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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - UNESP
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
Lilian Yuli Isoda
Carlos Roberto Minussi
(Orientador)
Análise da Estabilidade Estática de Tensão de
Sistemas Elétricos de Potência Usando uma Rede Neural
Baseada na Teoria da Ressonância Adaptativa
Tese de Doutorado submetida ao Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
da Faculdade de Engenharia de Ilha
Solteira – UNESP, como parte dos
requisitos para a obtenção do título de
Doutor em Engenharia Elétrica.
Ilha Solteira – SP, março de 2009.
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Ao meu pai Yoshihisa,
pelo grande homem que foi,
e à minha mãe Tsutae,
pela grande mulher que é.
Agradecimentos
Ao Prof. Dr. Carlos Roberto Minussi, pelo empenho e dedicação na orientação
do meu trabalho, pelas inúmeras conversas que tivemos sempre incentivando a alcançar o
objetivo que traçamos juntos, pelo amigo que foi nos momentos difíceis que enfrentei durante
o processo de titulação, meus profundos e sinceros agradecimentos.
Aos meus colegas e aos funcionários do Departamento de Matemática, pelo
incentivo recebido. Em especial, ao Prof. Paulo, à Profª Neusa e ao Prof. Villarreal, pelo
apoio.
Aos técnicos do laboratório de computação do Departamento de Engenharia
Elétrica, Deoclécio e José Roberto, pela assistência.
Aos funcionários da Seção de Pós-graduação, pela atenção com que sempre me
atenderam.
Às colegas e amigas Profª Anna Diva e Profª Mara Lúcia pelas sugestões,
críticas e discussões sobre o trabalho, e principalmente, pela amizade.
Aos meus pais, Yoshihisa e Tsutae, meus irmãos, Jorge, Madalena, Nelson e
Ricardo, que mesmo longe sempre estiveram presente comigo.
ISODA, L. Y. Análise de estabilidade estática de tensão de sistemas elétricos de potência
usando uma rede neural baseada na teoria da ressonância adaptativa. 2009. 113 f. Tese
(Doutorado em Engenharia Elétrica) – Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual
Paulista, Ilha Solteira, 2009.
Resumo
Nesta tese apresenta-se uma proposta para análise da estabilidade estática de
tensão de sistemas de energia elétrica utilizando uma rede neural baseada na arquitetura ART
(Adaptive Resonance Theory), designada rede neural ARTMAP Fuzzy. As redes neurais ART-
descendentes apresentam as características de estabilidade e plasticidade, as quais são
propriedades imprescindíveis para a realização do treinamento e execução da análise de forma
rápida e confiável. A versão ARTMAP Fuzzy é uma rede neural supervisionada, ou seja, a
extração do conhecimento se processa por estímulos de entrada e de saída. O problema da
análise de estabilidade de tensão é formulado considerando-se o estímulo de entrada
composto pelas potências ativa e reativa nodais. O estímulo de saída é adotado como sendo a
margem de segurança, a qual representa a “distância” entre o ponto de operação do sistema e
a fronteira da estabilidade estática de tensão. Esta margem de segurança é calculada, via
análise de sensibilidade e álgebra matricial de Kronecker, a partir da função determinante da
matriz jacobiana relativa ao problema do fluxo de potência de Newton-Raphson. A
operacionalidade das redes neurais é constituída por três fases principais: treinamento (ou
aprendizado), análise e treinamento continuado. A fase de treinamento requer uma grande
quantidade de processamento, enquanto que a fase de análise é realizada, efetivamente, sem
esforço computacional. Esta é, por conseguinte, a principal justificativa para o uso das redes
neurais para a resolução de problemas complexos que exigem soluções rápidas, como é o caso
de aplicações em tempo real. Na fase de treinamento, o perfil de geração e de carga do
sistema elétrico é gerado empregando-se uma distribuição aleatória (ou pseudo-aleatória) e a
respectiva saída (margem de segurança) calculada via execução de um programa de fluxo de
potência convencional, com as devidas adaptações. O procedimento aqui proposto é
independente da forma com que se estabelece o despacho de geração e como evolui a carga
do sistema. Esta abordagem é mais realista, se comparada à maioria das propostas
disponibilizadas na literatura especializada, que considera o modelo de crescimento da carga
de modo linear. Desta forma, com o uso da rede neural ARTMAP Fuzzy, bem como qualquer
outra da família ART, pode-se obter, soluções com grande rapidez de resposta e com grande
flexibilidade da inclusão de novos padrões, mudanças topológicas, etc., após concluída a fase
de treinamento, sem a necessidade de reinicializar o treinamento, propriedade esta definida
como sendo treinamento continuado (característica de plasticidade). O treinamento
continuado constitui-se num procedimento que permite manter, de forma permanente, a
aquisição do conhecimento a partir do treinamento realizado previamente de informações
disponibilizadas pela operação do sistema. Para ilustrar a metodologia proposta, apresenta-se
uma aplicação considerando-se dois sistemas elétricos de potência-exemplo.
Palavras-chaves: Engenharia Elétrica, Sistemas Elétricos de Potência, Estabilidade Estática de
Tensão, Redes Neurais Artificiais, Teoria da Ressonância Adaptativa
ISODA, L. Y. Static voltage stability analysis of electric power systems using a neural
network based on adaptive resonance theory. 2009. 113 f. Thesis (Electrical Engineering
PhD) – Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2009.
Abstract
This work develops a methodology to effectuate static voltage stability of
electrical power systems by neural network. The neural network used is based on the ART
(Adaptive Resonance Theory) architecture, named ARTMAP Fuzzy neural network. The ART
descendent neural networks present the characteristics of stability and plasticity, which are
important properties to execute the training and the analysis fast and reliable. The ARTMAP
Fuzzy version is a supervised neural network, i.e. the extraction of the knowledge is processed
by input/output stimulus. The voltage stability analysis problem is formulated considering the
input stimulus composed by the active and reactive nodal power. The output stimulus is
adopted as the security margin, which represents the distance with the operation point and the
static voltage stability frontier. The security margin is calculated by sensitivity analysis and
Kronecker algebra from the determinant function of the Jacobian matrix related to the power
flow problem by Newton-Raphson. Neural Network operation is constituted by three principal
phase: training (or learning), analysis and continuous training. The training phase needs great
processing effort, while the analysis is effectuated without computational effort. This is the
principal advantage to use neural networks to solve complex problems that need fast solutions
as the real time applications. On the training phase, the generation and load profile is
generated using a random (or pseudo random) distribution and the respective output (security
margin) is calculated by executing a conventional power-flow with adequate adaptations. The
procedure proposed is independent of how is defined the generation dispatch and how the
system load evolves. This is a more realistic approach, when compared to the most of the
proposals found on the specialized literature that considers the load increasing linearly.
Therefore, using Fuzzy ARTMAP neural network, as well as other ART family network, it is
assured to obtain fast solutions (stability characteristics) and with flexibility to include new
patterns like, topological changes, etc., after concluded the training phase without
reinitializing the training, which characterizes the continuous training (plasticity). The
continuous training is a procedure that maintains permanently the acquisition of the
knowledge from the training effectuated previously and information from the system
operation. To illustrate the proposed methodology two electrical systems were used.
Keywords: Electrical Engineering, Electrical Power Systems, Static Voltage Stability,
Artificial Neural Network, Adaptive Resonance Theory.
Lista de Figuras
3.2.1 Fluxograma do sistema neural proposto para realizar a análise de estabilidade
Tensão de sistemas elétricos de potência ........................................................ 30
4.2.1 Curva P–V .............................................................................................................. 37
5.2.1 Rede neural ART Fuzzy ........................................................................................ 49
5.2.2 Fluxograma da rede neural ART Fuzzy ................................................................. 54
5.3.1 Fluxograma da rede neural ARTMAP Fuzzy ........................................................ 56
6.2.1 Sistema Composto por 3 Máquinas e 9 Barras ..................................................... 64
6.3.1 Representação do Sistema Sul-Brasileiro .............................................................. 73
A.2.1.1 Componentes de um neurônio ....................................................................... 90
A.2.2.1.1 Modelo do neurônio de McCulloch-Pitts ...................................................... 91
A.2.2.2.1 Função relé .................................................................................................... 92
A.2.2.2.2 Função lógica threshold ................................................................................ 92
A.2.2.2.3 Função sigmoide (1) ...................................................................................... 93
A.2.2.2.4 Função sigmoide (2) ....................................................................................... 93
A.3.1 Rede neural artificial ....................................................................................... 94
A.5.1 Treinamento supervisionado ............................................................................ 96
A.5.2 Treinamento não-supervisionado ...................................................................... 97
B.2.3.1 Funções de pertinência para a variável tempertura .......................................... 101
B.2.4.1 Conjuntos Nebulosos A e B .............................................................................. 102
B.2.4.2 Operador AND .................................................................................................. 102
B.2.4.3 Operador OR ..................................................................................................... 103
B.2.4.4 Operador NOT .................................................................................................. 103
C.1.1 Sistema Anderson - Fouad .............................................................................. 104
C.2.1 Sistema Sul-Brasileiro ...................................................................................... 107
Lista de Tabelas
6.2.1. Comparação dos Métodos ARTMAP Fuzzy e Simul – Três Máquinas
Síncronas ....................................................................................................... 66
6.3.1. Comparação dos Métodos ARTMAP Fuzzy e Simul – Dez Máquinas
Síncronas ....................................................................................................... 73
C.1.1. Dados do sistema de transmissão (Sistema Anderson-Fouad) ........................... 105
C.1.2. Dados de barras (Sistema Anderson-Fouad) ...................................................... 105
C.1.3. Dados de máquinas (Sistema Anderson-Fouad) ................................................ 106
C.2.1. Dados do sistema de transmissão (Sistema Sul-Brasileiro) ............................... 108
C.2.2. Dados das barras (Sistema Sul-Brasileiro) ......................................................... 111
C.2.3. Dados de máquinas síncronas (Sistema Sul-Brasileiro) ..................................... 112
Sumário
1. Introdução ........................................................................................................... 15
2. Estado da Arte .................................................................................................... 20
2.1. Introdução ..................................................................................................... 20
2.2. Metodologias de Análise de Estabilidade ..................................................... 20
2.3. Análise das Principais Referências Bibliográficas ........................................ 23
2.4. Comentários ................................................................................................... 27
3. Metodologia Proposta Para a Análise de Estabilidade Estática de Tensão 28
3.1. Introdução ...................................................................................................... 28
3.2. Esquema Proposto ......................................................................................... 29
3.3. Comentários .................................................................................................. 32
4. Estabilidade de Tensão de Sistemas de Energia Elétrica ................................... 33
4.1. Introdução ..................................................................................................... 33
4.2. Mecanismo da Instabilidade de Tensão ........................................................ 34
4.3.Critério de Análise da Estabilidade Estática de Tensão ................................ 37
4.4. Comentários .................................................................................................. 47
5. Redes Neurais ART Fuzzy e ARTMAP Fuzzy .................................................... 48
5.1. Introdução. .................................................................................................... 48
5.2. Rede Neural ART Fuzzy ............................................................................... 49
5.3. Rede Neural ARTMAP Fuzzy ...................................................................... 55
5.4. Estímulos de Entrada da Rede Neural ARTMAP Fuzzy .............................. 57
5.5. Estímulos de Saída da Rede Neural ARTMAP Fuzzy .................................. 60
5.6.Comentários ................................................................................................... 61
6. Aplicações das Redes Neurais na Análise de Estabilidade de Tensão
de Sistemas de Energia Elétrica ...................................................................... 62
6.1.Introdução ...................................................................................................... 62
6.2. Sistema de Três Máquinas Síncronas ........................................................... 63
6.3. Sistema de Dez Máquinas Síncronas ............................................................ 72
6.4. Comentários e Considerações........................................................................ 77
7. Conclusão e Sugestões para Trabalhos Futuros ................................................. 78
7.1. Conclusão ................................................................................................... 78
7.2. Sugestões para Trabalhos Futuros .............................................................. 80
Referências .................................................................................................................. 81
Apêndice A – Redes Neurais Artificiais ..................................................................... 88
A.1. Introdução .................................................................................................... 88
A.2. Estrutura de Rede Neural ............................................................................. 89
A.2.1. Modelo Biológico ........................................................................... 89
A.2.2. Neurônio Artificial .......................................................................... 91
A.2.2.1. Neurônio de McCulloch-Pitts ................................. 91
A.2.2.2. Não-Linearidades .................................................... 92
A.3. Estrutura da Rede Neural Artificial .............................................................. 94
A.4. Classificação das Redes Neurais .................................................................. 94
A.5. Tipos de Treinamento de Redes Neurais ..................................................... 95
Apêndice B - Lógica Fuzzy ou Lógica Nebulosa ....................................................... 98
B.1. Introdução .................................................................................................... 98
B.2. Conjuntos Nebulosos .................................................................................... 99
B.2.1. Fundamentos ................................................................................... 99
B.2.2. Variáveis Linguísticas .................................................................... 100
B.2.3 Funções de Pertinências ................................................................. 100
B.2.4. Operadores Lógicos ........................................................................ 101
Apêndice C – Dados dos Sistemas-Exemplo ............................................................. 104
C.1. Dados do Sistema Anderson - Fouad ........................................................... 104
C.2. Dados do Sistema Sul - Brasileiro ............................................................... 107
Apêndice D – Artigos Publicados e Submetidos Relacionados com a
Pesquisa de Doutorado ................................................................... 113
15
Capítulo 1
Introdução
A estabilidade de ângulo e de tensão constitui-se em importante procedimento
de investigação em sistema elétricos de potência (VAN CUTSEM; VOURNAS, 1998;
WEHENKEL, 1997). Através da sua análise é possível executar estratégias que visem
garantir o suprimento de energia com qualidade e, ainda, evitar, ou pelo menos, minimizar a
interrupção do fornecimento de energia aos consumidores. A estabilidade associada aos
ângulos corresponde à estabilidade transitória, que consiste na avaliação dos efeitos oriundos
de perturbações que causam grandes e indesejáveis oscilações nos ângulos das máquinas
síncronas. A estabilidade de tensão refere-se à investigação sobre o comportamento do perfil
de tensão nodal do sistema, em destaque, à observação e à identificação de deficiência de
suporte de tensão em decorrência do aumento da potência consumida.
A estabilidade de tensão pode ser abordada sob dois pontos de vista: (1)
estático e (2) dinâmico. O caráter dinâmico requer um tratamento como um fenômeno que
pode ser modelado por um conjunto de equações diferenciais não-lineares (VU, et al. 1995).
Trata-se de uma análise complexa e sofisticada, principalmente quando se aborda sistemas de
grande porte. Uma forma mais simples, porém igualmente importante da estabilidade de
tensão, refere-se à observação do comportamento das tensões nodais, considerando-se o
aumento gradativo do perfil do carregamento do sistema, ou seja, a análise qualitativa do
ponto de operação. Neste caso, a análise pode ser tratada como um problema linear. As
16
inferências sobre o sistema são baseadas na análise do comportamento do ponto de equilíbrio,
mais especificamente, a partir da análise da matriz jacobiana (J
o
) das equações de potências
nodais do sistema, constituindo num problema incremental do fluxo de potência formulado
via método de Newton-Raphson (ARYA; CHOUBE; SHRIVASTAVA, 2008; JIA;
JEYASURYA, 2000; NAN, et al. 2000; SINHA; HAZARIKA, 2000; TIRANUCHIT;
THOMAS, 1988; entre outras). Neste caso, o sobrescrito (o) indica que a matriz jacobiana J é
calculada no ponto de operação do sistema.
Deste modo, a partir da análise da matriz jacobiana J
o
, pode-se analisar a
estabilidade do sistema. Esta análise pode ser realizada, por exemplo, usando a decomposição
de autovalores e de autovetores da matriz jacobiana (TIRANUCHIT; THOMAS, 1988), vetor
tangente (ZAMBRONI, 2000), entre outras técnicas. O comportamento do sistema, para
pequenas perturbações, pode ser analisado através dos autovalores da matriz J
o
. Se todos os
autovalores de J
o
forem reais e positivos, pode-se concluir que o sistema é estável para
pequenas perturbações. Contudo, a instabilidade se caracteriza por haver, pelo menos, um
autovalor com parte real negativa (TIRANUCHIT; THOMAS, 1988). O ponto limítrofe
ocorre quando a matriz jacobiana J
o
torna-se singular, ou seja, o determinante da matriz
jacobiana J
o
torna-se, também, nulo. Esta tem sido a forma abordada na maioria das
referências bibliográficas pertinentes.
Nesta pesquisa, propõe-se o desenvolvimento de uma metodologia alternativa
para a análise da estabilidade estática de tensão de sistemas elétricos de potência baseada no
emprego de redes neurais artificiais (HAYKIN, 1994). Redes Neurais Artificiais são
estruturas, implementadas em hardware e / ou software, fundamentadas no mecanismo de
funcionamento do cérebro, sendo, por conseguinte, capazes de aprender com a experiência
(HAYKIN, 1994; FOGEL, 1995). Para obter os resultados desejados, ou seja, que a rede
apresente condições de efetuar diagnósticos complexos, tais redes devem ter configurações
formadas por várias unidades de neurônios (ou elementos de processamento), dispostas em
fileiras, compondo um arranjo complexo de interligações (WIDROW; LEHR, 1990). Estas
interligações são formadas por pesos que devem ser ajustados por algum algoritmo
adaptativo. O funcionamento das redes neurais é constituído por duas fases fundamentais: (1)
treinamento
e (2) análise. A fase de treinamento requer uma grande quantidade de
processamento para a sua realização, enquanto que a fase de análise é efetivada, praticamente,
sem esforço computacional. Esta é, portanto, a principal justificativa para o uso de redes
neurais para resolução de problemas complexos que exigem soluções rápidas, como é o caso
17
aplicações em tempo real. A fase de treinamento da rede neural é realizada, na maioria das
vezes, através da técnica retropropagação (WIDROW; LEHR, 1990), que é reconhecidamente
muito lenta e, em muitos casos, não se observa convergência, principalmente quando se
trabalha com grandes bases de dados. Novas estruturas neurais têm sido abordadas visando
resolver a questão do excessivo tempo de processamento para a realização do treinamento.
Neste contexto, destacam-se as redes neurais da família ART (Adaptive Resonance Theory)
(CARPENTER, et al. 1992), que apresentam as características de estabilidade (sempre é
garantida a obtenção de soluções) e plasticidade (capacidade de continuar a aprender com a
inclusão de novos padrões, sem perder a memória relacionada aos padrões anteriores).
Neste trabalho usa-se uma rede neural da família ART (ART-descendente)
(CARPENTER, et al. 1992), mais especificamente, uma rede ARTMAP Fuzzy
(CARPENTER, et al. 1992) com inclusões de melhorias visando torná-la, principalmente,
mais precisa, se comparada à formulação original (CARPENTER, et al. 1992). Na literatura
são encontradas algumas propostas que empregam redes neurais para a análise da estabilidade
de tensão (PANDIT, et al. 2007; WAN; EKWUE, 2000) entre outras. Porém, a grande
maioria é baseada em redes neurais com treinamento usando-se o algoritmo retropropagação,
ou técnica similar, cujos problemas associados foram mencionados anteriormente
(treinamento lento, instabilidade, ausência do mecanismo de treinamento continuado).
A rede neural, proposta nesta pesquisa, possui como critério de treinamento,
um índice (margem) de segurança baseado na análise de sensibilidade da função determinante
na matriz J
o
, calculada empregando-se o conceito da álgebra de Kronecker (BREWER, 1978;
GEROMEL, 1987). Estes índices de segurança são gerados, formando uma base de dados
para a execução da fase de treinamento da rede neural, via processamento do programa
computacional Simul (SIMUL, 1990). Para a obtenção de tais índices, ao programa SIMUL,
foram incluídas modificações necessárias para gerar combinações aleatórias (ou pseudo-
aleatórias) de perfis de geração e de carga como forma de “simular” uma grande quantidade
de situações operativas do sistema (FERREIRA, et al. 2006) e, consequentemente, a obtenção
dos índices de segurança correspondentes. Este procedimento de obtenção de perfis (de
geração / carga) aleatórios está sendo usado no sentido de tornar o processo de análise mais
realista, se comparado ao procedimento comumente usado na literatura que emprega o critério
de proporcionalidade dos referidos perfis.
18
Neste trabalho, por conseguinte, é apresentada a formulação de uma nova
metodologia neural para análise da estabilidade de tensão de sistemas elétricos. Tendo em
vista as características de desempenho desta metodologia (rapidez de treinamento, precisão
dos resultados e flexibilidade de adaptação às diversidades topológicas da rede elétrica), a
princípio, pode-se empregá-la para a análise de sistemas elétricos de potência reais.
Assim sendo, as principais contribuições desta pesquisa de doutorado podem ser
resumidas nos seguintes itens:
1. desenvolvimento de uma metodologia neural para análise da estabilidade estática de
tensão, baseada na rede neural ARTMAP Fuzzy. Esta arquitetura proporciona soluções
rápidas, confiáveis e permite a inclusão do mecanismo de treinamento continuado, ou
seja, sendo capaz de incrementar continuamente o conhecimento sobre o processo;
2. com a inclusão do mecanismo do treinamento continuado, pode-se formular, também,
a análise de contingência, bem como extrair o conhecimento considerando-se as
diversas configurações da rede elétrica;
3. o treinamento da rede neural é executado, cujo vetor padrão de entrada é constituído
por perfis de geração e de carga gerados por um processo aleatório (ou pseudo-
aleatório). Com este procedimento, pode-se realizar um treinamento que contempla
um grande espectro de variação da geração e a evolução da carga da rede de
eletricidade, constituindo-se numa estratégia mais realista, se comparada à prática da
maioria das propostas disponibilizadas na literatura (crescimento linear da carga);
4. desenvolvimento de um índice de segurança alternativo para a análise da estabilidade
estática de tensão via análise de sensibilidade (FRANK, 1978) e álgebra de Kronecker
(BREWER, 1978; GEROMEL, 1987);
5. abre novas perspectivas de desenvolvimento de análise de tensão, considerando-se
outros enfoques. Por exemplo, a análise da estabilidade dinâmica (VU, et al.1995)
contemplando diversos mecanismos de instabilidade e estratégias de controle.
Após esta breve introdução, é descrita a seguir, também de forma breve, a
organização do trabalho.
19
Capítulo 2. Apresenta-se a análise das principais propostas na literatura sobre o problema
da análise de estabilidade estática de tensão (estado da arte).
Capítulo 3. Apresenta-se o diagrama esquemático da metodologia proposta para a análise
estática da tensão.
Capítulo 4. É detalhado o procedimento de cálculo do índice (margem) de segurança de
tensão.
Capítulo 5. Aborda-se a arquitetura neural ARTMAP Fuzzy.
Capítulo 6. É reservado para a apresentação e discussão dos resultados considerando-se
aplicações em sistema de 9 barras (sistema Anderson & Fouad) (ANDERSON;
FOUAD, 2003) e um sistema que uma versão da rede elétrica da região sul do
Brasil.
Capítulo 7. É apresentada a conclusão.
Referências bibliográficas.
Apêndice A. Apresenta-se uma síntese dos principais conceitos e definições sobre redes
neurais artificiais.
Apêndice B Apresentam-se, resumidamente, os principais conceitos e recursos sobre lógica
fuzzy.
Apêndice C. Apresentam-se os diagramas unifilares e os dados dos dois sistemas elétricos,
os quais são objetos de investigação neste trabalho.
Apêndice D. Artigos Publicados e Submetido Relacionados com a Pesquisa de Doutorado.
20
Capítulo 2
Estado da Arte
2.1 Introdução
Neste capítulo, apresenta-se o estado da arte em relação ao problema da
estabilidade de tensão (KUNDUR, 1994) de sistemas elétricos de potência. Neste contexto,
são abordadas as publicações sobre métodos de análise baseados em várias técnicas usais na
literatura especializada. Tratam-se da análise de sensibilidade, autoproblema (análise de
autovalor e autovetor), bifurcação, método direto de Lyapunov, bem como métodos em que
são usados conceitos da inteligência artificial (redes neurais, lógica fuzzy, etc.).
2.2 Metodologias de Análise de Estabilidade
A análise de estabilidade de tensão, por via de regra, é tratada na literatura
especializada sob dois enfoques principais: (1) dinâmico; (2) estático. Pode-se, ainda, agregar
outros modelos que se caracterizam como quase-estáticos ou quase dinâmicos, tendo em vista
a grande diversidade de procedimentos propostos na literatura especializada, ou seja, são
21
modelos em que a busca de uma solução é realizada por meio de sucessivas linearizações
(e.g., os métodos da continuação (SEYDEL, 1994)).
A estabilidade de caráter dinâmico ou estático refere-se à consideração de que
a alteração o estado do sistema é causada, respectivamente, por grandes perturbações ou por
pequenas perturbações. Ressalta-se que esta divisão é adotada, na literatura, com o propósito
de facilitar os cálculos. Para haver estabilidade do ponto de vista dinâmico, é necessário que
haja estabilidade estática. Ou seja, a estabilidade estática é uma condição necessária, porém
não-suficiente para a observação da estabilidade dinâmica. Deste modo, a estabilidade estática
pode ser interpretada apenas como um indicativo (ou estimativa) da estabilidade de tensão.
Nos modelos que descrevem a dinâmica dos sistemas elétricos são preservadas
as não-linearidades, evidentemente, com as devidas adaptações ao fenômeno associado às
tensões. Neste caso, podem, também, ser introduzidas algumas simplificações, desde que não
comprometam por demais a qualidade das soluções. Enfim, vários estudos são realizados
visando estabelecer modelos ajustados a cada aplicação e, muitas vezes, buscando-se adequar
à técnica de solução a ser empregada. Por exemplo, se a preferência for pelo uso do método
direto de Lyapunov (VIDYASAGAR, 2002), é do conhecimento que está técnica é bastante
útil neste tipo de problema. Todavia a sua aplicação fica condicionada a algumas restrições,
e.g., as funções não-lineares devem ser integráveis de forma independente do caminho de
integração, mais apropriado aos sistemas hamiltonianos (VIDYASAGAR, 2002).
A dinâmica do sistema é descrita por equações diferenciais (equações de
diferenças para modelagem discreta) não-lineares. Acrescentam-se ao modelo, equações
algébricas não-lineares que contemplam as leis físicas da eletricidade (primeira e segunda lei
de Kirchhoff, etc.). Para a obtenção das soluções, empregam-se as várias alternativas de
análise de sistemas não-lineares disponibilizadas na literatura especializada, em destaque:
a) uso de técnicas específicas para análise de sistemas não-lineares (métodos clássicos de
resolução de equações diferenciais (quando possível empregá-los), método direto de
Lyapunov, etc.);
b) integração numérica das equações diferenciais conjuntamente com resolução das equações
algébricas e interpretação da solução obtida. Este procedimento é empregado quando não
for possível obter uma solução algébrica, que é o caso da maioria dos modelos algébrico-
22
diferenciais não-lineares associados aos problemas do estudo da estabilidade (de ângulo e
de tensão) dos sistemas elétricos de potência;
c) teoria da bifurcação (SEYDEL, 1994);
d) métodos baseados na inteligência artificial (BENDER, 1996):
- redes neurais artificiais (HAYKIN, 1994);
- lógica fuzzy (KARTOLOPOULOS, 1996);
- autômatos celulares (WOLFRAM, 2002);
- sistemas imunológicos artificiais (DASGUPTA, 1998);
- etc;
e) outras metodologias.
No caso da estabilidade estática de tensão, os modelos são, também, não--
lineares, porém a análise é focalizada para o ponto de operação do sistema, observando-se a
“distância” entre o ponto de equilíbrio estável e a fronteira limítrofe da estabilidade. Esta
distância é estabelecida tomando-se a máxima quantidade de carga (máximo carregamento)
que pode ser atendida, considerando um ponto de operação particular. A fronteira limítrofe,
por suposição, é definida como sendo o lugar geométrico em que se encontra o ponto de
equilíbrio instável mais “próximo” ao ponto de operação estável. Por conseguinte, o processo
de análise é, geralmente, realizado via sucessivas linearizações. As técnicas mais relevantes
são:
a) análise modal, correspondente ao cálculo e interpretação dos autovalores e dos
autovetores das equações associadas à linearização do modelo não-linear do sistema;
b) análise de sensibilidade (FRANK, 1978);
c) perturbação singular (VIDYASAGAR, 2002);
d) método direto de Lyapunov (VIDYASAGAR, 2002) ;
c) cálculo do fluxo de fluxo de potência via método de Newton (MONTICELLI, 1983);
23
d) método da continuação (SEYDEL, 1994);
e) método do vetor tangente (CAÑIZARES, 1999);
f) técnicas baseadas na inteligência artificial (redes neurais, lógica fuzzy, sistemas
imunológicos artificiais, etc.);
g) etc.
Os modelos linearizados são desenvolvidos considerando-se a preservação da
topologia da rede elétrica (modelo não-reduzido) e, em alguns casos, usam-se modelos
reduzidos. Cada um destas abordagens (modelo não-reduzido ou modelo reduzido) apresenta
vantagens e desvantagens. Este tema será discutido adiante neste capítulo.
Um estudo de grande contribuição, no contexto da estabilidade de tensão,
encontra-se na referência VU et al. (1995). Trata-se de um completo exame dos mecanismos
de instabilidade. Portanto, é, certamente, uma fonte de consulta relevante, tanto para a
estabilidade estática, assim como para a estabilidade dinâmica.
2.3 Análise das Principais Referências Bibliográficas
Considerando-se que, neste trabalho, será abordado o problema da estabilidade
estática da tensão, esta análise restringirá às principais referências que fazem uso de conceitos
e métodos associados a esta modalidade de estudo.
Tiranuchit e Thomas, (1988) propuseram uma abordagem que pode ser
considerada uma das mais expressivas contribuições à compreensão do estudo da estabilidade
estática da tensão baseada na análise modal e na análise de sensibilidade. Várias outras
referências, com este enfoque, foram publicadas (NAN, et al. 2000; SINHA; HAZARIKA,
2000; VAN CUTSEM; VOURNAS, (1998); ZAMBRONI, 2000; entre outras). Na referência
Van Cutsem (1991), a solução do problema de estabilidade é formulada com base no
desenvolvimento de uma margem de estabilidade que traduz uma “distância” em que o
24
sistema se encontra em relação ao colapso de tensão. Outras referências, entre tantas, são: Jia
e Jeyasurya (2000); Zambroni (2000), Chen, et al. (2002); Arya, et al. (2008).
Sauer e Pai (1990) apresentam uma metodologia fundamentada no modelo do
fluxo de potência usando o método de Newton. Versões mais apropriadas à resolução da
questão da estabilidade estática, baseadas no método de Newton, empregam o método da
continuação, ou seja, são procedimentos iterativos de busca da chamada “ponta do nariz”
(ponto extremo) da curva P-V (CHEN, et al. 2002). Outras tantas publicações foram
disponibilizadas usando esta técnica (ZAMBRONI, 2000; CHEN, et al. 2002; ALVES, et al.
2003).
Em Iba et al. (1991) propuseram um procedimento usando um método da
continuação via reformulação das equações do fluxo de potência com o propósito de tornar a
matriz jacobiana bem comportada para qualquer condição de carga. Com isto a determinação
de uma margem de segurança de tensão estática torna-se mais factível ao ser usado um
método da continuação.
Ajjarapu e Christy (1992) propuseram o cálculo do fluxo de potência usando o
método da continuação, chamado UWPFLOW, a partir do caso base de carregamento até
encontrar o limite da estabilidade de tensão. Esta referência evidencia a capacidade do método
da continuação na resolução de problemas em sistemas elétricos de potência. O método da
continuação emprega um esquema preditor-corretor de busca do ponto extremo da curva P-V.
Cañizares e Alvarado (1996) apresentam novos resultados baseados no uso do método
UWPFLOW de Ajjarapu e Christy (1992). Chang (2002) propôs outro programa
computacional, designado CPFLOW (Continuation Power Flow), visando melhorar o
desempenho do software UWPFLOW. Foi desenvolvido um novo índice para a análise da
estabilidade de tensão baseado no conceito de variedade central (center manifold)
(GUCKENHEIMER; HOLMES, 1997). O CPFLOW gera as curvas P-P, Q-V e P-Q-V.
Outro artigo importante (CAÑIZARES, 1999) explora o conceito “Vetor
Tangente”).
Van Cutsem (2000) apresentou um estudo sobre o mecanismo da instabilidade
tensão, bem como sugeriu medidas preventivas contra a ocorrência do colapso de tensão.
Trata-se de uma das mais importantes contribuições na literatura ao entendimento sobre o
fenômeno da instabilidade de tensão em sistemas elétricos de potência. Este artigo foi
25
extraído, em grande parte, do livro de Van Cutsem e Vournas (1998) que por sua vez, é um
excelente conteúdo sobre o tema “estabilidade de tensão”.
Alternativamente, a análise pode ser realizada via teoria da perturbação
singular (VIDYASAGAR, 2002). Esta teoria pode ser interpretada como sendo uma extensão
da análise de sensibilidade (FRANK, 1978), resguardadas as devidas particularidades de cada
método. O método direto de Lyapunov (VIDYASAGAR, 2002) não tem sido usado, em
regra, à análise de estabilidade estática, isto porque ele é mais afeito a aplicações a modelos
não-lineares.
Flueck e Qiu (2004) propuseram uma nova técnica para investigar a análise de
contingência referente à saída de operação de linha de transmissão, considerando a
estabilidade de tensão.
Ayasun et al. (2004) propuseram um método de avaliação da estabilidade de
tensão baseado na determinação do lugar geométrico em que ocorre a bifurcação no
comportamento das equações algébrico-diferenciais que norteiam o fenômeno associado ao
colapso de tensão. O ponto onde é observada a bifurcação indica o limite da estabilidade. Este
enfoque está mais afeito ao problema da estabilidade dinâmica.
Em Echavarren et al. (2006), os autores propuseram um método usando o
método da continuação e um algoritmo de otimização para detecção da singularidade da
matriz jacobiana como critério da estabilidade de tensão. Este método requer grande
quantidade de esforço computacional, tendo em vista que as equações do fluxo de potências
são aumentadas em número, se comparadas ao procedimento usual.
Recentemente têm surgido as várias metodologias de análise da estabilidade
estática, assim como da estabilidade dinâmica de tensão usando técnicas de inteligência
artificial (redes neurais, lógica fuzzy, etc.). Algumas aplicações envolvendo redes neurais
podem ser destacadas: Chauhan e Dave (1997), Wan e Ekwue (2000), Celli et al.. (2002),
Andrade et al. (2006), Devaraj et al. (2007), Kojima et al. (2007), Pandit et al. (2007),
Kamalasaden et al. (2008); etc. No caso do emprego da lógica fuzzy, em regra, as
metodologias propostas agregam redes neurais compondo um sistema neuro-fuzzy de análise
(BERIZZI, et al. 2008), cujo objetivo é aumentar o desempenho (qualidade da solução e
redução do tempo de processamento) do sistema de inferência.
26
Numa avaliação mais simplista dos métodos mencionados, observa-se que na
maioria das metodologias propostas na literatura técnico-científica, as quais contemplam
redes neurais em suas formulações, as redes neurais artificiais são arquiteturas feedforwards
com treinamento realizado via algoritmo retropropagação (WERBOS, 1974), ainda que se
encontram outras arquiteturas neurais: rede neural de Kohonen (CHAUHAN; DAVE, 1997);
rede neural contrapropagação (PANDIT, et al. 2007), etc. A rede neural feedforward com
treinamento realizado por aplicação do algoritmo retropropagação será designada aqui, por
questão de simplicidade, “rede neural retropropagação”.
O algoritmo designado de retropropagação é considerado um benchmark em
termos de precisão. Porém, apresenta limitações importantes, as quais, quase sempre,
inviabilizam tratar de problemas de grandes dimensões (algo superior a 20 componentes de
entrada) e/ou grande quantidade de dados, ou seja, este volume de dados torna a fase de
treinamento bastante onerosa em termos do tempo dispensado ao processamento
computacional, sendo que há vários casos em que se observa a não convergência deste
processo. A não convergência é causada pelo uso do algoritmo retropropagação, que é uma
compilação do MGD (Método do Gradiente Descendente) (WIDROW; LEHR, 1990). Sabe-se
que o MGD, em problemas com multipontos de equilíbrio, pode produzir uma convergência
para um ponto de equilíbrio mínimo local, ao invés de um ponto mínimo global, que é o
objetivo-alvo da fase de treinamento (condição para que o treinamento seja considerado
concluído). Além deste detalhe, na rede neural usam-se não-linearidades sigmoidais que,
associadas ao uso de algoritmos baseado em derivadas (MGD), podem gerar um fenômeno
denominado de paralisia (WIDROW; LEHR, 1990), que atua negativamente no processo de
convergência. Uma análise detalhada destas limitações é apresentada por Lopes (2005),
considerando o problema da previsão de carga em sistema elétricos de potência. Neste
problema, o número de componentes de entrada é inferior a 20, saída simples (uma única
unidade de saída correspondente à previsão da carga a uma hora à frente) e um conjunto da
vetores padrões (par de entrada-saída) na ordem de 2000 exemplares. Na maioria dos casos
simulados não houve convergência, mesmo promovendo-se uma série de ajustes e melhorias
no algoritmo de retropropagação.
Deste modo, nos capítulos subsequentes será apresentada a proposta uma
metodologia neural que é isenta das limitações inerentes à rede retropropagação (baixa
convergência, elevado tempo de processamento e impossibilidade de implementação do
27
treinamento continuado). Trata-se de uma rede neural ART-descendente (CARPENTER;
GROSSBERG, 1992).
2.4 Comentários
Neste Capítulo foram apresentadas as técnicas mais relevantes de análise,
assim como as referências que se consideram mais importantes para a realização do
diagnóstico da estabilidade estática da tensão de sistemas elétricos de potência, não
necessariamente as mais atuais, mas sim aquelas que efetivamente produziram saltos
qualitativos nesta área de pesquisa. No Capítulo 3 será apresentado o esquema, proposto nesta
pesquisa de doutorado, para a realização da análise da estabilidade estática de tensão, via rede
neural artificial baseada na teoria da ressonância adaptativa.
28
Capítulo 3
Metodologia Proposta Para a Análise da
Estabilidade Estática de Tensão
3.1 Introdução
Neste capítulo apresenta-se um esquema ilustrativo do sistema proposto para a
análise da estabilidade estática de tensão de sistemas de energia elétrica, que será abordado
nesta pesquisa de doutorado, usando-se uma rede neural baseada na teoria da ressonância
adaptativa (CARPENTER; GROSSBERG, 1991). Trata-se da rede neural ARTMAP Fuzzy
(CARPENTER, et al. 1992). Esta rede neural faz parte da família ART (Adaptive Resonance
Theory) (CARPENTER; GROSSBERG, 1991), que apresenta a característica de estabilidade,
plasticidade e custo computacional reduzidíssimo, se comparada à maioria das redes neurais
disponíveis na literatura especializada. A estabilidade refere-se à propriedade de sempre
garantir a obtenção de uma solução, enquanto que a plasticidade confere, à rede neural, a
incorporação do treinamento continuado, não havendo necessidade de reiniciar o treinamento
toda vez que houver necessidade de incorporar novos padrões de treinamento na matriz de
pesos da rede neural, bastando, apenas, a execução de uma rotina simples. Deste modo,
usando-se esta rede neural pode-se propor uma metodologia de análise bastante rápida, de
grande confiabilidade e que seja susceptível de inclusão de novos conhecimento com o passar
29
do tempo, constituindo o aperfeiçoamento do conhecimento. O sistema de inferência é
constituído por três módulos principais, ou seja, a geração de dados para o treinamento da
rede neural, o treinamento da rede neural e, finalmente, a execução das análises.
3.2 Esquema Proposto
A Figura 3.2.1, apresenta-se o esquema proposto (sistema neural) para a
realização da análise de estabilidade estática de tensão de sistemas elétricos de potência. O
funcionamento das redes neurais é dividido, basicamente, em duas fases principais: (1)
treinamento, ou aprendizado; (2) testes e análise. A rede neural usada, nesta pesquisa, é uma
arquitetura ARTMAP fuzzy (CARPENTER et al., 1992). A fase de treinamento é realizada
usando um “professor” representado por um simulador (programa computacional) (SIMUL,
1990) que realiza vários tipos de cálculo das redes elétricas: matrizes de rede, fluxo de
potência e análise de estabilidade transitória. Este programa foi adaptado para executar,
também, os cálculos associados à estabilidade estática de tensão, conforme o critério que será
apresentado no Capítulo 4, e a base de dados, constituída por pares de padrões de entrada e de
saída da rede neural, para a realização do treinamento neural. O fluxograma, da referida
metodologia, é mostrado na Figura 3.2.1.
30
Leitura de Dados
y Do sistema de energia elétrica objeto de estudo: dados das
potências elétricas nodais, dados do sistema de transmissão, lista
de contingências, etc.
Especificação da Rede Neural
y Rede neural ARTMAP fuzzy, parâmetros necessários.
Simulação da Estabilidade de Tensão
y Simulação da estabilidade estática de tensão, via execução do
programa computacional Simul para gerar dados formados por
padrões de entrada (perfis de geração / carga do sistema obtidos
de modo aleatório) e as margens de segurança associadas
(critério de análise) que constituem os padrões de saída da rede
neural.
Base de
Dados para o
Treinamento
da Rede
Neural
Pré-Processamento
y Processar as informações geradas e armazenadas na base de
dados visando compatibilizarem as necessidades da rede neural
ARTMAP fuzzy.
Treinamento
y Adaptação dos Pesos da Rede Neural.
Execução da Análise da Estabilidade de Tensão
y Leitura de dados: Potência ativa (P) e reativa (Q) nodais do
sistema, especificação da topologia da rede elétrica e fornecimento
de informações associadas às contingências, etc. (Z);
y Obtenção da margem de segurança (M).
(1)
Interpretação da margem de segurança M
Nova análise?
Fim
Resultados
Início
Não
Sim
Treinamento
Continuado
Figura 3.2.1 Fluxograma do sistema neural proposto para realizar a análise de
estabilidade de tensão de sistemas elétricos de potência.
31
Este roteiro de cálculo ilustrado na Figura 3.2.1 é constituído pelos seguintes
blocos:
1. Leitura dados e especificação da rede neural ARTMAP Fuzzy.
2. Simulação da estabilidade estática de tensão. Esta rotina compreende a construção da
base de dados para a fase de treinamento da rede neural. Neste módulo são calculadas
as margens de segurança associadas à estabilidade estática de tensão, considerando-se
um conjunto de perfis de geração e carga do sistema. Estes perfis são gerados usando
um procedimento de distribuição aleatória (pseudo-aleatória) da geração e da carga
elétrica, que será apresentado na Seção 5.2 do Capítulo 5. O cálculo da margem de
segurança será apresentado no Capítulo 4. Estas informações (perfis de geração / carga
e as margens de segurança correspondentes) são armazenadas na base de dados.
3. Pré-processamento da base de dados para a execução do treinamento da rede neural.
Trata-se da adequação das informações ao padrão exigido pela rede neural ARTMAP
Fuzzy, conforme é discutido no Capítulo 5. O pré-processamento compreende,
também, a preparação dos dados da saída da rede neural em codificação binária, a
partir da margem de segurança que é um número real.
4. Treinamento da rede neural ARTMAP Fuzzy que será apresentado no Capítulo 5.
5. O bloco 1 é onde a análise da estabilidade de tensão é realizada, após ter sido
concluída a fase de treinamento. A parte do fluxograma com linhas tracejadas refere-
se ao módulo que executa o treinamento continuado. Ou seja, sempre que houver
disponibilidade de dados de entrada para a execução da análise de estabilidade de
tensão pela rede neural (bloco 1), se julgado como sendo um padrão (P, Q, Z)
relevante, usa-se este vetor e a saída (M) associada para serem inseridos na base de
dados, via adaptação dos pesos. O vetor Z contém as informações binárias que
codificam a topologia da rede elétrica, os dados das contingências, etc.
Enfim, as partes mais importantes do roteiro de cálculo ilustrado na Figura
3.2.1 são tratadas em capítulos específicos, como forma de facilitar a compreensão da
metodologia proposta.
32
3.3 Comentários
Foi apresentado, neste capítulo, o esquema referente a metodologia proposta
para a realização da análise de estabilidade estática de tensão de sistemas elétricos de
potência. Nos Capítulos 4 e 5 será apresentado o detalhamento, respectivamente, do processo
de cálculo do índice de estabilidade M e da rede neural ARTMAP Fuzzy, bem como da
geração do conjunto de padrões de entrada e de saída de rede neural para a fase de
treinamento.
33
Capítulo 4
Estabilidade de Tensão de Sistemas
de Energia Elétrica
4.1 Introdução
Apresenta-se, neste capítulo, o procedimento para o cálculo da margem de
estabilidade estática de tensão (M) baseada na análise de sensibilidade da função determinante
da matriz jacobiana J
o
das equações do fluxo de potência da rede elétrica. Esta margem é
definida como uma medida da “distância” entre o estado de equilíbrio do sistema e a fronteira
do limite de estabilidade estática de tensão. A margem de segurança M, combinada com o
treinamento da rede neural ARTMAP Fuzzy realizado considerando-se o conjunto de padrões
de entrada gerados aleatório/pseudo-aleatoriamente, permite que a análise possa ser realizada
de forma mais realista, se comparada à análise ultimada usando o critério baseado na
proporcionalidade do aumento da carga, o qual tem sido usado na maioria dos casos
abordados na literatura especializada. Inicialmente, serão apresentados os principais conceitos
e definições sobre o problema da estabilidade de tensão de sistemas elétricos de potência,
visando proporcionar os devidos subsídios ao desenvolvimento do critério de análise da
estabilidade de tensão proposto nesta pesquisa, ou seja, a margem de estabilidade estática de
tensão M.
34
4.2 Mecanismo da Instabilidade de Tensão
O Grupo de Trabalho do IEEE (The Institute of Electrical and Electronics
Engineers) (IEEE WORKING GROUP, 1990) tem elaborado um conjunto de definições e de
técnicas de resolução associados ao problema da estabilidade de tensão de sistemas de energia
elétrica. Trata-se de um documento que pode ser considerado um benchmark nesta área do
conhecimento. Nele extrai-se a definição (definição 4.2.1) mais geral da instabilidade de
tensão:
Definição 4.2.1. A Instabilidade de Tensão é originada como consequência da tentativa do
sistema elétrico de potência em atender a carga elétrica além da capacidade
conjunta da transmissão e da geração.
De outra forma, pode-se considerar que a instabilidade de tensão é um
fenômeno que ocorre quando há um excesso de carga atendida pelo sistema, além do que ele
pode suportar. Observa-se que a operação do sistema não possui o controle sobre a evolução
da carga por ser um evento associado apenas à vontade do consumidor. Cabe ao sistema a
obrigação de atender esta demanda. Evidentemente, quando esta situação for comprometer a
integridade (segurança) do sistema, medidas preventivas ou emergenciais devem ser tomadas,
e.g., até mesmo a adoção de corte de carga (load-shedding), quando não houver outra
alternativa plausível.
A instabilidade de tensão acontece quando há insuficiência de fontes de
potência reativa para a manutenção dos níveis de tensão nodais. Por exemplo, quando a carga
aumenta em um determinado barramento do sistema, a tensão deste barramento tende a
diminuir até atingir o seu limite (condição limítrofe de tensão). A partir deste valor, se a carga
aumentar ainda mais ocorrerá uma forte degeneração da tensão caracterizando a instabilidade
do sistema. Ressalta-se que, quando isto é observado, haverá uma série de eventos
interligados neste mecanismo, ou seja, havendo a deterioração do perfil de tensão, certamente
haverá também os reflexos sobre os ângulos, entre outras implicações, cujo problema de
instabilidade é mais crucial, pois o sistema pode evoluir para um cenário de blecaute.
Para evitar tais transtornos, há necessidade da realização uma série de
estimativas sobre a segurança do sistema e o desenvolvimento de estratégias preventivas. É
35
neste sentido, que esta pesquisa irá atuar, culminando com o desenvolvimento de uma
metodologia para a análise da estabilidade de tensão.
Por questões de conveniência, de modo geral, a estabilidade de tensão pode ser
abordada sob dois pontos de vista: (1) estático e (2) dinâmico (VAN CUTSEN; VOURNAS,
1998). O caráter dinâmico requer uma abordagem mais precisa sobre o referido fenômeno,
devendo ser modelado matematicamente por um conjunto de equações diferenciais não-
lineares (VU, et al. 1995). Trata-se de uma análise complexa e sofisticada, principalmente
quando se aborda sistemas de grande porte.
Uma forma mais simples, porém, igualmente importante da estabilidade de
tensão, refere-se à observação do comportamento das tensões nodais, considerando-se o
aumento gradativo do perfil do carregamento do sistema, ou seja, a análise qualitativa do
ponto de operação. Neste caso, a análise pode ser tratada como um problema linear. Fazendo-
se estimativas, sob o ponto de vista linear, corre-se o risco de obter soluções imprecisas.
Contudo, tem-se observado, na literatura especializada, o uso bastante grande de técnicas
enfocando a estabilidade de tensão como um problema de aproximação linear, cujos
resultados têm sido relatados como “boas aproximações”. Via de regra, estas soluções são
conservativas, ou seja, são observadas imprecisões, porém, estando à favor da segurança do
sistema.
As cargas elétricas podem ser expressas, por meio das seguintes equações:
P = g(freq, V) (4.2.1)
Q = h(freq, V) (4.2.2)
sendo:
P : potência ativa nodal;
Q : potência reativa nodal;
g e h : funções não-lineares;
freq : frequência no sistema;
V : tensão nodal.
36
As funções g e h dependem do tipo dos componentes da carga (e.g., lâmpadas,
motores, etc.) e de como tais componentes são usados em um determinado instante. Por
exemplo, uma carga composta por 1 geladeira, que consome 1000 watts, e por 10 lâmpadas de
100 watts cada uma, terá um comportamento diferente de uma outra carga de mesma potência
total, composta por 2 geladeiras, que consomem 1000 watts e 500 watts, respectivamente, e
por 5 lâmpadas de 100 watts cada uma.
Deste modo, as cargas elétricas (ativa e reativa) são dependentes da frequência
e da tensão. As cargas baseadas em motores são mais sensíveis à frequência, enquanto que as
cargas resistivas (chuveiro, lâmpadas incandescentes, etc.) há uma maior influência da tensão.
Nesta pesquisa, a análise da estabilidade de tensão será enfocada do ponto de vista estático.
Neste caso, pode-se desconsiderar os efeitos da frequência, estabelecendo a inter-relação entre
a carga e a tensão, em consonância aos procedimentos usuais adotados na literatura
especializada.
Assim sendo, adiante apresenta-se a ilustração do comportamento da carga em
relação à tensão. Trata-se da Figura 4.2.1, chamada curva P-V (TAYLOR, 1994). Ela mostra
o comportamento da tensão em uma determinada barra em função do aumento da carga.
Trata-se de um procedimento que visa ilustrar e determinar os valores críticos (P
crítica
e V
crítica
)
usando algum processo de busca. A grande maioria das propostas encontradas na literatura
usa mecanismos (método da continuação, etc.) de busca baseados em sucessivas
aproximações, a partir de pequenos acréscimos da potência ativa na barra sob análise até
atingir o limite (P
crítica
). A diferença entre P
crítica
e a potência ativa inicial (P
inicial
) é tomada
como sendo o máximo acréscimo possível para a carga na referida barra e P
crítica
corresponde
ao máximo carregamento, ou seja, se a carga for superior a P
crítica
tem-se um indicativo, se
nenhuma providência for implementada, de que a tensão da barra evoluirá para o colapso. O
ponto extremo N é designado como “nariz” da curva P-V. Ressalta-se que na Figura 4.2.1 não
estão representados os detalhes que envolvem a análise de contingência. Este assunto será
objeto de investigação em trabalhos futuros, ainda que não há grandes obstáculos de incluí-lo
também à metodologia proposta.
Deste modo, qualquer metodologia a ser usada ou desenvolvida tem por
objetivo encontrar o lugar geométrico correspondente ao ponto extremo N, ou um
procedimento similar (equivalente).
37
Figura 4.2.1. Curva P-V.
Por conseguinte, nesta pesquisa, a proposta apresentada está fundamentada na
determinação de uma estimativa da “distância” em que o ponto de operação se encontra em
relação ao limite de estabilidade. Esta distância é designada como sendo margem de
segurança de tensão.
4.3 Critério de Análise da Estabilidade Estática de Tensão
Para o desenvolvimento do critério de análise proposto, considera-se que o
sistema esteja operando em estado de equilíbrio estável (P
inicial
na Figura 4.2.1), ou seja, são
atendidos os balanços de potência (ativa e reativa) e não há perturbações significativas
observadas no sistema, tanto de ângulo como de tensão. A partir deste cenário, busca-se
determinar qual será o incremento máximo de carga (máximo carregamento) que o sistema
pode suportar sem perder a sua estabilidade (de tensão). Este incremento de carga é
considerado, neste trabalho, sem restrição à forma como evolui a carga. Por exemplo, não há
necessidade de se impor que a carga cresça linearmente e com fator de potência constante,
conforme tem sido tratado em vários artigos disponíveis na literatura. Assim, considerando-se
um ponto de operação inicialmente estável, pode-se admitir que os autovalores da matriz
jacobiana (J
o
) do fluxo de potência sejam todos positivos. Consequentemente, o determinante
38
desta matriz será um número positivo, isto porque a função determinante de uma matriz
quadrada qualquer A (p x p) pode ser calculada por (BARNETT; STOREY, 1970):
det(A) =
p
i 1=
∏λ
i
(A) (4.3.1)
sendo:
λ
i
(A) : i-ésimo autovalor da matriz A.
Na medida em que há a aproximação, produzida pelo aumento da carga, de um
ponto de equilíbrio (estável) à linha de transição entre a estabilidade e a instabilidade, pelo
menos um dos autovalores se aproxima de zero e, naturalmente, a função determinante
positiva também se aproximará de zero (em conformidade com a equação 4.3.1).
Pode-se, portanto, estimar a “distância” em que o ponto de equilíbrio estável se
encontra em relação à instabilidade de tensão (linha de transição entre a estabilidade e a
instabilidade) tomando-se a medida correspondente ao acréscimo da função determinante da
matriz J
o
torna-se nula, em função do aumento da demanda do sistema. Neste trabalho, o
referido acréscimo do determinante será determinado via teoria da sensibilidade (FRANK,
1978), em especial empregando-se a álgebra matricial de Kronecker (BREWER, 1978;
GEROMEL, 1987).
Deste modo, a análise de estabilidade estática de sistemas de energia pode ser
ultimada alternativamente, por meio da investigação comportamental do modelo
correspondente a soluções das equações linearizadas do fluxo de potência de Newton
(TIRANUCHIT; THOMAS, 1988; SAUER; PAI, 1990):
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
Q
P
= [J
o
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
V
θ
(4.3.2)
sendo:
ΔP : vetor de potências ativas das barras PV e QP;
ΔQ : vetor de potências reativas das barras PQ;
Δ
θ
: vetor de ângulos nas barras PV e PQ;
39
ΔV : vetor de tensões nodais das barras PQ;
J
o
matriz jacobiana
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
LM
NH
.
As matrizes H, N, M e L são as submatrizes de J
o
correspondentes a ∂P/∂
θ
,
∂P/∂V, ∂Q/∂
θ
e ∂Q/∂V, respectivamente.
O problema do fluxo de potência pelo método de Newton (formulação e
resolução) pode ser consultado em várias referências disponíveis na literatura, em destaque as
referências Monticelli (1983), Monticelli, et al. (1990), Powell (2005), entre outras.
Neste trabalho, por conseguinte, estuda-se a questão da estabilidade estática de
tensão, através da análise de sensibilidade, usando como função, para fins de análise, o
determinante da matriz J
o
. Ressalta-se que o cálculo do determinante de uma matriz pode ser
realizado de forma bastante rápida e eficiente (SU; CHANG, 1996), se comparado com os
principais métodos comumente disponíveis na literatura, ainda que esta função não seja usada
neste trabalho e sim a derivada (parcial) do determinante. Desta forma, através de expansão
por série de Taylor, pode-se estimar a variação do determinante da matriz J
o
[det(J
o
)], em
termos da sensibilidade da função det(J
o
) e das variações da matriz jacobina J
o
, como mostra-
se a seguir.
Considere f(J) = det(J), sendo f uma função escalar. Se esta função for
diferenciável, pode-se desenvolvê-la através da expansão por série de Taylor, produzindo
(GEROMEL, 1987):
f(J) = f(J
o
) +
ε
Tr {D(J
o
)
T
ΔJ } +
φ
(
ε
),
ε
∈ ℜ (4.3.3)
sendo:
J = J
o
+
ε
ΔJ
D(J
o
)
o
)det(
∂
∂
40
: derivada parcial da função escalar f em relação à matriz J, calculada no ponto de
operação do sistema ″o″
);
Tr : traço de uma matriz;
φ
(
ε
) : resíduo da expansão por série de Taylor (parte não-linear);
ε
: parâmetro de perturbação;
T : operação de transposição matricial.
A matriz D(J
o
) representa a derivada de f (função escalar) em relação a matriz
J
o
. A grande dificuldade se usar diretamente a equação (4.3.3) reside justamente na obtenção
de D(J
o
). Uma forma alternativa mais “simples” de resolução deste problema consiste no uso
de operações no contexto da teoria da álgebra de Kronecker (GEROMEL, 1987), ou seja:
f(J)= f(J
o
) +
ε
〈
ψ
{D(J
o
)},
ψ
{ΔJ } 〉 +
φ
(
ε
),
ε
∈ ℜ (4.3.4)
sendo:
〈 u, v 〉 : produto interno entre os vetores u e v;
ΔJ =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ΔΔ
ΔΔ
ppp
p
JJ
JJ
K
MMM
K
1
111
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ΔΔ
ΔΔ
LM
NH
JJ
JJ
(variação da matriz J associada ao problema (4.3.2))
ψ
(A) [A
11
... A
p1
... A
1p
... A
pp
]
T
(4.3.5)
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ppp
p
AA
AA
K
MMM
K
1
111
Agora, a equação (4.3.4) contém uma única operação de produto interno de
dois vetores. A operação matricial, definida pela expressão (4.3.5), constitui-se na vetorização
de uma matriz tomando-se as colunas desta matriz colocadas de forma sequencial, da
41
esquerda para a direita. Assim,
ψ
{D(J
o
)} e
ψ
{ΔJ } são dois vetores obtidos a partir das
matrizes D(J
o
) e de ΔJ, respectivamente.
A matriz J (J
o
+
ε
ΔJ) pode ser reescrita da seguinte forma, via pré-fatoração
por J
o
:
J = J
o
[ I +
ε
(J
o
)
−1
ΔJ
] (4.3.6)
J
o
∈ ℜ
p
x
p
, J
o
: matriz inversível
sendo:
I : matriz identidade (p x p).
A matriz J expressa pela equação (4.3.6) é representada pelo produto de duas
matrizes J
o
e [ I +
ε
(J
o
)
−1
ΔJ
]. Assim, como o determinante do produto de 2 matrizes
quadradas é igual ao produto dos determinantes de cada matriz envolvida assim obtém-se:
det(J) = det (J
o
) det (I +
ε
(J
o
)
−1
ΔJ) (4.3.7)
A operação det{I +
ε
(J
o
)
−1
ΔJ} de (4.3.7), usando-se de propriedade de
determinante (BARNETT; STOREY, 1970).
det (I +
ε
(J
o
)
−1
ΔJ) =
p
i 1=
∏
λ
i
[ I +
ε
(J
o
)
−1
ΔJ ] (4.3.8)
sendo:
λ
i
: i-ésimo autovalor de [ I +
ε
(J
o
)
−1
ΔJ ].
A equação (4.3.8), também, recorrendo-se as propriedades de determinantes
(BARNETT; STOREY, 1970) pode ser expressa por:
det (I +
ε
(J
o
)
−1
ΔJ) =
p
i 1=
∏
{1 +
ε
λ
i
[(J
o
)
−1
ΔJ]} (4.3.9)
sendo:
42
λ
i
: i-ésimo autovalor de [(J
o
)
−1
ΔJ]}.
Observa-se, portanto, que os autovalores
λ
i
e
λ
i
estão relacionados da seguinte
forma:
λ
i
= 1 +
λ
i
.
Deste modo, a equação (4.3.7), combinando com o resultado obtido na equação
(4.3.9), pode ser reescrita por:
det(J) = det(J
o
)
p
i 1=
∏
{1 +
ε
λ
i
[(J
o
)
−1
ΔJ]} +
φ
(
ε
) (4.3.10)
A equação (4.3.10), baseando-se das propriedades de determinante
((BARNETT; STOREY, 1970), pode ser expressa na seguinte forma:
det(J) = det(J
o
) {1 +
ε
Tr{( J
o
)
−1
ΔJ} +
φ
(
ε
)
= det(J
o
)+
ε
Tr{det(J
o
) (J
o
)
−1
ΔJ)} +
φ
(
ε
) (4.3.11)
Como det(J
o
) (J
o
)
−1
= adj(J
o
), então, a equação (4.3.11), usando-se as equações
(4.3.3)−(4.3.5), pode ser expressa por:
det(J) = det(J
o
) +
ε
〈
ψ
{adj(J
o
)
T
},
ψ
{ΔJ } 〉 +
φ
(
ε
) (4.3.12)
sendo:
adj(J
o
) = {cof(J
o
)}
T
(matriz adjunta de J
o
).
A partir da equação (4.3.12), conclui-se que a sensibilidade da função det(J)
pode ser expressa por:
J
J
∂
∂
)det(
=
ψ
[adj(J)
T
] (4.3.13)
Dividindo-se a equação (4.3.12) por det(J
o
), obtém-se:
τ
= 1 + Δ
τ
+
ϕ
(
ε
) (4.3.14)
sendo:
43
τ
: função determinante normalizada
)det(
)det(
o
J
J
Δ
τ
=
ε
〈
ψ
{[( J
o
)
−1
]
T
},
ψ
(ΔJ) 〉 (4.3.15)
ϕ
(
ε
) =
)det(
)(
o
J
ε
φ
.
Também, a partir da equação (4.3.14), conclui-se que:
o
∂
)(∂
J
Jf
x
)det(
1
o
J
=
ψ
{[( J
o
)
−1
]
T
} (4.3.16)
Ou seja, a equação (4.3.16) representa a sensibilidade da função determinante
normalizada. Assim, fazendo-se:
α
=
ψ
{(( J
o
)
−1
)
T
}
C [(J
o
)
−1
]
T
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ppp
p
CC
CC
K
MMM
K
1
111
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
LM
NH
CC
CC
obtém-se a seguinte representação para
α
, que é a sensibilidade da função determinante
normalizada, na forma vetorial:
α
= [C
11
... C
p1
... C
1p
... C
pp
]
T
. (4.3.17)
A variação linear da função determinante normalizada Δ
τ
(Equação 4.3.15)
pode ser expressa por:
Δ
τ
=
ε
p
i 1=
∑
p
j 1=
∑
C
ij
ΔJ
ij
(4.3.18)
44
Deve-se observar que a matriz ΔJ é uma estrutura esparsa, semelhante à
esparsidade da matriz Ybarra (MONTICELLI, 1983). Assim, poucos são os elementos de ΔJ
que são diferentes de zero.
Desconsiderando-se os termos não-lineares (
ϕ
(
ε
)), a partir da Equação
(4.3.14), fazendo-se
τ
= 0 (determinante normalizado igual a zero) e
ε
= 1, obtém-se:
〈
α
,
ψ
(ΔJ) 〉 = −1 (4.3.19)
Nota-se que a adoção de
ε
= 1 significa que a matriz jacobiana J
o
sofreu um
acréscimo ΔJ.
Observa-se que o objetivo da metodologia aqui proposta é determinar a
distância compreendida entre o estado de operação do sistema e um lugar geométrico definido
pela linha de transição entre a estabilidade e a instabilidade. Assim, fazendo-se
τ
= 0 está-se
determinando uma estimativa da distância ou margem de segurança de tensão.
Assim, a equação (4.3.19) estabelece a relação entre os vetores
ψ
{((J
o
)
−1
)
T
} e
ψ
(ΔJ) tais que reproduzem, considerando-se o modelo linear, um valor nulo para a função
det(J), ou seja, uma condição limite para a estabilidade de tensão. Deste modo, a partir desta
equação, pode-se estimar a distância euclidiana que corresponde à margem de segurança, M,
ou distância em que o ponto de operação do sistema encontra-se em relação à condição
limítrofe de estabilidade estática. Esta margem pode ser calculada da seguinte forma (ISODA,
et al. 2008):
M =
αα
,
1
(4.3.20)
que corresponde a uma solução da Equação (4.3.19) para
ψ
(ΔJ) (ISODA, et al. 2008):
ψ
(ΔJ) =
α
,
α
α
−
(4.3.21)
A margem de segurança M, calculada através da equação (4.3.20) corresponde
a uma solução de norma mínima (BARNETT; STOREY, 1970). Esta solução indica que a
matriz jacobiana J
o
ao receber um acréscimo ΔJ tal que os vetores
α
e
ψ
(ΔJ) estiverem
45
alinhados, porém em oposição, o determinante de J (J =
J
o
+
ΔJ)
será nulo. Portanto, a
margem M, definida pela equação (4.3.20), caracteriza-se como uma estimativa da distância
do ponto de operação em relação ao limite da estabilidade estática da tensão.
A escolha da representação dada pela Equação (4.3.16) tem sido importante,
isto porque permite realizar as análises levando-se em conta a estrutura real do sistema (sem
redução).
Definição 4.3.1. Autovalor Crítico. Autovalor crítico [
λ
mín
(J
o
)] é definido como sendo o
menor autovalor positivo da matriz jacobiana J
o
.
O autovalor crítico corresponde ao autovalor de interesse para análise da
estabilidade de tensão, tendo em vista que é aquele que se encontra mais próximo do colapso
de tensão e, portanto, apresenta maior possibilidade de se tornar nulo à medida que houver o
aumento da demanda de energia elétrica. O monitoramento de
λ
min
(J
o
)
constitui-se num
importante instrumento de análise da estabilidade estática de sistemas de energia elétrica,
como habitualmente empregado na literatura especializada (ARYA, et al. 2008; JI;
JEYASURYA, 2000; NAN, et al. 2000; SINHA; HAZARIKA, 2000; TIRANUCHIT;
THOMAS, 1988). Este parâmetro pode ser estimado como mostra-se a seguir.
As matrizes J
o
e (J
o
)
−1
apresentam a seguinte relação entre autovalores,
considerando-se que se a matriz J
o
> 0 ( matriz definida positiva) implica que (J
o
)
−1
> 0
(GOLUB; VAN LOAN, 1990):
λ
mín
(J
o
) = 1/
λ
máx
((J
o
)
−1
) (4.3.22)
sendo:
λ
máx
((J
o
)
−1
) : máximo autovalor da matriz (J
0
)
−1
λ
mín
(J
o
) > 0
λ
máx
((J
o
)
−1
) > 0.
A norma Euclidiana de J
o
pode ser expressa por (BARNET; STOREY, 1970):
⎥⎥ (J
o
)
−1
)⎥⎥
e
{Tr[((J
o
)
−1
)
T
(J
o
)
−1
]}
1/2
46
=
αα,
(4.3.23)
Observa-se que o cálculo de autovalores de qualquer matriz quadrada A
corresponde à solução da equação (BARNET; STOREY, 1970):
A x =
λ
x (4.3.24)
sendo:
λ
: autovalor de A
x : autovetor de A associado ao autovalor
λ
.
Aplicando as seguintes propriedades de normas de matrizes e vetores
(BARNET; STOREY, 1970):
• ⎥⎥ A x⎥⎥ < ⎥⎥ A⎥⎥ ⎥⎥ x⎥⎥ , x ≠ 0 e
• ⎥⎥
λ
x ⎥⎥ =⎥
λ
⎥ ⎥⎥ x⎥⎥ (
⎥
λ
⎥ = ⎥⎥ x⎥⎥
-1
|| A x || )
na Equação (4.3.24) e particularizando-se ao problema associado à matriz (J
o
)
−1
e à norma
Euclidiana, obtém-se a seguinte relação (BARNET; STOREY, 1970):
⏐
λ
i
((J
o
)
−1
) ⏐ < ⎥⎥ (J
o
)
−1
)⎥⎥
e
, ∀
λ
i
((J
o
)
-1
) (4.3.25)
sendo:
•
λ
i
((J
o
)
-1
) : autovalor de (J
o
)
-1
;
• ⎥⎥ .⎥⎥
e :
norma Euclidiana definida na equação (4.3.23).
A inequação (4.3.25) pode ser aplicada, em particular, ao autovalor
λ
máx
[(J
o
) ]
−1
:
⏐
λ
máx
((J
o
) )
−1
⏐ < ⎥⎥ (J
o
)
−1
⎥⎥
e
(4.3.26)
Levando-se em conta o resultado da inequação (4.3.26) nas Equações (4.3.22)
e (4.3.23), conclui-se que:
47
λ
mín
(J
o
) >
αα
,
1
(4.3.27)
ou seja:
λ
mín
(J
o
) > M > 0. (4.3.28)
Deste modo, a margem de segurança M representa uma estimativa pessimista
(favorável à segurança do sistema) do parâmetro
λ
mín
(J
o
). A estimativa de
λ
mín
(J
o
) pode ser
calculada, de forma alternativa, aplicando-se a norma matricial à matriz inversa de J
o
.
4.4 Comentários
Foi apresentado, neste capítulo, um procedimento de cálculo alternativo do
índice (margem) de segurança (M). Esta margem de segurança será, então, usada como
critério de análise da estabilidade estática da tensão de sistemas elétricos de potência, via
redes neurais. Esta margem de segurança será, posteriormente, transformada em classe, via
codificação binária, com o propósito de conferir maior rapidez do treinamento da rede neural
e melhorar a confiabilidade da análise. A margem de segurança M, além de ser usada como
critério de análise da estabilidade estática de tensão, possibilita a investigação de outros
resultados, a serem explorados posteriormente, sobre o mecanismo da estabilidade tensão, a
partir do estudo da equação (4.3.19), pois ela apresenta uma maior visibilidade por estar
representando as variações reais do sistema. Por exemplo, ao invés de se adotar a solução para
ψ
(ΔJ), definida pela equação (4.3.21), pode -se observar e inferir o comportamento do
produto interno 〈
α
,
ψ
(ΔJ) 〉 em função do crescimento da carga.
48
Capítulo 5
Redes Neurais ART Fuzzy e ARTMAP Fuzzy
5.1 Introdução
A teoria de ressonância é um fenômeno bastante observado na natureza, em
especial, é um dos principais mecanismos empregados pelo cérebro humano. Todo o processo
de reconhecimento dar-se-á por um processo de observação de verossimilhança (ressonância).
Com estas qualidades, as redes neurais da família ART se destacam em relação às demais
redes disponíveis na literatura especializada. A estabilidade está associada à garantia da
obtenção de soluções. A plasticidade, por sua vez, refere-se à capacidade de incluir novos
padrões sem a necessidade de reiniciar todo o processo de treinamento, como é comumente
observado na maioria das redes neurais disponíveis na literatura. Outra importante
característica, refere-se à grande velocidade de realização do treinamento, e o diagnóstico
correspondente, tornado-a um sistema adequado para aplicação em tempo real. A arquitetura
neural ART Fuzzy (CARPENTE; GROSSBERG, 1992) foi projetada para manipular dados,
tanto analógicos, assim como binários. Esta é uma configuração adequada para compor a
metodologia proposta nesta pesquisa de doutorado. As redes neurais ART são não-
supervisionadas. Neste trabalho, há necessidade de empregar as formas de treinamento: não-
supervisionada e supervisionada. Assim, outra concepção ART-descendente foi proposta em
CARPENTER e GROSSBERG (1992) com o propósito de operar no modo supervisionado.
49
Trata-se de um arranjo de duas redes neurais ART conectada, através de um módulo inter-
ART. As duas redes neurais ART são responsáveis por receberem os estímulos de entrada e
de saída, respectivamente. O módulo inter-ART desempenha a função de realizar o
“casamento” entre os estímulos de entrada e de saída, ou seja, realizando um mapeamento
entre entrada e saída (realização de uma função complexa). Esta rede é denominada
ARTMAP (CARPENTER; GROSSBERG, 1992) ou, ARTMAP Fuzzy, quando incorporados
os conceitos da lógica fuzzy (KARTALOPOULOS, 1996). Neste capítulo, serã, então,
apresentadas as redes neurais ART Fuzzy e ARTMAP Fuzzy. Ressalta-se que a representação
vetorial é adotada por linha e não como coluna (forma habitual). Trata-se da representação
proposta pelos autores das redes neurais da família ART.
5.2 Rede Neural ART Fuzzy
Na Figura 5.2.1 ilustra-se a concepção básica da rede neural ART Fuzzy. Esta
rede neural é composta por três camadas: F
0
(camada de entrada), F
1
(camada de comparação)
e F
2
(camada de reconhecimento que armazena as categorias (clusters)).
Figura 5.2.1. Rede neural ART Fyzzy.
50
As grandezas indicadas na Figura 5.2.1., a, x, ..., y, serão definidas no
algoritmo apresentado a seguir.
Passo1: Dados de Entrada
Os dados de entrada são denotados pelo vetor a = [ a
1
a
2
. . . a
M
] M-
dimensional. Este vetor é normalizado com o intuito adequá-lo ao padrão da lógica fuzzy.
Assim:
a
a
a =
(5.2.1)
sendo:
a
: vetor de entrada normalizado;
| a | =
∑
i
a
i
. (5.2.2)
Passo 2: Codificação do vetor de entrada
A codificação de complemento é realizada para preservar a amplitude da
informação, ou seja:
i
c
i
- 1 aa = (5.2.3)
Assim sendo, o vetor de entrada será um vetor 2M-dimensional, sendo denotado
por:
I = ][
c
_
aa
_
em que:
c
a
: vetor complementar de entrada normalizado.
51
Assim,
I = ][
c
M
_
c
2
_
c
1
_
M
_
2
_
1
_
a...aaa...aa (5.2.4)
⏐I⏐ =
∑
1=
M
i
i
_
a +
∑
1=
M
i
c
i
_
a
= M (todos os vetores com normalização e codificação complementada terão mesmo
comprimento M).
Passo 3: Vetor de Atividade
O vetor de atividade de F
2
é simbolizado por y = [ y
1
y
2
. . . y
N
], sendo N o
número de categorias criadas em F
2
. Deste modo, tem-se:
y =
⎩
⎨
⎧
contrário.caso0,
ativo,éFdenóose1,
2
J
(5.2.5)
Passo 4: Parâmetros da Rede Neural
Os parâmetros usados no processamento da rede ART Fuzzy são:
1. Parâmetro de escolha :
α
> 0;
2. Taxa de treinamento :
β
∈ [0,1];
3. Parâmetro de vigilância :
ρ
∈ [ 0,1].
Passo 5: Inicialização dos Pesos
Inicialmente todos os pesos possuem valor igual a 1, ou seja:
1==...= (0)
2
(0)
1 Mjj
ww
(5.2.6)
indicando que não existe nenhuma categoria ativa.
52
Passo 6: Escolha da Categoria
Dado o vetor de entrada I em F
1
, para cada nó j em F
2
, a função de escolha T
j
é
determinada por:
j
T
j
j
w
wI
+
∧
=
α
(5.2.7)
sendo:
∧ : operador AND fuzzy, definido por:
()
i
wI ∧ = min (I
i
, w
i
). (5.2.8)
A categoria é escolhida como sendo o nó J ativo, i.e.:
N,...,j
j
TJ
1=
maxarg=
(5.2.9)
Usando-se a equação (5.2.9), se existir mais de uma categoria ativa, a categoria
escolhida será aquela que possuir menor índice.
Passo 7: Ressonância ou Reset
A ressonância ocorre se o critério de vigilância (10) for satisfeito:
ρ
≥
∧
I
wI
J
(5.2.10)
Caso o critério definido pela equação (10) não seja satisfeito, ocorre o reset.
No reset, o nó J de F
2
é excluído do processo de busca dado por (5.2.10), ou seja, T
J
= 0.
Então, é escolhida uma nova categoria através de (5.2.9) para o processo de ressonância. Este
procedimento será realizado até que a rede encontre uma categoria que satisfaça a inequação
(5.2.10).
53
Passo 8: Atualização dos Pesos (Treinamento)
Após o vetor de entrada I ter completado o estado de ressonância, segue o
processo de treinamento, no qual ocorre a modificação do vetor peso dado por:
velho
velhonovo
)-1(+)∧(=
JJJ
wwIw
ββ
(5.2.11)
sendo:
J : categoria ativa;
novo
J
w : vetor peso atualizado;
velho
J
w : vetor peso referente à atualização anterior.
Observa-se que
β
ε [0, 1]. Se
β
= 1, tem-se o treinamento rápido. Caso
contrário, o treinamento se processa de modo convencional das redes neurais ART-
descendentes.
A Figura 5.2.2 (LOPES, 2005) indica todos os procedimentos usados nos
cálculos do algoritmo da rede neural ART Fuzzy.
54
Leitura do padrão
de entrada I
Normalização do
vetor padrão
I
Inicialização dos
pesos:
w
j
=1
Complemento do
vetor
I:
][
C
aaI =
Não
Sim
Atividade de F2 :
Jjsey
y
j
j
≠=
=
0
1
Reset :
0=
J
T
Teste
de vigilância :
Escolha de categoria :
j
j
j
)
I
(
T
w
w
I
+
∧
=
α
}
N,,j
:T{max
T
jJ
K1=
=
ρ
≥
∧
I
wI
J
Ressonância
Adaptação pesos :
velho
J
velho
J
novo
J
)()(
wwIw
ββ
−+∧=
1
Leitura dos
parâmetros
ρ
β
α
, e
Fig. 5.2.2. Fluxograma da rede neural ART Fuzzy.
55
5.3 Rede Neural ARTMAP Fuzzy
A rede neural ARTMAP é uma arquitetura em que o treinamento é realizado
de modo supervisionado e auto-organizável. Destinada-se à aproximação de funções não-
lineares multidimensionais. Esta rede é composta por dois módulos ARTa e ARTb, que
possuem a mesma estrutura da rede neural ART descrita anteriormente, exceto quando uma
vigilância básica é usada para controlar o sistema. O módulo Inter-ART é responsável pela
verificação se há casamento da entrada (ART
a
) e da saída (ART
b
). As matrizes pesos
associadas aos módulos ART
a
(w
a
) e ART
b
(w
b
), assim como ao módulo Inter-ART (w
ab
), são
iniciadas com valores iguais a 1, i.e., todas as atividades encontram-se inativas. Estas
atividades são ativadas à medida que ocorre ressonância entre os padrões de entrada e de
saída. Toda vez que os pares de entrada (a, b), associados aos módulos ART
a
e ART
b
, são
confirmados (as entradas a e b referem-se às categorias J e K ativas, respectivamente), de
acordo com o teste do match tracking:
⏐x
ab
⏐
i
=
i
y
wy
J
i
ab
∧
(5.3.1)
⏐x
ab
⏐
i
>
ρ
ab
→ OK, o par de treinamento deve ser confirmado nas matrizes de pesos com
índices J e K.
⏐x
ab
⏐
i
<
ρ
ab
→ deve-se buscar um outro índice J (com relação aos vetores de entrada
a) vetor, até que o critério seja satisfeito.
sendo:
ρ
ab
: parâmetro de vigilância do módulo Inter-ART.
Os pesos w
a
, w
b
e w
ab
devem ser adaptados usando-se as equações (5.3.2):
w
a
J
novo
=
β
(I∧w
a
J
velho
)+(1−
β
)w
a
J
velho
w
b
K
novo
=
β
(I∧w
b
K
velho
)+(1−
β
)w
b
K
velho
w
ab
JK
novo
= 1 (5.3.2)
O fluxograma apresentado na Figura 5.3.1 (LOPES, 2005) estabelece os
procedimentos do algoritmo ARTMAP Fuzzy de uma forma simples.
56
Leitura do padrão de
entrada e saída,
A e B,
respectivamente
NãoSim
Normalização dos
vetores padrão,
A e B,
respectivamente
Não
Sim
Sim
},,1
:max{
b
b
k
b
K
Nk
TT
=
=
},,1
:max{
a
a
j
a
J
Nj
TT =
Não
Match
Tracking
Teste
de vigilância :
b
s
b
Ks
I
wI
Escolha de categoria :
b
k
b
ks
s
b
k
a
j
a
je
e
a
j
w
wI
IT
w
w
I
IT
+
=
+
=
)(
)(
Reset :
0=
b
K
T
Complemento dos
vetores padrão
A e B :
][
][
c
s
c
e
bbI
aaI
=
=
Leitura dos
parâmetros :
Inicialização dos
pesos :
1
1
1
=
=
=
ab
j
b
k
a
j
w
Teste
de vigilância :
a
e
a
Je
I
wI
Reset :
0=
a
J
T
Acréscimo do
parâmetro de
vigilância :
+=
e
a
Je
a
I
wI
Reset :
0=
a
J
T
Teste
de vigilância :
ab
b
ab
J
b
y
wy
Ressonância
Adaptação pesos : ART
b
velho
K
velho
Ks
novo
K
wwIw )1()( −+=
Atividade de F
2
:
Kksey
y
b
k
b
K
=
=
0
1
Atividade de F
2
:
Jjsey
y
a
j
a
J
=
=
0
1
Ressonância
Adaptação pesos: ART
a
Adaptação pesos : Inter-ART
KkJjsew
w
ab
jk
ab
JK
=
=
;0
1
velho
J
velho
Je
novo
J
wwI
w
)1()( −+=
, , ,
ba
ρρβα
,
ερ
e
ab
∧
∧
α
α
β
ρ
β
β
∧
∧
≥
≥
ρ
≠
K
K
=
≠
∧
≥
∧
ε
ρ
∧
β
≠≠
ρ
w
w
∧
Fig. 5.3.1. Fluxograma da rede neural ARTMAP Fuzzy.
57
5.4 Estímulos de Entrada da Rede Neural ARTMAP Fuzzy
A estrutura neural proposta visa a análise de estabilidade transitória de sistemas
de energia elétrica, que corresponde à determinação da margem de segurança, considerando-
se defeitos de curto-circuito trifásico com saída de linha de transmissão. Os vetores padrões
de entrada da rede neural são definidos como (SILVEIRA, 2003):
X = [P Q Z] (5.4.1)
sendo:
P = [ P
1
P
2
. . . P
n
];
Q = [ Q
1
Q
2
. . . Q
n
];
X : vetor padrão de entrada da rede neural;
Z : vetor contendo as informações em código binário;
P
i
: potência ativa da i-ésima barra do sistema;
Q
i
: potência reativa da i-ésima barra do sistema;
n : número de barras do sistema.
Para a realização do treinamento − extração do conhecimento baseado em
estímulos de entrada / saída − deve-se proceder a apresentação de um conjunto de dados, no
caso, X = [ P Q Z ]
(entrada) e Y (saída), constituindo um conjunto de pares de treinamento.
Trata-se de geração dos vetores P e Q, para a geração e para a carga do sistema por um
procedimento de distribuição aleatória da geração (despacho aleatório para atender a
demanda) e, também, de distribuição aleatória da carga (demanda aleatória), como mostrado a
seguir (SILVEIRA, 2003). O vetor Z é formado por informações (em código binário)
representado a topologia da rede elétrica, os dados das contingências, etc.
Considere um sistema com uma determinada topologia contendo NB barras,
sendo que são NG barras de geração e as demais são barras de carga (NL = NB − NG).
58
Considere, ainda, que se deseja realizar o despacho de geração para atender uma demanda
variável, tomando-se como referência o caso base: PG
o
, QG
o
, PL
o
e QL
o
: sendo:
PG
o
: vetor de potência ativa dos geradores do caso base;
QG
o
: vetor de potência reativa dos geradores do caso base;
PL
o
: vetor de potência ativa das cargas do caso base;
QL
o
: vetor de potência reativa das cargas do caso base.
Para se gerar um grande espectro de variação da demanda, o critério a ser
usado refere-se à distribuição aleatória da demanda e, consequentemente, da geração para
atender a demanda, tomando-se variações percentuais da carga e da geração em torno do caso
base (considerado como sendo o perfil de geração / carga de 100%). Por exemplo, arbitrando-
se um percentual de 10%, pode-se realizar vários perfis de geração e de carga, realizando
despachos de geração e definição da carga do sistema, distribuindo-se a geração e a carga de
forma aleatória nas barras do sistema, respeitando-se o percentual arbitrado.
As potências ativas das barras de geração podem ser definidas por (SILVEIRA,
2003):
PG
i
= PG
i
o
+ ΔPG
i
(5.4.2)
sendo:
PG
i
: potência ativa no i-ésimo gerador fixada aleatoriamente (ou pseudo-
aleatoriamente);
ΔPG
i
= PG
o
total
x Per x AG
i
/ KG (5.4.3)
PG
o
total
=
∑
∈ )G(i
Ω
PG
o
i
(5.4.4)
Ω
(G) : conjunto de barras de geração;
59
Per : percentual de variação da demanda (valores positivos e negativos: por exemplo,
Per = +10% correspondem a 90 e 110% do caso base, respectivamente);
AG
i
: número aleatório de uma sequência de NG números gerados a partir de uma
semente dada. Variando-se a semente, ter-se-á uma sequência diferente de
valores, cujo espectro de variação está compreendido entre 0 e 1: AG
i
∈ [0,1];
KG = 100 AG
total
(5.4.5)
AG
total
=
∑
∈ )G(i
Ω
AG
i
(5.4.6)
As potências reativas das máquinas síncronas são determinadas na rotina
referente ao cálculo do fluxo de potência (barras PV).
Com relação às cargas ativas, os perfis de variação (curva variável de
demanda) podem ser, então, obtidos por (SILVEIRA, 2003):
PL
i
= PL
i
0
+ ΔPL
i
(5.4.7)
sendo:
PL
i
: potência ativa na i-ésima carga fixada aleatoriamente;
ΔPL
i
= PL
o
total
x Per x AL
i
/ KL (5.4.8)
PL
o
total
=
∑
∈ )L(i
Ω
PL
i
o
(5.4.9)
AL
i
: número aleatório de uma seqüência de NL números gerados a partir de uma
semente dada, AL
i
∈ [0,1].
KL = 100 AL
total
(5.4.10)
AL
total
=
∑
Ω∈ )L(i
AL
i
. (5.4.11)
Ω
(L) : conjunto de barras de cargas.
60
As cargas reativas são fixadas considerando-se uma distribuição que preserva o
fator de potência referente ao caso base. Este procedimento tenta estabelecer uma distribuição
com um nível de inter-relação entre a potência ativa mais plausível, se comparado ao usado
em (SILVEIRA, 2003). Contudo, pode-se buscar, também, outras formas de distribuição das
cargas ativas que, em outras oportunidades, poder-se-ão investigar tal procedimento.
5.5 Estímulos de Saída da Rede Neural ARTMAP Fuzzy
Os estímulos de saída compreendem, nesta pesquisa, os valores da margem de
segurança (M) calculados conforme descrito no Capítulo 4. Ou seja, os padrões de
treinamento correspondem aos parâmetros:
X
j
= [ P
j
Q
j
Z ] (entradas) (5.5.1)
Y
j
= [ M
j
] (saídas) (5.5.2)
j = 1, 2, . . . , np.
sendo np o número de pares de padrões para a fase de treinamento.
A saída M
j
é codificada por classes (em código binário), sendo que cada classe
expressa o grau de severidade das contingências e/ ou carregamento do sistema. Para uma
representação, por exemplo, de 15 classes são necessários 4 bits. Como a saída da rede neural
ARTMAP fuzzy é codificada considerando-se a inclusão do complemento do vetor, para
representá-la são necessários 8 bits.
61
5.6 Comentários
Anteriormente apresentou-se a rede neural ARTMAP Fuzzy (ART
descendente) que se constitui o módulo principal do procedimento proposto para a realização
da análise de estabilidade estática de tensão. Trata-se de um esquema que busca emular o
conceito da margem da segurança (M) que foi desenvolvido no Capítulo 4. Foi apresentado,
também, o processo de organização e extração do conjunto de padrões de entrada e de saída
da rede neural para a fase de treinamento. No Capítulo subsequente, serão realizadas as
aplicações considerando-se dois sistemas-exemplo.
62
Capítulo 6
Aplicações das Redes Neurais na Análise de Estabilidade
de Tensão de Sistemas de Energia Elétrica
8.1 Introdução
Este capítulo destina-se à apresentação de testes computacionais.
Primeiramente, apresenta-se os resultados obtidos considerando-se um sistema elétrico de
potência composto por 9 barras e 3 máquinas síncronas (ANDERSON; FOUAD, 2003) e a
seguir os resultados considerando-se um sistema baseado na configuração da região Sul do
Brasil composto por 45 barras e 10 máquinas síncronas (FERREIRA, et al. 2006).
A rede neural possui, como critério de treinamento, um índice (margem) de
segurança desenvolvido na análise de sensibilidade da função determinante da matriz
jacobiana (J
o
), calculada empregando-se o conceito de álgebra de Kronecker (GEROMEL,
1987). Estes índices de segurança são gerados, formando uma base de dados para a execução
da fase de treinamento da rede neural, via processamento do programa computacional Simul
(SIMUL, 1990). Este software realiza os cálculos dos seguintes problemas: (1) fluxo de
potência, via método de Newton desacoplado rápido (MONTICELLI, 1983) e (2) análise da
estabilidade transitória de sistemas elétricos de potência baseada no método PEBS (Potential
Energy Boundary Surface) (ATHAY, et al. 1979) por processo iterativo (FONSECA;
DECKER, 1985). Para a obtenção de tais índices, ao programa Simul, foram incluídas
63
modificações necessárias para gerar combinações aleatórias (ou pseudo-aleatórias) de perfis
de geração / carga como forma de simular uma grande quantidade de situações operativas dos
sistemas e, consequentemente, a obtenção dos índices de segurança correspondentes.
Ressalta-se que o cálculo do fluxo de potência pode ser realizado usando qualquer software
disponível no mercado, desde que esteja disponível o código da linguagem computacional,
pois há necessidade de incluir vários detalhes de cálculo, e.g., a distribuição pseudo-aleatória
da geração/carga. Por maior facilidade, usou-se o programa computacional Simul por estar
totalmente aberto ao usuário.
Os resultados da análise, via rede neural (ARTMAP Fuzzy), são comparados
com os resultados obtidos por simulação usando o programa SIMUL.
Ressalta-se que neste trabalho não será tratada a análise de contingências
(modelada via vetor Z). Contudo, este tema faz parte dos planos na sequência desta pesquisa.
6.2 Sistema de Três Máquinas Síncronas
Apresentam-se a seguir, os resultados obtidos através do uso do método
proposto neste trabalho. Trata-se de um sistema de transmissão composto por 3 máquinas
síncronas e 9 barras (ANDERSON; FOUAD, 2003). Os dados das máquinas síncronas, bem
como das linhas de transmissão e, das barras do sistema encontram-se listados no Apêndice C.
O diagrama unifilar do sistema encontra-se ilustrado na Figura 6.2.1.
64
2 3
2
8
7
9
3
5 6
1
4
1
Carga A
Carga B
Carga C
Figura 6.2.1. Sistema Composto por 3 Máquinas e 9 Barras.
O treinamento da rede neural foi realizado considerando-se um conjunto de
1003 perfis de geração / carga e respectivas margens de segurança M. Cada perfil corresponde
a um redespacho de geração em relação ao caso base, realizado de forma aleatório em cada
barra.
O universo de variação de carga encontra-se correspondido entre 100% e
270%, em relação à carga total do sistema. Portanto, cada perfil é gerado considerando-se um
percentual de variação em torno do estado nominal (caso base) e uma determinada semente
para o processo de geração de seqüências aleatórias. Assim, para um mesmo percentual,
diferentes sementes poderão gerar diferentes despachos de geração de diferentes perfis de
carga.
Os resultados da análise são apresentados, nesta pesquisa de doutorado, na
forma de classes de 1 a 15. Estas classes são adotadas visando constituir as saídas em código
binário, i.e., um modo mais adequado para se usar as redes neurais da família ART. Assim,
adotou-se a seguinte definição das classes: 1, 2, ..., 15 (representação com 4 bits), que
correspondem a 0 ≤ M < 0,1, 0,1 ≤ M < 0,2, ..., 1,4 ≤ M < 1,5, respectivamente. Assim, quanto
menor for o número da classe, mais crítico é o ponto de operação do sistema, do ponto de
vista da estabilidade estática de tensão. Com estas definições, podem-se estimar as
65
“distâncias” que cada perfil de geração e de carga se encontra em relação à fronteira da
estabilidade de tensão. Tais intervalos, associados às classes, podem ser definidos,
aumentando-os ou diminuindo-os de acordo com o interesse do usuário. Neste caso, deve-se
ajustar o número de bits em função da maior ou da menor discretização usada.
Realizado o treinamento da rede neural, os testes (análise de estabilidade de
tensão) podem ser efetivados, cujos resultados são mostrados na Tabela 6.2.1. Nesta Tabela,
na coluna 1 estão alocados os percentuais comparativamente ao caso base (arbitrado como
100%). Deste modo, um percentual de 120% corresponde a um acréscimo de 20% em relação
ao caso base. A carga total e a geração total terão um acréscimo de 20% distribuído pseudo-
aleatoriamente em função da semente que consta na coluna 2. Assim, para um mesmo
percentual de acréscimo (positivo ou negativo), diferentes sementes produzem diferentes
realocações de geração e diferentes valores de cargas nos diversos barramentos do sistema.
Deste modo, justifica-se o registro, na Tabela 6.2.1, do valor da semente usado em cada perfil
de geração/carga. Observa-se que, aumentando-se este percentual, não necessariamente
produzirá uma margem de segurança menor, pois isto depende da semente usada. Por
exemplo, num cenário de geração/carga mais leve pode haver uma distribuição maior em
barramentos mais críticos da rede, ocasionando uma margem de segurança menor que, a
princípio, a expectativa era que fosse maior. Na coluna 3, constam os valores da margem de
segurança (M) calculados pelo aplicativo Simul. Este programa é adotado, nesta pesquisa de
doutorado, como uma referência de precisão, tendo em vista que os cálculos são executados
observando o rigor necessário. Nas colunas 4 e 5, são relacionadas as classes (M
) associadas
às margens de segurança, para fins de comparação entre os resultados produzidos pelo
aplicativo Simul e pela rede neural ARTMAP Fuzzy, respectivamente. Então, uma classe 4
significa que a margem de segurança M possui um valor entre 0,3 e 0,4.
66
Tabela 6.2.1. Comparação dos Métodos ARTMAP Fuzzy e Simul – Três Máquinas
Síncronas.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem
de Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
102,5 123 0,9166 10 10
102,5 6691 0,9162 10 10
107,5 4321 0,9116 10 10
107,5 201 0,9127 10 10
112,5 421 0,9058 10 10
112,5 74 0,9078 10 10
117,5 31 0,8989 9 9
117,5 9934 0,9014 10 10
127,5 221 0,8966 9 9
127,5 123 0,8852 9 9
132,5 6691 0,8822 9 9
132,5 123 0,8762 9 9
142,5 177 0,8689 9 9
142,5 31 0,8542 9 9
147,5 342 0,8408 9 9
147,5 1964 0,7999 8 9
152,5 1241 0,8352 9 9
152,5 1964 0,7757 8 9
152,5 31 0,8287 9 9
67
Tabela 6.2.1. Continuação.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem
de Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
157,5 123 0,8145 9 8
157,5 342 0,8114 9 9
162,5 123 0,7983 8 8
162,6 1241 0,8079 9 9
162,5 6691 0,8352 9 9
167,5 123 0,7806 8 8
167,5 1241 0,7925 8 9
167,5 6691 0,8258 9 8
167,5 1964 0,6846 7 9
172,5 221 0,8224 9 9
172,5 1241 0,7758 8 8
172,5 342 0,7529 8 9
177,5 6691 0,8036 9 8
177,5 314 0,8173 9 9
177,5 1241 0,7577 8 8
182,5 6691 0,7916 8 8
182,5 314 0,8075 9 8
182,5 123 0,7171 8 6
187,5 201 0,7827 8 9
187,5 1241 0,7159 8 8
68
Tabela 6.2.1. Continuação.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem
de Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
187,5 123 0,6918 7 6
192,5 201 0,7688 8 8
192,5 1241 0,6922 7 8
192,5 6691 0,7628 8 7
197,5 7116 0,6995 7 8
197,5 177 0,7339 8 8
197,5 201 0,7538 8 8
197,5 6691 0,7448 8 7
202,5 201 0,7377 8 8
202,5 921 0,7318 8 8
202;5 177 0,7139 8 8
202,5 6691 0,7238 8 7
207,5 421 0,6891 7 7
207,5 6691 0,6963 7 7
207,5 201 0,7193 8 8
212,5 201 0,6993 7 7
212,5 688 0,7402 8 8
212,5 101 0,6682 7 7
217,5 74 0,7296 8 8
217,5 667 0,6791 7 7
69
Tabela 6.2.1. Continuação.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem
de Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
217,5 1241 0,5213 6 6
217,5 221 0,7054 8 7
222,5 6692 0,4747 5 5
222,5 201 0,6547 7 7
222,5 1241 0,4710 5 5
222,5 68 0,6589 7 7
222,5 1965 0,7021 8 6
227,5 921 0,6239 7 7
227,5 741 0,4709 5 6
227,5 9934 0,6071 7 7
227,5 384 0,6489 7 7
232,5 145 0,5457 6 6
232,5 10 0,3950 4 4
232,5 741 0,4100 5 4
237,5 688 0,6492 7 7
237,5 9934 0,4985 5 5
237,5 8243 0,5873 6 7
237,5 68 0,5043 6 6
237,5 567 0,6184 7 5
242,5 1967 0,5851 6 6
70
Tabela 6.2.1. Continuação.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem de
Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
242,5 9934 0,4985 5 5
242,5 384 0,5961 6 7
242,5 667 0,5082 6 5
242,5 9934 0,4985 5 5
247,5 314 0,5882 6 6
247,5 567 0,5437 6 6
247,5 5100 0,4766 5 6
247,5 9934 0,4456 5 4
247,5 721 0,5542 6 5
247,5 421 0,2479 3 4
252,5 77 0,4573 5 5
252,5 3981 0,5026 6 6
252,5 921 0,3968 4 4
252,5 614 0,4016 5 5
252,5 5100 0,4239 5 5
252,5 201 0,3995 4 6
257,5 145 0,1172 2 2
257,5 921 0,2903 3 3
257,5 102 0,4030 5 3
257,5 2100 0,4764 5 5
71
Tabela 6.2.1. Continuação.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem de
Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
257,5 8243 0,3865 4 4
257,5 721 0,4655 5 5
262,5 314 0,4570 5 5
262,5 912 0,2342 3 3
262,5 721 0,3994 4 4
262,5 112 0,3451 4 4
262,5 582 0,2839 3 2
262,5 5223 0,3435 4 4
262,5 2123 0,4097 5 4
267,5 688 0,2836 3 3
267,5 761 0,2572 3 3
267,5 2123 0,2795 3 4
267,5 1135 0,3057 4 3
267,5 384 0,2096 3 2
Os acertos do sistema neural são superiores a 85%, considerando-se 1003
simulações realizadas. Os acertos são considerados quando há coincidência das classes
indicadas pelo programa Simul e pela rede neural ARTMAP Fuzzy. Ressalta-se que a rede
neural ARTMAP Fuzzy tende, por via de regra. optar por uma classe de numeração inferior,
i.e., se houver alternativa de seleção entre classes que produziram o mesmo valor da função
escolha, por exemplo, classes 5 e 6, o indicativo ficará com a classe 5. Se houver relaxamento
72
deste tipo de caso, (considera-o também como acerto), o percentual de acerto passa a ser
superior a 95%. Este percentual, certamente irá aumentar, à medida que novos padrões forem
incorporados à base de dados, através do processo referente ao treinamento continuado, e / ou
usando-se outros tipos de geometria na rede neural ARTMAP Fuzzy (a qual emprega o
conceito de hiper-retângulos (CARPENTER, et al. 1992)), e.g., aproveitando melhor o
desenvolvimento proposto por DAGHER, (2006), entre outras alternativas.
6.3 Sistema de Dez Máquinas Síncronas
Nesta seção, apresentam-se alguns resultados obtidos, considerando-se um
sistema real da região sul do Brasil composto por 10 máquinas síncronas, 45 barras e 73
linhas de transmissão. O diagrama unifilar do sistema pode ser visto na Figura 6.3.1. Os dados
das máquinas síncronas, do sistema de transmissão e das barras estão apresentados no
Apêndice C.
Neste caso, o treinamento da rede foi realizado considerando-se um conjunto
de 703 perfis de geração / carga e respectivas margens de segurança M. Como no caso
anterior, cada perfil corresponde a um redespecho de geração em relação ao caso base,
realizado de forma aleatória para atender a demanda, também fixada de modo aleatório em
cada barra. O universo de variação, neste caso, encontra-se correspondido entre 65 e 135%,
em relação à carga total do sistema.
Realizado o treinamento da rede neural, os testes podem ser
efetivados, cujos resultados são mostrados na Tabela 6.3.1. A definição de classes tem o
mesmo significado da seção anterior. O mesmo padrão, usado na Tabela 6.2.1, vale também
para a Tabela 6.3.1.
73
(--) Número das linhas de transmissão.
A
3
9
5
10
4
1
2
6
7
8
Campo Mourão
230 kV
Maringá
230 kV
Londrina
230
525
Ivaiporã
Areia
525
Curitiba-Norte
525
Curitiba
525
230
Joinvile
230
Rancho
Queimado
230
J. Lacerda
Salto
Osório
Pinheiro
525
Itaúba
Passo
Fundo
Farroupilha
230
Gravataí
Siderópolis
Forquilinha
Ceci
230
Blumenau
525
230
230
230
230
525
230
13.8 230kV
V. Aires
13.8
525 kV
230 kV
13.8525
230
44
3
18
5
22
21
26
27
4
11
12
42 43
15
34
35
24
1
29
20
28
23
S. Mateus
Barracão
32
30
38
13
45
8
7
6
13.8
13.8
13.813.8
16
2
9
39
40
31
14
37
Xanxerê
230 kV
230
13.8
13.8
230
230
S. Santiago
41
25
19
36
10
Segredo
525
Apucarana
(22)
(24)
(72)
(71)
(73)
(11)
(30)
(29)
(31)
(44)
(41)
(43)
(52) (51)
(23)
(56)
(55)
(53)
(54)
(38)
(37)
(35) (34)
(33)
(32)
(7)
(61)
(60)
(59)
(47)
(9)
(8)
(57)
(46)
(42)
(3)
(39)
(27)
(26)
(6)
(64)
(63)
(62)
(14)
(13)
(12)
(15)
(48)
(18)
(65)
(49)
(66)
(36)
(40)
(28)
(45)
(20)
(21)
(58)
(16) (17)
(70)
(50)
33
(69)
(67)
(5)
(2)
(1)
(68)
(4)
(19)
230
17
Pato
Branco
B
C
Figura 6.3.1. Representação do Sistema Sul-Brasileiro.
Tabela 6.3.1. Comparação dos Métodos ARTMAP Fuzzy e Simul – Dez Máquinas
Síncronas.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem de
Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
67,5 123 0,5994 6 6
67,5 689 0,6591 7 7
675 31 0,3274 4 2
67,5 9934 0,7642 8 8
74
Tabela 6.3.1. Continuação.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem de
Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
72,5 123 0,6354 7 7
72,5 667 0,7226 8 8
72,5 31 0,4759 5 5
72,5 421 0,5882 6 6
72.5 51 0,7413 8 8
77,5 614 0,7096 8 8
77,5 123 0,6615 7 7
77,5 221 0,6435 7 7
77,5 68 0,7409 8 8
77,5 614 0,7096 8 8
82,5 123 0,6802 7 7
82,5 689 0,7090 8 8
82,5 201 0,6948 7 7
82,5 9934 0,7457 8 8
82,5 74 0,7278 8 8
87,5 31 0,6551 7 8
87,5 1964 0,5703 6 6
87,5 411 0,6982 7 8
87,5 820 0,7047 8 8
87,5 31 0,6551 7 7
75
Tabela 6.3.1. Continuação.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem de
Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
92,5 123 0,7003 8 7
92,5 31 0,6810 7 7
92,5 421 0,6939 7 7
92,5 7116 0,7354 8 8
92,5 721 0,7091 8 8
97,5 123 0,7018 8 8
97,5 221 0,7009 8 7
97,5 31 0,6961 7 7
97,5 7116 0,7134 8 8
97,5 264 0,7118 8 8
102,5 1241 0,6946 7 7
102,5 102 0,6897 7 7
102,5 31 0,7053 8 8
102,5 265 0,7017 8 8
117,5 31 0,6929 7 7
117,5 6691 0,6183 7 7
122,5 145 0,6055 7 6
122,5 123 0,6514 7 7
122,5 377 0,5662 6 6
122,5 221 0,6528 7 7
76
Tabela 6.3.1. Continuação.
%
Semente
Margem de
Segurança M
via Simul
Classe da Margem de
Segurança M
Simul ARTMAP
Fuzzy
122,5 81 0,5992 6 7
127,5 123 0,6526 7 7
127,5 264 0,4855 5 5
127,5 177 0,5589 6 6
127,5 8555 0,5840 6 7
127,5 7116 0,4349 5 4
132,5 123 0,5873 6 6
132,5 145 0,4346 5 5
132,5 8555 0,5421 6 4
132,5 51 0,4631 5 5
132,5 4321 0,5487 6 6
132,5 421 0,5054 6 5
Ressalta-se que os acertos do neural são superiores a 85%, considerando-se 703
simulações realizadas.
77
6.4 Comentários e Considerações
Neste capítulo, foram apresentados os resultados das aplicações da
metodologia proposta para análise de estabilidade estática de sistemas elétricos de potência
multinodal, tomando-se dois sistemas testes: um sistema constituído por 3 máquinas
síncronas, 9 barras e 9 linhas de transmissão e, o sistema baseado na configuração real das
região Sul do Brasil composto por 10 máquinas, 43 barras e 73 linhas de transmissão. Trata-se
de uma metodologia usando uma rede neural ARTMAP Fuzzy, cujo treinamento é realizado a
partir de uma base de dados gerada via simulação (usando o programa computacional Simul):
o cálculo de fluxo de potência, bem como outras grandezas que foram implementadas visando
atender a necessidade da pesquisa proposta. Ressalta-se que os acertos do sistema neural,
tanto no sistema composto por 3 máquinas quanto no sistema composto por 10 máquinas, são
superiores a 85%, considerando-se 1003 e 703 simulações realizadas, respectivamente. Este
acerto é superior a 95%, se houver o relaxamento no caso da indicação de uma classe vizinha,
desde que corresponda uma classe mais crítica, ou seja, estando-se a favor da segurança do
sistema. No sistema Anderson- Fouad, por exemplo, para o perfil de 247,5% (semente = 421)
e para o perfil de 252,5% (semente = 201), os resultados obtidos foram otimistas, i.e., a rede
neural gerou classes menos críticas do que deveriam ser (classes corretas ou mais críticas).
Estes são os casos que efetivamente devem ser considerados sem acerto.
78
Capítulo 7
Conclusão e Sugestões para Trabalhos Futuros
7.1 Conclusão
Foi apresentada uma nova metodologia para análise de estabilidade de tensão
estática de sistemas elétricos de potência multinodal. Trata-se de uma metodologia que
emprega uma rede neural ARTMAP Fuzzy, cujo treinamento é realizado a partir de uma base
de dados gerada via simulação computacional. Esta simulação realiza o cálculo das matrizes
da rede elétrica, o cálculo de fluxo de potência, bem como outras grandezas que foram
implementadas visando atender a necessidade do estudo proposto. A adoção da estratégia de
obtenção desta base de dados (definição de perfis de geração e de carga de modo aleatório ou
pseudo-aletório) permitiu estabelecer um espectro de variação que “simule” os estados
operativos reais. A arquitetura ARTMAP Fuzzy, tal como as demais redes da família ART,
apresenta a característica de plasticidade (possibilita a implementação do treinamento
continuado), o que se diferencia, de forma vantajosa, em relação às tradicionais redes neurais
comumente usadas na literatura especializada.
Como ilustração da metodologia, foram apresentados os resultados da análise
da estabilidade estática de tensão de sistemas de energia elétrica, via rede neural ARTMAP
79
Fuzzy, considerando-se dois sistemas elétricos de potência: um sistema Anderson-Fouad
(ANDERSON & FOUAD, 2003) composto por 3 máquinas síncronas, 9 barras e 9 linhas de
transmissão, e outro sistema Sul-Brasileiro (FERREIRA et al., 2006) composto por 10
máquinas síncronas, 45 barras e 73 linhas de transmissão. Ressalta-se que o sistema
Anderson-Fouad foi usado, inicialmente, com o propósito de proporcionar uma melhor
compreensão dos fenômenos associados à instabilidade de tensão. Novas simulações estão
sendo abordadas considerando-se sistema de maior porte (sistemas IEEE).
As simulações realizadas indicam um grande número de acertos e comprovam
a rapidez de processamento da rede neural ARTMAP Fuzzy. O percentual de acerto foram
superiores a 85%. Este percentual, certamente irá aumentar, à medida que novos padrões
forem incorporados à base de dados, através do processamento referente ao treinamento
continuado. Outra forma de melhorar a precisão consiste no desenvolvimento de outras
arquiteturas ART descendentes usando-se outras geometrias nos módulos ART, e.g., explorar
todo o potencial do procedimento sugerido pelo Dagher (2006).
Tendo em vista as características de desempenho desta metodologia (rapidez
de treinamento e flexibilidade de adaptação às diversidades topológicas da rede elétrica), a
princípio, pode-se empregá-la para análise de estabilidade de sistemas elétricos de potências
reais que necessitam de respostas imediatas, a fim de evitar, ou pelo menos, minimizar a
interrupção do fornecimento de energia aos consumidores.
Ressalta-se que a rede neural ARTMAP Fuzzy apresenta algumas
desvantagens, a saber: (1) necessidade de padronizar a base de dados (de entrada e de saída),
ou seja, entradas e saídas devem ser grandezas positivas ( ≥ 0) e inferiores a 1, justamente
porque agregam-se os conceitos da lógica fuzzy à arquitetura ARTMAP. Há formas de
contornar este problema. Por exemplo, usando uma rede neural ARTMAP Euclidiana que, a
princípio, tem proporcionado melhorias do desempenho da rede neural; (2) as redes neurais
ART-descendentes podem “modelar” funções complexas usando o conceito de formação de
classes. Por exemplo, na arquitetura ART fuzzy, as classes são caracterizadas por hiper-
retângulos. Aumentando-se ou diminuindo-se tais hiper-retângulos (via diminuição ou
aumento do parâmetro de vigilância
ρ
), pode-se determinar o “tamanho” de cada classe, i.e.,
aumentando-se ou diminuindo-se a capacidade de generalização da rede neural. Este
mecanismo de formação de classes pode produzir imprecisões nos resultados.
80
7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros
Os resultados desta pesquisa podem ser considerados satisfatórios (no contexto da
precisão e da rapidez na obtenção das soluções), conforme argumentado anteriormente.
Porém, sugerem-se algumas melhorias e procedimentos que podem ser implementados com o
propósito de tornar esta metodologia mais eficiente e, ainda, propõem-se outros tipos de
aplicações:
1) Desenvolvimento de estruturas neurais alternativas à rede ARTMAP Fuzzy, empregando,
por exemplo, outras distâncias geométricas como propostas pelo Dagher (2006) e pelo
Vuskovic e Du (2002). Tratam-se de procedimentos mais gerais que buscam estabelecer a
formação de classes de forma mais precisas em comparação aos resultados aqui
apresentados;
2) Implementação do mecanismo de treinamento continuado;
3) Desenvolver e aplicar a rede neural à análise da estabilidade estática de tensão,
considerando-se as situações de contingências (saída de linhas de operação, etc.);
4) Desenvolver uma metodologia, baseada na arquitetura ART-descendente, à análise da
estabilidade dinâmica de tensão de sistemas elétricos de potência, contemplando recentes
modelos de mecanismos de instabilidade e estratégias de controle;
5) Desenvolver metodologias neurais ART-descendentes considerando-se as diversas
topologias da rede elétrica.
81
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ZAMBRONI A. C. S. Discussions on some voltage colapse indices. Electric Power Systems
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88
Apêndice A
Redes Neurais Artificiais
A.1 Introdução
Neste capítulo apresentam-se os principais conceitos e definições sobre redes
neurais artificiais. O assunto “redes neurais artificiais” é demasiadamente longo. O número de
textos (livros, artigos, etc.), disponibilizado na literatura, é bastante volumoso e diversificado.
Assim, visando a objetividade, o conteúdo aqui apresentado constitui a medida justa, sem
excesso ou falta, de informações necessárias à compreensão do sistema neuro-fuzzy,
abordados no Capítulo 5, proposto para a realização da análise da estabilidade estática de
tensão de sistemas elétricos de potência.
89
A.2 Estrutura de Rede Neural
Redes Neurais Artificiais (RNA) são técnicas computacionais que apresentam
um modelo matemático inspirado na estrutura neural de organismos inteligentes. Elas
possuem a capacidade computacional de adquirir o conhecimento através da experiência.
Inicialmente, apresenta-se um dos modelos de neurônio mais conhecido na
literatura especializada: o neurônio de McCulloch e Pitts (McCULLOCH; PITTS, 1943).
Ressalta-se que centenas de tipos de neurônios têm sido identificados, cada qual distinguindo-
se dos demais pela forma do corpo celular. Estas diferenças morfológicas exibem
especializações funcionais importantes. A identificação das funções dos vários tipos de
neurônios representa um dos tópicos mais importantes dos estudos referentes à compreensão
do cérebro humano. Os resultados destes estudos poderão orientar o desenvolvimento de redes
neurais artificiais ainda mais eficientes, principalmente com relação à capacidade e
velocidade do aprendizado.
A.2.1 Modelo Biológico
O mais fascinante processador existente – o cérebro humano – é composto por
aproximadamente 100 bilhões de componentes, chamados neurônios, que se encontram
interligados numa complexa rede de comunicação. Os neurônios estão conectados uns aos
outros através de sinapses e, juntos, formam uma grande rede, chamada Rede Neural ou Rede
Neuronal (HAYKIN, 1994). Um neurônio recebe e transmite informações de muitos outros
neurônios (aproximadamente 10 mil), além de armazenar estas informações.
Os modelos são formados, basicamente, pelas seguintes partes (Figura
A.2.1.1):
90
(a) Corpo celular (Sôma, do idioma grego, que significa corpo celular): Parte central do
neurônio responsável pela recepção e geração dos impulsos nervosos.
(b) Sinapse: Ponto de contato entre a terminação axônica de um neurônio e o dendrito do
outro. Funcionam como válvulas, sendo capazes de controlar a transmissão de impulsos
(fluxo de informação) entre os neurônios. Esta capacidade é definida como sendo
eficiência sináptica.
(c) Dendrito: Os dendritos têm a função de receber as informações, ou impulsos nervosos de
outros neurônios e conduzi-las ao corpo celular.
(d) Axônio: Um axônio se distingue de um dendrito pelo seu tamanho (mede cerca de 0,1
milímetro podendo chegar a 1 metro). Sua função é conduzir os sinais, processados pelo
corpo celular, para os demais neurônios. Próximo de seu final, o axônio divide-se em
vários ramos (dendritos), que se interconectam com os demais neurônios através das
sinapses.
Figura A.2.1.1. Componentes de um neurônio.
91
A.2.2 Neurônio Artificial
Os modelos de neurônios artificiais são baseados no funcionamento dos neurônios biológicos.
Vários modelos foram propostos na literatura. A seguir apresenta-se o modelo de McCulloch-
Pitts, que é o mais empregado, principalmente em problemas de reconhecimento de padrão,
que é a modalidade aqui abordada.
A.2.2.1 Neurônio de McCulloch-Pitts
O modelo de McCulloch-Pitts (McCULLOCH; PITTS, 1943) foi desenvolvido em 1943, o
qual descreve um neurônio (Figura A.2.2.1.1) cuja atividade s é a soma de n entradas
ponderadas por seus respectivos pesos. Esta atividade alimenta uma função não-linear f(.) que
produz um sinal para ser enviado aos demais neurônios. As não-linearidades mais empregadas
são: relé, lógica threshold e sigmoide, conforme mostra-se na Subseção (A.2.2.2). O neurônio
de McCulloch-Pitts pode conter também um peso bias w
0
alimentado por uma constante x
0
=
+1 (arbitrada) que desempenha o controle do nível de saída do neurônio.
Figura A.2.2.1.1. Modelo do neurônio de McCulloch-Pitts.
92
A.2.2.2 Não-Linearidades
O sinal s do neurônio é usualmente processado por uma função de ativação f(.)
que produz o sinal de saída do neurônio. As formas mais utilizadas desta função de ativação
são as seguintes:
a) Relé
Figura A.2.2.2.1. Função relé.
sendo:
f(s) =
0<se1,
0≥se1,+
s
s
b) Lógica Threshold
Figura A..2.2.2.2. Função lógica threshold.
93
c) Função Sigmoide (1)
Figura A.2.2.2.3. Função sigmoide (1).
sendo que:
f(s) = (1 – e
–
λ
s
) / (1 + e
–
λ
s
);
λ
: inclinação da curva.
d) Função Sigmoide (2)
Figura A.2.2.2.4. Função sigmoide (2).
sendo:
f(s) = 1 / (1 + e
–
λ
s
).
Ressalta-se que há, na literatura, um número grande de tipos de não-
linearidades usadas na realização de arquiteturas neurais. Contudo, as não-linearidades
anteriormente relacionadas são as mais usuais.
94
A.3 Estrutura de Rede Neural Artificial
Uma RNA consiste de elementos de processamento (neurônios) e suas
conexões (sinapses) (Figura A.3.1). Cada neurônio pode ter várias entradas, porém, somente
uma saída. Cada saída pode ser usada como entrada a vários neurônios (através de
ramificações), assim como cada neurônio pode receber várias entradas procedentes de outros
neurônios. Cada conexão entre neurônios possui um peso que determina sua contribuição na
decisão de disparo (quando ultrapassa um determinado limiar predefinido), controlando, desta
forma, os estímulos.
Figura A.3.1. Rede neural artificial.
A.4 Classificações das Redes Neurais
As redes neurais podem ser classificadas em dois tipos quanto a sua estrutura:
redes recorrentes e redes não-recorrentes (feedforward).
95
Definição A.4.1. Redes Neurais Recorrentes. Uma rede é definida como recorrente se ela
contém laços de realimentação, ou seja, contém conexões das saídas de uma
determinada camada para a entrada da mesma ou de camadas anteriores.
As entradas de um neurônio são as saídas dos demais neurônios da camada
anterior. As redes que possuem esta estrutura desenvolvem uma memória a longo prazo nos
neurônios internos. Nesta classe de redes neurais, e.g., encontra-se a rede de Hopfield
(SIMPSON, 1989).
Definição A.4.2. Redes Neurais Não-Recorrentes. Esta rede caracteriza-se estrutural-mente
por estar disposta em camadas. Nestas redes cada camada de neurônios
recebe sinais somente das camadas anteriores, ou seja, elas não possuem
laços de realimentação (HAYKIN, 2001; SIMPSON, 1989).
Redes não-recorrentes ou feedforward não possuem memória, sendo que sua
saída é exclusivamente determinada em função da entrada e dos valores dos pesos (HAYKIN,
2001; SIMPSON, 1989). A rede neural mostrada na Figura A.3.1 é não-recorrente.
A.5 Tipos de Treinamento de Redes Neurais
A propriedade mais importante das redes neurais é a habilidade de aprender e,
desta forma, melhorar seu desempenho. Isso é feito através de um processo iterativo de
ajustes aplicados a seus pesos que correspondem ao treinamento.
Denomina-se algoritmo de treinamento a um conjunto de regras bem definidas
para a solução de um problema de treinamento. Existem muitos tipos de algoritmos de
treinamento específicos para determinados modelos de redes neurais. Estes algoritmos
diferem entre si, principalmente, pelo modo como os pesos são modificados.
96
Outro fator importante é a maneira pela qual uma rede neural se relaciona com
o ambiente. Nesse contexto, existem, basicamente, os seguintes paradigmas de treinamento:
Definição A.5.1. Treinamento Supervisionado. Consiste no ajuste de pesos de uma rede
neural para fornecer saídas desejadas, considerando-se o conjunto de
padrões de entrada (WIDROW; LEHR, 1990).
O treinamento supervisionado necessita de um de vetor de entrada e vetor-alvo
representando a saída desejada. Juntos, eles são chamados de par treinado. Um dos algoritmos
mais difundidos para treinamento deste tipo de rede é o algoritmo retropropagação. A Figura
A.5.1 ilustra o treinamento supervisionado. Este algoritmo foi proposto por Werbos (1974).
Figura A.5.1. Treinamento supervisionado.
Definição A.5.2. Treinamento Não-Supervisionado. Consiste no ajuste de pesos de uma rede
neural, levando-se em conta somente o conjunto de padrões de entrada. É,
por conseguinte, um procedimento de treinamento auto-organizado. O
treinamento não-supervisionado é ilustrado na Figura A.5.2.
97
Figura A.5.2. Treinamento não-supervisionado.
98
Apêndice B
Lógica Fuzzy ou Lógica Nebulosa
B.1 Introdução
Os conceitos e princípios da lógica fuzzy (ou lógica nebulosa) foram
introduzidos por Lotfi Zadeh, na década de 60 (ZADEH, 1965). Porém, já em 1920, um
matemático polonês Jan Lukasiewicz desenvolvia as primeiras noções da lógica dos conceitos
“vagos” formulando os conjuntos com graus de pertinência sendo 0, 1/2, e 1 e, mais tarde,
expandiu para um número infinito de valores entre 0 e 1.
Na teoria clássica, os conjuntos são denominados crisp e um determinado
elemento do universo (domínio) pertence ou não a um conjunto específico. Já na lógica fuzzy,
presume-se que cada elemento de um universo possa possuir pertinência parcial a um
determinado conjunto
A lógica nebulosa permite expressar conceitos imprecisos ou vagos e tomar
decisões a partir do conhecimento inexato. Permite elaborar modelos sobre argumentos
imprecisos que fazem parte da habilidade humana para tomar decisões em um ambiente de
incerteza (ZADEH, 1988). É uma lógica multivalorada que permite que os valores
intermediários sejam definidos entre as avaliações convencionais como, sim/não,
99
verdadeiro/falso, frio/quente, baixo/alto. Estas variáveis de linguísticas possuem uma
representação melhor que os números (LOPES, 2005). As variáveis fuzzy são adjetivos que
modificam a variável, de tal forma que noções como “bastante frio” ou “bastante morno”
sejam formuladas matematicamente e processadas por computador.
A lógica fuzzy possui aplicações nas mais variadas áreas, como por exemplo:
inteligência artificial, processamento de imagens, otimização, reconhecimento de padrão,
tomada de decisões, avaliações por questionários, etc.
B.2 Conjuntos Nebulosos
B.2.1 Fundamentos
Na teoria clássica dos conjuntos, o conjunto de pertinência de um elemento a
um conjunto fica bem definido. Dado um conjunto A em um universo X, os elementos deste
universo simplesmente pertencem ou não àquele conjunto. Isto pode ser expresso pela função
característica f
A
definida da seguinte maneira:
f
A
(x) =
⎩
⎨
⎧
∉
∈
.Ax
,Ax
sesomenteese0,
sesomenteese1,
Já no conjunto nebuloso, a função característica, proposta por Zadeh, é
generalizada de modo que ela possa assumir um número infinito de valores no intervalo [0, 1].
Um conjunto nebuloso A em um universo X é definido por uma função pertinência
λ
A
(x): X →
[0, 1], representado por um conjunto de pares ordenados:
,
, ,
100
sendo que
representa o valor da função pertinência do conjunto nebuloso A
correspondente ao elemento x, ou seja, o quanto x é compatível com o conjunto A.
B.2.2 Variáveis Linguísticas
Na lógica nebulosa, temperatura de um processo ou estatura de uma pessoa
são variáveis linguísticas que podem assumir valores como baixa, média e alta. Estes valores
são descritos por intermédio de conjuntos nebulosos, representados por funções pertinência.
Os valores de uma variável linguística podem ser sentenças em uma linguagem
especificada, construídas a partir de termos primários (alto, baixo, pequeno, médio, grande),
de conectivos lógicos (NOT, AND e OR), de modificadores (muito, pouco, levemente,
extremamente).
B.2.3 Funções de Pertinências
A função de pertinência é uma representação gráfica da magnitude de
participação de cada entrada. Ela associa um peso a cada entrada processada definindo uma
superposição funcional entre entradas e determinando uma resposta de saída. As regras
utilizam os valores de pertinência de entrada como fator peso para determinar sua influência
na conclusão final de saída.
Existem diferentes tipos de funções de pertinências: triangular, trapezoidal,
gaussiana, exponencial, entre outras. A mais comum é a função de pertinência triangular. A
Figura B.2.3.1 mostra as características da função pertinência para a variável temperatura de
um determinado processo, na qual a temperatura é normalizada entre os valores 0 e 1
(KARTALOPOULOS, 1996).
101
1
baixa
média
alta
7525
50
temperatura (ºC)
grau de pertinência
Figura B.2.3.1. Funções de pertinência para a variável temperatura.
O grau de pertinência é determinado pela projeção vertical do parâmetro de
entrada do eixo horizontal no limite mais alto da função de pertinência, o qual tem valores
entre 0 e 1.
B.2.4 Operadores Lógicos
Apresentam-se aqui as mais relevantes operações envolvendo conjuntos
nebulosos que são utilizados nesta pesquisa.
Supondo-se que A e B são dois conjuntos nebulosos com funções de
pertinência designadas, respectivamente, por
μ
A
(x) e
μ
B
(x) (vide B.2.4.1), pode se introduzir
os operadores AND, OR e NOT (KARTALOPOULOS, 1996).
102
8
4
4
1
B
μ
A
μ
1
8
Figura B.2.4.1. Conjuntos Nebulosos A e B.
Definição B.2.4.1. Operador AND ou interseção de dois conjuntos. A função de pertinência
da interseção destes dois conjuntos nebulosos (C = A ∩ B) é definida
por :
μ
C
(x) = min {
μ
A
(x),
μ
B
(x)} , x ∈ X
cuja representação gráfica pode ser vista na Figura B.2.4.2, sendo que a
linha cheia nesta figura define a interseção do dois conjuntos nebulosos A
e B.
8
4
BA∩
μ
1
Figura B.2.4.2. Operador AND.
Definição B.2.4.2. Operador OR ou união entre dois conjuntos. A função de pertinência da
união destes conjuntos nebulosos (D = A ∪ B) é definida por :
μ
D
(x) = max {
μ
A
(x),
μ
B
(x)} , x ∈ X,
103
cuja representação gráfica pode ser vista na Figura B.2.4.3, sendo que a
linha cheia nesta figura define a união entre dois conjuntos fuzzy A e B.
8
4
BA∪
μ
1
Figura B.2.4.3. Operador OR.
Definição B.2.4.3. Operador NOT ou o complemento de um conjunto nebuloso. A função de
pertinência do complemento de A, A’ é definida por:
μ
A´
(x) = 1 −
μ
A
(x), x ∈ X,
cuja representação gráfica pode ser vista na Figura B.2.4.4, sendo que a
linha cheia nesta figura define o complemento do conjunto nebuloso A.
8
4
'
A
μ
1
Figura B.2.4.4. Operador NOT.
104
Apêndice C
Dados dos Sistemas-Exemplo
Neste Apêndice, são relacionados os dados dos sistemas estudados nesta
pesquisa. Trata-se dos sistemas de 3 máquinas e 9 barras (sistema Anderson-Fouad)
(ANDERSON; FOUAD, 2003) e de 10 máquinas síncronas e 45 barras (uma versão do
sistema da região sul-brasileira).
C.1. Dados do Sistema Anderson - Fouad
Diagrama do Sistema de Energia Elétrica Composto por três Máquinas
2 3
2
8
7
9
3
5 6
1
4
1
Carga A
Carga B
Carga C
Figura C.1.1. Sistema Anderson - Fouad.
105
Tabela C.1.1. - Dados do sistema de transmissão (Sistema Anderson-Fouad).
Nº da BARRA DE BARRA DE IMPEDÂNCIA SHUNT(%)
LINHA ORIGEM DESTINO R(%) X(%)
1 1 4 0,0000 5,7600 0,0000 0,0000
2 4 5 1,0000 8,5000 0,0000 0,1760
3 4 6 1,7000 9,2000 0,0000 0,1580
4 5 7 3,2000 16,1000 0,0000 0,1530
5 6 9 3,9000 17,0000 0,0000 0,3580
6 2 7 0,0000 6,2500 0,0000 0,0000
7 7 8 0,8500 7,2000 0,0000 0,1490
8 8 9 1,1900 10,0800 0,0000 0,2090
9 3 9 0,0000 5,8600 0,0000 0,0000
sendo que:
R : resistência do elemento;
X : reatância do elemento;
SHUNT : admitância shunt do elemento da rede elétrica considerado.
Tabela C.1.2. – Dados de barras (Sistema Anderson-Fouad).
Nº NOME TENSÃO MÓDULO ARG(GRA) POT. BARRA
ATIVA REATIVA
1 Maria 1,0400 0,0000 1,0400 0,0000 0,7202 0,3320
2 Azul 1,0114 0,1665 1,0250 9,3482 1,6300 0,1516
3 Dumas 1,0216 0,0831 1,0250 4,6505 0,8500 -0,0789
4 Marrom 1,0216 -0,0399 1,0224 -2,2359 0,0000 0,0000
5 5 0,9845 -0,0689 0,9869 -4,0051 -1,2500 -0,5000
6 6 1,0073 -0,0653 1,0094 -3,7099 -0,9000 -0,3000
7 7 1,0184 0,0669 1,0206 3,7579 0,0000 0,0000
8 8 1,0120 0,0128 1,0121 0,7236 -1,0000 -0,3500
9 9 1,0301 0,0350 1,0307 1,9473 0,0000 0,0000
106
Tabela C.1.3. - Dados de máquinas (Sistema Anderson-Fouad).
MÁQUINA XD XDL M D
1 0,1460 0,0608 0,0507 0,0000
2 0,8958 0,1198 0,0177 0,0000
3 1,3125 0,1813 0,0125 0,0000
sendo:
XD : reatância do eixo direto da máquina síncrona (pu);
XLD : reatância transitória do eixo direto da máquina síncrona (pu);
M : momento de inércia da máquina síncrona
=
0
f2
H2
π
;
H : constante de inércia da máquina síncrona (s);
f
0
: frequência nominal da rede elétrica (60 Hz);
D : constante de amortecimento da máquina síncrona (pu).
107
C.2. Dados do Sistema Sul-Brasileiro
Diagrama Unifilar do Sistema Elétrico
(--) Número das linhas de transmissão.
A
3
9
5
10
4
1
2
6
7
8
Campo Mourão
230 kV
Maringá
230 kV
Londrina
230
525
Ivaiporã
Areia
525
Curitiba-Norte
525
Curitiba
525
230
Joinvile
230
Rancho
Queimado
230
J. Lacerda
Salto
Osório
Pinheiro
525
Itaúba
Passo
Fundo
Farroupilha
230
Gravataí
Siderópolis
Forquilinha
Ceci
230
Blumenau
525
230
230
230
230
525
230
13.8 230kV
V. Aires
13.8
525 kV
230 kV
13.8525
230
44
3
18
5
22
21
26
27
4
11
12
42 43
15
34
35
24
1
29
20
28
23
S. Mateus
Barracão
32
30
38
13
45
8
7
6
13.8
13.8
13.813.8
16
2
9
39
40
31
14
37
Xanxerê
230 kV
230
13.8
13.8
230
230
S. Santiago
41
25
19
36
10
Segredo
525
Apucarana
(22)
(24)
(72)
(71)
(73)
(11)
(30)
(29)
(31)
(44)
(41)
(43)
(52) (51)
(23)
(56)
(55)
(53)
(54)
(38)
(37)
(35) (34)
(33)
(32)
(7)
(61)
(60)
(59)
(47)
(9)
(8)
(57)
(46)
(42)
(3)
(39)
(27)
(26)
(6)
(64)
(63)
(62)
(14)
(13)
(12)
(15)
(48)
(18)
(65)
(49)
(66)
(36)
(40)
(28)
(45)
(20)
(21)
(58)
(16) (17)
(70)
(50)
33
(69)
(67)
(5)
(2)
(1)
(68)
(4)
(19)
230
17
Pato
Branco
B
C
Figura C.2.1. Sistema Sul-Brasileiro.
108
Tabela C.2.1. - Dados do sistema de transmissão (Sistema Sul-Brasileiro).
Nº da BARRA DE BARRA DE IMPEDÂNCIA
LINHA ORIGEM DESTINO R(%) X(%)
1 11 12 0,0700 1,4500
2 11 12 0,0700 1,4500
3 11 25 0,1800 2,2700
4 11 33 0,1400 2,0400
5 12 42 0,0000 0,6300
6 1 29 0,0000 1,3600
7 13 14 3,8600 19,8500
8 13 35 0,9600 4,9100
9 13 45 0,3300 1,6700
10 14 15 4,6300 23,7800
11 14 15 4,6300 23,7800
12 14 37 1,7700 9,1000
13 14 37 1,7700 9,1000
14 14 37 1,7700 9,1000
15 2 15 0,0000 4,6000
16 15 16 1,6300 8,3500
17 15 16 1,6300 8,3500
18 15 39 2,5000 15,4800
19 16 17 1,6300 8,3500
20 16 18 3,1600 16,2100
21 17 18 1,5300 8,6100
22 3 18 0,0000 1,1400
23 18 19 3,0600 15,2300
24 18 44 3,4400 17,6000
25 18 44 3,4400 17,6000
26 19 20 2,4500 12,5600
27 19 25 0,0000 3,0000
28 20 21 0,8800 4,1500
29 21 22 1,8200 9,3500
30 2 22 1,8200 9,3500
31 21 26 0,0000 0,6200
32 22 23 1,5400 7,7600
33 22 23 1,5400 7,7600
109
Tabela C.2.1. - Continuação.
Nº da BARRA DE BARRA DE IMPEDÂNCIA
LINHA ORIGEM DESTINO R(%) X(%)
34 23 24 2,1600 11,0500
35 23 24 2,1600 11,0500
36 23 28 0,0000 0,6200
37 24 35 1,8000 9,2000
38 24 35 1,8000 9,2000
39 4 25 0,0000 0,6700
40 25 26 0,1900 2,8000
41 25 27 0,1900 2,7400
42 25 29 0,1400 1,9500
43 25 36 0,0500 0,7000
44 26 27 0,0500 0,6900
45 26 28 0,1200 1,7500
46 29 30 0,2100 3,0900
47 30 38 0,0000 0,6200
48 31 32 0,2200 3,0000
49 31 40 0,0000 0,6200
50 32 33 0,1400 1,9500
51 5 33 0,0000 1,1400
52 33 36 0,0500 0,7000
53 6 34 0,0000 8,7100
54 34 35 0,0000 5,9000
55 7 35 0,0000 7,0100
56 8 35 0,0000 4,5000
57 35 45 1,2900 6,5700
58 10 36 0,0000 0,6800
59 37 38 0,2200 1,1100
60 37 38 0,2200 1,1100
61 37 38 0,2200 1,1100
62 37 40 2,0700 9,3300
63 37 40 2,0700 9,3300
64 37 40 2,0700 9,3300
65 9 39 0,0000 2,3600
110
Tabela C.2.1. - Continuação.
Nº da BARRA de BARRA de IMPEDÂNCIA
LINHA ORIGEM DESTINO R(%) X(%)
66 39 40 2,0200 11,2900
67 41 42 1,2500 6,4000
68 41 42 0,8900 4,6100
69 41 43 1,1000 11,8400
70 41 44 2,2900 11,7400
71 42 43 1,7200 8,8400
72 42 43 1,7200 8,8400
73 43 44 1,8100 9,2900
111
Tabela C.2.2 – Dados das Barras (Sistema Sul-Brasileiro).
Nº NOME TENSÃO MÓDULO ARG(GRA) POT. BARRA
ATIVA REATIVA
1 Ba13.8 0,9996 -0,2028 1,0200 -11,4690 6,5000 1,0529
2 PF13.8 0,9939 -0,3063 1,0400 -17,1294 2,1500 1,5051
3 SO13.8 1,0160 0,0900 1,0200 5,0642 10,5000 2,4560
4 FA13.8 1,0156 -0,1139 1,0220 -6,3968 11,1000 3,4209
5 SS13.8 1,0163 0,0582 1,0180 3,2795 13,2500 1,6814
6 LA13.8 0,8931 -0,5130 1,0300 -29,8743 0,9000 0,4581
7 LB13.8 0,9066 -0,4889 1,0300 -28,3346 1,2000 0,5518
8 LC13.8 0,9180 -0,4671 1,0300 -26,9706 2,4100 0,9105
9 It13.8 0,9603 -0,2790 1,0000 -16,1988 4,9000 1,3744
10 Se13.8 1,0200 0,0000 1,0200 0,0000 13,6426 2,0823
11 Iva525 0,9875 -0,1954 1,0066 -11,1905 0,0000 2,1300
12 Lon525 0,9676 -0,2326 0,9951 -13,5160 0,0000 0,0000
13 Sid230 0,7691 -0,5884 0,9684 -37,4176 -1,7700 -0,6800
14 Far230 0,7781 -0,5909 0,9770 -37,2143 -1,9100 -0,4200
15 PFo230 0,9023 -0,3775 0,9780 -22,7016 -1,7100 -0,1850
16 Xan230 0,8999 -0,2926 0,9462 -18,0143 -1,2600 -0,4700
17 PBr230 0,9360 -0,1801 0,9532 -10,8931 -0,4600 -0,1470
18 SOs230 0,9990 -0,0293 0,9995 -1,6771 -2,8100 -0,5650
19 Are230 0,9429 -0,2602 0,9782 -15,4299 -2,7900 -0,6070
20 SMa230 0,8914 -0,4461 0,9968 -26,5841 -1,3000 0,7060
21 Cur230 0,8844 -0,4456 0,9903 -26,7403 -4,2700 1,2500
22 Joi230 0,7921 -0,5263 0,9510 -33,6018 -3,1000 -0,4100
23 Blu230 0,8181 -0,5142 0,9663 -32,1511 -4,2400 0,0940
24 RQu230 0,7952 -0,5416 0,9621 -34,2577 -1,1700 -0,5310
25 Are525 0,9852 -0,1836 1,0022 -10,5568 0,0000 0,0000
26 Cur525 0,8981 -0,4058 0,9855 -24,3157 0,0000 1,4470
27 CNo525 0,9102 -0,3814 0,9869 -22,7354 -3,6800 0,7560
28 Blu525 0,8375 -0,4848 0,9677 -30,0675 0,0000 0,0000
29 Bar525 0,9687 -0,2848 1,0097 -16,3836 -1,7400 1,1380
30 Gra525 0,8471 -0,5635 1,0174 -33,6317 0,0000 1,5960
31 VAi525 0,9152 -0,4639 1,0261 -26,8820 0,0000 1,6030
32 Pin525 0,9879 -0,2440 1,0176 -13,8731 0,0000 1,6150
33 SSa525 1,0060 -0,0908 1,0101 -5,1601 0,0000 0,0000
112
Tabela C.2.2 - Continuação.
Nº NOME TENSÃO MÓDULO ARG(GRA) POT. BARRA
ATIVA REATIVA
34 JLa138 0,8217 -0,5597 0,9942 -34,2625 -1,2600 -0,3980
35 JLa230 0,8348 -0,5429 0,9958 -33,0349 0,0000 0,0000
36 Seg525 1,0061 -0,0910 1,0102 -5,1654 0,0000 0,0000
37 Cec230 0,8016 -0,6156 1,0107 -37,5267 -8,1300 -1,1000
38 Gra230 0,8190 -0,6153 1,0244 -36,9167 -6,1200 4,5500
39 Ita230 0,8969 -0,3809 0,9744 -23,0083 -4,0400 -1,3500
40 VAi230 0,8952 -0,5058 1,0282 -29,4689 -3,9300 1,1100
41 Apu230 0,9201 -0,3155 0,9727 -18,9277 -2,6200 -0,1320
42 Lon230 0,9519 -0,2657 0,9883 -15,5951 -2,2900 -0,8300
43 Mar230 0,9298 -0,3183 0,9828 -18,8984 -1,8400 0,3980
44 CMo230 0,9458 -0,2595 0,9808 -15,3426 -1,3900 0,4630
45 For230 0,7772 -0,5921 0,9771 -37,3020 -0,9010 0,4470
Tabela C.2.3. - Dados de máquinas síncronas (Sistema Sul-Brasileiro).
MÁQUINA XD XDL M D
1 0,0367 0,0367 0,1615 0,0000
2 0,1037 0,1037 0,0560 0,0000
‘ 3 0,0284 0,0284 0,2034 0,0000
4 0,0241 0,0241 0,3302 0,0000
5 0,0243 0,0243 0,2930 0,0000
6 0,1352 0,1352 0,0232 0,0000
7 0,1534 0,1534 0,0361 0,0000
8 0,0800 0,0800 0,0663 0,0000
9 0,0432 0,0432 0,1074 0,0000
10 0,0216 0,0216 0,3314 0,0000
113
Apêndice D
Artigos Publicados e Submetido Relacionados com a
Pesquisa de Doutorado
1. Isoda, L. Y.; Lotufo, A. D. P.; Lopes, M. L. M. e Minussi, C. R. Análise de Estabilidade
de Tensão de Sistemas Elétricos Usando uma Rede Neural ARTMAP Fuzzy, TEMA /
Seleta Tendência de Matemática Aplicada e Computacional, São Carlos, v. 9, n. 2, 2008,
p. 243-253, 2008.
2. Isoda, L. Y.; Lotufo, A. D. P.; Lopes, M. L. M. e Minussi, C. R. Métodos Matriciais no
Estudo da Estabilidade de Tensão de Sistemas de Energia Elétrica, 68º Seminário
Brasileiro de Análise, São Paulo-SP, Art. 22, 12 p., 2008.
3. Isoda, L. Y., Lotufo, A. D. P., Lopes, M. L. M. e Minussi, C. R. Desenvolvimento de uma
Metodologia Neural Baseada na Teoria da Ressonância Adaptativa para a Análise da
Estabilidade de Tensão de Sistemas de Energia Elétrica, 7-th Brazilian Conference on
Dynamics, Control and Applications - DINCON'2008, Presidente Prudente, p. 832 – 839,
2008.
4. Isoda, L. Y., Lotufo, A. D. P.; Lopes, M. L. M. e Minussi, C. R. Voltage Stability
Analysis of Electric Power Systems Using a Fuzzy ARTMAP Neural Network, Artigo a
ser submetido a um veículo científico internacional peer review da área de Engenharia
Elétrica.
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