( PDF ) Propriedades características das hiperesferas euclidianas

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Propriedades Características das

Hiperesferas Euclidianas

Weslley Marinho Lozório

Dissertação de Mestrado em Matemática

Mestrado em Matemática

Universidade Federal do Espírito Santo

Vitória, Junho de 2008

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Ficha catalográﬁca

A Deus por esta graciosa op ortun ida de.

Aos meus parentes e amigos pelo carinho

e incentivo que me deram ao longo desses

anos.

Agradecimentos

A todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.

Ao professor José Miguel Malacarne pela paciente orientação e esforço exaustivo para tornar

possível este sonho.

Aos professores da banca: José Miguel Malacarne, Levi Lopes de Lima e Florêncio Ferreira

Guimarães Filho.

Aos professores José Armínio Ferreira e Magno Branco Alves, pelas valiosas sugestões.

Ao colega Wellington Kister, por sua tão importante ajuda na preparação de minha defesa

de dissertação.

Aos demais colegas de curso pelo ambiente agrad ável que proporcionaram.

Ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFES, pela oportuni dad e de realizar este

trabalho.

A Coord enação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio ﬁnan-

ceiro.

Sumário

1 Preliminares 11

1.1 Hipersuperfícies do espaço euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 A conexão Riemanniana de R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 O espaço tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Geometria intrínseca e conexão Riemanniana de uma hipersuperfície . . . . . . . 19

1.5 O operador forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 A geometria local de uma hipersuperfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 As equações de Gauss e de Codazzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8 Divergência e laplaciano em R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9 Divergência e laplaciano sobre uma hipersuperfície . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10 Algumas funções geometricamente importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Hipersuperfícies com curvatura média constante 38

2.1 Um resultado clássico: o Teorema de Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Equações elípticas e o princípio do máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 O método de reﬂexão de Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 O método de Reilly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Hipersuperfícies com r-curvatura média constante 53

3.1 O Teorema de Alexandrov para curvatura média de ordem superior . . . . . . . . 53

3.2 A. Ros e o méto do de Reilly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 N. Korevaar e o método de Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Resumo

O estudo das hipersuperfícies do espaço euclidiano que possuem alguma função sim étrica ele-

mentar das curvaturas principais constante é um tópico clássico em Geometria Diferencial. Neste

tópico o problema geométrico mais simples consiste em caracterizar as hipersuperfícies compac-

tas, e o resultado prototípico foi obtido por H. Liebmann em 1899, no qual as esferas euclidianas

são caracterizadas como as únicas superfícies compactas do espaço euclidiano tridimensional que

possuem curvatura gaussiana constante.

Em 1956 A.D. Alexandrov obteve uma caracterização notável das hiperesferas euclidianas, a

saber, elas são as únicas hipersuperfícies compactas do espaço euclidiano m-dim ensi onal (m ≥ 3)

que possuem curvatura média constante. As idéias utilizadas por Alexandrov em sua demons-

tração tornaram-se conhecidas como o método de reﬂexão de Alexandrov e foram empregadas

em vários outros problemas. Em 1977, R.C. Reilly apresentou uma nova demonstração para o

Teorema de Alexandrov, cognominada o método de Reilly, que também revelou-se fundamental

neste tópico. De fato, A. Ros, em 1987, utilizando o método de Reilly, obteve uma extensão

do Teorema de Alexandrov no qual caracteriza as hiperesferas euclidianas como sendo as únicas

hipersuperfícies compactas do espaço euclidiano m-dimensional que possuem alguma função si-

métrica elementar das curvaturas principais constante, reobtendo, em particular, o Teorema de

Liebmann. Em 1988, N. Korevaar apresentou uma nova demonstração para o Teorema de Ros,

utilizando o método de reﬂexão de Alexandrov.

Esta dissertação tem por objetivo apresentar as demonstrações de Alexandrov, Reilly, Ros, e

Korevaar para os teoremas que estabelecem algumas das propriedades características das hipe-

resferas euclidianas.

Abstract

The study of hypersurfaces of Euclidean spaces which have a constant elementary symmetric

function is a classical topic in Diﬀerential Geometry. In this topic the more simple geometric

problem is to characterize the compact hypersurfaces and the prototypical result was obtained by

H. Liebmann in 1899: the round spheres are the onl y compact surfaces in the three dimension al

Euclidean space that have constant Gaussian curvature.

In 1956 A.D. Alexandrov obtained a remarkable characterization of the Euclidean rou nd hy-

perspheres: they are the only compact hypersurfaces of m-dimensional Euclidean space (m ≥ 3)

that have constant mean curvature. The ideas used by Alexandrov became well-know as Alexan-

drov’s reﬂection method and were used in several other problems. In 1977, R.C. Reilly p resented

a new proof of Alexandrov’s theorem, the Reilly’s method, which also become fundamental tool

in this topic. In fact, A. Ros in 1987, using the Reilly’s method, obtained a new extension of the

Alexandrov’s theorem characterizing the round hyperspheres as the only compact hypersurfaces

of the m-dimensional Euclidean space that have a cons tant elementary symmetric function of

the p rincip al curvatures. This result implies, in particular, the Liebmann’s theorem. In 1988, N.

Korevaar presented a new proof of the Ros’s theorem, using the Alexandrov reﬂection method.

The main goal of this Master thesis is to present proof’s by Alexandrov, Reilly, Ros, and

Korevaar of so me theorems that characterizes the Euclidean round hyperspheres.

Introdução

Os estudo das superfícies do espaço euclidiano tridimensional que possu em ou curvatura

média constante, ou curvatura gaussiana constante, constitui um tópico clássico em Geometria

Diferencial. Nesse tópico, o problema geométrico mais simples consiste em caracterizar as super-

fícies compactas, e o resultado prototípico foi obtido por H. Liebmann em 1899, o qual caracteriza

as esferas como sendo as únicas superfícies compactas em R

com curvatura gaussiana constante

(veja [9]).

Este tópico clássico inclui, de modo natural, o estudo das hipersuperfícies do espaço euclidiano

de dimensão m ≥ 3 que possuem alguma r-curvatura média H

constante para 1 ≤ r ≤ m−1.

Em essência, a r-curvatura média de uma hipersuperfície M ⊂ R

é, a menos de uma constante,

uma função simétrica elementar das curvaturas principais de M em cada ponto. Algumas delas

têm nomes especiais, por exemplo, H

é a curvatura média de M, H

é a curvatura escalar e

m−1

é a curvatura de Gauss-Kronecker.

O resultado notável neste tópico foi obtido em 1956 por A.D. Alexandrov [1]. Neste artigo

seminal, Alexandrov caracterizou as hiperesferas do espaço euclidiano m-dimensional como sendo

as únicas hipersuperfícies compactas de R

que possuem curvatura média constante. As duas

principais ferramentas utilizadas em [1] são o Prin cípi o do Máximo de E. Hopf para equações

elípticas [14] e o método de reﬂexão devido ao próprio Alexandrov. A prova de Alexandrov

é hoje denominada o método de reﬂexão de Alexandrov e foi largamente utilizado em diversos

problemas.

Mais geralmente, o Teorema de Alexandrov é válido para hipersuperfícies compactas mergu-

lhadas em R

e para alguns casos particulares de imersões que admitem certos tipos de interseção

(para mais detalhes veja [2] ). Porém, o resultado não é verdadeiro p ara imersões em geral. Com

efeito, H. Hopf [15] estabeleceu que uma imersão de uma 2-esfera topológica de cu rvatura média

constante em R

deve ser uma esfera, e questionou se o mesmo é verdadeiro para qualquer imer-

são de uma superfície compacta de curvatura média constante. Hsiang, Teng & Yu [16] foram

capazes de construir exemplos de hipersuperfícies compactas não-esféricas imersas em R

com

curvatura média constante para m > 3, dando uma resposta negativa para a questão de Hopf e

provando que a hipótese de a hipersuperfície ser mergulhada é essencial no Teorema de Alexan-

drov. Além disso, H.C. Wente [33] deu uma resposta negativa ao problema de Hopf também para

o caso 2-dimensional, construindo uma inﬁnidade de toros imersos em R

com curvatura média

constante. Mais recentemente, N. Kapouleas construiu novos exemplos de superfícies imersas em

com curvatura média constante com gênero maior do que 2 [18, 19].

Um segundo resultado deveras importante neste tópico foi obtido em 1977 por R.C. Reilly

[28]. Reilly apresentou uma demonstração diferente e simples para o Teorema de Alexandrov,

combinando de modo genial algumas fórmulas integrais e a solução de uma equação de Poisson.

Essa demonstração passou a ser denominada o método de Reilly, e se revelou bastante profícua

no tópico supra citado. De fato, em 1987, A. Ros combinou o método de Reilly com uma nova

desigualdade integral e pôde estender o Teorema de Alexandrov para o caso de hipersuperfícies

compactas com curvatura escalar constante [30], e mais geralmente, para o caso de hip ersu -

perfícies compactas com r-curvatura média constante [29], caracterizando as hiperesferas como

sendo as únicas hipersuperfícies compactas do espaço euclidiano que possuem alguma r-curvatura

média constante.

Por outro lado, em 1988, N. Korevaar [20], seguindo as idéias de Caﬀarelli, Nirenberg &

Spruck [7], estabeleceu um Princípio do Máximo para hipersuperfícies com r-curvatura média

constante, obtendo assim uma nova demonstração para o Teorema de Ros utilizando o método

de reﬂexão de Alexandrov.

Esta dissertação tem por objetivo ap resentar as demonstrações dos teoremas que caracterizam

as hiperesferas euclidianas como sendo as únicas hipersuperfícies compactas do espaço euclidiano

que possuem alguma r-curvatura média constante. Isto será feito ao longo de três capítulos cujo

conteúdo passamos a descrever.

No primeiro capítulo apresentaremos uma breve revisão sobre os principais conceitos da

Geometria Diferencial de hipersuperfícies do espaço euclidiano.

No segundo capítulo descreveremos a caracterização das hip eresferas euclidianas obtida por

Alexandrov (Teorema 2.1), provando-o na Seção 2.3. Na Seção 2.4 apresentaremos a nova de-

monstração do Teorema de Alexandrov obtida por Reilly.

No terceiro capítulo abordaremos a caracterização das hiperesferas euclidianas obtida por

Ros e apresentaremos as demostrações de Korevaar e de Ros, sendo que a prova deste estará

contida nas Seções 3.1 e 3.2, e a daquele na Seção 3.3.

As fontes fundamentais que inspiraram esta dissertação foram o artigo expositório de L.J.

Alías & J.M. Malacarne [4], e os trabalhos de M. L. Leite [23] e L.J. Alías [3].

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Hipersuperfícies do espaço eucl idi ano

Seja m ≥ 3 um número natural. Denotamos por R

o espaço euclidiano de dimensão m.

Como conjunto R

é simplesmente a coleção de todas as m-uplas x = (x

, . . . , x

) formadas por

números reais x

, para i = 1, . . . , m. Além disso, o espaço euclidiano tem uma estrutura natural

de espaço vetorial real na qual pode-se deﬁnir o produto interno (canônico) x, y =



i=1

para x, y ∈ R

. Esse produto interno, por sua vez, permite introduzir em R

uma estrutura de

espaço métrico por meio da distância d(x, y) = |x−y|, deﬁnida a partir da norma |x| =



x, x.

As transformações do espaço euclidiano que preservam a distância euclidiana entre quaisquer

dois de seus pontos são denominadas isometrias de R

; dentre essas destacam-se os movimentos

rígidos de R

, isto é, as transformações do tipo

 x → Ax + b ∈ R

sendo b ∈ R

e A ∈ SO(m) uma transformação linear ortogonal de R

com determinante 1.

De um modo bastante intuitivo, podemos dizer que a geometria estuda a forma dos objetos.

Neste trabalho estaremos interessados em estudar a forma dos subconjuntos de R

que sejam

os análogos das curvas no plano e das superfícies no espaço. Estes objetos são denominados as

hipersuperfícies de R

e para estudá-los faremos uso das noções do cálculo diferencial em R

(para maiores detalhes veja [24]).

Deﬁnição 1.1. Uma hipersuperfície de R

é um conjunto M ⊂ R

que pode ser coberto por

uma coleç ão de a bertos V ⊂ R

, tais que cada conjunto M ∩V é a image m de um homeomorﬁsmo

ϕ : U → M ∩ V que é também uma imersão de classe C

∞

deﬁnida no aberto U ⊂ R

m−1

Observamos que cada uma de tais aplicações ϕ é denomin ada uma parametrização de M, e

que cada conjunto M ∩V é um aberto em M, e para cada p ∈ M ∩V , diz-se que V ∩M é uma

vizinhança parametrizada de p.

O estudo da forma das hipersu perfícies pode ser tornado mais preciso se adotarmos a seguinte

deﬁnição devida a F. Klein (veja p. 99 de [8]):

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 12

A g eometria das hipersuperfícies do espaço euclidiano R

é o estudo das propriedades destes

conjuntos que são invariantes por todos os movimentos rígidos desse espaço.

Claramente, dentre os exemplos mais simples de hipersuperfícies de R

encontram-se os

hiperplanos e as hiperesferas euclidianas.

Exemplo 1.2.

Sejam a

, . . . , a

, b números reais tais que ao menos um dos a

seja não-nulo. O conjunto H

de todos os pontos x = (x

, . . . , x

) ∈ R

tais que a

+ . . . + a

+ b = 0 é denominado um

hiperplano de R

. Temos que H é uma hipersuperfície de R

Exemplo 1.3.

A hiperesfera unitária

m−1



, . . . , x

) ∈ R

: x

+ . . . + x

= 1



é uma hipersuperfície de R

. De fato, sejam n = (0, . . . , 0, 1) o pólo norte e s = (0, . . . , 0, −1)

o pólo sul de S

m−1

, respectivamente, e R

m−1

o hiperplano x

= 0 de R

. Deﬁna a aplicação

: S

m−1

− {n} → R

m−1

que leva o ponto p = (x

, . . . , x

) de S

m−1

− {n} na intersecção do

hiperplano x

= 0 com a reta que passa por p e n. Essa aplicação é denominada a projeção

estereográﬁca de S

m−1

a partir do pólo norte. Temos que

, . . . , x

) =



1 − x

, . . . ,

m−1

1 − x



A aplicação π

é diferenciável, injetiva e aplica S

m−1

−{n} sobre o hiperplano x

= 0. A projeção

estereográﬁca π

: S

m−1

− {s} → R

m−1

a partir do pólo sul possui as mesmas propriedades.

Portanto, π

−1

e π

−1

são parametrizações e cobrem toda a hip eresfera S

m−1

Exemplo 1.4.

Seja f : U → R uma função diferenciável deﬁnida no aberto U do espaço euclidiano R

m−1

O subconjunto M = {(x, y) ∈ R

: x ∈ U, y = f(x)}, denominado o gráﬁco da função f, é uma

hipersuperfície de R

. De fato, ϕ : U → M deﬁnida por ϕ(x) = (x, f(x)) é uma parametrização

de M.

Este último exemplo nos mostra que o gráﬁco de uma função suave é uma hipersuperfície de

. A proposição a seguir fo rnece uma recíproca local deste fato; isto é, toda hipersuperfície de

é localmente o gráﬁco de uma função suave.

Proposição 1.5. Sejam M ⊂ R

uma hipersuperfície e p um ponto de M. Então existe uma

vizinhança V de p em M tal que V é o gráﬁco de uma função diferenciável que tem uma das

seguintes formas: x

= f

, . . . , x

i−1

, x

i+1

, . . . , x

), i = 1, . . . , m.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 13

Demonstração. Sejam ϕ : U → M uma parametrização de M em p = ϕ(q), e x

, . . . , u

m−1

)

as suas funções coordenadas, j = 1, . . . , m. Como a diferencial dϕ

é injetiva, então, renomeando

os eixos, se necessário, podemos supor que o determinante jacobiano

∂(x

, . . . , x

m−1

)

∂(u

, . . . , u

m−1

)

(q) = 0, (1.1)

não se anula em q. Considere a projeção π : R

→ R

m−1

deﬁnida por π(x

, . . . , x

) =

, . . . , x

m−1

). Então π ◦ϕ(u

, . . . , u

m−1

) = (x

, . . . , u

m−1

), . . . , x

m−1

, . . . , u

m−1

)), e, por

(1.1), o teorema da função inversa assegura a existência de vizinhanças V

de q e V

de π ◦ ϕ(q)

tais que π ◦ ϕ aplica V

difeomórﬁcamente sobre V

. Decorre daí que π restrita a ϕ(V

) = V

é bijetiva e tem uma inversa diferenciável (π ◦ ϕ)

−1

: V

→ V

. Observe que, como ϕ é um

homeomorﬁsmo, V é uma vizinhança de p em M. Agora, considerando a composição d a apli-

cação (π ◦ ϕ)

−1

: (x

, . . . , x

m−1

) → (u

, . . . , x

m−1

), . . . , u

m−1

, . . . , x

m−1

)) com a função

, . . . , u

m−1

) → x

, . . . , u

m−1

), podemos notar que V é o gráﬁco de u ma função diferen-

ciável x

= x

, . . . , x

m−1

), . . . , u

m−1

, . . . , x

m−1

)) = f

, . . . , x

m−1

), e isso encerra a

demonstração.

Uma fonte de exemplos de hipersuperfícies de R

é fornecida pelo Teorema da função implí-

cita.

Teorema 1.6. Sejam f : U ⊂ R

→ R uma função diferenciável no aberto U ⊂ R

e a ∈ f(U )

tais que se f (x) = a então o gradiente de f no ponto x é não-nulo. Então o conjunto f

−1

(a) é

uma hipersuperfície de R

Demonstração. Pelo teorema da função implícita, para cada ponto p ∈ f

−1

(a) existe um aberto

Z ⊂ R

, contendo p, tal que Z ∩ f

−1

(a) é o gráﬁco de uma aplicação diferenciável deﬁnida

num aberto de R

m−1

. Logo, pela proposição 1.5, cada Z ∩f

−1

(a) é uma hipersuperfície de R

Segue-se que f

−1

(a) também o é.

Exemplo 1.7.

A hiperesfera S

m−1

(ρ) = {x ∈ R

; |x−x

= ρ

} de centro x

e raio ρ > 0 é uma hipersuperfície

de R

Exemplo 1.8.

Seja (q

) uma matriz real simétrica não-singular de ordem m. Então, para cada número real

c = 0, o conjunto M

= {x ∈ R

;



i,j

= c} é uma hipersuperfície de R

denominada

uma hiperquádri ca.

Exemplo 1.9.

O toro T ⊂ R

é o conjunto gerado pela rotação de um círculo S

de raio r em torno de uma

reta pertencente ao plano do círculo e a uma distância a > r do centro do círculo.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 14

Seja S

o círculo no plano yz centrado no ponto (0, a, 0). Então S

é dado por (y−a)

= r

e os pontos do conjunto T , obtidos pela rotação deste círculo em torno do eixo Oz satisfazem a

equação

= r

− (



+ y

− a)

Consequentemente, T = f

−1

) para f(x, y, z) = z

+ (



+ y

− a)

. Portanto, o toro T é

uma hipersuperfície de R

A proposição a seguir mostra que se um ponto pertence a duas vizinhanças coordenadas,

com parâmetros (u

, . . . , u

m−1

) e (v

, . . . , v

m−1

), respectivamente, é possível passar de um destes

sistemas de coordenadas ao outro através de uma aplicação diferenciável.

Proposição 1.10 (Mudança de Parâmetros). Seja p um ponto de uma hipersuperfície M, e

sejam ϕ : U → M e ψ : V → M duas parametrizações de M , tais que p ∈ ϕ(U) ∩ ψ(V ) = W .

Então a mudança de coordenadas h = ϕ

−1

◦ ψ : ψ

−1

(W ) → ϕ

−1

(W ) é um difeomorﬁsmo.

Demonstração. A aplicação h = ϕ

−1

◦ ψ, sendo a composição de homeomorﬁsmos, é um ho-

meomorﬁsmo. Não é possível concluir , por um argumento análogo, que h é diferenciável, já

que ϕ

−1

está deﬁnida em um subconjunto aberto de M, e não sabemos ainda o que vem a ser

uma função diferenciável deﬁnida em M. Procedemos da seg uinte maneira. Seja r ∈ ψ

−1

(W )

e deﬁna q = h(r). Como ϕ(u

, . . . , u

m−1

) = (x

, . . . , u

m−1

), . . . , x

, . . . , u

m−1

)) é uma

parametrização, podemos supor, renomeando os eixos caso necessário, que

∂(x

, . . . , x

m−1

)

∂(u

, . . . , u

m−1

)

(q) = 0. (1.2)

Estendemos ϕ a uma aplicação F : U × R → R

deﬁnida por

F (u

, . . . , u

m−1

, t) = (x

, . . . , u

m−1

), . . . , x

, . . . , u

m−1

) + t).

Claramente F é diferenciável e a restrição F |

U×{0}

= ϕ. Calculando o determinante da diferencial

, obtemos

|dF

| =

∂(x

, . . . , x

m−1

)

∂(u

, . . . , u

m−1

)

(q) = 0.

Podemos então aplicar o teorema da função inversa e assegurar a existência de uma vizinha nça

S de ϕ(q) em R

na qual F

−1

existe e é diferenciável. Pela continuidade de ψ, existe uma

vizinhança N de r em V tal que ψ(N ) ⊂ S. Observe que, restrita a N, h|

= F

−1

◦ ψ|

é a

composição de aplicações diferenciáveis, logo pod emos concluir que h é diferenciável em r. Como

r é arbitrário, h é diferenciável em ψ

−1

(W ).

Aplicando exatamente o mesmo argumento, pode-se mostrar que a aplicação h

−1

é diferen-

ciável, e portanto h é um difeomorﬁsmo.

Daremos agora uma deﬁnição do que se entende por função diferenciável em uma hipersu-

perfície.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 15

Deﬁnição 1. 11. Sejam k ≥ 1 um inteiro e f : V ⊂ M → R

uma aplicação deﬁnida no aberto

V da hipersuperfície M. Então f é diferenciável em p ∈ V se, para alguma parametrização

ϕ : U → M, com p ∈ ϕ(U) ⊂ V , a composição f ◦ ϕ : U ⊂ R

m−1

→ R

é diferenciável em

−1

(p). A aplicação f é diferenciável em V se é diferenciável em cada ponto de V .

Como consequência imediata da proposição anterior, segue que a deﬁnição acima não depende

da escolha da parametrização ϕ. De fato, se ψ : V → M é uma outra parametrização, com

p ∈ ψ(V ), e se h = ϕ

−1

◦ψ, então f ◦ψ = f ◦ϕ ◦h também é diferenciável. Daí, a independência

aﬁrmada.

A deﬁnição de diferenciabilidade pode ser facilmente estendida a aplicações entre hipersu-

perfícies. Diremos que uma aplicação contínua f : V

⊂ M

→ M

, de um aberto V

de um a

hipersuperfície M

em uma hipersuperfície M

, é diferenciável em p ∈ V

se, dadas parame-

trizações ϕ : U

→ M

, e ψ : U

→ M

, com p ∈ ϕ(U

) e f(ϕ(U

)) ⊂ ψ(U

), a aplicação

−1

◦f ◦ ϕ : U

→ U

é diferenciável em q = ϕ

−1

(p). Como acima, segue que esta deﬁnição não

depende das parametrizações escolhidas.

Exemplo 1.12.

Se ϕ : U → M é uma parametrização, então ϕ

−1

: ϕ(U) → R

m−1

é diferenciável. Com

efeito, para qualquer p ∈ ϕ(U) e qualquer parametrização ψ : V → M em p, temos que ϕ

−1

◦ψ :

−1

(W ) → ϕ

−1

(W ), sendo que W = ϕ(U )∩ψ(V ), é diferenciável. Isso mostra que U e ϕ(U) são

difeomorfos, isto é, toda hipersuperfície de R

é localmente difeomorfa a um aberto de R

m−1

Observação 1.13.

O conceito de hipersuperfície de R

pode ser ampliado de modo a incluir as denominadas

hipersupe rfí cie s com bordo. Para isto, basta admitir que as parametrizações sejam deﬁnidas não

apenas em subconjuntos abertos no espaço R

m−1

, mas possam também ter abertos em semi-

espaços como domínios.

Vejamos alguns detalhes em [24] . Um semi-espaço H ⊂ R

é um conjunto do tipo H =

{x ∈ R

; α(x) ≤ 0}, sendo α : R

→ R um funcional linear não nulo. O bordo do semi-espaço

H é o conjunto ∂H = {x ∈ R

; α(x) = 0}. Deste modo um semi-espaço H é uma reunião

disjunta H = int(H) ∪ ∂H do seu interior em R

com o seu bordo. Os subconjuntos B ⊂ H,

abertos em H são de dois tipos: 1.

) B

⊂ int(H); neste caso , B

também é aberto em R

. 2.

)

∩∂H = ∅, então B

não é aberto em R

, pois nenhuma bola com centro num ponto x ∈ ∂H

pode estar contida em H.

Deﬁnição 1.14. Um conjunto M ⊂ R

chama-se uma hipersuperfície com bordo quando cada

ponto p ∈ M pertence a um aberto V ⊂ M que é imagem de um homeomorﬁsmo ϕ : U → V que

é também uma imersão de classe C

∞

deﬁnida num aberto U de algum semi-espaço de R

m−1

Observamos que cad a uma de tais aplicações ϕ também é denominada uma parametrização

de M e que os conceitos apresentados para hipersuperfícies podem ser estendidos para hipersu-

perfícies com bordo. Além disso, se M é uma hipersuperfície com bordo, então o bordo de M

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 16

é o conjunto ∂M formado pelos pontos p ∈ M tais que, para toda parametrização ϕ : U → V

de um aberto V ⊂ M, com p = ϕ(q), tem-se necessariamente q ∈ ∂U. Para maiores detalhes

indicamos [24].

1.2 A conexão Riemanniana de R

Recordemos agora algumas noções básicas do cálculo diferencial em R

. Sejam Ω ⊂ R

aberto e h : Ω → R uma função diferenciável. Se x ∈ Ω é um ponto e v ∈ R

é um vetor, então

a derivada de h na direção de v no ponto x ∈ Ω é deﬁnida p o r

v(h)(x) = dh

(v) =

h(c(t))|

t=0

sendo c : (−, ) → Ω uma curva diferenciável tal que c(0) = x e c



(0) = v.

Um campo de vetores em R

é uma aplicação Z : Ω → R

, deﬁnida em algum aberto

Ω ⊂ R

. No que segu e, consideraremos apenas campos locais de vetores diferenciáveis, isto é,

aplicações Z : Ω → R

que são diferenciáveis (de classe C

∞

). A coleção de todos os campos

diferenciáveis no aberto Ω será denotado por X(Ω).

Podemos derivar uma função diferenciável h : Ω → R em relação a um campo Z ∈ X(Ω) e

obter um novo campo de vetores, que será denotado por Z(h) ∈ X(Ω) e deﬁnido por

Z(h)(x) = Z(x)(h) =

h(c(t))|

t=0

sendo c : (−, ) → Ω uma curva diferenciável tal que c(0) = x e c



(0) = Z(x).

Vejamos agora a noção de derivada de um campo de vetores em relação a outro campo d e

vetores. Sejam Z, W ∈ X(Ω). Utilizando as coordenadas canônicas de R

podemos escrever

W (x) = (w

(x), . . . , w

(x)) e Z(x) = (z

(x), . . . , z

(x)) para x ∈ Ω, sendo w

, z

: Ω → R, para

i = 1, . . . , m, as funções coordenadas dos campos de vetores W e Z, respectivamente. Então, a

derivada (usual) do campo W em relação ao camp o Z em um ponto x ∈ Ω é dada por

(Z(x)) = (Z(w

)(x), . . . , Z(w

)(x)) =

W (c(t))|

t=0

sendo c : (−, ) → Ω uma curva diferenciável tal que c(0) = x e c



(0) = Z(x).

Uma operação natural entre campos de vetores é o denominado colchete de Lie, deﬁnido do

seguinte modo: dados Z, W ∈ X(Ω) o colchete de Lie dos campos Z e W é o campo de vetores

[Z, W ] ∈ X(Ω) dado por

[Z, W ](x) = dW

(Z(x)) − dZ

(W (x)), x ∈ Ω.

A derivada usual de campos de vetores em R

será doravante denominada a conexão Ri-

emanniana do espaço euclidiano R

(veja [10]). Com isto queremos dizer que a cada par de

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 17

campos de vetores Z, W ∈ X(Ω) associamos o campo

∇

W ∈ X(Ω) deﬁnido por

∇

W (x) = (Z(w

)(x), . . . , Z(w

)(x)), x ∈ Ω. (1.3)

É usual denominar o campo

∇

W a derivada covariante do campo W em relação ao campo Z.

As propriedades usuais do cálculo diferencial em abertos do R

podem ser descritas em

termos da conexão Riemanniana de R

do seguinte modo:

(i)

∇

+hZ

W =

∇

W + h

∇

W ;

(ii)

∇

+ W

) =

∇

;

(iii)

∇

(hW ) = Z(h)W + h

∇

W ,

(iv) Z(W

, W

) = 

∇

, W

 + W

∇

,

para cada Z, Z

, Z

, W

∈ X(Ω) e h ∈ C

∞

(Ω).

Evidentemente, o colchete de Lie [Z, W ] pode ser expresso em termos da conexão Riemanni-

ana de R

pela fórmula

[Z, W ] =

∇

W −

∇

Por último, recordemos que para uma dada função h ∈ C

∞

(Ω) o gradiente de h no ponto

x ∈ Ω é o vetor

∇h(x) ∈ R

deﬁnido por



∇h(x), v = v(h)(x), v ∈ R

Evidentemente, a expressão do gradiente na base canônica {e

}

i=1

do R

∇h(x) =





∇h(x), e

e



(h)(x)e



∂h

∂x

(x)e

1.3 O espaço tangente

Seja p um ponto d e uma hipersuperfície M do espaço euclidiano R

. Dizemos que um vetor

v ∈ R

é tangente a M em p se pudermos encontrar uma curva diferenciável c : (−, ) → M,

(para algum  > 0) tal que c(0) = p e c



(0) = v. A coleção de todos os vetores tangentes a M

em p será representado por T

Proposição 1.15. Sejam M uma hipersuperfície de R

, p ∈ M, e ϕ : U → M uma parametri-

zação d e M com p = ϕ(q) para q ∈ U. Então,

M = dϕ

m−1

Demonstração. Seja v um vetor tangente a M em p = ϕ(q). Por deﬁnição, existe uma curva

c : (−, ) → M tal que c(0) = p e c



(0) = v. Tomando  suﬁcientemente pequeno, a continuidade

de c nos permite supor que seu traço está contido em ϕ(U). Deﬁnimos então uma curva em U por

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 18

β = ϕ

−1

◦ c (veja exemplo 1.12). Temos β(0) = q e c = ϕ ◦ β. Então, v = c



(0) = (ϕ ◦ β)



(0) =

dϕ

(β



(0)), e portanto v está na imagem de dϕ

Reciprocamente, seja v = dϕ

(w) para algum w ∈ R

m−1

. Claramente w é o vetor velocidade

da curva γ : (−, ) → U, para  pequeno, deﬁnida por γ(t) = q + tw, para |t| < . A curva γ

veriﬁca γ(0) = q e γ



(0) = w. Logo, se deﬁnirmos c : (−, ) → M p ela composição c = ϕ ◦ γ,

teremos que c(0) = p e c



(0) = (ϕ ◦ γ)



(0) = dϕ

(w) = v, donde v é um vetor tangente a M em

A primeira conseqüência dessa proposição é que o conjunto T

M formado por to dos os vetores

tangentes à hipersuperfície M no ponto p é um subespaço linear de dimensão m − 1 de R

denominado o espaço tangente a M no ponto p. Além disso, s egue também que o subespaço

dϕ

m−1

) não depende da parametrização ϕ e qu e os vetores tangentes

∂ϕ

∂u

(q), i = 1, . . . , m − 1,

constituem uma base de T

M, a qual é denominada base associada à parametrização ϕ.

Veremos agora que podemos introduzi r em uma hipersuperfície M ⊂ R

noções análogas

às do cálculo diferencial do espaço euclidiano R

. Seja f ∈ C

∞

(M) uma função diferenciável

sobre M e v ∈ T

M um vetor tangente em um ponto p ∈ M. A derivada de f na direção de v é

deﬁnida por

v(f) = df

(v) =

f(c(t))|

t=0

sendo c : (−, ) → M uma curva diferenciável arbitrária tal que c(0) = p e c



(0) = v. Evidente-

mente, a derivação assim deﬁnida tem as seguintes propriedades:

(a) (λv + w)(f) = λv(f) + w(f);

(b) v(f + g) = v(f) + v(g);

para cada f, g ∈ C

∞

(M), p ∈ M , v , w ∈ T

M e λ um número real arbitrário.

Um campo de vetores tangentes a M é uma aplicação X : M → R

que associa a cada

p ∈ M um vetor tangente X(p) ∈ T

M. Um tal campo é dito ser diferenciável se a aplicação

X : M → R

for diferenciável de acordo com a deﬁnição (1.11). Denotaremos p or X(M) a

coleção dos campos de vetores tangentes diferenciáveis em M .

Dados um campo de vetores tangente X ∈ X(M) e uma função diferenciável f ∈ C

∞

(M),

deﬁne-se a derivada de f com respeito a X como a função diferenciável X(f) ∈ C

∞

(M) dad a

por

X(f)(p) = X(p)(f ), p ∈ M.

Evidentemente, a partir das propriedades da derivação de um a função f ∈ C

∞

(M) em relação a

um vetor v ∈ T

M podemos deduzir proprieda des análogas para a derivada de f com relaçã o a

um campo X ∈ X(M):

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 19

(a) (gX + Y )(f) = gX(f) + Y (f);

(b) X(f + g) = X(f) + X(g);

para quaisquer X, Y ∈ X(M) e f, g ∈ C

∞

(M).

1.4 Geometria intrínseca e conex ão Riemanniana de uma hiper-

superfície

O estudo das prop riedad es geométricas de M se inicia com a introdução de uma maneira

de medir o comprimento dos vetores tangentes a M em cada um de seus pontos. Isto é feito

do seguinte modo: consid eramos a restrição do produto interno canônico de R

a cada plano

tangente a hipersuperfície M, induzin do de modo natural, um produto interno em cad a plano

tangente. Mais precisamente, em cada ponto p ∈ M , a aplicação I

: T

M × T

M → R deﬁnida

por

(v, w) = v, w, v, w ∈ T

é bilinear, simétrica e positiva deﬁnida em T

M. Essa forma bilinear é denominada a primeira

forma fundamental da hipersuperfície M , e determina sua geometria intrínseca. Note que tam-

bém é usual denominar a forma quadrática I

(v, v) de primeira forma fundamental de M em

A expressão da primeira forma fundamental em uma vizinhança coordenada V ∩M deﬁnida

pela parametrização ϕ : U → V ∩M é especialmente interessante para cálculos locais. Recorde-

mos que os vetores tangentes ϕ

(q), i = 1, . . . , m − 1, formam, em cada ponto q ∈ U, uma base

do plano tangente T

ϕ(q)

M, e as funções diferenciáveis

(q) = I

(ϕ

(q), ϕ

(q)) = ϕ

(q), ϕ

(q) 1 ≤ i, j ≤ m − 1,

são denominadas os coeﬁcientes da primeira forma fundamental na parametrização ϕ. Deﬁnindo

por (g

(q)) a matriz inversa de (g

(q)) em cada ponto q ∈ U, podemos escrever a expressão de

cada vetor tangente v ∈ T

ϕ(q)

M na seguinte forma

v =



i,j

(q)v, ϕ

(q)ϕ

(q),

e conseqüentemente, a primeira forma fundamental pode ser escrita na forma

(v, w) =



i,j

(q)v, ϕ

(q)w , ϕ

(q)

Para uma dada hipersuperfície M ⊂ R

, o espaço vetorial normal a M no ponto p ∈ M é

o conjunto T

⊥

dos vetores w ∈ R

tais que w, v = 0 para todo v ∈ T

M, ou seja, é o

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 20

complemento ortogonal do espaço vetorial tangente a M no ponto p. Evidentemente, T

⊥

tem

dimensão 1. Os elementos w ∈ T

⊥

são chamados vetores normais a M no ponto p. Além

disso, em cada ponto p ∈ M podemos escrever a soma direta

= T

M ⊕ T

⊥

de modo que todo vetor v ∈ R

pode ser escrito de modo único na forma v = v



+ v

⊥

, sendo



∈ T

M a componente tangente de v e v

⊥

∈ T

⊥

a componente normal de v.

Por um campo local de vetores tangentes a M entendemos um camp o de vetores tangentes à

hipersuperfície V ∩ M para algum aberto V ⊂ R

Lema 1.16. Todo campo local de vetores tangentes a uma hipersuperfície M pode ser estendido

a um campo local de vetores em R

. Em outras palavras, se X é um campo local de vetores

tangentes a M deﬁnido em V ∩ M, então existem um aberto W ⊂ V de R

e um campo de

vetores

X ∈ X(W ) tais que

X = X em W ∩ M.

Demonstração. Considere p

∈ V ∩M. Sem perda de generalidade podemos supor que V ∩M =

ϕ(U) é uma vizinhança parametrizada de p

. Da forma local das imersões [24], sabemos que

existem um aberto U

⊂ U de R

m−1

e um difeomorﬁsmo h : W → U

× (−δ, δ), sen do W um

aberto de R

que contém p

e δ > 0, tais que h(ϕ(q)) = (q, 0) para todo q ∈ U

. Evidentemente,

podemos admitir que W ⊂ V , e que ϕ(U

) = W ∩M. Sendo X(p) ∈ T

M para cada p ∈ W ∩M ,

então X(p) = (ϕ ◦ c)



(0) para alguma curva diferenciável c

: (−, ) → U

tal que ϕ(c

(0)) = p.

Portanto,

(X(p)) =

h(ϕ(c

(t)))|

t=0

(t), 0)|

t=0

= (c



(0), 0).

Considere o campo de vetores

X ∈ X(W ) deﬁnido por

X(x) = (dh

)

−1



(0), s), x ∈ W

sendo h(x) = (q, s) e p = ϕ(q). Note que se x = p ∈ W ∩M então h(x) = h(p) = h(ϕ(q)) = (q, 0),

e logo,

X(p) = (dh

)

−1



(0), 0) = X(p), e terminamos a prova.

Vamos agora deﬁnir a conexão Riemanniana de uma hipersuperfície M ⊂ R

, isto é, uma

maneira de derivar campos locais de vetores tangentes a M que tenha propriedades análogas

às da conexão Riemanniana de R

listadas anteriormente. Considere X, Y campos de vetores

tangentes a M deﬁnidos na vizinhança V ∩M, e sejam

Y extensões de X e Y , respectivamente,

que admitiremos que estejam deﬁnidas no aberto V ⊂ R

. Temos que

∇

Y (p) =

Y (c(t))|

t=0

sendo c : (−, ) → V uma curva diferenciável tal que c(0) = p e c



(0) =

X(p). Agora, sendo

X(p) = X(p) ∈ T

M podemos tomar uma tal curva c com imagem em V ∩M , isto é c : (−, ) →

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 21

V ∩ M com c(0) = p e c



(0) = X(p). Portanto

Y (c(t)) = Y (c(t)) para todo t, e logo,

∇

Y (p) =

Y (c(t))|

t=0

Isto mostra que o vetor

∇

Y (p) depende apenas do vetor X(p) e do campo Y no ab erto V ∩M

e não das extensões

X e

Y consideradas. Deste modo podemos deﬁnir a derivada covariante em

de campos de vetores tangentes a M por

∇

Y (p) =

∇

Y (p) ∈ R

, p ∈ V ∩ M.

Assim, por exemplo, se V ∩M é uma vizinhan ça parametrizada por ϕ : U → V ∩M, teremos os

campos de vetores ϕ

deﬁnidos em V ∩ M, para cada i = 1, . . . , m − 1, e portanto

∇

(p) =

∂

∂u

(q) = ϕ

(q).

Agora, deﬁniremos a conexão Riemanniana de M como sendo a componente tangente da

conexão Riemanniana de R

. Mais precisamente,

∇

Y (p) =



∇

Y (p)





, p ∈ V ∩ M. (1.4)

Deste modo construímos uma aplicação ∇ : X(M) × X(M) → X(M), denominada a conexão

Riemanniana de M, que tem propriedades análogas às da conexão Riemanniana

∇ de R

(i) ∇

X+fY

Z = ∇

Z + f∇

(ii) ∇

(Y + Z) = ∇

Y + ∇

(iii) ∇

(fY ) = X(f)Y + f∇

Y ,

(iv) X(Y, Z) = ∇

Y, Z + Y, ∇

Z,

(v) [X, Y ] = ∇

Y − ∇

para cada X, Y, Z ∈ X(M) e f ∈ C

∞

(M).

Além disso, se considerarmos uma parametrização ϕ : U → V ∩ M com ϕ(q) = p então

∇

(p) =



(q)ϕ

(q), sendo Γ

(q) =



(q)ϕ

(q), ϕ

(q),

os símbolos de Christoﬀel da conexão Riemanniana de M na parametrização ϕ.

1.5 O operador forma

Vejamos agora uma maneira de estuda r a geometria extrínseca de uma hipersuperfície M ,

isto é, de que modo a sua forma é inﬂuenciada pelo espaço ambiente R

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 22

Um campo local de vetores normais é uma aplicação η : V ∩M → R

deﬁnido em um aberto

V ∩M da hipersuperfície M tal que η(p) ∈ T

⊥

para todo p ∈ V ∩M . Se uma tal aplicação for

contínua (resp. diferenciável) diremos que o campo normal é contínuo (resp. diferenciável). Note

que se V ∩ M é uma vizinhança parametrizada de M descrita pela parametrização ϕ : U → V ∩M ,

então um campo local de vetores normais unitários pode ser deﬁnido em V ∩ M por

η(ϕ(q)) =



g(q)

(q) × . . . × ϕ

m−1

(q), q ∈ U

sendo g(q) = det(g

(q)).

Seja η um campo local de vetores normais unitários a M deﬁnidos em V ∩ M. Considere

X, Y campos de vetores tangentes a M deﬁnidos em V ∩M e respectivas extensões locais

deﬁnidas em V ⊂ R

. Então

∇

Y (p) − ∇

Y (p) ∈ T

⊥

em cada ponto p ∈ V ∩M. Portanto, a expressão acima é um múltiplo de η(p), pois a dimensão

do espaço normal é 1. Deste mo d o podemos escrever

∇

Y (p) = ∇

Y (p) + 

∇

Y (p), η(p)η(p), p ∈ V ∩ M. (1.5)

De outro lado, considere ¯η um campo unitário que seja uma extensão do cam po η ao aberto V

de R

(diminuindo V se for necessário). Note que uma tal extensão pode ser obtida de modo

similar ao Lema 1.16. Então utilizando as propriedades da conexão Riemanniana de R

podemos

calcular:



∇

Y (p), η(p) = 

∇

Y (p), ¯η(p)

X(p)(

Y , ¯η) − 

Y (p),

∇

¯η(p)

= X(p)(

Y , ¯η) − Y (p),

∇

¯η(p)

= X(p)(Y, η) − Y (p),

∇

¯η(p)

= −Y (p),

∇

¯η(p)

Além disso, do fato de ¯η ser um campo unitário em V segue que

0 =

X(¯η, ¯η) = 2

∇

¯η, ¯η,

e portanto,

∇

¯η(p) ∈ T

M para todo p ∈ V ∩M. Ademais, argumentando como antes, concluí-

mos que esse vetor tangente depende apenas de X(p) e do campo normal unitário η em V ∩M,

o que nos permite deﬁnir

∇

η(p) =

∇

¯η(p) ∈ T

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 23

Deste modo, em cada p ∈ V ∩ M podemos deﬁnir um operador linear A

: T

M → T

M por

(v) = −

∇

η(p), v ∈ T

Este é o denominado operador forma da hipersuperfície M em p associado ao campo normal

unitário local η. O operador forma também é conhecido por endomorﬁsmo de Weingarten.

Lema 1.17. O operador forma A

: T

M → T

M é auto-adju nto com relação a primeira forma

fundamental.

Demonstração. Seja ϕ : U → V ∩ M uma parametrização com ϕ(q) = p. É suﬁciente mostrar

que

A

(ϕ

(q)), ϕ

(q) = ϕ

(q), A

(ϕ

(q))

para todo 1 ≤ i, j ≤ m − 1. Observe que

A

(ϕ

(q)), ϕ

(q) = −

∇

(q)

η(p), ϕ

(q)

= −ϕ

(q)(η(p), ϕ

(q)) + η(p),

∇

(q)

(q)

= η(p),

∇

(q)

(q)

= η(p),

∇

(q)

(q)

pois

∇

(q)

(q) = ϕ

(q) =

∇

(q)

(q). Agora é simples concluir o resultado.

Observe que o operador forma nos permite reescrever (1.5) do seguinte mo do: se X, Y são

campos de vetores tangentes a M então

∇

Y (p) = ∇

Y (p) + A

(X(p)), Y (p)η(p). (1.6)

Esta expressão é denominada a fórmula de Gauss.

O fato do operador forma ser auto-adjunto é de suma importância para o estudo das propri-

edades geo métricas da hipersuperfície M. Decorre do teorema espectral que A

: T

M → T

pode ser diagonalizada, ou seja, existe uma base ortonormal {e

, . . . , e

m−1

} de T

M formada

por autovetores de A

com autovalores reais κ

(p), . . . , κ

m−1

(p), isto é, A

) = κ

(p)e

para

cada i = 1, . . . , m − 1. Os autovetores e

e os números κ

(p) são denominados, respectivamente,

as direções principais e as curvaturas principais da hipersuperfície M no ponto p associada s ao

campo normal unitário local η.

Associado ao operador forma A

: T

M → T

M existem m − 1 invariantes algébricos dados

por

(p) = σ

(κ

(p), . . . , κ

m−1

(p)), 1 ≤ r ≤ m − 1,

sendo σ

: R

m−1

→ R a função simétrica elementar deﬁnida por

, . . . , x

m−1

) =



1≤i

<···<i

≤m−1

. . . x

, 1 ≤ r ≤ m − 1. (1.7)

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 24

A r-curvatura média da hipersu perfície M no p onto p é deﬁnida por





(p) = S

(p). Por

exemplo: H

(p) = H(p) =

m−1

(κ

(p) + . . . + κ

m−1

(p)) é a curvatura m édia e H

m−1

(p) =

(p) ···κ

m−1

(p) é a curvatura de Gauss-Kronecker da hipersuperfície M no ponto p, respecti-

vamente.

Deﬁnição 1.18. Diremos que uma hipersuperfície M ⊂ R

é orientável se admite um campo

contínuo de vetores normais unitários η globalmente deﬁnido.

No caso em que M é orientável podemos escolher um campo unitário normal N globalmente

deﬁnido e então, evidentemente, todos os conceitos acima podem ser deﬁnidos em todos os pontos

de M . Em particular, o operador forma pode ser deﬁnido, de modo natural, como um campo

de tensores em X(M), isto é como uma aplicação A : X(M ) → X(M ). Além disso, o campo

N pode ser visto como uma aplicação N : M → S

m−1

denominada a aplicação de Gauss da

hipersuperfície M, e, nesse caso, diremos que M está orientada por essa aplicação de Gauss. A

aplicação de Gauss está intimamente relacionada ao operador forma. De fato

(v) = −A

(v)

para todo p ∈ M e todo v ∈ T

Observamos que é comum deﬁnir a segunda forma fundamental da hipersuperfíci e M no

ponto p como sendo a forma bilinear simétrica II

: T

M × T

M → R associada ao operador

forma dada por

(v, w) = A

(v), w, v, w ∈ T

Agora, note que se ϕ : U → V ∩ M é uma parametrização de M em torno de p ∈ V ∩ M, então

B = {ϕ

(q); i = 1, . . . , m − 1} é uma base de T

M, sendo p = ϕ(q). Denotemos por [A

], [I

e por [II

] as matrizes do operador forma A

, da primeira forma fundamental I

e da segunda

forma fundamental II

em relação à base B, respectivamente. O lema a seguir exibe uma relação

fundamental entre estas matrizes.

Lema 1.19.

] = [I

]

−1

[II

] (1.8)

Demonstração. Por conveniência omitiremos o ponto p. Temos que [I] = [g

], [I]

−1





e, se escrevermos [A]

= a

obteremos Aϕ



, o que implica Aϕ

, ϕ

 =



Multiplicando a igualdade acima por g

e somando em k obtemos



Aϕ

, ϕ

 =



k,j



= a

isto é,



[I]

−1

[II]

= ([I]

−1

[II])

o que prova nossa aﬁrmação.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 25

1.6 A geometria local de uma hipersuperfície

Já havíamos observado que o gráﬁco de uma função diferenciável em um aberto de R

m−1

uma hipersuperfície de R

. Veremos agora que, numa vizinhança de qualquer um de seus pontos,

a hipersuperfície também pode ser vista como gráﬁco sobre o espaço tangente nesse ponto.

Proposição 1.20. Sejam p

um ponto de uma hipersuperfície M ⊂ R

e P

o espaço tangente

(aﬁm) nesse ponto, isto é, o hiperplano de R

que passa por p

e é paralelo ao espaço tangente

M. Então, existe uma vizinhança V de p

em M que é o gráﬁco de uma função diferenciável

h : Ω → R deﬁnida na vizinhança Ω de p

no hiperplano aﬁm P

. Além disso, h se anula em p

e su a diferencial dh

: T

→ R é identicamente nula, isto é, h(p

) = 0 e dh

≡ 0.

Demonstração. A prova consiste em uma adaptação dos argumentos em [27]. Tome um vetor

unitário a ∈ R

perpendicular ao espaço tangente T

M. Represente por f : M → R

n+1

projeção ortogonal sobre P

, dada por

f(p) = p − p − p

, aa, p ∈ M.

Então f(p

) = p

e f(p) − p

é perpendicular a a para todo p ∈ M, isto é f (M) ⊂ P

f : M → P

é uma aplicação diferenciável entre as hipersuperfícies M e P

. Por um cálculo

direto obtemos que

(v) = v − v, aa

para todo v ∈ T

M. Portanto df

: T

M → T

= T

M é a aplicação identidade. Logo, do

teorema da função inversa obtemos uma vizinhança V de p

em M e uma outra, Ω, de f(p

) = p

em P

tal que f(V ) = Ω e f

: V → Ω é um difeomorﬁsmo. Deﬁnindo h : Ω → R por

h(q) = f

−1

(q) − p

, a, q ∈ Ω,

vê-se imediatamente que h tem as propriedades desejadas.

Considere M ⊂ R

n+1

, sendo n = m − 1, uma hipersuperfície e p um ponto de M. Fixe

um campo normal unitário N a M em uma vizinhança de p. O Lema anterior nos diz que, ao

estudarmos as propriedades geométricas da hipersuperfície M na vizinhança do ponto p ∈ M,

podemos considerar um movimento rígido de R

n+1

que leva o ponto p na origem (0, 0) ∈ R

n+1

× R, o plano tangente T

M no hiperplano R

= {(x, x

n+1

); x

n+1

= 0} de R

n+1

, e o vetor

normal N(p) no vetor (0, 1), e escrever M em uma vizinhança de p com o sendo o gráﬁco de uma

função u : Ω → R de classe C

∞

deﬁnida no aberto Ω ⊂ R

tal que u(0) = 0 e

∇u(0) = 0.

Neste contexto, a aplicação ϕ : Ω → M deﬁnida por ϕ(x) = (x, u(x)), para x ∈ Ω, é uma

parametrização de graf(u), o gráﬁco de u, e para cada z = (x, u(x)) ∈ graf(u), sendo x =

, . . . , x

), temos que B = {ϕ

(x)}

i=1

é uma base de T

M, sendo ϕ

(x) =

∂ϕ

∂x

(x) = (e

, u

(x)),

e {e

}

i=1

é a base canônica de R

. Deste modo, o campo normal unitário N à vizinhança graf(u)

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 26

tem a expressão:

N(x) =

(−

∇u(x), 1)

W (x)

, sendo W (x) =



1 + |

∇u(x)|

, x ∈ Ω.

A geometria local de M em torno do ponto p pode ser estudada a partir da expressão dos

coeﬁcientes da matriz do operador forma A do gráﬁco de u na base B. Para isto, observamos

que as matrizes da primeira e da segunda forma fundamental da hipersuperfície M em relação à

base B são, respectivamente,

[I]

= ϕ

, ϕ

 = δ

+ u

e [II]

= A(ϕ

), ϕ

 = ϕ

, N =

Por outro lado, do Lema 1.19 temos que

[A] = [I]

−1

[II] ,

logo, para calcular [A]

é suﬁciente obter uma expressão para a inversa [I]

−1

. Para isso, faremos

uso do seguinte resultado de álgebra linear, que é, de fato, interessante por si só.

Lema 1.21. Sejam T : R

→ R

um operador linear auto-adjunto, λ

, . . . , λ

os seus auto-

valores e v

, . . . , v

uma base ortonormal de autovetores de T associados a esses autovalores,

respectivamente. Seja λ um número real tal que λ = λ

para todo i = 1, . . . , n. Então, o operador

linear T

= T −λI, sendo I a id entidade em R

, é invertível e sua inversa é dada por

−1

(x) =



x, v



− λ

, x ∈ R

Demonstração. Tome x ∈ R

arbitrário. Temos que x =



x, v

v

. Daí,

x = (T −λI)x =



x, v

(λ

− λ)v

Em particular, se x = v

, j = 1, . . . , n teremos T

= (λ

− λ)v

. Logo v

é um autovetor de

associado ao autovalor λ

− λ = 0, j = 1, . . . , n, e portanto, T

é invertível.

Por outro lado, se T

x = y, com y =



y, v

v

, teremos y, v

 = x, v

(λ

− λ) e logo,

x, v

 = y, v

/(λ

− λ). Assim,

−1

(y) = x =



y, v



− λ

e portanto segue o resultado.

Agora estamos aptos a apresentar uma expressão para [I]

−1

Lema 1.22.

[I]

−1

= δ

−

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 27

Demonstração. Com efeito, considere B : R

→ R

o operador linear cuja matriz n a base

canônica {e

}

i=1

de R

[B] = [u

] . (1.9)

Então Be



, e logo, para v ∈ R

arbitrário com v =



, obtemos

Bv =



i,j

= (



)

∇u =



∇u, v



∇u.

Em particular, B(

∇u) = |

∇u|

∇u, e se v ∈ U =



w ∈ R



∇u



= 0



, temos que Bv = 0 =

0v. Logo, os autovalores de B são |

∇u|

e 0, e, além disso,

∇u é um autovetor de B associado

ao autovalor |

∇u|

e cada vetor não-nulo em U é um autovetor de B associado ao autovalor 0.

De outro lado, tomando no Lema anterior λ = −1 e T = B, obtemos [I] = T

−1

, λ

= |

∇u|

e λ

= 0, i = 2, . . . , n, v

∇u/|

∇u|, {v

, . . . , v

} ⊂ U e, para cada y ∈ R

[I]

−1

(y) =

− λ



∇u/|

∇u|



∇u/|

∇u| +



i=2

− λ

y, v

v



∇u



∇u/|

∇u|

+ W

y − W



∇u/|

∇u|



∇u/|

∇u|

= W

y −



∇u, y



∇u



I − B



Portanto,

[I]

−1



− u



= δ

−

como aﬁrmamos.

Finalmente, obtemos o seguinte resultado.

Proposição 1.23. As entradas [A]

da matriz do operador for ma A do gráﬁco de u na base B

são dadas por

[A]



− u



, (1.10)

sendo c



Demonstração. Temos que

[A]



[I]

−1

[II]





− u





− u



sendo c



1.7 As equações de Gauss e de Codazzi

É intuitivamente razoável esperar que o espaço euclid ian o R

tenha curvatura nula. Para

tornar esta idéia mais precisa introduziremos a noção de tensor curvatura de R

, a qual também

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 28

servirá d e modelo para o conceito análogo que deﬁniremos sobre uma hip ersu perfície. Essa noção

é uma das mais i mportantes em Geometria Riemanniana e para maiores detalhes indicamos [10].

O tensor curvatura de R

(restrito ao aberto Ω ⊂ R

) é a correspondência

R que associa a

cada par de campos

Y ∈ X(Ω) a aplicação

Y ) : X(Ω) → X(Ω) deﬁnida por

Y )

Z =

∇

Z −

∇

Z −

∇

[

Y ]

Z ∈ X(Ω). (1.11)

Note que, de a cordo com a deﬁnição da conexão Riemanniana de R

, se escrevemos

Z =

, . . . , z

) então teremos

∇

Z = (

Y (z

), . . . ,

Y (z

)), e portanto

∇

Z = (

Y (z

)), . . . ,

Y (z

))),

e conseqüentemente

Y )

Z = 0 ∈ X(Ω), (1.12)

para to d os os campos

Y ,

Z ∈ X(Ω). Este fato está de acordo com a observação inicial. Além

disso, podemo s concluir também que a expressão que deﬁne

R fornece alguma informação sobre

a comutabilidade da derivada covariante de segunda ordem.

Seja M ⊂ R

n+1

, sendo n = m−1, uma hipersuperfície do espaço euclidiano R

n+1

, a qual, por

simplicidade, admitiremos estar orientada pela aplicação d e Gauss N : M → S

. Deﬁniremos

agora o tensor curvatura da hipersuperfície M, por analogia ao tensor curvatura de R

, como

sendo a correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X(M) a aplicação R(X, Y ) : X(M) →

X(M) deﬁnida por

R(X, Y )Z = ∇

∇

Z − ∇

∇

Z − ∇

[X,Y ]

Z, Z ∈ X(M ).

Veremos agora que, ao contrário do tensor curvatura de R

, o tensor curvatura de M não é, em

geral, identicamente nulo, e sua expressão está intimamente relacionada com o op erador forma.

De fato, sejam X, Y, Z ∈ X(M ), então da fórmula de Gauss segue que

∇

Z =

∇

{∇

Z + AY, ZN}

= ∇

∇

Z + AX, ∇

ZN + X(AY, Z)N − AY, ZAX,

donde, utilizando (1.11) podemos escrever

R(X, Y )Z do seguinte modo

0 =

R(X, Y )Z

= R(X, Y )Z − AY, ZAX + AX, ZAY +

+ {AX, ∇

Z + X(AY, Z) − AY, ∇

Z − Y (AX, Z) + A([X, Y ]), Z}N,

e logo, tomando as partes tang ente e normal da expressão acima obtemos duas novas equaçõ es .

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 29

A parte tangente é denominada a Equação de Gauss:

R(X, Y )Z = AY, ZAX − AX, ZAY, X, Y, Z ∈ X(M), (1.13)

e a parte normal é a Equ ação de Codazzi:

∇

(AY ) − ∇

(AX) = A([X, Y ]), X, Y ∈ X(M).

Deﬁniremos agora o tensor curvatura de Ricci da hipersuperfície M . Para cada par de campos

de vetores tangentes X, Y ∈ X(M) o tensor curvatura de Ricci Ric(X, Y ) de M no ponto p é

deﬁnido por

Ric(X, Y )(p) = tr(T

M  Z(p) −→ (R(Z(p), X(p))Y (p)) ∈ T

Em outras palavras, se {e

, . . . , e

} é uma base ortonormal de T

M então

Ric(X, Y )(p) =



i=1

R(e

, X(p))Y (p), e

.

O tensor curvatura de Ricci nos permite deﬁnir dua s novas noções de curvatura para a hiper-

superfície M . Primeiro, tomamos v = v

um vetor unitário em T

M e consideramos uma ba se

ortonormal {v

, . . . , v

n−1

} do subespaço de T

M ortogonal a v e deﬁnimos

Ric

(v) = Ric(v, v)(p), e S(p) =



j=1

Ric

Estas expressões são denominadas a curvatura d e Ricci na direção de v e a curvatura escalar de

M em p, respectivamente. É fácil ver que estas curvaturas não dependem das bases consideradas.

A seguir mostraremos que o tensor curvatura de Ricci dos campos X, Y ∈ X(M) e a curvatura

escalar S de M estão relacionadas com o operador forma por meio das seguintes igualdades:

Ric(X, Y ) = S

AX, Y  − AX, AY  (1.14)

S = S

− |A|

. (1.15)

De fato, ﬁxe um ponto p ∈ M e seja {e

, . . . , e

} uma base ortonormal d e T

M. Da equação de

Gauss 1.13 e do fato do op erador forma A

ser auto-adjunto segue que

Ric(X, Y )(p) =



i=1

{A

, e

A

X(p), Y (p) − A

X(p), e

A

, Y (p)}

= S

(p)A

X(p), Y (p) −



i=1

A

X(p), e

e

, A

Y (p)

= S

(p)A

X(p), Y (p) − A

X(p), A

Y (p),

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 30

o que prova a primeira igualdade. Quanto à segu nd a, temos

S(p) = tr(Ric

) =



i=1

Ric(e

, e

)(p) =



(p)A

, e

 − A

, A

} = S

(p)

− |A

o que prova a aﬁrmação feita.

Esta última igualdade para a curvatura escalar nos dá uma relação interessante entre S e H

De fato, veja que

S = (S

)

− |A|

= (κ

+ . . . + κ

)

− (κ

+ . . . + κ

) = n(n − 1)H

. (1.16)

Logo, S e H

diferem por uma constante, donde segue que H

é intrinsecamente deﬁnida. Em

geral, a equação de Gauss implica que se r é ímpar, H

é extrínseca (e seu sinal depende da

escolha da orientação de M), enquanto que se r é par, H

é intrínseca.

1.8 Divergência e laplaciano em R

Seja Z ∈ X(Ω) um campo de vetores no aberto Ω ⊂ R

com

Z(x) = (z

(x), . . . , z

(x)), x ∈ Ω.

A divergência (euclidiana) do campo Z em um ponto x ∈ Ω é simplesmente o traço da aplicação

linear (

∇Z)

: R

→ R

, deﬁnida por

(

∇Z)

(v) =

∇

isto é,

DivZ(x) = tr(v −→

∇

Z) =



i=1



∇

Z, e

,

sendo

∇

Z = (

∇

Z)(x), para Y ∈ X(Ω) arbitrário tal que Y (x) = v e {e

}

i=1

uma base

ortonormal de R

. Em particular, se tomarmos a base canônica de R

obteremos

∇

Z =



∂z

∂x

(x), . . . ,

∂z

∂x

(x)



e recuperamos a expressão clássica

DivZ(x) =



i=1

∂z

∂x

(x).

Temos que a divergência euclidiana veriﬁca as seguintes propriedades:

(i) Div(Z + Z



) = DivZ + DivZ



;

(ii) Div(F Z) = 

∇F, Z + F DivZ,

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 31

para quaisquer Z, Z



∈ X(Ω) e F ∈ C

∞

(Ω), sendo

∇F o gradiente euclidiano de F .

Em particular, se F ∈ C

∞

(Ω) e Z =

∇F ∈ X (Ω) é seu gradiente (euclidiano), então a

divergência do campo

∇F é o laplaciano (euclidiano)

∆F de F ; isto é, para cada x ∈ Ω,

∆F (x) = Div(

∇F )(x) =



i=1



∇

∇F, e

 =



i=1

∇

, e

sendo {e

}

i=1

uma base ortonormal de R

∇

o Hessiano (euclidiano) de F no ponto x ∈ Ω,

que é deﬁnido por

∇

(v, w) = 

∇

∇F, w, v , w ∈ R

Em particular, se escrevermos os vetores v e w na base canônica de R

como v =



w =



então

∇

F (v, w) =



i,j=1

∂

∂x

(x)w

e logo se chega à fórmula clássica,

∆F (x) =



i=1

∂

∂x

(x).

Ao longo do nosso trabalho utilizaremos o teorema da divergência para domínios regulares

de R

n+1

, que enunciaremos a seguir.

Teorema 1.24. Seja Ω ⊂ R

n+1

um domínio regular limitado e consideremos M = ∂Ω a hiper-

superfície compacta formada pelo bordo de Ω e orientada pelo campo normal unitário interior N.

Então para cada campo de vetores Z ∈ X(Ω) tem-se que



Ω

DivZ(x)dx = −



Z(p), N(p)dp,

sendo dx o elemento de volume euclidiano de R

n+1

e dp o elemento de área da hipersuperfí cie

Como uma primeira aplicação deste resultado, temos a seguinte fórmula para o volume de

um domínio limitado por uma hipersuperfície.

Lema 1.25. Sejam M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfície compacta e Ω ⊂ R

n+1

o domínio regular

compacto limitado por M com M = ∂Ω. Então, para qualquer ponto c ∈ R

n+1

tem-se q ue

(n + 1)Vol(Ω) = −



p − c, N(p)dp,

sendo N o campo normal unitário interior de M.

Demonstração. Consideremos o campo de vetores Z ∈ X(Ω) deﬁnido por Z(x) = x − c, e cuja

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 32

divergência é dada por DivZ(x) = n + 1, para todo x ∈ Ω. Então, pelo Teorema 1.24,

(n + 1)Vol(Ω) =



Ω

DivZ(x)dx = −



p − c, N(p)dp,

e isto encerra a prova.

1.9 Divergência e laplaciano sobre uma hipersuperfície

Seja M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfície. Veremos agora como deﬁnir o campo de vetores gradi-

ente de uma função f ∈ C

∞

(M). Para cada ponto p ∈ M, deﬁne-se o gradiente de f em p como

sendo o vetor ∇f(p) ∈ T

M determinado pela condição

∇f(p), v = v(f ), v ∈ T

Rapidamente vemos que ∇f ∈ X(M) é um campo de vetores tangentes caracterizado por

∇f, X = X(f)

para todo X ∈ X(M). O gradiente tem as seguintes propriedades:

(i) ∇(f + g) = ∇f + ∇g;

(ii) ∇(fg) = g∇f + f ∇g;

(iii) ∇(φ ◦ f) = φ



(f)∇f;

(iv) ∇f(p) = 0 para todo p ∈ M se, e somente se, f é uma função constante em M,

sendo f, g ∈ C

∞

(M) e φ : R → R uma função diferenciável. Note também que a expressão do

campo gradiente em uma parametrização ϕ de M é

∇f(p) =



(q)(f ◦ ϕ)

(q)ϕ

(q), p = ϕ(q).

O hessiano de f ∈ C

∞

(M) é a aplicação ∇

f : X(M) × X(M ) → C

∞

(M) deﬁnida por

∇

f(X, Y ) = ∇

∇f, Y ,

para quaisquer campos de vetores tangentes X, Y ∈ X(M ).

É simples veriﬁcar que o hessiano ∇

f tem as seguintes propriedades

(i) ∇

f(X + Y, Z) = ∇

f(X, Z) + ∇

f(Y, Z);

(ii) ∇

f(gX, Y ) = g∇

f(X, Y );

(iii) ∇

f(X, Y ) = ∇

f(Y, X),

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 33

para quaisquer X, Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ C

∞

(M).

Dado p ∈ M, de (1.6), temos que

∇

f(X, Y )(p) = (∇

∇f)(p), Y (p) = (

∇

∇f)(p), Y (p).

Assim, denotando ∇

f(X, Y )(p) por ∇

f(v, w) e (

∇

∇f)(p) por (

∇

∇f), sendo v = X(p) e

w = Y (p), temos que

∇

f(v, w) = (

∇

∇f), w,

para cada v, w ∈ T

M e X, Y ∈ X(M) tais que X(p) = v e Y (p) = w.

A seguir deﬁniremos a divergência de campos de vetores tangentes a uma hipersuperfície de

n+1

. Seja X ∈ X(M) um campo de vetores tangentes sobre uma hipersuperfície M. Para

cada ponto p ∈ M se deﬁne a divergência de X no ponto p como o traço da aplicação linear

(∇X)

: T

M → T

M, deﬁnida por

(∇X)

(v) = ∇

isto é, divX(p) = tr(v −→ ∇

X), sendo ∇

X = (∇

X)(p), para Y ∈ X(M ) arbitrário tal que

Y (p) = v.

Em particular, div(X) ∈ C

∞

(M) deﬁne uma função d iferenciável sobre M e para cada ponto

p ∈ M, se tem

div(X)(p) =



i=1

∇

X, e

,

sendo {e

}

i=1

uma base ortonormal de T

M. A divergência tem as seguintes propriedades

(i) div(X + Y ) = div(X) + div(Y );

(ii) div(fX) = X(f) + fdiv(X) = ∇f, X + fdiv(X),

para quaisquer X, Y ∈ X(M) e f ∈ C

∞

(M).

Em particular, quando X = ∇f é o gradiente de uma função diferenciável f ∈ C

∞

(M), a

divergência de ∇f é o laplaciano de f, e se representa por ∆f; isto é, ∆f ∈ C

∞

(M) é a função

deﬁnida por

∆f(p) =



i=1

∇

∇f, e

 =



i=1

∇

, e

) = tr(∇

Desta maneira, o laplaciano deﬁne um operador ∆ : C

∞

(M) → C

∞

(M) que tem as seguintes

propriedades

(i) ∆(f + λg) = ∆f + λ∆g;

(iii) ∆(φ ◦ f) = (φ



◦ f)∆f + (φ



◦ f)|∇f |

;

(iv) ∆(fg) = f∆g + g∆f + 2∇f, ∇g,

para quaisquer f, g ∈ C

∞

(M), φ : R → R função diferenciável e λ ∈ R.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 34

O teorema seguinte é uma versão do teorema da di vergência para hipersuperfícies compactas

de R

n+1

, isto é, hipersuperfícies sem bordo que são sub conju ntos compactos de R

n+1

Teorema 1.26. Sejam M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfície compacta e X ∈ X(M) um campo de

vetores tangentes a M . Então



divX(p)dp = 0.

Em particular,



∆f(p)dp = 0, para toda função f ∈ C

∞

(M).

1.10 Algumas funções geometricamente importantes

Sejam F uma função diferenciável deﬁnida em um aberto Ω ⊂ R

n+1

e M uma hipersuperfície

de R

n+1

inteiramente contida em Ω. Denotemos por f a restrição de F a M. Veremos que,

para algumas funçõ es F , o laplaciano de f fornece informações valiosas sobre a geometria de M.

Temos que f ∈ C

∞

(M) e seu gradiente é a parte tangente do gradiente euclidiano (em R

n+1

) de

F . Isto é, para cada ponto p ∈ M se tem

∇f(p) =

∇F (p) − 

∇F (p), N(p)N(p). (1.17)

De fato, ﬁxe p ∈ M e seja {e

}

i=1

uma base ortonormal de T

M. Então {e

, . . . , e

, N(p)} é uma

base ortonormal de R

n+1

. Logo

∇F (p) =



i=1



∇F (p), e

e

+ 

∇F (p), N(p)N(p).

De outro lado, para cada i = 1, . . . , n, temos



∇F (p), e

 = dF

) =

F (c(t))|

t=0

f(c(t))|

t=0

= df

) = ∇f(p), e

,

sendo c : (−, ) → M, uma curva parametrizada em M com c(0) = p e c



(0) = e

, o que

demonstra a fórmula (1.17).

Agora, calculemos o Hessiano de f em p. Temos que ∇

(v, w) = 

∇

∇f, w, para cada

v, w ∈ T

M. Além disso, da expressão (1.17) obtemos

∇

∇f

∇

∇F −v(u)N(p) + A

(v)



∇F (p), N(p)



, (1.18)

e portanto,

∇

(v, w) =

∇

F (v, w) + A

(v), w



∇F (p), N(p)



. (1.19)

Agora vejamos a relação existente entre

∆F (p) e ∆f(p) nos pontos p de M. Consideran do

a base ortonormal {e

, . . . , e

, N(p)} de R

n+1

, sendo {e

, . . . , e

} ⊂ T

M uma base ortonormal

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 35

de direções principais de M em p, temos que

∆F (p) =



i=1

∇

, e

) +

∇

(N(p), N(p)).

De (1.19) obtemos

∇

, e

) = ∇

, e

) − κ

(p)

∂F

∂N

(p), i = 1, . . . , n,

sendo ∂F/∂N ∈ C

∞

(M) a função dada por

∂F

∂N

(p) =



∇F (p), N(p)



Portanto,

∆F (p) =



i=1

∇

, e

) − nH(p)

∂F

∂N

(p) +

∇

(N(p), N(p))

= ∆f(p) − nH(p)

∂F

∂N

(p) +

∇

(N(p), N(p)). (1.20)

Vejamos agora alguns casos particulares importantes desta situação.

Exemplo 1.27.

Consideremos F : R

n+1

→ R a função diferenciável dada por F (x) =

|x − c|

, para um

ponto c ∈ R

n+1

ﬁxado. Temos que

∇F (x) = x − c e

∇

(v, w) = v, w, (1.21)

para cada x ∈ R

n+1

e v, w ∈ R

n+1

. Dada uma hipersuperfície M ⊂ R

n+1

orientada pelo campo

normal unitário N, seja f ∈ C

∞

(M) a restrição de F a M , isto é f(p) =

|p − c|

para p ∈ M.

A função f mede a distânci a (ao quadrado) dos pontos de M ao ponto c. Temos que

∂F

∂N

(p) = 

∇F (p), N = p − c, N(p),

e também

∇

(N, N) = 1, e

∆F (p) = n + 1.

Portanto, de (1.17), (1.19) e (1.20), obtemos, respectivamente, que no ponto p ∈ M o gradiente

de f é

∇f(p) = (p − c)



= p − c − p − c, N(p)N(p), (1.22)

o hessiano de f é

∇

(v, w) = v, w + A

(v), wp − c, N(p), v, w ∈ T

M (1.23)

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 36

e ﬁnalmente, que o laplaciano de f é

∆f(p) = n(1 + H(p)p − c, N(p)). (1.24)

Uma conseqüência deste exemplo é o seguinte teorema.

Teorema 1.28. Toda hipersuperfí cie compacta M ⊂ R

n+1

tem um ponto onde todas as curva-

turas principais relativas ao campo normal unitário interior são positivas , isto é, existe p

∈ M

tal que κ

) > 0, para todo i = 1, . . . , n.

Demonstração. Sendo M um subconju nto fechado de R

n+1

, o Teorema de Brouwer-Samelson

nos diz que M é uma hipersuperfície orientável de R

n+1

(veja [25]). Além disso, da compacidade

de M e do Teorema de Jordan-Brouwer segue que M é o b ordo de um domínio regular limitado

Ω ⊂ R

n+1

(veja [25]). Assim, p odemos supor que M está orientada pelo campo unitário normal

unitário interior N. Considere a função F : R

n+1

→ R dada por F (x) =

|x|

, e seja f = F |

Em cada ponto p ∈ M e para v, w ∈ T

M, segue de (1.22) e (1.23) que

∇f(p) = p − p, N(p)N(p) e ∇

(v, w) = v, w + A

(v), wp, N(p).

Como M é compacta, existe um ponto p

∈ M onde f alcança seu máximo (global), f(p) ≤ f (p

)

para todo p ∈ M, de modo que ∇f(p

) = 0 e ∇

(v, w) ≤ 0 para todo v, w ∈ T

M. Temos

que p

= 0. De fato, se fosse p

= 0 teríamos f(p

) = 0 e portanto, como f(p) ≥ 0 deveríamos

ter f ≡ 0 o que não ocorre. De ∇f(p

) = 0 obtemos que p

= p

, N(p

)N(p

), e portanto

N(p

) = −

Por outro lado, como ∇

é não-positivo, obtemos

0 ≥ ∇

(v, v) = 1 + κ(v)p

, N(p

) = 1 − κ(v)|p

sendo κ(v) = A

v, v para cada vetor unitário v ∈ T

M. Assim, κ(v) ≥ 1/|p

|, para cada

vetor unitário v ∈ T

M. Em particular, κ

), . . . , κ

) são todas positivas.

Outro exemplo interessante é o seguinte.

Exemplo 1.29.

Seja Π um hiperplano aﬁm de R

n+1

que passa por um ponto c ∈ R

n+1

e tem como direção

normal o vetor unitário a ∈ R

n+1

, |a| = 1. Se M ⊂ R

n+1

é uma hipersuperfície, a função

h : M → R dada por

h(p) = p − c, a, p ∈ M,

mede a distância orientada (ou altura) dos pontos d e M ao hiperplano Π. Por esta razão, a

função h é chamada de função altura. Observe que h ∈ C

∞

(M) é a restrição a M da função

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 37

diferenciável em R

n+1

dada por F (x) = x − c, a, para x ∈ R

n+1

. É fácil ver que

∇F (x) = a,

∇

= 0.

Logo, em virtude das expressões (1.17) e (1.19), teremos que

∇h(p) = a



= a − a, N(p)N(p) (1.25)

∇

(v, w) = A

(v), wa, N(p), (1.26)

para todo p ∈ M e v, w ∈ T

M. Além disso, de (1.20) segue que

∆h(p) = nH(p)a, N(p). (1.27)

Capítulo 2

Hipersuperfícies com curvatura média

constante

2.1 Um resultado clássico: o Teorema de Alexandrov

Um dos mais importantes resultados sobre a geometria global de hipersuperfícies com cur-

vatura média constante do espaço euclidiano R

n+1

é o Teorema de Alexandrov. Esse resultado

seminal estabelece uma das mais simples e profundas propriedades que caracterizam as hi pe-

resferas do espaço euclidiano: dentre todas as hipersuperfícies compactas do espaço euclidiano,

as únicas que possuem curvatura média constante são as hiperesferas. Aqui, recordamos que

compacta signiﬁca que a hipersuperfície não tem bordo e é um subconjunto compacto do espaço

euclidiano. Especiﬁcamente, Alexandrov [1] provou o seguinte resultado de unicidade.

Teorema 2.1 (Teorema de Alexandrov). As únicas hipersuperfícies compactas do espaço eucli-

diano com curvatura média constante são as hiperesferas.

Em linhas gerais, a idéia de Alexandrov foi mostrar que tais hipersuperfícies possuem um hi-

perplano de simetria em toda direção do espaço euclidian o e daí concluir que elas são hiperesferas.

Para levar a cabo tal idéia, Alexandrov toma uma direção arbitrária do espaço euclidiano, um

hiperplano ortogonal a esta direção que não intersecta M e move este hiperplano paralela mente

até ele tocar M pela primeira vez. A partir deste ponto de contato continua a mover o hiperplano

e passa a considerar a reﬂexão da porção de M que ﬁcou para trás em relação ao hiperplano. O

reﬂexo está inicialmente no interior da região limitada por M, e portanto em algum instante a

porção reﬂetida tangencia M. Ambas tem a mesma curvatura média (constante) e mesma nor-

mal n esse ponto. Em seguida, usando uma versão do princípio do máximo para hipersuperfícies

com curvatura média cons tante, Alexandrov mostrou que estas hipersuperfícies coincidem numa

vizinhança do ponto de tangência. Além disso, usando um argumento de conexidade, ele provou

que as hipersuperfícies em questão coincidem em todos os pontos da reﬂexão, concluindo que o

hiperplano é um hiperplano de simetria de M na direção dada. Esta demonstração é hoje de-

nominada o método de reﬂexão de Alexandrov e foi largamente utilizado em diversos problemas

geométricos.

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 39

2.2 Equações elípticas e o princípio do máximo

A prova original de Alexandrov para o Teorema 2.1 é baseada essencialmente no honorável

princípio do máximo de Hopf para equações elípticas [14] e no método de reﬂexão de Alexandrov.

Para enunciarmos o princípio do máximo de Hopf precisamos introduzir algum material da teoria

de equações diferenciais parciais. Nossa abordagem desse material seguirá o texto de M.L. Leite

[23].

Sejam Ω ⊂ R

um domínio, u ∈ C

(Ω), e

∇u = (u

, . . . , u

) ∈ R

o seu gradiente euclidiano.

Diremos que L é um operador diferencial parcial linear de segunda ordem quando tem a forma

L[u](x) =



i,j=1

(x)u

(x) +



k=1

(x), x ∈ Ω,

e os coeﬁcientes a

= a

e b

são funções contínuas em Ω. Um tal operador L é denominado

elíptico no ponto x ∈ Ω quando a matriz simétrica [a

(x)] for positiva deﬁnida, e diremos que ele

é elíptico em Ω quando for elíptico em cada po nto de Ω. Além disso, L é dito ser uniformemente

elíptico em Ω se a função

Λ(x)

λ(x)

é limitada em Ω, sendo Λ(x) > 0 e λ(x) > 0 são os autovalores

máximo e mínimo da matriz positiva [a

(x)], respectivamente.

O exemplo mais importante de um operador linear elíptico é o laplaciano ∆[u] =



Claramente ele é uniformemente elíptico. É fato bem conhecido que funções harmôn icas, isto

é, soluções da equação ∆[u] = 0, n ão têm ponto de máximo no interior de Ω, a menos que u

seja uma função constante. Uma generalização desta propriedade fundamental para operadores

lineares de segunda ordem uniformemente elípticos é o famoso Princípio do máximo de Hopf

[14], que enunciaremos abaixo. Um prova deste resultado pode ser encontrada em [12].

Teorema 2.2 (Princípio do máximo de E. Hopf).

(i) Ponto interior: Suponha que u satisfaz a desigualdade L[u] ≥ 0, com L uniformemente elíptico

em Ω. Se u atinge seu máximo em um ponto no interior de Ω, então u é constante em Ω.

(ii) Ponto de bordo : Suponha que u satisfaz L[u] ≥ 0 com L uniformemente elíptico em um

domínio Ω com bordo suave ∂Ω. Se u atinge seu máximo num ponto do bordo de Ω no qual

∇u

existe, então alguma derivada direcional exterior de u neste ponto é positiva, a menos que u seja

constante em Ω.

Outro tipo de operador de segunda ordem que é muito importante é um operador diferencial

parcial quasilinear Q que tenha a forma

Q[u] =



i,j=1

(

∇u)u

+ b(

∇u),

sendo os coeﬁcientes a

= a

e b funções em C

). Observe que a ação de Q é linear em

∇

mas pode ser não-linear em

∇u. O operador quasilinear Q é elíptico com respeito a função u no

ponto x ∈ Ω se a matriz simétrica [a

(

∇u)(x)] é positiva deﬁnida; e é uniformemente elíptico

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 40

com respeito a u se a fun ção

Λ(x)

λ(x)

é limitada em Ω, sendo Λ(x) e λ(x) os autovalores máximo e

mínimo de [a

(

∇u)(x)], respectivamente.

Observamos na Seção 1.6 que toda hipersuperfície M ⊂ R

n+1

pode ser escrita localmente

como o gráﬁco de uma função u ∈ C

(Ω), sendo Ω ⊂ R

um domínio. Além disso, obtivemos a

expressão (1.10) para a matriz do operador forma A da hipersuperfície M restrita à vizinhança

graf(u), logo, a curvatura média de M nessa vizinhança é

nH = tr(A) =



− u



) =



i,j

− u

Deﬁnição 2.3. Seja u ∈ C

(Ω), sendo Ω ⊂ R

um domínio. O operador H associado à curvatura

média H do gráﬁco de u é deﬁnido por

H[u] =



i,j



− u



. (2.1)

É imediato veriﬁcar que H é um operador quasilinear. Aﬁrmamos que H é um operador

elíptico, e uniformemente elíptico em qualquer subconjunto de Ω no qual |

∇u| seja limitada.

De fato, seja T = W

I − B com B sendo o operador linear deﬁnido em (1.9). Temos então

que [T ] =



− u



. A lém disso, se v for um autovetor de T associado a um autovalor λ

teremos

T v = λv ⇔ W

v − Bv = λv ⇔ Bv =



− λ



Logo, v é um autovetor de B associado ao autovalor W

− λ. Como vimos os autovalores de

B são 0 e |

∇u|

. Portanto, os autovalores mínimo e máximo de T são λ(x) = 1 e Λ(x) = W

respectivamente, e isto prova a aﬁrmação.

A primeira percepção de Alexandrov para provar o Teorema 2.1 foi notar que, apes ar de o

operador curvatura média (2.1) não ser linear, ele ainda obedece a um princípio do máximo.

Para apresentá-lo precisamos da seguinte deﬁnição:

Deﬁnição 2.4. Sejam M e M



hipersupe rfí cie s de R

n+1

e p ∈ M ∩ M



tal que T

M = T



isto é, p é um ponto de tangência. Sejam U ⊂ T

M uma vizinhaça de p e u, u



: U → R

funções dife renciáveis cujos gráﬁcos são vizinhanças de M e M



,respectivamente. Se u ≤ u



U, dizemos que M



está aci ma de M em U.

Teorema 2.5 (Princípio do máximo para curvatura média constante).

(i) Ponto interior : Sejam M e M



hipersupe rfí cie s orientadas de R

n+1

com curvaturas médias

constantes H e H



, satisfazendo H ≤ H



. Se M e M



têm o mesmo vetor normal em um ponto

de tangência p ∈ M ∩M



, então M não pode permanecer acima de M



numa vizinhança de p, a

não ser que as hipersuperfícies coincidam localmente.

(ii) Ponto de bordo : Sejam M e M



hipersupe rfí cie s or ientadas de R

n+1

com bordos ∂M e ∂M



com curvaturas média constantes satisfazendo H ≤ H



. Suponha que M e M



, bem como seus

bordos, são tangentes em p ∈ ∂M ∩ ∂M



, com o mesmo vetor normal no ponto de tangência.

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 41

Então M não pode permanecer acima de M



em uma vizinhança de p, a não ser que as hipersu-

perfícies coincidam localmente.

Demonstração. Seguiremos a linha de raciocínio das notas de Leite [23]. Como em [31], esta

demonstração segue do princípio de comparação para operadores quasilineares localmente uni-

formemente elípticos, apresentado no Teorema 10.1 de [12].

Como na Seção 1.6 podemos supor que p = 0 ∈ R

n+1

e que, localmente, M e M



são gráﬁcos

de funções u e u



sobre R

, com u(0) = u



(0) = 0 e

∇u(0) =

∇u



(0) = 0. Logo u, u



∈ C

(Ω),

sendo Ω uma vizinhança de 0 em R

, se 0 for um ponto interior de M e M



e uma vizinhança

de 0 em um semi-espaço, se 0 for um ponto de bordo de M e M



. Mais ainda, podemos supor

também que o vetor normal em 0 aponta para cima.

Suponha inicialmente que H ≤ 0 ≤ H



e que M está acima de M



numa vizinhança de p,

isto é, u ≥ u



em uma vizinhança U de 0 em R

ou num semi-espaço, dependendo de p estar

no interior ou ser um ponto de fronteira de M e M



. Sem perda de generalidade, suponha

que U ⊂ Ω. Aﬁrmamos que H[u



] é uniformemente elíptico em U . De fato, como λ(x) = 1,

Λ(x) = W



, sendo W



= 1 + |

∇u



, é suﬁciente mostrar que |

∇u



é limitado em U . Para ver

isso, note que como u



∈ C

(Ω), então u



∈ C(Ω), para i = 1, . . . , n, e com o U ⊂ Ω, temos que



é limitada em U. Logo |

∇u



= u



+ . . . + u



é limitada em U.

Seja u

= (1 − t)u + tu



, 0 ≤ t ≤ 1, um segmento de u a u



. Temos que

= u



− u e

∇u



−

∇u. A hipótese H ≤ 0 ≤ H



implica que H[u] ≤ H[u



]. Então,

0 ≤ H[u



] − H[u] =



i,j

(

∇u



)(u



− u

) +



i,j

(

∇u



) − a

(

∇u)}u

sendo a

(

∇u) = W

− u

. Seja w = u



− u e note que a igualdade acima torna-se

0 ≤ L[w] =



i,j



para c

= a

(

∇u



) e b



i,j

{



∂a

∂u

(

∇u

)dt}u

. Esta expressão de b

segue de

(

∇u



) − a

(

∇u) =





(

∇u

)



dt =





∂a

∂u

(

∇u

)



(

∇u

)



e de



(

∇u

)



= (

∇u



−

∇u)

= w

. Claramente, os coeﬁcientes c

e b

são contínuos.

A hipótese w = u



− u ≤ 0 próximo da origem implica que w alcança seu valor máximo em

U no ponto 0. Por outro lado, como H é uniformemente elíptico com respeito a u



, segue que

L é um operador li near uniformemente elíptico em U, satisfazendo L[w] ≥ 0. Se 0 ∈ U , isto

é, se 0 for um ponto interior de M e M



, então, pelo princípio do máximo de Hopf, temos que

w ≡ 0 em U. Se 0 ∈ ∂U, isto é, se 0 for um ponto de fronteira de M e M



, temos novamente

pelo princípio do máximo de Hopf, que

∂w

∂ν

(0) > 0, para alguma direção exterior ν, a não ser

que w seja constante. Mas

∂w

∂ν

(0) =



∇w(0), ν



= 0. Logo w ≡ 0. Portanto as hipersuperfícies

coincidem localmente.

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 42

Agora suponhamos que 0 < H ≤ H



. Observamos que esta situação não é considerada em

[23]. Veja que, neste caso, não podemos concluir de imediato que H[u] ≤ H[u



]. Para contornar

esta diﬁculdade, utilizaremos outras idéias. Observe que do fato de H ≤ H



segue que

0 ≤ n(H



− H) =

H[u



]



]

−

H[u]

[u]





H[u

]



dt.

Agora,



H[u

]



]

(H[u

]) − 3

H[u

]

(W [u

]) ,

e sendo W [u

] =



1 + |

∇u + t

∇w|

, então

(W [u

]) =

W [u

]

(

∇u,

∇w + t|

∇w|

o que implica



H[u

]



]

(H[u

]) − 3

H[u

]



∇u,

∇w − 3

H[u

]

∇w|

Além disso,

(H[u

]) =



i,j

∂H

∂u



∂H

∂u

Logo,

0 ≤ n(H



− H) =



i,j





]

∂H

∂u

]dt









]

∂H

∂u

]dt



−







H[u

]



− 3





H[u

]



∇w|

A igualdade acima pode ser reescrita na forma

0 ≤



i,j



− a|

∇w|

= L[w] − a|

∇w|

sendo os coeﬁcientes dados por

(x) =



]

∂H

∂u

]dt, a(x) = 3





H[u

]



(x) =



]

∂H

∂u

]dt − 3





H[u

]



CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 43

Aﬁrmamos que a(0) > 0. De fato, como

∇u(0) =

∇u



(0) = 0, temos

∇u

(0) = 0, e logo

W [u

](0) = W [u](0) = W [u



](0) = 1.

Portanto,

H[u](0) =



e H[u



](0) =





Daí,

H[u

](0) =



)



+ t(u



− u

) = H[u](0) + t(H[u



](0) − H[u](0))

= nH + tn(H



− H).

Como, por hipótese, 0 < H ≤ H



, obtemos que H[u

](0) > 0 e portanto, a(0) > 0. Como a é

contínuo em 0, temos que a ≥ 0 numa vizinhança de 0. Logo,

0 ≤ L[w] − a|

∇w|

≤ L[w]

nessa vizinhança. Agora veja que L é un iformem ente elíptico numa vizinhança de 0. Com efeito,

∂H

∂u

] = W

]δ

− (u

)

, logo

∂H

∂u

](0) = δ

e portanto,

(0) =



dt = δ

Como os coeﬁcientes c

são funções contínuas temos que, numa vizinhança de 0 os autovalores

de [c

(x)] são positivos e a razão entre eles é ﬁnita, e portanto, L é uniformemente elíptico

nesta vizinhan ça. Portanto, o raciocínio do caso anterior pode ainda ser aplicado ao operador L,

fornecendo a mesma conclusão.

Por último, consideremos o caso em que H ≤ H



< 0. Supondo, como antes, que M

está acima de M



concluímos que u ≥ u



em uma vizinhança de 0. Nessa situação temos que

0 < −H



≤ −H e −u



≥ −u. Portanto recaímos na segun da situação considerada acima, logo,

podemos repetir o argumento e concluir a demonstração do teorema.

2.3 O método de reﬂexão de Alexandrov

Nesta seção apresentaremos a demonstração do Teorema 2.1. Alexandrov mostrou que uma

hipersuperfície compacta M ⊂ R

n+1

que tenha curvatura média constante possui um hiperplano

de simetria em cada direção de R

n+1

. Nestas condições, o Lema 2.6 abaixo implica que M é

uma hiperesfera.

Lema 2.6. Seja M um subconjunto conexo, compacto, com interior vazio em R

n+1

, que possui

um hiperplano de simetria em cada direção. Então M é uma hiperesfera.

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 44

Demonstração. A demonstração que apresentaremos é baseada na dissertação de K. R. F. Leão

[21]. Sejam P

, . . . , P

n+1

hiperplanos de simetria de M mutuamente ortogonais e {p} = P

∩

. . . ∩ P

n+1

. Podemos supor, sem perda de generalidade, que p = 0 ∈ R

n+1



, . . . , x

n+1

) ∈ R

n+1

: x

= 0



Seja P um outro plano de simetria e tome N um vetor unitário ortogonal a P . Suponha que

0 /∈ P . Como M não está contido em P , existem Y

∈ P e um número real não-nulo t

tais que

+ t

N ∈ (M \P ).

O hiperplano P é dado por P =



X ∈ R

n+1

: X − Y

, N = 0



. Da simetria de M com relação

a P , obtemos que Y

− t

N ∈ M , e como o ponto (x

, . . . , x

n+1

) ∈ M é simétrico, em

relação ao plano P

, ao ponto (x

, . . . , −x

, . . . , x

n+1

) ∈ M temos que, por reﬂexões sucessivas

de Y

−t

N em P

, . . . , P

n+1

obtemos que −Y

+ t

N ∈ M . Logo existem Y

∈ P e um número

real não-nulo t

tais que

+ t

N = −Y

+ t

N ∈ M.

Fazendo o produto interno dessa igualdade por N obtemos

Y

, N + t

= −Y

, N + t

Como Y

∈ P , isto é, Y

− Y

, N = 0, obtemos t

= −2Y

, N + t

. D onde segue Y

−Y

+ 2Y

, NN, e também que Y

+ t

N ∈ M . Além disso, com o mesmo argumento acima,

obtemos que

= −Y

+ t

N = Y

+ (−4Y

, N + t

)N ∈ M.

Agora, para cada l ≥ 2 inteiro deﬁna

= Y

+ (−4lY

, N + t

)N.

Aﬁrmo que p

∈ M para todo l ≥ 1. De fato, já mostram os acima que p

∈ M . Suponha que

∈ M . Argumentando como antes, concluiremos que −Y

+ (−4lY

, N + t

)N ∈ M. Logo,

existe Y

l+1

∈ P e um número real não-nulo t

l+1

tal que

l+1

+ t

l+1

N = −Y

+ (−4lY

, N + t

)N ∈ M.

Fazendo o produto interno desta igualdade com N obtemos

Y

l+1

, N + t

l+1

= −Y

, N − 4lY

, N + t

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 45

isto é, t

l+1

= −(4l + 2)Y

, N + t

, donde segue que Y

l+1

= −Y

+ 2Y

, NN, e portanto,

l+1

= −Y

l+1

+ t

l+1

= Y

+ [(−2 − (4l + 2))Y

, N + t

] N

= Y

+ [−4(l + 1)Y

, N + t

] N ∈ M.

Dessa forma, o princípio da indução nos assegura que p

∈ M para cada l ∈ N. Como 0 /∈ P,

temos que Y

, N = 0 e sendo M compacto, chegamos a uma contradição. Logo 0 ∈ P , qualquer

que seja o hiperplano de si metria P . Assim, M é invariante por reﬂexão através de qualquer

hiperplano que passa por 0.

Agora, ﬁxe um ponto p ∈ M e seja S a hiperesfera centrada na origem que passa por p.

Sabemos que qualquer ponto q de S pode ser obtido a partir de p por reﬂexões sucessivas através

de hiperplanos que passam por 0. Isso mostra que S está contida em M. Esse argumento também

mostra que toda hiperesfera centrada na origem que passa por um ponto de M está contida em

M. Portanto, sendo M conexa, compacta, e com interior vazio em R

n+1

, necessariamente temos

que M é uma hip eresfera.

Demonstração do Teorema de Alexandrov. Procederemos como em [32]. Sendo M uma hipersu-

perfície compacta do R

n+1

então o Teorema de Brouwer-Samelson nos diz que M é orientável

(veja [25]). Além disso, segue do Teorema de Jordan-Brouwer que M é o bordo de um do-

mínio regular limitado Ω ⊂ R

n+1

(veja [25]). Portanto, podemos supor que M está orientada

pelo campo normal unitário interior N. Fixemos uma direção arbitrária em R

n+1

. Utilizando

um movimento rígido adequado de R

n+1

, podemos admitir que essa direção é dada pelo eixo

n+1

; que a hipersu perfície M está contida no semi-espaço fechado



x ∈ R

n+1

: x

n+1

≥ 0



, sendo

x = (x

, . . . , x

n+1

); e que M é tangente ao hiperplano Π



x ∈ R

n+1

: x

n+1

= 0



no ponto 0.

Para cada t > 0, consideramos os conjuntos

= {x ∈ M : x

n+1

≤ t} e M

∗



, . . . , x

, 2t − x

n+1

) ∈ R

n+1

: x ∈ M



isto é, M

∗

é a reﬂexão de M

com respeito ao hiperplano Π



x ∈ R

n+1

: x

n+1

= t



Como M é o gráﬁco de uma função diferenciável em uma vizinhança de 0, então, para t

suﬁcientemente pequeno M

∗

está contida em Ω. Além disso, todas as hipersuperfícies M

∗

têm

a mesma curvatura média constante H que M. Seja s o maior número positivo tal que M

∗

⊂ Ω.

Então, somente uma das seguintes possibilidades pode ocorrer:

(1) Existe um ponto p ∈ M ∩ M

∗

, com p /∈ Π

Neste caso, temos que M

∗

tangencia M em p, M

∗

e M possuem a m esma curvatura média

constante H e o mesmo vetor normal em p. Como M está acima de M

∗

em uma vizinhança

de p, então, o princípio do máximo para hipersuperfícies com curvatura média constante

assegura que M e M

∗

coincidem numa vizinhança de p.

(2) Não existe nenhum ponto em (M ∩ M

∗

)\Π

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 46

Nesse caso, sendo s o maior número positivo tal que M

∗

⊂ Ω, então existe um ponto

p ∈ M ∩ Π

tal que o espaço tangente a M em p é perpendicular ao hiperplano Π

Portanto, em uma vizinhança de p no semi-espaço {x ∈ R

n+1

; x

n+1

≥ s} temos que M e

∗

são duas hipersuperfícies com bordo com um ponto de tangência comum p ∈ ∂M ∩∂M

∗

e ∂M e ∂M

∗

são também tang entes em p. Além disso, M

∗

e M possuem o mesmo vetor

normal em p, a mesma curvatura média constante e M está acima de M

∗

numa vizinhança

de p. Portanto, pelo Teorema 2.5, M

∗

e M coincidem numa vizinhança de p.

Em qualquer dos dois casos acima, seja



S a componente conexa de M

∗

que contém o ponto

p e seja S a parte de M

da qual



S é reﬂetida, isto é,



S = S

∗

. Consideremos o conjunto A de

todos os pontos q em



S tais que M e



S coincidem numa vizinhança de q em



Aﬁrmamos que A é não-vazio, aberto e fechado. De fato, como p ∈ A, temos que A é não-

vazio. Mais ainda, por deﬁnição A é aberto, já que para cada q ∈ A existe uma vizinhança de q

contida em A. Mostremos que A é fechado. Tome q ∈ A. Por hipótese existe uma vizinhança

⊂



S de q tal que M e



S coincidem em V

. Como, em particular, M e



S são hipersuperfícies

contínuas, temos que elas também coincidem (em particular, são tangentes) nos pontos do bordo

de V

. Além disso, como elas possuem a mesma orientação neste conjunto, podemos aplicar o

Teorema 2.5 novamente e concluir que M e



S coincidem numa vizinhança de cada ponto do

bordo de V

, e logo, V

⊂ A, para cada q ∈ A, sendo que V

é o fecho de V

. Consequentemente,

A é fechado.

Por outro lado, sendo



S = A ∪ (



S\A), com A não-vazio e aberto e



S\A aberto. Como



S é

conexo, e A é não-vazio temos que



S\A é vazio e portanto



S = A, o que implica



S ⊂ M. Logo



S é fechado (pois



S = A), limitado (pois



S ⊂ M e M é limitada) e conexa. Isso implica que

S também tem estas propriedades e portanto



S ∪ S é uma hipersuperfície compacta e conexa

contida em M. Agora, se M não é igual a S ∪

S então

M = (S ∪

S) ∪ (M\(S ∪

S))

é uma reunião disjunta d e subconjuntos abertos, ambos não-vazios, o que contradiz a conexidade

de M. Assim, Π

é um hiperplano de simetria de M na direção dada e do Lema 2.6 segue que

M é uma hiperesfera. Isto conclui a d emon stração de Alexandrov.

2.4 O método de Reilly.

Em 1977, R.C. Reilly [28] encontrou uma prova diferente e simples do Teorema d e Alexandrov

combinando certas fórmulas i ntegrais. A essência da prova de Reilly está contida no seguinte

teorema.

Teorema 2.7 (Teorema de Reilly, [28]). Seja m M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfície compacta ori-

entada pelo campo normal interior e Ω o domínio regular limitado por M com M = ∂Ω. Se M

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 47

tem c ur vatura média H constante então

H ≤

A(M)

(n + 1)V (Ω)

, (2.2)

sendo V (Ω) e A(M) o volume (n + 1)-dimensional de Ω e a área n-dimensional de M, respecti-

vamente. Além disso, vale a igualdade em (2.2) se, e somente se M é uma hiperesfera.

De posse desse resultado, a demonstração de Reilly consiste em mostrar que vale a igual dad e

em (2.2). Para tanto, ele faz uso das famosas Fórmulas de Minkowski, cujos enunciados e as

respectivas demonstrações são como seguem.

Teorema 2.8 (Fórmulas de Minkowski). Sejam M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfíce compacta orien-

tada pelo campo normal unitário interior N e Ω o domínio regular limitado por M com ∂Ω = M.

Então



{1 + H(p)p, N(p)}dp = 0, (2.3)

(n + 1)V (Ω) +



p, N(p)dp = 0, (2.4)

sendo V (Ω) o volume (n + 1)-dimensional de Ω, e H a curvatura média de M.

Demonstração. Seja f ∈ C

∞

n+1

) deﬁnida por f(x) =

|x|

, x ∈ R

n+1

e z = f|

. Temos que

∇f(x) = x e

∆f(x) = n + 1. De (1.24) obtemos que ∆z(p) = n(1 + H(p)p, N(p)), para cada

p ∈ M . Pelo teorema da divergência (veja Teorema 1.26), obtemos



∆z(p)dp = 0. Isto por

sua vez implica (2.3). Por outro lado, o teorema da divergência (veja teorema 1.24) nos dá

(n + 1)V (Ω) =



Ω

∆f(x)dx = −



p, N(p)dp,

o que implica (2.4).

Vejamos agora a prova de Reilly para o Teorema de Alexandrov. Sendo M compacta, o

Teorema 1.28 assegura que M possui um ponto p

onde todas as curvaturas principais são

positivas, logo, em particular H(p

) > 0. Disto segue que a constante H é necessariamente

positiva. A gora, sendo H constante e positiva, segue das Fórmulas de Minkowski (2.3) e (2.4)

que

(n + 1)V (Ω) = −



p, N(p)dp = −



Hp, N(p)dp =

A(M),

donde concluímos que

H =

A(M)

(n + 1)V (Ω)

o que prova que vale a ig ual dade em (2.11). Portanto, de acordo com o Teorema de Reilly, M é

uma hiperesfera. Isto encerra a prova de Reilly do Teorema de Alexandrov.

Acompanhando os argumentos de [4], vejamos agora quais são as principais etapas da demons-

tração do Teorema de Reilly, que serão doravante denominadas o método de Reilly. A primeira

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 48

etapa desse método consiste em obter uma nova fórmula integral a partir da bem conhecida

Fórmula de Bochner [6], a qual, em nosso contexto, pode ser descrita como segue.

Teorema 2.9 (Fórmula de Bochner em R

). Sejam Ω ⊂ R

um aberto, X ∈ X(Ω) um campo de

vetores e S : X(Ω) → X(Ω) o campo de tensores deﬁnido por S(Y ) =

∇

X, para cada Y ∈ X(Ω).

Então, em cada ponto de Ω vale:

Div(

∇

X − Div(X)X) = tr(S

) − Div(X)

Demonstração. Das propriedades do divergente obtemos que

Div(

∇

X − Div(X)X) = Div(

∇

X) − Div(X)

− X(Div(X)).

Se {e

}

i=1

é a base canônica de R

, então Div(

∇

X) =





∇

X, e

. Utilizando a deﬁnição

(1.11) do tensor curvatura

R de R

obtemos

∇

X =

R(e

, X)X +

∇

X +

∇

,X]

R(e

, X)X +

∇

(S(e

)) + S([e

, X]).

De outro lado, é fácil ver que

∇

= 0 para todo Y ∈ X(Ω). Em particular, vale que [e

, X] =

∇

X = S(e

), e logo, S([e

, X]) = S

), e também



∇

(S(e

)), e

 = X(Se

, e

) − S(e

∇

 = X(S(e

), e

).

Destas observações concluímos que,

Div(

∇

X) =





R(e

, X)X, e

 + X(S(e

), e

) + S

), e



Ric(X, X) + X(tr(S)) + tr(S

)

Por último, observando que tr(S) = Div(X), e que a curvatura de Ricci de R

na direção X

veriﬁca Ric(X, X) = 0, obtemos o resu ltado desejado.

A aplicação da Fórmula de Bochner a um campo gradiente X =

∇f deﬁnido no compacto

Ω cujo bordo é uma hipersuperfície compacta M, sendo f ∈ C

∞

(Ω), e o uso do teorema da

divergência permitiram a Reilly obter uma nova fórmula integral.

Teorema 2. 10 (Fórmula de Reilly). Sejam M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfície compacta o rie ntada

pelo campo normal unitário interior N e Ω ⊂ R

n+1

o domínio regular limitado por M com

∂Ω = M. Se f ∈ C

∞

(Ω) então



Ω

{(

∆f)

− |

∇

}dx =



{−2u∆z + nHu

+ A(∇z), ∇z}dp, (2.5)

sendo z = f|

, u = ∂f/∂N = 

∇f, N e

∇

f é o hessiano de f em R

n+1

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 49

Demonstração. Seja X =

∇f. Pela fórmula de Bochner (2.9), obtemos

Div



∇

∇f

∇f −

∆f

∇f



= tr(S

) − (

∆f)

Agora, observe que, neste caso, o campo de tensores S na fórmula de Bochner é o hessi ano de f,

isto é S(Y ) =

∇

∇f =

∇

f(Y ), para Y ∈ X(

Ω), logo,

S

(Y ), Y  = 

∇

f(S(Y )), Y  =

∇

f(S(Y ), Y ) =

∇

f(Y, S(Y )) = |

∇

f(Y )|

e portanto, se {e

}

n+1

i=1

é a base canônica de R

n+1

, então, podemos calcular

tr(S

) =



S

, e

 =



∇

f(e

= |

∇

Deste modo, a fórmula de Bochner pode ser reescrita na forma

(

∆f)

− |

∇

= Div



∆f

∇f −

∇

∇f)



Logo, pelo teorema da divergência, obtemos



Ω

{(

∆f)

− |

∇

}dx =



{

∇

∇f, N) −

∆f

∇f, N}dp.

Por outro lado, já obtivemos em (1.17) e (1.20) as seguintes expressões

∇f = ∇z + uN e

∆f = ∆z − nH

∇f, N +

∇

f(N, N),

válidas em cada ponto de M. Além disso, aﬁrmamos que em cada ponto de M podemos escrever

∇

∇f, N) = div(u∇z) − u∆z + A(∇z), ∇z + u

∇

f(N, N).

De fato, utilizando as propriedades do hessiano e as fórmulas acima, obtemos

∇

∇f, N) =

∇

f(∇z + uN, N) =

∇

f(∇z, N) + u

∇

f(N, N).

Também temos,

∇

f(∇z, N) = 

∇

∇z

∇z, N + ∇u, ∇z + u

∇

∇z

N, N

= A(∇z), ∇z+ ∇u, ∇ z

Portanto,

∇

∇f, N) = A(∇z), ∇z+ ∇u, ∇z + u

∇

f(N, N)

= div(u∇z) − u∆z + A(∇z), ∇z + u

∇

f(N, N),

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 50

o que prova a aﬁrmação feita. Temos então que

∇

∇f, N) − u

∆f = div(u∇z) − 2u∆z + nHu

+ A(∇z), ∇z.

Logo, da versão do Teorema da divergência dada no Teorema 1.26, obtemos



{

∇

∇f, N) − u

∆f}dp =



{−2u∆z + nHu

+ A(∇z), ∇z}dp,

e portanto segue a fórmula de Reilly.

Antes de abordarmos a próxima etapa do método de Reilly, recordemos a desigualdade de

Schwarz, que será de fundamental importância no que segue.

Lema 2.11 (Desigualdade de Schwarz). Sejam Ω ⊂ R

um aberto e f ∈ C

∞

(Ω). Então

(

∆f)

≤ m|

∇

valendo a igualdade se, e somente se, existe uma função k : Ω → R tal que

∇

(·, ·) = k(x)·, ·,

para cada x ∈ Ω.

Demonstração. A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que

[tr(T )]

≤ m tr(T

)

para toda aplicação linear auto-adjunta T : R

→ R

, valendo a igualdade se, e somente se, T é

um múltiplo da identidade. Se apl icarmo s isto a cad a aplicação linear

∇

: R

→ R

deﬁnida

por

∇

(v) =

∇

∇f para cada v ∈ R

e cada x ∈ Ω, teremos que

[

∆f(x)]

= [Div

∇f(x)]

= [tr(

∇

)]

≤ mtr((

∇

)

valendo a igualdade se, e somente se,

∇

= k(x)I para algum k(x) ∈ R, o que equivale a

∇

(·, ·) = k(x)·, ·. Por outro lado, se {e

}

i=1

é uma base ortonormal de R

temos que

tr((

∇

)

) =



(

∇

)

), e

 =





∇

)(e

), (

∇

)(e

) = |

∇

o que encerra a demonstração.

Seja M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfície compacta orientada pelo campo normal unitário interior

N, e seja Ω ⊂ R

n+1

o domínio regular limitado por M com ∂Ω = M. Observe que não estamos

supondo que M tenha curvatura média constante. Vejamos agora a etapa crucial do método de

Reilly, na qual ele utili za de modo genial a fórmula de Reilly para estudar a geometria do bordo

∂Ω = M. Consideremos f ∈ C

∞

(Ω) a solução do seguinte problema de Dirichlet:



∆f = 1, em Ω

f = 0 sobre M = ∂Ω.

(2.6)

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 51

A existência de solução para este problema de Dirichlet desempenha no método de Reilly um

papel análogo ao do Princípio do Máximo de Hopf no méto do de Alexandrov, e sua demonstração

é não-trivial e pod e ser encontrada em [12]. Reilly observa que a derivada normal de f sobre M

veriﬁca desigualdades integrais que envolvem a geometria de M. Para enunciar a p rimeira delas,

denotemos por u =

∂f

∂N

∈ C

∞

(M) a derivada normal da solução do probl ema de Dirichlet (2.6).

Então

V (Ω)

n + 1

≥



H(p)u(p)

dp (2.7)

valendo a igualdade se, e somente se, M é uma hiperesfera.

Vejamos a prova desta desigualdade. Observe inicialmente que f = 0 sobre M implica que

z = f |

= 0, e portanto ∇z = 0 sobre M. Deste modo, a Fórmula de Reilly (2.5) se reduz a



Ω

(1 − |

∇

)dx =



nH(p)u(p)

dp.

Por outro lado, integrando sobre Ω a desigualdade de Schwarz 1 = (

∆f(x))

≤ (n + 1)|

∇

utilizando a igualdade acima obtemos

V (Ω) =



Ω

(

∆f(x))

dx ≤ (n+1)



Ω

∇

dx = (n+1)V (Ω) − (n+1)



nH(p)u(p)

donde segue imediatamente a desigualdade (2.7).

De outro lado, vale a igualdade em (2.7) se, e somente se vale a igualdade na desigualdade

de Schwarz, isto é, se, e somente se existe uma função k : Ω → R tal que

∇

(v) = k(x)v, para

cada x ∈ Ω e cada v ∈ R

n+1

. Vejamos que necessariamente temos k(x) =

n+1

para todo x ∈ Ω.

De fato,

1 =

∆f(x) = tr(

∇

) = tr(k(x)I) = (n + 1)k(x).

Deste modo, obtemos que vale a igualdade em (2.7) se, e somente se

∇

n+1

I para cada

x ∈ Ω, isto é, se, e somente se,

∂

∂x

n + 1

, i, j = 1, . . . , n + 1. (2.8)

Por integração direta em (2.8), vemos que f tem que ser da forma

f(x) =

2(n + 1)

|x|

+ a, x + b,

com a = (a

, . . . , a

n+1

) ∈ R

n+1

e b ∈ R. Completando quadrados, podemos escrever

f(x) =

2(n + 1)

|x + (n + 1)a|

+ b −

n + 1

|a|

CAPÍTULO 2. HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 52

Agora, observe que M = ∂Ω é não-vazio e f(x) = 0 para cada x ∈ ∂Ω. Daí,

2(n + 1)

|x + (n + 1)a|

n + 1

|a|

+ b,

qualquer que seja x ∈ ∂Ω. Como M = ∂Ω possui mais de um ponto, o lado direito da igualdade

acima deve ser necessariamente positivo e portanto M é uma hiperesfera centrada em −(n + 1)a

de raio



(n + 1){(n + 1)|a|

+ 2b}.

Em resumo, vale a igualdade em (2.7) se, e somente se M é uma hiperesfera. Isto encerra a

demonstração da primeira desigualdade.

A segunda desigualdade integral estabelecida por Reilly foi a seguinte



u(p)

dp ≥

V (Ω)

A(M)

, (2.9)

sendo A(M ) a área (volume n-dimensional) de M. Para demonstrá-la, utilizamos o Teorema da

divergência para obter

V (Ω) =



Ω

1dx =



Ω

∆f(x)dx = −



∂f

∂N

(p)dp = −



u(p)dp, (2.10)

e a desigualdade de Cauchy-Schwarz para concluir que

V (Ω)





u(p)dp



≤ A(M)





u(p)



, ou seja,



u(p)

dp ≥

V (Ω)

A(M)

o que termina a demonstração da segunda desigualdade integral veriﬁcada pela derivada normal

da solução do problema de Dirichlet (2.6).

Finalizaremos este capítulo com a demonstração do Teorema de Reilly. Seja M ⊂ R

n+1

uma

hipersuperfície compacta com curvatura média H constante. Admita que M está orientada pelo

campo normal interior N e seja Ω o domínio regular limitado por M com ∂Ω = M. Sendo

M compacta, o Teorema 1.28 assegura que M possui um ponto p

onde H(p

) > 0. Logo a

constante H é necessariamente positiva. De (2.7) e (2.9) obtemos

V (Ω)

n + 1

≥



H(p)u

(p)dp = H



(p)dp ≥ H

V (Ω)

A(M)

o que prova a primeira parte do Teorema de Reilly, isto é,

H ≤

A(M)

(n + 1)V (Ω)

. (2.11)

Além disso, vale a igualdade em (2.11) se, e somente se vale a igualdade em (2.7), ou seja, se, e

somente se, M é uma hiperesfera. Isto termina a prova do Teorema de Reilly.

Capítulo 3

Hipersuperfícies com r-curvatura média

constante

3.1 O Teorema de Alexandrov para curvatura média de ordem

superior

O m étodo de Reilly revelou-se fundamental no tópico que estuda as hipersuperfícies compac-

tas de R

n+1

que possuem alguma r-curvatura média constante. De fato, em 1987, Ros [30] pôde

estender o Teorema de Alexandrov para o caso de hipersuperfícies compactas com curvatura

escalar H

constante, solucionando um problema proposto por Yau [34]. Mais geralmente, Ros

[29] foi capaz de estendê-lo ao caso de hipersuperfícies compactas com alguma r-curvatura média

constante, estabelecendo a seguinte caracterização das hiperesferas euclidianas.

Teorema 3.1 (Teorema de Ros, [30], [29]). As únicas hipersuperfícies compactas do espaço

euclidiano com alguma r-curvatura média constante são as hiperesferas.

Como mencionado acima, esta caracterização das hiperesferas euclidianas obtida por Ros

faz uso do método de Reilly. Para que este método funcione nesta situação, Ros utiliza outros

teoremas de fundamental importância neste tópico. O primeiro deles é uma generalização das

Fórmulas de Minkowski 2.3, já o segundo, é uma nova desigualdade integral obtida p or Ros, e

por último, as clássicas desigualdades de G˙arding [11]. Na próxima seção descreveremos os dois

primeiros (seguindo os argumentos de [4]), já que uma discussão mais profunda das desigualdades

de G˙arding nos levaria muito longe do nosso objetivo nesta dissertação.

Agora, recordemos que o Teorema de Alexandrov pode ser demonstrado tanto via método de

reﬂexão de Alexandrov quanto via método de Reilly. Esta observação nos leva a uma pergunta

natural. O método de reﬂexão de Alexandrov pode ser utilizado para demonstrar o Teorema

de Ros? Claramente, a resposta a esta questão está vinculada à existência d e uma versão do

Princípio do máximo de Hopf para hipersuperfícies com r-curvatura média constante. Esta

questão será abordada na Seção 3.3.

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 54

3.2 A. Ros e o método de Reilly.

Vejamos agora os resultados fundamentais utilizados por Ros em sua prova do Teorema 3.1

(seguindo o roteiro indi cado em [4]). O primeiro deles é a generali zação da Fórmula d e Minkowski

2.3.

Teorema 3.2 (Fórmulas de Minkowski). Seja M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfície compacta. Então,



(p) + H

r+1

(p)p, N(p)}dp = 0, (3.1)

para cada r = 0, . . . , n − 1; sendo H

≡ 1, por deﬁnição.

Demonstração. As fórmulas de Minkowski foram demonstradas primeiramente por Hsiung em

[17] usando o método de hipersu perfícies paralelas. Seguiremos a mesma linha de raciocínio.

Sendo M uma hipersuperfície compacta do R

n+1

então o Teorema d e Brouwer-Samelson nos diz

que M é orientável (veja [25]). Admitiremos então que M está orientada pelo campo normal

unitário interior N.

Inicialmente deﬁniremos a noção de hipersuperfície paralela (segui ndo os argumentos contidos

em [27]). Consideremos a apli cação diferenciável Φ : M × R → R

n+1

deﬁnida por Φ(p, t) =

p + tN(p) para p ∈ M e t ∈ R. A diferencial de Φ em um ponto (p, t) ∈ M × R é dada por

dΦ

(p,t)

(v, 0) = v + tdN

(v), v ∈ T

M (3.2)

dΦ

(p,t)

(0, 1) = N(p).

Portanto, fazendo t = 0 concluímos que dΦ

(p,0)

é um isomorﬁsmo linear entre T

M × R e

n+1

. Do Teorema da função inversa segue que existem uma vizinhança V de p em M e um

número δ > 0 tais que Φ aplica V ×(−δ, δ) difeomorﬁcamente sobre sua imagem N

(V ) ⊂ R

n+1

denominada uma vizinhança tubular de V em R

n+1

. Note que N

(V ) = ∪

p∈M

(p), sendo

(p) = {p + tN(p); |t| < δ} o segmento aberto de comprimento δ da reta normal a M passando

por p. Sendo M compacta podemos cobri-la com um número ﬁnito de tais vizinhanças V e

tomar δ como sen do o menor dentre eles. Portanto, a aplicação Φ, restrita a M × (−δ, δ) é um

difeomorﬁsmo local. Aﬁrmo que existe um  ∈ (0, δ) tal que a aplicação Φ restrita a M ×(−, )

é injetiva. De fato, se não for assim , para cada k ∈ N existiriam pontos p

, q

∈ M com p

= q

1/k

) ∩ N

1/k

) = ∅

Sendo M compacta, podemos supor que as sequências p

e q

convergem em M para p e q. Se

tomamos r

∈ N

1/k

) ∩ N

1/k

) então

− q

| ≤ |p

− r

| + |r

− q

| <

e portanto p = q. Agora, seja N

(V ) uma vizinhança tubular de uma vizinhança V de p = q de

acordo com o estabelecido acima. Sabemos que existe k

tal que p

, q

∈ V e 1/k < ρ para to do

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 55

k ≥ k

. Mas então teremos uma contradição, visto que

1/k

) ∩ N

1/k

) ⊂ N

) ∩ N

) = ∅

desde que N

(V ) é uma vizinhança tubular e portanto Φ restrita V × (−ρ, ρ) deve ser injetiva.

Portanto, concluímos que existe  > 0 tal que

Φ : M × (−, ) → N



(M) = Φ(M × (−, ))

é injetiva e é um difeomorﬁsmo local. Desde que ela é obviamente sobrejetiva, deve ser um

difeomorﬁsmo. Agora, para cada |t| <  deﬁna M

= {Φ(p, −t); p ∈ M}, e seja φ

: M →

⊂ R

n+1

a aplicação deﬁnida por

(p) = Φ(p, −t), p ∈ M.

É claro que φ

é um homeomorﬁsmo. Por outro lado, se p ∈ M e {e

}

i=1

são as direções princi pai s

de M em p, então

(dφ

)

) = e

− tdN

) = (1 + tκ

(p))e

, i = 1, . . . , n.

Note que se para algum i tivermos (dφ

)

) = 0 então de (3.2) teremos dΦ

(p,t)

, 0) = 0

o que é impossível, tendo em vista que Φ é um difeomorﬁsmo em M × (−, ). Portanto φ

tem diferencial injetiva em cada ponto p ∈ M e para cada t ∈ (−, ). Portanto, a imagem

= φ

(M) é uma hipersuperfície de R

n+1

e φ

: M → M

é um difeomorﬁsmo para cada t,

|t| < . Denominaremos M

por hipersuperfície paralela a M à distância orientada t. Observe

que, dados p ∈ M e v ∈ T

M, temos

(dφ

)

(v) = v + tA

(v),

e isto implica que, para todo p ∈ M, o espaço tangente a M em p coincide com o espaço tangente

a M

em p

= p − tN(p), de maneira que N

) = N(p) deﬁne uma orientação para M

. Veja

também que N

◦ φ

= N. Assim, para cada p ∈ M temos, pela regra da cadeia, que

= −dN

= −(dN

)

(p)

(dφ

)

= (A

)

(dφ

)

Denotaremos (A

)

por A

. Seja v ∈ T

M um autovetor de A

associado a um autovalor λ.

Temos que

λv = A

(v) = A

(dφ

)

(v) = A

(v + tA

(v)) = (1 + λt)A

(v).

Note que, se 1 + λt = 0 para algum t ∈ (−, ), então (dφ

)

(v) = 0 com v = 0, o que contradiz

o fato de φ

ser um difeomorﬁsmo. Assim,

(v) =

1 + tλ

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 56

e portanto, v é um autovetor de A

associado ao autovetor

1+λt

. Em particular, se e

, . . . , e

∈

M são direções principais de M com curvaturas principa is κ

(p), . . . , κ

(p), respectivamente,

então e

, . . . , e

também são direções principais de M

em p

com curvaturas principais

) =

(p)

1 + tκ

(p)

, i = 1, . . . , n.

Denotando por H(p

) a curvatura média de M

no ponto p

obtemos

H(p

) =



i=1

) =



i=1

(p)

1 + tκ

(p)



(t)

P (t)

sendo P (t) =



i=1

(1 + tκ

(p)), para t ∈ (−, ). Aplicando a Fórmula de Minkowski (2.3) à

hipersuperfície M

obtemos



{1 + H(p

)p

, N(p

)}dp

= 0

Vamos expressar esta integral sobre M

como uma integral sobre M, utilizando a mudança de

variáveis dada pelo difeomorﬁsmo φ

. Como N

◦φ

= N, temos que φ

preserva as orientações.

Pelo teorema de mudança de variáveis



(M)

f(p

)dp



(f ◦ φ

)(p) det((dφ

)

)dp,

para cada f ∈ C

∞

). Observe que M

= φ

(M), e que, além disso, em uma base de T

formada por direções principais, temos que

(dφ

)

= I + tA

= diag((1 + tκ

(p), . . . , 1 + tκ

(p))).

Assim, sendo o determinante invariante por mudança de base, obtemos det((dφ

)

) = P (t).

Agora, aplicando o teorema de mudança de variáveis e usando a expressão obtida para N

H(p

) obtemos

0 =



{1 + H(p

)p

, N

)}dp





P (t) +



(t)p − tN(p), N(p)



dp.

Como p − tN(p), N(p) = p, N(p) − t temos então que





P (t) −



(t) +



(t)p, N(p)



dp = 0, |t| < . (3.3)

Por outro lado,

P (t) =



i=1

(1 + k

(p)) =



i=0





(p)t

, e P



(t) =



i=1





(p)t

i−1

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 57

Daí, escrevendo H

(p) = H

obtemos que

P (t) −



(t) +



(t)p, N(p) = 1 +



i=1



n−i









p, N(p)t

i−1



Veja que a soma dos termos i e i + 1 do somatório acima, com i = 1, . . . , n − 1, é igual a





p, N(p)t

i−1

i+1



i+1



+ H

i+1

p, N(p)}t

n−(i+1)



i+1



i+1

Daí,

P (t) −



(t) +



(t)p, N(p) =

n−1



i=0

i+1



i+1



+ H

i+1

p, N(p)}t

Substituindo isto na igualdade (3.3), obtemos

n−1



i=0

i+1



i+1





+ H

i+1

p, N(p)}dp t

= 0,

qualquer que seja t ∈ (−, ). Logo, da igualdade de polinômios segue que



+ H

i+1

p, N(p)}dp = 0, i = 0, . . . , n − 1,

o que prova o teorema.

A Fórmula de Minkowski é um dos ingredientes básicos na prova de Ros do Teorema 3.1. Um

outro é uma nova desigualdade i ntegral para hipersuperfícies compactas do espaço euclidiano.

Esta desigualdade, inspirada no trabalho de Heintze & Karcher [13], fornece uma estimativa do

volume do domínio limitado pela hipersuperfície em termos de sua curvatura média.

Teorema 3.3 (Desigualdade de Ros [29]). Sejam M ⊂ R

n+1

uma hipersuperfície compacta e Ω

o domínio regular limitado por M com ∂Ω = M . Se a curvatura média H da hipersuperfície M

com relação ao campo unitário normal interior é positiva em todos os pontos, então



H(p)

dp ≥ (n + 1)V (Ω). (3.4)

e v ale a igualdade se, e somente se, M é uma hiperesfera.

Demonstração. A prova de Ros para a desigualdade (3.4) utiliza o método de Reilly que des-

crevemos na Seção 2.4. Recordemos que Reilly começa por considerar a solução f ∈ C

∞

(Ω) do

seguinte problema de Dirichlet:



∆f = 1, em Ω

f = 0 sobre M = ∂Ω.

(3.5)

Então, deﬁnindo u ∈ C

∞

(Ω) como sendo a derivada normal de f, isto é, u =

∂f

∂N

, obtemos, via

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 58

teorema da divergência que

V (Ω) =



Ω

1dx =



Ω

∆f(x)dx = −



u(p)dp.

Agora, utilizando a hipótese de que a curvatura média H é semp re posi tiva (não necessariamente

constante), e aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz à igualdade acima, obtemos que

V (Ω)





udp







√



≤











Por outro lado a desigualdade de Reilly (2.7) nos diz que



dp ≤

V (Ω)

n + 1

a qual combinada com a desigualdade anterior nos mostra que

V (Ω)

≤

V (Ω)

n + 1







o que prova (3.4). Além dis so, vale a igualdade em (3.4) se, e somente se vale a igualdade em

(2.7), e isto, sabemos que o corre se, e somente se M é uma hiperesfera.

Vejamos agora a demonstração do Teorema de Ros. Suponha que a r-curvatura média H

é constante para algum 1 ≤ r ≤ n. A compacidade de M e o Teorema 1.28 asseguram que M

tem um ponto onde todas as curvaturas principais são p os itivas (estamos supondo que M está

orientada pelo campo normal unitário interior N). Portanto H

é uma constante positiva. Logo,

as desigualdades de G˙arding [ 11] nos dizem que

r−1

(p) ≥ H

(r−1)/r

> 0, (3.6)

e também

H(p) ≥ H

1/r

> 0. (3.7)

para todo p ∈ M. Por outro lado, de acordo com a Fórmula de Minkowski (2.4) temos

(n + 1)V (Ω) = −



p, N(p)dp,

a qual, quando multiplicada pela constante H

e combinada com a Fórmula de Minkowski (3.1),

segue que

(n + 1)H

V (Ω) = −



p, N(p)dp =



r−1

(p)dp.

Agora, integrando a desigualdade de G˙arding (3.6) sobre M obtemos



r−1

(p)dp ≥



1−

dp = H

1−

A(M),

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 59

a qual inserida na igualdade precedente nos mostra que

(n + 1)H

V (Ω) ≥ H

1−

A(M)

isto é,

1/r

≥

A(M)

(n + 1)V (Ω)

. (3.8)

Por outro lado, combinando a desigualdade de Ros (3.4) e a segunda desigualdade de G˙arding

(3.7) obtemos,

(n + 1)V (Ω) ≤



H(p)

dp ≤



1/r

dp =

1/r

A(M)

ou seja,

1/r

≤

A(M)

(n + 1)V (Ω)

e vale a igualdade se, e somente se vale a igualdade na desigualdade de Ros (3.4), ou seja,

se, e somente se M é uma hiperesfera. Por último combinando a desigualdade acim a com a

desigualdade (3.8) obtemos a igualdade

1/r

A(M)

(n + 1)V (Ω)

o que implica que M é uma hiperesfera, e termina a prova do Teorema de Ros.

Observação 3.4.

A demonstração de Ros no caso em que a curvatura escalar S = n(n −1)H

é uma constante

positiva não faz uso das desigualdades de G˙arding. De fato, de (1.16) concluímos que n

≥

n(n − 1)H

, donde segue que H

≥ H

, o que prova (3.7) no caso r = 2 (veja [30]).

3.3 N. Korevaar e o método de Alexandrov

Vimos na seção anterior que a caracterização das hiperesferas euclidianas como sendo as

únicas hipersuperfícies compactas do espaço euclidian o que possuem alguma r-curvatura média

constante foi obtida por Ros utilizando o método de Reilly. Deste modo, é natural questionar

se o método de Alexandrov também pode ser utilizado para demonstrar o Teorema de Ros.

Esta questão foi resolvida por Korevaar [20]. Nesse trabalho, Korevaar utilizou as idéias de

Caﬀarelli, Nirenberg & Spruck [7] para mostrar que a equação diferencial parcial associada à

r-curvatura média constante também obedece um princípio do máximo, obtendo assim uma

nova demonstração do Teorema de Ros, de modo independente e quase que simultaneamente,

utilizando o método de reﬂexão de Alexandrov.

A ﬁm de que possamos apresentar o Princípio do máximo para hipersuperfícies com r-

curvatura média constante, é preciso que determinemos o operador H

associado à r-curvatura

média H

de um gráﬁco, para 2 ≤ r ≤ n. Para isso seguiremos as idéias contidas em [23].

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 60

Proposição 3.5. Seja u ∈ C

(Ω) uma função deﬁnida num domínio Ω ⊂ R

. Para cada

1 ≤ r ≤ n, a r-curvatura média H

do g ráﬁco de u satisfaz





r+2



<···<j

− u

− . . . − u

)



. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u



− 2



j<k









<···<i

=j,k



. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u









. (3.9)

A prova dessa proposição depende do seguinte l ema.

Lema 3.6. O polinômio Q(t) = det(R −tS), sendo R e S matrizes arbitrárias de ordem n, pode

ser escrito como uma soma de determinantes. O termo livre de Q(t) é det(R). O coeﬁciente

de (−t)

é a soma dos determinantes obtidos trocando na matriz R quaisquer j colunas pelas

colunas correspondentes da matriz S.

Demonstração. Provaremos este resultado por indu ção sobre a ordem das matrizes. Para matri-

zes de ordem 1 o resultado é trivial. Suponha que o resultado é válido para matrizes quadradas de

ordem (n −1), para n ≥ 2 inteiro. Mostremos que o resultado é válido para matrizes quadradas

de ordem n e po rtanto, pelo princípio de indução, vale para qualquer n natural.

Suponha que R e S são matrizes quadradas de ordem n, com R = [r

] e S = [s

]. Logo

R − tS = [r

− ts

]. Daí,

det(R − tS) =



i=1

(−1)

i+1

− ts

)det(R

− tS

sendo que R

e S

são as i−ésimas submatrizes de R e S, respectivamente. Pela hipótese de

indução,

det(R

− tS

) =

n−1



j=0

(−t)

)|,

com |R

)| denotando a soma dos determinantes obtidos trocando j colunas em R

pelas

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 61

colunas correspondentes de S

. Assim,

det(R − tS) =

n−1



j=0

(−t)



i=1

(−1)

i+1

)| +

n−1



j=0

(−t)

j+1



i=1

(−1)

i+1



i=1

(−1)

i+1

)| +

n−1



l=1

(−t)





i=1

(−1)

i+1

)| +



i=1

(−1)

i+1

l−1



+ (−t)



i=1

(−1)

i+1

n−1

= det(R) +

n−1



l=1

|R(s

)|(−t)

+ det(S)(−t)

o que prova o resultado para n.

Veja que, se S for a matriz identidade, teremos |R(s

)| =



|J|=n−l

det(R

), l = 1, . . . , n −1,

sendo que a notação |J| = k signiﬁca que J = {j

, . . . , j

} é um conjunto de k índices tais que

1 ≤ j

< . . . < j

≤ n, e R

denota a submatriz principal de ordem k de R com linhas e colunas

indexadas por J.

Nesse contexto, observamos que as curvaturas H

(p), para 1 ≤ r ≤ n, em um ponto p de

uma hipersuperfície orientada M em R

n+1

com campo normal unitário N, p odem ser deﬁnidas

juntamente por

det(tI

− A

) = t

− nH

(p)t

n−1





(p)t

n−2

− . . . + (−1)

(p), t ∈ R. (3.10)

Já vimos que, ﬁxada uma base de T

M, a matriz do operador forma [A

] em p é d ada pelo

produto [A

] = [I

]

−1

[II

] (Lema 1.19). Portanto, de acordo com o Lema acima, o coeﬁciente

de (−t)

no polinômio característico P(t) = det([A

] − tI) pode ser expresso como soma de

menores principais de ordem n −r, consequentemente a função H

(p), como mostra o coeﬁciente

de t

n−r

em (3.10), satisfaz





(p) =



|J|=r

det([A

]

), r = 1, . . . , n. (3.11)

Evidentemente, se tomarmos uma base de T

M que diagonaliza A

, segue que qualquer submatriz

principal r ×r é diagonal com entradas κ

, . . . , κ

, e portanto reobtemos a expressão (1.7), isto





(p) =



<...<j

(p) ···κ

(p) = σ

(κ

(p), . . . , κ

(p)).

Além disso, se mudamos a orientação da hipersuperfície M trocando N por −N, é fácil ver que

troca de sinal se r for ímpar, e não troca se r for par; isto é, quando r é ímpar, H

é extrínseca

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 62

(e seu sinal depende da escolha da orientação) e quando r é par, H

é intrínseca (e seu sinal

independe da escolha da orientação).

Demonstração da proposição 3.5. Seguiremos as idéias contidas em [23]. Já mostramos este re-

sultado para r = 1 na seção 2.2. Mostremos agora para r > 1. Denotando A

por A e utilizando

(3.11) e (1.7) obtemos





(p) = σ

(κ

, . . . , κ

) =



|J|=r

det([A]

Usaremos o Lema 3.6 para calcular det([A

]). Por (1.10) podemos escrever

−W

] = [u

] − W

], (3.12)

com t = W

, R

= u

e S

= u

. Observe que todas as colunas de R são múltiplas de

. . . u

]. Assim, o determinante menor obtido substituindo na submatriz R

, com |J| = r, j

colunas pelas colunas corresp ond entes da submatriz S

, é zero qu and o pelo menos duas colunas

de R

não são substituídas. Disso segue que os coeﬁcientes de (−t)

em det(R

−tS

) são nulos,

exceto quando j = r ou j = r −1. Apresentaremos apenas o caso J = {1, . . . , r}, p ois este ilustra

perfeitamente o raciocínio e nos permite evitar a notação pesada do caso geral. Segue de (3.12)

que

(−W

)

det(A

) = det









. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u



− W



. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u









= (−W

)



. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u



+ (−W

)

r−1









. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u



+ . . . + c



. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u









(3.13)

O j-ésimo determinante aparecendo no coeﬁciente de (−W

)

r−1

é igual a



i=1

∆

, sendo ∆

o cofator (i, j) de S

. É conveniente separar c



k=1

em duas somas de índices de k ∈ J

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 63

e k /∈ J. Segue então que o coeﬁciente de (−W

)

r−1

é igual a



j=1





k∈J



k /∈J





i=1

∆





j∈J







i,k∈J

∆



i∈J, k /∈J

∆











i,k∈J



i∈J, k /∈J







j∈J

∆

Temos que o último fator acima é o determinante obtido trocando na submatriz S

sua i-ésima

linha por [u

. . . u

]. Quando k ∈ J, tal determinante é igual a zero ou é igual a det(S

dependendo se k = i ou se k = i. Assim a primeira soma é reduzida a





i∈J



det(S

Observe que o resultado obtido até aqui vale para qualquer conjunto de índices J, com |J| = r.

Dividindo (−W

)

det(A

) em (3.13) por (−1)

2(r−1)

, obtemos que

r+2

det(A

) =



−



i∈J



det(S

) −



i∈J, k /∈J







j∈J

∆





para qualquer conjunto de índices J de comprimento r. A soma sobre |J| = r no s dá





r+2





−



i∈J



det(S

) −



i∈J, k /∈J







j∈J

∆





. (3.14)

O termo



j∈J

∆

aparecendo na igualdade acima é o determinante obtido trocando na

submatriz S

da matriz simétrica [u

] a linha de ordem i ∈ J pela corresp on dente linha indexada

por k /∈ J, que coincide com





∈J



∆



, onde J



é ob tida de J após trocar i ∈ J por

k /∈ J. Permute algumas linhas de S



, transponha a matriz resultante e ﬁnalmente transponha

o mesmo número de linhas. Obtemos então que ambas expressões do determinante acima podem

ser transformadas em



. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u



onde a seqüência de r − 1 índices de j

< . . . < j

juntamente com i (ou k) formam J (ou J



Assim o segundo somando em (3.14) é duplicado, uma vez que i e k são intercambiados, o que

prova (3.9).

Deﬁnição 3.7. O operador H

, para r > 1, associado à r-curvatura média H

do gráﬁco de u é

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 64

deﬁnido por

[u] =



<···<j

− u

− . . . − u

)



. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u



− 2



j<k









<···<i

=j,k



. . . u

. . . . . . . . . . . .

. . . u









. (3.15)

Observe que a proposição 3.5 nos dá

[u] =





r+2

. (3.16)

O op erador H

, para r > 1, não é quasilinear com respeito a nenhuma função. Por deﬁnição,

um operador de segunda ordem F agindo continuamente em (

∇

∇u) é chamado totalmente

não linear se sua ação nas segundas derivadas {u

} não é linear. Em outras palavras, quando

F não é um operador quasilinear de segunda ordem.

Embora seja totalmente não linear e muito mais complicada que a equação da curvatura

média (2.1), a equação da r-curvatura média (3.15), para r > 1, também obedece a um princípio

do máximo.

Teorema 3.8 (Princípio do máximo para r-curvatura média constante, Korevaar [20]).

(i) Ponto interior : Para um dado 2 ≤ r ≤ n, sejam M, M



⊂ R

n+1

hipersupe rfí cie s orientadas

com r-curvatura média constante satisfazendo H

≤ H



. Suponha que M e M



têm o mesmo

vetor normal em um ponto de tangência p ∈ M ∩ M



, e também que M



tem um ponto onde

todas as curvaturas principais são positivas. Então M não pode permanecer acima de M



uma vizinhança de p, a não ser que as hipersuperfícies coincidam localmente.

(ii) Ponto de bordo : Sejam M, M



⊂ R

n+1

hipersupe rfí cie s orientadas, com bordos ∂M e ∂M



respectivamente, com r-curvatura média constante satisfazendo H

≤ H



para um dado 2 ≤ r ≤

n. Assuma que M e M



bem como seus bordos são tangentes em p ∈ (∂M ∩∂M



), tendo o mesmo

vetor normal no ponto de tangência, e também que M



tem um ponto onde todas as curvaturas

principais são positivas. Então M não pode permanecer acima de M



numa vizinhança de p,

exceto quando as hipersuperfícies coincidem localmente.

Veja que, em contraste ao Princípio do máximo para curvatura média constante (Teorema

2.5), o Princípio do máximo para r-curvatura média constante, para r ≥ 2, tem uma hipótese

adicional, a saber, a existência de um ponto em M



onde todas as curvaturas principais M



são

positivas. Uma razão pa ra tal hipótese pode ser encontrada no seguinte exemplo: considere M

e M



duas esferas em R

de raio 1 que são tangentes exteriormente em um ponto p. Orientando

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 65

estas esferas de modo que elas tenham o mesmo vetor normal no ponto p, uma delas estará

sobre a outra em uma vizinhança do ponto p. Além disso, como a 2-curvatura média é, nesse

caso, a curvatura gaussiana, então H

= H



≡ 1 quaisquer que sejam as orientações escolhidas.

Entretanto, as duas esferas não coincidem em nenhuma vizinhança do ponto de tangência.

Demonstração do Teorema 3.8. Semelhantemente à prova do princípio do máximo para curva-

tura média constante (Teorema 2.5), a prova do Teorema 3.8 é também uma aplicação do Prin-

cípio do máximo de Hopf. A prova que apresentaremos segue as idéias contidas em [23] com

algumas pequenas adaptações. Procedendo como na prova do Teorema 2.5, suponhamos que o

ponto de tan gência p seja a origem 0 ∈ R

n+1

, e escrevamos M e M



como gráﬁcos das funções

u e u



, respectivamente, deﬁnidas em uma vizinhança de 0 em R

, se p for um ponto interior

de M e M



, ou em u m semi-espaço, se p for um ponto de bordo de M e M



, com a n ormal

apontando para cima. Assim teremos que u(0) = u



(0) = 0 e

∇u(0) =

∇u



(0) = 0. Por (1.10),

isto implica que A

= [u

(0)] e A



= [u



(0)]. Logo os autovalores das matrizes Hessianas de u

e u



na origem são as curvaturas principais de M e M



em p, respectivamente. Denotamos por

k(q) = (κ

(q), . . . , κ

(q)) o vetor de R

cujas componentes são as curvaturas principais ordenadas

(q) ≥ . . . ≥ κ

(q) de M em q, e o chamamos de vetor curvatura de M em q. Analogamente,

denotamos por k



o vetor curvatura de M



Suponha que M está a cima de M



em uma vizinhança de p, isto é, u ≥ u



numa vizinhan ça

U de 0 em R

, se p for um ponto interior de M e M



ou no semi-espaço superior, se p for um

ponto de bordo de M e M



. Vejamos inicia lmente que A

= A



(e logo

∇

u(0) =

∇



(0)).

Para ver isto, provemos as seguintes aﬁrmações.

Aﬁrmação 3.9. As matrizes Hessianas satisfazem [u

(0)] ≥ [u



(0)].

Demonstração. De fato, seja w = u



− u. Temos então que w ≤ 0 e possui um máximo em 0.

Isso implica que



∇

w(0)(x), x =



i,j

(0)x

≤ 0,

para cada x = (x

, . . . , x

) ∈ R

. Seja {e

}

i=1

a base canônica de R

. Tome x = e

+ e

1 ≤ k, l ≤ n. Veja que

0 ≥ 

∇

w(0)(e

+ e

), e

+ e

 = w

(0) = (u



− u)

(0).

Portanto, u

(0) ≥ u



(0), para 1 ≤ k, l ≤ n.

Deﬁnimos o cone positivo de R

como sendo

Γ = {x ∈ R

: x

> 0, para 1 ≤ i ≤ n}.

Aﬁrmação 3.10. k(p) − k



(p) ∈ Γ.

Demonstração. Seja {v

}

i=1

∈ R

um conjunto ortonormal de direções principais de M em p,

isto é, tal que A

) = κ

(p)v

, para i = 1, . . . , n. Temos, pela demonstração acima, que

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 66

Ax, x ≥ A



x, x, para cada x ∈ R

, sendo que A = A

e A



= A



. Por outro lado,

(p) = max

|x|=1

Ax, x e κ

(p) = max

x∈R

Ax, x, i = 2, . . . , n,

sendo que



x ∈ R

: |x| = 1, x ∈ [v

, . . . , v

i−1

]

⊥



e [v

, . . . , v

i−1

]

⊥

= {x ∈ R

: x, v

 = 0}. Logo,

(p) = max

|x|=1

Ax, x ≥ max

|x|=1

A



x, x = k



(p)

(p) = max

x∈R

Ax, x ≥ max

x∈R

A



x, x ≥ k



(p), i = 2, . . . , n,

sendo que a última desigualdade acima é dada pelo princípio min-max de Courant-Fischer (veja

[5], pag. 115).

Aﬁrmação 3.11. k(p) = k



(p).

Demonstração. Para vermos isto, seja Γ

a componente conexa de {x ∈ R

: σ

(x) > 0} que

contém o ponto (1, . . . , 1) ∈ R

, sendo que σ

denota a r-ésima função simétrica elementar. Note

que Γ ⊂ Γ

. Alem disso, G˙arding [11] provou que Γ

é um cone convexo de R

, e estabeleceu

uma desigualdade da qual é possível provar que

∂σ

∂x

(x) > 0, para cada x ∈ Γ

, 1 ≤ i ≤ n, e 1 ≤ j ≤ r. (3.17)

Por hipótese, existe um ponto q

∈ M



tal que k



) ∈ Γ. Como κ



, . . . , κ



são aplicações

contínuas sobre a hipersuperfície conexa M



, temos que k



) é conexo, já que é imagem de um

conjunto conexo por uma função contínua. Como Γ

é conexo e k



) ∈ Γ

temos que k



) ⊂

, isto é, k



(q) ∈ Γ

, para cada q ∈ M



. Por outro lado, deﬁna c(t) = k



(p) + t(k(p) − k



(p)),

para t ≥ 0. Mostraremos que c(t) ∈ Γ

, para t ≥ 0 (veja Lema 4.1 in [22]). Com efeito, suponha

que isto não vale. Como c é contínua e c(0) = k



(p) ∈ Γ

, temos que exis te t



> 0 tal que

c(t) ∈ Γ

, para 0 ≤ t < t



. Seja t

= sup {t



: c(t) ∈ Γ

, 0 ≤ t < t



}. Pelo que supomos temos que

< +∞. Logo σ

(c(t)) > 0 para 0 ≤ t < t

e σ

(c(t

)) = 0. Isto implica que

(c(t))|

t=t

< 0

para algum 0 < t

< t

. Mas isto é impossível, pois,

(c(t))|

t=t



i=1

∂σ

∂x

(c(t

))(κ

(p) − κ



(p)) ≥ 0,

por (3.17). Em particular, temos que k(p) = c(1) ∈ Γ

, e pela mesma razão de antes k(q) ∈ Γ

para todo q ∈ M. Além disso, pela convexidade de Γ

, segue que o segmento de k(p) a k



(p)

está contido em Γ

. Agora o teorema do valor médio e (3.17) implicam que

(k(p)) − σ



(p)) =



i=1

∂σ

∂x

((1 − s)k(p) + sk



(p))(κ

(p) − κ



(p)) ≥ 0

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 67

para algum 0 < s < 1. Mas o lado esquerdo desta igualdade é igual a





− H



) ≤ 0. Assim

teremos que a soma acima é igual a zero, e como cada termo desta soma é não negativo, temos

que todos eles são iguais a zero. Mas por (3.17)

∂σ

∂x

((1 − s)k(p) + sk



(p)) > 0, i = 1, . . . , n.

Isto implica que κ

(p) − κ



(p) = 0, para cada i = 1, . . . , n. Logo k(p) = k



(p), o que prova a

aﬁrmação.

Mostremos agora que A = A



(e logo

∇

u(0) =

∇



(0)). Com efeito, suponha que

, . . . , v

} ∈ R

é uma base ortonormal de direções principais de A



, tal que A



, v

 =



(p), i = 1, . . . , n. Como mostramos acima, Av

, v

 ≥ A



, v

 = κ



(p) = κ

(p). Mas

(p) = max

|x|=1

Ax, x. Logo, v

é uma direção de máximo de Ax, x na hiperesfera unitária.

Portanto, v

é um autovetor de A associado ao autovalor κ

(p). De maneira análoga mostraremos

que v

é um autovetor de A associado ao autovalor κ

(p), para cada i = 2, . . . , n. Seja R

como

na demonstração da aﬁrmação 3.10. Temos que v

∈ R

e Av

, v

 ≥ A



, v

 = κ



(p) = κ

(p).

Como κ

(p) = max

x∈R

Ax, x, temos que v

é uma direção de máximo de Ax, x em R

. Logo v

é um autovetor de A associado a κ

, i = 2, . . . , n, e portanto A = A



, como desejávamos.

Agora explicaremos o pro cess o de linearização. Seja u

= (1 − t)u + tu



, um segmento de u

a u



. Seja w = u



− u e o bserve que

= w,

∇u

∇w e que

∇

w, com matriz

Hessiana [w

]. Por hipótese, H

≤ H



. Isto juntamente com (3.16) implica

0 ≤







− H

) =



]

r+2



]

−

[u]

r+2

[u]





]

r+2

]



dt.

Mas



]

r+2

]



r+2

]

]) − (r + 2)

]

r+3

]

(W [u

]) .

Como W [u

] =



1 + |

∇u + t

∇w|

, então

(W [u

]) =

W [u

]

(

∇u,

∇w + t|

∇w|

o que implica



]

r+2

]



r+2

]

]) − (r + 2)

]

r+4

]



∇u,

∇w − (r + 2)

]

r+4

]

∇w|

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 68

Logo,

0 ≤







− H

) =



i,j





r+2

]

∂H

∂u

]dt









r+2

]

∂H

∂u

]dt



−



(r + 2)





]

r+4

]



− (r + 2)





]

r+4

]



∇w|

A igualdade acima pode ser escrita na forma

0 ≤



i,j



− a|

∇w|

= L[w] − a|

∇w|

sendo os coeﬁcientes são dados por

(x) =



r+2

]

∂H

∂u

]dt, a(x) = (r + 2)





]

r+4

]



(x) =



r+2

]

∂H

∂u

]dt − (r + 2)





]

r+4

]



Evidentemente os coeﬁcientes de L são contínuos. Como

∇u(0) = 0 e

∇u



(0) = 0, então

∇u

(0) = 0 para todo 0 ≤ t ≤ 1. Logo, segue que W [u

](0) = 1. Al ém disso, também já vimos

que

∇

u(0) =

∇



(0) = A

. Isto implica que

∇

(0) = A

. Logo de (3.15) e (3.16), segue que

](0) = H

[u](0) =





= σ

(k(p)) > 0.

Disto obtemos que a(0) = (r + 2)σ

(k(p))/2 > 0. Assim a ≥ 0 numa vizinhança da origem 0, o

que nos dá

0 ≤ L[w] − a|

∇w|

≤ L[w],

nessa vizinhança.

Agora veremos que L é uniformemente elíptico numa vizinhança de 0. Com efeito, para todo

t ∈ [0, 1], temos que u

(0) = 0,

∇u

(0) = 0, e

∇

(0) = A. Este fato, juntamente com (3.15),

implica que



∂H

∂u

]



(0)

é uma matriz que depende somente de A, e portanto é independente de t. Portanto

(0)] =



∂H

∂u

[u]



(0)

é uma matriz que depende apenas de A, e aﬁrmamos que todos os seus autovalores são po-

sitivos. Para ver isto, nós primeiro observamos que a partir de (3.15) segue que H

[u](0) =



|J|=r

det(A

), e como antes |J| = r signiﬁca que J = {j

< ··· < j

} é um conjunto de r índices

tais que 1 ≤ j

< ··· < j

≤ n, e A

denota a submatriz principal r ×r de A com linhas e colunas

CAPÍTULO 3. HIPERSUPERFÍCIES COM R-CURVATURA MÉDIA CONSTANTE 69

indexadas por J. Agora, seja P uma matriz ortogonal tal que P

−1

AP = diag(κ

(p), . . . , κ

(p)).

Então, a partir da expressão acima para H

[u](0) concluímos que H

[u](0) = σ

(k(p)). Desde

que κ



i,j

, a regra da cadeia nos diz que

∂H

∂u

[u](0) =



∂σ

∂x

(k(p))p

o que implica que

−1



∂H

∂u

[u](0)



P = diag



∂σ

∂x

(k(p)), . . . ,

∂σ

∂x

(k(p))



Portanto, os autovalores da matriz [c

(0)] são

∂σ

∂x

(k(p)), 1 ≤ i ≤ n, os quais são positivos

tendo em vista que k(p) ∈ Γ

e portanto (3.17) é válida nesse p onto. Portanto L é elíptico em

0, e podemos assum ir que ele seja uniformemente elíptico em uma vizinhança U of 0, desde que

seus coeﬁcientes são contínuos. A hipótese w = u



− u ≤ 0 numa vizinhança da origem implica

que w atinge seu valor máximo 0 no ponto 0. O Princípio do máximo de E. Hopf aplicad o a

L[w] ≥ 0 implica que w ≡ 0 em U, no caso em que 0 é um ponto interior ou um ponto de bordo.

Portanto, as hipersuperfícies coincidem localmente, o que prova o Teorema 3.8.

Uma vez que temos o princípio do máximo, o método de reﬂexão de Alexan drov pode ser

aplicado sem mudança, como no caso da curvatura média constante, para provar o Teorema de

Ros, e isto encerra a demonstração de Korevaar.

Referências Bibliográﬁcas

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