( PDF ) Conjuntos de controle e controlabilidade de sistemas bilineares

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING

CENTRO DE CI

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM

ATICA

PROGRAMA DE P

OS-GRADUAC¸

AO EM MATEM

ATICA

NAYENE MICHELE PITTA PAI

Conjuntos de Controle e Controlabilidade de Sistemas Bilineares

Maring´a

2009

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“Que for¸ca ´e esta, eu n˜ao sei; tudo o que sei ´e

que existe, e est´a dispon´ıvel apenas quando algu´em

est´a num estado em que sabe exatamente o que

quer, e est´a totalmente determinado a n˜ao desistir

at´e conseguir.”

[ Alexander Graham Bell ]

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Aos que amo.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer primeiramente `a Deus pela Sua presen¸ca em minha vida, pela

sa´ude e for¸ca para chegar at´e aqui.

Agrade¸co tamb´em `a minha m˜ae Ozires pela f´e, amizade e companhia nas madrugadas

de estudo. Ao meu pai Jos´e Carlos, o “Pai˜ao”, que sempre foi meu maior exemplo de

honestidade e perseveran¸ca. Aos meus irm˜aos Juliano, Eudes e Luiza pelo carinho, apoio

e incentivo. Ao Juliano Mendes que acompanhou todo o esfor¸co dispensado desde a

gradua¸c˜ao, perdoando a ausˆencia, sempre incentivando e oferecendo seu amor.

Aos anjos que chamo amigos. Aqueles que mesmo distantes se fazem presentes...

Pessoas com quem dividi as alegrias e tristezas da caminhada. Em especial aos amigos

Anderson, Wilian e Rodolfo que me ajudaram a enfrentar as diﬁculdades e me ﬁzeram

acreditar que sempre vale a pena viver.

A todas as pessoas que ﬁzeram e fazem parte

da minha vida, todos os amigos cujos nomes n˜ao foram citados mas que s˜ao igualmente

importantes.

Aos professores do DMA que contribu´ıram para minha forma¸c˜ao acadˆemica e pes-

soal. Em especial aos professores Valdeni e Carla que se ﬁzeram presentes, oferecendo

alegria, preocupa¸c˜ao e principalmente a t˜ao preciosa amizade. Tamb´em `a Professora e

grande amiga Val´eria Cavalcanti, pessoa maravilhosa que sempre esteve ao nosso lado se

mostrando sens´ıvel `as nossas fraquezas e ajudando de todas as formas poss´ıveis, ofere-

cendo seus conhecimentos, experiˆencia de vida, abra¸co amigo e seu sorriso contagiante.

Tamb´em aos professores Marcos e Josiney pela paciˆencia e valiosas sugest˜oes, e aos pro-

fessores Paolo Piccione e Jos´e Braga Barros pela aten¸c˜ao e corre¸c˜oes neste trabalho..

Ao Programa de Mestrado, em especial a amiga Lucia, pela aten¸c˜ao e amizade, e

tamb´em a amiga Silvana pela alegria, bate papos e cafezinhos.

Ao meu grande amigo e orientador Osvaldo, pela excelente orienta¸c˜ao, paciˆencia, por

acreditar que seria poss´ıvel a realiza¸c˜ao deste estudo, al´em de tornar este trabalho uma

agrad´avel experiˆencia sobre a matem´atica e a vida.

A CAPES pelo t˜ao importante apoio ﬁnanceiro.

Resumo

Nesse trabalho estudamos o problema da controlabilidade de um sistema bilinear da

forma ˙x = Ax + uBx, onde A e B s˜ao matrizes em sl(n, R) satisfazendo as condi¸c˜oes

de Jurdjevic e Kupka, sendo u um controle real irrestrito. A abordagem do problema

ser´a feita via teoria de conjunto de controle para a¸c˜oes de semigrupos em variedades

homogˆeneas compactas e, mais particularmente, em variedades Grassmannianas.

Palavras Chaves: Sistemas de Controle; Grupos de Lie; Controlabilidade; Grass-

mannianas; Semigrupos.

Abstract

In this work we studied the problem of the controllability bilinear system of the form

˙x = Ax + uBx, where the A and B are matrices in sl(n, R) satisfying conditions of

Jurdjevic and Kupka, and u is the control, real unrestricted. The approach of the problem

will be made by theory of control set for action of semigroups in compact homogeneous

manifolds and, more particularly, in Grassmannianas manifolds.

Key Words: Control Systems; Lie Groups; Controllability; Grassmannians; Semi-

groups.

Sum´ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Conceitos preliminares 4

1.1 Grupos de Lie e

Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Resultados b´asicos sobre ´algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Aplica¸c˜ao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Variedades homogˆeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Variedades Grassmannianas 15

2.1 Descri¸c˜ao Alg´ebrica da Grassmanniana Gr

(d) . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 A Grassmanniana como Variedade Homogˆenea e compacta . . . . . . . . . 17

2.3 A decomposi¸c˜ao de Bruhat das Grassmannianas em N

-´orbitas . . . . . . . 19

2.4 A Grassmanniana orientada Gr

(d) e o mergulho no Produto Exterior . . 23

3 Semigrupos e Cones 30

3.1 Semigrupos de grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Subsemigrupos de grupos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Cones associados a semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Conjunto de Controle 37

4.1 Conceitos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Conjuntos de controle invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

vii

SUM

ARIO viii

5 Conjuntos de Controle na variedade de Grassmann 49

5.1 Conjuntos de controle na variedade Grassmanniana . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Tipo parab´olico de um semigrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Conjuntos de controle e o Produto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Aplica¸c˜ao de Conjuntos de Controle 56

6.1 Sistemas de controle invariantes `a direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Sistemas induzidos em espa¸cos homogˆeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3 A controlabilidade do sistema bilinear sob as condi¸c˜oes de Jurdjevic e Kupka 62

7 Conclus˜ao 69

Indice Remissivo 70

Bibliograﬁa 72

Introdu¸c˜ao

O objetivo deste trabalho ´e estudar a controlabilidade de sistemas de controle bilineares

da forma

˙x = (A + uB)x (1)

onde A e B s˜ao matrizes de tra¸co zero e u ´e um controle real irrestrito.

Este problema est´a “longe”de ser resolvido e somente solu¸c˜oes parciais vem sendo

apresentadas. Por exemplo, em [17] ´e mostrado que, no caso de matrizes A e B de ordem

2 × 2, o sistema (1) ´e control´avel se, e somente se, o determinante do colchete [A, B] ´e

negativo.

Uma das situa¸c˜oes mais gerais onde o problema foi resolvido ´e quando:

i) A e B s˜ao matrizes n × n de tra¸co zero;

ii) A ´algebra de Lie gerada por A e B coincide com sl(n, R);

iii) B ´e diagonal com autovalores distintos e n˜ao nulos;

iv) Se A = (a

)

n×n

, ent˜ao a

< 0.

Estas condi¸c˜oes s˜ao conhecidas como condi¸c˜oes de Jurdjevic e Kupka. Na verdade Jurd-

jevic e Kupka estabeleceram condi¸c˜oes de controlabilidade de (1) na situa¸c˜ao mais geral

de grupos de Lie semisimples que, no caso particular do grupo Sl(n, R) assume a forma

acima descrita.

A referˆencia principal deste trabalho ´e [11], onde San Martin apresenta uma demon-

stra¸c˜ao alternativa dos resultados de Jurdjevic e Kupka, no caso particular Sl(n, R) a

partir da teoria dos conjuntos de controle.

SUM

ARIO 2

A no¸c˜ao de conjuntos de controle para sistemas de controle surge naturalmente quando

se deseja determinar certos subconjuntos de uma variedade M, onde um ponto qualquer

pode ser atingido a partir de outro por meio de concatena¸c˜oes de trajet´orias de um con-

junto de campos de vetores sobre a variedade M. Este conceito surgiu na d´ecada de 80

nos trabalhos de L. Arnold e W. Kliemann. Nos ´ultimos anos o estudo dos conjuntos de

controle em espa¸cos homogˆeneos vem desempenhando um papel decisivo para o entendi-

mento dos semigrupos de grupos de Lie e este ramo da teoria de Lie teve in´ıcio com os

trabalhos de San Martin em [10].

Este trabalho est´a organizado como segue:

Os conceitos fundamentais da teoria de Lie s˜ao apresentados no primeiro cap´ıtulo.

Introduzimos o conceito de variedade homogˆenea, que em nosso caso, o exemplo de maior

interesse ´e um tipo particular de variedade Flag, a variedade Grassmaniana. Devido a

importˆancia que o conceito de Grassmanniana possui no trabalho, o Cap´ıtulo 2 ´e dedicado

`a apresenta¸c˜ao das propriedades deste objeto que s˜ao essenciais para os nossos objetivos.

A quest˜ao central deste trabalho, que ´e a controlabilidade do sistema bilinear (1)

nas condi¸c˜oes de Jurdjevik e Kupka aparece no cap´ıtulo ??. Descrevemos o m´etodo de

abordagem do problema, que consiste em considerar o sistema de controle semelhante a

(1) em um grupo de Lie G, que em nosso caso G = Sl(n, R). As trajet´orias do sistema

em R

e do sistema no grupo G se relacionam por meio da a¸c˜ao do grupo G em R

. O

fato crucial ´e que a controlabilidade do sistema no grupo, implica na controlabilidade do

sistema em R

. E para garantir a controlabilidade no grupo, s˜ao fundamentais algumas

propriedades dos conjuntos de controle na Grassmanniana.

No Cap´ıtulo 5 apresentamos as ferramentas que constituem a essˆencia do m´etodo de

abordagem do problema da controlabilidade do sistema bilinear (1). Estas ferramentas

s˜ao os resultados que garantem a controlabilidade do sistema (1) a partir de propriedades

dos conjuntos de controle invariantes na Grassmaniana.

O conceito de conjunto de controle surge no estudo da a¸c˜ao de semigrupos de Lie

em variedades diferenci´aveis.

E portanto, parte da teoria de semigrupos, cujos conceitos

necess´arios para o desenvolvimento do trabalho est˜ao no Cap´ıtulo 3. S˜ao apresentadas

SUM

ARIO 3

propriedades de semigrupos e cones asso ciados a semigrupos que ser˜ao necess´arias ao

longo do trabalho. Em seguida, no Cap´ıtulo 4 temos o conceito de conjunto de controle

e algumas propriedades b´asicas.

Cap´ıtulo 1

Conceitos preliminares

Neste cap´ıtulo s˜ao apresentados conceitos b´asicos para o desenvolvimento deste trabalho,

como os conceitos de grupos e ´algebras de Lie, aplica¸c˜ao exponencial e variedades ho-

mogˆeneas. Os demais conceitos abordados podem ser consultados em [6] e [9].

1.1 Grupos de Lie e

Algebras de Lie

Nesta se¸c˜ao apresentaremos o conceito de grupos e ´algebras de Lie b em como algumas

propriedades b´asicas destes objetos. Come¸camos deﬁnindo grupo e subgrupo de Lie.

Deﬁni¸c˜ao 1.1. Um grupo de Lie ´e uma variedade diferenci´avel de classe C

∞

munida de

uma estrutura de grupo abstrato, na qual a aplica¸c˜ao G × G −→ G dada por (σ, τ) −→

στ

−1

´e de classe c

∞

Deﬁni¸c˜ao 1.2. Dizemos que (H, ϕ) ´e um subgrupo de Lie do grupo de Lie G se:

1. H ´e um subgrupo abstrato de G;

2. ϕ : H → G ´e um homomorﬁsmo de grupos abstratos; e

3. (H, ϕ) ´e uma subvariedade de G.

O principal exemplo de grupo de Lie ´e o conjunto Gl(n, R) de todas as matrizes n × n

n˜ao singulares.

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 5

A estrutura diferenci´avel de Gl(n, R) ´e herdada de gl(n, R), o conjunto de todas as

matrizes n × n. Como gl(n, R) se identiﬁca naturalmente com R

, ent˜ao gl(n, R) possui

uma estrutura de variedade C

∞

. Sendo o determinante uma fun¸c˜ao cont´ınua tomando

valores em gl(n, R) e assumindo valores reais ent˜ao Gl(n, R) ´e um subconjunto aberto de

e portanto possui uma estrutura de variedade C

∞

. Como as aplica¸c˜oes:

Gl(n, R) × Gl(n, R) −→ Gl (n, R)

(A, B) −→ AB

Gl(n, R) −→ Gl(n, R)

A −→ A

−1

s˜ao diferenci´aveis de classe C

∞

, ent˜ao Gl(n, R) ´e um grupo de Lie.

O pr´oximo resultado, cuja demonstra¸c˜ao pode ser encontrada p or exemplo, em [6],

estabelece uma condi¸c˜ao bastante ´util para que um subconjunto de um grupo de Lie seja

um subgrupo de Lie.

Proposi¸c˜ao 1.3. Todo o subgrupo fechado de um grupo de Lie G ´e um subgrupo de Lie

de G.

Vejamos um exemplo de um subgrupo de Lie.

Exemplo 1.4. O grupo linear especial Sl(n, R), que ´e o conjunto de todas as matrizes

n × n de determinante 1, ´e um subgrupo de Lie de Gl(n, R). O grupo ortogonal especial

SO(n, R) = {A ∈ Sl(n, R); AA

= 1}, onde 1 ´e a matriz identidade n × n, tamb´em ´e um

subgrupo de Lie de Gl(n, R).

Deﬁni¸c˜ao 1.5. Seja G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo de G. Deﬁnimos o

centralizador e o normalizador de H em G, respectivamente por:

(H) = {x ∈ G : xh = hx ∀h ∈ H};

(H) = {x ∈ G : xHx

−1

= H}.

O centro de G ´e deﬁnido por:

Z(G) = {x ∈ G : xy = yx ∀y ∈ G}.

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 6

A todo grupo de Lie se associa naturalmente um objeto alg´ebrico denominado de

´algebra de Lie. A deﬁni¸c˜ao formal de ´algebra de Lie ´e a seguinte:

Deﬁni¸c˜ao 1.6. Uma ´algebra de Lie g ´e um espa¸co vetorial munido de uma opera¸c˜ao

[. , .], denominada colchete, satisfazendo:

1. [. , .] ´e bilinear;

2. [X, X] = 0 para todo X ∈ g;

3. [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 para todo X, Y, Z ∈ g.

A segunda condi¸c˜ao ´e equivalente a [X, Y ] = −[Y, X], ∀X, Y ∈ g e a terceira condi¸c˜ao

´e conhecida como identidade de Jacobi.

Um dos exemplos mais importantes de ´algebra de Lie ´e o conjunto gl(n, R) munido

do colchete deﬁnido por [X, Y ] = XY − Y X. Com este mesmo colchete temos outros

exemplos de ´algebras de Lie, como por exemplo, o conjunto das matrizes

de tra¸co

zero, denotado por sl(n, R). Para mais exemplos ver [9].

Deﬁni¸c˜ao 1.7. Uma sub´algebra de Lie h de uma ´algebra de Lie g ´e um subespa¸co ve-

torial de g tal que [X, Y ] ∈ h para todo X, Y ∈ h. Com a estrutura herdada de g, h ´e

naturalmente uma ´algebra de Lie.

Por exemplo, a ´algebra de Lie sl(d, R) = {X ∈ gl(d, R) : trX = 0} ´e uma sub´algebra

de Lie de gl(d, R).

Deﬁni¸c˜ao 1.8. Sejam g uma ´algebra de Lie e h uma sub´algebra de g. O centralizador e

o normalizador de h em g , s˜ao deﬁnidos respectivamente como:

Z(h) = {X ∈ g : [X, Y ] = 0, para todo Y ∈ h}

N(h) = {X ∈ g : [X, Y ] ∈ h para todo Y ∈ h}.

Deﬁni¸c˜ao 1.9. Sejam G e H grupos de Lie. Uma aplica¸c˜ao Ψ : G → H ´e um homomor-

ﬁsmo de grupos de Lie se Ψ ´e C

∞

e ´e um homomorﬁsmo de grupos abstratos. Se al´em

disso Ψ for um difeomorﬁsmo, ent˜ao dizemos que Ψ ´e um isomorﬁsmo de grupos de Lie

. Neste caso, se tivermos ainda G = H dizemos que Ψ ´e um automorﬁsmo .

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 7

Deﬁni¸c˜ao 1.10. Sejam g e h ´algebras de Lie. Uma transforma¸c˜ao linear Ψ : g → h ´e dita

um homomorﬁsmo de ´algebras de Lie se Ψ([X, Y ]) = [Ψ( X), Ψ(Y )] para todo X, Y ∈ g.

Se al´em disso Ψ for invert´ıvel, ent˜ao dizemos que Ψ ´e um isomorﬁsmo de ´algebras de Lie.

Neste caso, se tivermos ainda g = h ent˜ao dizemos que Ψ ´e um automorﬁsmo .

Antes de deﬁnir ´algebra de Lie, foi dito que, a todo grupo de Lie est´a associada uma

´algebra de Lie. Agora, veremos como ela ´e obtida.

Seja G um grupo de Lie. Dado g ∈ G, deﬁnimos a transla¸c˜ao a esquerda por g,

: G → G dada por l

(h) = gh. Na realidade esta aplica¸c˜ao ´e um difeomorﬁsmo de

G. Um campo vetorial X sobre G ´e dito invariante `a esquerda se dl

◦ X = X ◦ l

para

todo g ∈ G. O conjunto de todos os campos invariantes `a esquerda ser´a denotado por g.

Munindo este conjunto com o colchete dado por [X, Y ]

(f) = X

(Y f) − Y

(Xf), temos

que g se torna uma ´algebra de Lie (ver [6]) e esta ´e a ´algebra de Lie associada ao grupo

de Lie. Podemos ainda identiﬁcar a ´algebra g pelo isomorﬁsmo X → X(e) com valores

no espa¸co tangente a G na identidade, obtendo assim uma nova caracteriza¸c˜ao da ´algebra

de Lie de G. A ´algebra de Lie de um grupo de Lie G ´e isomorfa ao espa¸co tangente a G

na identidade. Para maiores detalhes ver [6].

Considere V um espa¸co vetorial. Denotaremos por Gl(V ) o conjunto de todas as

transforma¸c˜oes lineares invert´ıveis de V. Tamb´em usaremos gl(V ) para indicar o conjunto

das transforma¸c˜oes lineares de V . Assim, deﬁnimos:

Deﬁni¸c˜ao 1.11. Se H = Gl(V ), Gl(d, R) ou Gl(d, C) ent˜ao um homomorﬁsmo Ψ : G →

H ´e chamado uma representa¸c˜ao do grupo de Lie G .

A seguir ser´a deﬁnido o conceito de a¸c˜ao de um grupo de Lie G em uma variedade M.

Este ´e fundamental no estudo dos semigrupos, visto que a maneira natural de deﬁnir a

a¸c˜ao do semigrupo ´e como a restri¸c˜ao da a¸c˜ao do grupo de Lie. Esta a¸c˜ao ser´a ´util para

deﬁnirmos o conceito de conjunto control´avel e conjunto control´avel invariante.

Deﬁni¸c˜ao 1.12. Sejam G um grupo de Lie e M uma variedade diferenci´avel. Uma a¸c˜ao

de G sobre M ´e uma aplica¸c˜ao ϕ : G × M → M satisfazendo:

i) ϕ ´e C

∞

;

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 8

ii) ϕ(e, x) = x para todo x ∈ M;

iii) (gh, x) = ϕ(g, ϕ(h, x)), para quaisquer g, h ∈ G e x ∈ M.

Se ϕ : G × M → M ´e uma a¸c˜ao, denotaremos ϕ(g, x) simplesmente por gx, ∀g ∈

G, ∀x ∈ M.

Deﬁni¸c˜ao 1.13. Sejam G um grupo de Lie e ϕ : G × M → M uma a¸c˜ao. Dizemos que

a a¸c˜ao ´e transitiva se para quaisquer x, y ∈ M , existe g ∈ G tal que gx = y. Nesse caso

dizemos que G age transitivamente sobre M. Tamb´em dizemos que a a¸c˜ao ´e efetiva se

gx = x para todo x ∈ M implicar que g = e.

Consideremos G um grupo de Lie e ϕ : G × M → M uma a¸c˜ao. Fixando g ∈ G a a¸c˜ao

induz um difeomorﬁsmo ϕ

: M → M deﬁnida por ϕ

(x) = ϕ(g, x). Dado um grupo de

Lie G, para qualquer g ∈ G est´a deﬁnido o automorﬁsmo:

: G → G,

(x) = gxg

−1

chamado conjuga¸c˜ao por g.

Cada aplica¸c˜ao I

induz um isomorﬁsmo da ´algebra de Lie de G. Desta forma obte-

mos uma representa¸c˜ao de G em Gl(d, R) pela aplica¸c˜ao que a cada g ∈ G associa a

transforma¸c˜ao linear dI

. Esta representa¸c˜ao ´e chamada representa¸c˜ao adjunta de G e

denotada por

Ad : G → Gl(g)

g → dI

(1).

De maneira similar aos grupos de Lie, a cada x ∈ g est´a associada uma transforma¸c˜ao

linear

ad(x) : g → g

deﬁnida por ad(X)Y = [X, Y ]. A representa¸c˜ao adjunta da ´algebra de Lie g ´e a aplica¸c˜ao

ad : g → gl(g)

X → ad(X).

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 9

1.2 Resultados b´asicos sobre ´algebras de Lie

Nosso interesse nesta se¸c˜ao ´e introduzir os conceitos de ´algebras sol´uveis, nilpotentes,

simples e semi-simples, sem fazer um estudo minucioso. Para detalhes e exemplos nos

referimos a [9]. Iniciamos deﬁnindo ideais.

Deﬁni¸c˜ao 1.14. Um subespa¸co h de uma ´algebra de Lie g ´e um ideal de g se [X, Y ] ∈ h

para todo X ∈ g e Y ∈ h.

Deﬁnimos indutivamente os seguintes subespa¸cos de g:

(0)

= g



= [g, g]

(k)

= [g

(k−1)

, g

(k−1)

Temos que g

(k)

´e um ideal para todo k ≥ 0. Assim g

(k+1)

⊂ g

(k)

para todo k.

A sequˆencia de ideais deﬁnida acima recebe o nome de s´erie derivada de g e cada ideal

´e chamado uma ´algebra derivada de g.

Deﬁni¸c˜ao 1.15. Dizemos que uma ´algebra de Lie g ´e sol´uvel se a sua s´erie derivada se

anula para algum k ≥ 0.

Um t´ıpico exemplo de ´algebra sol´uvel ´e o conjunto das matrizes triangulares superiores

n × n.

Deﬁni¸c˜ao 1.16. Uma ´algebra de Lie g ´e dita ab eliana se [X, Y ] = 0 para todo X, Y ∈ g.

O conjunto das matrizes diagonais n × n ´e uma ´algebra abeliana, j´a que o produto de

duas matrizes diagonais sempre comuta. Observemos tamb´em que, as ´algebras abelianas

s˜ao sol´uveis j´a que, g ´e abeliana se, e somente se, g



= 0.

Aﬁm de introduzir o conceito de ´algebra nilpotente, deﬁnimos a seguinte sequˆencia de

ideais de uma ´algebra de Lie g:

= g

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 10

= [g, g] = g



= [g, g

k−1

A sequˆencia de ideiais deﬁnida acima, ´e chamada de s´eria central descendente . Uma

´algebra de Lie g ´e dita nilpotente se a sua s´erie central descendente se anula para algum

k > 0.

O conjunto das matrizes triangulares superiores com diagonal nula ´e um exemplo de

uma ´algebra nilpotente.

Observa¸c˜ao 1.17. Toda ´algebra de Lie nilpotente ´e sol´uvel. No entanto, nem toda

´algebra de Lie sol´uvel ´e nilpotente. Um conhecido contra exemplo ´e o conjunto das

matrizes triangulares superiores, que ´e sol´uvel mas n˜ao ´e nilpotente.

Dada uma ´algebra de Lie g de dimens˜ao ﬁnita, existe um ´unico ideal sol´uvel que

cont´em todos os ideais sol´uveis de g ([1], proposi¸c˜ao 1.28). Deﬁnimos este ideal como

sendo o radical sol´uvel de g e o denotamos por r(g), ou simplesmente por r.

Deﬁni¸c˜ao 1.18. Uma ´algebra de Lie g ´e dita simples se:

i) dim( g) > 1;

ii) g n˜ao possui ideais n˜ao triviais.

Uma ´algebra de Lie g ´e dita semi-simples se seu radical sol´uvel ´e nulo, ou seja, se g

n˜ao cont´em ideais sol´uveis al´em de 0.

O item (i) da deﬁni¸c˜ao acima garante a compatibilidade dos conceitos de ´algebras sim-

ples e semi-simples (pois se n˜ao houvesse essa exigˆencia, ´algebras de Lie unidimensionais

seriam simples mas n˜ao s˜ao semi-simples.). Desta forma, com as deﬁni¸c˜oes acima toda

´algebra simples ´e tamb´em semi-simples.

A ´algebra de Lie sl(n, R) ´e simples e portanto semi-simples.

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 11

1.3 Aplica¸c˜ao exponencial

Mencionamos anteriormente que o primeiro passo para se estudar os grupos de Lie era

construir sua ´algebra de Lie associada. Nesta se¸c˜ao deﬁniremos a aplica¸c˜ao exponencial,

o ente matem´atico respons´avel pelo processo de transferˆencia das propriedades da ´algebra

de Lie para o grupo de Lie. Antes por´em, ´e necess´ario deﬁnirmos o conceito de subgrupo

a um parˆametro que ´e dado a seguir.

Deﬁni¸c˜ao 1.19. Dado um grupo de Lie G chamaremos qualquer homomorﬁsmo ϕ :

(R, +) → G de subgrupo a um parˆametro de G .

Foi provado no teorema 3.27 de [6] que dados dois grupos de Lie G e H, com G sim-

plesmente conexo, se ψ : g → h ´e um homomorﬁsmo ent˜ao existe um ´unico homomorﬁsmo

ϕ : G → H tal que dϕ(1) = ψ.

Como a ´algebra de Lie de um grupo de Lie ´e o espa¸co tangente na identidade ent˜ao a

´algebra de Lie de R ´e dada pelos campos de vetores constantes {λ

: λ ∈ R}. Para cada

X ∈ g deﬁnimos o homomorﬁsmo entre a ´algebra de Lie de R e g por

−→ X

Sendo a reta real simplesmente conexa, temos que existe um ´unico subgrupo a um

parˆametro exp

: R −→ G tal que

d(exp

(λ

)) = λX.

Dito em outras palavras, a aplica¸c˜ao deﬁnida por t −→ exp

(t) ´e o ´unico subgrupo

a um parˆametro de G cujo vetor tangente em 0 ´e X(e). Ent˜ao deﬁnimos a aplica¸c˜ao

exponencial por

exp : g −→ G

considerando exp(X) = exp

(1).

Desta forma, temos aqui o respons´avel por transportar algumas propriedades da

´algebra de Lie para o grupo de Lie. O pr´oximo exemplo justiﬁca a terminologia de

exponencial.

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 12

Exemplo 1.20. Seja G = Gl(n, R). Ent˜ao g = gl(n, R) e a aplica¸c˜ao exponencial ´e dada

pela exponencial de matrizes, isto ´e, se X ∈ gl(n, R) ent˜ao

exp(X) = 1 + X +

+ . . .

A rela¸c˜ao existente entre a exponencial e as representa¸c˜oes adjuntas de um grupo e

sua ´algebra de Lie ´e dada por

exp(ad(X)) = Ad(exp(X)).

Assim temos que o seguinte diagrama comuta

Aut(g)

exp

End(g)

exp

exp(Ad

X) = I

(exp X).

1.4 Variedades homogˆeneas

Nesta se¸c˜ao apresentamos o conceito de variedade homogˆenea, que constituem uma im-

portante classe de variedades. Assim como antes, G denotar´a um grupo de Lie e H um

subgrupo fechado de G. Ao conjunto quociente G/H pode ser dada uma ´unica estrutura

de variedade, exigindo que a proje¸c˜ao canˆonica π : G → G/H, deﬁnida por π(g) = gH seja

uma aplica¸c˜ao C

∞

. Nesta estrutura, um subconjunto U de G/H ´e aberto se, e somente

se, π

−1

(U) ´e um aberto em G.

Deﬁni¸c˜ao 1.21. As variedades da forma G/H, com estrutura diferenci´avel conforme

acima, s˜ao ditas variedades homogˆeneas .

Dada uma a¸c˜ao ϕ : G × M → M do grupo de Lie G sobre uma variedade M, ﬁxemos

∈ M e deﬁnimos H = {g ∈ G : gm

= m

}. Sendo H um subgrupo fechado de G,

H ´e chamado subgrupo de isotropia em m

. No caso da a¸c˜ao ser transitiva, a aplica¸c˜ao

τ : G/H → M deﬁnida por τ(gH) = gm

´e um difeomorﬁsmo. Um importante fato

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 13

obtido deste resultado ´e que toda variedade M, que possui um grupo de difeomorﬁsmos

que age transitivamente na mesma, ´e difeomorfa a uma variedade homogˆenea.

Exemplo 1.22. (Variedades “Flags”) Dada uma sequˆencia de inteiros s = (k

, k

, . . . , k

com 1 ≤ k

< k

< . . . < k

≤ n, a variedade “ﬂag” real F

(s) ´e o conjunto de todos os

“ﬂags” V

⊂ V

⊂ . . . ⊂ V

de subespa¸cos de R

, com dim V

= k

, j = 1, 2, . . . , r. Temos

uma a¸c˜ao natural

ϕ : Sl(n, R) × F

(s) → F

(s)

do grupo Sl(n, R) na variedade “ﬂag” F

(s) deﬁnida como segue: Se g ∈ Sl(n, R) e

⊂ V

⊂ . . . ⊂ V

) ∈ F

(s) , ent˜ao

ϕ(g, (V

⊂ V

⊂ . . . ⊂ V

)) = (gV

⊂ gV

⊂ . . . ⊂ gV

Note que a aplica¸c˜ao V

→ gV

leva cada subespa¸co de dimens˜ao k

de R

em um sube-

spa¸co de mesma dimens˜ao. Al´em disso, se V

⊂ V

ent˜ao gV

⊂ gV

e esta a¸c˜ao ´e tran-

sitiva. Para ver isto consideremos a base canˆonica do R

e associamos o “ﬂag” canˆonico

= (< e

, . . . , e

>= V

, ⊂ . . . ⊂< e

, . . . , e

>= V

). Consideremos tamb´em um

“ ﬂag” arbitr´ario f

= (W

⊂ . . . ⊂ W

). Escolhemos uma base {u

, . . . , u

} com

a mesma orienta¸c˜ao da base canˆonica, adaptada a f

,no sentido que {u

, . . . , u

} ⊂

, . . . , {u

r−1

, . . . , u

r−1

= kr} ⊂ W

. Deﬁnimos a aplica¸c˜ao linear g



: R

→ R

dada por, g



) = f

. Claramente g



) = f

. Como g



´e injetora ent˜ao tamb´em ´e so-

brejetora, e portanto ´e um isomorﬁsmo. Assim det g



= 0. Se det g



= 1, ent˜ao det g



> 0

logo tomando g =

(det g



)



temos que det g = 1 e gf

= f

. Agora, vamos calcular o

subgrupo de isotropia no elemento f

. Seja g ∈ Sl(n, R) e consideremos o produto de g

pelos elementos e

, . . . , e

∈ V

. Temos que







. . . a































= a

+ . . . + a

∈ V

CAP

ITULO 1. CONCEITOS PRELIMINARES 14







. . . a































= a

+ . . . + a

∈ V

Aplicando o mesmo racioc´ınio para V

, . . . , V

conclu´ımos que, para ﬁxar todos os espa¸cos

, V

, . . . , V

a matriz g tem que ter a forma







∗

0 A







onde A

´e uma matriz quadrada (k

− k

i−1

) × (k

− k

i−1

). Denotando por P

o subgrupo

fechado de Sl(n, R) das matrizes desta forma temos uma aplica¸c˜ao, injetora e sobrejetora

σ da variedade homogˆenea Sl(n, R)/P

no conjunto F

(s) deﬁnida por σ(gP

) = ϕ(g, f

Finalmente, dotamos F

(s) de uma estrutura de variedade diferenci´avel exigindo que esta

aplica¸c˜ao seja localmente um difeomorﬁsmo.

Quando a sequˆencia s ´e dada por (1, 2, ..., n) dizemos que F

(s) ´e uma “Flag” maximal

. Casos particulares de variedades “ Flags” s˜ao as Grassmannianas Gr

(n) = F

(k) que

s˜ao constitu´ıdas por subespa¸cos k-dimensionais de R

e o espa¸co projetivo real RP

n−1

(n), que ´e o espa¸co das dire¸c˜oes em R

Cap´ıtulo 2

Variedades Grassmannianas

Neste cap´ıtulo nossa aten¸c˜ao est´a voltada para o estudo das variedades Grassmannianas,

um dos elementos que possibilitar´a a obten¸c˜ao dos resultados principais do nosso tra-

balho. Iniciamos o cap´ıtulo com uma breve apresenta¸c˜ao da Variedade de Grassmann

dos subespa¸cos de dimens˜ao k, al´em de apresentar uma descri¸c˜ao alg´ebrica para esta var-

iedade. Na se¸c˜ao 2 veremos que a Grassmanniana ´e uma variedade homogˆenea compacta,

o que ´e essencial para existˆencia de conjunto de controle a ser introduzido no cap´ıtulo

4. A decomposi¸c˜ao de Bruhat ´e fundamental para a an´alise da a¸c˜ao de matrizes diago-

nais na Grassmanniana, assim a se¸c˜ao 3 ser´a dedicada a este estudo. Na quarta se¸c˜ao

estudaremos a a¸c˜ao de um elemento “split regular”nesta variedade e por esta raz˜ao nosso

interesse est´a voltado para a Grassmanniana orientada Gr

(d), que pode ser mergulhada

no produto exterior Λ

. Tamb´em, por este motivo, s˜ao apresentados alguns resultados

b´asicos sobre o produto exterior.

2.1 Descri¸c˜ao Alg´ebrica da Grassmanniana Gr

(d)

Apresentamos nesta se¸c˜ao uma representa¸c˜ao alg´ebrica das Grassmannianas. Esta rep-

resenta¸c˜ao ´e obtida pela correspondˆencia que existe entre as classes de equivalˆencia em

(d), o conjuntos das matrizes d × k de posto k, e Gr

(d), a Grassmanniana de sube-

spa¸cos de dimens˜ao k em R

Iniciamos com a deﬁni¸c˜ao da Variedade de Grassmann de subespa¸cos de dimens˜ao k em

Deﬁni¸c˜ao 2.1. Para (1 ≤ k < d), deﬁnimos “variedade de Grassmann dos subespa¸cos

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 16

de dimens˜ao k” por:

(d) = {S : S ´e subespa¸co de dimens˜ao k em R

E claro que podemos considerar um espa¸co vetorial arbitr´ario ao inv´es de R

. No

entanto, para os prop´ositos deste trabalho, ser´a suﬁciente considerar o espa¸co euclidiano

. Com o intuito de obter uma descri¸c˜ao alg´ebrica para a Grassmannianas ﬁxemos uma

base β = {u

, . . . , u

} de R

. Sejam v

= α

+ . . . + α

, . . ., v

= α

+ . . . + α

k vetores L.I.. Assim, ao conjunto desses k vetores ﬁca associada uma matriz d × k da

forma







. . . α







cujo posto ´e igual a k. Reciprocamente, a toda matriz d × k de posto k ﬁca associado

um conjunto de k-vetores LI de R

E claro que esta associa¸c˜ao n˜ao ´e biun´ıvoca. Para

resolver este problema denotamos por B

(d) o conjunto de todas as natrizes d × k de

posto igual a k.

No conjunto B

(d) deﬁnimos a seguinte rela¸c˜ao:

η ≡ ξ ⇔ ∃ a ∈ Gl(k, R) tal que η = ξa. (2.1)

Isto deﬁne uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em B

(d).

Notemos ainda que, duas matrizes ξ, η ∈ B

(d) deﬁnem o mesmo subespa¸co k-dimensional

se, e somente se, as colunas de ξ s˜ao combina¸c˜oes lineares das colunas de η. Assim,

matrizes ξ e η que est˜ao na mesma classe de equivalˆencia em B

(d), deﬁnem o mesmo

subespa¸co k-dimensional. Ent˜ao existe uma correspondˆencia um-a-um entre o conjunto

das classes de equivalˆencia em B

(d) e a Grassmanniana Gr

(d), que a cada classe ξ em

(d), associa o subespa¸co k-dimensional gerado pelos vetores coluna de ξ.

Desta forma Gr

(d) se identiﬁca naturalmente com o conjunto quociente B

(d)/ ≡, e

desta correspondˆencia temos uma descri¸c˜ao alg´ebrica das Grassmannianas.

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 17

2.2 A Grassmanniana como Variedade Homogˆenea e

compacta

Na se¸c˜ao anterior identiﬁcamos a Grassmanniana Gr

(d) como classes de equivalˆencia de

matrizes d × k de posto k. Nesta se¸c˜ao abordaremos a estrutura diferenci´avel. Para isto

consideremos a a¸c˜ao natural de Sl(d, R) em Gr

(d) deﬁnida por

ϕ : Sl(d, R) × Gr

(d) −→ Gr

(d)

(g, ξ) −→ gξ = gξ.

Veja que esta a¸c˜ao est´a bem deﬁnida pois, em B

(d) temos ξ ≡ η ⇔ ξ = ηa para

algum a ∈ Gl(k, R) e se ξ ≡ η ent˜ao ξ = η. Desta maneira

gξ = gξ = gηa = gη = gη.

Em termos da descri¸c˜ao dos subespa¸cos k-dimensionais como classes de equivalˆencia

em B

(d), a a¸c˜ao ϕ ´e a multiplica¸c˜ao de uma matriz g (d × d) por uma matriz ξ de ordem

(d × k).

Como vimos no exemplo 1.22, o grupo de isotropia, que denotaremos por H

, ´e o grupo

das matrizes d × d, que em alguma base s˜ao escritas como blocos diagonais de ordem k e

(d − k), ou seja, Gr

(d) pode ser identiﬁcada com a variedade homogˆenea Sl(d, R)/H

, o

que denotaremos por

(d) =

Sl(d, R)

. (2.2)

Consideremos agora a a¸c˜ao do grupo ortogonal O(d, R) na grassmanniana Gr

(d)

deﬁnida por

φ : O(d, R) × Gr

(d) −→ Gr

(d)

(g, ξ) −→ gξ = gξ.

Esta a¸c˜ao ´e transitiva. De fato, tomando ξ, η ∈ Gr

(d), queremos mostrar que existe

g ∈ O(d, R) tal que ξ = gη. O subespa¸co ξ pode ser representado por uma matriz d×k, de

posto k, cujas colunas formam uma base para este subespa¸co. Completando essa matriz

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 18

at´e uma matriz d × d e ortonormalizando-a pelo processo de Gram-Schmidt, temos que

a matriz obtida ξ pertence ao grupo ortogonal O(d, R). Realizando este mesmo processo

com a matriz d × k que representa η, a matriz obtida η tamb´em pertence a O(d, R).

Como O(d, R) ´e um grupo, existe uma matriz γ ∈ O(d, R) (a saber, γ = ξη

−1

) tal que

ξ = γη. Um fato importante, que garante que as matrizes ξ, η ∈ O(d, R) representam

os subespa¸cos ξ, η ∈ Gr

(d), respectivamente, ´e que pelo processo de ortonormaliza¸c˜ao

de Gram-Schmidt, a partir da base {u

, . . . , u

} obtemos uma base ortonormal

, . . . , v

}, e as bases {u

, . . . , u

} e {v

, . . . , v

} geram o mesmo subespa¸co.

Sendo ξ

∈ Gr

(d) o subespa¸co gerado pelos k primeiros vetores da base canˆonica de

, vamos calcular o subgrupo de isotropia de ξ

, para esta a¸c˜ao, o qual denotaremos por

Para isto, procuramos as matrizes ortogonais d × d





k×k

k×(d−k)

(d−k)×k

(d−k)×(d−k)





tais que se





k×1

(d−k)×1





∈ ξ

ent˜ao





k×k

k×(d−k)

(d−k)×k

(d−k)×(d−k)









k×1

(d−k)×1













ou seja,

















para todo X

k×1

, donde j´a podemos concluir que C = 0. Al´em disso, como h

´e ortogonal

vale que





k×k

k×(d−k)

(d−k)×k

(d−k)×(d−k)









k×k

k×(d−k)

(d−k)×k

(d−k)×(d−k)





= Id

d×d

Disso temos que, B = 0, A ∈ O(k, R) e D ∈ O(d − k, R). Portanto o subgrupo de

isotropia de ξ

´e

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 19











k×k

k×(d−k)

(d−k)×k

(d−k)×(d−k)





A ∈ O(d, R) e D ∈ O(d − k, R)







Logo, Gr

(d) ´e difeormorfa a O(d, R)/H

. Ainda, como a dimens˜ao de H

´e (1/2)(n

−

2nk − n − 2k

), ent˜ao dim Gr

(d) = k(d − k).

A pr´oxima observa¸c˜ao ser´a relevante quando formos fazer a an´alise da dinˆamica da

a¸c˜ao de Sl(d, R) em Gr

(d), no sentido que gb = gmb, g ∈ Sl(d, R), onde m ∈ H

Observa¸c˜ao 2.2. Sejam a, b ∈ Sl(d, R). Se aH

= bH

ent˜ao a = b = mb.

De fato, temos que

= bH

⇔ ab

−1

∈ H

⇔ a = mb (2.3)

Assim, pela hip´otese e por (2.2) temos que b = a = mb

Vejamos agora a decomposi¸c˜ao de Bruhat das Grassmannianas, que ser´a relevante

para a an´alise da a¸c˜ao de matrizes diagonaliz´aveis nas Grassmannianas.

2.3 A decomposi¸c˜ao de Bruhat das Grassmannianas

em N

-´orbitas

Tomando uma base β = {e

, . . . , e

} de R

, denotamos por N

o grupo nilp otente das

aplica¸c˜oes lineares cujas matrizes, com respeito a base β, s˜ao triangulares inferiores com



s na diagonal principal. A decomposi¸c˜ao de Bruhat ´e a decomposi¸c˜ao de Gr

(d) em

-´orbitas, onde o n´umero de ´orbitas ´e ﬁnito. As ´orbitas s˜ao dadas por N

ξ, sendo ξ o

subespa¸co k-dimensional gerado por um conjunto de k elementos da base β. Dentre estas

-´orbitas existe exatamente uma que ´e aberta e densa, e que denotamos por N

, onde

´e o subespa¸co gerado pelos primeiros k elementos da base β.

Em termos da representa¸c˜ao de subespa¸cos como matrizes d × k, a ´orbita aberta

corresponde a uma matriz da forma





, onde 1 indica a matriz identidade k × k e x

uma matriz arbitr´aria (d − k) × k.

N˜ao faremos as demonstra¸c˜oes dos fatos acima citados. Para detalhes consultar [11]

e [14]. No entanto faremos, como ilustra¸c˜ao, um estudo detalhado da decomposi¸c˜ao de

Bruhat da Grassmanniana Gr

(3).

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 20

Exemplo 2.3. Consideremos a a¸c˜ao de Sl(3, R) sobre Gr

(3) dada por

ϕ : Sl(3, R) × Gr

(3) −→ Gr

(3)

(g, ξ) −→ gξ = gξ.

Seja β = {e

, e

} a base canˆonica de R

e tomemos o elemento ξ

∈ Gr

(3) repre-

sentado por





1 0

0 1

0 0





subespa¸co gerado por {e

, e

}. O subgrupo de isotropia H

neste elemento ´e o subconjunto

das matrizes de Sl(3, R) da forma





0 x

0 0 x





Desta forma Gr

(3) ´e difeomorfa a Sl(3, R)/H

, sendo o difeomorﬁsmo dado por

γ : Sl(3, R)/H

−→ Gr

(3)

−→ gξ

Via este difeomorﬁsmo o elemento H

∈ Sl(3, R)/H

´e identiﬁcado com o plano





1 0

0 1

0 0





Temos que N











1 0 0

a 1 0

b c 1





; a, b, c ∈ R







e as c´elulas N

s˜ao:

• N











1 0 0

a 1 0

b c 1









1 0

0 1

0 0





; a, b, c ∈ R

















1 0

a 1

b c





; a, b, c ∈ R







• N











1 0 0

a 1 0

b c 1









1 0

0 0

0 1





; a, b, c ∈ R

















1 0

a 0

b 1





; a, b, c ∈ R







• N











1 0 0

a 1 0

b c 1









0 0

1 0

0 1





; a, b, c ∈ R

















0 0

1 0

b 1





; a, b, c ∈ R







CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 21

As outras c´elulas coincidem com uma destas trˆes como subconjuntos de Gr

(3). Note

ainda que N





, onde 1 ´e a matriz identidade 2 × 2 e x ´e uma matriz arbitr´aria

1 × 2, logo esta ´e a c´elula aberta e densa de Gr

(3).

Para termos uma vis˜ao geom´etrica das c´elulas da decomposi¸c˜ao de Bruhat de Gr

(3),

vamos identiﬁc´a-las na esfera unit´aria contida no semiespa¸co y ≥ 0, identiﬁcando cada

plano com seu vetor normal.

• N

´e identiﬁcada com a calota menos o seu bordo;

• N

´e identiﬁcada com o bordo menos os pontos (1, 0, 0) e (−1, 0, 0);

• N

´e identiﬁcada com os pontos (1, 0, 0) e (−1, 0, 0).

Deste modo temos que Gr

(3) = N

∪ N

. A ﬁgura abaixo destaca cada

uma das trˆes c´elulas da decomposi¸c˜ao de Bruhat de Gr

(3).

Figura 2.1: C´elulas da decomposi¸c˜ao de Bruhat de Gr

(3)

Agora vamos deﬁnir o conceito de elemento “split regular”, assim poderemos deﬁnir

o conceito de um atrator em uma N

-´orbita e variedades est´aveis.

Deﬁni¸c˜ao 2.4. Um elemento h ∈ Sl(d, R) ´e chamado “split regular” se seus auto-

valores s˜ao positivos e distintos, ou seja, em alguma base β, h ´e escrito como h =

diag{λ

, . . . , λ

}, onde λ

> . . . > λ

> 0.

Seja h um elemento “split regular”. Se h

(nξ

) = h

−m

→ ξ

quando m → ∞

para todo n ∈ N

, diremos que ξ

´e um atrator de N

para h, ou ainda que, N

´e a

variedade est´avel de ξ

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 22

Vejamos agora que as variedades est´aveis s˜ao justamente as N

-´orbitas. Para isso

tome n ∈ N

da forma n =







∗ 1

∗ ∗ . . . 1







e h = diag{λ

, λ

, . . . , λ

}. Temos que



















∗ 1

∗ ∗ . . . 1













−m













∗ λ













−m













(λ

/λ

)

∗ 1

(λ

/λ

)

∗ (λ

/λ

)

∗ λ







Como λ

> . . . > λ

> 0, ent˜ao λ

/λ

< 1 para i > j, e assim (λ

/λ

)

→ 0 quando

m → ∞. Logo temos que h

−m

−→ 1 quando m −→ ∞.

Sendo assim, para um subespa¸co ξ gerado por k vetores da base de R

, temos que

nξ = h

n(h

−m

ξ) = (h

−m

)ξ −→ ξ quando m −→ ∞

ou seja, h

deixa ξ ﬁxo.

No caso do subespa¸co gerado pelos primeiros k vetores da base,







1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

0 0 . . . 1

0 0 . . . 0







temos que, se η ∈ N

a c´elula aberta e densa, ent˜ao η = nξ

com n ∈ N

. Assim,

η = h

nξ

= h

−m

−→ ξ

para qualquer η na c´elula aberta e densa.

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 23

Vejamos no caso particular de Gr

(3), qual ´e a variedade est´avel para





1 0

0 1

0 0





Exemplo 2.5. Sendo G = Gr

(3) e h = diag{λ

, λ

} com λ

> λ

> 0, tomemos

V ∈ N

dada no exemplo 2.3 por





1 0

a 1

b c





Ent˜ao V = (1, a, b), (0, 1, c) para a, b, c ∈ R. Se m ∈ Z

, temos que









V =





1/(λ

).1 1/(λ

).0

1/(λ

).a 1/(λ

).1

1/(λ

).b 1/(λ

).c









1/(λ

) 0

a/(λ

) 1/(λ

)

b/(λ

) c/(λ

)





Assim,

V =













1/(λ

) 0

a/(λ

) 1/(λ

)

b/(λ

) c/(λ

)









(λ

/λ

)

a(λ

/λ

)

(λ

/λ

)

b(λ

/λ

)

c(λ

/λ

)





Deste modo, fazendo m −→ ∞, temos que

V −→





1 0

0 1

0 0





= ξ

Logo ξ

´e o atrator de N

para h. Portanto N

´e a variedade est´avel para ξ

2.4 A Grassmanniana orientada Gr

(d) e o mergulho

no Produto Exterior

Nesta se¸c˜ao estamos interessados em analisar o mergulho da Grassmanniana orientada

(d) no produto exterior Λ

. Entre outras vantagens, isto nos permite uma vis˜ao

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 24

geom´etrica da variedade Grassmanniana. Isto ´e feito identiﬁcando os elementos da Grass-

manniana orientada Gr

(d) com os elementos da esfera unit´aria no produto exterior Λ

Para isto primeiramente introduzimos o conceito do produto exterior. Em toda esta se¸c˜ao

E e F denotam espa¸cos vetoriais de dimens˜ao ﬁnita.

Deﬁni¸c˜ao 2.6. Dado um espa¸co vetorial E, uma aplica¸c˜ao ϕ : E × . . . × E −→ F ,

deﬁnida no produto cartesiano de k fatores iguais a E, diz-se k-linear quando ´e linear em

cada uma de suas entradas. Quando F = R, ϕ recebe o nome de forma k-linear.

Deﬁni¸c˜ao 2.7. Uma aplica¸c˜ao k-linear ϕ : E × . . . × E −→ F ´e alternada quando se

tem ϕ(v

, . . . , v

) = 0 sempre que existirem i = j tais que v

= v

, ou equivalentemente,

ϕ(v

, . . . , v

) = −ϕ(v

, . . . , v

) para quaisquer v

, . . . , v

∈ E.

Usaremos a nota¸c˜ao Λ

E para indicar o conjunto das formas k-lineares alternadas

em E. Este conjunto munido da adi¸c˜ao e produto por escalar usuais ´e um espa¸co ve-

torial. Seus elementos s˜ao denominados formas k-lineares alternadas, ou simplesmente,

k-formas. Nossa inten¸c˜ao nesta se¸c˜ao ´e determinar uma base para este espa¸co. Apresen-

tamos tamb´em alguns resultados que nos permitir˜ao ter maior familiaridade para lidar

com esses objetos.

Proposi¸c˜ao 2.8. Sejam ϕ, ψ : E × . . . × E −→ F aplica¸c˜oes k-lineares e G um conjunto

de geradores do espa¸co vetorial E. Se ϕ(v

, . . . , v

) = ψ(v

, . . . , v

) qualquer que seja a

k-lista (v

, . . . , v

) de elementos de G, ent˜ao ϕ = ψ.

Demonstra¸c˜ao: Faremos a indu¸c˜ao sobre k. Se k = 1 ent˜ao ϕ, ψ : E −→ F s˜ao

aplica¸c˜oes lineares. Para todo x ∈ E, tem-se que x = Σα

, v

∈ G. Portanto ϕ(x) =

ϕ(Σα

) = Σα

ϕ(v

) = Σα

ψ(v

) = ψ(Σα

) = ψ(x). Supondo que o teorema seja

v´alido para k − 1, introduzimos, para cada v ∈ G, as aplica¸c˜oes (k − 1)-lineares ϕ

, ψ

deﬁnidos por ϕ

, . . . , x

k−1

) = ϕ(x

, . . . , x

k−1

, v) e ψ

, . . . , x

k−1

) = ψ(x

, . . . , x

k−1

, v).

Pela hip´otese do teorema, ϕ

e ψ

assumem o mesmo valor em todas as listas de k − 1

elementos de G. Por indu¸c˜ao, concluimos que ϕ

= ψ

, isto ´e, que ϕ(x

, . . . , x

k−1

, v) =

ψ(x

, . . . , x

k−1

, v), quaisquer que sejam os elementos x

, . . . , x

k−1

∈ E e v ∈ G. Como todo

elemento x

∈ E ´e combina¸c˜ao linear de elementos de G, vemos que para x

, . . . , x

k−1

∈ E

quaisquer vale

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 25

ϕ(x

, . . . , x

) = ϕ(x

, . . . , x

k−1

, Σα

) = Σα

· ϕ(x

, . . . , x

k−1

, v

) =

Σα

· ψ(x

, . . . , x

k−1

, v

) = ψ(x

, . . . , x

)

isto ´e, ϕ = ψ.

No pr´oximo exemplo vemos que o determinante de uma matriz de ordem n pode ser

considerado como uma forma n-linear alternada.

Exemplo 2.9. O determinante de uma matriz n×n pode ser considerado como uma forma

n-linear alternada. Isto pode ser feito deﬁnindo para a n-upla de vetores v

, . . . , v

∈ R

o det(v

, . . . , v

) = determinante da matriz n × n cujas colunas s˜ao os vetores v

. Sendo

o determinante de uma matriz igual ao de sua transposta, obteremos o mesmo resultado

se tomarmos v

. . . v

como linhas de uma matriz n × n.

Deﬁni¸c˜ao 2.10. A partir de k funcionais lineares f

, . . . , f

∈ E

∗

, obtemos a forma k-

linear alternada f

∧ . . . ∧ f

: E × . . . × E −→ R, chamada o produto exterior desses

funcionais, deﬁnida por

∧ . . . ∧ f

)(v

, . . . , v

) = det(f

)),

onde `a direita temos o determinante da matriz k×k cuja i-´esima linha ´e (f

), . . . , f

))

e cuja j-´esima coluna ´e (f

), . . . , f

)). O fato de que f

∧ . . . ∧ f

∈ Λ

E segue da

linearidade de cada f

e do exemplo anterior.

Exemplo 2.11. Dado o espa¸co vetorial E, seja Λ : E

∗

× . . . × E

∗

−→ Λ

E a aplica¸c˜ao

deﬁnida por Λ(f

, . . . , f

) = f

∧. . .∧f

. Como o determinante de uma matriz k×k ´e uma

forma k-linear alternada nos seus vetores-linhas, vemos que Λ ´e uma aplica¸c˜ao k-linear

alternada de E

∗

em Λ

E. As formas k-lineares alternadas que pertencem `a imagem de

Λ, ou seja, as do tipo f

∧ . . . ∧ f

onde f

, . . . , f

∈ E

∗

, chamam-se decompon´ıveis.

Proposi¸c˜ao 2.12. Sejam φ, ψ : E × . . . × E −→ F aplica¸c˜oes k-lineares alternadas e

, . . . , e

} uma base de E. Se, para toda sequˆencia crescente i

< . . . < i

de k inteiros

compreendidos entre 1 e n, tivermos ϕ(e

, . . . , e

) = ψ(e

, . . . , e

), ent˜ao ϕ = ψ.

Demonstra¸c˜ao: Seja (j

, . . . , j

) uma k-lista qualquer de inteiros entre 1 e n. Se houver

elementos repetidos nessa lista, ent˜ao

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 26

ϕ(e

, . . . , e

) = ψ(e

, . . . , e

) = 0

pois ϕ e ψ s˜ao alternadas. Se, por´em, os termos da lista s˜ao todos distintos, ent˜ao, por meio

de sucessivas transposi¸c˜oes, (trocas de posi¸c˜oes entre 2 elementos apenas) podemos pˆor os

n´umeros j

, . . . , j

na ordem crescente i

< . . . , < i

. Se s˜ao necess´arias r transposi¸c˜oes,

a antisimetria deϕ e ψ, juntamente com a hip´otese do teorema, nos d˜ao:

ϕ(e

, . . . , e

) = (−1)

ϕ(e

, . . . , e

) = (−1)

ψ(e

, . . . , e

) = ψ(e

, . . . , e

Assim, as aplica¸c˜oes k-lineares ϕ e ψ cumprem a hip´otese da Proposi¸c˜ao 2.8, logo s˜ao

iguais.

Teorema 2.13. Seja {e

∗

, . . . , e

∗

} uma base de E

∗

. As k-formas e

= e

∗

∧ . . . ∧ e

∗

, onde

I = {i

< . . . < i

} percorre os subconjuntos de {1, . . . , n} com k elementos, constituem

uma base de Λ

E. Em particular, dim Λ

E =





Demonstra¸c˜ao: Dada ω ∈ Λ

E qualquer deﬁnimos, para cada I = {i

< . . . < i

= ω(e

, . . . , e

), onde {e

, . . . , e

} ⊂ E ´e a base dual de {e

∗

, . . . , e

∗

}. A k-forma ϕ =



´e tal que, para toda sequˆencia crescente j

< . . . < j

de inteiros compreendidos

entre 1 e n, tem-se ϕ(e

, . . . , e

) =



, . . . , e

) = α

= ω(e

, . . . , e

). Segue-se

do Teorema 2.12 que ϕ = ψ, ou seja, ω =



. Isto prova que as k-formas e

geram

E. Al´em disso, estas formas s˜ao linearmente independentes pois de uma combina¸c˜ao

linear ϕ =



= 0 tiramos, para todo J = {j

< . . . < j

}, 0 = ϕ(e

, . . . , e

) = α

Exemplo 2.14. Sendo {e

∗

, e

∗

, e

∗

} uma base de R

∗

, consideremos as 2-formas

∗

∧ e

∗

, e

∗

∧ e

∗

e e

∗

∧ e

∗

. Vamos mostrar que β

∗

= {e

∗

∧ e

∗

, e

∗

∧ e

∗

, e

∗

∧ e

∗

} ´e uma base de

De fato, tome ω ∈ Λ

e ponha α

= ω(e

, e

), α

= ω(e

, e

) e α

= ω(e

, e

), onde

, e

} ⊂ R

´e a base dual de {e

∗

, e

∗

, e

∗

}. Assim temos que a 2-forma ϕ =



´e

tal que

• ϕ(e

, e

) = α

∗

∧ e

∗

)(e

, e

) = det



∗

) e

∗

)

∗

) e

∗

)



= α

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 27

• ϕ(e

, e

) = α

∗

∧ e

∗

)(e

, e

) = det



∗

) e

∗

)

∗

) e

∗

)



= α

• ϕ(e

, e

) = α

∗

∧ e

∗

)(e

, e

) = det



∗

) e

∗

)

∗

) e

∗

)



= α

Como ϕ(e

, e

) = ω(e

, e

) ∀i, j = 1, 2, 3 com i < j, temos pelo Teorema 2.12 que ϕ = ω,

o que prova que β

∗

gera Λ

Lembremos agora que, escolhendo uma base ortonormal para o espa¸co vetorial E e

chamando-a de positiva, declaramos que tamb´em s˜ao positivas todas as bases ortonormais

de E que se obt´em a partir desta por meio de matrizes de passagem ortogonais, cujo

determinante ´e igual a 1.

Assim, consideremos a Grassmanniana orientada Gr

(d) como sendo o conjunto dos

subespa¸cos orientados de dimens˜ao k em R

. Os subespa¸cos em Gr

(d) tamb´em s˜ao

representados por matrizes d × k de posto k. A diferen¸ca da Se¸c˜ao 2.1 ´e que aqui, duas

matrizes p, q ∈ B

(d) deﬁnem o mesmo subespa¸co orientado se, e somente se, p = qa, para

alguma matriz a de ordem k e com det a > 0. Isto deﬁne a seguinte rela¸c˜ao em B

(d):

η ≡

ξ ⇔ ∃a ∈ Gl(k, R) com det a > 0, tal que η = ξa.

Como vimos na Se¸c˜ao 2.1, Gr

(d) se identiﬁca com o conjunto quociente B

(d)/ ≡

e, no caso da grassmanniana orientada, Gr

(d) se identiﬁca com o conjunto quociente

(d)/ ≡

A rela¸c˜ao entre a grassmanniana Gr

(d) e a grassmanniana orientada Gr

(d) ´e esta-

belecida pela aplica¸c˜ao

π : Gr

(d) −→ Gr

(d)

−→ ξ.

Esta aplica¸c˜ao retira a orienta¸c˜ao dos subespa¸cos e ´e equivariante com respeito a a¸c˜ao

de Sl(d, R), ou seja, π ◦ g = g ◦ π, para todo g ∈ Sl(d, R). Al´em disso,

−1

(ξ) = {ξ

, ξb

} onde b ∈ Gl(k, R) e det b < 0.

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 28

Assim temos que a aplica¸c˜ao π restrita ao conjunto dos subespa¸coes positivamente

orientados ´e sobrejetiva. O mesmo vale para a restri¸c˜ao da aplica¸c˜ao π ao conjunto dos

subespa¸cos negativamente orientados. Logo Gr

(d) com a aplica¸c˜ao π ´e um recobrimento

duplo da grassmanniana Gr

(d).

O mergulho de Gr

(d) na esfera unit´aria do produto exterior Λ

com produto

interno induzido por algum produto interno de R

´e dado atrav´es da bije¸c˜ao que associa

a cada base ortonormal positivamente orientada {e

, . . . , e

} o elemento decompon´ıvel

correspondente e

∧ . . . ∧ e

A a¸c˜ao de Sl(d, R) na grassmanniana orientada Gr

(d) ´e dada pela representa¸c˜ao

canˆonica de Sl(d, R) em Λ

. Esta representa¸c˜ao ´e denotada por ρ

e deﬁnida como

(g)(u

∧ . . . ∧ u

) = gu

∧ . . . ∧ gu

(2.4)

Desta forma, esta a¸c˜ao induzida coincide com a a¸c˜ao de Sl(d, R) em Gr

(d). O

pr´oximo resultado nos permite localizar as componentes da decomposi¸c˜ao de Bruhat.

Proposi¸c˜ao 2.15. Seja β uma base de R

e N

o grupo nilpotente. Ent˜ao existe η ∈

(d) tal que a N

-´orbita sobre Gr

(d) ´e o conjuntos dos raios em Λ

gerado por

elementos decompon´ıveis que estejam em

{ξ ∈ Λ

: η, ξ = 0}

Em Gr

(d) existem duas N

-´orbitas e elas s˜ao dadas por η, ξ > 0 e η, ξ < 0.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos primeiramente que β seja uma base ortonormal. Como

vimos na se¸c˜ao 2.3, um elemento da ´orbita aberta ´e representado por uma matriz d × k

como





. Tomando o produto externo das colunas, temos um vetor decompon´ıvel

cujo produto interno com ξ

= e

∧ . . . ∧ e

´e

det



1 0







= 1.

Reciprocamente, dado um elemento decompon´ıvel ξ = u

∧ . . . ∧ u

, a matriz p cujas

colunas s˜ao as coordenadas dos u



s pode ser escrita como

CAP

ITULO 2. VARIEDADES GRASSMANNIANAS 29

p =





onde a ´e uma matriz k×k que satisfaz det a = ξ, ξ

, ou seja, ξ est´a na N

-´orbita e η = ξ

´e como desejado. Se a base β n˜ao ´e ortonormal, existe uma aplica¸c˜ao linear invert´ıvel g

tal que gβ ´e ortonormal. Desde que, N

= g

−1

gβ

g temos que a N

-´orbita aberta ´e a

imagem sob g

−1

da N

gβ

-´orbita aberta e, desta forma, o resultado segue para a base gβ.

Para vermos que existem duas N

-´orbitas em Gr

(d), basta ver que a N

-´orbita aberta

em Gr

(d) ´e dividida em duas ´orbitas em Gr

(d) pois a aplica¸c˜ao Gr

(d) → Gr

(d) ´e

dada identiﬁcando as ant´ıpodas.

Cap´ıtulo 3

Semigrupos e Cones

Neste cap´ıtulo iremos introduzir os conceitos de semigrupos e cones associados a semi-

grupos. Os semigrupos desempenham um papel fundamental neste trabalho e estaremos

particularmente interessados num semigrupo S com interior n˜ao vazio em Sl(d, R), do

qual analisaremos a a¸c˜ao na variedade de Grassmann. O cone associado ao semigrupo ´e

tamb´em um importante conceito deste estudo, j´a que ´e fundamental na demonstra¸c˜ao do

teorema sobre a controlabilidade do sistema bilinear no ´ultimo cap´ıtulo. Por este motivo,

ser˜ao apresentadas as deﬁni¸c˜oes e algumas propriedades b´asicas que ser˜ao utilizadas no

transcorrer deste trabalho.

3.1 Semigrupos de grupos de Lie

Um semigrupo ´e simplesmente um conjunto S n˜ao vazio munido de uma opera¸c˜ao bin´aria

associativa. Quando (S, .) ´e um semigrupo que possui um elemento e ∈ S tal que ex =

xe = x, ∀x ∈ S, dizemos que S ´e um mon´oide. Dado um grupo de Lie G, ou mais

geralmente um grupo G, um subconjunto n˜ao vazio S ⊂ G ´e um subsemigrup o de G

se SS ⊂ S, ou seja, se o produto de dois elementos de S ainda estiver em S. Diremos

tamb´em que S ´e um semigrupo de G.

Considere Sl(d, R) o grupo das matrizes de determinante 1. O subconjunto das ma-

trizes com entradas n˜ao negativas, que denotamos por Sl

(d, R), ´e um semigrup o em

Sl(d, R). Com efeito, o produto de duas matrizes com entradas n˜ao negativas ´e ainda

uma matriz com entradas n˜ao negativas. Al´em disso, como a matriz identidade pertence

a Sl

(d, R) temos que este ´e um mon´oide.

CAP

ITULO 3. SEMIGRUPOS E CONES 31

Outro exemplo bem conhecido de semigrupo ´e o seguinte:

Seja G o grupo de Heisenberg, deﬁnido pelo conjuntos das matrizes reais de ordem

3 × 3 da forma





1 a c

0 1 b

0 0 1





, onde a, b, c ∈ R. Este grupo pode ser identiﬁcado com R

munido do produto

(a, b, c).(a



, b



, c



) = (a + a



, b + b



, c + c



+ ab)

Considere S = {(a, b, c) : a, b ≥ 0 e 0 ≤ c ≤ ab}. Ent˜ao S ´e um semigrupo em G. De fato,

se (a

, b

, c

), (a

, b

, c

) ∈ S, ent˜ao (a

, b

, c

)(a

, b

, c

) = (a

, b

, c

) ∈ S

j´a que a

, a

≥ 0 ⇒ a

+ a

≥ 0, b

, b

≥ 0 ⇒ b

+ b

≥ 0 e 0 ≤ a

+ c

≤

+ a

)(b

+ b

). Este semigrupo pode ser identiﬁcado com a regi˜ao do primeiro octante

de R

delimitada pela superf´ıcie z = xy.

Deﬁni¸c˜ao 3.1. Dizemos que um subconjunto n˜ao vazio I de um semigrupo S ´e um ideal

`a esquerda de S se SI ⊂ I, ´e um ideal `a direita se IS ⊂ I e, ´e um ideal se for tanto ideal

`a esquerda quanto `a direita.

A seguir apresentamos algumas propriedades de semigrupos.

Proposi¸c˜ao 3.2. Seja S um subsemigrupo de um grupo topol´ogico G tal que int(S) = ∅.

Ent˜ao:

i) (int (S))S ∪ S(int(S)) ⊂ int(S), ou seja, int(S) ´e um ideal de S;

ii) se e ∈ fe(int(S)) ⇒ int(S) = int(fe(S)).

Demonstra¸c˜ao: (i) Vamos mostrar que gs ∈ int(S) para g ∈ int(S) e s ∈ S. Tome

g ∈ int(S) e U uma vizinhan¸ca de g tal que U ⊂ S. Como g ∈ int(S) ⊂ S e S ´e

subsemigrupo ⇒ gs ∈ S, logo gs ∈ Us, ∀s ∈ S. Como a transla¸c˜ao ´e uma aplica¸c˜ao

aberta, Us ´e uma vizinhan¸ca aberta de gs contida em S. Desta forma, gs ∈ int(S).

Ent˜ao int(S) ´e um ideal `a direita de S. Analogamente se mostra que sg ∈ int(S) para

g ∈ int(S) e s ∈ S, o que implica que int(S) ´e um ideal `a esquerda, e portanto, ´e um

ideal.

CAP

ITULO 3. SEMIGRUPOS E CONES 32

(ii) Como S ⊂ fe(S) temos que int(S) ⊂ int(fe(S)). Agora, denote por U =

int(fe(S)) e tome s ∈ U. Considere T uma vizinhan¸ca da e tal que sT ⊂ U e tome

V = T

−1

. Ent˜ao V ´e aberta, j´a que ´e a imagem de um aberto por uma aplica¸c˜ao

aberta, a invers˜ao, e e ∈ V , pois e = e

−1

∈ T

−1

= V , al´em disso, sV

−1

⊂ U j´a que,

−1

= sT ⊂ U. Considere W = V ∩ int(S). Como e ∈ fe(int(S)) e V ´e um aberto

contendo e, segue que V ∩ int(S) = W = ∅. Sendo assim, sW

−1

= s(V ∩ int(S))

−1

∩ s(int(S))

−1

⊂ sV

−1

⊂ U = int(fe(S)) ⊂ fe(S), isto ´e, sW

−1

⊂ fe(S). Como a

transla¸c˜ao ´e aberta temos que sW

−1

´e um aberto, n˜ao vazio, existem t ∈ S, w ∈ W tais

que sw

−1

= t o que implica que s = tw ∈ tW ⊂ int(S) j´a que W = V ∩ int(S) ⊂ int(S)

que ´e ideal pelo item (i).

3.2 Subsemigrupos de grupos compactos

Vamos provar que todo semigrupo de interior n˜ao vazio de um grupo de Lie compacto, ´e

na verdade um subgrupo.

Proposi¸c˜ao 3.3. Seja S ⊂ G um semigrupo compacto. Ent˜ao a identidade de G pertence

a S, ou seja, S ´e um subgrupo.

Demonstra¸c˜ao: Mostraremos que para g ∈ S temos que g

−1

∈ S e assim gg

−1

= e ∈ S.

Para isto, tome g ∈ S qualquer e deﬁna X = {g

: n ∈ N

∗

⊂ S}. Como S ´e compacto, a

sequˆencia (g

) admite uma subsequˆencia que converge para um elemento h ∈ S. Temos

que n

− n

> 1 e g

−n

−1

→ hh

−1

= g

−1

∈ S = S. Logo g

−1

∈ S e portanto,

e = gg

−1

∈ S.

Em outras palavras, o resultado anterior diz que se S ´e um subsemigrupo compacto

n˜ao vazio de um grupo topol´ogico G, ent˜ao S ´e um grupo compacto.

Proposi¸c˜ao 3.4. Seja G um grupo topol´ogico e H ⊂ G um subgrupo de interior n˜ao

vazio em G. Ent˜ao H ´e aberto.

Demonstra¸c˜ao: Como int(H) = ∅ podemos considerar g ∈ int(H) e U uma vizinhan¸ca

de g tal que U ⊂ H. Para qualquer h ∈ H temos que h = h(g

−1

g) = (hg

−1

)g ∈ hg

−1

U ⊂

CAP

ITULO 3. SEMIGRUPOS E CONES 33

H. Assim, hg

−1

U ´e um aberto contendo h, o que signiﬁca que h ∈ int(H). Logo H ´e

aberto.

Proposi¸c˜ao 3.5. Seja S um subsemigrupo de interior n˜ao vazio de um grupo compacto

G. Ent˜ao S ´e um subgrupo aberto e compacto de G. Consequentemente, S = G se G ´e

conexo. Caso contr´ario, S cont´em a componente conexa da identidade de G.

Demonstra¸c˜ao: Como fe(S) ´e compacto, temos pela Proposi¸c˜ao 3.3 que fe(S) ´e um

grupo. Seja U ⊂ S ⊂ fe(S) um aberto n˜ao vazio. Assim, U

−1

∩ S = ∅ (pois U

−1

⊂ S e

todo elemento de S ´e limite de uma sequˆencia de elementos de S), ou seja, existe s tal que

s ∈ S ∩ U

−1

⇒ s ∈ S e s

−1

∈ U ⊂ S ⇒ e = ss

−1

∈ int(S), pois s ∈ S e s

−1

∈ U ⊂ int(S)

e int(S) ´e um ideal de S. Pela Proposi¸c˜ao 3.4, temos que f e(S) ´e tamb´em aberto. Desta

forma, fe(S) = int(fe(S)) = int(S) ⊂ S (onde a primeira igualdade ´e justiﬁcada pelo

fato de fe(S) ser aberto, e a segunda pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao 3.2). Portanto S ´e

fechado, e consequentemente, compacto.

3.3 Cones associados a semigrupos

O m´etodo utilizado para a demonstra¸c˜ao do principal resultado deste trabalho utiliza

o cone L(S

) associado ao semigrupo S

de um sistema de controle, que ser´a deﬁnido

no ´ultimo cap´ıtulo. Por esta raz˜ao esta se¸c˜ao ser´a dedicada a introduzir o conceito de

cones e algumas propriedades ´uteis para o desenvolvimento deste estudo. Iniciamos com

a deﬁni¸c˜ao de cone.

Deﬁni¸c˜ao 3.6. Um subconjunto W de um espa¸co vetorial topol´ogico L ´e chamado um

cone se s˜ao satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:

i) W + W ⊂ W ;

ii) R

W ⊂ W ; e

iii) f e(W ) = W , ou seja, W ´e topologicamente fechado.

Deﬁni¸c˜ao 3.7. Dizemos que um cone W ⊂ R

´e invariante sob o ﬂuxo de uma matriz

A ∈ gl(n, R), ou apenas, A-invariante, se exp(tA)W ⊂ W, ∀t ∈ R

CAP

ITULO 3. SEMIGRUPOS E CONES 34

Seja S um semigrupo de um grupo de Lie G tal que e ∈ fe(S). O cone associado ao

semigrupo S ´e deﬁnido por:

L(S) = {X ∈ g : exp(tX) ∈ fe(S), ∀t ≥ 0}.

Vamos mostrar que L(S) ´e realmente um cone.

• Vamos mostrar que L(S) ´e topologicamente fechado.

Tome X ∈ fe(L(S)). Ent˜ao existe uma sequˆencia (X

) ∈ L(S) tal que X

−→ X.

Como para cada n temos que X

∈ L(S) ent˜ao exp(tX

) ∈ S. Sendo a exponencial

uma aplica¸c˜ao cont´ınua, temos que exp(tX

) −→ exp(tX). Logo exp(tX) ∈ S o

que implica que X ∈ L(S). Portanto L(S) ´e fechado.

• Vamos mostrar que L(S) + L(S) ⊂ L(S).

Tome X, Y ∈ L(S). Pelo corol´ario 2.15.5 de [8] temos que:

exp(t(X + Y )) = lim

n→∞

(exp(

X) exp(

Y ))

. (3.1)

o que implica que exp(t(X + Y )) ∈ fe(S), pois exp(

X), exp(

Y ) ∈ fe(S). Por-

tanto X + Y ∈ L(S).

• Vamos mostrar que R

L(S) ⊂ L(S).

Para isto, seja X ∈ L(S) e s > 0. Queremos mostrar que sX ∈ L(S). Dado t ≥ 0,

temos que ts > 0 donde exp(tsX) ∈ fe(S) por hip´otese. Portanto sX ∈ L(S).

O pr´oximo resultado ´e uma propriedade b´asica do cone L(S).

Proposi¸c˜ao 3.8. Consideremos L(S) o cone associado ao semigrupo S. Se ±A ∈ L(S),

ent˜ao para todo t ≥ 0 temos:

exp(tad(A))L(S) ⊂ L(S).

Demonstra¸c˜ao: Tomemos B ∈ L(S) e t ≥ 0. Queremos mostrar que exp(tad(A))B ∈

L(S). O fato de que ±A ∈ L(S) implica que exp(tA), exp(−tA) ∈ fe(S), ∀t ≥ 0. Como

B ∈ L(S) temos tamb´em que exp(tB) ∈ fe(S), ∀t ≥ 0. Pela comutatividade dos diagra-

mas abaixo,

CAP

ITULO 3. SEMIGRUPOS E CONES 35

Aut(g)

exp

End(g)

exp

onde I

(x) = gxg

−1

, ∀x ∈ G, temos:

exp(s exp(tad(A))B) = exp(sAd

exp(tA)

B) = exp(tA) exp(sB) exp(−tA) ∈ fe(S),

para todo s, t ≥ 0, j´a que exp(tA) ∈ fe(S), exp(sB) ∈ fe(S) e exp(−tA) ∈ fe(S).

Portanto exp(tad(A))B ∈ L(S), ∀t ≥ 0, e assim temos exp(tad(A))L(S) ⊂ L(S).

Assim como deﬁnimos o cone L(S) associado ao semigrupo S ⊂ Gl(n, R), deﬁnimos

agora, para W ⊂ R

o semigrupo de compress˜ao por:

= {g ∈ GL(n, R) | gW ⊂ W }

Proposi¸c˜ao 3.9. Seja W ⊂ R

um cone e A ∈ gl(n, R). Ent˜ao W ´e A-invariante se, e

somente se, A ∈ L(S

Demonstra¸c˜ao: Suponha que W ´e A-invariante. Assim temos por deﬁni¸c˜ao que

exp(tA)W ⊂ W, ∀t ≥ 0, ou seja, exp(tA) ∈ S

, o que implica que A ∈ L(S

Reciprocamente, suponha agora que A ∈ L(S

). Assim, exp(tA) ∈ S

, ∀t ≥ 0, o

que implica que, exp(tA)W ⊂ W, ∀t ≥ 0, e portanto temos que W ´e A-invariante.

Proposi¸c˜ao 3.10. Seja W um cone e A ∈ gl(n, R). Se para todo x ∈ W tivermos que

Ax ∈ W , ent˜ao exp(tA)x ∈ W, ∀t ≥ 0.

Demonstra¸c˜ao: Seja x ∈ W . Como Ax ∈ W ent˜ao, por indu¸c˜ao conclu´ımos que

x ∈ W, ∀n ∈ N, e como W ´e um cone temos ent˜ao que

x =

(tA)

x ∈ W, ∀n ∈ N, e da´ı S



i=0

(tA)

x ∈ W, ∀n ∈ N.

CAP

ITULO 3. SEMIGRUPOS E CONES 36

Agora, do fato que W ´e um cone, conclu´ımos que

exp(tA)x = lim

n→∞

∈ W, ∀t ≥ 0.

Cap´ıtulo 4

Conjunto de Controle

Neste cap´ıtulo nossa aten¸c˜ao est´a voltada para as a¸c˜oes de um grupo de Lie G sobre

uma variedade diferenci´avel M. Dado um grupo de Lie G e S ⊂ G um semigrupo com

interior n˜ao vazio, estamos interessados nos conjuntos de controle e conjuntos de controle

invariantes para a a¸c˜ao de S em M. Apresentamos alguns conceitos b´asicos e algumas

propriedades de conjuntos de controle invariantes, cuja existˆencia ´e garantida pelo teorema

que diz que se a variedade M ´e compacta, sempre existem conjuntos de controle invariantes

para a a¸c˜ao de S em M.

4.1 Conceitos b´asicos

Nesta se¸c˜ao s˜ao apresentadas as deﬁni¸c˜oes b´asicas dos conceitos ligados a a¸c˜oes de semi-

grupos sobre variedades diferenci´aveis. Aqui G denotar´a um grupo de Lie agindo transi-

tivamente sobre uma variedade diferenci´avel M.

Deﬁni¸c˜ao 4.1. Dizemos que um semigrupo S ´e acess´ıvel a partir de um ponto x ∈ M se

int(Sx) = ∅ e ´e acess´ıvel se for acess´ıvel a partir de todo x ∈ M.

Deﬁni¸c˜ao 4.2. O semigrupo S ´e dito control´avel a partir de um ponto x ∈ M se Sx = M

e, ´e control´avel sobre M se for control´avel a partir de todo ponto x ∈ M.

Quando S ´e control´avel sobre M dizemos tamb´em que S age transitivamente sobre

Nesta se¸c˜ao S denota um semigrupo de um grupo de Lie G, agindo sobre uma variedade

M. Tamb´em assumiremos como hip´otese adicional que o interior do semigrupo S ´e n˜ao

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 38

vazio, isto ´e, int(S) = ∅. Adotada essa hip´otese veriﬁcamos que os semigrupos S e

−1

:= {s

−1

: s ∈ S} s˜ao acess´ıveis pois (intS)x (respec. (intS

−1

)x) ´e um subconjunto

aberto contido em int(Sx) (respec. em int(S

−1

x)).

Deﬁni¸c˜ao 4.3. Um conjunto de controle para o semigrupo S ´e um subconjunto D ⊂ M

que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

i) int (D) = ∅;

ii) D ⊂ fe(Sx) ∀x ∈ D; e

iii) D ´e maximal com rela¸c˜ao as propriedades (i) e (ii), ou seja, se D



⊂ M satisfaz (i)

e (ii) e D ⊂ D



, ent˜ao D



= D.

A condi¸c˜ao (ii) diz que dados dois pontos quaisquer x, y ∈ D ent˜ao y ∈ fe(Sx).

Vejamos agora algumas propriedades de conjuntos de controle. A primeira delas diz que

os conjuntos de controle coincidem ou s˜ao disjuntos, e para demonstr´a-la, precisamos do

seguinte lema.

Lema 4.4. Sejam a, b, c ∈ M tais que a ∈ f e(Sb) e b ∈ fe(Sc). Ent˜ao a ∈ fe (Sc).

Demonstra¸c˜ao: Como a ∈ fe(Sb) e b ∈ fe(Sc), consideremos as sequˆencias (x

) e

) de pontos de S tais que x

c → b e y

b → a. Ent˜ao, para toda vizinhan¸ca V de a,

existe n

∈ N tal que y

b ∈ V , ie, a partir de n

os termos da sequencia (x

) est˜ao na

vizinhan¸ca V de a. Como a a¸c˜ao ´e cont´ınua e x

c → b temos que y

c → y

b. Desta

forma, ∃n

∈ N tal que y

c ∈ V . Portanto, a ∈ fe(Sc).

Proposi¸c˜ao 4.5. Sejam D e D



dois conjuntos de controle. Ent˜ao D = D



ou D∩D



= ∅.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que D ∩ D



= ∅ e tomemos x ∈ D ∩ D



E claro que

int(D ∪ D



) = ∅ j´a que intD = ∅. Sejam a, b ∈ D ∪ D



elementos quaisquer. Pela

condi¸c˜ao (ii) da deﬁni¸c˜ao 4.3, a ∈ fe(Sx) e x ∈ fe(Sb). Pelo lema anterior conclu´ımos

que a ∈ fe(Sb). Pelo que acabamos de mostrar, D ∪ D



⊂ fe(Sb) ∀b ∈ D ∪ D



Pela maximalidade de D temos que D ∪ D



= D. Logo D ⊂ D



e novamente usando a

maximalidade dos conjuntos de controle, conclu´ımos que D = D



CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 39

Proposi¸c˜ao 4.6. Todo subconjunto D ⊂ M que satisfaz as condi¸c˜oes (i) e (ii) da

deﬁni¸c˜ao 4.3 est´a contido em um conjunto de controle.

Demonstra¸c˜ao: Seja A = {C ⊂ M : D ⊂ C e C satisfaz (i) e (ii) da Def. 3.1.3}

ordenado pela inclus˜ao. Como D ∈ A temos que A = ∅. Consideremos em A uma cadeia

arbitr´aria {C

}

α∈I

e coloquemos

U =



α∈I

Tomando x, y ∈ U, ent˜ao existem α

, α

∈ I tais que x ∈ C

e y ∈ C

. Mas segundo

a ordem em A temos que C

⊂ C

ou C

⊂ C

, ent˜ao y ∈ fe(Sx). Isto mostra que

U ∈ A e portanto, toda cadeia em A ´e limitada superiormente. Pelo lema de Zorn, A

possui elementos maximais. Seja C

um destes elementos maximais. Pela deﬁni¸c˜ao de

A temos que D ⊂ C

e C

´e o conjunto de controle desejado.

Um fato que ser´a utilizado com muita frequˆencia ´e que o fecho e o interior da ´orbita

pelo semigrupo S de um ponto qualquer da variedade M s˜ao invariantes pela a¸c˜ao de S.

Proposi¸c˜ao 4.7. Para todo x ∈ M temos que, S(int(Sx)) ⊂ int(Sx) e S(fe(Sx)) ⊂

fe(Sx).

Demonstra¸c˜ao: Dados g ∈ S e z ∈ int(Sx), existe U ⊂ M aberto tal que z ∈ U ⊂ Sx.

Como a a¸c˜ao ´e aberta (homeomorﬁsmos), temos que gU ´e um aberto e gz ∈ gU ⊂ gSx ⊂

Sx. Logo gz ∈ int(Sx). Agora, se g ∈ S e y ∈ fe(Sx) ent˜ao existe (g

x) sequˆencia em

Sx que converge para y. Pelo fato da a¸c˜ao ser cont´ınua segue que gg

x → gy, e portanto,

gy ∈ fe(Sx).

Como foi visto na deﬁni¸c˜ao 4.3 a a¸c˜ao de um semigrupo em um conjunto de controle

pode n˜ao ser transitiva, o que se tem ´e uma transitividade aproximada. Sendo assim,

podemos destacar o seguinte subconjunto de um conjunto de controle:

Deﬁni¸c˜ao 4.8. Seja D um conjunto de controle para o semigrupo S. Deﬁnimos o con-

junto de transitividade para D como sendo:

= {x ∈ D : x ∈ (int(S))x}.

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 40

A seguir listaremos algumas propriedades do conjunto de transitividade D

, que deixar˜ao

mais claro a quest˜ao da transitividade da a¸c˜ao no conjunto de controle.

Proposi¸c˜ao 4.9. Seja D um conjunto de controle para o semigrupo S e seja D

o seu

conjunto de transitividade. Se D

= ∅, ent˜ao:

i) D

= (intS)D ∩ D;

ii) D ⊂ (intS)

−1

x, ∀x ∈ D

;

iii) D

= (intS)x ∩ (intS)

−1

x, ∀x ∈ D

;

iv) Para todo x, y ∈ D

, existe g ∈ intS com gx = y;

v) D

´e denso em D;

vi) D

´e S-invariante em D no sentido que:

se h ∈ S, x ∈ D

e hx ∈ D, ent˜ao hx ∈ D

Demonstra¸c˜ao: (i)Vamos mostrar que D

⊂ (int(S))D ∩ D. Para isto tome x ∈ D

Ent˜ao x ∈ D e x ∈ (intS)x, isto ´e, x ∈ D ∩ (int(S))x ⊂ D ∩ (int(S))D. Logo D

⊂

D ∩ (int(S))D. Agora vamos mostrar que [(int(S))D ∩ D] ⊂ D

. Para isto, tome x ∈

(int(S))D∩D. Ent˜ao existem h ∈ int(S) e y ∈ D tais que x = hy. Da´ı, h

−1

x = y, ou seja,

(int(S))

−1

x ∩ D = ∅. Como D ⊂ fe(Sx ) e D possui pontos interiores, tamb´em temos que

Sx ∩ D = ∅. Seja ent˜ao z ∈ Sx ∩ D. Como D ⊂ fe(Sz) e Sz ∩ (int(S))

−1

x = ∅ existem

g ∈ S e h ∈ int(S) tal que gz = h

−1

x. Logo hgz = x, ou seja, x ∈ (int(S))Sz, mas z ∈ Sx

e, como int(S) ´e um ideal, temos que (int(S))Sz ⊂ (int(S))x, (j´a que z = s

x). Logo

x ∈ (int(S))x (pois x ∈ (int(S))Sz ⊂ (int(S))x). Como por hip´otese x ∈ D ⇒ x ∈ D

(ii) Seja x ∈ D

. Queremos mostrar que D ⊂ (int(S))

−1

x. Para isto, seja y ∈ D.

Pelo item anterior temos que (int(S))

−1

x ∩ D = ∅. Mas como D ⊂ fe(Sy) temos que

Sy ∩ (int(S))

−1

x = ∅. Assim existem g ∈ S e h ∈ int(S) tais que gy = h

−1

x, logo

y = g

−1

x. Como g

−1

= (hg)

−1

∈ (int(S))

−1

(j´a que h ∈ int(S) que ´e ideal, ent˜ao

hg ∈ int(S)) ⇒ y = g

−1

x ∈ (int(S))

−1

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 41

(iii) Seja x ∈ D

e y ∈ (int(S))

−1

x ∩ (int(S))x. Assim existem g, h ∈ int(S) tais

que y = h

−1

x = gx. Logo y ∈ fe(Sx). Para mostrar que y ∈ D, mostraremos que



:= D ∪ y satisfaz as condi¸c˜oes (i) e (ii) da deﬁni¸c˜ao 4.3, e como D ´e um conjunto de

controle concluiremos, pela maximalidade, que D



= D. Em primeiro lugar, int(D



) = ∅,

pois int(D) = ∅. Para provarmos que D



satisfaz a condi¸c˜ao (ii) da deﬁni¸c˜ao 4.3 devemos

mostrar as seguintes aﬁrma¸c˜oes:

a) D ⊂ fe(Sz), ∀z ∈ D. O que ´e claro, j´a que D ´e um conjunto de controle.

b) z ∈ f e(Sy), ∀z ∈ D. De fato, temos por deﬁni¸c˜ao que z ∈ fe (Sx). Agora sabemos

que existe h ∈ int(S) com y = h

−1

x, assim x = hy ∈ Sy ⊂ fe(Sy). Segue do Lema

4.4 que z ∈ fe(Sy).

c) y ∈ fe(Sz), ∀z ∈ D. De fato, temos que y = gx para algum g ∈ intS. Desta

forma, y ∈ Sx ⊂ fe(Sx). Temos ainda que x ∈ fe(Sx) para qualquer z ∈ D, logo

fe(Sx) ⊂ fe(Sz), ∀z ∈ D. Portanto y ∈ fe(Sz), ∀z ∈ D.

d) y ∈ fe(Sy). Da igualdade y = gx = h

−1

x temos que x = hy e, consequentemente,

y = ghy. Portanto, y ∈ Sy ⊂ fe(Sy). Conclu´ımos ent˜ao que D



⊂ fe(Sx) ∀x ∈ D



Portanto D



satisfaz as duas primeiras condi¸c˜oes de conjuntos de controle. Pela

maximalidade de D como conjunto de controle temos que D



= D, ou seja, y ∈ D.

J´a que y = ghy, com g, h ∈ int(S), temos que y ∈ (int(S))y, ie, y ∈ D

. Para

a inclus˜ao oposta, dados x, y ∈ D

temos, pelo item (ii), que y ∈ (int(S))

−1

x e

x ∈ (int(S))

−1

y. Portanto y ∈ (int(S))x ∩ (int(S))

−1

(iv) Pelo item anterior temos que D

= (int(S))y ∩ (int(S))

−1

y, ∀y ∈ D

. Assim, se

x, y ∈ D

temos que x = hy, para algum h ∈ int(S).

(v) Tomemos x ∈ D

. Pelo item (iii) temos que D

= (int(S))x ∩ (int(S))

−1

x. J´a

que (int(S))x e (int(S))

−1

x s˜ao abertos, temos fe(D

) ⊃ (fe((int(S))x)) ∩ (int(S))

−1

Pelo item (ii), D ⊂ (int(S))

−1

x. Al´em disso, D ⊂ fe(Sx) ⊂ fe(int(S(x))), pois Sx ⊂

S(int(S))x ⊂ (int(S))x. Logo, D ⊂ fe((int(S))x). Portanto, D ⊂ fe(D

) e D

´e denso

em D.

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 42

(vi) Tomemos h ∈ S e x ∈ D

. Ent˜ao existe g ∈ int(S) com gx = x. Logo, hx = hgx

e, consequentemente, hx ∈ (int(S))x. Temos por hip´otese que hx ∈ D. Pelo item (ii)

D ⊂ (int(S))

−1

x, assim hx ∈ (int(S))

−1

x. Portanto, hx ∈ (int(S))

−1

x ∩ (int(S))x, o que

pelo item (iii) implica que hx ∈ D

Proposi¸c˜ao 4.10. Sendo D um conjunto de controle para a¸c˜ao do semigrupo S e D

seu

conjunto de transitividade temos que, se SD ⊂ D ou se S

−1

D ⊂ D, ent˜ao D

= ∅. No

segundo caso, D

= D.

Demonstra¸c˜ao: Suponha SD ⊂ D. Ent˜ao (intS)D ⊂ D e consequentemente (intS)D∩

D = ∅. Pelo item (i) da proposi¸c˜ao anterior, D

= ∅. Suponha agora que S

−1

D ⊂ D

e tomemos x ∈ D. Temos ent˜ao que (intS)

−1

x ´e aberto e est´a contido em D, assim

Sx ∩ (intS)

−1

x = ∅. Logo, existem g ∈ S, h ∈ intS com gx = h

−1

, ou seja, hgx = x.

Portanto, x ∈ (intS)x. Como x ∈ D temos, por deﬁni¸c˜ao, que x ∈ D

Nem sempre o conjunto de transitividade D

de um conjunto de controle D ´e n˜ao

vazio, mas quando isso ocorre D recebe a denomina¸c˜ao especial de conjunto de controle

efetivo.

4.2 Conjuntos de controle invariantes

Pelo que vimos at´e agora, os conjuntos de controle introduzidos na Deﬁni¸c˜ao 4.3 n˜ao s˜ao

invariantes sob a a¸c˜ao de um semigrupo S. Nesta se¸c˜ao vamos introduzir o conceito de

conjuntos de controle invariantes, que na verdade, s˜ao conjuntos de controle maximais

para uma certa ordem parcial na fam´ılia dos conjuntos de controle, a qual deﬁniremos

a seguir. Assim como antes, G ser´a um grupo de Lie agindo transitivamente sobre uma

variedade M e S ⊂ G um semigrupo contendo pontos interiores, ou seja, S ´e acess´ıvel.

Tamb´em denotaremos por ξ a fam´ılia dos conjuntos de controle de M para a a¸c˜ao de S.

Sendo D

, D

∈ ξ, dizemos que D

≤ D

se existir x ∈ D

tal que fe(Sx) ∩ D

= ∅.

Note que fe(Sx) ∩ D

= ∅ ⇔ D

⊂ fe(Sx).

Proposi¸c˜ao 4.11. Se D

, D

∈ ξ e D

≤ D

ent˜ao D

∩ fe(Sx) = ∅ para todo x ∈ D

ou seja, D

⊂ fe(Sx), para todo x ∈ D

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 43

Demonstra¸c˜ao: Temos que D

≤ D

, ent˜ao existe x

∈ D

tal que fe(Sx

) ∩ D

= ∅.

Seja y ∈ fe(Sx

) ∩ D

e tomemos x ∈ D

qualquer. Assim, pelo item ( ii) da deﬁni¸c˜ao

4.3, segue que x

∈ fe(Sx) e pelo lema 4.4 conclu´ımos que y ∈ fe(Sx) e portanto

fe(Sx) ∩ D

= ∅.

A rela¸c˜ao “≤”´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial, ou seja, satisfaz as propriedades: reﬂex-

iva, transitiva e antisim´etrica. A demonstra¸c˜ao disto pode ser encontrada, por exemplo,

em [18].

Dizemos que um conjunto de controle D ´e maximal se satisfaz a propriedade que: se

C ∈ ξ e D ≤ C ent˜ao C = D.

Proposi¸c˜ao 4.12. Suponhamos que a variedade M seja compacta e que C ∈ ξ seja um

conjunto de controle maximal com rela¸c˜ao a ordem “≤”introduzida anteriormente. Ent˜ao

C satisfaz as seguintes propriedades:

i) para todo x ∈ C, tem-se que fe(Sx) = fe(C);

ii) C ´e maximal com a propriedade (i).

Ver Proposi¸c˜ao 3.2.15 de [18].

Temos grande interesse nos conjuntos que satisfazem as propriedades acima, por isso

destacamos deﬁnindo:

Deﬁni¸c˜ao 4.13. Dizemos que C ⊂ M ´e um conjunto de controle invariante para S se

satisfaz:

i) fe(Sx) = fe(C), ∀x ∈ C;

ii) C ´e maximal com a propriedade (i).

Notemos que em nenhum momento foi exigido que C tenha interior n˜ao vazio, mas

como estamos supondo S acess´ıvel, isso ´e uma conseq¨uˆencia da seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 4.14. Todo conjunto de controle invariante para S ´e fechado. Al´em disso se

C ´e um desses conjuntos ent˜ao int(C) = ∅.

Demonstra¸c˜ao: Consideremos C um c.c.i e x ∈ fe(C). Tomando y ∈ C temos que

fe(Sy) = fe(C), ou seja, x ∈ fe(Sy). Como j´a foi visto que o fecho da ´orbita ´e invariante

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 44

pela a¸c˜ao de S, segue que Sx ⊂ f e(Sy) = fe(C). Ainda, como int(Sx) = ∅ temos que Sx

n˜ao pode estar contida na fronteira de C, o que signiﬁca que Sx ∩ C = ∅. Sendo assim,

seja w ∈ Sx ∩ C. Temos que

fe(C) = fe(Sw) ⊂ fe(Sx) ⊂ fe(C)

donde segue que f e(Sx) = fe(C) = fe(feC), ∀x ∈ fe(C). Logo, f e(C) ´e um c.c.i que

cont´em C, e pela maximalidade dos conjuntos de controle, temos que C = fe(C), ou seja,

C ´e fechado. Note ainda que

Sx ⊂ fe(Sx) ⊂ fe(C) = C, i.´e, Sx ⊂ C

e como int(Sx) = ∅ temos que int(C) = ∅.

O pr´oximo resultado garante que sendo o semigrupo S acess´ıvel, ent˜ao todo conjunto

de controle invariante ´e um conjunto de controle.

Proposi¸c˜ao 4.15. Todo conjunto de controle invariante para a a¸c˜ao de S ´e um conjunto

de controle para S.

Demonstra¸c˜ao: Considere C um conjunto de controle invariante para a a¸c˜ao de S.

Sabendo pela proposi¸c˜ao anterior que int(C) = ∅ e tamb´em que C ´e fechado segue que

C ⊂ fe(Sx), para todo x ∈ C. Agora vamos mostrar a maximalidade de C como conjunto

de controle. Suponhamos que exista D contendo C tal que D ⊂ fe(Sx), para todo x ∈ D.

Deste modo, fe(Sz) = fe(C) ⊂ fe(D) para todo z ∈ C, e portanto, fe(D) = fe(Sz),

para todo z ∈ C ( j´a que fe(D) ⊂ fe(Sz) ⊂ fe(D)). Resta mostrar que fe(Sz) ⊂ fe(D),

para todo x ∈ D. Para isto, tomemos y ∈ fe(Sx), e z ∈ C. Como x ∈ D ⊂ fe(Sz), para

todo x ∈ D temos que fe(D) = fe(Sx). Segue da maximalidade de C como conjunto de

controle invariante que C ´e um conjunto de controle.

O pr´oximo resultado utiliza a acessibilidade do semigrupo S para mostrar que vale a

rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 4.12.

Proposi¸c˜ao 4.16. Se D ´e um conjunto de controle invariante, ent˜ao D ´e maximal com

rela¸c˜ao a ordem “≤ ”.

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 45

Demonstra¸c˜ao: Com efeito, consideremos D



um conjunto de controle tal que D ≤ D



Assim existe x ∈ D tal que fe(Sx) ∩ D



= ∅. Como D ´e um conjunto de controle

invariante, temos que D = fe(Sx) o que implica que D ∩ D



= ∅. Mas como dois

conjuntos de controle ou s˜ao disjuntos ou coincidem, segue que D = D



A seguir temos um resultado que ´e um reﬁnamento de Proposi¸c˜ao 4.9 para conjuntos

de controle invariante.

Proposi¸c˜ao 4.17. Suponha que M = G/L seja um espa¸co homogˆeneo compacto e seja S

um semigrupo de G com interior n˜ao vazio. Sejam C um c.c.i. para a a¸c˜ao de S sobre M

e C

= (intS)C. Ent˜ao s˜ao v´alidas as aﬁrma¸c˜oes:

(i) C

= int(Sx), ∀x ∈ C

;

(ii) SC

⊂ C

= Sy = (intS)y, ∀y ∈ C

;

(iii) f e(C

) = C;

(iv) C

= {x ∈ C : ∃g ∈ S com gx = x};

(v) C

= {x ∈ C : ∃g ∈ intS com g

−1

x ∈ C}.

Ver Proposi¸c˜ao 3.2.9 de [18].

Para conjuntos fechados satisfazendo a condi¸c˜ao (i) da Deﬁni¸c˜ao 4.13, a propriedade

(ii) da mesma ´e automaticamente satisfeita.

Proposi¸c˜ao 4.18. Se C ⊂ M ´e n˜ao vazio, satisfaz a condi¸c˜ao (i) da Deﬁni¸c˜ao 4.13 e ´e

fechado ent˜ao C ´e um conjunto de controle invariante para S.

Demonstra¸c˜ao:

E necess´ario apenas mostrar a maximalidade de C. Para isto, supon-

hamos que C ⊂ C



, onde C



´e um certo conjunto que satisfaz a condi¸c˜ao (i) da deﬁni¸c˜ao

4.13. Tomando x ∈ C temos que x ∈ C



, e assim

C ⊂ C



⊂ fe(Sx) = fe(C) = C

Portanto temos C = C



CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 46

Neste contexto vale que C ´e um conjunto de controle invariante se, e somente se,

satisfaz a condi¸c˜ao (i) da Deﬁni¸c˜ao 4.13 e ´e fechado.

Tamb´em, visto que um conjunto de controle invariante ´e fechado temos que fe(Sx) =

C para todo x ∈ C, e em particular, C =



x∈C

fe(Sx). Assim tempos uma pista para a

obten¸c˜ao de conjuntos de controle invariantes, como mostra o pr´oximo resultado.

Proposi¸c˜ao 4.19. Se C =



b∈M

fe(Sb) = ∅, ent˜ao C ´e um conjunto de controle invariante

para a a¸c˜ao de S e ´e ´unico.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente mostraremos que C ´e um conjunto de controle in-

variante. Para isto, notemos inicialmente que como C ´e a intersec¸c˜ao de fechados, C ´e

fechado. Assim, pela Proposi¸c˜ao 4.18, para mostrarmos que C ´e um conjunto de controle

invariante precisamos mostrar apenas que fe(Sy) = C para todo y ∈ C. Sendo assim,

seja y ∈ C =



x∈M

fe(Sx).

E claro que, em particular vale que y ∈ fe(Sx) para todo

x ∈ C. Para a inclus˜ao oposta, seja y ∈ fe(Sw) para algum w ∈ C. Como w ∈ Sx para

todo x ∈ M segue que fe(Sw) ⊂ fe(Sx) para todo x ∈ M o que implica que y ∈ fe(Sx)

para todo x ∈ M. Portanto y ∈ C =



x∈M

fe(Sx). Para mostramos a unicidade consid-

eremos C

e C

conjuntos de controle invariante para a a¸c˜ao de S. Neste caso, ∀x ∈ C

temos que fe(Sx) = fe(C

) e ∀y ∈ C

temos que fe(Sy) = fe(C

). Pela hip´otese temos que

fe(S) ∩ fe(Sy) = ∅ e dai fe( C

) ∩ fe(C

) = ∅. Como int(S) = ∅ ent˜ao C

e C

s˜ao fechados

e dai, pela Proposi¸c˜ao 4.5 C

= C

A seguinte proposi¸c˜ao estabelece uma condi¸c˜ao para a controlabilidade da a¸c˜ao de S

em M em termos de conjuntos de controle.

Proposi¸c˜ao 4.20. Suponha que C =



x∈M

fe(Sx) = ∅ seja o ´unico conjunto de controle

invariante para a a¸c˜ao de S e que exista um ´unico conjunto de controle invariante para

−1

, digamos, C

−

, tal que int(C) ∩ int(C

−

) = ∅. Ent˜ao S age transitivamente em M.

Demonstra¸c˜ao: Pela Proposi¸c˜ao 4.14 C ´e fechado. Assim SC ⊂ C, o que implica que

= ∅ p elo item (vii) da Proposi¸c˜ao 4.9. Pelo item (iii) da mesma proposi¸c˜ao, temos que

se x ∈ C

ent˜ao x ∈ (int(S))

−1

x e como x ∈ C temos que x ∈ fe(Sy) para todo y ∈ M

(pela deﬁni¸c˜ao de C). Desta maneira, x ∈ (int(S))

−1

∩fe(Sy). Logo existe uma sequˆencia

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 47

y) em Sy que converge para x e est´a em (int(S))

−1

x. Portanto existe n

∈ N tal que

se n > n

ent˜ao a

y ∈ (int(S))

−1

x. Deste modo, a

y = g

−1

x para algum g ∈ (int(S))

−1

ou seja, ga

y = x. Isto signiﬁca que se x ∈ C

e y ∈ M ent˜ao x ∈ Sy. Consequentemente,

para todo y ∈ M existe s ∈ S tal que sy = x. Assim, s

−1

x = y para todo y ∈ M o que

mostra que S

−1

x = M. Pela Proposi¸c˜ao 4.9 C

´e denso em C. Logo (int(C

−

)) ∩ C

= ∅.

Seja x ∈ (int(C

−

)) ∩ C

, ent˜ao como x ∈ C

temos que S

−1

x = M e, do fato que

−1

x ⊂ C

−

, pois C

−

´e S

−1

-invariante, temos que M − S

−1

x ⊂ C, logo C

−

= M. Como

−

⊂ M = C

−

temos, pelo item (vii) da Proposi¸c˜ao 4.5 que C

−

= C

−

. Logo C

−

= M.

Assim, S

−1

x = M para todo x ∈ M, ou seja, dados x, y ∈ M quaisquer existe g ∈ S tal

que g

−1

x = y ou, equivalentemente, gy = x. Portanto, S age transitivamente em M.

O pr´oximo resultado garante que, no caso da variedade M ser compacta, ent˜ao est´a

garantida a existˆencia de pelo menos um conjunto de controle invariante.

Proposi¸c˜ao 4.21. Se M for compacta ent˜ao existe pelo menos um conjunto de controle

invariante C.

Demonstra¸c˜ao: Para provarmos a existˆencia do conjunto de controle invariante usare-

mos o Lema de Zorn. Para isto tome x ∈ M ﬁxo e considere a fam´ılia de conjuntos:

= {fe(Sy) : fe(Sy) ⊂ fe(Sx), y ∈ M}.

Esta fam´ılia ´e claramente n˜ao vazia j´a quem cont´em fe(Sx). Consideremos em O

rela¸c˜ao de ordem dada pela inclus˜ao de conjuntos e tomemos uma cadeia totalmente

ordenada {fe(Sy)}

y∈I

com ´ındices I. Temos que a cadeia tomada forma uma sequˆencia

de subconjuntos compactos encaixados, logo



y∈I

fe(Sy) = ∅.

Sendo assim, tomando z ∈



y∈I

fe(Sy), temos que fe(Sz) ∈ O

e fe (Sz) ⊂ fe(Sy)

para todo y ∈ I. Logo fe(Sz) ´e um limitante inferior da cadeia e, pelo lema de Zorn

temos que O

possui um elemento minimal C = fe(Sw), para algum w ∈ M. Tomando

z ∈ f e(Sw) = C e b ∈ fe(Sz) temos que b ∈ fe(Sw) = C, ou seja, fe(Sz) ⊂ C. Como

CAP

ITULO 4. CONJUNTO DE CONTROLE 48

fe(Sz) ∈ O

e C ´e minimal em O

devemos ter fe(Sz ⊂ C = fe(C). Portanto C ´e um

conjunto de controle invariante.

Cap´ıtulo 5

Conjuntos de Controle na variedade

de Grassmann

Neste cap´ıtulo apresentamos os teoremas que ser˜ao fundamentais na demonstra¸c˜ao da con-

trolabilidade do sistema bilinear nas condi¸c˜oes de Jurjdevik e Kupka. Na primeira se¸c˜ao

apresentamos propriedades dos conjuntos de controle para a a¸c˜ao de um semigrupo na

Grassmanianna, como a unicidade do conjunto de controle invariante. Na se¸c˜ao seguinte

aparece o que conceito de tipo parab´olico de um semigrupo S, al´em de resultados que

nos permitem obter informa¸c˜oes `a respeito da a¸c˜ao de S na Grassmanniana. Na se¸c˜ao

seguinte mergulhamos a Grassmaniana no produto exterior e apresentamos o Teorema

5.4 e a Proposi¸c˜ao 5.8 que exercem papel fundamental na demonstra¸c˜ao do teorema de

Jurjdevik e Kupka que apresentaremos no pr´oximo cap´ıtulo.

5.1 Conjuntos de controle na variedade Grassmanni-

ana

Nesta se¸c˜ao restringiremos nossa aten¸c˜ao ao estudo dos conjuntos de controle nas var-

iedades Grassmannianas. Os resultados gerais da teoria de controle n˜ao ser˜ao aqui demon-

strados e sim utilizados na obten¸c˜ao de resultados na situa¸c˜ao paticular considerada. Para

isto, em toda esta se¸c˜ao S ser´a um semigrupo de interior n˜ao vazio de Sl(d, R) e k um

inteiro entre 1 e d. Nossa primeira observa¸c˜ao ´e que, como Gr

(d) ´e compacta existem

conjuntos de controle invariante para a a¸c˜ao de S em Gr

(d). Veremos agora a unicidade.

Sendo S um subsemigrupo de Sl(d, R) e, assumindo que int(S) = ∅ temos que S age

CAP

ITULO 5. CONJUNTOS DE CONTROLE NA VARIEDADE DE GRASSMANN50

nas Grassmannianas da seguinte forma:

S × Gr

(d) → Gr

(d) (5.1)

(g, ξ) → gξ

Proposi¸c˜ao 5.1. O conjunto de controle invariante para a a¸c˜ao de S em Gr

(d) ´e ´unico

e dado por



ξ∈Gr

(d)

fe(Sξ). (5.2)

Demonstra¸c˜ao: Segundo a Proposi¸c˜ao 4.19 basta mostrar que



ξ∈Gr

(d)

fe(Sξ) = ∅.

Na Se¸c˜ao 2.3 se, em rela¸c˜ao a alguma base β = {e

, . . . , e

} de R

, N

denota o grupo

nilpotente das matrizes triangulares inferiores em rela¸c˜ao a base β, ent˜ao existe ξ

∈

(d) tal que a ´orbita N

´e aberta e densa em Gr

(d). Al´em disso, como S ´e um

semigrupo de interior n˜ao vazio, existem elementos “split regulares”no interior de S.

Assim podemos supor, sem perda de generalidade que existe h = diag{λ

, . . . , λ

} ∈

int(S) e da´ı, h

= ξ

, quando m → ∞. Mais ainda, se ξ ∈ N

ent˜ao h

ξ → ξ

quando m → ∞, mostrando que ξ

´e um atrator. Por esta raz˜ao ξ

∈ fe(Sξ), para todo

ξ ∈ Gr

(d) e portanto



ξ∈Gr

(d)

fe(Sξ) = ∅.

No que segue denotaremos o ´unico conjunto de controle invariante para a¸c˜ao do semi-

grupo S na grassmianna Gr

(d) por C



ξ∈Gr

(d)

fe(Sξ).

Vimos no Cap´ıtulo 4 num contexto mais geral sobre conjuntos de controle, que existe

um subconjunto C

⊂ C que ´e denso em C e S-invariante, ou seja, gξ ∈ C

se ξ ∈ C

g ∈ S. Al´em disso, como vimos na Deﬁni¸c˜ao 4.8, C

´e o conjunto dos pontos ﬁxos para

os elementos no int(S), ou seja,

= {ξ ∈ C : ξ ∈ (intS)ξ}

e para qualquer par ξ, η ∈ C

, existe g ∈ int(S) tal que gξ = η.

E por esta ´ultima

propriedade que este subconjunto recebe o nome de conjunto de transitividade para C.

No caso particular do conjunto de controle nas Grassmannianas, o conjunto de tran-

sitividade , denotado por C

, ´e o conjunto dos pontos ﬁxos que s˜ao atratores para os

CAP

ITULO 5. CONJUNTOS DE CONTROLE NA VARIEDADE DE GRASSMANN51

elementos “split regular” no int(S). Este fato est´a enunciado no pr´oximo resultado, que

´e uma particulariza¸c˜ao do Teorema 3.4 de [13], para Sl(d, R) e sua a¸c˜ao em Gr

(d).

Teorema 5.2. Seja C

o conjunto de transitividade do conjunto de controle invari-

ante em Gr

(d) e tome ξ ∈ C

. Ent˜ao existe uma base β = {e

, · · · , e

} de R

h = diag{λ

, · · · , λ

}, nesta base, com λ

> · · · > λ

> 0 e tal que h ∈ int (S) e ξ ´e

gerado por {e

, · · · , e

}, isto ´e, ξ ´e o atrator de h.

Notemos que se ξ ´e o atrator de um elemento“split regular” h ∈ S, ent˜ao ξ ∈ C

Com efeito, seja η ∈ Gr

(d) qualquer. Sabemos que existe g ∈ S tal que gη pertence a

variedade est´avel de ξ, j´a que esta variedade ´e densa e int(S) = ∅. Como h

gη → ξ

quando m → ∞, segue que ξ ∈ fe(Sη) para todo η ∈ Gr

(d) e, portanto, pela deﬁni¸c˜ao

de C

, temos que ξ ∈ C

5.2 Tipo parab´olico de um semigrupo

O objetivo desta se¸c˜ao ´e abordar a quest˜ao do tipo parab´olico de um semigrupo de interior

n˜ao vazio de Sl(n, R). Este conceito foi introduzido por San Martin em [13] no contexto

mais geral de semigrupos de interior n˜ao vazio de grupos de Lie semisimples. Entretanto,

para os prop´ositos deste trabalho, consideremos apenas Sl(n, R).

Nossa primeira observa¸c˜ao ´e a de que, como todo semigrupo de interior n˜ao vazio est´a

contido em um semigrupo maximal de interior n˜ao vazio, n˜ao h´a perda de generalidade

em supor que S ´e maximal.

Consideremos a variedade “ﬂag”maximal F

(R) e a Grasmanniana Gr

(n). Para cada

k existe uma ﬁbra¸c˜ao natural

: F

(R) → Gr

(n)

que associa a cada “ﬂag”

⊂ V

⊂ · · · ⊂ V

n−1

⊂ R

o subespa¸co k-dimensional V

CAP

ITULO 5. CONJUNTOS DE CONTROLE NA VARIEDADE DE GRASSMANN52

Alternativamente a ﬁbra¸c˜ao π

pode ser vista da seguinte maneira: Se P ´e o subgrupo

parab´olico minimal e H

´e o subgrupo de isotropia deﬁnido na Se¸c˜ao 2.2, ent˜ao P ⊂ H

e a ﬁbra¸c˜ao π

´e a ﬁbra¸c˜ao deﬁnida por

Sl(n)

→

Sl(n)

(gP ) = gH

A a¸c˜ao de G tanto em F

(R) como em Gr

(n) ´e equivariante no sentido que, se

g ∈ Sl(n) ent˜ao

(gξ) = gπ

(ξ), ∀ξ ∈ F

(R).

A rela¸c˜ao entre os conjuntos de controle invariantes e a ﬁbra¸c˜ao π

´e estabelecida na

pr´oxima proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 5.3. Considere a fribra¸c˜ao natural

: F

(R) → Gr

(n)

Se C

´e o conjunto de controle invariante para S em Gr

(n), ent˜ao π

, onde C

´e o conjunto de controle invariante para S em F

(R).

Demonstra¸c˜ao: Temos que π

−1

) ´e S-invariante e compacto, assim ele cont´em um

conjunto de controle invariante C. Tome x ∈ C.

fe(Sπ

(x)) = fe(π

(Sx)) = π

(fe(Sx)) = π

(C),

ou seja,

(C).

Logo, pela Proposi¸c˜ao 4.17 temos que π

(d). Como existe somente um conjunto de controle invariante em Gr

(d), segue que

Observemos na proposi¸c˜ao acima que C ⊂ π

−1

), para todo k. Pelos resultados de

San Martin ´e poss´ıvel concluir (Teorema 4.3 de [13]) que existem k



s tais que C = π

−1

CAP

ITULO 5. CONJUNTOS DE CONTROLE NA VARIEDADE DE GRASSMANN53

O k maximal satisfazendo a igualdade C = π

−1

) ´e denominado de tipo parab´olico do

semigrupo S.

Existem outras deﬁni¸c˜oes para o tipo parab´olico de um semigrupo S ⊂ Sl(n, R). Uma

delas pode ser obtida a partir do seguinte teorema de [11].

Teorema 5.4. Suponha que S ⊂ Sl(n, R) ´e um semigrupo maximal de interior n˜ao vazio.

Seja k o tipo parab´olico de S. Ent˜ao C

est´a contido na componente aberta de Bruhat

com respeito a qualquer base β para a qual existe g ∈ int(S) tal que, em rela¸c˜ao a β

g = diag{λ

, . . . , λ

}

com λ

> . . . > λ

> 0.

Para outras caracteriza¸c˜oes de semigrupos do tipo k, nos referimos a [13].

5.3 Conjuntos de controle e o Produto exterior

Nesta se¸c˜ao apresentamos alguns resultados sobre os conjuntos de controle na grassman-

niana Gr

(d) e na grassmanniana orientada Gr

(d). Al´em disso tamb´em apresentamos

as representa¸c˜oes da ´algebra e do grupo, dentro do contexto do produto exterior.

O pr´oximo resultado ´e sobre o conjunto de controle invariante em Gr

(d) e a transi-

tividade do semigrupo S de Sl(d, R). Sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada no Teorema

6.2 de [13].

Teorema 5.5. Suponhamos que S = Sl(d, R). Ent˜ao C

= Gr

(d) para qualquer k =

1, . . . , d − 1, e S n˜ao ´e transitivo em Gr

(d).

Ainda sobre os conjuntos de controle em Gr

(d) e em Gr

(d) temos o seguinte resul-

tado, cuja demonstra¸c˜ao pode ser consultada na Proposi¸c˜ao 3.3 de [11].

Proposi¸c˜ao 5.6. Seja S ⊂ Sl(d, R) um semigrupo com interior n˜ao vazio, gerado por

um subconjunto conexo Γ ⊂ Sl(d, R). Suponha exista um elemento “split regular” h ∈ Γ.

Ent˜ao os conjuntos de controle em Gr

(d) e em Gr

(d) s˜ao conexos.

No que segue veremos a conex˜ao entre as representa¸c˜oes da ´algebra e do grupo.

CAP

ITULO 5. CONJUNTOS DE CONTROLE NA VARIEDADE DE GRASSMANN54

Observa¸c˜ao 5.7. A representa¸c˜ao da ´algebra, que ´e dρ

(X) (onde ρ

´e a representa¸c˜ao

do grupo), tamb´em ser´a denotada por ρ

. As duas representa¸c˜oes est˜ao conectadas pela

f´ormula

(exp X) = exp(ρ

(X)). (5.3)

Note que, como X ∈ sl(d, R) temos que exp X ∈ Sl(d, R), ent˜ao a primeira exponencial

em (5.3) signiﬁca a exponencial em Sl(d, R) e como

: sl(d, R) −→ End(Λ

)

X −→ ρ

(X).

temos que a segunda exponencial em (5.3) signiﬁca a exponencial de aplica¸c˜oes lineares

em Λ

Assim como foi deﬁnido anteriormente em (2.4) temos que

(exp(tX))(u

∧ . . . ∧ u

) = exp(tX)u

∧ . . . ∧ exp(tX)u

(5.4)

Desta forma, a representa¸c˜ao da ´algebra de Lie ´e dada por

(X)(u

∧ . . . ∧ u

) = dρ

(X)(u

∧ . . . ∧ u

) =

t=0

(exp tX)(u

∧ . . . ∧ u

) =

t=0

(exp(tX)u

∧ . . . ∧ exp(tX)u

) = Xu

∧ . . . ∧ Xu

(Xu

∧ . . . ∧ u

) + (u

∧ Xu

∧ . . . ∧ u

) + . . . + (u

∧ u

. . . ∧ Xu

)

ou seja,

(X)(u

∧ . . . ∧ u

) = (Xu

∧ . . . ∧ u

) + . . . + (u

∧ . . . ∧ Xu

Voltamos ao semigrupo S com interior n˜ao vazio e olhamos seus conjuntos de controle

invariante em Gr

(d). Como vimos na Se¸c˜ao 2.4, a existˆencia de tal conjunto ´e garatida

pela compacidade de Gr

(d). Tamb´em, do fato que C

´e o ´unico conjunto de controle

invariante em Gr

(d) e a equivariˆancia de π : Gr

(d) → Gr

(d) sob a a¸c˜ao de Sl(d, R),

segue que eles est˜ao contidos em π

−1

) e projetados sobre C

(ver Proposi¸c˜ao 2.2 de

[10]). Deste modo, como π ´e uma aplica¸c˜ao de recobrimento duplo temos que exitem um

dos dois ou dois conjuntos de controle invariante em Gr

(d).

CAP

ITULO 5. CONJUNTOS DE CONTROLE NA VARIEDADE DE GRASSMANN55

Agora, escolha k tal que S ´e do tipo k. Pelo Teorema 5.4, C

est´a contido em alguma

componente aberta de Bruhat de Gr

(d). Como pela Proposi¸c˜ao 5.6 C

´e conexo e

tomando C = π

−1

), temos pela Proposi¸c˜ao 2.15 que existe η ∈ Λ

tal que η, ξ = 0

para qualquer ξ ∈ C. Como C ´e compacto, divide-se em duas componentes conexas,

digamos C

e C

−

, dadas por

= {ξ ∈ C : η, ξ > 0};

−

= {ξ ∈ C : η, ξ < 0}.

Assim existem duas possibilidades, ou C

´e um conjunto de controle invariante e o mesmo

acontece com C

−

, ou C = C

∪ C

−

´e o ´unico conjunto de controle invariante em Gr

(d).

Pela Proposi¸c˜ao 5.6 temos que a segunda possibilidade n˜ao pode acontecer, e portanto,

e C

−

s˜ao dois conjuntos de controle invariantes na grassmanniana orientada Gr

(d)

e s˜ao os ´unicos.

A pr´oxima proposi¸c˜ao ser´a extremamente ´util para a demonstra¸c˜ao do Teorema 6.12

no ´ultimo cap´ıtulo.

Proposi¸c˜ao 5.8. Suponhamos que S seja do tipo k e que existem dois S − c.c.i. conexos

em Gr

(d). Seja C

um deles. Ent˜ao −ξ /∈ C

se ξ ∈ C

Cap´ıtulo 6

Aplica¸c˜ao de Conjuntos de Controle

Mostrar a controlabilidade de um sistema bilinear do tipo

˙x = (A + uB)x, (6.1)

onde A e B s˜ao matrizes d × d, x ∈ R

\{0} e u pode assumir qualquer valor real, ´e um

problema que vem sendo muito estudado e ainda hoje permanece longe de ser comple-

tamente resolvido. At´e o presente momento, as condi¸c˜oes estabelecidas por Jurdjevic e

Kupka em [1] s˜ao uma das mais signiﬁcantes e conhecidas. Neste trabalho eles utilizam

um pro cedimento de indu¸c˜ao para mostrar que o cone L(S

) ⊂ g associado ao semi-

grupo S

´e na verdade igual a g (onde S

´e o semigrupo associado ao sistema de controle

Γ dado por Γ = {A + uB, u ∈ R}), o que implica que S

= Sl(d, R) e, portanto o sis-

tema (6.1) ´e control´avel. Nosso objetivo ´e mostrar a controlabilidade de (6.1) fazendo uso

dos resultados sobre conjuntos de controle na variedade Grassmaniana, visto no cap´ıtulo

anterior.

O procedimento baseia-se na seguinte id´eia: Seja Lie{A, B} a ´algebra de Lie gerada

pelas matrizes A e B, seja G o grupo de Lie cuja ´algebra de Lie ´e Lie{A, B}. Suponha

que o grupo G age transitivamente em R

\{0}. Considere o sistema de controle similar

ao sistema (6.1) no grupo de Lie G

X = (A + uB)X, (6.2)

onde A e B s˜ao matrizes d × d, X ∈ G e u ∈ R.

Em nosso caso as matrizes A e B s˜ao matrizes em sl(d, R) e G = Sl(d, R). A con-

trolabilidade do sistema (6.2) em Sl(d, R) implica na controlabilidade do sistema (6.1)

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 57

em R

\{0} conforme veremos adiante. Portanto mostraremos que o sistema ´e control´avel

no grupo, e para este ﬁm, faremos uso dos resultados sobre conjuntos de controle na

Grassmanniana apresentados no cap´ıtulo anterior.

6.1 Sistemas de controle invariantes `a direita

Iniciaremos com uma breve descri¸c˜ao dos sistemas de controle invariantes `a direita em

grupos de Lie, pois o sistema de controle bilinear (6.2) que ´e objeto do nosso estudo ´e

deste tipo.

Deﬁni¸c˜ao 6.1. Seja G um grupo de Lie e g sua ´algebra de Lie. Um sistema de controle

invariante a direita Γ no grupo de Lie G ´e um conjunto de campos vetoriais invariantes

`a direita em G, ou seja, qualquer subconjunto Γ ⊂ g.

Na verdade a equa¸c˜ao (6.2) e o subconjunto

Γ = {A + uB, u ∈ R} (6.3)

da ´algebra de Lie Lie{A, B} s˜ao duas formas de denotar um sistema de controle bilinear

em um grupo de Lie G.

Deﬁni¸c˜ao 6.2. Dizemos que um sistema Γ ⊂ g ´e control´avel a partir de X

∈ G se,

todo elemento X ∈ G pode ser atingido a partir de X

ao longo de uma concatena¸c˜ao de

trajet´orias de Γ, ou seja, o conjunto

) = {exp(t

) · · · exp(t

| A

∈ Γ, t

≥ 0, N ≥ 0}

´e igual ao grupo G. Se o sistema Γ ´e control´avel a partir de todo X ∈ G dizemos que Γ

´e control´avel no grupo G.

O conjunto

) = {exp(t

) · · · exp(t

| A

∈ Γ, t

≥ 0, N ≥ 0}

´e denominado conjunto dos pontos ating´ıveis a partir de X

. O conjunto dos pontos

ating´ıveis a partir da identidade S

(Id) ´e de extrema relevˆancia neste contexto, pois

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 58

tal conjunto constitui um semigrupo de G, o que nos permite fazer uso da teoria de

semigrupos para os nossos prop´ositos. Denotaremos o semigrupo S

(Id) simplesmente

por S

e o denominaremos semigrupo associado ao sistema de controle Γ.

Dentre os resultados sobre sistemas de controle invariantes `a direita que mais nos

interessam est˜ao os seguintes:

Proposi¸c˜ao 6.3. Um sistema de controle invariante `a direita Γ em um grupo de Lie G

´e control´avel em G se, e somente se, ´e control´avel `a partir da identidade, ou seja, se o

semigrupo S

´e igual ao grupo G.

A seguinte condi¸c˜ao ´e conhecida como a Condi¸c˜ao do Posto, sua importˆancia ´e evi-

denciada no resultado que segue sua deﬁni¸c˜ao.

Deﬁni¸c˜ao 6.4. Um sistema Γ ⊂ g ´e dito satisfazer a Condi¸c˜ao do Posto se

Lie(Γ) = g.

Teorema 6.5. (Condi¸c˜ao do Posto) Seja Γ ⊂ g.

1. Se Γ ´e control´avel, ent˜ao Lie(Γ) = g;

2. int (S

) = ∅ se, e somente se, Lie(Γ) = g.

A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser encontrada, por exemplo, em [15].

6.2 Sistemas induzidos em espa¸cos homogˆeneos

Nesta se¸c˜ao vamos mostrar como a controlabilidade do sistema invariante a direita Γ no

grupo G implica na controlabilidade do sistema de controle

˙x = Ax, (6.4)

onde A ´e uma matriz d × d, x ∈ R

\{0} e u ∈ R.

Vamos iniciar a se¸c˜ao com um exemplo que h´a de tornar clara a exposi¸c˜ao mais geral.

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 59

Exemplo 6.6. Consideremos o seguinte sistema invariante `a direita em Gl

(d, R):

Γ = A + RB ⊂ gl(d, R).

Na nota¸c˜ao cl´assica, escrevemos este sistema na forma

X = AX + uBX, X ∈ Gl

(d, R), u ∈ R. (6.5)

Introduzimos tamb´em o seguinte sistema bilinear:

˙x = Ax + uBx, x ∈ R

\{0}, u ∈ R. (6.6)

Note que, se X(t) ´e uma trajet´oria do sistema invariante a direita (6.5) com X(0) = Id,

ent˜ao a curva x(t) = X(t)x

´e uma trajet´oria do sistema bilinear (6.6), com x(0) = x

Assumindo a controlabilidade do sistema invariante `a direita em Gl

(d, R), teremos

que o sistema bilinear ´e control´avel em R

\{0}. Na verdade, tomando dois pontos quais-

quer x

, x

∈ R

\{0}, existe uma matriz X

∈ Gl

(d, R) tal que X

= x

. Em virtude

da controlabilidade de Γ, existe uma trajet´oria X(t) do sistema invariante a direita tal

que X(0) = Id, X(T ) = X

para algum T ≥ 0. Ent˜ao a trajet´oria x(t) = X(t)x

sistema bilinear, liga x

a x

x(0) = X(0)x

= Idx

= x

, x(T ) = X(T )x

= X

= x

Logo, mostrando que o sistema invariante a direita (6.5) ´e control´avel em Gl

(d, R),

teremos que o sistema bilinear (6.6) ´e control´avel em R

\{0}.

Neste argumento, os trˆes seguintes pontos s˜ao veriﬁcados:

1. O grupo de Lie G = Gl

(d, R) age na variedade M = R

\{0}, isto ´e, para qualquer

X ∈ G se deﬁne uma aplica¸c˜ao

X : M → M, X : x → Xx.

2. G age transitivamente em M:

∀ x

, x

∈ M ∃X ∈ G tal que Xx

= x

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 60

3. O sistema bilinear (6.6) ´e induzido pelo sistema invariante a direita (6.5): se X(t)

´e uma trajet´oria de (6.5), ent˜ao X(t)x ´e uma trajet´oria de (6.6).

Esta constru¸c˜ao ´e generalizada como segue.

Assim como foi deﬁnido na Se¸c˜ao 1.1 dizemos que um grupo de Lie G age na variedade

diferenci´avel M se existe uma aplica¸c˜ao diferenci´avel

θ : G × M → M

que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

i) θ(Y X , x) = θ(Y, θ(X, x)) para quaisquer X, Y ∈ G e x ∈ M;

ii) θ(Id, x) = x para qualquer x ∈ M.

Deﬁni¸c˜ao 6.7. Um grupo de Lie G age transitivamente em M se, para quaisquer x

, x

∈

M existe X ∈ G tal que θ(X, x

) = x

. A variedade que admite uma a¸c˜ao transitiva de

um grupo de Lie, damos o nome de espa¸co homogˆeneo deste grupo de Lie.

Denotaremos por T

o conjunto dos espa¸cos tangentes aos pontos de M, ou seja,



X∈M

onde M

denota o espa¸co tangente no ponto X.

Deﬁni¸c˜ao 6.8. Seja A ∈ g. O campo vetorial θ

∗

A ∈ T

induzido pela a¸c˜ao θ ´e deﬁnido

como segue:

(θ

∗

A)(x) =

t=0

θ(exp(tA), x), x ∈ M.

Note que se M = R

e A ∈ sl(d, R), ent˜ao o campo vetorial θ

∗

A induzido pela a¸c˜ao θ

´e

(θ

∗

A)(x) = θ(A, x) = Ax, x ∈ R

Deﬁni¸c˜ao 6.9. Seja Γ ⊂ g um sistema invariante a direita. O sistema

∗

Γ ⊂ T

(θ

∗

Γ)(x) = {(θ

∗

A)(x)| A ∈ Γ}, x ∈ M,

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 61

´e chamado sistema induzido em M.

No caso espec´ıﬁco em que M = R

e Γ ⊂ sl(d, R) temos que o sistema induzido por Γ

em R

´e (θ

∗

Γ)(x) = {Ax| A ∈ Γ}, x ∈ R

O pr´oximo resultado associa a uma trajet´oria em Γ, uma trajet´oria no sistema in-

duzido.

Lema 6.10. Se X(t) ´e uma trajet´oria de Γ, ent˜ao x(t) = θ(X(t), x

) ´e uma trajet´oria

de θ

∗

Γ, para qualquer x

∈ M.

Ver [16].

O pr´oximo resultado relaciona a controlabilidade do sistema no grupo com a contro-

labilidade do sistema induzido na variedade e a transitividade da a¸c˜ao do semigrupo S

na variedade com a controlabilidade do sistema induzido. Para consultar demonstra¸c˜oes

nos referimos a [16].

Teorema 6.11. Seja θ uma a¸c˜ao transitiva de um grupo de Lie conexo G na variedade

M. Sejam tamb´em Γ ⊂ g um sistema invariante `a direita em G e, θ

∗

Γ ⊂ VecM o sistema

induzido em M.

1. Se Γ ´e control´avel em G, ent˜ao θ

∗

Γ ´e control´avel em M.

2. Al´em disso, se o semigrupo S

age transitivamente em M, ent˜ao θ

∗

Γ ´e control´avel

em M.

Sejam M = R

\{0}, A e B matrizes em sl(d, R) e Γ = {A + uB, u ∈ R}. Considere

a seguinte a¸c˜ao de Sl(d, R) em R

\{0}

θ(A, X) = AX, A ∈ Sl(d, R), X ∈ R

\{0}.

Temos que esta a¸c˜ao ´e transitiva, e que o sistema induzido por Γ em R

\{0} ´e θ

∗

Γ =

{(A+uB)X, u ∈ R}. Assim, pelo teorema acima, temos que se o sistema Γ for control´avel,

ent˜ao o sistema induzido em R

ser´a control´avel.

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 62

6.3 A controlabilidade do sistema bilinear sob as condi¸c˜oes

de Jurdjevic e Kupka

Em [1] Jurdjevic e Kupka estabeleceram condi¸c˜oes sobre as matrizes A e B para que o

sistema (6.1) fosse control´avel. Essas condi¸c˜oes representam o maior avan¸co neste sentido,

sendo que o problema geral permanece em aberto.

No que segue faremos a demonstra¸c˜ao deste resultado, admitindo v´alidas as trˆes

condi¸c˜oes, conhecidas como condi¸c˜oes de Jurjevic e Kupka, entretanto, seguindo o m´etodo

utilizado por San Martin em [11]. As condi¸c˜oes sobre as matrizes A e B s˜ao as seguintes:

1. B = diag{ λ

, . . . , λ

} com λ

> . . . > λ

, ie, B ´e um “split regular” e seus autoval-

ores s˜ao bem ordenados;

2. Sendo A escrita como A = (a

), ent˜ao a

< 0;

3. A ´algebra de Lie gerada por A e B ´e sl(d, R).

Na demonstra¸c˜ao feita em [1], ´e considerado o cone convexo L(S

) ⊂ g associado ao

semigrupo S

, e mostrado, por um processo de indu¸c˜ao, que L(S

) = g e portanto, o

semigrupo S

´e igual ao grupo Sl(d, R), donde segue o resultado.

Aqui, mostraremos a controlabilidade utilizando os resultados envolvendo conjuntos de

controle invariantes do cap´ıtulo anterior. A id´eia consiste em mostrar que o cone L(S

)

associado ao semigrupo S

´e convexo e cont´em elementos apropriados. A partir disto,

utilizando os resultados do cap´ıtulo anterior para obter o desejado.

Teorema 6.12. Considere o sistema de controle bilinear Γ = {A + uB : u ∈ R}, com

A, B ∈ sl(d, R). Suponha que as matrizes A e B satisfa¸cam condi¸c˜oes de Jurdjevic e

Kupka, ou seja,

1. B = diag{λ

, . . . , λ

} com λ

> . . . > λ

, isto ´e, B ´e um split regular e seus

autovalores s˜ao bem ordenados;

2. Se A ´e escrita como A = (a

), ent˜ao a

< 0;

3. A ´algebra de Lie gerada por A e B ´e sl(d, R).

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 63

Ent˜ao S

= Sl(d, R).

Demonstra¸c˜ao: Consideremos o semigrupo associado ao sistema

= {exp(t

(A + u

B)) . . . exp(t

(A + u

B)) : t

≥ 0, u

∈ R, m ≥ 1}.

Pela terceira condi¸c˜ao temos que int(S

) = ∅. Suponha por absurdo que S

´e um

subsemigrupo pr´oprio de G. Neste caso consideremos

L(S

) = {X ∈ sl(d, R) : exp tX ∈ fe(S

) ∀t ≥ 0}

o cone associado a S

. Mostraremos que L(S

) ´e um cone convexo que cont´em A, ±B e

as matrizes

M =







0 . . . −1

. . . .

0 . . . 0







e N =







0 . . . 0

. . . .

1 . . . 0







Vimos na Se¸c˜ao 3.3 que L(S

) ´e um cone. Vamos mostrar que ´e convexo.

Para isto, sejam X, Y ∈ L(S

) e α ∈ [0, 1]. Como X, Y ∈ L(S

) temos que

exp(tX) ∈ fe(S

) e exp(tY ) ∈ fe(S

) ∀t ≥ 0.

Usando (3.1) temos

exp t(αX + (1 − α)Y ) = lim

n→∞

(exp(

αX) exp(

(1 − α)Y ))

mas

exp(

αX), exp(

(1 − α)Y ) ∈ f e(S

)

e como fe(S

) ´e um semigrupo fechado

exp t(αX + (1 − α)Y ) ∈ fe(S

)

o que implica que

αX + (1 − α)Y ∈ L(S

), X, Y ∈ L(S

) e α ∈ [0, 1].

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 64

Portanto L(S

) ´e um cone convexo.

Mostraremos agora que as matrizes A, ±B e

M =







0 . . . −1

0 . . . 0







e N =







0 . . . 0

1 . . . 0







pertencem a L(S

Note que, A, ±B ∈ sl(d, R). Ent˜ao temos que mostrar que exp(tA), exp(±tB) ∈

fe(S

). Considerando m = 1, e u

= 0, temos que

exp(tA) ∈ S

⇒ exp(tA) ∈ fe(S

ou seja, A ∈ L(S

). Tamb´em,

exp(±B) = exp( lim

u→∞

(

A ± B)) = exp( lim

u→∞

(A ± uB)) ∈ fe(S

)

e como esse ´e um semigrupo fechado, temos que ±B ∈ L(S

Como A, ±B ∈ L(S

) ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.8, temos que

exp(tadB)A ∈ L(S

), ∀t ∈ R.

Desta forma,

= exp(tadB)A = Ad(exp(tB))(A) = exp(−tB)A exp(tB) ∈ L(S

) ∀t ∈ R. (6.7)

Consideremos E

a matriz d × d que possui entrada igual a 1 na posi¸c˜ao ij e zero nas

demais entradas. Assumindo que a

< 0, escrevemos a matriz A da forma

A =



i,j=1

Assim,

= e

−tB

= e

−tB

(



i,j=1

= (



k=1

−λ

)(



i,j=1

)(



r=1

)

= (



i,j=1

−λ

)(



r=1

) = (



i,j=1

−(λ

−λ



i,j=1

−

isto ´e,

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 65



i,j=1

−

Como

∈ L(S

), e

−

> 0 ∀t ≥ 0

e L(S

) ´e um cone convexo fechado, temos que

lim

t→∞

−

∈ L(S

Computando este limite vemos que

lim

t→∞

−

= lim

t→∞

−

(



i,j=1

−

)

= lim

t→∞



i,j=1

−

= lim

t→∞



i,j=1

−(

−

= lim

t→∞

−(λ

−λ

+λ

+ e

−(λ

−λ

+λ

+ . . . + e

−(λ

−λ

+λ

−(λ

−λ

+λ

+ e

−(λ

−λ

+λ

+ . . . + e

−(λ

−λ

+λ

+ . . . +

−(λ

−λ

+λ

+ e

−(λ

−λ

+λ

+ . . . + e

−(λ

−λ

+λ

)

= a

pois como λ

> . . . > λ

, temos que

> λ

∀j = 1,

> λ

∀i = d

⇒

(λ

− λ

) + (λ

− λ

) > 0

⇒ ∆

− ∆

> 0 para todo ( i, j) = (d, 1).

Al´em disso, ∆

−∆

= 0. Portanto, o ´unico somat´orio no qual o expoente n˜ao ´e negativo

´e o termo em d, 1.

Ent˜ao conclu´ımos que a

∈ L(S

) e se considerarmos a

= 1 temos que a matriz

N ∈ L(S

Para mostrar que M ∈ L(S

) calculamos

lim

t→−∞

−

= a

∈ L(S

e como a

< 0 basta consider´a-lo igual a −1 e temos o desejado.

Mostramos que N, M ∈ L(S

) que ´e um cone convexo, ent˜ao

R = N + M ∈ L(S

Deste modo temos que,

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 66

R =







0 . . . −1

. . . .

1 . . . 0







∈ L(S

)

logo

exp(tR) ∈ fe(S

Sendo assim,

exp(πR) =







cosπ 0 . . . 0 senπ

0 1 . . . 0 0

0 0 . . . 1 0

−senπ 0 . . . 0 cosπ













−1







∈ fe(S

)

ou seja,

exp(πR) = diag{−1, 1, . . . , 1, −1} ∈ fe(S

Como B = diag{λ

, . . . , λ

} ´e “split regular” temos que

exp B = diag{e

, . . . , e

´e um “split regular” com e

> . . . > e

> 0, e como vimos na Se¸c˜ao 2.3 temos que

(exp B)

ξ −→ ξ

= e

∧ . . . ∧ e

com ξ ∈ C

. Os ´ıtens (ii) e (iii) Prop osi¸c˜ao 4.17 justiﬁcam que ξ

pertence a um conjunto

de controle invariante em Gr

(d), j´a que

∈ S

⊂ C

= C

Entretanto, como em (5.4) temos que

(exp πR)(e

∧ . . . ∧ e

) = exp(πR)e

∧ . . . ∧ exp(πR)e

= −e

∧ . . . ∧ e

mostrando que −ξ

= −e

∧ . . . ∧ e

pertence ao mesmo conjunto de controle invariante.

Ent˜ao pela contrapositiva da Proposi¸c˜ao 5.8 temos que S

n˜ao ´e do tipo k, para nenhum

k. Por outro lado pelo Teorema 5.4 temos que S

´e do tipo k. Portanto S

= Sl(d, R),

ou seja, o sistema Γ ´e control´avel.

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 67

Nas hip´oteses do teorema acima, conclu´ımos que o sistema bilinear Γ = {A + uB : u ∈

R} ´e control´avel. Pelas considera¸c˜oes feitas na Se¸c˜ao 6.2 temos que o sistema de controle

em R

\{0}

˙x = (A + uB)x,

com u ∈ R ´e control´avel.

Vejamos um exemplo sobre a controlabilidade.

Exemplo 6.13. Consideremos o sistema Γ = {A, B, −B}, onde A e B s˜ao dadas por

A =



0 1

−1 0



e B =



1 0

0 −1



Vamos mostrar que o sistema Γ ´e control´avel em R

\{0}.

Notemos inicialmente que B pode ser escrita na forma B = diag{1, −1} e seus auto

valores est˜ao bem ordenados 1 > − 1.

Sobre a matriz A temos que a

= (1)(−1) < 0. Al´em disso, a ´algebra de Lie gerada

pelas matrizes A e B ´e sl(2, R).

Com efeito, lembrando que a dimens˜ao de sl(2, R) ´e 3 temos que,

[A, B] = AB − BA =



0 −1

−1 0



−



0 1

1 0





0 −2

−2 0



e [A, B] n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de A e B, pois αA + βB = [A, B], ∀α, β ∈ R.

Logo, {A, B, [A, B]} ´e uma base para sl(2, R).

Portanto, como o sistema satisfaz as trˆes condi¸c˜oes de Jurdjevic e Kupka, ´e control´avel.

Em [17], Braga, Ribeiro, Rocio e San Martin mostraram que a controlabilidade do

sistema

˙x = (A + uB)x

onde A e B matrizes 2 × 2, ´e garantida se a condi¸c˜ao det[A, B] < 0. O que podemos

observar ´e que, no caso 2 × 2, se as matrizes A e B satisfazem as condi¸c˜oes de Jurdjevic

e Kupka, ent˜ao det[A, B] < 0. De fato, sejam

A =



a c

d −a



tal que cd < 0 e B =



b 0

0 −b



com b > 0.

CAP

ITULO 6. APLICAC¸

AO DE CONJUNTOS DE CONTROLE 68

Temos que a matriz B pode ser escrita na forma B = diag{b, −b} e seus autovalores

est˜ao bem ordenados b > −b. A matriz A satisfaz que a

= cd < 0 e ainda, [A, B] =

αA + βB para todo α, β ∈ R. Logo {A, B, [A, B]} ´e uma base para sl(2, R) e portanto as

condi¸c˜oes de Jurdjevic est˜ao satisfeitas.

Al´em disso,

[A, B] =



0 −2bc

2bd 0



e det[A, B] = 4b

cd < 0.

O pr´oximo exemplo mostra que as condi¸c˜oes de Jurdjevic e Kupka s˜ao suﬁcientes para

a controlabilidade do sistema ˙x = (A + uB)x, mas n˜ao necess´arias.

Exemplo 6.14. Seja G = Sl(2, R) e Γ = A + RB ⊂ sl (2, R), onde A e B s˜ao matrizes

da forma

A =



a 1

0 −a



e B =



b 0

a −b



com a, b > 0.

Temos que [A, B] =



a −2b

0 −a



, det[A, B] = −a

< 0 e por [17] temos que o sistema

´e control´avel. No entanto as condi¸c˜oes de Jurdjevic e Kupka n˜ao s˜ao satisfeitas, j´a que

= (1)(0) = 0 e mais ainda, B n˜ao pode ser escrita na forma diagonal.

Cap´ıtulo 7

Conclus˜ao

O problema sobre a controlabilidade de um sistema bilinear da forma

˙x = (A + uB)x

onde A e B s˜ao matrizes d× d, x ∈ R

e u ∈ R, ainda permanece em aberto. As condi¸c˜oes

estabelecidas por Jurdjevic e Kupka sobre as matrizes A e B, abordadas neste trabalho,

s˜ao as mais signiﬁcativas at´e o momento.

Jurdjevic e Kupka tamb´em estabeleceram em [2], condi¸c˜oes suﬁcientes para a contro-

labilidade do sistema, num caso mais geral, onde o sistema Γ est´a contido na ´algebra de

Lie de um grupo de Lie semisimples.

Para o caso do sistema bilinear

˙x = (A + uB)x

com A e B matrizes 2 × 2, o problema est´a totalmente resolvido. Em [17] Braga, Ribeiro,

Rocio e San Martin estabeleceram que o sistema ´e control´avel se, e somente se, det[A, B] <

As perspectivas s˜ao de que sejam estabelecidas condi¸c˜oes suﬁcientes para a controla-

bilidade do sistema bilinear

˙x = (a + uB)x,

com A e B matrizes na ´algebra de Lie de outros grupos de Lie, como por exemplo, do grupo

simpl´etico Sp(n), al´em ´e claro, da expectativa de que o problema seja completamente

resolvido.

Indice Remissivo

E, 24

´algebra de Lie, 6

´algebra de Lie abeliana, 9

´algebra de Lie nilpotente, 10

´algebra de Lie semi-simples, 10

´algebra de Lie simples, 10

´algebra de Lie sol´uvel, 9

´algebra derivada, 9

a¸c˜ao, 7

a¸c˜ao do semigrupo nas Grassmannianas, 50

a¸c˜ao efetiva, 8

a¸c˜ao transitiva, 8, 37

aplica¸c˜ao exponencial, 11

automorﬁsmo de ´algebras de Lie, 7

automorﬁsmos de grupos de Lie, 6

campo vetorial invariante a esquerda, 7

centralizador da ´algebra, 6

centralizador do grupo, 5

centro, 5

condi¸c˜ao do posto, 58

cone, 33

cone associado ao semigrupo, 34

cone invariante, 33

conjunto de controle, 38

conjunto de controle efetivo, 42

conjunto de controle invariante, 43

conjunto de controle maximal, 43

conjunto de transitividade, 39

conjunto de transitividade na Grassmanni-

ana, 50

conjuntos de pontos ating´ıveis, 57

decomposi¸c˜ao de Bruhat das Grassmanni-

anas, 19

espa¸co homogˆeneo, 60

ﬁbra¸c˜ao natural, 51, 52

Flag maximal, 14

forma k-linear, 24

forma k-linear alternada, 24

forma k-linear decompon´ıvel, 25

Grassmanniana orientada, 27

grupo de Heisenberg, 31

grupo de Lie, 4

homomorﬁsmo de ´algebras de Lie, 7

homomorﬁsmos de grupos de Lie, 6

ideal, 31

ideal `a direita, 31

ideal `a esquerda, 31

ideal da ´algebra de Lie, 9

INDICE REMISSIVO 71

identidade de Jacobi, 6

isomorﬁsmo de ´algebras de Lie, 7

isomorﬁsmos de grupos de Lie, 6

mon´oide, 30

normalizador da ´algebra, 6

normalizador do grupo, 5

radical sol´uvel, 10

representa¸c˜ao adjunta, 8

representa¸c˜ao do grupo de Lie, 7

s´erie central descendente, 10

s´erie derivada, 9

semigrupo, 30

semigrupo acess´ıvel, 37

semigrupo associado ao sistema de controle,

semigrupo control´avel, 37

semigrupo de compress˜ao, 35

sistema control´avel, 57

sistema de controle invariante `a direita, 57

sistema induzido, 61

split regular, 21

sub´algebra de Lie, 6

subgrupo a um parˆametro, 11

subgrupo de isotropia, 12

subgrupo de Lie, 4

subsemigrupo, 30

tipo parab´olico do semigrupo, 53

transla¸c˜ao a esquerda, 7

Variedade de Grassmann, 16

Variedades Flags, 13

variedades homogˆeneas, 12

Bibliograﬁa

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lity, J. Diﬀerential Equations, 39(1981), 186-211.

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groups, Oxford University Press, Oxford, 1989.

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Algebras de Lie. Editora da Unicamp (1999).

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