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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLÓGIA
PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ALEXANDRE SÁ DOS SANTOS
ESTUDO DE VIBRAÇÕES EÓLICAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO
DE ENERGIA ELÉTRICA DE ALTA TENSÃO
Belém
2008
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ALEXANDRE SÁ DOS SANTOS
ESTUDO DE VIBRAÇÕES EÓLICAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO
DE ENERGIA ELÉTRICA DE ALTA TENSÃO
Dissertação apresentada para obtenção do Grau
de Mestre em Engenharia Mecânica, Instituto de
Tecnologia, Universidade Federal do Pará.
Área de concentração em Vibrações e Acústica.
Orientador: Prof. Dr. Newton Sure Soeiro.
Belém
2008
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Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) – Biblioteca do Mestrado em
Engenharia Mecânica/ UFPA, Belém-PA.
___________________________________________________________________
Santos, Alexandre Sá dos
Estudo de vibrações eólicas em linhas de transmissão de energia elétrica de alta tensão /
Alexandre Sá dos Santos; orientador Newton Sure Soeiro. – Belém, 2008.
197p.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Pará. Instituto de Tecnologia,
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 2008.
1. Vibração eólica. 2. Vibrações - condutores de linhas de transmissão. 3.
Oscilações. 4. Proteção – vibrações eólicas – linhas de transmissão. 5. Espaçador –
amortecedor. I. Soeiro, Newton Sure. II. Título.
CDD 19ª 620.3
____________________________________________________________________
ALEXANDRE SÁ DOS SANTOS
ESTUDO DE VIBRAÇÕES EÓLICAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO
DE ENERGIA ELÉTRICA DE ALTA TENSÃO
Dissertação apresentada para obtenção do Grau
de Mestre em Engenharia Mecânica, Instituto de
Tecnologia, Universidade Federal do Pará.
Área de concentração em Vibrações e Acústica.
Orientador: Prof. Dr. Newton Sure Soeiro.
Belém-Pará, 30 de outubro de 2008.
BANCA EXAMINADORA:
_________________________________________ – Orientador
Prof. Dr. Newton Sure Soeiro
Universidade Federal do Pará.
_________________________________________
Prof. Dr. Alexandre Luiz A. Mesquita.
Universidade Federal do Pará
_________________________________________
Prof. Dr. Gustavo da Silva Vieira de Melo.
Universidade Federal do Pará
_________________________________________
Prof. Dr. Roberto Jordan.
Universidade Federal de Santa Catarina
Dedicatória
Aminha amada esposa Fabiana,
Que me compreendeu em todos os momentos, para
que eu pudesse alcançar meus objetivos.
Aos meus Pais João e Lúcia,
Que me deram amor, carinho e educação, para
lutar e realizar meus sonhos.
A minha querida irmã Maria,
Por todo apoio e força que me deu ao longo de
minha vida.
AGRADECIMENTOS
¾ Acima de tudo agradeço a Deus pela misericórdia derramada sobre nós, para que
pudéssemos chegar com êxito ao final de mais uma etapa da busca do conhecimento.
¾ À Universidade Federal do Pará - UFPA e ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Mecânica, por proporcionarem esta oportunidade de aperfeiçoamento.
¾ Ao Grupo de Vibrações e Acústica que me concedeu a chance de ampliar meus
conhecimentos e desfrutar de momentos de muita alegria.
¾ Aos meus amigos de classe com os quais compartilhei dois anos de estudos, pesquisas e
amizade no mestrado, em especial aos meus amigos Walter Sousa, Paulo Nascimento,
Marlisson Azevedo, Wagner França, Rodrigo Vieira, Keliene de Jesus, Diana Moraes e
Juliana Vera pelo apoio técnico e intelectual no decorrer da elaboração desta dissertação.
¾ Aos Professores Gustavo Melo e Alexandre Mesquita que contribuíram de forma decisiva
em minha formação.
¾ Ao Prof. Dr. Newton Sure Soeiro, por toda paciência, apoio, tempo dedicado e as
experiências fornecidas durante a orientação deste trabalho, que foram de suma importância
em sua conclusão.
¾ Às Centrais Elétricas do Norte do Brasil, em especial, ao Engenheiro Luis Otávio
Sinimbu, e a todos os funcionários que, de uma forma ou de outra, colaboraram para a
finalização deste estudo.
RESUMO
SANTOS, Alexandre Sá, Estudo de Vibrações Eólicas em Linhas de Transmissão de Energia
Elétrica de Alta Tensão, Dissertação (Mestrado), Universidade Federal do Pará, Belém, 2008.
O crescente aumento da demanda de energia elétrica tem forçado o avanço tecnológico
dos equipamentos responsáveis pelo transporte desta energia fazendo com que estes trabalhem
sob tensões cada vez maiores, principalmente por razões econômicas. Mas este fato implica
diretamente no incremento do diâmetro do condutor, o que acarreta elevação de seus custos,
bem como das estruturas que devem suportá-lo. Para atender a esta necessidade sem aumentar
o custo de projeto da linha de transmissão, surgiu a idéia de utilizar mais de um condutor por
fase, montados paralelamente entre si a pequenas distâncias, o que é conseguido através da
inserção de espaçadores montados a intervalos regulares ao longo dos vãos das linhas. Por
outro lado, problemas mecânicos de ordem operacional das linhas podem ocorrer, como, por
exemplo, a ruptura total ou parcial dos cabos e/ou espaçadores, proveniente de excitações
dinâmicas devidas ao vento. Assim, este trabalho consiste no estudo do comportamento
dinâmico de feixe de cabos de linhas aéreas de transmissão, através de um modelo de
elementos finitos. O modelo reproduz o acoplamento dos cabos aos espaçadores-
amortecedores da linha de transmissão e às estruturas de ancoragem, considerando o efeito de
não-linearidade geométrica, decorrente dos grandes deslocamentos dos cabos, bem como a
continuidade da linha, ou seja, os vãos adjacentes, que são representados por rigidez
equivalente no modelo. O carregamento de vento é modelado através de um processo não-
deterministico a partir de suas propriedades estatísticas, tal que fica subdividido em duas
partes: uma parte média, analisada de forma estática; e uma parte variável, analisada de forma
dinâmica. Os resultados obtidos ao longo desse estudo mostram que a parcela variável do
carregamento leva a uma resposta dinâmica do modelo que pode ser determinante no seu
comportamento. Assim, o procedimento tradicional de assumir o carregamento do vento como
uma excitação estática pode levar, em alguns casos a conseqüências desastrosas.
Palavras-chaves: Linhas de transmissão de energia elétrica, Rigidez à flexão, Modelagem de
feixe de cabos, Espaçador-amortecedor, Carregamento de vento.
ABSTRACT
SANTOS, Alexandre Sá, Study of Eolian Vibrations in High-Voltage Overhead Transmission
Lines, Dissertation (Master Engineering), Universidade Federal do Pará, Belém, 2008.
The increasing demand for electrical energy has stimulated the technological advance of
the equipment associated to its transport, generating a situation in which one has to operate
under ever increasing nominal voltages, mainly due to economical reasons. This fact has a
direct implication on the diameter of the conductors, elevating their cost, as well as that of the
supporting structures. In order to overcome this problem, without cost elevation of the
electrical transmission line project, the idea is to use more than one conductor per phase, in a
parallel assembly with small distances between cables, which can be achieved through the
insertion of spacers at regular intervals between the supporting towers. However, operational
mechanical problems may arise such as, for example, total or partial rupture of cables and/or
spacers due to dynamical wind excitations. Thus, this work investigates the dynamical
behavior of a bundle of cables of electrical transmission lines, using a finite element model,
which reproduces the coupling between cables and the transmission lines’ spacers-dampers
and the fixing structures, considering non-linear geometrical effects due to huge cable
displacements, and line continuity, i.e., the adjacent vain, which is taken into account by the
model as an equivalent stiffness. Wind load is modeled through a non-deterministic process,
from its statistical properties, such that two parts are considered: an average load, statistically
analyzed, and a variable load, analyzed as a transient. Results show that the variable load part
conduces to a dynamic response of the model, which could represent a dominant behavior.
Therefore, the traditional methodology of assuming wind load as a static excitation could
lead, in some cases, to disastrous consequences.
Keywords: High-voltage overhead transmission lines, Flexural rigidity, Spacer damper,
Bundle of cables modeling, Wind loading.
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO…………...……………………………………….. 22
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ………………………………………………....... 22
1.2 JUSTIFICATIVA..………………………………………………………………... 25
1.3 OBJETIVO............................................................................................................... 25
1.4 METODOLOGIA........................………………………………………………..... 26
1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO............................................................................. 26
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA………………………………….. 28
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS………………………………………………….... 28
2.2 TEORIAS PARA BARRAS E VIGAS.................................................................... 28
2.3 ESTUDO SOBRE FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DE CABOS……………... 29
2.4 ESTUDO DO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO EM TORNO DE UM
CORPO........................................................................................................................... 33
2.5 ESTUDO DE VIBRAÇÕES EM ESTRUTURAS E CABOS DE LINHA DE
TRANSMISSÃO............................................................................................................ 36
2.6 CONSIDERAÇÕES................................................................................................. 50
CAPÍTULO 3 - VIBRAÇÕES EM CONDUTORES DE LINHAS DE
TRANSMISSÃO........................................................................................................... 51
3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS…………………………………………………… 51
3.2 CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS EM CONDUTORES........................... 51
3.2.1 Vibrações Eólicas……………………………………………………………….. 52
3.2.2 Galope do Condutor……………………………………………………………... 55
3.2.3 Oscilações devido à Esteira……………………………………………………... 57
3.3 CONSIDERAÇÕES................................................................................................. 61
CAPÍTULO 4 - A INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ FLEXURAL EM CABOS......... 62
4.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS…………………………………………………...... 62
4.2 A EQUAÇÃO DAS CORDAS VIBRANTES....................................................... 62
4.3 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DA CORDA VIBRANTE CONSIDERANDO O
EFEITO DA RIGIDEZ FLEXURAL............................................................................. 67
4.4 CÁLCULO DA RIGIDEZ APROXIMADA DO CONDUTOR EM ESTUDO...... 75
4.5 COMPORTAMENTO ANALÍTICO DE CABOS E CORDAS VIBRANTES...... 76
4.6 CONSIDERAÇÕES................................................................................................. 78
CAPÍTULO 5 - FORÇAS AERODINÂMICAS…………………………………. 79
5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS…………………………………………………… 79
5.2 CORPO SÓLIDO IMERSO EM UM FLUÍDO....................................................... 79
5.2.1 Coeficiente de Arrasto…………………………………………………………... 80
5.2.2 Separação da Camada Limite…………………………………………………… 82
5.2.3 Força de Sustentação…………………………………………………………..... 88
5.3 DETERMINAÇÃO DAS AÇÕES ESTÁTICAS DO VENTO SEGUNDO A
NORMA BRASILEIRA REGULAMENTADORA - NBR - 6123............................... 90
5.3.1 Velocidade Básica………………………………………………………………. 90
5.3.2 Velocidade Característica e Velocidade de Projeto............................................... 91
5.3.3 Fator Topográfico (
1
S )…………………………………………………………..
92
5.3.4 Fator de Rugosidade (
2
S )…………………………………………………….....
92
5.3.5 Fator Estatístico (
3
S )……………………………………………………………
95
5.3.6 Cálculo da Força de Arrasto para Fios e Cabos..................................................... 96
5.3.7 Cálculo da Força de Arrasto no Condutor Utilizado no Trecho em Estudo.. 97
5.4 DETERMINAÇÃO DA AÇÃO DINÂMICA DO VENTO.................................... 98
5.4.1 Procedimento Para Encontrar a Parcela Flutuante de Força Devida à Ação do
Vento.............................................................................................................................. 99
5.5 CONSIDERAÇÕES................................................................................................. 105
CAPÍTULO 6 - ANÁLISE MODAL NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DE
CONDUTORES DE LINHA DE TRANSMISSÃO..................................................
107
6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS…………………………………………………… 107
6.2 MODELO NUMÉRICO GERADO PARA O CABO ESTICADO (RETO)........... 107
6.3 MODELO EXPERIMENTAL................................................................................. 112
6.3.1 Procedimentos do Ensaio………………………………………………………... 117
6.3.2 Tratamento dos Dados Experimentais…………………………………………... 120
6.3.3 Dados Analíticos Obtidos em MATLAB.............................................................. 123
6.4 MODELO NUMÉRICO PARA UM CABO DESENHADO ATRAVÉS DA
EQUAÇÃO DA PARÁBOLA....................................................................................... 124
6.5 MODELO NUMÉRICO PARA UM FEIXE DE QUATRO CONDUTORES
DESENHADO ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DA PARÁBOLA…………………….... 129
6.5.1 Análise Modal do Sistema………………………………………………………. 130
6.6 CONSIDERAÇÕES................................................................................................. 132
CAPÍTULO 7 - ANÁLISE NUMÉRICA DINÂMICA DE UM FEIXE DE
CONDUTORES SUBMETIDO AO CARREGAMENTO DE VENTO................. 133
7.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS…………………………………………………… 133
7.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO E CARREGAMENTOS APLICADOS.............. 133
7.3 MODELO ESTRUTURAL……………………………………………………….. 136
7.4 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS………………………………………... 138
7.4.1 Análise Estática Não-linear do Sistema................................................................. 138
7.4.2 Análise Dinâmica Não-linear no Domínio do Tempo........................................... 139
7.4.3 Comparação entre as Análises Não-lineares Estática e Dinâmica........................ 141
7.5 CONSIDERAÇÕES..............……………………………………………………... 143
CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES…………...…………… 144
8.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS….......……………………………………………. 144
8.2 CONCLUSÕES FINAIS………………………………………………………….. 144
8.3 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.................................................... 145
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................... 147
APÊNDICE................................................................................................................... 160
APÊNDICE A - ROTINA PARA COMPARAR O COMPORTAMENTO DA
RIGIDEZ FLEXURAL ENTRE UM CABO E UMA CORDA VIBRANTE EM
FUNÇAÕ DA FREQUÊNCIA E DO COMPRIMENTO.............................................. 160
APÊNDICE B - ROTINA PARA A MODELAGEM DE UM CABO RETO
TENSIONADO.............................................................................................................. 161
APÊNDICE C - ROTINA PARA A EQUAÇÃO DO CÁLCULO DA
FREQUÊNCIA DE UMA CORDA VIBRANTE.......................................................... 162
APÊNDICE D - ROTINA DO MODELO NUMÉRICO PARA UM CABO
DESENHADO ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DA PARÁBOLA....................................
163
APÊNDICE E - ROTINA DA ANÁLISE DINÂMICA PARA O MODELO
NUMÉRICO DE UM FEIXE DE CONDUTORES DESENHADO ATRAVÉS DA
EQUAÇÃO DA PARÁBOLA.......................................................................................
168
APÊNDICE F - ROTINA COMPLEMENTAR DA ANÁLISE DINÂMICA.............. 192
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 - Amplitude de oscilação do condutor (modificado, Snegovski, 2004)..................52
Figura 3.2 - Desprendimento de vórtices no condutor (modificado, Snegovski, 2004)...........52
Figura 3.3 - Número de Strouhal x Número de Reynolds para dois cilindros, um liso e outro
rugoso (modificado, Silva, 2006)..............................................................................................55
Figura 3.4 - Amplitude de oscilação do condutor em galope (modificado, Irvine, 2006)........56
Figura 3.5 - Possíveis Modos de galope (exagerados) para um sub-vão (modificado, Irvine,
2006).........................................................................................................................................57
Figura 3.6 - Oscilações devidas à esteira num feixe duplo de condutores (modificado, Lilien e
Snegvsk, 2004)..........................................................................................................................58
Figura 3.7 - Modo de vibrações induzidas por esteira em condutores paralelos (modificado,
Irvine, 2006)..............................................................................................................................60
Figura 4.1 - (a) Corda vibrante engastada; (b) componentes verticais das tensões que agem
sobre um elemento dx da corda esticada (modificado, Den Hartog, 1972)..............................62
Figura 4.2: Os três primeiros modos naturais de movimento de vibração lateral de uma corda
uniforme (modificado, Den Hartog, 1972)...............................................................................66
Figura 4.3 - (a) Cabo sujeito à esforços de tensão, cisalhamento e momento fletor; (b) um
elemento infinitesimal do cabo (modificado, Steidel, 1989)....................................................68
Figura 4.4 - Corda engastada....................................................................................................69
Figura 4.5 - Seção do condutor GROSBEAK 636 (modificado, CIGRÉ, 1989)......................75
Figura 4.6 - Gráfico do comportamento das curvas de uma corda e um cabo (modificado,
Steidel, 1989)............................................................................................................................77
Figura 4.7 - (a) Formas da deflexão e do momento fletor para as extremidades pinadas, (b) e
para extremidades em gastadas (modificado, Steidel, 1989)....................................................77
Figura 4.8 - Gráfico do comportamento das curvas do modelo real de um cabo e uma corda
vibrante......................................................................................................................................78
Figura 5.1 - Forças e momentos atuantes em um corpo genérico imerso em um escoamento
(modificado, França, 2003).......................................................................................................79
Figura 5.2 - Linhas de fluxo de uma esfera com atrito linear (modificado, Aguiar,
2005).........................................................................................................................................82
Figura 5.3 - Comportamento do coeficiente de arrasto de uma esfera e um cilindro ambos
lisos como uma função do número de Reynolds. (modificado, Munson et al., 2004).............82
Figura 5.4 - Comportamento da camada limite em um cilindro (modificado, Aguiar,
2005).........................................................................................................................................83
Figura 5.5 - Distribuições de pressão num cilindro, causadas por um escoamento: potencial
(teórico), camada limite laminar e turbulenta (modificado, França, 2003)..............................84
Figura 5.6 - Coeficientes de arrasto para corpos de formas geométricas diferentes em
escoamentos com Re
L
> 10000 (modificado, França, 2003)....................................................84
Figura 5.7 - Influência do arrasto de atrito e de forma no arrasto total para um corpo delgado
(carenado) em função da razão de aspecto
(
)
hj (modificado, Fox e McDonald, 2001)........85
Figura 5.8 - Coeficientes de arrasto para corpos bi-dimensionais em função do Reynolds
(modificado, França, 2003).......................................................................................................86
Figura 5.9 - Representação esquemática do ponto de separação escoamento em um cilindro
em regime (a) laminar e (b) turbulento (modificado, França, 2002)........................................87
Figura 5.10 - Nomenclatura utilizada em perfis de asas (modificado, Pinho, 2002)...............88
Figura 5.11 - Escamento sobre perfis de (a) asa simétrica e (b) assimétrica (modificado,
Pinho, 2002).............................................................................................................................88
Figura 5.12 - Coeficientes de sustentação e arrasto de um perfil NACA 64412 de envergadura
infinita em função do ângulo de ataque (modificado, Munson et al., 1998)............................89
Figura 5.13 - Características aerodinâmicas de um perfil de asa com e sem flaps (modificado,
White, 1999).............................................................................................................................90
Figura 5.14 - Isopletas da velocidade básica V
o
em m/s (modificado, Celebrace, 2007).........91
Figura 5.15 - Histórico de velocidade do vento (modificado, Oliveira, 2006).........................98
Figura 5.16 - Esquema de distribuição das funções temporais (modificado, Oliveira, 2006)100
Figura 5.17 - Função de covariância cruzada (τ nulo) para diferentes faixas de atuação
(modificado, Oliveira, 2006)...................................................................................................102
Figura 5.18 - Função de autocovariância do processo (modificado, Oliveira, 2006).............103
Figura 5.19 - Perfis de flutuação de velocidade do vento no tempo (modificado, Oliveira,
2006).......................................................................................................................................104
Figura 6.1 - Geometria do elemento Link8.............................................................................108
Figura 6.2 - Modelo do cabo reto tracionado..........................................................................108
Figura 6.3 - Análise de convergência da freqüência natural...................................................110
Figura 6.4 - Curva de convergência do erro versus número de elementos para o décimo modo
de vibração..............................................................................................................................111
Figura 6.5 - Arranjo experimental..........................................................................................112
Figura 6.6 - Pontos de fixação da bancada (modificado, Aguilera, 2005)..............................113
Figura 6.7 - Cabo GROSBEAK 636 (modificado, Aguilera, 2005).......................................113
Figura 6.8 - Dinamômetro circular.........................................................................................114
Figura 6.9 - Acelerômetro.......................................................................................................114
Figura 6.10 - Cabeça de impedância.......................................................................................115
Figura 6.11 - Pré-amplificadores............................................................................................115
Figura 6.12 - Shaker...............................................................................................................116
Figura 6.13 - Amplificador.....................................................................................................116
Figura 6.14 - Analisador dinâmico de sinais com dois canais................................................117
Figura 6.15 - Coluna central da bancada.................................................................................117
Figura 6.16 - Fixação do acelerômetro...................................................................................118
Figura 6.17 - Fixação do conjunto excitador..........................................................................118
Figura 6.18 - Coerência Pontual.............................................................................................119
Figura 6.19 - Função de resposta em freqüência pontual.......................................................119
Figura 6.20 - Função de resposta em freqüência de transferência..........................................120
Figura 6.21 - Modelo geométrico...........................................................................................121
Figura 6.22 - Diagrama de estabilização do método polimax, FRF pontual...........................121
Figura 6.23 - Forma da parábola.............................................................................................125
Figura 6.24 - Geometria do elemento BEAM189...................................................................126
Figura 6.25 - Geometria do elemento COMBIN14................................................................127
Figura 6.26 - Modelo esquemático do cabo desenhado........................................................127
Figura 6.27 - Desenho do trecho da linha de transmissão em estudo.....................................129
Figura 6.28 - Modelo esquemático do feixe de condutores construído..................................130
Figura 6.29 - Primeira forma modal do sistema no plano yz..................................................131
Figura 6.30 - Segunda forma modal do sistema no plano xz..................................................131
Figura 6.31 - Terceira forma modal do sistema no plano xy..................................................132
Figura 7.1 - Condições de contorno e carregamento da 1ª etapa de análise...........................134
Figura 7.2 - Condições de contorno e carregamento da 2ª etapa de análise...........................134
Figura 7.3 - Condições de contorno e carregamento da 3ª etapa de análise...........................135
Figura 7.4 - Elementos de molas das extremidades................................................................135
Figura 7.5 - Espaçador-amortecedor da BURNDY................................................................136
Figura 7.6 - Coluna de sustentação.........................................................................................137
Figura 7.7 - Equilíbrio estático do sistema.............................................................................138
Figura 7.8 - Deslocamento dos condutores no centro do vão.................................................139
Figura 7.9 - Localização do nó 10062 na primeira coluna de sustentação............................140
Figura 7.10 - Localização do nó 10072 na segunda coluna de sustentação..........................140
Figura 7.11 - Deslocamento do nó 10062 na direção y.........................................................140
Figura 7.12 - Deslocamento do nó 10072 na direção y.........................................................140
Figura 7.13 - Variação angular da primeira coluna de sustentação na direção y.................. 141
Figura 7.14 - Variação angular da segunda coluna de sustentação na direção y...................141
Figura 7.15 - Gráfico da força em função do tempo no elemento 191 do condutor..............141
Figura 7.16 - Localização do elemento 191 no sistema.........................................................142
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 - Regime do fluxo de um fluido em volta de um cilindro liso circular (modificado,
Blevins, 1990).......................................................................................................................... 53
Tabela 3.2 - Número de Strouhal x Número de Reynolds para uma seção circular (modificado,
Irvine, 2006)..............................................................................................................................54
Tabela 3.3 - Comparação entre os tipos de vibração (modificado, Verma, 2002)....................60
Tabela 5.1 - Separação da camada limite de uma esfera (modificado, Aguiar,
2005).........................................................................................................................................83
Tabela 5.2 - Categorias em função da rugosidade do terreno (NBR-6123, 1988)....................93
Tabela 5.3 - Classes de terreno em função das dimensões da edificação (NBR-6123, 1988)..93
Tabela 5.4 - Parâmetros meteorológicos (NBR-6123, 1988)....................................................94
Tabela 5.5 - Valores mínimos do fator estatístico
3
S
(NBR-6123, 1988)................................95
Tabela 5.6 - Coeficiente de arrasto (C
A
) para fios e cabos com L/d > 60 (NBR-6123, 1988).96
Tabela 5.7 - Parâmetros de entrada para o cálculo do carregamento estático...........................98
Tabela 6.1 - Freqüências naturais obtidas através do ANSYS em função do número de
elementos................................................................................................................................109
Tabela 6.2 - Erros calculados entre as freqüências naturais consecutivas..............................110
Tabela 6.3 - Freqüências naturais e formas modais em ANSYS............................................111
Tabela 6.4 - Freqüências naturais e formas modais em Test.Lab...........................................122
Tabela 6.5 - Freqüências naturais analíticas, calculadas em ambiente MATLAB.................123
Tabela 6.6 - Freqüências naturais analítica e experimental....................................................123
Tabela 6.7 - Freqüências naturais numérica e experimental...................................................124
Tabela 6.8 - Freqüências naturais numérica e analítica..........................................................124
Tabela 6.9 - Freqüências naturais e formas modais do condutor desenhado em parábola.....128
Tabela 7.1 - Deslocamento dos nós 10062 e 10072................................................................140
Tabela 7.2 - Comparação dos valores de força e tensão no elemento 191 do condutor.........142
NOMENCLATURAS
Letras Latinas
A
área do corpo
i
A
área frontal efetiva do trecho “i ” da estrutura
S
A
área da seção transversal do cabo
a
p
, b
p
, c
p
Coeficientes da parábola
b
parâmetro meteorológico
c
coeficiente de arrasto superficial relativo à velocidade média a 10 m de
altura.
1
c ,
2
c
coeficientes de amortecimento
A
C
coeficiente de arrasto
A
atrito
C
coeficiente de arrasto de atrito
A
forma
C
coeficiente de arrasto de forma
Ai
C
coeficiente de arrasto associado ao trecho “i”
S
C
coeficiente de sustentação
C
1
valor da covariância cruzada para
12
,
(0)
VV
C
C
1
, C
2
, C
3
, C
4
constantes de integração
1
x
C ,
1z
C
coeficientes de decaimento na direção lateral e vertical, respectivamente
12
,
()
VV
C
τ
função covariância cruzada
d
diâmetro do círculo circunscrito da seção do fio ou cabo
Al
d
diâmetro do fio de alumínio
Aç
d
diâmetro do fio de aço
c
d
diâmetro do fio da camada analisada
dS
elemento de área na superfície de um corpo
D
diâmetro do condutor
módulo de elasticidade
Al
E
módulo de elasticidade do alumínio
Aç
E
módulo de elasticidade do aço
min
EI
rigidez mínima
max
EI
Rigidez máxima
(%)E
erro relativo
f
freqüência do vento
s
f
freqüência excitação do vento
f
m
flecha máxima do condutor
. ant.ndiscr
f
freqüência natural da discretização anterior
. post.ndiscr
f
freqüência natural da discretização posterior
A
F
força de arrasto
S
F
força de sustentação
r
F
fator de rajada
()Ft
carregamento dinâmico
g
aceleração da gravidade
H
componente horizontal da tração estática
I
momento de inércia
max
I
momento de inércia máximo
min
I
momento de inércia mínimo
k raízes reais
k
constante elástica
K
constante de Karmán que é igual a 0,4
L
K
coeficiente de rigidez longitudinal
l
comprimento da corda vibrante
l
v
comprimento do vão
L
comprimento do fio ou cabo
T
L
comprimento total do cabo
X
L
dimensão da projeção horizontal do cabo
m
período de retorno ou tempo de recorrência
c
m
massa do corpo
n
número do modo de vibração
n
r
projeção de um corpo na direção do escoamento de um fluido
N números de divisões consideradas no espectro
Al
N
número de fios de alumínio
Aç
N
número de fios de aço
c
N
número de fios por camada
p
expoente da lei potencial de variação de
2
S
P
pressão
m
P
probabilidade de ocorrência
P
1
, P
2
, P
3
pontos da parábola
q
pressão dinâmica do vento
()
qt
parcela variável da pressão aerodinâmica
Q
parcela média variável da pressão aerodinâmica
()
Qt
pressão aerodinâmica
,
r
raio dos fios ou cabos secundários da camada externa do cabo
raio da camada do condutor
Re número de Reynolds
S
número de Strouhal
()
V
Sf
função espectro de Kaimal
1
S
fator topográfico
2
S
fator de rugosidade
3
S
fator estatístico
t
tempo
T
tensão de trabalho do condutor
Tx
tração horizontal
ν
viscosidade cinemática do fluido
v
(t)
flutuação da velocidade longitudinal do vento no tempo
1
v()t ,
2
v()t
funções temporais
V
velocidade de fluxo do fluido (vento)
V
valor médio da componente longitudinal do vento
V(t)
velocidade longitudinal do vento em função do tempo
k
V
velocidade característica
p
V
velocidade de projeto
z
V
velocidade média na altura z representada por
0
V
velocidade básica do vento
10
V
velocidade igual à de projeto
x
deslocamento na direção do eixo x
k
x
função que compõem o espectro de Kaimal
y
deslocamento na direção do eixo y
w
peso por unidade de comprimento
Z
w
peso especifico linear do cabo
z
deslocamento na direção do eixo z
z
altura acima do nível geral do terreno
g
z
altura que define o contorno superior da camada atmosférica
0
z
comprimento de rugosidade
Letras Gregas
α
ângulo de incidência do vento
θ
ângulo de rotação
i
θ
ângulo de fase aleatório entre 0 e 2π
λ raízes imaginárias
densidade
viscosidade do fluido
1
μ
densidade linear
μ
∗
velocidade de fricção ou tangencial
ε
Deformação inicial
τ
1
incremento de tempo
n
τ
um múltiplo do intervalo de tempo
1
τ
τ
w
tensor das tensões viscosas
f
Δ
incremento da freqüência
LΔ
faixa de atuação para a função de vento gerada
ω
,
n
ω
,
n
f
freqüência natural
Abreviaturas
Eq. equação
Fig. figura
Tab. tabela
Siglas
AAAC
“All Aluminium Alloy Conductors”
ACSR “Aluminium conductor steel-reinforeed”
ADS Atenuadores Dinâmicos Sincronizados
AER
Amortecedores Eletro-Reológicos
BLWTL “Boundary Layer Wind Tunnel Laboratory”
BNC “Bayonet Neill Concelman”
FRF função resposta em frequência
FRI função resposta ao impulso
HP “Hewlett-Packard”
IEC “International Electrotechnical Commission”
LPNE Linhas de Potência Natural Elevada
LSCE
“Least Squares Complex Exponential”
LSCF “Least Squares Complex Frequency-Domain”
MEF Método dos Elementos Finitos
NBR Norma Brasileira Regulamentadora
NExT “Natural Excitation Technique”
TEE
Transmissão de Energia Elétrica
UWO “University of Westerrn Ontário”
22
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Uma linha de transmissão de energia elétrica está corretamente projetada quando não
apresenta sobrecargas mecânicas ou elétricas em seus diversos elementos, muito menos
tensões anormais ou aquecimento exagerado dos condutores. Se estas condições forem
satisfeitas a linha de transmissão terá uma longa durabilidade (Labegalini et al., 1992).
Na operação e na manutenção das linhas de transmissão em alta voltagem, encontra-se
uma quantidade significativa de estruturas acessórias, como resultado da ação do vento
devido, em grande parte, ao fato destas linhas estarem permanentemente sujeitas a efeitos
meteorológicos, como: vento, chuva, descargas atmosféricas, etc. A maior demanda de
energia elétrica exige constante ampliação das instalações e, posteriormente, a encomenda
pelas concessionárias e pelos usuários de novos e mais potentes equipamentos e, que por
razões econômicas, devem operar com altas tensões, criando sérios problemas aos fabricantes
desses produtos. Para a mesma potência, transmitindo-se em altas tensões, resultam correntes
menores e, posteriormente, em perdas menores por efeito Joule e, igualmente, em um melhor
controle das tensões. Este aumento nos valores das tensões a partir de certo nível exige, por
outro lado, o aumento no diâmetro dos condutores que reduz as descargas parciais que
ocorrem quando o campo elétrico superficial em um condutor energizado, excede seu limiar
de ruptura, fenômeno este que é conhecido como "Efeito Corona". Contudo, o aumento dos
diâmetros dos condutores provoca a elevação em seus custos, como também daqueles das
estruturas das linhas que devem suportá-los. O aumento do diâmetro dos cabos deveria
ocorrer sem que houvesse um acréscimo da área da seção transversal útil dos cabos.
Para suprir esta necessidade, surgiu a idéia de usar-se mais de um condutor por fase,
montados paralelamente entre si e unidos a pequenas distâncias. Os condutores usados nesta
configuração são os mesmos existentes no mercado e de uso comum, entretanto, mantidos
separados entre si, no meio de vãos, por espaçadores adequados. O feixe comporta-se como se
estivesse sendo usado um cabo de diâmetro muito alto, pois os campos magnéticos
individuais dos subcondutores se compõem para formar um único campo, semelhante àquele,
devido a um cabo único de grande diâmetro, suspenso no centro e em lugar do feixe. O
mesmo acontece com os campos elétricos, resultando num grande aumento da capacitância
das linhas. Devido à necessidade de padronização das ferragens associadas, o espaçamento
23
entre si é igualmente padronizado, sendo preferido para as linhas de transmissão aérea a
distância de 0,4 a 0, 457 m. Os seguintes benefícios adicionais, a partir do uso de condutores
múltiplos, podem ser mencionados:
1 - Menores gradientes de potencial nas superfícies dos subcondutores, reduzindo as
atividades do EFEITO CORONA;
2 - Redução da impedância característica da linha, aumentando a sua potência
característica que representa o ponto ideal de operação de uma linha;
3 - A redução da reatância indutiva aumenta o limite de transmissão com estabilidade
dinâmica e transitória;
4 - Os valores das sobre-tensões provocadas por descargas atmosféricas nos condutores
das linhas são iguais ao produto da corrente que propaga-se em cada uma das direções da
linha a partir do ponto de impacto, pelo valor de sua impedância natural. Este valor é
fortemente reduzido pelos condutores múltiplos, assim como o valor das ondas de sobre-
tensão;
5 - Os condutores múltiplos não dependem de cabos de fabricação especial, podendo-se
empregar qualquer tipo de fabricação normal, inclusive os cabos expandidos, o que os torna
mais baratos. O seu custo de montagem é levemente maior.
O uso do espaçador-amortecedor é o modo mais eficiente de se melhorar a proteção dos
vãos de uma linha de transmissão, pois é característica deste equipamento a dissipação das
vibrações causadoras de danos provenientes da ação do vento. Os espaçadores são necessários
quando deseja-se construir feixes paralelos de condutores para evitar danos devidos aos
fenômenos de vibração eólica, galope do condutor e oscilação induzida por esteira,
fenômenos que passam a ser descritos abaixo (Labegalini et al., 1992):
1 - Vibração eólica - pode ocorrer tanto em condutores singelos como em feixes de
condutores e, é causada por desprendimento de vórtices nas partes superior e inferior dos
condutores, na faixa de freqüência de 3 a 150 Hz, com velocidades do vento de 1 a 7 m/s. As
amplitudes de vibração dificilmente atingem cerca de um 1 diâmetro do condutor;
2 - Oscilação devido á esteira - só ocorre em feixes de condutores e surge quando um
condutor do feixe penetra na esteira gerada por outro condutor adjacente. A faixa de
freqüência das oscilações é de 0,15 a 10 Hz, com velocidades do vento de 4 a 18 m/s. As
amplitudes podem atingir valores de até 20 vezes o diâmetro do condutor;
24
3 - Galope do condutor - é causado por um depósito assimétrico de gelo sobre os
condutores. A faixa de freqüência é de 0,1 a 3 Hz, com velocidades do vento de 7 a 18 m/s.
As amplitudes podem atingir valores de até 300 vezes o diâmetro do condutor.
Devido às características geográficas e meteorológicas da região amazônica, muitas das
linhas de transmissão na região estão sujeitas a problemas de vibração eólica e de oscilação
induzida por esteira. O fenômeno de galope do condutor é restrito a locais sob baixa
temperatura, mas ocorre, até mesmo, na região Amazônica, na Linha de Transmissão Guri -
Boa Vista (fronteira entre Brasil e Venezuela). Destacam-se as características importantes dos
vãos das linhas de transmissão nas travessias de grandes rios na Amazônia, onde devido à
falta de proteção proporcionada pela vegetação, ocorrem elevados níveis de vibração nos
condutores.
Estudos de vibrações em espaçadores-amortecedores direcionados às condições
climáticas, de relevo e vegetação típicos da Região Amazônica são quase inexistentes, sendo
esta proposta um passo importante na busca de um maior conhecimento científico sobre o
assunto. O fator regional (tipo de relevo, condições climáticas, características dos rios, etc) é
um dos aspectos importantes deste projeto. A partir de um determinado período de instalação,
os espaçadores apresentam alguns sinais de deterioração; isto pode ocorrer devido às severas
condições de excitação a que estão submetidos os cabos.
Os cabos condutores estão localizados entre as torres de transmissão, enquanto que os
espaçadores são montados nos vão das linhas, e servem para separar os cabos condutores, os
quais recebem, constantemente, excitações eólicas, e que, depois as repassam sob forma de
carregamento estrutural ao espaçador-amortecedor. Após a retirada de alguns espaçadores-
amortecedores danificados, verificou-se nestes, que alguns pontos sofreram maior desgaste
por causa das excitações estruturais proveniente dos cabos. É comum, ocorrer cisalhamentos
em um batente do espaçador-amortecedor, que fica próximo ao elastômero. Com a fratura
deste batente, o parafuso que fixa o cabo no espaçador-amortecedor afrouxa-se, e então, o
cabo condutor é liberado, e choca-se constantemente com o espaçador, provocando a
deterioração do conjunto.
Deve-se destacar que a interrupção do fornecimento de energia elétrica por falha no
sistema de transmissão, e em especial, por ruptura dos cabos condutores e ou dispositivos
(ferragens, espaçadores-amortecedores, etc) de suspensão, geram perdas econômicas
consideráveis no setor elétrico. Contudo, o fenômeno de vibração em espaçadores-
25
amortecedores devido à sua complexidade, é considerado um problema em aberto, sendo tema
atual de inúmeras pesquisas recentes.
1.2 JUSTIFICATIVA
Este trabalho está ligado a um projeto de pesquisa e desenvolvimento financiado pelas
Centrais Elétricas do Norte do Brasil. Esta dissertação justifica-se pela necessidade de se
conhecer mais detalhadamente o comportamento dinâmico de linhas de transmissão de
energia elétrica de alta tensão, visto que atualmente por razões econômicas e de segurança
torna-se mais viável o transporte de energia a longas distâncias por meio de tensões cada vez
mais elevadas. Para atender a esta necessidade é imprescindível a utilização de condutores
múltiplos que atuam na linha de transmissão como um único condutor garantindo menores
perdas de energia por efeito Joule e um melhor controle das correntes e tensões da linha, além
de manter sob controle as conseqüências do efeito corona que ocorre quando um forte campo
elétrico associado a um condutor de alta tensão ioniza o ar próximo ao condutor. As linhas de
transmissão de energia elétrica constituídas por feixe de condutores estão sujeitas ainda, às
severas condições climáticas que tem influenciado diretamente no funcionamento não apenas
dos condutores, mas de todos os componentes que fazem parte da linha de transmissão. Sendo
assim, torna-se fundamental realizar estudos para melhor compreender o comportamento
vibratório em linhas de transmissão de energia elétrica, quando submetidas a excitações
provocadas pelo vento. Estudo este que contribuirá não apenas para um melhor
funcionamento e maior segurança das mesmas, como também para uma economia substancial
na aquisição para substituição de equipamentos utilizados nos vãos da linha.
1.3 OBJETIVO
Sistematizar uma metodologia confiável para a avaliação do comportamento dinâmico
não-linear de um feixe de condutores de linha de transmissão de energia elétrica, os quais
estão separados por meio de espaçadores-amortecedores e sujeitos a excitação eólica variável
no tempo.
A partir das respostas obtidas será possível um conhecimento mais específico sobre o
real comportamento do sistema analisado, o que possibilitará o aperfeiçoamento dos
elementos da linha de transmissão. Desta forma, será possível atender à necessidade das
26
empresas de transmissão de energia da região, que encontram dificuldades para o controle e
manutenção preventivos dos condutores das linhas de transmissão sujeitos aos esforços do
vento.
1.4 METODOLOGIA
Para se obter a rotina final que se destina à análise dinâmica de um feixe de condutores,
inicialmente optou-se por desenvolver um algoritmo baseado no Método dos Elementos
Finitos, para um único condutor reto e tracionado, considerando a análise do sistema linear, a
qual assume uma proporcionalidade entre causa e efeitos. Este modelo inicial foi validado
experimentalmente no Laboratório de Engenharia Civil da UFPA em uma bancada de ensaios
de condutores de linha de transmissão. Posteriormente, o modelo evoluiu para um cabo
desenhado através da equação da parábola, e a análise passou a levar em consideração a não-
linearidade geométrica do sistema. Segundo Aranha Junior (2003), a não-linearidade
geométrica está relacionada com a ausência de proporcionalidade entre deformações e
deslocamentos (relação cinemática). Este efeito é importantíssimo em corpos sujeitos a
grandes deformações como é o caso dos condutores de linha de transmissão de energia
elétrica. Para chegar à etapa final da modelagem, foi utilizada a técnica apresentada em
Oliveira (2006), que incorpora ao modelo o carregamento de vento responsável pela parte
dinâmica do sistema. A referida técnica divide este carregamento em uma parcela média e
uma variável, utilizando o espectro de potência de Kaimal e a função covariância cruzada para
a simulação das rajadas de vento. Para a análise não-linear dos modelos computacionais foi
utilizado o programa de elementos finitos ANSYS.
1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO
Este trabalho está divido da seguinte maneira:
O Capítulo 2 mostra uma visão geral de vários trabalhos desenvolvidos utilizando as
teorias de barras e vigas, o estudo de cabos, o escoamento de um fluido em torno de um corpo
e vibrações em estruturas e condutores de linhas de transmissão de energia elétrica.
O Capítulo 3 é desenvolvido, principalmente, para dar idéia dos diferentes tipos de
vibrações em condutores de linhas de transmissão de energia com suas respectivas
características.
27
O Capítulo 4 apresenta um estudo da influência da rigidez flexural em cabos utilizando
para isto, a equação da corda vibrante. Além de fazer uma comparação entre o
comportamento de uma corda vibrante e um condutor de linha de transmissão em função da
freqüência e do comprimento, por meio de uma simulação numérica em linguagem Matlab.
O Capitulo 5 mostra como se comportam as forças aerodinâmicas sobre um corpo sólido
imerso em um fluido, a determinação das ações estáticas do vento sobre os condutores de
linhas de transmissão segundo a norma brasileira NBR-6123, bem como o procedimento para
encontrar a parcela flutuante de força devida à ação do vento.
O Capítulo 6 mostra a modelagem numérica para um único condutor e a validação desta
análise através de análise experimental. Apresenta ainda, a análise modal para um feixe de
condutores.
O Capítulo 7 descreve as etapas da análise numérica transiente de um feixe de
condutores submetido ao carregamento de vento e os resultados obtidos através da mesma.
O Capítulo 8 apresenta as conclusões do estudo desenvolvido, bem como apresenta
sugestões para desenvolvimento de ações para futuros trabalhos relacionados ao tema desta
dissertação.
28
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Inicialmente, o desenvolvimento de modelos para o estudo de vibrações em cabos de
linhas de transmissão foi fundamentado na teoria de barras e vigas, porém para uma melhor
adequação ao modelo real, utilizou-se o elemento de catenária que considera em sua
formulação a deformação no cabo provocada pelo seu próprio peso.
Com o aparecimento do Método de Elementos Finitos seguido do avanço
computacional, outros modelos e elementos foram criados para o estudo de vibrações em
cabos. É o caso do elemento BEAM que é um dos elementos utilizados pelo programa
ANSYS, o qual utiliza o Método de Elementos Finitos como base. Este elemento é
fundamentado na teoria de barras e vigas. Outros elementos computacionais foram
desenvolvidos, mas utilizam as teorias mencionadas anteriormente como base para suas
formulações.
Neste capítulo, apresentam-se comentários sintéticos sobre uma vasta literatura
consultada para a realização deste trabalho e que versa sobre assuntos de interesse ao seu
desenvolvimento.
2.2 TEORIAS PARA BARRAS E VIGAS
Segundo Yojo (1993) as teorias de barras começaram a ser estudadas no século XVII,
em meados do século XVIII, Euler e Bernoulli apresentaram os primeiros estudos referentes à
teoria de vigas e desenvolveram um modelo que seria chamado de viga de Euler-Bernoulli.
Em Leckar e Sampaio (2000) foram relacionados como os três modelos básicos para o
estudo de vibrações em vigas, os de Euler-Bernoulli, Vlasov e Timoshenko. No modelo de
Euler-Bernoulli, o cisalhamento e a inércia de rotação foram desprezados, sendo feita a
suposição de que as seções planas permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal
da peça, após a deformação. No modelo de Vlasov, o cisalhamento continua sendo
desprezado, porém foi levada em conta a inércia de rotação. Finalmente, no modelo de
Timoshenko, supõe-se também que as seções planas permaneçam planas, porém não
necessariamente perpendiculares ao eixo longitudinal da viga, pois há um giro da seção em
relação a este eixo, devido ao cisalhamento.
29
Em Aranha Junior (2003) desenvolveu-se uma formulação de um elemento finito de
barra para análise estática e dinâmica geometricamente não-linear de pórticos planos e
estruturas formadas por cabos. Deu-se ênfase ao estudo de cabos condutores de linhas aéreas
de transmissão de alta tensão. O tratamento de grandes rotações das barras foi realizado
utilizando-se a formulação co-rotacional, a qual foi baseada na utilização de um sistema
auxiliar de coordenadas que se move com o elemento à medida que este se deforma. Uma
contribuição original deste trabalho consistiu no desenvolvimento de uma nova técnica para o
tratamento consistente de cargas distribuídas através da formulação co-rotacional. Neste
contexto, apresentou-se a dedução de uma nova matriz de rigidez geométrica dependente do
carregamento distribuído. Para validação da metodologia proposta foi desenvolvido um
programa na plataforma MATLAB. O programa desenvolvido permitiu a realização de
análise geometricamente não linear, estática ou dinâmica, de estruturas planas aporticadas
e/ou formadas por cabos, possibilitando também a determinação das freqüências naturais e
modos de vibração, para diferentes níveis de solicitação, de estruturas com comportamento
altamente não-linear. O programa foi baseado no Método dos Elementos Finitos e emprega os
Métodos de Newmark e Newton-Raphson para integração da equação do movimento no
tempo, para tratar os efeitos não lineares. Vários testes numéricos foram apresentados,
comparando-se os resultados da metodologia proposta com soluções analíticas simplificadas e
com resultados de outros modelos apresentados na literatura. Os resultados obtidos
demonstraram a eficiência e precisão da presente formulação na análise de estruturas
submetidas a grandes deformações.
2.3 ESTUDO SOBRE FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DE CABOS
Acredita-se que Galileu tenha sido o pioneiro no estudo da forma curva de um cabo
suspenso sob seu próprio peso em meados do século XVII. Este estudo contribuiu para
identificar a similaridade entre esta curva e uma parábola. Em seguida, em 1691, a solução
desta curva, que hoje é conhecida como sendo a catenária, foi primeiramente publicada pelo
eminente grupo de geógrafos e matemáticos composto por Leibnitz, Huigens e os irmãos
James e John Bernoulli. Esta formulação matemática feita para o cabo parabólico atraiu
rapidamente a atenção dos profissionais que atuavam neste ramo, pois além de ser uma
formulação mais simples, poderia ser aplicada em diversos casos em que a estrutura possui
parte considerável do carregamento distribuído ao longo do vão, como em pontes suspensas
(Irvine, 1975).
30
No século XX, muitos trabalhos foram realizados apenas com a finalidade de criar
equações analíticas que pudessem descrever o comportamento da flexibilidade e da
deformação que ocorria em cabos sujeitos a carregamentos distribuídos e concentrados. Mas
não obtiveram grande êxito nas soluções encontradas devido ao comportamento não-linear
dos cabos, que não permitia a superposição de soluções. Surge, então, o advento do
computador que permite a realização de métodos interativos que consistiam inicialmente na
divisão do cabo em diversos segmentos finitos. A partir de valores iniciais arbitrados para a
tensão em um extremo do cabo, calculava-se o resíduo para a outra extremidade usando as
condições de equilíbrio em um método iterativo em cada segmento discretizado. Os valores
iniciais eram ajustados até que o resíduo fosse reduzido abaixo de limites aceitáveis.
Na década de 60 foi proposto por Michalos e Birnstiel (1962) um método numérico de
tentativa e erro, baseado no que eles chamaram string polygon aproach. O método consistia
em aproximar a geometria curva do cabo através de vários segmentos retos e substituir o
carregamento distribuído por cargas concentradas equivalentes, localizadas nas extremidades
dos segmentos.
O método apresentado por Michalos e Birnstiel (1962) foi contestado por O’Brien e
Francis (1964), que apontaram deficiências no tratamento teórico do mesmo e apresentaram
uma formulação numérica baseada nas expressões analíticas da catenária elástica. As
equações de equilíbrio estático para segmentos de cabo foram resolvidas através de um
processo de sucessivas aproximações, nas quais a flecha do cabo tem um tratamento exato.
Jennings (1965) propôs a reformulação de algumas expressões usadas por O’Brien e Francis
(1964) que acelerariam a convergência dos resultados.
Em Church (1963) e Den Hartog (1972) foram estudados os seguintes tópicos: as
vibrações lineares em sistemas contínuos; vibrações de sistemas com um grau de liberdade
(livre e forçada); o princípio de Rayleig; sistemas não lineares e solução numérica; vibrações
de sistemas com n graus de liberdade (livre e forçada); métodos de Rayleigh-Ritz; métodos
para modelagem da matriz de massa e da matriz de rigidez; problemas de autovalores;
amortecimento; superposição modal; discussão dos métodos numéricos para solução do
problema de autovalores e autovetores.
Em Leonard (1973) foi proposta a utilização de elementos curvilíneos em substituição
ao uso de elementos retos nas soluções aproximadas para o Método dos Elementos Finitos.
Ele destacou a necessidade de se modelar a geometria curva do cabo com elementos
curvilíneos, tornando dispensável o uso de um grande número de pequenos elementos
retilíneos.
31
Em Henghold e Russell (1975) foi desenvolvida uma formulação variacional em que se
podia prever a configuração de equilíbrio para cabos suspensos considerando não linearidades
geométricas. Desta formulação resultou um elemento finito isoparamétrico de cabo com três
nós.
O modelo de Henghold e Russell (1975) apresentou deficiências que foram
comprovadas por Ozdemir (1978), que induziam deformações no comprimento do elemento
de cabo. A solução apresentada por Ozdmir (1978) foi fazer uma interpolação independente
para avaliar o comprimento do elemento deformado e deste modo não permitir deformação do
elemento. Ele apresenta ainda, a formulação de um elemento de cabo com dois nós, que
facilita a avaliação das respostas obtidas através das formulações Lagrangiana Total e
Atualizada.
No mesmo ano, Peyrot e Goulouis (1978) propuseram um método bastante similar ao
descrito por Campbell, em 1970, baseado no trabalho desenvolvido por O’Brien e Francis em
1964 e 1968, respectivamente, para o cálculo da resposta estática de sistemas flexíveis.
Segundo Peyrot e Goulouis (1978), através desta técnica, poderia se prever o efeito do peso
próprio, de ventos longitudinais ou diagonais, cargas de gelo e mudanças de temperatura em
cabos suspensos usados em linhas de transmissão de energia.
Em Judd e Wheen (1978) foi publicado um processo alternativo de tentativa e erro no
qual o valor inicial da tração horizontal Tx do cabo foi calculado e então para valores
incrementais de Tx, a correspondente intensidade de cargas aplicadas foi deduzida para uma
configuração conhecida. Neste trabalho, foram apresentados alguns exemplos onde foi
aplicado o método.
Em Jayaraman e Knudson (1981) foi reapresentado o elemento de catenária já proposto
por O’Brien e Francis (1964) e demonstrada a sua aplicabilidade em problemas estáticos e
dinâmicos.
Em Schrefler e Odorizzi (1983) foi apresentada a formulação unificada de um elemento
bidimensional de viga ou de cabo, para análise não linear, empregando a aproximação
Lagrangiana total. A formulação permite qualquer intensidade de deformação em elementos
retos ou curvos.
Em Steidel (1989) foram estudados os diversos tipos de vibrações mecânicas, os
sistemas de vibração discreto e contínuo com vários graus de liberdade. Muitos exemplos de
casos reais de vibração que ocorrem na engenharia foram discutidos, inclusive o exemplo de
um cabo, no qual foi aplicada uma força de tração e o sistema contínuo foi analisado levando
em consideração a rigidez de flexão do cabo.
32
Em Abdel-Ghaffar (1995) foi desenvolvido um elemento finito não linear para a análise
de pontes estaiadas sob carregamentos estáticos e dinâmicos usando a formulação
Lagrangiana total. Foi introduzido e proposto um elemento finito de cabo isoparamétrico com
4 nós para a idealização dos cabos na ponte.
Sarkar e Manohar (1996) descreveram uma rotina computacional para determinar os
coeficientes de rigidez dinâmica de um elemento de cabo linear, inclinado, com
amortecimento viscoso e ou histerético. Também foram levadas em consideração as formas de
vibração do cabo entre os planos transversal e longitudinal. A rotina foi baseada na conversão
de um conjunto de regras que regem problemas de valores de contorno semi-estáticos dentro
de um amplo conjunto equivalente de problemas de valores iniciais, os quais foram
posteriormente integrados numericamente no domínio do espaço, utilizando algoritmos
Marching. Os resultados numéricos apresentados realçam a natureza dos coeficientes de
rigidez dinâmica. Um exemplo específico discutido também foi a análise de vibrações
aleatórias de um longo vão de cabo submetido a terremotos, o qual foi modelado como um
vetor gaussiano. A abordagem apresentada é versátil e capaz de lidar com muitos efeitos
complicados em cabos dinâmicos de uma forma especial.
Em Teixeira (1997) foi apresentado um modelo numérico para estudo e controle da
vibração em cabos condutores de linhas aéreas de transmissão e realizadas diversas medidas
para avaliação dos neutralizadores viscoelásticos sugeridos no trabalho.
Lu et al. (1997) propuseram uma aproximação analítica no cálculo da resposta não
linear de cabos elásticos sob carregamentos externos complexos. O efeito da temperatura no
cabo também foi considerado. Através de métodos analíticos, foram apresentadas soluções
exatas para a resposta estática de um cabo suspenso sujeito a carregamentos complexos.
Em Karoumi (1999) foi apresentada a formulação do elemento de catenária com dois
nós apresentado inicialmente por O’Brien e Francis (1964). Ele sugeriu o emprego do
elemento na análise estática e dinâmica de pontes suspensas ou estaiadas.
Em Cella (1999) foi apresentado um método computacional para facilitar a
determinação matemática exata da geometria da catenária, incluindo o caso em que os apoios
se encontram em diferentes alturas. A metodologia proposta foi ilustrada para condutores de
energia elétrica.
Deng et al. (2005) abordaram o problema de uma estrutura formada pela união de cabos,
olhais e barras tensionados, com o objetivo de realizar análises e simulações da geometria
obtida após a montagem da mesma. Um novo método de forma encontrado para a solução
33
deste problema especial foi desenvolvido com base no princípio do método de densidade de
força.
Ricciardi e Saitta (2007) relataram uma investigação sobre um modelo contínuo para
cabos dinâmicos curvados de grandes diâmetros, levando em consideração a rigidez de flexão
e a extensão de curvatura. Um modelo dinâmico foi criado neste trabalho, seguindo as
orientações clássicas da dinâmica de cabos e adotando algumas hipóteses simplificadoras; as
equações de freqüência e forma modal foram obtidas de forma não-dimensional. Foram
realizadas comparações com o Método de Elementos Finitos e Diferenças Finitas para validar
o método proposto. Além disso, o método permitiu representar corretamente efeitos locais nas
zonas extremas do cabo, se assumidas as condições de contorno de engaste. Para obter
resultados parecidos, o modelo de elementos finitos exige um grande número de subdivisões,
o que resultará em um grande número
de elementos. Neste artigo foram propostas
autofunções que permitem solucionar o problema dinâmico sem um grande esforço
computacional, em comparação com o Método de Elementos Finitos ou Diferenças Finitas.
Finalmente, a fim de demonstrar a utilidade do modelo contínuo desenvolvido, foi feita uma
aplicação nos cabos principais da ponte projetada no Estreito de Messina.
Lepidi et al. (2007) verificaram em seu trabalho que em estruturas apoiadas por cabos,
como pontes estaiadas, os cabos estão sujeitos a falhas potenciais, principalmente, devido à
fadiga e corrosão galvânica. Este estudo apresentou uma análise dos efeitos sobre os danos
estáticos e dinâmicos de cabos suspensos e propôs um modelo unidimensional contínuo
elástico para os danos em cabos, incluindo não-linearidades geométricas.
2.4 ESTUDO DO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO EM TORNO DE UM CORPO
White (1986) fez em seu livro o estudo do comportamento do fluxo de fluidos
viscoelásticos: escoamentos laminares no interior de dutos, escoamentos laminares exteriores,
turbulência, escoamentos turbulentos exteriores.
Cigada et al. (1997) apresentaram o estado da arte da pesquisa sobre vibrações induzidas
pelo vento em cilindros com seção circular, em arranjos simples ou múltiplos. Os problemas
típicos de linhas de transmissão de energia foram discutidos e metodologias utilizadas para
simulações foram resumidas em vista de suas aplicações, também no campo de pontes
estaiadas. Uma atenção especial foi dada ao problema de vibrações induzidas por esteira em
cilindros espaçados uns próximos dos outros, para uma melhor compreensão deste fenômeno
foram realizados testes em túnel de vento, simulações e um modelo matemático.
34
Fox e Mcdonald (2001) em seu livro preocuparam-se em introduzir a mecânica dos
fluidos, enfocando os conceitos físicos da mecânica dos fluidos e os métodos de análise que
se iniciam a partir dos princípios básicos.
Segundo França (2003) um corpo de qualquer forma, quando imerso em um fluido em
escoamento, fica sujeito a forças e momentos (White, 1986). Estas forças são três: o arrasto,
que age numa direção paralela à direção da corrente livre a força de sustentação e a força
lateral, que agem em direções ortogonais. A atuação destas forças no corpo causa momentos.
Neste documento, o experimento apresentado enfocou apenas a força de arrasto. Na sua forma
adimensional, a força de arrasto é expressa pelo coeficiente de arrasto, que é a razão entre a
força de arrasto e uma força característica associada à pressão dinâmica da corrente livre.
Pinho (2002) apresentou breves noções sobre escoamentos de camada limite e
escoamentos exteriores. Afirmou que no estudo de escoamentos, como em tantas outras
situações, é útil classificar os fenômenos e os comportamentos e nisso a Mecânica dos Fluidos
não é exceção. Em inúmeras situações reais é freqüente a existência de um escoamento em
torno de uma superfície ou de um objeto, constituindo estes casos exemplos de escoamentos
exteriores. Bons exemplos são o escoamento em torno de um automóvel ou de um avião em
movimento, a interação entre o ar e uma bola de futebol ou de golfe em movimento ou ainda o
escoamento em torno do casco de um navio que se desloca. Nestes escoamentos, ditos
exteriores, o fluido rodeia o objeto total ou parcialmente. Os escoamentos exteriores quando
envolvem ar são freqüentemente designados por escoamentos aerodinâmicos, sobretudo
quando estes são corpos fuselados. Por outro lado, quando o fluido é água é freqüente a
designação de escoamento hidrodinâmico.
Surmas et al. (2003) estudaram as forças induzidas por um escoamento sobre dois
cilindros expostos a uma corrente livre. Dois conjuntos de simulações foram realizados: no
primeiro os cilindros foram colocados um após o outro, paralelamente ao escoamento. No
segundo, os dois corpos foram colocados transversalmente ao escoamento, em todas as
simulações os diâmetros dos dois cilindros foram iguais. Bons resultados foram encontrados
quando comparados a estudos recentes. As distâncias entre os cilindros variaram entre 1,5 a 4
vezes o diâmetro do cilindro. Procurou-se com isso identificar os diversos regimes de
escoamento e as características principais das forças de arrasto e sustentação e do número de
Strouhal (relacionado à freqüência de formação dos vórtices de Von Karman). O número de
Reynolds adotado foi igual a 200. O modelo utilizado (Lattice Boltzmann) parte da
discretização da equação de Boltzmann, recuperando a equação de conservação da massa e a
equação de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis. Este modelo apresenta como
35
principais vantagens a sua estabilidade, facilidade de paralelização do algoritmo e facilidade
de obtenção das forças atuantes em qualquer corpo, independentemente da complexidade de
sua forma.
Munson et al. (2004) discutiram em seu livro as propriedades dos fluidos e definições;
estática dos fluidos; fundamentos da análise do escoamento; leis básicas para o volume de
controle; análise dimensional e semelhança dinâmica; efeitos da viscosidade-resistência nos
fluidos e o escoamento de fluidos compressíveis.
Aguiar e Rubini (2004) estudaram as forças aerodinâmicas que atuam sobre uma bola de
futebol. Através da análise do vídeo de uma jogada famosa de Pelé, foi mostrado um
fenômeno curioso, a crise do arrasto, o qual influenciou significativamente no movimento da
bola. O efeito Magnus, associado à rotação da bola, também se revelou importante para o
desfecho da jogada. Usando um programa de computador que simulou o movimento de bolas
chutadas em diferentes condições, discutiram vários aspectos do lance de Pelé e da Física do
futebol, em particular as bolas de efeito e a “folha seca” de Didi.
Em Coelho e Gueiral (2004) encontra-se uma introdução teórica sobre aerodinâmica e
seus princípios básicos que estão na maior parte ligados a duas forças: sustentação e arrasto.
O objetivo desta experiência foi determinar a força de arrasto de um fluido, neste caso o ar,
sobre objetos de várias formas e dimensões.
Braun e Awruch (2005) apresentaram em seu trabalho um modelo numérico para a
análise aerodinâmica e aeroelástica de feixe de cabos, comumente utilizado em linhas
transmissão da energia. Os feixes foram idealizados por um modelo seccionado representando
a seção no meio de um vão entre duas torres suporte. Um fluido viscoso levemente
compressível foi considerado e o fluxo bi-dimensional foi analisado usando o método
explícito de dois passos com uma descrição arbitrária Euleriana - Lagrangeana. Uma série de
expansão de Taylor foi utilizada no tempo e a clássica técnica de Galerkin com o Método de
Elementos Finitos foi utilizada para a discretização do espaço. A turbulência foi modelada
usando simulação de grandes redemoinhos com o clássico modelo de sub-malha de
Smagorinsky. O conjunto de cabos forma um único corpo com restrições elásticas,
trabalhando mecanicamente acoplado, sendo que cada cabo foi ligado aos outros por
espaçadores. A interação fluido-estrutura levou em consideração as condições de equilíbrio e
compatibilidade com as interfaces fluido-sólido e a equação de equilíbrio dinâmico resultante
foi resolvida usando o método de Newmark.
Mariani et al. (2005) realizaram uma experiência em laboratório que apresentou o
estudo da interação fluido-corpo, na qual um fluido em movimento percorre o contorno pela
36
superfície externa de um corpo. Nestes casos é usual atribuir-se a denominação escoamento
externo para situações em que o corpo está todo envolvido por fluido em movimento.
Exemplos diversos onde este fenômeno ocorre podem ser citados, como dos automóveis,
aviões, planadores, edifícios, pássaros, envolvidos pelo ar, ou dos submarinos, pilares de
pontes, e peixes imersos em água. O corpo escolhido para os ensaios foi um cilindro fabricado
em acrílico e o fluido que escoou através dele foi o ar atmosférico, movimentado em um túnel
de vento.
2.5 ESTUDO DE VIBRAÇÕES EM ESTRUTURAS E CABOS DE LINHA DE
TRANSMISSÃO
Claren et al. (1971) pesquisaram a resposta de vários feixes de cabos submetidos a
forças de excitação harmônica. O estudo demonstra como as características do espaçador,
expressas pela matriz elástica do mesmo, impõem tipos de modos naturais particulares e como
a rigidez excessiva do espaçador causa tensões severas de flexão que ocorrem no cabo,
próximo às garras de espaçador. Este trabalho analisa o comportamento dos espaçadores-
amortecedores e explica como suas características podem ser otimizadas.
Hearnshaw (1974) estudou os conjuntos de cabos quadruplos e triplos e estabeleceu uma
característica não-dimensional através da relação entre os subvãos adjacentes e as posições
nodais para um modo fundamental de oscilação do subcondutor. Uma boa correlação também
foi mostrada entre posições nodais relativas ao espaçador-amortecedor e seu desempenho de
amortecimento medido através do decremento logarítmico.
Segundo Rawlins (1976), os condutores movimentam-se assumindo a forma de ondas
vibrantes que se deslocam no feixe. A análise deste fenômeno foi realizada através dos modos
de propagação de onda normal, sendo cada modo uma combinação de movimentos de onda no
feixe de condutores que se propagam independentemente uns dos outros. O método da matriz
de transferência foi usado para determinar a existência de um conjunto de modos de
propagação para as condições de vento fornecidas, o que pode satisfazer às condições de
contorno nos apoios do vão e assim indicar a possibilidade de uma oscilação estável.
As duas normas mais utilizadas no estudo de linhas de transmissão são a NBR-5422
(1985) que fixa as condições básicas para o projeto de linhas aéreas de transmissão de energia
elétrica com tensão máxima, valor eficaz fase-fase, acima de 38 kV e não superior a 800 kV,
de modo a garantir níveis mínimos de segurança e limitar perturbações em instalações
37
próximas; a outra é a NBR-6123 (1988) que fixa as condições exigidas na consideração das
forças devidas à ação estática e dinâmica do vento, para efeito de cálculo de edificações.
Simpson et al. (1990) afirmam que as vibrações eólicas que ocorrem em linhas de
transmissão de alta tensão de cabos múltiplos podem ser controladas por duas técnicas: pela
combinação do espaçamento de elementos rígidos e amortecedores stockbridges nas
extremidades da linha, ou pelo posicionamento adequado de espaçadores-amortecedores.
Neste trabalho, foi realizada uma comparação entre a teoria e a análise computacional. Se
conclui, com base em observações realizadas ao longo de muitos anos, que ambas as
filosofias estão corretas quando condutores do tipo ACSR (condutores de alumínio com alma
de aço) são moderadamente tensionados. Quando condutores do tipo AAAC (condutores feitos
apenas com liga de alumínio) forem moderadamente ou extremamente tensionados, nenhuma
das duas filosofias será totalmente adequada. Mas, se as duas filosofias forem combinadas, o
resultado será um bom controle de vibrações em muitas circunstâncias.
Foata e Noiseux (1991) apresentaram uma investigação analítica dos efeitos de
assimetria em feixe de condutores duplos. Os resultados sugerem que considerações práticas,
em particular diferentes tensões em subconductores, podem significar uma contribuição para
o controle de vibrações eólicas. O modelo computacional usado para esta análise também foi
apresentado resumidamente. Neste estudo, foi caracterizado um método de cálculo que leva
em consideração o comportamento aleatório de vibrações eólicas na avaliação do
deslocamento e amplitudes de tensão. Também oferece a possibilidade de tratar qualquer
número de subconductores e subvãos, espaçadores diferentes, amortecedores e
subconductores no mesmo vão e inclui algumas regras paramétricas para estimar o
amortecimento característico interno dos condutores.
Labegalini et al. (1992) iniciam seu livro com uma introdução à transmissão de energia
elétrica por linhas aéreas de transmissão e aborda com bastante clareza a maneira de se
estimarem as forças atuantes sobre as linhas, além de aplicar um tratamento mais atual e
objetivo ao cálculo das deformações elásticas e plásticas dos condutores. O trabalho apresenta
o estudo do comportamento mecânico dos condutores, o roteiro para a realização de um
projeto de cabos de uma linha de transmissão, o estudo das estruturas de sustentação,
vibrações e tensões dinâmicas dos cabos. Além de um estudo detalhado das fundações de
estruturas.
Segundo Anderson e Hagedorn (1995), em linhas de transmissão de alta tensão são
freqüentemente utilizados conjuntos de condutores por motivos mecânicos e elétricos. Estes
feixes de condutores são particularmente suscetíveis a vibrações excitadas pelo vento, em uma
38
faixa de freqüência de aproximadamente 10 a 60 Hz, devido ao desprendimento de vórtices.
Os amortecedores usuais como Stockbridges ou similares localizados próximos aos pontos de
fixação de suspensão não conseguem amortecer as vibrações do conjunto de cabos.
Recentemente, espaçadores-amortecedores têm sido utilizados para controlar o risco de fadiga
em condutores devido às vibrações eólicas. O tratamento numérico do problema de valor
limite para feixes equipados com espaçadores auto-amortecedores leva a equações
complicadas e com condições de contorno inadequadas. O estudo assumiu um espaçador auto-
amortecedor posicionado num conjunto de quatro condutores. A dissipação de energia
associada com o modelo matemático para este espaçador pode ser expressa na forma de uma
matriz simétrica de dimensão 16 x 16. Depois de resolvido o problema de autovalor
correspondente à matriz 16 x 16, o espaçador-amortecedor pode ser otimizado com relação à
dissipação de energia mecânica, através da maximização da menor parte real de seus
autovalores.
Oliveira e Freire (1993) propuseram dois modelos matemáticos para representar as
vibrações eólicas de um feixe duplo de condutores de linhas aéreas, nas configurações
horizontal e vertical. A variável principal do estudo foi o deslocamento relativo entre os
condutores. O método das múltiplas escalas de tempo foi aplicado e as amplitudes dos ciclos-
limites foram calculados para ambos os modelos.
Em Blessmann (1995) foram estudados os seguintes tópicos: ação do vento nas
estruturas; conceitos fundamentais: noções de meteorologia e de aerodinâmica; ação estática
do vento em estruturas civis; pressão interna em edificações; ação dinâmica do vento:
desprendimento de vórtices, galope, martelamento e energia cinética das rajadas; acidentes
causados pelo vento e sua prevenção; análise plástica de estruturas lineares; generalidades;
hipóteses fundamentais; momento plástico resistente; zonas de plastificação; tensões iniciais e
residuais; teoremas fundamentais; métodos de análise e projeto; problemas secundários de
projeto: deformações, influência do esforço axial e cortante no momento de ruptura,
flambagem, ruptura frágil e fadiga.
Desai et al. (1995) idealizaram elementos finitos computacionais eficientes para a
análise de galope que foi caracterizado por grandes amplitudes de oscilações de condutores
congelados em linhas de transmissão de energia. Para modelar o condutor foi desenvolvido
um elemento de cabo isoparamétrico constituído de três nós com translação nas três direções e
um grau de liberdade em cada nó. O suporte isolante dos cabos e os condutores dos vãos
adjacentes aos analisados foram representados por molas lineares estáticas. As interações da
linha de transmissão com o suporte da torre foram modeladas através da rigidez equivalente
39
da torre em pontos de suspensão dos condutores. Uma rotina Marching foi desenvolvida para
determinar o envelope do movimento de galope. A rotina pode ser utilizada para integrar as
equações do equilíbrio dinâmico que envolve não apenas a geometria e não-linearidades do
material, mas também a não-linearidade do amortecimento. A integração no tempo foi
realizada por meio de subespaço para minimizar o esforço computacional. O modelo de
elementos finitos foi empregado com sucesso para simular registro de galope em campo.
Mostrou-se que é necessário considerar várias particularidades, mesmo que para um único
vão, para se obter uma estimativa conservadora de amplitudes de galope que permitam uma
folga considerável para o projeto entre condutores adjacentes.
Em Oliveira (1996), foi apresentado um estudo sobre os aspectos de projeto e
manutenção das linhas de transmissão de energia com relação ao problema de vibração. Nesta
pesquisa foram relacionados os diversos tipos de vibrações causadas pelo vento, os tipos de
condutores empregados nas linhas de transmissão e os mecanismos empregados para o
controle do fenômeno, tais como amortecedores, espaçadores e grampos de suspensão.
Silva (1996) analisou alguns aspectos do efeito do vento em edifícios de alvenaria
estrutural. Inicialmente, foram apresentados resumos dos tópicos relevantes para o estudo do
assunto, como por exemplo, as ações a se considerar, os principais sistemas estruturais para o
contraventamento, prescrições de algumas normas, esquemas para modelagem da estrutura e
detalhes a serem observados para a análise de painéis com aberturas. Depois, através de
comparações de resultados obtidos em simulações para três edifícios, verificou-se a influência
dos lintéis e das abas no comportamento do conjunto, com a finalidade de se estabelecer
parâmetros para a modelagem dessas estruturas de contraventamento. Para todas as análises
utilizou-se um programa computacional para pórticos espaciais, que permite considerar-se
uma associação tridimensional dos painéis, inclusive com os recursos adicionais de nós
mestres e trechos rígidos.
Dyke et al. (1997) fizeram uma avaliação experimental do desempenho dos diferentes
sistemas de amortecimento para o controle de movimentos em condutores induzidos pelo
vento. Os sistemas de amortecimento abrangem diferentes tipos de amortecedores Stockbridge
e bretelles, utilizados em condutores simples dos tipos ACRS e AAAC. Assim como
espaçadores-amortecedores e espaçadores semi-rígidos, combinados ou não com
amortecedores bretelles, são utilizados de forma similar em feixe de condutores triplos ou
quádruplos. Todos os testes foram realizados sob condições naturais de vento na linha de
transmissão localizada na cidade de Varennes em Quebec.
40
O trabalho de Diana et al. (1998) preocuparam-se com o projeto dinâmico de uma
importante linha de transmissão de alta tensão que atravessava o lago de Maracaibo,
localizado na Venezuela. Este estudo apresentou os diferentes problemas que devem ser
levados em consideração para avaliar o projeto correto e seguro de torres, dispositivos de
amortecimento, suspensão de isoladores e conjunto de tensão. Mostram-se ainda,
instrumentos analíticos utilizados para simular estes problemas (excitação eólica e ocorrências
excepcionais, como falha de fase), juntamente com alguns resultados que foram relevantes
para esta aplicação.
Dart et al. (1999) tiveram em seu trabalho o objetivo de aperfeiçoar o projeto de
transmissão de energia, visando o aumento da sua eficiência e confiabilidade, o que afirmou
que poderia ser alcançado de duas formas distintas: utilizando linhas compactas (torre
raquete) ou a tecnologia de linhas de potência natural elevada (LPNE). Sua pesquisa deu
prioridade à exploração da aplicabilidade das linhas LPNE na expansão de sistemas de
transmissão.
Lilien e Papailiou (2000) realizaram pesquisas que demonstraram que o método de
cálculo analítico simplificado utilizado para o projeto de espaçadores, conhecido como
fórmula de Manuzio, conduz a um grave erro de subestimação de compressão do espaçador e,
portanto, a um projeto defeituoso do mesmo. Neste trabalho, foram apresentados os resultados
de ensaios adicionais que abrangem um conjunto de configurações, comprimentos de subvãos,
tensão de curvatura e níveis de curto-circuito da linha de transmissão. Com base nestes
resultados, os autores apresentam um novo método de cálculo para compressão de espaçador,
que edifica os padrões aceitos pela International Electrotechnical Commission (IEC).
Carril Junior (2000) desenvolveu seu trabalho com o objetivo de determinar a força do
vento e seus efeitos em torres metálicas treliçadas através de investigações numéricas e
experimentais. Uma torre de 100 m foi dimensionada com base nos padrões existentes no
Brasil. Examinou-se a resposta dinâmica da estrutura ao longo do vento. Investigou-se a
resposta ressonante, não-ressonante e o fator resposta de rajada, concluindo-se que a resposta
ressonante não foi significativa para este tipo de estrutura. Compararam-se os modelos de
Davenport (1993), da norma brasileira NBR-6123 (1988) e o processo do vento sintético de
Franco (1993). Uma investigação experimental foi realizada para analisar os coeficientes de
força em uma seção da torre estudada. Os experimentos foram realizados no Boundary Layer
Wind Tunnel Laboratory (BLWTL) da University of Westerrn Ontário (UWO), Canadá. Foram
analisados o ângulo de incidência do vento, o índice de área exposta, o efeito de proteção e o
fator de interferência no coeficiente de arrasto de antenas de microondas, devido à
41
proximidade da torre e a influência da turbulência do vento. Os resultados mostraram boa
concordância com os valores obtidos em diferentes normas existentes.
Verma (2002) procurou em seu trabalho minimizar as vibrações excitadas pelo vento
geradas pelo desprendimento de vórtices em linhas de transmissão de alta tensão, uma vez que
elas podem levar os condutores à fadiga. Para reduzir essas vibrações induzidas pelo vento,
usam-se amortecedores stockbridge que dissipam a energia eólica através do cabo
mensageiro. Este trabalho foi dirigido, principalmente, para o modelo de histerese estática, o
qual foi feito por meio do modelo de Masing usando um número de elementos paralelos-
espaçados de Jenkin. O sistema foi inicialmente modelado usando elementos de Jenkin, o qual
foi incorporado ao amortecedor stockbridge para obter as equações de movimento. Isto leva a
um sistema de equações diferenciais ordinárias não-lineares devido à existência de
descontinuidades, para o qual a solução numérica revelou-se bastante difícil. Também foram
discutidos métodos para resolver este problema e aplicá-lo ao amortecedor stockbridge. O
passo seguinte foi a utilização deste modelo de amortecedor em uma linha de transmissão real
de um único condutor para registrar suas vibrações, a fim de estudar a eficácia do
amortecedor. Para obter as vibrações da linha de transmissão, todo o vão da linha de
transmissão com amortecedores stockbridge foi considerado. Além disso, também foram
levados em consideração vários outros acessórios de linha como bolas de sinalização, cabos
de junção, etc. Este procedimento forneceu uma estimativa dos níveis máximos de tensão no
condutor, dado este que pode ser muito útil em projetos de linhas de transmissão e otimização
do posicionamento e tipo de amortecedor correspondente.
Oliveira et al. (2002) fazem uma análise comparativa entre dois elementos de cabo
presentes na literatura. Foi apresentado um elemento finito isoparamétrico de cabo com dois
nós, desenvolvido a partir de uma formulação variacional empregada comumente no Método
dos Elementos Finitos e o elemento de catenária desenvolvido a partir de expressões exatas
oriundas da equação da catenária.
Em Pauletti (2002) foram apresentadas algumas considerações sobre o comportamento
estático e dinâmico de cabos e cordas. Embora possam ser considerados os casos mais simples
de estruturas tensionadas e justamente por isso, o estudo desses sistemas permite introduzir
alguns dos conceitos fundamentais do comportamento geral das estruturas tensionadas, sejam
elas de geometria simples ou complexa, sejam cabos ou membranas.
Loredo-Souza e Davenport (2002) estudaram o comportamento de dois cabos paralelos
de linha de transmissão sob a ação de ventos fortes, examinando-os através de modelos de
cabos testados em túnel de vento aerodinâmico. Cabos com características e espaçamentos
42
diferentes foram simulados e testados com incidência de vento transversal. Os resultados
obtidos mostraram uma boa concordância entre os valores medidos e os valores previstos
teoricamente. Os coeficientes de correlação das forças de arrasto para os dois condutores
foram obtidos e variam pouco com a velocidade do vento, os quais foram maiores para as
menores separações entre cabos.
Em Lavandoscki et al. (2002) foram apresentados resultados de estudos sobre o
comportamento estrutual de cabos de linhas de transmissão, sujeitos a carregamentos eólicos.
Foram ainda determinados os deslocamentos, tensões, modos, frequências naturais de
vibração e respostas dinâmicas com a finalidade de se estimar parâmetros relacionados à vida
útil desses cabos. Foram realizadas análises não-lineares, análises modais, análises dinâmicas
de resposta e análises estáticas lineares. As tensões calculadas para os cabos foram utilizadas
para se estimar o parâmetro de vida útil dos mesmos.
Zhou et al. (2003) afirmam em seu trabalho o carregamento de vento sobre estruturas
submetidas a pancadas de rajadas de vento através do "fator de rajada", método adotado pela
maioria dos principais padrões e normas do mundo. O carregamento de vento estático
equivalente utilizado para projetar é igual à força média do vento multiplicada pelo fator de
rajada. Embora o método tradicional do fator de rajada possa garantir uma estimativa exata do
deslocamento da resposta, ele não fornece uma estimativa confiável de algumas outras
componentes de resposta. Para superar esta falha, um procedimento mais realista para
carregamentos de projeto foi proposto neste artigo e exemplos numéricos mostram a
conveniência de sua utilização, além da precisão do método proposto em relação ao
tradicional.
Em Smith e Mailey (2003), a corporação Manitoba Hydro financiou a pesquisa de falhas
em espaçadores amortecedores em duas linhas de transmissão de 500 kV, para as quais foi
incumbida de realizar a substituição dos amortecedores existentes e instalar amortecedores
adicionais. O trabalho foi realizado em um clima variável, sobre um terreno com uma
extensão de mais de 400 quilômetros de floresta e mangue, acessível apenas por via aérea,
enquanto as linhas de transmissão permaneciam energizadas para satisfazer aos requisitos de
sistema. O projeto incluiu o reposicionamento dos amortecedores para melhorar a capacidade
de amortecimento, completando a manutenção da linha adicional, bem como o
desenvolvimento de um modelo matemático para verificar a veracidade dos registros de
localização do amortecedor.
Fonseca e Cimini Junior (2003) afirmaram que as oscilações eólicas são provocadas por
ventos de baixa velocidade, normalmente entre 1 a 7 m/s que, quando passam através do cabo,
43
provocam vibrações de alta freqüência e baixa amplitude, geralmente na ordem de 0,01 a 1
vez o diâmetro do condutor, devido à formação de vórtices.
Kukureka e Wei (2003) investigaram o comportamento por um longo prazo de
compósitos reforçados com fibra de vidro, que foram utilizados como componentes de suporte
de carga em cabos ópticos de telecomunicações.
No artigo feito por Munaro et al. (2003) foi descrita a implementação e os principais
resultados de laboratório para realização de ensaio de compatibilidade em instalações de
distribuição elétrica segundo a Norma CODI 3.2.18.24.0. O sistema montado permite a
utilização da instrumentação como ferramenta de investigação e avaliação de desempenho de
equipamentos e acessórios, sob condições ambientais simuladas e demais solicitações
inerentes a sistemas elétricos.
Rodrigues (2004) analisou o comportamento dinâmico e o mecanismo de colapso de
torres de linhas de transmissão de energia elétrica – torres TEE – sob ação do vento.
Investigou o cenário de um grande número de acidentes onde o colapso estrutural de uma ou
mais torres ocorre sem que a velocidade de vento de projeto tenha sido alcançada e, ainda,
sem que as linhas de transmissão sofram ruptura. Com auxílio de um modelo tridimensional
em elementos finitos, que contemplou a interação entre o escoamento de ar – cabos elétricos –
estrutura, e dos procedimentos da análise dinâmica não-linear, foi possível reproduzir os
grandes deslocamentos angulares das cadeias de isoladores e cabos elétricos, despertados pela
ação do vento numa linha real. Os resultados numéricos foram utilizados nas avaliações da
estabilidade de uma torre típica, identificando falhas em seus componentes estruturais e a
mecânica do colapso global. Um modelo analítico simplificado foi sugerido como ferramenta
auxiliar para a análise preliminar do comportamento não-linear e para estimativa da
freqüência fundamental do sistema estrutural. Finalmente, foi apresentada uma proposta de
instalação de atenuadores dinâmicos sincronizados – ADS – para reduzir as amplitudes das
oscilações das linhas de transmissão já energizadas ou de novas linhas de transmissão a serem
construídas.
O estudo de Lilien e Snegovski (2004) discute alguns aspectos da modelagem de
vibrações induzida por esteira em feixe de condutores de linhas transmissão. O acoplamento
da esteira de subcondutores foi modelado através de aproximações de Simpson. Este modelo
pode ser aplicado para a análise de linha de transmissão de energia, se for utilizada uma
representação modal de um vão. Neste trabalho foi estudado como a aplicação da técnica de
redução dinâmica pode melhorar a análise no âmbito da abordagem de elementos finitos.
44
Em Kim e Nguyen (2004) o principal objetivo foi calcular o comportamento dos
espaçadores de interfase para reduzir a amplitude do galope nos condutores. Como casos
padrões de simulação foram adotados três fases, condutores simples e duplos congelados com
e sem espaçadores. Este trabalho utilizou os programas ANSYS, LS-DINA e os Métodos de
Elementos Finitos implícito e explícito para calcular a resposta transiente do comportamento
não-linear geométrico. Os resultados obtidos podem ser utilizados para definir as posições
para inserir os espaçadores de interfase entre os condutores.
Snegovski (2004) apresentou em seu trabalho, de forma sucinta, como realizar o
monitoramento de linhas de transmissão de energia. Monitoramento este que inclui métodos
de monitoramento da curvatura do condutor (catenária), falhas que ocorrem nos componentes
da linha devido a vibrações provocadas pelo vento (condutor, espaçadores, amortecedores,
etc.) e na própria torre de transmissão. Apresentou ainda métodos de medições,
monitoramento e diagnóstico de vibração em linha de transmissão.
Aguilera (2005) elaborou um trabalho para análise do comportamento dos condutores de
Linhas Aéreas de Transmissão e realizou estudos sobre os equipamentos necessários para
realizar a análise e avaliação do nível de vibração de linhas de transmissão através de uma
bancada de teste. Realizou-se uma análise modal experimental nos cabos condutores e
extraíram-se seus respectivos parâmetros modais, tais como as freqüências naturais, formas
modais e os fatores de amortecimento. Observou-se que os resultados obtidos
experimentalmente foram bastante satisfatórios e coerentes, quando comparados com os
resultados obtidos por simulações numéricas e analíticas, para o mesmo problema.
Em Blessmann (2005) foi apresentado como determinar o efeito de uma ou mais
rajadas de vento sobre uma estrutura oscilante. Foi apresentada, ainda, a NBR-6123 (1988), a
qual serviu como base para a determinação da ação estática do vento sobre estruturas, que
destaca em sua formulação que a vibração de uma estrutura em seus modos naturais dá-se em
torno da posição deformada definida pelas pressões causadas pela componente estática do
vento, isto é, pela velocidade média.
Souza et al. (2005) tiveram como objetivo analisar a influência da rigidez à flexão, ao
cisalhamento e a inércia à rotação no comportamento mecânico de cabos condutores de linhas
aéreas de transmissão, comparando-se os resultados com uma corda vibrante, onde se
considerou apenas a rigidez geométrica. Foram desenvolvidos cinco tipos de formulação,
baseadas nas teorias de viga de Bernoulli e de Timoshenko e fazendo diferentes combinações
de consideração de efeitos, tais como rigidez geométrica, rigidez à flexão, rigidez ao
cisalhamento e inércia à rotação. Em todas as cinco formulações considerou-se o cabo
45
inextensível axialmente. As equações de movimento da corda vibrante foram desenvolvidas
analiticamente, sendo consideradas apenas pequenas deformações, com as freqüências
naturais referentes à teoria de Bernoulli e Timoshenko sendo determinadas pelo método
numérico de Newton-Raphson para solução de equações não-lineares. Os resultados foram
comparados com uma formulação publicada na literatura, que considera somente a rigidez à
flexão.
Em Diana et al. (2005) analisaram um conjunto de condutores quádruplos submetidos a
grandes oscilações eólicas que provocaram falhas no conjunto de suspensão tipo I da linha de
transmissão. Na pesquisa foram apresentados os estudos e análises realizados sobre este
problema com o objetivo de compreender a natureza das oscilações observadas, o mecanismo
pela qual eles foram excitados e a magnitude das tensões de flexão induzidas nas cordas do
isolador foram apresentadas. Para esclarecer totalmente o problema e apresentar uma solução
prática, um vão experimental foi submetido a teste experimentais e computacionais. A
modelagem numérica do comportamento do sistema foi apresentada junto com os testes
realizados sobre o vão experimental, com a finalidade de validar a excitação proposta e o
mecanismo de falha. O teste da configuração de projeto, obtida através de um procedimento
numérico-experimental, também foi descrito em detalhes. Finalmente, a solução adaptada
para limitar as oscilações do feixe de condutores dentro de valores seguros foi apresentada e
discutida.
O trabalho de Pereira et al. (2005) consistiu no estudo do comportamento estático e
dinâmico de cabos de linhas aéreas de transmissão, fazendo parte de uma pesquisa que tinha
como objetivo desenvolver um programa para prognóstico, monitoração e controle de
vibração dos condutores de linhas aéreas de transmissão localizadas na Região Amazônica.
Com o objetivo de estimar a vida útil dos cabos condutores, Sampaio et al. (2006)
instalaram um vibrógrafo PAVICA na linha Guamá-Vila do Conde sobre o Rio Guamá. Após
a coleta de freqüências e amplitudes do cabo, pôde-se, por meio da equação de Poffenberger-
Swart, calcular as tensões atuantes no mesmo e construir a curva de tensão acumulada.
Silva (2005) apresentou toda a fundamentação teórica envolvida na análise do
comportamento estático de linhas de transmissão. As características principais e as equações
matemáticas envolvidas que descrevem o comportamento estático do cabo foram
demonstradas detalhadamente. Considerou-se que o cabo pode assumir a forma de catenária
ou parábola. Foram apresentados conhecimentos da abordagem orientada a objetos no
desenvolvimento de um sistema computacional, e os principais conceitos e os principais
elementos em que se divide um Programa de Orientação a Objeto (OO). Também foi feito um
46
breve estudo da linguagem de representação gráfica de sistemas conhecida como Linguagem
de modelagem Unificada (UML). Descreveram-se as fases e etapas que envolveram o
desenvolvimento do sistema computacional orientado a objeto, desde a descrição do problema
até a implementação do código em Java, além de uma breve introdução a esta linguagem de
programação muito utilizada atualmente. Discutiram-se alguns exemplos que validam e
comprovam a aplicabilidade dos algoritmos utilizados e a funcionalidade do programa applet.
Os resultados obtidos através destes algoritmos foram comparados com os de outros trabalhos
semelhantes.
Cunha (2005) analisou criticamente um conjunto de resultados sobre a fundamentação,
simulação e aplicabilidade de alguns modelos fenomenológicos para a vibração induzida por
vórtices. Foram estudados os modelos de Hartlen e Currie (1970), de Iwan e Blevins (1975) e
de Facchinetti e de Langre e Biolley (2004). O estudo foi desenvolvido com os propósitos:
fundamentar a partir de resultados teóricos e experimentais existentes na literatura, a
representatividade do fenômeno de vibração induzida por vórtices através desta classe de
modelos; obter resultados da simulação numérica destes modelos para posterior confrontação
com dados experimentais disponíveis na literatura; discutir a possibilidades de aplicação
destes modelos na prática da engenharia.
Peres (2005) determinou as velocidades críticas de vento e as amplitudes de vibração
numa estrutura composta por uma viga engastada suspensa por um estai (cabo), submetida aos
efeitos de vento e chuva. Foi considerada a deformação no cabo devido ao carregamento do
peso próprio e o acoplamento não linear das vibrações de cabo e da viga. Três modos de
vibração foram de especial interesse, chamados de primeiro modo global (flexão da viga e
vibração no cabo), primeiro modo local (vibração no cabo, com flexão na viga desprezível) e
primeiro modo à torção. O modelo foi reduzido a três graus de liberdade. A modelagem dos
carregamentos aerodinâmicos aplicados foi feita segundo procedimentos tradicionais. O
carregamento aerodinâmico aplicado ao cabo sob efeito de chuva e vento também foi levado
em consideração. Para a redução do modelo matemático, os coeficientes de rigidez e de
amortecimento equivalente foram definidos dependendo parametricamente da velocidade do
vento. Os termos não-lineares são devidos ao acoplamento das vibrações do cabo e da viga à
flexão (no plano do cabo) e também aos efeitos aeroelásticos do cabo. Os seguintes regimes
instáveis foram avaliados: o efeito de galope no cabo, o drapejamento unimodal na torção e o
drapejamento do modo de flexão da viga em conjunto com vibrações transversais do cabo.
Wu e Cai (2006) demonstram neste trabalho experimental que os amortecedores eletro-
reológicos (AER) também são indicados para o controle de vibrações em cabos. Inicialmente,
47
um AER foi testado para obter as curvas de desempenho do mesmo, sob diferentes condições
de carregamento, incluindo diferentes correntes elétricas, freqüências de carregamento tipos
de ondas de carregamento e temperaturas de trabalho. O AER foi então instalado em um cabo
para reduzir suas vibrações e posicionado a 7,16 m do ponto inicial do cabo, com um modelo
de protótipo em escala para este estudo. As freqüências que o cabo apresentou, sob diferentes
forças de tensão, foram medidas e comparadas com as obtidas através de cálculos teóricos.
Em seguida, um teste de controle de vibração livre foi realizado com o AER sendo instalado
em um quarto do comprimento do cabo. Os dados medidos mostram que este tipo de
amortecedor é eficiente para o controle de vibração em cabos dentro de sua faixa de trabalho,
embora haja um efeito de saturação. Também foi observado que o amortecedor poderia
reduzir as vibrações de cabos sob uma variedade de freqüências de excitação, em especial
para as vibrações em ressonâncias.
Segundo Irvine (2006), o vento provoca oscilações mecânicas em linhas de energia de
alta tensão. Este trabalho detalha os três tipos de mecanismos de excitação mais comuns que
são: vibrações eólicas, galope e vibrações induzidas por esteiras. Cada um dos tipos pode
causar fadiga, desgaste, e outros tipos de falhas.
Na apresentação de Belloli et al. (2006) o principal tema foi vibrações em cabos de
linhas de transmissão de energia elétrica devido à ação do vento, mas os conceitos gerais
apresentados podem ser aplicados a qualquer problema de cabos ou cordas expostos à ação do
vento. Esta breve apresentação ilustrou alguns dos conceitos mais importantes neste campo e
contou com o auxílio também das experiências, ensaios, desenvolvimento de ferramentas de
simulação adquiridas pelo grupo de pesquisa Politécnico de Milano.
Oliveira (2006) afirmou que, na prática corrente do projeto de torres de aço treliçadas
utilizadas para suportar linhas de transmissão de energia elétrica, a avaliação do
comportamento dinâmico das estruturas, de maneira geral, não é considerada. Contudo, o
principal carregamento a ser considerado na análise estrutural das torres de transmissão de
energia elétrica é produzido pelo vento, que atua de forma dinâmica sobre o sistema estrutural
formado pelos cabos e pelas torres. Tendo em vista que muitos acidentes envolvendo torres
treliçadas ocorrem, ainda que a velocidade de vento utilizada no projeto não tenha sido
atingida, é possível que em muitos casos o colapso tenha sido governado pelas ações
dinâmicas. Por este motivo, seu trabalho de pesquisa utilizou um modelo de elementos finitos
capaz de reproduzir com fidelidade o comportamento acoplado entre os cabos da linha de
transmissão e estrutura, quando submetidos aos carregamentos dinâmicos e não
determinísticos produzidos pelo vento. O modelo tridimensional estudado foi constituído por
48
elementos finitos de pórtico e treliça espacial e considerou o efeito de não-linearidade
geométrica decorrente, principalmente, dos grandes deslocamentos sofridos pelos cabos e
isoladores. O carregamento do vento foi modelado como um processo aleatório a partir das
suas propriedades estatísticas. Os resultados obtidos ao longo desse estudo mostraram que a
parcela dinâmica da resposta das estruturas pode ser determinante no seu comportamento.
Nesse caso, a utilização de uma análise estrutural estática pode resultar no mau
dimensionamento das torres e, conseqüentemente, em possíveis acidentes.
Manfrim (2006) teve por objetivo obter numericamente os valores das distribuições de
pressões devidas à ação do vento nas paredes e nos telhados de edifícios industriais. As
distribuições de pressões nas paredes e nos telhados foram determinadas através da simulação
numérica, utilizando-se o programa ANSYS 9.0, considerando-se a interação fluido-estrutura.
Posteriormente, comparam-se os resultados numéricos obtidos na simulação através do
ANSYS com os valores apresentados na norma NBR-6123 (1988), a fim de verificar a
viabilidade da utilização da simulação numérica para obtenção das distribuições de pressão
em outras estruturas, determinando, assim, o seu comportamento estrutural.
Silva (2006) analisou o amortecedor de linha de transmissão de energia do tipo
stockbridge compreendendo, principalmente o aperfeiçoamento de suas características de
amortecimento através de suas características dinâmicas e o seu posicionamento na linha de
transmissão, para obter o máximo de aproveitamento de dissipação de energia de vibração.
Com respeito às características dinâmicas, foi mostrado o modelo do amortecedor deduzido
da análise de equilíbrio dinâmico do elemento do cabo mensageiro, através da utilização do
princípio de Hamilton, assim como para as massas suspensas. Com respeito à posição do
dispositivo na linha, foi apresentado um estudo experimental em um vão de laboratório em
que as medidas efetuadas nas medições foram confrontadas com dois critérios de posição
ótima, obtidos da literatura. Para concluir o estudo através do modelo do stockbridge
deduzido no trabalho, foi realizado o ajuste de parâmetros dinâmicos, por meio do confronto
dos resultados obtidos experimentalmente em bancada de ensaio. Os resultados das
simulações com o Método de Elementos Finitos foram apresentados.
Henriques (2006) descreveu uma bancada para a realização de ensaios de fadiga em
cabos condutores de energia. A bancada foi projetada e construída de forma a permitir a
condução de uma ampla gama de ensaios, em especial, além dos ensaios de fadiga, poder
conduzir ensaios de vibração e de amortecimento, entre outros. A concepção adotada
possibilita a realização de testes em cabos condutores, com até 50 mm de diâmetro e com vão
ativo variando na faixa de 38 a 50 m de comprimento, com total controle e monitoramento em
49
tempo real das condições pré-estabelecidas para o ensaio. O sistema desenvolvido permite
controlar ou monitorar, entre outros parâmetros, a pré-tensão no cabo, a força de aperto nos
parafusos de fixação do grampo de suspensão, o deslocamento em qualquer ponto da amostra
em teste, a freqüência e a força de excitação, a temperatura e a deformação nos fios da
camada externa do cabo. Nos ensaios de fadiga o sistema mantém, durante todo o teste, uma
variação de no máximo 5 % da amplitude de deslocamento prescrita a 89 mm do último ponto
de contato entre o cabo (vão ativo) e o grampo de suspensão. Permite também, por meio de
sensores a laser, detectar o momento exato e a camada em que ocorre a quebra dos fios. A
bancada permite ainda variar o ângulo de saída do cabo no grampo de suspensão.
Rosário e Oliveira (2006), em seu trabalho, tiveram como objetivo a verificação dos
atuais procedimentos para o projeto de torres de linhas aéreas de transmissão de energia
elétrica. O trabalho analisou a norma NBR-5422 (1985) referente à projetos de linhas aéreas
de transmissão de energia elétrica que apresenta hipóteses para todos os tipos de carregamento
e a norma NBR-6123 (1988) referente à forças devidas ao vento em edificações, a qual trata
mais especificamente de carregamentos. Foi realizada uma análise estática e uma comparação
entre análises modais feitas através do programa SAP2000 e IN LOCO, por meio de
extensometria.
Oliveira et al. (2007) apresentaram uma metodologia de análise para o estudo do
comportamento dinâmico de torres de transmissão de energia. O modelo de elementos finitos
reproduziu o acoplamento entre os cabos da linha de transmissão e a estrutura. Este modelo
considera o efeito da não-linearidade geométrica decorrente dos grandes deslocamentos
sofridos pelos cabos e isoladores, sendo constituído por elementos finitos de pórtico e treliça
espacial. A ação do vento foi modelada como um processo não-determinístico, a partir das
suas propriedades estatísticas. Os resultados do trabalho demonstraram que a parcela
dinâmica da resposta das torres pode vir a ser determinante no seu comportamento.
Poovarodom e Yamaguchi (2007) examinaram sistemas de múltiplos condutores com a
finalidade de investigar as características do fenômeno de localização modal no sistema. As
freqüências naturais e as formas modais foram calculadas computacionalmente baseando-se
na modelagem de elementos finitos. Os movimentos de cabos nos subsistemas em diferentes
vãos são levemente acoplados e, portanto, possibilita a coerência do fenômeno de localização
modal quando uma leve perturbação é introduzida no comprimento do vão. Os graus de
localização dos modos normais são diferentes para os diferentes modos de vibração. As
oscilações modais, bem como os modos no plano vertical com vãos assimétricos são
facilmente localizadas, enquanto que a localização dos modos no plano vertical com vãos
50
simétricos é difícil de identificar na região de transição modal do parâmetro do cabo. Os
efeitos de fenômeno de localização modal também foram discutidos baseando-se em
parâmetros tais como tensão dinâmica e resposta forçada harmônica.
2.6 CONSIDERAÇÕES
Tendo por base a revisão bibliográfica apresentada neste capítulo, pode-se dizer que a
vibração em linhas de transmissão tem sido objeto de vários estudos, entretanto, para os
objetivos deste trabalho, os quais fazem parte de um Projeto P&D financiado pela
ELETRONORTE, na carteira ANEEL, optou-se em elaborar um modelo numérico da linha de
transmissão, tal que as seguintes condições sejam levadas em consideração: amortecimento
viscoso proporcional; os vãos de cabos adjacentes ao trecho modelado são representados por
um elemento de rigidez; os espaçadores-amortecedores são representados de forma
simplificada como elementos de viga equivalentes; e os isoladores são incluídos como
elementos de barra equivalentes. A excitação promovida pelo vento sobre a linha de
transmissão é dividida em duas parcelas, sendo uma estática e outra dinâmica. A parcela
dinâmica tem caráter não determinístico e é representada em função de parâmetros estatísticos
obtidos a partir do espectro de potência do vento.
51
CAPÍTULO 3 - VIBRAÇÕES EM CONDUTORES DE LINHAS DE
TRANSMISSÃO
3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Segundo Verma (2002), de todas as forças que causam ações estáticas e dinâmicas sobre
estruturas flexíveis, tais como cabos de linhas de transmissão, o vento desempenha um papel
significante, juntamente com chuvas e terremotos. O efeito do vento sobre os cabos deve ser
considerado primeiro, desde que resultem em grades deflexões. Uma estrutura imersa em um
determinado fluxo de vento está sujeita às forças aerodinâmicas, que inclui arrasto, a qual atua
na direção do fluxo médio, e sustentação, que age perpendicular à direção do fluxo de vento.
Para diferentes velocidades de vento, estas forças variam resultando em diferentes tipos de
movimentos dos condutores. Este capítulo é desenvolvido principalmente para dar idéia dos
diferentes tipos de vibrações em condutores.
3.2 CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS EM CONDUTORES
A energia absorvida pelo condutor pode ser dissipada pela fricção interna do material a
nível molecular, pela fricção das camadas do cabo, pela transferência de braçadeiras,
amortecedores, montagem de espaçadores-amortecedores, pela transferência para condutores
adjacentes (conjunto de condutores) ou retornando energia para o vento. As magnitudes
relativas destas dissipações e suas posições de fases dentro de cada ciclo de movimento
determinam se o movimento do condutor será mantido ou acelerado.
Os movimentos de condutores são caracterizados de acordo com:
¾ o mecanismo de transferência de energia,
¾ diferentes padrões de movimento,
¾ faixa de freqüência de ocorrência de vibrações,
¾ amplitudes de vibração,
¾ diferentes efeitos sob o condutor, braçadeiras e outras ferramentas.
Estes movimentos estão divididos em três principais categorias: Vibrações Eólicas,
Galope do Condutor e Oscilações devido à Esteira (rotações). Estas são comentadas em
maiores detalhes a seguir.
52
3.2.1 Vibrações Eólicas
Verma (2002) afirma que observações realizadas em 1920 mostraram que as rupturas
em cabos foram atribuídas à fadiga de metal, resultando do fato que as linhas de transmissão,
sob certas condições de vento vibravam. Essas observações também indicaram que as
vibrações ocorreram dentro de uma faixa de velocidades de vento (1 a 7 m/s) e foi conhecido
o fato de que a turbulência do ar diminuiu a severidade das vibrações. Este tipo de vibração de
baixa amplitude de aproximadamente uma vez o diâmetro do condutor (Fig. 3.1) e freqüência
mais elevada resultante de ventos de baixas velocidades é denominado vibração eólica.
Figura 3.1 - Amplitude de oscilação do condutor (modificado, Snegovski, 2004).
Segundo Oliveira (1996), a causa básica deste tipo de vibração é o desprendimento
alternado de vórtices induzidos pelo vento, na parte superior e inferior do condutor (Fig. 3.2).
Esta ação cria um desbalanceamento das pressões, forçando o condutor a se mover para cima
e para baixo em ângulo reto com a direção do vento.
Figura 3.2 – Desprendimento de vórtices no condutor (modificado, Snegovski, 2004).
O aumento do número de Reynolds (Eq. 3.1) proporciona o desprendimento de vórtices
que formam uma esteira que ficou conhecida como esteira de Von Karman, pelo fato do
53
mesmo ter observado que esta esteira formada através da passagem de um fluido por um
corpo cilíndrico, não regular.
Re
VD
ν
=
(3.1)
sendo V a velocidade de fluxo do fluido; D o diâmetro do condutor e
ν
a viscosidade
cinemática do fluido.
A Tabela 3.1 apresenta o comportamento da esteira de vórtice em função do número de
Reynolds sobre um cilindro.
Tabela 3.1 - Regime do fluxo de um fluido em volta de um cilindro liso circular
(modificado, Blevins, 1990).
Re < 5
Regime de fluxo não separado.
5 ≤ Re < 40
Um par fixo de vórtices em turbulência.
40 ≤ Re < 150
Esteira de vórtices é laminar.
150 ≤ Re < 300
Transição para vórtice turbulento.
300 ≤ Re < 3.10
5
A esteira de vórtices é totalmente turbulenta.
3.10
5
≤ Re < 3,5. 10
6
A camada limite laminar sofreu transição
turbulenta e a esteira é estreita e desorganizada.
3,5. 10
6
≤ Re
Re-estabelecimento da esteira de vórtices
turbulento.
54
Verma (2002) afirma que Strouhal foi o primeiro a relatar uma considerável
regularidade do efeito de esteira e salientou que o fenômeno do desprendimento de vórtices
pode ser descrito em termo de um número não-dimensional chamado número de Strouhal,
como mostra a Eq. (3.2):
S
f
D
S
V
=
(3.2)
sendo
s
f
a freqüência de excitação do vento; D o diâmetro do condutor (corpo) e V a
velocidade do vento (regime laminar).
O número de Strouhal está compreendido entre 0,185 e 0,2 para vibrações em
condutores. Se a freqüência da força alternada resultar de um vento transversal uniforme e
constante, tal que corresponda, aproximadamente, à freqüência de um modo de vibração do
condutor do vão, o condutor tenderá a vibrar no plano vertical. Negligenciando o valor de
amortecimento nas extremidades do vão, a vibração pode obter a forma de ondas, com nós
fixos.
Os dois parâmetros necessários para a análise do desprendimento dos vórtices são os
números de Reynolds e Strouhal, os quais são relacionados empiricamente na Tabela 3.2
(Irvine, 2006).
Tabela 3.2 - Número de Strouhal x Número de Reynolds para uma seção circular
(modificado, Irvine, 2006).
Número de Reynolds Número de Strouhal
< 30 0
50 0,13
500 0,20
1000 0,21
10
4
0,20
10
5
0,19
10
6
0,21
10
7
0,23
55
No gráfico da Fig. 3.3 é apresentado o número de Strouhal em função do número de
Reynolds para dois cilindros circulares estacionários imersos em um fluxo subsônico, sendo
um liso e outro rugoso.
Figura 3.3 - Número de Strouhal x Número de Reynolds para dois cilindros, um liso e outro rugoso
(modificado, Silva, 2006).
No caso de vibrações eólicas em uma linha de transmissão, com um conjunto de
condutores, um parâmetro importante é o número de espaçadores, enquanto que sua posição
não é levada em conta, pois os valores de comprimento de onda envolvidos neste fenômeno
são de apenas alguns metros, as tolerâncias no posicionamento dos espaçadores torna os
comprimentos dos sub-vãos diferentes entre si. Deste modo, qualquer que seja o espaçamento
é praticamente impossível que para qualquer modo de vibração do condutor, todos os
espaçadores estejam localizados em nós de deflexão e assim não contribuam para dissipar a
energia do condutor. Na relação entre espaçador e vibração eólica é muito mais importante
aperfeiçoar o espaçador, ou seja, suas características como rigidez e amortecimentos dos
elementos elásticos, geometria e a inércia das peças (CIGRÉ, 2005a).
3.2.2 Galope do Condutor
O galope em condutor é uma vibração de baixa freqüência (0,1 a 3 Hz) e alta amplitude,
principalmente na direção vertical do condutor. Ventos cruzados moderadamente fortes e
estáveis atuando sobre uma superfície assimétrica do condutor congelado, normalmente, é
56
uma das causas deste tipo de vibração. Mesmo uma camada muito fina de gelo (1 a 2 mm)
pode causar o galope.
O gelo geralmente é depositado na superfície de barlavento do condutor. Se um depósito
de gelo tem a forma propícia ao galope, a rotação do condutor com relação ao vento pode
levar a uma variação na sustentação do condutor e isto pode levar à oscilação do condutor na
direção vertical. O Galope é o tipo de vibração mais perigoso para os condutores, pois pode
não só quebrar o condutor, mas também danificar amortecedores, fios, grampos dos isoladores
e outros dispositivos (Verma, 2002).
O galope ocorre geralmente em regiões em que as temperaturas oscilam em torno de
0 °C, seguidas de ventos moderados ou fortes. O gelo formado sobre a linha de transmissão
modifica a seção da mesma, normalmente, para uma forma semelhante à de um aerofólio.
Este tipo de vibração deve-se, principalmente, à instabilidade aerodinâmica e, é um exemplo
de vibração auto-excitada (Fig. 3.4). Este fenômeno não é um caso de ressonância, pois pode
ocorrer durante um vento estável ocasionando uma freqüência forçada que não coincida com a
freqüência natural da linha de transmissão.
Figura 3.4 - Amplitude de oscilação do condutor em galope (modificado, Irvine, 2006).
Este tipo de movimento é um exemplo de “instabilidade aerodinâmica ou
amortecimento negativo”. A ponte de Tacoma no estado de Washington no extremo norte da
costa oeste dos Estados Unidos entrou em colapso em 1940, devido a um mecanismo
semelhante. O atual movimento das linhas de transmissão pode ser uma combinação dos
modos apresentados na Fig. 3.5. Estas são as formas modais vistas de uma vista perpendicular
aos condutores. A seta dupla representa a amplitude do movimento. A linha tracejada
57
representa a forma em catenária do condutor suspenso, quando apoiado em suas extremidades
e sofrendo a influência de seu próprio peso.
Figura 3.5 - Possíveis modos de galope (exagerados) para um sub-vão (modificado, Irvine, 2006).
Assim como para um único condutor, um feixe de condutores pode também ser
submetido a galope devido à formação de gelo sobre sua superfície e esse problema pode ser
analisado através de um
software em três dimensões, que utilize o modelo de elementos
finitos, com a finalidade de reproduzir exatamente os efeitos dos vãos adjacentes, tipo e
geometria dos isoladores, a não linearidade geométrica e a distribuição real de tensão ao longo
dos condutores. O conjunto de cabos pode ser modelado utilizando elemento de viga para
reproduzir o comportamento inercial e elástico dos mesmos, levando em consideração a
influência dos espaçadores através de coeficientes aerodinâmicos adequados, obtidos por
meio de um túnel de vento com diferentes perfis de gelo. Neste caso, também é importante
introduzir ao modelo os ajustes realizados nas extremidades do vão. Este fenômeno pode
ocorrer juntamente com oscilações do sub-vão (CIGRÉ, 2005b).
3.2.3 Oscilações devido à Esteira
Em linhas de transmissão, este tipo de movimento induzido pelo vento é conhecido
como a terceira principal causa de problemas nos condutores. As oscilações devido à esteira
são comuns em um feixe de cabos, submetidos aos ventos cruzados fortes e moderados. Este
fenômeno surge do efeito de camada do barlavento no sentido do sotavento do sub-conductor
e acontece quando um sub-condutor penetra na esteira gerada pelo condutor adjacente
(Fig. 3.6). Dependendo da relativa magnitude e fase das forças envolvidas, o movimento de
sotavento no sub-condutor pode ser reprimido ou evoluir para uma órbita elíptica ou irregular.
58
E este movimento de sotavento é transferido para o barlavento através de espaçadores ou de
outros equipamentos e, dependendo da fase e amplitude do barlavento do sub-condutor, o
movimento torna-se mais complexo.
Figura 3.6 - Oscilações devido à esteira num feixe duplo de condutores
(modificado, Lilien e Snegvsk, 2004).
Vibrações de esteira proporcionam vários tipos de movimento no feixe de condutores. O
movimento é observado na maioria das vezes, quando os condutores estão desencapados e
secos. No entanto, pode ocorrer com um condutor congelado ou na ocorrência de chuvas. Na
maioria dos casos, os danos se limitam ao desgaste rápido dos equipamentos de suspensão, a
fadiga dos espaçadores ou de outros acessórios. Mas a pior situação é quando ocorre falha nos
equipamentos de suspensão ou esmagamento dos fios do condutor devido à colisão.
Uma baixa rigidez favorece a interação entre os sub-vãos adjacentes e a redução das
tensões do condutor nas garras do espaçador. No entanto, uma rigidez muita baixa pode fazer
com que dois sub-vãos se comportem como um único sub-vão mais longo, aumentando a
sensibilidade do sub-vão às oscilações. Além do mais, sob oscilações severas espaçadores-
amortecedores com baixa rigidez podem apresentar grandes deslocamentos dos braços, o que
conduz a um desgaste e fadiga do mecanismo de amortecimento.
A contribuição do amortecimento referente às articulações do espaçador não tem
atenuado as oscilações no sub-vão. Para que se torne realmente efetiva é necessário que o
amortecimento seja significativamente mais alto que o normal. O ângulo do braço é
importante, uma vez que afeta a rigidez aparente no plano horizontal. Um arranjo horizontal
do braço torna o espaçador-amortecedor muito rígido neste plano (CIGRÉ, 2006).
Sobre a superfície do condutor que fica contra o fluxo de vento (barlavento) existe
apenas a força de arrasto, enquanto que as forças que atuam na superfície do condutor
posterior ao barlavento (sotavento) dependem do movimento e da posição relativa ao
59
barlavento do condutor e da distribuição do vento. Adotando-se um par genérico de um
conjunto de condutores em um tempo qualquer, a velocidade relativa ao sotavento do
condutor determina a direção da esteira que se propaga rapidamente no sentido a favor do
vento.
As reduções de velocidades são altas e permitem a aplicação da teoria da estabilidade.
Os coeficientes de arrasto (
A
C ) e de sustentação (
S
C ) para o fluxo no sentido do vento
depende da posição relativa entre a montante e a jusante do condutor. Estes coeficientes são
obtidos experimentalmente em túnel de vento utilizando dois cilindros, sendo que um deve
encontrar-se na esteira do outro.
A faixa de freqüência que abrange este fenômeno em conjunto de condutores é de
1 a 2 Hz e o primeiro modo em sub-vãos é excitado. A oscilação em sub-vãos ocorre com
velocidades de vento relativamente altas (10 a 30 m/s). Os movimentos do sub-vão são
caracterizados por um fenômeno de instabilidade do tipo agitação, que pode ser representado
através de um exemplo clássico de um conjunto de condutores com a velocidade do vento
constante (CIGRÉ, 2006).
Uma simulação de oscilação induzida por esteira e a computação da amplitude de
vibração, tanto no regime turbulento e não turbulento do vento, podem ser executadas por um
software de elementos finitos que incorpore a equação do movimento no domínio tempo ou
por uma abordagem modal em que as freqüências naturais e modos de vibração são
computados por um método de elementos finitos.
Este tipo de simulação pode ser executada no domínio da freqüência usando um balanço
de energia: neste caso, a energia de vento de entrada é calculada como uma função da
amplitude elíptica de órbita do movimento relativo. A energia de balanço obviamente
considera condições estáveis e permite somente a avaliação de amplitudes de ciclo limite de
oscilação em um regime de vento não turbulento.
O movimento resultante deste fenômeno pode ser na vertical ou no plano horizontal.
Alternadamente, o movimento pode ser de torção. Quatro possíveis modos de vibração de um
sistema com dois cabos são mostrados na Fig. 3.7.
A seguir, é realizada na Tabela 3.3 a comparação entre as características apresentadas
por cada um dos três tipos de vibrações induzidas pelo vento.
60
Figura 3.7 - Modo de vibrações induzidas por esteira em condutores paralelos (modificado, Irvine, 2006).
Tabela 3.3 - Comparação entre os tipos de vibração (modificado, Verma, 2002).
Vibração Eólica Galope do Condutor Oscilações devido à Esteira
Tipo de linha de
transmissão afetada
Todas Todas Todas
Faixa de freqüência (Hz) 3 a 150 0,08 a 3 0,15 a 10
Faixa de amplitude
(tomando o diâmetro do
condutor (D) como
medida)
0,01 a 1 5 a 300
Modo de corpo rígido
0,5 a 80
Modo de sub-vão
0,5 a 20
Condições de Tempo Favoráveis aos Movimentos do Condutor
Característica do vento Laminar Laminar Laminar
Velocidade do vento (m/s) 1 a 7 7 a 18 4 a 18
Superfície do condutor
Desencapada/congelada
uniformemente
Congelada
assimetricamente
Desencapada/seca
Danos
Tempo estimado para o
desenvolvimento de falhas.
3 meses a 20 anos 1 a 48 horas 4 a 18 horas
Causa direta do dano
Fadiga do metal devido a
carregamento cíclico
Cargas dinâmicas Altas
Colisão dos condutores e
desgaste físico acelerado
Componentes de linha
mais afetados pelos danos
Condutor e para-raios
Condutor, ferragens,
isoladores e estruturas
Acessórios de suspensão,
espaçadores, amortecedores e
fios do condutor
Condições de projeto que
afetam o movimento do
condutor
Tensão da linha, auto-
amortecimento do condutor,
uso de amortecedores e
protetores (barras)
A relação entre as
freqüências naturais
verticais e as freqüências
naturais torsionais, razão
de decaimento e as
condições de contorno
Separação e arranjo do sub-
condutor, inclinação do feixe e
distância entre os espaçadores
61
3.3 CONSIDERAÇÕES
Este capítulo apresentou os principais tipos de vibrações em cabos condutores de linhas
de transmissão, mostrando a influência de parâmetros como, o número de Reynolds e de
Strouhal sobre os movimentos dos cabos condutores.
A partir das características apresentadas para cada tipo de vibração, pode-se estimar qual
o tipo de movimento de condutor que determinada linha de transmissão estará sujeita, o que
contribui para a tomada de medidas adequadas visando garantir não só a vida útil dos
condutores, como também o bom funcionamento de todos os componentes da linha de
transmissão.
62
CAPÍTULO 4 - A INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ FLEXURAL EM CABOS
4.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
Cabos flexíveis são freqüentemente usados em projetos estruturais de engenharia para
sustentar e transmitir cargas de um elemento a outro. Quando utilizados em pontes suspensas
e carretilhas, os cabos se constituem no principal elemento de transmissão de carregamento de
esforços. O cabo é utilizado ainda em linhas de transmissão e em muitos outros casos. No
cálculo que envolve cabos é necessário que se conheçam as relações existentes entre as
tensões, o vão, a flecha e o comprimento do cabo. Deve-se considerá-lo, então, como um
corpo em equilíbrio, assumindo que a resistência à flexão do cabo é desprezível. Tal
suposição implica que a força que atua neste elemento encontra-se sempre na direção
longitudinal. O estudo de cabos flexíveis é baseado na teoria de cordas vibrantes e vigas
uniformes (Meriam, 1979).
Este capítulo tem como objetivo mostrar a influência da rigidez flexural no
comportamento de cabos condutores de linhas de transmissão.
4.2 A EQUAÇÃO DAS CORDAS VIBRANTES
Segundo Den Hartog (1972), considera-se uma corda (Fig. 4.1a), na qual, ao longo de
seu comprimento, um número infinito de massas seja posicionado. Tal hipótese leva ao
conceito de uma corda uniforme de massa distribuída.
Figura 4.1 - (a) Corda vibrante engastada; (b) componentes verticais das tensões que agem
sobre um elemento dx da corda esticada (modificado, Den Hartog, 1972).
63
A equação do movimento é deduzida através da 2ª lei de Newton para um elemento
infinitesimal dx (Fig. 4.1b) da corda, da qual a tensão T é considerada constante ao longo da
corda. Adotando-se
()
yx,t como a curva de deflexão durante a vibração, sendo que as
ordenadas variam com a posição ao longo da corda e com o tempo. A partir da Fig. 4.1b pode-
se observar na Eq. (4.1) a componente vertical da tensão
T
, que atua para a esquerda em
determinado ponto
x
da corda.
1
=−
y
TTsen
θ
(4.1)
Considerando que o ângulo
θ
é muito pequeno tem-se que:
1
=− ≈−
y
TTsenTtg
θ
θ
(4.2)
Através da definição geométrica de derivada, a Eq. (4.2) pode ser reescrita como:
1
∂
=−
∂
y
y
TT
x
(4.3)
Esta componente da tração é negativa, pois seu sentido no eixo
y
é para baixo. O
coeficiente diferencial é parcial, devido
y
também ser uma função de t , isto é, a curva de
deflexão não é obtida variando-se apenas a posição ao longo da corda, pois sua posição
depende do tempo. Na extremidade direita do elemento
dx
, pode-se obter através da Eq. (4.4)
o valor da componente vertical.
2
2
2
∂∂∂∂∂ ∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
=+∂ =+ =+
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂∂∂∂ ∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
y
y
yy y yy
TT T T T dxT T dx
xxxxx xx
(4.4)
O fator
2
2
y
dx
x
∂
∂
representa o aumento na inclinação ao longo de dx . Como as duas forças
verticais sobre o elemento
dx
não são iguais (Fig.4.1b), há um excesso de solicitação no
sentido positivo do eixo
y
o que faz acelerar o elemento para cima. Considerando a massa por
64
unidade de comprimento (densidade linear) da corda igual a
1
μ
, a massa de
dx
será
1
μ
dx
, e
aplicando a 2ª lei de Newton tem-se que:
1
22
22
yy
dx
tx
dx T
μ
∂∂
=
∂∂
(4.5)
Dividindo a Eq. (4.5) por dx , obtém-se a seguinte equação (equação da onda
unidimensional):
1
22
22
yy
tx
T
μ
∂∂
=
∂∂
(4.6)
Para solucionar a Eq. (4.6), deve-se supor que a corda vibre harmonicamente e, na
freqüência natural, a corda terá uma configuração semelhante às formas modais de vibração.
Isto implica dizer matematicamente que a função
(
)
y
x,t pode ser escrita através da Eq. (4.7),
que apresenta a separação das variáveis x e t:
() ()
, =yxt yxsent
ω
(4.7)
Derivando a Eq. (4.7) são obtidas as equações:
cos
∂
=
∂
y
y
t
t
ω
ω
(4.8)
2
2
2
y
sen t
t
ω
ω
∂
=−
∂
(4.9)
∂∂
=
∂∂
yy
sen t
xx
ω
(4.10)
22
22
s
ydy
en t
xdx
ω
∂
=
∂
(4.11)
65
Substituindo as Eqs. (4.9) e (4.11) na Eq. (4.6) obtém-se a Eq. (4.12), que é uma
equação diferencial ordinária de segunda ordem:
(4.12)
Logo, a solução geral da Eq. (4.12) é dada pela Eq. (4.13), a qual determina a forma da
corda no instante de deflexão máxima.
22
11
12
() . cos .
y
xCsen xC x
TT
μω μω
⎛⎞⎛⎞
=+
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
(4.13)
As constantes de integração
C
1
e C
2
são determinadas através das condições de
contorno. Assumindo que as amplitudes nos extremos da corda sejam iguais a zero, tem-se:
{
0
0
x
y
x
l
=
=⇒
=
Substituindo
x = 0, tem-se:
12
(0) 0 .0 .1
y
CC== + (4.14)
Então, assumindo que
C
2
=
0, tem-se para x = l que:
2
1
1
() 0 .
y
lCsen l
T
μω
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(4.15)
A solução da equação anterior pode ser alcançada, fazendo
C
1
= 0, que fornece uma
solução correta, mas particular, com a corda permanecendo estacionaria. Entretanto, a
Eq. (4.15) também pode ser satisfeita fazendo o argumento do seno igual a um múltiplo
inteiro de
π
, o que é apresentado na equação a seguir:
2
2
1
2
2
2
1
2
22
1
2
s
dy
sent T ent
dx
dy
yT
dx
dy
y
dx T
μ
ωω ω
μω
μω
−=
−=
=−
66
2
1
.ln
T
μω
π
=
(4.16)
sendo
n = 0, 1, 2, 3,..., a variável inteira que representa o modo de vibração. Pode-se isolar
ainda na Eq. (4.16) o valor da freqüência natural através de um procedimento matemático, e
chegar à Eq. (4.17).
n
1
nπ T
ω =
l
μ
(4.17)
A Eq. (4.17) determina as freqüências naturais, enquanto que as formas modais de
vibração correspondentes podem ser encontradas através da substituição da Eq. (4.17) na Eq.
(4.15). Os resultados são ilustrados na Fig. 4. 2.
Figura 4.2 - Os três primeiros modos naturais de movimento de vibração lateral
de uma corda uniforme (modificado, Den Hartog, 1972).
Há uma infinidade de curvas elásticas normais e, correspondentemente, uma infinidade
de freqüências naturais. O movimento em cada um desses modos é tal que a amplitude de
cada ponto da corda varia harmonicamente com o tempo, e conseqüentemente, a curva natural
permanece semelhante a si mesma.
Dessa forma, se uma corda é defletida numa das formas da Fig. 4.2 e depois
abandonada, ela volta para sua posição original em um intervalo de tempo
t
4
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
determinado
pelo período natural de vibração (
t ). Nessa freqüência e forma, as forças de inércia e de mola
de cada elemento
dx da corda estão em equilíbrio entre si a cada instante.
67
4.3 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DA CORDA VIBRANTE CONSIDERANDO O
EFEITO DA RIGIDEZ FLEXURAL
Segundo Steidel (1989), Lord Rayleigh considerou a vibração de uma viga uniforme
com carregamento axial e admitiu uma forma para a primeira curva elástica normal, a partir
desta consideração, as energias potencial e cinética (máximas) são calculadas e igualadas.
Naturalmente, se a forma “exata” fosse tomada como base para os cálculos, a freqüência
calculada seria exatamente correta, para uma forma que pouco se diferenciasse da curva exata.
Por este motivo, obtém-se uma boa aproximação e bastante útil para a freqüência. Este
método é muito utilizado para calcular baixas freqüências de sistemas contínuos.
Como exemplo deste tipo de problema, tem-se as vibrações em cabos de linhas de
transmissão que têm aparecido em diversos lugares, mas as soluções são limitadas. O
problema de vibrações em condutores é uma variação muito interessante de vibrações
transversais em vigas uniformes.
A freqüência natural de vibração de um cabo pode ser encontrada assumindo que o
mesmo é igual a uma corda. Tal suposição negligencia as propriedades elásticas do cabo e a
flexão do mesmo nos pontos próximo aos suportes, que é a causa de falhas.
Conseqüentemente, a rigidez à flexão não pode ser ignorada.
O desprendimento regular de vórtices de um cabo causado por um vento suave é
geralmente aceito como uma das razões básicas para a vibração em cabos. Entretanto, existem
ainda danos causados por fadiga nos cabos.
Sob determinadas condições, como por exemplo o escoamento de ar acima de um cabo
ou arame cilíndrico, o padrão de escoamento não é simétrico, mas é regularmente distribuído
pela formação dos vórtices na parte de trás do cabo. Este escoamento assimétrico provoca
alteração da pressão distribuída em torno do cabo.
Como os vórtices ou redemoinhos são áreas de pressão reduzida, seus períodos de
formação resultam em uma diferença de pressão que alterna forças no cabo de baixo para
cima e de cima pra baixo. Se esta periodicidade corresponder à freqüência de ressonância, a
amplitude de vibração se eleva, até que a energia transmitida para o cabo pelo vento se iguale
à energia dissipada através de histerese. Esta alternância de flexão do cabo resulta em uma
falha por fadiga nos engastes ou apoios. Este movimento alternado faz com que o cabo fique
bastante tensionado nos ponto de fixação.
Pode-se encontrar a equação da corda vibrante que leva em consideração a rigidez
flexural da seguinte forma: considere um pequeno elemento de cabo
dx (Fig. 4.3b), que está
68
sujeito a forças de tensão, de esforço cortante e momento fletor. Este desbalanceamento de
forças causa uma aceleração no elemento de cabo na direção vertical. Inicialmente, faz-se a
somatória de forças na direção vertical, como é mostrado a seguir.
Figura 4.3 - (a) Cabo sujeito à esforços de tensão, cisalhamento e momento fletor;
(b) um elemento infinitesimal do cabo (modificado, Steidel, 1989).
Aplicando a segunda lei de Newton em um elemento infinitesimal dx do cabo, tem-se
que:
2
2
∂
=
∂
∑
wy
Fdx
gt
(4.18)
Na qual
gew são, respectivamente, a aceleração da gravidade e o carregamento
(peso) para um elemento de comprimento dx. O segundo termo da equação é a aceleração do
movimento. Desenvolvendo a somatória da forças, tem-se que:
cos cos cos
⎡∂⎤ ∂
⎛⎞
=− + + − + +
⎜⎟
⎢⎥
∂∂
⎝⎠
⎣⎦
∂∂∂
⎛⎞
=− + + +
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∑
∑
V
FTsenTsen dxVV dx
xx
V
FT Tsen dx sendx dx
x
xx
θ
θθ
θθ
θθ θ
(4.19)
Considerando que:
69
cos 1
cos
∂∂
≈
∂∂
∂
≈
∂
=
sen dx dx
x
x
dx
x
HT
θθ
θ
θ
Desta forma, tem-se que:
cos
∂
∂
=− + + +
∂∂
∂∂
=+
∂∂
∑
∑
V
F Tsen Tsen T dx dx
x
x
V
F H dx dx
xx
θ
θθ θ
θ
(4.20)
Portanto, tem-se:
2
2
∂∂ ∂
+=
∂∂ ∂
Vwy
Hdx dx dx
x
xgt
θ
(4.21)
Considerando a corda engastada (Fig. 4.4), tem-se que:
Figura 4.4 - Corda engastada.
2
2
y
x
y
y
dx dx dx
xxx x
θ
θ
∂
=
∂
∂∂∂∂
⎛⎞
==
⎜⎟
∂∂∂ ∂
⎝⎠
Aplicando as relações gerais de deflexão, esforço cortante e momento fletor novamente,
a forma final da Eq. (4.21) do movimento é uma equação parcial diferencial de quarta ordem,
dada por:
70
22 2 2
22 2 2
0
yywy
EI dx H dx dx
xx xgt
⎛⎞
∂∂ ∂ ∂
−+=
⎜⎟
∂∂ ∂ ∂
⎝⎠
(4.22)
A solução da Eq. (4.22) pode ser obtida pelo método clássico de separação de variáveis.
Pode-se, assim, escrever a solução como um produto de duas funções separadas que
individualmente dependem de x e t. Então:
() () ()
12
,
y
xt f t f x=⋅ (4.23)
Logo, as derivadas da Eq. (4.22) assumindo a função
(
)
,
y
xt descrita na Eq. (4.23) são:
()
()
2
2
1
2
22
ft
y
f
x
tt
∂
∂
=⋅
∂∂
(4.24)
()
()
2
2
2
1
22
fx
y
f
t
xx
∂
∂
=⋅
∂∂
(4.25)
()
()
4
4
2
1
44
fx
y
f
t
xx
∂
∂
=⋅
∂∂
(4.26)
Portanto, as componentes diferenciais das equações são:
()
()
2
1
2
1
2
0
n
df t
ft
dt
ω
+=
(4.27)
() ()
()
42
22
2
2
42
0
n
df x df x
w
EI H f x
dx dx g
ω
−−= (4.28)
Assumindo a solução dependente do tempo, sendo uma função harmônica da forma:
()
1
cos s
nn
f
tA tBent
ω
ω
=+ (4.29)
71
Substituindo na Eq. (4.28), independente do tempo, a solução exponencial dada por
()
2
rx
f
tCe= e suas respectivas derivadas:
2
rx
f
rCe
x
∂
=
∂
(4.30)
2
2
2
2
rx
f
rCe
x
∂
=
∂
(4.31)
3
3
2
3
rx
f
rCe
x
∂
=
∂
(4.32)
4
4
2
4
rx
f
rCe
x
∂
=
∂
(4.33)
Tem-se a equação do movimento dada por:
()
42
2
42
2
42
0
0
rx rx
rx
n
rx
n
rCe rCe w
EI H Ce EI
dx dx g
w
H
rr Ce
EI gEI
ω
ω
−−=÷
⎛⎞
−− =
⎜⎟
⎝⎠
(4.34)
Sabe-se que o segundo termo da multiplicação não é nulo, portanto, tem-se que:
2
42
0
n
w
H
rr
EI EIg
ω
−−= (4.35)
Assumindo k e λ como as raízes quadráticas da equação característica, tem-se:
()
()
()
()
12
2
2
2
2
12
2
2
2
2
k
2
4
λ
2
4
n
n
w
HH
Parte real
EI gEI
EI
w
HH
Parte imaginária
EI gEI
EI
ω
ω
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(4.36)
72
Esta solução pode ser expressa através de uma função exponencial ou também por
funções circulares e hiperbólicas, desde que se tenha usado anteriormente no desenvolvimento
funções circulares e hiperbólicas. Portanto, é possível escrever a solução de
()
2
f
x sendo:
()
21 2 3 4
cosh k s k cos s
f
xC xCenhxC xCenx= + +λ+λ (4.37)
Esta solução é admitida a partir da Eq. (4.36), que mostra as raízes quadráticas sendo:
2
k = Parte positiva (Real)
2
λ = Parte negativa (imaginária)
Portanto, a primeira raiz fornece uma exponencial com números reais (Eq. 4.38) e a
segunda fornece uma exponencial complexa (Eq. 4.39). Logo, a solução é dada pela soma de
funções hiperbólicas e circulares como visto na Eq. (4.37) e mostradas a seguir.
k
21 1 2
cosh k s k
x
f
Ce C x C enh x
±
== + (4.38)
22 3 4
cos s
x
f
Ce C x C en x
±λ
== λ+λ (4.39)
Substituindo na Eq. (4.28) as derivadas de segunda e quarta ordem (Eqs. 4.40 e 4.43)
resultantes da Eq. (4.37), obtem-se a Eq. (4.44).
()
21 2 3 4
' k hk k coshk cos
f
xCsenxC xCsenxC x=+−λλ+λλ (4.40)
()
2222
21 2 3 4
'' k cosh k k k cos
f
x C xCsenhxC xCsenx=+−λλ−λλ (4.41)
()
33 33
21 2 3 4
''' k h k k cosh k cos
f
xCsenxC xCsenxC x=++λλ−λλ
(4.42)
()
() ( ) ( )
22
44 44
21 2 3 4
44
21 2 34
'''' k cosh k k h k cos
'''' k cosh k h k cos
hiper circ
ff
f
xC xCsenxC xCsenx
f
xCxCsenxCxCsenx
=++λλ+λλ
=++λλ+λ
1
4444244443 144424443
(4.43)
73
()
()
()
()
()
()
()
()
442222
222222
42 2 4 2 2
22
kk 0
k k 0 (4.44)
hiper circ hiper circ n hiper n circ
n hiper n circ
ww
EI f EI f H f H f f f
gg
ww
EI H f EI H f
gg
ωω
ωω
+λ − +λ − − =
⎛⎞⎛ ⎞
−− +λ+λ− =
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
O termo
2hiper
f
não assume o valor zero, ou seja, apresenta uma tendência assintótica
para o valor nulo, mas isto não acontece. O termo
2circ
f
assume o valor zero em certos
instantes de tempo, porém como a solução encontrada é válida para qualquer instante de
tempo
t , admite-se que este valor também é diferente de zero. Para que a igualdade da
Eq. (4.44) seja satisfeita, os outros dois termos devem ser iguais à zero. As constantes
C
1
, C
2
,
C
3
e C
4
são determinadas satisfazendo as condições de contorno apropriadas.
Para um vão simplesmente apoiado, as condições de contorno para as extremidades
pinadas, devem ser tais que o deslocamento na vertical e o momento fletor sejam ambos
iguais a zero em qualquer instante de tempo. Assumindo que estas condições de contorno
sejam iniciais para a equação de freqüência (Eq. 4.45), é realizado um simples procedimento
matemático, como mostrado a seguir para encontrar o valor de
n
ω
(Eq. 4.46).
42 2
0
n
w
EI H
g
ω
λ+ λ− = (4.45)
242
242
222
n
n
n
w
EI H
g
EIg gH
ww
EIg gH
ww
ω
ω
ω
=λ+λ
=λ+λ
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
=λ λ +
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
2
n
EIg gH
ww
ω
⎛⎞⎛⎞
=λ λ +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
(4.46)
O termo λ (autovalor de interesse) deve ser encontrado através da solução da equação da
freqüência. Negligenciando a rigidez de flexão, a equação de freqüência assumirá a forma
para o caso padrão de cordas vibrantes. Negligenciando a tensão axial, a equação de
freqüência assumirá a forma para o caso de uma viga uniforme simplesmente apoiada.
Portanto, para o cálculo de λ, negligencia-se a rigidez de flexão na Eq. (4.46), logo:
74
22 22
1
nn
Hg H
w
ωω
μ
=λ ⇔ =λ
(4.47)
Considerando que:
1
c
c
mg
w
L
m
L
μ
=
=
Então, comparando a Eq. (4.47) com a equação da corda vibrante (Eq. 4.17), tem-se que:
n
L
π
λ= (4.48)
Reescrevendo a Eq. (4.46) para o resultado em Hertz, tem-se que:
2
11
2
n
EI H
f
πμμ
⎛⎞
λ
=λ+
⎜⎟
⎝⎠
(4.49)
Se for negligenciada a tensão axial e adotada a consideração da Eq. (4.50), a Eq. (4.46)
assume as formas das Eqs. (4.51) e (4.52).
22
2
2
nn
LL
π
π
λ= ⇒λ = (4.50)
2
1
2
2
1
2
2
n
n
EI
f
nEI
f
L
πμ
π
μ
λ
=
=
(4.51)
22
2
1
n
nEI
L
π
ω
μ
= (4.52)
75
A Eq. (4.52) demonstra que, desprezando a tensão do cabo na Eq. (4.46), a equação
assume a forma que determina os valores de freqüência natural para uma viga uniforme (Den
Hartog, 1972).
4.4 CÁLCULO DA RIGIDEZ APROXIMADA DO CONDUTOR EM ESTUDO
A rigidez de um condutor é dada pelo produto entre seu módulo de elasticidade e seu
momento de inércia de área. Esta propriedade tem influência direta sobre o comportamento do
cabo condutor e, se não for controlada de maneira adequada, pode contribuir para o
comprometimento global da estrutura.
Segundo CIGRÉ (1989), o valor aproximado da rigidez é calculado inicialmente
assumindo que os fios estão soldados uns aos outros, o que eleva o valor da mesma para um
valor máximo. Esta rigidez máxima (
max
EI ) é determinada através da Eq. (4.53): sendo o
momento de inércia máximo (
max
I
) calculado por meio da Eq. (4.54), observando os dados
apresentados na Fig. (4.5):
max Al Al Aç Aç
E
IELEL=∑+∑
(4.53)
Figura 4.5 - Seção do condutor GROSBEAK 636 (modificado, CIGRE, 1989).
22
2
max
88
cc c
Nd d
I
R
π
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
(4.54)
sendo
Al
E e
Aç
E
respectivamente, o módulo de elasticidade do alumínio e do aço;
c
d o
diâmetro do fio da camada analisada;
c
N o número de fios por camada e
o raio da camada
do condutor.
76
Considera-se agora que o cabo possui os fios livres para se movimentar e sem fricção
relativa entre os mesmos, condições estas que reduzem o valor da rigidez do condutor a um
valor mínimo. O cálculo da rigidez para um condutor do tipo ACSR é realizado utilizando a
Eq. (4.55), que determina a rigidez mínima (
min
EI ) e a Eq. (4.56) para o valor do momento de
inércia mínimo (
min
I
):
()
44
min
64
Al Al Al Aç Aç Aç
EI E d N E d N
π
=+ (4.55)
4
min
64
cc
Nd
I
π
= (4.56)
sendo
Al
d e
Aç
d os diâmetros do fios de alumínio e aço, respectivamente e
Al
N o número de
fios de alumínio e
Aç
N o número de fios de aço.
4.5 COMPORTAMENTO ANALÍTICO DE CABOS E CORDAS VIBRANTES
No gráfico de freqüência versus comprimento (Fig. 4.6) faz-se uma comparação entre o
caso de cordas vibrantes e um caso típico de cabos, no qual se pode observar o
comportamento das curvas com a adição da rigidez de flexão. Nos casos em que as
extremidades são simplesmente apoiadas e engastadas é possível notar que a adição da rigidez
à flexão provoca um aumento na freqüência natural de cabos e cordas. Mas é importante
ressaltar que esta variação ocorre até determinado comprimento e que, se comparado ao vão
de linhas de transmissão pode ser negligenciado, ou seja, o efeito de rigidez à flexão pode ser
desprezado no estudo de vibrações em linhas de transmissão. Qualitativamente, mostra-se na
Fig. 4.7 as formas que os diagramas de deflexão e momento fletor poderiam apresentar se
assumidas as condições de contorno de engaste e pinagem. Nota-se que a curva para o caso de
pinagem (Fig. 4.7a) em comparação a curva de engaste (Fig. 4.7b) apresenta um elevado
momento fletor, o qual oscila entre um valor negativo máximo e um valor positivo máximo,
durante a ressonância é o principal motivo de falha por fadiga em cabos de linhas de
transmissão.
Pode-se observar a seguir (Fig. 4.6), que para cordas vibrantes despreza-se a rigidez à
flexão e para cabos, esta rigidez é levada em consideração.
77
Figura 4.6 - Gráfico do comportamento das curvas de uma corda e um cabo
(modificado, Steidel, 1989).
Figura 4.7 - (a) Formas da deflexão e do momento fletor para as extremidades apoiadas,
(b) e para extremidades engastadas (modificado, Steidel, 1989)
.
Assim, confirma-se que a corda vibrante e o cabo apresentam comportamentos
similares, com uma pequena diferença para comprimentos pequenos.
Uma rotina foi criada em ambiente MATLAB (
Apêndice A) para reproduzir o
comportamento de um cabo real de linha de transmissão a partir de valores extraídos de
Aranha Júnior (2003) e compará-lo com o comportamento de uma corda vibrante (Fig. 4.8).
78
Figura 4.8 - Gráfico do comportamento das curvas do modelo real de um cabo e uma corda vibrante.
No gráfico da Fig. 4.8 mostra-se o ponto onde ocorreu a convergência entre o
comportamento do cabo analisado com rigidez à flexão e a corda vibrante, o qual foi de
aproximadamente 10 m. Este resultado reforça a teoria de que o comportamento de cabos de
linha de transmissão elétrica pode ser considerado igual ao de cordas vibrantes, pois a parcela
da equação que considera a rigidez à flexão torna-se negligenciável com o aumento do
comprimento do cabo.
4.6 CONSIDERAÇÕES
O estudo aqui apresentado contribuiu para o entendimento da influência da rigidez à
flexão imposta por um cabo metálico usado em linhas de transmissão. A teoria apresentada
partiu da equação da corda vibrante, onde não se leva em conta a influência deste parâmetro e,
em seguida, expressões para as freqüências naturais foram obtidas considerando-se esta
influência.
Considerando-se um comportamento linear do cabo, os exemplos aqui apresentados
foram capazes de destacar que, em relação a uma corda vibrante, o cabo apresenta
comportamento similar, com uma pequena diferença para comprimentos pequenos. Este
resultado reforça a teoria de que o comportamento de cabos de linha de transmissão elétrica
pode ser considerado igual ao de cordas vibrantes, pois a parcela da equação que considera a
rigidez à flexão torna-se negligenciável com o aumento do comprimento do condutor.
Entretanto, quando a linha apresenta grandes comprimentos, deve-se destacar que outros tipos
de fatores passam a ser importantes como, por exemplo, a não linearidade geométrica.
79
CAPÍTULO 5 - FORÇAS AERODINÂMICAS
5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Este capítulo descreve as forças aerodinâmicas que atuam em corpos sólidos imersos em
fluidos gasosos em movimento. Neste caso, as forças em questão são: a força de arrasto que
age sempre em sentido oposto ao movimento e a força de sustentação que procura compensar
o peso do corpo e atua perpendicularmente ao sentido do movimento. Neste capítulo,
apresenta-se ainda como se calcula a força de arrasto sobre condutores de linha de
transmissão de alta tensão através da NBR-6123 (1988) e a inserção da parcela flutuante da
ação do vento.
5.2 CORPO SÓLIDO IMERSO EM UM FLUIDO
Um corpo de qualquer forma, quando imerso em um fluido em escoamento, fica sujeito
a forças e momentos (White, 1986). Estas forças são três: o arrasto, que age numa direção
paralela à direção da linha de fluxo, e duas forças de sustentação, que agem em direções
ortogonais. A atuação destas forças no corpo causa momentos, conforme ilustra a Fig. 5.1.
Figura 5.1 - Forças e momentos atuantes em um corpo genérico imerso em um escoamento
(modificado, França, 2003).
80
5.2.1 Coeficiente de Arrasto
Na sua forma adimensional, a força de arrasto é expressa pelo coeficiente de arrasto
A
C ,
que é a razão entre
A
F e uma força característica associada à pressão dinâmica da linha de
fluxo,
2
1
2
V
ρ
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
, sendo
a densidade e V a velocidade da linha de fluxo. Tem-se que:
()
2
12
A
A
F
C
AV
=
ρ
(5.1)
A área característica do corpo dada por
A
poderia ser igual a
2
L (L é a dimensão linear
característica do número de Reynolds), mas é usual encontrá-la definida como:
¾ Área Frontal – é a projeção da área em um plano perpendicular à direção da linha de fluxo
(é a área “vista” pela linha de fluxo). É freqüentemente utilizada para corpos ‘rombudos’ ou
não-delgados, como esferas, cilindros, carros, mísseis, etc.
¾ Área de Topo – é a projeção da área no plano paralelo à linha de fluxo (é à vista de topo).
É utilizada para corpos delgados, como perfis de asa e hidrofólios.
¾ Área Molhada – é a área total de contato do corpo com o fluido, costumeiramente utilizada
para superfícies de cascos de embarcações.
Sabe-se que, em escoamentos com baixa velocidade, o coeficiente de arrasto de um
corpo é uma função apenas do número de Reynolds:
()
Re
A
Cf= (5.2)
Sendo o número de Reynolds
(
)
Re definido em termos da velocidade da linha de fluxo
V , de um comprimento característico do corpo
L
, densidade
e a viscosidade
do fluido,
pode-se obtê-lo através da Eq. (5.3). A dimensão característica do corpo pode ser a corda
(dimensão transversal) ou o comprimento do corpo, medido em direção paralela à linha de
fluxo.
81
Se dividirmos a densidade pela viscosidade obtém-se a viscosidade cinética
ν
e a Eq.
(5.3) pode ser reescrita através da Eq. (5.4).
Re
VL
ρ
μ
= (5.3)
Re
VL
ν
= (5.4)
Assim, a utilização de dados experimentais sobre arrasto ou outras forças exercidas
pelo escoamento em corpos submersos pressupõe o conhecimento das dimensões linear e de
área utilizadas no cálculo do número de Reynolds e do coeficiente de arrasto.
O arrasto exercido no corpo é composto pelas duas parcelas que aparecem na Eq. (5.5).
O primeiro termo à direita do sinal de igualdade é o chamado “arrasto de atrito”, pois resulta
da integração do produto entre o tensor das tensões viscosas,
τ
w
, que age na superfície, e a
área superficial. A outra parcela, chamada de “arrasto de forma”, resulta da integração da
pressão
P que age sobre a superfície do corpo.
Aw
SS
F= τ .n.dS + p.n.dS
∫∫ ∫∫
GG
(5.5)
Portanto,
dS é o elemento de área na superfície do corpo e n
G
a projeção, na direção do
escoamento, do vetor unitário normal à superfície. Se dividirmos todos os termos da Eq. (5.5)
pela força característica, obteremos uma expressão similar para o coeficiente de arrasto,
Eq. (5.6).
A
Aatrito A forma
CC C=+ (5.6)
82
5.2.2 Separação da Camada Limite
Mostra-se na Fig. 5.2 o comportamento das linhas de fluxo sobre uma esfera lisa com
atrito linear e na Fig. 5.3 o gráfico do comportamento do coeficiente de arrasto em função do
número de Reynolds sobre uma esfera e um cilindro, ambos lisos.
Figura 5.2 - Linhas de fluxo de uma esfera com atrito linear (modificado, Aguiar, 2005).
Figura 5.3 - Comportamento do coeficiente de arrasto de uma esfera e um cilindro, ambos
lisos como uma função do número de Reynolds. (modificado, Munson et al., 2004).
A determinação analítica ou numérica do arrasto, Eqs. (5.5) ou (5.6), ainda é um desafio
à teoria da mecânica dos fluidos, exceto para uma placa plana ou corpos muito delgados. Isto
se deve ao fenômeno da “separação do escoamento”. A teoria da camada limite pode
determinar o ponto de separação, mas ainda não avalia satisfatoriamente a pressão
(usualmente baixa) na região de separação. E mesmo a própria determinação do ponto de
83
separação do escoamento pode ser comprometida. Por exemplo, o fluxo que se descola do
corpo na região de separação pode causar uma perturbação significativa no escoamento livre.
Nestes casos, a teoria da camada limite pode ser aplicada somente se a distribuição de pressão
no corpo for previamente conhecida (determinada experimentalmente, por exemplo).
A separação da camada limite depende diretamente do número de Reynolds, a
Tabela 5.1 e a Fig. 5.4 ilustram, respectivamente, este comportamento sobre uma pequena
esfera e um cilindro.
Tabela 5.1 - Separação da camada limite de uma esfera (modificado, Aguiar, 2005).
Número de
Reynolds
Separação da
Camada Limite
Número de
Reynolds
Separação da
Camada Limite
9,15 73,6
26,8 118
37,7 133
Figura 5.4 - Comportamento da camada limite em um cilindro
(modificado, Aguiar, 2005).
No gráfico da Fig. 5.5 são apresentadas as distribuições de pressão sobre um cilindro
colocado transversalmente ao escoamento, de acordo com a teoria potencial e valores medidos
em escoamentos laminar e turbulento.
84
Em escoamentos subsônicos com número de Reynolds elevado (Re > 1000, por
exemplo), o arrasto de forma pode superar em várias ordens de grandeza o arrasto de atrito.
Entretanto, não se pode generalizar, pois a proporção dependerá da forma do corpo, isto é, se
ela favorecerá ou não a separação hidrodinâmica.
Figura 5.5 - Distribuições de pressão num cilindro, causadas por um escoamento: potencial
(teórico), camada limite laminar e turbulenta (modificado, França, 2003).
Apresentam a seguir, os valores de coeficiente de arrasto para corpos com formas
distintas: cilindro (Fig. 5.6a), cilindro com nariz arredondado (Fig. 5.6b), cilindro com nariz
arredondado e traseira delgada (Fig. 5.6c) e cilindro transversal ao escoamento (Fig. 5.6d),
para escoamentos com Re
L
> 10000.
Figura 5.6 - Coeficientes de arrasto para corpos de formas geométricas diferentes
em escoamentos com Re
L
> 10000 (modificado, França, 2003).
85
Em todos estes casos, a área característica para o cálculo do coeficiente de arrasto foi a
área frontal do corpo. Observa-se que o coeficiente de arrasto para os corpos rombudos (não
delgados), representados nas Figs. 5.6a, 5.6b e 5.6d, tem valores entre 2 e 1,1. Já para o corpo
com uma traseira delgada, que previne melhor a separação do escoamento na Fig. 5.6c, há
uma substancial redução do arrasto para
A
C = 0,15. Isto é, se o cilindro da Fig. 5.6a é a
referência, nota-se que ao arredondar a frente do cilindro da Fig. 5.6b, reduz-se o arrasto em
45 %; com a introdução de uma carenagem na parte traseira, entretanto, a redução do arrasto
chega a 93 % na Fig. 5.6c.
A magnitude dos arrastos de forma e de atrito de um corpo delgado (
streamlined) com
razão de aspecto
()
hj variando entre 0,05 a 0,4 está mostrada na Fig. 5.7. Para
()
hj→ 0 a
forma do corpo aproxima-se de uma placa plana e o arrasto de atrito representa 83 % do
arrasto total. Por outro lado, quando
(
)
hj
aumenta, isto é, o corpo torna-se mais bojudo
(arredondado), o arrasto de forma também aumenta.
Figura 5.7 - Influência do arrasto de atrito e de forma no arrasto total para um corpo delgado
(carenado) em função da razão de aspecto
(
)
hj (modificado, Fox e McDonald, 2001).
Em corpos não delgados, tais como cilindros e placas planas normais ao escoamento, o
arrasto de pressão é dominante e corresponde a mais que 90 % do arrasto total. Isto pode ser
facilmente identificado se observamos a Fig. 5.8, que mostra o
A
C em função do Re para
corpos de formas variadas. Para escoamentos com Re > 1000, por exemplo, corpos delgados
com formas de placas planas, aerofólios, asas de pássaros, etc, têm
A
C < 0,1. Nestes corpos,
86
como visto na Fig. 5.7, os arrastos de forma e atrito são igualmente importantes na
constituição do arrasto total. Por outro lado os corpos como, barra de seção quadrada, cilindro
transversal ao escoamento e placa plana normal ao escoamento tem
A
C ≅ 1.
Figura 5.8 - Coeficientes de arrasto para corpos bi-dimensionais em função do
número de Reynolds (modificado, França, 2003).
A razão para os corpos rombudos apresentarem
A
C próximo da unidade é que a força de
arrasto total é bem próxima do produto entre a pressão dinâmica e a área frontal. De maneira
aproximada, pode-se estimar a força total de arrasto considerando que a diferença de pressão
entre as superfícies do corpo, à montante e à jusante em relação ao escoamento, corresponde à
pressão dinâmica,
(
)
2
12 V
ρ
, no ponto de estagnação frontal. Esta diferença de pressão vezes
a área frontal do corpo é
()
2
12 AV
ρ
, que é uma estimativa do arrasto total. Isto então
justifica o fato, de que nestes corpos rombudos, o arrasto de forma ser a componente
dominante no arrasto total.
Ainda com relação à Fig. 5.8, deve-se destacar um comportamento peculiar do
A
C do
cilindro para números de Reynolds variando entre
5
10 e
6
10 . Nesta faixa há uma súbita
diminuição do
A
C de 1,2 para 0,3. Este fenômeno também é conhecido como “crise do
arrasto” e deve-se a uma transição de regime laminar para turbulento da camada limite que se
desenvolve na superfície do cilindro.
87
Enquanto a camada limite laminar separa-se em uma posição angular de
aproximadamente 82° a partir do ponto de estagnação frontal, na camada limite turbulenta a
separação ocorre em aproximadamente 120°, ver a representação esquemática na Fig. 5.9. Na
transição de laminar para turbulento, o escoamento na camada limite do cilindro consegue
extrair mais energia do escoamento externo e retardar o ponto de separação para 120º.
Figura 5.9 - Representação esquemática do ponto de separação escoamento em um cilindro
em regime (a)laminar e (b) turbulento
(modificado, França, 2003).
A redução do arrasto também pode ser observada na distribuição de pressão no cilindro
para os diferentes regimes, como mostra a Fig. 5.6. A curva tracejada é uma distribuição
simétrica obtida da solução do escoamento potencial; as linhas “traço-ponto” e “contínua” são
assimétricas e são valores medidos de escoamentos de camada limite laminar e turbulenta.
A assimetria na distribuição de pressão resulta, naturalmente, da separação do escoamento. A
partir do valor máximo de estagnação frontal, o caso laminar apresenta uma pressão negativa
e constante a partir de 82
o
. No caso turbulento o ponto de separação desloca-se para 120
o
e a
distribuição de pressão é mais simétrica que a do caso laminar: portanto, o arrasto é menor.
Logo, pode-se afirmar que a transição do escoamento de laminar para turbulento causa
uma redução do arrasto total do cilindro. Na transição do escoamento de laminar para
turbulento, o arrasto de atrito aumenta. Entretanto, neste regime e para esta forma de corpo, a
contribuição desta parcela de arrasto para o arrasto total é muito pequena quando comparada
com a do arrasto de pressão. Portanto, como a mudança do escoamento de laminar para
turbulento torna mais simétrica a distribuição de pressão, ela também reduz o arrasto total.
88
5.2.3 Força de Sustentação
Segundo Pinho (2002), os perfis alares ou asas têm como objetivo providenciar
sustentação. Como se sabe, a ocorrência de uma força de sustentação (
S
F ) tem, sobretudo
origem na distribuição de pressões em torno do objeto submerso no escoamento e é necessário
que essa distribuição seja assimétrica, pois se assim não for não haverá força de sustentação.
A seguir, pode-se ver a Eq. (5.7) que determina o coeficiente de sustentação (
S
C ) e o tipo de
nomenclatura utilizada no estudo de escoamentos em torno de perfis alares (Fig. 5.10).
()
2
12
S
S
F
C
AV
ρ
=
(5.7)
Figura 5.10 - Nomenclatura utilizada em perfis de asas (modificado, Pinho, 2002).
Para que se tenham condições favoráveis ao surgimento da força de sustentação é
necessário que o objeto seja assimétrico, ou mesmo que seja simétrico que esteja colocado
numa posição relativamente assimétrica ao escoamento. Mostram-se estes dois casos na
Fig. 5.11.
Figura 5.11 - Escamento sobre perfis de (a) asa simétrica e (b) assimétrica (modificado, Pinho, 2002).
89
No entanto, isto não significa que uma situação de geometria com assimetria não possa
dar origem a uma força de sustentação nula. As asas, mesmo aquelas de geometria
assimétrica, apresentam um coeficiente de sustentação nulo quando o ângulo de ataque toma
um determinado valor negativo, como se pode ver na Fig. 5.12 (Munson
et al., 1998) que
apresenta a variação do quociente entre os coeficientes de sustentação e arrasto (
SA
CC) para
um perfil de asa específico. Além disso, a mesma apresenta também o coeficiente de arrasto
sob a forma de uma curva polar (esta é uma representação do coeficiente de arrasto em função
do coeficiente de sustentação) onde estão marcadas as posições da asa.
Figura 5.12 - Coeficientes de sustentação e arrasto de um perfil NACA 64412 de envergadura
infinita em função do ângulo de ataque (modificado, Munson et al., 1998).
Como se pode ver na figura anterior, para um ângulo de ataque de aproximadamente
–2.5° o coeficiente de sustentação é nulo. A partir desta ilustração pode-se ver melhor o
desempenho da asa e a condição de perda, a qual corresponde ao valor mais elevado de
S
C .
Normalmente isto ocorre para baixos ângulos de ataque em que o
A
C é baixo e relativamente
constante com o ângulo de ataque. É mais freqüente a apresentação dos resultados sob a
forma de uma representação dos coeficientes em função do ângulo de ataque, como se mostra
na Fig. 5.13. A mesma apresenta também o efeito que a abertura de
flaps (estrutura que varia
o deslocamento de fluido) tem sobre o comportamento aerodinâmico de um perfil simétrico
aumentando a força de sustentação consideravelmente, mas também aumentando a força de
arrasto. Contudo, deve-se notar que as necessidades de sustentação ocorrem na aterrisagem e
90
descolagem, à baixa velocidade, sendo que neste caso é mais importante ter um elevado valor
de
S
C para evitar perdas de sustentação e a questão do elevado coeficiente de arrasto é menos
importante.
Figura 5.13 - Características aerodinâmicas de um perfil de asa com e sem flaps
(modificado, White, 1999).
5.3 DETERMINAÇÃO DAS AÇÕES ESTÁTICAS DO VENTO SEGUNDO A NORMA
BRASILEIRA REULAMENTADORA – NBR – 6123
Segundo Manfrim (2006), dificilmente se observa o colapso total de uma estrutura
devido à ação do vento. Em geral, quando isso acontece, o colapso é causado por falhas
locais. Por isso é importante, tanto do ponto de vista econômico como estrutural, estudar
cuidadosamente as ações locais causadas pelo vento. As pressões do vento são transformadas
em forças estáticas, atuando na superfície perpendicular à direção do vento.
5.3.1 Velocidade Básica
A velocidade básica do vento
0
V , adequada ao local onde a estrutura se localiza é
determinada através das “isopletas” de velocidades básica, as quais foram elaboradas a partir
dos registros de diversas estações meteorológicas (Fig. 5.14).
91
Figura 5.14 - Isopletas da velocidade básica V
o
em m/s (modificado, Celebrace, 2007).
Estas velocidades são definidas como a velocidade de uma rajada de 3 segundos,
exercida em média uma vez em 50 anos, a 10 metros acima do solo em campo aberto e plano.
Como regra geral é admitido que o vento básico possa soprar de qualquer direção horizontal.
5.3.2 Velocidade Característica e Velocidade de Projeto
A velocidade característica do vento
k
V é a utilizada no cálculo da pressão dinâmica nas
estruturas, obtida a partir da velocidade básica corrigida por fatores de ajuste, segundo a
Eq. (5.8) apresentada pela NBR-6123 (1988):
92
0123k
VVSSS= (5.8)
A velocidade de projeto
p
V
, corresponde à velocidade média sobre 10 min a 10 m de
altura sobre o solo, em terreno de categoria II:
013
0,69
p
VVSS=
(5.9)
Nas Eqs. (5.8) e (5.9)
0
V é a velocidade básica do vento;
1, 2 3
SSeS
os coeficientes de ajuste
da velocidade básica, os quais são abordados a seguir, e
0,69
o fator que representa uma
adequação do tempo de exposição a 10 minutos.
Como citado anteriormente, os valores de velocidade básica são obtidos do gráfico das
isopletas da NBR-6123 (1988), os coeficientes de ajuste têm como finalidade adequar a
velocidade básica às particularidades do local da edificação, suas dimensões e grau de
segurança desejado.
5.3.3 Fator Topográfico (
1
S )
O fator
1
S leva em consideração a influência da topografia local na variação da
velocidade do vento. Como primeira aproximação, a NBR-6123 (1988) sugere os valores
indicados no seu item 5.2, ressaltando que estes devem ser usados com precaução. Caso seja
necessário um conhecimento mais preciso da influência do relevo ou se a complexidade deste
tornar difícil a aplicação dos valores sugeridos, deve-se proceder a ensaios de modelos
topográficos em túnel de vento ou a medidas anemométricas no próprio terreno.
5.3.4 Fator de Rugosidade (
2
S )
De acordo com a NBR-6123 (1988), o fator
2
S considera o efeito combinado da
rugosidade do terreno, da variação da velocidade do vento com a altura acima do terreno e das
dimensões da edificação ou parte desta. A altura considerada é tomada a partir do nível do
terreno ao ponto desejado. Entretanto, pode-se dividir a altura da edificação em trechos,
determinando-se
2
S com base na altura medida do terreno à cota do topo de cada trecho.
93
A rugosidade do terreno é classificada em cinco categorias (Tab. 5.2) e quanto às
dimensões da edificação a norma divide as edificações e suas partes em três classes
(Tab. 5.3), com intervalos de tempo para o cálculo da velocidade média de 3, 5 e 10 segundos
e dimensões máximas, vertical ou horizontal, de 20, 50 e 80 m. Nas edificações em que a
maior dimensão ultrapasse 80 m, o intervalo de tempo é obtido das instruções fornecidas no
Anexo A da referida norma. A norma considera ainda, no seu item 5.5, os casos de transição
de rugosidade.
Tabela 5.2 - Categorias em função da rugosidade do terreno (NBR-6123, 1988).
Categoria I
Superfícies lisas de grandes dimensões,
com mais 5 km de extensão, medida na
direção e sentido do vento incidente.
9 mar calmo;
9 lagos e rios;
9 pântanos sem vegetação.
Categoria II
Terrenos abertos em nível ou
aproximadamente em nível, com poucos
obstáculos isolados, tais como árvores e
edificações baixas.
9 zonas costeiras planas;
9 pântanos com vegetação rala;
9 campos de aviação;
9 pradarias e charnecas;
9 fazendas sem sebes ou muros.
Categoria III
Terrenos planos ou ondulados com
obstáculos, tais como sebes e muros,
poucos quebra-ventos de árvores,
edificações baixas e esparsas.
9 granjas e casas de campo, com
exceção das partes com matos;
9 fazenda com sebes e/ou muros;
9 subúrbios a considerável
distância do centro, com casas e
esparsas.
Categoria IV
Terrenos cobertos por obstáculos
numerosos e pouco espaçados, em zona
florestal, industrial ou urbanizada.
9 zonas de parques e bosques
com muitas árvores;
9 cidades pequenas e seus
arredores;
9 subúrbios densamente
construídos de grandes cidades.
Categoria V
Terrenos cobertos por obstáculos
numerosos, grandes, altos e pouco
espaçados.
9 florestas com árvores altas, de
copas isoladas;
9 centros de grandes cidades;
9 complexos industriais bem
desenvolvidos.
Tabela 5.3 - Classes de terreno em função das dimensões da edificação (NBR-6123, 1988).
Classe A
Todas as unidades de vedação, seus elementos de fixação e peças individuais de
estruturas sem vedação. Toda edificação na qual a maior dimensão horizontal ou
vertical não exceda 20 m.
Classe B
Toda edificação ou parte de edificação para a qual a maior dimensão horizontal
ou vertical da superfície frontal esteja entre 20 e 50 m.
Classe C
Toda edificação ou parte de edificação para a qual a maior dimensão horizontal
ou vertical da superfície frontal exceda 50 m.
94
O fator
2
S pode ser obtido a partir da Eq. (5.10) que é aplicável até a altura
g
z , que
define o contorno superior da camada atmosférica. Os valores de
2
S para as diversas
categorias de rugosidade do terreno e classe de dimensões das edificações são encontrados na
Tabela 5.4 da NBR-6123 (1988), sendo permitida a interpolação linear entre os valores
apresentados. Os parâmetros
r
F ,b e
p
para a Eq. (5.10) são retirados da Tabela 5.4.
2
10
p
r
z
SbF
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(5.10)
sendo
b o parâmetro meteorológico;
p
o expoente da lei potencial de variação de
2
S ;
r
F o
fator de rajada, o qual sempre corresponde à categoria II e
z
a altura acima do nível geral do
terreno.
Tabela 5.4 - Parâmetros meteorológicos (NBR-6123, 1988).
Classes
Categoria
z
g
(m)
Parâmetro
A B C
I 250
b
p
1,10
0,06
1,11
0,065
1,12
0,07
II 300
b
F
r
p
1,00
1,00
0,085
1,00
0,98
0,09
1,00
0,95
0,10
III 350
b
p
0,94
0,10
0,94
0,105
0,93
0,115
IV 420
b
p
0,86
0,12
0,85
0,125
0,84
0,135
V 500
b
p
0,74
0,15
0,73
0,16
0,71
0,175
95
5.3.5 Fator Estatístico (
3
S )
O fator
3
S é baseado em conceitos estatísticos e considera o grau de segurança
requerido e a vida útil da edificação. O grau de segurança necessário é função da finalidade da
edificação, que é classificada pela norma em cinco grupos dentro desse critério. No caso de
edificações normais destinadas a moradias, hotéis, etc (grupo 2), adota-se o nível de
probabilidade de 63 % e uma vida útil de 50 anos. Na falta de uma norma específica sobre
segurança nas edificações ou de indicações correspondentes na norma estrutural, os valores
mínimos do fator
3
S são indicados na Tabela 5.5. Pode-se obter ainda,
3
S para outros níveis
de probabilidade e vida útil a partir da Eq. (5.11) que se encontra no Anexo B da NBR-6123
(1988), e é importante ressaltar que em nenhum caso pode ser adotado um fator
3
S menor
que o indicado na Tabela 5.5.
()
0,157
3
ln 1
0,54
m
P
S
m
−
−
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
(5.11)
sendo
m
P a probabilidade de ocorrência e m o período de retorno ou tempo de recorrência.
Tabela 5.5 - Valores mínimos do fator estatístico
3
S
(NBR-6123, 1988).
Grupo Descrição
3
S
1
Edificação cuja ruína total ou parcial pode afetar
a segurança ou possibilidade de socorro a pessoas
após uma tempestade destrutiva (hospitais, quartéis
de bombeiros e de forças de segurança, centrais de
comunicações, etc).
1,10
2
Edificações para hotéis e residências. Edificações
para comércio e indústria com alto fator de ocupação.
1,00
3
Edificações e instalações industriais com baixo fator
de ocupação (depósitos, silos, construções rurais, etc).
0,95
4 Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação, etc). 0,88
5
Edificações temporárias. Estruturas dos grupos 1 a 3
durante a construção.
0,83
96
5.3.6 Cálculo da Força de Arrasto para Fios e Cabos
Para a determinação do coeficiente de arrasto
A
C e posteriormente da força de arrasto
dos cabos de uma linha de transmissão, faz-se necessário encontrar o valor do número de
Reynolds (
Re
) e obter dados referentes ao condutor estudado, que são
,
r o raio dos fios ou
cabos secundários da camada externa do cabo;
d o diâmetro do círculo circunscrito da seção
do fio ou cabo e L o comprimento do fio ou cabo. O valor do número de Reynolds que é
necessário para encontrar o coeficiente de arrasto é calculado através da Eq. (5.12), na qual
k
V
é a velocidade característica, já citada anteriormente (Eq. 5.8).
Re 70000
k
Vd= (5.12)
Através do número de Reynolds, consulta-se a Tabela 5.6 que apresenta os valores do
coeficiente de arrasto para cabos que possui a razão entre seu comprimento e seu diâmetro
maior que 60. Finalmente, verifica-se o valor da razão entre o raio dos fios ou cabos
secundários da camada externa do cabo e o diâmetro do círculo circunscrito da seção do fio
ou cabo (
dr /
,
).
Tabela 5.6 - Coeficiente de arrasto (C
A
) para fios e cabos com L/d > 60 (NBR-6123, 1988).
Coeficiente de arrasto
A
C para:
Regime de Fluxo
( d
k
V7000Re = )
[]
memdsmemV
k
;/
Fio liso
Fio moderadamente
Liso (galvanizado ou
pintado)
Cabos torcidos
de fios finos
30/1/
,
≤dr
Cabos torcidos
de fios grossos
25/1/
,
≥dr
4
10.5,2Re
≤
- - 1,2 1,3
4
Re 4, 2.10
≥
- - 0,9 1,1
5
10.5,2Re
≤
1,2 1,2 - -
5
Re 4, 2.10
≥
0,5 0,7 - -
Para Re e dr /
,
intermediários, os valores de
A
C são obtidos por interpolação.
97
Para fios e cabos perpendiculares à direção do vento, a força de arrasto é calculada por:
AA
FCqLd= (5.13)
Na equação da força de arrasto os parâmetros ,
A
CLe d já foram mencionados exceto
q
que é a pressão dinâmica do vento, correspondente à velocidade característica
k
V , em
condições normais de pressão, ou seja, a uma pressão de 1 atm e a uma temperatura de 15 °C,
valor este que é encontrado a partir da Eq. (5.14).
2
0,613
k
qV=
(5.14)
Se a direção do vento (suposta horizontal) formar um ângulo
α com a corda do fio ou
cabo, a força
y
F , perpendicular à corda, é calculada como se mostra a seguir, e a força
x
F na
direção da corda, pode ser desprezada:
yA
FFsen
α
= (5.15)
5.3.7 Cálculo da Força de Arrasto no Condutor Utilizado no Trecho em Estudo
Esta seção apresenta como calcular a força de arrasto causada pela parcela média da
rajada de vento sobre os condutores da linha de transmissão. O cabo condutor do trecho de
linha analisado é o GROSBEAK 636 com base no projeto de um trecho construído pela
ELETRONORTE, foi possível obter o comprimento do vão que é de 450 m e, a partir deste
dado e de equações disponíveis em Labegalini
et al. (1992), calculou-se o comprimento do
cabo que é de 450,63 m. Para este trabalho, considerando a localização do vão estudado e
prezando por uma maior segurança, a velocidade básica escolhida foi de 50 m/s. Devido à
topografia do terreno, o mesmo foi considerado plano ou fracamente acidentado, classificado
na categoria II quanto à rugosidade e em função das dimensões da edificação como classe B.
98
O grupo estatístico adotado para este caso foi o primeiro, e a seguir são apresentados na
Tabela 5.7 os valores correspondentes às considerações assumidas e os parâmetros
necessários para o cálculo.
Tabela 5.7 - Parâmetros de entrada para o cálculo do carregamento estático.
0
V
50 m/s
p
0,09
1
S
1,00 z 28,15 m
3
S
1,10
,
r
0,00985 m
b
1,00
d
0,02515 m
r
F
0,98
L
450 m
Com os dados da Tabela 5.7 foi encontrado o valor de
2
S igual a 1,10 que é calculado
através da Eq. (5.10). Em seguida, com a utilização da Eq. (5.8) determinou-se o valor da
velocidade característica que é de 54 m/s. Na seqüência, obteve-se a pressão dinâmica do
vento pela Eq. (5.14) que foi de 1.787,5 N/m
2
. De posse desta pressão, através da Eq. (5.12),
foi determinado o número de Reynolds igual a 95.067.
Então, depois de calculados estes valores iniciais, é preciso saber o valor da relação
dr /
,
para a determinação do tipo de cabo a ser considerado, segundo a Tabela 5.6. Com os
dados apresentados anteriormente, concluímos que o resultado desta relação é 0,078 e que o
condutor encontra-se na condição de cabos torcidos de fios grossos. Assim, depois de
consultada a Tabela 5.6 para cabos torcidos de fios grossos e com
4
Re 4,2.10
≥ , obteve-se
um coeficiente de arrasto igual a 1,10. Finalmente, de posse de todos estes dados e
substituindo-se na Eq. (5.13) encontra-se que a força de arrasto no cabo é 22.253 N.
5.4 DETERMINAÇÃO DA AÇÃO DINÂMICA DO VENTO
Segundo Oliveira (2006), um dos carregamentos mais importantes a serem considerados
na análise de torres de transmissão de energia elétrica tem como origem o vento, que pode ser
interpretado como uma função temporal aleatória. Em seu trabalho ele sugere a utilização de
modelos dinâmicos capazes de representar a natureza não determinística do problema.
99
A Fig. 5.15 apresenta, de forma esquemática, a velocidade do vento ao longo do tempo,
decomposta conforme a Eq. (5.16).
Figura 5.15 - Histórico de velocidade do vento (modificado, Oliveira, 2006).
Em Blessmann (2005), a velocidade do vento é expressa como uma função temporal
constituída por uma parte média e uma flutuante:
() v()Vt V t=+ (5.16)
sendo
V(t) a velocidade longitudinal do vento em função do tempo; V o valor médio da
componente longitudinal do vento; e v
(t) a flutuação da velocidade longitudinal do vento no
tempo.
5.4.1 Procedimento Para Encontrar a Parcela Flutuante de Força Devida à Ação do
Vento
Para determinar o valor da velocidade do vento é necessário, inicialmente, encontrar
através da Eq. (5.9) o valor médio da componente longitudinal do vento. Posteriormente, é
encontrada por meio de um procedimento bastante complexo, a parcela flutuante da
100
velocidade do vento no tempo, a qual é determinada a partir de parâmetros estatísticos:
distribuição de probabilidade, espectro de potência e funções de correlação cruzada.
Este procedimento começa com a discretização do vão de linha de transmissão que se
deseja estudar em perfis de velocidade aleatórios. No esquema apresentado na Fig. 5.16 são
consideradas faixas de atuação de dimensão fixa para cada função temporal.
Figura 5.16 - Esquema de distribuição das funções temporais (modificado, Oliveira, 2006).
Em seguida, deve-se obter em função da largura de faixa a função covariância cruzada
(Eq. 5.17), assumindo que as rajadas de vento são simultâneas. Esta função pode gerar, a
partir de uma transformada de Fourier, uma função de densidade espectral, denominada
função densidade espectral cruzada.
12
,
.
(0) ( ).
VV
Vfc
CSfedf
∞
−
−∞
=
∫
(5.17)
A função covariância cruzada é composta pelo produto de duas funções: a função
densidade espectral que representa o espectro de potência do vento e uma função exponencial,
a qual possui em seu expoente um coeficiente de arrasto superficial
(
)
c
relativo à velocidade
média a 10 m de altura.
Muitos pesquisadores como Davenport, Harris, Lumley, Panowsky, Karman e Kaimal
contribuíram com seus estudos para a representação do espectro de potência do vento através
101
de uma expressão matemática. A expressão proposta por Kaimal (Eq. 5.18) é a mais atual e
aceita pela comunidade científica, por apresentar uma relação de dependência com a altura
z
.
A importância desta relação foi comprovada por vários pesquisadores, inclusive por
Davenport, como é citado em Blessmann (1995). Ela é dada por:
2
5/3
200
()
(1 50 )
V
k
k
x
Sf
x
f
μ
∗
=⋅
+
(5.18)
O espectro de Kaimal é uma função que depende da freqüência
()
f
, da função
representada por
k
x
que é dada pela Eq. (5.19) e da velocidade de fricção
()
μ
∗
também
conhecida como velocidade tangencial (Eq. 5.20):
(, )
k
z
zf
xxzf
V
== (5.19)
0
ln
z
KV
z
z
μ
∗
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(5.20)
Na Eq. (5.19), a velocidade média na altura
z
, representada por
z
V , é calculada pela
Eq. (5.21), na qual
10
V
é igual à velocidade de projeto (Eq. 5.9):
10
10
p
z
z
VV
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(5.21)
Os parâmetros
0
z e K da Eq. (5.20) representam, respectivamente, o comprimento de
rugosidade e a constante de Karman, que é igual a 0,4 .
A Eq. (5.21) é a aplicação da lei de Hellmann, na qual
p
é o expoente relativo à
rugosidade do terreno. Então, para finalmente obter o valor da função covariância, deve-se
encontrar o valor do coeficiente de arrasto superficial
(
)
c relativo à velocidade média a 10 m
de altura, o qual é calculado através da Eq. (5.22):
102
1
2222
11 2 1 2
()()
(10)
Z
x
Cx x Cz z
c
V
−+ −
=
(5.22)
Os parâmetros
1
x
C e
1z
C são os coeficientes de decaimento na direção lateral e vertical,
respectivamente. Conforme Oliveira (2006),
1
16
x
C
=
e
1
10
z
C
=
são valores conservadores,
sendo indicados para projetos. Os valores de
1
x
e
2
x
são referentes aos deslocamentos no eixo
x
e os valores
1
z e
2
z referentes aos deslocamentos no eixo
z
.
No esquema apresentado na Fig. 5.16, foram adotadas faixas de atuação de dimensão
fixa para cada função temporal. Se o valor da função de covariância cruzada
12
,
(0)
VV
C for
calculado para diferentes faixas de atuação é possível construir o gráfico apresentado na
Fig. 5.17.
Então, ao se escolher uma determinada faixa de atuação( )
L
Δ
para a função a ser gerada
é possível extrair o valor da covariância cruzada correspondente C
1
.
Figura 5.17 - Função de covariância cruzada (τ nulo) para diferentes faixas de atuação
(modificado, Oliveira, 2006).
Para correlacionar as funções temporais (
1
v()t e
2
v()t ) das parcelas flutuantes da
velocidade longitudinal do vento em dois diferentes pontos no espaço, foi utilizada a
Eq. (5.17), que fornece o valor da função de covariância cruzada para
τ nulo (τ = 0).
103
Essa consideração assume, portanto, que os eventos são simultâneos, ou seja, os
processos
1
v()t e
2
v()t são tomados no mesmo instante de tempo. Sendo conhecida a função
de autocovariância dos processos (Eq. 5.23), é possível determinar o tempo
τ
1
(Fig. 5.18) que
faz com que a autocovariância se iguale à covariância cruzada para
τ nulo (C
1
).
Dessa forma, as funções temporais correlacionadas espacialmente podem ser expressas
por uma mesma série, havendo uma defasagem entre elas de um intervalo de tempo igual a
τ
1
:
2
() ( ).
VVif
CSfedf
πτ
τ
∞
−∞
=
∫
(5.23)
Figura 5.18 - Função de autocovariância do processo (modificado, Oliveira, 2006).
Após a determinação do intervalo de tempo
τ
1
é possível gerar as funções temporais
necessárias ao processo de determinação do carregamento dinâmico devido à ação do vento.
Estas funções são geradas através de uma série de Fourier, com base no espectro de Kaimal
(Eq. 5.18). Considerando que a parcela flutuante da velocidade do vento seja representada de
forma simplificada por uma única função harmônica, obtém-se a seguinte expressão:
v(t) =
0
vcos(2π ft) (5.24)
104
Adotando-se que uma função temporal para a parcela flutuante da velocidade
longitudinal do vento possa ser expressa por “N” harmônicos, é possível escrevê-la na forma
da Eq. (5.25). Na Fig. 5.19 mostram-se quatro perfis de velocidade gerados a partir desta
equação.
1
v() 2 ( ) cos(2 ( ) )
N
V
niini
i
tSffft
π
τθ
=
=Δ++
∑
(5.25)
sendo
N o número de divisões consideradas no espectro;
f
a freqüência em Hz;
f
Δ
o
incremento da freqüência em Hz;
i
θ
o ângulo de fase aleatório entre 0 e 2π; e
n
τ
é um
múltiplo do intervalo de tempo
τ
1
.
Figura 5.19 - Perfis de flutuação de velocidade do vento no tempo (modificado, Oliveira, 2006).
105
O passo seguinte é determinar o carregamento dinâmico, assumindo que as pressões
atuantes na estrutura são funções diretas da velocidade (modelo clássico de Davenport), não
sendo estudadas funções densidade espectral e correlação cruzada para flutuação de pressões.
Dessa maneira, a pressão aerodinâmica é calculada pela Eq. (5.25), conforme Blessmann
(2005):
() ()Qt Q qt=+ (5.25)
sendo ( ) 0,613
z
Qt V= , conforme a NBR-6123 (1988). Assim, através de um pequeno
procedimento matemático pode-se escrever a Eq. (5.25) na seguinte forma:
2
10
( ) 0,613 v( )Qt t V
⎡
⎤
=+
⎣
⎦
(5.26)
Finalmente, pode-se determinar o valor da força ( )
Ft atuante no processo. Os esforços
atuantes são resultado da integração da pressão na área do trecho da estrutura a ser
considerado, os quais são calculados pela Eq. (5.27):
() ()
iAi
Ft AC Qt= (5.27)
onde
i
A é a área frontal efetiva do trecho “i” da estrutura e
Ai
C é o coeficiente de arrasto
associado ao trecho “
i”.
5.5 CONSIDERAÇÕES
Neste capítulo foi dado destaque às forças que atuam sobre um corpo mergulhado em
um fluido. Assim, apresentou-se a teoria relativa à mecânica dos fluidos com destaque para as
forças de arrasto e sustentação, como principais agentes que surgem como conseqüência do
escoamento de um fluido em torno de um corpo. Estas forças variam de acordo com a forma
do corpo, ângulo de ataque do fluxo, densidade do fluido, entre outros parâmetros.
Realizou-se ainda, uma breve apresentação da NBR-6123 (1988), no que diz respeito ao
método de cálculo da força de arrasto causada pela parcela média do vento, a qual leva em
consideração inúmeros parâmetros como: a velocidade do vento na região, a topografia e
106
rugosidade do terreno, o fator de rajada do vento, parâmetros meteorológicos, fatores
estatísticos, entre outros. Nesta linha de abordagem, foi introduzido o procedimento para a
determinação da parcela dinâmica do vento em função do espectro de potência de Kaimal,
tendo por base a representação em série de Fourier do histórico da função que descreve a
parcela flutuante da velocidade, a qual é utilizada para determinar a pressão aerodinâmica
sobre os condutores e, conseqüentemente, a parcela flutuante de força.
107
CAPÍTULO 6 - ANÁLISE MODAL NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DE
CONDUTORES DE LINHA DE TRANSMISSÃO
6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Neste capítulo mostra-se a criação do modelo numérico de um único condutor
submetido a uma tensão de trabalho para a análise modal através do programa ANSYS,
análise esta que determina as propriedades dinâmicas da estrutura: as freqüências naturais e
formas modais.
O modelo foi obtido através de etapas consecutivas, como a escolha dos elementos a
serem utilizados, o tipo de material, características físico-geométricas, disposição dos
elementos no conjunto, o tipo de análise a ser contemplada, entre outras.
Para validar os resultados obtidos na modelagem numérica, é apresentada também uma
Análise Modal Experimental realizada na bancada de cabos do Laboratório de Engenharia
Civil da UFPA e uma rotina desenvolvida em ambiente MATLAB, a qual determina os
valores das freqüências naturais. Este capítulo contempla ainda uma análise modal numérica
mais detalhada, que incorpora o efeito de não-linearidade que é aplicada tanto a um condutor
como a um feixe de condutores.
6.2 MODELO NUMÉRICO GERADO PARA O CABO ESTICADO (RETO)
O modelo numérico foi criado através do programa ANSYS com o auxílio de uma rotina
preexistente no mesmo, a qual foi adaptada de acordo com nossas necessidades de projeto.
Para o trecho de linha de transmissão modelado são apresentados os seguintes dados: o
elemento utilizado foi o Link8, o comprimento do vão foi de 10,56 metros, o módulo de
elasticidade do condutor é 74 Gpa, a área da seção transversal do condutor é 374,33 mm
2
, a
densidade do condutor é 1,3 kg / m
3
e a deformação inicial aplicada foi igual a 0,583 mm.
O elemento utilizado pode ser usado para modelar pilares, cabos curvados, elementos
de ligação em estruturas, molas, etc. O Link8 é uniaxial de tensão ou compressão com três
graus de liberdade em cada nó: translações nodais nas direções x, y, e z.
O elemento supracitado utiliza, para a análise modal do condutor tensionado, um valor
denominado de deformação inicial
(
)
ε . Esta deformação decorre da aplicação de uma carga
108
máxima de trabalho
()
T
, da área da seção transversal do condutor
()
A
e do módulo de
elasticidade do condutor
()
E . A equação para o cálculo da deformação inicial do condutor é
mostrada a seguir:
T
ε =
E.A
(6.1)
A geometria, as posições dos nós e o sistema de coordenadas para este elemento são
mostrados na Fig. 6.1. Os elementos são definidos por dois nós, a área de seção transversal,
uma tensão ou uma deformação inicial e as propriedades isotrópicas do material. O eixo x do
elemento é orientado ao longo do comprimento do elemento do nó I para o nó J.
Figura 6.1 - Geometria do elemento Link8.
O modelo do cabo seguiu as seguintes características: o cabo foi desenhado esticado
(reto); em uma das extremidades é aplicada uma força de tração
T; o número de elementos
utilizado na malha foi 512 (teste de convergência); sobre o cabo não é aplicada a força da
gravidade; o cabo está engastado em uma de suas extremidades e na outra simplesmente
apoiada, como mostra a Fig. 6.2.
Figura 6.2 - Modelo do cabo reto tracionado.
109
Para se estabelecer o número de elementos da malha a ser definida no modelo numérico
do cabo, foi realizada uma análise de convergência considerando 16, 32, 64, 128, 256 e 512
elementos. Este critério foi adotado em virtude de que, a partir de 16 elementos, as
freqüências naturais tornam-se representativas, ou seja, iniciam uma convergência com o
modelo analítico e 512 elementos foi o limite superior de divisões adotado.
Esta discretização para o modelo modal convergiu em todas as freqüências naturais dos
modos extraídos, seguindo o critério de convergência de 0,1 % de erro relativo entre uma
discretização e outra, utilizando como parâmetro comparativo o valor da nona freqüência
natural, que é o autovalor mais dependente da divisão da malha.
Extraíram-se do modelo, portanto, os 9 primeiros modos de vibração para as
discretizações anteriormente citadas. Todas as freqüências naturais obtidas são apresentadas
na Tabela 6.1. A partir destes valores, foram construídas 5 curvas que mostram o
comportamento de convergência de malha (Fig. 6.3).
Para se ter uma maior confiabilidade ao teste de convergência, calculou-se ainda todos
os erros entre as freqüências naturais consecutivas (Tab. 6.2) e construiu-se uma curva de
convergência apenas para os erros calculados para o nono modo de vibração (Fig. 6.4).
Tabela 6.1 - Freqüências naturais obtidas através do ANSYS em função do número de elementos.
Modo
Freq. Natural
(Hz)
16 Elem.
Freq. Natural
(Hz)
32 Elem.
Freq. Natural
(Hz)
64 Elem.
Freq. Natural
(Hz)
128 Elem.
Freq. Natural
(Hz)
256 Elem.
Freq. Natural
(Hz)
512 Elem.
1
5,2905 5,2831 5,2814 5,2810 5,2809 5,2809
2
10,6390 10,5800 10,5660 10,5630 10,5620 10,5620
3
16,1040 15,9040 15,8570 15,8460 15,8440 15,8430
4
21,7450 21,2680 21,1590 21,1320 21,1260 21,1240
5
27,6210 26,6880 26,4730 26,4210 26,4090 26,4050
6
33,7860 32,1750 31,8040 31,7140 31,6920 31,6870
7
40,2880 37,7450 37,1540 37,0120 36,9780 36,9690
8
47,1470 43,4110 42,5280 42,3160 42,2640 42,2510
9
54,3410 49,1870 47,9280 47,6260 47,5520 47,5340
110
Figura 6.3 - Análise de convergência da freqüência natural.
O erro relativo utilizado para definir o critério de convergência da quantidade de
elementos a ser utilizada é definido a seguir, sendo que a fórmula apresentada foi utilizada na
construção da Tabela 6.2.
()
. ant. . post.
. ant.
(%) *100 (%)
ndiscr ndiscr
ndiscr
ff
E
f
−
=
(6.2)
sendo
. ant.ndiscr
f a freqüência natural da discretização anterior e
. post.ndiscr
f a freqüência
natural da discretização posterior.
Tabela 6.2 - Erros calculados entre as freqüências naturais consecutivas.
Pode-se observar através da Fig. 6.3 e da Tabela 6.2 que o erro relativo às freqüências
naturais mais elevadas é maior e por este motivo tomou-se como referência os valores de
erros obtidos para o nono modo de vibração.
Modo Erro (16-32) Erro (32-64) Erro (64-128) Erro (128-256) Erro (256-512)
1
0,14% 0,03% 0,01% 0,00% 0,00%
2
0,55% 0,13% 0,03% 0,01% 0,00%
3
1,24% 0,30% 0,07% 0,01% 0,01%
4
2,19% 0,51% 0,13% 0,03% 0,01%
5
3,38% 0,81% 0,20% 0,05% 0,02%
6
4,77% 1,15% 0,28% 0,07% 0,02%
7
6,31% 1,57% 0,38% 0,09% 0,02%
8
7,92% 2,03% 0,50% 0,12% 0,03%
9
9,48% 2,56% 0,63% 0,16% 0,04%
111
Figura 6.4 - Curva de convergência do erro versus número de elementos para o décimo modo de vibração.
A rotina utilizada pelo programa ANSYS para esta modelagem é apresentada no
Apêndice B e a seguir, mostra-se a Tabela 6.3 na qual estão os valores de freqüência natural e
as formas modais para os nove primeiros modos de vibração do sistema.
Tabela 6.3 - Freqüências naturais e formas modais em ANSYS.
112
6.3 MODELO EXPERIMENTAL
A Fig. 6.5 mostra o arranjo utilizado no experimento realizado no Laboratório de
Engenharia Civil e não está em escala, o qual é constituído de uma bancada para o estudo de
vibrações eólicas em cabos de linhas de transmissão, na qual estão posicionados um
acelerômetro fixado através de uma braçadeira, um dinamômetro para medir a força de tração
sobre o cabo, o pré-formado e isoladores elétricos.
Nesta mesma figura, pode-se observar o shaker utilizado para introduzir a força de
excitação, necessária para a obtenção das FRFs, o amplificador, a cabeça de impedância e o
stinger. Por fim, o esquema mostra o analisador de sinais com dois canais, utilizado para
tratamento dos dados.
Figura 6.5 - Arranjo experimental.
Os equipamentos e materiais utilizados no teste modal são apresentados a seguir.
Assim como, as especificações dos componentes estruturais que constituem a bancada de
ensaios destinada à simulação e testes de vibrações em cabos de linhas de transmissão.
9 Bancada de Ensaios para Linhas de Transmissão.
Segundo Aguilera (2005), em função de um estudo sobre diversos arranjos de bancadas
já existentes para a simulação de vibração em cabos condutores, optou-se por seguir o mesmo
padrão de um arranjo proposto pelo CIGRÉ (1989). A bancada foi projetada e construída pela
equipe do Departamento de Engenharia Civil que utilizou como referência um trecho real da
linha de transmissão que se encontra operando no sistema Guamá-Utinga (Fig. 6.6).
113
Figura 6.6 - Pontos de fixação da bancada (modificado, Aguilera, 2005).
9 Cabo GROSBEAK 636
Comprimento de cabo analisado: 10,56 m
Fios de Alumínio: 26
Diâmetro do Fio de Alumínio: 3,97 mm
Fios de Aço (Alma): 7,0
Diâmetro do Fio de Aço: 3,07 mm
Figura 6.7 - Cabo GROSBEAK 636 (modificado, Aguilera, 2005).
9 Dinamômetro
Proprietário: Centrais Elétricas do Norte do Brasil S/A
Numero de Série: 4554
Capacidade Máxima: 2000 kgf
Precisão: 1 % da capacidade total
Diâmetro: 270 mm
Peso: 4 kg
114
Figura 6.8 - Dinamômetro circular.
9 Acelerômetro
As especificações do acelerômetro (Fig.6.9) utilizado para a aquisição do sinal oriundo
do cabo, seguem abaixo:
Fabricante: PCB Piezo Eletronic.
Modelo: 352B68
Número de Série: 7300
Sensibilidade:
104,5 mV g
Faixa de Freqüência: 1 – 7000 Hz
Nível de Polarização da Saída: 11,0 V
Figura 6.9 - Acelerômetro.
9 Cabeça de Impedância
A cabeça de impedância (Fig. 6.10) possui duas saídas, na qual uma é destinada à
medição de força, em virtude deste aparato apresentar uma célula de carga e outra se destina à
medição de aceleração, por apresentar um acelerômetro axial.
Fabricante: Brüel & Kjaer
Modelo: 8001
Número de Série: 10320
115
Sensibilidade de referência: 50 Hz
Faixa de Freqüência: 1 – 10000 Hz
Peso: 31 g
Figura 6.10 - Cabeça de impedância.
9 Pré-Amplificadores
Fabricante:
Brüel & Kjaer
Modelo: 2647ª
Figura 6.11 - Pré-amplificadores.
9 Shaker
Fabricante: Brüel & Kjaer
Modelo: 4808
Número de Série: 2546758
Faixa de Freqüência: 5 Hz a 10 kHz
Força Máxima: 112 N
Corrente Máxima de Entrada: 15 Arms
Diâmetro/ Altura: 215 mm / 200 mm
Peso: 35 kg
116
Figura 6.12 - Shaker.
9 Amplificador
Fabricante:
Brüel & Kjaer
Modelo: 2719
Faixa de Freqüência: 40 a 10 kHz
Potência de Saída: 180 VA a 0,8 Ω
Voltagem de Saída: 12 V
Figura 6.13 - Amplificador.
9 Analisador de Sinais
O analisador dinâmico de sinais utilizado no experimento é o
Hewlett-packard - 35665A
(Fig. 6.14), com o algoritmo da
fast Fourier Transform e dois canais (analisador de espectro e
de rede). As suas características podem ser observadas abaixo:
Fabricante:
Hewlett-Packard
Modelo:
35665A
Faixa de Freqüência:
244 μHz - 102,4 kHz
Memória Interna: 1, 44 M b
Velocidade de Processamento: 8Traços s
Média Rápida: 12,8 kHz
117
Figura 6.14 - Analisador dinâmico de sinais com dois canais.
6.3.1 Procedimentos do Ensaio
Depois de calculada a curva de correção para o dinamômetro, a bancada para o estudo
de vibrações em cabos foi montada com onze isoladores em sua coluna central (Fig. 6.15) e o
cabo tracionado com uma força de 16.167, 47 N.
Figura 6.15 - Coluna central da bancada.
Em virtude de limitações físicas, como por exemplo, o comprimento do cabo BNC que
conecta o acelerômetro ao analisador de sinais apenas uma parte do cabo foi numerada e
dividida em 32 segmentos de tamanhos iguais a 0,33 m. O acelerômetro foi fixado no cabo
Grosbeak por meio da adaptação de uma braçadeira metálica (Fig. 6.16).
118
Figura 6.16 - Fixação do acelerômetro.
O conjunto shaker, stinger e cabeça de impedância foram fixados a uma distância de
2,80 m da primeira marcação (Fig. 6.17), gerando mais um ponto de medição (ponto 10). A
cabeça de impedância deve estar posicionada em um lugar no qual não haja existência de
nenhum dos pontos nodais da estrutura, evitando que ocorra uma falha na aquisição das FRF’s
e conseqüentemente falhas na obtenção dos parâmetros modais.
Figura 6.17 - Fixação do conjunto excitador.
As subdivisões geraram 34 pontos, dos quais é importante ressaltar que o primeiro e o
último são considerados os apoios da estrutura. Por este motivo adota-se que eles não
possuem deslocamentos transversais.
No teste modal, a força de excitação exercida pelo
shaker mateve-se fixa no ponto 10,
enquanto que a posição da resposta obtida através do acelerômetro deslocou-se ao longo do
cabo. Entretanto, o teste modal pode ser realizado de maneira inversa, visto que a matriz
modal obtida é simétrica.
119
Assim, segundo Soeiro (2003), uma linha da matriz de acelerância ou inertância,
contém os mesmos parâmetros modais que uma coluna da mesma.
Para a validação dos resultados obtidos na análise o analisador dispõe ainda da função
de coerência (Fig. 6.18) que permite inferir a qualidade da FRF medida. O valor desta função
oscila de zero a um e decai se o sinal obtido apresentar ruído ou não-linearidade no sistema. O
analisador de sinais foi configurado para 100 (cem) médias em cada ponto do cabo e uma
faixa de freqüência de100 Hz.
Figura 6.18 - Coerência Pontual.
As Figs. 6.19 e 6.20 mostram, respectivamente, uma FRF pontual e uma de
transferência.
Figura 6.19 - Função de resposta em freqüência pontual.
120
Figura 6.20 - Função de resposta em freqüência de transferência.
6.3.2 Tratamento dos Dados Experimentais
Depois de realizadas todas as medições no cabo, os dados foram armazenados em um
disquete em formato “dat”, o qual foi levado para o Grupo de Vibrações e Acústica, onde os
arquivos foram convertidos para o formato universal “uf”, através do programa conversor
“SDFTO58.exe”, que é fornecido pelo próprio fabricante do analisador de sinais
Hewlett-
packard
(HP).
Para a extração dos parâmetros modais do cabo analisado, utilizou-se o
software LMS
Test.Lab 4B e o método aplicado foi o
Polymax, que é uma evolução do método LSCF (Least
Squares Complex Frequency-Domain
).
A vantagem deste método é que ele possui um diagrama de estabilização mais
“limpo” do que o método
LSCE (Least Squares Complex Exponential), ou seja, o método
converge de maneira mais exata.
Outra diferença entre os dois métodos é que o
LSCE atua inicialmente no domínio do
tempo, utilizando as funções de resposta impulsivas (FRI’s), na determinação dos coeficientes
do polinômio usado na determinação dos autovalores e autovetores, já o método
Polymax atua
nesta etapa dos cálculos, com as funções de resposta em freqüência (FRF’s).
A seguir pode-se observar o modelo geométrico (Fig. 6.21) e o diagrama de
estabilização (Fig. 6.22), obtidos para o ensaio através do método
Polymax.
121
Figura 6.21 - Modelo geométrico.
Figura 6.22 - Diagrama de estabilização do método polimax, FRF pontual.
As freqüências naturais, os modos e as formas modais do cabo são apresentados na
Tabela 6.4.
122
Tabela 6.4 - Freqüências naturais e formas modais em Test.Lab.
Aguilera (2005) relata que em testes modais as formas modais sofrem influência dos
seguintes fatores:
9 discretização do sistema em análise que deve possuir o número de pontos no mínimo igual
a duas vezes o número de modos a serem visualizados mais um;
9 o aparecimento de modos complexos devido à presença de amortecimentos não
proporcionais e outras não-linearidades do sistema que geram defasagem entre os pontos,
fazendo surgir modos não uniformes.
Além dos fatores citados, é importante ressaltar que o ruído que penetra no sinal medido
através de folgas na montagem do arranjo experimental, interfere diretamente nos modos de
freqüência mais baixas o que pode ser facilmente constatado através da função de coerência.
123
6.3.3 Dados Analíticos Obtidos em MATLAB
Para o cálculo no ambiente MATLAB utilizou-se a equação da corda vibrante (Eq. 6.3):
nT
l
π
ω
μ
=
(6.3)
sendo
n correspondente ao modo de vibração, l ao comprimento do cabo, T a tração aplicada
no cabo e
a densidade linear do condutor (NBR-7270, 1989). A rotina utilizada em
MATLAB para o cálculo das freqüências naturais é apresentada no
Apêndice C e os valores
encontrados para os nove primeiros modos de vibração são apresentados na Tabela 6.5.
Tabela 6.5 - Freqüências naturais analíticas, calculadas em ambiente MATLAB.
Modo
de Vibração
Freqüência
Natural (Hz)
1 5,2762
2 10,5524
3 15,8286
4 21,1048
5 26,3810
6 31,6572
7 36, 9334
8 42,2960
9 47,4858
Para finalizar a análise de resultados são apresentados respectivamente nas Tabelas 6.6,
6.7 e 6.8 os erros percentuais entre os resultados analíticos e experimentais, entre resultados
numéricos e experimentais e entre resultados numéricos e analíticos.
Tabela 6.6 - Freqüências naturais analítica e experimental.
Modo
de Vibração
Freqüência
Natural Analítica (Hz)
Freqüência
Natural Experimental (Hz)
Erro (%)
1 5,2762 5,1928 1,58
2 10,5524 10,2147 3,20
3 15,8286 15,0726 4,78
4 21,1048 20,4673 3,02
5 26,3810 25,3526 3,90
6 31,6572 31,2109 1,41
7 36, 9334 37,6280 1,88
8 42,2960 43,9028 3,80
9 47,4858 47,3302 0,33
124
Tabela 6.7 - Freqüências naturais numérica e experimental.
Modo
de
Vibração
Freqüência
Natural Numérica (Hz)
Freqüência
Natural
Experimental (Hz)
Erro (%)
1 5,2809 5,1928 1,67
2 10,5620 10,2147 3,29
3 15,8430 15,0726 4,86
4 21,1240 20,4673 3,10
5 26,4050 25,3526 3,99
6 31,6870 31,2109 1,50
7 36,9690 37,6280 1,78
8 42,2510 43,9028 3,91
9 47,5340 47,3302 0,43
Tabela 6.8 - Freqüências naturais numérica e analítica.
Modo
de Vibração
Freqüência
Natural Numérica (Hz)
Freqüência
Natural Analítica (Hz)
Erro (%)
1 5,2809 5,2762 0,09
2 10,5620 10,5524 0,09
3 15,8430 15,8286 0,09
4 21,1240 21,1048 0,09
5 26,4050 26,3810 0,09
6 31,6870 31,6572 0,09
7 36,9690 36,9334 0,10
8 42,2510 42,2960 0,11
9 47,5340 47,4858 0,10
Apesar das condições criadas em laboratório não reproduzirem fielmente as condições
reais de uma linha de transmissão, devido principalmente a limitações de espaço físico e a
montagem do aparato técnico, os resultados obtidos nesta análise com a bancada de ensaios
do Laboratório de Construção Civil da Universidade Federal do Pará apresentaram-se bastante
satisfatórios. Observa-se que os valores de erro percentual resultantes da comparação entre os
valores numérico e analítico são extremamente pequenos. Os valores experimentais, quando
comparados aos analíticos, apresentam erros maiores, porém aceitáveis, diante das limitações
antes mencionadas e para cálculos de engenharia.
6.4 MODELO NUMÉRICO PARA UM CABO DESENHADO ATRAVÉS DA
EQUAÇÃO DA PARÁBOLA
Este modelo representa mais uma etapa de evolução para se chegar à modelagem de um
vão real de linha aérea de transmissão (condutores, espaçadores-amortecedores e acessórios
125
de linha de transmissão). Com a finalidade de reproduzir o comportamento de um vão real de
linha de transmissão, para a primeira etapa de construção deste modelo foi adotado o
comprimento de vão (l
v
) de 450 m e a equação da parábola. Para a determinação dos
coeficientes da equação da parábola foram adotados os pontos
P
1
, P
2
e P
3.
Considerando que
o primeiro ponto encontra-se na origem dos eixos x e z, que o segundo está localizado no
centro do vão transladado, no ponto de flecha máxima do condutor (
f
m
), e o terceiro na outra
extremidade do vão (Fig. 6.23) pode-se obter através do procedimento matemático a seguir os
valores dos coeficientes da parábola em função do comprimento e da flecha máxima do vão.
A equação da parábola é dada pela Eq. (6.4):
Figura 6.23 - Forma da parábola.
2
()
ppp
zx ax bx c=++ (6.4)
Se substituirmos o ponto
P
1
nesta equação chegar-se a conclusão que o termo
independente da parábola (
c
p
) é igual a zero. Então, ao substituirmos os pontos P
2
e P
3
encontremos um simples sistema do primeiro grau que nos fornecerá o coeficiente angular
(
a
p
) e o coeficiente linear (b
p
) como apresentado, respectivamente, pelas Eqs. (6.5) e (6.6).
Logo, pode-se reescrever a Eq. (6.4) substituindo seus coeficientes e obter a Eq. (6.7).
2
4
m
p
v
f
a
l
= (6.5)
4
m
p
v
f
b
l
−
= (6.6)
2
2
44
()
mm
vv
f
f
zx x x
ll
=− (6.7)
126
A flecha máxima pode ser calculada por meio da Eq. (6.8), a qual é descrita em
Labegalini et al., (1992) e depende do peso por unidade de comprimento (w), do comprimento
do vão (l
v
) e da Tração aplicada no condutor (T):
2
8
v
m
wl
f
.T
= (6.8)
Para a etapa seguinte do modelo numérico foram utilizados mais dois elementos da
biblioteca do ANSYS, além do elemento Link8 que foi utilizado no modelo anterior. O
primeiro foi o elemento BEAM189, que é um elemento de pórtico espacial formado por 3 nós
(“I”, “J” e “K”) e possui 6 graus de liberdade por nó. Um nó adicional (“L”) é utilizado para
orientação espacial, conforme mostrado na Fig. 6.24. O eixo longitudinal do elemento é
definido como “x” com a seção transversal pertencente ao plano “yz”. Este elemento foi
aplicado na construção do condutor, principalmente, para permitir a incorporação do efeito de
não-linearidade geométrica apresentado pelo mesmo.
Figura 6.24 - Geometria do elemento BEAM189.
O segundo foi o elemento COMBIN14, utilizado no modelo na construção de molas
para a representação da continuidade da linha de transmissão nas extremidades do vão
considerado. Este elemento possui capacidade de aplicação longitudinal ou torcional de forças
em até três dimensões (Fig. 6.25). A opção de mola-amortecedor longitudinal representa um
elemento uniaxial de tração-compressão com três graus de liberdade em cada nó: translações
nas direções nodais x, y e z. Flexões ou carregamentos axiais não são considerados. Este
elemento possui dois nós, uma constante elástica k e coeficientes de amortecimento
1
c e
2
c .
127
Figura 6.25 - Geometria do elemento COMBIN14.
Os elementos BEAM189 e COMBIN14 permitiram a sofisticação do modelo através da
incorporação dos efeitos de não-linearidade geométrica, que a linha de transmissão sofre no
momento em que é submetida à tração e a rigidez dos vãos adjacentes. O elemento LINK8,
que havia sido utilizado anteriormente na construção do condutor, foi usado para criar um
isolador equivalente para sustentar o condutor. Para complementar este modelo foi inserida a
aceleração da gravidade.
Finalmente, é realizada uma análise estática não-linear para incorporar as tensões
provocadas pelo peso próprio do sistema e na seqüência a análise modal é realizada com 512
elementos, valor este encontrado também por um teste de convergência que seguiu os mesmos
critérios do realizado para o cabo esticado (reto). A rotina criada em ambiente ANSYS para a
realização desta modelagem está disponível no Apêndice D e a Fig. 6.26 mostra
esquematicamente a forma geométrica do modelo construído (fora de escala).
Figura 6.26 - Modelo esquemático do cabo desenhado.
128
A Tabela 6.9 apresenta os valores de freqüência natural e as formas modais para os nove
primeiros modos de vibração do sistema.
Tabela 6.9 - Freqüências naturais e formas modais do condutor desenhado em parábola.
129
6.5 MODELO NUMÉRICO PARA UM FEIXE DE QUATRO CONDUTORES
DESENHADO ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DA PARÁBOLA
Este modelo tem sua construção baseada no modelo numérico para um cabo desenhado
através da equação da parábola. Para dar continuidade à evolução do modelo numérico-
computacional e chegar ao nível de desenvolvimento esperado, que é o mais próximo possível
do comportamento real de um feixe de condutores, o modelo desta seção está associado a um
trecho de linha de transmissão real, Tucuruí - Marabá, localizado na travessia sobre a PA -
150 na estaca 1728 progressiva - 220 345,95. O trecho modelado da linha de transmissão
compreende os seguintes itens: um vão de condutores elétricos, com quatro cabos, acoplados
uns aos outros por sete espaçadores-amortecedores e sustentados por dois conjuntos de
cadeias de isoladores, com 24 isoladores por conjunto. A Fig. 6.27 mostra de forma
esquemática, o trecho de linha de transmissão sobre o qual foi construído o modelo estrutural
em estudo e no capítulo 7 será apresentado em detalhes o espaçador-amortecedor, a coluna de
sustentação e o cálculo da rigidez dos vão adjacentes.
Figura 6.27 - Desenho do trecho da linha de transmissão em estudo.
O sistema estrutural descrito anteriormente é modelado através do Método dos Elementos
Finitos (MEF). A representação do comportamento físico dos elementos estruturais do trecho
modelado da linha de transmissão dá-se a partir de quatro tipos de elementos finitos
pertencentes à biblioteca de elementos do programa ANSYS. As cadeias de isoladores são
130
consideradas pinadas em suas extremidades. Esse fato indica que o elemento finito adequado
para representá-las é o de treliça espacial (LINK8), com dois nós, que possui três graus de
liberdade por nó. Neste caso, apenas os esforços axiais são considerados.
Os condutores possuem uma rigidez à flexão relativamente baixa frente aos
comprimentos considerados e não possuem rigidez alguma à compressão, pois sofreriam
flambagem perante aplicação de cargas muito pequenas. Por este motivo outros tipos de
elementos foram pesquisados para que baixos valores não fossem inseridos na matriz de
rigidez geométrica do sistema, o que causaria uma instabilidade numérica. Dessa forma, para
a representação dos cabos condutores é empregado o elemento de pórtico espacial
(BEAM189) de três nós com seis graus de liberdade por nó. Este elemento, além de
possibilitar a estabilidade numérica da solução, também se mostra mais adequado para a
representação da geometria inicial adotada para os cabos (arco de parábola). Para a construção
dos espaçadores-amortecedores foram utilizados elementos de viga (BEAM4). E, como no
modelo anterior, foi utilizado o elemento de mola (COMBIN14) para representar a rigidez dos
vãos adjacentes. Abaixo, a Fig. 6.28 apresenta de forma esquemática e fora de escala o
sistema modelado.
Figura 6.28 - Modelo esquemático do feixe de condutores construído.
6.5.1 Análise Modal do Sistema
A análise realizada mostrou que o comportamento modal para quatro cabos se
assemelha muito ao de apenas um cabo. Os primeiros 200 modos calculados encontram-se em
131
uma faixa de freqüência de 0,15 a 4,82Hz , o que demonstra que o sistema possui uma alta
densidade modal. Para exemplificar este comportamento são apresentados o primeiro modo
de vibração do conjunto que é de corpo rígido no plano “yz” (Fig. 6.29), o segundo modo que
apresenta vibração longitudinal também no plano “xz” (Fig. 6.30), o terceiro modo que
apresenta uma vibração combinada de flexão dos condutores com as colunas de sustentação
vibrando fora de fase no plano “xy” (Fig. 6.31) e as respectivas freqüências naturais de cada
forma modal. A rotina computacional desenvolvida para a modelagem deste sistema é
construída com base na rotina apresentada no Apêndice D.
Figura 6.29 - Primeira forma modal do sistema no plano yz.
Figura 6.30 - Segunda forma modal do sistema no plano xz.
132
Figura 6.31: Terceira forma modal do sistema no plano xy.
6.6 CONSIDERAÇÕES
Inicialmente, este capítulo preocupou-se em construir uma base sólida para a construção
de um modelo numérico que pudesse reproduzir o comportamento de um vão de linha de
transmissão de quatro condutores. Para isto, desenvolveu-se um algoritmo baseado no método
dos elementos finitos, criado para a modelagem de um único condutor reto e trasionado
considerando a análise do sistema linear, o qual apresentou bons resultados. Este modelo
inicial foi validado experimentalmente no Laboratório de Engenharia Civil da UFPA em uma
bancada de ensaios de condutores de linha de transmissão. Mas, como o modelo precisava ser
mais sofisticado, evoluiu para um cabo desenhado através da equação da parábola e a análise
passou a levar em consideração a não-linearidade geométrica do sistema.
Os resultados foram bastante satisfatórios e permitiram a execução da etapa seguinte
que foi a construção do modelo de múltiplos condutores separados por espaçadores-
amortecedores. Esta análise mostrou que o comportamento modal para quatro cabos se
assemelha muito ao de apenas um cabo e que o sistema possui uma alta densidade modal, pois
os primeiros 200 modos calculados se localizaram em uma faixa de freqüência de
0,15 a 4,82 Hz .
133
CAPÍTULO 7 - ANÁLISE NUMÉRICA DINÂMICA DE UM FEIXE DE
CONDUTORES SUBMETIDO AO CARREGAMENTO DE VENTO
7.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Este capítulo mostra a análise dinâmica do modelo numérico para um feixe de
condutores criado no capítulo anterior. O modelo é submetido à parcela média de
carregamento do vento e à parcela variável, a qual é inserida no processo como uma função
do tempo. Apresenta-se ainda como é calculada a rigidez da mola que representa os vãos
adjacentes. Para se chegar ao resultado final da análise, que tem como objetivo a verificação
das forças e tensões a que estão submetidos os condutores, foi necessário dividi-la em três
etapas consecutivas, as quais estão bem definidas ao longo do capítulo.
7.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO E CARREGAMENTOS APLICADOS
A solução numérica completa do sistema estrutural dos condutores analisados envolve
várias etapas de carregamento:
9 1ª Etapa: As forças gravitacionais são aplicadas gradualmente, sendo a configuração final
dos cabos obtida a partir de uma análise não-linear estática.
9 2ª Etapa: As forças aerodinâmicas correspondentes à parcela média da velocidade do
vento são aplicadas aos cabos a partir de forças nodais. A configuração de equilíbrio é obtida,
mais uma vez, a partir da solução não-linear estática do problema.
9 3ª Etapa: A parcela variável das forças de vento é incluída na análise como uma função
arbitrária do tempo. É processada, então, a solução da análise dinâmica em regime transiente.
Cabe ressaltar que não foi utilizado um procedimento numérico específico para a
protensão dos cabos condutores. A geometria inicial adotada para os cabos foi escolhida de
forma que a flecha final fosse obtida após a primeira fase da análise.
A etapa inicial da análise recebeu cuidados especiais na especificação das condições de
contorno. Isso ocorreu porque, inicialmente, os condutores não se encontram tracionados.
Nessa etapa, é necessário restringir os deslocamentos horizontais ortogonais à linha de
transmissão para prevenir a entrada de elementos nulos na diagonal da matriz de rigidez do
sistema. A Fig. 7.1 (fora de escala) apresenta as condições de contorno no início da análise.
134
Após a aplicação do peso próprio do sistema, os condutores encontram-se tracionados, o que
faz com que a matriz de rigidez passe a ter termos não singulares associados aos graus de
liberdade horizontais e ortogonais ao eixo da linha de transmissão. Na segunda etapa da
análise, os deslocamentos translacionais restritos na primeira etapa são liberados (enquanto as
demais condições são mantidas) e a parcela média do carregamento produzido pelo vento é
incluída ao sistema a partir de forças nodais, como mostrado na Fig. 7.2 (fora de escala).
Figura 7.1 - Condições de contorno e carregamento da 1ª etapa de análise.
Figura 7.2 - Condições de contorno e carregamento da 2ª etapa de análise.
A terceira etapa de análise diz respeito à inclusão da parcela variável das forças de
vento, tomadas como processos não-determinísticos, as quais são especificadas a partir de
uma função arbitrária no tempo, de acordo com a Fig. 7.3 (fora de escala). É importante
135
lembrar que o modelo numérico-computacional desenvolvido neste estudo inclui somente um
vão constituído de quatro condutores ligados a ancoragens que estão diretamente conectados a
molas que representam a continuidade dos vãos adjacentes.
Figura 7.3 - Condições de contorno e carregamento da 3ª etapa de análise.
Esta continuidade foi representada a partir da inserção de elementos de mola lineares nas
extremidades dos cabos condutores (Fig. 7.4), de acordo com o mecanismo de modelagem
usado por Desai et al. (1995), o qual permitiu o cálculo das constantes de mola usadas no
sentido longitudinal da linha associadas a estes elementos, a partir da Eq. (7.1).
Figura 7.4 - Elementos de molas das extremidades.
23
3
12
TZX
L
S
LwL
K
AE H
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
(7.1)
136
sendo
L
K o coeficiente de rigidez longitudinal;
T
L comprimento total do cabo;
S
A a área da
seção transversal do cabo; E o módulo de elasticidade;
Z
w
peso especifico linear do cabo;
X
L é a dimensão da projeção horizontal do cabo e H a componente horizontal da tração
estática.
As análises realizadas tiveram como finalidade a avaliação do comportamento dos cabos
condutores do vão de linha de transmissão escolhido. Isto torna a modelagem das torres das
extremidades desnecessária.
7.3 MODELO ESTRUTURAL
A seguir são apresentadas as características físicas e geométricas referentes ao trecho de
450 m da linha de transmissão, modelada com o intuito de avaliar o comportamento dinâmico
do sistema (cabos e espaçadores). Considera-se neste trabalho, que a linha tem a função de
suportar quatro cabos condutores de alumínio com alma de aço CAA 636MCM-26/7,
GROSBEAK.
O tipo de espaçador-amortecedor utilizado no vão é fabricado pela BURNDY, modelo
S4D422R-40-SG2, o qual possui garras parafusadas e parafusos break-away (Fig. 7.5). Os
principais objetivos de espaçador-amortecedor são: proporcionar a uniformidade e
estabilidade do feixe de condutores em casos de vento, amortecer as vibrações dos condutores
e resistir aos esforços dinâmicos em caso de curto-circuito (Yamamura
et al., 2003).
Figura 7.5 - Espaçador-amortecedor da BURNDY.
A altura típica da cadeia de isoladores é de 3,36 m e seu peso total é de 914 N. Se a
manilha de fixação ao suporte de sustentação dos condutores e o estribo de ligação entre a
137
cadeia de isoladores e a estrutura da torre for considerada, a altura total da biela de suspensão
chega a 3,87 m, (Fig. 7.6). Assumindo uma velocidade V0 = 50 m/s, a qual corresponde à
velocidade média tomada sobre 3s, medida a 10 m de altura e associada a uma probabilidade
anual de ocorrência de 2 %, ou seja, com tempo de recorrência de 50 anos conforme citado
anteriormente.
Todas as cargas de vento são calculadas com base no vento incidente na direção
ortogonal com relação ao eixo da linha de transmissão.
Figura 7.6 - Coluna de sustentação.
As forças de vento atuantes nos cabos condutores foram determinadas a partir da
pressão aerodinâmica, de acordo com a Eq. (5.27), tomando como base a velocidade do vento
referente às funções temporais da velocidade de vento a partir da Eq. (5.24). O coeficiente de
arrasto adotado foi igual a 1,10 o mesmo adotado por Oliveira (2006) e Rodrigues (2004).
Relembrando que a representação da continuidade da linha de transmissão baseou-se
em Desai et al. (1995) para o cálculo das constantes das molas, posicionadas no sentido
longitudinal da linha (Eq. 7.1).
Na análise dinâmica transiente o amortecimento foi do tipo proporcional. De acordo
com esta formulação, a matriz de amortecimento do sistema é proporcional às matrizes de
138
rigidez e de massa. É importante ressaltar que todo o procedimento para calcular a parcela
média e flutuante de velocidade do vento que geram as forças de carregamento média e
flutuante nos condutores é apresentado no capítulo 5 (Forças Aerodinâmicas).
7.4 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Nesta seção são expostos os resultados da análise estática não-linear e dinâmica não-
linear no domínio do tempo para o sistema estrutural completo, formado pelos condutores,
espaçadores-amortecedores e coluna de sustentação.
7.4.1 Análise Estática Não-linear do Sistema
A análise estática não-linear do sistema incluiu os carregamentos de peso próprio e
tração de projeto nos condutores elétricos observando-se, portanto, a não-linearidade dos
cabos em parábola. O seguinte passo, ainda estático não-linear, foi a aplicação da componente
estática das forças de vento no modelo, parcela da velocidade média. Para que assim fosse
alcançado o estado de equilíbrio estático. A seguir a Fig. 7.7 apresenta o sistema em equilíbrio
estático e no detalhe mostra-se a forma deformada e não deformada do deslocamento dos
condutores no centro do vão (Fig. 7.8).
Figura 7.7 - Equilíbrio estático do sistema.
139
Figura 7.8 - Deslocamento dos condutores no centro do vão.
7.4.2 Análise Dinâmica Não-linear no Domínio do Tempo
De acordo com Oliveira et al. (2007), a análise dinâmica de sistemas não-lineares deve
ser realizada a partir de integração direta, passo a passo. Esta seção dedica-se, portanto, à
apresentação dos resultados obtidos a partir da análise transiente completa do sistema em
estudo.
Para a avaliação do comportamento dinâmico da coluna de sustentação dos condutores
no que diz respeito aos deslocamentos máximos, foram monitorados os valores de translação
no eixo
y dos nós 10062 (primeira coluna) e 10072 (segunda coluna), os quais são mostrados
nas Figs. 7.9 e 7.10. Estes nós foram escolhidos por serem pontos de suspensão dos cabos
condutores.
O monitoramento destes deslocamentos teve também a finalidade de permitir a
avaliação dos ângulos de inclinação das colunas de isoladores ao longo do tempo. As Fig.
7.11 e 7.12 ilustram o histórico de deslocamentos na direção de atuação do vento, incidente na
direção ortogonal com relação ao eixo da linha de transmissão, nos nós escolhidos.
O máximo deslocamento transversal ao eixo da linha, nos pontos considerados, foi da
ordem de 2,94 m. A Tabela 7.1 apresenta os deslocamentos nos pontos de fixação dos
condutores às colunas suspensão. As Figs. 7.13 e 7.14 apresentam o histórico da variação
angular dos isoladores na direção do eixo y ao longo do tempo.
140
Figura 7.9 - Localização do nó 10062 na Figura 7.10 - Localização do nó 10072 na
primeira coluna de sustentação. segunda coluna de sustentação.
Tabela 7.1 - Deslocamento dos nós 10062 e 10072.
Deslocamento na direção y
Nós em Análise
Valor Mínimo (m) Valor Máximo (m) Valor Médio (m)
10062 1,21177 2,90056 2,05616
10072 1,43254 2,94736 2,18995
Figura 7.11 - Deslocamento do nó 10062 Figura 7.12 - Deslocamento do nó 10072
na direção y. na direção y.
141
Figura 7.13 - Variação angular da primeira coluna Figura 7.14 - Variação angular da segunda coluna
de sustentação na direção y. de sustentação na direção y.
7.4.3 Comparação entre as Análises Não-lineares Estática e Dinâmica
Este item apresenta a comparação dos resultados de força e tensão ao longo do elemento
191 do condutor (eixo longitudinal), o qual foi submetido aos maiores carregamentos nas
análises não-linear estática e dinâmica. O gráfico da Fig. 7.15 apresenta a variação de força
sobre o elemento 191 no decorrer do tempo.
Figura 7.15 - Gráfico da força em função do tempo no elemento 191 do condutor.
142
A Tabela 7.2 apresenta os valores máximos de força e tensão sobre o elemento 191, o
qual está localizado próximo a uma das ancoragens como apresenta a Fig. 7.16, para se fazer
uma comparação com o valor máximo de tração que uma linha de transmissão deste tipo
suporta.
Figura 7.16 - Localização do elemento 191 no sistema.
Tabela 7.2 - Comparação dos valores de força e tensão no elemento 191 do condutor.
Tipo de Análise Força (N) Tensão (Mpa)
Análise Estática 38.402 102,70
Análise Dinâmica 40.557,4 108,24
Em geral os condutores utilizados neste tipo de circuito de linha aérea de transmissão
são dimensionados para suportar uma carga de ruptura de 108.577 N. Através dos valores
apresentados na Tabela 7.2 pode-se afirmar que mesmo adotando valores bastante
conservadores para realizar as análises, como foi o caso da velocidade básica, ainda obteve-se
um fator de segurança de 2,68 para o sistema. A rotina para esta análise transiente está
disponível no Apêndice E.
143
7.5 CONSIDERAÇÕES
O modelo tridimensional final, obtido neste capítulo, foi constituído por elementos
finitos de pórtico, treliça espacial e molas lineares, o qual considerou o efeito de não-
linearidade geométrica e a ação dinâmica do vento, inserida como um processo aleatório com
base em suas propriedades estatísticas.
Os resultados da análise dinâmica transiente mostraram que as cadeias de isoladores,
alcançarem inclinações próximas a 60º, valor estes que não causam preocupação alguma à
estrutura. Inclinações ainda maiores foram obtidas em Oliveira (2006) e Rodrigues (2004). Ao
comparar os resultados fornecidos pela análise estática não-linear e pela análise dinâmica
(também não-linear) do sistema para um determinado elemento do condutor, foi possível
constatar um incremento nos valores máximos de força e tensão. Estes valores mantiveram-se
dentro dos limites para o projeto da linha de transmissão, mantendo assim a segurança da
estrutura.
144
CAPÍTULO 8 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
8.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Inicialmente, mostram-se as conclusões e observações obtidas através das pesquisas,
experimentos e modelagens executadas. Após a apresentação das conclusões, é sugerida a
realização de estudos que podem contribuir significativamente para uma melhor compreensão
desta linha de pesquisa, dando continuidade ao trabalho desenvolvido nesta dissertação.
8.2 CONCLUSÕES FINAIS
A pesquisa realizada objetivou compreender melhor o comportamento dinâmico de
linhas de transmissão de energia elétrica com condutores múltiplos e espaçadores, as quais
são utilizadas para a transmissão de energia em altas tensões com benefícios econômicos.
Dentro das características regionais, o estudo dos tipos de vibrações em cabos
condutores mostrou que em função de fatores como o clima, características do vento e da
linha de transmissão, pode-se indicar que o tipo de vibração mais comum é a vibração eólica.
As análises realizadas em cabos condutores ao longo deste trabalho, para verificar a
influência da rigidez flexural em seu comportamento, confirmaram que quando comparados a
uma corda vibrante dentro do regime linear, apresentam comportamentos similares, com uma
pequena diferença para comprimentos pequenos. Este resultado reforça a teoria de que o
comportamento de cabos de linha de transmissão elétrica pode ser considerado igual ao de
cordas vibrantes, pois a parcela da equação que considera a rigidez à flexão torna-se
negligenciável com o aumento do comprimento do condutor.
A modelagem dos condutores da linha de transmissão exigiu, além do estudo de vários
tipos de elementos finitos, a criação de inúmeros modelos que procuram retratar com
fidelidade o comportamento de uma linha de transmissão, os quais permitiram definir o
melhor tipo de elemento finito a ser utilizado na representação dos condutores e as
propriedades a serem consideradas para o sistema.
O algoritmo baseado no método dos elementos finitos, desenvolvido para a modelagem
de um único condutor reto e tracionado considerando a análise do sistema linear, apresentou
bons resultados. Este modelo inicial foi validado experimentalmente no Laboratório de
Engenharia Civil da UFPA em uma bancada de ensaios de condutores de linha de
145
transmissão. Como o modelo precisava ser mais sofisticado, evoluiu para um cabo desenhado
através da equação da parábola, e a análise passou a levar em consideração a não-linearidade
geométrica do sistema. Os resultados foram bastante satisfatórios e permitiram a execução da
etapa seguinte que foi a construção do modelo de múltiplos condutores separados por
espaçadores-amortecedores. Esta análise mostrou que o comportamento modal para quatro
cabos se assemelha muito ao de apenas um cabo e que o sistema possui uma alta densidade
modal, pois os primeiros 200 modos calculados se localizaram em uma faixa de freqüência de
0,15 a 4,82
Hz
, o que permitiu chegar a uma boa estimativa do comportamento do sistema.
O modelo tridimensional final foi constituído por elementos finitos de pórtico, treliça
espacial e molas lineares. Considerou-se o efeito de não-linearidade geométrica decorrente,
principalmente, dos grandes deslocamentos sofridos pelos condutores. A ação dinâmica do
vento foi inserida como um processo aleatório com base em suas propriedades estatísticas.
A solução da análise dinâmica transiente a partir da utilização de um modelo
tridimensional final requer um grande volume de memória e tempo, do ponto de vista
computacional. Os resultados da análise dinâmica transiente mostraram também que as
cadeias de isoladores alcançaram inclinações próximas a 60º, valores estes que não causam
preocupação alguma à estrutura. Inclinações ainda maiores foram obtidas em Oliveira (2006)
e Rodrigues (2004).
Ao comparar os resultados fornecidos pela análise estática não-linear e pela análise
dinâmica (também não-linear) do sistema para um determinado elemento do condutor, foi
possível constatar um incremento nos valores máximos de força e tensão. Estes valores se
mantiveram dentro dos esperados para o projeto da linha de transmissão, mantendo assim a
segurança da estrutura.
8.3 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Os softwares comerciais baseados na teoria de elementos finitos têm contribuído de
forma significativa para a simulação do comportamento de sistemas que dificilmente podem
ser reproduzidos em laboratório. Porém eles ainda possuem muitas limitações, como por
exemplo, o tipo de elemento finito utilizado ou mesmo o método de solução adotado para as
análises.
Neste trabalho foi abordada apenas a análise de um vão de linha aérea de transmissão de
450 m, composto de um feixe de quatro condutores, separados uns dos outros por sete
146
espaçadores-amortecedores, com espaçamentos variados e duas colunas de sustentação. Sendo
assim, para futuros trabalhos seria interessante levar em consideração as seguintes sugestões:
¾ verificar os efeitos do posicionamento em distâncias iguais e aleatórias dos
espaçadores-amortecedores sobre a linha de transmissão;
¾ variar o numero de espaçadores-amortecedores na linha de transmissão para
otimizar o número necessário por vão;
¾ trabalhar com diferentes tipos de amortecedores-espaçadores de diferentes
fabricantes para comparar o desempenho de cada tipo;
¾ a correlação espacial entre as funções de flutuação da velocidade do vento
utilizada foi apenas horizontal. Existe, portanto, o interesse no
desenvolvimento de uma metodologia mais formal para correlação espacial
horizontal e vertical das funções de flutuação da velocidade do vento em
futuras contribuições;
¾ existe o interesse em estudar o comportamento do sistema estrutural formado
por torre e cabos segundo diferentes hipóteses de carga, ou seja, diferentes
direções de incidência do vento;
¾ outra sugestão para a continuidade da pesquisa é, exatamente, dar início aos
estudos que levem à modelagem mais fiel do comportamento de feixes de
cabos. Esse estudo deve ser iniciado com um modelo de um ou dois vãos do
feixe, onde as características da torre fossem consideradas nas condições de
contorno, inicialmente.
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160
APÊNDICE
APÊNDICE A - ROTINA PARA COMPARAR O COMPORTAMENTO DA RIGIDEZ
FLEXURAL ENTRE UM CABO E UMA CORDA VIBRANTE EM FUNÇÃO DA FREQUÊNCIA
E DO COMPRIMENTO
CLC; CLEAR ALL; CLOSE ALL;
% DADOS DE ENTRADA
n=1; % Número De Harmônicos Da Corda Vibrante
% Com 70% de Espaços Preenchidos
% Modulo de Elasticidade igual a 1.31e11 Gpa
% Momento de Inércia igual a 5.725e-9 m
4
EI=749.975; % Rigidez a Flexão [N/m]
mi=4.71; % Densidade Linear [Kg/m]
H=17794; % Tração No Cabo [N]
% COMPRIMENTO DO CABO
L=1:0.01:312.7;
%CÁLCULO DE LAMBDA
lamb=n.*pi./L;
% CÁLCULO DA FREQUENCIA NATURAL PARA O CABO [Hz]
Fn=(lamb.*(sqrt(((lamb.^2).*(EI/mi))+(H/mi))))./(2.*pi);
% CÁLCULO DA FREQUENCIA NATURAL PARA A CORDA VIBRANTE [Hz]
% Suposição:
% Negligenciando a Rigidez a Flexão EI
Fnc=lamb.*(sqrt(H/mi))./(2.*pi);
% GRÁFICO DA FREQUÊNCIA VS COMPRIMENTO DO CABO
figure(1)
loglog(Fn,L,'b',Fnc,L,'r')
legend('Cabo','Corda Vibrante')
xlabel('Frequencia [Hz]')
ylabel('Comprimento do Cabo [m]')
title('Grafico Comprimento vs Frequencia')
grid on
set(gcf,'color',[1 1 1])
% FIM
161
APÊNDICE B – ROTINA PARA A MODELAGEM DE UM CABO RETO TENSIONADO
/PREP7
/TITLE, VM53, VIBRACAO DE UMA LT TENSIONADA COM LINK8
ANTYPE, STATIC ! Análise Estática
PSTRES, ON ! Incluir Efeitos de Pré-tensionamento (Esta é necessária
! para a realização da análise modal a ser desenvolvida
! em seguida)
ET, 1, LINK8 ! Definição do Tipo de Elemento
R, 1,3. 7433E-4, 0.583E-3 ! Área da Seção Transversal e Deformação Inicial
! Propriedades do Material
MP, EX, 1,74E9 ! Módulo de Elasticidade
MP, DENS, 1,3470. 2 ! Densidade
N, 1 ! Definição dos Nós
N, 512, 10.56
FILL
E, 1,2 ! Definição dos Elementos
EGEN, 511, 1,1
D, ALL, ALL ! Restrição de Todos os Graus de Liberdade Para
! Receber as Tensões Estáticas
FINISH
/SOLU
SOLVE
FINISH
/SOLU
ANTYPE, MODAL ! Análise Modal
MODOPT, SUBSP, 9 ! Extração dos 9 Primeiros Modos Naturais Utilizando
! O Método de Iteração de Subespaço
MXPAND, 9 ! Expansão dos 9 Primeiros Modos Naturais
PSTRES, ON ! Inclusão dos Efeitos de Pré-tensionamento
DDELE, 2, UX, 511 ! Liberação dos Graus de Liberdade dos Nós Interiores
DDELE, 2, UY, 511 ! (Aqueles que Não Fazem Parte dos Apoios)
SOLVE ! Soluciona a Análise Modal
162
APÊNDICE C – ROTINA PARA A EQUAÇÃO DO CÁLCULO DA FREQUÊNCIA DE UMA
CORDA VIBRANTE
CLEAR
CLC
FORMAT SHORT
n=1:1: 10 ! Número do Modo
T=16167,47; ! Tração no Condutor
mi=1.302; ! Densidade Linear
L=10.56; ! Comprimento Inicial do Condutor
Wn= ((n*pi)/L)*sqrt(T/mi) ! Equação da Freqüência Natural em rad/s
Fn=Wn/ (2*pi) ! Equação da Freqüência Natural em Hz
163
APÊNDICE D – ROTINA DO MODELO NUMÉRICO PARA UM CABO DESENHADO ATRAVÉS
DA EQUAÇÃO DA PARÁBOLA
/PREP7
!*****************************************************
!* DEFINIÇÃO DOS TIPOS DE ELEMENTOS *
!*****************************************************
ET, 101, BEAM189 ! Para o cabo condutor
ET, 111, LINK8 ! Para os isoladores
ET, 1001, COMBIN14 ! Elemento de mola
!*****************************************************
!* PARÂMETROS GERAIS *
!*****************************************************
F = 5.10 ! Flecha no centro do vão
L = 450.00 ! Comprimento do vão
Ndiv_X = 512 ! Nº de segmentos (par)
N_NO = Ndiv_x-1 ! Nº de nós
N_ELEM = Ndiv_x/2 ! Nº de elementos
Delt_X = L/Ndiv_X
A = 4*F/L**2 ! Coeficiente A da parábola
B = -A*L ! Coeficiente B da parábola
*DIM, Pos_X, ARRAY, 10000
*DIM, Pos_Z, ARRAY, 10000
! EQUAÇÃO DA PARÁBOLA
*DO, I, 1, Ndiv_X - 1, 1
X = Delt_X*I
Pos_X(I) = I*Delt_X
Pos_Z(I) = A*X**2 + B*X
*ENDDO
!*******************************************************
!* DEFINIÇÃO DO MATERIAL DO CONDUTOR *
!*******************************************************
Area = 374.7E-6 ! Área média da seção do condutor
A_aco = 52.4E-6 ! Área média dos fios de aço
A_alu = 322.3E-6 ! Área média dos fios de alumínio
E_aco = 206000E6 ! Módulo de elasticidade do aço
E_alu = 68900E6 ! Módulo de elasticidade do alumínio
E_equiv = 76600E6*1.00 ! Módulo de elasticidade do condutor
Mass_lin = 1.30 ! Massa por unidade de comprimento do condutor
Dens_equiv = Mass_lin/Area ! Densidade do condutor
! PROPRIEADES DO MATERIAL DO CONDUTOR
MP, NUXY, 101, 0.3
MP, EX, 101, E_equiv
MP, DENS, 101, Dens_equiv
164
!*********************************************************
!* DEFINIÇÃO DA SEÇÃO E CONSTANTE REAL *
!*********************************************************
Pi = acos(-1)
d_aco = 3.09E-3 ! Diâmetro do fio de aço
d_alu = 3.97E-3 ! Diâmetro do fio de Alumínio
n_aco = 7 ! Número de fios de Aço
n_alu = 26 ! Número de fios de Alumínio
I_aco = Pi*d_aco**4/64 ! Cálculo do Momento de Inércia de um fio de aço
I_aco = I_aco*n_aco ! Cálculo do Momento de Inércia para a alma do condutor
I_alu = Pi*d_alu**4/64 ! Cálculo do Momento de Inércia de um fio de alumínio
I_alu = I_alu*n_alu ! Cálculo do Momento de Inércia para as camadas de
! de Alumínio do condutor
I_equiv = (E_aco*I_aco + E_alu*I_alu)/E_equiv*1.0 ! Momento de Inércia Equivalente
d_equiv = sqrt(Area*4/Pi) ! Diâmetro Equivalente do Condutor
!**************************************************
!* CRIAÇÃO DA SEÇÃO DO CONDUTOR *
!**************************************************
SECTYPE, 101, BEAM, CSOLID, COND, 0
SECOFFSET, CENT
SECDATA,d_equiv/2,0,0,0,0,0,0,0,0,0
!******************************************************
!* CRIAÇÃO DO ELEMENTO DO CONDUTOR *
!******************************************************
TYPE, 101
SECNUM, 101
MAT, 101
!**************************************************
!* CONSTRUÇÃO DO CONDUTOR *
!**************************************************
NO_MAX = 100000
NO_INI = 1+10000
NL = 501+20000
N, NL, L/2, 0, 500
N,10001,0,0,0
N,10002,450,0,0
NUMSTR, NODE, NO_MAX
*DO, I, 1, Ndiv_X - 1, 1
N, , Pos_X(I), 0, Pos_Z(I)
*ENDDO
*DO, I, 1, Ndiv_X - 4, 2
E, NO_MAX + I, NO_MAX + I + 2, NO_MAX + I + 1, NL
*ENDDO
E, 10001, NO_MAX + 1, NO_MAX, NL
E, Ndiv_X + NO_MAX - 3, 10002, Ndiv_X + NO_MAX - 2, NL
165
!**********************************************************
!* CONSTRUÇÃO DA CONTINUIDADE DA LINHA *
!**********************************************************
N,10041,-225,0,0
N,10051,675,0,0
!********************************************************
!* CONSTRUÇÃO DOS ELEMENTOS DE MOLA *
!********************************************************
k_cond = 1.742e4 !CONSTANTE ELÁSTICA
R,1001,k_cond, , ,
TYPE, 1001
REAL, 1001
E,10001,10041
E,10002,10051
/VIEW,1,1,1,1
/VUP,1,Z
/REPLOT
GPLOT
!******************************************************
!* CONSTRUÇÃO DOS ISOLADORES *
!******************************************************
N,10061,0,0,3.87
N,10071,450,0,3.87
!******************************************************
!* DEFINIÇÃO DO MATERIAL DO ISOLADOR *
!******************************************************
L_iso = 3.87 ! Comprimento do isolador
A_iso = 1E-3 ! Área da seção transversal do isolador
M_iso = 99.6 ! Massa do isolador
Dens_iso = M_iso/(A_iso*L_iso) ! Densidade do isolador
! PROPRIEADES DO MATERIAL DO ISOLADOR
MP, NUXY, 111, 0.3
MP, EX, 111, E_aco*10000
MP, DENS, 111, Dens_iso
R, 111, A_iso, , ! Constante real do isolador
!******************************************************
!* ELEMENTOS DOS ISOLADORES *
!******************************************************
TYPE, 111
REAL, 111
MAT, 111
E,10001,10061 ! Isolador 1
E,10002,10071 ! Isolador 2
!******************************************************
!* RESTRIÇÕES DA FIXAÇÃO *
!******************************************************
166
!***************************************************************************
!* ISOLADOR 1 *
!* FIXAÇÃO DO ISOLADOR NA TORRE E DA EXTREMIDADE *
!* DA MOLA DE CONTINUIDADE DA LINHA *
!***************************************************************************
D,10061,ALL
D,10001,ALL
D,10041,ALL
!**************************************************************************
!* ISOLADOR 2 *
!* FIXAÇÃO DO ISOLADOR NA TORRE E DA EXTREMIDADE *
!* DA MOLA DE CONTINUIDADE DA LINHA *
!**************************************************************************
D,10071,ALL
D,10002,ALL
D,10051,ALL
!*********************************************************************************************
!* RESTRIÇÃO DE TODOS OS OUTROS NÓS EM UY E ROTX PARA ANÁLISE *
!* DE PRTENSÃO (ANÁLISE ESTÁTICA), ANTES DA ANÁLISE MODAL *
!*********************************************************************************************
D,ALL,ROTX
D,ALL,UY
!********************************************************************************************
!* LIBERAÇÃO DOS GRAUS DE LIBERDADE DO NÓ AUXILIAR DO BEAM189 *
!********************************************************************************************
DDELE,20501,ALL
FINISH
/SOLU
!******************************************************************
!* PARÂMETROS DE SOLUÇÃO *
!******************************************************************
ACEL,0,0,9.81, ! Aceleração da gravidade
ANTYPE,STATIC ! Especificação de análise estática
NLGEOM,ON ! Inclusão dos efeitos de não-linearidade geométrica
PSTRES,ON ! Ativação da matriz de pretensão
NROPT,FULL, ,OFF ! O método resolvedor é o Newton-raphson full
LUMPM,OFF ! Não utiliza parâmetros de massa concentrados
EQSLV,FRONT, ,2 ! Equações resolvidas pelo frontal solver
PRECISION,0 ! Especifica dupla precisão no calculo
MSAVE,OFF ! Usa montagem global para a matriz de rigidez
PIVCHECK,OFF
TOFFST,0,
NEQIT, 40 ! Número de iterações por substep
Nsub_ini = 200 ! Quantidade inicial de substeps
Nsub_min = 20 ! Mínima quantidade de substeps
Nsub_max = 200000 ! Máxima quantidade de substeps
NSUBST,Nsub_ini,Nsub_max,Nsub_min,OFF
AUTOTS,ON ! Ativa o recurso auto time-steping
TIME, 200 ! Loadstep 1 - Peso próprio
167
SOLVE
FINISH
! ANÁLISE MODAL COM PRÉ-TENSÃO
/SOLU
!*******************************************************
!* PREPARANDO PARA A ANALISE MODAL *
!*******************************************************
!**********************************************************************
!* LIBERAÇÃO DOS GRAUS DE LIBERDADE DO SISTEMA *
!**********************************************************************
DDELE,ALL,ALL
!**************************************************************************************
!* RESTRIÇÃO DOS NÓS DOS ISOLADORES E MOLAS EM UY E ROTX *
!**************************************************************************************
NSEL,S,,,10041
NSEL,A,,,10051
NSEL,A,,,10061
NSEL,A,,,10071
D,ALL,ALL
ALLSEL,ALL
!**************************************************************
!* ANÁLISE MODAL PROPRIAMENTE DITA *
!**************************************************************
ANTYPE,MODAL ! Analise Modal
UPCOORD,1.0,OFF ! Mostra a forma modal no posprocessamento
! relativa a geometria deformada.
PSTRES,ON ! Ativação da matriz de pretensão
MODOPT,SUBSP,20 ! Extração dos 20 primeiros modos (Subespaço).
MXPAND,20 ! Especifica o numero de modos a expandir.
PSOLVE,EIGFULL ! Calcula os autovalores e autovetores.
FINISH
/SOLU ! Solução adicional para expansão.
EXPASS,ON
PSOLVE,EIGEXP ! Expande a solução de autovetor
FINISH
168
APÊNDICE E – ROTINA DA ANÁLISE DINÂMICA PARA O MODELO NUMÉRICO DE UM
FEIXE DE CONDUTORES DESENHADO ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DA PARÁBOLA
/NERR, , 9999999, , , ,
/CONFIG, NRES, 300000
/PREP7
!***************************************************
!* DEFINIÇÃO DOS TIPOS DE ELEMENTO *
!***************************************************
ET, 1, BEAM4 ! Elemento de viga Ancoragem
ET, 2, BEAM4 ! Elemento de viga Espaçador
ET, 101, BEAM189 ! Para o cabo condutor
ET, 111, LINK8 ! Para os isoladores
ET, 1001,COMBIN14 ! Elemento de mola
!***********************************************
!* PARÂMETROS GERAIS *
!***********************************************
F = 5.10 ! Flecha no centro do vão
L = 450.00 ! Comprimento do vão
C_dist = 0.40 ! Distância entre condutores
Ndiv_X = 128 ! Nº de segmentos (par)
N_NO = Ndiv_x-1 ! Nº de nós
N_ELEM = Ndiv_x/2 ! Nº de elementos
Delt_X = L/Ndiv_X
A = 4*F/L**2 ! Coeficiente A da parábola
B = -A*L ! Coeficiente B da parábola
*DIM, Pos_X, ARRAY, 10000
*DIM, Pos_Z, ARRAY, 10000
! EQUAÇÃO DA PARÁBOLA
*DO, I, 1, Ndiv_X - 1, 1
X = Delt_X*I
Pos_X(I) = I*Delt_X
Pos_Z(I) = A*X**2 + B*X
*ENDDO
!********************************************************
!* DEFINIÇÃO DO MATERIAL DO CONDUTOR *
!********************************************************
Area = 374.7E-6 ! Área média da seção do condutor
A_aco = 52.4E-6 ! Área média dos fios de aço
A_alu = 322.3E-6 ! Área média dos fios de alumínio
E_aco = 206000E6 ! Módulo de elasticidade do aço
E_alu = 68900E6 ! Módulo de elasticidade do alumínio
E_equiv = 76600E6*1.00 ! Módulo de elasticidade do condutor
Mass_lin = 1.30 ! Massa por unidade de comprimento do condutor
Dens_equiv = Mass_lin/Area ! Densidade do condutor
! PROPRIEADES DO MATERIAL DO CONDUTOR
MP, NUXY, 101, 0.3
MP, EX, 101, E_equiv
MP, DENS, 101, Dens_equiv
169
!*********************************************************
!* DEFINIÇÃO DA SEÇÃO E CONSTANTE REAL *
!*********************************************************
Pi = acos(-1)
d_aco = 3.09E-3 ! Diâmetro do fio de aço
d_alu = 3.97E-3 ! Diâmetro do fio de Alumínio
n_aco = 7 ! Número de fios de Aço
n_alu = 26 ! Número de fios de Alumínio
I_aco = Pi*d_aco**4/64 ! Cálculo do Momento de Inércia de um fio de aço
I_aco = I_aco*n_aco ! Cálculo do Momento de Inércia para a alma do condutor
I_alu = Pi*d_alu**4/64 ! Cálculo do Momento de Inércia de um fio de alumínio
I_alu = I_alu*n_alu ! Cálculo do Momento de Inércia para as camadas de
! de Alumínio do condutor
I_equiv = (E_aco*I_aco + E_alu*I_alu)/E_equiv*1.0 ! Momento de Inércia Equivalente
d_equiv = sqrt(Area*4/Pi) ! Diâmetro Equivalente do Condutor
!**************************************************
!* CRIAÇÃO DA SEÇÃO DO CONDUTOR *
!**************************************************
SECTYPE, 101, BEAM, CSOLID, COND, 0
SECOFFSET, CENT
SECDATA,d_equiv/2,0,0,0,0,0,0,0,0,0
!******************************************************
!* CRIAÇÃO DO ELEMENTO DO CONDUTOR *
!******************************************************
TYPE, 101
SECNUM, 101
MAT, 101
!**************************************************
!* CONSTRUÇÃO DO CONDUTOR 1 *
!**************************************************
NO_MAX = 100000
NO_INI = 1+10000
NL = 501+20000
N, NL, L/2, 0, 500
N,10001,0,0,0
N,10002,450,0,0
NUMSTR, NODE, NO_MAX
*DO, I, 1, Ndiv_X - 1, 1
N, , Pos_X(I), 0, Pos_Z(I)
*ENDDO
*DO, I, 1, Ndiv_X - 4, 2
E, NO_MAX + I, NO_MAX + I + 2, NO_MAX + I + 1, NL
*ENDDO
E, 10001, NO_MAX + 1, NO_MAX, NL
E, Ndiv_X + NO_MAX - 3, 10002, Ndiv_X + NO_MAX - 2, NL
!**************************************************
!* CONSTRUÇÃO DO CONDUTOR 2 *
!**************************************************
NO_MAX = 200000
170
NO_INI = 11+10000
NL = 502+20000
N, NL, L/2, 0, 500
N,10011,0,0,0.4
N,10012,450,0,0.4
NUMSTR, NODE, NO_MAX
*DO, I, 1, Ndiv_X - 1, 1
N, , Pos_X(I), 0, Pos_Z(I) + 0.4
*ENDDO
*DO, I, 1, Ndiv_X - 4, 2
E, NO_MAX + I, NO_MAX + I + 2, NO_MAX + I + 1, NL
*ENDDO
E, 10011, NO_MAX + 1, NO_MAX, NL
E, Ndiv_X + NO_MAX - 3, 10012, Ndiv_X + NO_MAX - 2, NL
!**************************************************
!* CONSTRUÇÃO DO CONDUTOR 3 *
!**************************************************
NO_MAX = 300000
NO_INI = 21+10000
NL = 503+20000
N, NL, L/2, -c_dist, 500
N,10021,0,-0.4,0.4
N,10022,450,-0.4,0.4
NUMSTR, NODE, NO_MAX
*DO, I, 1, Ndiv_X - 1, 1
N, , Pos_X(I), -c_dist, Pos_Z(I) + 0.4
*ENDDO
*DO, I, 1, Ndiv_X - 4, 2
E, NO_MAX + I, NO_MAX + I + 2, NO_MAX + I + 1, NL
*ENDDO
E, 10021, NO_MAX + 1, NO_MAX, NL
E, Ndiv_X + NO_MAX - 3, 10022, Ndiv_X + NO_MAX - 2, NL
!**************************************************
!* CONSTRUÇÃO DO CONDUTOR 4 *
!**************************************************
NO_MAX = 400000
NO_INI = 2+10000
NL = 504+20000
N, NL, L/2, -C_dist, 500
N,10031,0,-0.4,0
N,10032,450,-0.4,0
NUMSTR, NODE, NO_MAX
*DO, I, 1, Ndiv_X - 1, 1
N, , Pos_X(I), -c_dist, Pos_Z(I)
*ENDDO
*DO, I, 1, Ndiv_X - 4, 2
E, NO_MAX + I, NO_MAX + I + 2, NO_MAX + I + 1, NL
*ENDDO
E, 10031, NO_MAX + 1, NO_MAX, NL
E, Ndiv_X + NO_MAX - 3, 10032, Ndiv_X + NO_MAX - 2, NL
171
!**********************************************************
!* CONSTRUÇÃO DA CONTINUIDADE DA LINHA *
!**********************************************************
N,10041,-30,0,0
N,10042,-30,0,0.4
N,10043,-30,-0.4,0.4
N,10044,-30,-0.4,0
N,10051,480,0,0
N,10052,480,0,0.4
N,10053,480,-0.4,0.4
N,10054,480,-0.4,0
!********************************************************
!* CONSTRUÇÃO DOS ELEMENTOS DE MOLA *
!********************************************************
k_cond = 1.742e4 !CONSTANTE ELÁSTICA
R,1001,k_cond, , ,
TYPE, 1001
REAL, 1001
E,10001,10041
E,10002,10051
E,10011,10042
E,10012,10052
E,10021,10043
E,10022,10053
E,10031,10044
E,10032,10054
/VIEW,1,1,1,1
/VUP,1,Z
/REPLOT
GPLOT
!***********************************************
!* CONSTRUÇÃO DA ANCORAGEM *
!***********************************************
N,10061,0,-0.2,3.87
N,10062,0,-0.2,0.37
N,10063,0,-0.2,0.14
N,10071,450,-0.2,3.87
N,10072,450,-0.2,0.37
N,10073,450,-0.2,0.14
!***********************************************************
!* DEFINIÇÃO DO MATERIAL DA ANCORAGEM *
!***********************************************************
MP, NUXY, 1, 0.3
MP, EX, 1, 100000E9
MP, DENS, 1, 8139.66
!***************************************************************************
!* DEFINIÇÃO DE SEÇÕES TRANSVERSAIS DA ANCORAGEM *
!**************************************************************************
172
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 1 *
!****************************************
Area = 0.197046E-02
Iyy = 1.3E-06
Izz = 8.05E-08
Ixx = Iyy + Izz
tky = 22.14E-03
tkz = 89E-03
teta = 8.5
R , 2, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 2 *
!****************************************
Area = 0.197046E-02
Iyy = 1.3E-06
Izz = 8.05E-08
Ixx = Iyy + Izz
tky = 22.14E-03
tkz = 89E-03
teta = 171.5
R , 3, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 3 *
!****************************************
Area = 0.1850E-02
Iyy = 5.276e-8
Izz = 1.54E-06
Ixx = Iyy + Izz
tky = 100E-03
tkz = 18.50E-03
teta = 0
R , 4, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 4 *
!****************************************
Area = 0.13875E-02
Iyy = 0.650E-06
Izz = 3.96E-08
Ixx = Iyy + Izz
tky = 18.50E-03
tkz = 75E-03
teta = 215
R , 5, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
173
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 5 *
!****************************************
Area = 0.13875E-02
Iyy = 0.650E-06
Izz = 3.96E-08
Ixx = Iyy + Izz
tky = 18.50E-03
tkz = 75E-03
teta = 325
R , 6, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!*******************************************
!* ELEMENTOS DA ANCORAGEM 1 *
!*******************************************
TYPE,1
MAT,1
REAL,2
E,10062,10011
TYPE,1
MAT,1
REAL,3
E,10021,10062
TYPE,1
MAT,1
REAL,4
E,10063,10062
TYPE,1
MAT,1
REAL,5
E,10031,10063
TYPE,1
MAT,1
REAL,6
E,10063,10001
!*******************************************
!* ELEMENTOS DA ANCORAGEM 2 *
!*******************************************
TYPE,1
MAT,1
REAL,2
E,10072,10012
TYPE,1
MAT,1
REAL,3
E,10022,10072
TYPE,1
MAT,1
REAL,4
E,10073,10072
TYPE,1
MAT,1
174
REAL,5
E,10032,10073
TYPE,1
MAT,1
REAL,6
E,10073,10002
!******************************************************
!* DEFINIÇÃO DO MATERIAL DO ISOLADOR *
!******************************************************
L_iso = 3.87 ! Comprimento do isolador
A_iso = 1E-3 ! Área da seção transversal do isolador
M_iso = 99.6 ! Massa do isolador
Dens_iso = M_iso/(A_iso*L_iso) ! Densidade do isolador
! PROPRIEADES DO MATERIAL DO ISOLADOR
MP, NUXY, 111, 0.3
MP, EX, 111, E_aco*10000
MP, DENS, 111, Dens_iso
R, 111, A_iso, , ! Constante real do isolador
!**************************************************
!* ELEMENTOS DOS ISOLADORES *
!**************************************************
TYPE, 111
REAL, 111
MAT, 111
E,10062,10061 !isolador 1
E,10072,10071 !isolador 2
!*************************************************
!* CONSTRUÇÃO DOS ESPAÇADORES *
!*************************************************
! ESPAÇADOR 1
N,10081, 56.2500000000, -0.320000000000, -1.91125000000
N,10082, 56.2500000000, -0.320000000000, -2.15125000000
N,10083, 56.2500000000, -0.800000000000E-01, -1.91125000000
N,10084, 56.2500000000, -0.800000000000E-01, -2.15125000000
N,10085, 56.2500000000, -0.360000000000, -1.87125000000
N,10086, 56.2500000000, -0.360000000000, -2.19125000000
N,10087, 56.2500000000, -0.400000000000E-01, -1.87125000000
N,10088, 56.2500000000, -0.400000000000E-01, -2.19125000000
N,10089, 56.2500000000, -0.200000000000, -1.91125000000
N,10090, 56.2500000000, -0.200000000000, -2.15125000000
N,10091, 56.2500000000, -0.320000000000, -2.03125000000
N,10092, 56.2500000000, -0.800000000000E-01, -2.03125000000
! ESPAÇADOR 2
N,10097, 119.531250000, -0.320000000000, -3.65939453125
N,10098, 119.531250000, -0.320000000000, -3.89939453125
N,10099, 119.531250000, -0.800000000000E-01, -3.65939453125
N,10100, 119.531250000, -0.800000000000E-01, -3.89939453125
N,10101, 119.531250000, -0.360000000000, -3.61939453125
N,10102, 119.531250000, -0.360000000000, -3.93939453125
N,10103, 119.531250000, -0.400000000000E-01, -3.61939453125
175
N,10104, 119.531250000, -0.400000000000E-01, -3.93939453125
N,10105, 119.531250000, -0.200000000000, -3.65939453125
N,10106, 119.531250000, -0.200000000000, -3.89939453125
N,10107, 119.531250000, -0.320000000000, -3.77939453125
N,10108, 119.531250000, -0.800000000000E-01, -3.77939453125
! ESPAÇADOR 3
N,10113, 175.781250000, -0.320000000000, -4.53595703125
N,10114, 175.781250000, -0.320000000000, -4.77595703125
N,10115, 175.781250000, -0.800000000000E-01, -4.53595703125
N,10116, 175.781250000, -0.800000000000E-01, -4.77595703125
N,10117, 175.781250000, -0.360000000000, -4.49595703125
N,10118, 175.781250000, -0.360000000000, -4.81595703125
N,10119, 175.781250000, -0.400000000000E-01, -4.49595703125
N,10120, 175.781250000, -0.400000000000E-01, -4.81595703125
N,10121, 175.781250000, -0.200000000000, -4.53595703125
N,10122, 175.781250000, -0.200000000000, -4.77595703125
N,10123, 175.781250000, -0.320000000000, -4.65595703125
N,10124, 175.781250000, -0.800000000000E-01, -4.65595703125
! ESPAÇADOR 4
N,10129, 225.000000000, -0.320000000000, -5.02000000000
N,10130, 225.000000000, -0.320000000000, -4.78000000000
N,10131, 225.000000000, -0.800000000000E-01, -5.02000000000
N,10132, 225.000000000, -0.800000000000E-01, -4.78000000000
N,10133, 225.000000000, -0.360000000000, -4.74000000000
N,10134, 225.000000000, -0.360000000000, -5.06000000000
N,10135, 225.000000000, -0.400000000000E-01, -4.74000000000
N,10136, 225.000000000, -0.400000000000E-01, -5.06000000000
N,10137, 225.000000000, -0.200000000000, -5.02000000000
N,10138, 225.000000000, -0.200000000000, -4.78000000000
N,10139, 225.000000000, -0.320000000000, -4.90000000000
N,10140, 225.000000000, -0.800000000000E-01, -4.90000000000
! ESPAÇADOR 5
N,10145, 274.218750000, -0.320000000000, -4.53595703125
N,10146, 274.218750000, -0.320000000000, -4.77595703125
N,10147, 274.218750000, -0.800000000000E-01, -4.53595703125
N,10148, 274.218750000, -0.800000000000E-01, -4.77595703125
N,10149, 274.218750000, -0.360000000000, -4.49595703125
N,10150, 274.218750000, -0.360000000000, -4.81595703125
N,10151, 274.218750000, -0.400000000000E-01, -4.49595703125
N,10152, 274.218750000, -0.400000000000E-01, -4.81595703125
N,10153, 274.218750000, -0.200000000000, -4.53595703125
N,10154, 274.218750000, -0.200000000000, -4.77595703125
N,10155, 274.218750000, -0.320000000000, -4.65595703125
N,10156, 274.218750000, -0.800000000000E-01, -4.65595703125
! ESPAÇADOR 6
N,10161, 330.468750000, -0.320000000000, -3.65939453125
N,10162, 330.468750000, -0.320000000000, -3.89939453125
N,10163, 330.468750000, -0.800000000000E-01, -3.65939453125
N,10164, 330.468750000, -0.800000000000E-01, -3.89939453125
N,10165, 330.468750000, -0.360000000000, -3.61939453125
176
N,10166, 330.468750000, -0.360000000000, -3.93939453125
N,10167, 330.468750000, -0.400000000000E-01, -3.61939453125
N,10168, 330.468750000, -0.400000000000E-01, -3.93939453125
N,10169, 330.468750000, -0.200000000000, -3.65939453125
N,10170, 330.468750000, -0.200000000000, -3.89939453125
N,10171, 330.468750000, -0.320000000000, -3.77939453125
N,10172, 330.468750000, -0.800000000000E-01, -3.77939453125
! ESPAÇADOR 7
N,10177, 393.750000000, -0.320000000000, -1.91125000000
N,10178, 393.750000000, -0.320000000000, -2.15125000000
N,10179, 393.750000000, -0.800000000000E-01, -1.91125000000
N,10180, 393.750000000, -0.800000000000E-01, -2.15125000000
N,10181, 393.750000000, -0.360000000000, -1.87125000000
N,10182, 393.750000000, -0.360000000000, -2.19125000000
N,10183, 393.750000000, -0.400000000000E-01, -1.87125000000
N,10184, 393.750000000, -0.400000000000E-01, -2.19125000000
N,10185, 393.750000000, -0.200000000000, -1.91125000000
N,10186, 393.750000000, -0.200000000000, -2.15125000000
N,10187, 393.750000000, -0.320000000000, -2.03125000000
N,10188, 393.750000000, -0.800000000000E-01, -2.03125000000
!*********************************************************
!* DEFINIÇÃO DA SEÇÃO E CONSTANTE REAL *
!*********************************************************
!*********************************************************
!* DEFINIÇÃO DO MATERIAL DO ESPAÇADOR *
!*********************************************************
MP, NUXY,2, 0.33
MP, EX,2, 66228E6
MP, DENS,2, 2770
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 7 *
!****************************************
Area = 0.10203E-02
Iyy = 0.245E-06
Izz = 0.307E-07
Ixx = Iyy + Izz
tky = 19E-03
tkz = 53.7E-03
teta = 45
R , 7, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 8 *
!****************************************
Area = 0.10203E-02
Iyy = 0.245E-06
Izz = 0.307E-07
Ixx = Iyy + Izz
tky = 19E-03
177
tkz = 53.7E-03
teta = 135
R , 8, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 9 *
!****************************************
Area = 0.10203E-02
Iyy = 0.245E-06
Izz = 0.307E-07
Ixx = Iyy + Izz
tky = 19E-03
tkz = 53.7E-03
teta = 225
R , 9, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 10 *
!****************************************
Area = 0.10203E-02
Iyy = 0.245E-06
Izz = 0.307E-07
Ixx = Iyy + Izz
tky = 19E-03
tkz = 53.7E-03
teta = 315
R , 10, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 11 *
!****************************************
Area = 0.05734E-02
Iyy = 0.711E-08
Izz = 0.106E-06
Ixx = Iyy + Izz
tky = 47E-03
tkz = 12.20E-03
teta = 0
R , 11, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!****************************************
!* SEÇÃO TRANSVERSAL 12 *
!****************************************
Area = 0.05734E-02
Iyy = 0.106E-06
Izz = 0.711E-08
Ixx = Iyy + Izz
tky = 12.20E-03
tkz = 47E-03
teta = 0
178
R , 12, Area, Izz, Iyy, tkz, tky,teta,
RMORE, , Ixx , , , , ,
!*******************************************
!* ELEMENTOS DO ESPAÇADOR 1 *
!*******************************************
TYPE,2
MAT,2
REAL,7
E,10083,10087
E,10087,200015
TYPE,2
MAT,2
REAL,8
E,10081,10085
E,10085,300015
TYPE,2
MAT,2
REAL,9
E,10086,10082
E,400015,10086
TYPE,2
MAT,2
REAL,10
E,10088,10084
E,100015,10088
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10084,10092
E,10092,10083
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10081,10091
E,10091,10082
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10081,10089
E,10089,10083
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10082,10090
E,10090,10084
!*******************************************
!* ELEMENTOS DO ESPAÇADOR 2 *
!*******************************************
TYPE,2
MAT,2
REAL,7
E,10099,10103
179
E,10103,200033
TYPE,2
MAT,2
REAL,8
E,10097,10101
E,10101,300033
TYPE,2
MAT,2
REAL,9
E,10102,10098
E,400033,10102
TYPE,2
MAT,2
REAL,10
E,10104,10100
E,100033,10104
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10098,10107
E,10107,10097
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10100,10108
E,10108,10099
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10098,10106
E,10106,10100
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10097,10105
E,10105,10099
!*******************************************
!* ELEMENTOS DO ESPAÇADOR 3 *
!*******************************************
TYPE,2
MAT,2
REAL,7
E,10115,10119
E,10119,200049
TYPE,2
MAT,2
REAL,8
E,10113,10117
E,10117,300049
TYPE,2
MAT,2
REAL,9
E,10118,10114
180
E,400049,10118
TYPE,2
MAT,2
REAL,10
E,10120,10116
E,100049,10120
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10114,10123
E,10123,10113
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10116,10124
E,10124,10115
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10114,10122
E,10122,10116
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10113,10121
E,10121,10115
!*******************************************
!* ELEMENTOS DO ESPAÇADOR 4 *
!*******************************************
TYPE,2
MAT,2
REAL,7
E,10132,10135
E,10135,200063
TYPE,2
MAT,2
REAL,8
E,10130,10133
E,10133,300063
TYPE,2
MAT,2
REAL,9
E,10134,10129
E,400063,10134
TYPE,2
MAT,2
REAL,10
E,10136,10131
E,100063,10136
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10129,10139
181
E,10139,10130
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10131,10140
E,10140,10132
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10129,10137
E,10137,10131
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10130,10138
E,10138,10132
!*******************************************
!* ELEMENTOS DO ESPAÇADOR 5 *
!*******************************************
TYPE,2
MAT,2
REAL,7
E,10147,10151
E,10151,200077
TYPE,2
MAT,2
REAL,8
E,10145,10149
E,10149,300077
TYPE,2
MAT,2
REAL,9
E,10150,10146
E,400077,10150
TYPE,2
MAT,2
REAL,10
E,10152,10148
E,100077,10152
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10146,10155
E,10155,10145
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10148,10156
E,10156,10147
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10146,10154
182
E,10154,10148
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10145,10153
E,10153,10147
!*******************************************
!* ELEMENTOS DO ESPAÇADOR 6 *
!*******************************************
TYPE,2
MAT,2
REAL,7
E,10163,10167
E,10167,200093
TYPE,2
MAT,2
REAL,8
E,10161,10165
E,10165,300093
TYPE,2
MAT,2
REAL,9
E,10166,10162
E,400093,10166
TYPE,2
MAT,2
REAL,10
E,10168,10164
E,100093,10168
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10162,10171
E,10171,10161
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10164,10172
E,10172,10163
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10162,10170
E,10170,10164
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10161,10169
E,10169,10163
!*******************************************
!* ELEMENTOS DO ESPAÇADOR 7 *
!*******************************************
183
TYPE,2
MAT,2
REAL,7
E,10179,10183
E,10183,200111
TYPE,2
MAT,2
REAL,8
E,10177,10181
E,10181,300111
TYPE,2
MAT,2
REAL,9
E,10182,10178
E,400111,10182
TYPE,2
MAT,2
REAL,10
E,10184,10180
E,100111,10184
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10178,10187
E,10187,10177
TYPE,2
MAT,2
REAL,11
E,10180,10188
E,10188,10179
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10178,10186
E,10186,10180
TYPE,2
MAT,2
REAL,12
E,10177,10185
E,10185,10179
!**********************************************
!* RESTRIÇÕES DA FIXAÇÃO *
!**********************************************
! ANCORAGEM 1
D,10061,ALL
D,10041,ALL
D,10042,ALL
D,10043,ALL
D,10044,ALL
D,10062,ALL
D,10063,ALL
D,10001,ALL
D,10011,ALL
184
D,10021,ALL
D,10031,ALL
! ANCORAGEM 2
D,10071,ALL
D,10051,ALL
D,10052,ALL
D,10053,ALL
D,10054,ALL
D,10072,ALL
D,10073,ALL
D,10002,ALL
D,10012,ALL
D,10022,ALL
D,10032,ALL
!*************************************************************
!* RESTRIÇÃO DOS NÓS DOS ESPAÇADORES *
!*************************************************************
! ESPAÇADOR 1
D,10081,ROTX
D,10082,ROTX
D,10083,ROTX
D,10084,ROTX
D,10085,ROTX
D,10086,ROTX
D,10087,ROTX
D,10088,ROTX
D,10089,ROTX
D,10090,ROTX
D,10091,ROTX
D,10092,ROTX
! ESPAÇADOR 2
D,10097,ROTX
D,10098,ROTX
D,10099,ROTX
D,10100,ROTX
D,10101,ROTX
D,10102,ROTX
D,10103,ROTX
D,10104,ROTX
D,10105,ROTX
D,10106,ROTX
D,10107,ROTX
D,10108,ROTX
! ESPAÇADOR 3
D,10113,ROTX
D,10114,ROTX
D,10115,ROTX
D,10116,ROTX
D,10117,ROTX
D,10118,ROTX
D,10119,ROTX
185
D,10120,ROTX
D,10121,ROTX
D,10122,ROTX
D,10123,ROTX
D,10124,ROTX
! ESPAÇADOR 4
D,10129,ROTX
D,10130,ROTX
D,10131,ROTX
D,10132,ROTX
D,10133,ROTX
D,10134,ROTX
D,10135,ROTX
D,10136,ROTX
D,10137,ROTX
D,10138,ROTX
D,10139,ROTX
D,10140,ROTX
! ESPAÇADOR 5
D,10145,ROTX
D,10146,ROTX
D,10147,ROTX
D,10148,ROTX
D,10149,ROTX
D,10150,ROTX
D,10151,ROTX
D,10152,ROTX
D,10153,ROTX
D,10154,ROTX
D,10155,ROTX
D,10156,ROTX
! ESPAÇADOR 6
D,10161,ROTX
D,10162,ROTX
D,10163,ROTX
D,10164,ROTX
D,10165,ROTX
D,10166,ROTX
D,10167,ROTX
D,10168,ROTX
D,10169,ROTX
D,10170,ROTX
D,10171,ROTX
D,10172,ROTX
! ESPAÇADOR 7
D,10177,ROTX
D,10178,ROTX
D,10179,ROTX
D,10180,ROTX
D,10181,ROTX
186
D,10182,ROTX
D,10183,ROTX
D,10184,ROTX
D,10185,ROTX
D,10186,ROTX
D,10187,ROTX
D,10188,ROTX
!*********************************************************************
!* CRIAÇÃO DE CONJUNTO DE NÓS CONDUTORES_V1 *
!*********************************************************************
ESEL,S,TYPE, ,101
CM, CONDUT_V1, ELEM
NSLE,S
NSEL,U,LOC,Z,10,1000
CM, CONDUT_V1_NODE, NODE
/SOLU
ALLSEL,ALL
CMSEL,S,CONDUT_V1_NODE
ESEL,S,ENAME, ,BEAM4
ESEL,S,TYPE,,111
NSLE,U
D,ALL,ROTX
D,ALL,UY
ALLSEL,ALL
ACEL,0,0,9.81, ! Aceleração da gravidade
!******************************************************************
!* PARÂMETROS DE SOLUÇÃO *
!******************************************************************
ANTYPE, 4 ! Análise dinâmica transiente
TRNOPT,FULL ! O método é full (integração passo a passo)
LUMPM,0 ! Não utiliza matriz de massa concentrada
ALPHAD,0.03836*1.00 ! Inserção de amortecimento alpha >> [M]
BETAD, 0.00063*1.00 ! Inserção de amortecimento beta >> [K]
NLGEOM,1
KBC, 0 ! Gravidade aplicada como ramped loading
NLGEOM,1 ! Inclusão dos efeitos de não-linearidade geom.
NROPT,FULL, , ! O método resolvedor é o Newton-raphson full
LUMPM,1 ! Utiliza parâmetros de massa concentrados
EQSLV,FRONT, ,0, ! Equações resolvidas pelo frontal solver
PIVCHECK,OFF ! Não checa small pivot
SSTIF,1 ! Ativação do modo stress-stiffening
TOFFST,0,
NEQIT, 40 ! Número de iterações por substep
Nsub_ini = 200 ! Quantidade inicial de substeps
Nsub_min = 10 ! Mínima quantidade de substeps
Nsub_max = 200000 ! Máxima quantidade de substeps
NSUBST,Nsub_ini,Nsub_max,Nsub_min
OUTRES,ERASE
OUTRES,NSOL,-50
187
OUTRES,RSOL,-50
ISWRITE,1 ! Armazena as tensões
PSTRES,1
AUTOTS,1 ! Ativa o recurso auto time-steping
TIME,20 ! Loadstep 1 - Peso próprio
SOLVE
SAVE
!*********************************************************
!* DETERMINAÇÃO DOS CARREGAMENTOS *
!*********************************************************
CMSEL,S,CONDUT_V1_NODE
DDELE,ALL,UY
ALLSEL,ALL
!******************************************************
! * LIBERANDO OS NÓS DA ANCORAGEM 1 *
!******************************************************
NSEL,S,,,10001
NSEL,A,,,10011
NSEL,A,,,10021
NSEL,A,,,10031
DDELE,ALL,UX
DDELE,ALL,UZ
DDELE,ALL,ROTY
DDELE,ALL,ROTZ
ALLSEL,ALL
!******************************************************
! * LIBERANDO OS NÓS DA ANCORAGEM 2 *
!******************************************************
NSEL,S,,,10002
NSEL,A,,,10012
NSEL,A,,,10022
NSEL,A,,,10032
DDELE,ALL,UX
DDELE,ALL,UZ
DDELE,ALL,ROTY
DDELE,ALL,ROTZ
ALLSEL,ALL
!**************************************************************************
!* LIBERANDO OS NÓS CENTRAIS DAS ANCORAGENS 1 E 2 *
!**************************************************************************
DDELE,10062,ALL
DDELE,10063,ALL
DDELE,10072,ALL
DDELE,10073,ALL
!***************************************************************************************
!* LIBERANDO AS RESTRIÇÕES ROTX DOS NÓS DOS ESPAÇADORES *
!***************************************************************************************
! ESPAÇADOR 1
DDELE,10081,ROTX
188
DDELE,10082,ROTX
DDELE,10083,ROTX
DDELE,10084,ROTX
DDELE,10085,ROTX
DDELE,10086,ROTX
DDELE,10087,ROTX
DDELE,10088,ROTX
DDELE,10089,ROTX
DDELE,10090,ROTX
DDELE,10091,ROTX
DDELE,10092,ROTX
! ESPAÇADOR 2
DDELE,10097,ROTX
DDELE,10098,ROTX
DDELE,10099,ROTX
DDELE,10100,ROTX
DDELE,10101,ROTX
DDELE,10102,ROTX
DDELE,10103,ROTX
DDELE,10104,ROTX
DDELE,10105,ROTX
DDELE,10106,ROTX
DDELE,10107,ROTX
DDELE,10108,ROTX
! ESPAÇADOR 3
DDELE,10113,ROTX
DDELE,10114,ROTX
DDELE,10115,ROTX
DDELE,10116,ROTX
DDELE,10117,ROTX
DDELE,10118,ROTX
DDELE,10119,ROTX
DDELE,10120,ROTX
DDELE,10121,ROTX
DDELE,10122,ROTX
DDELE,10123,ROTX
DDELE,10124,ROTX
! ESPAÇADOR 4
DDELE,10129,ROTX
DDELE,10130,ROTX
DDELE,10131,ROTX
DDELE,10132,ROTX
DDELE,10133,ROTX
DDELE,10134,ROTX
DDELE,10135,ROTX
DDELE,10136,ROTX
DDELE,10137,ROTX
DDELE,10138,ROTX
DDELE,10139,ROTX
DDELE,10140,ROTX
189
! ESPAÇADOR 5
DDELE,10145,ROTX
DDELE,10146,ROTX
DDELE,10147,ROTX
DDELE,10148,ROTX
DDELE,10149,ROTX
DDELE,10150,ROTX
DDELE,10151,ROTX
DDELE,10152,ROTX
DDELE,10153,ROTX
DDELE,10154,ROTX
DDELE,10155,ROTX
DDELE,10156,ROTX
! ESPAÇADOR 6
DDELE,10161,ROTX
DDELE,10162,ROTX
DDELE,10163,ROTX
DDELE,10164,ROTX
DDELE,10165,ROTX
DDELE,10166,ROTX
DDELE,10167,ROTX
DDELE,10168,ROTX
DDELE,10169,ROTX
DDELE,10170,ROTX
DDELE,10171,ROTX
DDELE,10172,ROTX
! ESPAÇADOR 7
DDELE,10177,ROTX
DDELE,10178,ROTX
DDELE,10179,ROTX
DDELE,10180,ROTX
DDELE,10181,ROTX
DDELE,10182,ROTX
DDELE,10183,ROTX
DDELE,10184,ROTX
DDELE,10185,ROTX
DDELE,10186,ROTX
DDELE,10187,ROTX
DDELE,10188,ROTX
!*************************************
!* 1ª FAIXA DE INCIDÊNCIA *
!*************************************
CMSEL, S, CONDUT_V1_NODE
NSEL, R, LOC,X,0,45
ESLN , S
ESEL , R, TYPE,,101
CM, FUN001, NODE
ALLSEL,ALL
190
!*************************************
!* 2ª FAIXA DE INCIDÊNCIA *
!*************************************
CMSEL, S, CONDUT_V1_NODE
NSEL , R, LOC,X,45,135
ESLN , S
ESEL , R, TYPE,,101
CM, FUN002, NODE
ALLSEL, ALL
!*************************************
!* 3ª FAIXA DE INCIDÊNCIA *
!*************************************
CMSEL, S, CONDUT_V1_NODE
NSEL , R, LOC,X,135,225
ESLN , S
ESEL , R, TYPE,,101
CM, FUN003, NODE
ALLSEL, ALL
!*************************************
!* 4ª FAIXA DE INCIDÊNCIA *
!*************************************
CMSEL, S, CONDUT_V1_NODE
NSEL , R, LOC,X,225,315
ESLN , S
ESEL , R, TYPE,,101
CM, FUN004, NODE
ALLSEL, ALL
!*************************************
!* 5ª FAIXA DE INCIDÊNCIA *
!*************************************
CMSEL, S, CONDUT_V1_NODE
NSEL , R, LOC,X,315,405
ESLN , S
ESEL , R, TYPE,,101
CM, FUN005, NODE
ALLSEL, ALL
!*************************************
!* 6ª FAIXA DE INCIDÊNCIA *
!*************************************
CMSEL, S, CONDUT_V1_NODE
NSEL , R, LOC,X,405,450
ESLN , S
ESEL , R, TYPE,,101
CM, FUN006, NODE
ALLSEL, ALL
191
!*****************************************
!* ANÁLISE FULL TRANSIENTE *
!*****************************************
KBC,0
ALPHAD,0.03836*1.15 ! Inserção de amortecimento alpha >> [M]
BETAD, 0.00063*1.15 ! Inserção de amortecimento beta >> [K]
time,550*2
AUTOTS,1.0
DELTIM,0.05, 0.00125/10, 0.075
OUTRES,ERASE
OUTRES,NSOL,-11000*1.25
OUTRES,RSOL,-11000*1.25
RESCONTRL,DEFINE,ALL,-10
NEQIT,100
/INPUT,'KAIMAL','txt', , , 0 ! Este programa é mostrado no anexo F
PARRES,CHANGE,'par','par',' '
! FORÇAS NOS CONDUTORES
F,FUN001,FY,%FUNC001%
F,FUN002,FY,%FUNC002%
F,FUN003,FY,%FUNC003%
F,FUN004,FY,%FUNC004%
F,FUN005,FY,%FUNC005%
F,FUN006,FY,%FUNC006%
SAVE
SOLVE
192
APÊNDICE F – ROTINA COMPLEMENTAR DA ANÁLISE DINÂMICA
!***************************************************************************************
!* CARREGAMENTO NÃO-DETERMINÍSTICO DO VENTO *
!* GERAÇÃO DE SÉRIES TEMPORAIS PARA A PARCELA FLUTUANTE *
!* DA VELOCIDADE LONGITUDINAL DO VENTO *
!**************************************************************************************
!********************************************************************************************
!* DADOS DE ENTRADA 1 - VEL. BÁSICA, PARÂMETROS DE RUGOSIDADE *
!********************************************************************************************
U0 = 50.00 ! Velocidade básica do vento [m/s]
z = 28.15 ! Altura em [m]
z0 = 0.07 ! Comprimento de rugosidade
zd = 0 ! Deslocamento do plano zero (Aprox. nulo)
S1 = 1.00 ! Fator topográfico
S3 = 1.10 ! Fator estatístico
p = 0.15 ! Expoente relativo à rugosidade do terreno
!**********************************************************************************
!* DADOS DE ENTRADA 2 - INPUT PARA O ESPECTRO DE KAIMAL *
!**********************************************************************************
f_up = 12.0001 ! Frequência limite superior
f_lo = 0.0001 ! Frequência limite inferior
f_inc = 0.0010 ! Incremento da função
!************************************************************************************************
!* DADOS DE ENTRADA 3 - PROPRIEDADES DO HISTÓRICO DE VELOCIDADE *
!************************************************************************************************
time_low = 80.000 ! Lower boundary of time range
time_upp = 1280.000 ! Upper boundary of time range
time_inc = 0.0125 ! Time increment
div_spectrum = 500 ! Spectrum divisions
freq_sup = 10.0150 ! Frequencia superior
freq_inf = 0.0150 ! Frequencia inferior
tau = 4.350 ! Defasagem entre as funções
!********************************************************************************************
!* DADOS DE ENTRADA 4 - DADOS PARA GERAÇÃO DAS FORÇAS NODAIS *
!********************************************************************************************
Ca_cond = 1.1 ! Coeficiente de arrasto do condutor
diam = 25.16E-3 ! Diâmetro do condutor
!*********************************
!* DADOS CALCULADOS *
!*********************************
!*********************************************
!* DEFINIÇÃO DE CONSTANTES *
!*********************************************
pi = acos(-1)
r2 = sqrt( 2)
193
!******************************************************************************************
!* CÁLCULO DA VELOCIDADE MÉDIA DE REFERÊNCIA (10M DE ALTURA) *
!******************************************************************************************
V10 = 0.69*U0*S1*S3
!*******************************************************************************
!* CÁLCULO DA VELOCIDADE E FORÇA MÉDIA NA ALTURA "Z" *
!*******************************************************************************
Vz = V10*(z/10)**0.15
Press_avg = 0.613*Ca_cond*diam*Delt_X*(Vz)**2
!*****************************************************************
!* DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DE FRICÇÃO U *
!*****************************************************************
v_fric = 0.4*Vz/(log(z/z0))
!*****************************************************************
!* ENTRADA DO ESPECTRO DE KAIMAL *
!*****************************************************************
num_f = (f_up-f_lo)/f_inc + 1
*DIM, Sv_0, TABLE, num_f, , , , , ,
*DIM, Sv_1, TABLE, num_f, , , , , ,
i = 1
*DO, f, f_lo, f_up, f_inc
x = f*(z-zd)/Vz
Sv_0(i, 1) = 200*x*v_fric**2/((1+50*x)**(5/3))/f
Sv_0(i, 0) = f
Sv_1(i, 1) = 200*x*v_fric**0/((1+50*x)**(5/3))
Sv_1(i, 0) = f
i = i + 1
*ENDDO
!************************************************************************
!* DIMENSIONAMENTO DAS FUNÇÕES FORÇA NO TEMPO *
!************************************************************************
func_n = 6 ! Number of defined functions
*DIM,NOME,CHAR,100
NOME( 1 ,1 ,1) ='FUNC001'
NOME( 2 ,1 ,1) ='FUNC002'
NOME( 3 ,1 ,1) ='FUNC003'
NOME( 4 ,1 ,1) ='FUNC004'
NOME( 5 ,1 ,1) ='FUNC005'
NOME( 6 ,1 ,1) ='FUNC006'
194
!***************************************************************************************
!* DETERMINAÇÃO DO HISTÓRICO ATRAVÉS DE SÉRIE DE FOURIER *
!***************************************************************************************
time_pos = (time_upp - time_low)/time_inc
freq_inc = (freq_sup - freq_inf)/div_spectrum
*DIM, FUNC000, TABLE, time_pos+4
*DIM, THET, ARRAY, div_spectrum+1
*DIM,FourCoef, ARRAY, div_spectrum+1
*DO, i, 1, func_n
*DIM, %NOME(i, 1, 1)%, TABLE, time_pos+4, , , , , ,
*ENDDO
*VFILL,THET,RAND,0,2*pi,
k = 1
*DO, f, freq_inf, freq_sup, freq_inc
FourCoef(k) = SQRT(Sv_0(f)*freq_inc)
k = k + 1
*ENDDO
!*******************************************************
!* CARREGAMENTOS NOS CONDUTORES *
!*******************************************************
j = 1
FUNC001(j, 0) = 0
FUNC002(j, 0) = 0-tau*1
FUNC003(j, 0) = 0-tau*2
FUNC004(j, 0) = 0-tau*3
FUNC005(j, 0) = 0-tau*4
FUNC006(j, 0) = 0-tau*5
FUNC000(j, 1) = 0
FUNC001(j, 1) = 0
FUNC002(j, 1) = 0
FUNC003(j, 1) = 0
FUNC004(j, 1) = 0
FUNC005(j, 1) = 0
FUNC006(j, 1) = 0
j = 2
FUNC001(j, 0) = 50
FUNC002(j, 0) = 50-tau*1
FUNC003(j, 0) = 50-tau*2
FUNC004(j, 0) = 50-tau*3
FUNC005(j, 0) = 50-tau*4
FUNC006(j, 0) = 50-tau*5
FUNC000(j, 1) = 0
FUNC001(j, 1) = 0
FUNC002(j, 1) = 0
FUNC003(j, 1) = 0
FUNC004(j, 1) = 0
FUNC005(j, 1) = 0
FUNC006(j, 1) = 0
195
j = 3
FUNC001(j, 0) = time_low-time_inc
FUNC002(j, 0) = time_low-time_inc-tau*1
FUNC003(j, 0) = time_low-time_inc-tau*2
FUNC004(j, 0) = time_low-time_inc-tau*3
FUNC005(j, 0) = time_low-time_inc-tau*4
FUNC006(j, 0) = time_low-time_inc-tau*5
FUNC000(j, 1) = Vz
FUNC001(j, 1) = Press_avg
FUNC002(j, 1) = Press_avg
FUNC003(j, 1) = Press_avg
FUNC004(j, 1) = Press_avg
FUNC005(j, 1) = Press_avg
FUNC006(j, 1) = Press_avg
j = 4
*DO, t, time_low, time_upp, time_inc
k = 1
Soma = 0
*DO, f, freq_inf, freq_sup, freq_inc
Soma = Soma + FourCoef(k)*cos(2*pi*f*t+THET(k))
k = k + 1
*ENDDO
Float = r2*Soma
FUNC000(j, 1) = Float
Press = 0.613*Ca_cond*diam*Delt_X*(Vz+Float)**2
FUNC001(j, 1) = Press
FUNC002(j, 1) = Press
FUNC003(j, 1) = Press
FUNC004(j, 1) = Press
FUNC005(j, 1) = Press
FUNC006(j, 1) = Press
FUNC000(j, 0) = +t
FUNC001(j, 0) = +t
FUNC002(j, 0) = +t-tau*1
FUNC003(j, 0) = +t-tau*2
FUNC004(j, 0) = +t-tau*3
FUNC005(j, 0) = +t-tau*4
FUNC006(j, 0) = +t-tau*5
j = j + 1
*ENDDO
PARSAV,ALL,'par','par',' '
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