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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
Luciana de Lima
A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DO CONCEITO DE FUNÇÃO NA
FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Fortaleza – Ceará
2008
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Universidade Estadual do Ceará
Luciana de Lima
A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DO CONCEITO DE FUNÇÃO NA
FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado
Acadêmico em Educação da Universidade Estadual do
Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de
mestre em Educação. Área de Concentração em
Formação de Professores.
Orientadora: Profa. Dra. Maria Gilvanise de Oliveira
Pontes
Fortaleza – Ceará
2008
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A minha querida filha
Isabella, presente de Deus, luz dos
meus caminhos.
AGRADECIMENTOS
À minha orientadora, professora Dra.Maria Gilvanise de Oliveira Pontes, pela
disponibilidade, acessibilidade e facilidade de comunicação.
Aos professores Dr. José Aires de Castro Filho, Dra. Rogéria Gaudêncio do
Rêgo e Dr. Júlio Wilson Ribeiro por aceitarem compor a banca examinadora e
contribuírem enormemente para a melhoria do trabalho.
À professora Dra. Rita de Cássia Barbosa Paiva Magalhães por ter contribuído,
nas disciplinas e na qualificação, com colocações pertinentes para a pesquisa.
À professora Ms. Natália Barroso por auxiliar na leitura do texto, na escrita do
trabalho e nas definições matemáticas.
Ao prof. Dr. Ronaldo Ramos pelo apoio e suporte técnicos.
Aos professores Ms. Aluísio Cabral de Lima e Luíza Pontello pelo auxílio e
plena disponibilidade na aplicação inicial da pesquisa.
Ao professor Luciano Moura Cavalcante por permitir o desenvolvimento da
pesquisa e ao professor José Maildo Nunes por auxiliar no desenvolvimento inicial das
atividades na UECE.
Aos alunos voluntários do CEFETCE e da UECE que participaram ativamente
da pesquisa e contribuíram de forma relevante para o desenvolvimento deste trabalho.
A todos os colegas do Curso de Mestrado em Educação da UECE, parceiros de
momentos árduos e inesquecíveis.
Ao meu esposo João Andrade e à minha filha Isabella, pela compreensão, apoio
e carinho. À minha mãe Mara Hilzete Lima pela força e pensamentos positivos de
sempre.
RESUMO
A dissociação dos conteúdos disciplinares, a supervalorização da aprendizagem dos
procedimentos em detrimento da aprendizagem dos conceitos e o pouco
aprofundamento no estudo de conhecimentos voltados para a educação básica são
problemas que contribuem para uma formação inicial inadequada do professor de
matemática. O estudo do conceito de função, mesmo sendo considerado pelos
estudiosos da área como um conceito de extrema importância pela sua vasta utilização
em situações da vida cotidiana e científica, ainda é um conceito pouco estudado na
formação docente. Tanto alunos quanto professores apresentam dificuldade em
conceituar esse saber matemático e utilizá-lo adequadamente. A proposta do presente
trabalho é descrever como os licenciandos em matemática da UECE ressignificam o
conceito de função diante de uma aprendizagem significativa baseada nos pressupostos
teóricos de Ausubel. A pesquisa realizada entre maio e outubro de 2007, caracteriza-se
como um Estudo de Caso. A metodologia utilizada se subdivide em duas etapas:
Levantamento e Intervenção. Na 1ª etapa busca-se a compreensão dos conhecimentos
prévios apresentados pelos alunos sobre o conceito de função e seus conceitos
subjacentes com a aplicação de entrevistas e questionários. Na 2ª etapa são
desenvolvidas 22 sessões com média de 67 minutos para cada intervenção, totalizando
11 semanas de trabalho. A meta para esta etapa é descrever como os alunos se
estruturam mentalmente para ressignificar o conceito de função utilizando
principalmente os conceitos teóricos de Dirichlet, século XIX, e de Lages Lima (1998).
A estruturação desta etapa subdivide-se em três fases e se baseia nos Princípios
Programáticos de Ausubel: Diferenciação Progressiva e Reconciliação Integradora,
Organização Seqüencial e Consolidação. Na 1ª fase os alunos discutem além do
conceito de função, os conceitos de equação, expressão algébrica, variável, incógnita,
domínio, contradomínio e imagem. Na 2ª fase, desenvolvem mapas conceituais para
organizar e relacionar o conceito de função a seus conceitos subjacentes. Na 3ª fase,
aplicam o conceito de função em resoluções de problema. Dos quatro alunos que
participam da pesquisa, apenas dois estão sendo analisados de forma interpretativa. A
análise dos dados segue o princípio da Assimilação preconizada por Ausubel e utiliza
como estratégia a triangulação de fonte de dados e a triangulação metodológica. Na
etapa do Levantamento é possível perceber as dificuldades e contradições apresentadas
pelos alunos ao definirem o conceito de função. Essas dificuldades se tornam ainda
mais presentes na etapa da Intervenção, em especial, na relação entre os conceitos de
função, contradomínio e imagem. A Diferenciação Progressiva e a Reconciliação
Integradora são princípios que auxiliam no desenvolvimento da capacidade de
questionamento e reflexão sobre o conceito de função e seus conceitos subjacentes. O
desenvolvimento dos mapas conceituais contribui com maior detalhamento dessas
relações previamente estabelecidas, por meio da organização hierárquica do
conhecimento adquirido. O processo de ressignificação conceitual modifica os
conceitos prévios dos alunos sobre o conceito de função sem a necessidade de
memorização dos novos conceitos, estimula a reflexão e a análise de suas elaborações
mentais, possibilitando um processo contínuo de auto-avaliação. Essas modificações
também se refletem na visão pedagógica da pesquisadora que compreende a
necessidade da valorização dos conhecimentos prévios dos alunos e do ensino de
conceitos matemáticos.
Palavras-chave: educação matemática, conceito de função, aprendizagem significativa.
ABSTRACT
The disassociation of the educational content, the undue importance given to learning
procedures, to the detriment of concepts, and the shallowness of studies focusing on
basic education are problems which contribute to the inadequate training of math
teachers. The study of the concept of function, even though considered by experts as
being of great importance, due to its wide use in everyday situations and for scientific
purposes, is as yet little used in forming teachers. Students and teachers have problems
in this field of mathematical knowledge. This study’s objective is to describe how
UECE’s math graduates understand the concept of function, in face of significant
learning based on Ausubel’s theoretical presuppositions. The research, undertaken from
May, 2007 to October, 2007, is characterized as Case Study. The used methodology
subdivides in 2 stages: Data Collection and Intervention. In the first stage, an
understanding is sought of the students’ prior knowledge regarding the concept of
function and subjacent concepts, in interviews and questionnaires. In the second stage,
22 sessions are developed with average of 67 minutes for each intervention, totaling 11
weeks of work. The goal for this stage is to describe how the students are structured
mentally to understand the concept of function, using Dirichlet’s (19
th
century) and
Lages Lima’s (1998) theoretical concepts. Their structuring is subdivided in three
phases, based on Ausubel’s programmatic principles: Progressive Differentiation and
Integrating Reconciliation, Sequential Organization, and Consolidation. During the first
phase the students discuss the concept of function, as well as the concepts of equation,
algebraic expression, variation, unknown quantity, domain, counter-domain and image.
During the second phase, conceptual maps are developed to organize and list the
concept of function and the subjacent concepts. In the third phase the concept of
function is applied to problem solving. Of the four students participating in the research,
only two are being analyzed in an interpretative manner. The analysis of the data
follows the principle of Assimilation proposed by Ausubel and it uses the strategies of
data source triangulation and methodological triangulation. In the stage of the Data
Collection it is possible to notice the difficulties and contradictions presented by the
students to define the function concept. Those difficulties become still more presents in
the stage of the Intervention, especially, in the relationship among the concept of
function, counter-domain and image. The Progressive Differentiation and the
Integrating Reconciliation are beginnings that aid in the development of the asking
capacity and reflection on the concept of function and their subjacent concepts. The
development of the conceptual maps contributes with larger comprehension of those
relationships previously established, through the hierarchical organization of the
acquired knowledge. The process of conceptual comprehension modifies the students’
prior concepts of function without the need to memorize new concepts and stimulates
reflection and the analysis of intellectual development, making possible a continuous
process of self-evaluation. Those modifications are also reflected in the researcher's
pedagogic vision that understands the need of the valorization of the students' previous
knowledge and of the teaching of mathematical concepts.
Key Words: math education, concept of function, significant learning.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Tipos de Saberes na Formação Docente de Shulman ..................... 24
Figura 2 Tipos de Saberes na Formação Docente de Gauthier ..................... 26
Figura 3 Tipos de Saberes na Formação Docente de Darling-Hammond e
Baratz-Snowden .............................................................................. 26
Figura 4 Modelo do processo de assimilação da Aprendizagem
Significativa de Ausubel ................................................................. 64
Figura 5 Esquema gráfico dos Princípios Programáticos da Aprendizagem
Significativa de Ausubel ................................................................. 66
Figura 6 Esquema gráfico da estrutura dos mapas conceituais ..................... 69
Figura 7 Estrutura da Metodologia da pesquisa ............................................ 75
Figura 8 Situação A do Questionário Aplicado – Parte 1 ............................. 94
Figura 9 Situação B do Questionário Aplicado – Parte 1 .............................. 94
Figura 10 Situação C do Questionário Aplicado – Parte 1 .............................. 95
Figura 11 Construção do Mapa Conceitual de função – grupo GATO ........... 121
Figura 12 Construção do Mapa Conceitual de função – grupo PEIXE ........... 122
Figura 13 Mapa Conceitual de Função – grupo GATO .................................. 125
Figura 14 Mapa Conceitual de Função – grupo PEIXE .................................. 127
Figura 15 Triângulos dispostos em palitos ...................................................... 128
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Etapa da Intervenção ......................................................................... 102
Quadro 2 Problemas da Intervenção 9 .............................................................. 104
Quadro 3 Problemas da Intervenção 11............................................................. 113
Quadro 4 Resumo das definições apresentadas pelos alunos GATO e PEIXE
nas Entrevistas e nos Questionários .................................................. 143
Quadro 5 Resumo das definições apresentadas pelos alunos GATO e PEIXE
nas intervenções ................................................................................ 145
LISTA DE SIGLAS
CEFETCE - Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará
CESAT - Centro de Ensino Superior Anísio Teixeira
FAPESP - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo
FUNEDUCE - Fundação Educacional do Estado do Ceará
PCNEM - Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
PUC/RJ - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
PUC/SP - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
REDIN - Recursos Digitais Interativos
SIPEM - Simpósio de Pesquisa em Educação Matemática
UECE - Universidade Estadual do Ceará
UFPB - Universidade Federal da Paraíba
UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul
UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
SUMÁRIO
RESUMO ................................................................................................................... 6
ABSTRACT ............................................................................................................... 7
LISTA DE FIGURAS ............................................................................................... 8
LISTA DE QUADROS ............................................................................................. 9
LISTA DE SIGLAS .................................................................................................. 10
INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 14
1. A FORMAÇÃO DE PROFESSORES .............................................................. 20
1.1. O Conceito de Formação e a Formação Inicial de Professores ............ 20
1.2. Os saberes na Formação Docente ............................................................ 22
1.3. Tipos de Saberes na Formação Docente ................................................. 24
1.4. A Aprendizagem docente ......................................................................... 27
2. OS SABERES NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA .. 30
2.1. A evolução histórica da Formação dos Professores de Matemática no
Brasil .......................................................................................................... 31
2.2. As pesquisas Internacionais sobre a Formação do Professor de
Matemática: perspectiva histórica .......................................................... 35
2.3. As pesquisas Nacionais sobre a formação do professor de
Matemática: perspectiva histórica .......................................................... 38
2.4. As concepções dos licenciandos sobre o saber matemático ................... 42
3. O CONCEITO DE FUNÇÃO: SABER ESPECÍFICO NA FORMAÇÃO
DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA ........................................................... 45
3.1. As dificuldades na compreensão do conceito de função ........................ 46
3.2. Aspectos teóricos enfatizados do conceito de função na formação
inicial do professor de Matemática ......................................................... 53
3.3. Como os aspectos teóricos podem ser abordados no processo de
aprendizagem do conceito de função ...................................................... 56
4. A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA NA FORMAÇÃO INICIAL DO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA ................................................................. 60
4.1. A Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel ........................... 60
4.2. A Teoria dos Mapas Conceituais de Novak ............................................ 68
5
.
O PERCURSO METODOLÓGICO E A ETAPA DO LEVANTAMENTO 73
5.1. O percurso metodológico .......................................................................... 73
5.2. Os primeiros momentos da pesquisa ....................................................... 79
5.2.1. O Estudo Piloto ............................................................................ 79
5.2.2. A Estrutura do Curso de Licenciatura em Matemática da
UECE em 2007.1 .......................................................................... 81
5.2.3. Os primeiros contatos com a turma do Curso de
Licenciatura em Matemática da UECE de 2007.1 ................... 83
5.3. As Entrevistas ............................................................................................ 83
5.3.1. A Entrevista com o Professor de Fundamentos de Cálculo
Diferencial e Integral I ................................................................ 84
5.3.2. A entrevista com o aluno GATO ................................................ 85
5.3.3. A entrevista com o aluno PEIXE ............................................... 87
5.4. Os Questionários ....................................................................................... 89
5.4.1. O Questionário Teórico do aluno GATO .................................. 90
5.4.2. O Questionário Teórico do aluno PEIXE.................................. 92
5.4.3. O Questionário Aplicado do aluno GATO................................. 93
5.4.4. O Questionário Aplicado do aluno PEIXE................................ 96
6. A ETAPA DAS INTERVENÇÕES ................................................................... 99
6.2. Intervenção 9 – O conceito de função e as condições de existência e
unicidade .................................................................................................... 103
6.3. Intervenção 11 – Os conceitos modernos de função – Elon Lages
Lima e Geraldo Ávila ............................................................................... 110
6.4. Intervenção 14 – Os mapas conceituais sobre o conceito de função ..... 119
6.5. Intervenção 18 – Problema 1 – Função e Progressão Aritmética ......... 128
6.6. Intervenção 22 – A auto-avaliação e a ressignificação do conceito de
função ......................................................................................................... 134
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 142
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 150
APÊNDICES .............................................................................................................. 155
APÊNDICE I Roteiro de Entrevista com professor ..................................... 155
APÊNDICE II Roteiro de Entrevista com alunos .......................................... 156
APÊNDICE III Transcrições das Entrevistas .................................................. 158
APÊNDICE IV Questionários Teórico e Aplicado .......................................... 171
APÊNDICE V Respostas dos questionários ................................................... 174
APÊNDICE VI Transcrições das Intervenções ............................................... 182
APÊNDICE VII Respostas dos protocolos ........................................................ 210
APÊNDICE VIII Descrição e Análise das demais Intervenções ....................... 229
ANEXOS .................................................................................................................... 313
ANEXO I Grade Curricular do Curso de Licenciatura em
Matemática semestre 2007.1 ................................................. 313
ANEXO II Ementa da disciplina de Fundamentos de Cálculo
Diferencial e Integral I ofertada em 2007.1 ......................... 314
14
INTRODUÇÃO
A formação da pesquisadora como professora de Matemática é do início da
década de 90. Na época, a única distinção entre Licenciatura e Bacharelado estava nas
disciplinas consideradas “humanas”: Didática, Estrutura e Funcionamento do Ensino,
Psicologia da Aprendizagem e do Desenvolvimento, Práticas de Ensino I e II, dos
últimos semestres do curso de Licenciatura.
Obteve muitas informações sobre Matemática, outras sobre como o aluno
aprende, como se deve ensinar, nenhuma de esclarecimento de como ensinar
Matemática especificamente. Sua formação fica partida e polarizada. Ultrapassar o
abismo que separa a Matemática da educação continua sendo uma busca pessoal.
Na experiência em sala de aula, percebeu que a aprendizagem da Matemática é
um processo profundo e complexo. Saber Matemática não garante que, na relação
ensino-aprendizagem, o aluno também compreenda e internalize os conteúdos. Verifica-
se que a prática não acontece sem a teoria, e esta sem aquela.
Na busca da formação continuada, procura, com maior profundidade, encontrar
elementos de explicação da formação de professores, de como ela acontece na história
brasileira, e quais os elementos necessários à formação do professor de Matemática que
aproximam os conteúdos matemáticos dos educacionais.
Autores dedicados ao estudo dessa formação contribuem com informações
relevantes acerca dos problemas que enfrentam as instituições promotoras da formação
docente.
Tardif (2002) revela que, na formação de professores, existe a preocupação com
o ensino das teorias concebidas, sem nenhuma relação com o ensino nem com a
realidade da vida cotidiana do ofício do professor. As disciplinas geralmente não se
relacionam entre si. Constituem unidades independentes, fechadas e de curta duração,
causando pouco impacto nos alunos.
Na maioria das instituições, os alunos passam grande parte da formação
assistindo às aulas para, em seguida, estagiar e aplicar os conhecimentos. Só então
começam a trabalhar sozinhos, aprendendo na prática e passam a constatar que os
conhecimentos disciplinares lhes são pouco úteis.
Tardif (2002) conclui que o modelo de formação de professores, modelo
aplicacionista do conhecimento, ao tratar os licenciandos como “espíritos virgens”, sem
considerar suas crenças e representações anteriores, acaba por não modificá-las. Forma
profissionais despreparados para a atuação em sala de aula, proporcionando um ensino
de baixa qualidade.
Na formação do professor de matemática, os problemas também se fazem
presentes. Nos cursos de Licenciatura, até a década de 90, as disciplinas específicas são
cursadas, nos três primeiros anos e as disciplinas pedagógicas ministradas nos últimos
anos da graduação, seguida do estágio supervisionado. A dissociação entre Licenciatura
e Bacharelado não é única, nestas, observa-se que as disciplinas são cursadas
separadamente, sem interconexões entre conhecimentos algébricos, geométricos e
aritméticos.
O ensino polarizado converge para o surgimento de novos problemas. Os
procedimentos matemáticos são mais valorizados do que os conceitos que os embasam.
O licenciando exerce o papel de aluno na maior parte das disciplinas, não
desenvolvendo a habilidade de articular o papel de futuro professor. A formação do
professor de Matemática ainda hoje não possibilita ao licenciando o desenvolvimento de
profissional autônomo e capaz de articular o conhecimento específico ao pedagógico.
Paiva (2002) comprova a situação da formação inicial do professor de
Matemática. O curso de Licenciatura privilegia as disciplinas específicas, ao
desarticulá-las das disciplinas pedagógicas. Além disso, o ensino teórico dos conteúdos
matemáticos e didático-pedagógicos é repassado de forma pronta, inquestionável.
Conclui-se que o ensino não parte do conhecimento prévio dos alunos, nem considera
relevantes as experiências profissionais que muitos já apresentam como professores.
Campos (2004) considera que a desarticulação entre os conhecimentos
específicos e pedagógicos ainda continua um dos grandes problemas na formação do
profissional. O fato é decorrente da visão que ainda se tem do professor de Matemática:
um profissional que transmite oralmente conteúdos ordenados baseando-se no conteúdo
de livros textos e outras fontes de informação.
Essa postura, segundo a autora, é decorrente da formação que envolve o
processo que valoriza a atenção, memorização, fixação de conteúdos e o treino
procedimental com atividades mecânicas e repetitivas. O licenciando vivencia situações
em que o aluno é agente passivo e individual no processo de aprendizagem.
Cyrino (2006) defende que a formação está centrada no paradigma da
racionalidade técnica herdada do positivismo. A atividade profissional é considerada
instrumental e dirigida para a solução de problemas por meio de aplicação rigorosa de
teorias e técnicas científicas. A relação entre teoria e prática, quando existe, não permite
ao licenciando a oportunidade de questionar, investigar e refletir sobre o saber e o saber-
fazer.
O conhecimento matemático é composto por uma variedade de postulados,
teoremas, corolários e está intimamente relacionado à vida cotidiana. As dificuldades
dos alunos na compreensão perpassam pelos conhecimentos específicos da Aritmética,
Geometria e Álgebra. Também surgem na compreensão dos conceitos e dos
procedimentos relacionados aos respectivos conhecimentos específicos.
Para Rêgo (2000) e Lopes (2003), o conceito de função é também um
conhecimento de difícil compreensão, não só para os alunos da educação básica, mas
também para os alunos da educação superior e professores. Por sua ampla utilização em
diversas áreas do conhecimento e propiciação ao desenvolvimento de habilidades
mentais relacionadas à Lógica e à Matemática, necessita ser pesquisado na formação
docente.
Para Zuffi e Pacca (2000), a simples apresentação e formalização do conceito de
função não são suficientes para ampliar o conhecimento dos licenciandos para além do
que foi aprendido no Ensino Médio. Constatam que a linguagem matemática dos
licenciandos está determinada muito mais pela cultura matemática escolar estabelecida
do que pelos aspectos lógicos e formais com os quais têm contato no curso superior.
Regras e procedimentos da comunidade escolar e os livros didáticos apresentam
destaque maior do que os significados matemáticos e sócio-culturais. Os problemas de
aprendizagem do conceito de função, na formação inicial do professor de matemática,
se tornam aparentes no momento do exercício do trabalho docente.
Os autores constatam que os professores pouco discutem as condições de
domínio e a unicidade das imagens na definição de função e casos de não-
funcionalidade. Apresentam ainda dificuldades em visualizar a inversão dos papéis de x
e y, como variáveis dependente e independente comumente utilizadas. Os professores
apresentam noções simplificadas do conceito de função matemática, introduzindo, na
prática docente, “[...] um formalismo vazio, carente da maior parte dos significados que
lhe caberiam” (ZUFFI; PACCA, 2002, p. 8).
Rossini (2006) afirma que geralmente os professores organizam a seqüência
didática para o conceito de função de forma compartimentada, sem integração entre as
diferentes tarefas, seguindo geralmente os livros didáticos. Desenvolvem poucas
atividades sobre o conceito de variável. Para esta autora, os professores não
incorporaram, nos discursos, o conceito de função vinculado ao de variação. Ao
utilizarem números, os professores preferem trabalhar com números inteiros não
negativos, evitando os números racionais e reais.
É necessário desenvolver pesquisas que busquem alternativas para sanar as
dificuldades e tentar quebrar “o círculo vicioso” do aluno que não aprende o conceito
porque o professor o desconhece com profundidade, pois, em toda a formação, não lhe
foi possibilitada a oportunidade de também estudá-lo adequadamente. Tratar do ensino
e aprendizagem do conceito de função, na formação inicial do professor de Matemática
torna-se urgente.
Para autores
1
que estudam a formação de professores, reconstruir saberes
específicos e incorporar novos saberes pedagógicos auxilia o professor a colocar em
ação novas práticas.
Autores
2
que pesquisam a formação do professor de Matemática corroboram
com esse pensamento e acrescentam que os saberes matemáticos devem se relacionar
não só aos saberes pedagógicos, mas também, aos saberes históricos, filosóficos e
epistemológicos.
A articulação das disciplinas matemáticas e educacionais deve acontecer diante
da construção de conceitos matemáticos, de conhecimentos básicos que já dispõem, por
meio do diálogo, da investigação, do questionamento e da reflexão. É fundamental que
o professor desenvolva o hábito de duvidar, de pensar os fatos de diferentes formas.
Ao contemplar o estudo do conceito de função na formação do professor de
matemática, possibilita-se o estudo da relação de diversos tópicos da Matemática,
sobretudo aqueles estudados no Ensino Médio. A adequada compreensão do conceito de
função, de acordo com os pesquisadores
3
da área, pode garantir ao licenciando um bom
desenvolvimento acadêmico já que este conceito é um dos principais pré-requisitos para
as disciplinas do Ensino Superior.
Pode auxiliar também no desenvolvimento de técnicas de modelagem da vida
real e na compreensão de diferentes áreas do conhecimento: Economia, Química, Física,
Biologia, inclusive outras áreas de conhecimento da própria Matemática. É fundamental
que o licenciando perceba a importância do estudo desse conceito, sua concepção
pessoal não só sobre o conhecimento, mas como o aprendeu na educação básica.
1
Tardif (2002), Mizukami (2006)
2
Ponte (1992), Garnica (1997), Paiva (2002), Faria (2006), Cyrino (2006)
3
Rêgo (2000), Lopes (2003)
Contempla-se neste trabalho, a valorização dos conhecimentos prévios dos
alunos sobre conhecimentos matemáticos e de aprendizagem de conceitos,
conhecimentos que sustentam o desenvolvimento dos procedimentos, diante das
motivações epistemológicas e históricas dos próprios matemáticos.
Descrever o processo mental do licenciando, ao tentar ressignificar o conceito de
função existente em sua estrutura cognitiva, diante da aprendizagem conceitual
reflexiva, é o desafio da pesquisa.
A teoria mais bem adequada às propostas de investigação deste trabalho é a
Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel, Novak e Hanesian (1980). Além de
valorizar a aprendizagem de conceitos, ela promove, na estrutura cognitiva do aluno, a
generalização significativa do conhecimento como produto da atividade reflexiva.
Permite ao aluno o domínio dos conceitos e proposições verbais pelas experiências
prévias dos conhecimentos.
A Instituição utilizada para o desenvolvimento da pesquisa é a Universidade
Estadual do Ceará. Desde a criação, na década de 70, apresenta características voltadas
para a formação docente, em diferentes cursos científicos, entre eles, de Matemática.
Por se tratar de instituição de nível superior cearense, a investigação pode
contribuir para a compreensão da formação atual do professor de Matemática, em
Fortaleza, e por haver poucas pesquisas na área, com público específico.
As perguntas que emergem diante dos problemas e das justificativas
apresentados são:
• quais são os conhecimentos prévios dos alunos sobre o conceito matemático
de função?
• como os alunos se estruturam mentalmente para ressignificar o conceito de
função?
O objetivo deste trabalho é descrever como os alunos do primeiro ano da
Licenciatura em Matemática da UECE ressignificam o conceito matemático de função,
diante de processo interventivo, baseado na Teoria da Aprendizagem Significativa de
Ausubel.
O que se pretende realizar especificamente é:
• avaliar os conhecimentos prévios dos alunos sobre os conceitos de função e
seus conceitos subjacentes
4
;
4
Domínio, contradomínio, imagem, lei de formação, equação, expressão algébrica, variável e incógnita
• descrever como os alunos ressignificam o conceito de função e conceitos
subjacentes com análise interpretativa baseada nas fases do princípio da
Assimilação de Ausubel.
Os capítulos que compõem este trabalho são apresentados a seguir.
No capítulo 1 são apresentados os conceitos básicos sobre formação e formação
inicial de professores, saber docente e aprendizagem do professor. A ênfase está nos
aspectos básicos a serem considerados na formação docente: a valorização do
conhecimento prévio do licenciando e a reflexão sobre o processo de aprendizagem.
No capítulo 2 é apresentado o contexto histórico da formação do professor de
Matemática, discussão sobre os temas discutidos nas pesquisas nacionais e
internacionais sobre os problemas da formação do professor de Matemática e a
influência do saber matemático na concepção que os professores têm sobre este saber.
No capítulo 3 são apresentadas as dificuldades que matemáticos, professores e
alunos enfrentam ao se deparar com o conceito de função e os conteúdos que precisam
ser abordados sobre o conceito na formação do professor de Matemática.
No capítulo 4 apresenta-se o conceito de aprendizagem significativa de acordo
com a Teoria de Ausubel, Novak e Hanesian (1980) e a Teoria dos Mapas Conceituais
desenvolvidos por Novak (1976).
No capítulo 5 descreve-se a metodologia, os momentos iniciais da pesquisa, as
entrevistas com o professor da disciplina de Fundamentos de Cálculo Diferencial e
Integral I e os alunos voluntários, e os resultados dos questionários aplicados com os
alunos.
No capítulo 6 são descritas algumas intervenções previamente selecionadas em
três fases: assimilação, organização e aplicação do conceito de função baseadas nos
Princípios Programáticos da teoria de Ausubel, Novak e Hanesian (1980).
1. A FORMAÇÃO DE PROFESSORES
O objetivo principal deste capítulo é apresentar as contribuições dos teóricos da
área da formação de professores, dos saberes e da aprendizagem docente para esta
pesquisa.
O conceito de formação é apresentado conforme as idéias de Charlot (2005),
Lastória e Mizukami (2002) e Nunes (2002) diante da relação estreita entre saber e
cultura. A formação inicial se desenvolve pelos conceitos preconizados por Mizukami
(2006) relacionando-a com construção sistemática e contextualizada do ser professor e
do saber ensinar.
De todos os conceitos que permeiam a formação de professores, dois são
enfatizados nesse trabalho, pois estruturam e fundamentam a formação de professores: o
conceito de saber e de aprendizagem docente.
São apresentadas as discussões sobre a relação entre formação e saber e as
características do saber profissional docente de acordo com a visão de Tardif (2002)
sobre o que define saber: a relação entre conhecimento, competência, habilidade e
atitudes valorizados pelo meio social.
Na discussão dos saberes são destacados os trabalhos de Shulman (1986), de
Guimarães (2005) que apresenta o trabalho de Gauthier (1998) e de Mizukami (2006)
que divulga o trabalho de Darling-Hammond e Baratz-Snowden (2005). Este último traz
maiores contribuições à pesquisa proposta ao valorizar a relação entre os conhecimentos
prévios dos alunos e o novo conhecimento, e ao enfatizar a necessidade de o professor
conhecer os conceitos do trabalho docente.
A aprendizagem docente é apresentada de acordo com os trabalhos de Nunes
(2002) que contribui com as características dos aprendizes adultos e de Blanco (2003) e
Mizukami (2006) que complementam suas idéias sobre a caracterização do ensino
superior capaz de possibilitar aprendizagem adulta que considere características básicas
no processo de aprendizagem docente.
1.1. O Conceito de Formação e a Formação Inicial de Professores
Charlot (2005) explica que, nos séculos XI e XII, o significado de formar era
exatamente “dar forma”. No século XIX, a palavra toma um outro significado mais
voltado para a formação profissional, ao caracterizar o universo da profissão. Na década
de 1950, começa a caracterizar as capacidades específicas a partir da análise da função
individual no trabalho.
Já na década de 1990, qualidades como transferibilidade, adaptação,
flexibilidade da mente e das condutas são incorporadas ao conceito. Assim, o autor
define que “formar alguém é torná-lo capaz de executar práticas pertinentes a uma dada
situação” (CHARLOT, 2005, p. 90).
Acrescenta ainda que a lógica da formação se baseia na lógica das práticas
contextualizadas e organizadas para atingir objetivos determinados, diante da situação
imposta. Para o autor, formar professores é torná-los competentes para que possam gerir
as tensões de sala de aula, construir as mediações entre práticas e saberes por meio da
prática dos saberes e do saber das práticas.
Para Lastória e Mizukami (2002), a formação de professores é um processo
complexo capaz de gerar conhecimentos durante a vida do professor, envolvendo
diferentes tempos, comunidades de aprendizagens e experiências.
De acordo com Nunes (2002), a formação de professores é um processo que se
inicia antes do exercício das atividades pedagógicas, prossegue ao longo da carreira e
passa pela prática profissional.
Na perspectiva de Schön (1992), citado por Nunes (2002), essa formação deve
conduzir, de forma crítica, ao aperfeiçoamento e enriquecimento da competência
profissional diante da concepção de conhecimento com base na relação dialética entre
teoria e prática.
Para este trabalho, a formação do professor é contemplada como um processo de
desenvolvimento da consciência crítica da atuação profissional, diante do conhecimento
que constrói sobre os conteúdos formais, matemáticos e pedagógicos, e humanos, sobre
os alunos e sobre si mesmo, processo de construção da identidade profissional coletiva e
individual que acontece a partir da formação inicial.
Aprender a ensinar acontece em diferentes momentos da vida do professor.
Porém o momento, no qual a aprendizagem é sistematizada e focada em objetivos
específicos, é a formação inicial.
Mizukami (2006, p. 216) define esta formação como “um momento formal em
que processos de aprender a ensinar e aprender a ser professor começam a ser
construídos de forma mais sistemática, fundamentada e contextualizada”. Assim, a
formação inicial apresenta como função básica o desenvolvimento de conhecimentos,
habilidades, atitudes e valores, dentro do espaço que possibilite a compreensão e o
comprometimento com a aprendizagem do licenciando, ao longo da vida. Deve ainda,
segundo Mizukami (2006), fornecer formação teórico-prática que estimule os processos
de aprendizagem e o desenvolvimento profissional na trajetória docente.
É função da formação inicial auxiliar os licenciandos na compreensão do
processo formativo e a conceberem a profissão do professor como domínio de
conceitos, habilidades, atitudes, comprometimento e investigação.
1.2. Os Saberes na Formação Docente
Os variados conceitos da formação docente abordados neste trabalho,
relacionam-se a saberes dos professores e à aprendizagem desses saberes. Compreender
os conceitos básicos e sua influência para a formação de professores pode contribuir
para a formação da base teórica deste trabalho.
Para Tardif (2002), o saber está vinculado não somente aos conhecimentos, mas
também às competências, habilidades e atitudes consideradas pela sociedade como
importantes para o processo de formação institucionalizado.
Historicamente, o conhecimento e os saberes dos professores estão ligados à
profissionalização do ensino, ao seu trabalho e formação, ao pensamento, à sua história
de vida e à relação entre cultura escolar e cultura do professor.
A relação entre formação e saber se baseia em três considerações. A primeira diz
respeito ao professor como sujeito do conhecimento. Se o professor é dotado de
conhecimento, deve ter o direito de tomar decisões sobre a própria formação
profissional.
A segunda se relaciona ao aspecto do conhecimento do trabalho do professor. Se
o profissional trabalha com conhecimentos específicos sua formação deve basear-se
nesses conhecimentos.
A terceira consideração diz respeito à organização do conhecimento. Se o
professor vai trabalhar com conhecimento integrado, sua formação deve contemplar a
unificação e inter-relação entre os conhecimentos a serem aprendidos.
Diante das considerações, Tardif (2002) relaciona quatro características básicas
dos saberes profissionais docentes. A primeira característica se relaciona à
temporalidade do saber. A história de vida escolar do professor influencia fortemente a
concepção de ensino e seu papel como profissional. Suas pesquisas revelam que os
alunos, muitas vezes, passam pelos cursos de formação inicial de professores sem
alterar ou abalar as concepções iniciais de ensino. Por outro lado, os primeiros anos de
prática profissional são decisivos, segundo o autor, para a aquisição do sentimento de
competência e para o estabelecimento de rotinas de trabalho do saber experimental.
Os saberes são utilizados e desenvolvidos durante a carreira. Tardif (2002, p.
262) afirma que “saber como viver numa escola é tão importante quanto saber ensinar
na sala de aula”, e o saber não se adquire na formação universitária, mas sim na
formação prática e experimental adquirida com o tempo.
A segunda característica se baseia na pluralidade e heterogeneidade do saber
profissional. Os saberes são provenientes de diversas fontes: cultura pessoal,
conhecimentos disciplinares, didáticos e pedagógicos, conhecimentos curriculares, do
próprio saber relacionado à experiência de trabalho e na relação com profissionais e
tradições do ofício.
São também variados, não formam um repertório de conhecimentos unificado
em torno de uma disciplina, de uma tecnologia, de uma concepção do ensino. São
ecléticos e sincréticos. Os professores utilizam muitas teorias, concepções, técnicas, em
busca de diferentes objetivos ao mesmo tempo. São heterogêneos pelo fato de os
professores utilizarem uma variedade de habilidades ou competências para gerência de
sala de aula e uma diversidade de objetivos: emocionais, sociais, cognitivos, coletivos.
Como os saberes estão na ação, a serviço dela, e nela assumem significado e utilidade, o
autor atribui também a característica de unicidade ao saber docente.
A terceira está pautada na personalização e na situação do saber. Os saberes dos
professores estão intrinsecamente associados às pessoas, à experiência, à sua história de
vida social, inclusive da situação de trabalho. As pessoas que, em seu ofício, se
relacionam com seres humanos precisam contar consigo mesmas, com recursos, com
capacidades pessoais, com a própria experiência, com a capacidade de controlar o
ambiente de trabalho. Além disso, os saberes são construídos e utilizados em função de
situação específica do trabalho, caracterizando-o como saber situado.
A quarta característica se baseia na idéia de que o fato de o objeto de trabalho
docente ser humano implica que o saber do professor carrega as marcas do humano. O
saber do professor também deve ser composto pela disposição em conhecer e
compreender os alunos nas particularidades e evolução em sala de aula. Deve apresentar
ainda componente ético e emocional. O trabalho diário com os alunos provoca, no
professor, o desenvolvimento do conhecimento de si, das emoções, dos valores, da
natureza, de sua maneira de ensinar.
Assim, o conhecimento do outro implica a busca do conhecimento de si mesmo
que auxilia conseqüentemente na compreensão do outro, diante do processo dialético da
construção do saber.
1.3. Tipos de Saberes na Formação Docente
Muitos autores estudam a temática praticamente sob o mesmo enfoque:
subdivisão do conhecimento em científico, pedagógico e curricular.
Shulman (1986), um dos pesquisadores pioneiros na área apresenta três
categorias de conhecimentos dos professores (figura 1):
• conhecimento do conteúdo da disciplina;
• conhecimento pedagógico-disciplinar;
• conhecimento curricular.
Figura 1 – Tipos de Saberes na Formação Docente de Shulman
Fonte: Elaboração própria
O conhecimento do conteúdo se refere ao conjunto e à organização do
conhecimento na mente do professor. O professor deve conhecer a disciplina de acordo
com diferentes perspectivas e estabelecer relações entre vários tópicos do conteúdo
disciplinar, além de relacionar o conteúdo da disciplina com o conteúdo de outras áreas
do conhecimento.
O conhecimento didático ou pedagógico-disciplinar está relacionado ao saber
ensinar. Trata da visão do conhecimento disciplinar como saber a ser ensinado,
diferentes formas de apresentá-lo, de representá-lo, as estratégias necessárias para a
reorganização da compreensão dos alunos, bem como as concepções, crenças e
Curricular
Pedagógico
disciplinar
Conteúdo
Shulman
1986
conhecimentos dos estudantes sobre a disciplina são saberes a serem adquiridos pelos
professores na formação.
O conhecimento curricular engloba o conhecimento dos objetivos e conteúdos,
de materiais de ensino, da capacidade de articular esse conteúdo e da história em sua
evolução. O currículo e sua associação a materiais são, para Shulman (1986), a matéria-
prima da pedagogia, conhecimentos fundamentais para que o professor possa desenhar
as ferramentas de ensino.
Guimarães (2005), expondo as discussões de Gauthier (1998) sobre o conjunto
de saberes da profissionalidade docente, apresenta três posições importantes para a
compreensão atual do saber docente.
A primeira posição defende a docência como ofício de saberes. Basta saber o
conteúdo para ser bom professor. A segunda posição trata o conjunto de saberes
docentes sem ofício, sem correspondência com a realidade. A partir de uma
caracterização tecnicista, define o saber como técnico e aplicativo. A terceira posição
trata dos saberes construídos na ação e de maneira pessoal.
Diante das posições e discussões suscitadas pelos antagonismos é que Gauthier
(1998) define seis tipos de saberes docentes (figura 2):
• disciplinares, apoiados no saber da matéria, das ciências e do conhecimento;
• curriculares, saberes de programas e manuais que orientam o planejamento;
• teóricos educacionais, tratam do funcionamento e da organização da escola,
da evolução da criança e da profissão de professor;
• pedagógicos na tradição, dizem respeito ao fazer profissional, a maneira de
ensinar e ao uso da profissão;
• experienciais, conhecimentos próprios dos professores, a partir de
experiências repetidas;
• pedagógicos na ação, a partir do saber da experiência, ao se tornar público e
verificado por pesquisas em sala de aula.
Alunos Ensino
Conteúdo
D – H e B – S
2005
Figura 2 – Tipos de Saberes na Formação Docente de Gauthier
F
on te
:
Elaboração própria
Gauthier (1998) trata do saber docente de uma forma mais detalhada do que
Shulman (1986), subdividindo o conhecimento pedagógico e acrescentando o saber da
experiência como saber também a ser adquirido na formação docente. A base de
saberes, porém, continua a mesma: o saber científico, o saber pedagógico e o saber
curricular continuam a ser contemplados de acordo com as idéias de Shulman (1986).
Mizukami (2006) indica três áreas gerais do saber que os professores iniciantes
devem construir na formação (figura 3) a partir dos resultados das pesquisas
desenvolvidas por Darling-Hammond e Baratz-Snowden (2005):
• conhecimentos sobre os alunos, como aprendem e se desenvolvem;
• conhecimento da matéria e objetivos curriculares;
• conhecimento do ensino.
Figura 3 – Tipos de Saberes na Formação Docente de Darling-Hammond e Baratz-
Snowden
Teóricos
Educacionais
Experienciais
Pedagógicos
Ação
Curricular
Pedagógicos
tradição
Disciplinar
Gauthier
1998
Fonte: Elaboração própria
A primeira área abrange os conhecimentos e as habilidades dos alunos. Dessa
forma, os autores afirmam ser necessários o conhecimento da natureza construtiva do
ato de conhecer e como estabelecer a relação entre as experiências prévias dos alunos e
o novo conhecimento. Além disso, conhecer como os alunos processam as informações
implica conhecer: o que os alunos pensam, como pensam e quais as estratégias
necessárias e mais apropriadas para desenvolvimento do processo de aprendizagem
adequadamente.
A segunda área trata da necessidade do professor em identificar, no conteúdo
que ensina, os conceitos centrais que possibilitam a compreensão da matéria. É
necessário ainda que os professores saibam diagnosticar o que os alunos já sabem e o
nível de compreensão para delinear planos curriculares e desenvolvê-los de acordo com
as metas que considerem o conhecimento que os alunos já apresentam sobre o saber a
ser ensinado em sala de aula.
A terceira área diz respeito ao ensino do conteúdo. É necessário que o professor
domine o conhecimento específico da área, tenha conhecimento pedagógico do
conteúdo, de como ensinar alunos diferentes, de avaliação e sobre atividades
apropriadas de manejo de classe.
Em pesquisas mais recentes, como as de Darling-Hammond e Baratz-Snowden
(2005), o tripé básico citado anteriormente, advindo das idéias de Shulman (1986),
ainda continua a existir. O conteúdo científico e pedagógico passa a coexistir de
maneira integrada em um único saber. O saber curricular passa a ser contemplado diante
da visão relativa, e não mais absoluta, já que os conhecimentos prévios dos alunos
precisam ser considerados na formação do saber.
A contribuição passa a ser o conhecimento que o professor precisa ter sobre o
aluno e sobre os aspectos que lhe dizem respeito e que podem influenciar o processo de
aprendizagem.
1.4. A Aprendizagem docente
Diante dos saberes básicos do professor em formação, o processo da
aprendizagem precisa ser explicitado para que os objetivos da formação inicial sejam
alcançados. Dentre as várias perspectivas de pesquisas de formação de professores,
Nunes (2002) apresenta a vertente que investiga a perspectiva do desenvolvimento e da
aprendizagem adulta.
A autora, baseada na perspectiva teórica de pesquisas, apresenta as
características básicas de aprendizes adultos:
• capacidade de autogerenciar e autodeterminar a aprendizagem;
• acúmulo de várias experiências como recurso para aprendizagem;
• orientação de desenvolvimento para competências sociais e profissionais;
• avaliação de progressos tendo em vista as metas estabelecidas e a preferência
por aprender por meio de resoluções de problemas.
Dessa forma, o ensino, na formação dos professores, contempla aspectos da
aprendizagem pautada em situações específicas, que consideram a natureza e a
aprendizagem adulta.
Blanco (2003) apresenta características de ensino que possibilitam essa
aprendizagem, dentre elas:
• valorização do conhecimento e das crenças dos futuros professores;
• interpretação das experiências a partir de estruturas conceituais para
ampliar e modificar os conhecimentos;
• mobilização do processo social-interativo entre grupos de pessoas;
• valorização da participação ativa do aluno diante de proposta de
desenvolvimento de atividades significativas e de resolução de problemas.
Os processos de aprender a ensinar, de aprender a ser professor, segundo
Mizukami (2006), são lentos, iniciam-se antes da formação inicial, e se prolongam por
toda a vida. Tanto a escola como outros espaços de conhecimento são contextos a serem
considerados na aprendizagem da docência.
A literatura para a compreensão do processo vem indicando algo mais do que
Blanco (2003) apresenta. A reflexão como processo de questionamento sobre a prática
com o objetivo de superar desafios e problemas também precisam ser considerados.
Além disso, a aprendizagem docente precisa ser situada e socialmente distribuída a fim
de que os diferentes tipos de conhecimentos componham gradativamente a base de
conhecimento do futuro professor.
Assim, para Mizukami (2006), a organização das situações de ensino capazes de
possibilitar aprendizagens de alunos diferentes, de trajetórias pessoais e culturais
diversas, e a construção de conhecimentos de ensino dos diferentes componentes
curriculares, são pontos centrais em qualquer processo formativo da docência e
importantes para se preparar professores que propiciem aos alunos condições adequadas
de aprendizagem.
O foco deste trabalho se concentra na formação inicial do professor de
matemática tendo em vista o desenvolvimento de saberes matemáticos. Dentre eles,
destacam-se os saberes de conhecimentos dos alunos e do conhecimento da matéria
desenvolvidos por Darling-Hammond e Baratz-Snowden (2005), apresentados por
Mizukami (2006).
A escolha se justifica pelo fato de os autores contemplarem a formação de
professores, diante da compreensão da relação entre os conhecimentos prévios dos
alunos e o novo conhecimento. A valorização dos saberes matemáticos se apresenta
como marco inicial do desenvolvimento da pesquisa.
Além disso, os autores defendem a tese de que o professor necessita identificar,
no conteúdo, os principais conceitos que possibilitam sua compreensão. A proposta é
utilizada como aspecto principal da pesquisa. O estudo dos conceitos matemáticos, na
formação inicial do professor da área, pode contribuir para que o aluno em formação
possa atribuir aos conceitos matemáticos a mesma importância de seus procedimentos.
A pesquisa sofre influências das idéias de Blanco (2003) e Mizukami (2006).
Por se tratar de aprendizagem docente, no período das intervenções, é enfatizada a
participação ativa dos alunos diante do processo social interativo entre eles. Além da
prática da reflexão e do questionamento dos conceitos de cada atividade, possibilitando
não só a reflexão sobre o pensamento dos colegas, mas, sobretudo, uma reflexão sobre o
próprio pensamento.
2. OS SABERES NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
O objetivo deste capítulo é apresentar, diante da perspectiva histórica, o
surgimento da formação de professores de matemática no Brasil, a evolução das
pesquisas nacionais e internacionais sobre o tema, bem como as concepções e os saberes
dos licenciandos em matemática.
O estudo realizado do desenvolvimento histórico da formação do professor de
matemática, no Brasil, procura evidenciar conforme trabalhos de Valente (2005), as
transformações, na década de 1930, que perduram até hoje. Com a formação dicotômica
do professor de matemática, os problemas da compreensão científica começam a surgir
e a se agravar com os anos. As pesquisas nacionais e internacionais surgem justamente
nesse período, entre a década de 1960 e 1970, em busca de compreender a formação de
professores, inclusive a dos professores de matemática.
Os trabalhos de Paiva (2002), Sztajn (2002) e Ferreira (2003) caracterizam as
pesquisas internacionais, na evolução que parte da solução de problemas práticos, na
década de 1960, passa pela busca da eficácia do ensino, na década de 1970 e chega aos
anos 1990 com o objetivo de compreender o pensamento do professor, crenças,
concepções e valores a partir do estudo do saber do profissional.
As pesquisas brasileiras sobre a formação de professores são apresentadas na
mesma lógica de pensamento. Os trabalhos de Ferreira (2003) e as pesquisas
organizadas por Nacarato e Paiva (2006) revelam evolução semelhante das pesquisas
internacionais. As pesquisas de compreensão da estrutura dos cursos de licenciatura, na
década de 1970, evoluem para compreensão mais subjetiva do professor em formação,
com enfoques em saber docente, desenvolvimento profissional, aprendizagem do
professor e a constituição de sua subjetividade e identidade.
Em relação especificamente ao saber matemático, as pesquisas de Ponte (1992),
Brito e Alves (2006), Pires, Silva e Santos (2006) denotam similaridades e indicam a
concepção do professor de Matemática voltada para o aspecto absolutista e
instrumental, em que o conhecimento é mais valorizado do que o ensino desse
conhecimento. Outro aspecto se baseia na concepção do professor do saber necessário
na relação ensino-aprendizagem, a partir da dissociação entre teoria e prática,
caracterizando o paradigma da racionalidade técnica. Considera-se que a formação das
concepções dos licenciandos em matemática seja causada pelos aspectos dicotômicos da
formação.
2.1. A evolução histórica da Formação dos Professores de Matemática no Brasil
De acordo com Valente (2005), a Matemática do século XVII é utilizada para
suprir as necessidades de práticas de guerra e de defesa do território colonial como
ingrediente da formação militar. Em 1808, com a vinda da Corte Portuguesa para o
Brasil, estabeleceram-se a Academia Real dos Guardas-Marinha e Academia Real
Militar. Os cursos das Academias contemplavam Aritmética, Álgebra e
Geometria/Trigonometria com base em compêndios franceses, por professores militares
brasileiros e portugueses. Dessa forma, os professores tornavam-se autores de livros
didáticos de Matemática, em liceus e cursos preparatórios do período. O status do
professor de Matemática é técnico ministrando cursos especializados para líderes
militares.
Com a criação dos cursos jurídicos em Olinda e São Paulo, em 1827, a
Matemática constitui saber de cultura geral da escola, sendo a Geometria o
conhecimento mais valorizado. Assim, de acordo com o autor, os militares professores
de Geometria passam a ter público voltado também para os cursos jurídicos e para
escolas de medicina. Pela situação imposta, os professores da ciência matemática se
multiplicam provenientes de escolas militares e politécnicas, do colégio Pedro II e de
outros poucos estabelecimentos oficiais das diferentes províncias. Os professores são
para formar o grupo social de poder político e econômico do período imperial.
Com a Independência e a instauração do regime político-republicano, poucas
mudanças se dão. Os professores da cátedra de Matemática são admitidos por concursos
idênticos aos realizados para ingresso no magistério de ensino superior com defesa de
tese, prova escrita e prova didática, considerada mais como avaliação oral do que
propriamente avaliação de condições para ser professor. Os candidatos, segundo
Valente (2005), são alunos egressos dos cursos de engenharia, e, para ser professor
catedrático de Matemática do ensino secundário, o candidato deve caracterizar-se muito
mais como matemático do que como professor.
O Brasil se caracteriza como um país de milhões de analfabetos. Vive, segundo
Nagle (2001), o período de entusiasmo pela educação, acreditando que pela
multiplicação das instituições escolares, é possível incorporar grandes camadas da
população em direção ao progresso nacional, e do otimismo pedagógico, depositando,
no escolanovismo, a responsabilidade da verdadeira formação do novo homem
brasileiro. O objetivo é romper as estruturas oligárquicas agrárias de analfabetismo e
ignorância. O processo de modernização é urgente para que a civilização agrário-
comercial se torne urbano-industrial.
Em 1924, com a fundação da Associação Brasileira de Educação, as discussões
das questões educacionais se fazem mais presentes. De acordo com Schwartzman,
Bomeny e Costa (2000), a grande bandeira do movimento pela educação é a discussão
sobre a escola pública, universal, gratuita e leiga. A função da educação é formar
cidadãos livres e conscientes a serem incorporados no que os autores denominam de
“grande Estado Nacional” (SCHWARTZMAN; BOMENY; COSTA, 2000, p. 70). O
movimento pela Escola Nova adota princípios pedagógicos não autoritários, não
repetitivos, aproximando-se de processos mais criativos de aprendizagem.
Assim como no século XVII, o professor de Matemática desempenha o papel de
formador dos que detêm o poder econômico como forma de garantia de perpetuação
desse status. As discussões e propostas de mudança da educação brasileira se tornam
mais ativas a partir da Reforma Francisco Campos de 1927, caracterizada a princípio,
segundo Vidal e Faria Filho (2002), pela reforma do ensino primário, técnico-
profissional e Normal, em Minas Gerais.
Com o objetivo de renovar a educação, o Departamento Nacional de Ensino e a
Associação Brasileira de Educação aprovam e apóiam, em 1928, a iniciativa do diretor e
professor catedrático em Matemática do Colégio Pedro II, Euclides Roxo, a renovação
do ensino da Matemática. Ele pretende fazer com que a Matemática brasileira
acompanhe a evolução da Matemática mundial. Preocupa-se em dar tratamento
diferenciado ao ensino, tornando as idéias brasileiras do conhecimento o mais atual
possível. Busca ainda, entrelaçar os três conhecimentos matemáticos: Aritmética,
Álgebra e Geometria, separados até então.
A renovação do ensino de Matemática, no secundário, implica também renovar a
formação dos professores da área de atuação. De acordo com Valente (2005), Euclides
Roxo destaca a necessidade que o país tinha em estruturar a formação do professor
secundário em Matemática, é que, apresentando conhecimento profundo na área, nada
compreendia de ensino. Para Roxo há a necessidade de criar a escola normal para
professores secundários, nos moldes americanos, formando-os em uma cultura
especializada, com conhecimentos de psicologia infantil, de novas metodologias e de
pedagogia.
Com a Revolução, na década de 1930, diante da necessidade do novo governo
em realizar reformas urgentes para obtenção de mais apoio à revolução, as modificações
ocorridas do Colégio Pedro II devem ser estendidas aos demais estados da federação,
configurando uma “mudança concreta, de boa visibilidade e de apelo popular”
(BRAGA, 2006, p. 72).
Em 1934, com a fundação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP
e, em 1939, com a fundação da Faculdade Nacional de Filosofia, no Rio de Janeiro, são
criados os primeiros cursos de formação do professor secundário, servindo de modelo
para outros cursos do país constituídos pela formação do Bacharel em 3 anos e para a
formação do Licenciado em 1 ano. Assim, o professor de Matemática, como afirma
Valente (2005), tem uma formação de Matemática, em 3 anos e, de Didática em 1 ano,
tornando-se Bacharel e Licenciado em Matemática.
Apesar da oficialização, a discriminação, em relação à Licenciatura, é grande.
Valente (2005, p. 15) afirma que “os próprios catedráticos da subseção de Matemáticas
se encarregam de difundir junto aos alunos a tese da inutilidade dos estudos
pedagógicos”. Diante de críticas sobre a renovação do ensino da Matemática e de
pressões políticas subseqüentes, é que, sob a forma legislativa, atesta-se o fracasso da
nova reforma do ensino, a partir da promulgação em 1942, com a Reforma de Gustavo
Capanema, da separação dos ramos da Matemática, descartando a idéia de fusão de
conteúdos, como evidencia Valente (2002).
Os conhecimentos de Aritmética, Álgebra e Geometria são ensinados
conjuntamente, em cada série e de forma independente, com a inserção de gráficos e
textos com biografias de cientistas, sem grandes modificações na concepção do ensino
da Matemática.
As mudanças influenciam de forma diferenciada, cada estado brasileiro. No
Ceará, as mudanças levam, em 1944, ao Ministério da Educação o encaminhamento da
proposta de refederalização da Faculdade de Direito do Ceará. A iniciativa suscita a
autorização do funcionamento, em 1947, da Faculdade Católica de Filosofia do Ceará
responsabilizando-a também pela formação Matemática e pedagógica dos professores
do ensino secundário.
A Lei no. 8.423, de 3 de fevereiro de 1966 (CEARÁ, 2006) encampa a
Faculdade Católica de Filosofia do Ceará sob a denominação de Faculdade de Filosofia
do Ceará. Subordinada à da Secretaria de Educação e Cultura, a faculdade tem como
obrigação manter os cursos de Letras, Geografia, História, Pedagogia, Filosofia e
Matemática, no turno da noite. Observa-se que ainda não existia o curso de formação
específica do professor de Matemática, determinando a dicotomia entre conteúdos
científicos e pedagógicos. Em 18 de outubro de 1973, a Lei no. 9.753 autoriza o Poder
Executivo a instituir a FUNEDUCE.
Após dois anos da resolução no. 2, de 05 de março de 1975, referendada pelo
Decreto no. 11.233 que a Universidade Estadual do Ceará é criada. O fato se dá pela
reunificação das Escolas de Enfermagem São Vicente de Paula, de Serviço Social e da
Faculdade de Filosofia do Ceará, do Conservatório de Música Alberto Nepomuceno e
da Faculdade de Filosofia Dom Aureliano Matos em Limoeiro do Norte. Sua instalação
é concretizada apenas em 1977, com atenção aos cursos considerados mais necessários
ao desenvolvimento do Estado, dentre eles, de Ciências Tecnológicas, que inclui o curso
de Matemática e Ciências Sociais, com inclusão do curso de Pedagogia (UECE, 2007).
A formação do professor de Matemática continua até a década de 1970, a
apresentar característica voltada para a valorização dos conhecimentos específicos
matemáticos, em detrimento dos conhecimentos pedagógicos e, até mesmo, da inter-
relação entre eles. Até a década de 1990, essa configuração dicotômica, na formação do
professor de Matemática, perdura. Nos cursos de Licenciatura em Matemática, as
disciplinas específicas são estudadas nos primeiros três anos, para que as disciplinas
pedagógicas se ministrem no último ano da graduação, seguidas do estágio
supervisionado.
A dissociação entre Licenciatura e Bacharelado não é a única, as disciplinas
específicas Matemáticas também são estudadas separadamente, sem interconexões entre
conhecimentos algébricos, geométricos e aritméticos. Em face da problemática da
formação de professores e do aumento da quantidade de crianças, nas escolas, os
problemas de compreensão da matemática tornam-se mais explícitos. O significado do
saber matemático se vincula ao fato de ser conhecimento de difícil acesso, restrito aos
poucos com capacidade de compreendê-lo.
Para o estudo dessa problemática e a busca de soluções, as pesquisas, nacionais e
internacionais, têm suas contribuições. Compreender a formação de professores e como
se processa, inclusive para professores de matemática, é o grande desafio dos
pesquisadores.
2.2. As pesquisas Internacionais sobre a Formação do Professor de Matemática:
perspectiva histórica
As pesquisas internacionais da formação de professores de Matemática iniciam
na década de 1970 incentivadas pelos estudos na área de formação de professores que
vinha se desenvolvendo desde a década de 1960, impulsionadas pelas transformações,
na década de 1980, atualmente com ênfase em estudos em ascensão.
Segundo Ferreira (2003), a formação de professores da década de 1960 é
estudada nos cursos de licenciatura ou de programas emergenciais voltados para a
solução de problemas práticos. A educação e pesquisas são pouco valorizadas pelas
políticas públicas vigentes.
Na década de 1970, a pesquisa educacional baseia-se em estudos experimentais
quantitativos para avaliar diferentes métodos de treinamento de professores. O objetivo
é “modelar o comportamento do professor e examinar os efeitos de determinadas
estratégias de ensino” (FERREIRA, 2003, p. 21). A busca caracteriza um ensino
eficiente. O paradigma dominante desse período se fundamenta no paradigma processo-
produto pela compreensão da influência dos elementos do processo de ensino-
aprendizagem a fim de garantir produto eficiente. A crítica às pesquisas se baseia na
utilidade dos resultados por parte dos políticos, formadores, professores, escolas,
administradores escolares, e, pelo fato de não ter alcançado a eficácia desejada.
Na década de 1980, Ferreira (2003) indica que as pesquisas educacionais já se
pautavam em métodos naturalistas ou interpretativos de investigação. O foco das
temáticas também se modifica. O pensamento do professor, bem como as influências do
curso de formação de professores sobre seu desenvolvimento moral e cognitivo, aos
poucos, substituem a visão tecnicista da década anterior. Sztajn (2002) afirma que os
pesquisadores buscam entender o efeito do professor nos alunos. O foco das pesquisas
de comportamento do professor e eficácia do ensino não discute o saber disciplinar de
cada um.
Com o objetivo de elevar os padrões educacionais diante das reformas da
educação, as idéias sobre a formação de professores, na segunda metade da década de
1980, tornaram-se díspares. De um lado, pesquisadores se preocupam com a formação
como treinamento e investigam as habilidades específicas do profissional experiente na
escola. De outro lado, grupos de pesquisadores se preocupam com a formação na
perspectiva educativa e buscam investigar o pensamento dos professores, crenças,
concepções, valores, considerando como fator fundamental para essa formação a
cognição e o contexto do ensino.
A pesquisa do segundo grupo prevalece. As perguntas centrais mudam de foco e
busca-se compreender o que os professores conhecem sobre os conteúdos, o
conhecimento essencial para o ensino e quem produz esse conhecimento. Segundo
Sztajn (2002), as pesquisas explicitam o que os professores entendem e como
processam as informações que recebem. É perceptível que as teorias formuladas estão
voltadas para a importância do conhecimento do professor.
Os trabalhos de Shulman (1986) impulsionam os estudos da eficácia do
professor e os estudos dos processos de pensamento do docente, ao considerar a questão
disciplinar e os aspectos particulares do ensino de disciplina específica. Diante dos
fatos, para ser professor eficaz, ele deve desenvolver diversos saberes, em particular, o
saber pedagógico-disciplinar, inclusive o que querem que os alunos aprendam e as
melhores formas de ajudá-los na construção dos conceitos.
Mesmo com as mudanças, em muitos casos, de acordo com Ferreira (2003), os
estudos ainda enfatizam as inconsistências e a inadequação do professor,
proporcionando uma visão descontextualizada do que pensa o profissional.
As pesquisas, na área da formação de professores de Matemática, nesse período,
revelam que, no caso específico da Matemática, houve maior dificuldade de
acompanhamento das mudanças dos teóricos e pesquisadores. Paiva (2002) indica que
saber conteúdos matemáticos é condição necessária e suficiente para ser um bom
professor. Assim, pelas idéias de Shulman (1986), o professor de Matemática precisa
desenvolver:
• domínio amplo da matéria, diversificado, em variados enfoques;
• conhecimento epistemológico do assunto a fim de garantir autonomia
intelectual a partir da construção do próprio currículo;
• capacidade de transformação do conhecimento adquirido em algo
significativo e esteja em nível das habilidades e conhecimentos dos alunos.
Na década de 1990, as pesquisas de formação de professores se consolidam em
dois focos apresentados por Ferreira (2003):
• processo de aprender a ensinar dos professores;
• crenças, concepções e valores dos profissionais.
O objetivo, no momento, é analisar os processos de mudança e as inovações
mediante informações baseadas nas organizações, currículo, nas didáticas e nos próprios
profissionais. Esses processos devem “considerar o impacto que as inovações possam
ter sobre as crenças e os valores dos professores” (FERREIRA, 2003, p. 25). O
professor deixa de ser visto como objeto passivo de estudo e passa a ser considerado
como profissional capaz de pensar, refletir e articular a prática, diante de valores,
crenças e saberes, elemento fundamental do processo de formação e mudança.
Paiva (2002) acrescenta ainda que os pesquisadores começam a valorizar os
saberes da experiência adquiridos na formação e vida profissional. Além disso, iniciam
o processo que vem se fortalecendo ainda hoje, nas pesquisas de formação de
professores e o desenvolvimento profissional do professor. Conhecer como os saberes
se constróem e se desenvolvem é tão importante quanto conhecer os conhecimentos e
saberes dos professores.
No início da década de 1990, a discussão na Educação Matemática, relacionada
aos saberes dos professores, considera, de acordo com Sztajn (2002):
• o conhecimento específico matemático;
• o conhecimento do fazer matemático;
• o conhecimento emocional desenvolvido a partir da autopercepção
apresentada pelo indivíduo, na relação com o conteúdo como dimensões
inter-relacionadas do saber matemático.
Assim, para pesquisadores da época, o saber explícito do professor se articula à
concepção de Matemática e natureza da disciplina. Os pesquisadores criam
oportunidades para exploração do conhecimento conceitual do professor em diferentes
contextos.
Outro pensamento no início da década de 1990 evidencia que o saber do
professor precisa ser compreendido como saber integrado, contemplado em diversas
dimensões, conforme Sztajn (2002):
• conhecimento matemático do professor;
• conhecimento das representações matemáticas;
• conhecimento dos alunos;
• conhecimento de como ensinar e do processo de tomada de decisão em sala
de aula.
Pelo estudo das dimensões, pode-se compreender “como o professor transforma
seu saber disciplinar em saber ensinável” (SZTAJN, 2002, p. 22). Assim, o
conhecimento do professor, dos alunos e processos cognitivos, a escolha das atividades
para o ensino de conceitos matemáticos, bem como a dimensão de domínio,
familiaridade e relação do professor com o conteúdo matemático em si, são aspectos
abordados nas pesquisas que investigam e compreendem a formação do professor de
Matemática.
As pesquisas desse período revelam que o professor, com domínio do
conhecimento matemático e conhecimento pedagógico, é um profissional mais flexível
nas decisões em sala de aula, capaz de escolher tarefas mais apropriadas ao
desenvolvimento de discussões matemáticas significativas. Além disso, a utilização de
material curricular renovado pode influenciar positivamente a concepção do conteúdo
matemático de professores experientes, assim como o trabalho reflexivo e colaborativo.
A evolução das pesquisas internacionais, na área da Educação, influenciou as
pesquisas na formação de professores, sobretudo, na formação de professores de
Matemática. Ao considerar o profissional como ser ativo, diante do conhecimento que
apresenta, de sua experiência prática e dos aspectos subjetivos intrínsecos, as pesquisas
avançaram não só em quantidade, mas, sobretudo, em qualidade.
Ainda assim, os resultados não conseguem explicar, de uma maneira global,
como acontece a aquisição do saber pelo professor diante da diversidade de fatores
racionais e emocionais que influenciam o processo. Além disso, os resultados das
pesquisas são pouco utilizados nas instituições de ensino que se propõem a desenvolver
o trabalho de formação de professores. Certamente a efervescência das discussões
acerca do tema, no mundo exterior, influenciou e contribuiu para as discussões no
Brasil. A evolução das pesquisas brasileiras de formação do professor, mais
especificamente, a formação do professor de Matemática, é apresentada a seguir.
2.3. As pesquisas Nacionais sobre a formação do professor de Matemática:
perspectiva histórica
A preocupação dos pesquisadores brasileiros, com relação à formação dos
professores de Matemática, tem início na década de 1970 com os primeiros trabalhos
desenvolvidos em programas de pós-graduação em educação, no mesmo paradigma das
pesquisas internacionais da área. Os objetivos das pesquisas são:
• estruturar os cursos de licenciatura em Matemática;
• desenvolver pedagogia voltada para a prática de ensino e o estágio
supervisionado;
• desenvolver programas caracterizados como módulos de ensino;
• estudar a influência do professor sobre o aluno;
• investigar a eficiência no treinamento dos professores.
Para isso, utilizam metodologia descritiva, exploratória e diagnóstica, mediante
instrumentos estruturados, questionários, entrevistas, exercícios de alunos, testes e
documentos. Os resultados genéricos destacam o desempenho dos indivíduos estudados
fazendo uso de medidas estatísticas com ênfase no aumento das competências dos
professores.
As pesquisas iniciadas na década de 1980, além de se caracterizarem em
paradigma positivista pela investigação restrita aos programas de licenciatura, fazem-se
de maneira escassa. O foco das pesquisas volta-se para o treinamento e formação de
professores de Matemática. De acordo com Ferreira (2003), as pesquisas se subdividem
em quatro categorias:
• avaliação de cursos de licenciatura;
• atitudes dos professores de Matemática diante das novas tecnologias;
• concepções e percepções dos professores de Matemática;
• prática pedagógica dos professores de Matemática.
Com a mudança de paradigma das pesquisas internacionais, as pesquisas
brasileiras também começam um processo de transformação de investigação do
treinamento e formação de professores. Ferreira (2003) afirma que estes aspectos
começam a ser contemplados nas investigações:
• contexto do professor, realidade e necessidades da comunidade da qual faz
parte;
• habilidade e competência do professor em elaborar projetos;
• diferentes experiências vivenciadas pelo professor no ensino da Matemática;
• visão crítica da avaliação dos cursos de licenciatura;
• conhecimentos dos licenciandos;
• opiniões de professores e futuros professores sobre dificuldades na
elaboração metodológica.
O paradigma do pensamento do professor, nas pesquisas internacionais, sobre o
tema, aparece nas pesquisas brasileiras lentamente fazendo com que a atenção dos
pesquisadores se volte para as “cognições dos professores acerca de sua própria
formação” (FERREIRA, 2003, p. 29).
Na década de 1990, a investigação dos programas de formação de professores
persiste e se intensifica. As pesquisas buscam a identificação dos problemas e
obstáculos de formação, avaliação de programas institucionais, discussão de questões
polêmicas e proposição de novos rumos em novas perspectivas. As pesquisas também
sofrem transformações nesse período. Ferreira (2003) destaca os tipos básicos:
• discussão sobre as conseqüências de determinadas teorias nos cursos de
formação de professores;
• descrição do processo de formação com ênfase nos materiais de referência
utilizados na formação, no perfil dos profissionais, nas sugestões de trabalho
e nos materiais alternativos;
• construção coletiva do conhecimento, currículo e atividades.
A metodologia se pauta nos estudos de caso descritivo-analíticos, com ou sem
tratamento estatístico, nos estudos fenomenológico-hermenêuticos, crítico-dialéticos,
nas pesquisas participantes e nos estudos histórico-descritivos. A nova tendência de
investigações da formação dos professores faz eclodir o trabalho colaborativo, as
considerações da produção acadêmica brasileira na área e o processo de formação
acadêmica de professores de Matemática.
As mudanças, na década, são de perspectiva. Em anos anteriores, enquanto a
busca era compreender a estrutura dos cursos de licenciatura, as disciplinas, estratégias
mais eficazes, as tecnologias emergentes diante da visão, das concepções e crenças dos
licenciandos e professores de Matemática, agora é pela compreensão da reflexão do
professor, pela investigação do trabalho colaborativo e da relação dialética entre teoria e
prática.
As pesquisas brasileiras refletem, segundo Ferreira (2003), tendência de
mudança mundial no modo como a formação inicial é estudada e desenvolvida. Dessa
forma, a formação de professores passa a ser compreendida como processo contínuo,
em que o professor aprende a ensinar diante da visão de inter-relação entre teorias,
princípios e modelos. Os estudos de formação consideram o professor objeto de estudo
que desenvolve o processo de mudança de fora para dentro, esforçando-se para
assimilar conhecimentos em base teórica.
As pesquisas internacionais de formação do professor indicam nova tendência de
sua compreensão por meio do paradigma do desenvolvimento profissional. Por esses
aspectos, os pesquisadores se dedicam a compreender quem é o professor de
Matemática, como pensa e como se relaciona com sua prática, evidenciando a busca
pela compreensão das mudanças internas do professor como objeto de estudo.
A partir de 2000, são criados no Brasil encontros para divulgação de pesquisas
sobre Educação Matemática, como o caso do SIPEM, estruturado por grupos de
trabalho, com o objetivo de reunir pesquisadores de instituições nacionais e
internacionais para compartilhar pesquisas e formar parcerias. As tendências e
perspectivas das pesquisas de formação de professores de Matemática vão evoluindo a
cada encontro. No 1º encontro ocorrido em 2000, apresentam-se apenas três trabalhos
dos 19 inscritos sobre “saber docente”. O 2º encontro, em 2003, apresenta, de acordo
com Nacarato e Paiva (2006), três focos temáticos:
• o professor como produtor de saberes;
• o professor como agente de sua própria formação;
• o professor e a pesquisa.
Em relação ao primeiro, os autores destacam a influência dos trabalhos de
Shulman (1986) e Zeichner (1998) para as discussões sobre os saberes na formação do
professor de Matemática. Em relação ao segundo, os autores destacam a nova tendência
de estudos na área de formação de professores: o desenvolvimento profissional. Os
temas mais discutidos foram os trabalhos coletivos e colaborativos. Já no terceiro, a
ênfase das discussões se volta para a formação dos formadores de professores.
De acordo com Nacarato e Paiva (2006), as pesquisas não devem enfatizar
somente a relação entre profissão docente e saberes, ou desenvolvimento profissional,
mas ampliar o foco de estudo contemplando inclusive os processos de aprendizagem do
professor, a constituição de sua subjetividade e de sua identidade.
Em relação aos procedimentos metodológicos, as pesquisas devem articular o
referencial teórico adotado e a dinâmica discursiva e referenciar os instrumentos por
meio da descrição detalhada dos procedimentos metodológicos utilizados.
2.4. As concepções dos licenciandos sobre o saber matemático
Pelas tendências das pesquisas sobre a formação de professores de Matemática,
verifica-se que o saber matemático vai além do conhecimento específico do conteúdo,
perpassa também pelos valores, crenças e concepções dos professores como objeto de
estudo. O levantamento prévio das concepções pode auxiliar na compreensão da relação
do professor com o saber matemático.
Ponte (1992) afirma que a concepção dos professores de Matemática, do saber
matemático, na maioria, é absolutista e instrumental, já que a acumulação de fatos,
regras, procedimentos e teoremas se tornam mais valorizados do que os aspectos de
ensino dos conteúdos. Existem profissionais que assumem a concepção dinâmica do
saber, considerando a Matemática como domínio em evolução conduzido por problemas
e sujeito a revisões significativas.
Para o autor, os professores sabem pouca Matemática, o conhecimento é
limitado e pouco profundo; apresentam ainda cultura Matemática reduzida, sabem
pouco sobre sua História e Filosofia, e, suas principais áreas de aplicação. Os resultados
de pesquisas, em Portugal, revelam que os professores apresentam dificuldade em falar
sobre suas concepções da Matemática já que não têm o hábito da reflexão; apresentam
uma visão geral e periférica do domínio escolar, e uma crise de identidade, não se
percebem como matemáticos, nem como engenheiros.
Brito e Alves (2006), ao analisar a reformulação dos saberes pedagógicos,
disciplinares e curriculares pelos licenciandos em Matemática, em Didática da
Matemática, na UFRN, percebem que os professores têm concepções diferenciadas do
saber matemático:
• a concepção da Matemática como potencialidade para o desenvolvimento do
raciocínio lógico;
• a concepção histórica e instrumental;
• a concepção de que a Matemática é de difícil compreensão e destinada a
poucas pessoas.
Uma concepção foi se desenvolvendo no grupo, na aplicação da pesquisa. Os
licenciandos percebem que existe de fato a Matemática na vida diária das pessoas e é
dever do professor explicitar aos alunos as relações entre Matemática do cotidiano e
Matemática formal. A concepção dos futuros professores sobre o processo ensino-
aprendizagem está pautada:
• na transmissão do conhecimento do professor para o aluno com a visão de
que o professor é o detentor do saber;
• na dissociação entre teoria e prática com uma visão baseada no paradigma da
racionalidade técnica de formação de professores;
• na desvinculação entre as teorias estudadas e a organização escolar;
• na utilização do livro didático como recurso que direciona o trabalho docente.
Pires, Silva e Santos (2006), em pesquisa com os coordenadores dos cursos de
licenciatura, no Brasil, constatam que a preocupação dos profissionais está voltada para
os conhecimentos que os alunos trazem para a Universidade. O aluno, para os
profissionais, precisa ter a visão de professor dos conteúdos básicos e não mais a visão
de aluno, já que seus conhecimentos são ainda muito frágeis.
Os objetivos dos cursos de licenciatura pautam-se na revisão e nivelamento dos
alunos iniciantes, muito mais como uma retomada para amparar outras disciplinas do
curso do que propriamente para revisar os conteúdos sob a perspectiva de docente. De
acordo com as percepções dos coordenadores sobre o público, os licenciandos em
Matemática, os autores revelam que as concepções básicas dos alunos sobre o saber
matemático se apresentam de duas formas:
• ensinar Matemática depende do quanto se sabe sobre Matemática e não sobre
o ensino de Matemática;
• ensinar Matemática depende do quanto se pode articular conhecimento
matemático e pedagógico, a Matemática e o ensino.
Concluem, então, que saber conteúdo específico não significa saber ensiná-lo.
Apesar de as buscas em pesquisas de formação de professores de Matemática
estarem voltadas para a compreensão mais subjetiva do professor, nos variados aspectos
formativos, os resultados de concepção dos licenciandos sobre o saber matemático
revelam um pensamento ainda voltado para o paradigma tecnicista da década de 1970.
O processo de transformação ocorre lentamente para as pesquisas brasileiras e para a
reflexão e incorporação dos resultados nas instituições de ensino superior.
Ao constatar que a formação do professor de matemática apresenta configuração
dicotômica entre disciplinas pedagógicas e matemáticas e, até mesmo, entre as
disciplinas matemáticas entre si, é de se esperar que os licenciandos apresentem também
perspectiva dicotômica em relação à própria formação. Mesmo com as contribuições
das pesquisas nacionais e internacionais, na área da formação de professores e
respectivas evoluções e conquistas, a modificação do paradigma tem acontecido lenta e
gradualmente.
Nessa situação, este trabalho se utiliza de sugestões de pesquisadores que
estudam a formação do professor de matemática. A importância de construção e
desenvolvimento dos saberes matemáticos dos licenciandos, a exploração de seus
conhecimentos conceituais, a busca pela compreensão das transformações cognitivas
inerentes ao desenvolvimento do futuro professor são aspectos contemplados neste
trabalho.
Assim, em face da proposta de Nacarato e Paiva (2006), esta pesquisa procura
descrever os processos cognitivos dos licenciandos na aprendizagem docente, por meio
do estímulo da reflexão e de visão mais profunda do conteúdo escolar. A tentativa busca
minimizar os problemas apresentados por Ponte (1992), sobre os saberes dos
licenciandos em matemática.
3. O CONCEITO DE FUNÇÃO: SABER ESPECÍFICO NA FORMAÇÃO DO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Este capítulo tem como finalidade apresentar, dentre os diversos saberes de
Matemática, o saber específico do conceito de função. São apresentadas, a princípio,
não só as dificuldades dos alunos da Educação Básica e Superior, na compreensão do
conceito de função, mas também as dificuldades dos matemáticos, bem como as
dificuldades dos próprios professores ao deparar com situações que necessitam desse
conceito.
Sierpinska (1992) revela, em estudos epistemológicos, que o conceito de função,
até alcançar o século XX, passa por diversos obstáculos: problemas relacionados à
utilização do conceito na prática, problemas numéricos, algébricos e geométricos. Para
os alunos da Educação Básica e Superior, diversos autores, entre eles Dubinsky e Harel
(1992), Artigue (1992), Rêgo (2000) e Pelho (2003), revelam muitas dificuldades na
compreensão desse conceito.
As dificuldades mais relevantes dizem respeito aos diferentes tipos de
representação das funções, às suas transformações, a trocas conceituais entre o conceito
de função e equação, aos conceitos de domínio, contradomínio e imagem de funções e a
distinção entre variáveis dependentes e independentes.
Carneiro, Fantinel e Silva (2003) e Rossini (2006) afirmam que os professores
em formação inicial e continuada, também apresentam erros conceituais nas concepções
do conceito de função, bem como dificuldades na compreensão. É importante ressaltar
que os problemas são semelhantes aos vivenciados pelos alunos da formação básica e
superior, o que leva a crer que seja necessário o auxílio do professor em formação, no
sentido de modificar sua concepção e de ressignificar os conceitos matemáticos,
sobretudo o conceito específico de função.
Está sendo contemplado, neste trabalho, o estudo das variáveis e das
representações algébricas a partir de situações que estimulem a reflexão do conceito de
função em várias frentes. A utilização de situações cotidianas e científicas e a resolução
de problemas são aquelas contempladas pelos autores citados. Outra frente que pretende
trazer contribuições inovadoras da problemática diz respeito à aprendizagem
significativa do conceito de função.
3.1. As dificuldades na compreensão do conceito de função
As dificuldades na compreensão do conceito de função estão longe de ser
problema específico dos alunos. Os próprios matemáticos, na evolução da ciência,
depararam-se com dificuldades que modificaram sua compreensão do conceito levando
a evoluções teóricas durante séculos, para serem estabelecidas e aceitas pela
comunidade acadêmica.
Professores de matemática, alunos da Educação Superior e alunos da Educação
Básica, assim como os matemáticos, também vivenciam as dificuldades na compreensão
do conceito de função.
São apresentadas, então, as dificuldades vivenciadas por todos os níveis
educacionais, de matemáticos, estudantes e professores, sobre a compreensão do
conceito de função diante de resultados de pesquisas, nacionais e internacionais, que
tratam do tema.
• As dificuldades epistemológicas
Os primórdios do conceito de função surgem com os babilônios e gregos, povos
que introduziram tabelas de relações numéricas para explicação de fenômenos naturais.
Entre os babilônios, as tabelas são construídas para relacionar quadrados e raízes
quadradas, bem como cubos e raízes cúbicas. Para os gregos, a noção de função é
estabelecida como relação especial entre entes geométricos.
Sierpinska (1992) apresenta, para esse momento, os primeiros obstáculos
epistemológicos sobre Matemática:
• a Matemática não se preocupa com problemas práticos;
• não se preocupa também com técnicas computacionais usadas na produção de
tabelas numéricas.
Na evolução do pensamento humano, no período aristotélico, a noção de função,
ainda expressa por meio de tabelas ou por verbalizações, identifica os processos de
alteração de quantidade e de qualidade de entes geométricos. A noção de função tem
sentido relacionado à “mudança” de fenômenos, porém, sem generalizações. A ação
mental de compreensão, segundo Sierpinska (1992) está relacionada com a identificação
dos sujeitos de mudança por meio de estudo dessas mudanças.
Deriva daí o terceiro obstáculo epistemológico:
• a preocupação das mudanças como fenômeno focado na mudança e não no
objeto que muda.
A partir do século XIII, cientistas europeus como Oresme, Galileu, Stevin e
Newton relacionam as pesquisas com a concepção de número. Galileu, por exemplo,
pautava-se nas mensurações, sobretudo nos estudos astronômicos. Oresme, por sua vez,
trabalhando com latitudes, atribui aos números coletados valor qualitativo, estudando,
inclusive, casos de dependência de quantidades variáveis.
A ação mental de compreensão da época pauta-se na generalização e síntese da
noção de número. Surge daí, o quarto obstáculo epistemológico:
• a compreensão do mundo de acordo com a filosofia Pitagórica em que tudo é
número.
Ao mesmo tempo, pensava-se também em quantidades e uma dúvida paira nas
mentes dos cientistas: como diferenciar os conceitos de número e quantidade? Surge
então nova ação mental de compreensão: discriminação entre as duas entidades.
Discriminar número e magnitude física, por exemplo, tem significado diferente da
percepção de relações entre leis físicas e funções Matemáticas. Assim, as sínteses da
noção de número e as discriminações entre número e quantidade são necessárias para
compreensão do conceito de função.
A partir do século XVI, a noção de função começa a ter novas representações.
Aliadas ao aspecto geométrico, as expressões algébricas adentram o universo científico
da época. Descartes define a noção de função segundo a equação em x e y que introduz
a dependência entre quantidades variáveis, permitindo calcular o valor de uma variável
em correspondência com o valor da outra.
Leibinz, em 1673, introduz a palavra função atribuindo-lhe o significado de
relação entre segmentos de retas e curvas. Bernoulli, em 1718, constrói a primeira
definição explícita de função de uma variável, definindo-a como quantidade composta
por essa variável e por constantes. Euler, em 1748, traz novo conceito que revoluciona a
Matemática. Utilizando a definição de Bernoulli, Euler substitui o conceito de
quantidade por expressão analítica, introduzindo assim o conceito algébrico para a
definição de função.
Vem daí a concepção de função baseada em relações descritas por fórmulas
analíticas, gerando o quinto obstáculo epistemológico:
• forte crença no poder das operações formais como expressões algébricas.
A ação mental de compreensão subseqüente expressa a necessidade de
discriminação entre uma função e as ferramentas analíticas utilizadas para descrição de
suas leis. No século XIX, Dirichlet, em 1837, constrói o conceito de função que traz
inovações a partir da restrição do domínio da função a um intervalo.
Assim, Dirichlet define função: “Se uma variável y está relacionada com uma
variável x de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra
segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é função da
variável x” (BRAGA, 2006, p.50).
Vem daí novo obstáculo epistemológico:
• a concepção de definição, considerada como uma descrição de um objeto, não
é lógica, nem determina o objeto.
A ação de compreensão diante desse obstáculo é a discriminação entre a
definição matemática e a descrição de objetos.
No século XX, na década de 30, Bourbaki traz nova concepção de função,
baseada na Teoria dos Conjuntos. O conceito de função é definido, de acordo com o
grupo de cientistas matemáticos, como operação que associa o elemento x de
determinado conjunto a um único elemento y de outro conjunto com o primeiro
relacionado. O ato de compreensão está relacionado com a discriminação entre os
conceitos de função e relação.
Com o Movimento da Matemática Moderna, na década de 60, do século XX, a
comunidade científica Matemática adota a concepção estrutural de função de Bourbaki.
A idéia de dependência funcional é eliminada do conceito de função, com tendência a
enfatizar as interpretações estruturais mais do que as processuais.
A construção do conceito de função dos matemáticos dá-se paulatinamente, ao
longo de séculos, conforme as exigências da vida cotidiana e científica.
• As dificuldades dos alunos da Educação Básica
A dificuldade em compreender o conceito de função não é apenas nacional.
Existem pesquisas internacionais que se propõem a descrever e explicar a situação do
aluno que não compreende o conceito de função e do professor que não sabe articular
conhecimentos para ensiná-lo.
As pesquisas com as dificuldades dos alunos do ensino básico e superior, por
professores de Matemática em formação inicial e continuada e por professores em
serviço, tiveram grande relevância a partir da década de 80.
Em revisão bibliográfica, Kieran (1992) apresenta resultados de pesquisadores
como Markovits (1983) e Bruckheimer (1986) que evidenciam dificuldade dos alunos
na passagem da forma gráfica das funções para a forma algébrica; Kerslake (1980),
Yerushalmy (1988) e Kaput (1988), que mostram em pesquisas, as dificuldades dos
alunos, em tarefas de interpretação de informações contidas em representações gráficas;
Freudenthal (1982), a importância de enfatizar a noção de dependência na construção do
conceito de função; e Cotret (1988) que denuncia a exclusão dos conceitos de variação e
dependência na apresentação das definições modernas de função, tornando o conceito
inacessível aos alunos do curso secundário já que não os permitem chegar à
compreensão intuitiva de função.
As pesquisas estão evoluindo na busca da compreensão das dificuldades do
conceito matemático, e na busca de investigação de situações que auxiliem o ensino e
aprendizagem. Akkoç e Tall (2002), em pesquisa com estudantes secundaristas,
concluem que o estudo de funções constantes evidencia perturbações na compreensão
do conceito de função ao associá-la ao conceito de variação. Além disso, o conceito de
função está baseado na definição coloquial de interligação de um conjunto de diagramas
e respectivos pares ordenados. Os gráficos e as fórmulas são compreendidos por meio
de exemplos conhecidos anteriormente.
Almeida e Scalon (2002), ao pesquisarem os fatores determinantes do ensino-
aprendizagem de funções Matemáticas em alunos de 8
ª
série de escolas públicas e
privadas da cidade de Três Corações – MG, concluem de forma quantitativa que, ao
final do ano letivo, a maioria dos alunos não domina totalmente o conceito de função.
As pesquisas de Moura e Moretti (2003), sobre aprendizagem do conceito de
função com estudantes de 8
ª
série, de escola pública paulista, que ainda não tinham
estudado tal conceito, denotam que a grande dificuldade se encontra no fato de os
alunos não conseguirem generalizar os problemas por meio de formalização da
linguagem.
Os estudos de Pelho (2003) com estudantes do 2º ano do Ensino Médio que já
haviam estudado função na série anterior, constatam primeiramente que os alunos
chegam ao Ensino Médio sem compreensão do conceito. Além de o conceito ser de
difícil apreensão pelos alunos, estes preferem trabalhar com função utilizando a
representação de expressões algébricas ou de relações numéricas. Porém, ao apresentar
respostas a questões relacionadas ao conceito matemático, fazem-no por meio de
linguagem natural, carente de clareza e rigor.
Lopes (2003), por sua vez, desenvolvendo pesquisa com os alunos de 8ª série,
em escola da periferia do Estado de São Paulo, verifica que os alunos apresentam
dificuldades na interpretação da representação gráfica e de sua conversão para a
linguagem algébrica.
São muitas dificuldades do conceito matemático de função para os alunos da
Educação Básica. A representação de função, seja ela na forma gráfica ou algébrica,
bem como as respectivas interpretações, além da transformação de representação em
outra, evidenciam o desconhecimento do conceito de função por parte dos alunos que
saem do ensino básico e se voltam para o ensino superior.
As pesquisas com a compreensão do conceito matemático, em novo nível de
ensino, demonstram falhas ainda mais profundas na estruturação e na utilização do
conceito.
• As dificuldades dos alunos da Educação Superior
Dubinsky e Harel (1992), ao estudar os conceitos agregados ao conceito de
função na visão de alunos ainda não graduados da Universidade de Purdue, Estados
Unidos, relatam que os alunos geralmente podem vinculá-lo aos conceitos de letras,
gráficos, pares ordenados, tabelas e equações. Apresentam dificuldades também na
construção dos processos vinculados ao conceito de função e na autonomia para
desenvolvê-los, confundindo as propriedades intrínsecas ao conceito de função, em suas
relações.
Nos trabalhos de Artigue (1992), na Universidade de Paris, conclui-se que os
alunos apresentam dificuldades na interpretação e nos registros geométricos e na relação
entre os aspectos cognitivos e didáticos, diante da utilização do conceito de função por
eles internalizados.
As pesquisas de Mendes (1994) com estudantes universitários, nas disciplinas de
Introdução ao Cálculo e Cálculo I da PUC/RJ, indicam que os alunos citam o termo
equação ao se referirem à função, caracterizando-a como relação ou como expressão. Os
alunos não estão cientes do conceito de domínio na definição de função, esperam uma
peridiocidade simples e reconhecível no gráfico, não conseguem construir associações
entre as representações algébricas, gráficas e tabulares de uma função, e estabelecem
distanciamento entre o conteúdo de função estudado e seu significado.
Oliveira (1997), em pesquisa com alunos do primeiro ano de Engenharia da
PUC/SP, constata também que os alunos relacionam o conceito de função ao de
equação. Funções dadas por mais de uma expressão algébrica não são bem
compreendidas pelos alunos, denotando ainda mais o fato destes não terem
internalizado o conceito básico de função.
Rêgo (2000), ao desenvolver pesquisas com alunos dos Cursos de Engenharia
Civil e Mecânica, na disciplina de Introdução ao Cálculo na UFPB, verifica que as
deficiências em relacionar as representações algébricas e geométricas, ausência de
conceitos de domínio, contradomínio e imagem de função, e a concepção pouco
intuitiva e útil baseada muito mais no conceito de equação do que no conceito de
variação de quantidades estão presentes.
Segundo revisão bibliográfica realizada de Almeida e Scalon (2002), as maiores
dificuldades dos estudantes universitários, em relação ao conceito, relacionam-se ao
registro na representação gráfica de função, na mudança para registro algébrico, nas
definições de domínio e contradomínio, na construção de tabelas de valores numéricos,
na distinção entre variável dependente e independente e na notação Matemática.
Bianchini e Puga (2004), por sua vez, ao aplicarem teste diagnóstico com os
alunos do Curso de Ciência da Computação da PUC/SP na disciplina de Cálculo,
observam que os alunos, na maioria, costumam fornecer definições por meio de
exemplos, relacionam função com equação, apresentam dificuldades nas representações
gráficas e na transformação destas em representações algébricas. Autores afirmam ainda
que os alunos manuseiam com mais freqüência apenas um registro de representação
simbólica por vez.
Nos universitários de Engenharia, Computação, Física, por exemplo, que
utilizam o conceito como ferramenta básica para aquisição e aplicação de novos
conhecimentos, o comprometimento das dificuldades diz respeito mais ao aspecto
pessoal, à possibilidade de mau desempenho acadêmico do próprio aluno.
Quanto aos alunos de formação em curso de Licenciatura e que têm como
objetivo retornar à sala de aula no papel de professor, as falhas podem ser
comprometedoras, não só para seu desenvolvimento pessoal acadêmico, mas também
para a aprendizagem de seus futuros alunos.
• As dificuldades dos professores de Matemática
Pesquisas preliminares de Rossini (2006), na Formação Continuada de
professores de Matemática da rede pública de Ensino de São Paulo, mostram que os
professores confundem os conceitos de equação e de função. Tendo em vista a
compreensão mais profunda do trabalho da autora, as atividades com o símbolo f(x) são
as que mais suscitam dúvidas, para escrever as leis de formação dos problemas, e para
estabelecimento da correspondência e dependência entre variáveis.
Nas atividades de construção de gráficos, denota-se o descaso com a escala, com
construções que sempre caracterizam curva contínua para representação de dados
discretos. Em relação aos diagramas de flechas, os professores preferem os conjuntos
finitos no domínio e no contradomínio de cada função. Houve ainda, dificuldade na
representação algébrica de funções, em estabelecer relação funcional entre
proporcionalidades, na relação entre variáveis dependentes e independentes.
A dificuldade na compreensão do conceito de função perpassa por todos os
níveis que retratam a relação ensino-aprendizagem e em diferentes aspectos do
conhecimento do conceito. Os matemáticos historicamente superam obstáculos para
alcance, depois de séculos, da formalização do conceito de função. Os professores de
Matemática, por sua vez, também apresentam dificuldades em compreender, interpretar
e atribuir significados ao conceito.
Os alunos do Ensino Superior apresentam uma concepção que não lhes garante o
conhecimento necessário para o desenvolvimento de habilidades, em especial, o aluno
que se dedica à formação docente. Com essa visão, realmente é de se esperar que os
alunos do Ensino Básico tenham grandes dificuldades em compreender o conceito de
função.
Por outro lado, as dificuldades não se apresentam de forma superficial. As trocas
conceituais ou conceitos mal construídos, as representações e respectivas
transformações e os significados contraditórios atribuídos ao conceito revelam a
necessidade de ações que vão além da mera investigação.
Nessa perspectiva, é necessário pensar a formação que possa modificar a
conjuntura atual. Quais os conhecimentos de função, os professores precisam
desenvolver em sua formação? Como esses conhecimentos teóricos podem ser
abordados na formação?
3.2. Aspectos teóricos enfatizados do conceito de função na formação inicial do
professor de Matemática
Os pesquisadores de dificuldades na aprendizagem do conceito de função,
muitas vezes, dispõem de sugestões que objetivam possíveis soluções capazes de
minimizar os problemas. As sugestões reunidas e classificadas pelas suas características
básicas buscam auxiliar na compreensão do que está sendo pesquisado e aplicado na
prática, em relação à aprendizagem do conceito de função.
O estudo dos gráficos como representação e significação do conceito de função é
o conhecimento mais abordado pelos pesquisadores. Rêgo (2000) afirma que a
manipulação de variáveis familiares aos alunos, em gráficos de jornais e revistas, pode
facilitar a formação de idéias centrais do conceito de função. Trindade e Moretti (2000)
acrescentam que o trabalho com gráficos deve ser realizado de forma diferenciada a fim
de que o professor em formação possa visualizar padrões algébricos, além de perceber
que existem gráficos não definidos algebricamente.
Os PCNEMs (2000), Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio,
também preconizam a representação e a análise gráfica de funções analíticas e não-
analíticas, além de associá-la ao estudo de seqüências numéricas. Rossini (2006) sugere
ainda que os professores sejam capazes de leitura pontual e global de gráficos e de
utilizar escalas e construções adequadas para a função a ser representada.
Os estudos de tabelas são apresentados em pesquisas como representação
necessária e útil para a compreensão do conceito de função. Sierpinska (1992) revela ser
necessário um trabalho voltado para a interpolação numérica em tabelas para que as
regularidades possam ser externalizadas e melhor compreendidas.
Meira (1997) também considera que o trabalho com tabelas é importante, pela
representação e visualização de pares ordenados e construção de seqüências numéricas
capazes de evidenciar as transformações. Rêgo (2000) evidencia que o trabalho com
tabelas é importante por serem estas mais familiares aos alunos, deixando-os mais à
vontade no estudo do conceito de função.
Rossini (2006) destaca não só a leitura de tabelas como pertinentes para a
ressignificação do conceito dos professores, mas também sua análise e respectivos
significados. As tabelas, para a ressignificação do conceito de função, podem auxiliar os
professores na visualização das regularidades numéricas, associando os resultados às
representações gráficas, integrando, assim, os tipos de conhecimento de função.
O estudo e a compreensão de variáveis são outro assunto enfatizado pelos
pesquisadores como pertinente ao aprendizado do conceito de função. Para Rêgo
(2000), analisar experimento de decrescimento de variável dependente, como variável
independente, com dados gerados, registrados e analisados pelo próprio aluno, pode
causar impacto significativo e positivo nas estruturas mentais dos alunos sobre o
conceito de função.
Trindade e Moretti (2000) acreditam que explorar o significado de variável,
dependência, regularidade e generalização pode fazer com que os alunos compreendam
de fato o conceito. Carneiro, Fantinel e Silva (2003) destacam a importância do estudo
das variáveis a partir do momento que evocam relação unívoca e que seja perceptível
para quem aprende ou ressignifica o conceito. Rossini (2006) também destaca sua
importância e enfatiza a escolha e o estudo do tempo como variável independente, como
fonte a ser utilizada para a compreensão do conceito de função.
As expressões algébricas, apesar de serem as mais valorizadas pelos professores,
no ensino do conceito de função, devem ser apresentadas aos alunos sem deixar de
relacioná-las aos demais aspectos de representação e de significação do conceito. Para
Sierpinska (1992), as expressões algébricas devem aparecer como ferramentas na
modelagem de situações da vida real ou científica. Para Barbosa e Darsie (2003), são as
expressões que explicitam as leis que regem as relações entre as grandezas
Matemáticas, como fórmulas.
Nos PCNEMs (2000), a expressão algébrica tem a função de auxiliar a
construção de leis de formação de seqüência numérica. Para Rossini (2006), as
expressões algébricas podem auxiliar os professores na visualização de funções
definidas por mais de uma sentença, na identificação do coeficiente “a” em y = ax + b
como taxa de variação, bem como na construção do significado de f(x) e das fórmulas
para representação de funções.
A utilização de padrões geométricos e numéricos, como base para o
desenvolvimento do conceito de função, é para Rêgo (2000) uma das formas de
compreendê-la melhor, pelo estudo de formas de representação. Para Carneiro, Fantinel
e Silva (2003), as transformações geométricas, sejam elas translação, rotação, homotetia
ou reflexão de figuras, podem auxiliar a compreensão do conceito de função de acordo
com perspectiva diferenciada e não usual. Para Rossini (2006) as transformações e
configurações geométricas auxiliam no estudo do conceito de função já que possibilitam
o desenvolvimento do processo de generalização.
As pesquisas revelam também que o estudo de funções, de acordo com modelos
reais e científicos, pode auxiliar a compreensão do conceito matemático. Meira (1997)
evidencia que experiências realizadas com modelos físicos podem auxiliar na
compreensão e na utilização das funções lineares. Rêgo (2000) confirma que materiais
instrucionais mecânicos, como roldanas e molas, em atividades voltadas para a
compreensão do conceito de função, podem ser bastante úteis para definir regularidades
e transformações. Rossini (2006) acredita ser necessário enfatizar também o estudo da
função linear como modelo de proporcionalidade.
No que diz respeito ao estudo dos conjuntos para o ensino do conceito em
questão, os autores divergem. Para Sierpinska (1992), o conceito de função pelos alunos
da educação básica deve ser desenvolvido menos formalmente, mais voltado para as
idéias de Dirichlet a respeito da dependência de variáveis e da relação de unicidade
entre elas. No Ensino Superior, conceitos mais formais devem ser apresentados aos
alunos, inclusive a definição de conceito mais moderno de função que inclui o da Teoria
dos Conjuntos.
Rêgo (2000) acredita serem necessários utilizar diagramas de flecha para
demonstração da imagem da função como expressão algébrica. Para Lopes (2003), as
funções devem expressar as leis de correspondência estabelecidas entre conjuntos
numéricos, evidenciando inclusive pares ordenados no plano cartesiano. Barbosa e
Darsie (2003) evidenciam a importância do estudo dos conjuntos, acrescentando ainda a
introdução do conceito de domínio, contradomínio e imagem, a relação de unicidade e
totalidade, representação por diagrama de setas e formação de pares ordenados.
Rossini (2006) afirma que mais importante do que estudar esses conceitos é
fazer com que o professor de Matemática observe, de uma forma crítica, as vantagens e
desvantagens dos diagramas, do estudo do domínio, do contradomínio e da imagem. Os
PCNEMs (2000) solicitam aos professores que enfatizem outras linguagens e
significados diferentes dos da Teoria dos Conjuntos. Carneiro, Fantinel e Silva (2003)
acreditam ser desnecessária a introdução do conceito de função como tipo particular de
relação no estudo dos conjuntos.
Apesar das controvérsias, acredita-se que o estudo das funções sob esse ponto de
vista seja importante, para o professor em formação, para que possa reparar os conceitos
mal construídos e aprofundar seu conhecimento, mesmo que não o utilize em sala de
aula.
Além dos requisitos listados anteriormente com maior ênfase pelos
pesquisadores da área, existem outros que podem auxiliar na compreensão do conceito
de função. Sierpinska (1992) defende que os pré-requisitos são valiosos para quem
inicia o estudo. É necessário que o aluno tenha cultura Matemática para que possa ter o
mínimo de compreensão sobre do conceito.
Rêgo (2000) e Rossini (2006) identificam que aprender pela idéia de máquinas
de entrada e saída pode auxiliar na compreensão. Os PCNEMs (2000) complementam
que o conceito de função deve também ser estudado em seqüências numéricas,
progressões e noção de infinito, variações exponenciais e logarítmicas, funções seno,
cosseno e tangente e taxa de variação de grandezas.
3.3. Como os aspectos teóricos podem ser abordados no processo de aprendizagem
do conceito de função
Apresentar aos alunos apenas os conteúdos de uma forma estanque, pode não
contribuir para a compreensão do conceito de função. Dessa forma, as pesquisas
enfocam, de uma maneira mais geral, sugestões de desenvolvimento nos alunos, do
conceito matemático.
O aspecto das múltiplas representações de função é fator considerado importante
em muitas pesquisas. Sierpinska (1992) afirma que dar aos alunos largo espectro das
maneiras de se conceber uma função pode auxiliar na aquisição da flexibilidade no uso
dos modos de representação e expressão das funções em estudo. Trindade e Moretti
(2000) acreditam ser necessário oferecer aos alunos a oportunidade de familiarização
com as diversas formas de representação de cada função, além de articulá-las de forma
permanente.
Os pesquisadores afirmam ainda que, na representação gráfica, é importante
serem trabalhados os gráficos de setores, de barras, histogramas e pirâmides. Para os
PCNEMs (2000), ao aprender o conceito de função, o aluno deve ser capaz de associar
diferentes funções a gráficos correspondentes, além de saber ler as diferentes linguagens
e representações de variação de grandezas.
Discutir semelhanças e diferenças entre causalidades e funcionalidades de
relação é, para Sierpinska (1992), outro aspecto a ser considerado no desenvolvimento
de trabalho para a aprendizagem do conceito de função. Os PCNEMs (2000) ressaltam
que a percepção das relações e identidades entre diferentes formas de representação do
objeto, bem como o reconhecimento da conservação contida nas igualdades,
congruências e equivalências são aspectos a serem considerados na aprendizagem do
conceito matemático.
A compreensão de regularidades e transformações pode ser imprescindível ao
desenvolvimento do conceito de função na estrutura cognitiva do aprendiz. Sierpinska
(1992) afirma que explicar as mudanças, encontrar as regularidades nas mudanças, e
ainda explicar que mudanças acontecem e como acontecem, auxilia o aluno na
compreensão do significado do conceito de função.
Para Trindade e Moretti (2000), o estudo analítico de funções deve surgir diante
de atividades realizadas pelas representações numéricas e gráficas, com a finalidade de
auxiliar o aluno a compreender as transformações e regularidades dos fenômenos. Rêgo
(2000) traz afirmativas que confirmam o pensamento dos pesquisadores. Para a autora,
observar mudanças dos fenômenos que nos cercam e perceber relações e regularidades
nessas mudanças propicia aprendizagem mais significativa do conceito de função.
Para os PCNEMs (2000), os alunos devem ser capazes de identificar as
regularidades e transformações de fenômenos por meio do estabelecimento de regras,
algoritmos e propriedades, do reconhecimento da existência de invariantes ou
identidades, da identificação das transformações entre grandezas ou figuras, da
interconexão entre variáveis e da interpretação dessas regularidades em expressões
Matemáticas.
Estudar o conceito de função, em situações contextualizadas, é a maneira de
auxiliar a aprendizagem dos alunos na compreensão do conceito. Para isso, Sierpinska
(1992) ressalta que se deve utilizar os conhecimentos de funções nas explanações dos
fenômenos cotidianos e científicos. Meira (1997) revela que o professor em formação
precisa aprender a pesquisar possibilidades pedagógicas que lhe permitam a criação de
tarefas e de contexto de atividades e discussões que conduzam à participação do aluno e
processo de construção de conhecimentos na sala de aula.
Os PCNEMs (2000) defendem que o conceito de função deve ser compreendido
por meio de estudos e de exemplos que ressaltam os fenômenos da vida cotidiana, os
fenômenos naturais, as grandezas de conhecimento científico, estabelecendo entre eles
conexões que podem ser estudadas dentro e fora da Matemática.
O desenvolvimento da linguagem Matemática com caráter funcional é
considerado pelos pesquisadores como relevante para a compreensão do conceito de
função. Sierpinska (1992) considera necessário os alunos perceberem e verbalizarem os
sujeitos das mudanças, no estudo das regularidades e transformações dos fenômenos
escolhidos. Trindade e Moretti (2000) ressaltam a importância de linguagem própria
para descrever a lei que rege os fenômenos, apresentando, para isso, argumentos que
justifiquem a validade da lei para qualquer caso e em qualquer tipo de representação.
Rêgo (2000), porém, ressalta que o domínio de nova linguagem, como na
linguagem conceitual, deve acontecer de uma forma gradual para que o aluno possa
lidar com as dificuldades inerentes à representação de função. Para os PCNEMs (2000),
a linguagem formal deve ser relativizada. Ainda assim, o aluno deve ser capaz de
reconhecer e utilizar a linguagem algébrica nas ciências para modelagem de situações-
problema.
A busca de significados na aprendizagem do conceito de função é um dos pontos
chave para a compreensão do conceito. Meira (1997) afirma ser necessário buscar
significados para os símbolos representados no papel. Carneiro, Fantinel e Silva (2003)
revelam que repetir corretamente a definição de função não significa que o aluno ou o
professor tenham conhecimento de funções. É necessário que o aluno em formação
inicial também contemple os diferentes significados que podem ser atribuídos ao
conceito.
Para isso, a aprendizagem deve se basear na construção de situações ricas de
significados, com exemplos e identificações. Autores como Rêgo (2000), Costa e
Thomaz Neto (2004) consideram ainda que privilegiar a resolução de problemas de
aplicação deve ser estratégia a ser utilizada como ponto de partida na aprendizagem do
conceito de função. Rêgo (2000) ressalta, ainda, a necessidade de abordagens
alternativas à tradicional para a evolução do conceito de função.
Uma das dificuldades mais citadas pelos pesquisadores dos problemas de
aprendizagem do conceito de função se relaciona ao fato de os alunos, de qualquer nível
educacional, vincularem o conceito de função ao conceito de equação. As dificuldades
perpassam, com bastante freqüência, pela compreensão dos aspectos algébricos das
funções, sobretudo no estabelecimento de relações de dependência entre variáveis.
Apesar de os autores constatarem que representações gráficas e as
transformações destas em representações algébricas são dificuldades enfrentadas pelos
mesmos alunos, optou-se, para pesquisa, o estudo da representação algébrica de
funções. Possibilitar a compreensão das relações entre variáveis expressas por
representações algébricas pode auxiliar os alunos no esclarecimento das diferenças entre
conceitos de função e de equação. Os alunos podem inclusive compreender a
necessidade das definições do domínio e do contradomínio de função, diante da
representação algébrica.
Ao contemplar-se o estudo algébrico do conceito de função, utilizam-se os
conhecimentos voltados para a compreensão dos fenômenos cotidianos e científicos,
para que a aprendizagem se baseie em situações significativas. A reflexão de problemas
e a análise das regularidades e transformações, nas relações entre as variáveis que
representam os elementos do problema, são utilizadas em vários períodos da pesquisa.
Os aspectos apresentados estão sendo utilizados, conforme sugestões deste
capítulo. Outros aspectos são inseridos na pesquisa e podem contribuir com novas
sugestões para a aprendizagem do conhecimento. Conhecer como os alunos
ressignificam o conceito de função, pelos conhecimentos adquiridos e como o
transforma significativamente diante de processo interventivo que possibilite
questionamentos e reflexões dos próprios conhecimentos, são aspectos inseridos neste
trabalho a serem discutidos no próximo capítulo, sob a luz da Teoria de Ausubel, Novak
e Hanesian (1980).
4. A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA NA FORMAÇÃO INICIAL DO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Para trabalhar o processo de ensino-aprendizagem do Conceito de Função,
utiliza-se a teoria da Aprendizagem Significativa de Conceitos defendida por Ausubel,
Novak e Hanesian (1980), bem como os autores que estudam e aplicam essa teoria:
Moreira (1999), Praia (2000), e, Ribeiro e Nuñez (2004).
As idéias da Aprendizagem Significativa de Ausubel, os Princípios
Programáticos e o princípio da Assimilação estão sendo utilizados na pesquisa como
ferramentas úteis e princípios metodológicos que fundamentam a seqüência didática
planejada e aplicada para a investigação da ressignificação do conceito de função, na
formação inicial do professor de matemática.
4.1. A Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel
David. P. Ausubel, nascido nos EUA, desenvolveu seus trabalhos, na década de
60, com o objetivo de propor uma teoria de como se processa a aprendizagem não
mecânica, com aplicabilidade em sala de aula. A proposta é estudar a aquisição da
organização do conhecimento no ensino formal.
Ausubel, Novak e Hanesian (1980) defendem a tese de que a aprendizagem, por
meio da metacognição, fazendo com que os alunos evoluam em níveis de conhecimento
e utilizando-se de estratégias organizadas, pode ser mais efetiva já que se adequa melhor
às dificuldades cognitivas encontradas no processo da construção mental do
conhecimento por parte do aluno.
Essa aprendizagem é um processo que considera o conhecimento do aprendiz
sobre o assunto. Ribeiro e Nuñez (2004) enfatizam que o objetivo a ser alcançado, na
Aprendizagem Significativa preconizada por Ausubel, é fazer com que o aluno aprenda
utilizando os conhecimentos existentes em sua estrutura cognitiva. Pela relação entre o
que se sabe e o novo conteúdo, dá-se a compreensão do assunto estudado com
significado e não apenas memorização mecânica. Dessa forma, existe a integração do
novo conhecimento ao que se sabe, cuja inter-relação possibilita a transformação de
novas idéias em informação por meio de associações, trazendo significado ao novo.
Na visão de Moreira (1999), a Aprendizagem Significativa de Ausubel “é um
processo por meio do qual uma nova informação se relaciona, de maneira substantiva
(não-literal) e não-arbitrária, a um aspecto relevante da estrutura cognitiva do
indivíduo” (MOREIRA, 1999, p.11). A não-arbitrariedade é a relação entre o material
potencialmente significativo e as estruturas cognitivas especialmente relevantes do
aprendiz denominadas de subsunçores. As novas idéias e conceitos são aprendidos com
significado a partir do momento em que idéias e conceitos do próprio aprendiz estejam
disponíveis em sua estrutura cognitiva servindo-lhe como pontos de ancoragem.
Subsunçor é, então, um conceito, idéia ou proposição já existente na estrutura
cognitiva do aprendiz com a capacidade de ancorar nova informação para o sujeito lhe
atribuir significado. A substantividade, por sua vez, é o que é incorporado na estrutura
cognitiva do aprendiz, tornando-se substância do novo conhecimento por meio do
estabelecimento de variadas representações para um único significado. Assim, para a
aprendizagem significativa, as idéias e os conceitos não podem depender
exclusivamente do uso de signos específicos, mas de uma variedade deles.
Em face das definições, as condições básicas a serem consideradas para a
efetivação da Aprendizagem Significativa, de acordo com Ribeiro e Nuñez (2004),
apresentam-se da seguinte forma:
• o novo conhecimento deve ser potencialmente significativo;
• a estrutura cognitiva prévia deve comportar a existência de inclusores
prévios;
• o sujeito que aprende deve ter predisposição, atitude ativa a respeito do
conteúdo de aprendizagem.
O fato de o conhecimento ser potencialmente significativo vincula-se a outras
condições: o significado lógico da natureza do material e o significado psicológico da
relação entre material logicamente significativo e a estrutura cognitiva individual do
aprendiz.
Para o material ter significado lógico, é necessário que se relacione, de maneira
substantiva e não-arbitrária, às idéias e aos conceitos no domínio cognitivo humano.
Essa característica é inerente ao próprio material e, segundo Moreira (1999), o conteúdo
das disciplinas ensinadas na escola geralmente é apresentado com significado lógico,
entre eles, o conceito de função.
Para o significado psicológico do material, é necessário que o relacionamento
substantivo e não-arbitrário com a estrutura cognitiva do aprendiz, em particular, seja
capaz de transformar o significado lógico do material em psicológico, tornando o
conteúdo do material potencialmente significativo.
Moreira (1999, p. 22) conclui que “a emergência do significado psicológico
depende não somente da apresentação, ao aprendiz, de um material logicamente
significativo, mas também da disponibilidade, por parte desse aprendiz, do necessário
conteúdo ideacional”. O conhecimento prévio deve servir de matriz organizacional para
incorporação, compreensão e fixação de novos conhecimentos, no momento da conexão
com conhecimentos especificamente relevantes e pré-existentes, na estrutura mental do
aprendiz.
A Aprendizagem Significativa pode ser subdividida em três (3) tipos diferentes
de acordo com características específicas:
• representacional;
• conceitual;
• proposicional.
A Aprendizagem Representacional é a aprendizagem dos símbolos individuais e
do que representam, ao se estabelecer a equivalência entre os símbolos arbitrários e seus
correspondentes passando a remeter o indivíduo ao mesmo significado.
A Aprendizagem Conceitual é um caso especial da aprendizagem
representacional. Os conceitos, as idéias e as categorias podem também ser
representados por símbolos individuais e arbitrários, estabelecendo equivalência entre a
palavra que representa o conceito e o próprio conceito.
A Aprendizagem Proposicional está relacionada com a aprendizagem dos
significados das idéias expressas por grupos de palavras combinadas em proposições ou
sentenças. Pretende-se aprender o significado que vai além dos significados das
palavras ou conceitos da proposição.
Da Aprendizagem Conceitual e da Proposicional, Ausubel, Novak e Hanesian
(1980) fazem subclassificações:
• aprendizagem Subordinada;
• aprendizagem Superordenada;
• aprendizagem Combinatória.
No primeiro caso, o novo conhecimento está subordinado de forma hierárquica a
uma idéia já existente. É a Aprendizagem Subordinada Derivativa, se a nova
informação é aprendida como apenas um exemplo do conceito já existente. Por outro
lado, tem-se a Aprendizagem Subordinada Correlativa quando o material aprendido é a
extensão, modificação ou limitação de conceito previamente aprendido.
No segundo caso, os conceitos de estrutura cognitiva são reconhecidos como
exemplos mais específicos na nova idéia vinculando-se a ela. Existe interação entre as
âncoras originando outras mais abrangentes. No terceiro caso, a nova idéia não é
considerada mais inclusiva nem mais específica do que outras novas idéias, e a
aprendizagem ocorre por analogia.
A Aprendizagem Significativa pode acontecer de duas formas não dicotômicas
como afirmam Ribeiro e Nuñez (2004):
• por Recepção, em que o aluno é o receptor das informações e as relaciona
com o que tem internalizado mentalmente, criando novos significados;
• por Descoberta, em que o aluno constrói sozinho seu conhecimento
relacionando-o com as idéias prévias a respeito do assunto abordado.
A Aprendizagem por Recepção e a Aprendizagem por Descoberta podem ser
utilizadas em sala de aula de uma forma significativa. Para Ausubel, ambas são
importantes e necessárias para o aprendiz. Qual delas utilizar depende do objetivo que
se pretende alcançar. Moreira (1999, p. 16) afirma que “em termos de aprendizagem de
conteúdo, o que é descoberto torna-se significativo da mesma forma que aquilo que é
apresentado ao aprendiz na aprendizagem receptiva”.
Para Ausubel, Novak e Hanesian (1980), a estrutura cognitiva é formada pelo
conteúdo total organizado das idéias do indivíduo, em área particular de conhecimentos.
Os conhecimentos são organizados por meio do princípio da assimilação, processo que
ocorre quando uma nova informação, potencialmente significativa, é relacionada e
assimilada pelo conceito subsunçor da estrutura cognitiva do aprendiz.
A nova informação, ao ser apresentada ao aluno, sofre transformações. O mesmo
ocorre com os subsunçores. As transformações se dão devido ao novo conhecimento
entrar em contato com os subsunçores da estrutura cognitiva do aluno. Dessa forma, os
elementos da estrutura cognitiva podem assumir nova organização e novo significado.
Cada grupo de idéias tem por base a idéia-âncora que pode ser um conceito ou
proposição mais ampla que subordina outros conceitos na estrutura cognitiva e funciona
como ancoradouro no processo de assimilação. O que acontece na Aprendizagem
Significativa é que as novas idéias tornam-se progressivamente menos dissociáveis das
idéias-âncora, até não estarem disponíveis individualmente.
A assimilação, (fase 1 da figura 4) inicia quando o novo conhecimento é
apresentado ao aluno entrando em contato com os subsunçores, conhecimentos prévios
a respeito do assunto. Com o contato, o subsunçor e o novo conhecimento se
transformam e geram, como produto, um terceiro conhecimento, ainda em processo de
elaboração.
Figura 4 – Modelo do processo de assimilação da Aprendizagem Significativa de Ausubel
SUBSUNÇO
NOVO
SUBSUNÇO
NOVO
SUBSUNÇO
NOVO
SUBSUNÇO
R
FASE 1
FASE 2
FASE 3
FASE 4
NOVO
SUBSUNÇO
ASSIMILAÇÃO
OBLITERADORA
Fonte: Elaboração própria
Ausubel, Novak e Hanesian (1980) afirmam que o produto interacional real do
processo de aprendizagem significativa não é composto pelo novo significado do
subsunçor, nem pelo novo significado do conhecimento, mas pelo significado do
composto SUBSUNÇOR + NOVO CONHECIMENTO. A assimilação seqüencial de
novos significados tem como resultado a diferenciação progressiva dos conceitos que
proporciona refinamento de significados e o incremento do conhecimento para posterior
aprendizagem significativa.
Após o estabelecimento de relações entre os conceitos, surgem novos
significados, nem sempre compreendidos pelos alunos. Os que apresentam significado
conflitante podem ser resolvidos por meio da reconciliação integradora. O significado
do novo conhecimento recentemente modificado pode ser inicialmente dissociado da
relação estabelecida com o significado do subsunçor também transformado. Os novos
significados guardam ainda consigo algumas características básicas (fase 2 da figura 4).
À medida que o processo de assimilação continua, os significados não
conseguem mais ser dissociados. O significado das novas idéias vão sendo assimilados
ou reduzidos aos significados das idéias contidas nos subsunçores. Ausubel, Novak e
Hanesian (1980, p. 108) afirmam que “é mais econômico e menos difícil fixar apenas os
conceitos e proposições básicos mais estáveis e estabelecidos do que evocar as novas
idéias que são assimiladas em relação às básicas”. Assim, o significado do novo
conhecimento torna-se progressivamente menos dissociável das idéias que compõem os
subsunçores transformados, até deixar de estar disponível individualmente e ser
esquecido (fase 3 da figura 4).
O produto interacional do subsunçor modificado e do novo conhecimento
também alterado reduz-se ao próprio subsunçor modificado que se amplia incorporando
definitivamente os novos significados (fase 4 da figura 4). Ao processo de
“esquecimento” do novo conhecimento transformado atribui-se a denominação de
assimilação obliteradora.
De acordo com Praia (2000), o desenvolvimento cognitivo é um processo
dinâmico em que os novos conhecimentos estão em constante interação com os já
existentes. Dessa forma, Ausubel, Novak e Hanesian (1980) propõem quatro (4)
Princípios Programáticos (figura 5) com a finalidade de auxiliar o professor na
construção da Aprendizagem Significativa:
• Diferenciação Progressiva;
• Reconciliação Integradora;
• Organização Seqüencial;
• Consolidação.
Figura 5 – Esquema gráfico dos Princípios Programáticos da Aprendizagem
Significativa de Ausubel
Fonte: Elaboração própria
Segundo Moreira (1999), o sistema cognitivo humano se constrói em hierarquia.
As idéias mais inclusivas e explicativas ocupam o topo da estrutura e englobam
progressivamente idéias, proposições, conceitos e fatos menos inclusivos. Além disso,
torna-se mais fácil para o aluno perceber aspectos diferenciados do todo mais geral do
que perceber as partes que compõem esse todo.
Na Diferenciação Progressiva, portanto, as idéias mais gerais e inclusivas devem
ser apresentadas em primeiro lugar para que sejam diferenciadas em detalhes e nas
CONCEITO
GERAL
CONCEITO
ESPECÍFIC
O
DIFERENCIAÇÃO
PROGRESSIVA
RECONCILIAÇÃO
INTEGRADORA
ORGANIZAÇÃO
SEQÜENCIAL
CONSOLIDAÇÃO
especificidades. Dessa forma, a Diferenciação Progressiva é definida como “parte do
processo da aprendizagem significativa, da retenção e da organização que resulta numa
elaboração hierárquica ulterior de conceitos ou proposições na estrutura cognitiva do
‘topo para baixo’” (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 523).
A programação do conteúdo deve proporcionar a Diferenciação Progressiva do
conhecimento, explorando as diferenças e semelhanças relevantes, com a finalidade de
reconciliar inconsistências reais ou aparentes, preconizadas no segundo princípio, a
Reconciliação Integradora, definida como “parte do processo da aprendizagem
significativa que resulta na delineação explícita de semelhanças e diferenças entre idéias
relacionadas” (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 526). A aprendizagem
deve iniciar com os conceitos mais gerais, ilustrando os conceitos intermediários a eles
relacionados para que seja possível introduzir em seguida os conceitos mais específicos,
a partir do que retorna-se, por meio de exemplos, ao conceito mais geral na hierarquia,
sem perder a visão do todo.
Os tópicos ou unidades de estudo devem ser seqüenciados de maneira coerente
com as relações de dependência existentes no conteúdo a ser trabalhado. Este é o
momento de fazer com que a nova informação se ancore aos conceitos relevantes
existentes na estrutura cognitiva do aprendiz por meio da Organização Seqüencial dos
conteúdos. Moreira (1999) recomenda a utilização de Mapas Conceituais desenvolvidos
por Novak (1976) ou do Vê Epistemológico, preconizado por Gowin (1981).
Na Consolidação, o conteúdo deve ser explorado ao máximo fazendo uso de
práticas e exercícios, antes de introduzir um novo conceito. Deve-se assegurar a alta
probabilidade de êxito na aprendizagem seqüencialmente organizada. A dinâmica
termina quando o aluno internaliza o conceito, compreendendo-o com significado.
São duas as maneiras de utilização da Aprendizagem Significativa na prática
pedagógica:
• substantivamente, por meio da seleção de conteúdos básicos, da coordenação
e da integração dos mesmos em diferentes níveis;
• programaticamente, ordenando a seqüência da matéria de estudo, respeitando
a organização lógica interna do conteúdo juntamente com as atividades
práticas.
Sabe-se que, para haver Aprendizagem Significativa, é necessário que existam
idéias-âncora na estrutura cognitiva do aluno com as quais os novos conceitos venham a
interagir, garantindo a assimilação do novo conhecimento. O que fazer quando não
existem esses conhecimentos prévios apropriados? Ausubel, Novak e Hanesian (1980)
defendem o desenvolvimento de recursos denominados Organizadores Prévios. Eles
servem de âncora a novas aprendizagens proporcionando o desenvolvimento das idéias
prévias.
Neste trabalho, entre os aspectos apresentados da Aprendizagem Significativa, a
teoria que trabalha com mapas conceituais é a que está sendo utilizada com maior
ênfase, especialmente para a organização dos conceitos de formação do conceito
matemático de função. Os licenciandos, sujeitos ativos da pesquisa, podem, diante de
representação gráfica, explicitar sua compreensão das discussões, apresentá-la para o
grupo de trabalho e modificá-la diante dos erros técnicos ou conceituais cometidos.
4.2. A Teoria dos Mapas Conceituais de Novak
Os mapas conceituais foram criados por Joseph Novak, na década de 60,
concomitantemente ao desenvolvimento da Teoria da Aprendizagem Significativa de
Ausubel. Segundo Ribeiro e Nuñez (2004), os mapas conceituais são instrumentos de
aprendizagem que se expressam por esquemas visuais com a intenção de possibilitar a
representação das relações significativas dos conceitos estabelecidos pelos alunos.
Podem apresentar três tipos de interpretações: como estratégia, como
instrumento e como recurso esquemático. Neste trabalho, os mapas conceituais têm
conotação instrumental, já que são utilizados para orientar a construção do significado
do conceito de função por meio de elaborações conceituais e de suas relações.
As características básicas que diferenciam os mapas conceituais de outros
recursos gráficos e outras estratégias cognitivas, de acordo com Ontoria et al. (2005),
são três: a hierarquização, a seleção e o impacto visual.
Nos mapas conceituais, os conceitos são trabalhados do maior para o de menor
abrangência, sendo este primeiro denominado de inclusor. E, diante do processo
hierárquico de construção do mapa conceitual, cada conceito só pode ser visualizado
apenas uma vez. Em seguida, faz-se a escolha dos conceitos mais importantes por meio
de síntese que contém o aspecto mais significativo do objeto de estudo. Segundo
Ontoria et al. (2005), é necessário eleger os termos que referenciem os conceitos antes
da construção. A sugestão do autor é que se trabalhe a confecção de mapas diante de
variados níveis de generalidade: um mais abrangente que apresenta panorama global do
assunto, e outro, mais específico, centrado em subtemas mais concretos.
O impacto visual é uma de suas características mais presentes e deve ser
valorizada na construção, diante de apresentação concisa e simples, com esquemas
visuais que diferenciem os conceitos inclusores dos demais, seja com letras diferentes,
seja com contrastes ou representações geométricas. Por meio desse trabalho, as novas
informações podem, na relação de inclusão, se relacionar com os subsunçores do
aprendiz, de acordo com os pressupostos da Aprendizagem Significativa de Ausubel.
A estrutura dos mapas conceituais é formada por três componentes básicos:
conceitos, proposições e palavras de ligação (figura 6). Os conceitos são símbolos que
provocam imagens mentais permitindo a operacionalização com o mundo real e o
mundo simbólico. De acordo com Ontoria et al. (2005, p. 44), os conceitos são “as
imagens mentais que provocam em nós as palavras ou signos com os quais expressamos
regularidades”.
As imagens mentais apresentam elementos comuns para os indivíduos. Porém
apresentam também a natureza pessoal peculiar a cada experiência acumulada pelo
indivíduo da realidade. As proposições são formadas por dois ou mais termos
conceituais atribuindo-lhes significado, formando, assim, a unidade semântica por meio
da afirmação ou negação de característica do conceito. Para Ontoria et al. (2005), a
proposição é a menor unidade semântica que pode afirmar ou negar alguma
característica do conceito. As palavras de ligação são os elos entre os conceitos e
mostram o tipo de relação entre eles, não provocando imagens mentais.
Figura 6 – Esquema gráfico da estrutura dos mapas conceituais
Fonte: Elaboração própria
Para Ontoria et al. (2005), a melhor maneira de auxiliar os alunos a aprender, de
forma significativa, é ajudá-los na percepção da natureza dos conceitos e suas relações.
Os mapas conceituais são úteis a partir do momento que compilam poucos
conceitos e idéias, que trabalham exemplos e análises de idéias simples e estabelecem a
condição da representação dos conceitos de forma hierárquica. O autor destaca ainda a
necessidade de isolar os conceitos e as palavras de ligação e da construção repetida de
um mesmo mapa conceitual para que as falhas possam ser reparadas e a aprendizagem
aconteça pela compreensão dos erros.
Paiva e Freitas (2005) afirmam existirem várias estratégias na construção de
mapas conceituais. O que varia é a aplicação e os objetivos que se pretende atingir. No
trabalho realizado pela leitura de artigos, livros ou textos, o objetivo é modelar a
compreensão do aluno, em relação ao assunto e de como desenvolve a relação entre os
conceitos. Para isso os autores destacam a seqüência básica de ações que podem auxiliar
no trabalho de estruturação de seqüência didática, em sala de aula:
• leitura inicial do texto;
• releitura para destaque dos conceitos mais importantes;
• retirada das palavras ou expressões destacadas;
• organização das palavras;
• conexão entre elas pela utilização de verbo ou expressão que caracterizam a
ação atribuindo-lhes significado; e,
• reorganização dos conceitos para que as interligações se tornem claras.
Na construção dos mapas conceituais, pelos conhecimentos prévios dos alunos,
o objetivo passa a ser a verificação dos conceitos já incorporados, diante da
representação gráfica, das ligações mentais e da interconexão entre os variados
conhecimentos adquiridos, atribuindo-lhes significado. Assim, o procedimento a ser
utilizado é basicamente o mesmo do caso anterior.
Em trabalho no curso de Licenciatura em Matemática, no CESAT, Espírito
Santo, Paiva e Freitas (2005) adotam mapas conceituais para mapeamento dos
conteúdos matemáticos das disciplinas de Fundamentos de Matemática Elementar,
Geometria e Práticas Pedagógicas. Os alunos são levados a construí-los de acordo com
estudos de conceitos primordiais de proporcionalidade. Os pesquisadores concluem que
a maneira mais produtiva de utilizá-los no ensino e aprendizagem da Matemática é fazer
com que os alunos produzam os próprios mapas conceituais, quando da sua
familiaridade com o conhecimento. Nos resultados finais alcançados, os pesquisadores
observam aumento na motivação pela aprendizagem da Matemática e a possibilidade de
se trabalhar com vários conceitos simultaneamente, sem tornar o processo de ensino-
aprendizagem árduo e cansativo.
Almouloud, Manrique, Silva e Campos (2004), em pesquisa financiada pela
FAPESP, com os alunos da PUC/SP, cujo objetivo é investigar questões relacionadas à
aprendizagem da geometria, nas séries finais do ensino fundamental a fim de reconhecer
as representações dos professores, no que se refere ao papel da geometria, no processo
de formação do aluno, contribuem com resultados significativos para a utilização dos
mapas conceituais no ensino da Matemática.
O grupo buscou os mapas para levantamento das palavras na mente dos
professores, relacionadas à palavra-chave dada a priori. Como cada professor é
responsável pelo desenvolvimento do próprio mapa conceitual, é elaborado relatório
explicitando a complexidade dos processos de mudança, após a aplicação da técnica dos
mapas conceituais e da discussão dos diferentes mapas. Segundo os autores, “essa
maneira de utilizar os mapas conceituais permitiu que o professor tomasse consciência
do seu processo de mudança e refletisse sobre os fatores que o estavam influenciando”
(ALMOLOUD; MANRIQUE; SILVA; CAMPOS, 2004, p. 12).
Os autores concluem que, apesar de os mapas serem diferentes para cada
professor, houve muitas palavras iguais no grupo de professores. E, apesar de a
utilização dos mapas estar relacionada com a criatividade, os autores percebem que seu
estudo conceitual indica que os usuários observam as ações necessárias para o ensino da
geometria representativas de parcela importante no processo de ensino-aprendizagem.
Os mapas conceituais são citados como instrumentos no Projeto REDIN da
UFRGS (2005), projeto voltado para disponibilização de recursos digitais interativos
com o objetivo de auxiliar a prática de ensino em Educação a Distância na Formação de
Professores em sala de aula. Os mapas conceituais, no caso específico, são utilizados
para acompanhamento e avaliação de processos de conceituação atribuída pelos
professores que utilizam recursos digitais. A justificativa dos autores, na escolha do
instrumento, se baseia, entre outros fatores, na possibilidade de avaliação dos processos
de conceituação dos aprendizes.
Para o estudo de ressignificação do conceito de função pelos licenciandos em
matemática da UECE faz-se necessário primeiramente conhecer os subsunçores dos
alunos deste conhecimento e de que forma os relacionam mentalmente. Pela
compreensão, os novos conceitos são apresentados aos alunos para que possam iniciar o
processo da aprendizagem significativa.
O estudo dos gráficos, das tabelas, das expressões algébricas e das inter-
relações, de padrões geométricos e numéricos, de acordo com modelos de situações
reais e científicas, de suas regularidades e transformações, são aspectos teórico-
matemáticos considerados no desenvolvimento da seqüência didática que procura
proporcionar uma aprendizagem com significado.
Os Princípios Programáticos são utilizados como base para o desenvolvimento
do esquema metodológico da pesquisa. A fase das intervenções faz uso desse
conhecimento para a estruturação de cada encontro com os alunos.
O Princípio da Assimilação é utilizado como base para a análise dos dados
coletados nas intervenções. A análise é desenvolvida após as interpretações dos dados e
busca identificar, a cada encontro, em qual das fases do processo de assimilação os
alunos se encontram.
Os mapas conceituais são trabalhados com os professores em formação inicial,
com o objetivo de explicitar, no momento da Organização Seqüencial, terceira etapa dos
Princípios Programáticos da teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel, como os
alunos se organizam mentalmente ao relacionar os conceitos nas discussões com o
conceito de função. Por serem os mapas instrumentos capazes de demonstrar o
significado que o aluno atribui aos conceitos estudados e de revelar com clareza sua
organização cognitiva, é que se caracterizam como instrumentos importantes para a
proposta da pesquisa.
O desenvolvimento do trabalho investigativo de ressignificação do conceito de
função, na perspectiva da aprendizagem significativa de Ausubel, pode ainda não ter
sido pesquisado. Dessa forma, compreender como os licenciandos em matemática
reestruturam mentalmente o conceito de função, pela valorização de conhecimentos
prévios, pode ampliar a compreensão que ainda hoje se tem das dificuldades que os
alunos enfrentam, ao enunciar e ao utilizar esse conceito.
5. O PERCURSO METODOLÓGICO E A ETAPA DO LEVANTAMENTO
Define-se o percurso metodológico da pesquisa por meio de sua caracterização
enquanto Estudo de Caso, da escolha do público alvo, da estruturação em etapas, e suas
respectivas fases e períodos, bem como, o desenvolvimento da coleta e análise de dados
baseados nos pressupostos de Stake (1998) e no princípio da Assimilação de Ausubel,
Novak e Hanesian (1980).
Os primeiros momentos da pesquisa são evidenciados diante do
desenvolvimento do estudo piloto no CEFETCE, na caracterização do curso de
Licenciatura em Matemática da UECE e os contatos iniciais com o professor de
Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral I e os alunos recém-ingressos na
Universidade, período 2007.1.
5.1.O percurso metodológico
Diante das dificuldades dos licenciandos no estudo dos conceitos matemáticos,
em sua formação, de uma forma que os permita refletir sobre os saberes, diante das
dificuldades relacionadas especificamente à aprendizagem do conceito de função, é que
se apresenta o percurso metodológico desta investigação. Questiona-se de que forma os
alunos da formação inicial em Matemática ao aprenderem um conceito de forma
significativa, transformam sua compreensão.
Esta pesquisa depende da lógica de planejamento e de estratégia baseada nos
Princípios Programáticos da Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel;
preocupa-se com processos subjetivos e não propriamente com quantidades; investiga o
fenômeno contemporâneo da vida real, na formação inicial do professor de Matemática;
não exige o controle sobre eventos comportamentais, já que é importante para os
resultados finais que os participantes estejam livres para expressar seu pensamento
utilizando os instrumentos fornecidos (YIN, 2005). Dessa forma, a metodologia que
atende às necessidades é o Estudo de Caso.
A pesquisa qualitativa de paradigma interpretativo traz como eixo temático ético
a aprendizagem do conceito de função. Os temas émicos, de acordo com os
pressupostos de Stake (1998), são os que podem surgir no decorrer da pesquisa, já que
dizem respeito aos temas apresentados pelos próprios atores da investigação, no caso, os
alunos de graduação da Licenciatura em Matemática.
O grupo de pessoas escolhido para representar a formação docente inicial em
Matemática é composto pelos alunos do 1º ano da Licenciatura em Matemática da
UECE, no período de 2007.1. Compreender os conhecimentos prévios dos alunos sobre
o conceito de função e como se desenvolvem mentalmente, para atribuição de novos
significados, pode auxiliar na caracterização dos alunos que ingressam na Universidade,
especialmente sobre saberes em relação ao conceito de função.
Desenvolver o trabalho com todos os alunos matriculados, apesar de ser o ideal,
torna a pesquisa inviável. Dessa forma, são selecionados quatro alunos representantes
da turma de 2007.1 do período diurno. Os alunos do período noturno não o foram por
falta de tempo extra para a participação na pesquisa. A seleção faz-se mediante diálogo
entre pesquisadora e alunos, sobre o desenvolvimento da pesquisa nas primeiras aulas
do semestre 2007.1, em junho desse mesmo ano. Os alunos escolhidos optam pela
participação voluntária e se dispõem a participar dos encontros em horário extra
curricular.
A escolha do horário é feita em conjunto e se justifica pela inviabilidade de
aplicação em horário convencional, pelo fato de o conteúdo da pesquisa não estar
diretamente e explicitamente relacionado aos conteúdos da grade curricular.
A pesquisa se subdivide em duas etapas (figura 7):
• etapa do Levantamento; e
• etapa da Intervenção.
Na primeira etapa, como são investigados os conhecimentos prévios dos alunos
sobre o conceito de função, a pesquisa apresenta caráter exploratório. Na segunda, como
são investigadas as diferentes maneiras de transformação do conceito de função para os
alunos da formação inicial em Matemática, tem caráter descritivo.
O objetivo do Levantamento é contextualizar o estudo e conhecer o público da
pesquisa com:
• a apresentação da estrutura do curso de Licenciatura em Matemática da
UECE, no período 2007.1;
• entrevista com o professor da disciplina de Fundamentos de Cálculo
Diferencial e Integral I do período diurno;
• entrevistas com os alunos voluntários;
• o desenvolvimento dos questionários teórico e aplicado relativos aos
conhecimentos prévios sobre o conceito de função e conceitos subjacentes.
Figura 7 – Estrutura da Metodologia da pesquisa
Fonte: Elaboração própria
A investigação da estrutura do curso de Licenciatura em Matemática da UECE
foi realizada pela análise documental da grade curricular do curso, da carga horária
disponível para o semestre 2007.1 e da ementa da disciplina de Fundamentos de Cálculo
Diferencial e Integral I. A análise procura demonstrar a ênfase às disciplinas de
conhecimentos matemáticos comparativamente às disciplinas de conhecimentos não
matemáticos, à disponibilidade de tempo dos alunos, aos conteúdos específicos da
disciplina, momento de estudo do conceito de função.
A entrevista semi-estruturada com o professor da disciplina apresenta roteiro
específico (Apêndice I) e busca compreender, de forma mais aprofundada, a estrutura da
disciplina e a justificativa de sua carga horária maior do que as demais disciplinas do
curso. Também são abordados, na entrevista, os saberes dos alunos ao ingressarem na
Universidade, interesses profissionais e dificuldades em relação aos conhecimentos
matemáticos, mais especificamente, em relação ao conceito de função.
A entrevista com alunos voluntários também é semi-estruturada, com roteiro
específico (Apêndice II). Conhece-se o perfil dos alunos pela história de vida escolar, de
seus interesses profissionais, das dificuldades em relação aos saberes escolares, e, mais
especificamente, o que eles compreendem sobre o conceito de função e os conceitos a
ele relacionados. As entrevistas são gravadas com o consentimento dos participantes,
posteriormente transcritas, armazenadas e catalogadas em banco de dados.
Os questionários são aplicados em dois momentos (Apêndice III):
• questionário teórico; e
• questionário aplicado.
A finalidade desse instrumento de investigação é buscar a compreensão mais
aprofundada dos conhecimentos prévios dos alunos, em relação ao conceito de função e
as relações entre ele conceito e conceitos subjacentes. Como pensar os conceitos e suas
relações de forma teórica pode ser diferente de pensá-los de forma aplicada, a
subdivisão auxilia na compreensão de possíveis contradições e inconsistências
conceituais dos alunos, no momento inicial.
O questionário teórico contempla perguntas do conceito de função e dos
conceitos diretamente relacionados: domínio, contradomínio e imagem, bem como
perguntas sobre o conceito de equação, expressão algébrica, variável, incógnita, variável
dependente e variável independente.
O questionário aplicado subdivide-se em duas partes relativas aos conjuntos e às
representações algébricas. A subdivisão se justifica pelo fato de os alunos geralmente,
de acordo com pesquisas citadas no Capítulo 3, estudarem e relacionarem o conceito de
função ao conceito de conjuntos e o confundirem com o conceito de equação. As
respostas obtidas nos questionários (Apêndice IV) são armazenadas em banco de dados.
O objetivo da Intervenção é descrever o processo de ressignificação do conceito
de função, subdividindo-o em três fases, conforme pressupostos de Ausubel nos
Princípios Programáticos da Aprendizagem Significativa (figura 7):
• Diferenciação Progressiva e Reconciliação Integradora (fase 1);
• Organização Seqüencial (fase 2); e
• Consolidação (fase 3).
Na fase 1, os alunos são estimulados à discussão sobre o conceito de função e os
conceitos subjacentes e a organizá-los, de forma hierárquica descendente, do conceito
abrangente para o específico e ascendente, do conceito específico para o abrangente. Ela
compreende três períodos:
• conceitos preliminares;
• conceito de função de Dirichlet;
• conceitos de função de Lages Lima e Ávila.
No primeiro período, o objetivo é refletir sobre os conceitos subjacentes ao
conceito de função: conceito de equação, expressão algébrica, variável, incógnita,
variável dependente e independente, e, possíveis relações. No segundo, os alunos têm o
primeiro contato com o conceito de função para que desenvolvam a reflexão sobre a
relação de unicidade entre variáveis e o conceito de função. No terceiro, os alunos
fazem contato com outras definições formalizadas sobre função: definições de Elon
Lages Lima e de Geraldo Ávila.
O terceiro período é inserido na pesquisa, devido à necessidade dos próprios
alunos do grupo, em definir função utilizando conhecimentos prévios sobre conjuntos.
O objetivo é estimular a reflexão dos alunos sobre a necessidade de se definir função a
partir dos conjuntos, bem como a necessidade da definição de regra para verificação das
condições de existência e de unicidade.
Na fase 2, organização seqüencial, os alunos são estimulados a construir mapas
conceituais dos conceitos discutidos e organizados na fase anterior, integrando-os em
uma única representação. Essa fase tem subdivisões. Inicialmente os alunos
compreendem o conceito de mapas conceituais, seus elementos, composição e
estratégias de construção. Posteriormente, constróem mapas conceituais do conceito de
função e conceitos subjacentes para verificar como cada grupo organiza os conceitos e
estabelece as relações.
No terceiro momento, os alunos criticam os mapas conceituais dos colegas e
desenvolvem novos mapas conceituais em face das críticas dos colegas e pesquisadora.
O objetivo é verificar de que forma os alunos modificam ou não a maneira de pensar o
conceito de função e organizá-lo de forma esquemática.
Na fase 3, consolidação, os alunos aplicam seus conhecimentos na solução de
problemas sobre função utilizando os conceitos apresentados e discutidos em fases
anteriores. O objetivo é verificar como os alunos utilizam esse conceito na aplicação de
situações práticas e modelagem de problemas, destacando, sobretudo, os conceitos
considerados mais relevantes.
No último encontro, os alunos são submetidos a uma auto-avaliação. Os
questionários são-lhes devolvidos para que as modificações conceituais relevantes
sejam executadas. Esse momento também é destinado à avaliação de todo o processo
vivenciado na intervenção. O objetivo principal é verificar se o aluno percebeu seu
desenvolvimento durante o processo proposto e de que forma essa percepção contribui
para alterar a compreensão do conceito de função.
Em cada encontro da Intervenção, as discussões são gravadas em vídeo e
posteriormente transcritas (Apêndice V). Os alunos desenvolvem trabalho escrito, com
suas próprias palavras, nos protocolos de intervenção (Apêndice VI). Além disso, os
conceitos formalizados teoricamente são utilizados como terceira fonte de dados, como
base comparativa para as informações obtidas.
A coleta de dados se baseia em várias fontes de evidência. Documentos,
transcrições de entrevistas, questionários semi-estruturados, protocolos escritos,
transcrições das intervenções e textos com conceitos teóricos são instrumentos-chave de
comprovação das evidências. Os dados coletados são organizados em tabelas, com o
auxílio do software Access da Microsoft, que possibilita que, com a entrada de dados da
tabela básica, as informações sejam reagrupadas em outros formatos, automaticamente,
de acordo com a necessidade dos elementos da pesquisa.
A análise dos dados se fundamenta nos pressupostos de Stake (1998), buscando-
se a compreensão dos fenômenos por meio da descrição dos fatos obtidos de forma
cronológica sem esperar explicação causal. Dessa forma, os episódios são observados e
representados por meio de interpretação direta dos relatos para que o leitor possa
compreender o fenômeno estudado, observado e analisado de uma maneira mais geral
para que os aspectos mais singulares possam ser aprofundados de forma gradativa, pelo
conhecimento do grupo e de suas inquietações.
A análise dos dados é pela interpretação direta dos dados coletados buscando-se
encontrar os significados dos acontecimentos e suas inter-relações. Destaca-se o tempo,
o lugar e as pessoas envolvidas, diante de explicações narrativas, apresentações
cronológicas e descrições personalistas, com o intuito de fornecer informações para o
desenvolvimento de generalização naturalista pelo próprio leitor por meio de
experiência indireta.
A estratégia de análise se baseia na triangulação dos dados obtidos a fim de
garantir a validação da pesquisa, ao tentar reduzir, ao mínimo, as falsas representações e
interpretações. De acordo com a tipologia de estratégias de triangulação de Stake
(1998), são utilizados dois tipos:
• triangulação de fontes de dados; e
• triangulação metodológica.
No primeiro caso, verifica-se como os alunos compreendem o conceito de
função, ao serem estimulados de diferentes maneiras, em cada encontro da Intervenção:
conceitos teóricos, verbalizados e escritos. No segundo caso, confronta-se os resultados
obtidos com os dados coletados em diferentes instrumentos, entrevista, questionário e
intervenções. Com o enfoque múltiplo, esclarecem-se influências externas.
A pesquisa tem início em maio de 2007, com a aplicação de pesquisa piloto,
cujo objetivo é testar os instrumentos produzidos para as etapas previstas e a conduta da
pesquisadora. A aplicação é realizada no CEFETCE, pela instituição apresentar
características semelhantes às da UECE, no que diz respeito à formação inicial de
professores de Matemática.
Após modificações de instrumentos e reflexões sobre a forma de conduta da
pesquisadora, na aplicação das intervenções, a pesquisa é aplicada na Universidade
Estadual do Ceará, entre os meses de junho e outubro de 2007. Os detalhes específicos
de cada momento da pesquisa são apresentados nos capítulos subseqüentes.
5.2. Os primeiros momentos da pesquisa
O estudo piloto desenvolvido no CEFETCE é fundamental para a escolha das
atividades e problemas matemáticos relacionados ao conceito de função e, também, para
a compreensão de como aplicar a pesquisa. O levantamento da estrutura e o do
funcionamento do curso de Licenciatura em Matemática na UECE auxilia a estruturação
da pesquisa e a compreensão da disciplina de Fundamentos de Cálculo Diferencial e
Integral I na qual se ensina o conceito de função.
Os primeiros encontros com os alunos recém-ingressos à Universidade, turma
2007.1, são decisivos para a definição e caracterização do público da pesquisa: alunos
voluntários comprometidos em trabalho extracurricular.
5.2.1. O Estudo Piloto
A Pesquisa Piloto tem o objetivo de testar os instrumentos da pesquisa
propriamente dita e avaliar a conduta da pesquisadora na aplicação desses instrumentos,
especialmente na intervenção. A pesquisa preliminar é realizada com os alunos do
CEFETCE, turma 2007.1 do Curso de Licenciatura em Matemática, entre os meses de
maio e agosto. Pelo fato da instituição apresentar perfil semelhante ao da Universidade
Estadual do Ceará, ao formar futuros professores de matemática, sobretudo por se tratar
de alunos recém-ingressos na Educação Superior, é que se faz a escolha dessa
instituição.
Os primeiros contatos com a Coordenadora do Curso e o professor da disciplina
de Fundamentos de Matemática dão-se em maio de 2007. Após entrevista com o
professor da disciplina, agenda-se a data para a apresentação da proposta de
participação da pesquisa aos alunos do CEFETCE como voluntários. O primeiro
encontro aconteceu em junho de 2007. Seis alunos se apresentam como voluntários,
apenas cinco, porém, puderam participar dos encontros pela disponibilidade de horário
extra.
O segundo encontro, com os alunos já selecionados, faz-se no mesmo mês de
junho, com os seguintes objetivos: definir as regras de atuação de alunos e pesquisadora
para encontros subseqüentes, sobretudo as intervenções, e, assinar o termo de
participação da pesquisa exigido pelo Comitê de Ética, bem como fornecer os dados
pessoais.
As entrevistas são feitas com apenas dois alunos em 20/06/07, pela manhã, nas
instalações do próprio CEFETCE. Os questionários, teórico e aplicado, sobre o conceito
de função e seus conceitos subjacentes são desenvolvidos com os cinco alunos
voluntários em 26/06/07, na própria instituição. Devido o grupo ter utilizado tempo
bastante longo para as respostas e considerar cansativa a tarefa, decide-se que, na
pesquisa da UECE, os questionários seriam distribuídos em dias diferentes.
Acerta-se com o grupo que as intervenções acontecem duas vezes por semana, à
tarde. Assim, a primeira intervenção é em 03/07/07, no CEFETCE. As discussões
conceituais teóricas da primeira fase da pesquisa dão-se em seis encontros, terminadas
em 31/07/07. Para discussão e construção dos mapas conceituais do conceito de função,
são feitos dois encontros, com término em 07/08/07. O último, em 14/08/07, é destinado
à resolução de problemas.
A participação dos alunos no processo não é muito regular. Dois alunos desistem
logo no início das atividades, por motivos pessoais. Outros dois fazem-no na metade do
processo interventivo. Apenas um aluno participa de todos os encontros.
As fases da pesquisa, após a pesquisa piloto, são as mesmas. Porém a seqüência
dos conceitos discutidos é alterada. As relações entre os conceitos mais abrangentes e os
mais específicos são respeitadas, de acordo com os pressupostos da Teoria de Ausubel,
Novak e Hanesian (1980), para a compreensão mais profunda do pensamento do aluno
ao realizar as conexões conceituais. É importante ressaltar que a pesquisa piloto e a da
UECE se desenvolvem paralelamente, com intervalo de tempo determinado. Ainda
assim, a pesquisa do CEFETCE esteve sempre à frente da desenvolvida na UECE,
conservando os seus propósitos.
O aspecto mais importante da pesquisa piloto, de grandes contribuições à
pesquisa da UECE, relaciona-se ao comportamento da pesquisadora. Os papéis de
professora e de pesquisadora, inicialmente, confundem-se na aplicação da pesquisa
piloto. Para separá-los, a pesquisadora busca, em todos os momentos, diferenciar os
objetivos próprios do professor, dos objetivos próprios do pesquisador. Ao final do
processo, a pesquisadora compreende seu papel e se considera apta a desenvolver as
intervenções voltadas aos interesses da pesquisa e não aos da sala de aula, como
professora.
5.2.2. A Estrutura do Curso de Licenciatura em Matemática da UECE em 2007.1
O curso de Licenciatura em Matemática da UECE prepara licenciados para o
Ensino Médio, com direito a lecionar Ciências e Matemática no Ensino Fundamental. O
objetivo geral do curso, de acordo com a proposta curricular, é dotar o profissional
docente de base instrumental para desenvolvimento de projetos de pesquisa e extensão,
que possibilitem a produção do conhecimento, contribuindo para o desenvolvimento
científico e cultural do Estado do Ceará. Ele pode ser cumprido no prazo de 4 a 7 anos,
desde que concluídos 168 créditos dispostos em 2.790 horas. Pode ainda ser no período
noturno ou diurno.
Pela análise da grade curricular do semestre de 2007.1 (Anexo I), o curso oferta
29 disciplinas obrigatórias, entre elas, 16 de estudo do Cálculo Diferencial Integral, da
Geometria Euclidiana, Analítica e Descritiva, do Desenho Geométrico, da Álgebra, da
Teoria dos Números, do Cálculo Numérico e da Estatística Descritiva. As demais dizem
respeito à disciplina Introdutória ao curso e à Universidade, às voltadas para as novas
tecnologias, às específicas de Ciências e às Humanas que contemplam o estudo da
Psicologia Evolutiva e da Aprendizagem, Didática Geral, Estrutura e Funcionamento do
Ensino Fundamental e Médio e as disciplinas de Prática de Ensino de Ciências e de
Matemática. No 1º semestre, mais especificamente, os alunos optantes pelo horário
diurno, têm as aulas concentradas no período da tarde.
As disciplinas do curso de Licenciatura em Matemática da UECE, do referido
semestre, são as seguintes:
• Introdução à Universidade e ao Curso;
• Geometria Euclidiana I;
• Fundamentos da Computação;
• Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral I.
A Introdução à Universidade e ao Curso, com um total de 30 horas/aula, é
ministrada quinzenalmente. Geometria Euclidiana I, com 60 horas/aula, e Fundamentos
da Computação, com 90 horas/aula, são realizadas no horário AB, entre 13h30min e
15h10min, respectivamente, às terças-feiras e quintas-feiras, e às segundas-feiras,
quartas-feiras e sextas-feiras, de forma intercalada na semana. Fundamentos e Cálculo
Diferencial e Integral I, com maior carga horária, 150 horas/aula, é ministrada
diariamente, de 2ª à 6ª feira no horário CD, entre 15h30min e 17h.
A disciplina de Fundamentos e Cálculo Diferencial e Integral I contempla o
saber matemático a ser abordado e o conceito de função. Seus objetivos contemplam a
revisão de tópicos estudados no 2º grau e a introdução do cálculo diferencial e integral,
propriamente dito (Anexo II). O primeiro conteúdo programático da disciplina é o
conceito de função, conjuntos numéricos, tipos de funções e respectivas correlações
entre conceitos de equação, progressão aritmética, progressão geométrica, trigonometria
e números complexos. Os próximos conteúdos contemplam os conceitos de limite e
continuidade, de derivada, integral definida e indefinida, bem como as aplicações em
situações científicas e cotidianas.
Apesar de a disciplina apresentar tópicos semelhantes aos da pesquisa, sobretudo
os que dizem respeito ao conceito de função, a pesquisa não pôde ser desenvolvida no
horário convencional de aula. A disciplina é de um conteúdo programático extenso, na
qual vários conceitos, teoremas e aplicações são desenvolvidos. A pesquisa interventiva,
por sua vez, exige desenvolvimento de longo prazo. Os fatos levam a pesquisadora a
optar pelo trabalho em horário extra curricular, sem coincidência com o horário da
tarde.
Com a análise das informações, a pesquisadora entra em contato com o
Coordenador do Curso e com o professor específico da disciplina de Fundamentos e
Cálculo Diferencial e Integral I para conhecer e autorizar o desenvolvimento da
pesquisa com os alunos recém-ingressos na Universidade, no período de 2007.1.
5.2.3. Os primeiros contatos com a turma do Curso de Licenciatura em
Matemática da UECE de 2007.1
Os alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UECE, no período de
2007.1, matriculados em Fundamentos e Cálculo Diferencial e Integral I, totalizam 56:
11 mulheres e 45 homens. O primeiro contato com a turma dá-se em 26/06/07, 20 dias
após o início do ano letivo. O professor de Fundamentos e Cálculo Diferencial e
Integral I cede tempo para a pesquisadora explanar o trabalho da pesquisa de mestrado e
convidar os alunos interessados.
Terminada a aula, os alunos identificados com a proposta se aproximam para
compreender melhor os detalhes do trabalho. São apresentados os objetivos e as fases
da pesquisa, as regras de atuação da pesquisadora e as regras de operacionalização da
pesquisa, incluindo a necessidade de filmar as intervenções. Como a pesquisa se faz em
horário extra curricular, dos 10 alunos interessados em participar, apenas 4 realmente
confirmam presença no próximo encontro, do dia 02/07/07, sendo 3 mulheres e 1
homem.
Inicialmente, os encontros subseqüentes poderiam ocorrer às terças-feiras e
quintas-feiras, entre as 17h e 18h, em sala de aula, onde é ministrada a disciplina de
Cálculo I. Resolve-se que, nos próximos encontros, serão realizadas entrevistas, com
termo de consentimento livre e esclarecido, exigido pelo Comitê de Ética, e preenchida
a ficha com os dados pessoais de cada aluno.
5.3. As Entrevistas
As entrevistas têm o objetivo de caracterizar e conhecer melhor os alunos
participantes da pesquisa, recém-ingressos à UECE no período letivo de 2007.1. Com a
entrevista do professor de Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral I, procura-se
compreender a estrutura da disciplina, bem como os conteúdos matemáticos. A visão do
professor sobre os alunos da Universidade é necessária para que os saberes dos
licenciandos possam ser mapeados, especialmente no que diz respeito ao conceito de
função.
Pela entrevista dos alunos, conhecem-se por meio da experiências escolares e
profissionais, seus objetivos no curso de matemática e objetivos na profissão. O
acompanhamento da história de vida escolar é necessário para que os alunos possam ser
caracterizados, diante das preferências e dificuldades da trajetória. Como objetivo
principal, compreender como aprendeu-se o conceito de função, as dificuldades
enfrentadas no processo e os elementos formadores dos subsunçores, é o ponto-chave
desse momento da pesquisa.
5.3.1. A Entrevista com o Professor de Fundamentos de Cálculo Diferencial e
Integral I
A entrevista com o professor de Cálculo I não foi difícil: marcados data e
horário é feita sem qualquer adiamento. Com a utilização da câmera, é mais fácil a
transcrição do material da entrevista. Realizada em 20/06/07, às 15h 15 min, nas
instalações da UECE, a entrevista dura pouco mais de 23 minutos, em que o professor
discorre sobre seus dados profissionais, sobre a disciplina de cálculo, bem como sobre
os saberes dos licenciandos (Apêndice IV).
O professor afirma que a disciplina é de pré-cálculo, com estudo de conjuntos
numéricos até funções, com a inclusão da Geometria Analítica, e em seguida, Cálculo
Diferencial e Integral. No que diz respeito ao conteúdo de função, os alunos trabalham
com o conceito de lei de definição e construção de gráficos, especialmente quando
estudadas as derivadas.
O professor caracteriza os alunos do curso de Licenciatura em Matemática da
UECE como despreparados, com grandes dificuldades em relação aos conteúdos
matemáticos. São, por outro lado, de fácil relacionamento e, reconhecendo não saber
matemática, querem aprender. No geral, as dificuldades são causadas pela grande
defasagem dos conteúdos do Ensino Médio, o que justifica a ampliação do curso de
Cálculo I para 10 créditos. A falta do hábito de escrever e argumentar, de resolver
questões sem se interessar pelo seu desenvolvimento e problemas sem apresentar
justificativa são as dificuldades básicas dos alunos “novatos”.
A dificuldade com as simbologias matemáticas é muito forte, mas a organização
do raciocínio e a utilização da linguagem também são dificuldades a serem superadas.
Quanto à função, o professor afirma que a grande dificuldade dos alunos está em
formalizar o conceito, além de calcular, em alguma situação específica, o valor pontual,
de compreender a regra da função como caminho a ser seguido. Compreender função
sob o ponto de vista teórico e prático, diferenciar variável e incógnita, confundir o
conceito de função com o de equação, trabalhar com funções com mais de uma variável,
compreender e diferenciar o que são variáveis dependentes e independentes são
dificuldades subjacentes, de acordo com o profissional, cuja experiência como professor
já ultrapassa os 30 anos de carreira e os 20 anos de UECE.
As dificuldades relatadas pelo professor entrevistado, sobre os conteúdos
matemáticos dos alunos recém-ingressos na Universidade não surpreendem. Os autores
citados no Capítulo 3 apresentam, em suas pesquisas, dificuldades semelhantes no
trabalho com funções. Se os problemas existem, precisam ser investigados enfatizando
os conceitos de função, variável, incógnita, equação, expressão algébrica, variável
dependente e independente por meio de processos investigativos diante de
levantamentos de informações e de intervenções.
5.3.2. A entrevista com o aluno GATO
5
A entrevista é feita em 02/07/07, por volta das 14h 30min., nas instalações da
UECE, durante 34 minutos, em que o aluno discorre sobre dados pessoais, sua história
de vida escolar, como conheceu o conceito de função e como o compreende atualmente.
(Apêndice IV).
Nascido em Fortaleza/CE, em 1989, sua vida escolar inicia aos 3 anos de idade,
em Aquiraz, até a alfabetização, em colégio particular. Da antiga 1ª série até a 5ª série,
em colégio público, o mesmo de sua formação infantil. De volta ao colégio particular,
estuda com bolsa, da 5ª até a 8ª série. No Ensino Médio, estuda em instituição pública,
no CEFETCE.
A maior dificuldade, em relação aos conteúdos matemáticos, é na 5ª série. As
frações e as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão lhe trazem grande
confusão. Somente no final da 6ª série, transpõe as dificuldades. Acredita que isso é por
seu professor não estar preparado para o ensino de Matemática. Formado em
Agronomia, no ano seguinte deixa de ensinar Matemática para ensinar Biologia, com
cujo conteúdo se identifica mais.
Em relação a outros conteúdos, sempre apresenta dificuldades na compreensão
de História, para o que teve que se esforçar. Fazer resumos, muitas atividades, é rotina
5
Pseudônimo atribuído pela pesquisadora pelo fato do aluno ter se apegado aos gatinhos que passaram a
freqüentar os encontros marcados na sala G1 da UECE, Campos do Itaperi.
de estudo. Inglês torna-se difícil, mas, com o curso extra, fora da escola, compreende
melhor.
No Ensino Médio, a maior dificuldade é Física, por não haver aprendido os
conceitos de maneira mais aprofundada na 8ª série. Os conteúdos de Química são
igualmente difíceis, mas com o tempo, consegue compreender melhor que os de Física.
Mesmo assim afirma que Química é a disciplina favorita, seguida de Matemática,
Biologia e Filosofia. Conclui o Ensino Médio, no CEFETCE aos 19 anos de idade, em
2005, e, ao prestar vestibular pela primeira vez, ingressa na UFC cursando Bacharelado
em Matemática no período diurno.
Como não se identifica com o curso, ao término do 2º semestre letivo, presta
vestibular novamente para o curso de Licenciatura em Matemática na UECE. No ano de
2007 estuda nas duas Universidades. Não tem experiência como professor de
matemática. Diz apenas ter contato com o ensino ao ministrar aulas particulares há sete
anos, na própria casa, com a participação de poucos alunos. Gosta de ensinar
matemática. A matemática pura e simples não o atrai. Por outro lado, ensinar outros
conteúdos também não. Seu objetivo é seguir a carreira vinculada ao ensino da
matemática para aprender a repassar conhecimentos matemáticos.
Pretende concluir o curso de Licenciatura em Matemática da UECE e prosseguir
a pós-graduação, no curso de especialização na área e, em seguida, no Mestrado. Relata
ainda que, nesse período, gostaria de estar atuando em sala de aula. Se pudesse escolher,
gostaria de ensinar na cidade onde mora, Aquiraz, no colégio público que freqüentou no
Ensino Fundamental I.
Seu primeiro contato com o conceito de função acontece na 7ª série,
conhecimento utilizado nos anos subseqüentes, inclusive na Faculdade. O professor
ensina o conceito de função utilizando a Teoria dos Conjuntos e a correspondência dos
elementos de um conjunto em outro, por meio do Diagrama de Venn e as setas de
conexão de cada par de elementos.
Suas maiores dificuldades no conceito se relacionam ao fato de os elementos de
domínio de função apresentarem uma única correspondência com os elementos do
conjunto contradomínio e os elementos do contradomínio apresentarem a possibilidade
de ter mais de uma correspondência com o conjunto domínio. Além disso, diferenciar
imagem de contradomínio é de difícil compreensão. Ele afirma que se confunde em
relação aos conceitos.
Os elementos que caracterizam função, em sua opinião, são: a lei de
correspondência entre dois conjuntos, o domínio e o contradomínio. Os conceitos de
variável, de incógnita, de relação e de equação também se relacionam ao conceito de
função, mas acredita não existir diferença entre incógnita e variável, são conceitos
idênticos. Para representar função, prefere utilizar gráfico. Além de melhor visualizar a
função e seu comportamento, ele acredita que o domínio e o contradomínio ficam
explícitos.
Apresenta a primeira definição de função da seguinte forma: “considerando dois
conjuntos A e B, chama-se função a relação que existe entre o conjunto A com o
conjunto B, uma certa lei de formação, a lei da função, (...) um elemento no conjunto A
pode ter uma única imagem no conjunto B”. Ao fim, parece estar esquecendo alguma
coisa, mas prefere não complementar.
Os elementos subsunçores do aluno sobre o conceito de função se relacionam
basicamente com a visão de função associada aos conjuntos, isto é, elementos como lei
de formação, domínio, contradomínio e imagem fazem parte de conhecimentos
adquiridos. Vale ressaltar que, para esse aluno, função é a relação entre dois conjuntos
em que a lei de formação é fator preponderante, bem como o fato de a imagem ser única
para cada elemento do domínio.
5.3.3. A entrevista com o aluno PEIXE
6
A entrevista é realizada em 03/07/07, às 17h, nas instalações da UECE, durante
20 minutos em que o aluno discorre sobre dados pessoais, sua história de vida escolar,
como conheceu o conceito de função e como o compreende atualmente (Apêndice IV).
Nascido em Fortaleza/CE, em 1988, sua vida escolar iniciou pela alfabetização.
A educação básica até o Ensino Médio é sempre no mesmo colégio particular, por
escolha dos pais e pelo fato de ser próximo ao local de morada.
As dificuldades em relação aos conteúdos matemáticos são os estudos de
tabuada de multiplicação, no Ensino Fundamental I, e no Ensino Médio, o conteúdo de
Probabilidade. Assuntos de Geometria Espacial ou Plana, afirma não gostar de estudar,
mas com dedicação consegue compreendê-los. Em relação a outros conteúdos, não
gosta de História, Língua Inglesa e Portuguesa, por não apresentarem conteúdos exatos,
o que se perpetua até hoje. As disciplinas favoritas são Matemática e Física. Sua
6
Pseudônimo escolhido pelo próprio aluno.
exatidão o atrai e, mesmo que precise ler e interpretar problemas, considera que o
pensamento é diferente do utilizado para pensar sobre conteúdos lingüísticos.
Conclui o Ensino Médio no Colégio Dom Quintino, aos 17 anos de idade, em
2005, e, ao prestar vestibular, ingressa na UECE, cursando Licenciatura em Matemática
no período diurno. Tenta o curso de Engenharia Mecânica na UFC e o curso de
Mecatrônica no CEFETCE, sem êxito. Não apresenta experiência como professor de
matemática. Diz apenas ter contato com o ensino, ao ministrar aulas particulares para os
amigos, de Matemática e Física. Gosta de estudar conteúdos exatos, sem dupla
interpretação. Pretende seguir a carreira de docente e seu objetivo com o curso de
Licenciatura é se tornar professor.
Seu primeiro contato com o conceito de função é na 8ª série, utilizando esse
conhecimento nos anos subseqüentes. Seu professor apresenta o conceito de função
utilizando a Teoria dos Conjuntos e a correspondência dos elementos de um conjunto
em outro por meio do Diagrama de Venn e as setas de conexão de cada par de
elementos.
Sua maior dificuldade é com a interpretação gráfica. Diz ter aprendido a
reconhecer e a compreender gráficos praticamente sozinho pelo método de acertos e
erros. Os conceitos sobre vértice, ponto máximo, ponto mínimo, por exemplo, não
foram ensinados na escola. Para o aluno, não existem elementos específicos de função.
O que normalmente se faz, ao trabalhar esse conceito, é “calcular alguma coisa a partir
de outra”. O conceito de variável, de incógnita, de relação e de equação também se
relacionam ao conceito de função, mas acredita que o conceito de variável e incógnita
são iguais. Para representar uma função, prefere utilizar expressão algébrica. Por meio
dessa representação, ele é capaz de verificar o grau da função, número de raízes e o tipo
do gráfico.
Sua primeira definição de função é: “uma função matemática é uma expressão
algébrica que me permite calcular alguma coisa a partir de outra”. Não quis
acrescentar outras informações.
Os elementos subsunçores do aluno, sobre o conceito de função, se relacionam
basicamente com a visão da função associada aos conjuntos. Não explicita os elementos
de uma função, tais como domínio, contradomínio e lei de formação. O conceito se
pauta no conceito de cálculo e de relação entre duas “coisas” levando a compreender, de
forma interpretativa, que seja uma relação entre conjuntos.
O aluno GATO e o aluno PEIXE apresentam origens diferentes, com trajetórias
de vida também diferentes, que, em alguns momentos, apresentam características
semelhantes, por exemplo, estão juntos não só no curso de Licenciatura em Matemática
da UECE, como também nesta pesquisa. Gostam de matemática, pretendem ser
professores da área, estudaram função pela Teoria dos Conjuntos, consideram que
variável e incógnita são conceitos idênticos, acreditam que equação, relação, variável e
incógnita são elementos relacionados ao conceito de função, e reconhecem ter
dificuldades em alguns aspectos desse conhecimento.
Enquanto o aluno GATO tem conceitos explícitos de função, como domínio,
contradomínio e lei de formação, o aluno PEIXE os tem de forma implícita,
externalizando somente a relação capaz de transformar um elemento de um conjunto em
elemento de outro conjunto. Constata-se assim que os elementos formadores dos
subsunçores de ambos são diferentes, embora tenham aprendido função pelo
conhecimento de conjuntos. Para as análises subseqüentes, serão consideradas as
estruturas cognitivas individuais, apesar de o trabalho ter sido realizado em conjunto.
5.4. Os Questionários
Os questionários têm o objetivo de saber mais profundamente os conhecimentos
prévios dos alunos, em relação aos conceitos básicos de função diante da visão teórica e
aplicada da matemática. Essa fase da pesquisa é realizada em dois dias, o primeiro para
o desenvolvimento do questionário teórico, e o segundo, para o questionário aplicado.
Nesse ínterim, os alunos ficam livres para pesquisar o tema e se aprofundar em questões
que lhes suscitem dúvidas.
O Questionário Teórico é realizado em 09/07/07, às 15h, na sala G1 do Campus
do Itaperi. As perguntas teóricas buscam compreender o que os alunos pensam sobre os
conceitos de:
• função, domínio, contradomínio, imagem e lei de correspondência;
• expressão algébrica e possível relação com o conceito de função;
• equação e possível relação com o conceito de função;
• variável e incógnita e suas relações com o conceito de função;
• variável dependente e variável independente.
O Questionário Aplicado é realizado em 10/07/07, às 15h, na sala G1 do Campus
do Itaperi. As perguntas apresentam situações matemáticas aplicadas, subdividindo-se
em duas partes:
• aplicação com conjuntos;
• aplicação com álgebra.
Na primeira parte, o objetivo é verificar como o aluno reconhece uma função a
partir da leitura dos Diagramas de Venn; caracteriza os conjuntos domínio,
contradomínio e imagem de uma função; reconhece sua lei de correspondência e suas
variáveis; caracteriza a variável dependente e a variável independente.
Na segunda parte o objetivo é verificar como o aluno reconhece uma função a
partir da leitura de uma situação algébrica; reconhece os elementos formadores dessa
função; reconhece uma equação e uma expressão algébrica; e caracteriza o domínio, o
contradomínio e a imagem da função.
5.4.1. O Questionário Teórico do aluno GATO
O aluno responde o questionário em 33 minutos (Apêndice V). Ao definir
função, afirma que “Função é uma relação que ocorre geralmente entre dois conjuntos
que utiliza uma característica para relacionar os elementos desses conjuntos”.
Exemplifica a definição da seguinte maneira: “a quantidade de dinheiro que gasto em
relação à quantidade de livros que compro”.
O aluno ressalta o conceito de função, no questionário teórico, como relação
entre dois conjuntos, da mesma forma que na entrevista. Acrescenta novo elemento, a
palavra “característica”. Supõe-se, relacionado ao conceito de lei de formação da função
expressa na entrevista. É interessante ressaltar que, no exemplo, o aluno não explicita os
conjuntos, nem a lei de formação de relação, afirmando apenas a existência da relação.
Pode-se concluir, a princípio, que o conceito de relação esteja relacionado ao conceito
de função.
O domínio e o contradomínio e a imagem são definidos como conjuntos
formadores de uma função. O domínio é formado pelos elementos que iniciam a
relação; o contradomínio, pelos elementos que podem se relacionar com os elementos
do domínio; e, a imagem, pelos elementos do contradomínio que apresentam um
correspondente no domínio.
A lei de formação é definida como “característica utilizada para corresponder
um elemento do domínio com o contradomínio”. Acrescenta ainda que a lei de formação
também pode ser uma equação e apresenta como exemplo “y = 2x + 5”. Pode-se
concluir que a palavra “característica” se relaciona ao conceito de lei de formação da
função. E, como está relacionado ao conceito de equação existe a possibilidade de que o
conceito de equação esteja vinculado ao conceito de função por meio do conceito de lei
de formação.
Define equação como “uma expressão algébrica que contém uma igualdade”. E,
como exemplo, coloca que “3x + 1 = 5” representa uma equação. O aluno não utiliza o
termo função para definir equação, o que pode significar que o conceito de equação, em
sua compreensão, não seja igual ao conceito de função. Ainda assim acredita que uma
equação pode representar uma função já que é possível estabelecer “uma
correspondência entre os elementos do domínio e do contradomínio” por meio de uma
equação.
Define expressão algébrica como “uma expressão que pode relacionar números
e variáveis” e utiliza “2a + 3b + c” como exemplo. O aluno não utiliza o conceito de
função para definir expressão algébrica. Isso pode significar que o conceito de
expressão algébrica não seja igual ao conceito de função. Na realidade, o aluno afirma
que a expressão algébrica não pode representar uma função porque “não há como
corresponder dois elementos de conjuntos distintos (no caso domínio e
contradomínio)”. Conclui-se que o conceito de expressão algébrica não está relacionado
ao conceito de função.
Ao definir incógnita, escreve que “é uma letra que representa um valor
desconhecido”. Ao definir variável, coloca que “é o mesmo que incógnita”. Em
nenhuma das definições, os conceitos de equação e função estão presentes. Porém
afirma que uma incógnita (ou variável) pode ser utilizada numa equação, já que ela
pode ser representada por valores conhecidos ou não. Isso pode significar que os
conceitos de equação estão relacionados aos conceitos de incógnita e variável. O aluno
afirma que uma incógnita (ou variável) pode representar uma função, porque
normalmente ela é representada por uma equação. Conclui-se que os conceitos de
incógnita e variável também se relacionam ao conceito de função.
Variáveis dependentes “são aquelas que dependem do valor de outra variável” e
variáveis independentes ”não dependem de uma outra variável”. Como exemplo coloca
que “y = 2x” é uma relação onde y representa uma variável dependente, e x uma
variável independente. Ainda assim não utiliza os conceitos de função e de equação
nessas definições. E, apesar do conceito de variável estar relacionado ao conceito de
função e de equação, nada se pode afirmar da relação entre variável dependente e
independente e o conceito de função.
5.4.2. O Questionário Teórico do aluno PEIXE
O aluno realiza o questionário em outra data, 10/07/07, às 15h43min, em 45
minutos (Apêndice V). Ao conceituar função, afirma que “Função matemática é uma
relação entre dois números, onde um dos números é obtido a partir do outro”. E, como
exemplo, coloca que uma função pode ser “f(x) = 2x + 1”. O que na entrevista era
concebido como expressão algébrica, agora é citado como relação entre dois números. É
interessante ressaltar que, no exemplo, o aluno representa função algebricamente.
Conclui-se que o conceito de função está relacionado ao fato de um número ser obtido a
partir de outro, por meio de uma igualdade que os relacione. O conceito de relação pode
estar vinculado ao conceito de função, em sua estrutura cognitiva.
O domínio, o contradomínio e a imagem não são definidos como conjuntos
formadores do conceito de função, mas pelo que eles representam na função. O domínio
“representa os valores que o número x pode assumir”, o contradomínio “representa os
valores que o número f(x) pode assumir”, e, a imagem “representa os valores que f(x)
assume para um determinado valor de x”.Utiliza-se em várias situações, a representação
algébrica. Até mesmo os elementos dos conjuntos apresentam a representatividade
algébrica. E, apesar do domínio, contradomínio e imagem não estarem explícitos, na
definição sobre função, o aluno os reconhece como elementos integrantes do conceito.
A lei de formação é definida como “relação entre o seu domínio e o seu
contradomínio”. Como exemplo, coloca que “f: R -> N” representa uma lei de
formação. Não considera a lei de formação como sendo uma equação. E, apesar de ter
exemplificado uma função utilizando os elementos da equação, considera que a lei está
relacionada à representação da relação entre o domínio e o contradomínio.
O aluno considera a equação como “uma igualdade entre dois números”.
Exemplifica o conceito da seguinte maneira: “4x + 8 = 0”. Não utiliza, no conceito de
equação, o conceito de função, mas concorda com a possibilidade de a equação
representar uma função, pois uma “função representa uma igualdade”. É possível que o
conceito de equação esteja relacionado ao conceito de função, mas não necessariamente
relacionado ao conceito de lei de formação. Ainda assim, é possível considerar que o
conceito de equação seja diferente do conceito de função em sua estrutura cognitiva.
Define expressão algébrica como “uma expressão que representa um único
número”. Exemplifica a expressão algébrica da seguinte maneira: “4x + 3”. Não utiliza
o conceito de função para definir expressão algébrica. Isso pode significar que o
conceito de expressão algébrica não esteja relacionado ao conceito de função. O aluno
afirma que a expressão algébrica realmente não pode representar uma função porque
“uma função representa uma relação entre dois números e uma expressão algébrica
representa apenas um número”. Conclui-se que o conceito de expressão algébrica não
está relacionado ao conceito de função.
Ao definir incógnita, escreve que “é um número que é representado por uma
letra e que representa a relação de uma equação”. Ao definir variável, coloca que “é
um número que pode variar de acordo com o resultado que se queira chegar”. É
possível que o conceito de incógnita esteja relacionado ao de equação, o que não
necessariamente acontece com o conceito de variável. Esse fato se comprova, ao afirmar
que uma incógnita pode ser utilizada na equação porque “é justamente o que dá sentido
a uma equação”. Porém, no que diz respeito à variável, o aluno considera que ela não
pode ser utilizada numa equação porque o valor da incógnita representa a solução da
equação e a solução não vai variar.
Se a incógnita está na equação e a equação representa uma função, por
transitividade lógica, a incógnita também pode estar na função. Dessa forma, o aluno
afirma que “a incógnita pode ser representada pela letra x de uma função e pode
também representar sua solução”. Acredita-se que, ao falar sobre solução, ele esteja se
referindo à solução da equação. Apesar de considerar que a variável não está presente
na equação, considera que ela é um elemento formador de função afirmando que,
“embora existam funções sem variáveis (funções constantes), a variável é que compõe a
função”. Conclui-se que incógnita e variável são dois conceitos relacionados ao
conceito de função.
O aluno não consegue reconhecer a variável dependente, nem uma variável
independente. Dessa forma, não consegue estabelecer relação entre elas, nem apresentar
exemplos para identificá-las ou relacioná-las ao conceito de função.
5.4.3. O Questionário Aplicado do aluno GATO
O aluno realiza o questionário em outra data, em 11/07/07, às 15h25min, em
outro local, também no Campus do Itaperi, em 17 minutos, um tempo menor do que o
questionário anterior (Apêndice V).
Na 1ª parte do Questionário Aplicado, o aluno escolhe a representação A (figura
8) para caracterizar uma função, justificando que a situação obedece à “lei da função”.
Figura 8 – Situação A do Questionário Aplicado – Parte 1
Fonte: Elaboração própria
Rejeita a situação B (figura 9) porque “um dos elementos de x que é consoante
não está ligado a um elemento em y” e a situação C (figura 10) porque “o elemento c
possui duas imagens”.
Figura 9 – Situação B do Questionário Aplicado – Parte 1
Fonte: Elaboração própria
O aluno considera a definição do domínio, do contradomínio e da lei de
formação suficiente, para uma relação se definir como função. É necessário que os
elementos do domínio apresentem um único correspondente no contradomínio. Existem
condições a serem consideradas. Reconhece o domínio como um conjunto formado
pelos elementos do conjunto X, o contradomínio como um conjunto formado pelos
elementos do conjunto Y e a imagem como os elementos do contradomínio que
apresentam uma correspondência no domínio, enfatizando o que definiu no
Questionário Teórico.
Figura 10 – Situação C do Questionário Aplicado – Parte 1
Fonte: Elaboração própria
Os elementos do domínio e do contradomínio são caracterizados como variáveis,
sendo que a variável independente pertence ao primeiro conjunto e a variável
dependente, ao segundo conjunto citado. O aluno reconhece que as variáveis estão na
função e que, devido à relação entre elas, uma pode se caracterizar como dependente e
outra como independente, inclusive no que diz respeito aos conjuntos.
Na 2ª parte do Questionário Aplicado, a função v: R
→
R pode ser caracterizada
por “x + y = 10”, pois essa representação mostra a relação existente entre x e y numa
equação. Descarta-se a opção “x + y” porque “não é uma equação” e a opção “x + 1 =
10” porque “não há como relacionar x com y”. Nessa situação, as condições para ser
função não citadas pelo aluno. Para ser função é necessário que se tenha uma equação
representada por duas letras que possam se relacionar entre si. Com duas letras, não
sendo equação, ou se for equação e não tiver duas letras, não é possível se construir uma
função.
Para o aluno, x e y representam incógnitas e variáveis, sendo que x é
considerada variável dependente e y, variável independente. Os resultados ratificam os
apresentados no Questionário Teórico sobre o fato das variáveis se relacionarem ao
conceito de função.
Interrogado sobre qual situação representa equação, escolhe a opção “x + 1 =
10”, não fazendo qualquer menção à situação “x + y = 10” que considera representar
uma função por ser equação. O fato pode denotar que o aluno, ao compreender uma
situação como função, deixa de compreendê-la como equação, mesmo que considere a
relação entre os conceitos de equação e função.
Caracteriza expressão algébrica como “x + y”. Percebe-se que, apesar de a
função e a expressão algébrica serem formadas por incógnitas e variáveis, elas
representam conceitos diferentes e não estão, aparentemente, relacionadas entre si.
Reconhece o domínio, o contradomínio e a imagem como sendo o conjunto R dos
números reais. Mesmo diante de representação algébrica, o aluno reconhece os
conjuntos como elementos básicos de uma função.
5.4.4. O Questionário Aplicado do aluno PEIXE
O aluno realiza o questionário em outra data, 11/07/07, às 15h25min, em outro
local, também no Campus do Itaperi, com o aluno GATO, em 33 minutos, tempo
semelhante ao levado para o questionário anterior (Apêndice V).
Na 1ª parte do Questionário Aplicado, o aluno escolhe a representação A (figura
8) para caracterizar uma função, justificando que a situação obedece a “todas as leis da
função”. Rejeita a situação B (figura 9) porque “o elemento ´c´ deveria estar ligado a
um número par não primo, mas não está” e a situação C (figura 10) porque “o elemento
´c´ não deveria estar ligado ao elemento 2”.
Reconhece o domínio como conjunto formado pelos elementos do conjunto X, o
contradomínio como o conjunto formado pelos elementos do conjunto Y e a imagem
como os elementos do contradomínio que apresentam correspondência no domínio,
enfatizando o que havia definido no Questionário Teórico.
Define como variável apenas os elementos pertencentes ao domínio e justifica
afirmando que “são os elementos do domínio que variam para definir a sua imagem”.
E, apesar de não saber definir variáveis dependentes e independentes, conforme os
resultados do Questionário Teórico, o aluno considera que a variável k se comporta
como variável independente e não existe variável dependente.
Na 2ª parte do Questionário Aplicado, a função v: R
→
R pode ser caracterizada
por “x + y”, pois a situação “é a única que não representa uma equação”, descartada a
opção “x + 1 = 10” porque “considera ser uma equação” e a opção “x + y = 10” pelo
mesmo motivo.
Para ser função, é necessário que se tenha uma expressão algébrica representada
por duas letras que não caracterizem uma equação. É importante ressaltar que, na
Entrevista e no Questionário Teórico, o aluno afirma que uma equação pode representar
uma função. Já, no Questionário Aplicado, o aluno afirma justamente o contrário. Até
que ponto o conceito de equação pode estar relacionado ao conceito de função?
Nessa situação, x e y representam variáveis, e, em ambos os casos, variáveis
independentes. Para ele não existem variáveis dependentes. Na 1ª parte do questionário
e na 2ª, o aluno consegue reconhecer apenas variáveis independentes. O fato de não
saber definir o conceito de variável dependente e independente pode influenciar na
compreensão desses conceitos também em situações aplicadas.
Interrogado sobre qual situação representa equação, escolhe a opção “x + 1 =
10” e a situação “x + y = 10”. Justifica sua escolha afirmando que essas situações “não
representam função e nem simples expressões algébricas”. O resultado ratifica o fato de
uma equação não poder representar uma função. Contradiz, porém, o apresentado no
Questionário Teórico.
Ao caracterizar a expressão algébrica, reconhece-a como “x + y”, justificando
que a situação “não apresenta sinal de igualdade”. Ao caracterizar a função, o aluno
também utiliza a mesma representação algébrica utilizando praticamente a mesma
justificativa. Pode-se concluir que o conceito de expressão algébrica está relacionado ao
de função. O fato contradiz o apresentado no Questionário Teórico, a respeito do
conceito de expressão algébrica. Nessa situação, o aluno afirmou que a expressão
algébrica não representa uma função porque toda função representa uma relação entre
dois números, o que a expressão algébrica não é capaz de fazer. Conclui-se que o
conceito de expressão algébrica pode estar ou não relacionado ao de função. Ainda
suscita dúvidas.
Reconhece o domínio, o contradomínio como sendo o conjunto R dos números
reais. Porém não faz qualquer menção ao conjunto imagem. É importante ressaltar que,
mesmo com a representação algébrica, o aluno é capaz de reconhecer conjuntos como
elementos básicos de uma função.
Para o aluno GATO, o conceito de função aparece, em diferentes situações,
vinculado ao de relação entre conjuntos, em que a lei de formação é o aspecto mais
relevante. Reconhece também a função pela relação entre variáveis. Para o aluno
PEIXE, o conceito aparece mais diversificado, vinculado à relação entre dois números,
e à relação entre conjuntos e entre variáveis, em que o conceito de lei de formação
aparece de forma implícita.
. Os conjuntos domínio, contradomínio e imagem são, para ambos, conceitos
relacionados ao conceito de função. As condições de existência e de unicidade de uma
função são apresentadas pelos alunos em situações que requeiram pensamento voltado
para conjuntos. O aluno GATO explicita as duas condições, já o aluno PEIXE explicita
apenas a condição de existência. Os conceitos de equação e de expressão algébrica
diferenciam a formação da estrutura cognitiva de cada um. Para o aluno GATO, o
conceito de equação está relacionado ao conceito de função. Para o aluno PEIXE, a
relação acontece no aspecto teórico, não se revelando em situações aplicadas.
É compreensível que o conceito de expressão algébrica, para o aluno GATO,
não está relacionado ao de função. Porém, para o aluno PEIXE, a relação ainda suscita
dúvidas. Teoricamente, o aluno considera não haver relação, porém, em situações
aplicadas da matemática, a vinculação ocorre enfaticamente.
Os conceitos de variável e de incógnita são idênticos, a princípio, para ambos.
Porém, num segundo momento, o aluno PEIXE modifica sua opinião e afirma que, na
função, existem apenas variáveis, o que pode denotar que variável e incógnita
apresentam, para o aluno, conceitos diferentes. O aluno GATO, por sua vez, mantém
sua opinião em todos os questionamentos.
Em relação às variáveis dependentes e independentes, o aluno GATO consegue
se manter fiel a sua definição teórica vinculando o conceito de variável dependente ao
domínio, e o conceito de variável independente do conceito de contradomínio. O aluno
PEIXE, porém, não definindo teoricamente os conceitos, faz menção apenas às
variáveis independentes, no plano das aplicações, afirmando que não existem variáveis
dependentes no que reconhece como função.
Ao refletir sobre o conceito de função, é perceptível que os alunos tragam em
sua estrutura cognitiva, conceitos semelhantes, bem como conceitos singulares que
dizem respeito a cada um especificamente. O aspecto específico pode contribuir para
que a aprendizagem significativa do conceito de função, na fase da intervenção, ocorra
diferentemente para ambos. O processo pode tomar rumos distintos, embora a
intervenção seja única e direcionada para todos os alunos.
6. A ETAPA DAS INTERVENÇÕES
A etapa das Intervenções é inspirada nos Princípios Programáticos da Teoria da
Aprendizagem Significativa de David Ausubel, subdividindo-se, em três fases (figura
7):
• Fase 1 – Assimilação do conceito de função – Diferenciação Progressiva e
Reconciliação Integradora;
• Fase 2 – Organização do conceito de função – Mapas Conceituais;
• Fase 3 – Aplicação do conceito de função – Consolidação.
O objetivo dessa etapa da pesquisa é descrever como os alunos se estruturam
mentalmente para ressignificar o conceito de função, diante de situações e
questionamentos que estimulem o pensamento para justificar as afirmativas e
compreensão de possíveis contradições. Assim, cada fase apresenta um objetivo
específico a ser alcançado no processo.
As atividades da fase 1 se subdividem em três períodos (figura 7):
• Período 1 – Conceitos Preliminares;
• Período 2 – Conceito de Função – Dirichlet;
• Período 3 – Conceito de Função – Elon Lages Lima e Geraldo Ávila.
Nessa fase, o primeiro objetivo é trabalhar com o refinamento do significado dos
conceitos básicos de sustentação ao conceito de função, como conceito de expressão
algébrica, variável, equação, incógnita, variável dependente e variável independente. E,
num segundo momento, discutir novos conceitos relacionados ao conceito de função,
aos conceitos de Dirichlet, do século XIX, e de Elon Lages Lima e Geraldo Ávila, do
século XX.
Os dados são coletados em quatro fontes: dados teóricos em dicionários da
língua portuguesa, tais como, Larousse (1992) e Ferreira (2004), dicionários específicos
da matemática, Imenes e Lellis (1998), Soares (2005) e Sodré (2007), dados teóricos de
obras de autores matemáticos, dados escritos de alunos nos protocolos e os dados
verbalizados pelos alunos por meio da gravação das discussões e posteriores
transcrições.
Cada encontro se subdivide em quatro momentos. No 1º, mais especificamente,
são realizadas discussões teóricas sobre cada conceito específico, pelo estudo da
formalização de significados, seguida de formulação de palavras na qual os alunos
destacam o significado central de cada conceito e realizam posterior reformulação
conceitual. No 2º, as discussões tratam do aspecto aplicado da matemática. Problemas
de estruturação simples são apresentados para que os alunos possam discutir os
conceitos de forma hierárquica, respeitando o aspecto da Diferenciação Progressiva,
seguida de preenchimento do protocolo com quadro-resumo. No 3º, os alunos utilizam o
protocolo para elaborar conceitos discutidos com suas próprias palavras. E, no 4º, é
desenvolvido trabalho voltado para a Reconciliação Integradora, no qual os alunos
pensam sobre os conceitos a partir de problema matemático estruturado, no sentido
inverso do apresentado no 2º momento do encontro.
Na fase 2, o primeiro objetivo é apresentar o conceito de Mapa Conceitual,
estrutura, forma de organização dos conceitos discutidos, bem como a importância e a
aplicabilidade da ferramenta pedagógica. Posteriormente, o objetivo é compreender
como os alunos se organizam mentalmente para dispor de forma gráfica, os conceitos
estudados e relacioná-los entre si utilizando técnicas de construção de mapas
conceituais.
O desenvolvimento das atividades ocorre, nessa fase, de forma diferenciada. Os
alunos se reúnem em duplas compostas por dois alunos para construção de cada mapa
conceitual, em trabalho colaborativo, com estímulo e discussão durante o processo. As
duplas são determinadas pela pesquisadora. Os critérios de escolha se baseiam na
afinidade entre os integrantes do grupo, como também na convicção de atuar como
profissional docente em matemática. Os alunos GATO e PEIXE participam de grupos
diferentes. Na Intervenção 14, portanto, os alunos representam os integrantes dos
respectivos grupos nomeados: grupo GATO e grupo PEIXE.
Os conceitos utilizados para ressignificar o conceito de função são retirados
especificamente da obra de Lages Lima (1998) e das tabelas-resumo utilizadas durante
as intervenções de 1 a 12, da Fase 1 da pesquisa.
Os dados são coletados em protocolos das duplas, com a construção dos mapas
conceituais e das transcrições realizadas em cada intervenção. Ao produzirem os mapas
conceituais, os alunos utilizam apenas lápis, caneta e papel. Para a reprodução dos
resultados se utiliza o software CMapTools, com a finalidade de organizar os mapas
conceituais produzidos, de forma a facilitar a interpretação do leitor. O software é
desenvolvido especificamente para a construção de mapas conceituais com o auxílio do
computador.
A fase 3 se subdivide em dois períodos (figura 7):
• Período 1 – Resolução de Problemas;
• Período 2 – Auto-avaliação;
O objetivo principal é descrever como os alunos se organizam mentalmente para
utilização do conceito de função na resolução de problemas contextualizados de
matemática de acordo com os preceitos dos PCNEMs (2000). O desenvolvimento das
atividades dá-se nessa fase, de forma diferenciada das demais. Os alunos voltam a
trabalhar individualmente, porém um voluntário escolhido pelo próprio grupo
desenvolve o processo de resolução dos problemas na lousa. Coincidentemente, os
alunos escolhidos são os alunos GATO e PEIXE.
Os problemas para representar situações de relacionamento da matemática com a
vida cotidiana e os conhecimentos científicos são retirados e adaptados dos livros
didáticos de Giovanni e Bonjorno (2000) e Dante (2003), apresentados pela leitura da
pesquisadora. Cada intervenção se destina ao trabalho de um problema específico. A
intervenção 18 relaciona o conceito de função ao conhecimento de Progressão
Aritmética; a intervenção 19, aos conhecimentos de Matemática Financeira; a
intervenção 20, aos conhecimentos da Física; e a intervenção 21, aos conhecimentos da
Biologia.
Todos os dados coletados são apresentados de forma descritiva seguindo uma
ordem cronológica dos acontecimentos para cada Intervenção. A análise é apresentada
conjuntamente com a descrição dos dados de forma interpretativa, pela triangulação
entre conhecimentos teóricos, verbais e escritos, bem como triangulação entre os
momentos de cada intervenção: apresentação, aplicação e descrição dos conceitos. As
interpretações apresentam também como base teórica o princípio da Assimilação
preconizado por Ausubel. Os dados são interpretados em comparação entre os passos
dessa teoria e as modificações conceituais dos alunos GATO e PEIXE.
Apresenta-se um resumo (quadro 1) de todas as intervenções desenvolvidas na
pesquisa, evidenciando suas respectivas fases, períodos, conceitos abordados, data e
tempo de execução.
Quadro 1 – Etapa da Intervenção
FASE PERÍODO NI
7
CONCEITOS
8
DATA TEMPO
9
ASSIMILAÇÃO
Conceitos
Preliminares
1 EA e V 19/07 55
2 EA, EN e V 24/07 55
3 EA, EN, V e E 31/07 55
4 EA, E, V e I 02/08 66
5 EA, E, V e I 07/08 57
6 VD, VI, E, V e I 09/08 63
7 VD, VI, E, V e I 16/08 69
Conceito de
Função
Dirichlet
8 F, EA e E 21/08 67
9 F e C 23/08 80
10 F 28/08 65
Lages Lima
e Ávila
11 F e CN 30/08 72
12 F 04/09 75
ORGANIZAÇÃO
Mapas
Conceituais
Conceito 13 CN 11/09 74
Construção
14 F 12/09 81
15 F e CS 13/09 66
Discussão
16 F e CS 18/09 68
17 F e CS 20/09 72
AVALIAÇÃO
Resolução de Problemas
18 F e PA 25/09 60
19 F e MF 27/09 72
20 F e FI 02/10 68
21 F e B 04/10 82
Auto-Avaliação 22 F 09/10 60
Total
Minutos 1.482
Semanas 11
Tempo médio Min/Intervenção 67
Fonte: elaboração própria
7
Número da Intervenção
8
Significado das siglas:
EAExpressão AlgébricaIIncógnitaCCondiçõesVVariávelVDVariável
DependenteCNConjuntosEMExpressão NuméricaVIVariável IndepenteCSConceitos
SubjacentesEEquaçãoFFunçãoPAProgressão AritméticaMFMatemática FinanceiraFIFísicaBBiologia
9
Tempo calculado em minutos.
Nos próximos subcapítulos são apresentadas as principais intervenções
desenvolvidas para cada fase da pesquisa, aquelas que apresentam destaque na
utilização da metodologia e na resposta fornecida pelos alunos, dentre elas:
• Intervenção 9 – O conceito de função e as condições de existência e
unicidade;
• Intervenção 11 – Os conceitos modernos de função – Elon Lages Lima e
Geraldo Ávila;
• Intervenção 14 – Os mapas conceituais sobre o conceito de função;
• Intervenção 18 – Problema 1 – Função e Progressão Aritmética;
• Intervenção 22 – A auto-avaliação e a ressignificação do conceito de função.
Vale acrescentar que, para a compreensão do processo de ressignificação do
conceito de função por parte dos alunos analisados, é necessário que seja realizada a
leitura de todas as intervenções. Dessa forma, o leitor que tiver interesse em conhecer
maiores detalhes sobre a pesquisa poderá buscar a complementação da leitura no
Apêndice ????. Nele consta a descrição de todas as outras intervenções, com exceção
apenas das Intervenções 19 e 20, que, em termos de resultados obtidos, assemelham-se
às Intervenções 18 e 21.
6.1. Intervenção 9 – O conceito de função e as condições de existência e unicidade
Este encontro acontece em 23/08/07 totalizando 80 minutos e, são abordados o
conceito de função, de variável dependente, variável independente com ênfase nas
condições de existência e unicidade do conceito de função. É apresentada aos alunos a
definição formalizada de Dirichlet seguida de um quadro-resumo com as informações
que os próprios alunos desenvolveram na intervenção 8.
Os objetivos desse encontro são refletir sobre a definição de função de Dirichlet
a fim de possibilitar a compreensão da relação de dependência entre variáveis, bem
como as condições a ela inerentes: para todo valor atribuído à variável independente,
sempre existe um valor correspondente para a variável dependente e esse valor é único.
É importante ressaltar que para cada situação apresentada aos alunos, o conceito
de função é refletido de forma direta e inversa para que possam compreender a situação
de dependência e independência das variáveis sem o suporte direto da visualização
algébrica. Além disso, a representação tabular também é considerada para a
compreensão do conceito.
Na 1ª parte deste encontro, os alunos optam por fazer a leitura das informações
sem alterar nenhum dos dados fornecidos. Preferem passar para a discussão posterior
relativa à parte aplicada da matemática. As atividades propostas procuram estimular o
aluno a refletir sobre as relações específicas entre função e as condições de existência e
unicidade, utilizando-se problemas matemáticos (quadro 2).
• A variável preço em função da variável número de fotos
Na representação P = 12,00 + 0,65n (quadro 2 – problema 1) em que P é
considerada uma variável dependente e n uma variável independente, todos os alunos
concordam que sempre vai existir um valor de P quando for atribuído um valor para n,
e, ainda que esse valor é único. O aluno GATO acrescenta verbalmente que não existem
dois valores de P para cada n.
Quadro 2 – Problemas da Intervenção 9
PROBLEMA ENUNCIADO REPRESENTAÇÃO
1 Na revelação de um filme, uma óptica
calcula o preço a ser cobrado usando a
fórmula P = 12,00 +
0,65n, onde P é o preço, em reais, a ser
cobrado e n o número de fotos reveladas
do filme.
P = 12,00 + 0,65n
2 Algumas tarifas praticadas pelo correio do
país Alfa para o envio de carta não
comercial e cartão postal se baseiam na
relação expressa pela tabela abaixo:
“Peso” (gramas) Custo básico
(moeda local)
Até 20 0,30
Mais de 20 até
50
0,50
Mais de 50 até
100
0,80
Acima de 100 Peso/100
dados da tabela
Fonte: Adaptado de Giovanni e Bonjorno (2000)
Os alunos, GATO e PEIXE, concordam que P está em função de n. O aluno
GATO afirma verbalmente que esse fato acontece porque existe uma relação de
dependência, uma condição e também uma regra. O aluno PEIXE afirma que existe sim
a relação de dependência, mas o fato de n ser natural também é relevante.
Os resultados apresentados no protocolo convergem para uma resposta também
afirmativa, ou seja, a variável P está em função da variável n. As justificativas, porém,
diferem. O aluno GATO se justifica dizendo que existe “uma relação de dependência
entre as variáveis e para cada valor de n o valor de P será único”. Não ressalta desta
vez a existência da regra, nem explicita a condição de existência da função.
O aluno PEIXE justifica a existência da função afirmando que “para cada valor
atribuído a n existirá um único valor de P”. Não ressalta a relação de dependência entre
as variáveis, e como seu colega, também não explicita a necessidade da regra, nem da
condição de existência da função. É possível que a condição de unicidade da função
esteja se tornando um elemento relevante para a ressignificação do conceito.
• A variável número de fotos em função da variável preço
Na representação P = 12,00 + 0,65n em que a situação das variáveis se altera,
onde P é considerada uma variável independente e n, uma variável dependente, ocorre
uma discussão entre os alunos. A primeira discussão acontece em torno da característica
da variável n. A princípio o aluno GATO afirma que para qualquer valor atribuído à
variável P sempre existirá um valor para a variável n. O aluno PEIXE, discordando do
pensamento do colega, afirma que pelo fato de n representar o número de fotos não
poder ser, por exemplo, 12,30. O aluno GATO refletindo sobre a afirmação do colega
afirma que não é possível revelar fotos com 10 reais, mas com 20 reais é possível,
porém sobram alguns centavos.
O aluno PEIXE discorda dessa afirmativa, para ele não é possível obter um
correspondente para 20 reais porque o valor obtido para a variável n não é um número
natural e o problema não pode ser satisfeito. Conclui afirmando que o número de fotos
não pode ser zero, nem negativo, precisa ser um número natural. O aluno GATO
concorda com a idéia do colega afirmando que n será natural se o valor pago pelas fotos
for R$ 19,80. Ambos concluem que sempre que se atribuir um valor para P, o valor de n
vai ser único, somente quando este valor existir, ou seja, a situação satisfaz a condição
da unicidade, mas não satisfaz a da existência. Assim, n não está em função de P porque
não satisfaz a uma das condições para ser função.
Esse mesmo resultado se faz presente nos protocolos. Ambos afirmam que
sempre que for dado um valor numérico a P não existirá um valor para n. O contra-
exemplo apresentado pelo aluno GATO é “P = 10 implica em n =
65,0
2
−
”, ou seja, o
valor de n é negativo. O contra-exemplo apresentado pelo aluno PEIXE é “P = 20
implica em n = 12,30” e não satisfaz o problema porque n é um número decimal.
Por outro lado, sempre que for dado um valor numérico a P, o valor de n sempre
será único. O fato da relação não cumprir uma condição não interfere no fato dela
obedecer à outra condição. Interfere, porém, na caracterização da função. Dessa forma,
os alunos escrevem que, nesta situação, onde P é a variável independente e n a variável
dependente, a relação P = 12,00 + 0,65n não representa uma função. É importante
ressaltar que a modificação da situação da variável interfere na compreensão que os
alunos têm sobre o problema.
Até então o fato do número de fotos ser um número natural não era relevante.
Porém, diante da inversão da situação das variáveis, a discussão da natureza da variável
emerge. Este é o primeiro momento que os alunos têm contato com uma situação que
determinar o conjunto numérico com o qual se trabalha é realmente necessário, embora
a definição de Dirichlet não faça menção a esse tipo de restrição.
• A variável custo em função da variável peso
Ainda na 2ª parte, propõe-se um novo problema para se discutir as características
básicas do conceito de função (quadro 2 – problema 2). Nas discussões verbais
realizadas, o aluno PEIXE afirma que o custo está em função do peso pois para cada
valor do peso é possível encontrar um único valor do custo, o que, para ele, significa
que existe uma relação de dependência entre as variáveis.
O aluno GATO coloca que ao se atribuir um valor ao peso existirá um valor para
o custo e, a princípio considera que esse valor não é único. Em seguida reconhece que
se confundiu e afirma que se tiver um peso de 1 grama até 20 gramas o custo é de 30
centavos, então para cada valor atribuído à variável independente existirá sim um único
valor para a variável dependente. Conclui então que o custo está em função do peso e
justifica afirmando que para cada valor do peso sempre existirá um valor único do
custo.
As respostas obtidas com o protocolo ratificam o que é discutido. O aluno
GATO e o aluno PEIXE afirmam que sempre que for dado um valor numérico ao peso
sempre existirá um valor para o custo e esse valor será único. As justificativas
apresentadas nos protocolos complementam aquelas apresentadas verbalmente. Para o
aluno GATO, além da condição de unicidade estar sendo obedecida, a existência de
uma “regra” também é citada para justificar o fato dessa relação ser função. Para o
aluno PEIXE, a existência da relação de dependência é uma característica
preponderante, considerando também que a condição da unicidade também o é.
Uma discussão interessante que acontece nesse momento da intervenção se
relaciona à representação algébrica do problema. Como os alunos podem escrever
algebricamente a situação apresentada em forma de tabela? E, diante dessa
caracterização, o que pode ser considerada uma equação?
Todos acreditam que a tabela em si representa a regra da função, embora não
esteja escrita na forma algébrica. Assim, o aluno GATO, elabora seu pensamento
explicitando-o verbalmente da seguinte forma: “
30,0200
=⇒<>
yxexpara
”. O
aluno PEIXE solicita a troca da variável x por p, por se referir ao peso, e a variável y
por c por se referir ao custo. Dessa forma, o aluno GATO continua explicitando a
situação da seguinte maneira: ”
100
100
80,010050
50,05020
x
cxse
cxexse
cxexse
=⇒>
=⇒≤>
=⇒≥<
”.
Afirma que todas essas expressões não são equações, mas um conjunto de
condições que a função obedece dependendo do valor de x. A equação seria apenas
100
x
c
=
. O aluno PEIXE intervém afirmando que x = 9, por exemplo, representa a
equação de uma reta paralela ao eixo y. Diante desse argumento, o aluno GATO afirma
que c = 0,80 é uma equação de uma reta que passa em y = 0,80 e concorda que essas
expressões representam um conjunto de equações que pode ser caracterizada como
função.
Dessa vez, o aluno GATO menciona tanto a condição de existência quanto a
condição da unicidade como situações a serem satisfeitas para que a relação
estabelecida possa se caracterizar como função. Explicita também a necessidade da
regra ser obedecida, fato que não mencionou no problema anterior. O aluno PEIXE
atribui maior ênfase à condição de unicidade e, embora, não mencione a importância da
regra, concentra-se no aspecto da relação de dependência entre as variáveis.
Apesar das discussões serem realizadas com todos os integrantes do grupo, cada
um, escolhe seu caminho de compreensão conceitual, e, parece estar pautado nos seus
conhecimentos prévios. Para o aluno que compreende função como uma relação entre
dois números, a ênfase está na relação de dependência entre duas variáveis. Para o aluno
que compreende função como uma relação de dependência entre variáveis, a ênfase está
nas condições necessárias para ser função, sobretudo na condição de existência.
• A variável peso em função da variável custo
Ao tornar a variável c uma variável independente e a variável p, uma variável
dependente, invertendo, portanto, a situação de cada uma delas no problema 2, os
alunos chegam a conclusões diferentes.O menor custo possível do problema equivale a
30 centavos na moeda local. Se esse valor for utilizado, os alunos reconhecem que
ficará difícil determinar o peso da carta porque poderia ser 1 grama, 2 gramas, 10
gramas, até 20 gramas, ou seja, à esse valor existem vários valores possíveis atribuídos
à variável peso.
O aluno GATO diz ser possível encontrar um número, mas não um número
exato. Ambos concordam que os valores para o peso existem, mas não são exclusivos
para cada valor atribuído ao custo. Assim, consideram verbalmente que essa relação não
é uma função.
Os resultados dos protocolos ratificam as conclusões verbais. O aluno GATO,
assim como o aluno PEIXE, concorda que sempre que for dado um valor numérico ao
custo sempre existirá um valor para o peso e acrescenta que “sempre há uma condição
para encontrar possíveis valores de peso”. Ambos também discordam do fato desse
valor para o peso ser único. O contra-exemplo apresentado pelo aluno GATO diz que
“para c = 0,30 podemos ter p = 2 gramas ou p = 3 gramas, entre outros valores”. O
contra-exemplo apresentado pelo aluno PEIXE revela que “para c = 0,30, p = 1g ou
p = 10g ou p = 15g” é suficiente para dizer que o valor de p não será único.
O aluno GATO afirma que o peso não está em função do custo porque “não
satisfaz a condição de que o peso deve ser único quando se atribui um custo”. Para o
aluno PEIXE o peso não está em função do custo porque “para cada valor atribuído ao
meu custo será encontrado mais de um valor para o ´peso´ da correspondência”.
• Reflexões sobre os conceitos de regra e condição de uma função
Na 3ª parte desta Intervenção são propostas aos alunos questões teóricas e
verbais para as reflexões sobre os conceitos que ao longo das interações trouxeram
dúvidas e indagações importantes. A primeira delas diz respeito às condições que uma
relação deve obedecer para se tornar uma função.
O aluno GATO afirma que para existir uma função os valores atribuídos à
variável dependente devem existir e serem únicos para todo x, ou seja, para todo valor
atribuído à variável independente. O aluno PEIXE afirma que ao se definir uma função,
define-se apenas uma única condição, o fato dos valores atribuídos à variável
dependente serem únicos para cada valor atribuído à x pertencente ao domínio da
função. Enquanto o primeiro aluno explicita duas condições, o segundo explicita apenas
uma delas, utilizando inclusive nomenclaturas que ainda não foram discutidas, mas que
fazem parte de seus conhecimentos prévios sobre função.
A segunda reflexão acontece em relação aos conceitos de regra e condição de
função já que durante o processo de elaboração conceitual alguns alunos ora tratam a
regra de uma função como condição, ora tratam a condição de uma função como regra.
Para o aluno GATO e para o aluno PEIXE, a regra de uma função é determinada
somente pela equação. O que representa a condição dessa mesma função é o fato da
variável n ter que ser um número natural não nulo. Ao refletir melhor sobre a pergunta,
o aluno GATO afirma que a condição está relacionada ao fato de existir um único valor
da variável dependente para todo valor da variável independente. Nesse momento,
então, realmente pode-se comprovar a dubiedade que esse conceito suscita na mente dos
alunos.
Ao continuar a discussão diante do desafio de estabelecer a diferença entre regra
e condição, o aluno GATO afirma que regra é a lei da função que está relacionada à
equação. Não explica, porém, o que representa essa condição. O aluno PEIXE afirma
que uma regra nunca se altera, mas a condição pode ser modificada, dependendo da
situação. Para ambos o que representa a regra do problema 1 é a equação p = 12 +
0,65n.O aluno GATO afirma que o fato de n pertencer a N* (conjunto dos números
naturais não nulos) é a condição para que a função se torne verdadeira, ou seja,
representa o domínio dessa função. Enquanto que o fato de existir um único valor de p
para todo valor atribuído a n representa a condição para ser função.
O aluno PEIXE resume a situação da seguinte forma utilizando como base o
problema 1, a regra é representada por p = 12 + 0,65n, o domínio se relaciona ao fato de
n pertencer a N* e a condição, ao fato dos valores atribuídos à variável p serem únicos.
Conclui que para ser função, a relação tem que obedecer a condição e a regra. O aluno
GATO acrescenta que não basta ter apenas uma regra porque se uma das condições não
for atendida então não se tem a representação de uma função.Novamente a problemática
relacionada ao conceito e à caracterização de uma função por meio da utilização de
conjuntos se faz presente.
O conceito de função de Dirichlet não trata a relação entre as variáveis por meio
da relação entre conjuntos. Esse fato pode ter contribuído para a dubiedade nas
interpretações sobre os conceitos de regra e condição de uma função. Decide-se inserir
um novo conceito sobre função mais moderno e mais próximo de seus conhecimentos
prévios, utilizando, portanto, o conceito de relação entre conjuntos, introduzida a partir
da Intervenção 11.
Ausubel, Novak e Hanesian (1980) consideram que após os primeiros contatos
entre o subsunçor e o novo conceito, eles se modificam, tornando-se cada qual um novo
elemento na estrutura cognitiva do aprendiz. O processo de assimilação não se encerra
nesse momento. Este autor afirma que após essa modificação, ambos os conceitos se
distanciam um do outro para que o indivíduo possa se apropriar de cada novo
conhecimento surgido, mantendo ainda parte de suas características originais.
O fato, portanto, dos alunos necessitarem da explicitação do domínio da função
e o fato de utilizarem constantemente a palavra condição para tratar sobre o conceito de
função, pode revelar essa conservação das características originais. Por outro lado, o
fato de considerarem a relação entre variáveis como uma relação que deve respeitar a
unicidade da variável dependente para todo valor atribuído à variável independente
também pode trazer consigo uma conservação das características do novo conceito, o
conceito de função de Dirichlet, recentemente modificado. Conclui-se então que, na
compreensão dos alunos:
• para que uma relação seja uma função é necessário que as condições de
existência e de unicidade sejam obedecidas e que a regra esteja estabelecida;
• o conceito de regra de uma função se relaciona ao conceito de equação;
6.2. Intervenção 11 – Os conceitos modernos de função – Elon Lages Lima e
Geraldo Ávila
Este encontro acontece em 30/08/07 durante 72 minutos e, são abordados os
conceitos de função que utilizam como base a Teoria dos Conjuntos, de acordo com os
autores Elon Lages Lima (1998) e Geraldo Ávila (1993). Os objetivos deste encontro
são refletir e discutir sobre os elementos que surgem com a introdução de conceitos
mais modernos sobre função, bem como, construir os conceitos de domínio,
contradomínio, imagem e lei de formação diante de uma discussão teórica e aplicada da
matemática.
Na 1ª parte, os alunos têm seus primeiros contatos com uma nova forma de
interpretar e compreender o conceito de função. Iniciam um novo processo de
assimilação do conceito diante da utilização de seus subsunçores já modificados e o
novo conceito pautado nas idéias de dois diferentes autores.
Para Lages Lima (1998, p. 38), “dados os conjuntos X, Y, uma função f: X
→
Y
é uma regra que diz como associar a cada elemento x
∈
X um elemento y = f(x)
∈
Y”.
O autor acrescenta que o conjunto X é denominado de domínio de f, o conjunto Y, de
contradomínio de f e o elemento f(x), pertencente ao contradomínio, é denominado de
imagem de x pela função f.
A princípio o autor não trata das condições de uma função. Porém,
posteriormente, apresenta a idéia de que a regra de uma função está sujeita a duas
condições: não deve haver exceções e não pode haver ambigüidades. No primeiro caso,
o autor diz que “a fim de que a função f tenha o conjunto X como domínio, a regra deve
fornecer f(x), seja qual for x
∈
X dado” (LAGES LIMA, 1998, p. 41). No segundo caso,
explica que “a cada x
∈
X, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em Y”.
(LAGES LIMA, 1998, p. 41).
Para Ávila (1992, p. 78) “uma função ´f: D
→
Y´ é uma lei que associa
elementos de um conjunto D, chamado o domínio da função, a elementos de um outro
conjunto Y, chamado o contradomínio da função”. O autor enfatiza a idéia de domínio e
contradomínio afirmando que este último geralmente é um conjunto fixo o que não
acontece com o domínio, já que cada função apresenta o seu próprio domínio e ainda
que “todos os elementos do domínio são objeto de ação da função” (Ávila, 1992, p. 78).
Outro aspecto que o autor explicita é a caracterização das variáveis dependente e
independente, aspecto este não apresentado pelo autor anterior. Ávila afirma que ao se
utilizar a notação y = f(x), “x denota qualquer valor no domínio D, por isso mesmo
chama-se variável de domínio D, a chamada variável independente” (ÁVILA, 1992, p.
79). Acrescenta que y é imagem de x pela função f caracterizada como variável
dependente dessa função.
A leitura do material entregue aos alunos é realizada pela pesquisadora que
precisa recorrer várias vezes à sua releitura no decorrer das discussões. Nos comentários
iniciais dos alunos, o aluno GATO afirma que a definição de Lages Lima lhe parece
mais direta. E, apesar de ter considerado interessante a ênfase dada ao conceito de
domínio por Ávila, ele prefere a definição de Lages Lima. O aluno PEIXE concorda
verbalmente com o colega sem tecer outros comentários.
Na percepção de ambos os conceitos de regra e de lei da função são iguais.
Constatam que os dois autores tratam inicialmente do conceito de função de uma forma
similar. Outra percepção importante se relaciona à presença de conjuntos.
Diferentemente do conceito de Dirichlet discutido nos dois encontros anteriores, para se
definir uma função é necessária a determinação do seu domínio e do seu contradomínio.
Afirmam que a unicidade na função é um elemento imprescindível e que para todo x
pertencente ao domínio existe um único y pertencente ao contradomínio.
O aluno GATO afirma verbalmente que a imagem é formada por todos os
elementos que apresentam um correspondente no domínio. Mesmo considerando que a
imagem faz parte do contradomínio, afirma que a variável y representa os elementos do
conjunto imagem. O aluno PEIXE intervém e afirma que a variável y representa os
elementos do contradomínio porque o conjunto imagem é um subconjunto do
contradomínio. Conclui que para todo x pertencente ao domínio existe um único y
pertencente ao contradomínio, e não à imagem.
Pelo fato do aluno GATO ter se mostrado relutante em seu ponto de vista, a
pesquisadora intervém utilizando a definição de Ávila, afirmando que “D é um conjunto
chamado de domínio e Y é chamado de contradomínio. A função associa os elementos
de D aos elementos de Y, não é verdade?”. O aluno GATO afirma que o outro autor,
Lages Lima, coloca que para cada elemento pertencente ao X (domínio), o elemento
f(x) pertence ao Y, e este f(x) denomina-se imagem.
A pesquisadora pergunta “O que é ser imagem?” e o aluno GATO responde que
é ter um correspondente no X (domínio). O aluno conclui que para cada x pertencente
ao X existe um f(x) pertencente ao Y que se chama imagem da função f. Novamente a
pesquisadora pergunta “O que é Y?” e o aluno GATO afirma ser o contradomínio.
Continua a afirmar que para todo x pertencente ao domínio existe um único y
pertencente ao contradomínio, e que esta é a condição de ser função. Não fica muito
claro neste momento se o aluno percebe que utiliza um conceito diferente trocando a
palavra imagem por contradomínio.
Como conclusão da discussão, o aluno GATO resume suas idéias afirmando que
o que falta na definição de Dirichlet são apenas os conjuntos, que a idéia principal de
ser função está implícita em sua apresentação teórica. Na opinião deste aluno, para se
definir função é obrigatório definir domínio e contradomínio. Considera a imagem
subconjunto do contradomínio. A variável x caracterizada como variável independente
representa os elementos do domínio e a variável y caracterizada como variável
dependente representa os elementos do conjunto imagem. Neste momento, não utiliza o
nome contradomínio, mas imagem. Esta pode ser um prova de que ao trocar um
conceito por outro na discussão anterior ainda se encontra em processo de elaboração
mental na relação entre o conceito de função e os conceitos de contradomínio e imagem.
O aluno PEIXE não se pronuncia verbalmente. Parece concordar com todas as idéias do
colega.
Nos protocolos, o aluno GATO ressalta que os elementos que formam uma
função são “variáveis, relação de dependência, regra, conjunto e condição (para todo x
pertencente a D, existe um único y pertence a CD)”. É importante considerar que D
significa domínio e CD contradomínio e não imagem como afirmou anteriormente. Para
o aluno PEIXE os elementos formadores de uma função são “conjuntos (2), variáveis
(VD e VI), regra, condição (
CDyDx
∈∃∈∀
!,
), relação de dependência entre
variáveis”. Em relação às condições necessárias para uma relação entre dois conjuntos
ser uma função, os alunos citam a condição de existência e de unicidade, nesta ordem,
assim como apresentou Lages Lima em sua definição sobre função.
As atividades propostas procuram estimular o aluno a refletir sobre as relações
específicas entre função e as condições de existência e unicidade, utilizando-se
problemas sobre conjuntos (quadro 3).
Quadro 3 – Problemas da Intervenção 11
PROBLEMA ENUNCIADO
LEI DE
CORRESPONDÊNCIA
1
Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B
= {0, 5, 10, 15, 20, 25} seja a relação R
de A em B expressa pela fórmula y = x
+ 5, com x
∈
A e y
∈
B.
y = x + 5
2 Dados os conjuntos Y = {a, b, c, d, e},
X = {0, 1, 2, 3, 4} e uma relação D:
Y -> X cuja lei de correspondência é
expressa pela seguinte condição: cada
x = par se y = vogal
x = ímpar se
y = consoante
vogal de Y corresponde a um número
par de X e cada consoante de Y
corresponde a um número ímpar de X.
3
A relação T: Z -> R é definida como
sp
=
onde p
∈
Z e s
∈
R.
sp
=
Fonte: adaptado de Giovanni e Bonjorno (2000)
• Problema 1 – A relação R é uma função
Na resolução do problema 1, automaticamente os alunos pedem a utilização dos
diagramas de Venn, denominado pelo aluno PEIXE como “ovinhos”. O aluno GATO,
descrevendo o processo verbalmente, acrescenta que após a representação dos conjuntos
é necessária a substituição dos elementos do conjunto A na regra com a finalidade de
encontrar correspondentes no conjunto B. Todas as ações são feitas pela pesquisadora
utilizando-se da lousa.
Em relação à 1ª pergunta “Todos os elementos de A apresentam um elemento
correspondente em B?”, os alunos respondem afirmativamente. O aluno PEIXE
acrescenta que, neste caso, a condição da existência está sendo satisfeita. Em relação à
2ª pergunta “Cada elemento de A apresenta uma única correspondência em B?”, os
alunos também se manifestam positivamente. O aluno PEIXE novamente acrescenta
que a condição da unicidade está sendo satisfeita. Ambos concluem, sem discutir, que a
relação R se caracteriza como função.
O aluno GATO justifica sua escolha, tanto verbalmente quanto no protocolo,
afirmando que R é uma função porque satisfaz as condições. O aluno PEIXE utiliza
duas justificativas diferentes. Verbalmente afirma que a relação R é função porque tem
variável; no protocolo revela que a relação R é função porque satisfaz a todas as
condições. O aluno GATO conclui posteriormente que a condição é o aspecto mais
importante da função.
Diante da afirmação, a pesquisadora pergunta “E se não tivesse y = x + 5?”. O
aluno responde que a condição e a regra são os aspectos mais importantes da função.
Refletindo, afirma que na verdade, tudo é importante. É necessário definir os elementos
do domínio, os elementos do contradomínio, a regra que estabelece a relação entre os
dois conjuntos e se essa relação satisfaz as condições.
Tanto o aluno GATO quanto o aluno PEIXE concordam que o domínio é
representado pelo conjunto A = {0, 5, 15}, o contradomínio pelo conjunto B = {0, 5, 10,
15, 20, 25} e a imagem pelo conjunto {5, 10, 20}. Para o aluno GATO o conjunto
imagem não é o conjunto B porque nem todos os elementos que pertencem a ele têm um
correspondente no domínio. Ao serem solicitados a justificar o porquê da escolha do
conjunto A como domínio, os alunos afirmam que se trata da posição do conjunto, ou
seja, o fato de estar do lado esquerdo da representação matemática R: A
→
B.
A pesquisadora questiona “E se fosse colocado assim: R: B
←
A?”. O aluno
GATO a princípio afirma que não podem ser modificados os padrões. Em seguida,
afirma que o conjunto domínio deve estar no início da reta, na origem. O aluno PEIXE
afirma que a variável x é representante do domínio, e sendo ela uma variável
independente, os valores devem ser atribuídos a ela. Assim, independente da posição, o
conjunto que for representado pela variável independente é o domínio da função.
O aluno GATO concordando com o colega afirma que a variável independente
pertence ao domínio e a variável dependente representa os elementos do contradomínio.
Em seguida, afirma que a variável dependente representa os elementos da imagem.
Neste momento, o próprio aluno percebe que realmente está confuso sobre a relação
entre variável, contradomínio e imagem.
• Problema 2 – A relação D não é uma função, a condição da unicidade não é
satisfeita
Utilizando a mesma representação do diagrama de Venn e estabelecendo a
relação de cada elemento de Y a cada correspondente de X por meio de setas, o aluno
GATO percebe que a variável independente representa o conjunto Y.
Em relação à pergunta “Todos os elementos de Y apresentam um elemento
correspondente em X?” o aluno GATO se posiciona afirmativamente tanto verbalmente
quanto no protocolo. O aluno PEIXE diz verbalmente que nem todos os elementos de Y
apresentam um correspondente no conjunto X. Porém, no protocolo se posiciona de
forma contrária. Reconhece posteriormente que confundiu a condição da existência com
a condição da unicidade.
Em relação à pergunta “Cada elemento de Y apresenta uma única
correspondência em X?”, ambos os alunos se posicionam negativamente. Reconhecem
que as vogais do conjunto Y apresentam mais de uma correspondência no conjunto X.
Concluem que a relação D não é uma função. O aluno GATO afirma verbalmente que
basta um elemento do domínio não satisfazer a condição da unicidade, a relação deixa
de ser função, mesmo que a condição de existência seja satisfeita, mesmo que essa
relação tenha domínio, contradomínio e que a regra esteja explicitamente apresentada.
A justificativa nos protocolos é similar à apresentada pelo aluno GATO.
Afirmam que uma das condições não está sendo satisfeita e, portanto a relação D não é
uma função. Afirmam ainda que, pelo fato dessa relação não ser função não tem
domínio, contradomínio, nem imagem.
• Problema 3 – A relação T não é uma função, a condição da existência não é
satisfeita
Neste problema, é explicado aos alunos que devem considerar Z o conjunto dos
números inteiros e R o conjunto dos números reais. O aluno GATO inicia a discussão
afirmando que o número -1 não tem um correspondente. Logo em seguida, revela que se
confundiu. Percebe que deve atribuir valores a p porque p é uma variável independente
e representa os valores do domínio. O aluno PEIXE afirma que nem todos os elementos
de Z apresentam um elemento correspondente em R, os números negativos, por
exemplo. Para os alunos, somente esse fato é suficiente para dizer que a relação T não é
função, pois a condição de existência não é satisfeita.
O aluno GATO acrescenta que para transformar essa relação em função é
necessário modificar o domínio, do conjunto dos números inteiros, para o conjunto dos
números naturais. O aluno PEIXE intervém e prefere modificar o domínio para o
conjunto dos reais para que a relação se torne uma função. Tanto verbalmente quanto
nos protocolos, os alunos concluem que existem elementos do conjunto Z que não
apresentam correspondência no conjunto R. Manifestando-se apenas nos protocolos, os
alunos posicionam-se de forma positiva para a condição da unicidade. Ainda assim
concluem que a relação T não é uma função pelo fato de não satisfazer a uma das
condições. Afirmam novamente que essa relação não apresenta domínio,
contradomínio, e imagem.
Durante todo o encontro é perceptível que os alunos trabalham de forma mais
natural, sem grandes contradições, com maior fluência nas colocações verbais e também
escritas. Praticamente em todos os momentos, o aluno GATO e o aluno PEIXE utilizam
o conceito de função relacionado ao conceito de relação entre variáveis, mesmo que as
novas definições tratem de uma relação entre conjuntos.
Acredita-se que pelo fato dos subsunçores do conceito de função terem sido
desenvolvidos a partir do conceito de relação entre conjuntos, ao longo de suas vidas
escolares, a ancoragem do novo conhecimento sobre função se torna mais simples já
que os subsunçores e o novo conhecimento são semelhantes.
Outro ponto importante a ser ressaltado é o fato dos alunos ora tratarem a
variável dependente como representante do contradomínio da função, ora tratarem-na
como representante do conjunto imagem. É possível que, pelo fato dessa relação entre
variáveis e conjuntos ser um conhecimento novo, ele esteja ainda em processo de
elaboração mental. Pensar em ambas as relações ao mesmo tempo, ou alternadamente,
pode ser uma forma de testar qual é a relação mais adequada. Além disso, os alunos
preferem compreender a imagem como conjunto e não como elemento. A principal
relação se estabelece entre imagem como subconjunto do contradomínio.
• Definições escritas dos conceitos
Na 4ª parte dessa intervenção, é solicitado aos alunos o preenchimento dos
protocolos com suas próprias palavras para enunciar os conceitos de função, lei de
correspondência, domínio, contradomínio e imagem respectivamente.
O aluno GATO escreve que função “é uma relação de correspondência entre
dois conjuntos que obedece a uma regra e a uma condição (para todo x pertencente a
D, existe um único y pertencente a CD) onde D e CD são os conjuntos que fazem parte
dessa relação”. O aluno PEIXE escreve que função “é uma regra que associa um
elemento de um conjunto a outro conjunto”.
O aluno GATO que no período inicial da Entrevista e do Questionário trouxe a
idéia de função vinculada ao conceito de relação entre conjuntos, retorna às origens. O
aluno PEIXE também modifica seu pensamento. Caracterizou função a princípio como
uma relação entre números, passou para a relação entre variáveis e chega na relação
entre conjuntos. É possível que, de acordo com os pressupostos de Ausubel, Novak e
Hanesian (1980), seus subsunçores sofreram alterações no decorrer das discussões. Por
outro lado, o conceito de função apresentado tanto por Lages Lima (1998) quanto por
Ávila (1993) também sofrem modificações.
Pode-se perceber que nenhum dos autores define função exatamente como uma
relação entre conjuntos como apresentado pelo aluno GATO. Também não definem
função como uma regra que associa elementos de conjuntos diferentes. Lages Lima
(1998) afirma que função é uma regra que diz como associar elementos de conjuntos
distintos. Na realidade não é a regra que faz a ação de associar, ela simplesmente dita as
normas de como acontece essa associação, pois, na realidade quem associa é a própria
função.
Em relação ao conceito de lei de correspondência, o aluno GATO escreve que “é
a regra que diz como deve ser associado os elementos do domínio com os do
contradomínio”. O aluno PEIXE afirma que “é a regra que leva um elemento do
domínio ao contradomínio”. É possível que ambos associem o conceito de lei de
correspondência ao conceito de regra, aquela que diz como deve ser o comportamento
da função.
Para o conceito de domínio, o aluno GATO coloca que “é um conjunto ao qual
pertence a variável independente”. O aluno PEIXE afirma ser “o conjunto que contém
as variáveis independentes”. Novamente ambos consideram o domínio como um
conjunto e o relaciona ao conceito de variável independente. Essa relação surge nas
discussões das intervenções, pois não foi contemplada a relação entre conjuntos e
variáveis nos questionários.
Para o conceito de contradomínio, o aluno GATO afirma que “é o conjunto ao
qual os elementos do domínio podem se relacionar”. O aluno PEIXE afirma ser “o
conjunto que contém as variáveis dependentes”. A idéia dos alunos toma rumos
diferentes. Enquanto o aluno PEIXE conserva a relação entre conjuntos e variáveis, o
aluno GATO prefere não fazê-lo. É possível que o aluno GATO prefira estabelecer
relação entre o conjunto domínio e contradomínio do que entre variável dependente e
contradomínio por ainda não ter certeza que esta última relação seja verdadeira.
Para o conceito de imagem, o aluno GATO escreve que “são os elementos do
contradomínio que possuem um elemento correspondente no domínio”. O aluno PEIXE
afirma que “é um subconjunto do contradomínio que contém somente os elementos que
estão associados através da função ao domínio”. Apesar de utilizar linguagens próprias
e diferentes os alunos trazem o mesmo significado para o conceito de imagem.
Associam-na aos conceitos de contradomínio e de domínio, como um produto final
dessa relação. Não fazem qualquer menção sobre a relação existente entre variável
dependente e conjunto imagem, como apresentada pelo aluno GATO durante vários
momentos desta intervenção. O conceito que traziam inicialmente sobre conjunto
imagem se manteve inalterado, diferentemente do que ocorreu com o conceito de
domínio e contradomínio.
Percebe-se que, na compreensão dos alunos:
• função é uma relação entre conjuntos que obedece a uma regra;
• a lei de correspondência de uma função é a regra da relação estabelecida entre
os elementos do domínio e do contradomínio;
• domínio é o conjunto que contém elementos representados pela variável
independente da função;
• imagem é o conjunto que contém os elementos do contradomínio que
apresentam correspondência com os elementos do domínio;
6.3. Intervenção 14 – Os mapas conceituais sobre o conceito de função
Este encontro acontece em 12/09/07 durante 81 minutos e, é abordado o conceito
de função de Lages Lima (1998), devido ao fato dos alunos o terem escolhido por
contribuir com elementos mais significativos sobre o conceito. O objetivo é
compreender e descrever como os alunos se organizam mentalmente para escolher e
relacionar o conceito de função e seus conceitos subjacentes.
Na 1ª parte, os alunos recebem dois exemplos de mapas conceituais, bem como
o mapa conceitual que desenvolveram sobre o tema “noção de conjuntos”. Ao
realizarem as leituras não fazem comentários. Na 2ª parte é apresentado aos alunos as
fases para a construção de mapas conceituais como sugestão para o desenvolvimento do
trabalho, baseados nos pressupostos teóricos de Ontoria et al. (2005) e nas estratégias
desenvolvidas por Paiva e Freitas (2005):
1. Escolher os principais conceitos – selecionar os conceitos-chave do
conteúdo do texto ou do tema;
2. Distribuir os conceitos hierarquicamente – selecionar os conceitos por
ordem de inclusão;
3. Relacionar os conceitos – estabelecer as relações entre os conceitos por meio
das linhas ou setas;
4. Escolher e aplicar as palavras de ligação entre os conceitos – explicitar as
relações entre os conceitos para construir unidades semânticas por meio das
linhas que são indicadas por uma ou mais palavras de enlace (ou de ligação)
5. Atribuir significados – atribuir significados aos conceitos e às conexões
entre os conceitos;
6. Construir proposições – construir as proposições simples por dois conceitos
unidos por palavras de enlace (ou de ligação);
7. Estabelecer relações – estabelecer as relações horizontais e verticais.
O texto que trata sobre o conceito de função de acordo com as idéias de Lages
Lima (1998) também é disponibilizado para os grupos da seguinte maneira:
“Dados os conjuntos X, Y, uma função f: X -> Y é uma regra que diz como associar a
cada elemento x
∈
X um elemento y = f(x)
∈
Y. O conjunto X chama-se o domínio e Y o
contradomínio da função f. Para cada x
∈
X, o elemento f(x)
∈
Y chama-se a imagem de
x pela função f, ou o valor assumido pela função f no ponto x
∈
X. A natureza da regra
que ensina como obter f(x) quando é dado x é inteiramente arbitrária, sendo sujeita
apenas a duas condições:
a) Não deve haver exceções: a fim de que a função f tenha o conjunto X como domínio,
a regra deve fornecer f(x), seja qual for x
∈
X dado.
b) Não pode haver ambigüidades: a cada x
∈
X, a regra deve fazer corresponder um
único f(x) em Y.” (Adaptado de LAGES LIMA, 1998, p. 38 e 41).
A leitura é realizada a princípio pela pesquisadora, mas no decorrer de todo o
encontro os alunos recorrem várias vezes ao texto para consultar o que é apresentado
pelo autor. Na 3ª parte, os alunos recebem o protocolo a ser preenchido gradativamente
com formatação baseada nas fases de construção de mapas conceituais, acima citadas.
Seu preenchimento não é obrigatório, embora os grupos tenham utilizado parcialmente
o material.
A preocupação inicial dos alunos é visualizar o esquema gráfico, a disposição
dos conceitos no plano e estabelecer rapidamente as relações conceituais. Em alguns
momentos utilizar as estratégias sugeridas entra em confronto direto com o desejo que
aparentam ter em relação à visualização do mapa pronto e acabado. Esse fato pode
justificar a utilização parcial dos protocolos escritos, em prol da utilização de folhas de
rascunho para construir os esquemas visuais.
O grupo GATO inicia seu processo destacando os principais conceitos
apresentados no texto. Foram eles: função, conjuntos, contradomínio, domínio, imagem,
regra, elemento, condições
Im!,
∈∃∈∀
yDx
. Considera-se que D representa o conjunto
domínio e Im o conjunto imagem. O grupo PEIXE lista as seguintes palavras: função,
regra, conjunto, domínio, contradomínio, imagem, condição
YyXx
∈∃∈∀
!,
. Sabe-se
que o conjunto X representa o domínio da função, porém, o conjunto Y, ainda não tem
classificação.
O grupo GATO realiza a hierarquização dos conceitos da seguinte maneira:
1. conceito de função;
2. conceitos de conjunto, contradomínio, domínio e imagem, considerando-os
como integrantes de um mesmo nível hierárquico;
3. conceitos de elemento, regra e condição.
A disposição hierárquica considerada pelo grupo PEIXE se desenvolve de forma
diferenciada, conforme a listagem abaixo:
1. conceito de função;
2. conceitos de regra, conjunto, domínio e contradomínio no mesmo nível
hierárquico, e;
3. imagem e condição.
Os alunos desenvolvem a relação entre os conceitos considerando a
hierarquização desenvolvida anteriormente. O grupo GATO relaciona o conceito de
função diretamente aos conceitos de regra, conjuntos e condição, desconsiderando
parcialmente a ordem hierárquica. É importante observar que este grupo se preocupa em
utilizar os conceitos principiais sem repeti-los. A valorização parece estar concentrada
mais no aspecto visual e na significação das relações do que propriamente na
hierarquização dos conceitos. Os alunos trabalham com as interligações conceituais,
atribuindo a cada relação suas respectivas palavras de ligação.
A princípio, o grupo GATO considera que “função é uma regra que associa
elementos entre conjuntos chamados domínio e contradomínio”, (figura 11)
apresentando um raciocínio diferente daquele relatado anteriormente no qual
considerava que uma função é uma relação entre conjuntos que obedece a uma regra
representada por uma equação. Além disso, o fato da função ter que obedecer a duas
condições é considerado relevante, pois as explicita separadamente na representação
gráfica.
Figura 11 – Construção do Mapa Conceitual de função – grupo GATO
Fonte: grupo GATO
Uma observação deve ser feita em relação à palavra “obrigatoriamente”. A
definição de Lages Lima (1998) não apresenta essa palavra, nem ao menos considera as
condições de uma função obrigatórias, mas uma conseqüência da definição de ser
função. Esse aspecto parece ter sido utilizado pelo próprio grupo para se certificar da
necessidade da utilização dessas condições como garantia da relação matemática se
tornar função.
O grupo PEIXE apresenta um esquema visual de forma diferente do grupo
anterior (figura 12). Considera que “função é uma regra que relaciona conjuntos e é
dividido em domínio, representado pelo conjunto X, e contradomínio, representado
pelo conjunto Y”. Utiliza uma definição diferente daquela apresentada na Fase 1 onde
enfatizava que o conceito de função é uma relação entre dois conjuntos que obedece
uma regra. Esse grupo não ressalta as condições apresentadas por Lages Lima (1998)
para que essa regra se caracterize função.
Figura 12 – Construção do Mapa Conceitual de função – grupo PEIXE
Fonte: grupo PEIXE
O grupo GATO subdivide seu protótipo de mapa conceitual em duas partes:
definição e condição. Fica explícito neste momento que o grupo necessita separar as
condições da função da própria definição. Criam inclusive significados diferenciados
para nomear cada parte de suas construções. O grupo PEIXE atribui significados às
relações estabelecidas entre os conceitos após ter realizado algumas alterações em seu
esquema original. Acrescenta as condições das funções apresentadas por Lages Lima
(1998), além da representação da função e da relação entre contradomínio e imagem.
Ao realizar as modificações o grupo GATO cria novas proposições para o
protótipo de mapa conceitual: “função é uma regra que relaciona conjuntos através da
condição que é
YyXx
∈∃∈∀
!,
” e “função é uma regra que relaciona conjuntos que é
dividido em domínio e contradomínio”. A separação entre a definição de função e suas
respectivas condições, pode denotar uma forma de desvinculação dessas condições em
relação ao conceito de função propriamente dito. Esse fato se torna mais evidente na
atribuição dos significados a grupos de informações que os alunos visualizam no
esquema gráfico.
Diferentemente do outro grupo, os alunos do grupo PEIXE constróem quatro
conjuntos de significados para seu protótipo de mapa conceitual: definição de função,
definição dos conjuntos da função, definição do conjunto domínio, definição do
conjunto contradomínio. Além das condições serem consideradas como parte integrante
da definição do conceito de função, a representação dessa função também é considerada
relevante e integrada à organização esquemática do conceito.
O grupo GATO após atribuir os significados para seu esquema gráfico
construído prefere incrementar novos elementos à estrutura desenvolvida. Especifica a
função, os elementos e os conjuntos atribuindo-lhes uma representação algébrica.
Amplia o conceito de função e, de acordo com a opinião do grupo, considera essa
apresentação visual mais compreensível do que a anterior. Os alunos desenvolvem,
diante da leitura e da atribuição de significados de suas construções, algumas
proposições relevantes. No caso do grupo GATO, os alunos afirmam que:
• função é representada por f: A -> B;
• função obrigatoriamente obedece a duas condições:
• qualquer que seja x pertencente a D, existe um y pertencente a CD;
• qualquer que seja x, existe um único y.
• função é uma regra que associa o elemento x pertencente ao conjunto A
(denominado Domínio) ao elemento y pertencente ao conjunto B
(denominado contradomínio).
O grupo destaca a representação, as condições e a definição de função
separadamente. Considera ainda que função é uma regra capaz de associar elementos de
dois conjuntos definidos como domínio e contradomínio.
No caso do grupo PEIXE, os alunos afirmam que:
• função é uma regra que relaciona conjuntos, através da condição que é
qualquer que seja x pertencente a X, existe um único y pertencente a Y;
• função é representada por f: X -> Y;
• os conjuntos são divididos em contradomínio e domínio;
• domínio é representado pelo conjunto X;
• contradomínio é representado pelo conjunto Y;
• contradomínio contém o Conjunto Imagem, definido por y pertencente a Y;
f(x) = y.
É possível identificar que o grupo destaca a definição e a representação da
função, bem como a representação do domínio e do contradomínio e sua relação com o
conjunto imagem. Considera também que função é uma regra capaz de relacionar
conjuntos por meio de uma condição de unicidade.
A confecção dessas proposições e a leitura de cada uma delas proporciona novos
momentos de reflexão e intensa discussão entre os integrantes de cada grupo. Enquanto
o maior desafio para o grupo GATO é encontrar uma maneira de representar a relação
entre contradomínio e imagem, para o grupo PEIXE é simplificar a conceituação de
função a fim de proporcionar uma leitura mais linear do conceito.
O que se pode compreender do mapa conceitual final do grupo GATO (figura
13) é que “Função é uma regra que associa o elemento x pertencente ao Conjunto A,
denominado Domínio, ao elemento y pertencente ao Conjunto B, denominado
Contradomínio”. Verifica-se uma modificação na apresentação do conceito de função.
Apesar dos elementos básicos continuarem a ser os mesmos, ou seja, os conceitos de
regra, condição, domínio e contradomínio ainda são enfatizados e contemplados nas
definições, a ênfase em determinados conceitos se altera. O conceito de função é
definido a partir do conceito de regra e não mais do conceito de relação entre conjuntos.
Figura 13 – Mapa Conceitual de Função – grupo GATO
Fonte: grupo GATO
O contato com um novo conceito, como o conceito de Lages Lima (1998), pode
ter contribuído com novos elementos para os subsunçores relacionados ao conceito de
função. Só este fato, porém, não significa que obrigatoriamente há uma real
modificação do que os alunos pensam sobre o conceito de função. Esses resultados
parciais são apenas indícios de que os subsunçores se modificaram. Por outro lado, é
importante destacar que o conceito teórico apresentado aos alunos também sofre
modificações, como preconiza Ausubel no princípio da Assimilação.
Lages Lima (1998) afirma que função é uma regra que diz como associar
elementos de dois conjuntos. Para o grupo GATO, função é uma regra que associa
elementos de um conjunto em outro. O que pode se deixar transparecer é que, neste
último caso, é a regra que associa elementos e não a função. As idéias são muito
próximas, mas não são exatamente iguais. Esse aspecto pode exemplificar o que
Ausubel afirma sobre o contato entre o subsunçor e o novo conhecimento. Não são
somente os subsunçores que se modificam, o novo conhecimento também se
transforma.
Esse aspecto foi identificado na Fase 1, tanto nos primeiros contatos com a
definição de Dirichlet, quanto nos primeiros contatos com a definição de Lages Lima.
Parece que, na construção dos mapas conceituais, os alunos vivenciam constantemente
esses momentos, alterando seus subsunçores, bem como as novas definições sobre
função. Pode ser que estejam se aprofundando nas discussões de uma única idéia sobre
o conceito.
Compreende-se do mapa conceitual final do grupo PEIXE (figura 14) que
“Função é uma regra que relaciona Conjuntos através da condição que é
YyXx
∈∃∈∀
!,
”. Outra leitura também pode ser realizada: “Função é uma regra que
relaciona Conjuntos divididos em Domínio e Contradomínio”. Verifica-se que, também
neste caso, alterações são realizadas no conceito de função. O que antes era classificado
como uma relação de dependência entre conjuntos, com ênfase na regra, agora se torna
a própria regra. Conceitos básicos como domínio, contradomínio e elementos ainda são
contemplados no mapa conceitual.
Observa-se que, diferentemente do grupo anterior, os integrantes deste grupo
preferem conservar o significado da palavra relação, mesmo que o autor principal não a
tenha utilizado. É possível que seus subsunçores tenham se alterado e incrementado
novos elementos ou enfatizando elementos já existentes. O grupo PEIXE também não
utiliza o conceito de Lages Lima na íntegra, incorporando todos os elementos e
atribuindo-lhes os mesmos significados. Afirmar que função é uma regra que relaciona
conjuntos apresenta um significado diferente de afirmar que função é uma regra que diz
como associar elementos de dois conjuntos.
Esse fato também ilustra a modificação que o novo conhecimento sofre ao entrar
em contato com os subsunçores do aprendiz. Além disso, apesar da definição do autor
não apresentar como elemento principal o conceito de condição de função, esse grupo
prefere incluí-lo como conceito integrante e fundamental para a definição de função.
Figura 14 – Mapa Conceitual de Função – grupo PEIXE
Fonte: grupo PEIXE
Apesar de modificações nos subsunçores e no novo conhecimento terem
acontecido, elementos próprios de cada um deles são conservados. Os conceitos de
conjuntos, domínio, contradomínio e imagem continuam a existir. O conceito de
condição, sobretudo, a condição de unicidade, torna-se um elemento fundamental para a
caracterização de função.
O conceito de variável não é citado em nenhum mapa conceitual. Como o texto
apresentado não trata desse conceito é possível que não tenha suscitado a necessidade
de contemplá-lo na confecção dos mapas. Pode ser também que esse conceito ainda
esteja em processo de ancoragem em seus subsunçores e tenha entrado no processo de
assimilação obliteradora. Como não é possível obter alguma comprovação de uma
situação ou de outra, a intervenção 15 tenta provocar nos alunos o interesse pela busca
de novas relações para o conceito de função diante da proposta de estabelecer conexões
entre o conceito abordado e os conceitos discutidos na Fase 1 da pesquisa.
6.4. Intervenção 18 – Problema 1 – Função e Progressão Aritmética
Este encontro acontece em 25/09/07 durante 60 minutos e, é abordado o conceito
de função de Lages Lima (1998), bem como os conceitos de equação e expressão
algébrica de Imenes e Lellis (1998), variável dependente, variável independente,
variável e incógnita de Soares (2005) e a interconexão entre função e variável
dependente e independente de Ávila (1993). O objetivo é compreender e descrever
como os alunos se organizam mentalmente para desenvolver um padrão algébrico diante
de problemas de Progressão Aritmética e como os alunos caracterizam esse padrão
como função.
O aluno PEIXE não participa deste encontro por motivos pessoais. Mesmo
assim, responde às perguntas do protocolo em momento posterior. Na 1ª parte, os
alunos recebem os conceitos formalizados sobre função e os demais conceitos
subjacentes, além dos últimos mapas conceituais desenvolvidos.
• O problema proposto e o processo de desenvolvimento de padrão algébrico
Na 2ª parte, o enunciado do problema, é apresentado para os alunos para que
possam ler e interpretar em conjunto seu significado.
“Para formar triângulos com palitinhos dispostos conforme a figura (15), qual é a
relação matemática que se pode estabelecer entre o número de palitos utilizados e o
número de triângulos formados?”
Figura 15 – Triângulos dispostos em palitos
Fonte: Elaboração própria
Os alunos escolhem o aluno GATO para ir ao quadro e desenvolver o problema
com o auxílio dos colegas e dos questionamentos da pesquisadora. Este aluno, portanto,
inicia o processo desenhando os triângulos conforme apresentado no protocolo. Em
seguida, apresenta a seguinte relação para triângulos e palitos:
1 t
→
3 p
2 t
→
3 + 2
3 t
→
3 + 2 + 2 = 3 + 2.2
Explica verbalmente que com 2 triângulos pode escrever 3 + 2 palitos, com 3
triângulos, pode escrever 3 + 2 + 2 palitos, que é o mesmo que 3 + 2.2. Após a
explicação completa o raciocínio da seguinte maneira:
1 t
→
3 p + 0.2
2 t
→
3 + 1.2
3 t
→
3 + 2.2
4 t
→
3 + 3.2
n t
→
3 + (n – 1). 2
A pesquisadora questiona quais elementos estão se modificando. O aluno GATO
responde que são o número de palitos e o número de triângulos representados
respectivamente por n e 3 + (n – 1). 2. Todos os alunos discordam dessa idéia e o aluno
GATO, concordando com os colegas, troca os significados, de tal forma que n
representa a quantidade de triângulos e 3 + (n – 1).2, a quantidade de palitos.
Ainda para refletir sobre a situação, este aluno verbaliza que para construir 1
triângulo são necessários 3 palitos; 2 triângulos, 5 palitos e assim sucessivamente. O
grupo não concorda com a utilização da letra n para a representação das variáveis
porque pode trazer a idéia tanto do número de triângulos quanto do número de palitos.
Assim, a letra t representa a quantidade de triângulos e p, a quantidade de palitos.
Ao serem questionados como os elementos se modificam, o aluno GATO afirma
que o número de palitos inicia com 3 e depois o incremento acontece de dois em dois. O
número de triângulos inicia com 1 e aumenta de 1 em 1, formando a seqüência 1, 2, 3,
4, etc. Por fim, afirma que a relação entre o número de palitos e o número de triângulos
é p = 3 + (t – 1). 2. Todos os alunos reconhecem essa representação algébrica como a
fórmula geral da progressão aritmética, caracterizando o número 3 como seu primeiro
elemento e 2 como sua razão.
Em relação ao preenchimento dos protocolos, o aluno GATO escreve a relação
entre o número de palitos e o número de triângulos da seguinte forma: “1 t
→
3 p + 0.2
⇒
...
⇒
p = 3 + (t – 1).2” . O aluno PEIXE utiliza uma representação semelhante: “p
= 3 + (t – 1).2”. De acordo com o que diz Sierpinska (1992) é necessário que ao se
trabalhar o conceito de função, as variáveis sejam compreendidas dentro do problema.
Os alunos devem reconhecer quais delas se modificam e como se modificam na relação
que estabelecem. Esse processo é estimulado diretamente pela pesquisadora o que pode
ter auxiliado os alunos a reconhecerem as variáveis e suas relações na construção do
padrão matemático do problema.
• A aplicação do padrão algébrico em situações reais
O objetivo é questionar se o padrão desenvolvido é verdadeiro para quaisquer
valores numéricos e com isso prepará-los para definir os conjuntos base para o
desenvolvimento da relação enquanto função. O primeiro questionamento é proposto da
seguinte forma: “Quantos palitos são necessários para construir 20 triângulos?”.
O aluno GATO escreve na lousa a seguinte seqüência:
p = 3 + 2.(t – 1)
p/ t = 20
p = 3 + 20. (20 – 1)
p = 3 + 20. 19
p = 3 + 380
p = 383
O grupo sinaliza que esse resultado não está correto porque o número de palitos
aumenta de dois em dois e não de 20 em 20 como o representado. O aluno GATO
concordando altera a seqüência para:
p = 3 + 2.(t – 1)
p/ t = 20
p = 3 + 20. (20 – 1)
p = 3 + 20. 19
p = 3 + 38
p = 41 palitos
Conclui que para construir 20 triângulos são necessários 41 palitos.
O questionamento subseqüente é proposto da seguinte forma: “Quantos
triângulos podem ser construídos utilizando-se 10 palitos?”. O aluno GATO escreve na
lousa a seguinte seqüência:
p = 3 + 2.(t – 1)
p/ p = 10
3 + 2. (t – 1) = 10
2.(t – 1) = 7
t – 1 =
2
7
t =
2
7
+ 1
t =
2
9
⇒
t = 4,5
Conclui que esse resultado não é possível. Pensa inclusive que seus cálculos
estão incorretos, mas prossegue afirmando que não é possível construir triângulos dessa
forma com 10 palitos. Acrescenta que, neste caso, é possível construir 4 triângulos
completos e ainda sobrar 1 palito. Opta por não considerar correta a construção de 4
triângulos com 10 palitos.
Em relação aos protocolos escritos, o aluno GATO escreve exatamente o que
desenvolveu na lousa. O aluno PEIXE escreve, para o 1º questionamento, a seguinte
seqüência:
p = ?
t = 20
p = 3 + (t – 1).2
p = 3 + 19.2
p = 41
Para o 2º questionamento, este aluno escreve:
p = 10
t = ?
p = 3 + (t – 1).2
10 = 3 + 2t – 2
2t = 9
⇒
t =
2
9
O aluno GATO, pelo fato de estar no quadro, preenche seu protocolo ao final de
todas as discussões propostas. Os alunos podem compreender que o número de
triângulos e o número de palitos devem ser representados por números naturais, já que
palitos quebrados não são considerados no problema. A confirmação desse fato, porém,
só é possível, após a definição da relação funcional e de seus respectivos conjuntos.
• A caracterização do padrão algébrico como função
O objetivo é compreender quais elementos os alunos destacam para caracterizar
o padrão algébrico desenvolvido como função e como justificam essa escolha. A
pergunta realizada pela pesquisadora ao iniciar esse processo é a seguinte: “Essa relação
representa uma função?”. Os alunos, porém, preferem responder primeiramente à
próxima pergunta proposta no protocolo que se refere a “Qual é o domínio, o
contradomínio e a imagem dessa função?”. Esse fato pode indicar que, para os alunos, a
definição dos conjuntos domínio e contradomínio é determinante para a caracterização
de uma função.
O aluno GATO inicia esse processo afirmando que a relação algébrica do
problema representa uma função de t em p. Sempre que for dado um valor para t é
possível encontrar um valor para p. Além disso, este aluno considera que somente a
representação algébrica do padrão determinado não caracteriza uma função. Falta, em
sua opinião, a definição do domínio e do contradomínio.
O aluno GATO afirma que a relação f:
Ν→Ν
, na qual
Ν
representa o
conjunto dos números naturais, é a melhor forma de defini-la como função, com p e t
pertencentes ao conjunto
Ν
. A função fica bem definida pela expressão f(t) = p = 3 + 2.
(t – 1). Justifica-se ao dizer que f é função porque seu domínio, seu contradomínio e sua
regra estão determinados. Não satisfeito com sua própria resposta, acrescenta que para
cada valor da variável t deve existir um único valor para variável p.
Para comprovar sua idéia, escreve na lousa a seguinte seqüência:
21
21
21
21
11
)1.(23)1.(23
)()(
tt
tt
tt
tftf
=
−=−
−+=−+
=
O aluno explica que se conseguisse provar que
21
tt
=
dado que
)()(
21
tftf
=
então provaria que o valor para a variável p seria único. Acrescenta
que sua prova matemática não contempla a condição de existência da função, mas,
apenas a condição de unicidade. Afirma que não há restrições para a variável p, o que
não acontece com a variável t. O número de triângulos não pode ser igual a zero. Assim,
a função deve ser definida como f:
Ν→Ν
*
, na qual
*
Ν
representa o conjunto dos
números naturais com exceção do 0. Conclui que f:
Ν→Ν
*
, p = 3 + 2.(t – 1), com p
*
Ν∈
e t
Ν∈
, representa uma função pois seu domínio e seu contradomínio estão
definidos e para cada valor de t existe um único valor para f(t), e, portanto, suas
condições estão sendo satisfeitas.
Em relação aos protocolos, o aluno GATO escreve que essa relação entre o
número de palitos e o número de triângulos representa uma função somente se “for
definido o domínio, o contradomínio e satisfazer as condições”. Define o conjunto
domínio como
*
Ν
, o conjunto contradomínio como
Ν
e o conjunto imagem como Im =
{
)1.(23)(/*
−+=Ν∈∀
ttft
}.
O aluno PEIXE escreve que “escolhendo-se os conjuntos apropriados a relação
pode representar uma função, já que
pt !,
∃∀
.” Define os conjuntos domínio e
contradomínio da mesma forma que o colega, como
*
Ν
e
Ν
, respectivamente. O
conjunto imagem define de uma forma diferente utilizando a letra p no lugar da
expressão f(t). Assim, Im = {
)1.(23/*
−+=Ν∈
tpp
} representa o conjunto imagem.
Os alunos utilizam quatro conceitos para definir função: domínio,
contradomínio, regra e condições. Utilizam, portanto, os elementos básicos
apresentados por Lages Lima (1998) e ainda o fato das condições da existência e da
unicidade serem satisfeitas. Os elementos destacados nos mapas conceituais, momento
no qual organizavam os conceitos sobre função, são os mesmos destacados para aplicá-
los na resolução dos problemas. Definem o conjunto imagem como subconjunto do
contradomínio, não necessariamente apresentando os mesmos elementos.
• A descaracterização da função
O objetivo é compreender quais os elementos os alunos utilizam para
descaracterizar a função e como justificam suas escolhas. A pesquisadora apresenta o
seguinte questionamento: “O que você faria para que essa relação entre o número de
triângulos e o número de palitos não representasse uma função?”.
O aluno GATO explica que se colocasse o domínio igual a
Ν
não haveria um
correspondente no contradomínio. Outra hipótese é inverter os papéis das variáveis p e
t. Enquanto p é uma variável independente, t se torna a variável dependente. Não
satisfeito com sua própria resposta pensa em outra possibilidade. Diz que se trocar o
domínio de
Ν
para
Ζ
, o conjunto dos números inteiros, o número -1, por exemplo, não
apresenta um correspondente. Percebe, porém, que essa idéia não faz sentido porque
não existem números negativos no caso do problema com triângulos.
Para que um elemento do domínio não apresente um correspondente no
contradomínio acredita ser necessário eliminar um elemento desse contradomínio.
Escreve então que f:
}9{*
−Ν→Ν
não representa uma função porque existe um valor
do domínio que não tem correspondente no contradomínio. A condição de existência
não é satisfeita neste caso. Acrescenta que a outra condição, a da unicidade, não é
satisfeita se para um único valor da variável t existissem dois valores para a variável p.
Escreve então que
1,5
1),1.(23
)(
=
>−+
=
t
tt
tf
descaracteriza a função f como função.
Em relação aos protocolos, o aluno GATO afirma que para descaracterizar a
função f do problema como função, modifica “o contradomínio ou a lei da função”. No
primeiro caso torna o contradomínio igual a
Ν
- {9}, e, no segundo caso transforma a
lei da função. O aluno PEIXE prefere trocar o domínio de
Ν
para
Ζ
. Não utiliza para
isto qualquer justificativa.
O objetivo dos alunos para descaracterizar uma função parece ter seguido o
caminho da não satisfação das condições de existência e unicidade da função. Para
efetivar suas idéias utilizam estratégias diferentes. Enquanto o aluno GATO prefere
modificar o contradomínio e a lei de formação da função, o aluno PEIXE prefere alterar
o domínio da função, mesmo que não represente, segundo o colega, a verdadeira
situação do problema. Ao aplicar o conceito de função os alunos utilizam
explicitamente os conceitos de domínio, contradomínio, regra ou lei de formação,
condição de existência e condição de unicidade.
Para caracterizar uma função todos esses conceitos são fundamentais. Porém,
para descaracterizá-la, a idéia essencial para os alunos é atingir os conceitos de condição
de existência e unicidade, de tal forma que não sejam satisfeitas. Para isso, eles
preferem ressignificar o contradomínio, a lei de formação ou o domínio da função.
6.5. Intervenção 22 – A auto-avaliação e a ressignificação do conceito de função
Esse encontro acontece em 09/10/07 com duração de 60 minutos. São
apresentados aos alunos as informações sobre o conceito de função de Lages Lima
(1998) e os mapas conceituais dos grupos GATO e PEIXE desenvolvidos na
intervenção 17.
A auto-avaliação inicia com a entrega dos questionários teórico e aplicado,
respondidos antes das intervenções. Depois da leitura do material, cada aluno tem a
oportunidade de alterar os conceitos que desenvolveram inicialmente. No momento
final é proposta uma reflexão do processo vivenciado pelo grupo, diante do
reconhecimento dos aspectos positivos e negativos do processo de ressignificação do
conceito de função. Os objetivos desta intervenção são verificar as reformulações
conceituais dos alunos e a descrição dos comentários finais sobre a evolução pessoal na
pesquisa.
Ao receberem o questionário teórico respondido individualmente por cada
integrante do grupo, vários são os comentários. O aluno GATO e o aluno PEIXE
afirmam que gostariam de alterar todas as definições teóricas que desenvolveram.
Durante a leitura, eles mesmos tecem suas próprias críticas: “Como eu pude escrever
uma coisa dessas?”, “Está tudo errado... posso modificar?”, “Eu não sabia nada do
que estava escrevendo”. Socializam as respostas com o grupo, mas cada aluno só
visualiza suas propostas respostas considerando-as “absurdos” conceituais.
Como o tempo do encontro não permite que os alunos realizem todas as
modificações desejadas, é solicitado que alterem os conceitos que, em sua opinião,
apresentam mais falhas, ou que lhes são mais pertinentes.
• O Conceito de Função
Os alunos optam por alterar primeiramente o conceito de função. No
questionário teórico o aluno GATO escreve que: “função é uma relação que ocorre
geralmente entre dois conjuntos que utiliza uma característica para relacionar os
elementos desses conjuntos”. Com a alteração conceitual, seu conceito de função fica
escrito da seguinte forma: “função é uma relação que diz como associar um elemento x
∈
X a um elemento y
∈
Y.” Considera-se que o conjunto X representa o domínio da
função e o conjunto Y, seu contradomínio.
O aluno PEIXE, no questionário teórico, escreve que: “função matemática é
uma relação entre dois números, onde um dos números é obtido a partir do outro”.
Com a alteração conceitual, o conceito de função do aluno PEIXE fica escrito da
seguinte forma: “função matemática é uma relação entre conjuntos. Essa relação se dá
por meio de uma regra, e esta, deve obrigatoriamente obedecer a seguinte condição:
CDyDx
∈∃∈∀
!,
”. Considera-se que o conjunto D representa o domínio da função e o
conjunto CD, o contradomínio.
Lages Lima (1998) refere-se a este conceito como uma regra que diz como
associar um elemento do conjunto domínio a um elemento do conjunto contradomínio.
Os alunos trazem elementos dessa definição, mas não a definição literalmente igual a
apresentada pelo autor. Como afirma Ausubel, Novak e Hanesian (1980), após o contato
do subsunçor com o novo conhecimento, ambos se modificam e carregam consigo seus
elementos próprios e os elementos modificados.
Quando o aluno GATO afirma que função é uma relação que diz como associar
elementos entre conjuntos, traz consigo o que pensava na fase inicial da pesquisa, que
função é uma relação entre conjuntos e incorpora o conceito de Lages Lima (1998). No
caso do aluno PEIXE, a transformação apresenta um acréscimo de mais elementos.
Destaca que função é uma relação entre conjuntos que obedece a uma regra e às
condições de existência e unicidade.
O conceito de Lages Lima (1998) parece ter-se incorporado ao subsunçor de tal
forma que o conceito de função vinculado à relação entre números, existente
previamente em sua estrutura cognitiva, transforma-se e amplia-se para a relação de
vários números que compõem um conjunto. Diante do princípio da Assimilação
preconizado por Ausubel, Novak e Hanesian (1980), é possível que, no caso do aluno
GATO, o processo de assimilação obliteradora tenha se iniciado. O esquecimento de
elementos do novo conhecimento, segundo este autor, é a garantia para que o novo
conhecimento seja ancorado ao subsunçor, ampliando, dessa forma, o significado do
conceito estudado.
É possível que, pelo fato deste aluno não ter evidenciado o conceito de regra,
nem as condições de existência e unicidade da função, esses conceitos já tenham sido
incorporados ao conceito de função de tal forma que não seja mais necessário explicitá-
los, pois falar sobre função e sobre tais conceitos se torna redundante. Com o aluno
PEIXE, esse processo talvez ainda não tenha se iniciado, pois precisa evidenciar os
conceitos de regra e de condição de existência e unicidade ao definir o conceito de
função. Ainda assim, é importante perceber que os alunos não memorizam o conceito,
mas utilizam tanto seus conhecimentos prévios quanto os novos conhecimentos para
ressignificá-lo.
• Os conceitos de domínio e contradomínio
Os conceitos de domínio e contradomínio são aqueles que os alunos optam por
modificar logo em seguida. O aluno GATO modifica apenas o conceito de domínio. No
questionário teórico este aluno escreveu que domínio “é um dos conjuntos do qual a
função faz parte no caso os conjuntos que contém os elementos que se relacionam com
o outro”. Considera sua resposta difícil de compreender, pois não esclarece qual é o
conjunto. Assim apresenta uma nova definição para o conceito de domínio “é o
conjunto que contém a variável independente, logo se considerarmos f: A
→
B, o
conjunto A seria o domínio, pois é nele que está os elementos que se ligam ao conjunto
B pela função”.
O aluno PEIXE, no questionário teórico escreveu que “domínio de uma função
representa os valores que o número x pode assumir”. Modifica o conceito escrevendo
que “domínio de uma função representa o conjunto formado pelos valores que a
variável independente pode assumir”. Os alunos associam o conjunto domínio ao
conceito de variável independente. O mesmo não pode se dizer em relação ao conceito
de contradomínio, pois apenas o aluno PEIXE o vincula ao conceito de variável
dependente.
O aluno GATO opta por não modificar o conceito de contradomínio. Continua a
pensar este conceito como apresentou no questionário teórico, contradomínio “é o
conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados com o domínio da
função”. O aluno PEIXE pensa diferente. No questionário teórico escreveu que
“contradomínio de uma função representa os valores que o número f(x) pode assumir”.
Modifica-o incluindo o conceito de variável dependente da seguinte forma: “o
contradomínio de uma função representa o conjunto formado pelos valores que a
variável dependente pode assumir”. Para o aluno PEIXE, a relação entre domínio e
variável independente, e, contradomínio e variável dependente está explícita. Para o
aluno GATO esse fato não acontece.
Relacionar o domínio da função à variável independente é um processo natural.
O problema se encontra na relação que se pode estabelecer entre os conceitos de
contradomínio e variável dependente. A resistência em estabelecer essa relação vem
persistindo desde a Fase 1 da pesquisa. Uma investigação mais profunda sobre o
estabelecimento dessa relação pode ser realizada posteriormente.
Percebe-se que não há necessariamente, neste caso dos conceitos de domínio e
variável independente, uma modificação conceitual, mas uma modificação na relação
existente entre ambos os conceitos. As idéias principais continuam as mesmas. O
domínio definido como um conjunto fundamental da função e a variável independente
como uma variável à qual podem ser atribuídos quaisquer valores são as definições
gerais apresentadas pelos alunos. A partir da nova relação, os valores assumidos pela
variável independente não podem ser quaisquer de uma forma geral, mas quaisquer,
dentro dos limites do conjunto domínio.
• Representação na forma de conjuntos
O aluno GATO opta por não fazer alterações na primeira parte do questionário
aplicado que tratava da relação entre dois conjuntos. O aluno PEIXE, por sua vez,
modifica apenas o que considerou como variável e suas derivações: variável dependente
e independente. Considerou que a função da situação A (figura 8) seria a única opção a
representar a função
YXf
→
:
, cuja lei de formação se apresentava como
.
No questionário aplicado, o aluno PEIXE considerou que as variáveis
representam “os elementos do domínio porque são os elementos do domínio que variam
para definir a sua imagem”. Modifica sua resposta considerando que “a letra k é uma
variável, k está variando no conjunto X”. O aluno prefere, portanto, explicitar quem é
essa variável, porque, é somente neste momento que consegue visualizar a letra k como
variável. Por outro lado, não faz qualquer menção sobre o papel de f(k), já que também
poderia ter considerado f(k) como variável.
No questionário aplicado afirma que a variável independente é representada pela
variável “k” e que não há uma variável dependente. Essa idéia se modifica ao longo das
intervenções e escreve no protocolo que a variável independente continua sendo a letra
“k”. A variável dependente passa a existir e é considerada como “a função f aplicada no
valor k”, ou seja, f(k).
• Representação na forma algébrica
Diante das possíveis representações algébricas para a função
ℜ→ℜ
:v
, o aluno
GATO considerou que x + y = 10 é a melhor representação da função porque relaciona
x e y numa equação. Nesta intervenção, o aluno continua com essa compreensão sobre a
situação proposta e desenvolve as modificações apenas na composição dos elementos da
função.
No questionário aplicado, este aluno considerava que a função é composta por
variáveis e incógnitas, pois, em sua opinião, esses dois conceitos apresentam o mesmo
significado. No decorrer das discussões transforma essa idéia e passa a considerar
incógnitas e variáveis como elementos que apresentam conceitos diferenciados. No caso
da função, as letras x e y passam a ser caracterizadas como variáveis e não mais como
incógnitas. Associa as variáveis às funções e às expressões algébricas. As incógnitas são
associadas às equações.
O aluno PEIXE não altera as respostas do questionário aplicado para a
representação algébrica da função
ℜ→ℜ
:v
. Continua a considerar que a expressão
x + y representa uma função. Neste caso, não é possível compreender a resposta
apresentada por este aluno. Ao atualizar o conceito de função, utiliza os conceitos de
domínio, contradomínio, regra e condição. Sabe-se que considera algebricamente uma
equação como representante de uma regra da função. Assim, a expressão x + y não
sendo representante de uma equação, como poderia representar uma função?
É possível que o aluno não tenha percebido a contradição entre o conceito
teórico e sua aplicação devido a diversos fatores, entre eles cansaço do final do semestre
letivo. Ainda assim, essas explicações são meras conjecturas e o fato do aluno não ter
alterado a resposta do questionário aplicado oficial fica sem explicação.
Ao final do processo de avaliação dos questionários o aluno GATO se
pronuncia. Comenta que para ressignificar os conceitos utiliza os mapas conceituais e as
definições formais. Acrescenta que, ainda tem dúvidas sobre a diferença entre variável e
incógnita. Considera também que a leitura dos questionários respondidos há tanto
tempo revelam sua evolução e não acredita que ele mesmo respondeu às questões da
maneira como foi feito.
• Reflexões finais
Neste momento final da pesquisa, é proposto aos alunos que falem sobre os
momentos bons e ruins vivenciados durante todo o processo interventivo. É comentado
sobre a liberdade de expressão, sem críticas que possam inibir o pensamento. O aluno
GATO inicia o processo afirmando que gostaria de aprender a escrever melhor, saber
como colocar as palavras no papel de forma mais adequada. Comenta que às vezes tinha
todas as idéias organizadas na mente, mas colocá-las no papel é mais difícil. Afirma que
saber o significado do conceito é uma coisa, mas convencer o colega sobre esse
significado é bem diferente. O aluno PEIXE aproveita o momento e confessa que não
gosta muito de escrever. Mas que escrever é necessário, as pessoas, inclusive ele, devem
saber.
Outro aspecto apresentado pelo aluno GATO é o fato de ter desenvolvido o
raciocínio dos problemas no quadro da sala de aula, atuando como se fosse um
professor. Afirma que essa situação foi um pouco traumática. Todas as dúvidas que
pairavam em sua cabeça o acompanharam durante a resolução dos problemas. Classifica
a situação como “horrível, horrível, horrível”. O aluno PEIXE afirma que também ficou
um pouco “perdido” quando foi ao quadro, afirmou ser mais fácil pensar sentado na
carteira do que pensar estando em evidência, na frente de todos.
O aluno GATO contribui com mais um elemento importante. Diz que, está
acostumado, enquanto aluno, a sempre receber a resposta correta por parte do professor.
Quando desenvolve um raciocínio errado, tem necessidade de ver a resposta correta.
Nas intervenções, eles não têm acesso a esse comportamento por parte da pesquisadora.
Isso gerou, em certos momentos, angústia. Queria ter uma resposta correta, mas a
pesquisadora não fornecia, obrigando-os a chegar às conclusões sozinhos. Na realidade,
essa situação o deixa frustrado. Nunca viveu um momento assim em relação à
matemática. O aluno PEIXE considera esse aspecto diante de uma visão positiva.
Afirma que aprendeu a conduzir o aluno a pensar, a colocar uma questão para o aluno
resolver na lousa sem interferir diretamente em seu pensamento, deixando-o resolver de
acordo com seus próprios conhecimentos.
O aluno GATO traz, a partir dessa discussão, outro elemento relevante. Afirma
que na matemática, os professores não estão muito preocupados com os conceitos.
Apresentam o conceito rapidamente e partem logo para os exercícios de forma
mecânica. Os exemplos são feitos como modelo para que os exercícios sejam
desenvolvidos pelo modelo acrescidos de poucos elementos.
Para finalizar, o aluno GATO afirma que o conceito de função está “menos
bagunçado” em sua mente. Ainda não está completamente organizado. Afirma ter
gostado de estudá-lo de forma mais aprofundada. O aluno PEIXE considera as provas
matemáticas para a verificação das condições da função o aspecto mais importante do
processo interventivo. Afirma que finalmente compreendeu o que é uma prova
matemática por absurdo e como utilizá-la para provar que uma relação é uma função.
Na fase de aplicação do conceito de função, os alunos utilizam os conceitos de
Lages Lima (1998) atribuindo-lhes significado. Assim, o conceito de regra e a
determinação de suas variáveis iniciam os processos de construção de padrões para os
problemas propostos. Os conceitos de domínio e contradomínio determinam os limites
para as variáveis, de acordo com as necessidades numéricas de cada problema. A
satisfação das condições de existência e de unicidade traz para a relação estabelecida
anteriormente entre as variáveis a característica de ser função.
Para que os alunos possam descaracterizá-la, optam geralmente por modificar o
conjunto contradomínio. Garantem que a condição de existência não seja satisfeita. A
modificação da lei de formação é utilizada para que a condição de unicidade também
não seja satisfeita.
O processo de aplicação do conceito de função, na resolução de problemas,
acontece de forma bastante dinâmica. Enquanto, em determinado momento, os alunos
acreditam ter respondido adequadamente aos questionamentos propostos,
compreendem, em outro, erros e falhas no processo. Prosseguir a criação da função faz
com que eles reflitam sobre cada conceito discutido, nas fases 1 e 2 da pesquisa. De
acordo com Ausubel, Novak e Hanesian (1980), a aplicação de conceitos em situações
práticas é uma das formas mais eficientes de se verificar se são bem compreendidos
pelos alunos, se a eles são vinculados novos significados.
O processo de auto-avaliação contribui para que os alunos compreendam sua
evolução, durante o processo interventivo. As alterações finais dos conceitos auxiliam
na compreensão de que os conceitos, em suas estruturas cognitivas, não são
simplesmente memorizados, mas significativamente mais duradouros, já que se utilizam
de elementos subsunçores, conceituais, existentes na estrutura mental.
As reflexões dos alunos, sobre o período da pesquisa, contribuem para ratificar o
apresentado sobre a formação do professor de matemática, na parte teórica deste
trabalho. Na formação que não valoriza os conceitos e fornece respostas prontas aos
alunos pode não possibilitar momentos de reflexão sobre os conhecimentos que os
alunos trazem.
O desenvolvimento da autonomia intelectual do aluno não é simples, precisa ser
iniciado o quanto antes. Os professores de matemática precisam ser formados
adequadamente para a sala de aula, estar mais seguros não só de saberes, mas também
das possíveis dificuldades dos alunos, no processo de aprendizagem, mais
especificamente, no conceito de função.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Diante dos problemas existentes na Formação de Professores e na Formação de
Professores de Matemática, apresentados por Tardif (2002) e Mizukami (2006), Ponte
(1992) e Garnica (1997), respectivamente, destacam-se principalmente a não aritculação
entre as disciplinas pedagógicas e específicas da matemática, a falta de entrosamento
entre as disciplinas que envolvam conhecimentos algébricos e geométricos, a pouca
consideração dos conhecimentos prévios dos alunos, a visão do licenciando como um
ser passivo e individual diante do conhecimento e a valorização da aprendizagem dos
procedimentos matemáticos em detrimento da aprendizagem conceitual.
Em relação ao estudo do conceito de função, as dificuldades em sua
compreensão são estudadas há mais de duas décadas com resultados revelados em
pesquisas nacionais e internacionais. Dentre elas, a vinculação do conceito de função ao
conceito de equação, o estabelecimento de relações de dependência entre variáveis e a
compreensão de representações algébricas e gráficas, bem como suas transformações,
são as dificuldades consideradas mais relevantes para o estudo que se apresenta neste
trabalho.
Para os pesquisadores da área, o sólido conhecimento matemático que o
licenciando deve adquirir se baseia não no armazenamento de informações, mas na
forma de domínio conceitual. O licenciando pode desenvolver atitudes positivas diante
dos conhecimentos matemáticos para que seja capaz de aproveitar a riqueza das
possibilidades de conhecimento propiciadas pela escola.
Como sugere Garnica (1997), os alunos em formação devem estudar problemas
de Matemática elementar por meio de metodologias alternativas nos primeiros
semestres do curso. Para Faria (2006), esses alunos devem aprender Matemática diante
dos conhecimentos que já dispõem. As situações de ensino precisam promover o
conhecimento científico da Matemática e a compreensão de sua importância na
educação básica. Ponte (1992) acrescenta que os processos de formação não podem ser
concebidos como uma imposição de um conjunto de verdades, mas diante de uma
atitude de respeito pelos participantes. A grande preocupação é permitir ao licenciando
o questionamento de suas concepções diante do hábito de duvidar.
Formar o professor de profundo conhecimento em Matemática pode não garantir
que ele esteja preparado para ensiná-la, especialmente para alunos da educação básica,
que têm os primeiros contatos com a linguagem formal da Matemática. Torná-la
abstrata, nos primeiros anos, pode causar danos à aprendizagem dos alunos. A formação
de professores precisa ser repensada, reavaliada e reformulada, mesmo gradativamente,
para que se possa garantir minimamente a formação do profissional capaz de ensinar
porque, em sua formação, o processo de ensino-aprendizagem é valorizado.
A proposta elaborada para o desenvolvimento da pesquisa é composta por todos
esses elementos citados. Ao promover um processo de reflexão e de posterior
ressignificação do conceito de função, utilizando-se uma metodologia baseada na Teoria
da Aprendizagem Significativa de Ausubel, procura-se articular conhecimentos
matemáticos e pedagógicos, por meio da valorização de seus conhecimentos prévios dos
alunos, do estudo de conceitos matemáticos voltados para a educação básica, e do
estímulo de uma participação ativa, reflexiva e questionadora, não só do conteúdo como
também do processo que vivencia.
A primeira etapa da pesquisa, a etapa do Levantamento, ao analisar os
conhecimentos prévios dos alunos sobre os conceitos de função e seus conceitos
subjacentes, traz contribuições importantes a respeito do que os alunos compreendem
sobre função. Na Entrevista (quadro 4) é possível perceber que os alunos trazem
consigo, no mínimo, 4 anos de experiência na utilização das funções. Ainda assim os
alunos se sentem inseguros ao defini-la.
Quadro 4 – Resumo das definições apresentadas pelos alunos GATO e
PEIXE nas Entrevistas e nos Questionários
LEVANTAMENTO ALUNO GATO ALUNO PEIXE
ENTREVISTA Relação entre conjuntos Expressão algébrica
QUESTIONÁRIO
TEÓRICO
Relação entre conjuntos Relação entre dois números
QUESTIONÁRIO
APLICADO
CONJUNTOS
Relação que obedece à lei da
função
Relação que obedece às leis
da função
QUESTIONÁRIO
APLICADO
ÁLGEBRA
Relação entre variáveis numa
equação
Variáveis numa expressão
algébrica
Fonte: elaboração própria
É também possível compreender que os conhecimentos prévios dos dois alunos
analisados neste trabalho não são idênticos, apresentam diferenças e similaridades entre
si. Esses conhecimentos, caracterizadores dos subsunçores, estão vinculados aos
conceitos de relação entre números e de relação entre conjuntos.
Os resultados obtidos nos Questionários (quadro 4) complementam os resultados
obtidos nas Entrevistas e revelam as dificuldades e contradições apresentadas pelos
alunos ao definirem os conceitos solicitados. Esses resultados denotam os subsunçores
relativos ao conceito de função e evidenciam a necessidade latente de se desenvolver
sua ressignificação.
A segunda etapa da pesquisa, a etapa da Intervenção, ao propor a descrição de
como os alunos ressignificam o conceito de função e seus conceitos subjacentes, ao
utilizar os Princípios Programáticos de Ausubel como instrumento metodológico e o
princípio da Assimilação como instrumento de análise, apresenta não só o pensamento
dos alunos para cada reflexão proposta, mas também uma forma inovadora de se
trabalhar com o conceito de função em sala de aula.
Diante dos resultados obtidos, conclui-se que a aprendizagem dos alunos
acontece de forma significativa diante do modelo proposto por Ausubel. A primeira
comprovação advém do fato dos alunos apresentarem em suas estruturas cognitivas
conhecimentos prévios sobre função. Esse fato pode ser comprovado pelos resultados
obtidos na entrevista na qual revelam ter aprendido o conceito a partir da 8ª série (atual
9º ano). Os questionários também revelam que existem subsunçores do conceito de
função em suas estruturas cognitivas, relacionados ao conhecimento numérico e sobre
conjuntos.
A segunda comprovação é o fato do conceito de função, por ser um
conhecimento fundamental da matemática conforme Rêgo (2000), Moura e Moretti
(2003) e Campos (2004), pelo fato de relacionar diversos tópicos matemáticos, de
auxiliar no desenvolvimento de técnicas de modelagem para as mais variadas ciências e
por se tratar de um conhecimento central para o Ensino Superior, pode ser considerado
um conhecimento significativo.
A terceira comprovação se revela diante da participação ativa dos alunos. Em
todas as atividades propostas o objetivo dos participantes é de questionar e refletir
profundamente sobre seus próprios conhecimentos e os do colega. Muitas vezes, as
discussões extrapolam o ambiente de sala de aula e perduram mesmo sem a participação
da pesquisadora. Em sala de aula, os alunos trazem novas fundamentações para o
conceito de função com idéias de diferentes autores.
Pelo fato desse processo se caracterizar como uma aprendizagem significativa
ausubeliana, é possível afirmar que as interpretações e análises realizadas revelam que
os alunos vivenciam as fases do princípio da Assimilação. É perceptível também que
cada aluno o faz de uma maneira particular, baseada nos conhecimentos prévios que
apresenta sobre o conceito de função (quadro 5).
Quadro 5 – Resumo das definições apresentadas pelos alunos GATO e
PEIXE nas Intervenções
INTERVENÇÃO ALUNO GATO ALUNO PEIXE
DIRICHLET Relação entre variáveis
Relação de dependência entre
variáveis
LAGES LIMA E
ÁVILA
Relação de correspondência
entre conjuntos
Regra de associação de
elementos de conjuntos
MAPAS
CONCEITUAIS
Regra que diz como associar
cada elemento do domínio a
um único do contradomínio
Regra que associa elemento
do domínio ao elemento do
contradomínio
PROBLEMAS Variável, Regra, Domínio, Contradomínio e Condições
AUTO-
AVALIAÇÃO
Relação que diz como
associar um elemento do
conjunto domínio a outro do
contradomínio
Relação entre conjuntos com
regra que obedece às
condições
Fonte: elaboração própria
Durante o processo, subsunçores e novos conhecimentos sofrem alterações, ao
mesmo tempo em que conservam elementos originais. Os alunos, em nenhum momento,
escrevem o conceito de função idêntico aos de Dirichlet ou de Lages Lima, as respostas
sempre são originais. O desenvolvimento de questionamentos e de reflexões permite,
portanto, que o aluno desenvolva seu próprio conceito sobre função, sem a necessidade
de memorizá-lo e com a possibilidade de utilização adequada na resolução e modelagem
de problemas.
A utilização dos Princípios Programáticos de Ausubel auxilia no
desenvolvimento de cada momento de intervenção, diante da fundamentação da ação
pedagógica para o processo reflexivo da aprendizagem conceitual.
Diferenciar os conceitos abrangentes e específicos, bem como os específicos dos
abrangentes, relacionados ao conceito de função não é uma tarefa simples de ser
realizada, já que a proposta é o desenvolvimento da ressignificação de apenas um
conceito. Ao selecionar e diferenciar os conceitos abrangentes e específicos e
hierarquizá-los, a compreensão dos elementos conceituais se torna mais clara e as metas
estabelecidas para o desenvolvimento de cada intervenção são estabelecidas com maior
segurança.
Por meio desse processo é possível compreender como os alunos estabelecem a
relação entre os conceitos de função e variável, as diferenciações entre os conceitos de
função e expressão algébrica, e, função e equação. Nesse momento da intervenção, os
alunos percebem que, apesar de uma equação ser composta por variáveis que se
relacionam entre si, ela não se caracteriza como função porque essa relação não se
submete às condições de existência e unicidade, necessárias para ser função. Percebem
ainda que, apesar de existirem variáveis numa expressão algébrica, elas não se
relacionam entre si.
A fase que utiliza os princípios da Diferenciação Progressiva e da Reconciliação
Integradora é, pois, uma fase de comparações conceituais. Ao conhecerem as definições
de todos os conceitos abordados, os alunos se tornam capazes de refletir e questionar
seu próprio conhecimento sobre o tema, comparativamente com as definições
apresentadas e as idéias dos outros colegas do grupo, assimilando novos conhecimentos
sobre função.
O desenvolvimento dos mapas conceituais contribui com mais detalhes sobre
como os alunos relacionam os conceitos específicos ao conceito mais abrangente de
função, bem como, aos conceitos subjacentes. Essa fase da pesquisa é uma fase da
organização conceitual por meio da visualização e da compreensão das relações
conceituais.
Ela revela a ênfase atribuída às condições de existência e unicidade da função.
Esse fato é comprovado porque em todos os mapas conceituais desenvolvidos pelos
alunos GATO e PEIXE, as condições não se incorporam ao conceito principal, elas são
destacadas e enfatizadas como um conhecimento relevante, que não deve ser esquecido.
Outro aspecto também importante revelado no momento do desenvolvimento
dos mapas conceituais diz respeito à composição de uma função. Em alguns momentos,
os alunos afirmam que função é uma relação entre domínio e contradomínio, em outros,
afirmam que função é uma relação entre domínio e imagem. Essa constatação da
contradição se apresenta também nos protocolos escritos dessa fase. O conceito de
imagem está vinculado ao conceito de conjunto o que fortalece a compreensão de que
imagem é um subconjunto do contradomínio. É interessante, portanto, trabalhar com os
alunos a compreensão de que imagem pode ser um conjunto, mas também pode ser um
elemento existente no contradomínio, resultante da aplicação de cada elemento do
domínio na função.
A fase da aplicação do conceito de função em problemas contextualizados é
fundamental para a organização mental dos alunos ao trabalharem os conceitos
estudados em situações hipotéticas, elucidando possíveis dúvidas, corrigindo erros que
cometeram durante o processo. Esse é de fato um momento de consolidar o
conhecimento, um momento que finaliza o processo de ressignificação do conceito de
função.
Esse momento causa bastante “angústia” entre os alunos ao mesmo tempo em
que se torna um desafio. Eles precisam, por si só, refletir sobre o problema apresentado,
encontrar as variáveis, relacioná-las por meio de uma regra, determinar o domínio e o
contradomínio dessa relação que caracterize o problema proposto e submeter essa
relação ao teste das condições de existência e unicidade. Esse momento final da prova
das condições é um momento que muitas vezes revela para o aluno se suas escolhas
anteriores estão realmente corretas e adequadas ao problema. Esse processo vivenciado
pelos alunos na fase da Consolidação se caracteriza como um processo dialético de
reflexão e de aplicação dos conhecimentos adquiridos.
As dificuldades que os alunos apresentam ao ressignificar o conceito de função
ratifica o que os pesquisadores estudam sobre o tema, sobretudo em relação à função
constante, como denota as pesquisas de Akkoç e Tall (2002).
Os conceitos de variável, de incógnita e de equação são complexos e de difícil
compreensão para os alunos. Por serem específicos e básicos para a compreensão não só
do conceito de função, mas de outros conceitos matemáticos, sugere-se essa temática
para novas pesquisas de formação de professores dessa área do conhecimento.
A elaboração e a aplicação de toda a pesquisa trouxeram contribuições para a
compreensão dos alunos também para os aspectos pedagógicos. Em algumas
intervenções, sobretudo na última delas, os alunos explicitam o quanto a forma de
trabalho, ao estimular a reflexão com a utilização de constantes perguntas e nenhuma
resposta pronta, auxilia no desenvolvimento mental do aluno. É importante notar que
não só o conceito de função é ressignificado, mas também a compreensão que
apresentam sobre o ensino desse conceito.
Para a pesquisadora, a vivência de todo o processo também contribui de forma
positiva. A separação dos papéis de professora e pesquisadora é inicialmente difícil de
ser praticado, eles se misturam e se confundem. Compreender as diferenças entre os
objetivos da pesquisa e do ensino esclarece não só o que precisa ser desenvolvido na
pesquisa, mas também os objetivos do ensino enquanto professora. A formação como
pesquisadora que se inicia com esse trabalho proporciona uma visão mais focada do que
é ensinar, uma valorização dos conhecimentos que os alunos já trazem sobre
matemática e uma compreensão da importância do desenvolvimento matemático
conceitual.
A metodologia utilizada nas intervenções pode ser plenamente aplicada em sala
de aula com vários alunos, apesar dos resultados focarem apenas a aplicação com dois
alunos. Nesse caso, o professor pode dividir a sala de aula em grupos e desenvolver o
trabalho do conceito de função, não necessariamente em 22 aulas como o apresentado
neste trabalho, mas em um número menor de aulas utilizando os Princípios
Programáticos de Ausubel em sessões mais curtas mas que contemplem os objetivos
propostos.
Não se espera também que o professor utilize essa metodologia no
desenvolvimento de todos os conceitos matemáticos, por uma questão de tempo e da
obrigatoriedade de finalizar os conteúdos propostos para o ano letivo. É possível,
porém, que o professor faça escolhas e opte pela utilização da metodologia proposta
com conceitos que julgue fundamentais para a compreensão do aluno.
Outros questionamentos surgem durante a pesquisa. Se o licenciando do 1º
semestre de formação conseguiu repensar o conceito de função e alterar sua
compreensão, o que aconteceria com os alunos que terminam a Licenciatura em
Matemática? De que forma a reflexão significativa do conceito de função pode
influenciar a maneira como o professor ensina em sala de aula?
Pode-se também pensar na possibilidade de aplicação dessa mesma proposta
juntamente com alunos de outras instituições, ou em turmas com um número maior de
alunos e verificar como seria o comportamento dos alunos e seus processos mentais.
Essas questões geram novas problemáticas em trabalhos posteriores, como forma de
aprofundamento da proposta deste trabalho.
Pretende-se aplicar os conhecimentos adquiridos como uma nova proposta do
desenvolvimento do ensino de função. O incremento dessa metodologia em cursos de
extensão e de especialização na área de Educação Matemática pode contribuir para
expandir a visão atual dos professores possibilitando-lhes, além da aprendizagem de
novas ferramentas, como por exemplo, os mapas conceituais, o desenvolvimento de
situações que lhe permitam valorizar os conhecimentos prévios dos alunos e os
conceitos matemáticos, dentre eles, o conceito de função.
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