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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"JÚLIO DE MESQUITA FILHO"
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
“Controle Robusto de Sistemas Não-Lineares Sujeitos a
Falhas Estruturais”
Candidato: Emerson Ravazzi Pires da Silva
Orientador - Prof. Dr. Edvaldo Assunção - DEE/FEIS
Departamento de Engenharia Elétrica – DEE
Ilha Solteira - SP
Ilha Solteira, 20 de Fevereiro de 2009.
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Milhares de livros grátis para download.
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
“Controle Robusto de Sistemas Não-Lineares Sujeitos a
Falhas Estruturais ”
EMERSON RAVAZZI PIRES DA SILVA
Orientador: Prof. Dr. Edvaldo Assunção
Dissertação apresentada à Faculdade de
Engenharia - UNESP – Campus de Ilha
Solteira, para obtenção do título de
Mestre em Engenharia Elétrica.
Área de Conhecimento: Automação.
Ilha Solteira – SP
Fevereiro/2009
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
Campus de Ilha Solteira
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FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação
Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.
Silva, Emerson Ravazzi Pires da.
S586c Controle robusto de sistemas não-lineares sujeitos a falhas estruturais / Emerson Ra-
vazzi Pires da Silva. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2009.
80 f. : il., ( algumas color.)
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de
Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2009
Orientador: Edvaldo Assunção
Bibliografia: p. 74-76
1. Controladores robustos. 2. Modelos fuzzy Takagi-Sugeno. 3. Falhas estruturais.
4. Desigualdades matriciais lineares. 5. Sistemas de tempo contínuo.
A minha família, em especial aos meus pais, minha irmã e minha
namorada; pelo incentivo, apoio, amor e compreensão, em
todos os momentos desta e de outras caminhadas, dedico.
Agradecimentos
Dedico este trabalho primeiramente a Deus, pois sem Ele, nada seria possível e não
estaríamos aqui reunidos, desfrutando, juntos, destes momentos que nos são tão importantes.
Ao meu orientador professor Dr. Edvaldo Assunção, fico grato principalmente pela
oportunidade oferecida, incentivo e confiança depositada em mim.
Ao professor Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, pelas sugestões e ajudas cedidas.
As professoras Drª. Neuza A. Pereira da Silva e Drª. Lizete Maria C. Fernandes Garcia
pelo acompanhamento nas bancas examinatórias deste trabalho.
Aos colegas do Laboratório de Pesquisa em Controle (LPC), Flávio Andrade Faria,
Rodrigo Cardim, Renato de Aguiar Teixeira Mendes, Gisele de Carvalho Apolinário e
Fernando Barros Rodrigues, pelas críticas e sugestões.
Aos demais colegas que de forma direta ou indireta também me ajudaram, em especial
João Paulo Crivellaro de Menezes, Carlos Roberto Antunes Filho, Walney Andrade Martins,
Weslei Batista Perin e Wesley Pontes.
Aos amigos de república, José Carlos (Marquito), Luís Renato (Tinoco), Marcus (Deca)
e Otávio (Pão d’Alho).
A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pela base
financeira.
“A mente que se abre a uma nova
idéia jamais voltará ao seu
tamanho original.”
Albert Einstein (1879 – 1955),
físico alemão.
Resumo
Uma técnica de projeto de controladores robustos para sistemas não-lineares contínuos
no tempo é proposta neste trabalho. É suposto que a planta não-linear está sujeita a falhas
estruturais, que podem ser consideradas como incertezas politópicas. Os sistemas não-lineares
são representados por modelos fuzzy propostos por Takagi-Sugeno e uma formulação para o
tratamento das incertezas politópicas é apresentado para o projeto dos controladores. Este
trabalho aborda projetos de controle usando a realimentação dos estados e a realimentação da
derivada dos estados. O projeto do controlador é realizado através de condições baseadas em
Desigualdades Matriciais Lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities (LMI)), que podem
ser resolvidas facilmente utilizando técnicas de programação convexa. Essa metodologia
permite a inclusão de restrições de desempenho no projeto, tais como: taxa de decaimento e
restrição na entrada. Ao final, exemplos numéricos e suas simulações ilustram a eficiência da
técnica proposta.
Abstract
A technique of robust controllers design for nonlinear continuous-time systems is
proposed in this work. It is supposed that the nonlinear plant is subject to structural failures,
which can be considered as polytope uncertainties. The nonlinear systems are represented
through fuzzy models proposed by Takagi-Sugeno and a formulation for the treatment of
polytope uncertain is presented for the controllers design. This work focuses control designs
using state feedback and state-derivative feedback. The controllers design is made through
conditions based in Linear Matrix Inequalities (LMIs), which can be easily solved using
convex programming techniques. This methodology allows the inclusion of performance
restrictions on design, such as: decay rate and input constraint. Finally, numeric examples and
their simulations show the efficiency of the proposed method.
Lista de Figuras
2.1 – Configuração básica de sistemas fuzzy TS.............................................................. p.15
4.1 – Sistema massa-mola-amortecedor........................................................................... p.32
4.2 – Simulação do sistema realimentado sem falhas: Controlador projetado com objetivo
de: estabilidade .................................................................................................................... p.37
4.3 – Simulação do sistema realimentado com falhas: Controlador projetado com objetivo
de: estabilidade .................................................................................................................... p.37
4.4 – Simulação do sistema realimentado, comparação do sistema sem falha e com falha
estrutural: Controlador projetado com objetivo de: estabilidade......................................... p.38
4.5 – Simulação do sistema realimentado, com falha estrutural no amortecedor após um
tempo de uso: Controlador projetado com objetivo de: estabilidade .................................. p.39
4.6 – Simulação do sistema realimentado sem falhas: Controlador projetado com objetivo
de: estabilidade e taxa de decaimento.................................................................................. p.41
4.7 – Simulação do sistema realimentado com falhas: Controlador projetado com objetivo
de: estabilidade e taxa de decaimento.................................................................................. p.41
4.8 – Simulação do sistema realimentado, comparação do sistema sem falha e com falha
estrutural: Controlador projetado com objetivo de: estabilidade e taxa de decaimento...... p.42
4.9 – Simulação do sistema realimentado, com falha estrutural no amortecedor após um
tempo de uso: Controlador projetado com objetivo de: estabilidade e taxa de decaimento p.43
4.10 – Simulação do sistema realimentado sem falhas: Controlador projetado com objetivo
de: estabilidade, taxa de decaimento e restrição na entrada ................................................ p.45
4.11 – Simulação do sistema realimentado com falhas: Controlador projetado com objetivo
de: estabilidade, taxa de decaimento e restrição na entrada ................................................ p.45
4.12 – Simulação do sistema realimentado, comparação do sistema sem falha e com falha
estrutural: Controlador projetado com objetivo de: estabilidade, taxa de decaimento e restri-
ção na entrada...................................................................................................................... p.46
4.13 – Simulação do sistema realimentado, com falha estrutural no amortecedor após um
tempo de uso: Controlador projetado com objetivo de: estabilidade, taxa de decaimento e
restrição na entrada.............................................................................................................. p.47
5.1 – Sistema de suspensão ativa de um carro.................................................................. p.58
5.2 – Simulação do sistema com realimentação derivativa sem falhas: Controlador proje-
tado com objetivo de: estabilidade ...................................................................................... p.65
5.3 – Simulação do sistema com realimentação derivativa com falhas: Controlador projetado
com objetivo de: estabilidade .............................................................................................. p.66
5.4 – Simulação do sistema com realimentação derivativa, com falha estrutural no amorte-
cedor após um tempo de uso: Controlador projetado com objetivo de: estabilidade.......... p.67
5.5 – Simulação do sistema com realimentação derivativa sem falhas: Controlador projetado
com objetivo de: estabilidade e taxa de decaimento............................................................ p.69
5.6 – Simulação do sistema com realimentação derivativa com falhas: Controlador projetado
com objetivo de: estabilidade e taxa de decaimento............................................................ p.69
5.7 – Simulação do sistema com realimentação derivativa, com falha estrutural no amorte-
cedor após um tempo de uso: Controlador projetado com objetivo de: estabilidade e taxa de
decaimento........................................................................................................................... p.70
5.8 – Localização dos autovalores em malha fechada, com e sem falhas, para restrição de
taxa de decaimento .............................................................................................................. p.71
Lista de Figuras
Sumário
1 – Introdução p.11
2 – Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno p.15
2.1 – Introdução................................................................................................................... p.15
2.2 – Representação dos Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno................................................... p.16
2.3 – Modelos Locais Fuzzy: Forma Generalizada dos Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno... p.18
3 – Sistemas Incertos e Não-Lineares p.20
3.1 – Sistemas com Incertezas Politópicas.......................................................................... p.20
3.2 – Sistemas com Incertezas Politópicas e Não-Linearidades.......................................... p.21
4 – Projeto do Controlador: Realimentação dos Estados p.23
4.1 – Projeto do Controlador com Ganho K Único: Condição de Estabilidade.................. p.23
4.2 – Projeto do Controlador com Ganho K Único: Condição de Estabilidade e Taxa de
Decaimento.......................................................................................................................... p.29
4.3 – Condição de Estabilidade com Restrição na Entrada................................................. p.31
4.4 – Aplicação do Método p.32
4.4.1 – Exemplo 1: Condição de Estabilidade..................................................................... p.32
4.4.2 – Exemplo 2: Condição de Estabilidade e Taxa de Decaimento................................ p.39
4.4.3 – Exemplo 3: Condição de Estabilidade, Taxa de Decaimento e Restrição na
Entrada................................................................................................................................. p.43
5 – Projeto do Controlador: Realimentação da Derivada dos Estados p.48
5.1 – Projeto do Controlador com Ganho K Único: Condição de Estabilidade.................. p.48
5.2 – Projeto do Controlador com Ganho K Único: Condição de Estabilidade e Taxa de
Decaimento.......................................................................................................................... p.53
5.3 – Aplicação do Método p.58
5.3.1 – Exemplo 1: Condição de Estabilidade..................................................................... p.58
5.3.2 – Exemplo 2: Condição de Estabilidade e Taxa de Decaimento................................ p.67
6 – Conclusões e Perspectivas Futuras p.72
Referências p.74
Apêndice 1 p.77
Sumário
11
1- Introdução
Podemos ressaltar que nos últimos anos, mais precisamente na última década, houve um
crescente interesse em pesquisas e aplicações de sistemas fuzzy. A análise de estabilidade e o
projeto de controladores é um dos conceitos mais importantes nos sistemas fuzzy e normal-
mente é feito usando Desigualdades Matriciais Lineares (em inglês, Linear Matrix
Inequalities (LMI)) (TANAKA; SUGENO, 1992, TANAKA; OHTAKE; WANG, 2007,
TANIGUCHI; TANAKA; WANG, 2000, TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; AVELLAR, 2001,
TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; PIETROBOM, 2001, TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; AVELLAR,
2003, TEIXEIRA et al., 2005, 2006). Porém esses trabalhos consideram somente o projeto de
controladores para sistemas não-lineares determinísticos, que podem não representar sistemas
de controle reais. É comum a existência de modelos mais complexos que possuem em sua
estrutura não só o elemento não-linear, mas também elementos de parâmetros não fixos,
pertencentes a um intervalo de valores numéricos conhecidos (SILVA, 2005, SOUZA, 2006).
Este fato pode acontecer por alguns motivos, entre eles, os mais comuns podem ser pelo fato
de que os parâmetros do sistema são obtidos experimentalmente, e por sua vez cada valor
medido possui uma porcentagem de erro. Outro fato que pode ocorrer nos sistemas é que os
mesmos podem sofrer abalos externos presentes no ambiente ao qual eles estão expostos,
chamados de falhas estruturais. Então é fato que a dificuldade existe, sendo que sistemas com
esta característica são denominados sistemas incertos e podem ser modelados usando
combinação convexa (BOYD et al., 1994).
Acompanhando esta tendência, a pesquisa voltada para esta área está crescendo cada dia
que passa, com o propósito de encontrar soluções inovadoras que garantam a estabilização
robusta de sistemas que possuem em seus modelos as não-linearidades e também parâmetros
incertos. Com isso, vários trabalhos têm sido publicados para este tipo de problema
(TEIXEIRA; ZAK,
1999, NGUANG; SHI; DING, 2007, CAO et al., 2000, ARRIFANO;
OLIVEIRA; COSSI, 2006). Por exemplo, em (NGUANG; SHI; DING, 2007), é desenvolvido
um sistema robusto limitado por norma para a detecção de falhas utilizando modelos fuzzy
Takagi-Sugeno (TS) com incertezas. Condições suficientes baseadas em LMIs são propostas
para a existência de um filtro robusto para a detecção das falhas. Recentemente em
(ARRIFANO; OLIVEIRA; COSSI, 2006), é proposto um projeto de controladores fuzzy
12
chaveado baseado em funções de Lyapunov para estabilizar uma classe de sistemas não-
lineares incertos. O projeto proposto utiliza ganhos de realimentação de estado obtidos da
solução de um problema de otimização com desempenho de custo garantido formulado em
termos de LMIs.
Os projetos dos controladores propostos nesta pesquisa baseiam-se na realimentação dos
estados e na realimentação da derivada dos estados (ou realimentação derivativa). Ainda
concentram-se nos modelos fuzzy TS que têm sido bem sucedidos para a maioria das técnicas
de controladores robustos e o controle de sistemas não-lineares. Como salientado em
(TAKAGI; SUGENO, 1985) ou Takagi-Sugeno-Kang (TSK) (SUGENO; KANG, 1988) o
conceito dos modelos fuzzy TS, consiste da descrição aproximada de um sistema não-linear
como a combinação de um certo número de modelos locais lineares invariantes no tempo, que
descrevem aproximadamente o comportamento deste sistema em diferentes pontos do seu
espaço de estados. Desta forma, pode-se interpretar a técnica tradicional de linearização em
apenas um ponto de operação como um caso particular dos modelos fuzzy TS, consistindo
apenas de um modelo local. Esta classe de modelos de projeto permite que o engenheiro
utilize o seu conhecimento sobre o sistema que vai ser controlado, na definição do número
dos modelos locais e dos pontos ou regiões nas quais estes modelos locais serão definidos
(CARDIM, 2006, SOUZA, 2006).
É possível também projetar reguladores fuzzy usando a Compensação Distribuída
Paralela (CDP), este conceito de projeto implica na construção de um controlador para cada
regra do modelo fuzzy (TANAKA; SUGENO, 1992, WANG; TANAKA; GRIFFIN, 1996). O
modelo global do sistema é obtido através da combinação fuzzy destes modelos lineares
locais. A idéia é que para cada modelo linear local seja projetado um controle de
realimentação linear. O regulador global resultante, que é não-linear em geral, é uma
combinação fuzzy de cada regulador linear individual (SILVA, 2005).
Quando se trata de sistemas que possuem na sua estrutura elementos não-lineares e
incertezas politópicas, é preciso fazer a distinção de ambas às complicações, para que sejam
tratadas de forma diferente, a fim de se obter um resultado satisfatório e seguro, pois se não
houver esta manipulação os resultados alcançados serão de uma forma em geral considerados
conservadores (ARRIFANO; OLIVEIRA; COSSI, 2006).
Nesse trabalho, a análise de estabilidade e o projeto de controladores são reduzidos a
problemas descritos por LMIs, que por sua vez possibilita a adição de restrições de
desempenho no projeto da planta, tais como: taxa de decaimento e restrição na entrada.
1 Introdução−
13
Numericamente, LMIs podem ser resolvidas eficientemente por meio de algumas ferramentas
poderosas disponíveis na literatura de programação matemática (BOYD et al., 1994). Desta
forma, a solução encontrada para as LMIs é equivalente à análise de estabilidade do sistema
não-linear incerto. Para o projeto dos controladores e a simulação do sistema controlado, é
utilizado o software MATLAB (GAHINET et al., 1995).
O propósito desse trabalho é estudar e analisar questões sobre estabilidade quadrática e
propor um novo método para o projeto de controladores fuzzy que apresenta em sua estrutura
parâmetros com incertezas do tipo politópicas. Formulações adequadas de LMIs são
apresentadas para o projeto de controladores de sistemas não-lineares incertos, utilizando
ganhos de realimentação de estado e ganhos de realimentação derivativa. A princípio são
apresentadas condições suficientes para o projeto dos controladores fuzzy utilizando o método
direto de Lyapunov. Para checar a viabilidade dos métodos propostos, exemplos numéricos
são apresentados, resolvidos e simulados.
As seções seguintes deste trabalho se apresentam da seguinte forma:
• Capítulo 2: Proporciona conceitos importantes sobre Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno,
que serão utilizados no decorrer do trabalho. Conceitos fundamentais para o projeto
dos controladores e obtenção dos modelos locais em função das não-linearidades do
sistema.
• Capítulo 3: Apresenta considerações sobre Sistemas Incertos e Não-Lineares,
necessários para a obtenção dos modelos locais relacionados às falhas dos sistemas
(que são consideradas como incertezas politópicas). Modelos que são de extrema
importância nos projetos dos controladores e suas respectivas simulações.
• Capítulo 4: Projeto do controlador usando a realimentação dos estados em sistemas
não-lineares com suposta falha estrutural na planta. Apresenta condições suficientes
para que os sistemas realimentados sejam assintoticamente estáveis. O método
desenvolvido permite a inclusão de restrições de desempenho no projeto do
controlador. No caso as restrições de taxa de decaimento e restrição na entrada foram
adicionadas ao projeto. Exemplos numéricos mostram a eficiência da metodologia
proposta através de simulações em microcomputadores. A obtenção do controlador é
1 Introdução−
14
realizada através da solução numérica de um conjunto de LMIs com o solver
“LMILAB” (GAHINET et al., 1995) e a simulação do sistema não-linear em malha
fechada, sujeito a falhas, é realizada com o pacote ODE45 (Ordinary Differential
Equation), ambos do software MATLAB.
• Capítulo 5: Projeto do controlador usando a realimentação da derivada dos estados em
sistemas não-lineares com suposta falha estrutural na planta. Encontra condições
suficientes para que os sistemas não-lineares com falha sob realimentação derivativa
sejam assintoticamente estáveis. O método desenvolvido permite a inclusão de
restrições de desempenho no projeto do controlador. No caso, a restrição de taxa de
decaimento foi adicionada no projeto. Através de simulações em microcomputadores,
exemplos numéricos mostram a eficiência da metodologia proposta. A obtenção do
controlador é realizada através da solução de um conjunto de LMIs com o solver
“LMILAB” e a simulação do sistema não-linear com falha em malha fechada é
realizada com o pacote ODE45.
• Capítulo 6: Conclusões do trabalho e Perspectivas Futuras.
• Apêndice 1: Contêm informações adicionais do Capítulo 2, que são de extrema
importância para deixar completo o texto e enriquecer o conhecimento do leitor.
1 Introdução−
15
2- Sistema Fuzzy Takagi-Sugeno
2.1- Introdução
Nos sistemas fuzzy TS (TAKAGI; SUGENO, 1985), as entradas (premissas) e saídas
(conseqüentes) são variáveis reais, tornando essas estruturas adequadas para a engenharia.
Estes sistemas são descritos por regras SE-ENTÃO e usam a seguinte forma:
SE
x
é A (premissa),
ENTÃO
ycx
=
(conseqüente).
Logo, verifica-se que a parte conseqüente “ENTÃO” usa uma simples fórmula matemática.
Esta descrição torna mais fácil combinar as regras. Assim, no sistema fuzzy TS é obtido um
peso médio dos valores nas partes “ENTÃO” das regras.
A figura abaixo mostra a configuração básica de um sistema fuzzy TS.
Figura 2.1: Configuração básica de sistemas fuzzy TS.
16
2.2- Representação dos Sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno
Como dito anteriormente, um sistema fuzzy TS (TAKAGI; SUGENO, 1985), é descrito
por regras fuzzy SE-ENTÃO, que representam localmente relações lineares entre a entrada e a
saída de um sistema. Considere uma planta não-linear, descrita pelo modelo fuzzy TS. Os
seguintes modelos lineares locais descrevem a planta a ser controlada:
(
)
(
)
(
)
() ()
,
,
ii
i
x
tAxtBut
yt Cxt
αα
α
=+
=
sendo 1,2,...,ir= ( r é a quantidade de modelos locais), o vetor de estado ( )
n
xt∈R , o vetor
de entrada ( )
m
ut∈R e o vetor de saída ( )
q
yt∈R . Sendo que
i
nn
A
α
×
∈R é a matriz
característica do sistema,
i
nm
B
α
×
∈R é a matriz de entrada e
i
qn
C
α
×
∈R é a matriz de saída, e
possuem elementos constantes. A informação acima é então fundida com as regras SE-
ENTÃO disponíveis, sendo que a
i-ésima regra tem a forma:
(
)
(
)
() () ()
() ()
11
Regra : SE é E ... E é ,
,
ENTÃO
,
ii
i
ii
pp
izt zt
xt Axt But
yt Cxt
αα
α
=+
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
MM
(2.1)
sendo que
, 1,2,...,
i
j
j
p=M é o j-ésimo conjunto fuzzy da regra
i
e
() ()
1
,...,
p
zt z t são as
variáveis premissas. Seja
()
()
i
jj
zt
μ
a função de pertinência do conjunto fuzzy
i
j
M , dada por:
()
()
()
()
() () () ()
12
1
, .
p
ii
jj p
j
wzt zt zt zt zt zt
μ
=
⎡
⎤
==
⎣
⎦
∏
…
Como
()
()
0
i
jj
zt
μ
≥ , 1,2, , ,ir= … segue que
()
()
()
()
1
0 e 0.
r
ii
i
wzt wzt
=
≥≥
∑
- 2 Sistema Fuzzy Takagi Sugeno−
17
Uma escolha conveniente para a obtenção de um modelo fuzzy TS para sistemas não-
lineares é adotar
(
)()
zt xt= , sendo
(
)
x
t o vetor de estado do sistema não-linear. Defina,
()
()
()
()
()
()
()
()
12
.
T
r
zt zt zt zt
ααα α
⎡⎤
=
⎣⎦
…
Desta forma, dado um par
(
)
(
)
()
,
x
tut, o sistema fuzzy resultante é tido como a média
ponderada dos modelos locais, e é dado por:
()
()
(
)
() ()
(
)
()
()
() ()
()
() ()
()
() ()
()
() ()
()
()
() ( ) () ( ) ()
1
1
1
11
,
,
,
,
ii
ii
ii
r
i
i
r
i
i
r
i
i
rr
ii
ii
wzt Axt But
xt
wzt
xt zt Axt But
x
tztAxtztBut
xt A xt B ut
αα
αα
αα
αα
α
αα
αα
=
=
=
==
+
=
=+
⎛⎞⎛⎞
=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=+
∑
∑
∑
∑∑
(2.2)
sendo,
()
()
(
)
(
)
()
()
1
, para 1,2, , .
i
i
r
i
i
wzt
zt i r
wzt
α
=
==
∑
…
(2.3)
O sistema não forçado
()
()
0ut
=
é definido como segue:
()
()
(
)
()
()
()
() ()
()
()
() ( ) ()
1
1
1
,
,
,
i
i
r
i
i
r
i
i
r
i
i
wzt Axt
xt
wzt
xt zt Axt
xt A xt
α
α
α
α
α
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
(2.4)
A saída para ambos os casos, ou seja, para sistemas forçado e não forçado, é dada por:
- 2 Sistema Fuzzy Takagi Sugeno−
18
()
()
(
)
()
()
()
() ()
()
()
() ( ) ()
1
1
1
,
,
,
i
i
r
i
i
r
i
i
r
i
i
wztCxt
yt
wzt
yt zt Cxt
yt C xt
α
α
α
α
α
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
(2.5)
sendo que, para
1, 2, , ,ir= …
()
()
()
()
1
0 e 1.
r
ii
i
zt zt
αα
=
≥=
∑
(2.6)
Observação 2.1. Vale ressaltar que no decorrer do trabalho e dos exemplos, as equações de
pertinência (ou alfas de pertinência) não são calculadas. Isto se dá por se tratar de projetos
de controladores fuzzy com K único. As equações de pertinência são utilizadas em projetos de
controladores fuzzy usando a idéia de Compensação Distribuída Paralela (CDP). Este
conceito de projeto implica na construção de um controlador para cada regra do modelo
fuzzy, e as mesmas “chaveiam” proporcionalmente os controladores lineares obtidos, sendo
que o controlador global resultante, que é não-linear em geral, é uma combinação fuzzy de
cada controlador linear individual. A obtenção das equações de pertinência pode ser vista em
(CARDIM, 2006, SOUZA, 2006, SILVA, 2005), ou de maneira simples e exemplificada no
Apêndice 1 deste trabalho.
2.3- Modelos Locais Fuzzy: Forma Generalizada dos Sistemas
Fuzzy Takagi-Sugeno
Utilizando-se o método proposto por Taniguchi (TANIGUCHI et al., 2001), é possível
construir modelos exatos de certas classes de sistemas não-lineares empregando modelos
fuzzy TS. Os modelos locais neste método de construção são obtidos em função da região de
operação, onde a principal característica é determinar o valor máximo e o valor mínimo de
- 2 Sistema Fuzzy Takagi Sugeno−
19
cada função não-linear do sistema. Conseqüentemente, o número de modelos locais com a
forma generalizada do sistema fuzzy TS, está diretamente ligado ao número de funções não-
lineares do sistema, ou seja, são necessários 2
s
modelos locais, onde s representa a
quantidade de não-linearidades existentes. Este método de construção permite modelar uma
ampla variedade de sistemas que estejam em um intervalo de operação. Entretanto, apenas os
valores máximos e mínimos de cada função não-linear são considerados, e não as
particularidades do comportamento das funções.
No método proposto para determinar os modelos locais, a seguinte classe de sistemas
não-lineares foi considerada:
() ()
()
() ()
()
()
11
,
nm
iijjikk
jk
x
t
f
xt x t
g
xt u t
==
=+
∑∑
sendo 1,2,..., , na qual ir r= é o número de regras,
n
e
m
indicam, respectivamente, o
número de es-tados e entradas,
(
)
(
)
ij
f
xt
e
(
)
(
)
ik
gxt são as funções de
()
x
t , e
() () ()
1
.
T
n
xt x t x t=
⎡
⎤
⎣
⎦
…
Considere as seguintes variáveis para a obtenção da forma generalizada deste método:
(
)
(
)
{
}
()
()
{}
()
()
{}
()
()
{}
1
()
2
()
1
()
2
()
max ,
min ,
max ,
min .
ij ij
xt
ij ij
xt
ik ik
xt
ik ik
xt
afxt
afxt
bgxt
bgxt
=
=
=
=
O método proposto por (TANIGUCHI et al., 2001) valoriza os modelos fuzzy TS,
mostrando que é possível modelar exatamente uma ampla classe de sistemas não-lineares,
com um número finito de modelos locais. Mas é fato que o método aumenta o número de
modelos locais necessários, à medida que o número de não-linearidades cresce, podendo
dificultar a obtenção de resultados em projetos de sistemas de controle.
No próximo capítulo é apresentada a formulação de sistemas não-lineares com incertezas
do tipo politópicas, fundamental para o desenvolvimento do projeto do controlador.
- 2 Sistema Fuzzy Takagi Sugeno−
20
3- Sistemas Incertos e Não-Lineares
3.1- Sistemas com Incertezas Politópicas
Podemos ressaltar que todos os tipos de sistemas e equipamentos estão sujeitos a
apresentarem algum tipo de interrupção permanente não desejada em seu funcionamento. Isto
pode acontecer devido, por exemplo, ao desgaste natural de algum componente, quebra por
fatores externos, quebra por manuseio incorreto, entre outras. Então denominamos estes
eventos como sendo falhas estruturais, e as mesmas podem ser descritas por incertezas do tipo
politópicas.
Considere o seguinte sistema linear e invariante no tempo com incertezas do tipo poli-
tópicas na planta, com ou sem falhas estruturais, descrito na forma de variáveis de estado,
dado por:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() ( ) ()
,
,
x
tA xtB ut
yt C xt
ββ
β
=+
=
(3.1)
sendo
()
nn
A
β
×
∈R ,
()
nm
B
β
×
∈R ,
(
)
qn
C
β
×
∈R , matrizes que representam a dinâmica da
planta do sistema incerto,
()
n
xt∈R é o vetor de estados,
(
)
q
yt∈R é o vetor de saída e
()
m
ut∈R
é a entrada de controle.
As matrizes
() ()
(
)
, e AB C
β
ββ
, são representadas pela combinação convexa de
vértices, descritas abaixo (BOYD et al., 1994):
() () ()
11 1
, , ,
jj j
ppp
jjj
jjj
A
AB BC C
β
ββ
ββ ββ ββ
== =
===
∑∑∑
(3.2)
21
sendo 1,2,..., ,
j
p= na qual
1
T
p
ββ β
⎡⎤
=
⎣⎦
… , em que
p
é dado pela relação 2p
η
= ,
η
é o
número de parâmetros incertos das matrizes
(
)
(
)
(
)
, e AB C
β
ββ
na planta e , e
jj j
A
BC
β
ββ
representam os vértices do politopo.
Então, se tratando de uma combinação convexa, temos que:
1
1, 0.
p
jj
j
ββ
=
=
≥
∑
(3.3)
3.2- Sistemas com Incertezas Politópicas e Não-Linearidades
Como descrito anteriormente, todo sistema pode estar sujeito a apresentar incertezas
politópicas (falhas estruturais) em sua estrutura devido a vários fatores. Porém pode-se
encontrar sistemas mais complexos, que apresentam além das incertezas politópicas, também
elementos não-lineares em sua estrutura. Elementos não-lineares podem ocorrer em
decorrência de dispositivos limitados na planta, tais como, sensores, atuadores, molas,
transístores, entre outras causas.
Considere o seguinte sistema não-linear, invariante no tempo com incertezas do tipo poli-
tópicas na planta, com ou sem falhas, descrito na forma de variáveis de estado, dado por:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() ( ) ()
,,,
,,
x
tA xtB ut
yt C xt
αβ αβ
αβ
=+
=
(3.4)
sendo
()
,
nn
A
αβ
×
∈R ,
()
,
nm
B
αβ
×
∈R ,
(
)
,
qn
C
αβ
×
∈R , matrizes que representam a
dinâmica da planta do sistema não-linear com incertezas politópicas, sendo que
α
representa
as não-linearidades, e
β
representa as incertezas politópicas (falhas) da planta,
()
n
xt∈R é o
vetor de estados,
(
)
q
yt∈R é o vetor de saída e
(
)
m
ut∈R é a entrada de controle.
- 3 Sistemas Incertos e Não Lineares−
22
Vamos supor que as matrizes
(
)
(
)
(
)
,, , e ,AB C
α
βαβ αβ
podem ser representadas
pela combinação convexa de vértices descrita abaixo (BOYD et al., 1994). Como em (3.5)
vale ressaltar que esta combinação é uma exigência para o projeto dos controladores. Se isso
não for possível o método não é aplicável.
()
()
()
11
11
11
,,
,,
,,
ij
ij
ij
p
r
ij
ij
p
r
ij
ij
p
r
ij
ij
A
AA
BBB
CCC
αβ
αβ
αβ
αβ α β
αβ α β
αβ α β
==
==
==
=+
=+
=+
∑∑
∑∑
∑∑
(3.5)
sendo
1,2,..., ,ir=
na qual
[
]
1
T
r
α
αα
= …
, em que
r
é dado pela relação 2
s
r = , s é o
número de parâmetros não-lineares das matrizes
(
)
(
)()
, . , , . e , . AB C
αα α
na planta e
, e
ii i
A
BC
α
αα
representam os vértices do politopo; e ainda para
1,2,..., ,jp=
na qual
1
T
p
ββ β
⎡⎤
=
⎣⎦
…
, em que
p
é dado pela relação 2p
η
=
,
η
é o número de parâmetros
incertos das matrizes
()
(
)
(
)
. , , . , e . ,AB C
β
ββ
na planta e , e
jj j
AB C
β
ββ
representam
os vértices do politopo.
Então, se tratando de uma combinação convexa, temos que:
1
1
1, 0,
1, 0.
r
ii
i
p
jj
j
αα
ββ
=
=
=
≥
=
≥
∑
∑
(3.6)
Para o projeto do controlador, realiza-se a separação das matrizes não-lineares incertas,
em matrizes não-lineares (modelos representados por modelos fuzzy TS) e matrizes incertas
(falhas, modelos representados pela combinação convexa de politopos), sendo que os modelos
obtidos são aplicados nas LMIs responsáveis pelos projetos dos controladores. Isto é visto no
decorrer dos próximos capítulos.
- 3 Sistemas Incertos e Não Lineares−
23
4- Projeto do Controlador por
Realimentação dos Estados
4.1- Projeto do Controlador com Ganho K Único: Condição
de Estabilidade
Considere um sistema contínuo no tempo, controlável, não-linear e com incertezas do tipo
politópicas descrito na seguinte forma:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,
x
tA xtB ut
αβ αβ
=+
(4.1)
sendo
()
,A
α
β
nn×
∈ R e
()
,B
α
β
nm
×
∈ R matrizes que contém as não-linearidades
dependentes de
α
e as incertezas politópicas dependentes de
β
,
(
)
ut
m
∈ R
é a entrada de
controle do sistema e
()
x
t
n
∈ R é o vetor de estados. É importante ressaltar que
α
é um
parâmetro conhecido (modelos fuzzy TS), enquanto
β
é desconhecido (modelo de incertezas
politópicas, com ou sem falhas estruturais).
O próximo passo será denominado como “Etapa de Separação
”. É uma condição
necessária para que os sistemas sejam controlados pelos controladores obtidos com o uso dos
métodos propostos.
Etapa de Separação
Considere a matriz
()
,A
α
β
com não-linearidades
α
e incertezas politópicas
β
, por
exemplo, para
3n = , descrita abaixo:
()
(
)
(
)
(
)
() () ()
() () ()
11 12 13
21 22 23
31 32 33
,.
,
aaa
Aaaa
aaa
α
αβ
αβ β β α
αβ β α
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(4.2)
24
Realizando a separação das não-linearidades e das incertezas politópicas, e fazendo com
que existam agora duas matrizes, sendo a matriz A
α
composta pelos elementos não-lineares
de
()
,A
α
β
e a matriz A
β
composta pelos elementos incertos da matriz
()
,A
α
β
, obtém-se:
()
(
)
(
)
()
() ()
(
)
() ()
() ()
11 12 13
23 21 22
31 33 31 32
000
,00 0.
00
aa a
Aaaa
aaaa
A
A
αβ
β
α
α
αβ
αβ α β β
ααββ
⎡
⎤
⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥
=+
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣
⎦
(4.3)
sendo
31 31 31
(, ) () ()aaa
αβ
α
βαβ
=+
.
Da mesma forma, considere a matriz
(
)
,B
α
β
com não-linearidades
α
e incertezas
politópicas
β
, por exemplo, para 3n
=
e 1m
=
, descrita abaixo:
()
(
)
()
()
11
21
31
,.
,
b
Bb
b
α
αβ β
α
β
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(4.4)
De maneira similar à anterior, é realizado a separação das não-linearidades e das
incertezas politópicas, fazendo com que exista agora duas matrizes, sendo a matriz
B
α
responsável pelos elementos não-lineares de
(
)
,B
α
β
e a matriz
B
β
responsável pelos
elementos incertos da matriz
()
,B
α
β
, como mostrado a seguir:
()
(
)
()
()
()
11
21
31 31
0
,0 .
b
Bb
bb
B
B
αβ
α
β
α
αβ β
α
β
⎡
⎤
⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥
=+
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣
⎦
(4.5)
sendo
31 31 31
(, ) () ()bbb
αβ
α
βαβ
=+.
Então, concluindo a etapa de separação, chega-se à conclusão de que as matrizes podem
ficar na seguinte forma:
: 4 Projeto do Controlador Realimentação dos Estados−
25
()
,
A
AA
α
β
αβ
=+
e
(
)
,.BBB
α
β
αβ
=+
Observação 4.1. Se em um dado sistema houver algum elemento do tipo
()
,
ij
d
α
β
, ou seja, o
elemento
ij
d possuir uma combinação não-linear
(
)
α
com incerteza politópica
(
)
β
, o
mesmo deverá ser separado em
(
)
(
)
(
)
,
ij ij ij
ddd
α
βαβ
=+
. Se isto não for possível, o
método proposto neste trabalho não será aplicável.
Observação 4.2. No momento em que houver a separação da matriz
()
,A
α
β
ou da matriz
()
,B
α
β
, os elementos
ij
a ou
ij
b constantes podem ser alocados em qualquer matriz, ou
divididos para que se evitem matrizes nulas (evitar a não-controlabilidade na parcela), ou
seja, eles poderão fazer parte das matrizes que possuírem as não-linearidades ( A
α
ou
B
α
), ou
das matrizes que possuírem as incertezas politópicas (
A
β
ou
B
β
), ou ainda fazer parte de
ambas as matrizes, não diferindo o resultado final.
O sistema (4.1) pode ser representado por modelos fuzzy TS da seguinte maneira
(TAKAGI; SUGENO, 1985):
()
()
()
()
()
()
11
,,,
p
r
i j ij ij
ij
x
tAxtBut
αβ αβ αβ
==
=+
∑∑
(4.6)
ou ainda realizando a separação,
() () ()
11 11
,
ij ij
pp
rr
ij ij
ij ij
x
tAAxtBBut
αβ αβ
αβ αβ
== ==
⎛⎞⎛⎞
=+ ++
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑ ∑∑
(4.7)
sendo que:
[]
11
12
1
e ,
Modelo Fuzz
y
TS
0, 1, 2,..., ,
com conhecido,
1, .
ii
rr
ii
ii
i
i
r
T
ir
i
AABB
ir
αααα
αα
α
α
αααα α
==
=
⎫
==
⎪
⎪
⎪
≥=
⎬
⎪
⎪
==
⎪
⎭
∑∑
∑
…
(4.8)
: 4 Projeto do Controlador Realimentação dos Estados−
26
11
12
1
e ,
Modelo de incertezas
0, 1,2,..., ,
com desconhecido,
1, .
jj
pp
jj
jj
j
j
p
T
jp
j
AABB
jp
ββββ
ββ
β
β
ββββ β
==
=
⎫
==
⎪
⎪
⎪
≥=
⎬
⎪
⎪
⎡⎤
==
⎣⎦
⎪
⎭
∑∑
∑
…
(4.9)
O projeto do controlador fuzzy para o sistema (4.7) usando a realimentação dos estados,
(
)
(
)
,ut Kxt=−
(4.10)
é formulado substituindo-se (4.10) em (4.7). Assim o sistema em malha fechada é dado por:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,
x
t A xt B Kxt
αβ αβ
=+−
(4.11)
dessa forma podemos reescrever a equação como,
()
(
)
(
)
(
)
,, .
n
x
tA B Kxt
A
αβ αβ
=−
⎡⎤
⎣⎦
(4.12)
Por facilidade de notação em algumas equações, o termo
()()
(
)
,,
A
BK
αβ αβ
− será
representado por
n
A .
A análise de estabilidade quadrática do sistema (4.12) pode ser realizada, verificando-se
as condições de existência de uma matriz simétrica
nn
P
×
∈ R
, satisfazendo as condições de
Lyapunov (BOYD et al., 1994):
0,
.
0.
T
nn
AP PA
P
⎫
+<
⎬
>
⎭
(4.13)
Dessa forma, o problema da análise de estabilidade do sistema (4.12) pode ser reduzido
ao estudo de factibilidade das LMIs (4.13). LMIs, quando factíveis, podem ser facilmente
resolvidas em microcomputadores, usando por exemplo, o software MATLAB.
Usando esse resultado, o próximo teorema descreve condições suficientes para a
estabilidade quadrática e assintótica do sistema (4.12).
: 4 Projeto do Controlador Realimentação dos Estados−
27
Teorema 4.1.
Se existe uma matriz simétrica
nn
X
×
∈ R
e uma matriz
mn
M
×
∈ R
satisfazendo as LMIs,
0,
ij i ji j i j
T T TT TT
XA XA MB MB AX AX BM BM
αβ α βα β α β
+− − ++ − − <
(4.14)
0,X >
(4.15)
sendo,
(
)
1,2,..., modelos fuzzy TSir= e
(
)
1,2,..., modelos de incertezas politópicasjp= ,
ou seja, para cada valor de
i, deve-se explorar todos os valores de
j
, então o ponto de
equilíbrio
0x = do sistema (4.12) é globalmente assintoticamente estável. Um controlador
que garante a estabilidade do sistema (4.12) pode ser dado por:
1
.KMX
−
=
(4.16)
Prova: Supondo que (4.14) e (4.15) são factíveis e substituindo
1
X
P
−
= e
1
M
KP
−
= em
(4.14), tem-se que:
111 1 1
11 1
0,
ij i ji
ji j
TT TT TT
P
APAPKBPKBAP
AP BKP BKP
αβ α βα
βα β
−
−− − −
−− −
+− − +
+− − <
(4.17)
sendo, 1,2,...,
ir= e 1,2,...,
j
p= . De (4.17) e utilizando as relações (4.8) e (4.9), segue
que,
11
11 11
11
11 11
0.
ij ij
ij ij
pp
rr
TTTTT
ij ij
ij ij
pp
rr
ij ij
ij ij
PA APKB B
AAP BBKP
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ
−−
== ==
−−
== ==
⎛⎞⎛⎞
+− +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
++ −+ <
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
(4.18)
Sabemos que:
()
11
,,
ij
p
r
ij
ij
AAA
αβ
αβ α β
==
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
(4.19)
e
: 4 Projeto do Controlador Realimentação dos Estados−
28
()
11
,,
ij
p
r
ij
ij
BBB
αβ
αβ α β
==
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
(4.20)
então de (4.18), chega-se em:
() () () ()
11 11
,,,,0.
TT
T
PA PKB A P B KP
αβ αβ αβ αβ
−− −−
−+−<
⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
(4.21)
Multiplicando (4.21) pela esquerda e pela direita por
P
, tem-se que:
() () () ()
,,,,0.
TT
T
APKBPPAPBK
αβ αβ αβ αβ
−+−<⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
Ou ainda,
()() ()()
,, ,,0.
T
ABKPPABK
αβ αβ αβ αβ
−+−<
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
(4.22)
Agora, quando (4.15) é factível, tem-se que
1
00XP P
−
=
>⇔ >. Considerando esse
fato, conclui-se que (4.22) é equivalente às condições de Lyapunov (4.13) para o sistema
(4.12). Portanto, quando (4.14) e (4.15) são factíveis, o ponto de equilíbrio
0x = do sistema
(4.12) é globalmente assintoticamente estável. E um controlador
K desejado pode ser obtido
com (4.16).
Considerar apenas a estabilidade do sistema pode não ser suficiente para que o projetista
alcance seu objetivo. Em alguns casos, índices de desempenho devem ser levados em
consideração para que se atinja a meta de projeto. Um índice de desempenho muito
importante, é a restrição de taxa de decaimento, que é responsável pela velocidade de resposta
do sistema (atua no transitório do sistema).
: 4 Projeto do Controlador Realimentação dos Estados−
29
4.2- Projeto do Controlador com Ganho K Único: Condição
de Estabilidade e Taxa de Decaimento
Considere uma candidata a função de Lyapunov do tipo
(
)
() () () 0
T
Vxt xt Pxt=>, com
()
() 0Vxt <
para todo ( ) 0xt ≠ . A taxa de decaimento
γ
, 0
γ
> é obtida se a condição
(
)
(
)
() 2 () ,Vxt Vxt
γ
≤−
(4.23)
for satisfeita para toda a trajetória ( )
x
t do sistema (BOYD et al., 1994). O próximo teorema
encontra condições suficientes para o projeto do controlador
K (único) para que o sistema
(4.12) tenha taxa de decaimento maior ou igual a
γ
.
Teorema 4.2.
Se existe uma matriz simétrica
nn
X
×
∈ R e uma matriz
mn
M
×
∈ R satisfazendo:
20,
ij i ji
ji j
TTTTTT
XA XA MB MB AX
AX BM BM X
αβ α βα
βα β
γ
+− − +
+−−+<
(4.24)
0,X >
(4.25)
sendo,
()
1,2,..., modelos fuzzy TSir=
e
(
)
1,2,..., modelos de incertezas politópicasjp=
,
para cada valor de
i
, deve-se explorar todos os valores de
j
, então o ponto de equilíbrio
0x =
do sistema (4.12) é globalmente assintoticamente estável com taxa de decaimento
superior a
γ
. Um controlador que resolve o problema pode ser dado por:
1
.KMX
−
=
(4.26)
Prova: Supondo que (4.24) e (4.25) são factíveis e, substituindo
1
XP
−
= e
1
M
KP
−
= em
(4.24), tem-se que:
: 4 Projeto do Controlador Realimentação dos Estados−
30
111 1 1
11 11
2,
ij i ji
ji j
T T TT TT
PA PA PKB PKB AP
A
PBKPBKP P
αβ α βα
βα β
γ
−−− − −
−
−−−
+− − +
+− − <−
(4.27)
sendo, 1,2,...,ir= e 1,2,...,
j
p= . De (4.27) e utilizando as relações (4.8) e (4.9), segue que,
11
11 11
111
11 11
2.
ij ij
ij ij
pp
rr
TTTTT
ij ij
ij ij
pp
rr
ij ij
ij ij
PA APKB B
A
AP B BKP P
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ γ
−−
== ==
−
−−
== ==
⎛⎞⎛⎞
+− +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
++ −+ <−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
(4.28)
Substituindo (4.19) e (4.20) em (4.28) chega-se em
[
]
[
]
11 111
(, ) (, ) (, ) (, ) 2 .
TT
T
P
APKBAPBKPP
αβ αβ αβ αβ γ
−− −−−
−+−<−
(4.29)
Multiplicando (4.29) pela esquerda e pela direita por
P , tem-se que:
[
]
[
]
(, ) (,) (, ) (, ) 2 .
TT
T
A
PKB PPA PB K P
α
βαβαβαβγ
−+−<−
Ou ainda,
[
]
[
]
(, ) (, ) (, ) (, ) 2 .
T
A
BKPPA BK P
α
βαβ αβαβ γ
−+−<−
(4.30)
Quando (4.25) é factível, a LMI (4.30) é equivalente à condição (4.23). Portanto, o ponto
de equilíbrio
0x = do sistema (4.12) é globalmente assintoticamente estável com taxa de
decaimento maior que
γ
. E um controlador K desejado pode ser obtido com (4.26).
: 4 Projeto do Controlador Realimentação dos Estados−
31
4.3- Condição de Estabilidade com Restrição na Entrada
Admita que a condição inicial
(
)
0
x
é conhecida. A restrição
()
2
ut
μ
≤
é imposta para
todo o tempo
0t ≥ , sendo que
() () ()
2
T
ut ut ut= se as LMIs,
()
()
10
0,
0
T
x
xX
⎡⎤
≥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(4.31)
2
0,
T
XM
MI
μ
⎡⎤
≥
⎢⎥
⎣⎦
(4.32)
se mantém (veja (BOYD et al., 1994) e (TANAKA; IKEDA; WANG, 1998)), sendo
1
X
P
−
=
e
M
KX= .
Portanto, o projeto do controlador
K , considerando estabilidade assintótica do sistema
(4.12) com restrição na entrada, pode ser realizado adicionando as LMI (4.31) e (4.32) ao
Teorema 4.1. E o projeto do controlador
K , considerando estabilidade com taxa de decaimen-
to, é feito adicionando (4.31) e (4.32) ao Teorema 4.2.
A eficiência da metodologia proposta pode ser verificada na solução dos exemplos.
: 4 Projeto do Controlador Realimentação dos Estados−
32
4.4- Aplicação do Método
4.4.1- Exemplo 1: Condição de Estabilidade
Considere o sistema massa-mola-amortecedor da Figura (4.1) (OGATA, 2000).
Figura 4.1: Sistema massa-mola-amortecedor.
A dinâmica do sistema pode ser descrita como:
() () () ()
() ()
1
,
.
m
k
c
zt zt zt ut
mmm
yt zt
⎧
=− − +
⎪
⎨
⎪
=
⎩
(4.33)
Sendo:
()
(
)
()
()
Deslocamento da massa carrinho ;
Sinal de controle;
Coeficiente de amortecimento;
Mola do sistema;
Massa carrinho .
m
zt
ut
c
k
m
→
→
→
→
→
i
i
i
i
i
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
33
Considerando as variáveis de estado do sistema como:
(
)()
1
x
tzt=
;
()
(
)
2
x
tzt=
e a
saída do sistema
(
)()
1
y
txt= , as equações de estado ficam descritas como:
(
)
(
)
() () () ()
12
212
,
1
.
m
xt xt
k
c
x
txtxtut
mmm
=
⎧
⎪
⎨
=− − +
⎪
⎩
(4.34)
Vamos supor que a mola do sistema seja não-linear, então
m
k implica em uma força não-
linear da mola e será representado por (EDWARDS; PENNEY, 2003):
()
()
2
2
1
1
mx
kk dxt=+
,
sendo
x
k o coeficiente de elasticidade da mola, d a constante de dureza da mola, e
(
)
1
x
t o
deslocamento da massa
m.
O problema consiste em atenuar as oscilações da massa
m, deslocada
()
1
x
t do ponto de
equilíbrio através da entrada de controle
(
)
ut
. Considerando que o coeficiente de amor-
tecimento
c
é incerto, esteja sujeito a falhas e pertença ao intervalo
04c≤≤
(Ns/m), ou seja,
o amortecedor pode quebrar-se depois de algum tempo de uso, (
0c
=
), também que 2kgm
=
,
20N/m
x
k = , =1d e que a variável de estado
(
)
1
x
t
é limitada no intervalo
()
1
22xt−≤ ≤
. O
sistema não-linear incerto (4.34) será transformado na forma generalizada do sistema fuzzy
Takagi-Sugeno (TANIGUCHI et al., 2001).
Reescrevendo (4.34) na forma matricial tem-se:
()
()
()
()
()
()
()
1
1
2
2
1
2
2
01
0
.
11
x
xt
xt
ut
kdxt
c
xt
xt
m
mm
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=+
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−−
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
(4.35)
Considere,
()
()
()
(
)
2
2
1
21
1
,
x
kdxt
fxt
m
+
=−
a função que contém a não-linearidade do sistema e,
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
34
()
22
,
c
m
β
Ι=−
a função que contém a incerteza politópica (falhas) do sistema.
Desta forma, podemos reescrever (4.35) como sendo,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,
x
tA xtB ut
αβ αβ
=+
(4.36)
sendo,
()
()
()
()
21 22
01
,,A
fxt
αβ
β
⎡
⎤
=
⎢
⎥
Ι
⎢
⎥
⎣
⎦
(4.37)
e,
()
0
,.
1
B
m
αβ
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎣
⎦
(4.38)
Agora, o propósito é separar o elemento não-linear do elemento incerto (falhas) nas
matrizes, fazendo com que
()
,A
α
β
se transforme em
(
)
A
α
, composta pelo elemento não-
linear,
()
A
β
composta pelo elemento incerto, e no caso de existir elementos lineares, a
intenção é dividir para ambas as matrizes com
(
)
(
)()
,AAA
α
βαβ
=+. A mesma regra é
válida para a matriz
()
,B
α
β
, mas neste caso não existem elementos não-lineares nem
incertezas na matriz. Então o propósito é fazer com que
(
)()()
,BBB
α
βαβ
==, ou seja,
divide-se o elemento linear em ambas as matrizes, impedindo que haja matrizes nulas,
evitando assim a não controlabilidade na parcela de maneira que
(
)()
(
)
,BBB
α
βαβ
=+.
Portanto, as matrizes serão:
()
()
()
21
00,5
0
A
fxt
α
⎡⎤
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
e
()
()
22
00,5
,
0
A
β
β
⎡
⎤
=
⎢
⎥
Ι
⎣
⎦
e,
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
35
()
0
1
2
B
m
α
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎣
⎦
e
()
0
.
1
2
B
m
β
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎣
⎦
Para conseguir a forma generalizada, de acordo com (TANIGUCHI et al., 2001), é
essencial determinar o valor máximo e mínimo da função
(
)
(
)
21
f
xt
para o sistema descrito
anteriormente. Então foram obtidos os seguintes valores:
()
(
)
(
)
{
}
()
()
()
{}
1
1
211 21
212 21
max 10,
min 50.
xt
xt
afxt
afxt
=
=−
==−
Portanto, são obtidos os seguintes modelos locais:
()
1
00,5
,
10 0
A
α
⎡⎤
=
⎢⎥
−
⎣⎦
()
2
00,5
,
50 0
A
α
⎡
⎤
=
⎢
⎥
−
⎣
⎦
()
0
, 1,2.
0, 25
i
Bi
α
⎡⎤
==
⎢⎥
⎣⎦
No Apêndice 1 encontra-se mais detalhes sobre a obtenção dos modelos locais.
De uma maneira geral, segundo este método, se o sistema apresenta
s funções não-
lineares, são necessários 2
s
modelos locais para a sua representação exata através de modelos
fuzzy TS, neste caso, 2 modelos locais.
Agora o parâmetro incerto (falhas)
c da planta é definido no intervalo dado por:
04.c
≤
≤
(4.39)
Relembrando que,
()
22
,
c
m
β
Ι=−
2kg.m
=
Substituindo na matriz
()
A
β
as possíveis combinações para o parâmetro
(
)
22
β
Ι
, os
vértices do politopo encontrado foram:
()
1
00,5
,
00
A
β
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
()
2
00,5
,
02
A
β
⎡
⎤
=
⎢
⎥
−
⎣
⎦
()
0
, 1, 2.
0, 25
j
Bj
β
⎡⎤
==
⎢⎥
⎣⎦
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
36
O número de vértices do politopo é dado pela relação
η
2
=
r
, sendo
η
é o número de
parâmetros incertos da planta. Neste caso
η
=1 e 2r
=
.
Usando o software MATLAB (
lmiedit), e o solver “LMILAB” (GAHINET et al.,1995),
pode-se calcular através das LMIs as matrizes
X e M para projetar o controlador para o
sistema (4.33). Para este exemplo, considerou o seguinte caso:
Estabilidade → Utilizando as LMIs (4.14) e (4.15) do Teorema 4.1, para o projeto do
controlador considerando apenas a estabilidade do sistema (4.35), os seguintes resultados
foram obtidos:
1
1,1124 0,0974
,
0,0974 0,0212
PX
−
⎡
⎤
==
⎢
⎥
⎣
⎦
[
]
37,9797 796,3886 .M =
Logo o controlador obtido foi:
[
]
1
119,8287 20,5877 .KMX
−
==
A resposta do sistema realimentado para a condição inicial
(
)
01mx =
e
()
00m/sx =
com o amortecedor
c funcionando pode ser vista na Figura (4.2) e com o amortecedor
quebrado
0c = (falhas) pode ser vista na Figura (4.3). A planta foi considerada não-linear na
simulação (usou-se ODE45 do MATLAB).
Observando as Figuras (4.2 e 4.3), nota-se que o comportamento do sistema controlado
quase não muda, mesmo que o amortecedor
c se quebre. Em ambos os casos o sistema possui
um tempo de estabelecimento em torno de 1,0 segundo. Logo o controlador foi capaz de
estabilizar o sistema mesmo após a ocorrência de falha no amortecedor.
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
37
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
1
0 0.5 1 1.5
2
-4
-3
-2
-1
0
1
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-150
-100
-50
0
50
Tem
p
o
(
s
)
Sinal de Controle (N)
xt
()
xt
()
ut
()
Figura 4.2: Simulação do sistema realimentado,
4c
=
Ns/m
(sem falhas) e controlador
projetado com objetivo de estabilidade.
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
1
0 0.5 1 1.5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-150
-100
-50
0
50
Tem
p
o
(
s
)
Si
n
a
l
d
e
C
o
n
t
r
o
le (N)
xt
()
xt
()
ut
()
Figura 4.3: Simulação do sistema realimentado,
0c
=
(com falhas) e controlador projetado
com objetivo de estabilidade.
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
38
Com o propósito de comparação, a próxima Figura mostra o desempenho do sistema
controlado, sem e com a suposta falha estrutural.
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
0 0.5 1 1.5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-150
-100
-50
0
50
Tem
p
o
(
s
)
S
i
n
a
l
d
e
C
o
n
t
r
o
le (
N
)
ut
()
sem falhas
ut
()
com falhas
x
1
()
t
sem falhas
x
1
()
t
com falhas
x
2
()
t
sem falhas
x
2
()
t
com falhas
Figura 4.4: Simulação do sistema realimentado, comparação do sistema sem falha e com falha
estrutural e controlador projetado com objetivo de estabilidade.
Podemos destacar que normalmente a falha ocorre durante o uso do equipamento. Na
Figura (4.5) é exibido o comportamento dinâmico do sistema, supondo que ocorra uma falha
no sistema de amortecimento após 0,5s
t
=
. Observe pela figura que a falha ocorrida em
0,5s
t = quase não afetou o tempo de período transitório do sistema.
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
39
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
0 0.5 1 1.5
2
-4
-3
-2
-1
0
1
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-150
-100
-50
0
50
Tem
p
o
(
s
)
S
i
n
a
l
d
e
C
o
n
t
r
o
le (
N
)
x
1
()
t
sem falhas
x
1
()
t
com falhas
x
2
()
t
sem falhas
x
2
()
t
com falhas
ut
()
sem falhas
ut
()
com falhas
Figura 4.5: Simulação do sistema realimentado, com falha estrutural no amortecedor após
0,5s
t = de uso e controlador projetado com objetivo de estabilidade.
Percebemos nas Figuras (4.2 e 4.3), que o tempo de estabelecimento do sistema
controlado fica em torno de 1,0 segundo. Agora considere que o sistema deve possuir um
transitório menor, ou seja, deseja-se diminuir o tempo de duração do período transitório do
sistema. Isso pode ser feito adicionando a restrição de taxa de decaimento no projeto do
controlador. Resolvendo o Teorema 4.2 com 5
γ
=
, pode-se obter uma resposta com menor
tempo de período transitório, isto é mostrado a seguir.
4.4.2- Exemplo 2: Condição de Estabilidade e Taxa de
Decaimento
Estabilidade + Taxa de Decaimento→ Considerando os mesmos parâmetros anteriores
e usando as
LMIs (4.24) e (4.25) do Teorema 4.2, teremos os seguintes resultados:
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
40
1
7,1953 0,3738
,
0,3738 0,0315
PX
−
⎡
⎤
==
⎢
⎥
⎣
⎦
33
0,0535 10 1,3286 10 .M
⎡
⎤
=× ×
⎣
⎦
Logo o controlador obtido foi:
[
]
1
881,6409 61,9029 .KMX
−
==
Utilizando a mesma condição inicial
(
)
01mx = e
(
)
00m/sx =
, a resposta do sistema
realimentado com taxa de decaimento
5
γ
=
e com o amortecedor c funcionando pode ser
vista na Figura (4.6) e com o amortecedor quebrado
0c
=
(falhas) pode ser vista na Figura
(4.7). A planta foi considerada não-linear na simulação (usou-se ODE45 do MATLAB).
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
41
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
1
0 0.5 1 1.5
2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
Tem
p
o
(
s
)
S
i
n
a
l de
C
o
n
t
r
o
le (N)
xt
()
xt
()
ut
()
Figura 4.6: Simulação do sistema realimentado,
4c
=
Ns/m (sem falhas) e controlador
projetado com objetivo de estabilidade e taxa de decaimento.
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
1
0 0.5 1 1.5
2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
Tem
p
o
(
s
)
S
i
n
a
l de
C
o
n
t
r
o
le (N)
xt
()
xt
()
ut
()
Figura 4.7: Simulação do sistema realimentado,
0c
=
(com falhas) e controlador projetado
com objetivo de estabilidade e taxa de decaimento.
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
42
Com o propósito de comparação, a próxima Figura mostra a desempenho do sistema
controlado com taxa de decaimento, sem e com suposta falha estrutural.
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
0 0.5 1 1.5
2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
Tem
p
o
(
s
)
S
i
n
a
l de
C
o
n
t
r
o
le (N)
x
1
()
t
sem falhas
x
1
()
t
com falhas
x
2
()
t
sem falhas
x
2
(t) com falhas
ut
()
sem falhas
ut
()
com falhas
Figura 4.8: Simulação do sistema realimentado, comparação do sistema sem falha e com falha
estrutural e controlador projetado com objetivo de estabilidade e taxa de decaimento.
Destacando que normalmente a falha ocorre durante o uso do equipamento. Na Figura
(4.9) é exibido o comportamento dinâmico do sistema, supondo que ocorra uma falha no
sistema de amortecimento após 0,1s
t
=
. Observe pela figura que a falha ocorrida em
0,1s
t = quase não afetou o tempo de duração do transitório do sistema.
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
43
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
Tem
p
o
(
s
)
S
i
n
a
l de
C
o
n
t
r
o
le (N)
ut
()
sem falha
ut
()
com falha
x
1
()
t
sem falha
x
1
()
t
com falha
x
2
()
t
sem falha
x
2
()
t
com falha
Figura 4.9: Simulação do sistema realimentado, com falha estrutural no amortecedor após
0,1s
t = de uso e controlador projetado com objetivo de estabilidade e taxa de decaimento.
Note que nas Figuras (4.6 e 4.7) o tempo de duração do período transitório do sistema
controlado, com a adição da restrição de taxa de decaimento, estão próximos, mesmo com o
amortecedor
c quebrado, em aproximadamente 0,3 segundos, ou seja, uma resposta três vezes
mais rápida do que as apresentadas nas Figuras (4.2 e 4.3). Pode-se diminuir ainda mais o
tempo de duração do período transitório do sistema de acordo com as características do
projeto, aumentando a taxa de decaimento
γ
. Conseqüentemente, será obtido um novo
controlador
K
cujos valores do ganho
K
tendem a ficar maiores e talvez não
implementáveis.
4.4.3- Exemplo 3: Condição de Estabilidade, Taxa de
Decaimento e Restrição na Entrada
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
44
Estabilidade + Taxa de Decaimento + Restrição na Entrada→ Analisando a figura
(4.9), pode-se perceber que o objetivo foi alcançado, ou seja, o sistema ficou estável e houve
ainda uma diminuição no período transitório, diminuindo o tempo de estabilização do sistema.
Mas podemos perceber que houve oscilações de grande amplitude no sinal de controle
(
)
ut
no período transitório do sistema.
Para facilitar a implementação do controlador projetado, objetiva-se que o sinal de
controle
()
ut não seja tão elevado como mostrado nas Figuras (4.6 – 4.9). E ainda garantir
estabilidade e taxa de decaimento adequada.
Considerando
os mesmos parâmetros anteriores e usando as LMIs (4.24) e (4.25) do
Teorema 4.2 e adicionando as LMIs (4.31) e (4.32), nas quais
()
(
)
max
180Nut = , com o
objetivo de diminuir o esforço no sinal de controle, obtivemos os seguintes resultados:
55
1
55
0,5092 10 0,0384 10
,
0,0384 10 0,0053 10
PX
−−
−
−−
⎡
⎤
××
==
⎢
⎥
××
⎣
⎦
88
0,2532 10 7,9586 10 .M
⎡⎤
=− × ×
⎣⎦
Logo o controlador obtido foi:
[
]
1
176,4698 32,1777 .KMX
−
==
Realizando a simulação com a mesma condição inicial
(
)
01mx = e
()
00m/sx =
, a
resposta do sistema realimentado com taxa de decaimento 5
γ
=
, restrição na entrada de
maneira que
()
180Nut < e com o amortecedor c funcionando pode ser vista na Figura
(4.10) e com o amortecedor quebrado
0c
=
(falhas) pode ser vista na Figura (4.11). A planta
foi considerada não-linear na simulação (usou-se ODE45 do MATLAB).
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
45
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
1
0 0.5 1 1.5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-200
-150
-100
-50
0
50
Tem
p
o
(
s
)
Sinal de Controle (N)
xt
()
xt
()
ut
()
Figura 4.10: Simulação do sistema realimentado,
4c
=
Ns/m (sem falhas) e controlador
projetado com o objetivo de estabilidade, taxa de decaimento e restrição na entrada.
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
1
0 0.5 1 1.5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-200
-150
-100
-50
0
50
Tem
p
o
(
s
)
Sinal de Controle (N)
xt
()
xt
()
ut
()
Figura 4.11: Simulação do sistema realimentado,
0c
=
(com falhas) e controlador projetado
com o objetivo de estabilidade, taxa de decaimento e restrição na entrada.
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
46
Com o propósito de comparação, a Figura (4.12) mostra o desempenho do sistema
controlado com taxa de decaimento e restrição na entrada, sem e com suposta falha estrutural.
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
0 0.5 1 1.5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
-200
-150
-100
-50
0
50
Tem
p
o
(
s
)
S
i
n
a
l
d
e
C
o
n
t
r
o
le (
N
)
x
1
()
t
sem falha
x
1
()
t
com falha
x
2
()
t
sem falha
x
2
()
t
com falha
ut
()
sem falha
ut
()
com falha
Figura 4.12: Simulação do sistema realimentado, comparação do sistema sem falha e com
falha estrutural e controlador projetado com objetivo de estabilidade, taxa de decaimento e
restrição na entrada.
Ressaltando novamente que a falha normalmente ocorre durante o uso do equipamento.
Na Figura (4.13) é exibido o comportamento dinâmico do sistema, supondo que ocorra uma
falha no sistema de amortecimento após 0,3s
t
=
. Observe na figura que a falha ocorrida em
0,3s
t = quase não afetou o tempo de estabelecimento do sistema.
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
47
0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Deslocamento (metros)
0 0.5 1 1.5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tempo(s)
Velocidade (m/s)
0 0.
2
0.4 0.6 0.
8
1
1.
2
1.4 1.
6
1.
8
2
-200
-150
-100
-50
0
50
Sinal de Controle (N)
x
1
()
t
sem falhas
x
1
()
t
com falhas
x
2
()
t
sem falhas
x
2
()
t
com falhas
ut
()
sem falhas
ut
()
com falhas
Figura 4.13: Simulação do sistema realimentado, com falha estrutural no amortecedor após
0,3s
t = de uso e controlador projetado com objetivo de estabilidade, taxa de decaimento e
restrição na entrada.
Podemos verificar que em ambas as Figuras (4.10 e 4.11), o tempo de estabilização do
sistema fica bem próximo, mesmo se há quebra no amortecedor (falhas).
Note que nas Figuras (4.10 e 4.11) o esforço no sinal de controle
()
ut diminuiu em
aproximadamente 5 vezes, porém o tempo de transitório ficou em torno de 0,6 segundos, o
dobro em relação ao projeto das Figuras (4.6 e 4.7). Mas o tempo de transitório do sistema das
Figuras (4.10 e 4.11) em relação ao das Figuras (4.2 e 4.3), ficou aproximadamente 2 vezes
mais rápido e com o esforço no sinal de controle bem próximo. Tentando diminuir ainda mais
o tempo de transitório, aumentou-se a taxa de decaimento
γ
do sistema, porém não foi
possível obter soluções consideravelmente melhores para as LMIs. Conseqüentemente tentou-
se diminuir ainda mais o esforço no sinal de controle, no entanto não foi possível alcançar
uma solução factível para as LMIs.
: 4 Aplicação do Método Realimentação dos Estados−
48
5- Projeto do Controlador por
Realimentação da Derivada dos Estados
5.1- Projeto do Controlador com Ganho K Único: Condição
de Estabilidade
Considere um sistema contínuo no tempo, controlável, não-linear e com incertezas do
tipo politópicas, descrito na seguinte forma:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,
x
tA xtB ut
αβ αβ
=+
(5.1)
sendo
()
,A
α
β
nn×
∈ R
uma matriz que contém as não-linearidades dependentes de
α
e as
incertezas politópicas dependentes de
β
,
(
)
,B
α
β
nm
×
∈ R uma matriz que contém as não-
linearidades dependentes de
α
e as incertezas politópicas dependentes de
β
,
()
ut
m
∈ R é a
entrada de controle do sistema e
(
)
x
t
n
∈ R
é o vetor de estados. É importante ressaltar que
α
é um parâmetro conhecido (modelos fuzzy TS), enquanto
β
é desconhecido (modelo de
incertezas politópicas, com ou sem falhas estruturais).
Considerando a “Etapa de Separação
” proposta no início do Capítulo 4, o sistema (5.1)
pode ser representado por modelos fuzzy TS da seguinte maneira (TAKAGI; SUGENO,
1985):
()
()
()
()
()
()
11
,,,
p
r
i j ij ij
ij
x
tAxtBut
αβ αβ αβ
==
=+
∑∑
(5.2)
ou ainda realizando a separação,
() () ()
11 11
.
ij ij
pp
rr
ij ij
ij ij
x
tAAxtBBut
αβ αβ
αβ αβ
== ==
⎛⎞⎛⎞
=+ ++
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑ ∑∑
(5.3)
49
sendo
()
x
t
n
∈ R o vetor de estados,
(
)
ut
m
∈ R a entrada de controle do sistema, e as
matrizes
i
nn
A
α
×
∈R ,
i
nm
B
α
×
∈R ,
j
nn
A
β
×
∈R e
j
nm
B
β
×
∈R contém os parâmetros dos modelos
locais. As variáveis
i
α
e
j
β
satisfazem a relação:
[]
11
12
1
e ,
Modelo Fuzzy TS
0, 1, 2,..., ,
com conhecido,
1, .
ii
rr
ii
ii
i
i
r
T
ir
i
AABB
ir
αααα
αα
α
α
αααα α
==
=
⎫
==
⎪
⎪
⎪
≥=
⎬
⎪
⎪
==
⎪
⎭
∑∑
∑
…
(5.4)
11
12
1
e ,
Modelo de incertezas
0, 1, 2,..., ,
com desconhecido.
1, .
jj
pp
jj
jj
j
j
p
T
jp
j
AABB
jp
ββββ
ββ
β
β
ββββ β
==
=
⎫
==
⎪
⎪
⎪
≥=
⎬
⎪
⎪
⎡⎤
==
⎣⎦
⎪
⎭
∑∑
∑
…
(5.5)
O projeto de controladores fuzzy para o sistema (5.3), usando a realimentação da deriva-
da dos estados,
(
)
(
)
,ut Kxt=−
(5.6)
é formulado substituindo (5.6) em (5.3), de maneira que o sistema em malha fechada, possa
ser representado da seguinte forma:
()
(
)()
(
)
(
)
(
)
()()()()()
()
()
() ( ) ()
,,
, ,
, , ,
xt A xt B Kxt
xt A xt B Kxt
IB Kxt A xt
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ
=+−⇔
=− ⇔
+=
(5.7)
e, conseqüentemente,
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
50
() ( )
(
)
()()
1
,,.
d
x
tIB KA xt
A
αβ αβ
−
=+
(5.8)
Vale notar que o projeto de controladores para sistemas usando realimentação da
derivada dos estados, deve levar em consideração que a matriz
()
()
,
I
BK
αβ
+ seja
invertível ou não singular (ASSUNÇÃO et al., 2007).
Por facilidade de notação em algumas equações, o termo
()
(
)
()
1
,,IB K A
αβ
α
β
−
+ será
representado por
d
A .
A análise de estabilidade quadrática do sistema (5.8) pode ser realizada, verificando as
condições de existência de uma matriz simétrica
nn
P
×
∈ R
, satisfazendo as condições de
Lyapunov (BOYD et al., 1994):
0,
.
0.
T
dd
AP PA
P
⎫
+<
⎬
>
⎭
(5.9)
Dessa forma, o problema da análise de estabilidade do sistema (5.8) pode ser reduzido ao
estudo de factibilidade das LMIs (5.9), que quando factíveis, podem ser facilmente resolvidas
em microcomputadores, usando por exemplo, o software MATLAB.
Usando esse resultado, o próximo teorema encontra condições suficientes para a
estabilidade quadrática e assintótica do sistema (5.8) usando a realimentação derivativa.
Teorema 5.1.
Se existe uma matriz simétrica
nn
X
×
∈ R e uma matriz
mn
M
×
∈ R satisfazendo as LMIs,
0,
ii j j lii llj
jljii jkjjk
TT TTTT
TT T TT T TT
XA AX XA AX BMA AMB BMA
AMB BMA AMB BMA AMB
αα β β ααα ααβ
βαβααβββββ
++++ + +
+++++ <
(5.10)
0,X >
(5.11)
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
51
sendo,
(
)
, 1, 2,..., modelos fuzzy TSil r=
e
(
)
, 1,2,..., modelos de incertezas politópicasjk p=
,
então o ponto de equilíbrio
0x =
do sistema (5.8) é globalmente assintoticamente estável.
Um controlador que garante a estabilidade do sistema (5.8) pode ser dado por:
1
.
K
MX
−
=
(5.12)
Prova: Supondo que (5.10) e (5.11) são factíveis, e multiplicando ambos os lados de (5.10)
por
(
)
il jk
α
αββ
×××
segue de (5.4) e (5.5) que,
11 1 1
111 1
111 1
ii j j
lii l
ljj l
pp
rr
TT
ii j j
ii j j
rrr r
TTT
lii l
lii l
pp
rr
TTT
ljj l
ljj l
XA AXXA AX
BM A AM B
BM A AM B
αα β β
ααα α
αββ α
αα β β
ααα α
αββ α
== = =
=== =
=== =
++ +
++
++
∑∑ ∑∑
∑∑∑ ∑
∑∑∑ ∑
111 1
111 1
0,
jii j
kjj k
pp
rr
TTT
jii j
jii j
ppp p
TTT
kjj k
kjj k
BM A AM B
BM A AM B
β
αα β
βββ β
βαα β
βββ β
=== =
=== =
++
++ <
∑∑∑ ∑
∑∑∑ ∑
sendo que os índices
l e k denotam as parcelas provenientes das multiplicações cruzadas dos
termos compostos por
i e j.
Agrupando os termos, temos que:
11 11
11 11
11 11
0,
ij ij
lj ij
ij lj
pp
rr
TT
ij ij
ij ij
pp
rr
TT
lj ij
lj ij
pp
rr
TT T
ij lj
ij lj
XA A A AX
BBMAA
AAMBB
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ
αβ αβ
== ==
== ==
== ==
⎛⎞⎛⎞
+++
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
++ +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
++ + <
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
(5.13)
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
52
Sabemos que:
()
11
,,
ij
p
r
ij
ij
AAA
αβ
αβ α β
==
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
(5.14)
e
()
11
,,
ij
p
r
ij
ij
BBB
αβ
αβ α β
==
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
(5.15)
então de (5.13) , chega-se em:
() () () ()
() ()
,,,,
, , 0.
TT
T
T
XA A X B MA
AMB
αβ αβ αβ αβ
αβ αβ
++⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
+<⎡⎤
⎣⎦
(5.16)
Substituindo
M
KX=
em (5.16) obtém-se,
() () () ()
() ()
,,, ,
, , 0,
TT
T
T
XA AXBKXA
AXKB
αβ αβ αβ αβ
αβ αβ
++⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
+<⎡⎤
⎣⎦
ou ainda,
()
()
() () ()
(
)
,,, ,0.
TT
T
IB KXA A XIK B
αβ αβ αβ αβ
+++<
⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
(5.17)
Agora usando a propriedade:
Propriedade 5.1: Para toda matriz
M
não simétrica
(
)
T
MM≠
, se 0
T
MM+<, então
M
é invertível
(FARIA, 2005).
Portanto, conclui-se em (5.17) que
()
(
)
()
,,
T
IB KXA
αβ αβ
+
⎡
⎤
⎣
⎦
é invertível, logo
()
()
,
I
BK
αβ
+ também é invertível. Considerando esse fato, multiplique (5.17) à esquerda
por
()
()
1
,
I
BK
αβ
−
+
e à direita por
()
(
)
1
,
T
T
IKB
αβ
−
+⎡ ⎤
⎣⎦
e obtenha:
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
53
() ()
(
)
()
()
()
1
1
,,,,0.
TT
T
XA IKB IBKAX
αβ αβ αβ αβ
−
−
+++ <
⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
(5.18)
Agora substituindo
()
()
()
1
,,
d
AIB KA
αβ
α
β
−
=+ em (5.18) e multiplicando a direita e
a esquerda por
1
PX
−
= chega-se na LMI:
0,
T
dd
AP PA
+
<
que é equivalente as condições de Lyapunov (5.9) para o sistema (5.8), considerando
()
()
()
1
,,
d
AIB KA
αβ
α
β
−
=+ . Portanto, quando (5.10) e (5.11) são factíveis, segue de
(5.18) que existe uma matriz simétrica
1
0PX
−
=
>
, satisfazendo as condições de Lyapunov
(5.9) para o sistema (5.7). E, o ponto de equilíbrio
0x
=
do sistema (5.7) é globalmente
assintoticamente estável. Portanto um controlador
K desejado pode ser obtido com (5.12).
A estabilidade do sistema (5.8) nem sempre é suficiente, pois existem projetos que
possuem restrições de desempenho. A modelagem em LMI permite que algumas dessas
restrições sejam adicionadas de maneira simples ao projeto do controlador. Como visto no
capítulo anterior, um índice de desempenho muito importante, é a restrição de taxa de
decaimento, que é responsável pela rapidez de resposta do sistema. Nesta seção, é estudado o
caso em que o projeto possui restrição de taxa de decaimento.
5.2- Projeto do Controlador com Ganho K Único: Condição
de Estabilidade e Taxa de Decaimento
Considere uma candidata a função de Lyapunov do tipo
(
)
() () () 0
T
Vxt xt Pxt=>, com
()
() 0Vxt <
para todo
() 0xt ≠
. A taxa de decaimento
γ
,
0
γ
>
é obtida se a condição
(
)
(
)
() 2 () ,Vxt Vxt
γ
≤−
(5.19)
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
54
for satisfeita para toda a trajetória
()
x
t do sistema (BOYD et al., 1994). O próximo teorema
encontra condições suficientes para o projeto do controlador
K (único) para que o sistema
(5.8) tenha taxa de decaimento maior ou igual a
γ
.
A Propriedade 5.2 descrita a seguir é fundamental para a demonstração deste teorema.
Propriedade 5.2: Uma matriz simétrica
12
23
T
M
M
M
M
M
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
é definida positiva se e somente:
()
()
1
13212
1
31232
1. 0 0.
2. 0 0.
T
T
MeMMMM
ou
MeMMMM
−
−
>− >
>− >
Esse resultado é conhecido na literatura como complemento de Schur
(BOYD et al., 1994).
Teorema 5.2.
Se existe uma matriz simétrica
nn
X
×
∈ R e uma matriz
mn
M
×
∈ R satisfazendo as LMIs,
0,
2
ii j j li
illjjl
ji i j i j
kj j k
ij
TT T
TT T TT
TTT
TTT
TT TT
XA A X XA A X B MA
AMB BMA AMB
BMA AMB X BM BM
BMA AMB
X
XMB MB
αα β β αα
αααββ α
βα α β α β
ββ β β
αβ
γ
⎡⎤
++++
⎢⎥
⎢⎥
+++
⎢⎥
++ ++
⎢⎥
⎢⎥
<
++
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
++ −
⎢⎥
⎣⎦
(5.20)
0,X >
(5.21)
sendo,
(
)
, 1, 2,..., modelos fuzzy TSil r= e
(
)
, 1,2,..., modelos de incertezas politópicasjk p= ,
então o ponto de equilíbrio
0x = do sistema (5.8) é globalmente assintoticamente estável
com taxa de decaimento superior a
γ
. Então um controlador que garante a estabilidade do
sistema (5.8) pode ser dado por:
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
55
1
.
K
MX
−
=
(5.22)
Prova: Supondo que as LMIs (5.20) e (5.21) sejam factíveis, e considerando a Propriedade
5.2, item 1, temos que,
0.
ii j j lii llj
jljii jkjjk
TT TTTT
TT T TT T TT
XA A X XA A X B MA A M B B MA
AMB BMA AMB BMA AMB
αα β β ααα ααβ
βαβααβββββ
++++ + +
+++++ <
(5.23)
Agora, multiplicando ambos os lados de (5.23) por
(
)
il jk
α
αββ
×××
segue de (5.4) e
(5.5) que,
11 1 1
111 1
111 1
ii j j
lii l
ljj l
pp
rr
TT
ii j j
ii j j
rrr r
TTT
lii l
lii l
pp
rr
TTT
ljj l
ljj l
XA AXXA AX
BM A AM B
BM A AM B
αα β β
ααα α
αββ α
αα β β
ααα α
αββ α
== = =
=== =
=== =
++ +
++
++
∑∑ ∑ ∑
∑∑∑ ∑
∑∑∑ ∑
111 1
111 1
0,
jii j
kjj k
pp
rr
TTT
jii j
jii j
ppp p
TTT
kjj k
kjj k
BM A AM B
BM A AM B
β
αα β
βββ β
βαα β
βββ β
=== =
=== =
++
++ <
∑∑∑ ∑
∑∑∑ ∑
e de (5.14) e (5.15) e substituindo
M
pela expressão
M
KX
=
chega-se em,
() () () ()
() ()
,,,,
, ,
TT
T
T
XA A X B MA
AMB
αβ αβ αβ αβ
αβ αβ
++⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
+=⎡⎤
⎣⎦
()
()
() () ()
(
)
,,, ,0,
TT
T
IB KXA A XIKB
αβ αβ αβ αβ
+++<⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
(5.24)
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
56
agora usando a Propriedade 5.1 em (5.24) conclui-se que as matrizes
()
()
,
I
BK
αβ
+
e
()
,A
α
β
são invertíveis.
Da Propriedade 5.2, item 2, e de (5.20) segue que,
()()
1
2.
ii j j lii llj
jljii jkjjk
ij ij
TT TTTT
TT T TT T TT
T
X
A A X XA A X B MA A M B B MA
A M B B MA A M B B MA A M B
XBMBM X XBMBM
α
αββαααααβ
βαβααβββββ
αβ αβ
γ
−
++++ + +
+++++
⎡⎤
++ + + +
⎣⎦
Repetindo as mesmas operações anteriores obtém-se:
11 1 1
111 1
111 1
ii j j
lii l
ljj l
pp
rr
TT
ii j j
ii j j
rrr r
TTT
lii l
lii l
pp
rr
TTT
ljj l
ljj l
XA AXXA AX
BM A AM B
BM A AM B
αα β β
ααα α
αββ α
αα β β
ααα α
αββ α
== = =
=== =
=== =
++ +
++
++
∑∑ ∑ ∑
∑∑∑ ∑
∑∑∑ ∑
111 1
111 1
1
11
11
2
jii j
kjj k
ij
ij
pp
rr
TTT
jii j
jii j
ppp p
TTT
kjj k
kjj k
p
r
ij
ij
T
p
r
ij
ij
BM A AM B
BM A AM B
XBMBMX
XBMBM
β
αα β
βββ β
αβ
αβ
βαα β
βββ β
αβγ
αβ
=== =
=== =
−
==
==
++
++
⎛⎞
⎡⎤
++ +
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎛⎞
×+ + =
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑ ∑
∑∑∑ ∑
∑∑
∑∑
() () () ()
() ()
()
()
()
()
1
,,,,
, ,
,2 ,
TT
T
T
T
XA A X B MA
AMB
XB M X XB M
αβ αβ αβ αβ
αβ αβ
αβ γ αβ
−
++⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
+⎡⎤
⎣⎦
⎡⎤
++ + =
⎣⎦
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
57
()
()
() () ()
(
)
()
()
[]
()
()
,,, ,
, 2 , 0.
TT
T
T
IB KXA A XIKB
IB K XIB K
αβ αβ αβ αβ
αβ γ αβ
+++⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
++ + <
(5.25)
Agora, multiplicando (5.25) a esquerda por
()
(
)
1
,
I
BK
αβ
−
+ e a direita por
()
(
)
1
,
T
T
IKB
αβ
−
+
⎡⎤
⎣⎦
chega-se em:
() ()
(
)
()
()
()
1
1
,,
, , 2 0.
TT
T
XA I K B
IB K A X X
αβ αβ
αβ αβ γ
−
−
+
⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
++ + <
(5.26)
Agora substituindo
()
()
()
1
,,
d
AIB KA
α
βαβ
−
=+ em (5.26) e multiplicando a direita e
a esquerda por
1
PX
−
= chega-se na LMI:
2.
T
dd
A
PPA P
γ
+<−
(5.27)
Quando (5.21) é factível, a LMI (5.27) é equivalente a condição (5.19). Portanto, o ponto
de equilíbrio
x = 0 do sistema (5.8) é globalmente assintoticamente estável com taxa de
decaimento maior que
γ
. E um controlador
K
desejado pode ser obtido com (5.22).
A eficiência da metodologia proposta pode ser verificada na solução dos exemplos
abordados a seguir.
: 5 Projeto do Controlador Realimentação da Derivada dos Estados−
58
5.3 - Aplicação do Método
5.3.1- Exemplo 1: Condição de Estabilidade
Considere o sistema de suspensão ativa dado em (REITHMEIER; LEITMANN, 2003).
Modificando as entradas de controle obtém-se o sistema da Figura (5.1).
(
)
(
)
2
Acelerômetro
x
t⇒
Motorista Assento
+
Sistema de suspensão ativa do assento
Carro
Sistema de suspensão ativa do carro
Pneu
(
)
1
ut
(
)
2
ut
(
)
(
)
1
Acelerômetro
x
t⇒
(
)
2
x
t
(
)
1
x
t
1
b
2
b
2
k
m
k
c
M
s
m
Figura 5.1: Sistema de suspensão ativa de um carro.
A dinâmica do sistema pode ser descrita como:
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
59
()
()
()
()
()
()
()
()
()
11
22
2
2122
33
44
2222
0010
00
0001
00
11
,
1
0
m
cc
cccc
s
ssss
xt xt
xt xt
kk
kbbb
ut
MM
MMMM
xt xt
xt xt
kkbb
m
mmmm
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎡⎤ ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
−
−−
⎢⎥ ⎢⎥
=+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
(5.28)
()
(
)
()
()
()
1
2
3
4
1000
.
0100
x
t
x
t
yt
x
t
x
t
⎡
⎤
⎢
⎥
⎡⎤
⎢
⎥
=
⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
O vetor de estados é definido por
() () () () ()
1212
T
x
t xtxtxtxt=
⎡
⎤
⎣
⎦
, sendo que
() ()
31
x
txt=
e
() ()
42
x
txt=
.
O sistema consiste em um carro de massa
c
M
, um assento e uma pessoa, cuja massa
total é
s
m . As vibrações causadas por irregularidades na estrada podem ser atenuadas pelo
sistema de suspensão do carro (mola não-linear
m
k e amortecedor
1
b ). Mesmo assim, o
motorista ainda pode sentir um pouco de vibrações. Uma maneira de melhorar o conforto do
motorista é instalar um sistema de suspensão ativa no seu assento, composto por uma mola
linear
2
k e um amortecedor
2
b , de maneira a diminuir as vibrações entre o motorista (
s
m ) e o
chassi do carro (
c
M
), modificando as entradas de controle
(
)
1
ut e
()
2
ut.
Considerando 1500kg
c
M = (massa do carro), 90kg
s
m
=
(massa do banco (20kg) +
peso do motorista (70kg)) e ainda supondo que o coeficiente de amortecimento
1
b é incerto,
ou seja, esteja sujeito a falhas e pertence ao intervalo
3
1
0210(Ns/m)b≤≤× (ou seja, o
amortecedor pode quebrar depois de algum tempo de uso,
1
0b
=
) e
2
500Ns/mb = . O
coeficiente não-linear da mola do carro é dado por:
()
(
)
2
2
1
1
mx
kk dxt=+ , na qual
4
410N/m
x
k =× e 1d = , o coeficiente de elasticidade da mola linear do assento é
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
60
3
2
510N/mk =× e que a variável de estado
(
)
1
x
t
é limitada no intervalo
()
1
22xt−≤ ≤
. O
sistema não-linear incerto (5.28) será transformado na forma generalizada do sistema fuzzy
Takagi-Sugeno (TS) (TANIGUCHI et al., 2001).
Considere,
()
()
2
31
,
m
c
kk
fxt
M
−
−
=
a função que contém a não-linearidade do sistema, e,
()
12
33
I,
c
bb
M
β
−
−
=
a função que contém a incerteza politópica (falhas) do sistema.
Desta forma, podemos reescrever (5.28) como sendo,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,
x
tA xtB ut
αβ αβ
=+
(5.29)
sendo,
()
()
()
()
22
31 33
2222
0010
0001
I
,,
cc
ssss
kb
fxt
A
MM
kkbb
mmmm
β
αβ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎣⎦
(5.30)
e
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
61
()
00
00
11
,.
1
0
cc
s
B
MM
m
αβ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(5.31)
Agora, o propósito é separar o elemento não-linear do elemento incerto (falhas) nas
matrizes, fazendo com que
()
,A
α
β
se transforme em
(
)
A
α
composta pelo elemento não-
linear e
()
A
β
composta pelo elemento incerto. No caso de existir elementos lineares, a
intenção é dividir as matrizes de maneira que
(
)
(
)()
,AAA
α
βαβ
=+. A mesma regra é
válida para a matriz
()
,B
α
β
, mas neste caso não existem elementos não-lineares nem
incertezas na matriz. Então, o propósito é fazer com que
(
)()()
,BBB
αβ
α
β
==, ou seja,
divide-se o elemento linear para ambas as matrizes, impedindo que haja matrizes nulas. Evita-
se assim a não controlabilidade do par
(
)
(
)
(
)
,, ,AB
α
βαβ
.
Deste modo, as matrizes serão:
()
()
()
22
31
2222
000,50
0000,5
0
22
2 222
cc
ssss
kb
fxt
A
MM
kkbb
m mmm
α
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎣⎦
e
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
62
()
()
22
33
222 2
000,50
00 00,5
0I
,
22
2222
cc
ss s s
kb
A
MM
kkb b
mm m m
β
β
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎣⎦
e ainda,
()
00
00
11
22
1
0
2
cc
s
B
MM
m
α
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
e,
()
00
00
11
.
22
1
0
2
cc
s
B
MM
m
β
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
De acordo com (TANIGUCHI et al., 2001), para conseguir a forma generalizada, é
essencial determinar o valor máximo e mínimo da função
(
)
(
)
31
f
xt
do sistema descrito em
(5.30). Então foram obtidos os seguintes valores:
()
(
)
(
)
{
}
()
()
()
{}
1
1
311 31
312 31
max 30,
min 136,6667.
xt
xt
afxt
afxt
==−
==−
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
63
Portanto são obtidos os seguintes modelos locais:
()
1
000,50
0000,5
,
30 1,6667 0 0,1667
27,7778 27,7778 2,7778 2,7778
A
α
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
−
⎢⎥
−−
⎣⎦
()
2
000,50
0000,5
,
136,6667 1,6667 0 0,1667
27,7778 27,7778 2,7778 2,7778
A
α
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
−
⎢⎥
−−
⎣⎦
()
44
3
00
00
, 1,2.
3,3333 10 3,3333 10
0 5,5556 10
i
Bi
α
−−
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
==
⎢⎥
×− ×
⎢⎥
×
⎣⎦
No Apêndice 1 encontra-se mais detalhes sobre a obtenção dos modelos locais.
De um modo geral, segundo este método, se o sistema apresenta
s (s = 1) funções não-
lineares (
()
()
31
f
xt
), são necessários 2
s
(2
s
= 2) modelos locais para a sua representação
exata através de modelos fuzzy TS.
Agora o parâmetro incerto (falhas)
1
b da planta é definido no intervalo dado por:
3
1
0210(Ns/m).b≤≤×
(5.32)
Relembrando que,
()
12
33
,
c
bb
M
β
−−
Ι=
1500kg,
c
M
=
2
500Ns/m.b
=
Substituindo na matriz
()
A
β
as possíveis combinações para o parâmetro
(
)
33
β
Ι
, os
vértices do politopo encontrado foram:
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
64
()
1
000,50
0000,5
,
0 1,6667 0,3333 0,1667
27,7778 27,7778 2,7778 2,7778
A
β
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
−
⎢⎥
−−
⎣⎦
()
2
000,50
0000,5
,
0 1,6667 1,6667 0,1667
27,7778 27,7778 2,7778 2,7778
A
β
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
−
⎢⎥
−−
⎣⎦
()
44
3
00
00
, 1,2.
3,3333 10 3,3333 10
0 5,5556 10
j
Bj
β
−−
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
==
⎢⎥
×− ×
⎢⎥
×
⎣⎦
O número de vértices do politopo é dado pela relação
η
2
=
r
, sendo
η
é o número de
parâmetros incertos da planta. Neste caso
η
=1 e
2r
=
.
Usando o software MATLAB (
lmiedit), e o solver “LMILAB” (GAHINET et al.,1995),
pode-se calcular através das LMIs as matrizes
X e M para projetar o controlador para o
sistema (5.28). Para este exemplo, considerou-se o seguinte caso:
Estabilidade → Utilizando as LMIs (5.10) e (5.11) do Teorema 5.1, para o projeto do
controlador considerando apenas a estabilidade do sistema (5.28), os seguintes resultados
foram encontrados:
22
2232
1
313
22 3 2
27,2083 1,6885 10 2,3487 3,1590 10
1,6885 10 2,5860 10 2,7568 10 1,0122 10
,
2,3487 2,7568 10 2,7545 10 5,8455 10
3,1590 10 1,0122 10 5,8455 10 2,5854 10
PX
−−
−−−−
−
−−−
−− − −
⎡⎤
××
⎢⎥
××××
⎢⎥
==
⎢⎥
×××
⎢⎥
××××
⎣⎦
33 4 3
45
5, 2031 10 6,3435 10 1, 4681 10 2,6263 10
.
7,5525 2,7083 10 72,6930 2,8710 10
M
⎡⎤
××−×−×
=
⎢⎥
−−× ×
⎣⎦
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
65
Logo, o controlador obtido foi:
523
1
3333
1,0711 10 1,8484 10 8,1787 10 74,8651
.
8,5778 10 2,2060 10 1,6059 10 7,1489 10
KMX
−
⎡⎤
×××
==
⎢⎥
××××
⎣⎦
A resposta do sistema realimentado para a condição inicial
()
[
]
00,10,300
T
x =
com o amortecedor
1
b funcionando pode ser vista na Figura (5.2) e com o amortecedor
quebrado
1
0b = (falhas) pode ser vista na Figura (5.3). A planta foi considerada não-linear na
simulação (usou-se ODE45 do MATLAB).
Observando as Figuras (5.2 e 5.3), nota-se que o comportamento do sistema controlado
quase não muda, mesmo se o amortecedor
1
b quebra. Logo o controlador projetado foi capaz
de estabilizar o sistema mesmo após a ocorrência de falha no amortecedor do carro.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tempo(s)
Deslocamento carro (m)
x
1
()
t
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2
0
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tem
p
o
(
s
)
Desl
o
c
a
m
e
n
t
o
a
sse
n
t
o
(
m
)
x
2
()
t
Figura 5.2: Simulação do sistema realimentado,
3
1
210 Ns/mb =×
(sem falhas) e controlador
projetado com objetivo de estabilidade.
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
66
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tempo(s)
Deslocamento carro (m)
x
1
()
t
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2
0
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tem
p
o
(
s
)
Desl
o
c
a
m
e
n
t
o
a
sse
n
t
o
(
m
)
x
2
()
t
Figura 5.3: Simulação do sistema realimentado,
1
0b
=
(com falhas) e controlador projetado
com objetivo de estabilidade.
Agora supondo que o carro encontra-se em movimento e em perfeitas condições, mas em
uma trepidação há ocorrência de falha no amortecedor
1
b . Na Figura (5.4), é exibido o
comportamento dinâmico do sistema, supondo que ocorra uma falha no sistema de
amortecimento após
14st = . Observe pela figura que a falha está somente relacionada à
variável de estado
()
1
x
t , conseqüentemente
(
)
2
x
t foi mostrada para uma analise do sistema
de suspensão ativa do assento após a falha. Note pela figura que a falha ocorrida em
14st
=
quase não afetou o tempo de estabelecimento do sistema.
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
67
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tempo(s)
Deslocamento carro (m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2
0
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Tem
p
o
(
s
)
Desl
o
c
a
m
e
n
t
o
a
sse
n
t
o
(
m
)
x
1
()
t
sem falha
x
1
()
t
com falha
x
2
()
t
sem falha
Figura 5.4: Simulação do sistema realimentado, com falha estrutural no amortecedor após
14st = de uso e controlador projetado com objetivo de estabilidade.
Nas Figuras (5.2 e 5.3), percebemos que o tempo de estabelecimento do sistema
controlado fica relativamente alto, em torno de 20 segundos. Agora considere que o sistema
deve possuir um período transitório menor. Isso pode ser feito adicionando a restrição de taxa
de decaimento no projeto do controlador. Utilizando o Teorema 5.2 com 4,5
γ
= , pode-se
obter uma resposta com menor tempo de duração do período transitório, isto é mostrado a
seguir.
5.3.2- Exemplo 2: Condição de Estabilidade e Taxa de
Decaimento
Estabilidade + Taxa de Decaimento→ Considerando os mesmos parâmetros anteriores
e usando as
LMIs (5.20) e (5.21) do Teorema 5.2, teremos os seguintes resultados:
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
68
3
11 2
1
11
21 2
2,0847 10 26,7182 10,0787 4,4907
26,7182 7,0018 10 6,4945 10 1,1819 10
,
10,0787 6,4945 10 3,8726 1,9581 10
4,4907 1,1819 10 1,9581 10 1,8849 10
PX
−− −
−
−−
−− −
⎡⎤
×−−
⎢⎥
××−×
⎢⎥
==
⎢⎥
−× ×
⎢⎥
−−× × ×
⎣⎦
233 4
24 3 5
2,0846 10 5,4402 10 1,5523 10 7,1149 10
.
5,1325 10 1,6679 10 4,2299 10 1,4904 10
M
⎡⎤
−× × ×−×
=
⎢⎥
−× × ×−×
⎣⎦
Logo o controlador obtido foi:
432
1
33 3 2
1, 4626 10 88, 4267 2,2864 10 1,6532 10
.
2,3613 10 2,4742 10 3,1999 10 1,2643 10
KMX
−
⎡⎤
×−×−×
==
⎢⎥
×× × ×
⎣⎦
Utilizando a mesma condição inicial
()
[
]
00,10,300
T
x =
, a resposta do sistema
realimentado com taxa de decaimento 4,5
γ
=
e com o amortecedor
1
b funcionando pode ser
vista na Figura (5.5) e com o amortecedor quebrado
1
0b
=
(falhas) pode ser vista na Figura
(5.6). A planta foi considerada não-linear na simulação (usou-se ODE45 do MATLAB).
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
69
0 0.5 1 1.5 2 2.
5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tempo(s)
D
esl
o
c
a
me
n
t
o
c
a
r
r
o
(m)
x
1
()
t
0 0.5 1 1.5 2 2.
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Tem
p
o
(
s
)
Deslocamento assento (m)
x
2
()
t
Figura 5.5: Simulação do sistema realimentado,
3
1
210 Ns/mb =× (sem falhas) e controlador
projetado com objetivo de estabilidade e taxa de decaimento.
0 0.5 1 1.5 2 2.
5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tempo(s)
D
esl
o
c
a
me
n
t
o
c
a
r
r
o
(m)
x
1
()
t
0 0.5 1 1.5 2 2.
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Tem
p
o
(
s
)
Deslocamento assento (m)
x
2
()
t
Figura 5.6: Simulação do sistema realimentado,
1
0b
=
(com falhas) e controlador projetado
com objetivo de estabilidade e taxa de decaimento.
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
70
Da mesma forma anterior, na Figura (5.7) é exibido o comportamento dinâmico do
sistema, supondo que ocorra uma falha no sistema de amortecimento
1
b após
1, 5st =
. Do
mesmo modo, a falha está somente relacionada à variável de estado
()
1
x
t , logo
(
)
2
x
t foi
mostrada para uma analise do sistema de suspensão ativa do assento após a falha. Note pela
figura, que a falha ocorrida em 1,5st
=
quase não afetou o tempo de duração do período
transitório do sistema.
0 0.5 1 1.5 2 2.
5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tempo(s)
D
esl
o
c
a
me
n
t
o
c
a
r
r
o
(m)
0 0.5 1 1.5 2 2.
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Tem
p
o
(
s
)
Deslocamento assento (m)
x
1
()
t
sem falha
x
1
()
t
com falha
x
2
()
t
sem falha
Figura 5.7: Simulação do sistema realimentado, com falha estrutural no amortecedor após
1, 5st =
de uso e controlador projetado com objetivo de estabilidade e taxa de decaimento.
Observe na Figura (5.8), que os autovalores dos modelos locais do sistema em malha
fechada atendem a especificação da restrição de taxa de decaimento imposta ao sistema
()
4,5
γ
= . Foi considerado o sistema com e sem falhas estruturais, utilizou-se as possíveis
combinações dos modelos locais obtidos.
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
71
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
Eixo real
+
Autovalores
zoom
zoom
Figura 5.8: Localização dos autovalores em malha fechada dos modelos locais, com e sem
falhas, para restrição de taxa de decaimento
4,5
γ
=
.
Note que nas Figuras (5.5 e 5.6), o tempo de duração do período transitório do sistema
controlado com a adição da restrição de taxa de decaimento estão próximos. Mesmo com o
amortecedor
1
b quebrado, o tempo de transitório é de aproximadamente 2 segundos, ou seja,
uma resposta dez vezes mais rápida do que nas Figuras (5.2 e 5.3). Tentando diminuir ainda
mais o tempo de duração do período transitório, aumentou-se a taxa de decaimento
γ
do
sistema, porém não foi possível obter soluções factíveis para as LMIs.
: 5 Aplicação do Método Realimentação da Derivada dos Estados−
72
6- Conclusões e Perspectivas Futuras
Desenvolveu-se neste trabalho uma nova metodologia para o projeto de controladores
fuzzy com modelos Takagi e Sugeno, para a estabilização de um certo grupo de sistemas não-
lineares que apresentam falhas, traduzidas como incertezas paramétricas (incertezas do tipo
politópicas).
Foram propostas LMIs para o tratamento adequado das não-linearidades e das incertezas
politópicas, onde o conjunto factível dessas LMIs proporciona o projeto de controladores
fuzzy único do tipo
() ()
ut Kxt=− que estabiliza o sistema. Além disso, neste trabalho foi
abordado LMIs para o projeto de controladores fuzzy único utilizando a realimentação
derivativa. Neste caso, as não-linearidades e as falhas também são tratadas de forma distintas
a fim de se obter resultados satisfatórios e seguros. O controlador que estabiliza os sistemas é
do tipo
()
(
)
ut Kxt=−
.
Analisando os resultados obtidos através dos teoremas do Capítulo 4, podemos verificar
a estabilização do sistema nas Figuras (4.2 e 4.3) onde o sistema não-linear com incerteza
politópica possui tempo de duração do transitório em torno de 1,0 segundo.
Como apenas a estabilização nem sempre é suficiente, então é proposto um outro projeto
para o controlador incluindo a restrição de taxa de decaimento, que por conseqüência,
melhora a rapidez de resposta do sistema. Isso pode ser verificado nas Figuras (4.6 e 4.7).
Fazendo um comparativo entre as simulações (sem a taxa de decaimento, e com a taxa de
decaimento no projeto), podemos verificar que houve uma redução de aproximadamente 0,7
segundos no tempo de período transitório do sistema controlado. Esta diminuição de apenas
0,7 segundos no projeto, equivale a um sistema três vezes mais rápido que o anterior.
Então, concluiu-se que houve um aumento na magnitude do sinal de controle
(
)
ut
nas
Figuras (4.6 e 4.7). Com o objetivo de diminuir este esforço, adicionou-se uma restrição na
entrada do sinal de controle, projetando-se um novo controlador. Conseguimos atenuar a
magnitude do sinal de controle, como visto nas Figuras (4.10 e 4.11). É fato notável que o
tempo de estabilização do sistema dobrou em relação ao apresentado nas Figuras (4.6 e 4.7),
porém o sistema ficou quase duas vezes mais rápido que o original, como apresentado nas
Figuras (4.2 e 4.3).
73
Agora analisando os resultados obtidos pelos teoremas do capítulo 5, podemos verificar
nas Figuras (5.2 e 5.3) que o sistema não-linear com uma suposta falha estrutural tem seu
tempo de duração do transitório relativamente alto, ficando em torno de 20 segundos.
Tentando diminuir este tempo, foi adicionado no projeto de controle com realimentação
derivativa, uma restrição de taxa de decaimento. Então, analisando as Figuras (5.5 e 5.6),
constata-se que o transitório do sistema teve uma redução de aproximadamente 18 segundos,
terminando o transitório em 2 segundos, ou seja, uma resposta dez vezes mais rápida do que a
obtida anteriormente.
Foi possível através das LMIs e utilizando os modelos Takagi-Sugeno (TS), projetar de
maneira relativamente simples os controladores para as soluções dos problemas.
Para o projeto dos controladores utilizou-se o solver padrão “LMILAB”, e o pacote
“LMIEDIT” para a representação de LMIs. Suas respectivas simulações foram feitas através
do software MATLAB (GAHINET et al., 1995), sendo que o modelo de planta utilizado foi o
não-linear. Estes métodos de projetos são equacionados na forma de LMI, assim podendo ser
facilmente resolvidos utilizando-se algoritmos de convergência polinomial (BOYD et al.,
1994).
Perspectivas futuras:
• Projetar reguladores fuzzy usando a idéia de Compensação Distribuída Paralela
(CDP). Este conceito de projeto implica na construção de um compensador para cada
regra do modelo fuzzy (TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; AVELLAR, 2003, TANAKA;
SUGENO, 1992, WANG; TANAKA; GRIFFIN, 1996);
• Adição de um novo parâmetro de desempenho no projeto, tal como restrição na saída
da planta, que é de fácil inclusão nos projetos baseados em LMIs (BOYD et al., 1994);
• Desenvolvimento de métodos para a minimização do ganho do controlador, que faci-
litam a implementação prática do equipamento;
• Desenvolvimento do estudo para o caso discreto;
• Desenvolvimento de condições mais relaxadas para Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno.
6 Conclusões e Perspectivas Futuras−
74
Referências
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control system with guaranteed cost performance: A piecewise lyapunov aproach. Revista
Brasileira de Controle & Automação (SBA), Campinas, v. 17, n. 2, p. 213–225, Abril-Junho
2006.
ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M. C. M.; FARIA, F. A.; da SILVA, N. A. P.; CARDIM, R.
Robust state-derivative feedback LMI-based designs for multivariable linear systems. Inter-
national Journal of Control, London, v. 80, n. 8, p. 1260–1270, 2007.
BOYD, S.; EL GHAOUI, L.; FERON, E.; BALAKRISHNAN, V. Linear Matrix Inequalities
in Systems and Control Theory. 2nd. ed. USA: SIAMStudies in AppliedMathematics, 1994.
ISBN 0-89871-334-X. Disponível em:<http://www.stanford.edu/boyd/lmibook/lmibook.pdf>.
Acesso em: 15 Jul. 2008.
CAO, S. G.; REES, N. W.; FENG, G. H∞ control of uncertain fuzzy continuous-time
systems, Fuzzy Sets and Systems, Amsterdam, v.115, n.2, p. 171–190, 2000.
CARDIM, R. Relatório sobre o projeto controle de sistemas não-lineares utilizando as saídas
da planta e com modelos fuzzy takagi-sugeno. São Paulo: Ilha Solteira, 2006. 33p. (projeto
Fapesp 04/08520-4).
da SILVA, N. A. P. Projeto de controladores automáticos com atualização das condições
iniciais. 2005. 200f. Tese (Doutorado)- Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual
Paulista Julio Mesquita Filho, Ilha Solteira, 2005.
EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E. Elementary differential equations with boundary value
problems. 5th. ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 2003. 768 p. ISBN 0131457748.
FARIA, F. A. Alocação de pólos com realimentação da derivada dos estados usando LMIs.
2005. 52f. Dissertação (Mestrado)- Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista
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GAHINET, P.; NEMIROVSKI, A.; LAUB, A. J.; CHILALI, M. LMI control toolbox: for use
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75
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SOUZA, R. B. M. Projeto de reguladores fuzzy takagi-sugeno utilizando as condições
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Referências Bibliográficas
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systems: stability and design issues. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, New York, v. 4, n.
1, p. 14–23, February 1996.
Referências Bibliográficas
77
Apêndice 1
Este apêndice contém informações sobre a obtenção das equações de pertinência, que não
foram expostas no texto principal, devido a não utilidade das mesmas no caso de se projetar
controladores fuzzy único. Porém são de extrema importância no projeto de controladores
fuzzy usando a idéia de Compensação Distribuída Paralela (CDP). Este conceito de projeto
implica na construção de um controlador para cada regra do modelo fuzzy (TANAKA;
SUGENO, 1992, WANG; TANAKA, GRIFFIN, 1996).
Exemplo: Considere o seguinte sistema não-linear (TANAKA; WANG, 2001).
()
()
(
)
(
)
(
)
() ()
()
()
3
1
112
3
221
2
.
3
xt
xt xtxt
x
txtxt
xt
⎡⎤
⎡
⎤
−+
=
⎢⎥
⎢
⎥
−++
⎢
⎥
⎢⎥
⎣
⎦
⎣⎦
(0.1)
Por simplicidade, é assumido que
(
)
1
11xt
−
<<
e
(
)
2
11xt
−
<<
. Vale ressaltar que
podem ser assumidos quaisquer valores para
(
)
1
x
t e
(
)
2
x
t para construção dos modelos
fuzzy.
Então, a equação (0.1) pode ser escrita da seguinte maneira:
(
)
()
(
)
(
)
()
()
()
(
)
()
2
11
12
2
21
22
1
,
31
x
txt
xtxt
xtxt
x
txt
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤
−
=
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
+−
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
(0.2)
sendo que
()
(
)
2
12
x
tx t e
()
()
(
)
2
21
3
x
txt+ são termos não-lineares do sistema. Para os termos
não-lineares, defina
() ()
(
)
2
112
zt xtxt≡ e
(
)
(
)
(
)
(
)
2
221
3zt xtxt≡+ . Então, temos,
()
()
()
()
(
)
()
11
1
2
22
1
.
1
x
txt
zt
zt
x
txt
⎡⎤ ⎡⎤
−
⎡⎤
=
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
(0.3)
78
O próximo passo é calcular os valores máximos e mínimos de
()
1
zt
e
()
2
zt
, sendo que
()
1
11xt−< < e
()
2
11xt−< <. Neste caso, os seguintes valores foram obtidos,
() ()
(
)
() ()
(
)
() ()
()
() ()
()
12
12
12
12
11
,
,
22
,
,
max 1, min 1,
max 4, min 0.
xtxt
xtxt
xtxt
xtxt
zt zt
zt zt
=
=−
==
Dos máximos e mínimos valores,
(
)
1
zt e
(
)
2
zt podem ser representados por:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() ()
()
() ()
()
()
()
2
112 11 21
2
22112 22
11,
340,
zt xtxt Mzt M zt
zt xtxt Nzt Nzt
==×+×−
=+ = ×+ ×
sendo que,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
11 21 11 21
12 22 12 22
0 , 1, e 1,
0 , 1, e 1.
Mzt Mzt Mzt Mzt
Nzt Nzt Nzt Nzt
≤≤+=
≤≤+=
Desta forma, obtemos as seguintes funções:
()
()
(
)
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
11
11 21
22
12 22
11
, ,
22
4
, .
44
zt zt
Mzt Mzt
zt zt
Nzt Nzt
+−
==
−
==
Respectivamente, as funções acima serão denominadas “Positiva”, “Negativa”, “Grande”
e “Pequena”. Então o sistema (0.1) é representado pelos seguintes modelos da regra fuzzy.
Regra 1
SE
()
1
zt
é “Positiva” e
(
)
2
zt
é “Grande”,
ENTÃO
(
)()
1
.
x
tAxt=
Apêndice 1
79
Regra 2
SE
()
1
zt é “Positiva” e
(
)
2
zt é “Pequena”,
ENTÃO
(
)()
2
.
x
tAxt=
Regra 3
SE
()
1
zt é “Negativa” e
(
)
2
zt é “Grande”,
ENTÃO
(
)()
3
.
x
tAxt=
Regra 4
SE
()
1
zt é “Negativa” e
(
)
2
zt é “Pequena”,
ENTÃO
(
)()
4
.
x
tAxt=
Portanto, chega-se aos modelos locais,
12
34
11 11
, ,
41 01
11 11
, .
41 01
AA
AA
−−
⎡⎤ ⎡⎤
==
⎢⎥ ⎢⎥
−−
⎣⎦ ⎣⎦
−− −−
⎡⎤ ⎡⎤
==
⎢⎥ ⎢⎥
−−
⎣⎦ ⎣⎦
Agora, podemos escrever:
() ()
(
)
()
(
)
(
)
()
(
)
()
(
)
()
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
11222 11 21
12 11 12 21
22 11 22 21
11,
1 1
1 1 .
zt Nzt N zt Mzt M zt
Nzt Mzt Nzt Mzt
Nzt Mzt Nzt Mzt
=+××+×−
=××+××−+
+××+××−
e
() ()
(
)
()
(
)
(
)
()
(
)
()
(
)
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
21121 12 22
11 12 11 2 2
21 12 21 22
40,
4 0
4 0.
zt Mzt Mzt Nzt Nzt
Mzt Nzt Mzt Nzt
Mzt Nzt Mzt Nzt
=+××+×
=××+××+
+××+××
Agora defina,
Apêndice 1
80
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
11112
21122
32112
42122
,
,
,
,
zt M z t N z t
zt M z t N z t
zt M z t N z t
zt M z t N z t
α
α
α
α
=×
=×
=×
=×
como sendo as funções de pertinência do sistema.
Note que,
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1234
1.zt zt zt zt
αααα
+++=
Assim, tem-se
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)
()
11 3 2 4
1111,z t zt zt zt zt
αα αα
=×+×−+×+×−
(0.4)
e
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)
21 2 3 4
4040.z t zt zt zt zt
αααα
=×+×+×+×
(0.5)
Finalmente, substituindo (0.4) e (0.5) em (0.3), pode-se obter uma representação exata do
sistema (0.2) com modelos fuzzy TS.
() ()
()
()
4
1
.
ii
i
x
tztAxt
α
=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑
(0.6)
Apêndice 1
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