
y
bdA
x
ab
cd
reg
x
σσ
3.
()
[]
()
[]
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
−−+−
∂
∂
−−+
−=
∂
∂
∫∫
x
x
b
ydA
x
a
aacac
b
ccbcbc
c
cd
reg
x
ε
εεεεεεε
ε
εεεεεεεε
χε
σ
σ
32
2002
3
2
2
22002
22
2
2.
22
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
∫∫
x
y
y
x
y
ybydA
x
a
a
b
bcd
reg
x
σσ
3.
(7.4)
Além das três diferentes regiões (Figura 7.1) há também os nove casos de
deformação na seção de concreto. A Tabela 7.2 mostra esses possíveis casos, onde
ε
cs
e ε
ci
são as deformações nas fibras extremas superior e inferior,
respectivamente.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
107
Caso
)(
00
0
cs
ε
)(
00
0
ci
ε
Regiões
1
0
>
cs
ε
0>
ci
ε
1
2
02
≤
≤−
cs
ε
0
>
ci
ε
1, 2
3
2
−<
cs
ε
0>
ci
ε
1, 2, 3
4
0
>
cs
ε
02
≤
≤
−
ci
ε
1, 2
5
02
≤
≤−
cs
ε
02
≤
≤
−
ci
ε
2
6
2
−<
cs
ε
02
≤
≤
−
ci
ε
2, 3
7
0
>
cs
ε
2
−
<
ci
ε
1, 2, 3
8
02
≤
≤−
cs
ε
2
−
<
ci
ε
2, 3
9
2
−<
cs
ε
2
−
<
ci
ε
3
Tabela 7.2 – Casos de deformação.
7.4.
Deslocamentos
A determinação da sensibilidade dos deslocamentos u em relação às
variáveis de projeto
x (Eq. 7.5) é obtida pela derivada da equação de equilíbrio
Eq. (3.7).
0
)(),(),(
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
x
xP
x
uxF
x
u
u
uxF
(7.5)
A primeira parcela é devida à dependência implícita das forças internas e a
segunda parcela à parte explicita. Sendo
uuxFK
t
∂
∂
=
),( a matriz de rigidez
tangente, tem-se
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
x
uxF
x
xP
K
x
u
t
),()(
1
(7.6)
neste trabalho as cargas externas
P independem das variáveis de projeto x. A
sensibilidade dos deslocamentos em relação às variáveis de projeto é apresentada
na Eq. (7.7).
x
uxF
K
x
u
t
∂
∂
−=
∂
∂
−
),(
1
(7.7)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
108
A derivada explicita das forças internas F em relação a x fica então
∑
=
∂
∂
=
∂
∂
ne
m
m
T
m
x
uxf
T
x
uxF
1
),(
),(
(7.8)
onde
T
m
T é a transposta da matriz de transformação do elemento m e f
m
é o vetor
das forças no m-ésimo elemento que depende dos esforços solicitantes
N e M
(Eq. 3.6), nos pontos de Gauss,
x
x
uxM
v
x
uxN
x
uxN
x
uxf
l
vv
u
m
∂
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∫
'''
'
),(
'
),(
),(
),(
φφ
φ
(7.9)
φ
é o vetor das funções de interpolação relativas aos deslocamentos (Eq. 3.12).
7.5.
Carga crítica
O fator de carga crítica λ
*
está implicitamente ligado à variação das
variáveis de projeto
x. Entretanto o fator de carga λ é um parâmetro independente
que representa o carregamento monotônico da estrutura. Resumindo, a carga
crítica é o fator de carga máximo suportado pela estrutura antes de seu colapso
quer seja por instabilidade quer seja por ruptura. Esse limite de colapso é
representado pela equação de equilíbrio Eq. (7.10).
0)(),(
*
=− xPuxF
s
λ
.
(7.10)
Derivando-se a Eq. (7.10) em relação às variáveis de projeto
x,
0
)(
)(
),(),(
*
*
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
x
xP
xP
xx
uxF
x
u
u
uxF
s
λ
λ
(7.11)
onde F é o vetor de forças nodais internas da estrutura e P
s
é o vetor das forças
nodais externas em serviço. Sendo
uuxFK
t
∂∂= ),(
*
a matriz de rigidez tangente
e o sinal * representa o nível de carga crítica (λ=λ
*
).
0
)(
)(
),(
*
**
*
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
x
xP
xP
xx
uxF
x
u
K
s
t
λ
λ
(7.12)
onde a matriz
*
t
K é singular ( 0
**
==
t
T
t
KK
ϕϕ
), ou seja, quando multiplicada por
seu autovetor ϕ que equivale a um autovalor nulo conduz a Eq. (7.13).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
109
)(
)(
),(
*
*
*
xP
x
xP
x
uxF
x
T
s
T
ϕ
λϕ
λ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
(7.13)
Como
P independe de x (
0)(
=
∂
∂
xxP
), a sensibilidade do fator de carga
crítica em relação a
x é expresso pela Eq. (7.14).
P
x
uxF
x
T
T
ϕ
ϕ
λ
∂
∂
=
∂
∂
*
*
),(
(7.14)
7.6.
Função objetivo
As derivadas da função objetivo (Eq. 5.28) em relação as variáveis de
projeto
x são apresentadas aqui para um caso geral, ou seja, que uma mesma
variável
x
i
pode representar mais de um elemento (h, A
sw
) ou seção (A
si
, A
ss
, D).
Para o caso da sensibilidade em relação à altura h
i
, tem-se
()
() ()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
∂
∂
∑∑∑
Λ∈Λ∈Λ∈
i
h
i
h
i
h
kk
k
k
k
kk
k
kswswac
ic
i
llblAAc
f
hC
h
xf
ˆ
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
0
0
0
(7.15)
onde Λ
h
é o conjunto de elementos com altura h
i
. O índice i representa o número
da variável de projeto que deriva e o índice k representa o número de um
determinado elemento (
kh
h
i
⊃Λ ) sendo k = i.
No caso da sensibilidade em relação à armadura inferior e superior (A
si
, A
ss
)
fica,
() ()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
∂
∂
∑∑
Λ∈Λ∈
i
si
i
si
z
z
k
k
i
sia
i
si
ll
f
AC
A
xf
,2
,1
0
0
2
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
(7.16)
() ()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
∂
∂
∑∑
Λ∈Λ∈
i
ss
i
ss
z
z
k
k
i
ssa
i
ss
ll
f
AC
A
xf
,2
,1
0
0
2
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
(7.17)
onde Λ
ss1,
Λ
ss2,
Λ
ss1,
e Λ
ss2
são o conjunto das áreas de aço longitudinais inferior e
superior para os nós 1 e 2 (A
si
e A
ss
). O índice i representa o número da variável
de projeto que deriva à função objetivo. k e z representam os números de um
determinado elemento (
{
}
zki
sisisi
AA ,⊃Λ e
{
}
zki
ssssss
AA ,
⊃
Λ
).
Para as derivadas com relação às armaduras transversais
A
sw
tem-se,
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
110
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+=
∂
∂
∑
Λ∈
i
sw
z
kkk
i
swa
i
sw
lchb
f
AC
A
xf
4
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
0
0
(7.18)
onde Λ
sw
é o conjunto de elementos com armadura transversal A
sw
. O índice i
representa o número da variável de projeto que deriva à função objetivo e k é o
índice que representa o número de um determinado elemento (
k
swsw
A
i
⊃
Λ
).
Devido à função objetivo independer dos parâmetros de deformação
D sua
sensibilidade é nula para qualquer D
i
(Eq. 7.19).
i
D
xf
i
∀=
∂
∂
0
)
ˆ
(
ˆ
(7.19)
7.7.
Restrições
As sensibilidades das restrições em relação às variáveis de projeto x são
representadas para um caso geral. O índice i determina cada uma das variáveis de
projeto e o índice k, dependendo do tipo da restrição, tem as variações indicadas
na Eq. (5.29).
As derivadas em relação ao critério de resistência são
k
n
k
i
R
i
S
ks
i
k
x
N
x
N
Nsign
x
g
α
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
ˆˆ
)(
ˆ
1
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
≠
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
0
ˆˆ
)(
0
ˆˆˆˆ
)(
ˆ
2
2
Sm
k
i
R
i
S
ks
Sm
k
i
R
i
S
S
i
S
S
S
R
S
S
i
S
ks
i
k
N
x
M
x
M
Msign
N
x
M
x
N
M
x
M
N
N
M
N
M
x
N
Msign
x
g
k
k
α
α
2
2
2
2
3
1
ˆˆ
)(
ˆ
Rd
k
i
Rd
S
i
S
RdkS
i
V
x
V
V
x
V
VVsign
x
g
k
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
(7.20)
onde
i
cd
ck
i
Rd
x
h
hbf
f
x
V
ˆ
250
127,0
ˆ
0
2
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∂
∂
.
(7.21)
Em relação ao estado limite de utilização
i
k
k
k
i
x
u
u
usign
x
g
k
ˆ
1
)(
ˆ
lim,
4
∂
∂
=
∂
∂
(7.22)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
111
i
k
ki
xx
g
k
ˆ
1
ˆ
lim,
5
∂
∂
=
∂
∂
ω
ω
(7.23)
sendo
i
s
ms
i
k
x
s
x
ˆˆ
∂
∂
=
∂
∂
ε
α
ω
.
(7.24)
Em relação ao limite das alturas
i
kk
i
x
h
l
h
x
g
k
k
ˆ
ˆ
ˆ
0
6
∂
∂
=
∂
∂
κ
.
(7.25)
Em relação ao limite das armaduras longitudinais e transversais
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
i
s
s
i
s
s
s
s
i
x
A
A
x
A
A
A
A
x
g
k
k
k
k
k
kk
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
min,
min,
2
min,
0
7
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
i
necsw
sw
i
sw
necsw
necsw
sw
i
x
A
A
x
A
A
A
A
x
g
k
k
k
k
k
kk
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
2
,
0
8
i
sw
sw
sw
i
x
A
A
A
x
g
k
k
kk
ˆ
ˆ
ˆ
2
min,
0
9
∂
∂
−=
∂
∂
.
(7.26)
Em relação ao fator de carga crítica
ii
xx
g
ˆ
1
ˆ
*
*
inf
10
∂
∂
=
∂
∂
λ
λ
.
(7.27)
Na avaliação das restrições probabilísticas é utilizado o valor do ponto de
projeto
u
*
(MPP-Most Probable Point) obtido pelo FORM, substituindo os valores
utilizados na análise determinística (
f
c
, f
y
e as cargas externas definidas como
aleatórias), tem-se (Enevoldsen, 1993)
i
U
i
P
x
g
xug
x
G
ˆ
),(
1
ˆ
4
*
1
∂
∂
∇
=
∂
∂
(7.28)
i
U
i
P
x
g
xug
x
G
ˆ
),(
1
ˆ
10
*
2
∂
∂
∇
=
∂
∂
(7.29)
onde
),(
*
xug
U
∇
é o gradiente das variáveis aleatórias no espaço original
U. Nas
Eqs. (7.28) e (7.29) são utilizadas as derivadas em relação ao estado limite de
utilização, deformação excessiva (
i
xg
ˆ
4
∂
∂
), e em relação ao fator de carga crítica
(
i
xg
ˆ
10
∂∂ ). Porém, aqui elas são avaliadas sem utilizar fatores de minoração de
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
112
resistências (γ
m
= 1), majoração de cargas (γ
f
= 1) e o limite inferior da carga
crítica (λ
*
inf
= 1).
7.8.
Funções de comportamento
Neste trabalho as funções de comportamento são representadas pelo limite
de deformação máxima (ELS) e pelo fator de carga crítica mínima (ELU) (Eqs.
7.30 e 7.31).
i
k
k
k
i
X
u
u
usign
X
G
∂
∂
=
∂
∂
lim,
2
1
)(
(7.30)
ii
XX
G
∂
∂
=
∂
∂
*
1
λ
(7.31)
onde X
i
é uma variável aleatória e
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
i
i
i
i
t
i
X
uXF
X
XP
K
X
u
),()(
1
(7.32)
)(
)(),(
*
*
*
i
T
i
is
i
i
T
i
XP
X
XP
X
uXF
X
ϕ
λϕ
λ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
.
(7.33)
Desta vez a parcela nas Eqs. (7.32) e (7.33) referentes à carga externa
P pode
depender da carga aleatória
X
i
( 0),(
≠
∂
∂
ii
XuXP ).
Como foi visto nos itens anteriores as derivadas das funções de
comportamento dependem das derivadas de
N
s
e M
s
em relação ao vetor das
variáveis aleatórias
u (f
c
, f
y
e as cargas externas definidas como aleatórias).
Os esforços internos (
N
s
e M
s
) possuem duas parcelas distintas que os
compõem: uma devido ao concreto
f
c
e a outra à armadura longitudinal A
s
. Ambas
possuem características distintas quanto a sua não-linearidade física: o concreto
possui nove casos de deformação na seção (Tabela 7.1), por causa das três regiões
de tensão (Figura 7.1), e a armadura longitudinal possui quatro casos conforme
Figura 7.2.
Derivando-se a Eq. (3.6) em relação a uma variável aleatória
X
i
tem-se,
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
Ac
ss
i
ss
si
i
si
i
X
i
s
A
X
A
X
dA
XX
N
σσ
σ
(7.34)
∫∫
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
Ac
ssss
i
ss
sisi
i
si
i
X
i
s
Ay
X
Ay
X
dAy
XX
M
σσ
σ
(7.35)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Análise de sensibilidade
113
s
ε
s
σ
y
f−
y
ε
−
cu
ε
−
y
ε
su
ε
Região 1
Região 3
Região 2
Região 4
Figura 7.2 – Diagrama tensão-deformação de cálculo do aço classe A – Regiões.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
8
Aplicação numérica
Este capítulo apresenta os exemplos de aplicação desenvolvidos. Em cada
um dos exemplos de projeto via DDO são avaliadas as confiabilidades dos estados
limites (ELS – deslocamento restrito e ELU – carga crítica) e comparados com as
do projeto via RBDO. Tanto a parte de otimização de pórticos planos de concreto
armado (PQS, PLS), como a parte de confiabilidade estrutural (FORM) foram
implementados em linguagem C.
Os coeficientes de variação (δ) e as distribuições (normal, lognormal, etc.)
que descrevem o comportamento das variáveis aleatórias são estabelecidos de
acordo com as recomendações do JCSS
2,3
(2001, 2000), de Melchers (2002) e
Ellingwood (2003). O índice de confiabilidade desejado,
β
t
, é estabelecido de
acordo com a recomendação de CEN (2001) (Tabela 4.3). Os valores
característicos são estabelecidos de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2004). O
peso próprio é considerado determinístico nos exemplos de aplicação.
Para a determinação da carga crítica (λ
∗
) dos exemplos, todas as cargas são
amplificadas com exceção das cargas devido ao peso próprio. Nos exemplos 1, 2 e
3 são tomados como base os exemplos apresentados por Melo (2000b) para efeito
comparativo (DDO versus RBDO), contudo, diferenciam-se pelo fato de os
resultados apresentados neste trabalho obedecerem à nova NBR 6118.
8.1.1.
Primeiro exemplo de aplicação
Neste exemplo tem-se uma coluna engastada-livre como mostra a
Figura 8.1a. A coluna é discretizada em três elementos finitos (Figura 8.1b). É
utilizado o Modelo I para o elemento finito e são adotados cinco pontos de Gauss
para a integração numérica. V e H são considerados como carga permanente e
como carga acidental, respectivamente. Os coeficientes de variação (δ) e as
distribuições que descrevem o comportamento de f
c
e f
y
são estabelecidos de
acordo com as recomendações de JCSS
3
(2000). O Módulo de elasticidade do aço
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
115
é considerado determinístico, E
s
= 2,05x10
8
kN/m
2
(JCSS
3
, 2000), na avaliação
das restrições de confiabilidade. Os parâmetros probabilísticos que são utilizados
nesta aplicação estão descritos na Tabela 8.1.
m3
kNH 30=
kNV 10=
cmb 12
=
h
cmd 3'
=
Seção
'd
(a)
m1
m1
m1
6
D
5/4
D
3/2
D
1
D
)3(sw
A
)2(sw
A
)1(sw
A
)3(si
A
)2(si
A
)1(si
A
)1(ss
A
)2(ss
A
)3(ss
A
2
3
1
1
2
3
4
(b)
Figura 8.1 – (a) Dimensões e carregamento (b) malha e variáveis de projeto.
O exemplo é composto por 16 variáveis de projeto: a altura, h, (1 variável);
a área de aço longitudinal inferior, A
si
, (3 variáveis); a área de aço longitudinal
superior, A
ss
, (3 variáveis); a área de aço transversal, A
sw
, (3 variáveis) e os
parâmetros de deformação, D, (6 variáveis).
Neste exemplo são adotados os seguintes parâmetros:
• resistência característica à compressão do concreto, f
ck
= 2 kN/m
2
;
• resistência característica de escoamento do aço, f
yk
= 5x10
5
kN/m
2
;
• fatores de minoração do aço e do concreto,γ
s
= 1,15 e γ
c
= 1,4;
• módulo de elasticidade do aço, E
s
= 2,1x10
8
kN/m
2
;
• deslocamento horizontal nodal restringido (nó 4), u
lim
= 0,02 m;
• fator de carga crítico mínimo determinístico, λ
*
inf
= 1,5;
• custo do concreto por metro cúbico, C
c
= 79,24;
• custo do aço por kg, C
s
= 0,52;
• custo da fôrma por m
2
, C
f
= 6,30.
Os índices de confiabilidade mínimos para os estados limite de serviço e
limite último, com um período de retorno de 50 anos, adotados são β
ELS
=1,5 e
β
ELU
= 3,8 (Tabela 4.3).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
116
Variável
Valor
Característico Média
Desvio
Padrão
Coeficiente de
Variação Distribuição
f
c
(kN/cm
2
) 2,00 2,6578 0,3986 0,15 Lognormal
f
y
(kN/cm
2
) 50,00 56,00 3,00 0,0536 Lognormal
V (kN) 7,1428 7,1428 0,7142 0,10 Normal
H (kN) 21,4285 20,3753 5,0938 0,25 Gumbel (Tipo I - Máx)
Tabela 8.1 – Variáveis aleatórias da 1ª aplicação.
Neste exemplo tanto o DDO quanto o RBDO utilizam o algoritmo de
otimização de programação quadrática seqüencial (PQS).
Para esta aplicação, no método RBDO, foram consideradas duas restrições
de confiabilidade (deslocamento restrito e carga crítica) e as demais restrições
determinísticas utilizadas no método DDO. As restrições ativas para o RBDO são:
de confiabilidade devido à flecha na extremidade livre; de armaduras necessárias
de cisalhamento em todos os elementos; os critérios de resistência no elemento 1
relativa a N e a M/N, no nó 2 no elemento 2 referente a N e a M/N e no nó 3 no
elemento 2 referente a N.
Analisando os resultados apresentados na Tabela 8.2 e o comportamento
desta aplicação, a solução através do RBDO possui como principal restrição ativa
a restrição de confiabilidade para o ELS (deslocamento restrito), sujeita a uma
probabilidade de falha máxima considerada como apropriada (β = 1,5 ou P
f
=
6,68.10
-2
). O β associado a instabilidade global foi de β
ELU
= 7,5>3,8.
A solução através do RBDO mostrou-se mais interessante, pois fornece um
projeto mais seguro atendendo ao limite mínimo para a confiabilidade no ELS e
ELU, e as restrições determinísticas ao mesmo tempo.
Já na otimização via DDO, após uma análise de confiabilidade da estrutura
ótima obtida, verifica-se que a estrutura apresenta uma confiabilidade satisfatória
quanto ao estado limite último, mas muito baixa em relação ao estado limite de
serviço (β
ELU
= 7,4>3,8 e β
ELS
= 0,51<1,5) conforme Tabela 8.2.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
117
Variáveis Ponto inicial Solução (DDO) Solução (RBDO)
h (cm) 31,5 41,7 43,6
A
si(1)
(cm
2
) 4,658 0,321 0,000
A
si(2)
(cm
2
) 1,816 0,000 0,000
A
si(3)
(cm
2
) 0,945 0,196 0,000
A
ss(1)
(cm
2
) 9,275 8,975 9,843
A
ss(2)
(cm
2
) 6,433 5,186 5,575
A
ss(3)
(cm
2
) 2,981 1,770 1,697
A
sw(1)
(cm
2
/m) 2,824 1,983 1,889
A
sw(2)
(cm
2
/m) 2,824 1,983 1,889
A
sw(3)
(cm
2
/m) 2,824 1,983 1,889
f(R$) 32,85 35,51 37,04
λ
1,63 1,75 1,92
β
(ELS / ELU)
- 0,51 / 7,40 1,50 / 7,50
Tempo(seg) - 8 45
NAFC
a
- - 352
a
NAFC é o número de avaliações da função de comportamento.
Tabela 8.2 – Valores iniciais e finais das variáveis de projeto do primeiro exemplo.
Após o processo de cálculo pelo RBDO obtiveram-se os coeficientes
parciais de segurança e os fatores de importância de cada variável aleatória. Para
se obter os coeficientes, primeiramente deve-se otimizar o projeto com uma
confiabilidade alvo que nada mais é que RBDO. Depois, com o valor da variável
aleatória no ponto de projeto e com o valor característico da mesma variável,
calculam-se os fatores parciais de segurança através das Eqs.(4.38) e (4.39).
Assim, tem-se na Tabela 8.3 os resultados dos coeficientes parciais de segurança
para as restrições de confiabilidade (deslocamento restrito e carga crítica) que
representam respectivamente o ELS e o ELU. Para o ELS, comparando-se os
valores dos coeficientes parciais (Tabela 8.3) com os estabelecidos de acordo com
a NBR 6118 (ABNT, 2004) tem-se: f
c
(0,84<1,0); f
y
(0,89<1,0); V (1=1,0) e H
(1,22>1). Para o ELU tem-se: f
c
(2,07>1,4); f
y
(0,89<1,15); V (1,02<1,4) e H
(1,44>1,4).
f
c
f
y
V H
γ
ELS
0,84 0,89 1,00 1,22
γ
ELU
2,07 0,89 1,02 1,44
Tabela 8.3 – Coeficientes parciais de segurança da 1ª aplicação.
Na Tabela 8.4 tem-se os valores dos fatores de importância das variáveis
aleatórias que permitem identificar as variáveis de maior influência nas funções de
comportamento da estrutura. Para este primeiro exemplo de aplicação pode-se
observar claramente através da Tabela 8.4 que as variáveis randômicas que têm
maior sensibilidade (ou importância) no ponto de projeto são: f
c
e H.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
118
f
c
f
y
V H
I
ELS
0,24 0,00 0,00 0,76
I
ELU
0,80 0,00 0,00 0,20
Tabela 8.4 – Fatores de importância da 1ª aplicação.
8.1.2.
Segundo exemplo de aplicação
Neste segundo exemplo são comparados os resultados de projeto obtidos
através do DDO e RBDO para um pórtico plano, como mostra a Figura 8.2, com
nove elementos finitos e 26 graus de liberdade. É utilizado o Modelo I, para o
elemento finito e adotado cinco pontos de Gauss para a integração numérica. O
modelo de elementos finitos considera a não-linearidade geométrica e a não-
linearidade do material. As variáveis randômicas são apresentadas na Tabela 8.5
onde H
1
e H
2
são cargas acidentais, e V
1
e V
2
são cargas permanentes. Os
parâmetros probabilísticos que descrevem o comportamento das variáveis
randômicas f
c
e f
y
são definidos de acordo com as recomendações da NBR 6118
(ABNT, 2004) e do JCSS
3
(2000). O módulo de elasticidade do aço é considerado
como determinístico na análise de confiabilidade das restrições probabilísticas,
E
s
= 2,05x10
8
kN/m
2
. Para a análise de confiabilidade das funções de
comportamento são estabelecidos limites mínimos para os índices de
confiabilidade (Tabela 4.3) com um período de retorno de 50 anos, β
ELU
= 3,8
β
ELS
= 1,5, limitando o deslocamento no nó 4 e a carga crítica da estrutura,
respectivamente.
m06.6
m03.3
1
4
7
2
5
6
V
2
=640 kN
H
2
=50 kN
V
1
=640 kN
H
1
=50 kN
3
10
9
8
(a)
3
Asi
2
h
2
Ass
1
h
3
h
2
Asi
3
Ass
1
Asi
1
Ass
cmb 40
=
h
cmd 4'
=
'd
(b)
Figura 8.2 – (a) (b) Malha e variáveis de projeto.
O exemplo é composto por 36 variáveis de projeto: a altura, h, (3 variáveis);
a área de aço longitudinal inferior, A
si
, (3 variáveis); a área de aço longitudinal
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
119
superior, A
ss
, (3 variáveis); a área de aço transversal, A
sw
, (9 variáveis) e os
parâmetros de deformação, D, (18 variáveis).
Neste exemplo são adotados os seguintes parâmetros: resistência
característica à compressão do concreto, f
ck
= 3 kN/m
2
; coeficiente de variação do
concreto, δ = 0,15; resistência característica de escoamento do aço, f
yk
=
5x10
5
kN/m
2
(CA-50); fatores de minoração do aço e do concreto,
s
γ
= 1,15 e
c
γ
= 1,4; distância do centro de gravidade da armadura à borda mais próxima,
d’ = 4 cm; módulo de elasticidade do aço, E
s
= 2,1x10
8
kN/m
2
; fator de carga
crítico mínimo para análise determinística, λ
*
inf
= 1,4; deslocamento horizontal
nodal restringido (nó 4), u
lim
= 0,03 m; custo do concreto por metro cúbico, C
c
=
215,24; custo do aço por kg, C
s
= 2,91; custo da fôrma por m
2
, C
f
= 58,00.
Variável
Valor
Característico
Média
Desvio
Padrão
Coeficiente
de Variação
Distribuição
f
c
(kN/cm
2
) 3,0000 3,9867 0,5980 0,1500 Lognormal
f
y
(kN/cm
2
) 50,0000 56,0000 3,0000 0,0536 Lognormal
H
1
(kN) 50,0000 47,5456 11,8861 0,2500 Gumbel máx.
V
1
(kN) 640,0000 640,000 64,0000 0,1000 Normal
H
2
(kN) 50,0000 47,5456 11,8861 0,2500 Gumbel máx.
V
2
(kN) 640,0000 640,000 64,0000 0,1000 Normal
Tabela 8.5 – Variáveis aleatórias da 2ª aplicação.
Na Tabela 8.6 são apresentados os valores para as variáveis iniciais e os
valores finais para o projeto ótimo pelo DDO e pelo RBDO. É utilizado o
algoritmo de otimização de programação linear seqüencial (PLS). As restrições
ativas para o RBDO são: de confiabilidade devido à carga crítica; de armadura
mínima de cisalhamento em todos os elementos; do critério de resistência no nó 7
nos elementos 6 e 7 relativa a M/N. O projeto ótimo pelo DDO satisfaz as
restrições determinísticas como o esperado. Analisando a confiabilidade deste
projeto ótimo pode-se verificar que o índice de confiabilidade relacionado à
função de comportamento devido à carga crítica é menor que o recomendado β
ELU
= 3,26 < β
TARGET
= 3.80 (CEN, 2001). O projeto ótimo obtido pelo RBDO satisfaz
ambas as restrições determinísticas e probabilísticas resultando em um projeto
mais seguro.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
120
Variáveis Ponto inicial DDO RBDO
h
(1)
(cm) 40,00 49,72 55,27
h
(2)
(cm) 60,00 50,40 52,72
h
(3)
(cm) 40,00 35,68 34,88
A
si(1)
(cm
2
) 15,10 7,13 7,78
A
si(2)
(cm
2
) 16,70 16,81 17,01
A
si(3)
(cm
2
) 15,10 6,89 5,75
A
ss(1)
(cm
2
) 15,10 5,06 0,00
A
ss(2)
(cm
2
) 16,70 12,28 11,35
A
ss(3)
(cm
2
) 15,10 9,92 9,23
f(R$) 2.216,33 1.847,26 1.854,04
λ
∗
1,97 1,43 1,47
β
(ELS / ELU)
- 1,44 / 3,26 1,83 / 3,79
Tempo(seg) - 60 230
NAFC
a
- - 1207
a
NAFC é o número de avaliações da função de comportamento.
Tabela 8.6 – Valores iniciais e finais das variáveis de projeto do segundo exemplo.
Buscando-se verificar os resultados das análises de confiabilidade obtidos
pelo método do segundo momento (FORM), para este exemplo de aplicação via
RBDO, foi feita uma comparação com os resultados obtidos pelo método de
Monte Carlo (MC) (Tabela 8.7). Para a comparação da probabilidade de falha da
função de comportamento devido ao deslocamento restrito foram gerados 50.000
valores randômicos para cada variável não-determinística. Para a comparação da
probabilidade de falha da função de comportamento devido à carga crítica da
estrutura foram gerados 350.000 valores randômicos para cada variável não-
determinística. Pode-se observar que os resultados obtidos pelo método FORM
foram próximos aos obtidos via método de MC e com um tempo muitíssimo
inferior.
Função de Comportamento
Deformação restrita (ELS) Carga crítica (ELU)
Método Método
FORM MC FORM MC
Média - 1,93 cm - 2,28
Desvio Padrão - 0,54 cm - 0,35
Probabilidade de falha 3,36.10
-2
4,35.10
-2
7,5.10
-5
1,02.10
-4
β
(ELS / ELU)
1,83 1,71 3,79 3,71
Tabela 8.7 – Comparação de resultados obtidos da 2ª aplicação via RBDO pelo método
FORM e pelo método de Monte Carlo (MC).
Na Tabela 8.8 são apresentados os fatores parciais de segurança para as
variáveis randômicas. Eles são obtidos pelas Equações 4.38 e 4.39. Os resultados
dos coeficientes parciais de segurança para as restrições de confiabilidade
(deslocamento restrito e carga crítica) representam respectivamente o ELS e o
ELU. Para o ELS, comparando-se os valores dos coeficientes parciais (Tabela 8.8)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
121
com os estabelecidos de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2004) tem-se: f
c
(0,83<1,0); f
y
(0,90<1,0); V
1
e V
2
(1=1,0); H
1
(1,24>1,0) e H
2
(1,26>1,0). Para o
ELU tem-se: f
c
(0,91<1,4); f
y
(0,92<1,15); V
1
e V
2
(1<1,4); H
1
(1,79>1,4) e H
2
(1,82>1,4).
f
c
f
y
H
1
V
1
H
2
V
2
γ
ELS
0,83 0,90 1,24 0,99 1,26 1,00
γ
ELU
0,91 0,92 1,79 0,97 1,82 1,01
Tabela 8.8 – Coeficientes parciais de segurança da 2ª aplicação.
Na Tabela 8.9 são apresentados os fatores de importância de função de
comportamento em relação às variáveis aleatórias deste exemplo. Para este
segundo exemplo de aplicação pode-se observar que as variáveis randômicas que
têm maior sensibilidade (ou importância) no ponto de projeto são: H
1
e H
2
.
f
c
f
y
H
1
V
1
H
2
V
2
I
ELS
0,09 0,00 0,42 0,01 0,48 0,00
I
ELU
0,07 0,01 0,44 0,01 0,47 0,00
Tabela 8.9 – Fatores de importância da 2ª aplicação.
8.1.3.
Terceiro exemplo de aplicação
Neste terceiro exemplo tem-se um pórtico de dois pavimentos com um vão,
como mostra a Figura 8.3, onde aplicam-se os pesos próprios para os pilares
(
2
3525 cm× ) iguais a 2,07 kN/m, para a viga inferior (
2
4525 cm× ) 3,1 kN/m e
para a superior 3,44 kN/m, considerando-se seus valores como determinísticos. As
cargas atuantes (Figura 8.3) já estão majoradas (γ
f
= 1,4). Este pórtico é
discretizado em oito elementos finitos (Figura 8.3). É utilizado o Modelo I, para o
elemento finito e adotado cinco pontos de Gauss para a integração numérica. O
modelo de elementos finitos considera a não-linearidade geométrica e a não-
linearidade do material. As variáveis randômicas são apresentadas na Tabela 8.10
onde
H
1
e H
2
são cargas acidentais, e V
1
, V
2
, W
1
e W
2
são cargas permanentes.
Os coeficientes de variação e as distribuições probabilísticas descrevem o
comportamento das variáveis randômicas
f
c
e f
y
definidos de acordo com as
recomendações da NBR 6118 (ABNT, 2004) e do JCSS
3
(2000). Para a análise de
confiabilidade das funções de comportamento são estabelecidos limites mínimos
para os índices de confiabilidade com um período de retorno de 50 anos, β
ELU
=
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
122
3,8 e β
ELS
= 1,5, limitando o deslocamento vertical no nó 7 e a carga crítica da
estrutura, respectivamente.
m5
m3
1 2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7 8
m5,3
40 kN/m
V
2
=44 kN
H
2
=19 kN
V
1
=57 kN
H
1
=10 kN
60 kN/m
W
2
=
W
1
=
(a)
Figura 8.3 – Geometria do terceiro exemplo.
O exemplo é composto por 50 variáveis de projeto (Figura 8.4): a altura, h,
(6 variáveis); a área de aço longitudinal inferior, A
si
, (10 variáveis); a área de aço
longitudinal superior, A
ss
, (10 variáveis); a área de aço transversal, A
sw
, (8
variáveis) e os parâmetros de deformação, D, (16 variáveis).
3
Asi
5
h
6
Asw
6
Ass
1
h
2
h
3
h
5
Asi
7
Asi
6
Asi
7
Ass
3
Asw
1
Asw
2
Asi
2
Ass
5
Asw
3
Ass
1
Asi
1
Ass
2
Asw
5
Ass
4
h
4
Asi
4
Ass
4
Asw
6
h
8
Asw
9
Ass
8
Asi
10
Asi
9
Asi
10
Ass
7
Asw
8
Ass
Figura 8.4 – Variáveis de projeto do terceiro exemplo nos elementos.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
123
Neste exemplo são adotados os seguintes parâmetros: resistência
característica a compressão do concreto,
f
ck
= 2,5 kN/m
2
; resistência característica
de escoamento do aço,
f
yk
= 4x10
5
kN/m
2
(CA-40A); fatores de minoração do aço
e do concreto, γ
s
= 1,15 e γ
c
= 1,4; distância do centro de gravidade da armadura à
borda mais próxima,
d’ =5 cm; módulo de elasticidade do aço, E
s
= 2x10
8
kN/m
2
;
fator de carga crítico mínimo para as restrições determinísticas, λ
*
inf
= 1,5;
deslocamento vertical no nó restringido (nó 7), u
lim
= 0,02 m; idade relativa à data
de aplicação da carga de longa duração, t
0
= 4 meses; tempo quando se deseja o
valor da flecha diferida, t = 40 meses; custo do concreto por metro cúbico,
C
c
=
198,98; custo do aço por kg,
C
s
= 2,91; custo da fôrma por m
2
, C
f
= 58,00.
Variável
Valor
Característico
Média
Desvio
Padrão
Coeficiente de
Variação
Distribuição
f
c
(kN/cm
2
) 2,5000 3,3222 0,4983 0,1500 Lognormal
f
y
(kN/cm
2
) 40,0000 46,000 3,0000 0,0652 Lognormal
H
1
(kN) 7,1428 6,7920 1,6980 0,2500 Gumbel máx.
V
1
(kN) 40,7142 40,7142 4,0714 0,1000 Normal
W
1
(kN/m) 42,8571 42,8571 4,2857 0,1000 Normal
H
2
(kN) 13,5714 12,9050 3,2262 0,2500 Gumbel máx.
V
2
(kN) 31,4286 31,4286 3,1428 0,1000 Normal
W
2
(kN/m) 28,5714 28,5714 2,8571 0,1000 Normal
Tabela 8.10 – Variáveis aleatórias da 3ª aplicação.
Na Tabela 8.11 são apresentados os valores para as variáveis iniciais, e os
valores finais após a otimização somente para as variáveis referentes às alturas da
seção do elemento
h
i
. É utilizado o algoritmo de otimização de programação
quadrática seqüencial (PQS). As restrições ativas para o RBDO são: de
confiabilidade devido ao deslocamento vertical limitado no nó 7; de armadura
necessária de cisalhamento nos elementos de 3 ao 8; de armadura de cisalhamento
mínima nos elementos 1 e 2; dos critérios de resistência no elemento 2 relativa a
M/N e no nó 5 elemento no elemento 6 relativa a N.
Variáveis Ponto inicial DDO RBDO
h
(1)
(cm) 35,0 22,26 20,00
h
(2)
(cm) 35,0 20,49 20,15
h
(3)
(cm) 35,0 29,12 25,84
h
(4)
(cm) 35,0 32,44 26,63
h
(5)
(cm) 45,0 42,99 47,40
h
(6)
(cm) 45,0 52,22 55,10
f(R$) 2.364,71 2.059,18 2.019,24
λ
∗
2,75 2,08 2,03
β
(ELS / ELU)
- 0,92 / 10,92 1,51 / 10,77
Tempo(seg) - 50 136
NAFC
a
- - 414
a
NAFC é o número de avaliações das funções de comportamento.
Tabela 8.11 – Valores iniciais e finais das variáveis de projeto do terceiro exemplo.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
124
Como nos exemplos anteriores o projeto ótimo pelo DDO satisfaz as
restrições determinísticas como o esperado, entretanto, quando verificada a
confiabilidade desse projeto ótimo pode se verificar que o índice de confiabilidade
relacionado à função de comportamento devida ao deslocamento restrito é menor
que o recomendado (β
ELS
= 0,92 < β
TARGET
= 1,50) enquanto o índice de
confiabilidade relativo à função de comportamento devida à carga crítica é
excessivo (β
ELU
= 10,92 > β
TARGET
= 3,80). O projeto ótimo obtido pelo RBDO
satisfaz ambas as restrições determinísticas e probabilísticas resultando em um
projeto mais seguro.
Na Tabela 8.12 são apresentados os fatores parciais de segurança para as
variáveis randômicas. Para este exemplo podem-se observar os resultados dos
coeficientes parciais de segurança para as restrições de confiabilidade
(deslocamento restrito e carga crítica) que representam respectivamente o ELS e o
ELU. Para o ELS, comparando-se os valores dos coeficientes parciais (Tabela
8.12) com os estabelecidos de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2004) tem-se:
f
c
(0,89<1,0);
f
y
(0,88<1,0); V
1
, V
2
e W
1
(1=1,0); W
2
(1,11>1,0); H
1
(0,91<1,0) e H
2
(0,86<1,0). Para o ELU tem-se:
f
c
(2,39>1,4); f
y
(1,14<1,15); V
1
e V
2
, (1,02<1,4),
W
1
(1,62>1,4); W
2
(1,06<1,4); H
1
(1,03<1,4) e H
2
(0,71<1,4).
f
c
f
y
H
1
V
1
W
1
H
2
V
2
W
2
γ
ELS
0,89 0,88 0,91 1,01 1,00 0,86 1,00 1,11
γ
ELU
2,39 1,14 0,83 1,03 1,62 0,71 1,02 1,06
Tabela 8.12 – Coeficientes parciais de segurança da 3ª aplicação.
Na Tabela 8.13 são apresentados os fatores de importância da função de
comportamento em relação às variáveis aleatórias deste exemplo. Pode-se
observar que as variáveis randômicas que têm maior sensibilidade (ou
importância) no ponto de projeto são:
f
c
e W
2
para o ELS e f
c
e W
1
para o ELU.
f
c
f
y
H
1
V
1
W
1
H
2
V
2
W
2
I
ELS
0,46 0,00 0,00 0,00 0,00 0.04 0,00 0,50
I
ELU
0,50 0,15 0,00 0,00 0,33 0,02 0,00 0,00
Tabela 8.13 – Fatores de importância da 3ª aplicação.
8.1.4.
Quarto exemplo de aplicação
Neste quarto exemplo são comparados os resultados de projeto obtidos
através do DDO e RBDO para um pórtico plano, como mostra a Figura 8.5, onde
aplicam-se os pesos próprios para os pilares (
2
3025 cm× ) iguais a 2,07 kN/m,
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
125
para a viga (
2
3525 cm×
) 3,44 kN/m, com nove elementos finitos e 24 graus de
liberdade . É utilizado o Modelo I, para o elemento finito e adotado cinco pontos
de Gauss para a integração numérica. O modelo de elementos finitos considera a
não-linearidade geométrica e a não-linearidade do material. As variáveis
randômicas são apresentadas na Tabela 8.14 onde
q
total
é a carga acidental e V
w
é
a velocidade básica do vento. Os parâmetros probabilísticos que descrevem o
comportamento das variáveis randômicas
f
c
e f
y
são definidos de acordo com as
recomendações da NBR 6118 (ABNT, 2004) e do JCSS
3
(2000). O módulo de
elasticidade é considerado como determinístico na análise de confiabilidade das
restrições probabilísticas, E
s
= 2,05x10
8
kN/m
2
. Para a análise de confiabilidade
das funções de comportamento são estabelecidos limites mínimos para os índices
de confiabilidade (Tabela 4.3) com um período de retorno de 50 anos, β
ELS
= 1,5 e
β
ELU
= 3,8, limitando o deslocamento horizontal no nó 4 e a carga crítica da
estrutura, respectivamente.
1
4
7
2
5
6
V
4
V
3
V
1
V
2
3
10
9
8
q
total
V
w
2,02m 2,02m2,02m
6,06m
3,03m
1
4
7
2
5
6
V
4
V
3
V
1
V
2
3
10
9
8
q
total
V
w
2,02m 2,02m2,02m
6,06m
3,03m
2
3
1
4 5 6
8
7
9
(a)
3
Asi
2
h
2
Ass
1
h
3
h
2
Asi
3
Ass
1
Asi
1
Ass
cmb 25
=
h
cmd 4'=
'd
(b)
Figura 8.5 – (a) Dimensões, carregamento e malha (b) variáveis de projeto.
Neste exemplo são adotados os seguintes parâmetros: resistência
característica a compressão do concreto,
f
ck
= 3,0 kN/m
2
; resistência característica
de escoamento do aço,
f
yk
= 5x10
5
kN/m
2
(CA-50); fatores de minoração do aço e
do concreto utilizados nas restrições determinísticas, γ
s
= 1,15 e γ
c
= 1,4; distância
do centro de gravidade da armadura à borda mais próxima,
d’ =4 cm; módulo de
elasticidade do aço,
E
s
= 2,1x10
8
kN/m
2
; fator de carga crítico mínimo para a
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
126
análise determinística, λ
*
inf
= 1,4; deslocamento horizontal nodal restringido (nó
4), u
lim
= 0,01 m; custo do concreto por metro cúbico, C
c
= 215,24; custo do aço
por kg,
C
s
= 2,91; custo da fôrma por m
2
, C
f
= 58,00.
O exemplo é composto por 36 variáveis de projeto: a altura,
h, (3 variáveis);
a área de aço longitudinal inferior,
A
si
, (3 variáveis); a área de aço longitudinal
superior,
A
ss
, (3 variáveis); a área de aço transversal, A
sw
, (9 variáveis) e os
parâmetros de deformação,
D, (18 variáveis).
Neste quarto exemplo de aplicação tem-se um pórtico bi-engastado sujeito à
carga de vento (cidade do Rio de Janeiro) e a cargas acidentais (edifício de
escritórios).
Carga de vento
A carga devida ao vento deste exemplo de aplicação é retirada do trabalho
de Santos (2005). Segundo a NBR 6123 (ABNT, 1988) a carga total,
q
k
(pressão
mais sucção), a ser considerada para um prédio localizado no centro de uma
grande cidade é:
()
2
613,0
kiek
VCCq −=
(8.1)
321
SSSVV
ok
=
(8.2)
onde:
• V
o
é a velocidade básica do vento que apresenta um período de
recorrência médio de 50 anos. A probabilidade de que a velocidade
V
o
seja igualada ou excedida neste período é de 63%;
• V
k
é a velocidade característica do vento;
• S
1
e S
3
são o fator topográfico e o fator estatístico, respectivamente;
• S
2
representa a rugosidade do terreno, dimensões da edificação e
altura sobre o terreno;
• C
e
e C
i
coeficiente de forma externo e interno, respectivamente.
Para este exemplo são assumidos os seguintes valores: V
0
= 35 m/s para a
cidade do Rio de Janeiro; S
1
= 1,0 para terreno plano; S
2
= 1,0 para uma altura de
80 m; S
3
= 1,0 edificação de um edifício para escritórios; C
e
- C
i
= 1,2 (Santos,
2005) e a
1
= 5 m, que é a distância perpendicular entre as colunas.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
127
A média das velocidades máximas anuais do vento (μ
V
), i.e. máximas
ocorridas em um ano, para um tempo de retorno médio (
T ) da velocidade básica
do vento (V
0
) de 50 anos é (Hart, 1982; Santos, 2005):
sm
CDFVCDF
T
V
VwVw
/0497,23
)35(1
1
50
)(1
1
101
=∴
−
=⇒
−
=
μ
(8.3)
onde
CDF
Vw1
é a distribuição de probabilidade acumulada das máximas
velocidades anuais do vento para um período de medida de um ano.
Para o cálculo via RBDO é considerado que o comportamento da velocidade
do vento é representado pela função Gumbel para valores máximos e que a
velocidade máxima média anual possui: média de 23,05 m/s (tempo de retorno de
50 anos); desvio padrão igual a 4,61 m/s. Assumindo uma vida de projeto de 50
anos e de acordo com a teoria de valores extremos tem-se a média e o desvio
padrão da velocidade para 50 anos (JCSS
2
, 2001):
smT
VwVwVw
/11,37)50ln(61,478,005,23)ln(78,0
50
=
×
×
+
=+=
σ
μ
μ
(8.4)
sm
VwVw
/61,4
50
=
=
σ
σ
(8.5)
Carga acidental
A viga suporta uma laje de concreto de prédio de escritórios. As cargas
aplicadas são supostas compostas por duas partes: cargas de longa duração e
cargas de curta duração. As definições e valores seguidos são as especificados
pelo JCSS
2
, (2001).
Para as
cargas de longa duração (sustained loads) adota-se a distribuição
Gamma com média (
μ=0,5 kN/m
2
) correspondente a uma distribuição de 5 anos e
com intensidade de duração de carga permanente para o intervalo, ou seja, é
considerado que o período de renovação de carga é de 5 anos. Isto quer dizer que
a carga tem um valor constante durante 5 anos e se renova depois deste período. O
desvio padrão da carga de longa duração é determinado de acordo com a
expressão:
ϖσσσ
A
A
UVqlt
0
22
)(
+=
(8.6)
222
)(
/75,02
30
20
6,03,0 mkN
qlt
=+=
σ
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
128
onde σ
V
= 0,3 kN/m
2
e σ
U
= 0,6 kN/m
2
são os desvios padrões parciais que
descrevem o modelo estocástico para as cargas constantes dentro de um
determinado período (e.g. peso de mobílias, peso de equipamentos); A
0
= 20 m
2
é
a área de referência; A = 30 m
2
é a área de influência deste exemplo; ϖ = 2 é o
fator de forma de linha de influência.
Para as
cargas de curta duração (intermittent loads, e.g., ajuntamento de
pessoas, reuniões lotadas durante um evento especial, ou estocagem temporária de
móveis para realocação) é adotada uma distribuição Gamma com média (
μ =
0,2 kN/m
2
) e desvio padrão parcial (σ
(u)
= 0,4 kN/m
2
). A taxa de renovação de
carga é de 1 ano e o intervalo de intensidade de duração de carga é de 1/365, ou
seja, um dia por ano. O valor final do desvio padrão da carga de curta duração é
então,
22
0
2
)()(
/46,02
30
20
4,0 mkN
A
A
uqst
===
ϖσσ
(8.7)
Em 5 anos supõe-se que a carga de curta duração será excedida 5 vezes, ou
seja, uma por ano. A função cumulativa de probabilidade para 5 anos será :
CDF
qst5
= (CDF
qst1
)
5
(8.8)
Para se obter a função cumulativa de probabilidade da carga acidental total
(q
total
= q
lt
+ q
st
) é necessário calcular uma integral de convolução
dqqqPDFqCDFCDF
total
qtotal
qstqltqtotal
).()(
0
55
−=
∫
(8.9)
Em 50 anos, a função cumulativa de probabilidade da carga acidental total é
CDF
qtotal50
= (CDF
qtotal5
)
10
(8.10)
A função CDF
qtotal50
pode ser aproximada por uma função Gumbel com
média (
μ = 3,78 kN/m
2
) e desvio padrão (σ = 1,28 kN/m
2
).
Para esta carga acidental total foi adotado que há uma probabilidade de 25%
das cargas serem ultrapassadas no sentido desfavorável, durante um período de 50
anos.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
129
Variável Distribuição
Valor
Característico Média
Desvio
Padrão
Coeficiente de
Variação
a
1
(m) Determinístico 5 - - -
f
c
(kN/cm
2
) Lognormal 3,0000 3,9867 0,5980 0,1500
f
y
(kN/cm
2
) Lognormal 50,0000 56,0000 3,0000 0,0536
q
total
(kN/m
2
) Gumbel máx. 4,4473 3,7800 1,2800 0,3386
V
w
(m/s) Gumbel máx. 35,0000 37,1164 4,6099 0,1242
V
1
(kN) Determinístico 300 - - -
V
2
(kN) Determinístico 5 - - -
V
3
(kN) Determinístico 5 - - -
V
4
(kN) Determinístico 300 - - -
Tabela 8.14 – Parâmetros probabilísticos e determinísticos da 4ª aplicação.
Neste exemplo tanto o DDO como o RBDO, utilizam o algoritmo de
otimização de programação quadrática seqüencial (PQS).
Variáveis Ponto inicial DDO RBDO
h
(1)
(cm) 70 26,21 28,76
h
(2)
(cm) 40 31,46 30,32
h
(3)
(cm) 40 20,00 21,65
A
si(1)
(cm
2
) 10.1 6,66 3,44
A
si(2)
(cm
2
) 10.7 5,09 4,72
A
si(3)
(cm
2
) 10.1 6,77 3,37
A
ss(1)
(cm
2
) 10.1 6,67 4,08
A
ss(2)
(cm
2
) 10.7 6,67 8,79
A
ss(3)
(cm
2
) 10.1 6,23 2,54
f(R$) 1.615,99 960,16 905,14
λ
∗
6,37 1,70 1,51
β
(ELS / ELU)
- 1,18 / 10,81 1,51 / 8,76
Tempo(seg) - 32 120
NAFC
a
- - 597
a
NAFC é o número de avaliações da função de comportamento.
Tabela 8.15 – Valores iniciais e finais das variáveis de projeto do quarto exemplo.
As restrições ativas para o RBDO são: de confiabilidade devido ao
deslocamento restrito; de armadura mínima de cisalhamento nos elementos 3, 5, 7,
8 e 9; do critério de resistência no nó 2 nos elementos 1 e 2 relativa a M/N; no nó
3 nos elementos 2 e 3 relativa a
M/N; no nó 4 elemento 3 relativo a M/N e no
elemento 9 nó 10 relativo a
M/N.
O projeto ótimo pelo DDO satisfaz as restrições determinísticas como o
esperado. Mas ao verificar-se a confiabilidade do projeto ótimo determinístico
(DDO) observa-se que o índice de confiabilidade relacionado à função de
comportamento devida ao deslocamento restrito é menor que o recomendado
(
β
ELS
= 1,18 < β
TARGET
= 1,50) enquanto o índice de confiabilidade relativo à
função de comportamento devida à carga crítica é excessiva (
β
ELU
= 10,81 >
β
TARGET
= 3,80). O projeto ótimo obtido pelo RBDO satisfaz ambas as restrições
determinísticas e probabilísticas resultando em um projeto mais confiável.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Aplicação numérica
130
Na Tabela 8.16 são apresentados os fatores parciais de segurança para as
variáveis randômicas. Para este exemplo pode-se observar os resultados dos
coeficientes parciais de segurança para as restrições de confiabilidade
(deslocamento restrito e carga crítica) que representam respectivamente o ELS e o
ELU (Tabela 8.16). Para o ELS, comparando-se os valores dos coeficientes
parciais com os estabelecidos de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2004), tem-se:
f
c
(0,92<1,0); f
y
(0,90<1,0); q
total
(1,23>1,0) e V
w
(0,83<1,0). Para o ELU tem-se:
f
c
(2,21>1,4); f
y
(1,08<1,15); q
total
, (1,32<1,4) e V
w
(1,46>1,4).
f
c
f
y
q
total
V
w
γ
ELS
0,92 0,90 1,23 0,83
γ
ELU
2,21 1,08 1,32 1,46
Tabela 8.16 – Coeficientes parciais de segurança da 4ª aplicação.
Na Tabela 8.17 são apresentados os fatores de importância de função de
comportamento em relação as variáveis aleatórias deste exemplo. Pode-se
observar que as variáveis randômicas que têm maior sensibilidade (ou
importância) no ponto de projeto são:
f
c,
e q
total
para o ELS e f
c
, f
y
e V
w
para o
ELU.
f
c
f
y
q
total
V
w
I
ELS
0,65 0,00 0,32 0,03
I
ELU
0,66 0,16 0,02 0,16
Tabela 8.17 – Fatores de importância da 4ª aplicação.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
9
Considerações finais
9.1.
Conclusões
Como se pode constatar através das aplicações, quando comparados aos
projetos ótimos obtidos via RBDO, os projetos ótimos obtidos via DDO podem
conduzir a projetos demasiadamente seguros e antieconômicos ou a projetos com
um baixo nível de segurança. Ao se adotar o RBDO é possível se obter um projeto
ótimo seguro com uma probabilidade de falha pré-fixada. Com essa ferramenta,
pode-se otimizar o custo do pórtico com relação aos volumes de aço e de concreto
e à área de fôrma considerando algumas das principais incertezas que constituem
o problema de pórticos planos de concreto armado. O estado limite último (cargas
críticas) e os estados limites de utilização (e.g., deslocamento restrito) são
avaliados pelas restrições determinísticas e não-determinísticas.
Dentro do contexto da revisão bibliográfica, este trabalho é o primeiro a
utilizar técnicas de programação matemática (e.g., SQP, SLP) para a obtenção do
projeto ótimo de estruturas de pórtico plano de concreto armado sujeitas a
restrições determinísticas e não-determinísticas considerando-se a não-linearidade
física e geométrica do problema. As restrições não-determinísticas utilizam o
método de segundo momento (FORM) com o enfoque da medida de desempenho
(PMA – HMV). O procedimento adotado fornece como dados de saída para o
projeto ótimo: as alturas das seções (h); as áreas de aço longitudinais (A
ss
e A
si
) e
as áreas de aço transversais (A
sw
).
Neste trabalho são consideradas como variáveis aleatórias no processo de
avaliação das restrições de confiabilidade: a resistência à compressão do concreto
(f
c
); a tensão de escoamento do aço (f
y
); as cargas permanentes e acidentais (e.g.,
vento). A introdução das cargas como variáveis aleatórias mostrou-se de
fundamental importância na obtenção da confiabilidade desejada, descrevendo de
maneira mais precisa a aleatoriedade do problema.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Considerações finais
132
Uma das vantagens da utilização do RBDO via FORM é a possibilidade de
se obter os coeficientes parciais de segurança para um estado limite de uma
estrutura específica, bem como os fatores de importância das variáveis aleatórias.
Deste modo, é possível avaliar quais são as variáveis que realmente importam na
análise, sem nenhum custo adicional de processamento, pois os mesmos são
subprodutos do RBDO (FORM).
9.2.
Sugestões para trabalhos futuros
A seguir são apresentadas algumas sugestões para trabalhos futuros para se
complementar os estudos iniciados com o presente trabalho:
• O desenvolvimento de uma formulação para se obter o projeto ótimo
de pórticos em 3D sujeitos a restrições determinísticas e não-
determinísticas;
• O desenvolvimento de uma formulação para se obter o projeto ótimo
de estruturas protendidas sujeitas a restrições determinísticas e não-
determinísticas;
• A consideração da altura h, da largura b, do cobrimento das
armaduras dos elementos d’ e dos fatores de modelagem também
como variáveis randômicas;
• A implementação de uma interface gráfica para o programa, o
tornado assim de fácil manipulação e compreensão da entrada e
saída dos dados.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
10
Referências bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto
de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6123: Forças
devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8953: Concreto
para fins estruturais – Classificação por grupos de resistência. Rio de Janeiro,
1992.
ALMEIDA, A. F. de; VAZ, L. E.; VELASCO, M.; EBOLI, C. R. 2005.
Reliability-based design optimization of reinforced concrete cross-section
under uniaxial moment and axial force. XXVI Iberian Latin-American
Congress on Computational Methods in Engineering, Guarapari-ES, Brasil.
ALMEIDA, A. F. de; VAZ, L. E.; VELASCO, M.; EBOLI, C. R. 2006. Projeto
ótimo baseado em confiabilidade de uma coluna modelo de concreto armado
submetida à flexão composta reta. VI Simpósio EPUSP sobre Estruturas de
concreto, São Paulo-SP, Brasil.
ALMEIDA, A. F. de; VAZ, L. E.; VELASCO, M.; 2007. Comparação entre o
projeto ótimo determinístico e o baseado em confiabilidade de pórticos
planos de concreto armado. XXVIII Iberian Latin-American Congress on
Computational Methods in Engineering, Porto, Portugal.
ALMEIDA, A. F. de. Otimização de componentes pré-moldados de concreto
protendido. 2004. 177 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) –
Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Goiás, Goiânia –
GO.
ALMEIDA, S. R. M. de. Contribuição ao projeto ótimo de cabos em vigas de
concreto protendido. 2001. 166 f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) –
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro, Rio de Janeiro.
AL-HARTHY, A. S.; FRANGOPOL, D. M., 1994. Reliability-Based Design of
Prestressed Concrete Beams. ASCE Journal of the Structural Engineering, Vol.
120, No.11, 3156p-3177p.
ANG, A. H. S.; CORNELL, C. A., 1974. Reliability bases of structural safety
and design. ASCE Journal of the Structural Division, Vol.100, No.9, 1755p-
1769p.
ARAÚJO, J. M. 2001. Probabilistic analysis of reinforced concrete columns.
Advances in engineering software 32, 871p-879p, Elsevier.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Referências bibliográficas
134
ARAÚJO, J. M.; REAL, M. de V., 2002. Confiabilidade de vigas projetadas de
acordo com a nova NBR-6118. 44º Congresso Brasileiro do Concreto, Belo
Horizonte-MG, Brasil.
BALLING, R. J.; YAO, X., 1997. “Optimization of reinforced concrete
frames”. Journal of structural optimization, Ed. J. S. Arora, ASCE Manuals and
Reports on Engineering Practice, v. 123, No. 2, pp. 193-202.
BA-ABBAD, M. A., 2004. Reliability-Based Design Optimization of a
Nonlinear Elastic Plastic Thin-Walled T-Section Beam. Dissertation, Faculty
of Virginia Polytechnic Institute and State University, 247 pages.
CEN, 2001. European committee for standardization. EN 1990 – Europe:
Basis of Structural Design.
CHAUDHURI, A.; CHAKRABORTY, S., 2006. Reliability of linear structures
with parameter uncertainty under non-stationary earthquake. Structural
Safety 28, 231p–246p, Elsevier.
CHOI, H.H.; LEEB, S.Y.; CHOIC, I.Y.; CHOD, H.N.; MAHADEVAN, S., 2006.
Reliability-based failure cause assessment of collapsed bridge during
construction. Reliability Engineering and System Safety 91, 674p–688p,
Elsevier.
CHOI, K. K.; YOUN, B. D., 2001. Advances in Reliability Based Optimization
and Probability Analysis. NASA/ICASE Series on Risk-Based Design, 2001.
Iowa City, USA.
DINIZ, S. M. C., 2005. Structural reliability-based methods: rational tools for
design codes development. XXVI Iberian Latin-American Congress on
Computational Methods in Engineering, Guarapari-ES, Brasil.
EBOLI, C. R., 1989. Dimensionamento Ótimo de Seções de Concreto Armado
à Flexão Composta Oblíqua. Dissertação de Mestrado, PUC-RJ, Rio de Janeiro-
RJ, Brasil.
EBOLI, C. R.; VAZ, L. E.; MULLER, A. L., 2004, Aplicação do parâmetro
beta de confiabilidade em otimização de estruturas. XXV Iberian Latin-
American Congress on Computational Methods in Engineering, Recife-PE, Brasil.
EBOLI, C. R.; VAZ, L. E., 2005. Optimization of plane trusses with
constraints in the reliability index Beta. 6th World Congresses of Structural and
Multidisciplinary Optimization, Rio de Janeiro-RJ, Brasil.
ELLINGWOOD, B. R., 1996. Reliability-Based condition assessment and
LRFD for existing structures. Structural Safety Vol. 18, No. 2/3, 67p–80p;
Elsevier Science Ltd. Netherlands.
ELLINGWOOD, B. R., 2003. Toward load and resistance factor design for
fiber-reinforced polymer composite structures. Journal of Structural
Engineering ASCE, vol. 129, No. 4. 449p–458p.
ENEVOLDSEN, I., 1993. Sensitivity Analysis of Reliability-Based
Optimization Models. 465p-472p. STRUCTURTAL OPTIMIZATION 93.
FRANGOPOL, D. M.; IDE, Y.; SPACONE, E.; IWAKI, I., 1996. A new look at
reliability of reinforced concrete columns. Structural Safety Vol. 18 No. 2/3,
pp. 123-150. Elsevier.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Referências bibliográficas
135
FRIEL, L. L. 1974. Optimum Singly reinforced concrete sections. ACI
Structural Journal, Vol.71, No.11, pp. 556-558.
GOMES, H. M. 2003, Análise da confiabilidade estrutural levando em conta a
aleatoriedade das propriedades do concreto. XXIV Iberian Latin-American
Congress on Computational Methods in Engineering, Ouro Preto-MG, Brasil.
GULVANESSIAN, H.; CALGARO, J.; HOLICKY, M., 2002. Designers’ guide
to EN 1990; EUROCODE: basis of structural design. 192p. Thomas Telford,
London.
HAFTKA, R. T.; GÜRDAL, Z. 1993. Elements of structural optimization.
481pp. Kluwer academic publishers, Netherlads.
HART, G. C., 1982. Uncertainty Analysis, Loads and Safety in Structural
Engineering. 224p. Prentice-Hall Editor, New Jersy, USA.
HASOFER, A. M.; LIND, N. C. 1974. Exact and invariant Second-Moment
code format, J. Engineering Mechanics Div. ASCE, Vol.100, No.1, 111p-121p.
HOLZER, S. M.; SOLMERS, A. E., 1977. “Nonlinear Model / Solution
Process: Energy Approach”. Journal of the Engineering mechanics division,
V.103, n. 4, 629p-647p.
HOROWITZ, B., 1988. Dimensionamento ótimo de pilares de concreto
armado. Publicação no 01/08, Universidade Federal de Pernambuco, Brasil.
JCSS
1
, Joint Committee on Structural Safety, Probabilistic Model Code, Part 1:
Basis of Design, 2000.
JCSS
2
, Joint Committee on Structural Safety, Probabilistic Model Code, Part 2:
Loads, 2001.
JCSS
3
, Joint Committee on Structural Safety, Probabilistic Model Code, Part 3:
Resistance Models, 2000.
KANG, M.M.; KIM, L.S.; PULMANO, V.A., 1993. Minimum-Cost reinforced
concrete beams and columns. In: computational Mechanics, Pulmano & Tin-
Loi, V.2, 943p-948p.
KHARMANDA, G.; OLHOFF, N.; EL-HAMI, A., 2004. Optimum values of
structural safety factors for a predefined reliability level with extension to
multiple limit states. 421p-434p. Struct Multidisc Optim 27.
KLEIBER, M.; SIEMASZKO, A.; STOCKI, R., 1999. Interactive stability-
oriented reliability-based design optimization. Comput. Methods Appl. Mech.
Engrg. 168 (1999) 243p-253p, Elsevier.
LAGAROS, N. D.; PAPADOPOULOS, V., 2006. Optimum design of shell
structures with random geometric, material and thickness imperfections.
International Journal of Solids and Structures, Vol.43, No.22-23, 6948p-6964p,
Elsevier.
LEE, S. H.; KWAK, B. M., 2006. Response surface augmented moment
method for efficient reliability analysis. Structural Safety 28 (2006) 261p–272p,
Elsevier.
LEPS, M.; SERJNOHA, M. 2003. New approach to optimization of reinforced
concrete beams. Computers & Structures 81 (2003) 1957p–1966p, Pergamon.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Referências bibliográficas
136
LIMA, E. C. P.; SAGRILO, L. V. S. – Confiabilidade Estrutural, COPPE-
UFRJ, Rio de Janeiro, 2002.
LIANG, Q.Q; XIE Y.M.; STEVEN, G.P. 2000. Topology Optimization of Strut-
and-Tie Models in Reinforced Concrete Structures Using an Evolutionary
Procedure. ACI Structural Journal/March (2000) 322p–331p.
LIANG, Q.Q; UY, B.; STEVEN, G.P. 2002. Performance-Based Optimization
for Strut-Tie Modeling of Structural Concrete. Journal of Structural
Engineering /June (2002) 815p–823p.
LOPES, M. T. de A.; EBOLI, C. R; VELASCO, M. de S. L.; VAZ, L. E. 2006.
Confiabilidade à força cortante de seções transversais de vigas de concreto
armado reforçadas com compósitos de fibras de carbono. VI Simpósio EPUSP
sobre Estruturas de concreto, São Paulo-SP, Brasil.
MAXWELL, C., 1869, Scientific papers, Vol. 2, Dover Publications, New York
(1952), pp.175-177.
MELCHERS, R. E., 2002. Structural Reliability Analysis and Prediction.
437p. John Wiley & Sons, New York.
MELO, A. M. C. de; VAZ, L. E.; SHEHATA, I. A. El M.. 2004, Um critério de
resistência geral para otimização de pórticos de concreto armado. XXV
CILAMCE, Recife, Brasil.
MELO, A. M. C. de. 2000a, Optimum design of RC plane frames with
nonlinear response. 157p – 167p. ISSMO 2000, Swansea, Wales, UK.
MELO, A. M. C. de. 2000b, Projeto ótimo de pórticos planos de concreto
armado. Tese de Doutorado, COPPE-UFRJ, Rio de Janiero-RJ, Brasil.
MOSES, F., 1997, Problems and prospects of reliability-based optimization.
293p – 301p. Engineering Structures, Vol. 19, No. 4, Elsevier.
MÜLLER, A. L.; VAZ, L. E.; EBOLI, C. R, 2003, Otimização de estruturas
reticuladas considerando incertezas. XXIV Iberian Latin-American Congress
on Computational Methods in Engineering, Ouro Preto-MG, Brasil.
NOGUEIRA, C. G., Um modelo de confiabilidade e otimização aplicados à
estruturas de barras de concreto armado. 2005. 166f. Dissertação (Mestrado
em Engenharia Civil) – Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-
USP.
NEVES, R. A.; CHATEAUNEUF, A.; VENTURINI, W. S.; LAMAIRE, M.
2006, Reliability analysis of reinforced concrete grids with nonlinear material
behavior, Reliability Engineering & System Safety 91 (2006), 735p-744p,
Elsevier.
NOWAK, A. S.; SZERSZEN, M. M., 2004, Reliability-Based calibration for
structural concrete, Phase 2. 97p. Portland Cement Association Research &
Development Information, PCA R&D Serial No. 2674, USA.
NOWAK, A. S.; COLLINS, K. R., 2000. Reliability of structures. 338 p.
McGraw Hill Higher Education, USA.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Referências bibliográficas
137
PAPADRAKAKIS, M., LAGAROS, N. D., PLEVRIS, V., 2005. Design
optimization of steel structures considering uncertainties. Engineering
Structures 27 (2005) 1408p–1418p, Elsevier.
PEREIRA, A., 2007. Projeto ótimo baseado em confiabilidade: Aplicação a
treliças espaciais. Tese de Doutorado, PUC-RJ, Rio de Janeiro-RJ, Brasil.
RACKWITZ, R.; FIESSLER, B. 1978. Structural reliability under combined
random load sequences, Computers and structures, Vol.9, No.5, 489p-494p.
REAL, M. de V.; FILHO, A. C. 2001, Aplicação do método de Monte Carlo no
estudo de vigas e pilares de concreto armado. 35p – 44p. Teoria e Prática na
Engenharia Civil No. 2, Brasil.
RODRIGUES Jr., S. J., 2005. Otimização de pilares de edifícios altos de
concreto armado. Tese de Doutorado, PUC-RJ, Rio de Janeiro-RJ, Brasil.
SALEH, J. H.; MARAIS, K., 2006. Reliability: How much is it worth? Beyond
its estimation or prediction, the (net) present value of reliability. Reliability
Engineering & System Safety 91 (2006) 665p–673p, Elsevier.
SANTOS, H. de C., 2005. Reliability based determination of safety factors for
earthquake and wind in Brazilian conditions. 3721p – 3728p. ICOSSAR 2005,
Rome, Italy.
SANTOS, H. de C.; EBOLI, C. R., 2006. Avaliação da confiabilidade
estrutural com base nas normas NBR-6118 e NBR-8681. VI Simpósio EPUSP
sobre Estruturas de concreto, 502p-517p, São Paulo-SP, Brasil.
SEPULVEDA, A. E.; EPSTEIN, L. D., 1993. Approximation Concepts for
Structural Synthesis with Uncertain Parameters. 457p-464p. STRUCTURAL
OPTIMIZATION 93.
SOARES, R. C.; VENTURINI, W. S., 2001. Introdução à Análise de
Confiabilidade. Notas de Aula, São Carlos (2001).
SOARES, R. C.; MOHAMED, A.; VENTURINI, W. S.; LEMAIRE, M., 2002.
Reliability analysis of non-linear reinforced concrete frames using the
response surface method. Reliability Engineering & System Safety 91 (2002),
Elsevier.
SOUZA Jr., J. B. M., 1992. Dimensionamento Ótimo de Pilar Padrão de
Concreto Armado. Dissertação de Mestrado, PUC-RJ, Rio de Janeiro-RJ,
Brasil.
SZERSZEN, M. M.; NOWAK, A. S., 2005. Reliability-based sensitity analysis
of RC columns resistance. 2525p – 2530p. ICOSSAR 2005, Rome, Italy.
TSOMPANAKIS, Y., et al., 2005. Recent advances in reliability-based
structural optimization under earthquake loading. 6th World Congresses of
Structural and Multidisciplinary Optimization, Rio de Janeiro-RJ, Brasil.
TU, J.; CHOI, K. K.; PARK, Y.H., 1999. A New Study on Reliability-Based
Design Optimization. ASME J. Mech Des, Vol.121, No.4, 557p–564p.
ULAM, S. M., 2007 Encyclopedia Britannica Article. Stanislaw Marcin Ulam.
Disponível em: < http://www.britannica.com/eb/article-9074138/Stanislaw-
Marcin-Ulam>, Acesso em: 20 nov. 2007.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Referências bibliográficas
138
URBAN, A. G. G., 1992. Dimensionamento Ótimo em concreto armado: Viga
contínua e seção transversal retangular submetida à flexão composta reta.
Dissertação de Mestrado, PUC-RJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
VAL, D.; BLJUGER, F.; YANKELEVSKY, D., 1995. Optimization problem
solution in reliability analysis of reinforced concrete structures. 351p – 355p.
Computers & Structures Vol. 60, N.3, 1996, Elsevier.
YANG, S.I.; FRANGOPOL, D. M.; KAWAKAMI, Y.; NEVESA, L. C., 2006.
The use of lifetime functions in the optimization of interventions on existing
bridges considering maintenance and failure costs. Reliability Engineering and
System Safety 91 (2006) 698p–705p, Elsevier.
YOUN, B. D.; CHOI, K. K., 2004. A new response surface methodology for
reliability-based design optimization. Computers and Structures, Vol.82, No.2-
3, 241p–256p, Elsevier.
YOUN, B. D.; CHOI, K. K.; DU, L., 2004. Adaptive probability analysis using
an enhanced hybrid mean value method. Struct Multidisc Optim.
YOUN, B. D.; CHOI, K. K.; PARK, Y. H., 2003. Hybrid Analysis Method for
Reliability-Based Design Optimization. J Mech Des, ASME 125, 221p–232p;
Proceedings of 2001 ASME Design Engineering Technical Conferences: 27 th
Design Automation Conference. Pittsburgh, PA.
YOUN, B. D.; CHOI, K. K.; DU, L., 2005. Enriched Performance Measure
Approach (PMA+) for Reliability-Based Design Optimization. American
Institute of Aeronautics and Astronautics, 16p.
WANG, L.; GRANDHI, R. V., 1993. Reliability-Based Optimization of
Structure. 441p-448p. STRUCTURTAL OPTIMIZATION 93.
ZOU, T.; MAHADEVAN, S., 2006. A direct decoupling approach for efficient
reliability-based design optimazation. Struct Multidisc Optim, 190p-200p.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice A
CONFIABILIDADE DE SISTEMAS
A.1
Probabilidade de falha de um sistema em série
Segundo a teoria das probabilidades, para a união de eventos, a
probabilidade de falha de um sistema em série pode ser obtida por:
()()
∪
−+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
≤=
∑∑∑∑∑∑
=>>=>=
=
n
i
n
ik
n
kl
ikl
j
i
j
ik
ik
j
i
i
j
i
i
s
f
PPP
GPp
111
1
0.0V
(A.1)
onde:
(
)
(
)
00V .GPP
ii
≤
=
(A.2)
()()
(
)
(
)
[]
00V00V .GP.GPPP
kiik
≤
∩
≤
=
(A.3)
()()
(
)
(
)
(
)
(
)
[]
00V00V00V .GP.GP.GPPP
lkiikl
≤
∩
≤
∩≤=
(A.4)
g
i
identifica o i-ésimo componente do sistema e os símbolos Σ e
∩
denotam
respectivamente, “somatório” e “interseção”.
Como as probabilidades de falha dos componentes individuais geralmente
são baixas na análise de problemas estruturais, os termos de terceira ordem podem
ser desprezados na maioria das vezes. A probabilidade de falha de um sistema em
série (Eq. A.1) pode ser calculada utilizando as seguintes expressões:
(
)
ii
P
β
Φ
−
=
(A.5)
(
)
ikjiik
,,P
ρ
β
β
Φ
−
−
=
(A.6)
onde:
β
i
,
β
j
- são os índices de confiabilidade de cada um dos componentes;
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice A
140
ρ
ik
- é a correlação entre dois componentes;
()
Φ - é a função cumulativa de probabilidades normal padrão;
()
ρ
,,Φ
- é a função cumulativa bidimensional normal padrão.
A função cumulativa bidimensional normal padrão, pode ser expressa
matematicamente por:
()
(
)
(
)
dzz
ji
jijijiji
∫
−−+−Φ−Φ=−−Φ
,
0
,
,,),,(
ρ
ββϕββρββ
(A.7)
onde
(
)
z
ji
,,
β
β
ϕ
é a função densidade de probabilidades bidimensional padrão:
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+
−
−
=
2
22
2
1
2
2
1
exp
12
1
,,
z
xyzyx
z
zyx
π
ϕ
(A.8)
A integral da Eq. (A.7) deve ser avaliada numericamente. Alternativamente,
têm-se os chamados limites de primeira-ordem e segunda-ordem que podem ser
utilizados para evitar a avaliação numérica da mesma. Neste caso são obtidos os
limites: superior e inferior da probabilidade de falha de um sistema em série para
os dois limites.
Limites para probabilidade P
ik
:
() ()
[]
[
]
(
)
(
)
BPAPggPBP,APmax
ki
+
≤
≤
(A.9)
() ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−=
2
1
ρ
ρββ
ΦβΦ
ik
i
AP
(A.10)
() ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−=
2
1
ρ
ρββ
ΦβΦ
ki
k
BP
(A.11)
Limites de primeira ordem:
()
[]
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−≤≤
∏
=
=
n
i
ifi
n
n
FPpFPmax
1
1
11
(A.12)
Limites de segunda ordem:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice A
141
() ()
()
()
()
[]
∑∑
∑∑
=
<
=
−
==
−⇒
⇒≤≤
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
n
i
ji
ij
n
i
i
f
i
j
jii
n
i
FFPmaxFP
p.,FFPFPmaxFP
21
1
12
1
00
(A.13)
Na Figura A.1a são mostrados os limites de primeira ordem para um sistema
com duas funções de falha:
() ()
111
FPb,aG →→
β
e
(
)
(
)
222
FPb,aG →→
β
(A.14)
Para modos de falha independentes a probabilidade de falha de uma
estrutura pode ser representada por:
()()
211
1
=⇒−−=
∏
=
nFPp
n
i
if
(A.15)
onde, F
i
é a probabilidade de falha do modo i.
A Eq. (A.15) pode ser expandida da seguinte forma:
()
(
)
(
)
2121
FFPFPFPp
f
∩
−
+=
(A.16)
Contudo, quando
()
1<<
i
FP o termo
(
)
21
FFP
∩
pode ser desprezado e a
Eq. (A.16) pode ser aproximada para:
(
)
(
)
21
sup
FPFPp
f
+≅
(A.17)
onde
sup
f
p
representa o limite de probabilidade de falha superior.
Para a determinação do limite inferior, considera-se o caso onde todos os
modos de falha são totalmente dependentes, sendo que o modo que tiver a maior
probabilidade de falha será sempre o de provável colapso, conforme Eq. (A.18).
()
[]
i
n
i
f
FPp
1
inf
max
=
=
(A.18)
Assim, tem-se para um sistema em série os limites inferiores e superiores,
onde eles limitam uma região entre completamente independente e totalmente
dependente, tomando, portanto, a Eq. (A.18) como limite superior e Eq. (A.17)
como inferior, tem-se:
()()
[]
(
)
(
)
2121
,max FPFPpFPFP
f
+
≤
≤
(A.19)
Limites de segunda ordem:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice A
142
Os limites de segunda ordem são obtidos levando em consideração os
termos
()
21
FFP ∩ na Eq. (A.16). Assim, determina-se o limite inferior por:
()
(
)
(
)
{
}
0,max
2121
FFPFPFPp
f
∩
−
+≥
(A.20)
e o limite superior de segunda ordem é obtido por:
()
(
)
(
)
2121
FFPFPFPp
f
∩
−
+
≤
(A.21)
Desta forma, pode-se ressaltar que os limites de segunda ordem possuem
uma precisão maior que os de primeira ordem, devido ao fato deste considerar os
termos
()
21
FFP ∩ , podendo-se escrever que:
() ()
(
){}
() () ( )
2121
2121
0
FFPFPFP
p,FFPFPmaxFP
f
∩−+⇒
⇒≤≤∩−+
(A.22)
No caso de duas funções de falha, resolvendo-se a Eq. (A.21) obtém-se a
probabilidade de falha exata de um sistema em série. Como se pode observar pela
Eq. (A.22) é necessário determinar o termo
(
)
21
FFP
∩
, podendo ser determinado
de forma exata através da Eq. (A.6) ou Eq. (A.7), que tem um alto custo
computacional, ou pelos limites P
ik
da Eq. (A.9).
(a)
(b)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice A
143
Figura A.1 - Região de integração no espaço inicial (correlacionado) normal bi-
variacional; (b) Região de integração transformada no espaço reduzido (independente)
normal bi-variacional padrão; (c) Limites BPC e APD para
),(,
ρ
Φ
, região fora de BPD.
Considerando inicialmente a Figura A.1a onde se tem um espaço típico de
uma função de densidade de probabilidade, com
2
1
=
ρ
. Porem é mais
conveniente se trabalhar com o espaço reduzido (normal padrão independente)
(x
1
, x
2
) para essa transformação se usa Eq. (A.23).
()
2221
2/12
1
,
)1(
1
yxyyx =−
−
=
ρ
ρ
(A.23)
Fazendo-se a transformação obtém-se a Figura A.1b no espaço reduzido
onde o ângulo
2
π
θ
< (onde
)cos(
θ
ρ
=
), pode-se notar que houve um giro no
sentido anti-horário do eixo. Através da Figura A.1 pode-se determinar a Eq.
(A.9).
Na Figura A.1c a parte hachurada representa ),(,
ρ
Φ
limitadas por BPD. No
espaço reduzido a região APD representa o produto da probabilidade de
Φ(-a) e
Φ(-b). A região BPC representa o maior limite (Φ(-b) Φ(-h)) e a APD representa
o menor limite (
Φ(-a) Φ(-k)). Desta forma,
[]
)()()()(
),,()()(),()(max
kahb
khkahb
−Φ−Φ+−Φ−Φ≤
−
−
Φ
≤
−
Φ
−Φ−Φ−Φ
ρ
(A.24)
2/12
)1(
ρ
ρ
−
−
=
kh
a
(A.25)
(c)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice A
144
2/12
)1(
ρ
ρ
−
−
=
hk
b
(A.26)
A eqs. (A.24) e (A.9) só valem para valores positivos de 0≥
ρ
para valores
de
0<
ρ
, tem-se
[
]
)()(),()(max),,(0 kahbkh
Φ
Φ
Φ
Φ
≤Φ≤
ρ
(A.27)
Assim, pode-se reescrever a equação de limite de segunda ordem do
problema.
() ()
(
)
{
}
() () ( )
−
+
∩−+⇒
⇒≤≤∩−+
2121
2121
0,max
FFPFPFP
pFFPFPFP
f
(A.28)
()
[]
)()(),()(max
21
kahbFFP −Φ−Φ−Φ−Φ=∩
−
(A.29)
()
)()()()(
21
kahbFFP −Φ−Φ+−Φ−Φ=∩
+
(A.30)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice B
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
B.1
Distribuição normal
A distribuição normal ou gaussiana,
PDF, pode ser definida por:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
2
)(
2
1
exp
2
1
)(
x
x
x
X
x
xf
σ
μ
πσ
(B.1)
onde x é a variável aleatória, e os parâmetros
x
μ
e
x
σ
são a média e o desvio
padrão desta variável aleatória, respectivamente.
Muitas vezes a função é representada de uma forma mais simples, sendo:
N(
x
μ
,
x
σ
), por necessitar de apenas dois parâmetros. Para obter a função
cumulativa CDF, é necessário empregar integração numérica ou tabelas
disponíveis na bibliografia.
()()
dvexFxXP
s
v
X
∫
∞−
−
==≤
2
2
1
2
1
π
(B.2)
onde
()
XX
xs
σ
μ
−= .
Uma forma de avaliação alternativa de
)(xf
X
e
(
)
xF
X
é conseguida
introduzindo uma variável reduzida
s, que contém média zero e desvio padrão
unitário, N(0,1). Os valores de
)(xf
X
e
(
)
xF
X
para esta variável reduzida são
tabelados e identificadas por
(
)
s
φ
e
(
)
s
Φ
. Assim, as expressões (B.1) e (B.2)
podem ser reescritas da seguinte forma, para um par N(
x
μ
,
x
σ
).
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
X
X
x
X
x
xf
σ
μ
φ
σ
1
)(
(B.3)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice B
146
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ=
X
X
X
x
xF
σ
μ
(B.4)
B.2
Distribuição lognormal
Tem-se uma distribuição lognormal quando estatisticamente ln(X), sendo X
uma variável aleatória, pode ser representado por uma distribuição normal. Assim,
a PDF e a CDF, para uma variável lognormal, são definas por:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
2
)
ln
(
2
1
exp
2
1
)(
ξ
λ
πξ
x
xf
x
X
(B.5)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ=
ξ
λ
x
xF
X
ln
(B.6)
onde
λ
é o valor esperado de ln(X),
2
2
1
ln
ξμλ
−=
X
, e
ξ
é o desvio padrão de
ln(X),
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
1ln
X
X
μ
σ
ξ
.
B.3
Distribuição beta
A função de distribuição Beta tem como vantagem apresentar grande
flexibilidade em se adaptar aos dados probabilísticos observados. Sua PDF é
representada por quatro parâmetros (
a, b, q, r), como se vê a seguir:
()
(
)
()
bxa
ab
xbax
rq
xf
rq
rq
X
≤≤
−
−−
=
−+
−−
1
11
),(
1
)(
β
(B.7)
onde a função Beta é dada por
∫
+Γ
ΓΓ
=−=
−−
1
0
11
)(
)()(
)1(),(
rq
rq
dxxxrq
rq
β
(B.8)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Apêndice B
147
∫
∞
−−
−==Γ
0
1
)!1()( kduuek
ku
para k inteiros > 0
(B.9)
Como podem ser observados os parâmetros a e b descrevem intervalos de
inúmeras distribuições Beta. Fazendo-se a = 0 e b = 1 obtém-se a função Beta
padrão que apresenta PDF e CDF definas por:
()
101
),(
1
)(
1
1
≤≤−=
−
−
sss
rq
xf
r
q
X
β
(B.10)
10
),(
),(
)( ≤≤= s
rq
rq
sF
s
s
β
β
(B.11)
B.4
Distribuições de valores extremos
As distribuições de probabilidade de valores extremos são utilizadas na
engenharia devido à necessidade de se representar os valores máximos extremos
dos carregamentos atuantes sobre a estrutura durante sua vida útil e os valores
mínimos de resistência da mesma.
Para a avaliação das distribuições é necessário que sejam coletados dados
durante vários anos (no mínimo 20 a 25 anos) para que se ajuste a melhor
distribuição possível para os valores. Devido à dificuldade de obtenção destes
dados surgiu a chamada estatística de extremos que possibilita definir a
distribuição dos valores extremos de uma variável X.
Podem-se citar como principais distribuições de valores extremos utilizados
na engenharia, as seguintes:
•
Tipo I (máximos) ou Gumbel;
•
Tipo I (mínimos);
•
Tipo II (máximos);
•
Tipo III (mínimos) ou Weibull.
Maiores detalhes sobre estas distribuições e outras são encontradas em
(Melchers 2002, Nowak 2000, JCSS 2000, Hart 1982).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410735/CA
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo