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ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO.
Bruno Márcio Agostini.
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
____________________________________________
Prof. Lídia Da Conceição Domingues Shehata, Ph. D.
____________________________________________
Prof. Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph. D.
____________________________________________
Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães, Ph. D.
____________________________________________
Prof. Regina Helena Ferreira de Souza, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
AGOSTO DE 2004
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ii
AGOSTINI, BRUNO MÁRCIO
Armadura Longitudinal Mínima em
Vigas de Concreto Armado [Rio de Ja-
neiro] 2004
XIV, 165 p. 29,7cm (COPPE/UFRJ,
M. Sc., Engenharia Civil, 2004)
Tese - Universidade Federal do Rio
de Janeiro, COPPE
1. Ductilidade
2. Momento de fissuração
3. Armadura Mínima
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
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iii
AGRADECIMENTOS
Ao meu pai Miguel Agostini e à minha mãe Izabel Resende Agostini.
Aos meus irmãos Lucas, Raquel e Tiago.
À minha Tia, Irmã Maria Ruth, pelo apoio em vários aspectos.
Às freiras da Congregação Nossa Senhora do Cenáculo pela receptividade.
A Josy Lanne Campos Souza pelo apoio, incentivo e compreensão.
À professora Lídia da Conceição Domingues Shehata pela dedicação e apoio nas
correções, sugestões e orientação.
Ao professor Ibrahim Abd El Malik Shehata pela condução dos ensaios
experimentais, correções, sugestões e orientação.
Aos amigos do Mestrado pelo companheirismo e convivência, em especial
Danilo Holanda e Jonylson Amarante.
Aos familiares que me apoiaram, particularmente às Tias Zélia Agostini e Maria
do Carmo Agostini.
À amiga Maria do Socorro de Franco.
Ao Programa de Engenharia Civil da COPPE–UFRJ pela oportunidade e à
CAPES pelo apoio financeiro concedido.
Às pessoas que contribuíram de alguma forma para a realização da tese.
A Deus, meu guia e protetor.
iv
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.).
ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO.
Bruno Márcio Agostini.
Agosto/2004
Orientadores: Lídia da Conceição Domingues Shehata.
Ibrahim Abd El Malik Shehata.
Programa: Engenharia Civil
Este trabalho enfoca a taxa de armadura longitudinal mínima de tração
necessária para que uma viga de concreto apresente comportamento dúctil no estado
limite último. A revisão bibliográfica mostra que as normas de cálculo, em geral,
propõem expressões empíricas para determinação da armadura longitudinal mínima que
nem sempre consideram a influência de parâmetros relevantes e que levam a valores
consideravelmente diferentes entre si. Os estudos teóricos e numéricos realizados
mostram divergência com relação à influência de alguns parâmetros. Um programa
experimental foi realizado objetivando verificar a validade das expressões existentes
para a determinação da taxa de armadura mínima. Esse programa incluiu seis vigas de
concreto armado, sendo quatro com concreto de resistência normal e duas de concreto
de alta resistência. Comparações das taxas de armadura mínimas definidas segundo
critério proposto com as dadas por expressões disponíveis levaram à definição das
melhores para avaliar a taxa de armadura mínima.
v
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial fulfillment of the requirements
for the degree of Master of Science (M. Sc.).
MINIMUM LONGITUDINAL REINFORCEMENT FOR REINFORCED
CONCRETE BEAMS.
Bruno Márcio Agostini.
August/2004
Advisors: Lídia da Conceição Domingues Shehata.
Ibrahim Abd El Malik Shehata.
Department: Civil Engineering
The main subject of this work is the minimum longitudinal tensile steel ratio in
concrete beams required for their ductile behavior in the ultimate limit state. A review
of the available literature showed that codes of practice, in general, propose empirical
formulas for the determination of the minimum steel ratio. These formulas give quite
different values of minimum steel ratio and not always take into consideration the
relevant influential parameters. The analysis of theoretical and numerical approaches
has also showed divergences about the influence of some parameters. In order to verify
the validity of the existing formulas for minimum steel ratio, a test program was
developed. The program included six reinforced concrete beams of which four were
made of normal strength concrete and two were of high strength concrete. Comparisons
of minimum steel ratios defined according to the proposed criterion and the ones given
by available formulas lead to the definition of the best ones to evaluate the minimum
tensile steel ratio.
vi
SUMÁRIO
NOTAÇÕES ix
CAPITULO I – INTRODUÇÃO 1
CAPÍTULO II – COMPORTAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ESBELTAS COM
NENHUMA OU POUCA ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO 4
CAPÍTULO III – DETERMINAÇÃO DA TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL
MÍNIMA DE TRAÇÃO 13
3.1 – INTRODUÇÃO 13
3.2 – RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DO CONCRETO 13
3.3 – MOMENTO DE FISSURAÇÃO 22
3.4 – TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO MÍNIMA 26
CAPÍTULO IV – ESTUDOS EXPERIMENTAIS E NUMÉRICOS SOBRE ARMADURA
LONGITUDINAL MÍNIMA DE TRAÇÃO 29
4.1 – BOSCO et al. (1990) 29
4.2 – PINTO JÚNIOR (1992) 32
4.3 – BRUCKNER e ELIGEHAUSEN (1998), OZBOLT e BRUCKNER (1999) 34
4.4 – BRINCKER et al. (1999) 41
4.5 – CARPINTERI et al. (1999) 50
4.6 – FANTILLI et al. (1999) 55
4.7 – QUEIRÓZ (1999) 58
4.8 – RUIZ et al. (1999) 60
4.9 – SHEHATA et al. (2000) 64
vii
4.10 – SOUZA et al. (2001) 66
4.11 – BORGES (2002) 68
4.12 – EXPRESSÕES DE DIFERENTES AUTORES PARA ρ
mín
72
4.13 – EXPRESSÕES DE DIFERENTES NORMAS PARA ρ
mín
75
4.14 – CONSIDERAÇÕES GERAIS 78
CAPÍTULO V – PROGRAMA EXPERIMENTAL 80
5.1 – INTRODUÇÃO 80
5.2 – MATERIAIS 80
5.2.1 – CONCRETO 80
5.2.2 – AÇO 82
5.3 – DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DAS VIGAS ENSAIADAS 85
5.4 – EXECUÇÃO DAS VIGAS 88
5.4.1 – FÔRMAS 88
5.4.2 – CONCRETAGEM 89
5.4.3 INSTRUMENTAÇÃO 90
5.4.3.1 – EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS DE RESISTÊNCIA 90
5.4.3.2 – EXTENSÔMETRO MECÂNICO 91
5.4.3.3 – DEFLECTÔMETROS ELÉTRICOS 92
5.5 – MONTAGEM E PROCEDIMENTO DOS ENSAIOS 93
5.5.1 – MONTAGEM 93
5.5.2 – PROCEDIMENTO DOS ENSAIOS 94
5.6 – RESULTADOS DOS ENSAIOS 94
5.6.1 – V1 94
5.6.2 – V2 99
5.6.3 – V3 102
5.6.4 – V4 107
5.6.5 – V6 112
5.6.6 – V5 116
viii
CAPÍTULO VI – ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS DISPONÍVEIS E
CRITÉRIO PROPOSTO PARA DEFINIÇÃO DA ARMADURA MÍNIMA 121
6.1 – INTRODUÇÃO 121
6.2 – DESLOCAMENTOS VERTICAIS 121
6.3 – DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA DA ARMADURA LONGITUDINAL DE
TRAÇÃO 123
6.4 – MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO 125
6.5 – RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO 126
6.6 – DADOS RELEVANTES 128
6.7 – CRITÉRIO PROPOSTO PARA A DEFINIÇÃO DE ρ
mín
137
6.8 – ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS VIGAS UTILIZANDO O
NÚMERO DE FRAGILIDADE (N
P
) PROPOSTO POR CARPINTERI (1981, 1984). 138
6.9 – COMPARAÇÃO ENTRE ρf
y
DAS VIGAS V1 A V6, C-3 e C e ρ
mín
f
y
DAS
EXPRESSÕES PROPOSTAS POR DIFERENTES AUTORES. 140
6.10 – COMPARAÇÃO ENTRE DE ρf
y
DAS VIGAS V1 A V6, C-3 e C e ρ
mín
f
y
DAS
EXPRESSÕES PROPOSTAS POR DIFERENTES NORMAS. 141
6.11 – RESUMO DOS RESULTADOS 143
CAPÍTULO VII – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS
144
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 147
APÊNDICE A 151
APÊNDICE B 158
ix
NOTAÇÕES
LETRAS ROMANAS
A
c
Área da seção transversal
A
s
Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração
A
s
`
Área da seção transversal da armadura longitudinal de compressão
A
s,mín
Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração mínima
b Largura da viga
c Distância do centróide da seção da armadura longitudinal de tração à face
inferior da viga
c’ Distância do centróide da seção da armadura longitudinal de tração à face
superior da viga
d Altura útil da seção, igual à distância da fibra mais comprimida ao centróide da
seção da armadura longitudinal de tração
d
máx
Dimensão máxima do agregado graúdo
E
c
Módulo de elasticidade do concreto
E
s
Módulo de elasticidade do aço
x
f
c
Resistência do concreto à compressão obtida do ensaio de cilindros
f
ck
Resistência característica do concreto à compressão
f
cm
Resistência média do concreto à compressão
f
cu
Resistência do concreto à compressão obtida do ensaio de cubos
f
ct
Resistência do concreto à tração direta
f
ctm
Resistência média do concreto à tração direta
f
ctk,inf
Resistência à tração característica do concreto para um quantil de 5%
f
ctk,sup
Resistência à tração característica do concreto para um quantil de 95%
f
ct,f
Resistência do concreto à tração na flexão
f
ct,sp
Resistência do concreto à tração indireta
f
y
Tensão de escoamento do aço da armadura longitudinal
f
yk
Tensão de escoamento característica do aço da armadura longitudinal
f
st
Tensão de ruptura do aço da armadura longitudinal
G
F
Energia de fratura do concreto
h Altura da viga
I
c
Momento de inércia da seção
ℓ
ch
Índice de fragilidade do concreto (Comprimento característico)
xi
K
IC
Tenacidade à fratura,
Fc
GE .=
ℓ Vão da viga
L Comprimento da viga
M Momento fletor
M
cr
Momento fletor sob o qual ocorre a primeira fissura de flexão
M
y
Momento fletor que corresponde ao início do escoamento da armadura
longitudinal de tração
M
u
Momento fletor último
N
p
Índice de fragilidade,
cC
sy
AK
Ahf
1
2
1
=
N
PC
Índice de fragilidade crítico
P Carga vertical
P
cr
Carga vertical de fissuração
P
cr,t
Carga vertical de fissuração, determinada teoricamente
P
y
Carga vertical sob a qual ocorre escoamento da armadura longitudinal
P
y,t
Carga vertical sob a qual ocorre escoamento da armadura longitudinal,
determinada teoricamente
P
u
Carga vertical última (máxima)
xii
P
u.t
Carga vertical última (máxima), determinada teoricamente
P
m
Carga vertical mínima atingida logo após a fissuração
x Altura da linha neutra
x
cr
Altura da linha neutra imediatamente antes da fissuração
z Distância entre o centróide da zona de compressão e o centróide da seção da
armadura longitudinal de tração
w
c
Abertura de fissura correspondente à tensão de tração nula no diagrama tensão-
abertura de fissura para o concreto fissurado
w
y
Abertura de fissura no instante em que a armadura longitudinal de tração entra
em escoamento
xiii
LETRAS GREGAS
δ Deslocamento vertical
δ
cr
Deslocamento vertical correspondente à carga P
cr
δ
cr
* Deslocamento vertical relativo ao ramo ascendente da curva após a
fissuração, para uma carga igual a P
cr
δ
y
Deslocamento vertical correspondente à carga P
y
δ
u
Deslocamento vertical correspondente à carga P
u
ε
s,cr
Deformação da armadura longitudinal de tração correspondente à carga P
cr
ε
s,cr
* Deformação da armadura longitudinal de tração relativa ao ramo ascendente da
curva após a fissuração, para uma carga igual a P
cr
ε
y
* Deformação de escoamento do aço correspondente ao diagrama tensão-
deformação bi-linear
ε
su
Deformação da armadura longitudinal de tração correspondente à carga P
u
ρ Taxa geométrica da armadura longitudinal de tração, = A
s
/bd
ρ` Taxa geométrica da armadura longitudinal de compressão, = A
s
`/bd
ρ
b
Taxa geométrica da armadura longitudinal de tração correspondente à condição
balanceada
ρ
mín
Taxa geométrica mínima da armadura longitudinal de tração, = A
s,mín
/bd
xiv
ρ
ℓ
Taxa geométrica da armadura longitudinal distribuída ao longo da altura da viga
τ
c
Resistência de aderência
φ
ℓ
Diâmetro das barras da armadura longitudinal de tração
φ
ℓ
’ Diâmetro das barras da armadura longitudinal de compressão
1
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
Em muitas situações, devido a imposições arquitetônicas ou de normas ou outras
razões, vigas de concreto têm seção transversal com dimensões maiores que as
requeridas pela resistência desejada. Devido a isto, em algumas dessas vigas haveria
necessidade de se colocar muito pouca armadura longitudinal de tração ou até mesmo
nenhuma. Entretanto, com o objetivo de evitar uma ruptura frágil logo após a fissuração
por flexão, no caso de haver cargas maiores que as previstas e de possibilitar
redistribuição de esforços, uma armadura mínima é geralmente provida.
Devido principalmente ao crescente uso de concretos de maior resistência, nos
últimos anos tem-se questionado as armaduras mínimas tradicionalmente adotadas nas
normas de cálculo e alguns pesquisadores têm estudado esse assunto.
As taxas de armadura longitudinal mínima de tração indicadas em diferentes
normas de cálculo dependem de diferentes parâmetros, isto é, apenas da tensão de
escoamento da armadura, desta tensão e da resistência à tração do concreto, ou destas
grandezas e da altura da viga. Devido a isto e à falta de definição clara e consensual do
que seja a armadura mínima, as expressões propostas nas normas levam a valores de
2
taxa dessa armadura bem diferentes, particularmente para o caso de vigas de concreto de
maior resistência.
Também as expressões sugeridas por diferentes pesquisadores a partir de estudos
teóricos ou teórico-experimentais fornecem valores de taxa de armadura longitudinal de
tração consideravelmente diferentes.
As diferenças acima citadas decorrem das peculiaridades do comportamento de
vigas com pouca ou nenhuma armadura longitudinal de tração, ao número ainda
limitado de estudos sobre este tema e à faixa reduzida de variação dos parâmetros que
influem nesse comportamento nos estudos experimentais realizados.
Esta pesquisa engloba, além de revisão bibliográfica sobre a definição de
armadura longitudinal mínima, estudo experimental que visa contribuir para o melhor
entendimento do comportamento em vigas de concreto com diferentes resistências à
compressão e contendo diferentes taxas de armadura longitudinal de tração. Não é
abordada neste estudo a taxa de armadura longitudinal necessária para limitar a abertura
de fissuras.
No capítulo 2 apresenta-se uma visão geral sobre o comportamento de vigas de
concreto com nenhuma ou pouca armadura longitudinal de tração. Discute-se de forma
sucinta a influência de parâmetros como resistência à compressão do concreto, tensão
de escoamento e taxa da armadura longitudinal de tração, altura da viga e aderência
entre concreto e aço no comportamento dessas vigas quando submetidas à flexão.
A resistência à tração do concreto e o momento de fissuração são enfocados no
capítulo 3 devido às suas importâncias na determinação da taxa de armadura
longitudinal mínima. Quanto à resistência à tração, são abordados os três tipos de
ensaios para sua determinação, as relações entre os valores de resistência obtidos a
partir desses ensaios, e apresentam-se expressões propostas por diferentes normas para a
3
avaliação dessa resistência. Para o momento fletor de fissuração, as duas formas
comumente adotadas para sua determinação são apresentadas e comparadas, e também
são listadas equações propostas por normas de cálculo para a avaliação do momento de
fissuração. A maneira usual de calcular a taxa de armadura longitudinal mínima e um
procedimento baseado na mecânica da fratura também são apresentados no capítulo 3.
Estudos teóricos, experimentais e numéricos realizados por diferentes autores
envolvendo o tema armadura longitudinal mínima de tração compõem o capítulo 4.
Alguns desses estudos têm como base a teoria da mecânica da fratura, que tem sido
principalmente empregada por alguns pesquisadores para tratar o efeito escala.
Complementando o capítulo 4, as expressões propostas por diferentes autores e normas
para a determinação da taxa de armadura longitudinal mínima de tração são
apresentadas e comparadas.
No capítulo 5 é apresentado o estudo experimental realizado, que englobou seis
vigas de concreto com baixa taxa de armadura longitudinal de tração. Essas vigas
tinham as mesmas dimensões, variando-se a resistência à compressão do concreto e a
taxa de armadura. Nesse capítulo abordam-se as propriedades do concreto e do aço
utilizados, como foram determinadas as armaduras empregadas nas vigas e o seu
detalhamento, o processo de execução das vigas e quais dispositivos foram utilizados
nas medições dos deslocamentos e deformações. Os resultados dos ensaios das seis
vigas também são apresentados nesse capítulo em diagramas carga-deformação
específica e carga-deslocamento.
No capítulo 6 apresentam-se as análises dos resultados dos ensaios. A partir dos
resultados dos ensaios deste trabalho e dos de outros pesquisadores, bem como de
análises teóricas, indicam-se expressões de cunho prático para cálculo de armadura
mínima tendo por base critério estabelecido para defini-la.
4
CAPÍTULO 2
COMPORTAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ESBELTAS COM
NENHUMA OU POUCA ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO
O comportamento de uma viga de concreto depende, dentre outros fatores, da
sua taxa de armadura longitudinal. Antes da ocorrência da fissuração é o concreto que
resiste às tensões normais de tração. A partir do instante que o momento fletor iguala-se
ao momento fletor de fissuração, para que a viga continue resistindo à flexão é
necessário que exista uma certa taxa de armadura longitudinal mínima. Quando não há
armadura de tração, a ruptura é brusca e ocorre assim que a viga fissura. Caso exista
pouca armadura de tração a viga pode também romper bruscamente logo após a
fissuração.
O gráfico esquemático da figura 2.1, de Ruiz et al. (1999), representa o
comportamento de vigas com pouca e nenhuma armadura longitudinal de tração, sendo
a única diferença entre elas a taxa desta armadura. A curva pontilhada corresponde a
uma viga sem armadura. As outras curvas referem-se a vigas contendo uma taxa de
armadura ρ
menor, igual e maior do que a taxa de armadura longitudinal de tração
5
mínima, ρ
mín
. A curva com ρ < ρ
mín
diz respeito a vigas que não mantêm o nível de
carga e também não suportam acréscimo de carga. Já na curva de vigas em que ρ = ρ
mín
,
vê-se que, depois de alguma diminuição da carga após a fissuração, há manutenção do
nível de carga. Para a curva em que ρ > ρ
mín
a viga é capaz de suportar acréscimos de
carga após a fissuração. Uma característica das vigas armadas com pequenas taxas de
armadura longitudinal de tração é apresentar um pico de carga (P
cr
) no gráfico carga-
deslocamento, que corresponde, aproximadamente, à carga de fissuração do concreto.
Como mostra a figura 2.1, esta carga pode ser maior que a carga para a qual ocorre o
escoamento da armadura longitudinal (P
y
).
Figura 2.1 – Curvas carga-deslocamento de vigas submetidas à flexão com pouca e
nenhuma armadura longitudinal (Ruiz et al., 1999).
O gráfico de Ruiz (2001) apresentado na figura 2.2 mostra curvas carga-
deslocamento vertical na seção de maior momento fletor teóricas e experimentais. As
6
curvas experimentais foram obtidas para vigas de microconcreto (dimensão máxima de
agregado, d
máx
, de 5 mm) com resistência à compressão , f
c
, de 39,5 MPa, barras
longitudinais nervuradas com tensão de escoamento , f
y
, de cerca de 600 MPa, largura e
altura da seção transversal retangular de 50 mm e 150 mm, relação vão/altura igual a 4,
e três diferentes valores de ρ. Nota-se neste gráfico a elevação do ramo pós-fissuração
da curva carga-deslocamento com o aumento da taxa de armadura.
Figura 2.2 – Curvas carga-deslocamento teóricas e experimentais obtidas por Ruiz
(2001).
Para baixas taxas de armadura, a deformação limite do aço é atingida antes de
ser atingida a deformação limite do concreto. Rompendo primeiro o aço da armadura
longitudinal de tração, tem-se uma ruptura por tração na flexão, a qual pode ser ou não
precedida por fissuras e grandes deformações. A ruptura brusca por tração na flexão,
que ocorre assim que surge a primeira fissura, deve ser evitada.
7
A figura 2.3 mostra as fissuras em uma viga com baixa taxa de armadura
longitudinal submetida à flexão. Neste caso, surgem poucas fissuras, ou até mesmo uma
única fissura, porém com grande abertura. Quando a taxa de armadura é menor ou igual
à mínima, observa-se freqüentemente apenas uma única fissura na seção de maior
momento fletor até o instante da ruptura da armadura longitudinal.
Figura 2.3 – Fissuração de viga com baixa taxa de armadura longitudinal de
tração.
Com o aumento da taxa de armadura longitudinal, passa-se a ter fissuras
distribuídas ao longo do vão. Quando esta taxa de armadura é inferior à balanceada, ρ
b,
e acima de ρ
mín
, a ruptura é dúctil e a viga apresenta várias fissuras, como indicado na
figura 2.4.
Figura 2.4 – Fissuração de viga com taxa de armadura longitudinal de tração
maior que a mínima e menor que a balanceada.
8
A taxa de armadura de tração mínima de uma viga deve assegurar que não haja
perda de capacidade resistente após a fissuração por flexão, e que o momento fletor
último (ruptura das armaduras, σ
s
= f
st
) seja maior do que o correspondente à fissuração
e, portanto, garanta que não haja ruptura brusca após a fissuração.
O tipo de comportamento de vigas esbeltas de concreto com ruptura por flexão
depende principalmente da taxa de armadura longitudinal, mas há outros parâmetros
influentes, como a altura da viga, a resistência do concreto, a tensão de escoamento da
armadura longitudinal de tração, a aderência entre armadura e concreto e a armadura
longitudinal distribuída ao longo da altura, quando esta existir.
A influência da altura da viga, h, ou “efeito de escala”, na taxa de armadura
mínima tem sido objeto de investigação de recentes pesquisas mas ainda não há um
consenso a esse respeito.
Carpinteri (1981, 1984), apud Carpinteri et al. (1999), verificou teórica e
experimentalmente que ρ
mín
capaz de evitar uma ruptura brusca depende da altura da
viga. O gráfico da figura 2.5 mostra a variação de ρ
mín
com h segundo esses autores,
para vigas de concreto com diferentes valores de resistência `a compressão, f
c
. Nele vê-
se também as taxas de armadura mínima prescritas por algumas normas, que não levam
em conta a altura da viga na definição de ρ
mín
. As curvas de Carpinteri et al. (1999)
apresentadas na figura 2.5, baseadas na mecânica da fratura elástica linear (LEFM),
evidenciam um decréscimo de ρ
mín
com o aumento de h, decréscimo este mais
acentuado para vigas de menor altura.
9
Figura 2.5 – Variação de ρ
mín
(%) com a altura da viga (mm) para diferentes
valores de f
c
dados em MPa (Carpinteri et al., 1999).
Ruiz et al. (1999) e Fantilli et al. (1999) realizaram pesquisas numéricas e
experimentais a respeito da influência do efeito de escala em ρ
mín
e obtiveram resultados
que indicam o decréscimo da taxa de armadura mínima necessária com o aumento da
altura da viga. No entanto, Ruiz et al. (1999) obtiveram resultados teóricos que, para
melhores condições de aderência, indicam o aumento de ρ
mín
com o aumento de h
para vigas com altura maior que aproximadamente 400 mm.
O gráfico da figura 2.6, de Bruckner e Eligehausen (1998), apresenta a variação
de ρ
mín
com h de acordo com Carpinteri (1992) e Osbolt (1995). Nele observa-se
discordância entre as curvas desses autores e entre elas e as correspondentes a três
normas de cálculo analisadas, mesmo a da NS 3473 (1992), única delas que considera o
efeito de escala na definição de ρ
mín
.
10
Figura 2.6 - Variação de ρ
mín
com h de acordo com diferentes autores e normas de
cálculo (Bruckner e Eligehausen, 1998).
Segundo Bruckner e Eligehausen (1998), vigas pouco armadas apresentam um
acréscimo de ductilidade à flexão e um aumento da contribuição do concreto tracionado
na sua resistência à flexão com a diminuição da altura e, portanto, ρ
mín
pode ser
diminuída com o decréscimo da altura.
Nos estudos até aqui mencionados, foram consideradas vigas com armadura
longitudinal tracionada colocada próximo à fibra mais tracionada. Entretanto, em vigas
altas, que na NBR 6118 (2003) são as com h ≥ 600 mm, as normas de cálculo
prescrevem o uso de armadura longitudinal distribuída ao longo da altura da região
tracionada, além da armadura concentrada. A presença desta armadura distribuída em
vigas altas, segundo os estudos de Ozbolt e Bruckner (1999), contribui para um
comportamento estável da viga após a fissuração, fazendo com que a altura da viga não
seja parâmetro relevante na definição de ρ
mín
.
11
Estudo de Fantilli et al. (1999), mostra que, diferentemente de h, a variação da
base da seção da viga não influencia ρ
mín
.
Quanto à resistência à compressão do concreto e à tensão de escoamento do aço
da armadura longitudinal tracionada, há consenso entre pesquisadores que ρ
mín
depende
desses parâmetros, diminuindo com o aumento de f
y
e aumentando com o aumento de
f
c
. Apesar disto, nem todas as normas de cálculo consideram f
c
na definição da taxa
mínima de armadura (ver figura 2.5).
Leonhardt (1961), apud Leonhardt e Monnig (1977), constatou em ensaios que a
ruptura brusca de vigas com pouca armadura de flexão passa a ser mais evidente com o
aumento da aderência entre a armadura e o concreto. Segundo Ruiz et al. (1999), em
geral, quanto melhor as condições de aderência maior é a taxa de armadura longitudinal
de tração necessária para que se evite ruptura brusca de flexão por tração.
De acordo com Ruiz et al. (1999), os trabalhos de Hededal e Kroon (1991), Ruiz
e Planas (1994) e Ruiz (1996) estão entre os poucos que consideram a aderência na
determinação teórica de ρ
mín
. Nos estudos teóricos, em geral, assume-se perfeita
aderência entre armadura longitudinal e concreto. Com base em estudos numéricos e
experimentais, Ruiz et al. (1999) e Ruiz e Planas (1995) concluíram que a consideração
adequada da aderência entre armadura e concreto é essencial para prever o
comportamento das vigas de maneira mais realista pois a aderência influencia a
resistência pós-pico das vigas e que vigas armadas com barras lisas são menos
resistentes.
Na figura 2.7 são mostrados gráficos carga-deslocamento vertical na seção de
maior momento fletor teóricos (linhas pontilhadas) e experimentais (linhas cheias) de
grupos de vigas com as mesmas características referentes à figura 2.2. Nesta figura a
única diferença entre as vigas é a conformação superficial das barras da armadura
12
longitudinal de tração, lisa ou nervurada (Planas et al., 1995). Os gráficos experimentais
sugerem uma maior diferença entre os ramos pós-fissuração de vigas com barras lisas e
nervuradas em vigas com menor altura.
Figura 2.7 – Curvas carga-deslocamento teóricas e experimentais obtidas por
Planas et al. (1995) para vigas com barras nervuradas e lisas.
13
CAPÍTULO 3
DETERMINAÇÃO DA TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL
MÍNIMA DE TRAÇÃO
3.1 – INTRODUÇÃO
Como visto anteriormente, a definição da taxa de armadura longitudinal mínima
está associada ao momento de fissuração que, por sua vez, depende da resistência à
tração do concreto. Estes dois temas são enfocados a seguir, bem como a maneira usual
de calcular a taxa de armadura longitudinal mínima de vigas.
3.2 – RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DO CONCRETO
Como todas as propriedades do concreto, a resistência à tração depende dos tipos
e proporções dos componentes do concreto, bem como da sua compactação, das
condições durante seu endurecimento e da idade. Em ensaios com ruptura do concreto
por tração, a superfície de ruptura mostra que a ruptura ocorre na ligação argamassa-
14
agregado graúdo, parte mais fraca, ou, particularmente nos concretos de maior
resistência, a superfície de ruptura atravessa os agregados graúdos.
Antes da aplicação de qualquer carga já existem microfissuras na região de
ligação da pasta de cimento com os agregados devido à diferenciada microestrutura
dessa região e às tensões internas que se desenvolvem porque os agregados restringem a
retração da pasta de cimento. A maior ou menor presença destas fissuras influencia
decisivamente na resistência à tração do concreto já que no concreto tracionado há uma
grande facilidade de propagação de fissuras.
Para obter a resistência à tração do concreto há três métodos de ensaio (figura
3.1): tração direta, compressão diametral e tração na flexão. Estes ensaios fornecem
valores de resistência à tração diferentes: f
ct
, f
ct,sp
e f
ct,f
, respectivamente.
O ensaio de tração direta requer o uso de colas de alta qualidade, é de execução
mais difícil e, devido a isto, só é realizado em trabalhos de pesquisa. No Brasil, não há
norma para este método de ensaio. Apesar disto, é esta a resistência à tração que é
tomada como referência em várias normas de cálculo de estruturas de concreto,
inclusive na NBR 6118 (2003), para cálculo do momento de fissuração, da armadura
mínima, da resistência ao cortante de elementos sem armadura transversal e da tensão
de aderência.
Os valores de f
ct,sp
obtidos no ensaio de compressão diametral (figura 3.1), cujo
método é descrito na NBR 7222 (1994), são cerca de 10 a 15% maiores que os de f
ct
(Mehta e Monteiro, 1994).
No caso do ensaio para obter f
ct,f
, as dimensões do corpo de prova influenciam
os resultados. Nele, um corpo de prova prismático com seção transversal quadrada é
carregado nos terços do vão, que é igual a 3 vezes a dimensão da seção transversal. A
NBR 12142 (1991) permite que neste ensaio se usem prismas com dimensão da seção
15
transversal de 150 mm, 250 mm ou 450 mm, e para cada uma destas dimensões um
valor de f
ct,f
é encontrado, devido à consideração de uma distribuição linear de tensões
normais ao longo da altura do corpo de prova de concreto até o momento da ruptura.
Figura 3.1 – Tipos de ensaios para obtenção da resistência à tração.
Segundo Mehta e Monteiro (1994), usando-se para o ensaio à flexão prismas
com dimensão da seção transversal de 150 mm, o valor de f
ct,f
pode chegar a ser cerca
de 100% maior que f
ct,sp
no caso de concretos de resistência usual, enquanto nos
concretos de alta resistência a diferença fica em torno de 50%.
Relações entre f
ct
,f
ct,sp
e f
ct,f
que constam em normas e recomendações de
cálculo são apresentadas na tabela 3.2 e, na figura 3.2, compara-se o gráfico da FIP
(1996) que mostra a influência de h na relação f
ct,f
/f
ct
com o correspondente à expressão
do CEB-FIP MC 90 da tabela 3.2, que equivale à do EC2 (2001).
16
Segundo fib (1999), embora a relação f
ct,f
/f
ct
dada no CEB-FIP MC 90 (1993)
dependa apenas de h, ela na verdade depende também de características do concreto:
rigidez, dimensão máxima do agregado e resistência, tendendo a ser menor para os
concretos mais frágeis. A relação do CEB-FIP MC 90 (1993) é uma simplificação de
outra obtida a partir de considerações da mecânica da fratura.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 200 400 600 800 1000 1200
h (mm)
fct,f/fct
FIP (1996) CEB-FIP MC 90 Gustafsson (1985), lch=200mm
Figura 3.2 – Influência de h em f
ct,f
/f
ct
, segundo FIP (1996), CEB-FIP MC 90 e
Gustafsson (1985).
Outras relações baseadas na mecânica da fratura têm sido propostas, todas
dependentes da altura da viga e de características do concreto. Uma delas, apud Bažant
e Planas, 1998, é a equação (3.1) proposta por Gustafsson (1985).
ch
ct
f,ct
h,
f
f
l
73
1
1
1
+
+= (3.1)
17
onde ℓ
ch
, definido como comprimento característico, corresponde à metade do
comprimento de um espécime submetido à tração no qual suficiente energia de
deformação elástica é armazenada para criar uma superfície de ruptura. Quanto menor
seu valor, mais frágil é o concreto. O valor de ℓ
ch
pode ser avaliado pela expressão (3.2).
2
ct
Fc
ch
f
GE
=l
(3.2)
Na expressão (3.2), E
c
é o módulo de elasticidade e G
F
a energia de fratura do
concreto. A norma (RILEM, 1985) define G
F
como a energia necessária para criar uma
unidade de área de uma fissura. Quando G
F
não for obtida de ensaio conforme a norma
RILEM (1985), pode ser estimada pela expressão (3.3) do CEB-FIP MC90.
70
0
10
,
cm
FF
f
GG
= (3.3)
com f
cm
em MPa e G
F0
em N/mm dado na tabela 3.1
Tabela 3.1 – Valores de G
F0
dados pelo CEB-FIP MC90.
d
máx
(mm)
G
F0
(N/mm)
8 0,025
16 0,030
32 0,058
Para
ℓ
ch
= 200 mm, valor aproximado para um concreto com agregado de
dimensão máxima de cerca de 20 mm e resistência à compressão em torno de 30 MPa, a
relação dada pela expressão (3.1) é a mostrada na figura 3.2.
Há considerável diferença entre os valores de f
ct,f
/f
ct
fornecidos pelas expressões
fundamentadas na mecânica da fratura, particularmente para o caso de menores valores
18
de h. Para este caso, para um mesmo concreto, algumas dessas relações teóricas levam
ao aumento de f
ct,f
/f
ct
com a diminuição de h até o limite superior de 2,5 a 3,0, enquanto
outras levam à diminuição de f
ct,f
/f
ct
com a diminuição de h dentro de determinada faixa
de h. A partir de certo valor de h, todas as propostas teóricas indicam a diminuição de
f
ct,f
/f
ct
com o aumento de h (ver figura 3.3).
Figura 3.3 – Relação entre f
ct,f
/f
ct
e h/ℓ
1
, onde ℓ
1
é parâmetro com dimensão de
comprimento que caracteriza o concreto (Bažant e Planas, 1998).
Embora outros valores possam ser encontrados na literatura, é geralmente aceito
que a relação f
ct
/f
ct,sp
fica em torno de 0,9. Já para f
ct,f
/f
ct
, dependendo da geometria da
viga e do concreto, valores entre cerca de 2,5 a 3,0 e 1,0 têm sido propostos (Bažant e
Planas, 1998).
Ao se projetar estruturas de concreto, define-se a resistência à compressão do
concreto e avalia-se a resistência à tração e outras propriedades do concreto a partir
dessa grandeza. Na tabela 3.2 são dadas expressões de normas e recomendações de
cálculo para avaliar a resistência à tração a partir da resistência à compressão. Nas
figuras 3.4 e 3.5 é feita comparação entre as expressões referentes a f
ct
e f
ct,f
,
respectivamente. Fez-se a aproximação de considerar f
ck
= f
c
e, nas expressões que
dependem de h, adotou-se h = 300 mm.
19
2
3
4
5
6
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
f
c
(MPa)
f
ct
(MPa)
NBR-6118 (2003)
EC 2 (2001)
FIP (1999)
Concrete Society (1998)
CEB (1995)
CEB FIP MC90 (1993)
NS-3473E (1992)
Figura 3.4 – Relação entre f
ct
e f
c
segundo algumas normas e recomendações de
cálculo.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
f
c
(MPa)
f
ct,f
(MPa)
ACI-318 (2002)
EC 2 (2001)
Concrete Society (1998)
CEB (1995)
CSA A23.3 (1994)
CEB FIP MC90 (1993)
ACI-363 R (1992)
Figura 3.5 – Relação entre f
ct,f
e f
c
segundo algumas normas e recomendações de
cálculo.
20
Tabela 3.2 – Expressões de normas e recomendações de cálculo para avaliar a
resistência à tração do concreto.
f
ct
f
ct,sp
f
ct,f
NBR-6118
(2003)
f
ck
≤ 50 MPa
f
ctk,inf
= 0,7.
f
ct,m
f
ctk,sup
= 1,3.
f
ct,m
f
ct,m
= 0,3.
f
ck
2/3
f
ct
= 0,9. f
ct,sp
f
ct
= 0,7. f
ct,f
ACI-318 (2002)
1,1
,
,
fct
spct
f
f =
f
ct,f
= 0,62.f
c
1/2
f
ctk,inf
= 0,7.
f
ct,m
f
ctk,sup
= 1,3.
f
ct,m
f
ct,m
= 0,3.f
ck
2/3
f
ck
≤ 50MPa
EC2 (2001)
f
ck
≤ 90 MPa
(
)
+
+=
MPa
f
ln.,f
ck
m,ct
10
8
1122
f
ck
> 50MPa
9,0
,
ct
spct
f
f =
+
=
7,0
7,0
,,
.06,0
.06,01
h
h
ff
mctfct
h em mm
f
ctk,inf
= 0,7.
f
ct,m
f
ctk,sup
= 1,3.
f
ct,m
f
ct,m
= 0,3.
f
ck
2/3
f
ck
≤ 50MPa
FIP (1999)
f
ck
≤ 80 MPa
f
ct,m
= 1,12.
f
ck
1/3
f
ck
> 50MPa
Concrete Society
(1998)
f
ck
*
≤ 85 MPa
f
ctk,inf
= 0,7.f
ct.m
f
ctk,sup
= 1,3.f
ct,m
f
ct,m
= 0,3.f
ck
2/3
f
ct,f
= 0,45.f
ck
2/3
21
Tabela 3.2 – Expressões de normas e recomendações de cálculo para avaliar a
resistência à tração do concreto (continuação).
f
ct
f
ct,sp
f
ct,f
CEB (1995)
f
ck
≤ 100 MPa
f
ctk,inf
= 0,7.
f
ct,m
f
ctk,sup
= 1,3.
f
ct,m
f
ct,m
= 0,318.(f
ck
+8)
0,6
9,0
,
,
mct
spct
f
f =
7,0
0
7,0
0
,
,
.5,1
.5,11.
+
=
h
h
h
h
f
f
mct
fct
h
0
= 100mm
1
h ≥ 50mm
CSA A23.3-94
(1994)
f
ck
≤ 80 MPa
f
ct,f
= 0,6.f
c
1/2
CEB-FIP MC 90
(1993)
f
ck
≤ 80 MPa
f
ctk,inf
= 0,7.f
ct,m
f
ctk,sup
= 1,3.f
ct,m
f
ct,m
= 0,3.f
ck
2/3
9,0
,
,
mct
spct
f
f =
7,0
0
7,0
0
,
,
.5,1
.5,11.
+
=
h
h
h
h
f
f
mct
fct
h
0
= 100mm
1
h ≥ 50mm
ACI-363 R
(1992)
f
ck
≤ 83 MPa
f
ct,sp
= 0,59.f
c
1/2
f
ct,f
= 0,94.f
c
1
/
2
f
ct,f
= 1,6.f
ct,sp
f
ctk
= 0,343. f
ck
0,6
para f
ck
≤ 44 MPa
NS 3473E
(1992)
f
ck
≤ 94 MPa
f
ctk
= 0,3.(f
ck
+11)
0,6
para f
ck
> 44 MPa
f
ct,sp
= 1,5. f
ct
1
A fórmula é uma aproximação que negligencia o efeito da dimensão máxima do agregado; é válida para
h ≥ 50mm.
* Considerou-se que a resistência à compressão obtida em ensaios de cilindros é 0,85 vezes a obtida em
ensaios de cubos.
22
3.3 – MOMENTO FLETOR DE FISSURAÇÃO
Para a determinação do momento fletor para o qual ocorre a fissuração da viga,
M
cr
, é necessário conhecer a distribuição de tensões normais na seção onde a fissuração
ocorre. Desprezando-se o efeito das armaduras longitudinais, no instante da fissuração
podem ser admitidos diagramas como os apresentados na figura 3.6, onde são
particularizados para o caso de uma seção transversal retangular.
Figura 3.6 – Diagramas de tensões normais admitidos para a seção em que
M = M
cr
.
Para um diagrama de tensões no concreto como o assumido na NBR-6118/80,
figura 3.6-a, é necessário admitir um valor para a deformação no concreto no instante da
formação da primeira fissura. Segundo Fusco (1990), nessa norma considerou-se para o
concreto tracionado um módulo de elasticidade igual a ¼ do módulo de elasticidade do
concreto na compressão (ver figura 3.7), ou seja, uma deformação na borda mais
tracionada igual a (4f
ct
/E
c
).
23
Figura 3.7 – Módulos de elasticidade considerados pela NBR 6118 (1980) para o
concreto comprimido e o tracionado.
A partir das condições de equilíbrio de forças e de momentos e de
compatibilidade de deformações, chega-se às expressões da altura da linha neutra x e de
M
cr
. Para seções transversais retangulares, segundo os procedimentos dessa norma,
obtém-se x = 0,414.h e, portanto,
()
32
5860
3
8280
5860
2
ct
ctcr
fbhh,h,
.hbf,M =
+
=
(3.4)
Como na NBR 6118 (1980) considerou-se também uma redução de 25% na
resistência à tração do concreto decorrente da restrição à retração do concreto imposta
pelas armaduras, tem-se
ctcr
fbh,M
2
250=
(3.5)
24
Já admitindo-se o diagrama de tensões linear da figura 3.6-b para seções
retangulares, obtém-se a expressão (3.6) para o momento de fissuração.
63
2
22
1
2
ct
ctcr
fbhh
.b
h
fM =
=
(3.6)
Esta expressão pode ser colocada na forma
ctcr
fWM .
=
(3.7)
onde W é o módulo de resistência da seção retangular no regime elástico relativo à fibra
mais tracionada, desconsiderando-se as armaduras longitudinais.
Comparando-se as expressões (3.5) e (3.7), verifica-se que a primeira é 1,5 vezes
a segunda. Assim, de acordo com Fusco (1990), adotando-se o diagrama de tensões da
figura 3.6-a e considerando-se módulo de elasticidade do concreto na tração igual a ¼
do relativo à compressão e redução de 25% em f
ct
, tem-se
ctcr
fWM .5,1
=
(3.8)
Segundo esse mesmo autor, “por extensão dos resultados conhecidos, no caso de
peças de concreto armado com seção T ou duplo T, freqüentemente se aceita o cálculo
do momento de fissuração por meio de uma expressão análoga à anterior”, ou seja, para
esses tipos de seção,
ctcr
fWM .2,1
=
(3.9)
25
Essa alegada diferença entre seções retangular, T e duplo T não é mencionada na
NBR 6118 (1980), mas é na NBR 6118 (2003), seção 17.3.1, onde é dito que para a
determinação do momento de fissuração deve-se usar a resistência à tração direta média
(=0,3 f
ck
2/3
).
Em geral, a expressão usada para avaliação de M
cr
é a (3.7), variando-se,
entretanto, a que fornece o valor de f
ct
avaliado a partir de f
c
.
A tabela 3.3 apresenta expressões de normas de cálculo de estruturas para a
determinação do momento de fissuração de vigas de concreto. Nela constam também as
particularizações dessas expressões para o caso de seções retangulares, com a
resistência à tração avaliada segundo essas normas, sendo que na da CEB-FIP MC90
desconsiderou-se a armadura no cálculo de W
1
. Pode-se verificar que, apesar de no
CEB-FIP MC 90 (1993) haver expressão para avaliar f
ct,f
a partir da resistência à
compressão, na sua expressão de M
cr
é adotada f
ctk,inf
. Das recomendações listadas nessa
tabela, apenas a do CEB-FIP MC 90 leva em conta as armaduras no cálculo de M
cr
.
Tabela 3.3 – Expressões para determinação do momento de fissuração de vigas de
algumas normas de cálculo de estruturas de concreto.
M
cr
M
cr
(seção retangular)
CEB-FIP MC90 (1993)
W
1
. f
ctk,inf
0,035.f
ck
2
/
3
.b.h
2
CSA A23.3-94 (1994)
W. f
ct,f
0,10 f
c
1
/
2
.b.h
2
ACI 318 (2002)
W. f
ct,f
0,103 f
c
1
/
2
.b.h
2
NBR 6118 (2003)
αW. f
ctk,inf
α = 1,5 (seção retangular)
α = 1,2 (seção T ou duplo T)
0,0525.f
ck
2/3
.b.h
2
W
1
= módulo de resistência da seção transversal relativo à fibra mais tracionada, considerando-
se as armaduras longitudinais
α = Fator que correlaciona aproximadamente f
ct,f
com f
ct
26
O gráfico da figura 3.8 compara as curvas que relacionam o momento de
fissuração adimensional com a resistência à compressão do concreto, segundo as
expressões da tabela 3.2 para seção retangular.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0 102030405060708090
f
c
(MPa)
M
cr
/ b.h
2
.f
c
CEB-FIP MC90
(1993)
CSA A23.3-94
(1994)
ACI-318 (2002)
NBR 6118
(2003)
Figura 3.8 – Momento de fissuração adimensional M
cr
/(bh
2
f
c
) em função de f
c
,
segundo as expressões de normas de cálculo listadas na tabela 3.3.
3.4 – TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO
MÍNIMA.
Em geral, considera-se que a armadura longitudinal de tração mínima é aquela
que leva a viga, na condição fissurada, a ser capaz de resistir a momento pelo menos
igual ao de fissuração, ou seja,
crymin,s
MzfA ≥
(3.10)
27
Fusco (1990), por exemplo, admitindo z = 0,85h e a expressão (3.8) para M
cr
,
chega à expressão (3.11) de taxa de armadura mínima para vigas com seção retangular.
yk
ctk
f
f3,0
min
=
ρ
(3.11)
Se, por outro lado, adotar-se a expressão (3.7) para M
cr
, z = 0,9d e h = 1,1d,
chega-se a
y
ct
min
f
f,2240
=
ρ
(3.12)
Além disso, como M
cr
depende do valor da resistência à tração do concreto
adotada, valores de A
s,min
consideravelmente diferentes podem ser encontrados ao se
empregar a expressão (3.10).
As normas de cálculo de estruturas de concreto nem sempre consideram a
expressão (3.10) para definir a armadura mínima. Segundo a norma CSA A23.3-94
(1994), por exemplo,
crymin,s
M,zfA 21≥
(3.13)
havendo ainda um outro valor de A
s,min
a satisfazer que, no caso de seção retangular, é o
que prevalecerá:
bhf,fA
/
cymin,s
21
20=
(3.14)
Em outras normas de cálculo, por outro lado, há indicações de área de armadura
mínima não relacionada com M
cr
ou mesmo com a resistência do concreto.
28
Um procedimento totalmente diferente do clássico acima descrito é estabelecer
um critério de crescimento estável de fissura numa seção armada tendo por base a
mecânica da fratura. Carpinteri et al. (1999), por exemplo, a partir da mecânica da
fratura linear, estabeleceu o número de fragilidade N
P
:
cIC
sy
P
AK
Ahf
N
2/1
=
(3.15)
onde K
IC,
denominado fator de intensidade de tensão crítica ou tenacidade de fratura, é
2/1
)(
cFIC
EGK =
(3.16)
Bosco e Carpinteri (1992) obtiveram empiricamente o número de fragilidade
crítico (N
PC
) para que ocorra uma fratura estável
cPC
fN 0023,01,0
+
=
com f
c
em MPa (3.17)
Assim, de acordo com esse autor,
(
)
(
)
2/1
2/1
2/1
min
0023,01,0
hf
EGf
hf
KN
y
cFc
y
ICPC
+
==
ρ
(3.18)
sendo as unidades N e mm.
No capítulo 4 são dadas várias expressões para determinação da taxa de
armadura mínima apresentadas em normas de cálculo ou propostas por diferentes
autores, algumas das quais são baseadas na mecânica da fratura, e feita comparação
entre as mesmas.
29
CAPÍTULO 4
ESTUDOS EXPERIMENTAIS E NUMÉRICOS SOBRE
ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA DE TRAÇÃO.
4.1 – BOSCO et al. (1990)
Uma pesquisa experimental foi realizada em trinta vigas de concreto armado
com base no modelo teórico desenvolvido por Carpinteri (1981, 1984); Carpinteri e
Carpinteri (1984).
O concreto utilizado nas vigas apresentou f
c
= 78 MPa (f
c
= 0,85f
cu
, f
cu
= 91,2
MPa), E
c
= 34,3 GPa e G
F
= 0,090 N/mm. A partir de E
c
e G
F
obteve-se K
IC
= 55,56
N/mm
-3/2
.
Na tabela 4.1 apresentam-se as características de 15 vigas pois havia sempre
duas idênticas. A relação ℓ/h = 6 foi adotada para todas as vigas. A taxa de armadura
longitudinal de tração foi determinada a partir da equação (3.15). Em nenhuma das
vigas utilizaram-se armaduras transversais.
30
Tabela 4.1 – Características e resultados dos ensaios das vigas de Bosco et al.
(1990).
Viga
Armadura
φ
ℓ
(mm)
ρ
(%)
b
(mm)
h
(mm)
d
(mm)
f
y
(MPa)
N
P
P
cr
(kN)
P
y
(kN)
P
u
(kN)
A-0 0 0 150 100 90 0 0 11,8 0,0 11,8
A-1
1 φ 4
0,085 150 100 90 637 0,134 11,8 7,0 11,8
A-2
2 φ 5
0,256 150 100 90 569 0,360 12,5 15,2 13,3
A-3
2 φ 8
0,653 150 100 90 441 0,710 13,5 27,9 22,1
A-4
2 φ 10
1,003 150 100 90 456 1,170 14,9 34,5 47,8
B-0 0 0 150 200 180 0 0 22,6 0,0 22,6
B-1
1 φ 5
0,064 150 200 180 569 0,128 19,5 10,3 19,5
B-2
3 φ 5
0,190 150 200 180 569 0,380 20,8 23,1 23,5
B-3
3 φ 8
0,490 150 200 180 441 0,760 22,4 41,4 56,7
B-4
3 φ 10
0,775 150 200 180 456 1,240 26,7 65,0 76,6
C-0 0 0 150 400 360 0 0 40,2 0,0 40,2
C-1
2 φ 4
0,0427 150 400 360 637 0,135 36,7 15,7 36,7
C-2
4 φ 5
0,128 150 400 360 569 0,360 38,7 32,4 38,7
C-3
4 φ 8
0,327 150 400 360 441 0,720 43,1 53,9 65,0
C-4
4 φ 10
0,517 150 400 360 456 1,170 48,9 84,4 97,7
ρ = A
s
/bh
d
máx
= 12,7 mm
Os ensaios foram realizados com controle de deformações ou abertura de fissura
na face inferior e impondo uma taxa de deformação de valor constante. A fissuração das
vigas ocorreu, em média, após sete minutos e o escoamento da armadura de tração após
quarenta e cinco minutos do início do ensaio.
A figura 4.1 apresenta três gráficos carga-deslocamento vertical na seção do
meio do vão. Cada gráfico diz respeito a uma altura de viga e cada curva corresponde a
uma das duas vigas ensaiadas.
Na tabela 4.1 constam os resultados dos ensaios. Os valores apresentados nesta
tabela foram obtidos a partir da média dos resultados dos ensaios de cada par de vigas
idênticas.
31
Figura 4.1 – Curvas carga-deslocamento vertical das vigas de Bosco et al. (1990).
As vigas A-0, B-0 e C-0 apresentaram um comportamento evidentemente frágil,
como pode ser observado na figura 4.1. Para as vigas A-1, B-1 e C-1 obteve-se P
y
< P
cr
.
Já para as vigas A-3, A-4, B-3, B-4, C-3 e C-4 a carga de escoamento foi superior à de
fissuração. Para as vigas A-2 e B-2 obteve-se P
y
> P
cr
e para a viga C-2 obteve-se P
y
<
P
cr
, mas estas cargas tiveram valores não muito diferentes como pode ser visto na tabela
32
4.1. Segundo os autores, as vigas 2 de cada grupo (N
P
≈ 0,26) tiveram um
comportamento de transição entre o frágil e o plástico.
A partir dos resultados obtidos, Bosco et al. (1990) concluíram que o valor do
número de fragilidade N
P
que corresponde a uma situação de transição entre
comportamento frágil e dúctil (M
cr
≈ M
y
) é cerca de 0,26, que N
P
pode representar o
efeito de escala no processo de ruptura e que vigas com mesmo valor de N
P
têm
comportamento semelhante. Segundo esses autores, a taxa de armadura mínima
necessária para evitar ruptura brusca quando da fissuração diminui com o aumento da
altura da viga.
4.2 – PINTO JÚNIOR (1992)
Nove vigas de seção retangular foram ensaiadas por Pinto Júnior (1992) com a
intenção de verificar, para o caso de vigas de concreto de alta resistência, a validade das
hipóteses para a determinação da armadura mínima de flexão admitidas por Fusco
(1990). Quatro vigas foram armadas com taxa geométrica de armadura longitudinal
inferior à mínima teórica fornecida pela equação (3.11), três com taxa igual a esta e
duas com taxa superior. A resistência à tração do concreto f
ctm
= 4,0 MPa foi adotada
para a determinação de ρ
mín
teórica das vigas.
Todas as vigas possuíam relação vão/altura igual a 7,5, seção retangular de 150
mm x 200 mm, altura útil de 180 mm e 1800 mm de comprimento. As duas cargas
concentradas aplicadas foram posicionadas nos terços do comprimento das vigas. A
tabela 4.2 apresenta outras características das vigas.
33
Tabela 4.2 – Características das vigas e resultados dos ensaios de Pinto Júnior
(1992).
Viga
Armadura
φ
ℓ
(mm)
ρ
(%)
f
c
(MPa)
f
ct.sp
(MPa)
*
f
ct.f
(MPa)
f
y
(MPa)
**
2P
cr,t
(kN)
2P
u,t
(kN)
2P
cr
(kN)
2P
y
(kN)
2P
u
(kN)
VRAM-2
4 φ 5,0
0,307 61,7 4,06 - 850 24,4 61,1 5,0 30,0 40,0
VRAM-3
3 φ 5,0
0,230 79,3 3,86 6,78 850 23,2 46,3 10,0
25-30
35,0
VRAM-4
2 φ 4,2
0,095 70,5 3,77 7,20 800 22,6 18,2 2,5 - -
VRAM-5
2 φ 4,2
0,095 80,4 4,44 6,36 800 26,7 18,2 17,5 - -
VRAM-6
2 φ 5,0
0,153 66,3 4,39 6,15 850 26,4 30,9 17,5 25,0 25,0
VRAM-7
2 φ 4,2
0,095 65,5 4,16 7,71 800 24,9 18,0 27,5 25,0 27,5
VRAM-7 A
2 φ 4,2
0,095 74,3 4,19 7,08 800 25,1 18,0 30,0 - -
VRAM-8
2 φ 6,3
0,235 75,0 4,99 9,57 595 29,9 33,0 25,0 30,0 30,0
VRAM-8 A
2 φ 6,3
0,235 70,2 4,72 8,91 595 28,3 33,0 20,0 17,9 20,0
* Corpos de prova de 100 x 100 x 400 mm
** Para f
ct
= 0,9f
ct,sp
(Mehta, 1986 apud Pinto Junior, 1992)
ρ = A
s
/bd
As vigas VRAM-2, VRAM-3 e VRAM-6, ensaiadas com idades superiores a
155 dias e que tinham taxas de armaduras superiores e igual à mínima teórica,
apresentaram cargas de fissuração e de ruptura menores que as previstas teoricamente.
Uma justificativa para a carga de fissuração menor que a teórica seria o efeito de
retração, já que houve variações razoáveis de temperatura desde a moldagem das viga
até a realização dos ensaios. Pinto Júnior (1992) afirma que, apesar do esgotamento de
capacidade resistente prematuro devido à deformação plástica excessiva das armaduras,
essas vigas apresentaram um comportamento dúctil, com intensa fissuração e grandes
deformações antes da ruptura.
As vigas VRAM-4 e VRAM-5, com taxa de armadura menor que a mínima
teórica, e ensaiadas com idades de 190 e 135 dias, também apresentaram carga de
fissuração menor que a teórica. A viga VRAM-4 teve ruptura brusca e o ensaio da
VRAM-5 não foi levado até o colapso da mesma.
34
Comportamento frágil também foi observado nas vigas VRAM-7 e VRAM-7A,
com a mesma taxa de armadura que as VRAM-4 e VRAM-5. As vigas VRAM-7 e
VRAM-7A, ensaiadas com 28 e 29 dias, foram as únicas para as quais a carga de
fissuração foi maior que a teórica. Isto não ocorreu nas vigas VRAM-8 e VRAM-8A,
ensaiadas com 29 e 30 dias e também submetidas a cura cuidadosa. A tabela 4.2
apresenta os resultados teóricos para as cargas de fissuração e última e os experimentais
2P
cr
, 2P
y
e 2P
u
.
Para Pinto Júnior (1992), a obtenção de momentos de fissuração experimentais
inferiores aos teóricos mostrou, pelo menos para as vigas de concreto de alta resistência,
não ser válida a redução de 25% na resistência à tração do concreto decorrente da
restrição à retração do concreto imposta pelas armaduras. Esse autor também afirma que
a equação (3.11) não é válida para a determinação de ρ
mín
para vigas de concreto de alta
resistência.
4.3 – BRUCKNER e ELIGEHAUSEN (1998), OZBOLT e BRUCKNER
(1999).
Segundo Ozbolt e Bruckner (1999), na maioria das normas ρ
mín
independe da
altura da viga. No entanto, recentes pesquisas experimentais e teóricas baseadas na
mecânica da fratura apontam para uma dependência entre A
s,mín
e a altura da viga.
Para esses autores, o cálculo de ρ
mín
a partir da condição M
cr
= M
y
para vigas de
dimensões proporcionais resulta em ρ
mín
menor para vigas maiores, devido ao efeito de
escala em f
ct,f
.
35
É citado que há estudo experimental indicando que ρ
mín
está mais relacionada ao
tipo de armadura do que ao tamanho da viga, havendo portanto dúvidas a serem
esclarecidas com relação à armadura mínima.
Ozbolt e Bruckner (1999) afirmam que a armadura longitudinal mínima precisa
garantir um comportamento estável da viga após M
cr
ser alcançado e também que M
R
≥
M
cr
, sendo que M
R
é o momento fletor resistente.
Sabe-se que vigas com dimensões maiores apresentam um comportamento pós-
fissuração mais frágil do que vigas com dimensões menores. Estas, segundo Ozbolt e
Bruckner (1999), apresentam um comportamento relativamente estável mesmo sem
nenhuma armadura, e o critério de equilíbrio energético não é relevante. Diante disso os
pesquisadores propõem a equação (4.1) como critério para a determinação de ρ
mín
de
vigas pequenas.
crconyR
MMMM ≥
+
=
(4.1)
onde M
y
é a parcela resistida pela armadura em escoamento e M
con
é a parcela resistida
pelo concreto.
Ozbolt e Bruckner (1999) não vêem motivo para o acréscimo da taxa de
armadura com a diminuição do tamanho da viga, pois a armadura mínima precisa
garantir uma ruptura dúctil e as vigas menores apresentam comportamento mais dúctil.
Quando se trata de vigas grandes, que sem armadura apresentam ruptura frágil
imediatamente após a fissuração, para assegurar comportamento estável após a
fissuração é necessário que haja armadura para resistir à tração e para consumir a grande
energia liberada quando da fissuração. O critério de equilíbrio de energia a ser atendido
é
36
R
cr
G
a
U
<
∆
∆
(4.2)
onde o primeiro termo é a taxa de energia estrutural liberada quando M
cr
é atingido e o
segundo termo é a taxa de energia consumida pela armadura e pelo concreto em volta da
armadura. Segundo os autores, se G
R
< (∆U/∆a)
cr
haverá propagação instável de
fissuras ainda que M
y
> M
cr
.
Assim, em vigas grandes é preciso uma quantidade de armadura que satisfaça
tanto a equação (4.1) como a equação (4.2). Haverá estabilidade, após o início da
fissuração, se a rotação da seção transversal fissurada for proporcional ao crescimento
da fissura. Segundo Ozbolt e Bruckner (1999), isto ocorre somente em vigas
relativamente pequenas, pois nas vigas com grandes dimensões quando ρ
mín
não é
adequada a seção transversal geralmente não permanece plana e a fissura de flexão
propaga-se praticamente sem rotação da seção transversal.
Foi realizada análise numérica de vigas de diferentes tamanhos e diferentes taxas
de armadura. As vigas bi-apoiadas analisadas estavam sujeitas a uma carga concentrada
no meio do vão e possuíam seção com largura de 100 mm e alturas de 100, 200, 400,
800 e 1600 mm. A relação vão/altura foi mantida constante e igual a 6. Para cada altura
de viga ρ foi variada de 0 a 2%. As armaduras foram dispostas a 0,1 h da base da viga.
As propriedades do concreto, mantidas iguais para todas as vigas, foram: f
ct
= 3,1 MPa,
f
c
= 32 MPa, G
F
= 0,08 N/mm, E
c
= 30 GPa e d
máx
= 16 mm. Para o aço consideraram-
se relação tensão-deformação elasto-plástica, E
S
= 210000 MPa e f
y
= 420 MPa. A
aderência entre aço e concreto também foi levada em conta.
Nesse estudo numérico, Ozbolt e Bruckner (1999) observaram que em vigas
pequenas armadas com baixas taxas de armadura, ρ ≈ 0.25%, a contribuição do concreto
para a carga máxima é significante e praticamente igual à contribuição das armaduras,
37
devido ao crescimento estável das fissuras. Quando o tamanho da viga aumenta tem-se
um decréscimo da contribuição do concreto para a carga máxima, sendo que para vigas
muito grandes a contribuição do concreto pode ser desprezada. Em vigas armadas com
ρ = 2,0 %, altura entre 100 e 1600 mm, providas de estribos e armaduras de costela;
constatou-se que o efeito de escala na resistência é pequeno.
Com a intenção de verificar a importância da armadura longitudinal distribuída
em vigas grandes armadas com uma pequena taxa de armadura de flexão, esses
pesquisadores analisaram numericamente duas vigas com h = 1600 mm e ρ = 0,14%,
ambas contendo estribos, sendo que uma delas possuía armadura longitudinal
distribuída, ρ
l
= 0,1 %. Concluiu-se que a viga com armadura longitudinal distribuída
apresentou comportamento estável, não sendo verificado o mesmo tipo de
comportamento para a viga contendo somente ρ = 0,14 %, como nota-se na figura 4.2.
Nas vigas com armadura distribuída, o dano causado pela fissuração ocorre em maior
região, o que torna possível o consumo da energia liberada.
Figura 4.2 – Curvas carga-deslocamento, obtidas numericamente, para vigas com
e sem armadura longitudinal distribuída e ρ = 0,14% Ozbolt e Bruckner (1999).
38
Os estudos numéricos também mostraram que ρ
mín
≈ 0,125% é suficiente para
vigas com alturas de 100 e 200 mm, mas não para vigas mais altas. Nas vigas altas, a
primeira fissura de flexão atinge a zona de compressão com a seção crítica apresentando
pequena rotação, ocorrendo a ruptura da viga sem que a resistência da armadura seja
plenamente ativada. Para que a resistência do aço seja efetivamente usada é necessário
que a seção crítica tenha rotação proporcional ao crescimento da fissura desta seção. De
acordo com Ozbolt e Bruckner (1999), devido a razões energéticas e ao fato de que as
armaduras de flexão estão localizadas somente na parte inferior da viga, uma taxa
ρ = 0,125 % não é suficiente para evitar o crescimento instável de fissuras em vigas
grandes e, como conseqüência disso, a seção transversal não permanece plana.
Os pesquisadores também realizaram ensaios em vigas sujeitas a uma única
carga concentrada aplicada no meio do vão objetivando obter informações a respeito do
comportamento estrutural de vigas com baixas taxas de armadura. Adotou-se ρ = A
s
/bh
= 0,15 % (taxa mínima segundo a norma EC2, 1992) para todas as vigas, as quais
possuíam também estribos (taxa mínima segundo a norma EC2, 1992) e armadura
longitudinal na zona de compressão com a finalidade de melhor traduzir uma situação
real. A relação vão/altura era ℓ/h = 6. A tabela 4.3 e a figura 4.3 apresentam as
características das vigas.
Tabela 4.3 – Características das vigas de Bruckner e Eligehausen (1998), Ozbolt e
Bruckner (1999).
Viga
ℓ
(m)
f
c
(MPa)
*
f
ct,sp
(MPa)
*
f
ct,f
(MPa)
*
f
ctm
(MPa)
G
F
(N/m)
f
y
(MPa)
f
st
(MPa)
ε
su
(%)
Armadura
φ
l
(mm)
Estribo
A 0,75 27,0 3,00 4,24 2,70 - 578 639 16,3
2 φ 6 φ6c/12,5cm
B 1,50 27,0 3,00 3,65 2,70 - 578 639 16,3
4 φ 6 φ6c/15,0cm
C 3,00 28,6 3,12 3,41 2,81 89,7 580 632 23,0
2 φ 12 φ6c/20,0cm
cobrimento = 30 mm
d
máx
= 16 mm
f
cu
= 31,8 MPa (vigas A e B) e 33,6 MPa (viga C), (f
c
= 0,85f
cu
)
* Calculado conforme CEB-FIP MC90 (1993)
39
Figura 4.3 – Dimensões e armaduras das vigas de Ozbolt e Bruckner (1999).
A partir dos resultados dos ensaios, constatou-se que a taxa adotada, ρ = 0,15 %,
foi suficiente para garantir um comportamento dúctil de todas as vigas. A tabela 4.4
apresenta as cargas, os momentos e deslocamentos obtidos nos ensaios.
Tabela 4.4 – Resultados dos ensaios de Bruckner e Eligehausen (1998), Ozbolt e
Bruckner (1999).
Viga
P
cr
(kN)
P
u
(kN)
M
cr
(kN.m)
M
u
(kN.m)
*
δ
(mm)
δ/ℓ
A 10,2 27,0 1,91 5,06 30 0,040
B 19,5 47,5 7,31 17,81 35 0,023
C 54,4 89,0 40,8 66,75 45 0,015
* Deslocamento no meio do vão no instante em que ocorreu a ruptura da armadura
Na tabela 4.4 observa-se a razão δ/ℓ, que caracteriza a ductilidade conforme
Ozbolt e Bruckner (1999), diminui com o acréscimo da altura e do vão da viga.
40
Analisando os resultados experimentais e numéricos, os pesquisadores chegaram
a algumas conclusões. Vigas pequenas com baixas taxas de armadura longitudinal
apresentam comportamento dúctil e a contribuição do concreto para sua a resistência é
significativa. Isto ocorre devido ao efeito de escala em f
ct,f
e à interação entre armadura
e concreto. A partir de um certo tamanho de viga os resultados numéricos indicaram que
ρ
mín
tem um acréscimo com o aumento das dimensões da viga como pode ser observado
na curva da figura 4.4; sendo que o acréscimo da taxa de armadura é governado pelo
equilíbrio de energia após o surgimento da primeira fissura de flexão. Mas os
pesquisadores ressaltam que ρ
mín
, bem como o tamanho que define a transição de viga
pequena para grande, depende de fatores como fragilidade do concreto, aderência entre
concreto e armadura e também do tipo e quantidade da armadura longitudinal
distribuída. Para Ozbolt e Bruckner (1999), com a introdução de armadura distribuída
ou com a utilização de um concreto mais dúctil com boas características de aderência,
ρ
mín
passa a não depender do tamanho da viga.
Figura 4.4 - Variação de ρ
mín
com h de acordo com diferentes autores e normas de
cálculo (Ozbolt e Bruckner 1999).
41
4.4 – BRINCKER et al (1999).
Objetivando estudar o comportamento de vigas simplesmente apoiadas com
carga concentrada aplicada no meio do vão e baixas taxas de armadura longitudinal de
tração, estes autores idealizaram um modelo numérico para a obtenção de curvas carga-
deslocamento.
Brincker et al (1999) basearam-se na mecânica da fratura não linear e também no
modelo de fissura fictícia de Hillerborg et al (1976) para representar a ruptura do
concreto por tração. Segundo eles, devido às limitações da mecânica da fratura elástica
linear (MFEL) na descrição do início da fissuração e do efeito de escala, alguns
pesquisadores têm adotado a aproximação de modelar a principal fissura como uma
fissura fictícia. De acordo com o modelo de fissura fictícia, um certo ponto na trajetória
da fissura pode estar no estado elástico, no estado de fratura (microfissuras) ou num
estado em que não há transmissão de tensão (grande abertura da fissura). A relação
tensão de tração no concreto-abertura de fissura foi considerada como linear e bi-linear
para concretos de média resistência e bi-linear para concretos de alta resistência e foi
assumida uma tensão de aderência constante ao longo de uma região da armadura. Com
o objetivo de simplificar, a força de tração na armadura longitudinal foi considerada
atuando nas faces da fissura.
Assumiu-se a formação de uma fissura na seção do meio do vão e que a região
de fratura desenvolve-se na ponta da fissura. A seção analisada foi dividida em um certo
número de nós. Para cada nó da seção a relação tensão-abertura de fissura foi avaliada
durante a resolução do problema. Para o ponto da fissura ou nó da seção do meio da
viga onde havia armadura, determinou-se a relação entre a força na armadura e a
42
abertura de fissura pela superposição das contribuições do concreto e da armadura (ver
figura 4.5).
Figura 4.5 – Relação entre a força nodal e a abertura de fissura para o ponto da
seção do meio do vão onde há armadura, obtida por superposição (Brincker et al.,
1999).
O gráfico da figura 4.6 é um exemplo de curva carga-deslocamento para uma
viga bi-apoiada com carga concentrada no meio do vão em que uma relação bi-linear
tensão-abertura de fissura foi considerada para representar a ruptura do concreto por
tração. Nesta figura, observa-se a distribuição de tensão no concreto e a força resistida
pela armadura na seção do meio do vão em cada instante do processo de carregamento
da viga. Nela, o ponto A corresponde à situação de tensão normal na face inferior ser
igual à resistência à tração do concreto. A partir daí, a fissura se estende e, enquanto a
sua abertura é pequena, chega-se a tensões de tração praticamente constantes no
concreto, atingindo-se o ponto B. No ponto C, a abertura de fissura atinge seu valor
crítico. Quando a contribuição da armadura aumenta em função do aumento da abertura
da fissura, a carga aumenta até atingir-se P
y
(ponto D), que é a carga máxima admitida.
43
Figura 4.6 – Distribuição de tensões na seção do meio do vão para cada ponto da
curva carga deslocamento de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no meio
do vão (Brincker et al., 1999).
No gráfico da figura 4.7, as parcelas resistidas pelo concreto e pela armadura
durante o processo de carregamento podem ser observadas em curvas isoladas,
juntamente com a curva carga-deslocamento que considera as duas parcelas. Para
pequenas cargas, a parcela do concreto é a maior, mas após a fissuração o carregamento
é resistido principalmente pela armadura.
Figura 4.7 – Curva carga-deslocamento e contribuições do concreto e da armadura
(Brincker et al., 1999).
44
Segundo Brincker et al (1999), após a fissuração do concreto e para uma dada
relação tensão-abertura de fissura, o comportamento da viga depende fortemente das
tensões de aderência entre concreto e armadura. A figura 4.8 mostra este
comportamento para uma viga de concreto com resistência normal, ρ = 0,25 % e
dimensões 200 x 400 x 2400 mm. As diferentes curvas dessa figura foram obtidas
variando-se a tensão de aderência entre concreto e armadura de 2,5 MPa a infinito.
Observa-se nessa figura a influência da aderência no ramo pós-fissuração da curva
carga-deslocamento. Para uma tensão de aderência entre 3 e 8 MPa, valores típicos
reportados na literatura, não há uma grande influência da mesma na carga de fissuração,
sendo a perda de resistência após a fissuração mais influenciada por essa tensão.
Figura 4.8 – Curva carga deslocamento para viga de 200 x 400 x 2400 mm,
ρ = 0,25% e concreto de resistência normal (Brincker et al., 1999).
Algumas análises foram realizadas para vigas de 100, 200, 400 e 800 mm de
altura sendo b/h igual a 0,5 e ℓ/h igual a 12. A tensão de aderência entre armadura e
concreto foi assumida igual a 5 MPa e a tensão de escoamento da armadura 500 MPa. A
tabela 4.5 e a figura 4.9 apresentam as propriedades dos concretos assumidas.
45
Tabela 4.5 – Propriedades dos concretos utilizadas nas análises numéricas
(Brincker et al., 1999).
Propriedade do
material
Concreto de
resistência normal
(relação tensão-
abertura de fissura
bi-linear)
Concreto de
resistência
normal (relação
tensão-abertura
de fissura linear)
Concreto de alta
resistência
(relação tensão-
abertura de
fissura bi-linear)
Resistência à
tração f
ct
(MPa)
3,0 3,0 5,0
Módulo de
elasticidade E
c
(MPa)
40 40 40
Energia de
fratura G
F
(N/mm)
0,120 0,240 0,120
Figura 4.9 – Relação tensão-abertura de fissura para os tipos de concreto
utilizados nas análises numéricas (Brincker et al., 1999).
Na figura 4.10 apresentam-se três gráficos carga-deslocamento resultantes das
análises onde foram utilizadas as propriedades fornecidas na tabela 4.5 e na figura 4.9,
sendo ρ = 0,25% para todas as vigas. A partir dos gráficos observa-se existência do
46
efeito de escala pois, variando somente as dimensões da viga e mantendo constantes os
outros parâmetros, obtiveram-se diferentes comportamentos. Os pesquisadores afirmam
que o acréscimo da energia de fratura implica no acréscimo de ρ para que se mantenha a
relação P
y
/P
cr
. Da mesma forma, quando há um acréscimo da resistência à tração é
necessário aumentar ρ para que a relação P
y
/P
cr
seja mantida. No último gráfico da
figura 4.10 nota-se o comportamento mais frágil de vigas de concreto de alta resistência,
havendo uma transição menos suave do estado não fissurado para o fissurado. Observa-
se nos três gráficos da figura 4.10 que, mantendo constante a taxa de armadura, a
relação P
y
/P
cr
decresce com a diminuição da altura da viga. De acordo com BRINCKER
et al (1999) isto indica que a taxa de armadura deve diminuir com o aumento das
dimensões da viga para que se tenha relações P
y
/P
cr
iguais.
Os pesquisadores simularam o comportamento de algumas vigas de dimensões
200 x 400 x 2400 mm em que, através da variação da taxa de armadura, variava-se
também o número de fragilidade N
P
. A faixa de variação de N
P
foi de 0,15 a 0,30 para
as três relações tensão de tração-abertura de fissura admitidas. Os resultados destas
simulações podem ser observados na figura 4.11, a qual apresenta três gráficos carga-
deslocamento. O gráfico superior e o do meio referem-se a viga de concreto de
resistência normal e a relações tensão-abertura de fissura linear e bi-linear
respectivamente, já o gráfico inferior refere-se a viga de concreto de alta resistência com
relação tensão-abertura de fissura bi-linear. Brincker et al (1999) ressaltam que embora
N
P
tivesse sido mantido constante, as curvas carga-deslocamento para as vigas de
concreto de alta resistência evidenciam um comportamento mais frágil quando
comparadas às curvas das vigas de concreto de resistência normal. Para as vigas de
concreto de menor resistência, P
y
= P
cr
quando N
P
≈ 0,25, enquanto para as de concreto
de maior resistência isso ocorre para N
P
≈ 0,3.
47
Figura 4.10 – Curvas carga-deslocamento adimensionais para vigas de diferentes
tamanhos. Os gráficos no topo e no meio são de vigas de concreto de resistência
normal e relação tensão-abertura de fissura linear e bi-linear, respectivamente. O
gráfico inferior é de viga de concreto de alta resistência e relação bi-linear
(Brincker et al., 1999).
48
Figura 4.11 – Curvas carga-deslocamento para diferentes valores de N
p
. Os
gráficos no topo e ao meio são para vigas de concreto de resistência normal e
relação tensão-abertura de fissura linear e bi-linear respectivamente. O gráfico
inferior é para viga de concreto de alta resistência e relação bi-linear (Brincker et
al., 1999).
49
Comparando as curvas obtidas experimentalmente, Brincker et al. (1999)
concluem que, para o caso de uma viga não inicialmente fissurada, o modelo numérico
superestima o valor de P
cr
. Já para o caso de uma viga apresentando inicialmente fissura
(comprimento igual a 0,075h), há uma melhor concordância entre os resultados
experimentais e os obtidos pelo modelo numérico.
A menor taxa de armadura que satisfaz a condição (P
y
> P
cr
) foi determinada
numericamente por Brincker et al (1999) para diferentes alturas de viga e os resultados
estão apresentados nos gráficos da figura 4.12 para diferentes relações tensão de tração-
abertura de fissura. O gráfico da esquerda refere-se a vigas sem fissura inicial e o
gráfico da direita refere-se a vigas com uma fissura inicial de comprimento igual a
7,5 % da altura da viga. Observa-se na figura 4.12 a influência da altura da viga em ρ
mín
e também da relação tensão de tração-abertura de fissura assumida. Nota-se também que
vigas de concreto de alta resistência requerem uma maior taxa de armadura mínima.
Quando há uma fissura inicial ρ
mín
é menos sensível ao tipo de relação tensão de tração-
abertura de fissura, e tende a ser maior para vigas que não possuam uma fissura inicial.
Figura 4.12 – Relação entre ρ
mín
e h para viga sem fissura inicial (gráfico à
esquerda) e com fissura inicial (gráfico à direita) (Brincker et al., 1999).
50
Para Brincker et al. (1999), a definição de um único valor para ρ
mín
é difícil, pois
a taxa que corresponde a P
cr
= P
y
varia consideravelmente. Segundo os mesmos, a
determinação de ρ
mín
a partir de ensaios em vigas pequenas resultará em taxas
superiores às necessárias para vigas maiores.
4.5 – CARPINTERI et al. (1999)
Estes autores propuseram um modelo baseado na teoria da Mecânica da Fratura
Elástica Linear que procura traduzir o comportamento das vigas com baixas taxas de
armadura longitudinal. A partir deste modelo teórico foi obtida uma equação para
estimar ρ
mín
levando em conta o efeito de escala.
Segundo Carpinteri et al. (1999), o índice de fragilidade N
P
(equação 3.15) é
capaz de prever se a viga em flexão terá comportamento instável (N
P
< N
PC
) ou estável
(N
P
> N
PC
). O índice de fragilidade crítico N
PC
(equação 3.17) é função apenas da
resistência à compressão do concreto e define ρ
mín
a partir da equação (3.16).
O estudo experimental realizado compreendeu quarenta e cinco vigas de
concreto armado. Devido a acidentes de transporte que danificaram as vigas, somente
trinta e três vigas foram ensaiadas. Os vãos foram variados de acordo com a altura da
viga para ter-se as relações ℓ/h = 6, 12 e 18. As vigas foram divididas em três séries com
diferentes dimensões da seção transversal: (A) 100 x 100 mm, (B) 100 x 200 mm e (C)
200 x 400 mm. A razão d/h e o valor de f
c
foram mantidos constantes e iguais a 0,9 e 41
MPa, respectivamente. Outros dados das vigas são apresentados na tabela 4.6 e na figura
4.13.
51
Tabela 4.6 – Características e resultados dos ensaios das vigas de Carpinteri et al.
(1999).
Viga
Armadura
φ
ℓ
(mm)
ρ
(%)
ℓ/h
f
y
(MPa)
N
P
P
y
(kN)
P
u
(kN)
P
m
(kN)
*
δ
u
(mm)
A012-06
1 φ 5
0,20 6 604 0,187 6,16 6,31 5,68 1,91
A025-06
2 φ 5
0,39 6 604 0,374 12,03 12,32 11,09 2,37
A100-06
2 φ 8
1,00 6 643 1,019 38,43 39,10 35,19 6,10
A200-06
4 φ 8
2,00 6 643 2,038 61,54 62,76 56,48 7,23
A012-12
1 φ 5
0,20 12 604 0,187 3,04 3,21 2,89 2,96
A025-12
2 φ 5
0,39 12 604 0,374 5,45 5,73 5,15 7,30
A050-12
1 φ 8
0,50 12 643 0,510 9,23 9,45 8,50 10,18
A100-12
2 φ 8
1,00 12 643 1,019 16,62 16,86 15,18 13,11
A200-12
4 φ 8
2,00 12 643 2,038 27,53 28,40 25,56 11,00
A025-18
2 φ 5
0,39 18 604 0,374 3,66 3,76 3,39 14,40
A050-18
1 φ 8
0,50 18 643 0,510 6,28 6,42 5,78 22,60
A100-18
2 φ 8
1,00 18 643 1,019 11,41 11,64 10,48 25,40
A200-18
4 φ 8
2,00 18 643 2,381 19,36 19,94 17,95 16,80
B012-06
2 φ 5
0,20 6 604 0,265 --- 14,50 15,58 2,14
B025-06
1 φ 8
0,25 6 643 0,360 21,70 22,95 20,65 5,18
B050-06
2 φ 8
0,50 6 643 0,721 39,47 41,85 37,66 7,13
B100-06
4 φ 8
1,00 6 643 1,441 76,74 83,00 74,70 12,57
B200-06
2 φ 16
2,00 6 518 2,322 99,46 107,53 96,78 5,18
B025-12
1 φ 8
0,25 12 643 0,360 11,18 11,34 10,21 12,40
B100-12
4 φ 8
1,00 12 643 1,441 41,63 42,36 38,12 40,00
B200-12
2 φ 16
2,00 12 518 2,322 61,73 62,23 56,00 36,70
C012-06
2 φ 8
0,12 6 643 0,255 45,46 46,65 41,98 8,64
C025-06
4 φ 8
0,25 6 643 0,510 95,94 98,69 88,82 12,65
C050-06
2 φ 16
0,50 6 518 0,821 142,62 145,27 130,74 8,10
C100-06
4 φ 16
1,00 6 518 1,642 226,83 238,03 214,23 18,60
C200-06
4 φ 20
2,00 6 567 2,810 304,59 309,54 278,58 10,03
C012-12
2 φ 8
0,12 12 643 0,255 17,85 18,03 16,23 5,10
C100-12
4 φ 16
1,00 12 518 1,642 102,79 114,03 102,62 78,80
C200-12
4 φ 20
2,00 12 567 2,810 163,20 166,32 149,70 43,00
C012-18
2 φ 8
0,12 18 643 0,255 80,23 8,34 7,51 24,00
C050-18
2 φ 16
0,50 18 518 0,821 40,07 40,37 36,33 49,20
C100-18
4 φ 16
1,00 18 518 1,642 63,28 64,54 58,09 131,60
C200-18
4 φ 20
2,00 18 567 2,810 113,48 115,16 103,64 69,74
* Deslocamento verificado no meio do vão no instante em que ocorreu a carga P
u
52
Ensaios forneceram f
cu
= 48,2 MPa, E
c
= 35 GPa e G
F
= 0,115 N/mm, o que
resultou em K
IC
= 63,4 N.mm
-3/2
.
Figura 4.13 – Armaduras e dimensões das séries A, B e C das vigas de Carpinteri
et al. (1999).
Os ensaios foram realizados com controle de deslocamentos para as vigas com
taxas de armadura maiores do que 0,5 % e com controle de abertura de fissuras para as
outras vigas, objetivando evitar que estas rompessem repentinamente.
As vigas da série A com ρ = 0,20 % apresentaram uma ruptura frágil com a
carga de fissuração superior à carga de escoamento. Já para as vigas com ρ = 0,50 % e
ρ = 1,00 % a ruptura foi dúctil para os três valores de ℓ/h. As vigas com ρ = 2,00 % e
ℓ/h = 6 e ℓ/h = 12 tiveram comportamento frágil, com o concreto rompendo por
compressão sem que as armaduras escoassem. Na figura 4.14 apresentam-se três
gráficos (ℓ/h = 6, 12 e 18) que mostram as curvas-carga deslocamento da série A.
53
As vigas da série B com ρ de 0,25; 0,50 e 1,00 % e ℓ/h = 6 apresentaram
comportamento dúctil. Comparada à equivalente viga da série A (A200-06), a viga
B200-06, com maior altura, teve um comportamento mais frágil. Para ℓ/h = 12 e ρ =
0,20, 1,00 e 2,00 % houve um aumento da fragilidade com o aumento da taxa de
armadura.
Os resultados dos ensaios das vigas da série C mostraram que para ℓ/h = 6 e ρ =
0,12, 0,25 e 2,00 % obteve-se uma resposta frágil das vigas, e uma resposta dúctil para ρ
= 0,50 e 1,00 %. As vigas com a relação ℓ/h = 12 e ρ = 1,00 e 2,00 % comportaram-se
de modo instável, já para ρ = 0,12 % houve uma resposta dúctil. Para ℓ/h = 18 somente
as vigas com ρ = 0,50 e 1,00 % comportaram-se ductilmente.
A tabela 4.6 mostra alguns dos resultados dos ensaios. Segundo os autores a
carga P
u
desta tabela corresponde à carga de fissuração somente para as vigas A012-06 e
A012-12. Dentre os valores de N
P
apresentados na tabela 4.6, somente os
correspondentes às vigas A012-06 e A012-12 foram inferiores ao número de fragilidade
crítico N
PC
, ou seja, para f
cm
= 48,2 MPa N
PC
= 0,211. Para estas vigas a carga de
fissuração foi superior à correspondente ao escoamento da armadura.
Com base nesses ensaios e em análises numéricas, Carpinteri et al. (1999)
afirmam que o número de fragilidade crítico N
PC
é capaz de prever a transição frágil-
dúctil em vigas de concreto armado, como também propõem sua utilização para o
cálculo da taxa de armadura longitudinal mínima em vigas submetidas a flexão.
54
Figura 4.14 – Curvas carga-deslocamento da série A para (ℓ/h = 6, 12 e 18)
ensaiadas por Carpinteri et al. (1999).
55
4.6 – FANTILLI et al. (1999)
Estes autores uniram conceitos da mecânica da fratura e aspectos teóricos da
aderência entre concreto e armadura no desenvolvimento de um modelo numérico que
visa traduzir o comportamento de vigas com baixas taxas de armadura longitudinal. A
partir desse modelo foram feitos estudos com o propósito de esclarecer o efeito de
escala em vigas contendo baixas taxas de armadura longitudinal.
Para Fantilli et al. (1999), com o início e propagação da fissuração tem-se o
deslizamento entre armadura e concreto e a fratura do concreto como aspectos físicos
envolvidos. Nas expressões que fornecem ρ
min
têm sido adotadas hipóteses
simplificadas que não representam o verdadeiro comportamento da estrutura. Os
estudos baseados na teoria da mecânica da fratura levam a resultados aproximados pois
em geral admitem uma aderência perfeita entre concreto e armadura. Estes modelos
estariam corretos se a fissura afetasse somente o cobrimento da viga, mas quando a
fissura se propaga além da camada de armadura há deslizamento entre armadura e
concreto em um certo comprimento da viga (comprimento de transferência). Neste
comprimento, a variação de tensão e deformação no concreto e no aço devido à tensão
de aderência entre armadura e concreto deve ser considerada. Segundo Fantilli et al.
(1999), a consideração do deslizamento entre aço e concreto é feita somente através da
adoção de relação tensão de aderência-deslizamento obtida de ensaio pull-out associada
a um modelo de fissura coesiva, mas essa relação não pode ser considerada geral.
Fantilli et al. (1999) propõem a equação (3.7) para avaliar M
cr
, fazendo f
ct
= f
ct,f
.
Para determinar ρ
min
assumem a condição M
cr
= M
y
(equação 3.10), que leva à
expressão (3.12).
56
Segundo FANTILLI et al. (1999), a desconsideração das tensões normais de
tração no concreto na determinação de M
y
pode ser adotada pois quando a armadura
entra em escoamento a fissura apresenta uma grande abertura.
Estudos numéricos e experimentais de Fantilli et al. (1999) indicaram que o
acréscimo da área de aço A
s
resulta em menores aberturas de fissuras e maiores valores
de M
cr
devido a uma maior contribuição das tensões normais de tração no concreto. O
aumento da energia de fraturamento G
F
, ou o aumento da tensão de aderência usando
um maior número de barras de aço para uma mesma área de aço, resulta também no
acréscimo das tensões no concreto e de M
cr
. O gráfico da figura 4.15 mostra a
dependência de ρ
mín
do diâmetro da barra de aço bem como o efeito de escala em ρ
mín
devido ao aumento da altura da viga. De acordo com análises de Fantilli et al. (1999), o
aumento da largura da viga não gera efeito de escala. Na figura 4.15 nota-se que quanto
menor o diâmetro da armadura maior será ρ
mín
, para uma mesma altura da viga.
Figura 4.15 – Variação de ρ
mín
com a altura da viga e com o diâmetro da barra
(Fantilli et al., 1999).
57
A variação da abertura de fissura, durante o escoamento da armadura
longitudinal de tração, com a altura da viga e o diâmetro adotado para a armadura pode
ser observada na figura 4.16. Nota-se nessa figura que a variação da abertura de fissura
com a altura ocorre apenas para altura menor que cerca de 200 mm e maiores diâmetros
de armadura, e que para um mesmo valor de h, w
y
é menor para um menor diâmetro.
Figura 4.16 – Abertura da fissura no instante do escoamento da armadura para
diferentes alturas da viga e diâmetros da armadura (Fantilli et al. 1999).
58
4.7 – QUEIRÓZ (1999)
Esse autor propõe equações para a determinação do momento de fissuração a
partir das quais obtém uma equação para a determinação de ρ
mín
assumindo a condição
M
cr
= M
y
.
Como ressalta Queiróz (1999), a resistência à tração do concreto parece ser a
propriedade do concreto que mais influencia M
cr
. Na determinação de M
cr
foi adotado
para f
ct,m
a equação proposta pelo MC/90 (ver tabela 3.1), pois segundo análise
estatística de resultados de ensaio de concreto com f
c
variando de cerca de 30 a 100
MPa feita por Gomes, Shehata et al. (1996); das equações analisadas essa é a que
fornece melhores valores de f
ct,m
.
Analisando resultados experimentais e propostas teóricas, Queiróz (1999)
concluiu que para as vigas mais usuais (h > ≈ 300 mm), pode-se considerar que o
momento de fissuração adimensional M
cr
/(bh
2
f
ct
), não tem influência significativa da
altura.
Já a influência de f
c
no momento de fissuração adimensional, foi considerada
diferentemente para concretos com f
c
abaixo e acima de 30 MPa. Para f
c
menor que
30MPa, M
cr
/(bh
2
f
ct
) é menor à medida que a resistência do concreto é maior. Acima de
30MPa, o momento de fissuração adimensional é constante e igual a cerca de 0,215.
Portanto, foram adotadas por Queiróz (1999) as equações 4.3 e 4.4 para a determinação
do momento de fissuração adimensional, em função de f
c
.
()
c
ct
cr
f,,
fbh
M
01105450
2
−=
(f
c
< 30MPa) (4.3)
2150
2
,
fbh
M
ct
cr
=
(f
c
≥ 30MPa) (4.4)
59
Aplicando a condição de simultaneidade do aparecimento da primeira fissura e
do escoamento do aço (equação 3.10), e admitindo-se h/d = 1,1 e h/z = 1,2 obteve-se a
expressão (4.5) para o momento de fissuração adimensional.
ct
ymin
ct
ymin
ct
cr
f
f,
fbh
zf)bd(
fbh
M
ρρ
7580
22
==
(4.5)
Igualando as equações 4.3 e 4.5 e adotando f
ct
= f
ctm
= 0,3f
ck
2/3
, e f
y
= f
yk
chegou-
se à equação (4.6). Da mesma forma, a partir das equações 4.4 e 4.5 obteve-se a
equação (4.7).
yk
ckck
min
f
)f.,f.,(
3532
0043502160 −
=
ρ
(f
c
< 30MPa) (4.6)
yk
ck
min
f
f.,
32
0850
=
ρ
(f
c
≥ 30MPa) (4.7)
Segundo Queiróz (1999), ρ
min
f
yk
dado pela equação (4.6) assume valores
próximos de 1. Daí a simplificação da expressão (4.8) para f
c
< 30 MPa.
yk
f
1
min
=
ρ
(f
c
< 30MPa) (4.8)
com f
yk
em MPa
A partir das equações 4.7 e 4.8, respectivamente, para f
c
≥ 30MPa e f
c
< 30MPa,
Queiróz (1999) faz uma única proposta para a taxa de armadura longitudinal mínima de
flexão, valendo portanto para qualquer valor de f
c
.
ykyk
ck
min
ff
f., 10850
32
>=
ρ
(4.9)
com f
ck
e f
yk
em MPa.
Segundo Queiróz (1999), a equação (4.9) fornece valores ρ
min
f
yk
em geral
conservadores, porém não mais conservadores que os obtidos a partir das equações
propostas pelas normas ACI-318/95 e CSA-A23.3/94.
60
4.8 – RUIZ et al. (1999)
A teoria da Mecânica da Fratura permite a criação de modelos que representam o
processo de fissuração do concreto, que é fundamental para a análise da transição entre
o comportamento frágil e dúctil de uma viga de concreto levemente armada. Permite
também captar o efeito de escala que ocorre nessas vigas. Ou seja, para uma mesma
taxa de armadura, a carga máxima que a viga pode suportar cresce em menor proporção
que a altura da viga.
Ruiz et al. (1999) desenvolveram um modelo numérico que considera uma
relação tensão de aderência-deslizamento entre concreto e armadura e admitiram ser
coesiva a fissura que surge na seção de maior momento fletor (há transferência de
tensão entre as faces da fissura, transferência esta que é função da abertura da fissura).
O aparecimento de uma única fissura é o que ocorre em geral nas vigas levemente
armadas quando submetidas à flexão. Mas há casos em que surge mais de uma fissura
em vigas contendo taxas de armadura próximas da mínima, o que pode limitar o
modelo.
O comportamento do concreto fora da região de fratura foi considerado linear
elástico e para o aço admitiu-se comportamento elasto-plástico.
Na definição de ρ
mín
, Ruiz et al. (1999) assumem a condição de igualdade entre
as cargas de fissuração e de escoamento. A carga de fissuração, segundo Ruiz et al.
(1999), é função da geometria da viga, do tipo de carga, das propriedades do concreto,
do tamanho da viga, da aderência entre armadura e concreto, da posição e taxa da
armadura longitudinal de tração.
61
A equação (4.10) proposta por Ruiz et al. (1999) para a determinação de ρ
mín
leva em conta os parâmetros altura da viga, cobrimento, tensão de escoamento e tensão
de aderência entre aço e concreto.
ηϕ
α
ρ
−
++
−
=
−
ct
y
ch
min
f
f
h,
,
.
h
c
,
1
32
8501
1
1740
l
(4.10)
onde ℓ
ch
é dado pela expressão (3.2) e os parâmetros η e ϕ são dados por
21
3
=
sct
Fcs
Af
GE
πφατ
η
(4.11)
−
=
ch
,
ch
c,h
ll
αα
ϕ
613
250
(4.12)
Segundo o autor, o parâmetro adimensional α pode ser determinado
experimentalmente e está relacionado ao comportamento coesivo quando a fissura está
se iniciando. Para concretos comuns α vale aproximadamente 0,5, porém α pode ser
estimado pela expressão (4.13), em que d
0
= 8 mm (Ruiz et al. 1999).
170
15
65
0
+
=
d
d
max
α
(4.13)
62
No gráfico da figura 4.17-a tem-se curvas adimensionais tensão-deslocamento
de vigas de concreto para diferentes condições de aderência, f
y
= ∞, h = ℓ
ch
e ρ = 0,2%.
Observa-se nessa figura que, para maiores valores de η, tem-se maior P
cr
e maior
resistência no ramo pós-fissuração. Nas curvas da figura 4.17-b, com relação à 4.17-a,
variou-se apenas a tensão de escoamento do aço (f
y
= 150f
ct
). O ramo antes da
fissuração das curvas de ambas as figuras é idêntico, porém, segundo Ruiz et al. 1999,
nas curvas da figura 4.17-b o ramo pós-fissuração é quase independente da aderência,
sendo principalmente influenciado por ρ e f
y
.
Figura 4.17 – Curvas adimensionais carga-deslocamento variando a aderência
entre concreto e armadura e a tensão de escoamento do aço: (a) f
y
= ∞ e (b) f
y
=
150f
ct
(Ruiz et al. 1999).
63
Ruiz et al. (1999) fizeram a comparação dos valores de ρ
mín
dados pela
expressão (4.10) com fórmulas propostas por outros autores como mostra os gráficos (a)
e (b) da figura 4.18 em que ρ
mín
é apresentado em função da altura da viga, para f
c
= 40
MPa (4.18-a) e f
c
= 80 MPa (4.18-b), f
y
= 480 MPa e o cobrimento de 40 mm. Dentre as
curvas da figura 4.18, somente as de Ruiz et al. (1999) com η = 15 e η = 50 incluem a
influência da aderência entre armadura e concreto. Para as propriedades apresentadas, as
curvas de Hawkins et al. (1992) e Ruiz et al. (1999) ficam próximas quando η = 15,
tanto para f
c
= 40 MPa como para f
c
= 80 MPa. Observa-se que em ambas as
curvas para η = 50 e h > ≈ 40 cm há um aumento de ρ
mín
com o aumento da altura da
viga.
Figura 4.18 – Variação de ρ
mín
com a altura da viga para diferentes autores e
normas (a) f
c
= 40 MPa, (b) f
c
= 80 MPa (Ruiz et al. 1999).
64
4.9 – SHEHATA et al. (2000)
Foi realizado estudo teórico sobre taxas de armadura mínimas de vigas de
concreto de diferentes resistências à compressão necessárias para que estas vigas
apresentem comportamento dúctil.
Segundo Shehata et al. (2000), para que uma estrutura seja segura não basta que
tenha uma reserva de resistência, é necessário que apresente um comportamento
previsível e estável que evite o colapso progressivo na eventual ruptura de alguns de
seus elementos e, além disto, ter uma resistência residual no Estado Limite Pós-Colapso.
Desta forma, a taxa longitudinal mínima a ser adotada é a menor possível que preserve o
comportamento dúctil ao se atingir o momento máximo e não resulte em modo de
ruptura brusco com perda total de resistência.
Assim, na ruptura, deve-se atender à equação (4.14), a qual é válida para
qualquer valor de f
c
desde que α e β sejam ajustados de acordo com f
c
, sendo α e β
parâmetros que multiplicados pela resistência do concreto e a altura da linha neutra,
respectivamente, definem o diagrama retangular de tensões no concreto. Segundo a
norma CSA A23.3 (1994) por exemplo, para estruturas com f
c
≤ 80 MPa, α = (0,85-
0,0015f
c
) ≥ 0,67; β = (0,97-0,0025f
c
) ≥ 0,67 e ε
cu
é sempre 3,5 ‰.
b
y
s
y
ss
f)x,d(bd
M
bdzf
M
bd
A
ρ
β
ρ
<
−
=≥=
50
(4.14)
onde M
s
é o momento solicitante e ρ
b
é dada por
y
c
ycu
cu
b
f
f
.
+
=
εε
ε
αβρ
(4.15)
65
Para que a ruptura da seção não ocorra com brusca perda total de resistência,
quando o concreto atinge seu limite de deformação ε
cu
, a deformação máxima das
armaduras deve ser menor que a deformação de ruptura ε
su
. Atendendo a esse requisito
tem-se a equação (4.16).
y
c
cu
su
min
f
f
.
+
=
1
1
ε
ε
αβρ
(4.16)
Para M
cr
> M
s
é necessário garantir que, se por alguma razão não prevista,
atingir-se M
cr
, a armadura tracionada seja tal que a viga possa continuar a resistir a
momento fletor igual a M
cr
. Na determinação do momento de fissuração, Shehata et al.
(2000) adotaram a equação (3.6) que, ao ser substituída na equação (3.10) e admitindo z
≈ 0,8h e d ≈ 0,85h, leva à equação (4.17).
y
ct
min
f
f
4
=
ρ
(4.17)
Assumindo na equação (4.17) f
ct
= f
ct,f
e adotando a expressão do CEB-FIP
MC90 para f
ct,f
, Shehata et al. (2000) chegaram à equação (4.18) para ρ
mín
. Para ρ
mín
,
deve-se, portanto adotar o maior valor entre os dados pelas expressões (4.16) e (4.18).
70
70
670
100
100
511050
,
y
,
,
ck
min
h
f
h
,f,
+
=
ρ
(4.18)
66
Comparando a equação (4.18), para h entre 200 e 1000 mm, com as equações
propostas pelas normas NS-3473E/92 (h ≥ 500 mm), MC/90, ACI-318/95, CSA-
A23.3/94 e NBR-6118 (1999) (projeto de revisão), Shehata et al. (2000) verificaram que
essa equação conduz a valores de ρ
mín
f
y
menores que os dessas normas, com exceção do
MC/90. Comparações com resultados experimentais de Bosco et al (1990, 1991) (100 ≤
h ≥ 800 mm, M
y
/M
cr
= 1 e 1,22 e M
y
/M
cr
= 1,22 e 1,47) e com a equação (4.16) (ε
su
/ε
cu
= 20 e 30, α e β dado pela norma CAN3) sugeriram que a equação (4.18) poderia ser
usada para avaliar ρ
mín
de vigas armadas com aço de alta ductilidade (ε
su
/ε
cu
= 30),
porém, segundo Shehata et al. (2000), mais dados experimentais são necessários para se
fazer tal afirmação.
4.10 – SOUZA et al. (2001)
Ensaios de vigas com carregamento aplicado nos terços do vão foram realizados
objetivando avaliar o comportamento de vigas contendo taxas de armadura longitudinal
igual, menor e maior que a mínima obtida a partir da expressão (3.18) de Bosco e
Carpinteri (1992) fundamentada na Mecânica da Fratura, tendo sido usada a expressão
(4.19) para cálculo de G
F
. Todas as vigas tinham seção transversal retangular de 150
mm x 120 mm e relação vão/altura igual a 3,75. A tabela 4.7 apresenta outras
características das vigas.
(
)
7,0
.0454,0
..828,2
max
c
d
F
feG =
(4.19)
onde d
máx
é o diâmetro máximo do agregado em mm, f
c
em N/mm
2
e G
F
em N/mm.
67
Tabela 4.7 – Características e cargas de fissuração e última teóricas e
experimentais das vigas de Souza et al. (2001).
Viga
Armadura
φ
ℓ
(mm)
ρ
(%)
*
f
c
(MPa)
*
f
ct,sp
(MPa)
*
f
ct,f
(MPa)
f
y
(MPa)
N
P
P
cr,t
(kN)
P
u,t
(kN)
P
cr
(kN)
P
u
(kN)
VCRA1
2 φ 4,2
0,154 75,1 4,7 6,81 666,7 0,16 15,2 15,2 12,2 14,6
VCRA2
2 φ 4,2
0,154 75,1 4,7 6,81 666,7 0,16 15,2 15,2 13,1 14,1
VCRA3
2 φ 5,0
0,218 75,1 4,7 6,81 736,8 0,21 15,2 15,2 12,5 20,9
VCRA4
2 φ 5,0
0,218 75,1 4,7 6,81 736,8 0,21 15,2 15,2 13,5 21,9
VCRA5
4 φ 5,0
0,436 75,1 4,7 6,81 736,8 0,42 15,2 33,3 13,1 38,5
VCRA6
4 φ 5,0
0,436 75,1 4,7 6,81 736,8 0,42 15,2 33,3 14,5 36,5
* Idade das vigas no dia do ensaio = 14 dias
d
máx
= 19 mm
ρ = A
s
/bh
A figura 4.19 apresenta as curvas carga-deslocamento no meio do vão para todas
as vigas. Os pontos assinalados com círculos nas curvas indicam o instante em que a
deformação na armadura longitudinal atingiu o valor 10 %
o.
A partir da análise das curvas apresentadas na figura 4.19 e da comparação entre
as cargas de fissuração e última apresentadas na tabela 4.7, Souza et al. concluíram que
todas as vigas apresentaram um comportamento dúctil.
As cargas experimentais de fissuração foram de 9 a 17% inferiores aos valores
teóricos, já as cargas de ruptura situaram-se entre 12 e 27% acima dos valores teóricos.
Figura 4.19 – Curvas carga-deslocamento vertical no meio do vão, (Souza et al.,
2001).
68
4.11 – BORGES (2002)
Dezesseis vigas foram moldadas mas, devido a danos causados durante
transporte, somente doze vigas foram ensaiadas. Estas vigas, todas com ℓ/h = 6,
diferenciavam-se pela resistência do concreto (34,5 e 72,2 MPa), altura (150 e 200 mm)
e taxa de armadura. A tabela 4.8 dá outras características das vigas que foram ensaiadas.
Tabela 4.8 – Características das vigas ensaiadas de Borges (2002).
Viga
b
(mm)
h
(mm)
d
(mm)
ρ
(%)
f
c
(MPa)
f
y
(MPa)
N
P
A1-1 120 150 - --- 34,5 - 0,00
A1-2 120 150 132,9 0,08 34,5 681,9 0,13
A1-3 120 150 132,5 0,11 34,5 707,8 0,19
A1-4 120 150 132,9 0,15 34,5 681,9 0,25
A2-1 120 200 - --- 34,5 - 0,00
A2-3 120 200 182,5 0,08 34,5 707,8 0,16
B1-2 120 150 132,5 0,11 72,2 707,8 0,13
B1-3 120 150 132,5 0,26 72,2 681,9 0,29
B1-4 120 150 120 0,44 72,2 707,8 0,51
B2-1 120 200 - --- 72,2 - 0,00
B2-3 120 200 182,5 0,22 72,2 707,8 0,29
B2-4 120 200 182,5 0,33 72,2 707,8 0,44
d
máx
= 19 mm
ρ = A
s
/bd
Para a determinação da taxa de armadura longitudinal, usou-se a expressão
(3.18) de Bosco e Carpinteri (1992). Para cada grupo de vigas com determinados
valores de f
c
e h, havia uma viga sem armadura, uma com taxa de armadura igual à
calculada, uma com taxa maior e outra com taxa menor que essa.
A energia de fraturamento G
F
foi determinada a partir da equação 4.19. A
tenacidade ao fraturamento K
IC
em N/mm
-3/2
foi determinada a partir da equação (3.16).
Para os dois concretos usados, os valores de E
c
(E
c
= 10
4
f
c
1/3
) foram 32600 e 41600
69
MPa, os de G
F
foram 79,9 e 134 N/m (0,0799 e 0,134 N/mm) e os de K
Ic
1,61 e 2,36
N.m
-3/2
(51,0 e 74,7 N.mm
-3/2
).
Admitiu-se para resistência à tração na flexão valores dados pela expressão da
ACI 318 (0,62 f
c
1/2
, f
c
e f
ct,f
em MPa): 3,66 e 5,29 MPa.
Foi observado que, a menos das vigas com maior taxa de armadura (B1-4, B2-3,
B2-4) as vigas atingiram o colapso com a propagação de uma única fissura na região
central do vão.
Tabela 4.9 – Resultados teóricos e experimentais das vigas de Borges (2002).
Resultados
teóricos
Resultados experimentais
Viga
P
cr,t
(kN)
P
u,t
(kN)
P
cr
(kN)
P
u
(kN)
tcr
cr
P
P
,
tu
u
P
P
,
δ
cr
(mm)
δ
u
(mm)
Tipo de
colapso
N
P
ρ
(%)
ρ
mín
(%)
A1-1 7,3 7,3 8,2 8,2 1,12 1,12 0,34 0,34 Frágil 0,00 --- ---
A1-2 7,4 5,5 9,0 9,0 1,23 1,03 0,28 2,69 Frágil 0,13 0,08 0,13
A1-3 7,4 8,1 7,3 8,0 0,99 1,00 0,22 3,07 Dúctil 0,19 0,11 0,10
A1-4 7,4 10,9 7,6 11,0 1,03 1,01 0,20 2,96 Dúctil 0,25 0,15 0,11
A2-1 9,8 9,8 8,2 8,2 0,84 0,84 0,63 0,63 Frágil 0,00 --- ---
A2-3 9,8 8,4 9,2 9,2 0,94 0,99 0,21 2,28 Frágil 0,16 0,08 0,09
B1-2 10,6 8,1 10,4 10,4 0,97 1,23 0,41 1,58 Frágil 0,13 0,11 0,14
B1-3 10,7 18,6 13,1 21,1 1,22 1,13 0,32 2,93 Dúctil 0,29 0,26 0,18
B1-4 10,7 28,7 9,7 31,3 0,91 1,09 0,27 3,27 Dúctil 0,51 0,44 0,14
B2-1 14,1 14,1 11,3 11,3 0,80 0,80 0,48 0,48 Frágil 0,00 --- ---
B2-3 14,2 22,5 15,4 23,5 1,08 1,04 0,30 3,09 Dúctil 0,29 0,22 0,15
B2-4 14,3 33,1 15,8 35,4 1,11 1,07 0,57 3,71 Dúctil 0,44 0,33 0,15
A tabela 4.9 fornece resultados teóricos e experimentais. Os valores de ρ
mín
listados nesta tabela foram obtidos por Borges (2002) calculando a armadura necessária
para que a carga última resistida pela seção armada fosse igual à carga de fissuração
experimental. Com base nestes valores, Borges (2002) concluiu que, para uma mesma
altura de viga, as vigas com maior f
c
têm maiores valores de ρ
mín
. A partir das vigas da
70
série A, ele chegou à conclusão de que ρ
mín
diminui com o aumento da altura da viga e
que isto está diretamente relacionado ao efeito de escala na resistência à tração na
flexão.
As figuras 4.20 a 4.22 mostram as curvas carga-deslocamento de algumas das
vigas ensaiadas por Borges (2002). Nestas figuras observa-se a diferença de
comportamento das vigas com a variação de ρ.
Na figura 4.23 constam duas curvas carga-deslocamento adimensionais para
vigas com um mesmo valor de f
c
e ρ, mas com alturas diferentes, que mostram a
influência da altura da viga no ramo pós-fissuração das vigas. Nela P
cr
e δ
cr
são a carga
de fissuração e o deslocamento correspondente a essa carga, respectivamente.
Figura 4.20 – Curvas carga-deslocamento das vigas da série A1, com f
c
= 34,5 MPa,
de Borges (2002).
71
Figura 4.21 – Curvas carga-deslocamento das vigas da série B1, com f
c
= 72,2 MPa,
de Borges (2002).
Figura 4.22 – Curvas carga-deslocamento das vigas da série B2, com f
c
= 72,2 MPa,
de Borges (2002).
72
Figura 4.23 – Curvas carga-deslocamento adimensionais para duas vigas com
f
c
= 34,5 MPa, ρ = 0,08 % e h = 150 e 200 mm (Borges 2002).
4.12 – EXPRESSÕES DE DIFERENTES AUTORES PARA ρ
mín
A tabela 4.10 apresenta equações para ρ
mín
propostas por diferentes autores,
incluindo as já citadas anteriormente. Hawkins e Hjorteset (1992) propuseram uma
equação obtida a partir do modelo de fissura coesiva em que f
ct,f
deve ser obtido para
uma viga não armada com as mesmas dimensões da viga armada.
73
Tabela 4.10 – Expressões de autores para ρ
mín
.
ρ
mín
HAWKINS e
HJORTESET
(1992)
df
hf
,
bh
A
y
f.ct
mín,s
1750=
FUSCO (1990)
yk
ctk
mín,s
f
f
,
bh
A
300=
COLLINS et al.
(1993)
y
c
mín,s
f
f
,
bh
A
1330=
RUIZ et al. (1999)
ηϕ
α
−
++
−
=
−
ct
y
ch
min,s
f
f
h,
,
.
h
c
,
bh
A
1
32
8501
1
1740
l
FREYERMUTH
e AALAMI
(1997)
0020,
bd
A
mín,s
=
c
mín,s
f,
bd
A
0003850=
st
c
mín,s
f
f
,
bd
A
250=
CARPINTERI et
al. (1999)
()
hf
GE
.f,,
bh
A
y
FC
c
mín,s
0023010 +=
QUEIRÓZ (1999)
ykyk
ck
mín,s
ff
f,
bd
A
1
0850
32
>=
SHEHATA et al
(2000)
y
c
cu
su
,
y
,
,
ck
min,s
f
f
.
h
f
h
,f,
bd
A
+
≥
+
=
1
1
100
100
511050
70
70
670
ε
ε
αβ
74
O gráfico da figura 4.24 apresenta curvas da variação de ρ
mín
com f
c
obtidas a
partir das equações apresentadas na tabela 4.10. Para a determinação de E
c
, G
F
, f
ct
e f
ct,f
utilizaram-se as equações do CEB-FIP MC90. A tensão de escoamento do aço foi
adotada igual a 500 MPa. Nas expressões que levam em conta a altura adotou-se
h = 300 mm, e nas que consideram ρ
mín
= A
s
/bh adotou-se h = 1,1d. A curva de
Freyermuth e Aalami (1997) refere-se à terceira expressão da tabela adotando f
st
= 1,2f
y
,
e a de Shehata et al. (2000) à primeira. A expressão de Ruiz et al. (1999) não foi traçada
porque o parâmetro η depende de características do aço.
No gráfico da figura 4.25 foram traçadas curvas da variação de ρ
mín
com f
c
para
h = 300 mm e h = 600 mm, para as equações que consideram a influência da altura da
viga. As equações de Hawkins e Hjorteset (1992), Carpinteri et al (1999) e Shehata et
al. (2000) levam à diminuição de ρ
mín
com o aumento da altura da viga, porém a de
Carpinteri et al (1999) leva a maior diferença entre as taxas de armadura mínima para
vigas com h = 300 mm e h = 600 mm.
A partir dos gráficos das figuras 4.24 e 4.25 observa-se significativa diferença
entre ρ
mín
dada pelas expressões propostas pelos diferentes autores.
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
0,35%
0,40%
10 20 30 40 50 60 70 80 90
f
c
(MPa)
ρ
mín
(%)
FUSCO (1990)
HAWKINS e HJORTESET
(1992) h=300 mm
COLLINS et al (1993)
FREYERMUTH e AA LA MI
(1997)
CARPINTERI et al. (1999)
h=300 mm
QUEIRÓZ (1999)
SHEHATA et al. (2000)
h = 300mm
Figura 4.24 – Variação de ρ
mín
com f
c
para as equações da tabela 4.10.
75
0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
0,35%
0,40%
10 20 30 40 50 60 70 80 90
f
c
(MPa)
ρ
mín
(%)
HAWKINS e HJORTESET (1992) h=300 mm
HAWKINS e HJORTESET (1992) h=600
CARPINTERI et al. (1999) h=300 mm
CARPINTERI et al. (1999) h=600
SHEHATA et al. (2000) h = 300mm
SHEHATA et al. (2000) h = 600mm
Figura 4.25 – Variação de ρ
mín
com f
c
para as equações apresentadas na tabela 4.10
que levam em conta a altura da viga.
4.13 – EXPRESSÕES DE DIFERENTES NORMAS PARA ρ
mín
A tabela 4.11 apresenta equações para a determinação de ρ
mín
propostas em
normas e recomendações de cálculo de estruturas de concreto. A maioria das equações
estão em função de f
y
e de f
ct
, outras estão em função de f
y
e de f
c
ou somente de f
y
. A
equação da norma NS-3473/92 leva em conta o efeito de escala através do parâmetro
K
w
o qual é função da altura da viga.
76
Tabela 4.11 – Expressões normativas para ρ
mín
ρ
mín
Observações
NBR 6118
(1980)
00250,
bd
A
mín,s
=
aços CA-25 e CA-32
00150,
bd
A
mín,s
= aços CA-40, 50 e 60
ACI 363-R
(1992)
yy
c
mín,s
f
,
f
f
,
bd
A
381
2240 ≥=
21MPa ≤ f
ck
≤ 94 MPa
NS 3473E
(1992)
yk
ctk
w
mín,s
f
f
K,
bh
A
350=
K
w
= 1,5-(h/h
1
)≥1,0
h
1
= 1,0 m
A
s,mín
disposto em ambas
as faces, de tração e
compressão.
f
ck
≤ 94 MPa
f
ctk
= 0,416 (f
ck
)
0,54
CEB-FIP MC90
(1993)
00150,
bd
A
mín,s
=
f
y
de 400 e 500 MPa
00250,
bd
A
mín,s
=
f
y
de 220 MPa
f
ck
≤ 80 MPa
CSA A23.3
(1994)
A
s,mín
de modo que M
R
≥ 1,2. M
cr
ou
y
c
mín,s
f
f
,
bh
A
20=
Torna-se dispensável se
M
R
for pelo menos um
terço maior que M
S
f
ck
≤ 80 MPa
ACI 318
(2002)
yy
c
mín,s
f
,
f
f
,
bd
A
381
250 ≥=
Torna-se dispensável se
M
R
for pelo menos um
terço maior que M
S
CEB (1995)
yk
sup,ctk
mín,s
f
f
,
bd
A
230=
f
ck
≤ 100 MPa
f
ctk,sup
= 1,3.f
ctm
f
ct,m
= 0,318(f
ck
+8)
0,6
f
ck
≤ 90 MPa
f
ct,m
= 0,3.f
ck
2/3
f
ck
≤ 50MPa
EC 2 (2001)
00120
20
,
f
f,
bd
A
yk
m,ctmín,s
≥=
()
+
+=
MPa
f
ln.,f
ck
m,ct
10
8
1122
f
ck
> 50MPa
NBR 6118
(2003)
z.f
f
W,A
yd
sup,ctk
mín,s 0
80=
ρ
mín
≥ 0,15 %
Permite-se utilizar uma armadura menor que a
mínima, calculada para 2.M
d
f
ck
≤ 50 MPa
f
ctk,sup
= 1,3. f
ctm
f
ctm
= 0,3. f
ck
2/3
f
yd
= f
yk
/1,15
M
R
= momento fletor resistente
M
S
= momento fletor solicitante
M
d
= momento fletor de cálculo
77
O gráfico da figura 4.26 contém curvas, obtidas a partir das equações
apresentadas na tabela 4.11, que mostram a variação de ρ
mín
com f
c
para f
y
= 500 MPa.
A curva da NBR 6118 (2003) é relativa a seção retangular e z = 0,8h. Para traçar as
curvas das normas NS 3473 (1992) e CSA A23.3 (1994) adotou-se h = 1,1d. Na figura
4.26 constatam-se diferenças da ordem de 100 % em ρ
mín
dada pelas expressões da
tabela 4.11 para um mesmo f
c
. Nota-se também que há norma que desconsidera a
influência de f
c
em ρ
mín
. A norma NS 3473 E-92 propõe uma equação que resulta numa
taxa mínima menor para uma maior altura da viga. Para h variando de 300 mm a h ≥
500 mm verifica-se uma queda de cerca de 17 % em ρ
mín
proposta pela NS 3473 E-92.
As expressões da ACI 363-R (1992), NS 3473 (1992), CSA A23.3 (1994) e ACI 318
(2002) são as que fornecem maiores valores de ρ
mín
e as das EC 2 (2001), NBR 6118
(2003), CEB-FIP MC90 (1993) e CEB (1995) fornecem menores valores.
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
0,35%
0,40%
0,45%
0,50%
0 102030405060708090100110
f
c
(MPa)
ρ
min
(%)
ACI 363-R (1992)
NS 3473E (1992) h = 300 mm
NS 3473E (1992) h ≥ 500 mm
CEB-FIP MC90 (1993)
CSA A23.3 (1994)
CEB (1995)
EC2 (2001)
ACI 318 (2002)
NBR 6118 (2003)
Figura 4.26 – Variação de ρ
mín
com f
c
para as equações apresentadas na tabela
4.11.
78
4.14 – CONSIDERAÇÕES GERAIS
A partir dos trabalhos revisados constatou-se que há um consenso quanto à
influência de f
c
e f
y
em ρ
mín
. A influência de parâmetros como altura da viga, aderência
e diâmetro da armadura longitudinal de tração também foi investigada, no entanto ainda
não há uma convergência de opiniões sobre a mesma.
Alguns autores, como Bosco et al. (1990), Brincker et al. (1999), Carpinteri et al.
(1999), Fantilli et al. (1999), e Borges (2002), que investigaram a influência da altura da
viga em ρ
mín
obtiveram resultados que indicam a diminuição de ρ
mín
com o aumento da
altura. Mas os estudos teóricos de Osbolt e Bruckner (1999) e de Bruckner e
Eligehausen (1998) mostraram que é necessário o acréscimo de ρ
mín
quando se aumenta
a altura da viga. Ruiz et al. (1999) obtiveram resultados teóricos que, para melhores
condições de aderência e h > ≈ 400 mm, indicam o acréscimo ρ
mín
com o aumento da
altura, o que não ocorre para piores condições de aderência. Dentre as normas de
cálculo analisadas, somente a NS 3473-E (1992) considera a influência da altura em
ρ
mín
. A expressão proposta por essa norma resulta em diminuição de ρ
mín
quando a
altura varia até 500 mm e, a partir deste valor, ρ
mín
mantém-se constante.
Quando se trata de vigas altas, h ≥ 600 mm segundo a NBR 6118 (2003), as
normas de cálculo prescrevem o uso de armadura longitudinal distribuída ao longo da
região tracionada, além da armadura concentrada. De acordo com Ozbolt e Bruckner
(1999), quando há esta armadura distribuída a altura da viga deixa de ser relevante na
determinação de ρ
mín
devido à sua contribuição para o comportamento estável da viga
após a fissuração.
79
A dependência de ρ
mín
da largura da seção da viga foi estudada teoricamente por
Fantilli et al. (1999), verificando-se que a variação desse parâmetro não influi na taxa de
armadura longitudinal mínima de tração.
A influência do diâmetro da barra da armadura longitudinal de tração em ρ
mín
também foi analisada por Fantilli et al. (1999) que constataram que quanto menor o
diâmetro, para uma mesma altura de viga e área de aço, maior será ρ
mín
.
Os estudos numéricos realizados por Brincker et al. (1999) e Ruiz et al. (1999)
mostraram que uma maior tensão de aderência entre armadura e concreto proporciona
uma menor perda de resistência após a fissuração. No entanto, essas análises são
qualitativas e a tentativa de quantificar a influência da aderência em ρ
mín
está muito
sujeita a erros pois existem vários fatores que influem na aderência. Dentre eles tem-se
a taxa de armadura transversal, a qualidade do concreto no entorno das barras da
armadura longitudinal de tração, a conformação superficial e número das barras.
Quanto à resistência à compressão do concreto, há consenso entre pesquisadores
sobre o aumento de ρ
mín
com o aumento de f
c
. Apesar disto, nem todas as normas levam
em conta f
c
na definição de ρ
mín
.
Diante das consideráveis diferenças entre os valores de ρ
mín
dadas pelas
expressões de autores (figura 4.24) e de normas de cálculo (figura 4.26), decidiu-se
realizar ensaios em vigas com baixa taxa de armadura longitudinal de tração visando
determinar que expressões são mais indicadas para o cálculo de ρ
mín
. Nas vigas
ensaiadas, optou-se por variar apenas f
c
e ρf
y
e adotar h = 300 mm. Os valores de ρ
mín
para vigas com esta altura devem ser adequados para as vigas comumente usadas na
prática, já que normalmente elas tem h ≥ 300 mm, e quando de altura bem maior têm
armadura longitudinal distribuída ao longo da altura da região tracionada.
80
CAPÍTULO 5
PROGRAMA EXPERIMENTAL
5.1 – INTRODUÇÃO
É aqui apresentado o estudo experimental realizado, que englobou seis vigas de
concreto armadas com baixa taxa de armadura longitudinal de tração. Elas tinham seção
retangular (150 mm x 300 mm) e foram bi-apoiadas (vão de 3000 mm) e carregadas no
meio do vão (vão de cisalhamento/altura efetiva ≈ 5,6). Todas as vigas possuíam as
mesmas dimensões, tendo-se nelas variado f
c
e ρ.
5.2 – MATERIAIS
5.2.1 – CONCRETO
A tabela 5.1 apresenta a composição por m
3
do concreto utilizado nas vigas V1,
V2, V3 e V4 e a tabela 5.2 a do concreto das vigas V5 e V6. Utilizaram-se agregado
miúdo natural e agregado graúdo de rocha (sienito) britada com dimensão máxima de
19 mm.
81
Tabela 5.1 – Composição por m
3
do concreto utilizado nas vigas V1, V2, V3 e V4.
Composição por m
3
de concreto
Brita – 1 1047 kg
Areia 730 kg
Cimento (CP II E 32 Tupi) 360 kg
Plastificante (Mastermix 390 N) 1,07 l
Água 160 kg
Tabela 5.2 – Composição por m
3
do concreto utilizado nas vigas V5 e V6.
Composição por m
3
de concreto
Brita – 1 1110 kg
Areia 670 kg
Cimento (CP-V Ari Plus-Ciminas) 446 kg
Sílica Ativa (Silmix-Tipo ND) 39 kg
Superplastificante (MBT-Glenium 51) 2,7 l
Água 152 kg
O processo de mistura dos materiais componentes do concreto utilizado nas
vigas V1, V2, V3 e V4 foi diferente do processo das vigas V5 e V6.
Para as vigas V1, V2, V3 e V4, brita, areia e cimento foram colocados na
betoneira e misturados a seco. Adicionou-se então a água, deixando a betoneira girar até
obter-se uma mistura homogênea. Por fim foi adicionado o plastificante e os materiais
foram novamente misturados.
Para as vigas V5 e V6, primeiramente brita e areia foram colocadas na betoneira
e misturadas. Em seguida, adicionaram-se o cimento e a sílica ativa, que tinham sido
previamente misturados manualmente, e a água, misturando-se tudo até obter-se uma
mistura homogênea (cerca de sete minutos). Para finalizar, o superplastificante foi
adicionado e os materiais misturados (cerca de três minutos).
O concreto utilizado na moldagem de cada viga e dos corpos de prova referentes
a cada viga era proveniente de uma única betonada. Juntamente com cada viga, foram
moldados corpos de prova cilíndricos de 150 mm x 300 mm para a realização de ensaios
82
de compressão e de compressão diametral visando determinar, respectivamente, f
c
e
f
ct,sp
.
O rompimento dos corpos de prova referentes a cada viga foi realizado na data
do ensaio da viga. Os ensaios para a determinação de f
c
, f
ct,sp
foram realizados conforme
as normas NBR 5739 (1994), NBR 7222 (1994) respectivamente. A tabela 5.3 apresenta
os valores médios f
cm
, f
ctm,sp
obtidos nos ensaios dos corpos de prova referentes a cada
viga.
Tabela 5.3 – Valores de f
cm
, e f
ctm,sp
obtidos para cada par de vigas.
Resistência à compressão
Resistência à tração
indireta
Viga
Idade
(dias)
n
f
cm
(MPa)
σ
n-1
(MPa)
n
f
ctm,sp
(MPa)
σ
n-1
(MPa)
V1-V2 44 6 39,3 2,0 3 4,47 -
V3-V4 53 8 44,4 2,8 6 4,61 0,43
V5-V6 28 6 83,1 8,4 6 5,95 0,66
n = número de corpos de prova
σ
n-1
= desvio padrão
5.2.2 – AÇO
Barras lisas de aço CA-60 com 5,0 mm de diâmetro foram utilizadas como
armadura transversal e como armadura longitudinal. Já as barras nervuradas de aço CA-
50 com 6,3 mm de diâmetro foram utilizadas somente como armadura longitudinal.
Foram ensaiadas de acordo com a norma NBR 6152 (1992) duas amostras de
barras de aço com diâmetro de 5,0 mm e duas amostras com diâmetro de 6,3 mm para a
determinação das propriedades mecânicas.
A figura 5.1 mostra os diagramas tensão-deformação das amostras de barra de
aço com diâmetro de 5,0 mm, obtidos com o uso de extensômetro mecânico para
83
medição de deformação. A figura 5.2 mostra os diagramas das duas amostras de barra
de aço com 6,3 mm de diâmetro, sendo que para o primeiro as deformações foram
medidas com o uso de extensômetro mecânico e para o segundo com extensômetros
elétricos. A tabela 5.4 apresenta os valores médios obtidos para as propriedades
mecânicas das barras de aço; tensão de escoamento f
y
, tensão de ruptura f
st
e a
deformação de escoamento correspondente ao diagrama bilinear adotado na NBR 6118
(2003) ε
y
*.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
012345678
Deformação (%
o
)
Tensão (MPa)
f
y
= 660 MPa
f
st
= 828 MPa
ε
y
* = 3,3 %
o
E
s
= 201 GPa
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
01234567
Deformação (%
o
)
Tensão (MPa)
f
y
= 650 MPa
f
st
= 802 MPa
ε
y
* = 3,3 %
o
E
s
= 196 GPa
Figura 5.1 – Diagramas tensão-deformação das amostras de aço de φ = 5,0 mm.
84
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Deformação (%
o
)
Tensão (MPa)
f
y
= 598 MPa
f
st
= 780 MPa
ε
y
* = 2,8 %
o
E
s
= 213 GPa
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Deformação (%
o)
Tensão (MPa)
f
y
= 555 MPa
f
st
= 778 MPa
ε
y
* = 3,0 %o
E
s
= 187 GPa
Figura 5.2 – Diagramas tensão-deformação das amostras de aço de φ = 6,3 mm.
Tabela 5.4 – Propriedades mecânicas das barras de aço de 5,0 mm e 6,3 mm de
diâmetro.
φ
(mm)
f
y
(MPa)
f
st
(MPa)
ε
y
*
(‰)
E
s
(GPa)
f
st
/f
y
5,0 655 815 3,3 199 1,24
6,3 577 779 2,9 200 1,35
85
5.3 – DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DAS VIGAS
ENSAIADAS.
Para a determinação da taxa de armadura longitudinal de tração de cada viga
tomaram-se como base expressões propostas por diferentes normas de cálculo de
estruturas de concreto, buscando-se ter valores de ρf
y
que ficassem aproximadamente
entre o máximo e o mínimo indicados por essas normas adotando-se barras de aço com
diâmetros de 5,0 mm ou 6,3 mm. Os gráficos das figuras 5.3 e 5.4 mostram as curvas de
ρ
mín
f
y
de acordo com as normas. Nestes gráficos são também assinalados os valores de
ρf
y
das vigas V1, V2, V3 e V4, para as quais considerou-se f
c
= 40 MPa, e das vigas
V5 e V6, para as quais considerou-se f
c
= 80 MPa.
Para traçar as curvas e os pontos dos gráficos das figuras 5.3 e 5.4, foram
utilizados os valores de f
y
obtidos nos ensaios de tração em amostras de barras de aço
com diâmetros de 5,0 mm e 6,3 mm que estão listados na tabela 5.4. Considerou-se
h = 1,1d para traçar as curvas das normas NS 3473 E (1992) e CSA A23.3 (1994).
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
0 102030405060708090100110
f
c
(MPa)
ρ
min
f
y
ACI 363-R (1992)
NS 3473E (1992) h = 300 mm
CEB-FIP MC90 (1993)
CSA A23.3 (1994)
CEB (1995)
EC2 (2001)
ACI 318 (2002)
NBR 6118 (2003)
V3
V4
Figura 5.3 – Variação de ρ
mín
f
y
com f
c
segundo algumas normas de cálculo de
estruturas e ρf
y
para as vigas V3 e V4, para as quais f
y
= 655 MPa.
86
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
0 102030405060708090100110
f
c
(MPa)
ρ
min
f
y
ACI 363-R (1992)
NS 3473E (1992) h = 300 mm
CEB-FIP MC90 (1993)
CSA A23.3 (1994)
CEB (1995)
EC2 (2001)
ACI 318 (2002)
NBR 6118 (2003)
V1
V2
V5
V6
Figura 5.4 – Variação de ρ
mín
f
y
com f
c
segundo algumas normas de cálculo de
estruturas e ρf
y
para as vigas V1, V2, V5 e V6, para as quais f
y
= 577 MPa.
A taxa de armadura longitudinal de tração resultante está apresentada na tabela
5.5.
Para armadura longitudinal construtiva no banzo comprimido adotaram-se duas
barras com diâmetro igual ao das barras do banzo tracionado.
A armadura transversal foi obtida utilizando o Modelo de Cálculo II (θ = 30
o
) da
NBR 6118 (2003). Para todas as vigas foram utilizados estribos com 5,0 mm de
diâmetro dispostos a cada 150 mm, garantindo que a ruptura não ocorreria por cortante,
mas por flexão.
O cobrimento adotado foi de trinta milímetros. A figura 5.5 mostra o
detalhamento das armaduras utilizadas nas vigas V1 a V6.
87
N 3 - 3,14 m
N 2 N 2
3,20 m
0,30 m
A
A
0,15 m
0,24 m
N 1 - 3,14 m
3,44 m
0,15 m
0,30 m
1,60 m
0,07 m
0,15 m
V 1
SEÇÃO AA PARA CADA VIGA
V 2
V 5
V 4
V 3
V 6
Ø 5,0mm c/ 0,15m
V 6
V 5
V 4
V 3
V 2
V 1
VIGA N 1 N 2
2 Ø 5,0 mm
2 Ø 6,3 mm
2 Ø 6,3 mm
2 Ø 6,3 mm
2 Ø 6,3 mm
2 Ø 5,0 mm
N 3
3 Ø 6,3 mm
2 Ø 6,3 mm
3 Ø 5,0 mm
2 Ø 5,0 mm
3 Ø 6,3 mm
4 Ø 6,3 mm
Ø 5,0mm c/ 0,15m
Ø 5,0mm c/ 0,15m
Ø 5,0mm c/ 0,15m
Ø 5,0mm c/ 0,15m
Ø 5,0mm c/ 0,15m
262,5 mm 261,85 mm
261,85 mm 261,85 mm
262,5 mm261,85 mm
Figura 5.5 – Detalhamento das armaduras das vigas.
88
Tabela 5.5 – Taxa de armadura longitudinal de tração das vigas.
Viga
bd
A
s
=
ρ
(%)
V1 0,238
V2 0,159
V3 0,150
V4 0,100
V6 0,317
V5 0,238
5.4 – EXECUÇÃO DAS VIGAS
5.4.1 – FÔRMAS
Objetivando concretar duas vigas por vez, duas fôrmas foram montadas.
Visando facilitar a execução das fôrmas e a concretagem, as fôrmas foram projetadas
para que a concretagem fosse realizada com a viga deitada.
Para a execução das fôrmas utilizaram-se placas com vinte milímetros de
espessura de madeira laminada plastificada. As partes correspondentes às laterais foram
reforçadas com sarrafos de pinho e posteriormente pregadas entre si e à placa referente
ao fundo da fôrma. A figura 5.6 mostra os elementos componentes da fôrma e suas
dimensões.
89
0.54
0.34
0.30
SEÇÃO TRANSVERSAL
0.15
0.30
0.05
0.02
0.02
VISTA SUPERIOR
VISTA LATERAL
0.05
3.44
3.24
3.20
0.02
3.20
0.15
Dimensões em m
Figura 5.6 – Fôrmas utilizadas.
5.4.2 – CONCRETAGEM
A concretagem das seis vigas foi realizada em três etapas. Em cada etapa foram
moldadas duas vigas, sendo que para cada viga foi usado concreto de uma betonada.
Durante a concretagem das vigas com concreto de menor resistência, o
adensamento do concreto foi realizado com um vibrador de imersão com agulha de
90
vinte e cinco milímetros de diâmetro. Para as vigas com concreto de maior resistência
utilizaram-se dois vibradores, para que todo o adensamento fosse realizado durante o
tempo em que não houvesse perda significativa de trabalhabilidade.
A cura das vigas foi feita com a sua face lateral exposta coberta com mantas
umedecidas. Estas mantas foram umedecidas diariamente por um período de
aproximadamente vinte dias, visando-se evitar pré-fissuração nas vigas. Após este
período as mantas foram retiradas. As vigas foram desmoldadas três dias antes da data
do ensaio.
Os corpos de prova foram desmoldados e levados à câmara úmida no dia
posterior ao da concretagem, onde permaneceram até o dia em que as vigas às quais se
referiam foram desformadas.
5.4.3 – INSTRUMENTAÇÃO
Para acompanhar o comportamento estrutural de cada viga foram feitas
medições de deslocamentos e deformações durante os ensaios, utilizando os dispositivos
abaixo listados.
5.4.3.1 – EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS DE RESISTÊNCIA
A deformação da armadura longitudinal de tração foi medida na seção central da
viga. Duas barras de aço foram instrumentadas com extensômetros elétricos com base
de medição de cinco milímetros. Em cada barra havia dois extensômetros colados em
posições diametralmente opostas. A deformação de uma das barras foi obtida fazendo-
se a média das duas deformações provenientes dos extensômetros elétricos 1 e 2 (EE 1 e
EE 2), fornecidas em cada passo de carga por um dataloger. Para a outra barra, a
deformação proveniente do EE 4 foi obtida das medições registradas com a utilização
91
de um sistema de aquisição contínua de dados (ploter). Para o registro da deformação do
EE 3, diametralmente oposto a EE 4, utilizou-se também o dataloger.
Para a medição da deformação de tração do concreto empregou-se um
extensômetro elétrico de resistência com base de medição de 67 mm colado na face
inferior da viga, no meio do vão. Para a aquisição de dados deste extensômetro utilizou-
se o dataloger.
5.4.3.2 – EXTENSÔMETRO MECÂNICO
A medição da deformação de compressão do concreto na seção a 115 mm do
meio do vão de todas as vigas foi realizada com extensômetro mecânico tipo Tensotast
com menor divisão de 0,001 mm. As medições foram realizadas em três níveis, numa
base de medição de 100 mm, como mostra a figura 5.7. A escolha da seção a 115 mm
do meio do vão visou evitar a região influenciada pelo confinamento devido à placa
metálica (20 mm espessura) usada para transmitir carga à viga.
POSIÇÃO 3
POSIÇÃO 2
POSIÇÃO 1
50
20
Dimensões em mm
SEÇÃO CENTRAL
CHAPA DE COBRE
1500
25
100
25
5
65
Figura 5.7 – Posicionamento das bases de medição para o extensômetro mecânico.
92
5.4.3.3 – DEFLECTÔMETROS ELÉTRICOS
O deslocamento vertical das vigas V1 e V2 na seção a 160 mm do meio do vão
foi medido com um transdutor de deslocamentos à base de extensômetros elétricos de
resistência com curso de 100 mm. Devido à perda do sinal do deflectômetro elétrico
durante o ensaio da viga V1, que foi feito após o da viga V2, passou-se a utilizar dois
deflectômetros para o acompanhamento da flecha das vigas V3, V4, V5 e V6 (figura
5.8). Somente para um destes dois deflectômetros as medições foram registradas com a
utilização do ploter. Para o outro a aquisição foi feita com o dataloger.
Os deflectômetros não foram posicionados na seção central da viga, pois uma
eventual ruptura brusca poderia danificá-los se fossem colocados na face inferior e, na
parte superior, nessa seção havia o dispositivo de aplicação de carga.
SEÇÃO CENTRAL
PLACA DE REAÇÃO
160mm
160mm
Figura 5.8 – Posicionamento dos deflectômetros elétricos.
93
5.5 – MONTAGEM E PROCEDIMENTO DOS ENSAIOS
5.5.1 – MONTAGEM
A montagem dos ensaios das vigas foi a mostrada na figura 5.9. A carga
concentrada foi aplicada no meio do vão da viga utilizando um macaco hidráulico com
capacidade de 50 kN fixado ao pórtico metálico. Entre a viga e o macaco hidráulico foi
disposta uma chapa de aço com dimensões 150 mm x 150 mm x 20 mm. Todas as vigas
tinham um apoio de primeiro gênero e um de segundo gênero a 100 mm das
extremidades.
Durante o transporte e posicionamento das vigas sobre os apoios tomou-se o
devido cuidado para que as mesmas não fissurassem.
3.00
2.00
0.74
2.15
Placa de Reação
Dimensões em m
Figura 5.9 – Esquema de ensaio das vigas V1 a V6.
94
5.5.2 – PROCEDIMENTO DOS ENSAIOS
A viga V1 foi ensaiada com incrementos de carga de 2 kN até a ruptura. A vigas
V2, V5, V6 foram ensaiadas com incrementos de carga de 2 kN até o aparecimento da
primeira fissura, fazendo-se então incrementos de 1 kN até a ruptura. As vigas V3 e V4
foram ensaiadas com incrementos de carga de 1 kN até a ruptura. As medições de
deslocamentos e deformações foram realizadas após cada incremento de carga. A
duração dos ensaios foi de cerca de quarenta minutos a uma hora.
5.6 – RESULTADOS DOS ENSAIOS
Os gráficos apresentados a seguir foram feitos a partir das medições realizadas
durante os ensaios, que encontram-se listadas no apêndice A. Todas as vigas ensaiadas
romperam por deformação excessiva da armadura longitudinal de tração.
5.6.1 – V1
No ensaio da viga V1, com ρ = 0,238 %, a carga de fissuração foi de 10,1 kN e a
máxima de 25,0 kN. Esta viga teve oito fissuras sendo que a primeira fissura, a qual
teve maior abertura, surgiu na seção central (fotos B.1 e B.2 do anexo B).
O diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da viga V1,
até o ponto em que houve a perda do sinal do extensômetro elétrico conectado ao ploter,
é apresentado na figura 5.10. Na figura 5.11 tem-se o gráfico carga-deformação da outra
95
barra monitorada, obtido com a utilização do dataloger. As curvas carga-deformação
das duas barras monitoradas são apresentadas no gráfico da figura 5.12. A figura 5.13
compara a curva da figura 5.10 com as curvas da figura 5.12 no trecho até P = 14 kN.
O gráfico carga-deslocamento vertical da viga V1 é apresentado na figura 5.14.
Nele observa-se apenas uma parte da curva devido à perda do sinal do deflectômetro
elétrico ligado ao ploter, o que impossibilitou o registro dos deslocamentos relativo ao
escoamento da armadura e máximo.
Na figura 5.15 mostra-se o gráfico carga-deformação de compressão no concreto
para as três posições de medição na face lateral da viga V1 (ver figura 5.7). A curva
carga-deformação de tração do concreto na face inferior da viga V1, no meio do vão, é
apresentada na figura 5.16.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 25,0 kN
Figura 5.10 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V1 (EE 4 - ploter).
96
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 25,0 kN
Figura 5.11 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V1 (Média de EE 1 e EE 2 - dataloger).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52
Deformação (‰)
Carga (kN)
Média de EE 1 e EE 2 (dataloger) EE 3 (dataloger)
P
u
= 25,0 kN
Figura 5.12 – Curvas carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V1.
97
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Deformação (‰)
Carga (kN)
Média de EE 1 e EE 2 (dataloger) EE 3 (dataloger) EE 4 (ploter)
P
u
= 25,0 kN
Figura 5.13 – Comparação entre as curvas carga-deformação da armadura
longitudinal de tração da viga V1.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0123456789101112131415
Des locamen to (mm)
Carga (kN)
P
u
= 25,0 kN
Figura 5.14 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V1 (ploter).
98
0
5
10
15
20
25
-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,10,0
Deformação (‰)
Carga (kN)
Posição 1 Posição 2 Posição 3
P
u
= 25,0 kN
Figura 5.15 – Diagrama carga-deformação de compressão no concreto para as três
posições de medição na viga V1.
0
2
4
6
8
10
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
Deformação de tração (‰)
Carga (kN)
P
cr
= 10,1 kN
Figura 5.16 – Diagrama carga-deformação de tração no concreto na face inferior
da viga V1, no meio do vão.
99
5.6.2 – V2
Na viga V2, com ρ = 0,159 %, a carga de fissuração foi de 10,4 kN. Nesta viga
surgiram três fissuras, sendo que a primeira ocorreu na seção central (fotos B.3 e B.4).
A deformação da armadura longitudinal em função da carga pode ser observada
no gráfico da figura 5.17. Devido ao descolamento do extensômetro, o gráfico da figura
5.17 não mostra a deformação da armadura longitudinal de tração até a carga máxima
de 16,6 kN. O diagrama carga-deformação até a carga de 16 kN obtido utilizando o
dataloger é apresentado na figura 5.18. Na figura 5.19 juntam-se as curvas carga-
deformação obtidas utilizando o ploter e o dataloger. Observando-se esta figura, é
possível constatar que após a fissuração houve maior deformação de uma das barras
para uma mesma carga.
O gráfico carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio do vão,
obtido com aquisição contínua de dados, é apresentado na figura 5.20.
O diagrama carga-deformação de compressão no concreto para os três níveis de
medição pode ser observado na figura 5.21. A curva carga-deformação de tração no
concreto na face inferior da viga V2 é apresentada na figura 5.22.
0
2
4
6
8
10
12
14
02468101214161820222426
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 16,6 kN
Figura 5.17 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V2 (EE 4 - ploter).
100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 16,6 kN
Figura 5.18 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V2 (Média de EE 1 e EE 2 - dataloger).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 1012141618202224262830323436384042
Deformação (‰)
Carga (kN)
Média de EE 1 e EE 2 (dataloger) EE 3 (dataloger) EE 4 (ploter)
P
u
= 16,6 kN
Figura 5.19 – Comparação entre as curvas carga-deformação da armadura
longitudinal de tração da viga V2.
101
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Des lo camen to (mm)
Carga (kN)
P
u
= 16,6 kN
Figura 5.20 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V2 (ploter).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,10
Deformação (‰)
Carga (kN)
Posição 1 Posição 2 Posição 3
P
u
= 16,6 kN
Figura 5.21 – Curvas carga-deformação de compressão no concreto para os três
níveis de medição a 115mm do meio do vão da viga V2.
102
0
2
4
6
8
10
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14
Deformação de tração (‰)
Carga (kN)
P
cr
= 10,4 kN
Figura 5.22 – Curva carga-deformação de tração no concreto na face inferior da
viga V2, no meio do vão.
5.6.3 – V3
Para a viga V3, com ρ = 0,150 %, a carga de fissuração foi 12,0 kN, e a carga
máxima 12,1 kN. A única fissura da viga V3 ocorreu próximo à seção central (foto B.6).
Os gráficos das figuras 5.23 e 5.24 mostram a deformação da armadura
longitudinal em função da carga, obtida utilizando o ploter e o dataloger. Na figura 5.25
apresentam-se num mesmo gráfico as curvas carga-deformação obtidas. Observando
este gráfico constata-se que após a fissuração uma das barras teve maior deformação.
As curvas carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio do vão
traçadas a partir dos dados do ploter e do dataloger são apresentadas, respectivamente,
nas figuras 5.26 e 5.27. Estas duas curvas foram juntados na figura 5.28, onde consta-se
o acordo entre elas.
103
Nas figuras 5.29 e 5.30 apresenta-se, respectivamente, os diagramas carga-
deformação de compressão e carga deformação de tração no concreto.
0
2
4
6
8
10
12
14
012345678
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 12,1 kN
Figura 5.23 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V3 (EE 4 - ploter).
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 12,1 kN
Figura 5.24 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V3 (Média de EE 1 e EE 2 - dataloger).
104
0
2
4
6
8
10
12
14
0246810121416182022
Deformação (‰)
Carga (kN)
Média de EE 1 e EE 2 (dataloger) EE 3 (dataloger) EE 4 (ploter)
P
u
= 12,1 kN
Figura 5.25 – Comparação entre as curvas carga-deformação da armadura
longitudinal de tração da viga V3.
0
2
4
6
8
10
12
14
0246810121416
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
u
= 12,1 kN
Figura 5.26 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V3 (ploter).
105
0
2
4
6
8
10
12
14
0123456789101112
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
u
= 12,1 kN
Figura 5.27 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V3 (dataloger).
0
2
4
6
8
10
12
14
012345678910111213141516
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
ploter dataloger
P
u
= 12,1 kN
Figura 5.28 – Curvas carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio do
vão da viga V3 (ploter e dataloger).
106
0
2
4
6
8
10
12
-0,12-0,1-0,08-0,06-0,04-0,020
Deformação (‰)
Carga (kN)
Posição 1 Posição 2 Posição 3
Pu = 12,1 kN
Figura 5.29 – Gráfico carga-deformação de compressão no concreto para as três
posições de medição na viga V3.
0
2
4
6
8
10
12
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Deformação de tração (‰)
Carga (kN)
P
cr
= 12,0 kN
Figura 5.30 - Diagrama carga-deformação de tração no concreto na face inferior
da viga V3, no meio do vão.
107
5.6.4 – V4
A viga V4, com ρ = 0,100 %, teve sua armadura longitudinal de tração
rompendo de forma brusca assim que ocorreu a fissuração. Sua carga máxima foi a
carga de fissuração de 13,3 kN. A única fissura da viga V4 ocorreu próximo à seção
central (fotos B.7 e B.8).
No gráfico carga-deformação de uma barra da armadura longitudinal da figura
5.31, traçado a partir de dados registrados continuamente, observa-se que a taxa de
armadura longitudinal de tração adotada não foi suficiente para que a viga mantivesse a
capacidade resistente após a fissuração. Já o gráfico da figura 5.32 mostra que a outra
barra desta viga deformou-se mais antes de se romper, o que pode também ser visto na
figura 5.33, onde são juntados os gráficos das duas barras.
Os gráficos das figuras 5.34 e 5.35 apresentam as curvas carga-deslocamento da
viga V4 obtidas, respectivamente, através do ploter e do dataloger. Estas curvas são
apresentadas num mesmo gráfico na figura 5.36, onde, novamente, se observa o
comportamento frágil da viga V4.
As deformações de compressão do concreto para as três posições de medição e a
deformação de tração do concreto na face inferior da viga V4, em função da carga,
podem ser observadas nos gráficos das figuras 5.37 e 5.38, respectivamente.
108
0
2
4
6
8
10
12
14
01234
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 13,3 kN
Figura 5.31 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V4 (EE 4 - ploter).
0
2
4
6
8
10
12
14
012345678910
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 13,3 kN
Figura 5.32 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V4 (Média de EE 1 e EE 2 - dataloger).
109
0
2
4
6
8
10
12
14
012345678910
Deformação (‰)
Carga (kN)
Média de EE 1 e EE 2 (dataloger) EE 3 (dataloger) EE 4 (ploter)
P
u
= 13,3 kN
Figura 5.33 – Comparação entre as curvas carga-deformação da armadura
longitudinal de tração da viga V4.
0
2
4
6
8
10
12
14
01234567
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
u
= 13,3 kN
Figura 5.34 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V4 (ploter).
110
0
2
4
6
8
10
12
14
012345678910111213
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
u
= 13,3 kN
Figura 5.35 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V4 (dataloger).
0
2
4
6
8
10
12
14
012345678910111213
Des locamento (mm)
Carga (kN)
ploter dataloger
P
u
= 13,3 kN
Figura 5.36 – Curvas carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio do
vão da viga V4 (ploter e dataloger).
111
0
2
4
6
8
10
12
-0,14-0,12-0,10-0,08-0,06-0,04-0,020,00
Deformação (‰)
Carga (kN)
Posição 1 Posição 2 Posição 3
P
u
= 13,3 kN
Figura 5.37 – Diagrama carga-deformação de compressão no concreto para os três
níveis de medição na viga V4.
0
2
4
6
8
10
12
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Deformação de tração (‰)
Carga (kN)
P
cr
= 13,3 kN
Figura 5.38 - Diagrama carga-deformação de tração no concreto na face inferior
da viga V4, no meio do vão.
112
5.6.5 – V6
A viga V6, de concreto de maior resistência e com ρ = 0,317 %, teve cargas de
fissuração e máxima de, respectivamente, 20,2 kN e 34,0 kN. Das dez fissuras visíveis
que surgiram na viga V6, nenhuma delas passou pela seção central (fotos B.12 e B.13).
Os diagramas carga-deformação da armadura longitudinal de tração da viga V6
são apresentados nas figuras 5.39 e 5.40 para diferentes sistemas de aquisição de dados.
Na figura 5.41 apresentam-se num mesmo gráfico as curvas carga-deformação obtidas.
Nela observa-se que as duas barras monitoradas tiveram comportamento parecido.
Nos gráficos das figuras 5.42 e 5.43 estão as curvas carga-deslocamento vertical
da viga V6 obtidas de cada deflectômetro. Na figura 5.44 onde constam as duas curvas,
constata-se que os dois deflectômetros registraram deslocamentos praticamente iguais.
As deformações de compressão e tração no concreto para a viga V6, em função
da carga, podem ser observadas, respectivamente, nos gráficos das figuras 5.45 e 5.46.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
02468101214161820
Deformação (‰)
Carga (kN)
Pu = 34,0 kN
Figura 5.39 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V6 (EE 4 - ploter).
113
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
024681012141618202224262830323436
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 34,0 kN
Figura 5.40 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V6 (Média de EE 1 e EE 2 - dataloger).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
0 2 4 6 8 10121416182022242628303234
Deformação (‰)
Carga (kN)
Média de EE 1 e EE 2 (dataloger) EE 3 (dataloger) EE 4 (ploter)
P
u
= 34,0 kN
Figura 5.41 – Comparação entre as curvas carga-deformação das barras da
armadura longitudinal de tração da viga V6.
114
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
Pu = 34,0 kN
Figura 5.42 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V6 (ploter).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
0 2 4 6 8 10121416182022242628303234363840424446
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
Pu = 34,0 kN
Figura 5.43 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V6 (dataloger).
115
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
ploter dataloger
Pu = 34,0 kN
Figura 5.44 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V6 (ploter e dataloger).
0
5
10
15
20
25
30
-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,10,0
Deformação (‰)
Carga (kN)
Posição 1 Posição 2 Posição 3
P
u
= 34,0 kN
Figura 5.45 – Curvas carga-deformação de compressão no concreto para as três
posições de medição a 115mm do meio do vão da viga V6.
116
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Deformação de tração (‰)
Carga (kN)
P
cr
= 20,2 kN
Figura 5.46 – Curva carga-deformação de tração no concreto na face inferior da
viga V6, no meio do vão.
5.6.6 – V5
A ruptura por flexão da viga V5, com ρ = 0,238 % e f
cm
= 83,1 MPa, não
ocorreu de forma brusca. A carga de fissuração da viga V5 foi de 21,6 kN e a máxima
de 26,4 kN. Após a fissuração da viga houve um acréscimo de capacidade resistente.
Nenhuma das duas fissuras da viga V5 passaram pela seção central (foto B.9).
A deformação da armadura longitudinal ao longo do carregamento pode ser
observada nos gráficos das figuras 5.47 e 5.48, que correspondem, respectivamente, à
aquisição de dados com o uso do ploter e do dataloger. As curvas carga-deformação
obtidas são apresentadas juntas na figura 5.49, onde observam-se deformações
diferentes das duas barras monitoradas antes e após a fissuração.
Nas figuras 5.50 e 5.51 apresentam-se os gráficos carga-deslocamento vertical
na seção a 160 mm do meio do vão, traçados a partir dos dados registrados pelo ploter e
o dataloger, respectivamente. Na figura 5.52 apresentam-se as duas curvas juntas.
117
Observam-se nesta figura deslocamentos parecidos antes da ruptura, porém os
deslocamentos obtidos com o dataloger são maiores no instante da ruptura.
O gráfico carga-deformação de compressão no concreto para as três posições de
medição pode ser observado na figura 5.53. A curva carga-deformação de tração no
concreto na face inferior no meio do vão da viga V5 é apresentada na figura 5.54.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0 2 4 6 8 101214161820
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 26,4 kN
Figura 5.47 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V5 (EE 4 - ploter).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
01234567
Deformação (‰)
Carga (kN)
P
u
= 26,4 kN
Figura 5.48 – Diagrama carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V5 (Média de EE1 e EE 2 - dataloger).
118
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0 2 4 6 8 10121416182022
Deformação (‰)
Carga (kN)
Média de EE 1 e EE 2 (dataloger) EE 3 (dataloger) EE 4 (ploter)
P
u
= 26,4 kN
Figura 5.49 – Comparação entre as curvas carga-deformação da armadura
longitudinal de tração da viga V5.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Des lo camento (mm)
Carga (kN)
P
u
= 26,4 kN
Figura 5.50 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V5 (ploter).
119
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Des locamento (mm)
Carga (kN)
P
u
= 26,4 kN
Figura 5.51 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V5 (dataloger).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
ploter dataloger
P
u
= 26,4 kN
Figura 5.52 – Diagrama carga-deslocamento vertical na seção a 160 mm do meio
do vão da viga V5 (ploter e dataloger).
120
0
5
10
15
20
25
-0,35-0,30-0,25-0,20-0,15-0,10-0,050,00
Deformação (‰)
Carga (kN)
Posição 1 Posição 2 Posição 3
P
u
= 26,4 kN
Figura 5.53 – Gráfico carga-deformação de compressão no concreto para as três
posições de medição na viga V5.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16
Deformação de tração (‰)
Carga (kN)
P
cr
= 21,6 kN
Figura 5.54 - Gráfico carga-deformação de tração no concreto na face inferior da
viga V5, no meio do vão.
121
CAPÍTULO 6
ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS DISPONÍVEIS E
CRITÉRIO PROPOSTO PARA DEFINIÇÃO DA ARMADURA
MÍNIMA.
6.1 – INTRODUÇÃO
A partir dos gráficos carga-deformação da armadura longitudinal e carga-
deslocamento vertical, obtidos com o equipamento de registro contínuo, são retirados
dados relevantes para a definição de ρ
mín
. Esses dados são avaliados com base em
critério proposto para definir qual viga possui taxa próxima da mínima. Os valores de
ρf
y
de vigas ensaiadas são comparados com ρ
mín
f
y
das propostas de normas e de autores.
Com base nessas comparações definem-se as melhores expressões para a determinação
da taxa de armadura longitudinal mínima de flexão.
6.2 – DESLOCAMENTOS VERTICAIS
Os gráficos das figuras 6.1 e 6.2 mostram as curvas carga-deslocamento vertical
na seção a 160 mm do meio do vão para as vigas com f
c
próximos de 40 MPa e 80 MPa,
122
respectivamente. As curvas carga-deslocamento vertical de todas as vigas podem ser
visualizadas juntas no gráfico da figura 6.3. Destas figuras observa-se que as vigas com
maiores valores de ρ mostram-se mais resistentes e dúcteis.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20 25 30
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
V1
V2
V3
V4
Figura 6.1 – Curvas carga-deslocamento vertical das vigas V1, V2, V3 e V4.
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
V5
V6
Figura 6.2 – Curvas carga-deslocamento vertical das vigas V5 e V6.
123
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
V1
V6
V5
V2
V3
V4
Figura 6.3 – Curvas carga-deslocamento vertical de todas as vigas.
6.3–DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA DA ARMADURA LONGITUDINAL
DE TRAÇÃO.
As curvas carga-deformação das barras da armadura longitudinal de tração, na
seção do meio do vão das vigas, estão apresentadas no gráfico da figura 6.4 para as
vigas V1 a V4 e na figura 6.5 para V5 e V6. Na figura 6.6 todas as curvas carga-
deformação são traçadas num mesmo gráfico. A partir destas figuras constata-se que as
vigas V3 e V4, com menor ρ, foram as que apresentaram menor resistência e
ductilidade. Na figura 6.6 observa-se a menor resistência da viga V1 em relação à viga
V5, as quais diferenciavam-se apenas pelo valor de f
c
. A parte tracejada das curvas
carga-deformação foi obtida a partir da média das leituras dos extensômetros EE1 e EE2
realizadas com o dataloger.
124
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25 30
Deformação (‰)
Carga (kN)
V4
V1
V2
V3
Figura 6.4 – Curvas carga-deformação da armadura longitudinal de tração, das
vigas V1, V2, V3 e V4.
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
Deformação (‰)
Carga (kN)
V6
V5
Figura 6.5 – Curvas carga-deformação da armadura longitudinal de tração, das
vigas V5 e V6.
125
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30
Deformação (‰)
Carga (kN)
V4
V6
V5
V1
V2
V3
Figura 6.6 – Curvas carga-deformação da armadura longitudinal de tração para
todas as vigas.
6.4 – MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO
A partir dos pontos referentes ao trecho antes da fissuração das curvas carga-
deslocamento vertical das vigas V1 a V6 obteve-se uma reta, por interpolação. Com a
equação dessa reta e desconsiderando-se a presença das armaduras na determinação de
I
c
, obteve-se E
c
utilizando a expressão 6.1 para x ≤ ℓ/2, sendo x = 1340 mm o ponto de
medição da flecha. Os valores de E
c
obtidos estão listados na tabela 6.1 para os pares de
viga que possuíam o mesmo valor de f
c
: V1 e V2, V3 e V4 e V5 e V6. Os valores de E
c
estimados a partir da expressão da NBR 6118 (2003) (E
c
= 5600f
ck
1/2
) para as vigas com
f
c
≤ 50 MPa, também estão listados na tabela 6.1.
(
)
c
c
I
xxP
E
δ
48
34
23
l−
= (6.1)
onde δ = deslocamento vertical
126
Tabela 6.1 – Módulo de elasticidade do concreto das vigas ensaiadas.
Vigas
f
c
(MPa)
E
c
(GPa)
* E
c
(GPa)
V1 – V2 39,3 24,8 35,1
V3 – V4 44,4 25,1 37,3
V5 – V6 83,1 29,7 -
* NBR 6118 (2003)
6.5 – RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO
Utilizando os valores de E
c
da tabela 6.1, os de E
s
da tabela 5.4 e a carga de
fissuração correspondente a cada viga, determinou-se f
ct,f
por meio da expressão (6.2),
que considera a presença das armaduras de tração e de compressão e comportamento
linear do aço e do concreto.
A resistência à tração na flexão também foi obtida a partir dos valores de P
cr
das
vigas V1 a V6 e utilizando a equação 3.7, a qual desconsidera as armaduras.
ξ
2
bh
M
f
cr
f,ct
= (6.2)
onde ξ foi determinado fazendo-se o somatório de momentos na seção igual a zero
⋅
−
+
−
−
−
⋅
−
+⋅
−
−⋅
−
=
h
c
h
x
h
x
h
x
h
d
h
x
h
x
E
E
h
x
h
`c
h
d
h
`c
h
x
`
crcrcrcr
cr
c
s
cr
cr
2
1
6
1
62
1
1
1
2332
ρξ
(6.3)
em que x
cr
/h, dado na expressão (6.4), foi obtido fazendo-se o somatório de forças na
direção horizontal igual a zero
127
+⋅⋅+
+
⋅⋅⋅+
=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
`
E
E
h
d`
h
`c
E
E
,
h
x
c
s
c
s
cr
11
50
(6.4)
Os valores de f
ct,f
obtidos estão listados na tabela 6.2. Nesta tabela constam
também os valores de f
ct,f
avaliados por meio da expressão do CEB-FIP MC90 (1993)
dada na tabela 3.2. Na tabela 6.2 constata-se que os valores obtidos com as expressões
(6.2) e (3.7) foram inferiores aos avaliados pela expressão do MC90.
Tabela 6.2 – Valores de f
ct,f
.
Viga
*
f
ct,f
(MPa)
**
f
ct,f
(MPa)
***
f
ct,f
(MPa)
V1 3,20 3,37 4,54
V2 3,34 3,47 4,54
V3 3,88 4,00 4,92
V4 4,33 4,43 4,92
V5 6,91 7,20 7,48
V6 6,39 6,73 7,48
* Equação 6.2
** Equação 3.7
*** CEB-FIP MC90 (ver tabela 3.2)
128
6.6 – DADOS RELEVANTES
A carga de fissuração P
cr
, a carga de escoamento da armadura longitudinal P
y
,
bem como a carga mínima atingida logo após a fissuração P
m
, foram determinadas a
partir dos gráficos carga-deformação da armadura longitudinal de tração das vigas V1 a
V6, como mostram as figuras 6.7 a 6.18. A carga de fissuração corresponde à carga do
pico do primeiro ramo ascendente que se oberva em cada curva. A carga de escoamento
foi determinada a partir do valor de ε
y
* obtido nos ensaios das amostras das barras de
aço (ver tabela 5.4). A carga última ou máxima P
u
está indicada nos gráficos.
Nas curvas carga-deformação da armadura longitudinal são assinaladas as
deformações referentes a P
cr
, ε
s,cr
e ε
s,cr
*, a P
y
, ε
y
*, e a P
u
, ε
s,u
, sendo que ε
s,cr
* é a
deformação relativa ao ramo ascendente da curva após a fissuração. Os deslocamentos
referentes a estas mesmas cargas, δ
cr
, δ
cr
*, δ
y
, e δ
u
, também são assinalados nas curvas
carga-deslocamento vertical.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Deformação (‰)
Carga (kN)
V1
ρ = 0,238 %
ε
s,cr
= 0,16 ‰
ε
s,cr
* = 0,23 ‰
ε
y
* = 2,9 ‰
ε
su
= 44,4 ‰
P
cr
= 10,1 kN
P
m
= 8,2 kN
P
y
= 16,6 kN
P
u
= 25,0 kN
P
cr
P
y
P
u
P
m
Figura 6.7 – Gráfico carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V1 com a indicação de grandezas relevantes.
129
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
cr
V1
ρ = 0,238 %
δ
cr
= 0,98 mm
P
cr
= 10,1 kN
P
m
= 8,2 kN
P
y
= 16,6 kN
P
u
= 25,0 kN
P
m
Figura 6.8 – Gráfico carga-deslocamento vertical da viga V1 com a indicação de
P
cr
e P
m
.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
024681012141618202224262830323436384042444648
Deformação (‰)
Carga (kN)
V2
ρ = 0,159 %
ε
s,cr
= 0,3 ‰
ε
y
* = 2,9 ‰
ε
s,cr
* = 7,0 ‰
ε
su
= 45,9 ‰
P
cr
= 10,4 kN
P
m
= 7,9 kN
P
y
= 8,2 kN
P
u
= 16,6 kN
P
y
P
cr
P
u
P
m
Figura 6.9 – Gráfico carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V2 com a indicação de P
cr
, P
m
, P
y
, e P
u
.
130
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
cr
P
y
P
u
V2
ρ = 0,159 %
δ
cr
= 0,8 mm
δ
y
= 1,6 mm
δ
cr
* = 2,1 mm
δ
u
= 23,4 mm
P
cr
= 10,4 kN
P
m
= 7,9 kN
P
y
= 8,2 kN
P
u
= 16,6 kN
P
m
Figura 6.10 – Gráfico carga-deslocamento vertical da viga V2 com a indicação de
P
cr
, P
m
, P
y
, e P
u
.
0
2
4
6
8
10
12
14
012345678
Deformação (‰)
Carga (kN)
V3
ρ = 0,150 %
ε
s,cr
= 0,3 ‰
ε
s,cr
* = 2,95 ‰
ε
y
* = 3,3 ‰
ε
su
= 3,4 ‰
P
cr
= 12,0 kN
P
m
= 6,0 kN
P
y
= 11,9 kN
P
u
= 12,1 kN
P
cr
P
y
P
u
P
m
Figura 6.11 – Pontos onde ocorreram P
cr
, P
m
, P
y
e P
u
indicados no gráfico carga-
deformação da armadura longitudinal de tração da viga V3.
131
0
2
4
6
8
10
12
14
0246810121416
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
cr
P
y
P
u
V3
ρ = 0,150 %
δ
cr
= 0,8 mm
δ
cr
* = 5,9 mm
δ
y
= 7,3 mm
δ
u
= 7,7 mm
P
cr
= 12,0 kN
P
m
= 6,0 kN
P
y
= 11,9 kN
P
u
= 12,1 kN
P
m
Figura 6.12 – Pontos onde ocorreram P
cr
, P
m
, P
y
e P
u
indicados no gráfico carga-
deslocamento vertical da viga V3.
0
2
4
6
8
10
12
14
01234
Deformação (‰)
Carga (kN)
V4
ρ = 0,100 %
ε
s,cr
= 0,18 ‰
ε
y
* = 3,3 ‰
ε
su
= 0,18 ‰
P
cr
= 13,3 kN
P
m
= 3,2 kN
P
y
= 2,9 kN
P
u
= 13,3 kN
P
cr
= P
u
P
y
P
m
Figura 6.13 – Indicação de P
cr
, P
m
, P
y
e P
u
no gráfico carga-deformação da
armadura longitudinal de tração da viga V4.
132
0
2
4
6
8
10
12
14
01234567
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
cr
= P
u
P
y
V4
ρ = 0,100 %
δ
cr
= 0,47 mm
δ
y
= 5,4 mm
δ
u
= 0,47 mm
P
cr
= 13,3 kN
P
m
= 3,2 kN
P
y
= 2,9 kN
P
u
= 13,3 kN
P
m
Figura 6.14 - Indicação de P
cr
, P
m
, P
y
e P
u
no gráfico carga-deslocamento vertical
da viga V4.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
02468101214161820222426283032343638404244464850525456
Deformação (‰)
Carga (kN)
V6
ρ = 0,317 %
ε
s,cr
= 0,3 ‰
ε
y
* = 2,9 ‰
ε
s,cr
* = 3,0 ‰
ε
su
= 53,6 ‰
P
cr
= 20,2 kN
P
m
= 13,5 kN
P
y
= 20,0 kN
P
u
= 34,0 kN
P
cr
P
y
P
u
P
m
Figura 6.15 – Gráfico carga-deformação da armadura longitudinal de tração da
viga V6 com a indicação de P
cr
, P
m
, P
y
, e P
u
.
133
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
0 2 4 6 8 10121416182022242628303234363840424446485052
Des locamento (mm)
Carga (kN)
P
cr
P
u
P
y
V6
ρ = 0,317 %
δ
cr
= 1,1 mm
δ
y
= 2,3 mm
δ
cr
* = 2,3 mm
δ
u
= 51,0 mm
P
cr
= 20,2 kN
P
m
= 13,5 kN
P
y
= 20,0 kN
P
u
= 34,0 kN
P
m
Figura 6.16 - Gráfico carga-deslocamento vertical da viga V6 com a indicação de
P
cr
, P
m
, P
y
, e P
u
.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0 2 4 6 8 10121416182022
Deformação (‰)
Carga (kN)
V5
ρ = 0,238 %
ε
s,cr
= 0,8 ‰
ε
y
* = 2,9 ‰
ε
s,cr
* = 4,5 ‰
ε
su
= 20,1 ‰
P
cr
= 21,6 kN
P
m
= 14,9 kN
P
y
= 20,5 kN
P
u
= 26,4 kN
P
cr
P
y
P
u
P
m
Figura 6.17 – Indicação dos pontos referentes a P
cr
, P
m
, P
y
, e P
u
na curva carga-
deformação da armadura longitudinal de tração da viga V5.
134
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Deslocamento (mm)
Carga (kN)
P
cr
P
u
P
y
V5
ρ = 0,238 %
δ
cr
= 0,3 mm
δ
y
= 4,0 mm
δ
cr
*= 5,3 mm
δ
u
= 29,1 mm
P
cr
= 21,6 kN
P
m
= 14,9 kN
P
y
= 20,5 kN
P
u
= 26,4 kN
P
m
Figura 6.18 – Indicação dos pontos referentes a P
cr
, P
m
, P
y
, e P
u
na curva carga-
deslocamento vertical da viga V5.
Os valores obtidos para as cargas P
cr
, P
m
, P
y
e P
u
indicadas nos gráficos das
figuras 6.7 a 6.18, como também as relações P
m
/P
cr
, P
y
/P
cr
, P
u
/P
cr
e P
u
/P
y
, estão listados
na tabela 6.3. Diferentemente das demais vigas, os valores de P
y
e P
u
para a viga V1
foram tirados da curva carga-deformação obtida a partir da média das leituras dos
extensômetros EE1 e EE2 realizadas com o dataloger, o que pode gerar menor
imprecisão nos valores dessas cargas e das relações entre elas.
Tabela 6.3 – Valores experimentais das cargas de fissuração, mínima logo após a
fissuração, escoamento e última, e as relações entre estas cargas.
Viga
f
c
(MPa)
ρ
(%)
P
cr
(kN)
P
m
(kN)
P
y
(kN)
P
u
(kN)
P
m
/P
cr
P
y
/P
cr
P
u
/P
cr
P
u
/P
y
V1 39,3 0,238 10,1 8,2 16,6 25,0 0,81 1,64 2,48 1,51
V2 39,3 0,159 10,4 7,9 8,2 16,6 0,76 0,79 1,60 2,02
V3 44,4 0,150 12,0 6,0 11,9 12,1 0,50 0,99 1,01 1,02
V4 44,4 0,100 13,3 3,2 2,9 13,3 0,24 0,22 1,00 4,59
V6 83,1 0,317 20,2 13,5 20,0 34,0 0,67 0,99 1,68 1,70
V5 83,1 0,238 21,6 14,9 20,5 26,4 0,69 0,95 1,22 1,29
135
Na tabela 6.4 apresentam-se os valores teóricos para as cargas de fissuração,
escoamento e última, como também as relações entre valores experimentais e teóricos.
Os valores experimentais das cargas utilizados para obter as relações são os da tabela
6.3. A carga P
cr,t
foi obtida utilizando a equação 3.6 com f
ct
= f
ct,f
do CEB-FIP MC90.
Para a determinação de P
y,t
e P
u,t
utilizaram-se, respectivamente, f
y
e f
st
da tabela 5.4,
assumindo z = 0,87d para a carga de escoamento e z = 0,93d para a máxima.
O menor valor da relação P
cr
/P
cr,t
para as vigas V1, V2 e V3 em comparação
com os das vigas V4, V5 e V6 talvez possa ser justificado pela maior presença de
fissuras de retração, não detectadas visualmente, próximo à seção central das vigas V1,
V2 e V3.
Tabela 6.4 – Valores teóricos de P
cr,t
, P
y,t
, P
u,t
e as relações entre valores teóricos e
experimentais.
Valores teóricos Relações
Viga
P
cr,t
(kN)
P
y,t
(kN)
P
u,t
(kN)
P
cr
/P
cr,t
P
y
/P
y,t
P
u
/P
u,t
V1 13,6 16,4 23,7 0,74 1,01 1,06
V2 13,6 10,9 15,8 0,76 0,82 1,05
V3 14,8 11,7 15,6 0,81 1,01 0,77
V4 14,8 7,8 10,4 0,90 - -
V6 22,4 21,9 31,5 0,90 0,92 1,08
V5 22,4 16,4 23,7 0,96 1,25 1,12
Os deslocamentos verticais δ
cr
, δ
cr
*, δ
y
e δ
u
e as relações δ
cr
*/δ
cr
e δ
u
/δ
y
são
listados na tabela 6.5. Nessa tabela apresentou-se somente o valor de δ
cr
da viga V1
devido à perda de sinal na aquisição de dados. Como a viga V4 apresentou ruptura
brusca, não se tem δ
cr
* e δ
u
= δ
cr
. Observando os valores de δ
u
/δ
y
da tabela 6.5, nota-se
que esta relação foi maior para as vigas com maior taxa de armadura e que a relação
δ
cr
*/δ
cr
mostra tendência de ser menor para as vigas com maior valor de ρ.
136
Tabela 6.5 – Deslocamentos verticais referentas às cargas P
cr
, P
y
e P
u
e as relações
δ
cr
*/δ
cr
e δ
u
/δ
y
.
Viga
δ
cr
(mm)
δ
cr
*
(mm)
δ
cr
*/δ
cr
δ
y
(mm)
δ
u
(mm)
δ
u
/δ
y
V1 0,98 - - - - -
V2 0,75 2,13 2,84 1,6 23,4 14,6
V3 0,80 5,85 7,31 7,3 7,7 1,1
V4 0,47 - - 5,4 0,47 0,1
V6 1,13 2,31 2,04 2,3 51,0 22,2
V5 0,29 5,29 18,24 4,0 29,1 7,3
Na tabela 6.6 apresentam-se as deformações, ε
s,cr
, ε
s,cr
*, ε
y
* e ε
su
e as relações
ε
s,cr
*/ε
s,cr
e ε
su
/ε
y
*. Dos valores de deformação referentes à viga V1, somente ε
s,cr
foi
obtido dos dados registrados pelo equipamento de registro contínuo. Constata-se nessa
tabela que os valores de ε
su
/ε
y
* são maiores para as vigas com maior taxa de armadura.
Já a deformação ε
s,cr
* das vigas V1 e V6, com maior valor de ρ que o das vigas V2 e
V5, respectivamente, é menor que a destas vigas.
Tabela 6.6 – Valores específicos da deformação da armadura longitudinal e as
relações ε
s,cr
*/ε
s,cr
e ε
su
/ε
y
*.
Viga
ε
s,cr
(‰)
ε
s,cr
*
(‰)
ε
s,cr
*/ε
s,cr
ε
su
(‰)
ε
y
*
(‰)
ε
su
/ε
y
*
V1 0,16 0,23 1,44 44,4 2,9 15,3
V2 0,28 6,97 24,89 45,9 2,9 15,8
V3 0,30 2,95 9,83 3,4 3,3 1,03
V4 0,18 - - 0,18 3,3 0,05
V6 0,25 2,98 11,92 53,6 2,9 18,5
V5 0,75 4,47 5,96 20,1 2,9 6,9
137
6.7 – CRITÉRIO PROPOSTO PARA A DEFINIÇÃO DE ρ
mín
.
Admite-se aqui que a taxa de armadura longitudinal mínima de tração, para que
uma viga apresente comportamento dúctil e uma reserva de resistência no estado limite
último quando submetida à flexão simples, deve ser tal que leve ao atendimento das
duas condições dadas pelas expressões (6.5) e (6.6).
1≥
cr
y
P
P
(6.5)
61,
P
P
cr
u
≥
(6.6)
onde P
u
é a carga referente à ruptura da armadura longitudinal de tração.
O valor 1,6 foi obtido da multiplicação entre o coeficiente de majoração do
carregamento, adotado igual a 1,4, e o coeficiente de minoração da resistência do aço,
adotado igual a 1,15.
A partir dos valores das relações P
y
/P
cr
e P
u
/P
cr
listados na tabela 6.3, constatou-
se que as vigas V2 e V4 não atenderam à condição P
y
/P
cr
≥ 1 e que a condição P
u
/P
cr
≥
1,6 não foi satisfeita pelas vigas V3, V4 e V5. Portanto a taxa ρ adotada nas vigas V1 e
V6 deve ser próxima de ρ
mín
definida segundo critério proposto.
A tabela 6.7 compara a taxa ρ adotada para as vigas V1 a V6 com as obtidas a
partir das equações (4.16) e (4.18) de Shehata et al. (2000). Contata-se nessa tabela que
somente a taxa ρ de V1 é maior do que a dada pelas equações (4.16) e (4.18). O valor 20
para a relação ε
su
/ε
cu
foi obtido adotando-se ε
cu
= 3,5 ‰ e ε
su
= 70 ‰ que corresponde
a um aço de alta ductilidade.
138
Tabela 6.7 – Comparação entre os valores adotados para ρ e os obtidos a partir das
equações (4.16) e (4.18).
Viga
*
ρ
(%)
**
ρ
mín
(%)
***
ρ
mín
(%)
V1 0,238 0,197 0,224
V2 0,159 0,197 0,224
V3 0,150 0,213 0,217
V4 0,100 0,213 0,217
V6 0,317 0,324 0,379
V5 0,238 0,324 0,379
*
bd
A
s
=
ρ
** Equação 4.18
*** Equação 4.16 (ε
su
/ε
cu
= 20)
6.8 – ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS VIGAS UTILIZANDO
O NÚMERO DE FRAGILIDADE (N
P
) PROPOSTO POR CARPINTERI
(1981, 1984).
A tabela 6.8 apresenta os valores de N
P
e N
PC
, das vigas V1 a V6, calculados
respectivamente a partir das expressões 3.15 e 3.17. Os valores de ρ = A
s
/bh listados
nesta tabela foram os empregados nas vigas ensaiadas. Já os valores de ρ
mín
foram
determinados para N
P
= N
PC
(equação 3.18). Para a determinação da energia de fratura
utilizou-se a expressão (3.3). O valor de G
F0
= 0,03525 foi determinado para d
máx
= 19
mm a partir de interpolação linear de valores de G
F0
fornecidos pelo MC 90 para alguns
valores de d
máx
(ver tabela 3.1). A tenacidade à fratura K
IC
foi determinada utilizando-se
a expressão 3.16, adotando-se para E
c
os valores da tabela 6.1.
139
Tabela 6.8 – Parâmetros utilizados na determinação de N
P
e N
PC
, e taxas ρ
utilizada e ρ
mín
para N
P
= N
PC
.
Viga
As
(mm
2
)
*
ρ
(%)
ρ
min
(%)
N
P
=N
PC
f
c
(MPa)
f
y
(MPa)
E
c
(MPa)
G
F
(N/mm)
K
IC
(Nmm
-3/2
)
N
PC
N
P
V1 93,52 0,208 0,091 39,3 577 24800 0,09 47,74 0,190 0,435
V2 62,34 0,139 0,091 39,3 577 24800 0,09 47,74 0,190 0,290
V3 58,90 0,131 0,089 44,4 655 25100 0,10 50,12 0,202 0,296
V4 39,27 0,087 0,089 44,4 655 25100 0,10 50,12 0,202 0,198
V6 124,69 0,277 0,198 83,1 577 29700 0,16 67,89 0,291 0,408
V5 93,52 0,208 0,198 83,1 577 29700 0,16 67,89 0,291 0,306
*
bh
A
s
=
ρ
, como considera Carpinteri et al. (1999)
No gráfico da figura 6.19, as três retas horizontais tracejadas referem-se aos
valores críticos do número de fragilidade obtidos para os três valores de f
c
das vigas. Já
os pontos referem-se ao valor de N
P
para cada viga ensaiada. Segundo Carpinteri (1981,
1984) quando N
P
>N
PC
o comportamento da viga após a fissuração é estável. Dos
valores de N
P
e N
PC
apresentados na tabela 6.8, tem-se N
P
>N
PC
para V1, V2, V3, V5 e
V6. Entretanto, as vigas V2, V3 e V5 apresentaram ductilidade limitada.
V1
V2
V3
V4
V5
V6
NPC = 0,190
NPC = 0,202
NPC = 0,291
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0 102030405060708090100
f
c
(MPa)
N
P
Figura 6.19 – Valores de N
P
(pontos) para cada viga e de N
PC
(retas) para os três
diferentes valores de f
c
.
140
6.9 – COMPARAÇÃO ENTRE ρf
y
DAS VIGAS V1 a V6, C-3 e C e ρ
mín
f
y
DAS EXPRESSÕES PROPOSTAS POR DIFERENTES AUTORES.
O gráfico da figura 6.20 mostra curvas de ρ
mín
f
y
x f
c
propostas por diferentes
autores junto com os pontos referentes a ρf
y
das vigas V1 a V6, C-3 (Bosco et al. 1990),
C (Ozbolt e Bruckner, 1999).
Dentre os resultados de ensaios apresentados no capítulo 4, os referentes às
vigas C-3 e C, as quais possuíam alturas comumente usadas na prática, também foram
utilizados para verificar quais propostas para determinação de ρ
mín
atendem ao critério
dado pelas expressões (6.5) e (6.6). Na tabela 6.9 apresentam-se algumas características
dessas vigas. Nela observa-se que P
y
/P
cr
> 1 e P
u
/P
cr
em torno de 1,6.
Tabela 6.9 – Vigas ensaiadas por outros autores.
Viga Autor
cr
y
P
P
cr
u
P
P
b
(mm)
h
(mm)
d
(mm)
f
c
(MPa)
f
y
(MPa)
ρ
(%)
ρf
y
(MPa)
C-3 Bosco et al. (1990) 1,25 1,51 150 400 360 78 441 0,372 1,642
C Ozbolt e Bruckner (1999) - 1,64 300 500 458 28,6 580 0,165 0,955
As curvas da figura (6.20) foram traçadas a partir das expressões listadas na
tabela 4.10. Para as propostas que consideram ρ = A
s
/bh, adotou-se h = 1,1d. A curva de
Freyermuth e Aalami (1997) foi obtida para f
st
= 1,2f
y
e a de Shehata et al. (2000) para
ε
su
/ε
cu
= 20 com α e β segundo a norma CSA A23.3 (1994). Os valores de f
ct,f
, E
c
G
F
foram estimados a partir do que é proposto na norma CEB-FIP MC90 (1993).
A partir do gráfico da figura 6.20 constata-se que as expressões propostas por
Freyermuth e Aalami (1997) (terceira da tabela 4.10), Fusco (1990) e por Shehata et al.
(2000) fornecem valores de ρ
mín
f
y
mais próximos dos valores de ρf
y
referentes às vigas
V1, V6, C-3, C.
141
V1
V2
V3
V4
V5
V6
C-3
C
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
10 20 30 40 50 60 70 80 90
f
c
(MPa)
ρ
mín
f
y
(MPa)
FUSCO (1990)
HAWKINS e HJORTESET (1992)
COLLINS et al. (1993)
FREYERMUTH e AALAMI (1997),
fst = 1,2fy
CARPINTERI et al. (1999) h=300 mm
QUEIRÓZ (1999)
SHEHATA et al. (2000), Equação (4.16),
εsu/εcu = 20
V1
V2
V3
V4
V5
V6
(Viga C-3) Bosco et al. (1990)
(Viga C) Ozbolt e Bruckner (1999)
Figura 6.20 – Curvas de ρ
mín
f
y
em função de f
c
para diferentes autores junto com
os valores de ρf
y
das vigas V1 a V6, C-3, C.
6.10 – COMPARAÇÃO ENTRE ρf
y
DAS VIGAS V1 a V6, C-3 e C e
ρ
mín
f
y
DAS EXPRESSÕES PROPOSTAS POR DIFERENTES NORMAS.
A comparação entre as expressões de ρ
mín
f
y
de normas e os valores de ρf
y
das
vigas V1 a V6, C-3 e C é apresentada nos gráficos
ρ
mín
f
y
x f
c
das figuras 6.21 e 6.22. As
curvas dessa figura foram traçadas a partir das expressões listadas na tabela 4.11. Para
as normas que consideram
ρ = A
s
/bh, adotou-se h = 1,1d.
Analisando os gráficos das figuras 6.21 e 6.22, constata-se que as curvas das
normas CSA A23.3-(1994), ACI 363-R (1992) e NS 3473E (1992) (h = 300 mm) são as
que levam a valores de ρ
mín
f
y
mais próximos dos das vigas V1, V6, C-3 e C. A curva da
norma ACI 318 (2002) se situa significativamente acima dos pontos referentes a essas
vigas. As curvas das outras normas se situa consideravelmente abaixo dos pontos que
correspondem a ρf
y
das vigas V1, V6, C-3 e C e, portanto, não atendem ao critério para
determinação
ρ
mín
proposto neste trabalho.
142
V3
V4
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
0 102030405060708090100110
f
c
(MPa)
ρ
mín
f
y
(MPa)
ACI 363-R (1992)
NS 3473E (1992) h = 300 mm
CEB-FIP MC90 (1993)
CSA A23.3 (1994)
CEB (1995)
EC2 (2001)
ACI 318 (2002)
NBR 6118 (2003)
V3
V4
Figura 6.21 – Curvas de ρ
mín
f
y
em função de f
c
para diferentes normas junto com
os valores de ρf
y
para as vigas V3 e V4.
V1
V2
V5
V6
C-3
C
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
0 102030405060708090100110
f
c
(MPa)
ρ
mín
f
y
(MPa)
ACI 363-R (1992)
NS 3473E (1992) h = 300 mm
CEB-FIP MC90 (1993)
CSA A23.3 (1994)
CEB (1995)
EC2 (2001)
ACI 318 (2002)
NBR 6118 (2003)
V1
V2
V5
V6
(Viga C-3) Bosco et al. (1990)
(Viga C) Ozbolt e Bruckner (1999)
Figura 6.22 – Curvas de ρ
mín
f
y
em função de f
c
para diferentes normas junto com
os valores de ρf
y
para as vigas V1, V2, V5, V6, C-3 e C.
143
6.11 – RESUMO DOS RESULTADOS.
Tabela 6.10 – Características e propriedades do materiais das vigas V1 a V6.
Viga
φ
ℓ
=φ
ℓ
’
(mm)
L
(mm)
ℓ
(mm)
b
(mm)
h
(mm)
d
(mm)
f
c
(MPa)
*
f
ct,f
(MPa)
E
c
(GPa)
f
y
(MPa)
E
s
(GPa)
ρ
(%)
ρ’
(%)
ρf
y
(MPa)
V1 6,3 3200 3000 150 300 261,85 39,3 3,87 24,8 577 200 0,238 0,159 1,373
V2 6,3 3200 3000 150 300 261,85 39,3 3,34 24,8 577 200 0,159 0,159 0,917
V3 5,0 3200 3000 150 300 262,50 44,4 3,88 25,1 655 199 0,150 0,100 0,983
V4 5,0 3200 3000 150 300 262,50 44,4 4,33 25,1 655 199 0,100 0,100 0,655
V6 6,3 3200 3000 150 300 261,85 83,1 6,91 29,7 577 200 0,317 0,159 1,829
V5 6,3 3200 3000 150 300 261,85 83,1 6,39 29,7 577 200 0,238 0,159 1,373
bd
A
s
=
ρ
,
bd
'A
'
s
=
ρ
* Equação (6.2)
Tabela 6.11 – Valores de carga, deslocamento vertical e deformação específica obtidos nos ensaios das vigas V1 a V6.
Viga
P
cr
(kN)
P
m
(kN)
P
y
(kN)
P
u
(kN)
P
m
/P
cr
P
y
/P
cr
P
u
/P
cr
P
u
/P
y
δ
cr
(mm)
δ
cr
*
(mm)
δ
cr
*/δ
cr
δ
y
(mm)
δ
u
(mm)
δ
u
/δ
y
ε
s,cr
(‰)
ε
s,cr
*
(‰)
ε
s,cr
*/ε
s,cr
ε
su
(‰)
ε
y
*
(‰)
ε
su
/ε
y
*
V1 10,1 8,2 16,6 25,0 0,81 1,64 2,48 1,51 0,98 - - - - - 0,16 0,23 1,44 44,4 2,9 15,3
V2 10,4 7,9 8,2 16,6 0,76 0,79 1,60 2,02 0,75 2,13 2,84 1,6 23,4 14,6 0,28 6,97 24,89 45,9 2,9 15,8
V3 12,0 6,0 11,9 12,1 0,50 0,99 1,01 1,02 0,80 5,85 7,31 7,3 7,7 1,1 0,30 2,95 9,83 3,4 3,3 1,03
V4 13,3 3,2 2,9 13,3 0,24 0,22 1,00 4,59 0,47 - - 5,4 0,47 0,1 0,18 - - 0,18 3,3 0,05
V6 20,2 13,5 20,0 34,0 0,67 0,99 1,68 1,70 1,13 2,31 2,04 2,3 51,0 22,2 0,25 2,98 11,92 53,6 2,9 18,5
V5 21,6 14,9 20,5 26,4 0,69 0,95 1,22 1,29 0,29 5,29 18,24 4,0 29,1 7,3 0,75 4,47 5,96 20,1 2,9 6,9
As células em destaque indicam ou relacionam valores não obtidos a partir de medições com equipamento de aquisição contínua de dados.
144
CAPÍTULO VII
CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
É abordada neste trabalho a taxa de armadura longitudinal mínima de tração
necessária para que uma viga de concreto apresente comportamento dúctil no estado
limite último, não sendo enfocadas as taxas que visam limitar a abertura de fissuras.
A partir dos estudos revistos verificou-se que a tensão de escoamento do aço da
armadura longitudinal influi no comportamento pós-fissuração das vigas. Uma
comparação poderia ser estabelecida entre as vigas V2 (2 φ
ℓ
6,3 mm) e V3 (3 φ
ℓ
5,0
mm) desse trabalho, as quais possuíam f
c
≈ 40 MPa e ρ ≈ 0,15 %, mas f
y
= 577 MPa
e 655 MPa, respectivamente. Embora com tensão de escoamento do aço da armadura
longitudinal de tração maior, a viga V3 apresentou menor resistência que a viga V2.
Acredita-se que a maior aderência proporcionada pela armadura empregada na viga V2
tenha contribuído para a maior resistência dessa viga. O maior valor da relação P
m
/P
cr
da viga V2 comparado ao da V3 pode ser uma justificativa para a existência de maior
aderência entre armadura longitudinal de tração e concreto na viga V2.
145
Neste trabalho verificou-se a necessidade de aumentar ρ
mín
com aumento de f
c
.
Comparando os resultado das vigas V1 (f
c
= 39,3 MPa) e V5 (f
c
= 83,1 MPa), as quais
diferenciavam-se apenas pela resistência à compressão do concreto, verificou-se que,
entre as duas, apenas V1 atendeu ao critério proposto nesse trabalho para a
determinação de ρ
mín
.
A taxa de armadura longitudinal influi decisivamente no tipo de comportamento
de vigas esbeltas com ruptura por flexão. Nos pares de vigas V1-V2, V3-V4 e V6-V5
somente ρ foi variada e verificou-se que as vigas V1, V3 e V6, as quais possuíam maior
valor de ρ, apresentaram comportamento mais dúctil e maior resistência que as V2, V4 e
V5, respectivamente. O comportamento mais dúctil foi verificado a partir das relações
δ
u
/δ
y
e ε
su
/ε
y
* que foram maiores para as vigas com maior valor de ρ.
Foi proposto neste trabalho um critério (P
y
/P
cr
≥ 1, P
u
/P
cr
≥ 1,6) para definir se
uma viga de concreto possui taxa de armadura longitudinal mínima de tração suficiente
para que apresente comportamento dúctil no estado limite último.
Os resultados provenientes dos ensaios das seis vigas e o critério proposto
levaram à conclusão de que as vigas V1 e V6 possuem ρ ≈ ρ
mím
.
A análise dos dados experimentais mostrou que a determinação de ρ
mím
como é
proposto no trabalho de Carpinteri et al. (1999), baseado na mecânica da fratura, resulta
em vigas com ductilidade limitada, situação que o critério aqui proposto visa eliminar.
A comparação dos valores de ρf
y
das vigas V1, V6, C-3 (Bosco et al., 1990) e C
(Ozbolt e Bruckner, 1999) com os de ρ
mím
f
y
propostos por diferentes normas e autores
mostra que as expressões propostas por Freyermuth e Aalami (1997) (terceira da tabela
4.11), Fusco (1990) e Shehata et al. (2000), como também as das normas CSA A23.3
(1994), ACI 363-R (1992) e NS 3473E (1992), são as mais indicadas para a
determinação de ρ
mím
.
146
No gráfico da figura 7.1 estão plotadas as curvas das expressões mais indicadas,
juntamente com os pontos referentes a ρf
y
das vigas V1, V6, C-3 e C. Nessa figura
constata-se que as vigas V1, V6 e C atendem a equação 4.18 (P
y
/P
cr
≥ 1), mas somente
as vigas V1 e C atendem à equação (4.16) que visa evitar a ruptura da armadura
longitudinal de tração. A viga V6 embora não atenda à expressão (4.16) de Shehata et
al. (2000), atende à condição (P
u
/P
cr
≥ 1,6), que juntamente com a condição (P
y
/P
cr
≥ 1)
visam um comportamento dúctil e uma reserva de resistência na ruptura da armadura
longitudinal de tração.
V1
V6
C-3
C
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
10 20 30 40 50 60 70 80 90
f
c
(MPa)
ρ
mín
f
y
(MPa)
FUSCO (1990)
FREYERMUTH e AALAMI (1997),
fst = 1,2fy
SHEHATA et al. (2000), Equação (4.16),
εsu/εcu = 20
SHEHATA et al. (2000), Equação (4.18),
h
= 300 mm
V1
V6
(Viga C-3) Bosco et al. (1990)
(Viga C) Ozbolt e Bruckner (1999)
ACI 363-R (1992)
NS 3473E (1992) h = 300 mm
CSA A23.3 (1994)
Figura 7.1 – Curvas de ρ
mím
f
y
x f
c
das expressões indicadas para a determinação de
ρ
mím
e pontos referentes a ρf
y
das vigas V1, V6, C-3 e C.
Para dar continuidade a este estudo, sugere-se que sejam feitas investigações
experimentais em vigas visando verificar qual a taxa de armadura longitudinal mínima
de tração que evita a ocorrência da ruptura das barras longitudinais por tração na flexão.
Sugere-se também a realização de ensaios em vigas para verificar se há influência
significativa do diâmetro das barras da armadura longitudinal de tração na determinação
de ρ
mím
como prevê o trabalho de Fantilli et al. (1999).
147
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150
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concreto. 2000.
151
APÊNDICE A
TABELAS DOS RESULTADOS
152
Tabela A.1 – Resultados do ensaio da viga V1.
Deslocamento
vertical na seção a
160 mm do meio do
vão
(mm)
Deformação específica de tração da
armadura longitudinal, no meio do
vão
(‰)
Deformação específica do
concreto na parte superior
(‰)
Carga
(kN)
Dataloger EE1 EE2 EE3 EE4
Deformação
específica de
tração
do concreto na
face inferior, no
meio do vão
(‰)
Posição
1
Posição
2
Posição
3
0 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
2 0,38 0,019 0,021 0,024 0,015 0,021 0,00 - 0,02 - 0,01
4 0,45 0,042 0,045 0,049 0,025 0,047 - 0,02 - 0,04 - 0,02
6 0,73 0,063 0,066 0,075 0,050 0,070 - 0,03 - 0,05 - 0,04
8 0,86 0,085 0,089 0,107 0,080 0,103 - 0,04 - 0,05 - 0,04
10 0,98 0,107 0,132 0,312 0,235 0,246 - 0,08 - 0,10 - 0,06
(12) 1,28 0,719 0,719 0,906 0,540 - - - -
(12) - 1,606 1,477 1,775 - - - 0,15 - 0,14 - 0,10
(14) - 1,976 1,915 2,293 - - - 0,19 - 0,15 - 0,06
(16) - 2,762 2,699 3,199 - - - 0,44 - 0,19 0,12
(18) - 3,484 3,522 5,079 - - - 0,51 - 0,20 0,16
(20) - 10,226 11,297 13,808 - - - 0,59 - 0,19 -
(22) - 20,134 22,225 26,084 - - - 0,78 - 0,12 -
(24) - 37,126 36,897 49,823 - - - 1,17 0,18 -
(25) - 50,782 38,070 - - - - - -
( ) Leituras após fissuração
153
Tabela A.2 – Resultados do ensaio da viga V2.
Deslocamento
vertical na seção
a 160 mm do
meio do vão
(mm)
Deformação específica de tração da
armadura longitudinal no meio do
vão
(‰)
Deformação específica do
concreto na parte superior
(‰)
Carga
(kN)
Dataloger EE1 EE2 EE3 EE4
Deformação
específica de
tração do
concreto na
face inferior,
no meio do vão
(‰)
Posição
1
Posição
2
Posição
3
0 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
2 0,16 0,019 0,021 0,021 0,015 0,025 - 0,01 - 0,01 - 0,01
4 0,25 0,042 0,046 0,046 0,040 0,051 - 0,04 - 0,04 - 0,02
6 0,41 0,064 0,068 0,069 0,065 0,077 - 0,05 - 0,05 - 0,03
8 0,56 0,120 0,122 0,106 0,105 0,126 - 0,10 - 0,07 - 0,05
10 0,81 0,261 0,264 0,248 0,275 0,420 - 0,12 - 0,10 - 0,07
(12) 6,41 2,957 3,502 14,143 15,265 - - 0,22 - 0,15 - 0,07
(13) 8,66 9,447 8,170 21,687 19,310 - - 0,30 - 0,20 - 0,08
(14) 12,94 17,814 15,584 31,520 25,460 - - 0,37 - 0,20 - 0,04
(15) 18,09 27,544 24,131 - - - - 0,48 - 0,23 - 0,03
(16) 19,25 43,795 38,666 - - - - 0,61 - 0,25 0,04
( ) Leituras após fissuração
154
Tabela A.3 - Resultados do ensaio da viga V3.
Deslocamento
vertical na seção a
160 mm do meio do
vão
(mm)
**
Deformação específica de tração
da armadura longitudinal no meio
do vão
(‰)
Deformação específica do
concreto na parte superior
(‰)
Carga
(kN)
Ploter Dataloger EE1 EE2 EE3 EE4
**
Deformação
específica de
tração do concreto
na face inferior, no
meio do vão
(‰)
Posição
1
Posição
2
Posição
3
0 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
1 0,14 0,02 0,003 0,007 0,008 0,000 0,005 -0,01 0,00 0,00
2 0,18 0,02 0,015 0,021 0,019 0,050 0,016 -0,01 -0,01 0,00
3 0,22 0,10 0,031 0,035 0,033 0,050 0,028 -0,04 -0,03 -0,02
4 0,31 0,20 0,044 0,050 0,042 0,050 0,039 -0,05 -0,03 -0,02
5 0,37 0,23 0,051 0,057 0,050 0,100 0,042 -0,05 -0,04 -0,03
6 0,46 0,29 0,061 0,068 0,058 0,100 0,050 -0,06 -0,04 -0,03
7 0,56 0,39 0,083 0,089 0,075 0,150 0,061 -0,08 -0,04 -0,04
8 0,57 0,37 0,087 0,091 0,071 0,150 0,050 -0,08 -0,05 -0,04
9 0,60 0,50 0,116 0,123 0,095 0,150 0,071 -0,09 -0,05 -0,04
10 0,71 0,54 0,145 0,156 0,109 0,200 0,082 -0,10 -0,07 -0,06
11 0,73 0,61 0,211 0,224 0,138 0,200 0,104 -0,11 -0,08 -0,06
(10) 4,21 - - - - 2,050 - -1,30 -1,10 -0,50
(11) 6,67 4,80 13,256 14,328 2,425 2,500 - -1,50 -0,90 -0,50
(12) 7,71 7,50 21,600 - 2,742 2,950 - - - -
** Fissura desviou do extensômetro
( ) Leituras após fissuração
155
Tabela A.4 – Resultados do ensaio da viga V4.
Deslocamento vertical
na seção a 160 mm do
meio do vão
(mm)
Deformação específica de tração
da armadura longitudinal no meio
do vão
(‰)
Deformação específica do
concreto na parte superior
(‰)
Carga
(kN)
Ploter Dataloger EE1 EE2 EE3 EE4
Deformação
específica de tração
do concreto na face
inferior, no meio
do vão
(‰)
Posição
1
Posição
2
Posição
3
0 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
1 0,02 0,05 0,012 0,013 0,015 0,015 0,014 0,00 0,00 0,00
3 0,01 0,12 0,025 0,027 0,027 0,030 0,026 - 0,01 - 0,01 - 0,01
4 0,14 0,17 0,041 0,044 0,045 0,030 0,042 - 0,02 - 0,02 - 0,01
5 0,17 0,30 0,051 0,055 0,056 0,045 0,053 - 0,03 - 0,04 - 0,02
6 0,21 0,32 0,056 0,059 0,058 0,045 0,052 - 0,03 - 0,05 - 0,04
7 0,24 0,42 0,072 0,077 0,078 0,055 0,072 - 0,04 - 0,05 - 0,03
8 0,26 0,52 0,087 0,095 0,096 0,070 0,084 - 0,06 - 0,09 - 0,06
9 0,29 0,60 0,109 0,120 0,110 0,085 0,084 - 0,08 - 0,09 - 0,08
10 0,36 0,69 0,155 0,168 0,132 0,100 0,090 - 0,09 - 0,12 - 0,11
11 0,37 - - - - 0,110 - - - -
12 0,41 - - - - 0,155 - - - -
13 0,47 - - - - 0,180 - - - -
156
Tabela A.5 – Resultados do ensaio da viga V5.
Deslocamento
vertical na seção a
160 mm do meio do
vão
(mm)
**
Deformação específica de tração
da armadura longitudinal no meio
do vão
(‰)
Deformação específica do
concreto na parte superior
(‰)
Carga
(kN)
Ploter Dataloger EE1 EE2 EE3 EE4
**
Deformação
específica de
tração do concreto
na face inferior, no
meio do vão
(‰)
Posição
1
Posição
2
Posição
3
0 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
2 0,04 0,15 0,015 0,015 0,018 0,060 0,019 - 0,08 - 0,03 - 0,05
4 0,06 0,23 0,031 0,032 0,035 0,100 0,039 - 0,09 - 0,07 - 0,05
6 0,08 0,35 0,045 0,046 0,047 0,190 0,055 - 0,12 - 0,07 - 0,05
8 0,10 0,54 0,064 0,065 0,068 0,295 0,074 - 0,14 - 0,08 - 0,06
10 0,14 0,54 0,073 0,075 0,078 0,335 0,088 - 0,18 - 0,11 - 0,09
12 0,17 0,68 0,098 0,100 0,103 0,415 0,116 - 0,23 - 0,14 - 0,12
14 0,19 0,74 0,110 0,111 0,114 0,465 0,126 - 0,23 - 0,14 - 0,12
16 0,21 0,92 0,137 0,138 0,142 0,555 0,156 - 0,27 - 0,19 - 0,17
18 0,27 0,99 0,148 0,151 0,155 0,640 0,162 - 0,31 - 0,20 - 0,19
20 0,29 1,13 0,180 0,183 0,184 0,710 0,172 - 0,32 - 0,23 - 0,19
(20) 4,50 4,23 1,379 1,279 2,323 2,725 - - - -
(22) 7,54 8,89 2,448 2,364 5,496 6,030 - - - -
(23) 12,75 12,18 2,751 2,591 8,212 7,630 - - - -
(24) 15,26 15,15 3,216 2,899 9,706 9,860 - - - -
(25) 20,50 23,01 4,597 3,679 13,341 13,555 - - - -
(26) 28,67 41,17 7,644 5,956 20,097 19,715 - - - -
** Fissura desviou do extensômetro
( ) Leituras após fissuração
157
Tabela A.6 – Resultados do ensaio da viga V6.
Deslocamento
vertical na seção a
160 mm do meio do
vão
(mm)
**
Deformação específica de tração da
armadura longitudinal no meio do
vão
(‰)
Deformação específica do
concreto na parte superior
(‰)
Carga
(kN)
Ploter Dataloger EE1 EE2 EE3 EE4
**
Deformação
específica de
tração do
concreto na face
inferior, no meio
do vão
(‰)
Posição
1
Posição
2
Posição
3
0 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
2 0,08 0,08 0,013 0,014 0,013 0,025 0,015 - 0,05 - 0,06 - 0,02
4 0,19 0,15 0,034 0,035 0,033 0,050 0,039 - 0,08 - 0,13 - 0,09
6 0,31 0,24 0,057 0,056 0,058 0,065 0,063 - 0,11 - 0,13 - 0,11
8 0,36 0,34 0,071 0,071 0,070 0,080 0,081 - 0,15 - 0,14 - 0,12
10 0,54 0,52 0,086 0,088 0,086 0,105 0,100 - 0,17 - 0,16 - 0,13
12 0,65 0,60 0,106 0,108 0,102 0,120 0,122 - 0,18 - 0,18 - 0,15
14 0,73 0,78 0,131 0,135 0,127 0,145 0,158 - 0,24 - 0,21 - 0,19
16 0,86 0,85 0,150 0,153 0,139 0,170 0,182 - 0,26 - 0,21 - 0,22
18 0,96 1,02 0,183 0,191 0,171 0,210 0,233 - 0,30 - 0,30 - 0,28
20 1,13 - - - - 0,250 - - - -
(20) 2,28 1,88 2,661 2,654 - 2,935 - - 0,36 - 0,31 - 0,25
(22) 3,04 2,90 4,241 4,569 7,128 4,555 - - 0,37 - 0,31 - 0,23
(24) 4,75 4,65 6,325 7,174 7,955 7,350 - - 0,47 - 0,37 - 0,19
(26) 6,51 6,71 12,239 13,553 12,252 13,340 - - 0,56 - 0,41 - 0,14
(28) 11,81 11,42 19,289 20,174 21,350 17,095 - - 0,81 - 0,22 -
(30) 18,66 19,14 29,022 - 33,075 - - - - -
(32) 31,31 29,75 - - - - - - - -
(34) - 44,88 - - - - - - - -
** Fissura desviou do extensômetro
( ) Leituras após fissuração
158
APÊNDICE B
FOTOGRAFIAS
159
Foto B.1 – Aspecto geral da viga V1 após o ensaio.
Foto B.2 – Panorama de fissuração da viga V1, após a ruptura.
160
Foto B.3 – Aspecto da fissuração da viga V2, antes da ruptura.
Foto B.4 – Aspecto da fissuração da viga V2, após a ruptura.
161
Foto B.5 – Viga V3 e equipamentos utilizados no ensaio das vigas.
Foto B.6 – Única fissura próxima à seção central da viga V3, após a ruptura.
162
Foto B.7 – Aspecto da fissura da viga V4, após a ruptura.
Foto B.8 – Única fissura da viga V4, após a ruptura.
163
Foto B.9 – Aspecto das fissuras da viga V5, após a ruptura.
Foto B.10 – Região de ruptura próxima à seção central da viga V5.
164
Foto B.11 – Região onde ocorreu a ruptura na face inferior da viga V5.
Foto B.12 – Aspecto das fissuras da viga V6, após a ruptura.
165
Foto B.13 – Fissuras da viga V6.
Foto B.14 – Aspecto geral da viga V6 após o ensaio.
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