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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
CENTRO TECNOLÓGICO
MESTRADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
LUCAS SANTOS MENEZES E OLIVEIRA
COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO NA SELEÇÃO DE
UM IMÓVEL
NITERÓI
2008
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2
LUCAS SANTOS MENEZES E OLIVEIRA
COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO NA SELEÇÃO DE
UM IMÓVEL
Dissertação apresentada ao curso de mestrado
em Engenharia de Produção da Universidade
Federal Fluminense, como requisito parcial para
obtenção de Grau de Mestre. Área de
concentração: Sistemas, Apoio a decisão e
logística
Orientador: Prof. Dr. JOÃO CARLOS CORREIA BAPTISTA SOARES DE MELLO
NITERÓI
2008
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3
LUCAS SANTOS MENEZES E OLIVEIRA
COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE APOIO À DECISÃO NA SELEÇÃO DE
UM IMÓVEL
Dissertação apresentada ao curso de mestrado
em Engenharia de Produção da Universidade
Federal Fluminense, como requisito parcial para
obtenção de Grau de Mestre. Área de
concentração: Sistemas, Apoio a decisão e
logística
BANCA EXAMINADORA
________________________________________________________
Prof. Dr. João Carlos Correia Baptista Soares De Mello - Orientador
Universidade Federal Fluminense
____________________________________________________________
Prof. Dra. Lídia Angulo Meza
Universidade Federal Fluminense
________________________________________________________
Prof. Dr. Luiz Biondi Neto
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Niterói
2008
4
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me dar saúde e força durante todos os momentos da minha vida.
Ao meu orientador, Prof. João Carlos Baptista Correia Soares de Mello, por ter me
acolhido, me passado conhecimentos, ter tido paciência com minhas viagens e
sempre ter acreditado em mim.
A minha esposa e amigos, por me apoiar e incentivar em todos os momentos, e
pela compreensão.
Aos meus pais, por serem meus heróis e por terem me dado a base para que eu
chegasse até aqui.
´´A grandeza não consiste em receber honras, mas em merecê-las.´´
(Aristóteles)
5
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...............................................................................................................11
1.1 OBJETIVO ..................................................................................................................13
1.2
MOTIVAÇÃO ..............................................................................................................13
1.3
ESTRUTURAÇÃO......................................................................................................13
2
ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS (DEA).................................................................15
2.1 INTRODUÇÃO ...........................................................................................................15
2.2 MODELAGEM DEA....................................................................................................18
2.3
MODELO CCR ...........................................................................................................21
2.4
MODELO BCC ...........................................................................................................27
2.5
PRINCIPAIS PROPRIEDADES, VANTAGENS E LIMITAÇÕES..............................30
2.5.1 PROPRIEDADES...................................................................................................30
2.5.2 VANTAGENS..........................................................................................................31
2.5.3
LIMITAÇÕES..........................................................................................................32
2.6
RESTRIÇÕES AOS PESOS EM DEA.......................................................................33
2.6.1
RESTRIÇÕES DIRETAS AOS PESOS .................................................................34
2.6.2 MÉTODO DE REGIÕES DE SEGURANÇA..........................................................35
2.6.3 RESTRIÇÕES AOS INPUTS E OUTPUTS VIRTUAIS .........................................36
2.7
PROGRAMA COMPUTACIONAL..............................................................................36
3
AUXÍLIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO .......................................................................38
3.1
ELECTRE - ELIMINATION ET CHOIX TRADUISANT LA RÉALITÉ........................39
3.2 MÉTODO PROMETHEE............................................................................................41
3.3 MÉTODO LEXICOGRÁFICO.....................................................................................42
3.4
MÉTODO DE BORDA................................................................................................43
3.5
MÉTODO DE CONDORCET .....................................................................................44
3.6
MÉTODO DE COPELAND.........................................................................................45
3.7 MÉTODO DA ENTROPIA ..........................................................................................46
3.8 MÉTODO MACBETH .................................................................................................48
4
MÉTODO MACBETH – DEA .........................................................................................52
5
APLICAÇÃO ...................................................................................................................54
5.1
ESCOLHA DOS MÉTODOS ......................................................................................54
5.2 MODELAGEM ............................................................................................................55
6 RESULTADOS ...............................................................................................................59
7
CONCLUSÕES ..............................................................................................................66
8
BIBLIOGRAFIA...............................................................................................................68
6
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Curva de um Processo Genérico de Produção p.17
Figura 2.2 – Produtividade x Eficiência p.18
Figura 2.3 – Fronteira de eficiência DEA p.20
Figura 2.4 – Fronteira CCR – Orientação a Input p.24
Figura 2.5 – Fronteira CCR – Orientação a Output p.26
Figura 2.6 – Projeções das Orientações na Fronteira VRS p.27
Figura 2.7 – Representação das fronteiras BCC e CCR p. 30
Figura 3.1 – Grafo das relações de superação entre as alternativas p. 40
Figura 3.2 – Classificação dos países na Olimpíada de Pequim em 2008 p. 42
Figura 6.1: Critérios no MACBETH Weights p.61
Figura 6.2: Resultado do Julgamento de Critérios p.61
Figura 6.3 – Matriz de decisão apresentada no SIAD p. 62
7
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Desempenho das alternativas nos diferentes critérios e respectivos pesos p. 40
Tabela 3.2 – Índice de Concordância entre alternativas p.40
Tabela 3.3 – Índice de Discordância entre alternativas p.40
Tabela 3.4 – Matriz com relações de superação p.41
Tabela 3.5 – Notas atribuídas dentro de cada critério para as alternativas p.43
Tabela 3.6 Somatório das notas dos critérios e ordenação de alternativas p.43
Tabela 3.7 – Comparações pareadas entre os critérios p.44
Tabela 3.8 – Matriz de Condorcet p.44
Tabela 3.9 – Matriz de Copeland p.45
Tabela 3.10 – Escala de preferência para diferença de atratividade entre alternativas p.50
Tabela 4.1 – Limites mínimo e máximo derivados do método MACBETH p.52
Tabela 5.1: Nível de segurança para os bairros avaliados p.56
8
Tabela 5.2 - Limites mínimo e máximo de variação para cada critério p.56
Tabela 5.3: Matriz de Critérios e Alternativas p.57
Tabela 5.4 – Codificação de variáveis p.58
Tabela 5.5 – Restrições cone ratio a serem incluídas no modelo clássico p.58
Tabela 6.1: Cálculo da entropia, dispersão e pesos para os 6 critérios p.59
Tabela 6.2: Resultado método da Entropia p.59
Tabela 6.3: Resultado MACBETH Scores, referente a cada critério p.60
Tabela 6.4 – Pesos obtidos no MACBETH weights p.62
Tabela 6.5: Resultado final do método MACBETH p.62
Tabela 6.6: Pesos dos critérios no modelo DEA clássico utilizado p.63
Tabela 6.7: Limites mínimo e máximo obtido no MACBETH weights p.63
Tabela 6.8 – Restrições cone ratio incluídas no modelo DEA clássico p.64
Tabela 6.9: Pesos dos critérios no modelo DEA com restrição aos pesos p.64
Tabela 6.10: Eficiência das DMU’s nos modelos DEA clássico e com restrições aos pesos
p.65
9
RESUMO
Esta dissertação faz uma revisão bibliográfica das metodologias auxílio multicritério à
decisão e análise envoltória de dados (DEA – Data Envelopment Analysis). São utilizados
os métodos multicritério de auxílio a decisão MACBETH e Entropia aplicados a um estudo
de caso relacionado ao setor imobiliário, mais especificamente a avaliação e escolha de
um imóvel. A metodologia análise envoltória de dados (DEA) também é utilizada em duas
oportunidades no estudo: Primeiramente foi utilizado o seu modelo clássico CCR e depois
um método de restrições aos pesos, região de segurança tipo I utilizando intervalos de
pesos obtidos no método MACBETH. O estudo de caso em questão reflete a compra de
um imóvel em um dos vários sub-bairros localizados na Ilha do Governador na capital do
estado do Rio de Janeiro. As alternativas foram escolhidas no caderno Classificados de um
jornal local de grande circulação, respeitando limites previamente estabelecidos pelo
decisor para cada critério, de modo a pré-selecionar um número pequeno de alternativas
dentro do universo de imóveis a serem comercializados no bairro em questão.
Palavras-chave:
DEA, MACBETH, Entropia.
10
ABSTRACT:
This dissertation develops a bibliografical review on Multicriteria method for decision
support and Data Envelopment Analysis (DEA). The multicriteria methods for decision aid
used were the MACBETH approach and the entropy method applied to a case study related
to the real estate sector, in an evaluation and selection of a property to be more precise.
Data envelopment analysis was also used in this case study in two differents opportunities:
First, the CCR model was used, and then a weight restriction method known as the
Assurance Region, type I, also know as "Cone Ratio". The MACBETH approach was used
to generate an interval in which each of the criteria could vary. The case study reflects the
purchase of a property located in Ilha do Governador district, located in Rio de Janeiro. The
alternatives were chosen from a local newspaper, respecting limits previously established
for each criterion by the decision-maker, in order to select a few choices from a greater
universe of properties located in this district.
Keywords:
DEA, MACBETH, Entropy.
11
1 INTRODUÇÃO
Desde os primórdios até hoje, o homem sempre precisou tomar decisões, e esta é uma das
tarefas mais comuns do dia a dia. Desde decidir o momento certo para atravessar uma rua,
até qual meio de transporte urbano utilizar.
O sonho da casa própria se faz presente na mente da grande maioria dos brasileiros nos
quatro cantos do país. Esse “sonho” de possuir um imóvel começou no Brasil durante o
governo do Presidente Getúlio Vargas, numa época em que a maioria da população
brasileira residia em casas alugadas. A casa própria surgiu como um símbolo de
valorização do trabalhador. Esse conceito teve como base o “American dream” criado por
James Adams em 1931 no livro “Epic of America”.
De 1940 a 1960, com a urbanização e industrialização do país, multiplicaram-se os
edifícios residenciais, os quais foram se modernizando com o passar das décadas,
recebendo áreas de lazer infantil, vagas de garagem, piscinas, saunas, salões de jogos. A
partir disso, nasceram os condomínios, conjuntos de prédios, que possuíam esses itens
acima em comum.
A compra da casa-própria, em especial, é um dos maiores objetivos de vida dos brasileiros,
porém o processo de aquisição de um imóvel, assim como de qualquer outro bem, exige
um nível de envolvimento do decisor para avaliar as alternativas expostas e decidir a opção
que melhor lhe satisfaz. Sendo um produto de alto valor agregado, a tomada de decisão
por qual imóvel comprar envolve considerável atividade de pesquisa e análise das
alternativas, o que é denominado pelo Marketing como tomada de decisão extensiva.
Neste tipo de tomada de decisão, o consumidor apresenta um alto grau de envolvimento
com o processo de compra e, portanto, investe muito tempo nesta avaliação.
Mesmo dedicando bastante tempo para avaliar as inúmeras alternativas que lhe são
oferecidas, chega-se a um momento em que as opções finalistas parecem muito
semelhantes umas com as outras, diferenciando em apenas alguns aspectos, o que
dificulta a decisão final.
Sendo assim, podemos definir o processo de aquisição de imóvel como um evento que
exige um planejamento complexo, um dispêndio financeiro considerável, e critérios de
escolha de alternativas que garantam a satisfação do comprador. Devido a essa
12
perspectiva, buscaram-se métodos que pudessem nortear e embasar uma escolha tão
complexa, agregando de forma ampla todas as características consideradas importantes
no processo com a finalidade de possibilitar a transparência e a sistematização da compra
de um imóvel.
O uso de métodos de auxílio à decisão ligados ao setor imobiliário foi estudado por Rangel
(2008) e Gomes et al (2008) para estabelecer preços de aluguel de imóveis, Lins et al
(2005), objetivaram avaliar os imóveis para determinação de preços de venda.
Procura-se nessa dissertação fazer uma pesquisa bibliográfica dos métodos multicritério,
escolher alguns métodos e aplicar esses métodos ao setor imobiliário e apresentar e
analisar os diferentes resultados encontrados.
Além dos métodos multicritério, foi estudada a metodologia de Análise Envoltória de Dados
(DEA – Data envelopment analysis). Pode-se notar, pelo grande número de artigos
científicos sobre o tema, que DEA se tornou uma ferramenta muito popular na comunidade
científica. A flexibilidade dos pesos dentro dos modelos, sempre em busca do melhor
resultado de eficiência, é um dos motivos pelo qual a metodologia DEA tem sido difundida
desde a sua criação por Charnes, em 1978.
Entretanto, fatores relevantes ao modelo podem ser ignorados nas análises quando a elas
são atribuídos pesos zero para a variável correspondente (Angulo-Meza et al, 2002) no
intuito de maximizar a eficiência de uma unidade de produção.
Essa deficiência dos modelos clássicos em DEA tem sido minimizada pelo uso de restrição
aos pesos, como um meio de emitir julgamentos de valor durante a elaboração do modelo.
O principal objetivo do método de restrição aos pesos é estabelecer limites dentro dos
quais os pesos possam variar, preservando parte da flexibilidade ou alguma incerteza
sobre o valor real dos pesos. Dados que essas restrições são introduzidas no problema
original, os resultados de eficiência são sempre menores ou iguais aos resultados que
seriam obtidos usando a formulação original do modelo. Ao se introduzir esse toque de
interatividade ao modelo, o número de unidades de produção eficientes é reduzido,
aumentando a capacidade de discriminação do modelo.
Ainda em DEA, existem outras variações dos modelos clássicos, que assim como as
restrições aos pesos, procuram aumentar a discriminação das alternativas, como super-
eficiência, avaliação cruzada, programação linear multiobjetivo, estrutura de preferências,
dentre outras.
13
Nesse trabalho também é estudado um método híbrido, que combina a Análise envoltória
de dados com o Método MACBETH (Bana e Costa et al, 1997). Um exemplo prático é
utilizado para ilustrar essa metodologia proposta. Yang e Kuo (2003) e Bouyssou (1999)
estudaram Análise envoltória de dados associados a métodos multicritério de auxílio à
decisão.
1.1 OBJETIVO
O objetivo principal do trabalho é o estudo de métodos multicritério de auxílio à decisão e
análise envoltória de dados aplicados ao setor imobiliário.
Além deste objetivo principal, estão listados abaixo alguns objetivos específicos:
•
Confeccionar um modelo que permita avaliar e hierarquizar imóveis utilizando
alguns métodos das duas metodologias citadas acima.
• Sugerir um modelo que utilize DEA, auxiliado pelo método MACBETH.
• Comparar os resultados alcançados verificando a viabilidade de uso das mesmas.
1.2 MOTIVAÇÃO
Apesar de existir uma quantidade enorme de aplicações em Análise envoltória de dados,
auxílio multicritério à decisão, e até as duas metodologias juntas, a existência de pouco
material científico sobre o tema imobiliário utilizando esses métodos foi o grande motivador
dessa dissertação.
1.3 ESTRUTURAÇÃO
O capítulo 2 apresenta uma ampla revisão em Analise Envoltória de Dados. É primeiro feita
uma introdução no assunto, seguida das etapas necessárias para criação de modelos,
tipos de modelos clássicos e orientações, características dos modelos, e métodos de
restrição aos pesos.
14
O capítulo 3 apresenta uma revisão de métodos multicritério de auxílio a decisão das
escolas francesa (ELECTRE e PROMETEE) e americana (Borda, Condorcet, Copeland,
Entropia e MACBETH.
O capítulo 4 sugere um método que utiliza análise envoltória de dados, associado ao
método MACBETH para gerar restrições aos pesos do tipo região de segurança tipo I
(cone ratio).
O capítulo 5 apresenta uma breve introdução ao setor imobiliário, lista os métodos de apoio
a decisão utilizados na aplicação e explica os modelos aplicados.
O capítulo 6 apresenta resultados e discussão e o capítulo 7 conclui o trabalho.
15
2 ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS (DEA)
2.1 INTRODUÇÃO
A Análise Envoltória de Dados (“Data Envelopment Analysis”) é uma metodologia com
base na programação matemática, que tem como objetivo medir a eficiência de um
conjunto de unidades produtivas (unidades de tomada de decisão), denominadas de DMUs
(“Decision Making Units”), que consomem múltiplos inputs (insumos, recursos) para
produzir múltiplos outputs (produtos). Ou seja, é um modelo para a análise da eficiência
relativa.
As unidades podem ser qualquer tipo de organização (como indústrias, lojas, escolas, entre
outros) e devem ser avaliadas segundo a mesma ótica, ou seja, o conjunto de unidades
adotado em uma análise DEA deve ter em comum a mesma utilização de inputs e outputs,
ser homogêneo e ter autonomia na tomada de decisões (Lins et al, 2000).
Sendo assim, torna-se importante definirmos alguns termos usuais no dia a dia, tais como:
produtividade, eficiência, escala econômica e fronteira de produção, usadas no decorrer do
texto.
Segundo Coelli et al. (1998), produtividade de uma empresa, unidade organizacional ou
unidade tomadora de decisão (Decision Making Unit – DMU), é a relação entre as saídas
(outputs) produzidas e as entradas (inputs) necessárias para produzirem estas saídas.
No caso de desempenho de uma unidade organizacional é comum, para casos envolvendo
apenas uma única entrada (input) e uma única saída (output), definir a medida de
produtividade (Coelli et al., 1998) como mostrado na equação 2.1:
Produtividade
entrada
saída
=
2.1
Em algumas situações, as DMUs utilizam múltiplas entradas e produzem múltiplas saídas.
No caso geral onde existem várias entradas e saídas, um índice de produtividade é
definido como a combinação linear das saídas dividido pela combinação linear das
entradas de uma determinada DMU k.
O conceito de eficiência é um conceito relativo. Compara o que foi produzido dado os
recursos disponíveis, com o que poderia ter sido produzido com os mesmos recursos. A
16
avaliação da eficiência é um problema difícil de resolver, especialmente quando são
considerados múltiplos inputs (recursos) e múltiplos outputs (serviços, produtos, entre
outros) no processo de produção das organizações. Entre as propostas para abordar este
problema, na literatura econômica se encontram alguns trabalhos, entre eles Farrell (1957),
porém, muitas propostas não conseguiram ser implementadas (Araya, 2003).
A Análise Envoltória de Dados (DEA) surgiu em 1978 com o modelo desenvolvido por
Charnes, Cooper e Rhodes, baseada no trabalho de Farrell (1957) e não faz nenhuma
suposição funcional para determinar a eficiência, e considera que o máximo que poderia ter
sido produzido é obtido por meio da observação das unidades mais produtivas.
A Análise Envoltória de Dados pode ser considerada uma medida de excelência, uma vez
que premia as DMUs com as melhores práticas observadas. A classificação de uma
unidade como eficiente ou ineficiente só depende do seu desempenho em transformar os
inputs em outputs quando comparada com as outras unidades observadas (Araya, 2003).
Farrel (1957), precursor do DEA, determina a eficiência, para o caso de múltiplas entradas
e múltiplas saídas como mostrado na equação 2.2:
∑
∑
=
i
iki
j
jkj
Xv
Yu
EF
2.2
onde os Y
jk
representa a saída j da unidade k, X
ik
é a entrada i da unidade k, u
j
e v
i
representam os pesos de cada saída j e de cada entrada i respectivamente. Esses pesos
normalmente são arbitrados.
A Figura 2.1 (Biondi, 2001) onde o eixo X representa os recursos e o eixo Y representa a
produção, mostra um processo de produção para uma única entrada (X) e uma única saída
(Y). A curva OS representa a fronteira de produção ou fronteira de eficiência, isto é,
relaciona a entrada X com a saída Y. Assim, para um certo nível de entrada a curva
representa o máximo que a saída pode atingir. A região entre a fronteira de produção e o
eixo dos X engloba todas as combinações viáveis entre saída e entrada, formando o
conjunto viável ou de possibilidades de produção.
17
X
A
C
Y
B
O
S
Figura 2.1 – Curva de um Processo Genérico de Produção
A empresa que operar sobre qualquer ponto da curva de produção é considerada
tecnicamente eficiente, caso contrário ineficiente. As empresas que operam nos pontos B
e C, sobre a fronteira de produção, são eficientes enquanto que a empresa A é ineficiente,
pois opera abaixo da fronteira de produção.
Para determinar a produtividade de cada uma das três empresas representadas pelos
pontos A, B e C traçam-se as retas radiais que passam por esses pontos, conforme mostra
a Figura 2.2.
A inclinação dessas três retas, dada pela relação Y/X correspondente a cada DMU, mede a
produtividade de cada ponto. Assim sendo, a empresa localizada no ponto C apresenta a
maior produtividade dentre as três retas.
Embora o ponto B seja tecnicamente eficiente, não é o ponto de maior produtividade.
Nota-se que a reta radial que passa pelo ponto C é tangente à fronteira de produção e a
que passa por B é secante a essa fronteira. Assim, o ponto C, além de eficiente, é
considerado de escala econômica ótima.
18
X
B
A
C
Y
O
S
Figura 2.2 – Produtividade x Eficiência
Pode-se assim concluir que uma empresa pode ser eficiente tecnicamente, isto é, operar
sobre a fronteira de produção e não ser a mais produtiva, podendo inclusive ter
produtividade menor que empresas ineficientes. Diz-se então que a empresa ainda não
alcançou o ponto de escala econômica ótima (Cooper et al., 2000).
2.2
MODELAGEM DEA
A modelagem DEA tem os seguintes objetivos:
•
Identificar as origens e quantidades de ineficiência das DMUs, analisando suas
dimensões relativas a entradas e/ou saídas.
• A determinação da eficiência das DMUs, contemplando uma a uma, relativamente a
todas as outras. DEA faz uma ordenação das DMUs e pode, sob determinadas
condições, ser usado como ferramenta multicritério na problemática da ordenação.
•
Estabelecimento de estratégias de produção que maximizem a eficiência das DMUs
avaliadas, corrigindo as ineficientes através da determinação de alvos.
Diferentemente das técnicas estatísticas que se caracterizam por medidas de tendência
central, DEA é um método de ponto extremo. Assim, se uma DMU hipotética “k” for capaz
de produzir uma certa saída Y(k) com uma certa entrada X(k), então outras DMUs também
serão capazes de produzirem o mesmo, operando eficientemente.
19
Em DEA, três são as etapas básicas (Angulo Meza, 1998) que se tornam necessárias à
implementação do problema:
- Definição e Seleção de DMUs
O conjunto de DMUs adotado deve ter a mesma utilização de entradas e saídas, variando
apenas em intensidade. Deve ser homogêneo, isto é, realizar as mesmas tarefas, com os
mesmos objetivos, trabalhar nas mesmas condições de mercado e ter autonomia na
tomada de decisões. Além disso, é necessário determinar o número de DMUs a serem
avaliadas de acordo com o número de variáveis do problema.
- Seleção das Variáveis
As variáveis de entrada e saída relevantes à determinação da eficiência das DMUs, deve
ser feita a partir de uma ampla lista de possibilidades de variáveis ligadas ao modelo,
capazes de descrever com clareza o problema e que permitam um melhor conhecimento
sobre as unidades.
Escolhendo-se um grande número de variáveis temos um maior grau de conhecimento
sobre as DMUs, explicando melhor as diferenças entre elas. Entretanto, é possível que um
grande número de DMUs se localizem na fronteira reduzindo a capacidade de DEA de
discriminar DMUs eficientes de DMUs ineficientes. Assim, o modelo deve procurar um
ponto de equilíbrio na quantidade de variáveis e DMUs escolhidas, visando aumentar o
poder discriminatório da análise DEA.
O processo natural de seleção de variáveis pode ser baseado no conhecimento de um
especialista, por algum método estatístico (Lins & Moreira, 1999) ou com técnicas
multicritério (Soares de Mello et al., 2004; Senra, 2004).
- Escolha e aplicação do modelo
Os modelos DEA mais conhecidos são o Modelo CCR devido a Charnes, Cooper e Rhodes
(Charnes et al., 1978) que apresenta retornos constantes de escala e o modelo BCC de
Banker, Charnes e Cooper (Banker et al., 1984), que apresenta retornos de escala
variáveis. O modelo CCR é também conhecido por CRS (constant returns to scale) e o
BCC por VRS (variable returns to scale).
De uma forma geral, as DMUs podem dizer respeito a quaisquer tipos de organizações e
empresas. O conjunto de DMUs adotado em uma análise DEA deve ter em comum a
20
utilização dos mesmos inputs e outputs, ser homogêneo e ter autonomia na tomada de
decisões (Lins e Angulo-Meza, 2000).
DEA fornece uma medida onde uma DMU transforma seus inputs em outputs, sendo que
estas medidas são obtidas em relação a uma fronteira de produção empírica, também
chamada de fronteira eficiente
. Esta fronteira eficiente é obtida sempre pelas melhores
DMUs observadas; neste caso, as DMUs que pertencem à fronteira eficiente são
denominadas de DMUs eficientes
. Todas as demais DMUs são denominadas de DMUs
ineficientes, têm sua eficiência calculada em função da distância que existe entre ela e a
fronteira eficiente. Para estas DMUs ineficientes, a metodologia DEA permite ainda
determinar onde se encontram estas ineficiências, estudar o processo de produção de
outras DMUs similares para produzir alvos úteis e significativos para elas, e identificar
exatamente quais os elementos do processo de produção tornam as DMUs ineficientes.
Assim sendo, a determinação de uma unidade como eficiente ou ineficiente dependerá
apenas do seu desempenho em transformar os inputs em outputs quando é comparada
com as outras unidades observadas.
DEA gera uma fronteira de eficiência segundo o conceito de Pareto-Koopmans, que
caracteriza um vetor input-output eficiente se nenhum dos outputs pode ser aumentado
sem que algum outro output seja reduzido ou algum input seja aumentado ou, nenhum
input pode ser reduzido sem que algum outro input seja aumentado ou algum output
reduzido. Esta fronteira esta representada pela linha OAD na figura 2.3:
Figura 2.3 – Fronteira de eficiência DEA
0
1
2
3
4
5
0123456
Y
X
A
B
1
B
2
B
D
C
B
3
B
4
21
A fronteira DEA em questão não é teórica. Cada fronteira DEA gerada é específica para um
determinado universo de análise. As unidades da fronteira são classificadas como
eficientes. O índice de eficiência é calculado em função da forma de projeção das
ineficientes na fronteira.
A orientação do modelo indica como uma DMU irá atingir a fronteira de eficiência. É
possível orientá-la de duas formas: orientação a inputs ou orientação a outputs. Se um
modelo é orientado a inputs, significa que as DMUs tentarão atingir a fronteira realizando
uma diminuição de seus recursos, sem que seus resultados sejam alterados. Se um
modelo é orientado a outputs, as DMUs tentarão atingir a fronteira maximizando seus
resultados, mantendo constantes seus recursos disponíveis.
Assim, observando a figura 2.3 temos, relação à DMU B:
a ) Orientados aos inputs: o índice de eficiência será a razão entre
21
BB e
2
BB;
b ) Orientados aos outputs:
o índice de eficiência será razão entre
4
BB e
34
BB .
Podem existir ainda modelos não orientados onde, para alcançar a fronteira eficiente, estes
modelos permitem reduzir os inputs e aumentar os outputs simultaneamente.
Mais importantes que os índices obtidos pelas unidades avaliadas, são as metas daquelas
qualificadas como ineficientes, isto é, o estabelecimento de benchmark
. Tais metas indicam
seus pontos fortes e fracos, e mais precisamente, quanto precisam evoluir para atingir as
“melhores práticas” do mercado.
2.3 MODELO CCR
Modelo CCR orientado a input
O Modelo CCR, desenvolvido inicialmente com orientação a input, trabalha com retornos
constantes de escala, isto é, qualquer variação nos insumos (inputs) resulta em uma
variação proporcional nos produtos (outputs).
Esse modelo é uma generalização do trabalho de Farrel (1957) para múltiplos insumos e
múltiplos produtos, no qual se determina a eficiência através da divisão entre a soma
ponderada dos produtos (outputs) pela soma ponderada dos insumos (inputs), construindo
22
uma superfície linear por partes, não paramétrica, sobre os dados. No lugar de uma
ponderação igual para todas as DMUs, o modelo permite a escolha de pesos para cada
variável, da forma que lhe seja mais favorável, desde que esses pesos, quando aplicados
às outras DMUs não gerem uma razão superior à unidade. A formulação dessas condições
é apresentada pela equação 2.3 a seguir:
j,ivu
nk
xv
yu
xv
yu
EffMax
ij
r
i
iki
s
j
jkj
r
i
ii
s
j
jj
∀≥
=≤
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
0 e
,...,1 ,1
a sujeito
1
1
1
0
1
0
0
2.3
onde:
0
Eff
- eficiência da DMU 0 ;
r – número total de inputs
s – número total de outputs
n – número de DMUs
u
j
,
i
v - pesos de outputs e inputs respectivamente;
ik
x
,
j
k
y - inputs
i
e outputs
j
da DMU
k
, k = 1, ..., n;
0i
x
,
0
j
y - inputs
i
e outputs
j
da DMU 0 .
Esse problema de programação fracionária pode ser transformado em um problema de
programação linear (PPL), obrigando o denominador da função objetivo a ser igual a uma
constante, normalmente igual à unidade. O modelo CCR passa então a ser apresentado
como na equação 2.4:
23
jivu
nkxvyu
xv
yuE
ij
s
j
r
i
ikijkj
r
i
iki
s
j
jojo
, 0,
,...,1 , 0
1
a sujeito
ffmax
11
1
1
∀≥
=≤−
=
=
∑∑
∑
∑
==
=
=
2.4
Essa formulação do modelo DEA CCR é chamada Modelo dos Multiplicadores orientado a
input, sendo o conjunto de pesos denominados de multiplicadores. Resolvendo-se esse
problema de programação linear para cada uma das DMUs, pode-se identificar aquelas
cujos planos de produção, dados os pesos determinados para suas quantidades de
insumos e produtos, não pode ser superado pelo plano de produção de nenhuma outra
DMU. As DMUs para cuja eficiência (
E
ff
) obtém-se valor 1, são ditas eficientes e servem
como referência para as demais.
Com base no Modelo dos Multiplicadores (primal) é possível desenvolver o seu dual,
conhecido como Modelo do Envelope, que pelo teorema da dualidade forte, apresentará o
mesmo valor ótimo para a função objetivo, quando esse existir (Bregalda & Bornstein,
1981). O conjunto de equações 2.5 representam o modelo do Envelope:
Min h
0
sujeito a
∑
=
≥−
n
k
kiki
xxh
1
00
0
λ
, i =1 , ..., r
∑
=
≥+−
n
k
kjkj
yy
1
0
0
λ
, j = , ..., s
0≥
k
λ
, k∀ 2.5
onde:
h
0
- eficiência,
24
k
λ
- k -ésima coordenada da DMU 0 em uma base formada pelas DMUs de
referência.
Neste modelo buscam-se os valores de
K
λ
que minimizem h
0
, sendo
λ
k
a contribuição da
DMU
k
na formação do alvo da DMU
0
(as DMUs com
k
λ
não nulo são os benchmarks
da DMU
0 ).
A figura 2.4 apresenta a fronteira eficiente (reta que passa pela origem) para um modelo
com um input e um output. Pode-se observar a DMU D como eficiente e as projeções das
DMUs ineficientes na fronteira. As setas indicam a direção de redução proporcional do
input. A eficiência da DMU A é dada por
M
N
M
A
.
Y
X
A
B
C
D
E
N
M
Figura 2.4 – Fronteira CCR – Orientação a Input
Modelo CCR orientado a output
Alternativamente pode-se desenvolver um modelo para maximização das saídas
mantendo-se inalteradas as entradas (orientação a output). As variáveis de decisão do
modelo são as mesmas apresentadas no conjunto de equações 2.3. O modelo com
orientação a output é apresentado pela equação 2.6. Com a orientação a output,
0
h
25
sempre assume valores superiores à unidade, por isso, a eficiência é agora definida como
sendo o inverso de
0
h , isto é,
0
0
1
h
Eff
= .
Min h
0
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
∑
=
=
s
j
jj
r
i
ii
yu
xv
1
0
1
0
sujeito a
1
1
1
≥
∑
∑
=
=
s
j
jkj
r
i
iki
yu
xv
, k=1,...,n
u
j
e v
i
≥ 0
ij,∀
2.6
As equações 2.7 representam o modelo DEA CCR orientado a outputs depois de
linearizado.
Min h
0
=
∑
=
r
i
ii
xv
1
0
sujeito a
∑
=
=
s
j
joj
yu
1
1
∑∑
==
≤−
s
j
r
i
ikijkj
xvyu
11
0
, k=1,...,n
u
j
e v
i
≥ 0
ij,∀
2.7
É possível deduzir o Modelo do Envelope – o dual equivalente a esse modelo de
orientação a output. O conjunto de equações 2.8 apresenta esse modelo:
Max h
0
26
sujeito a
∑
=
≥−
n
k
kiki
xx
1
0
0
λ
, i =1,...r
∑
=
≥+−
n
k
kjkj
yyh
1
00
0
λ
, j =1,...,s
0≥
k
λ
, k∀ 2.8
A figura 2.5 (Angulo Meza, 1998), mostra a fronteira eficiente para um modelo com um
input e um output e orientação a output. Na figura, observa-se a projeção das DMUs
ineficientes na fronteira quando seus níveis de outputs são maximizados. As setas indicam
a direção de aumento proporcional de output. A eficiência da DMU E é dada por
MN
ME
.
Y
X
A
B
C
D
E
M
N
Figura 2.5 – Fronteira CCR – Orientação a Output
Os modelos CCR orientados a input e a output identificam o mesmo conjunto de DMUs
eficientes e ineficientes (Coelli et al., 1998), estimando assim a mesma fronteira eficiente.
27
2.4
MODELO BCC
O modelo DEA BCC foi desenvolvido por Banker, Charnes e Cooper (BANKER et al., 1984)
e apresentado em artigo publicado na Management Science. Esse modelo pressupõe que
as unidades avaliadas apresentem retornos variáveis de escala (Variable Returns to
Scale). Ao possibilitar que a tecnologia exiba propriedades de retornos à escala diferentes
ao longo de sua fronteira, esse modelo admite que a produtividade máxima varie em
função da escala de produção.
Nesse modelo, o axioma da proporcionalidade entre os inputs e os outputs é substituído
pelo axioma da convexidade. O modelo determina uma fronteira VRS (Variable Return to
Scale) que considera retornos crescentes ou decrescentes de escala na fronteira eficiente.
Permite assim que DMUs que operem com baixos valores de inputs tenham retornos
crescentes de escala, enquanto as que operam com altos valores tenham retornos
decrescentes de escalas.
A convexidade é introduzida no Modelo do Envelope de Charnes et al. (1978) através de
uma restrição adicional que requer que o somatório dos
λ
seja igual a 1, ou seja, a
contribuição das
k
DMUs na formação do alvo da DMU
0
é 1. Dessa forma, se obtém
uma envoltória como a apresentada na figura 2.6 (ANGULO-MEZA, 1998):
Y
X
A
B
C
D
E
Figura 2.6 – Projeções das Orientações na Fronteira VRS
O Modelo do Envelope, com orientação a input, é apresentado pela equação 2.9:
28
Min h
0
sujeito a
0
1
00
≥−
∑
=
k
n
k
iki
xxh
λ
,
i∀
0
1
0
≥+−
∑
=
k
n
k
jkj
yy
λ
,
j∀
1
1
=
∑
=
n
k
k
λ
0≥
k
λ
,
k∀
2.9
E com orientação a output na equação 2.10:
Max h
0
sujeito a
0
1
0
≥−
∑
=
k
n
k
iki
xx
λ
, i∀
0
1
00
≥+−
∑
=
k
n
k
jkj
yyh
λ
, j∀
1
1
=
∑
=
n
k
k
λ
0≥
k
λ
, k∀
2.10
Um aumento equiproporcional de inputs pode gerar um aumento de outputs
proporcionalmente menor, nesse caso a DMU estaria em uma região de retornos
decrescentes de escala. Caso o aumento dos outputs seja proporcionalmente maior ao
aumento dos inputs, diz-se que a unidade avaliada está em região de retornos crescentes
de escala.
Os modelos dos multiplicadores do BCC, duais das equações 2.9 e 2.10, são apresentados
pelas equações 2.11 e 2.12 respectivamente:
29
Max Eff
0
=
∑
=
−
s
j
jj
uyu
1
*0
sujeito a
∑
=
=
r
i
ii
xv
1
0
1
,
0
*
11
≤−+−
∑∑
==
uyuxv
jk
s
j
jik
r
i
i
,
k∀
0,0 ≥≥
ij
vu
,
ij,∀
ℜ∈
*
u 2.11
Min Eff
0
=
∑
=
−
r
i
ii
vxv
1
*0
sujeito a
∑
=
=
s
j
jj
yu
1
0
1
0
*
11
≤−+−
∑∑
==
vyuxv
jk
s
j
jik
r
i
i
, k∀
0,0 ≥≥
ij
vu ,
ij,∀
ℜ∈
*
v
2.12
Os modelos Multiplicadores BCC diferem dos Multiplicadores CCR pelas variáveis
*
u
e
*
v
,
para orientações a input e a output, respectivamente. Essas variáveis são duais associadas
à condição
1
1
=
∑
=
n
k
k
λ
do modelo do envelope e são interpretadas como fatores de escala:
quando positivas, indicam retornos decrescentes de escala, quando negativas, indicam
retornos crescentes de escala, caso sejam nulas, há retornos constantes de escala.
A figura 2.7 mostra as fronteiras DEA BCC e CCR para uma fronteira bidimensional (1 input
e 1 output). Nesta figura as DMUs B, C e D são BCC eficientes. Apenas a DMU D é CCR
eficiente. As DMUs A e E são ineficientes nos dois modelos.
30
A eficiência da DMU A é dada por
AA
AA
"
'"
para o modelo BCC, e por
AA
AA
"
'""
no modelo
CCR, ambos para orientação a inputs.
Figura 2.7 – Representação das fronteiras BCC e CCR
Um exemplo de aplicações dos modelos clássicos CCR e BCC pode ser encontrado em
Oliveira et al (2007).
2.5 PRINCIPAIS PROPRIEDADES, VANTAGENS E LIMITAÇÕES
As principais propriedades, vantagens e limitações da metodologia DEA, tratadas na
literatura são apresentadas abaixo:
2.5.1 PROPRIEDADES
Y
X
A
B
C
D
E
CRS
VRS
. .
.
A” A”’ A’
31
Em qualquer modelo DEA, a DMU que apresentar a melhor relação
()()
iinputjoutput
será sempre eficiente;
O modelo CCR tem como propriedade principal a proporcionalidade entre inputs e
outputs na fronteira, ou seja, o aumento (decremento) na quantidade dos inputs,
provocará acréscimo (redução) proporcional no valor dos outputs;
DEA só fornece medidas de eficiência dentro de uma amostra em particular. Assim,
não tem sentido comparar as pontuações de eficiência entre dois estudos diferentes,
dado que as diferenças entre as melhores práticas são desconhecidas.
2.5.2 VANTAGENS
Nos modelos DEA podem ser incorporados facilmente múltiplos inputs e outputs, para
calcular a eficiência das DMUs. Só precisa ser obtida a informação das quantidades
dos inputs e dos outputs usadas por cada DMU, sem necessidade de conhecer os
preços. Esta característica é muito apropriada para a análise de eficiência das
entidades sem fins de lucro como, por exemplo, as instituições de governo,
especialmente daquelas que fornecem serviços sociais, onde é difícil ou impossível
atribuir preços a muitos dos inputs e/ou dos outputs;
Nos modelos DEA, a fronteira eficiente é uma envolvente das DMUs observadas,
portanto, não é necessário assumir hipóteses sobre a função de produção. Desta
maneira, não é necessário conhecer o processo de transformação dos inputs em
outputs;
Os modelos DEA identificam as unidades de referência (benchmarks) para as
organizações que não têm um desempenho eficiente. Isto fornece um conjunto de
unidades com modelos de desempenho onde a organização pode comparar-se, com o
objetivo de melhorar a sua performance;
Os modelos DEA caracterizam cada DMU através de uma única pontuação de
eficiência, sem a necessidade de atribuir, para todas as DMUs observadas, o mesmo
conjunto de pesos para os inputs e os outputs;
Os inputs e os outputs podem ser medidos em diferentes unidades, ou seja, os
modelos DEA são invariantes de escala, sem alterar o índice de eficiência, a diferença
dos métodos baseados em avaliação puramente econômica, que necessitam converter
todos os inputs e os outputs em unidades monetárias (Lins & Angulo Meza, 2000).
32
2.5.3 LIMITAÇÕES
Dado que DEA é uma metodologia que requer uma única observação para cada input e
output, pode ser sensível a erros nos dados, tais como inexatidão (por exemplo, erro
nos decimais) ou uma má medição. Estes erros podem influenciar a forma e a posição
da fronteira.
DEA é sensível às DMUs que são referências só para si mesmas, denominadas na
literatura DEA de outliers. De maneira tal que, para os outliers, os resultados fornecidos
por DEA não são informativos. Além disto, os outliers podem influenciar os resultados;
DEA é sensível ao número de inputs e outputs, assim como ao tamanho da amostra de
DMUs observadas. Aumentar o tamanho da amostra tende a reduzir a média das
pontuações de eficiência da amostra, porque um maior número de DMUs permite
encontrar um maior número de DMUs de referência. Por outro lado, quando o número
de DMUs é pequeno em relação à soma do número de inputs e outputs, a média de
eficiência da amostra aumenta. Incrementar o número de inputs e outputs sem
aumentar o tamanho da amostra também incrementará a eficiência média da amostra.
Isto acontece devido ao aumento das dimensões do espaço de inputs e outputs, nas
quais a DMU pode ser única (não tenha DMUs similares com as quais se comparar).
Em outras palavras, aumenta a probabilidade da DMU apresentar o mínimo nível para
um dado input, ou o máximo nível de um dado output. Sobre este tema, é recomendado
que o número de DMUs observadas da amostra seja pelo menos três vezes maior que
a soma dos inputs e dos outputs;
Os resultados de DEA, dado que se trata de resultados de programação linear, podem
apresentar várias soluções ótimas e degeneração. Uma discussão destas dificuldades
pode ser vista em Ali e Seiford (1993);
Os modelos básicos de DEA podem considerar uma DMU como eficiente, quando na
verdade ela é ineficiente. Por exemplo, assumindo orientação aos inputs, ela poderia
produzir a mesma quantidade de outputs consumindo menos inputs.
33
yxvu
skxvyu
xv
yuh
ij
m
j
n
i
ikijkj
n
i
ioi
m
j
jojo
, ,
,...,1 , 0
1
a sujeito
max
11
1
1
∀≥
=≤−
=
=
∑∑
∑
∑
==
=
=
ε
2.9
As vantagens e limitações dos modelos DEA, acima apresentadas, não são exaustivas. De
fato, na aplicação dos modelos DEA podem ser encontrados outros tipos de problemas
(Olesen, 1995; Ali & Lerme, 1997; Smith, 1997), porém as vantagens e limitações
mencionadas anteriormente são as mais tratadas na literatura DEA.
Apesar das limitações, DEA fornece uma metodologia para organizar e analisar os dados,
procurando obter a maior quantidade de informação a partir deles. Além disto, o usuário
não precisa estabelecer a priori uma relação funcional entre os inputs e os outputs.
2.6 RESTRIÇÕES AOS PESOS EM DEA
Uma das desvantagens de modelos DEA clássicos é a baixa discriminação entre as
alternativas. Adler e Golany (2002), Meza e Lins (2002), Lins et al (2007), Soares de Mello
et al (2008), Podinovski (2004), Sarrico e Dyson (2004) propõem métodos de restrições aos
pesos em DEA de forma a aumentar essa discriminação em modelos clássicos.
Os modelos DEA clássicos permitem total liberdade em relação à seleção dos pesos que
darão o máximo valor de eficiência a uma dada DMU. Essa liberdade é importante na
identificação das unidades ineficientes, ou seja, aquelas DMUs que apresentam um baixo
desempenho, inclusive com seu próprio conjunto de multiplicadores. A flexibilidade (com
base no PPL) na escolha dos pesos é uma das vantagens apontadas à modelagem por
DEA.
No entanto, os pesos calculados podem ser inconsistentes com os conhecimentos que se
tem em relação aos valores relativos de inputs e outputs. Assim, a incorporação de
34
julgamentos de valor no cálculo das eficiências surge como uma evolução natural das
aplicações de DEA a problemas reais, ou seja, há a necessidade da introdução de
condições além das de não-negativida. A atribuição de pesos como forma de representar a
estrutura de preferências do decisor, apesar da suposta simplicidade, pode encontrar
alguma relutância por parte dos decisores. Atribuir pesos é uma tarefa para a qual muitos
decisores não estão preparados (Soares de Mello et al., 2002). Quando há preferências
entre os inputs e/ou outputs, por parte dos decisores, esses julgamentos de valor são
incorporados aos modelos DEA por meio de restrições aos pesos (ou multiplicadores)
associados aos inputs e/ou aos outputs das unidades avaliadas.
A incorporação de julgamentos de valor através de restrições aos pesos pode ser dividida
em três grupos de métodos (Lins e Meza, 2000): restrições diretas sobre os
multiplicadores; ajuste dos níveis de input-output observados para a captura de
julgamentos de valor (regiões de segurança) e restrição a inputs e outputs virtuais.
2.6.1 RESTRIÇÕES DIRETAS AOS PESOS
Nesse enfoque, desenvolvido por Dyson e Thanassoulis (1988) e generalizado por Roll e
Golany (1991), são impostos limites numéricos aos multiplicadores com o objetivo de não
superestimar ou ignorar inputs e outputs na análise.
Seja
∑
=
i
ioio
xvI
o numerador da função objetivo na formulação original, no qual
o
I é o
input virtual consumido pela DMU. Os limites impostos aos multiplicadores de inputs,
i
v
, e
de outputs,
j
u , são dados pelas relações apresentadas abaixo, onde II, SI, IO, SO são os
limites inferior e superior para inputs e outputs, respectivamente.
iii
iii
SOuIO
SIvII
≤≤
≤
≤
2.10
Esse tipo de restrição pode levar à inviabilidade do PPL, já que estabelecer um limite
superior ao peso de um input implica em um limite inferior no input virtual do restante das
variáveis. Lins e Moreira (1999) e Lins et al (2007) discutem em que condições as
restrições aos pesos não tornam o PPL inviável.
35
2.6.2 MÉTODO DE REGIÕES DE SEGURANÇA
O método de Regiões de Segurança – Assurance Region Method (AR) – desenvolvido por
Thompson et al. (1990), recebe este nome pela adição de restrições aos modelos DEA
clássicos que têm limites superior e inferior para cada multiplicador. Ou seja, limita a
variação dos pesos a uma determinada região. As restrições da abordagem por AR são de
dois tipos: Tipo I (ou método Cone Ratio) e Tipo II.
•
Regiões de Segurança Tipo I: Método Cone Ratio
As restrições desse enfoque, desenvolvido por Charnes et al. (1990), são exemplificadas
abaixo e incorporam na análise a ordenação relativa ou valores relativos de inputs ou
outputs.
211 +++
≤
+
iiiii
vvkvk
i
i
i
i
v
v
βα
≤≤
+1
2.11
A segunda formulação é a mais utilizada e reflete a taxa marginal de substituição. Os
valores limites são dependentes da escala das variáveis, ou seja, são sensíveis às
unidades de medida.
• Regiões de Segurança Tipo II
Apresentadas por Thompson et al. (1990), são restrições que relacionam os pesos de
inputs e outputs, conforme abaixo:
jii
uv ≥
γ
2.12
Em muitas aplicações de DEA são requeridas as relações entre pesos de inputs e outputs,
já que a medida de eficiência reflete a combinação das variáveis.
Assim como nos modelos de AR do Tipo I, os modelos do Tipo II produzem os mesmos
índices de eficiência, independente da orientação do modelo, e são igualmente
influenciados pela escala das variáveis de input e output.
Entretanto, ambos os métodos são sensíveis às unidades utilizadas para os inputs e
outputs, e exigem profundo conhecimento das variáveis e vasta coleta de opiniões de
36
especialistas, o que torna sua aplicação um processo complicado e demorado. É possível
através desse método estabelecer limites mínimos e máximos para a razão entre as
variáveis e com isso estabelecer uma série de comparações pareadas. Essas
comparações são muito comuns em métodos multicritério, subentendendo-se que essas
duas metodologias podem ser aplicadas simultaneamente.
2.6.3 RESTRIÇÕES AOS INPUTS E OUTPUTS VIRTUAIS
Esse tipo de restrição aos pesos dos multiplicadores considera os níveis de inputs e
outputs das DMUs, ao incluir somente os inputs e outputs que contribuem
significativamente aos custos totais ou benefícios de uma unidade.
Wong e Beasley (1990) propuseram esse tipo de restrição, que ao invés de restringir os
valores dos pesos, limita a proporção de output (input) virtual total da DMU 0 utilizado pelo
output j (input i) no intervalo
[
]
jj
ϕ
φ
, (
[
]
ii
ω
ρ
,
), ou seja, a importância dada ao output j pela
DMU 0. O intervalo
[
]
jj
ϕ
φ
, é determinado pelo decisor. A restrição ao output virtual j é
apresentada abaixo, na qual
∑
=
s
j
joj
yu
1
é o output virtual total da DMU 0. Pode-se obter
resultado semelhante para os inputs.
j
s
j
joj
joj
j
yu
yu
ϕφ
≤≤
∑
=1
2.13
Este tipo de restrição evita o problema das unidades, pois expressa a importância relativa
de uma determinada variável para o conjunto e é, portanto, adimensional.
2.7 PROGRAMA COMPUTACIONAL
Um grande passo foi dado para resolver os PPL presentes em DEA. O uso de softwares
computacionais que permitem o cálculo de um grande número de unidades de produção
pode ser considerado um dos motivos pelo qual essa metodologia. O programa utilizado ao
longo da criação desta dissertação foi o SIAD.
37
O programa SIAD, Sistema Integrado de Apoio à Decisão, desenvolvido por ANGULO
MEZA et al. (2005), é utilizado em DEA através de um algoritmo que permite resolver os
problemas de programação linear associado a metodologia.
Esse programa permite trabalharmos com até 150 DMU’s e até 20 variáveis, utilizando os
modelos clássicos de DEA (CCR e BCC). Além disso, é permitida a escolha da orientação
(inputs ou outputs) e calculo de todos os resultados dos modelos clássicos de DEA, tais
como: eficiências das DMU’s, os pesos para cada variável de todas as DMU’s, benchmarks
e folgas. O programa também permite o uso de ferramentas mais avançadas em DEA
como restrições aos pesos, fronteira invertida, avaliação cruzada e seleção de variáveis.
38
3
AUXÍLIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO
O Auxílio Multicritério à Decisão consiste em um conjunto de métodos e técnicas para
auxiliar a tomada de decisões, quando da presença de uma multiplicidade de critérios. Os
primeiros estudos formais dessa metodologia apareceram após a Revolução Francesa com
as publicações de Borda e Condorcet. Estes autores queriam resolver problemas em que
várias pessoas opinavam, em especial, na situação da atribuição de penas a réus em um
tribunal (Barba-Romero e Pomerol, 1997).
Em um problema multicritério é necessário, em primeiro lugar, estabelecer claramente qual
o objetivo da análise. Podem ser definidas quatro problemáticas multicritério: correta
descrição do problema, ordenação, escolha e alocação em classes. Deve-se ainda definir
os critérios, as alternativas, o método a ser usado e quem atua como decisor, aquele que
emite juízos de valor sobre as alternativas e os critérios (Soares de Mello et al, 2003).
O conjunto de critérios usados em uma determinada situação de decisão deve satisfazer
três condições (“axiomas de Roy”) para ser considerada uma família coerente de critérios
(Roy e Bouyssou, 1993). Esses axiomas, em linguagem não matemática, são:
Exaustividade (impõe a necessidade de descrever o problema levando em conta todos os
aspectos relevantes); Coesão (obriga à correta análise de quais são os critérios de
maximização e quais os de minimização); e Não Redundância (obriga a excluir critérios
que avaliem características já consideradas por outro critério).
As alternativas são ações globais, ou seja, ações que podem ser avaliadas isoladamente
por cada critério de quatro maneiras (Roy e Bouyssou, 1993): Indiferença, Preferência
estrita ou forte, preferência fraca e incomparabilidade.
Quando estiverem definidos os critérios e as alternativas a considerar, pode-se construir
uma matriz de decisão, considerada como a melhor organização para representar a
relação entre critérios e alternativas. Esta matriz, definida para m alternativas e n critérios,
apresenta dimensão m X n e os seus elementos são os desempenhos, valores ou níveis de
aceitabilidade de cada alternativa segundo cada critério. Estes valores monocritério podem
ter uma escala natural de medida ou uma escala subjetiva (Soares de Mello et al, 2003).
39
Decisores são os indivíduos que fazem escolhas e assumem preferências, como uma
entidade única, chamada de decisor, agente ou tomador de decisão.
A forma de explicitar as estruturas de preferência do decisor varia de acordo com o método
de análise multicritério escolhido. Os chamados métodos ordinais são considerados
bastante intuitivos e pouco exigentes tanto em termos computacionais quanto em relação
às informações necessárias por parte do decisor. Dele não são necessárias mais do que as
pré-ordens relativas a cada critério (Barba-Romero & Pomerol, 1997).
Os métodos multicritérios são técnicas de apoio à decisão, que ajudam a solucionar
problemas que possuem vários objetivos freqüentemente conflitantes, com múltiplas ações
possíveis, incertezas, várias etapas, e diversos indivíduos afetados pela decisão. Os
principais métodos das escolas européia e americana são apresentados a seguir:
3.1 ELECTRE - Elimination et Choix Traduisant la Réalité
ELECTRE são métodos baseados em relações de superação para decidir sobre a
determinação de uma solução, que mesmo sem ser ótima pode ser considerada
satisfatória, e obter uma hierarquização das ações (Flament, 1999). Eles se sustentam em
três conceitos fundamentais: concordância, discordância e valores-limite (outranking),
utilizando um intervalo de escala no estabelecimento das relações-de-troca na comparação
aos pares das alternativas. (Gomes et al, 2006)
Estes métodos foram desenvolvidos pela Escola Francesa e, atualmente contam com os
procedimentos ELECTRE I, II, III IV, IS e ELECTRE TRI, que resolvem diferentes tipos de
problemas suscitados no tratamento da teoria da decisão (Flament, 1999).
Um exemplo do método ELECTRE I é a da compra de um carro considerando 4
alternativas e os critérios preço, conforto e consumo de combustível (tabela 3.1). Os
valores para os critérios são normalizados e após isso são calculados os índices de
concordância e discordância, além de se estabelecer os limiares para estes índices.
40
CRITÉRIOS
ALTERNATIVAS
PREÇO (R$) CONFORTO CONSUMO (km/L)
1 18000,00 5 8
2 20500,00 6 5
3 24700,00 6 4
4 22800,00 8 7
PESOS 5 2 3
Tabela 3.1: Desempenho das alternativas nos diferentes critérios e respectivos pesos
Tabelas 3.2 e 3.3 – Índices de concordância e discordância entre alternativas
Figura 3.1 – Grafo das relações de superação entre as alternativas
1234
1 0,8 0,8 0,8
2
0,2 1 0,5
3
0,20 0,2 0
4
0,2 0,5 1
INDICE DE CONCORDÂNCIA
1234
1 0,241 0,241 0,723
2
0,753 0 0,506
3 1,00 0,295 0,753
4
0,337 0,163 0
INDICE DE DISCORDÂNCIA
1
4
3
2
41
Tabela 3.4 – Matriz com relações de superação
Os limites de concordância e discordância estabelecidos no exemplo foram 0,60 e 0,40,
respectivamente. Com isso, a matriz de superação e o grafo correspondente são ilustrados
abaixo. O núcleo do grafo das relações de superação é formado pelas alternativas 1 e 4,
que são as alternativas escolhidas.
3.2 MÉTODO PROMETHEE
Os métodos PROMETHEE foi desenvolvido para tratar de problemas multicritério discretos,
ou seja quando o conjunto de alternativas possíveis é finito. Ele atua na construção de
relações de superação valorizadas, incorporando conceitos e parâmetros que possuem
alguma interpretação física ou econômica facilmente compreensível pelo “decisor”. (Gomes
et al, 2004).
Esta abordagem faz uso abundante do conceito de pseudocritério, já que constrói o grau
de superação entre cada par de ações ordenadas levando em conta a diferença de
pontuação que essas ações possuem a respeito de cada atributo.
Há várias versões do PROMETHEE: Em PROMETHEE I se obtém uma pré-ordem parcial,
e no PROMETHEE II pode-se obter uma pré-ordem total considerando os fluxos líquidos
de cada alternativa. Outras variantes do método analisam situações mais sofisticadas de
decisão, em particular problemas com um componente estocástico. Dessa forma se
desenvolvem as versões PROMETHEE III, PROMETHEE IV e PROMETHEE V (Flament,
1999).
1234
1
110
2
010
3
00 0
4 001
RELAÇÕES DE SUPERAÇÃO
42
3.3 MÉTODO LEXICOGRÁFICO
A palavra lexicografar significa dicionarizar, ou seja, dispor as opções por alguma ordem
lógica de apresentação. Dessa forma, o método exige a definição das alternativas e dos
critérios, além disso, o julgador deverá propor uma ordenação dos mesmos, do que ele
considera o mais importante até o último. O método consiste em avaliar todas as
alternativas focando-se exclusivamente para o critério mais importante. Esse método é
também conhecido como método ditador.
A alternativa que ganhar é considerada como sendo a vencedora, ou, se houver empate na
1ª colocação, essas alternativas serão encaminhadas sozinhas para o desempate, que
será feito com base no próximo critério em importância. Nesse sentido, os critérios menos
importantes só serão considerados na medida em que ocorra empate nos critérios mais
relevantes.
Um exemplo de aplicação do método lexicográfico é nas olimpíadas (Lins et al 2003) a
ordenação geral dos países se faz através do número de medalhas de ouro. Se houver
empate utiliza-se o número de medalhas de prata e, se persistir o empate, serão
consideradas as medalhas de bronze.
Note que na figura 3.2 referente aos jogos Olímpicos na China em 2008, o Estados Unidos
obtiveram um número maior de medalhas que a China, porém a China terminou melhor
colocada por ter um maior número de medalhas de ouro.
Figura 3.2 Classificação dos países na Olimpíada de Pequim em 2008
43
3.4 MÉTODO DE BORDA
O Método de Borda baseia-se na pontuação das alternativas, de acordo com a ordenação
fornecida pelo decisor, como num campeonato. A alternativa mais preferida ganha um
ponto, a segunda melhor ganha dois pontos e assim sucessivamente. No final, os pontos
atribuídos pelos decisores a cada alternativa são somados e a alternativa que tiver obtido a
menor pontuação será a escolhida. Exemplos correntes de aplicação de variações do
método de Borda são encontrados com freqüência em competições desportivas, como o
campeonato mundial de Fórmula 1
O método de Borda apresenta a desvantagem de não ser indiferente às alternativas
irrelevantes. Ou seja, a retirada de uma alternativa pode levar a modificações na
ordenação relativa de outras alternativas. (Soares de Mello, 2004)
O software SIAD desenvolvido por ANGULO MEZA et al., 2005 pode ser utilizado para
gerar resultados nesse método a partir da matriz de critérios e alternativas.
Para exemplificar esse método, usaremos um problema genérico onde existem 3
alternativas e 5 critérios (tabela 3.5), onde se aplica nota 3 para a alternativa que se
considere a melhor opção, 2 para a segunda melhor opção e 1 para a terceira melhor
opção. Em seguida, fazemos um somatório das notas dos seis critérios para cada
alternativa e alternativa com maior somatório é a alternativa mais atraente (tabela 3.6).
Tabela 3.5: Notas atribuídas dentro de cada critério para as alternativas
Tabela 3.6: Somatório das notas dos critérios e ordenação de alternativas
ALTERNATIVA C1 C2 C3 C4 C5
A1 31 3 3 2
A2 23 1 1 3
A3 12 2 2 1
ALTERNATIVAS E CRITÉRIOS
ALTERNATIVA SOMA ORDENAÇÃO
A1
12
1
o
A2
10
2
o
A3
8
3
o
44
3.5 MÉTODO DE CONDORCET
O Método de Condorcet baseia-se em relações de preferências. Quando cada decisor
ordena as alternativas por ordem de preferência, o analista verifica, em cada par de
alternativas, qual delas foi preferida pela maioria dos decisores. Neste caso, diz-se que
esta alternativa é preferível em relação a outra.
O método de Condorcet, é considerado mais justo que o método de Borda, tem a grande
desvantagem de conduzir a situações de intransitividade, levando ao célebre "paradoxo de
Condorcet". Este ocorre quando A é preferível a B, B é preferível a C e C é preferível a A.
Isto significa que o método de Condorcet nem sempre induz uma pré-ordem no conjunto
das alternativas. (Soares de Mello, 2004).
Utilizando o mesmo exemplo do método de Borda, fizemos comparações entre duas
alternativas para os diferentes critérios (tabela 3.7) e geramos a matriz de Condorcet
(tabela 3.8). A alternativa A1 se mostrou melhor que A2, que por sua vez, se mostrou
melhor que A3.
Tabela 3.7: Comparações pareadas entre os critérios
Tabela 3.8: Matriz de Condorcet
COMPARAÇÃO RESULTADO VENCEDOR
A1 X A2 3 X 2 A1
A1 X A3 3 X 2 A1
A2 X A3 3 X 2 A2
MATRIZ DE
CONDORCET
A1 A2 A3 SOMATÓRIO
A1
11
2
A2
01
1
A3
00
0
45
3.6 MÉTODO DE COPELAND
O método de Copeland usa a mesma matriz de adjacência que representa o grafo do
método de Condorcet. A partir dela calcula-se a soma das vitórias menos as derrotas, em
uma votação por maioria simples. As alternativas são então ordenadas pelo resultado
dessa soma. O método de Copeland alia a vantagem de sempre fornecer uma ordenação
total (ao contrário do de Condorcet) ao fato de dar o mesmo resultado de Condorcet,
quando este não apresenta nenhum ciclo de intransitividade. Quando esses ciclos existem,
o método de Copeland permite fazer a ordenação e mantém a ordenação das alternativas
que não pertencem a nenhum ciclo de intransitividade. Apesar de computacionalmente
mais exigente que Borda, quando há necessidade de estabelecer uma relação de pré-
ordem, ou ordem latus sensu, este método fornece sempre uma resposta (ao contrário do
método de Condorcet) e, apesar de não eliminar, reduz bastante a influência de
alternativas irrelevantes. (Gomes Júnior et al, 2008).
Ainda utilizando o mesmo exemplo dos métodos de Borda e Condorcet, o resultado agora
é o somatório das vitórias menos o somatório das derrotas.
Tabela 3.9: Matriz de Copeland
A ordenação das alternativas não se alterou. A1 foi considerada melhor que A2 que por
sua vez foi considerada melhor que A3.
MATRIZ DE
COPELAND
A1 A2 A3 RESULTADO
A1
11
2
A2
01
0
A3
00
-2
46
3.7 MÉTODO DA ENTROPIA
Para entendermos como o conceito de entropia foi criado, devemos voltar para o século
XIII, onde os conceitos de calor e temperatura ainda não tinham sido separados. Roger
Bacon, Johannes Kepler consideravam o calor como o movimento das partículas do corpo
enquanto Galileu Galilei e Telesius associavam o calor a uma espécie de fluido foram os
precursores. Essas duas correntes de pensamento que procuravam explicar o calor
perduraram até o século XVII quando Samuel Klingestjerna em 1729 e Black em 1760
satisfatoriamente esclareceram as diferenças entre os dois conceitos.
Com o desenvolvimento da Termodinâmica, impulsionada pelos conceitos de equilíbrio
térmico (Lei Zero da Termodinâmica) e Energia Interna (Primeira Lei da Termodinâmica) é
que começou a ser desenvolvido o conceito de entropia por Carnot em 1824, inspirado na
conservação da proporcionalidade entre Calor (Q) e Temperatura (T) de fontes
quentes(sub-escrito H) e frias (sub-escrito C) durante uma troca térmica.
A Termodinâmica foi a teoria científica destinada a explicar e desenvolver as máquinas
térmicas, ponto central da Revolução Industrial, enquanto a entropia aparece com o intuito
de distinguir processos reversíveis e irreversíveis.A Segunda Lei da Termodinâmica aponta
exatamente para o crescimento da entropia de um sistema:
"Todo sistema natural, quando deixado livre, evolui para um estado de máxima desordem,
correspondente a uma entropia máxima”.
Para processos considerados irreversíveis a segunda lei se representa sob a forma de uma
inequação ao passo que em processos reversíveis é representada por uma equação.
A primeira grande reinterpretação do conceito da entropia veio com os estudos de
Bolzmann através da Mecânica Estatística, teoria que buscou conciliar duas outras
aparentemente incompatíveis: a Termodinâmica, com sua Segunda Lei, e a Mecânica,
onde se aplica a reversibilidade temporal. O conceito de entropia em mecânica estatística
Q
H
/ T
H
= Q
C
/ T
C
dS ≥ dQ / T
47
está ligado ao logaritmo da contagem de quantos estados microscopicamente distintos são
compatíveis com uma mesma descrição macroscópica do sistema.
S = k lnW,
Onde K é a constante de Boltzmann e W é número de modos microscópicos com que um
estado termodinâmico de um sistema pode ser realizado.
Outra revolução no conceito surge no pós-guerra. Com as telecomunicações ganhando
força, faltava arcabouço teórico capaz de predizer a capacidade de um canal de
comunicaçãoo.. Em 1948, Claude E. Shannon apresentou esta teoria, e o conceito central
foi a entropia de uma fonte de informação. Nascia aí a Teoria da Informação, e o conceito
de entropia ganhava uma nova faceta: agora ele dizia como armazenar e transmitir
informação de maneira mais econômica. Com ele ficou claro que a noção de entropia cabia
bem no contexto de probabilidades, e não necessariamente em teorias físicas como
Termodinâmica ou Mecânica Estatística (clássica ou quântica). De certa forma, sua
presença era assegurada pelos métodos estatísticos e não pelos conceitos mecânicos da
teoria.
O método da entropia, desenvolvido por Shannon (1948), é baseado no princípio da
incerteza probabilística associada a uma distribuição de probabilidade. Este método
multicritério, e considerado um método “objetivo” de designação de pesos, isto é, os
determina sem que o decisor emita relações de preferência entre critérios. Isso a princípio
parece extremamente contraditório, visto que para Gomes et al (2004) a função do decisor
é proporcionar um juízo de valor final para ser utilizado no momento de avaliar as
alternativas disponíveis, com o objetivo de identificar a melhor alternativa. Como essa
informação é fundamentalmente subjetiva e obedece à estrutura interna de preferências do
decisor (pesos), é difícil imaginar como atribuir pesos aos critérios sem a ajuda do decisor.
O método da entropia representa, em certa medida, um retorno ao paradigma do ótimo,
criticado por Climaco (2003).
S = -k Σ P
V
log P
V
48
Porém a idéia essencial deste método consiste em associar que a importância relativa de
cada critério (peso) está diretamente relacionada com o intervalo de valores que cada
alternativa pode ter dentro de um critério.
A partir da matriz normalizada contendo “n” alternativas e “m” critérios, calcula-se a
entropia pela fórmula:
Onde k= 1/log(m).
Em seguida, calcula-se a dispersão de cada critério. Quanto mais dispersas estão as
alternativas, maior importância esse critério deve ter na decisão, pois possui uma maior
capacidade de distinção entre as alternativas. A dispersão é calculada pela fórmula:
Os pesos correspondentes a cada critério na avaliação são obtidos pela fórmula:
A partir da matriz de alternativas e critérios (matriz de decisão) normalizada, multiplicamos
os valores dos pesos de cada critério pelo valor das alternativas e fazemos uma soma
ponderada para cada alternativa. Um exemplo prático deste método é disposto em Deng et
al (2000).
3.8 MÉTODO MACBETH
49
O Método MACBETH (Measuring Attractiveness by a Categorical Based Evaluation
Technique), de Bana e Costa & Vansnick (1997) é um método de julgamento semântico,
onde as funções de valor são obtidas mediante julgamentos semânticos realizados através
da comparação da diferença de atratividade entre duas linhas de ação quaisquer, sempre
aos pares. Este fato simplifica bastante o julgamento do decisor, uma vez que todo o
conjunto de ações não precisa ser avaliado simultaneamente (Soares de Mello et al, 2007).
O método MACBETH tem como premissa o decisor ser coerente. Porém, é reconhecida a
dificuldade encontrada por um decisor de manter-se coerente à medida que o número de
alternativas e critérios aumenta. Para contornar tal fato, o programa faz a análise da
coerência cardinal e semântica e ainda sugere, caso necessário, como contorná-la. Isso é
feito por meio da resolução de quatro Problemas de Programação Linear seqüenciais, que
são responsáveis pela análise de consistência cardinal, pela construção da escala de valor
cardinal e por revelar as fontes de inconsistência (Bana e Costa & Vansnick, 1997).
Quando utilizado para resolver problemas multicritério atende a duas questões essenciais:
para cada critério, determinar uma escala de valores, ou seja, atribuir “notas” a cada
alternativa; e atribuir pesos aos vários critérios, respeitando as opiniões dos decisores. O
programa MACBETH, que implementa computacionalmente o método multicritério de
mesmo nome, pode ser usado para resolver estas duas questões (Soares de Mello et al,
2003).
Para a primeira problemática, o programa permite construir uma função de valor
intracritério (utilizando o programa MACBETH SCORES) e por meio de uma análise
intercritério (utilizando o programa MACBETH weights), agregar os diversos critérios de
avaliação em um critério único de síntese pela atribuição de pesos aos critérios, com
respeito às opiniões dos decisores. (Gomes, 2008)
Para a análise intracritério, deve-se atribuir notas para cada alternativa utilizando o
software MACBETH scores. Essa classificação é realizada através de uma comparação
pareada, classificando-as segundo os julgamentos do decisor.
50
Para a definição de diferença de atratividade entre as alternativas, o software utiliza uma
escala semântica composta de sete categorias (de zero a seis), onde zero indica
indiferença entre as alternativas, e seis indica uma diferença de atratividade extrema
(tabela 3.10).
Tabela 3.10: Escala de preferência para diferença de atratividade entre alternativas
O próprio programa faz a análise de coerência cardinal (transitividade) e semântica
(relações entre as diferenças), sugerindo, em caso de incoerência, como resolvê-la.
Por programação linear é sugerida uma escala de notas, e os intervalos em que elas
podem variar sem tornar o problema inconsistente (PPL inviável). É ainda facultado ao
decisor ajustar graficamente o valor das notas atribuídas, dentro dos intervalos permitidos
(Soares de Mello et al, 2003). Segundo Bana e Costa & Vansnick (1997) somente após
este ajuste, com a introdução dos conhecimentos dos especialistas, é que fica
caracterizada a construção da escala cardinal de valores.
Após isso, as alternativas são agregadas em uma nota única através de uma agregação
aditiva. Para isso é necessário atribuir pesos aos vários critérios utilizando o software
MACBETH weights através de comparação par a par realizada de forma indireta através de
alternativas fictícias que representam cada critério, possuindo o melhor valor possível para
o critério que representa e pior valor para os demais critérios. É ainda introduzida uma
outra alternativa à análise correspondendo a um critério artificial, com pior nota em todos
ESCALA DE
PREFERÊNCIA
DESCRIÇÃO
0 Indiferente
1 Muito Fraca
2Fraca
3 Moderada
4Forte
5 Muito Forte
6Extrema
51
os critérios, de forma a impedir que um dos critérios tenha valor nulo (Soares de Mello et al,
2003)..
O programa realiza verificações de consistência nos julgamentos do decisor na medida em
que as comparações pareadas são realizadas e fornece pesos fixos e intervalos nos quais
os pesos podem variar sem que o modelo se torne inconsistente. Em caso de
inconsistência, o software sugere como resolvê-la.
Além disso, o programa possui uma análise de sensibilidade onde o decisor pode fazer
ajustes no gráfico contendo os valores dos pesos dentro dos intervalos de consistência que
o programa sugere.
Aplicação de método MACBETH pode ser encontrado em Oliveira et al (2007), Oliveira et
al (2008.), e Soares de Mello et al (2003).
52
4 MÉTODO MACBETH – DEA
O método proposto consiste em utilizar o método MACBETH para atribuir invervalos nos
quais os pesos de cada critério possam variar, mantendo a consistência dos julgamentos
do decisor Para estruturar o problema, são identificados os fatores relevantes ao processo
de apoio a decisão: objetivos, decisores, alternativas e critérios, respeitando os três
axiomas de Roy.
No método MACBETH, o decisor deve escolher entre duas alternativas qual é a mais
atrativa e o grau de atratividade é uma escala semântica que corresponde a uma escala
ordina, conforme tabela 3.7. Após isso, são analizadas as coerências cardinal
(transitividade) e semântica (relações entre diferenças) e caso existam incoerências, o
programa sugere soluções. Uma escala de pesos é sugerida para os critérios através de
programação linear assim como o intervalo que essa escala pode variar sem tornar o
problema inconsistente.
Como no método MACBETH a soma dos pesos é igual a um, suponha 3 variáveis x, y e z.
O peso da variável x é x/(x+y+z), da variável y é y/(x+y+z) e da variável z é z/( x+y+z).
Suponha agora que x
m
e x
M
são limites mínimo e máximo, respectivamente, fornecidos pelo
método MACBETH. Logo x
m
≤ [x/(x+y+z)] ≤ x
M
Agrupando, temos que:
LIMITE MÍNIMO
x(x
m
– 1) +x
m
*y +x
m
*z ≤ 0
LIMITE MÁXIMO
x(1-x
M
) – x
M
*y – x
M
*z ≤ 0
Tabela 4.1: Limites mínimo e máximo derivados do método MACBETH
53
Essas inequações são restrições do tipo cone ratio, podendo ser utilizadas no método de
restrição aos pesos em DEA, região de segurança tipo I. Cada variável (input ou output) irá
gerar duas restrições Cone Ratio a ser adicionadas ao PPL original. Como em DEA a soma
dos pesos não é igual a 1, deve ser utilizado um fator de correção para os pesos do
método MACBETH igual a 1/(x+y+z). Dessa forma, o modelo DEA aumenta a
discriminação entre as DMUs
Dyson et al (1988) associou transformações de julgamentos do decisor (trade-offs) com
restrições aos pesos para casos com um único input, enquanto Podinovski (2004)
generalizou esses estudos sobre transformações de trade-offs em restrições aos pesos em
DEA. O uso dos pesos fornecidos pelo método MACBETH em modelos de auxílio à
decisão utilizando programação linear já foram estudados por Rangel et al. (2003) que
usaram os intervalos de pesos obtidos pelo MACBETH para introduzir restrições adicionais
ao método UTA; Chaves et al. (2007) usaram o MACBETH para obter os intervalos de
pesos a serem usados pelo método Vip Analysis de Dias & Clímaco (2000) enquanto
Soares de Mello et al (2002) integrou o método MACBETH com restrições aos pesos em
DEA, porém a restrição à importância relativa utlilizada não é fruto de avaliação entre
variáveis. Como demostrado acima, o método MACBETH gera restrições cone ratio e por
isso o método de região de segurança tipo I é o mais indicado.
54
5 APLICAÇÃO
5.1 ESCOLHA DOS MÉTODOS
A escolha pelo uso de DEA se deu pelo fato da capacidade dessa metodologia distinguir
unidades de produção eficientes e ineficientes, identificando quais as unidades de
referências para as alternativas ineficientes. Este modelo admite uma liberdade na escolha
da importância (peso) dos critérios buscando sempre a relação que maximize a eficiência
da unidade de produção. Como essa característica pode fazer com que muitas unidades
de produção sejam consideradas eficientes, utilizamos o modelo proposto no capítulo 4
para aumentar a discriminação de unidades de produção através do método de restrições
aos pesos, região de segurança tipo I.
Para a escolha dos métodos multicritério de auxílio à decisão foi feita uma revisão em
Barba-Romero e Pomerol (1997). Dentre os métodos multicritério, podemos dizer que
existem dois sub-grupos:
• Métodos objetivos são aqueles que não necessitam de julgamentos de valor dos
decisores. É utilizado principalmente quando os decisores não conseguem emitir
julgamentos de valor para os critérios, apropriado para contextos em que haja
conflitos de interesses entre decisores e seja necessária uma neutralidade na
decisão.
• Métodos subjetivos são aqueles que seus resultados se baseiam nos julgamentos
de valor dos decisores.
Dentre os métodos subjetivos, o AHP - Analytic Hierarchy Process (Saaty, 1980) foi
preterido por permitir inconsistências nos julgamentos do decisor. Bana e Costa & Vansnick
(2008) criticam o método do autovalor, utilizado no método AHP e a subseqüente
ordenação de alternativas e Soares de Mello et al (2002) mostra que o método MACBETH,
entre outras, apresenta as seguintes vantagens:
•
Permite a transformação de avaliações qualitativas em quantitativas, o que também
é feito pelo método AHP.
55
•
Não permite nenhum grau de inconsistência nos julgamentos do decisor,
estabelecendo um processo interativo de revisão dos julgamentos, inclusive
sugerindo quais os que devem ser revistos. Ressalta-se que o método AHP não
apresenta esta possibilidade, arbitrando um valor de 10% para a inconsistência
máxima nos julgamentos.
• Permite gerar intervalos nos quais os pesos podem variar mantendo a consistência
do método, enquanto o método AHP gera peso único.
Em relação aos métodos objetivos, Deng et al (2000), concluem que o método da entropia
é o que faz uma melhor discriminação dos pesos dos critérios.
5.2 MODELAGEM
Para adaptar as metodologias escolhidas ao processo de compra de um imóvel foi
necessário primeiro definir as variáveis e escolher as alternativas a serem estudadas.
Entre as possíveis variáveis, foram escolhidos: Preço do imóvel, tamanho do imóvel,
número de vagas na garagem, número de quartos, idade do imóvel, e o nível de segurança
da região onde se encontra o imóvel.
O valor o imposto predial e territorial urbano (IPTU), uma das variáveis utilizada
inicialmente na modelagem do problema, foi preterido nessa avaliação pois sua base de
cálculo utiliza o preço do imóvel para estabelecimento do valor do imposto, fazendo essas
duas variáveis serem correlacionadas.
A variável nível (ou percepção) de segurança merece uma atenção especial, pois é um
critério qualitativo. O conceito de nível de segurança para um determinado bairro foi
baseado no conhecimento intrínseco dos decisores sobre as condições de segurança do
local. Essa variável não ter qualquer relação com a variável segurança, que seria itens de
segurança existentes no imóvel, como presença de câmeras de segurança, garagem com
guarita, .profissionais de segurança, portaria trabalhando 24 horas por dia. O índice gerado
para quantificar o nível de segurança foi criado a partir de uma escala de 1 a 5 onde 1 o
bairro seria considerado muito perigoso e 5 seria considerado muito seguro (tabela 5.1).
56
Foi definida também a faixa de variação de cada critério de modo a filtrar alternativas
desejáveis dentro do universo das alternativas pré-selecionadas. A faixa de variação dos
critérios está ilustrada na tabela 5.2.
Tabela 5.1: Nível de segurança para os bairros avaliados
Para cada critério é destacado o valor desejável, e a alternativa contendo esses valores é
conhecida como ideal. Com isso, podemos perceber que para alguns critérios o objetivo é
obter alternativas que atinjam o valor máximo, enquanto para outras, o valor mínimo.
Tabela 5.2: Limites mínimo e máximo de variação para cada critério
Em relação às alternativas, estas foram escolhidas aleatoriamente nos cadernos
Classificados em jornais de grande circulação, tanto pela Internet, quanto nos jornais
impressos de final de semana. As alternativas escolhidas foram codificadas com a sigla do
sub-bairro acompanhadas de um número seqüencial para diferencias alternativas
pertencentes ao mesmo sub-bairro; foram criados códigos para avaliação das alternativas
MÍNIMO MÁXIMO
PREÇO DO IMÓVEL (R$ mil) 140 300
VAGAS NA GARAGEM 1 3
TAMANHO DO APARTAMENTO (M
2
)
50 120
NÚMERO DE QUARTOS 2 3
IDADE DO IMÓVEL 1 7
NÍVEL DE SEGURANÇA 1 5
INTERVALO
CRITÉRIOS
CÓDIGO BAIRRO
NÍVEL DE
SEGURANÇA
JG Jardim Guanabara 4
MO Moneró 3
CO Cocota 2
PB Praia da Bandeira 2
RB Ribeira 2
57
contendo os valores para todas as variáveis de forma a facilitar a identificação das
alternativas no decorrer do estudo. A matriz de decisão contendo as características de
cada alternativa está ilustrada na tabela 5.3.
Tabela 5.3: Matriz de Critérios e Alternativas
Para a modelagem em DEA, as variáveis foram agrupadas da seguinte forma:
Inputs: Preço do imóvel
Outputs
: Tamanho do imóvel, número de quartos, número de vagas na garagem, idade do
imóvel e nível de segurança.
Optou-se por ter um único input para ser consistentes com referências de transformações
de trade-offs em restrições aos pesos que basearam esse estudo. O modelo escolhido foi o
CCR por se adaptar melhor aos objetivos deste estudo, mantendo a proporcionalidade
entre inputs e outputs. De forma mais especifica, o modelo CCR orientado a inputs,
objetivando avaliar a eficiência dos preços oferecidos pelos imóveis, minimizando as
variáveis de entrada (inputs) e mantendo inalteradas as variáveis de saída (outputs).
Como o método de região de segurança tipo I permite apenas comparações entre inputs
ou entre outputs, faremos 5 comparações entre os outputs, gerando 2 restrições cone ratio
(limites mínimo e máximo) para cada variável.
Adotando uma codificação (tabela 5.4) para identificar as variáveis durante a comparação
pareada e os subtítulos m e M para tratar de limite mínimo e máximo, respectivamente,
ALTERNATIVA CÓDIGOS PARA AVALIAÇÃO
NÍVEL DE
SEGURANÇA
PREÇO DO
IMÓVEL
(R$ MIL)
NÚMERO
DE
QUARTOS
IDADE DO
IMÓVEL
(ANOS)
TAMANHO
(M2)
VAGAS NA
GARAGEM
PB1
PB - 140 - 2Q - 1A - 80M2 - 1V
2 140,00 2 1
80
1
JG1
JG - 170 - 2Q - 2A - 80M2 - 2V
4 170,00 2 2
80
2
RB1
RB - 185 - 2Q - 1A - 95M2 - 1V
2 185,00 2 1
95
1
JG2
JG - 150 - 3Q - 6A - 75M2 - 1V
4 150,00 3
675
1
MO1
MO - 155 - 3Q - 5A - 75M2 - 2V
3 155,00 3
575
2
CO1
CO - 160 - 3Q - 5A - 85M2 - 2V
2 160,00 3
585
2
JG3
JG - 180 - 3Q - 6A - 85M2 - 1V
4 180,00 3
685
1
JG4
JG - 180 - 3Q - 4A - 100M2 - 2V
4 180,00 3
4 100
2
JG5
JG - 190 - 3Q - 4A - 110M2 - 1V
4 190,00 3
4 110
2
JG6
JG - 150 - 3Q - 5A - 90M2 - 1V
4 150,00 3
590
1
RB2
RB - 270 - 3Q - 1A - 110M2 - 1V
2 270,00 3 1
110 2
58
obtemos 10 restrições cone ratio a serem utilizados no modelo DEA com restrições aos
pesos, região de segurança (tabela 5.5).
Tabela 5.4: Codificação de variáveis
X
m
x(x
m
– 1) + x
m
*y + x
m
*z + x
m
*u + x
m
*v ≤ 0
X
M
x(1-x
M
) – x
M
*y – x
M
*z – x
M
*u – x
M
*v ≤ 0
Y
m
y(y
m
– 1) + y
m
*x + y
m
*z + y
m
*u + y
m
*v ≤ 0
Y
M
y(1-y
M
) – y
M
*x – y
M
*z – y
M
*u – y
M
*v ≤ 0
Z
m
z(z
m
– 1) + z
m
*x + z
m
*y + z
m
*u + z
m
*v ≤ 0
Z
M
z(1-z
M
) – z
M
*x – z
M
*y – z
M
*u – z
M
*v ≤ 0
U
m
u(u
m
– 1) + u
m
*x + u
m
*y + u
m
*z + u
m
*v ≤ 0
U
M
u(1-u
M
) – u
M
*x – u
M
*y – u
M
*z – u
M
*v ≤ 0
V
m
v(v
m
– 1) + v
m
*x + v
m
*y + v
m
*z + v
m
*u ≤ 0
V
M
v(1-v
M
) – v
M
*x – v
M
*y – v
M
*z – v
M
*u ≤ 0
Tabela 5.5: Restrições cone ratio a serem incluídas no modelo clássico
LIMITES RESTRIÇÕES CONE RATIO
VARIÁVEL CÓDIGO
Segurança X
Número de quartos Y
Idade do imóvel Z
Tamanho U
Vagas na Garagem V
59
6 RESULTADOS
Utilizando o método da entropia, normalizaram-se os valores das alternativas para cada
critério, segundo seus objetivos de maximizar e minimizar cada critério.
Calculou-se a entropia e a dispersão para cada critério, como mostrado na tabela 6.1. Com
a dispersão, obtiveram-se os pesos para cada critério e através de uma soma ponderada,
as alternativas foram ordenadas, como mostrado na coluna somatório da tabela 6.2.
Tabela 6.1: Cálculo da entropia, dispersão e pesos para os 6 critérios
Tabela 6.2: Resultado método da Entropia
Para o método da entropia, devido à alta dispersão para o critério idade do imóvel, este foi
supervalorizado em relação aos demais critérios, interferindo na classificação das
ALTERNATIVA CÓDIGOS PARA AVALIAÇÃO
NÍVEL DE
SEGURANÇA
PREÇO DO
IMÓVEL
(R$ MIL)
NÚMERO
DE
QUARTOS
IDADE DO
IMÓVEL
(ANOS)
TAMANHO
(M2)
VAGAS NA
GARAGEM
SOMATÓRIO
RB2
RB - 270 - 3Q - 1A - 110M2 - 1V
0,0064 0,0017 0,0035 0,1357 0,0025 0,0155
0,1653
PB1
PB - 140 - 2Q - 1A - 80M2 - 1V 0,0064 0,0034 0,0023 0,1357 0,0018 0,0077
0,1573
RB1
RB - 185 - 2Q - 1A - 95M2 - 1V
0,0064 0,0025 0,0023 0,1357 0,0021 0,0077
0,1568
JG1
JG - 170 - 2Q - 2A - 80M2 - 2V 0,0128 0,0028 0,0023 0,0679 0,0018 0,0155
0,1030
JG5
JG - 190 - 3Q - 4A - 110M2 - 1V 0,0128 0,0025 0,0035 0,0339 0,0025 0,0155 0,0706
JG4
JG - 180 - 3Q - 4A - 100M2 - 2V
0,0128 0,0026 0,0035 0,0339 0,0022 0,0155
0,0705
MO1
MO - 155 - 3Q - 5A - 75M2 - 2V 0,0096 0,0030 0,0035 0,0271 0,0017 0,0155
0,0604
CO1
CO - 160 - 3Q - 5A - 85M2 - 2V 0,0064 0,0029 0,0035 0,0271 0,0019 0,0155 0,0573
JG6
JG - 150 - 3Q - 5A - 90M2 - 1V
0,0128 0,0031 0,0035 0,0271 0,0020 0,0077
0,0563
JG2
JG - 150 - 3Q - 6A - 75M2 - 1V 0,0128 0,0031 0,0035 0,0226 0,0017 0,0077 0,0514
JG3
JG - 180 - 3Q - 6A - 85M2 - 1V
0,0128 0,0026 0,0035 0,0226 0,0019 0,0077
0,0511
FÓRMULA
NÍVEL DE
SEGURANÇA
PREÇO DO
IMÓVEL (R$
MIL)
NÚMERO
DE
QUARTOS
IDADE DO
IMÓVEL
(ANOS)
TAMANHO
DO IMÓVEL
(M2)
NÚMERO
DE VAGAS
Σ(aij*log(aij))
-1,0215 -1,0360 -1,0352 -0,9223 -1,0375 -1,0180
Ej=-(1/log(11))*Σ(aij*log(aij))
0,9809 0,9948 0,9941 0,8856 0,9962 0,9775
Dj=1-Ej
0,0191 0,0052 0,0059 0,1144 0,0038 0,0225
Wj=Dj/(Σ Dj)
11% 3% 3% 67% 2% 13%
60
alternativas. Seu resultado aproximou-se do método lexicográfico, em que as alternativas
são ordenadas segundo um único critério de decisão, considerado ditador.
Para o uso do método MACBETH começou-se por utilizar o software MACBETH Scores
para realizar seis avaliações intracritérios das alternativas e seu resultado é ilustrado na
tabela 6.3. Esta análise é realizada par a par entre as alternativas. Pode-se observar que
não houve nenhuma alternativa que dominasse as demais.
Tabela 6.3: Resultado MACBETH Scores, referente a cada critério
Em seguida, para a definição dos pesos no método MACBETH (comparação intercritério)
utilizou-se o software MACBETH weights. Foi realizada uma comparação indireta dos
critérios através de seis alternativas fictícias que representam cada critério, possuindo o
melhor valor possível este critério e valores indesejáveis para os demais, conforme figura
6.1. A Tabela 6.4 representa os limites de variação dos pesos dos critérios e a figura 6.2
faz essa representação graficamente.
As alternativas foram agregadas uma nota única através de uma agregação aditiva,
utilizando os resultados dos programas MACBETH scores e weights conforme tabela 6.5.
Como o método MACBETH se baseia nas opiniões do decisor para ordenação de critérios
e alternativas, considerou-se razoável concluir que o seu resultado ordena de forma
eficiente as melhores alternativas para o decisor, visto que tal método não permite
ALTERNATIVA CÓDIGOS PARA AVALIAÇÃO
NÍVEL DE
SEGURANÇA
PREÇO
DO
IMÓVEL
(
R$ MIL
)
NÚMERO
DE
QUARTOS
IDADE DO
IMÓVEL
(ANOS)
TAMANHO
(M2)
V
AGAS NA
GARAGEM
PB1
PB - 140 - 2Q - 1A - 80M2 - 1V
58,3 100,0 66,7 100,0 33,3 62,5
JG1
JG - 170 - 2Q - 2A - 80M2 - 2V
100,0
63,6
66,7
83,3
33,3
100,0
RB1
RB - 185 - 2Q - 1A - 95M2 - 1V
58,3 31,8 66,7 100,0 75,0 62,5
JG2
JG - 150 - 3Q - 6A - 75M2 - 1V
100,0
95,5
100,0
50,0
16,7
62,5
MO1
MO - 155 - 3Q - 5A - 75M2 - 2V
83,3 84,1 100,0 50,0 16,7 100,0
CO1
CO - 160 - 3Q - 5A - 85M2 - 2V
58,3
72,7
100,0
33,3
50,0
100,0
JG3
JG - 180 - 3Q - 6A - 85M2 - 1V
100,0 50,0 100,0 33,3 50,0 62,5
JG4
JG - 180 - 3Q - 4A - 100M2 - 2V
100,0
50,0
100,0
75,0
87,5
100,0
JG5
JG - 190 - 3Q - 4A - 110M2 - 1V
100,0 18,2 100,0 66,7 100,0 100,0
JG6
JG - 150 - 3Q - 5A - 90M2 - 1V
100,0
95,5
100,0
66,7
66,7
62,5
RB2
RB - 270 - 3Q - 1A - 110M2 - 1V
58,3 13,6 100,0 100,0 100,0 100,0
61
inconsistências cardinal e semântica, reduzindo assim, a margem de erro causada pelo
próprio decisor ao emitir juízos de valor entre critérios e alternativas.
Figura 6.1: Critérios no MACBETH Weights
Figura 6.2: Resultado do Julgamento de Critérios no MACBETH weights
62
Tabela 6.4: Pesos obtidos no MACBETH weights
Tabela 6.5: Resultado final do método MACBETH
Figura 6.3: Matriz de decisão apresentada no SIAD
ALTERNATIVA CÓDIGOS PARA AVALIAÇÃO
NÍVEL DE
SEGURANÇA
PREÇO DO
IMÓVEL
(R$ MIL)
NÚMERO DE
QUARTOS
IDADE DO
IMÓVEL
(ANOS)
TAMANHO
(M2)
VAGAS NA
GARAGEM
SOMATÓRIO
JG5 JG - 190 - 3Q - 4A - 110M2 - 1V 0,0260 0,0013 0,0190 0,0126 0,0454 0,0104 0,1147
JG4 JG - 180 - 3Q - 4A - 100M2 - 2V 0,0260 0,0035 0,0190 0,0141 0,0397 0,0104 0,1128
RB2 RB - 270 - 3Q - 1A - 110M2 - 1V 0,0151 0,0010 0,0190 0,0188 0,0454 0,0104 0,1098
JG6 JG - 150 - 3Q - 5A - 90M2 - 1V 0,0260 0,0067 0,0190 0,0126 0,0303 0,0065 0,1011
RB1 RB - 185 - 2Q - 1A - 95M2 - 1V 0,0151 0,0022 0,0127 0,0188 0,0341 0,0065 0,0895
JG1 JG - 170 - 2Q - 2A - 80M2 - 2V 0,0260 0,0045 0,0127 0,0157 0,0151 0,0104 0,0844
JG3 JG - 180 - 3Q - 6A - 85M2 - 1V 0,0260 0,0035 0,0190 0,0063 0,0227 0,0065 0,0841
CO1 CO - 160 - 3Q - 5A - 85M2 - 2V 0,0151 0,0051 0,0190 0,0063 0,0227 0,0104 0,0787
PB1 PB - 140 - 2Q - 1A - 80M2 - 1V 0,0151 0,0071 0,0127 0,0188 0,0151 0,0065 0,0754
JG2 JG - 150 - 3Q - 6A - 75M2 - 1V 0,0260 0,0067 0,0190 0,0094 0,0076 0,0065 0,0753
MO1 MO - 155 - 3Q - 5A - 75M2 - 2V 0,0216 0,0059 0,0190 0,0094 0,0076 0,0104 0,0741
Preço
Imovel
Vagas na
garagem
Número de
quartos
Idade do
imóvel
Segurança Tamanho
0,2381 0,0476 0,1905 0,1429 0,2857 0,0952
63
O modelo DEA clássico exposto em 5.2 foi aplicado utilizando o programa SIAD (ANGULO
MEZA et al., 2005) conforme figura 6.3. Os resultados do modelo se encontram abaixo na
tabela 6.10 e os pesos resultantes dessa análise se encontram na tabela 6.6. Note que
como temos apenas um input, os pesos para essa variável foram necessariamente
diferentes de zero, caso contrário inviabilizaria o PPL; e que foram assinalados pesos zero
para um ou mais critérios em todas as DMU’s com o objetivo de maximizar a eficiência.
Isso significa que alguns critérios foram ignorados nessa análise.
Tabela 6.6: Pesos dos critérios no modelo DEA clássico
Para gerar as restrições Cone ratio a serem adicionadas ao modelo DEA clássico,
utilizamos o resultado do julgamento de critérios do método MACBETH weights (tabela
6.7). Com isso, aplicamos esses limites para os outputs na tabela 4.5 gerando 10 restrições
cone ratio (tabela 6.8). A codificação para as variáveis desta tabela é descrita na tabela
4.4.
Tabela 6.7: Limites mínimo e máximo obtido no MACBETH weights
DMU CÓDIGOS PARA AVALIAÇÃO
PREÇO DO
IMÓVEL
V
AGAS NA
GARAGEM
NÚMERO DE
QUARTOS
IDADE DO
IMÓVEL
NÍVEL DE
SEGURAN
ÇA
TAMANHO
PB1
PB - 140 - 2Q - 1A - 80M2 - 1V
0,00714 0,06122 0 0 0 0,01122
JG1
JG - 170 - 2Q - 2A - 80M2 - 2V
0,00588 0,14706 0 0 0,11765 0,00294
RB1
RB - 185 - 2Q - 1A - 95M2 - 1V
0,0054100000,00901
JG2
JG - 150 - 3Q - 6A - 75M2 - 1V
0,00667 0 0,33333 0 0 0
MO1
MO - 155 - 3Q - 5A - 75M2 - 2V
0,00645 0,15304 0 0,02176 0,06377 0,00525
CO1
CO - 160 - 3Q - 5A - 85M2 - 2V
0,00625 0,36719 0 0 0,00000 0,00313
JG3
JG - 180 - 3Q - 6A - 85M2 - 1V
0,00556 0 0 0,06389 0,05556 0,00389
JG4
JG - 180 - 3Q - 4A - 100M2 - 2V
0,00556 0,11111 0 0 0,05556 0,00556
JG5
JG - 190 - 3Q - 4A - 110M2 - 1V
0,00526 0,04511 0 0 0 0,00827
JG6
JG - 150 - 3Q - 5A - 90M2 - 1V
0,0066700000,01111
RB2
RB - 270 - 3Q - 1A - 110M2 - 1V
0,00370 0,03175 0 0 0 0,00582
INPUT
1-Preço
Imovel
1-Vagas na
garagem
2-Número de
quartos
3-Idade do
imóvel
4-Segurança 5-Tamanho
MIN 20,02 15,02 0,02 10,02 25,02 5,02
MAX 27,25 22,71 9,07 18,16 99,83 13,62
OUTPUTS
LIMITES
64
Tabela 6.8: Restrições cone ratio incluídas no modelo DEA clássico
Tabela 6.9: Pesos dos critérios no modelo DEA com restrições aos pesos
DMU
PREÇO DO
IMÓVEL
VAGAS NA
GARAGEM
NÚMERO DE
QUARTOS
IDADE DO
IMÓVEL
NÍVEL DE
SEGURANÇA
TAMANHO DO
IMÓVEL
PB1 0,00714286 0,00638744 0,01599326 0,00705647 0,03139496 0,00959173
JG1 0,00588235 0,01927407 0,03191803 0,02129285 0,13859906 0,00141952
RB1 0,00540541 0,00483374 0,01210301 0,00534003 0,02375834 0,00725861
JG2 0,00666667 0,0000409 0,0307134 0,03713418 0,13411928 0,00247561
MO1 0,00645161 0,01932512 0,04838738 0,03869286 0,10408152 0,00257952
CO1 0,00625 0,00558901 0,0139941 0,01119035 0,02245465 0,00839276
JG3 0,00555556 0,01664108 0,04166691 0,03331885 0,08962575 0,00222126
JG4 0,00555556 0,00496801 0,0124392 0,00548837 0,0244183 0,00746023
JG5 0,00526316 0,00470654 0,01178451 0,00942345 0,01890918 0,00706759
JG6 0,00666667 0,00001285 0,00965147 0,01166915 0,03417211 0,00875186
RB2 0,0037037 0,00331201 0,0082928 0,00365891 0,01627887 0,00497349
65
Usando o programa SIAD, inserimos as restrições aos pesos ao modelo DEA clássico e
obtivemos os resultados das eficiências das DMU’s na tabela 6.10. Os pesos relativos das
variáveis estão listados na tabela 6.9. Podemos perceber uma maior discriminação das
alternativas. Apenas duas DMU’s foram consideradas eficientes e todos os pesos das
variáveis foram diferentes de zero. Analisando as características dessas duas alternativas,
notamos que ambas estão situadas no sub-bairro Jardim Guanabara, logo possuem o
mesmo nível de segurança, têm o mesmo preço de venda (R$ 150 mil), número de quartos
(3) e vagas na garagem (1). A alternativa JG6 apresentou melhores valores de idade e
tamanho do imóvel, mas o modelo que utilizamos foi incapaz de fazer esse discernimento.
As alternativas MO1 e PB1 também obtiveram o mesmo índice de eficiência: MO1 possui
melhores características em nível de segurança, número de quartos e vagas na garagem;
enquanto PB1 possui melhores valores em preço, idade e tamanho do imóvel.
Tabela 6.10: Eficiência das DMU’s nos modelos DEA Clássico e com restrições aos pesos
DMU DEA CLÁSSICO DEA - CONE RATIO
JG2 1,00 1,00
JG6 1,00 1,00
JG5 1,00 0,94
JG3 1,00 0,92
JG4 1,00 0,91
CO1 1,00 0,89
MO1 1,00 0,88
PB1 0,96 0,88
JG1 1,00 0,81
RB1 0,86 0,77
RB2 0,71 0,61
66
7 CONCLUSÕES
O método da Entropia obteve como resultado um critério sendo supervalorizado em relação
aos demais, devido a alta dispersão dos seus valores para as alternativas. Por ser um
método objetivo de designação de pesos, não utiliza julgamentos de valor do decisor para
gerar resultados. Isso causou uma distorção grande da ordenação dos critérios, quando
comparado com o método MACBETH, um método subjetivo que utiliza julgamentos de
valor do decisor.
Para o caso da compra de um apartamento, um evento muito importante na vida da grande
maioria dos brasileiros, é essencial que o comprador (decisor) emita julgamentos de valor
consistentes com suas vontades intrínsecas.
Métodos objetivos de designação de pesos devem somente ser utilizados quando o decisor
não consiga fazer julgamentos de valor.
O método MACBETH nos permitiu gerar intervalos de pesos nos quais os critérios
pudessem variar sem gerar inconsistências cardinal e semântica, reduzindo assim, a
margem de erro causada pelo próprio decisor ao emitir juízos de valor entre critérios e
alternativas.
Para o modelo DEA Clássico, por tratarmos de um número relativo pequeno de DMU’s
para o número de critérios, mais de 70% das DMU foram consideradas eficientes, obtendo
assim uma baixa discriminação das alternativas. Muitas dos pesos relativos aos outputs
foram iguais a zero, o que é uma das principais características de DEA, ignorar algumas
variáveis de forma a buscar sempre a maior eficiência possível.
Quando usamos a restrição aos pesos – Região de Segurança ao modelo clássico, fez
com que os pesos assinalados para todas as DMUs se tornassem diferentes de zero. Essa
é uma herança do método MACBETH (e demais métodos multicritério) e dessa forma, foi
possível ordenar as alternativas e identificar quais eram fortemente eficientes. Mesmo após
utilizar o método de restrições aos pesos, ainda obtivemos duas alternativas consideradas
eficientes. Essas alternativas (JG2 e JG6) empatam em 4 dos 6 critérios. JG6 supera JG2
nos outros 2 critérios, mas o modelo não foi sensível o suficiente para notar essa diferença.
Era de se esperar que o método MACBETH e o método DEA com restrições aos pesos
apresentassem resultados discrepantes. Enquanto no método MACBETH foi adotado um
valor fixo para os pesos dos critérios; o método DEA utiliza os intervalos de variação entre
67
os pesos gerados no método MACBETH, buscando o conjunto de pesos que lhe permita
obter o maior valor de eficiência.
O uso do método MACBETH para a indicação de intervalos de pesos aliado a Análise
envoltória de dados ordenando as DMUs apresentou resultados promissores, porém ainda
precisa ser testado em outras aplicações de modo a medir sua confiabilidade em estudos
futuros. A integração de métodos multicritério objetivos e subjetivos e a integração de
outros métodos multicritério com DEA também está no escopo de trabalhos futuros.
A união do método subjetivo MACBETH aliado ao método objetivo DEA potencializa esse
método, transformando-o em uma poderosa ferramenta de auxílio à decisão.
68
8
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