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IMPA - Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada
Mestrado em Matem´atica
EVOLUC¸
˜
AO DE CURVAS PLANAS PELA
CURVATURA
Jos´e Eduardo Milton de Santana
DISSERTAC¸
˜
AO DE MESTRADO
Rio de Janeiro
28 de Junho de 2007
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IMPA - Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada
Jos´e Eduardo Milton de Santana
EVOLUC¸
˜
AO DE CURVAS PLANAS PELA CURVATURA
Trabalho apresentado ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em
Matem´atica do IMPA - Instituto de Matem´atica Pura e
Aplicada como requisito parcial para obten¸c˜ao do grau de
Mestre em Matem´atica.
Orientador: Fernando Cod´a dos Santos C. Marques
Rio de Janeiro
28 de Junho de 2007
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`
A minha fam´ılia.
AGRADECIMENTOS
Agrade¸co a Deus pelo dom vida, `a minha fam´ılia pelo apoio e compreens˜ao, aos professores
pelo incentivo e ensinamento e aos amigos pelo companherismo.
Agradecimentos especiais:
Aos meus pais Jo˜ao e Maria pela orienta¸c˜ao na vida, aos meus irm˜aos J´unior e Ionara
pela amizade e `a minha tia Maria Jos´e pelo apoio;
`
As professoras K´atia e Rosˆangela pela indica¸c˜ao;
Ao Prof. Valdenberg Ara´ujo pela oportunidade e `a sua esposa Dra. Maria Luiza pelo
apoio;
Aos amigos Carlos Matheus e Alexander Arbieto pelo apoio e incentivo;
A Maria Salvelina e a Carlos Roberto por terem sido ”meus pais”em muitos momentos;
Ao Dr. Manoel Cabral pelo apoio;
Aos professores Arnaldo Garcia e Fernando Cod´a Marques, orientadores no in´ıcio e
final do mestrado, respectivamente.
Aos colegas do IMPA pelo ambiente amistoso.
iv
Everything should be made as simple as possible, but not simpler.
—ALBERT EINSTEIN
RESUMO
Nesta disserta¸c˜ao mostraremos que curvas planas convexas permanecem convexas e con-
vergem a um po nto de maneira assintoticamente circular, durante a evolu¸c˜ao do fluxo
pela curvatura. Mostraremos tamb´em que curvas simples permanecem simples.
O presente trabalho baseia-se no artigo [7] de M. Gage e R.S. Hamilton de 1986.
vi
INTRODUC¸
˜
AO
Apresentaremos algumas defini¸c˜o es e resultados b´asicos sobre curvas planas.
Uma curva plana suave ´e uma fun¸c˜ao α : I → R
2
de classe C
∞
, onde I ´e um intervalo
da reta. Tomaremos I fechado de extremos a e b: I = [a, b]. Se α ´e injetiva em [a, b),
dizemos que a curva ´e simples e ´e fechada se α(a) = α(b).
O comprimento de uma curva α : [a, b] → R
2
´e definido por L =
b
a
|α
′
(t)|dt.
A no¸c˜ao intuitiva de curvatura num ponto refere-se a quanto a curva se afasta da reta
tangente `a curva nesse ponto (quanto mais se afasta, maior a curvatura). Formalmente,
se a curva estiver parametrizada pelo comprimento de arco (ou seja, o parˆametro s da
curva ´e o comprimento do arco ligando o ponto α(0) ao ponto α(s)), a curvatura ´e dada
por
k =< T
′
, N >,
onde T e N s˜ao, respectivamente, os vetores unit´arios tangente e normal `a curva em α(s).
O vetor tangente ´e o vetor velocidade α
′
(s) e o vetor normal ´e tal que o par {T, N} forma
uma base positiva de R
2
.
As equa¸c˜oes cl´assicas de Frenet relacionam o vetor tangente T , o vetor normal N e
suas derivadas. No caso de curvas planas as equa¸c˜oes de Frenet s˜ao:
T
′
= kN
N
′
= −kT
1
kN
T
N
T
N
T
N
kN
kN
Figura 1
Uma curva ´e dita convexa se a curvatura ´e positiva em todos os pontos.
O objetivo deste trabalho consiste em estudar a evolu¸c˜ao de curvas planas sob a a¸c˜ao
do fluxo pela curvatura. Dada uma curva plana f echada F
0
: S
1
→ R
2
, consideraremos
uma fam´ılia a um parˆametro de curva s da forma F : S
1
×[0, T ) → R
2
, solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
∂F
∂t
= kN
F (u, 0) = F
0
(u)
onde k(u, t) ´e a curvatura e N(u, t) ´e o vetor normal unit´ario no ponto F (u, t).
O Teorema da Fun¸c˜ao Inversa de Nash-Moser [4] g arante existˆencia e unicidade de
solu¸c˜ao para o problema acima. Se a curva inicial for convexa, podemos reduzir o problema
a uma equa¸c˜ao diferencial parcial parab´olica, a qual tem existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao,
pela teoria cl´assica.
O principal teorema a ser provado ´e o seguinte:
Teorema 0.1 (Gage-Hamilton) Se F
0
´e uma curva convexa plana ent˜ao, sob a¸c˜ao do
fluxo pela curvatura, a curva converge a um ponto em tempo finito T
max
. Al´em disso, a
curva permanece convexa e torna-se circular, no seguinte sentido:
i) A raz˜ao entre o raio do c´ırculo inscrito e o raio do c´ırculo circunscrito converge a 1;
2
ii) A raz˜ao entre a curva tura m´axima e a curvatura m´ınima converge a 1.
A disserta¸c˜ao est´a organizada da seguinte forma:
No cap´ıtulo 1 apresentamos equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao para algumas grandezas tais como
velocidade, comprimento da curva, ˆangulo entre o vetor tangente e a horizontal e a ´area
limitada pela curva.
No cap´ıtulo 2 mostramos que se a curva inicial for simples ent˜ao todas as curvas da
fam´ılia s˜ao simples.
No cap´ıtulo 3 deduzimos algumas estimativas necess´arias para mostrar que o fluxo
pode ser prolongado enquanto a ´area da curva for diferente de zero. Como conseq¨uˆencia,
mostramos que a ´area converge a zero quando o tempo converge a T
max
. Conclu´ımos o
cap´ıtulo com o resultado de que o comprimento da curva converge a zero, obtendo, como
conseq¨uˆencia, que a fam´ılia de curvas converge a um ponto.
Por fim, no cap´ıtulo 4, provamos que a raz˜ao entre o raio do c´ırculo inscrito e o raio do
c´ırculo circunscrito e a raz˜ao entre a curvatura m´axima e a curvatura m´ınima convergem,
ambas, a 1.
3
CAP
´
ITULO 1
EQUAC¸
˜
OES DE EVOLUC¸
˜
AO
Neste cap´ıtulo deduziremos algumas equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao.
O primeiro resultado trata da evolu¸c˜ao da velocidade escalar v =
∂F
∂u
,
∂F
∂u
1
2
.
Lema 1.1 A derivada da velocidade v em rela¸c˜ao ao tempo t ´e dada por ∂v/∂t = −k
2
v.
Demonstra¸c˜ao Primeiro observamos que
∂
2
∂t∂u
=
∂
2
∂u∂t
, pelo teorema de Schwarz.
Como v
2
=
∂F
∂u
,
∂F
∂u
, segue-se:
∂
∂t
(v
2
) =
∂
∂t
∂F
∂u
,
∂F
∂u
= 2
∂F
∂u
,
∂
2
F
∂t∂u
= 2
∂F
∂u
,
∂
2
F
∂u∂t
= 2
vT,
∂
∂u
(kN)
= 2
vT,
∂k
∂u
N − vk
2
T
= −2v
2
k
2
.
Como
∂
∂t
(v
2
) = 2v
∂v
∂t
, obtemos o resultado desejado.
O pr´oximo Lema fornece a evolu¸c˜ao do comprimento da curva L.
Lema 1.2 A derivada do comprimento L em rela¸c˜ao ao tempo t ´e dada por ∂L/∂t =
−
k
2
ds.
Demonstra¸c˜ao Como L =
vdu e usando o lema anterior, temos
4
∂L
∂t
=
∂
∂t
vdu =
∂
∂t
vdu =
−k
2
vdu = −
k
2
ds.
Na segunda igualdade usamos a Regra de Leibniz e na ´ultima igualdade usamos a
mudan¸ca de vari´avel du = vds.
Observamos que o comprimento de arco depende da curva, a qual depende do parˆametro
temp o ral. Sendo assim, as deriva ¸c˜oes parciais em rela¸c˜ao a s e t n˜ao comutam. No en-
tanto, temos a seguinte rela¸c˜ao:
Lema 1.3
∂
∂t
∂
∂s
=
∂
∂s
∂
∂t
+ k
2
∂
∂s
.
Demonstra¸c˜ao Da rela¸c˜ao
∂
∂s
=
1
v
∂
∂u
segue que
∂
∂t
∂
∂s
=
∂
∂t
1
v
∂
∂u
=
∂
∂t
1
v
∂
∂u
+
1
v
∂
∂t
∂
∂u
=
−
∂v
∂t
v
2
∂
∂u
+
1
v
∂
∂u
∂
∂t
=
k
2
v
∂
∂u
+
1
v
∂
∂u
∂
∂t
= k
2
∂
∂s
+
∂
∂s
∂
∂t
.
A seguir deduzimos as derivadas parciais de T e N em rela¸c˜ao ao tempo.
Lema 1.4
∂T
∂t
=
∂k
∂s
N e
∂N
∂t
= −
∂k
∂s
T.
Demonstra¸c˜ao Para provar a primeira equa¸c˜ao, usamos o Lema 1.3 e as equa¸c˜oes
∂F
∂t
= kN e
∂F
∂s
= T . Assim:
5
∂T
∂t
=
∂
2
F
∂t∂s
=
∂
2
F
∂s∂t
+ k
2
∂F
∂s
=
∂
∂s
(kN) + k
2
T
=
∂k
∂s
N − k
2
T + k
2
T =
∂k
∂s
N
Para provar a segunda equa¸c˜ao observamos que como < T, N >= 0, temos
0 =
∂
∂t
< T, N >=
∂k
∂s
N, N
+
T,
∂N
∂t
.
Da´ı
T,
∂N
∂t
= −
∂k
∂s
.
Mas como < N, N >= 1 tamb´em temos
∂N
∂t
, N
= 0. Logo,
∂N
∂t
´e proporcional a
T e o resultado segue da igualdade acima.
O Lema a seguir mostra de que forma a derivada do ˆangulo entre o vetor tangente e
a horizontal se relaciona com a curvatura.
Lema 1.5 Seja θ o ˆangulo entre o vetor tangente T e a horizontal. Valem as seguintes
equa¸c˜oes:
∂θ
∂t
=
∂k
∂s
e
∂θ
∂s
= k.
Demonstra¸c˜ao O vetor tangente e o vetor normal se escrevem como T = (cos θ, sin θ)
e N = (−sin θ, cos θ). Temos, ent˜ao:
∂T
∂t
= (
∂
∂t
cos(θ),
∂
∂t
sen(θ)) = (−
∂θ
∂t
sen(θ),
∂θ
∂t
cos(θ))
=
∂θ
∂t
(−sen(θ), cos(θ)) =
∂θ
∂t
N.
6
Pelo Lema 1.4, sabemos tamb´em que
∂T
∂t
=
∂k
∂s
N, donde segue-se que
∂θ
∂t
=
∂k
∂s
e
assim obtemos a primeira equa¸c˜ao.
Da equa¸c˜ao de Frenet
∂T
∂s
= kN obtemos de maneira similar que
∂θ
∂s
= k.
Temos a seguinte lei de evolu¸c˜ao para a curvatura.
Lema 1.6 A derivada da curvatura k com rela¸c˜ao ao tempo t ´e dada por:
∂k
∂t
=
∂
2
k
∂s
2
+ k
3
.
Demonstra¸c˜ao Usando os Lemas 1.3 e 1.5, temos:
∂k
∂t
=
∂
2
θ
∂t∂s
=
∂
2
θ
∂s∂t
+ k
2
∂θ
∂s
=
∂
2
k
∂s
2
+ k
3
.
Por ´ultimo, determinamos a evolu¸c˜ao da ´area limitada pela curva.
Lema 1.7 A derivada da ´area A limitada pela curva com r ela¸c˜ao ao tempo t ´e constante
e igual a −2π.
Demonstra¸c˜ao Do teorema de Stokes, temos a seguinte f´ormula para a ´area:
A =
1
2
2π
0
x
∂y
∂u
− y
∂x
∂u
du = −
1
2
2π
0
< F, vN > du.
Logo,
7
∂A
∂t
= −
1
2
2π
0
∂F
∂t
, vN
+
F,
∂v
∂t
N
+
F, v
∂N
∂t
du
= −
1
2
2π
0
vk− < F, vk
2
N > +
F, −
∂k
∂u
T
du
Integrando a ´ultima express˜ao por partes obtemos:
∂A
∂t
= −
1
2
2π
0
vk− < F, vk
2
N > +
∂F
∂u
, kT
+ < F, vk
2
N >
du
Assim
∂A
∂t
=
2π
0
vkdu = −
L
0
kds = −2π
onde usamos que a curvatura total de uma curva plana fechada e simples ´e igual a 2π.
Da equa¸c˜ao
∂A
∂t
= −2π obtemos A(t) = A(0) −2πt, o que implica T
max
≤
A(0)
2π
.
8
CAP
´
ITULO 2
EVOLUC¸
˜
AO DE CURVAS SIMPLES
Neste cap´ıtulo provaremos que curvas fechadas simples permanecem simples durante a
evolu¸c˜ao do fluxo pela curvatura.
Teorema 2.1 Seja F : S
1
×[0, T ) → R
2
uma fam´ılia a um parˆametro de curvas fechadas
satisfazendo a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao
∂F
∂t
= kN. Se a curva inicial F (., 0) ´e simples, ent˜ao
F (., t) ´e uma curva simples ∀ t.
Para provar esse teorema, precisaremos de alguns lemas. Come¸camos introduzindo a
fun¸c˜a o f : S
1
× S
1
× [0, T ) → R, definida por
f(u
1
, u
2
, t) = |F (u
1
, t) − F (u
2
, t)|
2
.
Lema 2.1 A fun¸c˜ao f satisfaz a seguinte equa¸c˜ao:
∂f
∂t
= ∆f − 4 =
∂
2
f
∂s
2
1
+
∂
2
f
∂s
2
2
− 4.
Demonstra¸c˜ao Como
∂F
∂t
= kN temos:
∂f
∂t
= 2
F (u
1
, t) − F (u
2
, t), kN(u
1
, t) − kN(u
2
, t)
.
Tamb´em
∂f
∂s
1
= 2
F (u
1
, t) − F (u
2
, t), T (u
1
, t)
,
∂f
∂s
2
= 2
F (u
1
, t) − F (u
2
, t), −T (u
2
, t)
,
9
Derivando mais uma vez, obtemos
∂
2
f
∂s
2
1
= 2
T (u
1
, t), T (u
1
, t)
+ 2
F (u
1
, t) −F (u
2
, t), kN(u
1
, t)
= 2 − 2
F (u
1
, t) −F (u
2
, t), kN(u
1
, t)
,
∂
2
f
∂s
2
2
= 2
T (u
2
, t), T (u
2
, t)
+ 2
F (u
1
, t) −F (u
2
, t), kN(u
2
, t)
= 2 − 2
F (u
1
, t) −F (u
2
, t), kN(u
2
, t)
.
Adicionando as duas ´ultimas equa¸c˜oes, obtemos:
∂
2
f
∂s
2
1
+
∂
2
f
∂s
2
2
= 2
F (u
1
, t) − F (u
2
, t), kN(u
1
, t) − kN(u
2
, t)
+ 4,
donde
∂f
∂t
=
∂
2
f
∂s
2
1
+
∂
2
f
∂s
2
2
− 4,
como quer´ıamos.
O pr´oximo lema ´e um resultado cl´assico de curvas planas, devido a A. Schur e E.
Schmidt (ver [2]).
Lema 2.2 Seja g : [0, L] → R
2
uma curva parametrizada por comprimento de arco do
ponto A ao ponto B, tal que a justaposi¸c˜ao de g com o segmento de reta ligando os pontos
A e B forme uma curva convexa. Seja f uma curva de mesmo comprimento L com pontos
extremos C e D (ver Figura 2). Suponhamos que as curvas tˆem tangentes cont´ınuas e
curvatura cont´ınua por partes e que a curva g ´e orientada no sentido anti-hor´ario, tal
que sua curvatura ´e positiva. Se a curvatura em cada ponto de g ´e maior que o va lor
absoluto da curvatura nos pontos correspondentes de f (ou seja, k
g
(s) ≥ |k
f
(s)|), ent˜ao
dist(A, B) ≤ dist(C, D).
10
Demonstra¸c˜ao Suponhamos que a s curvas sejam tais que os segmentos AB e CD
estejam sobre eixo horizontal. Denotemos por θ
g
(s) o ˆangulo que o vetor tangente em
g(s) faz com a horizontal. Existe exatamente um ponto s
0
tal que a tangente em g(s
0
) ´e
horizontal, isto ´e, θ
g
(s
0
) = 0. Como temos
dθ
g
ds
= k
g
≥ |k
f
| =
dθ
f
ds
.
Ent˜ao
|θ
g
(s)| = |θ
g
(s) − θ
g
(s
0
)| =
s
s
0
dθ
g
ds
ds
≥
s
s
0
dθ
f
ds
ds
≥
s
s
0
dθ
f
ds
ds = |θ
f
(s) − θ
f
(s
0
)|.
Como g ´e convexa, ent˜ao |θ
f
(s) − θ
f
(s
0
)| ≤ |θ
g
(s)| ≤ π para 0 ≤ s ≤ L. E como
cos a = cos |a|, temos:
L
0
cos(θ
f
(s) − θ
f
(s
0
))ds =
L
0
cos(|θ
f
(s) − θ
f
(s
0
)|)ds ≥
L
0
|θ
g
(s)| = dist(A, B).
A integral da esquerda ´e a proje¸c˜ao do segmento
CD sobre a tangente em f(s
0
), e o
resultado segue.
A BC D
Figura 2
11
Dados uma circunferˆencia de centro O e ra io r e um arco
P Q de comprimento l < πr,
vamos calcular a distˆancia d entre P e Q em fun¸c˜ao de r e l. Temos que
d
2
= r sin(
α
2
),
onde α ´e o menor ˆangulo entre
OP e OQ. Mas α =
l
r
. Ent˜ao, d = 2r sin(
1
2r
l). Se l = πr,
d = 2r e se l > πr temos d = −2r sin(
1
2r
l). Sendo assim, vale a seguinte f´ormula
d
2
= (2r sin(
1
2r
l))
2
∀l ∈ [0, 2πr]. (.)
Definamos s(u
1
, u
2
, t) =
u
2
u
1
v(u, t)du
.
Corol´ario 2.1 Se existe c > 0 tal que |k(u, t)| ≤ c, ent˜ao:
f(u
1
, u
2
, t) ≥
2
c
sin
c
2
s(u
1
, u
2
, t)
2
.
Demonstra¸c˜ao Usando o Lema de Schur-Schmidt acima e a f´ormula (.), basta tomar
g como o arco de comprimento s(u
1
, u
2
, t) do c´ırculo de raio 1/c e f como a curva F (., t).
A seguir, provaremos o Teorema 2.1.
Demonstra¸c˜ao (do Teorema 2.1)
Vamos dividir a prova em dois casos. No primeiro, analisaremos a fun¸c˜ao f (u
1
, u
2
, t)
no conjunto
E = {(u
1
, u
2
, t)|s(u
1
, u
2
, t) < π/c}.
No segundo, vamos olhar para D = E
c
= (S
1
× S
1
× [0, T )) −E.
Primeiro caso : u
1
= u
2
⇒ f(u
1
, u
2
, t) = 0. Reciprocamente, se f(u
1
, u
2
, t) = 0, com
(u
1
, u
2
, t) ∈ E, ent˜ao, pelo corol´ario 2.1 a cima, temos {
2
c
sin(
c
2
s(u
1
, u
2
, t))}
2
= 0. Assim,
c
2
s(u
1
, u
2
, t) = nπ, com n ≥ 0. Como 0 ≤ s(u
1
, u
2
, t) < π/c, ent˜ao (c/2)s(u
1
, u
2
, t) <
(c/2)(π/c) = π/2 ⇒ s(u
1
, u
2
, t) = 0, ou seja, u
1
= u
2
.
12
Segundo caso: Vamos restringir a fun¸c˜a o f ao conjunto D e usar o princ´ıpio do m´aximo
para provar que f
|D
tem um m´ınimo positivo. A fronteira de D ´e dada por:
{(u
1
, u
2
, t)|s(u
1
, u
2
, t) = π/c, 0 ≤ t ≤ T } ∪ { (u
1
, u
2
, 0)|s(u
1
, u
2
, 0) ≥ π/c} .
Pelo Corol´ario 2.1, temos f(u
1
, u
2
, t) ≥ (2/c)
2
no primeiro conjunto acima, enquanto
f tem um m´ınimo positivo no segundo conjunto, uma vez que a curva inicial ´e simples.
Seja m a menor destas duas quantidades.
Consideremos a fun¸c˜ao g(u
1
, u
2
, t) = f(u
1
, u
2
, t) + ǫt. Derivando em rela¸c˜ao a t,
obtemos:
∂g
∂t
= ∆g − 4 + ǫ.
Seja 0 < δ < m e suponha que g atinge o valor m −δ em D. Seja
t
0
= inf{t | g(u
1
, u
2
, t) = m − δ}.
A continuidade de g, a compacidade de D, e a estimativa na fronteira garantem que o
valor m −δ ´e atingido pela primeira vez em algum ponto interior. Neste ponto
∂g
∂t
≤ 0 e
∂
2
g
∂s
2
1
∂
2
g
∂s
2
2
−
∂
2
g
∂s
1
∂s
2
2
≥ 0. (.)
Fazendo um c´alculo simples, obtemos:
∂
2
g
∂s
1
∂s
2
= −2 < T (u
2
, t), T (u
1
, t) >= ±2, .
j´a que em um ponto de m´ınimo as retas tangentes devem ser paralelas.
13
Usando a desigualdade entre as m´edias aritm´etica e g eom´etrica e a rela¸c˜ao (.) acima,
temos os seguinte:
∆g =
∂
2
g
∂s
2
1
+
∂
2
g
∂s
2
2
≥ 2
∂
2
g
∂s
1
2
∂
2
g
∂s
2
2
≥ 2
∂
2
g
∂s
1
∂s
2
≥ 4.
Isso contradiz o fato de que a fun¸c˜ao g satisfaz a equa¸c˜ao do calor acima, po is assim
ter´ıamos
∂g
∂t
> 0. Como δ ´e arbitr´ario, chegamos `a conclus˜ao de que, no conjunto D,
g(u
1
, u
2
, t) ≥ m, ou seja, f(u
1
, u
2
, t) + ǫt ≥ m em D, o que implica, f(u
1
, u
2
, t) + ǫT ≥ m,
ou seja, f(u
1
, u
2
, t) ≥ m − ǫT . Fazendo ǫ → 0, vemos que f(u
1
, u
2
, t) ≥ m > 0. Logo,
f permanece positiva, significando que a curva permanece simples durante a evolu¸c˜ao do
fluxo pela curva tura. Isso conclui a prova do teorema 2.1.
14
CAP
´
ITULO 3
EVOLUC¸
˜
AO DE CURVAS CONVEXAS
Neste cap´ıtulo deduziremos trˆes estimativas imp o rt a ntes. Suporemos que a curva inicial
´e convexa e mostraremos que podemos estender o fluxo enquanto a ´area limitada pela
curva for diferente de zero, a partir de uma cota para a curvatura e suas derivadas. Como
conseq¨uˆencia, obtemos que a ´area da curva converge a zero quando t → T
max
. Por fim,
observamos que a curva converge a um ponto.
No caso em que a curva inicial ´e convexa, o problema de existˆencia de solu¸c˜ao para a
equa¸c˜ao pode ser resolvido sem o uso do teorema da fun¸c˜ao inversa de Nash-Moser. Isso
acontece porque podemos considerar a fun¸c˜a o curvatura ao inv´es da curva.
Podemos parametrizar uma curva convexa pelo ˆangulo θ que o vetor tangente faz com
a horizontal.
θ
T
Figura 3
O Lema a seguir caracteriza as fun¸c˜oes que podem ser realizadas como a curvatura de
uma curva simples fechada convexa.
Lema 3.1 Uma fun¸c˜ao positiva k de per´ıodo 2π representa a fun¸c˜ao curvatura de uma
curva simples fechada convexa se, e somente se,
15
2π
0
(cos θ, sin θ)
k(θ)
dθ = 0.
Demonstra¸c˜ao Se k ´e a curvatura de uma curva φ, temos
(cos θ, sin θ)
k(θ)
dθ =
T (θ)
k(θ)
dθ = T (s)ds =
dφ
ds
ds.
Segue-se que a integral ´e zero. Por outro lado, se k ´e uma fun¸c˜ao positiva de per´ıodo
2π, ent˜ao uma curva convexa seria dada por:
φ(θ) = (a, b) +
θ
0
(cos α, sin α)
k(α)
dα.
Observemos que φ(0) = φ(2π), uma vez que a integral ´e zero, por hip´otese. Assim,
a curva ´e f echada.
´
E f´acil ver que a curva φ ´e simples, pois o mapa de Gauss ´e injetivo.
Para ver que φ ´e convexa, verificamos que a fun¸c˜ao curvatura ´e exatamente k, a qual ´e
positiva.
O lema a seguir ´e uma varia¸c˜ao do Lema 1 .6 , em que o parˆametro s de comprimento
de arco ´e substitu´ıdo pelo parˆametro θ. No lema, utilizaremos τ para denotar o tempo,
sempre que a outra coordenada for θ.
Lema 3.2 Para a curvatura k(θ, τ), temos a seguinte equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao:
∂k
∂τ
= k
2
∂
2
k
∂θ
2
+ k
3
.
Demonstra¸c˜ao Pela Regra da Cadeia, temos:
16
∂k
∂t
=
∂k
∂τ
+
∂k
∂θ
∂θ
∂t
=
∂k
∂τ
+
∂k
∂θ
∂k
∂s
=
∂k
∂τ
+ k
∂k
∂θ
2
,
∂
2
k
∂s
2
=
∂θ
∂s
∂
∂θ
∂θ
∂s
∂k
∂θ
= k
∂k
∂θ
2
+ k
2
∂
2
k
∂θ
2
.
Usando os Lemas 1.5 e 1.6, obtemos o resultado desejado.
O teorema a seguir trata do problema de existˆencia de solu¸c˜ao.
Teorema 3.1 Se F
0
´e convexa, o problema de existˆencia de solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao
∂F
∂t
= kN
F (u, 0) = F
0
(u)
´e equivalente ao seguinte problema de Cauchy:
encontrar uma fun¸c˜ao k : S
1
× [0, T ) → R tal que:
(i) k ∈ C
2+α,1+α
(S
1
× [0, T − ǫ]) ∀ǫ > 0
(ii)∂k/∂t = k
2
∂
2
k/∂θ
2
+ k
3
(iii)k(θ, 0) = ψ(θ) onde ψ satisfaz:
(a) ψ ∈ C
1+α
(S
1
)
(b) ψ(θ) > 0
(c)
2π
0
(cos θ, sin θ)
ψ(θ)
dθ = 0
Demonstra¸c˜ao Dada uma solu¸c˜ao F para a equa¸c˜ao, temos que a fun¸c˜ao curvatura
k correspondente ´e uma solu¸c˜ao para o problema de Cauchy, pelos Lemas 3.1 e 3.2.
Recipro camente, seja k uma solu¸c˜ao para o problema de Cauchy e provemos que a seguinte
fun¸c˜a o satisfaz a equa¸c˜ao:
17
F (θ, t) = (a, b)(t) +
θ
0
(cos α, sin α)
k(α, t)
dα.
Ap´os uma integra¸c˜ao por partes, vemos que
∂F
∂t
= kN −
∂k
∂θ
T,
se (a, b)(t) for tal que
d
dt
(a, b)(t) = (
∂k
∂θ
(0, t), −k(0, t)).
A equa¸c˜ao ter´a uma boa forma depois de uma mudan¸ca de coordenadas. Definimos
G(θ, t) = F (u(θ, t), t). Ent˜ao,
∂G
∂t
=
∂F
∂u
∂u
∂t
+
∂F
∂t
= v
∂u
∂t
T + kN −
∂k
∂θ
T = kN,
se escolhemos u(θ, t) tal que
∂u
∂t
=
1
v(u(θ, t))
∂k
∂θ
(u(θ, t)),
com dado inicial u(θ, 0) = θ.
A equa¸c˜ao (ii) do Problema de Cauchy acima ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial pa-
rab´olica e, segundo a teoria cl´assica, temos existˆencia e unicidade local de solu¸c˜ao. Com
isso, temos o seguinte teorema de existˆencia local.
Teorema 3.2 Se F
0
: S
1
→ R
2
´e uma curva fechada convexa, ent˜ao existe F : S
1
×
[0, T ) → R
2
tal que
∂F
∂t
= kN
F (u, 0) = F
0
(u).
O lema a seguir garante que as curvas F : S
1
× [0, T ) → R
2
s˜ao todas convexas.
18
Lema 3.3 Se k satisfaz o problema de Cauchy acima, ent˜ao k
min
(t) = inf{k(θ, t)|0 ≤ θ ≤
2π} ´e uma fun¸c˜ao n˜ao- decrescente.
Demonstra¸c˜ao A prova ´e por contradi¸c˜ao. Seja ǫ tal que k
min
(0) > ǫ > 0 e suponha
que k
min
(t) = k
min
(0) − ǫ para algum t. Seja t
0
= inf{t | k
min
(t) = k
min
(0) − ǫ}. A
continuidade de k assegura que este m´ınimo ´e atingido em algum ponto (θ
0
, t
0
). Neste
ponto, contudo, temos:
∂k
∂t
(θ
0
, t
0
) ≤ 0,
∂
2
k
∂θ
2
(θ
0
, t
0
) ≥ 0, e k(θ
0
, t
0
) > 0
Isto ´e uma contradi¸c˜ao j´a que k satisfaz o problema de Cauchy.
A seguir provaremos trˆes estimativas, que ser˜ao usadas para demonstrar o seguinte
teorema:
Teorema 3.3 Se as ´areas limitadas pelas curvas F : S
1
× [0, T ) → R
2
tˆem uma cota
inferior maior que zero, ent˜ao a curvatura k est´a uniformemente limitada em S
1
×[0, T ).
Precisaremos da curvatura mediana, que ´e definida por:
k
∗
= sup{b |k(θ) > b em algum intervalo de comprimento π}.
Veremos ag ora as estimativas citadas acima.
Estimativa Geom´etrica: Se k(θ, t) ´e a curva tura de uma curva plana convexa fechada
que limita uma ´area A e tem comprimento L, ent˜ao
k
∗
≤
L
A
.
Demonstra¸c˜ao Fixemos t em [0, T ). Por defini¸c˜ao, dado M < k
∗
(t), existe um intervalo
(a, a + π) tal que k(θ, t) > M nesse intervalo. A curva convexa F (., t) est´a contida na
19
regi˜ao limitada pelas retas tangentes `a curva nos pontos F (a, t) e F (a + π, t). A distˆancia
l entre as retas paralelas ´e dada po r :
l =
a+π
a
sin(θ − a)
k(θ, t)
dθ ≤
a+π
a
sin(θ − a)
M
dθ =
2
M
2M
Figura 4
O diˆametro da curva n˜ao ´e maior que L/2 e a ´area ´e limitada pela largura l vezes o
diˆametro. Como temos l ≤ 2/M, ent˜ao:
A ≤
2
M
L
2
⇒ M ≤
L
A
Uma vez que M pode ser tomado arbitrariamente pr´oximo a k
∗
(t), obtemos k
∗
(t) ≤
L
A
.
Estimativa Integral: Se k
∗
(t) ´e limitada em [0, T ), ent˜ao
2π
0
log k(θ, t)dθ ´e limitada
em [0, T ).
Para provar a estimativa integral, faremos uso da Desigualdade de Wirtinger.
Desigualdade de Wirtinger [8]: Seja f : [a, b] → R de classe C
1
, tal que f(a) = 0 e
f(b) = 0, com b − a ≤ π. Ent˜ao, vale a desigualdade:
20
b
a
f
2
dθ ≤
b
a
df
dθ
2
dθ.
Demonstra¸c˜ao Usando a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao
∂k
∂t
= k
2
∂
2
k
∂θ
2
+k
3
e integrando por partes,
obtemos:
∂
∂t
2π
0
log k(θ, t)dθ =
2π
0
∂
∂t
log k(θ, t)dθ =
2π
0
1
k(θ, t)
∂
∂t
k(θ, t)dθ
=
2π
0
k
∂
2
k
∂θ
2
+ k
2
dθ =
2π
0
k
2
−
∂k
∂θ
2
dθ.
Fixemos t e estimemos a ´ultima integral acima sobre o conjunto aberto U = {θ|k(θ, t) >
k
∗
(t)} e seu complemento V = S
1
−U. A defini¸c˜ao de k
∗
implica que o aberto U ´e uni˜ao
enumer´avel de intervalos abertos disjuntos (ou seja,U =
I
i
), cada um dos intervalos
com comprimento menor do que ou igual a π. Considerando o fecho desses intervalos,
vemos que k(θ, t) coincide com k
∗
(t) nos pontos extremos. Sendo assim, podemos usar a
Desigualdade de Wirtinger para a fun¸c˜ao k(θ, t) − k
∗
(t), obtendo:
J
i
(k(θ, t) − k
∗
(t))
2
dθ ≤
J
i
∂k
∂θ
2
dθ ⇒
J
i
k
2
−
∂k
∂θ
2
dθ ≤ 2k
∗
(t)
J
i
k(θ, t)dθ.
onde J
i
´e o fecho do intervalo I
i
.
Somando sobre todos os intervalos, obtemos:
U
k
2
−
∂k
∂θ
2
dθ ≤ 2k
∗
(t)
U
k(θ, t)dθ ≤ 2k
∗
(t)
2π
0
k(θ, t)dθ.
Agora, considerando o complemento V = S
1
− U, temos:
V
k
2
−
∂k
∂θ
2
dθ ≤
V
k
2
dθ ≤ 2π
k
∗
(t)
2
.
Adicionando as equa¸c˜oes acima e como, segundo o L ema 1.2 ,
∂L
∂t
= −
k
2
ds =
21
−
kdθ, tem-se:
∂
∂t
2π
0
log k(θ, t)dθ ≤ 2k
∗
(t)
∂L
∂t
+ 2π
k
∗
(t)
2
.
Finalmente, suponhamos que k
∗
(t) < M e integremos para obter a estimativa desejada:
2π
0
log k(θ, t)dθ ≤
2π
0
log k(θ, 0)dθ + 2M(L(0) −L(t)) + 2πM
2
t.
Pelo Lema 1.2, a fun¸c˜ao L(t) ≥ 0 ´e n˜ao-crescente - logo limitada.
Para provar a estimativa pontual, usaremos os lemas a seguir:
Lema 3.4 Se
2π
0
log k(θ, t)dθ ≤ α ∀t ∈ [0, T ), ent˜ao, dado δ > 0, existe C(δ) > 0 tal
que em todo intervalo de comprimento δ e todo t existe pelo menos um ponto onde a
curvatura ´e menor que C(δ).
Demonstra¸c˜ao Com efeito, seja I um intervalo de comprimento δ e suponhamos que
k ≥ C em I. Com isso, temos
2π
0
log k(θ, t)dθ ≥ δ log C + (2 π − δ) log k
min
(0),
onde k
min
(0) ´e uma cota inferior para k (lembramos que k
min
(t) n˜ao decresce com o
tempo).
Para C tal que δ log C + (2π − δ) log k
min
(0) > α isso n˜ao ´e po ss´ıvel. Logo, existe
C(δ) tal que k < C(δ) para pelo menos um ponto em I. O mesmo C(δ) vale para todo
intervalo de comprimento δ e para todo t.
Lema 3.5 Podemos encontrar D tal que
2π
0
∂k
∂θ
2
dθ ≤
2π
0
k
2
dθ + D,
para todo 0 ≤ t < T .
22
Demonstra¸c˜ao N´os t emos
∂
∂t
k
2
−
∂k
∂θ
2
= 2
k
∂k
∂t
−
∂k
∂θ
∂
2
k
∂θ∂t
dθ
= 2
∂
2
k
∂θ
2
+ k
∂k
∂t
= 2
k
2
∂
2
k
∂θ
2
+ k
2
≥ 0.
Integrando esta desigualdade, conclu´ımos a prova.
Estimativa Pontual: Se
2π
0
log k(θ, t)dθ ´e limitada em [0, T ), ent˜ao k(θ, t) ´e unifor-
memente limitada em S
1
× [0, T ).
Demonstra¸c˜ao Seja φ ∈ [0, 2π] e δ > 0. Consideremos um intervalo I, de comprimento
δ, tal que φ ∈ I. Pelo Lema 3.4, existe um ponto a ∈ I onde k ≤ C(δ). Sendo assim, pela
desigualdade de Cauchy-Schwarz e o Lema 3.5, temos
k(φ) = k(a) +
φ
a
∂k
∂θ
dθ ≤ C(δ) +
√
δ
2π
0
∂k
∂θ
2
dθ
1
2
≤ C(δ) +
√
δ
2π
0
k
2
dθ + D
1
2
≤ C(δ) +
√
δ
2πk
2
max
+ D)
1
2
≤ C(δ) +
√
2πδk
max
+
√
δD.
Ou seja, temos k(φ) ≤ C(δ) +
√
2πδk
max
+
√
δD para todo φ ∈ [0, 2π]. Logo ,
k
max
≤ C(δ) +
√
δ
2πk
2
max
+ D)
1
2
≤ C(δ) +
√
2πδk
max
+
√
δD.
Obtemos, ent˜ao, k
max
(t) ≤
C(δ) +
√
δD
1 −
√
2πδ
∀t ∈ [0, 2π].
Agora, combinando a t rˆes estimativa, provamos o Teorema 3.3 como segue:
23
Demonstra¸c˜ao (do Teorema 3.3) O teorema afirma que se as ´areas das curvas tiverem
uma cota inferior α > 0, ent˜a o a curvatura ter´a uma cota uniforme em S
1
× [0, T ). Com
efeito, como α ≤ A ∀t ∈ [0, T ), pela estimativa geom´etrica, temos k
∗
≤
L
A
≤
L
α
. Assim
k
∗
est´a limitada em [0, T ) e, pela estimativa integral,
log k(θ, t)dθ est´a limitada em
[0, T ). Por fim, a estimativa pontual d´a uma cota uniforme para k.
Uma vez que j´a temos k limitada uniformemente, se encontrarmos cotas para as deri-
vadas de ordem superior, poderemos estender a soluc˜ao a t´e o tempo T , pois t eremos uma
fam´ılia eq ¨uicont´ınua de fun¸c˜oes e utilizaremos o Teorema de Arzela-Ascoli para obter um
limite. Com isso, mostraremos que a ´area tende a zero.
Primeiramente, obtemos uma cota para
∂k
∂θ
. Para tanto, utilizaremos a seguinte vers˜ao
do Princ´ıpio do M´aximo:
Princ´ıpio do M´aximo: Para uma equa¸c˜ao do tipo
∂f
∂t
= a
∂
2
f
∂θ
2
+ b
∂f
∂θ
+ hf,
temos f(θ, t) ≤ M = max f(θ, 0) se a ≥ 0 e hM ≤ 0.
Lema 3.6 Se k ´e limitada, ent˜ao
∂k
∂θ
´e limitada.
Demonstra¸c˜ao Aplicaremos o Princ´ıpio do M´aximo a cima `a f(θ, t) = e
αt
∂k
∂θ
. Temos
que
∂
∂t
e
αt
∂k
∂θ
= αe
αt
∂k
∂θ
+ e
αt
∂
∂θ
∂k
∂t
= αe
αt
∂k
∂θ
+ e
αt
∂
∂θ
k
2
∂
2
k
∂θ
2
+ k
3
= αe
αt
∂k
∂θ
+ e
αt
2k
∂k
∂θ
∂
2
k
∂θ
2
+ e
αt
k
2
∂
∂θ
∂
2
k
∂θ
2
+ e
αt
3k
2
∂k
∂θ
= k
2
∂
2
∂θ
2
e
αt
∂k
∂θ
+ 2k
∂k
∂θ
∂
∂θ
e
αt
∂k
∂θ
+ (3k
2
+ α)
e
αt
∂k
∂θ
.
24
Escolhendo α ≤ −3k
2
, pelo Princ´ıpio do M´aximo, obtemos
∂k
∂θ
≤ Me
−αt
,
o que implica
∂k
∂θ
limitada em [0, T ), como quer´ıamos,
Usaremos k
′
para denotar a derivada parcial com respeito a θ.
Lema 3.7 Se k e k
′
s˜ao limitadas, ent˜ao
2π
0
(k
′′
)
4
dθ ´e limitada.
Demonstra¸c˜ao Usando a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao, calculamos:
∂
∂t
2π
0
(k
′′
)
4
dθ = 4
2π
0
(k
′′
)
3
(k
2
k
′′
+ k
3
)
′′
dθ
= −12
2π
0
(k
′′
)
2
(k
′′′
)(k
2
k
′′′
+ 2kk
′
k
′′
+ 3k
2
k
′
)dθ
= −12
2π
0
k
2
(k
′′
)
2
(k
′′′
)
2
+ 2kk
′
(k
′′
)
3
(k
′′′
) + 3k
2
k
′
(k
′′
)
2
(k
′′′
)dθ.
N´os usamos a desigualdade ab ≤ a
2
/4ǫ + ǫb
2
para limitar o segundo e terceiro termos
pelo primeiro termo e alguns termos adicionais.
Para o segundo termo, se a = k(k
′′
)(k
′′′
) e b = (k
′
)(k
′′
)
2
, ent˜ao
k(k
′
)(k
′′
)
3
(k
′′′
) ≤
k
2
(k
′′
)
2
(k
′′′
)
2
4ǫ
+ ǫ(k
′
)
2
(k
′′
)
4
.
Para o terceiro termo, se a = k(k
′′
)(k
′′′
) e b = k(k
′
)(k
′′
), ent˜ao
k
2
(k
′
)(k
′′
)
2
(k
′′′
) ≤
k
2
(k
′′
)
2
(k
′′′
)
2
4ǫ
+ ǫk
2
(k
′
)
2
(k
′′
)
2
.
25
Com isso, temos
∂
∂t
2π
0
(k
′′
)
4
dθ ≤
− 12 +
15
ǫ
2π
0
k
2
(k
′′
)
2
(k
′′′
)
2
dθ
+
2π
0
C
1
(k
′
)
2
(k
′′
)
4
+ C
2
k
2
(k
′
)
2
(k
′′
)
2
dθ.
Fazendo ǫ =
5
4
, anulamos o primeiro termo, obtendo
∂
∂t
2π
0
(k
′′
)
4
dθ ≤
2π
0
C
1
(k
′
)
2
(k
′′
)
4
+ C
2
k
2
(k
′
)
2
(k
′′
)
2
dθ.
Como, por hip´otese, k e k
′
est˜ao uniformemente limitadas, existem α e γ tais que
∂
∂t
2π
0
(k
′′
)
4
dθ ≤ α
2π
0
(k
′′
)
4
+ γ
2π
0
(k
′′
)
2
dθ.
Pela desigualdade e Cauchy-Schwarz
2π
0
(k
′′
)
2
dθ ≤
2π
0
(k
′′
)
4
dθ
1/2
√
2π.
Sendo assim, fa zendo β =
√
2πγ, obtemos,
∂
∂t
2π
0
(k
′′
)
4
dθ ≤ α
2π
0
(k
′′
)
4
+ β
2π
0
(k
′′
)
4
dθ
1
2
.
Isso nos diz que
2π
0
(k
′′
)
4
dθ tem crescimento no m´aximo exponencial e permanece
limitada em intervalos de tempo finitos.
Usaremos a t´ecnica acima para limitar
2π
0
(k
′′′
)
2
dθ:
Lema 3.8 Se k, k
′
e
2π
0
(k
′′
)
4
dθ s˜ao limitadas, ent˜ao
2π
0
(k
′′′
)
2
dθ ´e limitada.
26
Demonstra¸c˜ao
∂
∂t
2π
0
(k
′′′
)
2
dθ = 2
2π
0
(k
′′′
)(k
2
k
′′
+ k
3
)
′′′
dθ = 2
2π
0
k
′′′′
(k
2
k
′′
+ k
3
)
′′
dθ
= −2
2π
0
k
2
(k
′′′′
)
2
+ 4kk
′
k
′′′
k
′′′′
+ 2k(k
′′
)
2
k
′′′′
+ 2(k
′
)k
′′
k
′′′′
+ 3k
2
k
′′
k
′′′′
+ 6(k
′
)
2
k
′′′′
dθ.
Com a mesma t´ecnica do lema anterior, estimamos os ´ultimos cinco termos pelo pri-
meiro termo e a lguns termos adicionais. Com isso, temos:
∂
∂t
2π
0
(k
′′′
)
2
dθ ≤ C
1
2π
0
(k
′
)
2
(k
′′′
)
2
dθ + C
2
2π
0
(k
′′
)
4
dθ
+ C
3
2π
0
(k
′
)
4
k
2
(k
′′
)
2
dθ + C
4
2π
0
k
2
(k
′′
)
2
dθ + C
5
2π
0
(k
′
)
4
dθ,
onde cada termo exceto o primeiro ´e limitado por uma constante. (Usamos que k ≥
k
min
(t) ≥ k
min
(0).
Portanto,
∂
∂t
2π
0
(k
′′′
)
2
dθ ≤ C
6
2π
0
(k
′′′
)
2
+ C
7
.
Isso nos diz que
2π
0
(k
′′′
)
2
dθ tem crescimento no m´aximo exponencial e permanece
limitada em intervalos de tempo finitos.
Corol´ario 3.1 Sob as mesmas hip´oteses do lema acima, k
′′
´e limitado.
Demonstra¸c˜ao A desigualdade de Sobolev em uma dimens˜ao diz que
max|f|
2
≤ C
(|f
′
|
2
+ f
2
)
27
Aplicamos, ent˜ao, a k
′′
.
Lema 3.9 Se k, k e k
′′
s˜ao uniformemente limitadas, ent˜ao k
′′′
e todas as derivadas de
ordem superior s˜a o limitadas.
Demonstra¸c˜ao Isto segue do princ´ıpio do m´aximo. Calculamos:
∂
∂t
k
′′′
= (k
2
k
′′
+k
3
)
′′′
= k
2
k
(5)
+6kk
′
k
(4)
+(8kk
′′
+6(k
′
)
2
+3k
2
)k
′′′
+(6k
′
(k
′′
)
2
+18kk
′
k
′′
+6(k
′
)
3
)
Se k, k
′
e k
′′
s˜ao limitados, ent˜ao, o princ´ıpio do m´aximo pode ser aplicado a k
′′′
e
α
para um α adequado.Em um intervalo finito, isto implica que |k
′′′
| ´e limitado. Em geral,
se k, k
′
,..., k
(n−1)
s˜ao limitados, ent˜ao
∂
∂t
k
(n)
= k
2
k
(n+2)
+ 2nkk
′
k
(n+1)
+ p(k, k
′
, ..., k
(n−1)
)k
(n)
+ q(k, k
′
, ..., k
(n−1)
),
onde p e q s˜ao polinˆomios, o que mostra que k
(n)
´e limitado em intervalos finitos.
Teorema 3.4 A solu¸c˜ao para o problema de Cauchy continua at´e que a ´area se anule.
Demonstra¸c˜ao Enquanto a ´area estiver limitada longe do zero, n´os conseguimos obter
cotas sobre k e todas as suas derivadas. Usando a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao n´os podemos
limitar a derivada com rela¸c˜ao ao tempo tamb´em. Suponhamos que a solu¸c˜ao existe no
intervalo [0, T ) e que a ´area n˜ao tende a zero quando t → T . Ent˜ao, pelo Teorema de
Arzela-Ascoli, k tem um limite quando t → T que ´e C
∞
e n´os podemos estender a solu¸c˜ao
at´e T . Tomando k(θ, T ) como dado inicial para o problema de Cauchy do Teorema 3.1,
podemos prolongar k at´e T + ǫ.
Sendo assim, podemos prolongar a solu¸c˜ao enquanto a ´area for diferente de zero, ou
seja, a ´area converge a zero quando t converge ao tempo maximal T
max
.
Queremos provar que a curva converge a um ponto. O resultado acima n˜ao ´e suficiente
porque o limite poderia ser um segmento, por exemplo. Para garantir que o limite ´e um
ponto, provaremos que o comprimento, que j´a ´e decrescente, converge a zero.
28
Para isso, utilizamos um resultado devido a Gage [5], o qual diz que a ra z˜ao
L
2
A
´e
decrescente. Com isso, como A → 0 , devemos ter, t a mb´em, L → 0, quando t → T
max
.
A demonstra¸c˜ao de que
L
2
A
´e decrescente baseia-se na desigualdade isoperim´etrica
π
L
A
≤
L
0
k
2
ds,
a qual implica que
∂
∂t
L
2
A
≤ 0, pois
∂
∂t
L
2
A
= −2
L
A
L
0
k
2
ds − π
L
A
.
29
CAP
´
ITULO 4
CONVERG
ˆ
ENCIA
Neste cap´ıtulo estudaremos a convergˆencia da raz˜ao entre o raio da circunferˆencia inscrita
e o raio da circunferˆencia circunscrita e da raz˜ao entre a curvatura m´ınima e a curvatura
m´axima, mostrando que ambas as raz˜oes convergem para 1.
Primeiramente, vamos estender a defini¸c˜ao de curvatura mediana.
Dado w ∈ [0, 2π], definimos
k
∗
w
= sup{b |k(θ) > b em algum intervalo de comprimento w}.
Provaremos o seguinte Lema:
Lema 4.1
k
∗
w
(t)r(t) ≤
1
1 − K(w)(R/r − 1)
,
onde r e R s˜ao, respectivamente, os raio s do maior c´ırculo inscrito e o menor c´ırculo
circunscrito da curva definida pela curvatura k(., t). K ´e uma fun¸c˜ao decrescente de w
com K(0) = ∞ e K(π) = 0.
Demonstra¸c˜ao Fixemos t em [0, T ) e seja M < k
∗
w
. Segue diretamente da defini¸c˜ao de
k
∗
w
que o conjunto {θ |k(θ, t) > M} cont´em um intervalo de comprimento w, que podemos
sup o r como sendo (−w/2 , w/2).
30
r
Figura 5
a
b
r
R
d
Figura 6
31
Denotamos o raio da circunferˆencia inscrita por r e o raio da circunferˆencia circunscrita
por R.
Com alg uma trigonometria sobre a figura acima, obtemos:
cos
w
2
=
1
M
1
M
+ d
=
r
a + d
,
2R ≤ r + a.
O que implica,
R
r
− 1
≤ −
1
2
+
a
2r
e calculando a da f´ormula, vem:
a =
r
cos(
w
2
)
−
1
M
1
cos(
w
2
)
− 1
Juntando as f´ormulas, segue-se:
Mr ≤
1
1 − K(w)(
R
r
− 1)
onde
K(w) =
1
2cos(
w
2
)
−
1
2
−1
=
2cos(
w
2
)
1 − cos(
w
2
)
.
Como M pode ser tomado arbitrariamente pr´oximo de k
∗
w
, isso prova o lema.
Corol´ario 4.1 Vale a seguinte desigualdade:
k
max
(t)r(t) ≤
1
1 − ǫ
1
1 − C(ǫ)(
R
r
− 1)
,
onde ǫ ´e qualquer n´umero positivo.
32
Demonstra¸c˜ao Dado ǫ > 0, se w < δ ent˜ao k(θ, t) ≥ (1 −ǫ)k
max
(t) ∀ θ ∈ (θ
0
−
w
2
, θ
0
+
w
2
) (onde k
max
(t) = k(θ
0
, t)). Isso pode ser visto da seguinte forma. Dado θ
0
−
w
2
< θ < θ
0
,
temos
k(θ
0
, t) = k(θ, t) +
θ
0
θ
∂k
∂θ
dθ ≤ k(θ, t) +
√
δ
∂k
∂θ
2
dθ
1
2
≤
k(θ, t) +
√
δ
k
2
dθ + D
1
2
≤ k(θ, t) +
√
2πδk
max
+
√
δD.
Usamos aqui a desigualdade do Lema 3.5.
Agora, tomamos δ > 0 tal que
√
δD ≤ k
min
(0) ≤ k
min
(t) ≤ k
max
(t), o que implica
k
max
(t) ≤ k(θ, t) + (
√
2πδ +
√
δDk
max
(t).
Assim, escolhemos δ tal que
√
2πδ +
√
δD ≤ ǫ, obtendo
(1 − ǫ)k
max
(t) ≤ k(θ, t), ∀ t.
Analogamente, obtemos o mesmo para θ
0
< θ < θ
0
+
w
2
.
Portanto, k
∗
w
(t) ≥ k
max
(t)(1 −ǫ) ∀ t. A escolha de δ depende apenas da curva inicial.
Usando a desigualdade do Lema 4.1, o resultado segue.
Proposi¸c˜ao 4.1 Dado ǫ positivo, vale:
k
max
(t)r(t) ≤
1
1 − ǫ
2
para todo t suficientemente pr´oximo a T .
Demonstra¸c˜ao A partir da desigualdade de Bonnesen, obtemos a seguinte estimativa:
33
L
2
A
− 4π ≥
π
2
A
(R −r)
2
≥
1 −
r
R
2
.
Um resultado devido a Gag e [6] garante que
L
2
A
converge para 4π. Com isso o btemos
que
r
R
converge para 1 e, usando o Corol´ario 4.1, provamos o resultado desejado.
Teorema 4.1 k(θ, t)r(t) converge a 1 uniformemente.
Demonstra¸c˜ao A fam´ılia k(θ, t)r(t) ´e equicont´ınua. O Teorema de Arzela-Ascoli implica
que existe uma subseq¨uˆencia k(θ, t
n
)r(t
n
) que converge uniformemente a uma fun¸c˜ao
f(θ) ≤ 1. Assim, obtemos que a seq¨uˆencia (k(θ, t
n
)r(t
n
))
−1
converge pontualmente para
f(θ)
−1
. Pelo lema de Fatou, t emos
2π
0
1
f(θ)
dθ ≤ lim inf
2π
0
dθ
k(θ, t
n
)r(t
n
)
=
L(t
n
)
0
ds
r(t
n
)
= lim inf
L(t
n
)
r
n
≤ 2π.
A ´ultima desigualdade se deve ao fato de:
L
r
≤
2πR
r
→ 2π, t → T
max
.
Por outro lado, 2π ≤
2π
0
1
f(θ)
dθ, o que implica
2π
0
1
f(θ)
dθ = 2π, donde f (θ) ≡ 1.
Uma vez que cada subseq¨uˆencia convergindo uniformemente tem limite igual a 1, o
resultado segue.
Corol´ario 4.2
k
min(t)
k
max(t)
converge a 1.
Demonstra¸c˜ao Observando que
k
min
(t)
k
max
(t)
= k
min
(t)r(t)
1
k
max
(t)r(t)
basta usar o teorema acima.
34
Corol´ario 4.3 k(θ, t)
√
2T − 2t converge a 1 uniformemente (em T a ´area ´e zero).
Demonstra¸c˜ao Do Lema 1.7 temos que ∂A/∂t = −2π, donde obtemos que a ´area ´e
dada por A = 2π(T − t). E usando a desigualdade de Bonnesen, segue
L
2
A
− 4π ≥
(L − 2πr)
2
A
=
L
√
A
−
2πr
2π(T − t)
2
.
Como L/
√
A → 2
√
π segue-se que r/
√
T − t converge para
√
2 e, pelo Teorema 4.1,
obtemos o resultado desejado.
35
AP
ˆ
ENDICE
Provaremos a Desigualdade de Sobolev em dimens˜ao 1.
Lema 4.2 Existe C > 0 tal que se f : [a, b] → R ´e uma f un¸c˜ao C
1
, vale:
max|f(x)|
2
≤ C
b
a
(|f
′
(x)|
2
+ |f(x)|
2
)dx.
Demonstra¸c˜ao Como f ´e cont´ınua, existe t
0
∈ [a, b] tal que:
b
a
f(x)dx = (b − a)f(t
0
).
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos
b
a
f(x)dx ≤
√
b − a
b
a
|f(x)|
2
dx
1
2
.
Ent˜ao
|f(t
0
)| =
1
b − a
b
a
f(x)dx
≤
1
b − a
√
b − a
b
a
|f(x)|
2
dx
1
2
.
Temos f (t) − f(t
0
) = ±
t
t
0
f
′
(x)dx e, pela desigualdade triangular
36
|f(t)| ≤ |f(t
0
)| +
t
t
0
f
′
(x)dx
≤ |f(t
0
)| +
|t − t
0
|
t
t
0
|f
′
(x)|
2
dx
1
2
≤ |f(t
0
)| +
√
b − a
b
a
|f
′
(x)|
2
dx
1
2
=
1
√
b − a
b
a
|f(x)|
2
dx
1
2
+
√
b − a
b
a
|f
′
(x)|
2
dx
1
2
≤ c
b
a
(|f
′
(x)|
2
+ |f(x)|
2
)dx
1
2
,
para algum c > 0 e para todo t ∈ [a, b].
Logo, existe C > 0 tal que
max|f(x)|
2
≤ C
b
a
(|f
′
(x)|
2
+ |f(x)|
2
)dx,
como quer´ıa mos.
37
REFER
ˆ
ENCIAS BIBLIOGR
´
AFICAS
[1] Ara
´
ujo, P., Geometria Diferencial, Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, Rio de Ja-
neiro, 1998.
[2] Alencar, H. e Santos, W., Geometria da s Curvas Planas, XII Escola de Geo-
metria Diferencial, Goiˆania, Julho de 2002.
[3] do Carmo, M., Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976.
[4] Hamilton, R., The Inve rse Function Theorem of Nash and Moser, Bulletin of the
American Mathematical Society, 1982, 65-2 2 2.
[5] Gage, M., An Isoperimetric Inequality with Applications to Curve Shortening, Duke
Mathematical Journal, 1983, 1225-1229.
[6] Gage, M., Curve Shortening Makes Convex Curves Circular, Inventiones Mathe-
maticae, 1984 , 357-364.
[7] Gage, M. e Hamilton, R., Heat Equation Shrinking Convex Plane Curves, Journal
of Differential G eometry, 1986, 69-9 6 .
[8] Mitrinovic, D., Analytic In equalities Springer, 1970.
[9] Zhu, Xi-Ping, Lectures on Mean Curvature Flows, American Mathematical Society,
International Press, 2002 .
38
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