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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING
´
A
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEM
´
ATICA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA
(Mestrado)
CLEVERSON GONC¸ ALVES DOS SANTOS
Estimativas de Carleman para uma classe de
operadores parab´olicos que podem degenerar
Maring´a - PR
2009
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CLEVERSON GONC¸ ALVES DOS SANTOS
Estimativas de Carleman para uma classe de
operadores parab´olicos que podem degenerar
Disserta¸c˜ao submetida ao corpo docente do
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da
Universidade Estadual de Maring´a - UEM-PR,
como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao
do grau de Mestre.
Orientadora: Val´eria Neves Domingos Cavalcanti.
Maring´a - PR
2009
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Estimativas de Carleman para uma classe de
operadores parab´olicos que podem degenerar
Cleverson Gon¸calves dos Santos
Disserta¸c˜ao submetida ao corpo docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em
Matem´atica da Universidade Estadual de Maring´a - UEM-PR, como parte dos requisitos
necess´arios `a obten¸c˜ao do grau de Mestre.
Aprovada por:
Prof. Dra. Val´eria Neves Domingos Cavalcanti (orientadora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Universidade Estadual de Maring´a
Prof. Dra. Helena Judith Nussenzveig Lopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Universidade Estadual de Campinas
Prof. Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Universidade Estadual de Maring´a
Maring´a
Mar¸co, 2009
`
A minha esposa, que durante todo este tempo foi, pa-
ciente e compreensiva, confiando e acreditando em mim.
Agradecimentos
`
A Universidade Estadual de Maring´a, ao Departamento de P´os-Gradua¸c˜ao
em Matem´atica, especialmente a minha orientadora Doutora Val´eria Neves Domingos
Cavalcanti, pelo apoio e incentivo na elabora¸c˜ao deste. A quem deixo minha gratid˜ao
pela confian¸ca e credibilidade.
Aos meus professores do primeiro e segundo semestre, ao professor Marcelo
Moreira Cavalcanti, Juan Amadeo Soriano Palomino, pela dedica¸c˜ao, incentivo e por
compartilhar seus valiosos conhecimentos, ajudando a concluir este trabalho, a vocˆes
meus sinceros agradecimentos.
Ainda destacando meu carinho a Lucia, secretaria do departamento, Silvana,
pelos cafezinhos.
Quero ainda, agradecer a grandes mestre que tive durante toda esta minha jor-
nada como estudante, aqueles que sempre incentivaram-me a buscar um melhor conheci-
mento em matem´atica, ao professor Em´ılio, professor da 5
a
e 6
a
, que logo cedo incentivou
a graduar-me em matem´atica, ao professor Fernando M´ucio Bando, meu professor e ori-
entador na gradua¸c˜ao, o qual me potencializou a fazer o mestrado, Emerson Lazzarotto,
professor da gradua¸c˜ao, entre outros. A todos vocˆes dedico a ep´ıgrafe deste.
Aos meus amigos que aqui fiz, certamente sentirei saudades.
`
A Deus, por me dar conhecimentos necess´arios para realizar meus objetivos.
A minha m˜ae, pelo dom da vida, sem ela n˜ao estaria aqui.
A minha querida esposa, a quem devo agradecer imensamente, pois sempre
acreditou e confiou em mim. Soube ser compreensiva quando teve que abdicar de suas
vontade pra fazer as minhas. Sem vocˆe certamente tudo isso n˜ao seria poss´ıvel. Muito
grato por tudo, pelo amor, carinho, filha e confian¸ca, n˜ao sei se sou merecedor de tudo
isso.
`
A CAPES pelo apoio financeiro.
E a todos aqueles que acreditaram em mim por alguns segundos de suas vidas.
Cleverson Gon¸calves dos Santos.
Alguns mestres, simplesmente passam por
nossas vidas e nos deixam algum conheci-
mento, outros por´em, nos potencializam e,
humildemente nos incentivam a superar o
mestre. A esses mestres, se um dia isso acon-
tecer, eu humildemente direi, vocˆes sempre
ser˜ao os melhores.
Cleverson Gon¸calves dos Santos.
Resumo
Neste trabalho mostramos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes regulares e fra-
cas bem como a controlabilidade para a equa¸c˜ao parab´olica degenerada abaixo, utilizando
estimativas de Carleman.
u
t
− (au
x
)
x
= hχ
ω
(t, x) ∈ (0, T ) ×(0, 1)
u(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
u(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(au
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
u(0, x) = u
0
(x) x ∈ (0, 1),
onde a(x) = x
α
, 0 ≤ α < 2.
Palavras-chave: Equa¸c˜ao do Calor, Operador parab´olico degenerado, Estima-
tivas de Carleman, Controlabilidade.
Abstract
In this work we prove the existence of smooth and weak solutions as well as the
controllability for the degenerate parabolic equation below, using Carleman estimates.
u
t
− (au
x
)
x
= hχ
ω
(t, x) ∈ (o, T ) × (0, 1)
u(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
u(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(au
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
u(0, x) = u
0
(x) x ∈ (0, 1)
where a(x) = x
α
, 0 ≤ α < 2.
Key words: Heat equation, Degenerate parabolic operator, Carleman esti-
mates, Controllability.
Sum
´
ario
Introdu¸c˜ao 11
1 Preliminares 13
1.1 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 No¸c˜ao de Derivada Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Os Espa¸cos L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Fun¸c˜oes Escalarmente Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Teorema de Carath´eodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Topologias Fraca e Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao 32
2.1 O Espa¸co H
1
a
(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 O Operador A(u) = (au
x
)
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Apˆendice 58
3 Estimativas de Carleman 65
9
SUM
´
ARIO 10
3.1 Reformula¸c˜ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Limitantes Inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Controlabilidade 84
4.1 Desigualdade de observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Bibliografia 93
Introduc¸
˜
ao
O estudo de controlabilidade para equa¸c˜oes parab´olicas n˜ao degeneradas tem
atra´ıdo o interesse de muitos autores na d´ecada passada. Trabalhos pioneiros como [11, 12,
13], entre outros, deram um progresso substancial para o entendimento das propriedades
de controlabilidade de equa¸c˜oes parab´olicas n˜ao degeneradas com coeficientes vari´aveis.
Por outro lado, poucos resultados s˜ao conhecidos para equa¸c˜oes que podem
degenerar, embora muitos problemas que s˜ao relevantes em aplica¸c˜oes s˜ao descritos por
equa¸c˜oes parab´olicas que degeneram na fronteira do dom´ınio.
Nosso objetivo neste trabalho, ´e apresentar de forma mais did´atica os resul-
tados obtidos por P. Cannarsa, P. Martinez e J. Vancostenoble em [6]. Nese artigo os
autores estudaram a controlabilidade exata de um modelo simples de equa¸c˜ao parab´olica
degenerada, dada por
u
t
− (x
α
u
x
)
x
= hχ
ω
x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),
onde o controle h est´a agindo sobre um subintervalo n˜ao vazio ω de (0, 1) e α ∈ [0, 2).
De modo a estudar as propriedades de controlabilidade para o problema em quest˜ao, os
autores necessitam obter estimativas Carleman para o problema adjunto.
O resultado ´e ´otimo posto que, para α ≥ 2, o problema considerado n˜ao ´e
exatamente control´avel.
No cap´ıtulo 1, apresentamos os resultados preliminares, os quais ser˜ao uteis no
decorrer de todo este trabalho, al´em dos conceitos te´oricos relevantes ao objetivo proposto.
No cap´ıtulo 2, apresentamos o problema sugerido. Definiremos espa¸co de
Hilbert onde dar-se-´a a busca pela existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao. A busca pela
existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao para o caso regular ser´a feita atrav´es do m´etodo de
11
SUM
´
ARIO 12
Faedo-Galerkin. Para o caso fraco, a prova ser´a feita por aproxima¸c˜oes de solu¸c˜oes regu-
lares.
No cap´ıtulo 3, apresentaremos o problema adjunto ao problema proposto, do
qual obteremos uma estimativa de Carleman. Definiremos os termos de fronteira e dis-
tribuidos. Mostraremos que os termos de fronteira est˜ao bem definidos. Concluiremos
assim uma estimativa de Carleman para o caso regular. O caso fraco ser´a determinado
por argumentos de densidade. A estimativa de Carleman, ser´a ´util no capitulo 4 para a
obten¸c˜ao da primeira desigualdade de observabilidade.
No cap´ıtulo 4, faremos o estudo da controlabilidade do problema. Ap´os obter
a primeira desigualdade de observvabilidade conclu´ımos uma segunda desigualdade de
observabilidade, desta desigualdade seguir´a a controlabilidade.
Cap
´
ıtulo 1
Preliminares
Neste cap´ıtulo, enumeraremos alguns resultados que ser˜ao usados no desen-
volvimento do nosso trabalho. No entanto, por serem resultados familiares, omitiremos
assim as suas demonstra¸c˜oes, as quais podem facilmente serem encontradas em nossas
referˆencias.
1.1 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais
1.1.1 No¸c˜ao de Derivada Fraca
No estudo de problemas descritos pelas equa¸c˜oes diferenciais parciais cujos
dados iniciais n˜ao s˜ao regulares o suficiente para possu´ırem derivada no sentido cl´assico,
faz-se necess´aria a introdu¸c˜ao de um novo conceito de derivada.
Para entendermos tal conceito necessitamos de algumas defini¸c˜oes:
1
o
) Espa¸co das fun¸c˜oes testes
Dados α = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ∈ N
n
e x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
, representaremos
por D
α
o operador deriva¸c˜ao de ordem α definido por
D
α
=
∂
|α|
∂x
1
α
1
∂x
2
α
2
. . . ∂x
n
α
n
,
onde |α| =
n
i=1
α
i
. Se α = (0, 0, . . . , 0), defini-se D
α
u = u.
Seja Ω um aberto do R
n
. Denotaremos por C
∞
0
(Ω) o conjunto das fun¸c˜oes
ϕ : Ω → K (onde K = R ou K = C) que s˜ao infinitamente diferenci´aveis em Ω e que tem
suporte compacto, onde suporte ϕ ´e o fecho do conjunto {x ∈ Ω; ϕ(x) = 0} em Ω, ou seja,
supp (ϕ) = {x ∈ Ω; ϕ(x) = 0}
Ω
.
13
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 14
Dizemos que uma seq¨uˆencia {ϕ
ν
} ⊂ C
∞
0
(Ω) converge para zero, e denotamos
ϕ
ν
→ 0, se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω, tal que:
i) supp (ϕ
ν
) ⊂ K, ∀ν ∈ N;
ii) D
α
ϕ
ν
→ 0 uniformemente sobre K, ∀α ∈ N
n
.
Dizemos que uma seq¨uˆencia {ϕ
ν
} ⊂ C
∞
0
(Ω) converge para ϕ ⊂ C
∞
0
(Ω) quando
a seq¨uˆencia {ϕ
ν
− ϕ} converge para zero no sentido acima definido.
O espa¸co C
∞
0
(Ω), munido desta no¸c˜ao de convergˆencia, ´e denominado espa¸co
das fun¸c˜oes testes , e denotado por D(Ω).
2
o
) Distribui¸c˜ao sobre um aberto Ω ⊂ R
n
Definimos como distribui¸c˜ao sobre Ω a toda forma linear e cont´ınua em D(Ω).
O conjunto de todas as distribui¸c˜oes sobre Ω ´e um espa¸co vetorial, o qual representa-
se por D
(Ω), chamado espa¸co das distribui¸c˜oes sobre Ω, munido da seguinte no¸c˜ao de
convergˆencia: Seja (T
ν
) uma sucess˜ao em D
(Ω) e T ∈ D
(Ω). Diremos que T
ν
→ T em
D
(Ω) se a seq¨uˆencia num´erica {T
ν
, ϕ} converge para T, ϕ em R, ∀ ϕ ∈ D(Ω).
3
o
) Denotaremos por L
1
loc
(Ω) o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oes u : Ω → K tais
que |u| ´e integr´avel no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K de Ω.
De posse destas defini¸c˜oes estamos aptos a entender este novo conceito de
derivada. Sobolev introduziu, em meados de 1936, uma no¸c˜ao global de derivada a qual
denominou-se derivada fraca , cuja constru¸c˜ao dar-se-´a a seguir:
Sejam u, v definidas num aberto limitado Ω do R
n
, cuja fronteira Γ ´e regular.
Suponhamos que u e v possuam derivadas parciais cont´ınuas em Ω = Ω ∪Γ. Se u ou v se
anula sobre Γ, obtemos do lema de Gauss que
Ω
u
∂v
∂x
k
dx = −
Ω
v
∂u
∂x
k
dx.
A express˜ao anterior motivou a derivada fraca dada por Sobolev: Uma fun¸c˜ao
u ∈ L
1
loc
(Ω) ´e deriv´avel no sentido fraco em Ω, quando existe uma fun¸c˜ao
v ∈ L
1
loc
(Ω) tal que
Ω
u(x)
∂ϕ(x)
∂x
k
dx = −
Ω
v(x)ϕ(x)dx,
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 15
para toda ϕ ∈ D(Ω).
Embora, tal conceito de derivada ter sido um marco na evolu¸c˜ao do conceito
de solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial, ela apresenta uma grave imperfei¸c˜ao no fato que
nem toda fun¸c˜ao de L
1
loc
(Ω) possui derivada neste sentido. No intuito de sanar este tipo
de problema, Laurent Schwartz, em meados de 1945, introduziu a no¸c˜ao de derivada
distribucional, a qual generaliza a no¸c˜ao de derivada formulada por Sobolev, como segue:
Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω e α ∈ N
n
. A derivada de ordem α de T , no
sentido das distribui¸c˜oes, ´e definida por:
D
α
T, ϕ = (−1)
|α|
T, D
α
ϕ; ∀ϕ ∈ D(Ω).
Verifica-se que D
α
T ´e ainda uma distribui¸c˜ao e que o operador
D
α
: D
(Ω) → D
(Ω), tal que a cada T associa-se D
α
T , ´e linear e cont´ınuo.
1.1.2 Os Espa¸cos L
p
(Ω)
Seja Ω um aberto do R
n
. Representaremos por L
p
(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, o espa¸co
vetorial das (classes de) fun¸c˜oes definidas em Ω com valores em K tais que |u|
p
´e integr´avel
no sentido de Lebesgue em Ω.
Teorema 1.1. (Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue) Seja (u
ν
)
ν∈N
uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes integr´aveis num aberto Ω ⊂ R
n
, convergente quase sempre para
uma fun¸c˜ao u. Se existir uma fun¸c˜ao u
0
∈ L
1
(Ω) tal que |u
ν
| ≤ u
0
quase sempre, ∀ν ∈ N
ent˜ao u ´e integr´avel e tem-se
Ω
u = lim
ν→∞
Ω
u
ν
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [20].
O espa¸co L
p
(Ω) munido da norma
u
L
p
(Ω)
=
Ω
|u(x)|
p
dx
1
p
, para 1 ≤ p < +∞
e
u
L
∞
= sup
x∈Ω
ess|u(x)|, para p = +∞,
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 16
´e um espa¸co de Banach.
No caso p = 2, L
2
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert.
Proposi¸c˜ao 1.2. (Desigualdade de Young) Sejam 1 < p , q < ∞ tal que
1
p
+
1
q
= 1 e a, b > 0. Ent˜ao
ab ≤
a
p
p
+
b
q
q
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Da desigualdade de Young, segue a −desigualdade, dada por
a
1
b
1
≤
a
p
1
p
+
b
q
1
q
p
q
(1.1)
onde a =
p
√
a
1
e b =
b
1
p
√
na desigualdade de Young.
Proposi¸c˜ao 1.3. (Desigualdade de Minkowski) Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e f, g em L
p
(Ω),
ent˜ao
f + g
L
p
(Ω)
≤ f
L
p
(Ω)
+ g
L
p
(Ω)
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [20].
Proposi¸c˜ao 1.4. (Desigualdade de H¨older) Sejam u ∈ L
p
(Ω) e v ∈ L
q
(Ω) com
1 ≤ p ≤ ∞ e
1
p
+
1
q
= 1. Ent˜ao uv ∈ L
1
(Ω) e temos a desigualdade
Ω
|uv| ≤ u
L
p
(Ω)
v
L
q
(Ω)
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Segue como corol´ario da proposi¸c˜ao anterior o seguinte resultado:
Corol´ario 1.5. (Desigualdade de H¨older generalizada) Sejam f
1
, f
2
, . . . , f
k
fun¸c˜oes,
tais que f
i
∈ L
p
i
(Ω), p
i
≥ 1, 1 ≤ i ≤ k, onde
1
p
1
+
1
p
2
+ . . . +
1
p
k
=
1
p
e
1
p
≤ 1. Ent˜ao o
produto f = f
1
f
2
. . . f
k
∈ L
p
(Ω) e
f
L
p
(Ω)
≤ f
1
L
p
1
(Ω)
f
2
L
p
2
(Ω)
. . . f
k
L
p
k
(Ω)
.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 17
Proposi¸c˜ao 1.6. (Desigualdade de Interpola¸c˜ao) Se u ∈ L
p
(Ω) ∩ L
q
(Ω) com 1 ≤
p ≤ q ≤ ∞ ent˜ao u ∈ L
r
(Ω) para todo p ≤ r ≤ q e se tem a desigualdade
u
L
r
(Ω)
≤ u
θ
L
p
(Ω)
u
1−θ
L
q
(Ω)
onde 0 ≤ θ ≤ 1 verifica
1
r
=
θ
p
+
1 − θ
q
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [22].
Al´em dos resultados acima, temos ainda os seguintes resultados:
i) L
p
(Ω) ´e reflexivo para todo 1 < p < +∞;
ii) L
p
(Ω) ´e separ´avel para todo 1 ≤ p < +∞;
iii) D(Ω) tem imers˜ao cont´ınua e densa em L
p
(Ω) para todo 1 ≤ p < +∞;
iv) Se (f
n
) ´e uma seq¨uˆencia em L
p
(Ω) e f ∈ L
p
(Ω) s˜ao tais que f
n
−f
L
p
(Ω)
→ 0 ent˜ao
existe uma subseq¨uˆencia (f
n
k
) tal que f
n
k
(x) → f (x) quase sempre em Ω.
Proposi¸c˜ao 1.7. (Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz) Sejam
1 < p < +∞, ϕ ∈ (L
p
(Ω))
com
1
q
+
1
p
= 1. Ent˜ao existe uma ´unica u ∈ L
q
(Ω), tal
que
ϕ, v =
Ω
u(x)v(x)dx, ∀v ∈ L
p
(Ω) e u
L
q
(Ω)
= ϕ
(L
p
(Ω))
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Quando p = ∞, temos:
Proposi¸c˜ao 1.8. Seja ϕ ∈ (L
1
(Ω))
, ent˜ao existe uma ´unica u ∈ L
∞
(Ω) tal que
ϕ, v =
Ω
u(x)v(x)dx, ∀v ∈ L
1
(Ω) e u
L
∞
(Ω)
= ϕ
(L
1
(Ω))
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Denotaremos por L
p
loc
(Ω), 1 ≤ p < +∞ o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oes
u : Ω → K tais que |u|
p
´e integr´avel no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K de Ω
munido da seguinte no¸c˜ao de convergˆencia: Uma sucess˜ao u
ν
converge para u ∈ L
p
loc
(Ω)
se para cada compacto K de Ω tem-se:
p
K
(u
ν
− u) =
K
|u
ν
(x) − u(x)|
p
dx
1
p
→ 0.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 18
Proposi¸c˜ao 1.9. (Lema de Du Bois Raymond) Seja u ∈ L
1
loc
(Ω), ent˜ao T
u
= 0
se, e somente se, u = 0 quase sempre em Ω. Aqui, T
u
´e a distribui¸c˜ao definida por
T
u
, ϕ =
Ω
u(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [21].
Desta proposi¸c˜ao tem-se que T
u
fica univocamente determinada por u ∈ L
1
loc
(Ω),
isto ´e, se u, v ∈ L
1
loc
(Ω), ent˜ao T
u
= T
v
se, e somente se, u = v quase sempre em Ω.
Proposi¸c˜ao 1.10. Seja (u
ν
)
ν∈N
⊂ L
p
loc
(Ω), 1 ≤ p < +∞, tal que u
ν
→ u em L
p
loc
(Ω),
ent˜ao u
ν
→ u em D
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [21].
Lema 1.11. (Lema de Gronwall)Sejam z ∈ L
∞
(0, T ) e f ∈ L
1
(0, T ) tais que z(t) ≥ 0,
f(t) ≥ 0 e seja c uma constante n˜ao negativa. Se
f(t) ≤ c +
t
0
z(s)f(s)ds, ∀t ∈ [0, T ],
ent˜ao
f(t) ≤ ce
t
0
z(s)ds
, ∀t ∈ [0, T ].
Demonstra¸c˜ao: Ver [19].
Proposi¸c˜ao 1.12. Seja u ∈ L
p
(I), I ⊂ R com 1 < p ≤ ∞. As seguintes propriedades
s˜ao equivalentes.
(i) u ∈ W
1,p
(I)
(ii) Existe um constante c > 0 tal que
I
uϕ
≤ c||ϕ||
L
p
(I)
∀ ϕ ∈ C
∞
0
(I),
onde p
´e o expoente conjugado de p.
(iii) Existe uma constante c > 0 tal que para todo aberto ω ⊂⊂ I e todo h ∈ R com
|h| < dist(ω, I) se verifica
||T
h
u − u||
L
p
(ω)
≤ c|h|.
Ainda mais, pode-se tomar c = ||u
||
L
p
em (ii) e (iii).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 19
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Observa¸c˜ao 1.13. De acordo com [3] temos os seguintes resultados.
(a) Quando p = 1, permanecem v´alidas as seguintes implica¸c˜oes (i) ⇒ (ii) ⇔ (iii).
(b) Supondo I limitado. As fun¸c˜oes que verificam (i), ou seja, fun¸c˜oes de W
1,1
s˜ao as
fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas . Estas s˜ao caracterizadas pela seguinte propriedade.
Para todo > 0 existe δ > 0 tal que para toda sucess˜ao finita de intervalos
disjuntos ]a
k
, b
k
[ de I com
n
k=1
|b
k
− a
k
| < δ, implica
n
k=1
|f(b
k
) − f(a
k
)| <
Proposi¸c˜ao 1.14. Seja F ⊂ E um espa¸co vetorial tal que F = E. Ent˜ao, existe f ∈ E
,
f ≡ 0 tal que f, x = 0 para todo x ∈ F .
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Segue do Corol´ario acima a seguinte resultado.
Observa¸c˜ao 1.15. Seja E um espa¸co normado e F ⊂ E um subespa¸co vetorial, se para
toda f ∈ E
tal que f, x = 0 para todo x ∈ F tivermos f ≡ 0. Ent˜ao F ´e denso em E.
1.1.3 Espa¸cos de Sobolev
Seja Ω um aberto do R
n
, 1 ≤ p ≤ +∞ e m ∈ N. Se u ∈ L
p
(Ω) sabemos que
u possui derivadas de todas as ordens no sentido das distribui¸c˜oes, mas n˜ao ´e verdade,
em geral, que D
α
u seja uma distribui¸c˜ao definida por uma fun¸c˜ao de L
p
(Ω). Quando
D
α
u ´e definida por uma fun¸c˜ao de L
p
(Ω) defini-se um novo espa¸co denominado espa¸co de
Sobolev . Representa-se por W
m,p
(Ω) o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes u ∈ L
p
(Ω),
tais que para todo |α| ≤ m, D
α
u pertence `a L
p
(Ω), sendo D
α
u a derivada no sentido das
distribui¸c˜oes.
O espa¸co W
m,p
(Ω) munido da norma
u
m,p
=
|α|≤m
Ω
|D
α
u|
p
dx
1
p
, para 1 ≤ p < ∞,
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 20
e
u
m,∞
=
|α|≤m
sup
x∈Ω
ess|D
α
u(x)|, para p = ∞
´e um espa¸co de Banach.
Representa-se W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω) devido a sua estrutura hilbertiana, ou seja,
os espa¸cos H
m
(Ω) s˜ao espa¸cos de Hilbert.
´
E sabido que C
∞
0
(Ω) ´e denso em L
p
(Ω) com p < +∞, mas n˜ao ´e verdade que
C
∞
0
(Ω) ´e denso em W
m,p
(Ω) para m ≥ 1. Motivado por esta raz˜ao define-se o espa¸co
W
m,p
0
(Ω) como sendo o fecho de C
∞
0
(Ω) em W
m,p
(Ω), isto ´e,
C
∞
0
(Ω)
W
m,p
(Ω)
= W
m,p
0
(Ω).
Observa¸c˜ao: Quando Ω ´e um aberto limitado em alguma dire¸c˜ao x
i
de R
n
e
1 ≤ p < ∞ consideramos W
m,p
0
(Ω) munido da norma
u =
|α|=m
Ω
|D
α
u(x)|
p
dx
1
p
que ´e equivalente a norma u
m,p
.
Suponha que 1 ≤ p < ∞ e 1 < q ≤ ∞ tal que
1
p
+
1
q
= 1. Representa-se
por W
−m,q
(Ω) o dual topol´ogico de W
m,p
0
(Ω). O dual topol´ogico de H
m
0
(Ω) denota-se por
H
−m
(Ω).
Prosseguindo nas defini¸c˜oes dos espa¸cos que utilizaremos ao longo deste tra-
balho, vamos caracterizar os espa¸cos H
s
(Ω), s ∈ R. Para isso consideremos o espa¸co de
Schartz
S = {ϕ ∈ C
∞
(R
n
); lim
x→∞
p(x)D
α
ϕ(x) = 0 ∀ polinˆomio p de n vari´aveis reais e α ∈ N
n
}.
Denominado por espa¸co das fun¸c˜oes rapidamente decrescente no infinito, S
o dual topol´ogico
de S e para cada fun¸c˜ao u ∈ L
1
(R
n
) a transformada de Fourier de u definida por
ˆu(x) = (2π)
−n
2
R
n
e
−i(x,y)
u(y)dy,
onde (x, y) =
n
j=1
x
j
y
j
.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 21
Definimos, para todo s ∈ R
H
s
(R
n
) =
u ∈ S
; (1 + x
2
)
s
2
ˆu ∈ L
2
(R
n
)
.
Al´em disso, se s ≥ 0 temos que H
−s
(R
n
) = (H
s
(R
n
))
e H
s
(R
n
) → L
2
(R
n
) → H
−s
(R
n
).
Seja Ω um aberto do R
n
, ou o semi-espa¸co R
n
+
. Consideremos a aplica¸c˜ao:
r
Ω
: L
2
(R
n
) → L
2
(Ω)
u → u|
Ω
que leva u na sua restri¸c˜ao a Ω. Assim, para s ≥ 0 temos que
H
s
(Ω) = {v|
Ω
; v ∈ H
s
(R
n
)}
e
H
−s
(Ω) = (H
s
0
(Ω))
onde H
s
0
(Ω) =
C
∞
0
H
s
(Ω)
.
Teorema 1.16. (Imers˜ao de Sobolev) Seja Ω um aberto do R
n
, ent˜ao
H
m
(Ω) → C
k
(Ω), se m >
n
2
+ k.
Demonstra¸c˜ao: Ver [19].
Proposi¸c˜ao 1.17. Sejam Ω um conjunto aberto limitado do R
n
, de classe C
m
e m um
inteiro tal que m ≥ 1; e 1 ≤ p < ∞. Ent˜ao temos as seguintes imers˜oes cont´ınuas:
se
1
p
−
m
n
> 0 ent˜ao W
m,p
(Ω) → L
q
(Ω), onde
1
q
=
1
p
−
m
n
,
se
1
p
−
m
n
= 0 ent˜ao W
m,p
(Ω) → L
q
(Ω), ∀q ∈ [p, +∞[,
se
1
p
−
m
n
< 0 ent˜ao W
m,p
(Ω) → L
∞
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [7].
Teorema 1.18. (Teorema de Rellich Kondrachov) Seja Ω um subconjunto aberto
limitado do R
n
, Ω de classe C
1
e 1 ≤ p ≤ ∞. Ent˜ao
se p < n ent˜ao W
1,p
(Ω) →
c
L
q
(Ω), ∀q ∈ [1, p
∗
[, onde
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
,
se p = n ent˜ao W
1,p
(Ω) →
c
L
q
(Ω), ∀q ∈ [1, +∞[,
se p = n ent˜ao W
1,p
(Ω) →
c
C(Ω).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 22
Demonstra¸c˜ao: Ver [7].
Nota¸c˜ao:
c
→ indica imers˜ao compacta.
Proposi¸c˜ao 1.19. (Desigualdade de Sobolev, Gagliardo, Nirenberg) Se 1 ≤ p <
n, ent˜ao
W
1,p
(R
n
) ⊂ L
p∗
(R
n
),
onde p* vem dado por
1
p∗
=
1
p
−
1
n
, existe uma constante C = C(p, n) tal que
u
L
p∗
≤ C∇u
L
p
∀ u ∈ W
1,p
(R
n
).
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Teorema 1.20. Quando n > 2 temos a inclus˜ao H
1
(R
n
) → L
ρ
(R
n
) para todo ρ satis-
fazendo 2 ≤ ρ ≤ p, onde p ´e dado por:
1
p
=
1
2
−
1
n
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [10].
1.2 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais
Nesta se¸c˜ao iremos determinar os espa¸cos em que s˜ao levados em conta as
vari´aveis temporal e espacial, o qual ´e necess´ario para dar sentido a problemas de evolu¸c˜ao.
Para cada t ∈ [0, T ] fixo, interpretamos a fun¸c˜ao x → u(x, t) como um elemento
do espa¸co X. Denotaremos este elemento como u(t) ∈ X com valores no espa¸co X.
Seja X um espa¸co de Banach, a, b ∈ R.
O espa¸co L
p
(a, b; X), 1 ≤ p < +∞, consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis
sobre [a, b] com imagem em X, ou seja as fun¸c˜oes u : (a, b) → X, tais que
u
L
p
(a,b;X)
:=
b
a
u(t)
p
X
dt
1
p
< ∞.
O espa¸co L
∞
(a, b; X) consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis sobre [a, b]
com imagem em X, as fun¸c˜oes u : (a, b) → X limitadas quase sempre em (a, b). A norma
neste espa¸co ´e dada por
u
L
∞
(a,b;X)
:= sup essu(t)
X
.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 23
O espa¸co C
m
([a, b]; X), m = 0, 1, . . . , consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas
u : [a, b] → X que possuem derivadas cont´ınuas at´e a ordem m sobre [a, b]. A norma ´e
dada por
u :=
m
i=0
max
t∈[a,b]
|u
(i)
(t)|.
Vejamos algumas propriedades desses espa¸cos, as quais podem ser encontradas
em [30]
Proposi¸c˜ao 1.21. Sejam m = 0, 1, . . . , e 1 ≤ p < +∞, X e Y espa¸cos de Banach.
(a) C
m
([a, b]; X) ´e um espa¸co de Banach sobre K.
(b) L
p
(a, b; X), 1 ≤ p < +∞ e L
∞
(a, b; X), s˜ao espa¸cos de Banach sobre K.
(c) O conjunto de todas as fun¸c˜oes degrau ´e denso em L
p
(a, b; X).
(d) C([a, b]; X) ´e denso em L
p
(a, b; X) e a imers˜ao C([a, b]; X) → L
p
(a, b; X) ´e cont´ınua.
(e) Se X ´e um espa¸co de Hilbert com produto escalar (., .)
X
, ent˜ao L
2
(a, b; X) ´e tamb´em
um espa¸co de Hilbert com produto escalar
(u, v)
L
2
(a,b;X)
:=
b
a
(u(t), v(t))
X
dt.
(f) L
p
(a, b; X) ´e separ´avel, se X for separ´avel e 1 ≤ p < +∞.
(g) Se X → Y , ent˜ao L
r
(a, b; X) → L
q
(a, b; Y ), 1 ≤ q ≤ r ≤ +∞.
Lembremos que se U e Ψ s˜ao dois espa¸cos vetoriais topol´ogicos, temos que
L(U, Ψ) denota o espa¸co das fun¸c˜oes lineares e cont´ınuas de U em Ψ.
O espa¸co das distribui¸c˜oes sobre (a, b) com imagem em X, ser´a denotado por
D
(a, b; X).
Logo, D
(a, b; X) = L(D(a, b); X), ou seja, ´e o conjunto de todas as aplica¸c˜oes
lineares e limitadas de D(a, b) em X. Temos a seguinte no¸c˜ao de convergˆencia em
D
(a, b; X). Seja S ∈ D
(a, b; X) logo S : D(a, b) → X ´e linear e se θ
µ
→ θ em D(a, b)
ent˜ao S, θ
µ
→ S, θ em X. Diremos que S
ν
→ S em D
(a, b; X) se S
ν
, θ → S, θ
em X, ∀θ ∈ D(a, b). Cada elemento desse conjunto ´e uma distribui¸c˜ao sobre (a, b) com
valores no espa¸co de Banach X.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 24
A derivada
dS
dt
para S ∈ D
(a, b; X), ´e definida com um ´unico elemento deste
espa¸co a qual satisfaz,
dS
dt
, ϕ
= −
S,
dϕ
dt
∀ϕ ∈ D(a, b).
A fun¸c˜ao S →
dS
dt
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de D
(a, b; X) sobre ele mesmo.
Agora se f ∈ L
2
(a, b; X) definimos
˜
f ∈ D
(a, b; X) por
˜
f, ϕ =
b
a
f(t)ϕ(t)dt ∀ϕ ∈ D(a, b)
a fun¸c˜ao f →
˜
f de L
2
(a, b; X) → D
(a, b; X) ´e linear e cont´ınua, e ainda ´e injetor e desta
forma identificamos
˜
f com f e obtemos
L
2
(a, b; X) → D
(a, b; X).
O espa¸co L
1
loc
(a, b; X) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes u tal que para todo compacto K ⊂ (a, b),
uχ
K
pertence `a L
1
(a, b; X), onde χ
K
denota a fun¸c˜ao caracter´ıstica de K.
Defini¸c˜ao 1.22. Seja J ∈ D(R), tal que J ≥ 0 e
R
J(t)dt = 1. Dado > 0, definamos
J
=
1
J
t
e (J
∗ u)(t) =
R
J
(t − s)u(s)ds
para as fun¸c˜oes u em que o lado direito da ´ultima igualdade faz sentido.
Proposi¸c˜ao 1.23. Seja u uma fun¸c˜ao definida sobre R, que anula-se fora de um intervalo
I.
(a) Se u ∈ L
1
loc
(R; X), ent˜ao J
∗ u ∈ C
∞
(R; X).
(b) Se u ∈ L
2
(R; X), ent˜ao J
∗ u ∈ L
2
(R; X). Al´em disso, J
∗ u
L
2
(R;X)
≤ u
L
2
(R;X)
e
lim
−→0
+
J
∗ u
L
2
(R;X)
= u.
Fazendo as devidas adapta¸c˜oes, encontramos a demonstra¸c˜ao desta proposi¸c˜ao
por exemplo em [15]
O espa¸co dual de L
p
(a, b; X). Consideremos Y = L
p
(a, b; X), temos a seguinte
rela¸c˜ao de dualidade Y
= L
q
(a, b; X
) com
1
p
+
1
q
= 1. Devido ao Teorema seguinte.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 25
Teorema 1.24. Seja X um espa¸co de Banach reflexivo e separ´avel, 1 < p < +∞,
1
p
+
1
q
= 1.
(a) Cada fun¸c˜ao v ∈ L
q
(a, b; X
) corresponde a um ´unico funcional v ∈ Y
dada por
v, u =
b
a
v(t), u(t)
X
dt ∀u ∈ Y. (1.2)
Reciprocamente, para cada v ∈ Y
corresponde a exatamente uma fun¸c˜ao v ∈
L
q
(a, b; X
) dada por (2.12). Al´em disso
v
Y
= v
L
q
(a,b;X
)
(b) O espa¸co de Banach L
p
(a, b; X) ´e reflexivo e separ´avel.
Demonstra¸c˜ao: Ver [30].
Assim podemos identificar Y
com L
q
(a, b; X
), pois pelo Teorema acima existe
um isomorfismo isom´etrico. Donde
v, u =
b
a
v(t), u(t)
X
dt; v =
b
a
v(t)
q
X
dt
1
q
∀u ∈ Y ∀v ∈ Y
O espa¸co W (a, b), sejam a e b dois n´umeros reais finitos ou n˜ao, a < b, X e Y
espa¸cos de Banach com X denso em Y e m ≥ 1 inteiro, definamos
W (a, b) := {u ∈ L
2
(a, b; X);
d
m
u
dt
m
= u
(m)
∈ L
2
(a, b; Y )}
onde u
(m)
´e neste sentido uma distribui¸c˜ao em D
(a, b; X). A norma ´e dada por
u
W (a,b)
=
u
2
L
2
(a,b;X)
+ u
(m)
2
L
2
(a,b;Y )
1
2
.
Segue da´ı que W (a, b) ´e um espa¸co de Banach.
Denotaremos por D(a, b; X) o espa¸co localmente convexo das fun¸c˜oes vetoriais
ϕ : (a, b) → X indefinidamente diferenci´aveis com suporte compacto em (a, b). Diremos
que ϕ
ν
→ ϕ em D(a, b; X) se:
i) ∃K compacto de (a, b) tal que supp (ϕ
ν
) e supp (ϕ) est˜ao contidos em K, ∀ν;
ii) Para cada k ∈ N, ϕ
(k)
ν
(t) → ϕ
(k)
(t) em X uniformemente em t ∈ (a, b).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 26
Prova-se que o conjunto {θξ, θ ∈ D(Ω), ξ ∈ X} ´e denso em D(a, b; X).
Denotaremos por H
1
0
(a, b; X) o espa¸co de Hilbert
H
1
0
(a, b; X) := {v ∈ L
2
(a, b : X), v
∈ L
2
(a, b : X), v(a) = v(b) = 0}
munido com o produto interno
((w, v)) =
b
a
(w(t), v(t))
X
dt +
b
a
(w
(t), v
(t))
X
dt.
Identificando L
2
(a, b : X) com o seu dual [L
2
(a, b : X)]
, via Teorema de Riesz,
obtemos
D(a, b; X) → H
1
0
(a, b; X) → L
2
(a, b : X) → H
−1
(a, b; X) → D
(a, b; X)
onde H
−1
(a, b; X) = [H
1
0
(a, b; X)]
Proposi¸c˜ao 1.25. Seja u ∈ L
2
(a, b : X). Ent˜ao existe um ´unico f ∈ H
−1
(a, b; X) que
verifica
f, θξ = (u
, θ, ξ)
X
∀θ ∈ D(a, b), ∀ξ ∈ X
Demonstra¸c˜ao: Ver [24].
Da proposi¸c˜ao anterior podemos identificar f com u
, de posse disso, diremos
que se u ∈ L
2
(a, b : X) ent˜ao u
∈ H
−1
(a, b; X)
Proposi¸c˜ao 1.26. A aplica¸c˜ao
u ∈ L
2
(a, b : X) → u
∈ H
−1
(a, b; X)
onde X ´e um espa¸co de Hilbert, ´e linear e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao: Ver [24].
Proposi¸c˜ao 1.27. O espa¸co D(a, b; X) e denso em W (a, b)
Demonstra¸c˜ao: Ver [18].
Da proposi¸c˜ao acima, tomando X = L
2
(Ω) = Y vem que D(a, b; X) ´e denso
em H
m
(a, b; L
2
(Ω))
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 27
1.2.1 Fun¸c˜oes Escalarmente Cont´ınuas
Seja X um espa¸co de Banach. Definimos o espa¸co das fun¸c˜oes escalarmente
cont´ınuas (ou fracamente cont´ınuas) como o conjunto das fun¸c˜oes f ∈ L
∞
(0, T ; X) tais
que a aplica¸c˜ao t → f(t), x ´e cont´ınua sobre [0, T ], ∀x ∈ X
, onde X
´e dual de X.
Denotaremos tal espa¸co por C
s
(0, T ; X).
Disto segue que C
1
s
(0, T ; X) = {u ∈ C
s
(0, T ; X); u
∈ C
s
(0, T ; X)}, onde u
´e a derivada de u no sentido das distribui¸c˜oes. Da mesma forma temos que
C
2
s
(0, T ; X) = {u ∈ C
s
(0, T ; X); u
∈ C
s
(0, T ; X)}.
Observa¸c˜ao: Se u ∈ L
∞
(0, T ; X) e u ∈ C([0, T ]; X) ent˜ao u ∈ C
s
(0, T ; X).
Lema 1.28. Sejam X e Y dois espa¸cos de Banach, X → Y e X um espa¸co reflexivo.
Ent˜ao
L
∞
(0, T ; X) ∩ C
s
(0, T ; Y ) = C
s
(0, T ; X).
Demonstra¸c˜ao: Ver [18].
1.3 Teorema de Carath´eodory
Nesta se¸c˜ao enunciaremos o teorema de Carath´eodory que ser´a utilizado no
cap´ıtulo 2. O Teorema nos fornece a existˆencia de solu¸c˜ao para um problema de Cauchy
em um intervalo [0, t]. A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser encontrada em [9].
Seja Ω ⊂ R
n+1
um conjunto aberto cujos elementos s˜ao denotados por (t, x),
t ∈ R, x ∈ R
n
e seja f : Ω → R
n
uma fun¸c˜ao.
Consideremos o problema de valor inicial
x
(t) = f (t, x(t)),
x(t
0
) = x
0
,
(1.3)
Dizemos que f : Ω → R
n
satisfaz as condi¸c˜oes de Carath´eodory sobre Ω se:
(i) f(t, x) ´e mensur´avel em t para cada x fixado;
(ii) f(t, x) ´e cont´ınua em x para quase todo t fixado;
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 28
(iii) para cada compacto K ⊂ Ω, existe uma fun¸c˜ao real m
K
(t), integr´avel, tal que
f(t, x)
R
n
≤ m
K
(t), ∀(t, x) ∈ K.
Teorema 1.29. (Teorema de Carath´eodory) - Seja f : Ω → R
n
satisfazendo as
condi¸c˜oes de Carath´eodory sobre Ω. Ent˜ao existe uma solu¸c˜ao x = x(t) de (1.3) sobre
algum intervalo |t − t
0
| ≤ β, β > 0.
Corol´ario 1.30. Sejam Ω = [0, T [×B com T > 0, B = {x ∈ R
n
; |x| ≤ b} onde b > 0 e
f : Ω → R
n
nas condi¸c˜oes de Carath´eodory sobre Ω. Suponhamos que x = x(t) ´e uma
solu¸c˜ao de (1.3) tal que |x
0
| ≤ b e que em qualquer intervalo I, onde x(t) est´a definida,
se tenha |x(t)| ≤ M, ∀t ∈ I, M independente de I e M < b. Ent˜ao x(t) possui um
prolongamento `a todo [0, T ].
1.4 Topologias Fraca e Fraca
Nesta se¸c˜ao enunciaremos resultados importantes que ser˜ao utilizados ao longo
de todo o trabalho.
Defini¸c˜ao 1.31. Seja E um espa¸co de Banach. A topologia fraca σ(E, E
) sobre E ´e a
topologia menos fina sobre E que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes f ∈ E
.
Seja (x
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia de E a qual converge para x em E na topologia
fraca σ(E, E
). Utilizamos, neste caso, a seguinte nota¸c˜ao:
x
n
x em E.
Proposi¸c˜ao 1.32. Seja (x
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia em E, ent˜ao:
(i) x
n
x em E se, e somente se, f, x
n
→ f, x, ∀f ∈ E
.
(ii) Se x
n
→ x em E, ent˜ao x
n
xem E.
(iii) Se x
n
xem E, ent˜ao x
n
E
´e limitada e x
E
≤ lim infx
n
E
.
(iv) Se x
n
xem E e f
n
→ f em E
, ent˜ao f
n
, x
n
→ f, x.
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 29
Seja E um espa¸co de Banach e seja x ∈ E fixo. Definamos J
x
: E
→ R por
J
x
, f = f, x.
As aplica¸c˜oes J
x
s˜ao lineares e cont´ınuas, portanto J
x
∈ E
, ∀x ∈ E.
Definamos, agora, J : E → E
tal que J(x) = J
x
.
Defini¸c˜ao 1.33. A topologia fraca , tamb´em designada por σ(E
, E), ´e a topologia menos
fina sobre E
que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes J
x
.
Proposi¸c˜ao 1.34. Seja (f
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia em E
, ent˜ao:
(i) f
n
f em E
se, e somente se, f
n
, x → f, x, ∀x ∈ E.
(ii) Se f
n
→ f em E
, ent˜ao f
n
f em E
.
(iii) Se f
n
f em E
, ent˜ao f
n
f em E
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Lema 1.35. Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e (x
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia
limitada em E, ent˜ao existe uma subseq¨uˆencia (x
n
k
)
k∈N
de (x
n
)
n∈N
e x ∈ E, tal que
x
n
k
x fracamente em E.
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Lema 1.36. Sejam E um espa¸co de Banach separ´avel e (f
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia limitada
em E
, ent˜ao existe uma subseq¨uˆencia (f
n
k
)
k∈N
e f ∈ E
, tal que
f
n
k
f em E
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Proposi¸c˜ao 1.37. Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo, A ⊂ E um convexo fechado,
n˜ao vazio e ϕ : A →]−∞, +∞]. Seja ϕ uma fun¸c˜ao convexa, semicont´ınua inferiormente,
ϕ ≡ +∞ tal que
lim
x→+∞
ϕ(x) = +∞, ∀x ∈ A.
Ent˜ao ϕ atinge seu min´ımo sobre A, isto ´e, existe x
0
∈ A tal que ϕ(x
0
) =
min
x∈A
ϕ(x)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 30
Demonstra¸c˜ao: Ver [3].
Defini¸c˜ao 1.38. Seja J : E →] −∞, +∞]. Se existir
lim
λ→0
J(u + λv) − J(u)
λ
= J
(u, v).
J
(u, v) ´e denominada a primeira varia¸c˜ao de J em u na dire¸c˜ao de v.
Se existir u
∗
∈ E
tal que u
∗
, v
E
,E
= J
(u, v) ∀v ∈ E, dizemos que J ´e
diferenci´avel `a Gˆateaux em u e u
∗
´e denominado a diferencial de Gˆateaux de J em u.
Denotamos
u
∗
, v = J
(u), v ∀ v ∈ E.
Proposi¸c˜ao 1.39. Seja E um espa¸co normado, K um convexo de E, J : K → R convexo
e diferenci´avel `a Gˆateaux.
Seja u ∈ K, ent˜ao as seguintes express˜oes s˜ao equivalentes:
(i) J(u) = min
v∈K
J(v)
(ii) J
(u), v − u ≥ 0; ∀ v ∈ K.
Demonstra¸c˜ao:
(i) ⇒ (ii) Seja u ∈ K tal que J(u) = min
v∈K
J(v). Assim,
J(u) ≤ J((1 − λ)u + λv), ∀ v ∈ K e ∀ λ ∈ [0, 1].
Logo,
J(u + λ(v − u)) − J(u)
λ
≥ 0.
No limite obtemos
J
(u), v − u ≥ 0 ∀ v ∈ K.
(ii) ⇒ (i) Seja u ∈ K tal que J
(u), v − u ≥ 0 ∀ v ∈ K.
Como J ´e convexo temos que se λ ∈ [0, 1] ent˜ao
J((1 −λ)u + λv) ≤ (1 − λ)J(u) + λJ(v), ∀v ∈ K,
ou seja,
J(u + λ(v − u)) ≤ J(u) + λ(J(v) − J(u)).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 31
Logo,
J(u + λ(v − u)) − J(u)
λ
≤ J(v) − J(u).
Tomando o limite quando λ → 0, segue que
J
(u), v − u ≤ J(v) − J(u), ∀v ∈ K.
Portanto, J(u) ≤ J(v), ∀v ∈ K ✷
Cap
´
ıtulo 2
Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo estudaremos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao do problema
abaixo, via m´etodo de Faedo-Galerkin.
Dado 0 ≤ α < 2, definamos
∀x ∈ [0, 1] a(x) := x
α
.
Para T > 0, ponhamos
Q
T
= (0, T ) × (0, 1)
e consideremos o problema de valor de fronteira
u
t
− (au
x
)
x
= f (t, x) ∈ Q
T
u(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
u(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(au
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
u(0, x) = u
0
(x) x ∈ (0, 1),
(2.1)
onde u
0
´e definido em L
2
(0, 1) e f ∈ L
2
(Q
T
).
Antes, por´em, de investigarmos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao, estudare-
mos as propriedades do espa¸co onde encontraremos tal solu¸c˜ao.
2.1 O Espa¸co H
1
a
(0, 1)
Defini¸c˜ao 2.1. Para 0 ≤ α < 1, definimos o espa¸co H
1
a
(0, 1) por
H
1
a
(0, 1) := {u ∈ L
2
(0, 1); u ´e absol. cont. em [0, 1],
√
au
x
∈ L
2
(0, 1) e u(0) = u(1) = 0},
32
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 33
e para 1 ≤ α < 2,
H
1
a
(0, 1) := {u ∈ L
2
(0, 1); u ´e local. absol. cont. em (0, 1],
√
au
x
∈ L
2
(0, 1) e u(1) = 0}.
Proposi¸c˜ao 2.2. O espa¸co H
1
a
(0, 1) ´e um espa¸co de Hilbert, com produto interno definido
por
(u, v)
H
1
a
(0,1)
=
1
0
(uv + au
x
v
x
)dx.
Demonstra¸c˜ao:
´
E imediato que a fun¸c˜ao bilinear (., .)
H
1
a
(0,1)
acima, define um produto
interno. A norma proveniente deste produto interno ´e dada por
||u||
H
1
a
(0,1)
=
1
0
(|u|
2
+ |
√
au
x
|
2
)dx
1
2
.
Mostremos ent˜ao, que o espa¸co H
1
a
(0, 1) munido desta norma ´e completo.
De fato, sendo {u
µ
} ⊂ H
1
a
(0, 1) uma sequˆencia de Cauchy, temos
||u
µ
− u
ν
||
2
H
1
a
(0,1)
→ 0 em H
1
a
(0, 1),
assim,
||u
µ
− u
ν
||
2
+ ||
√
au
µx
−
√
au
νx
||
2
=
1
0
|u
µ
− u
ν
|
2
+ |
√
au
µx
−
√
au
νx
|
2
dx
= ||u
µ
− u
ν
||
2
H
1
a
(0,1)
→ 0 quando µ, ν → ∞.
Segue da´ı que {u
µ
} e {
√
au
µx
} s˜ao sequˆencias de Cauchy em L
2
(0, 1). Logo,
existem u, v ∈ L
2
(0, 1) tais que
u
µ
→ u e
√
au
µx
→ v em L
2
(0, 1).
Da imers˜ao de L
2
(0, 1) em D
(0, 1), temos da primeira convergˆencia acima que
u
µx
→ u
x
em D
(0, 1).
Como
√
a ∈ C
∞
([0, 1]), ent˜ao
√
au
µx
→
√
au
x
em D
(0, 1).
Por outro lado, da segunda convergˆencia, vem que
√
au
µx
→ v em D
(0, 1),
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 34
donde, pela unicidade do limite em D
(0, 1), decorre que v =
√
au
x
. Portanto, segue que
{u
µ
} ⊂ H
1
a
(0, 1) ´e tal que
u
µ
→ u e
√
au
µx
→
√
au
x
em L
2
(0, 1). (2.2)
Resta-nos provar que u ∈ H
1
a
(0, 1). Para tal provaremos inicialmente que
u
x
∈ L
1
(0, 1),
o que nos permitir´a concluir que u ∈ W
1,1
(0, 1).
Com efeito, sejam 0 ≤ α < 1 e > 0. Ent˜ao
lim
→0
1
x
−
α
2
2
dx = lim
→0
1
x
−α
dx = lim
→0
x
1−α
1 − α
1
= lim
→0
1
1 − α
−
1−α
1 − α
=
1
1 − α
.
Logo,
1
0
x
−
α
2
2
dx =
1
1 − α
. (2.3)
De (2.2), (2.3) e lembrando que
√
a = x
α
2
vem que u
x
∈ L
1
(0, 1), pois
1
0
|u
x
|dx = lim
→0
1
|x
−
α
2
x
α
2
u
x
|dx ≤
1
0
|x
α
2
u
x
|
2
dx
1
2
lim
→0
1
x
−
α
2
2
dx
1
2
=
√
au
x
1
√
1 − α
.
(2.4)
Sendo assim u
x
∈ L
1
(0, 1) e, consequentemente, u ∈ W
1,1
(0, 1). Al´em disso,
temos as seguintes desigualdades:
||u||
L
1
(0,1)
≤ c
1
||u||
||u
x
||
L
1
(0,1)
≤ c
2
||
√
au
x
||.
Tomando c = max{c
1
, c
2
} conclu´ımos que
||u||
L
1
(0,1)
+ ||u
x
||
L
1
(0,1)
≤ c[||u|| + ||
√
au
x
||].
Notemos ainda que, utilizando os mesmos c´alculos de (2.4), decorre que
u
µx
L
1
(0,1)
≤ c
3
√
au
µx
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 35
e, sendo assim, de (2.2)
u
µx
→ u
x
em L
1
(0, 1).
De (2.2) e da convergˆencia acima obtemos que
u
µ
→ u em W
1,1
(0, 1)
e, portanto,
u
µ
→ u em C
0
([0, 1]).
Donde u
µ
(0) → u(0) e u
µ
(1) → u(1). Do fato que u
µ
(0) = u
µ
(1) = 0 vem que
u(0) = u(1) = 0,
e, ent˜ao
u ∈ H
1
a
(0, 1) e u
µ
→ u em H
1
a
(0, 1).
O que conclui a prova para 0 ≤ α < 1.
Para 1 ≤ α < 2, o resultado permanece verdadeiro, pois considereando ω
aberto tal que ω ⊂⊂ (0, 1]; a integral dada em (2.4) existe em ω. ✷
Proposi¸c˜ao 2.3. O espa¸co C
∞
0
(0, 1) ´e denso em H
1
a
(0, 1), ou seja,
C
∞
0
(0, 1)
H
1
a
(0,1)
= H
1
a
(0, 1).
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, mostraremos que C
1
([0, 1]) ´e denso em H
1
a
(0, 1). Com
efeito, seja u ∈ H
1
a
(0, 1), ent˜ao u ∈ L
2
(0, 1) e
√
au
x
∈ L
2
(0, 1). Seja 0 < δ <
1
4
, temos que
u ∈ L
2
(δ, 1 −δ) e
√
au
x
∈ L
2
(δ, 1 −δ),
donde,
u
x
=
√
au
x
√
a
≤
√
au
x
C
∈ L
2
(δ, 1 −δ), onde C
−1
= min
x∈[δ,1−δ]
a(x) > 0.
Segue, portanto, que u ∈ H
1
(δ, 1 − δ) e, da densidade de C
1
([δ, 1 − δ]) em
H
1
(δ, 1 −δ), decorre que dado
0
> 0 existe f ∈ C
1
([δ, 1 −δ]) tal que
1−δ
δ
(|u − f|
2
+ |u
x
− f
x
|
2
)dx <
0
.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 36
Como a(x) = x
α
, x ∈ [δ, 1 − δ] e 0 ≤ α < 2, obtemos
1 ≤
1
(1 − δ)
α
≤
1
x
α
≤
1
δ
α
.
Portanto,
1−δ
δ
|u −f|
2
+ a(x)|u
x
− f
x
|
2
dx ≤
1−δ
δ
|u −f|
2
dx +
1
(1 −δ)
α
1−δ
δ
a(x)|u
x
− f
x
|
2
dx
≤
1−δ
δ
|u −f|
2
+ |u
x
− f
x
|
2
dx <
0
.
Mostra-se que, com uma reflex˜ao apropriada em torno dos pontos δ e 1 − δ,
para > 0 dado, existe uma extens˜ao G de f em C
1
([0, 1]), satisfazendo
1
0
(|u−G|
2
+a(x)|u
x
−G
x
|
2
)dx < +c
2δ
0
(|u|
2
+ a(x)|u
x
|
2
)dx +
1
1−2δ
(|u|
2
+ a(x)|u
x
|
2
)dx
,
(2.5)
para alguma constante c > 0 e
0
=
1 + 4
λ
2
1
µ
1
+
λ
2
2
µ
2
+ 4(λ
2
1
+ λ
2
2
)
.
A reflex˜ao pode ser constru´ıda como segue. Inicialmente, consideremos (0, δ).
Fixemos 0 < µ
1
< µ
2
< 1 e λ
1
, λ
2
∈ R tais que λ
1
+ λ
2
= 1 e λ
1
µ
1
+ λ
2
µ
2
= −1.
Observemos que
λ
2
=
−1 − µ
1
µ
2
− µ
1
< 0 e, portanto λ
1
> 0.
Ent˜ao, pondo
h(x) = λ
1
f(δ + µ
1
(δ − x)) + λ
2
f(δ + µ
2
(δ − x)), ∀x ∈ [0, δ],
e considerando as desigualdades
δ ≤ δ + µ
i
(δ − x) ≤ δ + µ
i
δ = δ(1 + µ
i
) < 2δ < 1 − δ, i = 1, 2,
conclu´ımos que
h(δ) = λ
1
f(δ) + λ
2
f(δ) = f (δ)
h
x
(x) = −λ
1
µ
1
f
x
(δ + µ
1
(δ − x)) − λ
2
µ
2
f
x
(δ + µ
2
(δ − x))
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 37
h
x
(δ) = −λ
1
µ
1
f
x
(δ) − λ
2
µ
2
f
x
(δ) = f
x
(δ).
De maneira an´aloga, para x ∈ [1 −δ, 1], definindo
g(x) = λ
1
f(1 − δ + µ
1
(1 − δ − x)) + λ
2
f(1 − δ + µ
2
(1 − δ − x)), ∀x ∈ [1 − δ, 1],
obtemos
g(1 − δ) = λ
1
f(1 − δ) + λ
2
f(1 − δ) = f (1 − δ)
g
x
(x) = −λ
1
µ
1
f
x
(1 − δ + µ
1
(1 − δ − x)) − λ
2
µ
2
f
x
(1 − δ + µ
2
(1 − δ − x))
g
x
(1 − δ) = −λ
1
µ
1
f
x
(1 − δ) − λ
2
µ
2
f
x
(1 − δ) = f
x
(1 − δ).
Desta forma, constru´ımos uma extens˜ao G para f em C
1
([0, 1]) dada por:
G(x) =
h(x), 0 ≤ x ≤ δ
f(x), δ ≤ x ≤ 1 − δ
g(x), 1 − δ ≤ x ≤ 1.
De acordo com o Apˆendice verificamos que a fun¸c˜ao G(x) acima definida veri-
fica (2.5). Al´em disso,
lim
δ→0
2δ
0
(|u|
2
+ a(x)|u
x
|
2
)dx +
1
1−2δ
(|u|
2
+ a(x)|u
x
|
2
)dx
= 0. (2.6)
De (2.5) e (2.6) conclu´ımos que C
1
([0, 1]) ´e denso em H
1
a
(0, 1).
Para concluirmos a prova, usaremos a observa¸c˜ao 1.15. Seja u ∈ [H
1
a
(0, 1)]
,
pelo Teorema da representa¸c˜ao de Riesz existe uma ´unica f ∈ H
1
a
(0, 1) tal que
u, ϕ = (f, ϕ)
H
1
a
(0,1)
, ∀ϕ ∈ H
1
a
(0, 1) e f
H
1
a
(0,1)
= u
[H
1
a
(0,1)]
.
Tome ϕ ∈ C
∞
0
(0, 1) de modo que (f, ϕ)
H
1
a
(0,1)
= 0, ou seja,
1
0
(fϕ + a(x)f
x
ϕ
x
)dx = 0.
Consequentemente, −(af
x
)
x
+ f = 0 em D
(0, 1). Mais ainda, como f ∈
H
1
a
(0, 1) segue que
− (af
x
)
x
+ f = 0 em H
1
a
(0, 1). (2.7)
De (2.7) conclu´ımos que af
x
∈ H
1
(0, 1).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 38
Da densidade de C
1
([0, 1]) em H
1
a
(0, 1), temos que existe
g
n
∈ C
1
([0, 1]), tal que g
n
−→ f em H
1
a
(0, 1). (2.8)
Portanto, compondo (2.7) com g
n
obtemos
0 = f − (af
x
)
x
, g
n
.
Atrav´es de integra¸c˜ao por partes, temos que
0 = (f − (af
x
)
x
, g
n
) = af
x
g
n
1
0
+
1
0
(af
x
g
nx
+ f g
n
)dx. (2.9)
Para 0 ≤ α < 1, temos a seguinte cadeia de imers˜oes
C
1
([0, 1]) → H
1
a
(0, 1) → W
1,1
(0, 1) → C
0
([0, 1])
De (2.8), segue que g
n
→ f em C
0
([0, 1]), ou seja, g
n
(0) → f (0) = 0 e
g
n
(1) → f (1) = 0, do fato que af
x
(0) e af
x
(1) est˜ao definidas, temos que
(af
x
f)(0) = 0 = (af
x
f)(1).
Tomando o limite em (2.9) temos
0 =
1
0
(af
2
x
+ f
2
)dx = (f, f )
H
1
a
(0,1)
.
Para 1 ≤ α < 2, temos que af
x
g
n
→ af
x
f em L
1
(0, 1) e ((af
x
)g
n
)
x
= (af
x
)
x
g
n
+
(af
x
)g
nx
→ ((af
x
)f)
x
em L
1
(0, 1), observe que
1
0
|af
x
(g
nx
− f
x
)|dx =
1
0
|
√
af
x
||
√
ag
nx
−
√
af
x
|dx ≤
√
af
x
√
ag
nx
−
√
af
x
→ 0.
Afirmamos que para todo n ∈ N,
(af
x
g
n
)(x) → 0 quando x → 0, (2.10)
logo
0 = (f − (af
x
)
x
, g
n
) = (af
x
g
n
)(1) +
1
0
(af
x
g
nx
+ f g
n
)dx. (2.11)
Tomando o limite em (2.11) e observando que (af
x
f)(1) = (af
x
)(1)f(1) = 0,
segue o desejado.
Portanto, segue f ≡ 0, consequentemente, u ≡ 0 como desej´avamos provar. ✷
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 39
2.2 O Operador A(u) = (au
x
)
x
Sejam V e H espa¸cos de Hilbert tais que V tem imers˜ao cont´ınua e densa em
H e b(u, v) uma forma bilinear e cont´ınua em V × V . Definamos o operador
A : D(A) → H
u → A(u)
dado por
D(A) := {u ∈ V ; existe f ∈ H que verifica b(u, v) = (f, v), ∀v ∈ V }
e
(A(u), v) = b(u, v); ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ V. (2.12)
Denotemos por M o seguinte conjunto
M := {u ∈ H
1
a
(0, 1); au
x
∈ H
1
(0, 1)}.
Seja b(u, v) a seguinte forma bilinear
b(., .) : H
1
a
(0, 1) × H
1
a
(0, 1) → R
(u, v) → b(u, v)
dada por
b(u, v) = −
1
0
au
x
v
x
.
Como H
1
a
(0, 1) e L
2
(0, 1) s˜ao espa¸cos de Hilbert tais que H
1
a
(0, 1) tem imers˜ao
cont´ınua e densa em L
2
(0, 1) e b(u, v) ´e uma forma bilinear e cont´ınua, mostraremos que
neste contexto
D(A) = M e A(u) = (au
x
)
x
. (2.13)
De fato, seja u ∈ D(A). Logo u ∈ H
1
a
(0, 1) e existe f ∈ L
2
(0, 1) tal que
(f, v) = b(u, v) = −
1
0
au
x
v
x
∀v ∈ H
1
a
(0, 1).
Tomando v = ϕ ∈ C
∞
0
(0, 1) na identidade acima, resulta que
(au
x
)
x
, ϕ = f, ϕ ∀ϕ ∈ C
∞
0
(0, 1),
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 40
ou seja, (au
x
)
x
= f em D
(0, 1). Como f ∈ L
2
(0, 1) segue que (au
x
)
x
∈ L
2
(0, 1) e,
portanto, u ∈ M.
Reciprocamente, seja u ∈ M. Ent˜ao, u ∈ H
1
a
(0, 1) e (au
x
)
x
∈ L
2
(0, 1), donde
((au
x
)
x
, ϕ) = b(u, ϕ); ∀ϕ ∈ C
∞
0
(0, 1).
Da densidade de C
∞
0
(0, 1) em H
1
a
(0, 1) e da continuidade da forma bilinear
b(u, v), decorre que
((au
x
)
x
, v) = b(u, v), ∀v ∈ H
1
a
(0, 1). (2.14)
Logo, u ∈ D(A). Do exposto acima conclu´ımos que D(A) = M e de (2.14)
temos que
A(u) = (au
x
)
x
.
Observa¸c˜ao 2.4. Quando 1 ≤ α < 2 segue que
D(A) ⊂ {u ∈ L
2
(0, 1); u ´e loc. absl. cont. em (0, 1], au
x
∈ H
1
(0, 1), au ∈ H
1
0
(0, 1)
e (au
x
)(0) = 0}.
De fato, para tanto, basta verificarmos que se u ∈ D(A) ent˜ao au ∈ H
1
0
(0, 1)
e (au
x
)(0) = 0, posto que as outras propriedades s˜ao imediatas. Como a(x) = x
α
´e
limitada em [0, 1], temos que o sup ess
x∈]0,1[
a(x) < +∞ e como u ∈ H
1
a
(0, 1) segue que
au ∈ L
2
(0, 1). Tamb´em a
x
(x) = αx
α−1
e 1 ≤ α < 2, logo sup ess
x∈]0,1[
a
x
(x) < +∞ e
assim, a
x
u ∈ L
2
(0, 1).
Como au
x
∈ L
2
(0, 1), obtemos
(au)
x
= a
x
u + au
x
∈ L
2
(0, 1),
ou seja,
au ∈ H
1
(0, 1).
Da imers˜ao H
1
(0, 1) → C
0
([0, 1]), e do fato que u(1) = 0, obtemos (au)(1) = 0.
Resta-nos provar que (au)(0) = 0 e (au
x
)(0) = 0. Afirmamos que
(au)(x) = x
α
u −→ 0 quando x −→ 0.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 41
De fato, suponha por absurdo, que
x
α
u −→ l quando x −→ 0 e l = 0.
Logo, dado > 0 existe δ > 0 tal que se |x| < δ ent˜ao
|x
α
|u| − |l|| < |x
α
u − l| < .
Donde, para suficientemente pequeno segue que
x
α
2
|u| >
|l| −
x
α
2
> 0, 0 < |x| < δ
ou seja,
x
α
|u|
2
>
(|l| − )
2
x
α
.
Integrando a desigualdade acima no intervalo (η, δ), com 0 < η < δ temos
δ
η
x
α
|u|
2
dx > (|l| − )
2
δ
η
x
−α
dx
> (|l| − )
2
x
1−α
1 − α
δ
η
> (|l| − )
2
δ
1−α
1 − α
+
η
1−α
α − 1
.
(2.15)
Fazendo η −→ 0 temos que o termo do lado esquerdo da desigualdade (2.15)
tende `a +∞ e, ent˜ao x
α
2
u ∈ L
2
(0, 1), o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Analogamente se mostra que (au
x
)(0) = 0.
Provando assim a afirma¸c˜ao (2.10) feita na proposi¸c˜ao 2.3.
Proposi¸c˜ao 2.5. O operador A : D(A) ⊂ L
2
(0, 1) → L
2
(0, 1), tem dom´ınio denso, ´e
negativo, auto-adjunto e fechado.
Demonstra¸c˜ao:
(i) Dom´ınio denso
Da proposi¸c˜ao 2.3 e das seguintes imers˜oes
D(0, 1) → D(A) → H
1
a
(0, 1) → L
2
(0, 1),
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 42
segue que D(A) ´e denso em L
2
(0, 1)
(ii) A ´e negativo
Tomando A(u) = (au
x
)
x
, ent˜ao
A(u), u = (au
x
)
x
, u = −(
√
au
x
,
√
au
x
) ≤ 0.
Portanto, A ´e negativo.
(iii) A ´e auto-adjunto
Sejam u, v ∈ D(A). Como o dom´ınio de A ´e denso em L
2
(0, 1), basta mostrar-
mos que A ´e sim´etrico.
Com efeito, da rela¸c˜ao de adjun¸c˜ao temos
u, A
∗
v = Au, v.
Assim,
Au, v = (au
x
)
x
, v = −(
√
au
x
,
√
av
x
) = u, (av
x
)
x
= u, A(v).
(iv) A ´e fechado
Mostraremos que o gr´afico de A ´e fechado para conclu´ırmos que A ´e fechado.
Seja {u
n
} ⊂ D(A) tal que
u
n
→ u em H
1
a
(0, 1) e A(u
n
) → v em L
2
(0, 1). (2.16)
Vamos mostrar que v = A(u), assim (u
n
, A(u
n
)) → (u, A(u)), donde seguir´a
que A ´e fechado.
De (2.16) vem au
nx
→ au
x
em L
2
(0, 1). Logo
(au
nx
)
x
→ (au
x
)
x
em D
(0, 1). (2.17)
Por outro lado,
(au
nx
)
x
= A(u
n
) → v em L
2
(0, 1).
Da imers˜ao L
2
(0, 1) em D
(0, 1) e, da unicidade do limite em D
(0, 1), vem
v = (au
x
)
x
.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 43
Portanto,
A(u) = (au
x
)
x
= v.
O que mostra que A ´e fechado. ✷
Observa¸c˜ao 2.6. Do fato que D(A) ´e denso em H
1
a
(0, 1) ´e poss´ıvel estender A `a todo
H
1
a
(0, 1).
De fato, o operador A ´e limitado. Sejam u ∈ D(A) e v ∈ H
1
a
(0, 1), ent˜ao
(Au, v) = ((a(x)u
x
)
x
, v) = (
a(x)u
x
,
a(x)v
x
) ≤ u
H
1
a
(0,1)
v
H
1
a
(0,1)
.
Assim Au ≤ cu
H
1
a
(0,1)
e, portanto limitado.
Definamos a extens˜ao de A da seguinte forma. Para cada u ∈ H
1
a
(0, 1) existe
{u
n
} ⊂ D(A) tal que u
n
−→ u em H
1
a
(0, 1). Ponhamos
A : H
1
a
(0, 1) → [H
1
a
(0, 1)]
u →
A(u)
onde
A(u) = lim
n→+∞
A(u
n
).
J´a vimos que au
nx
−→ au
x
em D
(0, 1). Seja ϕ ∈ D(0, 1) temos
(au
nx
)
x
, ϕ = −au
nx
, ϕ
x
→ −au
x
, ϕ
x
= (au
x
)
x
, ϕ em D
(0, 1),
ou seja,
A(u), ϕ = (au
x
)
x
, ϕ, ∀ϕ ∈ D(0, 1).
Tomemos w ∈ H
1
a
(0, 1). Como D(0, 1) ´e denso em H
1
a
(0, 1) segue que
A(u), w = (au
x
)
x
, w∀w ∈ H
1
a
(0, 1)
na dualidade [H
1
a
(0, 1)]
× H
1
a
(0, 1).
No que segue denotaremos
A tamb´em por A.
2.3 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao Regular
Nessa se¸c˜ao, enunciaremos e demonstraremos para o caso regular, sob quais
circunstˆancias o problema (2.1) admite solu¸c˜ao ´unica. Utilizaremos para isto, o m´etodo
de Faedo-Galerkin.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 44
Teorema 2.7. Seja f ∈ H
1
(Q
T
). Para todo u
0
∈ D(A) o problema (2.1) possui uma
´unica solu¸c˜ao u pertencente `a classe
C
0
([0, T ]; H
1
a
(0, 1)) ∩ L
2
(0, T ; D(A)) ∩ H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)).
Demonstra¸c˜ao:
(i) Problema Aproximado
Observemos que D(A) ´e separ´avel. De fato, consideremos em D(A) a norma
dada por
u
D(A)
= u
H
1
a
(0,1)
+ A(u), ∀u ∈ D(A),
definamos o seguinte operador:
T : D(A) → L
2
(0, 1) × L
2
(0, 1) × L
2
(0, 1)
u → ( u ,
√
au
x
, (au
x
)
x
).
T ´e uma isometria e, portanto, T (D(A)) ´e um subespa¸co fechado de L
2
(0, 1) ×
L
2
(0, 1) × L
2
(0, 1).
Como o espa¸co L
2
(0, 1) × L
2
(0, 1) × L
2
(0, 1) ´e separ´avel temos que T (D(A))
tamb´em ´e separ´avel e, por conseguinte D(A) ´e separ´avel.
Seja {w
j
} uma base de D(A). Ponhamos
W
m
= [w
1
, w
2
, ··· , w
m
],
ou seja, W
m
´e o subespa¸co de D(A) gerado pelos m primeiros vetores da base de D(A).
Consideremos em W
m
o problema aproximado, o qual consiste em determinar
u
m
(t), verificando
u
m
(t) =
m
i=1
g
im
(t)w
i
(x)
(u
m
(t), w
j
) + (
a(x)u
mx
,
a(x)w
jx
) = (f (t), w
j
), j = 1, ··· , m
u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em D(A).
(2.18)
Observemos que pelo Teorema de Carath´eodory o problema (2.18) possui
solu¸c˜ao local em algum intervalo [0, t
m
), t
m
< T de modo que u
m
(t) ´e absolutamente
cont´ınua e u
m
(t) existe quase sempre.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 45
Para provarmos a existˆencia de solu¸c˜ao local, usaremos os passos que seguem.
De (2.18)
2
temos para j = 1, ··· , m
m
i=1
g
im
(t)w
i
, w
j
+
m
i=1
a(x)g
im
(t)w
ix
,
a(x)w
jx
= (f(t), w
j
).
Sem perda da generalidade, podemos supor que {w
j
} ´e ortonormal em L
2
(0, 1),
assim
g
jm
(t) +
m
i=1
g
im
(t)
a(x)w
ix
,
a(x)w
jx
= (f(t), w
j
); j = 1, ··· , m. (2.19)
De (2.19) segue que
g
1m
g
2m
.
.
.
g
mm
+
(
a(x)w
1x
,
a(x)w
1x
) ··· (
a(x)w
mx
,
a(x)w
1x
)
(
a(x)w
1x
,
a(x)w
2x
) ··· (
a(x)w
mx
,
a(x)w
2x
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(
a(x)w
1x
,
a(x)w
mx
) ··· (
a(x)w
mx
,
a(x)w
mx
)
g
1m
g
2m
.
.
.
g
mm
=
(f, w
1
)
(f, w
2
)
.
.
.
(f, w
m
)
.
(2.20)
Definamos
Y
m
(t) :=
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
B :=
(f, w
1
)
(f, w
2
)
.
.
.
(f, w
m
)
A :=
(
a(x)w
1x
,
a(x)w
1x
) ··· (
a(x)w
mx
,
a(x)w
1x
)
(
a(x)w
1x
,
a(x)w
2x
) ··· (
a(x)w
mx
,
a(x)w
2x
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(
a(x)w
1x
,
a(x)w
mx
) ··· (
a(x)w
mx
,
a(x)w
mx
)
.
Segue de (2.20) que
Y
m
(t) + AY
m
(t) = B (2.21)
e
Y
m
(0) :=
g
1m
(0)
g
2m
(0)
.
.
.
g
mm
(0)
= Y
0m
. (2.22)
De (2.21) e (2.22) temos o seguinte problema de E.D.O
Y
m
(t) = −AY
m
(t) + B
Y
m
(0) = Y
0m
.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 46
Ponhamos F (t, Y
m
(t)) = −AY
m
(t)+B : R ×R
m
→ R
m
, ent˜ao o sistema acima
se escreve
Y
m
(t) = F (t, Y
m
(t))
Y
m
(0) = Y
0m
.
(2.23)
Considere D = [0, T ] × B
b
, onde
B
b
:= {x ∈ R
m
; e |x| ≤ b, b > 0}.
F ´e cont´ınua em rela¸c˜ao a Y
m
, para cada t fixo.
Com efeito, fixado t, dado > 0 existe δ =
||A||
tal que para cada par Y
1
m
, Y
2
m
verificando |Y
1
m
(t) − Y
2
m
(t)| < δ implica
|F (t, Y
1
m
(t)) − F (t, Y
2
m
(t))| = | − AY
1
m
(t) + B + AY
2
m
(t) − B|
≤ ||A|||Y
1
m
(t) − Y
2
m
(t)| < ||A||δ = .
F ´e cont´ınua em rela¸c˜ao a t, para cada Y
m
fixo. Pois fixado Y
m
(t), temos que
F n˜ao depende de t, isto ´e, F ´e uma constante e, assim cont´ınua, logo mensur´avel.
|F (t, Y
m
(t))| = | − AY
m
(t) + B| ≤ ||A||b + |B| < ∞ para todo Y
m
(t) ∈ B
b
.
Tendo em m˜aos as afirma¸c˜oes acima, segue do Teorema de Carath´eodory, Teo-
rema 1.29, que existe uma solu¸c˜ao Y
m
(t) de (2.23) em (0, t
m
), t
m
< T . Donde, para
todo m, temos fun¸c˜oes g
1m
(t), ··· , g
mm
(t) que satisfazem a seguinte equa¸c˜ao dada em
(2.19).
(ii) Primeira Estimativa a Priori
Esta etapa, nos fornecer´a estimativas que nos permitir˜ao prolongar a solu¸c˜ao
aproximada u
m
(t) ∈ W
m
, definida para todo t ∈ [0, t
m
), t
m
< T , a todo intervalo [0, T ].
Multiplicando o problema aproximado (2.18) por g
jm
(t) e somando em j de 1
`a m, obtemos
(u
m
(t), u
m
(t)) + (
√
au
mx
(t),
√
au
mx
(t)) = (f (t), u
m
(t)). (2.24)
Afirmamos que
(u
m
(t), u
m
(t)) =
1
2
d
dt
||u
m
(t)||
2
(2.25)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 47
para todo t ∈ (0, T ).
De fato, seja uma θ(t) ∈ D(0, T ), ent˜ao pelo teorema de Fubini, temos,
(u
m
(t), u
m
(t)), θ(t) =
T
0
1
0
u
m
(t)u
m
(t)dxθ(t)dt
=
1
0
T
0
1
2
d
dt
(u
m
(x, t))
2
θ(t)dtdx
=
1
2
1
0
(u
m
(x, t))
2
θ(t)
t
0
−
T
0
(u
m
(x, t))
2
θ
(t)dt
dx
= −
T
0
1
0
1
2
(u
m
(x, t))
2
θ
(t)dxdt
= −
1
2
||u
m
(x, t)||
2
, θ
(t)
=
1
2
1
dt
||u
m
(x, t)||
2
, θ(t)
donde segue a afirma¸c˜ao.
Assim, a igualdade (2.24) pode ser reescrita da seguinte forma:
1
2
d
dt
||u
m
(t)||
2
+
1
0
a(x)|u
mx
(t, x)|
2
dx = (f (t), u
m
(t)).
Integrando de 0 `a t, t < t
m
, a express˜ao acima, segue que
1
2
t
0
d
ds
||u
m
(s)||
2
ds +
t
0
1
0
a(x)|u
mx
(s, x)|
2
dxds =
t
0
(f(s), u
m
(s))ds.
Logo,
1
2
||u
m
(t)||
2
+
t
0
1
0
a(x)|u
mx
(s, x)|
2
dxds =
1
2
||u
m
(0)||
2
+
t
0
(f(s), u
m
(s))ds. (2.26)
Por (2.18) temos que u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em D(A). Portanto, existe uma
constante c
1
> 0 tal que ||u
m
(0)|| < c
1
para todo m ∈ N e, ainda, pelas desigualdades de
Cauchy-Schwarz e Young
(f, u
m
(s)) ≤ ||f ||||u
m
(s)|| ≤
1
2
||f||
2
+ ||u
m
(s)||
2
.
Desta forma, de (2.26) segue que
1
2
||u
m
(t)||
2
+
t
0
1
0
a(x)|u
mx
(x)|
2
dxds ≤
1
2
c
1
+
t
0
[||f(s)||
2
+ ||u
m
(s)||
2
]
ds
=
1
2
c
1
+
1
2
t
0
||f(s)||
2
ds +
t
0
1
2
||u
m
(s)||
2
ds
≤ c
2
+
t
0
1
2
||u
m
(ξ)||
2
+
ξ
0
1
0
a(x)|u
mx
(x)|
2
dxds
dξ
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 48
onde c
2
=
1
2
c
1
+
1
2
f
2
L
2
(0,T ;L
2
(0,1))
.
Definindo q
m
(t) :=
1
2
||u
m
(t)||
2
+
t
0
1
0
a(x)|u
mx
(s, x)|
2
dxds, obtemos
q
m
(t) ≤ c
2
+
t
0
q
m
(ξ)dξ, t ∈ [0, t
m
]; m ∈ N,
e, pelo Lema de Gronwall, temos
q
m
(t) ≤ c
2
e
t
< c
2
e
T
= c
3
∀t ∈ [0, t
m
[ e ∀m ∈ N.
Como c
3
independe de t e de m, segue do Corol´ario 1.30 que para todo m ∈ N,
u
m
(t) pode ser prolongada a todo intervalo [0, T ], e al´em disso,
{u
m
} ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.27)
{
√
au
mx
} ´e limitada em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.28)
(iii) Segunda Estimativa a Priori
Temos de (2.19) que
g
jm
(t) = (u
m
(t), w
j
) = (f (t), w
j
) −
m
i=1
g
im
(t)
√
aw
ix
,
√
aw
jx
j = 1, . . . , m.
Como o lado direito da igualdade acima est´a em L
2
(0, T ), resulta que g
jm
pertence `a L
2
(0, T ), onde aqui as derivadas s˜ao entendidas no sentido de Dini. Logo
T
0
||u
m
(t)||
2
dt =
T
0
||
m
j=1
g
jm
(t)w
j
||
2
dt
≤
T
0
|g
jm
(t)|
2
dt < +∞,
ou seja,
u
m
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.29)
De (2.19) resulta que
g
jm
(t) =
d
dt
(u
m
(t), w
j
) = (f
(t), w
j
) −
m
i=1
g
im
(t)
√
aw
ix
,
√
aw
jx
.
Como, novamente, o lado direito da desigualdade est´a em L
2
(0, T ), segue que
g
jm
∈ L
2
(0, T ),
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 49
onde as derivadas s˜ao no sentido das distribui¸c˜oes. Al´em disso,
T
0
||u
m
(t)||
2
dt =
T
0
||
m
j=1
g
jm
(t)w
j
||
2
dt
≤
T
0
|g
jm
(t)|
2
dt < +∞,
ou seja,
u
m
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.30)
Observando (2.30) e derivando (2.18)
2
em rela¸c˜ao a t, obtemos
(u
m
(t), w
j
) + (
√
au
mx
(t),
√
aw
jx
) = (f
(t), w
j
),
multiplicando por g
jm
(t) e somando em j, decorre que
(u
m
(t), u
m
) + (
√
au
mx
,
√
au
mx
) = (f
, u
m
). (2.31)
Notemos que
(u
m
(t), u
m
) =
1
2
d
dt
||u
m
(t)||
2
. (2.32)
A igualdade acima ´e verificada analogamente `a igualdade (2.25).
Logo, (2.31) pode ser reescrita como
1
2
d
dt
||u
m
(t)||
2
+
1
0
a(x)u
mx
(x)
2
dx = (f
(t), u
m
(t)). (2.33)
Integrando (2.33) de 0 `a T , e observando (2.29) e (2.30), vem
1
2
||u
m
(t)||
2
+
T
0
1
0
a(x)u
mx
(s)
2
dxds =
1
2
||u
m
(0)||
2
+
T
0
(f
(s), u
m
(s))ds.
Usando as desigualdades de Cauchy-Schwarz e Young, obtemos
||u
m
(t)||
2
+ 2
T
0
1
0
a(x)u
mx
(s)
2
dxds ≤ ||u
m
(0)||
2
+
T
0
||f
(s)||
2
ds +
T
0
||u
m
(s)||
2
ds.
Voltando a (2.18)
2
multiplicando por g
jm
(t), somando em m e calculando em
t = 0 temos
||u
m
(0)||
2
= (f(0), u
m
(0)) − (
√
au
mx
(0),
√
au
mx
(0)),
ou seja,
||u
m
(0)||
2
≤ ||f(0)||||u
m
(0)|| + ||(au
mx
)
x
(0)||||u
m
(0)||,
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 50
donde,
||u
m
(0)|| ≤ ||f (0)|| + ||(au
mx
)
x
(0)||.
Por (2.18) temos que u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em D(A), segue que (au
mx
)
x
(0) =
(au
0mx
)
x
→ (au
0x
)
x
, portanto, existe uma constante C
1
> 0 tal que
||u
m
(0)|| ≤ C
1
, ∀m ∈ N.
Donde,
||u
m
(t)||
2
+ 2
T
0
1
0
a(x)u
mx
(s)
2
dxds ≤ C
1
+
T
0
||f
(s)||
2
ds +
T
0
||u
m
(s)||
2
ds.
Tomando C
2
= C
1
+
T
0
||f
(s)||
2
ds, temos
||u
m
(t)||
2
+ 2
T
0
1
0
a(x)|u
mx
(x)|
2
dxds ≤ C
1
+
T
0
[||f
(s)||
2
+ ||u
m
(s)||
2
]ds
= C
1
+
T
0
||f
(s)||
2
ds +
T
0
|u
m
(s)||
2
ds
≤ C
2
+
T
0
||u
m
(ξ)||
2
+ 2
ξ
0
1
0
a(x)|u
mx
(x)|
2
dxds
dξ.
Pelo Lema de Gronwall, implica que existe C
3
independente de t e m tal que
||u
m
||
2
+
T
0
1
0
a(x)|u
mx
(x)|
2
dxds+ ≤ C
3
ou seja,
{u
m
} ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
{
√
au
mx
} ´e limitada em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)).
(iv) Passagem ao Limite
Do que foi provado anteriormente, temos
{u
m
} ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.34)
{u
m
} ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.35)
{
√
au
mx
} ´e limitada em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.36)
{
√
au
mx
} ´e limitada em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.37)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 51
Como L
1
(0, T ; L
2
(0, 1)) ´e separ´avel e tendo em mente que [L
1
(0, T ; L
2
(0, 1))]
=
L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) e que L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) ´e reflexivo segue de (2.34) `a (2.37) e pelos lemas
1.36 e 1.35 que podemos extrair subseq¨uˆencia {u
µ
} de {u
m
} de modo que
u
µ
u em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.38)
u
µ
η em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.39)
√
au
µx
em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.40)
√
au
µx
ξ em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.41)
Como L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) → L
2
(0, T ; L
2
(0, 1))
∼
=
L
2
(Q
T
). Segue de (2.38) e
(2.39) que
u
µx
u
x
em D
(Q
T
)
e
u
µ
u
e u
µx
u
x
em D
(Q
T
). (2.42)
Por outro lado,
a(x) =
√
x
α
∈ C
∞
(]0, 1[) donde,
a(x)u
µx
→
a(x)u
x
em D
(Q
T
). (2.43)
a(x)u
µx
→
a(x)u
x
em D
(Q
T
). (2.44)
Das convergˆencias acima e pela unicidade do limite em D
(Q
T
) temos
η = u
, =
a(x)u
x
e ξ =
a(x)u
x
.
Donde podemos concluir que
u
µ
u em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.45)
u
µ
u
em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.46)
√
au
µx
√
au
x
em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.47)
√
au
µx
√
au
x
em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.48)
De (2.45) `a (2.48) conclu´ımos que
u ∈ L
2
(0, T ; H
1
a
(0, 1)) (2.49)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 52
u
∈ L
2
(0, T ; H
1
a
(0, 1)) (2.50)
Sejam j ∈ N e µ ≥ j e consideremos θ ∈ D(0, T ). Multiplicando (2.18) por
θ(t) e integrando em [0, T ], obtemos
T
0
(u
µ
(t), w
j
)θ(t)dt +
T
0
(
√
au
µx
,
√
aw
jx
)θ(t)dt =
T
0
(f, w
j
)θ(t)dt. (2.51)
Passando o limite em (2.51) quando µ −→ +∞, segue que
T
0
(u
(t), w
j
)θ(t)dt +
T
0
(
√
au
x
,
√
aw
jx
)θ(t)dt =
T
0
(f, w
j
)θ(t)dt. (2.52)
Da arbitrariedade de j ∈ N e da totalidade dos {w
s
j
} em D(A) decorre que
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt +
T
0
(
√
au
x
(t),
√
av
x
)θ(t)dt =
T
0
(f, v)θ(t)dt ∀v ∈ D(A), ∀θ ∈ D(0, T ).
(2.53)
De (2.53) podemos concluir que
(u
(t), v) + (
√
au
x
(t), v) = (f(t), v) em D
(0, T ), ∀v ∈ H
1
a
(0, 1).
Ainda de (2.53), obtemos
u
− Au = f em D
(0, T ; [H
1
a
(0, 1)]
).
Como f ∈ H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)), u
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)), segue que
Au(t) ∈ L
2
(0, 1) para quase todo t ∈]0, T [.
Logo,
u(t) ∈ D(A), para quase todo t ∈ (0, T ). (2.54)
De (2.45), (2.54) e do fato que A(u) ≤ cu, temos
u ∈ L
2
(0, T ; D(A)). (2.55)
Por outro lado de (2.45) `a (2.48) implica em
u ∈ H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.56)
√
au
x
∈ H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.57)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 53
Como H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)) → C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1)) decorre que
u ∈ C
0
([0, T ]; H
1
a
(0, 1)).
(v) Verifica¸c˜ao dos Dados Iniciais
Do que foi provado at´e agora, temos
u ∈ C
0
([0, T ]; H
1
a
(0, 1)) ∩ L
2
(0, T ; D(A)) ∩ H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)) (2.58)
logo faz sentido calcular u(0) e u(T ).
Verifiquemos que u(0) = u
0
.
Com efeito, seja θ ∈ C
1
([0, T ]) tal que θ(0) = 1 e θ(T ) = 0. Ent˜ao fixado j
vem
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ
(t)dt −→
T
0
(u(t), w
j
)θ
(t)dt. (2.59)
Integrando (2.59) por partes, decorre que
−(u
µ
(0), w
j
) −
T
0
((u
µ
(t), w
j
)θ(t)dt −→ −(u(0), w
j
) +
T
0
(u
(t), w
j
)θ(t)dt, µ → +∞.
De (2.46), obtemos
−(u
µ
(0), w
j
) −→ −(u(0), w
j
) ∀j ∈ N, µ → +∞
ou seja,
u
µ
(0) u(0) em L
2
(0, 1).
Por outro lado, de (2.18) temos
u
m
(0) → u
0
em D(A) → L
2
(0, 1).
Pela unicidade do limite conclu´ımos, que
u(0) = u
0
.
(vi) Unicidade de solu¸c˜ao
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 54
Sejam u e v solu¸c˜oes do problema (2.1) e consideremos φ = u − v. Ent˜ao, φ
satisfaz o problema
φ
t
= (au
x
)
x
− (av
x
)
x
(t, x) ∈ Q
T
φ(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
φ(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(aφ
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
φ(0, x) = 0 x ∈ (0, 1).
(2.60)
Mostraremos que φ(t) = 0 em H
1
a
(0, 1) para quase todo t ∈ (0, T ), donde
concluiremos que u = v. Compondo (2.60)
1
com φ, temos
(φ
(t), φ(t)) + (−(au
x
)
x
+ (av
x
)
x
, φ(t)) = 0
1
2
d
dt
||φ(t)||
2
+ (
√
au
x
−
√
av
x
,
√
aφ
x
(t)) = 0
1
2
d
dt
||φ(t)||
2
+ (
√
aφ
x
(t),
√
aφ
x
(t)) = 0
1
2
d
dt
||φ(t)||
2
+ ||
√
aφ
x
(s)||
2
= 0.
Integrando de 0 `a T a igualdade acima e observando que φ(0) = 0, segue que
1
2
||φ(t)||
2
+
T
0
||
√
aφ
x
(s)||
2
ds = 0,
donde obtemos o desejado. ✷
2.4 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao Fraca
Nesta se¸c˜ao provaremos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao para o caso fraco,
utilizando a existˆencia de solu¸c˜oes regulares.
Teorema 2.8. Seja f ∈ L
2
(Q
T
). Para todo u
0
∈ L
2
(0, 1) o problema (2.1) possui uma
´unica solu¸c˜ao u na classe
C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1)) ∩ L
2
(0, T ; H
1
a
(0, 1)) (2.61)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 55
Demonstra¸c˜ao: Seja f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) e u
0
∈ L
2
(0, 1). Segue da densidade de
H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)) e D(A) em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) e L
2
(0, 1), respectivamente, que existe
uma sequˆencia (f
n
) ⊂ H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)) e (u
0n
) ⊂ D(A) tal que
f
n
→ f em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1))
u
0n
→ u
0
em L
2
(0, 1).
(2.62)
Seja u
n
a ´unica solu¸c˜ao de (2.1) associada aos dados f
n
e u
0n
. Ent˜ao u
n
pertence `a classe
C
0
([0, T ]; H
1
a
(0, 1)) ∩ L
2
(0, T ; D(A)) ∩ H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)),
e verifica
u
n
+ Au
n
= f
n
em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1))
u
n
(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
u
n
(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(au
nx
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
u
n
(0, x) = u
0n
(x) x ∈ (0, 1).
(2.63)
Sendo assim, para todo m e n ∈ N temos,
u
n
− u
m
+ A(u
n
− u
m
) = f
n
− f
m
em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1))
(u
n
− u
m
)(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
(u
n
− u
m
)(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(au
nx
− au
mx
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
(u
n
− u
m
)(0, x) = (u
0n
− u
0m
)(x) x ∈ (0, 1).
(2.64)
Compondo a equa¸c˜ao (2.64)
1
com u
n
− u
m
, decorre que
(u
n
− u
m
, u
n
− u
m
) − ((au
nx
)
x
− (au
mx
)
x
, u
n
− u
m
) = (f
n
− f
m
, u
n
− u
m
).
Ent˜ao,
1
2
d
dt
u
n
(t) − u
m
(t)
2
+
1
0
a(x)[u
nx
− u
mx
]
2
dx
≤
1
2
f
n
(t) − f
m
(t)
2
+
1
2
u
n
(t) − u
m
(t)
2
.
(2.65)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 56
Integrando a desigualdade (2.65) de 0 `a t, t < T , segue que
1
2
u
n
(t) − u
m
(t)
2
+
Q
T
a(x)|(u
nx
− u
mx
)|
2
dxdt
≤
1
2
u
n
(0) − u
m
(0)
2
+
1
2
f
n
− f
m
2
L
2
(0,T ;L
2
(0,1))
+
1
2
T
0
u
n
(s) − u
m
(s)
2
ds.
(2.66)
Da desigualdade de Gronwall, obtemos
u
n
(t) − u
m
(t)
2
+ 2
Q
T
a(x)|(u
nx
− u
mx
)|
2
dxdt
≤
u
0n
− u
0m
2
+ f
n
− f
m
2
L
2
(0,T ;L
2
(0,1))
e
T
, ∀t ∈ [0, T ].
Das convergˆencias dadas em (2.62) vem que
sup
t∈[0,T ]
u
n
(t) − u
m
(t) −→ 0 quando n e m → +∞
e
Q
T
a(x)|(u
nx
− u
mx
)|
2
dxdt −→ 0 quando n e m → +∞.
Como os espa¸cos C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1)) e L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) s˜ao completos, segue
que existem fun¸c˜oes u ∈ C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1)) e v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)), tais que
u
n
−→ u em C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1)) (2.67)
a(x)u
nx
−→ v em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.68)
Da cadeia de imers˜oes
C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1)) → L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) → D
(0, T ; L
2
(0, 1)),
conclu´ımos que v =
a(x)u
x
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) e, portanto,
u
n
−→ u em C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1)) (2.69)
e
a(x)u
nx
−→
a(x)u
x
em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)). (2.70)
Donde, segue
u ∈ C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1)) ∩ L
2
(0, T ; H
1
a
(0, 1)).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 57
Provaremos agora que u satisfaz o problema (2.1).
Consideremos u
n
a ´unica solu¸c˜ao de (2.1) associada aos dados iniciais u
0n
∈
D(A) e f
n
∈ H
1
(0, T ; L
2
(0, 1)) que verifica portanto, (2.63).
Sejam θ ∈ D(0, 1) e v ∈ H
1
a
(0, 1). Compondo (2.63)
1
com θv na dualidade
D(0, T ; H
1
a
(0, 1)×D
(0, T ; [H
1
0
(0, 1)]
), obtemos
u
n
, θv + Au
n
, θv = f
n
, θv ∀θ ∈ D(0, 1), v ∈ H
1
a
(0, 1). (2.71)
Notemos agora que
u
n
, θv = −u
n
, θ
v ∀θ ∈ D(0, 1), v ∈ H
1
a
(0, 1).
Da convergˆencia de (u
n
) dada em (2.69), vem
u
n
, θv = −u
n
, θ
v −→ −u, θ
v = u
, θv. (2.72)
Al´em disso, da convergˆencia de (
√
au
nx
) dada em (2.70), obtemos
Au
n
, θv = −(
√
au
nx
,
√
aθv
x
) −→ −(
√
au
x
,
√
aθv
x
) = Au, θv, (2.73)
na dualidade D(0, T ; L
2
(0, 1))×D
(0, T ; L
2
(0, 1)) e D(0, T ; [H
1
a
(0, 1)]
)×D
(0, T ; H
1
a
(0, 1)),
respectivamente.
Temos, ainda, da convergˆencia de (f
n
) dada em (2.62)
1
que
f
n
, θv −→ f, θv. (2.74)
Assim de (2.72), (2.73) e (2.74) ap´os passagem ao limite, vem
u
+ Au −f, θv = 0 na dualidade D
(0, T ; [H
1
a
(0, 1)]
) × D(0, T ; H
1
a
(0, 1)).
Observando que o conjunto
{θv, θ ∈ D(0, 1), v ∈ H
1
a
(0, 1)}
´e total em D(0, T ; H
1
a
(0, 1)), conclu´ımos que
u
+ Au −f = 0 em D
(0, T ; [H
1
a
(0, 1)]
).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 58
Como u ∈ L
2
(0, T ; H
1
a
(0, 1)), ent˜ao para quase todo t ∈ (0, T ), vem u(t) ∈
H
1
a
(0, 1) e, portanto, Au(t) ∈ [H
1
a
(0, 1)]
.
Para toda v ∈ H
1
a
(0, 1), temos
|Au(t), v|
2
= |(au
x
(t))
x
, v|
2
= |(
√
au
x
(t),
√
av
x
)|
2
≤
√
au
x
(t)
2
√
av
x
2
≤ c
√
au
x
(t)
2
v
2
H
1
a
(0,1)
,
(2.75)
portanto,
Au(t)
[H
1
a
(0,1)]
≤ c
√
au
x
(t),
donde,
Au ∈ L
2
(0, T ; [H
1
a
(0, 1)]
).
Da imers˜ao de L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) em L
2
(0, T ; [H
1
a
(0, 1)]
) e do fato que f ∈
L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)), segue que
u
+ Au −f = 0 em L
2
(0, T ; [H
1
a
(0, 1)]
).
A verifica¸c˜ao das condi¸c˜oes iniciais s˜ao claras, como
u
n
−→ u em C
0
([0, T ]; L
2
(0, 1))
vem
u
n
(0) −→ u(0) em L
2
(0, 1).
Da unicidade do limite em L
2
(0, 1) temos que
u
0
= u(0).
A unicidade ´e inteiramente an´aloga ao caso regular. ✷
Ap
ˆ
endice
Este apˆendice ´e dedicado `a prova da afirma¸c˜ao (2.5) feita na demonstra¸c˜ao
da proposi¸c˜ao 2.3, onde afirmamos que dado > 0 existe G(x) ∈ C
1
([0, 1]), extens˜ao de
f, satisfazendo
1
0
(|u−G|
2
+a(x)|u
x
−G
x
|
2
)dx < +c
2δ
0
(|u|
2
+ a(x)|u
x
|
2
)dx +
1
1−2δ
(|u|
2
+ a(x)|u
x
|
2
)dx
,
(A.0)
para c > 0.
A reflex˜ao ´e constru´ıda como segue. Inicialmente, consideremos x ∈ [0, δ] e
definamos
h(x) = λ
1
f(δ + µ
1
(δ − x)) + λ
2
f(δ + µ
2
(δ − x))
de modo que,
h(δ) = λ
1
f(δ) + λ
2
f(δ) = f (δ)
h
x
(x) = −λ
1
µ
1
f
x
(δ + µ
1
(δ − x)) − λ
2
µ
2
f
x
(δ + µ
2
(δ − x))
h
x
(δ) = −λ
1
µ
1
f
x
(δ) − λ
2
µ
2
f
x
(δ) = f
x
(δ).
De maneira an´aloga para x ∈ [1 −δ, 1], definimos
g(x) = λ
1
f(1 − δ + µ
1
(1 − δ − x)) + λ
2
f(1 − δ + µ
2
(1 − δ − x))
satisfazendo,
g(1 − δ) = λ
1
f(1 − δ) + λ
2
f(1 − δ) = f (1 − δ)
g
x
(x) = −λ
1
µ
1
f
x
(1 − δ + µ
1
(1 − δ − x)) − λ
2
µ
2
f
x
(1 − δ + µ
2
(1 − δ − x))
g
x
(1 − δ) = −λ
1
µ
1
f
x
(1 − δ) − λ
2
µ
2
f
x
(1 − δ) = f
x
(1 − δ).
59
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 60
Possibilitando estender f `a uma fun¸c˜ao C
1
([0, 1]) dada por
G(x) =
h(x), 0 ≤ x ≤ δ
f(x), δ ≤ x ≤ 1 − δ
g(x), 1 − δ ≤ x ≤ 1.
G(x) acima definida verifica (A.0). De fato, seja > 0 dado
1
0
|u − G|
2
+ a|u
x
− G
x
|
2
dx =
δ
0
|u − G|
2
+ a|u
x
− G
x
|
2
dx
+
1−δ
δ
|u − f|
2
+ a(x)|u
x
− f
x
|
2
dx
+
1
1−δ
|u − G|
2
+ a|u
x
− G
x
|
2
dx
≤
0
+
δ
0
|u − G|
2
+ a(x)|u
x
− G
x
|
2
dx
+
1
1−δ
|u − G|
2
+ a(x)|u
x
− G
x
|
2
dx;
(A.1)
onde
0
> 0 ser´a posteriormente escolhido em fun¸c˜ao do dado.
Come¸cemos estimando o termo
δ
0
|u − G|
2
dx.
Notemos que
|u(x) − G(x)| = |u(x) − h(x)|
= |u(x) − λ
1
f(δ + µ
1
(δ − x)) − λ
2
f(δ + µ
2
(δ − x))|
= |(λ
1
+ λ
2
)u(x) − λ
1
f(δ + µ
1
(δ − x)) − λ
2
f(δ + µ
2
(δ − x))|
≤ |λ
1
u(x) − λ
1
u(δ + µ
1
(δ − x))|
+ |λ
1
u(δ + µ
1
(δ − x)) − λ
1
f(δ + µ
1
(δ − x))|
+ |λ
2
u(x) − λ
2
u(δ + µ
2
(δ − x))|
+ |λ
2
u(δ + µ
2
(δ − x)) − λ
2
f(δ + µ
2
(δ − x))|
(A.2)
donde,
|u(x) − G(x)|
2
≤ 2
2
λ
2
1
|u(x) − u(δ + µ
1
(δ − x))|
2
+λ
2
1
|u(δ + µ
1
(δ − x)) − f (δ + µ
1
(δ − x))|
2
+λ
2
2
|u(x) − u(δ + µ
2
(δ − x))|
2
+λ
2
2
|u(δ + µ
2
(δ − x)) − f (δ + µ
2
(δ − x))|
2
.
(A.3)
Integrando de 0 `a δ a desigualdade acima, vem
δ
0
|u(x) − G(x)|
2
dx ≤ 4
λ
2
1
δ
0
|u(x) − u(δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
+λ
2
1
δ
0
|u(δ + µ
1
(δ − x)) − f (δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
+λ
2
2
δ
0
|u(x) − u(δ + µ
2
(δ − x))|
2
dx
+λ
2
2
δ
0
|u(δ + µ
2
(δ − x)) − f (δ + µ
2
(δ − x))|
2
dx
.
(A.4)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 61
Lembremos que da escolha de δ decorre que δ < δ + µ
1
(δ − x) < δ + µ
1
δ <
2δ < 1 − δ e fazendo a mudan¸ca de vari´avel ξ = δ + µ
1
(δ − x) na integral
I
2
=
δ
0
|u(δ + µ
1
(δ − x)) − f (δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
chegamos `a
I
2
= −
δ
δ+µ
1
δ
1
µ
1
|u(ξ) − f(ξ)|
2
dξ =
δ+µ
1
δ
δ
1
µ
1
|u(ξ) − f(ξ)|
2
dξ <
0
1
µ
1
.
Portanto,
λ
2
1
I
2
< λ
2
1
0
1
µ
1
. (A.5)
De forma an´aloga, para
I
4
=
δ
0
|u(δ + µ
2
(δ − x)) − f (δ + µ
2
(δ − x))|
2
dx
temos
λ
2
2
I
4
< λ
2
2
0
1
µ
2
. (A.6)
Seja agora,
I
1
=
δ
0
|u(x) − u(δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
≤ 2
δ
0
|u(x)|
2
dx +
δ
0
|u(δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
.
Como
δ
0
|u(δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx ≤
δ+µ
1
δ
δ
|u(ξ)|
2
dξ <
1
µ
1
2δ
0
|u(x)|
2
dx,
segue que
λ
2
1
I
1
≤ 2λ
2
1
1 +
1
µ
1
2δ
0
|u(x)|
2
dx. (A.7)
Igualmente temos para
I
3
=
δ
0
|u(x) − u(δ + µ
2
(δ − x))|
2
dx
a estimativa
λ
2
2
I
3
≤ 2λ
2
2
1 +
1
µ
2
2δ
0
|u(x)|
2
dx. (A.8)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 62
Substituindo (A.5)-(A.8) em (A.4), vem
δ
0
|u(x) − G(x)|
2
dx ≤ 4
2λ
2
1
1 +
1
µ
1
2δ
0
|u(x)|
2
dx + λ
2
1
0
1
µ
1
+2λ
2
2
1 +
1
µ
2
2δ
0
|u(x)|
2
dx + λ
2
2
0
1
µ
2
= 4
0
λ
2
1
µ
1
+
λ
2
2
µ
2
+ 8
λ
2
1
+ λ
2
2
+
λ
2
1
µ
1
+
λ
2
2
µ
2
2δ
0
|u(x)|
2
dx.
(A.9)
Estimemos agora, o termo
1
1−δ
|u − G|
2
dx.
Observando o intervalo de integra¸c˜ao e a defini¸c˜ao de G(x) neste intervalo e
considerando que
1 − 2δ < 1 − δ − µ
i
δ < 1 − δ + µ
i
(1 − δ − x) < 1 − δ < 1;
obtemos
1
1−2δ
|u(x) − G(x)|
2
dx ≤ 4
λ
2
1
1
1−2δ
|u(x) − u(1 − δ + µ
1
(1 − δ − x))|
2
dx
+λ
2
1
1
1−δ
|u(1 − δ + µ
1
(1 − δ − x)) −f(1 −δ + µ
1
(1 − δ − x))|
2
dx
+λ
2
2
1
1−2δ
|u(x) − u(1 − δ + µ
2
(1 − δ − x))|
2
dx
+λ
2
2
1
1−2δ
|u(1 − δ + µ
2
(1 − δ − x)) −f(1 −δ + µ
2
(1 − δ − x))|
2
dx
.
(A.10)
Definindo
J
2
=
1
1−δ
|u(1 − δ + µ
1
(1 − δ − x)) − f (1 − δ + µ
1
(1 − δ − x))|
2
dx
= −
1−δ−µ
1
δ
1−δ
1
µ
1
|u(ξ) − f(ξ)|
2
dξ
=
1−δ
1−δ−µ
1
δ
1
µ
1
|u(ξ) − f(ξ)|
2
dξ <
0
µ
1
,
segue que,
λ
2
1
J
2
< λ
2
1
0
1
µ
1
. (A.11)
De maneira an´aloga, para
J
4
=
1
1−δ
|u(1 − δ + µ
2
(1 − δ − x)) − f (1 − δ + µ
2
(1 − δ − x))|
2
dx
obtemos,
λ
2
2
J
4
< λ
2
2
0
1
µ
2
. (A.12)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 63
Definindo
J
1
=
1
1−2δ
|u(x) − u(δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
e
J
3
=
1
1−2δ
|u(x) − u(δ + µ
2
(δ − x))|
2
dx,
segue que
λ
2
1
J
1
≤ 2λ
2
1
1 +
1
µ
1
1
1−2δ
|u(x)|
2
dx (A.13)
e
λ
2
2
J
3
≤ 2λ
2
2
1 +
1
µ
2
1
1−2δ
|u(x)|
2
dx. (A.14)
Substituindo (A.11)-(A.14) em (A.10), chegamos `a
1
1−δ
|u(x)−G(x)|
2
dx ≤ 4
0
λ
2
1
µ
1
+
λ
2
2
µ
2
+8
λ
2
1
+ λ
2
2
+
λ
2
1
µ
1
+
λ
2
2
µ
2
1
1−2δ
|u(x)|
2
dx. (A.15)
Analisemos, agora, os termos que envolvem a derivada, ou seja,
δ
0
a(x)|u
x
(x) − G
x
(x)|
2
dx e
1
1−δ
a(x)|u
x
(x) − G
x
(x)|
2
dx.
Para obtermos uma desigualdade semelhante `a apresentada em (A.4) usaremos
o fato que λ
1
µ
1
+ λ
2
µ
2
= −1. Deste modo,
δ
0
a(x)|u
x
(x) −G
x
(x)|
2
dx ≤ 4
λ
2
1
µ
1
δ
0
a(x)|u
x
(x) −u
x
(δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
+λ
2
1
µ
1
δ
0
a(x)|u
x
(δ + µ
1
(δ − x)) − f
x
(δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
+λ
2
2
µ
2
δ
0
a(x)|u
x
(x) −u
x
(δ + µ
2
(δ − x))|
2
dx
+λ
2
2
µ
2
δ
0
a(x)|u
x
(δ + µ
2
(δ − x)) − f
x
(δ + µ
2
(δ − x))|
2
dx
.
(A.16)
De posse da id´eia anterior, temos
K
2
=
δ
0
|u
x
(δ + µ
1
(δ − x)) − f
x
(δ + µ
1
(δ − x))|
2
dx
=
δ+µ
1
δ
δ
1
µ
1
|u
x
(ξ) − f
x
(ξ)|
2
dξ,
assim,
µ
1
λ
2
1
K
2
a(x) =
µ
1
λ
2
1
µ
1
δ+µ
1
δ
δ
a(x)|u
x
(x) − f
x
(x)|
2
dx < λ
2
1
0
. (A.17)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
AO 64
Raciocinando de maneira an´aloga, obtemos
µ
2
λ
2
2
K
4
a(x) =
µ
2
λ
2
2
µ
2
δ+µ
1
δ
δ
a(x)|u
x
(x) − f
x
(x)|
2
dx < λ
2
2
0
, (A.18)
µ
1
λ
2
1
K
1
a(x) ≤ 2(λ
2
1
µ
1
+ λ
2
1
)
2δ
0
a(x)|u
x
(x)|
2
dx (A.19)
e
µ
2
λ
2
2
K
3
a(x) ≤ 2(λ
2
2
µ
2
+ λ
2
2
)
2δ
0
a(x)|u
x
(x)|
2
dx. (A.20)
Substituindo (A.17)-(A.20) em (A.16), resulta
δ
0
a(x)|u
x
(x)−G
x
(x)|
2
dx ≤ 4
0
(λ
2
1
+λ
2
2
)+8
λ
2
1
µ
1
+ λ
2
1
+ λ
2
2
µ
2
+ λ
2
2
2δ
0
a(x)|u
x
(x)|
2
dx.
(A.21)
Tamb´em, para o intervalo ]1 − δ, δ[ temos
δ
1−δ
a(x)|u
x
(x)−G
x
(x)|
2
≤ 4
0
(λ
2
1
+λ
2
2
)+8
λ
2
1
µ
1
+ λ
2
1
+ λ
2
2
µ
2
+ λ
2
2
1
1−2δ
a(x)|u
x
(x)|
2
dx.
(A.22)
Definindo
c = max
8
λ
2
1
+ λ
2
2
+
λ
2
1
µ
1
+
λ
2
2
µ
2
, 8
λ
2
1
µ
1
+ λ
2
1
+ λ
2
2
µ
2
+ λ
2
2
e
0
=
1 + 4
λ
2
1
µ
1
+
λ
2
2
µ
2
+ 4(λ
2
1
+ λ
2
2
)
,
Substituindo (A.9), (A.15), (A.21) e (A.22), em (A.1) provamos o desejado.
Cap
´
ıtulo 3
Estimativas de Carleman
Ao longo, deste cap´ıtulo, os resultados ser˜ao provados para as solu¸c˜oes regu-
lares. Para o caso fraco, seguir´a por argumentos de densidade.
Seja
u
t
− (au
x
)
x
= fχ
ω
(t, x) ∈ Q
T
u(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
u(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(au
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
u(0, x) = u
0
(x) x ∈ (0, 1)
(3.1)
A fim de estudarmos a controlabilidade para o problema (3.1), determinaremos
uma estimativa de Carleman para o problema adjunto.
Determinemos o problema adjunto ao problema acima compondo a equa¸c˜ao
(3.1)
1
com ϕ, onde ϕ ´e uma fun¸c˜ao admiss´ıvel. Logo
u
t
ϕ − (au
x
)
x
ϕ = gϕ onde g = f χ
ω
.
Analisemos cada termo separadamente. Temos
ϕg = u
t
ϕ − (au
x
)
x
ϕ
= (uϕ)
t
− uϕ
t
− {[(au
x
)ϕ]
x
− au
x
ϕ
x
}
= (uϕ)
t
− uϕ
t
− [[(au
x
)ϕ]
x
− {[u(aϕ
x
)]
x
− u(aϕ
x
)
x
}]
= (uϕ)
t
− uϕ
t
− [(au
x
ϕ)
x
− [(aϕ
x
)u]
x
+ u(aϕ
x
)
x
]
= (uϕ)
t
− u(ϕ
t
+ (aϕ
x
)
x
) − (au
x
ϕ)
x
+ [(aϕ
x
)u]
x
.
Notemos ainda, que
1
0
T
0
(uϕ)
t
=
1
0
[u(T )ϕ(T ) − u
0
ϕ(0)]dx (3.2)
65
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 66
−
T
0
1
0
(au
x
ϕ)
x
dxdt =
T
0
[(au
x
)(1)ϕ(1) − (au
x
)(0)ϕ(0)]dt (3.3)
−
T
0
1
0
[(aϕ
x
)u]
x
dxdt =
T
0
[(aϕ
x
)(1)u(1) − (aϕ
x
)(0)u(0)]dt. (3.4)
Gostar´ıamos, que observando (3.3)
(au
x
)(1)ϕ(1) − (au
x
)(0)ϕ(0) = 0.
Para tal, se 0 ≤ α < 1, impomos as seguintes condi¸c˜oes sobre, que ϕ(0) = 0 e
ϕ(1) = 0 e se 1 ≤ α < 2 que, ϕ(1) = 0, posto que (au
x
)(0) = 0.
De (3.4) desejamos que a igualdade
(aϕ
x
)(1)u(1) − (aϕ
x
)(0)u(0) = 0
seja verificada.
Se 0 ≤ α < 1 n˜ao h´a nenhuma imposi¸c˜ao ser feita `a ϕ, por´em se 1 ≤ α < 2,
inferimos que (aϕ
x
)(0) = 0, pois temos que u(1) = 0. De posse destas condi¸c˜oes, vem
Q
T
gϕ =
1
0
[u(T )ϕ
t
− u
0
ϕ(0)]dx −
Q
T
u(ϕ
t
+ (aϕ
x
)
x
)dxdt.
Para que a segunda integral do lado direito fa¸ca sentido, ´e necess´ario que
q = ϕ
t
+ (aϕ
x
)
x
∈ L
2
(Q
T
).
Com as mesmas nota¸c˜oes do problema original,
a(x) := x
α
com 0 ≤ α < 2 e Q
T
= (0, T ) × (0, 1) para T > 0.
Consideremos o problema adjunto.
ϕ
t
+ (aϕ
x
)
x
= q (t, x) ∈ Q
T
ϕ(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
ϕ(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(aϕ
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
ϕ(T, x) = ϕ
T
(x) x ∈ (0, 1),
(3.5)
onde ϕ
T
∈ L
2
(0, 1) e q ∈ L
2
(Q
T
).
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 67
Note que o problema acima possui solu¸c˜ao, uma vez que o problema (2.1)
possui. De fato, seja u solu¸c˜ao do problema (2.1), tomemos ϕ(t, x) = u(T − t, x) para
cada t ∈ R ´e solu¸c˜ao de (3.5).
Assim,
ϕ
t
(t) = −u
t
(T − t) e ϕ
x
(t) = u
x
(T − t),
implicando em
(aϕ
x
) = (au
x
)(T − t) ou ainda (aϕ
x
)
x
= (au
x
(T − t))
x
,
logo,
ϕ
t
+ (aϕ
x
)
x
= −u
t
(T − t) + (au
x
(T − t))
x
= −[u
t
(T − t) −(au
x
(T − t))
x
] = −f (T − t)
sendo assim, pondo q(t) = −f(T − t) segue que
ϕ
t
+ (aϕ
x
)
x
= q
tamb´em ϕ(t, 1) = u(T − t, 1) = 0 e, pondo u
0
= ϕ
T
segue que
ϕ(T, x) = u(0, x) = u
0
(x) = ϕ
T
(x)
al´em disso
ϕ(t, 0) = u(T − t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(aϕ
x
)(t, 0) = (au
x
)(T − t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2.
Nosso interesse neste cap´ıtulo ser´a provar o seguinte resultado.
Teorema 3.1. Seja 0 ≤ α < 2 e T > 0 dados. Ent˜ao existe σ : (0, T ) × [0, 1] → R
+
da forma σ(t, x) = θ(t)p(x). Com p(x) > 0 ∀x ∈ [0, 1] e θ(t) → ∞ quando t → 0
+
, T
−
e duas constantes positivas, c e R
0
, tais que para todo ϕ
T
∈ L
2
(0, 1) e f ∈ L
2
(Q
T
), a
solu¸c˜ao ϕ de (3.5) satisfaz para todo R ≥ R
0
Q
T
(Rθx
α
ϕ
2
x
+R
3
θ
3
x
2−α
ϕ
2
)e
−2Rσ
dxdt ≤ c
Q
T
e
−2Rσ
f
2
dxdt+c
T
0
{Rθe
−2Rσ
x
2α
ϕ
2
x
}
|x=1
Observa¸c˜ao 3.2. A fun¸c˜ao p ser´a explicitamente constru´ıda na prova. E a escolha para
θ ser´a
∀t ∈ (0, T ); θ(t) =
1
t(T − t)
4
onde satisfaz as seguintes propriedades.
θ(t) → +∞ quando t → 0
+
, T
−
, |θ
t
| ≤ c
0
θ
5
4
≤ c
1
θ
2
e |θ
tt
| ≤ c
0
θ
3
2
≤ c
1
θ
3
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 68
para alguma constante c
0
, c
1
> 0 dependendo de T . Note que
θ
t
(t) = −4(T − 2t)
1
t(T − t)
5
= −4(T − 2t)
1
(t(T − t))
4
5
4
= −4(T − 2t)θ
5
4
,
como −4(T − 2t) ≤ sup
t∈[0,T ]
| − 4(T −2t)| = c
0
T
, logo
|θ
t
(t)| ≤ c
0
T
θ
5
4
.
Agora
θ
tt
= 8θ
5
4
− 4(T − 2t)
5
4
θ
1
4
θ
t
= 8θ
5
4
− 5(T − 2t)[−4(T −2t)]θ
1
4
θ
5
4
= 8θ
5
4
+ 20(T − 2t)
2
θ
3
2
= 8θ
3
2
θ
−1
4
+ 20(T − 2t)
2
θ
3
2
=
8θ
−1
4
+ 20(T − 2t)
2
θ
3
2
=
8
1
[t(T − t)]
4
−1
4
+ 20(T − 2t)
2
θ
3
2
=
8t(T − t) + 20(T − 2t)
2
θ
3
2
,
seja c
1
T
= sup
t∈[0,T ]
|8t(T − t) + 20(T − 2t)
2
|, portanto
|θ
tt
(t)| ≤ c
1
T
θ
3
2
.
Tomando c
0
= max{c
0
T
, c
1
T
}, vem
|θ
t
| ≤ c
0
θ
5
4
e |θ
tt
| ≤ c
0
θ
3
2
.
Al´em disso, temos
θ
5
4
= θ
−3
4
θ
2
=
1
[t(T − t)]
4
−3
4
θ
2
= [t(T − t)]
3
θ
2
e
θ
3
2
= θ
−6
4
θ
3
=
1
[t(T − t)]
4
−6
4
θ
3
= [t(T − t)]
6
θ
3
.
Definindo
c
2
T
= max
sup
t∈[0,T ]
[t(T − t)]
3
, sup
t∈[0,T ]
[t(T − t)]
6
e consideremos c
1
= c
0
.c
2
T
, o que conclui as desigualdades.
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 69
A fim de provar o teorema 3.1 e 4.1 que enunciaremos posteriormente, faz-se
necess´ario o seguinte lema da desigualdade do tipo Hardy.
Lema 3.3. Desigualdade do tipo Hardy
(i) Seja 0 ≤ α
< 1. Ent˜ao, para toda fun¸c˜ao z localmente absolutamente cont´ınua sobre
(0, 1) satisfazendo
z(x) −→ 0
x → 0
+
e
1
0
x
α
z
2
x
< +∞.
A desigualdade se verifica
1
0
x
α
−2
z
2
≤
4
(1 − α
)
2
1
0
x
α
z
2
x
. (3.6)
(ii) Seja 1 < α
< 2. Ent˜ao a desigualdade (3.6) acima ainda se verifica para toda fun¸c˜ao
localmente absolutamente cont´ınua sobre (0, 1) satisfazendo
z(x) −→ 0
x → 1
−
e
1
0
x
α
z
2
x
< +∞.
Note que (3.6) ´e falso para α
= 1.
Demonstra¸c˜ao: Primeiro caso: 0 ≤ α
< 1.
Como z ´e absolutamente cont´ınua sobre (0, 1), temos
|z(x) − z()|
2
=
x
z
x
(s)s
3−γ
4
s
−3+γ
4
ds
2
≤
x
z
2
x
(s)s
3−γ
2
ds
x
s
−3+γ
2
ds
,
onde denotamos γ := 2 − α
∈ (1, 2]. Fazendo → 0
+
, vem
|z(x)|
2
≤
x
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
ds
x
0
s
−3+γ
2
ds
,
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 70
entretanto,
1
0
x
α
−2
z
2
(x)dx ≤
1
0
x
−γ
x
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
ds
x
0
s
−3+γ
2
ds
dx
=
1
0
x
−γ
x
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
ds
x
γ−1
2
γ−1
2
dx
=
2
γ − 1
1
0
x
−1−γ
2
x
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
ds
dx
=
2
γ − 1
1
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
1
s
x
−1−γ
2
dx
ds
=
2
γ − 1
1
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
2
1 − γ
x
1−γ
2
1
s
ds
=
2
γ − 1
1
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
2
1 − γ
+
4
(γ − 1)
2
1
0
z
2
x
(s)s
2−γ
= −
4
(γ − 1)
2
1
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
+
4
(γ − 1)
2
1
0
z
2
x
(s)s
2−γ
≤
4
(1 − α
)
2
1
0
s
α
z
2
x
(s)ds.
Segundo caso: 1 < α
< 2.
Denotando γ := 2 −α
∈ (0, 1), temos
1
0
x
α
−2
z
2
(x)dx ≤
1
0
x
−γ
1
x
z
2
x
(s)s
3−γ
2
ds
1
x
s
−3+γ
2
ds
dx
=
1
0
x
−γ
1
x
z
2
x
(s)s
3−γ
2
ds
x
γ−1
2
1−γ
2
dx
=
2
1 − γ
1
0
z
2
x
(s)s
3−γ
2
s
0
x
−1−γ
2
dx
ds
≤
4
(1 − γ)
2
1
0
z
2
x
(s)s
2−γ
ds =
4
(α
− 1)
2
1
0
s
α
z
2
x
(s)ds.
✷
3.1 Reformula¸c˜ao do Problema
Recordemos que a(x) = x
α
para todo x ∈ [0, 1] com α ∈ [0, 2) dado. Sejam
σ(t, x) = θ(t)p(x), onde p(x) > 0 ∀x ∈ [0, 1] e θ(t) → +∞ quando t → 0
+
, T
−
, para
R > 0, definamos
z(t, x) = e
−Rσ(t,x)
ϕ(t, x) (3.7)
onde ϕ ´e a solu¸c˜ao de (3.5). Note que
∀n ∈ N, θ
n
z = 0 e z
x
= 0 no tempo t = 0, t = T. (3.8)
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 71
Note que
θ
n
z = θ
n
e
−Rσ(t,x)
ϕ(t, x) =
θ
n
e
Rσ(t,x)
ϕ(t, x).
Como θ
n
e e
Rσ(t,x)
tende a +∞ quando t tende `a 0
+
, T
−
, aplicando L´Hopital
n vezes conclu´ımos que
θ
n
e
Rσ(t,x)
tende a zero, quando t tende `a 0
+
, T
−
e, do fato que
ϕ(T, x) e ϕ(0, x) s˜ao limitadas, temos o desejado.
Procedimento an´alogo para
z
x
= −Rθ(t)p
x
(x)z(t, x) + e
−Rσ(t,x)
ϕ
x
(t, x).
Segue que z satisfaz
(e
Rσ
z)
t
+ (a(e
Rσ
z)
x
)
x
= f (t, x) ∈ Q
T
z(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
z(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(az
x
)(t, 0) = −R(aσ
x
z)(t, 0) para 1 ≤ α < 2.
t ∈ (0, T )
(3.9)
De fato, basta notar que e
Rσ(t,x)
z(t, x) = ϕ(t, x) e, do fato que ϕ ´e solu¸c˜ao de
(3.5) segue a afirma¸c˜ao. Notemos ainda que
(e
Rσ
z)
t
= Rσ
t
e
Rσ
z + e
Rσ
z
t
= e
Rσ
[Rσ
t
z + z
t
]
(e
Rσ
z)
x
= Rσ
x
e
Rσ
z + e
Rσ
z
x
= e
Rσ
[Rσ
x
z + z
x
]
Nesta ´ultima igualdade, multiplicamos por a(x), donde
a(e
Rσ
z)
x
= Raσ
x
e
Rσ
z + e
Rσ
az
x
,
portanto,
(a(e
Rσ
z)
x
)
x
= R((aσ
x
)e
Rσ
z)
x
+ (e
Rσ
az
x
)
x
,
da primeira parcela do lado direito obtemos,
R((aσ
x
)e
Rσ
z)
x
= R[(aσ
x
z)
x
e
Rσ
+ Raσ
2
x
e
Rσ
z] = e
Rσ
[R(aσ
x
z)
x
+ R
2
aσ
2
x
z],
da segunda parcela, vem
(e
Rσ
az
x
)
x
= Rσ
x
e
Rσ
(az
x
) + e
Rσ
(az
x
)
x
= e
Rσ
[Rσ
x
(az
x
) + (az
x
)
x
].
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 72
Assim,
f = (e
Rσ
z)
t
+ (a(e
Rσ
z)
x
)
x
= e
Rσ
[Rσ
t
z + z
t
] + e
Rσ
[R(aσ
x
z)
x
+ R
2
aσ
2
x
z] + e
Rσ
[Rσ
x
(az
x
) + (az
x
)
x
]
= e
Rσ
[Rσ
t
z + z
t
+ R(aσ
x
z)
x
+ R
2
aσ
2
x
z + Rσ
x
(az
x
) + (az
x
)
x
],
ou seja,
fe
−Rσ
= Rσ
t
z + z
t
+ R(aσ
x
z)
x
+ R
2
aσ
2
x
z + Rσ
x
(az
x
) + (az
x
)
x
portanto, a equa¸c˜ao (3.9)
1
pode ser reescrita como,
P
R
z = P
+
R
z + P
−
R
z = fe
−Rσ
,
onde
P
+
R
z := Rσ
t
z + R
2
aσ
2
x
z + (az
x
)
x
P
−
R
z := z
t
+ R(aσ
x
z)
x
+ Raσ
x
z
x
= z
t
+ R(aσ
x
)
x
z + 2Raσ
x
z
x
.
Al´em disso, temos
fe
−Rσ
2
= P
+
R
z
2
+ P
−
R
z
2
+ 2(P
+
R
z, P
−
R
z) ≥ 2(P
+
R
z, P
−
R
z), (3.10)
onde . e (., .) denotam a norma e o produto interno em L
2
(Q
T
).
3.2 Produto Escalar
Nesta se¸c˜ao iremos determinar o produto escalar em L
2
(Q
T
) para P
+
R
z e P
−
R
z.
Isto ser´a feito em duas etapas. Primeiramente iremos definir os termos de fronteira e
limitados, posteriormente mostraremos que os termos de fronteira est˜ao bem definidos.
Lema 3.4. A seguinte identidade se verifica
(P
+
R
z, P
−
R
z) =
T
0
az
x
z
t
+ R
2
aσ
t
σ
x
z
2
+ R
3
a
2
σ
3
x
z
2
+ Ra(aσ
x
)
x
zz
x
+ Ra
2
σ
x
z
2
x
1
0
(b.t)
+
Q
T
−
1
2
Rσ
tt
− 2R
2
aσ
xt
− R
3
aσ
x
(aσ
2
x
)
x
z
2
+
Q
T
−R
a
σ
x
(aσ
2
x
)
x
z
2
x
− Ra(aσ
x
)
xx
zz
x
(d.t).
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 73
Ent˜ao, usando o fato que a(x) = x
α
e σ(t, x) = θ(t)p(x), calculamos os termos de fronteira
e distribu´ıdos como segue.
Demonstra¸c˜ao: Temos (P
+
R
z, P
−
R
z) = Q
1
+ Q
2
+ Q
3
+ Q
4
, onde
Q
1
:= (Rσ
t
z + R
2
aσ
2
x
z + (az
x
)
x
, z
t
),
Q
2
:= R
2
(σ
t
z, (aσ
x
)
x
z + 2aσ
x
z
x
),
Q
3
:= R
3
(aσ
2
x
z, (aσ
x
)
x
z + 2aσ
x
z
x
),
Q
4
:= R((az
x
)
x
, (aσ
x
)
x
z + 2aσ
x
z
x
).
Analisemos o primeiro termo Q
1
. Utilizando integra¸c˜ao por partes, obtemos
Q
1
=
Q
T
Rσ
t
z + R
2
aσ
2
x
z + (az
x
)
x
z
t
=
Q
T
Rσ
t
+ R
2
aσ
2
x
d
dt
z
2
2
+
Q
T
(az
x
)
x
z
t
=
1
0
1
2
Rσ
t
+ R
2
aσ
2
x
z
2
T
0
−
Q
T
1
2
d
dt
Rσ
t
+ R
2
aσ
2
x
z
2
+
T
0
az
x
z
t
1
0
−
Q
T
az
x
z
xt
=
1
0
1
2
Rσ
t
+ R
2
aσ
2
x
z
2
T
0
−
Q
T
1
2
d
dt
Rσ
t
+ R
2
aσ
2
x
z
2
+
T
0
az
x
z
t
1
0
−
1
0
T
0
d
dt
az
2
x
2
=
1
0
Rσ
t
+ R
2
aσ
2
x
1
2
z
2
−
1
2
az
2
x
T
0
−
Q
T
1
2
d
dt
Rσ
t
+ R
2
aσ
2
x
z
2
+
T
0
az
x
z
t
1
0
.
Por (3.8), observando que z
x
= 0, θ
2
z = 0 e θ
t
z
2
= 0, no ponto t = 0, T , segue
que
1
0
Rσ
t
+ R
2
aσ
2
x
1
2
z
2
−
1
2
az
2
x
T
0
= 0,
logo,
Q
1
=
T
0
az
x
z
t
1
0
+
Q
T
−
1
2
Rσ
tt
− R
2
aσ
x
σ
xt
z
2
. (3.11)
An´alise do segundo termo Q
2
.
Q
2
= R
2
Q
T
σ
t
z((aσ
x
)
x
z + 2aσ
x
z
x
) = R
2
Q
T
σ
t
(aσ
x
)
x
z
2
+ aσ
t
σ
x
(z
2
)
x
= R
2
Q
T
σ
t
(aσ
x
)
x
z
2
+ R
2
Q
T
aσ
t
σ
x
(z
2
)
x
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 74
= R
2
Q
T
σ
t
(aσ
x
)
x
z
2
+ R
2
T
0
aσ
t
σ
x
z
2
1
0
− R
2
Q
T
(aσ
t
σ
x
)
x
z
2
= R
2
Q
T
σ
t
(aσ
x
)
x
z
2
+ R
2
T
0
aσ
t
σ
x
z
2
1
0
− R
2
Q
T
σ
tx
(aσ
x
)z
2
−R
2
Q
T
σ
t
(aσ
x
)
x
z
2
= R
2
T
0
aσ
t
σ
x
z
2
1
0
− R
2
Q
T
σ
tx
(aσ
x
)z
2
.
Consequentemente,
Q
2
= R
2
T
0
aσ
t
σ
x
z
2
1
0
− R
2
Q
T
aσ
x
σ
xt
z
2
. (3.12)
An´alise do terceiro termo Q
3
.
Q
3
= R
3
Q
T
aσ
2
x
z
(aσ
x
)
x
z + 2aσ
x
z
x
= R
3
Q
T
aσ
2
x
z
(aσ
x
z)
x
+ aσ
x
z
x
= R
3
Q
T
aσ
2
x
z(aσ
x
z)
x
+ R
3
Q
T
a
2
σ
3
x
zz
x
= R
3
T
0
a
2
σ
3
x
z
2
1
0
− R
3
Q
T
(aσ
2
x
z)
x
aσ
x
z + R
3
Q
T
a
2
σ
3
x
zz
x
= R
3
T
0
a
2
σ
3
x
z
2
1
0
− R
3
Q
T
[(aσ
2
x
)
x
aσ
x
z
2
+ a
2
σ
3
x
zz
x
] + R
3
Q
T
a
2
σ
3
x
zz
x
= R
3
T
0
a
2
σ
3
x
z
2
1
0
− R
3
Q
T
(aσ
2
x
)
x
aσ
x
z
2
.
Assim,
Q
3
= R
3
T
0
a
2
σ
3
x
z
2
1
0
− R
3
Q
T
aσ
x
(aσ
2
x
)
x
z
2
. (3.13)
An´alise do quarto termo Q
4
.
Q
4
= R
Q
T
(az
x
)
x
(aσ
x
)
x
z + 2aσ
x
z
x
= R
Q
T
(az
x
)
x
(aσ
x
)
x
z + R
Q
T
2aσ
x
z
x
(az
x
)
x
= R
T
0
az
x
(aσ
x
)
x
z
1
0
− R
Q
T
az
x
(aσ
x
)
x
z
x
+ R
Q
T
σ
x
(az
x
)
2
x
= R
T
0
a(aσ
x
)
x
zz
x
1
0
− R
Q
T
[a(aσ
x
)
x
z
2
x
+ a(aσ
x
)
xx
zz
x
]
+R
T
0
σ
x
a
2
z
2
x
1
0
− R
Q
T
σ
xx
a
2
z
2
x
= R
T
0
(aσ
x
)
x
zaz
x
+ σ
x
a
2
z
2
x
1
0
− R
Q
T
az
2
x
σ
x
(aσ
2
x
)
x
−R
Q
T
a(aσ
x
)
xx
zz
x
.
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 75
Consequentemente,
Q
4
= R
T
0
(aσ
x
)
x
zaz
x
+ σ
x
a
2
z
2
x
1
0
− R
Q
T
a
σ
x
(aσ
2
x
)
x
z
2
x
−R
Q
T
a(aσ
x
)
xx
zz
x
.
(3.14)
Finalmente, o lema segue de (3.11)-(3.14). ✷
Nos pr´oximos lemas, determinaremos condi¸c˜oes sobre os termos (d.t) e mostraremos
que o termo (b.t) est´a bem definido.
Lema 3.5. Para todo 0 ≤ α < 2, tem-se
(d.t) = −
1
2
R
Q
T
θ
tt
pz
2
− 2R
2
Q
T
θθ
t
x
α
p
2
x
z
2
−R
3
Q
T
θ
3
x
2α−1
(2xp
xx
+ αp
x
)p
2
x
z
2
−R
Q
T
θx
2α−1
(2xp
xx
+ αp
x
)z
2
x
− R
Q
T
θx
α
(x
α
p
x
)
xx
zz
x
.
Al´em disso, para 0 ≤ α < 1, os termos de fronteira (b.t) s˜ao dados por
(b.t) =
T
0
Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=1
−
T
0
Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=0
.
Para 1 ≤ α < 2, os termos de fronteira (b.t) tornam-se
(b.t) =
T
0
Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=1
+
T
0
−
R
2
θ
t
ap
x
z
2
− R
2
θ
t
θapp
x
z
2
− 2R
3
θ
3
a
2
p
3
x
z
2
+ R
2
θ
2
ap
x
(ap
x
)
x
z
2
|x=0
.
Demonstra¸c˜ao: Com a(x) = x
α
e σ(t, x) = θ(t)p(x), os termos distribu´ıdos (d.t) podem
ser calculados como segue,
(d.t) =
Q
T
−
1
2
Rσ
tt
− 2R
2
aσ
xt
− R
3
aσ
x
(aσ
2
x
)
x
z
2
+
Q
T
−R
a
σ
x
(aσ
2
x
)
x
z
2
x
− Ra(aσ
x
)
xx
zz
x
= −
1
2
R
Q
T
θ
tt
pz
2
− 2R
2
Q
T
θθ
t
x
α
p
2
x
z
2
− R
3
Q
T
θ
3
x
α
p
x
(x
α
p
2
x
)
x
z
2
−R
Q
T
θ
x
α
p
x
(x
α
p
2
x
)
x
z
2
x
− R
Q
T
θx
α
(x
α
p
x
)
xx
zz
x
= −
1
2
R
Q
T
θ
tt
pz
2
− 2R
2
Q
T
θθ
t
x
α
p
2
x
z
2
− R
Q
T
θx
α
(x
α
p
x
)
xx
zz
x
−R
3
Q
T
θ
3
x
2α−1
(2xp
xx
+ αp
x
)p
2
x
z
2
− R
Q
T
θx
2α−1
(2xp
xx
+ αp
x
)z
2
x
.
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 76
Tamb´em levando em considera¸c˜ao o fato que z(t, 1) = 0, os termos de fronteira
(b.t), tornam-se
(b.t) =
T
0
az
x
z
t
+ R
2
σ
t
σ
x
az
2
+ R
3
σ
3
x
a
2
z
2
+ R(aσ
x
)
x
zaz
x
+ Rσ
x
a
2
z
2
x
1
0
=
T
0
Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=1
−
T
0
az
x
z
t
+ R
2
θ
t
θpp
x
az
2
+ R
3
θ
3
p
3
x
a
2
z
2
+ Rθ(ap
x
)
x
zaz
x
+ Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=0
.
Agora, para 0 ≤ α < 1, usa o fato que z(t, 0) = 0, para obter
(b.t) =
T
0
Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=1
−
T
0
Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=0
.
Similarmente, para 1 ≤ α < 2, recorde-se que (az
x
)(t, 0) = −Rθ(t)(ap
x
z)(t, 0),
para concluir que
(b.t) =
T
0
Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=1
+
T
0
Rθap
x
d
dt
z
2
2
− R
2
θ
t
θpp
x
az
2
− R
3
θ
3
p
3
x
a
2
z
2
+ R
2
θ
2
p
x
(ap
x
)
x
az
2
− R
3
θ
3
p
3
x
a
2
z
2
|x=0
.
Logo,
(b.t) =
T
0
Rθp
x
a
2
z
2
x
|x=1
+
T
0
−
R
2
θ
t
p
x
az
2
− R
2
θ
t
θpp
x
az
2
− 2R
3
θ
3
p
3
x
a
2
z
2
+ R
2
θ
2
p
x
(ap
x
)
x
az
2
|x=0
.
✷
3.3 Limitantes Inferiores
Em nosso pr´oximo lema, somos motivados a encontrar a fun¸c˜ao p(x) de modo
que verifique a seguinte equa¸c˜ao,
2xp
xx
+ αp
x
= −x
1−α
,
uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de segunda ordem. Lembremos que α ∈ [0, 2).
Para resolvermos a E.D.O acima, chamemos v = p
x
, assim v
x
= p
xx
, substi-
tuindo as altera¸c˜oes na equa¸c˜ao acima obtemos,
2xv
x
+ αv = −x
1−α
, ou ainda v
x
+
α
2x
v = −
1
2
x
−α
∀x ∈ (0, 1]
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 77
com fator integrante desta ´ultima equa¸c˜ao, I(x) = e
α
2x
dx
= e
α
2
ln x
= x
α
2
, donde
x
α
2
v
x
+ x
α
2
α
2x
v = −
1
2
x
−α
d
dx
[x
α
2
v] = −
1
2
x
−α
x
α
2
v = −
1
2
x
−
α
2
+1
−
α
2
+ 1
,
assim,
v = −
x
−α+1
2 − α
.
Por outro lado,
p
x
= v = −
x
−α+1
2 − α
,
logo,
p(x) = −
x
−α+2
(2 − α)
2
+ k.
Segundo o enunciado no teorema 3.1, p(x) > 0 ∀x ∈ [0, 1]. Do fato que
x
−α+2
≤ 1 ∀x ∈ [0, 1] e ∀α ∈ [0, 2) consideramos k(2 −α)
2
= 2 por conveniˆencia, donde,
∀x ∈ [0, 1], p(x) :=
2 − x
2−α
(2 − α)
2
.
Ent˜ao,
p
x
(x) = −
x
1−α
2 − α
, p
xx
(x) = −
(1 − α)
2 − α
x
−α
e
(x
α
p
x
)
x
=
−
x
α
x
1−α
2 − α
x
=
−
x
2 − α
x
= −
1
2 − α
,
assim,
(x
α
p
x
)
xx
= 0.
Com esta escolha de p os termos distribu´ıdos e limitados podem ser calculados
como segue.
Lema 3.6. Para todo α ∈ [0, 2). Os termos distribu´ıdos (d.t) tornam-se
(d.t) = −
R
(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
z
2
+
R
2(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
x
2−α
z
2
+ R
Q
T
θx
α
z
2
x
+
R
3
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
−
2R
2
(2 − α)
2
Q
T
θθ
t
x
2−α
z
2
.
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 78
Para 0 ≤ α < 1, os termos de fronteira (b.t) tornam-se
(b.t) = −
1
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
+
1
2 − α
T
0
Rθx
1+α
z
2
x
|x=0
.
Para 1 ≤ α < 2, os termos de fronteira (b.t) tornam-se
(b.t) = −
1
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
+
T
0
Rθ
t
2(2 − α)
xz
2
+
2R
2
θ
t
θ
(2 − α)
3
xz
2
+
−
R
2
θ
t
θ
(2 − α)
3
x
3−α
z
2
+
2R
3
θ
3
(2 − α)
3
x
3−α
z
2
+
R
2
θ
2
(2 − α)
2
xz
2
|x=0
.
Demonstra¸c˜ao:
(d.t) =
Q
T
−
1
2
Rσ
tt
− 2R
2
aσ
xt
− R
3
aσ
x
(aσ
2
x
)
x
z
2
+
Q
T
−R
a
σ
x
(aσ
2
x
)
x
z
2
x
− Ra(aσ
x
)
xx
zz
x
= −
1
2
R
Q
T
θ
tt
pz
2
− 2R
2
Q
T
θθ
t
x
α
p
2
x
z
2
− R
Q
T
θx
α
(x
α
p
x
)
xx
zz
x
−R
Q
T
θx
2α−1
(2xp
xx
+ αp
x
)z
2
x
− R
3
Q
T
θ
3
x
2α−1
(2xp
xx
+ αp
x
)p
2
x
z
2
= −
1
2
R
Q
T
θ
tt
2 − x
−α+2
(2 − α)
2
z
2
−
2R
2
(2 − α)
2
Q
T
θθ
t
x
2−α
z
2
−
R
3
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
+ R
Q
T
θx
α
z
2
x
= −
R
(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
z
2
+
R
2(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
x
2−α
z
2
+ R
Q
T
θx
α
z
2
x
+
R
3
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
−
2R
2
(2 − α)
2
Q
T
θθ
t
x
2−α
z
2
.
Para os termos limitados, segue tamb´em diretamente do lema 3.5 e da escolha
de p e da express˜ao (b.t). ✷
Para o pr´oximo lema, definamos
∀t ∈ (0, T ), θ(t) :=
1
t(T − t)
4
.
Observe que θ satisfaz as seguintes propriedades,
|θ
t
| ≤ c
T
0
θ
5
4
≤ c
T
1
θ
2
e |θ
tt
| ≤ c
T
0
θ
3
2
≤ c
T
1
θ
3
.
Com esta escolha de θ os termos distribu´ıdos e limitados podem ser calculados
como segue.
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 79
Lema 3.7. Para todo α ∈ [0, 2). Os termos distribu´ıdos (d.t) e os termos limitados (b.t)
satisfazem, para R suficientemente grande
(d.t) ≥
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
+
3
4
R
Q
T
θx
α
z
2
x
(b.t) ≥ −
1
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
.
Demonstra¸c˜ao: Analisemos primeiramente os termos distribu´ıdos. Temos, devido ao
lema 3.6
(d.t) = −
R
(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
z
2
+
R
2(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
x
2−α
z
2
−
2R
2
(2 − α)
2
Q
T
θθ
t
x
2−α
z
2
+
R
3
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
+ R
Q
T
θx
α
z
2
x
.
Como os dois ´ultimos termos s˜ao n˜ao negativos, temos a necessidade somente
de estimar os outros trˆes termos. Comecemos com o segundo termo,
R
2(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
x
2−α
z
2
≤
c
T
1
R
2(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
≤
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
,
para R suficientemente grande. E do fato |θ
tt
| ≤ c
T
0
θ
3
2
≤ c
T
1
θ
3
.
Para o terceiro termo, usando o fato que
|θθ
t
| ≤ c
T
0
θ
9
4
≤ c
T
1
θ
3
e R suficientemente grande
2R
2
(2 − α)
2
Q
T
θθ
t
x
2−α
z
2
≤
2c
T
1
R
2
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
≤
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
donde,
−
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
≤
R
2(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
x
2−α
z
2
≤
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
e
−
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
≤
2R
2
(2 − α)
2
Q
T
θθ
t
x
2−α
z
2
≤
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
ou ainda,
−
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
≤ −
2R
2
(2 − α)
2
Q
T
θθ
t
x
2−α
z
2
≤
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
.
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 80
Logo, somando membro a membro da primeira desilgualdade com a ´ultima,
vem
R
2(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
x
2−α
z
2
−
2R
2
(2 − α)
2
Q
T
θθ
t
x
2−α
z
2
≥ −
R
3
2(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
mas,
R
3
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
−
R
3
2(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
=
R
3
2(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
da´ı, vem
(d.t) ≥ −
R
(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
z
2
+
R
3
2(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
+ R
Q
T
θx
α
z
2
x
. (3.15)
Temos ainda que limitar o primeiro termo do lado direito acima. Primeira-
mente observe que a solu¸c˜ao ϕ de (3.5) permanece em L
2
(0, T ; H
1
a
(0, 1)) pelo teorema 2.8.
Como z = e
−Rσ
ϕ, mostra-se que z tamb´em pertence `a L
2
(0, T ; H
1
a
(0, 1)).
T
0
z
2
H
1
a
(0,1)
dt =
T
0
e
−Rσ
ϕ
2
H
1
a
(0,1)
≤
T
0
ϕ
2
H
1
a
(0,1)
= ϕ
L
2
(0,T ;H
1
a
(0,1))
.
Agora,
R
(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
z
2
≤
c
T
0
R
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
2
z
2
=
c
T
0
R
(2 − α)
2
Q
T
θx
α−2
3
z
2
3
4
θ
3
x
2−α
z
2
1
4
≤
3c
T
0
R
4(2 − α)
2
Q
T
θx
α−2
3
z
2
+
c
T
0
R
4
3
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
(3.16)
Separemos o caso em que α = 1 dos outros. Pois neste caso particular a
desigualdade de Hardy (Lema 3.3) n˜ao ocorre para α
= 1.
No caso α = 1, observe que x
(α−2)
3
≤ x
α−2
, pois α < 2. Aplicando o lema 3.3
com α
= α = 1, (z satisfaz as hip´oteses do lema 3.3 para quase todo t, j´a que pertence
L
2
(0, T ; H
1
a
(0, 1)) ) obtemos
Q
T
θx
α−2
3
z
2
≤
Q
T
θx
α−2
z
2
≤
4
(α − 1)
2
Q
T
θx
α
z
2
x
. (3.17)
No caso α = 1, aplicando o lema 3.3 com α
=
5
3
e usando o fato que x
5
3
≤ x
obtemos similarmente,
Q
T
θx
α−2
3
z
2
=
Q
T
θx
−1
3
z
2
≤
4
(α
− 1)
2
Q
T
θx
5
3
z
2
x
≤ 9
Q
T
θxz
2
x
= 9
Q
T
θx
α
z
2
x
.
(3.18)
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 81
Em ambos os casos, combinando (3.16) com (3.17) ou (3.18), obt´em-se
R
(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
z
2
≤ c
R
Q
T
θx
α
z
2
x
+
cR
4
3
(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
,
onde c
=
3c
T
0
(2 − α)
4
ou
27c
T
0
4(2 − α)
2
> 0 e c =
c
T
0
(2 − α)
2
4
ou 9c
T
0
.
Ent˜ao para suficientemente pequeno e R suficientemente grande, temos,
R
(2 − α)
2
Q
T
θ
tt
z
2
≤
R
4
Q
T
θx
α
z
2
x
+
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
. (3.19)
Assim, por (3.15) e (3.19),
(d.t) ≥
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
+
3R
4
Q
T
θx
α
z
2
x
≥ 0.
Voltando para os termos limitados. No caso 0 ≤ α < 1, pelo lema 3.6, temos
(b.t) = −
1
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
+
1
2 − α
T
0
Rθx
α+1
z
2
x
|x=0
≥ −
1
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
.
No caso 1 ≤ α < 2, recordemos que, pelo lema 3.6
(b.t) = −
1
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
+
T
0
Rθ
t
2(2 − α)
+
2R
2
θ
t
θ
(2 − α)
3
+
−
R
2
θ
t
θ
(2 − α)
3
x
2−α
+
2R
3
θ
3
(2 − α)
3
x
2−α
+
R
2
θ
2
(2 − α)
2
xz
2
|x=0
.
Como z ∈ H
1
a
(0, 1) para quase todo t, afirmamos que, para quase todo t ∈
(0, T ).
xz
2
(t, x) → 0 quando x → 0
logo,
(b.t) = −
1
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
.
De fato, sejam α ∈ [1, 2) dado e para toda v ∈ H
1
a
(0, 1), tems pela defini¸c˜ao
H
1
a
(0, 1) no caso 1 ≤ α < 2, sabendo que v ∈ L
2
(0, 1) e
√
av
x
= x
α
2
v
x
∈ L
2
(0, 1), ent˜ao
xv
2
∈ L
1
(0, 1). Al´em disso,
(xv
2
)
x
= v
2
+ 2xvv
x
.
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 82
Como v
2
∈ L
1
(0, 1) e xvv
x
= (x
1−α
2
v)(x
α
2
v
x
) ∈ L
1
(0, 1). Logo, xv
2
∈ W
1,1
(0, 1).
logo, xv
2
→ L ≥ 0 quando x → 0
+
. Finalmente L = 0, caso contr´ario implicaria que
v ∈ L
2
(0, 1).
Como, xv
2
∈ W
1,1
(0, 1) → C
0
(0, 1), ou seja, dado > 0 existe δ > 0 se |x| < δ
implica
|xv
2
− L| < ,
portanto, para suficientemente pequeno temos
v
2
>
L −
x
> 0, 0 < |x| < δ.
Integrando a desigualdade acima no intervalo (η, δ) com 0 < η < δ vem,
δ
η
v
2
>
δ
η
L −
x
= (L − ) ln(x)
δ
η
= (L − )[ln(δ) −ln(η)].
(3.20)
Fazendo η −→ 0, temos que o termo do lado esquerdo da desigualdade dada
em (3.20) tende `a +∞, ou seja v ∈ L
2
(0, 1), o que ´e uma contradi¸c˜ao. ✷
Vamos agora provar o teorema 3.1.
Demonstra¸c˜ao: do Teorema 3.1: Pelo lema 3.4 e 3.7, temos para todo 0 ≤ α < 2,
(P
+
R
z, P
−
R
z) = (d.t) + (b.t) ≥
R
3
4(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
+
3R
4
Q
T
θx
α
z
2
x
−
1
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
,
por (3.10), temos
fe
−Rσ
2
= P
+
R
z
2
+ P
−
R
z
2
+ 2(P
+
R
z, P
−
R
z) ≥ 2(P
+
R
z, P
−
R
z)
≥
R
3
2(2 − α)
2
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
+
3R
2
Q
T
θx
α
z
2
x
−
2
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
.
Lembre-se que σ(t, x) = θ(t)p(x) e p
x
(x) = −
x
1−α
2 − α
. Logo,
x
α
σ
2
x
= x
α
(θ(t)p
x
(x))
2
= x
α
−θ(t)
x
1−α
2 − α
2
=
1
(2 − α)
2
θ
2
(t)x
2−α
.
Al´em disso, ϕ = e
Rσ
z. Mas, ϕ
x
= Rσ
x
e
Rσ
z + e
Rσ
z
x
, entretanto
0 ≤ (Rσ
x
z − z
x
)
2
= R
2
σ
2
x
z
2
− 2Rσ
x
zz
x
+ z
2
x
,
CAP
´
ITULO 3. ESTIMATIVAS DE CARLEMAN 83
donde,
2Rσ
x
zz
x
≤ R
2
σ
2
x
z
2
+ z
2
x
.
Somando em ambos os lados da desigualdade anterior o termo R
2
σ
2
x
z
2
+ z
2
x
, e
depois multiplicando tudo por e
2Rσ
, vem
R
2
e
2Rσ
σ
2
x
z
2
+ 2Re
2Rσ
σ
x
zz
x
+ e
2Rσ
z
2
x
≤ 2R
2
σ
2
x
e
2Rσ
z
2
+ 2e
2Rσ
z
2
x
,
ou seja,
(Re
Rσ
σ
x
z + e
Rσ
z
x
)
2
≤ 2R
2
σ
2
x
e
2Rσ
z
2
+ 2e
2Rσ
z
2
x
.
Portanto,
ϕ
2
x
≤ 2R
2
σ
2
x
e
2Rσ
z
2
+ 2e
2Rσ
z
2
x
.
Logo,
R
3
θ
3
x
2−α
ϕ
2
+ Rθx
α
ϕ
2
x
≤ R
3
θ
3
x
2−α
e
2Rσ
z
2
+ Rθx
α
2R
2
σ
2
x
e
2Rσ
z
2
+ 2e
2Rσ
z
2
x
= R
3
θ
3
x
2−α
e
2Rσ
z
2
+ c
1
R
3
θ
3
x
2−α
e
2Rσ
z
2
+ 2Rθx
α
e
2Rσ
z
2
x
≤ c
2
R
3
θ
3
x
2−α
e
2Rσ
z
2
+ Rθx
α
e
2Rσ
z
2
x
,
onde c
1
=
2
(2 − α)
2
e c
2
= max{1, c
1
, 2}.
Tomemos c
3
= min
1
2(2 − α)
2
,
3
2
. Ent˜ao
Q
T
f
2
e
−2Rσ
+
2
2 − α
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
≥ c
3
R
3
Q
T
θ
3
x
2−α
z
2
+ c
3
R
Q
T
θx
α
z
2
x
Assim,
Q
T
R
3
θ
3
x
2−α
ϕ
2
+ Rθx
α
ϕ
2
x
e
−2Rσ
≤ c
2
Q
T
R
3
θ
3
x
2−α
z
2
+ Rθx
α
z
2
x
≤
c
2
c
3
Q
T
f
2
e
−2Rσ
+
c
2
c
3
T
0
Rθx
2α
z
2
x
|x=1
.
Al´em disso, (az
x
)(1) = e
−Rσ
(aϕ
x
)(1) posto que z(1) = 0. Portanto,
Q
T
R
3
θ
3
x
2−α
ϕ
2
+ Rθx
α
ϕ
2
x
e
−2Rσ
≤ c
Q
T
f
2
e
−2Rσ
+ c
T
0
Rθe
−2Rσ
x
2α
ϕ
2
x
|x=1
.
✷
Cap
´
ıtulo 4
Controlabilidade
4.1 Desigualdade de observabilidade
Determinaremos neste cap´ıtulo a desigualdade de observabilidade, que poste-
riormente aplicaremos para obtermos a controlabilidade do problema (3.1).
Consideremos o seguinte problema adjunto
v
t
+ (av
x
)
x
= 0 (t, x) ∈ Q
T
v(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
v(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(av
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
v(T, x) = v
T
(x) x ∈ (0, 1),
(4.1)
onde v
T
(x) ´e dado em L
2
(0, 1).
Com a estimativa de Carleman obtida no Teorema 3.1, conlu´ımos a seguinte
desigualdade de observabilidade para (4.1).
Teorema 4.1. Sejam 0 ≤ α < 2 e T > 0 dados e ω um subintervalo n˜ao-vazio de (0, 1).
Ent˜ao existe k > 0 tal que, para toda v
T
∈ L
2
(0, 1) a solu¸c˜ao v de (4.1) satisfaz
1
0
x
α
v
x
(0, x)
2
dx ≤ k
T
0
ω
v(t, x)
2
dxdt. (4.2)
Para provarmos o Teorema acima faremos uso dos seguintes lemas, que provare-
mos a seguir.
Lema 4.2. (Desigualdade de Cacciopolis). Nas hip´oteses do Teorema 4.1, para todo
R > 0 temos
T
0
ω
e
−2Rσ
v
2
x
dxdt ≤ C(R, T )
T
0
ω
v
2
dxdt,
84
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 85
onde ω
´e um subintervalo n˜ao vazio de ω = (x
0
, x
1
) dado por: ω
=
2x
0
+ x
1
3
,
x
0
+ 2x
1
3
se 0 ≤ x
0
< x
1
≤ 1.
Demonstra¸c˜ao: Notemos inicialmente que
lim
t→T
−
e
−2Rσ
v
2
→ 0 e lim
t→0
+
e
−2Rσ
v
2
→ 0.
Definamos a fun¸c˜ao ξ : R → R dada por
0 ≤ ξ(x) ≤ 1 ∀x ∈ R
ξ(x) = 1 para x ∈ ω
ξ(x) = 0 para x ∈ ω.
Ent˜ao pra todo R > 0,
0 =
T
0
d
dt
1
0
ξ
2
e
−2Rσ
v
2
=
Q
T
−2ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
+ 2ξ
2
e
−2Rσ
vv
t
= −2
Q
T
ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
− 2
Q
T
ξ
2
e
−2Rσ
v(av
x
)
x
= −2
Q
T
ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
+ 2
Q
T
(ξ
2
e
−2Rσ
v)
x
av
x
= −2
Q
T
ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
+ 2
Q
T
a(ξ
2
e
−2Rσ
)
x
vv
x
+ ξ
2
e
−2Rσ
av
2
x
.
Logo,
2
Q
T
ξ
2
e
−2Rσ
av
2
x
= 2
Q
T
ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
− 2
Q
T
a(ξ
2
e
−2Rσ
)
x
vv
x
= 2
Q
T
ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
− 2
Q
T
√
aξe
−Rσ
v
x
√
a
(ξ
2
e
−Rσ
)
x
ξe
−Rσ
v
≤ 2
Q
T
ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
+
Q
T
√
aξe
−Rσ
v
x
2
+
Q
T
√
a
(ξ
2
e
−Rσ
)
x
ξe
−Rσ
v
2
≤ 2
Q
T
ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
+
Q
T
√
a
(ξ
2
e
−Rσ
)
x
ξe
−Rσ
v
2
+
Q
T
ξ
2
e
−2Rσ
av
2
x
donde,
Q
T
ξ
2
e
−2Rσ
av
2
x
≤ 2
Q
T
ξ
2
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
+
Q
T
√
a
(ξ
2
e
−Rσ
)
x
ξe
−2Rσ
v
2
.
Notemos que
√
a
(ξ
2
e
−2Rσ
)
x
ξe
−Rσ
= 2
√
aξ
x
e
−Rσ
− 2R
√
aξσ
x
e
−Rσ
.
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 86
Portanto,
T
0
ω
e
−2Rσ
av
2
x
≤ 2
T
0
ω
Rσ
t
e
−2Rσ
v
2
+ 4
T
0
ω
ae
−2Rσ
(1 − Rσ
x
)
2
v
2
≤ C(R, T )
T
0
ω
v
2
.
Tomando C(R, T ) = max
2R sup
t∈[0,T ]
x∈[0,1]
|σ
t
e
−2Rσ
|, 4 sup
t∈[0,T ]
x∈[0,1]
|ae
−2Rσ
(1 − Rσ
x
)
2
|
.
✷
Lema 4.3. Sejam 0 ≤ α < 2 e T > 0 dados e ω um subintervalo n˜ao vazio de (0, 1).
Existem constantes positivas R
0
, C, k
1
> 0, tais que para toda v
T
∈ L
2
, (0, 1), a solu¸c˜ao v
de (4.1) satisfaz, para todo R ≥ R
0
,
T
0
1
0
Rθx
α
v
2
x
+ R
3
θ
3
x
2−α
v
2
e
−2k
1
Rθ
dxdt ≤ C
T
0
ω
v
2
dxdt.
Demonstra¸c˜ao: Seja ω = (x
0
, x
1
) com 0 ≤ x
0
< x
1
≤ 1 e consideremos a fun¸c˜ao
ψ : R → R( fun¸c˜ao cut-off) tal que
0 ≤ ψ(x) ≤ 1 ∀x ∈ R
ψ(x) = 1 para x ∈
0,
2x
0
+ x
1
3
ψ(x) = 0 para x ∈
x
0
+ 2x
1
3
, 1
.
Definamos ϕ := ψv onde v ´e a solu¸c˜ao de (4.1). Ent˜ao ϕ satisfaz
ϕ
t
+ (aϕ
x
)
x
= (aψ
x
v)
x
+ ψ
x
av
x
=: f (t, x) ∈ Q
T
ϕ(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
ϕ(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(aϕ
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2,
t ∈ (0, T )
(4.3)
posto que
ϕ
t
+ (aϕ
x
)
x
= (ψv)
t
+ (a(ψv)
x
)
x
= ψv
t
+ (aψ
x
v + aψv
x
)
x
= ψv
t
+ (aψ
x
v)
x
+ ψ(av
x
)
x
+ ψ
x
av
x
= ψ(v
t
+ (av
x
)
x
) + (aψ
x
v)
x
+ ψ
x
av
x
= (aψ
x
v)
x
+ ψ
x
av
x
=: f,
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 87
ainda,
ϕ(t, 1) = ψ(1)v(t, 1) = 0 ∀t ∈ (0, T ),
ϕ(t, 0) = (ψv)(t, 0) = ψ(0)v(t, 0) = 0 se 0 ≤ α < 1 ∀t ∈ (0, T )
e
(aϕ
x
)(t, 0) = (a(ψv)
x
)(t, 0) = (aψ
x
v + ψav
x
)(t, 0)
= ψ
x
(0)(av)(t, 0) + ψ(0)(av
x
)(t, 0) = 0.
Portanto, aplicando o Teorema 3.1 e usando o fato que ϕ ≡ 0 numa vizinhan¸ca
de x = 1 (aqui ϕ
x
(t, 1) = 0), temos para todo R ≥ R
0
Q
T
R
3
θx
α
ϕ
2
x
+ R
3
θ
3
x
2−α
ϕ
2
e
−2Rσ
dxdt ≤ c
Q
T
f
2
e
−2Rσ
dxdt.
Usando a defini¸c˜ao de ψ e considerando o fato que ψ
x
e ψ
xx
tˆem suporte em
ω
:=
2x
0
+x
1
3
,
x
0
+2x
1
3
, podemos escrever
f
2
= ((aψ
x
v)
x
+ ψ
x
av
x
)
2
= (a
x
ψ
x
v + 2aψ
x
v
x
+ aψ
xx
v)
2
χ
ω
≤ C
5
(v
2
+ v
2
x
)χ
ω
.
Como a fun¸c˜ao a
x
´e limitada sobre ω
, segue que,
Q
T
Rθx
α
ϕ
2
x
+ R
3
θ
3
x
2−α
ϕ
2
e
−2Rσ
dxdt ≤ C
6
T
0
ω
e
−2Rσ
(v
2
x
+ v
2
)dxdt, (4.4)
onde ω
:=
2x
0
+x
1
3
,
x
0
+2x
1
3
.
Aplicando o lema 4.2, em (4.4), obtemos
T
0
2x
0
+x
1
3
0
Rθx
α
v
2
x
+ R
3
θ
3
x
2−α
v
2
e
−2Rσ
dxdt
=
T
0
2x
0
+x
1
3
0
Rθx
α
ϕ
2
x
+ R
3
θ
3
x
2−α
ϕ
2
e
−2Rσ
dxdt
≤
Q
T
Rθx
α
ϕ
2
x
+ R
3
θ
3
x
2−α
ϕ
2
e
−2Rσ
dxdt
≤ C
6
T
0
ω
e
−2Rσ
(v
2
x
+ v
2
)dxdt
≤ C
6
C(R, T )
T
0
ω
v
2
+ C
6
T
0
ω
e
−2Rσ
v
2
dxdt.
Tomando c
0
= max{p(x); x ∈ [0, 1]} =
2
(2 − α)
2
, existe
C
7
= max
C
6
C(R, T ), C
6
max
t∈[0,T ]
x∈[0,1]
e
−2Rσ
,
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 88
tal que
T
0
2x
0
+x
1
3
0
Rθx
α
v
2
x
+ R
3
θ
3
x
2−α
v
2
e
−2c
0
Rθ
dxdt ≤ C
7
T
0
ω
v
2
dxdt. (4.5)
Para finalizar, devemos calcular uma desigualdade similar sobre o intervalo
x
0
+2x
1
3
, 1
. Mas, neste intervalo a equa¸c˜ao ´e parab´olica n˜ao degenerada. Desta forma,
temos a estimativa de Carleman para o caso n˜ao-degenerado, ou seja para R suficiente-
mente grande
T
0
1
x
0
+2x
1
3
Rθv
2
x
+ R
3
θ
3
v
2
e
−2c
1
Rθ
dxdt ≤ C
8
T
0
ω
v
2
dxdt, (4.6)
para alguma constante c
1
> 0.
Combinando (4.5),(4.6) e o lema 4.2 obtemos
T
0
1
0
Rθx
α
v
2
x
+ R
3
θ
3
x
2−α
v
2
e
−2k
1
Rθ
dxdt ≤ C
T
0
ω
v
2
dxdt,
onde k
1
= max{c
0
, c
1
}. ✷
Passemos agora a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.1 enunciado no in´ıcio deste
cap´ıtulo.
Demonstra¸c˜ao:
0 =
1
0
v
t
+ (x
α
v
x
)
x
v
t
dx
=
1
0
|v
t
|
2
dx +
x
α
v
x
v
t
1
0
−
1
0
x
α
v
x
v
tx
dx ≥ −
1
2
d
dt
1
0
x
α
v
2
x
dx.
Portanto, a fun¸c˜ao t →
1
0
x
α
v
2
x
dx ´e crescente e ent˜ao
1
0
x
α
v
2
x
(0, x)dx ≤
1
0
x
α
v
2
x
(t, x)dx ∀t ∈ [0, T ].
Integrando sobre
T
4
,
3T
4
, temos
T
2
1
0
x
α
v
2
x
(0, x)dx =
3T
4
T
4
x
α
v
2
x
(0, x)dxdt
≤
3T
4
T
4
1
0
x
α
v
2
x
(t, x)dxdt.
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 89
Logo,
1
0
x
α
v
2
x
(0, x)dx ≤
2
T
3T
4
T
4
1
0
x
α
v
2
x
(t, x)dxdt
≤ C
9
3T
4
T
4
1
0
θx
α
v
2
x
(t, x)e
−2k
1
Rθ
dxdt,
onde C
9
= sup
t∈[0,T ]
1
θe
−2k
1
Rθ
.
Utilizando o lema 4.3, segue que
1
0
x
α
v
2
x
(0, x)dx ≤ k
T
0
ω
v
2
dxdt.
✷
4.2 Controlabilidade
De modo a obtermos a controlabilidade do problema (3.1), faremos uso da
desigualdade de observabilidade,
1
0
v(0, x)
2
dx ≤ c
T
0
ω
v(t, x)
2
dxdt. (4.7)
A desigualdade acima seguir´a da desigualdade de observabilidade do Teorema
4.1 e da desigualdade do tipo Hardy.
Para α = 1, aplicamos a desigualdade de Hardy (Lema 3.3) com α
= α de
modo a obter
1
0
x
α−2
v(0, x)
2
dx ≤
4
(1 − α)
2
1
0
x
α
(v
x
(0, x))
2
dx ≤ C
10
T
0
ω
v
2
dxdt.
No caso em que α = 1, de (4.2) temos que, para todo 0 < η < 1,
1
0
x
1+η
v
2
x
(0, x)dx ≤
1
0
xv
2
x
(0, x)dx ≤ k
T
0
ω
v
2
dxdt.
Aplicando a desigualdade de Hardy com α
= 1 + η temos
1
0
x
η−1
v
2
(0, x)dx ≤
4
η
2
1
0
x
1+η
v
2
x
(0, x)dx ≤ C
11
T
0
ω
v
2
dxdt.
Em ambos os casos, temos a existˆencia de uma constante C
12
> 0 tal que (4.7)
se verifica.
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 90
Teorema 4.4. Sejam 0 ≤ α < 2 e T > 0 dados e ω um subintervalo n˜ao-vazio do
intervalo (0, 1). Ent˜ao para todo u
0
∈ L
2
(0, 1), existe f ∈ L
2
((0, T ) × (0, 1)) tal que a
solu¸c˜ao do problema degenerado (3.1) satisfaz u(T ) ≡ 0 em (0, 1).
Demonstra¸c˜ao: Inicialmente, observemos que A = (au
x
)
x
´e auto-adjunto e
B : L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) → L
2
(0, T, L
2
(ω))
dado por Bf = fχ
ω
, tamb´em ´e auto-adjunto.
Seja S(t), t ∈ [0, T ], o semigrupo gerado pelo operador −A e denotemos por
u
f
(t) a solu¸c˜ao para o problema
u
t
− Au = fχ
ω
(t, x) ∈ Q
T
u(t, 1) = 0 t ∈ (0, T )
e
u(t, 0) = 0 para 0 ≤ α < 1
(au
x
)(t, 0) = 0 para 1 ≤ α < 2
t ∈ (0, T )
u(0, x) = u
0
(x) x ∈ (0, 1)
(4.8)
Para cada t definamos o operador
L
t
: L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) → L
2
(0, 1)
f → L
t
f
dado por L
t
f =
t
0
S(t − s)Bf (s)ds.
Notemos que podemos escrever
u
f
(t) = S(t)u
0
+ L
t
f; ∀f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)).
Para maiores detalhes ver [29]
Definamos, para cada > 0, o funcional
J
(f) =
1
2
T
0
f(t)
2
dt +
1
2
u
f
(T )
2
. (4.9)
Afirmo: J
´e diferenci´avel `a Gˆateaux.
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 91
Com efeito, sejam f e g ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) ent˜ao
J
(f, g) = lim
λ→0
J
(f + λg) − J
(g)
λ
= lim
λ→0
1
λ
1
2
T
0
f + λg
2
dt +
1
2
u
f+λg
(T )
2
−
1
2
T
0
f
2
dt −
1
2
u
f
(T )
2
= lim
λ→0
1
λ
1
2
T
0
f
2
dt +
λ
2
2
T
0
g
2
dt + λ
T
0
(f, g)dt +
1
2
u
f
(T )
2
+
λ
2
2
L
T
g
2
+
λ
(u
f
(T ), L
T
g) −
1
2
T
0
f
2
dt −
1
2
u
f
(T )
2
=
T
0
(f(t), g(t))dt +
1
(u
f
(T ), L
T
g).
Assim J
´e diferenci´avel `a Gˆateaux em f e
J
(f, g) = J
(f), g =
T
0
(f(t), g(t))dt +
1
(u
f
(T ), L
T
g), ∀ g ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)).
(4.10)
Assim, pela proposi¸c˜ao (1.37) existe f
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) tal que
J
(f
) = min
f∈L
2
(0,T ;L
2
(0,1))
J
(f). (4.11)
Ponhamos u
f
= u
.
Temos que
1
u
(T )
2
+
1
2
T
0
f
2
dt ≤ cu
0
2
. (4.12)
De fato, de (4.11) decorre da proposi¸c˜ao (1.39) que
J
(f
), g =
T
0
(f
(t), g(t))dt +
1
(u
(T ), L
T
g) = 0, (4.13)
para toda g ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)), ou seja,
T
0
(f
(t) +
1
(L
∗
T
u
(T )), g(t))dt = 0, ∀ g ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)).
Assim
f
= −
1
L
∗
T
u
(T ). (4.14)
Calculemos L
∗
T
v
0
, para v
0
∈ L
2
(0, 1). Seja g ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)),
T
0
(L
∗
T
v
0
)(s), g(s)ds = v
0
, L
T
g
=
T
0
(v
0
, S(T − s)Bg(s))ds =
T
0
(B
∗
S(t − s)v
0
, g(s))ds.
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 92
Donde,
(L
∗
T
v
0
) = B
∗
S(T − s)v
0
= BS(T − s)v
0
; ∀v
0
∈ L
2
(0, 1). (4.15)
Notemos que v(s) = S(T − s)v
0
´e a solu¸c˜ao de
v
(s) + Av(s) = 0 0 ≤ s ≤ T
v(T ) = v
0
.
Sendo assim, de(4.14) e (4.15)
f
(s) = −BS(T − s)
1
u
(T )
= −Bv
,
onde v
´e solu¸c˜ao de
v
+ Av
= 0
v
(T ) =
1
u
(T )
(4.16)
De (4.16) e do fato que u
´e solu¸c˜ao de (4.8) com f
conclu´ımos que
u
− Au
+ BBv
, v
= 0, e u
(0) = u
0
v
+ Av
, u
= 0, e v
(T ) =
1
u
(T ).
Somando as igualdade acima vem que
T
0
d
dt
(u
, v
)dt +
T
0
(BBv
, v
)dt = 0,
ou seja,
(u
(T ), v
(T )) − (u
(0), v
(0)) +
T
0
Bv
2
dt = 0.
Donde,
1
u
(T )
2
+
T
0
ω
|v
|
2
dt = (u
(0), v
(0)). (4.17)
Por outro lado, da estimativa de observabilidade (4.7), obtemos
v
(0)
2
dx ≤ c
T
0
ω
|v
(t)|
2
dt. (4.18)
De (4.17), (4.18) e para η suficientemente pequeno segue que
1
u
(T )
2
+ (1 −cη)
T
0
ω
|v
(t)|
2
dt ≤ c
η
u
(0)
2
,
o que prova o desejado em (4.12).
CAP
´
ITULO 4. CONTROLABILIDADE 93
De posse a desigualdade (4.12) temos que
T
0
f
(t)
2
dt ≤ c
e
u
(T )
2
≤ c.
Logo, existem uma subsequˆencias {f
} e {u
(T )} tais que
f
f em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)) (4.19)
e
u
(T ) 0 em L
2
(0, 1). (4.20)
Notemos que (4.19) ocorre se, e somente se (g, f
) → (g, f) ∀g ∈ L
2
(0, T, L
2
(0, 1)),
ou seja, se, e somente se
T
0
(g(s), f
(s))ds →
T
0
(g(s), f (s))ds, ∀ g ∈ L
2
(0, T, L
2
(0, 1)).
Mostremos que u
(t) u
f
(t) em L
2
(0, 1), para todo t ∈ [0, T ].
(g(t), u
f
(t)) = (g(t), S(t)u
0
+ L
t
f
)
= (g(t), S(t)u
0
) + (g(t), L
t
f
)
= (g(t), S(t)u
0
) +
T
0
(L
∗
t
g(s), f
(s))ds
→ (g(t), S(t)u
0
) +
T
0
(L
∗
t
g(s), f (s))ds
= (g(t), S(t)u
0
+ (g(t), L
t
f)
= (g(t), u
f
(t)).
Portanto, u
(T ) = u
f
(T ) u
f
(T ).
Da convergˆencia acima e de (4.20) vem que
u
f
(T ) = 0.
O que finaliza a demosntra¸c˜ao. ✷
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