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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING
´
A
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEM
´
ATICA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA
(Mestrado)
ADEVAL LINO FERREIRA
Estabiliza¸c˜ao uniforme da equa¸c˜ao da onda sobre
uma superf´ıcie compacta com dissipa¸c˜ao localmente
distribu´ıda
Maring´a - PR
2009
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ADEVAL LINO FERREIRA
Estabiliza¸c˜ao uniforme da equa¸c˜ao da onda sobre
uma superf´ıcie compacta com dissipa¸c˜ao localmente
distribu´ıda
Disserta¸c˜ao submetida ao corpo docente do
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da
Universidade Estadual de Maring´a - UEM-PR,
como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao
do grau de Mestre.
Orientador: Marcelo Moreira Cavalcanti.
Maring´a - PR
2009
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ii
Estabiliza¸c˜ao Uniforme da Equa¸c˜ao da Onda Sobre
Uma Superf´ıcie Compacta com Dissipa¸c˜ao
Localmente Distribu´ıda
Adeval Lino Ferreira
Tese submetida ao corpo docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
da Universidade Estadual de Maring´a - UEM-PR, como parte dos requisitos necess´arios
`a obten¸c˜ao do grau de Mestre.
Aprovada por:
Prof.Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti - UEM
(Orientador)
Prof.Dr. Ryuichi Fukuoka -UEM
Prof.Dr. Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki - UFV
Maring´a
Fevereiro, 2009
`
A minha esposa e ao meu filho...
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus, pois sem ele nada seria poss´ıvel.
Aos meus pais, que com muito sacrif´ıcio me propiciaram a chance de estudar.
Agrade¸co tamb´em a minha esposa por ter sido paciente e compreens´ıvel nas horas
dif´ıceis.
Agrade¸co a todos os meus professores, desde o ensino fundamental at´e o mestrado.
Em geral a todos do Departamento de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, que direta ou
indiretamente contribu´ıram para elabora¸c˜ao deste trabalho.
Agrade¸co principalmente ao meu orientador prof.Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti,
por ser uma pessoa ´ıntegra, humilde e acima de tudo bem humorada, agrade¸co tamb´em
`a prof(a) Val´eria, que ´e uma pessoa excepcional. O conhecimento que adquiri com prof.
Marcelo ´e algo valioso que desfrutarei pelo resto da vida.
Por fim, agrade¸co ao CNPq, pelo apoio financeiro, sem o qual seria imposs´ıvel
dedicar-se integralmente `a jornada de estudos.
Adeval Lino Ferreira.
“O estudo, a busca da verdade e da beleza
s˜ao dom´ınios em que nos ´e consentido sermos
crian¸cas por toda a vida.”
Albert Einstein.
Resumo
Este trabalho est´a relacionado com o estudo da equa¸c˜ao da onda em superf´ıcies
compactas com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda, descrita por
u
tt
− ∆
M
u + a(x)g(u
t
) = 0 em M× (0, ∞)
u(x, 0) = u
0
(x) , u
(x, 0) = u
1
(x)
onde M ⊂ R
3
´e uma superf´ıcie compacta orientada sem fronteira (de classe C
3
), tal
que M = M
0
∪ M
1
onde M
1
= {x ∈ M; m(x) · ν(x) > 0} e M
0
= M \ M
1
, aqui
m(x) := x − x
0
, x
0
∈ R
3
, e ν ´e o campo de vetores normais unit´arios exteriores de M.
ii
Abstract
This work is concerned with the study of wave equation on compact surfaces and
locally distributed damping, described by
u
tt
− ∆
M
u + a(x)g(u
t
) = 0 em M× (0, ∞)
u(x, 0) = u
0
(x) , u
(x, 0) = u
1
(x)
where M ⊂ R
3
is a smooth (of class C
3
) oriented embedded compact surface without
boundary, such that M = M
0
∪ M
1
, where M
1
= {x ∈ M; m(x) · ν(x) > 0} and
M
0
= M\M
1
, here, m(x) := x −x
0
, x
0
∈ R
3
, and ν is the exterior unit normal vector
field of M.
iii
Sum
´
ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 6
1.1 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 No¸c˜ao de Derivada Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Os Espa¸cos L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 O Espa¸co W (a, b; V, V
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Fun¸c˜oes Escalarmente Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Teoria de Tra¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Tra¸co em L
2
(0, T ; H
m
(Ω)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Tra¸co em H
−1
(0, T ; H
m
(Ω)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Teorema de Carath´eodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Teoria Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Operadores Maximais Mon´otonos - O Teorema de Hille Yosida . . . . . . 35
1.8 Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iv
SUM
´
ARIO v
1.9 Equa¸c˜oes N˜ao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.10 Um Repasso A Geometria Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.10.1 Superf´ıcie Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.10.2 O Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.10.3 O Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.10.4 O Operador Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes 59
2.1 Problema Aproximado Para o Caso Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.1 Estimativas a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.2 Dados Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.3 Unicidade da Solu¸c˜ao Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2 Solu¸c˜oes Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.1 Existˆencia de Solu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.2 Unicidade da Solu¸c˜ao Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 Existˆencia e Unicidade Para o Problema N˜ao Linear . . . . . . . . . . . . 76
2.3.1 Problema Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.2 Estimativas `a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3.3 Dados Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3.4 Unicidade de Solu¸c˜ao Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.5 Solu¸c˜oes Fracas para o Problema N˜ao-Linear . . . . . . . . . . . . 96
2.3.6 Unicidade de Solu¸c˜ao Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4 Existˆencia de Solu¸c˜oes via teoria de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4.1 Existˆencia e unicidade e solu¸c˜oes regulares em [0, T
max
) . . . . . . 100
SUM
´
ARIO vi
2.4.2 Extens˜ao da solu¸c˜ao de zero ao infinito . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.4.3 Unicidade da Solu¸c˜ao Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.4.4 Existˆencia e unicidade de Solu¸c˜oes Fracas como Limite de Solu¸c˜oes
Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.5 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.5.1 Identidade da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3 Resultado de Estabilidade 126
3.1 Hip´oteses Geom´etricas Essenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1.1 Resultado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2 Prova do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.2.2 Conclus˜ao do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3 Computa¸c˜oes Efetivas das Taxas de Decaimento dadas pelo pelo Teorema
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.4 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.4.1 Cut-off Intr´ınseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Bibliografia 156
Introduc¸
˜
ao
Neste trabalho consideramos o problema da equa¸c˜ao da onda em superf´ıcies com-
pactas com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda. Para tanto, consideramos M uma su-
perf´ıcie compacta, mergulhada, orientada sem fronteira no R
3
, (de classe C
3
), com
M = M
0
∪ M
1
, onde
M
1
= {x ∈ M; m(x) ·ν(x) > 0} e M
0
= M \ M
1
Aqui, m(x) := x − x
0
, (x
0
∈ R
3
; fixado) e ν ´e o campo de vetores normais unit´arios
exteriores de M. Este trabalho ´e voltado para o estudo da estabiliza¸c˜ao uniforme das
solu¸c˜oes do seguinte problema dissipativo
u
tt
− ∆
M
u + a(x)g(u
t
) = 0 em M× (0, ∞)
u(x, 0) = u
0
(x) , u
(x, 0) = u
1
(x) x ∈ M
(1)
onde a(x) ≥ a
0
> 0 sobre um subconjunto aberto M
∗
de M e al´em disso g ´e uma fun¸c˜ao
mon´otona crescente.
A estabilidade para a equa¸c˜ao da onda
u
tt
− ∆u + f(u) + a(x)g(u
t
) = 0 em Ω × R
+
onde Ω ´e um dom´ınio limitado em R
n
, foi estudada por um longo tempo por muitos
autores. Quando o termo dissipativo depende da velocidade linearmente, ou seja, temos
a(x)u
t
no lugar de a(x)g(u
t
), Zuazua [47] provou que a energia decai exponencialmente
se a regi˜ao ω onde se localiza a dissipa¸c˜ao, isto ´e, aquela onde a(x) ≥ a
0
> 0, cont´em
uma vizinhan¸ca da fronteira ∂Ω de Ω, ou pelo menos cont´em uma vizinhan¸ca ω∗ de uma
1
SUM
´
ARIO 2
parte particular, dada por
{x ∈ ∂Ω ; (x − x
0
) · ν(x) ≥ 0}
onde ν representa o vetor normal unit´ario exterior a Ω e x
0
∈ R
n
. No mesmo sentido,
mas quando f = 0, ´e importante mencionar o trabalho devido a Rauch e Taylor [42] e,
subseq¨uentemente, os resultados de Bardos, Lebeau e Rauch [34], baseados na an´alise
microlocal, que assegura uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para obter o decaimento ex-
ponencial, a saber, a regi˜ao dissipativa, deve satisfazer a condi¸c˜ao de controle geom´etrico.
Um exemplo cl´assico de um aberto ω satisfazendo esta condi¸c˜ao ´e quando ω ´e uma vi-
zinhan¸ca da fronteira. Mais tarde, outra vez considerando f = 0, Nakao [30] estende o
resultado de Zuazua [47], tratando primeiramente o caso de uma equa¸c˜ao linear degene-
rada, e ent˜ao o caso de uma dissipa¸c˜ao n˜ao-linear ρ(x, u
t
), como geralmente, a fun¸c˜ao ρ
tem um crescimento polinomial perto da origem. Martinez [40] melhorou os resultados
precedentes, mencionados acima, em o qual se refere ao assunto linear da equa¸c˜ao da
onda a uma dissipa¸c˜ao n˜ao-linear ρ(x, u
t
), evitando o crescimento polinomial da fun¸c˜ao
ρ(x, s) em uma vizinhan¸ca da origem. Sua prova ´e baseada em parte na t´ecnica dos
multiplicadores desenvolvida por Liu [39], combinando com as desigualdades integrais
n˜ao-lineares para mostrar que a energia do sistema decai a zero com uma estimativa pre-
cisa para a taxa de decaimento se a regi˜ao de dissipa¸c˜ao satisfaz algumas circunstˆancias
geom´etricas. Mais recentemente, e ainda considerando f = 0, Alabau-Boussouira [2]
estendeu os resultados de Martinez [40], mostrando taxas de decaimento ´otimas de ener-
gia. Al´em disso, gostar´ıamos de mencionar o trabalho mais recente neste sentido devido
a D.Toundykov [44] que apresenta taxas de decaimento ´otimas para solu¸c˜oes de uma
equa¸c˜ao da onda semilinear com dissipa¸c˜ao localizada no interior e condi¸c˜ao de fronteira
tipo Neumann.
Uma quest˜ao natural levanta-se no contexto da equa¸c˜ao da onda em uma superf´ıcie
compacta. Seria poss´ıvel estabilizar o sistema considerando uma dissipa¸c˜ao localizada
que atua em uma parte da superf´ıcie? No caso afirmativo, quais seriam as imposi¸c˜oes
geom´etricas que ter´ıamos que supor sobre a superf´ıcie? Quanto ao termo de dissipa¸c˜ao
SUM
´
ARIO 3
atuar em toda superf´ıcie, o problema foi estudado por Cavalcanti e Domingos Cavalcanti
em [10] e tamb´em por Andrade e outros em [3, 4] no contexto do problema viscoelastico.
N˜ao havia na literatura at´e o presente, um trabalho a respeito da equa¸c˜ao da onda n˜ao-
linear em superf´ıcies compactas, quando o termo de dissipa¸c˜ao atua em uma parcela M
∗
contida estritamente em M. Para o caso linear, podemos mencionar os trabalhos devido
a Rauch e Taylor [42], Hitrik [37] e, mais recentemente, Christianson [35].
O principal objetivo desta disserta¸c˜ao ´e exatamente provar o problema acima men-
cionado quando a por¸c˜ao de M, onde a dissipa¸c˜ao ´e efetiva ´e estrategicamente escolhida.
Para i = 1, . . . , k, assuma que existem subconjuntos abertos M
0i
⊂ M
0
de M com fron-
teira regular ∂M
0i
tais que M
0i
s˜ao umb´ılicos, ou, mais geralmente, que as curvaturas
principais k
1
e k
2
satisfa¸cam |k
1
(x) − k
2
(x)| < ε
i
(ε
i
considerado suficientemente pe-
queno) para todo x ∈ M
0i
. Al´em disso, suponha que a curvatura m´edia H de cada
M
0i
´e n˜ao-positiva (i.e. H ≤ 0 sobre M
0i
para cada i = 1, . . . , k) e que a dissipa¸c˜ao ´e
efetiva em um subconjunto aberto M
∗
⊂ M que cont´em M\∪
k
i=1
M
0i
, conforme ilustra
a figura 1 abaixo.
M
1
M
01
x
0
◦
◦
M
∗
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
✟
✟
✟
✟
✟
✟
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✟
✟
✟
✟
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
❵
✐
②
x − x
0
✟
✟✯
ν(x)
❅
❅■
x − x
0
ν(x)
❵
❵
•
Figura 1
Figura 1: O observador est´a localizado em x
0
. O subconjunto M
0
´e a parte “vis´ıvel”
de M e M
1
´e seu complemento. O subconjunto M
∗
⊃ M\ ∪
k
i=1
M
0i
= M\M
01
´e um
conjunto aberto que cont´em M\ ∪
k
i=1
M
0i
e a dissipa¸c˜ao ´e efetiva a´ı.
Outro exemplos de superf´ıcies compactas sem bordo que podem ficar livres de
efeitos dissipativos s˜ao aquelas que contem partes cˆonicas em sua composi¸c˜ao. Mais
precisamente, o efeito dissipativo deve conter estritamente o complementar da parte
SUM
´
ARIO 4
cˆonica, conforme ilustra a figura 2 abaixo.
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
x
0
•
❍
❍
❍
❍
❍
✟
✟
✟
✟
✟
❍
❍❨
✁
✁
✁✕
✟
✟✙
❆
❆
❆❯
x
x − x
0
x
x − x
0
ν(x)
ν(x)
Figura 2: A parte em negrito representa a ´area dissipativa enquanto a parte branca n˜ao
h´a dissipa¸c˜ao.
O problema acima foi solucionado recentemente em um trabalho de autoria de Ca-
valcanti, Domingos Cavalcanti, Fukuoka e Soriano [8] e o objetivo desta disserta¸c˜ao ´e
apresentar de forma did´atica o conte´udo do artigo referido.
A estrat´egia utilizada para provar a conjectura acima ´e basicamente usar a t´ecnica
dos multiplicadores e campos, conforme em Lions [19] combinado com novos ingredientes
que ser˜ao esclarecidos no decorrer da disserta¸c˜ao. Com efeito, a maior dificuldade e
novidade nesse tipo de problema sobre superf´ıcies ´e como lidar (ou interpretar) os termos
novos que surgem nos c´alculos que provem da estrutura geom´etrica de M. Al´em disso,
esta t´ecnica pode ser naturalmente estendida para equa¸c˜oes semilineares onde a fun¸c˜ao
semi-linear f(s) ´e assumida ser super-linear conforme o trabalho de Triggiani e Yao [43].
Para finalizar, gostar´ıamos de enfatizar que as demonstra¸c˜oes dos cl´assicos [42, 34, 37],
baseados em an´alise microlocal, n˜ao se estendem ao problema n˜ao linear (1). Mais ainda,
fazendo o uso de argumentos utilizados por Lasiecka and Tataru [18] obtemos ıtaxas
´otimas de decaimento da energia. Tais taxas s˜ao consideradas ´otimas, uma vez que
quando explicitadas (conforme em Cavalcanti, Domingos Cavalcanti and Lasiecka [9]),
SUM
´
ARIO 5
elas s˜ao as mesmas daquelas taxas ´otimas provadas no trabalho de Alabau-Boussouira
[2] ou de Toudykov [44].
Cap
´
ıtulo 1
Preliminares
1.1 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais
1.1.1 No¸c˜ao de Derivada Fraca
No estudo de problemas descritos pelas equa¸c˜oes diferenciais parciais cujos dados
iniciais n˜ao s˜ao regulares o suficiente para possu´ırem derivada no sentido cl´assico, faz-se
necess´aria a introdu¸c˜ao de um novo conceito de derivada.
Para entendermos tal conceito necessitamos de algumas defini¸c˜oes:
1
o
) Espa¸co das fun¸c˜oes testes
Dados α = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ∈ N
n
e x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
, representaremos por
D
α
o operador deriva¸c˜ao de ordem α definido por
D
α
=
∂
|α|
∂x
1
α
1
∂x
2
α
2
. . . ∂x
n
α
n
,
onde |α| =
n
i=1
α
i
. Se α = (0, 0, . . . , 0), define-se D
α
u = u.
Seja Ω um aberto do R
n
. Denotaremos por C
∞
0
(Ω) o conjunto das fun¸c˜oes ϕ :
Ω → K (onde K = R ou K = C) que s˜ao infinitamente diferenci´aveis em Ω e que tem
suporte compacto, onde suporte ϕ ´e o fecho do conjunto {x ∈ Ω; ϕ(x) = 0} em Ω, ou
seja, supp (ϕ) =
{x ∈ Ω; ϕ(x) = 0}
Ω
.
Dizemos que uma seq¨uˆencia {ϕ
ν
} ⊂ C
∞
0
(Ω) converge para zero, denotando ϕ
ν
→ 0,
se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω, tal que:
6
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 7
i) supp (ϕ
ν
) ⊂ K, ∀ν ∈ N;
ii) D
α
ϕ
ν
→ 0 uniformemente sobre K, ∀α ∈ N
n
.
Dizemos que uma seq¨uˆencia {ϕ
ν
} ⊂ C
∞
0
(Ω) converge para ϕ ⊂ C
∞
0
(Ω) quando a
seq¨uˆencia {ϕ
ν
− ϕ} converge para zero no sentido acima definido.
O espa¸co C
∞
0
(Ω), munido desta no¸c˜ao de convergˆencia, ´e denominado espa¸co das
fun¸c˜oes testes, e denotado por D(Ω).
2
o
) Distribui¸c˜ao sobre um aberto Ω ⊂ R
n
Definimos como distribui¸c˜ao sobre Ω a toda forma linear e cont´ınua em D(Ω). O
conjunto de todas as distribui¸c˜oes sobre Ω ´e um espa¸co vetorial, o qual representa-se
por D
(Ω), chamado espa¸co das distribui¸c˜oes sobre Ω, munido da seguinte no¸c˜ao de
convergˆencia: Seja (T
ν
) uma sucess˜ao em D
(Ω) e T ∈ D
(Ω). Diremos que T
ν
→ T em
D
(Ω) se a seq¨uˆencia num´erica {T
ν
, ϕ} converge para T, ϕ em R, ∀ ϕ ∈ D(Ω).
3
o
) Denotaremos por L
1
loc
(Ω) o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oes u : Ω → K tais que
|u| ´e integr´avel no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K de Ω.
De posse destas defini¸c˜oes estamos aptos a entender este novo conceito de derivada.
S. Sobolev introduziu, em meados de 1936, uma no¸c˜ao global de derivada a qual denominou-
se derivada fraca, cuja constru¸c˜ao dar-se-´a a seguir:
Sejam u, v definidas num aberto limitado Ω do R
n
, cuja fronteira Γ ´e regular.
Suponhamos que u e v possuam derivadas parciais cont´ınuas em Ω = Ω ∪ Γ. Se u ou v
se anula sobre Γ, obtemos do lema de Gauss que
Ω
u
∂v
∂x
k
dx = −
Ω
v
∂u
∂x
k
dx.
A express˜ao anterior motivou a derivada fraca dada por Sobolev: Uma fun¸c˜ao
u ∈ L
1
loc
(Ω) ´e deriv´avel no sentido fraco em Ω, quando existe uma fun¸c˜ao
v ∈ L
1
loc
(Ω) tal que
Ω
u(x)
∂ϕ(x)
∂x
k
dx = −
Ω
v(x)ϕ(x)dx, para toda ϕ ∈ D(Ω).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 8
Embora, tal conceito de derivada tenha sido um marco na evolu¸c˜ao do conceito
de solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial, ele apresenta uma grave imperfei¸c˜ao no fato que
nem toda fun¸c˜ao de L
1
loc
(Ω) possui derivada neste sentido. No intuito de sanar este tipo
de problema, Laurent Schwartz, em meados de 1945, introduziu a no¸c˜ao de derivada no
sentido das distribui¸c˜oes, a qual generaliza a no¸c˜ao de derivada formulada por Sobolev,
como segue:
Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω e α ∈ N
n
. A derivada de ordem α de T, no sentido
das distribui¸c˜oes, ´e definida por:
D
α
T, ϕ = (−1)
|α|
T, D
α
ϕ; ∀ϕ ∈ D(Ω).
Verifica-se que D
α
T ´e ainda uma distribui¸c˜ao e que o operador
D
α
: D
(Ω) → D
(Ω), tal que a cada T associa-se D
α
T , ´e linear e cont´ınuo.
1.1.2 Os Espa¸cos L
p
(Ω)
Seja Ω um aberto do R
n
. Representaremos por L
p
(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, o espa¸co
vetorial das (classes de) fun¸c˜oes definidas em Ω com valores em K tais que |u|
p
´e integr´avel
no sentido de Lebesgue em Ω.
Teorema 1.1. (Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue) - Seja (u
ν
)
ν∈N
uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes integr´aveis num aberto Ω ⊂ R
n
, convergente quase sempre para
uma fun¸c˜ao u. Se existir uma fun¸c˜ao u
0
∈ L
1
(Ω) tal que |u
ν
| ≤ u
0
quase sempre, ∀ν ∈ N
ent˜ao u ´e integr´avel e tem-se
Ω
u = lim
ν→∞
Ω
u
ν
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [22].
O espa¸co L
p
(Ω) munido da norma
u
L
p
(Ω)
=
Ω
|u(x)|
p
dx
1
p
, para 1 ≤ p < +∞
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 9
e
u
L
∞
= sup
x∈Ω
ess|u(x)|, para p = +∞,
´e um espa¸co de Banach.
No caso p = 2, L
2
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert.
Proposi¸c˜ao 1.2. (Desigualdade de Young) - Sejam 1 < p , q < ∞ tal que
1
p
+
1
q
= 1 e a, b > 0. Ent˜ao
ab ≤
a
p
p
+
b
q
q
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Proposi¸c˜ao 1.3. (Desigualdade de Minkowski) - Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e f, g em
L
p
(Ω), ent˜ao
f + g
L
p
(Ω)
≤ f
L
p
(Ω)
+ g
L
p
(Ω)
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [22].
Proposi¸c˜ao 1.4. (Desigualdade de H¨older) - Sejam u ∈ L
p
(Ω) e v ∈ L
q
(Ω) com
1 ≤ p ≤ ∞ e
1
p
+
1
q
= 1. Ent˜ao uv ∈ L
1
(Ω) e temos a desigualdade
Ω
|uv| ≤ u
L
p
(Ω)
v
L
q
(Ω)
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Segue como corol´ario da proposi¸c˜ao anteiror o seguinte resultado:
Corol´ario 1.5. (Desigualdade de H¨older generalizada) - Sejam f
1
, f
2
, . . . , f
k
fun¸c˜oes,
tais que f
i
∈ L
p
i
(Ω), p
i
≥ 1, 1 ≤ i ≤ k, onde
1
p
1
+
1
p
2
+ . . . +
1
p
k
=
1
p
e
1
p
≤ 1. Ent˜ao o
produto f = f
1
f
2
. . . f
k
∈ L
p
(Ω) e
f
L
p
(Ω)
≤ f
1
L
p
1
(Ω)
f
2
L
p
2
(Ω)
. . . f
k
L
p
k
(Ω)
.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 10
Proposi¸c˜ao 1.6. (Desigualdade de Interpola¸c˜ao) - Se u ∈ L
p
(Ω) ∩ L
q
(Ω) com
1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ ent˜ao u ∈ L
r
(Ω) para todo p ≤ r ≤ q e se tem a desigualdade
u
L
r
(Ω)
≤ u
θ
L
p
(Ω)
u
1−θ
L
q
(Ω)
onde 0 ≤ θ ≤ 1 verifica
1
r
=
θ
p
+
1 − θ
q
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [24].
Lema 1.7. (Desigualdade de Jensen) - Seja B um hipercubo do R
n
, ent˜ao para toda
fun¸c˜ao cˆoncava F e toda fun¸c˜ao integr´avel g ∈ L
1
(B), teremos
F
1
med(B)
B
g(x)dx
≥
1
med(B)
B
F (g(x))dx
Demonstra¸c˜ao: Ver [32].
Al´em dos resultados acima, temos que:
i) L
p
(Ω) ´e reflexivo para todo 1 < p < +∞;
ii) L
p
(Ω) ´e separ´avel para todo 1 ≤ p < +∞;
iii) D(Ω) tem imers˜ao cont´ınua e densa em L
p
(Ω) para todo 1 ≤ p < +∞;
iv) Se (f
n
) ´e uma seq¨uˆencia em L
p
(Ω) e f ∈ L
p
(Ω) s˜ao tais que f
n
−f
L
p
(Ω)
→ 0 ent˜ao
existe uma subseq¨uˆencia (f
n
k
) tal que f
n
k
(x) → f(x) quase sempre em Ω.
Proposi¸c˜ao 1.8. (Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz) - Sejam
1 < p < +∞, ϕ ∈ (L
p
(Ω))
com
1
q
+
1
p
= 1. Ent˜ao existe uma ´unica u ∈ L
q
(Ω),
tal que
ϕ, v =
Ω
u(x)v(x)dx, ∀v ∈ L
p
(Ω) e u
L
q
(Ω)
= ϕ
(L
p
(Ω))
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Quando p = ∞, temos:
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 11
Proposi¸c˜ao 1.9. Seja ϕ ∈ (L
1
(Ω))
, ent˜ao existe uma ´unica u ∈ L
∞
(Ω) tal que
ϕ, v =
Ω
u(x)v(x)dx, ∀v ∈ L
1
(Ω) e u
L
∞
(Ω)
= ϕ
(L
1
(Ω))
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Denotaremos por L
p
loc
(Ω), 1 ≤ p < +∞ o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oes
u : Ω → K tais que |u|
p
´e integr´avel no sentido de Lebesgue sobre cada compacto
K de Ω munido da seguinte no¸c˜ao de convergˆencia: Uma sucess˜ao u
ν
converge para
u ∈ L
p
loc
(Ω) se para cada compacto K de Ω tem-se:
p
K
(u
ν
− u) =
K
|u
ν
(x) − u(x)|
p
dx
1
p
→ 0.
Proposi¸c˜ao 1.10. (Lema de Du Bois Raymond) - Seja u ∈ L
1
loc
(Ω), ent˜ao T
u
= 0
se, e somente se, u = 0 quase sempre em Ω, onde T
u
´e a distribui¸c˜ao definida por
T
u
, ϕ =
Ω
u(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [23].
Desta proposi¸c˜ao tem-se que T
u
fica univocamente determinada por u ∈ L
1
loc
(Ω),
isto ´e, se u, v ∈ L
1
loc
(Ω), ent˜ao T
u
= T
v
se, e somente se, u = v quase sempre em Ω.
Proposi¸c˜ao 1.11. Seja (u
ν
)
ν∈N
⊂ L
p
loc
(Ω), 1 ≤ p < +∞, tal que u
ν
→ u em L
p
loc
(Ω),
ent˜ao u
ν
→ u em D
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [23].
1.1.3 Espa¸cos de Sobolev
Seja Ω um aberto do R
n
, 1 ≤ p ≤ +∞ e m ∈ N. Se u ∈ L
p
(Ω) sabemos que u
possui derivadas de todas as ordens no sentido das distribui¸c˜oes, mas n˜ao ´e verdade, em
geral, que D
α
u seja uma distribui¸c˜ao definida por uma fun¸c˜ao de L
p
(Ω). Quando D
α
u
´e definida por uma fun¸c˜ao de L
p
(Ω) defini-se um novo espa¸co denominado espa¸co de
Sobolev. Representa-se por W
m,p
(Ω) o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes u ∈ L
p
(Ω),
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 12
tais que para todo |α| ≤ m, D
α
u pertence `a L
p
(Ω), sendo D
α
u a derivada no sentido das
distribui¸c˜oes.
O espa¸co W
m,p
(Ω) munido da norma
u
m,p
=
|α|≤m
Ω
|D
α
u|
p
dx
1
p
, para 1 ≤ p < ∞,
e
u
m,∞
=
|α|≤m
sup
x∈Ω
ess|D
α
u(x)|, para p = ∞
´e um espa¸co de Banach.
Representa-se W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω) devido a sua estrutura hilbertiana, ou seja, os
espa¸cos H
m
(Ω) s˜ao espa¸cos de Hilbert.
´
E sabido que C
∞
0
(Ω) ´e denso em L
p
(Ω), mas n˜ao ´e verdade que C
∞
0
(Ω) ´e denso em
W
m,p
(Ω) para m ≥ 1. Motivado por esta raz˜ao define-se o espa¸co W
m,p
0
(Ω) como sendo
o fecho de C
∞
0
(Ω) em W
m,p
(Ω), isto ´e,
C
∞
0
(Ω)
W
m,p
(Ω)
= W
m,p
0
(Ω).
Observa¸c˜ao: Quando Ω ´e um aberto limitado em alguma dire¸c˜ao x
i
de R
n
e
1 ≤ p < ∞ consideramos W
m,p
0
(Ω) munido da norma
u =
|α|=m
Ω
|D
α
u(x)|
p
dx
1
p
que ´e equivalente a norma u
m,p
.
Suponha que 1 ≤ p < ∞ e 1 < q ≤ ∞ tal que
1
p
+
1
q
= 1. Representa-se por
W
−m,q
(Ω) o dual topol´ogico de W
m,p
0
(Ω). O dual topol´ogico de H
m
0
(Ω) denota-se por
H
−m
(Ω).
Prosseguindo nas defini¸c˜oes dos espa¸cos que utilizaremos ao longo deste trabalho,
vamos caracterizar os espa¸cos H
s
(Ω), s ∈ R. Para isso consideremos S = {ϕ ∈ C
∞
(R
n
);
lim
x→∞
p(x)D
α
ϕ(x) = 0, para todo polinˆomio p de n vari´aveis reais e α ∈ N
n
} o espa¸co
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 13
das fun¸c˜oes rapidamente decrescente no infinito, S
o dual topol´ogico de S e para cada
fun¸c˜ao u ∈ L
1
(R
n
) a transformada de Fourier de u definida por
ˆu(x) = (2π)
−n
2
R
n
e
−i(x,y)
u(y)dy,
onde (x, y) =
n
j=1
x
j
y
j
.
Definimos, para todo s ∈ R
H
s
(R
n
) =
u ∈ S
; (1 + x
2
)
s
2
ˆu ∈ L
2
(R
n
)
.
Al´em disso, se s ≥ 0 temos que H
−s
(R
n
) = (H
s
(R
n
))
e H
s
(R
n
) → L
2
(R
n
) → H
−s
(R
n
).
Diremos que o aberto Ω ´e bem regular se sua fronteira Γ ´e uma variedade de classe
C
∞
de dimens˜ao n − 1, Ω estando localmente do mesmo lado de Γ.
Seja Ω um aberto bem regular do R
n
, ou o semi-espa¸co R
n
+
. Consideremos a
aplica¸c˜ao:
r
Ω
: L
2
(R
n
) → L
2
(Ω)
u → u|
Ω
que leva u na sua restri¸c˜ao a Ω. Assim, para s ≥ 0 temos que
H
s
(Ω) = {v|
Ω
; v ∈ H
s
(R
n
)}
e
H
−s
(Ω) = (H
s
0
(Ω))
onde H
s
0
(Ω) = D(Ω)
H
s
(Ω)
.
Teorema 1.12. (Imers˜ao de Sobolev) - Seja Ω um aberto do R
n
, ent˜ao
H
m
(Ω) → C
k
(Ω), se m >
n
2
+ k.
Demonstra¸c˜ao: Ver [21].
Proposi¸c˜ao 1.13. Sejam Ω um conjunto aberto do R
n
, de classe C
m
, com fronteira
limitada e m um inteiro tal que m ≥ 1, e 1 ≤ p < ∞. Ent˜ao temos as segintes imers˜oes
cont´ınuas:
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 14
se
1
p
−
m
n
> 0 ent˜ao W
m,p
(Ω) → L
q
(Ω), onde
1
q
=
1
p
−
m
n
,
se
1
p
−
m
n
= 0 ent˜ao W
m,p
(Ω) → L
q
(Ω), ∀q ∈ [p, +∞[,
se
1
p
−
m
n
< 0 ent˜ao W
m,p
(Ω) → L
∞
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [11].
Teorema 1.14. (Teorema de Rellich Kondrachov) - Seja Ω um subconjunto aberto
limitado do R
n
, Ω de classe C
1
e 1 ≤ p ≤ ∞. Ent˜ao
se p < n ent˜ao W
1,p
(Ω) →
c
L
q
(Ω), ∀q ∈ [1, p
∗
], onde
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
,
se p = n ent˜ao W
1,p
(Ω) →
c
L
q
(Ω), ∀q ∈ [1, +∞[,
se p = n ent˜ao W
1,p
(Ω) →
c
C(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [11].
Nota¸c˜ao: →
c
indica imers˜ao compacta.
Proposi¸c˜ao 1.15. (Desigualdade de Sobolev, Gagliardo, Nirenberg) Se 1 ≤ p <
n, ent˜ao
W
1,p
(R
n
) ⊂ L
p∗
(R
n
),
onde p* vem dado por
1
p∗
=
1
p
−
1
n
, existe uma constante C = C(p, n) tal que
u
L
p∗
≤ C∇u
L
p
∀ u ∈ W
1,p
(R
n
).
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Teorema 1.16. Quando n > 2 temos a inclus˜ao H
1
(R
n
) → L
ρ
(R
n
) para todo ρ satis-
fazendo 2 ≤ ρ ≤ p, onde p ´e dado por:
1
p
=
1
2
−
1
n
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [14].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 15
1.2 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais
Nesta se¸c˜ao iremos determinar os espa¸cos em que s˜ao levados em conta as vari´aveis
temporal e espacial, o qual ´e necess´ario para dar sentido a problemas de evolu¸c˜ao.
Para cada t ∈ [0, T ] fixo, interpretamos a fun¸c˜ao x → u(x, t) como um elemento do
espa¸co X. Denotaremos este elemento como u(t) ∈ X com valores no espa¸co X.
Seja X um espa¸co de Banach, a, b ∈ R.
O espa¸co L
p
(a, b; X), 1 ≤ p < +∞, consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis sobre [a, b]
com imagem em X, ou seja as fun¸c˜oes u : (a, b) → X, tais que
u
L
p
(a,b;X)
:=
b
a
u(t)
p
X
dt
1
p
< ∞.
O espa¸co L
∞
(a, b; X) consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis sobre [a, b] com imagem
em X, as fun¸c˜oes u : (a, b) → X limitadas quase sempre em (a, b). A norma neste espa¸co
´e dada por
u
L
∞
(a,b;X)
:= sup essu(t)
X
.
O espa¸co C
m
([a, b]; X), m = 0, 1, . . . , consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas u : [a, b] →
X que possuem derivadas cont´ınuas at´e a ordem m sobre [a, b]. A norma ´e dada por
u :=
m
i=0
max
t∈[a,b]
|u
(i)
(t)|.
Vejamos algumas propriedades desses espa¸cos, as quais podem ser encontradas em
[45]
Proposi¸c˜ao 1.17. Sejam m = 0, 1, . . . , e 1 ≤ p < +∞, X e Y espa¸cos de Banach.
(a) C
m
([a, b]; X) ´e um espa¸co de Banach sobre K.
(b) L
p
(a, b; X), 1 ≤ p < +∞ e L
∞
(a, b; X), s˜ao espa¸cos de Banach sobre K.
(c) O conjunto de todas as fun¸c˜oes de grau ´e denso em L
p
(a, b; X).
(d)C([a, b]; X) ´e denso em L
p
(a, b; X) e a imers˜ao C([a, b]; X) → L
p
(a, b; X) ´e cont´ınua.
(e) Se X ´e um espa¸co de Hilbert com produto escalar (., .)
x
, ent˜ao L
2
(a, b; X) ´e tamb´em
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 16
um espa¸co de Hilbert com produto escalar
(u, v)
L
2
(a,b;X)
:=
b
a
(u(t), v(t))
X
dt.
(f) L
p
(a, b; X) ´e separ´avel, se X for separ´avel e 1 ≤ p < +∞.
(g) Se X → Y , ent˜ao L
r
(a, b; X) → L
q
(a, b; Y ), 1 ≤ q ≤ r ≤ +∞.
Lembremos que se U e Ψ s˜ao dois espa¸cos vetoriais topol´ogicos, temos que L(U, Ψ)
denota o espa¸co das fun¸c˜oes lineares e cont´ınuas de U em Ψ.
O espa¸co das distribui¸c˜oes sobre (a, b) com imagem em X, ser´a denotado por
D
(a, b; X).
Logo, D
(a, b; X) = L(D(a, b); X), ou seja, ´e o conjunto de todas as aplica¸c˜oes
lineares e limitadas de D(a, b) em X. A no¸c˜ao de convergˆencia em D
(a, b; X): seja S ∈
D
(a, b; X) logo S : D(a, b) → X ´e linear e se θ
µ
→ θ em D(a, b) ent˜ao S, θ
µ
→ S, θ
em X. Diremos que S
ν
→ S em D
(a, b; X) se S
ν
, θ → S, θ em X, ∀θ ∈ D(a, b).
Cada elemento desse conjunto ´e uma distribui¸c˜ao sobre (a, b) com valores no espa¸co de
Banach X.
A derivada
dS
dt
para S ∈ D
(a, b; X), ´e definida com um ´unico elemento deste espa¸co
a qual satisfaz,
dS
dt
, ϕ
= −
S,
dϕ
dt
∀ϕ ∈ D(a, b).
A fun¸c˜ao S →
dS
dt
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de D
(a, b; X) sobre ele mesmo.
Agora se f ∈ L
2
(a, b; X) definimos
˜
f ∈ D
(a, b; X) por
˜
f, ϕ =
b
a
f(t)ϕ(t)dt ∀ϕ ∈ D(a, b)
a fun¸c˜ao f →
˜
f de L
2
(a, b; X) → D
(a, b; X) ´e linear e cont´ınua, e ainda ´e injetor e desta
forma identificamos
˜
f com f e obtemos
L
2
(a, b; X) → D
(a, b; X)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 17
O espa¸co L
1
loc
(a, b; X) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes u tal que para todo compacto K ⊂ (a, b),
χ
K
u pertence `a L
1
(a, b; X), onde χ
K
denota a fun¸c˜ao caracter´ıstica de K.
Defini¸c˜ao 1.18. Seja J ∈ D(R), tal que J ≥ 0 e
R
J(t)dt = 1. Dado > 0, definamos
J
=
1
J
t
e (J
∗ u)(t) =
R
J
(t − s)u(s)ds
para as fun¸c˜oes u em que o lado direito da ´ultima igualdade faz sentido.
Proposi¸c˜ao 1.19. Seja u uma fun¸c˜ao definida sobre R, que anula-se fora de um intervalo
I.
(a) Se u ∈ L
1
loc
(R; X), ent˜ao J
∗ u ∈ C
∞
(R; X).
(b) Se u ∈ L
2
(R; X), ent˜ao J
∗ u ∈ L
2
(R; X). Al´em disso, J
∗ u
L
2
(R;X)
≤ u
L
2
(R;X)
e lim
−→0
+
J
∗ u − u
L
2
(R;X)
= 0
Fazendo as devidas adapta¸c˜oes, encontramos a demonstra¸c˜ao desta proposi¸c˜ao por
exemplo em [17]
O espa¸co dual de L
p
(a, b; X). Consideremos Y = L
p
(a, b; X). Temos a seguinte
rela¸c˜ao de dualidade Y
= L
q
(a, b; X
) com
1
p
+
1
q
= 1 devido ao teorema seguinte.
Teorema 1.20. Seja X um espa¸co de Banach reflexivo e separ´avel, 1 < p < +∞,
1
p
+
1
q
= 1.
(a) Cada fun¸c˜ao v ∈ L
q
(a, b; X
) corresponde a um ´unico funcional v ∈ Y
dada por
v, u =
b
a
v(t), u(t)
X
dt ∀u ∈ Y. (1.1)
Reciprocamente, para cada v ∈ Y
corresponde a exatamente uma fun¸c˜ao v ∈ L
q
(a, b; X
)
dada por (1.1). Al´em disso
v
Y
= v
L
q
(a,b;X
)
(b) O espa¸co de Banach L
p
(a, b; X) ´e reflexivo e separ´avel.
Demonstra¸c˜ao: Ver [45].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 18
Assim podemos identificar Y
com L
q
(a, b; X
), pois pelo Teorema acima existe um
isomorfismo isom´etrico. Donde
v, u =
b
a
v(t), u(t)
X
dt; v =
b
a
v(t)
q
X
dt
1
q
∀u ∈ Y ∀v ∈ Y
Sejam a e b dois n´umeros reais finitos ou n˜ao, a < b, X e Y espa¸cos de Banach
com X denso em Y e m ≥ 1 inteiro, definamos
W (a, b) := {u ∈ L
2
(a, b; X);
d
m
u
dt
m
= u
(m)
∈ L
2
(a, b; Y )}
onde u
(m)
´e neste sentido uma distribui¸c˜ao em D
(a, b; X). A norma ´e dada por
u
W (a,b)
=
u
2
L
2
(a,b;X)
+ u
(m)
2
L
2
(a,b;Y )
1
2
.
Segue da´ı que W (a, b) ´e um espa¸co de Banach.
Denotaremos por D(a, b; X) o espa¸co localmente convexo das fun¸c˜oes vetoriais ϕ :
(a, b) → X infinitamente diferenci´aveis com suporte compacto em (a, b). Diremos que
ϕ
ν
→ ϕ em D(a, b; X) se:
i) ∃K compacto de (a, b) tal que supp (ϕ
ν
) e supp (ϕ) est˜ao contidos em K, ∀ν;
ii) Para cada k ∈ N, ϕ
(k)
ν
(t) → ϕ
(k)
(t) em X uniformemente em t ∈ (a, b).
Prova-se que o conjunto {θξ, θ ∈ D(Ω), ξ ∈ X} ´e total em D(a, b; X).
Denotaremos por H
1
0
(a, b; X) o espa¸co de Hilbert
H
1
0
(a, b; X) := {v ∈ L
2
(a, b : X), v
∈ L
2
(a, b : X), v(a) = v(b) = 0}
munido com o produto interno
((w, v)) =
b
a
(w(t), v(t))
X
dt +
b
a
(w
(t), v
(t))
X
dt.
identificando L
2
(a, b : X) com o seu dual [L
2
(a, b : X)]
, via Teorema de Riesz,
obtemos
D(a, b; X) → H
1
0
(a, b; X) → L
2
(a, b : X) → H
−1
(a, b; X) → D
(a, b; X)
onde H
−1
(a, b; X) = [H
1
0
(a, b; X)]
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 19
Proposi¸c˜ao 1.21. Seja u ∈ L
2
(a, b : X). Ent˜ao existe um ´unico f ∈ H
−1
(a, b; X) que
verifica
f, θξ = (u
, θ, ξ)
X
∀θ ∈ D(a, b), ∀ξ ∈ X
Demonstra¸c˜ao: Ver [26].
Da proposi¸c˜ao anterior podemos identificar f com u
, de posse disso, diremos que
se u ∈ L
2
(a, b : X) ent˜ao u
∈ H
−1
(a, b; X)
Proposi¸c˜ao 1.22. A aplica¸c˜ao
u ∈ L
2
(a, b : X) → u
∈ H
−1
(a, b; X)
onde X ´e um espa¸co de Hilbert, ´e linear e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao: Ver [26].
Proposi¸c˜ao 1.23. O espa¸co D(a, b; X) e denso em W (a, b)
Demonstra¸c˜ao: Ver [20].
Da proposi¸c˜ao acima, tomando X = L
2
(ω) = Y que D(a, b; X) ´e denso em
H
m
(a, b; L
2
(ω))
1.2.1 O Espa¸co W (a, b; V, V
)
Consideremos dois espa¸cos de Hilbert reais separ´aveis V e H, com V ⊂ H e V
denso em H. Sejam (., .)
H
, (., .)
V
e .
H
, .
V
denotando o produto interno e a norma
de H e V respectivamente. Tamb´em, H
e V
denotam os duais desses espa¸cos. J a
aplica¸c˜ao inclus˜ao de V em H. Logo o operador J
∗
´e linear e cont´ınuo de H
em V
.
Al´em disso, J
∗
´e injetor, visto que J(V ) = V ´e denso em H e J
∗
(H
) ´e denso em V
,
pois J ´e injetor. Portanto, H
pode ser identificado como um subespa¸co denso em V
.
Por outro lado, pelo Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz, podemos identificar H com o
seu dual H
, obtendo as seguintes imers˜oes densas e cont´ınuas
V ⊂ H ≡ H
⊂ V
.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 20
Como consequˆencia desta identifica¸c˜ao, o produto escalar em H de f ∈ H, u ∈ V ´e o
mesmo que o produto interno de f e u na dualidade entre V e V
, ou seja
f(u) = f, u = (f, u)
H
, ∀f ∈ H ∀u ∈ V
Introduzimos o espa¸co W (a, b; V, V
) para dar sentido a equa¸c˜ao
u
+ Au = 0 em (0, T )
onde A ∈ L(V, V
), sendo v´alidas as imers˜oes anteriores. Para Au ter significado, ´e
razo´avel que u assuma valores em V , isto ´e, u ∈ L
p
(a, b; V ), 1 ≤ p ≤ +∞. Ent˜ao
u
= −Au ∈ L
p
(a, b; V
)
Sejam a, b ∈ R = R ∪ {−∞, +∞} definamos
W (a, b; V, V
) := {u ∈ L
2
(a, b; V ); u
∈ L
2
(a, b; V
)}
onde a derivada em rela¸c˜ao `a t ´e no sentido das distribui¸c˜oes. Equipamos o espa¸co
W (a, b; V, V
) com a norma
u
W
=
u
2
L
2
(a,b;V )
+ u
2
L
2
(a,b;V
)
1
2
=
b
a
u(t)
2
V
+ u
2
V
dt
1
2
´e um espa¸co de Hilbert.
Lema 1.24. Para a, b ∈ R finitos ou n˜ao, o espa¸co D((a, b); V ) das restri¸c˜oes em [a, b]
de fun¸c˜oes de D(R, V ). Ent˜ao D((a, b); V ) ´e denso em W (a, b; V, V
)
Demonstra¸c˜ao: Faremos a prova em trˆes etapas.
(1
a
)- Restringiremos ao caso em que a ou b ´e infinito.
Primeiro, se [a, b] ⊂ R, introduziremos θ
i
∈ D(a, b), i = 1, 2, com θ
1
(t) + θ
2
(t) = 1,
∀t ∈ [a, b], e θ
1
nula em uma vizinhan¸ca de b e θ
2
nula em uma vizinhan¸ca de a. Ent˜ao,
∀u ∈ W (a, b; V, V
), temos u = θ
1
u + θ
2
u. Introduzimos
u
1
=
θ
1
u para t ∈ [a, b]
0 para t > b
u
2
=
θ
2
u para t ∈ [a, b]
0 para t < a
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 21
e obtemos que u
1
∈ W (a, +∞; V, V
) e u
2
∈ W (−∞, b; V, V
).
(2
a
)- Restringiremos ao caso em que a = −∞ e b = +∞.
Seja u ∈ W (a, +∞; V, V
) e h > 0, definamos u
h
(t) = u(t + h) quase sempre para t ≥ a.
Ent˜ao, segue que u
h
(t) = u
(t + h) quase sempre para t ≥ a e u
h
∈ W (a, +∞; V, V
).
Al´em disso, pela continuidade das transla¸c˜oes em L
2
u
h
−→ u em L
2
(a, +∞; V ) quando h −→ 0
u
h
−→ u
em L
2
(a, +∞; V
) quando h −→ 0.
Portanto,
u
h
−→ u em W (a, +∞; V, V
) quando h −→ 0.
Seja ψ ∈ C
∞
(R) tal que 0 ≤ ψ(t) ≤ 1, ψ(t) = 1 se t ≥ a −
h
2
e ψ(t) = 0 se t ≤ a − h.
Fazendo
v
h
(t) =
ψ(t)u
h
(t) se t ≥ a − h
0 se t ≤ a − h
temos que v
h
= u
h
quase sempre t ≥ a e v
h
∈ W (−∞, +∞; V, V
).
(3
a
)- Mostraremos que D(R; V ) ´e denso em W (−∞, +∞; V, V
).
Seja u ∈ W (−∞, +∞; V, V
). Inicialmente regularizando u, isto ´e, aproximaremos
u por u
∈ C
∞
(R; V ). Para isso, seja J ∈ D(R) tal que J ≥ 0,
R
J(t)dt = 1. Definamos,
para cada > 0.
J
=
1
J
t
e u
(t) = (J
∗ u)(t) =
R
J
(t − s)u(s)ds
segue que u
∈ C
∞
(R; V ) e quando −→ 0,
u
−→ u em L
2
(R; V )
u
= u
∗ J
−→ u
em L
2
(R; V
).
Agora, ´e suficiente aproximar u
por elementos de D(R; V ). Para tanto, usaremos um
processo de truncamento. Seja ρ ∈ D(R) tal que ρ(t) = 1 para |t| ≤ 1 e ρ(t) = 0 para
|t| ≥ 2. Definamos ρ
n
(t) = ρ
t
n
e obtemos que
ρ
n
u
−→ u
em W (−∞, +∞; V, V
)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 22
quando n −→ +∞. ✷
Lema 1.25. Para a, b ∈ R, existe um operador de extens˜ao cont´ınuo de W (a, b; V, V
)
em W (−∞, +∞; V, V
)
Demonstra¸c˜ao: Procederemos em duas etapas.
(1
a
)- Restringiremos ao caso em que [a, b] ⊂ R com a ou b infinito.
Para isto, usamos o mesmo m´etodo da primeira etapa do lema anterior. Assim, o
operador de extens˜ao ´e dado por
P u(t) =
u
1
para t < a
u para a ≤ t ≤ b
u
2
para t > b
(2
a
)- Supomos, por exemplo, que b = +∞.
Pela transla¸c˜ao sobre a vari´avel h, podemos reduzir ao espa¸co W (0, +∞; V, V
).
Seja u ∈ D([0, +∞); V ). Definimos
P u(t) =
u(t) para t ≥ 0
u(−t) para t < 0.
Ent˜ao, P u ∈ L
2
(0, +∞; V ) e
[P u(t)]
=
u
(t) para t > 0
−u
(−t) para t < 0.
Como P u(t) ´e continuo (pois u ∈ D([0, +∞); V )) em t = 0, segue que P u ∈
W (−∞, +∞; V, V
) e
P u
W (−∞,+∞;V,V
)
≤ 2u
W (0,+∞;V,V
)
.
Do lema anterior, D([0, +∞); V ) ´e denso em W (0, +∞; V, V
). Assim, P pode ser pro-
longada a uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua
˜
P de W (0, +∞; V, V
) em W (−∞, +∞; V, V
).
Como
˜
P u = P u quase sempre, (onde P u ´e dado pela equa¸c˜ao anterior), temos que
P u = u quase sempre para t ∈ (0, +∞) e isso completa a prova. ✷
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 23
Teorema 1.26. Para a, b ∈ R, u ∈ W (a, b; V, V
) ´e quase sempre igual a uma fun¸c˜ao
cont´ınua de [a, b] em V . Al´em disso, temos W (a, b; V, V
) est´a imerso continuamente em
C
0
([a, b]; V )
Demonstra¸c˜ao: Seja u ∈ W (a, b; V, V
) e P o operador de extens˜ao de W (a, b; V, V
)
em W (−∞, +∞; V, V
). Do primeiro lema, temos a existˆencia de uma sequˆencia {ψ
n
}
ψ
n
∈ D(R, V ) satisfazendo
P u = lim
n→+∞
ψ
n
em W (−∞, +∞; V, V
).
Al´em disso, ., . denotando a dualidade entre V e V
, temos
|ψ
n
(t)|
2
=
t
−∞
d
ds
|ψ
n
(s)|
2
ds =
t
−∞
d
ds
(ψ
n
(s), ψ
n
(s))
V
ds
= 2
t
−∞
(ψ
n
(s), ψ
n
(s))
V
ds = 2
t
−∞
ψ
n
(s), ψ
n
(s)ds
≤ 2
t
−∞
ψ
n
(s)
V
ψ
n
(s)
V
.
Aplicando a desigualdade 2ab ≤ a
2
+ b
2
, segue
|ψ
n
(t)|
2
≤
t
−∞
ψ
n
(s)
2
V
ds +
t
−∞
ψ
n
(s)
2
V
ds
Logo,
sup
t
ψ
n
(t) ≤ ψ
n
W
.
Agora, trocando ψ
n
por (ψ
n
−ψ
m
) na desigualdade acima e usando o fato que {ψ
n
}
´e uma sequˆencia de Cauchy em W (−∞, +∞; V, V
), assim, {ψ
n
} ´e uma sequˆencia de
Cauchy em C
0
(R; V ), munido com a topologia da convergˆencia uniforme. Ent˜ao, existe
v ∈ C
0
(R; V ) tal que
ψ
n
−→ v em C
0
(R; V ).
Mas, ψ
n
−→ P u em W(−∞, +∞; V, V
). Logo P u = v quase sempre, e u = v quase
sempre em [a, b]. Agora passando o limite na desigualdade anterior, vem
u
C
0
([a,b];V )
≤ Cu
W
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 24
pois, P ´e um operador linear limitado, P u
W
≤ Cu
W
✷
Como consequˆencia do teorema acima, u ∈ W (a, b; V, V
) com [a, b] ⊂ R, podemos
falar no tra¸co u(a), u(b) ∈ H
1.2.2 Fun¸c˜oes Escalarmente Cont´ınuas
Seja X um espa¸co de Banach. Definimos o espa¸co das fun¸c˜oes escalarmente
cont´ınuas (ou fracamente cont´ınuas) como o conjunto das fun¸c˜oes f ∈ L
∞
(0, T ; X) tais
que a aplica¸c˜ao t → f(t), x ´e cont´ınua sobre [0, T ], ∀x ∈ X
, onde X
´e dual de X.
Denotaremos tal espa¸co por C
s
(0, T ; X).
Disto segue que C
1
s
(0, T ; X) = {u ∈ C
s
(0, T ; X); u
∈ C
s
(0, T ; X)}, onde u
´e a derivada de u no sentido das distribui¸c˜oes. Da mesma forma temos que
C
2
s
(0, T ; X) = {u ∈ C
s
(0, T ; X); u
∈ C
s
(0, T ; X)}.
Observa¸c˜ao: Se u ∈ L
∞
(0, T ; X) e u ∈ C([0, T ]; X) ent˜ao u ∈ C
s
(0, T ; X).
Lema 1.27. Sejam X e Y dois espa¸cos de Banach, X → Y e X um espa¸co reflexivo.
Ent˜ao
L
∞
(0, T ; X) ∩C
s
(0, T ; Y ) = C
s
(0, T ; X).
Demonstra¸c˜ao: Ver [20].
1.3 Teoria de Tra¸co
Consideremos Ω = R
n
+
ou Ω um aberto limitado bem regular do R
n
com fronteira Γ.
Por D(Γ) representa-se o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes reais w definidas em Γ, possuindo
derivadas parciais cont´ınuas de todas as ordens. Dada uma fun¸c˜ao u definida em
Ω,
representa-se γ
0
u a restri¸c˜ao de u a Γ.
Proposi¸c˜ao 1.28. Existe uma constante positiva C tal que
γ
0
u
H
1
2
Γ
≤ Cu
H
1
(Ω)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 25
para toda u ∈ D(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [24].
Considerando D(Ω) com a topologia induzida por H
1
(Ω), segue pela proposi¸c˜ao
1.28 que a aplica¸c˜ao
γ
0
: D(Ω) → H
1
2
(Γ)
´e cont´ınua. Sendo D(Ω) denso em H
1
(Ω), esta aplica¸c˜ao se prolonga por continuidade a
uma aplica¸c˜ao linear e cont´ınua, ainda representada por γ
0
, tal que
γ
0
: H
1
(Ω) → H
1
2
(Γ),
a qual denomina-se fun¸c˜ao tra¸co.
Teorema 1.29. A fun¸c˜ao tra¸co aplica H
1
(Ω) sobre H
1
2
(Γ)e o n´ucleo de γ
0
´e o espa¸co
H
1
0
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [24].
Consideremos, agora, Ω uma aberto limitado do R
n
com fronteira Γ bem regular,
e seja ν a normal unit´aria exterior em Γ. Para todo j = 1, . . . , m − 1 e u ∈ D(Ω),
seja γ
j
u =
∂
j
u
∂ν
j
Γ
a derivada normal de ordem j de u e γ
0
u u|
Γ
. Da densidade do espa¸co
(D(Γ))
m
no espa¸co de Hilbert H
m−
1
2
(Γ) × H
m−
3
2
(Γ) × . . . × H
1
2
(Γ) temos o seguinte
resultado:
Teorema 1.30. Existe uma ´unica aplica¸c˜ao linear e cont´ınua γ do espa¸co H
m
(Ω) sobre
o espa¸co Π
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ) com n´ucleo γ
−1
(0) = H
m
0
(Ω), verificando a seguinte condi¸c˜ao
γu = (γ
0
u, γ
1
u, . . . , γ
m−1
u) , ∀u ∈ D(Ω).
Tal aplica¸c˜ao admite uma inversa `a direita linear e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao: Ver [24].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 26
Al´em desses resultados, considerando os espa¸cos de Hilbert H
0
(Ω) = {u ∈ L
2
(Ω);
∆u ∈ L
2
(Ω)} e H
1
(Ω) = {u ∈ H
1
(Ω); ∆u ∈ L
2
(Ω)} munidos dos seguintes produtos in-
ternos
(u, v)
H
0
= (u, v)
L
2
(Ω)
+ (∆u, ∆v)
L
2
(Ω)
; ∀ u , v ∈ H
0
(Ω) e
(u, v)
H
1
= (u, v)
H
1
(Ω)
+ (∆u, ∆v)
L
2
(Ω)
; ∀ u , v ∈ H
1
(Ω),
respectivamente, temos os seguintes resultados:
Proposi¸c˜ao 1.31. A aplica¸c˜ao linear γ : D(Ω) → H
−
1
2
(Γ) × H
−
3
2
(Γ) definida por
u → γu = (γ
0
u, γ
1
u) se estende por continuidade a uma ´unica aplica¸c˜ao linear e cont´ınua
γ : H
0
(Ω) → H
−
1
2
(Γ) × H
−
3
2
(Γ)
u → γu = (γ
0
u, γ
1
u).
Al´em disso, a aplica¸c˜ao γ acima coincide com a aplica¸c˜ao tra¸co de ordem dois.
Demonstra¸c˜ao: Ver [12].
Proposi¸c˜ao 1.32. A aplica¸c˜ao linear γ
1
: D(
Ω) → H
−
1
2
(Γ) definida por
u → γ
1
u =
∂u
∂ν
Γ
se estende por continuidade a uma ´unica aplica¸c˜ao linear e cont´ınua
γ
1
: H
1
(Ω) → H
−
1
2
(Γ).
Demonstra¸c˜ao: Ver [12].
1.3.1 Tra¸co em L
2
(0, T ; H
m
(Ω)).
Pelo visto anteriormente temos que existe uma aplica¸c˜ao tra¸co
γ : H
m
(Ω) →
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ) (1.2)
que ´e linear, cont´ınua, sobrejetora, com n´ucleo H
m
0
(Ω), e admite uma inversa `a direita
linear e cont´ınua.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 27
Definamos a aplica¸c˜ao
γ : L
2
(0, T ; H
m
(Ω)) → L
2
0, T ;
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ)
u → γu, (γu)(t) = γu(t)
(1.3)
onde γu(t) ´e a aplica¸c˜ao (1.2) aplicado em u(t) ∈ H
m
(Ω). Denotamos as aplica¸c˜oes (1.2)
e (1.3) com o mesmo s´ımbolo para n˜ao sobrecarregar a nota¸c˜ao. A aplica¸c˜ao definida
em (1.3) ´e uma aplica¸c˜ao linear, cont´ınua, sobrejetora, com n´ucleo
L
2
(0, T ; H
m
0
(Ω)), que admite uma inversa `a direita τ linear e cont´ınua, isto ´e,
τ : L
2
0, T ;
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ)
→ L
2
(0, T ; H
m
(Ω)), ; γ(τ(η)) = η. (1.4)
De forma an´aloga podemos definir
γ : H
1
0
(0, T ; H
m
(Ω)) → H
1
0
0, T ;
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ)
u → γu, (γu)(t) = γu(t)
(1.5)
que tem as mesmas propriedades da aplica¸c˜ao (1.3).
Proposi¸c˜ao 1.33. Seja u ∈ L
2
(0, T ; H
m
(Ω)) com u
∈ L
2
(0, T ; H
m
(Ω)) ent˜ao γu
=
(γu)
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [12].
1.3.2 Tra¸co em H
−1
(0, T ; H
m
(Ω))
Seja K = L
2
(0, T ; H
m
(Ω)) × L
2
(0, T ; H
m
(Ω)) e M o subespa¸co fechado de K dos
vetores {α, β} tais que
(α, v)
L
2
(0,T ;H
m
(Ω))
+ (β, v
)
L
2
(0,T ;H
m
(Ω))
,
para todo v ∈ H
1
0
(0, T ; H
m
(Ω)). Ent˜ao a aplica¸c˜ao
H
−1
(0, T ; H
m
(Ω)) → M
⊥
f → {φ
0
f
, ψ
0
f
}
(1.6)
onde {φ
0
f
, ψ
0
f
} ∈ E
f
´e tal que f + {φ
0
f
, ψ
0
f
} e E
f
= {{φ
f
, ψ
f
} ∈ K; (φ
f
, v) + (ψ
f
, v
)
= f, v ∀v ∈ H
1
0
(Ω)}, isto ´e, o conjunto dos {φ
f
, ψ
f
} ∈ K tais que f = φ
f
− ψ
f
. A
aplica¸c˜ao definida em (1.6) ´e uma isometria linear sobrejetora.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 28
Para f ∈ H
−1
(0, T ; H
m
(Ω)) defini-se γf na forma:
γf, w =
T
0
(γφ
0
f
, w)
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ)
dt +
T
0
(γψ
0
f
, w
)
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ)
dt (1.7)
w ∈ H
1
0
0, T ;
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ)
, que ´e linear e cont´ınua.
Assim temos estabelecido uma aplica¸c˜ao
γ : H
−1
(0, T ; H
m
(Ω)) → H
−1
0, T ;
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ)
f → γf
(1.8)
γf definido por (1.7), que ´e linear e cont´ınua. Esta aplica¸c˜ao ´e denominada aplica¸c˜ao
tra¸co para as fun¸c˜oes de H
−1
(0, T ; H
m
(Ω)). Assim s˜ao v´alidos os seguintes resultados:
Proposi¸c˜ao 1.34. Se u ∈ L
2
(0, T ; H
m
(Ω)) ent˜ao
γu|
H
1
0
(0,T ;
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ))
= γu.
Proposi¸c˜ao 1.35. Se u ∈ L
2
(0, T ; H
m
(Ω)) ent˜ao
γu
= (γu)
.
Teorema 1.36. A aplica¸c˜ao tra¸co (1.8) ´e sobrejetora, seu n´ucleo ´e H
−1
(0, T ; H
m
0
(Ω)),
e admite uma inversa `a direita τ : H
−1
(0, T ;
m−1
j=0
H
m−j−
1
2
(Γ)) → H
−1
(0, T ; H
m
(Ω))
linear e cont´ınua.
Observa¸c˜ao 1.37. Al´em desses resultados se considerarmos os espa¸cos de Hilbert H
0
(Ω) =
{u ∈ L
2
(Ω); ∆u ∈ L
2
(Ω)} ou H
1
(Ω) = {u ∈ H
1
(Ω); ∆u ∈ L
2
(Ω)} em vez de H
m
(Ω) em
conjunto com as proposi¸c˜oes 1.31 e 1.32 obteremos a existˆencia das aplica¸c˜oes
γ : H
−1
(0, T ; H
0
(Ω)) → H
−1
(0, T ; H
−
1
2
(Γ) × H
−
3
2
(Γ))
e
γ
1
: H
−1
(0, T ; H
1
(Ω)) → H
−1
(0, T ; H
−
1
2
(Γ)).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 29
1.4 Teorema de Carath´eodory
Nesta se¸c˜ao enunciaremos o teorema de Carath´eodory que ser´a utilizado no cap´ıtulo
2. O teorema nos fornece a existˆencia de solu¸c˜ao para um problema de Cauchy em um
intervalo [0, t
m
], para cada m ∈ N. A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser encontrada
em [13].
Seja Ω ⊂ R
n+1
um conjunto aberto cujos elementos s˜ao denotados por (t, x), t ∈
R, x ∈ R
n
e seja f : Ω → R
n
uma fun¸c˜ao.
Consideremos o problema de valor inicial
x
(t) = f(t, x(t)),
x(t
0
) = x
0
,
(1.9)
Dizemos que f : Ω → R
n
satisfaz as condi¸c˜oes de Carath´eodory sobre Ω se:
(i) f(t, x) ´e mensur´avel em t para cada x fixado;
(ii) f(t, x) ´e cont´ınua em x para quase todo t fixado;
(iii) para cada compacto K ⊂ Ω, existe uma fun¸c˜ao real m
K
(t), integr´avel, tal que
f(t, x)
R
n
≤ m
K
(t), ∀(t, x) ∈ K.
Teorema 1.38. (Teorema de Carath´eodory) - Seja f : Ω → R
n
satisfazendo as
condi¸c˜oes de Carath´eodory sobre Ω. Ent˜ao existe uma solu¸c˜ao x(t) de (1.9) sobre algum
intervalo |t − t
0
| ≤ β, β > 0.
Corol´ario 1.39. Sejam Ω = [0, T [×B com T > 0, B = {x ∈ R
n
; |x| ≤ b} onde b > 0
e f : Ω → R
n
nas condi¸c˜oes de Carath´eodory sobre Ω. Suponhamos que x(t) ´e uma
solu¸c˜ao de (1.9) tal que |x
0
| ≤ b e que em qualquer intervalo I, onde x(t) est´a definida,
se tenha |x(t)| ≤ M, ∀t ∈ I, M independente de I e M < b. Ent˜ao x(t) possui um
prolongamento `a todo [0, T ].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 30
1.5 Resultados Auxiliares
Nesta se¸c˜ao enunciaremos resultados importantes que ser˜ao utilizados ao longo de
todo o trabalho.
Proposi¸c˜ao 1.40. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) - Sejam x, y ∈ R
n
, ent˜ao
|x.y| ≤ |x||y|.
Defini¸c˜ao 1.41. Seja E um espa¸co de Banach. A topologia fraca σ(E, E
) sobre E ´e a
topologia menos fina sobre E que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes f ∈ E
.
Seja (x
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia de E a qual converge para x em E na topologia fraca
σ(E, E
). Utilizamos, neste caso, a seguinte nota¸c˜ao:
x
n
x em E.
Proposi¸c˜ao 1.42. Seja (x
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia em E, ent˜ao:
(i) x
n
x em E se, e somente se, f, x
n
→ f, x, ∀f ∈ E
.
(ii) Se x
n
→ x em E, ent˜ao x
n
xem E.
(iii) Se x
n
xem E, ent˜ao x
n
E
´e limitada e x
E
≤ lim infx
n
E
.
(iv) Se x
n
xem E e f
n
→ f em E
, ent˜ao f
n
, x
n
→ f, x.
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Seja E um espa¸co de Banach e seja x ∈ E fixo. Definamos J
x
: E
→ R por
J
x
, f = f, x.
As aplica¸c˜oes J
x
s˜ao lineares e cont´ınuas, portanto J
x
∈ E
, ∀x ∈ E.
Definamos, agora, J : E → E
tal que J(x) = J
x
.
Defini¸c˜ao 1.43. A topologia fraca ∗, tamb´em designada por σ(E
, E), ´e a topologia
menos fina sobre E
que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes J
x
.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 31
Proposi¸c˜ao 1.44. Seja (f
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia em E
, ent˜ao:
(i) f
n
∗
f em E
se, e somente se, f
n
, x → f, x, ∀x ∈ E.
(ii) Se f
n
→ f em E
, ent˜ao f
n
f em E
.
(iii) Se f
n
f em E
, ent˜ao f
n
∗
f em E
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Lema 1.45. Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e (x
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia
limitada em E, ent˜ao existe uma subseq¨uˆencia (x
n
k
)
k∈N
de (x
n
)
n∈N
e x ∈ E, tal que
x
n
k
x fracamente em E.
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Lema 1.46. Sejam E um espa¸co de Banach separ´avel e (f
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia limitada
em E
, ent˜ao existe uma subseq¨uˆencia (f
n
k
)
k∈N
e f ∈ E
, tal que
f
n
k
∗
f em E
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Lema 1.47. (Lema de Gronwall) - Sejam z ∈ L
∞
(0, T ) e f ∈ L
1
(0, T ) tais que
z(t) ≥ 0, f(t) ≥ 0 e seja c uma constante n˜ao negativa. Se
f(t) ≤ c +
t
0
z(s)f(s)ds, ∀t ∈ [0, T ],
ent˜ao
f(t) ≤ ce
t
0
z(s)ds
, ∀t ∈ [0, T ].
Demonstra¸c˜ao: Ver [21].
Lema 1.48. Seja Ω um aberto do R
n
de classe C
∞
. Sejam s
1
, s
2
e s
3
n´umeros reais tais
que
s
1
> s
2
> s
3
.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 32
Ent˜ao, para todo η > 0 existe uma constante C(η) tal que
u
H
s
2
(Ω)
≤ ηu
H
s
1
(Ω)
+ C(η)u
H
s
3
(Ω)
, ∀u ∈ H
s
1
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [19].
Proposi¸c˜ao 1.49. (Teorema de Aubin-Lions) - Sejam B
0
, B, B
1
trˆes espa¸cos de
Banach tais que B
0
→
c
B → B
1
, onde B
0
e B
1
s˜ao reflexivos. Definamos
W =
v; v ∈ L
p
0
(0, T ; B
0
), v
=
dv
dt
∈ L
p
1
(0, T ; B
1
)
,
onde 1 < p
0
, p
1
< ∞, e consideremos W munido da norma
v
L
p
0
(0,T ;B
0
)
+ v
L
p
1
(0,T ;B
1
)
,
o que o torna um espa¸co de Banach. Ent˜ao, a imers˜ao de W em L
p
0
(0, T ; B) ´e compacta.
Proposi¸c˜ao 1.50. (Lema de Lions) - Seja (u
ν
) uma sucess˜ao de fun¸c˜oes pertencentes
`a L
q
(Q) com 1 < q < ∞. Se
(i) u
ν
→ u quase sempre em Q
(ii) u
ν
L
q
(Q)
≤ C, ∀ν ∈ N;
ent˜ao u
ν
u fraco em L
q
(Q).
Proposi¸c˜ao 1.51. (F´ormula de Gauss e a F´ormula de Green) - Seja Ω um aberto
limitado bem regular do R
n
. Se u, v ∈ H
1
(Ω), ent˜ao para 1 ≤ i ≤ n temos que
Ω
u
∂v
∂x
i
dx = −
Ω
∂u
∂x
i
vdx +
Γ
(γ
0
u)(γ
0
v)ν
i
dΓ,
onde ν = (ν
1
, ν
2
, . . . , ν
n
) e ν denota o vetor normal unit´ario exterior `a Γ.
Se u ∈ H
2
(Ω) e v ∈ H
1
(Ω), temos a f´ormula de Green:
Ω
∇u∇vdx = −
Ω
∆uvdx +
Γ
v
∂u
∂ν
dΓ.
Demonstra¸c˜ao: Ver [12].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 33
Proposi¸c˜ao 1.52. (F´ormula de Green generalizada) - Para todo u ∈ H
1
(Ω)e v ∈
H
1
(Ω), tem-se
(∆u, v)
L
2
(Ω)
+ (∇u, ∇v)
L
2
(Ω)
= γ
1
u, γ
0
v
H
−
1
2
(Γ)×H
1
2
(Γ)
,
onde Γ = ∂Ω.
Demonstra¸c˜ao: Ver [12].
Proposi¸c˜ao 1.53. (Regularidade dos problemas el´ıpticos) - Seja Ω um aberto de
classe C
2
com fronteira Γ limitada. Sejam f ∈ L
2
(Ω) e u ∈ H
1
0
(Ω), verificando
Ω
∇u∇ϕ +
Ω
uϕ =
Ω
fϕ, ∀ϕ ∈ H
1
0
(Ω).
Ent˜ao, u ∈ H
2
(Ω) e u
H
2
(Ω)
≤ cf
L
2
(Ω)
, onde c ´e uma constante que s´o depende
de Ω. Al´em disso, se Ω ´e de classe C
m+2
e f ∈ H
m
(Ω), ent˜ao u ∈ H
m+2
(Ω) com
u
H
m+2
(Ω)
≤ cf
H
m
(Ω)
; em particular, se m >
n
2
ent˜ao u ∈ C
2
(Ω). Ainda, se Ω ´e de
classe C
∞
e f ∈ C
∞
(Ω), ent˜ao u ∈ C
∞
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Lema 1.54. Sejam H e V espa¸cos de Banach, tais que H → V . Se u ∈ L
1
(0, T ; H) e
u
∈ L
1
(0, T ; V ) ent˜ao u ∈ C
0
([0, T ]; V ).
Demonstra¸c˜ao: Ver [31].
Teorema 1.55. (Regra da Cadeia) Seja G ∈ C
1
(R) tal que G(0) = 0 e |G
(s)| ≤ M
para todo s ∈ R. Seja u ∈ W
1,p
(Ω). Ent˜ao a fun¸c˜ao G ◦ u ∈ W
1,p
(Ω) e
∂
∂x
i
(G ◦ u) = (G
◦ u)
∂u
∂x
i
, 1 ≤ i ≤ n.
Demonstra¸c˜ao: Ver [17].
Proposi¸c˜ao 1.56. Seja u ∈ L
p
com 1 < p ≤ ∞. As seguintes propriedades s˜ao equiva-
lentes.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 34
(i) u ∈ W
1,p
(ii) Existe um constante c > 0 tal que
|
I
uϕ| ≤ c||ϕ||
L
p
(I)
∀ϕ ∈ C
∞
0
(I)
(iii) Existe uma constante c > 0 tal que para todo aberto ω ⊂⊂ I e todo h ∈ R com
|h| < dist(ω, I) se verifica
||T
h
u − u||
L
p
(ω)
≤ c|h|.
Ainda mais, pode-se tomar c = ||u||
L
p
em (ii) e (iii).
Demonstra¸c˜ao: Ver [5].
Nota. Quando p = 1, permanecem validas as seguintes implica¸c˜oes (i) ⇒ (ii) ⇔
(iii)
Supondo I limitado. As fun¸c˜oes que verificam (i), digamos as fun¸c˜oes de W
1,1
s˜ao
as fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas. Que s˜ao caracterizadas pela seguinte propriedade.
Para todo > 0 existe δ > 0 tal que para toda sucess˜ao finita de intervalos disjuntos
]a
k
, b
k
[ de I com
n
k=1
|b
k
− a
k
| < δ, implica
n
k=1
|f(b
k
) − f(a
k
)| <
1.6 Teoria Espectral
Consideremos W e H dois espa¸cos de Hilbert tais que W
c
→ H e W ´e denso em
H. Seja a(u, v) uma forma bilinear, cont´ınua e coerciva em W × W , isto ´e,
∃α > 0 ; |a(v, v)| ≥ αv
2
W
; ∀v ∈ W . Considere
D(A) = {u ∈ W ; a forma linear v → a(u, v) ´e cont´ınua }
onde W est´a munido com a topologia induzida de H.
Pelo Teorema de Riesz, para cada u ∈ D(A) existe um ´unico Au ∈ H tal que
a(u, v) = (Au, v)
H
, ∀v ∈ W . Notemos que desta forma definimos um operador A com
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 35
dom´ınio:
D(A) = {u ∈ W ; ∃f ∈ H tal que a(u, v) = (f, v)
H
, ∀v ∈ W e Au = f}
Temos que D(A) ´e um subespa¸co linear de H e A : D(A) ⊂ W → H ´e um operador de
H. O operador A acima ´e denominado o operador determinado pela terna {V, H, a(u, v)}
e denotamos por A ↔ {V, H, a(u, v)}.
Proposi¸c˜ao 1.57. (Teorema Espectral)-Nas condi¸c˜oes acima, obtemos
(i) A ´e auto-adjunto e existe um sistema ortonormal completo (ω
ν
)
ν∈N
de H constitu´ıdo
de vetores pr´oprios de A.
(ii) Se (λ
ν
)
ν∈N
s˜ao os valores pr´oprios de A correspondentes aos (ω
ν
)
ν∈N
, ent˜ao
0 < λ
1
≤ λ
2
≤ ··· ≤ λ
ν
≤ ··· , e λ
ν
−→ ∞
(iii) O dom´ınio de A ´e dado por
D(A) =
u ∈ H ;
∞
ν=1
λ
2
ν
|(u, ω
ν
)
H
|
2
< ∞
(iv)
Au =
∞
ν=1
λ
ν
(u, ω
ν
)
H
ω
ν
, ∀u ∈ D(A).
Demonstra¸c˜ao: Ver [27].
1.7 Operadores Maximais Mon´otonos - O Teorema
de Hille Yosida
Seja H um espa¸co de Hilbert sobre o corpo dos reais. Detotemos por (·, ·) e | · |,
respectivamente, o produto interno e a norma em H e consideremos A : D(A) ⊂ H → H
um operador n˜ao limitado de H.
Defini¸c˜ao 1.58. Dizemos que A ´e um operador mon´otono se para todo v ∈ D(A) tiver-
mos (Av, v) ≥ 0.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 36
A ´e dito maximal mon´otono se, for mon´otono e, al´em disso, Im(I + A) = H, ou
seja,
∀f ∈ H, ∃u ∈ D(A) tal que u + Au = f.
Proposi¸c˜ao 1.59. Seja A um operador maximal mon´otono sobre H, ent˜ao temos:
i) D(A) = H
ii) A ´e fechado.
iii) ∀λ > 0, (I + λA) ´e bijetor de D(A) sobre H e (I + λA)
−1
´e limitado com |(I + λA)
−1
||
L(H)
≤ 1.
Demonstra¸c˜ao: Ver [6].
Teorema 1.60. (Hille-Yosida)Seja A um operador maximal mon´otono em um espa¸co
de Hilbert. Ent˜ao para todo u
0
∈ D(A) existe uma ´unica fun¸c˜ao
u ∈ C
1
([0, +∞); H) ∩C([0, +∞), D(A))
tal que
d u(t)
dt
+ Au = 0; ∀t > 0
u(0) = u
0
(1.10)
Ademais, se verifica:
|u(t)| ≤ |u
0
| e
d u(t)
dt
= |Au(t)| ≤ |Au
0
|, ∀t ≥ 0, (1.11)
onde D(A) ´e um espa¸co de Banach para a norma do gr´afico:
||u||
D(A)
= |u| + |A u|.
Demonstra¸c˜ao: Ver [6].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 37
1.8 Semigrupos
Sejam H um espa¸co de Hilbert e A : H → H um operador linear e cont´ınuo. Vamos
considerar o problema de Cauchy abstrato
()
du
dt
+ A u = 0 em H , ∀t ≥ 0
u(0) = u
0
em H.
O problema de dado inicial descrito em () possui uma ´unica solu¸c˜ao para t ≥ 0
dada por u(t) = e
t (−A)
u
0
, onde
e
−A
=
+∞
k=0
(−A)
k
k!
.
Todavia, h´a diversas equa¸c˜oes diferenciais parciais de evolu¸c˜ao que possuem a na-
tureza de (), onde A ´e um operador linear de H n˜ao necessariamente cont´ınuo. No
ˆambito de elucidar tais problemas, surge uma quest˜ao natural: “Existem operadores de
H, com propriedades an´alogas `as da aplica¸c˜ao exponencial e
A
, que resolvem () com A
n˜ao necessariamente cont´ınuo?”
Para responder tal pergunta, foi desenvolvida a Teoria de Semigrupos, que ser´a
o nosso pr´oximo objeto de estudo. No entanto, n˜ao estudaremos Semigrupos no ponto
de vista de [16], dentre outros, onde A ´e definido como um gerador infinitesimal do
semigrupo S, mas S ´e gerado por operador maximal mon´otono A, em que muitas vezes, ´e
mais atrativo que o citado anteriormente. Assim, com tal enfoque unindo os resultados da
se¸c˜ao anterior, juntamente com os resultados a seguir, estudamos a existˆencia, unicidade
de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao n˜ao lineares.
Usando o Teorema de Hille-Yosida, podemos definir para t ≥ 0, o seguinte operador
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 38
linear:
S(t) : D(A) → D(A)
u
0
→ S(t)u
0
= u(t)
Por Hille-Yosida, temos
|S(t)u
0
| = |u(t)| ≤ |u
0
|; ∀u ∈ D(A). (1.12)
Definamos
S(t) : H → H
u
0
→
S(t)u
0
Como D(A) = H, existem u
n
e v
n
em D(A) tal que u
n
→ u
0
em H e v
n
→ v
0
em H.
Logo,
|S(t)u
n
− S(t)v
n
| = |S(t) (u
n
− v
n
)
∈D(A)
| ≤ |u
n
− v
n
|.
Em virtude que (u
n
− v
n
) ∈ D(A), podemos usar o fato mencionado em (1.12). Assim,
fazendo n → +∞, teremos
|
S(t)u
n
−
S(t)v
n
| ≤ |u
0
− v
0
|,
o que nos diz que
S(t) ´e uma contra¸c˜ao em H. Por conven¸c˜ao , denotaremos de agora
em diante,
S(t) = S(t), isto ´e, S(t) ∈ L(H).
Defini¸c˜ao 1.61. S(t)´e chamado Semigrupo
gerado por −A.
Veja que S(t) ´e gerado por −A decorre do fato que
lim
h→0
S(h)u
0
− u
0
h
= lim
h→0
u(h) − u(0)
h
=
d
dt
u(0) = −Au(0) = −Au
0
.
Ademais, S(t) satisfaz as seguintes propriedades:
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 39
Proposi¸c˜ao 1.62. Seja S(t) ∈ L(H), semigrupo gerado por −A. Para todo t ≥ 0, temos:
i) S(0) = I
H
e S(t
1
+ t
2
) = S(t
1
) ◦ S(t
2
); ∀t
1
, t
2
≥ 0.
ii) |S(t)u
0
| ≤ |u
0
|, ∀u
0
∈ H, ∀t ≥ 0.
iii) lim
t→0
|S(t)u
0
− u
0
| = 0 ∀u
0
∈ H.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
Atrav´es da teoria de semigrupos, podemos obter a rec´ıproca do Teorema de Hille-
Yosida, ou seja, podemos estabelecer uma correspondˆencia
bijetiva entre operadores maximais mon´otonos e semigrupos cont´ınuos de contra¸c˜oes.
Teorema 1.63. Se S(t) ´e semigrupo cont´ınuo de contra¸c˜oes, ent˜ao existe um ´unico
operador maximal mon´otono A em H, tal que (S(t))
t≥0
´e o semigrupo gerado por −A.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
A seguir, veremos outras propriedades de semigrupos, dentre as quais, com respeito
a diferencial de um semigrupo.
Proposi¸c˜ao 1.64. Seja S(t) um semigrupo gerado por −A. Temos as seguintes pro-
priedades:
i) Se u
0
∈ D(A), ent˜ao S(t)u
0
∈ D(A)
e ainda,
d
dt
S(t)u
0
= −AS(t)u
0
= S(t)Au
0
.
ii) Se u
0
∈ H, ent˜ao
t
0
S(s)u
0
ds ∈ D(A), ∀t ≥ 0.
iii) A
t
0
S(s)u
0
ds
= S(t)u
0
− u
0
.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 40
Defini¸c˜ao 1.65. Se A e −A s˜ao operadores maximais mon´otonos, n´os podemos definir
S
A
(t) e S
−A
(t) semigrupos gerados por A e −A, respectivamente.
Definamos
S
A
(t) = S(t) ; t ≥ 0;
S
−A
(t) = S(−t) ; t ≤ 0.
Claramente, S
A
(t) e S
−A
(t) s˜ao semigrupos, pois s˜ao restri¸c˜oes do semigrupo S(t).
Proposi¸c˜ao 1.66. Sejam S
A
(t) e S
−A
(t) definidos acima. Ent˜ao, temos que
S
A
(t) = [S
−A
(t)]
−1
.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
Proposi¸c˜ao 1.67. Se A ´e maximal mon´otono, ´e necess´ario e suficiente que A
∗
tamb´em
seja maximal mon´otono.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
Proposi¸c˜ao 1.68. Seja S(t) semigrupo gerado por −A. Se A
∗
existe, ent˜ao S
∗
(t) =
S(t)
∗
´e o semigrupo gerado por −A
∗
.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
Proposi¸c˜ao 1.69. Considere S
A
(t), S
−A
(t) definidos em (1.65). Ent˜ao:
i) S(0) = I;
ii) S(t
1
+ t
2
) = S(t
1
) ◦ S(t
2
); ∀t
1
, t
2
∈ R;
iii) |S(t)u
0
| = |u
0
|; ∀u
0
∈ H, ∀t ∈ R.
S(t) ´e dito grupo de operadores unit´arios sobre H.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
Defini¸c˜ao 1.70. A ´e anti-adjunto se A=−A.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 41
Proposi¸c˜ao 1.71. A ´e anti-adjunto se, e somente se, A e −A s˜ao operadores maximais
mon´otonos.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
Corol´ario 1.72. Se A ´e anti-adjunto, ent˜ao para todo u ∈ D(A) temos que
||u(t)||
2
= cte.
Demonstra¸c˜ao: Ver Gomes [16].
1.9 Equa¸c˜oes N˜ao Lineares
Estaremos interessados em resolver o seguinte problema:
d u
dt
+ Au = F (u(t)); em [0, T ]
u(0) = u
0
(1.13)
onde F : H → H ´e cont´ınua. Temos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 1.73. Se u ∈ C([0, T ]; H) satisfaz o problema (1.13) u ´e dita solu¸c˜ao generalizada.
Se u ∈ C
1
([0, T ]; H) ∩C([0, T ]; D(A)), a solu¸c˜ao de (1.13) ´e dita cl´assica. Em ambos os
casos, u satisfaz a equa¸c˜ao integral
u(t) = S(t)u
0
+
t
0
S(t − s)F (s)ds.
Teorema 1.74. Seja F : H → H uma fun¸c˜ao Lipschitiziana, ou seja,
|F u − F v| ≤ |v − u|, ∀u, v ∈ H.
Ent˜ao:
i) Para toda u
0
∈ H existe uma ´unica u ∈ C([0, +∞[; H) que ´e solu¸c˜ao general-
izada. Se u
0
, u
0
∈ H valores iniciais respectivos as solu¸c˜oes u(t) e u(t) ent˜ao
|u(t) − u(t)| ≤ e
Lt
|u
0
− u
0
|.
ii) Se u
0
∈ D(A), a solu¸c˜ao ´e cl´assica.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 42
Demonstra¸c˜ao: Ver [7].
Teorema 1.75. Seja F : D(A) → D(A) Lipschitz-Cont´ınua. Se u
0
∈ D(A), ent˜ao
existe uma solu¸c˜ao cl´assica de (1.13).
Demonstra¸c˜ao: Ver [7].
Teorema 1.76. Seja F : H → H localmente Lipschitz, ou seja, para todo M > 0 existe
L
M
> 0 tal que |u| ≤ M e |v| ≤ M implica que |F u − F v| ≤ L
M
|u − v|.
Ent˜ao, para toda u
0
∈ H existe u solu¸c˜ao generalizada de (1.74) em [0, T ] e esta
pode ser extendida em uma solu¸c˜ao maximal sobre [0, T
max
[ com
T
max
= +∞ ou T
max
< +∞ e lim
t→+∞
|u(t)| = +∞.
Se u
0
∈ D(A), a solu¸c˜ao ´e cl´assica.
Demonstra¸c˜ao: Ver [7].
Observa¸c˜ao 1.77. Podemos transferir todos os resultados de imers˜oes de Sobolev, re-
gularidade, etc, vistos em abertos do R
n
para uma variedade compacta M, cobrindo M
com vizinhan¸cas coordenadas, aplicando os resultados em R
n
em coordenadas normais,
e somando o resultado obtido atrav´es da parti¸c˜ao da unidade.
1.10 Um Repasso A Geometria Diferencial
Nesta se¸c˜ao introduziremos algumas terminologias e nota¸c˜oes que nos ser˜ao necess´arias
no decorrer desta disserta¸c˜ao. Para tal comecemos definindo o conceito de diferencial de
uma aplica¸c˜ao.
1.10.1 Superf´ıcie Regular
Defini¸c˜ao 1.78. Seja F : R
n
→ R
m
uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Associamos a cada p ∈
U (onde U ´e um aberto de R
n
) uma aplica¸c˜ao linear dF
p
: R
n
→ R
m
que ´e chamada de
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 43
diferencial de F em p, e ´e definida da seguinte maneira. Sejam w ∈ R
n
e α : (−ε, ε) → U
uma curva diferenci´avel tal que α(0) = p e α
(0) = w. Pela regra da cadeia, a curva
β = F ◦ α : (−ε, ε) → R
m
tamb´em ´e diferenci´avel.Ent˜ao
dF
p
(w) = β
(0).
Proposi¸c˜ao 1.79. A defini¸c˜ao dada acima para dF
p
n˜ao depende da escolha da curva
que passa por p com vetor tangente w, e dF
p
´e, de fato, uma aplica¸c˜ao linear.
Demonstra¸c˜ao: ver [36] ✷
Uma das vantagens da no¸c˜ao de diferencial de uma aplica¸c˜ao ´e que ela nos permite
expressar muitos fatos do C´alculo em uma linguagem geom´etrica. Dando continuidade
definiremos o seguinte
Defini¸c˜ao 1.80. Um subconjunto S ⊂ R
3
´e uma superf´ıcie regular se, para cada p ∈ S,
existe uma vizinhan¸ca V de p em R
3
e uma aplica¸c˜ao x : U → V ∩S de um aberto U de
R
2
sobre V ∩S ⊂ R
3
tal que
1. x ´e diferenci´avel
2. x ´e um homeomorfismo. Como x ´e cont´ınua pela condi¸c˜ao 1, isto significa que x tem
inversa x
−1
: V ∩ S → U que ´e cont´ınua.
3. (condi¸c˜ao de regularidade)Para todo q ∈ U, a diferencial dx
q
: R
2
→ R
3
´e injetiva.
A aplica¸c˜ao x ´e chamada parametriza¸c˜ao ou sistema de coordenadas (locais) em
(uma vizinhan¸ca de) p. A vizinhan¸ca V ∩ S de p em S ´e chamada uma vizinhan¸ca
coordenada. Mais geral, podemos definir o conceito de superf´ıcie abstrata (variedade
diferenci´avel de dimens˜ao 2) como o seguinte
Defini¸c˜ao 1.81. Uma superf´ıcie abstrata (variedade diferenci´avel de dimens˜ao 2) ´e um
conjunto S munido de uma fam´ılia de aplica¸c˜oes injetivas x
α
: U
α
→ S de conjuntos
abertos U
α
⊂ R
2
em S tal que
1. ∪
α
x
α
(U
α
) = S.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 44
2. Para cada par α, β com x
α
(U
α
) ∩x
α
(U
β
) = W = ∅ , temos que x
−1
α
(W ), x
−1
β
(W ) s˜ao
conjuntos abertos em R
2
, e x
−1
β
◦ x
α
, x
−1
α
◦ x
β
s˜ao aplica¸c˜oes diferenci´aveis.
O par (U
α
, x
α
) com p ∈ x
α
(U
α
) ´e chamado uma parametriza¸c˜ao (ou sistema de
coordenadas) de S em torno de p. Dizemos que x
α
(U
α
) ´e uma vizinhan¸ca coordenada, e
se q = x
α
(u
α
, v
α
) ∈ S, que (u
α
, v
α
) s˜ao as coordenadas de q neste sistema de coordenadas.
A fam´ılia {U
α
, x
α
} ´e chamada uma estrutura diferenci´avel em S.
Segue-se imediatamente da condi¸c˜ao 2 que a ”mudan¸ca de parˆametros”
x
−1
β
◦ x
α
: x
−1
α
(W ) → x
−1
β
(W )
´e um difeomorfismo.
Defini¸c˜ao 1.82. Seja f : V ⊂ S → R uma fun¸c˜ao, definida em um subconjunto aberto
V de uma superf´ıcie regular S. Ent˜ao f ´e diferenci´avel em p ∈ V se, para alguma
parametriza¸c˜ao x : U ⊂ R
2
→ S, com p ∈ x(U) ⊂ V , a composi¸c˜ao f ◦ x : U ⊂ R
2
→ R
´e diferenci´avel em x
−1
(p). A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em V se ´e diferenci´avel em todos
os pontos de V .
Exemplo 1.83. Se x : U ⊂ R
2
→ S ´e uma parametriza¸c˜ao, x
−1
: x(U) → R
2
´e
diferenci´avel.
A defini¸c˜ao de diferenciabilidade pode ser facilmente estendida a aplica¸c˜oes entre
superf´ıcies.
Defini¸c˜ao 1.84. Diremos que uma aplica¸c˜ao cont´ınua ϕ : V
1
⊂ S
1
→ S
2
, de um conjunto
aberto V
1
de uma superf´ıcie regular S
1
em uma superf´ıcie regular S
2
, ´e diferenci´avel em
p ∈ V
1
se , dadas parametriza¸c˜oes x : U
1
⊂ R
2
→ S
1
, y : U
2
⊂ R
2
→ S
2
com p ∈ x(U
1
)
e ϕ(x(U
1
)) ⊂ y(U
2
), a aplica¸c˜ao
y
−1
◦ ϕ ◦ x : U
1
→ U
2
´e diferenci´avel em q = x
−1
(p).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 45
Defini¸c˜ao 1.85. Uma superf´ıcie regular S ´e orient´avel se for poss´ıvel cobr´ı-la com uma
fam´ılia de vizinhan¸cas coordenadas, de tal modo que se um ponto p ∈ S pertence a duas
vizinhan¸cas dessa fam´ılia, ent˜ao a mudan¸ca de coordenadas tem Jacobiano positivo em
p. A escolha de uma tal fam´ılia ´e chamada uma orienta¸c˜ao de S, e S, neste caso,
diz-se orientada. Se uma tal escolha n˜ao ´e poss´ıvel, a superf´ıcie ´e n˜ao-orient´avel. Se
S ´e orientada, uma parametriza¸c˜ao (local) x ´e compat´ıvel com a orienta¸c˜ao de S se,
juntando x `a fam´ılia de parametriza¸c˜oes dada pela orienta¸c˜ao, obt´em-se ainda uma (logo,
a mesma) orienta¸c˜ao de S.
Proposi¸c˜ao 1.86. Uma superf´ıcie regular S ⊂ R
3
´e orient´avel se, e somente se existe
um campo diferenci´avel N : S → R
3
de vetores normais em S.
Demonstra¸c˜ao: ver [36] ✷
Seja M ⊂ R
3
uma superf´ıcie regular, orientada, compacta e sem bordo e considere-
mos {U
α
, x
α
}
1≤α≤k
sua estrutura diferenci´avel. Por simplicidade de nota¸c˜ao omitiremos
o ´ındice α. Assim sendo, denotando as coordenadas de U
α
≡ U por (u, v) e x
α
≡ x ent˜ao
o espa¸co tangente T
p
M ´e gerado por {x
u
, x
v
}. Para um ponto dado p ∈ x(U) ⊂ M,
as componentes dos vetores tangentes x
u
e x
v
dependem da parametriza¸c˜ao mas T
p
M
independe.
O conjunto
T M = {(p, v) ; p ∈ M e v ∈ T
p
M} (1.14)
´e denominado fibrado tangente.
Para um ponto p = x(u, v) ∈ M consideremos a matriz
M :=
x
u
, x
u
x
u
, x
v
x
v
, x
u
x
v
, x
v
=
E F
F G
(1.15)
onde ., . denota o produto interno euclidiano. A primeira Forma Fundamental sobre a
superf´ıcie M ´e a restri¸c˜ao do produto interno euclidiano sobre o T
p
M, isto ´e, denotando-
se
X = x
1
x
u
+ x
2
x
v
e Y = y
1
x
u
+ y
2
x
v
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 46
ent˜ao
., . : T
p
M × T
p
M −→ R
(X, Y ) −→ X, Y (1.16)
A m´etrica sobre M ´e simplesmente induzida do espa¸co ambiente, por sua pr´opria
defini¸c˜ao.
1.10.2 O Gradiente
O gradiente tangencial denotado por ∇
T
f de uma fun¸c˜ao f : V → R de classe C
1
,
definida em uma vizinhan¸ca V (aberta) de uma superf´ıcie M ´e dado por:
∇
T
f := ∇
R
3
f − ∇
R
3
f, νν (1.17)
onde ν : M → S
2
´e a aplica¸c˜ao normal de Gauss.
Defini¸c˜ao 1.87. O gradiente tangencial geom´etrico de uma fun¸c˜ao diferenci´avel
f : M → R, ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel ∇
M
f : M → R
3
que associa a cada ponto p ∈ M
um vetor ∇
M
f(p) ∈ T
p
M tal que
∇
M
f(p), v = df
p
.v ; ∀v ∈ T
p
M (1.18)
Se E, F e G s˜ao os coeficientes da primeira forma quadr´atica definidos em (1.15)
ent˜ao o gradiente geom´etrico tangencial sobre x(U) ´e dado por
∇
M
f =
f
u
G − f
v
F
EG −F
2
x
u
+
f
v
E − f
u
F
EG −F
2
x
v
(1.19)
onde f
u
= (f ◦ x)
u
e f
v
= (f ◦ x)
v
.
As vezes costuma-se representar o gradiente tangencial em coordenadas locais por:
∇
M
f = [x
u
x
v
]M
−1
[f
u
f
v
]
T
(1.20)
onde
M
−1
=
1
det M
G −F
−F E
(1.21)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 47
e M ´e dada por (1.15); note que (1.20) ´e exatamente a express˜ao dada em (1.19). Conv´em
observar tamb´em que de (1.17) e (1.18) segue que o gradiente tangencial ∇
T
u definido
em (1.17) e o gradiente geom´etrico cl´assico coincidem.
Um campo vetorial q sobre M ´e uma correspondˆencia que associa a cada p ∈ M
um vetor ω(p) ∈ T
p
M. Um campo vetorial ω ´e diferenci´avel em p ∈ M se as fun¸c˜oes a(.)
e b(.) dadas por
ω(p) = a(p)x
u
+ b(p)x
v
s˜ao diferenci´aveis em p.
1.10.3 O Divergente
Dado X campo vetorial em M, (u, v) o sistema de coordenadas em M e (X
u
, X
v
)
campos coordenados, temos X = aX
u
+ bX
v
, definimos o divergente do campo X por
divX(p) := T r
T
p
M −→ T
p
M
w −→ (∇
w
X)(p)
onde ∇
w
X = ∇
w
(aX
u
+ bX
v
) = w(a)X
u
+ a∇
w
X
u
+ w(b)∇
w
X
v
+ b∇
w
X
v
Em particular
∇
X
u
X = X
u
(a)X
u
+ a∇
X
u
X
u
+ X
u
(b)X
v
+ b∇
X
u
X
v
= X
u
(a)X
u
+ aΓ
u
uu
X
u
+ aΓ
u
uv
X
v
+ X
u
(b)X
v
+ bΓ
v
uu
X
u
+ bΓ
v
uv
X
v
e
∇
X
v
X = X
v
(a)X
u
+ a∇
X
v
X
u
+ X
v
(b)X
v
+ b∇
X
v
X
v
= X
v
(a)X
u
+ aΓ
u
vu
X
u
+ aΓ
u
vv
X
v
+ X
v
(b)X
v
+ bΓ
v
vu
X
u
+ bΓ
v
vv
X
v
Logo divX = X
u
(a) + aΓ
u
uu
+ bΓ
v
uu
+ aΓ
u
vv
+ X
v
(b) + bΓ
v
vv
aqui ∇
w
denota a derivada covariante, e Γ
k
ij
s˜ao os s´ımbolos de Christoffel.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 48
1.10.4 O Operador Laplace-Beltrami
O operador Laplace-Beltrami, denotado por ∆
M
f de uma fun¸c˜ao f : M → R de
classe C
2
´e definido por:
∆
M
f = div
T
∇
T
f (1.22)
podemos escrever o operador Laplace-Beltrami em coordenadas locais por:
∆
M
f =
1
det(M)
∂
∂u
∂
∂v
det(M)M
−1
[f
u
f
v
]
T
(1.23)
Seja q : R
3
→ R
3
um campo de vetores. De forma an´aloga a defini¸c˜ao dada em
(1.17) definimos a proje¸c˜ao tangencial q
T
sobre T
p
M por:
q
T
:= q − q, νν (1.24)
No caso particular do campo
m(x, y, z) = (x, y, z) − (x
0
, y
0
, z
0
) (x, y, z) ∈ R
3
(1.25)
calculemos d
p
[m
T
] : T
p
M → T
p
M.
Para isto, tomemos w ∈ T
p
M e seja α : (−ε, ε) → M um caminho diferenci´avel tal
que α(0) = p e α
(0) = w. Ent˜ao
d
p
[m
T
].w =
d
dt
[(m
T
◦ α)(t)]|
t=0
=
d
dt
m(α(t)) − m(α(t)), ν(α(t))ν(α(t))
t=0
= [m
(α(t))α
(t) − m
(α(t))α
(t), ν(α(t))ν(α(t)) (1.26)
− m(α(t)), d
p
ν(α(t))α
(t)ν(α(t)) − m(α(t)), ν(α(t))d
p
ν(α(t))α
(t)]|
t=0
Por outro lado, pondo α(t) = (x(t), y(t), z(t)) resulta que
m
(α(t)).α
(t) =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
(t)
y
(y)
z
(t)
=
x
(t)
y
(y)
z
(t)
= α
(t) (1.27)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 49
Ent˜ao, combinando (1.28) e (1.27) em t = 0, obtemos:
d
p
[m
T
].w =
w −
w, ν(p)
ν(p) −
m(p), d
p
ν(p).w
ν(p) −
m(p), ν(p)
d
p
ν(p).w
Donde
d
p
[m
T
].w =
w −
m(p), ν(p)
d
p
ν(p).w
(1.28)
Para superf´ıcies de codimens˜ao 1, a curvatura pode ser expressa pelo operador
forma B (segunda forma fundamental) o qual ´e, usando gradientes tangenciais, dado
pela matriz
B := ∇
T
ν = −d
p
ν(p) (1.29)
combinando (1.28) e (1.29) resulta que
d
p
[m
T
].w =
w +
m(p), ν(p)
Bw
; ∀w ∈ T
p
M (1.30)
de (1.30) resulta que
d
p
[m
T
] = I + m(p), ν(p)B (1.31)
Foquemos nossa aten¸c˜ao no operador forma B : T
p
M → T
p
M. Existe uma base
ortonormal {e
1
, e
2
} de T
p
M tal que Be
1
= k
1
e
1
e Be
2
= k
2
e
2
, onde k
1
e k
2
s˜ao as
curvaturas principais de M em p. A matriz B com respeito a esta base {e
1
, e
2
} ´e dada
por
B :=
k
1
0
0 k
2
(1.32)
Logo, de (1.31) e (1.32) podemos escrever:
div
T
[q
T
] = tra¸co da matriz
I + m, νB
= 2 + (m.ν)T r(B)
= 2 + 2(m.ν)H (1.33)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 50
onde H =
T rB
2
´e a curvatura m´edia de M em p.
Agora observe que, dado f ∈ C(M) no caso n-dimensional, temos
div(fq)(p) : = T r (e
i
−→ (∇
e
i
(fq)(p))
= T r
e
i
−→ f(p)∇
e
i
q(p) + e
i
(f)q(p)
= f(p)T r
e
i
−→ ∇
e
i
q(p)
+
n
i=1
e
i
(f).q(p), e
i
Ent˜ao
div(fq)(p) = f (p)div q(p) +
n
i=1
e
i
(f)q(p), e
i
= f(p)div q(p) +
n
i=1
∇f(p), e
i
q(p), e
i
= f(p)div q(p) + ∇f(p), q(p)
onde {e
1
, . . . , e
n
} ´e uma base ortonormal de T
p
M.
Para o nosso caso, onde a dimens˜ao ´e dois, obtemos
div
T
(fq) = ∇
T
f · q + fdiv
T
q (1.34)
onde ∇
T
f · q indica o produto interno.
Considere agora f, g : M → R fun¸c˜oes diferenci´aveis e calculemos ∇
T
(fg). Por
defini¸c˜ao, temos:
∇
T
(fg)(p), w = d
p
N(fg).w ; ∀w ∈ T
p
M (1.35)
mas ∇
T
(fg), w = d(fg)(w) = w(fg)
= w(f)g + fw(g)
= g∇
T
f, w + f∇
T
g, w (1.36)
Portanto, de (1.35) e (1.36) obtemos:
∇
T
(fg)(p), w = f(p)∇
T
g(p), w + g(p)∇
T
f(p), w
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 51
ou ainda,
∇
T
(fg)(p) = f (p)∇
T
g(p) + g(p)∇
T
f(p) (1.37)
De (1.37) e, em particular,
∇
T
(f
2
)(p) = 2f(p)∇
T
f(p)
e sendo q = q
1
x
u
+ q
2
x
v
um campo diferenci´avel, resulta que
q · ∇
T
(f
2
) = 2f(q ·∇
T
f) (1.38)
Sendo X um campo vetorial regular sobre uma superf´ıcie regular M com bordo
∂M suave, o Teorema da Divergˆencia de Gauss nos diz que
M
div
T
XdM =
∂M
X, νdM (1.39)
onde ν ´e o campo normal unit´ario exterior `a ∂M. Quando M ´e uma superf´ıcie sem bordo
a contribui¸c˜ao de fronteira ´e nula e desta forma, tomando-se X = f g de (1.34) e (1.39)
resulta que
M
(div
T
q)f dM = −
M
(q · ∇
T
f)dM (1.40)
esta ´e conhecida como f´ormula de Gauss. Resulta de (1.40) em particular para q = ∇
T
f
(f de classe C
2
) e f = g (g de classe C
1
), que
M
(div
T
∇
T
f)g dM = −
M
∇
T
f · ∇
T
g dM
ou seja,
M
∆
M
f g dM = −
M
∇
T
f · ∇
T
g dM (1.41)
conhecida como a f´ormula de Green.
Denotaremos por L
2
(M, T M) o completado das se¸c˜oes em T M com produto interno
dado por
(φ, ψ)
T M
=
M
φ, ψ
p
d T M
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 52
e por L
2
(M) o completado de C
∞
(M) com produto interno usual
(f, g)
L
2
(M)
=
M
f(x)g(x)dM (1.42)
O espa¸co de Sobolev H
1
(M) ´e o completado de C
∞
(M) com respeito a norma
f
2
H
1
(M)
= ∇
T
f
2
L
2
(M,T M)
+ f
L
2
(M)
(1.43)
De modo a simplificar a nota¸c˜ao, denotaremos a norma L
2
, sem distinguir quando
o argumento da norma ´e uma fun¸c˜ao ou um tensor. Tendo isto em mente e usando o
operador ∆
M
sobre M podemos dar uma defini¸c˜ao mais intr´ınseca dos espa¸cos H
s
(M)
considerando
H
2m
(M) =
u ∈ L
2
(M) ; ∆
m
M
u ∈ L
2
(M)
(1.44)
o qual dotado com a norma canˆonica
u
2
H
2m
(M)
= u
2
L
2
(M)
+ ∆
m
M
u
2
L
2
(M)
(1.45)
´e um espa¸co de Hilbert. Conv´em observar que as f´ormulas integrais de Green, Gauss, den-
tre outras podem ser estendidas aos espa¸cos de Sobolev usando a densidade de C
∞
(M)
em H
s
(M). Por exemplo, sendo M uma superf´ıcie compacta sem bordo, ent˜ao temos os
seguintes teoremas:
Teorema 1.88. ( Teorema de Gauss)- Se Υ ´e um campo vetorial pertencente a (H
2
(M))
2
e q ∈ H
1
(M) ent˜ao
M
(divΥ)q dM = −
M
Υ · ∇q dM .
Teorema 1.89. ( Teorema de Green)- Se f ∈ H
2
(M) e g ∈ H
1
(M), temos
M
(∆
M
f)g dM = −
M
∇f · ∇g dM .
Considere M ⊂ R
3
, uma superf´ıcie compacta, orientada e sem bordo de classe C
3
de R
3
. Sejam
V = {v ∈ H
1
(M) ;
M
vdM = 0} e G = {v ∈ V ; ∆v ∈ L
2
(M)} (1.46)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 53
Ent˜ao V ´e um espa¸co de Hilbert munido da topologia induzida por H
1
(M).
De fato, que V ´e um espa¸co vetorial est´a claro. Mostraremos que V ´e fechado.
Sejam u ∈ V
H
1
(M)
, e (u
ν
)
ν∈N
⊂ V tal que u
ν
→ u em H
1
(M). Como u
ν
∈ V ent˜ao
M
u
ν
dM = 0 ∀ν ∈ N (1.47)
Observe tamb´em que
u
ν
− u
σ
2
H
1
(M)
= u
ν
− u
σ
2
L
2
(M)
+ ∇(u
ν
− u
σ
)
2
L
2
(M)
→ 0
quando ν, σ → ∞, donde u
ν
− u
σ
L
2
(M)
→ 0. Sendo L
2
(M) espa¸co de Hilbert, existe
v ∈ L
2
(M) tal que v
ν
→ v em L
2
(M). Como M compacta de classe C
3
, ent˜ao
L
2
(M)→L
1
(M).
Por outro lado, pela unicidade do limite em L
2
(M), temos u = v, e pela imers˜ao
citada acima, temos
M
|u
ν
− u|dM −→ 0 quando ν → ∞.
Donde
M
(u
ν
− u)dM
≤
M
|u
ν
− u|dM → 0 quando ν → ∞.
ou seja,
M
u
ν
dM →
M
udM, e por (1.47) segue que 0 =
M
u
ν
dM →
M
udM o
que nos d´a
M
udM = 0. Assim conclu´ımos que u ∈ V . Portanto V ´e um subespa¸co
fechado de H
1
(M) e sendo H
1
(M) um espa¸co de Hilbert segue que V munido da norma
induzida de H
1
(M) ´e um espa¸co de Hilbert.
Consideremos V e H munidos das seguintes normas, respectivamente
u
V
= ∇u
L
2
(M)
u
H
= u
V
+ ∆u
L
2
(M)
Provaremos a seguir que em V as normas u
H
1
(M)
e u
V
s˜ao equivalentes.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 54
Com efeito, que u
V
≤ u
H
1
(M)
´e imediato. Resta-nos provar que existe uma
constante c > 0 tal que
u
L
2
(M)
≤ c∇u
L
2
(M)
= cu
V
(1.48)
Se u = 0 nada temos a provar.
Se u = 0 de (1.48) temos que
1
c
≤
u
u
L
2
(M)
V
; ∀u ∈ V
Portanto basta mostrarmos que existe c > 0 tal que ∀u ∈ V com u
L
2
(M)
= 1, tenhamos
u
V
≥
1
c
(1.49)
Suponhamos que isso n˜ao ocorra, ou seja, para cada n ∈ N exista u
n
∈ V com u
L
2
(M)
=
1 e no entanto
u
n
V
<
1
n
(1.50)
Tomando o limite na desigualdade acima quando n → ∞ resulta que
lim
n→∞
u
n
V
= 0 (1.51)
Agora, de (1.50) e do fato que u
n
L
2
(M)
= 1; ∀n ∈ N, temos:
u
n
2
L
2
(M)
+ u
n
2
V
≤ 1 +
1
n
≤ 2 (1.52)
o que implica que a sequˆencia (u
n
)
n∈N
´e limitada no espa¸co topol´ogico (V ; ·
H
1
(M)
).
Sendo V um espa¸co de Hilbert com a topologia induzida de H
1
(M), existir´a (u
ν
)
ν∈N
∗
subsequˆencia de (u
n
) e u ∈ V tais que
u
ν
u fraco em V (1.53)
Agora note, que a aplica¸c˜ao v ∈ V → v
V
´e convexa e semi-cont´ınua inferiormente.
Logo de (1.51) e (1.53), obtemos:
u
V
≤ lim
ν→∞
u
ν
V
= 0
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 55
Assim, u
V
= 0 e portanto u = 0.
Por outro lado, em virtude da imers˜ao H
1
(M) → L
2
(M) ser compacta, de (1.52),
ap´os extra¸c˜ao de uma eventual subsequˆencia, obtemos
u
ν
→ u em L
2
(M)
o que implica que
u
ν
L
2
(M)
→ u
L
2
(M)
e como u
ν
L
2
(M)
= 1, ∀ν ∈ N, vem que u
L
2
(M)
= 1 o que ´e um absurdo!. Assim est´a
provado (1.49) e por conseguinte as normas u
H
1
(M)
e u
V
s˜ao equivalentes. Desta
equivalˆencia segue que o espa¸co (V ; ·
V
) ´e um espa¸co de Hilbert.
Por outro lado, observemos que G = {v ∈ V ; ∆v ∈ L
2
(M)} ´e um espa¸co de
Hilbert. Com efeito, como a norma em V e em L
2
(M) s˜ao provenientes de produto
interno, ent˜ao a norma em G ´e proveniente de produto interno.
Seja (v
n
)
n∈N
uma sequˆencia de Cauchy em G. Como
v
n
− v
m
H
= v
n
− v
m
V
+ ∆v
n
− ∆v
m
L
2
(M)
segue que (v
n
) ´e de Cauchy em V e (∆v
n
) ´e de Cauchy em L
2
(M). Como V e L
2
(M)
s˜ao completos, existem v ∈ V e u ∈ L
2
(M) tais que
v
n
−→ v em V
∆v
n
−→ u em L
2
(M)
Resulta que ∆v = u em D
(M) e portanto, em L
2
(M). Logo v ∈ G, mostrando que G
´e um espa¸co de Hilbert.
Pelo Teorema Espectral, existe {w
ν
} ⊂ D(A) tal que o conjunto das combina¸c˜oes
lineares finitas dos w
ν
´e denso em W , o que implica que D(A) ´e denso em W .
Consideremos
W = V = {u ∈ H
1
(M) ;
M
udM = 0}
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 56
H = L
2
(M)
a(u, v) =
M
∇u · ∇vdM
como u
V
= ∇u
L
2
(M)
´e uma norma em V vem que a(u, v) ´e coerciva e, portanto,
para u ∈ D(A)
(Au, v)
L
2
(M)
=
M
∇u · ∇vdM
= (∇u, ∇v)
L
2
(M)
; ∀v ∈ V
Se v ∈ C
∞
0
(M) obtemos
(Au, v) = −∆u, v ; ∀v ∈ C
∞
0
(M)
Assim, Au = −∆u em D(M), o que implica Au = −∆u, ∀u ∈ D(A), onde
D(−∆) = V ∩ H
2
(M).
Com efeito, lembremos que
D(−∆) = {u ∈ V ; −∆u ∈ L
2
(M) e verifica a(u, v) = (−∆u, v) , v ∈ V }.
mostraremos inicialmente que V ∩ H
2
(M) ⊂ D(−∆).
Seja u ∈ V ∩ H
2
(M) e v ∈ V . Ent˜ao, u ∈ V , −∆u ∈ L
2
(M) e pela f´ormula de
Green
a(u, v) =
M
∇u∇vdM =
M
−∆u v dM = (−∆u, v)
donde V ∩ H
2
(M) ⊂ D(−∆).
Mostraremos agora, a inclus˜ao D(−∆) ⊂ V ∩ H
2
(M).
Seja u ∈ V tal que a(u, v) = (−∆u, v), ∀v ∈ V . Ent˜ao pela f´ormula de Green
temos:
M
∇u∇vdM =
M
−∆u v dM, ∀v ∈ V
Sendo M de classe C
3
temos em virtude da regularidade dos problemas el´ıpticos que
u ∈ H
2
(M), e naturalmente u ∈ V ,
donde D(−∆) ⊂ V ∩H
2
(M), o que conclui a prova.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 57
Nas condi¸c˜oes acima, o Teorema Espectral nos garante a existˆencia de uma base
de V ∩ H
2
(M) constitu´ıda pela autofun¸c˜oes do operador −∆, mais ainda temos
(w
ν
)
ν∈N
´e um sistema ortonormal completo em L
2
(M).
w
ν
√
λ
ν
ν∈N
´e um sistema ortonormal completo em V .
w
ν
λ
ν
ν∈N
´e um sistema completo em V ∩ H
2
(M).
Como V = {u ∈ H
1
(M) ;
M
udM = 0} ´e denso em L
2
(M) e o dom´ınio do
operador −∆, definido pela terna {V, L
2
(M); (∇u, ∇v)
L
2
(M)
}, ´e o conjunto V ∩H
2
(M),
resulta do Teorema Espectral que o conjunto V ∩ H
2
(M) ´e denso em V .
Para fins de enunciar resultados mais gerais a seguir definamos o que ´e uma Vari-
edade Riemanniana.
Defini¸c˜ao 1.90. Uma m´etrica Riemanniana ou Estrutura Riemanniana em uma vari-
edade diferenci´avel M ´e uma lei que faz corresponder a cada p ∈ M um produto interno
·, ·
p
no espa¸co tangente T
p
M, tal que, se x : U ⊂ R
n
→ M ´e um sistema de coordenadas
locais em torno de p, com x(x
1
, . . . , x
n
) = q ∈ x(U) e
∂
∂x
i
(q) = dx(0, . . . , 1, . . . , 0), ent˜ao
∂
∂x
i
(q),
∂
∂x
j
(q)
|
q
= g
ij
(x
1
, . . . , x
n
),
´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel em U. Uma variedade diferenci´avel com uma dada m´etrica
Riemanniana chama-se uma Variedade Riemanniana.
Teorema 1.91. (Regularidade Global) Sejam M uma variedade riemanniana com-
pacta e ∆ denota o laplaciano. Considere u ∈ H
1
(M) uma solu¸c˜ao fraca para ∆u = f .
a) Se f ∈ W
m,p
(M), ent˜ao u ∈ W
m+2,p
(M), e
u
W
m+2,p
(M)
≤ C(∆u
W
m,p
(M)
+ u
L
p
(M)
).
b) Se f ∈ C
m,α
(M), ent˜ao u ∈ C
m+2,α
(M), e
u
C
m+2,α
(M)
≤ C(∆u
C
m,α
(M)
+ u
C
α
(M)
).
Id´eia da demonstra¸c˜ao: Ver [28].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 58
Teorema 1.92. (Imers˜ao de Sobolev para variedade compacta com ou sem
bordo) - Seja M uma variedade compacta de dimens˜ao n,(vale com fronteira C
1
),
ent˜ao
a) Se
1
q
≥
1
p
−
m
n
, ent˜ao W
m,p
(M) est´a imerso continuamente em L
q
(M).
b) (Teorema de Rellich-Kondrachov) A imers˜ao acima ´e compacta, se a desigual-
dade ´e estrita.
c) Se α ∈ (0, 1), e
1
p
≤
k − α
n
ent˜ao W
m,p
(M) est´a imerso continuamente em C
α
(M).
d) Se
1
s
≥
1
n − 1
n
p
− m
, ent˜ao W
m,p
(M) est´a imerso continuamente em L
s
(∂M).
e) A imers˜ao acima ´e compacta, se a desigualdade ´e estrita.
Demonstra¸c˜ao: Ver [28].
Cap
´
ıtulo 2
Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes
No que segue poderemos estar omitindo algumas vari´aveis afim de n˜ao sobrecarregar
a nota¸c˜ao e tamb´em denotaremos o operador Laplace-Beltrami (∆
M
) simplesmente por
∆ .
Estudaremos a existˆencia e unicidade do problema linear, ou seja, quando o termo
de dissipativo ´e linear, para depois usar esse resultado afim de provar a existˆencia e
unicidade no caso n˜ao-linear. Utilizaremos o m´etodo de Faedo-Galerkin para estudar o
seguinte problema de evolu¸c˜ao.
u
tt
− ∆
M
u + a(x)u
t
= 0 em M × (0, T )
u(0) = u
0
, u
t
(0) = u
1
em M
(2.1)
onde M ´e uma superf´ıcie compacta orientada e sem bordo em R
3
.
2.1 Problema Aproximado Para o Caso Linear
Seja (w
j
)
j∈N
uma base de V , que pelo processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-
Schmidt, podemos j´a supor que seja ortonormal em L
2
(M). Denotemos por
V
m
= [w
1
, w
2
, ··· , w
m
]
o subespa¸co gerado pelos m primeiros vetores w
j
. O problema aproximado consiste em
determinar u
m
=
m
j=1
g
jm
w
j
∈ V
m
tal que satisfa¸ca:
(u
m
(t), v) + (−∆u
m
(t), v) + (a(x)u
m
(t), v) = 0 para todo v ∈ V
m
u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em V ∩ H
2
(M)
u
m
(0) = u
1m
→ u
1
em L
2
(M)
(2.2)
59
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 60
sabendo que vale a f´ormula de Green, podemos fazer ainda (−∆u
m
(t), v) = (∇u
m
(t), ∇v),
assim :
(u
m
(t), v) + (∇u
m
(t), ∇v) + (a(x)u
m
(t), v) = 0 para todo v ∈ V
m
u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em V ∩ H
2
(M)
u
m
(0) = u
1m
→ u
1
em L
2
(M)
(2.3)
Substituindo u
m
=
m
j=1
g
jm
w
j
e tomando w
r
= v com 1 ≤ r ≤ m obtemos:
m
j=1
g
jm
(t)w
j
, w
r
+
m
j=1
g
j
(t)∇w
j
, ∇w
r
+
a(x)
m
j=1
g
jm
(t)w
j
, w
r
= 0
u
m
(0) =
m
j=1
g
jm
(0)w
j
= u
0m
→ u
0
em V
u
m
(0) =
m
j=1
g
jm
(0)w
j
= u
1m
→ u
1
em L
2
(M)
(2.4)
A primeira equa¸c˜ao ainda pode ser escrita como
g
jm
(t) +
m
j=1
g
jm
(t)(∇w
j
, ∇w
r
) +
m
j=1
g
jm
(t)(a(x)w
j
, w
r
) = 0. Escrevendo na forma ma-
tricial, obtemos:
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
z
(t)
+
(∇w
1
, ∇w
1
) (∇w
2
, ∇w
1
) ··· (∇w
m
, ∇w
1
)
(∇w
1
, ∇w
2
) (∇w
2
, ∇w
2
) ··· (∇w
m
, ∇w
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(∇w
1
, ∇w
m
) (∇w
2
, ∇w
m
) ··· (∇w
m
, ∇w
m
)
B
·
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
z(t)
+
(a(x)w
1
, w
1
) (a(x)w
2
, w
1
) ··· (a(x)w
m
, w
1
)
(a(x)w
1
, w
2
) (a(x)w
2
, w
2
) ··· (a(x)w
m
, w
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(a(x)w
1
, w
m
) (a(x)w
2
, w
m
) ··· (a(x)w
m
, w
m
)
A
·
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
z
(t)
= 0
Logo, obtemos a seguinte E.D.O
z
(t) + Az
(t) + Bz(t) = 0
onde A e B s˜ao as matrizes demarcadas acima. Temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes
diferenciais ordin´arias
z
(t) + Az
(t) + Bz(t) = 0
z(0) = z
0
, z
(0) = z
1
(2.5)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 61
Definamos:
Y
1
(t) = z(t)
Y
2
(t) = z
(t)
Y (t) =
Y
1
(t)
Y
2
(t)
Logo temos
Y
(t) =
Y
1
(t)
Y
2
(t)
=
z
(t)
z
(t)
=
Y
2
(t)
−AY
2
(t) − BY
1
(t)
=
0 I
−B −A
Y
1
(t)
Y
2
(t)
(2.6)
Denotando
0 I
−B −A
= M
obtemos de (2.6) que,
Y
(t) = MY (t)
ou seja reduzimos o problema ao seguinte sistema
Y
(t) = MY (t)
Y (0) = Y
0
, Y
(0) = Y
1
(2.7)
Agora defina a fun¸c˜ao
F : R × R
2m
−→ R
2m
(t, Y (t)) −→ F (t, Y (t)) = MY (t)
Ent˜ao chegamos ao seguinte sistema
Y
(t) = F (t, Y (t))
Y (0) = Y
0
, Y
(0) = Y
1
(2.8)
Mostraremos que o problema dado em (2.5) possui solu¸c˜ao local utilizando o Teo-
rema de Carath´eodory. Para tanto, inicialmente, vamos verificar que a aplica¸c˜ao F
satisfaz as condi¸c˜oes de Carath´eodory.
De fato,considere D = [−T, T ] ×B
b
, onde
B
b
= {x ∈R
2m
; Y
0
∈B
b
e |x| ≤b , b > 0}
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 62
• F ´e cont´ınua em rela¸c˜ao a Y , para cada t fixo:
De fato, fixado t, tome ε > 0 qualquer.Considere δ =
ε
M
(note que
0 =M < ∞). Ent˜ao, se Y
1
, Y
2
∈B
b
e |Y
1
− Y
2
| < δ, temos que
|F (t, Y
1
(t)) − F (t, y
2
(t))| = |MY
1
(t) − MY
2
(t)| ≤M·|Y
1
− Y
2
| < M·δ = ε
• F ´e cont´ınua em rela¸c˜ao a t , para cada Y fixo:
Fixado Y (t), temos que F n˜ao depende de t, isto ´e, F ´e uma constante e, portanto
cont´ınua.
• |F (t, Y (t))| = |MY (t)| ≤M·|Y (t)| ≤M·b
Portanto das considera¸c˜oes acima, segue-se pelo Teorema de Carath´eodory que e-
xiste uma solu¸c˜ao Y (t) em (−t
m
, t
m
), com t
m
< T , de (2.7) . Restringido esta solu¸c˜ao
a t positivo, vemos que existem, para todo m, u
m
(t), t ∈ [0, t
m
), solu¸c˜ao do problema
aproximado.
2.1.1 Estimativas a Priori
• Primeira estimativa (permitir´a prolongar a solu¸c˜ao aproximada u
m
(t)∈V
m
definida
para todo t ∈[0, t
m
) e t
m
< T , a todo intervalo [0, T ]).
Agora tomando v = 2u
m
(t) ∈V
m
em (2.3), obtemos
2(u
m
(t), u
m
(t)) + 2(∇u
m
(t), ∇u
m
(t)) + 2(a(x)u
m
(t), u
m
(t)) = 0
Donde
d
dt
u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ 2
M
a(x)|u
m
(t)|
2
dM = 0
integrando de 0 a t, com t ∈[0, t
m
), obtemos
u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ 2
t
0
M
a(x)|u
m
(x, s)|
2
dMds
= u
m
(0)
2
L
2
(M)
+ ∇u
m
(0)
2
L
2
(M)
= u
1m
2
L
2
(M)
+ ∇u
0m
2
L
2
(M)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 63
Por outro lado, do problema aproximado (2.3), temos que
u
0m
→ u
0
forte em V
e
u
1m
→ u
1
forte em L
2
(M).
Ent˜ao existem constantes positivas C
1
, C
2
, independentes de m, t e T tais que
u
1m
(t)
2
L
2
(M)
≤ C
1
e ∇u
0m
(t)
2
L
2
(M)
≤ C
2
.
Logo
u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ 2
t
0
M
a(x)|u
m
(x, s)|
2
dMds ≤ C
1
+ C
2
= C (2.9)
pois, por hip´otese a(.) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa pertencente a L
∞
(M), assim con-
clu´ımos que
u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
≤ C (2.10)
substituindo a express˜ao de u
m
(t) em (2.10) e comparando com
Y
1
(t) = z(t) =
g
1m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
e Y
2
(t) = z
(t) =
g
1m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
obtemos
Y (t) =
Y
1
(t)
Y
2
(t)
≤ C
o que implica pelo teorema de prolongamento de solu¸c˜oes, que Y
m
(t) pode ser prolongado
a todo intervalo [0, t], T > 0. Portanto concluimos que (2.9) ´e v´alida para todo t ∈[0, T ]
e para todo m.Ent˜ao, concluimos
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; V ), (2.11)
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(M)). (2.12)
• Segunda estimativa ( limita¸c˜ao para (u
m
)
m∈N
)
Afim de simplificar a nota¸c˜ao, denotemos de agora em diante a norma em L
2
(M) por
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 64
.
2
.
como Y (t) ´e solu¸c˜ao de
Y
(t) = F (t, Y (t))
Y (0) = Y
0
, Y
(0) = Y
1
segue que Y (t) ∈ C
1
([0, T ]). Al´em disso, sabemos que essa E.D.O ´e o mesmo que
Y
(t) = MY (t)
Y (0) = Y
0
logo a solu¸c˜ao Y (t) pode ser explicitada na forma Y (t) = Y
0
e
Mt
. De fato Y
(t) =
Y
0
Me
Mt
= MY (t), Y (0) = Y
0
, como Y ∈ C
1
([0, T ]) e Y (t) = Y
0
e
Mt
, temos que
Y
(t) ∈ C
1
([0, t]), o que implica que Y
(t) existe e Y
(t) ∈ C
0
([0, T ]). Ent˜ao, vem que
g
jm
, g
jm
∈ C
0
([0, T ]). Portanto, conclu´ımos que u
m
(t) ∈ C
3
([0, T ]).
Podemos, ent˜ao, derivar a equa¸c˜ao aproximada (2.2) diretamente em rela¸c˜ao a t e
obter
(u
m
(t), v) + (−∆u
m
(t), v) + (a(x)u
m
(t), v) = 0
que ´e o mesmo que
(u
m
(t), v) + (∇u
m
(t), ∇v) + (a(x)u
m
(t), v) = 0 (2.13)
substituindo v = u
m
(t) na equa¸c˜ao (2.13), temos
1
2
d
dt
u
(t)
2
2
+
1
2
d
dt
∇u
m
(t)
2
2
+
M
a(x)|u
m
(t)|
2
dM = 0
integrando de o a t, t ∈ [0, T ], obtemos
1
2
u
m
(t)
2
2
+
1
2
∇u
m
(t)
2
2
+
t
0
M
a(x)|u
m
(x, s)|
2
dMds
=
1
2
u
m
(0)
2
2
+
1
2
∇u
m
(0)
2
2
o que implica que
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
+ 2
t
0
M
a(x)|u
m
(x, s)|
2
dMds = u
m
(0)
2
2
+ ∇u
m
(0)
2
2
(2.14)
Por outro lado considerando t = 0 e tomando v = u
m
(0) na equa¸c˜ao aproximada (2.2),
obtemos
u
m
(0)
2
2
+ (−∆u
m
(0), u
m
(0)) + (a(x)u
m
(0), u
m
(0)) = 0
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 65
ou ainda
u
m
(0)
2
2
= −(−∆u
m
(0), u
m
(0)) − (a(x)u
m
(0), u
m
(0))
e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz
u
m
(0)
2
2
≤ ∆u
m
(0)
2
u
m
(0)
2
+ a
∞
u
m
(0)
2
u
m
(0)
2
Assim
u
m
(0)
2
2
≤
∆u
m
(0)
2
+ a
∞
u
m
(0)
2
u
m
(0)
2
donde
u
m
(0)
2
≤ ∆u
m
(0)
2
+ a
∞
u
m
(0)
2
Portanto
u
m
(0)
2
≤ ∆u
0m
2
+ a
∞
u
1m
2
= u
0m
V ∩H
2
(M)
+ a
∞
u
1m
2
Das convergˆencias de (u
0m
) e (u
1m
) em (2.2), temos que existem constantes positivas C
3
e C
4
independentes de t e m, tais que ∆u
0m
2
≤ C
3
e u
1m
≤ C
4
da´ı
u
m
(0)
2
≤ C
3
+ C
4
a
∞
(2.15)
Logo de (2.14) e (2.15), colocando K
1
= C
3
+ C
4
a
∞
, obtemos
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
+
t
0
M
a(x)|u
m
(x, s)|
2
dMds ≤ K
2
1
+ C
2
5
(2.16)
o que nos d´a, chamando K
2
1
+ C
2
5
= K
u
m
(t)
2
≤ K
Logo temos
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ K
∗
(K, a
∞
, T )
o que implica que
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ K
∗
, (2.17)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 66
onde K
∗
, como vemos, ´e independente de t e m. Conclu´ımos ent˜ao que
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; V ) (2.18)
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(M)) (2.19)
• Terceira estimativa (limita¸c˜ao para (∆u
m
)
m∈N
)
Temos que ∆ : D(∆) ⊂ L
2
(M) −→ L
2
(M), ent˜ao ∆u
m
(t) ∈ L
2
(M). Al´em disso,
como a(x) ∈ L
∞
(M), temos que a(x)u
m
(t) ∈ L
2
(M). Ent˜ao definindo:
h
m
(t) = u
m
(t) − ∆u
m
(t) + a(x)u
m
(t)
conclu´ımos que h
m
(t) ∈ L
2
(M)
Consideremos o seguinte operador proje¸c˜ao:
P
m
: L
2
(M) −→ V
m
v −→ P
m
v =
m
i=1
(v, w
i
)w
i
facilmente vemos que P
m
´e auto-adjunto, assim obt´em-se
(P
m
h
m
(t), w
j
) = (h
m
(t), P
m
w
j
) =
h
m
(t),
m
i=1
(w
j
, w
i
)w
i
= (h
m
(t), w
j
)
mas pelo problema aproximado (2.2), temos que (h
m
(t), w
j
) = 0 para todo j = 1, 2, . . . , m,
ent˜ao, (P
m
h
m
(t), w
j
) = 0 para todo j = 1, 2, . . . , m, o que implica que (P
m
h
m
(t), w
j
) = 0
em V
m
donde, P
m
h
m
(t) ≡ 0 em V
m
. Assim
P
m
u
m
(t) − P
m
∆u
m
(t) + P
m
(a(x)u
m
(t)) = 0
com u
m
(t) e ∆u
m
(t) pertencem a V
m
(pois a base (w
j
)
j∈N
´e formada pelos autovetores
de ∆), P
m
∈ L(L
2
(M)) e P
m
≤ 1, temos que
u
m
(t) − ∆u
m
(t) + P
m
(a(x)u
m
(t)) = 0
Donde
∆u
m
(t)
2
≤ u
m
(t)
2
+ P
m
(a(x)u
m
(t))
2
≤ u
m
(t)
2
+ P
m
2
a(x)u
m
(t)
2
≤ u
m
(t)
2
+ a
∞
u
m
(t)
2
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 67
segue de (2.18) e (2.19), que existe uma constante positiva K
3
, independente de t e m,
t ∈ [0, T ], tal que
∆u
m
(t)
L
2
(M)
≤ K
3
da´ı obtemos que
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, ∞; V ∩ H
2
(M)) (2.20)
(∆u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, ∞; L
2
(M)) (2.21)
• Passagem ao Limite
Observando que L
1
(0, T ; V
) e L
1
(0, T ; (V ∩ H
2
(M))
) s˜ao separ´aveis e
[L
1
(0, T ; V
)]
= L
∞
(0, T ; V )
[L
1
(0, T ; (V ∩ H
2
(M))]
= L
∞
(0, T ; (V ∩H
2
(M)), ent˜ao segue de (2.20), (2.18) e da
proposi¸c˜ao (1.46) que existe uma subsequˆencia de (u
m
)
m∈N
, que iremos denotar da mesma
forma, tal que
u
m
−
u
em L
∞
(0, T ; V ) (2.22)
u
m
u em L
∞
(0, T ; V ∩H
2
(M)) (2.23)
e como V ∩H
2
(M) → H
1
(M) → L
2
(M), temos de (2.70) que
u
m
u em L
∞
(0, T ; L
2
(M))
como (0, T ) ´e limitado, temos que
L
∞
(0, T ; L
2
(M)) → L
2
(0, T ; L
2
(M)).
Agora como L
2
(0, T ; L
2
(M)) ≡ L
2
(Q) ´e reflexivo, obtemos conforme o lema 1.45, que,
existe uma subsequˆencia, a qual ainda denotaremos por (u
m
) de (u
m
)
m∈N
, tal que
u
m
u em L
2
(Q), onde Q = [0, T ] × M
identificando L
2
(Q) com seu dual, temos
f, u
m
D
(Q),D(Q)
−→ f, u
D
(Q),D(Q)
, ∀f ∈ (L
2
(Q))
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 68
ou seja,
u
m
−→ u em D
(Q)
Sendo a deriva¸c˜ao uma opera¸c˜ao cont´ınua em D
(Q), segue que
u
m
−→ u
em D
(Q)
Logo, pela unicidade do limite em D
(Q), temos
−
u
= u
em L
2
(M)
Portanto,
u
m
u em L
∞
(0, T ; V ) (2.24)
Agora de (2.19), existe
−
x
∈L
∞
(0, T ; L
2
(M)) e uma subsequˆencia de (u
m
), ainda deno-
tando da mesma forma, tal que
u
m
−
x
em L
∞
(0, T ; L
2
(M))
Da mesma forma, conclu´ımos que
−
x
= u
e portanto que
u
m
u
em L
∞
(0, T ; L
2
(M)) (2.25)
Por ´ultimo como
u
m
−→ u em D
(Q)
temos
∆u
m
−→ ∆u em D
(Q)
como L
∞
(0, T ; L
2
(M)) ≡ [L
1
(0, T ; (L
2
(M))
)]
e L
1
(0, T ; L
2
(M)) ´e separ´avel, obtemos
de (2.21), que existe uma subsequˆencia de (∆u
m
), ainda denotada da mesma forma, e
y ∈ L
∞
(0, T ; L
2
(M), tal que
∆u
m
y em L
∞
(0, T ; L
2
(M)
conclu´ımos de maneira an´aloga ao que fizemos antes, que y = ∆u e
∆u
m
∆u em L
∞
(0, T ; L
2
(M) (2.26)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 69
agora como L
∞
(0, T ; V ) → L
2
(0, T ; L
2
(M)), vem de (2.71), que
u
m
u
em L
2
(0, T ; L
2
(M)
Logo
T
0
(f(t), u
m
(t))dt −→
T
0
(f(t), u
(t))dt, ∀f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) .
Em particular, se f = a(x)w, com a ∈ L
∞
(M) e w ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) temos que
T
0
(a(x)w, u
m
(t))dt −→
T
0
(a(x)w, u
(t))dt, ∀f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M))
o que implica
T
0
a(x)wu
m
(t)dMdt −→
T
0
a(x)wu
(t)dMdt, ∀f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M))
donde
T
0
(a(x)u
m
(t), w)dt −→
T
0
(a(x)u
(t), w)dt, ∀f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) (2.27)
Sejam θ(t) ∈ L
2
(0, T ) e v ∈ L
2
(M). Ent˜ao, w = vθ(t) ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)). Logo
de (2.27) temos que
T
0
(a(x)u
m
(t), v)θ(t)dt −→
T
0
(a(x)u
(t), v)θ(t)dt, ∀f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) (2.28)
∀θ ∈ L
2
(0, T )
Analogamente (2.25) nos d´a
T
0
(u
m
(t), v)θ(t)dt −→
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt, ∀f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) (2.29)
∀θ ∈ L
2
(0, T )
e de (2.26) obtemos
T
0
(−∆u
m
(t), v)θ(t)dt −→
T
0
(−∆u(t), v)θ(t)dt, ∀f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) (2.30)
∀θ ∈ L
2
(0, T )
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 70
Multiplicando a equa¸c˜ao aproximada de (2.2) por θ ∈ L
2
(0, T ) e integrando de 0 a
T , obtemos
T
0
(u
m
, v)θ(t)dt +
T
0
(−∆u
m
, v)θ(t)dt +
T
0
(a(x)u
m
, v)θ(t)dt = 0 (2.31)
∀v ∈ V
m
0
e θ ∈ L
2
(0, T ), onde m
0
< m ´e fixo e arbitr´ario. Tomando o limite em (2.31),
mantendo m
0
fixo, por´em arbitr´ario e utilizando (2.28), (2.29) e (2.30), obtemos
T
0
(u
, v)θ(t)dt +
T
0
(−∆u, v)θ(t)dt +
T
0
(a(x)u
, v)θ(t)dt = 0
∀v ∈ V
m
0
e θ ∈ L
2
(0, T )
como [w
1
, w
2
, ···] ´e denso em L
2
(M) e (2.2) ´e v´alido para todo v ∈ V
m
0
com m
0
< ∞
arbitr´ario, segue que (2.2) ´e v´alido para todo v ∈ L
2
(M). Al´em disso, o conjunto
R = {vθ ; θ ∈ L
2
(0, T ), v ∈ L
2
(M)}
´e total em L
2
(Q). Logo
T
0
(u
, v)θ(t)dt +
T
0
(−∆u, v)θ(t)dt +
T
0
(a(x)u
, v)θ(t)dt = 0 em L
2
(Q)
Portanto
(u
m
− ∆u + a(x)u
, v) = 0 , ∀v ∈ L
2
(Q)
donde conclu´ımos que
u
m
− ∆u + a(x)u
= 0 quase sempre em Q = M × [0, T ]
o que mostra existe u ∈ L
∞
(0, T ; V ∩H
2
(M)), solu¸c˜ao regular do problema (2.1), e pelo
lema (1.54) tal solu¸c˜ao est´a na classe u ∈ C(R
+
; V ) ∩ C
1
(R
+
; L
2
(M))
2.1.2 Dados Iniciais
Note que faz sentido calcularmos u(0), u
(0) e u
(T ). De fato, sendo u ∈ L
∞
(0, T ; V ),
u
, u
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(M)) e [0, T ] limitado, temos que
u ∈ L
1
(0, T ; V ) e u
, u
∈ L
1
(0, T ; L
2
(M))
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 71
Al´em disso como V tem imers˜ao cont´ınua em L
2
(M), temos pelo lema (1.54), que u, u
∈
C([0, T ]; L
2
(M))
•V erifiquemos que u(0) = u
0
e u
(0) = u
1
De fato, como
u
m
u em L
∞
(0, T ; V ) e L
∞
(0, T ; V ) → L
∞
(0, T ; L
2
(M))
temos u
m
u em L
∞
(0, T ; L
2
(M))
donde, identificando L
2
(M) com seu dual, obtemos
T
0
(u
m
(t), w(t))dt −→
T
0
(u(t), w(t))dt , ∀w ∈ L
1
(0, T ; L
2
(M)) (2.32)
Analogamente, temos
T
0
(u
m
(t), w(t))dt −→
T
0
(u
(t), w(t))dt , ∀w ∈ L
1
(0, T ; L
2
(M)) (2.33)
Seja θ ∈ C
1
([0, T ]) com θ(0) = 1 e θ(T ) = 0 e seja v ∈ L
2
(M).Ent˜ao, θ, θ
∈
C([0, T ]), o que implica θ, θ
∈ L
2
(0, T ), donde ¯w(t) = vθ
(t) ∈ L
1
(0, T ; L
2
(M)) e
w(t) = vθ(t) ∈ L
1
(0, T ; L
2
(M)), substituindo w em (2.33) e ¯w em (2.32), obtemos
T
0
(u
m
(t), v)θ
(t)dt −→
T
0
(u(t), v)θ
(t)dt
e
T
0
(u
m
(t), v)θ(t)dt −→
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt
somando as duas express˜oes `a esquerda, obtemos
T
0
d
dt
(u
m
(t), v)θ(t)
dt −→
T
0
d
dt
(u, v)θ(t)
dt (2.34)
Notemos que, como u ∈ C([0, T ]; L
2
(M)) e v ∈ L
2
(M), temos que (u(t), v) ∈ C([0, T ])
e como θ(t) ∈ C([0, T ]), temos tamb´em que (u(t), v)θ(t) ∈ C([0, T ]).
Al´em disso
d
dt
(u(t), v)θ(t)
= (u
(t), v)θ(t) + (u(t), v)θ
(t) ∈ L
1
(0, T )
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 72
Logo, pelo Teorema Fundamental do C´alculo Generalizado
T
0
d
dt
(u(t), v)θ(t)
dt = (u(T ), v)θ(T ) − (u(0), v)θ(0) (2.35)
Analogamente
T
0
d
dt
(u
m
(t), v)θ(t)
dt = (u
m
(T ), v)θ(T ) − (u
m
(0), v)θ(0) (2.36)
segue de (2.34), utilizando (2.35) e (2.36), que
(u
m
(T ), v)θ(T ) − (u
m
(0), v)θ(0) −→ (u(T ), v)θ(T ) −(u(0), v)θ(0)
mas como θ(0) = 1 e θ(T ) = 0, consequentemente
(u
m
(0), v) −→ (u(0), v) ∀v ∈ L
2
(M)
donde
u
0m
u(0) em L
2
(M)
Por outro lado, do problema aproximado (2.2), sabemos que
u
0m
−→ u
0
forte em V
o que implica
u
0m
−→ u
0
forte em L
2
(M)
donde
u
0m
u
0
em L
2
(M)
Segue da unicidade do limite fraco que u(0) = u
0
em L
2
(M). De maneira an´aloga,
considerando (2.29) e (2.33), prova-se que u
(0) = u
1
.
2.1.3 Unicidade da Solu¸c˜ao Regular
Sejam u e v solu¸c˜oes do problema (2.1). Se tomarmos w = u − v, ent˜ao
w ∈ C(R
+
; V ) ∩ C
1
(R
+
; L
2
(M)), e satisfaz o seguinte problema:
w
− ∆w + aw
= 0 quase sempre em M ×(0, ∞)
w(0) = 0 = w
(0)
(2.37)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 73
Multiplicando a equa¸c˜ao da primeira linha de (2.37) por w
(t) e integrando em M,
obtemos
M
w
(t)dM −
M
∆w(t)w
(t)dM +
M
a(x)(w
(t))
2
dM = 0
Assim
(w
(t), w(t)) + (∇w(t), ∇w
(t)) +
M
a(x)(w
(t))
2
dM = 0
Donde
1
2
d
dt
w
(t)
2
2
+ ∇w(t)
2
2
= −
M
a(x)(w
(t))
2
dM
integrando de 0 a t, com t ∈ [0, ∞), temos que
w
(t)
2
2
+ ∇w(t)
2
2
− w
(0)
2
2
− ∇w(0)
2
2
= −2
t
0
M
a(x)(w
(x, s))
2
dMds ≤ 0
pois a ∈ L
∞
(M) ´e n˜ao negativa, e da segunda linha de (2.37), temos
w
(t)
2
2
+ ∇w(t)
2
2
≤ 0 , ∀t ∈ [0, ∞)
o que implica ∇w(t)
2
= 0 , ∀t ∈ [0, ∞), da´ı w(t)
2
= 0, o que prova a unicidade.
2.2 Solu¸c˜oes Fracas
2.2.1 Existˆencia de Solu¸c˜ao
Provaremos a existˆencia de solu¸c˜ao fraca por aproxima¸c˜oes de solu¸c˜oes regulares.
De fato, seja {u
0
, u
1
} ∈ V × L
2
(M). Como V ∩H
2
(M) ´e denso em V e V ´e denso em
L
2
(M), existe {u
0
µ
, u
1
µ
} ∈ V ∩H
2
(M) × V , tal que
{u
0
µ
, u
1
µ
} −→ {u
0
, u
1
} em V × L
2
(M) (2.38)
Desta forma, temos para cada µ ∈ N que existe uma ´unica solu¸c˜ao regular u
µ
do seguinte
problema
u
µ
− ∆u
µ
+ au
µ
= 0
u
µ
(0) = u
0
, u
µ
(0) = u
1
.
(2.39)
Por um lado, pelos argumentos utilizados na unicidade obtemos
u
µ
− u
σ
2
2
+ ∇(u
µ
− u
σ
)
2
2
≤ u
µ
(0) − u
σ
(0)
2
2
+ ∇(u
µ
(0) − u
σ
(0))
2
2
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 74
Por outro lado, pelo fato das sequˆencias (u
0
ν
) e (u
1
ν
) serem convergentes em V e L
2
(M),
respectivamente, conclu´ımos que
(u
µ
) ´e uma sequˆencia de Cauchy em C(R
+
; V ) (2.40)
(u
µ
) ´e uma sequˆencia de Cauchy em C(R
+
; L
2
(M)) (2.41)
sendo C(R
+
; V ) e C(R
+
; L
2
(M)) completos, existem u ∈ C(R
+
; V ) e u
∈ C(R
+
; L
2
(M))
respectivamente, tais que
u
µ
−→ u em C(R
+
; V ) (2.42)
u
µ
−→ u
em C(R
+
; L
2
(M)) (2.43)
em consequˆencia disto, temos para o intervalo [0, T ] com T > 0 de (2.43)
u
µ
−→ u
em L
2
([0, T ]; L
2
(M)) (2.44)
donde
u
µ
u
em L
2
([0, T ]; L
2
(M)) (2.45)
Agora, considere θ ∈ D(0, T ) e ϕ ∈ D(M). Compondo (2.39) com θϕ obtemos
u
µ
− ∆u
µ
+ au
µ
, θϕ = 0 , ∀θ ∈ D(0, T ), ∀ϕ ∈ D(M) (2.46)
notemos de (2.46) que
u
µ
, θϕ = −u
µ
, θ
ϕ
e de (2.41), obtemos
−u
µ
, θ
ϕ −→ −u
, θ
ϕ = u
, θϕ
conclu´ımos ent˜ao que
u
µ
, θϕ −→ u
, θϕ , ∀θ ∈ D(0, T ), ∀ϕ ∈ D(M) (2.47)
Por outro lado, como para cada µ ∈ N, u
µ
´e solu¸c˜ao regular do problema (2.39), temos
para, que
−∆u
µ
, θϕ = ∇u
µ
, θ∇ϕ
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 75
e por (2.41) resulta
∇u
µ
, θ∇ϕ −→ ∇u, θ∇ϕ = −∆u, θϕ
isto ´e,
−∆u
µ
, θϕ −→ −∆u, θϕ , ∀θ ∈ D(0, T ), ∀ϕ ∈ D(M) (2.48)
De (2.45), (2.47) e (2.48), obtemos de (2.46), ap´os a passagem ao limite
u
− ∆u + au
, θϕ = 0 , ∀θ ∈ D(0, T ), ∀ϕ ∈ D(M) (2.49)
lembrando que as dualidades acima s˜ao em D
(M× (0, T )) × D(M × (0, T )). Mas pela
totalidade do espa¸co
R = {θϕ ; θ ∈ D(0, T ) e ϕ ∈ D(M)}
em D(M × (0, T )), vem de (2.49) que
u
− ∆u + au
, ψ
D
(M×(0,T ))×D(M×(0,T ))
= 0
Ent˜ao
u
− ∆u + a(x)u
= 0 em D
(M × (0, T ))
como au
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(M)) e ∆ ∈ L(V, [H
1
(M)]
) = L(V, H
−1
(M)), conclu´ımos que
u
∈ L
∞
(0, T ; H
−1
(M)) e consequentemente
u
− ∆u + a(x)u
= 0 em L
∞
(0, T ; H
−1
(M))
al´em disso de (2.40) e (2.41), temos u ∈ C(0, T ; V )∩C
1
(0, T ; L
2
(M)) provando a exis-
tˆencia da solu¸c˜ao fraca.
Provaremos agora que a solu¸c˜ao fraca obtida por aproxima¸c˜oes de solu¸c˜oes regulares
satisfaz a identidade da energia. Com efeito, das convergˆencias dadas em (2.40), (2.41)
e (2.45), obtemos
u
µ
(t)
2
2
+ ∇u
µ
(t)
2
2
+ 2
t
0
(au
µ
(s), u
µ
(s))ds = u
µ
(0)
2
2
+ ∇u
µ
(0)
2
2
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 76
ap´os passagem ao limite, temos
u
(t)
2
2
+ ∇u(t)
2
2
+ 2
t
0
(au
(s), u
(s))ds = u
1
2
2
+ ∇u
0
2
2
(2.50)
Observa¸c˜ao 2.1. Note que a identidade de energia dada em (2.50) somente ´e v´alida
para solu¸c˜oes fracas que s˜ao limites de solu¸c˜oes regulares, no entanto no apˆendice deste
cap´ıtulo, tal identidade ´e provada no caso geral, ou seja, para qualquer solu¸c˜ao fraca da
equa¸c˜ao da onda linear.
2.2.2 Unicidade da Solu¸c˜ao Fraca
Sejam u
1
e u
2
duas solu¸c˜oes fracas de (2.1). Denotando w = u
1
−u
2
, obtemos que
w satisfaz o seguinte problema
w
− ∆w + au
1
− au
2
= 0
w(0) = 0 = w
(0)
(2.51)
como w satisfaz a identidade da energia e w(0) = w
(0) = 0, temos
w
(t)
2
2
+ ∇w(t)
2
2
= −2
T
0
(a(u
1
(s) − u
2
(s)), u
1
(s) − u
2
(s))ds
= −2
t
0
M
a(x)(u
1
(x, s) − u
2
(x, s))
2
dMds ≤ 0
donde, ∇w(t)
2
= 0, o que implica w(t) = 0 em H
1
(M) para todo t, provando assim o
desejado.
2.3 Existˆencia e Unicidade Para o Problema N˜ao
Linear
Estudaremos agora a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao da onda sobre
uma superf´ıcie compacta, com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda e n˜ao-linear. Apresen-
tado no que segue
u
tt
− ∆u + a(x)g(u
t
) = 0 em M × (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
t
(0) = u
1
em M
(2.52)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 77
onde M ´e uma superf´ıcie compacta, mergulhada, orientada e sem fronteira em R
3
.
A energia associada ao problema acima vem dada pela seguinte express˜ao
E(t) =
1
2
M
|u
t
(x, t)|
2
+ |∇u(x, t)|
2
dM (2.53)
A a fun¸c˜ao g satisfaz as seguintes propriedades:
Hip´otese.2.1 g ´e uma fun¸c˜ao real, tal que
i) g(s) ´e cont´ınua mon´otona crescente e diferenci´avel por partes.
ii) g(s)s > 0 para s = 0
iii) k|s| ≤ g(s) ≤ K|s| se |s| ≥ 1
iv) |g
(s)| ≤ M se |s| ≥ 1.
onde M ´e uma constante positiva, suponhamos tamb´em, como antes, que a ∈ L
∞
(M)
´e uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa, tal que a(x) ≥ a
0
> 0 apenas num subconjunto aberto
M
∗
de M o qual cont´em M \
k
i=1
M
0i
. Onde para cada i = 1, . . . , k, M
0i
⊂ M
0
s˜ao
subconjuntos abertos com fronteira ∂M
0i
(regular), tais que M
0i
s˜ao regi˜oes umb´ılicas
e a curvatura m´edia H nessas regi˜oes ´e n˜ao-positiva (H ≤ 0).
Nosso intuito, ´e provarmos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes u para o problema
(2.52). Os resultados obtidos est˜ao enunciados no seguinte teorema.
Teorema 2.2. Seja uma superf´ıcie compacta, orientada, mergulhada sem fronteira em
R
3
de classe C
3
. Satisfeitas as condi¸c˜oes acima, temos
1. O problema (2.52) ´e bem posto no espa¸co V × L
2
(M), i.e, para os dados iniciais
u
0
, u
1
∈ V × L
2
(M), existe uma solu¸c˜ao fraca ´unica de (2.52) na classe
u ∈ C(R
+
; V ) ∩ C
1
(R
+
; L
2
(M)) (2.54)
2. Mais al´em, o termo da velocidade da solu¸c˜ao tem a seguinte regularidade
u
t
∈ L
2
loc
(R
+
; L
2
(M))
(conseq¨uentemente, g(u
t
) ∈ L
2
loc
(R
+
; L
2
(M)) pela Hip.2.1)
Al´em disso, se
u
0
, u
1
∈ V ∩ H
2
(M) × L
2
(M) ent˜ao a solu¸c˜ao tem a seguinte regula-
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 78
ridade
u ∈ L
∞
(R
+
; V ∩ H
2
(M)) ∩ W
1,∞
(R
+
; V ) ∩ W
2,∞
(R
+
; L
2
(M)) . (2.55)
Admitindo que u ´e a solu¸c˜ao global e ´unica do problema (2.52), n´os definimos a
energia, correspondente ao funcional dado por
E(t) =
1
2
M
|u
t
(x, t)|
2
+ |∇
T
u(x, t)|
2
dM (2.56)
Para cada solu¸c˜ao de (2.52) na classe (2.54) a seguinte identidade ´e v´alida.
E(t
2
) − E(t
1
) = −
t
2
t
1
M
a(x)g(u
t
)u
t
dMdt , ∀t
2
> t
1
≥ 0 (2.57)
e conseq¨uentemente a energia ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-crescente da vari´avel de tempo t.
Demonstra¸c˜ao: Para provarmos a existˆencia de solu¸c˜ao, utilizaremos o m´etodo de
Faedo-Galerkin juntamente com o Teorema Espectral, na inten¸c˜ao de obter o problema
projetado em um espa¸co de dimens˜ao m, para cada m ∈ N. Mais adiante, utilizando
uma mudan¸ca de vari´aveis obteremos um sistemas de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias,
cuja existˆencia de solu¸c˜ao local, ser´a assegurada pelo Teorema de Carath´eodory, para
cada m ∈ N. Na sequˆencia, ser˜ao apresentadas as estimativas `a priori, que servir˜ao para
estender a solu¸c˜ao a um intervalo (0, T ), onde T > 0 n˜ao depender´a de m.
2.3.1 Problema Aproximado
Conforme a se¸c˜ao 1.6, para cada m ∈ N, denotemos por
V
m
= [w
1
, w
2
, . . . , w
m
]
o espa¸co gerado pelas m primeiras autofun¸c˜oes do sistema (w
j
)
j∈N
Definamos u
m
(t) ∈ V
m
⇔ u
m
(t) =
m
j=1
g
jm
(t)w
j
O problema aproximado consiste em determinar u
m
(t) =
m
j=1
g
jm
(t)w
j
∈ V
m
, tal
que, satisfa¸ca
(u
m
(t), v) + (−∆u
m
(t), v) + (a(x)g(u
m
(t)), v) = 0 para todo v ∈ V
m
u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em V ∩ H
2
(M)
u
m
(0) = u
1m
→ u
1
em V
(2.58)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 79
ou ainda
(u
m
(t), v) + (∇u
m
(t), ∇v) + (a(x)g(u
m
(t)), v) = 0 para todo v ∈ V
m
u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em V ∩ H
2
(M)
u
m
(0) = u
1m
→ u
1
em V
(2.59)
Consideremos em (2.59), v = w
r
, j = 1, 2, . . . , m. Ent˜ao,
(u
m
(t), w
r
) + (∇u
m
(t), ∇w
r
) + (a(x)g(u
m
(t)), w
r
) = 0
Substituindo a express˜ao de u
m
(t), obtemos
g
jm
(t) +
m
j=1
g
jm
(t)(∇w
j
, ∇w
r
) + (a(x)g(u
m
(t)), w
r
) = 0
Logo
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
+
(∇w
1
, ∇w
1
) (∇w
2
, ∇w
1
) ··· (∇w
m
, ∇w
1
)
(∇w
1
, ∇w
2
) (∇w
2
, ∇w
2
) ··· (∇w
m
, ∇w
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(∇w
1
, ∇w
m
) (∇w
2
, ∇w
m
) ··· (∇w
m
, ∇w
m
)
·
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
+
M
a(x)g(u
m
)w
1
M
a(x)g(u
m
)w
2
.
.
.
M
a(x)g(u
m
)w
m
= 0
Por outro lado, como (w
j
)
j∈N
e
w
j
λ
j
j∈N
s˜ao sistemas ortonormais completos em
L
2
(M) e V , respectivamente, obtemos
(∇w
1
, ∇w
1
) (∇w
2
, ∇w
1
) ··· (∇w
m
, ∇w
1
)
(∇w
1
, ∇w
2
) (∇w
2
, ∇w
2
) ··· (∇w
m
, ∇w
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(∇w
1
, ∇w
m
) (∇w
2
, ∇w
m
) ··· (∇w
m
, ∇w
m
)
=
λ
1
0 ··· 0
0 λ
2
··· 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 ··· λ
m
= A
colocando B = [w
1
w
2
. . . w
m
], matriz linha, e denotando
z(t) =
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 80
Obtemos o seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais diferenciais ordin´arias
z
(t) + Az(t) + H(z
(t)) = 0
z(0) = z
0
, z
(0) = z
1
onde
H(z
(t)) =
M
a(x)g(B.z
(t))w
1
dM
M
a(x)g(B.z
(t)w
2
dM
.
.
.
M
a(x)g(B.z
(t)w
m
dM
Definamos:
Y
1
(t) = z(t)
Y
2
(t) = z
(t)
Y (t) =
Y
1
(t)
Y
2
(t)
Logo temos
Y
(t) =
Y
1
(t)
Y
2
(t)
=
z
(t)
z
(t)
=
Y
2
(t)
−H(z
(t)) − Az(t)
=
Y
2
(t)
−H(Y
2
(t)) − AY
1
(t)
=
0
−H(Y
2
(t))
+
0 I
−A 0
Y
1
(t)
Y
2
(t)
Denotando
0 I
−A 0
= M
Obtemos da express˜ao acima, o seguinte problema de valor inicial
Y
(t) =
0
−H(Y
2
(t))
+ M
Y
1
(t)
Y
2
(t)
Y (0) = Y
0
Provaremos que o problema acima possui solu¸c˜ao local, utilizando o Teorema de Carath´eodory.
Com efeito, consideremos a aplica¸c˜ao:
F : [0, T ] × R
2m
−→ R
2m
(t, y) −→ F (t, y) =
0
−H(y
2
(t))
+ My
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 81
onde y = Y = (g
1
, . . . , g
m
, g
1
, . . . , g
m
), y
1
= (g
1
, . . . , g
m
) e y
2
= (g
1
, . . . , g
m
)
Verifiquemos que a fun¸c˜ao F est´a nas condi¸c˜oes de Carath´eodory. De fato
(i) Seja y ∈ R
2m
fixado. A fun¸c˜ao F ´e cont´ınua como fun¸c˜ao de t ∈ [0, T ], uma vez que
esta n˜ao depende de t.
(ii) Para quase todo t ∈ [0, T ], F ´e cont´ınua como fun¸c˜ao de y.
De fato, de in´ıcio notemos que a aplica¸c˜ao
y −→ My
´e linear, conseq¨uentemente cont´ınua.
Por outro lado, seja (y
2ν
)
ν∈N
⊂ R
m
uma sequˆencia, tal que
y
2ν
−→ y
2
em R
m
Pela continuidade de g e do fato de
By
2ν
−→ By
2
segue que, para cada x ∈ M, temos
g(By
2ν
) −→ g(By
2
) em R
portanto
g(By
2ν
)w
j
−→ g(By
2
)w
j
em R ∀j = 1, . . . , m.
Devemos provar que
M
a(x)g(By
2ν
)w
j
dM −→
M
a(x)g(By
2
)w
j
dM (2.60)
Com efeito, para |By
2ν
| ≥ 1 temos, pelo fato da sequˆencia (By
2ν
)
ν∈N
ser limitada e
a ∈ L
∞
(M), vˆem que
|a(x)g(By
2ν
)w
j
| ≤ a
∞
K|By
2ν
||w
j
|
≤ a
∞
KM|w
j
(x)| = a
∞
M
1
|w
j
(x)|
(2.61)
onde M
1
= KM.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 82
Agora, para |By
2ν
| ≤ 1 segue da compacidade de M e da continuidade de g, que
existe uma constante M
2
> 0 satisfazendo
|g(By
2ν
)w
j
| ≤ M
2
|w
j
(x)|
da´ı
|a(x)g(By
2ν
w
j
| ≤ a
∞
M
2
|w
j
(x)| (2.62)
Ent˜ao em qualquer caso, para cada j = 1, . . . , m, vˆem de (2.61) e (2.62), que existe
M
3
= m´ax{a
∞
M
1
, a
∞
M
2
} tal que
|a(x)g(By
2ν
)| ≤ M
3
|w
j
(x)| (2.63)
Logo pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue, temos
M
a(x)g(By
2ν
)w
j
dM −→
M
a(x)g(By
2
)w
j
dM
o que prova (2.60), ou seja H(y
2ν
) −→ H(y
2
), assim dado ε > 0, existe δ > 0, tal que
|y
1
− y
2
| < δ temos |F (t, y
1
) − F (t, y
2
)| < ε
o que prova a continuidade de F em fun¸c˜ao de y.
(iii) Seja K ⊂ [0, T ] × R
2m
um subconjunto compacto, ent˜ao
F (t, y)
R
2m
≤ H(y
2
)
R
m
+ M
L(R
2m
)
y
R
2m
(2.64)
Pelo que j´a foi provado, temos que F ´e cont´ınua em R
m
, logo ´e cont´ınua na
proj
R
2m
K (proje¸c˜ao de K sobre R
2m
). Sendo proj
R
2m
K compacto, existe uma constante
positiva M
4
tal que
F (y
2
)
R
2m
≤ M
4
, ∀y
2
∈ R
m
, tal que (t, y) = (t, y
1
, y
2
) ∈ K. (2.65)
Por outro lado, como a aplica¸c˜ao
y −→ My
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 83
tamb´em ´e cont´ınua e a proj
R
2m
K ´e um compacto, temos que, existe uma constante
positiva M
5
tal que
My
R
2m
≤ M
5
, ∀y
2
∈ R
m
, tal que (t, y) = (t, y
1
, y
2
) ∈ K. (2.66)
Ent˜ao, segue de (2.64), (2.65) e (2.66), que existe M
6
= M
4
+ M
5
tal que
F (t, y)
R
2m
≤ M
6
Assim, dos ´ıtens (i), (ii) e (iii), segue que as condi¸c˜oes de Carath´eodory est˜ao
satisfeitas e portanto, existe uma solu¸c˜ao Y (t) do problema de valor inicial:
Y
(t) = F (t, y(t))
Y (0) = Y
0
em algum intervalo [0, t
m
), com t
m
> 0. Mais ainda, Y (t) ´e absolutamente cont´ınua
e portanto diferenci´avel quase sempre em [0, t
m
). Resulta deste fato que z(t) e z
(t)
s˜ao absolutamente cont´ınuas e, conseq¨uentemente, z
(t) existe em quase todo ponto do
intervalo [0, t
m
), e tal regularidade, tamb´em ser´a herdada pelas g
jm
s
.
2.3.2 Estimativas `a Priori
• Primeira estimativa
O Teorema de Carath´eodory nos fornece que u
m
(t) e u
m
(t) s˜ao absolutamente
cont´ınuas e como consequˆencia deste fato as derivadas u
m
(t) e u
m
(t) existem no sentido
de Dini.
Voltando ao problema aproximado (2.59), substituindo v = u
m
(t), com t ∈ [0.t
m
),
obtemos
(u
m
(t), u
m
(t)) + (∇u
m
(t), ∇u
m
(t)) + (ag(u
m
(t)), u
m
(t)) = 0
da´ı, vˆem que
1
2
d
dt
u
m
(t)
2
2
+
1
2
d
dt
∇u
m
(t)
2
2
+
M
a(x)g(u
m
(t))u
m
(t)dM = 0 (2.67)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 84
Integrando a express˜ao (2.67) de 0 a t, com t ∈ [0, t
m
) e usando a hip´otese 2.1 especifi-
camente o ´ıtem ii), e sabendo que a ´e n˜ao negativa e limitada, temos que
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ u
1m
2
2
+ ∇u
0m
2
2
(2.68)
da convergˆencia dos dados iniciais, segue que existe uma constante positiva C
1
(indepen-
dente de t e m) tal que
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ C
1
(2.69)
Por outro lado, temos
Y (t)
2
R
2m
=
m
j=1
(g
jm
(t))
2
+ (g
jm
(t))
2
(2.70)
e pela ortonormalidade da base (w
j
)
j∈N
em L
2
(M), temos
u
m
(t)
2
L
2
(M)
=
m
j=1
(g
jm
)
2
(2.71)
u
m
(t)
2
L
2
(M)
=
m
j=1
(g
jm
)
2
(2.72)
Assim, de (2.70), (2.71), (2.72) e da desigualdade de Poincar´e, obtemos
Y (t)
R
2m
= u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ u
m
(t)
2
L
2
(M)
≤ λ∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ u
m
(t)
2
L
2
(M)
≤ C
2
onde C
2
´e uma constante positiva (tamb´em independente de t e m) . Desta forma,
podemos prolongar a solu¸c˜ao Y `a todo intervalo[0, +∞).
Ent˜ao de (2.69), com t ∈ [0, ∞), obtemos
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, ∞; V ) (2.73)
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, ∞; L
2
(M)) (2.74)
• Segunda estimativa (limita¸c˜ao para (u
m
))
Primeiramente, consideremos T > 0 e θ ∈ D(0, T ), observe que
d
dt
u
m
, θ
= u
m
, θ
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 85
d
dt
u
m
, θ
= u
m
, θ
ou seja, as derivadas no sentido distribucional e no sentido de Dini coincidem.
Por outro lado, tendo a hip´otese que g ´e diferenci´avel por partes em R, temos que a
derivada de g no sentido distribucional e cl´assico tamb´em coincidem. Assim considerando
v = w
j
e utilizando o fato que a base (w
ν
)
ν∈N
´e ortonormal em L
2
(M), obtemos do
problema aproximado
g
m
(t) = (−∇u
m
(t), ∇w
j
) − (ag(u
m
(t)), w
j
) (2.75)
Derivando (2.75) com rela¸c˜ao a t obtemos para θ ∈ D(0, T )
d
dt
g
jm
(t), θ
=
d
dt
(−∇u
m
(t), ∇w
j
), θ
−
d
dt
(ag(u
m
(t))), w
j
), θ
= −(∇u
m
(t), ∇w
j
), θ +
−
M
d
dt
a(x)g(u
m
(x, t))w
j
dM, θ
(2.76)
como g ´e diferenci´avel por partes, e u
m
(x) ∈ H
1
(0, T ), ent˜ao
d
dt
a(x)g(u
m
(x, t)) = a(x)g
(u
m
(x, t))u
m
(x, t)
e portanto
g
jm
(t) = −(∇u
m
(t), ∇w
j
) −
M
a(x)g
(u
m
(x, t))u
m
(x, t)w
j
dM
Vamos mostrar, que
g
m
∈ L
2
(0, T ) (2.77)
De fato, vamos provar inicialmente que
M
a(x)g
(u
m
(x, t))u
m
(x, t)w
j
dM ∈ L
2
(0, T ) (2.78)
Para tanto, consideremos
M
a
=
x ∈ M; |u
(x, t)| ≤ 1
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 86
M
b
=
x ∈ M; |u
(x, t)| > 1
ent˜ao
T
0
M
a(x)g
(u
m
(x, t))u
m
(x, t)w
j
dM
2
dt
=
T
0
M
a
a(x)g
(u
m
(x, t))u
m
(x, t)w
j
dM +
M
b
a(x)g
(u
m
(x, t))u
m
(x, t)w
j
dM
2
dt
≤
T
0
a
∞
max
s∈[−1,1]
|g
(s)|
M
a
|u
m
(x, t)||w
j
|dM + a
∞
M
M
b
|u
m
(x, t)||w
j
|dM
2
dt
≤
T
0
a
∞
K
1
+ a
∞
M
M
|u
m
(x, t)||w
j
|dM
2
dt
≤
T
0
K
M
|u
m
(x, t)|
2
dM
1
2
2
dt
= K
2
T
0
u
m
(t)
2
L
2
(M)
dt
(2.79)
onde K = a
∞
(K
1
+ M) e K
1
= max
s∈[−1,1]
|g
(s)| s˜ao constantes positivas
Continuando, provaremos que u
m
∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)). De fato, de (2.75) temos
g
m
(t) = (−∇u
m
(t), ∇w
j
) − (ag(u
m
(t)), w
j
)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 87
Por um lado, como a ∈ L
∞
(M), considerando (2.74) e os conjuntos M
a
e M
b
, obtemos
T
0
(ag(u
m
(t)), w
j
)
2
dt ≤
T
0
a
2
∞
g(u
m
(t)
2
L
2
(M)
dt
=
T
0
a
∞
M
a
|g(u
m
(x, t))|
2
dMdt
+
T
0
a
∞
M
b
|g(u
m
(x, t))|
2
dMdt
≤ a
∞
max
s∈[−1,1]
|g(s)|
2
T med(M) (2.80)
+ a
2
∞
T
0
M
b
K
2
|u
m
(x, t)|
2
dMdt
≤ a
∞
max
s∈[−1,1]
|g(s)|
2
T med(M)
+ a
2
∞
K
2
T
0
u
m
(t)
2
L
2
(M)
dt
≤ a
∞
max
s∈[−1,1]
|g(s)|
2
T med(M) + a
2
∞
K
2
C
1
T < +∞
Por outro lado, temos
T
0
(∇u
m
(t), ∇w
j
)
2
dt ≤
T
0
∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
dt ≤ C(C
1
, T ) < +∞ (2.81)
Ent˜ao de (2.75), (2.80) e (2.81), conclu´ımos que g
jm
∈ L
2
(0, T ), o que implica
T
0
u
m
(t)
2
L
2
(M)
dt ≤
T
0
|g
jm
(t)|
2
dt < +∞
provando que u
m
∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)).
Provaremos agora que u
m
(.)
2
L
2
(M)
∈ L
2
(0, T ). Com efeito, por (2.73), temos
T
0
|(∇u
m
(t), ∇w
j
)|
4
dt ≤
T
0
∇u
m
(t)
4
L
2
(M)
w
j
4
L
2
(M)
dt
=
T
0
∇u
m
(t)
4
L
2
(M)
dt ≤ C(C
1
, T ) (2.82)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 88
e tamb´em
T
0
|(ag(u
m
(t)), w
j
)|
4
dt ≤
T
0
ag(u
m
(t))
4
L
2
(M)
dt
=
T
0
M
a
|a(x)g(u
m
(x, t))|
2
dM +
M
b
|a(x)g(u
m
(x, t))|
2
dM
2
dt
≤
T
0
a
2
∞
max
s∈[−1,1]
|g(s)|med(M) + a
2
∞
K
2
M
b
|u
m
(x, t)|
2
dM
2
dt
≤
T
0
a
2
∞
max
s∈[−1,1]
|g(s)|med(M)
2
+ a
4
∞
K
4
M
|u
m
(x, t)|
2
dM
2
dt
=
a
2
∞
max
s∈[−1,1]
|g(s)|med(M)
2
T + a
4
∞
K
4
T
0
u
m
(x, t)
2
L
2
(M)
dt
≤ T
a
2
∞
max
s∈[−1,1]
|g(s)|med(M)
2
+ a
4
∞
K
4
C
2
1
< +∞ (2.83)
Assim, de (2.75), (2.82) e (2.83) mostramos que g
jm
∈ L
4
(0, T ), e portanto
T
0
u
m
(t)
4
L
2
(M)
dt =
T
0
|g
jm
(t)|
4
dt < +∞ (2.84)
o que prova que
u
m
(.)
2
L
2
(M)
∈ L
2
(0, T ) (2.85)
Portanto de (2.85), implica, retornando `a (2.79), que
M
a(x)g
(u
m
(x, t))u
m
(x, t)w
j
dM ∈ L
2
(0, T )
e como
∇u
m
, ∇w
j
∈ L
2
(0, T ) ent˜ao g
jm
∈ L
2
(0, T ), o que prova (2.77).
Derivando o problema aproximado (2.59) com rela¸c˜ao a t e considerando v = u
m
(t),
temos
1
2
d
dt
u
m
(t)
2
2
+
1
2
d
dt
∇u
m
(t)
2
2
+
M
a(x)g
(u
m
(x, t))|u
m
(x, t)|
2
dM = 0 (2.86)
Afirma¸c˜ao:
M
a(x)g
(u
m
(x, t))|u
m
(x, t)|
2
dM < +∞, ou seja, este termo est´a bem
definido.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 89
De fato, temos
M
a(x)g
(u
m
(x, t))|u
m
(x, t)|
2
dM
≤
M
|a(x)||g
(u
m
(x, t))||u
(x, t)|
2
dM
≤ a
∞
M
a
|g
(u
m
(x, t)||u
m
(x, t)|
2
dM + a
∞
M
b
|g
(u
m
(x, t))||u
m
(x, t)|
2
dM
≤ a
∞
max
s∈[−1,1]
|g
(s)|
M
a
|u
m
(x, t)|
2
dM + a
∞
M
b
M|u
m
(x, t)|
2
dM
= a
∞
max
s∈[−1,1]
|g
(s)|
M
a
|u
m
(x, t)|
2
dM + a
∞
M
M
b
|u
m
(x, t)|
2
dM
o que prova nossa afirma¸c˜ao.
Voltando `a express˜ao (2.86)
1
2
d
dt
u
m
(t)
2
2
+
1
2
d
dt
∇u
m
(t)
2
2
+
M
a(x)g
(u
m
(x, t))|u
m
(x, t)|
2
dM = 0
sendo g mon´otona crescente, segue que g
(.) ≥ 0 e como a ∈ L
∞
(M) ´e n˜ao-negativa,
obtemos, integrando (2.86) de 0 a t, o seguinte
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ u
m
(0)
2
2
+ ∇u
1m
2
2
(2.87)
Retornando ao problema aproximado (2.59) e considerando t = 0 e v = u
m
(0), obtemos
u
(0)
2
2
+
∇u
m
(0), ∇u
m
(0)
+
ag(u
m
(0)), u
m
(0)
= 0 (2.88)
Observando que valendo a F´ormula de Green, vem por um lado que
∇u
m
(0), ∇u
m
(0)
= −
∆u
m
(0), u
m
(0)
≤ ∆u
m
(0)
L
2
(M)
u
m
(0)
L
2
(M)
(2.89)
Por outro lado, gra¸cas as convergˆencias dos dados iniciais, a continuidade de g e uti-
lizando os conjuntos M
a
e M
b
, segue que
ag(u
m
(0)), u
m
(0)
2
≤ ag(u
m
(0))
2
2
u
m
(0)
2
2
= u
m
(0)
2
2
M
|a(x)g(u
m
(x, 0))|
2
dM
≤ a
2
∞
u
m
(0)
2
2
M
a
|g(u
m
(x, 0))|
2
dM +
M
b
|g(u
m
(x, 0))|
2
dM
≤ a
∞
u
m
(0)
2
2
max
s∈[−1,1]
|g(s)|
2
med(M) + K
2
u
1m
2
2
(2.90)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 90
Denotando a
∞
= Λ
1
, max
s∈[−1,1]
|g(s)|
2
med(M) = Λ
2
, sabendo que existe uma constante
positiva C
∗
tal que u
1m
2
≤ C
∗
, pondo K
2
C
∗
2
= Λ
3
, ent˜ao desta maneira, existe
C(Λ
1
, Λ
2
, Λ
3
), que satisfaz a desigualdade (2.89). Logo, de (2.88), (2.89) e (2.90) vem
que
u
m
(0)
2
L
2
(M)
=
∆u
m
(0), u
m
(0)
−
ag(u
m
(0)), u
m
(0)
≤
∆u
m
(0), u
m
(0)
+
ag(u
m
(0)), u
m
(0)
≤
∆u
m
(0)
L
2
(M)
+ C(Λ
1
, Λ
2
, Λ
3
)
u
m
(0)
L
2
(M)
da´ı vem que
u
m
(0)
2
L
2
(M)
≤ ∆u
m
(0)
L
2
(M)
+ C (2.91)
Logo de (2.87) e (2.91), obtemos
u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
≤u
m
(0)
2
L
2
(M)
+ ∇u
m
(0)
2
L
2
(M)
(2.92)
≤
∆u
m
(0)
L
2
(M)
+ C
2
+ ∇u
m
(0)
2
L
2
(M)
gra¸cas `as convergˆencias do problema aproximado, obtemos de (2.92), a existˆencia de uma
constante positiva C
2
tal que
u
m
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
≤ C
2
(2.93)
Donde conclu´ımos que
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, ∞; V ) (2.94)
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, ∞; L
2
(M)) (2.95)
Passagem ao Limite
Com uso das estimativas a priori, passaremos ao estudo da existˆencia de solu¸c˜ao
regular para o nosso problema. Observe inicialmente, que o Teorema da Representa¸c˜ao
de Riesz, garante que
L
∞
(0, T ; V ) ≡
L
1
(0, T ; V
)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 91
L
∞
(0, T ; L
2
(M)) ≡
L
1
(0, T ; L
2
(M))
como os espa¸cos L
1
(0, T ; V
) e L
1
(0, T ; L
2
(M)) s˜ao separ´aveis, obtemos de (2.73), (2.94)
e (2.95), a existˆencia de subsequˆencias de (u
m
), (u
m
) e (u
m
), que ainda denotaremos da
mesma forma, tais que
u
m
u em L
∞
(0, T ; V ) (2.96)
u
m
−
u
em L
∞
(0, T ; V ) (2.97)
u
m
=
u
em L
∞
(0, T ; L
2
(M)) (2.98)
e como V → L
2
(M), temos de (2.96) que
u
m
u em L
∞
(0, T ; L
2
(M))
sendo (0, T ) limitado, temos L
∞
(0, T ; L
2
(M)) → L
2
(0, T ; L
2
(M))
Agora fazendo a identifica¸c˜ao L
2
(0, T ; L
2
(M)) ≡ L
2
(Q), por sua reflexividade, obtemos
a existˆencia de uma subsequˆencia de (u
m
)
m∈N
, a qual ainda denotaremos por (u
m
), tal
que
u
m
u em L
2
(Q), onde Q = M × [0, T ] .
Como a convergˆencia fraca em L
2
(Q) implica na convergˆencia no sentido das distribui¸c˜oes,
temos que
u
m
−→ u em D
(Q)
sendo a deriva¸c˜ao uma opera¸c˜ao cont´ınua em D
(Q), segue que
u
m
−→ u
em D
(Q)
Por outro lado, de (2.97), temos
u
m
−
u
em L
2
(Q)
portanto, de modo an´alogo ao caso anterior, temos
u
m
−→
−
u
em D
(Q)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 92
Das duas afirma¸c˜oes acima, obtemos pela unicidade do limite fraco, que
−
u
= u
em
L
2
(Q), e tamb´em de maneira an´aloga segue que
=
u
= u
. Portanto
u
m
u
em L
∞
(0, T ; V ) (2.99)
u
m
u
em L
∞
(0, T ; L
2
(M)) (2.100)
Agora, como V
c
→ L
2
(M), provem de (2.99) e (2.100) face ao Teorema da Com-
pacidade de Aubin-Lions que existe uma subsequˆencia a qual ainda denotaremos da
mesma forma, de modo que
u
m
−→ u
em L
2
(0, T ; L
2
(M))
e ent˜ao
u
m
−→ u
quase sempre em M × [0, T ]
Da hip´otese de que g ´e cont´ınua, segue da convergˆencia acima que
g(u
m
) −→ g(u
) quase sempre em M × [0, T ] (2.101)
Observemos tamb´em que
T
0
M
|a(x)g(u
m
(x, t))|
2
dMdt
=
T
0
M
a
|a(x)g(u
m
)|
2
dM +
M
b
|a(x)g(u
m
)|
2
dM
dt
≤
T
0
a
2
∞
max
s∈[−1,1]
|g(s)|
2
med(M) + a
2
∞
K
2
u
m
2
L
2
(M)
dt (2.102)
Segue de (2.102) e (2.74) que existir´a uma constante C(T, med(M), C
1
, K, K
1
, K
2
),
onde K
1
= max
s∈[−1,1]
|g(s)|
2
e K
2
= a
∞
, tal que
T
0
ag(u
m
(t))
2
L
2
(M)
dt ≤ C (2.103)
u
ν
L
2
(Q)
≤ C Assim de (2.101) e (2.103), e do Lema de Lions segue que existe uma
subsequˆencia, que ainda seguiremos denotando da mesma forma, tal que
a(x)g(u
m
) a(x)g(u
) em L
2
(0, T ; L
2
(M)) (2.104)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 93
Seja j ∈ N e consideremos m > j. Multiplicando a equa¸c˜ao do problema aproxi-
mado por θ ∈ D(0, T ), considerando v = w
j
e integrando de 0 a T , obtemos a seguinte
express˜ao
T
0
u
m
(t), w
j
θ(t)dt +
T
0
∇u
m
(t), ∇w
j
θ(t)dt +
T
0
ag(u
m
(t)), w
j
θ(t)dt = 0 (2.105)
Ent˜ao, pelas convergˆencias dadas em (2.99), (2.100) e (2.104), obtemos de (2.105),
quando passamos o limite em m → +∞,
T
0
u
(t), w
j
θ(t)dt +
T
0
∇u(t), ∇w
j
θ(t)dt +
T
0
ag(u
(t)), w
j
θ(t)dt = 0 (2.106)
como a base (w
j
)
j∈N
´e um sistema completo em V , temos de (2.106) que
T
0
u
(t), v
θ(t)dt +
T
0
∇u(t), ∇v
θ(t)dt +
T
0
ag(u
(t)), v
θ(t)dt = 0 (2.107)
∀θ ∈ D(0, T ) e ∀v ∈ V .
Tamb´em note que, v,u(t) ∈ V → H
1
(M) e −∆ : H
1
(M) −→ H
−1
(M) ´e um
operador linear e cont´ınuo onde temos
−∆u(t), v
H
−1
(M)×H
1
(M)
=
∇u(t), ∇v
(2.108)
Logo de (2.107) e (2.108) obtemos
T
0
u
(t), v
θ(t) −
∆u(t), v
θ(t) +
ag(u
(t)), v
θ(t)
dt = 0
fazendo v = ϕ ∈ D(M), conclu´ımos que
u
− ∆u + ag(u
), ϕθ
= 0 , ∀ϕ ∈ D(M), ∀θ ∈ D(0, T ) (2.109)
notando que a dualidade acima, ocorre em D
(M × (0, T )) ×D(M × (0, T ))
Como o conjunto
R = {θϕ ; θ ∈ D(0, T ), ϕ ∈ D(M)}
´e completo em D(M × (0, T )), ent˜ao de (2.109), temos
u
− ∆u + ag(u
) = 0 em D
(M × (0, T )) (2.110)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 94
Por outro lado, como u
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(M)) e ag(u
) ∈ L
∞
(0, T ; L
2
(M)), temos
de (2.110) que ∆u ∈ L
∞
(0, T ; L
2
(M)) e conseq¨uentemente
u
− ∆u + ag(u
) = 0 em L
∞
(0, T ; L
2
(M))
fixando t ≥ 0, consideremos o problema el´ıptico
∆u(t) = u(t) + ag(u
(t)) em M
Segue de um resultado de regularidade el´ıptica, que para cada t ∈ [0, T ] fixado
u(t) ∈ H
2
(M) e al´em disso
u(t)
H
2
(M)
≤ C∆u(t)
L
2
(M)
Assim
u(t)
H
2
(M)
≤ C∆u(t)
L
2
(M)
= Cu
(t) + ag(u
(t))
L
2
(M)
≤ Cu
(t)
L
2
(M)
+ Cag(u
(t))
L
2
(M)
≤ C
∗
1
onde C
∗
1
(C
1
, C, med(M), a
∞
, T ) provando que u ∈ L
∞
(0, T ; H
2
(M))
Por fim, notemos que a norma em V ∩ H
2
(M) ´e equivalente `a norma
.
H
1
(M)
+ ∆.
L
2
(M)
Portanto, conclu´ımos que u ∈ L
∞
(0, T ; V ∩ H
2
(M)), provando a existˆencia da solu¸c˜ao
regular. ✷
2.3.3 Dados Iniciais
Primeiramente, notemos que u
∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) e u
∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) ent˜ao,
u
∈ H
1
(0, T ; L
2
(M)) → C
[0, T ]; L
2
(M)). O que nos permite calcular u
(0) e u
(T ).
Sejam θ ∈ C
1
[0, T ]; R), satisfazendo θ(0) = 1 e θ(T ) = 0, j ∈ N e µ ∈ N de modo
que µ > j. Procedendo de maneira an´aloga ao que fizemos na prova da existˆencia de
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 95
solu¸c˜ao regular temos
T
0
u
µ
(t), w
j
θ(t)dt −→
T
0
u
(t), w
j
θ(t)dt
integrando por partes
−
u
µ
(0), w
j
−
T
0
u
µ
(t), w
j
θ(t)dt −→ −
u(0), w
j
−
T
0
u
(t), w
j
θ(t)dt
e notando que
u
µ
u
em L
∞
(0, T ; L
2
(M))
obtemos
T
0
u
µ
(t), w
j
θ(t)dt −→
T
0
u
(t), w
j
θ(t)dt .
Conseq¨uentemente
−
u
µ
(0), w
j
−→ −
u(0), w
j
, ∀j ∈ N .
Em vista da completude da base (w
j
)
j∈N
em L
2
(M), decorre que
u
µ
(0) u
(0) em L
2
(M) .
Por outro lado, o problema aproximado nos fornece
u
µ
(0) u
1
em V → L
2
(M) .
Donde conclu´ımos, devido a unicidade do limite que u
(0) = u
1
. Agora posto que
u ∈ L
∞
(0, T ; V ∩ H
2
(M)) → L
2
(0, T ; L
2
(M)), u
∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) e portanto
u ∈ H
1
(0, T ; L
2
(M)). Analogamente, prova-se que u(0) = u
0
.
2.3.4 Unicidade de Solu¸c˜ao Regular
Consideremos u
1
e u
2
solu¸c˜oes regulares dos respectivos problemas
u
1
− ∆u
1
+ ag(u
1
) = 0
u
1
(0) = u
0
, u
1
(0) = u
1
u
2
− ∆u
2
+ ag(u
2
) = 0
u
2
(0) = u
0
, u
2
(0) = u
1
(2.111)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 96
Pondo z = u
1
− u
2
, obtemos de (2.111), o seguinte problema
z
− ∆z + ag(u
1
) − ag(u
2
) = 0
z(0) = 0 = z
(0)
(2.112)
como para cada t ≥ 0 as fun¸c˜oes z(t), z
(t), z
(t) e ∆z(t) pertencem a L
2
(M), ent˜ao da
primeira linha de (2.112), temos
1
2
d
dt
z
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
d
dt
∇z(t)
2
L
2
(M)
+
M
a(x)
g(u
1
) − g(u
2
)
u
1
− u
2
dM = 0
integrando a express˜ao acima de 0 a t, e utilizando o fato de g ser mon´otona e a n˜ao-
negativa, obtemos
z
(t)
L
2
(M)
+ ∇z(t)
2
L
2
(M)
≤ 0
donde conclu´ımos que z(t) = 0 em V , ∀t ∈ [0, T ], o que prova a unicidade de solu¸c˜ao
regular.
2.3.5 Solu¸c˜oes Fracas para o Problema N˜ao-Linear
Seja {u
0
, u
1
} ∈ V × L
2
(M). Como V ∩ H
2
(M) ´e denso em V e V ´e denso em
L
2
(M), existe {u
0
µ
, u
1
µ
} ∈ V ∩H
2
(M) × V tal que
{u
0
µ
, u
1
µ
} −→ {u
0
, u
1
} em V × L
2
(M) . (2.113)
Desta maneira, para cada µ ∈ N, existe uma solu¸c˜ao u
µ
do seguinte problema
u
µ
− ∆u
µ
+ ag(u
µ
) = 0
u
µ
(0) = u
0
µ
, u
µ
(0) = u
1
µ
(2.114)
Considere z
µ,σ
= u
µ
− u
σ
. Pelos mesmos argumentos utilizados na unicidade de solu¸c˜ao
regular obtemos
z
µ,σ
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇z
µ,σ
(t)
2
L
2
(M)
≤ z
µ,σ
(0)
2
L
2
(M)
+ ∇z
µ,σ
(0)
2
L
2
(M)
(2.115)
o membro `a direita da desigualdade acima converge para zero, pois (u
0
ν
) e (u
1
ν
) s˜ao
convergentes em V e L
2
(M) respectivamente, da´ı conclu´ımos que
(u
µ
) ´e uma sequˆencia de Cauchy em C(R
+
; V ) (2.116)
(u
µ
) ´e uma sequˆencia de Cauchy em C(R
+
; L
2
(M)) (2.117)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 97
sendo C(R
+
; V ) e C(R
+
; L
2
(M)) completos, existem u ∈ C(R
+
; V ) e u
∈ C(R
+
; L
2
(M))
respectivamente, tais que
u
µ
−→ u em C(R
+
; V ) (2.118)
u
µ
−→ u
em C(R
+
; L
2
(M)) (2.119)
em consequˆencia disto, temos para o intervalo [0, T ] com T > 0 de (2.119)
u
µ
−→ u
em L
2
([0, T ]; L
2
(M)) (2.120)
g(u
µ
) −→ χ em L
2
([0, T ]; L
2
(M)) . (2.121)
Nossa prioridade agora ´e mostrar que χ = g(u
) .
Com efeito, por um lado temos que u
µ
− ∆u
µ
+ ag(u
µ
) = 0 em L
2
(0, T ; L
2
(M)),
disto vem que
T
0
M
a(x)g(u
µ
)u
µ
dMdt =
1
2
− u
µ
(t)
2
2
− ∇u
µ
(t)
2
2
+ u
µ
(0)
2
2
+ ∇u
µ
(0)
2
2
.
Pelas convergˆencias provadas antes
lim
µ→∞
T
0
M
a(x)g(u
µ
)u
µ
dMdt =
1
2
− u
(t)
2
2
− ∇u(t)
2
2
+ u
1
2
2
+ ∇u
0
2
2
.
Por outro lado, note que w ´e solu¸c˜ao do seguinte problema (basta tomar f =
−a(x)χ no apˆendice deste cap´ıtulo)
w
− ∆w + a(x)χ = 0 em M × (0, T )
w(0) = u
0
, w
(0) = u
1
(2.122)
e tamb´em essa solu¸c˜ao verifica a identidade de energia (ver apˆendice). Logo
t
0
M
a(x)χw
(s)dMds =
1
2
− w
(t)
2
2
− ∇w(t)
2
2
+ u
1
2
2
+ ∇u
0
2
2
Por´em na passagem ao limite, temos que u ´e solu¸c˜ao fraca de
u
− ∆u + a(x)χ = 0 em M × (0, T )
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
(2.123)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 98
e satisfaz a identidade de energia
t
0
M
a(x)χu
(s)dMds =
1
2
− u
(t)
2
2
− ∇u(t)
2
2
+ u
1
2
2
+ ∇u
0
2
2
pela unicidade do limite dos problemas, conclu´ımos que
lim
µ→∞
T
0
M
a(x)g(u
µ
(x, s))u
µ
(x, s)dMds =
t
0
M
a(x)χ(x, s)u
(x, s)dMds (2.124)
Agora note que de (2.120) e (2.121), temos
u
µ
u
em L
2
([0, T ]; L
2
(M))
g(u
µ
) χ em L
2
([0, T ]; L
2
(M)) .
Ent˜ao disto e da convergˆencia em (2.124) implicam que, para toda ψ ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M))
T
0
χ(s) − g(ψ), u
(s) − ψ
ds = lim
µ→+∞
T
0
g(u
µ
(s)) − g(ψ), u
µ
(s) − ψ
ds ≥ 0 (2.125)
pois g ´e mon´otona n˜ao-decrescente. O que implica χ = g(u
) .
Com efeito, mostraremos inicialmente, que
T
0
M
g(u
− λv)vdMdt −→
T
0
M
g(u
)vdMdt (2.126)
quando λ → 0, ∀v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) .
De fato, como
u
(x, t) − λv(x, t) −→ u
(x, t) q.s em M × (0, T )
quando λ → 0, com T > 0 e g ´e cont´ınua, ent˜ao
g(u
(x, t) − λv(x, t)) −→ g(u
(x, t)) q.s em M × (0, T ) (2.127)
quando λ → 0.
Da hip´otese 2.1, temos
g
u
(x, t) − λv(x, t)
≤
g(1) , |u
(x, t) − λv(x, t)| ≤ 1
K|u
(x, t) − λv(x, t)| , |u
(x, t) − λv(x, t)| > 1
(2.128)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 99
ou seja
g
u
(x, t) − λv(x, t)
≤ g(1) + K|u
(x, t)| + K|v(x, t)|
∈L
2
(0,T ;L
2
(M))≡L
2
(M×(0,T ))
, com λ < 1 (2.129)
posto que g(1) > 0.
De (2.127), (2.129) e pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue segue
(2.126). Consideremos ent˜ao, ψ = u
− λv, onde v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)). Segue de
(2.125)que
λ
T
0
χ(t)−g(u
(t)−λv(t)), v(t)
dt=
T
0
χ(t)−g(u
(t)−λv(t)), u
(t)−(u
(t)−λv(t))
dt ≥ 0 .
Desta forma
(i)
T
0
χ − g(u
− λv), v
dt ≥ 0 se λ > 0. Tomando o limite quando λ → 0
+
vem de
(2.126) que
T
0
χ − g(u
), v
dt ≥ 0 , ∀v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) . (2.130)
(ii)
T
0
χ − g(u
− λv), v
dt ≤ 0 se λ < 0. Tomando o limite quando λ → 0
−
decorre
de (2.126) que
T
0
χ − g(u
), v
dt ≤ 0 , ∀v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) . (2.131)
Portanto de (2.130) e (2.131), resulta que
T
0
χ − g(u
), v
dt = 0 , ∀v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) .
Tomando v = χ − g(u
), segue que χ = g(u
), o que prova o desejado. Ent˜ao, por
argumentos an´alogos aos feitos no problema linear, chegamos `a conclus˜ao que u satisfaz:
u
− ∆u + ag(u
) = 0 em D
(M × (0, T )) .
Agora como ag(u
) ∈ L
∞
(0, T ; L
2
(M)) e ∆ ∈ L(V, H
−1
(M)), conclu´ımos que
u
∈ L
∞
(0, T ; H
−1
(M)). Al´em disso de (2.116) e (2.117), temos u ∈ C(0, T ; V ) ∩
C
1
(0, T ; L
2
(M)), provando a existˆencia da solu¸c˜ao fraca.
A solu¸c˜ao fraca obtida por aproxima¸c˜ao de solu¸c˜oes regulares, satisfaz a identidade
da energia.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 100
2.3.6 Unicidade de Solu¸c˜ao Fraca
Sejam u
1
e u
2
duas solu¸c˜oes fracas de (2.52), denotando w = u
1
− u
2
, ent˜ao w
satisfaz ao problema
w
− ∆w + ag(u
1
) − ag(u
2
) = 0
w(0) = 0 = w
(0)
como w(0) = 0 e w
(0) = 0, temos da identidade da energia, (provada no apˆendice deste
cap´ıtulo), com f = −ag(u
(t)) que
w
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇w(t)
2
L
2
(M)
= −2
T
0
a(g(u
1
(t)) − g(u
2
(t)), u
1
(t) − u
2
(t)
dt (2.132)
Pela limita¸c˜ao de a e monotonocidade de g, obtemos de (2.132) que w(t) = 0 em
H
1
(M) para todo t, o que prova a unicidade.
2.4 Existˆencia de Solu¸c˜oes via teoria de Semigrupos
Utilizando resultados da teoria de Semigrupos, estudaremos a existˆencia, unicidade
e algumas propriedades da solu¸c˜ao do nosso problema. Para isso, considere o seguinte
resultado.
2.4.1 Existˆencia e unicidade e solu¸c˜oes regulares em [0, T
max
)
Considere o problema n˜ao-homogˆeneo
du
dt
+ Au = F (u)
u(0) = u
0
(2.133)
Teorema 2.3. Seja F : H −→ H uma fun¸c˜ao localmente Lipschitz,ou seja, para todo
M > 0 existe L
M
> 0 tal que |u| < M e |v| < M implica que |F (u) −F (v)| ≤ L
M
|u −v|.
Ent˜ao, para todo u
0
∈ H existe u solu¸c˜ao generalizada do problema (2.133) em
[0, T ] e esta pode ser estendida em uma solu¸c˜ao maximal sobre [0, T
max
), com T
max
= +∞
ou T
max
< +∞ e lim
t→T
max
u(t)
H
= +∞.
Se u
0
∈ D(A), a solu¸c˜ao ´e cl´assica.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 101
Demonstra¸c˜ao: Ver [7].
Primeiramente, escrevemos o problema
u
tt
− ∆u + a(x)g(u
t
) = 0
u(0) = u
0
, u
t
(0) = u
1
(2.134)
onde a ∈ L
∞
(M), ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa, e g ´e suposta globalmente Lipschitz, ou
seja
|g(s
1
) − g(s
2
)| ≤ K|s
1
− s
2
|, ∀s
1
, s
2
∈ R (2.135)
para algum K > 0, o problema (2.134) pode ser escrito da seguinte forma:
i) Fazendo
U =
u
u
t
=⇒
dU
dt
=
u
t
u
tt
=
u
t
∆u − a(x)g(u
t
)
=
u
t
∆u
+
0
−a(x)g(u
t
)
=
0 I
∆ 0
u
u
t
+
0
−a(x)g(u
t
)
definamos U =
u
u
t
, A =
0 −I
−∆ 0
, U
0
=
u
0
(x)
u
1
(x)
e
F : H −→ H
U −→ F (U) =
0
a(x)g(u
t
)
ent˜ao o problema inicial nos leva ao seguinte problema
dU
dt
+ AU + F (U) = 0
U(0) = U
0
(2.136)
consideremos H = V × L
2
(M) e
A : D(A) ⊂ H −→ H
u
v
−→ A
u
v
=
−v
−∆u
com U
2
H
= u
2
V
+ v
2
L
2
(M)
e U
D(A)
= Au
2
L
2
(M)
+ v
2
V
ii) Caracteriza¸c˜ao de D(A).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 102
Temos que D(A) =
U ∈ H ; AU ∈ H
, ou seja
D(A) =
(u, v) ∈ H ; u ∈ V , v ∈ V e ∆u ∈ L
2
(M)
.
Agora note que
u ∈ V ; ∆u ∈ L
2
(M)
= V ∩ H
2
(M).
Logo conclu´ımos que D(A) =
V ∩ H
2
(M)) × V
iii) A ´e mon´otono
Com efeito,
AU, U
H
=
−v
−∆u
,
u
v
= (−v, u)
V
+ (−∆u, v)
L
2
(M)
= −(∇v, ∇u)
L
2
(M)
+ (∇u, ∇v)
L
2
(M)
= 0
iv) A ´e maximal. (Mostraremos que Im(I + A) = H)
De fato, seja F =
f
g
∈ H. Vamos mostrar que existe U =
u
v
∈ D(A), tal que
(I + A)U = F , isto ´e
u
v
+
−v
−∆u
=
f
g
o que ´e o mesmo que
u − v = f
v − ∆u = g
ent˜ao fazendo v = u −f no ´ultimo sistema, temos que
u − ∆u = f + g (2.137)
Se u ´e solu¸c˜ao de (2.137),ent˜ao, fazendo o produto interno em L
2
(M) desta equa¸c˜ao
por ϕ ∈ V , temos
(u, ϕ) + (−∆u, ϕ) = (f + g, ϕ) , ∀ϕ ∈ V
o que implica
(u, ϕ) + (∇u, ∇ϕ) = (f + g, ϕ) , ∀ϕ ∈ V
isto ´e
M
uϕdM +
M
∇u · ∇ϕdM =
M
(f + g)ϕdM. (2.138)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 103
Afirma¸c˜ao: (2.138) possui uma ´unica solu¸c˜ao.
De fato, definamos b : V × V −→ R e T : V −→ R, respectivamente por
b(u, v) =
M
uϕdM +
M
∇u · ∇ϕdM
e T, ϕ =
M
(f + g)ϕdM
onde V tem imers˜ao compacta em L
2
(M).
• b ´e cont´ınua
Com efeito, pelas desigualdades de H¨older e Poincar´e, temos
|b(u, v)| ≤
M
|u||ϕ|dM +
M
|∇||∇ϕ|dM ≤ u
L
2
(M)
ϕ
L
2
(M)
+ ∇u
L
2
(M)
∇ϕ
L
2
(M)
≤ K
p
∇u
L
2
(M)
∇ϕ
L
2
(M)
+ ∇u
L
2
(M)
∇ϕ
L
2
(M)
= (K
p
+ 1)∇u
L
2
(M)
∇ϕ
L
2
(M)
= (K
p
+ 1)u
V
ϕ
V
para todo u, ϕ ∈ V .
• b ´e coerciva
Com efeito
b(u, u) =
M
u
2
dM +
M
|∇u|
2
dM ≥
M
|∇u|
2
dM = u
2
V
• T ´e cont´ınua
Mais uma vez, pelas desigualdades de H¨older e de Poincar´e, obtemos
|T, ϕ| ≤
M
|f + g||ϕ|dM ≤ f + g
L
2
(M)
ϕ
L
2
(M)
≤ K
p
f + g
L
2
(M)
∇ϕ
L
2
(M)
= K
p
f + g
L
2
(M)
ϕ
V
Est´a claro, que T ´e linear e b ´e bilinear. Ent˜ao pelo Lema de Lax-Milgram, existe uma
´unica u ∈ V tal que
b(u, ϕ) = T, ϕ, ∀ϕ ∈ V
o que mostra nossa afirma¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 104
Passando `a D(M), temos
u, ϕ + −∆u, ϕ = f + g, ϕ, ∀ϕ ∈ D(M)
e portanto u − ∆u = f + g em D
(M).
Como f + g ∈ L
2
(M) e u ∈ V , temos pela equa¸c˜ao acima, que ∆u ∈ L
2
(M),
ent˜ao por um resultado de regularidade el´ıptica da referencia [15], u ∈ V ∩H
2
(M). Logo
v = u −f ∈ V .
Ent˜ao existe uma ´unica U =
u
v
∈ V ∩ H
2
(M) × V = D(A), que satisfaz
(2.137), ou seja, (I + A)U = F . Portanto, A ´e maximal.
Mostraremos agora que, F ´e localmente Lipschitz, onde
F : H −→ H
U −→ F (U) =
0
a(x)g(v)
.
Antes por´em, note que F est´a bem definida. Com efeito,
M
|a(x)g(v)|
2
dM ≤ K
2
a
2
L
∞
(M)
M
|v|
2
dM < +∞.
Agora sim, mostraremos que F ´e localmente Lipschitz, isto ´e,
F (u, v) − F (u, v)
H
≤ L
M
R
(u, v) − (u, v)
H
para todo (u, v), (u, v) ∈ B
H,R
(0), (onde B
H,R
(0) ´e a bola de raio R > 0 no espa¸co H).
De fato, de (2.135) resulta
F (u, v) − F (u, v)
2
H
= (0, a(x)g(v)) −(0, a(x)g((v))
2
H
= (0, a(x)(g(v) −g(v))
2
H
≤ a
2
L
∞
(M)
K
2
M
|v − v|
2
dM
≤ a
2
L
∞
(M)
K
2
v − v
2
L
2
(M)
+ u − u
2
V
= a
2
L
∞
(M)
K
2
(u, v) − (u, v)
2
H
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 105
Portanto, estamos nas hip´oteses do teorema (2.3), o que implica que U ´e solu¸c˜ao de
(2.136) e
U =
u
u
t
∈ C
[0, T
max
); (V ∩ H
2
(M)) × V
∩ C
1
[0, T
max
); V × L
2
(M)
ou ainda
u ∈ C
[0, T
max
); (V ∩ H
2
(M))
∩ C
1
[0, T
max
); V
o que prova a existˆencia de solu¸c˜oes regulares de (2.134) em [0, T
max
).
Se
u
0
u
1
∈ H, ent˜ao a solu¸c˜ao ´e generalizada em [0, T
max
), ou seja
u
u
t
∈ C
[0, T
max
); (V × L
2
(M))
o que implica
u ∈ C
[0, T
max
); V
∩ C
1
[0, T
max
); L
2
(M))
2.4.2 Extens˜ao da solu¸c˜ao de zero ao infinito
Para obtermos solu¸c˜oes globais de (2.134), precisamos estender nossa solu¸c˜ao obtida
anteriormente ao infinito.
De fato, sabemos que
U =
u
u
t
∈ C
[0, T
max
); (V ∩ H
2
(M)) × V
∩ C
1
[0, T
max
); V × L
2
(M)
.
Ent˜ao
u ∈ C
[0, T
max
); (V ∩ H
2
(M))
∩ C
1
[0, T
max
); V
u
t
∈ C
[0, T
max
); V
∩ C
1
[0, T
max
); L
2
(M))
.
Pelo teorema 2.3, temos que T
max
= ∞ ou se T
max
< ∞ =⇒ lim
t→T
max
u(t)
H
= ∞ se
t < T
max
.
Queremos provar que T
max
= ∞. Suponhamos por contradi¸c˜ao que T
max
< ∞.
Por outro lado, compondo a primeira equa¸c˜ao de (2.134) com u
t
, teremos para solu¸c˜oes
regulares
(u
tt
, u
t
) + (∇u, ∇u
t
) + (a(x)g(u
t
), u
t
) = 0
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 106
ou ainda
1
2
d
dt
u
t
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇u(t)
2
L
2
(M)
= −
M
a(x)g(u
t
(t))u
t
(t)dM ≤ 0 , ∀t ∈ [0, T
max
)
integrando de 0 a t, t ∈ [0, T ], teremos
1
2
u
t
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇u(t)
2
L
2
(M)
≤
1
2
u
1
2
L
2
(M)
+ ∇u
0
2
L
2
(M)
da´ı resulta que u(t)
2
H
= u(t)
2
V
+ u
t
(t)
2
L
2
(M)
< +∞, ou seja u(t)
H
< +∞, o que
´e uma contradi¸c˜ao.Portanto, as solu¸c˜oes regulares cl´assicas existem em [0, ∞).
2.4.3 Unicidade da Solu¸c˜ao Regular
A unicidade pode ser obtida de forma an´aloga ao feito no caso anterior na subse¸c˜ao
2.3.4.
2.4.4 Existˆencia e unicidade de Solu¸c˜oes Fracas como Limite
de Solu¸c˜oes Regulares
Vamos provar a existˆencia de solu¸c˜oes fracas para nosso problema, como sendo
limite de solu¸c˜oes regulares.
De fato, seja {u
0
, u
1
} ∈ V × L
2
(M). Ent˜ao, existe uma solu¸c˜ao generalizada em
0, T
max
dada pela f´ormula U(t) = S(t)U
0
+
t
0
S(t − s)F (U(s))ds.
Como D(A) = H existe {u
0
µ
, u
1
µ
} ∈ D(A) tal que
{u
0
µ
, u
1
µ
} −→ {u
0
, u
1
} , quando µ → ∞
Logo, para cada µ ∈ N temos
u
µ
∈ C([0, T ]; V ∩H
2
(M)) , u
µ
∈ C([0, T ]; V ) e u
µ
∈ ([0, T ]; L
2
(M))
e satisfaz
u
µ
− ∆u
µ
+ a(x)g(u
µ
) = 0 em M ×(0, +∞)
u
µ
(0) = u
0
µ
; u
µ
(0) = u
1
µ
(2.139)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 107
compondo com u
µ
e integrando de 0 a t, t ∈ [0, T ], obtemos
1
2
u
µ
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u
µ
(t)
2
L
2
(M)
+
t
0
M
a(x)g(u
µ
(s))u
µ
(s)dMds = (2.140)
1
2
u
1
µ
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u
0
µ
2
L
2
(M)
≤ L ∀t ∈ [0, T ] , e ∀µ ∈ N (2.141)
Fazendo z
σ,µ
= u
σ
− u
µ
, vem que
z
σ,µ
− ∆z
σ,µ
+ a(x)g(u
σ
) − a(x)g(u
µ
) = 0
compondo com z
σ,µ
, e notando que z
σ,µ
(t), z
σ,µ
(t), z
σ,µ
(t) e ∆z
σ,µ
(t) ∈ L
2
(M), obtemos
1
2
d
dt
z
σ,µ
(t)
2
L
2
(M)
+ ∇z
σ,µ
(t)
2
L
2
(M)
≤ −
M
a(x)(g(u
σ
) − g(u
µ
))(u
σ
− u
µ
)dM
integrando de 0 a t, t ∈ [0, T ]
1
2
z
σ,µ
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇z
σ,µ
(t)
2
L
2
(M)
≤
1
2
z
1
σ,µ
2
L
2
(M)
+
1
2
∇z
0
σ,µ
2
L
2
(M)
Tomando-se o m´aximo, temos
max
t∈[0,T ]
z
σ,µ
(t)
2
L
2
(M)
= max
t∈[0,T ]
u
σ
(t) − u
µ
(t)
2
L
2
(M)
≤
1
2
z
1
σ,µ
2
L
2
(M)
+
1
2
∇z
0
σ,µ
2
L
2
(M)
σ,µ→∞
−→ 0
portanto
u
σ
− u
µ
C([0,T ];L
2
(M))
σ,µ→∞
−→ 0
logo, {u
µ
} ´e de Cauchy em C([0, T ]; L
2
(M))
De maneira an´aloga, temos
u
σ
− u
µ
C([0,T ];V )
= max
t∈[0,T ]
u
σ
(t) − u
µ
(t)
2
V
≤ max
t∈[0,T ]
∇u
σ
(t) − ∇u
µ
(t)
2
L
2
(M)
≤
1
2
z
1
σ,µ
2
L
2
(M)
+ ∇z
0
σ,µ
2
L
2
(M)
σ,µ→∞
−→ 0
o que mostra que {u
µ
} ´e de Cauchy em C([0, T ]; V ). Sendo os espa¸cos C([0, T ]; L
2
(M))
e C([0, T ]; V ) completos, resulta que
u
µ
→ u em C([0, T ]; V ) → L
2
(0, T ; V ) → D
(0, T ; V ) (2.142)
u
µ
→ ¯u em C([0, T ]; L
2
(M)) → L
2
(0, T ; L
2
(M)) → D
(0, T ; L
2
(M)) (2.143)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 108
De (2.142) temos que u
µ
→ u
em D
(0, T ; L
2
(M)) e de (2.143) temos que u
µ
→ ¯u em
D
(0, T ; L
2
(M)). Pela unicidade do limite em D
, temos que u
= ¯u em D
(0, T ; L
2
(M)).
Fazendo o produto escalar, de (2.139) com v ∈ V e integrando em M e em seguida
multiplicando por uma fun¸c˜ao teste θ ∈ D(0, T), obtemos
T
0
(u
µ
(t), v)θ(t)dt +
T
0
(−∆u
µ
(t), v)θ(t)dt +
T
0
(a(x)g(u
µ
(t)), v)θ(t)dt = 0
Integrando por partes, na primeira integral, vem que
−
T
0
(u
µ
(t), v)θ
(t)dt +
T
0
(−∆u
µ
(t), v)θ(t)dt +
T
0
(a(x)g(u
µ
(t)), v)θ(t)dt = 0
e ainda, pelo Teorema de Green, temos
−
T
0
(u
µ
(t), v)θ
(t)dt +
T
0
(∇u
µ
(t), ∇v)θ(t)dt +
T
0
(a(x)g(u
µ
(t)), v)θ(t)dt = 0
∀v ∈ V. (2.144)
Notemos agora, que
{u
µ
} ´e limitada em L
2
(0, T ; V )
{u
µ
} ´e limitada em L
2
(0, T ; L
2
(M)) .
Logo,
u
µ
u em L
2
(0, T ; V )
u
µ
ξ em L
2
(0, T ; L
2
(M)) .
Mas, sabemos que u
µ
u
em D
(0, T ; L
2
(M)). Pela unicidade do limite, temos que
u
= ξ em D
(0, T ; L
2
(M)). Ent˜ao,
T
0
u
µ
(t), vθ
(t)dt −→
T
0
u
(t), vθ
(t)dt , (2.145)
T
0
∇u
µ
(t), ∇vθ(t)dt −→
T
0
∇u(t), ∇vθ(t)dt (2.146)
e temos tamb´em que
g(u
µ
) −→ χ em L
2
(0, T ; L
2
(M))
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 109
Mas j´a foi mostrado neste cap´ıtulo, que χ = g(u
), ent˜ao
T
0
a(x)g(u
µ
(t)), vθ(t)dt −→
T
0
a(x)g(u
(t)), vθ(t)dt (2.147)
De (2.145), (2.147) e (2.146), na passagem ao limite em (2.144) temos
−
T
0
(u
(t), v)θ
(t)dt +
T
0
(∇u(t), ∇v)θ(t)dt +
T
0
(a(x)g(u
(t)), v)θ(t)dt = 0
∀v ∈ V . ou ainda,
d
dt
(u
(t), v), θ(t)
+
(∇u(t), ∇v), θ(t)
+
(a(x)g(u
(t)), v), θ(t)
= 0
para toda θ ∈ D(0, T ).
Portanto
d
dt
(u
(t), v) + (∇u(t), ∇v) + (a(x)g(u
(t)), v) = 0 em D
(0, T )
e para todo v ∈ V .
De (2.140), da convergˆencia dos dados iniciais e das convergˆencias (2.142) e (2.143),
obtemos
1
2
u
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u(t)
2
L
2
(M)
+
t
0
M
a(x)g(u
(s))u
(s)dMds =
1
2
u
1
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u
0
2
L
2
(M)
≤ L ∀t ∈ [0, T ] , e ∀µ ∈ N
que ´e justamente a identidade de energia, para solu¸c˜oes fracas que s˜ao limites de solu¸c˜oes
regulares. Portanto, podemos estender as solu¸c˜oes fracas a todo intervalo [0, +∞).
Unicidade de Solu¸c˜oes Fracas
A unicidade obt´em-se da identidade da energia provada no Apˆendice 2.5.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 110
2.5 Apˆendice
2.5.1 Identidade da Energia
Sejam V e H espa¸cos de Hilbert tais que V → H. Representaremos por ((., .)) e
(., .), os produtos internos em V e H, respectivamente. Para cada u ∈ V , a fun¸c˜ao
v −→ ((u, v))
´e linear e cont´ınua. Portanto existe um ´unico operador A : V → V
, tal que Au, v =
((u, v)), ∀v ∈ V
.
Prova-se que a fun¸c˜ao
u −→ Au
de V em V
´e um isomorfismo isom´etrico. Dado
u
0
, u
1
∈ V × H e f ∈ L
2
(0, T ; H),
∃! u : (0, T ) −→ V tal que:
u
+ Au = f
u(0) = u
0
, u
(0) = u
1
na classe u ∈ L
∞
(0, T ; V ), u
∈ L
∞
(0, T ; H) e u
∈ L
∞
(0, T ; V
)
De fato, considere acima H = L
2
(M) e V um espa¸co de Hilbert com imers˜ao
compacta em L
2
(M), que tamb´em ´e denso no mesmo. Pela teoria espectral, A = −∆
e existe uma base (w
j
)
j∈N
ortonormal completa em L
2
(M) e ortogonal em V . Tamb´em
considerando V ∩L
2
(M), esta mesma base ´e completa e ortogonal neste espa¸co. Assim,
denotemos por V
m
= [w
1
, . . . , w
m
] o subespa¸co gerado pelos m primeiros vetores da base
(w
i
). Consideremos em V
m
o seguinte problema aproximado
u
m
(t) ∈ V
m
⇔ u
m
(t) =
m
j=1
g
jm
(t)w
j
tal que
(u
m
(t), v) + (−∆u
m
(t), v) = (f(t), v) para todo v ∈ V
m
u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em V
u
m
(0) = u
1m
→ u
1
em L
2
(M)
(2.148)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 111
usando o fato que (−∆u, v) = ((u, v)) = (∇u, ∇v), temos ainda
(u
m
(t), v) + (∇u
m
(t), ∇v) = (f(t), v) para todo v ∈ V
m
u
m
(0) = u
0m
→ u
0
em V
u
m
(0) = u
1m
→ u
1
em L
2
(M)
(2.149)
Substituindo u
m
(t) em (2.149) com v = w
j
, analogamente ao feito nos problemas ante-
riores, obtemos a seguinte forma matricial
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
z
(t)
+
(∇w
1
, ∇w
1
) (∇w
2
, ∇w
1
) ··· (∇w
m
, ∇w
1
)
(∇w
1
, ∇w
2
) (∇w
2
, ∇w
2
) ··· (∇w
m
, ∇w
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(∇w
1
, ∇w
m
) (∇w
2
, ∇w
m
) ··· (∇w
m
, ∇w
m
)
A
·
g
1m
(t)
g
2m
(t)
.
.
.
g
mm
(t)
z(t)
=
(f(t), w
1
)
(f(t), w
2
)
.
.
.
(f(t), w
m
)
G(t)
nosso problema agora consiste em resolver o seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais
ordin´arias
z
(t) + Az(t) + G(t) = 0
z(0) = z
0
, z
(0) = z
1
(2.150)
Definamos:
Y
1
(t) = z(t)
Y
2
(t) = z
(t)
Y (t) =
Y
1
(t)
Y
2
(t)
Logo temos
Y
(t) =
Y
1
(t)
Y
2
(t)
=
z
(t)
z
(t)
=
Y
2
(t)
−AY
1
(t) + G(t)
=
0
G(t)
+
0 I
−A −0
Y
1
(t)
Y
2
(t)
Donde temos o seguinte problema de valor inicial
Y
(t) =
0
G(t)
+
0 I
−A −0
Y
1
(t)
Y
2
(t)
Y (0) = Y
0
(2.151)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 112
Provaremos que o problema acima possui solu¸c˜ao local, utilizando o Teorema de
Carath´eodory. Consideremos a aplica¸c˜ao:
F : [0, T ] × R
2m
−→ R
2m
(t, y) −→ F (t, y) =
0
G(t)
+ My
onde M =
0 I
−A −0
e y = Y = (ξ
1
, . . . , ξ
m
, ξ
m+1
, . . . , ξ
2m
)
(i) Seja y ∈ R
2m
fixado. Como fun¸c˜ao de t F ´e cont´ınua uma vez que esta n˜ao depende
de t (F ´e constante).
(ii) Para cada t ∈ [0, T ], F ´e cont´ınua como fun¸c˜ao de y. De fato,notemos que a fun¸c˜ao
y → My ´e linear, conseq¨uentemente cont´ınua.
(iii) Por fim, considerando D = [−T, T ] × B
b
onde B
b
=
x ∈ R
2m
; Y
0m
∈ B
b
e |x| ≤ b , b > 0
, temos
F (t, y)
R
2m
≤ G(t)
R
m
+ My
R
2m
≤ c + Mb
Portanto das considera¸c˜oes acima, segue-se pelo Teorema de Carath´eodory que
existe uma solu¸c˜ao Y (t) do problema de valor inicial
Y
(t) = F (t, y)
Y (0) = Y
0
em algum intervalo [0, t
m
), com t
m
> 0. Al´em disso, Y (t) ´e absolutamente cont´ınua
e portanto, diferenci´avel quase sempre em [0, t
m
). Resulta deste fato que z(t) e z
(t),
s˜ao absolutamente cont´ınuas e conseq¨uentemente, z
(t) existe em quase todo ponto do
intervalo [0, t
m
).
Estimativas a Priori
Multiplicando-se (2.148) por g
m
(t) e somando j de 1 at´e m, obtemos
(u
m
(t), u
m
(t)) + (∇u
m
(t), ∇u
m
(t)) = (f(t), u
m
(t)) (2.152)
sendo g
jm
e g
jm
absolutamente cont´ınuas, vem da identidade acima que
(u
m
(t), u
m
(t)) ∈ L
1
(0, t
m
) (2.153)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 113
note que de (2.152), vem que
1
2
d
dt
u
m
(t)
2
2
+
1
2
d
dt
∇u
m
(t)
2
2
= (f(t), u
m
(t)) para quase todo t ∈ [0, t
m
) .
Integrando de 0 a t, t ∈ (0, t
m
)
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
= +u
m
(0)
2
2
+ ∇u
m
(0)
2
2
+
t
0
(f(s), u
m
(s))ds (2.154)
usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, e o fato que 2ab ≤ a
2
+ b
2
, da identidade
acima, obtemos
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ +u
m
(0)
2
2
+ ∇u
m
(0)
2
2
+
t
0
f(s)
2
2
ds +
t
0
u
m
(s)
2
2
ds
Agora gra¸cas `a convergˆencia dos dados iniciais em (2.148), existe uma constante C
0
> 0
tal que
u
m
(0)
2
2
+ ∇u
m
(0)
2
2
≤ C
0
Assim obtemos da identidade anterior
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ C
0
+ f(s)
L
2
(0,T ;L
2
(M))
+
t
0
u
m
(s)
2
2
+ ∇u
m
(s)
2
2
ds
ou ainda
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ C
1
+
t
0
u
m
(s)
2
2
+ ∇u
m
(s)
2
2
ds
Em virtude da desigualdade de Gronwall, existe C > 0 (independente de t e m) tal
que
u
m
(t)
2
2
+ ∇u
m
(t)
2
2
≤ C , ∀t ∈ [0, t
m
) , ∀m ∈ N
Portanto do fato acima, podemos estender u
m
`a todo intervalo [0, T ] e al´em disso,
tamb´em temos
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; V ) (2.155)
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(M)) (2.156)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 114
De (2.159) e (2.156), obtemos a existˆencia de uma subsequˆencia (u
ν
) de (u
m
) tal que
(u
ν
)
u em L
∞
(0, T ; V ) (2.157)
(u
ν
)
u
em L
∞
(0, T ; L
2
(M)) . (2.158)
Passagem ao Limite
Como V
c
→ L
2
(M), definindo
W =
u ∈ L
2
(0, T ; V ) ; u
∈ L
2
(0, T ; L
2
(M))
munido da topologia u
W
= u
L
2
(0,T ;V )
+ u
L
2
(0,T ;L
2
(M))
resulta de (2.159) e (2.156) que
(u
ν
) ´e limitada em W . (2.159)
Logo pelo Teorema de Aubin-Lions, existe uma subsequˆencia (u
µ
) de (u
ν
) tal que
u
µ
−→ u forte em L
2
(0, T ; L
2
(M)) . (2.160)
Seja j ∈ N e µ ∈ N tal que µ ≥ j e consideremos θ ∈ D(0, T ). Multiplicando-se
(2.148) por θ e integrando-se em [0, T ], obtemos
T
0
(u
ν
, w
j
)θ(t)dt +
T
0
(∇u
µ
(t), ∇w
j
)θ(t)dt =
T
0
(f(t), w
j
)θ(t)dt
o que nos d´a
−
T
0
(u
ν
, w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(∇u
µ
(t), ∇w
j
)θ(t)dt =
T
0
(f(t), w
j
)θ(t)dt
Agora de (2.157) e (2.158), temos
T
0
u
µ
(t), ξ(t)
V,V
dt −→
T
0
u(t), ξ(t)
V,V
dt (2.161)
T
0
u
µ
(t), η(t)
L
2
(M),[L
2
(M)]
dt −→
T
0
u(t), η(t)
L
2
(M),[L
2
(M)]
dt (2.162)
∀ξ ∈ L
1
(0, T ; L
2
(M)) e ∀η ∈ L
1
(0, T ; [L
2
(M)]
) respectivamente.
tomando-se em particular ξ = −∆w
j
θ e η = w
j
θ
, obtemos de (2.161) e (2.162)
T
0
u
µ
(t), −∆w
j
V,V
θ(t)dt −→
T
0
u(t), −∆w
j
V,V
θ(t)dt (2.163)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 115
ou seja
T
0
(∇u
µ
(t), ∇w
j
)θ(t)dt −→
T
0
(∇u
(
t), ∇w
j
)θ(t)dt (2.164)
e
T
0
(u
µ
(t), w
j
)θ
(t)dt −→
T
0
(u
(t), w
j
)θ
(t)dt . (2.165)
Logo de (2.164) e (2.165), obtemos
T
0
(u
(t), w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(∇u(t), ∇w
j
)θ(t)dt =
T
0
(f(t), w
j
)θ(t)dt (2.166)
pela completude da base (w
j
) em V , a igualdade acima permanece v´alida ∀v ∈ V , isto
´e,
T
0
(u
(t), v)θ
(t)dt +
T
0
(∇u(t), ∇v)θ(t)dt =
T
0
(f(t), v)θ(t)dt (2.167)
ou ainda
d
dt
(u
(t), v), θ
+
(∇u(t), ∇v), θ
=
(f(t), v), θ
, ∀θ ∈ D(0, T )
donde conclu´ımos que
d
dt
(u
(t), v) + (∇u(t), ∇v) = (f(t), v) em D
(0, T ) . (2.168)
Identificando L
2
(M) com seu dual, obtemos de (2.167)
−
T
0
u
(t)θ
(t)dt, v
+
T
0
−∆u(t)θ(t)dt, v
=
−
T
0
f(t)θ(t)dt, v
da´ı vem que
u
− ∆u = f em D
(0, T ; V
) (2.169)
contudo f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) ⊂ L
2
(0, T ; V
) e ∆u ∈ L
∞
(0, T ; V
), portanto de (2.169)
vem que u
∈ L
2
(0, T ; V
) ent˜ao
u
− ∆u = f em L
2
(0, T ; V
)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 116
o que prova a existˆencia.
Condi¸c˜oes Iniciais
Notemos inicialmente que de (2.157), (2.158) e (2.169), temos
u ∈ C
[0, T ]; L
2
(M)
∩C
s
0, T ; V
e u
∈ C
[0, T ]; V
∩C
s
0, T ; L
2
(M)
, tendo sentido
pois falarmos em u(0), u(T ), u
(0) e u
(T ).
Provaremos que u(0) = u
0
Com efeito, seja θ ∈ C
1
[0, T ]
tal que θ(0) = 1 e θ(T ) = 0. De (2.158) vem que, se
ν > j (j arbitr´ario por´em fixado)
T
0
(u
ν
(t), w
j
)θ(t)dt −→
T
0
(u
(t), w
j
)θ(t)dt
integrando-se por partes
−(u
ν
(0), w
j
) −
T
0
(u
ν
(t), w
j
)θ
(t)dt −→ −(u(0), w
j
) −
T
0
(u(t), w
j
)θ
(t)dt
De (2.157) resulta que
T
0
(u
ν
(t), w
j
)θ
(t)dt −→
T
0
(u(t), w
j
)θ
(t)dt
o que implica
(u
ν
(0), w
j
) −→ (u(0), w
j
) , ∀j ∈ M
da´ı
u
ν
(0) u(0) em L
2
(M)
Por outro lado, de (2.148)
u
ν
(0) u
0
em L
2
(M)
devido a unicidade do limite fraco, obtemos u(0) = u
0
.
Provaremos agora u
(0) = u
1
Seja θ ∈ C
1
[0, T ]
tal que θ(0) = 1 e θ(T ) = 0. Consideremos µ > j (j arbitr´ario
por´em fixado). De (2.148), obtemos
T
0
(u
µ
(t), w
j
)θ(t)dt +
T
0
(∇u
µ
(t), ∇w
j
)θ(t)dt =
T
0
(f(t), w
j
)θ(t)dt
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 117
integrando por partes, temos
−(u
µ
(0), w
j
) −
T
0
(u
µ
(t), w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(∇u
µ
(t), ∇w
j
)θ(t)dt =
T
0
(f(t), w
j
)θ(t)dt
tomando-se o limite e pela totalidade dos w
j
s
em V ∩ L
2
(M), temos
−(u
1
, v) −
T
0
(u
(t), v)θ
(t)dt +
T
0
(∇u(t), ∇v)θ(t)dt =
T
0
(f(t), v)θ(t)dt
integrando por partes novamente, obtemos
−(u
1
, v)+(u
(0), v)+
T
0
u
(t), vθ(t)dt+
T
0
(∇u(t), ∇v)θ(t)dt =
T
0
(f(t), v)θ(t)dt (2.170)
onde ., . designa a dualidade V
, V
Agora, como
u
(t), v =
d
dt
(u
(t), v) ∈ L
2
(0, T ) (2.171)
resulta de (2.168), (2.170) e (2.171) que
(u
1
, v) = (u
(0), v) ; ∀v ∈ V
donde conclu´ımos o desejado.
Fixemos 0 < s
0
< t
0
< T e n
0
∈ N tal que n
0
> max
1
s
0
,
1
T − t
0
. Ent˜ao
∀n ≥ n
0
, definamos:
θ
n
(ξ) =
0 ; se 0 ≤ ξ ≤ s
0
−
1
n
1 + n(ξ − s
0
) ; se s
0
−
1
n
≤ ξ ≤ s
0
1 ; se s
0
≤ ξ ≤ t
0
1 − n(ξ − t
0
) ; se t
0
≤ ξ ≤ t
0
+
1
n
0 ; se t
0
+
1
n
≤ ξ ≤ T
(2.172)
cuja a derivada no sentido das distribui¸c˜oes vem dada por:
θ
n
(ξ) =
0 ; se 0 ≤ ξ < s
0
−
1
n
n ; se s
0
−
1
n
< ξ < s
0
0 ; se s
0
< ξ < t
0
−n ; se t
0
< ξ < t
0
+
1
n
0 ; se t
0
+
1
n
< ξ ≤ T
(2.173)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 118
✲
✻
1
0 s
0
s
0
−
1
n
θ
n
t
0
t
0
+
1
n
T ξ
✁
✁
✁
✁
❆
❆
❆
❆
Figura 2.1: Fun¸c˜ao θ
n
Seja (ρ
k
)
k∈N
uma sucess˜ao regularizante par, isto ´e,
ρ
k
(ξ) = ρ
k
(−ξ), tal que supp(ρ
k
) ⊂
−
1
k
,
1
k
(2.174)
Definamos:
ϕ
nk
= θ
n
(θ
n
u
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
(2.175)
onde a convolu¸c˜ao ´e considerada em t. A fun¸c˜ao acima est´a bem definida, pois se
˜
θ
n
e
˜
u
s˜ao as extens˜oes nulas fora de [0, T ] de θ
n
e u
respectivamente, ent˜ao, ∀t ∈ [0, T ]
ϕ
nk
(t) =
˜
θ
n
(
˜
θ
n
˜
u
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
(t) =
˜
θ
n
(t)
+∞
−∞
˜
θ
n
(ξ)
˜
u
(ρ
k
∗ ρ
k
)(t − ξ)dξ
= θ
n
(t)
T
0
θ
n
(ξ)u
(ρ
k
∗ ρ
k
)(t − ξ)dξ
onde a ´ultima igualdade decorre em virtude de θ
n
(ξ) = 0, ∀ξ ∈ R \(0, T ). Notemos que:
supp
(θ
n
u
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
⊂ supp(θ
n
u
) +
−
1
k
,
1
k
+
−
1
k
,
1
k
⊂ supp(θ
n
) ∩ supp(u
) +
−
2
k
,
2
k
⊂ supp(θ
n
) +
−
2
k
,
2
k
⊂
s
0
−
1
n
0
, t
0
+
1
n
0
+
−
2
k
,
2
k
(2.176)
Se x ∈
s
0
−
1
n
0
, t
0
+
1
n
0
e y ∈
−
2
k
,
2
k
ent˜ao
s
0
−
1
n
0
−
2
k
≤ x + y ≤ t
0
+
1
n
0
+
2
k
(2.177)
Suponhamos que
s
0
−
1
n
0
−
2
k
> 0 e t
0
+
1
n
0
+
2
k
< T (2.178)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 119
Ent˜ao para que isso ocorra devemos ter:
1
k
<
s
0
2
−
1
2n
0
=
n
0
s
0
− 1
2n
0
=⇒ k >
2n
0
n
0
s
0
− 1
tamb´em
1
k
<
T
2
−
1
2n
0
−
t
0
2
=
T n
0
− t
0
n
0
− 1
2n
0
=⇒ k >
2n
0
T n
0
− t
0
n
0
− 1
Logo para que (2.178) ocorra devemos ter
k > max
2n
0
n
0
s
0
− 1
,
2n
0
T n
0
− t
0
n
0
− 1
= k
0
(2.179)
Donde de (2.177), vem que x + y ∈]0, T [
ou seja,
s
0
−
1
n
0
, t
0
+
1
n
0
+
−
2
k
,
2
k
⊂]0, T [
Assim para k ≥ k
0
de (2.176) vem que
supp
(θ
n
u
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
⊂]0, T [ (2.180)
De agora em diante consideraremos(ρ
k
)
k≥k
0
e (θ
n
)
n≥n
0
.
Por outro lado, para cada n, temos que θ
n
, θ
n
∈ L
2
(0, T ). Logo θ
n
∈ H
1
(0, T ) e
como supp(θ
n
) ´e um compacto contido em ]0, T [ resulta que
θ
n
∈ H
1
(0, T ) ⊂ C
[0, T ]
. (2.181)
Temos tamb´em
u ∈ W
1,+∞
(0, T ; H) ⊂ H
1
(0, T ; H) ⊂ C
[0, T ]
. (2.182)
De (2.181) e (2.182) resulta, pela regra de Leibniz que:
(uθ
n
)
= u
θ
n
+ uθ
n
e desta ´ultima igualdade vem que:
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
= (uθ
n
)
∗ ρ
k
∗ ρ
k
− (uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
(2.183)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 120
Consideremos agora, a primeira express˜ao `a direita da igualdade acima. Temos para
todo t ∈ [0, T ]:
(uθ
n
)
∗ ρ
k
∗ ρ
k
(t) =
T
0
(uθ
n
)
(ξ)(ρ
k
∗ ρ
k
)(t − ξ)dξ =
(uθ
n
)(ξ)(ρ
k
∗ ρ
k
)(t − ξ)
ξ=T
ξ=0
−
T
0
(uθ
n
)(ξ)(ρ
k
∗ ρ
k
)
(t − ξ)dξ =
T
0
(uθ
n
)(ξ)(ρ
k
∗ ρ
k
)(t − ξ)dξ
ou seja,
(uθ
n
)
∗ ρ
k
∗ ρ
k
= (uθ
n
)(ξ) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
(2.184)
Substituindo-se (2.184) em (2.183), vem que
(uθ
n
)
∗ ρ
k
∗ ρ
k
= (uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
− (uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
(2.185)
Assim de (2.175) obtemos
ϕ
nk
= θ
n
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
= θ
n
(uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
− (uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
Esta ´ultima express˜ao nos diz que:
ϕ
n,k
∈ C
∞
0
(0, T ; V )
tendo sentido pois compor a equa¸c˜ao:
u
+ Au = f em L
2
(0, T ; V
)
com ϕ
n,k
na dualidade ., .
L
2
(0,T ;V
),L
2
(0,T ;V )
, isto ´e,
T
0
u
(t), ϕ
n,k
(t)
V
,V
dt +
T
0
Au(t), ϕ
n,k
(t)
V
,V
dt =
T
0
f(t), ϕ
n,k
(t)
V
,V
dt (2.186)
(i) An´alise do primeiro termo `a esquerda de (2.186).
T
0
u
(t), ϕ
n,k
(t)dt =
u
(t), θ
n
(t)
(uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
− (uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
dt
=
T
0
u
θ
n
, (uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
− (uθ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
dt
=
T
0
u
θ
n
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
dt
=
T
0
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
(−), (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt
(2.174)
=
T
0
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt (2.187)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 121
Contudo
u
∈ L
∞
(0, T ; H) ∩H
1
(0, T ; V
) ⊂ L
∞
(0, T ; H) ∩C([0, T ]; V
) (2.188)
De (2.181), temos θ
n
∈ H
1
0
(0, T ) ⊂ C([0, T ])
por Leibniz: (u
θ
n
)
= u
θ
n
+ u
θ
n
Assim por (2.181), (2.188) e por Leibniz, obtemos
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
= (u
θ)
∗ ρ
k
− (u
θ
n
) ∗ ρ (2.189)
Ent˜ao de (2.186), (2.187) e (2.189), temos
T
0
u
, ϕ
n,k
dt =
T
0
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
, (u
θ) ∗ ρ
k
dt
=
T
0
(u
θ
n
)
∗ ρ
k
− (u
θ
n
) ∗ ρ
k
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt (2.190)
=
T
0
(u
θ
n
)
∗ ρ
k
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt −
T
0
(u
θ
n
) ∗ ρ, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt .
Mas por (2.180) resulta que:
T
0
d
dt
(u
θ
n
)
∗ ρ
k
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt =
T
0
d
dt
(θ
n
u
), (u
θ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
dt = 0
contudo
d
dt
(θ
n
u
), (u
θ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
= 2
[(u
θ
n
) ∗ ρ
k
]
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
= 2
(u
θ
n
)
∗ ρ
k
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
Da´ı
T
0
(u
θ
n
)
∗ ρ
k
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt = 0 . (2.191)
Ent˜ao de (2.190) e (2.191), segue
T
0
u
(t), ϕ
n,k
(t)dt = −
T
0
(u
θ
n
) ∗ ρ, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt . (2.192)
Entretanto:
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
−→ u
θ
em L
2
(0, T ; H)
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
−→ u
θ em L
2
(0, T ; H)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 122
Logo de (2.192) e das convergˆencias acima, conclu´ımos que
T
0
u
(t), ϕ
n,k
(t)dt
k→+∞
−→ −
T
0
θ
n
θ
n
|u
(t)|
2
dt . (2.193)
(ii) An´alise do segundo termo `a esquerda de (2.186)
T
0
Au, ϕ
n,k
dt =
T
0
((u, ϕ
n,k
))dt =
T
0
((uθ
n
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
∗ ρ
k
))dt
=
T
0
(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
))dt
=
T
0
(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (uθ
n
)
∗ ρ
k
))dt
−
T
0
(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (uθ
n
) ∗ ρ
k
))dt . (2.194)
Mas
(uθ
n
)
∗ ρ
k
(t) =
(uθ
n
) ∗ ρ
k
(t) , ∀t ∈ [0, T ] (2.195)
Logo de (2.194) e (2.195), obtemos
T
0
Au, ϕ
n,k
dt =
T
0
(((uθ) ∗ ρ
k
, (uθ
n
)
∗ ρ
k
))dt −
T
0
(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (uθ
n
) ∗ ρ
k
))dt (2.196)
Notemos que
d
dt
(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (uθ
n
) ∗ ρ
k
)) = 2(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, [(uθ
n
) ∗ ρ
k
]
))
= 2(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (uθ
n
) ∗ ρ
k
))
Logo
T
0
(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (uθ
n
) ∗ ρ
k
))dt =
1
2
T
0
d
dt
(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (uθ
n
) ∗ ρ
k
))
(2.180)
= 0 (2.197)
Assim de (2.196) e (2.197), obtemos
T
0
Au, ϕ
n,k
dt = −
T
0
(((uθ
n
) ∗ ρ
k
, (uθ
n
) ∗ ρ
k
))dt (2.198)
como:
(uθ
n
) ∗ ρ
k
−→ uθ
n
em L
2
(0, T ; V )
(uθ
n
) ∗ ρ
k
−→ uθ
n
em L
2
(0, T ; V )
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 123
resulta de (2.198) que
T
0
Au, ϕ
n,k
dt
k→+∞
−→ −
T
0
θ
n
θ
n
u(t)
V
dt (2.199)
(iii) An´alise do termo `a direita da igualdade em (2.186)
Temos
T
0
f(t), ϕ
n,k
(t)
dt =
T
0
(fθ
n
) ∗ ρ
k
, (u
θ
n
) ∗ ρ
k
dt (2.200)
como:
(fθ
n
) ∗ ρ
k
−→ fθ
n
em L
2
(0, T ; H)
(u
θ
n
) ∗ ρ
k
−→ u
θ
n
em L
2
(0, T ; H)
ent˜ao, de (2.200), obtemos
T
0
f(t), ϕ
n,k
(t)
dt
k→+∞
−→ −
T
0
θ
2
n
(f(t), u(t))dt (2.201)
Portanto para cada n, de (2.186, (2.193), (2.199) e (2.201), vem que:
−
T
0
θ
n
θ
n
|u
(t)|
2
dt −
T
0
θ
n
θ
n
u(t)
2
dt =
T
0
θ
2
n
(f(t), u
(t))dt (2.202)
O pr´oximo passo ´e passar o limite em (2.202) quando n → +∞, o qual ´e obtido
como consequˆencia do seguinte lema:
Lema 2.4. Se h ∈ L
1
(0, T ) e s
0
e t
0
, s˜ao pontos de Lebesgue de h ent˜ao,
−
T
0
θ
n
θ
n
h(ξ)dξ
n→+∞
−→
1
2
h(t
0
) − h(s
0
)
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, temos
−
T
0
θ
n
θ
n
h(ξ)dξ = −
s
0
s
0
−
1
n
n
1 + n(ξ − s
0
)
h(ξ)dξ +
t
0
+
1
n
t
0
n
1 − n(ξ − t
0
)
h(σ)dσ
Mas
s
0
s
0
−
1
n
n
1 + n(ξ − s
0
)
h(ξ)dξ =
s
0
s
0
−
1
n
nh(ξ)dξ +
s
0
s
0
−
1
n
n
2
(ξ −s
0
)h(ξ)dξ
=
1
(1\n)
s
0
s
0
−
1
n
h(ξ)dξ +
1
(1\n
2
)
s
0
s
0
−
1
n
(ξ −s
0
)h(ξ)dξ −→
1
2
h(s
0
)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 124
Analogamente
t
0
+
1
n
t
0
n
1 − n(ξ − t
0
)
h(σ)dσ −→
1
2
h(t
0
)
o que prova o lema ✷
Se s
0
e t
0
s˜ao pontos de Lebesgue das fun¸c˜oes, |u
(.)|, u(.) e (f(.), u
(.)) ent˜ao de
(2.202) e do lema anterior resulta, na passagem ao limite quando n → +∞:
1
2
|u
(t)|
2
+
1
2
u
(t)
2
=
1
2
|u
(s)|
2
+
1
2
u
(s)
2
+
t
s
(f(ξ), u
(ξ))dξ (2.203)
para quase todo s, t ∈ [0, T ], com 0 < s < t < T .
Consideremos, agora, a sequˆencia real s
ν
→ 0 e t ∈ [0, T ], tais que (2.203) se
verifique para t e s = s
ν
. Temos ent˜ao para quase todo t ∈ [0, T ]:
1
2
|u
(t)|
2
+
1
2
u
(t)
2
=
1
2
|u
(s
ν
)|
2
+
1
2
u
(s
ν
)
2
+
t
s
(f(ξ), u
(ξ))dξ (2.204)
Contudo, pelo fato de u ∈ C
s
([0, T ]; V ) e u
∈ C
s
([0, T ]; H) ent˜ao, identificando-se
H ≡ H
, vem que
Au(0), u(s
ν
)
V
,V
−→ Au(0), u(0)
V
,V
ou seja
((u(s
ν
), u(0)))
ν→+∞
−→ ((u(0), u(0))) = u(0)
2
.
Tamb´em
(u
(s
ν
), u
(0))
H
ν→+∞
−→ (u
(0), u
(0)) = |u
(0)|
2
.
Logo
u(0)
2
≤ lim
s
ν
→0
inf u(s
ν
)u(0)
|u
(0)|
2
≤ lim
s
ν
→0
inf |u
(s
ν
)||u
(0)|
(2.205)
Tomando o limite em ambos os lados de (2.204) resulta de (2.205) que
1
2
|u
(t)|
2
+
1
2
u(t)
2
= lim
s
ν
→0
inf
1
2
|u
(s
ν
)|
2
+
1
2
u
(s
ν
)
2
+
t
s
(f(ξ), u
(ξ))dξ
≥
1
2
lim
s
ν
→0
inf |u
(s
ν
)|
2
+
1
2
lim
s
ν
→0
inf u(s
ν
)
2
+ lim
s
ν
→0
inf
t
s
ν
(f(ξ), u
(ξ))dξ
≥
1
2
|u
(0)|
2
+
1
2
u(0)
2
+
t
0
(f(ξ), u
(ξ))dξ
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE DE SOLUC¸
˜
OES 125
Donde
1
2
|u
(t)|
2
+
1
2
u(t)
2
≥
1
2
|u
(0)|
2
+
1
2
u(0)
2
+
t
0
(f(ξ), u
(ξ))dξ
para quase todo t ∈ [0, T ].
Na teoria desenvolvida, para estimar a identidade da energia, considere
V =
u ∈ H
1
(M) ;
M
udM = 0
e H = L
2
(M). Tamb´em temos A = −∆. Assim,
consideremos f ∈ L
2
(0, T ; L
2
(M)) com dados iniciais {u
0
, u
1
} ∈ V × L
2
(M). Para este
problema, mostramos que a solu¸c˜ao existe e satisfaz as requeridas hip´oteses desta se¸c˜ao.
Portanto, obtemos, a seguinte estimativa
1
2
u
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u(t)
2
L
2
(M)
≥
1
2
u
(0)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u(0)
2
L
2
(M)
+
t
0
(f(ξ), u
(ξ))dξ .
Por outro lado, do problema aproximado (2.154), vem que
1
2
u
m
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u
m
(t)
2
L
2
(M)
≤
1
2
u
1m
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u
0m
2
L
2
(M)
≤ C (2.206)
Pelo princ´ıpio da limita¸c˜ao uniforme, temos
u
(t)
2
L
2
(M)
≤ u
L
∞
(0,T ;L
2
(M))
≤ lim
µ→+∞
inf u
µ
L
∞
(0,T ;L
2
(M))
e
u(t)
2
V
≤ u
L
∞
(0,T ;V )
≤ lim
µ→+∞
inf u
µ
L
∞
(0,T ;V )
tomando o lim inf em (2.206) resulta que
1
2
u
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u(t)
2
L
2
(M)
≤
1
2
u
1
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u
0
2
L
2
(M)
donde
1
2
u
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u(t)
2
L
2
(M)
≤
1
2
u
1
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u
0
2
L
2
(M)
+
t
0
(f(ξ), u
(ξ))dξ
Portanto das afirma¸c˜oes acima, obtemos a seguinte identidade de energia:
1
2
u
(t)
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u(t)
2
L
2
(M)
=
1
2
u
1
2
L
2
(M)
+
1
2
∇u
0
2
L
2
(M)
+
t
0
(f(ξ), u
(ξ))dξ
Para o caso do problema com dissipa¸c˜ao n˜ao-linear, tratamos de forma an´aloga ao feito
no caso linear, observando ´e claro, as propriedades da fun¸c˜ao g e as estimativas j´a feitas
para o problema aproximado.
Cap
´
ıtulo 3
Resultado de Estabilidade
3.1 Hip´oteses Geom´etricas Essenciais
Seja M uma superf´ıcie compacta, mergulhada, orientada e sem fronteira em R
3
com M = M
0
∪ M
1
, onde
M
1
=
x ∈ M; m(x).ν(x) > 0
e M
0
= M \ M
1
(3.1)
onde m ´e o campo de vetores definido por m(x) := x − x
0
, (x
0
∈ R
3
, fixado) e ν ´e o
campo de vetores normais unit´arios exteriores de M.
Neste trabalho, investigaremos as propriedades da estabilidade das fun¸c˜oes u(x, t),
u
t
(x, t), que resolvem o seguinte problema com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda.
u
tt
− ∆
M
u + a(x)g(u
t
) = 0 em M× (0, ∞)
u(0) = u
0
, u
t
(0) = u
1
(3.2)
onde a fun¸c˜ao g satisfaz as seguintes propriedades:
Hip´otese.3.1 g ´e uma fun¸c˜ao real, tal que
i) g(s) ´e cont´ınua e mon´otona crescente e diferenci´avel por partes
ii) g(s)s > 0 para s = 0
iii) k|s| ≤ g(s) ≤ K|s| se |s| ≥ 1, onde k e K s˜ao duas constantes positivas.
iv) |g
(s)| ≤ M se |s| ≥ 1, onde M ´e uma constante positiva.
Mais al´em, para obter a estabiliza¸c˜ao do problema (3.2), n´os precisamos da seguinte
hip´otese geom´etrica:
Hip´otese.3.2 Para cada i = 1, . . . , k, M
0i
⊂ M
0
s˜ao subconjuntos abertos com fronteira
126
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 127
∂M
0i
(regular), tais que M
0i
s˜ao regi˜oes umb´ılicas e a curvatura m´edia H nessas regi˜oes ´e
n˜ao-positiva (H ≤ 0), ou mais geralmente, que as curvaturas principais k
1
e k
2
satisfazem
|k
1
(x)−k
2
(x)| < ε
i
para todo x ∈ M
0i
, (onde ε
i
´e considerado suficientemente pequeno).
Seja a ∈ L
∞
(M) uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa tal que
a(x) ≥ a
0
> 0 em M
∗
(3.3)
onde M
∗
´e um subconjunto aberto de M que cont´em M \∪
k
i=1
M
0i
.
E na sequˆencia para nosso caso definimos Σ = M×]0, T [ , Σ
i
= M
i
×]0, T [ ,
i = 0, 1.
Antes de iniciar nosso resultado de estabilidade, n´os definiremos algumas fun¸c˜oes
necess´arias, com esta finalidade, estamos seguindo as id´eias introduzidas primeiramente
em Lasiecka e Tataru [18]. Para a compreens˜ao do leitor, repeti-los-emos momentanea-
mente. Seja h uma fun¸c˜ao cˆoncava estritamente crescente, com h(0) = 0, e tal que
h(sg(s)) ≥ s
2
+ g(s)
2
, para |s| ≤ 1 (3.4)
Com esta fun¸c˜ao, definimos
r(.) = h
.
med(Σ
1
)
(3.5)
onde Σ
1
= M
1
×]0, T [ . Observe que r ser´a mon´otona crescente, ent˜ao cI + r ´e invers´ıvel
para todo c ≥ 0. Para L uma constante positiva, colocamos
p(x) = (cI + r)
−1
(Lx) (3.6)
desta forma a fun¸c˜ao p ´e positiva, cont´ınua e estritamente crescente com p(0) = 0. Por
fim, seja
q(x) = x −(I + p)
−1
(x) (3.7)
3.1.1 Resultado Principal
Agora podemos enunciar nosso resultado de estabilidade.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 128
Teorema 3.1. Suponha que as hip´oteses 3.1 e 3.2 sejam satisfeitas. Seja u a solu¸c˜ao
fraca do problema (3.2) com a energia E(t) definida como em (2.56). Ent˜ao existe um
T
0
> 0 tal que,
E(t) ≤ S
t
T
0
− 1
, ∀t > T
0
(3.8)
com lim
t→∞
S(t) = 0, onde o semigrupo de contra¸c˜ao S(t) ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
d
dt
S(t) + q
S(t)
= 0
S(0) = E(0)
(3.9)
onde q ´e dado em (3.7). Aqui a constante L da defini¸c˜ao (3.6) depender´a da med
Σ
, e
a constante c de (3.6) ´e tomado como c =
K
−1
+ K
med(Σ)(1 + a
L
∞
(M)
)
.
Observa¸c˜ao 3.2. Se o termo dissipativo ´e linear, ent˜ao, sob as mesmas hip´oteses do
teorema 3.1, obtemos que a energia associada ao problema (3.2) decai exponencialmente
no que diz respeito `a energia inicial. Existem duas constantes C > 0 e γ > 0 tais que
E(t) ≤ Ce
−γt
E(0) , t > 0
Como um outro exemplo, podemos considerar g(s) = s
p
, com p > 1 na origem.
Desde que a fun¸c˜ao S
p+1
2
seja convexa para p ≥ 1, ent˜ao resolvendo S
t
+ S
p+1
2
= 0,
obtemos a seguinte taxa de decaimento polinomial:
E(t) ≤ C(E(0))
E(0)
−p+1
2
+ t(p − 1)
−p+1
2
N´os podemos encontrar uma taxa de decaimento expl´ıcito mais interessante em [9].
3.2 Prova do Teorema 3.1
3.2.1 Preliminares
Em seguida, citaremos algumas f´ormulas a serem utilizadas na sequˆencia.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 129
Seja ν o campo de vetores normais unit´arios exteriores em M. Para todo x ∈ M,
n´os denotaremos por π(x) a proje¸c˜ao ortogonal sobre o plano tangente T
x
M. Para um
campo vetorial regular q : R
3
−→ R
3
coloquemos como antes:
q(x) = q
T
+ (q(x) · ν(x)) · ν(x)
onde q
T
= π(x) ·q(x) ´e a componente tangencial de q.
Se ϕ : R
3
−→ R ´e uma fun¸c˜ao regular, n´os temos
∇ϕ = ∂
ν
ϕ
ν
+ ∇
T
ϕ em M (3.10)
|∇ϕ|
2
= |∂
ν
ϕ|
2
+ |∇
T
ϕ|
2
em M (3.11)
onde ∂
ν
representa a derivada normal exterior de M e ∇
T
ϕ ´e o gradiente tangencial de
ϕ.
O operator Laplace-Beltrami ∆
M
de uma fun¸c˜ao ϕ : M −→ R de classe C
2
´e
definido por
∆
M
ϕ := div
T
∇
T
ϕ
onde div
T
∇
T
ϕ ´e o divergente do campo de vetores ∇
T
ϕ.
Suponhamos que ϕ : M −→ R ´e uma fun¸c˜ao de classe C
1
e q : R
3
−→ R
3
´e um
campo vetorial de classe C
1
. Ent˜ao pelo que foi mostrado na se¸c˜ao 1.10 temos
M
q
T
∇
T
ϕdM = −
M
div
T
∇
T
ϕdM (3.12)
2ϕ(q
T
∇
T
ϕ) = q
T
∇
T
(ϕ
2
) (3.13)
De (3.12) e (3.13), conclu´ımos a seguinte f´ormula
M
2ϕ(q
T
∇
T
ϕ) =
M
q
T
∇
T
(ϕ
2
) = −
M
div
T
∇
T
|ϕ|
2
dM (3.14)
Observemos que no caso particular quando m(x) = x − x
0
com x ∈ R
3
e x
0
∈ R
3
fixado, obtemos
div m = 3 , div
T
m
T
= 2 + (m ·ν)T rB (3.15)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 130
onde B ´e a segunda forma fundamental de M (i.e, o operador forma) e T r ´e o seu tra¸co.
Sejam ϕ e m definidos como acima. Ent˜ao temos tamb´em
∇
T
ϕ · ∇
T
m
T
· ∇
T
ϕ = |∇
T
ϕ|
2
+ (m · ν)(∇
T
ϕ · B · ∇
T
ϕ) (3.16)
Observa¸c˜ao 3.3. Na literatura o sinal de B pode ser diferente.Em nosso caso, B =
−dN, onde N ´e a aplica¸c˜ao de Gauss relativo a ν.A identidade (3.15) pode ser reescrita
por:
div m = 3 , div
T
m
T
= 2 + 2H(m · ν) (3.17)
onde H =
T rB
2
´e a curvatura m´edia de M
N´os definimos um operador linear e cont´ınuo −∆
˜
M
: H
1
(
˜
M) −→
H
1
(
˜
M)
, onde
˜
M ´e um subconjunto aberto n˜ao vazio de M, tal que
−∆
˜
M
ϕ, ψ =
M
∇
T
ϕ∇
T
ψdM , ∀ϕ, ψ ∈ H
1
(
˜
M) (3.18)
em particular, temos
−∆
˜
M
ϕ, ϕ =
M
|∇
T
ϕ|
2
dM , ∀ϕ ∈ H
1
(
˜
M) (3.19)
O operador −∆
˜
M
+I define um isomorfismo de H
1
(
˜
M) sobre
H
1
(
˜
M)
. E quando
˜
M ´e uma variedade sem fronteira, este ´e o caso por exemplo se M =
˜
M, n´os temos
H
1
(
˜
M) = H
1
0
(
˜
M).
Observa¸c˜ao 3.4. Usando argumentos de densidade, conclu´ımos que, todas as f´ormulas
descritas antes, podem ser generalizadas para os espa¸cos de Sobolev.
Provaremos agora, alguns resultados que nos ser˜ao ´uteis.
Proposi¸c˜ao 3.5. Seja M ⊂ R
3
uma superf´ıcie compacta regular orientada , sem fron-
teira e q um campo de vetores com q = q
T
+ (q · ν). Ent˜ao, para cada solu¸c˜ao regular u
de (3.2), n´os temos a seguinte identidade.
M
u
t
q
T
· ∇
T
u dM
T
0
+
1
2
T
0
M
(div
T
q
T
)
|u
t
|
2
− |∇
T
u|
2
dMdt (3.20)
+
T
0
M
∇
T
u · ∇
T
q
T
· ∇
T
u dMdt +
T
0
M
a(x)g(u
t
)(q
T
· ∇
T
u)dMdt = 0
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 131
Demonstra¸c˜ao: Multiplicando a equa¸c˜ao (3.2) por (q
T
· ∇
T
u) e integrando sobre
M×]0, T [ , obtemos
T
0
M
u
tt
− ∆
M
u + a(x)g(u
t
)
(q
T
· ∇
T
u)dMdt = 0 (3.21)
Em seguida, estimaremos alguns termos do lado esquerdo da igualdade (3.21). Levando
(3.13), (3.14) e (3.18) em considera¸c˜ao, ent˜ao n´os temos
T
0
M
(−∆
M
u)(q
T
· ∇
T
u)dMdt
(3.18)
=
T
0
M
∇
T
u · ∇
T
(q
T
∇
T
u)dMdt
=
T
0
M
∇
T
u · ∇
T
q
T
· ∇
T
udMdt +
T
0
M
∇
T
u · q
T
· ∇
T
(∇
T
u)dMdt
(3.13)
=
T
0
M
∇
T
u · ∇
T
q
T
· ∇
T
u dMdt +
1
2
T
0
M
q
T
· ∇
T
|∇
T
u|
2
dMdt
(3.14)
=
T
0
M
∇
T
u · ∇
T
q
T
· ∇
T
u dMdt −
1
2
T
0
M
|∇
T
u|
2
div
T
q
T
dMdt (3.22)
integrando por partes e considerando (3.14), da outra parte da igualdade (3.21), obtemos
T
0
M
(u
tt
+ a(x)g(u
t
))(q
T
· ∇
T
u)dMdt
=
T
0
M
u
tt
(q
T
· ∇
T
u)dMdt +
T
0
M
a(x)g(u
t
)(q
T
· ∇
T
u)dMdt
=
M
u
t
(q
T
· ∇
T
u)dM
T
0
−
T
0
M
u
t
(q
T
· ∇
T
u
t
)dMdt
+
T
0
M
a(x)g(u
t
)(q
T
· ∇
T
u)dMdt
(3.14)
=
M
u
t
(q
T
· ∇
T
u)dM
T
0
+
1
2
T
0
M
(div
T
q
T
)|u
t
|
2
dM
+
T
0
M
a(x)g(u
t
)(q
T
· ∇
T
u)dMdt (3.23)
combinando (3.21), (3.22) e (3.23), conclu´ımos (3.20) ✷
Empregando q(x) = m(x) = x − x
0
na proposi¸c˜ao anterior, e considerando (3.15)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 132
e (3.16), deduzimos que
0 =
M
u
t
m
T
∇
T
u dM
T
0
+
1
2
T
0
M
(div
T
m
T
)
|u
t
|
2
− |∇
T
u|
2
dMdt
+
T
0
M
∇
T
u · ∇
T
m
T
· ∇
T
u dMdt +
T
0
M
a(x)g(u
t
)(m
T
· ∇
T
u)dMdt
=
M
u
t
∇
T
u dM
T
0
+
T
0
M
|u
t
|
2
− |∇
T
u|
2
dMdt
+
T
0
M
H(m.ν)
|u
t
|
2
− |∇
T
u|
2
dMdt +
T
0
M
|∇
T
u|
2
+ (m.ν)(∇
T
u · B · ∇
T
u)
dMdt
+
T
0
M
a(x)g(u
t
)(m
T
· ∇
T
u)dMdt (3.24)
Em seguida temos a seguinte identidade
Lema 3.6. Seja u uma solu¸c˜ao fraca para o problema (3.2) e ξ ∈ C
1
(M). Ent˜ao
M
u
t
ξudM
T
0
=
T
0
M
ξ|u
t
|
2
dMdt −
T
0
M
ξ|∇
T
u|
2
dMdt
−
T
0
M
(∇
T
u · ∇
T
ξ)u dMdt −
T
0
M
a(x)g(u
t
)ξ udMdt (3.25)
Demonstra¸c˜ao: Multiplicando a equa¸c˜ao (3.2) por ξu e integrando por partes, obtemos
0 =
T
0
M
(u
tt
− ∆
M
+ a(x)g(u
t
))ξu dMdt
=
T
0
M
u
tt
ξudMdt +
T
0
M
−∆
M
uξudMdt
T
0
M
a(x)g(u
t
)ξudMdt
Agora note que
T
0
M
u
tt
ξudMdt =
M
u
t
ξudM
T
0
−
T
0
M
ξ|u
t
|
2
dMdt
e
T
0
M
−∆
M
uξudMdt =
T
0
M
∇
T
u · ∇
T
(ξu)dMdt
=
T
0
M
∇
T
(u∇
T
ξ + ξ∇
T
u)dMdt
=
T
0
M
u(∇
T
u · ∇
T
ξ) + ξ|∇
T
u|
2
dMdt
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 133
Portanto
M
u
t
ξudM
T
0
=
T
0
M
ξ|u
t
|
2
dMdt
−
T
0
M
u(∇
T
u · ∇
T
ξ) + ξ|∇
T
u|
2
dMdt −
T
0
M
a(x)g(u
t
)ξudMdt
o que prova o desejado ✷
Substituindo ξ =
1
2
no lema anterior e combinando o resultado com a identidade
(3.24), n´os obtemos
M
u
t
m
T
∇
T
u dM
T
0
+
1
2
M
u
t
u dM
T
0
−
1
2
T
0
M
|u
t
|
2
dMdt
+
T
0
M
|∇
T
u|
2
dMdt +
1
2
T
0
M
a(x)g(u
t
)u dMdt +
T
0
M
|u
t
|
2
dMdt
−
T
0
M
|∇
T
u|
2
dMdt +
T
0
M
|∇
T
u|
2
dMdt +
T
0
M
(m · ν)(∇
T
u · B · ∇
T
u)dMdt
T
0
M
(m · ν)H
|u
t
|
2
− |∇
T
u|
2
dMdt +
T
0
M
a(x)g(u
t
)(m
T
· ∇
T
u)dMdt = 0
ou seja
M
u
t
m
T
∇
T
u dM
T
0
+
1
2
M
u
t
u dM
T
0
+
T
0
E(t)dt (3.26)
+
1
2
T
0
M
a(x)g(u
t
)u dMdt +
T
0
M
a(x)g(u
t
)(m
T
· ∇
T
u)dMdt
= −
T
0
M
(m · ν)H
|u
t
|
2
− |∇
T
u|
2
dMdt −
T
0
M
(m · ν)(∇
T
u · B · ∇
T
u)dMdt .
Vamos analisar os termos que envolvem o operador forma B.Vamos focalizar nossa
aten¸c˜ao para o operador B : T
x
M −→ T
x
M , existe uma base ortonormal {e
1
, e
2
} de
T
x
M tal que Be
1
= k
1
e
1
e Be
2
= k
2
e
2
, onde k
1
e k
2
s˜ao as curvaturas principais de M
em x. A matriz de B com respeito `a base {e
1
, e
2
} ´e dada por
B :=
k
1
0
0 k
2
coloque ∇
T
u = (ξ, η) as coordenadas de ∇
T
u na base {e
1
, e
2
}, para cada x ∈ M, temos
∇
T
u · B · ∇
T
u = k
1
ξ
2
+ k
2
η
2
(3.27)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 134
Ent˜ao de (3.27), obtemos
(m · ν)
(∇
T
u · B · ∇
T
u) −
1
2
T r(B)|∇
T
u|
2
= (m · ν)
k
1
ξ
2
+ k
2
η
2
−
1
2
(k
1
+ k
2
)(ξ
2
+ η
2
)
= (m · ν)
(k
1
− k
2
)
2
ξ
2
+
(k
2
− k
1
)
2
η
2
(3.28)
Observa¸c˜ao 3.7. Este ´e o momento preciso em que as propriedades intr´ınsecas da super-
f´ıcie M aparecem, ou seja, precisamos fortemente que o termo −
T
0
M
(m.ν)H|u
t
|
2
dMdt
se encontre na regi˜ao onde ocorre dissipa¸c˜ao. Recordemos que o termo dissipativo atua
em um conjunto aberto M
∗
que cont´em M \ ∪
k
i=1
M
0i
. Assim assumindo que H ≤ 0 e
desde que m(x) ·ν(x) ≤ 0 sobre M
0
, n´os obtemos
−
T
0
M
0
(m · ν)H|u
t
|
2
dMdt ≤ 0
Al´em disso, supondo que M
0i
´e uma regi˜ao umb´ılica para cada i = 1, . . . , k , ent˜ao, de
(3.28), tamb´em temos que
T
0
M
0i
(m · ν)
H|∇
T
u|
2
− (∇
T
u · B · ∇
T
u)dMdt = 0
para i = 1, . . . , k.
Mais geralmente, assumindo que as curvaturas principais k
1
e k
2
satisfazem
|k
1
(x) − k
2
(x)| < ε
i
(onde ε
i
´e tomado suficientemente pequeno), para todo x ∈ M
0i
,
i = 1, . . . , k, n´os obtemos
k
i=1
T
0
M
0i
(m · ν)
H|∇
T
u|
2
− (∇
T
u · B · ∇
T
u)
dMdt
≤
k
i=1
T
0
M
0i
|m · ν||k
1
− k
2
||ξ
2
+ η
2
|dMdt
=
k
i=1
T
0
M
0i
|x − x
0
||k
1
− k
2
||ξ
2
+ η
2
|dMdt
≤
k
i=1
R
i
ε
i
T
0
M
0i
|∇
T
u|
2
dMdt
≤ 2
k
i=1
R
i
ε
i
T
0
E(t)dt
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 135
onde R
i
= max
x∈M
0i
x − x
0
R
3
.
Note que se M
0i
= M
0
for uma regi˜ao cˆonica conforme figura 2 ent˜ao m(x)·ν(x) =
0 ; ∀x ∈ M
0
e portanto −
T
0
M
0
(m · ν)H|u
t
|
2
dMdt = 0 e
T
0
M
0
(m · ν)
H|∇
T
u|
2
− (∇
T
u · B · ∇
T
u)
dMdt = 0
Colocando M
2
= M\∪
k
i=1
M
0i
. No caso em que cada M
0i
´e uma regi˜ao umb´ılica,
ent˜ao de acordo com (3.26), (3.28) e levado em considera¸c˜ao a observa¸c˜ao 3.7, obtemos
T
0
E(t)dt ≤ −
M
u
t
m
T
∇
T
u dM
T
0
−
1
2
M
u
t
u dM
T
0
+
T
0
M
2
(m · ν)
H|∇
T
u|
2
− (∇
T
u · B · ∇
T
u)
dMdt
−
T
0
M
2
(m · ν)H|u
t
|
2
dMdt −
T
0
M
a(x)g(u
t
)(m
T
· ∇
T
u)dMdt
I
1
−
1
2
T
0
M
a(x)g(u
t
)u dMdt
I
2
(3.29)
No caso geral, a ´unica diferen¸ca na prova ´e que o termo
T
0
E(t)dt que permanece
no lado esquerdo de (3.29) estar´a multiplicado por uma constante positiva C, desde que
consideremos ε
i
suficientemente pequeno.Para simplificarmos, suponhamos C = 1.
Denotaremos
χ =
M
u
t
m
T
∇
T
u dM
T
0
+
1
2
M
u
t
u dM
T
0
(3.30)
R := max
x∈M
m(x)
R
n
= max
x∈M
x − x
0
R
n
(3.31)
Em seguida estimaremos alguns termos de (3.29)
Estimativa para I
1
:=
T
0
M
a(x)g(u
t
)(m
T
· ∇
T
u)dMdt
da desigualdade de Cauchy-Schwarz, levando em conta (3.31) e considerando a desigual-
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 136
dade ab ≤
a
2
4η
+ ηb
2
, onde η ´e um n´umero positivo, obtemos
|I
1
| ≤
T
0
M
|a(x)g(u
t
)m
T
∇
T
u|dMdt
=
T
0
M
[a(x)]
1
2
|g(u
t
)|[a(x)]
1
2
|(m
T
· ∇
T
u)|dMdt
≤
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dM
1
2
M
|m
T
· ∇
T
u|
2
dM
1
2
dt
≤
T
0
Ra
1
2
L
∞
(M)
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dM
1
2
M
|∇
T
u|
2
dM
1
2
dt
≤
T
0
R
2
a
L
∞
(M)
4η
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt + 2η
M
1
2
|∇
T
u|
2
dM
dt
≤
R
2
a
L
∞
(M)
η
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt + 2η
T
0
E(t)dt (3.32)
Estimativa para I
2
:=
1
2
T
0
M
a(x)g(u
t
)u dMdt
|I
2
| ≤
1
2
T
0
M
[a(x)]
1
2
|g(u
t
)|[a(x)]
1
2
|u|dM
dt
≤
1
2
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dM
1
2
M
a(x)|u|
2
dM
1
2
dt
≤
T
0
λ
−
1
2
1
a
L
∞
(M)
2
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dM
1
2
M
|∇
T
u|
2
dM
1
2
dt
≤
T
0
λ
−1
1
a
L
∞
(M)
16η
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dM + 2η
M
1
2
|∇
T
u|
2
dM
dt
≤
λ
−1
1
a
L
∞
(M)
16η
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt + 2η
T
0
E(t)dt (3.33)
onde λ
1
vem da desigualdade de Poincar´e.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 137
Tomando η =
1
8
e considerando (3.30), (3.32) e (3.33) em (3.29), obtemos
T
0
E(t)dt ≤ |χ| +
T
0
M
2
|m · ν||H|∇
T
u|
2
− (∇
T
u · B · ∇
T
u)|dMdt
+
T
0
M
2
|(m · ν)H||u
t
|
2
dMdt
+ 8R
2
a
L
∞
(M)
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt +
1
4
T
0
E(t)dt
+ 2
−1
λ
−1
1
a
L
∞
(M)
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt +
1
4
T
0
E(t)dt
ou seja
1
2
T
0
E(t)dt ≤ |χ| +
T
0
M
2
|m · ν||H|∇
T
u|
2
− (∇
T
u · B · ∇
T
u)|dMdt
+
T
0
M
2
|m · νH||u
t
|
2
dMdt
+
8R
2
a
L
∞
(M)
+ 2
−1
λ
−1
1
a
L
∞
(M)
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dM
≤ |χ| + R
|H|
T
0
M
2
|∇
T
u|
2
dMdt + B
T
0
M
2
|∇
T
u|
2
dMdt
+
R|H|
a
0
T
0
M
a(x)|u
t
|
2
dMdt
+
8R
2
a
L
∞
(M)
+ 2
−1
λ
−1
1
a
L
∞
(M)
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dM
= |χ| + R
|H| + B
T
0
M
2
|∇
T
u|
2
dMdt + R|H|a
−1
0
T
0
M
a(x)|u
t
|
2
dMdt
+
8R
2
a
L
∞
(M)
+ 2
−1
λ
−1
1
a
L
∞
(M)
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dM,
onde |H| := max
x∈M
|H(x)| e ||B|| := max
x∈M
||B(x)||.
Logo
1
2
T
0
E(t)dt ≤|χ| + C
1
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
+ a(x)|u
t
|
2
dMdt +C
1
T
0
M
2
|∇
T
u|
2
dMdt
onde C
1
:= max
a
L
∞
(M)
2
−1
λ
−1
1
+ 8R
2
, R|H| + RB, R|H|a
−1
0
Agora devemos estimar o termo
T
0
M
2
|∇
T
u|
2
dMdt com rela¸c˜ao ao termo dissipa-
tivo
T
0
M
[a(x)|g(u
t
)|
2
+a(x)|u
t
|
2
]dMdt . Para esta finalidade construiremos uma fun¸c˜ao
“cut-off ”η
ε
em uma vizinhan¸ca espec´ıfica de M
2
.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 138
Primeiro de tudo, definamos ˜η : R −→ R tal que
˜η(x) =
1 se x ≤ 0
(x − 1)
2
se x ∈ [1/2, 1]
0 se x > 1
e ´e definida sobre (0, 1/2) de tal maneira que ˜η ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-crescente de classe C
1
.
Para ε > 0, defina ˜η
ε
(x) := ˜η(
x
ε
). Observe que existe uma constante M que n˜ao depende
de ε, tal que
|˜η
ε
(x)|
˜η
ε
(x)
≤
M
ε
2
para todo x < ε
Agora, seja ε > 0 tal que
˜ω
ε
:=
x ∈ M; d
x,
k
i=0
∂M
0i
< ε
´e uma vizinhan¸ca tubular de
k
i=0
∂M
0i
e ω
ε
:= ˜ω
ε
∪ M
2
est´a contido em M
∗
. Defina
η
ε
: M −→ R onde
η
ε
(x) =
1 se x ∈ M
2
˜η
ε
(d(x, M)) se x ∈ ω
ε
\ M
2
0 caso contr´ario
η
ε
´e uma fun¸c˜ao de classe C
1
em M, pois ∂M
2
e ∂ω
ε
s˜ao regulares (suaves). Note
tamb´em que
|∇
T
˜η
ε
(x)|
˜η
ε
(x)
2
=
|˜η
ε
(d(x, M
2
))|
˜η
ε
(d(x, M
2
))
≤
M
ε
2
(3.34)
para todo x ∈ ω
ε
\ M
2
. Em particular,
|∇
T
˜η
ε
(x)|
˜η
ε
(x)
2
∈ L
∞
(ω
ε
).
Tomando ξ = η
ε
na identidade (3.25), obtemos
T
0
ω
ε
η
ε
|∇
T
u|
2
dMdt = −
ω
ε
u
t
uη
ε
dM
T
0
+
T
0
ω
ε
η
ε
|u
t
|
2
dMdt
K
1
−
T
0
ω
ε
u(∇
T
u · ∇
T
η
ε
)dMdt
K
3
−
T
0
ω
ε
a(x)g(u
t
)uη
ε
dMdt
K
2
. (3.35)
Na sequˆencia, faremos as estimativas dos termos do lado direito da igualdade (3.35).
Estimativa para K
1
:=
T
0
ω
ε
η
ε
|u
t
|
2
dMdt
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 139
De (3.3), como η
ε
≤ 1 e ω
ε
⊂ M
∗
, onde a dissipa¸c˜ao ocorre, deduzimos
|K
1
| ≤
T
0
ω
ε
|u
t
|
2
dMdt ≤ a
−1
0
T
0
M
a(x)|u
t
|
2
dMdt (3.36)
Estimativa para K
2
:=
T
0
ω
ε
a(x)g(u
t
)uη
ε
dMdt
Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e ab ≤
1
4α
a
2
+ αb
2
, temos
|K
2
| ≤
T
0
M
a(x)|g(u
t
)||u|dMdt
≤
1
4α
T
0
M
(a(x))
2
|g(u
t
)|
2
dMdt + α
T
0
M
|u|
2
dMdt
≤
a
L
∞
(M)
4α
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt + 2αλ
−1
1
T
0
E(t)dt (3.37)
onde λ
1
´e a constante proveniente da desigualdade de Poincar´e e α ´e uma constante
positiva arbitr´aria.
Estimativa para K
3
:=
T
0
ω
ε
u(∇
T
u · ∇
T
η
ε
)dMdt
Considerando (3.34) e aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, podemos es-
crever
|K
3
| ≤
1
2
T
0
ω
ε
η
ε
|∇
T
u|
2
dM +
ω
ε
|∇
T
η
ε
|
2
|u|
2
η
ε
dM
dt
≤
1
2
T
0
ω
ε
η
ε
|∇
T
u|
2
dMdt +
M
ε
2
ω
ε
|u|
2
dM
dt (3.38)
combinando de (3.35) `a (3.38), obtemos a seguinte desigualdade
1
2
T
0
ω
ε
η
ε
|∇
T
u|
2
dMdt ≤ |Y| +
a
L
∞
(M)
4α
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt
+ 2αλ
−1
T
0
E(t)dt +
M
2ε
2
T
0
ω
ε
|u|
2
dMdt
+ a
−1
0
T
0
M
a(x)|u
t
|
2
dMdt (3.39)
onde
Y := −
ω
ε
u
t
uη
ε
dM
T
0
(3.40)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 140
Assim combinando (3.39) com (3.34) e tendo em mente que
1
2
T
0
M
2
|∇
T
u|
2
dMdt ≤
1
2
T
0
ω
ε
η
ε
|∇
T
u|
2
dMdt
temos
1
2
T
0
E(t)dt ≤ |χ| + C
1
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
+ a(x)|u
t
|
2
dMdt
+ C
1
T
0
M
2
|∇
T
u|
2
dMdt
≤ |χ| + C
1
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
+ a(x)|u
t
|
2
dMdt
+ 2C
1
|Y| +
2C
1
a
L
∞
(M)
4α
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt
+ 4C
1
αλ
−1
T
0
E(t)dt +
C
1
M
ε
2
T
0
ω
ε
|u|
2
dMdt
+ 2C
1
a
−1
0
T
0
M
a(x)|u
t
|
2
dMdt (3.41)
Agora tomando α =
1
16C
1
λ
−1
em (3.41), obtemos
1
4
T
0
E(t)dt ≤ |χ| + 2C
1
|Y|
+ max
C
1
, 8C
1
λ
−1
a
L
∞
(M)
, 2C
1
a
−1
0
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
+ a(x)|u
t
|
2
dMdt
+
C
1
M
ε
2
T
0
ω
ε
|u|
2
dMdt (3.42)
Por um lado, de (3.30), (3.40) e (2.57), chegamos `a seguinte estimativa
|χ| + 2C
1
|Y| ≤ C
E(0) + E(T )
= C
2E(T ) +
T
0
M
a(x)g(u
t
)u
t
dM
(3.43)
onde C ´e uma constante positiva que tamb´em depende de R.
Ent˜ao (3.42) e (3.43) implicam que
T E(T ) ≤
T
0
E(t)dt
≤ C
∗
E(T ) + C
∗
T
0
M
a(x)|g(u
t
)|
2
+ a(x)|u
t
|
2
dMdt
+ C
∗
T
0
ω
ε
|u|
2
dMdt (3.44)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 141
onde C
∗
´e uma constante positiva que depende de
a
0
, a
L
∞
(M)
, λ, R, |H|, B, M/ε
2
Nossa inten¸c˜ao agora ´e estimar o ´ultimo termo do lado direito da desigualdade
(3.44). Afim de fazer isto, considere o seguinte lema, onde T
0
´e uma constante positiva
suficientemente grande, para nosso prop´osito.
Lema 3.8. Sob as hip´oteses do Teorema 3.1 e para todo T > T
0
, existe uma constante
positiva C
T
0
, E(0)
tal que, se (u, u
t
) ´e uma solu¸c˜ao de (3.2) com dado iniciais fracos,
ent˜ao temos
T
0
M
|u|
2
dMdt ≤ C(T
0
, E(0))
T
0
M
a(x)g
2
(u
t
) + a(x)u
2
t
dMdt
(3.45)
Demonstra¸c˜ao: Argumentaremos por contradi¸c˜ao. Para simplificarmos denotaremos
u
:= u
t
. Suponha que (3.45) n˜ao ´e verificado e seja
u
k
(0), u
k
(0)
uma sequˆencia de da-
dos iniciais onde as solu¸c˜oes correspondentes {u
k
}
k∈N
de (3.2), com E
k
(0) uniformemente
limitada em k, verifique
lim
k→+∞
T
0
u
k
(t)
2
L
2
(M)
dt
T
0
M
a(x)g
2
(u
k
) + a(x)u
2
k
dMdt
= +∞ (3.46)
ou seja
lim
k→+∞
T
0
M
a(x)g
2
(u
k
) + a(x)u
2
k
dMdt
T
0
u
k
(t)
2
L
2
(M)
dt
= 0 (3.47)
Como E
k
(t) ≤ E
k
(0) ≤ L , onde L ´e uma constante positiva, obtemos uma sub-
sequˆencia, ainda denotada por {u
k
}, que verifica as seguintes convergˆencias
u
k
u fracamente em H
1
(Σ
T
) (3.48)
u
k
u fraco estrela em L
∞
(0, T ; V ) (3.49)
u
k
u
fraco estrela em L
∞
(0, T ; L
2
(M)) (3.50)
empregando argumentos de compacidade resulta que {u
k
} possui uma subsequˆencia tal
que
u
k
→ u fortemente em L
2
(0, T ; L
2
(M)) (3.51)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 142
Neste ponto dividiremos a prova em dois casos, a saber: quando u = 0 e u = 0.
(i) caso (I) : u = 0
Observe que de (3.47) e (3.51), temos
lim
k→+∞
T
0
M
a(x)g
2
(u
k
) + a(x)u
2
k
= 0 (3.52)
passando o limite na equa¸c˜ao, quando k → +∞, temos
u
tt
− ∆
M
u = 0 em M × (0, T )
u
t
= 0 em M
∗
× (0, T )
(3.53)
e para u
t
= v, n´os obtemos, no sentido distribucional
v
tt
− ∆
M
v = 0 em M × (0, T )
v = 0 em M
∗
× (0, T )
Agora utilizando um resultado de unicidade da referˆencia [43], conclu´ımos que
v ≡ 0, isto ´e, u
t
= 0 retornando a (3.53), obtemos a seguinte equa¸c˜ao el´ıptica para todo
t ∈ (0, T ), dada por
∆
M
u = 0 sobre M
multiplicando esta equa¸c˜ao por u, e aplicando a f´ormula de Green, obtemos
0 = −
M
u∆
M
udM =
M
|∇
T
u|
2
dM ≥ c
p
u
L
2
(M)
onde c
p
provem da desigualdade de Poincar´e, o que implica u = 0, o que ´e uma con-
tradi¸c˜ao.
(ii) caso (II) : u = 0
Definamos
c
k
:=
T
0
M
|u
k
|
2
dMdt
1
2
(3.54)
e
¯u
k
:=
1
c
k
u
k
(3.55)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 143
logo ocorre o seguinte
T
0
M
|¯u
k
|
2
dMdt =
T
0
M
|u
k
|
2
c
2
k
dMdt =
1
c
2
k
T
0
M
|u
k
|
2
dMdt = 1 (3.56)
Sendo E
k
(t) :=
1
2
M
|¯u
k
|
2
+
1
2
M
|∇¯u
k
|
2
dM ent˜ao
E
k
(t) =
E
k
(t)
c
2
k
(3.57)
Relembrando (3.34), para T suficientemente grande, obtemos
E(T ) ≤
ˆ
C
T
0
M
a(x)g
2
(u
t
) + a(x)u
2
t
dMdt +
T
0
M
|u|
2
dMdt
empregando a identidade
E(T ) −E(0) = −
T
0
M
a(x)g(u
t
)u
t
dMdt
n´os podemos escrever
E(t) ≤ E(0) = E(T ) +
T
0
M
a(x)g(u
t
)u
t
dMdt
≤
˜
C
T
0
M
a(x)g
2
(u
t
) + a(x)u
2
t
dMdt +
T
0
M
|u|
2
dMdt
para todo t ∈ (0, T ), com T suficientemente grande.
Da ´ultima desigualdade e de (3.57), obtemos
E
k
(t) =
E
k
(t)
c
2
k
≤
T
0
M
a(x)g
2
(u
k
) + a(x)u
2
k
dMdt
T
0
M
|u
k
|
2
dMdt
+ 1
(3.58)
De (3.47) e (3.58), conclu´ımos que existe uma constante positiva
˜
M tal que
E
k
(t) =
E
K
(t)
c
2
k
≤
˜
M , ∀t ∈ [0, T ], ∀k ∈ N
isto ´e,
1
2
M
|¯u
k
|
2
dM +
1
2
M
|¯u
k
|
2
dM ≤
˜
M , ∀t ∈ [0, T], ∀k ∈ N. (3.59)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 144
Logo existe uma subsequˆencia de {¯u
k
}, que ainda denotaremos da mesma forma, tal que
¯u
k
¯u fraco estrela em L
∞
(0, T ; V ) (3.60)
¯u
k
¯u
fraco estrela em L
∞
(0, T ; L
2
(M)) (3.61)
¯u
k
→ ¯u fortemente em L
∞
(0, T ; V ) (3.62)
Observemos que de (3.52) deduzimos que
lim
k→+∞
T
0
M
a(x)g
2
(u
k
)dMdt = 0 e lim
k→+∞
T
0
M
a(x)u
2
k
dMdt = 0 (3.63)
Al´em disso ¯u
k
satisfaz a equa¸c˜ao
¯u
k
− ∆
M
¯u
k
+ a(x)
g(u
k
)
c
k
= 0 em M × (0, T )
Passando o limite quando k → +∞, levando em considera¸c˜ao as convergˆencias
acima, obtemos
¯u
− ∆
M
¯u = 0 em M × (0, T )
¯u
= 0 em M
∗
× (0, T ) .
(3.64)
Ent˜ao, v = ¯u
t
verifica, no sentido distribucional, o seguinte
v
tt
− ∆
M
v = 0 em M
v = 0 em M
∗
Aplicando novamente o resultado de unicidade da referˆencia [43], obtemos que v = ¯u
t
=
0. Retornando `a (3.64), temos, para quase todo t ∈ (0, T ), que
∆
M
¯u = 0 em M
donde conclu´ımos que ¯u = 0, o que uma contradi¸c˜ao em vista de (3.56) e (3.62).Com
isso, conclu´ımos a prova do lema. ✷
Notemos que as desigualdades (3.44) e (3.45) levam ao seguinte resultado.
Proposi¸c˜ao 3.9. Para T > 0 suficientemente grande, a solu¸c˜ao (u, u
t
) de (3.2) satisfaz,
E(T ) ≤ C
T
0
M
a(x)|u
t
|
2
+ a(x)|g(u
t
)|
2
dMdt (3.65)
onde a constante C = C
T
0
, E(0), a
L
∞
(M)
, a
0
, λ, R, B, M/ε
2
.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 145
3.2.2 Conclus˜ao do Teorema 3.1
No que segue vamos concluir a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1.Seja
Σ
α
=
(t, x) ∈ Σ ; |u
t
| > 1
e Σ
β
= Σ \ Σ
α
Por um lado, usando ´ıtem (iii) da hip´otese 3.1, n´os obtemos
Σ
α
a(x)
(g(u
t
)
2
+ (u
t
)
2
dΣ
α
≤
Σ
α
a(x)
k
−1
|g(u
t
)u
t
| + K|g(u
t
)u
t
|
dΣ
α
= (k
−1
+ K)
Σ
α
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ
α
(3.66)
Por outro lado, de (3.4) e do fato de que h ´e cˆoncava e estritamente crescente, com
h(0) = 0, e observando que
h
a(x)
1 + a
L
∞
(M)
g(u
t
)u
t
≤ h (a(x)g(u
t
)u
t
)
temos
Σ
β
a(x)
(g(u
t
)
2
+ (u
t
)
2
dΣ
β
≤ (1 + a
L
∞
(M)
)
Σ
β
a(x)
(1 + a
L
∞
(M)
)
h(g(u
t
)u
t
)dΣ
β
≤ (1 + a
L
∞
(M)
)
Σ
β
h
a(x)
1 + a
L
∞
(M)
g(u
t
)u
t
dΣ
β
≤ (1 + a
L
∞
(M)
)
Σ
β
h(a(x)g(u
t
)u
t
)dΣ
β
Ent˜ao pela Desigualdade de Jensen, obtemos
(1 + a
L
∞
(M)
)
Σ
β
h(a(x)g(u
t
)u
t
)dΣ
β
≤ (1 + a
L
∞
(M)
)med(Σ)h
1
med(Σ)
Σ
β
h(a(x)g(u
t
)u
t
)dΣ
= (1 + a
L
∞
(M)
)med(Σ)r
Σ
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ
(3.67)
onde r(s) = h
s
med(Σ)
foi definida em (3.5).
Assim de (3.66) e (3.67), obtemos
Σ
a(x)
(g(u
t
)
2
+ (u
t
)
2
dΣ ≤ (k
−1
+ K)
Σ
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ (3.68)
+ (1 + a
L
∞
(M)
)med(Σ)r
Σ
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 146
Agora da proposi¸c˜ao 3.9 e (3.68), temos
E(T ) ≤ (1 + a
L
∞
(M)
)C
K
0
(1 + a
L
∞
(M)
)
Σ
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ
+ med(Σ)r
Σ
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ
(3.69)
onde K
0
= k
−1
+ K.
Tomando
L =
1
Cmed(Σ)(1 + a
L
∞
(M)
)
c =
K
0
med(Σ)(1 + a
L
∞
(M)
)
e aplicando p em ambos lados de (3.69) resulta
p(E(T )) ≤ p
1
L
(cI + r)
Σ
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ
= (cI + r)
−1
L
1
L
(cI + r)
Σ
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ
=
Σ
a(x)g(u
t
)u
t
dΣ = E(0) − E(T ) (3.70)
onde p foi definida em (3.6).
Para o fim da prova do Teorema 3.1, n´os fazemos uso do seguinte resultado.
Lema 3.10. Seja p uma fun¸c˜ao crescente, positiva, tal que p(0) = 0. Como p ´e crescente
podemos definir uma fun¸c˜ao crescente q, q(x) = x−(I+p)
−1
(x).Considere uma sequˆencia
s
m
de n´umeros positivos que satisfaz
s
m+1
+ p(s
m+1
) ≤ s
m
(3.71)
Ent˜ao, s
m
≤ S(m), onde S(t) ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial
d
dt
S(t) + q(S(t)) = 0 , S(0) = s
0
(3.72)
Al´em disso, se p(x) > 0 para x > 0, ent˜ao lim
t→∞
S(t) = 0.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 147
Demonstra¸c˜ao: Faremos a prova por indu¸c˜ao sobre m.
De fato, para m = 0, segue de (3.71) que
(I + p)s
1
≤ s
0
(3.73)
Desde que (I + p)
−1
´e crescente temos que
s
1
≤ (I + p)
−1
(s
0
) = s
0
− s
0
+ (I + p)
−1
(s
0
)
= s
0
− q(s
0
) (3.74)
Por outro lado, como q ´e uma fun¸c˜ao positiva, a solu¸c˜ao S(t) de (3.72) ´e tal que
S(t) ≤ S(τ) , ∀t ≥ τ ≥ 0 . (3.75)
Integrando (3.72) de 0 a 1 obtemos:
S(1) − S(0) +
1
0
q(S(τ))dτ = 0
como q ´e crescente, de (3.75) e da hip´otese S(0) = s
0
, resulta
S(1) = S(0) −
1
0
q(S(τ))dτ
≥ S(0) −
1
0
q(S(0))dτ
= S(0) − q(S(0))
= (I − q)(S(0))
= (I + p)
−1
(S(0)) = (I + p)
−1
(s
0
)
= s
0
− q(s
0
) ≥ s
1
portanto S(1) ≥ s
1
.
Suponha agora que o resultado, seja verdadeiro para m, ou seja, S(m) ≥ s
m
.
Assim, para m + 1 de (3.71), temos
(I + p)s
m+1
≤ s
m
(3.76)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 148
como (I + p)
−1
´e crescente, resulta:
s
m+1
≤ s
m
− q(s
m
) (3.77)
Agora, integrando (3.72) de m `a m + 1, obtemos
S(m + 1) − S(m) +
m+1
m
q(S(τ))dτ = 0
Desde que q ´e crescente, de (3.75) e da hip´otese indutiva, obtemos
S(m + 1) ≥ S(m) −
m+1
m
q(S(τ))dτ
= S(m) − q(S(m)) = (I − q)S(m)
= (I + p)
−1
S(m) ≥ (I + p)
−1
s
m
= s
m
− q(s
m
). (3.78)
De (3.77) e (3.78) resulta
S(m + 1) ≥ s
m+1
o que prova o desejado.
Para finalizarmos a prova do lema, resta-nos provar que se p(x) > 0 para x > 0
ent˜ao lim
t→+∞
S(t) = 0.
De fato, por (3.72), para cada T > 0, temos
S(T ) −S(0) +
T
0
q(S(T ))dτ = 0
e por (3.75) resulta
S(T ) ≤ S(0) −
T
0
q(S(T ))dτ
ou seja
S(T ) ≤ S(0) − T q(S(T )) (3.79)
Por (3.75) temos que S(t) ´e uma fun¸c˜ao mon´otona n˜ao crescente e limitada infe-
riormente pelo 0, pois S(m) ≥ s
m
, para todo m ∈ N e s
m
s˜ao n´umeros positivos. Seja
C = inf
S(t) ; t ≥ 0
. Observe que C = lim
t→+∞
S(t). Mostraremos que C = 0.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 149
De fato, suponhamos por absurdo que C > 0. Logo de (3.79), obtemos que
S(T ) ≤ S(0) − T q(C) , ∀T > 0 (3.80)
como p(x) > 0 para x > 0 obtemos que q(C) > 0, pois caso contr´ario, se ∃x
0
> 0 tal que
q(x
0
) ≤ 0, segue que
x
0
− (I + p)
−1
(x
0
) ≤ 0 ⇔ x
0
≤ (I + p)
−1
(x
0
) ⇔ (I + p)(x
0
) ≤ x
0
ou ainda, se, e somente se p(x
0
) ≤ 0, o que ´e uma absurdo.
Portanto, tomando T ∈ N tal que S(0) < T q(C) resulta de (3.80) que S(T ) < 0 o
que ´e um absurdo. Ent˜ao conclu´ımos que lim
t→+∞
S(t) = 0. ✷
Agora em (3.70) substituiremos T (respectivamente 0) por m(T + 1) (respectiva-
mente mt), obtemos
E(m(T + 1)) + p(E(m(T + 1))) ≤ E(mT ) , para m = 0, 1, . . .
Aplicando o lema 3.10, com s
m
= E(mT ), obtemos
E(mT ) ≤ S(m) , m = 0, 1, . . .
Finalmente, usando a dissipatividade de E(t) que ´e proveniente da rela¸c˜ao (2.57),
pondo t = mT + τ , 0 ≤ τ ≤ T , resulta
E(t) ≤ E(mT ) ≤ S(m) = S
t − τ
T
≤ S
t
T
− 1
, para t > T
com isto, est´a completa a prova do Teorema 3.1.
3.3 Computa¸c˜oes Efetivas das Taxas de Decaimento
dadas pelo pelo Teorema 3.1
O algoritmo para computa¸c˜oes de taxas de decaimento dadas pelo Teorema 3.1 ´e bem
geral e estabelece taxas de decaimento expl´ıcitas sem qualquer restri¸c˜ao sobre o cresci-
mento da dissipa¸c˜ao g na origem. Com efeito, este algoritmo d´a taxas de decaimento
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 150
exponencial quando o “damping”´e limitado por baixo por uma fun¸c˜ao linear e taxas de
decaimento alg´ebricas para dissipa¸c˜oes polinomiais que decaem a zero na origem. Ilus-
traremos, a seguir, como outros casos podem ser tratados. Particularizando, um pouco,
a classe de dissipa¸c˜oes n˜ao lineares somos capazes de obter uma descri¸c˜ao expl´ıcita das
taxas de decaimento.
De modo a prosseguir, notemos que o comportamento da fun¸c˜ao q(s) na origem
(esta ´e a ´unica regi˜ao relevante para taxas de decaimento) ´e assintoticamente equivalente
a (h)
−1
(s), onde, recordamos, a fun¸c˜ao cˆoncava e mon´otona crescente h(s) ´e determinada
pela rela¸c˜ao s
2
+ g
2
(s) ≤ h(s(g(s))), s ≤ s
0
< 1. O fato de tal fun¸c˜ao sempre existir
segue da monotonia de g(s), como provado em Lasiecka e Tataru [18]. Ent˜ao, o ´unico
prop´osito ´e determinar a estrutura de (h)
−1
perto da origem. Tamb´em, ´e suficiente
restringir nossa an´alise a valores positivos de s . De acordo com o teorema 3.1 a equa¸c˜ao
a ser considerada ´e S
t
+ c
0
(h)
−1
(c
1
S) = 0, S(0) = E(0) e a solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao nos
d´a uma limita¸c˜ao assint´otica para a energia. Ou seja, temos E(t) ≤ C(E(0))S(t), para
t > T
0
. As constantes c
0
, c
1
provem do fato que q(s) ∼ (CI + h)
−1
(s) na origem. De
fato, o comportamento assint´otico ´e uma consequˆencia direta do algoritmo (3.6), (3.7),
q = I − (I + p)
−1
= p ◦ (I + p)
−1
= p ◦ [(p
−1
+ I) ◦ p]
−1
= p ◦ [(K
−1
(CI + r) + I) ◦ p]
−1
= K
−1
(CI + r)
−1
. (3.1)
Uma vez que h(s) ≥ cs, perto da origem, para alguma constante positiva c, (3.1) implica
q(s) ∼ (CI + h)
−1
(s) ≥ c
1
(h)
−1
perto da origem. Portanto, o comportamento assint´otico
da energia ´e dirigido pela seguinte EDO S
t
+ c
0
(h)
−1
(c
1
S) = 0, S(0) = E(0), como
afirmado acima.
De modo a ser mais espec´ıfico consideraremos o caso: g(s) decai para zero mais
r´apido que qualquer fun¸c˜ao linear. Neste caso ´e suficiente determinar h(s) da desigual-
dade s
2
≤ h(sg(s)).
Resolvendo explicitamente s
2
= h(sg(s)) obtemos que (h)
−1
(s) =
√
sg(
√
s). Para
esta fun¸c˜ao ser ”eleg´ıvel”devemos verificar sua concavidade, ou equivalentemente, a con-
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 151
vexidade (h)
−1
(s) =
√
sg(
√
s) que necessita considerar uma pequena vizinhan¸ca `a direita
da origem.
Sumarizando esta discuss˜ao e desprezando-se as constantes c
0
, c
1
obtemos:
Corol´ario 3.11. Se assumirmos que g
(0) = 0 (i.e o “damping”´e “fraco”-superlinear na
origem) e a fun¸c˜ao
√
sg(
√
s) ´e convexa para s ∈ [0, s
0
], onde s
0
pode ser arbitrariamente
pequeno, a equa¸c˜ao diferencial a ser resolvida torna-se
S
t
+
√
Sg(
√
S) = 0, S(0) = E(0) = S
0
,
e E(t) ≤ C(E(0))S(t). Mais especificamente, integrando a equa¸c˜ao diferencial obtemos
com G(S, S
0
) ≡
√
S
√
S
0
1
g(u)
du, S(t) = G
−1
(−
t
2
, S
0
).
N´os ilustraremos o procedimento com diversos exemplos. Para a claridade n´os
normalizamos as constantes de modo que n˜ao apare¸cam nas express˜oes.
• Exemplo 1 Seja g(s) = s. A fun¸c˜ao s ´e convexa sempre. Ent˜ao resolvemos a
seguinte EDO:
S
t
+ S = 0, S(0) = E(0) = S
0
, . (3.2)
Pela f´ormula dada no corol´ario, obtemos
G(s, S
0
) =
√
s
√
S
0
u
−1
du = ln
s
S
0
1
2
Da´ı G
−1
(t) = e
−γt
. Deste modo, obtemos
E(t) ≤ C(E(0))e
−γt
• Exemplo 2 Consideramos g(s) = s
p
, p > 1 na origem. A fun¸c˜ao s
p+1
2
´e convexa
para p ≥ 1 resolvemos
S
t
+ S
p+1
2
= 0. (3.3)
Esta equa¸c˜ao pode ser integrada diretamente, ´e claro. Entretanto, para o caso da
ilustra¸c˜ao da f´ormula geral n´os encontramos
G(s, S
0
) =
√
s
√
S
0
u
−p
du =
1
1 − p
[s
−p+1
2
− S
−p+1
2
0
].
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 152
Aqui G
−1
(t) = [S
−p+1
2
0
− t(1 − p)]
2
−p+1
. Assim
E(t) ≤ C(E(0))[E(0)
−p+1
2
+ t(p − 1)]
2
−p+1
.
naturalmente, as mesmas taxas de decaimento podiam ser obtidas pela integra¸c˜ao
direta de (3.3).
• Exemplo 3 Tomamos g(s) = s
3
e
−
1
s
2
para s perto da origem. Desde que a fun¸c˜ao
s
2
e
−
1
s
´e convexa numa vizinhan¸ca da origem n´os resolvemos
S
t
+ S
2
e
−
1
S
= 0. (3.4)
E neste caso G(S, S
0
) = −1/2[e
−
1
S
− e
−
1
S
0
] e G
−1
(t, S
0
)) = [ln(e
1
S
0
− 2t)]
−1
. Da´ı
E(t) ≤ C(E(0))[ln(e
1
E(0)
+ t)]
−1
,
a solu¸c˜ao poderia igualmente ser obtida diretamente da integra¸c˜ao (3.4).
• Exemplo 4 Considere g(s) = s|s|e
−
1
|s|
para s perto de zero. Sendo a fun¸c˜ao
s
3/2
e
−
1
√
s
convexa sobre [0, s
0
] para algum s
0
pequeno, somos conduzidos `a equa¸c˜ao
diferencial
S
t
+ S
3/2
e
−
1
√
S
= 0. (3.5)
A fun¸c˜ao G(S, S
0
) ´e dada por G(S, S
0
) = −[e
1
√
S
− e
1
√
S
0
]. Da´ı G
−1
(t, S
0
) =
1
ln
2
[e
1
√
S
0
−t]
e
E(t) ≤ C(E(0))
1
ln
2
[e
1
√
E(0)
+
1
2
t]
.
3.4 Apˆendice
3.4.1 Cut-off Intr´ınseco
No que segue construiremos uma fun¸c˜ao auxiliar η
ε
em uma vizinhan¸ca espec´ıfica
de M
2
:= M \ ∪
k
i=1
M
0i
.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 153
Inicialmente, definamos ˜η : R → R tal que
˜η(x) :=
1 se x ≤ 0
(x − 1)
2
se x ∈ [1/2, 1]
0 se x > 1
(3.6)
e ´e definida em (0, 1/2) de modo que ˜η ´e n˜ao-crescente e de classe C
1
, conforme ilustra
a figura abaixo:
(vou colocar figura)
Para ε > 0 definamos
˜η
ε
(x) := ˜η
x
ε
; x ∈ R (3.7)
como ˜η ∈ C
1
(R) e ˜η = 0 para x < 1 segue que
x −→
[˜η
(x)]
2
˜η(x)
(3.8)
´e cont´ınua em (−∞, 1).
Sendo ˜η(x) = 1 em (−∞, 0) ent˜ao ˜η
(x) = 0 em (−∞, 0) e portanto:
[˜η
(x)]
2
˜η(x)
=
0
1
= 0 em (−∞, 0) (3.9)
No intervalo compacto [0, 1/2] existe M
1
> 0 tal que
[˜η
(x)]
2
˜η(x)
≤ M
1
; ∀x ∈ [0, 1/2] (3.10)
No intervalo ]1/2, 1[ temos que ˜η(x) = (x −1)
2
e portanto
[˜η
(x)]
2
˜η(x)
=
4(x − 1)
2
(x − 1)
2
= 4 ; ∀x ∈ (1/2, 1) (3.11)
Pondo M = max{M
1
, 4} resulta de (3.9), (3.10) e (3.11), que
[˜η
(x)]
2
˜η(x)
≤ M ; ∀x ∈ (−∞, 1) . (3.12)
Da defini¸c˜ao de ˜η
ε
notemos que
[˜η
ε
(x)]
2
˜η
ε
(x)
=
˜η
x
ε
2
˜η
x
ε
=
˜η
x
ε
1
ε
2
˜η
x
ε
=
1
ε
2
˜η
x
ε
2
˜η
x
ε
(3.13)
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 154
e de (3.12) resulta que, se x < ε ent˜ao
x
ε
< 1 e portanto
˜η
x
ε
2
˜η
x
ε
≤ M ; ∀x < ε (3.14)
De (3.13) e (3.14) vem ent˜ao que
[˜η
ε
(x)]
2
˜η
ε
(x)
≤
M
ε
2
; se x < ε (3.15)
Para o que vem a seguir, conv´em introduzir uma no¸c˜ao de distˆancia entre dois
pontos de uma superf´ıcie M que dependa apenas da geometria intr´ınseca de M e n˜ao
da maneira como M est´a imersa em R
3
.
Seja α : [a, b] → M uma curva parametrizada diferenci´avel por partes, ligando
α(a) a α(b). O comprimento l(α) de α ´e definido como
l(α) =
k
i=0
t
i
+1
t
i
|α
(t)|dt
Proposi¸c˜ao 3.12. Dados dois pontos p, q ∈ M de uma superf´ıcie regular (conexa) M,
existe uma curva parametrizada diferenci´avel por partes ligando p a q.
Demonstra¸c˜ao: Ver [36] ✷
Sejam agora p, q ∈ M dois pontos de uma superf´ıcie regular M. Denotaremos
por α
p,q
uma curva parametrizada regular por partes ligando p a q, e por l(α
p,q
) o seu
comprimento. A proposi¸c˜ao 3.12 mostra que o conjunto de todas as α
p,q
´e n˜ao-vazio.
Assim podemos definir o seguinte:
Defini¸c˜ao 3.13. A distˆancia (intr´ınseca) d(p, q) do ponto p ∈ M ao ponto q ∈ M ´e o
n´umero
d(p, q) = inf l(α
p,q
)
onde o inf ´e tomado sobre todas as curvas diferenci´aveis por partes ligando p a q.
Proposi¸c˜ao 3.14. Seja p
0
∈ M um ponto. Ent˜ao a fun¸c˜ao f : M → R dada por
f(p) = d(p
0
, p), p ∈ M, ´e cont´ınua em M.
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 155
Demonstra¸c˜ao: Temos que mostrar que para cada p ∈ M, dado ε > 0, existe δ > 0 tal
que se q ∈ B
δ
(p) ∩M, onde B
δ
(p) ´e uma bola aberta de R
3
centrada em p e com raio δ,
ent˜ao |f(p) − f (q)| = |d(p
0
, p) − d(p
0
, q)| < ε.
Com efeito, seja ε
< ε tal que a aplica¸c˜ao exponencial exp
p
: T
p
M → M ´e
um difeomorfismo no disco B
ε
(0) ⊂ T
p
M, onde 0 ´e a origem de T
p
M, e coloque
exp
p
(B
ε
(0)) = V . Evidentemente, V ´e um subconjunto aberto em M; logo existe
uma bola aberta B
δ
(p) em R
3
tal que B
δ
(p) ∩ M ⊂ V . Assim, se q ∈ B
δ
(p) ∩ M,
|d(p
0
, p) − d(p
0
, q)| ≤ d(p, q) < ε
< ε
o que completa a demonstra¸c˜ao. ✷
O difeomorfismo da proposi¸c˜ao 3.14 permite-nos identificar V com uma bola (disco)
B
ε
(0) ⊂ T
p
M. O resultado acima mostra que a fun¸c˜ao d : M × M → R induz uma
estrutura de espa¸co m´etrico em M. Por outro lado, como subconjunto de um espa¸co
m´etrico, M ⊂ R
3
tem uma m´etrica induzida
¯
d. Um fato importante ´e que estas duas
m´etricas determinam a mesma topologia, isto ´e, a mesma fam´ılia de subconjuntos abertos
em M. Isto segue do fato que exp
p
: T
p
M → M ´e um difeomorfismo local.
Proposi¸c˜ao 3.15. Uma superf´ıcie orient´avel em R
3
´e a imagem inversa de um valor
regular de alguma fun¸c˜ao diferenci´avel.
Demonstra¸c˜ao: Ver [36].
Seja M uma superf´ıcie orient´avel, ´e poss´ıvel escolher, sobre a reta normal passando
por p ∈ M, um intervalo aberto I
p
em torno de p e de comprimento, digamos, 2ε
p
(ε
p
varia com p) de tal modo que se p = q ∈ M, ent˜ao I
p
∩ I
q
= ∅. Assim, a uni˜ao ∪I
p
,
p ∈ M, constitui um conjunto aberto V de R
3
, que cont´em M e tem a propriedade
de que por cada ponto de V passa uma ´unica reta normal a M; V ´e chamado uma
vizinhan¸ca tubular de M.
Proposi¸c˜ao 3.16. Suponha a existˆencia de uma vizinhan¸ca tubular V ⊂ R
3
de uma
superf´ıcie orient´avel M ⊂ R
3
, e escolha uma orienta¸c˜ao para M. Ent˜ao a fun¸c˜ao
CAP
´
ITULO 3. RESULTADO DE ESTABILIDADE 156
g : V → R, definida como sendo a distˆancia orientada de um ponto de V ao p´e da
perpendicular da ´unica reta normal passando por esse ponto, ´e diferenci´avel em uma
vizinhan¸ca de M e tem zero como um valor regular.
Demonstra¸c˜ao: Ver [36].
Agora seja ε > 0 tal que
˜ω
ε
:= {x ∈ M ; d(x, ∪
k
i=1
∂M
0i
) < ε}
´e uma vizinhan¸ca tubular de ∪
k
i=1
∂M
0i
e ω
ε
:= ˜ω
ε
∪ M
2
est´a contida em M
∗
.
Definimos
η
ε
(x) =
1 se x ∈ M
2
˜η
ε
d(x, M
2
)
se x ∈ ω
ε
\ M
2
0 se x ∈ M \(M
2
∪ (ω
ε
\ M
2
))
(3.16)
Vejamos a figura ilustrativa, (Admitamos uma ´unica vizinhan¸ca umb´ılica M
0i
= M
0
)
(colocar figura)
Assim, se x ∈ ω
ε
\ M
2
ent˜ao d(x, ∪
k
i=1
∂M
0i
) < ε e portanto d(x, ∂M
2
) < ε o que
implica que d(x, M
2
) < ε . Logo de (3.15) obtemos
˜η
ε
(d(x, M
2
))
2
˜η(d(x, M
2
))
≤
M
ε
2
; ∀x ∈ ω
ε
\ M
2
(3.17)
No pr´oximo passo vamos estimar
|∇
T
η
ε
(x)|
2
η
ε
(x)
. Antes notemos que
∇
T
η
ε
(x) = ∇
T
(˜η
ε
(d(x, M
2
))) = ˜η
ε
(d(x, M
2
)).∇
T
d(x, M
2
) = ˜η
ε
(d(x, M
2
)) (3.18)
pois ∇
T
d(x, M
2
) = 1 em vizinhan¸cas tubulares.
Combinando (3.17) e (3.18), resulta que
|∇
T
η
ε
(x)|
2
η
ε
(x)
=
|˜η
ε
(d(x, M
2
))|
2
˜η(d(x, M
2
))
≤
M
ε
2
; ∀x ∈ ω
ε
\ M
2
(3.19)
No caso em que x ∈ M
2
a desigualdade acima segue trivialmente para ω
ε
. Logo,
|∇
T
η
ε
(x)|
2
η
ε
(x)
∈ L
∞
(ω
ε
) .
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