( PDF ) Orientações curriculares para o ensino de geometria: do período da Matemática Moderna ao momento atual.

Download PDF

ads:

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

ROGÉRIO CARLOS FERREIRA

Orientações curriculares para o ensino de geometria: do

período da Matemática Moderna ao momento atual.

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

2008

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

ROGÉRIO CARLOS FERREIRA

Orientações curriculares para o ensino de geometria: do

período da Matemática Moderna ao momento atual.

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de MESTRE

PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob

a orientação da Professora Doutora Célia Maria

Carolino Pires.

São Paulo

2008

ads:

Banca Examinadora

____________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total

ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

Confia no Senhor de todo o teu coração, e não te estribes no teu próprio

Confia no Senhor de todo o teu coração, e não te estribes no teu próprio Confia no Senhor de todo o teu coração, e não te estribes no teu próprio

Confia no Senhor de todo o teu coração, e não te estribes no teu próprio

entendimento.

entendimento. entendimento.

entendimento.

Reconhece

Reconhece Reconhece

Reconhece-

-o em todos os teus caminhos, e ele endireitará as tuas veredas.

o em todos os teus caminhos, e ele endireitará as tuas veredas. o em todos os teus caminhos, e ele endireitará as tuas veredas.

o em todos os teus caminhos, e ele endireitará as tuas veredas.

Não sejas sábio a teus próprios

Não sejas sábio a teus próprios Não sejas sábio a teus próprios

Não sejas sábio a teus próprios olhos; teme ao Senhor e aparta

olhos; teme ao Senhor e apartaolhos; teme ao Senhor e aparta

olhos; teme ao Senhor e aparta-

-te do mal.

te do mal. te do mal.

te do mal.

Isso será saúde para a tua carne; e refrigério para os teus ossos.

Isso será saúde para a tua carne; e refrigério para os teus ossos. Isso será saúde para a tua carne; e refrigério para os teus ossos.

Isso será saúde para a tua carne; e refrigério para os teus ossos.

Honra ao Senhor com os teus bens, e com as primícias de toda a tua renda;

Honra ao Senhor com os teus bens, e com as primícias de toda a tua renda; Honra ao Senhor com os teus bens, e com as primícias de toda a tua renda;

Honra ao Senhor com os teus bens, e com as primícias de toda a tua renda;

assim se encherão de fartura os teus celeiros, e trasbordarão

assim se encherão de fartura os teus celeiros, e trasbordarão assim se encherão de fartura os teus celeiros, e trasbordarão

assim se encherão de fartura os teus celeiros, e trasbordarão de mosto os

de mosto os de mosto os

de mosto os

teus lagares.

teus lagares. teus lagares.

teus lagares.

Filho meu, não rejeites a disciplina do Senhor, nem te enojes da sua

Filho meu, não rejeites a disciplina do Senhor, nem te enojes da sua Filho meu, não rejeites a disciplina do Senhor, nem te enojes da sua

Filho meu, não rejeites a disciplina do Senhor, nem te enojes da sua

repreensão;

repreensão; repreensão;

repreensão;

porque o Senhor repreende aquele a quem ama, assim como o pai ao filho a

porque o Senhor repreende aquele a quem ama, assim como o pai ao filho a porque o Senhor repreende aquele a quem ama, assim como o pai ao filho a

porque o Senhor repreende aquele a quem ama, assim como o pai ao filho a

quem quer bem.

quem quer bem. quem quer bem.

quem quer bem.

Feliz é o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire

Feliz é o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire Feliz é o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire

Feliz é o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire entendimento

entendimentoentendimento

entendimento

(Provérbios 3, 5

(Provérbios 3, 5 (Provérbios 3, 5

(Provérbios 3, 5 –

––

– 13)

13) 13)

13)

Aos meus pais, Erionaldo Carlos Ferreira e

Maria José Ferreira , por todo

empenho, amizade e

carinho a mim dedicado

durante a trajetória no decorrer deste curso.

Minha eterna gratidão, respeito e amor.

Dedico-lhes o título de Mestre.

AGRADECIMENTOS

AGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOS

AGRADECIMENTOS

A Deus, pelo eterno aprendizado e por tudo o que

tenho conquistado.

À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo,

por conceder a bolsa de estudos para a realização

deste trabalho.

À Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires,

por orientar-me competentemente na finalização da

minha pesquisa, pelo incentivo e palavras de

confiança.

Aos Professores do Programa de Estudos Pós-

Graduados em Educação Matemática da PUC/SP,

pela dedicação e orientação prestada durante todo o

curso, em especial ao professor Saddo Ag Almouloud,

com quem pude contar na fase mais difícil da

conclusão deste trabalho.

Aos professores Vincenzo Bongiovanni, Ana Lucia

Manrique, Bárbara Lutaif Bianchini, Ana Paula

Jahn e Ubiratan D´Ambrosio que ministraram

inesquecíveis aulas e muito contribuíram nesta minha

trajetória.

Aos amigos do mestrado, Cristiane, Givanildo e

Luciana, com os quais pude contar, com apoio e

força, nos momentos difíceis do curso.

Aos amigos e companheiros de Mestrado, Osmar,

Clécio, Márcia e Rodrigo, pelos maravilhosos

momentos de estudos.

À Professora Vera Lúcia, Dirigente Regional de

Ensino da Região Guarulhos Norte, pela confiança

sempre demonstrada.

Aos colegas de trabalho da Oficina Pedagógica da

Diretoria Regional de Ensino Guarulhos-Norte, pelo

auxílio e amizade que demonstraram ao longo desta

caminhada.

Aos amigos Hergos e Mari, pelo apoio demonstrado.

Em especial, as amigas Ana Paula, Élia, Rovaris e

Sandra, pelas discussões calorosas e as constantes

trocas de saberes.

A todos os meus alunos, funcionários e direção do

Colégio El´Shadai, pela paciência, compreensão,

apoio e participação durante a realização do curso.

Às minhas irmãs Andréa e Cida, minhas eternas

amigas e a quais devo deixar registrado que tenho

grande amor.

Aos meus familiares, pela compreensão dos meus

momentos de ausência em nossas reuniões.

Aos meus amigos e irmãos da Igreja Corpus Christ,

com os quais o aprendizado que tenho é inestimável.

Agradeço as constantes orações.

Enfim, agradeço a todos aqueles que de forma direta

ou indireta contribuíram para a realização e a

conclusão deste trabalho.

O autor.

RESUMO

RESUMORESUMO

RESUMO

O objetivo do presente trabalho é estudar orientações curriculares

produzidas desde o Movimento da Matemática Moderna até os dias atuais e

analisar como algumas coleções de livros didáticos incorporaram essas

orientações. Os documentos oficiais consultados foram os Guias Curriculares

do Estado de São Paulo (1975), a Proposta Curricular para o Ensino de

Matemática do Estado de São Paulo (1992) e os Parâmetros Curriculares

Nacionais para a Matemática (1998), no que se refere ao segmento da

escolaridade correspondente ao atual 6º. A 9º. Ano do Ensino Fundamental. As

coleções didáticas estudadas foram: Matemática – Curso Moderno, de Osvaldo

Sangiorgi (1968 e 1971), “A conquista da Matemática” de Giovanni, Castrucci e

Giovanni Jr. (1992), e “Matemática para todos” de Luiz Marcio Imenes e

Marcelo Lellis (2002). Para a análise desses documentos e livros didáticos

tomamos por base as teorias de Roger Chartier (1991), que estuda as

diferentes relações existentes entre a leitura da legislação oficial e a

interpretação feita pelos usuários. A análise dos livros didáticos teve como foco

o conteúdo de Geometria, e nos apoiamos em estudos de Josep Gascón (2001

e 2003) em que o autor discute interferências de modelos epistemológicos e

didáticos na gestão da aula de Geometria. Em nossa análise, observamos a

interferência do modelo Euclidianista tanto nos Guias Curriculares como na

coleção Matemática – Curso Moderno, do modelo Quase-empirista na Proposta

Curricular e na coleção “A conquista da Matemática” e uma perspectiva

Construtivista nos Parâmetros Curriculares Nacionais para a Matemática e

também na coleção ”Matemática para todos”, embora também preservando

bastante o modelo Quase-empirista.

Palavras-chave: Prescrições Curriculares e Matemática, Geometria, Livro

Didático.

ABSTRACT

ABSTRACTABSTRACT

ABSTRACT

The present research is aimed to study Curricular Proposals

produced since the Modern Mathematic´s Movement until the current

days and to analyze how some didactic book collections had incorporated

these Proposals. The consulted official documents had been the

Curricular Guides of the State of São Paulo (1975), the National Proposal

Curricular for Mathematc´s teaching of the State of São Paulo (1992) and

Curricular Parameters for the Mathematics (1998), referring to the

segment of the corresponding degree to current 6º. 9º. Year of “Ensino

Fundamental”. The studied didactic collections had been: “Matemática –

Curso Moderno”, by Osvaldo Sangiorgi (1968 and 1971), “A Conquista da

Matemática”, by Giovanni, Castrucci and Giovanni Jr (1992), and

“Matemática para Todos”, by Luiz Marcio Imenes and Marcelo Lellis

(2002). For the analysis of these documents and didactic books we take

for base the theories of Roger Chartier (1991), which studies the different

existing relations between the reading of the official legislation and the

interpretation made by users. The analysis of didactic books had as focus

the content of Geometry, and we support them in the studies of Josep

Gascón (2001 and 2003) where the author argues interferences of

episteologics and didactic models in the management of the Geometry´s

lessons. In our analysis, we in such a way observe the interference of the

Euclidianist model in the Curricular Guides as in the “Matemática – Curso

Moderno”, of the Almost-empiric model in the Proposal Curricular and the

collection “A Conquista da Matemática” and a Construtivist perspective in

the in the National Curricular Parameters for the Mathematics and also in

the collection “Matemática para Todos”, also preserving sufficiently the

Almost-empiric model.

Key-words: Curricula Prescription and mathematic, Geometry, Didactic´s

Books.

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE FIGURASLISTA DE FIGURAS

LISTA DE FIGURAS

CAPÍTULO 1

1.1 – Capa Sangiorgi V. 1...................................................................... 65

1.2 – Capa Sangiorgi V. 2..................................................................... 65

1.3 – Capa Sangiorgi V. 3..................................................................... 65

1.4 – Capa Sangiorgi V. 4..................................................................... 65

1.5 – Quadriláteros................................................................................ 89

1.6 – Translação.................................................................................... 92

1.7 – Rotação........................................................................................ 93

1.8 – Simetria Axial............................................................................... 94

1.9 – Simetria Central........................................................................... 95

CAPÍTULO 2

2.1a – Demonstração Pitágoras........................................................... 191

2.1b – Demonstração Pitágoras........................................................... 192

2.2 – Cordas.......................................................................................... 202

CAPÍTULO 3

3.1 – Pitágoras...................................................................................... 224

3.2 – Soma dos ângulos........................................................................ 225

3.3 – Problemas Antigos....................................................................... 226

3.4 – Rede............................................................................................. 227

3.5 – Giros e Ângulos ........................................................................... 232

3.6 – Perpendiculares e paralelas ........................................................ 233

3.7 – Problemas: retas ......................................................................... 237

3.8 – Simetria ....................................................................................... 238

3.9 – Medida de ângulo ....................................................................... 241

3.10 – Circunferência............................................................................ 243

3.11 – Polígonos e teoria dos conjuntos ..............................................

261

LISTA DE QUADROS

LISTA DE QUADROSLISTA DE QUADROS

LISTA DE QUADROS

CAPÍTULO 1

1.1 – A Geometria nos Guias..................................................................... 55

1.2 – Índice Volume 3................................................................................ 78

SUMÁRIO

SUMÁRIOSUMÁRIO

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO DA PESQUISA

I. Introdução.......................................................................................... 16

II. Justificativa e relevância do tema...................................................... 17

III. Objetivos e questões de pesquisa.................................................... 22

IV. Fundamentos teóricos...................................................................... 23

V. Procedimentos metodológicos.......................................................... 28

VI. Estrutura do Trabalho....................................................................... 33

CAPÍTULO 1

A Geometria durante o período de 1960 a 1980 – a influência do

Movimento Matemática Moderna....................................................... 34

1.1 A Matemática Moderna – O contexto internacional........................ 34

1.2 A Matemática Moderna no Brasil.................................................... 40

1.3 A Geometria no Movimento da Matemática Moderna ................... 45

1.4 Osvaldo Sangiorgi – um protagonista do Movimento..................... 49

1.5 Os Guias Curriculares do Estado de São Paulo............................. 52

1.5.1 A Geometria nos Guias....................................................... 54

1.5.2 Subsídios para Implementação do Guia Curricular de

Matemática – Geometria para o 1º Grau – 5ª a 8ª Séries............. 57

1.6 A Coleção Matemática – Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi... 64

1.6.1 A análise dos conteúdos de Geometria na obra de

Sangiorgi........................................................................................ 67

1.7 Os Guias Curriculares e a Coleção de Osvaldo Sangiorgi............. 120

CAPÍTULO 2

O ensino de Geometria após o Movimento da Matemática

Moderna (1980 – 1998)......................................................................... 122

2.1 A Proposta Curricular do Estado de São Paulo............................... 123

2.1.1 O tema Geometria na Proposta Curricular............................. 125

2.2 A análise da Coleção: a Conquista da Matemática......................... 140

2.2.1 Um breve relato dos autores.................................................. 140

2.2.1.1 José Ruy Giovanni....................................................... 140

2.2.1.2 José Ruy Giovanni Júnior............................................ 141

2.2.1.3 Benedito Castrucci....................................................... 141

2.2.2 A Geometria na coleção: A conquista da Matemática........... 142

2.3 A Proposta Curricular e a Coleção: A conquista da Matemática..... 208

CAPÍTULO 3

A Geometria durante o período de 1998 ao momento atual – uma

análise dos PCN e livros didáticos atuais.......................................

210

3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e Quarto ciclo do

Ensino Fundamental...............................................................................

210

3.1.1 O bloco de conteúdos: Espaço e Forma................................ 214

3.1.2 Orientações didáticas para o bloco de conteúdos: Espaço e

Forma...............................................................................................

220

3.2 Análise do Livro Didático: Matemática para todos........................... 228

3.2.2.1 A Geometria na coleção Matemática para todos.........

230

3.3 Os Parâmetros Curriculares Nacionais e a Coleção Matemática

para todos.............................................................................................

297

CAPÍTULO 4

Considerações Finais................................................................................

300

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................

312

APRESENTAÇÃO DA PESQUISA

APRESENTAÇÃO DA PESQUISAAPRESENTAÇÃO DA PESQUISA

APRESENTAÇÃO DA PESQUISA

I Introdução.

Ao iniciar minha atuação no magistério da rede pública do Estado de

São Paulo, no ano de 2000, assumi aulas de Matemática no Ensino Médio e

observei que os temas mais trabalhados na escola eram quase todos temas de

Álgebra. Lembro-me que quando conseguia trabalhar alguns tópicos de

Geometria, geralmente no final do ano letivo, os alunos demonstravam muita

dificuldade, muito provavelmente porque o tema tinha sido pouco trabalhado

nos anos anteriores. Desse modo, muitas vezes, sentia-me frustrado ao

constatar que os alunos não conseguiam aprender o que eu me propunha a

ensinar relativamente ao tema de Geometria, além de eu sempre enfrentar o

problema da “falta de tempo”. Nas conversas com meus colegas professores,

pude notar que outra causa do abandono dos temas geométricos está no

despreparo que nós professores também temos com relação ao próprio

conhecimento de assuntos geométricos.

Em função dessas constatações, nos cursos de extensão e

especialização que fiz após a graduação, procurei aqueles que abordavam a

Geometria e a Didática da Geometria.

Quando ingressei no Mestrado do Programa de Estudos Pós-graduados

em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo já

tinha em mente que o assunto abordado em minha dissertação seria a

Geometria.

Optamos por focalizar a etapa de escolaridade correspondente aos

quatro últimos anos do Ensino Fundamental e tomamos como ponto de partida

de nosso estudo o período em que o Movimento Matemática Moderna teve

grande influência no ensino de Matemática em nosso país até chegar ao

momento atual.

II. Justificativa e relevância do tema

Na literatura sobre o ensino de Geometria, encontramos um ponto

comum entre vários pesquisadores, qual seja, a construção de argumentos

sobre a importância da aprendizagem de temas geométricos, pelo fato de que

a Geometria tem um papel fundamental na vida de qualquer indivíduo.

Segundo Lorenzato (1998), “pesquisas psicológicas indicam que a

aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento da criança, pois

inúmeras situações escolares requerem percepção espacial, tanto em

Matemática (por exemplo: algoritmos, medições, valor posicional, séries,

seqüências...) como na Leitura e Escrita”

. É uma das melhores oportunidades

para aprender a “matematizar” a realidade e, o ensino de Geometria, em seu

aspecto formativo, pode promover valores culturais e estéticos importantes

LORENZATO, Sérgio. “Por que não ensinar geometria?”. In: A Educação Matemática em

revista, SBEM, nº 4, 1º Semestre de 1998, pp. 30-31.

para uma melhor compreensão e apreciação das obras dos homens

(construções e trabalhos artísticos) ou da natureza. “Sem conhecer Geometria,

a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das

idéias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida”

Além do destaque à importância dos conhecimentos geométricos,

observamos que outra questão bastante debatida refere-se a qual Geometria

deve ser ensinada e como as mudanças curriculares vão se processando no

que se refere à ênfase conferida a cada tema geométrico e à abordagens

metodológicas.

Segundo Pires (2007), os termos “reorientação”, “inovação”, “revisão”

são inerentes aos processos de reformas curriculares. Segundo a autora,

quando um reforma curricular é posta em ação isso acontece, de modo geral,

em função da constatação de que algo não vai bem e precisa ser modificado.

A retrospectiva das reformas, no entanto, mostra que nem sempre isso ocorre

ou, pelo menos, nem sempre ficam tão explicitadas as motivações presentes

nas mudanças, especialmente para os professores.

Em geral, no Brasil, as reformas de projetos curriculares das disciplinas,

são atreladas a alterações na estrutura do sistema de ensino (PIRES, 2007).

Outra motivação para as reformas, num período mais recente, é a necessidade

de organizar currículos que se adaptem às avaliações internacionais. Esse fato,

que ocorre em diferentes países, é destacado por Keitel e Kilpatrick:

Id., Ibid., p. 30.

As investigações comparativas internacionais têm-se tornado cada

vez mais sofisticadas. Em conjunto com os julgamentos dos

especialistas sobre o modo como o currículo da Matemática deve ser

representado internacionalmente, têm sido feitas análises cuidadosas

de documentos oficiais e materiais escritos. Foram efetuadas

análises a variáveis como o tempo reservado para vários tópicos em

diferentes sistemas, a proporção de sistemas que tratam um dado

tópico em cada ano, a forma como varia, nos manuais, o espaço

concedido a um tópico, e como difere a organização dos manuais

nos diferentes sistemas. Mesmo assim, o currículo internacional

idealizado, definido por um conjunto comum de tarefas organizadas

por tópicos de conteúdo, continua a ser a norma para medir o

desempenho. Não é concedida nenhuma tolerância pelo fato de

existirem objetivos, questões, histórias e contextos que são

diferentes entre os currículos de Matemática dos sistemas em

estudo. Ninguém aborda realmente em que medida os alunos de um

dado sistema estão aprendendo o currículo de Matemática que o seu

sistema lhes oferece. (Keitel e Kilpatrick, p. 73, 1998)

Esses mesmos autores destacam um ponto bastante importante sobre a

participação dos professores, quando fazem referência a “currículos

planejados” e “currículos implementados”:

Uma tentativa para lidar com a complexidade curricular foi a de

distinguir entre o currículo planejado e o currículo implementado.

Uma distinção entre o currículo planejado (tal como está

representado em documentos oficiais, manuais, ou em ambos) e o

currículo implementado (normalmente medido por meio de

questionários aos professores) foi feita no Second International

Mathematics Study — SIMS (Travers e Westbury, 1989). A distinção

já tinha sido antecipada no First International Mathematics Study —

FIMS (Husén, 1967) — pela utilização de classificações dos

professores das oportunidades de aprendizagem dos conteúdos

relativos a cada item testado. Apesar dos termos planejado e

implementado transportarem a infeliz conotação de que as únicas

intenções que contam são as oficiais, e de que os professores não

passam de meros executores que implantam no terreno planos de

outras pessoas, esta distinção foi útil, na medida em que ajudou a

distinguir o planejado do que é a realidade curricular. (Keitel e

Kilpatrick, p. 76, 1998

)

Pires (2003) destaca que no Brasil, um fenômeno comum a diferentes

níveis do sistema de ensino é a introdução, em determinados períodos, de

mudanças curriculares que nem sempre têm o apoio de experiências concretas

anteriores nem o envolvimento dos professores, protagonistas de sua

implementação. Para essa autora, historicamente, uma das marcas das

políticas públicas brasileiras no que se refere a questões curriculares é, sem

dúvida, a falta de ações de implementação curricular, como se novas idéias se

transformassem em prática num passe de mágica. Além dessa, outra marca é

a falta de acompanhamento/avaliação das inovações propostas, o que não

permite fazer um “julgamento” adequado, periodicamente, contabilizando

acertos e erros.

Em função disso, a autora destaca conseqüências bastante conhecidas:

uma delas é a convivência “eterna” de currículos prescritivos (os dos

documentos oficiais) e os currículos reais (os da sala de aula, que os

professores realizam); outra conseqüência é a falta de dados consistentes para

promover as mudanças necessárias ou investir fortemente naquilo que vem

dando bons resultados.

Em seus estudos sobre reformas curriculares no Brasil, Pires (2000)

destaca que a pesquisa de documentos que permite reconstituir parte da

história das reformas curriculares no Brasil evidenciam dois importantes

marcos, na primeira metade do século XX. Um deles foi a Reforma Francisco

Campos, em 1931, na qual o educador brasileiro Euclides Roxo teve papel

importante ao propor a unificação dos campos matemáticos - Álgebra,

Aritmética e Geometria - numa única disciplina a Matemática, com a finalidade

de abordá-los de forma articulada inter-relacionada, uma vez que anteriormente

cada um deles era estudado como disciplina independente. Roxo defendeu

ainda a idéia de que o ensino da geometria dedutiva deveria ser antecedido de

uma abordagem prática da geometria. Outro marco foi o da Reforma Gustavo

Capanema, em 1942, em que a concepção de currículo foi ampliada para além

da mera listagem de conteúdos a serem ensinados, incluindo uma discussão

de orientações didáticas. Essas inovações não se mantiveram, o que revela

que as decisões curriculares, no Brasil, foram historicamente marcadas por

procedimentos bastante questionáveis, influenciados por questões políticas ou

influências de poder de alguns grupos ou mesmo de pessoas (PIRES, 2007)

Na história mais recente essa autora identifica três períodos marcantes:

o primeiro, caracterizado pela influência do Movimento Matemática Moderna

(de 1965 a 1980); o segundo, caracterizado por reformas que buscavam se

contrapor ao ideário do Movimento da Matemática Moderna (de 1981 a 1997) e

lideradas por Secretarias Estaduais e Municipais de Ensino; o terceiro,

organizado em nível nacional e consubstanciado num documento divulgado ao

conjunto das escolas brasileiras, denominado Parâmetros Curriculares

Nacionais (a partir de 1998).

Para desenvolver nosso estudo, vamos investigar as propostas para o

ensino de geometria nesses três períodos mais recentes a partir da análise de

documentos oficiais e de livros didáticos, relacionados a cada um dos períodos

mencionados.

III. Objetivos da pesquisa e questões de pesquisa.

No estudo sobre “O ensino de geometria: do período da Matemática

Moderna ao momento atual”, temos o objetivo de identificar as transformações

pelas quais o ensino da Geometria passou nesse período. Para isso,

recorremos aos documentos oficias e a coleções de livros didáticos,

especificados mais adiante, publicados nesses momentos. A análise das

coleções de livros didáticos tem como foco identificar a abordagem da

Geometria e o de que modo os autores se apropriaram e assimilaram as

orientações contidas nos documentos oficiais para a realização de sua obra.

Focalizaremos a etapa de escolaridade correspondente aos quatro

últimos anos do Ensino Fundamental

Para esse estudo, identificamos as seguintes questões de pesquisa:

• Quais foram as mudanças ocorridas no ensino de Geometria desde

o Movimento Matemática Moderna ao momento atual?

• Como as prescrições curriculares para o ensino de Geometria, em

cada momento histórico foram interpretadas por autores de livros

didáticos selecionados para esta pesquisa?

No caso dos Guias Curriculares e da Proposta Curricular de São Paulo, a denominação usada era Ensino

de 1º. Grau – 5ª. a 8ª. séries, anteriormente conhecidas como Curso Ginasial. No caso dos Parâmetros

Curriculares Nacionais, a denominação usada era Ensino Fundamental – 5ª. a 8ª. séries. Esses segmentos

da escolaridade correspondem ao atual segmento identificado como 6º. a 9º. anos do Ensino Fundamental

de 9 anos.

IV. Fundamentos teóricos.

Os estudos desenvolvidos pelo pesquisador e professor espanhol Josep

Gascón (2003) foram bastante importantes para o desenvolvimento do nosso

trabalho. Para esse autor diferentes modelos teóricos podem ser tomados

como referência para a investigação do processo ensino-aprendizagem da

Geometria. Gascón (2001, 2003) estabelece a relação existente entre a

epistemologia da matemática e a didática da matemática e, baseando-se em

Lakatos, organiza as teorias epistemológicas dividindo-as em três grupos:

Teorias Euclidias, Teorias Quase-empíricas e Teorias Construtivistas, assim

apresentados por ele..

O modelo teórico Euclídeo ou Euclidianismo conduz à prática docente

um conhecimento que se direciona com ênfase na teoria e na técnica,

assumindo que o professor é quem controla o processo de ensino e

aprendizagem. Gascón (2001) define o Euclidianismo como sendo o modelo

docente que:

“propõe que todo o conhecimento matemático pode deduzir-se

de um conjunto finito de proposições trivialmente verdadeiras

(axiomas) que constam de termos perfeitamente conhecidos

(termos primitivos)”

O “Euclidianismo” pode ser associada à visão epistemológica da didática

da geometria, que se manifesta através do teoricismo e do tecnicismo, em que

Tradução do texto “Incidência del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las

prácticas docentes” de Gascón. J., Revista Latinoamericana de Investigacion en Matemática

Educativa, México, v. 4, n. 2, pp. 129-159, 2001, p. 131.

se assume que o professor é quem controla o processo de ensino e

aprendizagem.

O teoricismo se identifica com o ensino e aprendizagem de teorias, com

os resultados da atividade matemática a que se chega por meio da explicação

do docente, considerando o conhecimento como algo pronto e acabado.

O tecnicismo se baseia no uso eficiente das técnicas algorítmicas, ou

seja, a escolha de técnicas adequadas para se empregar na resolução de

problemas.

Pelas características evidenciadas nesses modelos, Gascón (2001) os

denomina de “Modelos Clássicos”.

Os modelos Quase-empíricos surgem em contraposição aos Modelos

Clássicos, a partir da década de setenta, em decorrência aos trabalhos

desenvolvidos por Imre Lakatos.

Lakatos (1978) explica essa contraposição:

“(...) se chamamos enunciados básicos aos enunciados de um

sistema dedutivo aos que se insere inicialmente valores de

verdade, então um sistema é euclídeo se é a clausura dedutiva

dos enunciados básicos que se assumem como verdadeiros.

Em caso contrário, é quase-empírico.

Pode afirmar-se que uma teoria euclídea é “verdadeira” no

sentido de que está “provada” pelos enunciados básicos

verdadeiros (axiomas). Ao contrário, de uma teoria quase-

empírica pode-se dizer no máximo, que está “bem-alicerçada”,

porém sem deixar nunca de ser conjectural; de fato nela os

enunciados básicos verdadeiros (que são os axiomas) são

simplesmente “explicados” pelo resto do sistema no sentido de

que formam um todo coerente e não contraditório” (GASCÓN,

2001, p. 138).

Nos modelos Quase-empíricos destaca-se a descoberta como

fundamento no processo de aprendizado, levando a “destrivialização” do

conhecimento matemático.

Enquanto que no modelo euclidiano acentua-se o método de

algoritmização, no modelo quase-empírico são enfatizados os procedimentos

não algorítmicos como conjecturar, constatar, refutar, buscar contra-exemplos

e etc.

Para o processo de ensino e aprendizagem, Gascón (2001) utiliza para

esses modelos as seguintes denominações: modernismo, identificado com a

exploração de problemas não-triviais em que o destaque é direcionado para o

momento exploratório da atividade, considerando o processo de aprendizagem

como um processo de descobrimento indutivo e autônomo, desvinculado de

teorias e técnicas; e o procedimentalismo, “(...) que situa como principal

objetivo do processo didático o domínio de sistemas estruturados de técnicas

heurísticas (no sentido de não algorítmicas)” (GASCÓN, 2001, 142). O

procedimentalismo surge para complementar e melhorar o modernismo,

relacionando o momento exploratório com o trabalho direcionado para a técnica

numa atividade matemática.

Id., Ibid., p. 138.

Os modelos Construtivistas têm sua epistemologia baseada no

desenvolvimento psicogenético, centrados na descoberta dos mecanismos que

conduzem o desencadeamento do conhecimento científico, em que a utilização

de uma base empírica é aliada à história das ciências e ao desenvolvimento

psicogenético.

Segundo Gascón,

“(...) o construtivismo identifica “ensinar matemática” como

possibilidade de que os estudantes “construam” o conhecimento

matemático” (GASCÓN, 2003, p. 28).

Para esses modelos é importante a incorporação paulatina do aluno na

resolução de uma situação-problema eleita em função do conhecimento que se

quer que esse aluno construa, permitindo-lhe discernir se a solução por ele

desenhada é correta ou não. Quando a situação problema aparece

contextualizada pode-se recorrer ao uso de referentes pertencentes a um

sistema matemático ou extramatemático chamado modelo, que os

modelizacionistas utilizam para chegar à resposta da situação proposta ou

objeto matemático que se quer que o aluno aprenda.

Em seu artigo “Ensino de Geometria no Brasil: uma análise com base

em modelos de referência que colocam em relação a epistemologia e a

didática da Geometria”, Pires (2006) destaca a importância de análise de

modelos teóricos de referência como o proposto por Gascón (2001).

(...) pelo fato de que modelos didáticos evoluem a partir da

gênese de problemas e das formas de solução que se elege

para resolvê-los. Ou seja, Gascón chama a atenção para a

relação entre a epistemologia da geometria e a didática da

geometria (PIRES, 2006, p. 13).

Pires (2006) ressalta, referindo-se aos esquemas apresentados por

Villela (2001), que a escolha de um dos modelos teóricos de Gascón pode

configurar situações de ensino “interessantes”, descritas a seguir:

O esquema é apresentado a seguir:

• No Modelo Euclidianista: o professor “usa o problema como

controle das aprendizagens adquiridas pelos alunos”; o aluno

“deve aprender o conteúdo”, suas relações e seus fundamentos;

no saber “predomina o caráter conceitual”.

• No Modelo Quase-empirista: o professor “usa o problema como

motivo para satisfazer as inquietações dos alunos”; com relação

ao aluno, “seu interesse é medido pela sua participação e seu

Euclidianismo Empirismo Construtivismo

EPISTEMOLOGIA

Problema Lógico Problema histórico Problema cognitivo

A GESTÃO DA AULA DE GEOMETRIA

Foco no Ensino

Foco na

aprendizagem

Foco no saber

DIDÁTICA

Teoricismo

Tecnicismo

Modernismo

Procedimentalismo

Psicologismo

Modelização

interesse e desempenho nas seqüências apresentadas”; no saber

“predomina o caráter atitudinal”.

• No Modelo Construtivista: o professor “usa o problema como meio

para aproximar o aluno do saber matemático”; com relação ao

aluno, o que “importa é como ele se relaciona com o saber”; no

saber “predomina o caráter procedimental”.

V. Procedimentos metodológicos.

Nossa pesquisa é documental e para sua realização, utilizamos e

analisamos os seguintes documentos oficiais: “Guias Curriculares do Estado de

São Paulo”, de 1975, “Proposta Curricular do Estado de São Paulo”, de 1992, e

os “Parâmetros Curriculares Nacionais”, de 1998.

Os Guias Curriculares são um documento oficial proposto pela

Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, organizado para orientar as

escolas de 1º grau, no momento em que se estendia de quatro para oito anos a

duração da escolaridade obrigatória (LDB 5692/71). Sua publicação foi

realizada posteriormente à publicação de alguns livros didáticos que já

incorporavam propostas do Movimento da Matemática Moderna, como é o caso

da coleção “Matemática – Curso Moderno” de Osvaldo Sangiorgi, que iremos

analisar mais adiante.

Nos anos 80 a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo

elaborou Propostas Curriculares para cada uma das disciplinas do Ensino

Fundamental impulsionada pelo clima de abertura política e pela necessidade

de incorporar aos currículos, componentes de natureza social e cultural. O

processo de elaboração dessas propostas foi bastante inovador uma vez que

procurou contemplar a participação democrática dos professores. No caso

específico da Matemática, nessa proposta, são incorporadas as críticas que

vinham sendo feitas aos currículos orientados pelo Movimento da Matemática

Moderna. Uma dessas críticas era sobre a pouca ênfase conferida aos temas

geométricos.

No final dos anos 90, um dispositivo da LDBEN 9394/96 (artigo 9º, inciso

IV) definiu que a União deveria incumbir-se de estabelecer, em colaboração

com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes

para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão

os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação

básica comum.

Tal dispositivo levou à elaboração dos Parâmetros Curriculares

Nacionais, em âmbito nacional, em que

(...) pela primeira vez em nossa história, educadores que atuam em

diferentes níveis do sistema de educativo, debateram e indicaram

diretrizes curriculares comuns para o ensino fundamental no Brasil.

(PIRES, 2000, p. 56).

Além da análise da proposta para o ensino de Geometria nesses

documentos oficiais, em nossa pesquisa vamos analisar coleções didáticas

representativas de cada um dos períodos aos quais já fizemos referência.

Para melhor compreender as diferentes relações existentes entre a

leitura da legislação oficial e a interpretação feita pelos usuários, utilizaremos

os conceitos de representação e apropriação, segundo Chartier

O autor destaca que até mesmo a forma do livro determina os usos e

apropriações que dele serão feitos. Chartier enfatiza a existência de três pólos

que se inter-relacionam e, dessas inter-relações, dependem as apreensões de

significado realizadas pelo leitor:

“Toda reflexão metodológica enraíza-se, com efeito, numa prática

histórica particular, num espaço de trabalho específico. O meu

organiza-se em torno de três pólos, geralmente separados pelas

tradições acadêmicas: de um lado, o estudo crítico dos textos,

literários ou não, canônicos ou esquecidos, decifrados nos seus

agenciamentos e estratégias; de outro lado, a história dos livros e,

para além, de todos os objetos que contém a comunicação do

escrito; por fim, a análise das práticas que, diversamente, se

apreendem dos bens simbólicos, produzindo assim usos e

significações diferençadas” (CHARTIER, 1991, p. 178).

Posto isso, percebemos que a efetiva implementação, em sala de aula

ou num sistema de ensino, de uma determinada orientação, contida nos

documentos oficias, é cercada de “significados” que cada leitor produz a partir

dela, significados esses que podem conduzir a diferentes ações ou a novas

práticas em sala de aula: caso o leitor seja o docente ou o autor de livros; a

novas grades curriculares, discussões institucionais: caso o leitor seja gestor

ou coordenador de ensino.

Chartier ressalta também que:

Roger Chartier é historiador francês, nascido em 1945, realiza pesquisa em várias

frentes, entre elas podemos destacar: a história das instituições de ensino e das sociabilidades

intelectuais, a história do livro e das práticas de escrita e de leitura e a análise e o debate entre

política, cultura e cultura popular. (ANDRADES, 1999).

“Os que podem ler os textos, não os lêem de maneira semelhante,

e a distância é grande entre os letrados de talento e os leitores

menos hábeis, obrigados a oralizar o que lêem para poder

compreender, só se sentindo à vontade frente a determinadas

formas textuais ou tipográficas. Contrastes igualmente entre normas

de leitura que definem, para cada comunidade de leitores, usos do

livro, modos de ler, procedimentos de interpretação. Contrastes,

enfim, entre as expectativas e os interesses extremamente diversos

que os diferentes grupos de leitores investem na prática de ler. De

tais determinações, que regulam as práticas, dependem as

maneiras pelas quais os textos podem ser lidos, e lidos

diferentemente pelos leitores que não dispõem dos mesmos

utensílios intelectuais e que não entretêm uma mesma relação com

o escrito” (CHARTIER, 1991, p. 179).

Para o encaminhamento desta pesquisa é importante definirmos os

conceitos de representação, apropriação e leitura. Para isso, também

recorreremos aos estudos de Chartier.

A noção de representação leva-nos a duas definições que parecem, a

princípio, contraditórias. A primeira faz ver, na representação, uma ausência,

ou seja, “a representação é o instrumento de um conhecimento mediato que

faz ver um objeto ausente substituindo-lhe uma “imagem” capaz de repô-lo em

memória e de “pintá-lo” tal como é” (CHARTIER, 1991, p. 184). Essas imagens

podem ser materiais, como a representação que vem a tona quando

mencionamos a palavra “quadrado”, por exemplo; ou podem ser simbólicas,

como, por exemplo, quando falamos que “o Leão

mordeu uma grande parte do

meu salário”, em que a palavra “leão” simboliza a instituição da Receita

Federal. A segunda definição para representação “é a apresentação de uma

presença, a apresentação pública de uma coisa ou de uma pessoa”. Uma

relação de representação, portanto, é “entendida como relação entre uma

imagem presente e um objeto ausente, uma valendo pelo outro porque lhe é

homóloga” (CHARTIER, 1991, p. 184).

Já o conceito de apropriação, para Roger Chartier:

“... visa a uma história social dos usos e das interpretações,

referidas a suas determinações fundamentadas e inscritas nas

práticas específicas que as produzem...” (CHARTIER, 1991, p. 180).

Assim, percebemos que um mesmo texto pode ser diversamente

apreendido e compreendido.

Por fim, a leitura é, segundo Chartier, uma dupla apropriação: “de um

lado, a apropriação designa a ”efetuação”, a “atualização” das possibilidades

semânticas do texto; de outro, ela situa a interpretação do texto como a

mediação através da qual o leitor pode operar a compreensão de si e a

construção da “realidade” (CHARTIER, 1999, p. 123).

As coleções que iremos analisar são as seguintes:

A primeira coleção a ser analisada é “Matemática – Curso Moderno” de

Osvaldo Sangiorgi. O motivo de sua análise deve-se ao fato de ser a primeira

coleção destinada as quatro séries finais do ginásio

, que é considerada na

introdução do Movimento da Matemática Moderna em coleções didáticas e

também pelo fato do autor dessa coleção ser um dos responsáveis pela

divulgação das idéias desse movimento em nosso Estado.

A segunda coleção analisada é “A Conquista da Matemática” de José

Ruy Giovanni, Benedito Castrucci e José Ruy Giovanni Jr. Sua escolha deve-

se ao fato que ela foi adotada por muitos professores da Rede Pública no

segundo período de nossa análise.

Correspondente aos atuais quatro anos finais do Ensino Fundamental

Finalmente, a coleção “Matemática para todos” de Luiz Marcio Imenes e

Marcelo Lellis, terceira coleção de livros didáticos analisada, foi escolhida por

fazer parte do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD/2005), ser aprovada

pelo Ministério da Educação (MEC) e por ser uma coleção também bastante

conhecida entre os professores de Matemática da Rede Pública do Estado de

São Paulo.

VI Estrutura do trabalho.

Organizamos e estruturamos nosso trabalho em quatro capítulos.

No Primeiro Capítulo inicialmente procuramos descrever as

transformações ocorridas no período estudado, tomando o Movimento

Matemática Moderna como ponto de partida e analisamos como os Guias

Curriculares, documento oficial desse período, e a Coleção Matemática –

Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi, abordavam a Geometria.

No Segundo Capítulo analisamos como a Geometria era proposta no

período de influência da Proposta Curricular de Matemática do Estado de São

Paulo e a Coleção “A conquista da Matemática”, de Giovanni, Castrucci e

Giovanni Jr.

No Terceiro Capítulo, focalizamos nossa atenção na análise da

Geometria contida nos Parâmetros Curriculares Nacionais e na Coleção

“Matemática para todos” de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis.

No Quarto Capítulo apresentamos nossas considerações finais e as

conclusões dos estudos realizados em nossa pesquisa.

Capítulo

CapítuloCapítulo

Capítulo 1

1 1

A Geometria durante o período de 1960 a 1980

A Geometria durante o período de 1960 a 1980 A Geometria durante o período de 1960 a 1980

A Geometria durante o período de 1960 a 1980 –

––

– a

a a

influência do Movimento Matemática Moderna.

influência do Movimento Matemática Moderna.influência do Movimento Matemática Moderna.

influência do Movimento Matemática Moderna.

1.1. A Matemática Moderna – O contexto internacional.

O Movimento da Matemática Moderna foi, sem sombra de dúvida, um

dos principais marcos de reformas, provocando alterações curriculares em

países com sistemas educativos e realidades diversas.

Um dos principais aspectos que deu origem a esse Movimento foi o

chamado descompasso existente entre os avanços científicos e tecnológicos,

que se constituía na época, e a Matemática ensinada nas escolas de nível

médio. Com isso, “justificava-se” a necessidade de uma modernização dos

conteúdos matemáticos ensinados nesse nível (MIORIM, 1998).

As idéias desse Movimento se acentuaram nas décadas de 50 e 70.

Dentre os principais nomes ligados a ele, destacam-se: Papy (Bélgica), Dienes

(Canadá), Fletcher (Grã-Bretanha), Madame Krygowska (Polônia), Dieudonné,

pelo Grupo Bourbaki

, Choquet, Lichnerowicz, Revuz, Picard e Walusinski

(França).

No Brasil, um dos principais divulgadores desse Movimento foi o

Professor Osvaldo Sangiorgi e grupos como o Grupo de Estudos de Ensino da

Matemática - GEEM, no caso de Estado de São Paulo.

Segundo Charlot (1986), as principais intenções dos “organizadores”

desse Movimento eram a democratização do ensino da Matemática e a

adequação desse ensino à expectativa de que com isso fosse possível

impulsionar o progresso técnico e científico, visto que, após a reconstrução

pós-guerra, o mundo passava por um período de industrialização e

desenvolvimento econômico acelerado.

Outro fato importante, relacionado ao período pós-guerra, foi o

lançamento do SPUTINIK, em outubro de 1957, o que caracterizou uma

preocupação das elites ocidentais com seu suposto atraso tecnológico,

trazendo a modernização industrial para a pauta do dia (PIRES, 2000).

Sendo assim, para essa autora, esse Movimento “inscreveu-se muito

claramente numa política de formação a serviço da modernização econômica”

(PIRES, 2000, p. 9).

Segundo Burigo (2006), em discursos de organismos governamentais

europeus e norte-americanos, o investimento na melhoria do ensino de

Nicolas Bourbaki – pseudônimo escolhido por um grupo de matemáticos, na maioria

franceses, dentre eles, Chevalley, Dieudonné, Weil.

matemática e das ciências naturais ficou estritamente associado à aposta no

progresso técnico.

Em 1959, a Organização Européia de Cooperação Econômica – OECE

promoveu o Colóquio de Royaumont, tendo como meta a reformulação dos

currículos em vigor. Nesse Colóquio. Choquet apresentou um programa para o

ensino primário e secundário e Dieudonné proferiu seu “Abaixo Euclides”, frase

que acabou caracterizando a geometria euclidiana como símbolo da

matemática clássica.

A respeito do slogan “Abaixo Euclides”, Miorim escreve:

(...) podemos perceber por essas palavras de Dieudonné, que a

proposta de modernização pretendia “revolucionar” o ensino de

Matemática no nível médio, por meio da introdução de aspectos

da “moderna Matemática”, ou seja, da Matemática mais recente,

mais atual, mais nova, que estava sendo desenvolvida nas

últimas décadas, e pela eliminação de conteúdos tradicionais

(1998, p. 109).

Nos Estados Unidos, por volta do ano de 1956, houve uma grande

discussão em relação ao ensino de Matemática na escola secundária contando

com auxílios particulares (Carnegie Foundation, Rockfeller, Ford, etc.) e oficiais

(National Science Foundation – NSF). A partir desse momento diversos grupos

de estudos foram formados nesse país, destacando-se: o School Mathematics

Study Group (SMSG) e o National Council of Teachers of Mathmatics (NCTM).

O Movimento da Matemática Moderna teve grande repercussão nos

Estados Unidos. Os primeiros livros didáticos contemplando as propostas

desse Movimento começaram a ser publicados no final da década de 50 e

início da seguinte (LUZ, 2007).

Nos anos finais da década de 60, o Movimento teve uma grande

“aceleração” em diversos países. Em 1967, a Commission Internationale pour

l´Enseignement Mathématique – CIEM realizou um colóquio em Utrecht sobre o

tema “Como ensinar a Matemática para que ela seja útil” e, em 1969, organizou

em Lyon seu primeiro Congresso Internacional para o ensino de Matemática

(PIRES, 2000). Segundo essa autora, a preocupação central era a de se ter

uma Matemática útil para a técnica, para a ciência e para a economia moderna.

A origem dessa “Moderna Matemática” estava ligada à necessidade de

uma maior reflexão e fundamentação a respeito dos vários conceitos e teorias

novos, surgidos num período de experimentação dos estudos matemáticos,

principalmente aqueles ligados à mecânica e astronomia, ocorridos nos séculos

XVII e XVIII (MIORIM, 1998).

De acordo com Miorim (1998), a Matemática Moderna apresentava alto

nível de generalidade, elevado grau de abstração e maior rigor lógico,

constituindo-se com as estruturas e axiomatização. Ela surgiu com o

desenvolvimento dos três ramos seguintes:

1 – as extensões da noção de número e o aparecimento da

álgebra abstrata;

2 – o nascimento das geometrias não euclidianas de Gauss,

Lobatchevski e Bolyai, seguido mais tarde pelas axiomatizações

das geometrias de Euclides realizadas por Pasch, Peano e

sobretudo Hilbert (1899);

3 – o desenvolvimento da lógica, com a publicação da famosa

obra de Boole em 1854 e as contribuições, dentre outros, de

Frege e Peano, para culminar no monumental tratado de Russell

e Whitehead (Hernandez, in Piaget et al., 1986, p.20).

Para Pires (2000), as grandes bases curriculares preconizadas pelo

Movimento da Matemática Moderna foram incorporadas em vários países. Mas,

a partir do fim da década de 60 e início da década de 70, questionamentos

começaram a surgir.

Em 1973, foi publicada nos Estados Unidos uma das mais incisivas

críticas feitas ao Movimento Matemática Moderna, por um professor de

Matemática, Morris Kline. Nessa obra, esse autor focalizou o ensino da

Matemática nesse país, no período de 1930 a 1950, apontando todas as

questões que justificariam o fracasso do ensino da Matemática Moderna.

(VITTI apud BORGES, 2005, p. 67).

Nessa obra, o autor concluiu que as idéias de um novo currículo,

defendidas pelo Movimento, não oferecia motivação para o estudo da

Matemática. Ele concordava com a necessidade de inovação, mas não do

modo como foi estabelecida. Também criticou a linguagem precisa que os

modernistas queriam introduzir, utilizando-se de uma formalidade exagerada, o

que dificultava ainda mais a aprendizagem por parte dos alunos (KLINE apud

BORGES, 2005, p. 68).

MIORIM, Maria Ângela. Introdução a Historia da Educação Matemática. São Paulo. Atual.

1998. p.110.

Nesse mesmo ano, Choquet escreve um artigo, “L´École liberatrice”, em

que confessa:

“Eu estou estarrecido com o que constato no ensino da

escola primária e secundária. Fui um dos promotores da

reforma de ensino da Matemática, mas o que eu

preconizava era simplesmente uma poda de galhos

mortos, atravancadores, e a introdução de um pouco de

álgebra. Pois bem, em suma, os novos programas e as

instruções correspondentes são mais satisfatórios que os

antigos, em que pesem erros razoáveis; mas há toda uma

atmosfera nociva, que tem acompanhado seu

desenvolvimento. Em particular, um ataque contra a

Geometria e contra os recursos da intuição: foi dito aos

professores que seria lastimável que eles estudassem os

triângulos e que a Álgebra Linear substituiria toda a velha

geometria... o resultado é tal que, sem uma forte reação de

base, eu penso que a geração atual de nossa escola

receberá uma formação matemática que não a prepara

nem para a pesquisa, nem para a utilização da Matemática

em técnicas ou ciências experimentais” (Apud Charlot,

1986, pp.18/19)

A partir de 1973 as críticas se multiplicavam, constatando-se que o

colocado em prática não era um ensino renovado e democrático, mas um

ensino formalizado ao extremo, decepado de todo suporte intuitivo,

apresentado a partir de situações artificiais além de ser bastante seletivo

(PIRES, 2000).

Para Pires (2000), embora o Movimento da Matemática Moderna

contivesse equívocos desde sua concepção, além de ter possivelmente sua

implementação distorcida, o fato é que provocou discussões nas mais variadas

PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de

rede. São Paulo. FTD. 2000. p. 13.

partes do mundo, originando inclusive reformas que surgiram para dar novos

rumos ao ensino de Matemática.

1.2. A Matemática Moderna no Brasil.

Do mesmo modo que outros países, o Brasil também passava por um

processo de urbanização e industrialização, o que originava uma necessidade

de mão-de-obra especializada. O discurso da crescente importância do ensino

de Matemática face ao progresso técnico enfatizava a necessidade de

adequar-se à nova realidade social, sendo imprescindível uma melhor

qualificação de um número maior de técnicos ou cientistas por meio do ensino

(BURIGO, 1989).

As primeiras manifestações oficiais da introdução de novos programas

bem como a introdução da linguagem da Matemática Moderna, destinada aos

alunos da escola secundária, foram feitas nos Congressos Brasileiros do

Ensino de Matemática, realizados em Salvador (1955), Porto Alegre (1957) e

Rio de Janeiro (1959), com a participação de grupos restritos de professores.

Segundo Miorim (1998), apesar das idéias do Movimento terem sido

apresentadas e discutidas nesses congressos, não seriam esses congressos

que desencadeariam o Movimento da Matemática Moderna no Brasil. O grande

responsável seria o Grupo de Estudos de Ensino da Matemática (GEEM),

fundado em outubro de 1961, por professores do Estado de São Paulo, que

tinha como principal representante o professor Osvaldo Sangiorgi.

O GEEM foi um importante instrumento de divulgação do Movimento da

Matemática Moderna em todo o Brasil. De acordo com Valente (2007), esse

grupo foi bastante divulgado pela mídia, nessa época, conjugando as ações

que desenvolvia no palco dos debates nacionais sobre o ensino de matemática

co aproximação com a Diretoria do Ensino Secundário, na oferta de cursos

para professores.

Esse grupo contava com alguns professores renomados, tais

como: Anna Franchi, Benedito Castrucci, Irineu Bicudo, Lucília

Bechara, Manhúcia Liberman, Omar Catunda, Renate

Watanabe, Ruy Madsen Barbosa, Scipione Di Pierro Neto, entre

outros (VITTI apud Borges, 2005, p. 41).

No IV Congresso Nacional de Ensino da Matemática, realizado em

Belém – PA, em 1962, o GEEM apresentou alguns exemplos de trabalhos bem

sucedidos com a Matemática Moderna e divulgou uma proposta de programa

para a escola secundária, contendo as idéias modernizadoras.

No artigo "Introdução da Matemática Moderna no Brasil", Osvaldo

Sangiorgi (1970) relatava:

“... nos dois primeiros congressos, o problema da introdução da

Matemática Moderna foi tratado como um simples aceno

traduzido em algumas resoluções aprovadas em plenário e, no

realizado no Rio de Janeiro, foram aprovadas decisões no

sentido de serem experimentadas estas novas áreas da

Matemática e os resultados serem apresentados no congresso

seguinte; foi no congresso de Belém que se tratou com

objetividade a introdução da Matemática Moderna no ensino

secundário”. (p. 9).

Nesse IV Congresso, a Matemática Moderna foi o tema central das

discussões colocadas em pauta pelos professores participantes do evento.

Dentre os pontos de pauta desse congresso estavam a introdução da

Matemática Moderna na escola secundária, a experiência realizada em cursos

regulares experimentais e a reestruturação do ensino de Matemática ante a Lei

de Diretrizes e Bases (BURIGO, 1989).

O V Congresso Nacional de Ensino da Matemática foi coordenado pelo

GEEM, em 1966, realizado no Centro Técnico da Aeronáutica em São José

dos Campos – SP. Nesse Congresso foram realizadas sessões de estudos das

várias áreas da Matemática Moderna superior e proferidas conferências sobre

esse tema e o seu ensino. Nesse Congresso houve, pela primeira vez, a

participação de vários professores estrangeiros: Marshall Stone, dos Estados

Unidos, George Papy, da Bélgica, Hector Merklen, do Uruguai e Helmuth

Völker, da Argentina (MIORIM, 1998).

Além do GEEM, outros grupos de estudos foram criados em nosso país,

destacando-se: o GEEMPA – Grupo de Estudos de Ensino da Matemática de

Porto Alegre, o NEDEM – Núcleo de Estudos e Difusão de Ensino da

Matemática de Curitiba, o GEPEM – Grupo de Estudos e Pesquisas em

Educação Matemática do Rio de Janeiro e o grupo coordenado pelo professor

Omar Catunda na UFBA.

Segundo Miorim,

A organização da Matemática Moderna baseava-se na

teoria dos conjuntos, nas estruturas matemáticas e na

lógica matemática. Esses três elementos foram

responsáveis pela “unificação” dos campos matemáticos,

um dos maiores objetivos do movimento. Para isso,

enfatizou-se o uso de uma linguagem matemática precisa

e de justificações matemáticas rigorosas. Os alunos não

precisavam “saber fazer”, mas, sim, “saber justificar” por

que faziam. A teoria dos conjuntos, as propriedades

estruturais dos conjuntos, as relações e funções, tornaram-

se temas básicos para desenvolvimento dessa proposta

(MIORIM, 1998, p. 114).

A Matemática Moderna, segundo Miorim (1998), também não conseguiu

resolver os problemas do ensino dessa disciplina, ao contrário, chegou a

agravá-lo ainda mais. Os professores Carlos B. Lyra e Omar Catunda, já no

início desse movimento, alertaram para os riscos de um enfoque centralizado

apenas na linguagem.

Um dos fatores de esgotamento do Movimento no Brasil pode ser

atribuído à divulgação da proposta de Dienes, segundo a qual o rigor deveria

ser “construído” junto com os alunos e o erro, admitido como natural no

processo de aprendizagem (BURIGO, 1989).

No IX Colóquio Brasileiro de Matemática, o matemático Elon Lages Lima

apontou o ensino brasileiro como seguidor de modelos estrangeiros, que nem

eram “totalmente” aceitos nos próprios locais em que se originaram. Sendo

assim, esses modelos eram prejudiciais ao Brasil, não manifestando a

realidade do país (BURIGO, 1989).

Em 1975, num curso promovido pelo GEEM, realizou-se uma mesa

redonda com a participação de um representante oficial da Secretaria de

Educação do Estado de São Paulo, que pediu um balanço da implementação

da proposta da Matemática Moderna no Brasil (BURIGO, 1989).

Com questionamentos sobre as promessas de uma Matemática de

acesso a todos os alunos, começou o desgaste das propostas do Movimento

da Matemática Moderna .

Na preparação do III Congresso Internacional de Educação Matemática,

em 1976, houve uma reunião na qual o GEPEM – Grupo de Estudos e

Pesquisas em Educação Matemática manifestou que sua preocupação, diante

ao Movimento da Matemática Moderna, referente à avaliação do ensino em

sala de aula para posterior planejamento do conteúdo específico de ensino e o

método a ser realizado (BORGES, 2005).

Para Miorim (1998), “devido à forte penetração que o Movimento tinha

alcançado na prática, as propostas de sua modificação aconteceram de forma

lenta e paulatina” (p. 115).

Para Pires (2000), a Matemática Moderna foi veiculada principalmente

nos livros didáticos, não havendo uma adequada preparação dos educadores

nem suficiente discussão de seus propósitos.

Observamos que , pelo fato de em 1963, ter sido o ano de lançamento

da primeira edição da coleção de Osvaldo Sangiorgi, pela Companhia Editora

Nacional, e 1971 ter sido o ano de publicação dos Guias Curriculares, ocorreu

um fato bastante atípico: a coleção de livros didáticos encadeava as

“orientações” do que deveria ser feito em sala de aula, substituiu, de certa

forma, os programas oficiais que indicavam os conteúdos a serem ensinados.

1.3. A Geometria no Movimento da Matemática Moderna.

Segundo Pavanello (1989), na primeira metade do século XX o ensino

de conteúdos geométricos era marcadamente lógico-dedutivo e apenas no

terceiro ano ginasial (hoje 8º. ano do Ensino Fundamental) dava-se ênfase a

esses conteúdos, começando, em geral, com conceitos primitivos (ponto, reta e

plano), os primeiros postulados e axiomas, inúmeras definições e

demonstrações de teoremas.

Ainda para esta autora, mesmo antes do Movimento da Matemática

Moderna, o ensino da Geometria já enfrentava dificuldades por parte dos

professores que se sentiam despreparados para abordarem o assunto. Com a

implantação do ensino sob o enfoque das transformações, proposto pelo

Movimento, os professores acabaram tendo maiores dificuldades, o que pode

ter acarretado o gradual abandono do ensino da Geometria (PAVANELLO,

1993).

D´Ambrosio (1987) aponta que no período compreendido entre 1960 e

1970, nos cursos oferecidos pelo GEEM, a Geometria não foi uma área muito

discutida se comparada com a Álgebra e que também houve um reduzido

número de professores que se dedicavam ao seu estudo.

Leme da Silva (2007), em seu artigo sobre a “Geometria Escolar

Moderna de Osvaldo Sangiorgi”, tece um comentário do professor Benedito

Castrucci, participante do GEEM e autor de livros didáticos sobre Geometria, a

respeito do ensino da geometria:

Há um movimento para a substituição do conteúdo geométrico

no curso colegial e, talvez, no ginasial, por uma algebrização da

Geometria, tratando-a como um capítulo de Álgebra Linear.

Acreditamos que esta inovação preconizada por grandes

matemáticos não possa ser feita imediatamente, pois a nosso

ver seria, no momento, um passo ousado. (CASTRUCCI, 1968,

Prefácio, apud LEME DA SILVA, 2006, p. 3).

Nesse período, o professor Castrucci ministrou cursos de Geometria

para professores de Matemática que tinham como enfoque o tratamento dos

espaços vetoriais e as transformações geométricas. Segundo estudos de Leme

da Silva (2006) os professores não conseguiam compreender o que lhes eram

proposto.

Nas teses e dissertações que abordam o tema do Movimento da

Matemática Moderna encontramos muito poucas referências ao ensino da

Geometria. No Segundo Congresso de Educação Matemática, realizado na

cidade de Porto Alegre, Rio Grande do Sul, no ano de 1957, segundo Beatriz

D´Ambrosio (1987), o professor Ubiratan D´Ambrosio sugere que se introduza,

para o ensino secundário, o estudo de propriedades de diferentes conjuntos

numéricos e de estruturas algébricas de operações, assim como as estruturas

que podem ser observadas nas transformações geométricas.

Para execução do ensino de Geometria sob o enfoque das estruturas

fazia-se necessário um programa de formação de professores, pois esse

enfoque não era conhecido. Segundo Silva (2007), na prática ocorreu que

considerável número de professores deixavam de ensinar a Geometria ou

limitaram-se a fazer uma abordagem intuitiva dessas noções, sem qualquer

sistematização posterior.

Muitos membros do GEEM participaram de cursos sobre o ensino da

Geometria desenvolvidos em outros países e também participaram de

encontros internacionais. Para Burigo (1989), tentou-se dar à Geometria um

tratamento axiomático, com o uso das estruturas algébricas e da teoria dos

conjuntos, fato que levou o GEEM a organizar os seus cursos incluindo a

temática das transformações geométricas.

Como já dissemos, houve certo desequilíbrio entre a atenção dado a

Álgebra e a Geometria. Segundo Soares (2001), frases mal interpretadas

contra a geometria euclidiana, a geometria até então ensinada, deixaram ainda

mais critica a situação do ensino deste conteúdo no Brasil.

Uma das frases que mais acentuaram essa discussão em torno da

Geometria foi “Abaixo Euclides” de Jean Dieudonné, referindo-se à geometria

euclidiana, que era ensinada no ensino secundário.

Eu me lembro que teve uma frase, que ficou clássica, do

Dieudonné, em que ele declarou “Abaixo à Euclides”. E aí, [...] o

Dieudonné esteve no Brasil, foi a Santa Úrsula, fez palestra e

disse que o que quis dizer com essa frase, “Abaixo Euclides”,

era abaixo a escravidão do modelo da geometria euclidiana. Os

livros didáticos do Ensino Médio eram os Elementos de

Euclides. Nos países europeus isso até há um bom tempo era

assim. Então o que ele quis dizer era abaixo aquele modelo. E

ele era ligado ao grupo Bourbaki [...] e aí o que se entendeu era

que não se ensinava mais geometria euclidiana, e aí foi um

desastre muito grande. (RODRIGUES, apud SOARES, 2001, p.

65).

Na primeira Conferência Interamericana sobre Educação Matemática,

realizada na Colômbia em 1961, o professor Omar Catunda, teceu o seguinte

comentário sobre a frase de Jean Dieudonné:

Outro problema é que no Brasil é profundamente distinto do que

é na Europa, é o da geometria euclidiana [...] No Brasil, o

problema é outro. Com a liberdade que têm os professores de

dar apenas 75% do programa [...] se encontram com freqüência

estudantes que praticamente não aprendem nada de geometria.

[...], a fórmula que reivindicaria para o Brasil não é Abaixo

Euclides!, se não ao menos Euclides! (CATUNDA, apud

SOARES, 2001, p. 66).

Segundo Leme da Silva (2007), os diferentes posicionamentos no

Movimento da Matemática Moderna não traziam em seu ideário um consenso

sobre o ensino de geometria, tanto internacionalmente, como no Brasil.

Na década de 1960 e 1970, alguns participantes do GEEM, que já

publicavam livros, sentiram a necessidade, e muitos foram pressionados pelas

editoras, a publicar novos livros didáticos contendo os conteúdos e as

propostas do Movimento da Matemática Moderna.

No ano de 1963, a Cia. Editora Nacional lança no mercado o livro

didático: “Matemática – Curso Moderno”, de Osvaldo Sangiorgi, para o ensino

das séries ginasiais.

Segundo Valente (2007), diferentemente do que ocorria nos Estados

Unidos, em que os novos livros eram elaborados coletivamente e passavam

por “experimentação” até chegarem à sua versão final, Sangiorgi publicou seu

curso moderno, obra assinada por um só autor e sem trajetória experimental.

A nova coleção de matemática moderna alterou por completo a

organização do ensino de matemática para o ginásio. Sangiorgi,

ao que tudo indica, traçou uma estratégia para não depender de

portarias ou qualquer outro tipo legislação educacional, de modo

a referenciar o novo programa nacionalmente (VALENTE, 2007,

p. 21).

Valente (2007) faz um comentário sobre o impacto da obra de Sangiorgi

no Movimento da Matemática Moderna no Brasil:

A obra de Sangiorgi, autor que pela primeira vez elabora um

texto didático de matemática moderna para ser utilizado nos

ginásios, espalhou-se pelo Brasil. Os arquivos da Cia. Editora

Nacional contém cartas de diversos pontos do país, que pedem

a biografia de seu autor. São cartas de professores de

matemática, de normalistas e, também, de alunos. Isso indica

que a coleção de Sangiorgi ganhou novos mercados,

substituindo autores já conhecidos por professores e alunos. As

cartas pediam uma proximidade maior do autor das obras que

estavam sendo utilizadas no dia-a-dia escolar. A Editora,

sempre atenta, respondia aos pedidos enviando uma biografia

sumária de Sangiorgi (VALENTE, 2007, pp. 23-24).

1.4. Osvaldo Sangiorgi – um protagonista do Movimento.

O professor Osvaldo Sangiorgi nasceu em 09 de maio de 1921, no

Estado de São Paulo, formou-se em licenciatura em Ciências Matemáticas em

1941, pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da Universidade de São

Paulo. Licenciou-se em Física, também pela Universidade de São Paulo, em

1943. Obteve as seguintes titulações: Mestre em Lógica no Kansas, em 1961,

Doutor em Matemática pela Universidade de São Paulo, em 1973, e Livre–

Docente pela Escola de Comunicações e Artes, em 1977

A consulta realizada para elaboração deste capítulo é o APOS – Arquivo Pessoal de Osvaldo

Sangiorgi, que se encontra no GHEMAT – Grupo de História da Educação Matemática,

coordenado pelo Professor Doutor Wagner Valente.

O início de sua vida profissional foi no Instituto Feminino de Educação

Padre Anchieta, uma Escola Normal

do bairro do Brás, em São Paulo, onde

organizou seu curso de Matemática utilizando-se dos livros de Ary Quintella.

Lecionou na Kansas University, no Institut Eupen da Bélgica, no Institut

fur Kibernetisch Pedagogik da Alemanha, no Instituto de Cibernética de San

Marino, no Instituto de Cibernética de Nammur na Bélgica e em outras duas

dezenas de Universidades, da América à China, passando pela Europa e

África.

Integrou a Comissão de Tecnologia da Educação, o Grupo de Ensino de

Matemática, o Centro Paulista de Rádio e Televisão Educativas e vários

colegiados oficiais, todos voltados ao aprimoramento da Pedagogia da

Matemática.

Osvaldo Sangiorgi já vinha se interessando pelo ensino da Matemática

muito antes do Movimento da Matemática Moderna. Sua presença como aluno

no curso de Verão da Kansas University, onde teve aulas com o professor

George Springer, em 1960, e a vinda de Springer a São Paulo, levaram

Sangiorgi a fundar o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática – GEEM, em

31 de outubro de 1961.

Nesses cursos de Verão da Kansas University era ministrado o que de

mais atual em conteúdo e metodologia havia no mundo, principalmente em

Curso que tinha por objetivo formar professores para atuarem no magistério de ensino

primário (hoje Ensino Fundamental, ciclo I) e era oferecido em cursos públicos de nível

secundário (hoje Ensino Médio).

Matemática e Ciências. Eram muito bem estruturados e serviam de estágios de

formação para professores. (SILVA, 2007).

Antes mesmo da fundação do GEEM, Sangiorgi ministrou a disciplina

“Prática de Ensino da Matemática Moderna”, no “Curso de Especialização em

Matemática para Professores Secundários”, oferecido pela Universidade

Mackenzie em convênio com a Secretaria de Educação do Estado de São

Paulo e com o Departamento de Matemática da Faculdade de Filosofia,

Ciências e Letras da Universidade de São Paulo.

A presença do professor Osvaldo Sangiorgi era notória em tudo o que

dizia respeito à implantação de novos conteúdos e metodologias de ensino

relacionados ao ensino de Matemática, bem como na formação de professores,

o que caracteriza a fundação do GEEM por ele e por demais professores

renomados da época.

O GEEM e a articulação que o professor Osvaldo Sangiorgi tinha com o

Governo foram de grande influência na implantação e divulgação do

Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Esse grupo também teve grande

apoio financeiro através da Secretaria do Estado de São Paulo, o que

viabilizava suas atividades.

1.5. Os Guias Curriculares do Estado de São Paulo.

No sistema oficial de ensino do Estado de São Paulo, a Matemática

Moderna ficou especialmente registrada nos chamados Guias Curriculares, que

propunham uma orientação às escolas de 1º Grau

, que se estruturavam em

cursos de 8 séries, seguindo a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

(5692/71). Nesses Guias, constatamos sugestões de caráter metodológico,

definições de objetivos, além das apresentações dos conteúdos (PIRES, 2000).

Um fato importante a destacar é o de que, na época da publicação dos

Guias, já havia muitas discussões a respeito da orientação da Matemática

Moderna e, é possível constatar isso no próprio texto desse documento:

“Achamos conveniente dizer algumas palavras quanto à assim

chamada Matemática Moderna. Esse assunto tem dado

oportunidade a muitas polêmicas, a nosso ver estéreis.

Pensamos que todo problema se resume na infeliz escolha do

nome: Matemática Moderna. A Matemática não é moderna, nem

clássica: é simplesmente a Matemática. Ocorre que, como

muitas outras ciências, ela experimentou nos últimos tempos

uma evolução extraordinária, provocando uma enorme

defasagem entre a pesquisa e o ensino da matéria. O que deve

ser feito, e isso é importante, é uma reformulação radical dos

programas, para adaptá-los às novas concepções surgidas,

reformulação essa que deve atingir as técnicas e estratégias

utilizadas para a obtenção dos objetivos propostos. Nessa

acepção, achamos que o movimento que levou a uma

orientação moderna no ensino da Matemática é irreversível, no

sentido de um maior dinamismo na aprendizagem da mesma,

em contraste com a maneira estática como era apresentada.

Sentimos, portanto, que a orientação dada a um curso de

Matemática deve ser moderna e, para isso, é necessário que se

dê ênfase, no estudo da matéria, a certos aspectos que visam

destacar a indiscutível unidade da Matemática, mostrando-a

como uma construção única sem compartimentos estanques.

Dentre esses aspectos, gostaríamos de evidenciar dois deles,

Atual Ensino Fundamental.

que consideramos de importância fundamental: o papel central

desempenhado pelas estruturas matemáticas, estruturas essas

que podem ser evidenciadas no estudo dos campos numéricos

bem como na geometria, e o importantíssimo conceito de

relação e, mais especificamente, o conceito de função, que pode

ser abordado não só no estudo das funções numéricas, como

também no estudo das transformações geométricas. Além disso,

é de importância primordial destacar o papel do raciocínio

matemático”. (p.171, apud PIRES, 2000, p. 33).

Analisando-se o documento verificamos que ele revela a influência das

idéias da Matemática Moderna, mas destaca que os conceitos devem ser

obtidos por meio de atividades, manipulação de instrumentos adequados e

materiais didáticos apropriados, estabelecendo situações de aprendizagem

próximas das experiências dos alunos.

Esse documento traz a divisão dos conteúdos da disciplina de

matemática em quatro temas: 1) Relações e Funções; 2) Campos Numéricos;

3) Equações e Inequações e; 4) Geometria.

Na apresentação dos objetivos gerais para esta disciplina, encontramos:

1. Desenvolver a capacidade de: analisar, relacionar,

comparar, classificar, ordenar, sintetizar, avaliar, abstrair,

generalizar, criar.

2. Desenvolver hábitos de estudos, de rigor e precisão, de

ordem e clareza, de uso correto de linguagem, de concisão, de

perseverança na obtenção de soluções para os problemas

abordados e de crítica e discussão dos resultado obtidos.

3. Adquirir habilidades específicas para: medir e comparar

medidas, calcular, construir e consultar tabelas, traçar e

interpretar gráficos, utilizar e interpretar corretamente a

simbologia e a terminologia matemáticas.

4. Adquirir informações e conhecimentos sobre os diversos

tipos de conceitos e métodos utilizados na matemática.

5. Desenvolver a capacidade de obter, a partir de condições

dadas, resultados válidos em situações novas, utilizando o

método dedutivo.

6. Reconhecer a inter-relação entre os vários campos da

Matemática (GUIAS CURRICULARES, 1975, p.205).

1.5.1. A Geometria nos Guias

A Geometria, foco de nossa pesquisa, é tratada nos Guias no TEMA IV

em que se enunciam os seguintes objetivos:

• Adquirir conhecimentos que possibilitem uma compreensão

do mundo aparente.

• Adquirir habilidades em construções geométricas e

processos de medida.

• Desenvolver a intuição geométrica (GUIAS

CURRICULARES, 1975, p. 212).

A tabela abaixo é indicativa da apresentação desse tema.

Conteúdos 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º

(I) Figuras geométricas

a) Noções topológicas: interior,

exterior, fronteira; regiões,

conexidade.

x x X x x x

b) Noções projetivas: retas,

intersecções, convexidade.

X x x x

c) Noções afins: paralelismo e

semelhança.

x x x x X

d) Noções euclidianas: distâncias;

ângulos.

X x x x x X

(II) Transformações Geométricas.

a) Conceito. Invariantes.

x x X

b) Transformações através de

coordenadas.

(III) Medidas

a) Comprimento

X x (*) x

b) Áreas

(*) x (*) (*) (*) X

Quadro 1.1 – A Geometria nos Guias (Guias Curriculares, 1975, p. 212).

O sinal “x” está associado aos conteúdos citados explicitamente

e o sinal “(*)” indica citação implícita dos conteúdos nas

atividades ou nas resoluções de problema (Guias Curriculares,

1975, p. 212).

Nos conteúdos de 5ª a 8ª série ressaltamos a orientação no sentido de

que a Teoria dos Conjuntos fosse utilizada, além do método geométrico e o

emprego de resultados obtidos intuitivamente, como meio dedutivo para outras

propriedades.

Destacamos no texto a explicitação de transformação e a noção de

segmento orientado para, posteriormente, introduzir a noção de vetor. Mas há

indicações para a realização de experimentos como é o caso de introdução da

noção de área de quadriláteros pela utilização do papel quadriculado, por

contagem dos quadrados contidos na figura.

Os conteúdos são distribuídos da seguinte forma:

• 5ª Série – Geometria intuitiva;

• 6ª Série – Geometria intuitiva e construções geométricas;

• 7ª Série – Introdução ao emprego do raciocínio hipotético-

dedutivo da geometria;

• 8ª Série – Homotetia e Semelhança: Aplicações e Medidas:

comprimento do circulo; áreas.

Com relação aos conteúdos de 5ª Série, identificamos que os objetivos

visam à ampliação dos conhecimentos abordados anteriormente, em que se

faz uso da linguagem e da simbologia da Teoria dos Conjuntos para a

construção dos conceitos geométricos como auxilio na compreensão.

Na 6ª Série, os objetivos concentram-se no estabelecimento intuitivo dos

resultados geométricos, através de experiências e observações, congruência

de segmento de retas, de ângulos, ângulos determinados por duas paralelas e

uma transversal e na utilização de instrumentos geométricos, régua,

transferidor, esquadro e compasso, para construção de figuras geométricas e

compreensão dos conceitos.

Na 7ª Série, propõe-se a construção geométrica com régua e compasso;

o reconhecimento, de forma abstrata, dos conceitos geométricos; aquisição de

conhecimentos visando à sistematização da geometria; compreensão da

simetria axial e central como transformação do plano e o desenvolvimento de

demonstrações locais.

Os objetivos para a 8ª Série têm como foco a ampliação dos

conhecimentos sobre transformação; a utilização de procedimentos algébricos

na resolução de problemas geométricos e a compreensão de noções

trigonométricas para aplicação em outras disciplinas.

1.5.2. Subsídios para Implementação do Guia

Curricular de Matemática – Geometria para o 1º

Grau – 5ª a 8ª Séries

Após a publicação dos Guias Curriculares, a Secretaria de Educação do

Estado de São Paulo publicou os “Subsídios para a implantação dos Guias”. A

nosso ver, um dos motivos para tal publicação era a de oferecer informações

aos professores sobre temas como Teoria dos Conjuntos e Transformações

Geométricas, assuntos desconhecidos pelos professores da época e que

deveriam abordá-los em sala de aula.

A seguir, ilustraremos algumas atividades propostas nesse documento

que tinham os seguintes objetivos:

• Atividade 4: Determinar numa figura:

– os eixos de simetria;

– o centro de simetria.

• Atividade 5: Determinar a simétrica de uma figura:

– em relação a um eixo;

– em relação a um ponto.

• Atividade 6: Determinar os invariantes no caso de:

– uma simetria axial;

– uma simetria central.

• Atividade 7: Relacionar a simetria central com a simetria axial.

• Atividade 8: Construir um triângulo, conhecendo três dos seus

elementos – um dos quais deve ser um lado

• Atividade 9: Caracterizar os quatro casos de congruência de

triângulos.

• Atividade 10: Demonstrar utilizando os resultados obtidos:

– as principais propriedades dos triângulos;

– as propriedades dos quadriláteros.

• Atividade 11: Determinar as imagens de pontos do plano, por

meio de uma translação (SUBSÍDIOS PARA IMPLEMENTAÇÃO

DO GUIA CURRICULAR DE MATEMÁTICA – Geometria para o

1º Grau – 5ª a 8ª Séries, 1978, p. 39).

(Fac-símile dos Subsídios para Implementação do Guia Curricular de

Matemática – Geometria para o 1º Grau – 5ª a 8ª séries, 1978, pp. 42 – 47).

;

Nessas atividades, em que os conteúdos trabalhados foram as

transformações (simetria e translação) e as demonstrações de Congruência de

Triângulos e do Teorema de Pitágoras, fica evidente que, a cada atividade, o

documento vai orientando o professor, de maneira implícita, sobre as possíveis

dificuldades que podem ser encontradas em sala de aula e como se espera

que o professor aborde esses conteúdos.

1.6. A Coleção Matemática – Curso Moderno, de Osvaldo

Sangiorgi.

Como já foi mencionado, a coleção Matemática – Curso Moderno, de

Sangiorgi foi lançada em 1963 pela Companhia Editora Nacional e era

destinada às quatro séries ginasiais

. A primeira edição do quarto volume da

coleção foi lançada em 1967.

A seguir, podemos visualizar as capas dos quatro volumes dessa

coleção.

Atuais 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental.

Fig. 1.1 – Capa Sangiorgi V.1 Fig. 1.2 – Capa Sangiorgi V.2

Fig. 1.3 – Capa Sangiorgi V.3 Fig. 1.4 – Capa Sangiorgi V.4

Sendo a coleção de Sangiorgi, a primeira coleção de livros didáticos a

abordar as propostas do Movimento da Matemática Moderna, nos cursos

ginasiais, no Brasil, é importante destacar a posição que o autor tinha em

relação ao estudo da Matemática Moderna no ginásio, explicitada logo numa

das primeiras páginas do Volume I de sua coleção.

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 1.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 11ª Edição.

1.6.1. A análise dos conteúdos de Geometria na obra

de Sangiorgi

Neste item vamos analisar o conteúdo de Geometria proposto pelo autor

no terceiro e quarto volumes da sua coleção, destinados a 3ª e 4ª séries

ginasiais, atuais 8º. e 9º anos do Ensino Fundamental, respectivamente.

A análise referente aos dois primeiros volumes não se faz presente

devido ao fato dessa coleção não abordar em seu corpo texto os conteúdos de

Geometria.

O Volume 3 da coleção traz em seu índice, a seguinte relação de tópicos

geométricos:

Índice da matéria

Capítulo 3 – Estudo

das figuras

geométricas

Objetivos da Geometria, Figuras

geométricas planas; curvas fechadas

simples, Um pouco de Topologia...,

Relações e operações com conjunto de

pontos no plano, Estrutura de ordem;

relação ... estar entre ..., Semi-reta;

segmento de reta; semi-plano, Medida de

segmentos; segmentos congruentes,

Conceito de ângulo, Medida de ângulos;

Ângulos complementares; ângulos

suplementares, Praticas demonstrativas,

Ângulos formados por duas retas

coplanares e uma transversal,

Capítulo 4 – Estudo

dos Polígonos e da

circunferência

Conceito de polígonos, diagonais, Estudo

dos triângulos, Congruência de

triângulos,

Construção lógica da Geometria, Da

necessidade de provas, Postulados e

Teoremas da Geometria em estudo,

Primeiros Teoremas; forma “se – então”,

Como efetuar uma demonstração

lògicamente, Teorema recíproco de outro

teorema, Método indireto na

demonstração de um teorema, Alguns

teoremas fundamentais: ...sôbre

triângulos, ... sôbre retas paralelas, ...

sôbre ângulos, ... sôbre polígonos

convexos,

Quadriláteros: Paralelogramos; teoremas

fundamentais, Trapézios; teoremas

fundamentais,

Circunferência; teoremas fundamentais,

Circulo ou disco fechado, propriedades

das cordas, Posições relativas de duas

circunferências, Posições relativas da

reta e circunferência, Arcos de

circunferência; medida, Propriedades

fundamentais entre arcos e cordas,

Ângulos relacionados com arcos;

medidas, Polígonos inscritos e

circunscritos a uma circunferência,

Apêndice –

Transformações

geométricas planas

Grupo das translações, Corpo das

rotações, Simetrias,

Quadro 1.2. – Índice Volume 3 – Curso Moderno. Volume 3 (1971)

Após o índice, o livro nos traz uma carta, assinada pelo autor, destinada

aos estudantes desta série, em que Sangiorgi destaca o estudo da Geometria

como sendo o “bom-bocado” desse terceiro Volume.

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição.

O Capítulo 3 do terceiro Volume é dividido em quatro partes,

apresentadas a seguir:

1ª Parte – fazendo Geometria

– figuras geométrica planas;

– curvas fechadas simples;

– um pouco de Topologia.

2ª Parte – relações e operações com conjuntos de pontos no plano;

– semi-retas; segmento de reta; semi-plano;

– medidas de segmentos; segmentos; congruentes.

3ª Parte – ângulos; medida de ângulos; ângulos congruentes;

– problemas de aplicação.

4ª Parte – explorando demonstrações;

– ângulos formados por duas retas coplanares e uma

transversal.

Antes de iniciar a abordagem dos conteúdos geométricos nesse

capítulo, o autor apresenta os objetivos do ensino de Geometria e um pouco de

história sobre esse tema, conforme podemos ver na ilustração a seguir:

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição, p. 115.

Na primeira parte desse capítulo o autor vai desenvolvendo as noções

de ponto, linha ou curva, planos e figuras geométricas planas. Para introdução

desses conceitos geométricos o autor utiliza algumas das propriedades da

Teoria dos Conjuntos.

Ao final da primeira parte, o autor apresenta dois textos: o primeiro

deles recebe o título de NOTA IMPORTANTE, na qual o autor elucida alguns

conteúdos que estão sendo desenvolvidos (estudados) no ramo moderno da

matemática, no caso, uma breve introdução de Topologia e, no segundo,

denominado LEMBRETE AMIGO, o autor recapitula algo importante que foi

apresentado anteriormente ao aluno, provavelmente com o objetivo de que

esse resultado seja “fixado” pelo aluno.

No decorrer da primeira parte, constatamos a presença de exercícios de

fixação dos conceitos abordados e de testes de atenção, entre os quais

notamos exercícios com um grau de dificuldade um pouco maior dos

encontrados anteriormente.

Na segunda parte do capítulo, o autor trabalha o os conceitos de semi-

reta, reta, segmento de reta, semi-plano, medidas de segmento, segmentos

congruentes, inserindo a linguagem da teoria dos conjuntos e as propriedades

estruturais dos conjuntos e subconjuntos.

Vejamos como o autor “define” segmento:

Considere a reta r determinada pelos dois pontos distintos A e

Chama-se segmento AB ao conjunto de pontos de r constituídos

por A, por B e por todos os pontos que estão entre A e B. Os

pontos A e B dizem-se extremos do segmento. Indicação

(representam o mesmo conjunto de pontos).

O segmento de reta é uma figura plana simples que apresenta

pontos internos: são os pontos situados entre A e B, e pontos

externos: são os pontos da reta r que não pertencem a

AB.(SANGIORGI, 1971, v. 3, p.140).

Logo em seguida, o autor apresenta alguns exemplos de aplicação das

práticas modernas no estudo da Geometria, trabalhando com as operações

com conjuntos.

1. Na figura:

_________

ACBCAB =∪

(o segmento

___

é o conjunto dos pontos

que pertencem ao segmento

___

ou ao segmento

___

ou a

ambos)

}{

BBCAB =∩

______

(o ponto B é o único elemento comum aos

conjuntos

___

)

↔→→

=∪ ACBCBA

(por quê?)

2. Atenção: agora você pode definir o segmento como

intersecção das semi-retas, pois:

____

ABBAAB =∪

→→

(SANGIORGI, 1971, v.3, p.p. 143 – 144)

Na 2ª parte, podemos notar que em alguns exercícios solicita-se ao

aluno a utilização de instrumentos, tais como: régua e transferidor. Com

relação aos exercícios, novamente são propostos exercícios de fixação, em

que se abordam os conceitos estudados, exercícios práticos, alguns com

utilização de instrumentos e também os exercícios de atenção, em que o grau

de dificuldade aumenta.

Na terceira parte desse capítulo, o autor trabalha conceitos como os de

ângulos, medida de um ângulo, ângulos congruentes, relação de congruência

entre ângulos, a bissetriz de um ângulo, ângulos complementares e ângulos

suplementares. Com relação aos ângulos congruentes, Sangiorgi “define”:

Dois ângulos são congruentes se, e somente se, tem as

mesmas medidas. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 167)

Ele coloca essa “definição” em destaque para chamar a atenção do

aluno. Logo em seguida apresenta algumas propriedades:

A congruência de ângulos é por sua vez uma Relação de

Equivalência, pois valem as propriedades:

1º) Reflexiva:

BOABOA

2º) Simétrica:

PNMBOA

, então

BOAPNM

3º) Transitiva:

PNMBOA

ZYXPNM

, então

ZYXBOA

(SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 167)

Nessa terceira parte, já podemos perceber a utilização de

conhecimentos algébricos em alguns exemplos propostos pelo autor.

Com relação aos exercícios para essa parte, novamente constatamos

exercícios de fixação, exercícios práticos e exercícios de atenção. As

ilustrações apresentadas na sequência são demonstrativas de alguns

exercícios práticos e da utilização da linguagem algébrica,

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição, p. 161.

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição, p. 176.

Na quarta parte do capítulo, o autor trabalha com demonstrações e com

ângulos formados por duas retas coplanares e uma transversal. Nesta parte, o

autor já não utiliza tanto a teoria dos conjuntos. Segundo Miorim:

É interessante observar que nesse momento o autor parece

retornar a Euclides. A linguagem da teoria dos conjuntos é

abandonada e as demonstrações assumem o estilo euclidiano,

incluindo o tradicional final c.q.d. (MIORIM, 2005, p. 14).

Vejamos como Sangiogi apresenta a demonstração de que os ângulos

opostos pelo vértice são congruentes:

Sejam os ângulos o.p.v.:

BOA

DOC

, de medidas,

respectivamente: a e b.

Você deve provar que

a = b

Para concluir que os ângulos

BOA

DOC

são congruentes.

Ora: a + x = 180º (resultado conhecido)

x + b = 180º (idem)

a + x = 180º

⇔

a = 180º - x

a = b

x + b = 180º

⇔

b = 180º - x

Então, se a = b, os ângulos

BOA

DOC

são congruentes.

c.q.d.

(SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 179)

O interessante é que o autor realiza essas demonstrações “passo a

passo”, para que o aluno adquira esse hábito. Na verdade, o trabalho com as

demonstrações e provas recebe um foco maior no quarto capítulo deste

volume.

Depois de realizar algumas demonstrações, Sangiorgi deixa a cargo do

estudante a realização de alguns exercícios para que ele refaça tais

demonstrações.

Logo depois dos exercícios, inicia-se o estudo de ângulos formados por

duas retas coplanares e uma transversal, explorando ângulos correspondentes,

alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos.

O capítulo 4 desse terceiro volume é divido em quatro partes, em que

são trabalhados os seguintes tópicos:

1ª Parte – polígonos; triângulos

– congruência de triângulos

2ª Parte – construção lógica da Geometria

– da necessidade de provas

– ... alguns teoremas fundamentais

3ª Parte – quadriláteros: paralelogramos e trapézios;

– teoremas fundamentais

4ª Parte – circunferências: teoremas fundamentais

– arcos de circunferência; medida

– ângulos relacionados com arcos; medida.

Na primeira parte desse capítulo ele faz um estudo sobre o conceito de

polígonos, suas diagonais, nomenclatura dos polígonos conforme o número de

lados e polígonos convexos. Há uma “volta” aos conceitos elaborados no

primeiro volume de sua coleção, só que desta vez percebemos um estudo mais

aprofundado.

Ainda nessa primeira parte o autor propõe um estudo dos triângulos

destacando os elementos principais, as relações dos ângulos de um triângulo

para depois fazer um estudo da congruência de triângulos.

Vejamos como Sangiorgi nos apresenta os casos de Congruência de

Triângulos em sua coleção:

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição, pp. 220 – 225.

1º Caso – L.A.L (lado, ângulo, lado)

2º Caso – A.L.A (ângulo, lado, ângulo):

3º Caso – L.L.L (lado, lado, lado):

4º Caso – L.A.A

(lado, ângulo, ângulo oposto):

Após a realização do trabalho com os casos de congruência de

triângulos, o autor propõe alguns exercícios de atenção sobre esses

conteúdos. Nesse tipo de exercício, o autor apresentar alguns exemplos em

que utiliza conteúdos abordados anteriormente, mas agora na realização de

provas, conforme segue:

3. Justifique o “porquê” da congruência dos

triângulos que fazem parte da mesma

figura.

Dados

BCAC

______

; m = n, “prove” que

BCDACD

∆

Solução:

Basta empregar um dos casos de congruência estudados,

desde que se disponha de três elementos correspondentes,

respectivamente congruentes, guardando a mesma posição.

Como:

( )











figuranamesmooé

CDCD

BCAC

____

Segue-se que BCDACD

∆

pelo caso L.A.L. (SANGIORGI,

1971, v. 3, p. 229)

Dados alguns exemplos desse tipo, o autor propõe aos alunos

exercícios em que solicita que “realizem a prova”.

Na segunda parte do capítulo, Sangiorgi trabalha a construção lógica da

Geometria, a necessidade de provas e alguns teoremas fundamentais.

Logo no início, o autor chama a atenção dos estudantes para o seguinte

fato relativo ao ensino da Geometria: “não estamos habilitados a aceitar certos

resultados pelo fato de ”estarmos vendo”, o que pode levar-nos a conclusões

falsas. Quanto à necessidade de um processo dedutivo, Sangiorgi argumenta:

Suponhamos que você tenha verificado experimentalmente que

os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Mesmo que essa propriedade seja verdadeira para “um milhão

de triângulos isósceles” sem que a verificasse para um triângulo

de cada vez!

Daí a necessidade de se ter um processo dedutivo –

denominado demonstração – que possa justificar plenamente

ser verdadeira a citada propriedade para qualquer triângulo

isósceles, independentemente do tamanho da figura ou da

precisão com que foi desenhada. Êste é o poder de

generalização de uma demonstração em Matemática, que

permite construir logicamente a Geometria.

Demonstra-se que a informação expressa numa sentença é

verdadeira, mediante um processo dedutivo, desenvolvido

sucessivamente por intermédio de resultados conhecidos, mais

elementares, já comprovados ou aceitos como verdadeiros.

(SANGIORGI, 1971, v. 3, p.p. 232-233)

No texto acima, percebemos que o autor busca convencer o estudante

da importância das demonstrações e do processo dedutivo. Feito isso,

Sangiorgi começa a desenvolver algumas questões de lógica, como o descrito

a seguir:

Todo paulista é brasileiro. João é paulista. Logo … (João é

brasileiro).

Nota: Se todo paulista é brasileiro, João, sendo paulista, está

incluído no todo … e quem pode “o mais” pode “o menos”!

Todo paulista é brasileiro. João é brasileiro. Logo …

Nota: Nada se pode concluir, pois ser brasileiro não significa ser

paulista – embora não esteja excluído – podendo ser baiano,

gaúcho, …, e o fato de poder “o menos” não implica poder “o

mais”! (SANGIORGI, 1971, v.3, p. 233).

Na sequência, explica o que vem a ser teoremas e postulados e também

realiza algumas observações, antes de iniciar as demonstrações, como por

exemplo, a respeito do significado do “se...então”.

Vejamos como Sangiorgi realiza uma dessas demonstrações.

Dados:

MBAM

______

= ,

___

é perpendicular a

___

perpendicular a

___

Provar:

BMQAMP ∆=∆

Demonstração:

Afirmações:

≅

(retos)

MBAM

______

QMBPMA

4) BMQAMP ∆=∆

Justificações:

___

é perpendicular a

___

é perpendicular a

___

2) Hipótese

3) o.p.v

4) A.L.A

c.q.d.

(SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 242)

Convém destacar que em páginas anteriores a essa demonstração, ao

apresentar alguns postulados, o autor tece um breve comentário sobre a

Geometria Euclidiana.

Na terceira parte desse capítulo, Sangiorgi explora os quadriláteros.

Logo no início dessa terceira parte, o autor utiliza o Diagrama de Venn para

mostrar relações entre conjuntos de figuras quadriláteras como vemos na figura

a seguir.

Fig. 1.5 - Quadriláteros

Após isso, o autor apresenta teoremas relativos a quadriláteros,

propriedades características dos retângulos, dos losangos e dos quadrados e

às diagonais dessas formas. Depois faz o estudo dos trapézios.

Nessa parte também encontramos exercícios de fixação, de aplicação e

testes de atenção, característicos nessa obra.

Na quarta parte do capítulo, encontramos um estudo sobre

circunferência, arcos de circunferência e suas medidas, ângulos relacionados

com arcos e alguns teoremas sobre o tema. O autor trabalha definições de uma

circunferência, as construções de circunferências por meio de pontos dados, as

relações entre circunferências, as cordas e suas propriedades, os arcos e

ângulos da circunferência e, os polígonos inscritos na circunferência. Nas

demonstrações, o autor ainda utiliza a geometria euclidiana.

Nessa parte, o autor propõe um número muito grande de exercícios aos

alunos, nos mesmos moldes dos exercícios encontrados nas partes anteriores

do capítulo (exercícios de fixação, de aplicação e testes de atenção).

No apêndice desse volume, é proposto um estudo sobre as

transformações geométricas, principal conteúdo de geometria no ginasial

segundo as idéias do Movimento da Matemática Moderna e de seus

idealizadores.

Com relação ao tópico das Transformações Geométricas constar

apenas no apêndice, Miorim (2005) faz o seguinte comentário:

[...] o livro apresenta um apêndice sobre geometria, intitulado

‘Transformações geométricas planas’. Isso é um indicativo de

que o autor não parece ter se sentido à vontade para incorporar

as discussões mais teóricas acerca das transformações

geométricas no corpo do texto (MIORIM, 2005, p. 13).

Pode-se conjecturar que sendo a coleção do professor Osvaldo

Sangiorgi a primeira no Brasil a adotar as propostas do Movimento da

Matemática Moderna, talvez o autor não tenha se sentido à vontade para

colocar esse estudo no corpo do texto, por ser pouco conhecido pelos

professores.

Nesse apêndice, Sangiorgi trata as transformações geométricas por

meio das translações, das rotações e da simetria.

No Grupo das translações o autor chama de segmento orientado, o que

é conhecido de vetor, e traz a seguinte definição:

Seja o segmento

___

, determinado pelos pontos A e A’ da reta

O segmento AA’ diz-se orientado quando se fixa um dos dois

sentidos com que se pode percorrê-lo: de A para A’, ou o seu

oposto: de A’ para A.

Tais sentidos serão assinalados por setas e o segmento

orientado de A para A’ terá a seguinte indicação:

→

(SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 301)

O autor também apresenta a translação no plano e a translação de

figuras planas. Quanto à translação de figuras planas, Sangiorgi apresenta um

triângulo ABC e um segmento orientado

→

e solicita a translação desse

triângulo segundo esse segmento e, diz:

[...] Basta traçar pelos seus vértice, respectivamente, os

segmentos paralelos e congruentes ao segmento orientado

→

(SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 303)

A solução desse problema é apresentada na figura abaixo.

Fig. 1.6 – Translação.

No grupo das rotações, o autor “explica” o que vem a ser rotação,

destacando que precisa de um ponto para rotacionar alguma figura em torno

desse ponto. Trabalha a rotação de figura em torno de um ponto e os arcos co-

terminais.

Com relação à rotação de uma figura em torno de um ponto, Sangiorgi

mostra um exemplo e diz que transformar um triângulo ABC em um triângulo

A’B’C’, por meio de uma rotação:

[...] é efetuar a rotação, de centro O e amplitude W, que

transforma os vértices A, B e C, respectivamente, nos vértices

A’, B’ e C’ (SANGIORGI, 1971,v. 3, p. 307).

Podemos visualizar a resolução desse exemplo na figura abaixo.

Fig. 1.7 - Rotação

Na parte de simetrias, Sangiorgi mostra, através de exemplos, a simetria

axial, utilizando para isto um exemplo com ponto e outro com uma figura plana

(quadrilátero) e a simetria central.

O autor “define” simetria central como:

A transformação no plano que a cada ponto faz corresponder o

seu simétrico, com relação a uma reta, é denominada

SIMETRIA AXIAL. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 310).

A seguir, mostramos um exemplo encontrado em sua obra.

Fig. 1.8 – Simetria Axial

Na figura acima, temos o quadrilátero MNPQ e seu simétrico M’N’P’Q’

com relação ao eixo de simetria r.

Com relação à simetria central, Sangiorgi “define”:

A transformação no plano que a cada ponto faz corresponder o

seu simétrico, com relação a um centro fixo O, é denominada

SIMETRIA CENTRAL. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 311).

Após essa definição apresenta o exemplo ilustrado abaixo, relacionando

o segmento

___

e seu simétrico

___

, o triângulo ABC e seu simétrico A’B’C’,

com relação ao centro de simetria O.

Fig. 1.9 – Simetria Central

Depois desse exemplo, Sangiorgi apresenta uma “nota” informando: “A

simetria central é uma rotação especial (R

180º

) em torno do centro O”.

Também apresenta um exemplo prático que mostramos a seguir.

Qual é o menor caminho que uma bolinha A tem de percorrer

para bater numa bolinha B, tocando uma só vez num dos

lados de uma mesa, como mostra a figura? Basta:

1º) construir A’ simétrico de A, em relação ao lado l da mesa.

2º) determinar a intersecção de A’B com l, isto é:

}{

=∩

___

O ponto C, no lado l da mesa, é onde a bolinha deve tocar

para, a seguir, bater em B, percorrendo o menor caminho.

(SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 311)

Feito o estudo das transformações geométricas são apresentados ao

estudante alguns exercícios, denominados pelo autor como “testes de

atenção”. Ao todo, podemos contar dez exercícios, nos quais o estudante

aplica o que foi verificado nos exemplos dado no texto e alguns ainda

apresentam modelos de resolução.

Como podemos constatar o tema Transformações Geométricas não

ganhou muito destaque na obra de Sangiorgi, por ser apresentado no

apêndice. Quanto à inclusão desse conteúdo como apêndice, Sangiorgi tem a

seguinte justificativa:

é possível que, se a exploração da matéria da 3ª Série

Ginasial consumir todo o tempo disponível, o importante

estudo das Transformações Geométricas seja deixado para a

4ª série. Daí o fato de constar no Apêndice. (SANGIORGI,

1967, p.76 apud LEME DA SILVA, 2007, p. 13).

Passemos à análise do quarto volume desta coleção.

No prefácio desse volume, Sangiorgi novamente apresenta uma carta

destinada ao aluno e relata sobre o fato de esse aluno estar entre os primeiros

jovens do Brasil que irão completar o curso ginasial sob a perspectiva das

estruturas da Matemática Moderna:

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição.

Os conteúdos de Geometria, nesse volume, aparecem no terceiro (e

ultimo) capítulo que é divido em quatro partes sob os seguintes tópicos:

Capítulo 3 – Semelhança

1ª Parte – Razão e proporção de segmento;

– Feixe de paralelas; Teorema de Tales

2ª Parte – Semelhança como correspondência;

– Semelhança de triângulos e de polígonos;

– Semilitude Central ou Homotetia;

– Razões trigonométricas de ângulos agudos;

3ª Parte – Relações métricas no triângulo retângulo;

– Teorema de Pitágoras;

– Práticas usuais;

– Projeção ortogonal

– Relações métricas num triângulo qualquer;

– Relações métricas no circulo.

4ª Parte – Polígonos regulares;

– Relações métricas nos polígonos regulares;

– Medida da circunferência;

– Cálculo de

Na primeira parte desse capítulo, o autor trabalha a razão e proporção

de segmentos, feixe de retas paralelas para, posteriormente, tratar do teorema

de Tales, que ele apresenta assim:

Um feixe de retas paralelas determina sôbre duas transversais

segmentos proporcionais (SANGIORGI, 1968, V. 4, p.146)

Na sequêcia ele traz a seguinte demonstração:

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 146 – 147.

100

101

Seguem-se exercícios de fixação e testes e atenção sobre o conteúdo

abordado nessa primeira parte, com a mesma dinâmica dos exercícios

propostos no Volume 3 de sua coleção: os exercícios de fixação são propostos

para a aplicação do conceito estudado e os testes de atenção são exercícios,

ou problemas, com um grau de dificuldade maior, geralmente envolvendo

aplicações ao “mundo real”.

Depois desses exercícios, o autor aborda o Teorema de Tales no

triângulo e propõe alguns problemas que envolvem a utilização desse Teorema

(conforme ilustração a seguir).

102

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 150 – 151.

103

104

Na 2ª parte do capítulo, o autor inicia o trabalho pelo estudo da

semelhança entre figuras geométricas para depois iniciar o tópico de

semelhança de triângulos.

Com relação à semelhança de triângulos, o autor apresenta o Teorema

fundamental sobre triângulos semelhantes e os três casos de semelhança de

triângulos, conforme podemos ver:

105

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 159 – 162.

106

107

108

Na sequência, é apresentada uma bateria de exercícios para que o

aluno resolva e em alguns desses exercícios é solicitado que o aluno “prove”

algo, identificando “hipótese”, “tese”, conforme apresentado em exemplos pelo

autor.

109

Ainda nessa parte, o autor aborda a similitude central ou homotetia. É

uma abordagem bem sucinta, como podemos ver a seguir. Com relação aos

exercícios que abordam este tópico, o autor propõe apenas dois seguindo o

mesmo modelo dos exemplos dados.

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 169 – 171.

110

111

112

Depois desse tópico, a obra traz as razões trigonométricas no triângulo

retângulo, trabalhando com o seno, o cosseno e a tangente do ângulo. São

propostos vários exercícios de fixação e atenção, nesses últimos, mais uma

vez o autor relaciona o mundo “real”, vivido pelo aluno, apresentado várias

ilustrações.

Na terceira parte do capítulo, o autor trabalha as relações métricas no

triângulo retângulo incluindo o Teorema de Pitágoras nessa abordagem. O

autor apresenta as relações e logo depois as demonstra, conforme podemos

ver a seguir.

113

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 183 – 186.

114

115

116

Na sequência, o autor trabalha a projeção ortogonal, as relações

métricas num triângulo qualquer e as relações métricas no círculo. Com relação

ao ultimo tópico explora a relação de corda com corda (1ª relação), secante

com secante (2ª relação) e secante com tangente (3ª relação), conforme

páginas a seguir.

117

Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4.

Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 199 – 200.

118

119

Nesses tópicos, a obra traz exercícios de fixação, exercícios de

aplicação, testes de atenção e problemas exploratórios sobre as relações

métricas no círculo.

Na quarta parte do capítulo, o autor trabalha os polígonos regulares, a

medida da circunferência e o cálculo de

. Com relação aos polígonos

regulares, é explorada a inscrição e a circunscrição de polígonos na

circunferência, os elementos principais de um polígono regular, com destaque

aos ângulos desses polígonos e a relação dos lados desses com sua

construção dos mesmos. No tópico de medida da circunferência, Sangiorgi

trabalha com a medida do raio e do diâmetro da circunferência e a relação

entre eles.

Nesse volume, a obra contempla em seu apêndice as áreas de regiões

planas e mapas topológicos. Com relação ao tópico de áreas, o autor

apresenta a figura de um lado e a “fórmula” de sua área do outro, mas não

apresenta demonstrações dessas fórmulas.

120

1.7. Os Guias Curriculares e a Coleção de Osvaldo

Sangiorgi.

Comparando os Guias Curriculares com a coleção Matemática Curso

Moderno, podemos perceber que os conteúdos que o documento oficial traz

são trabalhados na obra de Sangiorgi, mesmo que em ordem ou séries

diferentes. Enquanto o Guia é propõe um trabalho com a Geometria desde a 5ª

série, a coleção de Sangiorgi inicia o estudo da Geometria apenas no volume

3, destinado a 3ª série ginasial ( atual 7ª série).

As demonstrações de teoremas presentes na obra podem ser

compreendidas como uma atenção ao quesito de “rigor” mesmo que a

linguagem adotada estivesse muito distante da possibilidade de compreensão

de alunos dessa faixa etária.

Percebemos que o Guia enfatiza o uso da linguagem dos conjuntos e a

questão do trabalho com as transformações geométricas. Na coleção

analisada, notamos o uso da linguagem dos conjuntos até o final do terceiro

capítulo do volume 3 – e com relação ao trabalho com as transformações

geométricas, como já mencionamos, Sangiorgi o apresenta apenas no

apêndice do terceiro volume, trabalhando as simetrias e rotações, e no quarto

volume em que trabalha a homotetia, mas sem grande ênfase.

Tanto a coleção de Sangiorgi como os Guias Curriculares se apoiavam

nas orientações do Movimento da Matemática Moderna veiculadas por obras

como do SMSG.

121

Retomando os modelos teóricos de referência que já foram

apresentados, consideramos que tanto nos guias como na coleção didática de

Sangiogi, predomina Modelo Euclidianista, segundo o qual todo o

conhecimento pode deduzir-se de um conjunto finito de proposições

verdadeiras (os axiomas), cujas regras lógicas de dedução permitem chegar

destes ao teorema.

122

Capítulo 2

Capítulo 2Capítulo 2

Capítulo 2

O ensino de

O ensino de O ensino de

O ensino de Geometria

Geometria Geometria

Geometria após

após após

após o Movimento da

o Movimento da o Movimento da

o Movimento da

Matemática Moderna

Matemática ModernaMatemática Moderna

Matemática Moderna (1980

(1980 (1980

(1980 –

––

– 1998)

1998) 1998)

1998)

Esse período é marcado por preocupações que integravam o quadro

mundial e bem diferentes das do tempo da corrida espacial, em que se inseria

o Movimento da Matemática Moderna (PIRES, 2000). Buscava-se uma

transformação dos modelos de desenvolvimento, de educação, de civilização.

Segundo Pires (2000), a humanidade parecia começar a tomar

consciência da iminência do desastre planetário, da explosão demográfica, da

redução dos recursos naturais. Com isso, surgiram novos paradigmas, o que,

conseqüentemente, trouxeram novos desafios à educação, em especial, ao

ensino da Matemática.

Nessas décadas de 80 e 90, vários países realizaram reformas e as

implementaram. No Brasil isto também ocorreu.

Em nossa pesquisa, para esse momento, analisaremos as Propostas

Curriculares do Estado de São Paulo

15 O documento que analisamos é o da 4ª edição, publicado em 1992.

123

2.1. A Proposta Curricular do Estado de São Paulo.

Em 1985, a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo iniciou a

elaboração das Propostas Curriculares para o ensino de 1º e 2º graus

. Nos

documentos percebe-se que a construção da proposta foi precedida de

reflexões sobre o papel da Matemática no currículo e sobre problemas

identificados em seu ensino, em decorrência de algumas práticas relacionadas

ao Movimento da Matemática Moderna. O documento apresentava uma análise

crítica dos Guias Curriculares (PIRES, 2000).

Para a elaboração dessas Propostas reuniram-se a Equipe de

Matemática da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP,

professores da rede estadual, monitores de Matemática e docentes da USP,

UNICAMP e UNESP.

No prefácio dessas Propostas, são apresentados os problemas relativos

ao ensino da Matemática que deram origem a elaboração desse documento:

•

a preocupação excessiva com o treino de habilidades com a

mecanização de algoritmos, com a memorização de regras e

esquemas de resolução de problemas, com a repetição e

imitação e não com uma aprendizagem que se dê, inicialmente,

pela compreensão de conceitos e de propriedades, pela

exploração de situações-problema nas quais o aluno é levado a

exercitar sua criatividade, sua intuição;

•

a priorização dos temas algébricos e a redução ou, muitas

vezes, eliminação de um trabalho envolvendo tópicos de

Geometria;

•

a tentativa de se exigir do aluno uma formalização precoce e

um nível de abstração em desacordo com o seu

16 Atuais Ensino Fundamental (antigo 1º grau) e Ensino Médio (antigo 2º grau).

124

amadurecimento (PROPOSTA CURRICULAR PARA O ENSINO

DE MATEMÁTICA 1º GRAU, 1992, p. 7).

O documento apresenta os conteúdos em diferentes níveis de

abordagem, respeitando a integração dos temas a serem abordados e, o seu

desenvolvimento se dá “em espiral”, justificando-se que:

Desse modo, uma mesma noção deverá ser retomada em

diferentes ocasiões, que sejam convenientes, de modo a

permitir sua elaboração e reelaboração por parte do estudante,

desde um primeiro contato, em que ele capta intuitivamente as

idéias básicas e as aplica em situações-problema, até a fase em

que é utilizado o pensamento lógico-dedutivo, permitindo uma

progressiva formalização e sistematização do conceito enfocado

(PROPOSTA CURRICULAR PARA O ENSINO DE

MATEMÁTICA 1º GRAU, 1992, p. 8).

As concepções que nortearam a realização desse trabalho foram: o

lugar da Matemática no currículo; os conteúdos e a abordagem; a Matemática

e a linguagem; a extensão dos programas; o papel da avaliação; e a

estruturação da proposta.

Os conteúdos matemáticos nessa proposta estão divididos em três

grandes temas: Números, Geometria e Medidas. Por meio deles pretendia-se

atingir as grandes metas para o ensino da Matemática na escola básica: as

aplicações práticas e o desenvolvimento do raciocínio lógico (Proposta

Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992).

Com relação à Geometria, documento sugeria partir da manipulação de

objetos, do reconhecimento das formas mais freqüentes, de sua caracterização

através das propriedades, da passagem de relações entre objetos para o

encadeamento de propriedades para, somente ao final do percurso, aproximar-

125

se de uma sistematização (Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º

grau, 1992).

2.1.1 O tema Geometria na Proposta Curricular

Antes de iniciarmos com os assuntos de Geometria para cada série, vale

ressaltar que esse documento traz as metas / objetivos a serem alcançados em

cada série, apresentando sugestões de distribuição, detalhamento e integração

dos temas.

O tema de “Medidas”, segundo o documento, é uma junção entre os

temas de Números e Geometria. Em nossa pesquisa, focaremos apenas o

tema de Geometria.

Os objetivos da 5ª Série indicam que se espera que o aluno:

•

Tenha noções de reta, semi-reta e segmento de reta.

•

Identifique retas paralelas, retas concorrentes e retas reversas.

•

Identifique altura de triângulos, paralelogramos e trapézios.

•

Conheça os elementos de uma circunferência e de uma

superfície esférica.

•

Divida a circunferência utilizando dobraduras, compasso ou

transferidor em 2, 3, 4, 6, 8 arcos iguais.

•

Determine a porcentagem que cada uma das partes da

circunferência representa em relação à circunferência.

(Pro

posta Curricular par o ensino de Matemática 1º grau, 1992, p. 74):

126

Nesses objetivos podemos notar a presença do experimentalismo,

quando é sugerida a utilização de dobraduras, compasso ou transferidor na

divisão da circunferência. Além disso, o documento sugere ao professor que os

alunos trabalhem com anéis, cortes em cartolina, massas de modelar, cilindros,

cones, bolinhas de pingue-pongue, bolinhas de isopor, materiais manipuláveis

de forma geral, ao trabalhar o conceito de circunferência, circulo e esfera, bem

como suas relações. Também é proposta a utilização do compasso na

construção da figuras.

Os objetivos da 6ª Série indicam que se espera que o aluno:

•

Desenvolva a noção de ângulo e de ângulo central através de

experimentações e construções

•

Identifique a posição de dois segmentos perpendiculares com

o fato de eles formarem um ângulo de 90º, bem como,

reconheça e nomeie pares de segmentos perpendiculares

existentes em configurações planas e de pares de arestas

perpendiculares existentes em configurações espaciais.

•

Identifique o perpendicularismo entre retas e planos

experimentalmente e inferido que uma reta só é perpendicular a

um plano A, quando for perpendicular a qualquer reta contida

nesse plano e que passa pelo ponto A.

•

Identifique por meio de medição, que os pontos de bissetriz de

um ângulo eqüidistam dos lados do mesmo e trace bissetrizes

de ângulos, utilizando régua e compasso.

•

Reconheça os ângulos formados por retas coplanares cortadas

por uma transversal e estabeleça as relações de igualdade e de

suplementaridade nos casos em que as retas coplanares são

paralelas.

•

Desenvolva a noção de polígono e faça construções de

polígonos regulares com auxílio de régua, compasso e

transferidor.

127

•

Verifique experimentalmente os teoremas relativos à soma das

medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.

(Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992, p. 94):

Nesses objetivos podemos notar o forte apelo ao experimentalismo.

Diversas vezes o documento sugere o uso de dobraduras, como por exemplo,

para se trabalhar o conceito de ângulo na circunferência e a identificação da

bissetriz de um ângulo. Também sugere a utilização de materiais do cotidiano

do aluno como por exemplo a utilização de varetas ou canudos de refrigerante

para visualizar o perpendicularismo entre retas.

A seguir, podemos ver as sugestões que esse documento traz para

trabalhar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo e

a noção de polígono regular.

128

Fac-símile da Proposta Curricular para o Ensino de Matemática – 1º Grau.

São Paulo. 1992, pp. 107 – 109.

129

130

131

Os objetivos da 7ª Série indicam que se espera que o aluno:

•

Identifique as diagonais de um polígono e determine o número

de diagonais de um polígono qualquer.

•

Verifique utilizando dobraduras, régua e compasso as

propriedades das diagonais de um paralelogramo.

•

Verifique experimentalmente o teorema de Pitágoras e o

demonstre através de áreas.

•

Construa triângulos com régua e compasso, conhecendo-se as

medidas dos três lados.

•

Verifique experimentalmente a propriedade da desigualdade

triangular.

•

Tenha disponível o conceito de congruência e, em particular,

de triângulos congruentes.

•

Reconheça os casos de congruência na resolução de

situações-problema.

•

Identifique e aplique as propriedades e relações de triângulos

isósceles e equiláteros.

•

Identifique quadriláteros, seus elementos e propriedades e

classifique-os.

•

Identifique mediana e mediatriz de um triângulo.

•

Construa com régua e compasso o baricentro, o circuncentro,

o incentro e o ortocentro de um triângulo.

•

Aplique os casos de congruência de triângulos na

demonstração das principais propriedades relativas a triângulos

e quadriláteros.

(Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992, p. 128):

Novamente há sugestão do uso de dobraduras para se visualizar as

diagonais de um paralelogramo e de suas propriedades; para determinação do

número de diagonais de um paralelogramo é sugerida a utilização de fios

132

coloridos numa prancha de madeira em que os vértices seriam marcados com

pregos; esse caráter experimental é sugerido também na utilização do

Teorema de Pitágoras.

Com relação ao Teorema de Pitágoras, a proposta traz alguns

problemas históricos que estão relacionados à história deste teorema. A seguir,

apresentamos um desses problemas, datado de 2600 a.C, contidos na

proposta:

“Um bambu de 32 côvados, erguendo-se verticalmente sobre

um terreno horizontal, é quebrado num certo ponto pela força do

vento. Sua extremidade vem tocar a terra a 16 côvados do seu

pé. Dize, matemático, a quantos côvados do pé ele se

quebrou?”

Relativamente à congruência de figuras planas é trabalhada a

congruência de triângulos, utilizando-se de construções fundamentais com

régua e compasso, trabalhando-se também a sobreposição de figuras.

Apresenta-se também a verificação experimental da desigualdade triangular,

do ponto médio e da mediatriz de um segmento, o circuncentro, o baricentro,

incentro e o ortocentro de um triângulo, a construção da bissetriz de um

triângulo. Algumas demonstrações das propriedades nos triângulos são

trabalhadas utilizando o raciocínio hipotético-dedutivo.

A seguir, mostraremos o trabalho que a proposta traz para o Teorema de

Pitágoras e a congruência de triângulos.

133

Fac-símile da Proposta Curricular para o Ensino de Matemática – 1º Grau.

São Paulo. 1992, pp. 138 – 140.

134

135

136

Os objetivos da 8ª Série indicam que se espera que o aluno:

•

Desenvolva a noção de semelhança de figuras planas e

verifique experimentalmente o teorema fundamental da

proporcionalidade e sua demonstração.

•

Demonstre o teorema de Tales e saiba aplicá-lo em situações-

problema.

•

Aplique o teorema fundamental da proporcionalidade na

verificação e demonstração dos casos de semelhanças em

triângulos.

•

Construa triângulos com régua e compasso, conhecendo-se as

medidas dos três lados.

•

Utilize os teoremas sobre semelhanças de triângulos para

demonstrar o teorema de Pitágoras.

•

Verifique experimentalmente as relações métricas nos

polígonos regulares e realize cálculos do lado e do apótema de

um polígono inscrito numa circunferência de raio dado.

(Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992, p. 152):

Para se trabalhar a noção de semelhança, o documento propõe a

comparação de fotografias, a ampliação e redução das fotografias, de figuras

planas, de polígonos, trabalho esse que já foi iniciado na quinta série. Também

é proposta uma verificação experimental e a demonstração do teorema sobre

proporcionalidade para, depois, trabalhar a demonstração do teorema de Tales.

Nesta série, a proposta aborda, novamente, conceitos históricos sobre

os conteúdos estudados e, traz também, problemas clássicos.

Como ilustração, a seguir apresentamos a proposta para o Teorema de

Tales e semelhança de triângulos.

137

Fac-símile da Proposta Curricular para o Ensino de Matemática – 1º Grau.

São Paulo. 1992, pp. 155 – 157.

138

139

140

2.2 A análise da Coleção: A Conquista da Matemática.

Como representante deste momento, analisaremos a coleção de livros

didáticos intitulada “A conquista da Matemática” dos autores Giovanni,

Castrucci e Giovanni Jr, publicada pela Editora FTD e, como dissemos

anteriormente, o motivo da escolha dessa coleção refere-se ao fato de que ela

foi bastante adotada nas escolas da Rede de Ensino Público do Estado de São

Paulo. Todos os volumes aqui analisados foram publicados no ano de 1992.

2.2.1 Um breve relato dos autores.

2.2.1.1 José Ruy Giovanni

José Ruy Giovanni nasceu em 7 de março de 1937, em Rio Claro,

interior de São Paulo. É bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Por muitos anos foi professor

de Matemática em escolas públicas e particulares da cidade de São Paulo, pois

desde muito cedo percebeu que lecionar era sua verdadeira vocação. É autor

de livros didáticos de Matemática pela Editora FTD há cerca de 27 anos.

Mantém contato permanente com professores de todo o Brasil nesses anos

todos ministrando palestras e cursos.

Texto retirado na íntegra do site da editora F.T.D. S.A.

141

2.2.1.2 José Ruy Giovanni Júnior.

José Ruy Giovanni Júnior nasceu em 13 de dezembro de 1963, em Rio

Claro, interior de São Paulo, mas vive na capital desde 1985, onde cursou

Matemática na Universidade de São Paulo (USP) e leciona desde 1985.

Quando estudante, suas grandes paixões eram Matemática e História e seu

sonho era o de poder ensinar. Assim, a profissão de professor veio

naturalmente. A exemplo de seu pai, hoje seu grande companheiro de trabalho,

escreve livros didáticos de Matemática desde 1990, graças ao desejo de

compartilhar suas idéias e experiências. Atualmente, além do contato com os

alunos, viaja pelo Brasil ministrando palestras e cursos para professores,

conhecendo melhor a realidade da educação do país.

2.2.1.3 Benedito Castrucci.

Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de

São Paulo (USP). Participante ativo do Grupo de Estudos de Ensino da

Matemática – GEEM nas décadas de 60 e 70, época do Movimento da

Matemática Moderna. Ex-professor de Matemática da Pontifícia Universidade

Católica e da Universidade de São Paulo. Ex-professor de escolas públicas e

particulares de 1º e 2º graus. Faleceu em 1995.

Texto retirado na íntegra do site da editora F.T.D. S.A.

142

2.2.2 A Geometria na coleção: A conquista da

Matemática

Antes de iniciarmos o estudo sobre o tema da Geometria encontrado

nessa coleção apresentaremos a introdução que os autores colocam para cada

volume, destacado as aplicações da Matemática:

A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma

simples contagem até o uso em complexos computadores;

Pode parecer, a principio, que alguns temas da Matemática não

têm aplicação imediata no mundo em que vivemos; isso pode

gerar em você um certo desapontamento. Na verdade, a

aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do

desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela

presentes. Veja na Economia, por exemplo, o cálculo de juros e

porcentagem; na Engenharia os cálculos trigonométricos.

Para entender a Matemática e suas aplicações são necessários

dedicação e estudo. Por esse motivo, ao escrever essa coleção,

procuramos apresentar a você as linhas mestras desse

processo em linguagem simples, sem fugir ao rigor que a

Matemática exige.

Os autores.

O estudo do tema de Geometria, destinado para a 5ª série dessa

coleção, é encontrado em apenas uma unidade deste volume, que é a unidade

7, intitulada “Introdução à Geometria”.

Primeiramente, a unidade traz um texto abordando a história da

Geometria, conforme podemos ver abaixo:

143

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 5. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 194.

144

Nessa unidade são estudadas as noções da Geometria tais como:

ponto, reta, plano, figuras geométricas, posições relativas de duas retas num

plano, segmento de reta, medida de segmento, semi-reta, polígonos: convexos

e não convexos; nomenclatura dos polígonos, triângulos e quadriláteros.

Os exercícios encontrados nessa unidade são exercícios de fixação das

propriedades estudadas na mesma. A seguir, podemos ter uma noção dos

exercícios propostos nessa unidade para trabalhar os polígonos, os triângulos

e os quadriláteros.

145

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 5. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 213.

146

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 5. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 216.

147

No volume destinado à 6ª série do Ensino Fundamental, encontramos

duas unidades que abordam o tema de Geometria: “Estudando os ângulos”

(unidade 10) e “Triângulos e quadriláteros” (unidade 11).

Na unidade 10, que trata dos ângulos, encontramos uma análise sobre o

ângulo e seus elementos; a medida de um ângulo; operações com medidas de

ângulos; ângulos consecutivos e ângulos adjacentes; bissetriz de um ângulo;

ângulos complementares e ângulos suplementares e o estudo dos ângulos

opostos pelo vértice.

Para esta coleção, encontramos a seguinte definição de ângulo:

Denominamos ângulo a região convexa formada por duas semi-

retas não-opostas que têm a mesma origem (GIOVANNI et al,

1992, v. 6, p. 199).

Depois é trabalhada a medida de ângulos, a nomenclatura de alguns

ângulos, como o caso do ângulo nulo e do ângulo raso e a congruência entre

ângulos.

Os exercícios encontrados nessa parte trabalham com a nomenclatura

dos ângulos em figuras dadas, com a identificação de suas medidas e com a

utilização do transferidor.

Muitos exercícios usam cálculos algébricos para determinar a medida de

um ângulo desconhecido.

Ao referir-se à bissetriz de um ângulo, ou autores apresentam a seguinte

definição:

148

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice que

determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes

congruentes (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 210).

Nesse trabalho com a bissetriz é apresentada uma seqüência para se

construir a bissetriz de um ângulo utilizando régua e compasso.

Os exercícios envolvendo o conceito de bissetriz encontrados nessa

coleção pedem ao aluno, com o uso do transferidor, que construa alguns

ângulos e em seguida encontre suas bissetrizes.

Para os ângulos complementares e ângulos suplementares a coleção

diz:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas

medidas é igual a 90º.

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas

medidas é igual a 180º (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 214).

Para o trabalho com os ângulos opostos pelo vértice (o.p.v) essa

coleção destaca uma “propriedade importante”:

Na figura ao lado, temos

que os ângulos

são opostos pelo

vértice.

Indicando por: x = med

(

)

y = med (

)

m = med (

), temos:

149

1. Como

são

adjacentes suplementares:

m + y = 180º

2. Como

são

adjacentes suplementares:

m + x = 180º

3. Comparando 1 e 2:

xmym

180ºxm

180ºym

+=+⇒







x = y

Assim podemos definir a propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja,

possuem a mesma medida (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 218-

219).

Abordada essa propriedade, a coleção traz alguns exemplos de

aplicação.

Feito isso, a unidade é fechada com exercícios de revisão de todos os

pontos estudados. Nesses exercícios, notamos a aplicação de propriedades

estudadas nessa unidade e de algumas situações-problema envolvendo o

cotidiano desse aluno.

A seguir, podemos visualizar esses exercícios de revisão dos conteúdos

contidos na unidade.

150

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 6. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 220 – 221.

151

152

Na unidade 11, aborda-se o triângulo e seus elementos, como vértices,

lados e ângulos internos; a classificação dos triângulos com relação à medida

aos lados: eqüilátero, isósceles e escaleno; a classificação dos triângulos

quanto à medida dos ângulos: acutângulo, retângulo e obtusângulo; a soma

dos ângulos internos de um triângulo.

No trabalho para identificar que a soma das medidas dos ângulos

internos de um triângulo é igual a 180º, o texto mostra um triângulo em que as

“pontas” (os vértices) são recortadas e montadas, como um quebra-cabeça,

formando um ângulo raso (180º), logo depois coloca a seguinte “definição”:

Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos

internos é igual a 180º (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 225).

O trabalho desenvolvido com os quadriláteros segue a mesma linha de

pensamento: são estudados os elementos dos quadriláteros: vértices, lados,

ângulos internos; é realizado um estudo dos quadriláteros, dando um foco

maior para o que os autores denominam “quadriláteros especiais”, tais como:

retângulo, losango, quadrado e trapézio, identificando-os como paralelogramos.

Vale ressaltar que muitos dos conceitos abordados nesta unidade foram

estudados no volume destinado a 5ª série dessa coleção.

Os exercícios abordados nessa unidade são apenas ligados à

conceituação e à aplicação das propriedades estudadas.

153

O volume destinado a 7ª série do Ensino Fundamental apresenta os

seguintes tópicos para o tema de Geometria:

•

Unidade 7 – Introdução à Geometria;

•

Unidade 8 – Ângulos formados por duas retas paralelas

com uma transversal;

•

Unidade 9 – Polígonos;

•

Unidade 10 – Estudando os triângulos;

•

Unidade 11 – Estudando os quadriláteros;

•

Unidade 12 – Estudando a circunferência.

Na unidade 7, é realizada uma revisão dos conteúdos estudados pelo

aluno durante a 5ª e 6ª séries do Ensino Fundamental, como: reta; ponto;

ângulos; bissetriz de um ângulo e os demais conteúdos já mencionados.

O único tópico diferente dos que já foram estudados é o caso do ponto

médio de um segmento, apresentado como o ponto que divide um segmento

em dois segmentos congruentes.

Na unidade 8 deste volume encontramos um estudo que parte da

conceituação de reta transversal e, na sequência, é realizado um trabalho com

os ângulos correspondentes; os ângulos alternos e os ângulos colaterais.

154

No início dessa unidade, com relação à reta transversal, encontramos o

seguinte texto:

No plano, toda reta que encontra duas outras em pontos

distintos é chamada

reta transversal.

Quando duas retas

interceptam uma transversal,

ficam determinados oito

ângulos com vértices nos

pontos de intersecção.

Indicaremos esses ângulos por

a, b, c, d, e, f, g e h

, como

mostra a figura ao lado

(GIOVANNI et al, 1992, v.7,

p. 148 – grifo nosso).

Os exercícios dessa unidade trabalham com a identificação dos ângulos

formados entre duas retas e uma transversal, nos quais é pedida a sua

nomenclatura, tais como: alternos (internos ou externos), colaterais (internos ou

externos) e correspondentes; também é trabalhada a medida do ângulo

utilizando-se muitos procedimentos algébricos, como podemos ver a seguir.

155

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 155 – 157.

156

157

158

Na unidade 9, temos um estudo dos Polígonos. Comparando com o

estudo realizado nas séries anteriores, podemos notar um maior

aprofundamento.

No início dessa unidade é abordado o estudo do polígono, convexo e

não convexo, e os elementos de um polígono como: lados, vértices, ângulos

internos e ângulos externos. Após isso, é realizada uma classificação dos

polígonos quanto ao número de lados: triângulo (3 lados), quadrilátero (4

lados), pentágono (5 lados) etc..

Realizada essa introdução sobre polígonos, o texto começa a abordar

perímetro, diagonais de um polígono (definidas como “o segmento que une

dois vértices não-consecutivos do polígono”), chegando ao cálculo do número

de diagonais de um polígono, em que é realizada a contagem desse número de

diagonais até se chegar a generalização da fórmula para um polígono de n

lados, conforme segue:

[...]

Pelo que foi mostrado, de um vértice de um polígono partem

diagonais para todos os vértices menos para 3 deles: o próprio

vértice e os dois consecutivos a ele.

Assim, em um polígono de

lados (ou vértices), de cada vértice

partem (

– 3) diagonais. Como são n vértices, o número total

de diagonais seria

– 3). Porém, por este raciocínio

estaríamos contando cada diagonal duas vezes, temos então

que calcular a metade de

– 3). No polígono abaixo,

indicamos por d o número de diagonais:

• número de lados (ou vértices)



• diagonais partindo de A



n – 3



n.(n – 3)

159

• como

____________

DAAD,CAAC ≅≅

etc.



d =

3)(nn

−

⋅

Portanto:

(GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 163).

Realizado esse estudo, a unidade inicia a abordagem dos ângulos de

um polígono.

Primeiramente é realizado um estudo da soma das medidas dos ângulos

internos do triângulo, por meio de recortes dos vértices de um triângulo

qualquer e, utilizando o estudo das retas paralelas cortadas por uma

transversal, chega à conclusão de que “ em qualquer triângulo, a soma das

medidas de seus ângulos internos é igual a 180º.

Feito isso, dá-se início a um estudo da soma das medidas de um

polígono qualquer, com a sugestão de decompor esse polígono em triângulos.

São apresentados alguns polígonos e realizada a decomposição desses em

triângulos, destacando-se o número de lados de cada polígono estudado, até

que se chegue a generalização da soma das medidas dos ângulos internos

para um polígono de n lados, conforme vemos a seguir.

3)(nn

−

⋅

160

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 269 – 170.

161

162

O mesmo procedimento é realizado para se chegar à soma das medidas

dos ângulos externos de um polígono qualquer, enunciando a seguinte

propriedade:

A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono

é igual a 360º (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 171).

Feito esse estudo, o texto aborda a questão da medida dos ângulos de

um polígono regular, lembrando ao aluno que polígono regular é aquele em

que todos os lados são congruentes entre si e os ângulos internos são

congruentes entre si, e que, portanto, os ângulos externos também serão.

Chegando, assim:

1802)(n

⋅

−

1802)(n

⋅

−

Em que: a



medida de cada ângulo interno de um polígono regular;



medida de cada ângulo externo de um polígono regular.

No final desta unidade são apresentados exercícios de revisão de todo o

conteúdo abordado na mesma, conforme podemos ver:

163

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 174 – 175.

164

165

O estudo dos triângulos, realizado na unidade 10, como o próprio texto

de abertura nos diz, é “um estudo mais a fundo das propriedades e relações e

relações” existentes nos triângulos.

Inicialmente é realizada a abordagem dos elementos de um triângulo:

vértices, lados, ângulos internos e ângulos externos e também é realizado o

estudo sobre a condição de existência de um triângulo. Para esse ultimo tópico,

o livro traz alguns exemplos de construção de triângulos, nos quais são dadas

as medidas dos seus lados, utilizando como instrumento de construção o

compasso. Feito essas construções, é possível chegar a seguinte conclusão:

Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempre

menor

que a soma das medidas dos outros dois lados

(GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 171).

Seguindo esse estudo, a unidade traz a classificação dos triângulos

quanto a relação das medidas dos lados: eqüiláteros (todos os lados

congruentes), isósceles (dois lados são congruentes) e escaleno (todos os

lados com medidas diferentes); e com relação a seus ângulos: acutângulo, em

que os três ângulos são agudos; retângulo, em que um dos ângulos é reto

(90º); e obtusângulo, quando um dos ângulos é obtuso, medindo mais que 90º.

Após isso, são realizados estudos da altura, mediana e bissetriz de um

triângulo.

O texto “coloca” a altura como sendo o “segmento que une o vértice ao

lado oposto, formando um ângulo de 90º entre o segmento e o lado oposto”;

para mediana, coloca como sendo “o segmento que une um vértice ao ponto

166

médio do lado oposto e, bissetriz de um triângulo como sendo “o segmento que

une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois

ângulos de mesma medida”.

Com relação aos pontos notáveis, encontramos nessa unidade:

Todo triângulo possui três alturas,

que se encontram em um único

ponto denominado ortocentro

(GIOVANNI et al, 1992, v.7, p.

185).

Todo triângulo possui três

medianas, que se encontram

em um único ponto

denominado baricentro

(GIOVANNI et al, 1992, v.7, p.

186)

Todo triângulo possui três

bissetrizes, que se encontram

em um único ponto

denominado baricentro

(GIOVANNI et al, 1992, v.7,

p. 186)

Realizado o estudo dos elementos de um triângulo, a unidade passa a

abordar a congruência de triângulos. Primeiramente é realizada uma revisão

dos conceitos de figuras congruentes para depois especificar os triângulos.

H''

M''

S''

167

O texto mostra a seguinte “definição” para dois triângulos serem

congruentes:

Dois triângulos são congruentes quando eles têm os lados

respectivamente congruentes e os ângulos respectivamente

congruentes (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 189).

Depois de realizada essa abordagem, a unidade inicia o estudo dos

casos de congruência de triângulos, conforme podemos ver nas páginas

seguintes.

168

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 189 – 192.

169

170

171

Nos exercícios de revisão propostos para o fechamento dessa unidade,

encontramos problemas que abordam os conteúdos estudados na mesma.

Nessa parte, encontramos exercícios de conceituação, exercícios que exigem

dos alunos os procedimentos encontrados nos exemplos abordados na

unidade exercícios de “provas”, relacionando os casos de congruência, nos

quais é pedido que o aluno prove que um triângulo é congruente a um outro,

dados algumas medidas e, exercícios que relacionam o estudo da álgebra, em

que é pedido para o aluno determinar a medida de um ângulo ou de um lado

quando estes são desconhecidos.

172

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 197.

173

Na unidade 11 desse volume são estudados os quadriláteros.

Inicialmente a unidade realiza uma revisão de todos os conceitos

estudados nas séries anteriores, como: vértices, lados e diagonais de um

quadrilátero e os ângulos internos.

Feita esta abordagem inicial, o texto inicia o estudo dos paralelogramos,

no qual encontramos a seguinte “definição”:

Todo quadrilátero que têm os lados opostos paralelos é

denominado paralelogramo (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 201).

Ressalta algumas propriedades dos paralelogramos, tais como: ângulos

opostos e lados opostos congruentes e as diagonais contam-se ao meio,

destacando que alguns paralelogramos recebem nomes especiais: quadrado,

retângulo e losango (ou rombo).

Com relação ao quadrado, o texto o “define” como sendo o

“paralelogramo que tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos

congruentes (retos)”, sendo o único paralelogramo em que:

[...] suas diagonais são congruentes, são perpendiculares entre

si e são bissetrizes dos ângulos internos.

______

BD_|_AC

CAAC ≅

é bissetriz de

e de

174

___

é bissetriz de

e de

(GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 205).

Realizado o estudo dos paralelogramos, o texto passa a abordar os

trapézios, “definindo-os” como:

Todo quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos

denomina-se trapézio (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 207).

Nessa parte, é realizado um estudo sobre as bases e altura de um

trapézio; o estudo dos “trapézios especiais”: o retângulo e o isósceles,

destacando, nesse ultimo, duas propriedades: os ângulos da base são

congruentes e as diagonais também.

Nessa unidade são encontrados vários exercícios no decorrer do

tratamento que é dado para cada tópico, assim como nas anteriores. A maioria

desses exercícios trabalha com a conceituação estudada em cada tópico. Aqui

abordaremos os exercícios de fechamento da unidade, em que o volume os

trata como “questões propostas para revisão”.

Nesses exercícios de revisão, alguns nos chamam a atenção quando

pedem ao aluno para concluir “algo” a partir dos conceitos estudados. Nessa

seção são apresentados muitos exercícios que envolvem os casos de

congruência de triângulos, em que é pedido para o aluno “provar”, iniciando-o

assim na demonstração matemática.

175

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 210 – 211.

176

177

A unidade 12, ultima desse volume, trata da circunferência e do circulo.

Inicialmente são revisados os conceitos de circunferência e de seus

elementos: raio, diâmetro, corda. Após essa revisão são aplicados alguns

exercícios de fixação desses conceitos.

A partir daí, o texto aborda as propriedades numa circunferência, tais

como: “todo diâmetro perpendicular a uma corda passa pelo ponto médio

dessa corda” e “a mediatriz de uma corda passa pelo centro de uma

circunferência”.

Depois é realizado o estudo dos pontos internos e externos de uma

circunferência e de um circulo, no qual, esse ultimo, é definido como sendo a

“reunião da circunferência com a sua região interna; as posições relativas de

uma reta e uma circunferência, em que destacamos uma propriedade

importante:

A figura ao lado nos mostra que,

de um ponto P exterior, estamos

traçando dois segmentos, PA e

PB, tangentes à circunferência.

Se considerarmos os triângulos retângulos OAP e OBP,

podemos afirmar que são

congruentes

, pois têm a hipotenusa

(OP nos dois triângulos) e um cateto (AO no

∆

OAP e OB no

∆

OBP), respectivamente, congruentes.

Sendo

∆

OAP

≅

∆

OBP, então PA

≅

PB..

Daí, a seguinte propriedade:

Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os

segmentos PA e PB, tangentes à circunferência nos pontos A e

178

B, então os segmentos PA e PB são congruentes (GIOVANNI et

al, 1992, v.7, p. 219).

Continuando, são trabalhados os arcos de circunferência, o ângulo

central; o texto apresenta ângulo central como “qualquer ângulo que tenha o

vértice no centro da circunferência”; para ângulo inscrito, ressalta:

A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco

determinado por seus lados na circunferência (GIOVANNI et al,

1992, v.7, p. 228).

O último estudo realizado nesta unidade refere-se a ângulos cujos

vértices não pertencem à circunferência; destacamos a seguinte

“demonstração”:

O vértice é um ponto interno distinto do

centro.

Como x é a medida de um ângulo externo

ao triângulo APD, temos:

x = a + b

Observando que:

podemos também escrever:

O vértice é um ponto externo.

179

Como a é a medida de um ângulo externo ao triângulo APC,

temos:

a = x + b



x = a – b

Observando que:

podemos também escrever:

(GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 231).

Após essa abordagem são apresentados alguns exemplos de aplicação

e propostos alguns exercícios de fixação.

No final dessa unidade, novamente são apresentados exercícios de

revisão do conteúdo estudado.

180

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 232 – 233.

181

182

O volume destinado à 8ª série do Ensino Fundamental apresenta os

seguintes tópicos relacionados ao tema de Geometria:

•

Unidade 7 – Segmentos proporcionais;

•

Unidade 8 – Semelhança;

•

Unidade 9 – O triângulo retângulo: relações métricas;

•

Unidade 10 – Relações trigonométricas no triângulo;

•

Unidade 11 – Circunferência e circulo: relações métricas;

•

Unidade 12 – Estudando as áreas das figuras

geométricas planas.

Na unidade 7 desse volume, encontramos o estudo sobre segmentos

proporcionais. Inicialmente, realiza-se uma revisão sobre razão e proporção,

partindo para a razão de segmentos e segmentos proporcionais.

Feita essa abordagem, a unidade passa a realizar um estudo sobre feixe

de retas paralelas cortado por uma reta transversal e suas propriedades, no

qual diz:

Se um feixe de retas paralelas determina segmentos

congruentes sobre uma transversal, também determina

segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal

(GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 143).

Após esse estudo, é apresentado o Teorema de Tales, em que a

unidade o enuncia: “Um feixe de retas paralelas determina em duas retas

transversais segmentos proporcionais”. A seguir, mostraremos um exemplo de

aplicação do teorema de Tales encontrado nesse volume.

183

Na figura ao lado, determinar a medida y, sabendo-se que a || b

|| c.

Resolução:

Pelo teorema de Tales,

temos:

−

→

−

2)y(y2)3(y propriedade fundamental das proporções

2yy63y

−=+

062y3yy

=+++−

065yy

=++−

→=−− 065yy

equação do 2º. grau

4924256)((1)4(-5)∆

=+=−−=

49(-5)-

-1'y'6y'

Como y = – 1 não serve, pois não existe medida negativa, então

y = 6 (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 146).

Enunciado o teorema de Tales, a unidade inicia uma abordagem sobre a

aplicação desse teorema nos triângulos, destacando o teorema da bissetriz

interna de um triângulo.

A seguir, podemos ver os exercícios de revisão dos conteúdos

abordados nessa unidade.

y + 2

y - 2

184

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 154 – 155.

185

186

Na unidade 8, a coleção trata de semelhança. Inicialmente é feita uma

revisão dos conceitos abordados nas séries anteriores sobre esse conteúdo,

tais como: figuras semelhantes e polígonos semelhantes, estudando as

propriedades dos mesmos.

Feita essa revisão, a unidade inicia o estudo de semelhança entre

triângulos, no qual diz:

[...] dois triângulos são semelhantes quando têm:

• os ângulos respectivamente congruentes

• os lados correspondentes proporcionais (GIOVANNI et al,

1992, v.8, p. 166).

A seguir, mostraremos um exemplo de aplicação encontrado nessa

unidade:

Na figura abaixo, determinar os valores de x e y.

10cm

6cm

3cm

4cm

Resolução:

Comparando os triângulos ABC e CDE, temos:

≅



ângulos retos

EDAB

≅



ângulos o.p.v

187

Como os triângulos têm, respectivamente, dois ângulos

congruentes, podemos concluir que eles são

semelhantes

∆ABC ~ ∆CDE

Lados homólogos:

; BC e CD; AC e CE

Pela propriedade:

8x243x

=→=→=

5y306y

=→=→=

Então, x = 8 cm e y = 5 cm (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 168).

Nos exercícios encontrados nessa unidade, podemos notar que muitos

deles exigem um elevado grau de abstração dos alunos, alguns relacionando

acontecimentos do cotidiano dos mesmos, não bastando apenas os conceitos

adquiridos. A seguir, encontram-se os exercícios de fixação e revisão

encontrados na unidade.

188

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 174 – 176.

189

190

191

A unidade 9 desse volume trata dos triângulos retângulos, do teorema

de Pitágoras e das relações métricas encontradas nesses triângulos.

Inicialmente é feita uma revisão sobre triângulo retângulo e, juntamente,

dados os primeiros passos, mesmo que empiricamente, para a conclusão do

teorema de Pitágoras, que o texto apresenta o seguinte enunciado:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da

hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos

catetos (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 179).

Abaixo, encontra-se a demonstração, através do cálculo das áreas de

figuras geométricas, que o texto nos apresenta:

Figura 2.1a – Demonstração Pitágoras (GIOVANNI et ali, V. 8, 1992)

192

Figura 2.1b – Demonstração Pitágoras (GIOVANNI et ali, V. 8, 1992)

Feita essa demonstração o volume relata ao aluno que “a demonstração

algébrica será realizada mais adiante”, após os estudos das relações métricas

no triângulo retângulo.

No estudo das relações métricas, podemos notar que os autores

procuraram desenvolvê-las “passo a passo” e no final de cada delas chegavam

a uma conclusão e a destacava:

• 1ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da

medida de um cateto é igual ao produto da medida da

hipotenusa pela medida da projeção do cateto considerado

sobre a hipotenusa.

2ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da

medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das

medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa.

3ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o produto das

medidas dos catetos é igual ao produto da medida da

hipotenusa pela medida da altura relativa a hipotenusa

(GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 189-190).

193

Após esses estudos, o texto realiza, conforme já dito, a demonstração

algébrica do teorema de Pitágoras, conforme vemos abaixo.

Da 1ª relação, temos:

= a.m c

= a.n

Adicionando membro a membro as duas igualdades, temos:

+ c

= a.m + a.n

+ c

= a.(m + n)

+ c

= a

= b

+ c

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos dois

catetos (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 190).

Concluído esse estudo, a unidade propõe exercícios de fixação e

“questões de revisão” aos alunos.

Nessa seção, percebemos que muitos das situações-problema

abordadas enfatizam o cotidiano desse aluno; algumas são de revisão de

conceitos abordados na unidade e outras situações exigem a atenção do aluno

ao relacionar o conteúdo estudado na unidade com outros conteúdos,

conforme podemos ver a seguir.

194

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 192 – 194.

195

196

A unidade 10, seguindo o trabalho com os triângulos, inicia o estudo das

relações trigonométricas.

197

Na abertura desta unidade encontramos uma pequena introdução sobre

a história da trigonometria na Antiguidade, conforme vemos abaixo.

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 195.

198

A partir daí, o texto introduz os conceitos de seno, cosseno e tangente

de um ângulo, destacando os ângulos de 30º, 45º e 60º, e apresenta algumas

aplicações dos conceitos abordados, como podemos ver no exemplo que se

segue:

Na figura abaixo, determinar as medida x e y dos lados não-

paralelos do trapézio ABCD.

60º

20cm

14cm

Resolução:

Vamos considerar a figura dada e observar que:

DH = BC = y

AH = AB – CD = 6

No triângulo retângulo AHD, temos:

6 = medida do cateto adjacente ao ângulo de 60º;

x = medida da hipotenusa;

y = medida do cateto oposto ao ângulo de 60º.

Daí podemos escrever:

60ºcos =

62x

⋅

x = 12

60ºtag =

36y =

60º

14cm

199

Então, os lados não paralelos do trapézio medem 12 cm e

36 cm (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 203).

Após a resolução de alguns exercícios, a unidade propõe ao aluno

alguns exercícios de fixação envolvendo questões da natureza, como calculo

da largura de um rio, altura de uma montanha e, questões encontradas no dia a

dia das cidades, como altura de um edifício, altura de um poste, etc.

Realizado o estudo das relações trigonométricas nos triângulos

retângulos, a unidade inicia a abordagem das relações trigonométricas em

qualquer triângulo, enunciando, assim, as leis dos senos e cossenos.

A seguir, apresentamos as “questões propostas para revisão”

encontradas no final desta unidade. Novamente, percebemos que alguns

exercícios não ficam apenas na “imaginação” ou “abstração” do aluno, o aluno

pode “ver” esses conteúdos sendo utilizados em aplicações na sociedade.

200

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 213 – 214.

201

202

Na unidade 11 desse volume, intitulada “Circunferência e circulo:

relações métricas”, encontramos as relações entre as cordas e a

circunferência, entre as secantes e a circunferência e entre as secantes e

tangentes numa circunferência.

O texto “constrói” as demonstrações das relações e nos apresenta o

seguinte resumo:

Figura 2.2 – Cordas (GIOVANNI et ali, V. 8, 1992

Feito isso, nos apresenta dois exemplos de aplicação desse conteúdo e

propõe alguns exercícios de fixação dos conhecimentos adquiridos.

Seguindo os estudos, o texto aborda os polígonos regulares inscritos

numa circunferência, os elementos de um polígono regular inscrito, suas

propriedades, em que o texto faz uma relação com o conteúdo de semelhança

estudado anteriormente, fechando a unidade com as “questões propostas para

revisão”, conforme segue.

203

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 229 – 230.

204

205

Na unidade 12, ultima unidade do volume, encontramos o trabalho com

as áreas das figuras geométricas planas.

O que nos chama mais atenção nessa unidade são os exercícios

propostos por ela. Muitos deles requerem do aluno o conceito de composição e

decomposição de figuras planas, fazendo com que esse aluno reflita sobre os

conceitos adquiridos na unidade e de outros adquiridos anteriormente, não

sendo apenas uma mera aplicação de “fórmulas” das áreas estudadas.

A seguir, como exemplo, mostramos alguns desses exercícios.

206

Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci,

Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 246 – 247.

207

208

2.3 A Proposta Curricular e a Coleção: A conquista da

Matemática.

Comparando as Propostas Curriculares com a coleção “A conquista da

Matemática”, podemos perceber que os conteúdos abordados pelo documento

oficial são trabalhados na coleção analisada.

Percebemos que o documento oficial orienta o trabalho da Geometria

utilizando o processo de “experimentalismo”, de manipulação de materiais

concretos, em todas as séries. Tal recomendação não nos foi evidenciada na

coleção “A conquista da Matemática”, a coleção faz uso do “experimentalismo”,

mas de forma pontual.

Com relação ao “rigor” da utilização da linguagem matemática, tão

criticada nas décadas anteriores, percebemos que o mesmo está presente

nessa obra, porém, identificamos uma maior preocupação em relação a

aprendizagem dos conceitos por parte do aluno do que a “maneira” como o ele

escreve.

Não podemos deixar de evidenciar que o documento orienta tratar os

conteúdos de geometria de forma a relacioná-los com as questões do dia-a-dia

desse aluno, com questões evidenciadas na sociedade. Porém, na seção de

exercícios propostos pela coleção encontramos poucas situações-problema

que gere isso, ou seja, a maioria dos exercícios encontrados é de fixação dos

conceitos estudados em cada unidade, fazendo com que esse aluno não

209

relacione o que aprendeu em Matemática com as situações encontradas em

seu cotidiano.

Com relação aos modelos teóricos identificamos uma abordagem

sugerindo o Modelo Quase-empirista, para se constatar alguma propriedade

matemática. Mas, nos dois volumes finais da coleção, destinados a sétima e

oitava séries, respectivamente, encontramos uma abordagem focada nas

demonstrações e teoremas, característica do Modelo Euclidianista.

210

Capítulo 3

Capítulo 3Capítulo 3

Capítulo 3

A A

A Geometria durante o período de 1998 ao mome

Geometria durante o período de 1998 ao momeGeometria durante o período de 1998 ao mome

Geometria durante o período de 1998 ao momento

nto nto

nto

atual

atual atual

atual –

––

– uma análise dos PCN

uma análise dos PCN uma análise dos PCN

uma análise dos PCN e livros didáticos atuais.

e livros didáticos atuais. e livros didáticos atuais.

e livros didáticos atuais.

3.1. Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e Quarto

ciclo do Ensino Fundamental.

Analisando reformas curriculares (2008) destaca que, de 1995 a 2002, o

Ministério da Educação desencadeou o processo de elaboração de Parâmetros

Curriculares Nacionais, para diferentes níveis e modalidades de ensino.

Também nesse período, o Conselho Nacional de Educação apresentou

Diretrizes Curriculares Nacionais, com força de lei. Nesse processo, envolto em

muita polêmica, alguns dilemas clássicos da educação brasileira voltaram à

discussão.

Para essa autora, a tarefa implicou o enfrentamento de várias tensões e

a tentativa de buscar respostas a questões, por exemplo: Como construir

referências nacionais de modo a enfrentar antigos problemas da educação

brasileira e ao mesmo tempo encarar novos desafios colocados pela conjuntura

mundial e pelas novas características da sociedade, como a urbanização

crescente? O que significa indicar pontos comuns do processo educativo em

todas as regiões, mas, ao mesmo tempo, respeitar as diversidades regionais,

culturais e políticas existentes, no quadro de desigualdades da realidade

brasileira? Como equacionar problemas referentes à possibilidade de acesso

211

aos centros de produção de conhecimento, tanto das áreas curriculares quanto

da área pedagógica, e que se refletem na formação dos professores que

colocaram as idéias curriculares em prática? Que Matemática deve ser

ensinada às crianças e jovens de hoje e com que finalidade? De que modo

teorias didáticas e metodológicas devem ser incorporadas ao debate curricular,

sem que sejam distorcidas e tragam prejuízos à aprendizagem dos alunos?

Pires relata que os Parâmetros Curriculares Nacionais da área de

Matemática para o Ensino Fundamental (7 a 14 anos) buscaram expressar a

contribuição das investigações e das experiências na área de Educação

Matemática. Eles explicitaram o papel da Matemática pela proposição de

objetivos que evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como

instrumental para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do

conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de

investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas.

Estudos também apontavam que o ensino dessa disciplina era estanque,

ou seja, era ensinado ao aluno o conteúdo matemático em um determinado

momento e esse conteúdo não era mais “visto” pelo aluno, não se fazia uma

ligação entre os conteúdos na própria estrutura da disciplina. Também havia

uma minoria de escolas públicas que relacionavam o conteúdo de Matemática

com os conhecimentos de outras áreas de conhecimento.

Para Pires (2000) foi, a partir de 1995, que a Secretaria da Educação do

Ensino Fundamental do Ministério da Educação e do Desporto coordenou um

projeto, em âmbito nacional, em que educadores de diversos níveis de ensino

212

debateram e indicaram diretrizes curriculares comuns para o ensino

fundamental no Brasil, processo que culminou com os chamados Parâmetros

Curriculares Nacionais.

Para a mesma pesquisadora,

Um aspecto inovador diz respeito a necessidade de explorar os

conteúdos não apenas em sua dimensão conceitual (saber o

conceito de adição, de fração ...) mas também na dimensão de

procedimentos (saber fazer uma estimativa, a medição de um

comprimento, um traçado de uma reta paralela...) e de

desenvolvimento de atitudes (ser perseverante na busca de

soluções, ter espírito de colaboração e etc.). Procedimentos e

atitudes são interpretados como “conteúdos” que precisam ser

trabalhados de forma sistemática em sala de aula (PIRES, 2000,

p. 58).

Com relação ao conhecimento matemático, os Parâmetros indicaram a

necessidade de se trabalhar esse conhecimento utilizando recursos

tecnológicos, como calculadora, computadores etc; abordaram a importância

da resolução de problemas e, da utilização de jogos em sala de aula.

Aos definir objetivos para o ensino de matemática visando a construção

da cidadania, os PCN apontam a seguinte lista:

•

identificar os conhecimentos matemáticos como meios para

compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o

caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como

aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de

investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver

problemas;

•

fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e

qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre

eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético,

geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório,

probabilístico);

213

•

selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para

interpretá-las e avaliá-las criticamente;

•

resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e

resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos,

como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e

utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como

instrumentos tecnológicos disponíveis;

•

comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever,

representar e apresentar resultados com precisão e argumentar

sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e

estabelecendo relações entre ela e diferentes representações

matemáticas;

•

estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes

campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas

curriculares;

•

sentir-se seguro da própria capacidade de construir

conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a

perseverança na busca de soluções;

•

interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando

coletivamente na busca de soluções para problemas propostos,

identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um

assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e

aprendendo com eles. (PARÂMETROS CURRICULARES

NACIONAIS, 1998, p. 47-48).

Os Parâmetros são organizados em blocos de conteúdos denominados:

Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento

da Informação. Em nossa pesquisa, focaremos o bloco de conteúdos Espaço e

Forma. Os conteúdos de cada bloco estão organizados em ciclos que em

nossa pesquisa analisaremos o terceiro ciclo (5ª e 6ª séries do Ensino

fundamental) e o quarto ciclo (7ª e 8ª série do Ensino Fundamental).

214

3.1.1 O bloco de conteúdos: Espaço e Forma.

Os conceitos geométricos constituem parte importante no currículo de

matemática no ensino fundamental, pois é por meio deles que o aluno

desenvolve um tipo de pensamento que lhe permite compreender, descrever e

representar, de forma organizada, o mundo em que vive (PCN, 1998, p. 41).

São muitas as situações-problema que podem ser trabalhadas no campo

da Geometria e, geralmente, os alunos apresentam um maior interesse. O

trabalho com as noções geométricas também contribui para a aprendizagem de

números e medidas, visto que o aluno é estimulado a observar, perceber

semelhanças e diferenças, identificar regularidades e etc.

Segundo os Parâmetros (1998), é de fundamental importância que os

estudos do espaço e forma sejam explorados a partir de objetos do mundo

físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, de modo

que permita ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas

do conhecimento.

Os objetivos propostos para o desenvolvimento do pensamento

geométrico, no 3º ciclo (alunos com idades de 11 e 12 anos, 5ª e 6ª série do

Ensino Fundamental), utilizando-se situações de aprendizagem, devem

estimular o aluno a:

• resolver situações-problema de localização e deslocamento de

pontos no espaço, reconhecendo nas noções de direção e

sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo

elementos fundamentais para a constituição de sistemas de

coordenadas cartesianas;

215

• estabelecer relações entre figuras espaciais e suas

representações planas, envolvendo a observação das figuras

sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando suas

representações;

• resolver situações-problema que envolvam figuras geométricas

planas, utilizando procedimentos de decomposição e

composição, transformação, ampliação e redução

(PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 64 –

65).

Segundo os PCN (1998), é nesse ciclo que os alunos reorganizam e

ampliam os conhecimentos sobre Espaço e Forma abordados no ciclo anterior

e, para isso, se faz necessário explorar situações-problema mais complexas.

Nesse ciclo, o importante é enfatizar as noções de direção e sentido, de

ângulo, de paralelismo e perpendicularismo, as classificações das figuras

geométricas, as relações entre figuras espaciais e suas representações planas,

a exploração das figuras geométricas planas, pela sua decomposição e

composição, transformação (reflexão, rotação e translação), ampliação e

redução.

Ainda neste ciclo, as atividades geométricas centram-se em

procedimentos de observação, representações e construções de

figuras, bem como o manuseio de instrumentos de medidas que

permitam aos alunos fazer conjecturas sobre algumas

propriedades dessas figuras (PARÂMETROS CURRICULARES

NACIONAIS, 1998, p. 68).

O documento ainda enfatiza a importância do uso de instrumentos como

compasso, régua, esquadro e transferidor para a construção de figuras

geométricas, estabelecendo as relações entre os procedimentos das

construções e as propriedades geométricas.

216

Com relação aos conceitos e procedimentos, os PCN destacam:

•

Interpretação, a partir de situações-problema (leitura de

plantas, croquis, mapas), da posição de pontos e de seus

deslocamentos no plano, pelo estudo das representações em

um sistema de coordenadas cartesianas.

•

Distinção, em contextos variados, de figuras bidimensionais e

tridimensionais, descrevendo algumas de suas características,

estabelecendo relações entre elas e utilizando nomenclatura

própria.

•

Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais,

segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros;

poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e outros

poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; número de lados

dos polígonos; eixos de simetria de um polígono; paralelismo de

lados, medidas de ângulos e de lados.

•

Composição e decomposição de figuras planas.

•

Identificação de diferentes planificações de alguns poliedros.

•

Transformação de uma figura no plano por meio de reflexões,

translações e rotações e identificação de medidas que

permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos

lados, dos ângulos, da superfície).

•

Ampliação e redução de figuras planas segundo uma razão e

identificação dos elementos que não se alteram (medidas de

ângulos) e dos que se modificam (medidas dos lados, do

perímetro e da área).

•

Quantificação e estabelecimento de relações entre o número

de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides, da

relação desse número com o polígono da base e identificação

de algumas propriedades, que caracterizam cada um desses

sólidos, em função desses números.

•

Construção da noção de ângulo associada à idéia de mudança

de direção e pelo seu reconhecimento em figuras planas.

•

Verificação de que a soma dos ângulos internos de um

triângulo é 180º.( PARÂMETROS CURRICULARES

NACIONAIS, 1998, p. 72 – 73).

Com relação aos critérios de avaliação, o documento destaca que esse

instrumento deve possibilitar ao professor os assuntos que devem ser

217

retomados e organizar novas situações que possibilitem sua efetiva

aprendizagem.

No 4º ciclo, que corresponde as 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental, o

documento recomenda as discussões com os alunos no sentido de que a

Matemática faz parte do saber científico e que desenvolve um papel central na

cultura moderna.

Nesse ciclo, os objetivos propostos para o ensino dessa disciplina,

visando o desenvolvimento do pensamento geométrico, devem-se fazer por

meios de situações de aprendizagem que levem o aluno a:

•

interpretar e representar a localização e o deslocamento de

uma figura no plano cartesiano;

•

produzir e analisar transformações e ampliações/reduções de

figuras geométricas planas, identificando seus elementos

variantes e invariantes, desenvolvendo o conceito de

congruência e semelhança;

•

ampliar e aprofundar noções geométricas como incidência,

paralelismo, perpendicularismo e ângulo para estabelecer

relações, inclusive as métricas, em figuras bidimensionais e

tridimensionais (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS,

1998, p. 81 – 82).

O estudo dos conteúdos do bloco Espaço e Forma deve partir da análise

das figuras pelas observações, manuseios e construções que permitam fazer

conjecturas e identificar propriedades. É imprescindível no desenvolver das

atividades que o aluno possa perceber que pela composição de movimentos é

possível transformar uma figura em outra.

218

A construção de figuras a partir da reflexão, translação, por meio da

rotação é imprescindível para que o aluno perceba que as medidas dos lados e

dos ângulos, da figura dada e da figura transformada, são as mesmas.

As atividades de transformação são fundamentais para que o

aluno desenvolva habilidades de percepção espacial e podem

favorecer a construção da noção de congruência de figuras

planas (isometrias). De forma análoga, o trabalho de ampliação

e redução de figuras permite a construção da noção de

semelhança de figuras planas (homotetias). (PARÂMETROS

CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 86).

É neste ciclo, ao realizar os problemas geométricos, que o aluno tem

contato com o raciocínio dedutivo, o que não significa um estudo

absolutamente formal e axiomático da Geometria. Vale ressaltar que o

refinamento das argumentações produzidas, para uma demonstração

Matemática, deve ocorrer gradativamente pela assimilação de princípios da

lógica formal, possibilitando as demonstrações.

Embora no quarto ciclo se inicie um trabalho com algumas

demonstrações, com o objetivo de mostrar sua força e

significado, é desejável que não se abandonem as verificações

empíricas, pois estas permitem produzir conjecturas e ampliar o

grau de compreensão dos conceitos envolvidos.

(PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 87).

Os conceitos e procedimentos destacados para o bloco de conteúdos

Espaço e Forma para esse ciclo são os seguintes:

•

Representação e interpretação do deslocamento de um ponto

num plano cartesiano por um segmento de reta orientado.

•

Secções de figuras tridimensionais por um plano e análise das

figuras obtidas.

219

•

Análise em poliedros da posição relativa de duas arestas

(paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces

(paralelas, perpendiculares).

•

Representação de diferentes vistas (lateral, frontal e superior)

de figuras tridimensionais e reconhecimento da figura

representada por diferentes vistas.

•

Divisão de segmentos em partes proporcionais e construção

de retas paralelas e retas perpendiculares com régua e

compasso.

•

Identificação de ângulos congruentes, complementares e

suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas

transversais.

•

Estabelecimento da razão aproximada entre a medida do

comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.

•

Determinação da soma dos ângulos internos de um polígono

convexo qualquer.

•

Verificação da validade da soma dos ângulos internos de um

polígono convexo para os polígonos não-convexos.

•

Resolução de situações-problema que envolvam a obtenção

da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ângulo, de

retas paralelas e perpendiculares e de alguns ângulos notáveis,

fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro

e transferidor.

•

Desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas

a partir de transformações (reflexões em retas, translações,

rotações e composições destas), identificando as medidas

invariantes (dos lados, dos ângulos, da superfície).

•

Verificar propriedades de triângulos e quadriláteros pelo

reconhecimento dos casos de congruência de triângulos.

•

Identificação e construção das alturas, bissetrizes, medianas e

mediatrizes de um triângulo utilizando régua e compasso.

•

Desenvolvimento da noção de semelhança de figuras planas a

partir de ampliações ou reduções, identificando as medidas que

não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos lados, da

superfície e perímetro).

•

Verificações experimentais e aplicações do teorema de Tales.

•

Verificações experimentais, aplicações e demonstração do

teorema de Pitágoras. (PARÂMETROS CURRICULARES

NACIONAIS, 1998, p. 88 – 89).

Os critérios de avaliação para esse ciclo, no bloco Espaço e Forma, são:

220

•

Decidir sobre os procedimentos matemáticos adequados para

construir soluções num contexto de resolução de problemas

numéricos, geométricos ou métricos.

•

Estabelecer relações de congruência e de semelhança entre

figuras planas e identificar propriedades dessas relações.

(PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 92 –

93).

Por meio desses critérios o professor pode identificar se o aluno é capaz

de interpretar uma situação-problema; selecionar as informações necessárias;

planejar a resolução; estimar soluções; decidir sobre procedimentos de

resolução a serem utilizados; investigar, justificar argumentar e comprovar a

validade de resultados e apresentá-los de maneira organizada e clara. Verificar

se o aluno é capaz de perceber que, por meio de diferentes transformações de

uma figura no plano (translações, reflexões e rotações) obtém-se figuras

congruentes e, que por meio de ampliações e reduções, obtém-se figuras

semelhantes, e de aplicar as propriedades da congruência e semelhança em

situações-problema.

3.1.2 Orientações didáticas para o bloco de conteúdos:

Espaço e Forma.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais trazem algumas orientações

didáticas aos professores visando uma reflexão de como ensinar os conteúdos

matemáticos em sala de aula, analisando os conceitos e procedimentos a

serem ensinados e, as formas como os alunos constroem esses

conhecimentos.

221

Ao abordar o bloco Espaço e Forma, o documento enfatiza que a

Geometria tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, que em muitas

vezes, confunde-se o seu ensino com o das medidas. Caracteriza que a

Geometria tem um papel fundamental no currículo, uma vez que possibilita ao

aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender,

descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Destaca

a Geometria como um campo fértil de situações-problema que favorece o

desenvolvimento da capacidade de argumentar e construir demonstrações.

No campo dos problemas, o estudo do espaço e das formas envolve três

objetos de natureza diferentes:

• o espaço físico, ele próprio – ou seja, o domínio das

materializações;

• a geometria, concebida como modelização desse espaço físico

– domínio das figuras geométricas;

• o(s) sistema(s) de representação plana das figuras espaciais –

domínio das representações gráficas. (PARÂMETROS

CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 122).

A esses objetos correspondem três questões relativas à aprendizagem

que são ligadas e interagem umas com as outras. São elas:

•

a do desenvolvimento das habilidades de percepção espacial;

•

a da elaboração de um sistema de propriedades geométricas e

de uma linguagem que permitam agir nesse modelo;

•

a de codificação e de decodificação de desenhos.

(PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 123).

Com relação ao desenvolvimento das habilidades de percepção

espacial, os PCN identificam a leitura e a utilização efetiva de mapas e plantas,

222

nas situações cotidianas, como principio de partida. Cita, como exemplos, a

localização de um escritório um grande edifício, o deslocamento numa cidade e

etc. Para a aquisição dessas habilidades propõe algumas situações de trabalho

em sala de aula, tais como: a construção de maquetes, a qual favorece a

construção de diferentes pontos de vista pela movimentação do observador; a

construção de mapas, utilizando o trabalho com as coordenadas cartesianas,

fazendo uma analogia com as coordenadas geográficas; a observação das

relações entre tamanhos, aproximando-se da noção de proporcionalidade, o

que permite ao aluno a utilização das escalas nas construções de maquetes.

Com relação ao campo da figuras geométricas, o documento traz

exemplos de atividades de classificação dessas figuras com base na

observação de suas propriedades e regularidades; explorando a composição e

decomposição dessas figuras, como ladrilhamentos, tangrans, poliminós, nos

quais o aluno verifique que o cobrimento de uma superfície pode ser feito por

determinadas figuras, como triângulos equiláteros, quadrados, retângulos,

hexágonos regulares; descubra que uma figura poligonal pode ser composta ou

decomposta por outra como triângulos, em particular, facilitando o cálculo de

áreas e a determinação da soma das medidas dos seus ângulos internos.

O documento privilegia as atividades que envolvem as transformações,

visto que permite ao aluno o desenvolvimento de conceitos geométricos de

uma forma significativa.

Ressalta que o estudo das transformações isométricas é um excelente

ponto de partida para a construção das noções de congruência, servindo de

223

apoio para a compreensão das propriedades das figuras. Incentiva, também, o

estudo das transformações que envolvem ampliação e redução como ponto de

partida para o estudo de semelhança de figuras geométricas e a construção de

seu conceito. Aborda ainda que o conceito de semelhança é proveitoso para

estabelecer conexões com outros conteúdos matemáticos, como razões e

proporções, propriedades das figuras, ângulos, medidas (áreas, volumes) e

conteúdos de outras áreas (artes, educação física, ciências, geografia, física).

Com relação aos sistemas de representações planas das figuras

espaciais, as principais funções dos desenhos são as seguintes:

.• visualizar – fazer ver, resumir;

.• ajudar a provar;

.• ajudar a fazer conjecturas (o que se pode dizer).

(PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 125).

O importante quando o aluno tem de representar um objeto geométrico

por meio de um desenho, busque a relação entre a representação do objeto e

suas propriedades e organize o conjunto do desenho de uma maneira

compatível com a imagem mental global que tem o objeto.

Os PCN ressaltam que as atividades de Geometria são propícias para

que o professor construa junto com seus alunos um caminho que os leve a

compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar as

hipóteses levantadas. Cita como exemplo o teorema de Pitágoras, no qual o

professor propõe ao aluno um quebra-cabeça constituído por peças planas que

devem compor, por justaposição, de duas maneiras diferentes, um modelo

224

material de um quadrado (figura a seguir). Utilizando o princípio aditivo relativo

ao conceito de áreas de figuras planas, observa-se que a

= b

+ c

. Diz-se

então, que o teorema de Pitágoras foi “provado”.

Figura 3.1 – Pitágoras (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS)

Apesar da força que convencimento que a utilização desse tipo de

material concreto tem para os alunos, eles não se constituem provas

matemáticas. Esses tipos de experiências podem ser aceitas como “provas” no

terceiro ciclo, mas, a partir do quarto ciclo, essas experiências devem servir

como elementos desencadeadores de conjecturas e processos que levem a

justificativas mais formais.

O documento ainda coloca que existem casos em que a concretização

utilizada distancia-se da prova formal adotada, na qual a exemplificação num

contexto pode apenas desempenhar um papel de fontes de conjecturas a

serem provadas formalmente. O documento traz como exemplo a comprovação

225

de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo vale 180º,

feita por meio da composição e decomposição de um modelo material de um

triângulo.

Figura 3.2 – Soma dos ângulos (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS)

Para um aluno do quarto ciclo, a demonstração de que a soma das

medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º recorre a axiomas e

teoremas envolvendo um par conveniente de retas paralelas, que no entanto,

não tem correspondente na concretização realizada acima.

O documento traz, também, alguns problemas antigos onde se propõe

que o professor trabalhe a questão da história da matemática – envolvendo o

estudo de civilizações antigas e como estas se utilizavam os conceitos

geométricos em seu cotidiano.

226

Figura 3.3 – Problemas antigos (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS)

Ainda nesse documento, podemos ter como exemplo uma conexão entre

os conteúdos da disciplina de Matemática e de outras disciplinas, conforme

vemos na figura a seguir:

227

Espaço e formas: o lugar em que se vive; os objetos do entorno.

Fig. 3.4 – Rede (Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 141).

Alguns dos possíveis contextos das situações-problema:

• formas e órbitas dos planetas;

228

• as embalagens das coisas – planificações, construções;

• construção de maquetes;

• as pirâmides do Egito;

• guias da cidade e mapas;

• decomposição da luz – prismas. (PARÂMETROS

CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 142).

3.2. Análise do Livro Didático: “Matemática para todos”.

Para esse momento, analisaremos a coleção de livros didáticos, para o

ensino fundamental, intitulada “Matemática para todos” dos autores Luiz Márcio

Imenes

e Marcelo Lellis

, publicada pela Editora Scipione no ano de 2002.

Os quatro volumes dessa coleção trazem, em sua apresentação, um

texto destinado aos alunos, comentando sobre a importância de aprender

matemática e quanto isso pode ser prazeroso, e um texto destinado aos pais

desses alunos, relatando as diferenças entre como se “estudava matemática”

antigamente e o seu estudo nos dias de hoje.

Cada volume está dividido em capítulos que contém alguns itens,

destacados a seguir:

Engenheiro civil (EPUSP), licenciado em Matemática (FFCLM) e mestre em Educação

Matemática (UNESP). Autor de diversos livros didáticos.

Bacharel em Matemática (USP) tem atuado como professor de Matemática nos ensinos

fundamental, médio e superior. Tem, também, assessorado o ensino de Matemática da

educação infantil ao ensino médio em várias escolas públicas e particulares.

229

•

O texto de introdução, em que é apresentado, ou discutido, o

conteúdo matemático;

•

Conversando sobre o texto: neste item há questões sobre o

texto, visando a troca de idéias entre os alunos, promovendo a

exposição e organização do pensamento e reforçando o

aprendizado;

•

Problemas e exercícios: banco de problemas e situações-

problema, em que se recomenda a resolução em sala de aula

para que haja a discussão entre os alunos;

•

Problemas e exercícios para casa: visando buscar o trabalho

individual de cada aluno, com a finalidade de comprovar a

interiorização dos conceitos e técnicas aprendidas em sala de

aula;

•

Um toque a mais: seção onde se amplia a conexão da

matemática com o mundo, visando promover a reflexão e o

desenvolvimento de competências de comunicação e de

investigação.

Na parte final de cada volume encontramos uma seção de “Problemas e

exercícios complementares”, uma seção intitulada “Supertestes”, onde há

testes envolvendo os conteúdos estudados, um “Dicionário” com alguns termos

matemáticos encontrados no volume e um “Bloco de folhas especiais”,

230

organizado para “facilitar” algumas das atividades encontradas em cada

volume.

3.2.1. A Geometria na Coleção “Matemática para todos”.

Com relação ao tema de Geometria, encontramos os seguintes tópicos

no Sumário da 5ª série do Ensino Fundamental:

Capítulo 2 – Formas Tridimensionais;

Capítulo 4 – Formas planas;

Capítulo 7 – Construções geométricas;

Capítulo 13 – Simetria.

No capítulo 2 é realizada uma abordagem inicial das formas

tridimensionais destacando o estudo dos prismas, pirâmides, esfera e cilindros.

Nesta abordagem, o texto, e as atividades, propõem ao aluno o

reconhecimento dessas formas através de objetos comumente vistos no dia a

dia, onde se busca identificá-los (nomenclatura), sempre relacionando o

“ambiente” desse aluno.

As atividades propõem a exploração das vistas dos objetos

tridimensionais e de superfícies planas, e a construção e planificação desses

objetos.

231

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 5. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 12.

232

No capítulo 4, intitulado “Formas planas”, é estudado, inicialmente, o

conceito de ângulos através de observações, em que os autores fazem a

correspondência do giro de uma régua como sendo um ângulo, conforme

ilustração a seguir.

A partir daí, são introduzidos os conceitos de ângulo raso, reto, agudo e

obtuso, todo esse estudo realizado através de observação.

As atividades propostas buscam aprimorar esse conceito usando objetos

comuns, tais como: a abertura entre os ponteiros de um relógio, os cantos

entre uma parede e o piso; o movimento de um robô.

Feito isso, é realizado o estudo de retas perpendiculares e paralelas

através da observação e investigação de mapas, de plantas, de construções

com régua e esquadro, conforme vemos a seguir.

Figura 3.5 – Giros e Ângulos (Imenes & Lellis, V. 5, 2002)

233

As situações-problema propostas para o aprofundamento desse estudo

estabelecem relações com o cotidiano do aluno.

Seguindo nesse capitulo, encontramos um estudo sobre mosaicos

abordando o conteúdo dos polígonos, em que encontramos a seguinte

“definição”:

Figura 3.6 – Perpendiculares e paralelas (Imenes & Lellis, V. 5, 2002)

234

Polígonos são formas que somente têm contornos retos

(IMENES & LELLIS, 5ª série, 2002, p. 69).

A seguir, o capitulo traz uma abordagem sobre os quadriláteros

“definindo-os” como sendo “polígonos que têm quatro lados, quatro vértices e

quatro ângulos”, identificando o quadrado, o paralelogramo, o retângulo e o

trapézio.

As propriedades dos quadriláteros são estudadas nos problemas e

exercícios propostos, conforme vemos a seguir.

235

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 5. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 76 – 77.

236

237

No capitulo 7 desse volume são trabalhadas as construções geométricas

em papel quadriculado, onde o aluno identifica as mudanças ocorridas quando

se muda uma das escalas de construção. Também são trabalhadas as

construções geométricas utilizando régua, esquadro e compasso, nas quais se

foca o trabalho da matemática com a disciplina de arte e a construção de

alguns polígonos regulares utilizando os instrumentos citados. Abaixo,

mostramos um exemplo de problema trabalhado neste capítulo.

Figura 3.7 – Problemas: retas (Imenes & Lellis, V. 5, 2002)

238

No capitulo 13 é abordado o estudo da simetria. Esse estudo traz o

seguinte “quadrinho”, onde se “define” simetria:

Após isso, é trabalhado o conceito de simetria utilizando objetos que o

aluno tenha uma familiaridade, como por exemplo, a imagem de uma figura

através de um espelho, na qual o espelho passa a ser o eixo de simetria.

Realizada essa abordagem inicial, o capitulo traz alguns exemplos e

problemas em que o foco é a identificação do eixo de simetria de figuras dadas,

caso exista. Também notamos o trabalho com dobraduras, conforme vemos a

seguir.

Figura 3.8 – Simetria (Imenes & Lellis, V. 5, 2002)

239

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 5. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 207.

240

Percebemos que o conteúdo de geometria abordado nesse volume

possui uma “linguagem matemática” bem próxima da linguagem do aluno

nessa série. Os autores procuraram trabalhar esse tema utilizando exemplos e

materiais que esses alunos estão acostumados a ver em seu cotidiano.

No volume destinado a 6ª série dessa coleção, encontramos os

seguintes capítulos relacionados ao tema de Geometria:

Capítulo 2 – Construções geométricas;

Capítulo 8 – Mapas e localização;

Capítulo 14 – Geometria tridimensional;

O capítulo 2, que aborda as construções geométricas, inicia com o

estudo do conceito de ângulo, citando-o como sendo muito utilizado para

realizar essas construções. Aborda, também, a nomenclatura dos triângulos em

relação aos ângulos que possuem: retângulo, acutângulo e obtusângulo.

O texto traz, utilizando uma linguagem “simples”, a importância dos

ângulos e como eles estão presentes no cotidiano como, por exemplo: entre os

ponteiros de um relógio, as linhas das vagas de estacionamento, na

determinação das rotas dos aviões e etc.

Nesse mesmo texto encontramos a seguinte construção de um ângulo

de vértice P cuja medida é 37º.

241

Nos “Problemas e exercícios” dessa parte notamos que o foco é o

trabalho com régua, esquadro e transferidor para a construção de ângulos, a

determinação da medida de um ângulo dado e a comparação entre as medidas

de ângulos. Alguns exercícios trazem conceitos novos ao aluno, conforme

vemos a seguir.

Figura 3.9 – Medida de ângulo (Imenes & Lellis, V. 6, 2002)

242

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 6. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 27.

243

raio

Depois é realizado o estudo do conceito de circunferência, em que se

utilizam alguns fatos históricos de civilizações antigas e de sociedades

indígenas do Brasil.

Encontramos a seguinte característica para a circunferência: “ter todos

os pontos a igual distância do centro”.

Nos problemas e exercícios propostos para esse estudo encontramos

um trabalho com a construção de circunferências, utilizando o compasso;

exercícios que abordam conceitos já estudados e situações-problema que

abordam os conceitos de diâmetro e cordas, os quais não foram abordados no

texto de introdução.

Figura 3.10 – Circunferência

244

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 6. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 31.

245

Realizado o estudo com a circunferência, o capítulo inicia o estudo de

simetria. Diferentemente do estudo realizado na série anterior, nesse volume

inicia-se o estudo a partir do “losango”, no qual se localiza o eixo de simetria e,

novos assuntos são abordados, tais como: ponto médio, simetria axial e

simetria de rotação.

Os exercícios propostos nessa parte trabalham com a identificação dos

eixos de simetria e com a quantidade de eixos que cada figura têm, também se

trabalha com a medida do ângulo no caso da simetria rotacional. Alguns

problemas relacionam a simetria com a arte e com a óptica.

Na seção “Ação”, encontrada logo depois do estudo de simetria,

trabalha-se com o conceito da soma das medidas dos ângulos internos de um

triângulo ser 180º através de dobraduras, em que o aluno é quem realiza essa

investigação e chega a essa conclusão.

Nos exercícios propostos para essa parte, além de se trabalhar com o

cálculo da medida de um ângulo num triângulo, conhecendo-se os outros dois,

inicia-se o trabalho com a determinação da medida dos ângulos de polígonos

regulares, conforme vemos a seguir.

246

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 6. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 41 – 42.

247

248

No capítulo 8, intitulado “Mapas e localização”, é realizado um trabalho

com as “vistas”, frontal, lateral e superior de figuras e com a localização em

mapas, fazendo-se relação com a determinação das coordenadas de pontos

num plano cartesiano.

Nessa parte percebemos que, tanto no e texto informativo quanto nos

problemas propostos, há sempre a intenção de relacionar os conceitos

matemáticos abordados com o cotidiano do aluno, utilizando uma linguagem

apropriada para os alunos dessa série.

O capitulo 14 trabalha com a geometria tridimensional. Inicialmente é

realizado o estudo dos poliedros, no qual o texto procura trazer exemplos de

poliedros encontrados na natureza e de construções realizadas pelo homem.

Os autores trazem a seguinte diferenciação entre formas tridimensionais

poliédricas e não poliédricas:

Os poliedros são formas tridimensionais poliédricas,

volumétricas. Há, porém, formas tridimensionais que não são

poliédricas, como esferas, cilindros e cones. A diferença entre

essas formas é que a superfície de um poliedro é formada por

polígonos, que são figuras planas (IMENES & LELLIS, 6ª série,

2002, p. 242).

Nos problemas e exercícios propostos para essa parte exigem que o

aluno reconheça o que são poliedros; as características entre os diferentes

poliedros; o trabalho com vértices, arestas e faces; as relações entre os

diferentes poliedros, a classificação dos mesmos e suas planificações. Na

maior parte dos problemas nota-se que o aluno é “instigado” a refletir sobre os

conteúdos estudados.

249

Seguindo o capítulo, encontramos um estudo sobre a classificação das

formas geométricas, no qual é retomada a abordagem sobre figuras planas e

espaciais.

Nas figuras planas, há a separação entre os polígonos e não polígonos,

enquanto que nas espaciais há a separação entre os poliedros e não poliedros.

No final desse capítulo, na seção “Um toque a mais”, encontramos um

texto que trabalha a “Geometria da bola de futebol”, conforme vemos a seguir.

250

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 6. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 251 – 252.

251

252

No volume destinado a 7ª série desta coleção, encontramos os

seguintes capítulos relacionados ao tema de Geometria:

Capítulo 3 – Construções geométricas;

Capítulo 6 – Ângulos, paralelas e polígonos;

Capítulo 8 – Simetrias;

Capítulo 10 – Desenhando figuras espaciais;

Capítulo 12 – Áreas e Volumes;

Capítulo 14 – Geometria experimental.

No capitulo 3 desse volume, intitulado “Construções geométricas”, é

realizada uma abordagem que visa a utilização e “familiarização” de

instrumentos como: régua, compasso, esquadro e transferidor, para a

realização de construções de figuras planas e espaciais. Nesse sentido,

notamos uma retomada dos conceitos abordados nas séries anteriores, porém,

em alguns problemas e exercícios dessa parte o aluno aprende conceitos

novos, nos quais há sempre algum comentário.

Nos problemas e exercícios propostos é pedido que o aluno construa

algumas figuras geométricas, rotas realizadas por automóveis ou aviões, a

montagem de caixas, pirâmides e cones, utilizando, sempre, os instrumentos

comentados acima; que meçam algumas distâncias, que reflitam sobre

algumas propriedades durante a realização dessas construções. Nesses

problemas, notamos uma maneira lúdica de fazer o aluno aprender os

conceitos geométricos.

253

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 43 e p. 45.

254

No final deste capítulo, na seção “Um toque a mais”, encontramos um

texto que relaciona o “origami” com a matemática e com os conceitos que o

aluno aprendeu durante o capítulo.

255

No capítulo 6, encontramos um estudo sobre os ângulos, as paralelas e

os polígonos.

Inicialmente, essa parte aborda algumas propriedades dos ângulos

como: ângulos opostos pelo vértice; o estudo dos ângulos formados entre retas

paralelas “cortadas” por uma reta transversal: correspondentes, alternos

internos e alternos externos.

A seguir, trazemos a abordagem realizada neste volume para a

conclusão de que os ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais.

[...] podemos provar que ângulos desse tipo (opostos pelo

vértice) sempre têm medidas iguais. Veja a figura e acompanhe

a prova ao lado dela.

a + c = 180º. Portanto, a = 180º – c.

b + c = 180º. Portanto, b = 180º – c.

Conclusão: a = b

(IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 86).

Nos problemas e exercícios propostos para essa parte, além dos

conteúdos abordados no texto inicial, encontramos a abordagem de outros

conceitos que o aluno “vai” identificando através a realização dos problemas,

tais como: a medida de ângulos internos de um polígono e ângulos externos.

Percebemos, nesses problemas, o trabalho com a álgebra, com grandezas e

medidas, nos quais o aluno é “levado” a refletir sobre os conceitos geométricos

já estudados e institucionalizados conceitos novos.

256

Após isso, é realizada a “prova” de que a soma das medidas dos

ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. A abordagem que esse volume

traz encontramos abaixo.

Considere este triângulo ABC, no qual estão assinalados os

ângulos internos e suas medidas.

Agora, traçamos a reta u, paralela ao lado BC, passando pelo

vértice A.

Sabemos que p = b e q = c (medidas de ângulos alternos

internos)

Como p + a + b = 180º, concluímos que b + a + c = 180º ou a +

b+ c = 180º (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 94).

Nos problemas e exercícios propostos dessa parte encontramos o

trabalho com os conceitos abordados no texto e outros conceitos que são

introduzidos ao longo da realização dos problemas como a conclusão de que a

medida do ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medidas dos

dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo e, que a soma das

medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, conforme vemos

a seguir.

257

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 90 – 91.

258

259

Seguindo esse capítulo, é abordado o estudo da soma das medidas dos

ângulos internos de um polígono, no qual, a partir do estudo realizado com a

soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, se chega a soma das

medidas dos ângulos internos do quadrilátero e do pentágono. Nessa

abordagem inicial não é realizada a generalização para a soma dos ângulos

internos de qualquer polígono, o que encontraremos nos problemas e

exercícios propostos.

Nos problemas e exercícios propostos para essa parte encontramos

situações que levam o aluno a generalizar maneira para descobrir a soma dos

ângulos internos de qualquer polígono, nas quais notamos uma seqüência

didática para isso, conforme vemos a seguir.

260

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 100.

261

Realizado esse estudo, o capítulo inicia uma abordagem quanto a

classificação dos polígonos, em que o critério para essa classificação são: as

medidas dos lados e as medidas dos ângulos, concluindo, ao final desse

estudo que os “polígonos regulares são aqueles que têm lados e ângulos de

mesmas medidas”.

Abaixo, colocamos uma abordagem, encontrada na página 105 desse

volume, na qual se relacionam os conceitos estudados nesse capítulo com a

teoria dos conjuntos.

No capítulo 8 é realizado o estudo dos tipos de simetria: simetria axial,

simetria de rotação e simetria central. Esses estudos são realizados através de

exemplos, figuras geometrias ou observações da natureza, em que se chega

aos conceitos matemáticos, conforme vemos a seguir.

Figura 3.11 – Polígonos e teoria dos conjuntos (Imenes & Lellis, V. 6, 2002)

262

•

Simetria axial:

O triângulo RUI é simétrico do triângulo R’U’I’ em relação ao

eixo e. Repare que a reta é perpendicular aos segmentos RR’,

UU’ e II’, além de passar pelo ponto médio deles, dizemos que o

eixo é a

mediatriz

desses segmentos de reta (IMENES &

LELLIS, 7ª série, 2002, p. 134).

•

Simetria de rotação:

60º

Fazendo cada vértice do triângulo FUI girar 60º em torno de C,

obtemos o triângulo LER. Dizemos que um é a imagem do outro

por uma rotação de 60º. Os pontos simétricos por essa rotação

são F e L, U e E, I e R (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p.

135).

•

Simetria central:

A simetria central é um caso especial de simetria de rotação.

Quando a rotação é de 180º, costumamos dizer simplesmente

simetria central, no lugar de simetria de rotação para 180º.

263

Girando 180º em torno de O, o quadrilátero SETA cai sobre o

quadrilátero S’E’T’A ‘. Os dois são simétricos em relação ao

centro O, daí o nome simetria central (IMENES & LELLIS, 7ª

série, 2002, p. 136).

Os problemas e exercícios propostos nessa parte trabalham com o

conteúdo abordado até então, nos quais o aluno necessita identificar os eixos

de simetrias, realizar algumas construções de figuras geométricas utilizando

simetria, identificar o tipo de simetria e a construção de mosaicos a partir das

simetrias.

264

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 145.

265

Feito esse estudo, o texto relaciona a simetria com as propriedades

geométricas, tais como: bissetriz de um ângulo, em que é “definida” como

sendo “a semi-reta que seciona o ângulo em dois ângulos iguais” e a

propriedade de que as “diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio”.

Nessa parte, esse estudo é “fixado” e ampliado através dos problemas e

exercícios propostos, o quais trabalham a simetria e as propriedades

estudadas, levando o aluno a refletir sobre algumas construções.

No capítulo 10, “Desenhando figuras espaciais”, notamos que o intuito é

desenvolver a percepção espacial do aluno.

Inicialmente é realizado o trabalho com malhas triangulares e

quadriculares para depois trabalhar com desenhos em perspectiva, no qual

este conceito é enfatizado com a arte.

Os textos que esse capítulo traz leva o aluno a refletir sobre os conceitos

geométricos estudados relacionando-os com o mundo em que vive.

A seguir, podemos ver algumas ilustrações contidas nesse capítulo

sobre o uso da “perspectiva” em artes.

266

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 179.

267

= b

+ c

No capítulo 12 encontramos o estudo de áreas e volumes, mas vamos

apenas nos atentar para o estudo do Teorema de Pitágoras, que está contido

nesse capítulo.

A abordagem desse teorema é feita a partir de desenhos, exemplos de

aplicação no cotidiano e um pouco de historia, na qual é levado a “fórmula”,

destacando que nos triângulos retângulos existe uma relação entre as medidas

dos lados.

O texto traz a seguinte definição.

Em todo triângulo retângulo, sendo

as medidas dos

lados (

é a do lado maior), vale a relação:

Esta descoberta é considerada uma das mais importantes da

história da matemática e a propriedade acima é conhecida como

relação de Pitágoras (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 221).

Após essa “definição” o texto traz um “quadrinho” no qual as

personagens conversam sobre a dificuldade de aceitar essa relação sem

nenhuma demonstração ou prova. A partir disso, o texto traz a “prova” dessa

demonstração usando os conceitos de área aprendidos no capítulo, conforme

vemos a seguir.

[...] Vamos usar nossos conhecimentos sobre álgebra e cálculo

de áreas e provar que ela é sempre verdadeira.

268

Com um quadrado e quatro triângulos retângulos iguais entre si

(mas sem nenhuma outra característica especial), podemos

compor um outro quadrado maior, como mostra a figura:

O quadrado maior tem lado b + c. Dentro dele, o quadrado

menor tem lado a e os quatro triângulos retângulos iguais têm

lados perpendiculares b e c.

As áreas dessas figuras são:

•

área de cada triângulo:

b.c

•

área do quadrado menor: a

•

área do quadrado maior (ou da figura toda): (b + c)

A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quatro

triângulos com a área do quadrado menor. Ou seja:

(b + c)

b.c

+ a

(b + c).(b + c) = 2bc + a

+ bc + bc + c

= 2bc + a

+ c

= a

Uma propriedade obtida por meio de uma dedução é um

teorema. Esse que vimos é o teorema de Pitágoras (IMENES &

LELLIS, 7ª série, 2002, p. 222).

Os exercícios e problemas propostos nessa parte trabalham com a

relação de Pitágoras, através das áreas, e com o uso de seu teorema aplicado

em situações-problema contextualizadas, conforme vemos a seguir.

269

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 223 e p. 225.

270

271

No capítulo 14, intitulado Geometria experimental, o texto aborda,

inicialmente, a questão da proporcionalidade entre as medidas de figuras

objetivando o conceito de figuras semelhantes.

Nesse capítulo, observamos uma abordagem bem experimental que leva

o aluno a “tirar” suas conclusões sobre figuras semelhantes.

Nos problemas e exercícios propostos percebemos que as atividades

levam o aluno a refletir e chegar a conclusão de que as figuras semelhantes

têm as medidas dos lados proporcionais e ângulos iguais. Também há uma

introdução sobre a homotetia. Como já dissemos, esse capítulo traz uma

abordagem bem experimental, na qual há muitas atividades para que o aluno

chegue às conclusões objetivadas.

No volume destinado a 8ª série desta coleção, encontramos os

seguintes capítulos relacionados ao tema de Geometria:

Capítulo 1 – Semelhança;

Capítulo 7 – Geometria dedutiva;

Capítulo 9 – Trigonometria;

Capítulo 11 – Construções geométricas.

No capítulo 1 encontramos o estudo da semelhança entre figuras.

Diferentemente da abordagem realizada na 7ª série, nesse capítulo trabalha-se

com a ampliação e redução de figuras e logo a seguir já traz a “definição” de

figuras semelhantes, conforme segue:

272

Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem,

simultaneamente, duas condições:

• as medidas dos lados que se correspondem são proporcionais;

• as medidas dos ângulos que se correspondem são iguais

(IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 7).

A partir daí, o texto traz um exemplo que identifica a razão de proporção

entre os lados correspondentes de duas figuras. Com os conceitos já

estudados, o texto traz uma outra maneira de se construir figuras semelhantes,

conforme vemos a seguir.

•

Para ampliar ou reduzir este polígono de 5 lados, marcamos

um ponto O (o pólo) e traçamos as semi-retas AO, OB, OC, etc.

•

Para duplicar o polígono, marcamos o ponto A’ sobre a semi-

reta AO de modo que AO’ = 2.OA. Usar o compasso diminui o

trabalho.

[...]

•

Da mesma forma, fazemos OB’ = 2.OB, OC’ = 2.OC, etc.

273

•

Para completar, ligamos A’ com B’ com C’, etc. Neste exemplo,

a ampliação é de 1 para 2.

Nesse processo de ampliação ou redução a partir de um pólo,

obtemos figuras semelhantes, semelhantemente dispostas.

Essa relação entre duas figuras chama-se homotetia. A palavra

vem do grego (

homós

– igual +

thetos

– colocado + ia) e se

referem ao fato de as figuras estarem igualmente colocadas,

igualmente dispostas. Também dizemos que são figuras

homotéticas (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, pp. 8 – 9).

A partir desses conceitos são propostos problemas e exercícios aos

alunos para verificar se houve a aprendizagem e em alguns problemas, com

figuras geométricas, são abordados esses conceitos, nos quais o aluno

identifica se as figuras dadas são ou não semelhantes.

274

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 12 – 13.

275

276

Seguindo esse capítulo encontramos um estudo sobre figuras e

triângulos semelhantes, em que se chega a conclusão de que basta conhecer

os ângulos dos triângulos para dizer se são ou não semelhantes, enquanto que

nas demais figuras é preciso saber se os lados correspondentes são

proporcionais, conforme descrito a seguir:

[...] Basta que dois triângulos tenham os ângulos

respectivamente iguais para serem semelhantes.

Essa propriedade só é valida para os triângulos, ou seja, não se

aplica a outros polígonos [...].

A forma de um triângulo fica completamente definida quando

são conhecidos os seus ângulos. Aliás, basta conhecer dois

ângulos, pois o terceiro é o que falta para a soma dos três dar

180º (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 15).

Nos problemas e exercícios propostos para essa parte é trabalhada a

identificação de semelhança entre triângulos e o calculo da medida de um de

seus lados usando o conceito de semelhança. Alguns também abordam

conceitos não estudados pelos alunos, mas que eles “chegam” a essa a

conclusão desse conceito.

277

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 18 – 19.

278

Continuando o capítulo, encontramos o estudo de semelhança no

triângulo retângulo, em que, a partir do conceito de semelhança, se chegam as

279

relações métricas no triângulo retângulo. A seguir, mostraremos uma

demonstração encontrada nesse volume.

[...]

Seus lados são respectivamente proporcionais:

Multiplicando os dois lados da igualdade por BH, vem:

CH.BH

E, multiplicando os dois lados por AH, fica: CH.BH(AH)

Veja como se lê essa fórmula:

O quadrado da medida da altura é igual ao produto das medidas

dos dois segmentos formados na hipotenusa (IMENES &

LELLIS, 8ª série, 2002, p. 25).

Os problemas e exercícios propostos trabalham com essa relação e em

alguns é pedido ao aluno que “demonstre” as outras relações encontradas no

triângulo retângulo. Também encontramos muitos exercícios para determinar a

medida de um lado do triângulo envolvendo os conceitos estudados no texto e

as demonstrações que os alunos desenvolveram nos problemas e exercícios

anteriores.

280

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 27 – 28.

281

282

Continuando o capítulo, é retomado o estudo do teorema de Pitágoras,

em que é apresentada uma demonstração utilizando o conceito de semelhança

e as relações métricas do triângulo retângulo estudado nesse capítulo,

conforme vemos abaixo.

Na 7ª série, o teorema de Pitágoras foi demonstrado com base

no cálculo de áreas. Agora, chegaremos a mesma conclusão

por outro caminho.

Na figura, sabemos que:

= a.m

= a.n

Vamos somar as duas igualdades:

+ c

= a.m + a.n

Agora, fatoramos a expressão a.m + a.n, colocando o fator a em

evidência:

+ c

= a.(m + n)

Veja, na figura, m + n = a.

Logo: b

+ c

= a.a.

Ou seja: b

+ c

= a

Assim, deduzimos o teorema de Pitágoras usando as fórmulas

que foram deduzidas com base na semelhança de triângulos

(IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 30).

Os problemas e exercícios dessa parte trabalham com o teorema de

Pitágoras e com os conceitos de semelhança. Em alguns problemas

encontramos contextualização com situações do cotidiano.

283

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, p. 32.

284

No capítulo 7, esse volume inicia o estudo da Geometria dedutiva, no

qual é proposto ao aluno, a partir de situações-problema, que prove ou deduza

alguns dos conceitos geométricos estudados até essa série, tais como: a soma

dos ângulos internos de um polígono, a relação do ângulo externo de um

triângulo como sendo igual a soma dos ângulos internos não adjacentes etc.

Realizada essas “provas” e “reflexões”, este capítulo inicia o estudo dos

ângulos na circunferência. Inicialmente, encontramos a prova de que a medida

do ângulo central mede o dobro da medida do ângulo inscrito, conforme vemos

a seguir:

Sabemos que o triângulo OPB é isósceles, porque OP = OB

(raios). Se

OPB

mede b, então

OBP

também mede b.

Lembrando agora que, “em qualquer

triângulo, a medida do ângulo externo

em um vértice é igual à soma das

medidas dos ângulos internos dos

outros dois vértices” e notando que o

ângulo

AOB

é externo para o

triângulo OPB, resulta:

a = b + b ou a = 2.b, que é o que queríamos provar (IMENES &

LELLIS, 8ª série, 2002, p. 134).

Os problemas e exercícios propostos nessa parte trabalham os

conceitos abordados, utilizam instrumentos de medidas, transferidor, régua etc,

e alguns usam a contextualização desses conceitos em situações-problema.

285

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 136 – 137.

286

287

r // s // t

Após esse estudo, é realizada uma revisão do conceito de paralelismo

para abordar o teorema de Tales, em que é realizada a seguinte

demonstração:

[...] Partimos desta figura:

Traçamos AD e BE, paralelos a FH:

Os triângulos ABD e BCE são semelhantes porque têm ângulos

respectivamente iguais. Logo:

= ou

= .

Como os quadriláteros são paralelogramos, resulta: AD = x e

BE = y. Portanto:

. Isso é o que queríamos provar.

[...]

O teorema de Tales pode ser enunciado assim:

Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais,

então as medidas dos segmentos correspondentes que estão

288

sobre as transversais são diretamente proporcionais (IMENES &

LELLIS, 8ª série, 2002, p. 140).

Os problemas e exercícios propostos nessa parte trabalham com a

aplicação do teorema de Tales e os conceitos geométricos estudados até

então. Em alguns casos é pedido ao aluno que “prove” certas relações.

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 141 – 142.

289

290

No capítulo 9, intitulado Trigonometria, encontramos um texto que

comenta sobre o uso da trigonometria no cotidiano e a utilização desse

conceito ao longo da historia.

A abordagem do conceito de trigonometria, desenvolvida no texto, “vai”

trabalhando algumas relações entre as medidas dos lados, comparando com

os ângulos de cada triângulo estudado, na qual se destaca a seguinte

característica:

Assim, a razão

adjascentecateto

opostocateto

depende apenas do ângulo e

não do triângulo.

[...] O triângulo pode ser minúsculo ou gigantesco, não importa,

o valor do quociente é sempre o mesmo. Esse quociente entre

os catetos chama-se tangente do ângulo [...] (IMENES &

LELLIS, 8ª série, 2002, p. 161).

A partir desse conceito são propostos problemas e exercícios ao aluno

abordando o que foi aprendido e, logo depois são trabalhadas as relações

trigonométricas: seno e cosseno.

Nessa parte, muitos dos exercícios propostos trabalham os conceitos

desenvolvidos em situações-problema aplicadas no cotidiano, tais como: medir

a altura de uma montanha, o comprimento de sua base ao seu pico, a largura

de um rio e etc, conforme vemos a seguir.

291

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 164 – 165.

292

Realizado esse estudo, o capítulo inicia uma abordagem sobre os

polígonos inscritos e circunscritos, em que o foco é utilizar as razões

trigonométricas para a determinação de medidas desses polígonos.

293

No capítulo 11, denominado “Construções geométricas”, percebemos

que a abordagem utilizada, por meio de situações-problema e exercícios, visa

retomar os conceitos geométricos estudos pelo aluno ao longo de todo o

ensino fundamental. Nesse sentido, encontramos conceitos como: simetrias,

relação de desigualdade nos triângulos, desenhando em perspectiva e etc.

Notamos que nesse capítulo é introduzido, na verdade apenas um

comentário, do caso de congruência de triângulos, mais especificamente o

caso Lado – Lado – Lado. Os autores orientam o professor a trabalhar esses

casos de congruência, mas não há na coleção um material de apoio para isso.

A seguir, vemos o texto que aborda o caso de congruência LLL e algumas

situações-problema encontradas no capítulo.

[...} imagine um quadrilátero construído com ripinhas de madeira

e parafusos nos vértices. Compare-o com um triângulo

construído da mesma forma. Há uma grande diferença no

comportamento desses dois polígonos.

294

Devido a essa propriedade, dizemos que as medidas dos quatro

lados não determinam o quadrilátero, isto é, não o caracterizam

de forma única. Por outro lado, a rigidez geométrica do triângulo

significa que as medidas dos três lados determinam o triângulo,

isto é, dois triângulos cujos lados têm respectivamente as

mesmas medidas são absolutamente iguais (

ou congruentes

Esse fato é conhecido como caso LLL de congruência de

triângulos; a sigla LLL significa lado-lado-lado (IMENES &

LELLIS, 8ª série, 2002, p. 214 – grifo nosso).

295

Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora

Scipione. São Paulo. 2002, pp. 216 – 217.

296

297

3.3 Os Parâmetros Curriculares Nacionais e a coleção

Matemática para todos.

Analisando os Parâmetros Curriculares Nacionais com a coleção

Educação Matemática, percebemos que os conteúdos e as orientações

didáticas que o documento oficial trazem em seu corpo são contemplados

nesta coleção, com exceção do conteúdo de Congruência de triângulos, em

que, como já dissemos, há apenas uma orientação dada ao professor, para

que se trabalhe tal conteúdo, mas não há um texto de apoio.

Notamos que os autores dessa coleção buscaram apresentar o

conteúdo de Geometria de uma forma mais dinâmica e interativa para o aluno,

quando se propõe a investigação de algumas propriedades geométricas por

meio do uso de material concreto, por exemplo, o caso da soma dos ângulos

internos de um triângulo, em que é proposta a utilização de dobraduras para

verificar essa propriedade.

Nessa coleção, o que nos chamou muito a atenção foi o fato de que nas

situações-problema e nos exercícios propostos o aluno é estimulado a refletir

sobre o conteúdo estudado e suas características e também é “levado” ao

conhecimento de outros conceitos, em que, através de seqüências didáticas, o

próprio aluno valida ou não suas hipóteses.

298

Também percebemos que os conteúdos estudados em determinado

momento fazem uma revisão daqueles já estudados por esse aluno,

ampliando, gradativamente, os seus conhecimentos.

Analisando os textos e os exercícios propostos por essa coleção,

percebemos que o aluno é estimulado a refletir sobre as propriedades

matemáticas a partir de situações contextualizadas. Nessa perspectiva,

podemos notar que o aluno vai “construindo” o seu conhecimento a partir do

que ele já conhece, a partir de suas análises do objeto em questão. Por esses

motivos consideramos que essa coleção teve uma abordagem segundo o

Modelo Construtivista.

300

Capítulo 4

Capítulo 4Capítulo 4

Capítulo 4

CONSIDERAÇÕES FINAIS

CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS

CONSIDERAÇÕES FINAIS.

Analisando documentos oficiais e coleções de livros didáticos de três

momentos de reformas curriculares, procuramos responder as seguintes

questões:

•

Quais foram as mudanças ocorridas no ensino de Geometria da

década de 60 ao momento atual?

•

Analisando as prescrições curriculares para o ensino de Geometria,

como elas foram interpretadas pelos autores de livros didáticos selecionados

para esta pesquisa?

Com relação às mudanças ocorridas, foi possível fazer observações, nos

documentos oficiais e nos livros didáticos sobre: as finalidades ou objetivos

gerais do ensino de geometria; os conteúdos indicados para o trabalho no

segmento analisado (quatro últimas séries do ensino fundamental de 8 anos); a

abordagem metodológica dominante e os recursos didáticos utilizados; a

ênfase conferida ao processo de formalização, ou ao processo de descoberta

ou ao processo de investigação; a preocupação com a linguagem, com a

contextualização e com as aplicações; a preocupação com as peculiaridades e

possíveis interesses dos alunos dessa faixa etária (de 11 a 14 anos); o papel

do professor e do aluno em relação ao saber geométrico.

301

Finalidades do ensino de geometria:

Na tabela abaixo, mostramos a diferenciação da concepção de ensino

de geometria apresentada na Proposta Curricular para o ensino de 1º grau

(1992, p. 181) entre o que pretendia e o que constava dos Guias Curriculares.

GUIAS CURRICULARES PROPOSTA CURRICULAR

• Objetivos gerais inovadores,

como o desenvolvimento da

intuição geométrica, aquisição de

habilidades em construções

geométricas, e processos de

medidas, etc.

• Propõe trabalhar a noção de

transformação, até hoje

inviabilizada.

• Ênfase na utilização da linguagem

dos conjuntos na geometria – o que

desviou a atenção das

propriedades geométricas

Opção pelo ensino da Geometria a

partir da manipulação, exploração

de objetos do mundo físico,

reconhecimento das formas mais

freqüentes de sua caracterização,

através das propriedades, do

encadeamento e relacionamento

entre elas, caminhando para uma

axiomatização provisória no final do

1º grau.

Com relação aos PCN encontramos uma abordagem onde é enfatizado

o trabalho das construções geométricas, com o uso de régua e compasso, a

visualização de figuras onde o aluno possa aplicar as propriedades de cada

figura e relacione-as com outras propriedades. Nesse sentido, o trabalho com

as transformações geométricas ganha destaque, o que não havia no

documento da Proposta Curricular, pois permite o desenvolvimento da

percepção espacial e permite que o aluno “descubra” as condições necessárias

para que duas figuras sejam semelhantes e/ou congruentes.

302

Nas coleções aqui analisadas, percebemos que trabalham as

recomendações e conteúdos orientados nos documentos oficias, mesmo que

em séries diferentes.

Conteúdos indicados para o trabalho no segmento analisado e a

abordagem desses conteúdos.

Com relação aos conteúdos indicados para cada ano desse segmento,

reunimos as informações extraídas de cada um dos documentos no quadro

abaixo para estabelecer comparações:

Guias Curriculares Proposta Curricular Parâmetros Curriculares

5ª. série Conceitos Geométricos,

noções de reta, semi-reta,

segmento de reta

Identificação de figuras

geométricas.

Noção de circunferência e

de circulo.

Noções de reta, semi-reta

e segmento de reta.

Alturas de triângulos,

paralelogramos e

trapézios: identificação e

construção com esquadro.

Noção de circunferência:

conceito de círculo,

circunferência, superfície

esférica, esfera.

Elementos de uma

circunferência: centro,

raio, corda, diâmetro,

arco.

Elementos de uma esfera:

centro, raio, corda,

diâmetro, arco e

circunferência máxima.

Posições relativas de

duas circunferências.

Posições relativas de uma

reta e uma circunferência.

Divisão da circunferência

em partes iguais.

6ª. série Geometria intuitiva,

congruência de

Circunferência e ângulo.

Conceito de ângulo.

Interpretação, a partir de

situações-problema

(leitura de plantas,

croquis, mapas), da

posição de pontos e de

seus deslocamentos no

plano, pelo estudo das

representações em um

sistema de coordenadas

cartesianas.

Distinção, em contextos

variados, de figuras

bidimensionais e

tridimensionais,

escrevendo algumas de

suas características,

estabelecendo relações

entre elas e utilizando

nomenclatura própria.

Classificação de figuras

tridimensionais e

bidimensionais, segundo

critérios diversos, como:

corpos redondos e

poliedros; poliedros

regulares e não-regulares;

prismas, pirâmides e

outros poliedros; círculos,

303

segmentos de retas, de

ângulos, ângulo

determinado por duas

retas paralelas e uma

transversal, construção de

figuras geométricas com o

uso de instrumentos:

régua, compasso e

transferidor.

Noção de polígono regular

e sua construção.

Classificação dos ângulos

quanto à medida.

Classificação dos

triângulos quando à

medida de seus ângulos

internos.

Perpendicularismo entre

retas e segmentos de

reta.

Perpendicularismo entre

retas e planos.

Bissetriz de um ângulo.

Ângulos adjacentes e

opostos pelo vértice.

Ângulos formados por

retas coplanares cortadas

por uma transversal.

Verificação experimental e

demonstração do teorema

da soma das medidas dos

ângulos internos de um

triângulo.

Soma das medidas dos

ângulos internos de um

polígono convexo.

Noção de polígono

regular. Construção de

polígonos com auxilio de

régua e transferidor ou

com régua, compasso e

transferidor.

polígonos e outras figuras;

número de lados dos

polígonos; eixos de

simetria de um polígono;

paralelismo de lados,

medidas de ângulos e de

lados.

Composição e

decomposição de figuras

planas.

Identificação de diferentes

planificações de alguns

poliedros.

Transformação de uma

figura no plano por meio

de reflexões, translações

e rotações e identificação

de medidas que

permanecem invariantes

nessas transformações

(medidas dos lados, dos

ângulos, da superfície).

Ampliação e redução de

figuras planas segundo

uma razão e identificação

dos elementos que não se

alteram (medidas de

ângulos) e dos que se

modificam (medidas dos

lados, do perímetro e da

área).

Quantificação e

estabelecimento de

relações entre o número

de vértices, faces e

arestas de prismas e de

pirâmides, da relação

desse número com o

polígono da base e

identificação de algumas

propriedades, que

caracterizam cada um

desses sólidos, em função

desses números.

Construção da noção de

ângulo associada à idéia

de mudança de direção e

pelo seu reconhecimento

em figuras planas.

Verificação de que a

soma dos ângulos

internos de um triângulo é

180º. (*)

7ª. série Figuras geométricas

planas, curvas fechadas.

Conceito de polígonos,

diagonais de polígonos.

Estudo dos triângulos,

Diagonais de um

polígono.

Conceito. Propriedades

das diagonais de um

paralelogramo.

Representação e

interpretação do

deslocamento de um

ponto num plano

cartesiano por um

304

congruência de triângulos.

Demonstração dos casos

de congruência. Estudo

dos quadriláteros.

Posições relativas entre

circunferências. Posições

relativas entre retas e

circunferência. Polígonos

inscritos e circunscritos na

circunferência. Simetria

axial e central.

Verificação experimental.

Número de diagonais de

um polígono. Teorema de

Pitágoras. Verificação

experimental.

Demonstração e

generalização.

Congruência de figuras

planas. Congruência de

triângulos e aplicações.

8ª. série Estudo da semelhança.

Teorema fundamental da

proporcionalidade. Feixe

de paralelas. Teorema de

Tales. Demonstração do

teorema de Tales.

Semelhança de

triângulos. Homotetia.

Razões trigonométricas.

Relações métricas no

triângulo retângulo.

Teorema de Pitágoras.

Demonstração do

teorema de Pitágoras.

Relações métricas num

triângulo qualquer.

Relações métricas no

circulo. Relações métricas

nos polígonos regulares.

Semelhança. Semelhança

de figuras planas.

Teorema fundamental da

proporcionalidade.

Verificação experimental e

demonstração. Teorema

de Tales e aplicações.

Verificação experimental e

demonstração dos casos

de semelhança de

triângulos.

Relações métricas no

triângulo retângulo.

Demonstração do

Teorema de Pitágoras.

Relações métricas nos

polígonos regulares.

Cálculo do lado e do

apótema de um polígono

inscrito numa

circunferência de raio

dado.

segmento de reta

orientado.

Secções de figuras

tridimensionais por um

plano e análise das

figuras obtidas.

Análise em poliedros da

posição relativa de duas

arestas (paralelas,

perpendiculares,

reversas) e de duas faces

(paralelas,

perpendiculares).

Representação de

diferentes vistas (lateral,

frontal e superior) de

figuras tridimensionais e

reconhecimento da figura

representada por

diferentes vistas.

Divisão de segmentos em

partes proporcionais e

construção de retas

paralelas e retas

perpendiculares com

régua e compasso.

Identificação de ângulos

congruentes,

complementares e

suplementares em feixes

de retas paralelas

cortadas por retas

transversais.

Estabelecimento da razão

aproximada entre a

medida do comprimento

de uma circunferência e

seu diâmetro.

Determinação da soma

dos ângulos internos de

um polígono convexo

qualquer.

Verificação da validade da

soma dos ângulos

internos de um polígono

convexo para os

polígonos não-convexos.

Resolução de situações-

problema que envolvam a

obtenção da mediatriz de

um segmento, da bissetriz

de um ângulo, de retas

paralelas e

perpendiculares e de

alguns ângulos notáveis,

fazendo uso de

instrumentos como régua,

compasso, esquadro e

305

transferidor.

Desenvolvimento do

conceito de congruência

de figuras planas a partir

de transformações

(reflexões em retas,

translações, rotações e

composições destas),

identificando as medidas

invariantes (dos lados,

dos ângulos, da

superfície).

Verificar propriedades de

triângulos e quadriláteros

pelo reconhecimento dos

casos de congruência de

triângulos.

Identificação e construção

das alturas, bissetrizes,

medianas e mediatrizes

de um triângulo utilizando

régua e compasso. (*)

(*) Nos PCN os conteúdos são propostos para o Terceiro Ciclo (correspondente a 5ª e

6ª séries) e Quarto Ciclo (correspondente a 7ª e 8ª séries).

Em nossa analise dos livros didáticos percebemos que nas décadas de

60 e 70 a demonstração dos conceitos geométricos era muito abordada,

principalmente nos casos de congruência de triângulos. Apesar de esse

período ter enfatizado o trabalho com as transformações geométricas, o livro

aqui analisado esse conteúdo aparece apenas no apêndice.

Notamos que a linguagem utilizada no livro era muito formal e técnica,

onde o aluno tinha que resolver enormes listas de exercícios sem

contextualização, apenas para aplicação dos conceitos aprendidos. Apesar do

livro “propor” uma participação do aluno, a nosso ver, isso não acontecia, o

professor era quem tinha o conhecimento e repassava-o para o aluno, no caso,

o receptor desse conhecimento.

306

Na época das Propostas Curriculares percebemos um trabalho a partir

da experimentação, na qual os alunos chegavam a concluir alguns conceitos

por meio do uso de recortes e dobraduras. Nessa época, o trabalho com as

transformações geométricas já não aparece, o que ocorre no livro analisado

por nós. Também notamos que o conteúdo de congruência e semelhança

ganha destaque.

Na abordagem utilizada pelo livro “A conquista da matemática”, notamos

que visava uma maior participação do aluno, onde ele demonstrava alguns

conceitos através da “experimentação”, como dobraduras e etc, a linguagem

utilizada também já se aproxima mais da linguagem do aluno.

A partir do PCN notamos que o trabalho com a geometria inicia de forma

intuitiva, partindo de conhecimentos que o aluno traz através de sua vivência

em sociedade, de sua familiaridade com os conceitos geométricos. Ao longo do

ensino fundamental esse conhecimento “torna-se melhor elaborado” a partir de

situações-problema que contextualizam os conceitos matemáticos.

Na coleção analisada para essa época, “Matemática para todos”,

percebemos que a abordagem partia de situações-problema nas quais o aluno,

a partir de seus conhecimentos prévios, adquiria outros conhecimentos

geométricos. A resolução de problemas e a contextualização dos conceitos

matemáticos são marcantes nessa coleção. Percebemos que o aluno tem

papel fundamental na construção do seu conhecimento, o papel de

investigador, enquanto que o professor desempenha o papel de mediador

desse conhecimento, propondo atividades desafiadoras que levam o aluno a

307

adquirir, através de suas próprias reflexões e conjecturas, outros

conhecimentos.

Considerações finais

Para finalizar nosso trabalho gostaríamos de destacar a importância

deste estudo para nossa formação profissional. A compreensão das propostas

curriculares atuais depende de um conhecimento das tendências que as

influenciam mas também dos acontecimentos anteriores. De modo geral, em

nossa formação inicial e continuada, nós professores de Matemática não

somos estimulados a refletir sobre questões de natureza curricular nem de

natureza didática o que traz sérias dificuldades para definir objetivos de

aprendizagem, selecionar conteúdos, planejar boas situações de aprendizagem

e escolher recursos didáticos adequados.

Nesse estudo verificamos que na década de 60, o avanço tecnológico

ocorrido nessa época propiciou a iniciação de um movimento que buscava ligar

as novas tecnologias, o que se via de novo nas ciências, com o conteúdo

ensinado nas escolas. Era uma época em que o cidadão precisava ter uma

formação segundo as exigências das indústrias que vinham surgindo – o

período do Movimento da Matemática Moderna.

Vimos que o Professor Osvaldo Sangiorgi foi um grande nome nesse

Movimento e responsável pela primeira publicação de livros didáticos que

308

continham as propostas da Matemática Moderna no Brasil. Juntamente com o

GEEM – Grupo de Estudo do Ensino da Matemática, promoveu e divulgou as

idéias da Matemática Moderna no Estado de São Paulo e em todo o país.

Aliás, esse Grupo foi responsável por organizar e desenvolver cursos

preparatórios para professores de Matemática com intuito de viabilizar a

difusão das idéias do movimento nas salas de aula.

Em sua obra, Matemática – Curso Moderno, analisada neste trabalho,

Sangiorgi incorporou a teoria dos conjuntos, tão difundida na época. Com

relação aos conteúdos destinados ao tema de Geometria, percebemos que as

mudanças foram “tímidas”.

Não podemos deixar de citar que foi nesse estudo, o da Geometria, que

os autores tiveram a maior dificuldade de introduzir as propostas da

Matemática Moderna.

Verificamos que o conteúdo de “transformações geométricas”, tão

enunciadas nesse Movimento, só foi abordado no Apêndice do terceiro volume,

destinado a 3ª série ginasial (atual sétima série), e de maneira bem menos

detalhada do que os outros conteúdos desse tema.

A justificativa dada por Sangiorgi a respeito de apresentar o estudo das

transformações geométricas apenas no apêndice de seu livro é que o conteúdo

da terceira série ginasial é muito extenso, então, provavelmente, o estudo das

transformações geométricas fique para a quarta série ginasial.

309

O estudo das transformações é considerado de extrema importância por

Sangiorgi, mas o fato do mesmo tê-lo colocado no apêndice de seu livro parece

incoerente. Para Miorim (2005) “

isso é um indicativo de que o autor não parece

ter se sentido à vontade para incorporar as discussões mais teóricas acerca

das transformações geométricas no corpo do texto

”.

Ficou evidenciada a preocupação com “rigor” e coma a utilização

“apropriada” da linguagem matemática, dos termos técnicos, o que nos chama

a atenção em relação a aprendizagem do aluno dessa época – “será que esses

alunos aprendiam mesmo, ou será que se utilizavam apenas da

memorização?”.

Notamos que a abordagem dos conteúdos geométricos e os problemas

propostos nessa obra seguem o Modelo Euclidianista, segundo os modelos

teóricos abordados por Gascón (2001), em que evidenciamos o teoricismo e a

utilização das técnicas apropriadas para determinada resolução, o tecnicismo.

Após o período da Matemática Moderna, e devido às críticas que esse

movimento recebeu, evidenciamos nas Propostas Curriculares, desenvolvidas

no Estado de São Paulo, um trabalho mais focado na construção da

aprendizagem por parte do aluno.

Nessas Propostas vimos à utilização do “experimentalismo” na disciplina

de Matemática, como o caso da utilização de dobraduras para “constatar” que

a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

310

A linguagem utilizada pelos livros se aproximou da linguagem da faixa

etária dos alunos a que o livro se destinava e a utilização de “imagens” também

ficou mais evidenciada.

Na coleção “A conquista da Matemática”, por nós analisada,

evidenciamos que as orientações propostas pelo documento oficial, a Proposta

Curricular, foram seguidas conforme o documento tratava.

Em relação aos Modelos Teóricos, notamos uma perspectiva Quase-

empirista, mas sem deixar a perspectiva Euclidianista.

Como já citamos que a coleção “A conquista da Matemática” seguiu

“fielmente” as orientações propostas no documento Proposta Curricular,

encontramos os mesmos Modelos Teóricos mencionados anteriormente para

essa coleção.

A partir do final da década de noventa, constatamos uma considerável

mudança em relação ao tratamento do tema de Geometria contido nos livros

didáticos. Enquanto que nas coleções “Matemática – Curso Moderno” e “A

conquista da Matemática” esse tema era tratado no final de cada volume, ou

série, como um “compartimento” estanque dos outros conteúdos de

Matemática, na coleção “Matemática para todos”, aqui analisada, esse

conteúdo aparece no decorrer de cada série, sendo relacionado com os outros

conteúdos dessa disciplina.

Nessa coleção, “Matemática para todos”, percebemos que os conteúdos

propostos são contextualizados, levando o aluno a refletir sobre cada tema, a

311

analisar e conjecturar suas idéias, tornando-se um agente ativo de sua

aprendizagem.

O conteúdo abordado nessa coleção segue as orientações propostas

pelo documento oficial “Parâmetros Curriculares Nacionais”. Alias, segundo

Pires (2000) foi a “primeira vez na história da educação brasileira, educadores

de diversos níveis de ensino debateram e indicaram diretrizes curriculares

comuns para o ensino fundamental no Brasil”. Para essa mesma pesquisadora,

o “saber” (relacionado ao conceito matemático), o “saber fazer” (relacionado

aos procedimentos) e o “saber ser” (relacionado às atitudes) estavam

interligados nesta proposta.

Nesse documento, o tema de Geometria ganha destaque, pois é

considerado um assunto onde os alunos apresentam maior interesse.

Perspectiva que também encontramos na coleção analisada.

Tanto nos PCN quanto na coleção “Matemática para todos” verificamos

uma abordagem em que os conteúdos são trabalhados de forma

contextualizada e em que, a partir dos conhecimentos prévios dos alunos, há

uma proposta de ampliação desses conhecimentos por meio de intervenções

apropriadas do professor. Por isso, identificamos, segundo Gascón (2001),

uma perspectiva Construtivista.

312

Referências Bibliográficas

Referências BibliográficasReferências Bibliográficas

Referências Bibliográficas

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 14724. Informação e

documentação – Trabalhos Acadêmicos – Apresentação

. Rio de Janeiro:

ago.2002, 6 p.

APOS,

Arquivo Pessoal Osvaldo Sangiorgi. São Paulo: Programa de Estudos

Pós-Graduados, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. 2007

BORGES, R. A. S.

A Matemática Moderna no Brasil: As primeiras Experiências

e Propostas de seu Ensino. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática).

São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Novembro de 2005.

BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Secretaria de Educação

Fundamental;

Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 1998.

BÜRIGO, E. Z.

Movimento da matemática moderna no Brasil: estudo da ação e

do pensamento de educadores matemáticos nos anos 60. Dissertação

(Mestrado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade Federal do

Rio Grande do Sul. Porto Alegre, 1989.

BÜRIGO, E. Z.

A modernização possível e necessária segundo Sangiorgi. (em

prelo). Rio Grande do Sul: Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2007.

CHARTIER, R.

O mundo como representação. Tradução: Andréa Daher e Zenir

Campos Reis. Estudos Avançados, 11 (5), 1991, p. 173-191.

CONGRESSO Nacional de Ensino da Matemática, II, Porto Alegre, 1957.

Anais. Porto Alegre, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. RS, 1959.

D'AMBROSIO, B. S.

The Dynamics and consequences of the modern

mathematics reform movement for Brazilian mathematics education

. Tese de

Doutorado, Indiana University, E.U.A, 1987.

313

GASCÓN, J. La necesidad de utilizar modelos en didáctica de las matemáticas.

Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática,

São Paulo, v. 5, n. 2, 2003, pp. 11–37.

_________. Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las

prácticas docentes. Revista Latino-americana de Investigación en Matemática

Educativa, México, v. 4, n. 2, jul. 2001, pp. 129–159.

GEEM – Grupo de Estudos do Ensino da Matemática.

Matemática Moderna

para o Ensino Secundário

. GEEM em cooperação com IBECC – Instituto

Brasileiro de Educação, Ciências e Cultura. São Paulo: IBECC, 1962.

GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR., J. R.

A Conquista da

Matemática

: Teoria e Aplicação. 5ª série. São Paulo: FTD, 1992.

GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR., J. R.

A Conquista da

Matemática

: Teoria e Aplicação. 6ª série. São Paulo: FTD, 1992.

GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR., J. R.

A Conquista da

Matemática

: Teoria e Aplicação. 7ª série. São Paulo: FTD, 1992.

GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR., J. R.

A Conquista da

Matemática

: Teoria e Aplicação. 8ª série. São Paulo: FTD, 1992.

IMENES, L. C. LELLIS, M.

Matemática para todos. 5ª série. São Paulo: Editora

Scipione, 2002.

IMENES, L. C. LELLIS, M.

Matemática para todos. 6ª série. São Paulo: Editora

Scipione, 2002.

IMENES, L. C. LELLIS, M.

Matemática para todos. 7ª série. São Paulo: Editora

Scipione, 2002.

IMENES, L. C. LELLIS, M.

Matemática para todos. 8ª série. São Paulo: Editora

Scipione, 2002.

314

KEITEL, C. e KILPATRICK, J. (1999). Racionalidade e irracionalidade dos

estudos comparativos internacionais

. Educação e Matemática 55, p.71-80

(tradução de Keitel e Kilpatrick, 1998).

LEME DA SILVA, M. C.

A Geometria escolar Moderna de Osvaldo Sangiorgi.

(em prelo). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2007.

LEME DA SILVA, M. C. e DUARTE, A. R. S.

Abaixo Euclides e acima quem?

Uma análise do ensino de Geometria nas teses e dissertações sobre o

Movimento da Matemática Moderna no Brasil. In: Práxis Educativa. Ponta

Grossa, PR, v. 1, n. 1, p. 87-93, jan.-jun 2006.

LEME DA SILVA, M. C. e OLIVEIRA, M. C. A.

A Geometria escolar e a

Matemática moderna no Brasil: cenas de um casamento conturbado

. In: Anais

do Profmat. Setúbal, Portugal, 2006.

LIMA, F. R. GEEM –

Grupo de Estudos do Ensino da Matemática e a

Formação de Professores durante o Movimento da Matemática Moderna no

Brasil

. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, 2006.

LUZ, V. A.

Um estudo sobre o ensino das Transformações Geométricas: da

reforma da Matemática Moderna aos dias atuais. Dissertação (Mestrado em

Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, 2007.

MIORIM, M. A.

Livros didáticos de Matemática do período de implantação do

Movimento da Matemática Moderna no Brasil

. In: CONGRESSO IBERO-

AMERICANO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, V,2005, Porto. Actas. Porto:

2005. Disponível em <http://www.mytwt.net/cibem5/>

___________.

Introdução à História da Educação Matemática. São Paulo:

Atual, 1998.

315

PAVANELLO, M. R. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e

conseqüências. In: Revista Zetetiké, ano 1, nº 1, pp. 07-17. UNICAMP,

Faculdade de Educação, 1993.

PIRES, C. M. C.

A Educação Matemática no Brasil. Revista Iberoamericana de

Educación Matemática, n.3, septiembre, 2005, pp. 53-72. Disponível em:

http://www.fisem.org/descargas/3/Union_003_008.pdf. Acesso em: 05 junho

2008.

_____________.

Ensino de Geometria no Brasil: uma análise com base em

modelos de referência que colocam em relação à epistemologia e a didática da

Geometria. Anais da VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul,

Águas de Lindóia, São Paulo, Brasil (08 a 11 de Outubro de 2006). Painel nº 2.

CD ROM.

_____________.

Currículos de matemática: da organização linear à idéia de

rede. São Paulo: FTD, 2000, 223p.

SANGIORGI, O.

Matemática Clássica ou Matemática Moderna, na elaboração

dos programas do ensino secundário? In: II Congresso Nacional de Ensino da

Matemática, 1957. Porto Alegre. Anais. 1959. pp. 398-407.

_____________.

Matemática – Curso Moderno. Ed. 9. São Paulo: Companhia

Editora Nacional, vol. 3, 1971.

_____________.

Matemática – Curso Moderno. Ed. 11. São Paulo: Companhia

Editora Nacional, vol. 1, 1968.

_____________.

Matemática – Curso Moderno. Ed. 6. São Paulo: Companhia

Editora Nacional, vol. 2, 1968.

_____________.

Matemática – Curso Moderno. Ed. 2. São Paulo: Companhia

Editora Nacional, vol. 4, 1968.

316

SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas.

Proposta Curricular para o ensino de Matemática: 1º grau. 4. ed.

São Paulo: SE/CENP, 1992. 181p. il.

___________. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.

Subsídios

para a implementação do guia curricular de Matemática

: geometria para o 1º

grau – 5ª a 8ª série. São Paulo, SE/CENP, 1978. 72p.

___________.

Guias Curriculares para o ensino de 1º grau. São Paulo,

CERHUPE, 1975. 276p.

SILVA, V. Osvaldo Sangiorgi e o “fracasso da Matemática Moderna” no Brasil.

Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, 2007.

SOARES, F. S.

Movimento da Matemática Moderna no Brasil: Avanço ou

Retrocesso? Dissertação (Mestrado). Rio de Janeiro: Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro, 2001.

SOUZA, G.L.D. Três Décadas de Educação Matemática: Um Estudo de Caso

da Baixada Santista no período de 1953-1980. Dissertação (Mestrado em

Educação Matemática). São Paulo: Departamento de Matemática. Rio Claro:

Universidade Estadual Paulista – UNESP, 1998.

VALENTE, W. R.

Osvaldo Sangiorgi, um best-seller. (em prelo).São Paulo:

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2007.

______________.

História da Educação Matemática: Interrogações

Metodológicas. Grupo de Estudos de História da Educação Matemática,

Universidade Nova de Lisboa. Portugal, jun. 2005.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 