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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DO MEIO AMBIENTE
CALIBRAÇÃO DE MODELOS DE REDES DE
DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO ALGORÍTMO
GENÉTICO MULTIOBJETIVO
Maria Eulina Aires Gonçalves Vieira
Orientador: Prof. Dr. Klebber Teodomiro Martins Formiga
Goiânia
2008
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1
MARIA EULINA AIRES GONÇALVES VIEIRA
CALIBRAÇÃO DE MODELOS DE REDES DE
DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO
ALGORÍTMO GENÉTICO MULTIOBJETIVO
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em
Engenharia do Meio Ambiente da Universidade Federal de
Goiás, como parte dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Engenharia do Meio Ambiente.
Área de Concentração: Recursos Hídricos e Saneamento
Ambiental
Orientador: Prof. Dr. Klebber Teodomiro Martins Formiga
Goiânia
2008
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MARIA EULINA AIRES GONÇALVES VIEIRA
CALIBRAÇÃO DE MODELOS DE REDES DE
DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO ALGORÍTMO
GENÉTICO MULTIOBJETIVO
Dissertação defendida e aprovada em 29 de agosto de 2008, pela Banca
Examinadora constituída pelos professores:
Prof. Dr. Klebber Teodomiro Martins Formiga
Presidente da Banca
Prof. Dr. José Vicente Granato de Araújo
Membro Titular
Prof. Dr. Peter Cheung
Membro Titular
iv
Ao meu filho Matheus e ao meu marido
Leonardo pela paciência e
companheirismo. Aos meus pais José
Vieira e Jussara Vieira pelo apoio
incondicional, e irmãos, Mariana,
Francisco e Felipe, pelo incentivo.
v
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, agradeço a Deus por me dar saúde e força para concluir este
trabalho.
Ao meu filho Matheus, pela sabedoria, mesmo que pueril, em estar sempre
ao meu lado, entendendo e ajudando nos momentos de ausência.
À minha mãe Jussara, que sem ela não haveria nenhuma possibilidade de
conclusão desta dissertação, pelas ausências supridas com sua presença e educação de
meu filho.
Ao meu pai José Vieira, pelos valores de educação passados com extrema
clareza, essência da minha segurança, fonte de minha força. Eterno orgulho de
dignidade e caráter humano.
Leonardo, companheiro perene. Sinônimo de paciência e prova de amor.
Obrigada pela espera, obrigada pela sustentação!
Ao Klebber, professor, amigo. Sem palavras pela tamanha paciência e
entendimento pelas minhas dificuldades de comparecimento. Meu espelho como
docente, orientador de sabedoria, inteligência infinita, bondade humana.
Aos meus irmãos, Mariana, Francisco e Felipe, ao apoio incondicional pelo
cuidado com meu filho, demonstrações sinceras de eterna amizade, companhia e
proteção.
Aos colegas de mestrado: Lidiane, Franco, Flávio e Thiago, pela companhia
e amizade formada. E professores que me ajudaram em momentos de dúvidas: Eduardo,
José Vicente, Alfredo, Eraldo, Luísa, entre outros.
Aos funcionários da Engenharia Civil: Deuzélia, Joaninha, seu Divino,
Cícero, Célia, seu Manoel, pela prontidão.
À eng.(a) Anna Karlla, pelo apoio inquestionável de minhas ausências.
Ao Cnpq, pelo incentivo financeiro por um ano de bolsa.
E, finalmente, meus sinceros agradecimentos a todos que direta ou
indiretamente contribuíram para esta formação.
vi
RESUMO
O aumento populacional unido ao comportamento despreocupado do homem quanto à
preservação ambiental levou a uma escassez dos recursos naturais. Um recurso
fundamental à sobrevivência humana está sendo diretamente afetado por esses
desmazelos, a água. Com base nesse contexto nasce um comprometimento quanto a
excelência operacional dos sistemas de distribuição de água, buscando uma maior
eficiência no estabelecimento de regras operacionais. Para tanto, o objetivo geral desta
pesquisa é desenvolver um estudo de calibração de modelos de redes de distribuição de
água, pois acredita-se ser a melhor técnica de monitoramento deste problema, por
ajustar os parâmetros físicos que foram alterados com o tempo e ditar estratégias para
auxiliar a tomada de decisão dos operadores.O presente trabalho visa desenvolver uma
técnica de calibração inversa baseada nos AGs como ferramenta de otimização, fazendo
uso de objetivos múltiplos: pressão e vazão. Os parâmetros ajustados são: coeficientes
de rugosidades e coeficientes de perdas por vazamentos. Para avaliação da metodologia
proposta foram empregadas duas redes frequentemente usadas na literatura. A primeira
rede empregada por Tucciarelli et al. (1999), é uma rede teórica, e servirá para avaliar o
comportamento dos métodos multiobjetivos e seus parâmetros. A segunda rede está
localizada na cidade de Campo Grande (MS) foi estudada por Cheung (2004) e Soares
et al. (2004). Este exemplo é um sistema real que teve os seus dados medidos em loco e
apresenta todas as complicações inerentes aos problemas de calibração real. Os
resultados encontrados foram bastante satisfatórios, uma vez que a otimização
multiobjetivo demonstrou ser capaz de melhorar a acurácia da calibração do modelo.
Palavras – Chaves: Redes de Distribuição de Água, calibração, algoritmo genético
multiobjetivo.
vii
ABSTRACT
Increasing population united the behaviour of man carefree about the environmental
preservation has led to a scarcity of natural resources. A key resource for human
survival has been directly affected by these desmazelos, water. Based on this context
arises as a commitment to operational excellence of water supply systems, seeking
greater efficiency in the establishment of operational rules. To this end, the general
objective of this research is to develop a study of water distribution networks model
calibration, because it is believed to be the best technique for tracking this problem by
adjusting the physical parameters that have changed over time and dictate strategies.
This work aims to develop a technique based on the inverse of calibration using GAs as
a tool for optimization, using multiple goals: pressure and flow. The parameters
adjusted were roughness coefficients and coefficients of losses by leaks. To evaluate the
proposed methodology were employed two networks often used in literature. The first
network employed is a theoretical system proposed by Tucciarelli (1999) and was used
to evaluate the behavior of multiobjectives methods and their parameters. The second
network is located in Campo Grande (MS) has been studied by Cheung (2004) and
Soares et al. (2004). This example is a real system that had its data measured in situ and
presents all the complications inherent in the calibration real problems. The results were
very satisfactory, since the optimization multiobjective shown to be able to improve the
accuracy of the calibration of the model.
Keywords: Water Distribution Networks, calibration, multiobjective genetic algorithm.
viii
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS viii
LISTA DE TABELAS ix
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS x
LISTA DE SÍMBOLOS xi
1. INTRODUÇÃO 01
1.1 Objetivos 02
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 03
2.1 Modelos de Calibração 03
2.2 Calibração de Vazamentos 13
2.2.1 Modelos de Vazamentos 14
2.3 Ferramentas de Otimização 21
2.3.1 Programação Linear (PL) 21
2.3.2 Programação Não Linear (PNL) 22
2.3.3 Métodos Heurísticos 23
2.3.3.1 Algoritmos Genéticos 24
2.4 Otimização Multiobjetivo 30
3. METODOLOGIA 34
3.1 Modelo de Análise Hidráulica 34
3.2 Métodos Multiobjetivos 36
3.2.1 Vantagens e Desvantagens 42
3.3 Métricas de Desempenho 43
3.4 Função Objetivo 46
3.5 Operadores Genéticos 47
3.6 Redes de Estudo 50
3.6.1 Rede 1 50
3.6.2 Rede 2 52
4. RESULTADOS 56
4.1 - Rede 1 56
4.1.1 - Definição dos Parâmetros do Modelo 58
4.1.1.1 – Tamanho da População 58
4.1.1.2 – Numero de Gerações 59
4.1.1.3 – Taxa de Mutação 61
4.1.1.4 – Taxa de Recombinação ou Crossover 62
4.1.2 – Avaliação das Funções Objetivo 63
4.1.3 - Método Multiobjetivo 67
4.2 - Rede 2
68
5. CONCLUSÕES
79
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 83
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Calibração via modelo inverso 08
Figura 2.2 - Etapas do Algoritmo Genético 25
Figura 3.1 - Esquema do método NSGA-II 40
Figura 3.2 - Definição da aptidão no método SPEA 41
Figura 3.3 - Esquema do algoritmo de corte do SPEA 42
Figura 3.4 - Diferentes tipos de frentes que podem ser obtidas por métodos
multiobjetivos 44
Figura 3.5 –
Amostragem Estocástica Universal
48
Figura 3.6 -
Esquema da Rede 1
52
Figura 3.7 –
Distribuição dos nós da Rede 2
53
Figura 3.8 –
Distribuição dos trechos da Rede 2
53
Figura 4.1 - Comparação da frente Pareto para diferentes populações iniciais 59
Figura 4.2 - Frentes Pareto para diferentes gerações 60
Figura 4.3 - Box-plot da métrica S para a 100ª geração considerando diferentes
taxas de mutação 61
Figura 4.4 - Box-plot da métrica S para a 100ª geração considerando diferentes
taxas de crossover 62
Figura 4.5 - Frente Pareto da Rede1 considerando a função objetivo como a soma
dos erros absolutos 63
Figura 4.6 - Frente Pareto da Rede1 considerando a função objetivo como a soma
dos erros relativos 65
Figura 4.7 - Frente Pareto da Rede1 considerando a função objetivo como a soma
do quadrado dos erros
Figura 4.8 - Comparação entre frentes não dominadas do SPEA e NSGA-
II 68
Figura 4.9 - Pontos de medição das variáveis hidráulicas 69
Figura 4.10 - Frente Pareto da Rede2 70
Figura 4.11 - Comportamento da métrica S ao longo das iterações 71
Figura 4.12 - Locais em que asVRPs foram consideradas na Rede 2 73
Figura 4.13 - Frente Pareto da Rede2 considerando válvulas 74
Figura 4.14 - Frente Pareto da Rede 2 considerando a função objetivo da soma
dos quadrados dos erros, incluindo as VPRs 76
x
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 - Valores dos parâmetros dos nós da Rede 1 51
Tabela 3.2 - Valores dos trechos dos nós da Rede 1 51
Tabela 3.3 - Dados referentes aos nós da Rede 2 53
Tabela 3.4 - Dados referentes aos trechos da Rede 2 54
Tabela 4.1 - Valores do coeficiente de vazamento nos trechos 56
Tabela 4.2 - Carga hidráulica nos nós da Rede 1 para o cenário a ser modelado 56
Tabela 4.3 - Vazão nos trechos da Rede 1 para o cenário a ser modelado 57
Tabela 4.4 - Valores empregados na calibração do modelo 57
Tabela 4.5 - Faixa de valores das variáveis de decisão 57
Tabela 4.6 - Evolução da métrica-S para diferentes simulações 60
Tabela 4.7 - Alternativas da Rede1 considerando a função objetivo como a soma
dos erros absolutos 63
Tabela 4.8 - Valores originais e calibrados das variáveis de análise da Rede 1 64
Tabela 4.9 - Valores originais e calibrados das pressões e vazões da Rede 1 65
Tabela 4.10 - Alternativas da Rede1 considerando a função objetivo como a soma
dos erros relativos 65
Tabela 4.11 - Alternativas da Rede1 considerando a função objetivo como a soma
do quadrado dos erros 66
Tabela 4.12 - Valores das variáveis hidráulicas medidos 69
Tabela 4.13 - Alternativas da Rede2 70
Tabela 4.14 - Valores observados e calculados das variáveis hidráulicas da Rede
2 72
Tabela 4.15 - Alternativas da Rede 2 considerando as VPRs 74
Tabela 4.16 - Valores observados e calculados das variáveis hidráulicas da Rede
2, considerando as VPRs 75
Tabela 4.17 - Alternativas da Rede 2 considerando a função objetivo da soma dos
quadrados dos erros, incluindo as VPRs 76
Tabela 4.18 - Valores observados e calculadas das variáveis hidráulicas da Rede 2
considerando as V P Rs considerando a função objetivo da soma dos quadrados
dos erros 77
xi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
AE - Algoritmo Evolucionário
AG - Algoritmo Genético
EE - Estratégias de Evolução
FO - Função Objetivo
Obs - denotam valores observados;
MNR - Método de Newton-Raphson
MTL - Método da Teoria Linear
MG - Método do Gradiente
MOGA - Multi-Objective Genetic Algorithm
MS - Mato Grosso do Sul
NPGA - Niched-Pareto Genetic Algorithm
NSGA - Non- Dominated Sorting Genetic Algorithm
NSGAII - Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm
OG - Otimização Global
PAES - Pareto-Archived Evolution Strategy
PESA - Pareto Envelope- based Selection Algorithm
PESAII - Pareto Envelope- based Selection Algorithm II
PE - Programação Evolucionária
PG - Programação Genética
PL - Programação Linear
PNL - Programação Não Linear
RF - Reservatório Fixo
SC - Sistemas Classificatórios
SDA - Sistema de Distribuição de Água
Sim - denotam valores simulados;
SPEA - Strength Pareto Evolutionary Algorithm
SPEAII - Improved Strength Pareto Evolutionary Algorithm
VRP - Válvula Redutora e Pressão
xii
LISTA DE SÍMBOLOS
A - é um fator de correção para demandas
 - matriz de incidência
A
t
- submatriz de Â
A’- vetor solução
α
αα
α
− expoente de perda de carga.
B - fator de correção para coeficientes de rugosidade
Β - expoente de perda
B’ - vetor solução
C - coeficiente de rugosidade da tubulação
Ce - estimativa inicial de C
C* - número de condições de demanda ou dias de observação
C
i
- demanda de consumo no nó i
C’ - demanda total
C
ref
- consumo de referência
C
setor
- consumo ou demanda total do setor
C(A,B) - métrica
c
1
- constante que depende das características da rede,
CL
ij
- coeficiente de vazamento por unidade de comprimento
D
ij -
diâmetro da tubulação ligando o nó i ao nó j.
Da - distância de aglomeração
d
12
- indica a distância entre dois agrupamentos
1
ˆ
C e
2
ˆ
C
d(i, j) - distância entre duas soluções i, j pertencentes aos dois agrupamentos
E - população externa
ε
ij
-
rugosidade absoluta da tubulação
entre os nós i e j
g
j
(x) - funções de restrição de desigualdade
H
1
- energia no ponto para baixa vazão
H
2
- energia no ponto para alta vazão
H
i
- carga hidráulica calculada
H
i
* - cargas hidráulicas requeridas
hc
a
- hipercubo
h
1
- energia do nó para baixa vazão
xiii
h
2
- energia do nó para alta vazão
h
3
- estimativa de h
1
do modelo para C
e
e S
e
h
4
- estimativa de h
2
do modelo para C
e
e S
e
h
k
(x) - funções de restrição de igualdade
I - vetor, com cada valor correspondendo a um único valor de coeficiente de perda e
rugosidade
i - representação de uma solução
J - número de funções de desigualdade;
J
i
- são todos os nós conectados ao nó i
K - padrões de demanda ou dias de observação.
K’- número de funções de igualdade
K
1
- constante da tubulação equivalente para baixa vazão
K
2
- constante da tubulação equivalente para alta vazão
K
j
- coeficiente de vazamento associado ao nó j.
L
ij
- comprimento da tubulação entre os nós i e j
δ
1
- igual a 1 ou zero se a pressão total no nó i é maior ou menor, respectivamente, que a
cota topográfica deste
M - conjunto de pontos de observação de valores de vazão
M’- número de objetivos do problema
m - número de nós afetados pelo teste
M
i
- número total de tubulações ligadas ao nó i
N - conjunto de pontos de observação de valores de pressão
N*- é o número total de nós
NN - número de nós interiores,
NR - número de nós fontes
NT - número de trechos
NP - número de tubulações da rede
NPN - número de nós com carga hidráulica desconhecida
n - número de tubulações afetadas durante os testes
n
PD
-
número de padrões de demanda observados
n
P
-
número de padrões de demanda em que há observações de pressões
n
Q
- número de padrões de demanda em que há observações de vazões
n
ε
- número de tubulações ou setores de tubulações com rugosidades absolutas
n
D
- número de tubulações ou setores de tubulações com diâmetros homogêneos
xiv
n
d
- número de nós ou setores com demandas homogêneas
n
z
- número de nós ou setores com cotas topográficas homogêneas
n
θ
- número de tubulações ou setores com coeficiente homogêneo
n
β
- número de tubulações ou setores com expoente de vazamento homogêneo
O - uma série de soluções
O’- conjunto de soluções não-dominadas
P - a carga de pressão (m)
P’- número de variáveis de decisão
P*- pressões simuladas;
P**- pressões observadas;
P
ij
av
-
média entre as pressões no início e no final da tubulação
P
ij
- pressão média no trecho fornecida por:
P - tamanho da população externa
Q -
vazão (L/s)
Q* -
vazões simuladas
Q** -
vazões observadas
Q
ij
-
representa a vazão entre os nós i e j
Q
j
-
corresponde às demandas concentradas no nó j;
Q
k
- vazão nos trechos
Q
SK
-
vazamento nos trechos
Q
f
-
diferença de vazão entre duas condições de carga
Q
e
-
estimativa inicial de Q;
Q’
e
-
vazão abastecida total
q
ij
-
vazamento na tubulação entre os nós i e j.
q
i
-
perda de água nas tubulações ligadas ao nó i
ρ
i
-
fator multiplicador da demanda total no nó i
R
ij
-
coeficiente de resistência da tubulação que liga o nó i ao nó j
(
)
ij
VR
0
-
perda local correspondente a uma possível válvula de índice Vij
r
i
-
ranking de não-dominância
S
e
-
estimativa inicial de S:
S(i) -
variável denominada força
S -
consumo dos nós significativamente afetados pelo teste.
θ
ij
-
taxa de vazamento por unidade de superfície da tubulação ligando o nó i ao nó j
xv
V
k
- aberturas das válvulas
V
ij
- possível válvula localizada na tubulação entre os nós i e j
V
setor
- vazamento total do setor
j
Χ
- população interna
x
i
(U)
e x
i
(L)
- limites superiores e inferiores sobre as variáveis de decisão
W
*
- ponto de referência arbitrado
w
H
- peso atribuído aos desvios de pressão;
w
Q
- peso atribuído aos desvios de vazão;
Z(x)
- vetor das funções multiobjetivo Z
m
(x)
z
i
- cota topográfica do nó i.
z
j
- cota do nó j.
0
∧
- população inicial
i
Γ
- fronteiras de não-dominância
0
δ
- população “filha”
0
Ψ
- geração de uma terceira população
p
Ψ
- geração de uma população
∞
- distância de aglomeração das soluções extremas
1
1. INTRODUÇÃO
O aumento populacional unido ao comportamento despreocupado do
homem quanto à preservação ambiental levou a uma escassez dos recursos naturais. Um
recurso fundamental à sobrevivência humana está sendo diretamente afetado por esses
desmazelos, a água.
Se tratando de Sistemas de Distribuição de Água (SDA) percebe-se,
claramente, a preocupação das companhias de saneamento em preservar e controlar as
perdas físicas de água na rede.
Hoje, com base no reconhecimento de que a água constitui um recurso
natural limitado, a segurança quanto à garantia do atendimento às demandas atuais e
futuras se faz indubitavelmente necessário.
Com base nesse contexto nasce um comprometimento quanto a excelência
operacional dos sistemas de distribuição de água, buscando uma maior eficiência no
estabelecimento de regras operacionais.
As alterações físicas que surgem no SDA a partir do momento em que entra
em operação (rugosidades, diâmetros internos, componentes hidráulicos, entre outros)
afetam substancialmente o desempenho operacional e econômico da rede, provocando
mudanças de pressões internas, perda da capacidade de transporte, além de vazamentos.
Sucesso no controle dessas alterações pode ser atingido buscando soluções
técnicas que visam realizar um prognóstico da real situação da rede, proporcionando
uma previsão realística da mesma.
Essa técnica, conhecida como calibração de modelos de redes de
distribuição de água, consegue ajustar os parâmetros físicos que foram alterados com o
tempo e ditar estratégias para auxiliar a tomada de decisão dos operadores.
Neste trabalho, será utilizada a calibração inversa, julgada, por muitos
pesquisadores, ser a técnica mais apropriada para resolver problemas complexos como
os sistemas de distribuição de água, principalmente por utilizar de técnicas de
otimização para o ajuste dos parâmetros.
Os procedimentos mais promissores de resolução do problema inverso de
calibração são baseados em métodos de otimização, entretanto, o sucesso da calibração
geralmente depende de suposições linearizantes ou cálculo não realístico de derivadas
parciais, através de procedimentos de otimização local, que tendem a tornar-se
aprisionados em mínimos locais ou sofrer instabilidades numéricas associadas à
2
inversão de matrizes. Portanto as técnicas clássicas de otimização requerem muitas
simplificações, que por sua vez tendem a produzir resultados insatisfatórios ou pouco
realísticos (SILVA et al., 2002).
Os Algoritmos Genéticos (AGs) mostram-se adequados para dar tratamento
a problemas de otimização por serem considerados promissores na resolução de
problemas não-lineares irrestritos como os de calibração, devido à flexibilidade de
incorporar problemas discretos, a ausência do uso de derivadas, a eficiência na
exploração do espaço de busca, além das facilidades na implementação e no tratamento
de funções complexas e descontínuas (CHEUNG, 2004)
O presente trabalho visa desenvolver uma técnica de calibração baseada nos
AGs como ferramenta de otimização, fazendo uso de objetivos múltiplos: pressão e
vazão. Os parâmetros ajustados são: coeficientes de rugosidades e coeficientes de
perdas por vazamentos.
1.1 Objetivos
Este trabalho tem como finalidade desenvolver uma rotina computacional
para calibração de modelos hidráulicos de redes de abastecimento, considerando a
rugosidade e parâmetros do modelo de vazamento, baseada em métodos de análise
multiobjetivo, usando a sistemática dos Algoritmos Genéticos (AG) como ferramenta de
otimização.
São objetivos específicos desta pesquisa:
•
escolher as funções objetivo a serem adotadas no processo de calibração;
•
definir os melhores operadores dos algoritmos a serem empregados
•
escolher o método multiobjtetivo mais adequado ao problema;
•
avaliar a adaptabilidade da metodologia ao se avaliar a dificuldade de se empregar a
uma rede e a uma rede real;
3
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Modelos de Calibração
Para se realizar uma operação eficiente de um sistema, é fundamental
conhecê-lo e compreendê-lo, sendo a modelagem uma das formas de se prever a sua
resposta quando submetido a condições ainda não observadas. A forma mais comum de
se modelar uma rede de distribuição de água é através do emprego de modelos de
análise hidráulica que procuram, por meio de sistemas de equações, determinarem as
vazões nos trechos e as cargas hidráulicas na rede, a partir de dados de demandas,
diâmetros dos tubos, rugosidades, carga hidráulica de cabeceira, entre outros
(FORMIGA, 2005).
Com o sistema funcionando, a rugosidade, que é um dos principais
parâmetros que interferem na perda de carga, começa a sofrer alterações devido a
incrustações ou corrosão nas tubulações. Assim, tem-se uma alteração do
comportamento inicial da rede, surgindo uma necessidade de atualização do modelo
hidráulico para possibilitar o seu uso também na operação.
Há, então, uma necessidade de calibração do sistema, com o intuito de
ajustar os parâmetros da rede, já que determiná-los diretamente é uma tarefa difícil, cara
e ineficiente. Através de medições de cargas hidráulicas nos nós e de vazões nos
trechos, pode-se, indiretamente, definir parâmetros do modelo, dentre eles os
coeficientes de perda de carga.
Na literatura são encontradas várias técnicas que reportam o comportamento
dos sistemas de distribuição de água. Sabe-se, portanto que uma calibração errada
produz parâmetros incorretos, resultando num prognóstico não eficaz do
comportamento do sistema.
A seguir será feita uma abordagem dos três modelos de calibração mais
utilizados.
Métodos Iterativos
Os métodos iterativos geralmente resolvem o problema por meio de
tentativa e erro. Consiste em iterações feitas entre os parâmetros estudados, sendo
4
modificados à medida que avaliações comparativas são feitas entre pressões e vazões
medidas e simuladas.
Estudos utilizando esta aborgagem foram desenvolvidos, primeiramente, por
Walski (1983) seguido por Bhave (1988). Os dois desenvolveram uma técnica que
ajusta simultaneamente os coeficientes de rugosidade das tubulações e as demandas nos
nós.
O método proposto por Bhave (1988) é baseado em Walski (1983),
diferenciando nas considerações dos parâmetros de entrada. Walski (1983) considera as
demandas nos nós e as vazões de entrada nos nós de origem dependentes do fator de
ajuste de demanda. Enquanto Bhave (1988) assumiu que as vazões de entrada nos nós
de origem podem ser medidas ou estimadas com precisão, portanto torna-se um
parâmetro conhecido e fixo durante a calibração.
A formulação do método iterativo proposto por Walski (1983) auxilia na
decisão de ajuste simultâneo dos coeficientes de rugosidades e das demandas nos nós.
Ele propôs uma única regra de calibração, a partir de expressões para calcular o fator
correto do coeficiente de rugosidade
C
para tubulações de uma determinada área, e
demandas corretas
Q
para um dado grupo de nós em um modelo de rede. Para tanto, fez
uma representação de uma seção do sistema vindo de um nó com energia conhecida
(bombas, válvulas redutoras de pressão) para um nó de teste através de uma tubulação
equivalente, onde a perda de carga entre esses dois pontos pode ser formulada como:
85,1
111
=−
C
S
KhH
(2.1)
851
222
,
f
C
QS
KhH
+
=−
(2.2)
em que:
Q
f
é a diferença de vazão entre duas condições de carga, por exemplo: hidrante
aberto e fechado;
C
é o coeficiente de rugosidade da tubulação;
H
1
é a energia no ponto
para baixa vazão (hidrante fechado);
H
2
é a energia no ponto para alta vazão (hidrante
aberto);
h
1
é a energia do nó para baixa vazão;
h
2
é a energia do nó para alta vazão;
K
1
é
a constante da tubulação equivalente para baixa vazão;
K
2
é a constante da tubulação
equivalente para alta vazão;
S
é o consumo dos nós significativamente afetados pelo
teste.
5
A Equação (2.3) reporta o consumo dos nós significativamente afetados
pelo teste:
∑
=
=
m
i
i
QS
1
(2.3)
em que
m
é o número de nós afetados pelo teste.
Diante das equações expostas acima, percebe-se a existência de quatro
incógnitas:
K
1
, K
2
, C
e
S
. Onde
K
1
e
K
2
podem ser estimados utilizando valores iniciais e
de
C
e
Q
, referenciadas como
C
e
e
Q
e
. O processo iterativo começa no momento em que
são jogados valores para
C
e
e
Q
e
, pois a partir daí o modelo consegue prenunciar uma
energia (
h
3
) para a vazão Q
e
, e outra (
h
4
) para a vazão
Q
e
+
Q
f
, possibilitando uma
reformulação de (2.1) em duas outras capazes de estimar
K
1
e
K
2
, caso os valores
iniciais
Q
e
+Q
f
tenham sido bem prognosticados, por:
( )
85,1
311
−=
e
e
S
C
hHK (2.4)
( )
85,1
422
−
−=
fe
e
QS
C
hHK (2.5)
em que h
3
é a estimativa de h
1
do modelo para C
e
e S
e
; h
4
é a estimativa de h
2
do
modelo para C
e
e S
e
; C
e
é a estimativa inicial de C; Q
e
é a estimativa inicial de Q; e S
e
é
a estimativa inicial de S:
∑
=
=
m
i
eie
QS
1
(2.6)
Substituindo os valores de K
1
e K
2
na Equação (2.1), consegue-se produzir
para S e C:
e
e
f
f
AS
S
Q
a
b
Q
S =
−
+
=
11
(2.7)
( )
e
efe
ef
BC
aSQSb
CQ
C =
−+
= (2.8)
onde:
54,0
31
11
−
−
=
hH
hH
a (2.9)
6
54,0
42
22
−
−
=
hH
hH
b (2.10)
( )
efe
f
SQS
a
b
Q
A
−+
=
(2.11)
( )
efe
f
aSQSb
Q
B
−+
= (2.12)
O equacionamento dos coeficientes a e b possibilita que eles indiquem o
erro nas estimativas iniciais. E, por fim, como o objetivo principal é a calibração das
demandas nos nós individuais e o coeficiente de rugosidade das tubulações na área,
estes devem ser ajustados de acordo com as Equações 2.13 e 2.14.
eii
AQQ = i = 1,2,3,...,m (2.13)
ejj
BCC = j = 1,2,3,...,n (2.14)
em que n é o número de tubulações afetadas durante os testes, A e B são fatores de
correção para demandas e coeficientes de rugosidade, respectivamente.
Esta calibração desenvolvida por Walski (1983) retrata o método iterativo.
Um estudo realizado por Cheung et al. (2000) comparou as técnicas
desenvolvidas por Walski (1983) e Bhave (1988). Eles utilizaram uma rede exemplo
teórica (BHAVE, 1988) com 23 trechos, 12 nós e 1 reservatório. Os coeficientes de
rugosidade e as demandas nos nós são inicialmente estimados de acordo com os valores
dos dados observados ou experiência do usuário do modelo, sendo, em ambas as
técnicas, ajustados de acordo com comparações feitas com os valores reais. Eles
concluíram que o método proposto por Walski (1983) apresentou menores desvios das
demandas nos nós e dos coeficientes de rugosidade dos tubos, embora eles tenham
destacado que a formulação do método de Bhave (1988) permite a divisão da rede em
um número maior de zonas, o que provavelmente consentirá o aumento da eficiência
deste método.
7
Método Explícito
Este método também conhecido como direto ou analítico. Tem como
finalidade utilizar equações hidráulicas que melhor descrevem o seu comportamento,
onde o número de variáveis tem que ser igual ao número de medidas de pressão ou
vazão. O resultado é direto, por isso a sua resolução é particular de cada caso, não se
tratando de uma metodologia geral. (SOARES, 2003).
Alguns autores como Ormsbee e Wood (1986) usaram o método explícito
para parametrizar modelos hidráulicos. Esse estudo foi calibrado em cima dos fatores de
atrito, reformulando as equações que regem o comportamento do escoamento.
Boulos e Wood (1990) conseguiram desenvolver um algoritmo explícito que
substituiu o processo iterativo proposto por Walsky (1983) para um processo de ajustes
dos parâmetros, através de reformulações das equações de equilíbrio no regime
permanente em função de parâmetros específicos do sistema, utilizando do método de
Newton Raphson como técnica de linearização dos termos não-linares. Isto
proporcionou a determinação direta dos parâmetros, acarretando num tempo de
resolução menor e mais eficiente.
Kapelan et al. (2003) relatam que a abordagem explícita não considera erros
de medições, isto é, é assumido que as medições de vazões são 100% precisas.
Método Implícito
O método implícito, também conhecido como método inverso, tem sido, nos
últimos anos, o método mais empregado para a calibração de redes de distribuição de
água, por utilizar de técnicas de otimização para alcançar ajustes mais reais. Este
método resolve o problema empregando algoritmos de otimização, que são os
responsáveis pela mudança dos parâmetros calibrados.
Neste tipo de método, encontra-se, a cada iteração um conjunto de
parâmetros que representam o sistema no modelo. A partir destes valores, o modelo
fornece como resposta valores para vazões nos trechos e pressões nos nós da rede, os
quais são comparados aos valores medidos em campo. Caso a diferença entre os valores
medidos em campo e os obtidos pelo o modelo não estiverem dentro de faixas pré-
estabelecidas, os parâmetros iniciais devem ser modificados, com base na regra do
8
modelo de otimização empregado, até que a condição seja satisfeita. A Figura 2.1
resume a seqüência seguida por este método:
Dados de Entrada
Sistema
Real
Parâmetros
Modelo
Resposta
Observada
Comparação
P
ÁRA
Modifica os Parâmetros
– Técnicas de
Otimização
Resposta
Calculad
a
Inicialização
Insatisfatório
OK
Figura 2.1
– Calibração via modelo inverso (adaptado WALSKI, 1983)
Os parâmetros a serem calibrados podem ser: rugosidades e diâmetros dos
trechos, demandas nos nós, coeficientes de vazamentos, entre outros, porém, em muitos
estudos foi verificado que os autores consideraram apenas as rugosidades, pois estas são
os parâmetros que mais se modificam ao longo da vida da rede.
A base do processo de calibração é o modelo hidráulico do sistema de
distribuição. No momento em que se torna impraticável e onerosa o diagnóstico de uma
rede de distribuição de água em escala real, a modelagem passa a ser uma etapa
imprescindível na calibração, procurando reproduzir o comportamento do sistema. Os
níveis dos reservatórios, demandas nos nós, comprimento das tubulações, rugosidades
dos trechos, entre outros, devem ser conhecidos para que o modelo gere as respostas.
9
Portanto, o modelo hidráulico como um todo, gera como resposta valores de
pressão nos nós e vazão nos trechos, assim os dados a serem levantados em campo
também são de pressão e vazão, obtidos em pontos determinados estrategicamente,
limitados pela quantidade de aparelhos disponíveis.
Em seguida comparam-se as duas respostas através de uma Função Objetivo
(FO), que é justamente o valor de aptidão de cada comparação. Caso o valor de aptidão
não esteja dentro de limites pré-estabelecidos, os parâmetros iniciais vão sendo
modificados através de uma ferramenta de otimização, ou seja, valores ótimos vão
sendo jogados nos parâmetros e novas respostas vão sendo geradas e comparadas.
Considera-se o modelo calibrado de acordo com o critério de parada: aptidão
satisfatória, número de gerações do otimizador ou a critério do modelador.
A formulação do método inverso pode ser expressa matematicamente pela
maximização de uma Função Objetivo (FO).
1
*
1 1 1
2
1
2
1
/
.
/
.
−
= = =
=
=
−
+
−
=
∑ ∑ ∑
∑
∑
c
k
k
N
i
M
j
M
j
obsj
obssim
Q
N
i
obs
obssim
H
MQ
QQ
w
NP
PP
wFO
jj
i
ii
(2.15)
em que: P é a carga de pressão (m); Q a vazão (L/s); N é o conjunto de pontos de
observação de valores de pressão; M o conjunto de pontos de observação de valores de
vazão; C* o número de condições de demanda ou dias de observação; w
H
é o peso
atribuído aos desvios de pressão; w
Q
o peso atribuído aos desvios de vazão; sim
denotam valores simulados; obs denotam valores observados; K padrões de demanda
ou dias de observação.
A Equação 2.15 denota o inverso da soma dos quadrados das diferenças
entre valores de pressões e vazões calculados e observados, onde cada função recebe um
peso proporcional a sua importância. As medições são feitas de acordo com as
demandas adotadas, comumente são tomadas três condições de demandas: mínima,
média e de pico, conforme observado na literatura.
Lansey e Basnet (1991) desenvolveram um algoritmo de otimização não-
linear através do método implícito e incorporou-o a um modelo hidráulico. Esse método
foi utilizado para calibrar coeficientes de rugosidade, abertura de válvulas e demandas
nos nós. Com o objetivo de verificar se a FO quadrática sobressai em relação à absoluta,
10
os autores puderam concluir que a soma dos quadrados alcançou mais rapidamente as
soluções do que os valores absolutos, a partir da minimização das diferenças entre
valores observados e calculados das vazões e pressões.
Reddy et al. (1996) consideraram os coeficientes de Hazen-Williams e os
consumos como parâmetros a serem estimados. Utilizaram o método inverso juntamente
com a técnica de minimização de Gauss-Newton para determinação destes parâmetros.
Eles concluíram que se houverem erros de medição, estes podem ser identificados e
removidos dos dados de entrada, dando continuidade à resolução do problema adotando
pesos baseados na variância do erro.
Greco e Giudice (1999) utilizaram o método implícito para calibrar redes de
distribuição de água através de um algoritmo de otimização não-linear. Eles assumiram
que a discrepância entre os resultados produzidos pela rede simulada e os medidos em
campo é devida às estimativas iniciais da rugosidade das tubulações. A formulação do
problema é baseada na minimização da soma dos quadrados das diferenças entre as
rugosidades nos trechos e as rugosidades inicialmente estimadas, aliada a algumas
restrições determinadas por uma matriz de sensibilidade. Os autores comprovaram, com
os resultados de alguns testes, a habilidade e o bom desempenho do modelo para
diferentes casos.
Lansey et al. (2001) desenvolveram um método heurístico baseado na
análise de sensibilidade para estudar as incertezas causadas pelos erros nos valores
medidos em campo e estimados. Para tanto, consideraram três etapas no procedimento
de calibração inversa: estimativa dos parâmetros, avaliação da calibração e identificação
das condições preferíveis para a coleta de dados. As estimativas dos parâmetros
consideram as incertezas nos dados de entrada e a incerteza resultante nos parâmetros
do modelo. Para a avaliação da calibração analisou-se a propagação dos erros nos
parâmetros prognosticados do modelo, utilizando-se, para isso, de uma matriz
covariância. Os autores destacam uma necessidade em definir estratégias para a coleta
de dados e assim obter uma calibração mais hábil.
Outro autor que estudou a localização dos pontos de amostragem foi
Righetto (2001). Ele utilizou o Algoritmo Genético (AG) como ferramenta de
otimização para estimar as demandas nos nós, rugosidades e diâmetros dos trechos. O
autor concluiu que a união do modelo operacional a um sistema de monitoramento da
rede com informações em tempo real é extremamente importante para a eficiência da
operação.
11
Silva et al. (2002) apresentaram um modelo de calibração inverso de redes
de distribuição de água que considera os vazamentos, cujas variáveis de decisão são as
rugosidades nos trechos da rede. Os Algoritmos Genéticos (AGs) foram às ferramentas
utilizadas para a otimização das variáveis, cuja aplicação é feita para uma rede
hipotética. Os autores puderam concluir que a variância entre os valores de aptidão de
cada solução tende a diminuir ao longo das gerações conforme o esperado e o valor da
aptidão média de cada geração tende a se aproximar do valor máximo. Descrevem
também algumas sugestões a serem aplicadas quando este procedimento for utilizado
em redes reais e de maior porte: aumento e escolha mais criteriosa do número de pontos
de monitoramento com informações de pressões e vazões; setorização para reduzir o
número de variáveis; utilização de coeficientes de vazamentos da rede em estudo;
ajustes dos valores de consumo e vazamentos ao longo da gerações e determinação
conjunta dos parâmetros de vazamentos e de calibração.
Kapelan, Savic e Walters (2002), propuseram um método para determinar as
rugosidades e detecção de vazamentos através de um método híbrido, sendo os AGs
como método de busca global em conjunto com um método de busca local. Os autores
tinham como objetivo buscar melhorias na solução final bem como diminuir o tempo
computacional.
Vitkovsky et al. (2000) utilizaram o método inverso com um modelo
hidráulico para regime transiente. Eles puderam observar que a qualidade da detecção e
quantificação dos vazamentos como a calibração dos coeficientes de atrito depende da
qualidade e localização dos pontos de medição.
Kapelan, Savic e Walters (2005), no intuito de desenvolver uma calibração
de modelos de SDA mais próxima da realidade, propuseram um método para encontrar
os pontos ótimos de localização dos medidores de pressão na rede para coleta de dados.
A partir de dois objetivos divergentes: (1) maximizar a precisão da calibração pela
minimização do modelo de previsão ou incerteza dos parâmetros de medição (2)
minimizar o custo total do sistema de distribuição. Utilizaram para isso dois métodos de
resolução baseados em AGs: o primeiro método, utilizando-se de pesos, considerou os
dois objetivos como uma única função (SOGA), o segundo método considerou os dois
separadamente, ou seja, é multiobjetivo (MOGA), baseado em frentes Pareto. Os
autores puderam concluir que o MOGA apresentou várias vantagens sobre o SOGA, e
uma única desvantagem: (1) o SOGA pode detectar uma única solução ótima em um
AG executado, enquanto o MOGA pode detectar um conjunto de soluções ótimas
12
(frente Pareto). Consequentemente são necessárias execuções de vários SOGA para
obter o mesmo nível de informações que podem ser alcançadas a partir de um único
MOGA executado. (2) A penalização deve ser aplicada em funções relevantes para lidar
com limitações, sendo esta desnecessária no MOGA. Tipicamente, funções de
penalização tornam a busca mais difícil. (3) Em comparação com outros modelos
aplicados em SDA’s, a desvantagem óbvia do MOGA é o tempo computacional
exigido. Esse é o preço que deve ser pago para obter informações relativamente
precisas, sendo um grande obstáculo para análises de modelos reais de rede,
especialmente com grandes números de parâmetros de calibração. No entanto, prevê-se
que com o constante aumento no poder computacional, o tempo não mais será um
problema no futuro.
As perdas por vazamentos passaram a ser consideradas em modelos de
calibração apenas nos últimos anos. É imprescindível que as considerem na análise do
sistema face aos índices alarmantes de fuga que vários sistemas de distribuição de água
vêm apresentando.
2.2 Calibração de Vazamentos
As concessionárias de água no Brasil têm demonstrado grande preocupação
com o monitoramento das perdas físicas de água nos sistemas de distribuição,
principalmente por gerarem custos financeiros e diminuição deste recuso natural.
As perdas de água podem ser consideradas como: físicas ou não físicas. As
perdas não físicas são referentes àquelas provocadas por ligações clandestinas ou não
cadastradas, defeitos nos equipamentos de medição domiciliar, adulteração nos
hidrômetros, e a falta de medição com a cobrança feita pelo consumo médio, ou seja, há
o consumo da água, porém não é contabilizado. As perdas não-físicas fogem do escopo
deste trabalho por escaparem do seu objetivo (FORMIGA, 2005).
As perdas físicas são os vazamentos propriamente ditos, ocorridos ao longo
dos SDA. Há duas classificações: perdas físicas operacionais e vazamentos. Os
consumos operacionais podem advir da lavagem de filtros, dos procedimentos
operacionais (limpeza de reservatórios) e de falhas operacionais (extravasamento de
reservatórios). Este tipo de perda também não é considerado nesta pesquisa, pois,
embora tenha um significado quantitativo considerável, as medidas de controle dizem
13
respeito apenas às qualificações dos operadores, instalação de alarmes e melhoras no
controle operacional (FORMIGA, 2007).
O importante, portanto, são as perdas por vazamentos, que são decorrentes
de fraturas nas adutoras, redes de distribuição e ramais prediais, falhas em conexões e
peças especiais, trincas nas estruturas e impermeabilização inadequada de reservatórios.
Estes vazamentos podem ser minimizados através de uma manutenção adequada,
controle do estado das estruturas e tubulações, regras operacionais e planejamento e
projeto eficientes. Mesmo constituindo uma forma eficiente para controle de
vazamentos, no Brasil, estas medidas são pouco empregadas para diminuir o número de
reparos nos sistemas de distribuição de água, devido ao crescimento desordenado da
população nos centros urbanos, desencadeando em ampliações não previstas e falta de
investimento do setor de saneamento.
Alguns autores como Conejo et al. (1999) conseguiram identificar quais os
subsistemas que possuem perdas mais significativas em todo o SDA, foram apontados
os subsistemas de tratamento e de distribuição como os mais expressivos.
Formiga (2005) observa que, de um modo geral, as perdas por vazamentos
nas redes de distribuição de água e ramais prediais se devem a: materiais e idades das
tubulações, assentamento das tubulações, excesso de pressões na rede, alimentação da
rede por bombeamento direto, transientes hidráulicos, ausência de válvulas e ventosas,
entre outros.
Assim, entende-se a relevância de uma modelo de calibração que considere
fugas nas redes de distribuição de água. A seguir, serão levantados alguns modelos
desenvolvidos por autores renomados, salientando as perdas por vazamentos em suas
metodologias.
2.2.1 Modelos de Vazamentos
Analisando a literatura pode-se observar que os vazamentos de uma rede de
distribuição de água estão diretamente relacionados às pressões internas nas tubulações.
Existem dois tipos de modelos de vazamentos: globais, os quais consideram a pressão
média por zona como variável de determinação das perdas, e os detalhados, onde a
avaliação de perdas é feita para cada nó.
14
Aqui será considerado apenas o modelo detalhado, uma vez que o global é
indicado para a fase de planejamento da rede, além de impossibilitar o seu emprego em
simulações com modelos hidráulicos.
Os modelos detalhados, que são diretamente utilizáveis nas simulações
hidráulicas, podem ser enquadrados em duas formas. A primeira oferece uma
possibilidade de introduzir os vazamentos de maneira explícita no modelo de simulação
hidráulica da rede. A segunda forma apresenta uma avaliação iterativa das perdas, não
explicitando relações pressão x vazamento internamente ao modelo. Observa-se que
essa última forma facilita o acoplamento do problema de calibração com pacotes
computacionais que não incorporam explicitamente os vazamentos no modelo,
implicando em um tempo computacional maior, dada a natureza iterativa do
procedimento (SOARES, 2003).
Germanopoulos e Jowitt (1989) propuseram um método em que as perdas
eram incorporadas explicitamente ao modelo. A função objetivo empregada procurava
minimizar a pressão na rede como forma de diminuir os vazamentos, sendo estes
considerados através de restrições. Os autores utilizaram o Método da Teoria Linear de
Isaacs e Mills (1980) como modelo hidráulico, onde um procedimento de linearização
da equação de perdas foi adotado com intuito de vincular os vazamentos ao modelo
hidráulico adotado.
O modelo é formulado com base na equação da continuidade para cada nó:
05,0 =++
∑
∑
∈∈
ii
Jj
iji
Jj
ij
qCQ
(2.16)
em que Q
ij
representa a vazão entre os nós i e j, C
i
é a demanda de consumo no nó i, J
i
são todos os nós conectados ao nó i e q
ij
é o vazamento na tubulação entre os nós i e j.
A Equação 2.17 é o resultado do emprego de uma relação vazamento x
pressão aplicada a cada tubulação:
(
)
18,1
1
av
ijijij
PLcq =
(2.17)
em que: c
1
é uma constante que depende das características da rede, L
ij
é o comprimento
da tubulação entre os nós i e j e P
ij
av
é a média entre as pressões no início e no final da
tubulação.
Assim, a Equação (2.16) pode ser escrita diretamente em função das
energias dos nós e correspondentes cotas topográficas:
15
(2.18)
onde: H
i
é a carga hidráulica e z
i
a cota topográfica do nó i.
Os autores propuseram um modelo de minimização dos vazamentos da rede
a partir da determinação das aberturas de válvulas ótimas (V
k
) e sugeriram uma FO com
intuído de minimizar o somatório das diferenças entre as cargas hidráulicas calculadas
H
i
e as cargas hidráulicas requeridas H
i
* para I
d
medidas:
(
)
∑
∈
−
Idi
ii
Vk
HH
*
min
(2.19)
sujeito a:
(a) equação da continuidade nos nós (eq. (2.16));
(b) aberturas máxima e mínima das válvulas:
maxmin
kkk
VVV ≤≤
(2.20)
(c) carga hidráulica mínima para os nós:
(2.21)
As variáveis desconhecidas são as cargas hidráulicas (H
i
) e as aberturas das
válvulas (V
k
) incorporadas à rede. Os dados que devem ser inicialmente conhecidos são
as cargas hidráulicas nos nós ligados aos reservatórios, a localização e as aberturas
máximas e mínimas das válvulas, as demandas e cotas topográficas dos nós, as
características das tubulações da rede (comprimento, diâmetro e coeficiente de
rugosidade), a carga hidráulica mínima para atender a demanda nos nós, e a relação
pressão x vazamento da rede.
Jowitt e Xu (1990) aprimoraram o trabalho apresentado por Germanopoulos
e Jowitt (1989), o procedimento foi o mesmo, modificaram apenas a FO, que passou a
ser a minimização dos vazamentos, e o tipo de linearização empregado. Segundo estes
autores, ao longo de um trecho de tubulação, o vazamento é dado por:
(
)
18,1
ijijijij
PLCLVaz =
(2.22)
(
)
[
]
181
1
50
,
jjiiijij
zHzH.,Lcq −+−=
*
ii
HH ≥
16
em que: CL
ij
é o coeficiente de vazamento por unidade de comprimento para pressão de
serviço e depende das características da tubulação (idade, diâmetro do tubo, etc), L
ij
é o
comprimento do tubo entre os nós i e j, P
ij
é a pressão média no trecho fornecida por:
( )
( )
[
]
jjiiij
zhzhP −+−=
2
1
(2.23)
sendo z
j
a cota do nó j.
Os autores já utilizaram o coeficiente 1,18, pois relatam que dados
experimentais vêm comprovando que, para vazamentos em rede de distribuição de água,
o coeficiente é bem maior que 0,5 (valor teórico adotado inicialmente por alguns
pesquisadores).
Vairavamoorthy e Lumbers (1998) utilizaram válvulas reguladoras de
pressão para minimização de vazamento e concluíram que, para isso, ele deve ser
introduzido explicitamente no modelo hidráulico. Ainda relatam que técnicas de
otimização formais podem ser aplicadas para verificar estados ótimos de válvulas que
permitam atingir condições mínimas de pressões requeridas. Eles apresentaram uma
formulação com o intuito de resolver o problema de convergência apresentado pelos
modelos de Germanopoulos e Jowitt (1989) e Jowitt e Xu (1990). Considerando para
isso duas FOs, sendo as restrições dadas pela equação da continuidade para cada nó,
incluindo a dependência pressão x vazamento; e as pressões e aberturas das válvulas
máximas e mínimas.
∑
=
=
NP
k
ij
qZ
1
1
min
(2.24)
sendo NP o número de tubulações da rede. Esta FO procura minimizar o volume total de
vazamentos na rede.
( )
∑
=
−=
NPN
i
ii
HHZ
1
2
*
2
min
(2.25)
sendo NPN o número de nós com carga hidráulica desconhecida. Esta FO minimiza a
soma dos quadrados entre a diferença da pressão nos nós e a pressão mínima requerida.
SABESP (1998) apresenta resultados de um estudo realizado no Brasil no
sentido de quantificar perdas e estabelecer a relação pressão versus vazamento.
Utilizando-se um distrito pitométrico que atendesse a rede de distribuição, ligações e
ramais até a caixa d’água, com 20,5 km de extensão e 4.459 ligações. Considera a
equação da vazão através de um orifício, como um modelo adequado para descrever
17
vazamentos diversos numa rede de distribuição, Q = A
0
. C
d
. P
N
, onde: Q = vazão
(m³/s); Ao = área do orifício (m²); Cd = coeficiente de descarga;
P = pressão (m); N =
expoente dependente da forma dos orifícios que varia
entre 0,5 e 1,5.
Martinez et al. (1999) diferentemente de Germanopoulos e Jowitt (1989),
consideraram as perdas diretamente nos nós da rede, a sua formulação é parecida com a
de Jowitt e Xu (1990):
(
)
181,
jjj
PKVaz
=
(2.26)
onde K
j
é um coeficiente de vazamento associado ao nó j.
Tucciarelli et al. (1999) consideraram que os vazamentos nas tubulações
ocorrem de maneira homogênea, onde os parâmetros de vazamento dependem da
superfície dos tubos. Porém, para isso, é preciso predeterminar as zonas em que os
vazamentos são homogêneos. A formulação proposta considerou que, para uma mesma
região, os valores dos coeficientes de vazamentos por unidade de superfície dos tubos
são constantes. Essa consideração é muito importante no processo de calibração, uma
vez que se procura trabalhar com um menor número de parâmetros.
O modelo proposto por Tucciarelli et al. (1999) mostra que o procedimento
de calibração desenvolvido relaciona os parâmetros da rede e as variáveis vazão e carga
hidráulica. Os autores consideraram escoamento permanente e uma igualdade entre a
rugosidade absoluta e coeficiente de perda para determinar áreas de rede, ajustando as
equações de conservação de massa e da quantidade de movimento numa equação
algébrica apenas:
( )
∑
=
=−−
−
−
i
M
j
ii
ijijijij
ij
Cq
HHVIR
HH
1
1
0'..
,
ρδ
i = 1,...,N* (2.27)
em que N* é o número total de nós, M
i
é o número total de tubulações ligadas ao nó i, q
i
é a perda de água nas tubulações ligadas ao nó i,
δ
1
é igual a 1 ou zero se a pressão total
no nó i é maior ou menor, respectivamente, que a cota topográfica deste, C’ é a
demanda total,
ρ
i
é o fator multiplicador da demanda total (restrição da demanda
atendida) no nó i, I é um vetor, com cada valor correspondendo a um único valor de
coeficiente de perda e rugosidade, V
ij
é uma possível válvula localizada na tubulação
entre os nós i e j e R
ij
é o coeficiente de resistência da tubulação que liga o nó i ao nó j e
é igual, de acordo com a fórmula de Prandtl-Nikuradse, a:
18
( )
5
0
0826,0
ij
ij
ijij
D
L
VRR
λ
+= (2.28)
sendo:
2
71,3
log4
=
ij
ij
D
ε
λ
(2.29)
onde
(
)
ij
VR
0
é a perda local correspondente a uma possível válvula de índice V
ij
localizada na tubulação entre os nós i e j,
ε
ij
é a rugosidade absoluta da tubulação
entre
os nós i e j e D
ij
é o diâmetro da tubulação ligando o nó i ao nó j.
O termo q
i
é calculado assumindo que nas tubulações em cada zona há
valores constantes de vazamento por área de superfície de tubo. Assim:
( )
ijijij
M
j
iii
LDzHq
i
θ
π
β
∑
=
−=
1
2
(2.30)
em que
β
é o expoente de perda e
θ
ij
é a taxa de vazamento por unidade de superfície da
tubulação ligando o nó i ao nó j.
Os autores utilizaram a solução do problema inverso para avaliar a perda de
água e puderam constatar a acurácia deste tipo de técnica.
Viegas (2002) desenvolveu um trabalho com o objetivo de demonstrar o
uso do modelo EPANET na simulação do comportamento hidráulico de redes de
distribuição de água aplicado a um setor da abastecimento da cidade de Santa Maria.
Foram modeladas e calibradas as vazões e pressões de operação. Este estudo
proporcionou análises da situação operacional e da situação física da rede. Dentre as
avaliações, os resultados permitiram a definição de áreas com pressões acima de um
padrão pré-estabelecido, trechos de redes com perda de carga elevada indicando
necessidade de reforços, áreas com deficiência de abastecimento entre outras aplicações.
O autor pode concluir que o uso do modelo EPANET pode ser aplicado para estimar
perdas físicas de água nas situações em que houverem condições de estimar o
coeficiente e o expoente da relação de vazão-pressão.
Silva et al. (2003) desenvolveram um procedimento que possibilita
diferenciar as parcelas relativas ao vazamento e ao consumo a partir da vazão
estabelecida, pois apontam que não se sabe que parcela de Q’
e
(vazão abastecida total) é
destinada ao consumo e aos vazamentos. Sendo assim consideraram que a distribuição
espacial de demanda é completamente conhecida e partiram do princípio que a vazão
abastecida é composta de consumo e vazamentos:
19
setorsetore
VCQ +=' (2.31)
em que C
setor
é o consumo ou demanda total do setor e V
setor
representa o vazamento
total do setor.
Sendo que:
∑
=
=
nós
i
isetor
CC
1
(2.32)
∑
=
=
trechos
j
jsetor
VV
1
(2.33)
Um fator multiplicador dos consumos ou demandas denominadas de
referência (C
ref
) é utilizado para expressar a variação do consumo das horas do dia, de
forma que:
C
i
= fator x C
ref. i
(2.34)
C
setor
= fator x C
ref
.
setor
(2.35)
sendo i os nós da rede.
∑
=
=
nós
i
irefsetorref
CC
1
..
(2.36)
onde C
ref
é o consumo de referência, estabelecido com base no consumo mensal médio
por quadra do setor, distribuído aos nós de acordo com as áreas de influência dos
mesmos. Substituindo (2.35) em (2.31):
setorref
setore
C
VQ
fator
.
−
=
(2.37)
O fator é reavaliado iterativamente até que a convergência para determinado
valor seja atingida. O processo iterativo inicia-se com o vazamento nulo. Com o fator
calculado determina-se Q
K
e Q
SK
(que representam respectivamente a vazão e
vazamento nos trechos). Esse procedimento possibilita, portanto, que as parcelas
relativas ao vazamento e ao consumo sejam fundadas a partir da vazão estabelecida.
Os autores puderam concluir que o levantamento de dados de vazamentos
para a rede local em estudo é fundamental para uma maior proximidade entre os valores
dos parâmetros de vazão e pressão simulados e calculados. Também apontaram a
20
necessidade de os parâmetros de calibração e de vazamentos serem determinados
conjuntamente.
Soares (2003) realizou um estudo da calibração de modelos de redes de
distribuição de água para abastecimento considerando vazamentos e demandas dirigidas
pela pressão. Considerou uma rede hipotética para o estudo, o EPANET como
modelador hidráulico e utilizou um método híbrido (AG + Nelder-Mead) como
ferramenta de otimização. O modelo de vazamento empregado foi o proposto por
Tucciarelli et al. (1999), que apresenta uma formulação baseada na perda de água por
área de superfície de tubo, ao invés da consideração de vazamentos por comprimento de
tubulação, proposta por Germanopoulos e Jowitt (1989). Uma análise das diferentes
relações pressão x demanda apresentadas na literatura foi feita com base no número de
iterações necessárias para a convergência no modelo hidráulico proposto. O autor
concluiu que o modelo apresentado por Tucciarelli et al. (1999) foi o que consumiu
menor tempo de processamento computacional, sendo adotado para as simulações de
calibração em termos das rugosidades absolutas, demandas, diâmetros, cotas
topográficas e parâmetros do modelo pressão x vazamento. No entanto, análises em
sistemas reais fazem-se necessárias para conhecimento da variação das demandas com a
pressão.
Viegas (2003) determinou os parâmetros (N = 0,611 e Cd = 5,3985 x 10-5)
através de ensaios para o setor de distribuição de água localizada no bairro Nossa
Senhora de Lourdes e suas imediações na cidade de Santa Maria – RS. Neste setor
foram realizados estudos que objetivaram propor metodologias para determinação das
perdas físicas de água. Analisaram-se os seguintes métodos: o "Balanço de Água", que
é o método freqüentemente utilizado pelas empresas nos programas de redução de
perdas de água; o modelo EPANET; e o método empírico "FND - Fator Noite - Dia".
Estes métodos têm em comum a facilidade para o seu uso e apresentaram nos testes
realizados uma boa concordância.
Cabrera e Vela (1995) propuseram uma metodologia para quantificação de
vazamento através de dois componentes de consumo não controlados em redes de
distribuição de água: as perdas físicas em adutoras e conexões de serviço, e a
quantidade de água consumida, porém não registrada pelos medidores. Os autores
consideram que perdas reais ocorrem em função da pressão e as perdas aparentes
(consumo não medido) devido aos padrões de consumo (doméstico, industrial,...).
21
Cabrera e Vela (1995) concluíram que esta metodologia melhorará o conhecimento dos
componentes das taxas de vazões não controladas, das perdas reais e aparentes.
SILVA (2005) investigou a perda de água em 642 sistemas de
abastecimento de água no Ceará. As perdas foram em média de 36%. O índice de perda
na produção (IPP) foi de 4%, enquanto o índice de perda em rede (IPR) foi de 1,21 m
3/h.Km. Em um quarto dos sistemas as perdas foram iguais superiores a 50%. O autor
relata que para um índice de perda de distribuição (IPD) de 30% haverá incremento de
39% na oferta de água. Este ganho poderá chegar a quase 70% caso seja alcançada uma
meta de IPD de 15%.
Colombo (2007) aplicou o modelo desenvolvido por Soares (2003) em duas
redes reais, uma na cidade de Guariba-SP e outra em Itirapuã-SP. Porém, o modelo
demonstrou diversas incertezas no processo de calibração. O autor relatou várias
sugestões no sentido de viabilizar estudos dessa natureza que possam produzir
ferramental diretamente utilizável pelas concessionárias de água para abastecimento.
Afirmando, portanto que todas as fontes de erro levantadas em sua pesquisa conduzem à
necessidade de se estabelecer um setor piloto para estudos com vistas principalmente à
criação da cultura da modelagem e da compreensão de suas necessidades. Defende que
esta estratégia envolveria a construção de caixas de inspeção em pontos chave da rede, a
delimitação clara de setores de rede coincidentes com os de leitura, a implantação de
uma sistemática rotineira de atualização de cadastros, com base em toda e qualquer
intervenção realizada sobre a rede, a calibração periódica dos equipamentos de macro e
micro-medição, o monitoramento constante dos consumos e pressões, caça a
vazamentos e consumos não autorizados, entre outros.
2.3 Ferramentas de Otimização
A maioria dos modelos otimizantes é baseada em algum tipo de
programação matemática, sendo que uma classificação básica das técnicas de
otimização é dada por (SANTOS, 2007):
•
Programação Linear (PL);
•
Programação Não-Linear (PNL) e
•
Métodos Heurísticos.
A seguir serão expostas algumas vantagens e desvantagens dessas técnicas,
com atenção maior aos Métodos Heurísticos, por serem apontados por muitos autores
22
(MURPHY E SIMPSON, 1992; SIMPSON et al., 1994; SOARES, 2003; CARRIJO et
al., 2003; CHEUNG, 2004; FORMIGA, 2005, entre vários outros) como promissores na
resolução de problemas hidráulicos em geral, além de ser a ferramenta de otimização
considerada neste trabalho.
2.3.1 Programação Linear (PL)
Simonovic (1992), afirma que a PL é a técnica de otimização que mais se
desenvolveu, além de ser considerada por alguns autores como um dos mais importantes
avanços científicos da segunda metade do século XX.
O termo linear, como o próprio nome diz, refere-se à necessidade de haver
relações lineares entre as variáveis, traduzidas pelas equações que caracterizam o
problema. Mesmo quando as relações são não- lineares, a programação linear tem sido
empregada com o auxílio de processos de linearização de funções ou através de um
procedimento iterativo (SANTOS, 2007).
Labadie (2004) aponta as seguintes vantagens da PL: a habilidade para se
ajustar e resolver problemas de grandes dimensões; atinge valores ótimos globais; teoria
da dualidade bem desenvolvida para a análise de sensibilidade; a existência de pacotes
computacionais prontos para resolução de problemas.
Barbosa (2002) menciona que a principal restrição da aplicação da PL é a
exigência de linearidade das funções, o que não se verifica em muitos problemas
hidráulicos em geral.
Formiga (2005) afirma que de um modo geral, os modelos baseados na PL
foram relegados ao segundo plano no final dos anos de 1980 devido a alguns fatores:
•
dificuldades de retratar linearmente o problema não linear de modo completo,
sendo que, para a utilização dessa ferramenta, é necessária a inclusão de diversas
aproximações;
•
aparecimento de novos métodos de PNL (Programação Não Linear) que
possibilitaram trabalhar com restrições como por exemplo: Programação
Quadrática Seqüencial, Gradiente Reduzido Generalizado 2;
•
aumento excessivo do número de variáveis de decisão, para problemas de maior
porte;
23
•
aumento considerável da capacidade dos computadores desde o início dos anos
70, o que tornou possível a utilização de métodos mais complexos que
demandam maior capacidade computacional, o que era impraticável
anteriormente.
Autores como Germanopoulos e Jowitt (1989), Jowitt e Xu (1990) e Brdys
et al. (2001), são alguns exemplos de pesquisadores que utilizaram a Programação
Linear como ferramenta de otimização.
2.3.2 Programação Não-Linear (PNL)
A matemática envolvida nos modelos não lineares é muito mais complicada
do que nos casos de programação linear (YEH, 1985). Porém, Simonovic (1992) relata
que o desenvolvimento crescente dos recursos computacionais vem facilitando a
aplicação da PNL.
Formiga (2005) defende o desenvolvimento da PNL quando afirma que essa
técnica possibilitou adicionar ao problema diversas nuances particulares às redes de
abastecimento o que antes, com a PL, era difícil de fazer. A PNL tornou possível
trabalhar com diferentes características desses sistemas como: confiabilidade,
vazamentos, demandas dirigidas pela pressão, válvulas, etc.
A grande vantagem da PNL é a sua abrangência, oferecendo uma
formulação matemática mais geral, não necessitando de simplificações, o que, uma vez
elaborado o modelo matemático que descreve o sistema a otimizar, aumenta a precisão
nos resultados a serem alcançados (SIMONOVIC, 1992).
Como desvantagem (SANTOS, 2007) destaca a incerteza de que, em muitos
casos, a solução ótima obtida não é a melhor dentre todas as soluções ótimas no espaço
viável, dado à natureza de não linearidade dos problemas. Formiga (1999) enfatiza que
a principal dificuldade da PNL diz respeito à necessidade de bons valores iniciais para
encontrar resultados satisfatórios, essa necessidade de valores iniciais aumenta à medida
que o problema se torna mais complexo, envolvendo um número maior de trechos e nós.
Esse problema traz sérias restrições a aplicações dessa metodologia em problemas
práticos, uma vez que os resultados obtidos não são confiáveis. Formiga (2005) também
destaca a dificuldade da PNL em convergir em problemas descontínuos.
24
Exemplos de autores que utilizaram essa técnica de otimização estão:
Ormsbee (1989), Lansey e Basnet (1991), Ferreri et al. (1994), Greco e Giudice (1999),
entre outros.
2.3.3 Métodos Heurísticos
O sucesso da calibração geralmente depende de suposições linearizantes ou
cálculo não realístico de derivadas parciais, através de procedimentos de otimização
local, que tendem a tornar-se aprisionados em mínimos locais ou sofrer instabilidades
numéricas associadas à inversão de matrizes. Portanto, as técnicas clássicas de
otimização requerem muitas simplificações, que, por sua vez, tendem a produzir
resultados insatisfatórios ou pouco realísticos (SILVA et. al., 2002).
Além das desvantagens descritas acima, os métodos de PL e PNL não
garantem que a solução encontrada no processo de otimização seja a melhor, ou seja, o
ótimo global para o problema. Diante disso, pesquisadores engajaram em desenvolver
técnicas mais eficazes na obtenção desta solução.
Surgiu, portanto uma nova etapa denominada de Otimização Global (OG).
Os métodos numéricos empregados na OG podem ser classificados em três grupos:
Métodos Heurísticos, Métodos de Aproximação e Métodos Sistemáticos.
Lopes (2002) afirma que mesmo não sendo possível garantir que a solução
encontrada seja o ótimo global, os métodos de OG são inteiramente capazes de atingir
respostas próximas do mesmo, senão o próprio ótimo global. Ele descreve ainda que os
métodos sistemáticos apresentam soluções mais confiáveis do que as dos métodos
heurísticos, no entanto necessitam de uma quantidade de processamento computacional
maior do que os algoritmos heurísticos, além de apresentarem problemas de
convergência quando se otimiza redes mais complexas.
Os Métodos Heurísticos contém as metodologias que não podem provar
formalmente que se encontrou o ótimo global considerando uma quantidade predefinida
de passos ou iterações. São, portanto desprovidos de formulações matemáticas
(WALTERS et. al., 1993).
A maioria dos métodos que se enquadram nesse grupo (Métodos
Heurísticos) são chamados Métodos Estocásticos, um exemplo dessa classe são os
Algoritmos Evolucionários (AEs), todos com o objetivo de simular o processo de
evolução de qualquer sistema. Os AEs são classificados em: Algoritmos Genéticos
25
(AGs), Estratégias de Evolução (EE), Programação Evolucionária (PE), Programação
Genética (PG) e Sistemas Classificatórios (SCs).
Dentre os tipos de AEs citados, os mais conhecidos são os AGs por serem
considerados promissores na resolução de problemas não-lineares irrestritos como os de
calibração, devido à flexibilidade de incorporar problemas discretos, a ausência do uso
de derivadas, a eficiência na exploração do espaço de busca, além das facilidades na
implementação e no tratamento de funções complexas e descontínuas (CHEUNG, 2004)
2.3.3.1 Algoritmos Genéticos
Os Algoritmos Genéticos (AGs) são exemplos clássicos de técnicas de
programação evolucionária inspiradas nos mecanismos de evolução de população de
seres vivos. Desenvolvido na Alemanha por Rechenberg (1973), em paralelo com
Holland (1975) e popularizado por Goldberg (1989), estes algoritmos seguem os
princípio da seleção natural e sobrevivência do mais apto, conceito introduzido pelo
naturalista e fisiologista Charles Darwin em 1859 (COLOMBO, 2007).
Utilizando de termos biológicos, pode-se dizer que os AGs são baseados em
cromossomos (string), que representam as variáveis possíveis do problema, um conjunto
de cromossomos forma um indivíduo ou uma possível solução do problema. O conjunto
de indivíduos forma uma população que será avaliada com base em uma função
objetivo.
Para dar início ao algoritmo, deve-se criar uma população inicial
aleatoriamente, porém, atentando-se para os valores limites de cada gene. Em seguida,
utilizando-se dos operadores: seleção, recombinação e mutação, parte-se para o
processo de otimização de cada população, onde cada cromossomo (solução) recebe
uma “nota”, que é o seu fitness (aptidão), geralmente este fitness é a própria função
objetivo. Esse processo repete-se continuamente em busca de soluções ótimas, e, à
medida que populações vão sendo geradas, as soluções com maior aptidão vão sendo
armazenadas, até atingir o critério de parada.
O critério de parada é determinado pelo pesquisador, podendo optar por um
limite máximo de gerações, ou quando as soluções atingirem uma faixa de aptidão pré-
estabelecida, entre outros. O conjunto de todas as configurações que as soluções podem
assumir constitui o “espaço de busca” do problema. Se a solução representa n variáveis
de decisão, então o espaço de busca é um espaço com n dimensões.
26
A Figura 2.2 abrange o processo geral de um Algoritmo Genético:
Figura 2.2
– Etapas do Algoritmo Genético (adaptado de UFRJ)
Carrijo et al. (2003) resume a implementação dos AGs nas seguintes etapas:
- escolha da sistemática de representação dos grupos de variáveis de decisão
que definem completamente as soluções, cujos valores pretende-se determinar;
- geração de uma população inicial de soluções alternativas geralmente
aleatória;
- definição do módulo de avaliação de desempenho das soluções, chamado
de função objetivo ou de aptidão;
- especificação dos operadores genéticos para a realização dos mecanismos
de seleção, recombinação e mutação; e
- escolha dos parâmetros dos AGs tais como probabilidades de
recombinação e mutação e tamanho da população.
As populações geradas dependem do tipo de AG adotado: geracional,
geracional com elitismo ou Steady-State. No primeiro caso, as populações são
renovadas a cada geração, ou seja, criam-se n filhos para substituírem os n pais. No
segundo caso, há o que se chama de elitismo, onde os pais mais aptos são mantidos nas
Início
Solução
Encontrada?
Recombinação
Seleção
M
utação
Fim
Cálculo da Aptidão
Inicialização da
população
Sim
27
próximas gerações. No terceiro, são criados n filhos para substituírem os n piores pais
da população em cada geração (SOARES, 2003).
Segundo Silva et al. (2002) a vantagem do uso dos AGs Steady State diz
respeito ao tempo de processamento computacional reduzido, quando comparado com
os AGs geracionais. Apresentam a desvantagem de serem menos robustos que os AGs
geracionais, sendo que tais fatores devem ser ponderados na escolha do algoritmo a ser
utilizado.
Seleção é o operador genético que decide quais indivíduos sofrerão
recombinação e mutação a cada geração, baseado, geralmente, na aptidão de cada
cromossomo. Segundo Brinckle (1996 apud Formiga 2005) no processo de seleção, os
indivíduos de menor adaptabilidade tendem a ser removidos enquanto que os indivíduos
mais aptos se reproduzem passando os valores do seu código, ou variáveis de decisão,
para as iterações, ou gerações, posteriores.
A recombinação é responsável por promover a permuta de características
dos pais para os filhos.
A operação de mutação é utilizada para garantir uma maior varredura do
espaço de estados e evitar que o algoritmo genético convirja muito cedo para mínimos
locais. A mutação é efetuada alterando-se o valor de um gene de um indivíduo sorteado
aleatoriamente com uma determinada probabilidade, denominada probabilidade de
mutação, sendo substituído por outro dentro da faixa admissível.
Os tipos de operadores genéticos serão detalhados mais adiante no Capítulo
3.
Além das vantagens descritas anteriormente, Soares (2003) relata outras
relevantes:
- trabalham com o código dos parâmetros e não com os parâmetros propriamente ditos;
- buscam, a partir de uma população de pontos e não de um único ponto;
- usam informações da função objetivo apenas, não necessitando de derivadas ou de
outras informações;
- são capazes de otimizar um número grande de variáveis, trabalhando com funções
objetivo com superfícies complexas, reduzindo a incidência de mínimos ou máximos
locais;
- adaptam-se bem a técnicas de computação paralela;
- fornecem uma gama de parâmetros ótimos e não uma simples solução;
- usam regras de transição probabilísticas e não determinísticas;
28
- são facilmente hibridizados com outras técnicas;
- apresentam a propriedade de "varrer" o espaço de soluções de maneira eficaz quando o
número de variáveis de decisão do problema é grande.
A principal desvantagem relatada diz respeito ao seu custo computacional,
são lentos, justamente por abordarem um conjunto grande de pontos para uma busca
eficaz de soluções.
A utilização dos AGs como ferramenta de otimização vem aumentando a
cada ano, devido, principalmente, aos bons resultados alcançados por vários
pesquisadores. Murphy e Simpson (1992), Walters e Lohbeck (1993), Simpson et al.
(1994), Dandy et al. (1996), Wu e Simpson (2001) são exemplos de estudos que
aplicaram AGs com sucesso para resolver problemas complexos de recursos hídricos.
Murphy e Simpson (1992) forma uns dos pioneiros a utilizarem o Algoritmo
Genético como ferramenta de otimização para investigar problemas relativos a sistemas
de abastecimento de água, utilizando um código binário onde cada variável do vetor de
decisão foi representada por três bits.
Em seguida, Walters e Lohbeck (1993) compararam a eficiência dos AGs
com a programação dinâmica, os autores concluíram que, para redes pequenas, os
resultados apresentados pelos os dois foram bastante parecidos, enquanto para redes
maiores, os AGs ofereceram resultados melhores, além de um custo computacional bem
reduzido em ambas situações. Os autores verificaram também que a codificação real
proporcionou mais eficiência na medida em que aumentava o grau de conectividade da
rede.
Aplicações com Algoritmos Genéticos também foram realizadas por
Simpson et al. (1994), em que uma técnica básica de AG foi aplicada à reabilitação de
uma rede proposta por Gessler (1985), no intuito de compará-la à programação não-
linear e a enumeração completa. Concluíram que a otimização não linear aproximou
bastante da solução global, porém, como as variáveis foram consideradas como
contínuas, não obteve uma precisão satisfatória. A enumeração completa apresentou um
tempo computacional muito grande, cerca de 720 vezes maior do que a programação
não-linear. Os AGs apresentaram-se bastantes eficientes na busca da solução global,
embora tenham consumido um tempo de, aproximadamente, 7 vezes maior que a
otimização não linear. Os autores concluíram também que os AGs se adaptam bem a
sistemas de grande escala além de terem um bom desempenho com problemas de
natureza discreta, ao contrário das outras duas técnicas.
29
Dandy et al. (1996), para melhorar os AGs simples em termos de
desempenho e acurácia, utilizaram codificação (Gray) e mutação (Creep) diferentes,
além do emprego de escalonamento exponencial. Os autores relataram que a mutação
adotada destrói sutilmente as soluções, permitindo assim explorações locais do espaço
de busca. O código Gray também foi considerado eficiente nas investigações realizadas.
Apesar dos resultados favoráveis ao novo tipo de AG, os autores ainda perceberam um
alto consumo computacional.
Outros trabalhos seguiram-se a estes aplicando os algoritmos genéticos na
calibração de modelos de redes: Savic e Walters (1997), De Schaetzen et al. (2000),
Vitkovsky et al. (2000), Silva et al. (2002), Silva et al. (2003).
Savic e Walters (1997) utilizaram os AGs como método de busca para a
calibração de modelos de redes de distribuição de água, comparando-os com o método
de tentativa e erro. Os autores puderam verificar as vantagens dos AGs quando
utilizados para calibração, principalmente quanto a não limitação de parâmetros a serem
otimizados, ajustando não só a rugosidade e demanda, como, também, cotas
topográficas, diâmetros e outros.
De Schaetzen et al. (2000) no intuito de otimizar a rede de amostragem de
dados empregados para a calibração de modelos de redes, adotaram os AGs como
método de busca dos pontos de coleta de dados, bem como o número de pontos de
amostragem. Os autores concluem que os melhores pontos de observação são os nós nas
extremidades da rede, onde a variação da pressão é maior, e que os pontos de
observação devem ser distribuídos ao longo da rede.
Vitkovsky et al. (2000) utilizaram o Algoritmo Genético em conjunto com a
técnica de transiente inverso para detectar vazamentos e fatores de fricção nos sistemas
de distribuição de água. Os autores observaram o grande potencial deste método,
afirmando que a técnica do transiente apresenta uma nítida vantagem sobre os métodos
permanentes tradicionais de calibração, por fornecerem muito mais dados. Relatam que
as primeiras implementações do método do transiente inverso por Liggett e Chen (1994)
usaram métodos baseados em derivadas para otimização, porém estes métodos podem
apresentar falhas na convergência ou podem convergir para um mínimo local. Portanto,
utilizaram os AGs como um método de busca e puderam comprovar a grande eficiência
quanto a varredura no espaço de busca dos parâmetros.
Depois de Reis et al. (1997), Silva et al. (2002) foram um dos pioneiros na
utilização de AGs para calibração de modelos de rede no Brasil. O trabalho
30
desenvolvido serviu como base para pesquisas futuras. Tanto que, em seguida, vários
outros foram criados. Silva et al. (2003), estudaram a aplicação do modelo inverso de
calibração de redes de distribuição de água proposto por Silva (2003), utilizando como
sistemática de otimização os Algoritmos Genéticos (AGs). Os principais resultados
obtidos foram que a sistemática do elitismo apresentou os melhores resultados em todas
as simulações; no estudo da seleção concluíram que a melhor opção foi a passagem das
melhores soluções, com relação à recombinação e mutação, ambos os tipos adotados
conduziram aos mesmos resultados. Concluíram também que os valores de pressões e
vazões observadas e simuladas demonstraram-se próximos para a maioria dos pontos e
os valores de rugosidades se repetiram para diversas populações aleatórias distintas
simuladas.
Walsky (2001) apresentou críticas sobre modelos de otimização
desenvolvidos nos últimos anos para problemas relativos aos recursos hídricos e
argumentou sobre a simplicidade da FO geralmente empregada, razão pela qual,
segundo o autor, os resultados obtidos não atendem às necessidades reais. O autor
afirma ainda, que os sistemas de distribuição reais apresentam muitos outros objetivos
que devem ser considerados nos modelos de decisão, como, por exemplo, os benefícios
não mensuráveis, e discute formas de quantificação desses objetivos através das
melhorias nos sistemas, analisando as modificações realizadas na rede em comparação
com o sistema existente. O autor elogia e aponta o trabalho de Walters et al. (1999)
como sendo uma das poucas publicações que trataram o problema dos sistemas de
distribuição de água de forma multiobjetivo.
2.4 Otimização Multiobjetivo
Infra-estruturas deterioradas em sistemas de distribuição de água podem
provocar perdas por vazamentos, diminuição da capacidade de transporte de água,
falhas nos componentes do sistema (tubulações, bombas, válvulas dentre outros),
elevação nos custos de manutenção e operação, constantes interrupções do
funcionamento dos sistemas e diminuição da sua confiabilidade. Esses fatores
demostram que a melhoria nessas infra-estruturas, apesar de necessária, não é uma
tarefa simples, pois os objetivos são múltiplos e conflitantes. (CHEUNG, 2004).
Quando se utiliza algoritmos de otimização com objetivo simples, a solução
gerada é única e não reporta os outros objetivos do sistema. Por isso, Cheung (2004)
31
afirma que há uma tendência na literatura em substituir a otimização convencional de
um objetivo, pela otimização multiobjetivo, pois esta, além de considerar os vários
problemas de uma rede, dá ao decisor o poder de escolher qual solução é mais adequada
ao sistema.
Atualmente, a forma de classificação dos métodos multiobjetivos mais
aceita é a proposta por Cohon (1978):
- técnicas de geração de soluções Pareto;
- técnicas de articulação a priori de preferências ou métodos não-iterativos;
- técnicas de articulação progressiva de preferências ou métodos iterativos.
Os métodos de geração de soluções Pareto, procuram gerar o conjunto de
soluções não dominadas empregando técnicas de otimização. O domínio que estas
soluções são geralmente encontradas é contínuo, com um número infinito de
alternativas factíveis. O conjunto Pareto é então levado a um tomador de decisão para
que se possa escolher, dentre as soluções pertencentes àquele conjunto, aquela que
apresenta um maior nível de compatibilidade ou preferência. Uma grande vantagem
deste método é a facilidade de visualização e interpretação das soluções geradas num
gráfico em duas dimensões para uma função com dois objetivos. Porém, para uma
função com mais objetivos, os gráficos gerados são bem complexos (FORMIGA, 2005).
O fluxo do trabalho desse método é: analista
→
decisor
→
solução ótima.
Nos métodos de articulação prévia de preferência o tomador de decisão
especifica sua preferência antes da solução do processo. A desvantagem desse método é
que em muitos casos o decisor não conhece suficientemente o comportamento das
soluções não dominadas, o que, em problemas práticos, dificulta a quantificação, de
antemão, da relação entre os objetivos, fazendo com que a má escolha de valores
prévios conduza aos resultados pouco compatíveis com a real opinião do decisor
(VELDHUIZEN E LAMONT, 1998).
O fluxo do trabalho desse método é: decisor
→
analista
→
solução ótima.
O terceiro método dá ao decisor o poder de variar as preferências ao longo
do processo de otimização. Segundo Miettinen (1999), esse método necessita que o
decisor tenha tempo e capacidade suficientes para cooperar com o analista. A
disponibilidade de tempo por parte dos decisores é reduzida, uma vez que as suas
funções, geralmente administrativas, não lhes permitem estar sempre à disposição para
analisar dados e ponderar suas preferências. Além disso, em muitos casos, os tomadores
32
de decisão não têm capacidade técnica suficiente para intervir de modo satisfatório no
processo.
O fluxo do trabalho desse método é: analista
→
decisor
→
solução ótima.
Geralmente, as técnicas para resolver esses métodos classificados por Cohon
(1978), transformam problemas de otimização multiobjetivo em problemas de objetivo
único (método de soma ponderada, métodos das restrições-ε, método da programação
de metas, entre outras). Μas, segundo Cheung (2004), há um interesse por parte dos
pesquisadores, Walski (2001), Francato (2002), Cheung et al. (2003), Formiga et al.
(2003), em identificar e considerar simultaneamente vários objetivos na análise e
solução desses problemas. Ainda segundo o autor, as motivações principais que levam
esses pesquisadores a analisar seus problemas sob a ótica da otimização multiobjetivo
são: a definição explícita de objetivos múltiplos ao invés de tratar o problema como
objetivo único, a geração de várias soluções simultaneamente com múltiplos valores
associados para cada solução, a avaliação de várias alternativas de projeto, operação
e/ou reabilitação e a seleção da alternativa preferida pelo decisor, com conhecimento da
compensação em relação a cada objetivo.
Houve então, a necessidade de desenvolver uma técnica que conseguisse
resolver o problema multiobjetivo de maneira que todos os objetivos fossem
considerados ao mesmo tempo. Essa viabilizacao só foi possível com a popularização
dos métodos evolucionários, por permitirem encontrar boas soluções sem que houvesse
um acréscimo exorbitante no tempo computacional.
A partir de 1993, diferentes algoritmos evolucionários foram sugeridos para
resolver problemas de otimização multiobjetivo. Fonseca e Fleming (1993) com o
Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA), Horn et al. (1994) com o Niched-Pareto
Genetic Algorithm (NPGA) e Srinivas e Deb (1994) com o Non-Dominated Sorting
Genetic Algorithm (NSGA), foram os precursores desta técnica, cujas características
básicas são: avaliação dos membros de uma população com base no conceito de
dominância Pareto e preservação da diversidade de soluções. Tais algoritmos
mostraram-se eficientes na obtenção de múltiplas soluções não dominadas, para vários
problemas de engenharia. No entanto, pesquisadores têm sugerido a introdução do
elitismo para melhorar as suas propriedades de convergência. Dentre os algoritmos
evolucionários multiobjetivo que consideram o elitismo, destacam-se os algoritmos
SPEA e SPEAII (Strength Pareto Evolutionary Algorithm - Zitzler e Thiele - 1998),
PAES (Pareto-Archived - Knowles e Corne,1999), AG elitista de Rudolph, 1999, PESA
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e PESAII ( Pareto Envelope- based Selection Algorithm- Corne et al., 2000 e 2001) e
NSGAII (Nondominated Sorting Genetic Algorithm- Deb et al.,2002) (CARRIJO et al.,
2003).
Zitzler e Thiele (1998) introduziram o elitismo através da manutenção de
uma população externa (secundária). Esta população armazena um número fixo de
soluções não dominadas previamente encontradas no início da simulação. Em cada
geração, novas soluções não dominadas são comparadas com a população externa
existente e as soluções não dominadas resultantes são preservadas. Este algoritmo não
somente preserva as melhores soluções como também as utiliza para participar das
operações genéticas com o objetivo de atingir melhores regiões dentro do espaço de
busca.
Kapelan, Savic e Walters (2003) utilizaram o algoritmo genético
multiobjetivo (MOGA) como ferramenta de otimização para calibração de sistemas de
distribuição de água. Os objetivos empregados foram a maximização da precisão da
calibração do modelo através da minimização das incertezas relevantes, e a
minimização dos custos totais. Os autores chegaram a resultados bastante satisfatórios,
porém alertam que a metodologia utilizada (MOGA) baseia-se em vários pressupostos,
ou seja, consideram que o modelo hidráulico e a maior parte dos seus parâmetros são
livres de erros, o que não acontece na realidade. Por isso, recomendam a utilização
dessa metodologia com mais freqüência em redes reais, a fim de investigar com maior
precisão os resultados gerados.
Carrijo et al. (2003) desenvolveram um modelo de otimização operacional
para sistemas de abastecimento de água utilizando o EPANET2 como simulador
hidráulico e, como otimizador, o Algoritmo Genético Multiobjetivo Elitista denominado
Strength Pareto Evolutionary Algorithm - SPEA. O objetivo principal foi o de
desenvolver uma ferramenta útil e bastante flexível para utilização por parte do
operador de sistemas de abastecimento de água. Os autores descrevem que esse objetivo
ainda não foi plenamente alcançado, mas os resultados obtidos são bastante animadores.
Recomendam ainda que trabalhos futuros introduzam outros atributos na avaliação da
confiabilidade do sistema, como, por exemplo, parâmetro de qualidade da água.
Formiga et al. (2006) propôs o emprego de técnicas evolucionárias
multiobjetivos para a geração de soluções não dominadas. Os autores verificaram que a
técnica empregada, o método NSGA-II (Elitista Genetic Algorithm With Ordination Not
Dominated), foi capaz de encontrar um conjunto de soluções Pareto com mais de 5.000
34
elementos, observaram também que após 50 gerações, a frente não dominada estava
praticamente formada. Concluiram então que o método foi capaz de encontrar uma
frente bem definida ao achar a solução de menor custo compatível com as obtidas na
literatura.
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