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NESP –
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
Campus Universitário de Bauru
Programa de Pós-Graduação em Educação Para A Ciência
Faculdade de Ciências
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Bauru
2009
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RICHAEL SILVA CAETANO
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Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Educação Para A Ciência da UNESP - “Universidade
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho”, Campus de
Bauru, como um dos requisitos para a obtenção do título
de MESTRE em Educação Para A Ciência (Área de
Concentração: Ensino de Ciências e Matemática).
Orientador: Prof. Dr. Nelson Antonio Pirola
Bauru
2009
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Caetano, Richael Silva.
Alguns reflexos da didática construtivista no
Ensino de Matemática nas quatro séries iniciais do
Ensino Fundamental / Richael Silva Caetano, 2009.
431 f.
Orientador: Nelson Antonio Pirola
Dissertação (Mestrado)–Universidade Estadual
Paulista. Faculdade de Ciências, Bauru, 2009
1. Epistemologia Genética piagetiana. 2. Saberes
Docentes. 3. Ensino de Matemática. 4. Formação de
Professores. 5. Didática da Matemática. I.
Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências.
II. Título.
Dedico este trabalho:
Aos meus pais, Aparecido e Doralice;
Ao meu querido irmão, Rodolfo;
Ao Prof. Nelson, pela orientação e por acreditar em mim;
E a todos aqueles que sempre torceram pelas minhas conquistas.
A
GRADECIMENTOS
É impossível agradecer a todos que sempre me apoiaram nessa jornada. Difícil, porém
extremamente gratificante. Logo, peço desculpas para aqueles que pelo descuido eu não
referenciar.
Um sincero OBRIGADO...
... A Deus, pela possibilidade de viver e poder melhorar a cada dia;
... Aos meus pais, pelo apoio incondicional e amor infinito;
... Ao meu irmão, pela torcida silenciosa, porém sincera;
... A todos da minha família, em especial: tia (Dalva), prima (Michelle), tio (Luis), vó
(Izabel);
... Ao Prof. Dr. Nelson Antonio Pirola, meu querido amigo e sábio orientador;
... Às professoras doutoras da Banca de Qualificação e Defesa: Rosana G. S. Miskulin e
Regina M. S. P. Tancredi, pelas preciosas colaborações e sugestões;
... À professora doutora Rosely Palermo Brenelli, pelas imensas contribuições a respeito da
teoria de Jean Piaget na Educação (Matemática);
... Aos colegas do Programa de Pós-Graduação em Educação Para A Ciência;
... Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Para A Ciência, pela
oportunidade de/em rediscutir a Educação em nosso país;
... A duas queridas amigas de Graduação, Gláucia e Fabiana;
... Aos colegas de profissão com os quais aprendo o sentido do ofício de “ser professor”;
... Às secretárias da Pós-Graduação, Ana e Andressa, pelas imensas colaborações;
... Aos quatro professores participantes e seus respectivos alunos, sem vocês este trabalho não
estaria “concluído”;
... À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo (Programa Bolsa Mestrado), pelo apoio
financeiro.
R
ESUMO
A presente pesquisa investigou a utilização da Epistemologia Genética piagetiana através da
análise das ações didáticas adotadas por quatro professores (sendo cada um pertencente às
quatro séries iniciais do Ensino Fundamental) durante a abordagem dos conteúdos
matemáticos. Além disso, observou-se como ocorreu a apropriação do construtivismo
piagetiano à constituição da prática docente dos referidos professores. Configurando uma
pesquisa qualitativa, do tipo estudo de caso, a coleta dos dados foi realizada por meio dos
seguintes instrumentos/métodos: I – Entrevistas estruturadas, II – Questionários abertos,
fechados e mistos, III – Observação de campo. Após dois meses de pesquisa de campo, em
duas escolas pertencentes à Diretoria de Ensino da Região de Bauru, identificaram-se os
seguintes aspectos com relação às ações didáticas: as professoras da 1ª e 2ª séries utilizaram
exclusivamente o método expositivo-transmissivo (caracteristicamente do Ensino
Tradicional); a docente da 3ª série usou conjuntamente com a exposição-transmissão alguns
elementos construtivistas (a operação sobre o material concreto, o questionamento visando à
ocorrência do pensar sobre a ação, a interação entre alunos e professora); o professor da 4ª
série foi o que mais apresentou estratégias didáticas construtivistas, tais como a dinâmica de
grupo, a avaliação diagnóstica, a proposição de situações problema e questionamentos,
permitindo aos estudantes tomarem consciência (em maior probabilidade) de suas ações. A
respeito da apropriação da teoria de Piaget, observaram-se algumas compreensões
“distorcidas”, sendo possível afirmar que esta apropriação ocorreu de modo
difuso/fragmentado e (em alguns casos) contraditório. Por fim, as ‘idéias construtivistas’ mais
discursadas pelos quatro professores participantes foram: a construção contínua dos
conhecimentos lógico-matemáticos e a necessidade da manipulação no concreto.
Palavras-chave: Epistemologia Genética piagetiana. Saberes Docentes. Ensino de
Matemática. Formação de Professores. Didática da Matemática.
A
BSTRACT
The present study investigated the utilization of the Piaget’s Genetic Epistemology through
the analysis of the didactic actions adopted by four professors (being each one from the first
four grades of the Elementary Education) during the teaching of elementary mathematics. In
addition, it was observed the manner in which the Piaget's constructivist approach was
developed within the teaching practice of these professors. Throughout a qualitative research,
such as case study, the data gathering was realized through the following methods: I –
Structured interviews, II – Opened, closed and mixed questionnaires, III – Field observation.
After two months of field research in two different schools that belong to the Department of
Education of the County of Bauru, the following aspects were observed regarding the
teaching actions: the teachers of the 1
st
and 2
nd
grades utilized only the exposing method
(characteristically to the traditional teaching method); the teacher of the 3
rd
grade in addition
to the exposing method utilized also a few constructivist elements (the operation of the
concrete material, the questioning utilizing the thought processing over the action, as well as
the interrelationship between the teacher and students); the 4
th
grade teacher was the
professional who most presented constructivist didactic strategies, such as the group dynamic,
diagnostic evaluation, the presentation of problem-situations with questions that promotes
students’ conscientization (in higher probability) of their actions. Regarding the Piaget’s
theory approach, some “distorted” comprehensions were observed, which leaded us to
conclude that it occurred in a diffused/fragmented manner and in some cases contradictory.
Finally, the “constructivist ideas” most adopted by the four teachers were: the continue
construction of the logical-mathematical knowledge and the necessity of concrete
manipulation.
Key words: Piaget’s Genetic Epistemology. Teaching Knowledge. Mathematical Education.
Professors’ Formation. Mathematic Didactics.
L
ISTA
D
E
F
IGURAS
Figura 1 – Três clássicas teorias do conhecimento...................................................................26
Figura 2 – Noção de Conservação: correspondência um a um (perceptiva).............................37
Figura 3 – Noção de Conservação: correspondência um a um (não perceptiva)......................37
Figura 4 – Conhecimentos Endógenos a Exógenos..................................................................48
Figura 5 – Esquema da estrutura aditiva...................................................................................54
Figura 6 – Disposição dos dias/semanas da observação de campo.........................................137
Figura 7 – Cartela utilizada no Jogo do Baralho confeccionado pelos alunos de P-IV..
.
...
.
.....191
Figura 8 – Disposição das peças do Material Dourado no chão para a operação de
subtração......................................
.....
...........................................................................................195
Figura 9 – Troca de uma dezena por dez unidades e operacionalização da subtração 960 -
138...........................................................................................................................................195
Figura 10 – Tabuleiro do Jogo da Multiplicação utilizado pelos alunos de P-IV...................196
Figura 11 – Esquema Geral sobre o Processo de Equilibração Majorante...........................
.
.
..208
L
ISTA
D
E
O
RGANOGRAMAS
Organograma 1 – Etapas principais do Método Psicogenético.................................................68
Organograma 2 – Disposição dos Participantes da Pesquisa..........................................
.
........117
Organograma 3 – Seqüência das ações à coleta de dados com P-I, P-II, P-III e P-IV............134
Organograma 4 – Ações utilizadas na observação das aulas de Matemática......
.
............
..
.......135
Organograma 5 – Estratégias Didáticas Gerais de P-II...........................................................160
L
ISTA
D
E
Q
UADROS
Quadro 1 – Fases do desenvolvimento cognoscivo...............................................
.
...................32
Quadro 2 – Prova da Noção de Conservação (quantidade)....................................
..
..................37
Quadro 3 – Desenvolvimento Intelectual e Afetivo..................................................................44
Quadro 4 – Situação Hipotética 1: A construção de estruturas aditivas...................................63
Quadro 5 – Método Heurístico e Método Psicogenético..........................................................70
Quadro 6 – Relação entre Saberes: TARDIF e PACHECO...................................
..
................103
Quadro 7 – Os saberes dos professores...................................................................................106
Quadro 8 – Três Concepções de Aprendizagem da Prática Docente......................................108
Quadro 9 – Características de Pesquisas Qualitativas.............................................
..
...............113
Quadro 10 – Características do Estudo de Caso nas Pesquisas Qualitativas...........
.
...............115
Quadro 11 – Participantes da pesquisa.....................................................................
..
..............116
Quadro 12 – Número de alunos e Média de Idade por sala....................................................116
Quadro 13 – Caracterizações profissionais do P-I....................................................
.
..............118
Quadro 14 – Caracterizações profissionais do P-II.................................................................118
Quadro 15 – Caracterizações profissionais do P-III..................................................
..
.............119
Quadro 16 – Caracterizações profissionais do P-IV..................................................
.
.............119
Quadro 17 – Escolas participantes: algumas caracterizações....................................
..
.............120
Quadro 18 – Descrição dos Instrumentos utilizados..................................................
.
.............120
Quadro 19 – Procedimento Didático e Metodológico E Materiais Utilizados pelo
professor....................................................................................................
.
..............................124
Quadro 20 – Detalhamento das categorias do bloco Procedimento Didático e
Metodológico.............................................................................................
..
.............................126
Quadro 21 – Resumo das etapas do Método Psicogenético....................................................126
Quadro 22 – Classificação das perguntas contidas nos questionários...................
..
.................132
Quadro 23 – Distribuição dos Procedimentos e Materiais nas Categorias FR, PO, RA, NC de
P-II..........................................................................................................
.
................
..
................144
Quadro 24 – Situação Hipotética 2: Um redirecionamento acerca da subtração....................158
Quadro 25 – Resultados da Entrevista Final realizada com P-II................................
..
............164
Quadro 26 – Respostas provenientes do Questionário Inicial (Apêndice B, categoria B) – P-I e
P-III.........................................................................................................................................168
Quadro 27 – Respostas da questão 5 (Apêndice B, categoria B) de P-I e P-III......................169
Quadro 28 – Resultados da Entrevista Final realizada com P-I.......................
...
......................180
Quadro 29 – Resultados da Entrevista Final realizada com P-III.....................
.
......................181
Quadro 30 – Respostas provenientes do Questionário Inicial (Apêndice B, categoria B) – P-
IV.......................................................................................................................
..
.....................184
Quadro 31 – Distribuição dos Procedimentos e Materiais nas Categorias FR, PO, RA e NC de
P-IV....................................................................................................................
.
.....................185
Quadro 32 – Resultados da Entrevista Final realizada com P-IV...................
.
........................201
L
ISTA
D
E
T
ABELAS
Tabela 1 – Dados numéricos da Observação Total de P-II.....................................................148
Tabela 2 – Freqüência Total: Apêndice D de P-II..................................................
..
................148
Tabela 3 – Distribuição do Total de Procedimentos e Materiais Utilizados por P-II (Nº e
%).............................................................................................................................
.
...............149
Tabela 4 – Dados numéricos da Observação Total de P-I.......................................
.
...............172
Tabela 5 – Dados numéricos da Observação Total de P-III....................................
..
...............172
Tabela 6 – Freqüência Total: Apêndice D de P-I....................................................................173
Tabela 7 – Distribuição do Total de Procedimentos e Materiais Utilizados por P-I (Nº e
%)............................................................................................................................................173
Tabela 8 – Freqüência Total: Apêndice D de P-III.................................................................175
Tabela 9 – Distribuição do Total de Procedimentos e Materiais Utilizados por P-III (Nº e
%)............................................................................................................................................175
Tabela 10 – Dados numéricos da Observação Total de P-IV....................................
..
.............188
Tabela 11 – Freqüência Total - Apêndice D - P-IV...................................................
.
.............188
Tabela 12 – Distribuição do Total de Procedimentos e Materiais Utilizados por P-IV (Nº e
%)...............................................................................................................................
.
.............189
S
UMÁRIO
I
NTRODUÇÃO.......................................................................................................................15
C
APÍTULO
1
-
T
EORIA
D
E
J
EAN
P
IAGET
:
A
LGUMAS
C
ONSIDERAÇÕES..
.
....
.
.24
2.1 – O Mecanismo de Equilibração..............................................................
.
...............45
2.2 – A Construção de Estruturas Multiplicativas a partir das Aditivas........
..
...............53
2.3 – Piaget e a Educação..............................................................................................59
2.3.1 – O Método Psicogenético........................................................................67
C
APÍTULO
2
–
A
LGUMAS
C
ONTRIBUIÇÕES
D
A
T
EORIA
D
E
P
IAGET
À
S
P
ESQUISAS
E
M
E
DUCAÇÃO (
M
ATEMÁTICA)...........................................................78
C
APÍTULO
3
–
A
P
RÁTICA
D
OCENTE:
D
IVERSOS
S
ABERES......................
.
.......100
C
APÍTULO
4
-
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA....................................................
.
....110
4.1 – O Delineamento da Pesquisa..........................................................................
.
....110
4.1.1 – Objetivo Geral e Objetivos Específicos........................................
..
..
.
....110
4.2 – A Caracterização da Abordagem da Pesquisa...................
.
.............................
.
....111
4.3 – Participantes...................................................................................................
....
....116
4.3.1 – Caracterização dos Participantes....................................................
.......
.....118
4.4 – Instrumentos utilizados para a Pesquisa de Campo......................................
..
.....120
4.5 – Considerações e Justificativas dos Instrumentos utilizados...
..
............................122
4.5.1 – A Observação de Campo....................................
..
.................................122
4.5.2 – A Entrevista........................................................
..
.................................127
4.5.3 – O Questionário.....................................................................................131
4.6 – Procedimentos adotados à Coleta dos Dados.....................................................133
4.6.1 – A Observação de Campo.........................................
..
............................134
4.6.2 – A Entrevista.............................................................
..
............................137
4.6.3 – O Questionário.....................................................................................139
C
APÍTULO
5
-
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS..........
.
.......
..
...........................140
5.1 – A Pesquisa de Campo: participação de P-II............................
.
...........................141
5.1.1 – Os resultados do Questionário/Entrevista Inicial....................
..
............142
5.1.2 – Algumas Inferências dos resultados da Observação ‘Total’....
..
...........147
5.1.2.1 – Roteiros 1 e 2: Aulas 1 a 4 – P-II...............................
...
..........151
5.1.2.2 – Roteiros 3 e 4: Aulas 5 a 8 – P-II..........................................155
5.1.2.3 – Roteiros 5 e 6: Aulas 9 a 12 – P-II........................................156
5.1.2.4 – Roteiros 7 e 8: Aulas 13 a 16 – P-II......................................160
5.1.3 – Algumas Inferências dos resultados da Entrevista Final...........
.
..........163
5.2 – A Pesquisas de Campo: participações de P-I e P-III.................................
.
.........166
5.2.1 – Os resultados do Questionário/Entrevista Inicial.......................
..
.........167
5.2.2 – Algumas Inferências (Gerais) dos resultados da Observação
‘Total’......................................................................................................................................172
5.2.2.1 – Roteiros 1 a 4: Aulas 1 a 8 de P-I................................
.
.........176
5.2.2.2 – Roteiros 1 a 4: Aulas 1 a 10 de P-III...........................
..
.........178
5.2.3 – Algumas Inferências dos resultados da Entrevista Final.....................179
5.3 – A Pesquisa de Campo: participação de P-IV........................................
.
.
.............183
5.3.1 – Os resultados do Questionário/Entrevista Inicial....................
..
............183
5.3.2 – Algumas Inferências dos resultados da Observação ‘Total’....
..
...........188
5.3.2.1 – Roteiro 1: Aulas 1 e 2 – P-IV.....................................
..
..........190
5.3.2.2 – Roteiro 2: Aulas 3 a 5 – P-IV......................................
..
.........193
5.3.2.3 – Roteiro 3: Aulas 6 a 8 – P-IV........................................
..
.......196
5.3.2.4 – Roteiro 4: Aulas 9 e 10 – P-IV.....................................
..
........198
5.3.3 – Algumas Inferências dos resultados da Entrevista Final.....................200
5.4 – Algumas Discussões Gerais sobre os quatro Estudos de Caso...........
..
...............203
C
APÍTULO
6
–
I
NFERINDO
A
LGUMAS
C
ONCLUSÕES
E
I
MPLICAÇÕES
E
DUCACIONAIS...................................................................................................
.
..............205
R
EFERÊNCIAS....................................................................................................................211
A
PÊNDICES (
C
D-
R
OM)
Apêndice A – Ficha de autorização: apresentação da pesquisa ao diretor (a) e
professor (a).................................................................
.....
...........................................................219
Apêndice B – Questionário/Entrevista Inicial aos Professores Participantes.............220
Apêndice C – Ficha Inicial: Apresentação da Pesquisa aos Professores
Participantes.............................................................................................................
.
...............225
Apêndice D – Ficha de Campo / Roteiro de Acompanhamento das aulas
observadas...............................................................................................................................226
Apêndice E – Entrevista realizada com o (a) professor (a).........................
.
...............227
Apêndice F – Alguns pontos da Epistemologia Genética de Jean Piaget.........
..
.........228
Apêndice G – Entrevista/Conversa final realizada com o (a) professor (a)...............230
Apêndice H – Pesquisa de Campo realizada com P-II.......................................
.
........234
H. I – Transcrição da Entrevista/Inicial...........................................................234
H. II – Registro das aulas observadas.............................................................235
H. II. 1 – Aulas 1 a 4............................................................................235
H. II. 2 – Aulas 5 a 8............................................................................245
H. II. 3 – Aulas 9 a 12..........................................................................254
H. II. 4 – Aulas 13 a 16........................................................................267
H. III – Transcrição da Entrevista/Final..........................................................282
Apêndice I – Pesquisa de Campo realizada com P-I..................................................285
I. I – Transcrição da Entrevista/Inicial............................................................285
I. II – Registro das aulas observadas...............................................................287
I. II. 1 – Aulas 1 e 2.....................................................................
..
........287
I. II. 2 – Aulas 3 e 4......................................................................
..
.......296
I. II. 3 – Aulas 5 e 6.......................................................................
..
......307
I. II. 4 – Aulas 7 e 8........................................................................
..
.....319
I. III – Transcrição da Entrevista/Final............................................................331
Apêndice J – Pesquisa de Campo realizada com P-III...............
.
.........
.
.......
.
...............335
J. I – Transcrição da Entrevista/Inicial.......................................
.
.....................335
J. II – Registro das aulas observadas..........................................
..
....................337
J. II. 1 – Aulas 1 e 2..........................................................
.
...................337
J. II. 2 – Aulas 3 a 5..........................
.
...................................................344
J. II. 3 – Aulas 6 a 8..........................
.
...................................................353
J. II. 4 – Aulas 9 e 10........................
.
...................................................366
J. III – Transcrição da Entrevista/Final........
..
...................................................379
Apêndice K – Pesquisa de Campo realizada com P-IV..
.
.......
.
.............................
.
.......383
K. I – Transcrição da Entrevista/Inicial...........................................................383
K. II – Registro das aulas observadas.............................................................385
K. II. 1 – Aulas 1 e 2............................................................................385
K. II. 2 – Aulas 3 a 5............................................................................396
K. II. 3 – Aulas 6 a 8............................................................................408
K. II. 4 – Aulas 9 e 10................................................
.
..........................421
K. III – Transcrição da Entrevista/Final................................
.
..........................428
I
NTRODUÇÃO -
15
I
NTRODUÇÃO
Conhecer consiste em construir ou reconstruir o objeto do
conhecimento para poder apreender o mecanismo desta
construção... Conhecer é produzir no pensamento para
reconstruir o ‘modo de produção dos fenômenos’.
(BATTRO, 1976, p.300, grifos do autor)
O ensino de Matemática vem sendo objeto de pesquisas no cenário educacional
brasileiro e internacional há algumas décadas. No século XX, em meados da década de 1950,
o Movimento denominado Matemática Moderna (MMM) visou minimizar a considerável
parcela de alunos que apresentavam dificuldades com relação à aprendizagem dos conteúdos
matemáticos. Segundo Soares (2005):
O Movimento da Matemática Moderna, que surgiu como uma proposta de
reforma para o ensino de Matemática, priorizava uma unificação da
Matemática, por meio da Teoria dos Conjuntos e do estudo de suas
estruturas fundamentais, seguindo a corrente Bourbakista e se apoiando
também, por outro lado, na teoria de Piaget e na importância do aspecto
psicológico do ensino e da aprendizagem, que até então estava sendo
renegado. (p. 1, grifos da autora)
Como pontuado, pretendeu-se unificar os diversos ramos da Matemática – Álgebra,
Geometria, Trigonometria, Análise, entre outros – por meio da Teoria dos Conjuntos. Além
da recorrência à Matemática Bourbakista, utilizaram-se as contribuições da Epistemologia
Genética
1
de Jean Piaget
2
, considerando-se, assim, os aspectos psicológicos intervenientes no
processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
Embora o MMM tenha fracassado, a sua tentativa de debater questões referentes ao
ensino de Matemática ‘desencadeou’ em nosso país, entre as décadas de 1960 a 1980,
inúmeros congressos (encontros) envolvendo os professores de Matemática. Vários grupos de
pesquisa, como: Grupo de Estudos do Ensino de Matemática (GEEM), Núcleo de Difusão do
1
“Epistemologia genética é o estudo dos mecanismos de aumento dos conhecimentos (estudo das raízes
sociogenéticas, psicogenéticas, indo até o terreno pré-científico-histórico das técnicas, desenvolvimento da
criança, fronteiras entre os processos fisiológicos e os mecanismos mentais, etc.). Cada ciência tem a sua própria
epistemologia genética (que não deve ser confundida com a história da Ciência; a história da Matemática, por
exemplo, não se confunde com a epistemologia da Matemática, que só aparece nas “reestruturações” de sua
arquitetura).” (LIMA, 2000, p. 187-188)
2
Especialista em psicologia evolutiva e Epistemologia Genética, filósofo, lógico, biólogo e educador, Jean
William Fritz PIAGET nasceu em Neuchâtel, Suíça, em 09 de agosto de 1886, e morreu em Genebra a 16 de
setembro de 1980.
I
NTRODUÇÃO -
16
Ensino de Matemática (NEDEM), Grupo de Estudos sobre o Ensino de Matemática de Porto
Alegre (GEEMPA) foram formados, contribuindo, assim, para o desenvolvimento da área de
Educação Matemática em nosso país.
Em meados da década de 1980 e início de 1990, várias organizações internacionais
passaram a discutir questões relacionadas ao ensino de Matemática e sua importância no
desenvolvimento das sociedades para o século XXI. Algumas instituições ligadas à Educação
divulgaram documentos referentes ao tema: “Como encarar o ensino da matemática no final
do século XX e início do século XXI”. Em 1980, o National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM) apresentou recomendações para o ensino de Matemática através do
documento intitulado: “Agenda para Ação”. Estas sugestões consideravam a Matemática uma
ciência que deveria priorizar a construção do pensamento lógico-matemático nos alunos,
alicerçados na solução de problemas. Esta última (solução de problemas), por sua vez, teria de
contemplar o estudo das relações sociais inerentes a um mundo em constantes transformações
tecnológicas e científicas.
Outra instituição que sistematizou referenciais teóricos acerca do ensino de
Matemática foi o National Council of Supervisors of Mathematics (NCSM). Tal órgão
ressaltou alguns pontos essenciais sobre o ensino desta disciplina para o século XXI,
afirmando o seguinte:
(...) não é suficiente que os estudantes tenham domínio dos conceitos e
princípios matemáticos componentes dos programas: mediante as constantes
mudanças sociais eles precisam ser capazes de raciocinar com clareza e
comunicar-se efetivamente, além de serem capazes de reconhecer e aplicar
conhecimentos matemáticos ao abordar situações-problemas inéditas da vida
cotidiana. (NCSM, 1989)
No Brasil, a publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais
3
(PCNs), em
específico o de Matemática, propunha um ensino de Matemática contextualizado, ou seja, no
qual o aluno pudesse estabelecer relações entre os conteúdos matemáticos e as diversas
atividades de sua vida cotidiana e escolar. Faz-se necessário salientar que este documento
utilizou contribuições das pesquisas educacionais em voga, mais particularmente o
construtivismo piagetiano, a teoria histórico-cultural de Vygotsky, entre outras.
3
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) foram elaborados e divulgados pelo Ministério da
Educação/Secretaria da Educação Fundamental (MEC/SEF) em 1997. São constituídos por uma série de
documentos (volumes) que explicitam paradigmas flexíveis aos professores de todo o país visando a uma
educação de qualidade e em consonância com as atuais aspirações sociais e tendências educacionais
(construtivismo, sociointeracionista, etc.).
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NTRODUÇÃO -
17
Porém, dados estatísticos provenientes das avaliações governamentais, tais como:
Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo
4
(SARESP, 2000 a
2005 e 2007) e o Sistema de Avaliação da Educação Básica
5
(SAEB, 2000 a 2007) –
evidenciam que os estudantes egressos do Ensino Fundamental possuem uma construção
deficitária em relação aos conteúdos matemáticos. Alunos que se encontram na 4ª série, ou
seja, no último ano do 2º Ciclo do Ensino Fundamental, compreendem satisfatoriamente a
adição, sendo insatisfatória a construção das demais operações aritméticas básicas (subtração,
multiplicação e divisão). Isso sem considerar os outros ramos da Matemática, como por
exemplo: geometria, tratamento da informação, grandezas e medidas; em que se observa uma
situação também preocupante.
Ao constatar (estatisticamente) a dificuldade enfrentada pelos estudantes com relação
à aprendizagem dos conteúdos matemáticos, faz-se possível inferir o seguinte
questionamento: Será que, de algum modo, os métodos de ensino adotados pelos professores
não estão contribuindo com a efetiva aprendizagem da Matemática? Visando analisar os
métodos de ensino adotados pelos docentes que ensinam Matemática, este trabalho intitulado:
“Alguns Reflexos da Didática Construtivista no Ensino de Matemática nas Quatro Séries
Iniciais do Ensino Fundamental
6
” objetiva-se na tentativa de investigar de que modo a teoria
de Piaget está sendo utilizada (ou não) pelos professores de Matemática.
A discussão em torno do título contribui com a compreensão deste estudo.
Inicialmente atenta-se ao entendimento da palavra Reflexos. Segundo o Dicionário
HOUAISS, reflexo indica: “1. Que resulta da reflexão, refletido; 2. Que não atua ou não se
produz diretamente; indireto, reproduzido, imitado”; sobre a reflexão
7
obtém-se: “1. Ato ou
efeito de refletir; 2. O retorno completo ou parcial de um feixe de partículas ou de ondas que
se propagam em um determinado meio, após a incidência sobre a interface de separação
4
O Sistema de Avaliação do Rendimento Escola do Estado de São Paulo (SARESP) foi efetivado em 1996 pela
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE/SP), tendo como objetivo analisar e avaliar o rendimento
escolar dos alunos do estado de São Paulo com relação às disciplinas curriculares: Língua Portuguesa e
Matemática.
5
O Sistema de Avaliação Nacional da Educação Básica (SAEB), atualmente denominado como Prova Brasil, é
um sistema de avaliação das escolas públicas e particulares de todo o país, nos quais se investigam o nível de
aprendizagem com relação à Língua Portuguesa e Matemática. Esta avaliação vem ocorrendo desde 1990,
trazendo considerações significativas ao desempenho dos alunos nas duas disciplinas mencionadas.
6
Na época em que os dados desta pesquisa foram coletados ‘ainda’ utilizava-se a denominação série.
Atualmente, tal denominação vem gradativamente sendo substituída pelo termo ano. Este fato deve-se às Leis nº.
11.114, de 16/05/2005 e nº. 11.274, de 6/2/2006, na qual o Ensino Fundamental passa a ser constituído por 9
anos de estudo, recebendo alunos com 6 anos de idade (ou a completar). Estabelecendo uma comparação com as
séries ‘atuais’, o 1º ano equivale à Pré-escola da Educação Infantil, o 2º ano à 1ª série do Ensino Fundamental, o
3º ano à 2ª série do Ensino Fundamental, e assim por diante.
7
Retirado do site: http://houaiss.uol.com.br/busca.jhtm?verbete=reflex%E3o&cod=161802, <Acessado em
16/07/2008>.
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entre este meio e o outro”. Tomando o significado de reflexo como o referente ao retorno
parcial e indireto de um feixe de partículas, faz-se possível estabelecer uma analogia entre os
reflexos da física e os ‘reflexos da didática construtivista’. Assim, desta analogia, pode-se
obter a seguinte proposição:
Investigar o ‘retorno parcial e indireto’ das idéias construtivistas propagadas no meio
educacional através da didática utilizada pelos professores responsáveis pelo ensino de
Matemática nas quatro séries iniciais do Ensino Fundamental.
Na proposição acima são utilizados os adjetivos ‘parcial’ e ‘indireto’, pois supõe-se a
ocorrência da não propagação total das idéias/ideais construtivistas quando direcionadas ao
campo educacional. Também, ao valer-se de alguma teoria educacional, o professor
reinterpreta-a conforme suas experiências (acadêmicas, pessoais, profissionais), não sendo,
portanto, uma aplicação ‘direta’. No decorrer desta pesquisa serão esboçados argumentos que
corroboram com estes posicionamentos.
Sobre o significado de didática, adota-se como definição a utilizada por Libâneo
(2002). Segundo este autor:
A Didática é uma disciplina que estuda o processo de ensino no seu
conjunto, no qual os objetivos, conteúdos, métodos e formas organizativas
da aula se relacionam entre si de modo a criar as condições e os modos de
garantir aos alunos uma aprendizagem significativa. Ela ajuda o professor na
direção e orientação das tarefas do ensino e da aprendizagem, fornecendo-
lhe segurança profissional. (p. 5, grifo nosso)
Ao investigar os ‘reflexos da didática construtivista’, pretende-se analisar de que modo
o construtivismo piagetiano está contribuindo com a elaboração dos objetivos e métodos de
ensino e com a seleção dos conteúdos de Matemática abordados.
Ao significar a palavra construtivista, já que a mesma qualifica a didática,
encontramos em Lima (2000) as seguintes considerações em torno do construtivismo:
O conhecimento não é nem uma cópia do objeto nem uma tomada de
consciência de formas a priori que sejam predeterminadas no indivíduo: é
uma construção perpétua, por permutas, entre o organismo e o meio, do
ponto de vista biológico, e entre o pensamento e o objeto, do ponto de vista
cognitivo. (p. 174, grifo nosso)
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19
Desta citação, percebe-se que a apreensão do conhecimento ocorre a partir de uma
ação/construção realizada pelo sujeito. Sobre o significado de ser construtivista, Borja (1993)
afirma:
Do ponto de vista não apenas epistemológico como também psicológico, o
construtivismo pode ser considerado como uma oposição que se opõe, de um
lado, a todas as concepções inatistas ou preformistas, e de outro, às
concepções empiristas. Em outras palavras, ao tratar da questão do
conhecimento, PIAGET critica duramente tanto as teorias que sustentam a
idéia de existência de estruturas preformadas, que se atualizariam ao longo
do desenvolvimento do indivíduo, como aquelas que postulam que o
processo de aquisição de conhecimentos se dá através da acumulação pura e
simples de experiências com o meio. (p. 43)
Fica evidente a posição construtivista decorrente da Epistemologia Genética de Jean
Piaget. Ou seja, o conhecimento é tido como uma construção realizada pelo indivíduo, não
sendo considerado um simples acúmulo de informação retirado do meio (empirismo) ou como
algo já preexistente no sujeito (inatismo/apriorismo).
Retornando ao título, observa-se a expressão: “Ensino de Matemática nas Quatro
Séries Iniciais do Ensino Fundamental”. A mesma delimita o estudo ao conteúdo específico –
Matemática – e ao público alvo – 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental
8
. Com relação à
Matemática, a escolha deste campo científico abriga duas justificativas. A primeira, de cunho
pessoal, tendo em vista o interesse do pesquisador em torno dos processos de ensino e
aprendizagem da Matemática. Tal fato é decorrente da formação acadêmica (Licenciatura
Plena em Matemática) e do contínuo estudo/aprofundamento acerca de questões educacionais.
A segunda justificativa deve-se à preocupação com relação aos dados estatísticos que
apontam a grande dificuldade dos alunos na aprendizagem da Matemática.
Em relação à delimitação da pesquisa aos alunos das quatro séries iniciais, vários
fatores levam a tal decisão. Em primeiro lugar, a experiência como professor desse nível de
ensino permitiu verificar a importância de uma construção ‘sólida’ dos conteúdos
matemáticos nos anos iniciais para o satisfatório desempenho nas séries posteriores. Em
segundo, dos resultados obtidos através de uma pesquisa (CAETANO, 2006, 2007) realizada
no ano de 2006, na qual se investigou a construção de estruturas aditivas e multiplicativas em
alunos de 3ª e 4ª séries do Ensino Fundamental. Nesta, constatou-se que as dificuldades na
8
Ensino Fundamental, conforme a legislação educacional brasileira, é uma das fases componentes da Educação
Básica. Situada entre a Educação Infantil e o Ensino Médio, o Ensino Fundamental atende alunos compreendidos
entre a faixa etária de 6 e 14 anos. Neste período, espera-se que os alunos construam/desenvolvam habilidades
referentes à: leitura, escrita, raciocínio lógico, interpretação/solução de situações-problemas, aspectos morais,
filosóficos, sociais, etc.
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construção das estruturas multiplicativas (pelos estudantes de 3ª e 4ª séries) são decorrentes da
insatisfatória construção das estruturas aditivas nos anos anteriores. Assim, observou-se que
as falhas ‘cometidas’ pelos professores (de modo não-intencional) aos estudantes dos anos
iniciais acabam por prejudicar o bom desempenho dos mesmos (referente à Matemática) nos
anos seguintes.
O terceiro fator refere-se às argumentações acerca da importância de propiciar aos
alunos das séries iniciais uma sólida construção dos conteúdos matemáticos, para que a
complexificação das estruturas do pensamento ocorra satisfatoriamente. Segundo Furth e
Wachs (1979):
Esses primeiros anos da escola elementar coincidem com a entrada da
criança na realidade psicológica (sua primeira capacidade de pensar à
maneira do adulto) e no primeiro ambiente formal em que os padrões de
aprendizado são socialmente impostos. Esse, então, é um período
intelectualmente crítico. Poderia, facilmente, ser um período dos mais
frutíferos e estimulantes, encorajando a criança a continuar expandindo sua
capacidade de pensar, a serviço do aprendizado, e, dessa forma, fazendo
dessa criança um adulto bem informado e responsável. (p. 33, grifo nosso)
Conforme salientado por ambos autores, as séries iniciais ocupam grande importância
na formação intelectual da criança. Remetendo-se à teoria de Piaget, é a fase na qual o
estudante constrói, progressivamente, estruturas de pensamentos (operatório-concreto) que lhe
permitem atingir o raciocínio hipotético-dedutivo (operatório-formal). Complementando a
defesa em torno da preocupação com relação às séries iniciais, Furth e Wachs (1979)
explicitam:
Quando crianças entram na escola não são pequenos adultos, carentes de
uma porção de habilidades e de informações que a escola pode oferecer; são,
acima de tudo, crianças passando exatamente em meio a um período
importante de desenvolvimento. Estão começando, então, a conhecer-se e a
conhecer o mundo que as rodeia, em termos que se aproximam dos adultos.
Entre cinco e doze anos de idade os mecanismos de pensamento de uma
criança modificam-se drasticamente. A criança, sem uma estrutura firme de
julgamento ou raciocínio, torna-se uma jovem pessoa com poderes de
compreensão e julgamento bastante semelhantes aos seus e aos meus. Em
outras palavras: a segunda expansão, entre as mais dramáticas dos poderes
intelectuais, ocorre durante o período da escola primária, período
comparável apenas ao dos dois primeiros anos de vida (...). (p. 74)
Como nas séries iniciais do Ensino Fundamental, a Matemática representa um dos
componentes curriculares a ser abordado. Então, o seu efetivo ensino contribui à constituição
I
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21
do aluno enquanto sujeito psicológico-social. Lima (2000) aborda algumas idéias relativas ao
ensino da Matemática nesse nível de ensino:
A iniciação matemática não se trata, como se vê, de ensinar cálculo (contar,
somar, dividir), mas de construir estruturas de classificação, seriação,
partição, correspondências, redes, grupos, etc. Ora, preocupados com a
cartilha, as escolas atuais não tomam tento de que é muito mais importante
desenvolver estas estruturas “matemáticas” (se quisermos chamar, assim, às
estruturas fundamentais das condutas e dos pensamentos). Esse tipo de
“matemática” (como a física do atributo dos objetos) não é uma disciplina do
currículo, mas a maneira de estimular o desenvolvimento mental (a nova
meta do processo educacional). (p. 101, grifos do autor)
Como exposto por esse educador, o professor de Matemática dos anos iniciais deve
preocupar-se – entre outras coisas – com a construção de estruturas de pensamento
concernentes à classificação, seriação, partição, correspondências, etc. Conforme a
Epistemologia Genética, tais construções tornam-se fundamentais à estruturação de
pensamentos mais elaborados, como por exemplo, ao da multiplicação. Desse modo,
infelizmente, não é uma ‘surpresa’ a evidência dos atuais problemas que os estudantes
enfrentam no momento de construir as noções matemáticas, já que a grande maioria dos
professores, desse nível de ensino, utiliza estratégias didáticas que privilegiam a memorização
em detrimento da real construção das estruturas lógico-matemáticas. Taxa (2001), por
exemplo, evidenciou que o fracasso relativo à construção das estruturas multiplicativas pelos
alunos da 3ª série é causado pelo:
(...) excesso de concepções que enfatizam o formalismo, a falta ou
interpretação indevida de programas e métodos que contemplem a atividade
intelectual e material das crianças, bem como sua experiência cotidiana ao
apropriar-se de conteúdos matemáticos, têm legitimado cada vez mais alguns
dos problemas quanto ao baixo desempenho dos alunos nas escolas
brasileiras em Matemática. (p. 6, grifo nosso)
Como denotado, há necessidade de um ‘diferente’ olhar/pensar sobre o processo de
aprendizagem da Matemática aos alunos das séries iniciais. A questão do formalismo não
deve ser interpretada como falta de rigor científico quanto ao tratamento da Matemática, mas
sim, referir-se ao exclusivo uso da linguagem (formal) em detrimento de atividades
manipulativas oferecidas aos estudantes. Conforme estudos piagetianos (BATTRO, 1976;
CUNHA, 1973; FURTH, 1995, 1997; KAMII, 2005; LIMA, 1973; PIAGET, 2001), os alunos
das séries iniciais encontram-se no estágio operatório-concreto. Logo, a realização da
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22
experiência (física e lógico-matemática) mediada pela manipulação dos objetos concretos
torna-se necessária à construção das estruturas de pensamento, permitindo à criança pensar de
forma inteligente, e não memorizada. Sobre este aspecto:
Não é de hoje que os pedagogos perceberam (veja Montessori usando letras
de lixa e movimentos no ar) a importância do sentido cinestésico (muscular)
na interiorização da realidade. Hoje, sabe-se que o pensamento não é feito de
imagens, mas de movimentos.
Está suficientemente provado que as aprendizagens de ações motoras não se
fazem por simples descrição por via auditiva ou visual (exposição oral ou
visual), exigindo exercício real;
<<
Só se aprende fazendo
>>
. Para apreender
os movimentos, são os movimentos que contam, servindo as imagens como
um processo auxiliar corretor. (LIMA, 1973, p. 517, grifo nosso)
Do exposto até o momento, é possível estabelecer a questão que norteará o presente
estudo:
De que modo os professores que ensinam Matemática aos alunos das quatro séries iniciais do
Ensino Fundamental vêm utilizando, em suas práticas pedagógicas, a Epistemologia Genética
de Jean Piaget?
Abaixo consta uma síntese do que será abordado nos capítulos desta pesquisa.
No Capítulo 1 abordam-se os tópicos: Algumas Considerações da Teoria de Jean
Piaget, seguida de uma explicação acerca do mecanismo de “Equilibração”. As mesmas
fazem-se necessárias para uma melhor compreensão sobre o pensamento de Piaget em relação
à construção de conhecimento pelo indivíduo. Após, dedica-se atenção à utilização desta
teoria (construtivista) ao campo educacional, culminando na explicitação do Método
Psicogenético (de elaboração do educador brasileiro Lauro de Oliveira Lima).
Já no Capítulo 2 (Algumas Contribuições da Teoria de Piaget às Pesquisas em
Educação (Matemática)) são apresentadas pesquisas acadêmicas versando sobre o ensino de
Matemática relacionada à teoria de Piaget. Também contemplam-se alguns estudos em torno
dos saberes profissionais dos professores (e os de Matemática). Neste item, procura-se
evidenciar as contribuições da Epistemologia Genética à Educação, salientando algumas
propostas já desenvolvidas/formuladas.
No Capítulo 3 – A Prática Docente: Diversos Saberes – encontra-se uma síntese em
torno dos saberes docentes, da prática pedagógica. Esta temática torna-se relevante, pois
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23
analisa os muitos saberes utilizados pelo professor para a constituição de seu trabalho
docente.
Em seguida, no Capítulo 4 (Metodologia de Pesquisa), é realizado o delineamento da
pesquisa, evidenciando os procedimentos adotados para a coleta de dados (pesquisa de
campo), os objetivos gerais e específicos, bem como breves considerações acerca da
abordagem qualitativa na esfera da pesquisa educacional.
No capítulo 5 (Análise e Discussão dos Dados) são apresentados os encaminhamentos
didáticos e as concepções a respeito do ensino de Matemática dos quatro professores
participantes. Neste tópico, serão feitas discussões acerca da utilização (ou não) das idéias
construtivistas observadas na postura didática dos docentes investigados. Concomitante, é
estabelecido um paralelo entre o Método Psicogenético e as aulas de Matemática oferecidas
aos alunos, evidenciando a adoção (ou não) das etapas preconizadas por este método. Durante
as análises são denotadas as possíveis más-compreensões em torno da teoria piagetiana
quando utilizada para o ensino de Matemática, bem como algumas inferências acerca dos
saberes que constituem a prática docente dos professores analisados.
Por fim, no Capítulo 6 (Inferindo Algumas Conclusões e Implicações Educacionais),
discutem-se algumas implicações do referente estudo à Formação dos Professores de
Matemática. Também salientam-se quais aspectos da teoria de Piaget fizeram-se presentes na
didática dos professores participantes.
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APÍTULO
2
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Piaget, apesar de se dizer não-pedagogo, fez a mais radical
proposta para servir de objetivo aos educadores, esses
profissionais tradicionalistas avessos à renovação. Vejamos:
“o principal objetivo da educação é criar homens que sejam
capazes de fazer coisas novas, e não, simplesmente, de
repetir o que as outras gerações fizeram – homens que sejam
criadores, inventivos e descobridores. O segundo objetivo da
educação é formar mentes que tenham capacidade de crítica
e de verificação e que não aceitem tudo o que lhes é
oferecido”. (LIMA, 2000, p. 119)
O educador brasileiro Lauro de Oliveira Lima, que desde a década de 1950 vem
lutando por uma educação de qualidade, evidencia na epígrafe acima dois objetivos
norteadores propostos por Jean Piaget à Educação: a formação de homens ‘descobridores’ e
com ‘capacidade crítica’ de verificação da realidade que os circundam. Neste tópico são
realizadas algumas discussões sobre a Epistemologia Genética; teoria esta responsável pela
aproximação de Jean Piaget à Educação, e conseqüentemente aos professores.
Visando compreender o significado da referida teoria, faz-se oportuno investigar as
significações da palavra ‘Epistemologia’. Segundo Furth (1997):
Epistemologia – A ciência teórica que trata da natureza do conhecimento,
sobretudo do conhecimento científico e da necessária verdade lógica;
geralmente considerada como um ramo da pesquisa filosófica. Para Piaget, a
epistemologia é problema aberto à investigação científica, especialmente
psicológica. (p. 227, grifo nosso)
Conforme Furth (1997) a Epistemologia é uma ciência que busca investigar a natureza
do conhecimento, em específico o científico e a lógica. É fato que outros ramos do saber, tais
como Filosofia e Teologia, empenharam-se nesta investigação; porém, como o próprio Piaget
defende, a Epistemologia deve ser considerada um campo à investigação científica, na qual a
Psicologia pode (e deve) ser utilizada para tal fim.
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Ao longo dos séculos, inúmeros estudiosos, visando responder à questão: “Como o
homem conhece? De que modo adquire conhecimento?”, elaboraram várias hipóteses
explicativas. As ‘mais clássicas’, conforme expõe Lima (2000), apresentam-se abaixo:
Afinal, são as três clássicas posições epistemológicas a que não se pode
fugir: a) o conhecimento (psiquismo, mente, alma, espírito, pensamento,
inteligência, atividade mental) é inato? (Savoir Inné); b) é imposto pelo meio
(platonismo, empirismo, behaviorismo?); c) ou é uma construção
probabilística, resultante da interação do sujeito com o meio (objeto),
segundo um mecanismo geral de equilibração majorante? (posição do
construtivismo seqüencial e probabilístico de Piaget). (p. 186, grifos do
autor)
Da citação ficam evidentes as três teorias, hipóteses acerca da natureza do
conhecimento: inatismo, empirismo ou construtivismo seqüencial. A primeira defende a
idéia segundo a qual o conhecimento já existe pré-formado no indivíduo, bastando a sua ação
no meio para que tais conhecimentos pré-formados ‘desabrochem’. Já o empirismo, encara a
ação/imposição do meio sobre o sujeito como condição suficiente para a aquisição de
conhecimento pelo indivíduo, ou seja, basta receber passivamente a cultura que os saberes são
apreendidos pelo homem. É sobre esta teoria do conhecimento (empirista) que se alicerçam as
seguintes tendências educacionais: tradicional, tecnicista. Porém, conforme denota Lima
(2000), tais posições inatistas e empiristas apresentam premissas injustificáveis – segundo os
critérios científicos e lógicos. Observe:
O inatismo (apriorismo, categorias kantianas, gramática transformadora de
Chomsky) cria o problema de se ter de admitir que o homem, o
conhecimento (a ciência), a cultura (civilização), tudo já estava pré-formado
no protozoário primal, donde partiu a evolução dos seres vivos. E quem
colocou tudo isso no protozoário? Não estando tudo nesse momento
genesíaco inicial, ocorreu em algum momento da evolução e, novamente,
cria-se o problema de “como ocorreu o fato”... Quanto ao empirismo, o
problema ontológico é o mesmo: “Onde estava o conhecimento antes de
transformar-se em patrimônio cultural, que é transmitido às novas gerações?
Como explica o novo? Por mero acaso, como querem os neodarwinistas?”
(p. 187)
Buscando situar as correntes psicológicas às epistemológicas, a figura a seguir torna-se
oportuna:
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Meio
Meio
1) Predominância do
sujeito
2) Predominância do
meio (objeto)
3) Interação entre o
sujeito e o meio (objeto)
Epistemologia:
Tendência para o
Racionalismo
Idealismo
Tendência para o
Empirismo
Materialismo
Tendência para o
Estruturalismo
Construtivismo
Psicologia:
Teorias Inatistas: Teorias Condutistas
(Learning)
Teorias
Interacionistas:
Representantes:
Teoria das
<<
faculdades mentais
>>
Behavio-
rismo
americano
Reflexo-
logia
soviética
Gestaltismo
(sem
progressão
genética)
Construti-
vismo
seqüencial
(J. Piaget)
Autores: ___________________
Skinner Pavlov K. Lewin Jean Piaget
Figura 1 – Três clássicas teorias do conhecimento. (LIMA, 1973, p. 352)
Ao estabelecer um paralelo com o já exposto e a figura acima, é possível perceber a
dicotomia existente entre o inatismo e o empirismo. No primeiro, a predominância incide
sobre o sujeito, pois, se nele reside o conhecimento (pré-formado), então, a ação “para o
conhecer” deve partir exclusivamente do indivíduo. Em contrapartida, no empirismo esta
relação de predominância é invertida, sendo o meio o responsável “para o conhecer” do
homem. O que Piaget idealiza é justamente o estabelecimento de uma relação/interação entre
o sujeito e o objeto (meio), representada pelo argumento lógico bicondicional
9
abaixo:
Sujeito ↔ Objeto
9
A bicondicional constitui-se um argumento lógico, muito utilizado pela lógica formal aristotélica. Pela
definição: Sejam A e B duas premissas. Caso A seja verdadeira, e A implica B, ou em termos matemáticos:
BA
⇒
; então B será verdadeira. De modo análogo, caso B seja verdadeira, e B implica A, ou em termos
matemáticos:
AB
⇒
, então A será verdadeira. Estabelecendo uma analogia com o texto, pode-se interpretar o
esquema Sujeito ↔ Objeto do seguinte modo: é fato que o sujeito incide sobre o objeto, bem como o objeto
incide sobre o sujeito, resultando desta composição uma interação/relação de reciprocidade. Assim, sujeito e
objeto relacionam-se mutuamente.
Meio Sujeito
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Segundo a Epistemologia Genética piagetiana, através da interação entre sujeito e
objeto é que o conhecimento é construído pelo indivíduo, sendo necessárias a tal construção
algumas estruturas já existentes no sujeito. Estas estruturas não são o conhecimento em si,
como os inatistas defendem, mas sim:
A forma geral, a intercorrelação das partes dentro de uma totalidade
organizada. Muitas vezes se pode usar o termo estrutura no lugar de
organização, sistema, forma, coordenação. (FURTH, 1997, p. 227)
As estruturas mencionadas no parágrafo anterior referem-se aos mecanismos
biológicos já existentes no indivíduo que lhe permitem agir sobre o meio, propiciando o seu
funcionamento enquanto organismo. Como aponta Furth (1997):
Um organismo só existe na medida em que funciona. Os biólogos falam de
um funcionamento adaptativo, que se processa segundo reguladores internos.
O funcionamento adaptativo manifesta os princípios reguladores e, ao
mesmo tempo, a estrutura do organismo. Cada organismo possui uma
estrutura. Tenha em mente que uma estrutura não pode ser identificada
como o organismo particular sob observação. Pode-se definir a estrutura de
um organismo como a totalidade dos subsistemas organizacionais pelos
quais um organismo pertence a uma determinada espécie (por exemplo, cão,
ser humano), e possui capacidades funcionais específicas. (...) Assim, a
existência de uma estrutura biológica sempre implica em o organismo ter
algum conhecimento do meio. (p. 34-35, 36, grifos do autor)
Desse modo, as estruturas já existentes no indivíduo fazem referência aos mecanismos
internos (biológico-fisiológicos) que lhe são garantidos pela hereditariedade. Estes
mecanismos permitem ao sujeito conhecer o meio através da exploração-ação. Com a
progressiva atividade do homem, as estruturas vão complexificando, permitindo-lhe
estabelecer relações sobre si e as coisas do mundo. Ao nível das operações formais (assunto a
ser discutido), as estruturas do indivíduo desenvolveram-se a tal ponto que lhe permitem
pensar a nível hipotético-dedutivo. É graças a esse desenvolvimento, oriundo da atividade do
sujeito ao interagir com o meio (objeto), mediado por um mecanismo denominado
equilibração, que o homem (em particular) e a humanidade (no coletivo)
desenvolveram/desenvolvem a Ciência, a Filosofia, a Arte etc.
Battro (1976) realiza oportunas considerações a respeito da teoria
Estrutural/Construtivista de Jean Piaget, observe:
A teoria cognitiva de Piaget se opõe tanto ao “genetismo sem estrutura” do
empirismo, como ao “estruturalismo sem gênese ou apriorismo”, da Gestalt.
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Piaget, propõe definitivamente um estruturalismo genético onde “cada
estrutura é o produto de uma gênese e onde cada gênese constitui a passagem
de uma estrutura menos evoluída para uma mais complexa”. (p. 299, grifo
nosso)
A citação evidencia o caráter construtivista da teoria piagetiana que preconiza a
progressiva evolução das estruturas cognitivas do indivíduo. Sobre tais estruturas, Battro
(1976) salienta:
No quadro abaixo esquematizamos as três estruturas fundamentais da vida
mental, cuja ordem genética Piaget tenta fixar mediante a teoria da
equilibração.
I. Ritmo: Atividades sensoriais-motoras precoces.
Atividades intuitivas ou representativas. II. Regulação:
Atividades perceptivas.
Atividades operatórias concretas.
(Agrupamentos de classes e relações).
III. Operação:
Atividades operatórias formais.
(Combinação proposicional e Grupo de
transformações INRC).
(p. 313, grifos do autor)
Estas estruturas constituem-se a cada desenvolvimento cognitivo do sujeito graças às
sucessivas equilibrações. Das três estruturas apresentadas, o
Ritmo
pode ser considerado como
sendo o de ‘maior ligação’ com o lado ‘biológico’ do pensamento (já que alguns de seus
mecanismos – estruturais – estão formados desde o início da vida do indivíduo, como por
exemplo, os reflexos); e como as demais estruturas são construídas a partir desta, então, por
transitividade
10
, conclui-se que a origem do conhecimento é genética.
Sobre a questão da estrutura biológica, Villalobos (1969) expõe:
O estudo do funcionamento da inteligência indica, como vimos, que as ações
efetuadas pelo sujeito, em qualquer nível de conduta, supõe sempre uma
coordenação prévia entre os esquemas de assimilação. Toda estrutura, por
sua vez, apesar de sempre construída pelo sujeito, deita raízes numa anterior,
e assim sucessivamente até ligar-se à organização biológica. Este processo
contínuo acarreta, em cada fase, reagrupamentos que constituem uma nova
forma de equilíbrio mais aprimorada. Recorde-se ainda que grande parte do
conhecimento que o sujeito adquire provem diretamente das ações que ele
realiza sobre os objetos, ações estas que se vão progressivamente
interiorizando até transformarem-se em operações. (p. 61-62, grifo nosso)
10
Transitividade é uma operação matemática que pode ser interpretada do seguinte modo: Se A → B e B → C,
então, por transitividade, A → C. No texto, se Ritmo propicia, por equilibração, a construção da Regulação, e se
esta pelo mesmo processo propicia a construção da Operação, então, por transitividade, a Operação é devida ao
Ritmo. E sendo esse constituído marcadamente pelo lado biológico, novamente por transitividade, obtém-se que
as Operações Formais são provenientes do aspecto biológico/genético do ser.
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Logo, fica evidente que de modo algum a teoria piagetiana pode ser considerada
apriorista/inatista quando admite que a construção do conhecimento pelo indivíduo advenha
da interação deste com o objeto (meio) através de ‘alguns esquemas reflexos’ já existentes no
sujeito desde o seu nascimento.
Como sublinhado na citação anterior (VILLALOBOS, 1969), a ação sobre os objetos,
ao ser interiorizada pelo sujeito, é transformada em operações. Conforme Lima (2000):
Piaget chama “operação” a ação interiorizada que alcançou as características
do “grupo” matemático (reversibilidade, associatividade, identidade,
tautologia, etc.), devendo-se notar que o nível operatório é alcançado
mediante reconstruções sucessivas de complexidade crescente (equilibração
majorante). (p. 224)
Devido às “
reconstruções sucessivas de complexidade crescente
” torna-se possível
denominar a teoria piagetiana como Construtivismo Seqüencial. Ou seja, o indivíduo constrói
conhecimento de modo progressivo/seqüencial utilizando as estruturas anteriormente
formadas. Faz-se imprescindível salientar que este não é um processo de justaposição
(acúmulo), mas sim um tipo de reorganização estrutural interna, possibilitada graças à
equilibração. A discussão (exemplificação) abaixo traduz a afirmação anterior, além de já
relacionar com o foco de estudo da presente dissertação – as operações lógico-matemáticas:
As operações lógico-matemáticas não surgem diretamente das ações do
sujeito sobre os objetos, mas da coordenação mais geral que ele pode realizar
sobre as coisas, como por exemplo, as de reunir, dissociar, ordenar, etc. O
número, portanto, não está pré-formado no espírito do sujeito, mas origina-se
nas fases mais elementares da ação, e vai progressivamente elaborando a
partir de elementos procedentes de estruturas anteriores. Desta forma, liga-se
ele às atividades mais fundamentais do sujeito sem estar, entretanto, contido
a priori nos níveis iniciais. (VILLALOBOS, 1969, p. 62)
Assim, o exposto visou denotar as hipóteses iniciais delimitadas e comprovadas por
Piaget ao longo de quase seis décadas de ‘intensas e extensas’ pesquisas científicas. No
entanto, para estabelecer/estudar/identificar as estruturas pertencentes às fases da vida mental,
tal autor realizou estudos com crianças – do nascimento à adolescência. Observando
minuciosamente os próprios filhos (Jacqueline, Lucienne e Laurent), Piaget elabora a
explicação referente ao nascimento da inteligência no homem. Esta teoria apresenta-se
sistematizada na trilogia:
O Nascimento da Inteligência na Criança
(1987),
A Construção do
Real na Criança
(2002) e
A Formação do Símbolo na Criança
(1990).
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A discussão a seguir refere-se aos estágios do desenvolvimento cognitivo dos
indivíduos (do recém-nascido ao adolescente). O entendimento dos mesmos permite
compreender o aspecto
Construtivista
Seqüencial
e
Estrutural
da formação do conhecimento
pelo ser humano. Em seus estudos, Piaget utiliza a denominação estádio. Para o presente
trabalho, utiliza-se o termo estágio como sendo sinônimo de estádio. Sobre este termo Lima
(2000) pontua:
O estádio caracteriza-se por determinada forma de comportamento
(capacidade de classificar, seriar, partir, deslocar, corresponder). Cada
estádio anterior é a condição da construção do estádio posterior. Por
exemplo, a criança, no estádio das operações concretas, nunca levanta uma
hipótese. (p. 192, grifo nosso)
Conforme Lima, cada estágio (cada fase da vida mental do sujeito) é constituída por
determinadas formas de comportamento. Nas fases mais elementares, por exemplo, o
indivíduo possui um número x de comportamentos. Com o progressivo desenvolvimento de
suas estruturas de pensamento, através do mecanismo de equilibração – desencadeado pela
interação entre sujeito e objeto (meio), tal número x de comportamentos ‘amplia-se’. Esta
ampliação deve ser considerada como uma reorganização a nível estrutural e não como
‘simples acúmulo’ de comportamentos. Para exemplificar melhor esta questão dos
progressivos desenvolvimentos do comportamento, as observações 1 e 2 retiradas do livro: “
O
Nascimento da Inteligência na Criança
(1987)” tornam-se oportunas:
Obs. 1. – Desde o nascimento, observa-se um esboço de sucção em vazio;
movimentos impulsivos dos lábios, fazendo-se acompanhar de sua protrusão
e de deslocamentos de língua, enquanto os braços se entregam a gestos
desordenados mais ou menos rítmicos, a cabeça agita-se lateralmente etc.
Assim que as mãos roçam acidentalmente pelos lábios, o reflexo de
sucção deflagra incontinenti. A criança chupa, por exemplo, os dedos
durante um instante, mas não sabe, naturalmente, mantê-los na boca nem
segui-los com os lábios. Lucienne, um quarto de hora, e Laurent, meia hora
depois de nascerem, já tinham chupado as mãos. No caso de Lucienne, tendo
a mão ficado imóvel por causa da posição, a sucção dos dedos durou mais de
dez minutos.
Algumas horas depois de nascerem, a primeira mamada de colostro.
Sabe-se como os bebês diferem uns dos outros, do ponto de vista da
adaptação à sua primeira refeição. Para uns, como Lucienne e Laurent,
bastou o contato dos lábios e, sem dúvida, da língua com o mamilo para que
se iniciem a sucção e a deglutição conseqüente. Para outros, como
Jacqueline, a coordenação é mais lenta: a criança larga o seio a todo instante,
sem o recuperar de modo próprio nem aplicar-se com o mesmo vigor quando
lhe repõem o mamilo na boca. Há, finalmente, o caso daqueles em que se
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torna necessário forçar a mamada: segurar a cabeça, meter à força o mamilo
entre os lábios e em contato com a língua, etc.
Obs. 2. – No dia seguinte ao seu nascimento, Laurent apanhou o mamilo
com os lábios, sem que houvesse necessidade de mantê-los na boca. Busca-o
imediatamente, quando o seio lhe escapa depois de qualquer movimento.
Durante o segundo dia, Laurent começa a esboçar uma sucção em
vazio, entre as refeições, repetindo assim os seus movimentos impulsivos do
primeiro dia: os lábios entreabrem-se e voltam a fechar-se como se tratasse
de uma verdadeira mamada, mas sem objetivo. Esse comportamento tornou-
se depois cada vez mais freqüente e não voltaremos a descrevê-lo.
No mesmo dia, observa-se em Laurent o começo de uma espécie de
busca reflexa, a qual se desenvolverá nos dias seguintes e que constitui, sem
dúvida, o equivalente funcional das tentativas características das fases
ulteriores (aquisição dos hábitos e inteligência empírica). Deitado de costas,
Laurent tem a boca aberta, os lábios e a língua remexendo ligeiramente, num
esboço do esquema de sucção; a cabeça move-se para a esquerda e para a
direita, como se procurasse um objeto. Esses gestos ora são silenciosos, ora
entrecortados de resmungos, com mímica de impaciência e fome. (p. 35-36,
grifo nosso)
Percebe-se a partir desta citação o progressivo desenvolvimento do comportamento do
bebê. Se por um lado, no ‘início’ o recém-nascido valeu-se de um comportamento reflexo
(sucção), já no segundo dia, o mesmo apresentou
uma espécie de busca reflexa
. Assim, por
meio de uma reorganização estrutural, denominada por Piaget de equilibração, o bebê
construiu comportamentos mais complexos.
Retornando à questão dos estágios, Lima rebate as críticas de alguns estudiosos sobre
o estabelecimento dos mesmos com relação à faixa etária delimitada por Piaget. Observe:
“Há hoje muitos autores que criticam a noção dos estádios (patamares de
desenvolvimento), baseados na variação de níveis na solução de problemas
diferentes. Mas o que me parece essencial nos estádios (repito isto há anos),
não são as idades cronológicas, mas as sucessões necessárias (é preciso
passar por uma etapa para chegar a outra). Certas técnicas podem, por
exemplo, antecipar a aquisição de conservação, mas jamais a seqüência das
aquisições” (J. Piaget) (LIMA, 2000, p. 192, grifos do autor)
Assim, a questão principal não reside no intervalo cronológico, mas sim na ordem
genética pela qual o indivíduo ‘progride’ ao caminho das operações formais. Para fins de
sistematização, o quadro a seguir denota os estágios de desenvolvimento.
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Modalidade de
Inteligência
Fases Estádios
Idade cronológica
aproximada
a) Uso de reflexos. 0 a 1 mês
1) Inteligência
sensório/motriz
Fase sensório-
motriz
b) Primeiros hábitos e reações circulares
(primárias).
1 a 4,5 meses
c) Coordenação da visão e reações circulares
(secundárias).
4,5 a 9 meses
d) Coordenação de esquemas secundários e
sua aplicação a novas situações.
9 a 12 meses
e) Diferenciações circulares (terciárias);
descobrimento de novos meios.
12 a 18 meses
f) Primeira internalização de esquemas e
solução de alguns problemas por dedução.
18 a 24 meses
Fase pré-
conceitual
a) Aparição da função simbólica e começo de
ações internalizadas, acompanhadas de
representação.
2 a 4 anos
a) Organizações representativas baseadas
tanto em configurações estáticas como na
assimilação da própria ação.
4 a 5,5 anos
Fase do pensa-
mento intuitivo
b) Regulações representativas articuladas. 5,5 a 7 anos
a) Operações simples (classificações,
seriações, correspondências, etc.).
7 a 9 anos
2) Inteligência
representativa me-
diante operações
concretas
Fase operacional
concreta
b) Sistemas totais (coordenadas euclidianas,
conceitos projetivos, simultaneidade).
9 a 11 anos
a) Lógica hipotético-dedutiva e operações
combinatórias.
11 a 14 anos
3) Inteligência
representativa me-
diante operações
formais
Fase operacional
formal
b) Estruturas e grupo das transformações. a partir dos 14 anos
Quadro 1 – Fases do desenvolvimento cognoscivo. (LIMA, 2000, p. 68)
Lima (2000) classifica a vida mental do indivíduo em três inteligências: a sensório-
motriz (sensório-motor), operações concretas (constituídas pelas fases: pré-conceitual,
intuitivo e operacional concreta) e operações formais. Outros autores utilizam-se da seguinte
classificação:
1. Sensório-motor.
2. Pré-operatório.
3. Operatório-concreto.
4. Operatório-formal.
Das duas classificações o importante é perceber que a idéia principal ‘gira’ em torno
da noção de
construções
sucessivas
e
progressivas
do conhecimento. Segundo Stoltz (2006):
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Dizendo de forma bem simples, todo o conhecimento do sujeito precisa
primeiro ser reconstruído nos níveis mais básicos, para após poder ser
reconstruído de modo a possibilitar o enriquecimento da compreensão. (p. 9)
A partir desta
necessária
construção
dos
“
níveis
mais
básicos
”, pode-se estabelecer
um paralelo com a questão educacional. Como salientado na epígrafe deste tópico, se à
Educação cabe o papel de formar homens criativos e críticos, e sendo a criticidade uma
estrutura do pensamento formal, então, para que o indivíduo ‘atinja’ tal estágio, é necessário
que haja uma sólida construção dos estágios anteriores. Desse modo, a Educação Primária –
período no qual a criança encontra-se no estágio operatório-concreto – deve possibilitar ao
aluno o seu pleno desenvolvimento, permitindo assim a posterior construção das operações
formais (raciocínio hipotético-dedutivo).
Como a referente pesquisa objetiva-se à verificação das estratégias didáticas (adotadas
pelos professores) que propiciam a construção das estruturas de pensamento operatório-
concretas (em específico os de natureza lógico-matemática), então, far-se-ão breves
considerações a respeito dos estágios 1., 2. e 4 – citados anteriormente. Ao estágio 3.,
portanto, realizar-se-ão discussões mais detalhadas.
... Sobre o Sensório-Motor:
Este estágio, conforme denotado pelo Quadro 1, situa-se desde o nascimento até
aproximadamente os 24 meses de vida. Pode-se dizer que o mesmo caracteriza-se por uma
inteligência prática, ou seja, as soluções dos problemas – provenientes da interação sujeito e
objeto (meio) – devem-se exclusivamente à ação realizada através da percepção e do
movimento físico. Daí decorre a denominação sensório-motora.
Piaget evidencia que nesta etapa as aquisições (construção das estruturas) são mais
rápidas e mais numerosas. No início deste estágio a criança encontra-se num estado de
indiferenciação entre ela e o mundo. Ou seja, ela não distingue os objetos que a rodeiam e
nem compreende as relações entre os objetos e o seu próprio corpo. Como ainda está na fase
pré-verbal, para agir sobre o mundo a criança utiliza a percepção e os movimentos
organizados em esquemas de ação. Sobre a definição de esquema, Lima (2000) expõe:
É o modelo de atividade que o organismo (a mente) utiliza para incorporar o
meio como alimento; todo esquema de assimilação tende a alimentar-se, isto
é, tende a incorporar os elementos que lhe são exteriores e compatíveis com
sua natureza. (p. 189)
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Da citação acima, pode-se pensar que o bebê incorpora um ‘novo’ objeto utilizando os
seus esquemas de ação, como por exemplo, sacudir, esfregar, balançar. Assim, a compreensão
deste ‘novo’ objeto deu-se pelo exclusivo uso/manipulação.
No decorrer dos 24 meses e, por meio da ação física sobre os objetos, a criança
constrói algumas noções fundamentais para o desenvolvimento seguinte, entre as quais podem
ser salientadas: 1. Objeto permanente e, 2. Causalidade.
Segundo Piaget, a melhor maneira de se compreender o conceito de objeto permanente
na criança – desta idade – é observar o seu comportamento quando um objeto desaparece ou é
escondido.
Conforme Lima (2000), o objeto permanente (ou a permanência do objeto):
“É o fato de conceber o objeto como continuado a existir mesmo quando
desaparece do campo de percepção (nove/dez meses)” (J. Piaget). Se a
criança não tem permanência do objeto, quando se cobre com um lençol, o
objeto em que está interessada, ela age como se o objeto não mais existisse.
Como diz Poincaré, é preciso que as coisas permaneçam (e se conservem)
para poder-se pensar sobre elas. Para Piaget, como a função da inteligência é
usar os objetos, a permanência é resultado do grupo dos deslocamentos
11
.
(LIMA, 2000, p. 229, grifo nosso)
Segundo Piaget, aproximadamente em torno dos 10 meses a criança já tem construída
a idéia de permanência. Concomitantemente, a criança constrói a noção prática de
causalidade. Mas, o que significa causalidade? A definição a seguir torna-se oportuna:
É a “interação entre objetos” (um dos objetos podendo ser o próprio sujeito).
A “causalidade introduz-se pela atribuição de operações lógicas nos objetos”
(J. Piaget). (LIMA, 2000, p. 161)
Desse modo, pode-se definir causalidade como o estabelecimento de relações que a
criança constrói ao interagir com o objeto. Por exemplo, ao descobrir que objetos de vidro ao
caírem no chão podem quebrar a criança estabelece (constrói) a relação causal: queda do copo
de vidro x possível quebra deste objeto.
Ambas noções: objeto permanente e de causalidade não são conceitos abstratos, pois
os mesmos situam-se no nível da ação e não da representação. Por isso a denominação deste
estágio como o da
inteligência prática
.
Furth (1997) resume bem o estágio sensório-motor:
11
O “grupo dos deslocamentos” é composto de ações diretas, inversas (ir e vir), ficar no mesmo lugar e fazer
rodeios. Vão ser necessários dez anos para esse grupo ser representado e tornar-se operação mental
(formalização). (LIMA, 2000, p. 203)
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Resumindo, a cognição sensório-motora é o comportamento prático –
manifestado e submetido a ações externas. A transição para um diferente
estágio cognitivo é caracterizada pela capacidade da criança de reconhecer a
existência independente de objetos físicos fora de suas próprias ações sobre
eles. A cognição resultante é o esquema do objeto permanente. É a primeira
invariante (constante) que a inteligência em desenvolvimento constrói
mediante abstrações formais das coordenações gerais de atos sensório-
motores. É o primeiro vislumbre, por assim dizer, da inteligência teórica.
Como conseqüência dessa dissociação parcial entre o pensamento e a ação
pessoal, a criança passa a ser capaz de representar seu pensamento num
comportamento simbólico. (p. 53, grifo nosso)
Como salientado por Furth (1997), ‘munida’ de certas estruturas, a criança é capaz de
representar suas ações (que até o momento davam-se exclusivamente pelo nível sensório-
motor/prático) no nível simbólico (representativo). É justamente esta fase que será discutida a
seguir.
...
A respeito do Pré-Operatório:
Retornando ao Quadro 1., percebe-se que este estágio situa-se na denominada
“
Inteligência
representativa
”, sendo constituída pela fases: “pré-conceitual e pensamento
intuitivo”. Cronologicamente, compreende a faixa etária entre os dois aos sete anos. O prefixo
‘pré’ anuncia um estágio anterior ao operatório, o qual caracteriza-se pelo rápido
desenvolvimento da linguagem e da função simbólica. A linguagem, conforme expõe Furth
(1997), representa:
O sistema natural dos símbolos falados (e ouvidos), forma de comunicação
típica de uma sociedade. Uma das manifestações do funcionamento
simbólico. A linguagem é adquirida e utilizada como outro comportamento
simbólico e influencia a inteligência indiretamente, através do impacto social
e educativo da sociedade. (p. 229, grifo nosso)
Decorre desta afirmação que a linguagem é um dos comportamentos simbólicos, uma
das manifestações da função simbólica, então, para compreender melhor a linguagem, torna-
se oportuno esclarecer a função simbólica. Observe o seguinte exemplo (de nossa autoria):
“
Quando brinca, a criança pode, por exemplo, usar dois pedaços de madeira para
representar duas pessoas.
Ao representar dois pedaços de madeira como sendo duas pessoas,
pode-se dizer que a criança está pensando simbolicamente
”. Segundo Lima (2000):
No nível simbólico (intuição) a criança não distingue ainda a diferença entre
a aparência e a realidade (metáfora, ilusão, duplo sentido). Isso só ocorre na
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adolescência. As crianças não percebem o sentido satírico das caricaturas
(como ocorre com muitos adultos retardados no desenvolvimento). (p. 229)
Furth (1997, p. 231) argumenta que: “
A função simbólica é a capacidade de se
construir ou produzir um símbolo para representar aquilo que se conhece, mas que não está
presente
.”. Assim, no exemplo anterior, a criança representou duas pessoas (
aquilo que ela
conhece
) só que sem as suas presenças; o fez por meio dos pedaços de madeira que serviram
de símbolo à sua ação. Concomitante ao desenvolvimento destas estruturas de pensamento, o
indivíduo começa a classificar e a ordenar os objetos, bem como a contar. Como salienta
Piaget, no momento em que a criança substitui a ação pela representação, ou seja, quando se
serve de símbolos, pode-se dizer que se inicia o pensamento.
No estágio pré-operatório observa-se o que Piaget denomina de jogo simbólico, ou
seja, uma vassoura ou uma caixa de fósforos, por exemplo, perde o seu significado objetivo,
simbolizando aquilo que a criança desejar. Este período coincide com o começo da aquisição
da linguagem. A linguagem abre um ‘novo’ mundo para a criança, já que as palavras
(substitutas dos acontecimentos e dos objetos) ampliam o rol de relações da criança com o
meio. Assim, as ações passam a ser representadas, onde os esquemas de ação (característicos
do estágio sensório-motor) ‘abrem espaço’ para os da representação.
A relação entre a linguagem e este ‘início’ do pensamento (representativo) é exposto
por Piaget (2001):
A linguagem, permitindo ao sujeito contar suas ações, fornece de uma só vez
a capacidade de reconstituir o passado, portanto, de evocá-lo na ausência de
objetos sobre os quais se referiram as condutas anteriores, de antecipar as
ações futuras, ainda não executadas, e até substituí-las, às vezes, pela palavra
isolada, sem nunca realizá-las. Este é o ponto de partida do pensamento. (p.
27)
O uso da linguagem propicia também à criança uma troca de informações com os
outros. Devido ao egocentrismo (ou seja, o indivíduo ainda ‘não se coloca’ no lugar do outro),
o diálogo é praticamente inexistente. Mesmo quando brinca em conjunto com outras crianças,
verifica-se que cada criança fala para si sem se interessar com as respostas dos outros. A este
fato deve-se denominar de monólogo coletivo em vez de conversa ou diálogo.
Neste período a criança manifesta grande curiosidade por aquilo que a circunda. A
todo o momento faz perguntas do tipo: “O que é?”; “Por quê
?
” Este “por que” não exige
apenas uma resposta causal, mas também final, na medida em que ela entende que tudo é
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orientado para um fim. Mesmo para as coisas que acontecem por acaso, como por exemplo
existir montanhas num lugar e não existir noutro, a criança pretende uma justificação final.
Os estudos desenvolvidos por Piaget revelam com clareza que a representação do
mundo feita por uma criança difere da do adulto. Nos primeiros anos do estágio pré-
operatório a criança não entenderá a Noção de Conservação. Para investigar a questão da
conservação, por exemplo, pode-se utilizar a seguinte situação:
“Dispõe-se na mesa, sob o olhar da criança, duas fileiras (A e B) contendo o mesmo número de
elementos (fichas vermelhas), conforme apresentado na figura abaixo:
Figura 2 – Noção de Conservação: correspondência um a um (perceptiva).
Após essa primeira visualização, pergunta-se à criança se o número de elementos de ambas as
fileiras são iguais. Tendo-se como resposta a afirmação da criança (ou seja, A = B), em sua frente,
uma das fileiras é alterada, como mostrado a seguir:
Figura 3 – Noção de Conservação: correspondência um a um (não perceptiva).
Em seguida, pergunta-se à criança se o número de fichas do conjunto A é igual ao do conjunto B.”
Quadro 2 – Prova da Noção de Conservação (quantidade). (CARRAHER, 1998)
Conforme Piaget, a criança no estágio pré-operatório não ‘conserva a quantidade
descontínua’, pois, em seu raciocínio a reversibilidade ainda não foi construída. Carraher
(1998) pontua que:
A conservação de quantidades não representa apenas o aspecto mais
divulgado da teoria piagetiana. Do mesmo modo que o estudo da
gênese do conceito de permanência do objeto, o estudo da origem do
conceito de conservação de quantidades constitui o que podemos
reconhecer como contribuições revolucionárias da obra de Piaget, pelo
fato de demonstrarem ambos que premissas indiscutíveis e evidentes
no raciocínio do adulto comum não são inatas ou parte da natureza
humana, mas representam conquistas de desenvolvimento intelectual.
(p. 63, grifo nosso)
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O fato das crianças deste estágio não conservarem quantidades ocorre pela imposição
da percepção, de suas experiências pessoais sobre o seu raciocínio, que ainda é pré-operatório
(egocêntrico). Ao agir pela intuição
12
, a criança não estabelece o ‘ir e vir’ mental, não
conseguindo, por exemplo, reconstituir mentalmente a fila B. Como o ‘tamanho’ desta é
menor, então, a mesma conclui que contém menos elementos. Sobre a questão da
reversibilidade, Lima (2000) pontua:
Para Piaget, a ação interiorizada só se torna operação quando adquire
reversibilidade (quando a ação direta, por exemplo, corresponde
simultaneamente à operação inversa). A ação (motora) não tem
reversibilidade (a ação motora “inversa”, de fato, é uma nova ação). Quando
as ações se interiorizam (representação mental), a princípio (intuição) não
tem ainda reversibilidade (são representações das ações, conservando a
“dureza” própria da atividade sensório-motora). O primeiro sinal de
reversibilidade aparece com a noção da conservação da substância;
“voltando ao estado anterior fica o mesmo” – diz a criança que dominou a
reversibilidade. Aos poucos, a rigidez (intuição) das representações da ação
“descongela-se” e as representações transformam-se em operações
reversíveis (a reversibilidade amplia-se em associatividade e nas demais
operações do grupo matemático). (p. 238)
É a partir desta reversibilidade que se constroem as operações concretas, tema a ser
desenvolvido a seguir.
... Um esboço acerca do Operatório-Concreto:
O primeiro estágio das operações são as concretas. Nesta etapa a criança apresenta o
pensamento operatório. Tal pensamento deve-se ao desenvolvimento progressivo (o
equilíbrio) dos estágios anteriores, nos quais a criança construiu a capacidade de
reversibilidade, em oposição à irreversibilidade/centração/intuição. Cronologicamente, e
conforme denotado pelo Quadro 1, corresponde (em média) à faixa etária dos sete aos onze
anos; intervalo este correspondente à Educação Primária.
Como mesmo denota Piaget (2001):
A idade média de sete anos, que coincide com o começo da escolaridade da
criança, propriamente dita, marca uma modificação decisiva no
12
A intuição representa o pensamento do estágio pré-operatório. Corresponde, cronologicamente, dos 5 aos 8
anos do desenvolvimento mental. Caracteriza-se por não possuir reversibilidade, sendo dominado por centrações.
Como pontua Lima (2000), centração: “É o fenômeno psicológico de fixar a atenção (percepção ou
representação) num só ponto de totalidade. À medida que promove movimentos de pesquisa na totalidade
(descentração), o pensamento vai criando reversibilidade e operacionalidade. A centração é a explicação para
a falta de mobilidade operatória da intuição. O pensamento intuitivo é também centrado por ser mera
interiorização da atividade sensório-motora.” (p. 163, grifo nosso)
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desenvolvimento mental. Em cada um dos aspectos complexos da vida
psíquica, quer se trate da inteligência ou da vida afetiva, das relações sociais
ou da atividade propriamente individual, observa-se o aparecimento de
formas de organizações novas, que completam as construções esboçadas no
decorrer do período precedente, assegurando-lhes um equilíbrio mais estável
e que também inaugura uma série ininterrupta de novas construções. (p. 40)
Decorre desta afirmação, a importância da Educação Primária ao pleno
desenvolvimento das operações concretas. É justamente neste estágio que se inicia a
construção das estruturas lógico-matemáticas. O mesmo autor, sobre a constituição da lógica
nas crianças, explicita que:
Aos 7-8 anos, em média (mas, repetimos, estas idades dependem dos meios
sociais e escolares), a criança chega, depois de interessantes fases de
transição, cujos detalhes não poderíamos abordar aqui, à constituição de uma
lógica e de estruturas operatórias que chamaremos “concretas”. Este caráter
“concreto”, por oposição ao formal, é particularmente instrutivo para a
psicologia das operações lógicas em geral. Significa que neste nível, que é o
dos primórdios de uma lógica propriamente dita, as operações ainda não
repousam sobre proposição de enunciados verbais, mas sobre os próprios
objetos que elas se limitam a classificar, a seriar, a colocar em
correspondência etc. Em outras palavras, a operação nascente ainda está
ligada à ação sobre os objetos e à manipulação efetiva, ou simplesmente
mentalizada. Contudo, por estarem próximas da ação, estas “operações
concretas” já se organizam em estruturas reversíveis, apresentando suas leis
de totalidade (por exemplo, as classificações). (PIAGET, 2001, p. 105-106,
grifo nosso)
As palavras sublinhadas denotam as necessárias ações a serem realizadas pelas
crianças sobre o meio concreto. Classificar, seriar, colocar em correspondência de um para
um, de um para muitos, devem se constituir as ações a serem interiorizadas pelas crianças sob
a ótica da reversibilidade. A experiência (ou seja, a ação direta – e mental – sobre o objeto
concreto) necessita fazer parte deste estágio de desenvolvimento mental. Como salienta
Cunha (1973), nesta etapa a criança:
Organiza o mundo exterior através das ações físicas, elaborando ao mesmo
tempo suas estruturas mentais. Em outras palavras, o indivíduo se
“organiza”, ao organizar a realidade. (p. 27)
Complementando esta idéia, a mesma autora argumenta:
No período das operações concretas, a criança começa a construir suas
noções no campo do espaço, do tempo, da velocidade, do peso, do número,
da medida, da classificação e seriação lógicas, da perspectiva, etc. ... Mas
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essas construções não podem ser construídas no vazio! Necessitam de
situações concretas envolvendo ações da própria criança. (CUNHA, 1973, p.
43, grifo nosso)
Mais uma vez defende-se a necessidade da experiência, permitindo à criança construir
estruturas de pensamento mais complexas, como a formal (hipotético-dedutiva). Para
delimitar/caracterizar as diferenças entre as operações concretas e as formais, Piaget utiliza as
noções de grupo
13
algébrico. Este autor verifica que no estágio operatório-concreto, a criança,
ao ‘operar mentalmente’, ainda não utiliza todas as propriedades do grupo; a estas estruturas
cognitivas denomina agrupamento
14
. É oportuno esclarecer que as idéias de “grupo” e
“agrupamento” relacionam-se com as ações interiorizadas (as operações) que são manipuladas
mentalmente pelas crianças. Assim, como as ações (antes de serem
interiorizadas/representadas) foram ‘praticadas inicialmente’ no sensório-motor, então, por
transitividade, obtém-se que as operações formais (caracterizadas pelas propriedades do
“grupo”) são derivadas do primeiro estágio do desenvolvimento mental. O esboço a seguir
salienta a não construção (ainda) de todas as estruturas cognitivas que permitem as realizações
das operações de “grupo”.
Mesmo antes de se encontrar no estágio operatório-concreto, a criança já é capaz de
ordenar uma série de objetos por tamanhos e de comparar dois objetos indicando qual o maior
(capacidade de comparação e classificação). No entanto, ainda não é capaz de compreender a
propriedade transitiva. Ou seja, se o objeto A é maior que o objeto B e, se B é maior que o
objeto C, a criança ainda não está apta para concluir que A é maior que C (isto se deve à falta
das estruturas cognitivas características do “agrupamento”, no qual a reversibilidade ainda é
13
“Definição de Grupo: “Seja G = {a, b, ..., x, y, ...} um conjunto de elementos quaisquer entre os quais está
definida uma operação que será indicada com a.b (ou simplesmente ab) denominada produto de a por b, e que é
tal que a cada par ab de G lhe atribui um elemento c = ab também de G.
Diz-se que G é um grupo de operação ab se verifica:
1) (ab)c = a(bc) Propriedade associativa
2) Existe um elemento neutro e (indicado também com o símbolo 1), chamado unidade (à esquerda) tal que ea =
a para todo a de G.
3) Para todo a de G existe pelo menos um elemento que é designado por a
-1
(inverso à esquerda) tal que a
-1
a = e.
Em geral é ab ≠ BA; se ab = BA, o grupo é denominado de abeliano ou comutativo.”
A propriedade 3) é a expressão formal da inversão ou reversibilidade.” (BATTRO, 1976, p. 158-159, grifos do
autor)
14
Segundo Battro (1976): “Sugerimos que a noção de agrupamentos surgiu de observações psicológicas
relacionadas às operações concretas, que as crianças efetuam quando se dedicam a classificar ou seriar objetos.”
(p. 160, grifos do autor) Complementando, Lima (2000) realiza uma interessante abordagem a respeito dos
agrupamentos: “Antes de a mente atingir o nível das operações com grupos e redes (e suas combinatórias), já é
capaz de operações concretas (com os objetos ou com seus símbolos). São essas operações (pré-formais) que
Piaget chama “agrupamento” (classificações, seriações, correlatos, substituições, tábua-de-duas-ou-mais-
entradas, matrizes, árvores, etc.).” (p. 151-152, grifo nosso)
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ausente neste estágio – do pré-operatório). Nesta etapa, o indivíduo só conclui que A é maior
que C se ambos os objetos são apresentados à criança ‘um ao lado do outro’.
Em contrapartida, no início do estágio das operações concretas, a criança já é capaz de
compreender a propriedade transitiva (graças à reversibilidade). Porém, a capacidade de
compreensão da propriedade transitiva só ocorre se aplicada a objetos concretos que a criança
tenha visto (concretamente). Por exemplo, utilizemos o objeto A (uma galinha), o objeto B
(um avestruz) e o objeto C (um elefante). Tomando como elementos A, B e C, a criança desta
fase consegue compreender a relação: “se A é menor que B, e se B é menor que C, então A é
menor que C”. Como a criança construiu ‘concretamente’ tais objetos em sua mente (já que
os vivenciou, interiorizando a ação – de conhecer – ao nível das operações reversíveis), então
ela consegue compreender a transitividade.
No entanto, o indivíduo deste estágio é ainda incapaz de compreender a propriedade
transitiva quando aplicada a objetos hipotéticos. Por exemplo, se colocar à criança o problema
da seguinte forma: A é maior que B e, B é maior que C; qual é maior: A ou C? Somente
quando construir as estruturas cognitivas de “grupo”, a criança conseguirá solucionar este
problema hipotético.
Só por curiosidade, a respeito da Noção de Conservação, no decorrer deste estágio, a
criança (devido ao desenvolvimento progressivo de suas estruturas cognitivas) passa a
conceber a conservação: do volume, de massa e de comprimento, respectivamente.
Em suma, pode-se dizer que:
Com o período operatório-concreto, aproximadamente em torno dos 07 anos
aos 11 anos temos a possibilidade do pensamento racional, que não surge do
dia para a noite. E como ele se define? Define-se pela capacidade de operar
mentalmente com o conhecimento. E esta operação é sempre uma
transformação. É a capacidade de explicar o processo que determina dado
conhecimento e, para isto, é necessário o pensamento reversível, aquele que
volta ao ponto de partida e explica a relação entre meios e fins. Dito de outra
forma, explica a realidade pelo seu inverso. Nada do que se conhece se
explica por si só. É a lógica que integra diferentes momentos de um processo
de construção da realidade. Isto significa que para entender, é preciso não só
perceber o objeto novo do conhecimento. A compreensão deste objeto
necessita de uma transformação que envolva a comparação com outros
objetos (diferenças e semelhanças) para então chegar a generalizar e
transferir conhecimento, fazer uso dele em diferentes situações e também
construir conhecimento a partir deste objeto. (STOLTZ, 2006, p. 23)
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... Enfim, o Operatório-Formal:
Como argumentado anteriormente, no estágio operatório-formal, devido à progressiva
construção das estruturas cognitivas de classificação, seriação, ordenação, entre outras, a
criança consegue compor as propriedades operatórias do “grupo”. Em média, esta fase
compreende a faixa etária dos 11 anos em diante. No Quadro 1., Lima estabelece uma divisão
deste estágio em duas etapas:
a) Lógica hipotético-dedutiva e operações combinatórias; e
b) Estruturas e grupo das transformações.
A capacidade (construída) do “ir e vir” mental desprende-se da recorrência ao
concreto, adquirindo a denominada característica lógica-formal. Nesse sentido, a criança
aprende a solucionar problemas estabelecendo um leque de alternativas (hipóteses) a serem
confrontadas com a realidade (dedução). O adolescente, utilizando da lógica-matemática,
pensa de modo semelhante aos adultos que atingiram já este nível. A linguagem representa a
ferramenta mais importante para o indivíduo desta fase.
Como mostra Piaget (2001):
Ora, após os 11 ou 12 anos, o pensamento formal torna-se possível, isto é, as
operações lógicas começam a ser transpostas do plano da manipulação
concreta para o das idéias, expressas em linguagem qualquer (a linguagem
das palavras ou dos símbolos matemáticos etc.), mas sem o apoio da
percepção, da experiência, nem mesmo da crença. O pensamento formal, é
portanto, “hipotético-dedutivo”, isto é, capaz de deduzir as conclusões de
puras hipóteses e não somente de uma observação real. (p. 59, grifo noso)
Convém notar que tal estágio de desenvolvimento depende em grande parte do grau de
formação (educação) que à pessoa foi oportunizado. Muitos adultos, segundo Piaget, nunca
chegam a fazer raciocínios formais. Nas sociedades em que não existem escolas formais,
nenhum dos seus membros é capaz de raciocinar formalmente pelo fato deste estágio ‘ser’ o
fruto das complexas produções intelectuais construídas pelo homem (as Ciências, a Filosofia,
a Arte, a Moral etc.).
Para evidenciar o aspecto construtivo e seqüencial da teoria piagetiana, relacionando
aos estágios explicitados, a fala do próprio Piaget torna-se oportuna:
Estudando meus próprios filhos, compreendi melhor o papel da ação e, em
especial, que as ações constituem o ponto de partida das futuras operações
da inteligência. A operação é, assim, uma ação interiorizada, que se torna
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reversível e que se coordena com outras, em estruturas operatórias de
conjunto. (PIAGET, 2001, p. 70, grifos do autor)
Decorre desta fala a verificação de Piaget com relação à origem genético-biológica do
conhecimento. Se as primeiras ações remontam ao biológico (necessidades orgânico-
fisiológicas; o mamar, por exemplo), então, a construção das operações deve-se ao mesmo. O
conhecimento, assim, é decorrente de uma ação (que depois de alguns anos transforma-se em
operação) do sujeito em interação com o objeto (meio), podendo ser este meio o próprio eu
(pensar sobre o pensar). E é sobre este ‘pensar sobre o pensar’ que é construído o pensamento
lógico-matemático, iniciado, porém, graças às operações concreto-manipulativas para com os
objetos (por exemplo, rasgar, ordenar, comparar, classificar, agrupar, desagrupar, distribuir
etc.).
Antes de dedicar atenção especial ao mecanismo que permite o desenvolvimento das
estruturas cognitivas (propiciando a ‘evolução’ dos estágios mentais), ou seja, a equilibração,
é realizado um breve comentário a respeito da construção da moral e do aspecto social.
Muitos críticos (desinformados) argumentam que Piaget ‘esqueceu’ do papel da interação e
transmissão social ao elaborar sua teoria do conhecimento. Isso é inverdade, pois, o próprio
Piaget atribui à interação social um dos fatores do desenvolvimento cognitivo.
Sobre isso, Stoltz (2006, p. 33) afirma: “
A interação e transmissão social é
indispensável porque representam as possibilidades de acesso ao conhecimento construído
pela sociedade humana. Este fator determina avanços ou atrasos, conforme a inserção do
sujeito em contextos culturais mais ou menos ricos.
”.
Além da interação social, Piaget define outros três fatores do desenvolvimento
cognitivo do indivíduo: maturação orgânica, experiência (física e lógico-matemática) e
equilibração coordenando os demais.
Sobre a questão da moral, Piaget estabelece três etapas a serem desenvolvidas pelo
sujeito mediante o convívio grupal. Lima (2000) esclarece a respeito, dizendo:
Todos sabem que J. Piaget subordina os modelos de conduta em nível de
desenvolvimento mental. Assim, a moral dos indivíduos, por exemplo, reflete
o seu nível mental, da mesma forma que o conceito de justiça e a
participação política do cidadão refletem o grau de maturidade alcançado em
seu desenvolvimento mental. Ora, todos esses aspectos da conduta nascem
embrionários, nas relações grupais ganhando equilíbrio, na medida em que o
grupo progride para a autonomia. São as seguintes etapas do
desenvolvimento dos grupos, segundo Piaget:
1ª) Anomia: Momento em que as crianças não percebem ainda a existência
de normas, desconhecendo obrigações para com os companheiros.
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2ª) Heteronomia: Momento em que a criança admite (por vezes de forma
radical) as regras, atribuindo-as a Deus, aos adultos, à tradição, adotando um
legalismo intransigente e aceitando a existência da chefia (o escotismo
explora muito essa fase que ocorre antes da adolescência).
3ª) Autonomia: Momento em que os membros do grupo admitem que as
regras resultam da deliberação dos iguais (é o processo político da
democracia). (p. 109 e 111, grifos do autor)
Para evidenciar a relação entre o desenvolvimento intelectual (mental) e o
desenvolvimento afetivo (moral), o quadro abaixo torna-se pertinente.
DESENVOLVIMENTO INTELECTUAL DESENVOLVIMENTO AFETIVO
ESTÁDIOS
Inteligência Sensorial-motora (não
socializada)
A. Sentimentos intra-individuais (que
acompanham a ação do sujeito)
I
Montagens Hereditárias
Montagens hereditárias
a) tendências instintivas
b) emoções
2 meses
II
Primeiras aquisições em função da
experiência
Afetos perceptivos
a) prazer e dor ligados às percepções
b) sentimentos agradáveis/desagradáveis
6 meses
III
Inteligência sensorial-motora propriamente
dita
Regulações elementares
Ativação, restrição, reações de terminação,
com sentimento de êxito ou de fracasso.
2 anos
Afetos intencionais
a) Primeiro sistema: Coordenação de
interesses
Segundo sistema: Escala de valores
b) começo da descentração afetiva: escolha
do objeto
Inteligência verbal (socializada)
B. Sentimentos inter-individuais
(intercâmbio afetivo entre pessoas)
IV
7-8 anos
Representação pré-operatória
Afetos intuitivos
a) sentimentos sociais elementares:
reconhecimentos e reciprocidade
b) primeiros sentimentos morais
heterônomos: obrigação de dever
V
12 anos
Operações concretas
Afetos normativos
a) sentimentos morais autônomos, de justiça
e igualdade (respeito mútuo)
b) intervenção da vontade pp. dita como
conservação de valores
VI
.
.
.
.
15 anos
Opções formais
Sentimentos ideológicos
a) aos sentimentos inter-individuais são
acrescentados, como objetivo, os ideais
coletivos
b) elaboração da personalidade: indivíduo
atribui para si um papel e finalidades na
vida social
Quadro 3 – Desenvolvimento Intelectual e Afetivo. (BATTRO, 1976, p. 337)
Observa-se a partir deste quadro que a evolução moral da criança acompanha a
intelectual. No estágio sensório-motor, a criança apresenta-se no estado da anomia. Como já
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salientado, se o sujeito ainda não possui a capacidade de diferenciar o seu corpo do mundo (
a
indiferenciação
), então, não compreende as regras/normas e obrigações para com o outro
(pois o outro não se constitui um “objeto permanente”). Após esta anomia, a criança começa
a perceber o outro (
diferenciação
) estabelecendo com este progressiva comunicação. No
estabelecimento desta comunicação, iniciam-se as imposições dos mais velhos, e ao respeitá-
los, as crianças, por assim dizer, encontram-se no estado da heteronomia. Este ‘período
heterônomo’ corresponde ao estágio pré-operatório.
A construção da autonomia, por fim, inicia-se no período operatório-concreto – época
na qual a criança inicia os estudos na Educação Primária. Os sentimentos interindividuais, as
noções de justiça e igualdade vão sendo construídos à medida que o sujeito adquire a
capacidade da reversibilidade. Porém, algumas vezes, a construção plena da autonomia (ou
seja, os ideais e sentimentos de eqüidade e responsabilidade social) não chega a ocorrer. Isto
se deve, em grande parte, a não construção do raciocínio formal (hipotético-dedutivo) pelo
sujeito. Este fato pode ser verificado quando se observa, em nossa sociedade, pessoas que
ainda não conseguem se autogovernar, ficando dependentes das regras impostas pelo outro.
Neste sentido, a Educação Primária torna-se necessária para que a criança, construindo
satisfatoriamente as operações concretas, tenha possibilidade de desenvolver seu pensamento
formal.
2.1 –
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ECANISMO
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QUILIBRAÇÃO
O mecanismo de equilibração foi utilizado no tópico anterior para justificar o
desenvolvimento/construção das estruturas de pensamento. Constituindo um dos pontos
chaves da Epistemologia Genética, a ocorrência deste mecanismo é desencadeada através da
interação sujeito e meio.
Para interagir, o sujeito precisa agir. As ações que o sujeito estabelece com o meio
ocorrem sob duas esferas de experiências: a física e a lógico-matemática. A experiência
física é caracterizada pela ação no objeto, de onde são retiradas as suas propriedades. Por
exemplo, quando a criança manipula massinhas de modelar comprova – por meio dos
esquemas de ação – que este objeto é maleável.
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A experiência lógico-matemática ocorre quando o indivíduo coordena as ações
realizadas sobre o(s) objeto(s), ou seja, ordena, classifica (entre outros) os objetos com os
quais interage. Conforme Taxa (2001):
A experiência denominada lógico-matemática caracteriza-se pela
coordenação das ações do sujeito, e abstração de conhecimentos a partir
delas. O conhecimento nesse último caso é abstraído da ação do sujeito sobre
os objetos e não diretamente dos objetos. (p. 24, grifo nosso)
A abstração, objeto de importante estudo na teoria piagetiana, é definida como um
deslocamento realizado nas estruturas cognitivas do sujeito para que ele seja capaz de
generalizar e isolar certas propriedades do objeto analisado. Kesselring (1990) exemplifica a
ocorrência deste processo de abstração em situações corriqueiras:
(...) ao deslocarmos ou abstrairmos a cor de uma laranja, detemo-nos no
caráter individual, como é o caso da cor apenas da laranja em questão. Mas
vamos, além disso, pois é possível reconhecer esta mesma cor em outros
objetos; e isto se dá graças ao fato de podermos generalizar a cor individual
da laranja. Conquistamos, assim, por abstração, propriedades dos objetos,
como a forma, a cor, o peso entre outras. (TAXA, 2001, p. 27)
Piaget classifica as abstrações em três tipos: empírica, pseudo-empírica e reflexiva. A
primeira ocorre quando o sujeito retira do objeto propriedades exclusivamente da esfera física,
ou seja, do material observado. Como observa Zaia (1996):
(...) a abstração empírica de determinadas propriedades assume grande
importância para participar de determinados jogos. É o caso da altura do
objeto para “queda dos dominós” (...) Mas ela constitui apenas uma pequena
parte das abstrações provocadas pelo jogo; as antecipações, o levantamento
de hipóteses, o planejamento de estratégias, depende essencialmente da
abstração reflexiva (...) Esta projeção de um nível para o outro não basta
para a construção de uma nova totalidade, sendo necessária a reflexão para
reorganizar e reconstruir os elementos transpostos, coordenando-os e
integrando-os aos que já pertenciam ao novo nível. (p. 25)
Através de um progressivo desenvolvimento das estruturas cognitivas, desencadeadas
pela ação do sujeito nos objetos, por meio da experiência física e lógico-matemática, constrói-
se a abstração pseudo-empírica. Esta ainda utiliza as características físicas dos materiais
observados (retirando dos objetos suas propriedades), porém, o indivíduo passa a adicionar
novos dados ao elemento observado através da atividade mental. Taxa (2001) exemplifica este
tipo de abstração:
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Um exemplo claro deste tipo de abstração (pseudo-empírica) é observada na
construção da seriação, quando a criança consegue montar uma série cuja
atividade foi realizada predominantemente pela mera manipulação das varas
ou pelos tateios ocorridos em função do próprio material (p. 29).
A abstração reflexiva decorre da generalização e coordenação das propriedades
retiradas do objeto. Este tipo de abstração é constituído pelo reflexionamento e reflexão. O
reflexionamento ocorre quando o sujeito passa a representar seu conhecimento em um estágio
mais desenvolvido. Já a reflexão passa a acontecer no instante em que o indivíduo
compreende a necessidade de reconstruir um novo plano (patamar) daquilo que foi retirado do
plano de partida. Pode-se dizer que é o momento em que o sujeito começa a refletir, tomando
consciência acerca das propriedades retiradas do objeto em questão. Segundo análise de Taxa
(2001):
A abstração reflexiva é um mecanismo funcional relacionado com a
conceitualização e tomada de consciência em face da construção de
conhecimentos que se constitui pelo sujeito. A soma é um bom exemplo do
processo de abstração reflexiva diretamente relacionada com o pensamento
matemático. Desde cedo, as crianças mais novas sabem reunir objetos, e, no
plano da ação, executar a soma destes objetos. Somente, porém, no nível da
conceitualização são elas capazes de abstrair a construção de coleções
distinguindo as totalidades como tais dos seus elementos. Mais adiante são
capazes de reunir coleções com distinção da totalidade de conjunto e as
subcoleções. No caso do exemplo da soma, a progressão de cada uma destas
condutas é abstraída das ações precedentes e não dos objetos como tais,
manipulados pelas ações. (p. 30)
Por meio do processo de abstração é possível perceber que a construção de novos
conceitos dar-se-á a partir de sucessivas elaborações/reflexões de conceitos anteriores que se
localizavam num patamar menos elaborado de esquemas conceituais. Assim sendo, a
exemplificar, é impossível ensinar aos alunos a geometria analítica
15
se os mesmos não
possuem em suas estruturas cognitivas conhecimento acerca do pensamento algébrico e nem
geométrico.
A partir da abstração reflexiva, na qual são criadas novas estratégias para a solução de
problemas desencadeados pela interação/ação entre sujeito e objeto, é necessário que ocorra
uma progressiva generalização, ou seja, uma aplicação destas estratégias a outra situação
15
Geometria analítica é uma parte da Matemática que, através de processos particulares estabelece as relações
existentes entre a Álgebra e a Geometria. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII, e
devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas.
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problema. Taxa (2001) faz uma análise acerca da indissociabilidade entre abstração reflexiva
e generalização construtiva:
A abstração reflexiva está relacionada à generalização construtiva. De
maneira geral, o sentido do processo de generalização em Psicologia é a de
uma extensão de um conceito já existente. A generalização é uma função
geral indissociável da abstração, pois não se abstrai mais que para
generalizar e, para se generalizar, é preciso valer-se da abstração. (p. 207)
Piaget (1986) classifica a generalização em dois tipos: a generalização indutiva e a
generalização construtiva. A primeira é relacionada com a abstração empírica, pois:
(...) parte dos conteúdos observáveis contidos nos objetos, portanto,
abstrações empíricas, e que se remete a eles para averiguar sua validade das
relações observadas, com o fim de estabelecer seu grau de generalidade e
sacar dele previsões posteriores (trata-se de encontrar explicações para
razões, o que nos levaria a superar o observável). (p. 8)
Dessa forma, a generalização indutiva evidencia um caráter extensivo, pois a
assimilação de novas estruturas só ocorre devido à existência de estruturas cognitivas
anteriores, sendo estas construídas a partir da constatação no plano físico.
O segundo tipo de generalização (construtiva) está relacionado à abstração reflexiva,
na qual o indivíduo, ao agir sobre o objeto, produz novas formas e também novos conteúdos
de conhecimento.
Através das generalizações que o sujeito constrói a partir das abstrações, é possível
evidenciar a construção do conhecimento endógeno por meio de uma construção exógena.
Neste ‘percurso’ verificam-se diferentes níveis de consciência. A seguir, apresenta-se um
esquema ilustrativo desta passagem de “conhecimentos”.
Figura 4 – Conhecimentos Endógenos a Exógenos. (CAETANO, 2006)
1º - O sujeito registra as
características do objeto em
meio a uma ação exterior, ou
seja, no plano físico.
(Abstração Empírica)
2º - Desenvolvem-se as
variações do objeto
observado.
3º - Através da tomada de
consciência das características
do objeto derivadas da ação,
ocorre o conhecimento das
propriedades menos imediatas.
(Abstração Reflexiva)
Conhecimento Endógeno → Conhecimento Exógeno
(Tomada de Consciência)
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Após discorrer sobre a generalização e a abstração – e suas categorias – faz-se
razoável abordar o mecanismo de equilibração. Tal abordagem é possível, pois os processos
mentais (generalizar e abstrair), por permitirem ao indivíduo interagir com o meio,
propiciam a ocorrência de situações desequilibradoras (
a serem reequilibradas pela
‘equilibração’
).
Para Piaget (1976), o sujeito desenvolve-se a partir de um sistema vivo, que é
classificado como: aberto – quando o mesmo realiza trocas com o meio; e fechado – no
momento em que se constituem os ciclos em seu sistema cognitivo. Este sistema tende a um
equilíbrio cognitivo através de sucessivos desequilíbrios e reequilíbrios. Logo, equilibração é
uma passagem de estados de menor equilíbrio para estados de maior equilíbrio,
qualitativamente diferentes inseridos num ciclo construtivo. Taxa (2001) faz uma análise
acerca do mecanismo de equilibração proposto por Piaget:
O processo de equilibração é entendido por Piaget como o processo central
para explicar o desenvolvimento e constitui fator necessário para conciliar
harmonicamente os demais fatores do desenvolvimento (maturação,
interação social, experiência física e lógico matemática). A equilibração,
nesse quadro, é entendida como um sistema de auto-regulações, seqüência
de compensações ativas do sujeito aos desafios do meio ou perturbações
exteriores. (p. 23, grifo nosso)
No mecanismo de equilibração, muitos fatores são co-atores para propiciar o
desenvolvimento da inteligência. Através de um trabalho minucioso, Jean Piaget e seus
colabores evidenciaram-nos. A seguir analisar-se-ão estes fatores com o intuito de possibilitar
um ‘desfecho’ a esta teoria, que obviamente mereceria mais espaço e esforços discursivos,
devido à
extensa
e
intensa
dimensão dos conceitos investigados pela Epistemologia Genética
piagetiana.
Segundo Guimarães (2004), em todo o processo de desenvolvimento mental estão
presentes certas propriedades denominadas invariantes funcionais. Estas são compostas
pelos: “processos de organização e adaptação, presentes durante toda a vida” (2004, p. 14,
grifo nosso). A organização possui o papel de organizar os sistemas (aberto e fechado); já a
adaptação constitui-se no equilíbrio entre assimilação e acomodação.
Assimilar na teoria de Piaget significa integrar elementos novos (provenientes da ação
do sujeito) a um esquema já existente. Para Steffe (1988), em Calsa (2002):
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(...) a assimilação integra a realidade às estruturas cognitivas dos sujeitos e
precede a aprendizagem cujas perturbações no sistema são neutralizadas pelo
processo de acomodação dos esquemas já existentes. (p. 15)
A respeito dos mecanismos constituintes da adaptação – assimilação e acomodação –
Lima (2000) expõe as seguintes considerações:
O processo de apreensão de elementos existentes no meio é chamado por
Piaget de assimilação (fenômeno pelo qual o organismo transforma o meio
em substâncias que podem ser incorporadas ao organismo sem exigir dele
modificações). (...) Ocorre, porém, que nem sempre o meio se deixa
“assimilar” sem resistência. O processo de assimilação, neste caso, sofre
modificações em dois sentidos:
1) tenta transformar o meio em substância “assimilável”;
2) provoca modificações nas próprias estruturas de assimilação, construindo
novos modelos que permitam “assimilar” o meio ambiente.
Estas modificações no aparelho assimilador, são chamados por J. Piaget de
acomodação. (p. 41, grifo do autor)
Corroborando com as idéia de Lima, Calsa (2002) realiza um oportuno comentário:
A adaptação cognitiva envolve dois processos que tendem constantemente
ao equilíbrio: assimilação e acomodação. O processo de assimilação consiste
em introduzir nos objetos o sistema de significados existentes na
organização cognitiva a fim de compreendê-los a partir deste quadro
interpretativo. O processo de acomodação ajusta a organização cognitiva ao
meio modificando os esquemas com o fim de facilitar suas ações
assimilativas. O progresso cognitivo é decorrente da extensão das ações
acomodativas a aspectos novos e diferentes do meio, bem como das ações
assimilativas, que mesmo na ausência de estimulação ambiental, promovem
uma constante reorganização interna dos sistemas de significados e sua
integração a outros sistemas já existentes. (p. 87, grifo nosso)
A acomodação, denotada por Lima (2000), é considerada como sendo a
aprendizagem
.
Faz-se válido salientar que a assimilação-acomodação é o mecanismo fundamental de
modificação dos indivíduos. A esse respeito, o mesmo autor pontua: “Desde a mais tenra
infância é fundamental a estimulação das relações do organismo com o meio, a fim de que
ocorram freqüentes
acomodações.
” (LIMA, 2000, p. 41, grifo do autor).
Os elementos até agora discutidos (organização e adaptação: assimilação e
acomodação) constituem o processo de equilibração pelo qual todo o sujeito ‘percorre’ ao
construir suas estruturas cognitivas, desenvolvendo assim sua inteligência. Neste processo, o
desequilíbrio desempenha um importante papel à equilibração majorante. Na teoria
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piagetiana, o desequilíbrio é a não correspondência entre afirmação e negação, não sendo,
portanto, resultado de fatores externos ou internos.
Sobre o desequilíbrio, Calsa (2002) declara:
O desequilíbrio desencadeado pela aprendizagem, em decorrência da
integração de uma nova formação ou criação cognitiva no sistema, é capaz
de produzir movimentos cognitivos. Eles são conseqüências da extensão da
perturbação local de um conteúdo para outros, seja de forma crescente,
flutuante ou estagnada. Estes movimentos produzem construções mediadoras
intrínsecas, na medida em que as funções e mecanismos existentes não são
suficientes para restabelecer o equilíbrio cognitivo, e o desequilíbrio se
expande ao restante do sistema. (p. 89)
Assim, os desequilíbrios são considerados mecanismos de impulso para que as
estruturas cognitivas, através de acomodações e assimilações sucessivas (estas advindas das
generalizações provenientes das abstrações), promovam progressivos reequilíbrios das
mesmas, obtendo como resultado novos conhecimentos. É válido citar que os desequilíbrios
apresentam-se com mais amplitude no início do desenvolvimento cognitivo das crianças,
donde as afirmações sobrepõem-se às negações pelo motivo das mesmas evidenciarem os
fatos (quase que exclusivamente) através da observação do real (ou seja, ação no plano
físico).
Na ocorrência dos desequilíbrios, há uma busca incessante para que as estruturas
cognitivas possam estabelecer o equilíbrio novamente, atingindo assim a equilibração
majorante. Esta progressiva equilibração ocorre devido às sucessivas regulações. Silva (2003)
argumenta que:
A equilibração majorante implica a construção de esquemas cada vez
melhores, mais amplos e complexos, nesse processo interativo estabelecido
entre o sujeito e o meio, visando, através de sua adaptação ao meio (objetos,
pessoas), a assegurar a sobrevivência do indivíduo. (p. 45)
As sucessivas regulações que propiciam a superação do desequilíbrio são reações a
perturbações, porém é importante ressaltar que dependendo da natureza da perturbação ela
não provoca uma regulação e sim somente a repetição de uma ação.
Piaget (1976), em sua definição sobre regulação, observa que:
(...) a regulação ocorre quando a repetição A’ de uma ação A é modificada
pelos resultados desta, logo quando um efeito contrário dos resultados de A
sobre seu novo desenvolvimento A’. (p. 31)
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Pulaski (1983) faz um comentário acerca da importância das regulações no
desenvolvimento cognitivo, argumentando que
o processo de desenvolvimento cognitivo,
segundo a teoria piagetiana, necessita da maturação, da experiência, da influência social e,
sobretudo, da equilibração que, por meio de processos de auto-regulação, coordena os
primeiros, mantendo a interdependência entre os mesmos
.
Desse modo, as regulações servem para que o sujeito avalie os resultados obtidos
através de sua ação e troca com o objeto analisado, classificando-as em “boas” ou “ruins”.
Caso o resultado seja insatisfatório, este indivíduo busca novos meios para atingir o objetivo
inicial proposto pela situação problema (advinda da interação com o objeto). É neste processo
de regulações que o sujeito desencadeia em suas estruturas cognitivas as compensações, que
segundo Piaget (1976) refere-se a:
Ação de sentido contrário a um efeito dado, que tende, portanto, para anulá-
lo ou neutralizar. Em outras palavras, é a capacidade do sujeito de retornar
ao ponto de partida da mesma ação quando esta retomada leva a uma
modificação em função do resultado. Trata-se aqui de uma regulação
compensatória, pois nem toda perturbação resulta em regulação. O sujeito
pode ter uma perturbação e negligenciá-la por ser muito intensa ou a
perturbação gerou uma ação igual, provocando uma retomada da ação sem
nenhuma modificação. (PIAGET, 1976)
Após um esboço acerca dos conceitos envolvidos no mecanismo de equilibração,
propiciador à construção e progressivo desenvolvimento das estruturas cognitivas, é possível
compreender o termo construtivismo – neste caso o piagetiano. A aquisição do conhecimento
ocorre através de uma ação (física ou mental) realizada pelo indivíduo ao interagir com o
objeto (podendo este ser um ente material ou não). A partir desta interação, abstrai-se algo
deste objeto. Esta abstração, ao ser generalizada através das sucessivas acomodações e
assimilações, vai fazer parte dos esquemas conceituais deste sujeito. Deparando-se com uma
situação problema, o sujeito utiliza esta generalização, só que ao fazê-lo desencadeia certo
desequilíbrio em suas estruturas cognitivas, pelo fato de que um elemento ou propriedade
nova precisa ser regulado, compensado por ter causado uma perturbação. Quando finalmente
o sujeito faz uma correspondência biunívoca entre suas afirmações e negações (sendo estas
oriundas da tomada de consciência pelo sujeito), ocorre o que se denomina equilibração
majorante. Porém, ao deparar-se novamente com uma situação problema ao qual o sujeito
realiza trocas com o objeto (meio), haverá um processo análogo ao citado acima,
evidenciando assim o caráter construtivo desta teoria. Assim, em análise nossa, a construção
de conhecimento caracteriza-se como:
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“Sucessivas construções cognitivas que, desencadeadas pela troca e
interação do objeto com o sujeito, fazem surgir infinitos e sucessivos
mecanismos de equilibrações, culminando em novas construções (a nível
cognitivo)”.
O item a seguir pretende explicitar este caráter construtivo da teoria piagetiana. Para
tanto, é realizada uma discussão acerca da construção de estruturas lógico-matemáticas
multiplicativas a partir das aditivas.
2.2 –
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ONSTRUÇÃO
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STRUTURAS
M
ULTIPLICATIVAS
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ARTIR
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DITIVAS
Jean Piaget, ao estudar o processo de aquisição de conhecimento pelo sujeito,
estabelece uma íntima relação com o conhecimento matemático. Para tanto, define a
construção ou elaboração da Matemática como sendo:
(...) um desenvolvimento endógeno, que procede por etapas, de tal natureza
que as combinações que caracterizam qualquer uma delas sejam, por um
lado, novas enquanto combinações e, por outro lado, só se exercem sobre
elementos já dados na etapa precedente. (PIAGET, 1973, p. 298)
Logo, a ‘construção da Matemática’ deve-se a sucessivas construções endógenas
(‘interiores’) sobre estruturas já construídas anteriormente. Ao considerarmos a estrutura
multiplicativa, foco de análise deste tópico, é importante que o indivíduo tenha já construído
as estruturas aditivas, pois, as combinações citadas por Piaget revelam este caráter de
interdependência entre estruturas cognitivas menos complexas (
as aditivas
) para a construção
das estruturas mais complexas (
as multiplicativas
). Sobre as aditivas, Piaget e Szeminska
(1975) explicitam:
(...) é uma operação reversível. Portanto, ela não o é apenas em seus
começos, como na primeira fase, quando a criança não compreende que uma
totalidade B dissociada em duas partes A e A’ continua a ser a mesma
totalidade. A operação aditiva se constitui, ao contrário, quando, por um
lado, as parcelas são reunidas num todo, mas também, por outro lado,
quando esse todo é considerado como invariante por qualquer que seja a
distribuição de suas partes. (p. 259)
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Como exposto, a estrutura aditiva – sendo reversível – deve possuir como
característica a mobilidade de associar e dissociar ao ‘mesmo tempo’. O exemplo que segue
(de nossa autoria) auxilia na compreensão acerca da estrutura aditiva:
“Suponham duas
coleções:
A
, contendo 3 flores e
B
,
possuindo 5 flores. A associação das flores contidas em
A
e
B
resultam na coleção
C
, constituída de 8 flores (a totalidade). A dissociação é realizada
quando a criança consegue voltar ao estado inicial, ou seja, nas duas coleções
A
e
B
. Porém,
além de compreender esta dissociação do todo,
C
em
A
+
B
, o sujeito necessita entender que
este todo continua possuindo 8 flores, não importando a distribuição das mesmas em outras
coleções
A’
,
B’
diferentes de
A
e
B
, respectivamente”
. Esquematicamente, este caso é
ilustrado a seguir:
B A
‚ ‚
‚ ‚ ‚
‚
‚ ‚
C
+
‚ ‚ ‚
‚ ‚
‚ ‚ ‚
+
A B
‚
‚ ‚
‚ ‚ ‚
‚ ‚
A’
+
B’
A ≠ A’
‚ ‚
‚ ‚
‚ ‚
‚ ‚
B ≠ B’
Figura 5 – Esquema da Estrutura Aditiva.
Assim, pode-se definir o pensamento aditivo como sendo a ação de unir e separar
objetos, numa ‘reversibilidade constante’. Quando argumentado que a estrutura multiplicativa
constrói-se a partir das estruturas aditivas, Piaget quis mostrar o caráter evolutivo e espiral do
conhecimento matemático formado por meio das estruturas lógico-matemáticas. É na troca
com o meio que o sujeito, agindo no objeto, começa a desenvolver suas estruturas lógico-
matemáticas. Este processo inicia-se com os esquemas de classificação, seriação e
correspondência entre os objetos manipulados (experimentados físico e lógico-
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matematicamente) pela criança. O que no início era uma simples constatação no plano físico
(abstração empírica) passa a ter significado (por meio da abstração reflexiva), compondo,
assim, as estruturas cognitivas (lógico-matemáticas) dos indivíduos.
O processo de formação das estruturas multiplicativas, num primeiro momento,
assemelha-se a adições sucessivas. Porém, como mostra estudos piagetianos, a multiplicação
transpassa a hipótese anterior ao evidenciar também um caráter de simultaneidade. Observe
três estágios compreendidos ao se realizar a multiplicação 3 X 4 definidos por Piaget (1986):
(...) em primeiro lugar o ‘todo’ (aqui 12, que permanece o mesmo se
invertermos 3x4 ou 4x3); em segundo lugar vêm seus subconjuntos, que
denominamos “partes”: trata-se de três classes de 4 elementos cada uma; em
terceiro lugar vêm pois os ‘elementos’ ou unidades que são em número de 4
para cada ‘parte’ e desempenham o papel de ‘contido’ para uma delas. (p.
72).
Como argumenta Guimarães (2004):
Neste sentido, pode-se afirmar que, na multiplicação, as “partes” precisam
ser iguais e conter o mesmo número de elementos iguais entre si, mas que na
adição não é preciso nenhuma destas igualdades para se obter a solução do
todo. (p. 33)
A fala de Guimarães aponta que na multiplicação é imprescindível a ocorrência de
algumas igualdades; fato este não necessário na adição – conforme denotado pelo Esquema da
Estrutura Aditiva. Corroborando com a exposição de Guimarães (2004), Piaget (1986) ressalta
as duas exigências a mais da estrutura multiplicativa quando comparada à aditiva:
A primeira exigência implica ajustamentos em três ordens (em oposição às
parcelas que não se ajustam, mas se acrescentam): os contidos constituídos
pelos ‘elementos’ de base e que se inserem nas ‘partes’ (ou pacotes, etc.) que
lhes servem de ‘continentes’; finalmente o ‘todo’ enquanto reunião das
partes tornadas ‘contidas’ em relação a ele. Portanto, é em termos de
continentes e de contidos que é preciso conceber psicologicamente as noções
de multiplicandos e de multiplicadores: em 4 x 3 = 12 o multiplicando 3 é o
contido de cada um dos 4 multiplicadores (relações ignoradas das parcelas
que são da mesma ordem, salvo no caso da associatividade, mas então sob
formas bem menos sistemáticas). A segunda exigência refere-se a
“possibilidade, para um mesmo todo, de modificar os elementos /e/ (ou g)
por partes /p/ e o número destas, em outras palavras de modificar a
distribuição das partes e elementos dentro do mesmo todo”. (p. 83).
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Segundo Nunes e Bryant (1997), o raciocínio usado para realizar a multiplicação
envolve:
correspondência de um para muitos
,
relações entre as variáveis
,
distribuição
,
divisão
e
divisões ao meio
.
A correspondência de um para muitos é categorizada em quatro diferenças:
1ª – refere-se à noção de proporcionalidade, pois, a relação multiplicativa mantém-se
constante entre dois conjuntos.
2ª – refere-se à replicação utilizada para manter invariável a proporção citada acima.
Conforme Nunes e Bryant (1997):
(...) ações efetuadas para manter uma proporção invariável não são
unir/separar, mas replicação (...) e seu inverso. Replicação não é como unir,
em que qualquer quantidade pode ser acrescentada a um conjunto.
Replicação envolve somar a cada conjunto a unidade correspondente para o
conjunto de modo que a correspondência invariável um para muitos seja
mantida. Por exemplo, na relação “um carro tem quatro rodas”, a unidade a
ser considerada no conjunto de carros é uma, enquanto a unidade no
conjunto de rodas é uma unidade composta de quatro rodas. O inverso de
replicar é remover unidades correspondentes de cada conjunto. Se
removemos um carro devemos remover quatro rodas, a fim de manter a
proporção 1: 4 entre carros e rodas”. (p. 143-144)
3ª – refere-se à idéia de que não importa a replicação ocorrida, a proporção se mantém
constante.
4ª – refere-se ao fator escalar que mantém a proporção constante ao ser aplicado em
qualquer conjunto. Nunes e Bryant (1997, p. 144) definiram este fator escalar como: “o
número de replicações aplicadas a ambos os conjuntos mantendo a proporção constante”.
As relações entre as variáveis ou co-variação são definidas como o momento em que o
sujeito tem de se deparar com várias modificações ocorridas no processo multiplicativo. Estas
modificações, como apontam Nunes e Bryant (1997):
(...) referem-se a frações de unidades de medida − que aparecem nestas
situações porque as variáveis, ao contrário dos conjuntos, são quantidades
contínuas −, e a um tipo novo de sentido de número que expressa a relação
entre as duas variáveis, um fator, uma função ou uma quantidade intensiva.
(p. 147)
Os três últimos raciocínios multiplicativos: distribuição, divisão e divisões ao meio,
segundo Guimarães (2004):
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(...) propõe ao raciocínio multiplicativo uma outra visão nas relações parte-
todo, pois há três fatores a se considerar: “o total, o número de receptores e a
quota; sendo que há uma relação inversa entre o número de receptores e a
quota”. (p. 35)
A distribuição, divisão e divisões ao meio referem-se às situações em que o aluno
necessita distribuir os elementos em parcelas (conjuntos) iguais. Inversamente proporcional à
multiplicação, nestes (raciocínios) o sujeito realiza a divisão do todo em n conjuntos iguais,
ou seja, que contenham o mesmo número de elementos em cada. Por exemplo, quando se
pede ao estudante que distribua 20 laranjas em 5 cestas de modo igual.
Para ‘finalizar’ esta abordagem, será citado um aspecto da pesquisa de Vergnaud
16
relativo às estruturas multiplicativas. Antes, porém, far-se-á um breve comentário acerca da
teoria dos campos conceituais que, segundo Taxa (2001):
(...) referem-se a um conjunto de situações que remete o sujeito a muitos
conceitos, por meio de invariantes operatórios e representações simbólicas,
que possibilitam ao sujeito diferentes representações para entender as
relações em questão. (p. 34)
A teoria piagetiana e a definida por Vergnaud apresentam uma correlação porque
ambas defendem que “
o funcionamento cognitivo repousa sobre os conhecimentos
anteriormente formados, e ao mesmo tempo, repousa sobre novos aspectos de conhecimentos
incorporados pelos próprios sujeitos
” (TAXA, 2001, pg. 34). Assim sendo, um conceito
envolve dinamicamente muitas situações e, reciprocamente, estas envolvem vários conceitos.
Conforme Vergnaud (1991):
Um conceito é necessariamente um tripé de três conjuntos: C = (S,I,S),
significando: S – o conjunto de situações que dão sentido ao conceito; I –
conjunto de invariantes operatórios subjacentes ao tratamento dessas
situações pelo sujeito; S – conjunto de significantes que permitem
representar os invariantes, as situações, os procedimentos tratados.
A fim de exemplificar estes campos conceituais, Vergnaud (1991) cita as estruturas
aditivas e multiplicativas. Em relação às estruturas multiplicativas, o mesmo autor classifica-
as em duas categorias: isomorfismo de medidas e produto de medidas. Guimarães (2004, p.
16
Gérard Vergnaud, diretor de pesquisa do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS) da França, discípulo
de Piaget, amplia e redireciona, em sua teoria, o foco piagetiano das operações lógicas gerais, das estruturas
gerais do pensamento, para o estudo do funcionamento cognitivo do "sujeito-em-situação".
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39) detalha que: “O isomorfismo de medidas e o produto de medidas incluem diferentes tipos
de multiplicação e divisão, os quais diferem em grau de complexidade.”.
O isomorfismo de medidas apresenta uma relação quaternária, isto é, aquela em que
duas quantidades são medidas de uma certa maneira, e as restantes, de outra. Por exemplo: “1)
Tenho 3 bandejas de iogurtes. Há 4 iogurtes em cada bandeja. Quantos iogurtes tenho?”.
(TAXA, 2001)
O produto de medidas, por sua vez, refere-se a uma relação ternária entre três
quantidades, sendo uma o produto das outras duas, tanto no plano numérico como no
dimensional. O exemplo a seguir – de nossa autoria – evidencia um produto de medidas.
Observe: “Uma sala possui 5 metros de largura e 8 metros de comprimento. Qual é a área da
sala?”. Neste, a solução 40 m² advém da relação (multiplicação) da largura pelo comprimento;
tanto no plano numérico – 8 x 5 = 40 – quanto no plano dimensional – m x m = m².
As dificuldades, segundo Vergnaud (1991), relativas ao ensino das estruturas
multiplicativas, ‘aumentam’ quando são utilizados zeros ou números decimais no
multiplicador. Este autor ressalta que:
1. Multiplicar por um número com vírgula, é dizer, por um número de vezes
no inteiro, supõe que um se encontra em presença de um problema
multiplicativo bastante complexo (isomorfismo de medidas contínuo-
contínuo, por exemplo).
2. A regra operatória da multiplicação por um número com vírgula supõe um
encadeamento de transformações multiplicativas que não necessariamente
são bem compreendidas pela criança. (VERGNAUD, 1991, p. 154)
Do exposto até o momento, é possível perceber as múltiplas noções necessárias à
compreensão das estruturas multiplicativas. O importante neste tópico é compreender a
construção destas estruturas sobre as aditivas, sendo esta última proveniente dos esquemas
‘iniciais’ de classificar, ordenar, seriar, distribuir.
Assim, na Educação Primária, uma das condições básicas para que o aluno
compreenda o pensamento aditivo e, por conseguinte, (construção) o multiplicativo, é a
manipulação no concreto. Mas não é uma simples manipulação, e sim uma manipulação
orientada pelo professor que, a todo momento, deve questionar o aluno causando-lhe
desequilíbrios para que sua invariante funcional adaptativa assimile-acomode ‘novas’ formas
de pensar por meio da abstração reflexiva.
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2.3 –
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DUCAÇÃO
A educação é, por conseguinte, não apenas uma formação,
mas uma condição formadora necessária ao próprio
desenvolvimento natural. Proclamar que toda pessoa humana
tem o direito à educação, não é pois unicamente sugerir, tal
como supõe a psicologia individualista tributária do senso
comum, que todo indivíduo, garantido por sua natureza
psicobiológica ao atingir um nível de desenvolvimento já
elevado, possui além disso o direito de receber da sociedade
a iniciação às tradições culturais e morais; é, pelo contrário e
muito mais aprofundadamente, afirmar que o indivíduo não
poderia adquirir suas estruturas mentais mais essenciais sem
uma contribuição exterior, a exigir um certo meio social de
formação, e que em todos os níveis (desde os mais
elementares até os mais altos) o fator social ou educativo
constitui uma condição do desenvolvimento. (PIAGET,
2002, p. 33)
Ao referir-se à formação de homens críticos e criativos, Piaget faz referência às
capacidades cognitivas apresentadas em ‘maior grau’ quando o indivíduo já se encontra no
estágio das operações formais. De modo algum os estágios anteriores são caracterizados pela
falta de criatividade, já que, para pegar um objeto que se encontra no centro de uma mesa, por
exemplo, a criança utiliza de sua criatividade para puxar a toalha, visando assim a
aproximação deste objeto à sua obtenção. Sobre a questão da criatividade:
<<
O desenvolvimento intelectual é caracterizado por crescente capacidade
para lidar com alternativas e simultaneamente atender a várias seqüências, ao
mesmo tempo, e distribuir tempo e atenção, de maneira apropriada, a todas
estas demandas múltiplas
>>
. Ora, é neste nível (quando o processo comporta
o entrelaçamento de matrizes de qualquer nível de desenvolvimento
matemático) que se gera a criatividade. (LIMA, 1973, p. 267, grifo nosso)
Lima (1973) define a criatividade como a capacidade de lidar com várias alternativas
(diversas possibilidades de ação – física, em consonância com a mental – sendo esta última
constituída pela representação e/ou operação) ao mesmo tempo. No exemplo anterior, a
criança tem de lidar com várias possibilidades, como por exemplo: 1.
subir em cima da mesa
;
2.
subir em cima de uma cadeira para que suas mãos alcancem o objeto situado no centro da
mesa
; 3.
puxar a toalha
etc. Ao ‘distribuir o tempo e atenção’ às várias alternativas,
concomitantemente, a criança percebe que a ‘melhor’ refere-se ao
puxar a toalha
. Caso
houvesse algum desafio, um problema decorrente deste ‘
puxar a toalha
’, como por exemplo a
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possibilidade de junto com o objeto cair um copo de vidro no chão, a criança poderia ter
dirigido sua atenção para outra estratégia.
Muitas crianças que ainda não possuem essa mobilidade mental de prever, antever as
possibilidades possíveis para solucionar um problema, recorrem a outrem. Exemplificando, na
situação hipotética anterior, uma alternativa se constitui em pedir à mãe a retirada do objeto
do centro da mesa. Quando, por exemplo, a criança ainda não experienciou situações das
quais abstraiu/generalizou conceitos – tais como ainda não descobriu que o copo de vidro ao
cair no chão pode quebrar – então, durante o estabelecimento de suas hipóteses, pode puxar a
toalha da mesa, não se importando com o copo que cairá junto com o objeto. É por isso que
nos primeiros estágios de desenvolvimento mental a criança apresenta grande curiosidade em
relação aos objetos que a rodeiam. Logo, é experimentando, agindo sobre o objeto que o
indivíduo abstrai e generaliza, construindo estruturas de pensamento mais complexas. O
caráter interativo da teoria piagetiana reside neste aspecto. Como Lima (2000) salienta:
Para Jean Piaget, o organismo ou mente entram em interação com o meio
(sendo um “sistema aberto”, o organismo precisa buscar “alimento”, no
meio, algo parecido com a manutenção do fogo aceso), na tentativa de
assimilação (ao longo das assimilações processam-se as acomodações ou
saltos qualitativos). Dessa interação resultam, nos mecanismos de ação
(comportamento-pensamento), a construção de “esquemas de assimilação”
de complexidade crescente, ao longo do desenvolvimento, e a “construção
do real”, isto é, a atribuição à realidade de categorias de tempo, espaço,
permanência, conservação, causalidade, etc. (p. 106)
A curiosidade é entendida por Piaget como um tipo de satisfação intelectual. Para que
esta se realize, faz-se necessária a aplicação de esquemas já construídos às novas situações.
No exemplo anterior, a criança já havia construído o esquema de puxar a toalha, então,
visando sua satisfação intelectual de obter o objeto, puxou a toalha. Em relação a isto:
Todo esquema tende a se exercer; toda habilidade tende a se realizar. E,
como é próprio do esquema generalizar-se e acomodar-se a situações
próximas e/ou semelhantes, a “curiosidade” (aplicação dos esquemas a
novas situações) passa a ser um mecanismo natural de comportamento:
como os esquemas assimilam-se e acomodam-se entre si, criam-se novos
esquemas que exigem “alimentação” (curiosidade). (LIMA, 2000, p. 179,
grifo nosso)
O trecho sublinhado corrobora com as idéias já apontadas referentes ao aspecto
construtivista seqüencial, ou seja, [Curiosidade (proveniente da Interação Sujeito-Objeto)
→
Assimilação-Acomodação → ‘Nova Curiosidade (proveniente de ‘nova Interação Sujeito-
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Objeto’)’ → ‘Nova Assimilação-Acomodação’]; constituindo um ciclo que a cada
equilibração majorante possibilita a construção de conhecimentos mais complexos.
Para que a escola primária propicie ao aluno esta cíclica construção de conhecimentos,
uma de suas tarefas principais é oportunizar a interação das crianças com: 1º
– Os mais
diversos materiais concretos, permitindo a ocorrência da experiência (física e lógico-
matemática)
; 2º
–
As outras pessoas (professores, colegas) por meio da dinâmica de grupo.
Os dois tipos de experiência (física e lógico-matemática) envolvendo materiais concretos
devem ocorrer pois, como já salientado, neste nível de ensino o indivíduo encontra-se no
estágio operatório-concreto, logo, “
a
criança
organiza seu pensamento ao organizar o
mundo
”. Separar, juntar, distribuir, ordenar, classificar devem se constituir os esquemas de
ação a serem interiorizados pelas crianças, transformando-os em operações (reversíveis). A
questão do manipular é exposta por Lima (2000):
Para J. Piaget, o “objeto” é um limite matemático e só é conhecido por
“aproximações sucessivas”, mediante intenso esforço de “manipulação”,
inicialmente sensório-motora (manipulação física feita pela criança) e,
posteriormente, mediante operações mentais (elaboração de conceitos sobre
os objetos). (p. 141)
Os professores da Educação Primária (1ª a 4ª série do Ensino Fundamental, ou,
segundo a ‘nova’ denominação, 1º ao 5º ano) devem oferecer ao aluno situações nas quais as
experiências com materiais concretos progridam do ‘físico’ ao ‘mental’. Na Educação Infantil
– seja por senso comum, ou por conhecimento da Epistemologia Genética – os professores
permitem às crianças inúmeras (e quase que exclusivas) situações de manipulação física. Este
fato é imprescindível, já que as mesmas situam-se no estágio pré-operatório, onde tal
estratégia permite que o aluno progressivamente internalize suas ações por meio da
representação.
Quando a teoria piagetiana ‘inundou’ o ideário pedagógico brasileiro, uma grande
parcela dos docentes, talvez por má-interpretação da mesma, entendeu os propósitos desta
como:
‘deixar o aluno sozinho construir o próprio conhecimento’;
assim,
‘bastava
disponibilizar ao aluno um jogo/objeto manipulativo para que o mesmo “
aprendesse
”’
.
Como argumentado nos tópicos anteriores, a construção do conhecimento, por ser um
mecanismo funcional de equilibração mental, realmente é algo que a criança faz internamente
em seu eu cognitivo. Mas isso não significa que durante esta construção o aluno não deva ser
auxiliado, orientado, questionado pelo professor e pelos seus colegas (daí entra a questão da
interação social – ‘com o outro’). As situações de interações que desencadeiem
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desequilíbrios, a serem reequilibrados após sucessivas assimilações-acomodações, devem ser
consideradas como as máximas de uma
‘pedagogia piagetiana’
. Em hipótese alguma esta
pesquisa tem como objetivo derivar uma pedagogia a partir da teoria de Piaget; o que se
pretende é sinalizar alguns aspectos da Epistemologia Genética que podem contribuir com a
Educação, em particular com o ensino de Matemática.
A respeito do aspecto da interação, Lima (2000) discute do seguinte modo:
Ora, sendo a construção das estruturas lógico-matemáticas um processo
endógeno (interno), de auto-regulação, que participação tem o processo
escolar na sua aquisição? Piaget aconselha a promover atividades (situações-
problema) que estimulem a construção interna dessas estruturas. Nesse caso,
a pedagogia não é “construtivista” (construtivista é o processo interno de
construção), consistindo em criar situações estimulantes (“dirigir sem tirar a
liberdade da criança”; Piaget condena o espontaneísmo). Ora, dos quatro
pilares
17
das teorias de Piaget (geneticismo, estruturalismo, construtivismo,
interacionismo) se algum deles devesse ser destacado, para servir de base
científica dos métodos pedagógicos, seria precisamente o interacionismo,
pois os agentes escolares fazem o papel do meio, no processo de aquisição
dos conhecimentos pela criança. (p. 127-128, grifo nosso)
Como neste tópico pretende-se estabelecer uma relação entre a teoria de Piaget e a
Educação, então, o aspecto da interação deve ser considerado como base ao desenvolvimento
dos métodos pedagógicos. Faz-se interessante observar que, segundo este autor, o termo mais
adequado à ‘pedagogia piagetiana’ seria interacionismo, e não construtivismo. Sobre este
aspecto:
É preciso lembrar que desde cedo Piaget destacou a importância da interação
social (dinâmica de grupo) como fator do desenvolvimento cognitivo. É
estranho que seja precisamente o “construtivismo”, em seu aspecto mais
radical (reformulado no final de sua pesquisa, por Piaget), que venha à tona
no momento atual. (LIMA, 2000, p. 129)
Quando Lima utiliza a expressão: “
“construtivismo”, em seu aspecto mais radical
”, o
mesmo faz referência à fase hiperconstrutivista do pensamento de Piaget. Este
hiperconstrutivismo foi uma posição tomada por Piaget, em grande parte de sua carreira, ao
minimizar a participação do objeto na construção das estruturas. Isto lhe ‘rendeu’ (por alguns
críticos) a denominação de neokantismo. Lima (2000) afirma que a postura hiperconstrutivista
adotada por Piaget é devida à luta constante desse autor contra o empirismo e o inatismo. Um
17
Para maiores informações sobre os quatro pilares da teoria piagetiana, ver em DUCRET, Jean-Jacques. Jean
Piaget, savant et philosophe. Genebra, Lib. Droz.
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fato relevante reside no início de sua carreira quando o próprio Piaget atribui ao meio (o
objeto) um dos fatores essenciais à construção do conhecimento, voltando a tomar esta
posição no final de suas pesquisas.
Visando esclarecer de que forma é possível planejar métodos pedagógicos
(aproximando assim ‘Piaget à Educação’), a situação hipotética que segue – de nossa autoria
– torna-se oportuna.
Situação Hipotética:
Vamos supor que o professor da 1ª série (podendo ser também da 2ª, 3ª ou 4ª do Ensino
Fundamental) pretenda que o aluno construa as estruturas aditivas. Para tanto, organiza os
estudantes em duplas. Para cada dupla, entrega um punhado de lápis de cor (n = 16), e junto a este
conjunto, alguns estojos (n = 4). O docente diz a cada dupla o seguinte:
“Primeiramente, dentre os quatro estojos que eu dei para vocês, distribua-os de modo igual.
Em seguida, peguem os lápis (o conjunto todo) e repartam entre vocês (da dupla). Façam as
distribuições que quiserem!”.
Depois, o docente auxilia cada dupla, questionando os alunos que ainda não entenderam o
que é para ser feito.
Vamos supor que, observando uma das duplas, o professor se deparou com a seguinte
distribuição:
Estojo 1
Q Q
Q
Q Q
Q
Q
Estojo 4
Q Q
Estojo 2
Q Q
Q Q
Aluno A
Q Q
Conjunto de
Lápis de Cor
(n = 16)
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Estojo 3
Q
Aluno B
(Observação: O estojos 1 e 2 pertencem ao Aluno A; já os estojos 3 e 4 pertencem ao Aluno B).
Conforme esquematizado na figura acima, os alunos A e B dissociaram o grupo total em
quatro subgrupos (Estojos 1, 2, 3 e 4). Para a ocorrência desta situação, é válido salientar a ‘livre’
manipulação realizada pelos estudantes.
Após, o professor solicita a cada estudante (desta dupla analisada) para realizar a seguinte
ação: associar a cada lápis um apontador. Esta ação deve ser realizada mentalmente por cada
aluno. Caso o professor ache necessário, pode disponibilizar 16 apontadores. Em seguida, pergunta
aos alunos A e B: Quantos apontadores você precisa ter? (Esta se constitui uma ótima oportunidade
para os alunos iniciarem a construção da correspondência um a um).
Outra situação/pergunta que o professor propõe (a referida dupla) é apresentada a seguir:
Se vocês juntarem os lápis terão qual valor? (Pretende-se com esta ação possibilitar aos alunos a
compreensão da idéia de reversibilidade).
Após a solução desta situação, o docente solicita que esta mesma dupla realize uma nova
distribuição, de tal modo que os estojos pertencentes a cada um contenham números diferentes de
lápis de cor.
Disponibilizado certo tempo para a manipulação e reagrupamento dos subgrupos (os
estojos), o docente solicita as mesmas perguntas (propõe situações análogas) as que acabaram de
serem sugeridas.
Quadro 4 – Situação Hipotética 1: A construção de estruturas aditivas.
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O exemplo exposto, a nosso ver, representa ações didáticas condizentes com um
método educacional ‘inspirado’ na teoria de Piaget. As palavras-ações sublinhadas no Quadro
4 indicam as estratégias didáticas que o professor pode utilizar visando a construção das
estruturas aditivas. Como denotado, a experiência (física e lógico-matemática) envolvendo
materiais concretos faz-se presente durante toda esta ‘aula’ envolta em uma interação social
(promovida pelo diálogo realizado pelos alunos das duplas). É sabido que, não será de um dia
para o outro que o estudante construirá estruturas aditivas, mas sim, gradativamente, numa
progressiva construção endógena. Porém, para que esta construção ocorra, faz-se necessário a
‘intensa’ manipulação (experimentação) no meio físico, transpassando aos poucos ao mental
(ou seja, ‘em direção ao operatório-formal’).
Na situação exposta é oportuno apontar que em nenhum momento o professor deixa o
aluno ‘à sua própria sorte’; pelo contrário, constantemente cria situações didáticas
problematizadoras, visando desencadear ‘desequilíbrios’ (conflitos cognitivos) nos estudantes.
À medida em que as crianças ‘avançam mentalmente’, cabe ao docente propor situações mais
complexas, porém possíveis de serem assimiladas e acomodadas.
A respeito do papel do professor, Piaget (2002) expõe:
(...) é evidente que o educador continua indispensável, a título de animador,
para criar as situações e armar os dispositivos iniciais capazes de suscitar
problemas úteis à criança, e para organizar, em seguida, contra-exemplos
que levem à reflexão e obriguem ao controle das soluções demasiado
apressadas: o que se deseja é que o professor deixe de ser apenas um
conferencista e que estimule a pesquisa e o esforço, ao invés de se contentar
com a transmissão de soluções já prontas. (p. 15, grifo nosso)
Esta argumentação faz referência ao método ativo. Tal método visa possibilitar ao
aluno ‘agir sobre’ as situações problemas que lhe são propostas de forma coletiva (com os
outros) e individual (consigo mesmo). No estágio operatório-concreto esta ação deve ser
realizada – inicialmente – no plano físico (manipulativo), para que, assim, o indivíduo consiga
realizar concomitantemente a abstração empírica e reflexiva. Sobre este método, Piaget
pontua:
Unicamente na medida em que os métodos de ensino sejam “ativos” – isto é,
confiram uma participação cada vez maior às iniciativas e aos esforços
espontâneos do aluno – os resultados obtidos serão significativos. Nesse
último caso, trata-se de um método bastante seguro, que consiste, se assim se
pode dizer, em uma espécie de exame psicológico contínuo, em oposição
àquela espécie de amostragem momentânea que, apesar de tudo, constituem
os testes. Mas, tornemos a repetir, tal método só poderá alcançar seu pleno
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rendimento através de uma estreita união entre a análise pedagógica e a
análise psicológica (seja essa última conduzida pelo psicólogo escolar ou por
professores suficientemente informados a respeito das técnicas da
Psicologia). (PIAGET, 2002, p. 47)
O
exame
psicológico contínuo
ao qual Piaget alude refere-se à verificação do nível ou
estágio cognitivo no qual o aluno encontra-se. Ao conhecer quais estruturas cognitivas o
estudante já construiu, torna-se possível pensar em quais métodos didáticos adotar visando
propiciar a construção de estruturas mais complexas.
Complementando a discussão sobre o método ativo, e fazendo referência ao fracasso
da Educação Primária, a citação abaixo torna-se relevante:
A verdadeira causa dos fracassos da educação formal decorre pois
essencialmente se principiar pela linguagem (acompanhada de desenhos, de
ações fictícias ou narradas, etc.) ao invés de o fazer pela ação real e material.
É a partir da escola maternal que deve ser preparado o ensino da Matemática
por uma série de manipulações voltadas para os conjuntos lógicos e
numéricos (...) Insistimos um pouco extensamente nesse exemplo da
Matemática, porque não existe campo onde o “pleno desenvolvimento da
personalidade” e a aquisição de instrumentos lógicos ou racionais, que
asseguram sua autonomia intelectual, sejam mais realizáveis, no entanto
permanecem entravados na prática do ensino tradicional. (PIAGET, 2002, p.
59-60, grifo nosso)
Além de salientar o ensino da Matemática como um campo por excelência no
desenvolvimento da autonomia moral e intelectual (sendo esta adquirida graças às construções
de estruturas operatório-formais de “grupo”), a citação revela algumas críticas sobre o atual
fracasso da educação formal devido ao fato de se valer exclusivamente da linguagem. Como
já denotado no tópico anterior, a linguagem constitui um importante papel no
desenvolvimento do indivíduo, porém, durante as operações concretas, a mesma deve servir
de auxílio e jamais substituir a experiência (física e lógico-matemática) realizada por meio
dos materiais concretos. Só quando os alunos têm construído as operações (ações
internalizadas reversíveis e com as propriedades do “grupo”) é que a linguagem constitui a
principal ferramenta para a progressiva complexificação do conhecimento.
Corroborando com a questão da quase exclusiva utilização da linguagem durante a
Educação Primária (em específico ao ensino da Matemática), Cunha (1973, p. 34) salienta o
seguinte: “
As crianças fazem conjuntos com objetos de todo gênero. A matemática não se
aprende em livros, mas manipulando coisas, ordenando, contando”
.
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Do exposto até o momento, é possível perceber que Piaget, mesmo não tendo
direcionado seus estudos à Educação, contribuiu neste campo. Sua teoria do conhecimento
permite ao professor compreender como o aluno constrói a realidade, como este conhece as
coisas que o rodeiam. Em se tratando da 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental, as suas
descobertas sobre o estágio operatório-concreto tornam-se imprescindíveis para que o docente
compreenda que: a experiência sobre/no objeto (ou seja, ordenar, classificar, distribuir,
comparar, juntar) permite ao aluno estruturar seu pensamento. Tal estruturação permite o
pleno desenvolvimento das operações lógicas, que, por conseguinte, possibilita, num futuro
próximo, a construção do raciocínio formal. Em relação a este assunto, a argumentação de
Piaget torna-se esclarecedora:
“Não tenho opinião em Pedagogia. O problema de educação me interessa
vivamente, pois tenho a impressão de que há muito a reformar e a
transformar, mas penso que o papel da Psicologia é, antes de tudo, fornecer
fatos que o pedagogo possa utilizar, e não colocar-se em seu lugar para dar-
lhes conselho. A Pedagogia não é simplesmente uma Psicologia aplicada” (J.
Piaget). (LIMA, 2000, p. 227, grifo nosso)
Como expõe Piaget, os conhecimentos advindos da Epistemologia Genética devem ser
utilizados pelo professor no momento da sua prática docente. Em nenhum momento,
pretende-se reduzir a Pedagogia a uma aplicação da Psicologia. É evidente que, sendo a
Educação um “
Todo Complexo e Multifacetado
”, além da contribuição da Psicologia, todo
professor deve(deveria) valer-se das outras áreas do saber, tais como: Filosofia, Sociologia,
História das Ciências, Moral etc. Esse mesmo autor defende a necessidade de uma postura
interdisciplinar
18
a ser adotada em todos os domínios da esfera social (como por exemplo, na
Educação).
Visando utilizar as contribuições da teoria piagetiana à Educação, o educador Lauro de
Oliveira Lima elaborou o Método Psicogenético. O item a seguir – que trata deste método –
torna-se útil para a análise das estratégias didáticas adotadas pelos professores (participantes
desta pesquisa) relativas ao ensino da Matemática. Além disso, este método é apresentado,
pois, a nosso ver, representa uma alternativa para o gerenciamento de situações interacionistas
em sala de aula, termo este que, conforme já argumentado, deveria ser o qualificador de uma
‘
pedagogia piagetiana
’.
18
Interdisciplinaridade: segundo Iribarry (2003, p. 484): “envolve uma axiomática comum a um grupo de
disciplinas conexas e definidas em um nível hierárquico imediatamente superior, o que introduz a noção de
finalidade. É um tipo de sistema de dois níveis e de objetivos múltiplos com a coordenação procedendo de nível
superior”.
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2.3.1 –
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M
ÉTODO
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SICOGENÉTICO
A moderna função do magistério se chama animação. O
professor é um animador como o chefe de escoteiros. Seu
papel é de velar pela maturação progressiva do aluno,
estando permanentemente, preparado para desafiá-lo,
quando cada etapa foi vencida. (LIMA, 1973, p. 97, grifos
do autor)
A epígrafe anterior, de modo geral, traduz a filosofia do Método Psicogenético.
Quando é utilizado o termo maturação progressiva, faz-se referência à progressiva construção
dos estágios mentais (do sensório-motor ao operatório-formal). Em síntese, este método visa
colocar os alunos em situações de ensino (específicas ao seu estágio cognitivo) para que os
mesmos progridam. Sobre as situações específicas a cada estágio, Lima (1973) comenta:
A infância e a adolescência não são períodos de
<<
insuficiência
>>
que devem
ser superados o mais breve possível com a ajuda do educador. Em cada
estágio, o indivíduo está plenamente desenvolvido para um determinado tipo
de conduta correspondente a seu grau de maturação, devendo a escola criar
condições para que o aluno viva cada período com perfeito sentimento de
autonomia e responsabilidade. (p. 93)
Complementando esta citação, este mesmo autor denota:
Os educadores, de posse dos resultados da pesquisa piagetiana, é que devem
deduzir as práticas educativas. Piaget constatou, por exemplo, que não se
pode “ensinar lógica” por meio da linguagem (logicização) e que a lógica
provém da ação. Uma infinidade de conseqüências pedagógicas decorrem
dessa descoberta, modificando profundamente a prática escolar. O fato de o
conhecimento provir da atividade (descoberta por Piaget), produz verdadeiro
terremoto na Pedagogia. (LIMA, 2000, p. 227, grifo nosso)
Remetendo ao Quadro 4 – Situação Hipotética 1 (item 2.3), é possível perceber um
exemplo de
situação de ensino específica ao estágio
cognitivo
(neste caso o operatório-
concreto), visando a construção de estruturas aditivas. Sabendo que a construção de tais
estruturas dar-se-á pela ação/atividade do aluno no meio concreto, então, as estratégias
didáticas ‘giraram’ em torno da:
1. Experiência física e lógico-matemática (distribuição, associação, dissociação,
reagrupamento, correspondência) utilizando os lápis de cor, estojos e apontadores mediada
pela...
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... 2. Interação entre os alunos (de cada dupla) visando a...
... 3. Solução das Situações-Problemas sugeridas e gerenciadas pelo professor, onde
neste gerenciamento o docente, ao questionar os estudantes, pretendia a...
... 4. Tomada de Consciência das soluções elaboradas.
As estratégias didáticas evidenciadas constituem, a nosso ver, uma situação de ensino
alicerçada no Método Psicogenético. A seguir são apresentadas as etapas principais deste
método, sendo necessário registrar que, em seu livro:
A Escola Secundária Moderna
(1973),
Lima (1973) expõe-nas com maiores detalhes.
O esquema seguinte – de nossa elaboração – representa as etapas principais do Método
Psicogenético:
Organograma 1 – Etapas principais do Método Psicogenético.
Do organograma acima, decorre a dinâmica de grupo como sendo uma estratégia
didática ‘constituída’
19
por três variáveis: situação problema, tomada de consciência e
avaliação diagnóstica. Mas, como será que esta estratégia – e seus componentes – propicia a
construção do conhecimento pelo aluno? A resposta a esta pergunta é apresentada quando se
comentam as três variáveis desta estratégia inter-relacionadas na dinâmica de grupo. A
19
Não se pretende reduzir a Dinâmica de Grupo a estas três variáveis, porém, a este trabalho estas três
apresentam-se suficientes para a análise das estratégias didáticas adotadas pelos professores participantes. É fato
também que as variáveis 1., 2., e 3. (do Organograma 1) não precisam necessariamente estar contidas numa
Dinâmica de Grupo, porém, esta última propicia a ocorrência das mesmas de uma forma ‘mais satisfatória’.
Assim, pode-se dizer: “ou é a Dinâmica de Grupo que propicia a melhor ocorrência das variáveis, ou, são estas
três variáveis que melhor caracterizam/constituem uma Dinâmica de Grupo”.
DINÂMICA
DE
GRUPO
(INTERAÇÃO)
1. SITUAÇÃO
PROBLEMA
(
DESEQUILÍBRIO
)
2. TOMADA DE
CONSCIÊNCIA
(
AUTOGOVERNO
)
3. AVALIAÇÃO
DIAGNÓSTICA
(
REDIRECIONAMENTO
)
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primeira refere-se à promoção de situações problemas que visem à ação do aluno. De antemão
salienta-se que a situação problema necessita ‘desequilibrar’ os alunos, para que,
impulsionados a se organizarem/adaptarem assimilem-acomodem ‘novas’ estruturas,
‘atingindo’ assim o reequilíbrio.
Na Situação Hipotética 1, uma das situações-problema propostas era associar a cada
lápis um apontador. Para um aluno de 1ª série, tal proposta constitui uma situação-problema,
pois este necessita associar objetos ao mesmo tempo, em correspondência biunívoca. Nesta
associação o aluno realiza a experiência (física e lógico-matemática) utilizando-se das
abstrações empírica, pseudo-empírica e reflexiva.
A outra variável desta dinâmica condiz com a tomada de consciência, isto é,
um
pensar sobre
o porquê da realização da ação (em nosso caso no meio físico-manipulativo). O
diálogo, a troca de idéias entre os alunos (do grupo) permitem aos mesmos pensarem acerca
das suas ações, atitudes. Por último, a avaliação diagnóstica é referente ao gerenciamento
realizado pelo professor, verificando o que os alunos já construíram (em termos de estruturas
cognitivas) para assim planejar novas ações.
Deste modo, pode-se pensar que a dinâmica de grupo representa uma estratégia
oportuna para que os estudantes, em constante interação, desequilibrem-se e reequilibrem-se
através de seu próprio pensar confrontado ao do outro (sendo este outro os seus colegas e o
professor). Faz-se possível estabelecer uma analogia deste método com o aspecto cíclico e
construtivo seqüencial da teoria de Piaget. Observe: “
a solução de uma situação problema em
meio à interação com os parceiros (graças à dinâmica de grupo) desencadeia uma tomada de
consciência; ao se reequilibrar (por meio da ação que pode ser física e/ou mental), o aluno
constrói algumas estruturas; estas ao serem diagnosticadas pelo professor (avaliação
diagnóstica) propiciam a elaboração de novas situações problemas que, no final dessa ‘nova’
dinâmica, permite a construção de estruturas cognitivas mais complexas
”.
Lima (1973) estabelece, no quadro a seguir, as características constituintes da
Dinâmica de Grupo em oposição às do Ensino Programado
20
. Ao fazê-lo, implicitamente
denota a importância desta primeira à constituição de uma pedagogia alicerçada em
concepções piagetianas.
20
Ensino Programado refere-se à ‘aplicação’ da teoria skinneriana na pedagogia. Como já discutido no início
deste capítulo, a teoria de Skinner enquadra-se na abordagem epistemológica empirista, creditando-se à ação do
meio como o fator (único) para a aquisição de conhecimento pelo homem. Pode-se dizer que, o ensino
programado organiza o material a ser aprendido numa seqüência de passos que conduzam o aluno à aquisição do
conhecimento. Tal ensino é denotado pelo termo ‘Máquinas de Aprender’.
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Ensino Programado Dinâmica de Grupo
1. Processo <<atômico>> e gradual, heurístico. Processo global e ordenável, - estruturador.
2. Comportamento ativo do aluno forçado em vista do
funcionamento da máquina.
Participação do aluno em vista do envolvimento
emocional e intelectual no grupo.
3. Ritmo individual sem pretensão de aceleração,
ficando ao aluno decidir.
Ritmo pessoal com aceleração por pressão grupal.
4. Individualização (isolamento): o aluno confronta-se
apenas com a máquina.
Personalização (papel dentro do grupo): o aluno é
uma parte da dinâmica de grupo.
5. Verificação imediata (por parte da máquina). Autocorreção mútua (por parte dos companheiros).
6. Estímulo dado pela máquina e pelo acerto (jogo
com objeto).
Estímulo dado pela aprovação dos colegas (jogo com
pessoas).
7. Fraco <<tônus>> emocional (isolamento): falta de
confronto ou conflito interindividual.
Alto <<tônus>> emocional (<<ego
envolvimento>>): confronto, conflito e cooperação
interindividual.
8. Falta de contexto social: nível do jogo simbólico da
primeira infância.
<<Social facilitation>>: nível da idade da graça
social.
9. Autovigilância (controlada pela máquina). Vigilância social (controlado pelos companheiros).
10. Eliminação pura e simples do prof. (o professor
atrapalha).
Alta participação do professor (professor-animador).
11. Equipamento caríssimo (máquinas). Não exige maior equipamento.
12. Avaliação dos resultados pela máquina (num só
feedback).
Avaliação pelo companheiro (com retro-efeito
múltiplo e variado).
13. Programas rígidos pré-fabricados (com algumas
opções).
Programas variados segundo os interesses dos alunos
(com infinitas opções).
14. Baseado em condicionamentos (justaposição de
informações atomizadas).
Baseado em desafios e desequilíbrios (reequilibração).
15. Análises pré-fabricadas pelo programado. (Roger
Gal).
Análises feitas pelos alunos em grupo (aprendizagem
analítica).
16. Processo exclusivamente verbal-imagético. Variação possível de todos os processos.
17. O aluno não participa (senão pelos seus erros
tabelados) da elaboração do programa.
A partir de uma situação-problema o aluno reconstrói
o conhecimento, elaborando seus próprios programas.
Quadro 5 – Método Heurístico e Método Psicogenético. (LIMA, 1973, p. 263-264)
A partir das características apontadas na segunda coluna (do Quadro 5), é possível
perceber a ocorrência das três variáveis citadas anteriormente. Faz-se oportuno salientar que o
papel do professor continua ativo, só que sob a perspectiva de um animador, alguém que
suscite nos alunos a construção da curiosidade e criatividade.
Buscando justificar a adoção da dinâmica de grupo e de suas três variáveis à
constituição do Método Psicogenético, condizente com a Epistemologia Genética, são
apresentadas a seguir exposições de alguns estudiosos sobre as mesmas, inclusive do próprio
Piaget.
A respeito da dinâmica de grupo, indiretamente, Piaget argumenta:
A forma de interação coletiva que intervém na constituição das estruturas
lógicas é essencialmente a coordenação das ações interindividuais no
trabalho em comum e na troca verbal. (...) Em suma, as coordenações intra-
individuais das ações e, por outro lado a vida social que as unifica não estão
em oposição: há identidade básica entre as operações interindividuais e as
operações intra-individuais, de tal forma que estas não podem ser isoladas, a
não ser por abstração, do meio de uma totalidade onde os fatores biológicos
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e os fatores sociais da ação estão em contínua interação. (PIAGET, 2001, p.
110, grifo nosso)
O trecho sublinhado aponta a posição de Piaget a favor das ações interindividuais, isto
é, entre os indivíduos, de forma a contribuir com a constituição das estruturas lógicas. Como
já dito, sendo a dinâmica de grupo um meio por excelência às ações entre os indivíduos,
então, é possível concluir que este autor defende, implicitamente, a importância da mesma
para o desenvolvimento dos sujeitos. Este aspecto vem corroborar com os quatro fatores do
desenvolvimento expostos no item anterior (2.2.1), onde a interação e transmissão social, a
maturação orgânica e a experiência (física e lógico-matemática), coordenados pela
equilibração, oportunizam o desenvolvimento cognitivo dos indivíduos.
Em consonância com as idéias expostas no parágrafo anterior, Villalobos (1969)
explicita:
Piaget chama a capacidade de troca entre os membros de um grupo de
reciprocidade de pensamento. A organização operatória do pensamento,
entretanto, não é apenas condição para a cooperação, mas também efeito
desta, já que a troca de idéias contribui para aquela organização. Reconhece
assim o psicólogo, acompanhado por Hans Aebli, o importante papel
desempenhado pelos fatores sociais no desenvolvimento da inteligência, pois
permitem ao indivíduo ultrapassar o egocentrismo inicial. E dada a
importância da cooperação na evolução do pensamento, a escola deve
organizar-se, portanto, de forma a atribuir às atividades socializadas um
papel preponderante nos programas escolares. (p. 41, grifo nosso)
Fica evidente a contribuição da interação entre os indivíduos de um grupo para a
organização do pensamento. Mas como será que isso ocorre? Como exposto, a criança dos
primeiros estágios (sensório-motor, pré-operatório) caracteriza-se pelo egocentrismo (isto é, a
impossibilidade de se colocar no lugar do outro), assim, sua ação apresenta ‘grande’ rigidez,
ou seja, a reversibilidade ainda se faz ausente. Com a progressiva maturação orgânica e as
experiências realizadas no plano físico, a criança, em constante interação com o outro, vai
equilibrando estruturas mais móveis, ‘desprendendo’ aos poucos o seu pensamento da
percepção direta do meio físico, internalizando assim suas ações em forma de representações.
O contínuo equilíbrio entre os três fatores sublinhados – onde a interação interindividual
contribui, por excelência, à reciprocidade (já que no debate com o outro o sujeito avalia as
suas idéias) – auxilia o indivíduo a organizar seu pensamento em forma de operações. E sob a
forma de operações (ações internalizadas sob a forma de representações que apresentam
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reversibilidade), as estruturas de pensamento do indivíduo ‘desprendem-se’ da percepção
direta, galgando, assim, níveis de raciocínio cada vez mais formais/hipotético-dedutivos.
Como sugerido por Villalobos (1969), a escola necessita dar maior ênfase às
atividades de cooperação, então, acredita-se que seja por esse motivo que Lima (1973), ao
propor seu método, atribui à dinâmica de grupo um papel importante ao processo educativo.
A respeito da cooperação, Lima (1973) ressalta:
Como se sabe, a discussão de grupo – frente a um problema, seja ele
tecnológico, intelectual, moral, sociológico, etc. – é o instrumento didático
que a própria natureza criou, para levar à consciência crítica e à criatividade,
ao mesmo tempo que prepara os jovens para a cooperação, condição
indispensável à continuação do processo civilizatório. Uma didática que vise
à consciência crítica, à criatividade e à cooperação, baseia-se
fundamentalmente em dinâmica de grupo, como manejo pedagógico, e no
desafio intelectual, como conteúdo curricular (...). (p. 36, grifo nosso)
Após as considerações a favor do grupo, para findar a discussão sobre o mesmo, as
citações abaixo formalizam o que se entende por dinâmica de grupo e o que não se constitui
tal dinâmica, respectivamente:
DINÂMICA DE GRUPO é, portanto, a situação natural que se cria quando
vários sujeitos interagem entre si num campo determinado, portanto, um
sistema de
<<
feedback
>>
em todas as direções. (LIMA, 1973, p. 353, grifo
nosso)
A FALTA de informações mínimas sobre as técnicas mais simples de
dinâmica de grupo leva alguns professores a produzir caricaturas que
desmoralizam a seriedade deste processo. A grande
<<
doença
>>
produzida
por estas técnicas é o parasitismo, que pode ser facilmente superado, como
vimos (...).
§. Estas técnicas [dinâmicas de grupo] não são atividade extraclasse, como
supõe alguns professores. Pelo contrário: feitas sem a supervisão do
professor podem redundar em verdadeira farsa.
§. Não constitui técnica de dinâmica de grupos dividir um trabalho em partes
para serem realizadas por diversos alunos e, posteriormente, justapostas,
num trabalho aparentemente de conjunto. Não havendo discussão ou
coordenação de ação (jogo) não se trata de dinâmica de grupo, como não é
dinâmica de grupo a divisão social do trabalho. (id., ib., p. 401, grifos do
autor, [comentário nosso])
Do exposto, percebe-se que a dinâmica de grupo não pode ser concebida como sendo
mais um modismo educacional. A mesma representa uma estratégia didática que tem
fundamentos científicos, em específico, relacionados à Epistemologia Genética.
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Com relação à situação problema, uma das variáveis constituintes da dinâmica de
grupo, Lima (1973) a define como
desafio intelectual
. Retomando as idéias dos parágrafos
anteriores, a esta variável está relacionada a questão do desequilíbrio, que por analogia tem a
ver com desafio. Assim, a proposição de uma situação problema possível (estando esta
possibilidade relacionada à fase mental da criança) deve se fazer constante no/durante o
Método Psicogenético. Sobre a questão do desequilíbrio provocado mediante uma situação
problema, Lima (1973) comenta:
Motivação é o estado psicológico que corresponde ao sentimento de uma
necessidade. Provém, portanto, de um desequilíbrio homeostático interno,
cuja reequilibração se faz pela ação motora ou simbolizada (representada). O
único meio de provocar motivação é criar uma necessidade de ação, isto é,
provocar um desequilíbrio homeostático orgânico ou psicológico. A dúvida e
o problema são desequilíbrios motivadores da reflexão. (p. 295, grifo nosso)
Assim, a proposição de situações problemas na escola pretende provocar nos alunos
desequilíbrios psicológicos. Isto, para que os mesmos sintam-se motivados a atingirem a
equilibração majorante. No caso da Educação Primária, as situações problema devem se
referir à experiência (física e lógico-matemática) desenvolvida com o auxílio dos materiais
concretos, tendo em vista que a recorrência ao meio físico ainda é condição necessária para
que os estudantes realizem a assimilação e concomitante acomodação. Como já apontado, o
fracasso desse nível de ensino é devido à exclusiva utilização da linguagem (logicização) em
detrimento da experiência (física e lógico-matemática) que permita ao aluno ‘organizar’ o seu
pensamento. A linguagem é sim uma importante ferramenta, mas a sua exclusiva utilização
deve ocorrer somente no estágio operatório-formal.
Se refletirmos sobre a questão do desafio, da dúvida e do problema torna-se fácil
verificar porque as crianças dessa idade ‘adoram’ solucionar enigmas, quebra-cabeças, jogos
de montar. Este sentimento-ação ‘
adorar’
decorre da motivação, que desencadeia o agir sobre
a situação. Constantemente em sala de aula o aluno deve ser motivado, instigado,
‘desequilibrado’ cognitivamente. Porém, o professor deve tomar cuidado com relação ao nível
de dificuldade da situação problema que propõe, pois um problema que o aluno considere
‘difícil demais’ se deve à ‘falta’ de estruturas cognitivas (ainda não construídas) que
possibilitem a assimilação inicial deste problema. E, sem a ocorrência da assimilação, o
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estudante fica desmotivado, implicando assim em sua não-ação, o que muitas vezes pode
resultar em:
apatia
ou
rebeldia
21
.
Sobre a questão da assimilação e sua relação com a situação problema, a citação
abaixo se faz oportuna:
As SITUAÇÕES-PROBLEMA só são estimuladoras quando despertam nos
indivíduos esquemas de ação. Assim, ou proponha problemas que
despertem, por si mesmos, esquemas de ação ou ative esquemas de ação para
estimular a resolução de situações-problema. Na educação sistemática,
portanto, um trabalho fundamental é ativar os ESQUEMAS DE ASSIMILAÇÃO
para que o indivíduo tome como atitude desejável a situação-problema que
lhe proponho. (LIMA, 1973, p. 429)
Na Situação Hipotética 1 (Quadro 4), caso o professor utilizasse somente a linguagem
escrita (leitura das situações problema) e registro no caderno, é bem provável que os alunos
encontrassem ‘grandes’ dificuldades à solução dos problemas propostos (podendo ocorrer até
a não solução dos mesmos). Tal fato decorre da não ativação dos esquemas de assimilação, já
que os esquemas de ação das crianças desse nível se constituem através da experiência
(classificar, separar, entre outras), como verificado experimentalmente por Piaget.
Enfim, pode-se concluir que ao propor uma situação problema que ‘desequilibre’ o
aluno, o professor está cumprindo o seu papel como animador, isto é, aquele preocupado em
gerir estratégias didáticas que permitam ao estudante pensar sobre diversas ações (não
importando se esse pensar ainda se constitui uma ‘simples’, porém necessária
manipulação/experimentação de objetos concretos – caso este se encontre no operatório-
concreto). É através da coordenação dessas várias ações propiciando a solução do problema
que esse aluno progride cognitivamente, estimulando assim sua criatividade e, concomitante,
o desenvolvimento de sua criticidade.
Com relação à tomada de consciência, o Quadro 4 indica momentos – advindos da
dinâmica de grupo – que ‘instiguem’ no aluno a ocorrência desta variável. A tomada de
consciência é uma característica marcante da abstração reflexiva, estando presente nas
regulações ativas, ou seja, reações às perturbações advindas do desequilíbrio, só que de
maneira ‘consciente’. Assim, a importância desta variável no Método Psicogenético é
decorrente de sua utilidade ao permitir que o indivíduo organize seu pensamento,
coordenando os esquemas de ação (característica da abstração reflexiva). Como o grupo
21
A presente dissertação não pretende abordar a questão da indisciplina devido à delimitação do tema. Porém,
não é difícil perceber a maior probabilidade da ocorrência da indisciplina quando o aluno está desmotivado, seja
pelas suas condições sociais ou provenientes dos encaminhamentos didáticos adotados pelo professor.
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representa um momento de discutir com o outro acerca das várias soluções encontradas,
então, a tomada de consciência torna-se necessária para que o aluno defenda o ‘seu ponto de
vista’.
Sobre este tema, Stoltz (2006) descreve:
Dentro de uma perspectiva piagetiana a compreensão representa a tomada de
consciência do procedimento, da transformação, do movimento das ações
que conduziram ao êxito. A passagem do saber fazer para a conceituação, ou
de uma assimilação prática (assimilação do objeto a um esquema) para uma
assimilação por meio de conceitos, significa o processo de acesso à
compreensão. (p. 43)
Decorre do exposto que, segundo Piaget, a tomada de consciência refere-se à
compreensão da ação que permite ao sujeito solucionar uma situação problema. Esta
compreensão ‘leva’, progressivamente, à conceituação da ação, permitindo paulatinamente a
construção de estruturas formais (operatório-formal), ou seja, a possibilidade de uma melhor
compreensão. Assim, ao conceituar, o indivíduo age sobre sua ação modificando-a,
‘formando’ uma ação com maior mobilidade (
reversibilidade
). Corroborando com tal idéia:
Para Piaget a influência da conceituação sobre a ação modifica a ação por
meio da utilização rápida e sistemática de mediadores. Desse modo a ação
precede a consciência, pois constitui um conhecimento autônomo, um saber
fazer. Sua conceituação somente se efetua por tomadas de consciência
posteriores. Estas tomadas de consciência da ação dependem das regulações
mais ou menos ativas que apresentam escolhas mais ou menos intencionais,
e não de regulações sensório-motoras mais ou menos automáticas.
(STOLTZ, 2006, p. 43)
Faz-se notória na citação acima que a tomada de consciência passa a ‘ocorrer’ em
maior amplitude e com mais freqüência após os estágios: sensório-motor e pré-operatório, ou
seja, a partir do operatório-concreto. O exemplo que segue pode auxiliar esta análise. No
estágio pré-operatório a criança já consegue ordenar objetos, agrupando-os e/ou dissociando-
os. Porém, quando perguntado a esta criança o que é uma adição, provavelmente a mesma não
saberá conceituar. Este fato ocorre, pois a tomada de consciência de sua ação ainda está ligada
com as regulações automáticas, onde o único fim é a manipulação (ação no real). Quando esta
criança progride ao estágio operatório-concreto, isto é, torna-se capaz de operar
(mentalmente) recorrendo ao meio físico, a conceituação torna-se mais ativa. Tal ocorrência
deve-se à reversibilidade de seu pensamento, que lhe permite ‘ir e vir’ em suas hipóteses
(provenientes dos esquemas de ação ocorridas no meio físico). Deste modo, a possibilidade de
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coordenar suas ações permite-lhe tomar uma consciência ‘mais ativa’, compreendendo assim
o porquê de suas ações. Logo, quando questionamos a criança deste estágio o que é uma
adição, é provável que a mesma responda como sendo a possibilidade de juntar coisas,
associar em um conjunto.
Com relação à Educação, Piaget afirma: “
na atividade educativa, o principal é a
“tomada de consciência”
(LIMA, 2000, p. 104). Conforme denotado nos dois últimos
parágrafos, ao tomar consciência o indivíduo compreende a sua ação, e sendo compreendida,
há maior possibilidade de conceituação, o que implica em uma ‘melhor’ compreensão,
propiciando a construção de estruturas cognitivas cada vez mais complexas (melhores
conceituadas).
Como salienta Stoltz (2006):
Em síntese, para Piaget o mecanismo de tomada de consciência surge em
todos os aspectos como um processo de conceituação que reconstrói e depois
ultrapassa no plano da semiotização e da representação, o que era obtido no
plano dos esquemas de ação sensorial-motora. (p. 45)
Assim, a dinâmica de grupo, por ‘forçar’ os alunos a tomarem consciência de suas
ações, contribui à progressiva conceitualização das ações adotadas. Logo, o Método
Psicogenético, que se principia pela progressiva construção mental do aluno, deve propiciar a
ocorrência de tomadas de consciência nos alunos por meio da interação grupal (social)
suscitadas por situações problema motivadoras.
Por último, a avaliação diagnóstica representa uma ação do professor na qual o mesmo
‘avalia’ onde o aluno está (em termos estruturais) para, assim, promover situações problema
que permitam ao estudante avançar cognitivamente. Por exemplo, ao perceber que um aluno
já compreende a distribuição um a um, o docente deve propor uma situação problema na qual
seja necessária a distribuição um para muitos
22
.
Como exposto no Quadro 5, a dinâmica de grupo auxilia o professor a perceber o nível
de desenvolvimento cognitivo em que o aluno se encontra. A característica esboçada no
referido quadro –
“Avaliação pelo companheiro (com retro-efeito múltiplo e variado)” –
ajuda o docente nesta tarefa
.
Exemplificando, ao perceber que um dos integrantes do grupo
chama a atenção de um de seus companheiros por realizar uma atividade de forma ‘incorreta’,
22
Distribuição um a um é quando associa-se a cada elemento A a mesma quantidade de elemento B. Por
exemplo, “quando distribui-se a cada um carro uma chave de ignição”. Já a distribuição um para muitos é
quando associa-se a cada elemento A um conjunto de elementos B de forma ‘fixa’; ou seja, “para cada um carro
distribui-se quatro rodas”. Estes raciocínios são necessários à construção da estrutura multiplicativa, já que
permite ao aluno pensar na questão da simultaneidade, fator escalar, proporção.
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o professor, nesse momento, já avalia que esse mesmo aluno ainda não construiu estruturas de
pensamento que lhe permitam solucionar o problema proposto. Assim, não foi preciso o
educador avaliar esse aluno individualmente, já que a própria dinâmica (interação) do grupo
denota o que o estudante sabe e ainda não sabe.
A respeito da necessária e constante avaliação diagnóstica, propiciada ‘mais
facilmente’ pela dinâmica de grupo, Lima (1973) expõe:
A verificação do rendimento no final do semestre ou do ano letivo não tem
explicação lógica. É mera tradição. A aprendizagem deveria ser verificada
no próprio momento em que se realiza. O processo didático deve ser
autoverificador, mesmo porque o que se deseja não é só avaliar a quantidade
de conhecimentos retidos, mas a qualidade do trabalho e as atitudes
adquiridas. (p. 85)
A argumentação deste autor corrobora com o já exposto, pois um processo didático
autoverificador é justamente a dinâmica de grupo. Como o Método Psicogenético almeja
estabelecer estratégias de ensino que permitam ao aluno avançar em suas fases mentais, então,
o professor deve:
Fazer contínuos julgamentos para mostrar ao aluno o caminho certo:
verifica-se para orientar o aluno. Distanciar as verificações pode redundar
em deixar o aluno no caminho errado (perigosamente) durante muito tempo.
Não se avalia para punir ou reprovar, mas para medir a eficiência do
processo. A avaliação mede também a eficiência técnica do professor.
(LIMA, 1973, p. 240, grifos do autor)
O salientado acima, por assim dizer, reflete o objetivo da avaliação diagnóstica.
Em suma, o que se pretendeu com este tópico foi denotar a ‘utilização’ de alguns
princípios da Epistemologia Genética à Educação. E foi justamente o Método Psicogenético
uma das “aplicações” encontradas, que utiliza das contribuições desta teoria à prática docente.
Mais uma vez reforça-se o pensamento de Piaget: “
A educação não é uma psicologia
aplicada, mas sim, faz-se oportuno utilizar as pesquisas sobre o desenvolvimento do
conhecimento no homem,
para assim ‘economizar’ esforços
”
.
Ao saber que, a um aluno no
início do estágio operatório-concreto é imprescindível a experiência (física e lógico-
matemática) no meio concreto, partir já para a exclusiva utilização da linguagem verbal pode
implicar dois fatores: 1. ‘perda de tempo’ do professor que falou e falou, mas o aluno não
compreendeu; 2. ‘perda de tempo’ do aluno que, escutou e escutou, mas não conseguiu
assimilar.
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ESQUISAS
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DUCAÇÃO (
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ATEMÁTICA)
Se partirmos do pressuposto de que o conhecimento advém
de uma contínua construção, possível graças à constante
interação entre sujeito e meio, então, apreender/interagir
com as construções dos outros também é uma forma de
construir. Apreensão, aqui utilizada, remete a uma
reestruturação cognitiva, e não um simples justapor de
teorias; donde reestruturar significa assimilar-acomodar. (O
autor)
O presente capítulo analisa algumas pesquisas que estabelecem relações com o
problema de pesquisa no âmbito teórico e metodológico. Faz-se necessário salientar que os
trabalhos apresentados em seguida representam uma mínima parcela das produções
acadêmicas na qual a Epistemologia Genética se faz presente; porém, acredita-se, a partir das
mesmas, ser possível construir idéias acerca do significado do termo construtivismo, bem
como das ‘aplicações’ desta teoria à prática docente.
Castañon (2005) analisou a utilização do termo construtivismo por algumas
tendências, tais como
Construcionismo Social
23
,
Construtivismo Radical
24
e
Construtivismo
Social
25
. Após revisar os pressupostos destas tendências, Castanõn concluiu que nenhuma
delas poderia ser considerada como representante fidedigna da filosofia construtivista, já que
as mesmas não consideravam o sujeito como ser ativo na aquisição do conhecimento e em
íntima interação com o objeto. Segundo ele, a corrente que seguiu coerentemente tal postura
filosófica (construtivista) foi o construtivismo piagetiano. Desse modo, as três tendências
23
Construcionismo Social: Corrente psicológica que defende as seguintes teses: 1ª a realidade é dinâmica, não
sendo possível a existência da essência ou leis imutáveis, 2ª o conhecimento é só uma construção social
constituída pelas redes lingüísticas, 3ª o que determina se o conhecimento é valido ou não são as suas
conseqüências sociais, assim há dissolução do sujeito enquanto epistêmico, já que o individual não constrói, e
sim, exclusivamente o coletivo/social.
24
Construtivismo Radical: Tendência psicológica que postula o seguinte: o conhecimento é exclusivamente uma
construção alicerçada em nossas experiências subjetivas, assim, o mundo vivido é somente aquele que nós
construímos, não havendo base objetiva para julgar nossas representações e a dos outros. Deste modo,
viveríamos isolados em nosso próprio mundo, donde se pode concluir que nossas construções acerca do mundo
não são influenciadas pelo mundo externo e objetivo.
25
Construtivismo Social: Corrente sociológica, segundo Castañon (2005, p. 43) “faz das concepções socialmente
construídas da realidade a única e própria realidade”.
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inicialmente citadas, acabaram por obscurecer ainda mais, no meio acadêmico, o significado
da postura filosófica construtivista. Tal fato implica na ‘instalação’ de idéias confusas, que
prejudicam a explicação da pergunta: “
Como o homem conhece
?”. Como a ‘solução’ deste
questionamento é de grande utilidade ao processo de ensino, pois ao saber como o homem
conhece torna-se mais exeqüível promover estratégias para tal, então, esta ‘encruzilhada’ de
correntes (não-construtivistas) acaba por ‘retardar’ o progresso da própria Ciência Moderna e
em específico, a Educação.
Outro estudo desenvolvido por Castanõn (2007), denominado: “
Construtivismo,
Inatismo e Realismo: compatíveis e complementares
”, verificou haver compatibilidade entre o
construtivismo e o inatismo; não ao ponto de crer que o conhecimento esteja pré-formado no
indivíduo, mas sim que a criança, ao nascer, possui uma estrutura geral de inteligência que lhe
permite construir seus conhecimentos, a que Piaget denomina como sendo o mecanismo de
assimilação-acomodação. As colocações deste pesquisador corroboram com os apontamentos
realizados no Capítulo 1 referente ao mecanismo de equilibração.
Complementando suas análises, Castañon (2007) argumentou que tanto o
Construtivismo Radical (que nega a interação com o meio, e concomitante, a existência da
realidade, já que tudo é uma construção de nosso eu subjetivo) quanto o Construtivismo
Social (que nega o papel ativo do sujeito na construção da verdade, sendo exclusivamente
imposta pelas pressões sociais) ‘prejudicam’ as propostas educacionais que neles se
alicerçam. As propostas educacionais que aderem ao Construtivismo Social acabam
considerando o sujeito como uma tabula rasa, passivo e totalmente determinado pelas
influências da sociedade. Ao contrário, as tendências pedagógicas que utilizam o
Construtivismo Radical assumem uma postura de que, como a realidade não é possível, então,
o conhecimento humano não pode aproximar-se do mundo real, implicando na não
possibilidade de agir sobre o mesmo.
Em suma, Castañon preconizou que as posições filosóficas de Piaget, Kant e Popper
só têm a contribuir com a visão de uma Educação que possibilite ao sujeito construir noções
aproximativas acerca da realidade para, assim, poder alterá-la visando a sua transformação em
prol do bem comum. Logo, mais uma vez evidencia-se a coerência do pensamento piagetiano
com a filosofia construtivista, colaborando com a idéia de que o conhecimento advém de
incessantes e incompletas construções.
A respeito da utilização das teorias educacionais em sala de aula, Rapoport e Silva
(2006) buscaram verificar a coerência entre a fala e a utilização de referenciais teóricos
(proveniente da Psicologia e da Pedagogia) na/durante a prática docente. Ou seja,
se aquilo
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que o professor diz, realmente é ‘posto em prática’ durante as suas aulas
. Para tanto, foram
entrevistados 34 professores (de diversas disciplinas do Ensino Fundamental e Médio). Além
das entrevistas, observaram-se o modo como os professores realizaram a avaliação dos seus
alunos. No momento das entrevistas, o referencial mais apontado referiu-se à teoria de Piaget.
Os participantes que afirmaram utilizar esta teoria apresentaram como justificativa às suas
escolhas os seguintes aspectos: a construção do conhecimento, desenvolvimento gradual,
interação social e escolhas pessoais.
Após análise dos dados, Rapoport e Silva (2006) concluíram que a maioria dos
docentes executou uma prática descontextualizada de uma teoria; ou seja, durante as suas
aulas utilizaram estratégias oriundas do senso comum ou advindas da intuição. Os professores
que argumentaram utilizar um referencial teórico, como no caso o piagetiano, o fizeram de
modo indiscriminado e superficial. Estes docentes não souberam justificar o porquê da
escolha do referencial teórico piagetiano. Desse modo, como expressaram os autores:
Essa expressiva parcela de participantes que apresenta uma incoerência entre
o dizer/justificar permite concluir que existe um uso indiscriminado do nome
de autores mais conhecidos, transformando teorias de maior repercussão em
puros “jargões” do meio docente, corroborando as hipóteses iniciais
26
deste
estudo. (RAPOPORT e SILVA, 2006, grifo nosso)
Decorre desta afirmação a não correspondência entre o dizer e o fazer. Este fato só
contribui para o descrédito com relação às teorias educacionais, como no nosso caso, o
construtivismo piagetiano. Ou seja, se o professor diz utilizar a teoria de Piaget, e verifica que
não obtém sucesso, então, acaba culpando este teórico. O problema é que, este docente não
utilizou a teoria piagetiana, dizendo isso só para justificar a sua prática, pois, na realidade, não
conhece com profundidade a mesma. Assim, não significa que a teoria de Piaget seja inválida,
o problema é que a sua utilização não ocorreu de fato.
Como apontaram Rapoport e Silva (2006), este fato (a utilização indiscriminada dos
teóricos educacionais) vem prejudicando a ‘imagem’ do construtivismo na Educação
brasileira, pois, em decorrência do insucesso do ensino, alguns pesquisadores apontam ser o
construtivismo o motivo de tal fracasso. Contra argumentando esta crítica, os autores
afirmaram:
26
As hipóteses iniciais defendidas por Rapoport e Silva (2006) são as de que grande parcela dos professores
realiza uma prática pedagógica descontextualizada das teorias educacionais, ou seja, a maioria de suas ações
didáticas apóia-se no senso comum. Assim, os docentes se utilizam dos jargões educacionais, tais como:
aprender a aprender, o aluno constrói o conhecimento, de modo superficial.
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No entanto, a partir dos resultados obtidos, parece coerente questionar se o
problema está realmente no construtivismo ou na formação dos professores,
pois há uma grande possibilidade de que estes digam que seguem o
construtivismo sem realmente terem se apropriado da teoria. Esse uso de
jargões por parte dos professores pode ser capaz de falsear os dados de uma
pesquisa, uma vez que sua fala é bastante divergente da realidade com a qual
vivem. (RAPOPORT e SILVA, 2006)
Contudo, esta pesquisa vem colaborar com a presente dissertação ao indicar como o
construtivismo de Piaget vem sendo ‘utilizado’ pelos professores (se é que esta utilização vem
ocorrendo).
O trabalho de Massabni (2005) consistiu em verificar a adoção do
Construtivismo
Pedagógico
27
nas aulas de Ciências. Para tanto, investigaram-se as aulas de quatro professores
(5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental) que argumentaram tentar seguir uma postura
construtivista em suas práticas docentes. Após esta observação, a pesquisadora verificou que
as aulas dos professores não podiam ser consideradas práticas construtivistas (preconizadas
pelo Construtivismo Pedagógico), mas constituídas de alguns elementos do construtivismo,
tais como:
1. Considerar as hipóteses dos alunos;
2. Tornar o ensino mais significativo por meio da aproximação entre conteúdo escolar
e conhecimentos cotidianos e experiências dos alunos; e,
3. Valorizar o questionamento como estratégia didática.
Para a autora: “
O construtivismo na prática não condiz com a prática imaginada pelo
Construtivismo pedagógico.
” (MASSABNI, 2005, p. 110). Assim, os professores analisados
‘mesclaram’ durante suas aulas os elementos citados acima com os característicos de uma
prática tradicional. De fato, Massabni argumentou que os docentes selecionaram algumas das
idéias construtivistas a serem colocadas em prática no cotidiano escolar, apontando como
fator para tal escolha as condições de trabalho vividas por eles, tais como: número excessivo
de alunos, carga horária de trabalho diária muito extensa, condições precárias de trabalho.
Em suma, tal pesquisadora argumentou que o Construtivismo na prática dos
professores de Ciências não é uma utopia, e sim uma realidade, mas uma realidade adequada
27
Para essa autora, os fundamentos teóricos do Construtivismo Pedagógico são diversificados e confusos, pelo
fato de misturarem as teorias de: Piaget, Vygotsky, Wallon, Ausubel, Gardner, Glasersfeld. Deixa bem evidente
a confusão decorrente deste “Construtivismo Pedagógico” quando expõe: “Como as teorias destes autores
embasam, então, um Construtivismo pedagógico, se partem de diferentes premissas, não entendendo do mesmo
modo o processo de aquisição/elaboração de conhecimentos? (p. 106)”.
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(e exeqüível) às condições de trabalho. Isto implica na não adoção ‘total’ dos pressupostos
construtivistas preconizados pelos estudiosos da área da Educação.
Para que o professor ‘aplique’ uma teoria, é necessário (ao menos esperado) que o
mesmo realize uma representação mental desta. Sobre isso, a pesquisa de Gebara e Marin
(2005) visou compreender as
representações
sociais
28
dos professores (de todas as disciplinas
escolares) acerca do construtivismo piagetiano. Segundo elas, para que uma prática se
constitua um “ambiente construtivista”, faz-se necessário a adoção das seguintes proposições:
1. O professor assumir o papel de educador-educando, ou seja, aquele que visa a
formação do aluno e não o exclusivo repasse de informação aos mesmos; e,
2. A construção de conhecimento é decorrente de uma intensa interação entre o sujeito
e o objeto de conhecimento, sendo este uma fonte de estímulos e desafios.
Após uma considerável revisão de literatura sobre o assunto, as autoras apontaram que
grande parcela dos professores ainda possuía representações do construtivismo de maneira
fragmentada e difusa, ou seja, ainda não objetivaram (incorporaram) as proposições –
denotadas acima – de forma a possibilitar o desenvolvimento de um “ambiente
construtivista”. Sobre isso pontuaram:
Os conhecimentos acerca do construtivismo, ainda para alguns educadores é
novo gerando medo, apesar de toda a divulgação da teoria nos últimos anos,
o modo como os professores vêm dela se apropriando demonstra uma
compreensão fragmentada e difusa da teoria e tem sido este entendimento
que parece estar orientando suas práticas. (GEBARA e MARIN, 2005, p. 32)
Finalizando, Gebara e Marin (2005) salientaram a ‘urgente’ necessidade de se atentar
com relação à formação dos professores, bem como às suas representações; pois as
representações fragmentadas da teoria de Piaget acabam por dificultar a implantação de
práticas construtivistas que visam auxiliar o aluno na construção do conhecimento.
Objetivando discutir alguns aspectos da teoria de Piaget que efetivamente vêm sendo
utilizados em sala de aula, ou, ao “o pensar sobre a prática”, as pesquisas abaixo se tornam
oportunas.
O trabalho desenvolvido por Sanchis e Mahfoud (2007) verificou a importância da
interação, não só à construção do conhecimento, mas também à constituição e construção do
28
Para elas, as representações sociais são as concepções e/ou conhecimentos que o indivíduo possui dos objetos
ou eventos (materiais ou não). Tais concepções orientam e ‘dirigem’ as ações (comportamentos) deste indivíduo.
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próprio indivíduo. Partindo do pressuposto piagetiano de que o conhecimento é decorrente da
ação do sujeito ao interagir com o objeto (meio), as autoras apontaram que, se não existir a
interação, o processo de construção (por meio da ação) não se faz possível. Argumentaram
isto ao encontrar nos trabalhos de Piaget discussões a respeito da relação entre ação e o
contexto no qual tal ação ocorre.
“A ação, portanto, é fundamental, mas também seu contexto, já que todo
esquema é “uma organização ativa da experiência vivida” (Piaget,
1936/1975c: 56), e que qualquer ação de um sujeito “é sempre coordenada
por outros porque não existem acções isoladas, [sendo que] os seus
significados são sempre solidários”. (SANCHIS e MAHFOUD, 2007, grifo
nosso)
Decorre daí a importância do agir com o outro inserido num contexto, tendo em vista a
impossibilidade de agir isoladamente
29
, e no vazio. De nossa interpretação, observa-se a
importância da escola, já que a mesma se constitui um espaço – por excelência – à promoção
da interação (aluno-aluno, professor-aluno, aluno-consigo mesmo). Assim, para se constituir
(enquanto indivíduo) e construir conhecimentos o sujeito precisa estar em constante interação;
e desta tese decorre a resposta aos críticos à Piaget que dizem ter a sua teoria minimizado o
papel do social.
Outro estudo que abordou a interação social foi o de Moro (2000). Para tanto, a autora
investigou as inter-relações ocorridas numa tríade (grupo formado por três alunos da 1ª série
do Ensino Fundamental), na qual se fez presente a intervenção do professor no momento da
aprendizagem de estrutura aditiva (adição e subtração). Sua hipótese de trabalho foi de que
existe uma inter-relação entre a interação das crianças (do grupo) e o professor com as
construções cognitivas individuais (referente ao conceito a ser aprendido), sendo esta relação
possível de ser explicada pelo mecanismo da equilibração.
Após a pesquisa de campo, Moro afirmou que as interações sociais ‘amplificam’ a
aprendizagem dos conceitos matemáticos em questão. Isto pode ser explicado, pois estas
interações possibilitaram uma ‘
maior tomada de consciência
’ por parte dos alunos, onde cada
um foi levado a descentrar seus pontos de vista, para assim assimilarem as soluções propostas
pelo outro. Tais idéias apresentam-se a seguir:
29
Este agir isoladamente não implica na impossibilidade de ação mental (interna no próprio eu) quando o
sujeito, por exemplo, realiza a coordenação de suas estruturas à construção do conhecimento lógico-matemático,
mas sim que toda a ação do sujeito está voltada às expectativas de outrem. As do autor desta pesquisa, por
exemplo, ‘voltam-se’ aos professores e pessoas que pensam e se preocupam com a Educação (Matemática).
Assim, a ação de formular esta dissertação está indiretamente em interação com os pares.
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Em síntese, colocamos em pauta a proposta de que, em situações de
aprendizagem, as interações sociais de crianças, com intervenção do adulto,
provocam e amplificam oportunidades para que cada aprendiz, consideradas
suas significações valorativas às ações do(s) parceiro(s), tome consciência de
diferenças, oposições ou semelhanças entre as suas ações e seus resultados,
pois que as coteja com as de outro(s), para "viver" então contradições
possíveis. Assim, estaria sendo mais intensamente flexibilizado seu processo
de centração/ descentração no quadro dos conflitos cognitivos próprios, para
sua progressão cognitiva. (MORO, 2000)
Desse modo, a presente pesquisa corrobora com os apontamentos de Sanchis e
Mahfoud (2007). Em especial com relação ao Método Psicogenético, no qual a dinâmica de
grupo representa uma estratégia – por excelência – à promoção da interação.
O estudo de Coleto (2007) investigou a prática de quatro professores das séries iniciais
quando as mesmas propuseram atividades de conhecimento físico, nas aulas de Ciências. Para
tanto, a pesquisadora destacou as estratégias pedagógicas nas quais a interação se fez
presente, utilizando como base à discussão dos dados a Epistemologia Genética de Jean
Piaget. Após observação das aulas e entrevistas com as professoras, Coleto verificou que:
1. As duas professoras que ‘mostraram’ uma postura tradicional pouco valorizaram o
papel da interação social durante as aulas; bem como, apresentaram pouco conhecimento do
modo como se dá a aquisição do conhecimento físico.
2. As outras duas professoras que apresentaram postura construtivista valorizaram a
promoção de situações de interação por meio do trabalho em equipe; além de que, buscaram
constantemente promover investigações e experimentações, encorajando os alunos a se
colocarem ativos no momento da aprendizagem.
Observe as argumentações de Coleto (2007):
As concepções dos professores da categoria A/B [professoras de postura
construtivista] confirmam os estudos de Piaget (1936), que defende um
ensino que propicie trabalhos em equipe, como oportunidade para a troca de
opiniões e conceitos entre os alunos e destes com o professor si e entre estes
e o professor, pois segundo este pesquisador a cooperação é um elemento
indispensável à elaboração da razão, sendo a vida em grupo o meio natural
para essa atividade intelectual. (p. 160, [comentário nosso])
Desse modo é possível verificar a contribuição do construtivismo piagetiano à prática
docente, pois as duas professoras que dele se utilizaram promoveram atividades desafiadoras
que levassem o aluno a pensar sobre o conhecimento que estavam construindo. Este aspecto –
de situações desafiadoras – constitui um dos elementos principais da proposta de Lima
(1973)
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(do Método Psicogenético), já que as situações problemas representam uma das variáveis que
‘auxiliam’ os alunos no mecanismo de equilibração.
Outro aspecto da teoria de Piaget que se torna alvo de reflexão é referente aos estágios
cognitivos. Os apontamentos a seguir explicitam este fato, bem como aludem às possíveis
limitações da teoria de Piaget quando aplicada à Educação.
Sequeira (1990) realizou uma análise acerca dos estágios de desenvolvimento
cognitivo e a importância dos mesmos à Educação. Ao ressaltar esta importância, o referido
autor argumentou:
(...) tentar organizar programas de ciências com o objectivo de ensinar os
estádios piagetianos, isto é, os conteúdos passíveis de ser aprendidos em
cada estádio, parece ser menos eficiente e útil do que organizar o currículo
tendo em conta esses mesmos estádios e o conhecimento informal dos
alunos. (SEQUEIRA, 1990, p. 27-28)
Com tal parecer, este autor rebateu alguns programas de ensino rígidos (desenvolvidos
na época) que preconizavam o exclusivo ensino de conteúdos que ‘pertenciam’ a cada estágio
de desenvolvimento cognitivo, não considerando o que os alunos já conheciam a respeito de
determinado assunto, e que, por sua vez, possibilitasse a abordagem de conteúdos
pertencentes a estágios ‘mais avançados’.
Sobre os limites da teoria de Piaget, Sequeira (1990) observou o não aprofundamento
acerca dos seguintes tópicos: 1. O papel do professor; 2. Formas culturais do conhecimento;
3. A interação ocorrida em sala de aula com crianças que apresentam diversos níveis de
desenvolvimento cognitivo. Ao apontar estes limites, o autor citou as más interpretações
decorrentes da complexa teoria de Piaget quando aplicada à Educação, desencadeando uma
postura rígida de alguns professores com relação à mesma. Um exemplo decorre quando o
docente acredita que Piaget, ao apontar a questão da manipulação pelo sujeito, refira-se
somente à manipulação concreta. Fato este argumentado na Introdução e no Capítulo 1, na
qual foi abordada a ‘
progressiva
manipulação
’ do sujeito: concreta (observada nos estágios
iniciais) ‘caminhando’ para a abstrata (nos términos do operatório-concreto a início do
operatório-formal).
Contudo, Sequeira (1990) afirmou que, embora a teoria de Piaget apresente limites
quando aplicada à Educação, tendo em vista a sua preocupação principal com a
Epistemologia, a sua teoria: “
continua a constituir a pedra fundamental para a construção do
estatuto próprio da educação em geral e da educação em ciências em particular
”
(SEQUEIRA, 1990, p. 31).
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Em outro estudo, Sequeira e Duarte (1989) levantaram algumas críticas com relação
aos estágios de desenvolvimento cognitivo (elaborados por Piaget) realizadas por diversos
estudiosos, tais como: Ausubel, Eylon e Linn, Novak etc. Segundo estes autores, os estágios
de desenvolvimento cognitivo apresentam uma maior variabilidade dentro de cada estágio,
sendo possível identificar pessoas que ‘flutuam’ entre os mesmos dependendo do conteúdo
que se é abordado; assim, a proposição de Piaget estaria ‘equivocada’. Não será objeto de
estudo a análise aprofundada de tais críticas. O oportuno é evidenciar, conforme denotaram
Sequeira e Duarte (1989):
(...) a proposta de Piaget de que o conhecimento é construído, de que o aluno
é constructor activo do seu próprio conhecimento, talvez seja a sua maior
contribuição para a prática educacional e que “revoluciona” (nas palavras de
Lauro de Oliveira Lima, 1980), profundamente todas as ciências do homem.
(p. 138-139)
Assim, a maior contribuição de Piaget à Educação (segundo os referidos autores) não
deve se ‘prender’ à questão dos estágios (que representa uma parcela de suas descobertas),
mas a este ‘novo paradigma’ referente à construção ativa do sujeito em constante interação
com o meio.
Com relação a este ‘novo paradigma’ oriundo da Epistemologia Genética quando
aplicada nas pesquisas em Educação, as teses a seguir mostram-se relevantes e
complementares.
Caruso (2002) expôs reflexões a respeito da prática docente de Matemática em classes
do Ensino Fundamental. Para tanto, fez uso da Epistemologia Genética, utilizando a teoria da
abstração reflexionante, idéias a respeito do juízo moral, estabelecendo, assim, conseqüências
pedagógicas advindas de ‘um pensar sobre’ esta teoria. No estudo realizado foram
entrevistados professores matriculados no Curso de Especialização em Educação Matemática
da Faculdade de Educação da Universidade Católica de Pelotas (UCPe). Tais entrevistas,
desenvolvidas segundo o método clínico piagetiano, investigaram como o professor
desenvolvia seu trabalho para ensinar Matemática, onde foram enfocados os aspectos: as
concepções dos docentes sobre a Matemática e suas compreensões acerca do processo de
ensino e aprendizagem. Os resultados das entrevistas apontaram que: grande parte dos
docentes atribuiu ao ‘seu papel de transmissor’ como o principal vetor à aprendizagem dos
alunos; a relação para com o conhecimento matemático foi vista sob um enfoque rígido,
estático. Para redimensionar a prática dos professores de Matemática como ‘
o possibilitador
de construções de significados
’ pelos estudantes, o autor argumenta:
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Se eu enquanto professor, desejo um aluno criativo e criador, preciso antes
de tudo ter tais características na minha forma de me colocar no mundo, isto
é, na minha concepção epistemológica de educação, pois muito pouco ou
quase nada advirá de minhas tentativas de uma abordagem construtivista de
prática letiva em sala de aula se eu, no que se refere a meu próprio
conhecimento, continuo absorvendo resultados prontos, oriundos de leituras
apressadas de textos pré-organizados por outros autores, que em geral são
meros repassadores dos excertos do tema tratado. (CARUSO, 2002, p. 300,
grifos do autor)
E, para que o professor possua as características citadas acima, Caruso (2002) expôs:
É importante ressaltar, e disso não tenho a menor dúvida, que estudar a obra
piagetiana me permitiu construir a autonomia indispensável para repensar
meu próprio fazer conectando-o constantemente ao fazer de meu aluno. (p.
289-290, grifo nosso)
Em complementaridade com o último acerto:
A epistemologia genética, como vetor construtivo, aponta uma nova direção
para o fazer do professor que passa pela re-significação das relações que se
constituem em ambientes de aprendizagem de matemática, e que, em última
análise, restituem ao aluno e ao professor a condição de sujeitos na
elaboração do conhecimento de cada um e de todos. (CARUSO, 2002, p.
302)
Assim, verifica-se, a partir do trabalho deste autor, a possibilidade de utilizar a
Epistemologia Genética à prática docente para que a mesma seja pensada enquanto um espaço
de múltiplas relações/construções entre alunos e professores.
Para analisar as ações ocorridas na sua prática enquanto professora (de uma quarta
série do Ensino Fundamental), Collares (2001) utilizou a Epistemologia Genética de Jean
Piaget. Com o intuito de investigar o significado das ações docentes vistas sob uma
abordagem construtivista, a autora também utilizou a teoria de Paulo Freire (em específico, no
que diz respeito ao significado do fazer docente). Os resultados decorrentes dessa análise
evidenciaram a relevância da Epistemologia Genética ao redimensionamento das atuais
práticas escolares (marcadamente tradicionais na sua grande maioria). Como pontuou a
pesquisadora, ao valer-se de uma postura construtivista e em concomitância com o Método
Clínico, é possível realizar planejamentos contínuos constituídos por intervenções e
investigações docentes. Estes planejamentos, por sua vez, permitem ‘olhar’ a sala de aula
como um ‘contexto de relações’, ou seja, um espaço no qual a inter-relação e
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interdependência das ações define a convivência do grupo (alunos e professores),
possibilitando, assim, a construção do conhecimento.
Observe como Collares (2001) argumentou a respeito da importância da teoria de
Piaget à prática docente:
Estudar a teoria de Jean Piaget teve, portanto, nesse processo de conhecer, a
dupla função de auxiliar-me na constituição do conhecimento do aluno,
enquanto constituía-me a mim mesma como sujeito cognoscente, dando
sentido e consistência ao significado de educador, construído a partir de
Paulo Freire. Assim, desafiada pelos aspectos teóricos estudados, busquei
nas ações cotidianas dos alunos, extremamente ricas de significados, a fonte
de todo a proposta didática efetivada nos grupos com os quais interagi, os
conteúdos trabalhados e, principalmente, o ponto de partida à exploração e à
investigação da operatividade do pensamento. (p. 192)
Complementando, a autora explicitou:
Ser professor construtivista é, pois, assumir um processo no qual a segurança
está exatamente no movimento, e o equilíbrio representa a ação constante.
Talvez seja mais fácil seguir prescrições do que nos aventurarmos por um
caminho científico. No entanto, nada se compara à liberdade e ao
conhecimento que se constroem e que são resultantes do comprometimento
com o qual nos inserimos em nosso contexto, tornando-nos seres históricos e
democráticos. (COLLARES, 2001, p. 193-194, grifo nosso)
O trabalho de Collares permite-nos perceber a importância da Epistemologia Genética
não só à compreensão do
como
o
aluno
constrói
conhecimento, mas, também, para que o
professor
construa
o
seu
próprio
fazer
docente
.
O estudo abaixo representa uma utilização da teoria de Piaget aos alunos do Ensino
Superior. O mesmo torna-se oportuno para indicar a também utilização do construtivismo
piagetiano neste nível de ensino.
Para auxiliar alunos reprovados em disciplinas iniciais de Matemática em cursos de
graduação, Lima (2004) desenvolveu uma proposta pedagógica que se utilizou de um
ambiente virtual denominado Mecam
30
. Esta proposta buscou subsídios no método clínico
piagetiano, em que o mesmo foi utilizado para identificar as noções já construídas pelos
estudantes, para, assim, ser possível a proposição de novos desafios que possibilitassem a
compreensão dos conteúdos matemáticos abordados. A fim de analisar as ações e reflexões
30
Mecam – Programa em Educação a Distância para a Melhoria das Condições de Aprendizagem de Matemática
– é um ambiente virtual que integra metodologia de intervenção (advinda da teoria piagetiana) e recursos
tecnológicos. O objetivo principal deste programa é promover situações interativas de aprendizagem com relação
à Matemática.
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dos estudantes diante dos desafios propostos, fez-se uso do mecanismo de equilibração de
Piaget. Através deste, a pesquisadora identificou os desequilíbrios cognitivos causados pelo
desafio e, deste modo, propôs desafios que levassem o estudante a interagir com o objeto
matemático, visando a reequilibração (do desafio inicial). Os resultados indicaram que a
referida proposta pedagógica (alicerçada na teoria de Piaget – equilibração – e no método
clínico) colaborou para a aprendizagem das noções e conceitos matemáticos abordados no
programa.
As pesquisas expostas a seguir referem-se às estruturas aditivas e multiplicativas
(outro tópico da teoria piagetiana). Antes, porém, são expostos achados acerca do fracasso
que permeia o ensino de Matemática. Fato este salientado na Introdução, evidenciado pelos
índices estatísticos de diversos órgãos governamentais (SAEB, SARESP).
David & Lopes (1998), em estudo sobre fracasso e sucesso do ensino de Matemática,
observaram o seguinte aspecto: os professores que se utilizam de formas de pensamento
flexível contribuem para o sucesso de seus alunos. Essa postura flexível e autônoma
31
auxilia
os estudantes a desenvolverem estruturas de pensamento que lhes permitam solucionar
problemas. Logo, provocar desequilíbrios cognitivos no aluno torna-se imprescindível para a
construção de conteúdos não só matemáticos, mas também das demais áreas do
conhecimento.
Alguns procedimentos didáticos adotados por alguns professores acabam contribuindo
para a constituição/formação de uma postura fechada (limitada) por parte do aluno. Esta visão
limitada refere-se à idéia de que existe uma única solução para o problema em questão; fato
este ‘irreal’, pois há variadas maneiras de se resolver um determinado problema. Vamos supor
que seja proposta a um aluno da 3ª série do Ensino Fundamental a solução da seguinte
situação problema
32
:
Resolver a multiplicação: (15 x 16), porém sem conhecer o algoritmo necessário para a
solução de multiplicação com ‘dois’ algarismos no multiplicador. Ao aluno que possui uma
visão flexível, este problema pode ser solucionado decompondo
33
o número 16 em (8
unidades + 8 unidades) e, assim, multiplicar cada uma dessas 8 unidades ‘por’ 15. Depois
de obtidos os dois valores, somam-se os mesmos, tendo em vista que o aluno já saiba o
algoritmo de multiplicações com “um” algarismo no multiplicador.
31
Esta questão da flexibilidade e autonomia refere-se às características decorrentes da dinâmica de grupo,
conforme apontado no capítulo anterior.
32
A referida situação problema é de autoria própria, tendo sido aplicada em pesquisa realizada no ano de 2006
com alunos de 3ª e 4ª séries do Ensino Fundamental.
33
Observe que existem n possibilidades para decompor o número 16; assim, existem n possibilidades para a
solução do problema proposto.
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Percebe-se neste exemplo que a flexibilidade de pensamento permite ao aluno recorrer
a conhecimentos anteriores (estruturas cognitivas já elaboradas). Ao estudante que não possui
tal postura (pois não lhe foram propiciados situações didáticas para tal), a solução do exemplo
acima torna-se impossível, pelo fato do mesmo acreditar em um único modo para solucionar o
referido problema.
Uma grande parte dos professores não incorpora estas concepções em seus
encaminhamentos didáticos e metodológicos, pois situações como acima desencadeiam um
fato comum, porém inconcebível para muitos:
o erro
. Ao encarar o erro como negativo, os
docentes não permitem que os alunos pensem e reflitam sobre o objeto do conhecimento (ou
seja, acerca da própria aprendizagem).
Dockrell & Mcshane (1992) apontaram que é natural o erro cometido pelas crianças
quando as mesmas se encontram no momento de construção de seus conhecimentos; porém,
alertaram que os erros não superados acarretam prejuízos à aprendizagem posterior.
Relacionando o erro observado no ensino de questões aritméticas das quatro primeiras
séries do Ensino Fundamental, faz-se oportuno ressaltar as considerações dos referidos
autores:
Dentre os procedimentos incorretos utilizados pelas crianças, podem ser
citados: tirar de zero para subtrair um número mais alto de um mais baixo,
mas sem tirar da coluna à esquerda do zero; tirar o dígito mais abaixo do
mais alto, sem se preocupar com o que está em cima; tirar de zero sem seguir
tirando a menos que zero seja parte de um dez situado à esquerda do número
de cima; escrever como resposta o dígito de baixo de uma coluna quando
seria o dígito de cima. (BROW & BURTON apud DOCKRELL &
MCSHANE, 1992)
Assim, verifica-se que o erro representa uma variável necessária e esperada enquanto o
aluno constrói seu conhecimento, sendo o professor o responsável por promover estratégias
didáticas que auxiliem o estudante a superá-lo (equilibrá-lo).
As discussões ‘finais’ fazem referência às pesquisas acerca das estruturas de
pensamento (aditiva e multiplicativa).
Morgado (1993) constatou que a construção das operações de multiplicação e divisão
deveria somente ser introduzida após a consolidação da aprendizagem das operações de
adição e subtração (ou seja, das estruturas aditivas) e do sistema de base dez (que em nosso
caso é denominado de indo-arábico
34
). Observou, ainda, as estratégias utilizadas pelos
34
O sistema de numeração indo-arábico é constituído por 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 que operam
segundo lógica posicional, ou seja, a posição ocupada pelo algarismo ‘valor qualitativo’ é que determina seu
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estudantes na solução oral da divisão e multiplicação, assim como as dificuldades mais
comuns vivenciadas e enfrentadas por estes.
Em se tratando da multiplicação, as estratégias observadas foram: adição repetida –
que consiste em somar ao multiplicando o número de vezes indicadas pelo multiplicador:
(4x3=4+4+4=12); e produto cartesiano – que representa a compreensão da operação de
multiplicação, na qual a criança encontra o produto de duas quantidades, sem reduzir
nenhuma delas a um operador.
Já para a divisão havia duas estratégias que também podem ser comparadas às da
multiplicação. Em um primeiro momento, o sujeito utilizou a subtração repetida, ou seja,
subtraiu do dividendo o número de vezes indicado pelo divisor (20 : 5 = 20 – 5 = 15 – 5 = 10
– 5 = 5 – 5 = 0; logo foram 4 porque utilizaram-se 4 subtrações). A segunda estratégia tratou
da repartição de quantidades, ou seja, constatar o número de vezes que o divisor foi contido
pelo dividendo.
Guimarães (2004) fez uma exposição acerca das dificuldades dos alunos com relação à
multiplicação e divisão, corroborando com o estudo de Morgado (1993):
I. Dificuldades na generalização de números com mais de um dígito, das
propriedades destas operações;
II. Dificuldades na execução da multiplicação com dois ou mais algarismos
no multiplicador ou no multiplicando;
III. Dificuldades na execução da divisão com dois ou mais algarismos no
divisor ou no dividendo. (GUIMARÃES, 2004, p. 49)
Além destas dificuldades, faz-se relevante estabelecer duas variáveis que interferem na
efetiva aprendizagem de situações problemas que envolvem estruturas aditivas e
multiplicativas. A primeira refere-se à questão semântica; já a outra ao aspecto
epistemológica/conceitual. Ressaltar somente esta última constitui uma falha, pois a
linguagem é um dos meios que permite ao sujeito estabelecer interação com o meio. A seguir,
inicia-se a abordagem de pesquisas sobre a primeira variável.
Muitos autores (POZO, 1992; DE CORTE e VERSCHAFFEL, 1997; ALVES, 1999)
evidenciaram a importância do enunciado verbal no momento da solução de problemas (neste
caso de estrutura aditiva e multiplicativa). Estes pesquisadores compreenderam que a co-
relação entre a compreensão e o conceito matemático era fundamental para que o aluno se
tornasse um efetivo solucionador de problemas.
valor ‘quantitativo’. Assim, por exemplo, nos números 100 e 1, o algarismo 1 equivale 100 unidades no primeiro
caso e no segundo caso o mesmo algarismo equivale uma unidade.
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Brito (2000) evidenciou o valor e o papel das habilidades verbais e matemáticas para a
solução de problemas. As primeiras referiram-se à compreensão do enredo da situação
problema; já a segunda contemplou o arcabouço lógico das relações a serem estabelecidas
pelos estudantes durante a compreensão da estrutura do problema.
Alves (1999) complementou o exposto acima, dizendo:
(...) na solução de problemas matemáticos, após a compreensão do
enunciado verbal o sujeito elabora uma representação da situação analisada.
Um dos fatores responsáveis pela representação correta de um problema é a
leitura correta de seu enunciado. (ALVES, 1999, p. 9)
Calsa (1999) evidenciou uma melhora significativa dos alunos com relação à solução
de problemas aritméticos após intervenção psicopedagógica
35
que preconizava o enunciado
verbal e concepções ‘didáticas’ transpostas da Epistemologia Genética de Piaget. Os
problemas selecionados para a intervenção envolveram isomorfismo de medidas,
correspondência de um para muitos e co-variação de variáveis, repetição de medidas e grupos
múltiplos. Os alunos (cinco crianças da 4ª série do Ensino Fundamental) utilizaram formas de
representação por meio de material concreto, de desenhos e dos algoritmos. Os resultados
mostraram modificações na utilização de estratégias de solução de problemas acarretando
uma maior quantidade de acertos. A autora concluiu que os algoritmos escolares eram
utilizados pelas crianças sem que elas tivessem
entendido/compreendido
, e que, após a
intervenção psicopedagógica, os algoritmos passaram a ser representados de forma mais
adequada e entendível.
Outra pesquisa que evidenciou a importância do enunciado verbal (sua compreensão)
para a solução de problemas matemáticos foi realizada por Rabelo (1995). Este autor
apresentou um trabalho de produção e interpretação de textos matemáticos com alunos de
primeira a quarta séries do Ensino Fundamental durante quatro anos. Para a realização deste
estudo foi necessário criar um ambiente escolar favorável à construção da competência na
interpretação, leitura e produção de vários tipos de textos. A Matemática passou a ser
encarada sob nova ótica, ou seja, por meio de textos matemáticos envolvendo história da
Matemática, curiosidades Matemáticas, personalidades e pensadores da Matemática, dentre
outros. Constatou-se que a experiência vivenciada com os textos matemáticos possibilitou o
avanço com relação à solução de situações problemas.
35
Intervenção psicopedagógica refere-se a procedimentos didáticos e metodológicos embasados em concepções
da psicologia, nesse caso à cognitiva - de vertente Piagetiana.
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Antes de ressaltar o outro tipo de variável, faz-se necessário salientar que a
importância do enunciado verbal, de modo algum, implica na exclusiva utilização da
linguagem à construção de estruturas de pensamento (pelo menos aos alunos do estágio
operatório-concreto). Os autores citados reconhecem que, para os estudantes solucionarem os
problemas, é necessário também um ambiente estimulante e desafiador. Este ambiente é
constituído de estratégias didáticas na qual a interação (aluno-aluno, aluno-professor, aluno-
consigo mesmo) ocorra conjuntamente com a experiência física e lógico-matemática (ou seja,
ação/manipulação – inicialmente concreta ‘caminhando’ ao ‘abstrato’).
Sobre a variável epistemológica/conceitual que interfere na solução de problemas de
estruturas aditivas, Taxa (2001) ressaltou:
Outro conjunto de fatores tem sido estudado, os quais parecem influenciar de
maneira dependente na decisão do sujeito em tarefas de solução de
problemas. São eles: a) os modelos intuitivos que o sujeito possui de cada
operação; b) os tipos de números, especialmente as diferenças entre realizar
problemas com números naturais ou números decimais; c) a estrutura
semântica do problema; d) as preferências numéricas com relação ao
tamanho dos números. (TAXA, 2001, p. 68, grifos da autora)
A seguir são apresentadas estas variáveis conceitual/epistemológicas, sendo realizada
breve discussão a respeito de cada:
1.
Operação unitária.
2.
Operação binária.
3.
Posição da incógnita.
4.
Problemas de razão, combinação, comparação e conversão.
5.
Utilização de números racionais
36
e inteiros
37
.
Em relação aos dois primeiros itens, é necessário estabelecer comentário prévio que
permita um maior entendimento. A operação binária pode ser entendida como uma aplicação
que envolve dois conjuntos obtendo como resultado um terceiro. Sob esta ótica, tal operação
pode ser representada abaixo:
36
Entende-se por racional o número que pode ser escrito através da forma (fracionária)
b
a
, em que a e b
pertencem aos conjuntos dos números inteiros, sendo b
≠
0.
37
O conjunto dos números inteiros pode ser expresso por: Z: {... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Fazendo um ‘abuso’ da
linguagem utilizada pelo senso comum, pode-se dizer que os números inteiros são os “números naturais de sinal
positivo e negativo”. Este termo “inteiro” refere-se ao fato dos mesmos não serem divididos em partes menores,
como ocorre com os racionais acima mencionados.
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N x N → N
Outro modo de conceber a operação de multiplicação refere-se à ‘interpretação’
unitária. Cito Taxa (2001, p. 61): “Podemos, no entanto, interpretá-la como uma operação
unitária quando os dois números da operação têm papéis distintos, como expressado por”:
x 3
N → N
5 → 15
Os papéis distintos citados por Taxa (2001) referem-se aos exemplos concretos
adotados no momento de problematizar situações que abordem a operação de multiplicação.
Da figura acima podemos elaborar a seguinte situação: “No armário há 5 caixas. Sabe-se que
em cada caixa existem 3 blusas. Qual a quantidade total de blusas contidas nas 5 caixas?”.
É justamente nessa dupla ‘interpretação’ (binária e unitária) que se ‘instalam’ as
dificuldades de ordem conceitual em relação à aprendizagem/construção da estrutura
multiplicativa. Matematicamente, a definição correta de multiplicação é a definida pela
operação binária; porém, em um ‘olhar’ pedagógico, é na operação unitária que o sujeito
estabelece primeiro as noções de multiplicação. Tal fator ocorre, pois o entendimento de par
ordenado pelos estudantes torna-se um grande esforço cognitivo por se tratar de pensamento
abstrato do período das operações formais.
Em relação à posição da incógnita
38
, estudos de Vergnaud (1991), Maza (1991, 1995),
bem como os de Busquets (1997), evidenciaram que a posição da incógnita interfere no êxito
ou insucesso dos alunos à solução de problemas de estruturas multiplicativas. Os referidos
autores apontaram também que as operações de estruturas aditivas são mais ‘fáceis’, no que
diz respeito à construção cognitiva, tendo em vista que sua estrutura apresenta menos relações
que a da multiplicação. Este aspecto já fora salientado no item anterior, onde o próprio Piaget
abordou que a estrutura multiplicativa apresenta ‘mais’ características que a aditiva; logo,
estes pesquisadores validaram o exposto pela teoria piagetiana.
Como mostrado anteriormente – item 4. – os problemas multiplicativos podem ser
classificados em quatro categorias. Estas, por sua vez, ao se relacionarem com o conceito de
38
Incógnita, conforme o dicionário HOUAISS: “1. Grandeza a ser determinada na solução de uma equação, de
um problema [símb.: x]; 2. Aquilo que se desconhece e se busca saber”. Fonte:
http://houaiss.uol.com.br/busca.jhtm?verbete=inc%F3gnita&stype=k, <Acessado em 28/07/08>.
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operação unitária e binária, acarretam dificuldades de ordem conceitual no momento do
processo de aprendizagem. Maza (1991) caracterizou tais categorias em estudo realizado.
Observe o esboço das mesmas:
Os problemas de razão – são aqueles que apresentam uma quantidade de elementos, por
exemplo, 3 vasos, envolvendo uma razão entre duas quantidades, como R$ 5,00 por vaso.
Nesse tipo de problema, as quantidades de uma magnitude podem ser denominadas
“quantidades extensivas” (E) e “quantidades intensivas” (I), quando estas se referem à razão
de uma quantidade em função da unidade de outra magnitude. Esta relação pode ser mais bem
entendida quando se dispõe de uma quantidade inicial que vai se modificando na medida em
que se repete um determinado número de vezes. Nos problemas de razão, a estratégia de
solução está relacionada ao fato de se repetir a quantidade intensiva segundo o número da
quantidade extensiva. Os problemas do tipo razão referem-se a um modelo de operação
unitária da multiplicação podendo ser expressos por: “E x I = E”; ou, “valor (5,00) x número
de vasos (3) = valor (15,00)”.
Os problemas de combinação – são aqueles que levam à combinação dos elementos de cada
um dos conjuntos dos dados iniciais apresentados na situação problema. Os problemas do tipo
combinação não são, à primeira vista, tais como os de razão, tão ‘facilmente’ resolvidos por
somas repetidas, pois requerem a noção da operação combinatória. No caso dos problemas do
tipo combinação, a estrutura pode ser expressa por “E x E = E”, o que significa que, ao
dispormos duas quantidades iniciais, ambas devem ser consideradas simultaneamente para
que se consiga resolver o problema. Neste caso, a multiplicação é concebida como uma
operação binária. Por exemplo: “Suponham que existam 3 saias e 4 blusas. Quantas maneiras
diferentes posso combinar estas roupas?”. Para solucionar esta situação, o aluno não pode
recorrer à idéia de soma repetida; deve considerar as 3 saias e 4 blusas em sucessivos pares.
Ou seja, deve combinar a 1ª saia com as 4 blusas, obtendo 4 maneiras de se vestir; depois
combinar a 2ª saia com as 4 blusas e, por último combinar a 3ª saia com as 4 blusas.
Os problemas de comparação – a estrutura dos problemas de comparação refere-se à
repetição da quantidade extensiva segundo o número da quantidade intensiva, o que pode ser
expresso por “E x I = E”. Tal como descrito acima, esta estrutura mantém similaridades com a
estrutura dos problemas do tipo razão. A seguinte situação problema expressa o tipo de
problema de comparação: “Um carrinho de brinquedo custa R$ 10,00; um outro de controle
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remoto custa 5 vezes mais que o primeiro. Quanto precisaria pagar para comprar o segundo
brinquedo?”. Nesta situação, o número 5 representa quanto o carrinho de controle remoto é
‘superior’ ao carrinho ‘normal. O que os diferencia dos problemas de razão é o fato dos
mesmos apresentarem um termo comparativo denominado de “quantificador”. E é justamente
este termo comparativo que representa uma dificuldade conceitual aos alunos. Sobre isso,
Taxa (2001, p. 63) expõe: “Isto merece estudos aprofundados para se verificar o grau de
complexidade da solução e a própria compreensão do problema”.
Os problemas de conversão – são aqueles que apresentam questões físicas de conversão de
medidas; geralmente são trabalhadas somente nas séries mais avançadas do Ensino
Fundamental e no Ensino Médio. Os problemas de conversão, porém, também podem ser
solucionados por somas repetidas, o que confirma ser essa a estratégia mais freqüente e ao
alcance dos alunos para solucionar problemas de estrutura multiplicativa.
Relacionando os problemas de razão e combinação, Taxa (2001) expôs:
Os problemas de razão são mais simples de resolver que os de combinação,
em função da estrutura conceitual implícita nestes últimos. Aqueles
primeiros guardam, ainda, similaridades estruturais com os problemas do
tipo comparação. Para que os alunos consigam uma unificação conceitual da
multiplicação, é preciso que se estabeleça na prática pedagógica dos
professores um entrelaçamento didático entre os tipos de problemas
multiplicativos, possibilitando aos alunos a descoberta de que as diferentes
formas de solucionar um problema desta natureza correspondem, ao final, a
uma solução ligada à operação da multiplicação. (TAXA, 2001, p. 63)
O item 5. (Utilização de números racionais e inteiros) tornou-se alvo de pesquisa de
muitos estudiosos. Observou-se que a solução de problemas envolvendo números racionais
apresentava mais erros quando comparada aos que possuíam a mesma situação, só que
utilizando números naturais ou inteiros. Em estudo realizado por Fischbein et al. (1985); Bell
(1989) e Greer (1992) verificou-se que os estudantes do Ensino Médio optavam por utilizar a
operação: multiplicação ou divisão dependendo do tipo de número que compunha o
problema. Ou seja, no caso em que os problemas utilizavam números decimais era comum os
estudantes optarem pela divisão, mesmo não sendo esta a operação necessária para solucionar
o problema. Já no caso em que os problemas eram compostos por números inteiros ou
naturais, os estudantes escolheram a operação correta: a multiplicação.
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Tais escolhas utilizadas pelos sujeitos eram devidas à idéia intuitiva de que os
números decimais deveriam resultar em um número ainda menor, por isso utilizavam a
operação de divisão. Taxa (2001), ao analisar os estudos dos autores acima, citou o seguinte:
Estes resultados permitiram a elaboração da hipótese de que os alunos têm
crenças prévias quando enfrentam situações que envolvem números
decimais, como é o caso de acreditar que a multiplicação é uma operação
que produz sempre um resultado maior que qualquer um dos dois fatores da
operação ou ainda, que a divisão sempre produz um número menor e só é
possível quando o dividendo é maior que o divisor. (TAXA, 2001, p. 68)
A mesma autora complementou a idéia argumentando que os conceitos prévios dos
alunos foram detalhadamente analisados por Fischbein (1985). Tais conceitos são
denominados pelos termos: “modelos intuitivos ou implícitos”. Conforme Maza (1991), os
modelos construídos pelos alunos em solução de problemas estão ligados ao fato de que:
Cada operação fundamental de aritmética fica ligada a um implícito,
inconsciente e primitivo modelo intuitivo. A identificação da operação
necessária para resolver um problema com dois dados numéricos tem lugar
não diretamente; e sim mediatizado pelo modelo. O modelo impõe suas
próprias restrições no processo de busca. (MAZA, 1991, p. 43)
Assim, torna-se trivial encontrar em grande parte dos estudantes a idéia intuitiva de
que multiplicação seja “soma repetida”, e por este fato a observância da dificuldade
conceitual quando deparam-se com situações problemas em que a idéia de “somas repetidas”
não seja suficiente para atingir a solução do problema.
Estabelecendo um paralelo ao aspecto pedagógico do ensino da multiplicação, faz-se
interessante citar as contribuições de Taxa (2001):
Acredita-se, no caso das aprendizagens escolares sobre solução de
problemas de multiplicação, que a construção desta operação não se encerra
somente segundo os conceitos prévios dos alunos por meio dos modelos
intuitivos, conforme defendido por Fischbein e outros (1985) a respeito das
somas repetidas. A ênfase de tal modelo no processo de aprendizagem
implicaria restrições na construção da operação de multiplicação dos alunos,
uma vez que estes iniciam a compreensão da multiplicação pela ótica do
conjunto numérico dos naturais, mas passa também pela ótica dos números
decimais. (TAXA, 2001, p. 70)
O trabalho de Caetano (2006, 2007) tratou de uma utilização do construtivismo
piagetiano, bem como da análise acerca de algumas das concepções de vinte professores sobre
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o ensino de Matemática.
A presente pesquisa verificou a construção das estruturas
multiplicativas em 20 alunos de 3ª e 4ª séries do Ensino Fundamental, utilizando a
metodologia de solução de problemas. Inicialmente realizou-se uma prova (de lápis e papel),
contendo problemas de estruturas multiplicativas, com 120 alunos (60 pertencentes a cada
série) para identificar os 20 menores desempenhos quantitativos. Após 5 intervenções
psicopedagógicas
39
– encontros mediados pelo pesquisador (onde os 20 alunos foram
divididos em 2 equipes) com atividades problematizadoras focando o tema “alimentação
saudável” – observou-se melhora significativa dos participantes em relação à construção das
estruturas multiplicativas, assim como das aditivas e interpretativas. Também foram
entrevistados 20 professores (de 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental) atuantes na escola
analisada, cujo objetivo consistiu em analisar concepções didático-metodológicas correlatas
ao ensino da Matemática. Os resultados revelaram uma forte resistência à
implantação/incorporação da teoria de aprendizagem construtivista, sendo observadas
“fortemente” concepções de ensino e aprendizagem tradicionais.
As pesquisas denotadas acima evidenciaram a importância da teoria de Piaget para a
Educação. Como argumentado, foram apresentadas algumas dentre muitas existentes. O
importante foi ressaltar as múltiplas ‘utilizações’ educacionais decorrentes da Epistemologia
Genética. É fato que, limites provenientes desta teoria decorrem, pois Piaget não a formulou à
Educação. Em síntese, as argumentações a seguir expõem as idéias centrais desenvolvidas
neste capítulo teórico:
1. A teoria de Piaget apresenta proposições coerentes com a filosofia construtivista; este fato
colabora com a constituição de uma Educação que propicie ao aluno construir seu
conhecimento.
2. A Epistemologia Genética auxilia o docente na proposição de estratégias didáticas que
desafiem o aluno, visando assim, a construção de conhecimentos.
3. O construtivismo piagetiano contribui para a contínua reflexão do professor sobre a sua
prática pedagógica, auxiliando-o na re-dimensão e re-discussão de suas ações.
39
Durante as intervenções psicopedagógicas foram tomados os seguintes cuidados: a ocorrência da experiência
(física e lógico-matemática) através da manipulação em materiais concretos para que os alunos representassem
no plano material as situações problemas expressas pela linguagem; a constante troca de idéias entre os alunos
objetivando a ocorrência do processo de descentralização; o questionamento do pesquisador visando
desequilibrá-los, desafiá-los, para que, assim, ‘ativassem’ seus esquemas de assimilação, permitindo-lhes
acomodar os novos conteúdos em questão.
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4. Uma considerável parcela de professores diz utilizar as teorias educacionais, porém, ainda
desenvolvem suas aulas mediante idéias provenientes do senso comum ou da intuição. Este
fator, seja proveniente do desconhecimento ou de posições diferentes adotadas, implica no
descrédito com relação às teorias educacionais – em nosso caso, a de Piaget.
5. A teoria de Piaget vem sendo utilizada, pela grande maioria dos professores, de modo
superficial, difuso e fragmentado.
6. A interação – um dos fatores do desenvolvimento cognitivo – representa uma importante
variável a ser contemplada em sala de aula.
7. O erro deve ser encarado como uma das fases da construção de conhecimento pelo aluno,
não sendo, portanto, algo ruim e que precisa ser abolido, mas sim superado (assimilado-
acomodado).
8. Na aprendizagem das estruturas aditivas e multiplicativas o professor deve atentar-se aos
aspectos semânticos e epistemológicos. O primeiro relaciona-se com a linguagem; já o
segundo diz respeito aos modelos psicológicos construídos pelos estudantes ao interagirem
com problemas matemáticos.
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APÍTULO
3
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OCENTE:
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IVERSOS
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ABERES
As mais sublimes idéias são de pouco valor em educação se
não puderem ser traduzidas em linguagem cotidiana nas
atividades de sala de aula (...). (FURTH e WACHS, 1995, p.
70)
Como exposto na Introdução, a presente dissertação objetiva-se pela investigação do
‘retorno parcial e indireto’ das idéias construtivistas que servem de fundamentação às
estratégias didáticas adotadas pelos professores que ensinam Matemática. Por ser a postura
didática um dos saberes constituintes da prática docente, então, faz-se necessário discorrer
sobre a mesma. Assim, ao propiciar um olhar mais aprofundado acerca dos saberes
constituintes desta prática, é possível perceber como tais saberes ‘influenciam’ a posição
didática adotada pelos professores. Sobre a questão da atuação didática do docente, Tardif
(2002) expõe:
Quer queira quer não, todo professor, ao escolher ou privilegiar
determinados procedimentos para atingir seus objetivos em relação aos
alunos, assume uma pedagogia, ou seja, uma teoria de ensino-aprendizagem.
Assim como não existe trabalho sem técnica, também não existe processo de
ensino-aprendizagem sem pedagogia, embora se manifeste com freqüência
uma pedagogia sem reflexão pedagógica. (p. 119, grifo nosso)
Logo, a opção pela análise dos procedimentos didáticos utilizados pelo professor é
devida à possibilidade de, a partir destes, abstrair qual(is) teoria(s) de ensino-aprendizagem é
(são) utilizada(s); e, desta forma, verificar a adoção (ou não) dos conceitos que constituem a
teoria piagetiana.
De maneira geral, pode-se definir a prática docente como o trabalho realizado durante
a interação professor e aluno. Porém, para a ocorrência desta prática, são necessários alguns
saberes. Estes saberes, que segundo Tardif (2002) constituem o saber docente, possibilitam a
ação do professor, bem como, são responsáveis por influenciar a prática docente.
Ao utilizar o termo prática, a primeira analogia possível de ser feita refere-se à palavra
ação/fazer. Como esta prática é específica a um ramo da esfera social, a Educação, então, a
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mesma deve (ou deveria) estabelecer íntima relação com a teoria. Afirma-se isso pois, uma
Educação sem fundamentação teórica constitui uma prática sem justificação ‘objetiva’ dos
objetivos a cumprir: a formação de indivíduos críticos, criativos e que permitam a
continuidade (e progressivo ‘melhoramento’) da sociedade.
A respeito da estreita relação entre teoria e prática, Lima (1973) argumenta:
Não há uma antinomia entre o prático (fazer) e o teórico (refletir), mas
feedback nas duas direções. A prática se torna coerente pela teorização. A
teoria se torna vivencial pela prática.
O prático é o teórico na ordem da realização. O teórico é o prático no plano
da reflexão. Teórico é uma prática interior, e a prática é uma teoria em ação,
se a atividade não se aliena da consciência e a teoria não se alienou da
realidade. (LIMA, 1973, p. 574)
Mas, será que os professores pensam deste modo, ou seja, sobre a necessária
recorrência à teoria para a realização da prática e dos imprescindíveis ‘achados’ da prática
para a rediscussão da teoria, constituindo assim uma efetiva práxis
40
? A revisão de literatura
(PACHECO, 1995; TARDIF, 2002, RAPOPORT e SILVA, 2006; GEBARA e MARIN,
2005) mostra-nos que grande parte dos professores não está consciente da realização desta
práxis.
Tardif (2002), ao investigar a formação e a prática docente, definiu o que ele mesmo
denominou de epistemologia da prática profissional. Sobre isto, argumenta:
A finalidade de uma epistemologia da prática profissional é revelar esses
saberes, compreender como são integrados concretamente nas tarefas dos
profissionais e como estes o incorporam, produzem, utilizam, aplicam e
transformam em função dos limites e dos recursos inerentes às suas
atividades de trabalho. Ela também visa compreender a natureza desses
saberes, assim como o papel que desempenham tanto no processo de
trabalho docente quanto em relação à identidade profissional dos
professores. (TARDIF, 2002, p. 256, grifo nosso)
Como já discutido, a Epistemologia é uma ciência que visa compreender como ocorre
a construção do conhecimento. Utilizado – este termo – na prática profissional docente, o que
se pretende é estabelecer o modo como acontece a construção dos saberes que permitem ao
professor agir em sala de aula e na esfera escolar. Deste modo, uma Epistemologia da prática
docente pretende identificar como são incorporados, utilizados e construídos os saberes que
40
“Práxis (leia-se prácsis), do grego πράξις, é o processo pelo qual uma teoria, lição ou habilidade é executada
ou praticada, se convertendo em parte da experiência vivida. Na Sociologia pode ser resumida como as
atividades materiais e intelectuais exercidas pelo homem que contribuem à transformação da realidade social”.
Retirado do site: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A1xis>. Acessado em 21/07/08.
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constituem o saber docente ao longo da carreira profissional. Logo, a elaboração desta
Epistemologia se fez pertinente para a definição destes saberes.
Assim, os saberes que constituem a prática docente (ou seja, que formam o saber
docente) apresentam-se abaixo:
Pode-se definir o saber docente como um saber plural, formado pelo
amálgama, mais ou menos coerente, de saberes oriundos da formação
profissional e de saberes disciplinares, curriculares e experienciais.
(TARDIF, 2002, p. 36, grifo nosso)
Os termos sublinhados acima – formação profissional, disciplinares, curriculares e
experienciais – representam os saberes constituintes do saber docente, que permite ao
professor agir em sua prática pedagógica. Em outra citação, este mesmo autor explicita o
saber docente como:
Noutras palavras, o saber dos professores não é um conjunto de conteúdos
cognitivos definidos de uma vez por todas, mas um processo em construção
ao longo de uma carreira profissional na qual o professor aprende
progressivamente a dominar seu ambiente de trabalho, ao mesmo tempo em
que se insere nele e o interioriza por meio de regras de ação que se tornam
parte integrante de sua “consciência prática”. (TARDIF, 2002, p. 14)
Estabelecendo um paralelo com a teoria piagetiana, assim como a construção de
conhecimento não é um acúmulo/justaposição de estruturas e sim uma reorganização, a
construção do saber docente se faz pela constante reinterpretação dos saberes (formação
profissional, disciplinares, curriculares e experienciais) proveniente da organização cognitiva
realizada pelo professor, sendo esta possível graças à ação efetiva no dia-a-dia escolar.
Complementando o já exposto:
O saber docente se compõe, na realidade, de vários saberes provenientes de
diferentes fontes. Esses saberes são os saberes disciplinares, curriculares,
profissionais (incluindo os da ciência da educação e da pedagogia) e
experienciais. (TARDIF, 2002, p. 33, grifos do autor)
Antes de especificar cada saber, faz-se oportuno conhecer as idéias de Pacheco (1995)
sobre este assunto. Embora esse autor utilize outros termos, é possível perceber uma estreita
relação com os saberes apontados por Tardif (2002).
Ao invés de definir saber docente, Pacheco (1995) faz uso da expressão conhecimento
base, observe:
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Por mais que o ensino seja trivializado e desvalorizado, existe de qualquer
modo um conhecimento base que o professor utiliza e que requer uma
adequada formação nestes três componentes fundamentais: um conteúdo ao
nível das disciplinas acadêmicas; um processo de ensino ao nível das
destrezas didáticas; uma credibilidade intuitiva no contexto de ensino.
(PACHECO, 1995, p. 14-15, grifo nosso)
Corroborando com a idéia acima, argumenta ainda:
Todos os conhecimentos ou saberes que fazem parte do conhecimento
profissional do professor são fruto de uma aprendizagem formal e informal,
adquirida ao nível de várias fontes. Shulman enumera as seguintes:
a) Conhecimento acadêmico dos conteúdos das disciplinas.
b) Estruturas e materiais educativos.
c) Conhecimento acadêmico de educação formal.
d) Sabedoria (no sentido do senso comum) da prática. (PACHECO, 1995, p.
31-33, grifos do autor)
Ao comparar os saberes sugeridos por Tardif com os de Pacheco, é possível o
estabelecimento das seguintes relações, conforme denotadas no quadro – de nossa autoria –
abaixo:
‘Saberes de Tardif’ ‘Saberes de Pacheco’
1. Formação Profissional. Conhecimento acadêmico de educação formal.
2. Disciplinares.
Conhecimento acadêmico dos conteúdos das
disciplinas.
3. Curriculares. Estruturas e materiais educativos.
4. Experienciais. Sabedoria (no sentido do senso comum) da prática.
Quadro 6 – Relação entre Saberes: TARDIF e PACHECO.
As apresentações que seguem, definindo os saberes propostos por Tardif (2002),
ajudam na melhor compreensão do porquê das relações sugeridas no quadro acima.
Sobre os saberes da formação profissional, pode-se dizer que são aqueles adquiridos
durante a formação universitária (ou nas escolas normais). Dividem-se em: Ciências da
Educação e pedagógicos. A respeito do primeiro:
Pode-se chamar de saberes profissionais o conjunto de saberes transmitidos
pelas instituições de formação de professores (escolas normais ou faculdades
de ciências da educação). O professor e o ensino constituem objeto de saber
para as ciências da educação. Ora, essas ciências, ou pelo menos algumas
dentre elas, não se limitam a produzir conhecimentos, mas procuram
também incorporá-los à prática dos professores. Nessa perspectiva, esses
conhecimentos se transformam em saberes destinados à formação científica
ou erudita dos professores, e, caso sejam incorporados à prática docente, esta
pode transformar-se em prática científica, em tecnologia de aprendizagem.
(TARDIF, 2002, p. 36-37)
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Decorre desta citação que os saberes da Ciência da Educação são oriundos da análise
sobre o professor e o processo de ensino (aprendizagem). Entre vários, podem-se citar:
Psicologia da Aprendizagem e do Desenvolvimento; Sociologia, Filosofia, História (-da
Educação), Didática, Metodologia de Ensino.
Com relação aos saberes pedagógicos, a fala a seguir torna-se pertinente:
Os saberes pedagógicos apresentam-se como doutrinas ou concepções
provenientes de reflexões sobre a prática educativa no sentido amplo do
termo, reflexões racionalistas e normativas que conduzem a sistemas mais ou
menos coerentes de representação e de orientação da atividade educativa. É
o caso, por exemplo, das doutrinas pedagógicas centradas na ideologia da
“escola nova”. (TARDIF, 2002, p. 37)
Como a constituição dos saberes pedagógicos, ou seja, das doutrinas e concepções
pedagógicas, valem-se das Ciências da Educação, então, é possível estabelecer uma íntima
relação entre os mesmos. Sobre isso:
Os saberes pedagógicos articulam-se com as ciências da educação (e,
freqüentemente, é até mesmo bastante difícil distingui-los), na medida em
que eles tentam, de modo cada vez mais sistemático, integrar os resultados
da pesquisa às concepções que propõem, a fim de legitimá-las
“cientificamente”. Por exemplo, a pedagogia chamada de “ativa” apoiou-se
na psicologia da aprendizagem e do desenvolvimento para justificar suas
asserções normativas. (TARDIF, 2002, p. 37)
O segundo tipo de saber, os disciplinares, refere-se aos conhecimentos sistematizados
que não pertencem aos das Ciências da Educação. São eles: Matemática, Física, Química,
Biologia, Literatura etc. A respeito dos mesmos, Tardif (2002) salienta:
São saberes que correspondem aos diversos campos do conhecimento, aos
saberes dos quais dispõe a nossa sociedade, tais como se encontram hoje
integrados nas universidades, sob a forma de disciplinas, no interior de
faculdades e de cursos distintos. Os saberes disciplinares (por exemplo,
matemática, história, literatura, etc.) são transmitidos nos cursos e
departamentos universitários independentemente das faculdades de educação
e dos cursos de formação de professores. (TARDIF, 2002, p. 38)
Faz-se oportuno salientar que os dois primeiros saberes discutidos são oriundos da
Educação formal (inicial e contínua do professor). Já o próximo saber, curricular, não advém
da Educação formal, mas sim da instituição escolar. Observe:
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(...) correspondem aos discursos, objetivos, conteúdos e métodos a partir dos
quais a instituição escolar categoriza e apresenta os saberes sociais por ela
definidos e selecionados como modelos da cultura erudita e de formação
para a cultura erudita. Apresentam-se concretamente sob a forma de
programas escolares (objetivos, conteúdos, métodos) que os professores
devem aprender a aplicar. (TARDIF, 2002, p. 38)
Embora os curriculares ‘formem-se’ na esfera escolar, a sua constituição deve-se, em
grande parte, aos outros dois saberes já expostos. Este fato é devido pois, ao propor os
programas escolares, os professores precisam conhecer: o conteúdo das disciplinas (ou seja,
os disciplinares); o modo como os alunos aprendem (isto é, saber, por exemplo, as teorias da
aprendizagem que fazem parte das Ciências da Educação); entre outros.
Já o último saber, o experiencial, como o próprio termo indica, provém das
experiências vividas pelo docente, antes, durante e depois da sua formação profissional. Neste
saber estão incluídas as experiências do professor: enquanto aluno (da Educação Básica e
universitária); de sua vida cotidiana; da própria vivência diária na escola. Tardif (2002)
expõe:
Finalmente, os próprios professores, no exercício de suas funções e na
prática de sua profissão, desenvolvem saberes específicos, baseados em seu
trabalho cotidiano e no conhecimento de seu meio. Esses saberes brotam da
experiência e são por ela validados. Eles incorporam-se à experiência
individual e coletiva sob a forma de habitus e de habilidades, de saber-fazer
e de saber-ser. Podemos chamá-los de saberes experienciais ou práticos.
(TARDIF, 2002, p. 38-39, grifos do autor)
Estes saberes não se encontram sistematizados em doutrinas ou teorias. São
saberes práticos (e não da prática: eles não se superpõem à prática para
melhor conhecê-la, mas se integram a ela e dela são partes constituintes
enquanto prática docente) e formam um conjunto de representações a partir
das quais os professores interpretam, compreendem e orientam sua profissão
e sua prática cotidiana em todas as suas dimensões. Eles constituem, por
assim dizer, a cultura docente em ação. (TARDIF, 2002, p. 49)
Ambas as citações deixam evidentes o significado dos saberes experienciais. Como
aponta Tardif, uma parcela dos professores atribui a este tipo de saber um maior status,
inferiorizando os demais. Podemos constatar isso quando algum docente diz: “A gente
aprende a dar aula na prática; quando você chega à escola e precisa encarar os alunos
percebe que a teoria não serviu muito!”. É fato que, um professor só realiza seu trabalho
como docente ao ministrar aulas, porém, a questão da prática deve ser vista como uma
oportunidade de enfrentamento dos outros saberes (formação profissional, disciplinar,
curricular), e não de negação.
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A respeito da relação do saber experiencial com os demais, Tardif (2002) pontua:
Os saberes experienciais adquirem também uma certa objetividade em sua
relação crítica com os saberes disciplinares, curriculares e da formação
profissional. A prática cotidiana da profissão não favorece apenas o
desenvolvimento de certezas “experienciais”, mas permite também uma
avaliação dos outros saberes, através da sua retradução em função das
condições limitadoras da experiência. Os professores não rejeitam os outros
saberes totalmente, pelo contrário, eles o incorporam à sua prática,
retraduzindo-os porém em categorias de seu próprio discurso. (...) A
experiência provoca, assim, um efeito de retomada crítica
(retroalimentação) dos saberes adquiridos antes ou fora da prática
profissional. Ela filtra e seleciona os outros saberes, permitindo assim aos
professores reverem seus saberes, julgá-los e avaliá-los e, portanto,
objetivarem um saber formado de todos os saberes retraduzidos e
submetidos ao processo de validação constituído pela prática cotidiana.
(TARDIF, 2002, p. 53, grifos do autor)
Estabelecendo paralelo com o Método Psicogenético, o ‘confronto’ entre o saber
experiencial e os demais se assemelha à variável tomada de consciência, ou seja, quando o
aluno compreende a ação que ocasionou o êxito na solução de uma situação problema. Assim,
o que se espera é que o professor retraduza, redirecione os outros saberes; não se esquecendo
de que, uma teoria sem prática é estéril (já que nada contribui ao homem) e uma prática sem
teoria é perigosa (por não possuir objetivos fundamentados em princípios éticos, morais e
científicos).
O quadro abaixo resume o exposto até o momento argumentado:
Saberes dos professores Fontes sociais de aquisição
Modos de integração no
trabalho docente
1. Saberes pessoais dos
professores.
A família, o ambiente de vida, a
educação no sentido lato, etc.
Pela história de vida e pela
socialização primária.
2. Saberes provenientes da
formação escolar anterior.
A escola primária e secundária,
os estudos pós-secundários não
especializados, etc.
Pela formação e socialização
pré-profissionais.
3. Saberes provenientes da
formação profissional para o
magistério.
Os estabelecimentos de
formação dos professores, os
estágios, os cursos de
reciclagem, etc.
Pela formação e pela
socialização profissionais nas
instituições de formação de
professores.
4. Saberes provenientes dos
programas e livros didáticos
usados no trabalho.
A utilização das “ferramentas”
dos professores: programas,
livros didáticos, cadernos de
exercícios, fichas, etc.
Pela utilização das
“ferramentas” de trabalho, sua
adaptação às tarefas.
5. Saberes provenientes de sua
própria experiência na profissão,
na sala de aula e na escola.
A prática do ofício na escola e
na sala de aula, a experiência
dos pares, etc.
Pela prática do trabalho e pela
socialização profissional.
Quadro 7 – Os saberes dos professores.
(TARDIF, 2002, p. 63)
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Evidencia-se do quadro acima que os itens 1. e 5. referem-se aos saberes
experienciais; 2. diz respeito aos disciplinares; 3. alude aos saberes da formação profissional e
4. faz referência aos curriculares.
Como bem sintetiza Tardif (2002):
Em suma, o professor ideal é alguém que deve conhecer sua matéria, sua
disciplina e seu programa, além de possuir certos conhecimentos relativos às
ciências da educação e à pedagogia e desenvolver um saber prático baseado
em sua experiência cotidiana com os alunos. (p. 39)
Retornando à questão das estratégias didáticas, foco central que suscitou a elaboração
deste tópico, pode-se concluir que a sua adoção não se deve à aplicação direta dos saberes da
formação profissional, disciplinar e curricular; mas sim, provém do ‘confronto’ destes com os
experienciais. Logo, definir o saber docente – a prática docente – através de suas constituintes
se faz válido pois, permite compreender a ‘aplicação’ indireta da Epistemologia Genética (sob
os aspectos didáticos) ao ensino de Matemática. Conforme já pontuou Piaget: “a Educação
não pode ser vista como uma Psicologia Aplicada, mas sim uma oportunidade do professor
retraduzir contribuições desta Ciência à sua prática docente!”.
Nesse sentido, Tardif (2002) expressa que a prática docente não deve ser:
(...) mais considerada simplesmente como sendo um objeto ou um campo de
pesquisa, mas um espaço de produção da competência profissional pelos
próprios professores. Desse ponto de vista, a produção de conhecimentos
não é somente um problema dos pesquisadores, mas também dos
professores. (p. 291)
Sendo o processo de construção de conhecimento interacionista, então, a construção
da Epistemologia da prática profissional deve provir da efetiva interação entre as pesquisas
acadêmicas e as experiências cotidianas de sala de aula. Ao analisar as estratégias didáticas
dos professores participantes, pretende-se esboçar como os mesmos estão realizando esta
interação, e, como a teoria de Piaget tem contribuído à mesma. Isto se deve por acreditar que
a teoria de Piaget tem muito a contribuir nesse todo multifacetado e complexo que é a
Educação.
Para ‘findar’ as discussões sobre a prática docente, torna-se oportuno analisar algumas
hipóteses a respeito da aprendizagem da mesma. O conhecimento de tais hipóteses auxilia na
compreensão em torno da constituição da Epistemologia da prática docente. Como apontado
por Tardif (2002) e Pacheco (1995), o professor utiliza vários saberes para a formação de sua
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prática pedagógica. Cochran-Smith e Lytle (1999) evidenciam três concepções que buscam
explicar como o professor aprende/incorpora os saberes que constituem a sua prática. O
quadro abaixo – de nossa autoria – apresenta as três concepções elaboradas por Cochran-
Smith e Lytle (1999):
Três Concepções sobre a Aprendizagem da Prática Docente:
1ª – Conhecimento para a prática:
admite que o professor aprenda os
saberes necessários à sua atuação
docente por meio das teorias
elaboradas pelos especialistas em
Educação. Também denominado
Conhecimento Formal.
2ª – Conhecimento em prática: faz
alusão ao conhecimento
denominado como prático, àquele
que o docente aprende ao
ministrar aula. Comumente
chamado de Conhecimento
Prático.
3ª – Conhecimento da prática:
refere-se ao conhecimento
produzido pelo professor quando o
mesmo interroga/investiga, através
de sua prática docente, os saberes
produzidos e propostos pelos
especialistas da Educação. Podem
ser denotados como Conhecimento
Local.
Quadro 8 – Três Concepções de Aprendizagem da Prática Docente.
Segundo Cochran-Smith e Lytle (1999), a primeira concepção – conhecimento da
prática – atribui ao professor o papel de aplicador das teorias elaboradas pelos especialistas
em Educação (ou seja, os pesquisadores universitários). Observa-se nesta um
‘distanciamento’ entre produção (teorização) e aplicação (investigação) do saber.
Sobre o conhecimento em prática é possível estabelecer um paralelo com os saberes
experienciais propostos por Tardif (2002). Neste tipo de aprendizagem o docente
adquire/aperfeiçoa seus saberes mediante a investigação/indagação daquilo que é feito pelos
professores experientes, e/ou, através das suas experiências pedagógicas. A relação com os
saberes experienciais é devida à importância atribuída à experiência concreta, ou seja, aos
resultados oriundos da prática pedagógica diária, em constante interação com os alunos.
Tanto a primeira como a segunda concepção assume determinada diferenciação entre a
produção das propostas educacionais e suas aplicações na esfera escolar. De um lado o
Conhecimento Formal, do outro o Prático, estabelecendo entre si certa dicotomia. A terceira
concepção – conhecimento da prática – busca minimizar essa dicotomia através de um
contínuo processo de reflexão/re-construção das teorias quando aplicadas na prática docente.
Como apontam Cochran-Smith e Lytle (1999), nesta concepção o professor é visto como um
co-construtor do seu conhecimento e do currículo que utiliza. Favoráveis a este tipo de
aprendizagem, ambas autoras salientam que tal proposição deve-se à impossibilidade de
separar a produção do conhecimento do sujeito envolvido, sendo o conhecimento visto como
uma “ação pedagógica”,
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construído no contexto de uso, intimamente ligado ao sujeito e, embora
relevante para situações imediatas, é também inevitavelmente um processo
de teorização. (COCHRAN-SMITH e LYTLE, 1999, p. 273)
Cochran-Smith e Lytle (1999) observam a predominância da primeira concepção na
constituição da grande maioria dos cursos destinados à formação de professores. Neste
sentido acredita-se que “o melhor” professor é aquele “que mais sabe” as teorias
desenvolvidas pelos pesquisadores.
Segundo Pacheco (1995), a formação dos docentes, na maior parte, opera sob a lógica
“3+1”, isto é, nos três primeiros anos a abordagem dos conteúdos específicos (da Física,
Química, Biologia, Matemática etc.) e no último a explanação dos conteúdos das Ciências da
Educação, não havendo uma integração/investigação entre os mesmos.
Em ambos os casos – apontados por Cochran-Smith e Lytle (1999) e Pacheco (1995) –
não ocorreu uma investigação mediante o confronto teoria e prática, ficando cada uma
estandardizada em seus domínios específicos (os departamentos de pesquisa educacionais e as
salas de aula, respectivamente).
Acredita-se que a terceira concepção (conhecimento da prática) contribui para a
formação do professor investigador; um sujeito que, ‘desequilibrado’ constantemente pelo
pensar sobre as interações com os alunos, busque – através da equilibração majorante –
construir suas hipóteses acerca do processo de ensino e aprendizagem.
Em síntese, o presente capítulo buscou denotar os saberes constituintes da prática
docente (formação profissional, disciplinares, curriculares e experienciais) e as possíveis
maneiras de conceber a aprendizagem desta. O importante foi verificar a ‘urgente’ e
necessária constituição do saber docente mediante ‘profundas’
41
re-construções/investigações
teóricas realizadas diretamente na sala de aula, local este de suma importância ao pleno
desenvolvimento do ofício de ‘ser professor’.
41
O termo ‘profundas’ faz referência à tomada de consciência por parte do sujeito, conforme a teoria de Piaget.
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ETODOLOGIA
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C
APÍTULO
4
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ETODOLOGIA
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4.1 –
O
D
ELINEAMENTO
D
A
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ESQUISA
A presente pesquisa busca responder a pergunta diretriz explicitada a seguir:
De que modo os professores que ensinam Matemática aos alunos das quatro séries iniciais do
Ensino Fundamental vêm utilizando, em suas práticas pedagógicas, a Epistemologia Genética
de Jean Piaget?
A(s) reposta(s) advinda(s) deste questionamento, bem como os seus
desenvolvimentos/desdobramentos teóricos, pretendem contribuir à constituição/elaboração
do campo de pesquisa em Educação Matemática concernentes aos eixos: Formação de
Professores que ensinam Matemática e Educação Matemática nas Séries Iniciais do Ensino
Fundamental. Estes eixos apresentam-se já consolidados entre os pesquisadores da área de
Educação e da Educação Matemática; como exemplo citemos os Grupos de Trabalhos (GT)
presentes na Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação (ANPEd) e na
Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) que dedicam-se ao constante
desenvolvimento destas temáticas educacionais.
A seguir constam o Objetivo Geral e os Objetivos Específicos. Estes, por sua vez, se
constituem elementos imprescindíveis ao desenvolvimento/execução das ações metodológicas
utilizadas no decorrer deste trabalho.
4.1.1 –
O
BJETIVO
G
ERAL
E
O
BJETIVOS
E
SPECÍFICOS
O Objetivo Geral resume em ações gerais o que fazer a fim de responder a pergunta
norteadora esboçada acima. Assim, o mesmo é apresentado a seguir:
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ETODOLOGIA
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Analisar a utilização da Epistemologia Genética de Jean Piaget (em especial o Método
Psicogenético) no ensino de Matemática nas quatro primeiras séries iniciais do Ensino
Fundamental, observando avanços e retrocessos correlatos à aprendizagem dos alunos.
Com o intuito de melhor detalhar este objetivo, ou seja, o que fazer para “Analisar” a
utilização da Epistemologia Genética piagetiana, os Objetivos Específicos são salientados a
seguir:
1. Identificar as concepções pedagógicas que fundamentam a prática pedagógica de quatro
professores atuantes nas quatro primeiras séries do Ensino Fundamental.
2. Analisar o tratamento didático-metodológico ‘dado’ ao ensino da Matemática, em
específico os conteúdos pertencentes às estruturas aditivas (adição e subtração) e
multiplicativas (multiplicação e divisão).
3. Pesquisar, entre os participantes, a possibilidade da utilização de diferentes e ‘inovadores’
procedimentos metodológicos propostos no ensino da Matemática por professores que
defendam o construtivismo piagetiano.
4.2 –
A
C
ARACTERIZAÇÃO
D
A
A
BORDAGEM
D
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O estudo delineado acima se insere na abordagem de cunho qualitativo. Conforme
apontado por Martins (2004):
É preciso esclarecer, antes de mais nada, que as chamadas metodologias
qualitativas privilegiam, de modo geral, da análise de microprocessos,
através do estudo das ações sociais individuais e grupais. Realizando um
exame intensivo dos dados, tanto em amplitude quanto em profundidade, os
métodos qualitativos tratam as unidades sociais investigadas como
totalidades que desafiam o pesquisador. Neste caso, a preocupação básica do
cientista social é a estreita aproximação dos dados, de fazê-lo falar da forma
mais completa possível, abrindo-se à realidade social para melhor apreendê-
la e compreendê-la. Se há uma característica que constitui a marca dos
métodos qualitativos ela é a flexibilidade, principalmente quanto às técnicas
de coleta de dados, incorporando aquelas mais adequadas à observação que
está sendo feita. (p. 292, grifo nosso)
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ETODOLOGIA
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112
Como salientado por Martins (2004), as abordagens qualitativas preocupam-se com a
investigação e análise de unidades sociais específicas. No caso desta investigação, a unidade
social estudada é a sala de aula, mais especificamente os momentos nos quais o professor
encaminha estratégias didáticas e metodológicas visando ensinar conteúdos matemáticos. Os
autores são constituídos pelo professor e seus alunos, observando-se aí a interação subjacente
ao processo de ensino e aprendizagem.
Sobre a questão da flexibilidade, Günther (2006) salienta:
Conforme já afirmado, são características da pesquisa qualitativa sua grande
flexibilidade e adaptabilidade. Ao invés de utilizar instrumentos e
procedimentos padronizados, a pesquisa qualitativa considera cada problema
objeto de uma pesquisa específica para a qual são necessários instrumentos e
procedimentos específicos. Tal postura requer, portanto, maior cuidado na
descrição de todos os passos da pesquisa: a) delineamento, b) coleta de
dados, c) transcrição e d) preparação dos mesmos para sua análise específica.
(p. 204, grifo nosso)
Os passos da pesquisa devem, então, estar adequados às situações de investigação.
Assim, diferentemente das abordagens quantitativas nas quais os métodos encontram-se de
certa forma já padronizados, nas qualitativas os métodos ‘modelam-se’ de acordo com o
problema de pesquisa a ser investigado.
Lüdke e André (1986) discursam sobre as características básicas das pesquisas
qualitativas. Estas características, discutidas no livro: A Pesquisa Qualitativa em Educação,
autoria de Bogdan e Biklen (1982), são descritas no quadro que segue:
Características retiradas de Lüdke e André
(1986):
Detalhamentos:
1. A pesquisa qualitativa tem o ambiente natural como
sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu
principal instrumento. (p.11)
O pesquisador necessita estabelecer contato direto com
a situação que pretende investigar. É de suma
importância vivenciar o que os participantes vivem em
suas cotidianidades, para assim captar as
circunstâncias particulares das situações estudadas.
2. Os dados coletados são predominantemente
descritivos. (p.12)
É imprescindível realizar uma coleta de dados
minuciosa, de caráter descritivo. Transcrições de
entrevistas, depoimentos, anotações provenientes de
observações, esquemas, fotografias são mecanismos
importantes para tentar recompor a situação
investigada.
3. A preocupação com o processo é muito maior do
que com o produto. (p.12)
Em uma abordagem qualitativa, a preocupação incide
em identificar as variáveis desencadeadoras das
situações estudadas.
4. O “significado” que as pessoas dão às coisas e à
sua vida são focos de atenção especial pelo
pesquisador. (p.12)
Devido ao contato direto com a situação investigada,
há possibilidade de capturar o modo com o qual os
participantes lidam com as questões que estão sendo
abordadas.
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ETODOLOGIA
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113
5. A análise dos dados tende a seguir um processo
indutivo. (p.12)
Os pesquisadores não se preocupam em buscar
evidências que comprovem hipóteses definidas antes
do início dos estudos. As abstrações se formam ou se
consolidam basicamente a partir da inspeção dos dados
num processo de baixo para cima. (LÜDKE e
ANDRÉ, 1986, p.13)
Quadro 9 – Características de Pesquisas Qualitativas.
Complementando a discussão acerca do processo indutivo, em Günther (2006)
encontra-se:
A generalização de resultados da pesquisa qualitativa passa por quatro
dimensões. Mayring (2002) introduz o conceito da generalização
argumentativa. À medida que os achados na pesquisa qualitativa se apóiem
em estudo de caso, estes dependem de uma argumentação explícita
apontando quais generalizações seriam factíveis para circunstâncias
específicas. No caso da pesquisa quantitativa, uma amostra representativa
asseguraria a possibilidade de uma generalização dos resultados. Relaciona-
se a isto a ênfase no processo indutivo, partindo de elementos individuais
para chegar a hipóteses e generalizações. Entretanto, este processo deve
seguir regras, que não são uniformes, mas específicas a cada circunstância.
Desta maneira, é de suma importância que as regras sejam explicitadas para
permitir uma eventual generalização. Finalmente, Mayring não exclui a
quantificação, mas enfatiza que a função importante da abordagem
qualitativa é a de permitir uma quantificação com propósito. Desta maneira,
poder-se-ia chegar a generalizações mais consubstanciadas. (p. 203, grifo
nosso)
Percebe-se aí a relação existente entre o processo indutivo e a questão da
generalização. Este aspecto da generalização constitui um dos pontos de maior crítica àqueles
que utilizam abordagens qualitativas. Tal crítica advém de estudiosos que, por defenderem a
questão quantitativa/positivista, acreditam que a subjetividade – característica do fazer
qualitativo – ‘atrapalha’ no momento da obtenção das generalizações. Sobre isso, Martins
(2004) coloca:
Um quarto ponto importante das críticas diz respeito à suposta
impossibilidade de os resultados de uma pesquisa com base na metodologia
qualitativa, especialmente os estudos de caso, servirem de base para
generalizações. A essa objeção se devem contrapor também os argumentos
que expus anteriormente sobre o problema da representatividade e do critério
estatístico. Não cabe, a meu ver, no uso da metodologia qualitativa, a
preocupação com a generalização, pois o que a caracteriza é o estudo em
amplitude e em profundidade, visando a elaboração de uma explicação
válida para o caso (ou casos) em estudo, reconhecendo que o resultado das
observações são sempre parciais. O que sustenta e garante a validade desses
estudos é que “o rigor vem, então, da solidez dos laços estabelecidos entre
nossas interpretações teóricas e nossos dados empíricos” (Laperrière, 1997,
p. 375). (p. 295, grifo nosso)
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Essa autora argumenta a respeito da não preocupação da pesquisa qualitativa em
generalizar, bastando à mesma cumprir a função de responder com amplitude e profundidade
acerca dos porquês da situação investigada. Gonçalves (2007), com relação à questão da
generalização e da subjetividade, argumenta que:
Demo deixa claro ser a generalização, um dos principais desafios impostos
pela pesquisa qualitativa. Por mais que uma investigação seja intensa e
profunda ela jamais poderá estabelecer regras gerais. Outro limite
encontrado na pesquisa qualitativa seria a subjetividade, mas o autor lembra
que a história é constituída de fenômenos únicos que não se repetem,
portanto todo fenômeno é novo e nada está fora da história. O uso da
pesquisa qualitativa quer apenas realçar essa complexidade do fazer ciência,
mas consciente de que toda dinâmica também revela as suas formas. (p. 202-
203, grifo nosso)
Como salientado acima, embora a generalização apresente-se como uma das ‘grandes’
preocupações do ‘pesquisar qualitativamente’, Pedro Demo elucida apontando que não há
como estabelecer regras gerais, mesmo sendo a pesquisa intensa e profunda. Sobre a idéia da
subjetividade, observa ser esta intrínseca a toda dinâmica humana, devido ao caráter histórico
que lhe é subjacente.
Contudo, o fazer qualitativo deve ser idealizado por aqueles que acreditam estarem nas
relações humanas (e suas particularidades) os significados e as significações responsáveis
pelo desencadeamento das situações investigadas. Compreender esta dinâmica permite ao
pesquisador entender o porquê, para assim poder agir sobre as questões/problemas
encontrados. Nesse agir, no qual o pesquisado também age sobre o pesquisador, é que será
possível fazer Ciência de modo sério e, acima de tudo, ético.
Para esta pesquisa, utiliza-se uma das formas da pesquisa qualitativa: o estudo de caso.
Segundo Lüdke e André (1986):
O estudo de caso é o estudo de um caso, seja ele simples e específico, como
o de uma professora competente de uma escola pública, ou complexo e
abstrato como o das classes de alfabetização (CA) ou o do ensino noturno. O
caso é sempre bem delimitado, devendo ter seus contornos claramente
definidos no desenrolar do estudo. O caso pode ser similar a outros, mas é ao
mesmo tempo distinto, pois tem um interesse próprio, singular. Segundo
Goode e Hatt (1968) o caso se destaca por constituir numa unidade dentro de
um sistema mais amplo. O interesse, portanto, incide naquilo que ele tem de
único, de particular, mesmo que posteriormente venham a ficar evidentes
certas semelhanças com outros casos ou situações. Quando queremos estudar
algo singular, que tenha um valor em si mesmo, devemos escolher o estudo
de caso. (p. 17, grifo nosso)
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Como exposto na última citação, a delimitação do caso é essencial para o satisfatório
desenvolvimento do estudo. Nesta investigação, os casos delimitam-se nos encaminhamentos
didáticos e metodológicos de quatro professores quando ensinam Matemática a alunos de 1ª a
4ª série do Ensino Fundamental. Faz-se necessário salientar as características fundamentais do
estudo de caso. No decorrer desta pesquisa, tais características influenciaram as
ações/procedimentos do pesquisador, utilizados nos momentos seqüenciais:
1º – Exploração inicial do contexto aos quais os casos estão inseridos.
2º – Coleta dos dados provenientes das observações e entrevistas realizadas com os
professores participantes.
3º – Sistematização dos dados e elaboração do relatório (descritivo) das ações didáticas e
metodológicas dos professores investigados.
O quadro abaixo denota as características fundamentais do estudo de caso, conforme
salientado por Lüdke e André (1986):
Características retiradas de Lüdke e André
(1986):
Detalhamentos:
1. Os estudos de caso visam à descoberta. (p. 18)
Devido ao fato de o conhecimento estar continuamente
em construção, o pesquisador necessita atentar-se aos
acontecimentos (novos) provenientes da pesquisa de
campo. A questão da flexibilidade relaciona-se
diretamente com esta característica.
2. Os estudos de caso enfatizam a “interpretação em
contexto”. (p. 18)
Faz-se necessário contextualizar as ações realizadas
pelos participantes. Não é possível ‘agir’
qualitativamente isolando/desprezando a dinâmica
ocorrida entre os pesquisados.
3. Os estudos de caso buscam retratar a realidade de
forma completa e profunda. (p. 19)
Relacionando-se a característica anterior, esboça-se o
seguinte: “O pesquisador procura revelar a
multiplicidade de dimensões presentes numa
determinada situação ou problema, focalizando-o
como um todo.” (LÜDKE e ANDRÉ, 1986, p. 19)
4. Os estudos de caso usam uma variedade de fontes
de informação. (p. 19)
Para revelar a multiplicidade de dimensões, como
exposto acima, é necessário fazer uso de vários
instrumentos à coleta de dados em várias situações.
Assim, a triangulação dos dados, ou seja, o ato de
confirmar/rejeitar hipóteses, far-se-á de modo mais
‘preciso’, com maior consistência.
5. Os estudos de caso revelam experiência vicária e
permitem generalizações naturalísticas. (p. 19)
As generalizações naturalísticas ocorrem quando o
leitor associa os dados encontrados no estudo de caso
com suas experiências pessoais, obtendo
generalizações pessoais.
6. Estudos de caso procuram representar os diferentes
e às vezes conflitantes pontos de vista presentes numa
situação social. (p. 20)
Tal aspecto decorre do pressuposto da possibilidade de
ver a realidade sob várias perspectivas. Logo, não
existe um único modo de interpretar as coisas,
surgindo do mesmo modo idéias conflitantes.
7. Os relatos do estudo de caso utilizam uma
linguagem e uma forma mais acessível do que os
outros relatórios de pesquisa. (p. 20)
Isto significa que, o principal objetivo dos relatos é
permitir que o leitor compreenda a situação
investigada de modo direto e bem articulado.
Quadro 10 – Características do Estudo de Caso nas Pesquisas Qualitativas.
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Em suma, o fazer qualitativo envolve a predisposição do pesquisador em registrar e
analisar as múltiplas variáveis causadoras das situações investigadas. A complexidade desta
abordagem decorre da complexidade proveniente das relações do homem com as outras
pessoas (inter-pessoalidade) e consigo mesmo (intra-pessoalidade).
4.3 –
P
ARTICIPANTES
Os participantes do presente estudo apresentam-se dispostos no quadro abaixo:
Identificação:
Descrição:
P-I Professora da 1ª série do Ensino Fundamental.
P-II Professora da 2ª série do Ensino Fundamental.
P-III Professora da 3ª série do Ensino Fundamental.
P-IV Professor da 4ª série do Ensino Fundamental.
Quadro 11 – Participantes da pesquisa.
Os professores P-I, P-II, P-III e P-IV ministram aulas na rede de ensino do Estado de
São Paulo. P-I e P-II atuam em uma escola pertencente à Diretoria de Ensino da Região de
Bauru, denominada nessa pesquisa de E-I. Já P-III e P-IV trabalham em outra escola,
também pertencente à Diretoria de Ensino da Região de Bauru, denotada E-II. Os alunos dos
referidos professores, estão organizados conforme quadro abaixo:
Sala pertencente a:
Nº de Alunos/Média de Idade (em anos):
P-I 27 alunos / 6 anos
P-II 34 alunos / 7 a 8 anos
P-III 33 alunos / 9 a 10 anos
P-IV 31 alunos / 10 anos
Quadro 12 – Número de alunos e Média de Idade por sala.
Embora o problema de pesquisa investigado não incida diretamente sobre os alunos,
conhecer o número de estudantes por sala, bem como as suas idades, constitui-se um dos
elementos necessários para compreender o porquê da adoção dos encaminhamentos didáticos
e metodológicos observados durante o trabalho de campo. Por exemplo, quando o docente
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ETODOLOGIA
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decide utilizar um procedimento didático X, o pesquisador poderá inferir questões sobre o
porquê de tal utilização, levando em consideração a idade média dos alunos, e já associando
aos estágios de desenvolvimento cognitivos elaborados por Piaget.
No início da pesquisa fora planejada a participação do Professor Assistente Técnico
Pedagógico (ATP) de Matemática pertencente à Diretoria de Ensino da Região de Bauru. A
colaboração deste profissional visava conhecer os (possíveis) projetos desenvolvidos pela
Secretaria da Educação nos quais a teoria de Piaget estivesse presente. Embora tenham sido
elaborados um questionário e entrevista a serem aplicados ao ATP, a sua não colaboração
(após inúmeras tentativas) impossibilitou a coleta dos dados e posterior análise dos mesmos.
A ilustração a seguir explicita a disposição dos participantes, bem como os locais de
trabalho aos quais pertencem.
Organograma 2 – Disposição dos Participantes da Pesquisa.
A escolha das escolas (E-I e E-II), bem como dos professores (P-I, P-II, P-III e P-
IV) deram-se por conveniência, levando em consideração os seguintes aspectos:
1. A receptividade do corpo gestor (diretor, vice-diretor) de cada escola participante no
momento da apresentação dos objetivos da situação investigada.
2. A receptividade dos professores, bem como a constante colaboração durante a pesquisa.
Com relação ao item 2., vale apontar que o pesquisador já conhecia os professores
participantes. Esta relação ‘aproximativa’ permitiu a ‘promoção’ de um melhor clima
interativo – seja nas entrevistas realizadas ou nas observações das aulas de Matemática. A
questão do nível socioeconômico dos alunos (dos professores participantes) não se constitui
como fator à análise dos dados obtidos, já que o foco da referente pesquisa não incide sobre
este aspecto.
Diretoria de Ensino
da Região de Bauru
E-I
E-II
P-I
P-II
P-III
P-IV
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
118
No item a seguir far-se-á uma breve exposição acerca dos professores participantes da
pesquisa. Nesta, constam alguns dados sobre a formação e prática docente dos professores
investigados.
4.3.1 –
C
ARACTERIZAÇÃO
D
OS
P
ARTICIPANTES
Por questões de sistematização, são apresentadas breves caracterizações dos
professores participantes (P-I, P-II, P-III e P-IV). Breves, pois, no Capítulo 5 (Análise e
Discussão dos Dados) serão ressaltados outros aspectos que permitirão compreender a
dinâmica das aulas de Matemática – adotadas por esses professores – assim como algumas
concepções concernentes ao ensino de Matemática e à Epistemologia Genética piagetiana.
Os quadros abaixo denotam as respostas provenientes do Apêndice B –
Questionário/Entrevista Inicial aos Professores Participantes. Tais respostas pertencem à
Categoria A – Informações contextuais.
Informações contextuais – P-I:
1) Tempo de Magistério: 2 anos e 3 meses. Série atual em que ministra aula: 1ª série.
2) Tenho atuado com mais freqüência: (X) 1ª série, (X) 2ª série, ( ) 3ª série, ( ) 4ª série
3) Formação Acadêmica [assinale a(s) alternativa(s) abaixo que caracteriza(m) sua formação acadêmica]:
( ) Magistério na modalidade Ensino Médio. ( ) Licenciado em __________________________.
(X) Licenciatura Plena em Pedagogia. ( ) Especialista em _________________________.
( ) Curso Normal Superior. ( ) Mestre em _____________________________.
( ) Outro: ____________________________. ( ) Doutor em _____________________________.
4) Já ministrei aula em: ( ) Escola Particular ( ) Escola Municipal (X) Escola Estadual
Quadro 13 – Caracterizações profissionais do P-I.
Informações contextuais – P-II:
1) Tempo de Magistério: 1 ano e 10 meses. Série atual em que ministra aula: 2ª série.
2) Tenho atuado com mais freqüência: ( ) 1ª série, ( ) 2ª série, (X) 3ª série, ( ) 4ª série
3) Formação Acadêmica [assinale a(s) alternativa(s) abaixo que caracteriza(m) sua formação acadêmica]:
(X) Magistério na modalidade Ensino Médio. ( ) Licenciado em __________________________.
(X) Licenciatura Plena em Pedagogia. ( ) Especialista em _________________________.
( ) Curso Normal Superior. ( ) Mestre em _____________________________.
( ) Outro: ____________________________. ( ) Doutor em _____________________________.
4) Já ministrei aula em: ( ) Escola Particular ( ) Escola Municipal (X) Escola Estadual
Quadro 14 – Caracterizações profissionais do P-II.
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
119
Informações contextuais – P-III:
1) Tempo de Magistério: 22 anos e 7 meses. Série atual em que ministra aula: 3ª série.
2) Tenho atuado com mais freqüência: ( ) 1ª série, ( ) 2ª série, ( ) 3ª série, (X) 4ª série
3) Formação Acadêmica [assinale a(s) alternativa(s) abaixo que caracteriza(m) sua formação acadêmica]:
(X) Magistério na modalidade Ensino Médio. ( ) Licenciado em __________________________.
(X) Licenciatura Plena em Pedagogia. ( ) Especialista em _________________________.
( ) Curso Normal Superior. ( ) Mestre em _____________________________.
( ) Outro: ____________________________. ( ) Doutor em _____________________________.
4) Já ministrei aula em: (X) Escola Particular (X) Escola Municipal (X) Escola Estadual
Quadro 15 – Caracterizações profissionais do P-III.
Informações contextuais – P-IV:
1) Tempo de Magistério: 6 anos e 3 meses. Série atual em que ministra aula: 4ª série.
2) Tenho atuado com mais freqüência: ( ) 1ª série, ( ) 2ª série, ( ) 3ª série, (X) 4ª série
3) Formação Acadêmica [assinale a(s) alternativa(s) abaixo que caracteriza(m) sua formação acadêmica]:
(X) Magistério na modalidade Ensino Médio. ( ) Licenciado em __________________________.
(X) Licenciatura Plena em Pedagogia. ( ) Especialista em _________________________.
( ) Curso Normal Superior. ( ) Mestre em _____________________________.
( ) Outro: ____________________________. ( ) Doutor em _____________________________.
4) Já ministrei aula em: ( ) Escola Particular (X) Escola Municipal (X) Escola Estadual
Quadro 16 – Caracterizações profissionais do P-IV.
Conforme os quatro últimos quadros, com exceção do P-III, os demais professores
possuem menos de uma década de tempo de magistério. Este padrão (menos de uma década)
não constitui objeto de pesquisa, tendo sido ‘encontrado’ ao acaso. Em relação ao item
“Formação Acadêmica” observa-se, com exceção de P-I, que os demais obtiveram ambas as
formações iniciais: Magistério na modalidade Ensino Médio e Licenciatura Plena em
Pedagogia.
Visando caracterizar as escolas E-I e E-II, segue o quadro-resumo (Quadro 17). O
intuito de tais caracterizações deve-se ao fato de coletar o máximo de informações a respeito
do local no qual os professores ministram suas aulas, identificando assim reais condições de
trabalho. Em se tratando da postura didática do professor, é de vital importância compreender
a conjuntura aos quais os mesmos estão inseridos. Tal postura por parte do pesquisador em
coletar o máximo de dados contextuais possíveis só vem corroborar com os pontos
salientados nos Quadros 9 e 10, respectivamente (Características das Pesquisas Qualitativas,
itens 1. e 3., e Características do Estudo de Caso nas Pesquisas Qualitativas, item 3.).
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
120
Caracterizações:
E-I E-II
Público Alvo:
Alunos de Ensino Fundamental (1ª a 8ª
séries) e da Educação de Jovens e
Adultos (EJA/Tele Sala).
Alunos de Ensino Fundamental (1ª a 4ª
séries).
Períodos de
Funcionamento:
Manhã, Tarde e Noite. Manhã e Tarde.
Sala de Informática: Possui. Possui.
Quadra esportiva:
Possui duas, uma coberta e outra não
coberta.
Possui uma não coberta.
Corpo Gestor:
1 Diretor; 2 Vice-Diretores; 2
Coordenadores Pedagógicos (um
destinado a cada ciclo do Ensino
Fundamental).
1 Diretor; 1 Vice-Diretor e 1
Coordenador Pedagógico.
Materiais de Multimídia
(Retroprojetor):
Possui um. Possui um.
Materiais Pedagógicos
(Jogos, materiais
concretos):
Existem poucos – segundo os professores
– não suficientes à efetiva utilização
pelos alunos das quatro séries iniciais do
Ensino Fundamental.
Existem poucos – segundo os
professores – não suficientes à efetiva
utilização pelos alunos das quatro séries
iniciais do Ensino Fundamental.
Quadro 17 – Escolas participantes: algumas caracterizações.
4.4 –
I
NSTRUMENTOS
U
TILIZADOS
P
ARA
A
P
ESQUISA
D
E
C
AMPO
Os instrumentos utilizados à coleta de dados, durante a pesquisa de campo realizada
nas escolas em 2 meses letivos do ano de 2008, apresentam-se no quadro abaixo:
Apêndices:
Tipo de
instrumento:
Breve descrição:
A
Ficha
informativa.
Em forma textual, contém informações iniciais, explicitando o Objetivo
Geral da pesquisa, assim como os procedimentos metodológicos necessários
à aplicação da mesma.
B
Questionário e
Entrevista.
Destinada aos professores P-I, P-II, P-III e P-IV é constituída de perguntas
divididas em 3 categorias: A – Informações contextuais; B – Prática
profissional (em formato de questionário) e C – Conhecimentos
Pedagógicos (em forma de entrevista).
C
Ficha
informativa.
Destinada aos quatro professores participantes, apresenta os objetivos da
pesquisa a ser realizada, salientando a importância da contribuição dos
mesmos à efetiva realização do estudo.
D
Ficha de
Observação.
Roteiro de acompanhamento utilizado pelo pesquisador no momento das
observações das aulas de Matemática.
E
Entrevista.
Conjunto de questões perguntadas aos professores após cada bloco de aulas
observadas.
F
Ficha
informativa.
Destinada aos quatro professores, contém informações gerais sobre alguns
pontos da Epistemologia Genética de Jean Piaget.
G
Entrevista.
Entrevista Final realizada com os quatro professores após observações de
sala de aula. Visa compreender o porquê de alguns procedimentos didáticos
e metodológicos adotados, bem como algumas falas pronunciadas durante as
entrevistas anteriormente realizadas.
Quadro 18 – Descrição dos Instrumentos utilizados.
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
121
Como denotado no quadro acima, fez-se uso dos seguintes métodos/procedimentos de
coleta de dados:
1. Observação de campo.
2. Entrevistas.
3. Questionários.
A adoção destes variados métodos deve-se aos aspectos referentes à constituição de
uma pesquisa qualitativa pautada em critérios sólidos, bem estruturados, como pontua
Gonçalves (2007):
(...) trabalhar com pesquisa qualitativa não é tão simplista como se costuma
acreditar. Tornando uma metodologia arriscada e bastante exigente para o
investigador. Certamente que um dos primeiros passos para a realização de
um bom trabalho utilizando essa metodologia, perpassa pela desmistificação
de que a pesquisa qualitativa pode ser feita por qualquer um, sem grandes
preocupações com o método. É necessário que o pesquisador esteja atento à
necessidade de uma constante crítica e autocrítica de seu trabalho. (p. 203)
Um outro aspecto refere-se à triangulação, conforme observado por Günther (2006):
A triangulação implica na utilização de abordagens múltiplas para evitar
distorções em função de um método, uma teoria ou um pesquisador. (p. 206)
Assim, a triangulação contribui para uma maior credibilidade dos dados coletados.
Sobre isso, Alves (1991) ressalta:
(...) o pesquisador qualitativo precisa planejar seu estudo de modo a obter
credibilidade, transferibilidade, consistência e confirmabilidade. Para a
discussão desses conceitos, bem como dos vários procedimentos utilizados
para dar conta desses quesitos (...), recomendo a longa análise feita pelos
autores citados [Lincoln e Guba]. Dentre os procedimentos por estes
examinados, os mais utilizados são a checagem dos resultados pelos
participantes, o questionamento por pares (colegas experientes na área,
porém não envolvidos na pesquisa, que funcionam como “advogados do
diabo”) e a triangulação (comparação de dados obtidos através de diferentes
fontes, métodos, investigadores ou teorias). (p. 61, grifo nosso, [comentário
nosso])
Percebe-se na citação acima a possibilidade de realizar a triangulação também acerca
de diferentes teorias ou investigadores. No subitem a seguir são discutidos alguns
apontamentos teóricos com relação aos procedimentos utilizados na coleta dos dados:
M
ETODOLOGIA
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E
P
ESQUISA -
122
observação, entrevista e questionário. Ao fazê-los, concomitantemente, apresentam-se as
justificativas do porquê da adoção destes métodos/procedimentos na presente pesquisa.
4.5 –
C
ONSIDERAÇÕES
E J
USTIFICATIVAS
D
OS
P
ROCEDIMENTOS
U
TILIZADOS
Inicialmente far-se-ão considerações teóricas a respeito dos procedimentos:
observação, entrevista e questionário. Em seguida, é justificado o porquê da
adoção/elaboração dos Apêndices.
4.5.1 –
A O
BSERVAÇÃO
D
E
C
AMPO
Com relação à observação de campo, torna-se oportuno observar o comentário de
Lüdke e André (1986):
Tanto quanto a entrevista, a observação ocupa um lugar privilegiado nas
novas abordagens de pesquisa educacional. Usada como o principal método
de investigação, ou associada a outras técnicas de coleta, a observação
possibilita um contato pessoal e estreito do pesquisador com o fenômeno
pesquisado, o que apresenta uma série de vantagens. Em primeiro lugar, a
experiência direta é sem dúvida o melhor teste de verificação da ocorrência
de um determinado fenômeno. “Ver para crer”, diz o ditado popular. (p. 26,
grifo nosso)
O motivo desencadeador da adoção da observação direta – nesta pesquisa – deve-se ao
exposto acima: a possibilidade de verificar a ocorrência ‘real’ dos encaminhamentos didáticos
e metodológicos dos professores nas aulas de Matemática. Além disso, tal técnica está em
consonância com as características apontadas nos Quadros 9 e 10. Embora existam algumas
variações relativas ao método de observação, para a presente pesquisa adota-se a observação
total. A observação total caracteriza a postura do pesquisador com um ‘certo aspecto de
distanciamento’ das interações ocorridas durante o fenômeno investigado – em nosso caso,
nas aulas de Matemática. Como definem Lüdke e André (1986):
O papel de “observador total” é aquele em que o pesquisador não interage
com o grupo observado. Nesse papel ele pode desenvolver a sua atividade de
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
123
observação sem ser visto, ficando por detrás de uma parede espelhada, ou
pode estar na presença do grupo sem estabelecer relações interpessoais. (p.
29, grifo nosso)
A expressão grifada na citação anterior indica o tipo da observação total escolhida. O
pesquisador observou a postura do professor e dos alunos, sendo que os mesmos sabiam das
intenções de tal acompanhamento. Faz-se oportuno registrar que mesmo não ‘agindo’
diretamente sobre o professor e suas idéias e encaminhamentos didáticos, a interação com o
mesmo – através das entrevistas e questionário aplicado – podem ter levado o docente
(indiretamente) a repensar a sua prática docente.
Para a observação das aulas de Matemática, assim como o registro das mesmas, é
elaborado o Apêndice D: Ficha de Campo / Roteiro de Acompanhamento das aulas
observadas. A elaboração desta “Ficha de Campo” vem de encontro às considerações de
Lüdke e André (1986) a respeito da validade da pesquisa científica:
Para que se torne um instrumento válido e fidedigno de investigação
científica, a observação precisa ser antes de tudo controlada e sistemática.
Isso implica a existência de um planejamento cuidadoso do trabalho e uma
preparação rigorosa do pesquisador. (p. 25, grifo nosso)
Esta citação apresenta similaridade com a já exposta por Gonçalves (2007). O fato de
ser qualitativo, e, por isso, mapear questões subjetivas do ser humano, não implica a falta de
objetividade e clareza/rigor dos procedimentos e instrumentos a serem utilizados. Pensando
nesses aspectos, a seguir são expostas considerações/justificativas a respeito do Apêndice D.
A
PÊNDICE
D
:
A elaboração deste instrumento é devida à necessidade de ‘mapear’ os Procedimentos
Didáticos e Metodológicos E Materiais Utilizados pelos professores participantes. Como o
objetivo da pesquisa refere-se à postura didática do professor que ensina Matemática, então, a
coleta de suas ações, bem como dos recursos por ele utilizados é de vital importância para a
verificação da pergunta norteadora – já salientada no tópico 4.1.
O quadro explicitado a seguir permite o registro das ações e materiais utilizados pelos
professores observados em intervalos de 10 em 10 minutos.
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
124
Categorias: 10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
Total:
Procedimento Didático e Metodológico:
1. Exposição Oral feita pelo professor na lousa.
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros_______________________________
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz.
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco etc.
5. Outros________________________________
Total de Horas Observadas:
Quadro 19 – Procedimento Didático e Metodológico E Materiais Utilizados pelo professor.
O referente quadro – acima – apresenta uma configuração tipo matriz
42
. A escolha
deste arranjo matemático deve-se ao seu caráter objetivo, já que a interpretação dos dados
ocorre de modo rápido. Em intervalos de dez minutos, ou seja, a cada dez minutos de
observação, o pesquisador marca o tipo de Procedimento Didático e Metodológico E o tipo de
Material Utilizado que ‘se fez’ mais presente. Exemplificando, caso o professor nos primeiros
dez minutos de observação tenha (na maior parte do tempo) exposto algum conteúdo
utilizando a lousa, então o pesquisador registra duas marcas (X) – no quadro acima – nas
seguintes células: o primeiro X localizado entre o cruzamento da 2ª coluna (onde está escrito
10) com a 3ª linha (no qual se encontra o tipo de Procedimento Didático e Metodológico:
Exposição Oral feita pelo professor); e o segundo X situado entre a intersecção da 2ª coluna
(onde está escrito 10) com a 15ª linha (em que aparece a opção Material Utilizado: Lousa e
42
Conforme o dicionário HOUAISS: Matriz é o arranjo de m.n elementos matemáticos dispostos num quadro
retangular ou quadrado que comporta m linhas e n colunas. Retirado de:
<http://houaiss.uol.com.br/busca.jhtm?verbete=matriz&stype=k>. Acesso em 25/06/08.
M
ETODOLOGIA
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E
P
ESQUISA -
125
giz). Faz-se oportuno expor que a adoção do registro a cada 10 minutos justifica-se pela
possibilidade de observar a variação (ou não) dos procedimentos didáticos e materiais
utilizados pelos professores participantes.
Como as doze categorias contidas no bloco: Procedimento Didático e Metodológico
apresentam-se de modo sucinto, no quadro a seguir são feitas descrições e delimitações de
cada uma – conforme o olhar do pesquisador:
1. Exposição Oral feita pelo professor: quando o professor expõe alguma idéia, explicando algum
conteúdo matemático aos alunos ou como solucionar alguma atividade proposta.
2. Agrupamento dos alunos para realização de atividades sugeridas pelo professor: momento no qual o
professor separa os alunos para o desenvolvimento de atividades em duplas, trios, quartetos ou grupos
maiores.
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor: situações nas quais o docente disponibiliza tempo
para que os alunos, individualmente, solucionem alguma atividade anteriormente pedida.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos matemáticos: quando o professor auxilia os alunos
no desenvolvimento de jogos, ou seja, situações lúdicas nas quais sejam enfatizados conteúdos
matemáticos. O tabuleiro, por exemplo, é um tipo de jogo que, dependendo da regra estabelecida, auxilia
os alunos na construção da noção de ordenação numérica, sucessor, antecessor etc.
5. Troca de idéias entre alunos e professores: ocasiões em que o professor mostra-se ‘aberto’ à
conversação, ou seja, troca de idéias com os alunos.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos: momentos em que o professor disponibiliza para que os alunos
conversem, socializando idéias ou quando um estudante auxilia o outro na solução de alguma atividade
proposta.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e outras áreas do conhecimento: quando o professor
desenvolve um projeto didático, no qual a Matemática e outras áreas do conhecimento são abordadas
concomitantemente.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em outras áreas do conhecimento: situações didáticas
onde o professor relaciona a Matemática em outras áreas disciplinares. Por exemplo, ao estudar a
distribuição percentual da população brasileira das regiões político-econômicas (Geografia Humana), o
docente indica a utilização da Matemática à leitura-interpretação dos dados percentuais. Nesse tipo de
trabalho ‘intra’, a Matemática é utilizada como uma ferramenta, um conteúdo procedimental.
9. Atividades envolvendo materiais concretos manipulativos: episódios em que o professor possibilita aos
alunos a manipulação de materiais concretos, objetivando a construção de algum conceito matemático
através da ocorrência da experiência (física e lógico-matemática). Por exemplo, quando o docente, ao
solicitar a manipulação dos blocos lógicos, visa a percepção tridimensional das figuras geométricas, bem
como observa as diferenças destas com relação às figuras geométricas planas.
Procedimento Didático e Metodológico
10. Confecção de algum material pelos alunos: situações de ensino onde o professor orienta-auxilia os
alunos na construção de algo. Este algo pode ser um tabuleiro, um cubo planificado no qual o aluno
M
ETODOLOGIA
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E
P
ESQUISA -
126
possui a função-ação de montá-lo colando corretamente as arestas por meio das abas, etc.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações, brincadeiras, entre outras: ocasiões em que o docente
desenvolve com seus alunos brincadeiras (envolvendo conceitos matemáticos ou não), dramatizações,
mímicas, etc.
12. Outros: categoria elaborada caso o professor (devido à multiplicidade de ações possíveis de serem
realizadas em sala de aula) adote outra atitude didático-metodológica diferente das onze citadas acima.
Quadro 20 – Detalhamento das categorias do bloco Procedimento Didático e Metodológico.
As categorias Materiais Utilizados constituem os objetos, recursos, materiais
utilizados à realização dos Procedimentos Didáticos e Metodológicos. Também há a categoria
“5. Outros" que serve para registrar outros materiais que não foram contemplados nas
categorias anteriores.
É importante ressaltar que no momento da elaboração das dezessete categorias foram
levados em consideração aspectos teóricos concernentes à Epistemologia Genética piagetiana.
Um deles refere-se ao Método Psicogenético – já salientado no Capítulo 1 – que em linhas
gerais preconiza o desenvolvimento das seguintes etapas:
Etapas do Método Psicogenético: (quadro de nossa autoria)
1º – Exploração de Situações Problemas que...
2º –... Desencadeie a Tomada de Consciência no sujeito através da...
3º –... Dinâmica de Grupo mediada pela...
4º –... Constante Avaliação Diagnóstica (realizada pelo professor) observando assim o desenvolvimento dos
estágios cognitivos.
Quadro 21 – Resumo das etapas do Método Psicogenético.
Assim, a adoção das categorias: 2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor; 5. Troca de idéias entre alunos e professores; 6.
Troca de idéias entre alunos e alunos; 11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras entre outras é devido, por exemplo, ao terceiro aspecto do quadro acima –
sobre o Método Psicogenético. Acredita-se que, para o estabelecimento das dinâmicas de
grupo, há necessidade do professor contemplar em sua prática pedagógica esses
encaminhamentos didáticos e metodológicos.
Outro aspecto considerado na elaboração das categorias do Quadro 19 tem a ver com a
questão do Estágio das Operações Concretas. A laboração das categorias 9. Atividades
envolvendo materiais concretos manipulativos e 4. Materiais manipulativos: Cusinare,
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ETODOLOGIA
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ESQUISA -
127
Tangram, Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco etc. deve-se à
necessidade de/em verificar se o professor desenvolve estratégias didático-metodológicas
concernentes a este estágio psicológico de desenvolvimento cognitivo das Operações
Concretas. Ou seja, se durante as aulas procura levar o aluno a percorrer o caminho
Concreto→Abstrato.
Embora o Quadro 19 constitua um instrumento útil para registrar as freqüências em
que o professor ‘faz algo’ (ou seja, suas ações, o que realiza em termos didático-
metodológicos ao ministrar aulas de Matemática); e ‘o que utiliza’ (quais recursos materiais
usados), perde-se alguns elementos essenciais a um estudo qualitativo, tais como as
interações-dinâmicas construídas/desenvolvidas no decorrer das aulas observadas. Pensando
nisso, concomitante a este, é realizado o registro da aula observada, em forma de gravação de
áudio e por escrito. A seguir define-se melhor o procedimento adotado para a observação da
sala de aula com relação ao registro: gravação em áudio e por escrito.
4.5.2 –
A E
NTREVISTA
O segundo instrumento/método utilizado é a entrevista. Muitos estudiosos defendem a
adoção da mesma para a realização de pesquisas qualitativas. Segundo Gil (1991):
Pode-se definir entrevista como a técnica em que o investigador se apresenta
frente ao investigado e lhe formula perguntas, com o objetivo de obtenção
dos dados que interessam à investigação. A entrevista é, portanto, uma forma
de interação social. Mais especificamente é uma forma de diálogo
assimétrico, em que uma das partes busca coletar dados e a outra se
apresenta como fonte de informação. (...) Enquanto técnica de coleta de
dados, a entrevista é bastante adequada para a obtenção de informações
acerca do que as pessoas sabem, crêem, esperam, sentem ou desejam,
pretendem fazer, fazem ou fizeram, bem como acerca das suas explicações
ou razões a respeito das coisas precedentes. (p. 113, grifo nosso)
Conforme salientado por Gil, a entrevista possibilita a interação social. No caso desta
pesquisa, visa-se promover um contato mais próximo entre pesquisador e os quatro
professores participantes. Retornando ao item 4.1.1, em relação ao primeiro Objetivo
Específico (que versa sobre as concepções dos professores), a utilização da entrevista faz-se
necessário já que, como argumentado na citação acima, a mesma possibilita obter
M
ETODOLOGIA
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ESQUISA -
128
informações acerca do que as pessoas sabem, crêem, sentem, etc. Sobre a importância deste
instrumento à pesquisa social, Lüdke e André (1986) ressaltam o seguinte:
Ao lado da observação, a entrevista representa um dos instrumentos básicos
para a coleta de dados, dentro da perspectiva de pesquisa que estamos
desenvolvendo neste livro [pesquisa qualitativa]. Esta é, aliás, uma das
principais técnicas de trabalho em quase todos os tipos de pesquisa utilizados
nas ciências sociais. Ela desempenha importante papel não apenas nas
atividades científicas como em muitas outras atividades humanas. (...) Uma
entrevista bem-feita pode permitir o tratamento de assuntos de natureza
estritamente pessoal e íntima, assim como temas de natureza complexa e de
escolhas nitidamente individuais. (p. 33-34, grifo nosso)
Por meio desta citação é possível perceber a grande contribuição da entrevista à
pesquisa qualitativa. No caso desse trabalho, ao entrevistar os professores acerca de suas
posturas didáticas e idéias/crenças a respeito de assuntos educacionais – em especial a
Epistemologia Genética de Jean Piaget – a entrevista constitui-se um instrumento por
excelência, pois permite tratar de assuntos individuais e complexos (dos professores
participantes).
Entre as diversas variações das entrevistas existentes, a utilizada neste trabalho é
denominada entrevista estruturada ou padronizada. Em Gil (1991) observa-se:
A entrevista estruturada desenvolve-se a partir de uma relação fixa de
perguntas, cuja ordem e redação permanecem invariáveis para todos os
entrevistados, que geralmente são em grande número. (...) Entre as principais
vantagens das entrevistas estruturadas estão a sua rapidez e o fato de não
exigirem exaustiva preparação dos pesquisadores (...). (p. 117-118, grifo
nosso)
As justificativas que levam à escolha deste tipo de entrevista – nesta pesquisa –
apresentam-se sublinhadas na citação.
As autoras Lüdke e André (1986) complementam a argumentação de Gil, salientando:
Quando o entrevistador tem que seguir muito de perto um roteiro de
perguntas feitas a todos os entrevistados de maneira idêntica e na mesma
ordem, tem-se uma situação muito próxima da aplicação de um questionário,
com a vantagem obvia de se ter o entrevistador presente para algum eventual
esclarecimento. Essa é a chamada entrevista padronizada ou estruturada (...).
(p. 34)
Embora as referidas autoras aconselhem a utilização de entrevistas mais flexíveis, ou
seja, menos estruturadas, opta-se pela estruturada – nesta investigação – devido ao aspecto já
M
ETODOLOGIA
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ESQUISA -
129
citado por Gil (a questão da rapidez) e também pela certa inexperiência do pesquisador com
relação à condução das entrevistas.
Por questões de brevidade, seguem as justificativas dos Apêndices que fazem uso das
entrevistas estruturadas.
A
PÊNDICE
B
: (Categoria – Conhecimentos Pedagógicos)
Ambas as entrevistas buscam identificar as concepções dos professores com relação à
Epistemologia Genética de Jean Piaget, assim como conhecer – superficialmente – as
tendências educacionais estudadas durante a Formação Inicial. Além desses aspectos, visa
captar até que ponto os docentes, na Formação Inicial, tiveram oportunidade para refletir
sobre o ensino de Matemática às séries iniciais do Ensino Fundamental. As justificativas para
a elaboração de tais questões encontram-se presentes na pergunta diretriz da pesquisa, pois, ao
investigar sobre o conhecimento teórico dos professores a respeito do construtivismo
piagetiano, implicitamente já é verificada a questão concernente à utilização e conseqüências
da possível má-interpretação desta teoria à prática pedagógica.
A
PÊNDICE
E
:
O referido Apêndice é utilizado sempre após a aula observada (dos quatro professores)
ou ao término de um bloco de conteúdos. Define-se bloco de conteúdos o conjunto de
atividades que visam a abordagem de um conteúdo matemático em específico. Por exemplo, a
realização das entrevistas a P-II ocorreu duas vezes, isto é, após a observação de dois blocos
de conteúdos contendo quatro aulas cada.
As justificativas quanto à elaboração das seis questões que compõem o referido
Apêndice são apresentadas a seguir.
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em sala de
aula?
A primeira questão relaciona-se com o aspecto da postura didática adotada pelo
professor. Para compreender os encaminhamentos didáticos e metodológicos por ele utilizado,
é necessário deixar explícito os objetivos iniciais que o mesmo formula antes de aplicar a
aula. Com isso, visa-se identificar a consonância das ações do professor aos objetivos de
ensino dos conteúdos matemáticos a serem ensinados.
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
130
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e/ou habilidade(s) você acredita ter os alunos construídos
mediante interação com a aula proposta?
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e/ou habilidade(s) só foi possível mediante a
construção de algum conceito anterior?
A existência das perguntas acima se deve à tentativa de – implicitamente – analisar na
fala do professor momentos nos quais defende a idéia de conhecimento como construção. Por
ser um trabalho que investiga as contribuições do construtivismo piagetiano, tais
questionamentos fazem-se pertinentes. Além desse fator, é almejado identificar se no decorrer
das aulas observadas o docente pôde realizar uma Avaliação Diagnóstica (etapa do Método
Psicogenético) acerca das construções/desenvolvimentos cognitivos obtidos pelos alunos.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais (referentes
ao próprio conteúdo matemático) e/ou pedagógicos (disciplina, metodologia, materiais utilizados,
entre outros)?
Com relação a esta questão, a justificativa para sua elaboração é a necessidade de
mapear as dificuldades encontradas pelo professor no momento de promover o ensino da
Matemática. A partir do conhecimento destas dificuldades, pretende-se inferir os possíveis
motivos que levam o docente a adotar certos posicionamentos (opções metodológicas) em
detrimento de outros.
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e/ou habilidade(s) construídos pelos alunos durante esta
aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
Esta pergunta é proposta visando observar se o professor, em sua prática pedagógica,
utiliza a hipótese de conhecimento como construção contínua. Caso o docente diga que aceita
a idéia de conhecimento como construção, então, por implicação lógica condicional
43
, o
mesmo deve utilizar as estruturas cognitivas já construídas em um momento posterior.
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(is)? Pretende tomar
alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
A elaboração desta questão busca identificar aspectos subjacentes à Avaliação
Diagnóstica. Como proposto no Método Psicogenético, caso o professor verifique a não
construção das estruturas cognitivas, faz-se necessário uma mudança de postura correlata aos
encaminhamentos didáticos e metodológicos até então adotados.
43
A condicional constitui-se um argumento lógico, muito utilizado pela lógica formal aristotélica. Pela
definição: Sejam A e B duas premissas. Caso A seja verdadeira, e A implica B, ou em termos matemáticos:
BA
⇒
, então B será verdadeira. No texto, se [O conhecimento é resultado de contínuas construções
⇒
O
conhecimento posteriormente construído utilizar-se-á do já construído].
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
131
A
PÊNDICE
G
:
O referido Apêndice é constituído por quatro entrevistas destinadas aos professores P-
I, P-II, P-III e P-IV. A elaboração do roteiro (das perguntas) só foi possível após o término
das observações em sala de aula (Apêndice D) e da aplicação dos questionários e entrevistas
(Apêndices B, E). Almeja-se esclarecer alguns pontos/falas dos professores obtidos no
decorrer da pesquisa de campo. De modo geral, os critérios utilizados para a elaboração das
questões (sendo necessário salientar a existência de algumas perguntas iguais e outras
diferentes entre as quatro entrevistas) levam em consideração os itens teóricos já salientados
neste capítulo: o Método Psicogenético e o Estágio das Operações Concretas. Além desses,
são considerados como aportes teóricos os tópicos:
1. A construção de Estrutura Aditiva e Multiplicativa (ver no Capítulo 1), já que, os conteúdos
matemáticos abordados por todos os docentes (P-I, P-II, P-III e P-IV) versaram sobre o
bloco de conteúdo: Números e Operações. Assim, formular questões tratando deste assunto
permite estabelecer hipóteses com relação à utilização da Epistemologia Genética ao ensino
de conteúdos matemáticos.
2. A ocorrência da Equilibração Majorante: donde são elaboradas questões visando analisar a
ocorrência de situações didáticas que possibilite ao aluno construir alguma estrutura de
pensamento, mediante re-equilibração provocada por um desequilíbrio inicial. Estão inseridos
também os processos de assimilação e acomodação (já explicitados no Capítulo 1).
4.5.3 –
O Q
UESTIONÁRIO
Em relação ao instrumento utilizado, do mesmo modo como nos demais, são feitas
breves considerações teóricas. Conforme salienta Gil (1991):
Pode-se definir questionário como a técnica de investigação composta por
um número mais ou menos elevado de questões apresentadas por escrito às
pessoas, tendo por objetivo o conhecimento de opiniões, crenças,
sentimentos, interesses, expectativas, situações vivenciadas etc. (p. 124,
grifo nosso)
A expressão sublinhada exprime os motivos que levam à adoção do questionário nessa
pesquisa. Tais motivos atendem aos objetivos referentes às opiniões, crenças sobre o ensino
de Matemática, bem como as situações vivenciadas (em salas de aula no momento de abordar
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
132
os conteúdos matemáticos). O Apêndice B (Categorias A e B) é constituído por perguntas
abertas, fechadas e duplas. Sobre tais classificações, encontra-se em Gil (1991) o seguinte:
Perguntas abertas são aquelas em que o interrogado responde com suas
próprias palavras, sem qualquer restrição. Em virtude das dificuldades para
tabulação e análise, perguntas deste tipo são pouco recomendadas em
estudos descritivos ou explicativos. Cumprem, no entanto, importante papel
nos estudos formuladores ou exploratórios.
Perguntas fechadas são aquelas para as quais todas as respostas possíveis são
fixadas de antemão. Há casos em que são previstas apenas as respostas “sim”
ou “não” (dicotômicas). Mas há também casos em que as mesmas perguntas
admitem número relativamente grande de respostas possíveis (múltipla
escolha).
As perguntas duplas, por fim, reúnem uma pergunta fechada e outra aberta,
sendo esta última freqüentemente enunciada pela forma “por quê?”. (p. 127,
grifo nosso)
Faz-se necessário salientar que no decorrer do trabalho são adotados os três tipos de
perguntas citadas acima. Cada tipo (conforme denotado por Gil) desempenha funções
diferenciadas. Com relação às perguntas abertas, as suas utilizações neste estudo visam
explorar idéias – que o professor possui/defende – acerca do ensino de Matemática, bem
como de sua formação inicial.
No quadro a seguir são apresentadas as classificações das perguntas – presentes no
Apêndice B (subdivididas nas Categorias A: Informações Contextuais e B: Prática
Profissional) – considerando as definições abertas, fechadas e duplas.
Questões:
Aberta Fechada
Dupla
Categoria A
2 - 3 – 4
X
1 – 2
X
3 - 5 – 8
X
Apêndice B
Categoria B
4 - 6 – 7
X
Quadro 22 – Classificação das perguntas contidas nos questionários.
Após tal exposição, são realizados comentários/justificativas acerca das categorias de
perguntas: A e B contidas no Apêndice B.
A
PÊNDICE
B
:
Como já exposto no item 4.4.2, tal instrumento é destinado aos quatro professores: P-
I, P-II, P-III e P-IV. A existência da Categoria A: Informações Contextuais
(formada por 5
questões) visa identificar os aspectos contextuais do professor. Ou seja, o tempo de
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
133
magistério, a Formação Acadêmica e suas experiências profissionais. No tópico 4.3.1
apresentam-se delineadas estas perguntas, assim como a importância das mesmas à
constituição do ‘pano de fundo’, do cenário – aspecto vital a ser construído/constituído –
quando se opta pelas abordagens qualitativas.
Já a Categoria B: Prática Profissional, busca recolher, ‘mapear’ idéias e experiências
dos professores acerca dos assuntos:
1. O ensino de Matemática (crenças e concepções teóricas);
2. Os encaminhamentos didáticos e metodológicos adotados e
3. Formação Continuada.
A
PÊNDICES
A
,
C
e
F
:
Os referidos apêndices não constituíram instrumentos à coleta dos dados. Apenas
foram elaborados visando explicar aos participantes os objetivos da situação a ser investigada,
bem como algumas idéias principais sobre a Epistemologia Genética. Faz-se imprescindível
ressaltar que o Apêndice F:
“Alguns pontos da Epistemologia Genética de Jean Piaget”
só
foi disponibilizado aos professores ao término da pesquisa de campo. Este procedimento foi
adotado pois o conhecimento deste material talvez influenciasse a postura dos docentes
participantes.
Enfim, a variedade dos instrumentos denotados permite a realização da triangulação;
propiciando também uma melhor descrição das situações (dos casos) investigadas.
Como apontado por Lüdke e André (1986):
“Concluindo, podemos dizer que o estudo
de caso “qualitativo” ou “naturalístico” encerra um grande potencial para conhecer e
compreender melhor os problemas da escola. Ao retratar o cotidiano escolar em toda a sua
riqueza, esse tipo de pesquisa oferece elementos preciosos para uma melhor compreensão do
papel da escola e suas relações com outras instituições da sociedade. (p. 23-24)”
.
4.6 –
P
ROCEDIMENTOS
A
DOTADOS
N
A
C
OLETA
D
OS
D
ADOS
Inicia-se a discussão denotando as seqüências nas quais os instrumentos para a coleta
dos dados e as fichas informativas (isto é, os apêndices) são utilizados com os participantes.
Para tanto, segue o organograma:
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
134
Organograma 3 – Seqüência das ações à coleta de dados com P-I, P-II, P-III e P-IV.
Assim como a constituição dos instrumentos à coleta de dados é de extrema
importância para qualquer pesquisa científica, os procedimentos adotados durante a coleta
também o são. A objetividade e a clareza destes processos ampliam as possibilidades de
obtenção de dados autênticos, ou seja, informações fidedignas
44
. Por questões de
sistematicidade, apresentam-se separadamente os procedimentos utilizados para a observação
de campo, entrevistas e questionários.
4.6.1 –
A O
BSERVAÇÃO
D
E
C
AMPO
As observações das aulas dos quatro professores participantes objetivam identificar os
procedimentos didáticos e metodológicos utilizados pelos docentes durante as aulas de
Matemática. Visando retratar a realidade (sala de aula) de forma completa e profunda –
conforme apontado por Lüdke e André (1986) – além do preenchimento do Quadro 19:
“Procedimento Didático e Metodológico E Materiais Utilizados pelo professor”
, já
salientado no item 4.4.1, adotar-se-ão as seguintes ações:
44
Sabe-se que a coleta dos dados é influenciada pelo olhar do pesquisador, tendo em vista que nossas
concepções e crenças selecionam alguns aspectos observados e discriminando outros.
Aos professores
:
P
-
I
,
P
-
II
,
P
-
III
e
P
-
IV
:
1º - Apêndice A.
2ª - Apêndice C.
3º - Apêndice B.
4º - Apêndice E.
5º - Apêndice G.
6º - Apêndice F.
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
135
Organograma 4 – Ações utilizadas na observação das aulas de Matemática.
Com relação ao item 2. – do referido organograma – no momento da gravação o
pesquisador anota o tempo (em minutos e segundos) que, segundo o seu olhar, representa
momentos interessantes de serem transcritos. Tais momentos interessantes configuram
situações de sala de aula onde é possível identificar concepções educacionais concernentes à
teoria educacional construtivista piagetiana. Também são transcritas situações em que o
docente interage com os alunos ou explica algum conteúdo matemático. Visando retratar com
detalhes a situação ‘gravada’ na mente do pesquisador, todas as transcrições das aulas
ocorrem logo após a observação das mesmas.
No Apêndice D é deixado também espaço para registrar informações contextuais, tais
como o dia, o local, duração da aula observada e qual(s) aula(s) ordinalmente é investigada(s).
Tal procedimento corrobora com as idéias expostas por Lüdke e André (1986):
A forma de registrar os dados também pode variar muito, dependendo da
situação específica de observação. Do ponto de vista essencialmente prático,
é interessante que, ao iniciar cada registro, o observador indique o dia, a
hora, o local da observação e o seu período de duração. (p. 32)
Como mostrado no organograma, a ação 3. subdivide-se em duas. A 3.1 representa a
anotação por escrito da maioria das ações realizadas durante a aula (sejam as atividades
entregues ou esquemas explicativos escritos na lousa pelo professor ou pelos alunos). A este
registro seguem os comentários do pesquisador onde se relata como ocorreu a interação
professor e aluno. Nos Apêndice H, I, J e K encontram-se as transcrições das aulas observadas
e das entrevistas de P-II, P-I, P-III e P-IV, respectivamente.
Observação
de Campo –
Ações:
1. Preenchimento do
Quadro 13.
2. Gravação em áudio de
toda a aula.
3. Registro por escrito.
Dividido em:
3.1.
Anotações das
interações decorridas
durante a aula.
3.2.
Anotações das
reflexões do pesquisador
durante a situação
investigada.
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
136
Para diferenciar o que é referente aos escritos da lousa/atividades disponibilizadas pelo
professor participante e os comentários do pesquisador/observador, utilizam-se as seguintes
estratégias:
Primeira estratégia:
Anotar em quadros – com margem pontilhada – as atividades entregues pelo professor participante,
assim como os esquemas explicativos que o mesmo registra na lousa.
[Segunda Estratégia: escrever entre colchetes – em negrito e itálico – os comentários do pesquisador
concernentes à dinâmica de sala de aula observada].
Tais medidas procuram distinguir o que o professor faz daquilo que é observado pelo
pesquisador. Como apontado por Lüdke e André (1986):
Sempre que possível, é interessante deixar bem distinto, em termos visuais,
as informações essencialmente descritivas, as falas, as citações e as
observações pessoais do pesquisador. Outro procedimento prático é mudar
de parágrafo a cada nova situação observada (...). Essas medidas têm um
caráter meramente prático, no sentido de ajudar a organização e a análise dos
dados, tarefa extremamente trabalhosa e estafante. (p. 32-33)
O procedimento 3.2.: “Anotações das reflexões do pesquisador durante a situação
investigada” ocorre mediante o preenchimento da caixa de texto: Observações mais
relevantes, (ver no Apêndice D). Ou seja, durante a aula o pesquisador registra em tópicos
seqüências (1, 2, 3,...) as atitudes didático-metodológicas do professor que, segundo o mesmo,
representam momentos/episódios relevantes de serem analisados em ocasião posterior. Estes
episódios relevantes são assim caracterizados por constituírem-se situações nas quais há
possibilidades de inferir idéias correlatas ao construtivismo piagetiano e ao Método
Psicogenético.
Faz-se oportuno salientar que o período destinado às observações das aulas dos
professores P-I, P-II, P-III e P-IV é dividido em dois blocos. A figura a seguir explicita a
ordem dos dias/meses destinados às observações:
Abril – 2008
Domingo Segunda
Terça
Quarta Quinta Sexta Sábado
1
2 3 4 5
6 7
8
9 10 11 12
13 14
15
16 17 18 19
20 21
22
23 24 25 26
27 28
29
30
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
137
Maio – 2008
Domingo Segunda Terça
Quarta
Quinta Sexta Sábado
1 2 3
4 5 6
7
8 9 10
11 12 13
14
15 16 17
18 19 20
21
22 23 24
25 26 27
28
29 30 31
Legenda:
P-II
P-I
P-III
P-IV
Figura 6 – Disposição dos dias/semanas da observação de campo.
Como mostrado na ilustração, após a observação da primeira semana de aula do
professor, espera-se decorrer três semanas para, daí, retornar à sala do mesmo. Tal disposição
deve-se ao aspecto de ‘dar um tempo’, visando identificar algumas possíveis mudanças de
postura do professor – ou seja, nos seus encaminhamentos didáticos e metodológicos. Este
aspecto está em consonância com as idéias argumentadas por Lüdke e André (1986):
“Em
algumas pesquisas pode ser interessante haver diversos períodos curtos de observações
intensivas para verificar, por exemplo, mudanças havidas num determinado programa ao
longo do tempo. Em outros estudos pode ser mais adequado concentrar as observações em
determinados momentos, digamos no final de cada bimestre escolar. (p. 29)”
.
4.6.2 –
A E
NTREVISTA
Durante a realização das entrevistas são adotados os seguintes critérios:
1. Estabelecimento de interação entre pesquisador e professores participantes, no qual o
pesquisador tenta deixar o entrevistado à vontade. Como já salientado no sub-capítulo 4.3, as
relações de coleguismo já estabelecidas entre o pesquisador e os participantes auxiliaram na
promoção de um clima mais harmonioso.
2. A leitura pausada das questões e, se necessário, uma segunda leitura da mesma.
3. Deixar à vista do professor, sobre a mesa, as perguntas que compõem a entrevista. Isto para
que os mesmos tenham a oportunidade de ler o enunciado, caso julguem necessário.
Para o registro das entrevistas utiliza-se a gravação em áudio. Concomitante a esta são
anotadas – nas linhas abaixo de cada pergunta (Ver Apêndices B, E e G) – as expressões do
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
138
entrevistado, bem como as mudanças de postura do mesmo. No momento de transcrever todas
as entrevistas, o pesquisador utilizou os seguintes recursos:
1. Posterior a algum trecho da fala, registrar entre parênteses () situações em que o professor
muda seu comportamento, se expressa gestualmente ou refere-se a algo ocorrido em sala de
aula.
2. Inserir o ponto de interrogação (?) ou de exclamação (!) quando o tom das respostas assim
o pede.
Faz-se necessário ressaltar que as transcrições das entrevistas ocorrem após a
realização das mesmas, buscando aproveitar os principais aspectos da conversa registrados na
memória do pesquisador. Sobre a transcrição, encontra-se em Günther (2006) o seguinte:
A transcrição de material verbal pode tomar as mais variadas formas. A
maneira mais detalhada é a transcrição literal de uma entrevista gravada com
a inclusão de sinais indicando entonações, sotaques, regionalismo e “erros”
de fala. É a transcrição mais completa, mais informativa e, também, a mais
cara em termos de tempo e de dinheiro. Existe a transcrição comentada, não
necessariamente mutuamente excludente da anterior, na qual se registra
explicitamente hesitações na fala além das expressões faciais e corporais que
acompanham as verbalizações da pessoa. (p. 206)
Embora, como salientado por Günther, a transcrição literal seja trabalhosa-cansativa,
opta-se por esta modalidade de transcrição acompanhada de comentários do pesquisador.
Lüdke e André (1986) também exprimem comentários acerca do registro de entrevistas:
Como registrar os dados obtidos? As duas grandes formas de registros
suscitam grandes discussões entre os especialistas e carregam consigo seus
defeitos e virtudes. São elas a gravação direta e a anotação durante a
entrevista. A gravação tem a vantagem de registrar todas as expressões orais,
imediatamente, deixando o entrevistador livre para prestar toda a sua atenção
ao entrevistado. Por outro lado, ela só registra as expressões orais, deixando
de lado as expressões faciais, os gestos, as mudanças de postura e pode
representar para alguns entrevistados um fator constrangedor.
(...) O registro feito através de notas durante a entrevista certamente deixará
de cobrir muitas das coisas ditas e vai solicitar a atenção e o esforço do
entrevistador, além de tempo necessário para escrever. Mas, em
compensação, as notas já representam um trabalho inicial de seleção e
interpretação das informações emitidas. (p. 37, grifo nosso)
É devido a esses aspectos positivos e negativos de ambas as formas de registros que se
utiliza nesta pesquisa a transcrição literal comentada – proveniente da gravação em áudio e
das notas obtidas durante a entrevista.
M
ETODOLOGIA
D
E
P
ESQUISA -
139
Por fim, cabe ressaltar que no término de cada entrevista o pesquisador agradece a
participação dos professores, salientando a imensa contribuição prestada à pesquisa. Além de
configurar um estímulo positivo à realização de uma entrevista posterior, essa cordialidade é
necessária ao estabelecimento de uma melhor interação para com o participante.
4.6.3 –
O Q
UESTIONÁRIO
Como o questionário é um instrumento a ser preenchido em ocasiões nas quais o
pesquisador não está presente, levam-se em consideração alguns aspectos. Em Gil (1991)
observam-se tais aspectos:
A apresentação material do questionário merece particular atenção,
sobretudo porque as respostas devem ser dadas sem a presença do
pesquisador. Como a apresentação material constitui, na maioria dos casos, o
mais importante estímulo para a obtenção das respostas, cuidados especiais
deverão ser tomados em relação a:
a) Apresentação gráfica (...)
b) Instruções para preenchimento (...)
c) Introdução do questionário. (p. 131-132)
Tais cuidados são adotados no momento de elaborar os questionários utilizados na
presente pesquisa (conforme denotado no Apêndice B). Assim, após entregar os questionários
aos quatro professores, é disponibilizado certo tempo (em média uma semana) para a
devolução dos mesmos. No momento da entrega o pesquisador observa se os questionários
apresentam-se preenchidos corretamente, agradecendo a colaboração para com a pesquisa.
Espera-se, a partir das considerações realizadas neste capítulo, terem sido esclarecidas
as questões relativas ao
como
a pesquisa desenvolve-se. Mais uma vez salienta-se que em toda
a pesquisa – seja numa abordagem qualitativa ou quantitativa – a objetividade e clareza dos
instrumentos e procedimentos de coleta dos dados utilizados são de vital importância para o
estabelecimento de hipóteses/conclusões fidedignas.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
140
C
APÍTULO
5
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS
Sei que mudança é coisa difícil e que toda espécie de
argumentos pode ser apresentada contra qualquer mudança;
desses argumentos o não menos importante é aquele que
afirma que qualquer coisa proposta como mudança ainda
não foi tentada. E como não foi tentada, não sabemos se dará
certo. Logo... nenhuma mudança. (FURTH, 1997, p. 220)
No presente capítulo discutem-se os dados coletados provenientes da pesquisa de
campo realizada nas escolas E-I e E-II. Nessa discussão são analisados os encaminhamentos
didáticos e metodológicos empregados por P-I, P-II, P-III e P-IV. Opta-se por analisar as
práticas de P-II e P-IV mais detalhadamente – em profundidade – devido às grandes
diferenças existentes entre as mesmas, ou seja, na primeira observa-se uma aula de
Matemática ‘
caracteristicamente tradicional (expositivo-transmissiva)’;
em contrapartida, na
segunda (P-IV), denotam-se encaminhamentos didáticos ‘
mais construtivistas
’. As pesquisas
de campo realizadas com P-I e P-III são discutidas de um modo geral. Tal decisão deve-se a
dois motivos:
1. Pelo fato da prática de P-I apresentar grandes similaridades
45
com a de P-II, então, discuti-
la em profundidade seria de certo modo redundante.
2. Como a prática pedagógica de P-III possui alguns elementos do Método Psicogenético,
então, deixar-se-á a realização de uma análise mais profunda desses elementos – nas aulas de
Matemática – quando for discutida a prática de P-IV.
Assim, a escolha pela discussão geral das práticas de P-I e P-III visa não tornar
‘repetitivas’ as discussões/inferências teóricas denotadas neste capítulo. Faz-se interessante
apontar a ocorrência de certas generalizações quando comparadas as práticas de P-I e P-II,
embora as mesmas tenham sido realizadas por dois profissionais ‘diferentes’ constituídos por
saberes (experienciais, formação profissional, disciplinares, curriculares) diversificados.
O objetivo norteador da pesquisa busca verificar na prática docente – dos professores
45
Faz-se oportuno salientar a possibilidade de analisar em profundidade a prática de P-I no lugar de P-II devido
às grandes semelhanças entre as mesmas. A escolha pela análise mais detalhada de P-II, desse modo, não se
deve a nenhum critério.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
141
participantes – a utilização da Epistemologia Genética de Jean Piaget para o ensino de
Matemática. Para tanto, além de ‘mapear’ as concepções dos docentes com relação ao ensino
(de Matemática), são analisadas as estratégias didáticas adotadas por eles. Conforme Tardif
(2002), ao tomar determinados procedimentos didáticos o professor assume uma postura
pedagógica, isto é, uma teoria de ensino e aprendizagem. Assim, ao analisar o que o professor
fala, e, ao verificar o que ele faz, torna-se possível constatar a adoção (ou não) da teoria de
Piaget no ensino de Matemática.
Corroborando com a fala da epígrafe, pretende-se observar até que ponto o
construtivismo piagetiano tem sido utilizado pelos professores participantes. De modo algum
defende-se a idéia de que a Epistemologia Genética resolva ‘todos’ os problemas da
Educação. Porém, acredita-se que pela sua
sólida
explicação acerca do modo como o homem
aprende, é possível desenvolver estratégias didáticas que auxiliem o aluno a construir o
conhecimento lógico-matemático.
A discussão – denotada a seguir – dos dados coletados de cada um dos três ‘grupos’
(P-II; P-I e P-III; P-IV) obedece à seguinte seqüência:
1º – Análise do
Questionário
/
Entrevista
Inicial
(Apêndice B).
2º – Discussão dos registros provenientes das observações realizadas em sala de aula. Neste
momento verifica-se a ocorrência das etapas do Método Psicogenético na prática docente dos
professores participantes, assim como o modo referente à abordagem das estruturas aditivas e
multiplicativas.
3º – Análise das falas obtidas por meio da
Entrevista
/
Conversa Final
(Apêndice G).
5.1 –
A
P
ESQUISA
D
E
C
AMPO:
P
ARTICIPAÇÃO
D
E
P
-
II
P-II ministra aulas na E-I para alunos da 2ª série do Ensino Fundamental. Professora
efetiva da rede estadual, iniciou a sua carreira docente há pouco tempo (aproximadamente há
1 ano). Sua experiência com alunos desta série é
inédita
, tendo atuado anteriormente com
alunos da 3ª série do Ensino Fundamental. Academicamente, possui as seguintes formações:
1. Magistério na Modalidade Ensino Médio (pelo extinto CEFAM
46
) e 2. Licenciatura Plena
em Pedagogia.
46
CEFAM - Centro Específico de Formação e Aperfeiçoamento do Magistério consistiu-se num projeto de
iniciativa do governo estadual em parceria com a Secretaria da Educação (Estado de São Paulo) cujo objetivo era
a formação de professores - em nível médio - para atuarem na educação infantil e nas quatro primeiras séries do
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
142
A primeira aproximação com a docente deu-se mediante a apresentação do Apêndice
C – Ficha Inicial. Nesta, definiram-se os objetivos da presente pesquisa, bem como a ‘grande’
importância da participação da professora ao estudo.
Os itens a seguir ressaltam os resultados provenientes do estudo de um caso onde se
pretendeu analisar – em profundidade – a prática docente da referida professora concernente
ao ensino de Matemática.
5.1.1 –
O
S
R
ESULTADOS
D
O
Q
UESTIONÁRIO/
E
NTREVISTA
I
NICIAL
O instrumento no qual consta o Questionário/Entrevista Inicial é denominado
Apêndice B. É constituído por três categorias: A –
Informações Contextuais
; B –
Prática
Profissional
e C –
Conhecimentos Pedagógicos
. As duas primeiras são apresentadas em
forma de questionário, já a última representa uma entrevista (gravada em áudio).
A categoria A já foi explicitada no Capítulo 4, quando realizada a caracterização dos
participantes (tópico 4.3.1). Logo, segue a exposição-reflexão das oito respostas decorrentes
da categoria B. Antes de iniciar, faz-se necessário salientar que todos os instrumentos
utilizados encontram-se nos Apêndices.
As questões 1 e 2 visaram identificar a relação da professora com a Matemática
enquanto aluna e docente, respectivamente. Obtendo como resposta a alternativa
Bom
, é
possível denotar que os saberes experienciais provenientes da relação com esta disciplina
deram-se de modo satisfatório. Como apontado por Tardif (2002), estes saberes influenciam
em muito a prática pedagógica do professor; logo, ao ter verificado que a docente possui uma
‘
boa relação
’ com a Matemática, descarta-se a possibilidade de aversão para com esta
disciplina. Este aspecto emocional – conforme denotado por alguns estudos (Santos, 2005;
Viana, 2000; Pirola, 2000) – influencia a postura do professor ao ensinar Matemática.
Já a pergunta 3 pretendeu identificar os conteúdos matemáticos tidos como difíceis de
serem ensinados pela professora. Os assuntos: Espaço e Forma e Sistema de Numeração
foram apontados como os
mais complicados
. Para justificar tais escolhas, P-II alega não ter
tido uma formação consistente, o que nos leva a interpretar como certa ‘
defasagem’
durante
sua formação enquanto aluna em relação a estes saberes disciplinares. Decorre desta resposta
Ensino Fundamental. Tal projeto teve seu início no final da década de 1980 em resposta à falta de professores
para atuarem nestas duas etapas da Educação Básica. Devido à nova política educacional (LDBEN 9394/96), os
CEFAMs foram ‘desativados’ em 2005, tendo em vista que a formação de professores para atuarem em qualquer
nível de ensino deve ser feita em instituições de ensino superior – através das licenciaturas plenas.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
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ADOS -
143
que a professora acredita ser difícil ensinar algo que ela mesma não construiu conceitualmente
de modo pleno; tal fato corrobora com a íntima relação existente entre os vários saberes que
compõem a prática docente. Como os saberes disciplinares não foram contemplados
satisfatoriamente, então, torna-se difícil elaborar estratégias didáticas para o ensino dos
mesmos. Assim, mesmo tendo conhecimento dos saberes profissionais (em específico a teoria
de Piaget) o professor apresentará maiores dificuldades no momento de elaborar/constituir
seus saberes curriculares.
Sobre a questão 4, objetivou-se verificar a participação da docente em Cursos de
Formação Continuada sobre o ensino de Matemática nas séries iniciais. Obtida como resposta
a não participação, faz-se possível sugerir duas justificativas: 1. A não oportunidade de
participação em cursos desta temática; OU 2. O não interesse neste tipo de formação. Após
um considerável ‘convívio’ com P-II, acredita-se que esta resposta é explicada pela
justificativa 1., já que esta professora apresentou, no decorrer da pesquisa de campo, grande
interesse e preocupação com relação ao ensino de Matemática nas séries iniciais. Porém, vale
ressaltar que esse interesse talvez decorra da convivência de P-II com o pesquisador, tendo o
mesmo influenciado indiretamente a docente investigada.
Com relação à pergunta 5, a sua importância deve-se à possibilidade de ‘mapear’ as
estratégias didáticas e metodológicas e os materiais que a professora mais utiliza para ensinar
os conteúdos matemáticos. Como já exposto, os procedimentos adotados pelo docente,
implicitamente demonstram a postura pedagógica assumida por este. No Quadro 23 é
apresentada a distribuição dos procedimentos e materiais utilizados nas categorias: FR, PO,
RA, NC. Estas categorizações denotam quais procedimentos e materiais didáticos P-II
acredita utilizar em
maior
e
menor
freqüência durante suas aulas de Matemática.
A partir das informações salientadas no Quadro 23 pode-se perceber que os
procedimentos mais utilizados pela professora – segundo sua resposta – incidem sobre
o seu
agir
, ou seja, estão centrados em suas ações.
Expor oralmente os conteúdos
,
falar o que fazer
aos alunos
e
solicitar
atividades
individuais constituem
as estratégias utilizadas pela P-II em
quase todas as aulas. Juntamente com tais estratégias, a lousa e o giz fazem-se presentes,
reforçando a questão da aula expositiva. A análise da observação de campo – exposta no
próximo item – irá corroborar com tal fato, mostrando a coerência entre o que a docente fala e
aquilo que realmente faz.
A
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144
P-II
CATEGORIAS
FR PO RA NC
1. Exposição Oral feita pelo professor.
X
2. Agrupamento dos alunos para realização de atividades sugeridas
pelo professor.
X
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor.
X
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos matemáticos.
X
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
X
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
X
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
X
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em outras áreas
do conhecimento.
X
9. Atividades envolvendo materiais concretos manipulativos.
X
10. Confecção de algum material pelos alunos.
X
Procedimento Didático e Metodológico
11. Atividades lúdicas como: dramatizações, brincadeiras, entre
outras.
X
1. Lousa e giz.
X
2. Livro didático.
X
3. Revistas e jornais.
X
M
ateriais
Utilizados
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre de Hanói,
Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco, etc.
X
Quadro 23 – Distribuição dos Procedimentos e Materiais nas Categorias FR, PO, RA e NC de P-II.
As estratégias que envolvem:
aplicação de jogos
,
interação entre os alunos
,
trabalhos
intra e interdisciplinar
e
atividades mediante uso de materiais manipulativos
foram
categorizados como pouco utilizados. Disto, é possível sugerir que os alunos possuem:
poucas
oportunidades para trocarem idéias entre si
, e
insuficientes momentos para ‘organizar’ seu
pensamento recorrendo ao concreto
. A propósito deste último aspecto, já fora discutido o
porquê da necessidade do agir no concreto pelo estudante, garantindo, assim, a realização da
experiência (física e lógico-matemática). Em relação aos materiais que receberam a mesma
categorização, observa-se a presença do
livro didático
e
materiais manipulativos
. Conforme
denotado pela resposta da professora, a pouca utilização de materiais concretos deve-se à
pouca disponibilidade destes materiais pela escola. A respeito da questão da
importância
do
concreto
– neste nível de ensino – discussões far-se-ão nos próximos itens.
Por fim, do Quadro 23 é possível apontar que os alunos são raramente agrupados para
a promoção de dinâmicas de grupo. Como a dinâmica de grupo representa um dos pontos
centrais do Método Psicogenético, então, ao não utilizá-la freqüentemente, podemos supor
que tal método não se faça tão presente na prática docente de P-II. Porém, uma análise mais
detalhada apresentar-se-á no momento de discutir as estratégias didáticas observadas durante
as aulas.
Ao analisar as respostas provenientes das questões 6 e 7 – do Apêndice B, categoria B
(que trataram das temáticas: Matemática/Cotidiano e a necessidade de ensinar conteúdos
A
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145
matemáticos, respectivamente) percebe-se que a professora enalteceu a importância do
cotidiano ao ensino de Matemática. De modo algum se nega tal importância, pois atividades
que vinculam a vida dos alunos auxiliam na ativação dos esquemas de assimilação. Conforme
Piaget, graças ao mecanismo de assimilação, o sujeito ‘transforma’/interpreta o meio em
‘substâncias’ possíveis de serem ‘incorporadas’ pelas estruturas cognitivas. Porém, uma
interpretação superficial deste aspecto tem levado os professores a declararem
slogans
sugerindo o exclusivo ensino de conteúdos matemáticos aplicáveis na vida diária. É tão
inverdade tal proposição, que o objetivo do ensino de Matemática na Educação Primária é
‘levar’ o aluno a,
progressivamente
, construir estruturas lógico-matemáticas que lhe permitam
estabelecer hipóteses por meio do raciocínio dedutivo. Assim, acredita-se que se no início o
“cotidiano” faz-se imprescindível, ao término do Ensino Fundamental o estudante deve (ou
deveria) estar apto a raciocinar em outras esferas – além do cotidiano.
Sobre a pergunta 8 (pertencente ao Apêndice B, categoria B), sua ocorrência visou
identificar como a professora concebe a questão da interação com relação ao ensino de
Matemática. Embora admita que seja importante a ‘
troca de vivências e experiências
’, ao
confrontarmos com os resultados da questão 5, percebe-se que a docente não promove
freqüentemente estratégias didáticas que propiciem esta interação.
Ao todo, a partir da categoria B pode-se conhecer: algumas das concepções de P-II
concernentes ao ensino de Matemática; as condições de trabalho enfrentadas; e, quais
estratégias e materiais ela utiliza com maior freqüência em sua prática docente.
Com relação à entrevista gravada em áudio (ver sua transcrição literal e integral no
Apêndice H. I) será feita uma análise a partir de alguns trechos retirados das falas da
professora. Sobre a questão 1, P-II ressaltou não ter tido oportunidades para refletir sobre o
ensino de Matemática durante a sua formação acadêmica. Observe uma parte de sua fala:
“
Para refletir não. Tem a parte didática (...) como você ensina Matemática. Mas não assim,
bem superficial (...)
”. Esta resposta corrobora com a justificativa expressa na pergunta 3 –
discutida anteriormente. Estabelecendo um paralelo com os saberes docentes, percebe-se certa
‘defasagem’ em relação aos saberes da formação profissional (Didática, Metodologia) e os
disciplinares (Matemática). Como pontuou a docente: “
(...) na faculdade, você tem uma aula
por semana de Matemática (pedagogia), ensino de Matemática, e praticamente não é nada
para um professor.
”.
Quando questionada sobre as Teorias Educacionais estudadas durante a Formação
Inicial – pergunta 2 – a professora citou o construtivismo. Porém, não especificou quais
autores pertencentes a esta teoria foram alvo de análise. O trecho a seguir salienta de que
A
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146
modo ocorreu o contato com esta teoria: “
Teoria educacional? Bom, foi bastante abordado na
faculdade o construtivismo ‘né’, mas sempre jogado.
”. Ao utilizar o termo sempre jogado, P-
II indiretamente aponta não possuir um conhecimento aprofundado sobre o construtivismo.
Tal fato ratifica as conclusões de Rapoport e Silva (2006) e de Gebara e Marin (2005) a
respeito da difusão superficial da teoria construtivista no meio educacional. Uma justificativa
para esta ocorrência, segundo esta docente, deve-se ao não entendimento dos próprios
professores universitários sobre este assunto; observe: “
Mesmo na faculdade, os professores
mesmos não entendem, assim, para passar para a gente.
”. Além de se constituir uma
preocupante denúncia, um contato não aprofundado com esta teoria influencia a prática
docente, pois um dos saberes que constituem o fazer docente não fora contemplado
satisfatoriamente.
Outra fala que merece atenção apresenta-se a seguir: “
(...) muitas vezes, fala assim –
ah, tem que usar a teoria construtivista – eles falam para você no curso. Quando você chega
na sala de aula é outra realidade, é outra vivência, às vezes o mínimo que seu aluno tem não
é suficiente para partir pro construtivismo.
”. Tal verificação – dos conhecimentos dos alunos
não serem suficientes para a utilização do construtivismo – pode ser relacionada com a
questão do ‘choque’ inicial sofrido pelo professor nos primeiros anos de docência. Sobre isto
Tardif (2002) argumenta:
(...) o início da carreira representa também uma fase crítica em relação às
experiências anteriores e aos reajustes a serem feitos em função das
realidades do trabalho. Ora, este processo está ligado também à socialização
profissional do professor e ao que muitos autores chamaram de “choque com
a realidade”, “choque de transição” ou ainda “choque cultural”, noções que
remetem ao confronto inicial com a dura e complexa realidade do exercício
da profissão, à desilusão e ao desencanto dos primeiros tempos de profissão
e, de maneira geral, à transição da vida de estudante para a vida mais
exigente de trabalho. (p. 82, grifo nosso)
Será que uma efetiva apropriação da teoria de Piaget não contribuiria para minimizar
este
choque
de
transição
? Conforme Collares (2001) e Caruso (2002), a Epistemologia
Genética contribui em muito à prática docente, pois, ao adotar uma postura construtivista, o
docente torna-se flexível para (re)discutir as suas atitudes/pensamentos. Esta flexibilidade
auxilia o professor a ‘re-equilibrar’ os saberes docentes anteriormente desequilibrados graças
à realidade escolar.
A questão 3 incidiu sobre a teoria de Piaget. Nesta, P-II afirmou conhecer os tópicos
principais da Epistemologia Genética; observe: “
(...) as fases do desenvolvimento da criança,
A
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147
da parte operacional desde lá do motor até o concreto, para ensinar o concreto. E aquela
questão da (...) é da acomodação, da assimilação, dessa parte, ele sabe, incorpora para ele
assimilar e desenvolver o novo conhecimento
”. Os termos sublinhados referem-se aos itens já
salientados no Capítulo 1. De um modo geral, a docente utiliza (ou diz utilizar) em sua prática
a noção geral acerca do processo de construção do conhecimento, ou seja,
os conteúdos
‘novos’ são construídos graças aos ‘antigos’ (já construídos).
Por último, a pergunta 4 pretendeu verificar possíveis críticas que a participante possui
com relação à teoria de Piaget. Antes de dizê-las, P-II admitiu ser superficial o seu
conhecimento a respeito desta teoria. Observe o trecho no qual este aspecto torna-se evidente:
“A
ssim, superficialmente porque, como eu falei - o construtivismo (...) é, se eu falar para
você que eu sei ele de cabo a rabo, que eu vi na faculdade, eu não sei, eu acho que é falho, eu
acho que me falta muito isso.
”. No último trecho sublinhado,
indiretamente
, a professora
apontou o interesse em aprofundar o construtivismo piagetiano; o que implica na crença de
sua possível e desejável utilização ao ensino (de Matemática). Em relação às críticas ressaltou
que algumas crianças não incorporam (assimilam), conforme defendido por Piaget. Como
evidenciado no Capítulo 1, durante o processo de ensino, se o aluno não ‘é colocado’ em
situações que ativem os seus esquemas de assimilação, então, provavelmente não será
possível
o seu agir
sobre o objeto (meio). Assim, não significa que a criança não sabe
incorporar, mas que os conteúdos abordados estão além de sua capacidade de assimilação.
Nas questões 3 e 4 P-II referiu-se ao tema do cotidiano, porém, como não observou-se
uma justificativa fundamentada a respeito deste assunto, acredita-se que a citação do mesmo
provém de uma interpretação superficial a respeito da Epistemologia Genética.
Contudo, embora afirme ser importante a teoria de Piaget ao ensino, a professora
demonstrou (por meio do questionário e da entrevista) possuir conhecimentos superficiais a
respeito da mesma. Sobre este aspecto, o item a seguir torna-se pertinente.
5.1.2 –
A
LGUMAS
I
NFERÊNCIAS
D
OS
R
ESULTADOS
D
A
O
BSERVAÇÃO
‘
T
OTAL’
Como abordado no capítulo anterior, a observação de campo caracterizou-se como
sendo do tipo total, ou seja, o pesquisador não interagiu com a professora e os alunos durante
a coleta dos dados. Vale ressaltar que mesmo sendo uma observação sem intervenção, o
A
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148
convívio com o pesquisador, em alguns aspectos, acabou influenciando a postura de P-II. O
‘simples’ fato de questionar a docente sobre as suas ações pode ter desencadeado um repensar
sobre os procedimentos didáticos que adotava. No Apêndice H apresentam-se os registros por
escrito, as transcrições de alguns momentos de todas as aulas observadas e das entrevistas
realizadas pós-aula. O considerável montante do material coletado permitiu ‘
estudar o caso
’
com certa profundidade, observando assim a rotina de P-II. Logo, foi possível verificar a
coerência entre o
seu
dizer
e o
seu fazer
.
A tabela abaixo denota a quantidade das aulas observadas, bem como o tempo total da
observação.
Tabela 1 – Dados numéricos da Observação Total de P-II.
Roteiros Aulas Tempo de Observação
1 e 2 1 a 4 3h20min
3 e 4 5 a 8 3h20min
5 e 6 9 a 12 3h20min
7 e 8 13 a 16 3h20min
Total de Horas:
13h20min
Cada roteiro corresponde ao preenchimento do Apêndice D – conforme já explicitado
no Capítulo 4. Para fins de sistematização, são analisados os roteiros pertencentes a cada dia
de observação. Concomitantemente, realizam-se discussões acerca do registro proveniente da
observação das aulas, bem como de alguns momentos gravados em áudio. Também são
denotados os resultados das entrevistas ocorridas após cada conjunto de aulas.
Antes, porém, faz-se oportuno analisar a tabela abaixo. Nesta, é possível perceber a
freqüência referente aos
Procedimentos Didáticos e Metodológicos
E
Materiais
Utilizados
por P-II ao término das 16 aulas.
Tabela 2 – Freqüência Total - Apêndice D - P-II.
(Nº.) Freqüência
Aulas:
Categorias
1
e
2
3
e
4
5
e
6
7
e
8
9
e
10
11
e
12
13
e
14
15
e
16
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. 4 4 3 2 3 2 1 1 20
2. Agrupamento dos alunos para realização
de atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
5 4 2 4 3 3 2 3 26
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e
professores.
4 1 1 3 4 13
Procedimento Didático e
Metodológico
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
A
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ISCUSSÃO
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149
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do
conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do
conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais
concretos manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos
alunos.
11. Atividades lúdicas como:
dramatizações, brincadeiras, entre outras.
12. Outros. 1 2 1 4 3 4 4 2 21
1. Lousa e giz. 3 5 4 6 6 6 4 2 36
2. Livro didático. 2 2 1 5
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare,
Tangram, Torre de Hanói, Blocos Lógicos,
Material Dourado, Ábaco, etc.
2 1 4 2 9
Materiais
Utilizados
5. Outros. 5 5 2 4 2 4 2 6 30
A tabela 2 evidencia a coerência entre a fala da professora (obtida por meio do
Questionário Inicial – ver Apêndice B) e a sua prática docente. A tabela abaixo denota a
freqüência percentual das categorias:
Procedimento Didático e Metodológico
E
Materiais
Utilizados
.
Tabela 3 – Distribuição do Total de Procedimentos e Materiais Utilizados por P-II (Nº e %).
Categorias Nº. %
1. Exposição Oral feita pelo professor. 20 25
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
26 32,5
5. Troca de idéias entre alunos e professores. 13 16,25
Registro na lousa. 20 25
Procedimento
Didático e
Metodológico
12. Outros:
Corrige o caderno do aluno. 1 1,25
Total
80 100
1. Lousa e giz. 36 45
2. Livro didático. 5 6,25
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
9 11,25
Caderno do aluno. 19 23,75
Atividades em folha de sulfite. 7 8,75
Carimbo. 1 1,25
Materiais Utilizados
5. Outros.
Lápis de cor. 3 3,75
Total
80 100
Mediante os dados numéricos e percentuais pode-se concluir que a rotina de P-II
praticamente é constituída pela tríade:
lousa-giz x exposição oral x atividades individuais
(tipo caderno e lápis).
Como já explicitado, em nenhum momento os alunos realizaram
atividades em grupo. Este fato vem ratificar o questionário (Apêndice B) no qual a docente
A
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150
alegou não disponibilizar freqüentes momentos às atividades grupais. Desse modo, percebe-se
que, na prática desta professora, a dinâmica de grupo (um dos pontos imprescindíveis do
Método Psicogenético) não se fez presente. O outro ponto deste método, a avaliação
diagnóstica, também não ocorreu freqüentemente, sendo observado somente um momento em
específico no qual a docente avaliou individualmente o caderno de cada aluno (ver no
Apêndice H. II. 4).
Sobre a
avaliação diagnóstica
, Lima (1973) expõe os benefícios da dinâmica de grupo
à realização deste
olhar do professor
. Assim, como P-II não realizou tal dinâmica, então,
pudemos constatar as dificuldades da professora na realização da avaliação diagnóstica tendo
em vista o número considerável de alunos (n = 34).
Na Tabela 3, em relação à categoria
Materiais Manipulativos
, a sua utilização deu-se
mediante a exposição-explicação dos conteúdos matemáticos feitos oralmente por P-II. Logo,
os estudantes não tiveram oportunidade de ‘manipular o seu pensamento’ recorrendo ao
concreto. Este fator, de suma importância ao desenvolvimento cognitivo do sujeito ao nível
operatório-concreto, não ocorrera – segundo a professora – devido à falta de materiais
manipulativos na unidade escolar. Sobre esta questão, Cunha (1973) salienta:
O problema do material, já que a manipulação é fundamental na
aprendizagem, poderá ser resolvido economicamente através de um pouco
de imaginação e habilidade por parte da professora. Assim, é possível
recortar figuras geométricas de vários tamanhos, formas e cores para o
exercício das operações de classificação lógica: objetos vários poderão ser
seriados por seus tamanhos, pesos, volumes e matizes: pedrinhas, conchas,
botões e outros pequenos objetos servirão a esse propósito. (p. 46)
Embora Cunha aponte algumas soluções, não seria o momento de nos questionarmos
acerca da responsabilidade das escolas em fornecer aos professores esses materiais? Se é fato
que as diretrizes educacionais apontam para a importância de práticas construtivistas, então,
por que não garantir condições favoráveis para este trabalho?
Das respostas obtidas no questionário inicial e da observação das aulas, a triangulação
dos dados permite evidenciar a coerência entre a fala e a prática de P-II a respeito das
estratégias didáticas e materiais utilizados.
Como um dos objetivos específicos deste trabalho reside em analisar o tratamento
didático-metodológico ‘dado’ ao ensino de Matemática e retratar a realidade (sala de aula) de
forma completa e profunda
– Lüdke e André (1986, p. 19) – então, será realizada uma
discussão referente a cada dia de observação.
A
NÁLISE
E
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151
Durante todas as aulas os estudantes estiveram dispostos um após o outro (em fileiras)
realizando as atividades solicitadas pelo professor individualmente. Mesmo as carteiras de E-I
sendo duplas não se observaram atividades em duplas. Esta disposição da sala de P-II suscita
a ocorrência de uma postura de ensino
caracteristicamente
tradicional. Nesta, o professor
expõe aos alunos os conteúdos a serem aprendidos, para posteriormente verificá-los por meio
de atividades solicitadas individualmente. A observação de campo realizada durante os dois
meses supõe que esta posição é adotada pela professora em grande parte de sua prática
pedagógica. Torna-se válido registrar que o objetivo desta pesquisa não consiste em julgar
(certo/errado) as estratégias dos docentes. Pretende-se identificar nestas alguns ‘reflexos’ da
teoria de Piaget, bem como buscar redimensioná-las utilizando as idéias deste pesquisador.
Ao caracterizar a postura didática de P-II, a teoria epistemológica mais condizente refere-se à
empirista, ou seja, o conhecer pelo aluno provém (
quase que exclusivamente
) da
influência/transmissão realizada pelo professor. No esquema abaixo o professor (meio) ‘age’
no aluno (indicado pela seta) de modo unidirecional, ou seja, ao estudante cabe o papel de
receber do docente o conteúdo escolar. Observe:
Meio
(Professor)
5.1.2.1 –
R
OTEIROS
1
E
2
:
A
ULAS
1
A
4
–
P
-
II
Durante as quatro primeiras aulas, a docente expôs para os estudantes os seguintes
conteúdos matemáticos: a operação aritmética de adição; as grandezas de medidas: dezena,
dúzia, meia dúzia; a numeração indo-arábica e seu aspecto posicional (ou seja, o valor
quantitativo do algarismo deve-se a sua posição qualitativa. Por exemplo, embora 1 e 10
possuam o mesmo algarismo [1], no primeiro caso a posição deste indica uma unidade, no
segundo sua colocação na segunda casa decimal equivale a uma dezena). Além desta
exposição verbal, os alunos foram solicitados a realizarem atividades – exclusivamente
escritas – no caderno e/ou em folhas de sulfite. Uma melhor ‘visualização’ da seqüência das
ações de P-II encontra-se transcrita
integralmente
no Apêndice H. II. 1 – Aulas 1 a 4. Em
nenhum momento os estudantes manipularam objetos para a ‘plena’ ocorrência da experiência
Aluno
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152
(física e lógico-matemática). Assim, as ações dos alunos deram-se exclusivamente por meio
da linguagem (escrita e oral).
Segundo os estudos de Piaget, a exclusiva utilização da linguagem pelos estudantes
que se encontram no estágio operatório-concreto acaba dificultando a efetiva construção das
estruturas de pensamento. Isto decorre pois, nesta fase, o aluno precisa ‘
manipular para
compreender
’, ou seja, necessita recorrer constantemente ao concreto para representar e
operar mentalmente suas ações. Um exemplo desta dificuldade é denotado no trecho a seguir
– proveniente da transcrição literal de um episódio das aulas observadas. Observe:
P: Uma dezena são dez unidades, então são dez corações.
A: Professora, são dez coração?
P: São dez corações. Uma dezena são dez unidades, então a professora desenhou dez corações.
A: Dez.
P: Dez.
(Alunos murmuram).
P: Se uma dezena são dez, quantos que são meia dezena?
A: Cinco.
P: Por que cinco, por que é metade?
A: É.
P: E quanto são cinco dezenas?
A: Sete.
P: Será que você não está confundindo? Se uma dezena são dez corações, então cinco dezenas são 50 corações.
A partir da confusão do aluno ao pensar que cinco dezenas são sete unidades é
possível perceber a dificuldade decorrente da exclusiva utilização da linguagem. Acredita-se
que tal dificuldade teria sido minimizada caso a docente permitisse ao estudante realizar a
experiência (física e lógico-matemática) – através da contagem/ordenação de objetos
separados em cinco grupos contendo dez elementos cada. Sobre esta questão do ensino
primário principiar-se exclusivamente pela linguagem, Furth (1997) expõe:
O pensamento desenvolve-se através da abstração formal a partir de
coordenações gerais de ações, e não a partir da linguagem. Ao entrar na
escola, a criança mal ingressou no estágio operatório concreto. Isso significa
que ela começa a ter conceitos gerais firmes e estáveis (operações) que pode
aplicar a situações concretas. Usando suas estruturas mentais de maneira
contínua e ativa dentro do mundo em expansão física e social em que vive,
por volta dos 11 a 13 anos a criança atinge o estágio de inteligência
operatória formal. Só então, e não antes, é que a criança se capacita a usar
proposições verbais (formais) como desafio a esse pensamento. (p. 210,
grifos do autor)
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153
A partir das idéias de Furth, observa-se que a criança do estágio operatório-concreto
necessita aplicar seus conceitos
47
em situações concretas. Da transcrição da aula apresentada
é possível evidenciar que a construção sobre o conceito de
dezena
encontrou empecilhos pelo
fato da ação do aluno restringir-se à linguagem.
Um aspecto da prática de P-II que, a nosso ver, representa um ‘reflexo construtivista’,
refere-se a um momento no qual foram utilizados lápis de cor para a representação do
conceito de
dúzia
. Ao perceber que os alunos estavam encontrando dificuldades para a
compreensão deste conceito, a professora manipulou uma dúzia de lápis coloridos. Como já
exposto, o “ideal” seria a ação manipulativa realizada conjuntamente com o aluno; mas, como
não foi possível, faz-se necessário evidenciar esta atitude de P-II. Ao inserir em sua prática
(caracteristicamente expositiva) a manipulação no concreto, podemos constatar a ocorrência
da hipótese de Massabni (2005) a respeito de alguns elementos construtivistas que se fazem
presentes nas aulas.
Após a observação das aulas (1 a 4), a realização da entrevista pós-aula (ver Apêndice
E) permitiu ao pesquisador investigar algumas concepções da professora com relação aos
objetivos de sua aula e à idéia de conhecimento como construção. Como a transcrição literal
da entrevista encontra-se no Apêndice H. II. 1, então, serão apresentados os trechos mais
relevantes da mesma.
Em relação à questão 1 – sobre os objetivos da aula proposta – a professora comentou
que a sua intenção era permitir ao aluno
assimilar
melhor as idéias referentes à adição e à
questão posicional do sistema de numeração indo-arábico. Veja um trecho de sua fala: “
Foi a
questão da adição. Eu notei que eles não têm uma base em adição e nem a relação ao valor
posicional do sistema de numeração decimal.
”. Neste trecho P-II admitiu que a maioria de
seus alunos ainda não construiu a idéia de estrutura aditiva e nem de número.
Sobre as perguntas 1.1 e 1.2 – a respeito da construção de conhecimento alicerçado no
anterior – P-II salientou o seguinte: “
É complicado porque tinha aluno ali que não tinha nem
conceito anterior, mas assim, eu procurei partir dos alunos que tinham conceito anterior. (...)
Só foi possível continuar, né (...) porque eles partiram de, do que eles já sabiam do ano
anterior. (...) Eu acho que foi assim, foi uma continuação do que eles já aprenderam
47
Conceito – num sentido lato, uma construção mental do aspecto generalizável de uma coisa conhecida; tem
uma intenção (ou compreensão), que responde à pergunta “Qual é a sua essência?”, e uma extensão, que
responde à pergunta “Que coisas são exemplares do conceito?”. Num sentido psicológico, conceito é sinônimo
de estrutura ou esquema interno do indivíduo e corresponde ao nível daquela estrutura (por exemplo, conceito
“prático”). Em suas manifestações verbais, conceito é a expressão verbalizada de um conceito lógico, juntamente
com sua expressão verbalizada; contudo, a verbalização é extrínseca ao conceito lógico como tal. (FURTH,
1997, p. 226)
A
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E
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D
OS
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ADOS -
154
anteriormente, mesmo aqueles que não sabiam - eu acho - que eles conseguiram incorporar
alguma coisa, que eles entenderam alguma coisa dali.
”. Ao utilizar o termo incorporar,
parece que professora referiu-se ao
mecanismo de assimilação
. O trecho sublinhado evidencia
que para esta docente alguns de seus alunos não construíram conceitos anteriores com relação
aos conteúdos matemáticos; ao comparar com a Epistemologia Genética podemos pensar na
ainda
não construção de algumas estruturas de pensamento. O importante foi evidenciar mais
um ‘reflexo construtivista’, ou seja, a idéia de contínua construção de conhecimento; porém,
como já salientado, ao defender tal idéia a professora o fez de modo ‘superficial’, sem
maiores detalhamentos.
A respeito da questão 2 – dificuldades durante as aulas realizadas – a docente citou a
falta de materiais concretos: “
Às vezes a gente só usa a lousa e o caderno e isso demora
muito, então assim, se a gente tivesse uma coisa mais concreta, mais atraente para eles, eu
acho que eles incorporariam isso de forma melhor.
”. Percebe-se que P-II possui consciência
das dificuldades decorrentes do uso (quase que exclusivo) da lousa e do caderno. Ao
relacionar o concreto como sendo algo mais atraente e de melhor incorporação, acredita-se
que a professora esteja utilizando o saber de sua formação profissional (sobre o
construtivismo abordado na faculdade), só que interpretado por meio do experiencial
(proveniente do convívio com os alunos).
Na pergunta 3 a professora ‘reforçou’ a idéia de conhecimento como contínua
construção ao admitir a importância da construção da adição para o ensino de outros
conteúdos, tais como: subtração, multiplicação e divisão. Como visto no Capítulo 2, a
construção das estruturas multiplicativas deve ocorrer após as aditivas – ver Morgado (1993).
Porém, mediante as entrevistas, supõe-se que P-II não conhece ‘profundamente’ esta questão.
Assim, acredita-se que esta ordem seqüencial da abordagem dos conteúdos advenha de seus
saberes experienciais – enquanto aluna – e dos curriculares.
Por fim, na questão 4, o pesquisador pretendeu investigar se a professora mudaria suas
estratégias didáticas caso percebesse que algum aluno não tivesse aprendido os conteúdos
matemáticos abordados na aula. Como resposta, obteve-se o seguinte: “
(...)
pretendo procurar
assim (...) agora partir do material concreto para o abstrato, então a gente trabalha com o
material dourado (...) eu vou procurar achar uma caixa de quantidade (...)
”. Indiretamente, a
docente percebeu a necessidade de propiciar aos alunos a manipulação no concreto
(permitindo a ocorrência da experiência física e lógico-matemática). Esse fato vem corroborar
com o exposto no Capítulo 1 a respeito do
agir
concreto
pelo sujeito.
A
NÁLISE
E
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D
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155
5.1.2.2 –
R
OTEIROS
3
E
4
:
A
ULAS
5
A
8
–
P
-
II
De modo análogo aos roteiros 1 e 2, a professora utilizou como
principal
estratégia a
exposição oral para abordar os conteúdos matemáticos: adição, ordem crescente e
decrescente. Após a explicação
do como resolver
a atividade (no caderno), dava-se algum
tempo para os alunos tentarem solucioná-la. O registro das ações didáticas referentes a estas
aulas, bem como a transcrição de alguns momentos das mesmas, encontram-se no Apêndice
H. II. 2.
O trecho a seguir denota a rotina de P-II ao interagir com os alunos:
P: Agora a gente vai fazer na lousa algumas continhas, tá bom. Então vamos lá, primeiro copia e depois a
professora dá um tempinho pra responder. Vamos lá! Pega o lápis da dezena e da unidade, cada um de uma cor.
A unidade da professora é laranja. A unidade vai até que número mesmo?
A: Dez.
P: Nove? Chegou dez, o que acontece?
A: Dezena.
P: Dezena, e passa pra onde?
A: Pra casa da dezena.
A: Da unidade.
P: Não, da unidade passa pra dezena.
As falas sublinhadas – acima – evidenciam a confusão conceitual do aluno com
relação às classes decimais: unidade e dezena. Como já exposto, acredita-se que tal
dificuldade decorre da exclusiva utilização da linguagem. A própria docente, ao perceber a
dificuldade de assimilação dos alunos, recorreu ao Material Dourado. Utilizando as peças do
mesmo, a professora representou os números a serem somados. O uso do material concreto
durante esta aula confirma o exposto por P-II na entrevista referente à aula anterior.
Sobre a questão da interação, durante a troca de idéias entre os alunos e a professora
tal diálogo foi – quase que totalmente – dirigido por P-II. Desse modo, a docente perguntava
e os estudantes respondiam dentro de um contexto ‘muito delimitado/direcionado’. Assim,
pudemos observar a predominância da postura tradicional, ou seja,
professor expõe-explica
x
aluno resolve conforme modelo
x
professor corrige as respostas
.
Com relação à entrevista realizada após estas aulas (ver transcrição literal no Apêndice
H. II. 2), as respostas obtidas corroboram com a anterior. Além de citar a crença na
construção de novos conhecimentos sobre os já construídos, a professora referiu-se às
dificuldades provenientes da falta de material concreto. A esse respeito, um trecho de sua fala
torna-se pertinente: “
Eu acho que falta muito pra gente material concreto para as crianças
poderem ver, material concreto para eles verem, para eles pegarem. Manipulativo, eu acho o
A
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156
que falta é isso. Infelizmente a gente não faz porque não tem, mas se tivesse...
”. Decorre daí a
importância atribuída ao manipular/pegar/ver/operar coisas concretas. A expressão sublinhada
sinaliza que, caso tivesse o número suficiente de materiais manipulativos, a professora
proporia diferentes estratégias além da
lousa
x
giz
x
caderno
. Porém, a verificação de sua fala
– referente ao fato de adotar outros procedimentos diferentes da
lousa x giz
– só seria possível
caso P-II fosse inserida em condições de trabalho em que houvesse materiais manipulativos
suficientes para a execução da prática docente.
Outro aspecto interessante decorreu quando P-II observou ser mais difícil a
compreensão da ordem decrescente quando comparada à crescente. Veja: “
Na crescente eu
acho que eles conseguiram assimilar uma coisinha mais que a ordem decrescente.
”.
Relacionando com a Epistemologia Genética, esta dificuldade é ‘esperada’ pois, ao pensar
decrescentemente, o aluno necessita fazer uso da reversibilidade. Como já salientado, o
pensamento reversível é uma construção característica do estágio operatório-concreto; este
permite ao sujeito representar suas ações mentais de modo mais flexível – isto é, observa-se a
capacidade de ir e vir.
Ao todo, a partir da primeira semana de observação e efetiva participação de P-II, foi
possível ‘mapear’ suas estratégias didáticas e os materiais mais utilizados no ensino de
Matemática. Expor oralmente e solucionar atividades no caderno após explicação da
professora constituíram ‘a maior parte’ da sua prática pedagógica. As etapas do Método
Psicogenético não foram observadas, com exceção de alguns momentos nos quais a docente
avaliou o que os alunos haviam conseguido construir após a aula dada.
5.1.2.3 –
R
OTEIROS
5
E
6
:
A
ULAS
9
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12
–
P
-
II
Na segunda semana de observação, conforme exposto no Apêndice H. II. 3, P-II
utilizou as mesmas estratégias didáticas: exposição oral do conteúdo matemático, solicitação
para a solução individual das atividades propostas na lousa e correção dos exercícios dirigidos
pela professora. Além da exercitação-memorização dos numerais (ver exercício número 1
registrado no Apêndice H. II. 3:
Registro por escrito do roteiro 5
), a professora explicou: o
modo de efetuar o algoritmo da subtração, a definição de números pares e ímpares. As
atividades solicitadas podem ser caracterizadas como do tipo “
siga o modelo
”, ou seja, os
estudantes ‘imitavam’ a primeira solução feita na lousa pela docente.
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157
Como observado nos dois últimos roteiros, ao explicar alguns conteúdos visando
‘deixar mais assimilável’ para os alunos, a professora utilizou os seguintes materiais
concretos: peças do Material Dourado, uma dúzia de lápis de cor e os próprios dedos. Nas
entrevistas (após as aulas e na final) a docente relatou que, embora não fosse suficiente
somente ela manipular os objetos, os alunos se interessavam mais pela aula quando eles viam
coisas concretas. Percebe-se aí o confronto teoria e prática, ou seja, os conhecimentos a
respeito da necessidade de manipular (agir no concreto) pelas crianças do estágio operatório-
concreto (saberes da formação profissional) são interpretados e validados pelo saber
experiencial.
No trecho a seguir consta um episódio destas duas aulas gravado e transcrito. Observe:
(A professora dirigiu-se à lousa e explicou como efetuar a subtração: 19-5).
P: Pedro, olha aqui! Eu tenho que tirar cinco de dezenove! Como vai fazer essa conta? Eu tenho que começar
pela unidade, né!? Pela unidade! Então Pedro, o que eu vou tirar? Eu vou tirar nove de cinco ou cinco de nove?
A: Cinco de nove! (Aluno Pedro disse).
P: Cinco de nove, nove é mais, não é? (Nesse momento a professora apontou com o dedo o algarismo nove que
forma o número dezenove).
A: É!
(A maioria dos alunos respondeu entusiasmadamente).
P: Eu tenho que tirar menos do que tem mais, eu tenho! Então eu ponho lá na minha mãozinha, nove, nove. (A
professora colocou na palma de sua mão, nove cubinhos – peças do Material Dourado que valem uma unidade
cada). Esse nove tem que tirar? Cinco. Eu não tenho cinco dedos numa mão? (Docente perguntou olhando para
as crianças).
A: Quatro! (Poucos alunos já disseram o resultado da subtração 9-5).
P: Eu posso tirar esses cinco (cubinhos)! Sobrou, então, quatro. Ficou quatro (cubinhos) na minha mão. Aí o que
vai acontecer? Aqui, eu ainda não acabei com a minha conta porque tem o um, uma dezena! Eu não posso deixar
essa dezena, eu não posso esquecer ela, posso? (Nesse momento a professora apontou para o algarismo um do
número dezenove):
D U
1 9
_ 5
A: Nãããooo!
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Não! Então eu tenho uma dezena! Eu tenho que tirar alguma coisa?
A: Nãããooo!
(A maioria dos alunos disse).
P: Eu tenho um e eu não tiro nada?
A: Um.
P: Isso mesmo, uma dezena!
A: Catorze. (Um aluno falou a resposta à professora).
P: Catorze. Isso! Agora eu tenho dezenove e tenho que tirar nove, então eu faço a mesma coisa!
4 1
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158
Embora questionar os alunos seja uma estratégia importante para a promoção dos
desequilíbrios, nas duas falas sublinhadas – acima – a professora não deu tempo aos
estudantes para que assimilassem a situação problema proposta. Seguidamente de suas
perguntas a docente já falava a resposta. Um tipo de ‘redirecionamento’ desta exposição oral
(acerca da explicação do algoritmo 19 - 5) utilizando as considerações denotadas nos
Capítulos 1 e 2 apresenta-se no quadro a seguir:
Situação Hipotética:
Após separar os alunos em duplas, o professor distribui um conjunto contendo 19 cubinhos do
Material Dourado. Em seguida, solicita as seguintes ações:
1º - distribuir as peças em 6 grupos iguais.
2º - retirar dos grupos acima 1 peça de cada verificando quanto sobra em cada.
3º - juntar as peças retiradas da ação anterior.
No momento de cada ação, o docente solicita às duplas que registrem (do modo que acharem
mais conveniente) as soluções das situações problemas. Neste instante, questiona os alunos com
perguntas do tipo: [Se eu desfizer a distribuição (1ª ação), quantas peças terão?]; [Se juntar as peças
dos dois conjuntos obtidos nas ações 2 e 3 com a que sobrou (do conjunto inicial), qual será o total?]
O esquema abaixo expressa um exemplo de um possível registro dos alunos.
1ª Ação
Conjunto Inicial
2ª Ação
3ª Ação
Obs.: Do conjunto inicial sobra 1 peça.
Após esta manipulação (sendo garantida a ocorrência da experiência física e lógico-
matemática) na qual objetiva-se que os estudantes construam diversos esquemas de ação: distribuir,
retirar, associar, correspondência um a um, o professor pede aos mesmos que pensem acerca da
seguinte situação:
“Suponhamos que ao carregar o total de peças para outra sala algumas se perderam durante
o trajeto. Após colocar sobre uma mesa (qualquer) as peças que não se perderam, um dos estudantes
refez o caminho e encontrou 5 delas no chão. Caso este aluno tenha encontrado todas as peças que
caíram durante o trajeto, então, quantas estavam com o outro aluno – em cima da mesa?”
Decorridos alguns minutos o professor organiza os alunos em roda para que socializem as
respostas. Nesse momento, o mesmo questiona o porquê
e o como as duplas conseguiram obter as
soluções.
Quadro 24 – Situação Hipotética 2: Um redirecionamento acerca da subtração.
A
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E
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159
É possível perceber – da Situação Hipotética 2 – que o professor não utilizou o
algoritmo convencional da subtração (
19 – 5
= 14). O seu objetivo visou a construção de
esquemas de ação por meio da manipulação que permitisse a ocorrência da experiência (física
e lógico-matemática). Ao distribuir, associar, retirar, corresponder em consonância com os
questionamentos do docente (episódios tipo ‘desequilíbrios’), pretendeu-se que os alunos
realizassem a abstração reflexiva, ou seja, tomassem consciência dos subgrupos obtidos, das
possibilidades de reverter suas ações, enfim, de coordenarem as suas ações. A ‘descoberta’ da
solução da situação problema (relacionada com o pensamento subtrativo 19 - 5) decorreria do
pensar da criança por meio do estabelecimento de várias hipóteses (
tentativas
). Certamente o
erro far-se-ia presente neste momento, porém, conforme apontado por Dockrell & Mcshane
(1992), decorreria da tentativa do aluno em assimilar-acomodar novas situações.
De modo algum nega-se a utilização do algoritmo subtrativo ‘tradicional’, já que o
mesmo representa um bom mecanismo ao estudante para a solução de situações problemas de
‘modo rápido e econômico’. Contudo, a sua utilização, a nosso ver, deve ocorrer a partir do
momento em que a criança tenha já construído as estruturas do pensamento aditivo. Recorrer
diretamente à linguagem escrita (como realizado por P-II ao solucionar na lousa 19 – 5 = 14)
pode representar um ‘grande desequilíbrio’ a alguns alunos que ainda não compreenderam as
idéias intuitivas da subtração:
comparar
,
retirar
,
completar
,
faltar
.
A respeito da entrevista realizada pós-aula (ver sua transcrição literal e integral no
Apêndice H. II. 3), os comentários apresentam-se a seguir. Na primeira questão, a professora
explicitou os objetivos de sua aula: compreender o que significa tirar (a ‘famosa’ conta de
menos) através do entendimento do algoritmo da subtração, saber o que são números pares e
ímpares. Sobre a pergunta 1.2, P-II expôs o seguinte: “
De alguns sim, de outros não (referiu-
se à construção contínua dos alunos), eu percebi que alguns não tinham a noção de conceito
anterior, ou então uma noção muito pouca que ‘num’ dava pra trabalhar (...) mas outros
(alunos) já, com certeza!
”. A partir desta fala evidencia-se a idéia acerca da contínua
construção do conhecimento. A expressão sublinhada indica que alguns de seus alunos ainda
não possuem noções sobre o significado da subtração. Relacionando com os dois parágrafos
anteriores, acredita-se que a ‘falta’ dessas noções deva-se à ainda não construção dos
esquemas de ação que possibilitem ao aluno compreender as idéias intuitivas da subtração.
Em relação às dificuldades (questão 3), novamente citou-se a falta de material. A
professora acredita que sua metodologia de trabalho ‘
foi boa
’, porém, caso tivesse um jogo, o
envolvimento e compreensão dos alunos durante as aulas seria maior/melhor. Mais uma vez
alegou utilizar os conhecimentos construídos pelos alunos em situações posteriores.
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5.1.2.4 –
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7
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:
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13
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16
–
P
-
II
Nas quatro últimas aulas, ao expor os conteúdos e explicar o modo para solucionar as
atividades, a professora interagiu mais com os estudantes. No Apêndice H. II. 4 estão
registradas as ações de P-II, bem como as transcrições de alguns momentos das aulas que
evidenciam o exposto. Novamente foram utilizados materiais concretos no momento da
explicação dos conceitos e dos exercícios, porém, somente a docente manipulou estes objetos.
Os conteúdos matemáticos abordados contemplaram todos os já estudados: adição, subtração,
ordem crescente e decrescente, números pares e ímpares. Com tal atitude, acredita-se que a
professora pretendeu verificar o aprendizado dos conceitos trabalhados nos últimos dois
meses.
Como os comentários a respeito destes dois roteiros possuem muitas semelhanças com
os anteriores, então, pode-se concluir que a prática docente de P-II apresenta as seguintes
características constituídas num ciclo:
Organograma 5 – Estratégias Didáticas Gerais de P-II.
Para ‘finalizar’ a discussão em torno da observação total, torna-se oportuno discutir as
respostas obtidas a partir da última entrevista, referentes às aulas 13 a 16. Em relação à
primeira pergunta, o trecho a seguir evidencia a idéia concernente à necessidade de primeiro
compreender a adição e a subtração, para, depois, abordar a multiplicação e a divisão: “
(...)
como eu vou partir para a multiplicação e divisão, se eles não entendem uma conta simples
2º (5º, 8º...) - Solução
Individual
e por escrito (no
caderno) das Atividades
propostas.
3º (6º, 9º...)
-
Correção
das
Atividades por meio da
Exposição Oral
(utilizando
a lousa e alguns Materiais
Concretos).
1º (4º, 7º...) - Exposição
Oral
dos Conteúdos e
Explicação
das Atividades
(o modelo a seguir).
A
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161
de adição de dois números, dois algarismos (...)
”. Observa-se nesta fala a opinião análoga
defendida por Morgado (1993) no Capítulo 2. Como já salientado, acreditamos que a
professora siga esta ordem – a respeito da abordagem dos conceitos – devido à ‘influência’
proveniente de suas experiências como aluna e professora (saberes experienciais) e, porque,
tal seqüência ainda é observada na maioria dos livros didáticos de Matemática (saberes
curriculares). Tal observação se faz possível, pois a própria P-II expôs não conhecer
‘profundamente’ a teoria de Piaget. Logo, idéias referentes às estruturas multiplicativas a
partir das aditivas não lhes foram explicitadas de maneira ‘ampla’.
A respeito da questão 1.1, a professora admitiu que grande parcela dos alunos ainda
não compreendeu o significado do pensamento aditivo e subtrativo. Este fato não seria devido
ao uso exclusivo da linguagem, que dificulta os estudantes a ‘ativarem’ seus esquemas de
assimilação, já que ainda necessitam recorrer ao concreto para abstraírem os conceitos?
Cremos ser afirmativa tal indagação, tendo em vista as argumentações contidas nos capítulos
anteriores.
Na pergunta 1.2 obteve-se como resposta o exposto a seguir: “
Ah, (professora,
facialmente, mostrou-se em dúvida, conflito) não sei mais, antes eu achava que sim, mas pelo
que eu vi que alguns não tinham esse conceito anterior (...) alguma coisa sim (...) ah, hum, a
cada dia eu sei menos em relação à Matemática, cada dia eu acho que eu preciso de um
curso de capacitação, de alfabetização e principalmente nas séries iniciais de Matemática né,
porque eles (os alunos) precisam de muito concreto e às vezes eu me pego fazendo coisas
muito abstratas, então aí eu falo: “ – Opa, espera aí!”, aí eu me pego fazendo coisas que
eles não estão conseguindo entender porque eu tô muito abstrata e eles (os alunos) precisam
de coisa mais concreta, de ver, de manipular, de pegar; então é assim.
”.
Na fala acima, ao verificar a dificuldade da maioria de seus alunos com relação à
Matemática, P-II colocou em dúvida a questão do conceito anterior, ou seja, se realmente o
estudante utiliza os conhecimentos já construídos para aprender ‘coisas novas’. Também
reforçou a idéia referente à
necessidade do aluno de manipular
, percebendo que suas ações
(didáticas) às vezes se tornam muito abstratas às crianças. Faz-se interessante observar,
novamente, a interpretação/validação dos saberes da ciência da educação (
psicologia do
desenvolvimento
) através do experiencial (
dia-a-dia em sala de aula
). Outro aspecto
significante decorre da auto-reflexão sobre a sua prática docente, tendo em vista a necessidade
de Formação Continuada acerca do ensino de Matemática às séries iniciais.
Com relação às dificuldades vivenciadas durante as aulas, denotou-se, mais uma vez, a
falta de materiais concreto-manipulativos. Segundo a professora, tal carência prejudica os
A
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162
alunos no momento da
assimilação
dos conteúdos matemáticos. Na pergunta 3, novamente P-
II argumentou que irá utilizar os conhecimentos da adição e subtração aprendidos pelos
estudantes para o posterior ensino da multiplicação e divisão. Ainda nesta questão, encontrou-
se o seguinte: “
(...) se eu der uma tabuada hoje tem aluno que vai aprender porque tem mais
facilidade (...)
.”. A expressão sublinhada indica que a docente acredita na possibilidade de
alguns alunos terem mais facilidade para aprender Matemática, porém, estudos piagetianos e
pós piagetianos comprovaram que a não aprendizagem não decorre da ‘falta’ de habilidade,
mas sim, é causada (na grande maioria) pela metodologia empregada. Logo, ao afirmar isso,
acredita-se que a docente se valeu das idéias provenientes do senso comum (saberes
experienciais) que, infelizmente, ainda defendem a idéia de que aprender Matemática “é para
poucos”.
Na última questão a professora mostrou-se indignada com a situação que observa
durante as aulas. Na fala a seguir, P-II evidenciou a não assimilação (de vários alunos) no
momento em que expunha os conteúdos: “
(...)
na hora de ensinar Matemática eu acho que tá
sendo bom, tá sendo útil porque eu acho que eles (os alunos) estão conseguindo; mas daí
você vai chegar na carteira pra acompanhar, você percebe que eles não estão conseguindo
que (...) eu falando aqui é (professora remeteu-se ao momento em que está na lousa
explicando algo e os alunos não conseguem entendê-la) parece que eu não falei nada, que a
parede ouviu mais do que eles (os próprios alunos) (...).
”. A partir do já exposto no Capítulo
1, provavelmente esta
não assimilação
decorre do uso exclusivo da linguagem.
De modo geral, durante os dois meses de observação, não se verificou a ‘maior parte’
das etapas concernentes ao Método Psicogenético. As idéias de Piaget foram
observadas/utilizadas na prática docente quando P-II percebeu ser importante
manipular
objetos
durante a explicação dos conceitos matemáticos aos alunos, embora tal manipulação
tenha sido realizada exclusivamente por ela. É válido ressaltar a sua preocupação quanto à
aprendizagem dos estudantes e a sua disponibilidade para aprender – mais detalhadamente – a
respeito do ensino de Matemática nas séries iniciais. Esta atitude (talvez) demonstra a
flexibilidade desta professora em constantemente construir coisas novas. Logo, podemos
concluir que em sua prática foram utilizados ‘
poucos e insuficientes’
elementos
construtivistas,
fato este que corrobora em alguns aspectos com a pesquisa de Massabni
(2005).
A
NÁLISE
E
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ISCUSSÃO
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163
5.1.3 –
A
LGUMAS
I
NFERÊNCIAS
D
OS
R
ESULTADOS
D
A
E
NTREVISTA
F
INAL
Conforme salientado no capítulo anterior, a elaboração deste instrumento visou
compreender alguns aspectos observados na prática de P-II, investigando o porquê da adoção
de determinadas estratégias didáticas. Além disso, pretendeu entender ‘melhor’ algumas de
suas falas, obtidas nas entrevistas e questionários realizados. A transcrição literal das
respostas encontra-se no Apêndice H. III.
O quadro a seguir evidencia as questões (temas) perguntadas à professora, bem como
os principais trechos registrados. Após, far-se-á um breve comentário, pois grande parte do já
exposto nas entrevistas anteriores apresenta-se nesta.
Questão:
Assunto: Fala de P-II:
1.
O que necessita abordar um curso de
Formação Continuada referente ao
ensino de Matemática às séries iniciais.
“(...) mais a metodologia, né, metodologia e
procedimentos didáticos, algumas coisas que eu sinto
muita falta por não ter aprendido!”.
2.
O porquê de representar os resultados
das operações de adição e subtração em
um desenho em forma de casa.
“Mas é porque é isso mesmo, os livros trazem assim, eu
aprendi assim e a gente vai trabalhando da mesma
forma!”.
3.
O porquê de utilizar Materiais
Concretos para expor os conceitos
matemáticos.
“Acredito que o material concreto, ele é muito mais, é
(...) apreendido numa aula. (...) quando o aluno ouve ele
não entende; mas quando ele vê ele entende!”.
3.1.
A manipulação pelo professor, aluno
ou ambos.
“Eu acho que não foi suficiente! Eu teria que ter mais
materiais pra trabalhar, até porque só eu (ou seja,
referiu-se aos momentos da aula em que manipulou
materiais concretos) eu acredito que foi bom, mas não
foi tanto! Eu gostaria de ter uma ampla (...) um amplo
acervo de materiais pra poder fazer juntos (isto é, para
que os alunos possam manipular os materiais
concretos), pra reunir eles em grupo, pra eles poderem
brincar entre eles; e esse brincar aprendendo!”.
4.
O porquê de uma ‘melhor assimilação’
proveniente de uma aula mais atraente.
“Porque quando a aula é atraente os alunos se
interessam mais; e eles se interessando mais ele
participa mais e ele aprende melhor.”.
5.
O significado do termo
“encaminhados” argumentado em
entrevista anterior.
“(...) eles já estavam encaminhados, eles já tinham os
conceitos matemáticos pra seguir na segunda série.”.
6.
O pensamento a respeito das dinâmicas
de grupo.
“Eu acho muito interessante, eu gosto muito de
trabalhar em grupo. Só que ainda não dá pra trabalhar
em grupo aqui na sala. Parece que os alunos precisam
de um amadurecimento melhor pra poder trabalhar em
grupos, que eu penso que eles não estão amadurecidos.
(...) Então eu acredito que trabalhar em grupo ainda
não dá; mas eu vou tentar trabalhar em grupo a partir
do segundo semestre. Aí eu vou tentar arranjar vários
materiais. (...) eu gosto muito de trabalho em grupo, eu
acho que a troca entre eles é muito enriquecedora, eles
às vezes o que eu não consigo explicar o amiguinho
consegue.”.
7.
A questão de adotar – ou não -
atividades “interessantes” que
‘provoquem’ os alunos.
“Olha, eu acho que, se eu adoto é muito pouco! (...)
Primeiro eu tô tentando o básico, sabe, tentando que os
alunos entendam os conteúdos mínimos de Matemática
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que precisam – que eles estão adquirindo agora! (...) No
momento não! No momento eu não provoco!”.
8.
A relação entre: número excessivo de
alunos E falta de materiais COM a
abordagem construtivista piagetiana.
“Impossível! (A professora, ao falar, mostrou-se
indignada com as reais condições de trabalho na escola
pública). (...) Eu acho que o construtivismo é muito
bonito, e ele é muito bom! A teoria dele é muito boa,
mas na rede estadual não acontece; porque você, com
trinta e cinco alunos, você não consegue trabalhar um
por um. (...) Porque você pra ser construtivismo, deveria
ter um número menor de alunos! E materiais deveria ter
mais, até porque infelizmente a gente não tem
material.”.
9.
O choque decorrente do enfrentamento
com a realidade escolar; a questão de
possuir alunos com um mínimo de
conhecimentos que não permita ao
professor ‘partir pro construtivismo’.
“(...) os alunos têm uma realidade que às vezes nem
mesmo o professor conhece, que a hora que você ouve
você fica espantado! Então, como que você vai partir de
uma realidade que o aluno não tem? Do conhecimento
prévio que ele não tem? Ele não tem!”.
Quadro 25 – Resultados da Entrevista Final realizada com P-II.
Com relação à Formação Continuada, P-II evidenciou necessitar aprofundar seus
conhecimentos em torno das questões didáticas e metodológicas relativas ao ensino de
Matemática. Conforme já denotado, acreditamos na validade/utilidade da teoria de Piaget à
proposição de estratégias de ensino que auxiliem os alunos a construírem conhecimentos
(lógico-matemáticos).
Sobre a idéia da importância do manipular (operar no concreto) pelo aluno, nas
questões 3 e 3.1, a professora denotou explicitamente aceitar esta hipótese. Porém, embora
acredite que a criança precisa ver/pegar para compreender, a sua prática é ainda
marcadamente transmissiva. Tal ‘presença notoriamente expositiva’, segundo ela, é devido à
falta de condições estruturais nas escolas. Decorrem desta situação, três questões: 1. Cobrar
das esferas superiores ‘maior atenção e investimento’ com relação aos materiais didáticos e
metodológicos destinados ao ensino de Matemática; 2. Sugerir alternativas enquanto as
medidas em 1. não se efetivam; 3. Auxiliar o professor a compreender que, concomitante a
manipulação, o mesmo deve agir como
animador
, suscitando situações problemas que
permitam ao aluno estabelecer várias hipóteses, permitindo-o reequilibrar-se. A respeito do
papel de
animador
, Lima (1973) expõe:
É provável que, no futuro, o professor venha a ser chamado de animador,
isto é, um profissional cuja capacidade é inventar situações que provoquem o
interesse dos alunos. (p. 216, grifo nosso)
Comparando as respostas obtidas em 7 – a respeito de atividades interessantes que
provoquem os estudantes – com as observadas em 4, por implicação lógica faz-se possível
denotar certa contradição nas idéias de P-II. Se as atividades interessantes (que ela diz ainda
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165
não utilizar) propiciam ao aluno uma melhor assimilação, então, ao não utilizá-las,
implicitamente (e ‘
inconscientemente
’) a professora está invalidando o argumentado na
questão 4. Esta docente, a nosso ver, precisa compreender o seguinte: para que os alunos
aprendam os conteúdos mínimos (básicos da Matemática) torna-se imprescindível a
proposição de atividades interessantes, que provoquem nos estudantes a ativação dos
mecanismos de assimilação, permitindo-os acomodar novas estruturas nas já construídas.
A fala proveniente da questão 2 corrobora com o exposto no Capítulo 3 a respeito do
‘
maior status’
dos saberes experienciais nos demais. Ao dizer que “
eu aprendi assim e a gente
vai trabalhando da mesma forma
”, indiretamente, P-II admitiu utilizar em sua prática docente
os saberes decorrentes de sua vivência enquanto aluna sem devida reflexão. Ao não utilizar os
saberes da formação acadêmica para refletir sobre os experienciais, conforme denota Tardif
(2002), a docente acabou sugerindo que a sua formação acadêmica está “muito distante da
realidade escolar”. Observe:
Os saberes experienciais possuem, portanto, três “objetos”: a) as relações e
interações que os professores estabelecem e desenvolvem com os demais
atores no campo de sua prática; b) as diversas obrigações e normas às quais
seu trabalho deve submeter-se; c) a instituição enquanto meio organizado e
composto de funções diversificadas. (...) É exatamente em relação a estes
objetos-condições que se estabelece uma defasagem, uma distância crítica
entre os saberes experienciais e os saberes adquiridos na formação. Alguns
docentes vivem essa distância como um choque (o choque da “dura
realidade” das turmas e das salas de aula) quando de seus primeiros anos de
ensino. Ao se tornarem professores, descobrem os limites de seus saberes
pedagógicos. Em alguns, essa descoberta provoca a rejeição pura e simples
de sua formação anterior e a certeza de que o professor é o único responsável
pelo seu sucesso. Em outros, ela provoca uma reavaliação (alguns cursos
foram úteis, outros não). E, finalmente, em outros, ela suscita julgamentos
mais relativos (por exemplo, “minha formação me serviu na organização dos
cursos, na apresentação do material pedagógico” ou então “não se pode pedir
à universidade para realizar uma missão impossível”). (TARDIF, 2002, p.
50-51, grifo nosso)
Essa questão do enfrentamento da “dura realidade” é explicitamente demonstrada
quando P-II argumentou ser impossível utilizar uma proposta construtivista – pergunta 8 –
nas atuais condições do ensino (número excessivo de alunos e falta de material pedagógico).
A resposta obtida na questão 5 permitiu, novamente, visualizar a idéia referente à
construção contínua de conhecimento sobre os anteriores (‘
um dos reflexos da didática
construtivista
’). Porém, ao dizer que alguns alunos não possuem este conhecimento anterior
(pergunta 9), P-II (mais uma vez) demonstrou possuir um conhecimento superficial acerca da
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teoria de Piaget. A sua compreensão sobre os conhecimentos prévios delimitou-se aos
conteúdos matemáticos dos anos anteriores, e não às estruturas presentes nos esquemas de
ação já construídos pelas crianças desde os estágios iniciais de sua vida mental.
Exemplificando, mesmo se a criança ainda não construiu a idéia a respeito da adição,
utilizando os seus esquemas de classificar, separar, juntar, corresponder, distribuir (já
construídos graças à interação com o meio desde os anos iniciais) o professor pode,
gradativamente, ‘provocar’ no aluno a construção da estrutura aditiva.
Por fim, com relação às dinâmicas de grupo (questão 6), corroborando com as
discussões anteriores, embora acredite ser válida à prática docente, P-II diz ainda não utilizá-
las. Justifica-se salientado que seus alunos não estão ‘
ainda preparados
’. O problema reside
pois, para que ‘ocorra’ a preparação dos estudantes, a dinâmica de grupo mostra ser uma
estratégia eficiente, já que permite a interação entre os alunos – onde se verifica a progressiva
tomada de consciência e sucessivos desequilíbrios – permitindo-lhes ‘
prosseguir rumo
’ à
autonomia.
Em suma, este instrumento final possibilitou ‘
concluir’
a ‘triangulação’ dos dados
obtidos durante os dois meses de convívio com esta professora. As respostas ‘finais’
permitiram confirmar as hipóteses referentes à sua prática docente, bem como o modo de
conceber o ensino de Matemática em consonância com a teoria de Piaget.
5.2 –
A
P
ESQUISA
D
E
C
AMPO:
P
ARTICIPAÇÕES
D
E
P
-
I
E
P
-
III
P-I, professora efetiva da rede estadual, atua na E-I com alunos da 1ª série do Ensino
Fundamental. Sua carreira docente iniciou há pouco tempo, aproximadamente 2 anos e 6
meses. Possui maior contato com estudantes de 1ª e 2ª séries, fase na qual a criança inicia o
seu processo de alfabetização (da língua portuguesa) e estudo das noções ‘iniciais’ dos
conteúdos matemáticos, tais como: operações aritméticas básicas, figuras geométricas planas
e espaciais, grandezas de medidas convencionais (metro, litro etc.) e não convencionais, entre
outras. Licenciada em Pedagogia, a sua experiência como docente começou ao término da
faculdade.
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167
Em contrapartida, P-III – segundo Tardif (2002) – pode ser denominada como
professora experiente. Há quase 23 anos ministra aulas, principalmente para alunos de 4ª série
do Ensino Fundamental. É formada em Magistério na modalidade Ensino Médio e Licenciada
em Pedagogia, tendo cursado a faculdade quando já possuía alguns anos de atuação. Além da
experiência na rede estadual, é professora aposentada da rede municipal de ensino de Bauru,
tendo tido a oportunidade de trabalhar na rede particular. Atualmente é responsável por uma
3ª série pertencente a E-II, ocupando o cargo de professor admitido em caráter temporário
(ACT). Faz-se válido salientar que antes do início da pesquisa ambas professoras foram
informadas sobre os objetivos da mesma através dos Apêndices A e C (Ficha Informativa).
A seguir, denota-se os resultados provenientes da pesquisa de campo realizada nas
aulas de Matemática de P-I e P-III, bem como algumas reflexões acerca de suas concepções
sobre o ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental.
5.2.1 –
O
S
R
ESULTADOS
D
O
Q
UESTIONÁRIO/
E
NTREVISTA
I
NICIAL
O referido Questionário/Entrevista Inicial encontra-se nos Apêndices (Apêndice B).
Sendo constituído por 3 categorias, a primeira – categoria A – foi apresentada no tópico 4.3.1,
quando realizada a caracterização dos professores participantes. As categorias B – em forma
de questionário – e C (entrevista gravada em áudio) buscaram investigar as concepções
(idéias) a respeito do ensino de Matemática e a teoria de Piaget. No Quadro 26 consta um
resumo evidenciando as respostas obtidas nas sete (das oito questões) pertencentes à categoria
B realizadas com P-I e P-III. A pergunta 5 é discutida separadamente, tendo em vista a
possibilidade de analisar os Procedimentos Didáticos e Metodológicos e Materiais Utilizados
que ambas professoras afirmam fazer uso nas aulas de Matemática. Posteriormente,
observam-se algumas reflexões em torno das falas oriundas da entrevista – categoria C.
Conforme denotado no Quadro 26, P-I e P-III possuem satisfatório interesse pela
Matemática (enquanto aluna e professora). Logo, descarta-se a possibilidade de aversão em
relação a esta disciplina. Sobre a pergunta 3, P-I afirma que os assuntos citados por ela como
difíceis deve-se ao fato de constituírem a base para a aprendizagem dos conteúdos
matemáticos posteriores. Embora tais assuntos sirvam de base à construção de conteúdos mais
complexos, os mesmos não são os únicos constituintes da “base Matemática”; além deles,
citemos: geometria, grandezas e medidas, tratamento da informação, resolução de problemas,
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entre outros. P-III, a respeito desta pergunta, salienta que os alunos possuem dificuldade em
aprender devido à falta de interesse e empenho (deles mesmos) para
ler
e
assimilar
os
problemas matemáticos que envolvam as operações aritméticas. Acreditamos que o emprego
do termo assimilar corrobora com a definição piagetiana, ou seja, a
incorporação
/
interpretação
do objeto aos esquemas mentais já construídos pelo sujeito,
porém, não é possível afirmar que P-III tenha retirado este termo da Teoria de Piaget.
Perguntas: Professoras Participantes:
Nº.: Tema: P-I P-III
1.
Interesse pela Matemática
enquanto aluna.
Bom. Ótimo
2.
Interesse pela Matemática
enquanto professora.
Bom. Ótimo.
3.
Assuntos da Matemática
mais difíceis de ensinar.
Operações Aritméticas e Sistema de
Numeração. Justifica-se por acreditar
que tais conteúdos constituem a base
da Matemática.
Operações Aritméticas e
Resolução de Problemas.
Justifica-se pela falta de empenho
dos alunos em ler e interpretar os
problemas solicitados.
4.
Realização de Cursos
(Formação Continuada)
sobre o ensino de
Matemática nas séries
iniciais.
Realizou dois cursos nos últimos 5
anos.
Não tem realizado nos últimos 5
anos.
6.
O ensino da Matemática
deve possibilitar ao aluno
estabelecer relações com
o cotidiano e seu próprio
pensamento.
Acredita que esse é o caminho a ser
seguido para que o aluno aplique o
seu conhecimento matemático no
dia-a-dia.
Discursa que as atividades
propostas devem privilegiar a
criatividade e a autonomia dos
alunos para solucionarem
problemas que relacionam ao
cotidiano.
7.
A importância de estudar
os conteúdos
matemáticos.
Salienta a importância devido à
necessidade de utilizar a Matemática
em diversas situações, citando o
cotidiano.
Argumenta que o ensino irá
ampliar a capacidade de
pensar/inventar do aluno,
formando um aluno explorador.
8.
O ensino da Matemática
deve possibilitar ao aluno
construir conhecimentos
através da interação com
o outro, consigo e
diversos materiais.
Concorda parcialmente com a
afirmação, por acreditar que o ensino
da Matemática envolva outros tipos
de interações.
Concorda com a afirmação,
apontando que o ensino da
Matemática deve propiciar a
formação global do aluno,
garantindo assim, a construção de
sua cidadania.
Quadro 26 – Respostas provenientes do Questionário Inicial (Apêndice B, categoria B) – P-I e P-III.
A respeito das questões 6 e 7, P-I ‘reforça’ a idéia da importância do cotidiano ao
ensino dos conteúdos matemáticos, contudo, como suas justificativas não estão
fundamentadas em (alguma) teoria educacional, supomos que tal idéia advenha dos saberes
experienciais vivenciados com os colegas de profissão. Este fato corrobora com as pesquisas
desenvolvidas por Gebara e Marin (2005) sobre a compreensão/apropriação difusa e
fragmentada do construtivismo. Considerável parcela dos professores defende o exclusivo
ensino de conteúdos matemáticos atrelados às questões cotidianas, mas, o que os especialistas
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da Educação pretendiam era que os docentes utilizassem assuntos concernentes à realidade do
aluno para a ativação dos esquemas de assimilação. De modo algum tais estudiosos
propuseram o exclusivo ensino de noções matemáticas prático-utilitaristas.
Já P-III, nas respostas obtidas das questões 6 e 7, apresentou um ‘olhar’ mais aberto
em relação ao porquê de ensinar Matemática e as múltiplas possibilidades que tal ensino
propicia ao aluno. Segundo ela, aprender Matemática permite ao estudante desenvolver a
capacidade de pensar/inventar/explorar, contribuindo para a constituição da criatividade e
autonomia. Estas idéias apóiam as afirmações de Lima (2000) e Piaget (2002) acerca dos
objetivos da Educação, ou seja, a formação de homens com capacidade crítica, descobridores
e inventivos.
Sobre a pergunta 8 (Apêndice B, categoria B), as respostas denotadas no Quadro 26
encerram qualquer discussão a respeito.
Por fim, da questão 5 – a propósito dos Procedimentos Didáticos e Metodológicos e
Materiais que as docentes afirmam utilizar durante as aulas – o quadro que segue salienta as
respostas de P-I e P-III.
P-I P-III
CATEGORIAS
FR PO RA NC FR PO RA NC
1. Exposição Oral feita pelo professor.
X X
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
X X
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
X X
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
X X
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
X X
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática
e outras áreas do conhecimento.
X X
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática
em outras áreas do conhecimento.
X X
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
X X
10. Confecção de algum material pelos alunos.
X X
Procedimento Didático e Metodológico
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
X X
1. Lousa e giz.
X X
2. Livro didático.
X X
3. Revistas e jornais.
X X
Materiais
Utilizados
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X X
Quadro 27 – Respostas da questão 5 (Apêndice B, categoria B) de P-I e P-III.
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Segundo o Quadro 27, P-I e P-III sinalizaram utilizar com mais freqüência o método
expositivo-transmissivo, ou seja, o professor explica o conteúdo e a atividade a ser realizada,
cabendo ao aluno solucionar o exercício. A dinâmica de grupo – característica ‘marcante’ do
Método Psicogenético – foi denotada como pouco utilizada. A respeito de atividades que
envolvam materiais concretos – que possibilitem a ocorrência da experiência (física e lógico-
matemática) e da abstração reflexiva – segundo ambas docentes, são pouco usadas. De tudo
discorrido, faz-se possível antecipar que os estudantes (de ambas docentes) possuem poucas
oportunidades para interagirem – aspecto imprescindível à gradual descentração do
pensamento que permite ao sujeito pensar de modo reversível (MORO, 2000; PIAGET, 1976,
1977, 1990, 2001, 2002; SANCHIS e MAHFOUD, 2007). A observação de campo de P-I e
P-III – denotado a seguir – permitirá analisar a ‘validade’ daquilo que as mesmas afirmaram
utilizar.
A Entrevista/Inicial – Apêndice B, categoria C (gravada em áudio) – realizada com P-
I e P-III encontra-se transcrita de modo literal e integral nos Apêndices I (item I.I) e J (item
J.I), respectivamente. Esta pretendeu investigar: 1. As idéias dos docentes a respeito da teoria
de Piaget (sua utilização e possíveis críticas) e; 2. A oportunidade para refletir sobre o ensino
de Matemática nas séries iniciais e quais teorias educacionais foram analisadas durante a
Formação Inicial.
P-I salientou que durante sua Formação Inicial teve contato com a tendência histórico-
cultural, citando Piaget e Vygotsky. Tal afirmação corrobora com as pesquisas de Rapoport e
Silva (2006) e Gebara e Marin (2005) pois, ao considerar a teoria de Piaget como pertencente
à tendência histórico-cultural (de base marxista), P-I sinaliza ‘confundir’ as bases
epistemológicas que fundamentam a teoria de Vygotsky e de Piaget. Conforme salientado no
Capítulo 1, a base epistemológica piagetiana é oriunda de estudos psicogenéticos, nos quais a
biologia foi utilizada como elemento estruturador para a elaboração do mecanismo de
equilibração. A oportunidade de refletir sobre o ensino de Matemática deu-se graças a um
professor que ministrou várias aulas cujo tema foi a utilização de materiais concretos para a
aprendizagem dos conteúdos matemáticos. Sobre a teoria de Piaget, P-I ressaltou utilizar em
sua prática a idéia de conhecimento como construção contínua (‘coisas interligadas’),
acreditando que o construtivismo deve ser encarado como uma postura a ser assumida pelo
docente, e não um método de ensino. Realmente, a teoria de Piaget subsidia o professor na
proposição dos métodos de ensino e não constitui um método em si. Como denotado, Lima
(1973) foi um dos estudiosos que ‘aplicou’ a teoria de Piaget à Educação elaborando o
Método Psicogenético. A propósito das críticas ao construtivismo piagetiano, P-I afirmou não
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possuir, advertindo que a mesma vem sendo má interpretada por alguns professores.
Finalizando, admitiu acreditar que alguns alunos ‘não se dão bem’ com o construtivismo
piagetiano por não possuírem os ‘conhecimentos mínimos’. Interpretamos estes
‘conhecimentos mínimos’ como a (ainda) não construção de algumas estruturas (esquemas de
ação), tais como: classificar, ordenar, comparar, quantificar, distribuir, separar etc. Por estes
esquemas serem provenientes da abstração reflexiva, julgamos necessária a utilização dos
materiais concretos que propiciem aos alunos realizarem a experiência (física e lógico-
matemática), sendo a mesma um dos fatores ao desenvolvimento cognitivo do sujeito.
A respeito da Entrevista/Inicial, P-III evidenciou (fortemente) acreditar que durante a
Formação Inicial o professor recebe – da faculdade – ‘o diploma’, mas é na prática que se
aprende a dar aula. Esta concepção sinaliza a supremacia (maior status) dos saberes
experiências sobre os demais, conforme exposto por Tardif (2002). Também evidencia um
dos conhecimentos ressaltados por Cochran-Smith e Lytle (1999), o conhecimento em
prática. Logo, esta professora admitiu não ter refletido sobre o ensino de Matemática,
recebendo dos professores universitários teorias que não se aplicavam ao cotidiano escolar.
Sobre as teorias educacionais recordou da tendência tradicional, justificando ser a mesma a
‘predominante’ no período que cursou a graduação (meados de 1970). Quando perguntado
acerca do construtivismo piagetiano, P-III disse procurar se embasar em livros para poder
aplicar esta teoria em suas aulas (de Matemática), porém não soube apontar os pontos
principais da mesma. Finaliza ressaltando não possuir nenhuma crítica sobre a teoria de
Piaget.
Em suma, a partir das análises das respostas provenientes do Apêndice B (categorias B
e C), foi possível conhecer algumas concepções que contribuem com a constituição da prática
docente de P-I e P-III. Além disso, percebeu-se o conhecimento difuso e fragmentado destas
docentes acerca da teoria de Piaget, o que pode vir a provocar algumas más interpretações da
mesma. As discussões realizadas no próximo item auxiliam a compreender como – realmente
– P-I e P-III utilizam o construtivismo piagetiano nas aulas de Matemática.
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5.2.2 –
A
LGUMAS
I
NFERÊNCIAS (
G
ERAIS)
D
OS
R
ESULTADOS
D
A
O
BSERVAÇÃO ‘
T
OTAL’
Por se tratar de um estudo de caso, foi necessário utilizar procedimentos que
permitissem compreender a dinâmica constituinte das aulas de Matemática de P-I e P-III.
Fazendo uso da observação total (que de algum modo pode ter interferido nas atitudes dos
professores) no decorrer de dois meses obteve-se considerável material coletado denotado nas
tabelas abaixo:
Tabela 4 – Dados numéricos da Observação Total de P-I.
Roteiros Aulas Tempo de Observação
1 1 e 2 1h40min
2 3 e 4 1h40min
3 5 e 6 1h40min
4 7 e 8 1h40min
Total de Horas:
6h40min
Tabela 5 – Dados numéricos da Observação Total de P-III.
Roteiros Aulas Tempo de Observação
1 1 e 2 1h40min
2 3 a 5 2h30min
3 6 a 8 2h30min
4 9 e 10 1h40min
Total de Horas:
8h20min
Diferentemente de P-I e P-II, cujo roteiro fora constituído por 2 aulas cada, na sala de
P-III registraram-se, em duas observações, roteiros formados por 3 aulas cada. O total de
horas/aulas (gravadas em áudio), o preenchimento dos roteiros (Apêndice D) e as entrevistas
realizadas pós-aula (Apêndice E) permitiram investigar a prática pedagógica das duas
docentes (P-I e P-III) de modo profundo e intenso (Lüdke e André, 1986). As tabelas 6 e 7, a
seguir, expõem os dados obtidos através da observação das aulas de Matemática de P-I.
A
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Tabela 6 – Freqüência Total - Apêndice D - P-I.
(Nº.) Freqüência
Aulas:
Categorias
1 2 3 4 5 6 7 8
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. 2 2 1 1 3 1 2 1 13
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor. 2 3 3 1 1 3 3 1 17
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos
matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. 1 1 2 4
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e
outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em
outras áreas do conhecimento.
1 1
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
Procedimento Didático e Metodológico
12. Outros. 1 1 1 1 1 5
1. Lousa e giz. 2 2 2 2 2 2 2 2 16
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre
de Hanói, Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco,
etc.
1 1 2
Materiais
Utilizados
5. Outros. 3 3 3 3 2 3 2 3 22
Tabela 7 – Distribuição do Total de Procedimentos e Materiais Utilizados por P-I (Nº e %).
Categorias Nº. %
1. Exposição Oral feita pelo professor. 13 32,5
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
17 42,5
5. Troca de idéias entre alunos e professores. 4 10
8. Trabalho Intradisciplinar. 1 2,5
Registro na lousa. 4 10
Procedimento
Didático e
Metodológico
12. Outros:
Questiona e corrige o caderno do
aluno.
1 2,5
Total
40 100
1. Lousa e giz. 16 40
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
2 5
Caderno do aluno. 2 5
Atividades em folha de sulfite. 19 47,5
Materiais
Utilizados
5. Outros.
Cartaz. 1 2,5
Total
40 100
Através das tabelas 6 e 7 é possível visualizar a predominância da exposição oral e
solicitação de atividades individuais em ¾ da prática docente de P-I. A dinâmica de grupo
não se fez presente, implicando na menor possibilidade de troca de idéias entre os alunos que
A
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174
‘ampliasse’ a ocorrência da tomada de consciência e construção dos conteúdos matemáticos –
conforme evidenciado por Moro (2000) e Sanchis e Mahfoud (2007). Logo, o Método
Psicogenético não foi característica marcante nas aulas de Matemática dessa docente, com
exceção de um episódio no qual a mesma corrigiu e questionou o caderno do aluno visando
causar-lhe um pensar sobre a sua ação. Este pensar sobre a própria ação é de suma
importância para que o estudante verifique o ‘caminho’ que o levou a solucionar algum
problema proposto, contribuindo à gradativa descentração de seu pensamento e constituição
das operações (reversibilidade, associatividade, identidade, tautologia etc.). A utilização da
lousa e giz, do caderno e de atividades propostas em folhas de sulfite ocupou 92,5% do total
de Materiais Utilizados durante as aulas; assim, atividades manipulativas que permitissem a
ocorrência da experiência (física e lógico-matemática) não foram observadas. De modo
geral, a prática de P-I constitui-se de procedimentos didáticos que exclusivamente utilizaram
o lingüístico (as proposições verbais). Ao não permitir que o aluno “organizasse o seu
pensamento organizando o mundo” (CUNHA, 1973), P-I –
inconscientemente
– dificultou a
ocorrência da ativação dos esquemas de assimilação.
Sobre a prática de P-III, as tabelas 8 e 9 ressaltam os Procedimentos Didáticos e
Metodológicos e Materiais Utilizados observados no decorrer das 10 aulas de Matemática.
Ambas tabelas (8 e 9) evidenciam uma prática pedagógica ‘um pouco’ diferente da
realizada por P-I e P-II. Embora P-III tenha utilizado procedimentos didáticos expositivo-
transmissivos (em aproximadamente 60% das aulas de Matemática), tais como explicar os
conteúdos oralmente (via lousa e livro didático) e posterior solicitação de exercícios (do tipo
‘siga o modelo’), foi possível observar alguns encaminhamentos ‘construtivistas’. Um deles,
por exemplo, refere-se a um agrupamento realizado entre os estudantes, permitindo a
troca/confronto de idéias e, conseqüentemente, a maior possibilidade dos mesmos ‘tomarem
consciência’ dos conteúdos matemáticos em questão. A utilização de materiais concretos que
pudessem ‘otimizar’ a ocorrência da experiência (física e lógico-matemática) também
estiveram presentes na prática docente de P-III, porém, durante a manipulação, a professora
encontrou dificuldades para a plena realização dessa atividade devido à indisciplina e
considerável agressividade por parte de vários alunos.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
175
Tabela 8 – Freqüência Total - Apêndice D - P-III.
(Nº.) Freqüência
Aulas:
Categorias
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. 1 1 1 1 2 1 2 2 2 13
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
1 1
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor. 1 2 1 4 2 1 2 13
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos
matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. 1 1 2
6. Troca de idéias entre alunos e alunos. 1 1 2
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e
outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em
outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
Procedimento Didático e Metodológico
12. Outros. 1 4 3 2 4 2 1 1 1 19
1. Lousa e giz. 3 2 1 1 1 2 1 11
2. Livro didático. 2 2 3 3 10
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre
de Hanói, Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco,
etc.
2 5 2 1 4 14
Materiais
Utilizados
5. Outros. 1 3 2 3 5 1 15
Tabela 9 – Distribuição do Total de Procedimentos e Materiais Utilizados por P-III (Nº e %).
Categorias Nº. %
1. Exposição Oral feita pelo professor. 13 26
2. Agrupamentos dos alunos para a realização de
atividades sugeridas pelo professor.
1 2
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
13 26
5. Troca de idéias entre alunos e professores. 2 4
6. Troca de idéias entre alunos e alunos. 2 4
Registro na lousa. 4 8
Auxílio ao aluno. 2 4
Questiona o aluno. 7 14
Corrige o caderno do aluno. 1 2
Correção da atividade proposta. 3 6
Procedimento Didático e
Metodológico
12. Outros:
Auxílio as duplas. 2 4
Total
50 100
1. Lousa e giz. 11 22
2. Livro didático. 10 20
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
14 28
Caderno do aluno. 5 10
Materiais
Utilizados
5. Outros.
Atividades em folha de sulfite. 10 20
Total
50 100
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
176
Em suma, as etapas do Método Psicogenético:
dinâmica
de
grupo
,
tomada
de
consciência
e
avaliação
diagnóstica
– foram observadas nas aulas de Matemática de P-III,
apesar de não representarem a maior parte dos procedimentos didáticos adotados pela
docente. Este fato corrobora com a pesquisa de Massabni (2005) a respeito da incorporação de
alguns ‘elementos construtivistas’ numa prática caracteristicamente tradicional. Um aspecto
que merece atenção refere-se ao fato de P-III ter questionado (em 14% de sua prática) alguns
estudantes acerca das soluções por eles elaboradas. Tal estratégia (o questionar) propicia, na
maioria das vezes, a ocorrência do conflito cognitivo (um fator desencadeador da progressiva
equilibração do conhecimento).
Os dois itens seguintes ressaltam as dinâmicas das aulas de Matemática de P-I e P-III,
bem como os resultados provenientes das entrevistas pós-aula (Apêndice E) realizadas com
cada docente. A gravação em áudio de alguns momentos das aulas observadas permitiu
analisar – em profundidade – a interação professor-aluno, propiciando, assim, uma maior
compreensão do significado que o professor atribui ao processo de ensino e aprendizagem
(Lüdke e André, 1986, p. 12).
5.2.2.1 –
R
OTEIROS
1
A
4
:
A
ULAS
1
A
8
D
E
P
-
I
O registro por escrito das oito aulas observadas e a transcrição literal e integral das
duas entrevistas pós-aula (Apêndice E) encontram-se no Apêndice I (itens: I. II. 1, I. II. 2, I.
II. 3 e I. II. 4).
Durante a observação de campo, P-I abordou os seguintes conteúdos matemáticos: o
sistema de numeração (em particular os numerais quatro e cinco), o conceito de dezena como
sendo equivalente a dez unidades, a idéia de conjunto, a noção de sucessor e antecessor de um
número natural, idéias intuitivas de adição e subtração. A dinâmica das aulas de Matemática
da docente foi praticamente análoga ao denotado pelo Organograma 5 – Estratégias Didáticas
Gerais de P-II. Nesta dinâmica observou-se a tríade:
explicação oral do conteúdo e das
atividades propostas (pelo professor)
x
solução das atividades tipo ‘siga o modelo’ (pelo
aluno)
x
correção das referidas atividades (pelo docente)
. Os estudantes não realizaram a
experiência (física e lógico-matemática) utilizando o concreto, logo, supõe-se a grande
dificuldade do aluno em ‘atingir’ a abstração reflexiva. As ações dos estudantes restringiram-
se às proposições verbais (enunciados verbais e registro das soluções por escrito). Somente
P-
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
177
I manipulou alguns materiais no momento de explicar os conteúdos matemáticos, o que
segundo Cunha (1973) é insuficiente, pois o aluno organiza o seu pensamento (em estruturas
operatórias) por meio da ação (classificação, ordenação, seriação, quantificação,
correspondência, distribuição, duplicação, associação etc.) sobre os mais diversos objetos.
O Método Psicogenético não foi utilizado por P-I, com exceção de poucos momentos
nos quais a mesma corrigiu a atividade dos alunos – avaliação diagnóstica – verificando a
construção (ou não) dos conteúdos matemáticos abordados.
Nas duas entrevistas realizadas pós-aula (Apêndice E), P-I afirmou:
1. Acreditar na idéia de que o conhecimento matemático é uma construção contínua a partir
de conceitos anteriormente construídos;
2. Encontrar dificuldades para trabalhar com os conteúdos matemáticos devido à falta de
materiais manipulativos a todos os alunos; caso tivesse uma quantidade suficiente trabalharia
de forma diferenciada;
3. Utilizar os conteúdos aprendidos pelos estudantes nas aulas posteriores;
4. Repensar algumas ações didáticas para aqueles alunos que ainda não aprenderam os
conteúdos matemáticos abordados. Por exemplo, a utilização de materiais concretos e o
oferecimento de atividades com uma linguagem ‘mais simples ainda’.
Ao referir-se à utilização de ‘
uma linguagem mais simples
’, P-I ‘aproximou-se’ da
posição epistemológica empirista, pois a aprendizagem dos conceitos matemáticos deveu-se
às suas ações sobre os estudantes. Logo, o seu agir (
a sua explicação o mais simples possível
)
determinou a aprendizagem dos conteúdos pelos alunos. Acredita-se que esta postura
empirista advenha dos saberes experienciais de P-I, já que, conforme exposto na
Entrevista/Inicial – Apêndice B (categoria C), a docente não teve a oportunidade – enquanto
aluna – de aprender Matemática utilizando e agindo sobre o concreto. Assim, segundo Tardif
(2002), as experiências enquanto aluna influenciaram a postura didática de P-I ao ‘reproduzir’
as aulas de Matemática tidas no passado.
A partir das discussões acerca dos roteiros 1 a 4, totalizando 8 aulas de Matemática
observadas, pode-se perceber a predominância de ações didáticas caracteristicamente
tradicionais. Os elementos construtivistas estiveram presentes na fala de P-I ao acreditar na
contínua construção do conhecimento e na idéia do concreto como facilitador do
entendimento da Matemática, mas não em suas estratégias didáticas (embora tenha
manipulado alguns objetos visando uma melhor e maior compreensão por parte dos
estudantes).
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
178
5.2.2.2 –
R
OTEIROS
1
A
4
:
A
ULAS
1
A
10
D
E
P
-
III
O registro por escrito das dez aulas observadas e a transcrição literal e integral das três
entrevistas pós-aula (Apêndice E) encontram-se no Apêndice J (itens: J. II. 1, J. II. 2, J. II. 3 e
J. II. 4).
No decorrer das 10 aulas de Matemática observadas, P-III trabalhou os seguintes
conteúdos matemáticos: a idéia de divisão euclidiana e seu algoritmo, o sistema de numeração
romana, adição / subtração / multiplicação envolvendo números racionais (em específico, o
dinheiro – real), seqüência numérica e malha geométrica. Nas cinco primeiras aulas os
estudantes manipularam o ábaco e suas peças móveis para solucionarem algumas divisões
solicitadas pela professora. A operação sobre o concreto permitiu, para muitos estudantes, a
ocorrência da experiência (física e lógico-matemático). Percebeu-se que durante o agir no
concreto alguns alunos ‘tomaram consciência’ acerca dos elementos constituintes do
algoritmo da divisão euclidiana, tais como: quociente, resto, dividendo e divisor.
Embora P-III tenha utilizado – em grande parte de suas aulas de Matemática – a
tríade:
explicar o conteúdo e como solucionar as atividades oralmente aos alunos
x
solicitar
a solução individual dos exercícios no caderno
x
corrigir as atividades na lousa
(características marcantes do ensino tradicional pelo fato da aprendizagem do aluno advir do
agir do professor), foi possível observar em sua prática pedagógica um ‘elemento
construtivista’ – o questionar/desequilíbrio. Ao questionar alguns estudantes, P-III
amplificou a ocorrência do desequilíbrio cognitivo e posterior assimilação-acomodação de
novos conteúdos matemáticos. Acreditamos na possibilidade de mais situações de
desequilíbrio caso P-III tivesse feito uso (freqüentemente) da dinâmica de grupo, já que,
segundo Piaget (2001), a troca/conflito de idéias e as ações interindividuais (entre os alunos)
auxiliam na ativação dos esquemas de assimilação e gradativa descentração (reversibilidade)
do pensamento.
A respeito das três entrevistas realizadas pós-aula, P-III salientou:
1. Acreditar na idéia de contínua construção do conhecimento, embora enfatizasse que muitos
de seus alunos não possuíam os conceitos anteriores no começo do ano. A questão da falta de
conceito anterior refere-se à ainda não construção de alguns esquemas de ação, tais como:
classificar, ordenar, comparar, associar, distribuir, entre outros, que permitam ao estudante
pensar operativamente (via raciocínio reversível, associativo, distributivo etc.).
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
179
2. Possuir muitas dificuldades com relação à indisciplina e falta de concentração dos
estudantes durante as aulas de Matemática. Acredita-se que a proposição de situações
desafiadoras motive os alunos a ativarem os mecanismos de assimilação, e conseqüentemente,
propiciando a ocorrência da equilibração majorante. Segundo Lima (1973), as situações
desafiadoras cumprem satisfatoriamente a função de motivar os estudantes.
3. Utilizar os conteúdos matemáticos aprendidos pelos alunos em momento posterior por
acreditar que a Matemática é uma seqüência. Devido à fala obtida na Entrevista/Inicial –
Apêndice B (categoria C), na qual P-III não se lembrou dos pontos principais da Teoria de
Piaget, acredita-se que a idéia da Matemática como uma seqüência (contínua) advenha dos
saberes experienciais e curriculares e não dos saberes da formação profissional.
4. Acreditar na possibilidade da melhor aprendizagem quando os alunos utilizam materiais
concretos.
Ao final da observação de campo realizada com P-III, foi possível perceber, na sua
prática docente, uma mescla de posturas didáticas tradicionais (exposição oral dos conteúdos
e solicitação de atividades individuais do tipo ‘siga o modelo’, na qual o aluno apenas
reproduz o explicado pelo professor) e construtivistas (a ocorrência da experiência através da
ação – operação – no concreto, o questionamento visando o desequilíbrio cognitivo, as trocas
interindividuais possibilitando a gradativa reciprocidade do pensamento).
5.2.3 –
A
LGUMAS
I
NFERÊNCIAS
D
OS
R
ESULTADOS
D
A
E
NTREVISTA
F
INAL
Para melhor visualização e sistematização, nos quadros a seguir apresentam-se os
principais trechos das falas obtidas por meio da entrevista final (Apêndice G) realizada com
P-I e P-III. O objetivo da mesma consistiu na investigação – profunda – do porquê de
determinadas respostas afirmadas pelos docentes nas entrevistas anteriores e no
Questionário/Inicial, bem como das estratégias didáticas adotadas por ambas professoras. A
transcrição literal e integral das entrevistas feitas com P-I e P-III encontra-se nos Apêndices
I. III e J. III, respectivamente.
Questão:
Assunto: Fala de P-I:
1.
O que necessita abordar um curso de
Formação Continuada referente ao
ensino de Matemática às séries iniciais.
“o que eu acho que falta é metodologia
; porque esses
cursos têm que abordar mais, assim, como você vai
abordar esse tipo de conteúdo, né; que atividades seria
mais fácil pra criança aprender”.
2.
O porquê de representar os números “(...) eu não sei nem explicar, (...). (...) esse negócio da
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
180
pertencentes às unidades em um
desenho em forma de casa.
gente pegar a atividade pronta e eu não me atentei a
isso!”.
3.
O porquê de utilizar conjuntos
contendo elementos para expor o
conceito de número.
“(...) é legal pra ele (o aluno) tanto entender o número e
a relação com a quantidade quando você faz o conjunto,
e também depois na hora que você vai trabalhar a
multiplicação ele já tem claro essa idéia de
agrupamento, de conjunto!”.
4.
O significado do termo “absorvem”
comentado em entrevista anterior.
“(...) a idéia de absorver que eu coloquei é a idéia assim
de compreender o conteúdo (...)”.
5.
O porquê da utilização de materiais
concretos no momento de explicar os
conteúdos matemáticos.
“(...) a Matemática, por ser tão abstrata, se você não
der algo mais concreto, fica difícil deles (referiu-se aos
alunos) visualizarem. Até mesmo assim o desenho fica
ainda abstrato (...)”.
6.
O pensamento a respeito das dinâmicas
de grupo.
“(...) eu gosto do grupo, eu gostaria de trabalhar mais;
e também assim falta um pouco assim de conhecimento
mesmo no como trabalhar num grupo maior, que tipo de
atividades, que tipo de jogos(...)”.
7.
A questão de adotar – ou não -
atividades “interessantes” que
‘provoquem’ os alunos.
“Eu procuro sempre assim trazer uma coisinha mais
lúdica que eles possam aprender e também se divertir
com a atividade; e se eles estão dando uma resposta eu
acredito que isso seja interessante”.
8.
A relação entre: número excessivo de
alunos E falta de materiais COM a
abordagem construtivista piagetiana.
“(...) a falta de um material concreto para todos eu acho
que limita um pouco às vezes algumas atividades, né,
então assim, você (professor) mostra, é diferente da
criança ter o contato, ela mesmo né, ela manuseando o
próprio material (...). O número excessivo de alunos
atrapalha bastante (...). Quanto mais você tem, o tempo
de atenção que você dispõe pra essa criança é menor
(...)”.
9.
O significado do termo “conhecimento
mínimo” empregado durante a
Entrevista/Questionário Inicial.
“(...) a criança tem que ter o conhecimento mínimo: de
seqüência numérica, registro de quantidade (...). (...) ela
(a criança) não sabe essa idéia de relação do número
com a quantidade (...)”.
Quadro 28 – Resultados da Entrevista Final realizada com P-I.
Questão:
Assunto: Fala de P-III:
1.
O que necessita abordar um curso de
Formação Continuada referente ao
ensino de Matemática às séries iniciais.
“(...) Hoje, a criança ela está ‘mais viva’ e a gente
precisa ficar atenta porque a Matemática não está
estacionada, ela precisa caminhar junta com o
desenvolvimento da criança! (...)
Tem que abordar
então a metodologia, mudar alguma coisa!”.
2.
O porquê da utilização de materiais
concretos no momento de explicar os
conteúdos matemáticos.
“(...) porque é mais fácil a criança ter o material no
concreto e ela vê, assimila melhor a Matemática”.
3.
O significado do termo “assimilaram”
afirmado durante uma entrevista.
“Eu acho que eles entenderam o sentido da troca (...).
Então eu acho que eles construíram sim, essa noção”.
4.
O porquê de questionar os alunos
acerca das soluções elaboradas por
eles.
“Ah, a importância, (...). Chamar a criança pra aquilo
que ela fez! (...) é jogar pro aluno pra ele tentar
solucionar (...) tenta uma, duas vezes; se a criança não
conseguir então caminha junto com ela”.
5.
A manipulação pelo aluno em objetos
concretos facilita a construção dos
conteúdos matemáticos.
“Eu acredito, facilita! (...) a gente usa aquele pouco que
a gente tem! (...) Se eu tivesse eu usaria mais”.
6.
O pensamento a respeito das dinâmicas
de grupo.
“Olha, eu gosto de trabalhar em grupo! Só que esse ano
eu estou trabalhando pouco porque na minha sala tem
alunos muito agressivos”.
7.
A questão de adotar – ou não -
atividades “interessantes” que
‘provoquem’ os alunos.
“Eu gosto de lançar pra eles, assim, deixar meio no
suspense (...). (...) às vezes você traz aquilo de
interessante e nem sempre o interessante bate com a
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
181
realidade do aluno”.
8.
A relação entre: número excessivo de
alunos E falta de materiais COM a
abordagem construtivista piagetiana.
“(...) o número excessivo de alunos que tem numa sala
de aula, torna complicada a vida do professor! (...) o
número excessivo de alunos e a falta de materiais, como
eu já tinha falado, prejudica o ensino de Matemática”.
9.
O significado do termo “começar lá da
base mesmo dele” empregado durante
a Entrevista/Questionário Inicial.
“É puxar o que ele conhece (...). (...) começar lá da
base, é pra ele ter a noção dos números; é pra ele
começar lá do concretinho, da base. (...) Os alunos não
têm aquela base pra eles ter continuidade; eles sabem
somar unidade, mas quando chega: centena, dezena e
unidade eles se perdem (...). (...) noção de lateralidade,
ele tem noção de frente, de trás! Tudo isso é uma base
pro aluno.”.
Quadro 29 – Resultados da Entrevista Final realizada com P-III.
Sobre os cursos de Formação Continuada no ensino de Matemática – questão 1
(Quadros 28 e 29) – P-I e P-III afirmaram ser imprescindível a abordagem da metodologia,
ou seja, como abordar os conteúdos matemáticos de um modo que facilite a aprendizagem
dos alunos. O Método Psicogenético (LIMA, 1973, 2000) configura uma alternativa
metodológica oportuna à abordagem dos conteúdos matemáticos, permitindo ao professor
acompanhar o desenvolvimento cognitivo do estudante (através da avaliação diagnóstica),
bem como, as suas constituintes (dinâmica de grupo, situação problema, tomada de
consciência) auxiliam na ativação dos esquemas de assimilação da criança. Logo, não seria
aceitável a proposição de cursos que utilizassem deste método? Segundo Caruso (2002),
Collares (2001) e Lima (2004), a Epistemologia Genética piagetiana (teoria que fundamenta o
Método Psicogenético) ajuda o professor no ‘enfrentamento’ das dificuldades advindas do
dia-a-dia escolar. Assim, inserir o construtivismo piagetiano nos cursos de Formação
Continuada no ensino de Matemática (às séries iniciais) parece ser uma alternativa viável e
oportuna.
A respeito da utilização de materiais concretos – perguntas 5 (Quadro 28) e 2 (Quadro
29) – P-I e P-III afirmaram que tais materiais auxiliam os alunos na assimilação dos
conteúdos matemáticos. Acredita-se que ambas professoras disseram isso ao perceberem nas
suas práticas docentes a ‘melhor’ aprendizagem da Matemática quando disponibilizaram aos
seus estudantes atividades cuja experiência (física e lógico-matemática) ocorreu através da
manipulação no concreto. Como P-I e P-III ao longo das discussões – por meio do
Questionário/Inicial e das entrevistas – não demonstraram conhecer ‘em profundidade’ a
teoria de Piaget, então, supõe-se que a defesa em torno da manipulação no concreto advenha
dos saberes experienciais e curriculares incorporados pelas mesmas. Segundo Cochran-
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
182
Smith e Lytle (1999), esta idéia adveio do conhecimento em prática, ou seja, aprendidos na
prática docente.
Em relação às questões 6, 7 e 8 (de ambos os quadros), P-I e P-III salientaram,
respectivamente:
1. ‘Gostar’ das dinâmicas de grupo, porém, em suas salas ainda não foi possível utilizá-las
devido à falta de conhecimentos mínimos dos alunos (segundo P-I) e à agressividade dos
estudantes (conforme P-III). Como abordado no Capítulo 1, ambas docentes precisam
compreender que a dinâmica de grupo,
ao promover as trocas interindividuais
(Lima, 1973;
Piaget, 2001), auxilia na constituição de sentimentos autônomos e de cooperação, bem como
contribui à gradativa reciprocidade do pensamento permitindo ao sujeito operar em níveis
cada vez mais formais.
2. Acreditar que utilizam atividades interessantes porque os estudantes gostam. O gostar (a
questão do lúdico) é importante porque motiva o aluno, mas as professoras necessitam
atentar-se se tais atividades causam desequilíbrios cognitivos possibilitando – através da
equilibração majorante – a construção do conhecimento lógico-matemático.
3. Ser difícil enfrentar o número excessivo de alunos e a falta de materiais manipulativos.
O exposto pelas perguntas 4 e 9 (Quadro 28) e 3 e 9 (Quadro 29) corroboram com a
hipótese de Gebara e Marin (2005), pois P-I e P-III apropriaram-se de alguns termos
utilizados na teoria de Piaget (assimilar, conhecimento base/mínimo à continuidade) de modo
difuso e fragmentado. Pode-se afirmar isso já que durante os dois meses de pesquisa de
campo, embora as duas docentes tenham afirmado nas entrevistas idéias presentes no
construtivismo piagetiano, não foi possível observar uma fundamentação ‘teórica’ do porquê
dos termos usados.
As respostas obtidas nas demais questões (não discutidas) tornam-se esclarecedoras,
não sendo necessário realizar uma análise acerca das mesmas.
Através dos instrumentos e procedimentos utilizados na pesquisa de campo com P-I e
P-III, foi possível investigar algumas concepções a respeito do ensino de Matemática nas
séries iniciais, além de compreender o modo como ambas abordaram os conteúdos
matemáticos. De um lado observou-se uma prática mais tradicional (expositivo-transmissiva)
em P-I, sendo a linguagem (oral e escrita) o exclusivo meio (objeto) para a construção do
conhecimento pelo estudante. De outro, na prática docente de P-III – embora verificou-se a
predominância do seu agir como o responsável pela aprendizagem do aluno –, percebeu-se a
incorporação de alguns elementos construtivistas, tais como: questionar/desequilibrar o
estudante, a realização da experiência (física e lógico-matemática) através do agir
no
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
183
concreto, possibilitando (mais provavelmente) a abstração reflexiva. Torna-se oportuno
registrar a coerência entre o
dizer
e o
fazer
, pois a triangulação dos dados permitiu observar
que o exposto através do questionário e entrevistas foi observado nas suas práticas docentes.
Em suma,
os estudos de dois casos
auxiliaram na compreensão do como o
construtivismo piagetiano vem sendo utilizado pelos professores que ensinam Matemática nas
quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. A seguir, finalizando as discussões presentes
neste capítulo, apresenta-se a prática de P-IV, aquela que ‘
mais se aproximou
’ dos
pressupostos derivados da teoria de Piaget à Educação.
5.3 –
A
P
ESQUISA
D
E
C
AMPO:
P
ARTICIPAÇÃO
D
E
P
-
IV
Analogamente aos demais professores participantes, a pesquisa de campo com P-IV
realizou-se durante dois meses de intensas observações e vários momentos de
questionamentos por meio das entrevistas gravadas em áudio. P-IV ministra aulas (de
Matemática) aos alunos da 4ª série do Ensino Fundamental há quase 7 anos, não possuindo
experiência com as demais séries (1ª a 3ª). Professor efetivo da rede estadual, possui as
seguintes formações acadêmicas: 1. Magistério na modalidade Ensino Médio (pelo extinto
CEFAM) e, 2. Licenciatura Plena em Pedagogia. Já atuou em escolas da rede municipal,
porém, atualmente trabalha somente na rede estadual.
Faz-se relevante registrar que a primeira aproximação do pesquisador com o professor
deu-se por meio da apresentação dos Apêndices A e C (Ficha Informativa). Nestes,
esclareceram-se os objetivos norteadoras da presente pesquisa, bem como o zelo para com
todos os dados coletados.
O tópico seguinte analisa as respostas obtidas através do Questionário/Entrevista
Inicial (Apêndice B – categorias B e C).
5.3.1 –
O
S
R
ESULTADOS
D
O
Q
UESTIONÁRIO/
E
NTREVISTA
I
NICIAL
Primeiramente é feita uma análise dos resultados do Questionário/Inicial (categoria B)
realizado com P-IV. O quadro a seguir evidencia as respostas obtidas nas questões 1 a 4 e 6 a
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
184
8. A pergunta 5 é discutida separadamente, devido à possibilidade de mapear os
procedimentos didáticos e os materiais que o docente discursa utilizar em sua prática docente.
Perguntas
Nº.: Tema:
Respostas obtidas de P-IV:
1. Interesse pela Matemática enquanto aluno. Regular.
2. Interesse pela Matemática enquanto professor. Bom.
3. Assuntos da Matemática mais difíceis de ensinar.
Espaço e Forma. Justifica que a dificuldade para
ensinar este conteúdo decorre da necessidade de
possuir uma grande base de conhecimento acerca do
mesmo. Logo, necessita-se de uma formação ampla.
4.
Realização de Cursos (Formação Continuada)
sobre o ensino de Matemática nas séries iniciais.
Não tem realizado nos últimos 5 anos.
6.
O ensino da Matemática deve possibilitar ao
aluno estabelecer relações com o cotidiano e seu
próprio pensamento.
Concorda com este objetivo salientando que o
ensino da Matemática realmente sirva para atender
ao cotidiano e não só às exigências acadêmicas.
7. A importância de estudar os conteúdos É importante para que o estudante consiga inserir-se
matemáticos.
na sociedade, já que a mesma exige os
conhecimentos matemáticos a todo o tempo.
8.
O ensino da Matemática deve possibilitar ao
aluno construir conhecimentos através da
interação com o outro, consigo e diversos
materiais.
Concorda com a afirmação ressaltando que somente
desse modo o ensino de Matemática conseguirá
formar o ser humano completamente (formação
conteudista e humanista).
Quadro 30 – Respostas provenientes do Questionário Inicial (Apêndice B, categoria B) – P-IV.
Em relação às questões 1 e 2, pode-se perceber que, enquanto aluno, P-IV manteve
uma regular relação com a Matemática. Supõe-se que durante a sua Formação Inicial (no
CEFAM e na faculdade) tal relação tenha se modificado – positivamente como professor –
devido à assimilação e conceituação (tomada de consciência definida a partir da teoria de
Piaget) dos conteúdos matemáticos abordados nas disciplinas de Metodologia e Didática de
Matemática (comumente presentes nas grades curriculares dos cursos formadores de docentes
às séries iniciais do Ensino Fundamental).
P-IV considerou Espaço e Forma o conteúdo mais difícil a ensinar. Segundo ele, uma
das causas da dificuldade decorre da necessidade de conhecer este conteúdo amplamente.
Nesse sentido, P-IV indiretamente demonstrou achar difícil ensinar algum conteúdo que ‘nem
o professor’ conhece bem. Tal idéia corrobora com a hipótese de Tardif (2002) acerca da
íntima relação entre os saberes (os disciplinares inter-relacionados com os curriculares e os
da formação profissional). Talvez o conteúdo referente à unidade Espaço e Forma tenha sido
um dos conhecimentos que P-IV não construiu durante a sua Formação Inicial – tendo em
vista a relação regular com a Matemática evidenciada na pergunta 1.
A respeito da questão 6, observou-se a importância atribuída à abordagem dos
conteúdos matemáticos aplicáveis no cotidiano. Acredita-se que tal importância advenha dos
saberes da formação profissional (em particular o construtivismo piagetiano, ao referir-se à
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
185
necessidade de trabalhar a ‘realidade do aluno’) e dos experienciais. Porém, como em
nenhum trecho da resposta P-IV justificou a relevância do cotidiano devido à
ativação dos
esquemas de assimilação
do estudante, supõe-se que a apropriação da teoria de Piaget ocorreu
de modo difuso e fragmentado (GEBARA e MARIN, 2005). As discussões realizadas
posteriormente validarão tal hipótese.
A propósito das perguntas 7 e 8, P-IV salientou que a apropriação dos conteúdos
matemáticos auxilia na inserção do aluno na sociedade, além desta (apropriação) contribuir
para a formação humanista (ou seja, a constituição ‘do homem’ ético, moral, filosófico etc.) e
não somente para a conteudista (isto é, a exclusiva construção dos conteúdos matemáticos
formais). Em nenhum momento este professor referiu-se à constituição do raciocínio-lógico
48
– decorrente da aprendizagem dos conteúdos matemáticos – que, por sua vez, ajuda a
‘construir’ o pensamento hipotético-dedutivo. Como este tipo de pensamento permite ao
sujeito raciocinar por meio de proposições verbais (logicização) então, além de inserir-se na
sociedade, o indivíduo – através de sua “
capacidade de crítica
” (Lima, 2000, p. 119) – poderá
transformá-la visando o bem comum.
Por fim, em relação à questão 5, denota-se no quadro seguinte os procedimentos
didáticos e os materiais que P-IV discursou (afirmou) utilizar na prática docente.
P-II
CATEGORIAS
FR PO RA NC
1. Exposição Oral feita pelo professor.
X
2. Agrupamento dos alunos para realização de atividades sugeridas
pelo professor.
X
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor.
X
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos matemáticos.
X
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
X
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
X
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
X
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em outras áreas
do conhecimento.
X
9. Atividades envolvendo materiais concretos manipulativos.
X
10. Confecção de algum material pelos alunos.
X
Procedimento Didático e Metodológico
11. Atividades lúdicas como: dramatizações, brincadeiras, entre
outras.
X
1. Lousa e giz.
X
2. Livro didático.
X
3. Revistas e jornais.
X
Materiais
Utilizados
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre de Hanói,
Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco, etc.
X
Quadro 31 – Distribuição dos Procedimentos e Materiais nas Categorias FR, PO, RA e NC de P-IV.
48
Faz-se notório registrar que a constituição do raciocínio-lógico não ocorre somente pela construção dos
conteúdos matemáticos, porém a apropriação do conhecimento matemático colabora muito com esta
constituição.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
186
No Quadro 31 fica evidente a postura do professor em proporcionar situações de
ensino nas quais a interação faça-se presente e freqüente. Conforme evidenciado pelos
autores (LIMA, 1973, 2000; MORO, 2000; PIAGET, 2002; SANCHIS e MAHFOUD, 2007;
STOLTZ, 2006), a interação – constituindo um dos fatores do desenvolvimento cognitivo –
permite ao sujeito realizar trocas com o meio permitindo-lhe constantemente ativar os seus
esquemas de assimilação, dando início ao mecanismo de equilibração (invariante funcional
responsável pela progressiva construção e complexificação do conhecimento). Ao agrupar os
alunos, segundo a resposta de P-IV, faz-se possível a ocorrência da troca de idéias entre eles.
Por meio desta troca de idéias/opiniões há maior probabilidade do surgimento do conflito
cognitivo, elemento este importante à constituição do desequilíbrio cognitivo (desencadeador
das regulações, compensações, que, por sua vez, auxiliam no processo da acomodação).
Os procedimentos didáticos que fazem uso dos materiais concretos manipulativos
foram apontados como freqüentemente utilizados. Corroborando com as discussões anteriores
sobre este tema, através da operação sobre o concreto, o aluno – do estágio operatório-
concreto – possui maior chance de realizar a experiência (física e lógico-matemática),
‘atingindo’, assim, a abstração reflexiva. É justamente neste ‘abstrair reflexivamente’ que se
iniciam a conceitualização e a tomada de consciência dos conteúdos (matemáticos), sendo
esses processos cognitivos imprescindíveis à compreensão da Matemática formal.
As discussões em torno da pesquisa de campo realizada na sala de P-IV permitirão,
além da ‘triangulação’ das respostas obtidas por este instrumento (Questionário/Inicial),
analisar como este professor gere os procedimentos didáticos citados como freqüentemente
utilizados.
A entrevista gravada em áudio (Apêndice B – categoria C) apresenta-se transcrita de
modo literal e integral no Apêndice K – item K. I. A seguir, constam algumas inferências
acerca dos principais trechos retirados da fala de P-IV.
Sobre a pergunta 1 – oportunidades para refletir sobre o ensino de Matemática na
Formação Inicial – o professor recordou da maior ênfase dada a “parte prática” do ensino de
Matemática, ou seja, ao conhecimento em prática definido por Cochran-Smith e Lytle
(1999). Segundo um trecho da fala de P-IV, houve poucos momentos de reflexão, observe:
“
(...) na faculdade a gente começou a ver um pouco mais sobre isso aí, mas também não com
tanta ênfase, né, não com tanta, a gente viu muito pouco de Piaget né, a Matemática de
Piaget (...).
”. Ao citar a última expressão sublinhada, o docente relacionou a teoria de Piaget à
Matemática. Realmente, ao estudar a psicogenética dos conteúdos lógico-matemáticos Piaget
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
187
(e seus colaboradores) aproximou-se da Matemática, porém, como denotado no Capítulo 1, a
sua teoria abrange variados outros conceitos.
Quando perguntado acerca das teorias educacionais abordadas na Formação Inicial, P-
IV citou Piaget e Vygotsky. Ao contrário de P-I, que mencionou ambos autores como
pertencentes à mesma tendência educacional, este professor disse o seguinte: “
(...)
em
Matemática nós vimos Piaget mesmo, a questão do sócio-interacionismo que é a do Vygotsky
e do construtivismo de Piaget.
”. Além de separar os referidos autores em suas respectivas
tendências, P-IV afirmou: “
(...) a de Piaget mesmo, da Matemática pra criança.
”. Assim,
supõe-se que, durante a sua Formação Inicial, a ‘apresentação’ do construtivismo piagetiano
tenha ocorrido em disciplinas relacionadas ao Ensino de Matemática.
Na pergunta 3 – os principais tópicos da teoria de Piaget – P-IV salientou os seguintes
itens: a própria construção do conhecimento pela criança, o aluno partir do seu interesse, o
docente desempenhando um papel de mediador do interesse do estudante. As três expressões
sublinhadas corroboram em muito com alguns dos pressupostos do construtivismo piagetiano,
bem como do Método Psicogenético. Explicitamente Lima (1973, 2000) referiu-se ao papel
do professor como o animador de situações de ensino que ativem os mecanismos da
equilibração (assimilação-acomodação) por meio de desafios (‘interessantes’ e motivadores),
possibilitando ao aluno a construção do próprio conhecimento (evolução dos estágios
cognitivos).
Finalmente, a propósito da questão 4 (críticas à teoria de Piaget), o professor citou:
“
(...) ele desconsidera o sócio-interacionismo(...). (...) o construtivismo desconsidera a
individualidade de cada aluno
”. As expressões sublinhadas evidenciam as críticas feitas por
P-IV ao construtivismo piagetiano. Ao citar de um lado a desconsideração do social e do
outro do individual, tal professor se contradiz, pois, para desconsiderar o social, deve-se
considerar unicamente o individual, valendo também o oposto. A partir do exposto pelo
docente, pode-se supor a ocorrência de uma “
apropriação difusa e fragmentada
” (GEBARA e
MARIN, 2005) da Epistemologia Genética piagetiana. Conforme evidenciado no Capítulo 1,
em nenhum momento Piaget desconsiderou a questão da interação social, citando-a inclusive
como uma das variáveis responsáveis pelo desenvolvimento cognitivo do indivíduo. Além
disso, no Método Psicogenético, Lima (1973) expõe constantemente a importância da
interação social à construção do conhecimento. Logo, supõe-se que a fala de P-IV advenha de
uma ‘leitura superficial’ acerca da teoria piagetiana, ou, do convívio (constituição dos saberes
experienciais) com outros professores que – desinformados – criticam essa teoria
indiscriminadamente.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
188
A partir desta análise ‘inicial’, perceberam-se as idéias de P-IV com relação à
Matemática, ao ensino de Matemática e à teoria de Piaget. Observou-se certa não-construção
de alguns conteúdos matemáticos (saberes disciplinares) por este docente, embora este fator
não o ‘impediu’ de indicar procedimentos didáticos que se ‘aproximaram’ do construtivismo
piagetiano. As concepções sobre esta teoria corroboram com as pesquisas de Gebara e Marin
(2005) e Rapoport e Silva (2006) a respeito da difusão fragmentada das idéias de Jean Piaget
‘aplicadas’ à Educação.
5.3.2 –
A
LGUMAS
I
NFERÊNCIAS
D
OS
R
ESULTADOS
D
A
O
BSERVAÇÃO
‘
T
OTAL’
Durante dois meses de observação das aulas de Matemática gerenciadas por P-IV
obteve-se o preenchimento de 4 roteiros. Na tabela a seguir evidenciam-se o número de aulas
observadas e o tempo total da observação.
Tabela 10 – Dados numéricos da Observação Total de P-IV.
Roteiros Aulas Tempo de Observação
1 1 e 2 1h40min
2 3 a 5 2h30min
3 6 a 8 2h30min
4 9 e 10 1h40min
Total de Horas:
8h20min
Os roteiros 2 e 3 constituíram-se de três aulas cada, devido à ocorrência de três aulas
de Matemática ministradas consecutivamente (e no mesmo dia) por P-IV. Por meio dos
roteiros (Apêndice D) foi possível verificar – na prática – os procedimentos didáticos e
materiais utilizados pelo professor, além de constatar a coerência entre o seu
dizer
e
fazer
. A
tabela seguinte apresenta tais dados:
Tabela 11 – Freqüência Total - Apêndice D - P-IV.
(Nº.) Freqüência
Aulas:
Categorias
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. 2 1 1 2 2 2 1 1 2 14
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
1 1 1 3
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor.
2 2
Procedimento
Didático e
Metodológico
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
2 2 2 2 2 3 2 15
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
189
Tabela 11 – Freqüência Total - Apêndice D - P-IV.
(Nº.) Freqüência
Aulas:
Categorias
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Total:
5. Troca de idéias entre alunos e professores. 1 1 1 1 2 6
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática
e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática
em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos. 3 1 4
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
Procedimento Didático e
Metodológico
12. Outros. 3 3 6
1. Lousa e giz. 1 2 2 2 3 1 2 3 4 20
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
1 1
Materiais
Utilizados
5. Outros. 4 3 3 2 2 4 3 2 1 5 29
Visando denotar o tipo de ‘Procedimento Didático e Metodológico’ e ‘Materiais
Utilizados’ registrado na categoria “Outros”, bem como a freqüência (numérica e percentual)
das categorias, a tabela abaixo torna-se pertinente:
Tabela 12 – Distribuição do Total de Procedimentos e Materiais Utilizados por P-IV (Nº e %).
Categorias Nº. %
1. Exposição Oral feita pelo professor. 14 28
2. Agrupamentos dos alunos para a realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3 6
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
2 4
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
15 30
5. Troca de idéias entre alunos e professores. 6 12
10. Confecção de algum material pelo aluno. 4 8
Registro na lousa. 2 4
Corrige a atividade
questionando o aluno.
1 2
Procedimento Didático e
Metodológico
12. Outros:
Questiona e auxilia o aluno. 3 6
Total
50 100
1. Lousa e giz. 20 40
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
1 2
Figuras geométricas. 1 2
Baralho e Tabuleiro. 14 28
Marcadores e Tabuleiro. 8 16
Materiais
Utilizados
5. Outros.
Caderno do aluno e Tabuleiro. 6 12
Total
50 100
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
190
A partir das tabelas 11 e 12 observa-se que P-IV propôs – em 56% de sua prática
pedagógica – encaminhamentos didáticos nos quais os estudantes tiveram de ‘agir’, ou seja,
não receberam ‘passivamente’ os conteúdos matemáticos do docente. Faz-se evidente a
presença de 28% da exposição oral feita pelo professor, porém algumas dessas exposições
auxiliaram os estudantes a compreenderem os objetivos dos jogos propostos. Embora os
materiais manipulativos representassem 2% do total de Materiais Utilizados, em 58% desse
total os alunos usaram peças móveis (tipo marcadores) e tabuleiros para a execução dos jogos
matemáticos.
Todas as etapas do Método Psicogenético – dinâmica de grupo, situação problema,
tomada de consciência e avaliação diagnóstica – fizeram-se constantes em grande parte da
prática docente de P-IV. As discussões – em profundidade – dos roteiros 1 a 4 permitem
estudar o caso afim de evidenciar como tais etapas colaboraram para a construção do
conhecimento lógico-matemático pelos estudantes. Juntamente com a análise das aulas de
Matemática, seguem algumas reflexões em torno das respostas provenientes da Entrevista
pós-aula (Apêndice E) realizada nos quatro dias de observação.
5.3.2.1 –
R
OTEIRO
1
:
A
ULAS
1
E
2
–
P
-
IV
No começo das duas primeiras aulas cada aluno confeccionou dez cartas – do tipo
baralho contendo algarismos de 0 a 9 – para a realização de um jogo matemático (em dupla)
enfatizando a operação da adição. No Apêndice K. II. 1 encontra-se o registro das ações de P-
IV, bem como a transcrição literal e integral da entrevista realizada após essa observação de
campo. Ao solicitar aos estudantes a confecção das cartas, P-IV pôde identificar (através da
avaliação diagnóstica) aqueles que já haviam construído a noção de número. Tal fato
decorreu do agrupamento (em quarteto) dos estudantes, permitindo ao professor – por meio
do diálogo entre eles – perceber aqueles que estavam com dúvidas no momento de associar o
número (impresso na carta) à sua respectiva quantidade.
Antes de iniciar o jogo, docente e alunos – democraticamente – discutiram acerca de
algumas características do mesmo. Decidiram, por exemplo, como nomear a cartela na qual
foram anotadas as adições realizadas durante o jogo. A troca de idéias entre estudantes e
professor auxilia no progressivo desenvolvimento da autonomia (LIMA, 2000), processo que
caminha em conjunto com a estruturação hipotético-dedutiva do pensamento. Como o jogo
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
191
ocorreu em duplas, um aluno acabou ‘verificando’ se o outro operava corretamente; tal
aspecto colaborou para a tomada de consciência relativa ao processo algoritmo da adição,
pois, ao observar o caminho utilizado por outrem, na grande maioria dos casos, o sujeito passa
a compreender os significados da sua própria ação.
Ao expor a explicação acerca do jogo, P-IV, em alguns momentos, questionou os seus
estudantes. O questionamento, conforme já discutido na prática de P-III, contribuiu para o
processo de desequilíbrio (conflito cognitivo) que, por sua vez – e na grande maioria dos
casos –, ‘ativa’ o mecanismo de equilibração (acomodação-assimilação).
Para uma melhor compreensão do jogo – uma estratégia didática eficaz à ocorrência da
interação, tomada de consciência, situação problema, avaliação diagnóstica, entre outros – a
figura a seguir torna-se relevante:
1ª RODADA
C D U
2ª RODADA
C D U
3ª RODADA
C D U
TOTAL DAS TRÊS
RODADAS
Figura 7 – Cartela utilizada no Jogo do Baralho confeccionado pelos alunos de P-IV.
Cada aluno (da dupla) retirou do ‘monte’ (conjunto contendo as vinte cartas
produzidas pelos estudantes nas quais havia os algarismos de 0 a 9) seis baralhos, formando
com os mesmos dois números constituídos pelas classes decimais: unidade, dezena e centena.
Em seguida, marcaram nas suas cartelas (na 1ª RODADA) tais números, adicionando-os. No
final das três rodadas, cada estudante tinha três resultados – decorrentes das três adições
(sendo as mesmas diferentes, já que no início das rodadas os alunos retiravam do monte
outros baralhos, formando assim números diferentes). A situação problema decorreu da regra
do jogo quando os estudantes tiveram que formar (posicionar) os algarismos de maneira que
obtivessem a maior quantidade, pois ganhava o participante que conseguisse o maior número
(proveniente da soma dos três resultados registrado na Figura 7 na cédula: TOTAL DAS
TRÊS RODADAS). A ‘imposição’ desta regra colaborou com o desenvolvimento da
criatividade – (LIMA, 1973) – já que cada aluno teve de lidar com ‘várias alternativas’ para a
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
192
obtenção do maior número: 1º posicionar na classe das centenas o baralho contendo o maior
algarismo; 2º colocar na classe das dezenas o segundo baralho possuindo o maior algarismo, e
3º completar a classe da unidade com o baralho restante.
Se no referido jogo os estudantes não tivessem que conseguir o maior resultado (por
meio do ‘melhor’ posicionamento dos algarismos para a obtenção dos maiores números a
serem somados), talvez, para muitos, o fato de adicionar dois números não se tornaria um
desafio intelectual (uma situação problema).
Faz-se válido ressaltar a confusão conceitual de alguns alunos no momento de
adicionar os números formados (durante cada rodada), pois, por exemplo, observou-se o
registro do número dezesseis somente na coluna da unidade. Por transitar/avaliar as duplas
quanto ao desenvolvimento do jogo, P-IV chamou a atenção dos estudantes para este fato (da
confusão conceitual), solicitando-lhes que relembrassem um jogo anterior – “Nunca Dez” –
no qual foi enfatizado a questão das trocas decimais – dez unidades valendo uma dezena, dez
dezenas valendo uma centena etc. – através da manipulação do Material Dourado
possibilitando a ocorrência da experiência (física e lógico-matemática).
Sobre a entrevista pós-aula (Apêndice E), na pergunta 1 P-IV disse ter utilizado o
“Jogo do Baralho” visando aos alunos a compreensão da adição. Segundo este professor o
jogo é uma maneira ‘mais prática’ para a abordagem dos conteúdos matemáticos. A respeito
desta expressão – mais prática – no tópico 5.3.3 serão realizadas algumas discussões.
Na questão 1.1 P-IV afirmou acreditar que a grande maioria dos seus alunos – por
meio do jogo – passou a entender a adição, além da ordem decrescente/crescente.
A propósito da pergunta 1.2 (em relação à idéia de conhecimento como construção
contínua ‘alicerçada’ em construções anteriores), o docente respondeu: “
Sim, acho que sim. Se
eles (os alunos) não tivessem nenhum conceito anterior, por mais que eu fizesse qualquer
coisa ali não iria “rolar”!
”. Através desta afirmação, P-IV, mais uma vez, defendeu o
pressuposto piagetiano de que a construção de conteúdos mais elaborados necessita de certas
estruturas ‘anteriores’ já construídas pelo sujeito, sendo esta construção advinda do
mecanismo de equilibração desencadeada pela interação/ação sujeito-objeto.
Em relação às dificuldades encontradas durante as aulas – questão 2 – P-IV citou a
falta de materiais didáticos e a sua formação Matemática não consistente. Sobre este último
aspecto, o docente salientou: “
(...) eu tenho que deixar em claro na minha formação que eu
não tenho uma formação Matemática que realmente eu considere ideal na área de
Matemática; (...).
”. A expressão sublinhada confirma os apontamentos realizados
anteriormente sobre a possível não-construção de alguns saberes disciplinares (conteúdos
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
193
matemáticos) por este docente. Tal expressão corrobora com a hipótese de Tardif (2002)
acerca da íntima relação entre os vários saberes à constituição da prática docente, pois P-IV
afirmou que algumas de suas dificuldades com relação ao ensino de Matemática devem-se ao
‘não aprofundamento’ nesta disciplina.
Finalizando, nas perguntas 3 e 4 discursou acreditar, respectivamente: 1. Na
importância de utilizar os conteúdos construídos nestas aulas (pelos seus alunos) em situações
posteriores mais complexas e; 2. Na necessidade de reavaliar (avaliação diagnóstica)
algumas de suas estratégias, já que, para alguns estudantes, o jogo não foi suficiente ao
entendimento da adição.
O item seguinte apresenta a continuidade do “Jogo do Baralho”, porém com outras
regras, logo, ‘outras’ situações problemas.
5.3.2.2 –
R
OTEIRO
2
:
A
ULAS
3
A
5
–
P
-
IV
Uma ‘melhor’ visualização dos registros e transcrições referentes às aulas encontra-se
no Apêndice K. II. 2. Utilizando as cartelas e baralhos confeccionados nas aulas anteriores, os
alunos (dispostos em duplas) continuaram o “Jogo do Baralho”, porém houve duas variações.
Na primeira, após cada estudante formar os dois números (provenientes das seis cartas
retiradas do “monte” contendo algarismos de 0 a 9), ao invés de somá-los tinham que subtraí-
los. No final das três rodadas, bastava cada aluno somar os resultados obtidos, ganhando
quem obtivesse o menor valor. Novamente acredita-se na ocorrência de situações problemas
aos estudantes, pois os mesmos deveriam pensar na melhor possibilidade (no melhor
posicionamento dos algarismos) para que os resultados advindos da subtração em cada rodada
fosse o menor possível, permitindo a obtenção da menor soma ‘total’. Nesta ‘nova’ versão o
aluno tinha que – por meio da abstração reflexiva – compreender o seguinte: “
o menor
resultado da subtração advém quando se subtraem dois números com valores quantitativos
próximos
”. Assimilar e acomodar esta estratégia de início não foi fácil aos estudantes, porém
as constantes jogadas permitiram (gradativamente) a muitos deles tomarem consciência da
mesma. Ressalta-se que a dinâmica de grupo colaborou para a troca de idéias (interação)
entre os integrantes das duplas, sendo cada aluno o responsável por desequilibrar/questionar
o outro.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
194
A segunda variação do “Jogo do Baralho” é parecida com a exposta no parágrafo
anterior, entretanto, os resultados provenientes das três rodadas deveriam de ser subtraídos,
ganhando aquele que obtivesse o menor valor.
Durante as duas variações P-IV expôs aos alunos várias vezes o ‘funcionamento’ do
jogo ao perceber (por meio da avaliação diagnóstica) que os mesmos estavam encontrando
algumas dificuldades. Por ter utilizado uma estratégia didática que poderia ocasionar o erro –
tendo em vista as inúmeras abstrações reflexivas a serem realizadas – e, ao propiciar aos
estudantes flexíveis formas de pensamento (advindas da ‘ativação da criatividade’ ao
solucionar jogos análogos com algumas variações), pôde-se inferir que a prática docente de P-
IV corroborou com as pesquisas desenvolvidas por Dockrell & Mcshane (1992) e David &
Lopes (1998).
Como os estudantes da 4ª série ainda não operam com números inteiros, então, para
que não obtivessem resultados negativos (nas subtrações), P-IV, constantemente, disse aos
mesmos o seguinte: “
Por enquanto, para subtrair dois números, vocês primeiros coloquem o
número maior e depois o menor
”. Indiretamente, foi possível o docente avaliar os alunos que
ainda não haviam construído a noção de número, pois, ao não saber qual dentre dois números
é o maior, o estudante demonstra não compreender que o valor quantitativo do algarismo
depende de sua posição qualitativa. Por exemplo, o algarismo 5 colocado na posição
qualitativa da unidade equivale a 5 unidades; contudo, o mesmo algarismo posto na posição
qualitativa da dezena equivale a 50 unidades. Conforme exposto por Kamii (2005), os jogos
que envolvam os esquemas de ação juntar, associar, distribuir, equiparar, dissociar, completar,
corresponder, entre outros, contribuem à progressiva descentração (reversibilidade) do
pensamento e concomitante construção de estruturas lógico-matemáticas (caracterizadas pela
operação sobre o objeto).
Um fato interessante ocorreu quando P-IV pediu a um grupo de estudantes (com
dificuldade na realização das subtrações requeridas no “Jogo do Baralho”) que, ao invés de
escreverem os algarismos pertencentes a cada número, utilizassem as peças do Material
Dourado equivalentes a cada casa decimal. A figura a seguir possibilita uma melhor
compreensão do realizado nessa situação:
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
195
C D U
___
Figura 8 – Disposição das peças do Material Dourado no chão para a operação de subtração.
Após desenhar no chão (com o giz) as colunas correspondentes às classes decimais
(unidade, dezena e centena), bem como o ‘traço’ representando o sinal de igual e o símbolo da
subtração (-), P-IV solicitou aos estudantes que colocassem as placas, barras e cubos (do
Material Dourado) como representantes dos algarismos para a constituição da operação 960 -
138. O docente tomou tal atitude para que estes alunos pudessem compreender a questão da
troca de uma dezena por dez unidades, tendo em vista que, na referida subtração, este
processo fez-se necessário. O professor trocou, então, uma das barras pertencentes ao número
960 por 10 cubos (representantes das unidades), possibilitando, deste modo, a execução da
subtração. A figura a seguir denota a troca realizada por P-IV e o resultado da operação:
C D U
___
Figura 9 – Troca de uma dezena por dez unidades e operacionalização da subtração 960 - 138.
Pode-se perceber que ‘literalmente’ P-IV visou a compreensão da subtração por meio
da experiência (física e lógico-matemática) advinda da manipulação (operação no concreto).
Supõe-se que tal procedimento didático deva-se ao confronto realizado por este docente entre
o saber experiencial (convívio com os estudantes) e a formação profissional (em particular a
Teoria de Piaget referente à necessidade do manipular o objeto), no qual o segundo foi
‘validado’ pelo primeiro – conforme definido por Tardif (2002).
Com relação às repostas obtidas na entrevista pós-aula (nas perguntas 1 a 3), P-IV fez
colocações análogas a anterior, não sendo necessário, portanto, discuti-las. Na questão 4 o
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
196
docente salientou ter que repensar (reformular) algumas de suas ações didático-
metodológicos, pois identificou dificuldades ainda existentes em alguns alunos referentes à
compreensão da adição e subtração. Vale ressaltar ser possível a utilização da Teoria de
Piaget às reformulações de alguns aspectos da prática docente, como bem pontuaram Collares
(2001) e Caruso (2002).
Ao final da primeira semana de pesquisa de campo com P-IV, observou-se todas as
etapas constituintes do Método Psicogenético. Na sua prática docente, em muitos momentos
os estudantes trocaram idéias entre si e com o professor, colaborando com a ocorrência da
interação. As estruturas aditivas foram abordadas no sentido de possibilitar (ou pelo menos se
almejou) a compreensão/conceitualização do adicionar e subtrair.
5.3.2.3 –
R
OTEIRO
3
:
A
ULAS
6
A
8
–
P
-
IV
Na segunda semana de observação, P-IV – nas aulas 6 a 8 –, para abordar o conceito
de multiplicação, fez uso do “Jogo da Multiplicação”. No Apêndice K. II. 3 é possível
visualizar os procedimentos didáticos utilizados pelo professor e a dinâmica (interação
docente e aluno) constituinte destas aulas, sendo apresentadas também as respostas
provenientes da entrevista pós-aula (Apêndice E).
No “Jogo da Multiplicação”, os estudantes – dispostos em duplas – realizaram várias
multiplicações (utilizando os números de 1 a 9), porém sem fazer uso da tabuada. A figura
seguinte auxilia a compreender o referido jogo:
TABULEIRO DO JOGO DA MUTLIPLICAÇÃO
TABULEIRO DO JOGO DA MUTLIPLICAÇÃOTABULEIRO DO JOGO DA MUTLIPLICAÇÃO
TABULEIRO DO JOGO DA MUTLIPLICAÇÃO
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Tabela Menor
14 24 35 49 81 72
32 30 45 48 64 63
1 16 2 40 56 3
5 12 7 54 9 8
10 21 42 27 20 28
6 15 4 36 25 18
Tabela Maior
Figura 10 – Tabuleiro do Jogo da Multiplicação utilizado pelos alunos de P-IV.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
197
Cada aluno (da dupla) possuía dois triângulos e doze círculos de cores diferentes.
Suponha-se que o aluno A tinha as suas formas geométricas (os marcadores) na cor vermelha
e o estudante B na cor amarela. Ao iniciar o jogo (na qual a decisão foi tomada entre os
participantes), o aluno tinha que posicionar os dois triângulos em dois números da
Tabela
Menor
(Figura 10). Em seguida, deveria multiplicar os referidos números, marcando na
Tabela Maior
(com o círculo) o resultado. Exemplificando, caso os dois triângulos fossem
colocados sobre os números 2 e 3, então, o círculo ocuparia o resultado 6 (da Tabela Maior).
Ganhava o jogo quem primeiro conseguisse obter uma trinca (seja na direção vertical,
horizontal ou diagonal) na
Tabela
Maior
. Logo, o estudante, no decorrer do jogo, teve que
atentar-se a três operações: 1º Em relação à multiplicação, utilizando números de um a nove;
2º Encontrar um resultado (advindo da multiplicação) que possibilitasse a obtenção da trinca;
3º Impedir que seu ‘adversário’ formasse uma trinca.
Como o “Jogo da Multiplicação” exigiu do estudante um “pensar sobre várias
possibilidades e conceitos”, logo, acredita-se que o mesmo representou uma situação
problema ao aluno. Por ser desenvolvida com o outro (
dinâmica de grupo
), esta estratégia
didática possibilitou a troca de idéias entre os participantes, bem como a ocorrência de
desequilíbrios advindos dos questionamentos surgidos durante as jogadas. Como P-IV não
permitiu a utilização da tabuada, cada aluno teve que ‘conseguir’ por si só os resultados das
multiplicações. Para tal obtenção, os estudantes fizeram uso de diferentes estratégias, tais
como: desenhar em folhas de sulfite conjuntos contendo a mesma quantidade de elementos a
serem somados, adicionar mentalmente os referidos conjuntos, somar os conjuntos fazendo
usos dos dedos, etc.
Tanto P-IV, ao expor oralmente a maneira de obter os resultados das multiplicações,
como as estratégias utilizadas pelos alunos corroboram com a idéia de multiplicação como
sendo a adição de parcelas iguais. O caráter da simultaneidade – evidenciado por Piaget
(1986) – em relação à multiplicação não foi observada no decorrer destas aulas. Pode-se
inferir que o jogo possibilitou a abordagem das estruturas multiplicativas categorizadas como
isomorfismo de medidas (VERGNAUD, 1991) ou os problemas de razão definidos por Maza
(1991). Taxa (2001) enunciou que inicialmente os estudantes constroem a estrutura
multiplicativa valendo-se da interpretação unitária, hipótese esta validada durante a
realização do “Jogo da Multiplicação”.
O docente propôs aos alunos um campeonato para verificar quem seria o ‘melhor’
estrategista de todos. Porém, a indisciplina de alguns estudantes acabou não permitindo a sua
conclusão. Faz-se relevante questionar o porquê do comportamento indisciplinar se o jogo
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
198
representa uma estratégia eficaz à promoção de situações problemas, nas quais se observam –
muitas vezes – as demais etapas do Método Psicogenético. Como afirmado por P-IV na
questão 4 (da entrevista pós-aula), um dos motivos do desinteresse de alguns alunos deveu-se
à formação (não direcionada pelo docente) das duplas. Assim, estudantes que já tinham
construído a idéia da multiplicação formavam as trincas mais rapidamente do que aqueles que
ainda estavam construindo-a; esse fato desestimulava os alunos por ‘perderem’ sempre,
desencadeando – na grande maioria – a indisciplina. Nesta situação é possível perceber a
grande importância do professor como o animador e gerenciador de situações de ensino
(LIMA, 1973, 2000) que permitam ao aluno progredir cognitivamente (e moralmente).
Nas perguntas 1, 1.1 e 1.2 (da entrevista pós-aula), P-IV discursou pretender que seus
alunos compreendessem a idéia da multiplicação como sendo a adição de parcelas iguais,
além de afirmar – novamente – acreditar na contínua construção dos conteúdos matemáticos.
Citou (na questão 2) encontrar dificuldades devido à falta de material e ao não ‘pleno’
domínio dos seus saberes disciplinares (matemáticos).
Sugere-se ao professor, durante a realização das multiplicações (no jogo),
disponibilizar materiais manipuláveis aos alunos para que eles possam organizar os conjuntos
a serem somados. Isto se deve à necessidade dos estudantes – deste nível de ensino – de
recorrer ao concreto para a realização da experiência (física e lógico-matemático), obtendo
por meio desta a abstração reflexiva.
5.3.2.4 –
R
OTEIRO
4
:
A
ULAS
9
E
10
–
P
-
IV
Nas duas últimas aulas P-IV não utilizou a dinâmica de grupo, requerendo aos
estudantes a solução (individual) de situações problemas hipotéticas. O Apêndice K. II. 4
denota as situações problemas utilizadas, o modo como o professor ministrou as aulas, além
de apresentar as falas obtidas na entrevista pós-aula (Apêndice E).
Embora P-IV não tenha propiciado a interação entre os estudantes, a proposição das
situações desafios relacionadas ao “Jogo da Multiplicação” (vivenciado pelos alunos nas aulas
anteriores) permitiu que grande parte da sala ‘tomasse consciência’ acerca da multiplicação.
Torna-se relevante expor que P-IV explicou algumas vezes as situações problemas, chamando
a atenção dos alunos (ou, ativando os seus esquemas de assimilação) para que os mesmos
compreendessem os enunciados verbais. A experiência (física e lógico-matemática)
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
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D
ADOS -
199
vivenciada pelo aluno ao ‘realmente jogar’ o “Jogo da Multiplicação” propiciou a construção
de algumas estruturas de pensamento que possibilitassem a representação do enunciado verbal
em símbolos matemáticos. Estudos desenvolvidos por (POZO, 1992; DE CORTE e
VERSCHAFFEL, 1997; ALVES, 1999) evidenciaram a existência da co-relação entre a
compreensão e o conceito matemático nas soluções das situações problemas. Acredita-se
que a “melhor compreensão” deveu-se – em grande parte – às estratégias construídas pelos
estudantes durante o jogo.
Ao terminarem de solucionar as situações hipotéticas, P-IV corrigiu o caderno de
todos os alunos (avaliação diagnóstica), questionando-os caso observasse alguma solução
incorreta. Novamente ressalta-se a importância do questionar como um dos desencadeadores
do desequilíbrio cognitivo (elemento necessário à progressiva equilibração majorante).
Na entrevista pós-aula P-IV salientou ter planejado a referida aula visando
complementar a construção dos alunos com relação à multiplicação e divisão. Admitiu que os
estudantes conseguiram solucionar os desafios porque já haviam entendido (nas aulas
anteriores) o objetivo do “Jogo da Multiplicação”, ou seja, já tinham construído esquemas de
assimilação necessários às soluções. Novamente disse acreditar na idéia de construção
contínua do conhecimento, afirmando ser a multiplicação o sinônimo de adições de parcelas
iguais.
A propósito da pergunta 3 – sobre a utilização dos conteúdos construídos em
momentos posteriores –, P-IV discursou: “
Sim. Sim. Agora que contemplado a adição,
subtração, multiplicação e divisão, eu já posso começar a dar uns saltos maiores, né! Como
eu tinha falado, trabalhar com gráficos, até com os geométricos; eu acho que dá pra
trabalhar com isso aí.
”. Da sua fala é possível perceber que P-IV supõe ser condição
necessária a aprendizagem das quatro operações aritméticas básicas para a abordagem dos
demais conteúdos matemáticos (espaço e forma, tratamento da informação, grandezas e
medidas etc.). É fato a existência de uma ‘estreita relação’ entre os vários ramos da
Matemática durante a construção das estruturas lógico-matemáticas pelo indivíduo, porém,
por exemplo, a construção do pensamento geométrico não decorre da construção das
estruturas aditivas e multiplicativas. Acredita-se que esta idéia (de P-IV) advenha dos seus
saberes experienciais, pois, na época em que o professor estudou (na Educação Básica),
provavelmente as operações aritméticas foram apresentadas em primeiro lugar. Tal fato
confirma o exposto por Tardif (2002) acerca da ‘grande influência’ dos saberes experienciais
à constituição da prática docente.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
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ADOS -
200
No decorrer dos dois meses de intensas observações, foi possível investigar – com
profundidade – a prática de P-IV, notando-se nesta as etapas constituintes do Método
Psicogenético. Durante as entrevistas pós-aula, o docente constantemente discursou acreditar
na contínua construção do conhecimento lógico-matemático, fato este constatado nas ações
didáticas e metodológicas utilizadas pelo professor ao ‘dar continuidade’ aos conteúdos
matemáticos abordados nas dez aulas. A hipótese de Morgado (1993) acerca de
‘primeiramente’ o aluno construir as estruturas aditivas para, depois, as multiplicativas foi
observada na prática de P-IV, embora não se possa afirmar o ‘profundo’ conhecimento deste
professor acerca de tal hipótese.
A adoção de alguns procedimentos ‘caracteristicamente’ tradicionais ocorreu quando
P-IV fez uso da exposição oral (em aproximadamente ¼ de sua prática pedagógica) visando
aos alunos a compreensão dos conteúdos matemáticos e o como jogar. De modo algum se
nega a importância da linguagem ao estabelecimento da comunicação (e concomitante
interação) entre professor-aluno. A questão reside, pois, no estágio operatório-concreto o
estudante necessita recorrer a situações concretas com as quais possa (por meio da operação
no concreto) ‘atingir’ a abstração reflexiva. Processo mental este de suma importância à
progressiva estruturação do conhecimento lógico-matemático. Assim, na prática de P-IV,
foram observados (muito) mais elementos construtivistas do que tradicionais; o que de certo
modo corrobora com a hipótese de Massabni (2005) a respeito da existência de ambos
elementos na prática pedagógica dos professores.
5.3.3 –
A
LGUMAS
I
NFERÊNCIAS
D
OS
R
ESULTADOS
D
A
E
NTREVISTA
F
INAL
Para ‘findar’ as discussões da pesquisa de campo realizada com P-IV e compreender –
‘triangulando’ o discursado e executado por este professor – as falas obtidas na Entrevista
Final tornam-se pertinentes. Como a transcrição literal e integral desta encontra-se no
Apêndice K. III, então, no quadro a seguir apresentam-se os principais trechos dos quais se
faz possível inferir algumas reflexões:
Questão:
Assunto: Fala de P-IV:
1.
O que necessita abordar um curso de
Formação Continuada referente ao
ensino de Matemática às séries iniciais.
“(...) ele tem que tratar (...) primeiramente uma base
teórica que o professor geralmente não tem (...). (...)
base em conteúdo matemático. O professor também
precisa saber relacionar matemática com o cotidiano
(...).”.
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
201
2.
Sobre a afirmação acerca de que
muitos professores não sabem trabalhar
com o construtivismo.
“(...) Sim, é isso mesmo! Ele não foi preparado, porque
ele não sabe, consecutivamente ele não sabe! (...) a
gente viu o grande erro de encarar o construtivismo
como um método. (...) as pessoas acham que o
construtivismo é pegar um desafio e deixar isso
acontecer. Eu acho que não! Eu acho que é fazer com
que a criança, é (...) construa o seu conhecimento; só
que o professor precisa interagir com isso, ele não pode
deixar que fique sem uma amarração, sabe, sem um
caminho pra criança!”.
3.
A importância de oferecer à criança
uma ‘coisa mais prática’, tipo o jogo.
“(...) É mais manusear as coisas, porque fica muito na
coisa do papel, e, o papel fica esquecido dentro do
caderno! Mas quando o aluno pratica aquilo, é (...)
acho que fica mais dinâmico essa relação da
Matemática com o aluno. (...) Porque a criança, ela
precisa dos jogos; e aí está tão no cotidiano delas que,
às vezes, eu acho que os jogos são sim metodologias
para a ocorrência das práticas.”.
4.
O porquê de utilizar/manipular peças
do Material Dourado ao explicar uma
subtração para um grupo de alunos.
“(...) eu senti que naquele momento (durante a aula
observada) a aluna não conseguiu ver o número como
algo (...) como quantidade! E na verdade é isso mesmo,
o número é um símbolo, só, né! Não é uma quantidade.
E daí eu percebendo que, colocando o Material
Dourado na mão daquela criança, ela poderia
estabelecer relações de quantidade. Podia manusear,
ver que esse menos esse... e daí ele (o aluno)
conseguiria equilibrar-se e desequilibrar-se nas suas
hipóteses pra poder conseguir entender”.
4.1.
A questão de ser importante (ou não) a
manipulação em Materiais Concretos
pelos alunos visando a construção dos
conteúdos matemáticos.
“Sim, sim, eu acredito muito nisso! No entanto é que
(...) eu vejo que quando os alunos usam esses materiais
eles conseguem (...) sabe, é (...) compreender de uma
maneira melhor!
”.
5.
O significado da expressão “alunos
muito crus” afirmado em entrevista
anterior.
“(...) entender que nas séries iniciais – na minha
opinião – deveria ocorrer um tratamento um pouco mais
elaborado com as operações matemáticas. Para que
quando o aluno chegue na quarta série, ele já tenha um
pouco de experiência sobre aquilo e dá para trabalhar
outros conceitos, outras atividades, outros conteúdos!”.
6.
O pensamento a respeito das dinâmicas
de grupo.
“Ah, as dinâmicas de grupo eu acho que são
interessantes, porque, quando os alunos se interagem
eles começam a trocar as informações entre eles. E,
talvez o professor não consiga falar com o aluno da
mesma maneira que o outro aluno vai conseguir
explicar pro outro aluno.”.
7.
A questão de adotar – ou não -
atividades “interessantes” que
‘provoquem’ os alunos.
“(...) hora eu adoto, hora não. (...) Por exemplo, no
jogo, eu percebo que quando eu proponho um
campeonato – como o do jogo da multiplicação – eu
provoco ele (...). (...) às vezes eu até me sinto aquém do
que eles mereciam como professor; porque tem horas
que pra minha formação eu não consigo tocar em certos
pontos que eles mereciam, sabe (...) ser contemplados.”.
8.
A relação entre: número excessivo de
alunos E falta de materiais COM a
abordagem construtivista piagetiana.
“É, essa é uma grande ferida da Educação brasileira.
Mas, como atender trinta e dois alunos com qualidade?
Quase (...) é quase que impossível! Você tenta atender
dois enquanto os outros trinta estão lá (...). Por mais
que você agrupe, eu acho que você não consegue
contemplar tudo aquilo que o aluno anseia (...). (...)
Então o material e o excessivo número de alunos
atrapalham muito as aulas!”.
Quadro 32 – Resultados da Entrevista Final realizada com P-IV.
A
NÁLISE
E
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ISCUSSÃO
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ADOS -
202
Na questão 1 P-IV apontou a necessidade de um curso (de Formação Continuada)
abordar os conteúdos matemáticos; fato este justificado nas entrevistas anteriores, nas quais o
professor ressaltou não ter construído os saberes experienciais plenamente. Ao citar a
importância de considerar o cotidiano no ensino de Matemática, supõe-se que P-IV esteja se
referindo às questões metodológicas e didáticas a (também) serem contempladas em tal curso.
A fala de P-IV sobre o fato de muitos professores não saberem ‘trabalhar’ com o
construtivismo (pergunta 2) confirma as hipóteses de Gebara e Marin (2005) e Rapoport e
Silva (2006) a respeito da apropriação superficial/difusa da Teoria de Piaget, implicando – em
muitos casos – na má compreensão da mesma.
O oferecimento de ‘coisas mais práticas’ aos estudantes (questão 3), segundo o
professor, é devido à necessidade da criança manusear/‘praticar’. P-IV salientou que os
conteúdos ‘aprendidos’ somente no papel “
ficam esquecidos no caderno
”. Faz-se possível,
através desta afirmação, referenciar a questão da exclusiva utilização da linguagem
(logicização) para a abordagem dos conteúdos matemáticos aos alunos do estágio operatório-
concreto. Segundo (FURTH, 1997; FURTH e WACHS, 1995; PIAGET, 2002; CUNHA,
1973) o ‘fracasso’ da Educação Primária reside – em grande parte – na exclusiva utilização da
linguagem, não permitindo ao indivíduo ‘estruturar’ o seu pensamento por meio das
operações realizadas sobre o objeto. Como P-IV verificou na sua prática o defendido pelos
autores citados, então, teve a ‘flexibilidade’ de reformular algumas ações didáticas,
oferecendo aos estudantes, por exemplo, o jogo (defendido por ele como um tipo de ‘coisa
prática’).
Nas questões 4 e 4.1 denotaram-se falas análogas às discursadas por P-I, P-II e P-III,
ou seja, a grande importância da manipulação (desencadeando a experiência física e lógico-
matemática) para a ocorrência da operação sobre o objeto (fator necessário à gradativa
estruturação do pensamento lógico-matemático).
Em relação à pergunta 5, P-IV relacionou o termo “
alunos muito crus
” aos estudantes
que chegam na quarta série sem terem aprendido alguns conteúdos matemáticos básicos,
como por exemplo a noção de número/quantidade, as operações aritméticas. Supõe-se que
estas ainda não construções advenham – em grande parte – “
dos métodos de ensino
”
(PIAGET, 2002) utilizados com estes estudantes nos anos anteriores, nos quais a
ação/operação sobre o objeto (em específico o concreto) ‘cedeu lugar’ à memorização. Taxa
(2001) ressaltou a questão da memorização, fator este que não propicia ao sujeito desenvolver
os seus esquemas de ação (juntar, classificar, ordenar, enumerar, corresponder, distribuir etc.).
A
NÁLISE
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D
ISCUSSÃO
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ADOS -
203
A resposta obtida na questão 6 evidenciou a idéia de P-IV a respeito das dinâmicas de
grupo. Segundo ele, os agrupamentos são importantes por propiciarem a interação entre os
alunos. Conforme já exposto, a interação deveria nomear a teoria educacional ‘derivada’ da
teoria de Piaget (LIMA, 2000), tendo em vista que, à escola cabe o papel de ativar o
mecanismo de equilibração através dos conflitos cognitivos advindos da interação do aluno
com o outro (professores, colegas e objetos) e consigo mesmo.
Como P-IV afirmou utilizar/mesclar atividades que provoquem e que não provoquem
os seus alunos, então, é possível confirmar o exposto no item anterior em relação à presença
de alguns elementos tradicionais em sua prática docente. Nesta questão (7) o professor se
sente (às vezes) não preparado para abordar alguns conceitos matemáticos devido à não
construção de alguns saberes disciplinares (matemáticos). Mais uma vez observa-se a íntima
relação entre os vários saberes com a constituição da prática docente.
Por fim, na pergunta 8, P-IV declarou opinião análoga aos demais professores (P-I, P-
II e P-III), não sendo preciso uma discussão acerca da mesma.
5.4 –
A
LGUMAS
D
ISCUSSÕES
G
ERAIS
S
OBRE
O
S
Q
UATRO
E
STUDOS
D
E
C
ASO
Ao analisar a prática docente dos quatro professores participantes e as concepções dos
mesmos com relação ao construtivismo piagetiano, foi possível identificar: 1. A ainda
predominância de uma postura didática tradicional no ensino da Matemática e, 2. A
apropriação difuso-fragmentada e em alguns aspectos ‘equivocadas’ da teoria de Jean Piaget.
Tanto na prática de P-I como na de P-II observou-se a adoção da posição
epistemológica empirista, na qual a aprendizagem do aluno dependeu exclusivamente das
ações das professoras. Tal adoção acabou implicando na exclusiva utilização da linguagem
(proposições orais e verbais) durante a abordagem dos conteúdos matemáticos, já que a
melhor (e talvez a única) maneira de agir sobre o estudante foi falando/explicando/expondo os
conceitos e atividades solicitadas.
Em um ‘caminho intermediário’ situou-se a prática de P-III devido ao fato de a
mesma ter utilizado elementos construtivistas (a interação e o questionar como
desencadeadores do desequilíbrio cognitivo, a manipulação/operação no concreto) e
tradicionais (exposição/transmissão oral dos conteúdos, solicitação de atividades do tipo ‘siga
A
NÁLISE
E
D
ISCUSSÃO
D
OS
D
ADOS -
204
o modelo’) em cerca de 60% de sua prática. Supõe-se que P-III, mesmo tendo validado a
importância da maior flexibilidade e promoção da interação entre os estudantes durante a
abordagem dos conteúdos matemáticos, ainda utilize, na maior parte de sua prática, a postura
expositivo-transmissiva devido aos seus saberes experienciais, nos quais tal postura fez-se
presente. Este fato corrobora com a hipótese de Tardif (2002) a respeito da maior
predominância – em muitos casos – dos saberes experienciais à constituição da prática
docente.
Por fim, na pesquisa de campo realizada com P-IV, observou-se a predominância da
posição epistemológica construtivista em sua prática docente. Nesta, a construção dos
conteúdos matemáticos advieram do agir do estudante sobre as situações problemas
gerenciadas (‘
animadas
’) pelo professor. A interação foi quase constante – com exceção das
duas últimas aulas – entre os próprios alunos e o docente.
Em suma, como pontuou Furth (1997, p. 220), a tentativa para a mudança no ensino de
Matemática foi observada nas práticas de P-III e P-IV. De modo algum se julga ‘errado’ as
práticas de P-I e P-II, porém, conforme salientado por ambas professoras nas entrevistas pós-
aula e final, e pela observação de campo, parece que as atitudes didáticas adotadas não estão
alcançando ‘plenamente’ os objetivos pretendidos pelas mesmas, ou seja, a efetiva construção
do conhecimento lógico-matemático.
I
NFERINDO
A
LGUMAS
C
ONCLUSÕES
E I
MPLICAÇÕES
E
DUCACIONAIS -
205
C
APÍTULO
6
I
NFERINDO
A
LGUMAS
C
ONCLUSÕES
E I
MPLICAÇÕES
E
DUCACIONAIS
Nossa hipótese é portanto a de que as supostas aptidões
diferenciadas dos “bons alunos” em Matemática ou Física
etc., em igual nível de inteligência, consistem
principalmente na sua capacidade de adaptação ao tipo de
ensino que lhes é fornecido; os “maus alunos” nessas
matérias, que entretanto são bem sucedido em outras, estão
na realidade perfeitamente aptos a dominar os assuntos que
parecem não compreender, contanto que lhes cheguem
através de outros caminhos: são as “lições” oferecidas que
lhes escapam à compreensão, e não a matéria. É sobretudo
possível – e nós verificamos em diversos casos – que o
insucesso escolar em tal ou tal ponto decorra de uma
passagem demasiado rápida da estrutura qualitativa dos
problemas (por simples raciocínio lógico, mas sem a
introdução imediata das relações numéricas e das leis
métricas) para a esquematização quantitativa ou matemática
(no sentido das equações já elaboradas) usada habitualmente
pelo físico. (PIAGET, 2002, p. 14)
A presente pesquisa buscou identificar/investigar a utilização da Epistemologia
Genética de Jean Piaget no ensino dos conteúdos matemáticos, em particular na abordagem
das estruturas aditivas e multiplicativas. Buscando um parâmetro para analisar a prática
docente dos quatro professores participantes encontrou-se o Método Psicogenético
desenvolvido por Lima (1973, 2000). Tal método, constituído pelas variáveis:
dinâmica
de
grupo
,
situação
problema
,
tomada
de
consciência
e
avaliação
diagnóstica
, alicerçado na
teoria de Piaget, preconizou a função do professor como o animador de situações de ensino
que propiciassem aos alunos a progressiva evolução cognitiva (e moral).
A trajetória de elaboração deste trabalho em muito contribuiu com a própria
construção do pesquisador no que tange ao ‘
olhar sobre
’ as práticas docentes desenvolvidas
pelos professores, bem como o modo de conceber/empreender uma pesquisa qualitativa na
esfera educacional. Para investigar a freqüência dos
Procedimentos
Didáticos
e
Metodológicos
e
Materiais
Utilizados
pelos docentes participantes e entender o porquê (as
causas) –, em profundidade e amplitude (LÜDKE e ANDRÉ, 1986) – de tais posturas
didáticas, foi preciso conciliar o paradigma positivista ao naturalístico. Do positivista retirou-
I
NFERINDO
A
LGUMAS
C
ONCLUSÕES
E I
MPLICAÇÕES
E
DUCACIONAIS -
206
se a ‘objetividade’ no momento de mapear as ações docentes (conforme explicitado no
Quadro 19); já do naturalístico ‘derivaram-se’ as entrevistas e trechos das aulas (gravadas em
áudio) e os ‘
registros comentados
’ – observados em campo – da interação professor-aluno
durante a abordagem dos conteúdos matemáticos. Ao perceber a necessidade da flexibilidade
– tendo em vista a incorporação e reorganização estrutural de dois paradigmas dicotômicos
em um único ‘instrumento’ – pôde-se compreender os desafios enfrentados pelos quatro
professores no ensino de Matemática, além das dificuldades enfrentadas pela pesquisa
educacional em ‘moldar-se’ às multifacetadas situações advindas do cotidiano escolar.
A construção de um pensamento flexível – graças (também) a assimilação-
acomodação da Epistemologia Genética piagetiana – possibilitou ‘melhor’ distinguir os
múltiplos saberes constituintes da prática docente, sendo estes os responsáveis pelo retorno
parcial (
ou quase parcial
) e indireto da teoria de Piaget à Educação (Matemática).
A propósito do retorno parcial e indireto do construtivismo piagetiano no ensino da
Matemática ministrada pelos quatro professores participantes, identificaram-se os seguintes
aspectos:
1. Nas práticas docentes de P-I e P-II os pressupostos da teoria de Piaget ‘retornaram’
indiretamente em suas falas com relação ao crédito na idéia de conhecimento como contínua
construção realizada pelo aluno; porém, nas suas ações didáticas tal retorno foi ‘inexistente’,
tendo em vista a exclusiva utilização da exposição-transmissão dos conteúdos matemáticos. O
único elemento construtivista decorreu da utilização/manipulação de materiais concretos no
momento da exposição oral dos conceitos matemáticos; este fato deveu-se, pois ambas
docentes perceberam que os seus alunos compreendiam (assimilavam) melhor os conteúdos
matemáticos ao ‘verem’ coisas concretas;
2. A respeito de P-III nossa hipótese foi mais bem observada, já que esta docente utilizou
algumas ações didáticas construtivistas (de
modo
parcial), tais como: questionar os estudantes
pretendendo que os mesmos pensassem (
tomando consciência
) das ações utilizadas por eles;
permitir a manipulação/operação no concreto, possibilitando a ocorrência da experiência
(física e lógico-matemática); propiciar a interação/troca de idéias entre os estudantes que
desencadeassem (em muitos casos) os conflitos cognitivos. Indiretamente identificou-se no
discurso da professora a defesa em torno da contínua construção do conhecimento
(matemático). A hipótese de Massabni (2005) foi ‘visualizada’ na prática de P-III já que,
conjuntamente com as ações didáticas construtivistas, mapearam-se as caracteristicamente
tradicionais (ou seja, o método expositivo-transmissivo, a proposição de exercícios que
visaram à memorização em detrimento da operação
);
I
NFERINDO
A
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C
ONCLUSÕES
E I
MPLICAÇÕES
E
DUCACIONAIS -
207
3. Na prática docente de P-IV, pelo menos nas dez aulas observadas, pôde-se identificar o
retorno ‘mais que parcial’ da teoria de Piaget, em específico todas as etapas preconizadas
pelo Método Psicogenético. Porém, algumas más compreensões discursadas pelo docente nas
entrevistas supõem a apropriação indireta e (de certo modo) difusa do construtivismo
piagetiano. Acredita-se que esta difusão/fragmentação advenha dos saberes da formação
profissional construídos durante a Formação Inicial e dos saberes experienciais decorrentes
do convívio com outros professores.
Decorre do exposto nos três tópicos anteriores, refletir sobre o porquê da utilização
‘superficial e parcial’ da teoria de Piaget no ensino de Matemática. Será que, durante a
Formação Inicial, esta teoria vem sendo ‘apresentada’ de modo superficial, difuso,
contraditório (como mesmo pontuou P-II ao afirmar que nem os professores universitários a
compreendiam de modo adequado), levando o professor a considerá-la não adequada à ‘dura’
realidade escolar? Os dados coletados e analisados por esta pesquisa e os estudos na área
(GEBARA e MARIN, 2005; RAPOPORT e SILVA, 2006) sinalizaram ser verídico este
questionamento.
Mesmo sabendo que a Epistemologia Genética piagetiana não resolve ‘todos’ os
problemas educacionais, a sua utilização – conforme pontuaram (COLLARES, 2001;
CARUSO, 2002; COLETO, 2007) – contribui para a elaboração de estratégias didáticas que
auxiliem os alunos na construção dos conhecimentos matemáticos. Ao compreender que a
criança das séries iniciais necessita recorrer ao concreto, para assim estabelecer relações
acerca do seu conhecimento, o professor pode propor ações didáticas concernentes com esta
idéia. Isto, por sua vez, colabora com a ativação dos mecanismos de assimilação-acomodação
necessários à equilibração majorante do conhecimento lógico-matemático. Embora Da Rocha
Falcão (2007) afirme não ser necessário o estudante percorrer o caminho “
concreto
→
abstrato
” para construir o conhecimento matemático, adota-se neste trabalho como válida e
necessária esta hipótese piagetiana.
Sobre a questão da exclusiva utilização da linguagem dificultar o ensino dos
conteúdos matemáticos aos estudantes da Educação Primária (FURTH, 1997; PIAGET,
2002), as falas provenientes das entrevistas realizadas com os quatro professores permitiu
‘validar’ esta hipótese. Ao citarem as expressões: “
(...) quando o aluno ouve ele não entende
(...)
.” [P-II]; “
(...) a Matemática, por ser tão abstrata, se você não der algo mais concreto,
fica difícil deles (referiu-se aos alunos) visualizarem. Até mesmo assim o desenho fica ainda
abstrato (...).
” [P-I]; “
(...) porque é mais fácil a criança ter o material no concreto e ela vê,
assimila melhor a Matemática
.” [P-III]; “
(...) eu vejo que quando os alunos usam esses
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materiais eles conseguem (...) sabe, é (...) compreender de uma maneira melhor!
” [P-IV], os
docentes – indiretamente – afirmaram que as ações didáticas alicerçadas exclusivamente no
oral/escrito não contribuíram para uma melhor compreensão (efetiva construção) da
Matemática.
A experiência (física e lógico-matemático) advinda da manipulação/operação no
concreto torna-se um dos fatores desencadeadores da equilibração majorante. Juntamente com
esta operação, encontrou-se nas pesquisas acadêmicas (MORO, 2000; SANCHIS e
MAHFOUD, 2007), e nas observações de campo de P-III e P-IV, a importância da interação
como elemento gerador do desequilíbrio (conflito cognitivo). Conforme denotado, a dinâmica
de grupo e a proposição de situações problemas auxiliam (em muito) na ocorrência da
interação e concomitante desequilíbrio. Na figura a seguir torna-se possível identificar como
ambos docentes (P-III e P-IV), ao adotarem determinados procedimentos didáticos,
possibilitaram (em maior probabilidade) a ocorrência da equilibração majorante:
Figura 11 – Esquema Geral sobre o Processo de Equilibração Majorante. (CAETANO, 2007)
Por meio dos jogos (proposto por P-IV) ou da ‘operação sobre o ábaco’ (visando à
solução da divisão por P-III), os alunos interagiram/agindo sobre os objetos. Desta interação,
na qual os estudantes tiveram de solucionar situações problemas, observou-se o desequilíbrio
cognitivo. Este processo mental, propiciador das regulações e compensações das estruturas
cognitivas do indivíduo, contribuiu com a ocorrência da assimilação advinda da abstração
reflexiva (ou seja, das ações sobre o objeto). A acomodação do conhecimento lógico-
matemático e sua posterior generalização, ‘encerrando inconclusivamente’ a equilibração
Sujeito
Objeto
Interação - Ação
Abstração
Assimilação
Acomodação
Generalização
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INTERVENÇÃO
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majorante, encontraram subsídios/alicerces na intervenção ‘animadora’ dos professores que
constantemente questionaram os estudantes visando a tomada de consciência do porquê das
soluções elaboradas pelos mesmos.
No geral, a construção/entendimento ‘aprofundado’ das teorias educacionais – em
particular a Epistemologia Genética piagetiana – que permita ao professor elaborar ações
didáticas fundamentadas possíveis de serem reformuladas através da práxis (confronto teoria-
prática), não vem ocorrendo durante a Formação Inicial como pontuaram os quatro
professores participantes. Deste fato, torna-se relevante inferir a necessidade da Formação
Continuada dos docentes que ensinam Matemática (em específico aos estudantes da Educação
Primária). Porém, os resultados obtidos pelos
estudos dos quatro casos
, os pressupostos do
construtivismo piagetiano e as teorias desenvolvidas por Cochran-Smith e Lytle (1999) e
Tardif (2002) apontam que os cursos de Formação Continuada necessitam:
1. Possibilitar ao professor o entendimento de que só a “
manipulação pela manipulação
” não
‘leva’ o estudante a construir conhecimentos (a não ser a longo prazo). Esta manipulação deve
ser orientada para a solução de situações problemas que façam os estudantes operarem sobre o
objeto, isto é, desencadeando nestes a ativação dos esquemas de assimilação;
2. Propor aos docentes alternativas viáveis e baratas para a elaboração dos materiais concretos
tão necessários à experiência (física e lógico-matemática).
3. Considerar a influência que os saberes experienciais (dos docentes) desempenham na
constituição da prática docente. Observou-se nos professores participantes da pesquisa
‘grande’ influência destes saberes, pois em algumas vezes tais saberes ‘rejeitaram ou
validaram’ os da formação profissional. Sugere-se propor situações problemas nas quais os
professores desequilibrem-se, para, a partir das mesmas, tomarem consciência das limitações
dos procedimentos didáticos tradicionais que por ventura adotem.
4. Desenvolver estratégias didáticas e metodológicas em conjunto (ou seja, professor
responsável pelo curso e docentes que o cursam), utilizando exemplos reais advindos das
salas de aula. Tal estratégia é devido à defesa do docente ser o co-construtor de seus saberes,
ou seja, aquele que (re)constrói as teorias desenvolvidas pelos especialistas através do
confronto (práxis) com os desafios advindos da sua realidade escolar. Cochran-Smith e Lytle
(1999) denominaram esta apropriação/construção de conhecimento da prática.
5. Investigar as possíveis não-construções dos saberes
disciplinares (matemáticos) pelos
professores participantes (do curso), já que, segundo a pesquisa realizada com os quatro
docentes (P-I, P-II, P-III e P-IV), o não domínio de alguns conteúdos matemáticos pode
influenciar as ações didáticas. Este fato deve-se à íntima relação entre os vários saberes que
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constituem a prática docente (TARDIF, 2002), pois, por exemplo, de nada adianta conhecer a
teoria de Piaget se não há o domínio do conteúdo matemático a ser abordado.
6. Permitir ao professor a compreensão de que os conhecimentos prévio-anteriores referem-se
– quando se trata dos alunos das séries iniciais – aos esquemas de ação construídos pelos
estudantes quando os mesmos “
organizam o pensamento organizando o mundo
” (CUNHA,
1973). Estes esquemas (corresponder, associar, distribuir, separar, equiparar, etc. os objetos
concretos), por sua vez, propiciam a construção dos conhecimentos matemáticos, tais como: a
idéia de número, as estruturas aditivas e multiplicativas, etc.
Em suma, embora se acredite na existência de outros pontos a serem adotados para a
elaboração de um curso de Formação Continuada para o ensino de conteúdos matemáticos às
séries iniciais, da revisão da literatura e das conclusões advindas desta pesquisa foi exeqüível
pensar acerca dos seis tópicos citados.
Espera-se, a partir deste trabalho (inicial), que visa a continuidade, ter sido possível
compreender alguns dos reflexos da teoria de Piaget no ensino de Matemática. Aos quatro
professores participantes torna-se notório pontuar as imensas contribuições das suas práticas à
construção desta pesquisa. Por defender uma Educação que propicie nos alunos a construção
da autonomia e o desenvolvimento do raciocínio formal, e sendo a Epistemologia Genética
uma das contribuintes a este objetivo, então acredita-se que as contribuições da teoria de
Piaget necessitam ser utilizadas pelos professores de modo menos difuso/fragmentado e “mais
que parcial”.
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219
A
PÊNDICES
APÊNDICE A – Ficha de autorização: apresentação da pesquisa ao diretor (a) e professor (a).
Caro (a) diretor (a), professor (a):
A pesquisa
49
a ser realizada em colaboração/participação com a presente escola constitui-se uma
tentativa para um possível pensar sobre Educação Matemática nas séries iniciais do Ensino
Fundamental. O auxílio prestado a este trabalho contribui para a constituição-construção de saberes:
psicopedagógicos, didático-metodológicos, epistemológicos concernentes ao ensino da Matemática.
O objetivo principal desta investigação é explicitado a seguir:
Analisar a aplicação da Epistemologia Genética de Jean Piaget (Método Psicogenético) no
ensino de Matemática das quatro séries do Ensino Fundamental, observando avanços e retrocessos
correlatos à aprendizagem dos alunos.
Para a verificação deste objetivo norteador há necessidade de efetiva participação dos
professores desta escola que atuam neste nível de ensino. Utilizar-se-ão instrumentos para a coleta de
dados como: I – Observações Sistemáticas: constituídas por gravações em áudio das aulas
acompanhadas e preenchimento de fichas de campo pelo pesquisador; II – Questionários: compostos
por perguntas procurando identificar alguns elementos que constituem a prática docente; e III –
Entrevistas: diálogos semi-estruturados realizados entre os professores participantes e o pesquisador.
Assim, faz-se imprescindível a autorização: do diretor (a) desta unidade escolar para a realização desta
pesquisa; e auxílio/participação do professor (a). Firma-se o compromisso do pesquisador com o total
zelo e discrição dos dados coletados, respeitando as normas éticas da pesquisa científica, assim como
do retorno acerca das conclusões/apontamentos observados.
_____________________________________________
(Diretor (a))
_____________________________________________
(Professor (a))
_____________________________________________
(Pesquisador)
_____________________________________________
(Orientador)
Bauru, _____, de, _________________, de 2008.
49
A referente pesquisa (Dissertação de Mestrado) está sob a orientação do Prof. Dr. Nelson Antonio Pirola,
docente do Departamento de Educação da Faculdade de Ciências (FC) – UNESP, Campus Bauru. O
pesquisador, Richael Silva Caetano, é atualmente aluno regular do Programa de Pós-Graduação em Educação
Para A Ciência (Área de Concentração
: Ensino de Ciências e Matemática) desta mesma instituição e bolsista
do Programa Bolsa Mestrado da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEESP).
A
PÊNDICES -
220
APÊNDICE B – Questionário/Entrevista Inicial aos Professores Participantes.
Caro (a) professor (a):
Muito obrigado por contribuir e ajudar a construir este trabalho/pesquisa. As respostas a
seguir possuem o objetivo de identificar algumas características de sua prática docente:
metodologias utilizadas
,
materiais didáticos
, enfim, encaminhamentos didático-
metodológicos que permitam ao aluno construir idéias matemáticas. Portanto, a sinceridade
no momento de responder tais questões será de vital importância para o desenvolvimento de
possíveis contribuições/reflexões sobre o ensino de Matemática à todos que nela atuam.
Categoria A – Informações contextuais.
1) Nome:_________________________________________________________________
2) Tempo de Magistério: ___ anos e ___ meses. Série atual que ministra aula: ____ série.
3) Tenho atuado com mais freqüência: ( ) 1ª série, ( ) 2ª série, ( ) 3ª série, ( ) 4ª série
4) Formação Acadêmica [assinale a(s) alternativa(s) abaixo que caracteriza(m) sua
formação acadêmica]:
( ) Magistério na modalidade Ensino Médio. ( ) Licenciado em __________________________.
( ) Licenciatura Plena em Pedagogia. ( ) Especialista em _________________________.
( ) Curso Normal Superior. ( ) Mestre em _____________________________.
( ) Outro: ____________________________. ( ) Doutor em _____________________________.
5) Já ministrei aula em: ( ) Escola Particular ( ) Escola Municipal ( ) Escola Estadual
Categoria B – Prática profissional.
1) Interesse pela Matemática enquanto aluno (a):
( ) Ruim ( ) Regular ( ) Bom ( ) Ótimo
2) Interesse pela Matemática enquanto professor (a):
( ) Ruim ( ) Regular ( ) Bom ( ) Ótimo
3) Assinale o(s) assunto(s) da Matemática do Ensino Fundamental de 1ª a 4ª série que
considera mais difícil para ensinar? Assinale a(s) alternativa(s) abaixo, justificando a resposta:
A
PÊNDICES -
221
( ) Operações Aritméticas – [Adição; Subtração; Multiplicação e Divisão envolvendo
números naturais e racionais].
( ) Espaço e Forma – [Figuras Planas -
bidimensionais
; Figuras Espaciais -
tridimensionais
; Questões espaciais como localização, ponto de referência].
( ) Sistema de Numeração – [Surgimento histórico da numeração indo-arábica;
Aspecto posicional deste sistema; Sistema romano].
( ) Tratamento da Informação – [Gráficos, Tabelas].
( ) Resolução de Problemas.
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4) Têm feito, nos últimos (5) anos, algum curso de Educação Continuada (Formação
Continuada) enfatizando o ensino da Matemática nas séries iniciais? Se sim, cite-a.
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
A
PÊNDICES -
222
5) Qual(s) o(s) procedimento(s) didático(s) e metodológico(s) e materiais didáticos que
mais utiliza para ensinar os conteúdos matemáticos? Assinale as alternativas abaixo,
preenchendo o espaço entre parênteses com as letras: FR – freqüentemente (
em quase todas
as aulas
); PO – pouco (
em algumas aulas durante cada mês
); RA – raramente (
poucas vezes
no ano
); NC – nunca. Justifique em seguida o porquê de tais utilizações, ressaltando, por
exemplo, a possível existência de trabalhos conjuntos [entre vários procedimentos e os
materiais].
Procedimentos adotados:
( ) Exposição Oral feita pelo professor na lousa.
( ) Agrupamento dos alunos para realização de atividades sugeridas pelo professor.
( ) Atividades individuais solicitadas pelo professor.
( ) Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos matemáticos.
( ) Troca de idéias entre alunos e professores.
( ) Troca de idéias entre alunos e alunos.
( ) Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e outras áreas do conhecimento.
( ) Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em outras áreas do conhecimento.
( ) Atividades envolvendo materiais concretos manipulativos.
( ) Confecção de algum material pelos alunos.
( ) Atividades lúdicas como: dramatizações, brincadeiras, entre outras.
( ) Outros. Cite o(s): ____________________________________________________________________
Materiais utilizados:
( ) Lousa e giz.
( ) Livro didático.
( ) Revistas, Jornais.
( ) Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material Dourado, etc.
( ) Outros. Cite o(s): ____________________________________________________________________
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
A
PÊNDICES -
223
6) No PCN de Matemática destinado ao 1º e 2º ciclo do Ensino Fundamental está
suscitando (em linhas gerais) que o ensino da Matemática possibilite ao aluno estabelecer
relações com seu próprio pensamento e com as informações do cotidiano. O que você pensa
sobre este objetivo? Discorra sobre tal questão.
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
7) Se um aluno lhe pergunta, ou talvez já tenha feito a seguinte pergunta: “
Professor (a)
porque é importante estudar [tal assunto] da Matemática?
” Qual seria a sua resposta frente a
tal questionamento?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
8) Escreva se você concorda, discorda, ou concorda parcialmente sobre a seguinte
afirmação, justificando em seguida sua opção:
“O ensino da Matemática deve possibilitar ao aluno construir conhecimentos interagindo
constantemente com os outros, consigo e diversos materiais.”
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
A
PÊNDICES -
224
Categoria C – Conhecimentos pedagógicos.
1) Durante a sua Formação Pedagógica Inicial, teve oportunidades para refletir sobre o
Ensino de
Matemática
nas séries iniciais do Ensino Fundamental? Comente.
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2) Quais Teorias Educacionais (focando os aspectos ensino e aprendizagem) você teve
contato durante sua Formação Inicial? Descreva o modo no qual este
contato
ocorreu.
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3) A Teoria Educacional Construtivista baseada em contribuições da Epistemologia
Genética elaborada por Jean Piaget já lhe foi apresentada em algum momento? Você conhece
os pontos principais desta proposta? Caso conheça, quais pontos você utiliza?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4) Em relação à pergunta anterior, você possui alguma crítica em relação ao construtivismo
‘piagetiano’? Se sim, qual(s) idéia(s) desta teoria você critica?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
A
PÊNDICES -
225
APÊNDICE C – Ficha Inicial: Apresentação da Pesquisa aos Professores Participantes.
Informativo relativo à pesquisa: Reflexos da didática construtivista no ensino de
Matemática nas quatro séries iniciais do Ensino Fundamental.
Caro (a) professor (a):
Antes de iniciar a exposição dos objetivos da pesquisa acima intitulada, gostaria de
agradecer a atenção e colaboração pelo trabalho que vamos desenvolver.
O estudo a ser realizado, de modo geral, pretende anali
sar as contribuições da teoria
piagetiana ao ensino de conteúdos matemáticos. Os conteúdos matemáticos referem-
se aos
Blocos de Conteúdos propostos pelos PCN’s –
Parâmetros Curriculares Nacionais, 3º Volume
(Matemática: 1º e 2º Ciclos do Ensino Fundamental). Os mesmos são:
Números e Operações;
Espaço e Forma;
Grandezas e Medidas;
Tratamento da Informação.
Como ressaltado pelos PCN’s, estes Blocos de Conteúdos
constituem os conceitos
matemáticos a serem construídos pe
los alunos no decorrer de seus anos de escolaridade
básica.
Assim, a investigação pretende verificar quais são as implicações didáticas e
metodológicas que o referencial teórico
piagetiano
traz ao processo de ensino e
aprendizagem. Entrevistas, observaçõe
s em sala de aula, questionários constituirão os
instrumentos realizados para a coleta dos dados. Será garantido o total zelo e sigilo a respeito
de sua participação, respeitando as normas éticas da pesquisa científica.
Compartilhar atividades desenvolvidas por você, professor (a),
“realizando em
conjunto”
sugestões e trocas de experiências é de vital para a aproximação de uma prática
permeada pela AÇÃO→REFLEXÃO→AÇÃO.
Esperamos que este trabalho contribua à prática docente de todos àqueles que
pensam/fazem Educação Matemática!
Atenciosamente, Richael Silva Caetano.
A
PÊNDICES -
226
APÊNDICE D – Ficha de Campo / Roteiro de Acompanhamento das aulas observadas.
Professor (a):_____________________________ Série:_________ Data:____/____/_____
Aula observada número:_____________ Tempo total de Observação:_________________
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Total:
Procedimento Didático e Metodológico:
1. Exposição Oral feita pelo professor na lousa.
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e
outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática
em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros_________________________________
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz.
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material Dourado,
Ábaco, etc.
5. Outros__________________________________
Total de Horas Observadas:
Quadro 1 - Ficha de Campo: Roteiro de Observação.
Observações mais relevantes: ________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
A
PÊNDICES -
227
APÊNDICE E – Entrevista realizada com o (a) professor (a).
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
A
PÊNDICES -
228
APÊNDICE F – Alguns pontos da Epistemologia Genética de Jean Piaget.
Caro (a) professor (a):
As informações contidas neste texto visam possibilitar alguns possíveis
esclarecimentos, apontamentos sobre a Epistemologia Genética elaborada por Jean Piaget;
teoria esta que serviu de alicerce/fundamentação para a Teoria Educacional Construtivista.
Faz-se necessário salientar a existência de diversas Tendências Educacionais denominadas
Construtivistas, porém cada possui embasamentos teóricos diferentes, assumindo às vezes
posições filosóficas, epistemológicas diversas/dicotômicas.
O Construtivismo ‘piagetiano’ segue uma visão estruturalista, desenvolvimentista, ou
seja, é caracterizada por procurar explicações psicogenéticas acerca da construção de
conhecimento pelo indivíduo em níveis estruturais/estágios de desenvolvimento cognitivo.
Uma das características divulgadas de sua teoria são os estágios de desenvolvimento
50
da
inteligência. Vamos relembrá-los sucintamente:
1. Estágio Sensório Motor: (do nascimento aos 2 anos) – a criança, através de
uma interação física com o seu meio, constrói um conjunto de "esquemas de ação" que lhe
permite compreender a realidade e a forma como esta funciona. Desenvolve-se o conceito de
permanência do objeto, constróem-se alguns esquemas sensório-motores coordenados e são
capazes de fazer imitações genuínas (adquirindo representações mentais cada vez mais
complexas).
2. Estágio Pré-Operatório: (2 - 6 anos) – a criança é competente ao nível do
pensamento representativo, mas carece de operações mentais que ordenem e organizem esse
pensamento. Sendo egocêntrica
51
e com um pensamento não reversível, a criança não é ainda
capaz, por exemplo, de conservar o número e a quantidade.
3. Estágio Operatório Concreto: (7 - 11 anos) – conforme as experiências físicas
e concretas assumem papéis de mediadores entre a criança e o mundo, o sujeito cognoscente
começa a conceitualizar, criando "estruturas lógicas" para a explicação das suas experiências,
construindo abstrações empíricas, ou seja, através da observação do imediato.
4. Estágio Operatório Formal: (11 - 15 anos) – como resultado da estruturação
progressiva do estágio anterior, o sujeito cognoscente atinge o raciocínio abstrato reflexivo,
50
Podem ocorrer variações nas faixas etárias devido às experiências (interações) dos sujeitos.
51
Egocentrismo - conjunto de atitudes ou comportamentos indicando que um indivíduo se refere essencialmente
a si mesmo.
A
PÊNDICES -
229
conceitual, conseguindo ‘ter em mente’ as hipóteses possíveis e sendo capaz de pensar
cientificamente.
Para continuarmos a exposição sobre este tema, observemos a figura abaixo:
Figura 1 - Esquema Geral sobre o processo de Equilibração Majorante.
De modo geral, a construção de conhecimento pelo indivíduo inicia-se através de uma
interação-ação entre o sujeito e o objeto (sendo este um ente material ou não) – como
mostrado na figura acima. Caso esta interação provoque no sujeito um desequilíbrio (um tipo
de insatisfação), é desencadeado um processo de assimilação – decorrente de abstrações
(espécie de pensar sobre o objeto). Para que o sujeito acomode o ‘novo’ conhecimento,
chegando à generalização do mesmo, no âmbito escolar é necessária a intervenção (tipo de
ajuda/auxílio/gerenciamento) do/pelo professor. A partir do momento que este ‘novo’
conhecimento passa a fazer parte das estruturas de pensamento do aluno observa-se a
equilibração majorante (ou seja, atingiu-se novamente o equilíbrio cognitivo).
O termo construtivismo, comumente utilizado como sinônimo da Teoria Educacional
baseada na Epistemologia Genética, recebe tal denominação pelo fato de que, o processo
enunciado acima realiza-se a partir da construção de novos conhecimentos a partir dos já
construídos.
Sujeito
Objeto
Interação - Ação
Abstração
Assimilação
Acomodação
Generalização
D
E
S
E
Q
U
I
L
Í
B
R
I
O
EQUILIBRAÇÃO MAJORANTE
INTERVENÇÃO
A
PÊNDICES -
230
APÊNDICE G – Entrevista/Conversa final realizada com o (a) professor (a):
Destinado à P
-
I:
Questões norteadoras:
1) Durante as entrevistas realizadas, você sugeriu (implicitamente) a necessidade de
Formação Continuada em relação ao ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino
Fundamental. O que você acha imprescindível abordar um curso sobre esta temática?
2) Em uma das atividades propostas por você, haviam representações de casas onde as
crianças escreveram números pertencentes às unidades. Por que você utilizou a associação
desenhos de casas às classes decimais?
3) Por que você utilizou, freqüentemente, conjuntos contendo elementos diversos para abordar
a noção de número? Existe alguma relação com a questão concreta?
4) Em uma entrevista, você falou: “
(...) as crianças que já tem um conhecimento prévio, tipo
assim, um pouquinho a mais Matemática, eles entendem a atividade e acho que absorvem a
atividade com muito mais facilidade que os outros (...)
”. Defina o termo: ABSORVEM.
5) No momento de expor alguns conceitos aos alunos, você utilizou Materiais Concretos, tais
como sua própria mão e peças do Material Dourado. Por que resolveu usar tais materiais?
6) O que você pensa a respeito das dinâmicas de grupo? Ao responder no
“Questionário/Entrevista Inicial” que utiliza esse procedimento POUCO é devido a qual
motivo?
7) Os meios educacionais (isto é, os documentos oficiais ou periódicos veiculados pela mídia)
argumentam sobre a importância de/em ‘provocar’ o aluno, estimulando-o através de
situações INTERESSANTES. Você acha que adota esta atitude em suas aulas? Como?
8) O que você tem a dizer sobre os fatores: número excessivo de alunos e a escassez de
materiais manipulativos quando pensamos em um ensino alicerçado nas concepções
construtivistas piagetianas? Comente.
9) No Questionário/Entrevista Inicial, quando perguntado a você a respeito de alguma crítica
sobre o construtivismo ‘piagetiano’, obteve-se como parte da resposta o trecho a seguir: “
(...)
ah agora estamos seguindo a linha do construtivismo, então às vezes você vê livros assim, aí
tão legais interessantes, mas você não consegue trabalhar com a criança, porque ela não tem
aquele conhecimento mínimo ainda, né.
”. O que seria esse CONHECIMENTO MÍNIMO
para você? Comente.
A
PÊNDICES -
231
Destinado à P
-
II:
Questões norteadoras:
1) Durante as entrevistas realizadas, você sugeriu a necessidade de Formação Continuada em
relação ao ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental. O que você acha
imprescindível abordar um curso sobre esta temática?
2) Ao representar as operações aritméticas na lousa, utilizou uma representação em forma de
casas para indicar as classes decimais: unidade e dezena. Por que decidiu utilizar esta
representação?
3) No momento de expor alguns conceitos aos alunos, você utilizou Materiais Concretos, tais
como lápis de cor e peças do Material Dourado. Por que resolveu usar tais materiais?
3.1) Você considera importante a manipulação de objetos concretos durante o
desenvolvimento de procedimentos didático e metodológicos? É suficiente a manipulação
pelo professor; ou pelo aluno ou por ambos? Justifique.
4) Em uma das entrevistas você citou ser necessário promover uma aula atraente visando,
assim, uma “melhor assimilação” dos alunos com relação aos conteúdos trabalhados. Por que
afirmou isso?
5) Durante uma entrevista você argumentou que os alunos que já estavam encaminhados
conseguiram assimilar o conceito de ordem crescente e decrescente. O que você quis dizer ao
utilizar o termo
“
ENCAMINHADOS
”
?
6) O que você pensa a respeito das dinâmicas de grupo? Ao responder no
“Questionário/Entrevista Inicial” que utiliza esse procedimento RARAMENTE é devido a
qual motivo?
7) Os meios educacionais (isto é, os documentos oficiais ou periódicos veiculados pela mídia)
argumentam sobre a importância de/em ‘provocar’ o aluno, estimulando-o através de
situações INTERESSANTES. Você acha que adota esta atitude em suas aulas? Como?
8) O que você tem a dizer sobre os fatores: número excessivo de alunos e a escassez de
materiais manipulativos quando pensamos em um ensino alicerçado nas concepções
construtivistas piagetianas? Comente.
9) No Questionário/Entrevista Inicial você falou: “
(...) Quando você chega na sala de aula é
outra realidade, é outra vivência, às vezes o mínimo que seu aluno tem não é suficiente para
partir pro construtivismo.
”. Quais motivos desencadearam tal argumentação?
A
PÊNDICES -
232
Destinado à P
-
III:
Questões norteadoras:
1) No Questionário/Entrevista Inicial você respondeu (na questão 4) que nos últimos cinco
anos não realizou curso de Educação Continuada (Formação Continuada) em relação ao
ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Você julga necessária a
constante participação em tais cursos? Caso responda afirmativamente, o que acha
imprescindível abordar um curso sobre esta temática?
2) Durante alguns momentos das aulas observadas você utilizou Materiais Concretos, tais
como o Ábaco, para abordar conteúdos/noções matemáticas. Por que optou usar esse recurso?
3) Em uma entrevista você disse: “
(...) Então eu acho que hoje o conteúdo eles gostaram,
eles assimilaram (...)
”. O que você quis expressar ao utilizar o termo
“
ASSIMILARAM
”
,
sendo que o mesmo fazia referência a atitude dos alunos?
4) No decorrer das aulas observadas, você questionou os alunos quando os mesmos
apresentavam soluções (das atividades propostas) incorretas ou incompletas. Por que adotou
esta atitude de questioná-los?
5) Você acredita que a manipulação pelo aluno de objetos concretos facilita a construção de
idéias/noções matemáticas? Por que no “Questionário/Entrevista Inicial” você respondeu que
utiliza esse procedimento POUCO? Comente.
6) O que você pensa a respeito das dinâmicas de grupo? Ao responder no
“Questionário/Entrevista Inicial” que utiliza esse procedimento POUCO é devido a qual
motivo?
7) Os meios educacionais (isto é, os documentos oficiais ou periódicos veiculados pela mídia)
argumentam sobre a importância de/em ‘provocar’ o aluno, estimulando-o através de
situações INTERESSANTES. Você acha que adota esta atitude em suas aulas? Como?
8) O que você tem a dizer sobre os fatores: número excessivo de alunos e a escassez de
materiais manipulativos quando pensamos em um ensino alicerçado nas concepções
construtivistas piagetianas? Comente.
9) No “Questionário/Entrevista Inicial” você falou: “
(...)Esse ano mesmo, eu tive alunos que
não tinha noção de quantidade, de seqüência, de unidade, não tem nada, (...) então você tem
que começar lá da base mesmo dele (...)
”. A expressão:
“
COMEÇAR LÁ DA BASE
MESMO DELE
”
possui qual significado para você? Comente, citando quais são as “bases”
necessárias para o desenvolvimento/construção das idéias/noções matemáticas.
A
PÊNDICES -
233
Destinado ao P
-
IV:
Questões norteadoras:
1) Durante as entrevistas realizadas, você sugeriu (indiretamente) a necessidade de Formação
Continuada em relação ao ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental. O
que você acha imprescindível abordar um curso sobre esta temática?
2) Ao responder uma questão do “Questionário/Entrevista Inicial” você citou: “
(...)Mas ele
ajuda muito a criança quando o professor também sabe trabalhar com o construtivismo. O
professor também não é preparado a trabalhar com o construtivismo, ele acha que é entregar
o material e deixar a criança “a la vonte” (...)
”. Implicitamente, você quis dizer que o
professor não sabe / não foi preparado – na maioria das vezes – para “trabalhar com o
construtivismo”? Explique mais detalhadamente.
3) Em umas das entrevistas, você disse: “
(...) eu percebi que eles (os alunos) precisavam ter
uma coisa mais prática, e aí o jogo foi a maneira mais prática deles usarem a soma (...)
”. Por
que você acha que os alunos precisam ter uma coisa “MAIS PRÁTICA”? Seria o jogo uma
alternativa didática e metodológica à ocorrência de coisas mais práticas?
4) Ao explicar a um grupo de alunos uma operação de subtração envolvendo trocas decimais,
ou seja, no qual foi necessário trocar uma dezena por dez unidades, por que você decidiu
utilizar as peças do Material Dourado?
4.1) Você acredita que a manipulação de Materiais Concretos é uma alternativa para
possibilitar a construção de idéias/noções matemáticas pelos alunos? Caso responda
afirmativamente, justifique.
5) Durante uma entrevista você falou: “
(...)
O motivo é que eu percebi que os alunos, eles
vieram muito “crus” das séries anteriores nas operações matemáticas (...)”. O que você quis
dizer ao utilizar o termo
“
MUITO CRUS
”
?
6) O que você pensa a respeito das dinâmicas de grupo? Por que as utilizou no decorrer das
aulas observadas?
7) Os meios educacionais (isto é, os documentos oficiais ou periódicos veiculados pela mídia)
argumentam sobre a importância de/em ‘provocar’ o aluno, estimulando-o através de
situações INTERESSANTES. Você acha que adota esta atitude em suas aulas? Como?
8) O que você tem a dizer sobre os fatores: número excessivo de alunos e a escassez de
materiais manipulativos quando pensamos em um ensino alicerçado nas concepções
construtivistas piagetianas? Comente.
A
PÊNDICES -
234
APÊNDICE H – Pesquisa de Campo realizada com P-II:
A seguir constam os registros provenientes da pesquisa de campo realizada com P-II
na E-I.
H. I – Transcrição da Entrevista/Inicial: Data: 01/04/2008
1) Durante a sua Formação Pedagógica Inicial, teve oportunidades para refletir sobre o Ensino
da Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental? Comente.
R:
Para refletir não. Tem a parte didática (...) como você ensina Matemática. Mas não assim, bem
superficial (...) não pra refletir a Matemática, nada muito profundo. Também, na faculdade, você tem
uma aula por semana de Matemática (pedagogia) ensino de Matemática e praticamente não é nada
para um professor.
2) Quais Teorias Educacionais (focando os aspectos ensino e aprendizagem) você teve
contato durante sua formação inicial? Descreva o modo no qual este contato ocorreu.
R:
Teoria educacional? Bom, foi bastante abordado na faculdade o construtivismo ‘né’, mas sempre
jogado. Na verdade, nunca assim (...) eu acho que é difícil as pessoas ensinarem construtivismo
porque elas não entendem. Então muitas vezes, fala assim – ah, tem que usar a teoria construtivista –
eles falam para você no curso. Quando você chega na sala de aula é outra realidade, é outra
vivência, às vezes o mínimo que seu aluno tem não é suficiente para partir pro construtivismo. Mesmo
na faculdade, os professores mesmos não entendem, assim, para passar para a gente.
3) A Teoria Educacional Construtivista baseada em contribuições da Epistemologia Genética
elaborada por Jean Piaget já lhe foi apresentada em algum momento? Você conhece os pontos
principais desta proposta? Caso conheça, quais pontos você utiliza?
R:
No magistério e na faculdade. Principal? Olha, eu vou ser sincera! O principal (...) as fases do
desenvolvimento da criança, da parte operacional desde lá do motor até o concreto, para ensinar o
concreto. E aquela questão da (...) é da acomodação, da assimilação, dessa parte, ele sabe, incorpora
para ele assimilar e desenvolver o novo conhecimento. É interessante conhecer. Dá para utilizar em
sala de aula de que forma, por exemplo, alguém conhece já alguma coisa sobre tal assunto, na
Matemática, por exemplo, pra gente ir puxando, e lembrando (...) o que ele aprendeu no passado, o
que ele faz fora da escola, no mercado, quais situações da vida do aluno para trazer para eles
tentarem entender melhor.
4) Em relação à pergunta anterior, você possui alguma crítica em relação ao construtivismo
‘piagetiano’? Se sim, qual(s) idéia(s) desta teoria você critica?
R:
Assim, superficialmente porque, como eu falei - o construtivismo (...) é, se eu falar para você que
eu sei ele de cabo a rabo, que eu vi na faculdade, eu não sei, eu acho que é falho, eu acho que me
falta muito isso. Mas assim, o ponto que eu critico é muitas vezes da (...) da questão dele incorporar,
tem criança que não é assim do jeito que Piaget fala que você apresenta para ele refletir pra ele
formar um novo conhecimento para ele aplicar em situações cotidianas, eu acho que às vezes a
criança não tem essa reflexão, eles não sabem refletir, então assim (...), às vezes, o que eu penso, uma
crítica sobre a teoria piagetiana é isso.
A
PÊNDICES -
235
H. II – Registro das aulas observadas.
Seguem os registros decorrentes do preenchimento do Roteiro de Acompanhamento
(Apêndice D), Registro por: Escrito e Gravado em Áudio e Entrevista realizada Pós-Aula
(Apêndice E).
H. II. 1 – Aulas 1 a 4. Data: 02/04/2008
ROTEIRO 1:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 1 A U L A: 2
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X X 4
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X X X 5
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X 1
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X 3
2. Livro didático. X X 2
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1 ,2.
1
X
1
X
1
X
2
X
2
X
5
Total de Horas Observadas:
1: 40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 1)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Atividade em folha de sulfite contendo o
calendário, em formato de tabela do mês de abril.
2 – Caderno do Aluno.
A
PÊNDICES -
236
ROTEIRO 2:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 3 A U L A: 4
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X X 4
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X X 4
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X
1
X 2
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X X 5
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1
1
X
2
X
1
X
1
X
1
X
5
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 2)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
2 – Lápis de cor.
A
PÊNDICES -
237
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 1:
1º -
[
A professora registrou na lousa a Rotina das atividades do dia
]
:
Matemática: calendário, leitura, adição e numerais.
2º -
[P-II
escreveu os seguintes números visando enfatizar a questão decimal
posicional
]
:
10 11 34 99 79
20 22 43 97
30
D U
5 3
C D U
1 1 1
3º -
[
A docente entregou o calendário referente ao mês de abril
]
:
ANO
2008
Nº. DE SEMANAS
5
Nº. DE DIAS
30
Nº. DE FERIADOS
1
Nº DE DIAS DE AULAS NO MÊS
20
DOM SEG TER QUAR QUI SEX SAB
1 2 3 4 5
6
7 8 9 10 11 12
13
14 15 16 17 18 19
20 21
22 23 24 25 26
27
28 29 30
[
A professora foi completando os espaços em branco. No esquema acima são os que estão
sublinhados. Ela destacou com outras cores os dias da semana referente a coluna do
Domingo e do Feriado
]
.
4º -
[
Os seguintes problemas foram registrados na lousa
]
:
A
PÊNDICES -
238
Problemas:
1 – Caio tinha 34 bandeirinhas na sua coleção. Agora, ele conseguiu outras 23. Com quantas
bandeirinhas ele ficou na sua coleção?
D
U
3
4
+
2
3
R: Caio ficou com 57 bandeirinhas.
2 – Uma dezena são 10 unidades.
Meia dezena são 5 unidades.
[
A professora desenhou traços verticais para indicar as quantidades das casas decimais no
momento de corrigir as atividades propostas – acima
]
.
Observações mais relevantes do Roteiro 1:
1 – No início da aula a professora escreveu a rotina das atividades a serem desenvolvidas na
lousa. [
Pensar acerca da questão da organização didática
].
2 – Leitura do livro: Matemática em mil e uma histórias.
3 – A professora disse aos alunos que Número é ≈ (
semelhante
) a Símbolo.
4 – P: número vai pular implica valer mais.
5 – P: completou o calendário abril/2008 com o auxílio dos alunos.
6 – P: mantém a ordem solicitando que cada um responda por vez. [
Ver a questão das
regras
].
7 – P: colocou o relógio na lousa trabalhando verbalmente o horário.
8 – P: Soma é ≈ (
semelhante
) a Adição/Casinha da Unidade. [
Ver a questão lúdica
]
.
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
7
B
5
A
PÊNDICES -
239
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 2:
[
Continuando o registro dos problemas
]
:
a) Quantas unidades são uma dezena e meia?
D
U
1
0
+
5
R: São 15 unidades.
[
A professora representou com traços verticais o número 5
]
.
b) Quantas unidades são duas dezenas?
D
U
1
0
+ 1
0
R: São 20 unidades.
[
A professora perguntava e alguns alunos respondiam
]
.
3 – Uma dúzia são 12 unidades.
Meia dúzia são 6 unidades.
a) Quantas unidades são uma dúzia e meia?
D
U
1
2
+
6
5 1
0 2
A
PÊNDICES -
240
R: São 18 unidades.
b) Quantas unidades são duas dúzias?
D
U
1
2
+ 1
2
R: São 24 unidades.
[
Primeiro a professora escreveu os números em a) e b) a serem somados. Depois,
perguntando aos alunos, efetuou as operações de adição
]
.
5º -
[
A docente visou com este exercício o treino acerca do sistema de numeração
]
:
4 – Numerais de 0 à 100.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12 13 14 15 16 17 18 19
20
21
22 23 24 25 26 27 28 29
30
31
32 33 34 35 36 37 38 39
40
41
42 43 44 45 46 47 48 49
50
51
52 53 54 55 56 57 58 59
60
61
62 63 64 65 66 67 68 69
70
71
72 73 74 75 76 77 78 79
80
81
82 83 84 85 86 87 88 89
90
91
92 93 94 95 96 97 98 99
100
[P-II
registrou, conforme acima, os números em negritos. Aos alunos lhes foi solicitado
completá-la
]
.
6º -
[
Texto registrado na lousa
]
:
Quando juntamos quantidade, dizemos que estamos fazendo uma adição.
Você já viu que a adição
é representada por + e que seus termos são chamados parcelas.
O resultado da adição é chamado de soma ou total.
8 1
4 2
A
PÊNDICES -
241
Assim:
D
U
1
7 → parcela
+ 1
2 → parcela
→ soma ou total
Observações mais relevantes do Roteiro 2:
1 – P: mostrou os dedos aos alunos sinalizando quantidade. [
Concreto
→ Abstrato].
2 – P: mostrou 12 lápis para representar 1 dúzia, E falou a palavra meio para indicar 6 lápis.
[Concreto → Abstrato].
3 – P: denominou as operações aritméticas como sendo ‘continhas’, ‘contas’.
4 – P: auxiliou os alunos manipulando lápis de cor. [Concreto → Abstrato].
5 – A maioria dos alunos desenhou traços verticais ao lado de cada número, somando-os em
seguida.
6 – Em relação ao texto sobre a adição: [Para compreender a noção de parcela não seria
melhor, primeiro, compreender a questão da reversibilidade?]; [Não seria melhor ter feito
uma chave ({) que compreendesse os dois algarismos que formam o resultado, para daí,
indicar através da seta a denominação soma ou total?].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (1 A 4) GRAVADAS:
[...]
P: O que é adição mesmo?
A: É o valor que a gente usa para separar.
P: Não. Adição é uma conta de mais. É para a gente somar.
(Alunos murmuram).
[...]
P: Uma dezena são dez unidades, então são dez corações.
A: Professora, são dez coração?
P: São dez corações. Uma dezena são dez unidades, então a professora desenhou dez
corações.
A: Dez.
P: Dez.
9 2
A
PÊNDICES -
242
(Alunos murmuram).
P: Se uma dezena são dez, quantos que são meia dezena?
A: Cinco.
P: Por que cinco, porque é metade?
A: É.
P: E quanto são cinco dezenas?
A: Sete.
P: Será que você não está confundindo? Se uma dezena são dez corações, então cinco dezenas
são 50 corações.
[...]
P: A gente sabe que uma dezena são dez unidades e que meia dezena são cinco, então, quantas
unidades são uma dezena e meia? Como que eu faço pra saber numa continha de mais, numa
adição, quanto é uma dezena e meia, o que eu tenho que somar? O que eu tenho que somar?
Uma dezena? Quanto é uma dezena?
A: Dez.
P: Dez. Aonde eu coloco o dez na continha?
A: Em cima.
P: Em cima. No D que vale dez. E meia dezena, quantas unidades são?
A: Cinco.
P: Aonde vai o cinco? No U ou no D?
A: No D.
A: Ali oh, no U.
P: Não são cinqüenta, são cinco unidades. E agora soma dez mais cinco.
A: Quinze.
A: Vai no U.
P: Como eu faço pra descobrir que é quinze?
A: Coloca junto com o U.
P: O que coloca junto com o U?
A: O cinco.
(Alunos murmuram).
P: Aluna A como é que eu faço?
A: O zero.
P: O zero eu somo com qual?
A: Com o um.
P: Com o um?
A: Com o cinco.
P: Com o cinco. Primeiro nós somamos as unidades e depois nós somamos as dezenas. Como
que eu faço então? Ou eu conto com os meus dedinhos ou eu faço risquinhos. Cinco mais
zero, quanto que é? Quanto que é zero?
A: Cinco.
P: Zero não é nada. Eu faço, cinco: um, dois, três, quatro, cinco. Zero não pode fazer nada.
Quanto ficou?
A: Cinco.
A: Cinqüenta e cinco?
P: Por que você falou cinqüenta e cinco?
(Aluno não respondeu).
P: Por que aqui eu tenho uma, uma dezena, não tem nenhum aqui. Ficou então uma dezena,
que são dez unidades mais cinco unidades, que dá quinze.
A
PÊNDICES -
243
[...]
A: Pro, tem que somar doze mais seis?
P: Por onde você começa, Pedro?
A: Na unidade.
P: Começa nas unidades. Tem que somar primeiro nas unidades. Soma nos dedinhos.
Primeiro seis mais dois, depois um mais zero. Coloca na casinha o número. Vocês não podem
se esquecer de colocar os ‘numerinhos’ nas casinhas das unidades e das dezenas.
A: Pro, eu desenhei as casinhas.
P: Isso, muito bem!
(Alunos murmuram).
[...]
P: Os números da adição são chamados parcelas, e os resultados da soma é chamada resultado
ou total.
(Alunos repetem o que a professora disse).
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 03/04/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
Foi a questão da adição. Eu notei que eles não têm uma base em adição e nem a relação ao valor
posicional do sistema de numeração decimal. Então eu procurei trazer uma história porque eles
estavam vendo, estavam participando, porque eles se interessam por isso (...) pra ver se né, de alguma
forma incorporasse alguma coisa ali, pra ver se puxava pra eles que a unidade é unidade mesmo e
que a dezena é mais do que dez, pra eles terem essa noção de que quando montar uma conta de
adição conseguir fazer essa assimilação, unidade com unidade e dezena com dezena. Saber que
dezena é sempre mais do que dez e que lá na casa da dezena não é um, é dez. (...) Então, eu notei que
eles tinham bastante dificuldade, eu não sei se foi bom, mas eu procurei uma outra forma de dar aula
atraente, pra ver se eles incorporassem alguma coisa a mais.
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
As habilidades? Eu acho que foi, (...) assim, as habilidades de raciocínio, raciocínio lógico né,
uma coisa mais rápida. Bom (...), foi de raciocínio e, é tentar entender ali o valor mesmo de cada um
dos conteúdos.
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Ah! É complicado porque tinha aluno ali que não tinha nem conceito anterior, mas assim, eu
procurei partir dos alunos que tinham conceito anterior. (...) Só foi possível continuar, né (...) porque
eles partiram de, do que eles já sabiam do ano anterior. (...) Eu acho que foi assim, foi uma
A
PÊNDICES -
244
continuação do que eles já aprenderam anteriormente, mesmo aqueles que não sabiam - eu acho - que
eles conseguiram incorporar alguma coisa, que eles entenderam alguma coisa dali.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Bom, a minha sala deu uma melhorada né, era uma sala bastante indisciplinada, mas deu uma
melhorada. Mas em relação a material didático eu tive que procurar em uma outra escola, eu mesmo
não tinha o material didático que eu utilizei ontem. Eu peguei em outra unidade escolar, achei
interessante e trouxe. Agora em relação ao pedagógico, eu acho que muito material pedagógico que
falta ainda para a gente é (...) seria melhor que tivesse pra gente, até por agilidade de aula, por
facilidade por ser mais rápido. Às vezes a gente só usa a lousa e o caderno e isso demora muito,
então assim, se a gente tivesse uma coisa mais concreta, mais atraente para eles, eu acho que eles
incorporariam isso de forma melhor.
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Sim, na subtração, em numerais, na multiplicação, na divisão (...), sempre em problemas, em
situações problemas que eles encontram fora da escola. Porque daí eles falam: - ah isso, ah como é
que eu faço? Porque muitas vezes eles vão ao mercado e não sabem contar. A mãe pede: - eu quero
tanto, e daí como eles não sabem contar. É pra essas coisas mesmos. Eu quero resgatar é (...) depois
em três parcelas, porque até agora eles aprenderam em uma, e o negócio tá, eu acho que tá indo.
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Eu sinto assim, o meu objetivo foi, é fazer com que eles compreendessem o sistema de numeração
decimal, mas eu sinto que alguns alunos não conseguiram, realmente não conseguiram. Às vezes
também não foi (...) não foi por causa da aula, às vezes também eles também tem dificuldade. Mas eu
sinto que não foi completamente, os objetivos não foram totalmente concretizados. Pretendo, pretendo
procurar assim (...) agora partir do material concreto para o abstrato então, a gente trabalha com o
material dourado (...) eu vou procurar achar uma caixa de quantidade, pra mostrar isso mais isso,
porque a gente foi até agora na questão de mais e mais, a gente não passou da troca da unidade para
a dezena. Então eu queria que ficasse bem fixado para eles a questão da unidade mais unidade e
dezena, então eu vou procurar uma caixa de quantidade ou então outros materiais para tentar juntar
e tentar fazer a troca com eles (...) para eles verem o que tá fazendo junto pra entender como que
troca, que não é empresta, aquele negócio de empresta, empresta nada, é uma troca, então aquela
questão de nunca dez, porque não é dez na unidade e sim na casa da dezena.
A
PÊNDICES -
245
H. II. 2 – Aulas 5 a 8. Data: 04/04/2008
ROTEIRO 3:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 5 A U L A: 6
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X 3
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X 2
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X X X X 4
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X 1
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X 4
2. Livro didático. X X 2
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X X 2
5. Outros: 1.
1
X
1
X 2
Total de Horas Observadas:
1: 40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 3)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do Aluno.
A
PÊNDICES -
246
ROTEIRO 4:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 7 A U L A: 8
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X 2
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X X 4
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X
1
X
1
X
1
X 4
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X X X 6
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1, 2.
1
X
1
X
1
X
2
X
4
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 4)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
2 – Folha quadriculada contendo 10 linhas e 10
colunas.
A
PÊNDICES -
247
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 3:
1º - [A docente registrou na lousa a Rotina do dia]:
Matemática: leitura, adição ordem crescente e decrescente, vizinho, quadrado mágico.
2º - [A professora escreveu na lousa operações de adição utilizando o mesmo esquema
da aula anterior para ‘armar’ os números no quadro]:
Vamos somar:
5 + 4 13 + 3 17 + 11 72 + 10
8 + 1 15 + 2 14 + 14 16 + 4 (*)
3 + 4 16 + 3 18 + 11 49 + 21 (*)
12 + 4 15 + 13 43 + 12 36 + 11
[Após alguns minutos, a professora registrou as últimas 5 operações. Isto, devido o fato das
mesmas apresentarem números de maior valor decimal e também pela troca das dez unidades
por 1 dezena (*)].
Observações mais relevantes do Roteiro 3:
1 – P: iniciou a aula lendo o livro: A Matemática dos bichos. [Ver aspecto lúdico e ensino].
2 – P: mediante a leitura do livro os alunos iam, questionados pela professora, contando os
animais desenhados nas páginas e somando com números escritos nas próprias páginas.
[Cálculo mental em associação com figuras].
3 – Além da adição, o livro também propunha operações de subtração.
4 – P: auxiliou os alunos com dificuldade no momento em que estes resolviam operações de
adição. [Ver a questão da avaliação diagnóstica].
6 – P: “– Ali vai um!”. [O ‘famoso vai um’ é um processo complicado, do ponto de vista
psicológico, já que os alunos necessitam ter construído a estrutura de conservação e
reversibilidade].
5 – P: “– Pôr na casinha, sempre na casinha”; “ – Começa por onde? Unidade!” [A professora
ia questionando e já respondendo, não possibilitando ao aluno tempo para assimilar e tentar
acomodar tais indagações].
6 – P: “– Aqui é a mesma coisa!”. [Professora fazia referência ao processo algorítmico à
resolução de ‘outra’ adição – solicitada por ela. Interessante estabelecer paralelo com a
questão da conservação].
A
PÊNDICES -
248
7 – P: utilizou os próprios dedos para contar. [Concreto → Abstrato].
8 – P: representou uma adição utilizando o Material Dourado. [Concreto → Abstrato].
9 – P: recorreu a um cartaz fixado na parede para que os alunos associassem o símbolo dos
números ao seu valor quantitativo. [Concreto → Abstrato].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
Cartaz colocado na parede:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 0
A
PÊNDICES -
249
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 4:
3º - [Solicitou aos alunos a solução do exercício referente à ordem crescente]:
Responda as perguntas e depois escreva os números encontrados em ordem crescente.
a) Quem vem antes do 6?
b) Quem está entre o 8 e o 10?
c) Quem equivale a uma dezena?
d) Quem vem depois do 7?
e) Quem vem antes do 2?
f) Quem vem depois do 1?
g) Quem está entre o 6 e o 8?
h) Quem está entre o 5 e o 7?
i) Quem vem antes do 4?
j) Quem vem depois do 3?
Ordem crescente:
[Depois de certo tempo, a professora corrigiu os exercícios perguntando aos alunos qual
seriam as respostas corretas].
4º - [Pediu que os alunos completassem o percurso numérico]:
3 – Percurso maluco:
16
17
22
23
25
26
19
28
31
33
34
36
38
41
43
45
46
49 50
A
PÊNDICES -
250
[Após alguns minutos a professora expôs a solução].
5º - [Visando abordar a questão de sucessor, antecessor e seqüência numérica a
docente registrou na lousa o seguinte exercício]:
4 – Quem é o vizinho?
15 11 57 64
59 10 55 8
80 19 51 36
6º [A professora entregou para cada aluno um pedaço de folha quadriculada para que
os mesmos preenchessem com números de 1 a 100].
Observações mais relevantes do Roteiro 4:
1 – P: em alguns momentos, auxiliou individualmente os alunos com dificuldade nas soluções
dos exercícios propostos. [Ver a questão da avaliação diagnóstica].
2 – P: no momento de corrigir na lousa orientou os alunos para emitirem as respostas.
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
1
3
4
7
9
11
13
14
A
PÊNDICES -
251
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (5 A 8) GRAVADAS:
[...]
P: Agora a gente vai fazer na lousa algumas continhas, tá bom. Então vamos lá, primeiro
copia e depois a professora dá um tempinho pra responder. Vamos lá! Pega o lápis da dezena
e da unidade, cada um de uma cor. A unidade da professora é laranja. A unidade vai até que
número mesmo?
A: Dez.
P: Nove? Chegou dez, o que acontece?
A: Dezena.
P: Dezena, e passa pra onde?
A: Pra casa da dezena.
A: Da unidade.
P: Não, da unidade passa pra dezena.
[...]
A: Pro, tem que fazer a casa!
P: Tem que fazer a casinha, por que cada número, só pode ficar um número em cada casinha.
Não pode ficar mais de um número.
A: Professora, ali tem que ficar o zero?
P: Isso, é! Como aqui na dezena não tem nada é como se tivesse um zero. Por enquanto não
tem dezena nenhuma. Ai pule uma linha para não misturar as continhas, não façam as juntas
porque senão não vai entender!
[...]
(A professora pediu para um aluno explicar, porque, quando se soma 16 + 4, há necessidade
de colocar o um na casa decimal das dezenas e deixar zerado nas unidades).
P: Primeiro coloca o seis. Depois coloca o dezesseis. Agora soma as unidades, quanto fica?
A: Dez.
P: Por que foi esse um?
A: Porque ele é dezena.
(Alguns alunos, devido expressão facial, sinalizaram não estar entendendo).
P: Tem que por o um aqui porque ele não é mais dezena. Aluno A, teve gente que não
conseguiu fazer essa continha. Você conseguiu fazer sozinha, assim como o Aluno B. Como
que você fez?
A: Eu coloquei o um em cima, na dezena, deu 2. E depois coloquei o zero.
P: Mas você começou pela dezena? Como que você começou?
A: Não, eu comecei pela unidade.
P: Como que você fez?
A: Eu coloquei o seis e depois coloquei o quatro.
P: E deu?
A: Dez.
P: Dez. Daí você colocou o zero aqui. Por que você colocou o zero aqui? (Professora foi a
lousa e apontou o número zero, resultado da soma de quatro + seis unidades).
A: Por que é do dez! (Respondeu a Aluna C).
A
PÊNDICES -
252
P: Do dez. Porque ficou dez unidades. Você passou o um pra cá, você trocou, dez unidades
por uma dezena? Ai você colocou uma dezena aqui. Daí ficou quanto?
A: Dois.
P: E daí, ficou quanto?
A: Vinte.
[...]
P: A gente começa uma continha primeiro pela unidade. Por quê? Vai que a gente começa
pela dezena e passa alguma coisa pra dezena. Até quanto pode ficar aqui? (A professora
apontou na lousa a casa decimal da unidade).
A: Nove.
P: Nove. Se tiver dez tem que trocar essas dez unidades por uma dezena. Você não vai
emprestar, por que quando a gente empresta vai pedir de volta. A gente vai trocar. Vamos
pegar o material dourado. (A professora representou o número dezesseis, mostrando aos
alunos seis cubinhos e uma barra).
[...]
(Mais adiante, a professora chamou a atenção do aluno para que ele compreendesse,
percebesse o que é o número nove).
P: Aluno D, conheça o número. Olhe aqui! (A docente apontou para um cartaz e junto com a
turma leu seqüencialmente de zero a nove). Você tem que saber o que é, como é o número
nove. Você tem que conhecer.
[...]
P: Agora a gente vai ver os números crescentes. Do menor para o maior.
A: Do menor para o maior.
A: Pro, não é do maior para o menor.
P: Não, é ao contrário.
(Aluno sinalizou não entender o que a professora disse, porém, a docente continuou a aula.)
[...]
P: O que vem antes do trinta?
A: Trinta e um.
P: Trinta e um? Não.
A: É o vinte e nove!
A: Vinte o oito.
P: Vinte e sete.
A: Vinte e seis.
(Alunos e professora continuaram a citar os números decrescentemente até o zero).
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 07/04/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
A
PÊNDICES -
253
R:
Bom, o principal objetivo foi o reconhecimento dos numerais, a questão do vizinho, sucessor e
antecessor, ou seja, a noção de sucessor e antecessor. Eu queria saber se eles já estavam sabendo o
que é vizinho, (...) o que vem antes, o que vem depois, na ordem crescente e decrescente. Pra ver se
eles sabiam mesmo do maior para o menor, o que era maior, o que era menor, a noção de maior e
menor que eles tinham.
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Habilidade? Eu acho que assim, aqueles que tinham alguma dúvida, conseguiram reconhecer ali,
fazendo apagando, mas na ordem decrescente, na crescente eles ainda foram, né, conseguiram. Na
crescente eu acho que eles conseguiram assimilar uma coisinha mais que a ordem decrescente. Que
eles viam o que vinha depois, que tem uma lógica, que não é um número aqui, uma numero lá, não é
de qualquer jeito, que um vem depois do outro (...). Essa (...) não todos, lógico, mas aqueles que já
estavam encaminhados conseguiram.
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Ah sim, é. Parti daquilo que eles já sabiam (...) parti da hipótese de que eles já sabiam alguma
coisa sobre isso, então, eu acho que contribuiu bastante.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Ah, eu acredito que metodologia não, mas materiais. Eu acho que falta muito pra gente material
concreto para as crianças poderem ver, material concreto para eles verem, para eles pegarem.
Manipulativo, eu acho o que falta é isso. Infelizmente a gente não faz porque não tem, mas se tivesse...
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Ao longo do ano, em todas as situações matemáticas.
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Não, eu acho que eu atingi os objetivos. Eu acho que nem todos conseguiram, mas o objetivo eu
acho que foi alcançado. Em partes, né. Pretendo trazer para sala outros materiais para que os alunos
possam manipular, ver as coisas para assim eles entenderem o que é as coisas.
A
PÊNDICES -
254
H. II. 3 – Aulas 9 a 12. Data: 02/05/2008
ROTEIRO 5:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 9 A U L A: 10
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X 3
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X 3
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X 1
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X
1
X
1
X 3
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X X X 6
2. Livro didático. X 1
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X 1
5. Outros: 1.
1
X
1
X 2
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 5)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
A
PÊNDICES -
255
ROTEIRO 6:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 11 A U L A: 12
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X 2
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X 3
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X 1
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X
1
X
1
X
1
X 4
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X X X 6
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1, 2.
1
X
2
X
2
X
3
X 4
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 6)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
2 – Lápis de cor.
3 – Carimbo contendo conjunto de elementos diversos
caderno do aluno.
A
PÊNDICES -
256
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 5:
1º - [A docente, no início da aula, registrou na lousa a seqüência das atividades a
serem realizadas]:
Rotina do dia:
Matemática: leitura; numerais; adição; subtração; problemas; números pares e ímpares.
2º - [Leitura do livro “Um bebê em forma de gente (Coleção Menino Maluquinho)”
pela professora. Através do livro, abordaram-se visualmente o formato das figuras
geométricas planas, tais como: quadrado, triângulo, retângulo, circulo, elipse, polígonos
irregulares].
3º - [A professora solicitou a cópia e leitura do seguinte exercício]:
1 – Numerais de 101 à 200:
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111 112
113
114
115
116
117
118
119
120
121 122
123
124
125
126
127
128
129
130
131 132
133
134
135
136
137
138
139
140
141 142
143
144
145
146
147
148
149
150
151 152
153
154
155
156
157
158
159
160
161 162
163
164
165
166
167
168
169
170
171 172
173
174
175
176
177
178
179
180
181 182
183
184
185
186
187
188
189
190
191 192
193
194
195
196
197
198
199
200
[Ao ler os números com os alunos, o pesquisador percebeu que alguns não precisavam olhar
para a lousa, assim, mentalmente, seguiam a seqüência numérica. Outros, porém,
simplesmente repetiam o que a professora dizia].
4º - [A docente pediu que os alunos tentassem, individualmente, solucionar os
seguintes problemas]:
2 – Vamos subtrair?
D
U
1
5
_
2
[Utilizando a mesma representação espacial – da casinha -, P-II
solicitou a solução das seguintes subtrações]:
19 – 5 19 – 9 18 – 7
17 – 3 14 – 3 17 – 5
16 – 6 18 – 4 14 – 1
3 1
A
PÊNDICES -
257
3 – Em um grupo de 9 pessoas, 2 usam óculos. Quantas pessoas não usam óculos?
D
U
0
9
_
0
2
R: Não usam óculos 7 pessoas.
[A professora, após alguns minutos, corrigiu os exercícios 2- e 3-. Ao registrar o problema 3-
, na lousa, P-II indicou aos alunos qual operação aritmética utilizar. Enquanto corrigia os
exercícios, a docente trocou algumas idéias com os estudantes – por meio de diálogos –
questionando-os. Contudo, embora dialogasse com os estudantes, a professora já ‘iniciava’ o
raciocínio das crianças, isto é, induzia-os na decisão de qual operação aritmética utilizar].
Observações mais relevantes do Roteiro 5:
1 – P: leu um livro aos alunos enfatizando o aspecto visual das formas geométricas planas.
2 – P: “– Se tirar um fica um, dois, três!”; a professora se referiu ao fato de retirar o um
(algarismo da centena) dos números 101, 102, 103. O problema residiu, pois,
matematicamente, não retirou-se um, mas sim cem. [Confusão conceitual → ‘Grandes’
desequilíbrios].
3 – P: utilizou os dedos para subtrair 4 de 9. [Concreto → Abstrato].
4 – P: ao explicar uma situação problema, utilizou os próprios alunos. [Concreto → Abstrato].
5 – P: comentou ao pesquisador que as crianças não tinham nenhuma idéia sobre o que seria
retirar, tirar, subtrair. [A não construção de certas estruturas aditivas].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
7 0
A
PÊNDICES -
258
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 6:
[... Continuando o registro dos problemas]:
4 – Gustavo tem 6 reais. Quantos reais faltam para ele comprar o ursinho abaixo?
R$ 9,00
D
U
9
_ 6
R: Faltam 3 reais.
[Após alguns minutos, a professora escreveu a resposta na lousa, operacionalizando a
subtração].
5º - [Dando continuidade, a docente conversou com os alunos sobre a definição de
números pares e ímpares. Utilizou a seguinte técnica: com lápis de cor nas mãos, dizia que,
se com o número de lápis desse para agrupar em conjuntos de dois em dois, sem sobrar
nenhum, então, tal número seria par. Caso sobrasse algum lápis ‘sozinho’ implicaria que o
número seria ímpar].
=
e
, então é par.
=
e
e sobrou
, então é ímpar.
6º - [Após a explicação acima, a professora anotou na lousa o seguinte exercício a ser
resolvido individualmente pelos alunos]:
5 – Números pares:
As crianças querem ir ao banheiro. Vamos ajudá-las colorindo somente os números pares.
Saída
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
3 0
A
PÊNDICES -
259
Banheiro
33
42
41
40
39
38
37
36
35
34
[Minutos depois, a professora dirigiu-se à lousa e coloriu somente os números pares. Alguns
alunos, antes da professora pintar os números, dizia-os, mostrando conhecê-los. Ou seja,
sabiam distinguir na trilha quais eram os pares].
7º - [Utilizando carimbos variados a professora passou de carteira em carteira
carimbando nos cadernos dos alunos conjuntos contendo diferentes símbolos e quantidades.
Para que o colega ao lado não copiasse do outro (já que cada estudante tinha que escrever
em algarismos indo-arábicos o total de elementos de cada conjunto), a docente carimbou
figuras diversas formando conjuntos com números de elementos diferentes]:
Caderno do Aluno I
__________
__________
Caderno do Aluno II
__________
__________
8º - [A docente, finalizando a aula, solicitou que cada aluno resolvesse os exercícios
abaixo. O primeiro deles referiu-se ao jogo da trilha (5-). Decorridos alguns minutos, a
professora foi à lousa, corrigindo-os].
Agora responda:
a) Quais os números pares que estão entre os números 16 e 36:
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
6 – Faça um círculo ao redor dos números:
Pares: 25 – 32 – 17 – 28 – 44 – 34 – 81 – 43 – 92
Ímpares: 32 – 88 – 25 – 17 – 26 – 31 – 64
A
PÊNDICES -
260
Observações mais relevantes do Roteiro 6:
1 – P: “– O número dois é par porque formou um parzinho!”. [Noção de conjunto,
agrupamento, inclusão de classes].
2 – P: ao explicar a diferença entre números pares e ímpares manipulou lápis de cor.
[Concreto → Abstrato].
3 – Embora as carteiras possibilitem o trabalho em duplas, até a presente observação os
alunos realizaram as atividades individualmente. [Ver a questão da dinâmica de grupo].
4 – P: “– Ao redor quer dizer em volta!”. [Noção espacial, inclusão de classes].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (9 A 12) GRAVADAS:
[...]
P: Agora nós vamos subtrair! Nós fizemos do cem ao duzentos, oh, aqui! (A professora
apontou na lousa).
A: É!
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
P: Oh, se eu tirar o um daqui (apontou o algarismo um, do número 101) vai ficar um dois três
quatro cinco seis sete oito (a docente referiu-se aos números 102, 103, 104, 105, 106, 107,
108).
A: É mesmo, tira o um!
[...]
P: Subtrair é do quê?
A: De menos.
(Uma parcela dos alunos respondeu).
P: De menos é uma continha pra eu somar ou pra eu tirar?
A: Tirar.
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
P: Isso! É pra tirar. Eu começo a tirar de que casinha?
A: Unidade.
P: Da unidade. Se de cinco eu tirar dois, quanto sobrou?
A: Três.
(Alguns alunos responderam o exposto acima).
P: Agora vocês vão fazer as continhas de menos que a professora passou na lousa.
[...]
(A professora dirigiu-se à lousa e explicou como efetuar a subtração: 19-5).
A
PÊNDICES -
261
P: Aluno A, olha aqui! Eu tenho que tirar cinco de dezenove! Como vai fazer essa conta? Eu
tenho que começar pela unidade, né!? Pela unidade! Então, Aluno A, o que eu vou tirar? Eu
vou tirar nove de cinco ou cinco de nove?
A: Cinco de nove! (Aluno A disse).
P: Cinco de nove, nove é mais, não é? (Nesse momento a professora apontou com o dedo o
algarismo nove que forma o número dezenove).
A: É!
(A maioria dos alunos respondeu entusiasmadamente).
P: Eu tenho que tirar menos do que tem mais, eu tenho! Então eu ponho lá na minha
mãozinha, nove, nove. (A professora colocou na palma de sua mão, nove cubinhos – peças do
Material Dourado que valem uma unidade cada). Esse nove tem que tirar? Cinco. Eu não
tenho cinco dedos numa mão? (Docente perguntou olhando para as crianças).
A: Quatro! (Poucos alunos já disseram o resultado da subtração 9-5).
P: Eu posso tirar esses cinco (cubinhos)! Sobrou, então, quatro. Ficou quatro (cubinhos) na
minha mão. Aí o que vai acontecer? Aqui, eu ainda não acabei com a minha conta porque tem
o um, uma dezena! Eu não posso deixar essa dezena, eu não posso esquecer ela, posso?
(Nesse momento a professora apontou para o algarismo um do número dezenove):
D
U
1
9
_ 5
A: Nãããooo!
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Não! Então eu tenho uma dezena! Eu tenho que tirar alguma coisa?
A: Nãããooo!
(A maioria dos alunos disse).
P: Eu tenho um e eu não tiro nada?
A: Um.
P: Isso mesmo, uma dezena!
A: Catorze. (Um aluno falou a resposta à professora).
P: Catorze. Isso! Agora eu tenho dezenove e tenho que tirar nove, então eu faço a mesma
coisa!
[...]
P: Em um grupo de nove pessoas, duas usam óculos! (Professora leu à sala uma situação
problema registrada na lousa). Então eu tenho nove amiguinhos. Então eu venho aqui, oh, a
fileira! (Contou os alunos que estavam sentados na fileira próxima a janela). Então eu tenho
aqui: um dois três quatro cinco seis sete oito e nove. Aqui, oh, da Aluna B até a Aluna C.
Duas pessoas usam óculos; uma é o Aluno D e a outro é o Aluno E. (A docente exemplificou
a situação problema utilizando nove alunos de sua sala, sendo que dentre esses, disse que dois
usavam óculos). De nove, duas usam óculos! Quantas pessoas não usam óculos?
A: Cinco. (Falou um aluno).
P: Oh! Quem não vai usar?
4 1
A
PÊNDICES -
262
A: Sete. (Disseram dois alunos).
P: Isso! O que tem que fazer? Tem que contar, o quê? Quantos? A continha, oh! Eu tinha
nove pessoas, dessas nove duas usavam óculos! Quantas não usam? Tem que fazer o quê? (...)
Nove menos dois! Como eu monto essa continha? Aonde eu ponho o nove? (A professora
dirigiu-se à lousa e desenhou o seguinte esquema):
D
U
_
(Os alunos, a grande maioria, apontaram para a célula pertencente à segunda coluna x
segunda linha, dizendo):
A: Ali, oh, debaixo da unidade!
P: Isso mesmo! A professora escreveu o nove no lugar indicado. Mas, por quê? Porque o
número maior na continha de menos tem que ser escrito primeiro.
A: O dois embaixo!
P: Isso mesmo! (A docente registrou na lousa a operação 9-2). (...) Eu tenho nove, tenho que
tirar dois. Quantos ficou?
A: Sete.
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
P: Sete. Eu não tenho nenhuma dezena, então aqui fica zero zero! (A ilustração a seguir
mostra como a professora completou o esquema acima):
D
U
0
9
_ 0 2
[...]
P: Então vamos lá! O Gustavo tem seis reais, ele tem só seis reais. Quantos reais faltam para
ele comprar um ursinho abaixo? (A professora, após ler o enunciado da situação problema,
desenhou na lousa o exposto a seguir):
R$ 9,00
D
U
_
7 0
A
PÊNDICES -
263
P: Quanto custa esse ursinho? (Perguntou apontado para o desenho da lousa).
A: Seis. (Um aluno respondeu).
P: Não, olhe direito, quanto que ele vale?
A: Nove reais.
(A metade da sala disse).
P: Nove reais. Ele tem seis, quantas que faltam? Como eu monto a continha?
A: Põe o seis! (Aluno apontou na lousa o esquema feito pela professora representando as
casas decimais: unidade e dezena).
P: Isso, eu ponho o seis, mas antes coloco o nove, porque tem que começar pelo maior! (...)
Então olha só! O ursinho custava nove reais. Pra saber quanto falta, se eu tenho seis reais, que
continha tenho que fazer?
A: Mais.
(Respondeu uma parcela dos alunos).
P: ‘Me-nos’! Menos pessoal! Aí a gente vai fazer assim, oh: o valor do ursinho: nove reais,
menos o quê? Quanto Gustavo tinha...
A: Seis.
(A maioria dos alunos falou).
P: Eu tenho nove reais, tiro seis, fica três.
A: ‘Trêêêsss’!
(Nesse instante, a professora completou o esquema da lousa, observe):
D
U
0
9
_ 0 6
P: Tem dezena do lado? Não. Fica zero zero! Quanto falta pra ele comprar o ursinho?
(Apontou na ‘casinha’ contendo o número três).
A: Três. (Falaram três alunos).
P: Três reais. Se ele tivesse mais três reais comprava!
A: Sim. (Disse um aluno).
P: Comprava, era só fazer seis mais três que dá nove reais! (A professora ergueu 6 dedos de
suas mãos, em seguida mostrou mais três, contando-os): Um dois três quatro cinco seis sete
oito e nove!
[...]
P: Oh, agora a gente vai fazer o quê? Números pares. Na aula passada a professora explicou
sobre números pares! Números pares, quais são mesmos?
A: Não pode ficar um! (Disseram dois alunos).
P: Não pode ficar um, tem sempre que formar par! Ai, oh, lembra que a professora falou: “ –
Número um é um número par?”.
A: Éééé!
(A metade dos alunos falou).
P: É?
3 0
A
PÊNDICES -
264
A: Não!
P: Não. Por quê? Porque ele está (...) sozinho! E o numero dois, é um número par?
A: Sim, é! (Disseram alguns alunos).
P: Por quê?
A: Porque formou um par. (Respondeu uma aluna).
P: Isso mesmo, formou um parzinho! (Para explicar mais ‘concretamente’, a professora
manipulou lápis de cor, formando duplas - parzinhos). E o número três é par?
A: Não!
(Falou a maioria da classe).
P: Por quê? Porque sobrou um! (Mostrou três lápis de cor, sendo que dois deles estavam
agrupados e um sozinho). E o número quatro é um número par?
A: Éééé! (Disse um aluno).
P: É, dá pra formar dois pares. O número cinco é um número par?
A: Não! É um número ímpar! (Falou um aluno).
P: Isso! É um número ímpar! (...) E o número seis, é um número par?
A: Éééé.
(Disse a grande maioria dos alunos).
P: É, isso mesmo. Deu pra formar três parzinhos! (Mostrou seis lápis de cor agrupados em
pares). (...) E o número sete?
A: Não! Porque vai sobrar um. (Responderam três alunos).
P: Dá pra eu formar um dois três pares (mostrou os lápis agrupados) e sobrou um!
[...]
P: Oh, vamos lá então. As crianças querem ir ao banheiro. Vamos ajudá-las colorindo
somente os números pares. (A professora leu o enunciado exposto na lousa). Qual número é
par? (Mostrou os números escritos na trilha).
A: Dois. (Falaram dois alunos).
P: Isso mesmo, mas só o dois que eu tenho que pintar?
A: Nãããooo.
(A professora apontou para a trilha desenhada na lousa):
Saída
Banheiro
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
42
41
40
39
38
37
36
35
34
P: Qual número aqui da trilha que eu tenho que pintar?
A: Dois, quatro, seis, sete. (Responderam os mesmos dois alunos do diálogo acima. Nesse
instante a professora interrompeu).
P: Sete? (Fez um sinal de reprovação, através de expressão facial).
A: Não!
(A maioria da sala respondeu à professora).
P: Oito dez doze catorze dezesseis.
A: Dezoito vinte vinte e dois vinte e quatro vinte e seis vinte e oito! (Alguns alunos falaram,
dando continuidade na seqüência dos números pares).
A
PÊNDICES -
265
P: Isso! Trinta trinta e dois trinta e quatro trinta e seis trinta e oito quarenta quarenta e dois!
A: Trinta trinta e dois trinta e quatro trinta e seis trinta e oito quarenta quarenta e dois!
(Alunos e professora falaram ao mesmo tempo).
P: Isso, pessoal Agora, pinte bem coloridinho cada pedacinho da trilha!
A: Ta!
(A maioria dos alunos disse à professora).
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 05/05/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
Foi subtração, né, subtração e armar uma conta, saber subtrair, saber tirar, saber que é uma
situação de menos, os números pares e impares, para reconhecer resgatando os conceitos do ano
passado, ano anterior (da 1ª série) e as situações problemas porque eles não interpretam, eles não
conseguem entender, eles não conseguem armar um problema identificando que o maior número
numa subtração fica em cima e que o menor fica embaixo. Eles não tem a noção de tirar, eles não tem
a noção de resolver um problema, procurando avançar na questão da resolução de situações
problemas.
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Ah, os próprios que foram utilizados, né (docente referiu-se aos conteúdos utilizados no decorrer
da aula anterior por ela ministrada) subtração, alguns (alunos durante a aula) disseram: “- Ah,
professora assim eu não sabia!”, né (...) então às vezes esqueceu, às vezes não sabia, não entendeu na
aula anterior (...) é habilidade de raciocínio, de raciocínio lógico de compreensão, leitura, de escrita
de noção.
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
De alguns sim, de outros não (referiu-se à construção contínua dos alunos), eu percebi que alguns
não tinham a noção de conceito anterior, ou então uma noção muito pouca que num dava pra
trabalhar (...) mas outros (alunos) já com certeza!
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Olha (...) mais em materiais, acredito que se a gente tivesse um jogo, um material diferenciado a
atenção seria maior, o envolvimento, o interesse, a compreensão. Eu vejo que a metodologia foi boa,
mas falta muito recurso material pra trabalhar com as crianças.
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
A
PÊNDICES -
266
R:
Sim, em todos os momentos posteriores!
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Eu creio que eu alcancei todos os objetivos inicialmente propostos por mim. O que falta é
material, material, material (professora falou isso euforicamente)!
A
PÊNDICES -
267
H. II. 4 – Aulas 13 a 16. Data: 07/05/2008
ROTEIRO 7:
Categorias: 10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 13
A U L A: 14
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X 1
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X 2
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X X X 3
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X
1
X
1
X
1
X
4
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X 4
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X X X X 4
5. Outros: 1, 2.
1
X
1
X 2
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 7)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
A
PÊNDICES -
268
ROTEIRO 8:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 15 A U L A: 16
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X 1
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X 3
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X X X X 4
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1, 2
1
X
2
X
2
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X
1
X 2
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X X 2
5. Outros: 1, 2.
2
X
2
X
2
X
2
X
1
X
1
X
6
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 8)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
2 – Corrige os cadernos dos alunos individualmente.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
2 – Folha Atividade I (Cruzadinha Numérica).
A
PÊNDICES -
269
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 7:
1º - [A professora iniciou a aula escrevendo na lousa a Rotina do dia]:
Rotina do dia:
Matemática: adição; subtração; situações problemas; vizinho; ordem crescente e decrescente;
números pares e ímpares.
2º - [P-II registrou na lousa os seguintes exercícios]:
1 – Vamos somar?
D
U
2
1
+
1
3
[Utilizando a mesma representação espacial solicitou a solução das
seguintes adições]:
32 + 18 40 + 30 27 + 31
55 + 15 17 + 13 65 + 25
75 + 15
[A professora disponibilizou alguns minutos para que os alunos, individualmente,
resolvessem os exercícios de adição. Esporadicamente dizia: “– Não pode começar pela
dezena e sim sempre pela unidade!”. Ao corrigi-los utilizou as peças do Material Dourado,
mostrando aos alunos os agrupamentos realizados. Por exemplo, ao somar 40 + 30, juntou 4
barras (sendo que cada equivale a uma dezena) com mais 3. Observe a seguir]:
+ =
3º - [Em seguida, anotou na lousa outra atividade]:
2 – Vamos subtrair?
D
U
4
8
_
1
2
[Utilizando a mesma representação espacial, solicitou a solução das
seguintes subtrações]:
65 – 15 34 – 22 26 – 12
81 – 10 39 – 13 33 – 13
29 – 19
[As estratégias da docente foram análogas às utilizadas para as adições].
6 3
4 3
A
PÊNDICES -
270
4º - [P-II propôs aos alunos as seguintes situações problemas]:
3 – Gisela está lendo um livro que tem 15 páginas. Ela já leu 7 páginas. Quantas páginas
faltam para ela terminar de ler o livro?
D
U
0
1
¹5
_ 7
R: Faltam 8 páginas.
4 – Um vendedor de bolos levou 13 bolos para vender.
a) Quantos bolos ele ainda tem para vender conforme a figura acima?
R: Ele ainda tem 4 bolos.
b) Quantos bolos ele já vendeu?
D
U
0
1
¹3
_ 4
R: Ele já vendeu 9 bolos.
[Passado algum tempo, a professora começou a corrigir na lousa (como mostrado acima) os
exercícios. Para ambos, manipulou as peças do Material Dourado, salientando a questão da
troca de 1 dezena por 10 unidades (o ‘famoso’ empresta um). Em alguns momentos disse aos
alunos: “– É pra vocês fazerem pensando!”].
Observações mais relevantes do Roteiro 7:
1 – Uma parcela dos alunos pareceu não ter construído-compreendido a noção da adição, pelo
menos no plano lingüístico, já que não sabia associar a palavra somar como sendo uma
operação aditiva (‘de mais’ +). [Ver a questão das estruturas aditivas e coordenações: ações
e plano lingüístico].
2 – Quase metade dos alunos esperou a professora corrigir os exercícios na lousa, assim era
9 0
8 0
A
PÊNDICES -
271
poucos os que tentavam solucioná-los sozinhos. [Falta de ‘autonomia’ ou o não
provocamento de desequilíbrios].
3 – P: ao corrigir os exercícios de adição na lousa, manipulou as peças do Material Dourado,
estabelecendo relações matemáticas. [Concreto → Abstrato].
4 – Segundo a professora, as crianças durante a aula não manipulam coisas (materiais
concretos) devido falta destes. A escola até possui, mas em número insuficiente. [Ver a
questão das condições de trabalho].
5 – P: “– Aonde foi parar?” – referente às dezenas que eram trocadas por dez unidades. [Ver a
questão do animismo, artificialismo].
6 – P: ao corrigir os exercícios de subtração na lousa, utilizou as peças do Material Dourado,
estabelecendo relações matemáticas. [Concreto → Abstrato].
7 – P: “– Vocês é que vão me falar como monta!”; a docente pediu que os alunos, ao lerem as
situações problemas, tentassem descobrir qual operação aritmética usar. [Ver a questão das
situações problemas e momentos de desequilíbrios].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
A
PÊNDICES -
272
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 8:
[Utilizando aproximadamente vinte minutos destas duas aulas, a professora terminou a
correção, na lousa, das situações problemas três e quatro].
5º - [Dando continuidade às atividades do dia, a professora distribuiu para cada
aluno a Folha Atividade I, abaixo]:
A
PÊNDICES -
273
[Inicialmente, a docente definiu o que é uma coluna, fazendo associação com um traço ‘em
pé’, e linha (associando a um traço ‘deitado, deitadinho’). Praticamente, a professora fez a
cruzadinha, chamando a atenção dos alunos para que eles fossem completando nos espaços
indicados. Na lousa, a professora registrou as respostas sendo que, a cada, os alunos
soletravam as letras que formavam as palavras-respostas]:
1 – QUARENTA – 40
2 – SETENTA – 70
3 – OITO – 8
4 – QUATORZE – 14
A –
N
O
V
E
N
T
A
B –
S
E
I
S
C –
V
I
N
T
E
D –
O
I
T
E
N
T
A
6º - [Finalizando, a docente registrou na lousa os exercícios abaixo]:
6 – Vizinhos:
18 7 21 15
3 34 99
7 – Coloque os números abaixo em:
Ordem Crescente: 1 – 2 – 5 – 4 – 9 – 8 – 7 – 6 – 10 – 1
Ordem Decrescente: 1 – 2 – 5 – 9 – 8 – 4 – 3 – 6 – 10 – 7 – 10
8 – Circule:
Números Pares: 7 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 1 – 8
Números Ímpares: 1 – 3 – 4 – 7 – 5 – 6 – 9 – 2 – 0
[Após um intervalo de tempo, a professora corrigiu os exercícios na lousa, questionando
(muito pouco) alguns alunos. Ao mesmo tempo em que completou – a atividade dos vizinhos –
chamou a atenção dos alunos com relação aos seguintes aspectos: vem antes (antecessor) e
vem depois (sucessor)].
A
PÊNDICES -
274
Observações mais relevantes do Roteiro 8:
1 – P: “– É uma continha parecida com a anterior!”. [Ver a questão da generalização].
2 – P: enfatizou a questão de linhas e colunas (tabelas) quando desenvolveu a atividade:
Cruzada-Esperta. [Ver a questão do tratamento da informação e da estrutura multiplicativa].
3 – P: quando disponibilizou tempo aos alunos para colorirem a cruzadinha, os mesmos
conversaram entre si, emprestaram lápis de cor, etc. [Ver a questão da dinâmica de grupo].
4 – P: “– Faça um retângulo e dentro do retângulo faça três quadradinhos!”, a professora disse
aos alunos no momento dos mesmos desenharem as tabelas do exercício 6 – (Vizinhos). [Ver
a questão geométrica e da inclusão de classes].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (13 A 16) GRAVADAS:
[...]
P: Vamos somar! Somar é de mais ou de menos?
A: De menos! (Respondeu um a parcela dos alunos).
A: De mais! (Disse a metade da sala).
P: Mais! Vai adicionar! (Professora se referiu a um exercício registrado na lousa solicitando
aos alunos a operacionalização de várias adições).
[...]
P: Então vamos lá, né! Aquela continha (apontou a operação 21+13 registrada na lousa) é isso
aqui: vinte (pegou duas peças – barras – do Material Dourado que equivalem a duas dezenas)
e um (mostrou um cubo do Material Dourado que vale uma unidade) mais dez (pegou uma
barrinha do Material Dourado), uma duas três (contou os três cubos – equivalentes a uma
unidade cada – do Material Dourado) treze! (No quadro abaixo, os lados direito e esquerdo
representam as mãos da professora respectivamente):
P: Eu começo a somar por onde?
A: Unidade. (Falou metade dos alunos).
P: Pela unidade! Então eu vou somar as unidades. As minhas unidades são os meus cubinhos!
As minhas dezenas são as minhas barras. (Enquanto falava, mostrava as peças do Material
Dourado que estava segurando nas duas mãos). Então eu vou ter que somar o quê? Três
unidades mais uma unidade, que dá?
A
PÊNDICES -
275
A: Quatro. (Disse um aluno).
P: Um dois três quatro. (Contou as peças – cubos – do Material Dourado, juntando-os).
Quatro unidades.
A: Quatro.
(Alguns alunos disseram o exposto acima).
P: Agora, eu vou somar as de...
A: Dezenas.
(Mais da metade da sala respondeu).
P: Dezenas. Então eu vou somar duas dezenas mais uma.
A: Três
(A maioria dos alunos falou euforicamente).
P: Esse número três significa o quê?
A: Trinta. (Disse um aluno).
P: Isso. Cada barrinha não vale dez cubinhos?
A: Dez de cada. (Respondeu o mesmo aluno da fala anterior).
P: Isso, dez de cada. Então vale trinta. Trinta e quatro. (Nesse momento, a professora, na
lousa, completou o esquema abaixo):
D U
2
1
+ 1 3
P: O meu resultado é esse, né! (Apontou na lousa o número trinta e quatro). Trinta e quatro.
(A professora mostrou aos alunos as peças do Material Dourado juntas):
[...]
(Ao corrigir na lousa a operação 55+15 a professora chamou a atenção dos alunos com
relação a uma dezena decorrente da adição – 5+5):
P: Agora, eu vou fazer o que com essa uma dezena? (Mostrou a barra do Material Dourado ao
trocar os dez cubinhos). Eu troquei e vou jogar fora?
A: Nãããooo! (Disseram alguns alunos).
P: Aonde eu coloco?
A: Ali, perto da dezena! (Alguns alunos responderam).
P: Isso. (A professora dirigiu-se a lousa e escreveu o seguinte):
4 3
A
PÊNDICES -
276
¹D U
5
5
+ 1 5
P: Quanto que ficou?
A: Setenta!
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
P: Aquele número um ali (apontou na lousa o algarismo um escrito sobre a sigla D), eu somei
com o cinco e com o outro um e deu sete! Setenta.
A: Tá!
[...]
P: Oh, só vou falar pra que vocês lembrem! Subtrair é o quê mesmo?
A: Tirar. (Falaram quatro alunos).
P: Eu vou começar pela mesma casa, pela casa da unidade. Sempre! Sempre pela casa da
unidade! O que é que eu vou fazer Aluno A! Por onde eu vou começar? O que eu vou tirar do
quê? Oito menos (...) dois. (Nesse momento referiu-se ao exercício-esquema registrado na
lousa):
D
U
4
8
_ 1 2
P: A conta inteira é o que mesmo? Quarenta e oito menos doze! Eu vou começar pela casa da
unidade. Eu vou colocar quantos nos meus dedos?
A: Oito. (Disseram alguns alunos).
P: Oito. (Mostrou oito dedos à sala). Eu vou tirar quanto?
A: Dois.
(A maioria da sala respondeu).
P: Quantos sobrou? Seis.
A: Seis.
P: Daí eu vou lá (apontou a casa desenhada na coluna da unidade) e vou colocar quanto?
A: Seis. (Nesse momento a professora dirigiu-se à lousa e escreveu seis).
P: Oito menos dois, seis. E daí eu vou olhar a casa da dezena. O que eu vou fazer? Vou tirar
quatro de um! Quanto ficou?
A: Três.
P: Quarenta e oito menos doze é... (Nesse instante, registrou o algarismo três na casa
desenhada na coluna das dezenas). Trinta e seis.
A: Trinta e seis.
0 7
A
PÊNDICES -
277
P: Agora façam o restante, pode continuar!
[...]
P: Então vamos lá! (A docente chamou a atenção dos alunos para a correção das subtrações –
exercício 2 – na lousa). Sessenta e cinco (pegou as peças do Material Dourado equivalente a
este número) menos quinze. (Colocou, separando em dois conjuntos, os números – as parcelas
– da subtração):
P: Eu vou começar pela?
A: Unidade, unidade. (Dois alunos responderam).
P: Pela unidade. Eu tenho cinco unidades (pegou cinco cubos), eu vou tirar os cinco (colocou
os cinco cubos na caixa do Material Dourado). Eu fiquei com alguma coisa? (Nesse momento
mostrou as mãos aos alunos donde não havia nenhum ‘cubinho’).
A: Nãããooo!
(A maioria dos alunos falou exaltadamente).
P: Não! Fiquei com zero. Zero o quê?
A: Unidades. (Responderam dois alunos).
P: Isso, unidades! Eu tenho seis, o quê? Dezenas (pegou mostrou as seis barras aos alunos).
Eu vou tirar quanto?
A: Duas. (Um aluno falou).
P: Quantos eu vou tirar mesmo? (Apontou ao número quinze representado sobre a sua mesa
através das peças do Material Dourado).
A: Uma.
(Respondeu a grande maioria dos alunos).
P: Uma.
A: E vai sobrar quatro. (Mal a professora disse: “– Uma.”, o aluno falou a resposta da
subtração: 5-4).
P: Quantos sobrou?
A: Quatro. (Falou o Aluno A).
P: Olha direito, Aluno A! Eu tinha seis (mostrou as seis barras a esse aluno). Tiro uma
(retirou uma barra da sua mão). Quanto ficou?
A: Uma duas três quatro e cinco. Cinco! (O aluno contou as peças do Material Dourado).
P: Cinco dezenas. Isso, ficou cinco dezenas!
[...]
P: Gisela está lendo um livro que tem 15 páginas. Ela já leu 7 páginas. Quantas páginas
faltam para ela terminar de ler o livro? (A docente leu aos alunos o enunciado da situação
problema três).
A: Oito! (Responderam alguns alunos).
P: Como que vocês descobriram? (A professora referiu-se aos alunos que acabaram de
responder).
A
PÊNDICES -
278
A: Assim, oh. Completa nos dedos até chegar no quinze: oito nove dez onze doze treze
catorze e quinze. Deu oito dedos. (Explicou a professora um dos alunos que respondeu
corretamente o número de páginas que faltam pra Gisela ler).
P: E se for fazer, armar uma continha? Como vai ficar? Tá faltando! Se tá faltando tem que
descobrir quanto? Não é?
A: É!
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Então como que eu monto a minha continha?
A: Sinal de menos! (Disse um aluno).
P: Sinal de menos, tá, sinal de menos! Já tem o sinal de menos, e agora? (A professora foi à
lousa e escreveu o exposto a seguir):
_
A: Agora tem o D e tem o U. (Aluna se referiu às siglas D: dezena e U: unidade a serem
colocadas no esquema acima).
P: Aonde eu ponho o D e o U?
A: Em cima.
A: No meio.
A: Do lado.
(Responderam três alunos diferentes).
P: Aonde que fica o D?
A: Em cima, o D e o U ficam em cima. (Disse a mesma aluna que falou anteriormente).
P: Em cima! E que lado é cada um?
A: O D fica ali e o U ali. (Alguns alunos, com o dedos, apontaram os locais em que a
professora deveria escrever as siglas D e U).
P: Isso, o D fica no lado da janela e o U da porta. (A professora escreveu no esquema acima,
na primeira linha as siglas D e U, uma em cada coluna). Agora eu vou por o quê?
A: O quinze! (Falou alguns alunos).
P: Aonde eu vou por o quinze?
A: Em cima. (Um aluno apontou para a segunda linha do esquema acima).
P: Por que em cima?
A: Porque ele é mais. (Respondeu o aluno da fala anterior).
P: Por que é mais?
A: Porque é maior! (O aluno da fala anterior, corrigiu-se).
P: E o sete?
A: Embaixo!
(A maioria dos alunos respondeu).
P: E agora, o que eu faço? (A docente, na lousa, completou o esquema):
D
U
1
5
A
PÊNDICES -
279
_ 7
(Em seguida, a professora pegou uma barra e cinco cubos do Material Dourado para
representar o número quinze e mostrou aos alunos).
P: Eu tenho quinze! Eu tenho que tirar sete daqui (referiu-se as peças do Material Dourado).
A: Tem! (Falaram dois alunos).
P: Eu tenho que tirar sete unidades de cinco unidades. Dá pra fazer?
A: Não. (Metade da sala respondeu).
P: Então o que fazer? Eu posso trocar dez unidades por uma dezena? Pode né! Na subtração
eu posso trocar também! Eu posso trocar essa uma dezena (mostrou a barra pertencente à
representação do número quinze) por dez unidades! Eu vou trocar essa dezena aqui por dez
dessa aqui! (A professora trocou a barra por dez cubos, sendo que cada cubo equivale uma
unidade).
P: Eu só tinha cinco (mostrou os cinco cubos), daí eu troquei a barra por dez unidades. Então
agora (...) como eu troquei uma dezena por dez unidades, então agora eu posso colocar tudo
junto, oh! (Juntou todos os cubos, totalizando quinze). O que é que aconteceu aqui (na lousa),
eu vou trocar uma dezena, daí ficou sem nada e vou colocar aqui, ficando quinze. (Observe):
D
U
0
1
¹5
P: Agora, eu vou tirar sete unidades de quinze. Então eu vou trocar, aliás, eu vou tirar!
Quantos que eu vou tirar daqui, das unidades?
A: Sete.
(A maioria da sala respondeu).
P: Um dois três quatro cinco seis sete.
A: Um dois três quatro cinco seis sete.
(Alunos e professora contaram juntos, enquanto a mesma retirava sete cubos do conjunto dos
quinze).
P: Vamos ver agora quanto sobrou? Um dois três quatro cinco seis sete e oito.
A: Um dois três quatro cinco seis sete e oito.
(Docente e alunos contaram as peças – cubos – resultantes da operação 15-7).
P: Sobraram oito! Aqui tinha uma (apontou o algarismo um – registrado na lousa – que
formou o número quinze), eu troquei, não troquei?
A: Trocou.
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Eu fiquei com quantos aqui então? (Referiu-se à coluna das dezenas expressa no esquema
anterior).
A: Zero.
P: Zero! Eu fiquei com quantos? Oito!
[...]
P: Oito: circule! Quais são os número pares, mesmo? (A docente explicou como resolver a
atividade 8).
A
PÊNDICES -
280
A: O dois, o quatro, o seis, o oito e o dez. (Disse, aproximadamente, um terço dos alunos).
P: Isso! Depois do dez, os números que terminarem em zero, dois, quatro, seis e oito! Aqui
(apontou o exercício escrito na lousa) só vai circular os números pares! E os ímpares, quais
são?
A: Um, três, cinco, sete e nove! (Falaram três alunos).
P: E acima de dez? Os números que terminarem com um, três, cinco, sete e nove! Por
exemplo, vinte e três, sessenta e nove, quarenta e cinco, entenderam? Então vamos lá,
circulando!
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 07/05/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
Desenvolver a adição, subtração, principalmente adição e subtração porque eu vejo que eles (os
alunos) não entendem, não conseguem fazer adição e subtração. Então é pra começar a relembrar, a
tentar ajudar a entender pra partir pra coisas mais difíceis posteriormente, porque como eu vou partir
para a multiplicação e divisão se eles não entendem uma conta simples de adição de dois números,
dois algarismos (...) então é pra isso
.
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Ah, os pares, números pares e ímpares. Eu percebi que alguns (alunos) já relembravam das aulas
anteriores, já falavam. A questão da situação problema foi um pouquinho mais difícil, mais eu acho
que alguns (professora ficou em dúvida) pouquíssimos conseguiram fazer comigo na lousa, né,
naquele momento que eu pedi: “– Agora, eu não vou mais colocar nada, agora eu vou pedir pra vocês
me ensinarem a fazer o problema, a montar!” (Ou seja, a professora disse aos alunos que para
solucionarem as situações problemas cada aluno deveria, individualmente, tentar descobrir qual
operação aritmética utilizar). Isso porque eles não têm a idéia de interpretar um problema pra
subtrair ou pra adicionar. E a adição e a subtração mesmo que são importantes em todos os
momentos da vida!
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Ah, (professora, facialmente, mostrou-se em dúvida, conflito) não sei mais, antes eu achava que
sim, mas pelo que eu vi que alguns não tinham esse conceito anterior (...) alguma coisa sim (...) ah,
hum, a cada dia eu sei menos em relação à Matemática, cada dia eu acho que eu preciso de um curso
de capacitação, de alfabetização e principalmente nas séries iniciais de Matemática, né, porque eles
(os alunos) precisam de muito concreto e às vezes eu me pego fazendo coisas muito abstratas, então aí
eu falo: “ – Opa espera aí!”, aí eu me pego fazendo coisas que eles não estão conseguindo entender
porque eu tô muito abstrata e eles (os alunos) precisam de coisa mais concreta, de ver, de manipular,
de pegar; então é assim.
A
PÊNDICES -
281
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Ah então, material (...) assim, a metodologia eu não encontrei tanta dificuldade, eu encontrei
dificuldade porque série inicial e é, a gente tenta resgatar o que eles já sabem, mas é difícil quando
eles (os alunos) não tem esse conceito anterior e (...) em relação a material! Eu sempre trago material
fora daqui (professora referiu-se ao fato de trazer materiais didáticos de outro lugar, já que na escola
não encontrou materiais que servissem às atividades propostas aos seus alunos). Esses livros que a
gente tem aqui na escola infelizmente eles são fora da realidade, Matemática então é fora da
realidade deles; eles (os alunos) não conseguem ler, não conseguem interpretar é muito difícil, não
conseguem assimilar. Na parte de material também, cada dia eu tô vendo que está faltando mais
coisas, eu estou vendo que não é só isso, que falta muito mais pra Matemática (...) que a Matemática é
uma coisa tão importante, principalmente agora na primeira e na segunda série porque da terceira e
quarta, daqui em diante, eles (os alunos) vão ver Matemática em tudo e muito mais (...) é (...) com
grau de dificuldade muito mais elevado, maior. Então se eles não têm o básico aqui, eles não vão
conseguir o ano que vem; porque vão na terceira série, numa quarta sem saber nada, numa quinta,
num terceiro colegial!
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Sim, em todos os momentos né, depois na divisão, na multiplicação, que eu pretendo começar, se
não agora porque eu penso que eles não estão prontos, que eles não tem conceito bem adquirido, sabe
(...) eu sinto que eles não (...) se eu der uma tabuada hoje tem aluno que vai aprender porque tem
mais facilidade, mas tem aluno que vai ficar lá (ou seja, sem conseguir aprender/construir a noção da
tabuada-multiplicação) e se não decorar não vai conseguir entender de jeito nenhum o que é e o
porquê da tabuada, o que é uma divisão, só vão aprender por aprender e não significativamente.
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Ah, eu acho que eu atingi os objetivos, (...) mas sempre naquela coisa, naquela perspectiva de que
os objetivos foram alcançados, mas que os alunos não (...) não foi tudo o que eu planejei, eu gostaria
que eles (os alunos) tivessem aprendido de verdade! Eu sinto que alguns não entenderam, porque
ainda estão naquela fase de começar a entender o porquê, o porquê do numeral. Porque a noção do
numero, eles não sabem nem a seqüência numérica do um ao dez (docente disse isso inconformada),
não sabem (os alunos) nem número, como escrever (...) então é complicado pra mim com esse alunos,
porque com os outros eu sei que eles caminham (a professora referiu-se aos alunos que apresentam
desempenho satisfatório no momento de solucionar as atividade matemáticas propostas na aula).
Com esses (com os alunos com dificuldade na aprendizagem) eu tenho que parar e voltar e mostrar o
número, cinco é cinco, que cinco não é seis, e daí eles não sabem colocar o número não sabem
contar, daí é complicado (...) eu acho que nesses objetivos pra esses alunos eu não alcancei, mas os
outros eu alcancei. Olha, eu gostaria de tomar uma atitude diferente, eu só não sei qual, porque às
vezes eu me perco na Matemática (...) na hora de ensinar Matemática eu acho que tá sendo bom, tá
sendo útil porque eu acho que eles (os alunos) estão conseguindo; mas daí você vai chegar na
carteira pra acompanhar você percebe que eles não estão conseguindo que (...) eu falando aqui é
(professora remeteu-se ao momento em que está na lousa explicando algo e os alunos não conseguem
entendê-la) parece que eu não falei nada, que a parede ouviu mais do que eles (os próprios alunos),
sabe (disse isso referindo-se ao pesquisador) (...) então assim, eu acho que me falta muito a formação
pro ensino da Matemática, tanto no magistério como na pedagogia. Eu acho que (...) os meus saberes
não são suficiente, eu acho que falta muito mais!
A
PÊNDICES -
282
H. III – Transcrição da Entrevista/Final: Data: 02/06/2008
1) Durante as entrevistas realizadas, você sugeriu a necessidade de Formação Continuada em
relação ao ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental. O que você acha
imprescindível abordar um curso sobre esta temática?
R:
A metodologia, e os conteúdos (...) se bem que os conteúdos, é da série mesmo, tudo bem! Mas
mais a metodologia, né, metodologia e procedimentos didáticos, algumas coisas que eu sinto muito
falta por não ter aprendido!
2) Ao representar as operações aritméticas na lousa, utilizou uma representação em forma de
casas para indicar as classes decimais: unidade e dezena. Por que decidiu utilizar esta
representação?
R:
Sinceridade, porque os livros trazem isso, eu aprendi assim (...); é bem assim mesmo, eu aprendi
assim e eu sigo porque eles (os estudantes) também se confundem quando eu não faço essa divisão
(ou seja, “casinha” da unidade, “casinha” da dezena). Então eles já confundem com a divisão, sem
eu acho que seria um pouco mais difícil! Mas é porque é isso mesmo, os livros trazem assim, eu
aprendi assim e a gente vai trabalhando da mesma forma!
3) No momento de expor alguns conceitos aos alunos, você utilizou Materiais Concretos, tais
como lápis de cor e peças do Material Dourado. Por que resolveu usar tais materiais?
R:
Acredito que o material concreto, ele é muito mais, é (...) apreendido numa aula. Quando você vê,
às vezes quando o aluno ouve ele não entende; mas quando ele vê ele entende! Então é melhor pra ele
compreender o que a professora está falando, ele compreende o que ele está aprendendo.
3.1) Você considera importante a manipulação de objetos concretos durante o
desenvolvimento de procedimentos didático e metodológicos? É suficiente a manipulação
pelo professor; ou pelo aluno ou por ambos? Justifique.
R:
Sim, demais. (A resposta anterior referiu-se ao primeiro questionamento da pergunta 3.1. Em
seguida, o pesquisador fez os questionamentos subseqüentes, obtendo como resposta): O que eu
trabalhei? Eu acho que não foi suficiente! Eu teria que ter mais materiais pra trabalhar, até porque
só eu (ou seja, referiu-se aos momentos da aula em que manipulou materiais concretos) eu acredito
que foi bom, mas não foi tanto! Eu gostaria de ter uma ampla (...) um amplo acervo de materiais pra
poder fazer juntos (isto é, para que os alunos possam manipular os materiais concretos), pra reunir
eles em grupo, pra eles poderem brincar entre eles; e esse brincar aprendendo! Porque quando você
entrega um jogo matemático a aprendizagem deles é muito maior; a concentração é maior. Os alunos
estão brincando – eles acham que estão brincando – e eles estão aprendendo; então a professora com
material e com um bom material seria de tamanha importância! Só que eu mesmo não tenho tempo de
fazer esses materiais e eu gostaria muito de fazer! E eu não acho assim, aonde eu vou achar pra
montar, certo! Porque livro de português você acha muita coisa, mas na área de Matemática os livros
não trazem esses materiais diferenciados, né; vários livros não trazem. Português é muito mais fácil
você achar esses materiais, daí você tira Xerox e montar do que de Matemática! É complicado de
achar.
A
PÊNDICES -
283
4) Em uma das entrevistas você citou ser necessário promover uma aula atraente visando
assim uma “melhor assimilação” dos alunos com relação aos conteúdos trabalhados. Por que
afirmou isso?
R:
Porque quando a aula é atraente os alunos se interessam mais; e eles se interessando mais ele
participa mais e ele aprende melhor. Ou aprende, ou (...) aprende significativamente! Eu penso assim,
quanto mais atraente a aula, mais gostosa, não fica massacrante, não fica maçante, não cansa, ele
tem vontade de participar, tem vontade de aprender e tem vontade de fazer!
5) Durante uma entrevista você argumentou que os alunos que já estavam encaminhados
conseguiram assimilar o conceito de ordem: crescente e decrescente. O que você quis dizer ao
utilizar o termo “ENCAMINHADOS”?
R:
Que já sabiam, que já vinham do ano passado – da primeira série – com aqueles conceitos
adquiridos. Eles já tinham, é (...) eles já estavam encaminhados, eles já tinham os conceitos
matemáticos pra seguir na segunda série.
6) O que você pensa a respeito das dinâmicas de grupo? Ao responder no
“Questionário/Entrevista Inicial” que utiliza esse procedimento RARAMENTE é devido a
qual motivo?
R:
Eu acho muito interessante, eu gosto muito de trabalhar em grupo. Só que ainda não dá pra
trabalhar em grupo aqui na sala. Parece que os alunos precisam de um amadurecimento melhor pra
poder trabalhar em grupos, que eu penso que eles não estão amadurecidos. Nem tanto pelo ensino da
Matemática, mas pela relação que eles tem um com o outro: de partilha, de troca; os alunos brigam
muito. Então eu acredito que trabalhar em grupo ainda não dá; mas eu vou tentar trabalhar em grupo
a partir do segundo semestre. Aí eu vou tentar arranjar vários materiais, né, fora da escola, porque
(...). Pra começar a trabalhar em grupo tem que ter também a noção de empresta isso, de partilha, de
respeito; esses conceitos que na verdade são os valores que já deveriam vir, mas infelizmente nossa
comunidade não... ! Então eu acredito (...) eu gosto muito de trabalho em grupo, eu acho que a troca
entre eles é muito enriquecedora, eles às vezes o que eu não consigo explicar o amiguinho consegue.
Então eu acho que é muito enriquecedora, só que atualmente eu ainda não consegui, eu vejo que
ainda não dá!
7) Os meios educacionais (isto é, os documentos oficiais ou periódicos veiculados pela mídia)
argumentam sobre a importância de/em ‘provocar’ o aluno, estimulando-o através de
situações INTERESSANTES. Você acha que adota esta atitude em suas aulas? Como?
R:
Olha, eu acho que, se eu adoto é muito pouco! Em situações assim da importância da Matemática
pra usar lá fora, pra usar no mercado; mas, ainda não. Penso que eu ainda não utilizo, sabe, essa
importância da Matemática. Primeiro eu tô tentando o básico, sabe, tentando que os alunos entendam
os conteúdos mínimos de Matemática que precisam – que eles estão adquirindo agora! Mas, acredito
que é o mínimo, mas em situações em (...) assim: em compra, em troca, em venda. Mais assim, coisas
pra usar no mercado porque o resto eu não uso. (Nesse momento o pesquisador interveio dizendo: “–
Essa questão do provocar não tem exatamente relação com essa questão do cotidiano, e sim a
proposição de situações desafiadoras. Então você acha que no momento não?”): No momento não!
No momento eu não provoco!
A
PÊNDICES -
284
8) O que você tem a dizer sobre os fatores: número excessivo de alunos e a escassez de
materiais manipulativos quando pensamos em um ensino alicerçado nas concepções
construtivistas piagetianas? Comente.
R:
Impossível! (A professora, ao falar, mostrou-se indignada com as reais condições de trabalho na
escola pública). É possível na medida do possível. A gente trabalha com trinta e cinco alunos, e no
meu caso, com uma inclusão (referiu-se a um aluno seu diagnosticado como portador de necessidades
especiais); e você tem que resgatar conteúdos de primeira série com alunos de segunda! O número
muito grande de alunos, eu acho que atrapalha. Como que você vai trabalhar um construtivismo se
você deveria ter no máximo por sala vinte alunos? Então não tem como você dar atenção pra todo
mundo! Eu acho que o construtivismo é muito bonito, e ele é muito bom! A teoria dele é muito boa,
mas na rede estadual não acontece; porque você com trinta e cinco alunos, você não consegue
trabalhar um por um. Se você senta pra conversar com um aluno, o outro infelizmente briga (...) né,
por n motivos que a gente enfrenta na sala de aula, é (...) eu acredito que seja pelo número excessivo
de alunos por sala. Porque você pra ser construtivismo deveria ter um número menor de alunos! E
materiais deveriam ter mais, até porque infelizmente a gente não tem material; deveriam ter livros
construtivistas, até porque esses livros que a gente ganhou eles não são construtivistas. Então,
deveria ter livros, materiais, todo tipo de material, de manipular, de questionar o próprio material;
essa questão de provocar! E o próprio material que a gente recebe não provoca nada no aluno!
9) No Questionário/Entrevista Inicial você falou: “(...) Quando você chega na sala de aula é
outra realidade, é outra vivência, às vezes o mínimo que seu aluno tem não é suficiente para
partir pro construtivismo.”. Quais motivos desencadearam tal argumentação?
R:
Bom, vamos lá! (A professora riu disfarçadamente). Ah, assim, quando eu me deparei com uma
sala de aula, quando você pega uma sala desde o começo até o final do ano é diferente. Quando você
vê sua realidade é difícil, porque assim, quais os motivos (...) os motivos (...) é outra realidade! Tem
alunos que vem com fome, barriga vazia infelizmente...; eu já ouvi falar isso e eu concordo! Barriga
vazia, ele não aprende porque está com a barriga vazia, ele não aprende porque está esperando
chegar o recreio; não é porque ele está com fome que ele não aprende; ele não aprende porque ele
está pensando em outra coisa! Né! Então, assim, não tem influência em passar fome, não é porque ele
passa fome que ele não é inteligente; ao invés de estar prestando atenção na aula ele vai ficar
pensando que hora vai ser o recreio pra comer! Então, assim, é outra realidade mesmo, tem alunos
que (...) sabe...! São questões, assim, sociais, são deficiências motoras, são deficiências psicológicas...
Eu penso (...) os alunos que não aprendem (...) eu penso não, os alunos que não aprendem são os
alunos que já vem com problemas psicológicos de casa que você pode inventar ‘mil e uma’
metodologias que vai ser difícil. Eu tenho casos na sala e eu já tentei de tudo e não vai, sabe! São
esses motivos, do aluno trazer problemas psicológicos, de trazer a fome, de trazer problema social, de
trazer várias questões fora do meio social da escola. Lá de fora mesmo, da sociedade, da comunidade
do lugar onde esse aluno mora. (O pesquisador interrompendo disse: “– Isso dificulta para que o
construtivismo se consolide?”): É lógico, porque como que você vai partir do conhecimento prévio do
aluno se ele muitas vezes não tem? Se ele aprende, se o que ele vê lá fora, porque a gente tem que
considerar o cotidiano; e o cotidiano dele não dá pra ele o que ele precisa. Nem o cotidiano dele (...)
como que você vai partir do nada? Sabe, eu penso assim: tem alunos que tem (condições cotidianas
favoráveis); mas esses né que a realidade é diferente, que não é essa realidade que a gente ouve, que
você vai chegar na sala de aula e você vai pegar o aluno do conhecimento prévio dele e vai seguir
com aquela realidade... Não tem essa realidade, os alunos têm uma realidade que às vezes nem
mesmo o professor conhece, que a hora que você ouve você fica espantado! Então como que você vai
partir de uma realidade que o aluno não tem? Do conhecimento prévio que ele não tem? Ele não tem!
Infelizmente o aluno não tem, ele não sabe nem falar; não sabe formar uma frase, não sabe te pedir
pra ir ao banheiro!
A
PÊNDICES -
285
APÊNDICE I – Pesquisa de Campo realizada com P-I:
A seguir constam os registros provenientes da pesquisa de campo realizada com P-I na
E-I.
I. I – Transcrição da Entrevista/Inicial: Data: 08/04/2008
1) Durante a sua Formação Pedagógica Inicial, teve oportunidades para refletir sobre o Ensino
da Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental? Comente.
R:
Sim, eu tinha uma matéria específica, eu tive por um ano essa matéria, que era Metodologia (...)
Matemática nas Séries Iniciais. Mais ou menos assim, o professor era excelente, ele só trabalhava
com material concreto né, já que a gente tava pensando em séries iniciais, ele trazia né, assim um
monte de material. Tanto é que, nossas aulas, geralmente era com Material Dourado, (...) e ele fazia
um quadro, aqueles com fita crepe mesmo, a gente ia se movimentando e trabalhando ali. Que nem
pra mim, o material ali já era uma novidade, por que eu não tive o Material Dourado, quando eu, né
(posicionou-se como aluna). Lógico, se a gente for pensar é pouco, né, uma matéria de dois semestres
é pouco, mas pelo menos eu não sai sem base nenhuma, né. Mas assim, eu ainda me sinto um pouco
perdida em algumas coisas.
2) Quais Teorias Educacionais (focando os aspectos ensino e aprendizagem) você teve
contato durante sua formação inicial? Descreva o modo no qual este contato ocorreu.
R:
Olha, lá, assim, é (...) tinha uma, geralmente segue-se uma linha, lá tinha uma linha muito forte, lá
onde eu estudei, que é a teoria histórico-cultural. Mais assim Vygotsky, Piaget, Vygotsky, Piaget, bem
nessa linha mesmo. Apesar de alguns fugirem, mas (...) bastante nessa linha. A maioria das aulas era
expositiva, onde o professor dava textos com antecedência pra gente ler e discutir em sala de aula.
3) A Teoria Educacional Construtivista baseada em contribuições da Epistemologia Genética
elaborada por Jean Piaget já lhe foi apresentada em algum momento? Você conhece os pontos
principais desta proposta? Caso conheça, quais pontos você utiliza?
R:
Já. Olha, vou ser bem sincera, sempre assim. Piaget tem uma idéia, tal (...), o que aconteceu
construtivismo foi sendo construído com base na teoria de Piaget. Eu posso estar errada, não sei, foi
o que eu entendi. Então eu sempre vi o construtivismo muito mais como uma postura do que como um
método, como né, lógico uma postura embasada numa teoria, né, mas o que eu sempre vi de
construtivismo, né, mais como uma postura, né, e essa postura você vê numa mudança de postura, o
que, do material didático, na forma como as pessoas estão trabalhando a sua aula. Então, (...) né,
sempre que eu tive com base no, a idéia sobre o construtivismo, essa idéia vinha no sentido de
construção, de continuidade, de você estar trabalhando sempre uma coisa mais ou menos interligada
com a outra, né, a idéia que eu tive de construtivismo, (...) de não estar fragmentando esse
conhecimento, esse conteúdo. Olha, né, se eu tô certa, no que eu entendo, eu acho assim, que eu
procuro dar essa continuidade, essa construção do conhecimento, né, você dar subsídios para que a
criança construa esse conhecimento, né, então, eu acho assim, o tipo de atividades que eu trabalho,
lógico que às vezes você tem que dar as coisas mais tradicionais, mesmo, né, mas essa tradicional
você também tem uma forma, né, de não deixar esse aluno e copiando, copiando, apesar de algumas
coisas que tem que ser decoradas. Então eu acho assim, as coisas que eu uso vem daí, não
fragmentar, procurar interligar uma matéria com a outra, né, para que esse aluno construa o
conhecimento. Eu acho que são as coisas que eu uso.
A
PÊNDICES -
286
4) Em relação à pergunta anterior, você possui alguma crítica em relação ao construtivismo
‘piagetiano’? Se sim, qual(s) idéia(s) desta teoria você critica?
R:
Ah (...) eu acho assim (...) não é uma crítica, mas eu acho que às vezes ele é mal interpretado, né,
porque assim, a gente acaba usando um pouco de tudo, essa é a grande verdade, eu acho. Tem aluno
que vai, tem aluno que não vai, então a minha crítica mais, é assim, é (...) às vezes as pessoas
incorporam (Secretaria de Ensino, Diretoria de Ensino) incorporam uma teoria como se você não
pudesse trabalhar com outro tipo de coisa, então a minha crítica é essa, quando você, né, é (...) só dá
aquele tipo de coisa, né, só que tem aluno que não acompanha por n motivos e você ser obrigado a
trabalhar daquela forma, então se você for pensar assim nos livros, né, ah agora estamos seguindo a
linha do construtivismo, então às vezes você vê livros assim, aí tão legais interessantes, mas você não
consegue trabalhar com a criança, porque ela não tem aquele conhecimento mínimo ainda, né. Mas é
um livro elaborado, né, pelos conceitos do construtivismo, (...) então a minha crítica é essa, quando
vem assim, é, como se você fosse obrigado a só trabalhar daquela forma, sem poder trabalhar outras
coisas.
A
PÊNDICES -
287
I. II – Registro das aulas observadas.
Seguem os registros decorrentes do preenchimento do Roteiro de Acompanhamento
(Apêndice D), Registro por: Escrito e Gravado em Áudio e Entrevista realizada Pós-Aula
(Apêndice E).
I. II. 1 – Aulas 1 e 2. Data: 11/04/2008
ROTEIRO 1:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 1 A U L A: 2
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X X 4
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X X X 5
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X 1
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X 4
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1, 2, 3.
1
X
1
X
1
X
2
X
2
X
2
X
6
Total de Horas Observadas:
1: 40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 1)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Folha Atividade I.
2 – Folha Atividade II.
A
PÊNDICES -
288
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 1:
1º - [A professora escreveu na lousa as datas de ontem, hoje e amanhã utilizando a
seguinte representação espacial]:
11
10 12
2º - [Registrou a Rotina do dia, ou seja, a seqüência das atividades a serem
desenvolvidas]:
1 – Alfabeto.
2 – Leitura.
3 – Matemática.
4 – Letra.
3º - [A professora discriminou as vogais do alfabeto circulando-as].
4º - [A docente anunciou aos alunos que iriam começar a estudar o número 4, que
vem antes do 3, escrevendo na lousa os seguinte]:
0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10
4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4
5º - [Entregou a Folha Atividade I. Nesta havia conjuntos contendo 4 elementos, o
qual os alunos deveriam escrever abaixo destes o número 4. Além disso, a atividade seguinte
possuía como objetivo discriminar as ‘meias’ que possuíam em seu interior o número 4
daquelas que não a possuíam].
FOLHA ATIVIDADE I:
Pinte de azul as meias que têm o numeral 4.
A
PÊNDICES -
289
Cubra o numera 4 e complete o quadro.
Escreva na casinha das unidades quantos elementos cada conjunto tem.
6º - [A docente entregou a Folha Atividade II. Constavam atividades, como do tipo
perceptivo-espaciais, contendo conjuntos com diferentes quantidades. Aos alunos cabiam a
tarefa de completar tais conjuntos até atingirem a quantidade 4 elementos. Em um outro
exercício, a professora definiu o que é triângulo. Nesta figura, ou seja, em seu interior era
pedido ao aluno para que escrevesse o número 4].
A
PÊNDICES -
290
FOLHA ATIVIDADE II:
Complete os conjuntos para que eles tenham 4 elementos.
Copie o numeral 4.
Desenhe um conjunto com 4 elementos.
7º - [A professora representou na lousa 4 traços verticais fazendo referência ao
número 4. Após, desenhou o seguinte esquema].
A
PÊNDICES -
291
4 -
[Alunos e professora decidiram que desenhariam 4 bolas para completarem o conjunto com 4
elementos. Nesse momento, a docente chamou a atenção dos alunos para que usassem todo o
espaço do conjunto].
Observações mais relevantes:
1 – P: chamou a atenção dos alunos para que escrevessem os símbolos dos números de modo
correto (4 e não ). [Lembrar a questão da pré-matemática antes do ensino da Matemática].
2 – P: “– Lembra da 1ª, 2ª, 3ª...?”, docente referiu-se a questão da ordinalidade.
3 – Número 4 como comparado a uma cadeira de ponta-cabeça.
4 – P: introduziu a Folha Atividade I enfatizando a noção de conjunto.
5 – P: “– O que é conjunto?”.
6 – P: já introduziu a noção de elementos com pertencentes aos conjuntos.
7 – P: “– Posso desenhar fora do conjunto? - Dentro”. [Ver a questão da inclusão de classes].
8 – P: afirmou ao pesquisador que enfatiza seqüência numérica (0 a 10) quase todos os dias da
semana. [Ver a questão da psicogênese, já que o 0 foi o último símbolo-número a ser
inventado].
9 – P: “– Quantos eu desenho a mais?”. [Noção de estrutura aditiva, já que ter a mais ou a
menos implicitamente traduz as simbologias + e -].
10 – P: passou de carteira em carteira observando a solução dos exercícios propostos. [Seria
uma tentativa de mapear as dificuldades, o nível de desenvolvimento cognitivo de cada aluno
a medida que resolvem problemas diferentes, e que, por serem diferentes, necessitam de
esquemas de assimilação diferenciados?].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
A
PÊNDICES -
292
Cartaz colocado na parede:
0 -
0
10
2
1 - *
1
9
3
1
4
6
2 - **
2
D
8
5
3 - ***
3
E
7
4 - ****
4
S
6
5 - *****
5
E
5
6 - ******
6
N
4
7 - *******
7
H
3
8 - ********
8
O
2
9 - *********
9
1
10 - **********
10
0
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (1 E 2) GRAVADAS:
[...]
P: Pronto, agora vamos passar para a atividade de baixo, a atividade dos conjuntos, né!
(Professora referiu-se a um exercício contido na Folha Atividade I, entregue por ela).
P: Como chama essa casinha mesmo, é a casinha da...
A: Unidade!
P: Unidade! Certo, né?
A: Certo.
P: E aqui (apontou para o exercício que ela copiou na lousa) a gente tem conjuntos do quê,
hoje?
(Alunos murmuram, respondendo várias coisas ao mesmo tempo).
A: Maçã.
A: Pêra.
A: Morango.
P: Do que mesmo? De frutas. Essa frutinha aqui eu acho que é maçã, né? Depois morango.
A: Morango.
A
PÊNDICES -
293
P: Depois pêra.
A: Pêra.
A: Caju.
P: Caju! Certo? Nós temos então conjuntos de (...) frutas. O que é conjunto mesmo?
(Alunos ficaram alguns minutos em silêncio, sinalizando não saberem o que é um conjunto).
P: O que é conjunto?
A: De coisas.
P: Quando eu junto no mesmo grupo, né? Coisas iguais ou, pode ser assim, conjunto de
objetos, né! Conjuntos do que mais pode ser? Muitas coisas. Hoje nós estamos vendo
conjunto do quê?
A: Maçã.
P: Não é, de frutas.
A: Frutas.
(Alguns alunos repetiram o que a professora disse).
P: Por quê? Só tem maçã em todos os conjuntos?
A: Não.
P: Então são vários conjuntos, cada um contendo um tipo de...
A: Frutas.
P: Quantos elementos têm em cada conjunto?
A: Quatro.
(Muitos alunos responderam a pergunta da professora).
P: Todo mundo já sabe? Todo mundo já contou?
A: Já.
P: Então, que número nós vamos por na casinha da unidade?
A: Quatro.
P: Têm quatro elementos, são quantas unidades?
A: Quatro.
P: Então vamos fazer, colocando o número de elementos na casinha da unidade. (...) Conta
quantas frutas tem dentro do conjunto e coloca dentro da casinha da unidade.
[...]
P: Prestem atenção, oh! Nós vamos continuar fazendo os conjuntos. Agora nós vamos ver
conjunto de (...) doces, né. Tem esse primeiro docinho aqui que eu não sei o nome (professora
apontou para o desenho contido no primeiro conjunto da Folha Atividade II). Depois tem um
outro docinho que é?
A: Pirulito.
P: E por último tem o...
A: Sorvete.
P: Sorvete. Picolé, né? Tem sorvete de massa e sorvete de picolé. Presta atenção, que números
nós estamos estudando?
A: Quatro.
(Os alunos, a maioria, responderam euforicamente).
P: O quatro.
P: O que nós vamos ter que fazer nessa atividade?
A: Desenhar, colocar.
P: Desenhar, né! Pra completar o conjunto com quantos elementos?
A: Quatro.
P: Quatro.
A
PÊNDICES -
294
P: Tem quatro docinhos aqui? (A professora apontou para o primeiro conjunto da Folha
Atividade I).
A: Não.
P: Quantos docinhos têm aqui?
A: Dois.
P: Quanto falta para chegar no quatro?
A: Dois.
P: Então quantos docinhos vai desenhar aqui?
A: Dois.
P: Se eu já tenho dois, né, eu preciso pensar quantos faltam para chegar no quatro!
P: Vamos Lucas, quantos docinhos tem aqui?
A: Dois.
P: Quantos faltam pra chegar no quatro. Conta nos dedinhos!
A: Um dois.
(Aluno A contou nos dedos).
P: Dois. Então desenha mais dois docinhos.
[...]
P: Oh! Prestem bastante atenção aqui, porque eu acho que tem gente que esqueceu. Qual é o
número que nós estamos estudando, mesmo?
A: Quatro.
P: Quatro, né! Quatro coisas. Oh! Um dois três e quatro.
(Professora enunciou seqüencialmente de um a quatro, mostrando os dedos das mãos).
P: Quatro elementos. Certo?
A: Certo.
P: E nós estamos fazendo conjuntos, aqui, com quantas coisas dentro?
A: Quatro.
(Os alunos, a maioria, responderam euforicamente).
P: Quatro. Já tem alguma desenhada, o que (que) falta? Eu preciso completar até chegar no
(...) quatro, né. São conjuntos de doces. Vamos fazer juntos, aqui, oh! Esse docinho aqui que
eu não sei nome, quantos já tem?
A: Dois.
P: Eu preciso chegar em quantos elementos?
A: Quatro.
P: Quatro, então quantos estão faltando pra eu fazer?
A: Dois.
P: Vamos ver se é isso mesmo? Então eu quero dois: Um; Dois. (Nesse momento a professora
dirigiu-se à lousa e desenhou dois doces que estavam faltando para completar o conjunto – da
Folha Atividade II – com quatro elementos).
P: Será que ficou um conjunto de quatro elementos?
A: Ficou.
P: Então vamos contar. Né. Pra isso que eu aprendo a contar. Um dois três quatro.
A: Um dois três quatro.
(Professora e alunos contaram juntos).
P: Está certo?
A: Tá!
P: Quantos a mais eu desenhei?
A: Quatro!
P: Não.
A
PÊNDICES -
295
A: Dois.
P: Eu tinha dois, quantos a mais eu desenhei?
A: Dois.
(Alunos, a maioria, responderam euforicamente).
P: Somando, o que tinha mais o que eu desenhei ficou?
A: Quatro.
P: Certo, eu fiz até de cor diferente (desenhou na lousa os doces que faltavam) pra saber
aquilo que faltava. Eu poderia fazer (desenhar) mais um doce aqui?
A: Não.
P: Não. Porque daí daria cinco, e nós estamos fazendo conjuntos de cinco aqui?
A: Não.
P: Não. Conjunto de quatro elementos.
P: Agora o pirulito. Quantos pirulitos eu tenho?
(Professora se referiu ao segundo conjunto contido na Folha Atividade II).
A: Um.
P: Quantos eu preciso chegar mesmo?
A: Quatro.
P: Quantos faltam pra chegar?
A: Três.
P: Então vamos ver se é isso mesmo, vocês falaram três. Um (a professora desenhou na lousa,
dentro do conjunto, um pirulito), dois, três pirulitos.
P: Será que eu já cheguei no quatro?
A: Já.
P: Como que eu sei? Eu preciso contar.
A: Contar.
P: Um dois três quatro.
A: Um dois três quatro.
(Professora e alunos contaram juntos).
P: Está certo?
A: Tá.
P: Então eu já tinha um, quantos a mais eu desenhei?
A: Três.
P: Três, oh! Está de cor diferente oh! Conta direito pra ver quantos fez a mais.
(Professora pediu para que os alunos confiram em suas Folha Atividade II se acertaram o
exercício).
[...]
P: Então deu pra entender. O quatro, quatro elementos: um dois três quatro. Menos que isso
não é quatro e nem mais, isso é quatro.
(Professora apontou para um conjunto desenhado na lousa contendo quatro elementos, que
nesse caso são representados por bolas).
P: Teve gente que contou assim, oh: um dois três quatro cinco dez quinze (...).
(Professora chamou a atenção de alguns alunos que se confundiram no momento de desenhar
quatro elementos).
[...]
A
PÊNDICES -
296
I. II. 2 – Aulas 3 e 4. Data: 14/04/2008
ROTEIRO 2:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 3 A U L A: 4
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X 2
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X X 4
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X 1
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
X 1
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X
1
X 2
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X 4
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1, 2, 3
1
X
1
X
1
X
2
X
2
X
3
X
6
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 2)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Folha Atividade III.
2 – Folha Atividade IV.
3 – Folha Atividade V.
A
PÊNDICES -
297
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 2:
1º - [A professora escreveu na lousa as datas de ontem, hoje e amanhã utilizando a
seguinte representação espacial]:
14
13 15
2º - [Anotou na lousa a Rotina do dia]:
1 – Alfabeto.
2 – Leitura.
3 – Matemática.
4 – Biblioteca.
5 – Alfabetização.
3º - [A professora registrou na lousa a seguinte seqüência numérica]:
0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10.
[A docente enfatizou, circulou o número cinco, objeto alvo de estudo desse dia].
4º - [A docente entregou, para cada aluno a Folha Atividade III, contendo exercícios
acerca do número 5. As atividades visavam à compreensão da idéia de conjunto com cinco
elementos e a escrita-grafia deste algarismo].
FOLHA ATIVIDADE III:
Pinte de marrom as luvas que têm o numeral 5.
Cubra o numeral 5 e complete o quadro.
A
PÊNDICES -
298
Desenhe um conjunto de folhas com a mesma quantidade de elementos que
o conjunto de formigas.
5º - [A professora registrou na lousa o símbolo do algarismo cinco, salientando: “–
Letra é uma coisa e número é outra”].
5 – 5 – 5 e não S
6º - [A professora desenhou na lousa dois conjuntos, expondo algumas noções sobre
conjuntos e questionando-interagindo com alguns alunos].
7º - [Os alunos receberam, individualmente, a Folha Atividade IV cujo objetivo principal
consistiu na abordagem da noção de conjunto].
FOLHA ATIVIDADE IV:
Conjunto
contendo 5
formigas.
Conjunto
contendo 5
flores.
A
PÊNDICES -
299
Circule conjuntos de animais do mesmo tipo.
Pinte cada conjunto de uma cor.
8º - [Professora representou na lousa o esquema contido na Folha Atividade V.
Observe-o abaixo]:
ANIMAIS
1.
A
PÊNDICES -
300
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
[Esta atividade serviu para que as crianças associassem a imagem ao nome dos animais (por
escrito); neste, além de enfatizar a alfabetização houve a preocupação em chamar a atenção
à quantidade de letras necessárias à formação das palavras, a questão do ‘pensamento
combinatória’ à escrita das palavras. Observe abaixo a referida atividade]:
FOLHA ATIVIDADE V:
ANIMAIS
A
PÊNDICES -
301
FOLHA ATIVIDADE V (CONTINUAÇÃO):
Observações mais relevantes:
1 – P: desenhou na lousa um conjunto com cinco bolas para enfatizar o número cinco.
[Concreto → Abstrato].
2 – P: disse o termo seqüência numérica no momento de contar de zero a dez.
3 – P: enquanto corrigia a 1ª atividade da Folha Atividade III enunciou em números ordinais.
[Ver a questão das estrutura de ordem].
A
PÊNDICES -
302
4 – P: auxiliou alguns alunos para os mesmos fizessem o traçado do número cinco.
5 – P: definiu o conjunto vazio como: “sem nada” remetendo-o ao zero.
6 – P: “– Quantos elementos tem nesse conjunto?”. [Concreto → Abstrato].
7 – P: “– Às vezes eu olho e acho que tem um número, mas eu erro”. [Ver a questão da
percepção geométrica].
8 – P: Os alunos, na Folha Atividade V, pintaram com a mesma cor (usado pela professora na
lousa) o conjunto dos peixes. [Ver o caráter da imitação].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (3 E 4) GRAVADAS:
[...]
P: Eu falei que nós vamos estudar que número hoje?
A: Cinco.
P: O cinco, né. Se eu tivesse que fazer um conjunto aqui, oh (apontou para um conjunto
desenhado na lousa) um conjunto de bolas, quantos elementos são o cinco, quantas unidades?
A: Cinco.
(Poucos alunos responderam).
P: Então quantas bolas eu teria que desenhar aqui (apontou o esquema da lousa)?
A: Cinco.
(Alunos responderam com certo tom de dúvida).
P: Quantos?
A: Cinco.
P: Uma duas três quatro e cinco.
A: Uma duas três quatro e cinco.
(Professora e alunos contaram juntos).
[...]
P: Pessoal, oh (...) vamos fazer a leitura da seqüência numérica?
A: Vamos.
P: Zero um dois três quatro cinco seis sete oito nove e dez.
A: Zero um dois três quatro cinco seis sete oito nove e dez.
(Professora e alunos contaram juntos).
P: Que número nós vamos estudar hoje?
A: Cinco.
P: E a quantidade do cinco, oh! Cinco unidades.
A: Cinco unidades.
P: Quanto? Um dois três quatro e cinco.
A: Um dois três quatro e cinco.
(Professora e alunos contaram juntos).
P: Então se eu tiver cinco bolas, olha as bolas que eu tenho aqui (professora mostrou aos
alunos o conjunto desenhado na lousa contendo cinco bolas) não tem mais nem menos que
cinco. Certinho o cinco.
A
PÊNDICES -
303
[...]
P: Quantas luvinhas com o numeral cinco tem? (Professora se referiu a uma atividade
proposta na Folha Atividade III).
A: Duas.
P: Isso mesmo, né! Eu posso pintar as outras?
A: Não.
P: Pronto, já deu o tempo de fazer, né! Quantas luvinhas tinham que pintar?
A: Duas.
P: Quantas luvas tinham com o numeralzinho?
A: Duas.
P: Então eu vou ter que pintar a primeira, né, (...) e qual outra tinha que pintar?
A: A segunda.
P: A segunda? A segunda é essa aqui, lembra? A segunda tem que número?
A: Um.
P: Um, era para pintar essa?
A: Não.
P: Não. E a terceira luva, tinha qual número dentro?
A: Quatro.
P: Era para pintar?
A: Não.
(Um aluno falou a resposta esperada, mas a professora continuou questionando os demais).
P: E essa luva aqui, oh, quarta luva (mostrou a folha da atividade), que número é esse?
A: Três.
P: Era para pintar essa?
A: Não.
P: Qual que deveria pintar também?
A: A cinco.
P: A quinta luva! A quinta luva também tem um numeral cinco! Todo mundo pintou? (...) A
primeira que vem antes de todos e a quinta, luva, certo? Quantas luvinhas tinha aqui (se
referiu à atividade)?
A: Duas.
P: Não. Não com o numeral cinco, ao todo?
A: Cinco.
(Alunos responderam euforicamente).
P: Cinco luvas, né! Uma duas três quatro e cinco. Dessas cinco luvas quantas eu pintei?
A: Duas.
P: Duas. Quantas sobraram?
A: Três.
P: Três, né! Sobraram três, isso mesmo. Agora nós vamos treinar o número cinco mas bem
caprichado! Tem gente fazendo o número cinco virado para a janela ( ). Eu posso fazer
assim?
A: Não.
P: Então vamos aprender a fazer o número cinco, oh, prestem atenção. Primeiro tem que fazer
um tracinho, depois uma meia bola e por último outro tracinho.
P: Eu já expliquei pra vocês! Se eu não faço um número bem feito ninguém vai conseguir
entender o meu número, não é?! Quando você for trabalhar, né, você vai precisar colocar os
A
PÊNDICES -
304
números, né, escrever um monte de coisas, mas vai sempre escrevendo os números. E se a
pessoa não entender o seu número não tem como ela fazer essa leitura.
[...]
P: Agora nós vamos representar o número cinco em forma de con- (...) conjuntos, né?
A: Conjuntos.
P: Conjuntos com elementos iguais, né, dentro desse mesmo espaço. (referiu-se a um conjunto
desenhado na lousa). (...) Quantos elementos tem aí no conjunto de formigas?
A: Cinco.
P: Cinco, né, formigas, né. (...) Olha bem aí na folha de vocês. Não tem um espaço em branco
ai do lado do conjunto das formigas, então, você vai fazer primeiro, oh, um conjunto vazio
sem nada dentro. Do lado desse das formigas. Faz de conta que tem cinco formiguinhas aqui
oh! (apontou para um conjunto desenhado na lousa contendo cinco pontos que
hipoteticamente representam formiguinhas). Conjunto vazio, oh, sem nada dentro! Vocês têm
que desenhar o conjunto vazio do lado do (...) grande viu, ocupem todo esse espaço aí do
lado, porque nós vamos ter que desenhar um conjunto dentro dele. Então, o que é um
conjunto vazio, mesmo? Que não tem nada dentro, né! Só que nós estamos estudando hoje o
número zero? Conjunto vazio?
A: Não.
P: Que número que nós estamos estudando?
A: Cinco.
P: Cinco, número cinco, né! Então eu vou ter que preencher esse conjunto vazio aqui. Então
vamos pensar numa coisa pra gente fazer esse conjunto, todo mundo fazendo os mesmos
elementos.
A: Bola.
P: bola, não, nós já fizemos!
A: Borboleta.
P: Borboleta não, é muito difícil de desenhar. E que tal fazermos flores:
A: Flores.
P: Todo mundo sabe fazer flores! Então eu vou ter que fazer um conjunto de quantos
elementos?
A: Cinco.
P: De cinco flores.
[...]
P: Pronto! Agora é só atividade dos conjuntos! Nessa folhinha aí (Folha Atividade IV
entregue a cada aluno) nós vamos ter conjuntos de animais. Mas esses animais, todos são
iguais?
A: Não.
(Alunos responderam euforicamente).
P: Não. São animais de espécies diferentes não é? Então vamos ver quais são os tipos de
animais que tem aí. A gente tem (...).
A: Cachorro.
P: Cachorro. Tem um cachorro só, vamos contar.
A: Quatro.
P: Depois do lado do cachorro nós temos conjunto do quê?
A: Passarinho.
P: Depois nós temos o quê?
A
PÊNDICES -
305
A: Peixe.
P: Depois tem um no cantinho sozinho, qual é?
A: Baleia.
P: É uma baleia, né! Depois a gente tem conjunto do quê?
A: Borboleta.
P: Borboleta. E depois tem um animal.
A: Coelho.
P: Coelho. (...) O que vocês vão fazer. Esses animais da mesma espécie, eles estão perto, não
estão?
A: Estão.
P: Pra ter um conjunto, eu tenho que fazer alguma coisa em volta dele pra saber que é um
conjunto. Não é, pra eu representar um conjunto. Certo.
A: Certo.
P: Então não tem dois peixinhos?
A: Tem.
P: Eu tenho que circular os dois peixinhos para ter um conjunto. Eu poderia circular junto o
cachorro?
A: Não.
P: Por quê?
A: É outro bicho.
P: Isso.
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 14/04/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
A princípio eu tinha pensado num outro tipo de atividade pensando no começo do ano, como eu
notei que as crianças, a maioria com seis anos recém completados eu modifiquei o meu estilo de
trabalho e, comecei a trabalhar de uma forma assim bem mais simples, com conceitos bem básicos
mesmo, né, e é o que eu venho trabalhando desde o começo do ano.
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
A questão da seqüência numérica, o registro de quantidades, conjuntos, né, e a própria
identificação e reconhecimento dos números que geralmente eu trabalho mais um número específico
no dia, apesar de trabalhar a seqüência até o dez, né, mas estou sempre enfatizando um número, para
eles gravarem bem o número e até conseguir (...) coordenação motora mesmo de fazer o número,
grafia, assim né.
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Eu acho assim, uma coisa é conseqüência da outra, né, tanto é assim (...) que, as crianças que já
tem um conhecimento prévio, tipo assim, um pouquinho a mais Matemática, eles entendem a atividade
A
PÊNDICES -
306
e acho que absorvem a atividade com muito mais facilidade que os outros, né, é (...) porém a gente
tem que trabalhar sabendo que não dá para você diferenciar tanto numa única aula, né. Os outros
(alunos com dificuldades) também estão absorvendo, de alguma forma, né, cada um no seu tempo,
cada um com as suas limitações, suas facilidades, mas eu acredito que todos estão conseguindo
avançar com as atividades propostas.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Assim, eu gostaria de ter muito mais material, por exemplo, se eu tivesse um Material Dourado
para cada aluno, ou pelo menos para cada dupla, né, mais mediante o material que eu tenho
disponível, que nem é tão disponível, já que a gente tem que trazer de casa, né, eu acho que o que dá
pra fazer é isso, assim. Eu acho que se tivesse um material, alguma coisa mais concreta, né, tipo um
ábaco para cada ou um Material Dourado seria melhor trabalhar, talvez eu poderia pensar num
material alternativo, né, não sei também ainda, mas posso dar uma pesquisada,né, mas eu acho que, o
que falta isso às vezes o material concreto. Eu trabalho com o Material Dourado com eles, mas como
assim, é só visualizar, porque eu só tenho um aqui na sala, então eu acho que às vezes perde um
pouco do sentido do Material Dourado, do concreto, né, ela pegar (a criança), ela manusear, né!
Então eu acho que falta isso, um pouco de material concreto.
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Eu acho assim, eu estou dando estes conceitos básicos, agora, mas essa idéia de conjunto, a
própria seqüência é uma coisa que você vai estar sempre voltando, sempre porque é o básico para as
continuidades, eu creio, acho, então assim é uma base; mas eu estou sempre voltando, sempre, tanto é
que assim, mesmo eu trabalhando especificamente um número naquele dia, você está sempre
voltando: “– Ai, então que número que nós já estudamos?”; “– E agora, qual será o próximo?”, né,
então, de certa forma você está sempre fazendo essa ligação né. Voltando no que deu e pensando o
que vai dar.
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Olha, assim, dos objetivos que eu pensei com as atividades, eu acho que eu alcancei. Lógico que
tem um aluno, ou outro que você percebe que não alcançou todos os objetivos, mas se eu for pensar
de um modo geral da sala, o objetivo foi alcançado dentro das habilidades que eu pretendi trabalhar
acho que foi alcançado, lógico que eu não posso falar que cem por cento alcançaram os objetivos
propostos, mas de um modo geral sim. Então, eu acho que esses que não estão conseguindo eu preciso
trabalhar alguma coisa mais concreta, né, mas aí entra a questão do material e de eu ter que
trabalhar diferenciado com eles (...) mas eu estou pensando numa forma ainda, “Como é que eu vou
fazer?”, porque eu acho que se não tiver essa base depois vai ficar muito difícil pra eles, né. Mas eu
penso que, pra eu conseguir trabalhar com esses alunos seria mais com material concreto, porque
mais simples do que eu já estou trabalhando, mais claro eu acho, questões assim na folha, eu acho
que não tem assim, eu já tentei todos os tipos de atividades, então quem sabe com alguma coisa mais
concreta né, eles absorvem mais.
A
PÊNDICES -
307
I. II. 3 – Aulas 5 e 6. Data: 09/05/2008
ROTEIRO 3:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 5 A U L A: 6
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X X 4
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X X 4
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X 1
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X
1
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X 4
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X 1
5. Outros: 1, 2, 3.
1
X
1
X
2
X
3
X
3
X 5
Total de Horas Observadas:
1: 40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 3)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
Materiais Utilizados:
1 – Folha Atividade VI.
2 – Caderno do aluno.
3 – Folha Atividade VII.
A
PÊNDICES -
308
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 3:
1º - [A professora registrou na lousa a seqüência das atividades a serem realizadas no
referido dia]:
1 – ALFABETO.
2 – MATEMÁTICA.
3 – LETRA D.
4 – PRESENTE.
2º - [Dialogou com os alunos sobre: “– Qual foi o dia anterior”, “– Qual será o de
amanhã” em relação ao de hoje – idéias de sucessor e antecessor – anotando na lousa]:
9
8 10
3º - [Relembrou os alunos em relação ao estudo do dia anterior. Este abordou o
desenho de uma mão e os apelidos de cada dedo. Visou com esta atitude estabelecer uma
comparação entre os conjuntos: uma dezena e os dez dedos das mãos; escrevendo na lousa]:
10 UNIDADES = 1 DEZENA
4º - [Utilizando as peças do Material Dourado, a professora apresentou o cubo menor
(representando uma unidade) e a barra (representando uma dezena). A professora agrupou
dez cubos menores, contando-os um a um. Em seguida, ‘trocou’ os dez cubos por uma barra
dizendo que ao colar os dez cubos obtêm-se uma barra]:
=
[A docente distribuiu para cada aluno uma barra. Em seguida solicitou aos mesmos contarem
as dez partições deste objeto, visando assim a compreensão da relação Matemática: 1 dezena
= 10 unidades].
5º - [Utilizando a Folha Atividade VI, abaixo, a professora definiu o nome atribuído a
cada dedo: mínimo, anular, médio, indicador e polegar. Ao abordar a ‘posição’ de cada dedo
na mão enfatizou os temas: dedos ‘vizinhos’, espaço-localização: dedo mais longo, dedo
médio, dedo mínimo].
A
PÊNDICES -
309
FOLHA ATIVIDADE VI:
NA MÃO TEM CINCO DEDOS,
VAMOS AGORA MOSTRAR
DEDO MÍNIMO, ANULAR,
DEDO MÉDIO E O INDICADOR,
E TAMBÉM O POLEGAR.
- QUANTOS DEDINHOS TEMOS EM CADA MÃO? _____
- JUNTANDO AS DUAS MÃOS, QUANTOS DEDOS SÃO?
_________________________
6º - [Visando continuar o estudo da relação Matemática “uma dezena igual a dez
unidades”, a professora mostrou suas duas mãos, contando seqüencialmente dedo por dedo.
Também, novamente, utilizou as peças do Material Dourado: cubo menor e barra].
7º - [Registrou na lousa o seguinte exercício]:
QUANTOS DEDINHOS TEMOS EM CADA MÃO?____
A
PÊNDICES -
310
[Em seguida, a docente contou os cinco dedos de sua mão, solicitando aos alunos que
escrevessem o número cinco sobre o traço. Tendo em vista que alguns estudantes
confundiram a grafia cinco (5) com a letra S, a professora escreveu-as na lousa, chamando a
atenção da sala a respeito desta confusão].
8º - [Anotou na lousa o problema abaixo]:
JUNTANDO AS DUAS MÃOS, QUANTOS DEDOS SÃO?____
[Na lousa, a professora representou cada traço vertical como sendo um dedo de cada mão.
Seguidamente, contou-os – junto com os alunos – totalizando dez. Solicitou aos estudantes
que escrevessem o número dez sobre o traço].
9º - [Após corrigir os dois problemas na lousa, a docente reforçou a idéia de dezena
como sendo dez unidades. Para tanto, utilizou o Material Dourado (uma barra igual a dez
cubos menores) e as duas mãos (com cinco dedos cada). Para finalizar a Folha Atividade VI,
os alunos coloriram-na].
10º - [A docente escreveu na lousa a seqüência numérica 0 a 10]:
0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10
[Chamou a atenção dos alunos à necessidade de copiar igual ao exposto na lousa, ‘tomando’
a leitura desta seqüência. Ao lerem, a docente fez as seguintes questões: “– Que número é
esse?”, “– Qual vem antes?”, “– Qual vem depois?” – idéias de antecessor e sucessor].
11º - [Ao entregar a Folha Atividade VII, a professora desenhou na lousa o exposto a
seguir]:
1
0
2
3
4
5
6
7
1
0
2
3
4
5
6
7
[Após alguns minutos, a docente ligou os pontos traçando segmentos de reta. Ao fazê-lo,
enfatizou a questão da seqüência numérica, dizendo: “– Tem que ir do menor para o
maior!”. Depois de explicar aos alunos como fazer a primeira atividade da folha entregue,
observou se os mesmos estavam ‘ligando’ os números em ordem crescente].
A
PÊNDICES -
311
FOLHA ATIVIDADE VII:
Ligue os numerais do menor para o maior e descubra 4 desenhos.
Complete o quadro:
ANTES ENTRE DEPOIS
6
1
8
4
2
5
3
7
0
12º - [Após entregar a Folha Atividade VII, a docente, dando continuidade às
atividades referentes à seqüência numérica, desenhou na lousa a tabela abaixo]:
A
PÊNDICES -
312
ANTES ENTRE DEPOIS
6
1
8
4
2
5
3
7
0
[Como modelo aos alunos, a docente completou a segunda linha da tabela, escrevendo na
coluna ANTES o número 5 e na DEPOIS o 7. Solicitou aos estudantes que, individualmente,
completassem as demais linhas. Transcorridos alguns minutos, a professora corrigiu a
tabela. Durante essa correção questionou os alunos sobre qual número escrever, utilizando
como auxílio a seqüência numérica anteriormente escrita na lousa].
Observações mais relevantes:
1 – P: ao registrar o dia de hoje, ontem e amanhã num esquema denominado ‘escadinha’,
abordou-se a idéia intuitiva de sucessor e antecessor. [Ver a questão do tempo].
2 – P: utilizou os dedos no momento de abordar a quantidade: uma dezena. [Concreto →
Abstrato].
3 – P: usou as peças do Material Dourado para a explicação da relação Matemática: 1 dezena
= 10 unidades. [Concreto → Abstrato].
4 – P: “– O um com o zero vai dar que número? Dez!”. [Ver a questão posicional].
5 – P: disponibilizou tempo para a pintura da Folha Atividade VI. [Ver a questão lúdica].
6 – P: explicou, novamente, o que é uma seqüência numérica ao observar que alguns alunos
não a haviam compreendido-construído. [Ver a questão da avaliação diagnóstica].
7 – P: associou as localizações: lado da janela e lado da porta aos termos antes e depois,
sucessivamente. [Ver a questão espacial].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (5 E 6) GRAVADAS:
A
PÊNDICES -
313
[...]
P: Ontem, todo mundo fez a folhinha da mãozinha (referiu-se a Folha Atividade VI)! Cinco
unidades, não é? Todo mundo já pegaram a mãozinha, então agora prestem atenção! Até o
número nove, que eu estava falando pra vocês ontem, é unidade; a hora que chegar no dez nós
vamos juntar uma dezena, né? Quando eu junto dez unidades eu formo uma dezena! Ontem
nós pintamos uma mãozinha só, os cinco dedos!
A: Cinco dedos.
(A maioria dos alunos repetiu o que a professora falou).
P: Hoje nós vamos ver mais uma mãozinha! Vai dar dez dedos! (Mostrou aos alunos os dez
dedos de sua mão).
A: Dez dedos! (Alguns alunos disseram).
P: Dez unidades. Dez unidades é a mesma coisa que o que? Uma (...) dezena, né! Já falei isso
ontem (...). Dez dedinhos (mostrou os seus) é a mesma coisa que dez uni- (...).
A: Unidade. (Falaram poucos alunos).
P: Dez unidades, né! Dez unidades é a mesma coisa que uma dezena! Eu vou mostrar pra
vocês com o Material Dourado. (Pegou as peças do Material Dourado). Então presta atenção,
até agora a gente estava estudando uni – (...).
A: -Dade! (Responderam alguns alunos).
P:Unidade, não é? A gente fazia as atividades (referiu-se às Folhas Atividades ofertadas),
colocava dentro da casinha da unidade, a quantidade! Oh, olha aqui, oh (mostrou um cubo
menor do Material Dourado); é como se cada cubinho desse fosse uma unidade! Oh quantos
eu tenho: um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez (foi juntando em sua mão dez
cubos menores).
A: Quatro cinco seis sete oito nove dez. (Alguns alunos, a partir do quarto cubo, contou em
conjunto com a professora).
P: Dez unidades! (Mostrou os dez cubos aos alunos). E dez é a mesma quantidade que a gente
tem de dedos nas mãos, não é? Oh, presta atenção aqui, oh! Tão vendo essa barrinha aqui
(pegou a barra do Material Dourado que equivale uma dezena e mostrou aos alunos).
A: Sim.
P: É como se eu pegasse todos esses daqui que nós contamos e tivesse colado! Isso daqui (a
barra) é a mesma coisa que esses que estão soltos (os dez cubos menores). Por quê? Olha
quanto eu tenho aqui: um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez (contou as dez
partições da barra).
A: Um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez! (Alunos contaram com a professora).
P: Então oh, isso aqui (mostrou a barra) é a mesma coisa que esse aqui (mostrou os dez cubos
menores). Por quê? Dez unidades, não é, não tá soltinho aqui, dez unidades, é a mesma coisa
que uma dezena! Olha bem pra essa barrinha aqui, porque agora, a partir dessa semana que
nós vamos estudar dezena, nós vamos olhar bem pra ela porque sempre nós vamos usar essa
barrinha, agora! Vamos, eu não sei se vai dar uma barrinha pra cada um porque está faltando,
pra gente entender melhor! Oh, eu vou passando, olha a barrinha da dezena e passa pra trás!
(Como não havia barras de Material Dourado suficiente a todos os alunos, a professora pediu
que os mesmos fossem passando para os colegas ao lado após verem as dez partições). Conta,
olha bem a barrinha da dezena. Conta quantos tem aí grudadinho, quantas unidades?
(Após alguns minutos).
P: Já olharam? (...) Os meus dez dedinhos então é a mesma coisa que uma barrinha dessa!
Não é? Como chama essa daqui mesmo, a barrinha da dezena! Por que de-zena? Começa com
dez, né! É como se eu juntasse dez daquele soltinho e grudasse aqui (comparou com a barra)!
Na Matemática algumas coisas são feitas pra facilitar sem ter que fazer a conta! E é muito
mais fácil eu juntar um desse com um desse (pegou duas barras) do que ficar contando vinte
A
PÊNDICES -
314
pedrinhas soltas (referiu-se aos cubos menores), né! Todo mundo já conseguiu olhar a
barrinha da dezena?
A: Conseguiu, sim!
(Respondeu a maioria dos alunos).
P: Como chama essa barrinha mesmo?
A: Dezena! (Falaram poucos alunos).
P: Dezena! E essa soltinha como que é? (Mostrou um cubo menor).
A: Unidade! (Disseram alguns alunos).
P: Unidade, né! E juntando dez dessa, o que é que eu formo? (Agrupou em uma de suas mãos
dez cubos menores).
A: Cinco. (Responderam alguns alunos).
P: Não! Quando eu junto dez unidades o que eu formo, uma...
A: Dezena! (Falou um aluno).
P: Isso, uma dezena! É como se eu tivesse grudado dez daqueles aqui! (Mostrou a barra).
Podem contar quem ainda não viu que tem dez, pode contar!
[...]
P: Eu tenho dez unidades aqui, como se fossem os dez dedos de nossas mãos! É a mesma
coisa que essa barrinha aqui! Como chama essa barrinha mesmo? De-
A: Dezena! (Disse metade da sala).
P: Dezena! Dez–enas! (Na leitura, salientou o dez da palavra dezena). Não é unidade! Qual
que é da unidade? Essa solta aqui! (Apontou para os cubos menores). Essas são o quê?
(Mostrou uma barra aos alunos).
A: Dezena. (Metade da sala falou)!
P: Essa barrinha chama dezena! Como chama essa barrinha?
A: Dezena.
(A maioria da sala respondeu).
P: É o mesmo o tanto de dedos que eu tenho nas duas mãos! É o mesmo que dez unidades!
Dez unidades é uma dezena!
A: Dezena.
(Euforicamente quase todos os alunos disseram).
P: Dezena, né! Agora tem duas perguntinhas pra gente responder aí sobre os dedos, né! Duas
perguntas! Pra conseguir responder a gente vai ter que contar, né! A primeira perguntinha tá
falando o seguinte, oh: “Quantos dedinhos, preste atenção na pergunta, quantos dedinhos
temos em cada mão?”
A: Cinco. (Disse uma parte dos alunos).
A: Seis. (Falou um aluno).
A: Dez. (Responde a Aluna A).
P: Eu perguntei das duas mãos, Aluna A? Então vamos contar quantos dedos eu tenho em
cada mão! Um dois três quatro e cinco!
A: Um dois três quatro e cinco!
P: Então o que é que eu tenho que responder ali (apontou o problema escrito na lousa)?
A: Cinco!
(A maioria da sala indagou).
P: Então vai escrever o número cinco! Vamos ver quem sabe qual é o número cinco! Nós já
estudamos ele faz tempo!
(Após alguns minutos, a professora explicou a segunda pergunta que constava na Folha
Atividade VI).
A
PÊNDICES -
315
P: Pra responder esse daqui (apontou na lousa a segunda pergunta) a gente vai precisar fazer
tipo uma continha! Juntar, somar, né? Tá perguntando assim, oh: “Juntando as duas mãos, né,
juntando uma mão com a outra quantos dedos tem?”
A: Deeezzz!
(A maioria da sala respondeu).
P: Como que eu sei isso? Oh, prestem atenção aqui! Uma mão tem quantos dedos (mostrou a
própria mão esquerda)?
A: Cinco!
(A maior parte da sala falou).
A: Um! (Disse o Aluno B).
P: Quem respondeu um? (Olhou para o Aluno B). Tem gente que falou um! Tem alguém que
tem um dedo? Um dois três quatro e cinco!
A: Um dois três quatro e cinco.
(Alunos e professora contaram os dedos de uma de suas mãos).
P: E no outro dedo: um dois três quatro e cinco!
A: Um dois três quatro e cinco.
(Alunos e professora contaram os dedos da outra mão).
P: Qual foi a minha pergunta? Eu tenho que juntar uma mão com a outra pra saber quanto eu
tenho! Não é! Faz de conta que isso aqui são dedos (pegou dez cubos menores, contando-os):
um dois três quatro cinco seis sete oito nove e dez!
A: Um dois três quatro cinco seis sete oito nove e dez!
P: Então o que é que eu vou ter que responder aqui (referiu-se a pergunta registrada na lousa).
A: Dez!
(Disse a maioria dos alunos).
P: Dez! Então todo mundo fazendo o número dez! Eu não vou passar a resposta na lousa, vai
tentar todo mundo fazer!
[...]
(Após registrar a seqüência numérica 0 a 10 na lousa, a professora conversou com os alunos):
P: Presta atenção gente, o alfabeto lá em cima está misturado?
A: Não!
(Respondeu a maioria dos alunos).
P: A letra A tá aqui no meio e a Z está aqui no começo? (Apontou em direção as letras A e Z,
penduradas acima da lousa).
A: Não! (Falaram alguns alunos).
P: Quando nós fazemos a seqüência dos números eu posso misturar?
A: Não!
(Disse grande parte da sala).
P: Pegar o oito por aqui no começo (dirigiu-se a lousa, apontando para o escrito: número
oito). Tem que pegar e copiar exatamente como está aqui na lousa, nessa seqüência, desse
jeito! Alguém pode perguntar, professora pode misturar os números? Não! Eu preciso saber o
número que vem antes, o que vem depois, depois, nessa ordem aqui (apontou a seqüência
numérica escrita na lousa), senão não vai conseguir fazer as atividades! É só olhar e copiar,
não tem que fazer mais nada! Lógico, prestando atenção, né! Porque se não prestar atenção
não sai certo mesmo!
(Após alguns minutos, dirigiu-se a lousa para explicar a seqüência numérica 0 a 10)
P: Então gente, presta atenção aqui, oh! (Referiu-se ao registro na lousa). Na seqüência! A
gente faz quase todos os dias! A atividade que nós vamos fazer agora, nós vamos precisar
bastante da seqüência! (Referiu-se ao segundo exercício da Folha Atividade VIII – tabela dos
A
PÊNDICES -
316
números sucessores e antecessores). O que é seqüência? É a ordem que tem que ficar os
números, né?
(Apontou na lousa o número zero, dando sinal para os alunos lerem):
P: Qual que é esse?
A: Zero.
P: Zero! Depois?
A: Um.
P: Um, e depois?
A: Dois.
P: Dois, e depois?
A: Três quatro cinco seis sete oito nove e dez!
P: Três quatro cinco seis sete oito nove e dez! (A maioria dos alunos leu os números, neste
momento a professora falou junto com os mesmos). Mais uma vez! (Pediu aos alunos para
que lessem novamente os números de 0 a 10).
A: Um. (Falaram poucos alunos).
P: Não, zero um dois três quatro cinco seis sete oito nove e dez.
A: Zero um dois três quatro cinco seis sete oito nove e dez!
P: Todo mundo precisa saber isso daqui! Rosemeire olha bem pra esse aqui (apontou um
número escrito na lousa)! Que número é esse aqui?
A: Cinco. (Auxiliada por alguns colegas, a aluna respondeu).
P: Cinco, né! Que número que vem antes do cinco?
A: Quatro. (Falou uma parte dos alunos).
P: E depois do cinco?
A: Seis!
(Euforicamente, a maioria dos alunos disse).
P: Seis, né! (No episódio descrito, a professora apontou com a mão os números quatro e seis
escritos na lousa. Em, seguida aponta para o número um registrado na lousa): Que número é
esse aqui?
A: Um.
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Um! Qual que vem depois do um?
A: Dois.
P: E antes?
A: Zero.
(Nas duas falas do aluno acima, a maioria da sala disse entusiasmado).
P: Zero! O zero vale alguma coisa, sozinho?
A: Não!
P: Não! Sozinho, não! Se eu juntasse um outro número daí vale! Sozinho na frente ele não
vale nada, né! Todo mundo tá entendendo, né? Eu posso misturar essa seqüência aqui
(referiu-se a registrada na lousa), quando estamos falando dos numerais? Não! Neste tipo de
exercício não! Sempre vai aumentando, né! O zero vale alguma coisa?
A: Não. (Metade da sala respondeu).
P: E o um, quanto vale? Um, uma unidade. (Mostrou um dedo de sua mão esquerda). E o
dois, oh (apontou na lousa o número dois), vale duas unidades (mostrando dois dedos de sua
mão esquerda. Em seqüência, foi aumentando o número de dedos ‘erguidos’, ou seja,
mostrando-os aos alunos até ‘completar’ dez dedos). Quando eu enchi um mão o que forma
mesmo?
A: Cinco. (Disse um aluno).
A: Sete. (Respondeu dois alunos).
A: Oito. (Falaram três alunos).
A
PÊNDICES -
317
P: Juntando as duas mãos quanto vale?
A: Dez.
(A maioria da sala respondeu).
P: E o dez é uma...
(Como nenhum aluno respondeu, a professora mostrou uma barra do Material Dourado):
P: Como chama essa barrinha mesmo?
A: Dez!
P: Dezena, né! Como se fosse as minhas duas mãos juntas, eu juntei uma dezena!
A: Dezena. (Uma parcela da sala repetiu a fala da professora).
[...]
P: Presta atenção aqui! Lembra da escadinha (referiu-se ao esquema no qual toda a aula a
docente registra o dia – numérico – de hoje, ontem e amanhã) do dia?
A: Sim. (Uma grande parte dos alunos respondeu).
P: Nós fazemos todos os dias! Fazendo a escadinha, a gente consegue saber o número que
vem antes e o número que vem depois. Aqui é como se fosse a escadinha (referiu-se a tabela
registrada na lousa, proposta na Folha Atividade VII):
ANTES ENTRE DEPOIS
6
1
8
4
2
5
3
7
0
P: Nós vamos ter que descobrir o número que vem antes e o número que vem...
A: Depois.
(A maioria dos alunos, euforicamente, completou a fala da professora).
P: Não adianta querer adivinhar o número! Tá em dúvida, tem a lousa pra olhar, tem a parede
(referiu-se ao cartaz, já representada na primeira aula observada) pra olhar, não é pra por
qualquer número! Não pode fazer de qualquer jeito! Eu vou fazer o primeiro com vocês e
depois vocês vão fazer os outros! Que número é esse? (Apontou na tabela a célula interseção
da segunda linha com segunda coluna).
A: Seis.
(Euforicamente, a maioria da sala leu o número pertencente a tabela).
P: Eu vou ter que descobrir o número que vem antes e o que vem...
A: Depois. (Alguns alunos falaram).
P: Depois, né! Então eu estou no número seis! Qual que vem antes?
A: Cinco.
P: Então que número eu coloco aqui (referiu-se a célula a esquerda do número seis)?
A: Cinco.
P: E depois do seis?
A: Sete.
P: Que número eu vou por aqui? (referiu-se a célula a direita do número seis)
A: Sete.
A
PÊNDICES -
318
(Nas quatro últimas falas do aluno, a maioria da sala respondeu. Importante salientar que ao
responderem, os alunos utilizaram como auxílio a seqüência numérica 0 a 10 registrada na
lousa).
P: Agora os outros vocês vão fazer sozinhos.
(Após, aproximadamente quinze minutos, a professora foi a lousa e corrigiu a tabela de modo
análogo ao realizado como exemplo. Oportuno finalizar, ressaltando a questão do zero e seu
antecessor):
P: Tinha pra por antes do zero?
A: Não! (Timidamente, poucos alunos falaram).
P: Não, não existe aqui! Só números negativos, mas daí é uma outra história! Aí (na lousa)
não tem nenhum menor do que zero. Então eu vou ter que por os dois números que vem
depois! Depois do zero é que número?
A: Um!
P: E depois do um?
A: Dois.
(A maioria dos estudantes respondeu as duas últimas falas do aluno).
P: Quem corrigiu tudo pode pintar!
[...]
A
PÊNDICES -
319
I. II. 4 – Aulas 7 e 8. Data: 12/05/2008
ROTEIRO 4:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 7 A U L A: 8
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X 3
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X X 4
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X X 2
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1.
1
X 1
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X 4
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X 1
5. Outros: 1, 2, 3.
1
X
2
X
3
X
2
X
4
X 5
Total de Horas Observadas:
1: 40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 4)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Questionamentos e correção das atividades
propostas aos alunos.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
2 – Folha Atividade VIII.
3 – Cartaz.
4 – Folha Atividade IX.
A
PÊNDICES -
320
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 4:
1º - [Registrou na lousa o exposto abaixo, solicitando aos alunos que copiassem em
seus cadernos]:
MATEMÁTICA.
LETRA D.
12
11 13
0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 9 – 10
[Ao representar as datas – hoje, ontem e amanhã – relembrou os alunos acerca da
‘escadinha’, termo utilizado para denominar o esquema ilustrado acima. Transcorridos
alguns minutos, solicitou a solução da seguinte situação problema]:
DESENHE 1 DEZENA DE FLORES.
2º - [A docente definiu dezena como sendo a barra do Material Dourado. Disse aos
alunos que uma barra equivale a dez unidades, que por sua vez, são representados pelos
cubos menores. Manipulando barra e cubos, utilizou-se da seguinte relação Matemática]:
=
[Em seguida, leu o exercício proposto acima, solicitando aos estudantes que desenhassem dez
flores].
3º - [Decorridos alguns minutos, a professora corrigiu o problema – das dez flores –
utilizando-se da seguinte representação]:
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
1 2 3 4 5 6 7 8
10
[No momento da correção questionou alguns alunos perguntando quantas flores faltavam –
considerando as já desenhadas – para completar dez].
4º - [A docente solicitou a solução de outro exercício]:
A
PÊNDICES -
321
DESENHE 1 DEZENA DE BOLAS.
[Após registrar a atividade, a professora disse aos alunos qual a quantidade de bola que
deveriam desenhar. Transcorridos alguns minutos, dirigiu-se a lousa, desenhando dez bolas.
Como na situação das dez flores, perguntou aos alunos quantas bolas – das já desenhadas –
faltavam para completar dez bolas].
1 2 3 4 5 6 7 8
10
[Circulando pela sala, observou se os alunos estavam desenhando a quantidade correta de
bolas].
5º - [Ao entregar a Folha Atividade VIII, anotou na lousa o algarismo nove, pedindo
aos alunos que em suas folhas copiassem tal algarismo até o término da linha. Visando a
percepção da diferente grafia 9 e letra P, escreveu]:
– – – – – –
P
6º - [A professora chamou a atenção dos alunos ao cartaz fixado na parede – ver
observação da aula 1 e 2 – dizendo que este os auxiliaria na solução da 2ª atividade contida
na Folha Atividade VIII. A fim de explicar como solucionar esta atividade, desenhou na lousa
o seguinte esquema]:
1
[A partir deste desenho, a professora explicou que para solucionar tal atividade era
necessário ligar o número ao conjunto que continha o mesmo número de elementos.
Enquanto os alunos resolviam, a mesma observou-os, questionando os estudantes caso
solucionassem incorretamente. Transcorridos alguns minutos, chamou cada aluno para
verificar se os mesmos haviam ‘ligado’ os conjuntos aos números de forma correta. Abaixo
conta a Folha Atividade VIII proposta aos estudantes]:
A
PÊNDICES -
322
FOLHA ATIVIDADE VIII:
Copie.
–
Ligue cada conjunto ao numeral que corresponde à sua quantidade de
elementos.
6º - [A docente entregou a Folha Atividade IX aos alunos. Nesta, havia atividades
visando à construção de conjuntos conforme indicação do número de elementos.
Exemplificando, a professora solucionou o primeiro conjunto – de sóis – desenhando na
lousa os dois elementos necessários para a formação de um conjunto com quatro sóis]:
A
PÊNDICES -
323
' ' ' ' 4.
[Enquanto desenhava, dizia aos alunos: “– Tem que olhar os desenhos que já têm!”. No
momento destinado para os alunos solucionarem, completando os demais conjuntos, a
professora copiou a atividade na lousa para posterior correção. Decorridos alguns minutos,
corrigiu, desenhando na lousa os elementos que faltavam – de cada conjunto proposto. Nesta
correção houve a participação – diálogo – entre alunos e professora].
FOLHA ATIVIDADE IX:
Complete os desenhos até o número pedido.
A
PÊNDICES -
324
Observações mais relevantes:
1 – P: utilizou materiais concretos para explicar o que é uma dezena. [Concreto → Abstrato].
2 – P: “– Eu tenho que fazer o mesmo tanto de flores que tenho nas duas mãos”. [Ver a
questão do pensamento unívoco, biunívoco, raciocínio lógico-matemático: seriação,
seqüência e classificação].
3 – P: associou grafia do número (9) e letra (P) às direções janela e porta, respectivamente; ou
seja, o (9) ‘fica virado para a janela’, e o (P) ‘para a porta’. [Ver a questão espacial].
4 – P: “– Quando tem poucos elementos é mais fácil, eu já sei; quando tem muitos tem que
contar”. [Ver a questão da ilusão geométrica].
5 – P: ao questionar alguns alunos acerca de suas soluções – das atividades propostas –
provocou-lhes desequilíbrios cognitivos. [Ver a questão da equilibração majorante].
6 – P: disponibilizou tempo para os estudantes colorirem os desenhos contidos nas folhas
atividades entregues. [Ver a questão lúdica].
7 – P: “– Quanto falta para completar o conjunto de sóis?”. [Ver a questão da estrutura
aditiva].
8 – P: verificou se os alunos solucionavam corretamente as atividades propostas. [Ver a
questão da avaliação diagnóstica].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (7 E 8) GRAVADAS:
[...]
P: Presta atenção na escadinha porque sexta-feira eu dei uma atividade que era exatamente o
que a gente faz todo dia e não conseguiu fazer porque eu acho que não presta atenção na
escadinha, né! (A escadinha é o termo utilizado para referir-se ao esquema abaixo):
DIA DE HOJE
DIA DE ONTEM DIA DE AMANHÃ
P: Que dia é hoje?
A: Doze. (Disseram três alunos).
P: Doze, né! Que dia foi ontem? Qual número que vem antes do doze?
A: Onze. (Uma parcela da sala respondeu).
P: Onze! Qual o número que vem depois do doze? Treze! Presta atenção (chamou a atenção
dos alunos aos números 11, 12 e 13 que escreveu no esquema acima desenhado na lousa)!
Vamos ver quem lembra o que é dezena, heim! Quanto tem naquela barrinha de dezena?
(Referiu-se a barra do Material Dourado, mostrando-a a sala).
A: Dez. (Alguns alunos falaram).
A
PÊNDICES -
325
P: Dez unidades, né! Pra eu lembrar da dezena é só eu lembrar quantos dedos eu tenho nas
mãos, né?
[...]
(A professora, utilizando barras do Material Dourado, dialogou com os alunos).
P: Pronto, agora vamos prestar muita atenção! Como chama essa barrinha mesmo? (Mostrou
uma barra do Material Dourado aos estudantes).
A: Dezena.
(A maioria da sala respondeu euforicamente).
P: A dezena, né! Quando eu junto dez unidades, dez barrinhas soltas dessa, né (referiu-se aos
cubos menores), eu formo uma dezena!
A: Dezena. (Os alunos repetiram a palavra dezena).
P: É como se eu pegasse dez pedrinhas dessa (pegou dez cubos menores) que são unidades,
lembra?
A: Lembra! (Poucos alunos responderam).
P: E grudasse e formasse uma barrinha com dez. Essa barrinha com dez, ela chama o quê?
Uma dezena!
A: Dezena!
(A maioria da sala respondeu junto com a docente).
P: Se eu fosse contar em unidades seriam dez unidades; se eu fosse contar com essas
pedrinhas soltas, unidades! Como que eu grudei as dez pedrinhas dessa daqui
(hipoteticamente grudou os dez grupos) eu formei uma dezena.
A: Dezena.
(A maioria da sala falou junto com a docente).
P: Dezena, né! E uma dezena, ela vale dez unidades, não é?
A: É. (Metade dos alunos disse).
P: Então, pra gente lembrar da atividade de sexta-feira, é preciso saber isso! Vamos ver essa
atividade aqui, oh (foi a lousa e leu um problema anteriormente registrado):
DESENHE 1 DEZENA DE FLORES.
P: Quantas flores eu vou desenhar?
A: Dez!
(A maioria da sala respondeu).
P: Quanto vale isso aqui? (Mostrou uma barra do Material Dourado).
A: Dez.
(Grande parte dos estudantes disse).
P: Dez unidades! Então vai, todo mundo desenhando uma dezena de flores.
[...]
P: Presta atenção oh! Nós vamos continuar a fazer coisas sobre a dezena! Agora nós vamos
desenhar outro elemento. O que está escrito aqui? (Apontou em direção ao problema
registrado na lousa, mais precisamente na palavra BOLA):
DESENHE 1 DEZENA DE BOLAS.
A: Bola.
A
PÊNDICES -
326
(A maioria dos alunos leu a palavra assinalada pela docente).
P: Bolas, né! Mais de uma bola: bolas, plural. Lembra? Desenhe uma dezena de bolas. Quanto
é uma dezena de bolas, mesmo?
A: Dez!
(Euforicamente, a maioria dos alunos respondeu).
P: Então quantas bolas eu tenho que desenhar?
A: Dez! (Novamente a grande parte dos estudantes falou).
P: Nem mais, nem menos! Tem gente que não tá contando direito, fez um monte de flor e teve
que apagar (referiu-se a alguns alunos que, na situação problema exposta anteriormente,
desenharam mais de dez flores).
(Após alguns minutos, utilizando a lousa, a professora iniciou a correção):
P: Vamos fazer juntos?
A: Vamos. (Poucos alunos responderam).
P: Quanto vale mesmo uma dezena?
A: Dez!
P: Então, o que eu tenho que fazer? (Começou a desenhar bolas na lousa, e concomitante,
contou-as): uma bola, duas, três, quatro e cinco! Tá bom de bolas, já?
A: Não. (Alguns alunos disseram).
P: Já deu uma dezena?
A: Não!
P: Tem que fazer mais?
A: Tem.
(A maioria da sala falou).
P: Mais quanto?
A: Mais cinco. (Respondeu um aluno).
(Após a resposta deste aluno, grande parte dos estudantes falou):
A: Mais cinco!
P: Uma, seis (desenhou mais uma bola somando ao conjunto das cinco já desenhadas); sete
(desenhou outra bola, somando-as)! Quantas faltam pra dez?
A: Três. (Disse um aluno).
(Analogamente ao episódio anterior, o restante da sala respondeu);
A: Três!
P: Oito! Quantos faltam?
A: Duas.
P: Nove! Quanto falta?
A: Uma.
P: Dez. (Desenhou, por fim, a décima bola). Se você for contar e por o número embaixo, tem
que fazer assim, oh, exatamente os números embaixo do desenho! Um dois três quatro cinco
seis sete oito nove e dez (nesse momento, enquanto citava essa seqüência numérica, registrava
embaixo de cada flor números de 1 a 10):
1 2 3 4 5 6 7 8
10
P: Uma dezena de bolas!
[...]
A
PÊNDICES -
327
(Ao perceber que alguns alunos estavam confundindo a grafia do número 9 com a da letra P, a
docente interveio):
P: Preste atenção, oh! Antes do número dez, que número que vem?
A: Nove.
(Grande parte dos alunos respondeu).
P: Nove! Nós já estudamos o número nove! Mas hoje nós vamos treinar ele mais um
pouquinho! Só que presta atenção aqui, oh! O número nove, ele é virado pra onde? (Apontou
para o número 9 escrito na lousa).
A: Pra janela. (Metade da sala, aproximadamente, falou).
P: Se eu faço ele virado prá cá (referiu-se ao lado da parede onde se encontra a porta) vira
uma letra (escreveu a letra P na lousa). Que letra?
A: P.
(Todos os alunos leram).
P: Nós estamos estudando a letra P?
A: Não!
(A maioria disse).
P: Estamos estudando o número. Número nove. Pra onde o número nove está virado?
A: Pra janela!
P: Tem gente fazendo o número nove assim (referiu-se apontando à letra P escrita na lousa) e
não está certo! Assim é letra P. Outra coisa, a perninha do número nove ela é reta?
A: É!
P: Tem gente fazendo ela assim (ver ilustrações abaixo), tem gente fazendo ela com curvinha,
e não é assim. A perninha do nove é reta!
9 9
A: Reta! (Os estudantes repetiram o dito pela professora).
P: Então vai treinar o número nove até o final da linha. Bem certinha!
[...]
(A professora, ao explicar como solucionar a 2ª atividade da Folha Atividade VIII, utilizou o
cartaz fixado na parede, para assim, dialogar com os estudantes).
P: Nós temos vários conjuntos aqui (mostrou a Folha Atividade VIII)! São conjuntos do que?
Que elementos estão desenhados dentro dos conjuntos?
A: Bola! (Após alguns instantes, poucos alunos identificaram os elementos desenhados nos
conjuntos da Folha Atividade VIII).
P: Bola, bolinhas, né! Essas bolinhas representam quantidades! Igual aqui, oh, não é! (Nesse
momento dirigiu-se ao cartaz na lousa, mostrando os seguintes conjuntos):
0 -
1 - *
2 - **
3 - ***
6 - ******
7 - *******
8 - ********
A
PÊNDICES -
328
4 - ****
5 - *****
10 - **********
A: É! (Falaram alguns alunos).
P: Por exemplo, igual aqui, oh, o zero (apontou o conjunto zero do cartaz) tem elemento
desenhado?
(Nas falas do aluno a seguir, a grande maioria da sala respondeu euforicamente).
A: Não!
P: Não! E o um, tem elementos (novamente referiu-se ao conjunto um do cartaz)?
A: Tem!
P: Quantos elementos?
A: Um.
P: Olha a quantidade aqui, (apontou para o símbolo contido no conjunto unitário), uma
bolinha! E o dois, quantos elementos?
A: Dois!
P: E o três? Quantos elementos?
A: Três!
P: Isso, três bolinhas! Percebe que está sempre aumentando oh! (Referiu-se aos conjuntos 0 a
10 ilustrados no cartaz). O quatro, quantos elementos?
A: Quatro!
P: E o cinco?
A: Cinco!
P: E o seis?
A: Seis!
P: Seis bolinhas!
(Analogamente, a professora perguntou aos alunos o número de elementos – bolinha – até o
conjunto contendo dez bolas):
P: E o dez? Dez bolinhas que é a mesma coisa que uma dezena!
A: Dezena!
P: Então, aqui na folha (Folha Atividade VIII) vocês vão pegar o número e vai ligar ao
conjunto que representa a quantidade deste número! Por exemplo, o um, eu vou ter que achar
o conjunto que tem quantos elementos?
A: Um!
P: Então vai ter um elemento que vai ter quantas bolinhas?
A: Um!
P: Vai pegar o número um e ligar no um. (Nesse momento desenhou na lousa):
1
P: Pode fazer já então! Vai pegar o número e ligar em um conjunto! Tem que contar!
[...]
A
PÊNDICES -
329
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 12/05/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
Bem, agora eu tô, o principal conceito que eu estou pretendendo trabalhar é a idéia de dezena, né,
então eu preparei essas atividades focando principalmente a idéia da dezena, e mais também a
relação número-quantidade, número-quantidade.
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Eu acho que a maioria conseguiu entender o conceito de dezena! Fazer essa relação é (...) da
quantidade que é uma dezena, proporção pra unidade, então eu acho que o meu objetivo foi
alcançado.
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Ah sim, com certeza! Principalmente essa relação do número com a quantidade, eu acho! Se eu já
não tivesse trabalhado antes, principalmente a idéia de conjunto, né, eu acho que ficaria difícil agora
eles entenderem a dezena (...) que é um conjunto de dez, de dez elementos, de dez unidades, então se
eu não tivesse trabalhado essa idéia de conjunto antes ficaria difícil pra eles representarem a
quantidade agora.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Eu encontrei assim, por mais que você tente usar uma linguagem muito simples, você tem que usar
alguns conceitos, e aí eu achei que, no primeiro momento eles não entenderam, depois que eu
consegui fazer a relação com as mãos, que a minha idéia foi essa, trazer a atividade das mãos
(referiu-se a Folha Atividade VI) para que eles (os alunos) relacionassem com a idéia de dezena (...) e
num primeiro momento eu acho que eles não conseguiram fazer essa relação, mas acho que agora,
depois de hoje (referiu-se as aulas 7 e 8 observadas) os alunos entenderam bem. Então, a dificuldade
maior que eu encontrei foi essa, ao mesmo tempo que você tem que usar uma linguagem muito
simples, pela idade dele, mas você também tem que introduzir alguns conceitos e daí fica muito
abstrato, né! A dificuldade então foi referente ao próprio conteúdo matemático.
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Ah, sim! É, porque agora que eu entrar nas operações, de certa forma eu já trabalho as operações,
né, na hora que eles começarem assim, resolução de problemas, de ter que até montar a continha
mesmo, eu acho que é preciso que eles tenham muito claro a idéia de unidade e dezena! Então eu
tenho trabalhado bastante essa questão agora (da relação quantidade-número e dezena) pra depois
eles terem mais facilidade na hora de fazer as outras atividades.
A
PÊNDICES -
330
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Oh, eu tô sempre pensando, respondendo de um modo geral. Lógico que tem aqueles que, não vão
(ou seja, não aprendem-constróem os conteúdos em questão). De um modo geral eu consegui atingir
os objetivos, né, mas eu sei que eu tenho que retomar bastante com algumas crianças ainda! Com
esses que tem dificuldade, então, eu vou pensar de novo, eu acho que não tem uma linguagem mais
simples (referiu-se a utilizada pela mesma no momento de ministrar as aulas) pra eu trazer, porque as
vezes eu trago atividades de educação infantil, né! Mas eu acho assim, trazer mais atividades,
reforçar esse mesmo conteúdo, assim, uma mesma linha de atividade só que assim, com um nível de
dificuldade menor, sempre assim, procurando representar com desenhos, assim, pra ver se fica (para
o aluno) mais claro pra eles, porque ficou ainda muito vago pra eles (para os alunos com dificuldades
de aprendizagem)!
A
PÊNDICES -
331
I. III – Transcrição da Entrevista/Final: Data: 03/06/2008
1) Durante as entrevistas realizadas, você sugeriu (implicitamente) a necessidade de
Formação Continuada em relação ao ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino
Fundamental. O que você acha imprescindível abordar um curso sobre esta temática?
R:
Eu acho porque o seguinte, na Formação Inicial, no curso de Pedagogia, é muito pouco que se
aborda, né; então a mesma importância que se dá à alfabetização das crianças teria que dar a mesma
atenção ao ensino da Matemática também. Vários cursos, materiais, porque eu mesmo como eu falei,
muitas vezes me sinto despreparada, né! (O pesquisador perguntou a professora o que precisaria
ter/abordar um curso sobre esta temática) O quê? Que tipo de abordagem? Olha, eu acho assim, os
conceitos básicos; eu acho assim, é mais de metodologia, eu acho, que precisa. Porque você sabe o
conteúdo, como passar isso pra criança já que é um (...) Matemática é uma coisa tão abstrata! Então
o que eu acho que falta é metodologia; porque esses cursos têm que abordar mais assim, como você
vai abordar esse tipo de conteúdo, né; que atividades seria mais fácil pra criança aprender. Porque o
principal é isso, esses cursos têm que abordar metodologia!
2) Em uma das atividades propostas por você, haviam representações de casas onde as
crianças escreveram números pertencentes às unidades. Por que você utilizou a associação:
desenhos de casas às classes decimais?
R:
Então, essa é uma atividade pronta, né! Eu peguei a atividade e adaptei, né, ao conteúdo. Então
assim, eu não sei nem explicar (nesse momento a docente mostrou-se surpresa) porque se a casinha
da unidade que, num primeiro momento eu falei, eu achei que foi bem aceito, eles gravaram bem que
sempre é a casinha da unidade. Mas assim, não foi eu que criei, né; já era um exercício pronto.
Talvez, assim, faltou que é (...) esse negócio da gente pegar a atividade pronta e eu não me atentei a
isso!
3) Por que você utilizou, freqüentemente, conjuntos contendo elementos diversos para abordar
a noção de número? Existe alguma relação com a questão concreta?
R:
Oh, eu trabalhei bastante a idéia de conjunto porque na outra sala (referiu-se aos alunos do ano
anterior com os quais ministrou aulas) quando eu fui trabalhar a idéia de multiplicação eles tiveram
muita dificuldade pra agrupar, pra entender a idéia da multiplicação porque eles não tinham noção
de conjunto. Aí, pra esse ano, quando eu achei esse tipo de atividade lá no livro (isto é, as atividades
que enfatizavam a questão de conjuntos contendo elementos diversos) eu pensei assim: “– Oh, é legal
pra ele (o aluno) tanto entender o número e a relação com a quantidade quando você faz o conjunto, e
também depois na hora que você vai trabalhar a multiplicação ele já tem claro essa idéia de
agrupamento, de conjunto!”. Então eu pensei isso, não só agora a relação do número com a
quantidade, e, também, mais pra frente quando você começa a trabalhar com a idéia da multiplicação
e divisão.
(Até o momento a docente respondeu a primeira pergunta desta questão. A partir deste ponto, a
professora argumentou sobre a segunda pergunta): Sim, essa relação do número com a quantidade
porque eu acho necessário, por exemplo, você mostra o três (isto é, um conjunto contendo três
elementos). Pra nós isso é fácil, três é três. Se ele (o estudante) não registra ele não consegue
entender essa relação do número com a quantidade; que aquele número é referente àquela
quantidade.
A
PÊNDICES -
332
4) Em uma entrevista, você falou: “(...) as crianças que já tem um conhecimento prévio, tipo
assim, um pouquinho a mais Matemática, eles entendem a atividade e acho que absorvem a
atividade com muito mais facilidade que os outros (...)”. Defina o termo: ABSORVEM.
R:
(Antes de responder a professora riu, delicadamente): é (...) talvez eu não tenha me expressado
bem, né, mas assim, é (...) o conhecimento prévio, alguma coisa pré requisito para outra, eu entendo
assim. Então, quer dizer, se a criança não tem uma noção de nada fica muito difícil ela entender esses
conceitos que eu estou passando, tanto é que eu tive que mudar um pouco, voltar porque eu achei que
eles não estavam acompanhando (isto é, no início deste ano letivo, a professora
reorganizou/reformulou os objetivos propostos para o desenvolvimento dos encaminhamentos
didático e metodológicos). Acho que a idéia de absorver que eu coloquei é a idéia assim de
compreender o conteúdo, né; e esses que eu acho que já vieram com um conhecimento prévio, assim,
uma idéia de quantidade de seqüência numérica mesmo, eles vão muito mais rápido, assim, entendem
então! Mas essa idéia de absorver mesmo é de compreender o conteúdo.
5) No momento de expor alguns conceitos aos alunos, você utilizou Materiais Concretos, tais
como sua própria mão e peças do Material Dourado. Por que resolveu usar tais materiais?
R:
Ah, eu acho que assim, a Matemática por ser tão abstrata, se você não der algo mais concreto fica
difícil deles (referiu-se aos alunos) visualizarem. Até mesmo assim o desenho fica ainda abstrato;
tanto é que a idéia da dezena com as mãos, ainda que eles não lembrem de imediato eles pegam e
contam um dedinho (a professora mostrou os dez dedos de suas mãos) (...) “– Ah, é dez!” (ou seja, a
docente representou a fala de um aluno ao contar os dez dedos presentes nas suas duas mãos). Então
assim, a idéia de utilizar o material, né, o ideal é que cada criança tivesse um Material Dourado...
Então eu fico procurando recursos, né, além dos desenhos que é uma figura plana pra que eles (os
estudantes) possam sentir o próprio dedo, o próprio Material Dourado, né, e conseguir fazer essa
relação com a quantidade!
6) O que você pensa a respeito das dinâmicas de grupo? Ao responder no
“Questionário/Entrevista Inicial” que utiliza esse procedimento POUCO é devido a qual
motivo?
R:
É, no caso dessas carteiras em duplas, né, você está sempre fazendo uma atividade em grupo.
Ainda que seja dupla, né, é (...) você acaba trabalhando sempre em grupo. Falar que eu dô atividade
individual aqui? Não! Eles estão sempre fazendo juntos. O que você acha a respeito das dinâmicas de
grupo? (Nesse momento a professora repetiu a pergunta feita pelo pesquisador). Eu acho assim, que
eu trabalho pouco com grupos assim maiores pela dificuldade mesmo, espaço da sala... Eu gostaria
de trabalhar mais, vou ser bem sincera, o tempo é curto, o conteúdo e, às vezes até você movimentar
toda a sala – e não tem espaço pra movimentar tudo – eu acabo optando pela dupla do que por um
grupo maior! Mas eu gosto do grupo, eu gostaria de trabalhar mais; e também assim falta um pouco
assim de conhecimento mesmo no como trabalhar num grupo maior, que tipo de atividades, que tipo
de jogos, né!
7) Os meios educacionais (isto é, os documentos oficiais ou periódicos veiculados pela mídia)
argumentam sobre a importância de/em ‘provocar’ o aluno, estimulando-o através de
situações INTERESSANTES. Você acha que adota esta atitude em suas aulas? Como?
R: E
u acho que sim. É (...) essa coisa assim, fala-se muito de você trazer o cotidiano, né, dentro da
sala de aula! Eu acho que não é só isso. Eu acho que vai desde o material que você apresenta pro
aluno, né, uma coisinha mais lúdica, né, do que você dar aquela folha sem nada e... . Principalmente
A
PÊNDICES -
333
na primeira série que eles ainda estão muito ligados à Educação Infantil e (...) então eu acho que eu
tô (...) eu sinto pela reação da sala e eles gostam muito das atividades que eu dô. Então eu acho que
visualmente é interessante pra eles, é bem claro, né! Eu acho que é muito mais claro do que se eu
passasse na lousa, né, e (...) pensando nisso o material que eu trago está sendo interessante pra eles,
né! É (...) porque se não fosse eles: “– Ah, de novo essa atividade!”, então eles gostam de fazer, a
resposta que eu tenho é essa! Eu procuro sempre assim trazer uma coisinha mais lúdica que eles
possam aprender e também se divertir com a atividade; e se eles estão dando uma resposta eu
acredito que isso seja interessante.
8) O que você tem a dizer sobre os fatores: número excessivo de alunos e a escassez de
materiais manipulativos quando pensamos em um ensino alicerçado nas concepções
construtivistas piagetianas? Comente.
R:
É aquilo que eu já tinha te falado! O ideal seria que cada criança tivesse um (...) ainda que não
seja um material (referiu-se ao Material Dourado) um material mais concreto seu, um “kitizinho”,
alguma coisa. Como fazer isso? Eu não sei por que a gente não tem na escola e eu não tenho como
comprar (nesse momento a professora riu brevemente), também, né; mas assim, eu acredito na
necessidade da criança ter contato com o concreto. Então, a falta de um material concreto para todos
eu acho que limita um pouco às vezes algumas atividades, né, então assim, você (professor) mostra é
diferente da criança ter o contato, ela mesmo né, ela manuseando o próprio material, na casa dela
quando ela tem alguma dúvida, sabe, na própria mesa (na sala de aula) realizando alguma atividade.
O número excessivo de alunos atrapalha bastante, porque, até pensando assim uma atividade em
grupo se você tem menos alunos sobra mais espaço na sala pra você poder movimentar carteira e
agrupar essas crianças ficaria mais fácil. Sem contar que muitas crianças necessitam de uma atenção
especial; quanto mais alunos você tem isso fica mais difícil, porque você tem que dar atenção pra
todas. Quanto mais você tem, o tempo de atenção que você dispõe pra essa criança é menor (...) você
tem que atender a todos, “como?”, você diminui o tempo pra ver se você consegue atender a todos.
Porque ainda que sejam dificuldades diferentes, todos (alunos) precisam de uma ajuda, uma atenção
especial.
9) No Questionário/Entrevista Inicial, quando perguntado a você a respeito de alguma crítica
sobre o construtivismo ‘piagetiano’, obteve-se como parte da resposta o trecho a seguir: “(...)
ah agora estamos seguindo a linha do construtivismo, então às vezes você vê livros assim, aí
tão legais interessantes, mas você não consegue trabalhar com a criança, porque ela não tem
aquele conhecimento mínimo ainda, né.”. O que seria esse CONHECIMENTO MÍNIMO
para você? Comente.
R:
É, o que eu percebo dos livros, eu acho (...) por exemplo, a criança tem que ter o conhecimento
mínimo: de seqüência numérica, registro de quantidade; e o livro ele não vê isso, né. Ele já vem assim
como se a criança já tivesse esse conhecimento de seqüência, por exemplo, tem lá o joguinho: “Vá
com o dado seguindo a seqüência!”; se ela (referiu-se ao aluno) não sabe a seqüência como é que ela
vai participar do jogo? Isso não vem no livro, né; se ela não sabe essa idéia de relação do número
com a quantidade, né, como que ela (o aluno) vai fazer aquela atividade que tem lá pra ela contar
quantos a... tem no livro deles por exemplo: quantos animais tem em ali na fazenda? (Nesse momento
a professora fez referencia a uma atividade presente no livro didático de Matemática adotado pela
escola). Ela (referiu-se ao estudante) não sabe contar ainda, como ela vai contar? Como ela vai fazer
esse registro se ainda não tem a idéia: o oito, como é o desenho do oito? Né! Então, assim, é
interessante, é bonito, é colorido, parece ser bem lúdico só que pra mim esses conceitos mínimos são
esses! A idéia de seqüência numérica, de registro de quantidade, né; e do próprio traçado do número
mesmo; não tem isso no livro e a criança da primeira série tá chegando assim pra gente (isto é, sem
A
PÊNDICES -
334
esses conhecimentos mínimos); assim como ela não tem noção de letra ela não tem noção de número!
Então, é bonito, é legal, mas inicialmente não tem como você usar o livro sem que a criança tenha
esse conhecimento mínimo que eu acredito que ela tem que saber! Se você falar: “– Ah, não, aí ela
vai fazer...”. Ela não vai fazer! Como que ela vai participar de uma atividade que ela precisa saber a
seqüência e ela não sabe; oralmente ela não conta ainda também! Entao ela não participa nem da
brincadeira do esconde-esconde, por exemplo. Geralmente a criança não sabe contar; então eu acho
assim que deveria se pensar nisso. Ou, a criança deveria aprender isso na Educação Infantil? Eu não
sei, eu não dou aula na Educação Infantil e não sei como que funciona, né! Então, assim, como eu
peguei a sala esse ano eu senti bastante essa necessidade, porque eu me organizei pensando: a
criança sabe a seqüência até o dez, ainda que não saiba registrar, mas oralmente. E aí eu percebi que
não, então eu tive que voltar mesmo e trabalhar esses conceitos, assim que eu acho mínimos mesmos,
essenciais só que mais pra frente a gente possa fazer essas atividades do livro. Tanto é que eles olham
tudo, mas eles não conseguem fazer ainda esses que não tem essa idéia da seqüência ainda bem clara!
(Nesse momento o pesquisador refez a pergunta, salientando: “– Então a crítica recairia sobre os
autores dos livros que, dizendo-se construtivistas, acham que os alunos têm pré-requisitos só que na
realidade não é isso que ocorre?”): Isso! É! Aí a crítica, igual eu te falei; aí vai de cada município
também: o que você tem que dar na Educação Infantil? A criança deveria sair da Educação Infantil
com esse conhecimento? Não é? É trabalhado com ele essa idéia de número, de seqüência, de contar?
Se não for, então que dê o professor da primeira! Se for o professor da primeira que tem que dar; é
um livro fora da realidade, né (a docente referiu-se ao seu atual livro didático de Matemática). Então
a minha crítica é essa, assim, o professor da Educação Infantil, a realidade da Educação Infantil que
também tem o excesso de alunos, todas aquelas coisas que a gente também encontra; ou se é o livro
mesmo! Não é? Será que é um livro que não pensa nessa realidade do aluno que tá vindo mais novo e
que também pensa que a Educação Infantil trabalha...? Porque, se a gente for ver isso até o livro de
português mesmo, ele vem como se a criança tivesse um domínio de tudo, e ela não tem! Aí a minha
crítica é essa; é a Educação Infantil que não tá trabalhando ou os autores dos livros que ainda não se
adaptaram a essa realidade?
A
PÊNDICES -
335
APÊNDICE J – Pesquisa de Campo realizada com P-III:
A seguir constam os registros provenientes da pesquisa de campo realizada com P-III
na E-II.
J. I – Transcrição da Entrevista/Inicial: Data: 15/04/2008
1) Durante a sua Formação Pedagógica Inicial, teve oportunidades para refletir sobre o Ensino
da Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental? Comente.
R:
A gente sempre tem né, um período assim de reflexão pra saber, até que ponto aquela criança tá
entendendo o ensino da Matemática pra você dar seqüência no trabalho. (Pesquisador refez a
pergunta à professora participante, tendo em vista a possível não compreensão do questionamento).
Ah, não agora a cada momento que a gente pega! (...) Ah, eu acho que não viu Richael (professora
não recordou momentos na faculdade destinados à reflexão do Ensino da Matemática nas séries
iniciais), porque eles dão o diploma pra gente e você vai aprender ali, no dia a dia né, na prática
mesmo, né Richael. Eles dão a teoria (os professores universitários), a prática é você quem vai
desenvolver, igual agora você pega a classe com diferentes níveis, você tem que ver o que aquela
criança sabe e o que os outros já atingiu, e você pegar essa daqui (a criança com dificuldades em
Matemática) e procurar atingir onde está o outro! Então eu acredito que na Formação Inicial,
magistério foi dado a teoria.
2) Quais Teorias Educacionais (focando os aspectos ensino e aprendizagem) você teve
contato durante sua formação inicial? Descreva o modo no qual este contato ocorreu.
R:
Hum, Richael está tão longe! Não me recordo não, assim! Quais as teorias? (Percebendo que a
professora participante não se lembrava das teorias educacionais, ou seja, dos nomes atribuídos às
mesmas, o pesquisador citou-as; tais como: tradicional, tecnicista, construtivista, histórico-crítica,
humanista,...). É, na época em que eu me formei era mais o ensino tradicional mesmo, até porque era
na década de 70 (1970), né. Então foi essa aí, e foi um contato tradicional, a professora falava e a
gente escutava tentando entender, tudo muito memorizado, e como eu disse na primeira pergunta, não
tínhamos momentos de reflexão!
3) A Teoria Educacional Construtivista baseada em contribuições da Epistemologia Genética
elaborada por Jean Piaget já lhe foi apresentada em algum momento? Você conhece os pontos
principais desta proposta? Caso conheça, quais pontos você utiliza?
R:
Chegar assim, mostrar direto e reto, nunca! O que a gente, o que eu sei assim é através de leitura.
Quando eu ouço falar assim: “– A vai mudar, vai ser Piaget, vai ser isso, aquilo!”, e daí eu procuro
ver alguns livros, pra eu ter um embasamento ali aonde me apoiar. Mas dizer que vai ser o
construtivismo, que vai ser em cima de Piaget, isso nunca ninguém me falou. O que eu tenho assim
aprendido, foi bastante através de leitura (...) eu procuro saber como a colega está trabalhando em
cima daquilo (do construtivismo), vejo o que tá dando certo, procuro, eu vou, aprendo com elas (com
as professoras, colegas de profissão que utilizam tal tendência construtivista). Quanto aos pontos
principais, eu já li, mas no momento eu não me recordo, mas ler eu já li!
4) Em relação à pergunta anterior, você possui alguma crítica em relação ao construtivismo
‘piagetiano’? Se sim, qual(s) idéia(s) desta teoria você critica?
A
PÊNDICES -
336
R:
Não, eu não tenho assim nenhuma crítica, eu só acho assim, eu estou seguindo aquela linha
(referiu-se a teoria educacional que alicerça a sua prática) e vejo que se, determinada aluno está
seguindo bem eu continuo, mas se eu percebi que outro aluno está tendo dificuldade eu vou buscar
outros meios para a criança poder entender. Esse ano mesmo, eu tive alunos que não tinha noção de
quantidade, de seqüência, de unidade, não tem nada, (...) então você tem que começar lá da base
mesmo dele. Então você tem que ver o potencial da criança, dou continuidade dentro daquilo que ele
atingiu, se não atingiu eu procuro outros meios.
A
PÊNDICES -
337
J. II – Registro das aulas observadas.
Seguem os registros decorrentes do preenchimento do Roteiro de Acompanhamento
(Apêndice D), Registro por: Escrito e Gravado em Áudio e Entrevista realizada Pós-Aula
(Apêndice E).
J. II. 1 – Aulas 1 e 2. Data: 16/04/2008
ROTEIRO 1:
Categorias: 10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 1 A U L A: 2
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X 1
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
X 1
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X 1
6. Troca de idéias entre alunos e alunos. X X 2
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1, 2, 3.
1
X
2
X
2
X
3
X
3
X
5
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X 3
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X X X X X X X 7
5. Outros:
Total de Horas Observadas:
1: 40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 1)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
2 – Auxilia as duplas.
3 – Auxilia os alunos individualmente.
Materiais Utilizados:
A
PÊNDICES -
338
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 1:
1º - [Professora escreveu na lousa a agenda do dia]:
Agenda:
Leitura: A raposa e a cegonha.
Matemática.
Arte.
Geografia.
2º - [A docente apresentou o Ábaco às crianças, denotando como resolver a operação
32 ÷ 2, utilizando-o]:
Como fazer essa divisão:
D U
3 2 2
1 16
[A professora manipulava as peças móveis no Ábaco, pretendendo que os alunos
acompanhassem o raciocínio referente à efetuação da divisão acima]:
Dividem-se as 3 dezenas por 2.
Troca-se 1 dezena por 10 unidades,
porém a professora representou as
unidades na classe das dezenas.
Ao dividir as 12 unidades, não
sobrou nenhuma peça.
3º - [A docente registrou na lousa as seguintes atividades, solicitando aos alunos a
utilização do Ábaco – que a mesma entregou a cada dupla – para a solução das divisões]:
Atividades:
1 – Calcule os quocientes:
C D U
C D U
C D U
C D U
C D U
A
PÊNDICES -
339
a) 96 ÷ 8 = b) 56 ÷ 2 = c) 72 ÷ 3 = d) 48 ÷ 3 =
e) 64 ÷ 4 = f) 80 ÷ 5 = g) 60 ÷ 4 =
4º - [Explicou a um grupo de alunos, que apresentavam dificuldades na maioria das
disciplinas escolares, o significado dos símbolos igual (=) e diferente (≠). Em seguida, a
professora escreveu na lousa os seguintes exercícios para que estes alunos resolvessem
individualmente]:
MATEMÁTICA:
= IGUAL, EX.: 2 = 2, 8 = 8.
≠ DIFERENTE, EX.: 4 ≠ 6, 10 ≠ 11.
1 - COMPLETE COM OS SINAIS = IGUAL OU ≠ DIFERENTE:
8 _ _ _ 4 9 _ _ _ 9 6 _ _ _ 6
5 _ _ _ 4 3 _ _ _ 3 11 _ _ _ 15
5º - [A professora auxiliou as duplas nas soluções das divisões mediante manipulação
com o Ábaco. Ela, em alguns momentos, questionou os integrantes da dupla, para que estes
percebessem se estavam manipulando as peças móveis corretamente ou não].
6 – [Na lousa, a docente auxiliou uma aluna a resolver a divisão 72 ÷ 3. A aluna
escreveu no quadro negro o ilustrado abaixo]:
2 grupos e sobrou 1
dezena.
D U
7 3 3
1 2 24
0
4 grupos e sobrou 0
unidade.
Observações mais relevantes:
1 – P: mostrou o Material Dourado aos alunos, manipulando os cubos menores que
representam as unidades. [Concreto
→ Abstrato].
2 – P: distribuiu um Ábaco a cada dupla, mas antes utilizou-o para representar uma divisão
A
PÊNDICES -
340
exata e com uma casa decimal no divisor. [Concreto → Abstrato].
3 – P: preparou atividades diferenciadas a seis alunos que apresentavam dificuldades nas
disciplinas escolares. [Pensar nas diferenças de desenvolvimento cognitivo dos alunos].
4 – P: fez perguntas do tipo: “– Por que vocês fizeram isso?” aos integrantes das duplas,
visando ‘desequilibrar’ os alunos, ou seja, para que os mesmos pensassem sobre as divisões
que estavam realizando ao utilizarem o Ábaco.
5 – Embora cada Ábaco (utilizado) possua peças móveis com três cores (azul, laranja e
verde), donde cada cor deveria ser utilizada para representar unidades, dezenas e centenas
(não importando a cor escolhida para cada valor decimal), os alunos distribuíram as peças nas
hastes do Ábaco sem diferenciá-las.
6 – Em alguns momentos, a professora utilizou somente as peças móveis (coloridas) do
Ábaco, desprezando a base com as hastes que indicavam os valores decimais.
7 – P: “– Dá um toquinho e pega (cai) o ...”, expressão utilizada pela professora para indicar
qual o número (valor decimal) do dividendo a ser dividido pelo divisor.
8 – P: passou a auxiliar os alunos, individualmente, ao perceber que alguns (das duplas) não
conseguiam realizar as divisões manipulando o Ábaco.
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (1 E 2) GRAVADAS:
[...]
P: Oh, hoje nós vamos fazer a divisão usando o Ábaco. Vai dar pra cada duas crianças
trabalhar com o Ábaco que eu vou apresentar pra vocês e vocês vão ver divisão, (...) que não
existe coisa mais gostosa que saber Matemática. Todo mundo tem medo da Matemática, mas
é a melhor matéria é ela. Porque tem matéria oh, eu tenho história, geografia e ciências, e tem
que chegar em casa e rachar de estudar, (...) a Matemática se eu entender o que o professor
falou e eu souber a tabuada ninguém passa a perna em mim, eu vou ser melhor! Agora, vocês
tem que saber tabuada de cabeça, eu sei tabuada não é porque eu sou professora não, desde
criança eu já sabia todas de zero a dez. Então, o que o aluno tem que fazer pra saber tabuada?
A: Estudar.
P: Estudar! Eu já falei, estuda em casa e daí chega na sala e pede que a professora toma de
vocês.
A: Tá.
(Alguns alunos responderam à professora).
P: Oh, aqui, como eu já mostrei a vocês tem o Material Dourado. Quanto que vale essa
pecinha aqui? (Mostrou o cubo menor às crianças).
A: Unidades.
P: Quando eu junto (agrupou dez cubos que valem uma unidade cada): uma duas três quatro
cinco seis sete oito nove e dez, eu junto uma...
A: Dezena.
A
PÊNDICES -
341
P: Então eu tenho uma desse daqui. (Mostrou uma peça, a ‘barra – um paralelepípedo ou
prisma de base quadrada’ que no Material Dourado representa dez unidades).
P: Pra representar o doze como eu faria? Eu teria uma unidade (...) aliás uma dezena e duas...
(Agrupou em sua mesa o exposto abaixo):
A: Unidades.
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
P: Então quer dizer que vocês entenderam isso hoje, né!
[...]
P: Oh, quando eu for dar o Ábaco pra vocês ele não vai estar montado. Vocês vão ter que
colocar as varetas nesse buraquinho da base. Daí, quando vocês colocarem ele na mesa, a
varetinha que estiver no sentido da porta é das unidades. E no meio?
A: Das dezenas.
P: E no sentido das janelas, do outro lado?
A: As centenas.
P: Então nós vamos fazer a divisão, oh, trinta e dois dividido por dois. O dois é o quê?
A: Unidade.
P: E o três?
A: Dezena.
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Então, eu vou pegar o meu Ábaco, e tá dividindo por quanto?
A: Dois.
P: Então eu vou pegar, na dezena, quantos elementos eu vou ter que por? (Perguntou aos
alunos quantas peças móveis colocar na haste -varetinha- das dezenas).
A: Três.
P: Então vamos contar: Um dois três.
A: Um dois três.
(Professores e alunos contaram juntos, enquanto a professora encaixava as peças na haste do
meio).
P: Na unidade?
A: Um.
A: Dois.
P: É dois. (...) Bom, olha lá a divisão (pediu que os alunos vissem a operação escrita na
lousa). O que eu falei pra vocês, quando esse número aqui for maior, eu preciso pedir ajuda
lá? (Se referiu às três dezenas, que, por ser maior que o dois – o divisor – não é necessário
considerar o valor decimal em unidades, ou seja, trinta e duas unidades. Assim, é possível
primeiramente dividir as dezenas, sendo que o quociente será formado por um valor contendo
algarismos no valor decimal das dezenas e das unidades).
A: Não.
P: Eu vou pegar o três e vou dividir por dois. (Mostrou as três peças móveis encaixadas na
haste da dezena).
P: Quantas vezes dá pra eu pegar?
A: Uma
P: Oh, eu tiro um de cada lado e quanto sobrou aqui? (Mostrou aos alunos a haste da dezena
com somente uma peça móvel já que as outras duas foram retiradas por terem sido divididas
A
PÊNDICES -
342
por dois, ou seja, cada pecinha retirada foi colocada, separadamente numa parte da mesa da
professora).
A: Um.
P: E é aquele esqueminha (...) Uma vezes dois é... (Professora foi à lousa e resolveu a
primeira parte da divisão, mostrando que ao dividir 3 dezenas por dois sobram apenas uma).
A: Dois.
P: Para chegar no três?
A: Nada.
(A maioria dos alunos respondeu a fala acima).
A: Um.
(Outros dois alunos responderam corretamente).
P: Nãâããoooo !!! Para chegar no três?
A: Um.
P: Sobrou uma...
A: Dezena.
P: Mais duas...
A: Unidades.
P: Eu Vou dar um toquinho aqui e vou colocar as duas unidades ao lado da uma dezena que
sobrou. Esse um aqui é resto, eu nunca posso dividir o resto, se eu ver que não tem lá em cima
algum número para abaixar, para dar um toquinho, eu acabei minha divisão. (Professora
apontou na lousa o fato de considerar as doze unidades a serem divididas por dois. Esse
toquinho é um tipo de traço vertical que a docente fazia sobre o número dois, indicando que o
mesmo ‘desceu’, ou seja, foi à linha de baixo para se juntar com uma dezena que sobrou da
primeira divisão).
P: Ficou doze, então nós vamos por agora quantas unidades aqui para completar doze?
(Mostrou no Ábaco a representação do número doze, como exposto na ilustração abaixo):
A: Duas.
P: Quantas dezenas?
A: Uma.
P: Eu já tenho uma!
A: Dez.
A: Onze.
(Grande parte dos alunos respondeu onze).
A: Nove
P: Eu já tenho uma unidade aqui, pra completar dez? (Nesse momento, na haste da dezena, a
professora quis que os alunos dissessem quantas unidades faltam para completar dez. O
problema residiu, pois, esta haste conforme já ilustrada representa o valor decimal das
dezenas, porém, procurando mostrar aos alunos que uma dezena – mostrada na ilustração
C D U
A
PÊNDICES -
343
acima – equivalia a dez unidades, a professora não se atentou ao fato da possível confusão
causada nos alunos).
A: Nove.
P: Isso, muito bem! Nove. Duas três quatro cinco seis sete oito nove e dez.
A: Duas três quatro cinco seis sete oito nove e dez.
(Contando juntos, a professora completou a haste das dezenas com as nove peças móveis;
observe como ficou na figura abaixo):
P: Dez mais dois?
A: Doze.
P: Dividido por quanto?
A: Dois.
P: Então nós vamos pegar: dois (...) mais dois (...) mais dois (...) mais dois (...) mais dois (...)
e mais dois (foi retirando duas pecinhas de cada vez, até formar em sua mesa seis grupos
iguais). Vamos ver quantos montinhos de dois? Um dois três quatro cinco e seis.
A: Um dois três quatro cinco e seis.
(Alunos e professora contaram os grupos com duas peças cada colocados na mesa da
docente).
P: Aonde eu vou colocar o seis? (Apontou na lousa o local onde está escrito a operação de
divisão 32 ÷ 2).
A: Debaixo do dois.
P: E agora? Vamos ver quanto tem aqui: uma duas três quatro cinco seis sete oito nove dez
onze doze (contou todas as peças agrupadas de dois em dois). Duas vezes seis ou seis vezes
dois?
A: Doze.
P: Pra doze?
A: Nada.
P: Sobrou alguma bolinha aqui? (Se referiu ao Ábaco, que devido à última divisão ficou
‘vazio’, ou seja, sem nenhum valor numérico representado).
A: Não.
P: Deu pra entender?
A: Deu.
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Dá pra ir em frente?
A: Dá.
P: Eu vou entregar um Ábaco pra cada dupla, (...) um ajudando o outro!
A: Tá.
[...]
C D U
A
PÊNDICES -
344
J. II. 2 – Aulas 3 a 5. Data: 18/04/2008
ROTEIRO 2:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 3 A U L A: 4
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor.
X X 2
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X 3
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1, 2, 3
1
X
2
X
2
X
2
X
3
X 5
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz.
X X X 3
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X X X 3
5. Outros: 1
1
X
1
X
1
X
1
X 4
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 2)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
2 – Questiona os alunos.
3 – Corrige os cadernos dos alunos, chamando a
atenção a possíveis erros.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
A
PÊNDICES -
345
Categorias: 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 5
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor.
X 1
2. Agrupamento dos alunos para realização de atividades sugeridas
pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em outras áreas do
conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações, brincadeiras, entre
outras.
12. Outros: 2
2
X
2
X
2
X
2
X 4
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz.
X 1
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre de Hanói,
Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco, etc.
X X X X 4
5. Outros:
Total de Horas Observadas:
0:50 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 2)
Procedimento Didático e Metodológico:
2 – Questiona os alunos.
Materiais Utilizados:
A
PÊNDICES -
346
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 2:
1º - [Professora registrou na lousa a Rotina do dia]:
AGENDA:
LEITURA: A FESTA DO CÉU
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
RECREIO
RODA
RODA
2º - [Escreveu na lousa os exercícios, tipo tarefa, da aula anterior. A docente chamou
alguns alunos para irem à lousa resolver as divisões, utilizando o Ábaco].
2º Passo: Correção da tarefa:
5 6 4
1 6 14
0
3 6 2
1 6 18
0
7 2 6
1 2 12
0
4 8 3
1 8 16
0
7 4 2
1 4 37
0
5 2 2
1 2 26
0
3º - [A professora pediu que os alunos resolvessem as seguintes divisões exatas
utilizando o Ábaco]:
Atividades
Efetue as divisões:
1) 75 ÷ 3 = 4) 65 ÷ 5 =
2) 56 ÷ 4 = 5) 75 ÷ 5 =
3) 78 ÷ 3 = 6) 42 ÷ 3 =
4º - [A docente chamou a atenção dos alunos para os termos quociente e resto,
esboçando na lousa o seguinte esquema]:
RESTO
QUOCIENTE
A
PÊNDICES -
347
5º - [Uma aluna dirigiu-se a lousa para resolver a divisão abaixo, sendo auxiliada
pela professora que a ajudou a pensar sobre os agrupamentos (dos traços verticais)
representados abaixo]:
Sobraram 2 e agrupei uma
vez.
7 5 5
2 5 15
0
6º - [A professora foi à lousa e oralmente explicou como resolver a seguinte divisão,
utilizando o recurso dos agrupamentos dos traços verticais]:
Sobraram 3 e agrupei uma
vez – representação
referente à divisão das 8
dezenas.
8 0 5
3 0 16
0
Observações mais relevantes:
1 – P: auxiliou os alunos a resolverem algumas divisões ofertando-lhes o Ábaco. [Concreto
→ Abstrato].
2 – P: questionou alguns alunos no momento em que os mesmos manipulavam as peças
móveis do Ábaco. [Concreto → Abstrato].
3 – P: confundiu-se ao auxiliar um aluno dizendo que o algarismo 7, pertencente ao número
74 é uma unidade. Isto decorreu quando o aluno, ao dividir este número por dois, considerou
as 7 dezenas como sendo 7 peças móveis do Ábaco, e a professora disse: “–
Quantas
unidades sobraram que não foi possível agrupar de dois?”.
4 – Enquanto os alunos, a grande maioria, resolviam as divisões fazendo uso das peças
móveis do Ábaco (e não deste como um todo), a professora auxiliou alguns alunos com
A
PÊNDICES -
348
dificuldades, distribuindo-lhes atividades de alfabetização.
5 – P: corrigiu individualmente os cadernos dos alunos referentes às divisões solicitadas,
questionando alguns quanto à solução das divisões. [Pensar nos desequilíbrios provocados
nos alunos (oriundos deste questionamento); e a necessidade de recorrer a materiais
concretos no momento de questionar os estudantes].
6 – Alguns alunos juntaram-se à mesa da professora para manipularem as peças do Material
Dourado, em especial o cubo menor equivalente às unidades, objetivando solucionar as
divisões solicitadas pela docente [Concreto → Abstrato].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (3 A 5) GRAVADAS:
[...]
P: Primeiro de tudo, o que você olha na divisão, qual número você vai dividir? (Professora
perguntou a um aluno que foi à lousa para resolver 56 ÷ 4).
A: O cinco.
P: Ele é maior ou menor que quatro?
A: Maior.
P: Então você acha que ele sendo maior dá pra dividir por quatro?
A: Sim.
P: Então faz a divisão, ou aqui (na lousa), ou com o material concreto (colocado na mesa da
professora) (...) do jeito que você quiser fazer.
(O aluno dirigiu-se à mesa da docente, agrupa cinco peças móveis do Ábaco, e em seguida
divide esse grupo em dois subgrupos: um contendo quatro peças e o outro somente com um).
P: Sobrou alguma coisa ali? (Professora se referiu ao subgrupo contendo uma peça).
A: Não.
P: Não, olha bem ali!
(Aluno voltou à mesa e percebeu que um subgrupo, contendo uma única peça, é o resto da
divisão de 5 dezenas por 4. Assim, foi a lousa e escreveu o ilustrado abaixo):
5 6 4
1 1
P: Por que esse um está aí?
A: Porque ele sobrou quando eu multipliquei esse (apontou o número um do quociente) por
esse (mostrou o número quatro, o divisor).
P: Isso, porque quando você fala, uma vezes quatro dá quatro, para chegar no cinco falta um.
Muito bom, e agora, olha bem quanto eu tenho, é daqui pra lá. Se você usou o cinco, terminou
o do cinco, o que você faz? Dá um toquinho, ele cai (referiu-se ao traço vertical feito sobre o
número seis, indicando que a partir desse momento passou-se a dividir as dezesseis unidades).
Quantos, quantas unidades você vai ter que pegar?
A: Dezesseis.
A
PÊNDICES -
349
P: Então vamos lá. (Ou seja, que o aluno fosse a sua mesa e agrupasse dezesseis peças móveis
do Ábaco).
A: Um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez onze doze treze catorze quinze e
dezesseis. (O aluno contou em voz alta enquanto manipulava as peças).
P: E daí?
A: Deu quatro.
P: Quatro, oh. Onde você vai por esse quatro?
(O aluno foi a lousa e escreveu o quatro ao lado do um. Observe):
5 6 4
1 6 14
P: E agora, sobrou alguma coisa ali? (Professora pediu ao aluno que observasse em sua mesa
se há alguma peça móvel, sem ser os quatro subgrupos contendo quatro peças cada).
A: Não.
P: E como você faz aqui? Quanto é quatro vezes quatro?
A: Dezesseis.
P: Para dezesseis?
A: Nada. (O aluno foi à lousa e escreveu abaixo do dezesseis o número zero, resto da divisão
exata).
P: Mesmo usando material aqui, precisa saber tabuada, hein!
(A docente falou isso a todos os alunos que observavam o seu colega que estava na lousa).
P: Parabéns, viu, muito bem. (Disse ao aluno que estava solucionando o exercício).
[...]
P: Ah, aqui tem um pequeno erro! (Professora apontou para o número dezesseis – escrito pelo
aluno a pouco tempo na lousa – exposto na última ilustração).
P: Quanto é quatro vezes quatro mesmo?
A: Dezesseis.
P: Não é dezoito?
A: Não.
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
P: Tem certeza mesmo?
A: Sim.
P: Ah, então está bom!
[...]
P: Sete (perguntou a um aluno que estava próximo à lousa solucionando 74 ÷ 2) é maior ou
menor que dois?
A: Maior.
P: Então o que você vai fazer? Pega sete unidades (o aluno pegou sete peças móveis do
Ábaco) (...) faz grupinhos de dois (...).
P: Quantos grupinhos de dois deu?
A: Três.
P: Aonde você vai por o três?
(Aluno mostrou com o dedo na lousa o ‘lugar’ do quociente).
P: Então, vai! Sobrou alguma unidade lá?
A: Não.
A
PÊNDICES -
350
P: Oh, um dois três (referiu-se aos três subgrupos contendo duas peças do grupo inicial
contendo sete).
A: Ah, sobrou um.
P: Então aonde você vai por esse um?
A: Debaixo do sete.
P: Isso. Então nós temos, três vezes dois é seis, pra chegar no sete falta um. Dá um toquinho
cai o quatro. Vem separar catorze unidades!
(Aluno pegou catorze peças móveis e separou-as de dois em dois).
P: Quantos grupinhos de sete (...) de dois deu?
A: Sete.
P: Sobrou algum unidade?
A: Não.
P: Então põe o sete lá (ao lado do três que foi escrito no quociente).
(Aluno escreveu na lousa).
P: E daí você multiplica, sete vezes dois?
A: Catorze.
P: Catorze, para catorze?
A: Nada.
[...]
P: Oh, cruza o bracinho em cima da carteira e olha agora o que eu vou explicar. (...) Oh, olha
aqui um pouquinho, vamos pensar junto comigo! (Chamou a atenção dos alunos à lousa para
que observassem a explicação de 80 ÷ 5).
P: Olha na lousa, crianças, vamos tirar aqui na lousa uma dúvida que eu percebi. Oh, nós
vamos pegar o oitenta e dividir por cinco. Vamos pensar, o oito é maior ou menor que o
cinco?
A: Maior.
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Maior. Então dá pra dividir?
A: Dá.
P: Bom, faz de conta que eu estou usando ali (as peças móveis), mas eu vou fazer na lousa
porque todo mundo enxerga. (Ao invés de manipular as peças móveis, a docente desenhou
traços verticais na lousa, como se cada um desse representa-se uma peça móvel).
P: Eu vou pegar oito unidade aqui, oh: uma duas três quatro cinco seis sete oito. Estas oito
unidades eu vou fazer grupinhos de quanto?
A: Cinco.
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
P: Um dois três quatro cinco. (Ao contar os traços verticais desenhados na lousa, a docente
fez o ilustrado abaixo):
P: Esse daqui que deu grupinho, que deu um, ele vai aqui, porque isso aqui é do quociente.
(Apontou aos cinco traços verticais agrupados). Esses daqui que não deu grupinho vai ser o
resto, ele vai pra lá oh. Vocês estão invertendo, vocês estão colocando esse daqui que sobrou
(referiu-se aos três traços verticais não agrupados) (...) as unidades que deu pra formar um
grupo eu coloco no quociente, as unidades que sobraram que não deu pra eu formar um grupo
nenhum eu coloco como resto. Quando vocês estiverem craques na tabuada, vocês não vão
A
PÊNDICES -
351
mais confundir, porque daí vocês fazem: uma vezes cinco, cinco, pra chegar no oito três. Daí
eu dou um toquinho e cai o trinta; vamos contar trinta?
A: Um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez onze doze treze catorze quinze dezesseis
dezessete dezoito dezenove vinte vinte um vinte dois vinte três vinte quatro vinte cinco vinte
seis vinte sete vinte oito vinte nove tinta!
P: Um dois três quatro cinco seis sete oito nove dez onze doze treze catorze quinze dezesseis
dezessete dezoito dezenove vinte vinte um vinte dois vinte três vinte quatro vinte cinco vinte
seis vinte sete vinte oito vinte nove tinta!
(Ambos contaram juntos, enquanto professora desenhava na lousa trinta traços verticais).
P: Fazer grupinhos de...
A: Cinco.
P: Muito bem! Vamos lá! Um dois três quatro cinco (repetiu tal agrupamento seis vezes,
sendo que em cada a docente e os alunos contaram de um a cinco).
P: Quantos grupinhos de cinco deu?
A: Um dois três quatro cinco seis.
P: Esse seis eu vou colocar aonde?
A: Debaixo do cinco.
A: Embaixo.
A: Do lado do um.
P: Do lado do um que é o...
A: Quociente.
P: Quociente. Sobrou alguma coisa?
A: Não.
(Todos os alunos responderam).
P: Aonde eu vou colocar o zero.
A: Debaixo do zero.
P: Debaixo do trinta, porque da tabuada seis vezes cinco trinta, para trinta nada.
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 18/04/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
Porque no primeiro momento que eu fui dar divisão eu percebi que as crianças não tinham nem
noção do que era dividir, o que era repartir. Então eu fui pesquisar, fui ver ajuda em outros livros e vi
que através do material concreto eu acho que vou atingir o objetivo que eu quero. É demorado, mas
eu tenho certeza que vou conseguir!
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Ah, eu acho que a partir de agora eles vão ter noção do que é repartir. Porque até então, (..)
nadinha nadinha nadinha.
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
A
PÊNDICES -
352
R:
Eles não trouxeram, assim, conceito anterior (...) eu acho que eles não tinham a noção nem das
quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão); noção nenhuma, nenhuma. Eu acho
que vai, eu acredito que sim, viu. Eu acredito que, como eu trabalhei as outras operações, é (...) eu
trabalhei o inverso (...) é (...) pra eles, e hoje você viu que já tinha criança na sala tava: “–
Professora , eu tirei a prova real, eu fiz o inverso e deu certo!”, então eu acho que está amadurecendo
sim!
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Eu acho que o principal problema que eu tenho na sala é a conversa, viu, eu acho que isso
atrapalha bastante, e eles não param no lugar, eles não conseguem, eles não têm aquela capacidade
de concentração.
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Pretendo e vai ser utilizado bastante (professora respondeu afirmando com muita convicção).
Porque eu acho que a Matemática é uma seqüência, né? Eu acho que hoje eu estou plantando uma
sementinha ali na divisão e eu acho que isso ele vai levar para o resto da vida! Se eu conseguir isso,
olha Richael, pode ter certeza que eu vou ficar muito feliz, porque a criança tem medo da Matemática,
e eu acho que a Matemática é uma matéria gostosa, não é um bicho de sete cabeças!
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Eu acho que totalmente não foi não. Eu só vou ter a certeza a hora que eu pegar aqueles uns que
eu percebi que não conseguiu entender o sistema através indo na lousa e dando a verificação pra ele,
aí eu vou ver se atingiu completamente. Com certeza vou tomar outra atitude no momento que eu
perceber que a dificuldade foi num ponto, então nós vamos voltar e vamos ver aonde ficou falho.
A
PÊNDICES -
353
J. II. 3 – Aulas 6 a 8. Data: 16/05/2008
ROTEIRO 3:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 6 A U L A: 7
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X 3
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X X X 5
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1, 2
1
X
2
X
2
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X 1
2. Livro didático. X X X X 4
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1
1
X
1
X
1
X
2
X
2
X 5
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 3)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
2 – Corrige a atividade proposta (malhas).
Materiais Utilizados:
1 – Folha contendo malha geométrica ‘do peixe’.
2 – Folha contendo malha geométrica ‘do gato’.
A
PÊNDICES -
354
Categorias: 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 8
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X 2
2. Agrupamento dos alunos para realização de atividades sugeridas
pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor. X X 2
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em outras áreas do
conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações, brincadeiras, entre
outras.
12. Outros: 3
3
X
1
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz.
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre de Hanói,
Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 3
3
X
3
X
3
X
3
X
3
X 5
Total de Horas Observadas:
0:50 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 3)
Procedimento Didático e Metodológico:
3 – Corrige a atividade proposta (Mapa do Brasil
Político).
Materiais Utilizados:
3 – Folha contendo o Mapa do Brasil Político.
A
PÊNDICES -
355
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 3:
1º - [Os alunos, embora sentados em duplas, realizaram individualmente as atividades
5, 6 e 7 - propostas no livro didático: “Coleção – Idéias e Relações, Matemática 3ª série
52
,
página 15. Enquanto os estudantes observavam tais atividades, a docente registrou na lousa
o seguinte]:
Continuação: COLETANDO DADOS E COMPARANDO
Atividades – 5, 6 e 7 – página 15.
æ a)
[No momento em que os alunos registravam em seus cadernos o exposto acima, a professora
entregou atividades de alfabetização aos estudantes com dificuldades de leitura e escrita da
língua materna, auxiliando-os na solução das mesmas].
2º - [A professora disponibilizou tempo aos alunos à cópia das atividades do livro
didático. Observe abaixo a transcrição da página 15]:
5. Seu professor vai entregar malhas que lembram diferentes desenhos. Nelas, faça o que se
pede:
a) Pinte os peixes usando três cores, sem deixar que cores iguais se encontrem.
b) Pinte os gatos usando quatro cores, sem deixar que cores iguais se encontrem.
6. Em alguns mapas usam-se cores
diferentes para representar estados
vizinhos de uma mesma região.
Observe o mapa ao lado com os
estados da Região Norte do Brasil:
Para que os estados vizinhos não
ficassem com a mesma cor, quantas
cores foram necessárias?
7. Seu professor vai entregar mais um mapa do Brasil. Nele, pinte os estados usando estas
52
PERACCHI, E. do P. F; TOSATTO, C. M; TOSATTO, C. C. Coleção Idéias e Relações, Matemática 3ª
série. 2. ed. Curitiba: Positivo, 2004.
A
PÊNDICES -
356
quatro cores, de modo que os estados vizinhos não fiquem com a mesma cor. Comece
pintando de acordo com o modelo:
- 15 -
[Após os estudantes terem copiado o enunciado 5) a), a professora entregou uma folha
contendo malha – tipo geométrica – intitulada: “Malha do Peixe”. Em seguida, explicou à
sala como pintar tal malha. Na figura abaixo constam as duas malhas geométricas entregues
pela docente no decorrer desta aula, sendo que a primeira é referente ao do Peixe e a
segunda, do Gato]:
A
PÊNDICES -
357
3º - [A professora voltou sua atenção aos alunos com dificuldades em leitura e escrita,
deixando os mesmos pintarem a “Malha do Peixe”].
4º - [À medida que terminavam de pintar a “Malha do Peixe”, os alunos levavam-na à
professora. Esta questionava-os caso a pintura estivesse incorreta e ou incompleta. O intuito
da professora com tal questionamento era suscitar nos alunos uma breve reflexão acerca
daquilo que estavam fazendo].
5º - [A docente disse aos alunos para colarem em seus cadernos a “Malha do Peixe”,
copiando em seguida o enunciado 5) b). Na lousa, registrou o seguinte].
Ò b)
[Enquanto os alunos copiavam o enunciado, a professora entregou a “Malha do Gato”.
Nesse momento, chamou a atenção dos estudantes quanto à diferença entre a pintura da
“Malha do Gato” em relação à anterior. Transcorridos alguns minutos, a docente circulou
pela sala verificando se os mesmos haviam entendido corretamente como colorir
(alternadamente). Após tal verificação, solicitou a colagem da malha no caderno].
6º - [Enquanto a maioria dos alunos copiava o enunciado da atividade 6), a
professora ajudou os alunos na solução das atividades de alfabetização].
7º - [Com o livro em mãos a docente leu o enunciado da atividade 6). Nesse momento,
pediu a atenção dos alunos ressaltando que neste exercício era somente para os mesmos
observarem o que dizia o enunciado. Em seguida, na lousa, registrou a resposta de tal
exercício, ou seja, a referente ao número de cores necessárias a pintura dos estados
brasileiros ‘vizinhos’]:
Ó R: 3 cores.
8º - [Ao entregar o Mapa do Brasil Político, a professora explicou como solucionar a
atividade 7. Primeiramente leu o enunciado, pedindo que os alunos pintassem o mapa do
mesmo modo como mostrado no livro. Observe a seguir o mapa entregue aos estudantes]:
A
PÊNDICES -
358
9º - [Decorridos alguns minutos, a docente dialogou com a sala sobre um mapa –
pintado incompletamente por um aluno. Com o referido mapa em mãos, a professora
conversou com os estudantes, perguntando qual seria a melhor cor – dentre as quatro
utilizadas – para colorir o estado de Goiás].
10º - [Circulando pela sala, a docente verificou se os alunos coloriram o mapa
corretamente, questionando alguns estudantes que ainda não haviam entendido o objetivo da
atividade].
Observações mais relevantes:
1 – P: disponibilizou atividades probabilísticas. [Ver a questão das estruturas
multiplicativas].
2 – P: de modo diferenciado, auxiliou os alunos com dificuldade em leitura e escrita da língua
materna. [Ver a questão da avaliação diagnóstica e os diferentes níveis de desenvolvimento
A
PÊNDICES -
359
cognitivo].
3 – A pintura das malhas geométricas interessou os alunos. [Ver a questão lúdica e
perceptivo-espacial].
4 – P: chamou a atenção dos alunos com relação à diferença entre a pintura da “Malha do
Peixe” ao do “Gato”. [Ver a questão da tomada de consciência].
5 – P: “– Do mesmo jeito que fizeram a malha do gatinho e do peixinho!”. [Ver a questão da
generalização].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (6 A 8) GRAVADAS:
[...]
P: Hoje, as atividades vão ser a número cinco, seis e sete da página quinze. Vocês estão
copiando? Enquanto isso eu vou dar a atividades pra eles (referiu-se às atividades
disponibilizadas aos alunos com dificuldades de leitura e escrita da língua materna).
(Decorridos alguns minutos):
P: Oh vou explicar o quinto exercício que vocês copiaram aí no caderninho de vocês! Vamos
ler? (...) Seu professor vai entregar malhas que lembram diferentes desenhos. Malhas que eu
vou entregar pra vocês é esse desenho (mostrou a malha geométrica do peixe e do gato) aqui,
oh! Que vê oh! Isso daqui é um desenho de uma malha (mostrou a “Malha do Peixe”). E esse
daqui é um desenho de malha (pegou a “Malha do Gato”, mostrando-as aos alunos):
P: São desenhos diferentes um do outro?
A: São.
(A maioria dos alunos respondeu).
P: São. Esse daqui não tem desenho nenhum (referiu-se a “Malha do Peixe”) e aqui o desenho
é do que?
A: De gato. (Responderam alguns alunos).
A
PÊNDICES -
360
P: Vai ser o quê? Atividade comparando e coletando dados, pra depois a gente poder
responder as perguntinhas! Então vamos lá! A letrinha a (5-a), o que tá perguntando pra vocês
fazerem? (Nesse momento alunos e docente leram o enunciado 5, alternativa a, da página 15):
A: Pinte os peixes usando três cores, sem deixar que cores iguais se encontrem.
P: Pinte os peixes usando três cores, sem deixar que cores iguais se encontrem. Então eu vou
dar a malha do peixinho, vocês vão pegar três lápis de cor e não pode por uma cor vizinha da
outra, pensa de que maneira vocês vão usar (...).
(Como alguns alunos não estavam prestando atenção, a professora disse à sala):
P: Oh, eu tô cansada de falar pra vocês que Matemática é a matéria mais gostosa que tem.
Porque se vocês prestarem atenção no que a professora fala, vocês em casa só dão uma
olhadinha no caderno e já lembra. Agora português, geografia, história, quando chegar em
casa, tem que pegar o livro e estudar. Agora Matemática, as crianças que são espertas, presta
atenção no que a professora diz; nem precisa chegar em casa e se preocupar, só de olhar já
sabe (ou seja, o fato de dar uma breve lida no caderno já faz o estudante lembrar como
solucionar as atividades trabalhadas durante a aula)! (...)
P: Então copia o que está escrito no numero cinco, letrinha a. Só vou entregar a malha pra
quem já copiou! O cinco, oh! Seu professor vai entregar malhas que lembram diferentes
desenhos. Nelas faça o que se pede (leu novamente o enunciado da atividade cinco). O que a
letrinha a tá pedindo?
A: Pinte o peixe usando três cores sem deixar que as cores iguais se encontrem. (Leram
alguns estudantes).
P: Pinte o peixe usando três cores sem deixar que as cores iguais se encontrem. Então assim,
oh, aqui é o peixinho e aqui a do gato! Vocês vão pintar só o do peixinho agora! Se eu pintar
o primeiro peixinho de amarelo, esse de verde e de azul, qual é a próxima cor que eu vou
pintar?
A: Amarelo. (Falaram alguns alunos).
P: Não pode duas cores iguais. Só vou entregar a hora que terminarem de copiar. Vai pintar a
do gatinho agora? Nem vou entregar a do gato agora, porque se não vocês vão pintar.
[...]
(A professora explicou novamente como colorir a “Malha do Peixe”):
P: É pra usar três cores...
A: Sem repetir. (Responderam quatro alunos).
P: Não, vai repetir! Não pode repetir próximo da mesma cor! Então presta atenção! Só três
cores. Oh, pinte os peixes usando três cores, sem deixar que cores iguais se encontrem!
[...]
(Após a solução da “Malha do Peixe”, sendo a mesma colada no caderno, a docente iniciou a
explicação sobre como pintar a “Malha do Gato”):
P: Pode copiar o enunciado do livro da letrinha b. (...)
(Decorridos alguns minutos disponibilizados a cópia da alternativa b, da atividade 5, página
15, a professora conversou com os alunos):
P: Pinte os gatos usando quatro cores, sem deixar que as cores iguais se encontrem. Agora no
do gatinho vocês vão usar quatro cores! É do mesmo jeitinho da do peixinho! Quem terminar
de copiar a letrinha b eu entrego a malha do gato.
(Transcorridos aproximadamente três minutos, a docente falou):
P: O gato quantas cores?
A: Quatro!
A
PÊNDICES -
361
(A maioria dos alunos respondeu).
P: É pra por uma cor pertinho da outra?
A: Nããããoooo!
(Disse grande parte dos estudantes).
A: É, pro (ou seja, professora)! (Falou um aluno).
(A professora disponibilizou alguns minutos à pintura da malha geométrica do “Gato”. Em
um momento, chamou a atenção dos alunos sobre a diferença da pintura da malha do “Peixe”
a do “Gato):
P: Oh, pessoal, essa malha tem sete gatinhos! É uma outra maneira de pensar, heim! A
primeira malha vocês pintaram quantos em cada fileirinha?
A: Seis. (Falaram poucos alunos referindo-se ao número de peixes contidos na primeira linha
da “Malha do Peixe”).
P: Seis. Aí tem um a mais!
A: Sete. (Alguns alunos disseram o total de gatos desenhados na primeira linha da malha
geométrica).
P: Sete!
[...]
P: Vamos ver o que diz a sexta atividade? Vamos lá?
A: Vamos. (Responderam poucos estudantes).
P: Vamos ler então o que diz a sexta atividade! Em alguns mapas usam-se cores diferentes
para representar estados vizinhos de uma mesma região. Observe o mapa ao lado com os
estados da Região Norte.
A: Em alguns mapas usam-se cores diferentes para representar estados vizinhos de uma
mesma região. Observe o mapa ao lado com os estados da Região Norte.
(Nas duas falas acima, grande parte dos alunos e professora lerem o enunciado da atividade 6,
página15).
P: Quantos são os estados da Região Norte? (...) Amazonas, Pará, Acre, Porto Velho,
Tocantins...
A: Amazonas, Manaus, Porto Velho... (Responderam alguns alunos que estavam
acompanhando a leitura do livro juntamente com a docente).
P: Quais as cores que eles usaram?
A: Roxo!
P: Roxo, laranja...
A: Verde!
(Nas duas falas anteriores dos alunos, a grande maioria falou euforicamente).
P: Verde...
A: Cinza!
P: Cinza?
A: Não. (Disse um aluno).
A: Azul. (Responderam dois estudantes).
P: Quatro cores! Laranja...
A: Azul!
P: É um azul ou um roxo?
A: Roxo!
(Entusiasmadamente, muitos alunos disseram).
A: Lilás! (Falou um aluno, achando que a cor roxa utilizada no mapa era lilás).
P: Esse azul aqui (mostrou o mapa desenhado no livro) é do oceano Atlântico! (Observe o
mapa a seguir):
A
PÊNDICES -
362
P: Aqui, oh, a sexta atividade tá dizendo assim pra vocês: em alguns mapas, pode ser que em
outros livros eles usem as mesmas cores, mas nesse livro aqui de Matemática eles usaram
essas cores para pintarem os estados da Região Norte!
A: Norte. (Poucos alunos repetiram a fala da professora).
P: É a parte lá em cima do mapa, a parte mais alta. Pra que os estados vizinhos não ficassem
da mesma cor, quantas cores eles usaram?
A: Três. (Metade da sala respondeu).
P: Três. Agora copia o sétimo! (Em seguida a professora leu a atividade 7 da página 15): Seu
professor vai entregar mais um mapa do Brasil...
(Nesse instante, uma estudante interrompeu a professora, perguntando se poderia responder a
questão presente na atividade 6):
A: Professora, não é três aqui!
P: Isso, três cores. Pode responder que é três cores utilizadas! Eu vou por na lousa aqui a
resposta, oh!
(Após registrar na lousa, voltou a leitura da atividade 7):
P: Seu professor vai entregar mais um mapa. Nele, pinte os estados usando estas quatro cores,
de modo que os estados vizinhos não fiquem com a mesma cor. Eu vou entregar o mapa pra
vocês! Vocês vão pintar o estado do Amazonas aqui, oh, de que cor? (Mostrou o mapa – que
segue abaixo – aos alunos, indicando o estado do Amazonas):
A
PÊNDICES -
363
A: Amarelo.
P: Amarelo! Aqui aonde está o Acre? (Apontou com o dedo o estado do Acre).
A: Marrom.
P: Depois, aqui, aonde é Roraima?
A: Laranja!
P: Laranja! Aqui é o...
A: Verde!
P: Qual é este estado aqui?
A: Mato Grosso. (Nas cinco falas anteriores do aluno, a grande maioria respondeu
euforicamente).
P: Mato Grosso! Vocês vão usar essas quatro cores! Depois vocês vão pintar os outros
estados, mas não pode repetir a mesma cor nos estados vizinhos! Vocês fizeram a malha do
gatinho, a malha do peixinho, vocês vão usar essas quatro cores só que sem pintar estados
vizinhos de cores iguais. Vocês entenderam essa atividade?
A: Sim. (Metade da sala disse).
P: Que cor vocês vão pintar o mapa que eu vou entregar?
(Os alunos, ao mesmo tempo, citaram as quatro cores presentes no mapa mostrado acima).
P: Vai pintar de amarelo aonde aqui é verde?
A: Não!
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Não! Então tá bom! Pode copiar o sete e depois eu dou o mapa!
(Decorridos alguns minutos, a professora chamou a atenção da sala ao perceber que um aluno
havia pintado somente os quatro estados, ou seja, pelo fato de não ter compreendido o
objetivo da atividade).
P: Oh, pessoal o Aluno A veio me perguntar se já podia colar no caderno? (Nesse momento a
professora mostrou a todos o mapa do Aluno A que estava colorido incompletamente). O que
vocês acham?
A: Sim! (Mais da metade dos alunos disseram).
P: Ele já pode colar?
A: Não! (Percebendo que havia respondido incorretamente, a grande maioria da sala
respondeu).
P: O que está faltando?
A: Pintar, professora. (Falou dois alunos).
P: Ele tem que dar uma seqüência agora! Ele tem que ver qual cor vai usar pra que ele consiga
pintar todos os estados! Tem que pintar os vinte e seis estados usando essas quatro cores. Oh,
presta atenção, oh! Ele aqui (referiu-se ao mapa do Renan), não está pronto! Ele pode jogar o
verde aqui? (Apontou com o dedo o estado do Pará).
A: Não. (Disseram vários alunos).
P: Não. Porque não?
A: Porque fica perto! (Falou uma estudante).
P: Ah, vai ficar vizinho da mesma cor! Ele pode colocar que cor?
A: Vermelho! (Falaram três alunos).
P: Isso, vermelho! Então pessoal, olhem bem e façam direitinho!
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 21/05/2008
A
PÊNDICES -
364
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
Foi mais assim, pra ver se eles entenderam seqüência numérica e seqüência de cores, vizinho, o
que está mais próximo, o que está mais longe, ali foi trabalhado mais conceitos matemáticos, né
(referiu-se a pintura das malhas geométricas: do gato e do peixe)! Longe, perto, vizinho, um sim, um
não, que eles (os alunos) tinham trabalhado também em artes (a docente lembrou-se de atividade
similar realizado nas aulas de artes).
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Ah, eu acho que a maioria entendeu o conteúdo que era assim de não colocar a cor que estava lá
em primeiro lugar (ou seja, a primeira cor escolhida para colorir a primeira figura da malha
geométrica) e sim respeitar um sim, um não! Eu acho que até, cem por cento eu não vou conseguir
atingir (isto é, alguns alunos não entenderam a noção de seqüência das cores que subjaz a noção
probabilística), mas eu acho que foi atingido sim, viu!
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Então, porque eu tinha dado um (...) eu achei que eles sabiam, mas na realidade eles não sabiam o
que era vizinho, o que tava próximo, a seqüência numérica; a seqüência numérica eu tinha dado e
percebi que eles ainda não sabiam então eu resolvi partir dali, é, primeiro eu dei pra eles um sim um
não (ou seja, uma atividade tipo malha geométrica no qual os alunos teriam que pintar utilizando
somente duas cores, alternando-as). Depois teve que usar três cores, quatro cores assim pra eles (os
alunos) perceberem o que separa de uma casa na outra, que nas rodovias o que separa uma cidade da
outra são os limites que estão demarcados pra eles entenderem o que é um limite, porque isso aí
agora tem em geografia.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Ah, eu acho que sexta-feira foi um dia assim que pesou bastante porque eles estavam bem
indisciplinados, minha classe dá problema de disciplina muito grande, eu acho que aí (nesta aula) a
principal (dificuldade) aí foi a indisciplina que veio atrapalhar a aula porque interrompe muito; eu
acho que as crianças que estão lá concentradas estão perdendo, porque eu tô lá explicando e tenho
que chamar atenção atrapalha muito! Eu acho que o material que eu usei (as folhas entregues
contendo: 1 – as malhas geométricas do peixe e do gato; 2 – mapa do Brasil político) eu acho que, eu
senti assim que eles gostaram, ainda ontem eu perguntei pra eles o que eles acharam da atividade de
sexta-feira (...) a maioria gostou! Então eu acho que foi atingido bem assim, né! Poderia ter sido
melhor se a classe tivesse colaborado, né!
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Ah, eu costumo sim pedir pra eles (os alunos) construírem agora um (referiu-se às possíveis
malhas geométricas a serem elaboradas por cada aluno) e fica cada um faz o seu! Eu pretendo sim,
viu Richael, vou encaixar!
A
PÊNDICES -
365
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Ah, eu acho que a maioria eu consegui, viu, porque ontem eu perguntei o que eles acharam e eu
senti assim que eles (referiu-se aos alunos) gostaram, que eles entenderam e ficou até aquela
curiosidade no aluno que não veio na sexta-feira se eu vou dar essa atividade; eu falei que não, essa
eu já dei, eu posso dar uma outra diferente. Então eu achei que eles entenderam e que eles gostaram
da atividade!
A
PÊNDICES -
366
J. II. 4 – Aulas 9 e 10. Data: 21/05/2008
ROTEIRO 4:
Categorias: 10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 9 A U L A: 10
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X X 4
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X X 3
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X 1
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática
e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática
em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1, 2
1
X
2
X 2
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X 3
2. Livro didático. X X X X X X 6
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1
1
X 1
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 4)
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
2 – Corrige a atividade proposta.
Materiais Utilizados:
1 – Caderno do aluno.
A
PÊNDICES -
367
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 4:
1º - [A docente registrou na lousa a agenda do dia, ou seja, o conjunto de atividades
propostas para a referida aula]:
AGENDA:
LEITURA: HISTÓRIAS SEM FIM
MATEMÁTICA
ARTE
RECREIO
GEOGRAFIA
2º - [A professora iniciou a correção da tarefa – atividades 1 e 2, página 16, livro:
“Coleção – Idéias e Relações, Matemática 3ª série” – conforme mostradas abaixo]:
O TEMPO PASSA
1. As cédulas usadas no Brasil têm os seguintes valores: R$ 1,00; R$ 2,00; R$ 5,00; R$ 10,00;
R$ 20,00; R$ 50,00 e R$ 100,00.
• Quais são os valores das moedas usadas no Brasil?
• Todas as moedas no Brasil são circulares?
• Converse sobre o texto com os seus colegas e professor e depois responda:
a) O que significa a expressão a. C.?
b) Quantos anos há em um século?
c) Que números são estes: XVI e XVII?
2. Em 1994, ano em que foi lançado o real, as moedas eram estas:
A
PÊNDICES -
368
a) Houve mudanças na forma ou nos valores das moedas atuais em relação a 1994?
b) Faça em seu caderno um desenho das moedas atuais e escreva ao lado de cada uma o
que se pode comprar com elas.
- 16 -
[Para corrigir a atividade 1, a professora disse à sala as respostas corretas. Nessa conversa,
a docente “trocou” – superficialmente – algumas idéias com seus alunos. Em seguida,
registrou na lousa o exposto abaixo]:
Correção da tarefa:
O tempo passa – página 16.
Î 0,50 – 0,25 – 1,00 – 0,01 – 0,10 – 0,05.
Ï Sim.
3º - [Após ler o quadro: “Você sabia que...” – ver figura acima – a professora
escreveu na lousa a solução das alternativas a), b) e c) da atividade 1, página 16]:
a) a. C. → antes de Cristo
b) 100 anos
c) XVI – 16
XVII – 17
[Antes da correção da alternativa c), a docente explicou, brevemente, o sistema de
numeração romano salientando aos alunos um estudo posterior acerca deste sistema
numérico].
4º - [Dando continuidade à correção da tarefa, a professora leu o enunciado e as
alternativas da atividade 2, escrevendo na lousa as respostas]:
Ï a) Sim.
b) 1,00.
[Nesse momento, a professora hipotetizou diversas situações problemas trocando idéias com
os seus alunos questionando-os. Durante esse diálogo, registrou na lousa os seguintes
esquemas]:
A
PÊNDICES -
369
0,40→
Troco – 0,30 0,60
s
0,10 pir 1 geléia
5º - [A docente solicitou aos alunos à resolução das atividades 1 e 2 da página 17. A
seguir, anotou na lousa o exposto abaixo]:
Calculando quantias.
Explicação e Atividades 1 e 2 da página 17.
[Com o livro em mãos leu o enunciado da atividade 1 explicando o que os alunos tinham que
fazer. Abaixo constam as transcrições da página 17]:
CALCULANDO QUANTIAS
1. Observe o preço destes produtos em oferta e responda:
• Quantas moedas seriam necessárias para pagar uma lata de refrigerante se você usasse
- apenas moedas de 10 centavos?
- apenas moedas de 25 centavos?
- apenas moedas de 5 centavos?
2. João comprou duas latas de refrigerante.
a) Quanto ele gastou?
b) Quais destas moedas ele poderia usar para pagar essa compra? Registre em seu
caderno.
A
PÊNDICES -
370
Compare a sua resposta com a de outros colegas e veja se elas são iguais.
- 17 -
6º - [A professora disponibilizou tempo aos alunos para que, individualmente,
pensassem acerca da atividade 1. Enquanto isso, auxiliou alguns alunos com dificuldade de
leitura e escrita na solução de atividades de alfabetização].
7º - [À medida que os alunos conseguiam solucionar a atividade 1 – da página 17 –
dirigiam-se a professora para a verificação das respostas. Além disso, alguns estudantes por
não terem compreendido corretamente como resolver tal atividade foram tirar dúvidas com a
docente].
8º - [Questionando os alunos quanto à solução da atividade 1, caso percebesse
respostas incorretas, a docente também auxiliou aqueles alunos com dificuldades de leitura e
escrita. Após alguns minutos, explicou aos estudantes como resolver a segunda atividade da
página 17].
9º - [Circulando pela sala, a professora “vistou” o caderno dos alunos. Em seguida,
anotou na lousa o exposto abaixo].
Î
Ï a)
b)
Atividade 3 da página 18.
[A docente leu o enunciado da atividade 3 e suas alternativas, salientadas a seguir]:
A
PÊNDICES -
371
3. Observe o preço destes produtos numa promoção e responda:
a) Quantas moedas de 5 centavos seriam necessárias para comprar 1 sabonete?
b) Quantos sabonetes você poderia comprar com 1 real?
c) Se você comprasse dois sabonetes, quanto gastaria?
d) Que moedas você poderia usar para pagar um creme dental, sem receber troco?
Desenhe as moedas em seu caderno, mostrando duas possibilidades.
e) Quanto você receberia de troco se pagasse com uma nota de 1 real
1 creme dental?
1 fio dental? 3 sabonetes?
- 18 -
[Para auxiliar a explicação, a professora anotou na lousa os seguintes esquemas]:
Ð a)
b)
c)
d) * 0,85
e) creme dental
1,00
- 0,85
• Fio dental
1,00
- 0,99
•
0,25
x 3
?
•
1,00
- 0, ?
10º - [Enquanto a maioria dos alunos tentou resolver as alternativas a) a e) da
atividade 3, a professora auxiliou os estudantes com dificuldade de leitura e escrita da língua
materna].
Observações mais relevantes:
1 – P: verificou se os alunos haviam feito a tarefa. [Ver a questão dos valores e da avaliação
A
PÊNDICES -
372
diagnóstica].
2 – P: hipotetizou situações problemas. [Ver a questão do cálculo mental e interação do
grupo].
3 – P: questionou alguns alunos quanto à solução das atividades solicitadas. [Ver a questão da
tomada de consciência].
4 – P: auxiliou diferenciadamente alunos com dificuldades de leitura e escrita da língua
materna. [Ver a questão dos diferentes níveis de desenvolvimento cognitivo].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações da professora.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (9 E 10) GRAVADAS:
[...]
P: Pessoal, vamos agora prestar atenção na correção da tarefa de ontem! (Nesse momento a
professora iniciou a leitura da atividade 1 da página 16): as cédulas usadas no Brasil tem os
seguintes valores... Quais são os valores? Um real, dois reais, cinco reais, dez reais, vinte
reais, cinqüenta reais e cem reais.
A: Um real, dois reais, cinco reais, dez reais, vinte reais, cinqüenta reais e cem reais. (Alunos
e docente lerem juntos os valores das cédulas escritas no livro).
P: Primeira perguntinha. Quais são os valores das moedas usadas no Brasil?
A: Um centavo, cinco centavos, dez centavos... (Falaram dois alunos).
P: Isso!
A: Cinqüenta centavos, um real. (Continuaram respondendo os mesmos alunos).
P: E depende do governo que tá lá no poder e às vezes ele resolve mudar! Vocês já olharam
nas moedinhas, tem o ano que foi feita. Repararam isso? Então tem moedinhas bem novas e
outras que já fizeram parte de outros governos. Então, oh, depende do governo ele pode ir
mudando o dinheiro, ele tem essa autonomia, tá! Porque tem o Banco Central que é o lugar
onde se faz o dinheiro! Tem gente que gosta de falsificar, mas aí é fria.
A: Professora, então é pra escrever? (Perguntou um aluno).
P: Isso! Aí no caderno vocês vão escrever os valores das moedas usadas no nosso país!
Cinqüenta centavos, vinte e cinco centavos, um real, tem um centavo... Oh, eu não posso
colocar assim oh (nesse instante escreveu na lousa 0,1), porque eu não leio! Isso aqui é um
décimo. Esse 0 aqui do lado do inteiro (anotou na lousa 0,) e duas casinhas depois da vírgula
que valem cem (a professora completou o número, representando 0,01). Quantas moedas que
vocês puseram?
A: Um real. (Falou um aluno).
P: Um real já tá aqui. (Referiu-se a resposta escrita na lousa).
A: Dez centavos. (Respondeu outro aluno).
P: Dez centavos.
A: Cinco centavos. (Continuou a falar o mesmo estudante).
P: Cinco centavos. Então pessoal, copiem todas as moedas que a professora escreveu na
lousa! (Observe abaixo os valores registrados na lousa):
Î 0,50 – 0,25 – 1,00 – 0,01 – 0,10 – 0,05.
A
PÊNDICES -
373
P: Se eu juntar vinte e cinco centavos com mais dez quantos eu vou ter? Trinta e cinco, mas
não tem uma moeda disso! A segunda agora! Todas as moedas do Brasil são circulares?
A: Sim!
(Euforicamente, a maioria dos alunos falou).
P: Então é pra por o Sim, aqui. (A docente apontou em direção a lousa no local onde escreveu
Ï, fazendo referência ao segundo tópico/pergunta da atividade tarefa 1, página 16).
P: Agora, vamos ler essa parte aqui, oh! Você sabia que (mostrou no livro o quadro – presente
na página 16 – intitulado: “Você sabia que...”. Observe-o):
P: Tão vendo no livro?
A: É pra fazer? (Perguntou uma aluna).
P: Não, é só leitura! Vamos ler você sabia que? (A docente iniciou a leitura do quadro acima):
Atualmente, a maioria das moedas tem a forma circular, porém antigamente eram de várias
formas e tamanhos. Veja, em quinhentos, o que será esse símbolo aqui (referiu-se ao a. C.)?
A: Antigo. (Disse um aluno).
P: Ah? Antes de Cristo. Uma época antes de Cristo. Então toda vez que você ver isso daqui, é
uma época antes de Cristo! (...) Em quinhentos anos antes de Cristo, na Europa, as primeiras
moedas tinham a forma de ferramentas, como enxadas e facas. Então, quando a moeda tinha a
forma de uma enxada, ela tinha um valor, em forma de uma faca, outro valor! Agora no outro,
quarenta, o que?
A: Antes de Cristo. (Responderam alguns alunos).
P: Em que lugar?
A: Na Rússia.
P: Elas (as moedas) tinham a forma de golfinhos! E nos séculos, como que lê esse século, aí
(docente referiu-se aos números XVI e XVII escritos no terceiro tópico do quadro: “Você
sabia que...”)...
A: Dezesseis e dezessete. (Falou um aluno).
P: Em algarismos romanos! Dezesseis e dezessete. Aonde? Na... Dinamarca, haviam moedas
quadradas.
A: Quadradas.
(Grande parte dos alunos, disse).
P: Vamos continuar! Em 1665, na Inglaterra, elas foram feitas em forma de coração. Isso
daqui é só pra vocês guardarem na cabecinha! (Nesse momento a docente relembrou o quadro
lido): Que, em quinhentos anos antes de Cristo, na Europa, as moedas tinham a forma de
ferramentas como: enxadas e facas. Depois quarenta anos antes de Cristo, na Rússia, tinha a
forma do quê?
A
PÊNDICES -
374
A: Golfinho! (Falaram dois alunos).
P: De golfinho, isso! Depois nos séculos dezesseis e dezessete, na Dinamarca?
A: Quadrado! (Metade da sala respondeu).
P: Quadrado! E em 1665 na Inglaterra...
A: Coração.
(Euforicamente, falou a maioria dos alunos).
P: Agora converse sobre o texto com os seus colegas e professor e depois responda (nesse
instante a professora referiu-se às alternativas a, b e c solicitadas abaixo do quadro “Você
sabia que...”).
• Converse sobre o texto com os seus colegas e professor e depois responda:
a) O que significa a expressão a. C.?
b) Quantos anos há em um século?
c) Que números são estes: XVI e XVII?
P: A letrinha a) já foi respondida, né! O que significa a expressão a. C.?
A: Antes de Cristo. (Citou um aluno).
P: Isso! Então vocês escrevam no caderno (enquanto isso, dirigiu-se a lousa, registrando o
termo antes de Cristo). (...) Agora aqui, quantos anos há em um século?
A: Cem anos! (Falaram três estudantes).
P: Isso, cem anos! Agora, oh, a resposta c. Que números são estes? (Referiu-se aos números
romanos XVI e XVII).
A: Dezesseis e dezessete. (Disse um aluno).
P: Alguém sabe me dizer quanto vale esse X (do número XVI)?
A: Dez! (Responderam três alunos).
P: Ele separado assim, oh, ele vale dez! E o V?
A: Cinco. (Falaram os mesmos três alunos).
P: Cinco! E o pauzinho? (Nesse momento a professora referiu-se ao símbolo I do número
romano XVI).
A: Um! (Disse um dos alunos dentre os três anteriores).
P: Em algarismos romanos não pode repetir mais de três vezes, mas isso nós vamos ver
depois!
[...]
(Ao corrigir a segunda atividade-tarefa, da página 16, a professora – trocando idéias com os
alunos – hipotetizou algumas situações problemas envolvendo dinheiro).
P: O que você pode comprar, Caio, com um real? Então vamos ouvir da Aluna A, com um
centavo você compra alguma coisa?
A: Não. (Responderam alguns alunos).
P: Vocês já pegaram moedinhas de um centavo nas mãos?
A: Já.
(Grande parte dos alunos falou afirmativamente).
P: Ela (a moeda de um centavo) é quase que nem usada! Cinco centavos, Aluna A, o que
você compra com cinco centavos?
A: Bala. (Citou a Aluna A).
P: Uma bala! Aqui na cantina uma bala é cinco centavos?
A: Não! (Retrucou um aluno).
P: Então é um centavo?
A: Não.
A
PÊNDICES -
375
(A grande maioria dos alunos contradiz a resposta do aluno anterior).
P: E com dez centavos? E vinte e cinco centavos?
A: Dá pra comprar um gelinho. (Falaram quatro alunos).
P: Quanto que custa um gelinho?
A: Vinte! (Os alunos da fala anterior responderam).
P: Vinte. Então sobram quanto? Se vocês entregarem vinte e cinco centavos pra vice-diretora
ela tem que voltar quanto?
A: Cinco! (Metade da sala disse).
P: Aí tá, vocês tem que pedir cinco centavos de troco. Daí sim pode pedir cinco centavos de
troco como bala! E com cinqüenta centavos, o que vocês poderiam comprar?
A: Três pirulitos. (Citou um aluno).
P: Três pirulitos? Quanto custa cada pirulito?
A: Dez. (Disseram vários alunos).
P: Então quantos pirulitos dariam pra comprar?
A: Dois. (Falou um aluno).
A: Cinco. (Retrucaram três alunos).
(Nesse instante, o aluno que falou “Dois”, disse à professora):
A: Mas tem de vinte centavos (ou seja, que na cantina também são vendidos pirulitos que
custam R$ 0,20).
P: Vinte centavos? Então quanto que daria pra comprar?
A: Dois. (Salientou esse aluno).
P: Dois! Sobraria quanto?
A: Dez centavos!
P: E com os dez centavos, o que você faz? Leva pra casa ou compra outra coisa?
A: Compro outra coisa!
P: E um real, aqui na cantina?
A: Um salgadinho! (Disse um estudante).
P: Quanto custa um salgadinho?
A: Sessenta centavos!
P: Sessenta centavos! Quanto que sobra de troco?
A: Quarenta. (Falaram cinco alunos).
P: Quarenta centavos de troco! Vai comprar o que com isso?
A: Um pirulito. (Respondeu um aluno).
P: Vai sobrar quanto de troco se o pirulito custa dez centavos?
A: Trinta. (Aproximadamente metade da sala disse).
P: Aí, o Aluno B, sobrou trinta centavos. Você comprou um salgadinho, um pirulito, e com
dez centavos, dá pra comprar uma...
A: Geléinha! (Após pensar um pouco, dois alunos falaram).
P: Geléia! Quanto custa cada geléia?
A: Trinta! (Euforicamente, metade da sala respondeu).
P: Trinta! Então você compraria uma geléia só, né! (Para conversar com os alunos acerca do
que comprar com um real, a docente registrou na lousa o seguinte esquema):
0,40→
Troco – 0,30
0,60
s
0,10 pir 1 geléia
[...]
A
PÊNDICES -
376
(Ao explicar como solucionar a atividade 3 da página 17, a professora conversou com os
alunos):
P: Atividade três da pagina dezessete, vamos prestar atenção, pessoal! Olha a terceira, quantas
perguntinhas têm? Uma duas três quatro e cinco (referiu-se às alternativas a até e)! Vamos ler
a terceira atividade? Observe o preço destes produtos (mostrou aos estudantes o desenho
abaixo):
P: Qual é a promoção? Um sabonete custa vinte e cinco centavos!
A: Fio dental!
P: Fio dental, noventa e nove centavos!
A: Pasta de dente oitenta e cinco centavos!
P: Daí tem a perguntinha a (nesse momento, a docente leu a referida pergunta): quantas
moedas de cinco centavos são necessárias para comprar um sabonete? Oh, vocês só tem
moedinhas de cinco centavos (...) o sabonete custa vinte e cinco! Quantas moedinhas vocês
vão precisar pra formar vinte e cinco centavos? Põe a resposta no caderno.
P: B. Quantos sabonetes você vai poder comprar com um real? Olha que fácil! A mamãe dá
um real, vai lá e compra quantos sabonetes de vinte e cinco centavos? Quantos vai conseguir
trazer pra casa?
P: C. Se você comprasse dois sabonetes, quanto gastaria? Ah, fácil, né!
P: D. Que moedas você poderia usar para pagar um creme dental, sem receber troco? Desenhe
as moedas em seu caderno, mostrando duas possibilidades. Oh, vai responder a b, a c, e na d
vocês vão lá pra comprar um creme dental. O creme dental, oh, custa, oitenta e cinco
centavos. Que moedas vocês poderiam usar pra pagar oitenta e cinco centavos? Tem duas
possibilidades, então vocês vão fazer dois desenhos de moedas pra pagar oitenta e cinco
centavos! Tentem fazer, pensem direitinho...
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 21/05/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
O motivo foi que eu ouvi assim durante o HTPC (Horário de Trabalho Pedagógico Coletivo) que
as crianças chegam lá (referiu-se a cantina no momento do recreio) com dinheiro e não sabem fazer
uso do dinheiro, quanto dá pra ele comprar, o que pode (...) eles (os alunos) costumam jogar o
dinheiro e falam oh: “– Me dá tanto dali (ou seja, quando compram alguma coisa da cantina)!”, e
não sabem se volta troco. Então, eu quis assim, procurar questionar bastante se eu tenho um tanto o
que eu posso comprar, o que eu recebo de troco; foi devido a isso, as queixas que está acontecendo!
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
A
PÊNDICES -
377
R:
Eu acho que a maioria deles entenderam, né, o que é (ou seja, as operações envolvendo dinheiro),
o que eu tenho, o que eu posso, o que eu devo comprar e o que eu vou receber. Eu acho que dentro do
conteúdo de Matemática eu acho que consegui isso; agora habilidade assim deles (dos alunos) eu
acho que vai depender muito do dia-a-dia, né! A mãe, se a mãe forçasse mais essa criança a fazer
cálculos dentro de casa, oh, ele fala assim: “– Me dá dois reais de pão e me dá os dois reais!”, então
ele chega lá e compra os dois reais e não sabe nem se tem troco (docente referiu-se aos alunos que,
por não terem vivência com cálculos mentais envolvendo dinheiro, não obtém sucesso em situações
cotidianas). Então, eu acho que precisaria partir também dos pais usarem mais essas crianças pra
fazer (ou seja, pedir aos filhos que comprem produtos visando desenvolver a habilidade de cálculo
mental), porque eu ouvi aqui na escola já que a vice-diretora comentou que eles (os alunos) não
sabem quanto eles têm direito de troco e quanto podem comprar!
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Eu não pensei em ver um conceito anterior deles (dos alunos), eu me baseei pelo que foi falado (no
HTPC) de que eles não sabem; então eu não tive aquela preocupação, até poderia ter pensado, né;
ver o que eles já sabiam de venda, de compra, de troca, né, e poder ter aplicado mais; mas eu me
baseei naquilo que foi falado lá (professora referiu-se a reunião – HTPC – no qual os professores
foram alertados da dificuldade dos alunos na realização de cálculos mentais envolvendo dinheiro).
Talvez um conceito que eles tinham que conhecer era número, né! Ali (na sala) tem bastante aluno,
assim, que não sabe números, então tem dias que eu trabalho desenhos e quantidade; (...) eles não
sabem seqüência numérica, não sabem números pares, então é uma coisa que eu tenho que trabalhar
com eles a seqüência dos números pares.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Ah, eu acho que hoje, a disciplina estava mais assim, eu acho que hoje foi melhor aproveitada (isto
é, os alunos tiveram um ‘melhor’ comportamento). Hoje, o conteúdo trabalhado, porque eu percebi
que a maioria (dos alunos) estava interessada, a maioria procurou fazer! Você vê, eu andei
procurando pela sala e eu percebi que a maioria fez. Ontem eu dei uma explicação antes de dar a
tarefa, mas eu percebo que não adianta dar tarefa, né; dei livros e eles (os alunos) não fizeram (...)
alguns fizeram então eu levo em consideração que alguns fizeram então tá bom! Então eu acho que
hoje o conteúdo eles gostaram, eles assimilaram; e a disciplina também! E eu pretendo também aqui
pedir para eles trazerem moeda e eu juntar assim um material de sucata e ver o que eles podem
comprar pra eu participar com eles, tipo de um mercadinho de compra e venda!
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
É, eu pretendo montar com eles assim esse mercadinho, né! E tem esse dinheirinho que vem nesses
jogos aí agora (...) eu pretendo fazer um mercadinho na sala; talvez a semana que vem ou na outra eu
vou fazer sim! Pra ver se houve mesmo entendimento deles! (A docente referiu-se ao fato dos alunos
terem construído estruturas de pensamento – aditiva e multiplicativa – necessárias à solução de
situações problemas envolvendo as quatro operações aritméticas básicas).
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
A
PÊNDICES -
378
R:
Ah, eu acho que eu atingi sim, viu; cem por cento nunca vai ser, né, Richael! Mas eu acho que eu
consegui sim. Pelo que eu andei olhando nos cadernos eu acho que eu consegui sim! Agora, eu vou
ter a certeza mesmo é na hora que eu montar o mercadinho na sala e ver o que eles entenderam de
compra, de troco; quando eu quero comprar mais de um objeto ele custa tanto se eu quero três; isso
daí eu vou fazer um troca com eles. Aí eu vou ter certeza! Mas eu acho que foi sim, viu!
A
PÊNDICES -
379
J. III – Transcrição da Entrevista/Final: Data: 04/06/2008
1) No Questionário/Entrevista Inicial você respondeu (na questão 4) que nos últimos cinco
anos não realizou curso de Educação Continuada (Formação Continuada) em relação ao
ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Você julga necessária a
constante participação em tais cursos? Caso responda afirmativamente, o que acha
imprescindível abordar um curso sobre esta temática?
R:
Ah, eu acho! Porque, assim como eles (referiu-se aos órgãos governamentais, tal qual a Diretoria
de Ensino) estão dando bastante ênfase para a alfabetização, por que não Matemática também? A
criança carrega isso daí o dia-a-dia; então eu acho que se tivesse (...) pode até ser que tenha tido e eu
não fui avisada, não me convocaram; mas eu gosto de fazer e eu gostaria de ter participado. Então eu
acho que faz falta, eu acho que tem que caminhar junto (alfabetização da língua materna e
Matemática) e não uma longe da outra. Eu teria feito sim! (Nesse momento, o pesquisador leu o
segundo questionamento da referida pergunta, obtendo como resposta): Sabe Richael, da época que
nós estudamos era uma realidade a Matemática. Hoje, a criança ela está mais viva e a gente precisa
ficar atenta porque a Matemática não está estacionada, ela precisa caminhar junta com o
desenvolvimento da criança! Igual o “Teia”, o “Letra e Vida” veio dar uma abertura pra gente na
parte de alfabetização; então porque não na Matemática! Apesar que no “Teia do Saber” tinham
atividades que a gente poderia dar; mas eu acho que falta! Assim como eles dão muita ênfase na
educação continuada em cursos na parte de alfabetização, falta caminhar com o progresso do jeito
que está caminhando, porque as crianças estão bem ativas. Você vê a necessidade de mostrar, de
trabalhar com eles o real, que eles não tem esse contato, os alunos chegam nas casas deles e não
sabem o que fazer com o dinheiro. Tem que abordar então a metodologia, mudar alguma coisa!
2) Durante alguns momentos das aulas observadas você utilizou Materiais Concretos, tais
como o Ábaco, para abordar conteúdos/noções matemáticas. Por que optou usar esse recurso?
R:
Ah, porque é mais fácil a criança ter o material no concreto e ela vê, assimila melhor a
Matemática. Aquilo que você (o professor) está passando do que só dar aquela atividade que está no
livro! Eu acho (...) igual o Material Dourado, os alunos tem a noção de que cada pedacinho é uma
unidade, quando ele junta dez ele formou uma dezena. Eu acho que aprende bem melhor, viu!
3) Em uma entrevista você disse: “ (...) Então eu acho que hoje o conteúdo eles gostaram,
eles assimilaram (...)”. O que você quis expressar ao utilizar o termo “ASSIMILARAM”,
sendo que o mesmo fazia referência a atitude dos alunos?
R:
Eu acho que eles entenderam o sentido da troca, se o aluno me dá e quando eu tenho que dar
troco. Eu estou percebendo agora, que eu estou ficando na cantina esses dias, então o aluno chega e
não fala mais: “– Eu tenho trinta e cinco centavos, dá pra comprar aquilo de cinqüenta?”; então os
meus alunos já pegaram essa noção do que ele tem é menos e que falta. Então eu acho que eles
construíram sim viu, essa noção.
4) No decorrer das aulas observadas, você questionou os alunos quando os mesmos
apresentavam soluções (das atividades propostas) incorretas ou incompletas. Por que adotou
esta atitude de questioná-los?
A
PÊNDICES -
380
R:
Ah, a importância, né, Richael! Chamar a criança pra aquilo que ela fez! Igual na alfabetização,
você diz uma palavra pro aluno, pra ele, ele escreveu certo; quando você toma a leitura dele ele
percebe que está faltando alguma coisa. Então eu acho que aquela (...) aquela troca, eu joguei pra
ele, ele vai tentar solucionar e ele vai passar pra mim. Se o aluno não conseguir resolver a atividade
– eu faço duas tentativas – se ele não conseguir, então eu vou lá e mostro direto pra ele aonde está
faltando! Eu estou aprendendo muito na alfabetização, né, Richael. Nossa, o ano passado que eu tive
catorze crianças (...) é jogar pro aluno pra ele tentar solucionar (...) tenta uma, duas vezes; se a
criança não conseguir então caminha junto com ela. A gente vai amadurecendo e vai buscando cada
vez mais o aprendizado.
5) Você acredita que a manipulação pelo aluno de objetos concretos facilita a construção de
idéias/noções matemáticas? Por que no “Questionário/Entrevista Inicial” você respondeu que
utiliza esse procedimento POUCO? Comente.
R:
Eu acredito, facilita! (Em seguida, o pesquisador leu o segundo questionamento da pergunta,
tendo como resposta): Porque não é fácil, você (...) a escola não disponibiliza, então, um material
grande de Matemática. A ênfase está maior na alfabetização! Então, pra você chegar em casa e ficar
fazendo material, é complicado, né, Richael! Então eu acho que a gente usa aquele pouco que a gente
tem! Antigamente eu lembro que a gente trabalhava muito com (...) blocos lógicos. Era o concreto! A
criança via o cone, via o cubo e via a esfera! Hoje, a criança vê uma esfera e fala que é uma bola, eu
nem vejo mais esses blocos lógicos. Então, como eu trabalhei muito com material concreto na EMEI e
na escola particular, eu senti isso, Richael (ou seja, a professora percebeu que a manipulação
facilitou a aprendizagem da Matemática). Agora aqui a gente não tem! O ábaco eu trouxe da minha
casa; e o Material Dourado tem na escola (...) então não dá tempo de ficar moldando as figuras pras
crianças entenderem aquilo dali. Você dá, mas não numa maneira dela poder explorar aquilo ali. Eu
acho que falta muito, viu, Richael; a gente ter uma material pra gente usar bastante! Por isso que
aqui (referiu-se ao questionário inicial respondido) entrou pouco, porque é o pouco que eu tenho e, é
o pouco que a escola tem! Se eu tivesse eu usaria mais...
6) O que você pensa a respeito das dinâmicas de grupo? Ao responder no
“Questionário/Entrevista Inicial” que utiliza esse procedimento POUCO é devido a qual
motivo?
R:
Olha, eu gosto de trabalhar em grupo! Só que esse ano eu estou trabalhando pouco porque na
minha sala tem alunos muito agressivos. Aluno assim (...), tem muita rivalidade muito grande entre
meninas, uma agressividade muito grande! É (...) eu preparei uma aula de Matemática para sexta-
feira – probleminhas assim do dia-a-dia – é (...) eu não consegui dar; eu tive que desfazer o grupo.
Uma pessoa entrou na sala e viu que eu estava nervosa porque eu não consegui dar aquilo que eu
tinha planejado! Então eu uso muito pouco, mas espero a partir do segundo semestre, poder trabalhar
mais em grupo. Além da rivalidade tem a agressividade na sala; então você tem que procurar moldar
a matéria de acordo com a sua classe, infelizmente.
7) Os meios educacionais (isto é, os documentos oficiais ou periódicos veiculados pela mídia)
argumentam sobre a importância de/em ‘provocar’ o aluno, estimulando-o através de
situações INTERESSANTES. Você acha que adota esta atitude em suas aulas? Como?
R:
Ah, um pouco eu acho que a gente sempre trás, né! Eu costumo assim, eu leio alguma coisa que eu
acho legal, então eu já entro na sala e já comento com eles. Aquilo que eu achei de interessante (...)
eu acho que um pouco a gente sempre trás, viu, Richael. (O pesquisador, interrompendo, disse: “– No
momento de desenvolver alguma aula de Matemática você sente que os alunos ficam provocados a
A
PÊNDICES -
381
fazer?”): Ah, eles gostam, eles acham que a professora trouxe uma novidade, né, então eles gostam.
Eu gosto de lançar pra eles, assim, deixar meio no suspense (...) agora sexta-feira eu cheguei e falei:
“– Oh, eu planejei uma atividade da hora!”. Formei os grupos tudo separado (...), caiu no zero!
Então, às vezes você trás aquilo de interessante e nem sempre o interessante bate com a realidade do
aluno; tem dia que o professor consegue, tem dia que não consegue nada!
8) O que você tem a dizer sobre os fatores: número excessivo de alunos e a escassez de
materiais manipulativos quando pensamos em um ensino alicerçado nas concepções
construtivistas piagetianas? Comente.
R:
Oh, eu sempre trabalhei em salas de aulas com trinta e oito/trinta e nove alunos, eu vi o quanto
era difícil. Esse ano quando eu vim prá cá, eu tinha vinte e nove alunos! Nossa, me senti! Eu consegui
ver onde a criança estava; de repente começou aumentando, então o número excessivo de alunos que
tem numa sala de aula, torna complicada a vida do professor! Escuto colegas falando assim: “–
Nossa, que legal, esse ano eu estou com vinte e oito alunos, eu consigo olhar o caderno de todos!”; e
eu não consigo, Richael, olhar o caderno de todos quando eles terminam alguma atividade. Eu estou
sempre atrás. Então eu aproveito a aula de artes, de educação física e vou atrás com os cadernos pra
poder corrigir. Então, o número excessivo de alunos e a falta de materiais, como eu já tinha falado,
prejudica o ensino de Matemática. Se tivesse um limite de alunos, aqui mesmo, o professor que tá com
vinte e oito/vinte e nove alunos está feliz da vida! Eu vou olhar a matéria dessa semana, ou eu levo
pra minha casa (...). Então eu acho que tinha que se pensar nisso!
9) No “Questionário/Entrevista Inicial” você falou: “(...)Esse ano mesmo, eu tive alunos que
não tinha noção de quantidade, de seqüência, de unidade, não tem nada, (...) então você tem
que começar lá da base mesmo dele (...)”. A expressão: “COMEÇAR LÁ DA BASE
MESMO DELE” possui qual significado para você? Comente, citando quais são as “bases”
necessárias para o desenvolvimento/construção das idéias/noções matemáticas.
R:
É puxar o que ele conhece, então lá (...) o aluno conhece, vamos supor, eu fui dar seqüência e dei
o jogo da amarelinha! Então eu percebi que o aluno não sabia a seqüência, foi o primeiro alerta que
ele me deu. Então eu vi que esse aluno não tinha base; mas não são todos, viu! Esse comentário:
começar lá da base é pra ele ter a noção dos números; é pra ele começar lá do concretinho, da base.
Eu tenho muita dificuldade, Richael, de dar Matemática para os alunos que eu estou alfabetizando.
Ainda hoje eu comentei com a coordenadora que fica difícil; o aluno vai chegar na quarta série e ele
vai ficar sem bases e isso me preocupa. Porque eu acho que Português, Língua Portuguesa e
Matemática deveriam caminhar juntas. É onde eu falo: se tivesse professor por área, eu acho que o
ensino seria melhor. Porque eu iria me preocupar com aquele aluno que está com dificuldade em
alfabetização dentro da minha hora com Matemática! E eu estou falhando, Richael. Desde quando eu
voltei no estado, eu sinto que eu mandei aluno pro ano seguinte sabendo ler um pouquinho melhor,
mas ficou falho na Matemática. Comentei isso com a coordenadora ontem. Os alunos não têm aquela
base pra eles ter continuidade; eles sabem somar unidade, mas quando chega: centena, dezena e
unidade eles se perdem. E tem que ter a base ali, né, Richael! Quando você alfabetiza começa no á-é-
i-ó-u, depois você vai dando aquela seqüência; a Matemática também que é o meu ponto de vista.
(Nesse momento, o pesquisador leu a segunda parte da pergunta: “– Comente, citando quais são as
“bases” necessárias para o desenvolvimento/construção das idéias/noções matemáticas”): É (...) uma
coisa que eu acho assim, a criança quando ele vem de uma EMEI, ele tem noção de lateralidade, ele
tem noção de frente, de trás! Tudo isso é uma base pro aluno. Agora, pega a criança que vem sem
essa estrutura; então a base é tudo. É trabalhar o universo da criança, o que está na frente, o que está
atrás, o que está do lado, do lado direito. Eu acho que falta o pai caminhar junto com o filho; vim e
participar de reunião, ver o que o professor está dando. Tem pai que nem olha o caderno, tem pai que
A
PÊNDICES -
382
nem sabe o nome do professor! Então essa base teria que vir já um pouquinho de casa para o
professor acrescentar, aquela troca!
A
PÊNDICES -
383
APÊNDICE K – Pesquisa de Campo realizada com P-IV:
A seguir constam os registros provenientes da pesquisa de campo realizada com P-IV
na E-II.
K. I – Transcrição da Entrevista/Inicial: Data: 22/04/2008
1) Durante a sua Formação Pedagógica Inicial, teve oportunidades para refletir sobre o Ensino
da Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental? Comente.
R:
No CEFAM eu tive uma boa (...) um pouco da teoria, mas, era mais a parte prática mesmo né, a
Metodologia de Ciências e Matemática mais questão de pensadores essas coisas muito pouco
(referiu-se à reflexão sobre o ensino de Matemática), na faculdade a gente começou a ver um pouco
mais sobre isso aí, mas também não com tanta ênfase, né, não com tanta, a gente viu muito pouco de
Piaget, né a Matemática de Piaget lá e acho que só!
2) Quais Teorias Educacionais (focando os aspectos ensino e aprendizagem) você teve
contato durante sua formação inicial? Descreva o modo no qual este contato ocorreu.
R:
É (...) basicamente Piaget, teoria do Piaget, qual que era mesmo, cálculo (...) a de Piaget mesmo,
da Matemática pra criança. (O pesquisador refez a pergunta visando com que o entrevistado
lembrasse de outra teoria educacional que por ventura esquecera). Teoria educacional? (...) Ah
então, nós vimos, por exemplo, em Matemática nós vimos Piaget mesmo, a questão do sócio-
interacionismo que é a do Vygotsky e do construtivismo de Piaget.
3) A Teoria Educacional Construtivista baseada em contribuições da Epistemologia Genética
elaborada por Jean Piaget já lhe foi apresentada em algum momento? Você conhece os pontos
principais desta proposta? Caso conheça, quais pontos você utiliza?
R:
Sim. Os pontos principais? (...) é de fazer a criança construir seu próprio conhecimento, da
criança partir do seu interesse (...) né, e vai despertar e o professor vai ser o mediador desse
interesse, vai apenas interagir com a criança para que isso aconteça, para que ela (a criança)
construa seu próprio conhecimento. Eu utilizo em sala de aula a postura de ser um mediador,
proporcionar para que ela tenha um interesse para que possa construir o seu conhecimento
matemático.
4) Em relação à pergunta anterior, você possui alguma crítica em relação ao construtivismo
‘piagetiano’? Se sim, qual(s) idéia(s) desta teoria você critica?
R:
Algumas. Por exemplo, quando ele desconsidera o sócio-interacionismo, a questão que cada
criança tem uma carga (sinônimo de conhecimento) que ela traz de casa, ou uma carga que a própria
escola não pode fornecer, por exemplo, não estou diminuindo aqui a falha da escola em relação à
materiais, recursos, essa coisas (...); mas muitas vezes a gente vê o construtivismo como uma coisa
muito boa, só que muitas escolas não tem esse recurso, não tem material, por exemplo aqui na escola
nós temos o Material Dourado, que auxilia, contribui só que é (...) não tem um jogo de material que
vai servir pra todos os alunos, não tem número suficiente, mesmo quando você divide em grupos
ainda vai faltar! E daí ficam grupos grandes e a gente sabe que assim vira bagunça, não dá certo,
perde qualidade, não dá pra você atender os grupos e as necessidade de cada aluno devido muitos
A
PÊNDICES -
384
alunos. E daí eu acho que o construtivismo desconsidera a individualidade de cada aluno, quando
fala que ah, todos vão construir e pronto! (...). Não é bem assim, a gente tem que ver toda uma carga
social que a criança carrega, por exemplo, do pai nunca ter disponibilizado pra ele uma nota de um
real porque na verdade ele não tem essa nota de um real pra disponibilizar pro aluno pra ele usar, ele
não vai saber usar isso aí (a nota de um real). E ainda que a gente (professores) fala: “– Ah, vamos lá
pegar notinhas de um real!”; ele (o aluno) não vai saber mexer com aquilo lá! Que nem, na primeira
série muitos alunos não chegam sabendo manipular o dinheiro por causa disso. É por isso que eu
acho que às vezes o construtivismo peca, é nesse sentido. Mas ele ajuda muito a criança quando o
professor também sabe trabalhar com o construtivismo. O professor também não é preparado a
trabalhar com o construtivismo, ele acha que é entregar o material e deixar a criança “a la vonte” (a
vontade), que faz o que quer e chega no final das contas que não deu nada, o aluno não foi socorrido
em alguns momentos, e daí ele vai continuar com algumas dificuldades e defasagens escolares.
A
PÊNDICES -
385
K. II – Registro das aulas observadas.
Seguem os registros decorrentes do preenchimento do Roteiro de Acompanhamento
(Apêndice D), Registro por: Escrito e Gravado em Áudio e Entrevista realizada Pós-Aula
(Apêndice E).
K. II. 1 – Aulas 1 e 2. Data: 22/04/2008
ROTEIRO 1:
Categorias: 10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 1 A U L A: 2
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X 3
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
X X 2
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X 1
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos. X X X X 4
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros:
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X 3
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1, 2, 3.
1
X
1
X
2
X
2
X
1,2
X
3
X
3
X 7
Total de Horas Observadas:
1: 40 h
Categoria: Outros.
Procedimento Didático e Metodológico:
Materiais Utilizados:
1 – Cartas de Baralho.
2 – Meia folha de sulfite (Tabuleiro).
3 – Jogo (Baralho e Tabuleiro).
A
PÊNDICES -
386
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 1:
1º - [O professor agrupou os alunos em quartetos e entregou a cada integrante do
grupo folhas de sulfite nas quais estavam coladas cartas de baralho. Estas foram
confeccionadas em momento anterior pelos próprios alunos. Observe o esquema abaixo]:
Folha de Sulfite.
[As cartas do baralho, como mostradas acima, foram elaboradas pelo professor. A tarefa dos
alunos foi colorir cada carta desenhando o número de elementos correspondentes aos
números já impressos nos cantos laterais (esquerdo e direito). Alguns alunos imitaram os
símbolos do baralho tradicional (♠, ♣, ♥ e ♦). Outros estudantes resolveram criar símbolos
diferentes do tradicional (☼,☺,
,
, etc.). Também observou-se que, alguns alunos, além
do desenho dos símbolos, escreveram novamente os números em algarismos hindu-arábicos].
[Após alguns minutos disponibilizados pelo professor para a pintura das cartas, cada aluno
recortou seu conjunto de dez cartas].
2º - [O docente desenhou na lousa a carta número 6]:
[Ao fazê-lo, o professor reforçou a associação número 6 aos seis elementos desenhados na
carta].
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
6
6
♣♣
♣♣
♣♣
A
PÊNDICES -
387
3º - [Ao entregar meia folha de sulfite a cada aluno, registrou na lousa o que cada
devia copiar-fazer nesta folha]:
1ª RODADA
C D U
2ª RODADA
C D U
3ª RODADA
C D U
TOTAL DAS TRÊS RODADAS
[Circulando pela sala, o professor verificou como os alunos estavam copiando as tabelas e
quadros expostos na lousa. Em seguida, pediu para cada aluno escrever o nome na parte de
trás das cartas do baralho. Caso houvesse dois alunos com nomes iguais, solicitou a inclusão
do primeiro sobrenome].
4º - [Oralmente, o docente explicou aos alunos como realizar o jogo das cartas e o
tabuleiro (ilustração exposta acima). Embora dispostos em quartetos, os estudantes foram
agrupados em duplas para a realização do jogo. Os dois estudantes tinham que juntar as
cartas (totalizando vinte), embaralhando-as. Após decidirem quem começaria a jogar, tinham
que retirar seis cartas do monte (das vinte cartas). Com as seis cartas nas mãos, cada aluno
teria que completar o tabuleiro correspondente à 1ª RODADA. Cada carta desempenhou a
função de algarismos, e ao posicionar esses algarismos, os estudantes formariam dois
números contendo as casas decimais da unidade, dezena e centena. Vamos supor que um dos
alunos da dupla retirou pela primeira vez as cartas: quatro, oito, seis, sete, dois e oito. Ao
completar o tabuleiro, decidiu formar os seguintes números]:
A
PÊNDICES -
388
1ª RODADA
C D U
6 8 4
+ 8 7 2
[Após a formação dos números, este aluno devia somá-los. Ao terminarem de completar as
três rodadas (sendo que ao final de cada rodada as cartas eram novamente juntadas e
embaralhadas), os estudantes tinham que somar os resultados obtidos, registrando o total das
três partidas no tabuleiro. Ganhava o jogo quem totalizasse o maior valor, ou seja, a
somatória das três rodadas].
5º - [Visando elucidar o entendimento do jogo, o docente chamou um aluno à lousa
para que registrasse o que havia escrito em seu tabuleiro]:
1ª RODADA
C ¹D U
5 2 6
+ 4 6 4
9 9 0
2ª RODADA
C D U
8 1 2
+ 0 1 4
8 2 6
3ª RODADA
¹C ¹D U
1 9 7
+ 0 4 9
2 4 6
TOTAL DAS TRÊS RODADAS
2.062
6º - [Ao observar que o aluno registrou na lousa ‘o famoso vai um’, ou seja, na
primeira rodada escreveu sobre o D (sigla indicativa da dezena) o algarismo um, disse aos
alunos o seguinte: “– Pessoal, lembra do jogo que a gente jogou? – Nunca dez!”. Ao dizê-lo,
desenhou na lousa o exposto abaixo]:
A
PÊNDICES -
389
NUNCA DEZ
Milhar Centena Dezena Unidade
=
=
=
10
10
[Dando continuidade a este raciocínio, ou seja, a questão das possíveis trocas decimais (dez
unidades por uma dezena; dez dezenas por uma centena; dez centenas por uma unidade de
milhar), o professor salientou aos alunos: “– Não pode colocar dezesseis na casa das
unidades!”, escrevendo na lousa o seguinte]:
C D U
16
C ¹D U
+
1 6
Observações mais relevantes:
1 – P: dispôs os alunos em quartetos. [Ver a questão da dinâmica de grupo].
2 – P: propiciou a confecção e manipulação de materiais. [Concreto → Abstrato].
3 – Discussão democrática com os alunos no momento de decidir como denominar um dos
itens do Tabuleiro. [Ver a questão da construção da moral, heteronomia, autonomia].
4 – P: “– O que são algarismos? – Números!”. [Possível confusão conceitual].
5 – A maioria dos alunos conseguiu construir a tabela que compunha o Tabuleiro. [Ver a
questão da disposição espacial e estrutura multiplicativa].
6 – Os alunos constantemente perguntaram ao professor. [Indagações → Processo de re-
equilibração].
7 – Quando havia dois nomes iguais no momento de escrever o nome na parte de trás das
cartas confeccionadas pelos alunos, o professor disse aos estudantes para escreverem o nome
acompanhado do primeiro sobrenome. [Ver a questão das classes e subclasses].
A
PÊNDICES -
390
8 – P: “– O baralho é isso aqui, o conjunto de cartas!”. [Noção de conjunto].
9 – P: distribuiu algumas peças do Material Dourado a cada quarteto para que os alunos
utilizassem-nas quando fossem realizar as operações de adição. [Concreto → Abstrato].
10 – P: chamou a atenção dos alunos para que conferissem as adições realizadas por eles e do
aluno (integrante da sua dupla). [Ver a questão da socialização, interação em grupo].
11 – P: circulou pela sala verificando se os alunos estavam conseguindo jogar. [Questão da
avaliação diagnóstica].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações do professor.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (1 E 2) GRAVADAS:
[...]
P: Oh, pessoal, vocês vão recortar um por um e separar (professor referiu-se ao baralho
confeccionado pelos alunos). Porque que a gente colou na cartolina? É pra ficar mais fácil de
manusear para não rasgar. Eu pedi contact pra gente passar por cima, pra carta ficar com uma
aparência plástica, protegida, mas não tinha, então tomem cuidado com as cartinhas.
A: Pro, e se passar cola por cima?
P: Dá certo, mas nós não temos tempo pra esperar secar, então depois eu vejo se eu passo um
durex largo por cima! Aí, pessoal, assim que vocês forem recortando (as cartas do baralho)
vocês vão juntando e tomem cuidado pra não perder nenhuma peça. Se perder alguma peça,
carta do baralho, não dá pra jogar! Certo?
(Os alunos sinalizaram gestualmente que tinham entendido o que o professor disse).
[...]
P: Pessoal, lembra na semana passada quando eu distribui a carta em branco?
A: Sim.
P: Fazia o quê? A: O número.
P: O número. Por exemplo. (O professor referiu-se ao fato de ter que desenhar a quantidade
de símbolos conforme o número expresso nos cantos laterais da carta; veja figura abaixo
desenhada pelo mesmo na lousa):
P: Seis e seis, não é isso? (O docente apontou com as pontas dos dedos o número seis contida
na carta e os seis símbolos desenhados no ‘interior’ da carta). O que eu tive que fazer aqui no
meio?
A: Seis desenhos.
(A maioria respondeu o exposto acima euforicamente).
6
6
♣♣
♣♣
♣♣
A
PÊNDICES -
391
P: A quantidade, não é isso?
A: É.
P: Eu desenhei os símbolos, não é isso? E eu pedi pra que vocês pensassem na quantidade
antes de desenhar nas cartas de vocês. Uma aluna disse pra mim: “– Professor veio dois
seis!”, será que veio dois seis?
A: Não.
P: Então porque ela me disse que veio dois seis?
A: Porque um é o seis e o outro é o nove.
P: É isso mesmo! Então porque que tem que colocar a quantidade?
A: Pra saber!
P: Pra saber! Se vocês não desenharem as quantidades não dá pra saber o que é seis e o que e
nove!
(A maioria dos alunos pareceu ter compreendido o que o professor acabou de enunciar).
[...]
P: Pronto, né! Já posso explicar?
A: Pode.
(A maioria dos alunos disse que o professor poderia explicar o que fazer com a meia folha de
sulfite entregue por ele – o Tabuleiro).
P: Eu pedi pra vocês pra que cada um pegasse a metade do outro.
A: Sim.
P: Nessa folha aqui (mostrou meia folha de sulfite) vocês vão montar o Tabuleiro. Primeiro
vai fazer assim: vai dividir ele com a régua aí em quatro partes. Ai, professor, eu não trouxe a
régua? Pega a folha, divide no meio! É pra cortar? Não, é só para dobrar. Dividiu no meio?
A: Pera aí!
P: Ai, só faz isso aqui, oh (mostrou uma meia folha de sulfite que estava dividindo aos alunos,
dobrando-a pela segunda vez ao meio), no meio de novo!
A: Assim, oh? (Perguntaram os alunos ao professor).
P: Isso. Abra a folha e você viu que ficou quatro partes. Certo?
A: Certo.
P: Na primeira parte vocês vão colocar assim, oh, primeira rodada. (Professor desenhou na
lousa o seguinte esquema):
1ª RODADA
2ª RODADA
3ª RODADA
A: Primeira rodada.
P: Consecutivamente, na segunda parte, segunda rodada, certo? Entendido? Terceira rodada.
E aqui na última parte, o que é que eu vou colocar?
A
PÊNDICES -
392
A: Quarta rodada.
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
P: Não!
A: Final.
P: Total! A gente pode colocar total, final das três rodadas.
A: Total. (Disse uma parcela de alunos).
P: Total?
A: Não. Resultado. (Falou outra parcela de alunos).
P: Resultado?
(A maioria dos alunos passou a discutir, sendo que um grupo queria escrever Total, e o outro
Resultado).
P: E se a gente colocar assim, oh! Resultado das três rodadas? Pode ser?
A: Pode!
P: A gente vai somar aqui (referiu-se à quarta parte da folha de sulfite dobrada onde estava
escrito “TOTAL DAS TRÊS RODADAS”) os pontos das três rodadas. Pode ser?
A: Sim.
P: Porque que vai colocar aqui, oh, resultado das três rodadas (apontou na lousa no local onde
representou a quarta parte do Tabuleiro)? Porque vai ser a soma das três rodadas.
(Após alguns minutos, o docente voltou a questionar os alunos).
P: Total, Resultado! O que a gente põe aqui então?
A: Total.
(A maioria dos alunos respondeu entusiasmadamente).
P: Vamos ser democráticos. Quem quer “Total” levante a mão. (A maioria dos alunos
levantou a mão. Como a maior parte da sala votou, então o professor disse):
P: Então ganhou o “Total”! Certo! A gente vai desenhar agora as casas: unidade...
A: Dezena!
P: Dezena...
A: Centena!
P: E centena! (Momento em que o professor dirigiu-se à lousa e desenhou três tabelas,
denominando as colunas com as siglas U = unidade, D = dezena e C = centena).
C D U
A: Unidade de milhar não?
P: Por enquanto não, só esses aí! Então vai ficar assim, oh, centena, dezena e unidade! Um
quadradinho pra cada algarismo.
[...]
P: O que são algarismos?
A: Números.
P: Número: nove, zero.
[...]
A
PÊNDICES -
393
P: Pessoal, a primeira coisa que vocês vão fazer é juntar o baralho em dupla. Vai embaralhar!
Gente, embaralhe bem o conjunto das cartas. Vocês vão pegar o baralho e juntar.
Embaralhou? Vai pegar as cartas e vai virar o baralho com o naipe. O que é naipe, gente?
A: O desenho.
P: O desenho, a figura, os números é isso! Os naipes de cabeça pra baixo. Aí, pessoal, quem
for primeiro (a iniciar o jogo) vai tirar seis cartas. (Nesse momento o professor pegou as
cartas de uma das duplas e realizou a ação que acabou de falar):
P: Uma duas três quatro cinco e seis. Beleza. Tô dando exemplo aqui. Ah, eu tirei aqui, por
exemplo a carta quatro. Aí eu vou escolher o lugar (na tabela do Tabuleiro em que estão
representadas as casas decimais) pra colocar o algarismo quatro.
A: Em qualquer lugar?
P: Pode ser em qualquer lugar.
A: Unidade.
P: Na unidade. Daí, é só vocês irem vendo as outras cartas e escrevendo os números nos
quadrados que vocês quiserem. Por exemplo, eu tirei o quatro, o oito, o sete, outro oito, o dois
e o seis. Então eu vou escrever o oito na casa das dezenas, o seis no das centenas, formei o
meu primeiro número. Certo! E daí me sobraram três cartas. Eu tirei seis e coloquei três,
quantas me sobraram?
A: Três.
P: Daí eu vou colocar esse oito aqui nas centenas, o dois nas unidades e o sete na casa das
dezenas. (O professor esquematizou na lousa o seguinte):
C D U
6 8 4
+ 8 7 2
P: Certo? Eu vou fazer o resultado aqui! A soma.
A: A de mais.
P: Sim, eu vou somar, certo. Vou fazer isso na primeira rodada, daí a outra pessoa (da dupla)
vai tirar do monte que ficou. As duas pessoas já jogaram, então vão pra outra rodada, a
segunda. Vai embaralhar de novo e vão pra segunda rodada, tira par ou ímpar pra saber quem
vai começar de novo. E assim vai fazer isso até a terceira rodada. Entenderam?
A: Sim.
(Uma parcela dos alunos respondeu afirmativamente).
P: Na terceira rodada a mesma coisa. Quem ganha?
A: Quem tiver mais. (Falou um aluno).
P: Isso, quem tiver mais pontos no final das três rodadas. Então tem que somar o total das três
rodadas.
A: Tá.
P: Pessoal, olhem aqui. Se eu tirei apenas uma carta oito, eu posso formar um número com
dois oito? Não, não pode repetir o número, a não ser que você tirou dois oito. Tem que ser
honesto! O amigo da dupla tem que ver se o outro não ta querendo formar um número só com
nove pra que assim ele consiga ganhar!
[...]
P: Oh, pessoal, que tipo de operação matemática a gente usou?
A: Mais.
(Respondeu a maioria dos alunos).
A
PÊNDICES -
394
P: Adição! É, a gente usou qualquer outro tipo?
A: Não.
P: Não. Só adição. É, deu pra perceber aí a questão de, da base dez dos números? Teria como
ficar um número, por exemplo, assim na casinha? (Nesse momento o professor registrou na
lousa o seguinte esquema, apontando com os dedos o número 16):
C D U
16
P: Daria certo? Pessoal, daria certo?
A: Não.
P: Não, né! Outra coisa. É, vocês perceberam como é fácil fazer adição com três números?
Alguns ficaram comentando, foi difícil fazer essa conta! Foi difícil mesmo fazer?
A: Não.
P: Não.
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 22/04/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
Eu percebi que durante todo o tempo os alunos tinham muita dificuldade em resolver algumas
operações matemáticas como a adição, e daí eu percebi que eles até sabiam somar, mas não
entendiam o conceito de somar, né, a questão de dezena, unidade; unidade, dezena e centena, é o
sistema decimal. Daí eu percebi que eles teriam que entender isso a partir do jogo. Então primeiro,
logo nas primeiras aulas eu dei as bases de sistema dez, né, eu dei o jogo: NUNCA DEZ, e aí eu
percebi que eles (os alunos) precisavam ter uma coisa mais prática, e aí o jogo foi a maneira mais
prática deles usarem a soma; e aí eu acabei até com a atividade (com o jogo do baralho e tabuleiro)
percebendo outras coisas que eu pude contemplar ali, como a ordem crescente – decrescente, essas
coisas que eu achava que era claro para eles (aos alunos) mas não era tão claro assim!
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Conteúdos ou habilidades? Ah, eu acho que habilidade de somar, da soma né, da adição, e (...)
conteúdo, eu acho que cai também a questão das ordens decrescentes, né; eles encontravam
dificuldades, mas eu acho que eles acabaram construindo isso aí (...). Quando eles percebem quem
ganhou né, quem teve mais pontos, quem teve menos pontos e acaba entrando também nos conteúdos
da própria adição e do sistema decimal também (...) quando eles começam a perceber que é, ganha
quem tem o maior número, né, o maior número, aí eu percebo que eles começam a estabelecer uma
construção de ordem né, numérica e da própria adição mesmo!
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
A
PÊNDICES -
395
R:
Sim, acho que sim. Se eles (os alunos) não tivessem nenhum conceito anterior por mais que eu
fizesse qualquer coisa ali não iria “rolar”!
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
(O pesquisador refez a pergunta tendo em vista o não entendimento por parte do professor
participante). Algumas sim. Algumas dificuldades eu encontrei, por exemplo: (...) materiais. É
complicado trabalhar com materiais numa escola pública. Você não acha material, você tem que
fazer, é (...) produzir esse material que não tem lá (na escola) e aí acaba tomando muito tempo do
aluno e do professor também, não por ter disponibilizado tempo, mas quanto tempo que foi tomado eu
acho que eu poderia trabalhar muitas outras coisas (ou seja, outros conteúdos), né! E alguns
conceitos também, né, são um pouco complicados, né, de se trabalhar, ainda mais eu que não tenha
uma certa formação Matemática consistente. Isso eu tenho que deixar em claro na minha formação
que eu não tenho uma formação Matemática que realmente eu considere ideal na área de
Matemática; então vai muito mais da minha vontade do que realmente dos conceitos.
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Sim, eu acho que é importante porque acho que tem uma continuidade, uma ligação, não sei como
não usar esses conteúdos, né, conceitos habilidades, é, em um outro momento porque eu acho que
ainda acho que tudo tem uma certa ligação! Quando eu for fazer uma atividade mais pra frente, por
exemplo, entrar em outros conceitos matemáticos vai ser necessário as atividades que eles
construíram agora (professor referiu-se aos conteúdos matemáticos construídos pelos alunos a partir
da interação com a referida aula).
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Não, acho que não (professor mostrou certa duvida mediante expressão facial), (...) mas, pensando
bem, acho que alguns objetivos ficaram falhos ali, né, ou seja, em alguns alunos. Isso que eu percebo,
mas não em todos os alunos. Então, é necessário estabelecer novas estratégias, né, porque eu percebo
que alguns alunos ali, por exemplo, o Aluno A. Por ele não ter uma competência de leitura e de
escrita ele tem uma dificuldade Matemática também, e ele não acompanha a sala, pra ele vai ter que
ser uma questão (aula) mais oral, de oralidade mesmo. Eu vou ter que sentar com ele, assim como
com outros e atendê-los mais especificamente e aí, eu acho, que a estratégia do jogo não vai ser tão
eficaz quanto foi com os outros alunos, né, e aí precisa prever uma outra estratégia que ainda precisa
ser pensada, né! Precisa ser um momento pra ver qual estratégia precisa ser tomada. Eu acho que é
isso!
A
PÊNDICES -
396
K. II. 2 – Aulas 3 a 5. Data: 28/04/2008
ROTEIRO 2:
Categorias: 10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 3 A U L A: 4
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X 3
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
X 1
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
X X X X 4
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X X 2
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros:
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X 4
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
X 1
5. Outros: 1.
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X 5
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 2)
Procedimento Didático e Metodológico:
Materiais Utilizados
1 – Jogo (Baralho e Tabuleiro).
A
PÊNDICES -
397
Categorias: 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 5
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X 2
2. Agrupamento dos alunos para realização de atividades sugeridas
pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos matemáticos. X X 2
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X 1
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em outras áreas do
conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações, brincadeiras, entre
outras.
12. Outros:
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X 3
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre de Hanói,
Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1.
1
X
1
X 2
Total de Horas Observadas:
0:50 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 2)
Procedimento Didático e Metodológico:
Materiais Utilizados:
1 – Jogo (Baralho e Tabuleiro).
A
PÊNDICES -
398
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 2:
1º - [O docente iniciou a aula relembrando o jogo do Baralho e do Tabuleiro. Como
prometido na aula anterior, entregou a cada aluno um Tabuleiro impresso elaborado pelo
professor. Distribuiu para alguns alunos, que por ventura tenham perdido as cartas e ou
faltado, uma folha contendo cartas em branco].
2º - [Agrupados (os alunos) em duplas, o professor explicou como jogar de um modo
diferente. Porém, antes, registrou na lousa o seguinte]:
SOMA = MAIOR RESULTADO
SOMA = MENOR RESULTADO
[A diferença em relação às regras da aula anterior consistiu no fato de que ganhava quem
obtivesse o menor resultado no final das três rodadas. Além disso, ao invés de somar os dois
números obtidos em cada rodada, os alunos precisariam subtraí-los. Vamos supor que um
integrante da dupla – na primeira rodada – formou os números 376 e 456. Como não é o
momento de abordar operações aritméticas envolvendo números inteiros (logo não é possível
o trabalho com números negativos), então, os alunos necessitaram obedecer a seguinte
regra: subtrair os números considerando a ordem decrescente. Logo, aquele aluno
(integrante) deveria subtrair 376 de 456, e não o contrário].
3º - [O professor auxiliou algumas duplas chamando a atenção de alguns alunos em
relação à ‘nova regra’].
4º - [Enquanto os alunos jogavam o docente registrou na lousa duas perguntas]:
1) Quais os resultados finais?
2) Qual a diferença entre os dois resultados?
[Tais questões deveriam ser respondidas pelas duplas, objetivando aí a abordagem da
operação subtrativa].
5º - [Como alguns alunos não entenderam o professor dirigiu-se à lousa e explicou
novamente as regras do ‘novo’ jogo. Escreveu]:
A
PÊNDICES -
399
2 2 0
1 1 0
2 5
3 4 5
[O docente quis chamar a atenção dos alunos com relação ao fato de somar os três
resultados (de cada rodada) e verificar entre os integrantes da dupla qual o menor valor].
6º - [O professor explicou a três alunos, que não conseguiam subtrair os números
obtidos na primeira rodada do jogo, como operacionalizar 960-138. Para isso utilizou uma
estratégia peculiar e interessante. Primeiro, com o giz desenhou no chão uma tabela
contendo 3 colunas e 4 linhas, sendo que em cada coluna representaram-se as casas
decimais: unidade, dezena e centena. Em seguida, representou em cada célula da tabela os
algarismos correspondentes que formariam os números 960 e 138. O diferencial foi que, ao
invés de escrever os algarismos hindu-arábicos, o professor, utilizando as peças do Material
Dourado, fez o seguinte]:
C D U
_
[Na ilustração acima, o professor literalmente utilizou o “caminho” concreto-abstrato para
que os três alunos conseguissem compreender o que significa trocar uma dezena por dez
unidades. No desenho a seguir, o professor retirou uma dezena do número 960 trocando-o
por dez unidades que foram colocadas na casa decimal da unidade]:
A
PÊNDICES -
400
C D U
_
[Para obter o resultado exposto acima (822), o docente foi retirando as peças que formavam
o numero 960 do seguinte modo: primeiro tirou 8 unidades, em seguida retirou 3 dezenas e
finalmente 1 centena].
7º - [Enquanto o professor foi atender os demais estudantes, os três alunos com
dificuldades ficaram manipulando as peças móveis do Material Dourado, procurando
compreender ainda mais a questão das ‘trocas’ entre as casas decimais].
8º - [O docente pediu que as duplas realizassem o jogo do Baralho e do Tabuleiro,
modificando novamente as regras. A única diferença do anterior ocorreu pelo fato de que, ao
invés de somar os três resultados – provenientes das três rodadas – os alunos deveriam
subtraí-los. Não esquecendo de cumprir a regra da ordem decrescente para a não ocorrência
de valores negativos. Em seguida, solicitou que uma aluna registrasse na lousa as soluções
das questões 1) e 2) postas na lousa no início da aula].
A
PÊNDICES -
401
1) Meu 1031 Dela 802
2)
1 0 3 1
_
8 0 2
0 2 2 9
9º - [Após disponibilizar certo tempo para que os alunos concluíssem a realização do
segundo jogo, o docente registrou na lousa outras questões]:
3) No segundo jogo você irá subtrair os três resultados. Anote-os em seu caderno.
4) Quanto seria necessário para o vencedor alcançar o resultado do perdedor?
10º - [O professor, ao explicar a alguns alunos a operação de subtração, anotou na
lousa o exposto abaixo]:
5
6 ¹0 5
3 2 0
2 8 5
1 7 3
1 1 2
³4
9
0 ¹0
1 4 7
2 5 3
0 1 4
1 3
1
0 0 0
[Tais subtrações surgiram dos resultados obtidos pelos alunos ao realizarem a segunda
versão do jogo Baralho e Tabuleiro].
11º - [O docente salientou que a operação abaixo é possível de ser feita só que dá
mais trabalho, assim, é melhor subtraírem os números obedecendo a ordem decrescente. Ao
lado, realizou duas subtrações, utilizando o resultado de uma para operar subtrativamente a
outra].
0 0 1
_ 1 8
1 8 1
8
9 ¹1 1
- 8 2 1
0 9 0
8
9 ¹0
_ 3 2
5 7
A
PÊNDICES -
402
12º - [Após alguns minutos, uma aluna dirigiu-se à lousa e registrou o resultado de
sua dupla referente à questão 3. Outra aluna, seguidamente, escreveu ao lado o referente à
questão 4].
3)
1 1 3
_ 1 2
1 0 1
0 0 0
4)
5
4
5 ¹4
3 3 5
2 1 9
13º - [O docente disponibilizou o resto da aula para que as duplas realizassem as
duas versões do jogo ensinadas nesta aula].
Observações mais relevantes:
1 – P: cumpriu o combinado com os alunos trazendo o Tabuleiro impresso. [Ver a questão
das regras, valores sociais].
2 – P: ao perceber que a maioria dos alunos não havia entendido a explicação acerca do jogo,
modificou sua estratégia explicativa. [Auxílio-intervenção → Equilibração].
3 – A necessidade dos alunos em manipular materiais concretos (Material Dourado), para
assim, perceberem as relações matemáticas. [Concreto → Abstrato].
4 – P: circulou pela sala verificando o entendimento das duplas à realização do jogo. [Ver a
questão da avaliação diagnóstica].
5 – P: constantemente indagou os alunos, questionando-os. [Momentos de desequilíbrios].
6 – P: ao solicitar a solução das questões 1), 2), 3) e 4), percebeu-se a preocupação quanto à
importância de situações problemas no processo de ensino e aprendizagem.
7 – Talvez o docente visasse, propositadamente no segundo jogo, desequilibrar os alunos
quando solicitou a operacionalização de subtrações sucessivas sem dar-lhes a ordem de tais
operacionalizações. [Momentos de desequilíbrios].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações do professor.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (3 A 5) GRAVADAS:
[...]
P: Oh, pessoal, como a gente fez aquele (...) na semana passada como é que foi a conta? Que
operação nós usamos?
A
PÊNDICES -
403
A: Mais.
(Respondeu a maioria dos alunos).
P: Mais, adição. (O professor referiu-se a execução do jogo Baralho e Tabuleiro da aula
anterior). Agora a gente vai fazer a operação inversa! Qual é a operação inversa da soma?
A: Menos. (Disseram poucos alunos).
P: Menos?
A: Mais. (Falaram alguns alunos).
P: Subtração! Uma operação de menos.
A: De menos. (Citou um aluno).
P: Então agora, vocês vão fazer duplas para jogar um novo jogo do baralho.
(Após os alunos agruparem-se em duplas o professor explicou como jogar).
P: Pessoal, oh, prestem atenção! Vai embaralhar o baralho (composto de vinte cartas
anteriormente confeccionadas pelos alunos) e vira de cabeça pra baixo. (O professor
emprestou vinte cartas de uma dupla e encenou o que acabara de dizer). Pessoal, prestem
atenção, vai embaralhar, virar o baralho de cabeça pra baixo e cada um da dupla vai pegar seis
cartas. Seis cartas. Na semana passada, ganhava quem tinha o maior...
A: Número.
P: O maior resultado, total! É isso que a gente fez a semana passada?
A: É.
(A maioria dos alunos respondeu).
P: E hoje tem que fazer o quê? (apontou à lousa na qual estava escrito a expressão: “SOMA =
MENOR RESULTADO”).
A: Menor resultado. (Disseram alguns alunos).
P: Que operação eu tenho que fazer então em cada rodada?
A: Menos! (Respondeu um aluno).
P: Subtração. Por exemplo, cada dupla vai pegar o baralho, vai embaralhar! Cada um pega
seis cartas e escreve os números aí (apontou no quadro referente à 1ª rodada):
1ª RODADA
C D U
P: Escreve dois números. Vamos lá! Daí do maior você tira o menor! Tem que fazer assim, se
não, não vai dar certo. Depois que vocês preencherem as três rodadas, soma as três e quem
tiver, da dupla, o menor resultado, ganha. Não se esqueçam, tem que dar o menor resultado!
(O professor, ao observar algumas duplas, chamou a atenção da sala):
P: Só pode repetir o número se tirar duas cartas iguais. Por exemplo, se você (apontou para
um aluno de uma dupla) tirar os números: um, dois, três, seis, três e quatro (escritas nas
cartas) então você pode escrever, por exemplo, o número 336. Agora, se você tirou cartas
diferentes, não pode escrever um número repetindo os números.
[...]
P: Oh, pessoal, terminou (a nova versão do jogo do Baralho e Tabuleiro) de preencher o
tabuleiro, abram os cadernos de Matemática e copie as questões um e dois que estão na lousa.
Certo? (As questões abaixo foram escritas na lousa pelo professor):
1) Quais os resultados finais?
A
PÊNDICES -
404
2) Qual a diferença entre os dois resultados?
A: Certo.
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Todo mundo entendeu?
A: Sim!
(A maioria dos alunos falou).
P: Vamos ver se entenderam a numero dois! O que é diferença?
A: Menos. (Citou uma aluna).
A: Mais. (Disse um aluno).
P: Pra achar a diferença, eu posso somar ou subtrair! Vocês têm que entender isso, essa
noção! Do quinze, pra chegar no vinte eu somo cinco. Ou, vinte menos quinze me dá cinco!
P: Tudo bem, pessoal?
A: Sim!
(Respondeu a maioria dos alunos).
[...]
P: Pessoal, eu falei que as das três rodadas é a soma e não a subtração. (Disse isso ao perceber
que os alunos estavam se confundindo ao jogar). Pessoal, prestem atenção em mim agora! Oh,
por exemplo, o primeiro resultado deu duzentos e vinte, o segundo deu cento e dez e o último
deu vinte e cinco. Eu falei o que, que nesse primeiro momento a gente ia somar os três
resultados. (O docente escreveu na lousa o exposto abaixo):
2 2 0
1 1 0
2 5
P: Somar é o que gente? O que é somar?
A: Mais. (Respondeu um aluno).
P: Somar não seria juntar?
A: É! (Disseram alguns alunos).
P: Tem como eu somar tirando?
A: Não!
(A maioria dos alunos respondeu).
P: Tem como eu somar, por exemplo, vem aqui (chamou três alunos à frente). O que eu fiz
com esses três alunos?
A: Você juntou. (Falaram três alunos).
P: Eu juntei. Cada um não era um?
A: É.
P: Quando eu junto os três eu estou fazendo o quê?
A: Somando. (Responderam alguns alunos).
P: Um, mais um, mais um. (Contou os três alunos que estavam na frente).
A: Três.
(Grande parte da sala disse euforicamente).
P: Juntando então é o mesmo que somando. Quando eu falo que eu tô somando, somar, juntar,
fazendo isso aqui, oh (...) separando (o docente separou os três alunos que estavam na frente,
colocando cada num canto da sala) eu tô somando?
A: Não. (Disseram poucos alunos).
A
PÊNDICES -
405
P: Não. Então somar é sempre juntar! Oh, se eu fizer assim, eu tinha três, e tiro um, eu tô o
quê? Subtra...
A: Subtraindo!
P: Isso, subtraindo! Então nesse momento a gente ta somando, juntando, é a continha de mais,
adição. (Nesse momento o professor foi à lousa e, perguntando aos alunos resolveu a
operação exposta no esquema acima).
P: Zero mais zero mais cinco? Cinco. (Referente à soma dos algarismos que equivalem
unidades).
A: Cinco.
P: Dois mais um?
A: Três.
P: Com mais dois?
A: Cinco. (Referente à soma dos algarismos que representam as dezenas).
P: Dois mais um?
A: Três. (Referente à soma dos algarismos que equivalem centenas).
P: Então ficou trezentos e cinqüenta e cinco. (...) Gente, não se esqueçam então, nas rodadas é
de menos, no final é de mais!
[...]
P: Pessoal, vamos lá! No segundo jogo vocês vão responder essas daqui: (O docente referiu-
se às questões três e quatro):
3) No segundo jogo você irá subtrair os três resultados. Anote-os em seu caderno.
4) Quanto seria necessário para o vencedor alcançar o resultado do perdedor?
P: Vocês vão ter que subtrair os três resultados. Quais três resultados?
A: Das rodadas. (Falou um aluno).
P: Isso, das três rodadas! Só que, na hora de subtrair vai ter que fazer do maior para o menor!
Daí, vocês pegam os cadernos de vocês e vai chegar no resultado no caderno. O quatro
(começou a ler a situação problema quatro registrada na lousa): quanto seria necessário para o
vencedor, o vencedor ele tem o quê?
A: Mais. (Responderam três alunos).
A: Menos!
(Retrucou a maioria da sala exaltadamente).
P: O menor resultado, não é isso? Quanto seria necessário para o vencedor alcançar o
resultado do perdedor?
(Nesse momento vários alunos conversam, tentando descobrir qual operação utilizar. Alguns
dizem: “– Menos!”, “– Tirar!”).
P: Pra conseguir saber vocês pegam o resultado maior e subtrai pelo menor! Certo pessoal?
A: Certo!
(A maioria dos alunos respondeu euforicamente).
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 28/04/2008
A
PÊNDICES -
406
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
É (...) pensando que na primeira aula a gente (professor referiu-se ao jogo – do baralho –
realizado na aula anterior – 1 e 2) trabalhou adição e por ser considerado a adição e a subtração, né,
o mesmo campo matemático (ou seja, as estruturas aditivas), então eu pensei assim, como eu
contemplei a adição eu tenho que contemplar também a subtração, né, e aí o campo (...) o mesmo
campo aditivo e subtrativo e daí eu achei interessante trabalhar com isso. Até pensei a base, tipo, iria
nas próximas aulas seja para isso multiplicação e a divisão, pra ter a base Matemática mesmo, né,
bem delineada na cabecinha deles (dos alunos), pra depois poder trabalhar mesmo esses conceitos da
secretaria da educação, né, que o professor tem que contemplar no ensino de Matemática as
habilidades. Se ele não souber essas quatro operações matemáticas, eu vejo que não adianta você
partir pra frente, ele (o aluno) vai ficar sempre travado em alguma coisa (ou seja, o aluno não
conseguirá prosseguir com a elaboração-construção de estruturas lógico-matemáticas de maior
complexidade).
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Eu acho que ficou bem clara a questão da subtração, né, e da (...) de alguns termos que falou lá
(durante a aula) sobre diferença (...) o que mais que a gente falou (...) resto; acho que isso deixou
bem claro os termos usados na subtração que os alunos não têm algumas dessas coisas (ou seja,
destes conhecimentos sobre tais termos) que sempre (o aluno) fala assim: “ – Professor, é conta do
quê? De menos? De mais?”; ele não consegue compreender que na verdade não tem o que é conta de
mais ou de menos, é o conceito que ele precisa entender (ou seja, o aluno necessita construir as
estruturas do pensamento aditivo ‘conscientemente’). O aluno precisa achar a diferença (...) se achar
a diferença contando, por exemplo, que pra chegar no vinte e dois, que ele tem onze e pra chegar no
vinte e dois eu preciso somar mais onze, não interessa, sabe, se é de mais ou de menos! É a questão
dos conceitos mesmo, que ele (o aluno) precisa ter na verdade é, alguns conceitos na cabeça pra estar
resolvendo algumas situações problemas, né!
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Continuo achando que sim! Que é necessário a criança ter alguns conceitos anteriores, porque,
né, chegando numa quarta série, se a criança não sabe muitas coisas, não tem alguns conceitos, fica
meio complicada dela acompanhar a proposta, né. Então eu acho que foi sim, é (...) foi possível
através da construção de conceito anterior.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
É, foi o que eu falei na resposta anterior, né, continua a dificuldade de material, da própria
indisciplina da sala de aula, né; e também dos conceitos e conteúdos que a gente tem na formação
(referiu-se a algumas dificuldades que o próprio professor possui), ainda eu continuo achando isso!
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
A
PÊNDICES -
407
R:
Sim! Sim, né! Como eu falei, né, acho que tudo tem uma relação, né, em momentos anteriores, por
exemplo, hum (...) uma situação problema que exija a construção de um gráfico, né, vai ser necessário
que ele tenha claro esses conceitos e habilidade que ele (o aluno) construiu pra resolver certas
situações.
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Sim, acredito que não atingi a todos os objetivos. É claro que precisa de umas reformulações em
alguns aspectos do trabalho que precisa ser analisada até por fora, pra eu sentar posteriormente após
a finalização de todo esse trabalho e olha por fora, como, o que, fazer uma avaliação de tudo aquilo.
Reconstruir novos conceitos até pra mim mesmo, reconstruir novas metodologias e tentar melhorar a
situação pra atender a alguns alunos específicos, que não entenderam; e até aqueles alunos que
aprenderam eu ainda senti que alguns ainda ficaram com algumas dúvidas, né. Pode ser que a
atividade posterior a que foi feita nesse dia, possa vim a resolver algumas dificuldades; mas eu acho
que por enquanto é necessário sim algumas reformulações!
A
PÊNDICES -
408
K. II. 3 – Aulas 6 a 8. Data: 26/05/2008
ROTEIRO 3:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 6 A U L A: 7
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X X 3
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
X X 2
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
X X X X X 5
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática
e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática
em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros:
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X 3
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1, 2, 3.
1
X
2
X
3
X
3
X
3
X
3
X
3
X
7
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 3)
Procedimento Didático e Metodológico:
Materiais Utilizados
1 – Figuras geométricas (marcadores): 12 círculos e 2
triângulos.
2 – Tabuleiro.
3 – Jogo (Tabuleiro e Marcadores).
A
PÊNDICES -
409
Categorias: 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 8
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X 1
2. Agrupamento dos alunos para realização de atividades sugeridas
pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo professor.
4. Aplicação de jogos envolvendo noções / conteúdos matemáticos. X X 2
5. Troca de idéias entre alunos e professores. X X 2
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a Matemática em outras áreas do
conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações, brincadeiras, entre
outras.
12. Outros:
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X 3
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram, Torre de Hanói,
Blocos Lógicos, Material Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 3.
3
X
3
X 2
Total de Horas Observadas:
0:50 h
Categoria: Outros. (ROTEIRO 3)
Procedimento Didático e Metodológico:
Materiais Utilizados:
3 – Jogo (Tabuleiro e Marcadores).
A
PÊNDICES -
410
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 3:
1º - [O docente separou os alunos em duplas solicitando que estes pegassem as formas
geométricas – doze círculos e dois triângulos – confeccionados em cartolinas coloridas na
aula anterior. Em seguida, registrou na lousa]:
JOGO DA MULTIPLICAÇÃO
12 CÍRCULOS
02 TRIÂNGULOS
[Após os agrupamentos, o professor entregou a cada dupla o tabuleiro referente ao JOGO
DA MUTIPLICAÇÃO]:
TABUL
TABULTABUL
TABULEIRO DO JOGO DA
EIRO DO JOGO DAEIRO DO JOGO DA
EIRO DO JOGO DA
MUTLIPLICAÇÃO
MUTLIPLICAÇÃOMUTLIPLICAÇÃO
MUTLIPLICAÇÃO
1 2 3
4 5 6
7 8 9
14 24 35 49 81 72
32 30 45 48 64 63
1 16 2 40 56 3
5 12 7 54 9 8
10 21 42 27 20 28
6 15 4 36 25 18
[Com o tabuleiro – acima – em mãos, o professor explicou as regras do jogo desenhando na
lousa o esquema a seguir]:
1 2 3
4 5
6
7
8
9
20
[Através do esquema acima, o professor exemplificou como utilizar a primeira tabela do
tabuleiro. As figuras geométricas planas triângulos serviram como marcadores. Quando é
chegada a vez de um dos alunos da dupla jogar, o mesmo escolhe dois números da primeira
tabela para colocar os triângulos. Ao fazê-lo, é necessário realizar a operação multiplicativa.
Quando o docente explicou na lousa este primeiro procedimento – do jogo – exemplificou
desenhando os triângulos nos números quatro e cinco, anotando ao lado o resultado obtido
A
PÊNDICES -
411
através da multiplicação de ambos os valores (4x5). Porém, por visar à construção da idéia
multiplicativa, o professor “dispensou” a tabuada (memorizada), desenhando na lousa 5
conjuntos contendo 4 elementos – salientando assim a multiplicação como sendo a soma de
parcelas iguais. Objetivando explicar a segunda tabela do tabuleiro, o docente desenhou na
lousa]:
18 45 16
35
20 32
30 25 28
38 50 60
[Conforme a ilustração, os marcadores circulares servem para demarcar o resultado
proveniente da multiplicação – anteriormente realizada utilizando os números da primeira
tabela. Como na tabela anterior, realizaram-se as multiplicações 4x5 e 4x8; os números
demarcados foram vinte e trinta e dois. O objetivo deste jogo consiste em formar uma trinca,
seja vertical, horizontal ou diagonal. O estudante da dupla que o fizer primeiramente é o
vencedor].
2º - [Ao explicar novamente o jogo aos alunos o professor desenhou o esquema abaixo
na lousa]:
[Ao fazê-lo, visou salientar as estratégias para o preenchimento da trinca. Disse aos alunos
para pensarem antes de marcar o segundo tabuleiro com as figuras circulares. Nesse
momento comparou este jogo ao do “Jogo da Velha”. Os traços em negrito, nos sentidos
horizontal, vertical e diagonal – desenhados acima – denotaram as possibilidades para o
posicionamento dos círculos de tal modo que se formem trincas].
A
PÊNDICES -
412
3º - [Enquanto uma parcela dos alunos jogava, o docente solicitou aos demais
(aqueles que haviam esquecido os marcadores – círculos e triângulos – em casa) que
confeccionassem em cartolinas coloridas estas figuras. Nesse instante, desenhou na lousa um
círculo e um triângulo]:
[Circulando pela sala o professor auxiliou dupla por dupla quanto à
realização/desenvolvimento do JOGO DA MULTIPLICAÇÃO. Para alguns estudantes
solicitou que os mesmos desenhassem pontos/traços para obterem o resultados das
multiplicações].
4º - [O docente organizou as duplas conforme denota o esquema a seguir]:
JOA
JOA
MUR
JOA
JHE
LET
LET
JOA
REG
REG
LUC
REG
BIA
BIA
BIP
GIO
ADR
GIO
GIO
GIO
IZA
RAF
RAF
GIO
THI
THI
ALI
THI
GLE
GLE
SAR
1ª Quadro do Campeonato.
HAD
MAR
MAR
CAI
CAI
CAI
GAB
RAE
MAC
MAC
LCA
ERA
LUS
ERA
TAN
ERA
GGGG
JEA
JEA
TAY
TAN
TAN
TAN
RAL
2ª Quadro do Campeonato.
A
PÊNDICES -
413
[A ilustração anterior se assemelha a um torneio/campeonato. Conforme um dos alunos de
cada dupla ia ganhando, competia com o ganhador da outra dupla. Por exemplo, olhando no
1º Quadro do Campeonato é possível saber que o vencedor JOA (da dupla JOA e MUR)
disputou com a aluna LET (da dupla LET e JHE). Após registrar os dois quadros, o professor
explicou o funcionamento do campeonato envolvendo o JOGO DA MULTIPLICAÇÃO. Disse
aos estudantes que seria o vencedor da dupla aquele que conseguisse formar duas trincas de
um total de três rodadas de jogo. Para a realização dos cálculos – multiplicativos –
argumentou aos alunos a possibilidade de utilizar folhas de rascunho].
5º - [Observando as duplas o docente marcou os vencedores (ver os quadros
anteriores), formando assim novas duplas para o prosseguimento da competição. Enquanto
registrava na lousa, falava: “– Quem ganhou vai jogar com quem ganhou, quem perdeu vai
jogar com quem perdeu!”. Vale salientar que poucos alunos ‘perdedores’ jogaram como
outros na mesma situação].
6º - [No meio do campeonato, ao observar que alguns alunos das duplas estavam
perdendo já que não sabiam ‘impedir’ o seu oponente de formar trinca, o professor dirigiu-se
à lousa e desenhou a figura abaixo]:
6
8
16
6
8
16
7º - [Interrompendo o campeonato, o docente pediu que os alunos pegassem os
cadernos de Matemática para o registro/sistematização das instruções sobre o JOGO DA
MULTIPLICAÇÃO. A elaboração do texto instrutivo – abaixo – deu-se a partir de
conversa/troca de idéias entre professor e estudantes]:
JOGO DA MULTIPLICAÇÃO
MATERIAIS
12 CÍRCULOS
A
PÊNDICES -
414
2 TRIÂNGULOS
1 TABULEIRO
2 JOGADORES
REGRAS (MODO DE JOGAR)
O JOGADOR TERÁ QUE FAZER UMA TRINCA COM OS CÍRCULOS NA TABELA
DOS RESULTADOS A PARTIR DAS MULTIPLICAÇÕES FEITAS COM OS DOIS
TRIÂNGULOS NA TABELA DA MULTIPLICAÇÃO.
O JOGADOR NÃO PODERÁ USAR A TABUADA.
AO FINAL DE TRÊS RODADAS O JOGADOR QUE TIVER DOIS OU MAIS TRINCAS
É O VENCEDOR.
Observações mais relevantes:
1 – P: “– É um tipo de jogo da velha só que com a multiplicação!”. [Ver a questão da
generalização].
2 – P: referiu-se à multiplicação como somas sucessivas. [Ver a questão das estruturas
multiplicativas].
3 – P: agrupou os alunos em duplas. [Ver a questão da interação grupal e do jogo como
recurso didático e metodológico].
4 – P: “– Não vale olhar na multiplicação!”. [Ver a questão do desequilíbrio cognitivo
provocado].
5 – A situação de jogo estimulou os alunos tendo em vista a euforia dos mesmos. [Ver a
questão lúdica e do jogo de regras].
6 – P: questionou os alunos das duplas com relação às multiplicações realizadas. [Ver as
questões: tomada de consciência e situações de desequilíbrio].
7 – P: definiu aos alunos o que é uma dupla. [Ver a questão dos valores e regras sociais].
8 – P: elaborou em conjunto o quadro informativo a respeito do jogo da multiplicação. [Ver a
questão da tomada de consciência].
9 – Alguns alunos utilizavam desenhos no momento de realizarem as multiplicações.
[Concreto → Abstrato].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações do professor.
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (6 A 8) GRAVADAS:
A
PÊNDICES -
415
[...]
P: Todo mundo aqui agora, pegando os doze círculos e os dois triângulos (referiu-se aos
marcadores utilizados para o desenvolvimento do JOGO DA MULTIPLICAÇÃO). Ei, por
que se chama triângulo?
A: Por que tem três ângulos! (Respondeu um aluno).
P: Isso! Oh, eu vou entregar pra cada dupla um tabuleiro deste. Oh, tô explicando a regra,
gente! Oh, eu vou entregar pra cada dupla um tabuleiro deste, certo? (Nesse momento
mostrou aos alunos o tabuleiro abaixo):
TABULEIRO DO JOGO DA
TABULEIRO DO JOGO DATABULEIRO DO JOGO DA
TABULEIRO DO JOGO DA
MUTLIPLICAÇÃO
MUTLIPLICAÇÃOMUTLIPLICAÇÃO
MUTLIPLICAÇÃO
1 2 3
4 5 6
7 8 9
14 24 35 49 81 72
32 30 45 48 64 63
1 16 2 40 56 3
5 12 7 54 9 8
10 21 42 27 20 28
6 15 4 36 25 18
P: Nesse tabuleiro há duas tabelas. Uma vai de um a nove e a outra com vários números.
Estão vendo?
A: Sim. (Falaram alguns alunos).
P: São diferentes (referiu-se aos números escritos na segunda tabela do tabuleiro). Não tem
nenhuma regra aqui; são vários números diferentes. Os dois triângulos vão ser os marcadores.
Certo? Por exemplo, (nesse momento dirigiu-se à lousa, desenhando o esquema a seguir):
1 2 3
4 5 6
7 8 9
P: É (...) os dois triângulos como marcadores. Se eu colocar ele, o triângulo, por exemplo, em
um número (...) quatro, fala outro alguém (...)
A: Cinco!
P: Cinco, certo!
(Após essa decisão, o docente dirigiu-se à lousa desenhando nas células 4 e 5 figuras
geométricas triangulares):
1 2 3
4 5
6
7 8 9
P: O jogo é o jogo do quê? Nunca dez?
A: Não!
(A maioria dos alunos falou euforicamente).
A: Multiplicação! (Disseram três alunos).
P: Multiplicação! O que é pra fazer?
A: Somar. (Respondeu uma aluna).
P: Pra somar?
A
PÊNDICES -
416
A: Multiplicar! (Contra argumentou uma parcela dos alunos).
P: Multiplicar um número pelo outro, quatro vezes cinco (...)
A: Vinte! (Um aluno respondeu).
P: Será que é vinte mesmo? (Nesse momento, desenhou na lousa cinco conjuntos contendo
quatro elementos cada. Para tanto, contou de quatro em quatro): um dois três quatro; um dois
três quatro; um dois três quatro; um dois três quatro; um dois três quatro! Uma duas três
quatro e cinco. Não é isso? (Contou os cinco conjuntos, conforme mostrados abaixo):
P: Lembra que eu tinha explicado que multiplicação é a soma das...
A: Parcelas iguais. (Falou uma aluna).
P: Soma das parcelas iguais! Não é isso? Quatro com mais quatro?
A: Oito!
P: Com mais quatro?
A: Doze!
P: Com mais quatro?
A: Dezesseis!
P: Com mais quatro?
A: Vinte! (Nas quatro falas anteriores do aluno a maioria dos estudantes respondeu).
P: Vinte! Certo? Então tá certo! Aí vocês tem um outro tabuleiro, certo? Que vai ter vários
números. Por exemplo, aqui, vamos ver (nesse momento dirigiu-se à lousa e desenhou a
tabela denotada a seguir):
18 45 16
35 20 32
30 25 28
38 50 60
(Após desenhar a tabela acima, o professor aleatoriamente completou-a com números
diversos. Os alunos disseram quais números colocar, ajudando o docente no preenchimento da
mesma).
P: Por exemplo, na primeira jogada, a pessoa marcou nos dois triângulos quanto? Quatro
vezes cinco! Que dá quanto?
A: Vinte!
P: Vai pegar lá o círculo e colocar aqui (apontou na tabela – acima – a célula proveniente da
intersecção da 2ª linha com a 2ª coluna). Certo! No primeiro! Na outra jogada, por exemplo,
vai marcar lá (referiu-se a tabela menor do tabuleiro do JOGO DA MULTIPLICAÇÃO)
quatro vezes oito, quanto dá?
A: Dezesseis. (Falou um aluno).
P: Quatro vezes oito, pessoal?
A: Trinta e dois. (Responderam dois alunos).
P: Trinta e dois! Aí vai marcar lá, trinta e dois. (Nesse momento desenhou na tabela acima um
círculo ao lado do número 32). Quem fizer, primeiro, desse jogo todo, uma trinca, assim oh,
da mesma cor, ou assim, oh, ganha o jogo. (Enquanto falava – com o braço – indicava o
preenchimento da tabela acima nos sentidos vertical, horizontal e diagonal). É tipo um jogo da
A
PÊNDICES -
417
velha, só que com multiplicação! Entendeu? (...) Trinca é com três bolinhas! Alguém não
conseguiu entender?
(Um aluno sinalizou que ainda não entendeu. Enquanto as demais duplas tentavam
compreender a forma de jogar o professor explicou o jogo a alguns alunos).
[...]
(Ao perceber que a grande maioria das duplas não havia compreendido como jogar o
professor explicou novamente o procedimento do jogo):
P: Gente, então, oh, eu vou explicar mais uma vez! Vocês vão usar os triângulos pra marcar
na primeira tabela, que é a tabela aonde você vai multiplicar. Por exemplo, quatro vezes dois
(...) daí você vai ver na outra tabela (com o tabuleiro do jogo em mãos, apontou para a
segunda tabela em direção ao número 8) marca com um círculo. Aí marquei lá. Quando eu
conseguir formar, três círculos assim, a pessoa ganhou a primeira rodada. Certo?(nesse
momento, desenhou na lousa a figura):
P: Daí a outra pessoa (da dupla) vai ter que perceber que, se o outro tiver conseguindo formar
trinca, ela vai ter que fazer uma multiplicação que impeça a pessoa formar, certo? Quem
formar primeiro, na horizontal, ou na vertical, ou na diagonal, ganha! Certo? Pode começar aí,
pessoal!
[...]
P: Ei, pessoal, atenção! Agora a gente vai fazer um campeonato da multiplicação da sala! A
gente vai ver quem é o melhor da multiplicação. Mas não vale usar a tabuada, certo? Oh,
pessoal, eu vou anotar as duplas aqui pro campeonato. (Nesse momento, o professor escreveu
na lousa os quadros do campeonato. Após tal registro, os integrantes das duplas iniciaram o
jogo).
(Decorridos alguns minutos, o professor chamou a atenção dos alunos visando esclarecer o
que significa uma atividade em dupla):
P: Gente, sentar em dupla (...) sentar em dupla não quer dizer falar o quanto puder! Porque
vocês estão disputando e tem que prestar atenção no jogo. Oh, pessoal, se a pessoa do lado
estiver usando a tabuada, não deixa, porque você vai perder por causa dela. Como eu já falei
não pode usar a tabuada. (...) Oh, quem for o campeão do campeonato vai ganhar um prêmio!
(Nesse momento os alunos ficaram eufóricos).
P: Então vamos lá, joguem direitinho!
(Transcorridos alguns minutos, do início do campeonato, o docente chamou a atenção dos
alunos dizendo):
P: Oh, pessoal, a primeira regra do campeonato é que não pode olhar na tabuada! Gente, deixa
eu terminar de falar que depois vocês levantam a mão e falam. (O professor disse o exposto
A
PÊNDICES -
418
devido falta de atenção pela grande maioria dos estudantes). A primeira regra é não olhar na
tabuada
A: Hã, hã! (Murmuraram alguns alunos).
P: Pode pegar uma folha pra usar de rascunho?
A: Pode.
P: Pode. Mas olhar na tabuada não...
A: Não pode!
P: Não pode! Certo?
A: Certo. (Nas quatro falas anteriores do aluno, a maior parte dos estudantes falou).
P: Outra coisa, gente! É melhor de três. Como assim é melhor de três? Vocês vão jogar três
vezes. Se a pessoa ganhar duas (...). Vocês vão jogar assim, oh... Se a pessoa ganhar a
primeira (isto é, a primeira rodada do JOGO DA MULTIPLICAÇÃO), e se ganhar a segunda;
tem como a outra pessoa ganhar a terceira?
A: Não!
A: Tem!
P: Tem! Tem como ela ganhar a terceira, mas não ganhar o jogo! Se eu jogar com o ADR e eu
ganhar a primeira. Depois, se o ADR jogar e ganhar a segunda. Então a gente vai ter que jogar
a terceira pra ver quem vai ganhar. Agora, se eu ganhar as duas primeiras, eu preciso jogar a
terceira?
A: Não.
(Responderam quase todos os alunos).
P: Não! Então podem começar, continuar o campeonato. Se alguém achar que alguma pessoa
está usando a tabuada, levanta a mão que eu vou lá!
[...]
(Ao perceber que muitos alunos não estavam conseguindo impedir que seu adversário – da
dupla – fizesse trincas, o docente foi à lousa e falou):
P: Oh, pessoal, o LUC e a BIA veio falar pra mim assim: “– O professor, a HAD já decorou
os resultados e já sabe aonde deve por pra fazer as trincas!”. Pessoal, no jogo da velha, toda
vez que der isso daqui (mostrou o tabuleiro do jogo indicando o preenchimento de três
números consecutivos na direção horizontal) quer dizer que a pessoa ganhou. Como eu vou
combater o meu oponente? Não deixar ele fazer isso daqui (referiu-se à trinca). Por exemplo,
está lá, o CAI sabe que o seis, o oito e o dezesseis; ele já sabe os resultados (...). (Enquanto
falou com os alunos o professor desenhou na lousa o esquema a seguir):
6
8
16
P: Ele só pode colocar de uma só vez as peças, não é? (Desenhou ao lado do número 6 –
acima – um círculo).
A: É!
P: Por exemplo, se você colocar aqui (desenhou um círculo de outra cor sobre o número 8)
acabou o jogo dele! Agora, o que vocês estão fazendo (...). Ele fez aqui (desenhou ao lado do
número 6 o círculo) e você colocou aqui (o docente representou na lousa o marcador circular
A
PÊNDICES -
419
de uma outra cor). Oh, pessoal, se eu jogar aqui, ali vai continuar aberto, e daí meu adversário
vai poder continuar a jogar aqui. (Observe a ilustração a seguir):
6
8
16
(Utilizando o desenho acima, o professor quis salientar o seguinte: o adversário já sabe quais
multiplicações realizar cujos resultados são 6, 8 e 16. Então, é necessário impedir a formação
das trincas; logo, não é possível colocar o marcador a não ser que seja ao lado da célula que
contém o número 8. Isto impossibilita a formação da trinca horizontal contemplando os
números 6, 8 e 16).
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 27/05/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
O motivo é que eu percebi que os alunos, eles vieram muito “crus” (ou seja, ainda não
construíram conceitos/estruturas de pensamento necessárias ao prosseguimento escolar) das séries
anteriores nas operações matemáticas, né, tanto adição como foi a outra atividade, subtração e agora
multiplicação e divisão. Então, através do jogo acho que eles (os alunos) podem ter um envolvimento
maior, a gente quer que eles compreendessem a multiplicação não como tabuada, né, que até no jogo
não podia usar a tabuada, não com uma coisa de decorar, mas que é (...) uma (...) a tabuada é um
conjunto de outros conceitos, né! Não apenas a decoração.
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Então (...), eu acho que eles (referiu-se aos alunos) começam ter a habilidade de usar o raciocínio;
de, de, habilidade de distanciar um pouco da tabuada como um material específico de apoio às
multiplicações, né, e que os conteúdos de, perceber que são soma de parcelas iguais, que a gente tem
que colocar lá dois mais dois mais vai chegar no mesmo resultado que dois vezes dois! Ou dois vezes
seis! Acho que é isso!
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Acho que sim! Porque anterior a isto eu já tinha feito algumas atividades, né, com multiplicação,
né! Eles (os alunos) já conseguiram desenvolver o jogo porque já tinham algumas bases, né; tem
alguns que estão muito “crus”, que vieram muito “crus”, mas na sua maioria deu pra perceber que
alguns já tinham uma habilidade um pouco maior, que já tinham um pouco mais de acompanhamento
anterior; alguma coisa anterior ao próprio jogo!
A
PÊNDICES -
420
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Então, de novo né bato na tecla de que o material é muito escasso da escola! A gente tenta
produzir mas acontece o que aconteceu ontem (referiu-se à aula observada 6 a 8) né; eles (os alunos)
perdem e daí você tem que voltar todo o processo de novo com um monte deles, e daí atrapalha
porque você (o professor) não pode dar atenção específica pra uns porque tem que dar atenção pra
outro (aluno) que tá fazendo outra coisa que não é a mesma (...)! Sobre o conteúdo eu acho que pra
mim, especificamente né, eu acho que é um pouco complicado porque a minha formação Matemática
sempre foi deficitária (...) e aí eu tenho que buscar certas coisas que às vezes nem mesmo eu
compreendo; né! Tem que ler muito, sabe, pra conseguir desenvolver! As dificuldades são
encontradas; claro que a gente tenta superar com as leituras, né, mas acho que algumas coisas foram
(ou seja, que obteve sucesso com relação à aula realizada)!
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Sim, né, até porque estas duas atividades que foram construídas né, na sua participação em sala,
foi que por exemplo, elas são bases para qualquer outra atividade, né,então porque eu vejo até então
que os alunos não tinham essa base Matemática, então, eu vou trabalhar isso para depois dar
encaminhamento para outras atividades como entrar em frações, em gráficos; essas coisas sabe que
eu vejo que eles (os alunos) não entraram ainda até porque não tinham ainda a experiência pra isso!
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Ah, eu acho que sim! Por exemplo, ontem a proposta era ter interagido com todos eles numa
competição só. E ontem eu vi que não rolou, né, você percebeu que foi uma coisa meio tumultuada
(...), né, tem o agravante de ser uma sala complicada de trabalhar; em dupla fica muito mais
efervescente! E aí algumas coisas por exemplo, a proposta era fazer um campeonato pra que todos se
voltassem pros finalistas, sabe, e conseguisse “– Ah, eu vou tentar um pouco mais, com mais
vontade!”, e daí eu percebi que a coisa não rolou muito bem assim! Então, aí é que é o grande
complicador, né (referiu-se à possível atitude diferenciada para minimizar a dificuldade explicitada)!
As atitudes a gente sempre tenta; às vezes não é bem aceita pelos alunos, mas eu vou tentar sim
mudar algumas coisas, né! Talvez o que eu errei hoje foi os agrupamentos! Eu deixei que eles se
agrupassem por si só; se eu tivesse feito os agrupamentos mais com intervenção maior, aquele aluno
com uma dificuldade maior com aquele outro aluno com uma dificuldade maior talvez teria sabe (...).
Porque eu vi que alunos com muita facilidade jogaram com alunos com pouca (...) jogaram facilmente
e aí, pra aquele que perdeu não houve construção de conhecimento nenhum e pra quem ganhou
também não! Apesar de no chapéu (isto é, o quadro das rodadas do campeonato) quando foi
aumentando os índices de dificuldade pra quem ganhou foi ficando mais complicador, mais
dificultador! Mas pra aquele que não ganhou ficou abandonado ali a esmo; mas então posteriormente
com esses aí que eu achei que (...) eu vou fazer um trabalho mais específico com eles! Certo?!
A
PÊNDICES -
421
K. II. 4 – Aulas 9 e 10. Data: 27/05/2008
ROTEIRO 4:
Categorias: 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
Procedimento Didático e Metodológico: A U L A: 9 A U L A: 10
Total:
1. Exposição Oral feita pelo professor. X X 2
2. Agrupamento dos alunos para realização de
atividades sugeridas pelo professor.
3. Atividades individuais solicitadas pelo
professor.
X X 2
4. Aplicação de jogos envolvendo noções /
conteúdos matemáticos.
5. Troca de idéias entre alunos e professores.
6. Troca de idéias entre alunos e alunos.
7. Trabalho interdisciplinar, ou seja, a
Matemática e outras áreas do conhecimento.
8. Trabalho intradisciplinar, ou seja, a
Matemática em outras áreas do conhecimento.
9. Atividades envolvendo materiais concretos
manipulativos.
10. Confecção de algum material pelos alunos.
11. Atividades lúdicas como: dramatizações,
brincadeiras, entre outras.
12. Outros: 1, 2, 3.
1
X
1
X
2
X
2
X
2
X
3
X
6
Materiais Utilizados:
1. Lousa e giz. X X X X 4
2. Livro didático.
3. Revistas e jornais.
4. Materiais manipulativos: Cusinare, Tangram,
Torre de Hanói, Blocos Lógicos, Material
Dourado, Ábaco, etc.
5. Outros: 1.
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
6
Total de Horas Observadas:
1:40 h
Categoria: Outros.
Procedimento Didático e Metodológico:
1 – Registro na lousa.
2 – Questiona e auxilia os alunos.
3 – Corrige a atividade questionando os alunos.
Materiais Utilizados
1 – Caderno do aluno e Tabuleiro.
A
PÊNDICES -
422
REGISTRO POR ESCRITO DO ROTEIRO 4:
1º - [No início da aula o professor registrou na lousa]:
APRENDENDO COM O JOGO
1 – MAURO E LUCAS ESTÃO JOGANDO. LUCAS TEM AS FICHAS AMARELAS E
MAURO AS FICHAS VERMELHAS. AGORA É A VEZ DE LUCAS JOGAR. OBSERVE
COMO ESTÁ O TABULEIRO E RESPONDA:
[Nesse momento o docente entregou a cada aluno dois tabuleiros solicitando que os mesmos
colassem-nos em seus cadernos após a cópia da atividade 1. Observe-os]:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1º Tabuleiro (MENOR).
14 24 35 49 81 72
32
30
45
48
64
63
1 16
2
40
56
3
5 12
7
54
9
8
10 21
42
27
20
28
6 15 4 36 25 18
2º Tabuleiro (MAIOR).
[Dando continuidade ao registro da situação problema o professor escreveu na lousa]:
• EM QUE NÚMERO LUCAS DEVE COLOCAR SEUS MARCADORES? POR
QUÊ?
2 – OBSERVANDO O TABULEIRO DO JOGO DA MULTIPLICAÇÃO, RESPONDA:
A) QUAL O MAIOR E O MENOR RESULTADO QUE SE PODE OBTER
MULTIPLICANDO DOIS NÚMEROS DIFERENTES DO TABULEIRO MENOR?
B) MULTIPLICANDO TRÊS NÚMEROS DIFERENTES DO TABULEIRO MENOR
QUAL O MAIOR RESULTADO QUE SE PODE OBTER? E O MENOR?
A
PÊNDICES -
423
C) MAURO COBRIU O NÚMERO 36 DO TABULEIRO. EM QUE NÚMERO ELE PODE
TER COLOCADO SEUS MARCADORES?
D) EM QUE NÚMERO DO TABULEIRO MENOR VOCÊ TERIA QUE COLOCAR SEUS
MARCADORES SE QUISESSE COBRIR O NÚMERO 24?
[Oralmente, o docente explicou aos alunos como procederem em relação à solução das
situações problemas solicitadas. Para tanto, utilizou os tabuleiros entregues aos estudantes
visando à visualização/entendimento do proposto pelas atividades. Ao explicar o exercício 2-
A) enfatizou o que significava o termo: “NÚMEROS DIFERENTES”].
2º - [Percebendo que muitos alunos não haviam compreendido como solucionar as
situações problemas o professor explicou-as novamente].
3º - [Em seguida, o docente questionou os alunos auxiliando-os quanto à solução das
atividades propostas. Durante este auxílio, ao questionar os estudantes, fez uso dos
tabuleiros entregues. Faz-se necessário salientar que o professor auxiliou/verificou a solução
de todos os alunos].
4º - [Após esta intervenção, o docente disponibilizou tempo aos estudantes para que
individualmente pensassem sobre os problemas].
5º - [Transcorrido certo tempo, o professor corrigiu ‘caderno por caderno’
questionando os alunos à respeito das soluções encontradas].
Observações mais relevantes:
1 – P: “– Agora é aula de Matemática, vamos nos concentrar”. [Ver a questão abstração da
abstração “reflexiva”].
2 – P: explicou novamente ao observar que uma parcela da sala não havia compreendido. [Ver
a questão da avaliação diagnóstica].
3 – P: questionou os alunos acerca da realização do JOGO DA MULTIPLICAÇÃO. [Ver a
questão do desequilíbrio cognitivo].
Obs.: P: significa a fala e/ou ações do professor.
A
PÊNDICES -
424
TRANSCRIÇÃO DE ALGUNS MOMENTOS DAS AULAS (9 E 10) GRAVADAS:
[...]
P: Oh, gente, um momento aqui, eu vou explicar. Mauro e Lucas estão jogando. Lucas tem as
fichas amarelas e Mauro as fichas vermelhas. Certo?
A: Sim. (Falaram alguns alunos).
P: Agora é a vez de Lucas jogar. Observe como está o tabuleiro e responda. (Nesse momento
o professor entregou a cada aluno uma folha contendo dois tabuleiros. Observe):
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1º Tabuleiro (MENOR).
14 24 35 49 81 72
32
30
45
48
64
63
1 16
2
40
56
3
5 12
7
54
9
8
10 21
42
27
20
28
6 15 4 36 25 18
2º Tabuleiro (MAIOR).
P: Pessoal, vamos lá? Eu vou ler, presta atenção! (O docente chamou a atenção da sala quanto
à explicação da situação problema 1, iniciada nas falas anteriores). Um. Mauro e Lucas estão
jogando. Lucas tem as fichas amarelas e Mauro as fichas vermelhas. Agora é a vez de Lucas
jogar. Observe como está o tabuleiro e responda. Oh, o tabuleiro que o professor deu, vocês
colaram no caderno?
A: Sim.
(A grande maioria dos alunos respondeu).
P: Oh, pra ficar mais fácil pra vocês... (Nesse momento o professor disse aos alunos quais
círculos presentes no Tabuleiro Maior eram vermelhas e quais eram amarelas, já que, a
reprodução xerocopiada do tabuleiro original não havia ficado muito nítida). A primeira
bolinha (referiu-se ao círculo desenhado no tabuleiro maior ao lado do número 45) é
vermelha. Oh, essa primeira é escura. (Para auxiliar a visualização, o professor utilizou sua
folha contendo os dois tabuleiros – menor e maior). A segunda também. A terceira, pintaram,
é vermelha. Essa aqui oh, está vendo, na outra fileira...
A: Que número que é professor?
P: A quarenta e oito... A quarenta e oito é vermelha. A quarenta é amarela. A cinqüenta e
quatro é amarela. (...) Aí a vinte e sete é vermelha.
A: É... (Disseram quatro alunos).
P: Certo? A cinqüenta e quatro é amarela. A cinqüenta e seis é amarela. A nove é...
A: Amarela. (Falaram dois alunos).
P: É amarela. A vinte?
A: Vermelha. (Responderam muitos alunos).
P: Vermelha. Daí aqui a três?
A: Amarela.
P: Amarela! E a vinte e oito?
A: Vermelha.
A
PÊNDICES -
425
P: Vermelha. Certo? Pessoal, tem uma diferença da regra desse jogo com a nossa! Qual que é
a diferença?
A: Uma bolinha vermelha e uma bolinha amarela!
P: Não! Alguém aqui (referiu-se ao Tabuleiro Maior entregue) já conseguiu colocar três
bolinhas?
A: Já. (Disseram alguns alunos).
P: Então quer dizer que esse jogo não termina com uma trinca?
A: É.
A: É de quatro! (Falou uma aluna).
P: Ah, a nossa amiga já adivinhou! Como é?
A: É de quatro. (Respondeu novamente a mesma aluna).
P: É quando faz um quarteto... Quando faz um quarteto aí consegue ganhar o jogo! Certo? Aí
vocês vão ver na vez do Lucas que lugar que ele tem que colocar a bolinha dele pra
conseguir...
A: Trinta e cinco... (Falou um aluno – interrompendo o professor – pensando ter dito a
resposta correta).
P: Daí vocês vão ver aqui (mostrou o tabuleiro maior à sala)! Então, tem que fazer um
quarteto! Quatro bolinhas, uma perto da outra! Certo? Pra ganhar esse jogo são quatro.
(O docente disponibilizou alguns minutos aos alunos para visualizarem o tabuleiro maior).
P: Oh, pessoal, aí eu vou ler agora a primeira pergunta. Em que número (...). Em que número
Lucas deve colocar seus marcadores?
A: Vinte e um!
P: Marcadores... Cada um vai ter o seu! Tem vários pontos aí! Em que número Lucas deve
colocar seus marcadores? Pergunta dois... Observando o tabuleiro da multiplicação, responda;
qual o maior e o menor resultado que se pode obter multiplicando dois números diferentes...
A: Eu sei! (Falou um aluno interrompendo o professor).
A: O nove... (Disse outro aluno).
P: Do tabuleiro menor?
A: Dois e dois! (Respondeu outro aluno).
P: Duas vezes dois são diferentes?
A: Não. (Indagou o aluno da fala anterior).
P: Não! Então vamos pensar melhor! (...) Números diferentes, oh! Qual o menor e o maior?
Cada um vai fazer o seu!
(Em seguida, o docente leu explicando a segunda alternativa da mesma pergunta).
P: Multiplicando três números diferentes do tabuleiro menor, qual o maior resultado que se
pode obter? Três números diferentes, pessoal! Não é mais dois, é três! Qual o maior; e o
menor? (...) Oh, esse aqui oh, o C (professor referiu-se à alternativa c, problema 2, registrado
na lousa): Mauro cobriu o número trinta e seis do tabuleiro. Em que número ele pode ter
colocado seus marcadores? Aí vocês vão ver lá! Gente, os marcadores são os triângulos,
certo?
(Após alguns minutos, o professor leu o enunciado da alternativa D da pergunta dois):
P: Em que número do tabuleiro menor você teria que colocar seus marcadores se quisesse
cobrir o número vinte e quatro? Vocês vão ver aí... (...) Gente, vou explicar de novo porque
alguns alunos não entenderam! Quem mais não entendeu?
A: Eu. (Disseram cinco alunos).
P: Eu vou explicar de novo. A primeira... Gente, vocês vão pegar os tabuleiros que vocês
receberam. Gente, é um tabuleiro em miniatura! Esse tabuleiro é do jogo do Mauro e do
Lucas. A primeira pergunta é essa: em que número Lucas deve colocar os seus marcadores...
Gente, os marcadores são os triângulos. Aonde ele deve colocar seus triângulos (...) pra
ganhar? Não se esqueça, nesse jogo do Lucas e Mauro são de quatro (...).
A
PÊNDICES -
426
(Dando continuidade à explicação leu os demais enunciados referentes à segunda situação
problema):
P: Oh, a segunda! Observando o tabuleiro do jogo da multiplicação, responda... Qual o maior
e o menor resultado, o maior e o menor resultado que se pode obter multiplicando dois
números diferentes? Uma vezes um são números diferentes?
A: Não!
(Disse a grande maioria dos estudantes).
P: Não! Aí você vai pegar números diferentes. Pessoal, na primeira é dois; na segunda
(referiu-se a alternativa B do exercício dois) são três!
(Lendo as demais alternativas o docente explicou as situações problemas propostas para a
referida aula).
[...]
TRANSCRIÇÃO DA ENTREVISTA PÓS-AULAS Data: 29/05/2008
1) Qual foi o principal motivo/objetivo que o (a) levou a desenvolver esta(s) atividades(s) em
sala de aula?
R:
Eu acho que foi mais pra complementar a atividade anterior que foi o jogo, né, e pra fixar alguns
conceitos matemáticos que foi proposto no jogo, a multiplicação, por exemplo. Então eles teriam que
perceber a partir daquela atividade as questões que o jogo envolvia, como a questão da multiplicação
e divisão ali!
1.1) Qual(s) conteúdo(s) matemático(s) e ou habilidade(s) você acredita ter os alunos
construídos mediante interação com a aula proposta?
R:
Eu acho que a partir dali , primeiro, eles começaram a interpretar o texto né, dos problemas; e
também eles começam a construir um conceito de (...) da multiplicação em si (...)! É preciso algumas
antecipações pra resolver algumas situações problemas, como (...) entender que a multiplicação é a
soma de parcelas iguais! É isso mesmo.
1.2) Você acredita que a construção desse(s) conteúdo(s) e ou habilidade(s) só foi possível
mediante a construção de algum conceito anterior?
R:
Nessa atividade especificamente mais do que nas outras, porque era necessário que eles (os
alunos) tivessem pegado o espírito do jogo, né; a intenção do jogo, pra poder desenvolver as
atividades dos problemas, né, porque se eles não tivessem entendido qual que era a temática do jogo
talvez não conseguiriam resolver.
2) Encontrou dificuldade(s) para desenvolver a aula proposta, seja em termos conceituais
(referente ao próprio conteúdo matemático) e ou pedagógicos (disciplina, metodologia,
materiais utilizados, entre outros)?
R:
Olha, eu já fiquei muito mais otimista nesse jogo, nessa atividade, que em outras. Porque essa
atividade é mais de produzir em casa mesmo (isto é, os alunos não teriam que produzir o material a
ser utilizado), não era necessário materiais concretos; era mais a resolução, era mais uma questão
pessoal dele ler pra conseguir resolver. Mas ainda em questão de conceitos, né, eu acho que é um
A
PÊNDICES -
427
pouco complicado; como eu já tinha explicado quanto à minha formação Matemática; mas eu acho
(...) eu até consegui me sair bem, né; quanto a isso eu acho que foi menos ruim com relação as outras
(referiu-se ao resultados obtidas nas/pelas aulas anteriores).
3) Está pretendendo utilizar o(s) conceito(s) e ou habilidade(s) construídos pelos alunos
durante esta aula em momento posterior? Se sim, como? Se não, por quê?
R:
Sim. Sim. Agora que contemplado a adição subtração multiplicação e divisão, eu já posso começar
a dar uns saltos maiores, né! Trabalhar com outros conceitos matemáticos! Como eu tinha falado,
trabalhar com gráficos, até com os geométricos; eu acho que dá pra trabalhar com isso aí. Áreas,
essas coisas! Porque antigamente, antes disso, eu percebia que os alunos não tinham competência pra
desenvolver algumas situações do cotidiano; de pegar, por exemplo e montar uma feira e,
desenvolver, por exemplo, compras com dinheiro! Porque eles (referiu-se aos alunos) não saberiam
adição, subtração, as coisas básicas da Matemática; e aqui agora vai dar pra trabalhar um pouco
mais.
4) Você acredita não ter atingido algum objetivo inicialmente proposto? Qual(s)? Pretende
tomar alguma atitude – diferente – para reverter tal situação?
R:
Olha, o objetivo dessa atividade, né, que eram as resoluções eu acho que atingi todos que eu me
propus. Só que a gente percebe ainda que, eu como professor não atinjo um objetivo quando percebo
que meu aluno não conseguiu desenvolver tal raciocínio matemático; e eu percebi que alguns alunos
ainda não conseguiram. Talvez porque as intervenções (...) é, talvez eu estou sendo um pouco rígido
de mais, porque quando você faz intervenção com cada aluno você não consegue contemplar o outro;
e, aquele aluno que não foi contemplado nesse dia, acho que ele fica um pouco fora do seu objetivo,
né! E aí o seu objetivo que é ensiná-lo também não é atingido; mas também pode ser que na próxima
aula eu deixe de atingir aquele que conseguiu se desenvolver né, e atingir o outro (ou seja, o aluno
não contemplado na aula anterior). Até aí, os objetivos nem todos foram contemplados, mas grande
parte sim!
A
PÊNDICES -
428
K. III – Transcrição da Entrevista/Final: Data: 05/06/2008
1) Durante as entrevistas realizadas, você sugeriu (indiretamente) a necessidade de Formação
Continuada em relação ao ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental. O
que você acha imprescindível abordar um curso sobre esta temática?
R:
Ah, ele tem que tratar (...) primeiramente uma base teórica que o professor, geralmente, não tem
essa base teórica. Como eu acho que também não tenho essa base em conteúdo matemático. O
professor também precisa saber relacionar Matemática com o cotidiano, porque eu acho que está
muito fora o cotidiano da Matemática; não tá ligado com a vivência do aluno, é uma coisa que está
meio fora, eu não tô vendo muito uma (...) relação (...) é relação da Matemática em sala de aula com
o que o aluno vai usar na vida dele. Eu acho que o professor precisa aprender a se utilizar disso, né!
Eu acho que seria importante ter uma (...) algo nesse ponto assim!
2) Ao responder uma questão do “Questionário/Entrevista Inicial” você citou: “(...)Mas ele
ajuda muito a criança quando o professor também sabe trabalhar com o construtivismo. O
professor também não é preparado a trabalhar com o construtivismo, ele acha que é entregar
o material e deixar a criança “a la vonte” (...)”. Implicitamente, você quis dizer que o
professor não sabe/não foi preparado – na maioria das vezes – para “trabalhar com o
construtivismo”? Explique mais detalhadamente.
R:
Sim, é isso mesmo! Ele não foi preparado, porque ele não sabe, consecutivamente ele não sabe!
Porque na formação, eu lembro da minha formação do magistério (na modalidade Ensino Médio
profissionalizante), o construtivismo estava efervescendo, sabe! Quando ele surgiu e “pa-ra-rá”, logo
aquilo, sabe, de olha: o construtivismo é isso, é aquilo; e daí a gente viu o grande erro de encarar o
construtivismo como um método. Logo me atentei que é uma linha da educação, e as pessoas acham
que o construtivismo é pegar um desafio e deixar isso acontecer. Eu acho que não! Eu acho que é
fazer com que a criança, é (...) construa o seu conhecimento; só que o professor precisa interagir com
isso, ele não pode deixar que fique sem uma amarração, sabe, sem um caminho pra criança! Eu acho
que é isso.
3) Em umas das entrevistas, você disse: “(...) eu percebi que eles (os alunos) precisavam ter
uma coisa mais prática, e aí o jogo foi a maneira mais prática deles usarem a soma (...)”. Por
que você acha que os alunos precisam ter uma coisa “MAIS PRÁTICA”? Seria o jogo uma
alternativa didática e metodológica à ocorrência de coisas mais práticas?
R:
Porque a gente vê muito (...) é (...) que o aluno (...) que nas escolas de hoje – pelo menos nas aulas
– eles estão é se interando cada vez mais nos conteúdos historicamente, sabe, continha de mais, de
menos, trazendo aquilo lá pro cotidiano deles! E aí, como ele quer uma coisa mais prática, ele
começa a relacionar com o jogo de cartas que ele tem em casa, e daí o aluno começa a pensar que
aquilo (os seja, as idéias/noções matemáticas) não está só dentro da escola! Tá fora lá também, está
nas relações com os amigos, nos pais (...), no comprar alguma (...) coisa na padaria. Entendeu?
Então eu acho que é isso que é mais prática. É mais manusear as coisas, porque fica muito na coisa
do papel, e, o papel fica esquecido dentro do caderno! Mas quando o aluno pratica aquilo, é (...) acho
que fica mais dinâmico essa relação da Matemática com o aluno. (Nesse instante, o pesquisador
perguntou: “– Seria o jogo uma alternativa didática e metodológica à ocorrência de coisas mais
práticas?”. Em seguida, o docente respondeu): É (...) eu acho que sim, né! Porque, assim, a criança
A
PÊNDICES -
429
está sempre envolvida com jogos, né! E eu acho que esses jogos contribuem para a vida dela (dos
alunos); a gente vê o jogo, por exemplo, na quadra: queima; que ele tem que contar, tirar (...) por
exemplo: amarelinha. Porque a criança, ela precisa dos jogos; e aí está tão no cotidiano delas que, às
vezes eu acho que, os jogos são sim metodologias para a ocorrência das práticas.
4) Ao explicar a um grupo de alunos uma operação de subtração envolvendo trocas decimais,
ou seja, no qual foi necessário trocar uma dezena por dez unidades, por que você decidiu
utilizar as peças do Material Dourado?
R:
Porque anterior (...) anteriormente eu já tinha feito um trabalho com eles do jogo: “Nunca Dez”;
que você pega as unidades e cubinhos do... (referiu-se as peças menores do Material Dourado), e daí
chega no nove e ele (o aluno) troca. E daí pega as barrinhas da dezena, chega no nove e ele troca por
uma de centena; e continua o jogo. E eu senti que naquele momento (durante a aula observada) a
aluna não conseguiu ver o número como algo (...) como quantidade! E na verdade é isso mesmo, o
número é um símbolo, só, né! Não é uma quantidade. E daí eu percebendo que, colocando o Material
Dourado na mão daquela criança, ela poderia estabelecer relações de quantidade. Podia manusear,
ver que esse menos esse... e daí ele (o aluno) conseguiria equilibrar-se e desequilibrar-se nas suas
hipóteses pra poder conseguir entender, compreender a proposta do jogo.
4.1) Você acredita que a manipulação de Materiais Concretos é uma alternativa para
possibilitar a construção de idéias/noções matemáticas pelos alunos? Caso responda
afirmativamente, justifique.
R:
Sim, sim, eu acredito muito nisso! No entanto é que (...) eu vejo que quando os alunos usam esses
materiais eles conseguem (...) sabe, é (...) compreender de uma maneira melhor! E outra (...) eu não
sei se é porque eles estão com os sólidos nas mãos e vê aquilo acontecer, e no papel são pequenos
símbolos – são coisas que tão lá, né – que às vezes pra nós, adultos, é muito fácil entender o símbolo
como uma coisa, que vale uma coisa; e já pra criança não! É isso que eu vejo. E o sólido ele expressa
realmente a noção de quantidade, de uma coisa que pode ser palpável.
5) Durante uma entrevista você falou: “(...) O motivo é que eu percebi que os alunos, eles
vieram muito “crus” das séries anteriores nas operações matemáticas (...)”. O que você quis
dizer ao utilizar o termo “MUITO CRUS”?
R:
É (...) esse assunto é um assunto bem delicado! Mas é uma crítica até ao sistema (ou seja, as
medidas governamentais que incidem na área educacional). A gente vê que (...) com essas metas e,
tantas coisas que a SEE (Secretaria da Educação do Estado de São Paulo) está nos propondo, né (...);
a gente vê que quem está nas séries iniciais: primeiras e segundas séries está mais com o tempo
corrido de ensinar algumas coisas e não dá um (...) sabe, o básico... O básico, seria, olha, ensinar a
noção de quantidade mesmo; de ensinar o conceito das operações. E daí fala: “– Oh, é isso aí, aí! E
dois mais dois é quatro, e pronto! E montar!” Montou o dois mais dois está ótimo! (O docente referiu-
se à aprendizagem memorizada do processo algorítmico da operação de adição). Mas eu vejo que
não; eu vejo que a criança tem que entender/compreender aquilo de uma maneira melhor (...) de
pegar os sólidos e, olha: isso expressa tal coisa (ou seja, o fato de relacionar o símbolo numérico 4,
por exemplo, a um conjunto contendo 4 peças manipuláveis). Mas não! Eu vejo que os alunos vêm
meio que decorado (...) porque, ah, as metas, nós temos pouco tempo para cumprir tais coisas e vem
acontecer isso! E daí eu acho que, começou a se dar menos atenção para as operações para atender
algumas coisas, como, por exemplo, as tais metas aí que a gente sabe quais são – se fosse enumerá-
las ficaríamos aqui o dia todo! E não seria tão importante como entender que nas séries iniciais – na
minha opinião – deveria ocorrer um tratamento um pouco mais elaborado com as operações
A
PÊNDICES -
430
matemáticas. Para que quando o aluno chegue na quarta série, ele já tenha um pouco de experiência
sobre aquilo e dá para trabalhar outros conceitos, outras atividades, outros conteúdos! Entendeu? É
isso que eu acho.
6) O que você pensa a respeito das dinâmicas de grupo? Por que as utilizou no decorrer das
aulas observadas?
R:
Ah, as dinâmicas de grupo eu acho que são interessantes, porque, quando os alunos se interagem
eles começam a trocar as informações entre eles. E, talvez o professor não consiga falar com o aluno
da mesma maneira que o outro aluno vai conseguir explicar pro outro aluno. Não é a mesma
linguagem, por mais que a gente tente, é (...) alcançá-los na nossa linguagem, nem sempre a gente (os
professores) conseguem. E o outro aluno, ele consegue. E ele (o aluno) consegue, é (...) talvez com
uma explicação muito mais simples – do que a nossa como educador – o outro aluno consegue
alcançar aquela questão do aluno que ainda não compreendeu algumas coisas!
7) Os meios educacionais (isto é, os documentos oficiais ou periódicos veiculados pela mídia)
argumentam sobre a importância de/em ‘provocar’ o aluno, estimulando-o através de
situações INTERESSANTES. Você acha que adota esta atitude em suas aulas? Como?
R:
Hum, fazer uma crítica a nós mesmos é difícil, né! Mas eu acho que (...) hora eu adoto, hora não.
Mas, e (...) como que eu adoto isso? Estimulando-o, provocando-o a querer ganhar, descobrir,
entendeu (...) aquilo que está acontecendo. Por exemplo, no jogo, eu percebo que quando eu
proponho um campeonato – como o do jogo da multiplicação – eu provoco ele a querer ser o melhor;
aquela (...) sabe (...); a relação de competição. Eu sei que é um pouco meio capitalista essa relação
de competição, de ser melhor; mas às vezes é isso que nossos alunos vêem em seus cotidianos. E aí,
nesse provocar, de querer ser o melhor, sabe (...), de falar assim: “– Olha, isso aí talvez não está
certo!”; e aí começar a olhar oh: “– Pera aí, tô em dúvida!” e atentar um pouco mais a isso pra
poder ganhar! E aí eu acho que esse provocar, não conta só no provocar de querer ser o melhor; mas
conta no provocar de tirá-lo, sabe, do seu templo e falar: “– Olha, isso aí não está certo! Eu preciso
arrumar tal coisa pra eu conseguir!”. Eu acho que é isso o provocar que, de vez em quando o
educador provoca. Eu (...) hora provoco, hora não; às vezes eu até me sinto aquém do que eles
mereciam como professor; porque tem horas que pra minha formação eu não consigo tocar em certos
pontos que eles mereciam, sabe (...) ser contemplados. Eu acho que é só!
8) O que você tem a dizer sobre os fatores: número excessivo de alunos e a escassez de
materiais manipulativos quando pensamos em um ensino alicerçado nas concepções
construtivistas piagetianas? Comente.
R:
É, essa é uma grande ferida da Educação brasileira. Nós temos aí alunos, (...) salas com trinta,
quarenta alunos... Materiais que estão aí nas escolas a mais de vinte anos, né; sucateados, a gente
(...) e quando tem esses materiais, né! Porque, na maioria das vezes, não se encontra esse materiais
nas escolas. Quando você tem uma caixa de Material Dourado pra uma sala de trinta! (...) E, aí, que
isso é um fator complicador na aula. Mas, como atender trinta e dois alunos com qualidade? Quase
(...) é quase que impossível! Você tenta atender dois enquanto os outros trinta estão lá, (...) é (...)
fazendo qualquer outra coisa e necessitando de sua ajuda. Por mais que você agrupe, eu acho que
você não consegue contemplar tudo aquilo que o aluno anseia. É (...) tumultua a sala; você pode ver
nas suas observações que, enquanto eu atendia um grupo, o outro ficava que meio jogado! Agora, se
você consegue ter um menor número de grupos na sala, né, você consegue atender um pouco esse, um
pouco aquele; mas, atender vários grupos num mesmo dia é um pouco complicado! Porque você
atende um grupo que esteja precisando de alguma coisa, e tenha outro grupo lá precisando dessa
mesma coisa; mas você não vai conseguir chegar lá porque não vai dar tempo. E além dos materiais,
A
PÊNDICES -
431
né (...) os materiais na escola pública é feita pelo professor! A gente tira do nosso dinheiro (...) não é,
sabe – ai, é ruim tirar – mas não deveria ser (ou seja, o docente não reclamou de destinar parte do
seu salário para confeccionar materiais didáticos)! A escola deveria nos dar subsídios para dar
nossas aulas. Nós professores ficamos aquém, e daí temos que fazer coisas improvisadas; que às vezes
os alunos não conseguem compreender a importância daquilo. Como, por exemplo, o jogo da
multiplicação! Eu fiquei uma semana produzindo as peças (...); no dia de executar o jogo teve aluno
que não tinham as peças. Se fosse um material que já estivesse na escola era só pegá-lo e utilizá-lo,
entendeu? Hoje eu vejo muito na educação, no sistema do estado de São Paulo, uma preocupação
excessiva com a língua portuguesa e, a Matemática ficou jogada. Te trazem materiais, trazem
atividades sobre a língua portuguesa; mas (...) na Matemática ela ficou de lado! Não se vê jogos
matemáticos na escola; quando ocorre, ou você acha um bingo – que o bingo tá aí, nem é por causa
da escola, mas é por causa da festa junina que vai ter um bingo. Quando você acha algum material,
você acha de anos anteriores (...) aquilo já está sucateado, faltando peças e não dá pra você
trabalhar. Então o material e o excessivo número de alunos atrapalham muito as aulas! Poderia ser
melhorado, sabe! Até, porque, quando você diminui o número de alunos você consegue atendê-los
muito melhor!
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