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UNIVERSIDADE
FEDERAL
DO
RIO
GRANDE
DO
NORTE
CENTRO
DE
TECNOLOGIA
PROGRAMA
DE
PÓS-GRADUAÇÃO
EM
ENGENHARIA
ELÉTRICA
E
DE
COMPUTAÇÃO
BIANISOTROPIA UNIAXIAL EM ESTRUTURAS
IRRADIANTES COM MULTICAMADAS E
SUPERCONDUTORES
ROBERTO RANNIERE CAVALCANTE DE FRANÇA
ORIENTADOR: PROF. DR. HUMBERTO CÉSAR CHAVES FERNANDES
NATAL – RN,
FEVEREIRO DE 2009
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UNIVERSIDADE
FEDERAL
DO
RIO
GRANDE
DO
NORTE
CENTRO
DE
TECNOLOGIA
PROGRAMA
DE
PÓS-GRADUAÇÃO
EM
ENGENHARIA
ELÉTRICA
E
DE
COMPUTAÇÃO
BIANISOTROPIA UNIAXIAL EM ESTRUTURAS
IRRADIANTES COM MULTICAMADAS E
SUPERCONDUTORES
ROBERTO RANNIERE CAVALCANTE DE FRANÇA
Orientador: Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes
Natal – RN,
FEVEREIRO DE 2009
Dissertação de Mestrado apresentada
ao Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Elétrica e de
Computação da UFRN (área de
concentração: Telecomunicações)
como parte dos requisitos para
obtenção do título de Mestre em
Engenharia Elétrica
.
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Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede
França, Roberto Ranniere Cavalcante de.
Bianisotropia unixial em estruturas irradiantes com multicamadas e
supercondutores / Roberto Ranniere Cavalcante de França. – Natal, RN,
2009.
98 f.
Orientador: Humberto César Chaves Fernandes.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
e Computação.
1. Antena de microfita – Dissertação. 2. Bianisotropia uniaxial –
Dissertação. 3. Método de linha de transmissão transversa – Dissertação. 4.
Antena multicamada – Dissertação. 5. Supercondutor – Dissertação. I.
Fernandes, Humberto César Chaves. II. Universidade Federal do Rio Grande
do Norte. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 621.396.67(043.3)
BIANISOTROPIA UNIAXIAL EM ESTRUTURAS
IRRADIANTES COM MULTICAMADAS E
SUPERCONDUTORES
ROBERTO RANNIERE CAVALCANTE DE FRANÇA
Dissertação de mestrado defendida em fevereiro de 2009.
Banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes (Presidente e orientador)..................UFRN
Prof. Dr. Alfredo Gomes Neto (examinador externo).................................................IFPB
Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção (examinador interno)...................................UFRN
Prof. Dr. Laércio Martins de Mendonça (examinador interno)............................... UFRN
A Deus que nunca me desampara, ao meu pai
Roberto e a minha mãe Maria pelo amor dedicado
a mim, aos meus irmãos Emerson e Raiff pela
amizade e apoio.
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus por ter me permitido a realização deste trabalho, por
ter me dado força e esperança, por ter me confortado e amparado durante todos os
momentos da minha existência.
Agradeço a meus pais e à minha família pelo amor que sempre me dedicaram durante
todos os momentos da minha vida.
Ao professor Dr. Humberto César Chaves Fernandes por ter me recebido no seu grupo
de pesquisa, pela orientação, amizade e disponibilidade para ajudar na orientação.
Aos professores da UFRN que contribuíram para a minha formação acadêmica.
Aos colegas da pós-graduação e graduação pelo companheirismo e amizade prestados
durante esta etapa da minha vida, Manoel do Bonfim, Aline Farias, Marinaldo Sousa e
João Kleber.
Resumo
Este trabalho apresenta a análise teórica e numérica dos parâmetros de uma
antena de microfita do tipo retangular sobre substrato bianisotrópico e também
incluindo simultaneamente supercondutor na antena. É aplicada a teoria de onda
completa do método da Linha de Transmissão Transversa - LTT, para a caracterização
das grandezas do substrato e obtenção das equações gerais dos campos
eletromagnéticos. É realizado um estudo através da teoria bianisotrópica com o intuito
de obter alguns parâmetros. Os mesmos são caracterizados através de tensores
permissividade e permeabilidade, chegando-se às equações gerais para os campos
eletromagnéticos da antena.
É apresentado um estudo das principais teorias que explicam o fenômeno da
supercondutividade. As teorias BCS, Equações de London e modelo dos Dois Fluidos
são usadas no estudo nas antenas de microfita com estrutura bianisotrópica pela
primeira vez.
A inclusão do patch supercondutor é feita utilizando-se a condição de contorno
complexa resistiva. Em seguida é obtida a freqüência de ressonância complexa. São
simulados vários parâmetros de antenas com o intuito de diminuir as dimensões físicas e
aumentar a largura de banda das mesmas. Os resultados são apresentados através de
gráficos. A análise teórico-computacional desse trabalho se mostra precisa e
relativamente concisa. São apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos
futuros.
Palavras Chaves: Antena de microfita, bianisotropia uniaxial, método de linha de
transmissão transversa, antena multicamada, supercondutor.
Abstract
This work presents a theoretical and numerical analysis of parameters of a
rectangular microstrip antenna with bianisotropic substrate, and including
simultaneously the superconducting patch. The full-wave Transverse Transmission Line
- TTL method, is used to characterize these antennas. The bianisotropic substrate is
characterized by the permittivity and permeability tensors, and the TTL gives the
general equations of the electromagnetic fields of the antennas.
The BCS theory and the two fluids model are applied to superconductors in
these antennas with bianisotropic for first time. The inclusion of superconducting patch
is made using the complex resistive boundary condition.
The resonance complex frequency is then obtained. Are simulated some
parameters of antennas in order to reduce the physical size, and increase the its
bandwidth. The numerical results are presented through of graphs. The theoretical and
computational analysis these works are precise and concise. Conclusions and
suggestions for future works are presented.
Keywords: Microstrip antennas, uniaxial bianisotropic, Transverse transmission line
method, multilayer antenna, superconductor.
Sumário
Lista de Figuras ...................................................................................................................... 3
Lista de Tabelas ...................................................................................................................... 5
Lista de Abreviaturas e Siglas ................................................................................................ 6
Lista de Símbolos ................................................................................................................... 7
CAPÍTULO 1 ......................................................................................................................... 9
Introdução ............................................................................................................................... 9
CAPÍTULO 2 ....................................................................................................................... 12
Antenas de Microfita ............................................................................................................ 12
2.1 – Estrutura da Antena ..................................................................................................... 12
2.2 – Vantagens e Limitações das Antenas de Microfita ..................................................... 12
2.3 – Definições Iniciais ....................................................................................................... 14
2.3.1 – Diagrama de Irradiação ............................................................................................ 14
2.3.2 – Polarização................................................................................................................ 15
2.3.3 – Diretividade .............................................................................................................. 16
2.3.4 – Largura de Banda...................................................................................................... 16
2.4 – Antenas de Microfita ................................................................................................... 17
2.4.1 – Técnicas de Alimentação .......................................................................................... 18
2.4.2 – Alimentação por Meio de Cabo Coaxial .................................................................. 18
2.4.3 – Acoplamento de Proximidade .................................................................................. 19
2.4.4 – Alimentação por Linha de Microfita ........................................................................ 19
2.5 – Métodos de Análise ..................................................................................................... 20
2.5.1 – Modelo da Cavidade ................................................................................................. 21
2.5.2 – Modelo da Linha de Transmissão ............................................................................. 22
2.5.3 – Métodos de Onda Completa ..................................................................................... 23
2.6 – Conclusões ................................................................................................................... 24
CAPÍTULO 3 ....................................................................................................................... 25
Substrato Bianisotrópico ...................................................................................................... 25
3.1 – Introdução .................................................................................................................... 25
3.2 – Definição de Metamateriais Left-Handed ................................................................... 26
3.3 – Conclusões ................................................................................................................... 35
CAPÍTULO 4 ....................................................................................................................... 36
Teoria dos Materiais Supercondutores ................................................................................. 36
4.1 – Introdução .................................................................................................................... 36
4.2 – Características dos Materiais Supercondutores ........................................................... 36
4.3 – Teoria BCS da Supercondutividade ............................................................................ 39
4.4 – Equações de London .................................................................................................... 40
4.5 – Modelo dos Dois Fluidos ............................................................................................. 41
4.6 – Impedância de Superfície ............................................................................................ 42
4.7 – Conclusão .................................................................................................................... 45
2
CAPÍTULO 5 ....................................................................................................................... 46
Aplicação do Método LTT ................................................................................................... 46
5.1 – Desenvolvimento dos Campos Transversais ............................................................... 46
5.2 – Conclusões ................................................................................................................... 52
CAPÍTULO 6 ....................................................................................................................... 53
Campos Eletromagnéticos na Antena ................................................................................... 53
6.1 – Introdução .................................................................................................................... 53
6.2 – Antena de Microfita com Substrato Bianisotrópico .................................................... 53
6.3 – Determinação das Equações de Campos Eletromagnéticos ........................................ 54
6.4 – Expansão das Densidades de Corrente em Termos de Funções de ............................. 65
6.5 – Conclusões ................................................................................................................... 70
CAPÍTULO 7 ....................................................................................................................... 71
Resultados da Antena com Substrato ................................................................................... 71
7.1 – Introdução .................................................................................................................... 71
7.2 – Antena Retangular ....................................................................................................... 72
7.3 – Resultados do Comportamento das Funções de Base ................................................. 80
7.4 – Conclusões ................................................................................................................... 81
CAPÍTULO 8 ....................................................................................................................... 82
Campos Eletromagnéticos de Antenas ................................................................................. 82
8.1 – Introdução .................................................................................................................... 82
8.2 – Ressoador Retangular em Multicamadas .................................................................... 83
8.3 – Determinação das Equações dos Campos Eletromagnéticos ...................................... 83
8.4 – Conclusão .................................................................................................................... 93
CAPÍTULO 9 ....................................................................................................................... 94
Conclusões ............................................................................................................................ 94
Referências Bibliográficas .................................................................................................... 96
3
Lista de Figuras
2.1 Antena patch convencional.............................................................................. p.12
2.2 Ondas de superfície numa antena patch.......................................................... p.14
2.3 Onda eletromagnética com polarização linear vertical.................................... p.15
2.4 Antena de microfita convencional .................................................................. p.17
2.5 Antena de Microfita, alimentada por cabo coaxial.......................................... p.18
2.6 Alimentação via Conector Coaxial.................................................................. p.18
2.7 Alimentação por acoplamento em proximidade.............................................. p.19
2.8 Alimentação por microfita............................................................................... p.20
2.9 Configurações de campo (modos) para patch retangular de microfita............ p.21
3.1 Diagrama de permissividade-permeabilidade e índice de refração................. p.26
3.2 Diagrama mostrando os vetores de pointing, de onda elétrica e magnética
em materiais comuns (a) e metamateriais (b)................................................. p.27
3.3 Diagrama de raios mostrando a direção de propagação de onda (a) material
natural, (b) metamaterial................................................................................. p.28
3.4 Metamateriais (p << λ
g
) construídos apenas com metais comuns e dielétricos,
(a) ε-negativo/µ-positivo, (b) ε-positivo/µ-negativo e (c) Estrutura SRR-T....p.29
3.5 Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuração dupla e (b)
configuração simples....................................................................................... p.31
3.6 Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, (a)
permeabilidade, (b) permissividade................................................................ p.32
3.7 Metamateriais (p << λ
g
) construídos apenas com metais comuns e dielétricos,
(a)
ε-negativo/µ-positivo,
(b)
ε-positivo/µ-negativo e
(c)
estrutura SRR-TW...... p.33
3.8
Estrutura RIS ............................................................................................................. p.34
4.1 Resistividade do mercúrio em função da temperatura em Kelvin.................. p.37
4.2 Resistividade do YBCO em função da temperatura em Kelvin..................... p.37
4.3 Efeito Meissner na transição da temperatura crítica. (a) Temperatura do
supercondutor acima da temperatura crítica; (b) Supercondutor resfriado
abaixo de sua temperatura crítica.................................................................... p.38
4.4 Impedância de superfície de um dielétrico, de um metal normal e de um
4
supercondutor.................................................................................................. p.43
6.1 Antena de microfita com substrato bianisotrópico......................................... p.54
6.2 Antena de microfita retangular com substrato bianisotrópico.........................p.68
7.1 Antena retangular de microfita com substrato bianisotrópico.........................p.72
7.2 Vista da seção transversal da Antena Retangular com Substrato
bianisotrópico...................................................................................................p.72
7.3 Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch para
ε
r
= 9.8............................................................................................................. p.73
7.4 Freqüência em função do comprimento L do patch para diferentes
permissividades................................................................................................p.74
7.5 Freqüência em função da espessura da região 1 de uma antena de microfita
com substrato metamaterial bianisotrópico..................................................... p.75
7.6 Freqüência em função do comprimento L do patch para diferentes
permeabilidades................................................................................................p.76
7.7 Freqüência de Ressonância em função da largura W do patch para ε
r
= 9.8.. p.77
7.8 Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch para
três substratos.................................................................................................. p.77
7.9 Freqüência de ressonância em função do comprimento para diferentes
espessuras do substrato bianisotrópico.............................................................p.78
7.10 Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch para ε
r
=
9,8.....................................................................................................................p.79
7.11 Freqüência de ressonância para três tipos de substratos..................................p.79
7.12 Comportamento da função de base na direção de propagação........................p.81
8.1 Ressoador retangular em multicamadas dielétricas........................................ p.83
8.2 Vista lateral do ressoador retangular em multicamadas..................................p.83
5
Lista de Tabelas
4.1 Comparação da lâmina supercondutora com lâminas de cobre e ouro.................. p.44
6
Lista de Abreviaturas e Siglas
LTT Método da Linha de Transmissão Transversa,.............................................. p. 10
MMIC Circuito Integrado Monolítico em Microondas............................................. p. 13
LH Materiais Esquerdinos - Left Handed,........................................................... p. 27
MD Materiais Destros - Right Handed,................................................................ p. 27
TW Fio Fino de Metal - Thin Wire, ..................................................................... p. 29
SRR Ressoador de Anel Partido - Split Ring Ressonator,..................................... p. 30
TW-SRR Ressoador de Anel Partido e Fio Fino de Metal, .............................. p. 31
RIS Superfície de Impedância Reativa - Reactivate Impedance Surface,............ p. 33
PEC Condutor Elétrico Perfeito - Perfectly Electric Conductor,.......................... p. 33
PMC Condutor Magnético Perfeito - Perfectly Magnetic Conductor,.................... p. 33
7
Lista de Símbolos
η Impedância intrínseca do Espaço Livre......................................................... p. 10
κ Número de onda............................................................................................. p. 10
H
Vetor campo magnético................................................................................. p. 20
E
Vetor campo elétrico...................................................................................... p. 20
D Diretividade................................................................................................... p. 22
BW Largura de banda .......................................................................................... p. 22
ω Freqüência angular complexa........................................................................ p. 29
µ Permeabilidade magnética............................................................................. p. 29
ε Permissividade elétrica.................................................................................. p. 29
j Número imaginário unitário,
1
j
= −
........................................................... p. 35
( , )
P
θ φ
Padrão de irradiação....................................................................................... p. 35
( , )
F
θ φ
Fator de irradiação......................................................................................... p. 35
U Intensidade de irradiação............................................................................... p. 35
xx
µ
Permeabilidade magnética relativa na direção x............................................ p. 36
yy
µ
Permeabilidade magnética relativa na direção y............................................ p. 36
zz
µ
Permeabilidade magnética relativa na direção z............................................ p. 36
0
µ
Permeabilidade magnética no espaço livre.................................................... p. 36
xx
ε
Permissividade elétrica relativa na direção x................................................. p. 36
yy
ε
Permissividade elétrica relativa na direção y................................................. p. 36
zz
ε
Permissividade elétrica relativa na direção z................................................. p. 36
0
ε
Permissividade elétrica no espaço livre......................................................... p. 36
ˆ
x
Versor na direção x........................................................................................ p. 36
ˆ
y
Versor na direção y........................................................................................ p. 36
ˆ
z
Versor na direção z........................................................................................ p. 36
i
k
Número de onda da enésima região dielétrica............................................... p. 40
8
γ
Constante de propagação na direção y........................................................... p. 43
n
α
Variável espectral na direção x...................................................................... p. 44
k
β
Variável espectral na direção z...................................................................... p. 44
9
CAPÍTULO 1
Introdução
O conceito de irradiadores em microfita surgiu em 1953, porém as primeiras
antenas práticas foram desenvolvidas a partir de 1970 por Howell e Munson. A partir de
então foram desenvolvidos antenas e arranjos de microfita explorando as vantagens que
estas oferecem.
Atualmente, as comunicações sem fio compreendem um vasto leque de
tecnologias. Com o rápido desenvolvimento das tecnologias 3G e 4G (sistemas de
comunicação sem fio de terceira e quarta gerações), busca-se soluções técnicas que
atendessem os requisitos de novos e melhores serviços. Paralelamente, surgiu uma
crescente demanda por equipamentos que potencializem a qualidade e a capacidade dos
serviços necessários para sustentar tal demanda. Nesse contexto, as antenas planares
representa um papel fundamental, dada a sua aplicabilidade e versatilidade, fortalecendo
assim essa área de pesquisa, pois até a segunda geração (2G), a atenção estava
principalmente voltada ao desenvolvimento de protocolos e técnicas de modulação mais
eficientes [1].
O objetivo desse trabalho é desenvolver, através de uma análise rigorosa, um
estudo das características de irradiação de antenas de microfita multicamada. Serão
modeladas antenas de microfita sobre múltiplas camadas bianisotrópicas dielétricas; e,
com supercondutores no patch.
A análise é complexa e baseada no estudo de substratos bianisotrópicos, tendo
em vista que os materiais usados na fabricação de antenas impressas, podem apresentar
anisotropia dielétrica e magnética como anisotropia uniaxial. Além disso, a utilização
de substratos bianisotrópicos impõe com as análises concluídas, uma maior flexibilidade
aos projetos; e permite o desenvolvimento de modelos precisos para altas freqüências.
10
A utilização de um procedimento de onda completa, através do método da linha
de transmissão transversa, no domínio da transformada de Fourier, associado ao método
dos momentos, permite determinar a freqüência de ressonância[3].
São apresentados resultados da freqüência de ressonância para várias
configurações de antenas com substrato bianisotrópico e patch supercondutor. A
validação do modelo é verificada através de comparações com resultados numéricos,
publicados na literatura, para antenas de microfita sobre substratos isotrópicos.
No capítulo 2, é apresentada a estrutura de uma antena de microfita com suas
características, assim como vantagens e desvantagens quando comparadas a outras
antenas para microondas e comunicações sem fio. Características e tipos de substratos
empregados na sua fabricação, bem como as aplicações, formas e principais métodos e
modelos de alimentação e análises.
No capítulo 3, é analisada a estrutura bianisotrópica que neste trabalho vai ser
exemplificado através do metamaterial. Apresenta-se o estudo geral do índice de
refração, permeabilidade e permissividade. São definidos alguns tipos de metamateriais,
descrevendo-se suas estruturas, equacionamentos exatos e curvas características[5].
No Capítulo 4 é apresentada algumas teoria sobre o fenômeno de materiais
supercondutivos [1]-[2]. São apresentados os principais métodos de análise dos
supercondutores [17]-[22], os principais efeitos à temperatura abaixo da temperatura
crítica desses materiais e os principais efeitos a altas freqüências.
No Capítulo 5 são desenvolvidos os campos eletromagnéticos das estruturas de
microfita utilizando o método LTT. A partir das equações de Maxwell serão
determinadas as expressões gerais dos componentes dos campos eletromagnéticos na
região dielétrica considerada. Dessa forma, obtêm um conjunto de equações, nas quais
os componentes dos campos nas direções
x
e
z
são determinados em função das
componentes dos campos na direção
y
, considerando uma propagação “virtual” nesta
direção. No domínio da transformada de Fourier (FTD) o método é empregado no
desenvolvimento das equações dos campos eletromagnéticos das estruturas de
ressoadores retangulares de microfita com substrato metamaterial bianisotrópico
uniaxial. Essas equações constituem-se no ponto de partida para todo o
desenvolvimento analítico deste trabalho.
No Capítulo 6, a teoria desenvolvida nos capítulos anteriores é aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato bianisotrópico, do tipo metamaterial
uniaxial, com o objetivo de obter-se a freqüência de ressonância complexa, e os campos
11
eletromagnéticos tangenciais à fita condutora. Para tanto é aplicada a solução das
equações de Helmohltz, utilizando-se condições de contorno eletromagnéticas
adequadas. Em seguida aplica-se o método dos momentos, onde as densidades de
corrente são expandidas em termos de função de bases e obtém-se a equação
característica, cuja raíz é a freqüência de ressonância complexa.
Os resultados numéricos para a antena de microfita com substrato bianisotrópico
são apresentados no capítulo 7. São feitas comparações com outros autores e análises
dos resultados obtidos.
No Capítulo 8, são analisados os ressoadores de microfita com multicamadas e
patch retangular, no qual aplicando as condições de contorno são obtidas as equações
dos campos eletromagnéticos no domínio espectral para as três regiões da estrutura. São
considerados os substratos bianisotrópicos com ênfase no metamaterial.
No Capítulo 9, são apresentadas as conclusões das aplicações do método LTT às
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados e sugestões para trabalho
futuros.
Ao final, são apresentadas as referências bibliográficas nas quais este trabalho
foi baseado.
12
CAPÍTULO 2
Antenas de Microfita
2.1 – Estrutura da Antena
A antena de microfita na sua forma mais simples é composta de um elemento
metálico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez está sobre um plano de
terra. A alimentação é feita por meio de uma linha de microfita ou cabo coaxial, como
mostrado na Figura 2.1. O patch pode ter várias geometrias tais como: quadrada,
retangular, circular, elíptica, triangular ou qualquer outra configuração de acordo com a
característica desejada.
Figura 2.1 – Antena patch convencional.
A forma do patch influencia na distribuição de corrente e por conseqüência na
distribuição do campo na superfície da antena.
A irradiação da antena de microfita pode ser determinada através da distribuição
de campo entre o patch metálico e o plano de terra. Da mesma forma, a irradiação pode
ser descrita em termos de distribuição de corrente de superfície sobre o elemento
metálico.
2.2 – Vantagens e Limitações das Antenas de Microfita
As antenas de microfita apresentam algumas vantagens quando comparadas com
as antenas convencionais usadas para microondas [1], tais como:
13
Baixo peso e configuração fina;
Polarizações lineares e circulares são possíveis com alimentação simples;
Antenas com polarização dual e freqüência dual são facilmente realizáveis;
Podem ser facilmente embarcadas com circuitos integrados de microondas;
Linhas de alimentação e redes de casamento de impedância podem ser
fabricadas simultaneamente com a estrutura da antena.
Entretanto, as antenas de microfita têm algumas limitações quando comparadas
com as antenas de microondas convencionais:
Largura de banda limitada;
Baixo ganho (
≈
6 dB);
Excitação de onda de superfície;
A utilização de substratos com alta constante dielétrica é preferível, pois
facilitam a integração com MMIC’s (Circuitos Integrados Monolíticos de
Microondas), entretanto substratos com constantes dielétricas altas possuem a
largura de banda estreita e baixa eficiência de irradiação.
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitações, como por
exemplo, a redução da excitação de ondas de superfície através da utilização de novos
substratos, como exemplo metamaterial. Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dielétricas.
A excitação das ondas de superfície nas antenas de microfita ocorre quando,
dentre alguns fatores, a constante dielétrica é maior que um [1].
As ondas de superfície são lançadas dentro do substrato a um ângulo de elevação
θ
encontrando-se entre 2
π
e
(
)
r
sen
ε
1
1−
. Estas ondas incidem no plano de terra, a um
ângulo
θ
, sendo refletidas por este plano, encontram então a interface dielétrico-ar que,
por sua vez, também consegue refletir ondas. Seguindo este percurso, a onda finalmente
alcança o contorno da estrutura de microfita onde é refletida de volta ao substrato e
difratada pela borda dando ascensão à irradiação final [1]. Se existir qualquer outra
antena nas proximidades da borda desta, as ondas de superfície serão acopladas a esta
outra antena, tal qual ilustrado na Figura 2.2.
14
Figura 2.2 – Ondas de superfície numa antena patch[1].
2.3 – Definições Iniciais
2.3.1 – Diagrama de Irradiação
Os diagramas de irradiação são definidos em planos E e H. O plano E é definido
como sendo aquele que contém o vetor campo elétrico na direção de máxima irradiação
e o plano H como aquele que contém o vetor campo magnético na direção de máxima
irradiação. O plano x-y (chamado de plano de elevação)
(
)
2
π
θ
=
é o plano E; e o plano
x-z (chamado de plano azimutal)
(
)
0
=
φ
é o plano H, para as antenas de microfita
retangular, dependendo da orientação que se toma a partir da antena.
Padrão de radiação F(
θ
,
ф
) de uma antena é uma expressão analítica que define a
intensidade normalizada do campo elétrico
( , )
E
θ
θ φ
=
resultante em cada ponto da
superfície esférica
e
S
de raio
e
r
em cujo centro encontra-se a antena
max
( , )
( , )
E
F
E
θ
θ
θ φ
θ φ
=
Onde
max
E
θ
é o valor máximo de
( , )
E
θ
θ φ
que ocorre para a particular direção
( , )
θ φ
.
A antena retangular de microfita é projetada para ter o diagrama de irradiação
máximo na direção normal ao patch, ou seja, na direção perpendicular ao plano de terra
os campos se somam em fase dando uma irradiação máxima normal ao patch, dessa
forma a antena tem irradiação chamada broadside [2].
(2.1)
15
2.3.2 – Polarização
A polarização de uma antena em uma dada direção é definida como a
polarização da onda eletromagnética que por sua vez, pode ser definida como sendo o
plano no qual se encontra a componente elétrica (ou magnética) desta onda. Aqui será
definida a polarização linear e circular.
Uma onda harmônica no tempo tem polarização linear se em qualquer ponto do
espaço o vetor campo elétrico ou magnético é orientado ao longo da mesma linha reta
em qualquer instante de tempo, como mostrado na figura 2.3.
No caso da polarização circular, uma onda harmônica no tempo é circularmente
polarizada se o vetor campo elétrico ou magnético em qualquer ponto do espaço traça
um círculo em função do tempo. A antena de microfita é a antena mais usada para gerar
polarização circular. Várias formas de patches são capazes de gerar este tipo de
polarização, tais como: quadrado, circular, pentagonal, triangular e elíptico, porém as
formas circulares e quadradas são mais usadas na prática [2].
Figura 2.3 – Onda eletromagnética com polarização linear vertical.
16
2.3.3 – Diretividade
A diretividade é uma medida das propriedades direcionais de uma antena
comparada às características de uma antena isotrópica. Sendo a antena isotrópica a base
para o cálculo da diretividade, ela possui a distribuição de energia no espaço mais
uniforme possível levando assim a uma diretividade unitária (1). A diretividade é
definida como sendo a razão entre a intensidade de radiação em uma dada direção da
antena e a intensidade de radiação média sobre todas as direções [2].
Se a direção não for especificada, a direção de intensidade máxima de radiação
(máxima diretividade) é expressa por:
(2.2)
Onde
D = Diretividade
0
D
= Diretividade máxima
max
U = intensidade máxima de radiação
0
U
= intensidade de radiação de uma fonte isotrópica
rad
P
= potência total radiada
2.3.4 – Largura de Banda
A largura de banda de uma antena é definida para informar sobre a faixa de
freqüências, em torno da freqüência central de operação desta, de acordo com
determinadas características, tais como: impedância de entrada, diagrama de irradiação,
largura de feixe, polarização e ganho [2].
Para antenas de banda larga, a largura de banda é expressa como a relação entre
a freqüência maior e a freqüência menor, tendo como referência a freqüência central de
operação da antena. Por exemplo, uma largura de banda de 10:1 indica que a freqüência
superior é 10 vezes maior que a freqüência inferior. Sendo representada pela expressão:
(2.3)
max max
max 0
0
4
rad
U U
D D
U P
π
= = =
2
1
f
BW
f
=
17
Onde
f
é a freqüência central de operação,
1
f
é a freqüência inferior e
2
f
é a freqüência
superior da faixa.
Ou também a largura de banda é expressa pelo posicionamento
1
f
e
2
f
, quando
2
f
for maior ou igual ao dobro da freqüência inferior
1
f
:
(2.4)
2.4 – Antenas de Microfita
Aqui nesta seção, serão abordadas as principais características acerca das antenas
de microondas com
patch
retangular, de modo a produzir subsídios para os capítulos
posteriores. Primeiramente será feita uma introdução abordando aspectos históricos,
exemplificando as vantagens e limitações em seu uso. Depois são discutidas as
principais técnicas de alimentação eletromagnética. Finalmente, são mostrados os
métodos de análise de maior aplicação às antenas de microfita.
A antena de microfita de tipo patch consiste basicamente de duas placas
condutoras, paralelas, separadas por um substrato dielétrico, sendo uma das placas o
elemento irradiante (
patch
) e, a outra, o plano de terra. A geometria descrita é mostrada
na fig. 2.4.
Figura 2.4 – Antena de microfita convencional.
2 1
0
f f
BW
f
−
=
18
2.4.1 – Técnicas de Alimentação
Como será visto, existem varias maneiras de alimentação do patch das antenas, a
alimentação por meio de cabo coaxial (fig. 2.5), e ainda, outras como, linhas de
microfita, linhas de fenda, acoplamento por íris ou abertura, acoplamento de
proximidade, dentre outras.
Figura 2.5 – Antena de Microfita, alimentada por cabo coaxial.
2.4.2 – Alimentação por Meio de Cabo Coaxial
Neste caso, o condutor interno do cabo coaxial (fig. 2.6) é conectado com o
patch
na parte superior da antena, enquanto que o condutor externo é conectado ao
plano de terra da estrutura. Este modelo torna-se de fácil fabricação, porém depois de
analisá-lo, mostra-se de difícil modelagem e com largura de banda estreita.
Figura 2.6: Alimentação via Conector Coaxial.
19
2.4.3 –
Acoplamento de Proximidade
Esta técnica de alimentação também é conhecida como esquema de
acoplamento eletromagnético. De acordo com a figura 2.7, dois substratos dielétricos
são utilizados de tal forma que a linha de alimentação esteja entre os dois substratos e o
patch de radiação sobre a parte superior do substrato. A principal vantagem desta
técnica é que ela elimina radiação de alimentação espúria e proporciona maior largura
de banda, devido ao aumento da espessura do patch de radiação da antena de microfita.
Neste processo, também é permitido a escolha de diferentes substratos dielétricos para o
patch e a linha de alimentação, fazendo com que sejam otimizados individualmente. A
principal desvantagem desta alimentação se dá a um sistema que é de difícil fabricação
porque suas duas camadas dielétricas necessitam de um bom alinhamento. Alem disso,
verifica-se um aumento da espessura global da antena.
Figura 2.7 – Alimentação por acoplamento em proximidade
2.4.4 – Alimentação por Linha de Microfita
Neste tipo de alimentação, a fita condutora é conectada diretamente a borda do
patch
de microfita mostrado na figura 2.5. A fita condutora tem largura menor se
comparada ao
patch
e o seu tipo de alimentação tem a vantagem de que tudo é gravado
no mesmo substrato da estrutura planar.
20
Figura 2.8 – Alimentação por microfita.
A finalidade do corte inserido no
patch
é para combinar a impedância com a
linha de alimentação do
patch
, sem a necessidade de qualquer elemento adicional
correspondente. Isto é conseguido através do controle da posição de inserção. Desta
forma, esse é um fácil esquema de alimentação, uma vez que proporciona facilidade na
fabricação e simplicidade na modelagem bem como uma impedância correspondente.
No entanto, com o aumento da espessura do substrato dielétrico utilizado,
ondas de superfície e radiação de alimentação espúria também aumentam o que dificulta
a largura de banda.
2.5 – Métodos de Análise
Os principais métodos de análise de antenas de microfita são: o da linha de
transmissão, o modelo da cavidade, ambos aproximados e os de onda completa dentre
os quais se incluem o Método da Linha de Transmissão Equivalente (LTE) ou Método
da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Método da Linha de
Transmissão Transversa - LTT, o qual é usado neste trabalho. Esses utilizam-se do
método dos momentos(caso particular Galerkin) e de funções de base para determinar as
soluções.
21
2.5.1 – Modelo da Cavidade
O Modelo da Cavidade trabalha com a geometria de
patch
. Tratando-se a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes, onde na base e no topo há paredes
elétricas e nas laterais paredes magnéticas. Os campos na antena são considerados como
sendo os campos na cavidade, desta forma, serão expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade, onde cada modo tem a sua freqüência de ressonância [2].
Neste estudo, a freqüência de ressonância utilizada é a do modo dominante
TM
010
, pois esta satisfaz a condição L > W > h, sendo utilizada a seguinte equação:
r
r
L
c
f
ε
2
=
(2.5)
Onde
c
é a velocidade da luz no espaço-livre,
L
é o comprimento do
patch
e
ε
r
é a
permissividade elétrica relativa do substrato.
O modo dominante vai definir a distribuição do campo elétrico tangencial ao
longo das paredes da cavidade, sendo apresentadas na Figura 4.4 retirada de [19] para os
modos dominantes de propagação TM
010,
TM
001,
TM
020
e
TM
020,
respectivamente.
Figura 2.9 – Configurações de campo (modos) para patch retangular de microfita.
22
2.5.2 – Modelo da Linha de Transmissão
Neste modelo, o elemento irradiador pode ser tratado como uma linha
ressoadora sem variações de campos transversais. Os campos variam ao longo do
comprimento, o qual é usualmente de meio comprimento de onda e a irradiação ocorre
principalmente devido aos campos de borda [1]. O modelo da Linha de Transmissão é
adequado apenas para
patches
retangulares ou quadrados. O irradiador pode ser
representado como duas fendas espaçadas pela distância L. O modelo da Linha de
Transmissão é utilizado aqui para calcular o diagrama de irradiação da antena para os
planos E e H.
As componentes dos campos podem ser decompostas em componentes normais
e tangenciais ao plano de terra e ao
patch
. As componentes normais dos campos de
borda estão fora de fase, desta forma as suas contribuições cancelam-se mutuamente na
direção
broadside
(normal à placa) devido ao comprimento do
patch
ser de
aproximadamente meio comprimento de onda.
As componentes tangenciais dos campos estão em fase, assim, o campo distante
será máximo na região normal à estrutura.
Os campos irradiados na região de campo distante são dados por [1], [2]:
( )
φθ
π
φ
,
4
2
0
00
F
r
e
WkVjE
rjk
−
−=
(2.6)
0
=
θ
E
0=
r
E
onde
V
0
é a tensão entre os terminais das duas fendas e:
( )
θ
θ
θ
φθ
φθ
φθ
sen
Wk
Wk
sen
sen
hk
sen
hk
sen
F
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
,
0
0
0
0
=
(2.7)
Desta forma, para o plano E onde
2
π
θ
=
, tem-se:
( )
=
φ
φ
φ
φ
cos
2
cos
2
cos
2
cos
0
0
0
Lk
hk
hk
sen
F
(2.8)
23
O diagrama do plano H para
0
=
φ
, é dado por:
( )
θ
θ
θ
θ
sen
Wk
Wk
sen
F
cos
2
cos
2
0
0
=
(2.9)
Onde
0000
εµω
=
k
é o número de onda no espaço livre,
h
a altura do substrato
dielétrico,
W
a largura e
L
o comprimento do elemento irradiador sendo definido por:
l
f
c
L
effr
∆−= 2
2
ε
(2.10)
(
)
(
)
( )
( )
h
h
W
h
W
l
eff
eff
8.0258.0
264.03.0
412.0
+−
++
=∆
ε
ε
(2.11)
2.5.3 – Métodos de Onda Completa
A análise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima),
oferece relevante rapidez nas formulações, no entanto, incluem uma parcela de erro
devido às simplificações feitas, sobretudo quando se trata de aplicações em altas
freqüências e substratos anisotrópicos. Assim, a análise a partir de um método rigoroso
é imprescindível para a precisão dos resultados. É sabido que o modo de propagação da
microfita é modificado devido à interface dielétrico-ar, tornando-se um modo híbrido
não-TEM. Logo, o método de análise deve considerar a natureza híbrida dos modos de
propagação, por esse motivo tais métodos são chamados de análise dinâmica ou de onda
completa. Os mais relatados na literatura são: o Método da Linha de Transmissão
Equivalente - LTE ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz
e o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT. Esse será utilizado ao longo
deste trabalho, com uma nova formulação para substratos bianisotrópicos. Por esse
motivo é desnecessário apresentá-lo neste momento, pois é detalhado com todo o
formalismo matemático no capítulo 3.
24
2.6 – Conclusões
Nesse capítulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que serão abordados nos capítulos seguintes, situando assim,
acerca do trabalho desenvolvido.
25
CAPÍTULO 3
Substrato Bianisotrópico
3.1 – Introdução
Eletromagnetismo vem recebendo uma grande atenção por grupos de pesquisa
ao redor do mundo devido a gama de aplicações pratica que estes estudos possibilitam.
Com os avanços gerados pelas grandes guerras mundiais e a pela guerra fria uma
demanda crescente por novos materiais abrindo uma nova área de trabalho de materiais
eletromagnéticos. Aqui entra o estudo de matérias bianisotrópico com ênfase no uso e
analise de metamateriais com bianisotropia uniaxial.
Materiais artificiais foram desenvolvidos com características dielétricas e
magnéticas desejáveis. Atualmente novas técnicas e meios de fabricação vêm
possibilitando o desenvolvimento de novos materiais com características que não
podem ser encontradas na natureza [3]. Tais materiais artificiais com propriedades que
não são encontradas em materiais ubíquos são chamados metamateriais. Estes também
podem ser definidos como estruturas eletromagnéticas efetivas homogêneas artificiais
com propriedades incomuns que não são encontradas em materiais na natureza [4].
Estruturas nano-compostas de banda eletromagnética proibida são exemplos de
metamateriais.
Uma estrutura efetiva homogênea é uma estrutura cuja média do comprimento
estrutural de célula p é muito menor que um comprimento de onda guiada
λ
g
. Assim,
esse comprimento médio de célula pode ser pelo menos, menor que um quarto de
comprimento de onda, p <
λ
g
/4. Esta condição de referência p=
λ
g
/4 será denominada
como o limite de homogeneidade efetiva, para garantir que o fenômeno refrativo irá
dominar em relação ao fenômeno de espalhamento/difração quando a onda se propaga
dentro do meio metamaterial uniaxial. Os parâmetros constitutivos são a permissividade
ε
e a permeabilidade
µ
que são relacionados ao índice de refração n dado por [4]:
26
r r
n
µ ε
= ± (3.1)
Onde
µ
r
e
ε
r
são a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas à permeabilidade e permissividade no espaço livre dadas por
µ
0
=
µ
/
µ
r
=
4
π·
10
-7
e
ε
0
=
ε
/
ε
r
= 8.854
·
10
-12
, respectivamente. Na equação 3.1 o sinal ± para um
duplo valor da função raiz quadrada é admitido a priori para casos gerais. As quatro
possibilidades de combinações de sinais para
ε
e
µ
são (+,+), (+,-), (-,+) e (-,-), são
ilustrados no diagrama da Fig. 3.1. Enquanto as três primeiras combinações são bem
conhecidas em matérias tradicionais, a última (-,-) com permissividade e permeabilidade
simultaneamente negativas é uma nova classe de matérias os “materiais canhotos” ou
left-handed. Estes são descritos na seção seguinte.
Figura 3.1 – Diagrama de permissividade-permeabilidade e índice de refração.
3.2 – Definição de Metamateriais Left-Handed
Estes materiais, como uma conseqüência de seus duplos parâmetros negativos,
mostrados na Fig.3.1, são caracterizados por fase e velocidade de grupo antiparalelo ou
índice de refração negativo, equação 3.1. Os materiais Left-Handed (LH) são claramente
metamateriais de acordo com a definição dada na seção anterior, uma vez que são
artificiais; efetivamente homogêneos (p < g/4) e possui características não usuais como
o índice de refração negativo.
27
Estes materiais foram inicialmente propostos por Viktor Vaselago em 1968 [5]
onde pela primeira vez ambos os parâmetros dielétricos permissividade (
ε
) e
permeabilidade (
µ
) são negativos. Ele referiu esses materiais como metamateriais left-
handed. Quando uma onda eletromagnética passa por esses materiais o vetor de campo
elétrico
(
)
E
, o vetor de campo magnético
(
)
H
e o vetor de onda
(
)
k
obedecem à regra
da mão esquerda ao contrário de materiais naturais cujos vetores obedecem à regra da
mão direita e possuem parâmetros de material positivos. Tais materiais com parâmetros
positivos são nomeados “materiais destros” (MD). A Fig. 3.2 mostra a direção dos
vetores destes materiais. Pode ser observado que o vetor de pointing
S
e o vetor de
onda
k
estão em direções opostas no metamaterial LH.
Figura 3.2 – Diagrama mostrando os vetores de pointing, de onda elétrica e magnética em materiais
comuns (a) e metamateriais (b).
Os LH possuem características não usuais como lei de Snell, radiação e efeito
Doppler reversos [5]. A Fig. 3.3 mostra as direções de propagação de onda usando
diagrama de raios para o material convencional RH e o LH, quando uma onda incide
obliquamente no material. Pode ser observado que material natural à refração da onda
na primeira interface é para cima em relação a normal enquanto no material artificial é
para baixo.
28
Figura 3.3 – Diagrama de raios mostrando a direção de propagação de onda (a) material natural, (b)
metamaterial.
Vaselago concluiu em seu artigo que algumas substâncias naturais em potencial
poderiam exibir características LH (left-handed). Ele então sugeriu que “substâncias
girotrópicas possuindo plasma e propriedades magnéticas” (metais ferrimagnéticos
puros ou semicondutores), “onde tanto a permissividade quanto a permeabilidade são
tensores” (estruturas anisotrópicas) poderiam possibilitar desenvolvimento de um LH.
No entanto ele reconheceu [5], “infelizmente,..., nos não conhecemos sequer uma
substância que possa ser isotrópica e possuir permeabilidade negativa” de fato nenhum
LH foi descoberto em seu tempo.
Foram necessários mais de 30 anos após a publicação do artigo de Veselago o
primeiro metamaterial LH ser desenvolvido e demonstrado experimentalmente. Este
material não foi uma substância natural, como esperado por Veselago, foi uma estrutura
efetivamente homogênea artificial, isto é um metamaterial, que foi proposto por Smith e
seus colaboradores [6-7]. Esta estrutura foi proposta por Pendry [8]. Prendy introduziu o
tipo plasmático
ε
-negativo/
µ
-positivo e
ε
-positivo/
µ
-negativo mostrado na Fig. 3.4, a
qual pode ser projetada para ter freqüência plasmática na faixa de microondas. Ambas
as estruturas possuem um tamanho médio da célula p muito maior que comprimento de
onda guiada
λ
g
(p <<
λ
g
) sendo assim uma estrutura efetivamente homogênea ou
metamaterial.
29
Figura 3.4 – Metamateriais (
p
<<
λ
g
) construídos apenas com metais comuns e dielétricos, (a)
ε
-
negativo/
µ
-positivo, (b)
ε
-positivo/
µ
-negativo e (c) Estrutura SRR-TW[6] .
O metamaterial uniaxial descrito na Fig.3.4 (a) é o fio fino de metal (thin-wire
TW). Se a excitação do campo elétrico
E
é paralela ao eixo dos fios
(
)
E z
, para induzir
corrente ao longo destes e gerar o momento de dipolo elétrico equivalente, esse
metamaterial exibe uma função de freqüência do tipo plasmática para a permissividade
na seguinte forma [8],
( )
2 2 2
2 2 2
2 2
1 1
pe pe pe
r
j
j
ω ω ξω
ε
ω ωξ ω ξ
ω ω ξ
= − = − +
+ +
+
(3.2)
onde
( )
2 2 2
2 / ln /
pe
c p p r
ω π
=
(c: velocidade da luz, r: raio dos fios) é a freqüência
plasmática elétrica, ajustado na faixa de GHz, e
(
)
2
0
/ /
pe
p r
ξ ε ω πσ
= (
σ
:
condutividade do metal) é o fator de amortecimento devido às perdas do metal. Pode ser
notado nessa formula que:
(
)
2 2
Re 0, para ,
r pe
ε ω ω ξ
< < − (3.3)
que é reduzida se
2
0
ξ
=
para
30
2
0, para ,
r pe
ε ω ω
< < (3.4)
Por outro lado a permeabilidade é simplesmente
µ
=
µ
0
, uma vez que não há
presença de material magnético e o momento de dipolo magnético não é gerado. Deve
ser notado que os fios são muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
ao infinito), significando que os fios são excitados em freqüências situadas bem abaixo
de sua primeira ressonância.
O metamaterial descrito na Fig. 3.4(b) é o ressoador de anel partido (split-ring
resonator – SSR). Se a excitação do campo magnético
H
é perpendicular ao plano dos
anéis
(
)
H y
⊥
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magnético, esse metamaterial exibe uma função de freqüência do tipo plasmática para a
permissividade na seguinte forma [8],
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
0
2 2 2
2
0
2 2
2 2
2 2 2 2
0 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F
F
j
ω
µ
ω ω ωξ
ω ω ω
ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= − =
− +
−
− +
− + − +
(3.5)
Onde
( )
2
/
F r p
π
= (r: raio interno do anel menor),
( )
0
3
3
ln 2 /
m
p
c
dr s
ω
π
=
(d:
largura dos anéis, s: espaço radial entre os anéis) é a freqüência de ressonância
magnética, que pode ser ajustada para GHz, e
0
2 '/
pR r
ζ µ
= (R’: resistência do metal
por unidade de comprimento) é o fator de preenchimento devido às perdas. Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magnética apesar do fato de não incluir
materiais condutores magnéticos devido à presença de momentos de dipolo magnético
artificial gerado pelos anéis ressoadores. A equação 3.6 revela que uma faixa de
freqüência pode existir quando
(
)
Re 0
r
µ
<
em geral
(
)
0
ζ
≠
. No caso sem perdas
(
)
0
ζ
≠
temos que,
0
0
0, para
1
m
r m pm
F
ω
µ ω ω ω
< < < =
−
(3.6)
31
onde
ω
pm
é chamada de freqüência de plasmática magnética. Uma diferença essencial
entre as expressões plasmáticas para a permissividade e a permeabilidade é que o ultimo
é de natureza ressonante
(
)
0
m
µ ω ω
= = ∞
da estrutura devido à ressonância dos SRRs,
dados por [10] como sendo
( )
2
0
3
3
ln 2 /
m
pc
d s r
ω
π
=
.
O circuito equivalente do SRR é mostrado na Fig. 3.5 [8]. Na configuração de
anel duplo, Fig. 3.5(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os anéis maiores e
menores são modelados por uma capacitância de acoplamento (C
m
) e por um
transformador (de raio n). Na configuração da estrutura em anel, Fig. 3.5(b) o modelo
do circuito é um simples ressoador RLC com freqüência ressonante
0
1/
LC
ϖ
=
. O
SRR duplo é essencialmente equivalente ao SSR único se o acoplamento mútuo é fraco,
porque as dimensões dos dois anéis são muito próximas umas das outras, assim L
1
≈
L
2
≈
L e C
1
≈
C
2
≈
C, resultando em uma freqüência ressonante combinada próxima a do
SRR simples com as mesmas dimensões, porém com um maior momento magnético
devido a maior densidade de corrente.
Figura 3.5 – Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuração dupla e (b) configuração
simples.
Uma forma de utilizar essas estruturas em conjunto é formar um substrato TW-
SRR que consiste de uma junção de ambas as estruturas em um único dielétrico com as
estruturas dispostas em lados opostos do substrato Fig. 3.4 (c), resultados para esse
substrato podem ser vistos nas Fig. 3.6 [9].
32
(a)
(b)
Figura 3.6 – Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, (a) permeabilidade e (b)
permissividade.
Embora do ponto de vista físico os metamateriais TW-SRR com anéis circulares
serem bastante interessantes, na prática estes são de pouca valia em engenharia para
aplicações planares. Uma alternativa foi apresentada por Shelby [6], onde são utilizados
anéis quadrados e linhas de transmissão como é mostrada na Fig. 3.7.
33
Figura 3.7 – Metamateriais (
p
<<
λ
g
) construídos apenas com metais comuns e dielétricos, (a)
ε
-
negativo/
µ
-positivo, (b)
ε
-positivo/
µ
-negativo e (c) estrutura SRR-TW [6].
Uma das alternativas, para as estruturas SRR-TW, é usar uma superfície de
impedância reativa (RIS) como substrato. Essas estruturas podem ser projetadas para
possuírem a habilidade de refletir a potência total como um condutor puramente elétrico
(PEC – perfectly electric conductor) ou um condutor puramente magnético (PMC –
perfectly magnetic conductor) e ao mesmo tempo serem capazes de armazenar energia
elétrica ou magnética.
Uma estrutura RIS é composta por uma camada capacitiva impressa em um dos
lados do substrato dielétrico separada por um plano de terra metálico no outro lado do
substrato dielétrico.
A freqüência de ressonância da superfície depende do valor dos elementos
capacitivos, a distância entre a camada capacitiva e a superfície metálica e a
permissividade da camada dielétrica. A construção de uma estrutura RIS pode ser obtida
usando capacitores integrados dispostos de forma periódica. A Fig. 3.8 mostra um
arranjo periódico de dipolos cruzados, os quais se acoplam através de capacitores
integrados em suas terminações.
34
Figura 3.8 – Estrutura RIS.
Os metamateriais descritos são bi-anisotrópicos e caracterizados por tensores
permissividade e permeabilidade uniaxiais [7]:
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
µ
µ µ µ
µ
=
(3.10)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
ε
ε ε ε
ε
=
(3.11)
A estrutura mostrada na Fig. 3.4(c) é material esquerdino monodimensional,
uma vez que apenas uma direção é permitida para o par
(
)
,
E H
, assim temos que
ε
xx
(
ω
<
ω
pe
) < 0 e
ε
yy
=
ε
zz
> 0,
µ
xx
(
ω
0m
<
ω
<
ω
pm
) < 0 e
µ
yy
=
µ
xx
> 0. Já a estrutura 3.7(c) é
35
um material esquerdino bidimensional porque, mesmo que o
E
tenha que ser
direcionado ao longo do eixo dos fios, duas direções são permitidas para o
H
, assim o
[
ε
] não está carregado, contudo
µ
xx
<
µ
yy
para
ω
0m
<
ω
<
ω
pm
e
µ
zz
> 0 [7].
3.3 – Conclusões
Neste capítulo houve uma introdução sobre algumas estruturas bianisotrópicas,
escolhido para representar tal estrutura foi utilizado o metamaterial que foi apresentado
com fatores que motivaram a utilização dessas estruturas como o substrato para os
dispositivos que serão descritos neste trabalho. Foi descrito o fenômeno de refração
negativa observando assim o potencial de aplicações eletromagnéticas dessas estruturas.
36
CAPÍTULO 4
Teoria dos Materiais Supercondutores
4.1 – Introdução
Ainda não há uma teoria quântica satisfatória da supercondutividade, porém uma
teoria microscópica muito utilizada é a teoria BCS [16]-[18] (desenvolvida por Bardeen,
Cooper e Schrieffer, daí o nome dessa teoria) e as teorias macroscópicas mais utilizadas
como o Modelo dos Dois Fluidos e as Equações de London [19]-[22].
4.2 – Características dos Materiais Supercondutores
Os materiais supercondutores apresentam algumas características experimentais,
tais como:
•
Resistividade nula;
•
Corrente persistente;
•
Efeito do campo magnético;
•
Exclusão de fluxo;
•
Efeito da freqüência;
•
Efeito isótopo.
A supercondutividade foi descoberta em 1911 quando foi observado que a
resistividade do mercúrio desapareceu completamente abaixo de 4,2 K (-268,95
o
C), a
transição da condutividade normal ocorre em uma faixa muito estreita da ordem de 0,05
K, conforme Fig. 4.1:
37
Figura 4.1 – Resistividade do mercúrio em função da temperatura em Kelvin.
Um disco de material supercondutor sendo resfriado em um campo magnético a
uma temperatura abaixo da temperatura crítica (T < Tc), que é a temperatura abaixo da
qual o material se torna supercondutor, e o campo sendo desligado de modo a produzir
correntes induzidas no disco. A corrente (corrente persistente) que tem sido observada
não se reduz com o passar do tempo. Em experimentos utilizando uma espira de 700
metros de um cabo não indutivo não foi possível obter decréscimos na corrente num
período de observação de 12 horas.
A seguir, na figura 4.2 podemos observar o decréscimo da resistência do
material YBCO em função da temperatura.
Figura 4.2 – Resistividade do YBCO em função da temperatura em Kelvin.
38
É possível destruir a supercondutividade pela aplicação de um campo magnético
suficientemente forte. O valor do campo magnético crítico ( H
c
→
), menor valor do campo
magnético capaz de destruir o efeito supercondutivo, é função da temperatura, quando T
= Tc, H
c
→
= 0 . Foi observado que a passagem de uma corrente elétrica abaixo da espira
supercondutiva conduzia à destruição da supercondutividade quando certa corrente
crítica foi excedida.
Observou-se que em um supercondutor longo e resfriado a uma temperatura
abaixo da crítica em um campo magnético, as linhas de indução no interior do
supercondutor eram empurradas para fora. O efeito Meissner, como é denominado esse
efeito, mostra que o supercondutor apresenta diamagnetismo perfeito, e sugere que o
diamagnetismo perfeito e a resistividade nula são efeitos independentes do estado
supercondutor.
(a) (b)
Figura 4.3 – Efeito Meissner na transição da temperatura crítica. (a) Temperatura do supercondutor
acima da temperatura crítica; (b) Supercondutor resfriado abaixo de sua temperatura crítica.
Em corrente contínua a medição da resistividade no estado supercondutor é nula.
No infravermelho a resistividade é a mesma que a do estado normal, medida no
coeficiente de reflexão pela passagem do campo magnético crítico. A transição entre a
baixa e a alta freqüência ocorre gradualmente, ao longo da faixa de microondas.
Medições indicam que a resistividade é a do estado normal para comprimentos de onda
abaixo de 100 µm (≅3000 GHz).
39
Os compostos supercondutores e ligas são freqüentemente caracterizados por
uma alta temperatura crítica (Tc), alto campo crítico ( H
c
→
), efeito Meissner incompleto,
entre outras. Devido a estas propriedades eles são conhecidos como supercondutores
não-ideais, ou rígidos. Estas propriedades anômalas não têm encontrado ainda uma
completa explicação. Os materiais supercondutores formados por apenas um elemento
são chamados supercondutor do tipo I, enquanto que as ligas são denominadas
supercondutores do tipo II.
4.3 – Teoria BCS da Supercondutividade
A base da teoria quântica da supercondutividade foi lançada em 1957 pelos
trabalhos de Bardeen, Cooper e Schrieffer. A formulação da teoria BCS inclui entre
outros fenômenos [16]-[18]:
a)
Uma interação atrativa entre elétrons pode ser conduzida a um estado
fundamental separada de estados excitados por uma lacuna de energia, que
separa os elétrons supercondutores abaixo da lacuna dos elétrons normais. O
campo crítico ( H
c
→
), as propriedades térmicas e muitas outras propriedades
eletromagnéticas são conseqüências dessa lacuna de energia.
b)
A profundidade de penetração (λ
l
) e o comprimento de coerência (
ξ
), que é
uma medida de distância da lacuna, surgem como conseqüências naturais da
teoria BCS. A equação de London é obtida para campos magnéticos que
variam lentamente no espaço. Desse modo o efeito Meissner é obtido de
maneira natural.
c) A teoria BCS prediz a temperatura crítica de um elemento ou liga. Existe um
paradoxo: quanto maior a resistividade na temperatura ambiente, maior será a
probabilidade de que esse metal seja um supercondutor quando resfriado.
A teoria BCS atribui o efeito supercondutivo a um par de elétrons fracamente
ligados chamados par de Cooper.
40
4.4 – Equações de London
Pode-se fazer uma aproximação nas equações da eletrodinâmica, permanecendo
iguais à permeabilidade (µ) e a permissividade (ε), e utilizando-se a hipótese de que a
resistividade nula conduz à equação da aceleração, conforme apresentado abaixo [16]-
[18]:
e E m
d v
dt
→
→
=
(4.1)
Λ
∂
∂
j
t
E
→
→
=
(4.2)
Λ∇x j B
→ →
= −
(4.3)
sendo
j ne v
→ →
=
(4.4)
Λ =
m
ne
2
(4.5)
das equações acima se pode derivar as equações abaixo:
∇ =
→
→
2
2
B
B
l
λ
(4.6)
sendo
41
λ
π
l
mc
ne
2
2
2
4
=
(4.7)
λ
l
é a profundidade de penetração de London, que mede a penetração do campo
magnético no supercondutor, “m” é a massa da partícula, “n” é a quantidade de
partículas, “e”
é a carga do elétron, “c” é a velocidade da luz no vácuo e “v” é a
velocidade de arrastamento da partícula.
A equação (4.6) explica o efeito Meissner, não permitindo uma solução
uniforme no espaço, não podendo existir um campo magnético uniforme num
supercondutor. A solução para a equação (4.6) é a indicada abaixo
B x B e
x
l
→ →
−
=( )
0
λ
(4.8)
Um campo magnético aplicado penetrará numa película fina de modo
aproximadamente uniforme, se a espessura for muito menor do que λ
l
; portanto num
filme fino o efeito Meissner não é completo.
4.5
–
Modelo dos Dois Fluidos
Não há uma teoria macroscópica que descreva com exatidão as propriedades
elétricas do supercondutor a temperaturas abaixo da crítica. O modelo mais usado para
essas temperaturas é o modelo dos dois fluidos, que tem sido aplicado com muito
sucesso. Mesmo antes da teoria BCS, em 1934 Gorter e Casimir desenvolveram o
modelo dos dois fluidos, baseado no conceito de que há dois fluidos em um
supercondutor: uma corrente supercondutiva e uma corrente condutiva normal [23].
A teoria BCS é muito utilizada em supercondutores com baixa temperatura
crítica, enquanto que o modelo dos dois fluidos é usado em supercondutores com alta
temperatura crítica e para materiais com fraco campo magnético.
A condutividade complexa obtida do modelo dos dois fluidos é expressa por
(4.9), enquanto que para um supercondutor do tipo II, utiliza-se o modelo dos dois
fluidos avançado, sendo a condutividade expressa em (4.10) [19]-[24]:
42
σ σ
ωµλ
=
−
n
c
ef
T
T
j
T
4
2
1
( )
(4.9)
( )
σ σ
ωµλ
=
−
n
c
ef
T
T
j
T
1/2
2
1
(4.10)
sendo σ
n
a condutividade normal à Tc; λ
ef
a profundidade de penetração efetiva do
campo magnético, sendo dada pela equação abaixo para o modelo dos dois fluidos
normal e avançado [19]-[24]
λ λ
ef ef
c
T
T
T
( ) ( )= −
−
0 1
4
1
(4.11)
( ) ( )
λ λ
α
ef ef
c
T
T
T
= −
−
0 1
1
2
(4.12)
sendo 1,4 < α <1,8 [9].
Nas teorias desenvolvidas tem-se que a profundidade de penetração efetiva é
maior que a profundidade de penetração de London para materiais de alta Tc devido a
irregularidades do material. O efeito de outros mecanismos de perdas, como as perdas
dos contornos da superfície e perdas residuais são freqüentemente incluídas em σ
n
.
Apesar dessas incertezas o modelo dos dois fluidos ainda é uma ferramenta empírica
poderosa e fornece importantes resultados qualitativos.
4.6
–
Impedância de Superfície
A impedância de superfície de um material dielétrico, um metal normal e um
supercondutor são mostrados na Fig. 4.4 [25].
43
Figura 4.4 – Impedância de superfície de um dielétrico, de um metal normal e de um
supercondutor.
A impedância de superfície de um material dielétrico sem perdas ou de baixas
perdas é real positivo. A impedância de superfície de um metal normal se encontra ao
longo da linha de 45° e para um supercondutor, que também pode ser tratado como
dielétrico negativo (de acordo com alguns autores) a impedância de superfície se
encontra no eixo imaginário positivo. No caso limite em que a condutividade (σ) tender
ao infinito no condutor ou a constante dielétrica (ε
r
) tender ao infinito no dielétrico, a
impedância de superfície tenderá a zero. Quando se aproximam da origem não é
possível distinguir macroscopicamente o supercondutor do condutor perfeito. Para um
condutor a reatância indutiva é igual à resistência, porém para o supercondutor a parte
reativa é muito maior que a parte resistiva. A impedância de superfície é dada por
Z
E
J
j
S
T
= =
→
→
ωµ
σ
(4.13)
sendo
J J dz
v
t
→ →
=
∫
0
(4.14)
44
Considerando-se a profundidade de penetração efetiva (λ
ef
) maior que a
espessura do filme supercondutivo pode-se aproximar a impedância de superfície por
[19]-[24]
J J dz J t
v
t
v
→ → →
= =
∫
0
(4.15)
Z
E
J
E
J t
t
s
T T
v
= = =
→
→
→
→
1
σ
(4.16)
sendo J
v
→
a densidade de corrente volumétrica uniforme e t a espessura da lâmina
supercondutora.
Para uma fina lâmina supercondutora, ou fita condutora normal, onde o campo
interno da fita é aproximadamente uniforme, a componente tangencial do campo
elétrico é dada por:
E Z J
T
s
T
→ →
=
(4.17)
sendo E
T
→
a componente do campo elétrico tangencial à lâmina e J
T
→
a densidade de
corrente de superfície.
Abaixo são dadas algumas informações com o interesse de comparar o
supercondutor aos metais não-supercondutores como o ouro e o cobre. Com isto é
fornecida uma vista global dos supercondutores.
Tabela 4.1 -
Comparação da lâmina supercondutora
com lâminas de cobre e ouro [19]-[24].
Supercondutor
YBa
2
Cu
3
O
7-x
(YBCO)
Metal Normal
Cobre (Cu)
Metal normal
Ouro (Au)
λ
λλ
λ
ef
(T=0 K) 1500 Å
≈
≈≈
≈ 0 ≈
≈≈
≈ 0
σ
σσ
σ
n
2.0
10
5
S/m 5.88
10
7
S/m 4.55 10
7
S/m
T
c
93 K (-180,15
o
C) - -
45
4.7 – Conclusão
Neste capítulo foram apresentadas as características do HTS (Supercondutor de
alta temperatura crítica), um breve histórico, alguns de seus principais efeitos, sua
dependência com a temperatura e com a freqüência, chegando até os HTS utilizados na
prática, os do tipo II. As principais teorias, microscópica e macroscópica, que explicam
a teoria da supercondutividade foram apresentadas. Foi realizada uma explicação sobre
a impedância de superfície e a condição de contorno complexa resistiva, condição de
contorno que será de fundamental importância no cálculo da freqüência de ressonância e
padrão de irradiação.
46
CAPÍTULO 5
Aplicação do Método LTT
Diferentemente de outros métodos de onda completa o Método da Linha de
Transmissão Transversa utiliza à direção de propagação “y”, transversa a direção real de
propagação “z”. Dessa forma há uma diminuição do tempo computacional quando este
método é implementado em alguma linguagem computacional.
5.1 – Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicação, são determinados os campos para a região do
substrato metamaterial de uma linha de lâmina bilateral. As equações gerais dos campos
são obtidas com a utilização do método LTT [21], a partir das equações de Maxwell:
x E [ ]H
j
ω µ
∇ = −
(5.1)
x H [ ]E
j
ω ε
∇ =
(5.2)
Os vetores campo elétrico e magnético no método LTT são decompostos nas
suas três componentes [21],
ˆ ˆ
ˆ
y t x y z
H H H H x H y H z
= + = + +
(5.3)
ˆ ˆ
ˆ
y t x y z
E E E E x E y E z
= + = + +
(5.4)
ˆ ˆ ˆ
ˆ
y t t
y x y z
y x y z
∂
∂
∂ ∂ ∂
∇ = ∇ + ∇ = ∇ + = + +
∂ ∂ ∂
(5.5)
∇ = + = −
t
x
x
z
z
x
x z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Γ (5.6)
47
onde
H H H
t
x
z
= + – campo magnético na direção transversa (5.7)
E E E
t
x
z
= + – campo elétrico na direção transversa (5.8)
Γ
=
+
α
β
j
– constante de propagação (5.9)
Para o caso do metamaterial uniaxial temos que [6],
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
µ
µ µ µ
µ
=
(5.10)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
ε
ε ε ε
ε
=
(5.11)
Substituindo (5.4) a (5.6) em (5.3)
( )
0
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 0
0 0
ˆ
ˆ
ˆ
xx
x y z yy
zz
x
y
z
x y z H x H y H z j
x y z
E x
E y
E z
ε
ω ε ε
ε
∂ ∂ ∂
+ + × + + =
∂ ∂ ∂
⋅
(5.12)
( ) ( ) ( )
( )
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
y z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H x
x x y y z z
j E E E
ω ε ε ε ε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − + − + + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
(5.13)
Separando os componentes transversais x e z de (5.13), teremos:
( ) ( )
( )
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
y x z y x xx z zz
H z H z H x H x j E E
x y y z
ω ε ε ε
∂ ∂ ∂ ∂
+ − + + − = +
∂ ∂ ∂ ∂
(5.14)
48
reescrevendo,
( )
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
z x y y x xx z zz
H x H z H z H x j E E
y y x z
ω ε ε ε
∂ ∂ ∂ ∂
− + − = +
∂ ∂ ∂ ∂
(5.15)
como,
ˆ ˆ
ˆ
z x t
H x H z y H
y y y
∂ ∂ ∂
− = ×
∂ ∂ ∂
(5.16)
e
ˆ
ˆ
y y t y
H z H x H
x z
∂ ∂
− = ∇ ×
∂ ∂
(5.17)
então,
( ) ( )
0
ˆ
t t y x xx z zz
y H H j E E
y
ω ε ε ε
∂
× + ∇ × = +
∂
(5.18)
assim,
0
1
xx
Ex Hz Hy
j y z
ωε ε
∂ ∂
= −
∂ ∂
(5.19)
e
0
1
zz
Ez Hy Hx
j x y
ωε ε
∂ ∂
= −
∂ ∂
(5.20)
49
( )
0
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 0
0 0
ˆ
ˆ
ˆ
xx
x y z yy
zz
x
y
z
x y z E x E y E z j
x y z
H x
H y
H z
µ
ω µ µ
µ
∂ ∂ ∂
+ + × + + = −
∂ ∂ ∂
⋅
(5.21)
( ) ( ) ( )
( )
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
y z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E x
x x y y z z
j H H H
ω ε µ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − + − + + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
(5.22)
Separando as componentes transversais x e z de (5.22), teremos:
( ) ( )
( )
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
y x z y x xx z zz
E z E z E x E x j H H
x y y z
ω ε µ µ
∂ ∂ ∂ ∂
+ − + + − = +
∂ ∂ ∂ ∂
(5.23)
reescrevendo,
( )
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
y y z x x xx z zz
E z E x E x E z j H H
x z y y
ω ε µ µ
∂ ∂ ∂ ∂
− + − = +
∂ ∂ ∂ ∂
(5.24)
como,
ˆ ˆ
ˆ
z x t
E x E z y E
y y y
∂ ∂ ∂
− = ×
∂ ∂ ∂
(5.25)
e
ˆ
ˆ
y y t y
E z E x E
x z
∂ ∂
− = ∇ ×
∂ ∂
(5.26)
então
( ) ( )
0
ˆ
t t t x xx z zz
y E E j H H
y
ω ε µ µ
∂
× + ∇ × = +
∂
(5.27)
assim,
50
0 xx
j
Hx Ez Ey
y z
ωµ µ
∂ ∂
= −
∂ ∂
(
5.28
)
e
0 zz
j
Hz Ey Ex
x y
ωµ µ
∂ ∂
= −
∂ ∂
(
5.29
)
Aplicando a eq.(5.19) em (5.29) temos:
0 0
1
zz xx
j
Hz Ey Hz Hy
W x y y z
µ µ ωε ε
∂ ∂ ∂ ∂
= − −
∂ ∂ ∂ ∂
(5.30)
2
0
2 2
0
1
n xx
zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
α ωε ε
µ ε
∂
= +
+ ∂ ∂
(5.31)
E assim,
2
0
2 2
0
1
n xx
zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
α ωε ε
µ ε
∂
= +
+ ∂ ∂
(5.32)
Agora, aplicando a eq. (5.29) em (5.19), temos:
0 0
1
xx zz
j
Ex Ey Ex Hy
j y x y z
ωε ε ωµ µ
∂ ∂ ∂ ∂
= − −
∂ ∂ ∂ ∂
(5.33)
2
0
2 2
0
1
k zz
xx zz
Ex Ey Hy
Ky K y x
β ωµ µ
ε µ
∂
= +
+ ∂ ∂
(5.34)
Manipulando as equações (5.20) e (5.28), temos:
0 0
1
xx zz
j
Hx Hy Hx Ey
y j x y z
ωµ µ ωε ε
∂ ∂ ∂ ∂
= − −
∂ ∂ ∂ ∂
(5.35)
51
2
0
2 2
0
1
k zz
zz xx
Hx Hy Ey
Ky K y x
β ωε ε
ε µ
∂
= −
+ ∂ ∂
(5.36)
Por final, aplicando a eq. (5.28) em (5.20), temos:
0 0
1
zz xx
j
Ez Hy Ez Ey
j x y y z
ωε ε ωµ µ
∂ ∂ ∂ ∂
= − −
∂ ∂ ∂ ∂
(5.37)
2
0
2 2
0
1
n xx
zz xx
Ez Ey Hy
Ky K y z
α ωµ µ
ε µ
∂
= −
+ ∂ ∂
(5.38)
Onde
2
2 2
2
y
k
y
∂
γ
∂
= =
(5.39)
2 2
n k i
K
γ α β
= + − (5.40)
n
j
x
α
∂
= −
∂
(5.41)
k
j
z
β
∂
= −
∂
(5.42)
Assim, temos as equações de campo elétrico e magnético:
2
0
2 2
0
1
k zz
xx zz
Ex Ey Hy
Ky K y x
β ωµ µ
ε µ
∂
= +
+ ∂ ∂
(5.43)
2
0
2 2
0
1
n xx
zz xx
Ez Ey Hy
Ky K y z
α ωµ µ
ε µ
∂
= −
+ ∂ ∂
(5.44)
52
2
0
2 2
0
1
k zz
zz xx
Hx Hy Ey
Ky K y x
β ωε ε
ε µ
∂
= −
+ ∂ ∂
(5.45)
2
0
2 2
0
1
n xx
zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
α ωε ε
µ ε
∂
= +
+ ∂ ∂
(5.46)
5.2 – Conclusões
Foi apresentado o desenvolvimento matemático e a determinação dos campos
eletromagnéticos da antena de microfita com substrato metamaterial, utilizando o
Método da Linha de Transmissão Transversa.
53
CAPÍTULO 6
Campos Eletromagnéticos na Antena com Substrato
Bianisotrópico
6.1 – Introdução
A análise através de métodos de onda completa se faz necessária para a obtenção
de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais.
Partindo das equações de Maxwell, as componentes dos campos elétrico e
magnético
x
E
~
,
z
E
~
,
x
H
~
e
z
H
~
são escritos em função das componentes
y
E
~
e
y
H
~
no
domínio da transformada de Fourier. Tomando uma solução geral da equação de onda e
aplicando as condições de contorno adequadas, são obtidas as constantes envolvidas
nesta solução em função do campo elétrico fora da fita e também a equação matricial
não homogênea envolvendo as densidades de corrente nas fitas. Aplicando o método
dos momentos, as densidades de corrente são expandidas em funções de base e uma
equação matricial homogênea é obtida. A solução não-trivial gera a equação
característica, na qual as raízes permitem a obtenção da freqüência de ressonância da
antena.
Neste capítulo são apresentadas as antenas de microfita retangular
bianisotrópica, a qual é uma modificação da antena retangular.
6.2 – Antena de Microfita com Substrato Bianisotrópico
As equações de campo eletromagnético são desenvolvidas para a obtenção da
freqüência de ressonância da antena de microfita convencional através do método de
onda completa LTT e em combinação com este, será utilizado o modelo da Linha de
Transmissão para a obtenção do diagrama de irradiação da antena.
A antena é composta por um patch ressoador sobre um substrato dielétrico que
tem na parte inferior um plano de terra, como ilustrado na Figura 6.1.
54
Figura 6.1 – Antena de microfita com substrato bianisotrópico.
Durante o processo de análise da estrutura a fita condutora é desprezada, pois
então, serão considerados os parâmetros dimensionais e eletromagnéticos da estrutura e
o sistema cartesiano.
6.3 – Determinação das Equações de Campos
Eletromagnéticos
Nessa seção, são desenvolvidas as soluções das equações de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na região 1. Para região 2 é considerado o
espaço livre.
Das equações de Maxwell tem-se:
x E [ ]H
j
ω µ
∇ = −
(6.1)
x H [ ]E
j
ω ε
∇ =
(6.2)
onde, para o caso de substrato metamaterial uniaxial:
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
µ
µ µ µ
µ
=
(6.3)
55
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
ε
ε ε ε
ε
=
(6.4)
Como as soluções das equações de onda são feitas considerando a direção de
propagação, as equações 6.3 e 6.4 se tornam:
0
[ ]
yy
ε ε ε
= (6.5)
0
[ ]
yy
µ µ µ
= (6.6)
Calculando-se o rotacional da eq. 6.1, tem-se:
[ ]
E j H
ω µ
∇× ∇ × = − ∇ ×
(6.7)
Substituindo a eq. 6.2 em 6.7,
2
0 0
yy yy
E E
ω ε ε µ µ
∇×∇ × =
(6.8)
Assim,
2 2
0 0
( )
yy yy
E E E
ω ε ε µ µ
∇ ∇ ⋅ − ∇ =
(6.9)
como a região é livre de cargas e correntes elétricas, tem-se pelas equações de
Maxwell que:
0
E
∇ ⋅ =
(6.10)
logo, pode-se escrever 5.9 como segue,
2 2
0 0
0
yy yy
E E
ω ε ε µ µ
∇ − =
(6.11)
56
esta relação é válida para todas as componentes de
E
e, em particular, para
y
E
, ou seja:
2 2
0 0
0
y yy yy y
E E
ω ε ε µ µ
∇ − =
(6.12)
decompondo-se o operador
2
∇
, tem-se:
2 2 2
2
2 2 2
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
(6.13)
assim 6.12 é dada por:
2 2 2
2
0 0
2 2 2
0
yy yy
E
x y z
ω ε ε µ µ
∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
(6.14)
Da teoria da transformada de Fourier, tem-se:
2
2
2
y
n y
E
E
x
α
∂
= −
∂
(6.15)
2
2
2
y
k y
E
E
z
β
∂
= −
∂
(6.16)
Transformando-se 6.14 para o domínio da transformada de Fourier, tem-se:
2 2 2
0 0
2
0
y
n y k y yy yy
E
E E E
y
α β ω ε ε µ µ
∂
− + − + =
∂
(6.17)
ou, ainda
2
2 2 2
2
( ) 0
y
n k y
E
k E
y
α β
∂
− + − =
∂
(6.18)
Onde
2
0 0
yy yy y
k E
ω ε ε µ µ
=
57
Logo,
2
2
2
0
y
y
E
E
y
γ
∂
− =
∂
(6.19)
Onde:
2 2 2 2
n k
k
γ α β
= + −
A equação 6.19 é a equação de onda para
y
E
. De maneira análoga, mostra-se que:
2
2
2
0
y
y
H
H
y
γ
∂
− =
∂
(6.20)
As soluções das equações dos campos em y para as duas regiões da estrutura em
estudo (onde a região 1 representa à ressonância e a região 2 a propagação através do
ar), através das equações de onda de Helmholtz, são dadas por:
Região 1:
(
)
1
1 1
cosh
y e
E A y
γ
=
(6.21)
(
)
1
1 1
y h
H A senh y
γ
=
(6.22)
Região 2:
)(
22
2
~
hy
ey
eAE
−−
=
γ
(6.23)
)(
22
2
~
hy
hy
eAH
−−
=
γ
(6.24)
Substituindo as componentes em y (6.21) – (6.24) nas equações (5.43) – (5.46)
obtêm-se as demais componentes dos campos elétricos e magnéticos para as duas
regiões da estrutura:
Região 1:
( )
1 1 1 1 1 1
2 2
1 0
cosh( ) sinh( )
n e k zz h
xx zz
j
Ex A y j A y
K
α γ γ β ωµ γ
γ ε µ
−
= +
+
(6.25)
58
( )
1 1 1 1 0 1 1
2 2
1 0
cosh( ) sinh( )
k e n xx h
zz xx
j
Ez A y j A y
K
β γ γ α ωµ µ γ
γ ε µ
−
= −
+
(6.26)
( )
1 1 1 1 0 1 1
2 2
1 0
cosh( ) cosh( )
n h k zz e
zz xx
j
Hx A y j A y
K
α γ γ β ωε ε γ
γ ε µ
−
= −
+
(6.27)
( )
1 0 1 1 1 1 1
2 2
0
cosh( ) cosh( )
n xx e k h
xx zz
j
Hz j A y A y
K
α ωε ε γ β γ γ
γ ε µ
−
= +
+
(6.28)
Região 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 2 2 2 2
2 2
cosh( ) sinh( )
( sinh( ) cosh( ))
n e n e
k h h
A p B p
j
Ex
j A p B p
K
α γ γ α γ γ
β ωµ γ γ
γ
+ +
−
=
+
+
(6.29)
2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 2 2 2 2
2 2
cosh( ) sinh( )
( sinh( ) cosh( )
k e k e
n h h
A p B p
j
Ez
j A p B p
K
β γ γ β γ γ
α ωµ γ γ
γ
+ −
−
=
+
+
(6.30)
2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 2 1 2 2
2 2
cosh( ) sinh( )
( sin( ) cosh( )
n h n h
k e e
A p B p
j
Hx
j A y B p
K
α γ γ α γ γ
β ωε γ γ
γ
+ −
−
=
+
(6.31)
2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 2 2
2 2
2 2
cosh( ) sinh( )
( sinh( ) cosh( ))
k h k h
n e e
A p B p
j
Hz
j A B
K
p p
β γ γ β γ γ
α ωε
γ
γ γ
+ +
−
=
+
+
(6.32)
Será analisada uma estrutura em que o patch é constituído de um material
supercondutor, conforme a fig. 6.1. Para esta análise considera-se o material
supercondutor muito fino, pois de acordo com as equações de London apresentadas no
capítulo 4, o material supercondutor se comporta como um dielétrico isotrópico [1]-[2],
necessitando apenas de uma modificação em uma das equações de Maxwell, [22]. Para
o estudo da antena de microfita com fita supercondutora, o efeito do material
supercondutor é considerado nas condições de contorno da estrutura.
Conforme o efeito Meissner, que diz: o supercondutor é um material
diamagnético perfeito, porém para o supercondutor do tipo II, ou supercondutor de alto
Tc, esse efeito não é completo [1]-[2], [23]. Então existem campos eletromagnéticos no
59
interior do supercondutor, podendo-se usar a aproximação de que um material
supercondutor muito fino se comporta como um dielétrico homogêneo e isotrópico.
Com as equações de London, apresentadas de outra forma juntamente com as
equações de Maxwell, obtém-se uma densidade de corrente de condução normal, uma
densidade de corrente de supercondução e uma densidade de corrente de deslocamento
devida à parte dielétrica. Resultando em uma densidade de corrente total.
Equações de Maxwell
∇ × = −
→ →
E j H
ωµ
(6.33)
∇ × = +
→ → →
H J j E
ωε
(6.34)
∇ =
→
. B 0
(6.35)
∇ =
→
. D 0
(6.36)
Equações de London
( )
→
→
= E
t
j
T
eff
∂
∂
µλ
2
(6.37)
( )
∇ ×
= −
→ →
λ
eff
T j H
2
(6.38)
Como a densidade de corrente total é devida a três parcelas, e conhece-se apenas
a densidade de corrente de condução e a de deslocamento, utilizam-se as equações
acima para encontrar a densidade de corrente de supercondução. A densidade de
corrente total é apresentada abaixo, podendo-se dizer que existe uma condutividade
complexa.
60
( )
J E
j T
E
n
eff
→ → →
=
σ
ωµλ
1
2
(6.39)
J E
s
→ →
=
σ
(6.40)
sendo
( )
σ σ
ωµλ
s n
eff
j T
= +
1
2
(6.41)
Um material dielétrico (isolante) possui uma baixa condutividade e uma certa
permissividade relativa finita, já um material condutor possui uma altíssima
condutividade e uma baixíssima permissividade relativa. Se forem analisados casos
extremos, o material dielétrico, neste caso hiperdielétrico, possuiria uma condutividade
nula e uma permissividade relativa que tenderia a infinito, já um material condutor,
neste caso perfeito, possuiria uma condutividade tendendo ao infinito e uma
permissividade relativa nula. Em ambos os casos para que as equações de Maxwell
sejam válidas nas condições de contorno, os efeitos do campo elétrico se anulam, para
contrabalançar esses extremos. No caso do supercondutor, a condutividade é finita, e a
permissividade relativa tende a infinito. Porém, como os efeitos do campo elétrico se
anulam, para que nas condições de contorno as equações de Maxwell sejam válidas,
pode-se considerar que ao invés do campo elétrico se anular, quem se anula é a
permissividade relativa, isso não retira a legitimidade da aproximação.
Analisando, se evidencia que o material supercondutor é o simétrico do material
dielétrico, por isso alguns autores chamam o supercondutor de “dielétrico negativo”. A
partir do que foi exposto, a equação (6.34) se reduz à equação apresentada abaixo [23]:
∇ × =
→
∗
→
H j E
s
ωε
(6.42)
Então, considera-se que o material supercondutor possui uma permissividade
complexa negativa, nessa região.
61
( ) ( )
ε
σ
ω
σ
ω
ω µλ ω µλ
σ
ω
s
s n
eff eff
n
j j
T T
j
∗
= = − = − −
1 1
2 2 2 2
(6.43)
As constantes dos campos elétricos e magnéticos (A
1e
, A
1h
, A
2e
e A
2h
) são
obtidas através da aplicação das condições de contorno da estrutura na direção y. As
condições de contorno são dadas por [24]:
• Os campos elétricos tangentes às paredes elétricas são iguais a zero (
0
t
E
=
);
• Os campos eletromagnéticos no infinito tendem a zero;
• Os campos eletromagnéticos nas interfaces dielétrico-dielétrico são iguais
(
ti tj
E E
=
e
ti tj
H H
=
);
• Os campos elétricos tangentes a uma interface dielétrico-dielétrico que possua
fitas metálicas são iguais aos campos elétricos a essa interface (
ti tj fita
E E E= =
).
A aplicação destas condições de contorno gera um sistema de equações, no qual
a quantidade de equações e de incógnitas é igual a 4 vezes a quantidade de regiões
dielétricas consideradas para a estrutura em estudo. A resolução deste sistema não-
homogêneo de equações fornece os valores das constantes dos campos elétricos e
magnéticos.
Aplicando as condições de contorno à estrutura em estudo, têm-se:
em y = h
xhxx
EEE
~
~
~
21
==
(6.44)
zhzz
EEE
~
~
~
21
==
(6.45)
Com a aplicação destas condições de contorno, as constantes dos campos
elétricos e magnéticos são obtidas em função dos campos elétricos tangenciais
xh
E
~
e
zh
E
~
:
62
2 2 2 2
1 1 0 1 1 0
1
2 2
0 1
( ) ( )
sinh( )( )
k xx zz n zz xx
h
n xx k zz
Exh K Ezh K
A
y
β γ ε µ α γ ε µ
ωµ γ α µ β µ
+ − +
=
+
(6.46)
2 2 2 2
1 1 0 1 1 0
1
2 2
1 1
( ) ( )
sinh( )( )
zz k zz xx xx n xx zz
e
k zz n xx
j Ezh K j Exh K
A
y
µ β γ ε µ µ α γ ε µ
γ γ β µ α µ
− + − +
=
−
(6.47)
(
)
2
2
n xh k zh
e
j E E
A
α β
γ
− +
=
(6.48)
(
)
2
0
k xh n zh
h
E E
A
β α
ωµ
−
=
(6.49)
Após a obtenção das constantes dos campos, é aplicada a condição de contorno
magnética, na interface onde se localiza a fita condutora. A condição de contorno
utilizada é apresentada abaixo [25]:
zhxx
JHH
~
~
~
21
=−
(6.50)
xhzz
JHH
~
~
~
21
−=− (6.51)
A aplicação das condições de contorno (6.46) e (6.47), pode ser escrita na forma
matricial, gerando uma matriz que relaciona os campos elétricos tangenciais à interface
da fita e às densidades de corrente tangenciais. Essa matriz é chamada de matriz
admitância ou impedância, dependendo da forma como a equação matricial é
representada. A matriz admitância e a matriz impedância são representadas abaixo [26].
[
]
[
]
[
]
JEY
~
~
=⋅ (6.52)
[
]
[
]
[
]
EJZ
~
~
=⋅ (6.53)
63
onde
[
]
Y
é a matriz admitância,
[
]
Z
é a matriz impedância,
[
]
J
~
é o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e
[
]
E
~
é o vetor campo elétrico tangencial à interface da
fita.
Sendo a matriz impedância o inverso da matriz admitância e vice-versa, ou seja,
[
]
Z
=
[
]
Y
-1
e a matriz impedância uma matriz simétrica, a sua inversa
[
]
Z
também é,
então
jiij
YY =
[27].
Então, analisando as condições de contorno magnéticas (6.30) e (6.31), conclui-
se que o sistema de equações obtido é o (6.32), desta forma para a obtenção do sistema
de equações (6.33), apropriado para a microfita, é necessária a inversão da matriz
admitância, ou seja, deve-se utilizar a matriz impedância.
Substituindo as constantes dos campos em função dos campos elétricos
tangencias (6.26) - (6.29) nas condições de contorno magnéticas (6.30) e (6.31) e após
algumas manipulações algébricas obtém-se a matriz admitância, como pode ser
observado em (6.34) e (6.35) [19]:
xhzhxzxhxx
JEYEY
~
~
~
=+
(6.54)
zhzhzzxhzx
JEYEY
~
~
~
=+
(6.55)
ou na forma matricial:
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY
~
~
~
~
(6.56)
os elementos desta matriz estão expostos de (6.20) a (6.23):
2 2 2 2
2 2
2 1 0 1
1 2
2 2
1 2
0
cot ( )( )
( )
( )
xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h k
j
Y k
γ γ ε µ α β γ
γ β
γ γ ωµ β µ α µ
−
= + −
+
(6.57)
2
2 1 0 1
1
2 2
1 2 0
cot ( )( )
( )
n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h k
Y
α β γ γ ε µ γ
γ
γ γ ωµ β µ α µ
+
= +
+
(6.58)
64
2
2 1 0 1
1
2 2
1 2 0
cot ( )( )
( )
n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h k
Y
α β γ γ ε µ γ
γ
γ γ ωµ β µ α µ
− +
= +
+
(6.59)
2 2 2 2
2 2
2 1 1 0
1 2
2 2
1 2
0
cot ( )( )
( )
( )
n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h k
j
Y k
γ γ α γ β ε µ
γ α
γ γ ωµ β µ α µ
−
−
= + −
+
(6.60)
A inclusão da fita supercondutora é feita utilizando-se a condição de contorno
complexa resistiva. Esta condição de contorno relaciona o campo elétrico dentro da fita
supercondutora com a densidade de corrente, através de impedância de superfície.
TST
JZE
~
~
=
(6.61)
sendo
T
E
~
e
T
J
~
o campo elétrico e a densidade de corrente tangenciais à fita
supercondutora, respectivamente, e z
s
é a impedância de superfície, definida por
22
1
t
Z
S
S
σ
=
(6.62)
sendo
σ
s2
a condutividade da fita supercondutora e “t
2
” a espessura da fita. Após a
aplicação das condições de contorno obtém-se
−−=
−−⋅
−
−−−−−−−−
−
out
z
out
x
z
x
Szzzx
xzSxx
E
E
J
J
ZZZ
ZZZ
~
~
~
~
|
|
|
(6.63)
É importante ressaltar que a inversão matricial só é possível se as matrizes
admitância e impedância forem simétricas, isto é, sendo
[
]
Y
a inversa de
[
]
Z
, então
[
]
Z
é a inversa de
[
]
Y
(5.36):
1
−
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ
(6.64)
Assim, obtêm-se a equação matricial da impedância
[
]
Z
em função das
densidades de corrente
[
]
J
~
.
65
=
⋅
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ
~
~
~
~
(6.65)
na qual os termos Z
xx
, Z
xz
, Z
zx
, Z
zz
são as componentes da função diádica de Green da
estrutura em estudo.
6.4 – Expansão das Densidades de Corrente em Termos de
Funções de Base
O método de Galerkin é um caso particular do método dos momentos, onde as
funções de peso são consideradas iguais às funções de expansão ou funções de base
[28]. Assim, efetua-se o produto interno da equação matricial da impedância pelos
conjugados das funções de base como será abordado mais adiante. Esse método é usado
com eficiência na análise de estruturas planares na faixa de freqüências de microondas e
ondas milimétricas. Para sua aplicação à estrutura em estudo, são definidas funções de
base que devem representar as características físicas das distribuições de corrente na fita
condutora.
A escolha dessas funções é de fundamental importância para a expansão dos
campos elétricos tangenciais à interface da fita condutora ou para a expansão das
densidades de corrente que existem na superfície da fita condutora. Logo, condicionam
a estabilidade e convergência do método dos momentos [24], são responsáveis pela
aproximação dos resultados para os valores corretos. A escolha das funções de base
deve ser tal, que obedeçam às condições de contorno da estrutura.
No estudo de estruturas de microfita, tanto os campos elétricos quanto as
densidades de corrente podem ser expandidos em funções de base. Como existe campo
elétrico apenas fora da fita condutora, seria necessário utilizar-se de mais funções de
base do que para o caso da expansão das densidades de corrente, pois a área que contém
os campos (fora da fita condutora) é muito maior do que a área que contém as
densidades de corrente (superfície da fita), assim é preferível expandir as densidades de
corrente (que estão presentes apenas na fita condutora), pois, utilizam-se menos funções
de base.
Ao se obter a equação (5.59), aplicam-se as funções de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente à forma da função real, conforme
apresentado por
66
( ) ( )
∑
=
=
Ni
i
xixixh
zxfazxJ
1
,,
~
(6.66)
e
( ) ( )
∑
=
=
Ni
i
zizizh
zxfazxJ
1
,,
~
(6.67)
onde M e N são números inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma ótima aproximação dos resultados reais.
Fazendo-se a aproximação M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em [29] as equações (6.40) e (6.41) tomam a seguinte forma:
(
)
knxxknxh
faJ
βαβα
,
~
),(
~
=
(6.68)
(
)
knzzknzh
faJ
βαβα
,
~
),(
~
=
(6.69)
os termos
x
a
e
z
a
são constantes desconhecidas.
Para este trabalho foram utilizadas duas funções de bases nas direções
cartesianas
X
e
Z
. As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores, onde
foram comprovadas as suas funcionalidades. E são definidas por:
Para a direção
X
:
(
)
(
)
(
)
zfxfzxf
zzz
⋅=,
(6.70)
Com
( )
( )
2
2
2
1
x
w
xf
z
−
= (6.71)
e
( )
=
l
z
zf
z
π
cos
(6.72)
67
que no domínio espectral são:
Componente espectral da função em Z, variando com a variável espectral
n
α
( )
=
2
~
~
0
w
Jf
nnz
απα
(6.73)
Componente espectral da função em Z, variando com a variável espectral
k
β
( )
( )
2
2
2
cos2
~
l
l
l
f
k
k
kz
βπ
β
π
β
−
= (6.74)
sendo as variáveis espectrais
n
α
e
k
β
dadas por(fig. 6.2):
x
n
n
b
π
α
= (6.75)
com
2
dW
b =
(6.76)
e
15
dW W
=
(6.77)
,
z
k
n
dL
π
β
=
(6.78)
Com
,
2
L
dL
=
(6.79)
e
L = 15l. (6.80)
68
Figura 6.2 – Antena de microfita retangular com substrato bianisotrópico.
A combinação das duas componentes (6.53) e (6.54) resulta na transformada de Fourier
de (6.30), como segue:
( )
(
)
( )
⋅
−
=
2
~
cos2
,
~
0
2
2
2
w
J
l
ll
f
n
k
k
knz
α
βπ
βπ
βα
(6.81)
onde
0
J
é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero.
Por se tratar de uma estrutura simétrica foi utilizada a mesma função de base tanto para
a direção
X
quanto
Z
, necessariamente, fazendo as devidas adequações quanto às
variáveis espectrais e as dimensões da estrutura. Conforme o supracitado tem-se para a
direção
X
( , ) ( ) ( )
x x x
f x z f x f z
=
(6.82)
Onde
2 2
2
1
( )
( )
x
l
f z
z
=
−
(6.83)
e
( ) cos
x
x
f x
w
π
=
(6.84)
que no domínio espectral são:
componente espectral da função em X, variando com a variável espectral
k
β
0
( )
2
x k k
l
f J
β π β
=
(6.85)
69
componente espectral da função em X, variando com a variável espectral
n
α
2
2 2
2 cos( )
( ) ,
( )
n
w
x n
n
f
w
α
π
α
π α
=
−
(6.86)
a combinação das duas componentes (6.65) e (6.66) resulta na transformada de Fourier
de (6.67), como abaixo:
2
2
0
2 2
2 cos( )
( , )
( ) 2
n
w
x n k k
n
w
l
f J
w
α
π
α β β
π α
=
−
(6.87)
onde J
0
é a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero.
Aplicando-se o produto interno do sistema de equações com uma função teste
existente apenas na região da fita, de acordo com o método de Galerkin que utiliza uma
função teste igual à função de base da densidade de corrente. Como a função teste existe
em uma região complementar à função de base do campo elétrico, este produto interno é
nulo, fazendo com que o sistema de equações se torne homogêneo.
=
⋅
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK
(6.88)
onde cada elemento da matriz [K] é representado abaixo:
( ) ( )
zxfZzxfK
xxxxxx
,
~
,
~
*
∑
∞
∞−
=
(6.89)
( ) ( )
zxfZzxfK
xxzzxz
,
~
,
~
*
∑
∞
∞−
=
(6.90)
( ) ( )
zxfZzxfK
zzxxzx
,
~
,
~
*
∑
∞
∞−
=
(6.91)
( ) ( )
zxfZzxfK
zzzzzz
,
~
,
~
*
∑
∞
∞−
=
(6.92)
onde o somatório surge da aplicação da transformada de Fourier.
70
O cálculo do determinante da equação matricial [K] fornece a solução da
equação característica, cuja raiz complexa é a constante de propagação .
β
α
γ
j
+
=
O Método dos Momentos associado com o Método da Linha de Transmissão
Transversa permite a obtenção da freqüência de ressonância da estrutura em estudo.
6.5 – Conclusões
O estudo apresentado neste capítulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma análise dinâmica da estrutura através do método LTT, que a partir das
equações de Maxwell chega-se às equações gerais dos campos eletromagnéticos,
permitindo o cálculo da freqüência de ressonância complexa.
Para a obtenção efetiva dos resultados propostos, foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN, que através do método numérico de
NEWTON RAPHSON consegue-se chegar à raiz da equação característica a partir de
uma aproximação inicial.
As principais vantagens e contribuições do presente trabalho são a utilização de
um método de onda completa para o cálculo da freqüência de ressonância de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotrópico, já que se trata de uma estrutura
nova, ainda não caracterizada na literatura. Além de fornecer os campos
eletromagnéticos tangenciais à fita essencial ao cálculo dos campos distantes da antena.
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto, pois os parâmetros µ e
ε
podem assumir
qualquer valor.
71
CAPÍTULO 7
Resultados da Antena com Substrato Bianisotrópico
7.1 – Introdução
A partir da teoria desenvolvida nos Capítulos 3, 4 e 6, foram obtidos resultados
para a antena de microfita retangular com substrato bianisotrópico (estrutura
apresentada no Cap. 3). Os resultados são: freqüência de ressonância complexa e largura
de banda. Para tanto, foram desenvolvidos os seguintes programas: FRPMSBIA, que
calcula a freqüência de ressonância complexa e os campos elétricos tangenciais à fita,
para antenas de microfita com substrato bianisotrópico, de acordo com a teoria
desenvolvida no capítulo 6; CPPMSMTM, determina a permissividade e a
permeabilidade para o substrato metamaterial bianisotrópico uniaxial com base na teoria
descrita no capítulo 3.
Nos resultados apresentados neste capítulo é desconsiderada a existência de
perdas na região metamaterial do ressoador sendo, portanto, a condutividade igual a
zero (s = 0). Logo, a freqüência de ressonância complexa é uma quantidade real sendo
desprezada a parte imaginária (parcela de perdas) [30].
A estrutura em análise é mostrada nas figuras 7.1 e 7.2, os parâmetros físicos
envolvidos nos resultados são: espessura do substrato "g", largura e comprimento do
patch "w" e "l" respectivamente, tensores permissividade e permeabilidade "
ε
" e "µ".
Durante a análise a espessura da fita metálica "s" é desconsiderada.
Os programas foram desenvolvidos na linguagem
Fortran
e as curvas obtidas
com a utilização do
software Scilab
.
72
Figura 7.1 – Antena retangular de microfita com substrato bianisotrópico.
Figura 7.2 – Vista da seção transversal da Antena Retangular com Substrato bianisotrópico.
7.2 – Antena Retangular
A freqüência de ressonância em função de vários comprimentos do
patch
ressoador (obtida através do método LTT) com substrato bianisotrópico foi comparada
com a freqüência de ressonância obtida através do Modelo da Cavidade
com substrato
semicondutor e os resultados são mostrados nas Figuras 7.3.
Os resultados apresentados na Figura 7.3 foram obtidos através dos seguintes
parâmetros: a largura
w
= 15
mm
, o material usado no substrato que tem permissividade
elétrica relativa
ε
r1
= 9.8 e
ε
r2
= 1 (corresponde a camada em que haverá propagação
pelo ar), para o semicondutor, no substrato bianisotrópico (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 9.8;
1
x
µ
=
73
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1), a segunda camada é o ar (
ε
r2
= 1); a altura do dielétrico é h = 1,27
mm
para ambos os casos.
Figura 7.3 – Freqüência de Ressonância em função do comprimento L do patch para
ε
r
= 9.8.
A figura 7.4 apresenta a curva de variação da freqüência por
comprimento L do
patch
para dois materiais com permissividades diferentes, tem como
dimensões o comprimento iniciando em L = 16 mm e largura W = 15 mm, o substrato
considerado foi o metamaterial uniaxial com parâmetros: no primeiro caso (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 10;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1) no segundo caso (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 12;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
=
1) e o ar para a segunda camada onde haverá a propagação com
ε
r2
=1 e h=1,27
mm
.
74
Figura 7.4 – Freqüência em função do comprimento L do
patch
para diferentes permissividades.
A figura 7.5 apresenta a curva de variação da espessura para a camada 1 com
g
variando com a freqüência, tem como dimensões o comprimento L = 20 mm e largura
W = 26,89 mm, o substrato considerado foi o bianisotrópico que tem como exemplo o
metamaterial uniaxial com parâmetros: (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 9.8;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1) e o
ar para a segunda camada onde haverá a propagação com
ε
r2
=1 e h=1,27
mm
.
75
Figura 7.5 – Freqüência de ressonância em função da espessura da região 1 de uma antena de microfita
com substrato bianisotrópico(metamaterial).
A figura 7.6, apresenta a curva de variação do comprimento do
patch
para
diferentes permeabilidade, onde a largura W = 15 mm, o substrato considerado foi o
metamaterial uniaxial com uma permissividade e permeabilidade: (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
=
4.4;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 3) no primeiro caso e no segundo (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 2.2;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 5) e o ar para a segunda camada onde haverá a propagação com
ε
r2
=1 e
h=1,27
mm
.
76
Figura 7.6 – Freqüência em função do comprimento L do
patch
para diferentes permeabilidades.
A figura 7.7, apresenta a curva de variação da largura do
patch
, onde o
comprimento L = 20, o substrato considerado foi o bianisotrópico que tem como
exemplo o metamaterial uniaxial com uma permissividade e permeabilidade: (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 9.8;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1) e o ar para a segunda camada onde haverá a
propagação com
ε
r2
=1 e h=1,27
mm
.
77
Figura 7.7
– Freqüência de Ressonância em função da largura W do patch para
ε
r
= 9.8.
A figura 7.8 mostra as dimensões da antena para o semicondutor, o metamaterial
bianisotrópico uniaxial 1 e 2 (w = 26,89;
ε
r
= 4,4); (w = 26,89;
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 4.4;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1); (w = 26,89;
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 9.8;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1),
analisando a diferença entre diferentes tipos de matérias e também diferentes tipos de
metamaterial bianisotrópico.
Figura 7.8 – Freqüência de Ressonância em função do comprimento do patch para três substratos.
78
Os resultados apresentados na Figura 7.9 foram obtidos através dos seguintes
parâmetros: a largura
w
= 15
mm
, o material usado no substrato foi o bianisotrópico que
tem como tensores: (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 9.8;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1) e
ε
r
2=1 (corresponde à
camada em que haverá propagação pelo ar), a altura do dielétrico foi sendo variada
conforme legenda do gráfico, os dados do supercondutor YBCO são: T
c
= 93 K, T= 89
K,
λ
= 150 nm, D = 1.000 nm,
σ
n
= 200.000 S/m.
Da figura 7.9 podemos concluir que à medida que aumentamos a espessura do
dielétrico, conseqüentemente diminuimos a freqüência de ressonância da estrutura.
Figura 7.9 – Freqüência de ressonância em função do comprimento para diferentes espessuras do
substrato bianisotrópico.
Para a figura 7.10 os parâmetros foram:
w
= 15
mm
, o substrato considerado foi o
bianisotrópico com tensores permissividade e permeabilidade (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 9.8;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1) e o ar para a segunda camada onde haverá a propagação com
ε
r2
=
1 e h = 1,53
mm
, os dados do supercondutor são: T
c
= 93 K, T= 89 K,
λ
= 150 nm, D=
1.000 nm,
σ
n
= 200.000 S/m.
79
Figura 7.10 – Freqüência de Ressonância em função do comprimento do
patch
para
ε
r
= 9,8.
Figura 7.11 – Freqüência de ressonância para três tipos de substratos.
80
Três substratos foram usados na figura 7.11 (semicondutor,
bianisotrópico e supercondutor) com os parâmetros: w = 15 mm os substratos
consideraram os tensores permissividade e permeabilidade (
1
x
ε
=
1
y
ε
=
1
z
ε
= 4.4;
1
x
µ
=
1
y
µ
=
1
z
µ
= 1) , para o semicondutor a permissividade relativa
ε
r1=
4.4 e o ar para a
segunda camada onde haverá a propagação com
ε
r2
= 1 e h = 1,27
mm
para todos os
casos, os dados do supercondutor são: T
c
= 93 K, T= 89 K,
λ
= 150 nm, D= 1.000 nm,
σ
n
= 200.000 S/m.
7.3 – Resultados do Comportamento das Funções de Base
As funções de base que representam as características físicas da antena
retangular são usadas apenas na direção
z
, tendo partes em
x
e
z
, por ser esta a direção
de propagação dos campos, tendo seu produto representado pela equação (7.3) e a sua
curva esboçada na figura 7.12.
( )
( )
2
2
2
1
x
xf
z
−
=
ω
(7.1)
( )
=
l
z
zf
z
π
cos
(7.2)
( )
( )
⋅
−
=
l
z
x
zxf
z
π
ω
cos
2
1
,
2
2
(7.3)
Tendo como limites:
22 wxw ≤≤−
, ou seja, sobre a superfície do
patch
metálico.
A largura
w
da microfita utilizada para a obtenção do comportamento da função
de base foi de 15
mm
e o comprimento
L
de 16
mm.
Observando a figura 7.12 pode-se perceber que a função de base se divide em
duas componentes, uma
f
z
(x)
e outra
f
z
(z)
, sendo a multiplicação das duas componentes
f
z
(x,z)
.
81
Figura 7.12 – Comportamento da função de base na direção de propagação.
As funções de base se comportam de tal maneira que, em cima do
patch
metálico elas obtêm seu valor máximo e nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero). Assim, a concentração de cargas é maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador, pois fora do
patch
ela deve ser nula, conforme
pode ser observado à Figura 7.12.
7.4 – Conclusões
Utilizando o método de onda completa da Linha de Transmissão Transversa -
LTT, foi realizada a análise para obtenção da freqüência de ressonância das antenas de
microfita retangular. Esta freqüência foi comparada com a freqüência obtida através do
modelo da Cavidade, para diferentes configurações de antenas, dentre elas: com
substrato bianisotrópico e com
patch
metálico e em outra configuração com o mesmo
substrato e com
patch
supercondutor, neste contexto, variou-se a espessura do substrato
e as dimensões da antena, obtendo-se concordância entre os resultados.
Observando-se que com a utilização de tal substrato bianisotrópico e
patch
supercondutor chegamos à conclusão que podemos obter uma diminuição na dimensão
da antena favorecendo sua aplicação em dispositivos.
As simulações foram obtidas com a utilização de programas computacionais
desenvolvidos em
Fortran
e
Scilab
.
82
CAPÍTULO 8
Campos Eletromagnéticos de Antenas Multicamadas
com Substrato Bianisotrópico
8.1 – Introdução
O interesse na utilização de multicamadas dielétricas em antenas planares de
microfita tem aumentado devido às vantagens que estas estruturas proporcionam, tais
como: variações na faixa de operação, aumento na largura de banda e também pelo fato
das antenas em multicamadas ocuparem menos espaço físico que as convencionais de
mesma funcionalidade (podendo ser utilizadas em lugares onde a falta de espaço é um
fator limitante). As antenas em multicamadas podem ter várias configurações.
Recentemente as antenas de microfita compactas têm recebido muita atenção
devido ao aumento da demanda por antenas pequenas para equipamentos de
comunicações pessoais [31].
Neste capítulo serão analisados dois ressoadores com três camadas dielétricas,
sendo um retangular. Os substratos podem ter permissividades elétricas relativas e
permeabilidades magnéticas diferentes.
O método da Linha de Transmissão Transversa é utilizado na determinação das
componentes de campo eletromagnético nas três regiões consideradas. A utilização do
método dos momentos permite que as densidades de corrente elétrica sejam expandidas
em séries infinitas, usando as funções de base adequadas. Isto gera uma equação
matricial homogênea com coeficientes desconhecidos.
A exatidão numérica da solução desta equação depende da escolha das funções
de base para representar a densidade de corrente. Estas funções devem considerar a
distribuição de corrente sobre a fita metálica e a singularidade nas bordas da mesma.
A solução desta equação (cujas raízes permitem a obtenção da freqüência de
ressonância da estrutura em multicamada) existe quando o determinante da matriz
característica [K] for igual a zero.
83
8.2 – Ressoador Retangular em Multicamadas
O ressoador retangular em multicamadas é composto por um
patch
ressoador de
comprimento
l
e largura
w
entre dois substratos dielétricos de permissividade elétrica
relativa
ε
ri
*
,e tensores permissividade e permeabilidade, condutividade do dielétrico
σ
i
e
alturas
h
1
e
h
2
tendo na parte inferior do primeiro dielétrico um plano de terra, conforme
ilustrado pela Figura 8.1 e 8.2.
Figura 8.1 – Ressoador retangular em multicamadas dielétricas.
Figura 8.2 – Vista lateral do ressoador retangular em multicamadas.
8.3 – Determinação das Equações dos Campos
Eletromagnéticos
As equações (3.5) – (3.8), são aplicadas ao ressoador calculando-se
anteriormente os campos
y
E
e
y
H
através das soluções das equações de onda de
Helmholtz [32]-[33] no domínio espectral:
2
2
2
0
y
y
E
γ
∂
− =
∂
(8.1)
84
2
2
2
0
y
y
H
γ
∂
− =
∂
(8.2)
As soluções das equações dos campos em
y
para as três regiões da estrutura em
estudo, através das equações de onda de Helmholtz, são dadas por:
Região 1:
(
)
1
1 1
cosh
y e
E A y
γ
=
(8.3)
(
)
1
1 1
y h
H A senh y
γ
=
(8.4)
Região 2:
(
)
(
)
yBysenhAE
eey 22222
cosh
~
γγ
+=
(8.5)
(
)
(
)
yBysenhAH
hhy 22222
cosh
~
γγ
+=
(8.6)
Região 3:
)(
33
3
~
hy
y
eAE
−−
=
γ
(8.7)
)(
33
3
~
hy
hy
eAH
−−
=
γ
(8.8)
Substituindo as componentes em
y
(8.3) – (8.8) nas equações (5.43) – (5.46)
obtêm-se as demais componentes dos campos elétricos e magnéticos para as três regiões
da estrutura:
Região 1:
( )
1 1 1 1 1 1
2 2
1 0
cosh( ) sinh( )
n e k zz h
xx zz
j
Ex A y j A y
K
α γ γ β ωµ γ
γ ε µ
−
= +
+
(8.9)
(
)
1
1 1
cosh
y e
E A y
γ
=
(8.10)
85
( )
1 1 1 1 0 1 1
2 2
1 0
cosh( ) sinh( )
k e n xx h
zz xx
j
Ez A y j A y
K
β γ γ α ωµ µ γ
γ ε µ
−
= −
+
(8.11)
( )
1 1 1 1 0 1 1
2 2
1 0
cosh( ) cosh( )
n h k zz e
zz xx
j
Hx A y j A y
K
α γ γ β ωε ε γ
γ ε µ
−
= −
+
(8.12)
(
)
1
1 1
y h
H A senh y
γ
=
(8.13)
( )
1 0 1 1 1 1 1
2 2
0
cosh( ) cosh( )
n xx e k h
xx zz
j
Hz j A y A y
K
α ωε ε γ β γ γ
γ ε µ
−
= +
+
(8.14)
Região 2:
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
cosh( ) sinh( )
( sinh( ) cosh( )
n e n e
k h h
A p B p
j
Ex
j A p B p
K
α γ γ α γ γ
β ωµ γ γ
γ
+ +
−
=
+
+
(8.15)
(
)
(
)
yBysenhAE
eey 22222
cosh
~
γγ
+=
(8.16)
2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 2 2 2 2
2 2
cosh( ) sinh( )
( sinh( ) cosh( )
k e k e
n h h
A p B p
j
Ez
j A p B p
K
β γ γ β γ γ
α ωµ γ γ
γ
+ −
−
=
+
+
(8.17)
2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 2 1 2 2
2 2
cosh( ) sinh( )
( sin( ) cosh( )
n h n h
k e e
A p B p
j
Hx
j A y B p
K
α γ γ α γ γ
β ωε γ γ
γ
+ −
−
=
+
(8.18)
(
)
(
)
yBysenhAH
hhy 22222
cosh
~
γγ
+=
(8.19)
2 2 2 2 2 2
2
2 2
0 2 2
2 2
2 2
cosh( ) sinh( )
( sinh( ) cosh( ))
k h k h
n e e
A p B p
j
Hz
j A B
K
p p
β γ γ β γ γ
α ωε
γ
γ γ
+ +
−
=
+
+
(8.20)
Onde
1
p y h
= −
Região 3:
86
( )
3 3
( ) ( )
3 3 3 0 3
2 2
3 3
y h y h
n e k h
j
Ex A e j A e
K
γ γ
α γ ωµ β
γ
− − − −
−
= − +
+
(8.21)
)(
33
3
~
hy
ey
eAE
−−
=
γ
(8.22)
3 3
( ) ( )
3 3 3 0 3
2 2
3 3
y h y h
k e n h
j
Ez A e j A e
K
γ γ
β γ ωµ α
γ
− − − −
−
= − −
+
(8.23)
3 3
( ) ( )
3 3 3 0 3
2 2
3 3
y h y h
n h k e
j
Hx A e j A e
K
γ γ
α γ β ωε
γ
− − − −
= +
+
(8.24)
)(
33
3
~
hy
hy
eAH
−−
=
γ
(8.25)
3 3
( ) ( )
3 3 3 0 3
2 2
3 3
y h y h
k h n e
j
Hz A e j A e
K
γ γ
β γ ωα ε
γ
− − − −
−
= − +
+
(8.26)
Com a aplicação das condições de contorno nas interfaces entre os dielétricos, as
constantes (A
1e
, A
1h
, A
2e,
A
2h,
B
2e,
B
2h
, A
3e
e A
3h
) dos campos elétrico e magnético são
obtidas, usando a continuidade do campo elétrico na interface entre as regiões, em
função dos campos elétricos tangenciais
xh
E
~
e
zh
E
~
:
As condições de contorno são:
em y = h
1
2 3
x x
E E
=
(8.27)
2 3
z z
E E
=
(8.28)
2 3
x x
H H
=
(8.29)
2 3
z z
H H
=
(8.30)
em y = h
2
87
1 2 1
x x xh
E E E
= =
(8.31)
1 2 1
z z xh
E E E
= =
(8.32)
Após várias manipulações algébricas obtêm-se as constantes (A
1e
, A
1h
, A
2e,
A
2h,
B
2e,
B
2h
, A
3e
e A
3h
):
(
)
(
)
( )
2 2 2 2
0 1 0 1
1
2
1 1
sinh( )
zz xx zz k zh xx zz xx n xh
e
n xx k zz
k E k E
A
j j h
ε µ γ µ β ε µ γ µ α
α µ β µ γ γ
− + − +
=
+
(8.33)
(
)
(
)
( )
2 2 2 2
0 1 0 1
1
2 2
0 1
sinh( )
xx zz k xh zz xx n zh
h
k zz n xx
k E k E
A
y
ε µ γ β ε µ γ α
ωµ β µ α µ γ
+ − +
=
+
(8.34)
(
)
1 1
2
2
n xh k zh
e
j E E
A
α β
γ
+
=
(8.35)
(
)
( )
1 1
2
2 2 2 2 2
3
sinh cosh( )
k xh n zh
h
E E
A h h
B
β α
γ
γ γ
ωµ γ
−
= − −
(8.36)
(
)
( ) ( )
1 1
3
2 2 2 2 2
2
sinh cos
n xh k zh
e
j E E
B h h h
A
α β
γ
γ γ
γ
+
= − −
(8.37)
(
)
1 1
2
3
k xh n zh
h
E E
B
β α
ωµ
−
=
(8.38)
(
)
1 1
3
n xh k zh
e
j E E
A
A
α β
− +
=
(8.39)
(
)
1 1
3
k xh n zh
h
E E
A
B
β α
ωµ
−
=
(8.40)
88
Onde
A =
3 2 2 2 2 2
cosh( ) sinh( )
h h
γ γ γ γ
−
(8.41)
B =
2
2 2 2 2
3
cosh( ) sinh( )
h h
γ
γ γ
γ
+
(8.42)
Após a substituição dessas constantes nas equações dos campos elétricos e
magnéticos, obtêm-se as seguintes equações:
Região 1:
1
1 1
1 1
sinh( )
sinh( )
x xh
y
E E
h
γ
γ
=
(8.43)
(
)
(
)
( )
2 2 2 2
0 1 0 1
1
1
2
1
1
cosh( )
sinh( )
zz xx zz k zh xx zz xx n xh
y
n xx k zz
k E k E
y
E
h
j j
ε µ γ µ β ε µ γ µ α
γ
γ
α µ β µ γ
− + − +
=
+
(8.44)
1
1 1
1 1
sinh( )
sinh( )
z xz
y
E E
h
γ
γ
=
(8.45)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
0 1 0 1
1 1
2 2
0 1
1
2 2
2 2 2 2
0 1
0 1 0 1
0 1
2 2
1 1
cosh( )
sinh( )
1
cosh( )
sinh( )
k xh xx zz n zh zz xx
n
k zz n xx
x
xx zz
zz xx zz k zh xx zz
k zz
k zz n xx
E k E k
j y
h
H
k
k E k
y
j h
β ε µ γ α ε µ γ
α γ γ
ωµ β µ α µ γ
ε µ γ
ε µ γ µ β ε µ γ
β ωε ε γ
β µ α µ γ γ
+ − +
− −
+
=
+
− + − +
+
(8.46)
(
)
(
)
( )
2 2 2 2
0 1 0 1
1
1
2 2
1
0
cosh( )
sinh( )
xx zz k xh zz xx n zh
y
k zz n xx
k E k E
y
H
h
ε µ γ β ε µ γ α
γ
γ
ωµ β µ α µ
+ − +
=
+
(8.47)
89
(
)
(
)
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
0 1 0 1
1 1
2 2
0 1
1
2 2
2 2 2 2
0 1
0 1 0 1
0 1
2 2
1 1
cosh( )
sinh( )
1
cosh( )
sinh( )
k xh xx zz n zh zz xx
n
k zz n xx
z
xx zz
zz xx zz k zh xx zz
n xx
k zz n xx
E k E k
j y
h
H
k
k E k
y
j h
β ε µ γ α ε µ γ
α γ γ
ωµ β µ α µ γ
ε µ γ
ε µ γ µ β ε µ γ
α ωε ε γ
β µ α µ γ γ
+ − +
− +
+
=
+
− + − +
+
(8.48)
Região 2:
1 1 3
2 2 2 2 2
2
2 2
2 1 2 1 2 1
2 2
2 2
1 1
2
2 2 2 2
3
( )
[ cosh( ) sinh( ) ]
( ) cosh[ ( )] sinh[ ( )]
( )
[ cosh( ) sinh( ) ]
k zh n xh
n
x n k xh
k xh n zh
k
E E
j h h
A
j
E j E y h y h
k
E E
j h h
B
β α γ
α γ γ γ
γ
α β γ γ
γ
β α
γ
β γ γ
γ
+
− − +
−
= + − + −
+
−
− −
(8.49)
1 1 1 1
2
2 2 1 2 2 2 2 2 1
2 3
( ) ( )
sinh[ ( )] cosh( ) sinh( ) cosh[ ( )]
k zh n xh k zh n xh
y
E E E E
E j y h j h h y h
A
β α β α
γ
γ γ γ γ
γ γ
+ +
= − + − − −
(8.50)
3
2
1 1
3 2 2 2
2
2 2
2 2
3 2 2 2
1 1
2 3
( )
[ ]
[ ]
( )
k n xh k zh
x z
z
x z
n k xh n zh
j E E A B
j
E
k
j E E A B
ε
γ
β α β
γ ε ε ε
γ
γ µ µ µ
α β α
γ µ
+ +
+
−
=
+
+
+ − +
(8.51)
1 1 2
2 2 2 2
0 3
2 1
1 1 3
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 1 1 1 1
0
( )
cosh( ) sinh( )
cosh[ ( )]
( )
cosh( ) sinh( )
( ) ( )
k xh n zh
n
k zh n xh
x k
n k xh n zh k k zh n xh
E E
h h
B
y h
E E
j
H h h
k A
E E E E
β α γ
α γ γ
ωµ γ
γ
β α γ
ωεβ γ γ
γ γ
α γ β α ωεβ β α
ωµ γ
−
− − +
−
+
−
= − −
+
− +
+ +
2 1
2
sinh[ ( )]y h
γ
−
(8.52)
(
)
(
)
1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 1 2 1
3 0
cosh( ) sinh( ) sinh[ ( )] cosh[ ( )]
k zh n xh k xh n zh
y
j E E E E
H h h y h y h
A
β α β α
γ
γ γ γ γ
γ ωµ
+ −
= − − − + −
(8.53)
90
1 1
2
2 2 2 2 2
0 3
2 1
1 1 3
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 1 1 1 1
0
( )
cosh( ) sinh( )
cosh[ ( )]
( )
cosh( ) sinh( )
( ) (
k xh n zh
k
k zh n xh
z n
k k xh n zh n k zh n xh
E E
h h
B
y h
E E
j
H h h
k A
E E E E
β α
γ
β γ γ γ
ωµ γ
γ
β α γ
ωεα γ γ
γ γ
β γ β α ωεα β α
ωµ
−
− − −
−
+
−
= − −
+
− +
+ −
2 1
2
)
sinh[ ( )]y h
γ
γ
−
(8.54)
Região 3:
3
( )
3 1
y h
x xh
E E e
γ
− −
=
(8.55)
3
( )
1 1
3
( )
y h
n xh k zh
y
j E E
E e
A
γ
α β
−
− +
=
(8.56)
3
3
( )
1 1
3
3
2 2
3 3
( )
2 1 1
3
( )
( )
y h
n xh k zh
k
z
y h
k xh n zh
o n
o
E E
j e
A
j
E
k
E E
j e
B
γ
γ
α β
β γ
γ
γ β α
ωµ α
γ ωµ
− −
− −
+
− −
−
=
+
−
−
(8.57)
(
)
(
)
3( )
3 1 1 0 1 1
3
2 2
3 3 0
y h
n k xh n zh k n xh k zh
z
E E E E
j
H e
k B A
γ
α γ β α β ωε α β
γ ωµ
−
−
− − +
−
= −
+
(8.58)
3
( )
1 1
3
0
( )
y h
k xh n zh
y
E E
H e
B
γ
β α
ωµ
−
−
=
(8.59)
(
)
(
)
3( )
3 1 1 0 1 1
3
2 2
3 3 0
y h
k k xh n zh n n xh k zh
z
E E E E
j
H e
k B A
γ
β γ β α α ωε α β
γ ωµ
−
−
− +
−
= +
+
(8.60)
91
Após a obtenção das constantes dos campos, é aplicada a condição de contorno
magnética, na interface onde se localiza a fita condutora. A condição de contorno
magnética utilizada é apresentada abaixo:
zhxx
JHH
~
~
~
21
=− (8.61)
xhzz
JHH
~
~
~
21
−=− (8.62)
onde
xh
J
~
e
zh
J
~
são as densidades de corrente elétrica na fita condutora.
Usando-se as equações de campo em (7.65) e (7.66), encontra-se o seguinte
sistema de equações:
xhzhxzxhxx
JEYEY
~
~
~
=+ (8.63)
zhzhzzxhzx
JEYEY
~
~
~
=+ (8.64)
ou na forma matricial:
=
⋅
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY
~
~
~
~
(8.65)
onde cada elemento da matriz é mostrado abaixo:
2
2 3 2 2 2 2 2
2 2
2 1 1 0 1
1
3
11
2 2 2 2
0 1 2 2 2
0 0 2 2 2 3 2 2
( cosh( ) sinh( )
cot ( )( )
( ) ( )
( cosh( ) sinh( )
n k xx zz
k zz n xx
h h
j gh h k
B
Y
k
h h
A
γ γ γ γ γ
α β γ γ ε µ γ
γ
γ
ωµ γ γ β µ α µ γ
ωµ ε γ γ γ γ
+
− +
= +
+ +
+
+
(8.66)
2 2
2 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 1 0 1
1 3
12
2 2 2 2
2 2
0 1 2 2 2
0 0 2 2 2 3 2 2
( cosh( ) sinh( )
cot ( )( )
( ) ( )
( cosh( ) sinh( )
n
k zz zz n
k zz n xx
k
h h
gh h k
Bj
Y
k
h h
A
γ α γ γ γ γ
γ γ β ε µ α γ
γ γ
ωµ γ γ β µ α µ γ
β ω µ ε γ γ γ γ
+
− +
= +
+ +
+
−
(8.67)
92
2 2
2 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 1 0 1
1 3
12
2 2 2 2
2 2
0 1 2 2 2
0 0 2 2 2 3 2 2
( cosh( ) sinh( )
cot ( )( )
( ) ( )
( cosh( ) sinh( )
k
n xx xx k
k zz n xx
n
h h
gh h k
Bj
Y
k
h h
A
γ β γ γ γ γ
γ γ α ε µ β γ
γ γ
ωµ γ γ β µ α µ γ
α ω µ ε γ γ γ γ
+
− +
= +
+ +
+
−
(8.68)
Y
11
= Y
22
(8.69)
Para tornar a equação (6.69) adequada ao estudo das antenas de microfita faz-se
necessária a inversão matricial da matriz admitância
[
]
Y para a obtenção da matriz
impedância
[
]
Z :
1−
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ
(8.70)
Assim, obtém-se a equação matricial da impedância
[
]
Z em função das
densidades de corrente
[
]
J
~
.
=
⋅
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ
~
~
~
~
(8.71)
onde os elementos Z
xx
, Z
xz
, Z
zx
, Z
zz
são as componentes da função diádica de Green da
estrutura de três camadas em estudo.
Um caso particular do método dos momentos é o método de Galerkin, onde a
função de teste é a própria função de base. Após aplicar o método de Galerkin, a
densidade de campo elétrico na equação (7.75) desaparecerá, transformando a equação
(7.75) no sistema homogêneo (7.76). Desta forma, realizou-se a expansão das
densidades de corrente na fita metálica em termos das funções de base conhecidas,
como mostrado nas equações (7.77) a (7.80).
=
⋅
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK
(8.72)
onde cada elemento da matriz
[
]
K é representado abaixo:
93
( ) ( )
zxfZzxfK
xxxxxx
,
~
,
~
*
∑
∞
∞−
=
(8.73)
( ) ( )
zxfZzxfK
xxzzxz
,
~
,
~
*
∑
∞
∞−
=
(8.74)
( ) ( )
zxfZzxfK
zzxxzx
,
~
,
~
*
∑
∞
∞−
=
(8.75)
( ) ( )
zxfZzxfK
zzzzzz
,
~
,
~
*
∑
∞
∞−
=
(8.76)
Um sistema homogêneo de equações só possuirá um único resultado se o
determinante da matriz (7.76) for nulo, esta matriz é chamada de matriz característica e
o seu determinante é chamado de equação característica da estrutura.
A matriz do sistema de equações é constituída pelos elementos da matriz
impedância
[
]
Z e pelas funções de base e de teste. Para que o determinante de
[
]
K se
anule é necessário que se encontre a raiz da equação característica, que por sua vez, tem
sua raiz como sendo a constante de propagação complexa da estrutura em estudo.
8.4 – Conclusão
Neste capítulo o método LTT foi utilizado para calcular os componentes dos
campos elétricos e magnéticos dos ressoadores de microfita retangular com
multicamadas dielétricas e patch supercondutor.
Em seguida, utilizando-se as condições de contorno nas interfaces dielétricas e
no elemento metálico, em conjunto com o método dos momentos, obteve-se a equação
característica. O estudo destas raízes permite a obtenção da freqüência de ressonância
das estruturas. O método de Galerkin foi utilizado para a expansão das densidades de
corrente no patch metálico.
94
CAPÍTULO 9
Conclusões
Foi apresentada uma breve teoria sobre antenas e os parâmetros essenciais para
sua caracterização. Também foi apresentada a estrutura objeto desse estudo, a antena,
suas formas de alimentação e as principais técnicas de análises. Em seguida foi descrito
o substrato bianisotrópico com ênfase na aplicação de matemateriais com essa
característica, suas principais teorias, equacionamentos através de tensores
permissividade e permeabilidade e curvas características.
As análises teóricas apresentadas foram efetuadas através do método da Linha de
Transmissão Transversa – LTT no domínio da transformada de Fourier em combinação
com o método de Galerkin, onde foram usadas funções de base adequadas à estrutura de
microfita para a representação das características físicas destas.
Um novo estudo das aplicações do método da Linha de Transmissão Transversa
a um substrato bianisotrópico, com ênfase no uso de metamateriais foi desenvolvida.
Em seguida, as equações gerais de campos foram aplicadas à estrutura em estudo
juntamente com condições de contorno adequadas para obtenção das soluções
eletromagnéticas. Funções de base foram aplicadas juntamente com o método dos
momentos para obterem-se as densidade de corrente no patch e a freqüência de
ressonância complexa da antena.
Resultados numérico-computacionais foram obtidos pela utilização de
programas desenvolvidos em Fortran Power Station 4 e Scilab 7.0. Foram utilizados
sub-rotinas para a inversão matricial complexa (inverte-se a matriz admitância
complexa
[
]
Y para se obter a matriz impedância complexa
[
]
Z da estrutura, a qual é
adequada para o estudo de antenas de microfita), para a extração das raízes complexas
da equação característica da estrutura (utilizando o método iterativo de Newton
Raphson) e sub-rotinas internas do Fortran.
95
Para a antena de microfita foram obtidos resultados para a freqüência de
ressonância com substratos bianisotrópicos.
O ressoador retangular com três camadas dielétricas tem seus resultados de
freqüência de ressonância calculada para as considerações de substratos sem perdas no
dielétrico e, neste caso a freqüência de ressonância é complexa.
Dos ressoadores retangulares de três camadas, conclui-se que para uma dada
freqüência de ressonância, podem-se conseguir dimensões físicas menores com
substratos bianisotrópico, sendo assim, em aplicações onde se faz necessário o uso de
antenas com suas dimensões reduzidas, este substrato é recomendável.
Foi apresentado o desenvolvimento matemático das equações dos campos
eletromagnéticos para a estrutura planar multicamada com substrato bianisotrópico.
A continuidade desse trabalho deverá incluir estudos sobre a aplicação de outros
dispositivos, que utilizem substratos bianisotrópicos. Nesse contexto são apresentadas
as seguintes sugestões para trabalhos futuros:
• Estruturas de Linhas de Lâminas, Filtros e outras configurações de Antenas de
Microfita;
• Obtenção de novos parâmetros, como: impedância de entrada e perda de retorno;
• Caracterização de novos Substratos Bianisotrópicos;
• Construção e Medição das estruturas desenvolvidas nesse estudo.
96
Referências Bibliográficas
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Handbook”, Artech House, 2001.
[2] C. A. Balanis, “Antena Theory: analysis and desing” Jonh Wiley & Sons, 1997.
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Its Applications”, Tese de Doutorado, Departamento de Engeharia Elétrica, Queen
Mary Universidade de Londres, Londres-UK, 226 p., Jun,2006.
[4] C. Caloz e T. Itoh, “Electromagnetic Metamaterials: Transmission line Theory and
Microwave Applications: The Engineering Approach” John Wiley & Sons, Inc,
Hoboken, New Jersey USA, 2006.
[5] V. Veselago. “The electrodynamics of substances with simultaneously negative
values of ε and µ,” Soviet Physics Uspekhi, vol. 10, no. 4, pp. 509–514, Jan,1968.
[6] R. A. Shelby, D. R. Smith e S. Schultz, “Experimental Verification of a Negative
Index of Refraction”, Science, Vol. 292. pp. 77-79, Abril , 2001.
[7] D. R. Smith, D. C. Vier, N. Kroll, and S. Schultz. “Direct calculation of
permeability and permittivity for a left-handed metamaterial,” App. Phys. Lett., vol.
77, no. 14, pp. 2246–2248, Out. 2000.
[8] J. B. Pendry, “Negative refraction makes a perfect lens’’, Physical Review Letters,
Vol. 85, pp. 3966–3969, 2000.
[9] H. C. C. Fernandes and D. B. Brito, “New Metamaterial Using Dynamic Analysis at
Millimeter Waves” Progress In Electromagnetics Research Symposium, Cambridge.
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[10] K. Charles, “Introduction to Solid State Phisics”, John Wiley & Sons, Inc. 1976.
[11] A. C. Rose-Innes and E. H. Roderik, “Introduction to Superconductivity”, 2a
Edition, Pergamon Press, 1978.
[12] E. A. Linton, “Superconductivity”, London: Mathuen & Co. LTDA, Ney York:
John Wiley & Sons Inc. 1964.
97
[13] E. B. Eckholm and S. W. Mcknight, “Attenuation and Dispersion for High-Tc
Superconducting Microstrip Lines”, IEEE-MTT, Vol. 38, pp. 387-395, 1990.
[14] D. Nghiem, J. T. Williams and D. R. Jackson, “A General Analysis of Propagation
along Multiple-layer Superconducting Stripline and Microstrip Transmission
Lines”, IEEE-MTT, Vol. 39, No 9, pp., 1553-1565, Set.1991.
[15] J. M. Pond, C. M. Krowne and W. L. Carter, “On Application of Complex Resistive
Boundary Conditions to Model Transmission Lines Consisting of Very Thin
Superconductors”, IEEE-MTT, Vol. 37, No 1, pp. 181-189, Jan. 1989.
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