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Universidade Estadual de Maring
´
a
P
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os-Graduac¸
˜
ao em F
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ısica
Marcos Paulo Belan¸con
An´alise das t´ecnicas de espelho t´ermico e de lente
t´ermica para o estudo de materiais semitransparentes e
opacos
Disserta¸c˜ao de mestrado
submetida ao Depar-
tamento de F´ısica da
Universidade Estadual de
Maring´a.
Orientador: Prof. Dr. Luis Carlos Malacarne
Maring´a
2009
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Livros Grátis
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Universidade Estadual de Maring
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a
P
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os-Graduac¸
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ao em F
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ısica
Marcos Paulo Belan¸con
An´alise das t´ecnicas de espelho t´ermico e de lente
t´ermica para o estudo de materiais semitransparentes e
opacos
Maring´a
Junho de 2009
ads:
Dedico este trabalho a todas as pessoas de bem que tive o prazer
de conhecer.
”Toda a nossa ciˆencia, comparada com a realidade, ´e primitiva e
infantil - e, no entanto, ´e a coisa mais preciosa que temos.”
Albert Einstein
Agradecimentos
Agrade¸co a Deus, pelas oportunidades que me foram dadas.
Agrade¸co a minha fam´ılia. Meus pais, Osmar e Gercina, por terem me dado a educa¸c˜ao
que me trouxe at´e aqui e pelo exemplo que s˜ao para mim. A meus irm˜aos, Marcelo e Milena,
pelo apoio que contribuiu para a minha motiva¸c˜ao. A meus av´os Ricieri e Maria, e a minha
av´o Irene, pelo exemplo de perseveran¸ca e humildade. Aos tios Valmir e Marilza, pelo apoio
desde a minha infˆancia. A tia F´atima e fam´ılia, pelas conversas e pelos almo¸cos de domingo.
A minha noiva Bruna, pela inspira¸c˜ao, carinho, apoio e companheirismo. Tudo teria sido
mais dif´ıcil sem vocˆe!
Ao professor Malacarne, pela orienta¸c˜ao neste trabalho e ao longo da gradua¸c˜ao, pelo
importante papel na minha vida profissional, e tamb´em pela amizade.
Ao professor Pedreira, pelas in´umeras respostas e a boa vontade em fornecˆe-las.
Ao professor Mauro, pela coopera¸c˜ao neste trabalho e por contribuir para a forma¸c˜ao de
todos alunos do grupo.
Aos professores Rˆenio, Malacarne e Evangelista, pelas li¸c˜oes e discuss˜oes nas disciplinas.
Aos professores Medina, Jurandir e Bento, pelas conversas e por manterem os laborat´orios
funcionando.
Aos amigos Daniel, Gustavo, Luiz Gustavo, Pablo, Paulinho, Quirino e Valdirlei, pelas
conversas e discuss˜oes que enriqueceram a minha forma¸c˜ao profissional e pessoal.
Aos amigos que fiz durante o mestrado: Fran (Sato) e Giselly, por terem me acompanhado
nas primeiras idas ao laborat´orio. E tamb´em a: Aline, Alysson, Ana, Andressa, Franciana,
Gustavo, M´arcio, Ot´avio e Rony.
Ao Rodolfo, pelos diversos caf´es na cantina, pela ajuda nas discuss˜oes conceituais, e pela
companhia desde o come¸co da gradua¸c˜ao. Ao Haroldo, pelos caf´es, pelas discuss˜oes sobre os
mais diversos t´opicos de f´ısica, e por ter sido o primeiro a ler meu trabalho.
Aos servidores e t´ecnicos da UEM: L´ucia, Gerson, Akiko, Jurandir e M´arcio.
As agˆencias de fomento, CAPES (pela bolsa), CNPQ e Funda¸c˜ao Arauc´aria pelos recursos
financeiros investidos em equipamentos e manuten¸c˜ao dos laborat´orios.
A todos vocˆes: Muito obrigado!
Sum´ario
Resumo 3
Abstract 4
1 Introdu¸c˜ao 5
1.1 Espectroscopia de Lente T´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Espectroscopia de Espelho T´ermico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Propaga¸c˜ao do feixe de prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Perfil de temperatura 15
2.1 Amostra finita, com fluxo de calor para o meio . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Aproxima¸c˜ao para a condi¸c˜ao de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Amostra finita e fluxo nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Amostra semi-infinita e fluxo nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Limite de baixa absor¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Limite de alta absor¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Modelo te´orico para a lente t´ermica 40
3.1 Intensidade do feixe de prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Corre¸c˜ao para grandes coeficientes de absor¸c˜ao ´optica . . . . . . . . . . . . . 41
4 Modelo te´orico para o espelho t´ermico 46
4.1 Perfil de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1 Equa¸c˜ao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
SUM
´
ARIO 2
4.1.2 Equa¸c˜ao Biharmˆonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Fase e intensidade do feixe de prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Compara¸c˜oes entre os modelos LAM, BLM e HAM . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Ajustes e a sensibilidade com os parˆametros 63
5.1 Lente t´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Espelho t´ermico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Conclus˜ao 69
A Amplificadores de ondas eletromagn´eticas 71
A.1 Masers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.2 Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A.2.1 Perfil de intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B Propaga¸c˜ao do feixe de prova 80
Referˆencias Bibliogr´aficas 83
Resumo
Neste trabalho os modelos das t´ecnicas de lente t´ermica e espelho t´ermico foram inves-
tigados. Para isso foram analizadas v´arias solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de difus˜ao de calor, a qual
descreve o aquecimento da amostra induzido por um feixe gaussiano. Impondo diferentes
aproxima¸c˜oes sobre as condi¸c˜oes de contorno do problema, solu¸c˜oes mais simples podem ser
obtidas. Testando-as foi poss´ıvel definir em que condi¸c˜oes podemos utilizar cada uma das
solu¸c˜oes. Tamb´em foi poss´ıvel ver o quanto as aproxima¸c˜oes empregadas podem afetar a pre-
cis˜ao destas t´ecnicas. O modelo de lente t´ermica usual foi desenvolvido para materiais com
baixo coeficiente de absor¸c˜ao ´optica, entretanto, demonstramos que uma corre¸c˜ao simples ´e
capaz de eliminar a restri¸c˜ao quanto ao baixo coeficiente de absor¸c˜ao ´optica. Verificamos que
com as duas t´ecnicas podemos estudar uma abrangente classe de materiais. Paralelamente
a isso, no caso de materiais s´olidos, a t´ecnica de espelho t´ermico ´e sens´ıvel o suficiente para
detectar deslocamentos na escala nanom´etrica.
3
Abstract
The models of thermal lens and thermal mirror techniques were investigated. This was
done by analyzing some solutions of a diffusion equation, which describes the temperature
rise in the sample due to the action of a Gaussian laser beam. Imposing some approximations
in the boundary conditions simple solutions can be obtained. Testing them, it was possible to
set in what conditions we should use each solution, and also how much the precision of both
techniques is affected by the approximations. The usual thermal lens model was developed
to be applied in materials with a low optical absorption coefficient; however, we show that
a simple correction can eliminate this restriction. The thermal lens and thermal mirror
techniques allow us to study a broad class of materials. We also show that, in solid materials,
the thermal mirror technique is sensitive enough to detect nanoscale displacements.
4
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
O fenˆomeno f´ısico que hoje chamamos de efeito fotot´ermico ´e algo extremamente comum
no cotidiano de nossas vidas. H´a muito tempo o homem percebeu que seu corpo era aquecido
quando exposto ao sol e este ´e talvez o exemplo mais simples do efeito fotot´ermico. A energia
transportada por uma onda eletromagn´etica, tal como a luz, pode ser convertida em outro
tipo de energia quando ela interage com a mat´eria. O efeito fotot´ermico ocorre quando parte
da energia transferida por essa onda ´e convertida em calor.
Para fins did´aticos, imagine a luz da qual estamos falando como um “feixe de luz”, e por
simplicidade, o alvo desse feixe sendo uma amostra s´olida. Na figura (1.1) temos um esbo¸co
desse sistema hipot´etico.
Figura 1.1: Luz incidindo sobre uma amostra s´olida produzindo o efeito fotot´ermico
Considerando ent˜ao que a luz aque¸ca a amostra, o aumento local de temperatura pode por
sua vez dilatar a mesma, aquecer o ambiente, etc. A intensidade desses fenˆomenos depende
5
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 6
de diversas propriedades, da amostra e da luz incidente. Algumas dessas propriedades s˜ao
parˆametros que caracterizam os materiais, e que podem variar com a temperatura, como por
exemplo: calor espec´ıfico (c), densidade (ρ), condutividade t´ermica (k), difusividade t´ermica
(D), coeficiente de absor¸c˜ao ´optica (A), eficiˆencia quˆantica de luminescˆencia (η), ´ındice de
refra¸c˜ao (n), etc.
Entender que a luz ´e capaz de aquecer um corpo ´e algo trivial. Entretanto, reproduzir
um fenˆomeno semelhante a este em laborat´orio e obter informa¸c˜oes claras sobre as pro-
priedades dos agentes envolvidos n˜ao ´e t˜ao f´acil. Como dissemos, diversas propriedades da
amostra e da luz incidente est˜ao relacionadas com esse efeito e como em qualquer experi-
mento cient´ıfico, precisamos controlar algumas vari´aveis para determinar outras. Por isso,
aplica¸c˜oes cient´ıficas deste efeito se tornaram mais evidentes ap´os a invens˜ao do laser, na
segunda metade do s´eculo passado.
Um feixe laser ´e composto pelo mesmo tipo de luz emitida pelo sol, entretanto ele possui
certas propriedades bem definidas. Sob determinadas condi¸c˜oes, que comumente empreg-
amos em laborat´orio, a luz emitida por um laser ´e confinada em uma pequena regi˜ao do
espa¸co, formando um cilindro em torno do seu eixo de propaga¸c˜ao. O perfil de intensi-
dade de um corte transversal do feixe ´e bem definido, sendo que em seu modo fundamental
(T EM
00
) a distribui¸c˜ao radial de intensidade ´e gaussiana. Uma revis˜ao sobre esses conceitos
est´a dispon´ıvel no apˆendice A deste trabalho.
Ao incidir um feixe laser sobre um material, diversos fenˆomenos podem ocorrer, como
por exemplo, reemiss˜ao de luz (o material absorve a luz e a reemite em um comprimento de
onda diferente do que foi absorvido), convec¸c˜ao (quando a luz ´e incidida sobre um fluido,
o aquecimento pode criar um fluxo de mat´eria), rea¸c˜oes qu´ımicas (a luz incidente pode
desencadear rea¸c˜oes que podem destruir a homogeneidade da amostra, criar um gradiende
de concentra¸c˜ao dessa substˆancia, mudar o coeficiente de absor¸c˜ao, etc). Esses efeitos, assim
como a ocorrˆencia de luminescˆencia pelo material, inicialmente n˜ao s˜ao considerados na
constru¸c˜ao dos modelos. Entretanto, mesmo sendo efeitos indesejados inicialmente, quando
ocorrem eles podem ser estudados indiretamente.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 7
Ocorre ent˜ao que cada um desses fenˆomenos pode ser estudado, direta ou indiretamente,
por meio de uma t´ecnica baseada no efeito fotot´ermico. Podemos citar como exemplos, a
espectrocopia fotoac´ustica[1], os m´etodos de Z-scan[2] e efeito miragem[3, 4], e as t´ecnicas
que ser˜ao tratadas neste trabalho: a “espectroscopia
1
de lente t´ermica” e a “espectroscopia
de espelho t´ermico”.
1.1 Espectroscopia de Lente T´ermica
O efeito de lente t´ermica
2
foi observado pela primeira vez em 1964, quando pesquisadores
dos laborat´orios da Bell Telephone[5], entre eles os brasileiros R. C. C. Leite e S. P. S. Porto,
inserindo amostras na cavidade do laser notaram que havia uma varia¸c˜ao da intensidade do
centro do feixe, em uma escala temporal da ordem de milisegundos. O diˆametro do feixe
n˜ao era o mesmo antes e depois da amostra e a partir disso conclu´ıram que o aquecimento
da amostra criava uma lente que convergia/divergia o feixe laser. Com um modelo te´orico
conveniente, esse fenˆomeno pode ser utilizado para determinar diversas propriedades da
amostra.
V´arios modelos de espectroscopia de lente t´ermica foram desenvolvidos nas ´ultimas
d´ecadas[6]. Contudo, neste trabalho trataremos apenas do modelo proposto por Shen[7] e co-
laboradores. Este modelo consiste em utilizar dois feixes luminosos, no modo que chamamos
de descasado. Um primeiro de baixa potˆencia e com maior diˆametro na amostra, o laser de
prova; Um segundo, mais intenso e focado, para provocar a varia¸c˜ao de temperatura. Na
figura (1.2) temos um esquema de um experimento de LT desse tipo. Esse arranjo experi-
mental j´a era utilizado antes do trabalho de Shen e colaboradores, entretanto, neste trabalho
os autores propulseram um modelo resolvido no tempo, que explica a dependˆencia temporal
1
Em Qu´ımica e F´ısica o termo espectroscopia ´e a designa¸c˜ao para toda t´ecnica de levantamento de dados
f´ısico-qu´ımicos atrav´es da transmiss˜ao, absor¸c˜ao ou reflex˜ao da energia radiante incidente em uma amostra.
2
Os termos “espectroscopia de lente t´ermica”, “lente t´ermica” ou mesmo a abrevia¸c˜ao “LT”, designam
exatamente a mesma coisa. Assim como os termos em inglˆes: “Thermal Lens”, “Thermal Lensing” e a
abrevia¸c˜ao “TL”.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 8
do fenˆomeno com a temperatura.
Nessa t´ecnica, monitoramos a intensidade do feixe de prova que atravessa a amostra,
o que ´e realizado com um fotodiodo. Quando incidimos o feixe de excita¸c˜ao na amostra,
medimos a varia¸c˜ao dessa intensidade em fun¸c˜ao do tempo, obtendo dados que, comparados
ao modelo te´orico[7], nos fornecem informa¸c˜oes quantitativas sobre algumas propriedades da
amostra.
Esta t´ecnica pode ser utilizada para estudar diversos tipos de materiais, como: vidros[8,
9], cristais[10], bebida do caf´e[11], ´oleos diversos, etc. Isso, somado ao fato de se tratar de
uma t´ecnica n˜ao destrutiva, torna a LT uma ferramenta poderosa para estudos diversos. En-
tretanto, como veremos em detalhes neste trabalho, o modelo te´orico de LT foi desenvolvido
para amostras com coeficiente de absor¸c˜ao ´optica baixo
3
, inferior a 1 cm
−1
, e isso restringe
o uso da t´ecnica em uma classe importante de materiais.
Para ilustrar esse ponto, dopando um vidro aluminosilicato (LSCAS) com diversas con-
centra¸c˜oes de T iO
2
, temos o coeficiente de absor¸c˜ao ´optica desse vidro[12] variando de 1cm
−1
at´e 10cm
−1
, aproximadamente, para concentra¸c˜oes entre 0.5% e 3.5%. Dessa maneira, por
limita¸c˜oes te´oricas n˜ao podemos utilizar com seguran¸ca a LT em vidros desse tipo, uma vez
que estamos utilizando a t´ecnica em um sistema diferente daquele original, para o qual ela
foi desenvolvida.
Isso nos motiva a estudar uma poss´ıvel corre¸c˜ao para o modelo, que torne poss´ıvel utilizar
a LT nessa classe de materiais. Por isso vamos descrever o desenvolvimento te´orico da
LT e introduzir uma corre¸c˜ao, que ser´a testada por meio de simula¸c˜oes computacionais.
Nestas simula¸c˜oes vamos utilizar parˆametros tip´ıcos de vidros, pois esses materiais formam
a principal linha de pesquisa do grupo de estudos dos fenˆomenos fotot´ermicos e fotoac´usticos
(GEFF) do departamento de f´ısica da universidade estadual de Maring´a (UEM).
3
Na verdade, nesse modelo ´e necess´ario que a fonte de calor seja axialmente constante dentro da amostra,
o que significa que o comprimento ´optico deve ser pequeno (A
e
L << 1). Como veremos em detalhes neste
trabalho, a espessura L da amostra n˜ao pode ser muito inferior a 1mm, de maneira que esses dois fatores
determinam o valor m´aximo do coeficiente de absor¸c˜ao ´optica.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 9
1.2 Espectroscopia de Espelho T´ermico
Ao tratarmos de materiais altamente absorvedores ou opacos, pouca ou nenhuma luz os
atravessa. Por isso t´ecnicas como a LT n˜ao s˜ao aplic´aveis a esse grupo de materiais. Contudo,
mesmo os materiais que n˜ao permitem a transmiss˜ao de luz possuem certa reflectˆancia, e
esse fenˆomeno da reflex˜ao superf´ıcial da luz pode ser utilizado para construir outras t´ecnicas
de espectroscopia.
A t´ecnica de deflex˜ao fotot´ermica[3] (efeito miragem), por exemplo, consiste em utilizar
dois feixes. Um incidindo perpendicularmente a superf´ıcie da amostra, e o segundo paralelo
a superf´ıcie, bem pr´oxima a ela. O aquecimento da amostra cria um gradiente de ´ındice de
refra¸c˜ao no ar, que ´e provado pelo feixe paralelo a superf´ıcie.
No m´etodo de deslocamento fotot´ermico[13, 14] um feixe de prova incide sobre a superf´ıcie
da amostra. Um segundo feixe, mais potente e concentrado, ´e utilizado para excitar parte
da regi˜ao monitorada pelo feixe de prova. O aquecimento causado pelo feixe de excita¸c˜ao
desloca a superf´ıcie da amostra, com isso parte do feixe de prova tem sua frente de onda
deformada. A superposi¸c˜ao entre as frentes de onda produz ent˜ao uma figura de interferˆencia.
Saito et al.[15] desenvolveram a t´ecnica conhecida como divergˆencia fotot´ermica, onde
tamb´em s˜ao utilizados dois feixes de luz laser. Quando em repouso a amostra comporta-se
como um espelho plano para o feixe de prova. Ao ser excitada, sua superf´ıcie se deforma,
criando um espelho divergente/convergente, que diminui/aumenta a densidade de energia
no centro do feixe de prova. O sinal de divergˆencia fotot´ermica ´e a diferen¸ca de intensidade
do feixe de prova, quando a amostra est´a excitada e quando est´a em repouso.
B. C. Li[16] desenvolveu um modelo resolvido no tempo para estudar materiais, baseando-
se na reflex˜ao de um feixe de luz laser. Ele considerou a excita¸c˜ao por um laser pulsado, e
resolveu a equa¸c˜ao de difus˜ao de calor para a amostra. A deforma¸c˜ao da superf´ıcie da amostra
depende da temperatura induzida, e utilizando sua solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao de difus˜ao, Li
resolveu uma equa¸c˜ao termoel´astica. A solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao deescreve, basicamente, a
posi¸c˜ao de cada ponto da superf´ıcie da amostra em fun¸c˜ao do tempo, quando atingida pelo
feixe de excita¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 10
Recentemente, foi desenvolvida em nosso grupo (GEFF) a t´ecnica de Espelho T´ermico
4
[17,
18], que ´e semelhante a que foi proposta por B. C. Li. Entretanto, no ET considerou-se a
excita¸c˜ao por um laser continuo, e por meio de certas aproxima¸c˜oes um modelo te´orico mais
simples foi obtido.
Como veremos, os arranjos experimentais das t´ecnicas de LT e ET s˜ao muito parecidos.
A diferen¸ca b´asica ´e que no ET a por¸c˜ao do feixe de prova monitorado ´e aquela refletida
na superf´ıcie da amostra. Na figura (1.2) temos um esbo¸co da montagem experimental das
duas t´ecnicas.
Figura 1.2: Esquema da montagem experimental de LT e ET, onde as letras “L” e “M” indicam
lentes e espelhos, respectivamente. Na LT monitoramos a intensidade do centro do feixe de prova
que atravessa a amostra, enquanto no ET monitoramos a intensidade do centro do feixe refletido.
As duas t´ecnicas podem ser montadas simultˆaneamente.
Analogamente ao caso da LT, medimos a intensidade do centro do feixe de prova em
fun¸c˜ao do tempo quando a amostra ´e atingida pelo feixe de excita¸c˜ao. Essa intensidade
pode aumentar ou diminuir conforme a natureza da deforma¸c˜ao da amostra seja cˆoncava ou
convexa
5
.
4
Daqui em diante utilizaremos a abrevia¸c˜ao ET.
5
´
E de censo comum que um material dilata quando aquecido, entretanto, h´a materiais como o “tungstato
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 11
A t´ecnica pode ser utilizada em materiais s´olidos, com qualquer coeficiente de absor¸c˜ao
´optica. Dessa maneira, podemos ver o ET como uma t´ecnica complementar a de LT. O que
´e muito conveniente do ponto de vista experimental, visto que ambas podem ser montadas
com os mesmos equipamentos.
Este trabalho tem como um dos objetivos verificar as limita¸c˜oes da t´ecnica de ET, tanto
do ponto de vista te´orico como experimental. Neste sentido, precisamos conhecer os lim-
ites do modelo te´orico para definir o campo de aplicabilidade da t´ecnica, e paralelamente
pretendemos verificar a sensibilidade do modelo te´orico para cada um dos parˆametros en-
volvidos.
Agora faremos um breve resumo sobre a propaga¸c˜ao do feixe de prova, que ´e idˆentica em
ambas as t´ecnicas. Isso nos d´a um panorama do que ser´a feito nos cap´ıtulos seguintes.
1.3 Propaga¸c˜ao do feixe de prova
Como dissemos, nas t´ecnicas de LT e ET monitoramos a intensidade do centro de um
feixe de prova com perfil gaussiano
6
. Por isso precisamos conhecer as equa¸c˜oes que descrevem
a propaga¸c˜ao de tal feixe. Resumidamente, podemos escrever a amplitude do campo el´etrico
do centro do feixe de prova, na posi¸c˜ao do fotodetector, como
7
(B.5)
U(Z
1
+ Z
2
, t) = C
1
∞
0
e
(iV −1)g−iΦ(g,t)
dg,
com g = (r/ω
1p
)
2
,
C
1
= B
iπω
2
1p
/(λ
p
Z
2
)
e
−2iπZ
2
/λ
p
,
e
V =
Z
1
Z
c
+
Z
c
Z
2
1 +
Z
1
Z
c
2
,
em que Z
1
´e a distˆancia do foco do feixe de prova at´e a amostra, Z
c
´e a distˆancia confocal
do feixe de prova e Z
2
´e a distˆancia da amostra at´e o fotodetector.
de Zircˆonio”[19], que apresenta uma expans˜ao t´ermica negativa e isotr´opica, em uma larga faixa de temper-
atura.
6
Ver apˆendice A.
7
Ver apˆendice B.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 12
Na equa¸c˜ao (B.5), Φ(g, t) representa uma fase. Nas t´ecnicas de LT e ET a perturba¸c˜ao
causada ao feixe de prova ´e intepretada como um acr´escimo na fase, dado por este termo.
Entretanto, a maneira de se obter a varia¸c˜ao da fase em cada t´ecnica ´e bem diferente. Na
figura (1.3) temos uma representa¸c˜ao do que ocorre no caminho do feixe de prova na LT.
Figura 1.3: Representa¸c˜ao do efeito de lente t´ermica em amostra s´olida[18]. Al´em do ´ındice de
refra¸c˜ao a espessura pode variar, o que tamb´em contribui para a varia¸c˜ao do caminho ´optico.
A fase induzida pela LT pode ent˜ao ser expressa por
φ
LT
(r, t) =
2π
λ
p
L
0
∆s(r, z, t)dz, (1.1)
em que λ
p
´e o comprimento de onda do feixe de prova, L ´e a espessura da amostra em t = 0,
e ∆s(r, z, t) ´e a varia¸c˜ao do caminho ´optico da amostra devido ao aquecimento gerado pelo
feixe de excita¸c˜ao.
Escrevendo ∆s(r, z, t) = s(r, z, t) − s(r, z, 0), podemos expandir s(r, z, t) em fun¸c˜ao da
temperatura. Assim obtemos a express˜ao
8
s(r, z, t) = s(r, z, 0) +
ds
dT
∆T (r, z, t). Utilizando-a
na express˜ao (1.1) obtemos
φ
LT
(r, t) =
2π
λ
p
ds
dT
L
0
∆T (r, z, t)dz, (1.2)
em que
ds
dT
´e o coeficiente de varia¸c˜ao do caminho ´optico com a temperatura, e ∆T (r, z, t)
8
O primeiro termo da expans˜ao corresponde ao comprimento ´optico quando a amostra est´a em repouso,
por isso o escrevemos como s(r, z, 0).
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 13
´e a varia¸c˜ao de temperatura da amostra. Vamos assumir que
ds
dT
´e constante no regime de
temperatura que estaremos trabalhando.
Na figura (1.4) temos uma representa¸c˜ao do que ocorre com o caminho do feixe de prova
no ET. No ET a fase pode ent˜ao ser obtida por meio da express˜ao
Figura 1.4: Representa¸c˜ao do efeito de espelho t´ermico em amostra s´olida. O caminho do feixe de
prova diminui quando a amostra dilata.
φ
ET
(r, t) =
2π
λ
p
2u
z
(r, 0, t), (1.3)
em que u
z
(r, 0, t) ´e o vetor posi¸c˜ao da superf´ıcie da amostra no instante t, e o fator “2”
aparece devido a reflex˜ao na superf´ıcie. Em outras palavras, a varia¸c˜ao da fase do feixe de
prova no ET depende diretamente da deforma¸c˜ao da superf´ıcie, e essa deforma¸c˜ao superficial
depende da temperatura
9
.
Utilizando a express˜ao para a fase podemos calcular a amplitude por meio da express˜ao
(B.5), que por sua vez utilizamos para obter a intensidade do feixe de prova, que ´e
I(t) = |U(Z
1
+ Z
2
, t)|
2
.
Um de nossos objetivos ´e obter I(t) para cada uma das t´ecnicas. Para isso, nos cap´ıtulos
seguintes vamos investigar o desenvolvimento matem´atico de ambas.
No cap´ıtulo 2 resolveremos uma equa¸c˜ao de difus˜ao de calor, buscando solu¸c˜oes que
garantam a validade dos modelos te´oricos das t´ecnicas.
9
Trataremos isso em detalhes no cap´ıtulo 4.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 14
No cap´ıtulo 3 vamos descrever o restante do desenvolvimento te´orico da LT. Isso consiste
em utilizar uma express˜ao para a temperatura, obtida no cap´ıtulo 2, para calcular a fase e
depois a intensidade do feixe de prova.
No cap´ıtulo 4 descrevemos o desenvolvimento da t´ecnica de ET, que como podemos ver
pela express˜ao (1.3), depende do deslocamento da superf´ıcie da amostra. Para descrever esse
deslocamento precisamos resolver uma equa¸c˜ao termoel´astica, que depende de uma express˜ao
para a temperatura, a qual ´e obtida no cap´ıtulo 2.
No cap´ıtulo 5 trabalhamos com exemplos pr´aticos de utiliza¸c˜ao das t´ecnicas, exibindo
dados experimentais e ajustando-os com os modelos. Tamb´em neste cap´ıtulo, simulamos
erros que podem ocorrer em um experimento, analizando o quanto isso pode influenciar os
dados de uma medida.
Cap´ıtulo 2
Perfil de temperatura
Neste cap´ıtulo descreveremos a distribui¸c˜ao de temperatura na amostra em fun¸c˜ao do
tempo, quando excitada por um feixe gaussiano. Pretendemos que o resultado final de nosso
desenvolvimento te´orico seja uma equa¸c˜ao para o ajuste dos dados experimentais, por isso
estamos interessados em descrever o aquecimento da amostra com a solu¸c˜ao mais simples
poss´ıvel.
Nosso problema ´e ent˜ao resolver a seguinte equa¸c˜ao de difus˜ao, em coordenadas cil´ındricas
1
∂T (r, z, t)
∂t
−
K
cρ
∇
2
T (r, z, t) = Q(r, z), (2.1)
em que c, ρ e K s˜ao respectivamente o calor especif´ıco, a densidade de massa e a condutivi-
dade t´ermica, e T (r, z, t) ´e o aumento de temperatura na amostra. Escolhemos a posi¸c˜ao da
superf´ıcie da amostra como sendo o plano z = 0, de maneira que a amostra est´a `a direita
desse plano. Na figura (2.1) temos um esbo¸co desse sistema de coordenadas.
Se por um lado, a generalidade de uma solu¸c˜ao tr´as benef´ıcios, por outro, ela pode tornar a
solu¸c˜ao extremamente complicada, o que n˜ao ´e nosso objetivo. Entretanto, qualquer aprox-
ima¸c˜ao precisa ser testada, e como estamos falando de equa¸c˜oes diferenciais, testar uma
aproxima¸c˜ao significa compar´a-la com a solu¸c˜ao que n˜ao possui a aproxima¸c˜ao. Por isso, va-
mos primeiramente trabalhar com uma solu¸c˜ao geral para nosso problema. Consideraremos
1
Esse sistema de coordenadas ´e utilizado devido a fonte de calor, que possui simetria axial em torno do
eixo de propaga¸c˜ao do feixe laser.
15
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 16
Figura 2.1: Sistema de coordenadas adotado para resolver a equa¸c˜ao de difus˜ao. O laser incide na
superf´ıcie da amostra em Z = 0.
que a amostra possui uma determinada espessura, que ela ser´a atingida pelo laser, aquecida
e que o calor gerado na amostra poder´a ser dissipado para o ar. Em seguida, vamos intro-
duzir aproxima¸c˜oes que proporcionam solu¸c˜oes mais simples, testando-as individualmente,
a medida que forem sendo introduzidas.
Excitando a amostra com um feixe laser Gaussiano, teremos o seguinte termo de fonte
Q(r, z) = Q
0
e
−2r
2
ω
2
0e
Q(z), (2.2)
em que Q
0
=
2P
e
A
e
φ
ρcπω
2
0e
. A
e
, P
e
e ω
0e
s˜ao a absor¸c˜ao ´optica, a potˆencia e o raio do feixe de
excita¸c˜ao
2
, respectivamente. φ = 1 −
ηλ
e
λ
em
´e a fra¸c˜ao de energia absorvida que ´e convertida
em calor, com η, λ
e
e λ
em
sendo respectivamente a eficiˆencia quˆantica de luminescˆencia
3
,
o comprimento de onda do feixe de excita¸c˜ao e o comprimento de onda m´edio da emiss˜ao.
Quando η = 0 n˜ao h´a reemiss˜ao de energia absorvida e toda energia ´e convertida em calor
(φ = 1).
2
ω
0e
´e, mais precisamente, a distˆancia do centro do feixe em que sua intensidade diminui a
1
e
2
≈ 13.5%.
3
η ´e a raz˜ao entre o n´umero de f´otons emitidos pelo n´umero de f´oton absorvidos. Portanto, um n´umero
positivo que pode inclusive ser maior que 1, uma vez que o que precisa ser conservado ´e a energia e n˜ao o
n´umero de f´otons.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 17
Para a dependˆencia do termo de fonte com o eixo z, vamos utilizar a lei de Beer
4
Q(z) = e
−A
e
z
, (2.3)
que ´e a forma t´ıpica para a absor¸c˜ao de luz quando ela atravessa um material
5
. Feitas
essas considera¸c˜oes, que valem para todo esse cap´ıtulo, vamos agora analisar uma solu¸c˜ao
razoavelmente geral da equa¸c˜ao (2.1).
2.1 Amostra finita, com fluxo de calor para o meio
Vamos come¸car definindo as condi¸c˜oes iniciais e de contorno do problema. Supondo
que em t = 0 a temperatura da amostra ´e homogˆenea, obtemos a seguinte condi¸c˜ao inicial
T (r, z, 0) = 0, que em outras palavras significa que n˜ao h´a gradiente de temperatura em
t = 0. Uma das condi¸c˜oes de contorno pode ser estabelecida se exigirmos que o aquecimento
na dire¸c˜ao radial nunca atinja a borda. Isso deve acontecer se as dimens˜oes radiais da fonte
4
Tamb´em conhecida como lei de Beer-Lambert ou lei de Beer-Lambert-Bouguer, sobrenomes de August
Beer (1852), Johann Heinrich Lambert (1760) e Pierre Bouguer (1729). Os anos entre parˆenteses se referem a
quando os autores documentaram seus estudos sobre a luz, que s˜ao descri¸c˜oes de fenˆomentos que concordam
com essa lei.
5
Considerando uma camada de espessura l, muito fina, atingida por um feixe de luz, de forma que o
termo de fonte Q
0
seja constante em toda a espessura, podemos escrever a varia¸c˜ao da intensidade do feixe
antes e depois do filme como
∆I
0
= I
0
− I
1
= I
0
− I
0
e
−A
e
l
= I
0
(1 − e
−A
e
l
) ≈ I
0
A
e
l,
ent˜ao, a fonte fica
Q
0
=
∆I
0
l
= I
0
A
e
,
Agora, se n´os considerarmos sucessivas camadas desse tipo, teremos
Q
1
=
∆I
1
l
=
I
1
− I
2
l
=
I
1
− I
1
(1 − A
e
l)
l
= I
1
A
e
= I
0
A
e
(1 − A
e
l),
generalizando temos
Q
n
=
∆I
n
l
=
I
n
− I
n+1
l
=
I
n
− I
n
(1 − A
e
l)
l
= I
n
A
e
= I
0
A
e
(1 − A
e
z
n
)
n
,
e quando n → ∞, temos (1 − A
e
z
n
)
n
= e
−A
e
z
.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 18
de calor, e portanto do feixe laser, forem muito menores que as dimens˜oes radiais da amostra.
Matematicamente podemos escrever essa condi¸c˜ao como T (∞, z, t) = 0.
As condi¸c˜oes de contorno na interface entre amostra e o ar s˜ao
T (r, 0, t)
s+
= T (r, 0, t)
s−
, (2.4)
K
v
∂T (r, 0, t)
∂z
s+
= K
a
∂T (r, 0, t)
∂z
s−
, (2.5)
em que K
v
e K
a
s˜ao as condutividades t´ermicas da amostra e do meio, respectivamente. s+
e s− identificam as solu¸c˜oes dentro e fora da amostra, respectivamente. A primeira condi¸c˜ao
diz que a temperatura ´e a mesma nos dois lados da superf´ıcie, e por meio da segunda condi¸c˜ao
consideramos o fluxo de calor entre a amostra e o ar.
Resolver esse problema, utilizando essas condi¸c˜oes, nos proporcionaria a solu¸c˜ao exata.
Entretanto, s´o conseguimos obter uma solu¸c˜ao anal´ıtica impondo uma aproxima¸c˜ao sobre a
condi¸c˜ao de contorno (2.5). Lembrando da defini¸c˜ao de derivada
∂f
∂x
=
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
,
que vale no limite de ∆x → 0, podemos reescrever o lado direito da equa¸c˜ao (2.5) como
K
a
∂T (r, 0, t)
∂z
s+
= K
a
T (r, ∆z, t)
s+
−T (r, 0, t)
s+
∆z
, (2.6)
A aproxima¸c˜ao consiste em considerar que a uma distˆancia ∆z da superf´ıcie a temper-
atura do ar se mant´em constante, assim temos T (r, ∆z, t) = 0. Utilizando a condi¸c˜ao (2.4)
em (2.6), podemos reescrever a equa¸c˜ao (2.5) na forma
∂T (r, 0, t)
∂z
s−
−hT (r, 0, t)
s−
, (2.7)
em que h =
K
a
K
v
∆z
e ∆z ´e uma distˆancia caracter´ıstica. Voltaremos a este ponto na subse¸c˜ao
2.1.1, onde iremos verificar cuidadosamente se podemos utilizar essa aproxima¸c˜ao.
Com as condi¸c˜oes escritas desta maneira, utilizamos a seguinte fun¸c˜ao de Green (Ref.
[20], p. 373) para resolver o problema
G(r, r
, ϕ, ϕ
, z, z
, t
) =
e
−R
2
/(4Dt
)
2πDt
(2.8)
×
∞
n=1
[α
n
cos(α
n
z) + h sin(α
n
z)][α
n
cos(α
n
z
) + h sin(α
n
z
)]
L(α
2
n
+ h
2
) + 2h
e
−Dα
2
n
t
,
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 19
em que D ´e a difusividade t´ermica, α
n
representa a e-n´esima ra´ız positiva da equa¸c˜ao
tan(αL) =
2αh
α
2
− h
2
, (2.9)
e R ´e definido pela rela¸c˜ao
R
2
= r
2
+ r
2
− 2rr
cos(ϕ − ϕ
). (2.10)
A equa¸c˜ao para a varia¸c˜ao de temperatura ´e ent˜ao
T (r, z, t) =
t
0
L
0
∞
0
2π
0
Q(r
, z
)G(r, r
, ϕ, ϕ
, z, z
, t
)r
dϕ
dr
dz
dt
, (2.11)
que pode ser integrada usando as equa¸c˜oes (2.2), (2.3) e (2.8). Definindo a vari´avel t
c
=
ω
2
0e
4D
6
,
obtem-se
T (r, z, t) =
P
e
A
e
φ
πt
c
K
∞
n=1
[α
n
cos(α
n
z) + h sin(α
n
z)]
L(α
2
n
+ h
2
) + 2h
F
n
t
0
e
−
2r
2
/w
2
0e
1+2τ/t
c
1 + 2τ/t
c
e
−Dα
2
n
τ
dτ, (2.12)
em que
F
n
=
e
−A
e
L
A
e
+ α
2
n
(α
2
n
− A
e
h) sin(α
n
L) − α
n
(A
e
+ h) cos(α
n
L)
+
α
n
(A
e
+ h)
A
2
e
+ α
2
n
. (2.13)
Fazendo referˆencia ao livro em que encontramos a fun¸c˜ao de Green (2.8), chamaremos
essa solu¸c˜ao de CJM
7
. Esta solu¸c˜ao ´e muito complicada, de maneira que us´a-la para nossos
prop´ositos experimentais ´e impratic´avel. At´e mesmo o trabalho de calcular o valor dessa
fun¸c˜ao em um ´unico ponto, com um conjunto qualquer de parˆametros, n˜ao ´e t˜ao simples.
As ra´ızes da equa¸c˜ao (2.9), necess´arias para calcular a somat´oria em (2.12), n˜ao s˜ao obtidas
analiticamente e ainda dependem da espessura L da amostra.
Agora vamos verificar a consistˆencia da aproxima¸c˜ao (2.7). Depois vamos analisar outras
aproxima¸c˜oes que nos conduzam a solu¸c˜oes mais simples.
2.1.1 Aproxima¸c˜ao para a condi¸c˜ao de fluxo
A solu¸c˜ao CJM sup˜oe uma ´unica aproxima¸c˜ao (a condi¸c˜ao 2.7). Entretanto, para ver-
ificar a validade dessa aproxima¸c˜ao precisariamos da solu¸c˜ao exata, que n˜ao temos. Uma
6
Veremos nos cap´ıtulos 3 e 4 que t
c
´e um parˆametro de ajuste comum as t´ecnicas de LT e ET.
7
Carslaw and Jaeger Model
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 20
alternativa ´e resolver o problema unidimensional, que conseguimos resolver nos dois casos,
utilizando a condi¸c˜ao (2.5) e a aproxima¸c˜ao (2.7). Assim, pretendemos verificar a validade
dessa aproxima¸c˜ao no caso unidimensional, para determinar em quais condi¸c˜oes podemos
utilizar a solu¸c˜ao CJM com seguran¸ca.
Iniciaremos obtendo o perfil de temperatura em ambos os meios, vidro e ar. Isso consiste
em obter as solu¸c˜oes das seguintes equa¸c˜oes de difus˜ao
∂T
v
(z, t)
∂t
− D
v
∂
2
T
v
(z, t)
∂z
2
= Q
0
, (2.14)
∂T
a
(z, t)
∂t
− D
a
∂
2
T
a
(z, t)
∂z
2
= 0, (2.15)
em que para o vidro consideramos uma fonte de calor independente de z, equivalente ao
limite de baixa absor¸c˜ao, no qual tratamos o problema como uma fonte coaxial e uniforme
de calor. Por simplicidade, denotamos aqui por z o m´odulo dessa vari´avel, sendo que a
superf´ıcie da amostra continua na posi¸c˜ao z = 0. Por´em, agora vamos considerar que ela
est´a `a esquerda desse plano, na parte negativa de z, com o ar do lado positivo.
As seguintes condi¸c˜oes de contorno precisam ser satisfeitas
T
v
(z, 0) = T
a
(z, 0) = 0, (2.16)
T
v
(0, t) = T
a
(0, t), (2.17)
T
v
(−∞, t) = T
a
(∞, t) = 0, (2.18)
K
v
∂T
v
(z, t)
∂z
z=0
= K
a
∂T
a
(z, t)
∂z
z=0
, (2.19)
em que os ´ındices v e a referem-se ao vidro e ao ar, respectivamente.
Fazendo a transformada de Laplace (t → s) das equa¸c˜oes (2.14) e (2.15), utilizamos a
propriedade
L
∂f(t)
∂t
= sf(s) − f(0),
em que a condi¸c˜ao (2.16) faz f(0) = 0. Assim obtemos
sT
v
(z, s) − D
v
∂
2
T
v
(z, s)
∂z
2
=
Q
0
s
,
sT
a
(z, t) − D
a
∂
2
T
a
(z, t)
∂z
2
= 0.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 21
As solu¸c˜oes para essas duas equa¸c˜oes s˜ao
T
v
(z, s) = C
1
e
√
s
D
v
z
+ C
2
e
−
√
s
D
v
z
+
Q
0
s
2
,
T
a
(z, s) = C
3
e
√
s
D
a
z
+ C
4
e
−
√
s
D
a
z
,
e para satisfazer as condi¸c˜oes (2.18), fazemos C
1
= C
3
= 0, obtendo
T
v
(z, s) = C
2
e
−
√
s
D
v
z
+
Q
0
s
2
, (2.20)
T
a
(z, s) = C
4
e
−
√
s
D
a
z
.
Para determinar as constantes C
2
e C
4
utilizamos as condi¸c˜oes de superf´ıcie para o fluxo
8
(2.19) e para a temperatura (2.17), com as quais obtemos
C
2
=
−
√
D
v
K
a
Q
0
(
√
D
a
K
v
−
√
D
v
K
a
)s
2
,
C
4
=
√
D
a
K
v
Q
0
(
√
D
a
K
v
−
√
D
v
K
a
)s
2
.
Ap´os determinar essas constantes, nos resta o problema de aplicar a transformada inversa
de Laplace nas seguintes equa¸c˜oes:
T
v
(z, s) =
−
√
D
v
K
a
Q
0
(
√
D
a
K
v
−
√
D
v
K
a
)
1
s
2
e
−
√
s
D
v
z
+
Q
0
s
2
, (2.21)
T
a
(z, s) =
√
D
a
K
v
Q
0
(
√
D
a
K
v
−
√
D
v
K
a
)
1
s
2
e
−
√
s
D
a
z
. (2.22)
Para fazer isso precisaremos do teorema da convolu¸c˜ao (Ref. [22], pag. 198)
L
−1
{F (s)G(s)} =
t
0
f(u)g(t − u)du, (2.23)
em que f(u) e g(u) s˜ao as transformadas inversas de Laplace de F (s) e G(s). Definimos
F (s) e G(s) como
F (s) = e
−a
√
s
,
G(s) =
1
s
2
,
8
Lembrando maiz uma vez que z representa um m´odulo, portanto, a derivada ser´a -1 no caso do vidro e
+1 para o ar.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 22
e usamos suas transformadas inversas:
L
−1
{F (s)} =
a
2
√
πt
3
e
−
a
2
4t
,
L
−1
{G(s)} = t.
Com essas considera¸c˜oes, a integral de invers˜ao (2.23) fica
t
0
a
2
√
πu
3
e
−
a
2
4u
(t − u)du = −a
t
π
e
−
a
2
4t
+
a
2
2
+ t
Erfc
a
2
√
t
. (2.24)
Aplicando o processo de invers˜ao nas equa¸c˜oes (2.21) e (2.22), obtemos
T
v
(z, t) =
√
D
v
K
a
Q
0
(
√
D
a
K
v
−
√
D
v
K
a
)
−
z
2
2D
v
+ t
Erfc
z
2
√
D
v
t
+
ze
−
z
2
4D
v
t
√
t
√
D
v
π
(2.25)
+Q
0
t,
T
a
(z, t) =
√
D
a
K
v
Q
0
(
√
D
a
K
v
−
√
D
v
K
a
)
z
2
2D
a
+ t
Erfc
z
2
√
D
a
t
−
ze
−
z
2
4D
a
t
√
t
√
D
a
π
, (2.26)
sendo Erfc(x) a fun¸c˜ao erro complementar
9
.
Na figura (2.2) mostramos o comportamento da temperatura em fun¸c˜ao de z, no vidro e
no ar, em que utilizamos os seguintes parˆametros: tc = 0, 8ms, t = 100tc, D
v
= 6×10
−7
m
−1
,
Figura 2.2: Temperatura em fun¸c˜ao de “z”, no vidro e no ar.
D
a
= 2, 2 × 10
−5
m
−1
, K
v
= 1, 5W/mK, K
a
= 0, 03W/mK, e lembrando que Q
0
=
2P
e
A
e
φ
ρcπω
2
0e
,
9
A fun¸c˜ao erro ´e definida Erf (x) =
2
√
π
x
0
e
−t
2
dt, e a fun¸c˜ao erro complementar ´e Erfc(x) = 1−Erf(x).
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 23
utilizamos
10
ρ = 2, 9g/cm
3
, c = 0, 85J/gK, A
e
= 1m
−1
, φ = 1, ω
0e
= 44 × 10
−6
m e
P
e
= 50mW . Todos esses parˆametros s˜ao comuns em vidros e nas situa¸c˜oes cotidianas de
laborat´orio.
Construimos os dois gr´aficos da figura (2.2) para evidenciar o comportamento da tem-
peratura pr´oximo a superf´ıcie do vidro, que como podemos ver ´e pouco influenciado pelo
fluxo de calor. O aumento de temperatura na superf´ıcie foi apenas 0, 3% menor do que a
uma profundidade de 0, 6mm, regi˜ao que praticamente n˜ao ´e afetada pelo fluxo de calor
na superf´ıcie. Portanto, considerando uma amostra com essas propriedades, vemos que a
temperatura s´o ´e modificada pelo fluxo de calor na regi˜ao pr´oxima `a superf´ıcie, e mesmo
nessa regi˜ao a temperatura diminui muito pouco.
Agora vamos resolver a equa¸c˜ao de difus˜ao unidimensional para o vidro, utilizando a
aproxima¸c˜ao (2.7). O problema ´e exatamente o mesmo at´e a obten¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.20),
mas agora trocamos a condi¸c˜ao de contorno (2.19) por
∂T (0, t)
∂z
−hT (0, t),
que ´e a aproxima¸c˜ao (2.7) escrita em uma dimens˜ao. Utilizando essa condi¸c˜ao determinamos
a constante C
2
C
2
= −
√
D
v
h
K
v
Q
0
(
√
D
v
h
K
v
+
√
s)s
2
e com ela obtemos a solu¸c˜ao para o problema, ainda no espa¸co de Laplace,
T (z, s) =
Q
0
s
2
−
√
D
v
h
K
v
Q
0
(
√
D
v
h
K
v
+
√
s)
e
−
√
s
D
v
z
s
2
. (2.27)
Podemos inverter essa equa¸c˜ao comparando-a com a (2.21), que invertemos ao resolver o
problema anterior. Agora temos um novo termo que depende de
√
s, com a forma
1
b +
√
s
.
Assim podemos fazer uma segunda convolu¸c˜ao, entre esse termo e
e
−a
√
s
s
2
. Para fazer isso
10
Os valores de ρ e c foram obtidos da referˆencia [8], pag. 66.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 24
definimos:
F (s) =
e
−a
√
s
s
2
,
G(s) =
1
b +
√
s
.
As inversas dessas duas fun¸c˜oes s˜ao:
L
−1
{F (s)} = −a
t
π
e
−
a
2
4t
+
a
2
2
+ t
Erfc
a
2
√
t
,
L
−1
{G(s)} =
1
√
πt
− be
b
2
t
Erfc
b
√
t
.
Para este problema as contantes s˜ao a =
z
√
D
a
e b =
√
D
v
h
K
v
. Assim, a integral de invers˜ao
(2.23) fica
H(t) = L
−1
{F (s)G(s)} =
t
0
−
z
√
D
v
u
π
e
−
z
2
4D
v
u
+
z
2
2D
v
+ u
Erfc
z
2
√
D
v
u
×
1
π(t − u)
−
√
D
v
h
K
v
e
(
h
K
v
)
2
D
v
(t−u)
Erfc
h
D
v
(t − u)
K
v
× du (2.28)
Desse modo, invertendo a equa¸c˜ao (2.27) obtemos
T (z, t) = Q
0
t −
Q
0
√
D
v
h
K
v
H(t), (2.29)
em que H(t) ´e a integral de invers˜ao (2.28), que acabamos de definir.
Agora vamos comparar essa solu¸c˜ao com a (2.25), que ´e a solu¸c˜ao exata. Na figura (2.3)
temos os perfis obtidos com ambas as solu¸c˜oes. Na figura (2.4) temos a diferen¸ca percentual
entre esses perfis.
Ao fazer a aproxima¸c˜ao (2.7) definimos a constante h =
K
a
K
v
∆z
e essa distˆancia carac-
ter´ıstica ∆z permaneceu uma inc´ognita. Resolvendo o problema unidimensional tamb´em
podemos determinar o valor dessa distˆancia.
Para obter a figura (2.3) escolhemos arbitr´ariamente diversos valores de ∆z, buscando
aquele que produzisse o melhor ajuste entre os perfis. Fixando ∆z = 0, 5mm encontramos
o menor desvio entre as solu¸c˜oes e por isso utilizamos este valor para gerar as figuras.
Concluimos ent˜ao que esse valor permite um ´otimo acordo entre as solu¸c˜oes, o que em
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 25
Figura 2.3: Temperatura em fun¸c˜ao de z no
vidro, com e sem a aproxima¸c˜ao (2.7), t=100t
c
.
Figura 2.4: δT (%) entre as solu¸c˜oes (2.25) e
(2.29), em fun¸c˜ao de z, t=100t
c
.
outras palavras significa a consistˆencia da aproxima¸c˜ao (2.7). Por esse motivo, quando
trabalharmos com a solu¸c˜ao CJM fixaremos ∆z = 0, 5mm.
Conclu´ımos essa se¸c˜ao lembrando que a solu¸c˜ao CJM cont´em apenas uma aproxima¸c˜ao,
que introduz um erro inferior a 0.1% na descri¸c˜ao da temperatura da amostra. Agora vamos
estudar uma segunda aproxima¸c˜ao, que tamb´em ´e imposta sobre a condi¸c˜ao de contorno na
superf´ıcie.
2.2 Amostra finita e fluxo nulo
Na se¸c˜ao anterior obtivemos uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.1), na qual consideramos o
fluxo de calor da amostra para o meio. Agora vamos considerar fluxo nulo na superf´ıcie da
amostra, o que produz uma temperatura maior do que no caso com fluxo. Essa condi¸c˜ao nos
conduz a uma solu¸c˜ao mais simples, mas tamb´em introduz diferen¸cas entre a nova solu¸c˜ao e
a solu¸c˜ao exata. De qualquer maneira, em determinadas condi¸c˜oes essa aproxima¸c˜ao pode
ser conveniente, e isso ´e o que investigaremos nesta se¸c˜ao.
A aproxima¸c˜ao de fluxo nulo consiste em fazer h → 0 na condi¸c˜ao de contorno (2.7), que
ent˜ao fica
∂T (r, z, t)
∂z
|
s+
= 0.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 26
A solu¸c˜ao para esse problema ´e
T (r, z, t) =
P
e
φ
2πK
∞
0
e
−
δ
2
ω
2
0e
8
×
A
e
A
2
e
− δ
2
A
e
δ
F (δ, z) − e
−A
e
z
−
1
L
∞
k=0
e
−
ω
2
0e
4t
c
(δ
2
+η
2
k
)t
cos(zη
k
)M
k
(δ, η
k
)
× J
0
(rδ)δdδ (2.30)
com η
k
=
kπ
L
, tc =
ω
2
0e
4D
, D =
K
ρc
´e a difusividade t´ermica,
F (δ, z) =
(e
−δL
− e
−A
e
L
)e
δz
+ (e
δL
− e
−A
e
L
)e
−δz
sinh(δL)
, (2.31)
M
0
=
1 − e
−A
e
L
δ
2
, (2.32)
e para k = 1, 2, 3...
M
k
(δ, η
k
) =
2A
2
e
[1 − (−1)
k
e
−A
e
L
]
(A
2
e
+ η
k
)(δ
2
+ η
k
)
. (2.33)
Essa solu¸c˜ao foi obtida por B. C. Li[16], e por isso a chamaremos de “LIM”
11
.
Vamos a partir de agora verificar a consistˆencia da aproxima¸c˜ao de fluxo nulo para aqueles
materiais nos quais as t´ecnicas de LT e ET s˜ao usualmente aplicadas. Vamos utilizar os
mesmos parˆametros definidos na se¸c˜ao (2.1.1), exceto nos casos em que o valor do parˆametro
for mencionado.
Nas figuras (2.5) e (2.6) temos exemplos dos perfis axial e radial com os modelos CJM
e LIM, sendo que a espessura e o coeficiente de absor¸c˜ao ´optica foram definidos de forma a
facilitar a visualiza¸c˜ao.
Com a figura (2.5) vemos que a aproxima¸c˜ao prejudica o perfil pr´oximo as superf´ıcies, j´a
a figura (2.6) mostra que a diferen¸ca entre as solu¸c˜oes ´e m´axima em r = 0. Como estamos
interessados em encontrar as condi¸c˜oes em que a solu¸c˜ao LIM ´e aplicavel, onde portanto ela
reproduza o perfil de temperatura da solu¸c˜ao CJM, n˜ao analisaremos os perfis diretamente,
mas sim a diferen¸ca percentual entre eles. Calcularemos essa diferen¸ca por meio da seguinte
express˜ao
δT (%) = 100 ×
T
LIM
− T
CJM
T
LIM
. (2.34)
11
Li Model
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 27
Figura 2.5: Perfil de temperatura axial da amostra, considerando fluxo (CJM) e fluxo nulo (LIM).
A
e
= 1m
−1
, L=2mm, r=0, t=100t
c
.
Figura 2.6: Perfil de temperatura no plano z=0, considerando fluxo (CJM) e fluxo nulo (LIM). A
e
=
10
4
m
−1
, L=0.1mm, t=100t
c
. Vale lembrar que foi necess´ario utilizar um conjunto de parˆametros
incomum para que fosse poss´ıvel visualizar gr´aficamente as diferen¸cas. Na pr´atica nunca trataremos
de espessuras da ordem de d´ecimo de mil´ımetro e raramente de absor¸c˜oes t˜ao altas quanto 10
4
m
−1
.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 28
δT ser´a calculado em toda a espessura da amostra, de z = 0 a z = L, com r = 0, pois como
vimos por meio da figura (2.6), o erro ´e m´aximo no centro da amostra. Faremos isso para
diversas combina¸c˜oes de espessura, coeficiente de absor¸c˜ao ´optica e tempo.
Na figura (2.7) temos δT (%) em fun¸c˜ao da profundidade, com o intervalo de tempo e
o coeficiente de absor¸c˜ao ´optica fixos, para diversas espessuras. Em um experimento de
LT/ET, um transiente de intensidade em fun¸c˜ao do tempo leva cerca de 100t
c
. Por isso o
tempo foi fixado com esse valor.
Figura 2.7: δT (%) entre CJM e LIM, t = 100t
c
, A
e
= 1m
−1
Mesmo para uma espessura muito fina, como 0, 5mm, a diferen¸ca entre as temperaturas
n˜ao ´e t˜ao grande. A aproxima¸c˜ao melhora a medida que tomamos uma espessura mais
grossa, pois assim a raz˜ao entre ´area afetada e n˜ao afetada pelo fluxo na superf´ıcie ´e menor.
Para a amostra de 2, 0mm, na regi˜ao entre 0, 2L < z < 0, 8L o erro ´e praticamente zero, e
mesmo pr´oximo as superf´ıcies o erro ´e sempre menor que 0, 35%. Para amostras mais finas
esse erro cresce, de forma que a aproxima¸c˜ao de fluxo nulo come¸ca a introduzir erros mais
significativos.
Na figura (2.8) fixamos a espessura em 1mm e variamos o intervalo de tempo. Como
poderiamos esperar, para longos intervalos de tempo a aproxima¸c˜ao piora, sendo que para
intervalos de tempo razoavelmente curtos, menores que 100 t
c
, a aproxima¸c˜ao se mostra
consistente, introduzindo um erro inferior a 0,4%.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 29
Figura 2.8: δT (%) entre CJM e LIM, L = 1mm, A
e
= 1m
−1
Verificamos como δT depende do coeficiente de absor¸c˜ao ´optica por meio da figura (2.9),
onde fixamos a espessura em 0.1mm. Que fique claro que a figura (2.9) serve para verificar
Figura 2.9: δT (%) entre CJM e LIM, L = 0.1mm, t = 100t
c
o comportamento de δT com a absor¸c˜ao, sem significar que o erro introduzido no modelo ao
tratarmos de materiais altamente absorvedores ser´a dessa ordem. Em geral os vidros estuda-
dos possuem espessuras da ordem 1mm, que sendo dessa ordem diminui significativamente
δT que observamos na figura (2.9). De qualquer maneira, por meio dessa figura notamos
que a aproxima¸c˜ao de fluxo nulo introduz um erro muito pequeno, mesmo ao considerar uma
amostra muito fina com absor¸c˜ao muito alta.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 30
Concluimos nesta se¸c˜ao que a aproxima¸c˜ao de fluxo nulo ´e consistente, e que ao tratar-
mos de espessuras da ordem de 1mm e intervalos de tempo de tipicamente 100t
c
, o erro
introduzido pela aproxima¸c˜ao ´e insignificante. J´a por meio da figura (2.9), notamos que
coeficientes de absor¸c˜ao ´optica muito altos fazem quase toda a energia do laser ser consum-
ida pr´oximo `a primeira superf´ıcie, impedindo que a segunda seja aquecida. Por isso o erro
relativo entre as solu¸c˜oes cresce perto da segunda superf´ıcie.
Ainda buscando uma solu¸c˜ao mais simples, vamos introduzir outra aproxima¸c˜ao e em
seguida a analizaremos de maneira semelhante a realizada para a aproxima¸c˜ao de fluxo nulo.
2.3 Amostra semi-infinita e fluxo nulo
Na solu¸c˜ao CJM consideramos fluxos da amostra para o ar nas superf´ıcies da mesma, e
na solu¸c˜ao LIM consideramos o fluxo nulo em ambas. Agora, consideraremos uma amostra
semi-infinita com fluxo nulo em sua superf´ıcie. Como na realidade a amostra possui uma
determinada espessura, essa aproxima¸c˜ao equivale a considerar fluxo nulo na primeira su-
perf´ıcie, e fluxo entre amostra e amostra na segunda superf´ıcie.
O primeiro passo ´e fazer a transformada de laplace (t → s) da equa¸c˜ao (2.1), na qual
mais uma vez usamos a seguinte propriedade
L
∂f(t)
∂t
= sf(s) − f(0),
e como T (r, z, 0) = 0, o ´ultimo termo da equa¸c˜ao acima ´e nulo. Assim obtemos
sT (r, z, s) − D∇
2
T (r, z, s) =
Q(r, z)
s
.
Lembrando da defini¸c˜ao do laplaciano em coordenadas cil´ındricas, ∇
2
= ∇
2
r
+
∂
2
∂z
2
, pode-
mos reescrever a equa¸c˜ao acima como
sT (r, z, s) − D∇
2
r
T (r, z, s) − D
∂
2
∂z
2
T (r, z, s) =
Q(r, z)
s
. (2.35)
Agora, para fazer a transformada de Fourier em cossenos (z → λ) utilizamos a pro-
priedade
F
c
∂
2
f(z)
∂z
2
= −λ
2
F
c
(z) −
2
π
∂f(z)
∂z
z=0
,
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 31
em que anulamos o ´ultimo termo devido a condi¸c˜ao de fluxo nulo
∂T (r,z,t)
∂z
|
z=0
= 0. Aplicando
a transformada na equa¸c˜ao (2.35) obtemos
sT (r, λ, s) − D∇
2
r
T (r, λ, s) + Dλ
2
T (r, λ, s) =
Q(r, λ)
s
. (2.36)
A transformada de Hankel
12
(r → α) possui a seguinte propriedade (Ref. [21], pag. 963)
H
∇
2
r
f(r)
= −α
2
f(α),
e por isso ela se torna muito ´util para resolver a equa¸c˜ao (2.36). Aplicando-a obtemos
sT (α, λ, s) + D(λ
2
+ α
2
)T (α, λ, s) =
Q(α, λ)
s
,
que pode ser escrita de forma mais compacta
T (α, λ, s) =
Q(α, λ)
s(s + D(λ
2
+ α
2
))
, (2.37)
em que
Q(α, λ) = H [Q(r, λ)] = Q
0
ω
2
0e
4
e
−
ω
2
0e
α
2
8
Q(λ), (2.38)
Q(λ) = F
c
[Q(z)] =
2
π
A
e
A
2
e
+ λ
2
. (2.39)
Agora ´e preciso inverter as transformadas. Vamos come¸car fazendo a transformada in-
versa de Laplace (s → t), por meio da seguinte rela¸c˜ao
L
−1
1
s(s + D(λ
2
+ α
2
))
=
1 − e
−Dt(α
2
+λ
2
)
D(α
2
+ λ
2
)
,
que aplicada na equa¸c˜ao (2.37), resulta em
T (α, λ, t) = Q(α, λ)
1 − e
−Dt(α
2
+λ
2
)
D(α
2
+ λ
2
)
, (2.40)
Com esta equa¸c˜ao escrita assim encontramos problemas para realizar as outras transfor-
madas inversas. Para contornar isso podemos usar a rela¸c˜ao
1 − e
−Dt(α
2
+λ
2
)
D(α
2
+ λ
2
)
=
t
0
e
−D(α
2
+λ
2
)τ
dτ,
12
A transformada de Hankel ´e definida como f(α) = H [f (r)] =
∞
0
f(r)J
0
(αr)rdr.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 32
com a qual podemos reescrever a equa¸c˜ao (2.40) assim
T (α, λ, t) =
t
0
Q(α, λ)e
−D(α
2
+λ
2
)τ
dτ, (2.41)
Agora faremos a transformada inversa de Hankel (α → r), que ´e definida como
f(r) = H
−1
[f(α)] =
∞
0
f(α)J
0
(αr)αdα.
Aplicando essa transformada inversa em (2.41), e usando Q(α, λ) dado por (2.38), obtemos
T (r, λ, t) = Q
0
t
0
Q(λ)e
−
ω
2
0e
λ
2
2τ
8t
c
e
−2r
2
/ω
2
0e
1+2τ/t
c
1 + 2τ/t
c
dτ. (2.42)
Para realizar a transformada inversa de Fourier em cossenos(λ → z), precisamos utilizar
o teorema da convolu¸c˜ao para essa opera¸c˜ao (Ref. [22], p. 280)
−1
C
{F
C
(k)G
C
(k)} =
1
2π
∞
0
g(ξ) [f(x − ξ) + f(x + ξ)] dξ,
em que f e g s˜ao as transformadas inversas de F
c
e G
c
. Sendo F
C
e G
C
dados por
F
C
(λ) = e
−
ω
2
0e
λ
2
2τ
8t
c
,
G
C
(λ) = Q(λ) =
2
π
A
e
A
2
e
+ λ
2
,
suas transformadas inversas s˜ao
f(z) =
2t
c
τω
2
0e
e
−
z
2
t
c
τω
2
0e
,
g(z) = e
−A
e
z
,
assim, fazendo a convolu¸c˜ao obtemos
−1
C
{F
C
(λ)G
C
(λ)} =
t
c
πτω
2
0e
∞
0
e
−ξA
e
e
−
(z−ξ)
2
t
c
τω
2
0e
+ e
−
(z+ξ)
2
t
c
τω
2
0e
dξ.
Calculando essa integral e usando-a na equa¸c˜ao (2.42), obtemos a solu¸c˜ao
T (r, z, t) = T
0
t
0
e
1
4
A
e
„
−4z+
A
e
τω
2
0e
t
c
«
e
−2r
2
/ω
2
0e
1+2τ/t
c
1 + 2τ/t
c
×
Erfc
A
e
τω
2
0e
− 2zt
c
2ω
0e
√
τt
c
+ e
2zA
e
Erfc
A
e
τω
2
0e
+ 2zt
c
2ω
0e
√
τt
c
dτ, (2.43)
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 33
que fica dependendo de uma integral num´erica. Nessa solu¸c˜ao T
0
=
P
e
φA
e
πcρω
2
0e
e Erfc ´e a fun¸c˜ao
erro complementar. Chamaremos essa solu¸c˜ao de “BLM”
13
. Note que T
0
n˜ao possui dimens˜ao
de temperatura, entretanto, h´a uma integral a ser feita, que quando o for “corrigir´a” essa
dimens˜ao.
Procedendo de maneira similar ao que fizemos para analisar a aproxima¸c˜ao de fluxo nulo,
agora investigaremos a aproxima¸c˜ao de amostra semi-infinita. Calcularemos δT por meio da
seguinte express˜ao
14
δT (%) = 100 ×
T
LIM
− T
BLM
T
LIM
, (2.44)
an´aloga a equa¸c˜ao (2.34). Mais uma vez utilizaremos aqueles parˆametros definidos na se¸c˜ao
(2.1.1).
Na figura (2.10) temos δT em fun¸c˜ao da espessura, com o coeficiente de absor¸c˜ao ´optica
e o intervalo de tempo fixos. Note que a aproxima¸c˜ao ´e consistente at´e mesmo para uma
Figura 2.10: δT (%) entre LIM e BLM, A
e
= 1m
−1
, t = 100t
c
espessura de 0, 1mm, bem inferior `as espessuras t´ıpicas dos vidros que estudamos. Para
13
BLM=Beer’s Law Model. Note que a lei de Beer tamb´em ´e utilizada nos outros modelos vistos at´e
aqui, por´em, vamos trabalhar a maior parte do tempo com essa solu¸c˜ao, o que justifica a conveniˆencia da
nomenclatura escolhida.
14
Poder´ıamos verificar a diferen¸ca entre as solu¸c˜oes CJM e BLM, entretanto, com isso estar´ıamos testando
duas aproxima¸c˜oes ao mesmo tempo (fluxo nulo e amostra semi-infinita). Comparando as solu¸c˜oes LIM e
BLM, obtemos os desvios devidos apenas a aproxima¸c˜ao de amostra semi-infinita.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 34
espessuras maiores que 0, 5mm δT ´e zero em mais da metade da amostra.
Na figura (2.11) analisamos o desvio entre as solu¸c˜oes em fun¸c˜ao do tempo. Podemos ver
que mesmo para um intervalo de tempo excessivamente grande, como 1000t
c
, a aproxima¸c˜ao
continua consistente, principalmente na superf´ıcie da amostra atingida pelo laser (z=0).
Figura 2.11: δT (%) entre LIM e BLM, A
e
= 1m
−1
, L = 1.5mm
Na segunda superf´ıcie o erro ´e mais significativo, e cresce com o tempo. Isso ocorre
porque, como j´a dissemos, na aproxima¸c˜ao de amostra semi-infinita h´a fluxo de calor na
segunda superf´ıcie, entre vidro e vidro. Assim, a temperatura prevista pela solu¸c˜ao BLM ´e
menor do que a obtida com o modelo LIM, o que faz δT crescer, pois o definimos de maneira
proporcional a (T
LIM
− T
BLM
).
A figura (2.12) mostra o comportamento de δT em fun¸c˜ao da profundidade, para diversos
coeficientes de absor¸c˜ao ´optica. O erro na segunda superf´ıcie da amostra cresce com a ab-
sor¸c˜ao ´optica, ao mesmo tempo que se mant´em quase nulo em cerca de 80% de sua espessura.
Para explicar isso, na figura (2.13) temos a temperatura em fun¸c˜ao da profundidade, com
ambas as solu¸c˜oes.
A figura (2.12) mostra uma diferen¸ca significativa entre as solu¸c˜oes na segunda superf´ıcie.
Comparando com a figura (2.13), vemos que isso ocorre porque o alto coeficiente de absor¸c˜ao
´optica atenua a fonte de calor rapidamente, de maneira que para A
e
= 10
3
m
−1
, a temperatura
na primeira superf´ıcie ´e cerca de 5 vezes maior que na segunda. Como a temperatura ´e menor,
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 35
Figura 2.12: δT (%) entre LIM e BLM, t = 100t
c
, L = 1.5mm
Figura 2.13: Temperatura com as solu¸c˜oes LIM e BLM, t = 100t
c
, L = 1.5mm
o erro relativo ´e maior.
Com as compara¸c˜oes feitas at´e aqui, conclu´ımos que para os parˆametros que fixamos
as aproxima¸c˜oes de fluxo nulo e amostra semi-infinita s˜ao consistentes, introduzindo um
erro desprez´ıvel. Este erro tem alguma relevˆancia apenas pr´oximo a segunda superf´ıcie de
amostras com alto coeficiente de absor¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 36
Adiantamos que essa solu¸c˜ao ser´a utilizada na t´ecnica de ET, e aplicando-a para estudar
vidros podemos dizer que n˜ao h´a muitas restri¸c˜oes sobre as propriedades da amostra. Entre-
tanto, quando tratarmos de certas situa¸c˜oes limites ser´a desnecess´ario utilizar essa solu¸c˜ao.
2.3.1 Limite de baixa absor¸c˜ao
No limite de baixa absor¸c˜ao podemos obter uma solu¸c˜ao mais simplificada para a equa¸c˜ao
de difus˜ao. Para entender isso, na figura (2.14) temos a temperatura obtida com a solu¸c˜ao
BLM para o plano XZ da amostra, considerando alguns valores para o coeficiente de absor¸c˜ao
´optica. Por meio dessa figura vemos que, quando a absor¸c˜ao ´e baixa a dependˆencia da
Figura 2.14: Perfil de temperatura com a solu¸c˜ao BLM, para uma se¸c˜ao plana da amostra, con-
siderando diferentes coeficientes de absor¸c˜ao[12].
temperatura com a coordenada Z desaparece, em outras palavras, a temperatura s´o varia
radialmente. Por isso, no limite de baixos valores de coeficientes de absor¸c˜ao ´optica (A
e
→ 0)
podemos usar um termo de fonte independente de z, ou seja, Q(z) = 1. O termo de fonte
da equa¸c˜ao (2.1) assume ent˜ao uma forma mais simples, dada por
Q(r, z) = Q
0
e
−2r
2
ω
2
0e
.
Repetindo o mesmo procedimento usado na obten¸c˜ao da solu¸c˜ao (2.43) considerando esse
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 37
termo de fonte, obtemos a seguinte solu¸c˜ao
T (r, t) = T
0
t
c
Ei
−
2r
2
ω
2
0e
− Ei
−
2r
2
t
c
ω
2
0e
(2t + t
c
, (2.45)
onde Ei(x) ´e a fun¸c˜ao exponencial integral
15
, que tamb´em pode ser obtida fazendo o limite
(A
e
→ 0) na equa¸c˜ao (2.43). Vamos nos referir a essa solu¸c˜ao atrav´es da sigla “LAM”
16
. Esta
solu¸c˜ao j´a havia sido obtida por Gordon[5] e colaboradores, que trataram o problema como
o de uma fonte cil´ındrica de calor, sem pensar na aproxima¸c˜ao de amostra semi-infinita,
entretanto o resultado ´e exatamente o mesmo.
Na figura (2.15) temos os perfis radiais obtidos com os modelos BLM e LAM, no plano
superficial e na profundidade de 1mm. Fica claro que o LAM funciona bem em amostras
Figura 2.15: Perfil Radial, BLM e LAM, t = 50t
c
com coeficiente de absor¸c˜ao ´optica A
e
< 200m
−1
, sendo que para absor¸c˜oes ´opticas com essa
intensidade o desvio entre os perfis na superficie ´e bem pequeno, e na profundidade de 1mm
j´a torna-se significativo.
Iniciamos este cap´ıtulo buscando descrever o aumento de temperatura da amostra, entre-
tanto, ainda n˜ao sabemos exatamente como as t´ecnicas de LT e ET v˜ao depender do perfil de
temperatura, e por isso ainda n˜ao podemos afirmar exatamente quando poderemos utilizar
uma ou outra solu¸c˜ao.
15
A fun¸c˜ao exponencial integral ´e definida como Ei(x) = −
∞
−x
e
−t
t
dt
16
LAM=Low Absortion Model.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 38
2.3.2 Limite de alta absor¸c˜ao
No limite de altos valores do coeficiente de absor¸c˜ao ´optica (A
e
→ ∞), podemos pensar
na situa¸c˜ao extrema em que toda a luz seja absorvida na superf´ıcie, assim temos
17
Q(z)
∼
=
2
A
e
δ(z), e de forma analoga ao desenvolvimento feito para obter a solu¸c˜ao (2.43), encontramos
a seguinte solu¸c˜ao
T (r, z, t) = T
0
t
0
4e
−z
2
t
c
τω
2
0e
e
−2r
2
/ω
2
0e
1+2τ/t
c
πτω
2
0e
/t
c
A
e
(1 + 2τ/t
c
)
dτ. (2.47)
Identificaremos essa equa¸c˜ao neste trabalho por meio da sigla “HAM”
18
. Note que assim
como no limite de baixa absor¸c˜ao ´optica, essa solu¸c˜ao pode ser obtida diretamente da equa¸c˜ao
(2.43) aplicando o limite adequado.
Na figura (2.16) temos perfis radiais de temperatura, obtidos com os modelos BLM e
HAM, a profundidade de 1mm, e os demais parˆametros s˜ao aqueles que fixamos na se¸c˜ao
2.1.1.
Na figura (2.17) fixamos a posi¸c˜ao z = r = 0, e mostramos a diferen¸ca percentual entre
os modelos BLM e HAM nessa posi¸c˜ao, em fun¸c˜ao do coeficiente de absor¸c˜ao ´optica.
Podemos ver que a aproxima¸c˜ao consistente para A
e
> 10
6
m
−1
, visto que para valores
inferiores a esse o erro ´e maior que 10%. De qualquer maneira, quando utilizarmos essa
solu¸c˜ao voltaremos a compar´a-la com o modelo BLM para termos convic¸c˜ao de nossos resul-
tados. Agora vamos para o segundo passo do desenvolvimento te´orico das t´ecnicas de LT e
ET.
Fechamos este cap´ıtulo lembrando que as aproxima¸c˜oes que fizemos nos conduziram a
express˜oes mais simples, e comparando essas express˜oes com a solu¸c˜ao CJM, foi poss´ıvel
determinar em que condi¸c˜oes e em quais regi˜oes da amostra as aproxima¸c˜oes de fluxo nulo
17
No limite A
e
→ ∞ temos
Limite[A
e
e
−A
e
z
, A
e
→ ∞] = 2δ(z),
Ent˜ao, quando estivermos tratando desse limite, podemos substituir a lei de Beer
e
−A
e
z
→
2δ(z)
A
e
. (2.46)
18
HAM=High Absortion Model.
CAP
´
ITULO 2. PERFIL DE TEMPERATURA 39
Figura 2.16: Perfis radiais de temperatura, BLM e HAM, z = 1mm.
Figura 2.17: Diferen¸ca percentual entre BLM e HAM, na posi¸c˜ao r = z = 0, em fun¸c˜ao do
coeficiente de absor¸c˜ao.
e amostra semi infinita s˜ao consistentes.
Cap´ıtulo 3
Modelo te´orico para a lente t´ermica
Desenvolver um modelo te´orico para a LT significa, mais precisamente, descrever matem-
aticamente o fenˆomeno que foi introduzido no primeiro cap´ıtulo deste trabalho. Ou seja, o
aquecimento de uma amostra por um feixe laser perturba um segundo feixe, o feixe de prova,
e descrevendo quantitativamente essa perturba¸c˜ao podemos obter diversas informa¸c˜oes sobre
as propriedades da amostra.
3.1 Intensidade do feixe de prova
O modelo de lente t´ermica proposto por Shen[7] e colaboradores foi desenvolvido con-
siderando o limite de baixos valores do coeficiente de absor¸c˜ao ´optica, onde pode-se con-
siderar uma fonte de calor cil´ındrica e independente de z ao longo da amostra. O perfil de
temperatura utilizado nesse caso ´e dado pela solu¸c˜ao (2.45)
T (r, t) =
Q
0
t
c
2
Ei
−
2r
2
ω
2
0e
− Ei
−
2r
2
t
c
ω
2
0e
(2t + t
c
Utilizamos esse perfil de temperatura para calcular a fase adicional induzida pela LT,
como sugerimos na introdu¸c˜ao deste trabalho. A fase ´e calculada por meio da express˜ao
(1.2)
φ
LT
(r, t) =
2π
λ
p
ds
dT
L
0
[T (r, z, t) − T (0, z, t)] dz,
40
CAP
´
ITULO 3. MODELO TE
´
ORICO PARA A LENTE T
´
ERMICA 41
e com ela obtemos a amplitude por meio da express˜ao (B.5)
U(Z
1
+ Z
2
, t) = C
1
∞
0
e
(iV −1)g−iφ(g,t)
dg.
Para facilitar essa integra¸c˜ao, foi feita uma aproxima¸c˜ao que consiste em considerar que a
varia¸c˜ao da fase seja pequena. Assim utilizou-se a expans˜ao em primeira ordem da exponen-
cial e
−iΦ
≈ 1 − iΦ, e a express˜ao (B.5) ficou
U(Z
1
+ Z
2
, t) = C
1
∞
0
(1 − iφ(g, t))e
(iV −1)g
dg. (3.1)
Com isso fazemos a integral e calculando seu m´odulo ao quadrado obtemos
I
p
(t) = I
p
(0)
1 −
θ
LT
2
tan
−1
2mV
[(1 + 2m)
2
+ V
2
]
t
c
2t
+ 1 + 2m + V
2
2
(3.2)
em que m =
ω
2
1p
ω
2
0e
´e a raz˜ao entre as ´areas dos feixes de prova e excita¸c˜ao no centro da amostra,
e θ
LT
´e um dos parˆametros de ajuste, definido
θ
LT
=
P
e
A
e
L
Kλ
p
ds
dT
φ.
Na express˜ao (3.2) um dos termos obtidos com a integra¸c˜ao da express˜ao (3.1) foi de-
sprezado
1
. Os parˆametros de ajuste do modelo de lente t´ermica s˜ao θ
LT
e t
c
=
ω
2
0e
4D
, sendo
que por meio desse ´ultimo obt´em-se diretamente o valor da difusividade, uma vez que ω
0e
´e
um parˆametro do laser que j´a deve ser conhecido antes de executar o experimento. Vamos
agora verificar uma poss´ıvel generaliza¸c˜ao do modelo de LT.
3.2 Corre¸c˜ao para grandes coeficientes de absor¸c˜ao ´optica
Como dissemos na introdu¸c˜ao, a t´ecnica de lente t´ermica ´e amplamente utilizada atual-
mente, sobretudo no estudo de vidros, cristais, ´oleos diversos, etc. Por´em, a solu¸c˜ao LAM,
que ´e utilizada para se obter a equa¸c˜ao (3.2), possui por constru¸c˜ao uma limita¸c˜ao quanto
ao coeficiente de absor¸c˜ao ´optica da amostra, que deve ser suficientemente baixo.
1
O sinal de lente t´ermica s´o ´e ajustado ao se desprezar este termo. Contudo, foi verificado[6] que isso
equivale a tomar a express˜ao exata para a exponencial da fase, sem expandi-la, levando a uma diferen¸ca
insignificante.
CAP
´
ITULO 3. MODELO TE
´
ORICO PARA A LENTE T
´
ERMICA 42
Temos como alternativa substituir a solu¸c˜ao LAM pelas solu¸c˜oes CJM ou LIM. Entre-
tanto, elas conduzem a equa¸c˜oes muito complicadas. Uma poss´ıvel solu¸c˜ao para contornar
esse problema consiste em utilizar a seguinte aproxima¸c˜ao
T (r, z, t) ≈ e
−A
e
z
× T
Lam
(r, t), (3.3)
em que introduzimos a dependˆencia da temperatura com a coordenada axial “a m˜ao”, uti-
lizando a lei de Beer. Essa lei deescreve o decaimento da intensidade da luz ao atravessar a
amostra. Com essa aproxima¸c˜ao estamos considerando que a temperatura decaira seguindo
essa mesma lei. Vamos agora analizar essa equa¸c˜ao, comparando-a com a solu¸c˜ao CJM, que
´e a descri¸c˜ao mais exata que temos do perfil de temperatura.
Na figura (3.1) temos alguns perfis axiais de temperatura, com as duas solu¸c˜oes, onde
mais uma vez foram utilizados aqueles parˆametros definidos na se¸c˜ao 2.1.1. As duas solu¸c˜oes
Figura 3.1: Perfil axial de temperatura, CJM e Aproxima¸c˜ao, t=100t
c
, r = 0, A
e
= 1000m
−1
produzem perfis diferentes, entretanto, precisamos verificar o quanto o modelo para o c´alculo
da intensidade ´e sens´ıvel a essas diferen¸cas no perfil de temperatura.
Na express˜ao (1.2), para a fase adicional do feixe de prova devida a lente t´ermica, temos
uma integral da temperatura em fun¸c˜ao de “z”, sob toda a espessura da amostra. Em outras
palavras, isso significa que na lente t´ermica n˜ao estamos interessados diretamente no perfil
CAP
´
ITULO 3. MODELO TE
´
ORICO PARA A LENTE T
´
ERMICA 43
de temperatura, mas sim na integral da temperatura sob a espessura da amostra. Por isso
vamos analisar o comportamento dessa integral, considerando a temperatura dada pelas
duas solu¸c˜oes que estamos tratando nesta se¸c˜ao. Para os perfis constantes na figura (3.1),
constatamos que a aproxima¸c˜ao introduz um erro da ordem de 0, 2% e 0, 1% na fase, para
as espessuras de 0.2mm e 1mm, respectivamente.
Na figura (3.2) temos novamente os perfis axiais de temperatura, mas agora considerando
uma espessura fixa e diferentes coeficientes de absor¸c˜ao ´optica. A medida que aumentamos
Figura 3.2: Perfil axial de temperatura, CJM e Aproxima¸c˜ao, t=100t
c
, r = 0, L = 1mm
o valor do coeficiente, o perfil obtido com a aproxima¸c˜ao se diferencia mais do perfil correto,
embora o erro introduzido no calculo da fase ao se utilizar a aproxima¸c˜ao permane¸ca pequeno.
Integrando a temperatura, verificamos que a aproxima¸c˜ao introduz na fase um erro de 0, 1%,
0, 45% e 1, 3%, em ordem crescente de coeficiente de absor¸c˜ao.
Note que, em todos os perfis que geramos com a aproxima¸c˜ao, ela produz uma temper-
atura superior a correta na regi˜ao pr´oxima a primeira superf´ıcie, e uma temperatura inferior a
correta na regi˜ao pr´oxima a segunda superf´ıcie, de forma que ao fazer a integral essas “´areas”
se anulam, produzindo na fase um erro muito pequeno. Ainda investigando a exatid˜ao do
c´alculo da fase, na figura (3.3) temos a fase em fun¸c˜ao de r, calculada com as solu¸c˜oes CJM
e LIM. Com isso, vemos que a aproxima¸c˜ao de fluxo nulo introduz um erro insignificante
CAP
´
ITULO 3. MODELO TE
´
ORICO PARA A LENTE T
´
ERMICA 44
Figura 3.3: Varia¸c˜ao da fase calculada com as solu¸c˜oes CJM (simbolos s´olidos) e LIM (simbolos
abertos), para diferentes espessuras. Os parˆametros utilizados foram: ω
0e
= 44µm, t
c
= 0.8ms,
t = 100t
c
e A
e
= 1000m
−1
.
na fase. Na figura (3.4) temos um gr´afico semelhante, mas agora comparando a fase obtida
com as solu¸c˜oes LIM e a aproxima¸c˜ao (3.3), incluindo uma curva da fase calculada com a
solu¸c˜ao LAM.
A solu¸c˜ao LAM n˜ao depende da espessura da amostra. Com isso, para o coeficiente de
absor¸c˜ao que consideramos na figura (3.4) o erro na fase se torna grande para as espessuras
maiores
2
. Por outro lado, n˜ao verificamos diferen¸cas entre as fases calculadas com as solu¸c˜oes
LIM e a aproxima¸c˜ao.
Concluindo nossa an´alise, vimos que a “corre¸c˜ao” introduzida na rela¸c˜ao (3.3) n˜ao ´e
capaz de descrever o perfil de temperatura corretamente em toda a espessura da amostra,
entretanto, para o prop´osito da t´ecnica de LT essa aproxima¸c˜ao ´e extremamente eficaz.
Podemos utiliza-la para calcular a fase (1.2) com seguran¸ca, mesmo para coeficientes de
absor¸c˜ao t˜ao intensos quanto 5000m
−1
.
2
Para a espessura de 0.02mm as fases calculadas com as solu¸c˜oes LIM e LAM praticamente coincidem.
Isso ocorre porque para o coeficiente de absor¸c˜ao de A
e
= 1000m
−1
, a temperatura deve variar pouco na
regi˜ao da superf´ıcie a at´e 0.02mm de profundidade.
CAP
´
ITULO 3. MODELO TE
´
ORICO PARA A LENTE T
´
ERMICA 45
Figura 3.4: Varia¸c˜ao da fase calculada com as solu¸c˜oes LIM (simbolos s´olidos) e a aproxima¸c˜ao (3.3)
(simbolos abertos), para diferentes espessuras. A linha cont´ınua ´e a fase calculada com a solu¸c˜ao
LAM. Os parˆametros utilizados foram: ω
0e
= 44µm, t
c
= 0.8ms, t = 100t
c
e A
e
= 1000m
−1
.
Utilizando a express˜ao (3.3) para a temperatura, a express˜ao para a intensidade do centro
do feixe no fotodetector fica
I
p
(t) = I
p
(0)
1 −
θ
LT
2
(1 − e
−A
e
L
)
A
e
L
tan
−1
2mV
[(1 + 2m)
2
+ V
2
]
t
c
2t
+ 1 + 2m + V
2
2
. (3.4)
Na se¸c˜ao (5.1), onde trataremos de um exemplo de ajuste de LT, voltaremos a esse ponto
para discutir o que ocorre com os parˆametros de ajuste ao se utilizar a express˜ao (3.4) ao
inv´es da express˜ao original (3.2).
Cap´ıtulo 4
Modelo te´orico para o espelho t´ermico
Enquanto na LT a perturba¸c˜ao do feixe de prova ´e causada pela varia¸c˜ao do caminho
´optico, no ET o efeito ´e gerado pela deforma¸c˜ao superficial, que faz variar a densidade de
energia do feixe de prova. Por isso, no modelo te´orico do ET precisamos encontrar tamb´em
o perfil de deslocamento, que ´e de certa forma uma descri¸c˜ao topogr´afica da superf´ıcie da
amostra, em fun¸c˜ao da temperatura.
4.1 Perfil de deslocamento
Na aproxima¸c˜ao quase est´atica, onde consideramos que uma varia¸c˜ao de temperatura
cria instantaneamente uma deforma¸c˜ao no material, a equa¸c˜ao termoel´astica a ser resolvida
´e[23]
(1 − 2ν)∇
2
u + ∇(∇.u) = 2(1 + ν)α
T
∇T (r, z, t) (4.1)
em que u ´e o vetor deslocamento, α
T
´e o coeficiente de expans˜ao t´ermico e ν ´e a raz˜ao
de Poisson
1
. Na figura (4.1) temos um esquema indicando o que exatamente o vetor u
representa. A equa¸c˜ao (4.1) ´e valida para um meio isotr´opico e homogˆeneo
2
. Essa equa¸c˜ao
depende tamb´em das condi¸c˜oes de tens˜ao superficial, e por isso na figura (4.2) temos um
1
Suponha que um material receba uma tens˜ao na dire¸c˜ao x, e que isso produza uma rea¸c˜ao na dire¸c˜ao
y. A raz˜ao de Poisson ´e definida como ν = −
ξ
y
ξ
x
, onde ξ
x
´e a tens˜ao na dire¸c˜ao x e ξ
y
´e a compress˜ao na
dire¸c˜ao y
2
Considerar um caso mais geral do que este introduz fortes complica¸c˜oes matem´aticas.
46
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 47
Figura 4.1: Vetores de deslocamento. O eixo horizontal representa a superf´ıcie da amostra quando
em repouso, e os vetores (setas) indicam o deslocamento de um ponto da superf´ıcie quando ela ´e
aquecida localmente pelo feixe de excita¸c˜ao.
esquema dos componentes da tens˜ao para um cubo, em coordenadas cartesianas.
Figura 4.2: Componentes da tens˜ao
Sendo σ
ij
um componente da tens˜ao, o ´ındice i indica qual a normal de um plano, e o
´ındice j indica a dire¸c˜ao do componente a partir deste plano. Ent˜ao, em cada plano temos
3 dire¸c˜oes, e portanto 3 componentes da tens˜ao. Como exemplo, na figura (4.2) utilizamos
σ
31
para representar o componente da tens˜ao na dire¸c˜ao e
1
, no plano definido pelo versor
normal e
3
.
Supondo que a amostra esteja livre de tens˜oes em sua superf´ıcie, e adotando o mesmo
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 48
sistema de coordenadas utilizado no cap´ıtulo 2, teremos como condi¸c˜oes de contorno que os
seguintes componentes da tens˜ao s˜ao nulos:
σ
zz
|
z=0
= σ
rz
|
z=0
= 0, (4.2)
onde σ
zz
e σ
rz
s˜ao os componentes da tens˜ao perpendiculares a superf´ıcie da amostra. Lem-
bramos que as demais componentes n˜ao s˜ao nulos, pois por exemplo, o componente σ
zr
|
z=0
´e o componente superficial que aponta na dire¸c˜ao r, onde tamb´em h´a amostra, de maneira
que um ponto qualquer n˜ao est´a livre para se movimentar nessa dire¸c˜ao.
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (4.1) pode ser escrita, em coordenadas cil´ındricas, por meio da
introdu¸c˜ao do potencial escalar de deslocamento Ψ e a fun¸c˜ao Love ψ, sendo Ψ dado pela
equa¸c˜ao de Poisson[23]
∇
2
Ψ(r, z, t) = χT (r, z, t) (4.3)
em que χ = α
T
1+ν
1−ν
, e ψ ´e obtido por meio da equa¸c˜ao biharmˆonica[23]
∇
2
∇
2
ψ(r, z, t) = 0 (4.4)
Assim, podemos obter os componentes do deslocamento por meio das rela¸c˜oes
¯u
z
(z, r, t) =
∂Ψ
∂z
(4.5)
¯u
r
(z, r, t) =
∂Ψ
∂r
¯
¯u
z
(z, r, t) =
1
1 − 2ν
2(1 − ν)∇
2
−
∂
∂z
2
ψ (4.6)
¯
¯u
r
(z, r, t) =
1
1 − 2ν
∂
∂r
∂ψ
∂z
sendo o deslocamento total dado por
u(r, z, t) =
¯
u(r, z, t) +
¯
¯
u(r, z, t). (4.7)
Utilizando este m´etodo estamos dividindo o problema (4.1) em outros dois mais simples.
Por isso precisamos reescrever as condi¸c˜oes de contorno (4.2) para obter os componentes ¯σ
e
¯
¯σ, que ficam
σ
zz
|
z=0
= ¯σ
zz
|
z=0
+
¯
¯σ
zz
|
z=0
= 0, (4.8)
σ
rz
|
z=0
= ¯σ
rz
|
z=0
+
¯
¯σ
rz
|
z=0
= 0. (4.9)
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 49
Os componentes da tens˜ao s˜ao obtidos por meio das seguintes express˜oes[23]
¯σ
zz
=
E
1 + ν
∂
2
Ψ
∂
2
z
2
− ∇
2
Ψ
, (4.10)
¯σ
rz
=
E
1 + ν
∂
∂r
∂Ψ
∂z
, (4.11)
¯
¯σ
zz
=
E
(1 + ν)(1 − 2ν)
∂
∂z
(2 − ν)∇
2
ψ −
∂
2
ψ
∂z
2
, (4.12)
¯
¯σ
rz
=
E
(1 + ν)(1 − 2ν)
∂
∂r
(1 − ν)∇
2
ψ −
∂
2
ψ
∂z
2
, (4.13)
em que E ´e o m´odulo de Young
3
. As duas primeiras condi¸c˜oes est˜ao ligadas a equa¸c˜ao de
Poisson e as duas ´ultimas ligadas a equa¸c˜ao biharmˆonica.
As condi¸c˜oes (4.2) dizem que a tens˜ao na superf´ıcie ´e nula, e como dissemos, para se
expandir radialmente um ponto qualquer do material n˜ao est´a livre de tens˜ao, pois nessa
dire¸c˜ao h´a outro ponto. Ocorre ent˜ao que os componentes ¯u
z
e
¯
¯u
z
dominam em rela¸c˜ao as
componentes radiais. Apesar da figura (4.1) ter sido construida manualmente, ela tamb´em
serve para ilustrar esse fato.
4.1.1 Equa¸c˜ao de Poisson
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson (4.3), o potencial escalar de deslocamento, pode ser
escrito como
4
Ψ(r, z, t) = −χ
2
π
∞
0
∞
0
T (α, λ, t)
α
2
+ λ
2
cos(λz)J
0
(αr)αdαdλ, (4.14)
em que T (α, λ, t) ´e a temperatura no espa¸co de Hankel Fourier.
Precisamos definir qual ´e o modelo adequado para descrever o perfil de temperatura,
3
O m´odulo de Young, ou m´odulo de elasticidade, ´e um parˆametro mecˆanico que relaciona a press˜ao
exercida na superf´ıcie do material com sua deforma¸c˜ao. Matematicamente o escrevemos E =
F L
0
A∆L
, sendo
F, A, L
0
e ∆L a for¸ca, ´area, comprimento de repouso, e varia¸c˜ao do comprimento quando a for¸ca ´e aplicada,
respectivamente.
4
Essa solu¸c˜ao ´e obtida aplicando transformadas de Hankel e Fourier em cossenos na equa¸c˜ao (4.3), de
forma semelhante ao que fizemos na se¸c˜ao 2.3 para resolver a equa¸c˜ao de difus˜ao de calor, considerando
a amostra semi-infinita. As integrais que aparecem aqui s˜ao as integrais de invers˜ao de cada uma das
transformadas.
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 50
uma vez que, como fizemos no cap´ıtulo anterior ao tratar da LT, queremos ter convic¸c˜ao da
validade de nossos resultados.
No modelo de LT conclu´ımos que a soluc˜ao (3.3) para o perfil de temperatura ´e muito
conveniente, pois o erro introduzido no c´alculo da fase, e consequentemente na intensidade do
feixe de prova, ´e muito pequeno. Por se tratar de uma express˜ao matematicamente simples,
poder´ıamos pensar em utiliz´a-la tamb´em para a t´ecnica de ET, entretanto, o fato que torna
poss´ıvel utilizar essa aproxima¸c˜ao na LT ´e a express˜ao para o c´alculo da fase, em que temos
a integral sob a espessura da amostra.
No ET o c´alculo da fase ´e completamente diferente do utilizado na lente t´ermica. Como
vimos na introdu¸c˜ao deste trabalho, a fase ´e calculada por meio da express˜ao (1.3). A
t´ecnica trata de monitorar a reflex˜ao do feixe na superf´ıcie, e por isso temos que descrever
precisamente a temperatura nessa regi˜ao. Por este motivo a solu¸c˜ao (3.3) n˜ao ´e interessante
para a t´ecnica de ET.
No cap´ıtulo (2) vimos que a solu¸c˜ao BLM, que considera a amostra semi-infinita, reproduz
com fidelidade o perfil de temperatura, da superf´ıcie at´e cerca de 80% da profundidade da
amostra. Os desvios encontrados entre a solu¸c˜ao BLM e a CJM, na segunda superf´ıcie
da amostra, devem ser irrelevantes para o espelho t´ermico, uma vez que a deforma¸c˜ao na
superf´ıcie est´a fracamente relacionada com a temperatura em regi˜oes distantes dela. Por
isso, a solu¸c˜ao BLM ´e a descri¸c˜ao do perfil de temperatura conveniente para a t´ecnica de
ET. Novamente, ao adotarmos essa solu¸c˜ao podemos utilizar a rela¸c˜ao (2.41) para T (α, λ, t),
que utilizamos para obter a solu¸c˜ao BLM.
Para calcular a componente do deslocamento na dire¸c˜ao z utilizamos a express˜ao (4.5).
Lembrando que
∂
∂z
[cos(λz)] = −λsen(λz),
aplicamos a derivada na equa¸c˜ao (4.3) e assim obtemos
¯u
z
(r, z, t) = χ
2
π
∞
0
∞
0
T (α, λ, t)
α
2
+ λ
2
λsen(λz)J
0
(αr)αdαdλ. (4.15)
Como dissemos no inicio deste cap´ıtulo, no modelo te´orico de ET precisamos de uma
descri¸c˜ao da superf´ıcie da amostra, e por isso estamos interessados no comportamento de
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 51
u(r, 0, t). Na equa¸c˜ao (4.15), o n´ucleo da integral possui um termo sen(λz), de maneira que
em z = 0 esse componente do deslocamento ´e nulo, ou seja, ¯u
z
(r, 0, t) = 0.
Utilizando mais uma vez a defini¸c˜ao do laplaciano em coordenadas cil´ındricas, ∇
2
=
∇
2
r
+
∂
2
∂z
2
, a rela¸c˜ao (4.10) fica
¯σ
zz
=
E
1 + ν
−∇
2
r
Ψ
,
e aplicando-a ao potencial escalar de deslocamento (4.15), obtemos a componente ¯σ
zz
da
tens˜ao
¯σ
zz
= −χ
E
1 + ν
2
π
∞
0
∞
0
T (α, λ, t)
α
2
+ λ
2
cos(λz)J
0
(αr)α
3
dαdλ,
que em z = 0 fica
¯σ
zz
|
z=0
= −χ
E
1 + ν
2
π
∞
0
∞
0
T (α, λ, t)
α
2
+ λ
2
J
0
(αr)α
3
dαdλ. (4.16)
Agora, para calcular o componente ¯σ
rz
da tens˜ao utilizamos a rela¸c˜ao (4.11), com a qual
obtemos
¯σ
rz
= −χ
E
1 + ν
2
π
∞
0
∞
0
T (α, λ, t)
α
2
+ λ
2
λsen(λz)J
1
(αr)α
2
dαdλ,
e que no plano z = 0 fica
¯σ
rz
|
z=0
= 0 (4.17)
Vimos ent˜ao que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson n˜ao contribui para o deslocamento
superficial. Entretanto, por meio da equa¸c˜ao de Poisson obtivemos as condi¸c˜oes (4.16) e
(4.17), que ser´a necess´arias para aplicar as condi¸c˜oes de contorno na pr´oxima se¸c˜ao.
4.1.2 Equa¸c˜ao Biharmˆonica
Voltando a equa¸c˜ao biharmˆonica (4.4), temos que a sua solu¸c˜ao ´e a fun¸c˜ao de “Love”,
que pode ser expressa por[23]
ψ(r, z, t) =
∞
0
(C + αzG)e
−αz
J
0
(αr)dα, (4.18)
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 52
em que C e G s˜ao constantes definidas pelas condi¸c˜oes de contorno da tens˜ao, ou seja, pelas
rela¸c˜oes (4.8) e (4.9). Utilizando-as juntamente com ¯σ
zz
|
z=0
e ¯σ
rz
|
z=0
obtidas na se¸c˜ao
anterior, podemos escrever as condi¸c˜oes de contorno para
¯
¯σ como
¯
¯σ
zz
|
z=0
= χ
E
1 + ν
2
π
∞
0
∞
0
T (α, λ, t)
α
2
+ λ
2
J
0
(αr)α
3
dαdλ, (4.19)
¯
¯σ
rz
|
z=0
= 0. (4.20)
Utilizando as express˜oes (4.12) e (4.13), obtemos
¯
¯σ
zz
=
E
(1 + ν)(1 − 2ν)
∞
0
(C + G + αGz − 2Gν)e
−αz
J
0
(αr)α
3
dα, (4.21)
¯
¯σ
rz
=
E
(1 + ν)(1 − 2ν)
∞
0
(C + αGz − 2Gν)e
−αz
J
1
(αr)α
3
dα.
Aplicando a condi¸c˜ao (4.20) a essa ´ultima equa¸c˜ao, temos
¯
¯σ
rz
|
z=0
=
E
(1 + ν)(1 − 2ν)
∞
0
(C − 2Gν)e
−αz
J
1
(αr)α
3
dα = 0,
de onde obtemos C = 2Gν. Antes de utilizarmos a outra condi¸c˜ao de contorno, substituimos
C → 2Gν na equa¸c˜ao (4.21), que fica
¯
¯σ
zz
=
E
(1 + ν)(1 − 2ν)
∞
0
G(1 + αz)e
−αz
J
0
(αr)α
3
dα.
No plano z = 0, a equa¸c˜ao acima fica
¯
¯σ
zz
|
z=0
=
E
(1 + ν)(1 − 2ν)
∞
0
GJ
0
(αr)α
3
dα, (4.22)
ent˜ao, utilizamos a condi¸c˜ao (4.19) para obter a seguinte express˜ao
1
1 − 2ν
∞
0
GJ
0
(αr)α
3
dα = χ
2
π
∞
0
∞
0
T (α, λ, t)
α
2
+ λ
2
J
0
(αr)α
3
dαdλ,
que podemos simplificar para obter
G = (1 − 2ν)χf(α, t).
onde por conveniˆencia definimos
f(α, t) =
2
π
∞
0
T (α, λ, t)
α
2
+ λ
2
dλ. (4.23)
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 53
Com G escrito nessa maneira, a constante C fica definida por
C = 2ν(1 − 2ν)χf(α, t),
Substituindo essas constantes na fun¸c˜ao de “Love”, obtemos
ψ(r, z, t) = χ
∞
0
(1 − 2ν)(zα + 2ν)f(α, t)e
−αz
J
0
(αr)dα, (4.24)
Para determinar f(α, t), utilizaremos a express˜ao (2.41), na qual ainda n˜ao definimos
o termo de fonte Q(r, z). Na solu¸c˜ao de equa¸c˜ao de difus˜ao com aproxima¸c˜ao de amostra
semi-infinita, foram considerados trˆes poss´ıveis casos para a dependˆencia da fonte com o eixo
“z”
Q(z) =
1 , LAM
e
−A
e
z
, BAM
2
A
e
δ(z) , HAM
(4.25)
e via rela¸c˜ao (2.39), podemos obter as transformadas de Fourier em cossenos das equa¸c˜oes
acima
Q(λ) =
√
2πδ(λ) , LAM
2
π
A
e
A
2
e
+λ
2
, BAM
2
A
e
1
√
2π
. HAM
(4.26)
Com isso, por meio da rela¸c˜ao (2.38) determinamos Q(α, λ) para cada um dos trˆes casos.
No limite de baixa absor¸c˜ao (LAM), a equa¸c˜ao (4.23) fica
f
LAM
(α, t) =
t
0
Q
0
ω
2
0e
4α
2
e
−
ω
2
0e
α
2
8
e
−
α
2
τω
2
0e
4t
c
dτ, (4.27)
No caso mais geral, descrito pela lei de Beer, ficamos com
f
BLM
(α, t) =
t
0
Q
0
ω
2
0e
4
e
−
ω
2
0e
α
2
8
(α
2
− A
2
e
)
e
τω
2
0e
(A
2
e
−α
2
)
4t
c
Erfc
A
e
ω
0e
2
t
c
/τ
−
A
e
α
Erfc
αω
0e
2
tc/τ
dτ,
(4.28)
e no limite de alta absor¸c˜ao (HAM) temos
f
HAM
(α, t) =
t
0
Q
0
ω
2
0e
4α
2
A
e
e
−
ω
2
0e
α
2
,
8
Erfc
αω
0e
√
τ
w
√
t
c
dτ. (4.29)
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 54
O componente
¯
¯u
z
do deslocamento ´e obtido por meio da rela¸c˜ao (4.6), com a qual obtemos
¯
¯u
z
(r, z, t) = −χ
∞
0
α
2
(2 + zα − 2ν)f(α, t)e
−zα
J
0
(rα)dα, (4.30)
e que, como podemos ver, n˜ao ´e nula na superf´ıcie como a componente ¯u
z
, de forma que a
express˜ao (4.30) ´e a descri¸c˜ao do deslocamento superficial da amostra que procuravamos.
Alguns autores[13, 14] que trabalharam com t´ecnicas baseadas na reflex˜ao superficial da
luz, consideraram que o perfil de intensidade gaussiano do laser induzia um deslocamento da
superf´ıcie com perfil tamb´em gaussiano. Outros utilizaram esse tipo de aproxima¸c˜ao, mas j´a
sugeriram que o perfil de deslocamento n˜ao deveria ter essa forma[15]. Na figura (4.3) temos
o perfil de temperatura e a deforma¸c˜ao superficial induzida por ele.
Figura 4.3: Perfil de temperatura (linhas continuas) e deforma¸c˜ao superficial (circunferˆencias)[17].
Essa figura mostra que o perfil de deslocamento n˜ao acompanha diretamente a temper-
atura, e tamb´em que tanto a temperatura quanto o deslocamento da superf´ıcie n˜ao seguem
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 55
uma distribui¸c˜ao gaussiana. J´a poder´ıamos esperar que o perfil de deslocamento fosse difer-
ente do perfil de temperatura, pois o deslocamento de um ponto n˜ao depende apenas da
temperatura desse ponto.
Nas figuras (4.4) e (4.5) temos um exemplo do comportamento do perfil de deslocamento
em fun¸c˜ao do tempo e da profundidade, respectivamente.
Figura 4.4: Evolu¸c˜ao temporal do perfil de deslocamento da superf´ıcie da amostra[12]. Nesta
simula¸c˜ao foram utilizados os parˆametros de um vidro LSCAS dopado com 3,5% de T iO
2
[12]:
A
e
= 1061m
−1
, D = 6 × 10
−7
m
2
/s, k = 1, 5W/mK, α
T
= 7, 7, ν = 0, 29, φ = 0, 72, e os
parˆametros para o laser foram P
e
= 20mW , λ
e
= 514nm e ω
0e
= 44µm (t
c
= 0, 81ms).
Nas pr´oximas se¸c˜oes deste trabalho, veremos que ´e poss´ıvel obter bons dados experimen-
tais de ET a partir de um vidro. Com o ajuste da curva experimental pelo modelo te´orico
´e poss´ıvel determinar o deslocamento da superf´ıcie da amostra, que como vimos nas figuras
acima, ´e da ordem de nanometros. Em outras palavras, a t´ecnica de ET ´e capaz de detectar
deforma¸c˜oes nessa escala[17]. Lembramos mais uma vez que, apesar de estarmos usando um
vidro como exemplo, a t´ecnica de ET n˜ao ´e restrita somente aplica¸c˜oes nesses materiais.
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 56
Figura 4.5: Perfil de deslocamento da amostra, em fun¸c˜ao da profundidade[12]. Foram utilizados
os mesmos parˆametros da figura (4.4).
4.2 Fase e intensidade do feixe de prova
Como dissemos na se¸c˜ao 1.3, a varia¸c˜ao da fase do feixe de prova no ET pode ser obtida
por meio da express˜ao (1.3)
Φ(r, t) =
2π
λ
p
2u
z
(r, 0, t).
Alternativamente, a fase pode ser obtida por meio da express˜ao
Φ(r, t) =
2π
λ
p
2 [u
z
(r, 0, t) − u
z
(0, 0, t)] , (4.31)
sendo que a varia¸c˜ao da fase cont´ınua sendo a mesma. Na defini¸c˜ao (1.3) a diferen¸ca de fase
´e relativa a superf´ıcie da amostra antes do efeito, u
z
(0, 0, 0). J´a na defini¸c˜ao (4.31), ela ´e
relativa ao pico da deforma¸c˜ao, que ´e u
z
(0, 0, t).
Assim como no modelo de lente t´ermica, neste modelo assumimos que a energia absorvida
do feixe de prova ´e insignificante, se comparada a aquela absorvida do feixe de excita¸c˜ao.
N˜ao ´e dif´ıcil criar essa situa¸c˜ao em laborat´orio, uma vez que o feixe de prova possui uma
potˆencia da ordem de 1 miliwats, e o feixe de excita¸c˜ao pode possuir potˆencias bem maiores
do que essa. E ainda, geralmente os comprimentos de onda dos feixes de excita¸c˜ao e prova
s˜ao bem diferentes
5
, sendo comum que o coeficiente de absor¸c˜ao ´optica seja muito maior no
5
Em situa¸c˜oes cotidianas, excitamos com um laser verde de comprimento de onda na faixa de 500-540
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 57
comprimento de onda da excita¸c˜ao. Al´em disso, o raio do feixe de prova ´e maior que o raio
do feixe de excita¸c˜ao. Muito cuidado deve ser tomado quando a situa¸c˜ao for oposta a essa,
ou seja, quando a absor¸c˜ao for mais intensa no comprimento de onda do feixe de prova.
Usando a teoria de difra¸c˜ao de Fresnel, podemos obter a amplitude complexa do feixe de
prova no plano do fotodetector (Ver apˆendice B). Neste modelo utilizamos apenas o ponto
central do feixe de prova, assim podemos escrever a amplitude, em coordenadas cil´ındricas,
como
U(Z
1
+ Z
2
, t) = C
1
∞
0
e
(iV −1)g−iΦ(g,t)
dg, (4.32)
em que, C
1
= B
iπω
2
1p
/(λ
p
Z
2
)
e
−2iπZ
2
/λ
p
, e V ´e dado pela express˜ao (B.6), j´a utilizada no
modelo de lente t´ermica. Note que “Z
2
” ´e a distˆancia entre a amostra e o fotodetector, que
n˜ao ´e a mesma distˆancia nas duas t´ecnicas, pois os feixes transmitidos e refletidos percorrem
caminhos diferentes.
A fase que consta na equa¸c˜ao (4.32) ´e obtida por meio das express˜oes (4.30) e (1.3).
Utilizando f(α, t) dado por (4.27), obtemos a fase no limite de baixa absor¸c˜ao
Φ
LAM
(g, t) = θ
ET
√
2πω
0e
e
−gm
1+2t/t
c
(1 + 2t/t
c
)
1/2
1 + 2gm +
2t
t
c
I
0
gm
1 + 2t/t
c
+ 2gmI
1
gm
1 + 2t/t
c
− e
gm
[(1 + 2gm)I
0
(gm) + 2gmI
1
(gm)]
, (4.33)
considerando a lei de Beer, utilizamos a equa¸c˜ao (4.28) e obtemos a seguinte express˜ao para
a fase
Φ
BLM
(g, t) =
θ
ET
t
c
∞
0
α
2
e
−
−α
2
ω
2
0e
8
f(α, t)J
0
(
√
mgω
0e
α)dα, (4.34)
onde f(α, t) ´e dado por
f(α, t) =
2
√
t
c
tA
e
ω
0e
e
−
α
2
ω
2
0e
t
4t
c
√
π(α
4
− α
2
A
2
e
) −
tA
e
ω
2
0e
Erfc
√
tαω
0e
2
√
t
c
α
3
− αA
2
e
+
2t
c
α
3
(α
2
− A
2
e
)
2
(A
3
e
− 3α
2
A
e
)Erfc
√
tαω
0e
2
√
t
c
+ 2 α
3
1 − e
(A
2
e
−α
2
)ω
2
0e
4t
c
/t
Erfc
√
tA
e
ω
0e
2
√
t
c
, (4.35)
nm, e provamos com um laser vermelho (He-Ne) de comprimento de onda 632.8 nm
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 58
e finalmente, considerando o limite de alta absor¸c˜ao temos a seguinte express˜ao
Φ
HAM
(g, t) =
θ
ET
t
c
A
e
∞
0
α
2
e
−
−α
2
ω
2
0e
8
h(α, t)J
0
(
√
mgω
0e
α)dα, (4.36)
onde h(α, t) ´e dada por
h(α, t) =
tω
2
0e
α
Erfc
√
tαω
0e
w
√
t
c
−
2
√
tt
c
ω
0e
e
−
tα
2
ω
2
0e
4t
c
α
2
√
π
+
2t
c
α
3
Erfc
√
tαω
0e
2
√
t
c
(4.37)
Nessas express˜oes introduzimos as seguintes defini¸c˜oes: g = (r/ω
1p
)
2
, m = (ω
1p
/ω
0e
)
2
e θ
ET
,
um dos parˆametros de ajuste do ET, definido como
θ
ET
=
P
e
A
e
α
T
(1 + ν)
λ
p
k
φ, (4.38)
Para calcular a intensidade do centro do feixe de prova, na posi¸c˜ao do fotodetector,
tomamos o m´odulo ao quadrado da amplitude
I(t) = |U(Z
1
+ Z
2
, t)|
2
ent˜ao, por exemplo, para a solu¸c˜ao BLM tomamos a express˜ao para a fase (4.34), sub-
stituimos em (4.32), que por sua vez utilizamos na equa¸c˜ao acima, obtendo a intensidade
em fun¸c˜ao do tempo. Para os limites de baixa e alta absor¸c˜ao ´optica o procedimento ´e
exatamente o mesmo, apenas trocamos a express˜ao da fase.
Note que as express˜oes para a intensidade s˜ao muito complexas, mesmo quando utilizamos
os modelos LAM ou HAM. A express˜ao mais simples (LAM), possui uma integral de uma
exponencial da express˜ao (4.33), que s´o conseguimos calcular numericamente. As express˜oes
para a intensidade dos modelos BLM e HAM j´a possuem integrais na express˜ao para a fase,
que tamb´em s´o conseguimos calcular numericamente
6
.
Na figura (4.6) temos alguns exemplos de transientes de ET, considerando alguns valores
de t
c
e de θ
ET
. Notamos assim que t
c
est´a relacionado com a inclina¸c˜ao da curva de intensi-
6
O modelo te´orico de ET pode parecer n˜ao muito conveniente, pois ajustar dados experimentais com
uma fun¸c˜ao desse tipo, que depende de duas integrais num´ericas, pode ser um grande problema. Ocorre que
para fazer os ajustes utilizamos o software Mathematica, onde as integrais s˜ao calculadas numericamente,
mas as tratamos como se fossem fun¸c˜oes comuns. Utilizando o Mathematica 7.0.1, um ajuste com o LAM
leva cerca de 1 minuto, enquanto o ajuste dos mesmos dados com o BAM leva cerca de 10 minutos. Para
fins comparativos, lembramos que um ajuste de LT leva apenas um d´ecimo de segundo.
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 59
Figura 4.6: Sinal de ET normalizado obtido com o modelo BLM[12], variando t
c
(a) e θ
ET
(b). Os
parˆametros utilizados correspondem a uma configura¸c˜ao experimental j´a utilizada.
dade, enquanto θ
ET
´e mais diretamente relacionado com o comportamento da fase quando
ela atinge o regime estacion´ario.
4.3 Compara¸c˜oes entre os modelos LAM, BLM e HAM
Nesta se¸c˜ao temos por objetivo verificar quando os limites de baixa e alta absor¸c˜ao
´optica valem. No ET a fase ´e diretamente proporcional ao deslocamento da superf´ıcie, e
esse deslocamento por sua vez depende da temperatura. Assim, olhando apenas para a
temperatura, ´e imposs´ıvel ter um panorama claro de quando os limites de baixa e alta
absor¸c˜ao valem. Poder´ıamos come¸car a discutir esses limites atrav´es do c´alculo da fase,
entretanto, pensamos ser mais conveniente realizarmos um procedimento diferente.
Vamos simular uma curva experimental, de intensidade em fun¸c˜ao do tempo, com o
modelo BLM, e em seguida vamos ajustar esses dados com o LAM e HAM, comparando
assim as diferen¸cas entre os valores de θ
ET
e t
c
que fixamos no BLM, com aqueles que
obtivemos do ajuste.
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 60
Para gerar os dados com o BLM, fixamos os seguintes parˆametros: m = 42, V = 1, 1,
ω
0e
= 44 × 10
−6
m
−1
, θ
ET
= −10W
−1
m
−1
e t
c
= 0, 8ms, que foram escolhidos assim porque
s˜ao parˆametros j´a utilizados na pr´atica, t´ıpicos de um experimento real de ET. Ajustamos
estes dados com o LAM, e na figura (4.7) temos os desvios percentuais obtidos para cada
um dos parˆametros de ajuste.
Figura 4.7: Erro percentual introduzido nos parˆametros ao utilizar o modelo LAM, em fun¸c˜ao do
coeficiente de absor¸c˜ao ´optica.
Por meio dessa figura vemos que o erro cresce linearmente com o coeficiente de absor¸c˜ao,
sendo que θ
ET
´e um pouco mais prejudicado do que t
c
. Na figura (4.8) temos um gr´afico
dos ajustes, por meio da qual notamos que at´e mesmo para a absor¸c˜ao ´optica mais intensa,
onde sabemos que h´a um erro grande nos parˆametros, o ajuste fica visualmente muito bom.
Ent˜ao, quando estamos trabalhando com materiais com coeficiente de absor¸c˜ao da ordem
de A
e
≈ 200m
−1
, devemos saber que ao usarmos o LAM para ajustar os dados estamos
introduzindo um erro da ordem de 5% nos parˆametros, pelo menos, mesmo que visualmente o
ajuste esteja muito bom. Esse erro cresce de forma aproximadamente linear com o coeficiente
de absor¸c˜ao ´optica.
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 61
Figura 4.8: Ajuste com o LAM dos dados gerados com o BLM
Agora vamos comparar os modelos BLM e HAM. Para gerar os dados com o BLM
fixamos os seguintes parˆametros: m = 28, 66, V = 4, 24, ω
0e
= 57, 23 × 10
−6
m
−1
, θ
ET
=
−2, 531 ×10
6
W
−1
m
−1
e t
c
= 0, 324ms, que foram utilizados/obtidos em um experimento de
ET realizado com um metal. Os dados foram ajustados com o HAM, e na figura (4.9) temos
os desvios percentuais obtidos nos parˆametros de ajuste.
Figura 4.9: Erro percentual introduzido nos parˆametros ao utilizar o modelo HAM, em fun¸c˜ao do
coeficiente de absor¸c˜ao ´optica.
CAP
´
ITULO 4. MODELO TE
´
ORICO PARA O ESPELHO T
´
ERMICO 62
O coeficiente de absor¸c˜ao da amostra corresponde ao maior valor contido no gr´afico,
A
e
= 7, 86×10
7
m
−1
. Nos outros pontos fixamos uma coeficiente de absor¸c˜ao menor, geramos
os pontos com o BLM e novamente ajustamos os dados com o HAM. Assim constatamos
que, para um coeficiente de absor¸c˜ao de A
e
= 7, 86 ×10
4
m
−1
, o erro obtido no ajuste com o
HAM ´e da ordem de 2% em cada um dos parˆametros.
Assim, vemos que o LAM introduz um erro de no m´aximo 5%, para materiais com
coeficiente de absor¸c˜ao ´optica inferior a A
e
= 200m
−1
. No outro extremo, o HAM introduz
um erro de aproximadamente 2% para coeficiente de absor¸c˜ao ´optica da ordem de A
e
≈
10
5
m
−1
. Por isso, quando tratarmos de materiais com coeficiente de absor¸c˜ao ´optica entre
200m
−1
< A
e
< 10
5
m
−1
, precisaremos utilizar a solu¸c˜ao BLM.
Cap´ıtulo 5
Ajustes e a sensibilidade com os
parˆametros
Neste cap´ıtulo pretendemos demonstrar como funciona o processo de ajuste, em ambas
as t´ecnicas de LT e ET. Paralelamente, queremos analizar a sensibilidade das t´ecnicas com os
parˆametros constantes nos modelos: m, V , ω
0e
, que s˜ao parˆametros puramente geom´etricos;
Faremos isso a partir de uma curva experimental, que vamos ajustar com os parˆametros
corretamente definidos. Em seguida, intencionalmente vamos fixar algum destes parˆametros
com um erro, e repetindo o ajuste pretendemos verificar o quanto isso prejudica os valores
de θ e t
c
, nas duas t´ecnicas.
Os dados experimentais que vamos analizar foram obtidos de uma amostra de vidro
aluminato de c´alcio com baixa concentra¸c˜ao de s´ılica (LSCAS), dopado com 2% de Neod´ımio.
Vamos come¸car analizando os dados de LT.
5.1 Lente t´ermica
Na figura (5.1) temos uma imagem do arranjo experimental utilizado no experimento de
LT, no qual utilizamos um laser de Argˆonio para excitar a amostra, com um comprimento de
onda λ
e
= 514nm, e um laser de He-Ne foi utilizado como feixe de prova, com o comprimento
de onda λ
p
= 632.8nm.
63
CAP
´
ITULO 5. AJUSTES E A SENSIBILIDADE COM OS PAR
ˆ
AMETROS 64
No modelo te´orico de LT, foi calculada a intensidade do centro do feixe no plano do
fotodetector utilizando a teoria de difra¸c˜ao de Fresnel, e por isso utilizamos v´arios espelhos
para produzir um caminho suficientemente longo da amostra at´e ele. A divergˆencia do feixe
tamb´em facilita a maneira de encontrarmos o centro do feixe, que ´e a regi˜ao onde o sinal no
fotodetector ´e m´aximo.
Figura 5.1: Arranjo experimental do experimento de lente t´ermica
Os parˆametros geom´etricos do experimento realizado foram: m = 22, 99, ω
0e
= 49, 86 ×
10
−6
m e V = 0, 7, sendo a espessura da amostra L = 1, 56mm.
Na figura (5.2) temos uma curva experimental de LT, que ajustamos com o modelo
original (3.2) e com a equa¸c˜ao (3.4), em que introduzimos a corre¸c˜ao para alta absor¸c˜ao.
Fica claro que apenas o valor de θ
LT
´e alterado pela corre¸c˜ao, o que faz sentindo uma vez
que tc n˜ao est´a relacionado com a absor¸c˜ao, mas sim com a difusividade t´ermica.
De qualquer maneira, vemos que para uma absor¸c˜ao da ordem de A
e
= 0.8cm
−1
, a
corre¸c˜ao aumenta o valor de θ
LT
em cerca de 6%. Para um ajuste realizado com o modelo
de LT original (3.2), podemos obter o valor correto de θ
LT
multiplicando-o por
1
A
e
L
(1−e
−A
e
L
)
.
Agora testaremos a sensibilidade do modelo a varia¸c˜oes dos parˆametros geom´etricos (m
1
Alguns autores[30, 31, 32] j´a utilizaram essa corre¸c˜ao, mas sem a interpreta¸c˜ao que introduzimos aqui.
CAP
´
ITULO 5. AJUSTES E A SENSIBILIDADE COM OS PAR
ˆ
AMETROS 65
Figura 5.2: Ajuste de Lente T´ermica com o modelo original e com a corre¸c˜ao para alta absor¸c˜ao.
Amostra de vidro LSCAS dopado com 2% de Nd, L = 1.56mm e A
e
= 0.8cm
−1
e V). Para isso utilizaremos a seguinte express˜ao
δP (%) = 100
P
a
− P
c
P
c
,
em que P representa θ
LT
ou t
c
, e os ´ındices “c” e “a” indicam o valor correto e o obtido com
o ajuste. Os valores corretos s˜ao aqueles constantes na figura (5.2), e P
a
´e o valor obtido do
novo ajuste, em que fixamos algum dos parˆametros geom´etricos com um erro.
Nas tabelas (5.1) e (5.2) temos as varia¸c˜oes percentuais no resultado do ajuste, ou seja,
nos valores de θ
LT
e t
c
. A partir da primeira tabela vemos que θ
LT
´e pouco sens´ıvel a
varia¸c˜ao de m, enquanto t
c
responde com um erro da ordem do erro que introduzimos. Errar
no parˆametro “V” introduz um erro significativo em ambos os parˆametros de ajuste, sendo
que θ
LT
´e mais sens´ıvel a varia¸c˜oes desse parˆametro do que t
c
.
Para compreender o racioc´ınio que desenvolvemos a seguir, precisamos lembrar das
seguintes defini¸c˜oes
m =
ω
0p
ω
0e
2
,
D =
ω
2
0e
4t
c
.
CAP
´
ITULO 5. AJUSTES E A SENSIBILIDADE COM OS PAR
ˆ
AMETROS 66
Varia¸c˜ao de m(%) δθ
LT
(%) δtc(%)
-10 -0.28 10.84
-5 -0.13 5.14
5 0.12 -4.66
10 0.23 -8.90
Tabela 5.1: LT: Varia¸c˜ao percentual dos val-
ores de θ e t
c
, em fun¸c˜ao do erro introduzido
em m.
Varia¸c˜ao de V(%) δθ
LT
(%) δtc(%)
-10 -8.8 -3.3
-5 -4.2 -1.7
5 3.7 1.7
10 7.1 3.51
Tabela 5.2: LT: Varia¸c˜ao percentual dos val-
ores de θ e t
c
, em fun¸c˜ao do erro introduzido
em V.
Suponha que erramos no valor de ω
0e
em +5%. Na difusividade t´ermica, que ´e propor-
cional ao quadrado de ω
0e
, estaremos introduzindo um erro da ordem de +10%. Como m
depende do inverso do quadrado de ω
0e
, neste parˆametro estaremos errando em cerca de
−10%. Como podemos ver na primeira linha da tabela 5.1, o erro de −10% em m introduz
um erro de aproximadamente 10% em tc, de forma que na express˜ao da difusividade t´ermica
teriamos
D =
ω
2
0e
× 1.1
4t
c
× 1.1
=
ω
2
0e
4t
c
,
ou seja, o valor da difusividade t´ermica permanece aproximadamente o mesmo.
Resumindo, ao calcular o valor da difusividade t´ermica, os desvios nos parˆametros m e
t
c
podem se compensar de maneira que o valor correto ainda pode ser obtido. Portanto, a
obten¸c˜ao do correto valor da difusividade t´ermica em um experimento, por si s´o, n˜ao significa
que o experimento foi bem executado.
5.2 Espelho t´ermico
Na figura (5.3) temos um exemplo da montagem experimental de ET, a qual juntamente
com a figura (5.1) demonstra as semelhan¸cas entre as t´ecnicas de LT e ET. Na figura (5.4)
temos um exemplo de ajuste de TM.
Analogamente ao que fizemos para a LT, aqui geramos dados de ET com o LAM
2
, e em
2
O modelo de baixa absor¸c˜ao foi utilizado por simplicidade, j´a que com ele gerar e ajustar os dados
CAP
´
ITULO 5. AJUSTES E A SENSIBILIDADE COM OS PAR
ˆ
AMETROS 67
Figura 5.3: Arranjo experimental do experimento de espelho t´ermico
Figura 5.4: Ajuste de espelho t´ermico utilizando o LAM. Amostra de vidro LSCAS dopado com
2% de Nd, L = 1, 56mm e A
e
= 0, 8cm
−1
seguinda ajustamos estes dados fixando um erro em m ou V . Comparando os resultados
do ajuste com os valores corretos de θ
ET
e t
c
, que utilizamos para gerar os dados, podemos
´e muito mais r´apido, entretanto, a sensibilidade dos modelos BLM e HAM com os parˆametros deve ser
exatamente a mesma.
CAP
´
ITULO 5. AJUSTES E A SENSIBILIDADE COM OS PAR
ˆ
AMETROS 68
estimar qual o erro introduzido no experimento.
Nas tabelas (5.3) e (5.4) temos o erro percentual obtido para cada parˆametro, em fun¸c˜ao
do erro introduzido em m e V , respectivamente.
Varia¸c˜ao de m(%) δθ
ET
(%) δtc(%)
-10 5.57 10.83
-5 2.67 5.13
5 -2.47 -4.66
10 -4.77 -8.90
Tabela 5.3: TM: Varia¸c˜ao percentual dos
valores de θ
ET
e t
c
, em fun¸c˜ao do erro intro-
duzido em m.
Varia¸c˜ao de V(%) δθ
ET
(%) δtc(%)
-10 6.19 -3.92
-5 2.91 -1.97
5 -2.58 2.00
10 -4.89 4.05
Tabela 5.4: TM: Varia¸c˜ao percentual dos
valores de θ
ET
e t
c
, em fun¸c˜ao do erro intro-
duzido em V.
A partir desses resultados notamos que t
c
´e igualmente sens´ıvel ao erro nas vari´aveis m
e V , em ambas as t´ecnicas, entretanto, o mesmo n˜ao ocorre com θ
LT
e θ
ET
. Claro que os
dois seguem defini¸c˜oes distintas, ao contr´ario de t
c
que ´e o mesmo em ambas as t´ecnicas.
De qualquer maneira, os dados constantes na tabela (5.1) nos sugerem que o erro em θ
LT
´e
pequeno mesmo quando o erro em m ´e de 10%. J´a no ET, a tabela (5.3) deixa claro que o
erro em m provoca um erro significativo em θ
ET
.
Com os testes que realizamos neste cap´ıtulo, fica claro que as t´ecnicas de LT e ET possuem
grande potencial para a caracteriza¸c˜ao de materiais. Podemos estudar desde l´ıquidos (com a
LT) at´e metais (com o ET). Entretanto, ambas as t´ecnicas s˜ao sofisticadas, exigindo muito
cuidado na obten¸c˜ao de cada parˆametro necess´ario para executar um experimento.
Os erros provocados por varia¸c˜oes dos parˆametros geom´etricos, como m e V , introduzem
erros sistem´aticos no experimento. Vimos tamb´em que obter um valor correto para a difu-
sividade, por exemplo, n˜ao significa que o experimento foi bem realizado. Mesmo que um
experimento seja realizado diversas vezes, e que em todas seja obtido o mesmo valor para
a difusividade t´ermica, pode ser que todos eles estejam errados. E ainda, se os valores es-
tiverem corretos, ainda ´e poss´ıvel que exista um erro sistem´atico no segundo parˆametro de
ajuste.
Cap´ıtulo 6
Conclus˜ao
Neste trabalho apresentamos uma an´alise te´orica das t´ecnicas de espelho t´ermico e lente
t´ermica. Constatamos que as aproxima¸c˜oes empregadas na constru¸c˜ao dos modelos te´oricos
de ambas as t´ecnicas s˜ao consistentes, principalmente com respeito a descri¸c˜ao do aqueci-
mento da amostra induzido pelo laser de excita¸c˜ao.
Tratando de amostras s´olidas, com parˆametros caracter´ısticos de vidros, a aproxima¸c˜ao
de fluxos nulo entre a amostra e o ar introduz um erro insignificante em ambas as t´ecnicas.
J´a a aproxima¸c˜ao de amostra semi-infinita demonstrou ser consistente apenas para a t´ecnica
de espelho t´ermico.
Por outro lado, na lente t´ermica constatamos que uma aproxima¸c˜ao simples ´e capaz de
generalizar o modelo desenvolvido por Shen e colaboradores, tornando poss´ıvel utilizar a
t´ecnica em uma faixa ainda mais ampla de materiais, pois com ela diminuimos as restri¸c˜oes
te´oricas quanto ao coeficiente de absor¸c˜ao ´optica da amostra estudada. Deste modo contin-
uamos com uma equa¸c˜ao razoavelmente simples para o ajuste dos dados experimentais, mas
agora com mais liberdade em aplicar a t´ecnica.
No espelho t´ermico descrevemos todo o desenvolvimento matem´atico necess´ario, o que
inclui obter a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao termoel´astica. Essa solu¸c˜ao ´e basicamente uma de-
scri¸c˜ao topogr´afica da amostra, em fun¸c˜ao do tempo, quando sua superf´ıcie ´e atingida por um
feixe gaussiano. Verificamos assim que a t´ecnica ´e muito sens´ıvel, sendo que deslocamentos
superficiais da ordem de nanometros s˜ao detect´aveis.
69
CAP
´
ITULO 6. CONCLUS
˜
AO 70
Mostramos tamb´em exemplos de ajustes experimentais com ambas as t´ecnicas, e al-
terando os valores dos parˆametros geom´etricos verificamos o quanto as t´ecnicas s˜ao sens´ıveis
a erros que podem ocorrer em um experimento.
Para o futuro, h´a trabalhos a serem desenvolvidos com ambas as t´ecnicas. Uma an´alise
do comportamento do modelo te´orico para parˆametros mais gerais pode ser desenvolvida, de
maneira semelhante a que fizemos neste trabalho para os vidros.
Uma outra vertente que desperta interesse ´e a possibilidade de aplicar a t´ecnica de espelho
t´ermico no estudo de filmes finos. Para isso um novo desenvolvimento te´orico precisa ser
feito, levando em conta as dimens˜oes e condi¸c˜oes de contorno da amostra.
Apˆendice A
Amplificadores de ondas
eletromagn´eticas
Por volta da d´ecada de 50, havia muitos laborat´orios apontando radiotelesc´opios para
gal´axias distantes, em busca de algum tipo de informa¸c˜ao sobre o tamanho e a geometria
do universo. O sinal captado pelos telesc´opios era muito fraco e por isso era necess´ario
amplific´a-lo.
Os melhores amplificadores utilizados nessa ´epoca usavam tubos, nos quais se obtinha
um semi vac´uo. Neles el´etrons s˜ao emitidos por um c´atodo e direcionados para bombardear
uma chapa met´alica, de maneira que o sinal a ser amplificado modula esse fluxo de el´etrons.
Por exemplo, se o potencial de entrada aumenta, ele aumenta o potencial que acelera os
el´etrons na dire¸c˜ao da chapa. Por sua vez, a maior energia dos el´etrons aumenta o potencial
na chapa met´alica.
O problema ´e que h´a flutua¸c˜oes naturais na energia dos el´etrons emitidos pelo c´atodo,
que inevitavelmente se misturam ao sinal de entrada. Em determinadas situa¸c˜oes, como no
caso de microondas emitidas de uma gal´axia distante captadas por um radiotelesc´opio, o
sinal de entrada ´e t˜ao fraco que na saida do amplificador n˜ao distinguimos o sinal de entrada
do ru´ıdo.
Nesse contexto surgiu o maser (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Ra-
diation), um amplificador de ondas eletromagn´eticas que praticamente n˜ao produz ru´ıdo.
71
AP
ˆ
ENDICE A. AMPLIFICADORES DE ONDAS ELETROMAGN
´
ETICAS 72
Com isso, tornou-se poss´ıvel explorar regi˜oes mais distantes do espa¸co com os mesmos ra-
diotelescopios, uma vez que com o maser podia-se amplificar muito sem introduzir todo o
ru´ıdo dos amplificadores convencionais.
O objetivo deste cap´ıtulo ´e descrever, de maneira conceitual, o que s˜ao e como funcionam
os masers. Para isso vamos revisar alguns conceitos b´asicos da mecˆanica quˆantica, usando-os
para explicar o funcionamento do maser. Isso nos conduzir´a a uma discuss˜ao sobre o que ´e
e como funciona um laser, um dos dispositivos que causaram maior impacto na sociedade
no ´ultimo s´eculo e que s˜ao de extrema importˆancia na implementa¸c˜ao das t´ecnicas de LT e
ET, assim como em diversas outras t´ecnicas espectrosc´opicas.
A.1 Masers
Observa¸c˜ao: o conte´udo desta se¸c˜ao basea-se em textos de James P. Gordon[24], Charles H.
Townes[25], Arthur L. Schawlow[26] e Richard Feynman[28].
Na mecˆanica quˆantica, a maior parte do tempo ´atomos e mol´eculas encontram-se em
um estado est´avel (estado fundamental), no qual a part´ıcula pode se manter por um tempo
infinito sem perder energia. Existem diversos estados poss´ıveis para cada sistema, cada um
correspondendo a um n´ıvel de energia bem definido.
A radia¸c˜ao, por outro lado, consiste de part´ıculas (f´otons) transportadas por uma esp´ecie
de onda. A frequˆencia dessa onda ´e a medida da energia do f´oton, de acordo com a equa¸c˜ao
de Max Plank E = hf. Uma part´ıcula de radia¸c˜ao ´e produzida quando um el´etron decai
de um estado de maior energia para outro de menor energia, sendo que a energia desse
f´oton emitido ´e exatamente igual a diferen¸ca de energia entre esses estados. O inverso
tamb´em pode ocorrer. Um el´etron pode saltar de um n´ıvel menos energ´etico para outro
mais energ´etico, assim ele absorve uma quantidade de energia, ou seja, um f´oton com a
frequˆencia determinada pela quantidade de energia absorvida e a equa¸c˜ao de Plank.
Trˆes coisas podem ocorrer quando radia¸c˜ao passa atrav´es de um conjunto de ´atomos. Se
AP
ˆ
ENDICE A. AMPLIFICADORES DE ONDAS ELETROMAGN
´
ETICAS 73
a energia do f´oton n˜ao ´e igual a diferen¸ca de energia entre um par de n´ıveis dos ´atomos, n˜ao
h´a intera¸c˜ao. Se as energias s˜ao iguais, e o f´oton colide com um ´atomo no menor dos dois
n´ıveis, a radia¸c˜ao ser´a absorvida e o ´atomo vai para um estado excitado. Se no momento da
colis˜ao o ´atomo se encontrar no estado excitado, ele decair´a para o estado de menor energia,
emitindo um novo f´oton.
Em qualquer conjunto de ´atomos haver´a transi¸c˜oes entre n´ıveis de energia baixa e alta,
nos dois sentidos, todo o tempo. Os ´atomos s˜ao impulsionados aos n´ıveis de maior energia por
colis˜oes, e decaem aos n´ıveis mais baixos pela tendˆencia da natureza de evoluir para sistemas
energ´eticamente mais baixos. Sobre condi¸c˜oes normais, os estados de menor energia est˜ao
mais densamente oculpados do que aqueles de alta energia. Ent˜ao, sob essas condi¸c˜oes usuais,
se um feixe de f´otons incide sobre um material o feixe que sai ´e mais fraco que o feixe que
entrou. Por conveniˆencia, daqui em diante vamos chamar de ´atomo emissor (absorvedor)
aquele que est´a no mais alto (baixo) dos dois estados.
Agora suponha que seja poss´ıvel alterar a distribui¸c˜ao de el´etrons nos n´ıveis de energia,
de maneira que existam mais ´atomos emissores. Assim um feixe de f´otons com a frequˆencia
adequada produzira mais saltos para o n´ıvel mais baixo do que para o mais alto. Ou seja, o
feixe de f´otons ser´a amplificado, sem gerar ru´ıdo, pois apenas aquela determinada frequˆencia
´e amplificada. E isso ´e o que acontece em um maser.
A mol´ecula de amˆonia (NH
3
) possui uma particularidade importante, que foi utilizada
para produzir os primeiros masers. Nela temos trˆes hidrˆogenios formando um triˆangulo e,
de um dos lados do triˆangulo temos um nitrogˆenio. Na figura (A.1) temos um esbo¸co dessa
geometria.
Como qualquer outra mol´ecula, a amˆonia possui um n´umero infinito de estados quˆanticos
poss´ıveis. Por´em, vamos considerar aqui que a mol´ecula est´a girando em torno de seu eixo de
simetria, que n˜ao h´a transla¸c˜ao e que ela vibra t˜ao pouco quanto for poss´ıvel. Especificando
essas condi¸c˜oes ainda temos dois estados poss´ıveis: o nitrogˆenio pode estar a baixo ou acima
do plano definido pelos hidrˆogenios. O vetor de estado pode ser escrito como
|ψ = C
1
|1 + C
2
|2, (A.1)
AP
ˆ
ENDICE A. AMPLIFICADORES DE ONDAS ELETROMAGN
´
ETICAS 74
Figura A.1: Geometria da mol´ecula de amˆonia (Ref. [27], pg. 259).
em que |1 e |2 s˜ao os estados “up” e “down” da mol´ecula (com o nitrˆogenio acima e abaixo
dos hidrogˆenios), e C
1
e C
2
s˜ao as amplitudes de cada estado.
O fato interessante ´e que esse vetor de estado n˜ao ´e constante no tempo. Suponha que
vocˆe observe a mol´ecula e a veja no estado |1. Alguns instantes depois existe a probabilidade
da part´ıcula ser encontrada no estado |2. Para descrever como as amplitudes C
1
e C
2
variam
com o tempo, precisamos resolver as seguintes equa¸c˜oes
i
dC
1
dt
= H
11
C
1
+ H
12
C
2
, (A.2)
i
dC
2
dt
= H
21
C
1
+ H
22
C
2
. (A.3)
O problema ´e que n˜ao conhecemos os coeficientes H
ij
, mas podemos fazer algumas con-
sidera¸c˜oes. Vamos supor que quando a mol´ecula estiver no estado |1 n˜ao h´a chance dela
estar no estado |2, e vice-versa. Ent˜ao as componentes H
12
e H
21
s˜ao nulas, e as equa¸c˜oes
diferenciais ficam
i
dC
1
dt
= H
11
C
1
,
i
dC
2
dt
= H
22
C
2
.
Resolvendo essas equa¸c˜oes obtemos
C
1
= (const)e
−(i/)H
11
t
,
C
2
= (const)e
−(i/)H
22
t
.
Os dois estados da mol´ecula de amˆonia que estamos considerando possuem uma simetria
muito bem definida. Por isso vamos supor que os elementos H
11
e H
22
devem ser iguais,
AP
ˆ
ENDICE A. AMPLIFICADORES DE ONDAS ELETROMAGN
´
ETICAS 75
o que parece ser razo´avel. Vamos chamar esse elemento de E
0
porque ela ´e a energia da
mol´ecula quando H
12
e H
21
s˜ao iguais a zero.
Fazer o nitrˆogenio cruzar o plano dos hidrˆogenios ´e classicamente imposs´ıvel. Por´em,
na mecˆanica quˆantica h´a uma possibilidade, mesmo que pequena, do nitrogˆenio “tunelar”
at´e o outro lado do plano. Dizendo de outra maneira, uma mol´ecula no estado |1 pode
evoluir para o estado |2, sem transladar ou girar fora de seu eixo de simetria. Por isso os
coeficientes H
12
e H
21
n˜ao s˜ao iguais a zero.
Usando mais uma vez a simetria do problema, vamos supor por conveniencia que H
12
=
H
21
= −A. Com isso as equa¸c˜oes (A.2) e (A.3) ficam
i
dC
1
dt
= E
0
C
1
− AC
2
,
i
dC
2
dt
= E
0
C
2
− AC
1
.
Que s˜ao resolvidas para obtermos
C
1
(t) =
a
2
e
−(i/)(E
0
−A)t
+
b
2
e
−(i/)(E
0
+A)t
, (A.4)
C
2
(t) =
a
2
e
−(i/)(E
0
−A)t
−
b
2
e
−(i/)(E
0
+A)t
, (A.5)
em que a e b s˜ao constantes de integra¸c˜ao. H´a ent˜ao duas solu¸c˜oes estacion´arias para a fun¸c˜ao
de onda da mol´ecula, nas quais as constantes C
1
e C
2
oscilam com a mesma frequˆencia.
Fazendo a = 0 obtemos uma dessas solu¸c˜oes, que corresponde a frequˆencia
E
0
+A
. A outra
solu¸c˜ao ´e obtida fazendo b = 0, onde as amplitudes oscilam com a frequˆencia
E
0
−A
.
A diferen¸ca de energia entre os dois modos da fun¸c˜ao de onda corresponde a 2A. Uti-
lizando a rela¸c˜ao fundamental de Plank obtemos f =
2A
h
, que corresponde a uma frequˆencia
de 24 Ghz[27, 28]. Esse fato foi utilizado para produzir os primeiros masers, pois um f´oton
com essa frequˆencia ´e duplicado ao passar por uma mol´ecula que esteja oscilando no estado
de energia (E
0
+ A), fazendo a mol´ecula decair para o n´ıvel mais baixo (E
0
− A).
Adicionando um campo el´etrico est´atico a mol´ecula de amˆonia, se ignorarmos a amplitude
da mol´ecula transitar entre os estados |1 e |2, obteriamos para cada estado as energias
E
0
+µε e E
0
−µε, respectivamente. Para resolver as equa¸c˜oes (A.2) e (A.3), podemos tentar
AP
ˆ
ENDICE A. AMPLIFICADORES DE ONDAS ELETROMAGN
´
ETICAS 76
solu¸c˜oes do tipo
C
1
= a
1
e
−(i/)Et
,
C
2
= a
2
e
−(i/)Et
.
Substituindo-as em (A.2) e (A.3), e rearranjando os termos obtemos
(E − H
11
)(E − H
22
) − H
12
H
21
= 0,
que resolvendo para a energia E nos d´a
E
I
=
H
11
+ H
22
2
+
(H
11
− H
22
)
2
4
+ H
12
H
21
,
E
II
=
H
11
+ H
22
2
−
(H
11
− H
22
)
2
4
+ H
12
H
21
.
Considerando H
11
= E
0
+ µε, H
22
= E
0
− µε e H
21
= H
12
= −A, a energia dos dois
estados estacion´arios fica
E
I
= E
0
+
A
2
+ µ
2
ε
2
,
E
II
= E
0
−
A
2
+ µ
2
ε
2
.
H´a ent˜ao uma diferen¸ca de energia entre os dois estados, e podemos alterar essa diferen¸ca
variando a intensidade do campo el´etrico ε. Esse ´e o pr´ıncipio utilizado no maser. Fazendo o
g´as passar por uma cˆamara onde um campo el´etrico ´e aplicado separamos o g´as nessas duas
componentes, com energias E
I
e E
II
. Selecionando a componente emissora, ao incidir fotons
com energia E
I
− E
II
sobre as mol´eculas as fazemos saltar para o n´ıvel de menor energia,
de maneira que cada uma libera um novo f´oton. Variando a intensidade do campo el´etrico
podemos selecionar a frequˆencia desejada, que obedece a rela¸c˜ao
f =
E
I
− E
II
h
= 2
A
2
+ µ
2
ε
2
h
. (A.6)
A.2 Lasers
A semelhan¸ca entre as palavras maser e laser n˜ao ´e apenas uma coincidˆencia. O termo
vem do inglˆes “light amplification by stimulated emission of radiation”, que significa ampli-
fica¸c˜ao de luz por emiss˜ao estimulada de radia¸c˜ao. Por defini¸c˜ao luz ´e a por¸c˜ao do espectro
AP
ˆ
ENDICE A. AMPLIFICADORES DE ONDAS ELETROMAGN
´
ETICAS 77
eletromagn´etico a que o olho humano ´e sens´ıvel
1
, ent˜ao, a diferen¸ca entre um maser e um
laser ´e basicamente a frequˆencia da onda amplificada. Claro que essa diferen¸ca acarreta em
aplica¸c˜oes totalmente diferentes para cada um dos dispositivos.
Theodore Mainman fez o primeiro laser funcionar em 16 de maio de 1960. Ele imediata-
mente submeteu um artigo relatando suas experiˆencias ao “Physical Review Letters”, que
recusou o artigo. Alguns editores explicaram que muitos artigos sobre masers estavam sendo
submetidos, por isso havia uma politica de reduzir as publica¸c˜oes sobre esse assunto. Main-
man submeteu ent˜ao seu texto a revista “Nature”, que o publicou em 6 de agosto daquele
ano. Este fato mostra que apesar de ser amplamente utilizado e conhecido por todos hoje,
o laser nasceu como “uma solu¸c˜ao em busca de um problema”
2
.
Para conseguir produzir emiss˜ao estimulada, basicamente precisamos de duas coisas. A
primeira ´e um meio ativo, que geralmente ´e obtido ao fornecer energia para determinado
material. Esse processo ´e chamado de bombeamento. O segundo dispositivo necess´ario ´e
uma cavidade ressonante.
´
E de fato nessa cavidade que a amplifica¸c˜ao ocorre, pois nela o
sinal de entrada “rouba”f´otons do meio ativo, adquirindo amplitude.
A amplifica¸c˜ao por emiss˜ao estimulada depende da existˆencia de ressonˆancia dentro da
cavidade. Como masers amplificam ondas com comprimento de onda da ordem de 1 cm,
´e relativamente f´acil construir uma cavidade com comprimento dessa ordem. Havendo um
´unico modo de oscila¸c˜ao est´acionaria permitido, apenas uma frequˆencia ´e amplificada.
O espectro eletromagn´etico vis´ıvel ao olho humano possui comprimento de onda entre
400-700 nm, de maneira que uma cavidade ressonante para a luz teria dimens˜oes inconve-
nientemente pequenas. Para contornar esse problema, Townes e Schalow propulseram em
1958 que um “maser”para a luz poderia ser construido com um tipo especial de cavidade,
que poderia ser milhares de vezes maior que o comprimento de onda da luz a ser amplificada.
No “maser ´optico”
3
a cavidade ressonante possui dois espelhos pequenos, um virado
1
Alguns autores preferem definir luz como a por¸c˜ao do espectro eletromagn´etico que inclui o infravermelho,
o vis´ıvel e o ultravioleta.
2
Essa frase ´e atr´ıbuida a Charles Hard Townes, que recebeu o prˆemio Nobel de f´ısica em 1964 por suas
contribui¸c˜oes ao desenvolvimento dos masers e lasers.
3
Como dissemos, o m de maser significa microonda, entretanto, o nome “maser ´optico”foi muito utilizado
AP
ˆ
ENDICE A. AMPLIFICADORES DE ONDAS ELETROMAGN
´
ETICAS 78
para o outro. Fazendo a luz entrar nesse sistema a partir de um ponto pr´oximo a um dos
espelhos, o feixe ´e amplificado a medida que caminha para o segundo espelho. Nele uma
nova reflex˜ao faz o feixe atravessar o meio ativo mais uma vez, de maneira que o processo
de amplifica¸c˜ao continua. Isso gera uma onda est´acionaria dentro da cavidade. Se um dos
espelhos ´e semitransparente, uma por¸c˜ao dessa onda o atravessa enquanto a maior parte ´e
refletida.
A luz emitida por um laser possui ent˜ao algumas propriedades ´unicas, incomuns na
natureza. O feixe ´e monocrom´atico, confinado a uma pequena regi˜ao do espa¸co, possuindo
um espalhamento ˆangular muito pequeno e, acima de tudo, ´e coerente.
Na pr´oxima se¸c˜ao temos uma breve discuss˜ao a respeito dos perfis de intensidade da luz
emitida por um laser. Esta propriedade ´e de extrema importˆancia na constru¸c˜ao dos modelos
de LT e ET.
A.2.1 Perfil de intensidade
Dentro da cavidade ressonante de um laser a fun¸c˜ao de onda pode oscilar de diversos
modos. Para cada modo permitido temos um perfil de intensidade caracteristico. A sigla
T EM
ij
significa “Transversal Eletromagnetic”, indicando que nesse modo n˜ao h´a campo
el´etrico ou magn´etico na dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao do feixe. Os ´ındices i e j s˜ao inteiros que
indicam as ordens radial e ˆangular da seguinte express˜ao
I
ij
(r, ϕ) = I
0
ρ
j
L
j
i
(ρ)
2
cos
2
(jϕ)e
−ρ
. (A.7)
e L
j
i
(ρ) s˜ao os polinˆomios associados de Laguerre, dados por
L
(α)
n
(x) =
x
−α
e
−x
n!
∂
n
∂x
n
e
−x
x
n+α
.
A equa¸c˜ao (A.7) descreve o perfil de intensidade de um se¸c˜ao transversal do feixe. Na
figura (A.2) temos exemplos de perfis de intensidade, obtidos com essa express˜ao.
na d´ecada de 1960 para se referir a amplificadores de luz. Com os “masers de luz”j´a desenvolvidos, os autores
passaram aos poucos a utilizar o nome laser.
AP
ˆ
ENDICE A. AMPLIFICADORES DE ONDAS ELETROMAGN
´
ETICAS 79
Figura A.2: Perfis de intensidade dos diferentes modos de oscila¸c˜ao de ondas eletromagn´eticas
cil´ındricas. Os ´ındices ij indicam as ordens radial e ˆangular da express˜ao (A.7).
Os dispositivos lasers comerciais, geralmente s˜ao constru´ıdos para emitir luz no modo
T EM
00
. Essa ´e a distribui¸c˜ao de intensidade fundamental, e portanto a mais simples. Nela
temos um m´aximo de intensidade no centro do feixe, e a intensidade decai radialmente
seguindo uma curva Gaussiana.
As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de difus˜ao, encontradas no cap´ıtulo 2, e todo o tratamento da
propaga¸c˜ao do feixe de prova feito neste trabalho, consideram que os lasers de excita¸c˜ao e
prova operam no modo T EM
00
.
Apˆendice B
Propaga¸c˜ao do feixe de prova
Para descrever a propaga¸c˜ao do feixe de prova utilizamos a teoria de difra¸c˜ao de Fresnel
e o pr´ıncipio de Huygens. Fixamos o plano de entrada como sendo o plano da superf´ıcie da
amostra, e o plano de sa´ıda como o plano do fotodetector. O pr´ıncipio de Huygens diz que a
amplitude de um ponto do plano de sa´ıda ´e o resultado da superposi¸c˜ao de ondas emanando
de todos os pontos do plano de entrada. Na figura (B.1) temos uma representa¸c˜ao do sistema
que estamos considerando.
Figura B.1: Representa¸c˜ao da propaga¸c˜ao do feixe de prova ap´os passar pela amostra.
Matematicamente podemos escrever a amplitude da onda no centro do plano de sa´ıda
como[6]
U
P S
(t) =
i
λ
∞
0
2π
0
U
P E
(r, t)
1 + cos(2α)
2
1
|z
2
− r|
e
−i
2π
λ
|z
2
−r|
rdrdθ, (B.1)
em que U
P E
(r, t) ´e a amplitude da onda no plano de entrada.
80
AP
ˆ
ENDICE B. PROPAGAC¸
˜
AO DO FEIXE DE PROVA 81
Podemos aplicar algumas aproxima¸c˜oes a essa express˜ao. Sendo a distˆancia z
2
suficien-
temente grande, teremos
1+cos(2α)
2
≈ 1 e |z
2
− r| ≈ z
2
. Utilizando tamb´em a expans˜ao
2π
λ
|z
2
− r| =
2π
λ
(z
2
2
+ r
2
)
1/2
≈
2π
λ
z
2
+
r
2
2z
2
,
podemos reescrever a equa¸c˜ao (B.1) como
U
P S
(t) = A
∞
0
2π
0
U
P E
(r, t)e
−i
π
λ
r
2
z
2
rdrdθ. (B.2)
A express˜ao para a amplitude da onda antes da amostra ´e[7]
U
p
(r, t) =
2P
p
π
1
ω
1p
e
−
r
2
ω
2
1p
e
−
i
λ
p
„
2z
1
+
r
2
R
1p
«
,
em que P
p
´e a potˆencia incidente e R
1p
´e o raio de curvatura em z
1
. Ao atingir a amostra
essa amplitude adquiri uma fase. Assim temos
U
p
(r, t) =
2P
p
π
1
ω
1p
e
−
r
2
ω
2
1p
e
−
i
λ
p
„
2z
1
+
r
2
R
1p
+φ(r,t)
«
. (B.3)
Utilizando a express˜ao (B.3) na express˜ao (B.2), introduzindo as defini¸c˜oes
g =
r
ω
1p
2
,
B =
1
ω
1p
2P
p
π
e
−
i2πz
1
λ
p
,
C
1
= B
iπω
2
1p
/(λ
p
Z
2
)
e
−2iπZ
2
/λ
p
,
e fazendo a integral em dr, obtemos
U
p
(z
1
+ z
2
, t) = C
1
∞
0
e
−g−i
„
π
λ
p
„
ω
2
1p
R
1p
+
ω
2
1p
z
2
«
g+φ(g,t)
«
, (B.4)
que ´e a amplitude do feixe de prova na posi¸c˜ao do fotodetector. Como o feixe de prova ´e
Gaussiano, para ele valem as rela¸c˜oes
ω
2
1p
= ω
2
0p
1 +
z
1
z
cp
2
,
R
1p
=
z
2
1
+ z
2
cp
z
1
,
z
cp
=
πω
2
0p
λ
p
,
AP
ˆ
ENDICE B. PROPAGAC¸
˜
AO DO FEIXE DE PROVA 82
com as quais podemos escrever (B.4) como
U(Z
1
+ Z
2
, t) = C
1
∞
0
e
(iV −1)g−iΦ(g,t)
dg, (B.5)
em que definimos
V =
Z
1
Z
c
+
Z
c
Z
2
1 +
Z
1
Z
c
2
. (B.6)
Este ´e um parˆametro geom´etrico caracter´ıstico da montagem de LT ou ET utilizada.
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Doctor of Philosophy in the Faculty of Technology, (1993).
86
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