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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL ARQUITETURA E URBANISMO
Rodrigo Todeschini
ENSAIOS UNIAXIAIS E BIAXIAIS PARA AVALIAÇÃO DE CRITÉRIO DE
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS ANISOTRÓPICOS APLICADO À
MADEIRA
Campinas
2009
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1
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL ARQUITETURA E URBANISMO
Rodrigo Todeschini
ENSAIOS UNIAXIAIS E BIAXIAIS PARA AVALIAÇÃO DE CRITÉRIO DE
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS ANISOTRÓPICOS APLICADO À
MADEIRA
Dissertação de mestrado apresentada à
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e
Urbanismo da Universidade Estadual de
Campinas, como parte dos requisitos para
obtenção do Título de Mestre em Estruturas.
Orientador: Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia
Campinas
2009
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2
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP
T567e
Todeschini, Rodrigo
Ensaios uniaxiais e biaxiais para avaliação de critério
de resistência de materiais anisotrópicos aplicado à
madeira / Rodrigo Todeschini. --Campinas, SP: [s.n.],
2009.
Orientador: Nilson Tadeu Mascia.
Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de
Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e
Urbanismo.
1. Madeira. 2. Madeira - Testes. 3. Anisotropia. 4.
Materia - propriedade. 5. Resistencia de materiais. I.
Mascia, Nilson Tadeu. II. Universidade Estadual de
Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e
Urbanismo. III. Título.
Título em Inglês: Uniaxial and biaxial tests for avaliation of failure criterion of
anisotropic material applied to wood
Palavras-chave em Inglês: Wood, Wood - Testing, Anisotropy, Matters -
Properties, Strenght of materials
Área de concentração: Estruturas
Titulação: Mestre em Engenharia Civil
Banca examinadora: Francisco Antonio Rocco Lahr, Ana Elisabete Paganelli
Guimarães de Avila Jacintho
Data da defesa: 16/02/2009
Programa de Pós Graduação: Engenharia Civil
3
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO
ENSAIOS UNIAXIAIS E BIAXIAIS PARA AVALIAÇÃO DE CRITÉRIO DE
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS ANISOTRÓPICOS APLICADO À
MADEIRA
Rodrigo Todeschini
Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:
4
Dedico este trabalho aos meus pais,
Antonia e Remígio, meu irmão, Márcio e
minha noiva, Ana Paula.
5
Agradecimentos
A Deus pela minha vida e por ter sempre colocado pessoas verdadeiras e amigas no
meu caminho.
Aos meus pais, Antonia e Remígio, pela formação do meu caráter, pelo incentivo aos
estudos e pelo exemplo de persistência frente aos problemas da vida.
Ao meu irmão e cunhada, Márcio e Andréia, pela eterna amizade e pelo grande apoio
em todas as minhas decisões.
A minha noiva, Ana Paula, que sempre me incentivou e teve paciência durante toda
minha passagem acadêmica.
Ao grande amigo e orientador Prof. Nilson que sempre incentivou a busca por novos
conhecimentos e desenvolvimento da pesquisa neste país.
Aos amigos e familiares que sempre estiveram presentes e não deixaram desanimar
nos momentos de fraqueza.
Ao Alex Julio Trinca do SENAI de Itatiba e ao pessoal do CT da Unicamp que
proporcionaram a realização dos ensaios dos corpos-de-prova.
A todos que de forma direta ou indireta contribuíram para a realização deste trabalho.
6
“O que sabemos é uma gota.
O que ignoramos é um oceano.”
Isaac Newton (1643-1727)
7
RESUMO
Todeschini, R. Ensaios uniaxiais e biaxiais para avaliação de critério de resistência
de materiais anisotrópicos aplicado à madeira. Campinas: Faculdade de Engenharia
Civil, Arquitetura e Urbanismo – UNICAMP, 2009. 143p. Dissertação (Mestrado) –
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo, UNICAMP, 2009.
A realização de ensaios uniaxiais e biaxiais permite uma melhor compreensão do
comportamento mecânico de um material que possui direções principais de resistência
e é sem dúvida uma forma que pesquisadores encontraram para obter resultados
condizentes com a situação real que uma determinada estrutura apresenta. O presente
trabalho teve como objetivo o estudo do critério de resistência proposto por Tsai e Wu,
realizando-se ensaios uniaxiais e biaxiais. A avaliação do critério ficou restrita ao ensaio
de compressão, devido às dificuldades de se realizar ensaios biaxiais de tração. Com o
ensaio biaxial de compressão, tensões em duas direções principais foram
simultaneamente desenvolvidas, utilizando-se um equipamento de ensaio tradicional
para uma direção e na direção perpendicular um equipamento tipo alicate desenvolvido
para este fim. O parâmetro estudado foi o
12
F
, parâmetro este que designa a
possibilidade da superfície de ruptura ser aberta ou fechada, considerando-se que para
a segurança de um projeto é imprescindível obter uma superfície fechada para o critério
de resistência adotado. Observa-se, além disso, que o parâmetro
12
F
foi obtido no
ensaio biaxial de compressão de forma direta. Para as espécies de madeira Pinus
elliottii e Goupia glabra (Cupiúba), obtiveram-se valores experimentais satisfatórios,
sendo algumas inconsistências observadas em função da heterogeneidade do material.
Palavras-Chave: Critérios de Resistência – Critério de Tsai-Wu – Anisotropia da
Madeira - Ensaios Uniaxiais e Biaxiais – Formula de Hankinson
8
ABSTRACT
Todeschini, R. Uniaxial and biaxial tests for avaliation of failure criterion of
anisotropic material applied to wood. Campinas: Faculdade de Engenharia Civil,
Arquitetura e Urbanismo – UNICAMP, 2009. 143p. Dissertação (Mestrado) – Faculdade
de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo, UNICAMP, 2009.
The completion of the uniaxial and biaxial tests permits a better understanding of the
mechanical behavior of a material that has main failure directions and it is undoubtedly a
method that researchers identified to achieve consistent results with the actual situation
that a particular structure presents. This study aimed at studying the strength criterion
proposed by Tsai and Wu, performing uniaxial and biaxial tests. The evaluation of this
criterion was restricted to compression biaxial tests due to the difficulties presented by
tension biaxial tests. With a compression biaxial test, the stresses in two main directions
were simultaneously carried out, using a standard equipment test for one direction and
for the perpendicular direction an equipment type pliers especially developed for this
purpose. The failure parameter studied was
12
F
, which evaluates the possibility of failure
surface to be opened or closed, also considering that for the safety of design it is
essential to obtain a closed surface for the failure criterion adopted. Furthermore, it was
noted that in the compression biaxial test the parameter
12
F
was obtained directly. For
the species of wood Pinus elliottii and Goupia glabra (Cupiúba), the experimental values
obtained were satisfactory with some inconsistencies observed in the light of the
heterogeneity of the material.
Keywords: Failure Criterion – Tsai-Wu Criterion – Wood Anisotropy – Uniaxial and
Biaxial Tests – Hankinson´s Formula
9
SUMÁRIO
Página
1 INTRODUÇÃO......................................................................................................17
2 OBJETIVO GERAL...............................................................................................19
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.................................................................................21
3.1 Critérios de Resistência......................................................................................21
3.2 Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento (Critério de Tresca)...................23
3.3 Teoria da Máxima Tensão Normal (Teoria de Rankine)...................................26
3.4 Teoria da Máxima Energia de Distorção (Critério de Von Mises)...................27
3.5 Teoria Geral de Resistência para Materiais Anisotrópicos.............................31
3.5.1 Aplicação do critério de resistência anisotrópico para matérias
ortotrópicos........................................................................................................37
3.5.2 Determinação dos coeficientes
i
F
e
i
i
F
.........................................................40
3.5.3 Determinação dos coeficientes
j
i
F
...................................................................41
3.6 Ensaios em Direções Inclinadas (off-axis tests)..............................................43
3.7 Modos de Ruptura na Madeira...........................................................................47
3.7.1 Compressão paralela às fibras..........................................................................48
3.7.2 Tração paralela às fibras....................................................................................51
3.8 Ensaios Biaxiais..................................................................................................56
4 MATERIAIS E MÉTODOS....................................................................................63
4.1 Materiais...............................................................................................................63
4.2 Métodos................................................................................................................64
4.3 Ensaios Uniaxiais de Tração e Compressão....................................................65
4.3.1 Tração...................................................................................................................65
4.3.2 Compressão.........................................................................................................66
4.4 Dimensões dos Corpos-de-prova......................................................................67
4.5 Ensaios de Compressão Biaxial........................................................................70
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES..........................................................................75
5.1 Análise dos ensaios de tração...........................................................................77
5.2 Análise dos ensaios de compressão.................................................................81
5.3 Análise dos ensaios biaxiais de compressão..................................................84
6 MODELAGEM NUMÉRICA DO CORPO-DE-PROVA UTILIZANDO O
SOFTWARE SAP2000..........................................................................................97
6.1 Análise do Círculo de Mohr..............................................................................106
6.2 Comentários dos Resultados obtidos.............................................................111
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES..................................................115
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................121
ANEXOS.......................................................................................................................125
ANEXO A – Notação Indicial.......................................................................................127
ANEXO B – Estudo de Classificação de Cônicas Aplicadas ao Critério de
Resistência para Materiais Anisotrópicos...........................................133
10
LISTA DE FIGURAS
Página
FIGURA 1 Tensões atuantes e planos de deslizamentos.............................................24
FIGURA 2 Critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca).................................26
FIGURA 3 Critério da máxima tensão normal (Rankine)..............................................27
FIGURA 4 Estado geral de tensões: Tensões Hidrostáticas + Tensões
Desviatórias..................................................................................................28
FIGURA 5 Critério da máxima energia de distorção (Von Mises).................................30
FIGURA 6 Comparação entre os critérios de resistência..............................................31
FIGURA 7 Planos de simetria.......................................................................................37
FIGURA 8 Efeitos de
2112
σσ
=
......................................................................................37
FIGURA 9 Inversão do eixo 1........................................................................................38
FIGURA 10 Exemplo de obtenção dos coeficientes de Tsai-Wu...................................40
FIGURA 11 Ensaio biaxiais e uniaxiais (casos 1 a 6)....................................................42
FIGURA 12 Ensaio uniaxial de tração............................................................................43
FIGURA 13 Esmagamento.............................................................................................48
FIGURA 14 Fenda em cunha.........................................................................................49
FIGURA 15 Cisalhamento..............................................................................................49
FIGURA 16 Fenda..........................................................................................................50
FIGURA 17 Esmagamento e fendas..............................................................................50
FIGURA 18 Brooming.....................................................................................................51
FIGURA 19 Lascamento................................................................................................51
FIGURA 20 Combinação de tração e cisalhamento.......................................................52
FIGURA 21 Cisalhamento (tração).................................................................................52
FIGURA 22 Ruptura frágil..............................................................................................53
11
FIGURA 23 Ruptura.......................................................................................................54
FIGURA 24 Ruptura por cisalhamento...........................................................................55
FIGURA 25 Ruptura por tração......................................................................................55
FIGURA 26 Critério de ruptura da madeira (“Japanese Cedar”)....................................57
FIGURA 27 Equipamento biaxial e detalhe do corpo-de-prova em mm........................57
FIGURA 28 Envoltória de resistência segundo Tsai-Wu; relação tensão-
deformação e modos de ruptura devidos a diferentes carregamentos
biaxiais........................................................................................................58
FIGURA 29 Envoltória de resistência de um material ortotrópico .................................58
FIGURA 30 Critério de ruptura para papelão.................................................................60
FIGURA 31 Arranjo do Ensaio.......................................................................................61
FIGURA 32 Metodologia do ensaio de tração................................................................65
FIGURA 33 Metodologia do ensaio de compressão......................................................66
FIGURA 34 Dimensões do corpo-de-prova de tração (mm)..........................................67
FIGURA 35 Corpo-de-prova de tração...........................................................................68
FIGURA 36 Corpo-de-prova de compressão (mm)........................................................68
FIGURA 37 Corpo-de-prova de cisalhamento (mm)......................................................69
FIGURA 38 Direções principais da peça de madeira.....................................................70
FIGURA 39 Modelo de corpo-de-prova para ensaio de compressão biaxial –
cubo com 4cm de aresta............................................................................72
FIGURA 40 Modelo 3D da máquina de ensaio de compressão uniaxial e
dimensões (mm).........................................................................................73
FIGURA 41 Equipamento de compressão axial (alicate)...............................................73
FIGURA 42 Ensaio de compressão biaxial....................................................................74
FIGURA 43 Ensaio de compressão biaxial....................................................................74
FIGURA 44 Superfície de ruptura (elipsóide) do critério de Tsai-Wu com
12
F
= 0........................................................................................................77
FIGURA 45 Comparação do ensaio com Hankinson em relação aos ângulos..............78
FIGURA 46 Comparação do critério de Tsai-Wu com ensaios fixando
12
F
...................80
FIGURA 47 Comparação de Hankinson e
12
F
com os valores dos ensaios..................81
FIGURA 48 Comparação de Hankinson com os ensaios..............................................82
FIGURA 49 Comparação do critério de Tsai-Wu com ensaios fixando
12
F
...................83
12
FIGURA 50 Comparação de Hankinson e
12
F
= + limite com os valores dos
ensaios.......................................................................................................84
FIGURA 51 Curvas provenientes da Equação 5.3.1 com valores de
12
F
......................90
FIGURA 52 Curvas provenientes da Equação 5.3.2 com valores de
12
F
......................94
FIGURA 53 Valores de
12
F
médios................................................................................95
FIGURA 54 Corpo-de-prova modelado no SAP2000.....................................................98
FIGURA 55 Propriedades mecânicas do material no SAP2000..................................101
FIGURA 56 Análise linear............................................................................................102
FIGURA 57 Resultados da combinação 1....................................................................103
FIGURA 58 Resultados da combinação 2....................................................................104
FIGURA 59 Resultados da combinação 3....................................................................105
FIGURA 60 Resultados da combinação 4....................................................................106
FIGURA 61 Ponto de análise para COMB1.................................................................107
FIGURA 62 Círculo de Mohr para ponto da COMB1...................................................107
FIGURA 63 Ponto de análise para COMB2.................................................................108
FIGURA 64 Círculo de Mohr para ponto da COMB2...................................................108
FIGURA 65 Ponto de análise para COMB3.................................................................109
FIGURA 66 Círculo de Mohr para ponto da COMB3...................................................109
FIGURA 67 Ponto de análise para COMB4.................................................................110
FIGURA 68 Círculo de Mohr para ponto da COMB4...................................................110
FIGURA 69 Fotos ampliadas - Influência do cisalhamento..........................................113
FIGURA 70 Curvas de ruptura do critério de Tsai-Wu, utilizando os dados dos
ensaios (elipse vermelha
12
F
= 0; elipse azul
12
F
= -0,5 x limite e
elipse preta –
12
F
= +0,5 x limite).............................................................116
FIGURA B1 Elipse........................................................................................................140
FIGURA B2 Parábola...................................................................................................141
FIGURA B3 Hipérbole..................................................................................................141
13
LISTA DE TABELAS
Página
TABELA 1 Coeficientes
i
F
e
i
i
F .................................................................................41
TABELA 2 Coeficiente de interação de tensões
12
F
,
usando diferentes
combinações de tensões de acordo com TSAI e WU(1971)......................42
TABELA 3 Expressões do coeficiente
12
F
de acordo alguns pesquisadores...............46
TABELA 4 Determinação de
12
F
de acordo com a teoria simplificada..........................47
TABELA 5 Propriedades mecânicas do papelão.........................................................59
TABELA 6 Resistências médias à tração, compressão e módulo de elasticidade
da madeira Cupiúba....................................................................................75
TABELA 7 Resistências à tração, compressão e cisalhamento...................................76
TABELA 8 Parâmetros de Tsai-Wu e valores limites de
12
F
da madeira
Cupiúba......................................................................................................76
TABELA 9 Resistências à tração, compressão e cisalhamento da madeira
Pinus..........................................................................................................85
TABELA 10 Parâmetros de resistência e limites de
12
F
da madeira Pinus....................86
TABELA 11 Resultado do ensaio biaxial de compressão e valores de
12
F
da
madeira Pinus.............................................................................................87
TABELA 12 Médias dos valores de
12
F
(Pinus).............................................................88
TABELA 13 Valores limites de
12
F
(Pinus).....................................................................88
TABELA 14 Resultado do ensaio biaxial de compressão e valores de
12
F
da
madeira Cupiúba.........................................................................................91
TABELA 15 Médias dos valores de
12
F
(Cupiúba).........................................................92
TABELA 16 Valores limites de
12
F
(Cupiúba).................................................................92
14
TABELA 17 Média dos coeficientes de Poisson..........................................................100
TABELA 18 Constantes de Elasticidade para espécies de madeira nacionais
segundo MASCIA (1991)...........................................................................100
TABELA 19 Resultados finais dos parâmetros elásticos da madeira de Eucalyptus
citriodora, determinados a partir de ensaios de compressão paralela
às fibras segundo BALLARIN (2003)......................................................100
TABELA A1 Cossenos Diretores..................................................................................131
15
LISTA DE SÍMBOLOS
ε
Deformação
σ
Tensão normal
τ
Tensão de cisalhamento
λ
Autovalores
θ
σ
Tensão normal inclinada de
θ
(anti-horário) em relação a um
eixo principal
θ
Ângulo de inclinação das fibras em relação ao carregamento
d
f
Resistência de cálculo
t
f
Resistência à tração
c
f
Resistência à compressão
v
f
Resistência ao cisalhamento
0
f
Resistência na direção paralela às fibras da madeira
90
f
Resistência na direção perpendicular às fibras da madeira
11
σ
,
22
σ
,
33
σ
Tensões normais
1
σ
,
2
σ
,
3
σ
Tensões normais
12
σ
,
23
σ
,
13
σ
Tensões de cisalhamento
4
σ
,
5
σ
,
6
σ
Tensões de cisalhamento
I
σ
,
II
σ
,
III
σ
Tensões principais
esc
σ
Tensão de escoamento
16
_
σ
Tensão hidrostática
rup
σ
Tensão de ruptura
i
F
e
j
i
F
Coeficientes de resistência do critério de Tsai-Wu
n
m
,
Direções principais
m
θ
cos
n
θ
sen
ij
R
e
ijkl
R
Coeficientes de resistência do critério de Tsai-Wu
p Resistência à compressão em ensaios biaxiais
t Resistência à tração em ensaios biaxiais
U
p
Resistência à compressão no ensaio uniaxial a 45
o
U
t
Resistência à tração no ensaio uniaxial a 45
o
v
n
Resistência ao cisalhamento negativo no ensaio a 45
o
v
p
Resistência ao cisalhamento positivo no ensaio a 45
o
distorção
U
Energia de deformação de distorção
E
Módulo de elasticidade longitudinal
G
Módulo de elasticidade transversal
ν
Coeficiente de Poisson
17
1 INTRODUÇÃO
De um modo geral, as pesquisas sobre a madeira, sob a ótica da teoria da
elasticidade e da teoria geral da resistência dos sólidos anisotrópicos, em especial os
modelos que descrevem os comportamentos, elástico e de resistência, estão em
constante aprofundamento teórico e verificação experimental. Neste sentido, pode-se
constatar que os modelos interpretam de maneira mais realista o comportamento
mecânico deste material. Verifica-se, também, um importante avanço na aplicação
destes modelos nos projetos de engenharia de estruturas e no desenvolvimento de
materiais compostos, laminados, estruturas com seções mistas ou compostas, entre
outros.
A madeira, devido a sua constituição microscópica e o seu padrão
macroscópico, tem uma resposta mecânica anisotrópica, de um modo geral e
direcional, de um modo específico. Neste contexto, planos principais de simetria
elástica ou de resistência, definidos por eixos cartesianos, os quais seguem
aproximadamente o padrão macroscópico da madeira, ou seja, eixos: longitudinal - L,
radial - R e tangencial -T, constituindo o modelo ortotrópico linear, são usualmente
adotados para a madeira. Este modelo de ortotropia elástica ou de resistência é
interessante, pois a determinação de coeficientes, quer seja de elasticidade ou de
resistência, em quaisquer outras direções diferentes da L, R e T é dependente apenas
destas. Isto mostra que o comportamento mecânico da madeira associado as suas
propriedades mecânicas é direcional.
Muitos dos critérios de resistência existentes apresentam restrições para
aplicação a materiais heterogêneos e anisotrópicos, como a madeira, que possui
propriedades de elasticidade e de resistência direcionais. Nesse sentido, torna-se
18
importante e necessário à investigação de um critério de resistência para que seja
possível avaliar a ruptura desse material, para um estado de tensão axial ou biaxial, de
um modo adequado.
Neste contexto, esta pesquisa visa buscar um aprofundamento de cunho
científico em anisotropia e em teorias de resistência associada à madeira. A base
teórica que envolve o desenvolvimento deste projeto advém, fundamentalmente, da
teoria de resistência de materiais anisotrópicos apresentada por Tsai e Wu, aplicada e
analisada para a madeira.
A escolha da teoria de Tsai-Wu foi em virtude de apresentar diversas vantagens
em relação às inúmeras outras teorias existentes, como por exemplo: ser uma equação
escalar e invariante, na qual os componentes de resistência são expressos em um
tensor, e as propriedades de simetria do tensor podem ser determinadas
rigorosamente.
A parte experimental de ensaios é também ampla e interessante com análises
de resultados em direções não só principais de simetria da madeira, através de ensaios
com estados uniaxiais e biaxiais de tensões além de análises das envoltórias de
resistência e também dos tipos de ruptura que surgem devido às solicitações. Estes
ensaios visam determinar os coeficientes que pertencem à equação geral, tensorial, do
modelo de resistência. Assim é possível analisar o comportamento mecânico da
madeira, descrito pelos tensores de resistência, de uma maneira mais geral.
Para a realização dos ensaios biaxiais é de fundamental importância destacar a
construção do equipamento de compressão transversal denominado alicate de
compressão, possibilitando melhores análises devidas a tais solicitações.
Por fim, é importante ressaltar que pesquisas desta natureza contribuem para
divulgação de tópicos relacionados com a pesquisa em madeira e em estruturas de
madeira.
19
2 OBJETIVO GERAL
O objetivo deste trabalho consistiu na avaliação do critério de resistência
para a madeira realizando-se um estudo sobre a classificação de cônicas aplicadas
ao critério de resistência para materiais anisotrópicos (critério de Tsai-Wu), onde o
principal parâmetro analisado é o
12
F
. Esse fator designa a possibilidade da
superfície de ruptura ser aberta ou fechada e para a segurança estrutural de um
critério de resistência, é imprescindível obter uma superfície fechada.
Para isso, foram ensaiados os corpos-de-prova de madeira, levando-se em
consideração o ângulo de inclinação das fibras, para o caso uniaxial, e também
ensaios biaxiais de compressão, obtendo, assim, os gráficos correspondentes aos
ensaios de tração e compressão, comparando o critério de Tsai-Wu com a fórmula
de Hankinson (uma das teorias estudadas) e as superfícies elípticas geradas através
do parâmetro
12
F
.
Por fim, realizou-se uma análise numérica com o auxílio do software
SAP2000, modelando um corpo-de-prova biaxial com a finalidade de comparar os
resultados obtidos nos ensaios e verificar a influência de planos de cisalhamento que
surgem na ruptura do material.
21
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 Critérios de Resistência
Com um critério de resistência pode-se descrever ou estimar a resistência de
um material, ou seja, o quanto o material pode resistir até se romper ou até apresentar
um comportamento mecânico que não seja adequado para uma determinada estrutura.
Assim, um critério de resistência impõe, por natureza, limitações ao nível do estado de
tensão em determinados pontos de um sólido.
Para a confecção de estruturas pode-se verificar que existe uma considerável
gama de materiais na construção civil que podem ser utilizados. Alguns desses
materiais mais comumente utilizados apresentam critérios definidos pelo conhecimento
do seu comportamento mecânico e outros que só são definidos por meio da realização
experimental devido à heterogeneidade de propriedades mecânicas do material em
direções diferentes.
Os materiais de construção possuem capacidades limitadas de suportar cargas.
Ultrapassados esses limites, atinge-se o colapso parcial ou global das estruturas por
eles constituídas. Segundo TEIXEIRA (2004), estados limites são situações tais que, ao
serem ultrapassadas por uma estrutura ou por uma de suas partes, colocam-na fora de
utilização normal, ou seja, são estados a partir dos quais a estrutura apresenta
desempenho inadequado às finalidades da construção. Assim, deve-se conhecer os
diferentes estados de limites que essa estrutura possui:
• Estado Limite Último: ocorre quando a estrutura esgota a sua capacidade
de suporte, deixando de apresentar as características exigíveis para sua
utilização. Neste caso, surge uma deficiência estrutural caracterizada pelo
22
aparecimento de danos estruturais, segundo TEIXEIRA (2004). Exemplos de
estados limites últimos:
1. Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitindo a estrutura como um
corpo rígido;
2. Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;
3. Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em um sistema
hipostático;
4. Instabilidade por deformação;
5. Instabilidade dinâmica.
• Estado Limite de Utilização: ocorre quando fica comprometida a
durabilidade da estrutura ou quando fica prejudicada a utilização funcional da
construção. Não há, nesse caso, danos estruturais que, de imediato,
comprometam a integridade da estrutura, mas apenas desempenhos
inadmissíveis para a manutenção da própria estrutura ou para a utilização normal
da construção. Exemplos de estados limites de utilização:
1. Danos ligeiros ou localizados que comprometam o aspecto estético da
construção ou a durabilidade da estrutura;
2. Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou
seu aspecto estético;
3. Vibração excessiva ou desconfortável.
Neste trabalho sobre critérios de resistência, procurou-se obter valores para
que o estado limite último possa ser melhor caracterizado para a madeira em situações
de estado duplo de tensões obtendo, assim, uma maior segurança estrutural.
Devido à grande dificuldade da análise dos esforços que uma estrutura pode
sofrer, verifica-se que um critério de resistência pretende interpretar tais casos
(solicitações complexas), partindo apenas de um ensaio simples (tração) ou pelo menos
de um número restrito de parâmetros do material facilmente identificáveis. Segundo
SCHIEL (1984), a finalidade de um critério de resistência é a interpretação de
23
solicitações combinadas (estado duplo ou triplo) quanto à eventual ruptura. Cada
critério de resistência é uma hipótese de trabalho: primeiro discrimina-se de uma
maneira arbitrária, mas plausível, o fenômeno responsável pela ruptura, depois tiram-se
as conclusões a respeito das combinações possíveis de solicitação e finalmente se
verifica a veracidade do critério pela comparação com o comportamento real do material
em tais casos de solicitação combinada. A variedade dos materiais usados em
engenharia não permite adotar um único critério.
Cada material possui um modo de ruptura. De acordo com POPOV (1978), os
materiais podem ser classificados em dois tipos: os dúcteis e os frágeis. Os materiais
dúcteis são capazes de suportarem grandes deformações antes de se romperem e o
oposto se aplica aos materiais frágeis. No caso da madeira tem-se um modo de ruptura
dúctil na compressão e um modo de ruptura frágil tanto na tração quanto no
cisalhamento.
A seguir são apresentados os critérios mais usuais e recomendados pelo uso
prático, levando-se em consideração o tipo de material a ser analisado.
3.2 Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento (Critério de Tresca)
Essa teoria leva em consideração a máxima tensão de cisalhamento que
executa o papel através de planos criticamente orientados segundo POPOV (1978).
Para SCHIEL (1984), o critério da máxima tensão de cisalhamento, também chamado
de Tresca, apresentou na época, a melhor interpretação do comportamento de
materiais dúteis até surgir o critério da energia de distorção. Neste caso, admite-se que
o escoamento do material depende apenas da máxima tensão de cisalhamento
alcançada no interior do elemento; assim, sempre que um valor crítico de cisalhamento
cr
τ
for atingido, inicia-se o escoamento em um elemento. Pode-se obter esse critério
através da tração simples ou compressão, que é igualado ao valor da tensão de
cisalhamento máxima.
24
Considerando a aplicação de apenas uma tensão no corpo-de-prova, tem-se:
22
1
max
esc
cr
σ
σ
ττ
=±==
(3.2.1)
na qual,
esc
σ
é a tensão encontrada no ponto do escoamento. Se uma determinada
tensão for maior que este valor, a tensão de cisalhamento máxima romperá a peça.
Com isso, deve-se considerar as duas situações em que os planos estão criticamente
orientados, conforme ilustra a Figura 1:
FIGURA 1 - Tensões atuantes e planos de deslizamentos.
No caso 1 (a), em que as tensões principais são ambas positivas ou negativas,
verifica-se que a tensão máxima de cisalhamento depende somente do maior valor,
assim pode-se obter as seguintes configurações:
2
1
max
σ
τ
=
ou
2
2
max
σ
τ
=
, ou seja, uma
25
pode ultrapassar o limite sem que a outra tenha alcançado o mesmo também. Pode-se
concluir que esses valores são independentes entre si, basta observar o círculo de
Mohr indicado na Figura 2 para esta situação.
Como
2
max
esc
σ
τ
≤
chega-se ao seguinte resultado:
esc
σσ
≤
1
e
esc
σσ
≤
2
(ver
Figura 2).
No caso 1 (b), tem-se que a tensão máxima de cisalhamento alcançada é o raio
da circunferência maior indicada na Figura 1. Esse valor é:
2
21
max
σσ
τ
+
=
Verifica-se que a tensão de cisalhamento máxima depende não só da tensão de
tração como da de compressão, ou melhor, depende de uma tensão máxima positiva e
mínima negativa. Pela definição desse critério chega-se ao seguinte resultado:
22
21 esc
σσσ
≤
−
±
(ver Figura 2)
O critério da máxima tensão de cisalhamento pode ser expresso graficamente,
para o estado plano de tensão, como se indica na Figura 2.
26
FIGURA 2 – Critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca).
3.3 Teoria da Máxima Tensão Normal (Teoria de Rankine)
Esse critério é aplicado para materiais frágeis, ou seja, que não resistem a
grandes deformações. Para POPOV (1978), essa teoria estabelece que a falha ou
ruptura de um material ocorre quando a máxima tensão normal em um ponto atinge um
valor crítico independente das outras tensões. Apenas a maior tensão principal deve ser
determinada para aplicar esse critério.
Verifica-se uma certa “independência” entre as tensões, ou seja, o estado limite
último se dará a partir da ruptura causada pela maior tensão axial que está sendo
aplicada no corpo.
Sendo assim tem-se que:
rup
σσ
=
lim
e verifica-se que
rup
σσ
≤
1
ou
rup
σσ
≤
2
. O
critério da máxima tensão normal pode ser expresso graficamente pela Figura 3.
27
FIGURA 3 – Critério da máxima tensão normal (Rankine).
3.4 Teoria da Máxima Energia de Distorção (Critério de Von Mises)
Essa teoria, utilizada para materiais dúcteis e isotrópicos, é baseada no
conceito de energia de acordo com POPOV (1978). Nesse critério, a energia elástica
total é dividida em uma parte associada com as mudanças volumétricas do material e
outra relacionada com as distorções de cisalhamento. Essa energia, denominada de
energia de distorção, causa mudanças consideráveis no corpo analisado e constitui a
base conceitual desse critério. Segundo SCHIEL (1984), as diferenças entre as tensões
principais (ver tensor II da Equação 3.4.3) são responsáveis pela ruptura dos materiais
e um estado hidrostático (ver tensor I da Equação 3.4.3) de tensões não produz ruptura.
Pode-se deduzir dos ensaios que um acréscimo de um estado hidrostático (positivo ou
negativo) a um estado de tensões existente não o afasta ou aproxima da condição de
ruína.
Igualando-se a energia de distorção, devida ao cisalhamento, no ponto de
escoamento à tração simples, com aquela sob tensão combinada, é estabelecido o
critério de escoamento para tensão combinada.
28
Esse critério de escoamento, para tensão combinada, associa os estados
gerais das tensões ao princípio da superposição.
Seja então o estado geral de tensões:
3
2
1
00
00
00
σ
σ
σ
(3.4.1)
Aplica-se o princípio da superposição de efeitos, como indicado na Figura 4,
fazendo a seguinte consideração:
3
321
σ
σ
σ
σ
+
+
=
(3.4.2)
A partir das Equações (3.4.1) e (3.4.2), pode-se escrever:
3
2
1
00
00
00
σ
σ
σ
=
σ
σ
σ
00
00
00
+
−
−
−
σσ
σσ
σσ
3
2
1
00
00
00
(3.4.3)
Tensor I Tensor II
Na Figura 4 pode-se observar essa situação descrita:
σ
σ
3
2
σ
1
1
2
3
σ
σ
3
σ
1
2
σ
= +
σ
σ
2 2
1 1
3 3
σ
-
-
σ
-
σ
FIGURA 4 – Estado geral de tensões: Tensões Hidrostáticas + Tensões
Desviatórias.
29
Nessa situação, verifica-se que o tensor I, por intermédio da análise do círculo
de Mohr, se degenera em um ponto e dessa forma as tensões associadas a esse tensor
são as mesmas em cada direção possível e, por essa razão, é chamado de tensor de
tensão esférico. A Equação 3.4.4, que relaciona isotropicamente deformações (
ε
) e
tensões (
σ
), sintetiza esse conceito do tensor de tensão esférico.
( )
σ
ν
σσσ
ν
εεε
.
.21
.3.
.21
E
E
e
zyxzyx
−
=++
−
=++=
(3.4.4)
Esse tensor também é denominado tensor de tensão de dilatação. O valor
_
σ
representa um invariante de tensões que não é de interesse nesses estudos.
O que realmente é de importância é o tensor II que é denominado tensor de
tensão desviador ou de distorção. Sabe-se que o estado de tensão que consiste em
tração e compressão em planos mutuamente perpendiculares é equivalente ao de
tensão de cisalhamento pura. Esse último sistema de tensões, como se conhece, não
causa variações volumétricas, mas apenas distorções e desvios do elemento de sua
forma cúbica inicial devido aos valores
σσ
−
1
,
σσ
−
2
e
σσ
−
3
serem diferentes entre si.
Com isso pode-se chegar à equação da energia de distorção para tensão
combinada:
( ) ( ) ( )
(
)
2
31
2
32
2
21
12
1
σσσσσσ
−+−+−⋅
⋅
=
G
U
distorção
(3.4.5)
Para obter esse critério deve-se igualar a Equação (3.4.5) à máxima energia de
distorção na tração simples (Equação 3.4.6). A última condição ocorre quando uma das
tensões principais atinge o ponto de escoamento,
esc
σ
, do material, assim a energia de
distorção fica sendo:
=
distorção
U
G
esc
.
12
.2
2
σ
(3.4.6)
30
Igualando a Equação (3.4.5) à (3.4.6), obtem-se que:
(
)
(
)
(
)
2
2
31
2
32
2
21
2
esc
σσσσσσσ
⋅=−+−+−
(3.4.7)
e particularmente para a situação plana
0
3
=
σ
essa equação pode ser escrita como:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
2
2
21
2
esc
σσσσσ
⋅=++−
(3.4.8)
Rearranjando-se os termos da Equação (3.4.8), pode-se escrever a Equação
(3.4.9), a qual representa a equação de uma elipse:
1
2
221
2
1
=
+
⋅−
escescescesc
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
(3.4.9)
Graficamente tem-se a seguinte situação mostrada na Figura 5:
σ
σ
2
esc
σ
1
σ
esc
-1 1
-1
1
(1,1)
(-1,-1)
FIGURA 5 – Critério da máxima energia de distorção (Von Mises).
31
Com o intuito de ilustração e de comparação gráfica entre os critérios
descritos até o momento nesse texto, é apresentada a Figura 6.
2
σ
σ
1
rup
σ
σ
rup
1
1
-1
-1
(1,1)
(-1,-1)
tresca
mises
máxima tensão
normal
FIGURA 6 – Comparação entre os critérios de resistência.
3.5 Teoria Geral de Resistência para Materiais Anisotrópicos
De um modo geral, o estado de tensões em um ponto é caracterizado pelo
tensor de 2
a
ordem escrito em notação indicial por
ij
σ
(ver Anexo A), cujas
componentes podem ser expressas pela matriz:
=
333231
232221
131211
σσσ
σσσ
σσσ
σ
ij
(3.5.1)
Cada coluna dessa matriz representa a tensão resultante que atua na face de
referência cuja normal tem a direção do eixo
j
. A simetria do tensor de tensões permite
que o estado de tensões possa ser representado pela matriz coluna:
32
=
=
356
524
641
6
5
4
3
2
1
σσσ
σσσ
σσσ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
(3.5.2)
na qual:
111
σσ
=
,
222
σσ
=
,
333
σσ
= ,
21124
σσσ
==
,
32235
σσσ
== ,
31136
σσσ
== .
Considerando-se materiais totalmente anisotrópicos, deve-se admitir que os
modos de ruptura sejam condicionados tanto pelas tensões normais quanto pelas
tensões tangenciais, uma vez que as rupturas podem ocorrer em virtude de diferentes
conjuntos de tensões que agem sobre o elemento.
Tendo em vista não somente a anisotropia, mas também a assimetria da
resistência do material, segundo TSAI e WU (1971) a condição geral de ruptura pode
ser colocada sob a forma:
1=⋅⋅+⋅
klijijklijij
RR
σσσ
(3.5.3)
Com
lkji ,,,
= 1, 2, 3.
ij
R
são coeficientes de termos lineares de resistência
referentes à ação individual das tensões
ij
σ
e
ijkl
R
representam os coeficientes de
termos quadráticos de resistência referentes à ação conjunta das tensões
ij
σ
e
kl
σ
.
As componentes dos tensores de resistência
ij
R
e
ijkl
R
são expressas pelas
matrizes:
[ ]
=
333231
232221
131211
RRR
RRR
RRR
R
ij
(3.5.4)
e
33
[ ]
=
313131233112313331223111
233123232312233323222311
123112231212123312221211
333133233312333333223311
223122232212223322222211
113111231112113311221111
RRRRRR
RRRRRR
RRRRRR
RRRRRR
RRRRRR
RRRRRR
R
ijkl
(3.5.5)
Assim, considerando o tensor
ij
R
, a componente
11
R
é o coeficiente de
resistência correspondente à ação isolada de
11
σ
e o coeficiente
12
R
corresponde à
ação isolada da tensão
12
σ
. Todavia como as tensões
2112
σσ
=
aparecem
simultaneamente, os coeficientes
2112
RR =
referem-se à ação simultânea dessas duas
componentes do tensor das tensões.
O tensor simétrico
ij
R
pode então ser representado de modo mais simples pela
matriz simétrica:
[ ]
=
3
52
641
. Fsim
FF
FFF
F
i
(3.5.6)
Na qual,
111
RF =
,
222
RF =
,
333
RF =
,
124
RF =
,
235
RF =
e
136
RF =
Considerando o tensor
ijkl
R
, a componente
1111
R
corresponde à ação isolada da
tensão
11
σ
e a componente
1122
R
corresponde à ação simultânea das tensões
11
σ
e
22
σ
. Neste caso, os elementos da diagonal principal da matriz correspondem à ação
isolada das respectivas tensões e os elementos simétricos em relação a essa diagonal
são iguais entre si, pois se referem à resistência sob a ação do mesmo par de tensões.
A simetria do tensor de 4
a
ordem
ijkl
R
permite que ele seja tratado como se
fosse um tensor de 2
a
ordem que está representado pela matriz simétrica:
34
[ ]
=
66
5655
564544
36353433
2625242322
161514131211
. Fsim
FF
FFF
FFFF
FFFFF
FFFFFF
F
ij
(3.5.7)
Com as alterações feitas na representação dos tensores
ij
R
e
ijkl
R
, a condição
de resistência, Equação 3.5.3, pode então ser escrita da seguinte forma:
1=⋅⋅+⋅
jiijii
FF
σσσ
(3.5.8)
Com
j
i
,
= 1, 2, 3, 4, 5, 6.
A Equação (3.5.8), elaborada por TSAI e WU (1971), representa a teoria geral
de resistência para materiais anisotrópicos. Pode-se, também, observar a forma
expandida da expressão:
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
665544332211
σσσσσσ
FFFFFF
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
61165115411431132112
2
111
22222
σσσσσσσσσσσ
FFFFFF
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
6226522542243223
2
222
2222
σσσσσσσσσ
FFFFF
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
633653354334
2
333
222
σσσσσσσ
FFFF
+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
64465445
2
444
22
σσσσσ
FFF
+⋅⋅+⋅+
6556
2
555
2
σσσ
FF
1
2
666
=⋅+
σ
F
(3.5.9)
A Equação (3.5.9) é também conhecida como critério de resistência ou como
tensor polinomial de resistência para materiais anisotrópicos.
35
Os termos lineares da teoria geral de ruptura para materiais anisotrópicos levam
em conta as diferenças entre as tensões de tração e de compressão, ou seja,
consideram a assimetria de resistência dos materiais. Os termos quadráticos definem,
para materiais no estado plano de tensões, uma elipsóide no espaço das tensões.
Na hipótese básica, TSAI e WU (1971) ignoraram termos de ordem superior à
quadrática no critério de resistência por não serem praticáveis do ponto de vista
operacional, pois o número de componentes de um tensor de 6
a
ordem aumenta
significativamente se comparado a um tensor de 4
a
ordem. Os termos cúbicos tornam a
superfície de ruptura não-fechada.
As várias características do critério de resistência proposto por TSAI e WU
(1971) são:
1. É uma equação escalar e automaticamente invariante. As interações entre
todos os componentes de tensões são independentes das propriedades do
material;
2. Os componentes de resistência são expressos em um tensor, suas
relações de transformação e os invariantes associados são bem estabelecidos;
3. As propriedades de simetria do tensor de resistência e o número de
componentes nulos e independentes podem ser rigorosamente determinados, da
mesma forma que outras propriedades dos materiais anisotrópicos, tal como a
matriz elástica de compliança;
4. Conhecendo as relações de transformação, pode-se facilmente rotacionar
os eixos do material de
i
F
para
´
i
F
e de
ij
F
para
´
ij
F
na Equação (3.5.8) que
descreve o tensor polinomial, ou equivalentemente mudar as tensões aplicadas de
i
σ
para
'
i
σ
quando se quer estudar as propriedades fora dos eixos de simetria ou
propriedades transformadas. A maioria dos critérios existentes são limitados para
materiais ortotrópicos, e podem somente ser aplicados por transformação das
tensões para os eixos de materiais. A rotação dos eixos do material não pode ser
feita porque as transformações de coordenadas de termos de resistência não são
conhecidas;
36
5. Sendo invariante, o critério de resistência é válido para todos os sistemas
de coordenadas;
6. Algumas condições de estabilidade são incorporadas ao tensor de
resistência. A magnitude dos termos de interação é restringida pela seguinte
inequação:
0
2
≥−⋅
ijjjii
FFF
(3.5.10)
Na qual
ii
F
representam os termos da diagonal principal.
Para ter significado físico, todos os termos da diagonal principal da matriz
devem ser positivos; os termos fora da diagonal principal podem ser negativos ou
positivos dependendo da natureza de interação, mas suas magnitudes são restringidas
pela inequação (3.5.10). Geometricamente esta inequação assegura que a superfície
de ruptura interceptará cada um dos eixos coordenados de tensões. A forma da
superfície será um elipsóide. Se a Inequação (3.5.10) não for respeitada, a superfície
de ruptura se torna aberta (ver Anexo B).
Considerando o estado plano de tensões (plano 1-2), a Inequação (3.5.10) se
divide em três condições, de acordo com TSAI e HAHN (1950):
(i) Se:
2211122211
FFFFF ⋅<<⋅−
, a curva é uma elipse.
(ii) Se:
221112
FFF ⋅±=
, as curvas são 2 linhas paralelas.
(iii) Se:
221112
FFF ⋅>
ou
221112
FFF ⋅−<
, a curva é um hipérbole.
A Inequação (3.5.10) pode ser obtida através da Equação (3.5.8) (tensor
polinomial) para o caso de materiais estudados bidimensionalmente, como os plásticos
reforçados por fibras e a madeira compensada, para os quais a condição de ruptura
define uma superfície do 2
o
grau.
37
3.5.1 Aplicação do critério de resistência anisotrópico para matérias ortotrópicos
Os materiais ortotropicamente resistentes são aqueles que possuem três planos
de simetria de resistência perpendiculares entre si.
De acordo com FUSCO (1995), admite-se que esses planos de simetria sejam os
planos de referência 1-2, 2-3 e 3-1:
FIGURA 7 – Planos de simetria.
Como o plano 3-1 é de simetria, não é importante se as tensões de cisalhamento
2112
σσ
=
são positivas ou negativas, pois em ambos os casos elas produzem os
mesmos efeitos, correspondem a ações igualmente inclinadas em relação ao plano de
simetria, conforme pode ser visto na Figura 8.
FIGURA 8 – Efeitos de
2112
σσ
=
.
38
Desse modo, tem-se o coeficiente
0
4
=F
. De modo análogo, como os planos 1-2
e 2-3 também são de simetria, o tensor
i
F
fica reduzido a seus termos da diagonal
principal, ou seja:
[ ]
=
3
2
1
.
0
00
Fsim
F
F
F
i
(3.5.1.1)
Quando se inverte o sentido de qualquer um dos eixos (1, 2 ou 3), o sentido da
normal externa ao elemento em relação a esse eixo não se altera. Por esta razão não
se anulam os coeficientes
12
F
,
13
F
e
23
F
, pois ficam mantidos os sinais do tipo
2112
..
σσ
F
,
3113
..
σσ
F
e
3223
..
σσ
F
.
Pelo contrário, quando se consideram os termos
jiij
F
σσ
..
em que comparece
pelo menos uma tensão de cisalhamento, a inversão do sentido positivo de um eixo
coordenado altera o sinal de duas tensões de cisalhamento, alterando-se o sinal do
produto, sem que tenha ocorrido qualquer alteração no estado físico do sistema.
Admite-se, agora, a simetria da resistência em relação ao plano 2-3, que permite
a alteração do eixo 1 como pode ser visto na Figura 9. As tensões
2112
σσ
=
e
3113
σσ
=
mudam de sinal, mas não se alteram os sinais das tensões
3223
σσ
= ,
11
σ
,
22
σ
e
33
σ
.
FIGURA 9 – Inversão do eixo 1.
39
A inversão do eixo 1 mostra que devem ser nulos os coeficientes
14
F
,
16
F
,
24
F
,
26
F
,
34
F
,
36
F
,
45
F
e
56
F
. Neste caso, com a simples consideração de simetria da
resistência em relação ao plano 2-3, a matriz
j
i
F
fica:
[ ]
=
66
55
4644
3533
252322
15131211
.
0
0
00
00
00
Fsim
F
FF
FF
FFF
FFFF
F
ij
(3.5.1.2)
Nota-se que o termo
46
F
não se anula, pois se invertem ambos os sinais de
12
σ
e
de
31
σ
. Considerando-se agora a inversão do eixo 2, anulam-se os termos
15
F
,
25
F
,
35
F
e
46
F
e assim obtém-se a seguinte matriz:
[ ]
=
66
55
44
33
2322
131211
.
0
00
000
000
000
Fsim
F
F
F
FF
FFF
F
ij
(3.5.1.3)
Observa-se que a inversão do eixo 3 levaria à inversão dos sinais de
3113
σσ
= e
3223
σσ
= , resultando daí a anulação dos mesmos termos já considerados
anteriormente.
40
3.5.2 Determinação dos coeficientes
i
F
e
ii
F
Apresentadas as considerações sobre ortotropia, as quais podem ser
sintetizadas através dos elementos das matrizes dos tensores de resistência
i
F
e
ii
F
(Equações 3.5.1.1 e 3.5.1.3, respectivamente), admitindo-se também a realização dos
ensaios de tração e de compressão, segundo as direções principais 1, 2 e 3 e ainda
considerando-se o ensaio de cisalhamento simples nas três famílias de planos de
ortotropia, pode-se aplicar a equação do critério de resistência (Equação 3.5.8) para
uma determinada direção principal. Além disso, pode-se encontrar seus respectivos
valores dos coeficientes através da resolução de um simples sistema.
FIGURA 10 – Exemplo de obtenção dos coeficientes de Tsai-Wu.
Para este caso, tem-se a equação geral para materiais anisotrópicos, que
através das considerações de simetria e do modelo ortotrópico, desenvolvida para o
caso bidimensional 1-2, apresenta a seguinte forma:
12
2
4442112
2
222
2
1112211
=⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
σσσσσσσ
FFFFFF
(3.5.2.1)
41
Os coeficientes da equação (3.5.2.1) são apresentados na Tabela 1:
Tabela 1 – Coeficientes
i
F
e
ii
F
.
11
1
11
ct
ff
F
−=
22
2
11
ct
ff
F
−=
11
11
1
ct
ff
F
⋅
=
22
22
1
ct
ff
F
⋅
=
2
4
44
1
v
f
F
=
Limite de F
12
2211122211
FFFFF +<<−
Os valores de
4
,
vciti
feff
são, respectivamente, as resistências à tração, à
compressão e ao cisalhamento para uma determinada direção principal
i
, as quais são
obtidas através dos ensaios uniaxiais de tração, compressão e cisalhamento.
3.5.3 Determinação dos coeficientes
j
i
F
Considerando-se o caso plano 1-2 da Figura 11, para determinar o parâmetro
12
F
, a princípio, seria necessário realizar ensaios bidimensionais. Para estes ensaios
têm-se combinações de tensões que variam de acordo com o tipo de maquinário
desenvolvido, ou seja, pode-se, por exemplo, tracionar a peça nas duas direções
principais, ou comprimir, ou ainda tracionar uma direção e comprimir a outra.
Para efeito de comparação de resultados, pode-se trabalhar com os seis casos
de combinações de tensões sugeridos por TSAI e WU (1971) para a determinação do
coeficiente de interação
12
F
, esses casos que envolvem tanto ensaios uniaxiais quanto
biaxiais e estão apresentados na Figura 11. Na Tabela 2, mostra-se a expressão de
12
F
para cada um dos seis casos onde se obedece a relação
1
21
=
σσ
.
42
t
caso 1
Ut/2
Ut/2
Ut/2
Ut/2
Ut/2
Ut
caso 3
Ut
=
caso 2
45
o
caso 4
o
45
=
Up
Up
Up/2
Up/2
Up/2
Up/2
Up/2
caso 6
=
caso 5
=
v
t pp
t p
t p
p
n
v
v
n
n
v
v
n
n
v
v
p
p
v
v
p
p
v
o
45
45
o
FIGURA 11 – Ensaio biaxiais e uniaxiais (casos 1 a 6).
Tabela 2 – Coeficiente de interação de tensões
12
F
,
usando diferentes combinações de tensões
de acordo com TSAI e WU(1971).
Caso
Tensões
*
(
((
(
)
))
)
1221
,,
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
12
F
1 (t, t, 0)
[
]
)()(1
2
1
2211
2
21
2
FFtFFt
t
+⋅−+⋅−⋅
2 (-p, -p, 0)
[
]
)()(1
2
1
2211
2
21
2
FFpFFp
p
+⋅−+⋅+⋅
3 (U
t
/2, U
t
/2, U
t
/2)
++⋅−+⋅−⋅ )(
4
)(
2
1
2
442211
2
21
2
FFF
U
FF
U
U
tt
t
4 (-U
p
/2, -U
p
/2, -
U
p
/2)
++⋅−+⋅+⋅
)(
4
)(
2
1
2
442211
2
21
2
FFF
U
FF
U
U
pp
p
5 (v
p
, -v
p
, 0)
[
]
)()(1
2
1
2211
2
21
2
FFvFFv
v
pp
p
+⋅−−⋅−⋅−
6 (-v
n
, v
n
, 0)
[
]
)()(1
2
1
2211
2
21
2
FFvFFv
v
nn
n
+⋅−−⋅+⋅−
43
Os testes nos casos 1, 2, 5 e 6 necessitam de equipamentos experimentais
especiais. Já os testes uniaxiais de tração e compressão (casos 3 e 4) são realizados
com maior facilidade e menor custo.
3.6 Ensaios em Direções Inclinadas (off-axis tests)
Seja
θ
σ
a tensão em uma direção orientada de um ângulo
θ
com respeito às
fibras ou em relação ao eixo 1 do material como é indicado na Figura 12:
FIGURA 12 – Ensaio uniaxial de tração.
Expressando-se o tensor de resistência abaixo:
12
2
4442112
2
222
2
1112211
=⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
σσσσσσσ
FFFFFF (3.6.1)
pode-se obter com respeito ao sistema de coordenadas 1’2’ a equação:
1''
2
1
'
111
'
1
=⋅+⋅
σσ
FF (3.6.2)
Com isso, o estado de tensão em relação aos eixos 1’- 2’ é dado por:
(
)
(
)
00',','
421
θ
σσσσ
= (3.6.3)
Substituindo-se o estado de tensão no critério de resistência, tem-se:
44
1
2'
11
'
1
=⋅+⋅
θθ
σσ
FF (3.6.4)
Utilizando-se as relações de transformação do tensor de resistência e
considerando-se o princípio de transformação de coordenadas e os coeficientes
i
F
e
ii
F
determinados anteriormente, tem-se:
2
2
1
2
1
' FnFmF ⋅+⋅=
44
22
12
22
22
4
11
4
11
2' FnmFnmFnFmF ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=
(3.6.5)
na qual:
11
1
11
ct
ff
F −= ,
11
11
1
ct
ff
F
⋅
= ,
cosm
=
,
senn
=
,
22
2
11
ct
ff
F −=
,
22
22
1
ct
ff
F
⋅
=
e
2
44
1
v
f
F =
.
A equação do critério de resistência se reduz a:
+
⋅⋅
+⋅+
⋅
+
⋅
⋅
θθ
θθ
σ
θ
22
2
12
22
4
11
4
2
cossen
1
2
sencos
v
ctct
f
F
ffff
1sen
11
cos
11
2
22
2
11
=
⋅
−+⋅
−⋅+
θθσ
θ
ctct
ffff
(3.6.6)
A Equação (3.6.6) tem duas raízes para
θ
σ
.
Colocando-se, agora, nesta análise a fórmula de Hankinson, que para
compressão é:
θθ
σ
θ
2
2
2
1
21
cossen ⋅+⋅
⋅
−=
cc
cc
ff
ff
(3.6.7)
e, para tração vale:
45
θθ
σ
θ
2
2
2
1
21
cossen ⋅+⋅
⋅
=
tt
tt
ff
ff
(3.6.8)
pode-se agrupar estas duas fórmulas em apenas uma expressão e obter:
0
cossencossen
2
2
2
1
21
2
2
2
1
21
=
⋅+⋅
⋅
−⋅
⋅+⋅
⋅
+
θθ
σ
θθ
σ
θθ
tt
tt
cc
cc
ff
ff
ff
ff
(3.6.9)
Além disso, pode ser mostrado, por comparação das Equações (3.6.7) e (3.6.8),
que as duas equações são idênticas se:
+
⋅
+
⋅
⋅=
2
2121
12
111
2
1
v
tcct
f
ffff
F (3.6.10)
Desprezando-se, agora, os termos lineares na equação do critério de
resistência e fazendo as devidas substituições na Equação (3.6.1) para estado plano de
tensões, tem-se:
1sencos)
1
2(sencos
22
2
12
4
22
4
11
2
=
⋅⋅++⋅+⋅⋅
θθθθσ
θ
v
f
FFF (3.6.11)
Considerando-se o valor adotado por COWIN (1979) para
12
F
apresentado na
Tabela 3:
46
Tabela 3 – Expressões do coeficiente
12
F
de acordo com alguns pesquisadores.
Teoria
12
F
Gold’denblat - Kopnov
+−+++⋅
22
22
2
11
)
11
()
11
()
11
(
8
1
vnvpctct
ffffff
HOFFMAN
11
2
1
ct
ff ⋅⋅
−
COWIN
2
2211
2
11
v
ctct
f
ffff
⋅
−
⋅⋅⋅
LIU
+
⋅
+
⋅
⋅
2
2121
111
2
1
vtcct
fffff
tem-se que:
2
2211
2
221112
2
11
2
1
vctctv
ffffff
FFF
⋅
−
⋅⋅⋅
=
⋅
−⋅= e, por fim da Equação 3.6.11
tem-se:
θθ
σ
θ
2
11
2
22
2211
sencos
⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅
±=
ctct
ctct
ffff
ffff
(3.6.12)
A Equação (3.6.12) é semelhante à fórmula de Hankinson.
Observa-se que o coeficiente
12
F
determinado por LIU (1984) é diferente do
coeficiente obtido por COWIN (1979). Se os termos lineares do tensor polinomial forem
desprezados, o coeficiente
12
F
de Liu se iguala ao coeficiente de Cowin.
Os coeficientes
12
F
propostos por HOFFMAN (1967) e COWIN (1979) não
requerem a utilização de ensaios biaxiais. Assim, em ensaios uniaxiais de tração e de
compressão em direções (
o
900
<<
θ
), as quais não são as direções principais, pode-
se, a partir da equação geral de resistência para materiais ortotrópicos para o estado
plano de tensões expressar o coeficiente
12
F
igual a:
47
⋅++⋅−
+⋅−
⋅
⋅
⋅
=
θ
θ
σ
θθ
σ
θθσ
θθ
θ
2
22
2
11
44
2
2
2
2
1
222
12
cossencossen
1
2
1
tgF
tg
F
F
FF
F
(3.6.13)
Neste caso, o coeficiente
12
F
foi obtido para o caso de tração uniaxial. Para o
caso de compressão uniaxial, basta substituir
θ
σ
por
θ
σ
−
na Equação (3.6.13).
Quando
45
=
θ
, o coeficiente
12
F
terá o mesmo valor dos casos 3 e 4 da
Tabela 4 a seguir:
Tabela 4 – Determinação de
12
F
de acordo com a teoria simplificada.
Caso
Tensões
(
((
(
)
))
)
1221
,,
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
12
F
1
(t, t, 0)
−−⋅
2
2
2
1
2
111
2
1
tt
fft
2 (-p, -p, 0)
−−⋅
2
2
2
1
2
111
2
1
cc
ffp
3
(Ut/2, Ut/2, Ut/2)
−−−⋅
2
4
2
2
2
1
2
1114
2
1
vttt
fffU
4
(-Up/2,-Up/2,-Up/2)
−−−⋅
2
4
2
2
2
1
2
1114
2
1
vccp
fffU
3.7 Modos de Ruptura na Madeira
A interpretação do fenômeno de ruptura em um componente de uma estrutura
requer o estudo de modelos de ruptura, os quais estão associados às tensões atuantes
nesses componentes.
48
Para as madeiras, os modelos de ruptura são freqüentemente classificados a
partir de testes realizados (ensaios). O estudo dos modos de ruptura é necessário para
verificar se os ensaios estão apresentando os resultados esperados (rupturas
esperadas), ou seja, se o ensaio num determinado tipo de madeira está de acordo com
os modos de ruptura já conhecidos. Seguem os modos de ruptura na compressão e
tração segundo BODIG (1982).
3.7.1 Compressão paralela às fibras
Têm-se os seguintes modelos de ruptura, considerando as fibras paralelas ao
eixo de aplicação da carga de compressão:
•
Ruptura por esmagamento:
Descreve o modelo no qual as fibras são esmagadas em um plano
aproximadamente paralelo a superfície.
FIGURA 13 – Esmagamento.
49
•
Fenda em cunha:
Podem ser facilmente identificadas por formar um “Y”. Esse tipo de ruptura é
causado por cisalhamento no plano inclinado.
FIGURA 14 – Fenda em cunha.
•
Cisalhamento:
Causado por tensões cisalhantes num plano inclinado.
FIGURA 15 – Cisalhamento.
50
•
Fenda:
Ruptura ao longo do comprimento longitudinal causado por defeitos internos da
espécie.
FIGURA 16 – Fenda.
•
Esmagamento e Fendas:
Geralmente ocorre em espécies com diferentes tipos de composições internas.
Essas diferentes composições são visivelmente identificadas por diferenças de cores,
espaços vazios etc. Nesses tipos de materiais a ruptura se dá na junção entre eles.
FIGURA 17 – Esmagamento e fendas.
51
•
Brooming (desalinhamento das fibras):
Isso geralmente ocorre pelo fato da superfície apresentar elevada umidade ou
imperfeições no esquadrejamento do corpo-de-prova.
FIGURA 18 – Brooming.
3.7.2 Tração paralela às fibras
No caso da tração paralela às fibras, tem-se quatro tipos de ruptura observados
com freqüência:
•
Splintering tension (lascamento): Tração que causa lascamento, o
material tem a aparência de estar lascado, formando pontas em suas superfícies.
FIGURA 19– Lascamento.
52
•
Combinação de tração e cisalhamento: Rompe-se num plano
inclinado.
FIGURA 20 – Combinação de tração e cisalhamento.
•
Cisalhamento:
Ocorre cisalhamento num plano diagonal.
FIGURA 21 – Cisalhamento (tração).
53
•
Ruptura frágil à tração:
Ocorre para casos em que o material é muito frágil.
FIGURA 22- Ruptura frágil.
Para entender de um modo mais adequado o fenômeno de ruptura deve-se
apresentar, em linhas gerais, algumas observações sobre o crescimento de árvores.
Em uma árvore, na região central do tronco, se localiza a medula, resultante do
crescimento vertical inicial da árvore. Em geral ela tem características específicas,
menos favoráveis em relação à madeira das outras regiões do tronco. Segundo
GEMMEL (1980), a partir da medula, as camadas de crescimento se dispõem em
arranjos concêntricos que também são conhecidas como zonas de lenho inicial e de
lenho tardio. O desenvolvimento da árvore não ocorre de modo uniforme ao longo do
ano. Em função das estações, a disponibilidade de luz, calor e água experimenta
grandes variações, fazendo com que os anéis de crescimento sejam constituídos por
duas porções distintas. Uma delas é mais clara, mais porosa, menos resistente: trata-se
da madeira crescida em condições favoráveis de luz, calor e água. A outra é mais
escura, menos porosa, mais resistente: trata-se da madeira crescida em condições
menos favoráveis de luz, calor e água.
54
As camadas externas e mais jovens de crescimento constituem o alburno. São
responsáveis pela condução da seiva bruta desde as raízes até as folhas. Segundo
MOREY (1980) tratam-se de camadas com menor resistência à demanda biológica, têm
coloração mais clara, aceitando com maior facilidade a aplicação de tratamentos
preservativos. As camadas mais internas do tronco – o cerne – são mais antigas,
tendem a armazenar resinas, taninos e outras substâncias de alto peso molecular,
tornando-se mais escuras, com maior resistência à demanda biológica. Revestindo o
lenho, entendido como a composição de medula, cerne e alburno, encontra-se a casca.
Sob esta, existe uma finíssima película do câmbio vascular (a chamada parte "viva" da
árvore) que origina os elementos anatômicos integrantes da casca (floema) bem como
do lenho (xilema).
A zona de lenho inicial ou tardio de uma madeira frágil, submetida à tração
paralela às fibras, exibe diferentes modelos de ruptura. A zona de lenho tardio mostra
tipicamente uma combinação de cisalhamento e tração. Na zona de lenho inicial, a
ruptura se dá de forma frágil.
Além dos casos de rupturas apresentados anteriormente outros freqüentes,
observados por defeitos na madeira, considerando tração perpendicular às fibras, são:
•
Ruptura na zona de lenho inicial:
FIGURA 23 – Ruptura.
55
•
Ruptura por cisalhamento ao longo dos anéis de crescimento
FIGURA 24 – Ruptura por cisalhamento.
•
Ruptura por tração na direção dos raios dos anéis de crescimento
da madeira
FIGURA 25 – Ruptura por tração.
56
3.8 Ensaios Biaxiais
A realização de ensaios biaxiais e triaxiais permite uma análise geral do
comportamento das propriedades mecânicas do material simultaneamente em suas
direções principais e é, sem dúvida, a forma que engenheiros pesquisadores
encontraram para obter resultados que permitem a calibração dos modelos teóricos
adotados.
Uma das grandes dificuldades enfrentadas nestes tipos de ensaios é a
elaboração de um maquinário que possa corresponder fielmente às situações de
carregamento em uma estrutura real, assim como obter dispositivos eficientes para a
fixação do corpo-de-prova. O alicate desenvolvido na realização do ensaio biaxial de
compressão para a madeira é muito sensível à calibração.
Além da madeira, pode-se observar a existência de ensaios biaxiais ou triaxiais
em outros tipos de materiais. O modelo ortotrópico é comumente utilizado nos materiais
para estes tipos de ensaios.
Como exemplo, pode-se observar uma aplicação do critério de Tsai-Wu em
estimativas de resistências aplicadas à madeira e ao papelão.
Neste sentido, HASEBE e USUKI (1989) aplicaram a teoria geral de resistência
para materiais anisotrópicos como a madeira, considerando o estado plano de tensões,
na qual a direção 1 paralela às fibras da madeira e a direção 2 perpendicular às fibras,
obtendo a equação:
12
2
4442112
2
222
2
1112211
=⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
σσσσσσσ
FFFFFF
(3.8.1)
Como a influência da tensão (
2
σ
), na direção perpendicular às fibras, é
pequena, pode ser desprezada. Desse modo a Equação 3.8.1 se reduz a forma:
1
2
444
2
11111
=⋅+⋅+⋅
σσσ
FFF
(3.8.2)
57
A madeira utilizada foi o “Japanese Cedar” e foram realizados ensaios uniaxiais
de tração, compressão e cisalhamento em corpos-de-prova. Com os resultados dos
ensaios foram determinados os coeficientes da Equação 3.8.2 e foram construídas as
superfícies de ruptura, que podem ser observadas na Figura 26.
FIGURA 26 – Critério de ruptura da madeira (“Japanese Cedar”).
EBERHARDSTEINER (2002) realizou ensaios biaxiais em madeira de “Spruce”
(madeira resinosa) com o objetivo de obter as superfícies de Tsai-Wu e os modos de
ruptura. Por meio da Figura 27 observa-se o equipamento de testes e o corpo-de-prova
da madeira. Observa-se que a espessura do corpo-de-prova é muito pequena em
relação às outras dimensões, evidenciando assim, um estado plano de tensões.
FIGURA 27 – Equipamento biaxial e detalhe do corpo-de-prova em mm.
58
Os modos de ruptura foram obtidos, juntamente com a envoltória de resistência
proveniente da teoria de Tsai-Wu apresentam-se nas Figuras 28 e 29.
FIGURA 28 – Envoltória de resistência segundo Tsai-Wu; relação tensão-deformação e modos
de ruptura devidos a diferentes carregamentos biaxiais.
FIGURA 29 –Envoltória de resistência de um material ortotrópico.
59
SUHLING (1985) realizou ensaios biaxiais no papelão e comparou os resultados
com a teoria geral de ruptura de Tsai-Wu. Na Tabela 5 estão os resultados das
propriedades mecânicas do material.
TABELA 5 – Propriedades mecânicas do papelão.
Propriedades Valores (MPa)
0t
f
55,90
90t
f
20,50
0c
f
30,80
90c
f
12,70
v
f
16,60
Com os resultados da Tabela 5 foram calculados os parâmetros do critério de
resistência. O coeficiente
12
F
foi determinado de acordo com os limites abaixo:
2211122211
FFFFF ⋅≤≤⋅−
24
12
24
10151015
−−−−
⋅≤≤⋅− MPaFMPa
Na Figura 30 pode-se observar várias curvas de ruptura calculadas com
diferentes valores de
12
F
, com todos os valores de
12
F
dentro dos limites do critério de
Tsai-Wu. Os resultados foram comparados com ensaios experimentais, representados
no gráfico por pontos.
60
FIGURA 30 – Critério de ruptura para papelão.
Na Figura 30 pode se observar o quanto o parâmetro
12
F
tem influência na
determinação da superfície de ruptura. Apenas no terceiro quadrante (compressão
biaxial) não há variação significativa. A maior variação ocorre no primeiro quadrante
(tração biaxial). Isto indica a importância do coeficiente na determinação da superfície
de ruptura do material. No primeiro quadrante dependendo do valor de
12
F
, os dados
experimentais ficam foram da curva.
Os valores utilizados acima são apenas uma pequena faixa dos valores possíveis
do parâmetro
12
F
. Isto demonstra a grande sensibilidade do critério de resistência
quando utilizado na comparação com ensaios biaxiais.
Pode-se citar, também, o trabalho de ALVIM (2003), em que o principal objetivo
foi avaliar as propriedades mecânicas dos tecidos estruturais e para isso foi
desenvolvido um arranjo de ensaio (Figura 31) que permite a aplicação das forças de
tração (semelhante ao caso 1 proposto por Tsai-Wu).
61
FIGURA 31 – Arranjo do ensaio.
Neste trabalho, realizaram-se ensaios uniaxiais e biaxiais para estes tipos de
tecidos. Para os ensaios uniaxiais os tecidos estruturais foram ensaiados com o
carregamento paralelo às fibras (tramas e urdumes) e para os ensaios biaxiais as
amostras foram submetidas a esforços ortogonais de tração, simultaneamente e de
mesma intensidade, alinhados com as direções da trama e do urdume.
Note-se a grande semelhança na realização dos ensaios uniaxiais do tecido
com a madeira, devido a aplicação da carga ser paralela e perpendicular às fibras de
crescimento. Já nos ensaios biaxiais tem-se o ensaio de tração para o tecido e o ensaio
de compressão para a madeira, pois o tecido só apresenta estrutura resistente ao ser
tracionado, ao contrário da madeira que pode ser tracionada e comprimida por ter
estrutura mais rígida.
Na Unicamp, pesquisas sobre a avaliação do critério de Tsai-Wu foram
desenvolvidas, a partir de resultados de ensaios uniaxiais e biaxiais. Pode-se citar os
trabalhos de: NICOLAS (2006); MASCIA, NICOLAS E TODESCHINI (2007); MASCIA,
NICOLAS E SVERZUT (2007) e TODESCHINI, MASCIA E NICOLAS (2008).
Esses trabalhos e essa dissertação de mestrado seguiram a metodologia que
esta descrita no capítulo 4.
Destaca-se, ainda, que estes estudos estão em sintonia com a atual revisão da
NBR 7190 (naturalmente também com futuras revisões e alterações), elaborado, sob a
62
supervisão do Prof. Dr. Carlito Calil Jr (LaMEM-EESC-USP), por um grupo de
pesquisadores de diversas instituições de pesquisa do Brasil, entre as quais os
professores da UNICAMP. Em questões normativas, este assunto, referente a critérios
de resistência, deve ser destacado, pois visa buscar um conhecimento mais adequado
dos critérios utilizados para as verificações das tensões na etapa de dimensionamento
das estruturas de madeira.
63
4 MATERIAIS E MÉTODOS
4.1. Materiais
Nesta pesquisa foram utilizadas as espécies de madeira: Pinus elliottii e Goupia
glabra, as quias são de fácil aquisição na região de Campinas. Para cada uma, a
seguir, são apresentadas suas características de acordo com IPT (2003).
A espécie Goupia glabra (Cupiúba) também é conhecida como Cachaceiro,
Copiúba, Copiúva, Cupiúba-rosa, Peniqueiro, Peroba-do-norte, Peroba-fedida,
Vinagreiro. Ocorre principalmente na Amazônia além de países como Colômbia,
Guiana, Guiana Francesa, Suriname e Venezuela.
A utilização da Cupiúba na construção civil se dá em: postes, estruturas de
pontes, postes, mourões, cruzetas, esteios, pranchas de contenção de valas, vigas e
caibros. Pode ser também utilizada em: cabos de ferramentas, carrocerias e vagões de
trem, construção naval e embalagens pesadas.
A espécie Pinus elliottii (Pinus-Eliote) também é conhecida como Pinus, Pinheiro,
Pinheiro-americano. Esta espécie foi introduzida nos estados de Espírito Santo, Mato
Grosso do Sul, Minas Gerais, Paraná, Rio de Janeiro, Rio Grande do Sul, Santa
Catarina, São Paulo, sendo sua maior ocorrência nos EUA.
Quanto ao uso na construção civil pode-se citar como utilidade geral: cordões,
guarnições, rodapés, forros, lambris, fôrmas para concreto, pontaletes e andaimes.
Pode ser utilizada também como: móveis estândar, partes internas de móveis, móveis
torneados (para exportação), cabos para vassouras, palitos de fósforo, compensados,
laminados, torneados, brinquedos, embalagens, paletes, bobinas, carretéis, pincéis etc.
64
É uma madeira tipicamente de reflorestamento. Suas propriedades mecânicas
são influenciadas acentuadamente pelas práticas de manejo florestal adotadas nos
plantios. Portanto, deve-se precaver quanto a esta característica em usos estruturais.
Também apresenta alta permeabilidade às soluções preservantes, podendo, quando
devidamente tratada, ser empregada em usos de alta classe de risco de
biodeterioração.
4.2 Métodos
Os corpos-de-prova para realização dos ensaios uniaxiais foram extraídos de 6
vigas com as seguintes dimensões: 4,5 cm x 30 cm x 150 cm. O teor de umidade variou
entre 12% a 14%.
Foram realizados ensaios em corpos-de-prova de madeira para determinação
das resistências que foram utilizadas para a determinação dos parâmetros de
resistência utilizados no critério de Tsai-Wu.
Os ensaios realizados foram os seguintes:
•
Ensaio de tração,
•
Ensaio de compressão,
•
Ensaio de cisalhamento.
Nos ensaios de tração, compressão e cisalhamento uniaxial, realizados no
laboratório de ensaios do SENAI, em Itatiba, foi utilizada uma máquina de ensaio
universal EMIC com capacidade de 300 kN.
Nos ensaios de compressão, para a determinação do módulo de elasticidade
(
c
E
), realizados no LaMEM de EESC-USP, foi utilizada uma máquina de ensaio
universal AMSLER. O módulo de elasticidade foi determinado através de resultados de
deformações dos extensômetros elétricos.
65
Os ensaios biaxiais foram realizados no Centro de Tecnologia (CT) da Unicamp e
será descrito detalhadamente no item 4.5.
4.3 Ensaios Uniaxiais de Tração e Compressão
4.3.1 Tração
Para esse ensaio os corpos-de-prova foram confeccionados considerando-se a
direção das fibras da madeira em relação à direção de aplicação da carga. Foram
considerados os seguintes desvios da direção da carga em relação à direção das fibras
(Figura 32).
•
0
0
(paralela às fibras)
•
0
15
•
0
30
•
0
60
•
0
75
•
0
90
(perpendicular às fibras)
FIGURA 32- Metodologia do ensaio de tração.
66
O corpo-de-prova de tração foi confeccionado em dimensões menores do que o
prescrito pela NBR 7190 (ABNT, 1996). A redução de tamanho foi considerada, pois a
peça bruta comercial (peça cujos corpos-de-prova foram extraídos) não possibilitava a
extração de corpos-de-prova com as dimensões da norma concomitantemente com a
variação da inclinação das fibras.
4.3.2 Compressão
Para este ensaio, também realizou-se o mesmo procedimento quanto à
orientação das fibras (Figura 33), ou seja, variação do ângulo a partir do eixo de
aplicação da carga. Assim, tem-se a configuração do ensaio de compressão.
•
0
0
(paralela às fibras)
•
0
15
•
0
30
•
0
60
•
0
75
•
0
90
(perpendicular às fibras)
FIGURA 33 – Metodologia do ensaio de compressão.
67
4.4 Dimensões dos corpos-de-prova
As dimensões dos corpos-de-prova foram elaboradas de acordo com a
NBR 7190: Projeto de estruturas de madeira, exceto, para os corpos-de-prova de
tração, que tiveram suas dimensões reduzidas. Segue abaixo a configuração dos
corpos-de-prova.
•
Tração
Estes corpos-de-prova apresentam a configuração ilustrada nas Figuras 34 e
35.
FIGURA 34 – Dimensões do corpo-de-prova de tração (mm).
68
FIGURA 35 - Corpo-de-prova de tração.
•
Compressão
Estes corpos-de-prova apresentam a configuração ilustrada na Figura 36.
FIGURA 36 – Corpo-de-prova de compressão (mm).
69
•
Cisalhamento
Mesmo para a análise dos ensaios uniaxiais, precisou-se obter o valor da
tensão de ruptura de cisalhamento para que houvesse a possibilidade da utilização do
critério de Tsai-Wu. Assim, o corpo-de-prova de cisalhamento foi confeccionado da
seguinte forma, segundo a NBR7190:
FIGURA 37 – Corpo-de-prova de cisalhamento (mm).
A confecção dos corpos-de-prova foi obtida de acordo com a inclinação das
fibras da madeira em relação ao eixo de aplicação da carga. Os ângulos considerados
foram:
0
0
(paralela às fibras),
0
15
,
0
30
,
0
45
,
0
60
,
0
75
e
0
90
(perpendicular às fibras), onde
0
0
corresponde à direção principal um (1) e
0
90
corresponde à direção principal dois
(2). O número de corpos-de-prova ensaiados para o ângulo de inclinação considerado
foi doze (12). Com os 12 valores da tensão de ruptura obteve-se apenas um valor
médio (
θ
σ
) que condiciona as características mecânicas do material para a
determinada situação.
70
4.5 Ensaio de Compressão Biaxial
Conforme explicitado anteriormente, tem-se a equação geral para materiais
anisotrópicos, que através das considerações de simetria e do modelo ortotrópico e
desenvolvida para o caso bidimensional 1-2, apresenta a seguinte forma:
12
2
4442112
2
222
2
1112211
=⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
σσσσσσσ
FFFFFF
(4.5.1)
Pode-se obter os valores de
i
F
e
ij
F
através da aplicação do critério de
resistência (Equação 3.5.8) mostrados na Tabela 1. Observa-se que os valores de
4
,
vciti
feff
são as tensões de ruptura nas direções 1 e 2 da peça, obtidas nos ensaios
uniaxiais de tração, compressão e cisalhamento.
Nota-se que, no ensaio de compressão biaxial, o fator
12
F
pode ser isolado na
Equação 4.5.1 e sua obtenção é direta, pois as tensões
1
σ
e
2
σ
estão agindo
simultaneamente na peça.
Os índices 1 e 2 correspondem às direções principais da peça, respectivamente,
paralela e perpendicular à direção das fibras da madeira.
FIGURA 38 - Direções principais da peça de madeira.
A escolha do arranjo para o ensaio de compressão biaxial foi devido à dificuldade
de se elaborar dispositivos de fixação da peça de madeira para as situações de tração
na peça, sendo mais simples e mais econômico comprimir a peça de madeira através
71
de uma máquina uniaxial de compressão, junto com um alicate de compressão
desenvolvido para este fim.
O alicate de compressão atua na direção perpendicular (2) às fibras de
crescimento da madeira, enquanto que na direção paralela (1) às fibras a força de
compressão foi aplicada pela máquina de ensaio universal EMIC, de 300 kN de
capacidade.
Na Figura 39, pode-se observar o modelo de corpo-de-prova utilizado nos
ensaios de compressão biaxial e já confeccionado para o ensaio de compressão biaxial.
Nas Figuras 42 e 43 tem-se o ensaio de compressão biaxial.
As Figuras 40 e 41 mostram o equipamento de compressão axial (alicate)
desenvolvido para o ensaio biaxial de compressão e construído pelo Centro de
Tecnologia (CT) da UNICAMP. Neste ensaio foi utilizada uma máquina de ensaio
universal MOHR-FEDERHAFF com capacidade de 400 kN.
O alicate foi confeccionado com o aço CGR SAE 1045 com espessura de 2” e
tensão de escoamento de 310 MPa.
Para a aplicação da carga na máquina de compressão transversal (alicate) foi
utilizado um cilindro ENERPAC DESF C101, calibrado pela célula de carga HBM Typ
z12, #H0748, certificado INMETRO/DIMCI 1064/2002. O cilindro foi posicionado entre
as hastes maiores do alicate, aplicando uma força na tentativa de abri-lo (Figuras 41 e
43). Desse modo, houve transferência de esforços para o ponto de contato entre o
alicate e a madeira.
Para o sistema de aquisição dos dados da máquina de compressão foi utilizada
uma ponte HBM 6 canais, amplificador nº 22648, indicador nº 98860 para o cilindro
ENERPAC e uma ponte HBM DK 8, canal 11 para a célula de carga HBM.
Apresentadas as descrições técnicas dos equipamentos para a realização do
ensaio de compressão biaxial, segue o procedimento e a atuação em conjunto desses
equipamentos:
72
•
Com a máquina de compressão axial (alicate) fixou-se uma carga de
compressão no corpo-de-prova de madeira (cubo de 4 cm de aresta), sem atingir
a ruptura nesta direção;
•
Aplicou-se o carregamento com a máquina universal de ensaios até atingir a
ruptura, determinando o par de tensões (
1
σ
e
2
σ
) que o corpo-de-prova
suportou;
•
Com os vários pares de tensões obtidos no ensaio construiu-se o gráfico com os
pontos no gráfico
1
σ
x
2
σ
, verificando a hipótese do critério de resistência.
•
Ao todo foram ensaiados 32 corpos-de-prova da madeira pinus e 62 corpos-de-
prova da madeira Cupiúba.
Para a aplicação da carga de compressão no equipamento de compressão
(alicate) foi utilizado um macaco hidráulico. Foram utilizados oito extensômetros
elétricos (KFG-5-120-C1-11 da KYOWA) no equipamento de compressão axial,
adotando um sistema de ponte completa dupla. De acordo com a deformação do
equipamento sob aplicação de carga, pode-se medir a força de compressão aplicada.
FIGURA 39 – Modelo de corpo-de-prova para ensaio de compressão biaxial -
cubo com 4cm de aresta.
73
FIGURA 40 – Modelo 3D da máquina de ensaio de compressão uniaxial e dimensões (mm).
FIGURA 41 – Equipamento de compressão axial (alicate).
74
FIGURA 42 - Ensaio de compressão biaxial.
FIGURA 43 – Ensaio de compressão biaxial.
75
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Os valores médios das resistências à tração e à compressão, a variação
dos ensaios, assim como o módulo de elasticidade, são apresentados na Tabela 6:
Tabela 6-Resistências médias à tração compressão e módulo de elasticidade da madeira
Cupiúba.
Observa-se que para os valores de resistência à compressão para os ângulos
de inclinação das fibras à
0
60
e
0
75
, os valores correspondentes deveriam diminuir em
função do ângulo de inclinação das fibras, assim esses valores foram descartados, pois
prejudicariam as análises dos resultados.
76
Observa-se, também, que os valores do módulo de elasticidade foram
determinados quando da realização dos ensaios de resistência.
O valor médio de resistência ao cisalhamento obtido foi de 19,75 MPa.
Conforme mencionado anteriormente, as direções principais 1 e 2, tanto para o caso de
tração quanto de compressão, são dadas pela Tabela 7, juntamente com o valor de
cisalhamento (
444
ff
v
=
) que será utilizado para o cálculo de
44
F
=
2
4
44
1
v
f
F
.
Tabela 7 - Resistências à tração, compressão e cisalhamento.
Resistência
MPa
10 tt
ff =
72,90
290 tt
ff =
4,65
10 cc
ff =
58,06
290 cc
ff =
20,09
444
ff
v
=
19,75
Com os resultados de resistência da Tabela 7, obtidos nos ensaios de tração,
compressão e cisalhamento, foram determinados os parâmetros de resistência do
critério de TSAI e WU (1971) e também os valores máximos e mínimos de
12
F
determinados a partir da Equação (3.5.10). Os valores seguem na Tabela 8.
Tabela 8 – Parâmetros de Tsai-Wu e valores limites de
12
F
da madeira Cupiúba.
Parâmetro Expressão Valor
1
F
11
11
ct
ff
−
13
105061,3
−−
⋅− MPa
2
F
22
11
ct
ff
−
11
106528,1
−−
⋅ MPa
11
F
11
1
ct
ff ⋅
24
103626,2
−−
⋅ MPa
22
F
22
1
ct
ff ⋅
22
100705,1
−−
⋅ MPa
44
F
2
4
44
1
v
f
F =
23
105637,2
−−
⋅ MPa
12
F
2211
FF ⋅±
23
105903,1
−−
⋅± MPa
77
5.1 Análise dos ensaios de tração
Com os valores obtidos na Tabela 8 e substituindo-os na Equação (3.6.1) para
o estado plano (1-2), ou seja, com as fibras paralelas ao eixo de aplicação da carga,
tem-se:
1
063,390
1
2
4185,93
1
57,4232
1
050,6
1
214,285
1
2
42112
2
2
2
121
=⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−
σσσσσσσ
F
(5.1.1)
A Equação (5.1.1) representa um elipsóide e, para valores de
12
F
maiores, em
módulo, que os limites, a superfície de ruptura torna-se uma superfície aberta. Ao
assumir
12
F
igual a zero e que o termo
4
σ
permaneça constante, por exemplo, a
Equação (5.1.1) leva ao seguinte gráfico:
FIGURA 44 – Superfície de ruptura (elipsóide) do critério de Tsai-Wu com
12
F
= 0.
78
A Figura 44 comprova que o critério para materiais anisotrópicos pode resultar
em uma superfície fechada dependendo dos valores obtidos em ensaios.
Ao se comparar os resultados dos ensaios, em relação aos ângulos das fibras,
com a fórmula de Hankinson:
θθ
σ
θ
nn
fsenf
ff
cos
900
900
⋅+⋅
⋅
= (5.2.2)
Adotando-se n=1,5; n=2,0 e n=2,5 e onde
θ
é o ângulo de inclinação das fibras,
obteve-se o seguinte gráfico para os corpos-de-prova de tração:
FIGURA 45 -Comparação do ensaio com Hankinson em relação aos ângulos.
Os valores do expoente n da fórmula de Hankinson foram escolhidos baseados
em indicações de normas como o Eurocode e pesquisadores, entre os quais NICOLAS
(2006).
79
Na Figura 45 pode-se observar a grande variação de resistência conforme se
diminui o ângulo de inclinação das fibras. Para ângulos acima de
0
30
não há variação
significativa de resistência. Para ângulos abaixo de
0
30
ocorrem grandes diferenças
entre as estimativas da fórmula de Hankinson, considerando os diversos expoentes. Os
valores dos ensaios aproximam-se dos valores de Hankinson com n=1,5 e n=2,0.
Para obter a equação do critério de TSAI e WU (1971) basta substituir:
θσσ
θ
2
1
cos
⋅=
;
θσσ
θ
2
2
sen
⋅=
e
θθσσ
θ
cossen
4
⋅⋅=
na Equação (5.1.1):
( )
( )
[ ]
1cos...
063,390
1
..cos.2.
4185,93
1
cos.
57,4232
1
.
050,6
1
cos.
214,285
1
22
12
2
2
222
=
⋅+⋅+
⋅+
+
⋅+
⋅+
⋅−
θσθσθσθσθσ
θσθσθσ
θθθθθ
θθθ
sensenFsen
sen
(5.1.3)
Pela Equação (5.1.3) pode-se calcular os valores de
12
F
substituindo os valores
das tensões de ruptura (
θ
σ
) para cada ângulo de inclinação, ou pode-se fixar os valores
limites de
12
F
e achar os valores das tensões de ruptura (
θ
σ
) para cada ângulo de
inclinação e compará-los com os valores obtidos nos ensaios de tração. Para esta
última situação foi obtido o seguinte gráfico:
80
Comparação dos ensaios com F12 fixos
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
0 15 30 45 60 75 90
Ângulos de inclinação das fibras (graus)
Tensões de ruptura (MPa)
ensaios
F12=+limite
F12=+limite/2
F12=0
F12=-limite/2
F12=-limite
FIGURA 46 - Comparação do critério de Tsai-Wu com ensaios fixando
12
F
.
Na Figura 46 verifica-se que os valores mais próximos dos ensaios foram
obtidos quando fixamos
12
F
= + limite na Equação (5.1.3) e encontram-se as tensões de
ruptura (
θ
σ
) para cada ângulo de inclinação. Neste gráfico observa-se que os valores
dos ensaios de tração uniaxial ficaram abaixo das estimativas do critério de resistência
de Tsai-Wu.
Comparando-se os valores dos ensaios com os valores mais próximos obtidos
da fórmula de Hankinson para n=1,5 e do critério de resistência de Tsai-Wu com
12
F
= +
limite, obteve-se o seguinte gráfico:
81
Comparação de Hankinson e F12 com ensaios
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
0 15 30 45 60 75 90
Ângulos deinclinação da fibras (graus)
Tensões de Ruptura (MPa)
ensaios
n=1,5
F12=+limite
FIGURA 47 – Comparação de Hankinson e
12
F
com os valores dos ensaios.
A Figura 47 apresenta as melhores estimativas em relação aos ensaios
realizados, verificando uma grande proximidade das análises teóricas com a análise
prática.
5.2 Análise dos ensaios de compressão
Para os ensaios de compressão foram feitas as mesmas considerações dos
ensaios de tração. Deve-se apenas, manipulando a Equação (5.1.3), substituir
θ
σ
por -
θ
σ
pelo fato de se trabalhar com ensaios de compressão. Os valores da tensão de
ruptura para os ângulos de
0
60
e
0
75
apresentaram valores maiores que o maior valor
obtido na compressão do corpo-de-prova à
0
0
e por este motivo foram descartados,
pois só prejudicariam a análise do conjunto.
82
Na análise dos ensaios de compressão utilizou-se o mesmo procedimento,
comparando, primeiramente com Hankinson para valores do expoente n variando entre
1.5, 2.0 e 2.5. Pode-se, pela Figura 48, verificar estes resultados:
FIGURA 48 - Comparação de Hankinson com os ensaios.
Para ângulos abaixo de
0
45
observam-se grandes variações dos valores obtidos
por Hankinson em relação aos ensaios de compressão. Para os ângulos acima de
0
45
apenas pode-se analisar as tensões de ruptura para o ângulo de
0
90
, pois, as
tensões de ruptura dos ângulos de
0
60
e
0
75
foram descartadas. Neste gráfico, os
valores de Hankinson que mais se aproximam dos valores dos ensaios referem-se
àqueles obtidos com o expoente n=1,5.
Os valores dos ensaios foram comparados com os valores obtidos pelo critério
de resistência de Tsai-Wu. Também se utilizou o mesmo procedimento feito para os
ensaios de tração. Na Equação 5.1.3 basta substituir
θ
σ
por -
θ
σ
e fixar, para
12
F
, seus
valores limites, obtendo assim o seguinte gráfico:
83
Comparação entre ensaios e F12 fixos
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
0 15 30 45 60 75 90
Ângulos de inclinação das fibras (graus)
Tensões de Ruptura (MPa)
F12=-limite
F12=0
F12=+limite
ensaios
FIGURA 49 – Comparação do critério de Tsai-Wu com ensaios fixando
12
F
.
Observa-se uma grande dispersão dos resultados para os ângulos inferiores à
0
45
, principalmente quando
12
F
= - limite, fato que não ocorre para o ângulo de
0
90
. Nos
ângulos de
0
15
e
0
30
, para
12
F
= - limite, os resultados apresentaram valores maiores
que para o ângulo de
0
0
, evidenciando um valor discrepante, pois a expectativa para
estes ângulos eram para valores menores que os valores obtidos em
0
0
. Os valores
que mais se aproximam dos ensaios realizados, em geral para todos os ângulos, foram
obtidos quando fixou-se
12
F
= + limite na Equação (5.1.3) e encontraram-se as
respectivas tensões de ruptura (
θ
σ
), mesmo assim esses valores não estão de acordo
com os ensaios.
Comparando-se os valores dos ensaios com os valores mais próximos obtidos
da fórmula de Hankinson para n=1,5 e do critério de resistência de Tsai-Wu com
12
F
= +
limite, obteve-se o seguinte gráfico:
84
Comparação dos ensaios com Hankinson e limite
superior de F12
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
0 15 30 45 60 75 90
Ângulos de inclinação das fibras (graus)
Tensões de Ruptura (MPa)
ensaios
n=1,5
F12=+limite
FIGURA 50 - Comparação de Hankinson e
12
F
= + limite com os valores dos ensaios.
Diferentemente das estimativas de resistência à tração, as de compressão
apresentaram maiores dispersões dos resultados para os valores de coeficiente de
interação
12
F
= + limite e para n=1,5.
Tanto na estimativa de resistência à tração quanto à compressão, as
estimativas que mais se aproximaram foram as de Hankinson (n = 1,5) e Tsai-Wu (
12
F
=+limite). Sendo que os ensaios de tração apresentaram maior regularidade ou
homogeneidade.
5.3 Análise dos ensaios biaxiais de compressão
A partir de ensaios uniaxiais de compressão das espécies de madeira estudadas
(Pinus elliottii e Goupia glabra) serão apresentados seus respectivos resultados.
85
Para o cálculo das outras resistências da espécie Pinus elliottii, a partir da
resistência à compressão, foram obtidas de acordo com relações fornecidas pela NBR
7190 para valores característicos.
MPaff
coc
0,32
1
==
O valor de
0t
f
foi obtido da seguinte relação, baseada na NBR 7190:
77,0
0
0
=
t
c
f
f
Logo:
MPa
f
ff
c
tt
56,41
77,0
0,32
77,0
0
10
====
O valor
90c
f
foi obtido da seguinte relação, baseada na NBR 7190:
25,0
0
90
=
c
c
f
f
Logo:
MPaff
cc
0,825,00,32
290
=×==
Os valores de
vt
fef
90
foram obtidos da tabela E.3 – Valores médios de madeira
coníferas nativa e reflorestamento – considerando a espécie estudada (Pinus elliottii),
logo tem-se:
MPaff
tt
5,2
290
==
;
MPaff
vv
8,4
4
==
;
Assim, tem-se a seguinte tabela correspondente às resistências características:
Tabela 9 - Resistências à tração, compressão e cisalhamento da madeira Pinus.
Resistência MPa
1c
f
32,0
1t
f
41,56
2c
f
8,0
2t
f
2,50
4v
f
4,80
86
Com os valores das resistências características da Tabela 9, calculam-se os
parâmetros de resistência da Tabela 1. Seguem-se os resultados na Tabela 10:
Tabela 10 – Parâmetros de resistência e limites de
12
F
da madeira Pinus.
Com os valores da Tabela 10, pode-se substituí-los na Equação (3.6.1) e deixá-
la em função apenas das tensões
1
σ
e
2
σ
. A tensão de cisalhamento
4
σ
é
perpendicular ao plano 1-2 e, portanto seu valor será adotado igual à zero. Assim tem-
se:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
11034,42
100,51052,71075,21019,7
2
4
2
2112
2
2
22
1
4
2
1
1
3
=⋅×+⋅⋅+
+⋅×+⋅×+⋅×+⋅×−
−
−−−−
σσσ
σσσσ
F
(5.3.1)
Nos ensaios biaxiais de compressão, as tensões
1
σ
e
2
σ
apresentam sinais
negativos e devem ser considerados na equação.
A seguir, são apresentados os resultados dos ensaios biaxiais de compressão
com o cálculo do parâmetro
12
F
.
Parâmetro
Expressão
Valor
1
F
11
11
ct
ff
−
13
1019,7
−−
×− MPa
2
F
22
11
ct
ff
−
11
1075,2
−−
× MPa
11
F
11
11
ct
ff
×
24
1052,7
−−
× MPa
22
F
22
11
ct
ff
×
22
100,5
−−
× MPa
44
F
2
4
1
v
f
22
1034,4
−−
× MPa
Limite de
12
F
2211
FF ×±
23
1013,6
−−
×± MPa
87
Tabela 11 – Resultados do ensaio biaxial de compressão e valores de
12
F
da madeira Pinus.
CP
Carga Vertical
(daN)
Carga no Alicate
(daN)
1
σ
σσ
σ
(MPa)
2
σ
σσ
σ
(MPa)
12
F
(
2−
−−
−
MPa
)
1
5000 0 -31,25
0,00 -1,00E+12*
2
3850 0 -24,06
0,00 8,40E12*
3
4300 0 -26,88
0,00 9,05E12*
4
0 2550 0,00 -15,94
1,61E12*
5
0 2950 0,00 -18,44
2,09E12*
6
4650 672 -29,06
-4,20 0,00176
7
4950 711 -30,94
-4,44 0,001070
8
4600 711 -28,75
-4,44 0,00159
9
5750 1409 -35,94
-8,81 -0,00267
10
4100 1293 -25,63
-8,08 -0,00174
11
4600 1267 -28,75
-7,92 -0,00173
12
3850 517 -24,06
-3,23 0,00488
13
4400 517 -27,50
-3,23 0,00338
14
4150 517 -25,94
-3,23 0,00402
15
4450 1019 -27,81
-6,37 -0,000166
16
4400 1016 -27,50
-6,35 -0,000104
17
4750 1034 -29,69
-6,46 -0,000486
18
4000 323 -25,00
-2,02 0,00695
19
4450 352 -27,81
-2,20 0,00475
20
4150 336 -25,94
-2,10 0,0061
21
4400 776 -27,50
-4,85 0,00147
22
4200 776 -26,25
-4,85 0,00177
23
4200 776 -26,25
-4,85 0,00177
24
4950 1163 -30,94
-7,27 -0,001300
25
4950 1163 -30,94
-7,27 -0,001300
26
4900 1163 -30,63
-7,27 -0,001280
* valores descartados **1daN=1kgf
Notam-se variações nos valores do parâmetro
12
F
, mostrando a grande
variabilidade do mesmo. Deve-se observar que na cor lilás estão aplicadas as maiores
tensões e que ao se fixar um dos valores das tensões atuantes e variar de 1 a 3 MPa o
outro, o parâmetro se mantém negativo. Nos valores em verde e azul percebe-se que
ao reduzir a tensão do alicate há uma inversão de sinal de
12
F
, ficando positivo. Mesmo
com as variações observadas do parâmetro das respectivas cores, verifica-se que eles
obedecem à condição limite (3.5.10) apresentando uma superfície fechada.
88
Os valores descartados de
12
F
apresentaram-se elevados, pois ao se isolar este
fator na equação 5.3.1 tem-se a divisão por zero pelo fato das tensões estarem se
multiplicando. Assim, caso
1
σ
ou
2
σ
apresentem o valor zero, o parâmetro
12
F
crescerá, sendo desconsiderado na análise.
Para uma melhor análise dos resultados, obtiveram-se médias para
12
F
para
cada cor indicada. E que ao substituir esses valores na Equação (5.3.1) obteve-se a
equação do critério de resistência de Tsai-Wu. Assim tem-se:
Tabela 12 - Médias dos valores de
12
F
(Pinus).
Médias de
12
F
(
2−
−−
−
MPa
)
0,001572
-0,001670
0,005013
-0,000252
Valores limites de
12
F
para comparação:
Tabela 13 – Valores limites de
12
F
(Pinus).
Limites de
12
F
(
2−
−−
−
MPa
)
0,00613
-0,00613
Ao comparar os valores da Tabela 12 com os valores limite da Tabela 13,
verifica-se que todos estão dentro do intervalo e, portanto apresentam a equação de
uma elipse no plano.
Assim, para cada valor de
12
F
, serão montadas as seguintes curvas,
provenientes da Equação (5.3.1) e que podem observadas na Figura 51:
89
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11034,4)001572,0(.2
100,51052,71075,21019,7
2
4
2
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
azulI
−
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅+
++
+
+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11034,4)001670,0(.2
100,51052,71075,21019,7
2
4
2
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
lilásII −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅−
−−
−+
++
+
+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11034,4)005013,0(.2
100,51052,71075,21019,7
2
4
2
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
verdeIII −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅+
++
+
+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11034,4)000252,0(.2
100,51052,71075,21019,7
2
4
2
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
amareloIV −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅−
−−
−+
++
+
+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
90
FIGURA 51 – Curvas provenientes da Equação 5.3.1 com valores de
12
F
.
Para a análise da espécie Goupia glabra, foram considerados os resultados dos
ensaios uniaxiais mostrados no item 5. As Tabelas 7 e 8 mostram respectivamente os
valores das resistências à tração, compressão e cisalhamento e os valores dos
parâmetros de resistência de Tsai-Wu. O procedimento utilizado será similar ao da
Pinus.
A partir dos valores da Tabela 8, pode-se substituí-los na Equação (3.6.1) e
deixá-la em função apenas das tensões
1
σ
e
2
σ
. A tensão de cisalhamento
4
σ
é
perpendicular ao plano 1-2 e, portanto seu valor será adotado igual à zero. Assim tem-
se:
91
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
11056,22
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
2112
2
2
22
1
4
2
1
1
3
=⋅×+⋅⋅+
+⋅×+⋅×+⋅×+⋅×−
−
−−−−
σσσ
σσσσ
F
(5.3.2)
Nos ensaios biaxiais de compressão, as tensões
1
σ
e
2
σ
apresentam sinais
negativos e devem ser considerados na equação.
A seguir, são apresentados os resultados dos ensaios biaxiais de compressão
com o cálculo do parâmetro
12
F
.
Tabela 14 – Resultados do ensaio biaxial de compressão e valores de
12
F
da madeira Cupiúba.
92
Notam-se variações nos valores do parâmetro
12
F
, mostrando a grande
variabilidade do mesmo. Deve-se observar que os valores positivos do parâmetro
apresentam valores relativamente altos para
1
σ
e variados para a tensão
2
σ
. Ao se
diminuir o valor de
1
σ
e aumentar o valor de
2
σ
o parâmetro
12
F
apresenta valores fora
do intervalo que garante a superfície de ruptura fechada. Ao se manterem altos os
valores de
1
σ
e
2
σ
o sinal do parâmetro se inverte passando a ficar negativo.
Os valores destacados em vermelho apresentaram-se elevados, pois ao se isolar
fator
12
F
na Equação 5.3.2 tem-se a divisão por zero pelo fato das tensões estarem se
multiplicando. Assim, caso
1
σ
ou
2
σ
apresentem o valor zero, o parâmetro
12
F
crescerá, sendo desconsiderado na análise.
Para uma melhor análise dos resultados, obtiveram-se médias para
12
F
para
cada cor indicada. E que ao substituir esses valores na Equação (5.3.2) obteve-se a
equação do critério de resistência de Tsai-Wu. Assim tem-se:
Tabela 15 - Médias dos valores de
12
F
(Cupiúba).
Médias de
12
F
(
2−
−−
−
MPa )
0,000486
0,000803
0,000192
-0,000056
0,000026
0,000097
-0,000330
0,001692
0
Valores limites de
12
F
para comparação:
Tabela 16 – Valores Limites de
12
F
(Cupiúba).
Limites de
12
F
(
2−
−−
−
MPa )
0,00159
-0,00159
93
Ao comparar os valores da Tabela 15 com os valores limites da Tabela 16,
verifica-se que apenas o valor
3
106921
−
×,
esta fora do intervalo, evidenciando provável
superfície de ruptura aberta.
Assim, para cada valor de
12
F
, serão montadas as seguintes curvas,
provenientes da Equação (5.3.2) e que podem observadas na Figura 52:
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)000486,0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
pretoI
−
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
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++
+
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⋅×
××
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+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)000803,0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
azulII −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
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++
+
+
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⋅⋅
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××
×+
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+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
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−−
−
−
−−
−
−
−−
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−−
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−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
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)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)000192,0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
marromIII −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
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⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
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++
+
+
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++
+⋅
⋅⋅
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×+
++
+⋅
⋅⋅
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−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
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)
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)
(
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)
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)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)000056,0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
amareloIV −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
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+⋅
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+⋅
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σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
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)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)000026,0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
laranjaV −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
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++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅+
++
+
+
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⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
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×−
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σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)000097,0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
escuroverdeVI −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅+
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+
+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)000330,0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
lilásVII −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅−
−−
−+
++
+
+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)001692,0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
claroazulVIII −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅+
++
+
+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
94
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
)(11056,2)0(.2
1007,11036,21065,11051,3
2
4
3
21
2
2
22
1
4
2
1
1
3
vermelhoIX −
−−
−=
==
=⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅+
++
+
+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×+
++
+⋅
⋅⋅
⋅×
××
×−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
FIGURA 52 – Curvas provenientes da Equação 5.3.2 com valores de
12
F
.
Considerando a média dos valores positivos e negativos para
12
F
e também o
valor zero (Figura 53).
95
FIGURA 53 – Valores de
12
F
médios.
97
6 MODELAGEM NUMÉRICA DO CORPO-DE-PROVA UTILIZANDO O SOFTWARE
SAP2000.
Nessa modelagem foi considerada a madeira da espécie Pinus elliottii com as
seguintes propriedades, de acordo com IPT (2003):
Propriedades Físicas: densidade de massa: 480 kg/m³.
Propriedades Mecânicas:
Compressão paralela às fibras:
•
Resistência
31,5 :(MPa) umidade de 15% a Madeira
18,5 :(MPa) verde Madeira
:
0c
f
•
Limite de Proporcionalidade – madeira verde (MPa): 13,7
•
Módulo de Elasticidade – madeira verde (MPa): 8 846
•
Coeficiente de influência de umidade (%): 6,7
Para a realização da modelagem, utilizou-se o software SAP2000 que é baseado
no método dos elementos finitos. Nessa análise simulou-se um corpo-de-prova cúbico
com arestas de 4 cm e com as disposições das fibras paralelas à direção da aplicação
da carga da prensa universal, ou seja, a 0°. A aplicação do alicate se dá na direção
perpendicular às fibras, ou seja, a 90°.
O esquema estático adotado visou simular a situação real na qual o corpo de
prova se encontrava. Como o corpo-de-prova era simplesmente apoiado, considerou-se
98
esse ponto de apoio com apoio móvel nas direções 1 e 2, apenas restringiu-se a
direção 3 (Z). Como o alicate pressionava na direção perpendicular de ambos os lados,
não houve necessidade de restringir essa direção (no caso, direção 2). Logo, obteve-se
o seguinte modelo sólido:
FIGURA 54 – Corpo-de-prova modelado no SAP2000.
Observa-se que a madeira possui comportamento anisotrópico, mas por
simplificação no modelo proposto é considerada como ortotrópica, possuindo diferentes
propriedades mecânicas nas três direções principais: direção longitudinal (L) que
adotou-se como direção 3 do eixo do SAP; direção radial (R) que adotou-se como
direção 1 e direção tangencial (T) que adotou-se como direção 2. Para cada direção
99
considerada existem um módulo de elasticidade e também um módulo de elasticidade
transversal (que agem entre os planos).
Surgem, devido a ortotropicidade, coeficientes de Poisson diferentes, pois a
relação entre os planos não é isotrópica. Por exemplo, aplicando-se uma tensão na
direção 3, considerando a superposição de efeitos devido a linearidade, surgem
deformações nesta própria direção e também nas direções 1 e 2. Mas em cada direção
tem-se comportamentos mecânicos diferentes; as deformações nas direções 1 e 2 têm
proporcionalidades diferentes entre elas. Exemplificando numericamente:
•
Tensão aplicada:
33
σ
−
,
•
Deformação na direção 3 :
33
ε
−
,
•
Deformação na direção 2:
3313
.
εν
+
,
•
Deformação na direção 1:
3323
.
εν
+
.
Caso o material fosse isotrópico teria-se uma deformação na direção 3 de
33
ε
−
e
nas outras duas
33
.
εν
+
.
Como se deseja realizar uma modelagem teórica para o corpo-de-prova de
madeira, observou-se que alguns autores descrevem as relações entre as propriedades
mecânicas.
BODIG e JAYNE (1993), por exemplo, sugerem as seguintes relações entre
constantes elásticas da madeira:
E
L
: E
R
: E
T
≈
20 : 1,6 : 1
G
LR
: G
LT
: G
RT
≈
10 : 9,4 : 1
E
L
: G
LR
≈
14 : 1
Os mesmos autores apresentam, ainda, os valores médios dos coeficientes de
Poisson para coníferas e folhosas de clima temperado (Tabela 17). Lembrando que a
direção L (3), direção R (1) e direção T (2).
100
Tabela 17 - Média dos coeficientes de Poisson.
Índice Coníferas Folhosas
ν
LR
0,37 0,37
ν
LT
0,42 0,50
ν
RT
0,47 0,67
ν
TR
0,35 0,33
ν
RL
0,041 0,044
ν
TL
0,033 0,027
A nível nacional, encontram-se na literatura dois interessantes trabalhos:
MASCIA (1991) e BALLARIN (2003) que apresentam, respectivamente, as seguintes
relações para algumas espécies brasileiras:
Tabela 18 – Constantes de Elasticidade para espécies de madeira nacionais segundo MASCIA
(1991)
Espécie E
L
E
T
E
R
G
LT
G
LR
G
RT
Guapuruvu
3507,5 287,2 519,5 420,8 377,8 72,9
Ipê 18043,9
960,5 1748,1 831,2 620,2 356,3
Angico 8558,5 462,1 759,0 727,1 542,4 248,6
Pinus 5471,0 737,6 1049,4 307,0 542,6 116,3
ν
νν
ν
LT
ν
νν
ν
LR
ν
νν
ν
RT
ν
νν
ν
TL
ν
νν
ν
RL
ν
νν
ν
TR
Guapuruvu
0,5019 0,4818 0,6802 0,0448 0,0662 0,3458
Ipê 0,4790 0,4345 0,6136 0,0270 0,0371 0,3532
Angico 0,4549 0,5089 0,80068
0,0239 0,0484 0,4975
Pinus 0,3346 0,3701 0,6393 0,0477 0,0858 0,4509
Tabela 19 - Resultados finais dos parâmetros elásticos da madeira de Eucalyptus citriodora,
determinados a partir de ensaios de compressão paralela às fibras segundo BALLARIN (2003).
Parâmetros elásticos – ensaios de compressão paralela às fibras
E
L (MPa)
E
R (MPa)
ν
νν
ν
LR
ν
νν
ν
LT
ν
νν
ν
RL
ν
νν
ν
RT
G
LR (MPa)
16.981 1.825 0,23 0,48 0,013 0,70 861
101
No SAP2000 existe a possibilidade de adotar um material com características
ortotrópicas, sendo assim, criou-se o material chamado de PinusElliotti que pode ser
observado na Figura 55.
FIGURA 55 – Propriedades mecânicas do material no SAP2000.
Optou-se pela análise linear, pois a madeira possui um comportamento elástico-
linear, valendo a superposição de efeitos nas relações constitutivas (Figura 56).
102
FIGURA 56 – Análise linear.
Nesta simulação, foram considerados os pares de atuação das forças aplicadas.
A convenção de tensão no SAP2000 é a seguinte:
•
Direção 1: corresponde a direção X apresentada no modelo.
•
Direção 2: corresponde a direção Y apresentada no modelo.
•
Direção 3: corresponde a direção Z apresentada no modelo.
Por exemplo, a tensão S
11
corresponde a
xx
σ
e assim sucessivamente.
Como o carregamento atua simultaneamente nas direções 1 e 3, optou-se por
criar carregamentos independentes e depois combiná-los. Assim foram consideradas as
seguintes combinações:
•
Combinação 1: Para a direção 3 aplicou-se uma pressão de 2,5 KN/m². Para a
direção 1 aplicou-se uma pressão de 0,202 KN/m².
•
Combinação 2: Para a direção 3 aplicou-se uma pressão de 2,563 KN/m². Para
a direção 1 aplicou-se uma pressão de 0,808 KN/m².
•
Combinação 3: Para a direção 3 aplicou-se uma pressão de 2,781 KN/m². Para
a direção 1 aplicou-se uma pressão de 0,22 KN/m².
•
Combinação 4: Para a direção 3 aplicou-se uma pressão de 3,594 KN/m². Para
a direção 1 aplicou-se uma pressão de 0,881 KN/m².
103
Os valores das pressões foram obtidos dos ensaios biaxiais de compressão.
Para esta simulação foram observados e adquiridos os pares de valores maiores
(COMB4), os pares menores (COMB1) e os pares intermediários (COMB2 e 3),
observando o comportamento do material.
Para a combinação 1 obteve-se os seguintes resultados:
Tensão
33
σ
em KN/m².
Tensão
11
σ
em KN/m².
Tensão
22
σ
em KN/m².
Tensão
máx
σ
em KN/m².
FIGURA 57 – Resultados da combinação 1.
104
Para a combinação 2 obteve-se os seguintes resultados:
FIGURA 58 – Resultados da combinação 2.
Tensão
33
σ
em KN/m².
Tensão
11
σ
em KN/m².
Tensão
22
σ
em KN/m².
Tensão
máx
σ
em KN/m².
105
Para a combinação 3 obteve-se os seguintes resultados:
Tensão
33
σ
em KN/m².
Tensão
11
σ
em KN/m².
Tensão
22
σ
em KN/m².
Tensão
máx
σ
em KN/m².
FIGURA 59 – Resultados da combinação 3.
106
Finalmente para a combinação 4 obteve-se os seguintes resultados:
Tensão
33
σ
em KN/m².
Tensão
11
σ
em KN/m².
Tensão
22
σ
em KN/m².
Tensão
máx
σ
em KN/m².
FIGURA 60 – Resultados da combinação 4.
6.1 Análise do Círculo de Mohr
Para cada combinação adotou-se um determinado ponto, preferencialmente os
pontos que apresentaram os maiores valores de tensões. Observa-se que aqui não se
segue a convenção usual (
321
σσσ
>>
) para o desenho do Círculo de Mohr. Assim,
para a análise de tensões tem-se:
107
Combinação 1:
FIGURA 61 – Ponto de análise para COMB1.
As tensões principais encontradas neste ponto foram as seguintes, considerando
a convenção adotada na SAP2000:
MPa
60,25
33
−=
σ
MPa08,2
11
−=
σ
MPa22,0
22
+=
σ
e o correspondente Círculo de Mohr:
FIGURA 62 – Círculo de mohr para ponto da COMB1.
108
Combinação 2:
FIGURA 63 – Ponto de análise para COMB2.
As tensões principais encontradas neste ponto foram as seguintes:
MPa
00,28
33
−=
σ
MPa90,9
11
−=
σ
MPa45,0
22
+=
σ
e o correspondente Círculo de Mohr:
FIGURA 64 – Círculo de mohr para ponto da COMB2.
109
Combinação 3:
FIGURA 65 – Ponto de análise para COMB3.
As tensões principais encontradas neste ponto foram as seguintes:
MPa
30,28
33
−=
σ
MPa20,2
11
−=
σ
MPa10,0
22
+=
σ
e o correspondente Círculo de Mohr:
FIGURA 66 – Círculo de mohr para ponto da COMB3.
110
Combinação 4:
FIGURA 67 – Ponto de análise para COMB4.
As tensões principais encontradas neste ponto foram as seguintes:
MPa
50,38
33
−=
σ
MPa50,8
11
−=
σ
MPa50,0
22
+=
σ
e o correspondente Círculo de Mohr:
FIGURA 68 – Círculo de mohr para ponto da COMB4.
111
6.2 Comentários dos Resultados obtidos
Todos os valores das faces (superfícies) do corpo-de-prova apresentaram
dispersões nos resultados, pois são zonas de concentrações de tensões. Isso
pode ser observado principalmente na região onde foram definidos os apoios do
elemento, sendo que estes sustentam apenas os quatro pontos da face de cada
cubo pequeno, o que seria muito diferente se o elemento estivesse dividido em
infinitas partes. Mas devido à limitação de hardware e também de
processamento, optou-se pela configuração atual.
Observando todas as combinações, verifica-se que as tensões
22
σ
apresentam
valores positivos de tração. Esses valores já eram esperados, pois o corpo-de-
prova só recebe carga de compressão nas direções 1 e 3 e que, pelas relações
constitutivas do material, a direção 2 só poderia apresentar uma expansão,
confirmando o exemplo citado anteriormente.
Em geral as tensões
11
σ
e
33
σ
de todas as combinações apresentaram aumento
de valores. As tensões
33
σ
, as de maiores intensidades aplicadas, apresentaram
uma distribuição mais uniforme ao longo do elemento estudado, apresentando os
maiores valores na região central do corpo-de-prova.
Comparando as combinações 1 e 2, mantendo praticamente a mesma carga
vertical e aumentando a carga na direção 1 em torno de 25%, as tensões
33
σ
apresentaram quase que a mesma distribuição no elemento. Já as tensões
11
σ
apresentaram distribuições diferentes, principalmente quando mantida a carga
vertical e aumentando a carga na direção 1. Na combinação 1 as tensões
11
σ
diminuíram seus valores em relação ao carregamento aplicado. Já, na
combinação 2 as tensões
11
σ
aumentaram de valores, pois sofrem pouca
influência da carga vertical.
112
Nas combinações 3 e 4, onde foram aumentados os valores das cargas verticais
e para a direção 1 adotados os valores 0,22 KN/m² e 0,881 KN/m²
respectivamente, as tensões
33
σ
apresentam pouca sensibilidade quanto ao
aumento, pois são em torno de 4 vezes maiores que as tensões
11
σ
. Já as
tensões
11
σ
apresentaram, em grande parte do elemento, valores menores do
que aqueles aplicados na direção 1. Essa diminuição é conseqüência do grande
valor aplicado na direção 3 em relação ao da direção 1. Pela mesma idéia de
contração e expansão das outras direções é que esta diminuição é visível.
Quando se aplica uma carga de valor alto na direção 3, tem-se uma grande
deformação negativa (contração) na mesma direção e para as outras tem-se um
expansão da ordem de
33
.
εν
ij
+
. Na direção 1 tem-se uma carga menor em torno
de 4 vezes a vertical, logo, a deformação nesta direção será
3311
.
ενε
ij
+−
. É claro
que o valor
33
.
εν
ij
+
não é predominante nesta direção, pois depende do valor do
coeficiente Poisson, mas acarreta uma diminuição expressiva da deformação na
direção 1, diminuindo consequentemente as tensões
11
σ
, fato observado na
modelagem.
Através dos gráficos que representam os círculos de mohr, verifica-se que existe
a influência da tensão de cisalhamento (região indicada pela cor amarela do
gráfico) que também é responsável pela ruptura do material. Isso comprova a
validade do critério de Tsai-Wu onde a ruptura é causada tanto pelas tensões
normais quanto pelas tangenciais. Seguem-se algumas fotos ampliadas (fotos
realizadas na Engenharia Química da Unicamp, no sistema de microscópio
eletrônico por varredura – MEV) dos corpos-de-prova do ensaio biaxial de
compressão que mostram a influência da tensão cisalhante:
113
FIGURA 69 – Fotos ampliadas - Influência do cisalhamento.
115
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES
O trabalho desenvolvido teve como objetivo geral o estudo de critérios de
resistência e suas teorias para a aplicação nos estudos do material a ser analisado.
Verifica-se que cada material possui um tipo de resistência e que estes são analisados
por determinados critérios de resistência que levam em consideração seu
comportamento elástico em diferentes direções.
Para os principais materiais que são utilizados na construção civil (madeira,
aço, concreto) foram desenvolvidas e estão sendo desenvolvidas teorias que explicam
e condizem com o comportamento mecânico de cada um. Mais especificamente, essa
pesquisa teve como objetivo a aplicação do critério de Tsai-Wu, adequado para
materiais anisotrópicos, à madeira, e também o uso da tradicional fórmula de
Hankinson. A madeira (material ortotrópico) tem comportamento mecânico de suas
propriedades completamente diferente do comportamento das propriedades do aço
(material isotrópico) e do concreto.
Pela análise dos resultados obtidos no ensaio uniaxial de compressão e os
ensaios biaxiais de compressão, verificou-se que o critério de Tsai-Wu apresentou, em
média, resultados satisfatórios e coerentes. Ao se utilizar o critério de Tsai-Wu, para o
estado plano de tensões múltiplas, observou-se a grande influência do coeficiente de
interação
12
F
nas estimativas de resistência, principalmente nos ensaios biaxiais de
compressão. Fato também que é observado por NICOLAS (2006) onde conclui que
para estados múltiplos de tensões, há necessidade de utilização do critério de Tsai-Wu
que leva em consideração a interação entre as tensões.
Através das Figuras 46 (ensaios de tração) e 49 (ensaios de compressão)
verifica-se a sensibilidade do fator
12
F
, pois ao se fixarem os valores limites e substituí-
116
los na Equação 5.1.3, para cada ângulo de inclinação, obtiveram-se tensões que não
correspondiam com as ensaiadas. O caso mais próximo ocorreu no ensaio de tração.
Ao se calcular, pela Equação 5.1.3, o correspondente valor de
12
F
para cada ângulo de
inclinação, verificou-se que a condição 3.5.10 não foi totalmente satisfeita para alguns
ângulos calculados. Como exemplo, pode-se observar a Figura 70 que foi determinada
utilizando a Equação (3.6.6) para o estado plano (1-2), adotando três valores diferentes
do coeficiente de interação:
12
F
= - 0,5 limite,
12
F
= 0 e
12
F
= +0,5 limite, obedecendo aos
valores da Inequação (3.5.10).
Gráfico 8.1 –
FIGURA 70 – Curvas de ruptura do critério de Tsai-Wu, utilizando os dados dos ensaios (elipse
vermelha
12
F
= 0; elipse azul
12
F
= -0,5 x limite e elipse preta –
12
F
= +0,5 x limite).
-
140
-
120
-
100
-
80
-
60
-
40
-
20
0
20
40 60 80 100 120 140
160
σ
1
MPa
-
30
-
25
-
20
-
15
-
10
-
5
0
5
10
-
140
-
120
-
100
-
80
-
60
-
40
-
20
0
20
40 60 80 100 120 140
-
30
-
25
-
20
-
15
-
10
-
5
0
5
σ
2
MPa
GRÁFICO
σ
1
x
σ
2
117
Uma pequena alteração no valor do coeficiente
12
F
provoca alterações
significativas nas estimativas de resistência, logo, o critério de Tsai-Wu foi relativamente
satisfatório. Pela fórmula de Hankinson obteve-se uma conveniente proximidade dos
resultados dos ensaios de tração, de acordo com as Figuras 45 e 47.
Através da Figura 51, curvas obtidas da espécie Pinus elliottii, verificou-se que
cada curva possui um grupo de pontos que estão em suas proximidades. As melhores
curvas foram: verde e azul, as quais correspondem respectivamente aos valores de
3
100135
−
×,
e
3
105721
−
×,
para
12
F
. Nestas melhores curvas, observam-se que ambos os
valores de
12
F
(Tabela 12) são positivos e aproximam-se do valor zero e que pela
Tabela 11 são obtidos pelos menores pares de tensão aplicados na vertical e na
horizontal (respectivamente
1
σ
e
2
σ
). Percebeu-se que ao aumentar, em módulo, as
tensões aplicadas nos corpos-de-prova, principalmente àquelas correspondentes ao
alicate, verificou-se que as curvas passam a apresentar valores negativos para
12
F
(Tabela 12) e que estes correspondem às curvas amarela e lilás de acordo com a
Figura 51.
Através da Figura 52, curvas obtidas da espécie Goupia glabra, verificou-se um
melhor resultado, pois o número de corpos-de-prova ensaiados foi maior. As melhores
curvas obtidas foram: verde escura, laranja e vermelha, as quais correspondem
respectivamente aos valores de:
5
1079
−
×,
,
5
1062
−
×,
e 0 para
12
F
. Nestas melhores
curvas observa-se que esses valores de
12
F
(Tabela 15) são positivos e aproximam-se
do valor zero e que pela Tabela 14 são obtidos pela pequena variação (13 a 18 MPa)
de tensão aplicadas na horizontal e por grande variação (35 a 60 MPa) dos valores de
tensão aplicados na vertical (respectivamente
2
σ
e
1
σ
). Verificou-se que ao aumentar,
em módulo, as tensões aplicadas nos corpos-de-prova, principalmente àquelas
correspondentes ao alicate, verificou-se que as curvas passam a apresentar valores
negativos para
12
F
(tabela 14) e que estes correspondem às curvas amarela e lilás de
acordo com a Figura 52.
Através da Figura 53, considerando valores médios positivos e negativos de
12
F
e também o valor zero, verificou-se que os ensaios se aproximam das curvas
4
10783
−
×,
118
e 0, mostrando que a aplicação axial de compressão possui maior influência do que a
compressão transversal realizada pelo alicate. NICOLAS (2006) verifica a relação
lim/
1212
FF
que mais se aproxima dos dados dos ensaios biaxiais:
2,0lim/0
1212
≤≤ FF
.
Também conclui que o coeficiente adotado por COWIN ,
2
221112
2
1
v
f
FFF
⋅
−⋅=
, foi o
que mais apresentou resultados próximos aos valores dos ensaios biaxiais.
Assim, considerando-se ensaios biaxiais de compressão, para obtenção do
melhor critério, observou-se que os menores pares de valores (em módulo) das tensões
aplicadas verticalmente e horizontalmente podem definir o parâmetro
12
F
, verificando-se
sua grande sensibilidade quanto às variações das tensões aplicadas nos corpos-de-
prova. Vale ressaltar que um dos problemas enfrentados nos ensaios biaxiais dos
corpos-de-prova foi manter a calibração do equipamento de compressão axial (alicate).
Observa-se, também, que na confecção dos corpos-de-prova foram verificados
os ângulos de inclinação das fibras, assim como o controle de umidade, e de
temperatura (20°C). Concluiu-se, então, que as causas principais das dispersões
podem estar relacionadas com a heterogeneidade do material nas direções ortotrópicas
(falhas pré-existentes de constituição) e possíveis defeitos provenientes da variação
dimensional após a elaboração dos corpos-de-prova.
Observa-se, ainda, que um fator de grande influência no sucesso da pesquisa e
na modelagem via SAP2000 foi a utilização das espécies de madeira Pinus elliottii e
Goupia glabra, madeiras estas que apresentam características mecânicas homogêneas
em cada direção ortotrópica (radial, tangencial e longitudinal).
Por fim destaca-se que, a formulação de ensaios biaxiais para diversos materiais
pode ser muito útil para o desenvolvimento de novas tecnologias e também para
otimização de estruturas. Os principais fatores que definem o arranjo para esse tipo de
ensaio são: tipo de material, dificuldades na montagem do ensaio, sua execução e
interpretação dos resultados. Especificamente, para à madeira e as estruturas de
madeira, o estudo do critério de Tsai-Wu é importante, pois desse estudo advém um
melhor entendimento de suas propriedades elásticas e de resistência, as quais
119
contribuem para formulações mais adequadas e completas no campo da mecânica
estrutural.
Para futuras pesquisas nessa área, sugere-se a realização de um número maior
de ensaios biaxiais para uma interpretação mais geral de resultados em outras espécies
de madeira e desse modo, uma definição mais específica dos parâmetros envolvidos no
critério de resistência de Tsai-Wu.
121
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Materials. New York: n. 4, v.6, p.353-431. Nov. 1974.
125
ANEXOS
127
ANEXO A - Notação Indicial
No texto apresentado são utilizados os eixos cartesianos na forma
1
x
,
2
x
e
3
x
em substituição dos respectivos eixos x, y e z, segundo CHEN & SALEEB (1994).
Considera-se a indicação positiva dos eixos através da mão direita.
Para cada eixo temos um vetor unitário, assim para
1
x
tem-se
1
e
, para
2
x
tem-
se
2
e
e para
3
x
tem-se
3
e
. Com isso pode-se escrever qualquer vetor em função
dessas coordenadas. Por exemplo, o vetor V (
321
,,
vvv
) pode ser escrito da seguinte
forma:
332211321
evevev)v,v,(vV
++==
(A.1)
Assim o vetor V, em notação indicial, pode ser escrito generalizadamente como
i
v
. Num outro exemplo, o vetor X é representado por
i
x
onde
i
x
= 0 e
i
=1,2 e 3 . Com
isso tem-se que o vetor X é um vetor nulo, pois suas componentes
1
x
,
2
x
e
3
x
são
iguais a zero. Pode-se verificar também a convenção de notação indicial na convenção
de somatório. Por exemplo: o produto escalar entre dois vetores U e V pode ser
expresso:
=
=++=
3
1
1332211
.....
i
i
vuvuvuvuVU
(A.2)
Na convenção de somatório pode-se eliminar o uso do símbolo de soma, pois
nesta convenção indica-se que o índice i seja repetido, ou seja, já está implícito. Assim,
o produto vetorial pode ser expresso por
kk
vu
.
ou
ll
vu
.
ou
ww
vu
.
, veja que a escolha do
índice é livre, pois representa a mesma soma (produto escalar). Em notação indicial,
verifica-se que o índice em um termo da equação ou expressão, deve só ocorrer duas
vezes no mesmo termo para que a convenção de somatório seja válida, assim, uma
expressão como
iii
vu
.
não tem significado especial.
128
Um outro exemplo de notação indicial:
=++
=++
=++
3333232131
2323222121
313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
xaxaxa b
≡
ijij
bxa
=
(A.3)
Regras da notação indicial:
1. Se um índice ocorre precisamente somente uma vez em um termo de uma
expressão ou equação, ele é chamado de índice livre.
2. Se um índice ocorre duas vezes em um termo de uma expressão ou
equação, ele é chamado de índice de soma. O índice de soma pode ou não
ocorrer duas vezes em outro termo da expressão.
3. Um índice não pode aparecer mais do que duas vezes em um termo de
uma expressão ou equação.
A.1 Notação Diferencial
A notação diferencial é expressa a seguir:
ii,
i
i
v
x
v
=
∂
∂
(A.1.1)
Onde:
3,32,21,1ii,
vvvv
++=
.
Nesta notação, o primeiro índice refere-se a componente do vetor V, a vírgula
indica derivada parcial e o segundo índice se refere ao eixo.
A.2 O símbolo
δ
δδ
δ
ij
(Kronecker Delta)
É uma matriz especial, na qual os componentes
δ
ij
são 1 se
ji
=
e 0 se
ji
≠
.
Logo tem-se a seguinte situação:
129
1
332211
===
e
0
322331132112
======
Com isso tem-se a matriz montada abaixo:
=
100
010
001
ij
(A.2.1)
Seguem abaixo, alguns exemplos de aplicação do símbolo
δ
ij
.
Exemplo 1:
i3i32i21i1jij
vvvvv
=++=
. Neste caso,
δ
ij
foi utilizado apenas para
substituir o operador i por j, funcionando como um “operador de substituição”.
Exemplo 2:
3
332211iijiij
=++==
. Neste caso,
δ
ij
δ
ji
representa uma soma
escalar. Tem-se também que:
ijji
.ee
=
.
A.3 O símbolo
ε
εε
ε
ijk
( Alternating Tensor)
O símbolo
ε
ijk
é um tensor. Um vetor
i
v
pode ser considerado um tensor de três
elementos. Genericamente um tensor b
ij...n
tem 3
p
componentes, sendo p o número de
índices.
O símbolo
ε
ijk
possui 3
3
ou 27 componentes, os quais são definidos para serem
iguais a +1, -1 ou 0, dependendo dos índices. A definição é baseada no número de
permutações para deixar os índices na ordem natural 1, 2, 3. Se houver um número par
de permutações, o valor é +1. Se houver um número ímpar de permutações, o valor é –
1. Se houver índices repetidos o valor é zero.
O tensor
ε
ijk
traz outras abreviações. O produto vetorial UxV, por exemplo, pode
ser escrito como
ε
ijk
u
j
v
k
e
i
.
130
Demonstrando:
k3i3kk2i2kk1i1kkjijk
vuvuvuvu
++=
+++=
31i1321i1211i11kjijk
vuvuvuvu
32i2322i2212i21
vuvuvu
+++
33i3323i3213i31
vuvuvu
+++
(A.3.1)
Assim tem-se:
23322313232123kj1jk
vuvuvuvuvu
−=+=
(A.3.2)
13311323131213kj2jk
vuvuvuvuvu
+−=+=
(A.3.3)
12211232121312kj3jk
vuvuvuvuvu
−=+=
(A.3.4)
Finalmente, considerando as equações (A.3.2), (A.3.3) e (A.3.4):
312212311312332ikjijk
)evuv(u)evuv(u)evuv(uevu
−+−+−=
(A.3.5)
A Equação 1.3.5 é igual a:
UxV =
321
321
321
vvv
uuu
eee
(A.3.6)
Genericamente:
3k2j1iijk
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
a =
= (A.3.7)
Tem-se ainda que:
ksjtktjsistijk
−=
(A.3.8)
A.4 Transformação de Coordenadas
Considerando o vetor V com suas componentes
21
,vv
e
3
v
ou simplesmente
i
v
com
i
=1,2,3. Tem-se para esse vetor um sistema cartesiano associado, no caso
i
x
.
131
Frequentemente é necessário reorientar os eixos de referência e avaliar os novos
valores das componentes do vetor V em um novo sistema de coordenadas.
Considerando que os sistemas cartesianos
i
x
e
'
i
x
possuam a mesma origem,
o vetor V possui componentes
i
v
para o sistema
i
x
e
'
i
v
para o sistema
'
i
x
. Desde que o
vetor seja o mesmo, as componentes devem ser relacionadas através dos cossenos
dos ângulos entre os eixos
'
i
x
e
i
x
.
Representa-se os cossenos dos ângulos entre os eixos
'
i
x
e
i
x
por
ij
l
, ou seja,
cos(
'
i
x
,
i
x
). Com isso, pode-se afirmar que a mudança de coordenadas do vetor V de
i
x
para
'
i
x
pode ser representada por:
jiji
vlv .
'
=
(A.4.1)
Considera-se
ij
l
como uma matriz não simétrica, ou seja,
ij
l
≠
ji
l
, pode-se
assim representá-la como na Tabela A1:
TABELA A1 – Cossenos Diretores.
Cossenos Diretores
Eixos
Eixos
1
x
2
x
3
x
'
1
x
11
l
12
l
13
l
'
2
x
21
l
22
l
23
l
'
3
x
31
l
32
l
33
l
Também tem-se que
i
e
e
'
i
e
são os vetores unitários dos eixos
i
x
e
'
i
x
respectivamente. Com isso, o vetor pode ser escrito na forma
ii
ev
ou
''
ii
ev
. Segue abaixo:
jijjkjikkikjjijjii
vlvleleveevVev =====
δ
'''
ou simplesmente tem-se a Equação A.4.1:
jiji
vlv =
'
.
Inversamente tem-se:
'
jjii
vlv =
(A.4.2)
132
De maneira similar pode-se relacionar os sistemas de coordenadas:
jiji
xlx =
'
(A.4.3)
ou :
'
jjii
xlx =
(A.4.4)
Ao longo do desenvolvimento deste trabalho é utilizada a notação indicial na
demonstração das teorias para obtenção dos critérios de resistência, principalmente na
teoria geral de resistência para materiais anisotrópicos. Também, o princípio da
transformação de coordenadas é utilizado para demonstrar a aplicação da teoria geral
de resistência para materiais anisotrópicos em ensaios em direções inclinadas (off-axis
tests).
133
ANEXO B - Estudo de Classificação de Cônicas Aplicadas ao Critério de
Resistência para Materiais Anisotrópicos
Nesse estudo leva-se em consideração os subconjuntos
2
R
e
3
R
que são
respectivamente:
(
)
(
)
(
)
{
}
0,,...,0,:,
1
2
==Ε= yxFyxFRyxS
k
e
(
)
(
)
(
)
{
}
0,,,...,0,,:,,
1
3
==Ε= zyxFzyxFRzyxS
k
As equações do tipo
(
)
0,
== yxF
k
e
(
)
0,,
== zyxF
k
são chamadas de equações
cartesianas da figura que o conjunto determina. Essas equações podem ser de 1° grau
(retas ou planos) e de 2° grau (cônicas ou quádricas).
As equações de 1° grau na forma:
0
=
+
+
+
DCzByAx
(B.1)
representam um plano no espaço ou uma reta quando z=0. Os coeficientes A,B,C, e D
são aqueles que caracterizam o plano ou reta seja qual for o caso.
As equações de 2° grau na forma:
0
22
=+++++ FEyDxCyBxyAx
(B.2)
são chamadas de cônicas. Esse tipo de equação apresenta a mesma forma da equação
do critério de resistência da madeira dado por TSAI e WU (1971). Observe que esta
equação envolve uma forma quadrática:
22
),(
CyBxyAxyxQ ++=
(B.3)
Uma forma linear:
EyDxyxL
+
=
),(
(B.4)
e um termo constante
F
.
Com isso, pode-se escrever a equação que define a cônica como:
134
(
)
(
)
0,, =++ FyxLyxQ
(B.5)
A seguir têm-se exemplos de cônicas dados pela Equação (B.5):
Circunferência:
222
ryx =+
(B.6)
No qual
1
=
=
CA
,
E
D
B
=
=
e
2
r
F
−
=
.
Elipse:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
(B.7)
No qual
2
1
a
A
=
,
2
1
b
C
=
,
0
=
=
=
EDB
e
1
−
=
F
com
0
>
a
e
0
>
b
.
Hipérbole:
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
(B.8)
No qual
2
1
a
A
=
,
2
1
b
C
−=
,
0
=
=
=
EDB
e
1
−
=
F
com
0
>
a
e
0
>
b
.
Parábola:
0
2
=−
Dxy
(B.9)
e
0
≠
D
.
Casos degenerados:
•
Par de retas concorrentes (hipérbole degenerada):
0
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
.
•
Par de retas paralelas (parábola degenerada):
0
2
=−
bax
.
•
Uma reta (parábola degenerada):
0
2
=
x
.
•
Um ponto (elipse degenerada):
0
22
=+
byax
•
Vazio (elipse ou parábola degenerada):
0
222
=++
rbyax
135
As equações das cônicas apresentadas acima estão na chamada forma
reduzida, isto é,
0
=
B
; se
0
≠
A
,
0
=
D
e se
0
≠
C
,
0
=
E
.
De acordo com BOLDRINI (1980), as cônicas podem ser classificadas com o
seguinte procedimento geral:
Dada à equação (B.2), com A ou B ou
0
≠
C
, pode-se encontrar a região
(figura) que esta equação representa no plano de acordo com os seguintes passos:
1°) Escrever a equação (B.8) na forma matricial:
[x y]
CB
BA
2/
2/
y
x
+ [D E]
y
x
+ F = 0 (B.10)
2°) Eliminação dos termos mistos através da diagonalização. Para isto precisa-
se encontrar os autovalores (
1
λ
,
2
λ
) e os autovetores (
1
v
,
2
v
) da matriz:
CB
BA
2/
2/
(B.11)
3°) Obtenção das novas coordenadas através da equação:
=
2
1
v
v
y
x
1
1
y
x
(B.12)
No qual:
1
1
y
x
é o novo sistema de coordenadas.
4°) Montar a nova equação:
[
1
x
1
y
]
2
1
0
0
λ
λ
1
1
y
x
+ [D E]
2
1
v
v
1
1
y
x
+ F = 0,
ou seja,
136
0
11
2
12
2
11
=++++
Fbyaxyx
λλ
(B.13)
5°) Eliminação dos termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não
nulos. Tem-se então três casos:
a)
1
λ
e
0
2
≠
λ
Manipulando-se a Equação (B.13):
0
4242
2
2
2
2
12
1
2
2
1
11
=+−
++−
+
F
bb
y
aa
x
λλ
λ
λλ
λ
, fazendo
1
12
2
λ
a
xx
+=
e
2
12
2
λ
b
yy
+=
tem-se então:
0
2
22
2
21
=++
fyx
λλ
(B.14)
No qual:
2
2
1
2
44
λλ
ba
Ff
−−=
.
b)
0
1
≠
λ
e
0
2
=
λ
A Equação (B.13) fica:
0
11
2
11
=+++
Fbyaxx
λ
, manipulando-a tem-se:
0
42
1
1
2
2
1
11
=++−
+
Fby
aa
x
λλ
λ
, fazendo
1
12
2
λ
a
xx
+=
e
12
yy =
teremos então:
0
2
2
21
=++
fbyx
λ
(B.15)
Na qual:
1
2
4
λ
a
Ff
−=
.
c)
0
1
=
λ
e
0
2
≠
λ
(idem ao item b)
Pode-se classificar a cônica de acordo com o seguinte teorema:
137
“Dada uma cônica definida pela Equação (B.2) e sejam
1
λ
e
2
λ
os autovalores
associados à sua forma quádrica então:
I- Se
0.
21
>
λλ
, esta equação representa uma elipse ou suas
degenerações (um ponto ou vazio, como vimos anteriormente)
II- Se
0.
21
<
λλ
, esta equação representa uma hipérbole ou suas
degenerações (par de retas concorrentes)
III- Se
0.
21
=
λλ
, esta equação representa uma parábola ou as suas
degenerações (par de retas paralelas, uma reta ou o vazio).
Pode-se, também, afirmar que o determinante associado à forma quadrática da
matriz (B.11) é igual ao produto de seus autovalores (
21
λλ
e
). Assim o sinal do produto
entre eles (
21
.
λλ
) é o mesmo de
−− AC
B
4
2
, que por sua vez tem o mesmo sinal de
(
)
ACB
4
2
−−
. Feitas as considerações, pode-se reescrever o teorema anterior em
função de
ACB
4
2
−
. Logo conhecida a Equação (B.2), esta representará, no plano, as
seguintes figuras:
•
Uma elipse ou suas degenerações se:
ACB
4
2
−
<0 .
•
Uma parábola ou suas degenerações se:
ACB
4
2
−
=0.
•
Uma hipérbole ou suas degenerações se:
ACB
4
2
−
>0.
O critério de resistência para materiais anisotrópicos de TSAI e WU (1971)
possui semelhança com equações cônicas. Da teoria tem-se:
1=+
klijijklijij
RR
σσσ
(B.16)
138
Considerando as condições de simetria dos coeficientes
ij
R
e
ijkl
R
por causa da
condição
jiij
σσ
=
, tem-se a seguinte configuração para a equação (B.16):
1=+
jiijii
FF
σσσ
(B.17)
com
j
i
,
=1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Desenvolvendo a Equação (B.17) tem-se:
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
665544332211
σσσσσσ
FFFFFF
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
61165115411431132112
2
111
22222
σσσσσσσσσσσ
FFFFFF
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
6226522542243223
2
222
2222
σσσσσσσσσ
FFFFF
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
633653354334
2
333
222
σσσσσσσ
FFFF
+⋅⋅+⋅⋅+⋅+
64465445
2
444
22
σσσσσ
FFF
+⋅⋅+⋅+
6556
2
555
2
σσσ
FF
1
2
666
=⋅+
σ
F
(B.18)
Considerando o caso bidimensional (1-2) tem-se:
=
2221
1211
σσ
σσ
σ
ij
e pela
simetria
jiij
σσ
=
fica-se com
=
24
41
σσ
σσ
σ
i
. Através dessa consideração pode-se
reescrever a Equação (B.18) como:
+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
41142112
2
111442211
22
σσσσσσσσ
FFFFFF
012
2
4444224
2
222
=−⋅+⋅⋅+⋅+
σσσσ
FFF
(B.19)
139
Observa-se que a Equação (B.19) do critério de resistência para materiais
anisotrópicos de Tsai-Wu apresenta semelhança com a Equação (B.2) de uma cônica,
dessa forma, assumindo-se
x=
1
σ
e
y=
2
σ
a Equação (B.19) fica:
+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ xFyxFxFFyFxF
41412
2
114421
22
σσ
012
2
444424
2
22
=−⋅+⋅⋅+⋅+
σσ
FyFyF
(B.20)
Como foi considerado, no estudo, o material ortotrópico, então os coeficientes
0
4
=F
,
0
14
=F
e
0
24
=F
. Assim a Equação (B.20) fica:
012
2
444
2
2212
2
1121
=−⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅
σ
FyFyxFxFyFxF
(B.21)
Reorganizando a Equação (B.21) tem-se:
012
2
44421
2
2212
2
11
=−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅
σ
FyFxFyFyxFxF
(B.22)
Comparando a Equação (B.22) com a Equação (B.2) da cônica tem-se que:
AF =
11
,
BF =
12
2
,
CF =
22
,
DF =
1
,
EF =
2
e
FF
=−⋅ 1
2
444
σ
No qual :
11
1
11
ct
ff
F
−=
,
22
2
11
ct
ff
F
−=
,
11
11
1
ct
ff
F
⋅
=
,
22
22
1
ct
ff
F
⋅
=
,
2
4
44
1
v
f
F
=
e
21124
σσσ
==
= tensão de cisalhamento no momento da ruptura no ensaio de
cisalhamento.
Após a comparação da Equação (B.22) com a Equação (B.2), verifica-se a
presença da forma de cônica no critério de resistência para materiais anisotrópicos.
Sendo assim, para classificar que tipo de cônica a Equação (B.22) define, considera-se
o teorema que envolve apenas a obtenção do determinante da matriz (B.11).
Substituindo
11
FA =
,
12
2FB =
e
22
FC =
na matriz (B.11) tem-se:
140
22
12
12
11
2
2
2
2
F
F
F
F
simplificando:
2212
1211
FF
FF
(B.23)
obtendo-se o determinante da matriz (B.23):
2211
2
122211
2
12
det
FFFFFF
−=+−=
Essa igualdade é válida, pois o produto dos autovalores (
1
λ
e
2
λ
) tem o mesmo
sinal do determinante da matriz (B.23).
Pelo teorema do determinante tem-se que:
•
Se
2211
2
12
FFF
−
< 0 tem-se uma elipse ou suas degenerações, ou
FIGURA B1 – Elipse.
141
•
Se
2211
2
12
FFF
−
= 0 tem-se uma parábola ou suas degenerações, ou
FIGURA B2 – Parábola.
•
Se
2211
2
12
FFF
−
> 0 tem-se uma hipérbole ou suas degenerações.
FIGURA B3 – Hipérbole.
142
Observa-se que as figuras acima mostram regiões no plano 1-2. Ao analisar os
gráficos, verifica-se que as funções, definidas pela Equação (B.22), das Figuras B2 e
B3, crescem para o infinito e na Figura B1 a superfície apresenta-se fechada, ou seja,
tem-se uma região limitada. Segundo FUSCO (1995), a região de ruptura definida pela
Equação (B.22) deve ser fechada, pois assim não se permite resistência infinita em
estados planos de tensão.
Na Equação (B.22) tem-se o coeficiente
12
F
que corresponde à atuação das
tensões
1
σ
e
2
σ
simultaneamente e não se pode determiná-lo diretamente pelos
ensaios uniaxiais, apenas através dos ensaios biaxiais. Mas através dos ensaios
uniaxiais, considerando as direções das fibras da madeira e a equação do critério para
materiais anisotrópicos, tem-se o coeficiente expresso, como demonstrado na teoria
geral para materiais anisotrópicos, por:
+
⋅⋅
+⋅+
⋅
+
⋅
⋅
θθ
θθ
σ
θ
22
2
12
22
4
11
4
2
cossen
1
2
sencos
vctct
f
F
ffff
1
11
cos
11
2
22
2
11
=
⋅
−+⋅
−⋅+
θθσ
θ
sen
ffff
ctct
(B.23)
No qual:
442221
,,, FFFF
são os parâmetros apresentados anteriormente;
θ
e
θ
σ
são, respectivamente, o ângulo de inclinação das fibras da madeira e a tensão de
ruptura ensaiada no corpo-de-prova.
Após considerações feitas anteriormente sobre superfícies de ruptura,
analisa-se a inequação:
2211
2
12
FFF
−
<0 (B.24)
Que dará os limites do valor
12
F
, limites estes que assegurarão que a superfície
de ruptura seja fechada, apresentando uma elipse.
143
Trabalhando com a inequação (B.23) tem-se:
2211
2
12
FFF
<
segue-se que:
221112
FFF ±<
finalmente:
2211122211
FFFFF +<<−
(B.24)
Assim, após o cálculo dos valores de
12
F
, para as diferentes inclinações das
fibras da madeira, verifica-se se estes valores de
12
F
obedecem à condição (1.24) que
assegura uma superfície fechada, juntamente com a segurança do material.
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