( PDF ) Estimação de estados - estudo comparativo utilizando as equações de fluxo na forma polar e retangular

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

ESTIMAÇÃO DE ESTADOS

Estudo Comparativo Utilizando

Equações de Fluxo na Forma Polar e Retangular

Ricardo Mion do Nascimento

Dissertação submetidade ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia

Elétrica como parte dos requisitos para a obtenção do Título de Mestre em

Ciências em Engenharia Elétrica.

Área de Concentração: Sistemas Elétricos de Potência

Orientador: Prof. Robson Celso Pires

Dezembro de 2008

Itajubá – MG

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Aos meus avós

Luiza Bon

Agostinho Mion

e

Ana de Oliveira Santos

José Elcindo do Nascimento

Agradecimentos

A Deus por estar comigo e iluminar sempre meu caminho.

Aos meus pais, Maria Inês e José Carlos, que souberam construir uma família apoiada

em valores e princípios que moldaram meu caráter.

Ao professor Robson Celso Pires. Primeiro pelo incentivo em continuar meus estudos

na pós-graduação. Segundo pela orientação, paciência e confiança em meu trabalho.

Terceiro pela amizade, fruto da orientação acadêmica.

À minha grande amiga Natália Caldeira. Da graduação ao mestrado foi uma das

pessoas que mais conquistou minha confiança e admiração, tanto pelo lado profissional

quanto pelo pessoal. Sei que nossa amizade ultrapassa os limites impostos pela

distância e pelo tempo.

Aos grandes amigos de turma e aos “irmãos” de república. Sinto saudades dessa

época, principalmente pelo fato de conviver com pessoas cuja confiança e amizade

eram e ainda são fonte de grande estima.

À minha irmã Cibele pela paciência em ler e revisar este trabalho.

E finalmente agradeço aos mestres, aos amigos e a todas as pessoas que ajudaram e

colaboraram para a conclusão deste trabalho, fosse por um conselho ou mesmo por

uma conversa.

Muito obrigado!

Ricardo Mion do Nascimento

Dezembro de 2008.

I

ÍNDICE

Capítulo 1

INTRODUÇÃO ....................................................................................................1

1.1. MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS ....................................................................1

1.2. LEVANTAMENTO DO ESTADO DA ARTE ..............................................2

1.3. HISTÓRICO ..............................................................................................3

Capítulo 2

ESTIMAÇÃO DE ESTADOS ..............................................................................5

2.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ...................................................................5

2.2. ESTIMADOR DE ESTADOS ..................................................................10

2.2.1. Observabilidade ...............................................................................12

Redundância Global de Medidas ...........................................................15

Redundância Local de Medidas .............................................................15

Medidas Descartáveis ............................................................................16

2.2.2. Tipos de Erros em Estimação de Estados .......................................19

Erros Grosseiros ....................................................................................20

Detecção de Erros Grosseiros em Medidas ...........................................21

Identificação de Medidas com Erros Grosseiros ....................................22

Erros Topológicos ..................................................................................23

Erros Paramétricos .................................................................................23

2.2.3. Medidas Críticas e Conjuntos Críticos de Medidas ..........................24

II

Medidas Críticas .....................................................................................24

Conjuntos Críticos de Medidas ...............................................................25

2.3. ESTIMADORES DE ESTADOS ROBUSTOS ........................................26

2.3.1. Pontos de Alavancamento ...............................................................27

Estimadores de Escala ou Espalhamento ..............................................32

Estimador de Escala – MADj ..................................................................33

Cálculo dos Índices de Estatística de Projeção ......................................34

Identificação de Pontos de Alavancamento............................................35

Modelagem de Pontos de Alavancamento .............................................35

2.3.2. Robustificando Estimadores – M .....................................................36

As Transformações Ortogonais e o Problema dos Mínimos Quadrados 41

Rotações de Givens Aplicadas ao Método MQPM .................................43

Equações Básicas ..................................................................................44

Método dos Mínimos-Quadrados com Reescalonamento Dinâmico

Iterativo...................................................................................................45

2.4. SOLUÇÃO ITERATIVA DO PROBLEMA DE ESTIMAÇÃO DE

ESTADOS .....................................................................................................46

Método de Equações Normais ...............................................................46

Linearização do Modelo de Medição ......................................................49

2.4.1. Método de Gauss-Newton ...............................................................51

Aspectos sobre a Equação Normal ........................................................53

2.5. MODELO GENERALIZADO DE TRANSFORMADORES ......................54

2.5.1. Tapes de Transformadores como Variáveis de Estado ...................55

Formulação do Problema .......................................................................55

Atribuição de Pesos às Medidas de Posição de Tapes de

Transformadores ....................................................................................57

2.6. MODELAGEM EM COORDENADAS POLARES ...................................59

2.6.1. Equações de Fluxo de Potência ......................................................59

2.6.2. Equações de Injeção de Potência ....................................................60

Composição da Matriz Jacobiana ..........................................................63

Derivadas Parciais .................................................................................64

2.7. MODELAGEM EM COORDENADAS RETANGULARES .......................65

2.7.1. Equações de Fluxo de Potência ......................................................66

2.7.2. Equações de Injeção de Potência ....................................................66

III

Composição da Matriz Jacobiana ..........................................................67

Derivadas Parciais .................................................................................68

Capítulo 3

ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................................................71

3.1. INTRODUÇÃO .......................................................................................71

3.2. CARACTERÍSTICA DO SISTEMA 5 BARRAS - I ..................................72

3.2.1. Sistema 5 Barras – I  Sem Conjunto ou Medidas Críticas, Sem ruído

e Sem Erros Grosseiros  Simulação 1 .......................................................74

MQP – Gauss .........................................................................................74

MQPM – Gauss ......................................................................................80

MQPM – Givens .....................................................................................81

3.2.2. Sistema 5 Barras – I  Sem Conjunto ou Medidas Críticas, Sem ruído

e com Erro Grosseiro em Ponto de Alavancamento  Simulação 2 ............86

MQP – Gauss .........................................................................................86

MQPM – Gauss ......................................................................................87

MQPM – Givens .....................................................................................88

3.3. CARACTERÍSTICA DO SISTEMA 5 BARRAS - II .................................94

3.3.1. Sistema 5 Barras – II  Com Conjunto Crítico, Sem ruído e Sem Erros

Grosseiros  Simulação 3 ............................................................................95

MQP – Gauss .........................................................................................95

MQPM – Gauss .................................................................................... 101

MQPM – Givens ................................................................................... 102

3.3.2. Sistema 5 Barras – II  Com Conjunto Crítico, Sem ruído e Com Erro

Grosseiro em Medida Não Ponto de Alavancamento  Simulação 4 ......... 107

MPQ – Gauss ....................................................................................... 107

MQPM – Gauss .................................................................................... 108

MQPM – Givens ................................................................................... 109

3.3.3. Sistema 5 Barras – II  Com Conjunto Crítico, Sem ruído e Com Erro

Grosseiro em Medida Ponto de Alavancamento  Simulação 5 ................ 114

MPQ – Gauss ....................................................................................... 114

IV

MQPM – Gauss .................................................................................... 115

MQPM – Givens ................................................................................... 116

3.3.4. Sistema 5 Barras – II  Com Conjunto Crítico, Sem ruído e Com Erros

Grosseiros em Múltiplas Medidas  Simulação 6 ...................................... 121

MQP – Gauss ....................................................................................... 121

MQPM – Gauss .................................................................................... 122

MQPM – Givens ................................................................................... 123

3.4. SISTEMA IEEE 14 BARRAS ................................................................ 128

3.5. SISTEMA IEEE 30 BARRAS ................................................................ 132

3.6. SISTEMA IEEE 118 BARRAS .............................................................. 137

3.7. SISTEMA EQUIVALENTE SUL-SUDESTE BRASILEIRO 340 BARRAS

.................................................................................................................... 140

Capítulo 4

CONCLUSÕES ............................................................................................... 143

FUTUROS DESENVOLVIMENTOS ............................................................ 145

ANEXOS ......................................................................................................... 147

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 167

V

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – COS: Centro de Operação do Sistema ..............................................5

Figura 2 – Exemplo: Modelo C.C. .....................................................................15

Figura 3 – Sistema Exemplo de 6 barras ..........................................................17

Figura 4 – Ilhas Observáveis.............................................................................18

Figura 5 – Sistema Exemplo 5 barras ...............................................................19

Figura 6 – Regressão linear,

y a b x

  

– em que as variáveis

a

e

b

são

estimadas ..........................................................................................................29

Figura 7 – Representação Gráfica do Modelo de Regressão ...........................31

Figura 8 – Regressão linear,

y a b x

  

, com dois pontos de alavancamento –

as variáveis

a

e

b

são estimadas e



é o desvio padrão da medida

y

. ..........32

Figura 9 – Schweeppe Huber GM-Estimador comparado com o MQP .............39

Figura 10 – Modelo Representativo do Sistema ...............................................46

Figura 11 – Modelo equivalente de transformadores ........................................54

Figura 12 – Modelo



generalizado para equacionamento de fluxo de potência

..........................................................................................................................59

Figura 13 – Correntes incidentes possíveis numa barra genérica

k

. ...............60

Figura 14 – Estrutura da Matriz Jacobiana para um Plano de Medição com

Tapes de Transformadores, Fluxos e Injeções de Potência e Magnitudes de

Tensão ..............................................................................................................63

Figura 15 – Plano cartesiano

x y

......................................................................65

Figura 16 – Estrutura da Matriz Jacobiana para um Plano de Medição com

Tapes de Transformadores, Fluxos e Injeções de Potência e Magnitudes de

Tensão ..............................................................................................................67

Figura 17 – Menu inicial do programa - arquivo de dados givsr005.dad ...........72

Figura 18 – Sistema 5 Barras - I .......................................................................73

Figura 19 – Matriz Jacobiana na 3ª Iteração – Forma Polar das Equações .....75

Figura 20 – Matriz Jacobiana na 3ª Iteração – Forma Retangular das Equações

..........................................................................................................................76

Figura 21 – Esparsidade da matriz Jacobiana – Forma Polar e Retangular .....77

Figura 22 – Matriz Ganho na 3ª Iteração – Forma Polar das Equações ...........78

Figura 23 – Matriz Ganho na 3ª Iteração – Forma Retangular das Equações ..78

Figura 24 – Esparsidade da matriz Ganho – Forma Polar e Retangular ...........79

Figura 25 – Simulação 1: Erro absoluto  MQP - Gauss  ............................83

Figura 26 – Simulação 1: Erro absoluto  MQPM - Gauss  .........................83

Figura 27 – Simulação 1: Erro absoluto  MQPM - Givens  .........................83

Figura 28 – Simulação 1: SPQR  MQP - Gauss  .......................................84

VI

Figura 29 – Simulação 1: SPQR  MQPM - Gauss .....................................84

Figura 30 – Simulação 1: SPQR  MQPM - Givens  ....................................84

Figura 31 – Matriz de Ponderação Iterativa – Forma Polar e Retangular das

Equações ..........................................................................................................89

Figura 32 – Simulação 2: Erro absoluto  MQP - Gauss  ............................91

Figura 33 – Simulação 2: Erro absoluto  MQPM - Gauss  .........................91

Figura 34 – Simulação 2: Erro absoluto  MQPM - Gauss  .........................91

Figura 35 – Simulação 2: Erro absoluto  MQP - Gauss  ............................92

Figura 36 – Simulação 2: Erro absoluto  MQPM - Gauss  .........................92

Figura 37 – Simulação 2: Erro absoluto  MQPM - Gauss  .........................92

Figura 38 – Sistema 5 Barras - II ......................................................................94

Figura 39 – Matriz Jacobiana na 3ª Iteração – Forma Polar das Equações .....96

Figura 40 – Matriz Jacobiana na 3ª Iteração – Forma Retangular das Equações

..........................................................................................................................97

Figura 41 – Esparsidade da Matriz Jacobiana – Forma Polar e Retangular das

Equações ..........................................................................................................98

Figura 42 – Matriz Ganho na 3ª Iteração – Forma Polar das Equações ...........99

Figura 43 – Matriz Ganho na 3ª Iteração – Forma Retangular das Equações ..99

Figura 44 – Esparsidade da Matriz Ganho – Forma Polar e Retangular das

Equações ........................................................................................................ 100

Figura 45 – Simulação 3: Erro absoluto  MQP - Gauss  .......................... 104

Figura 46 – Simulação 3: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ....................... 104

Figura 47 – Simulação 3: Erro absoluto  MQPM - Givens  ....................... 104

Figura 48 – Simulação 3: SPQR  MQP - Gauss  ..................................... 105

Figura 49 – Simulação 3: SPQR  MQPM - Gauss ................................... 105

Figura 50 – Simulação 3: SPQR  MQPM - Givens  .................................. 105

Figura 51 – Simulação 4: Erro absoluto  MQP - Gauss  .......................... 111

Figura 52 – Simulação 4: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ....................... 111

Figura 53 – Simulação 4: Erro absoluto  MQPM - Givens  ....................... 111

Figura 54 – Simulação 4: Erro absoluto  MQP - Gauss  .......................... 112

Figura 55 – Simulação 4: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ....................... 112

Figura 56 – Simulação 4: Erro absoluto  MQPM - Givens  ....................... 112

Figura 57 – Simulação 5: Erro absoluto  MQP - Gauss  .......................... 118

Figura 58 – Simulação 5: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ....................... 118

Figura 59 – Simulação 5: Erro absoluto  MQPM - Givens  ....................... 118

Figura 60 – Simulação 5: Erro absoluto  MQP - Gauss  .......................... 119

Figura 61 – Simulação 5: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ....................... 119

Figura 62 – Simulação 5: Erro absoluto  MQPM - Givens  ....................... 119

Figura 63 – Simulação 6: Erro absoluto  MQP - Gauss  .......................... 125

Figura 64 – Simulação 6: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ....................... 125

Figura 65 – Simulação 6: Erro absoluto  MQPM - Givens  ....................... 125

Figura 66 – Simulação 6: Erro absoluto  MQP - Gauss  .......................... 126

Figura 67 – Simulação 6: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ....................... 126

Figura 68 – Simulação 6: Erro absoluto  MQPM - Givens  ....................... 126

Figura 69 – Sistema 14 Barras: Erro absoluto  MQP - Gauss  ................. 129

Figura 70 – Sistema 14 Barras: Erro absoluto  MQPM - Gauss  .............. 129

Figura 71 – Sistema 14 Barras: Erro absoluto  MQPM - Givens  ............. 129

Figura 72 – Sistema 14 Barras: SPQR  MQP - Gauss  ............................ 130

VII

Figura 73 – Sistema 14 Barras: SPQR  MQPM - Gauss  ......................... 130

Figura 74 – Sistema 14 Barras: SPQR  MQPM - Givens  ........................ 130

Figura 75 – Sistema 30 Barras: Erro absoluto  MQP - Gauss  ................. 134

Figura 76 – Sistema 30 Barras: Erro absoluto  MQPM - Gauss  .............. 134

Figura 77 – Sistema 30 Barras: Erro absoluto  MQPM - Givens  ............. 134

Figura 78 – Sistema 30 Barras: SPQR  MQP - Gauss  ............................ 135

Figura 79 – Sistema 30 Barras: SPQR  MQPM - Gauss  ......................... 135

Figura 80 – Sistema 30 Barras: SPQR  MQPM - Givens  ........................ 135

Figura 81 – Sistema 118 Barras: Erro absoluto  MQP - Gauss  ............... 138

Figura 82 – Sistema 118 Barras: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ............ 138

Figura 83 – Sistema 118 Barras: Erro absoluto  MQPM - Givens  ........... 138

Figura 84 – Sistema 118 Barras: SPQR  MQP - Gauss  .......................... 139

Figura 85 – Sistema 118 Barras: SPQR  MQPM - Gauss  ....................... 139

Figura 86 – Sistema 118 Barras: SPQR  MQPM - Givens  ...................... 139

Figura 87 – Sistema 340 Barras: Erro absoluto  MQP - Gauss  ............... 141

Figura 88 – Sistema 340 Barras: Erro absoluto  MQPM - Gauss  ............ 141

Figura 89 – Sistema 340 Barras: Erro absoluto  MQPM - Givens  ........... 141

Figura 90 – Sistema 340 Barras: SPQR  MQP - Gauss  .......................... 142

Figura 91 – Sistema 340 Barras: SPQR  MQPM - Gauss  ....................... 142

Figura 92 – Sistema 340 Barras: SPQR  MQPM - Givens  ...................... 142

VIII

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Resultados do Exemplo de Regressão ...........................................30

Tabela 2 – Estimadores de Escala Robustos....................................................33

Tabela 3 – Fator de Correção b

j

para j ≤ 9 ........................................................34

Tabela 4 – Parâmetros do Sistema 5 Barras ....................................................73

Tabela 5 – SPQR – Método  MQP - Gauss  ..............................................75

Tabela 6 – SPQR – Método  MQPM - Givens  ...........................................82

Tabela 7 – Comparação Geral ..........................................................................82

Tabela 8 – Comparação Geral ..........................................................................90

Tabela 9 – SPQR – Método  MQP - Gauss  ..............................................96

Tabela 10 – SPQR – Método  MQPM - Givens  ....................................... 103

Tabela 11 – Comparação Geral ...................................................................... 103

Tabela 12 – Comparação Geral ...................................................................... 110

Tabela 13 – Comparação Geral ...................................................................... 117

Tabela 14 – Comparação Geral ...................................................................... 124

Tabela 15 – Comparação Geral ...................................................................... 128

Tabela 16 – Comparação Geral ...................................................................... 133

Tabela 17 – Comparação Geral ...................................................................... 137

Tabela 18 – Comparação Geral ...................................................................... 140

RESUMO

A maioria dos estudos realizados na área de redes elétricas emprega as

equações básicas de potência expressas em função dos valores de módulo e

ângulo da tensão, de modo que a quase totalidade dos desenvolvimentos e

algoritmos referem-se a este tipo de coordenadas. Como exemplos clássicos, o

cálculo de fluxo de potência e de estimação de estados são ferramentas

amplamente utilizadas nos estudos de planejamento e operação de sistemas

de potência. Todavia, nos últimos anos as investigações sobre as coordenadas

retangulares foram aprofundadas e produziram resultados significativos que

podem ser encontrados na literatura.

Assim, inspirado por esses resultados, buscou-se nesta pesquisa desenvolver

uma análise comparativa entre diferentes métodos de estimação de estados

utilizando equações de fluxo de potência em coordenadas polares e

retangulares para investigar algumas características especiais tais como a

estrutura da matriz Jacobiana, o processo de convergência e também a

influência de medidas denominadas pontos de alavancamento, na presença ou

não de erros grosseiros.

A análise comparativa do desempenho do estimador de estados em

coordenadas polares e retangulares utiliza sistemas-teste contendo 5 barras,

os sistemas IEEE 14, 30 118 barras e um equivalente do sistema sul-sudeste

brasileiro com 340 barras.

ABSTRACT

Most of the studies carried out in electrical networks employ the basic equations

of power expressed in module and angle values of the voltage, so that to almost

totality of the developments and algorithms are referred to this type of

coordinates. Like classical examples, power flow and state estimation

calculation are tools widely used in studies of planning and operation of power

systems. However, in the last years the investigations on the rectangular

coordinates were deepened and they produced significant results that can be

found in the literature.

Thus, inhaled for these results, in this research a comparative analysis among

different methods of state estimation using power flow equations in polar and

rectangular coordinates are performed in order to show some special features

like structure of the Jacobian matrix, the convergence process and also the

measurements influence called leverage points, in the presence or not of bad

data.

The comparative analysis of state estimator using polar and rectangular

coordinates is performed on a test system of 5 bus, IEEE systems of 14, 30

and 118 bus and an equivalent system of the brazilian south-southeast with 340

bus.

1

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

1.1. MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS

A maioria dos estudos realizados na área de sistemas elétricos emprega

as equações básicas de potência expressas em módulo e ângulo da tensão, de

modo que a quase totalidade dos novos desenvolvimentos e algoritmos refere-

se a este tipo de coordenadas. Como exemplo clássico, destacam-se o cálculo

de fluxo de potência e a estimação de estados muito utilizados nas áreas de

planejamento e operação. Nos últimos anos as coordenadas retangulares têm

sido estudadas e resultados bastante expressivos têm sido publicados na

literatura [1], [2], [3], [4], [5]. Assim, inspirado por esses resultados, buscou-se

nesta pesquisa realizar uma análise comparativa entre diferentes métodos de

estimação de estados utilizando tanto as equações de fluxo na forma polar

quanto na forma retangular a fim de retratar determinadas particularidades,

como a estrutura da matriz jacobiana, o processo de convergência e também a

influência de medidas denominadas pontos de alavancamento, na presença ou

não de erros grosseiros.

2

1.2. LEVANTAMENTO DO ESTADO DA ARTE

Estudos recentes têm relatado o desenvolvimento de novas técnicas e

aperfeiçoamento das existentes visando o cálculo mais rápido e eficiente do

fluxo de potência para garantir a convergência de sistemas numericamente

mal-condicionados.

Também na área de fluxo de potência, o interesse de muitos

pesquisadores tem-se voltado para técnicas numéricas de aproximação, como

o método desacoplado. Embora a maior parte dessas técnicas sejam baseadas

no desacoplamento convencional,

P





e

Q V



, alguns autores têm baseado

seus trabalhos nos princípios do desacoplamento em componentes

retangulares da tensão

V

das barras.

Na área de estimação de estados, grandes avanços foram obtidos a fim

de desenvolver algoritmos robustos capazes de estimar dados críticos de

origem topológica e até paramétrica. Outros estudos, entretanto, estão focados

na análise do plano de medição.

3

1.3. HISTÓRICO

Até meados do século XX, a mentalidade vigente em relação à operação

de SEP (Sistemas Elétricos de Potência) era voltada ao controle local. Assim,

todas as funções relacionadas ao gerenciamento do sistema, tais como

regulação, chaveamento, proteção e controle de geração, eram executadas

localmente. Essa característica descentralizada vinha do fato que os SEP, até

então, eram isolados e as unidades geradoras ficavam localizadas junto aos

centros consumidores.

A contínua expansão e interligação dos sistemas tornaram a operação

cada vez mais complexa, de modo que sistemas de controle e supervisão mais

modernos eram necessários, trazendo à tona a necessidade de um controle

central para todo o sistema. Desse modo, os controles locais passaram a

compartilhar seus dados com um controle central, que fica responsável pela

coordenação geral do sistema [7].

Dentro dessa ótica, os centros de controle foram implementados,

inicialmente, com dois sistemas de controle independentes. Um destinado ao

controle supervisório SCADA (Supervisory Control and Data Aquisition) e outro

ao controle de geração.

O controle supervisório SCADA é responsável por funções como:

aquisição e pré-processamento de dados da rede através das UTR’s (Unidade

Terminal Remota), representação dos dados aos operadores via interface

visual, controle remoto de abertura e fechamento de chaves, reguladores de

tensão, etc. [8].

O controle de geração, por sua vez, destina-se ao controle de despacho

das usinas do sistema de forma a estabilizar a freqüência em torno do seu

valor nominal à medida que ocorrem alterações nas cargas demandadas. Para

este fim, duas sub-funções são inerentes ao processo: o CAG (Controle

Automático de Geração), responsável pelos intercâmbios de fluxo de potência

e controle de freqüência; e o despacho econômico, que atua na otimização dos

custos de geração.

Essa estratégia, de dois sistemas independentes, perdurou até o final da

década de 60, quando os pesquisadores começaram a analisar o problema de

um ponto de vista sistêmico, tendo como motivação a evidente necessidade de

4

se dispor de estratégias de controle e operação mais rápidos e efetivos, em

resposta à fragilidade dos SEP face às mudanças dos estados operativos. A

partir desse momento surge o conceito de controle da segurança, definido

como um sistema integrado de controles manuais e automáticos, responsável

pela permanente operação do SEP [9].

Os primeiros centros de controle computadorizados (primeira geração)

foram implementados na década de 70, a partir das arquiteturas

computacionais disponíveis naquela época. O funcionamento limitado dos

computadores exigia intensa otimização dos softwares e íntima conexão ao

sistema operacional e ao hardware [10].

Conseqüentemente, os centros de controle vislumbraram de grande

enriquecimento na qualidade da supervisão e no controle dos sistemas de

energia. Logo, os SEP puderam operar mais próximos de seus limites

operativos sem prover riscos para a operação, impulsionando ainda mais o

processo de expansão dos sistemas.

Entretanto, a arquitetura computacional dessa primeira geração não foi

isenta de problemas. Neste contexto, pode-se destacar a crescente atualização

de computadores e softwares, os quais exigiam mudanças radicais na

composição dos centros de controle e pesadíssimos investimentos financeiros.

Outro problema verificado estava relacionado à inserção de novos

aplicativos e funções às já existentes. Tais implementações eram ou um

grande desafio ou praticamente impossíveis de ocorrerem, o que reforçava a

necessidade de atualização de softwares e hardwares.

Nos anos 80, os mainframes cederam espaço aos computadores

pessoais, às redes de computadores e ao processamento distribuído. Em razão

disso, a padronização dos diferentes componentes e utilitários tornou-se

essencial para a interligação dos computadores pertencentes à rede, como por

exemplo a linguagem C, Fortran; sistema operacional: UNIX, Windows,

protocolos de comunicação TCP-IP, etc. Essa nova arquitetura para os

sistemas de supervisão ficou conhecida como arquitetura aberta.

5

Figura

1

–

COS: Centro de Operação do Sistema

Capítulo 2

ESTIMAÇÃO DE ESTADOS

2.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Nas últimas décadas, a filosofia para a operação de um SEP tem se

caracterizado pela incorporação de funções que visam à avaliação em tempo

real da segurança do sistema. Mais recentemente, a desregulamentação do

setor elétrico e o estabelecimento de um mercado spot de energia fizeram com

que a operação de equipamentos

e linhas de transmissão se

aproximasse perigosamente de

seus limites operativos. Além

disso, a quase ausência de

investimentos relevantes em

obras de expansão dos sistemas

de transmissão fez aumentar

ainda mais a importância dos

COS’s (Centro de Operação do

Sistema), Figura 1, no

cumprimento de suas funções.

A operação de um SEP tem

como principal objetivo o

suprimento do seu mercado de

energia elétrica, levando-se em

conta a continuidade, qualidade e

6

economia de serviço, ou seja, a obtenção de um alto índice de desempenho

através da redução do número de interrupções, controle dos níveis adequados

de tensão e freqüência e o atendimento da carga com custo mínimo. Desta

forma, a operação de um SEP exige a análise simultânea de uma grande

quantidade de informações técnicas e econômico-financeiras.

Em virtude da grande quantidade de informação a ser analisada, torna-se

imprescindível a automação da operação de um sistema de potência, a qual é

possível com a implementação de dois centros de controle: um responsável

pela operação dos sistemas de geração e transmissão; e outro pela operação

dos sistemas de distribuição. Estes dois centros de controle contam com

sistemas denominados de Sistema de Gerenciamento de Energia ou EMS

(Energy Management System) e Sistema de Gerenciamento de Distribuição ou

DMS (Distribution Management System), respectivamente. A eles ficam

incumbidas todas as funções operacionais do sistema, sendo a operação em

tempo-real a sua função mais notória, complexa e importante.

A operação em tempo-real exige esforços combinados de vários fatores

humanos e computacionais, e estes influenciam no nível de complexidade da

operação à medida que mais agentes, novas tecnologias e forças sócio-

econômicas são inseridas no processo.

Embora a confiabilidade continue sendo fator central, a necessidade de

um modelo da rede em tempo-real torna-se cada vez mais importante devido

ao novo mercado de energia com funções relacionadas que terão de ser

adicionadas aos novos EMS’s e aos existentes. Este modelo é baseado nos

resultados produzidos pelo estimador de estados e utilizado em aplicações tais

como fluxo de potência ótimo, máxima capacidade de transferência, tensão e

estabilidade transitória, etc.

O modelo em tempo-real é uma representação matemática das condições

atuais em um sistema de potência extraído num determinado instante a partir

dos resultados do processo de estimação de estados. Este modelo da rede em

tempo-real é construído a partir da combinação das medições instantâneas e

de dados estáticos da rede, tais como parâmetros da rede e arranjo das

subestações.

As funções do sistema de análise de redes são: algoritmo de previsão de

carga, configurador de redes, pré-filtragem, estimador de estado, fluxo de

7

carga, análise de segurança e fluxo de potência ótimo. A seguir, são

apresentadas as características gerais de cada um:

 Programa de Previsão de Carga: baseia-se na previsão da demanda

da rede supervisionada e da não supervisionada. Este programa é

utilizado pelo CAG para melhor equilibrar a potência gerada com a carga

demandada, evitando alterações bruscas na freqüência do sistema

interligado. O programa de previsão de carga possibilita, ainda, a

previsão da demanda por barra do sistema interligado, através dos

fatores de distribuição, obtidos pelas análises das curvas de consumo

(diário-semanal).

 Configurador de Redes: é responsável pela obtenção, em tempo-real,

da topologia da rede. Para isto, o configurador processa medidas

digitais, transmitidas pelo sistema SCADA, que consistem em

informações lógicas sobre os estados das chaves. Outra função do

configurador de redes está relacionada com a modelagem do sistema

externo, que por sua vez pode ser representado por equivalentes

reduzidos, através de métodos como Gauss ou Ward [8]. Porém, por se

tratar da parte não-supervisionada da rede, a configuração do sistema

externo não é processada em tempo-real, mas sim em intervalos de

tempos previamente definidos pelo centro de controle, ou quando existe

alguma alteração na rede externa e esta é comunicada ao operador.

 Programa de Pré-Filtragem: executa testes de compatibilidade sobre

as medidas analógicas, de modo a detectar e excluir possíveis medidas

errôneas contidas no plano de medição, as quais podem comprometer a

modelagem do SEP e, por conseguinte, os demais aplicativos do

sistema de análise de redes.

 Estimador de Estados: através das medidas lógicas processadas pelo

configurador de redes, das medidas analógicas aferidas pela

telemedição e pré-filtradas, e dos parâmetros estáticos da rede

(condutâncias e susceptâncias de linhas de transmissão, tapes de

transformadores, reatores/capacitores shunt, etc.), o sistema de análise

de redes executa um conjunto de programas computacionais,

denominado Estimador de Estados. Este é capaz de processar as

8

informações analógicas redundantes e contaminadas por ruídos, com a

finalidade de fornecer a melhor estimativa para as tensões complexas

nas barras pertencentes ao sistema interno. Os subprogramas ou

aplicativos inerentes ao processo estão divididos da seguinte forma:

- Análise de Observabilidade: verifica se as informações contidas no

conjunto de telemedidas são suficientes para o cálculo das tensões

complexas em todas as barras do sistema. Em caso negativo, o

algoritmo deve indicar as ilhas observáveis do sistema interno, ou as

pseudomedidas (dados históricos ou de previsão de carga)

necessárias para restauração da observabilidade;

- Estimação de Estados (propriamente dita): através da representação

matemática do SEP em equações algébricas não-lineares, realiza-se

o cálculo das variáveis de estado da parte observável do sistema;

- Processamento de Erros Grosseiros: é responsável pela detecção e

identificação de medidas com grau de imprecisão muito maior do que

o suportado pelo modelo de medição, ou seja, de medidas

portadoras de EG’s (Erros Grosseiros). Caso o algoritmo detecte e

identifique alguma medida com EG, esta é removida e as variáveis

de estado são novamente estimadas.

 Fluxo de Carga: visa à determinação das tensões complexas

(magnitude e ângulo) de todas as barras da rede interna e externa do

SEP. Para isto, o configurador deve conter, previamente, informações a

respeito da topologia e da previsão de carga da rede externa. Neste

programa, as tensões complexas são obtidas pela execução do

algoritmo de fluxo de carga, considerando as barras da rede interna

como referências (a partir dos resultados do estimador de estados), e as

da rede externa como tipos PV ou PQ. Também pode ser utilizado na

verificação dos efeitos de ações de controles preventivos ou corretivos,

antes mesmo destes serem executados.

 Programa de Análise de Segurança: é constituído por subprogramas

responsáveis pela seleção e simulação das contingências mais

plausíveis de ocorrer no SEP, em relação ao ponto de operação do

sistema obtido através da estimação de estados e do fluxo de carga.

9

Estas simulações podem ser estáticas ou dinâmicas. A partir dos

resultados dessas simulações obtém-se o estado operativo resultante de

uma determinada contingência.

 Fluxo de Carga Ótimo: é comumente utilizado para se determinar quais

as melhores estratégias de controle corretivo devem ser tomadas pela

operação e suas conseqüências para o sistema, em virtude de alguma

violação nos limites de operação. Neste aplicativo, busca-se encontrar

uma solução ótima que satisfaça as restrições de operação, de cargas, e

de segurança, sem alterar em demasia o ponto de operação do sistema,

podendo-se ainda agregar fatores econômicos, de modo a diminuir os

custos operativos.

10

2.2. ESTIMADOR DE ESTADOS

O Estimador de Estados é constituído de um conjunto de algoritmos que

processam telemedidas que são fornecidas pelo SCADA instalado no sistema.

As telemedidas são redundantes e geralmente corrompidas por erros de

medição oriundos principalmente da falta de aferição dos equipamentos de

medição, da conversão analógico-digital das grandezas elétricas e da

transmissão dos dados até o COS dentre outros fatores. Devido à pobre

qualidade das medidas, o objetivo principal da estimação de estados de um

sistema de potência é minimizar os erros de medição na base de dados de um

EMS.

Dentro dos sistemas de gerenciamento de energia, o estimador de

estados é a principal ferramenta para a construção de um modelo matemático

quasi-estático da rede em análise.

A principal expectativa é de que as estimativas obtidas para todas as

grandezas elétricas sejam mais confiáveis do que as correspondentes

grandezas elétricas medidas com a finalidade de fornecer uma base de dados

em tempo real e confiável que permite ao operador do sistema manter a

segurança operativa da rede.

Basicamente, a forma de obtenção dos estados da rede elétrica é que

diferencia a qualidade dos resultados obtidos através do estimador de estados

e do fluxo de potência.

Supondo-se ainda que a topologia e os parâmetros da rede elétrica sejam

conhecidos, é possível sob determinadas condições determinar os fluxos de

potência em qualquer ramo (linha de transmissão ou transformador) e/ou a

injeção de potência em qualquer barra, a partir do conhecimento das tensões

complexas nas barras do sistema. Esta é a razão pela qual as tensões

complexas nas barras são chamadas de variáveis de estado do sistema de

potência.

Num conjunto de medidas fornecido pelo sistema SCADA, as variáveis de

estado do sistema e os erros de medição estão relacionados através do

seguinte modelo de medição:

11





z h x



 

(2.1)

onde:

z

: vetor que contém as quantidades medidas;





h x

: vetor que contém os valores verdadeiros das quantidades medidas e que

são funções não-lineares dos estados;



: vetor cujos valores modelam os erros aleatórios de medição tais como:

imprecisão dos medidores, erros dos transformadores de medição, efeitos da

conversão analógico-digital das grandezas, etc.

Se tais observações são feitas através de instrumentos que possuem

classes de precisão diferentes, então é razoável supor que as medidas mais

precisas devem influir mais nas estimativas do que aquelas de menor precisão.

Uma forma de modelar matematicamente este fato é ponderar os erros

cometidos

i

r

pelo valor correspondente ao desvio-padrão

i



do medidor.

Ainda, tem-se que nem todas as medidas são obtidas simultaneamente,

ou seja, as medições que são obtidas em uma determinada varredura podem

estar enviesadas em até alguns segundos. Embora na maioria dos casos isto

não cause nenhum efeito na qualidade de estimativas, inconsistências nos

dados podem ocorrer quando o sistema de proteção atua ou quando o sistema

encontra-se em situação de transição em ritmo muito rápido. Nestes casos, as

estimativas seguras somente podem ser obtidas quando o sistema diminuir seu

ritmo de transição. Neste sentido, o estimador de estados não está em tempo-

real, mas está somente numa representação quasi-estática das condições da

rede. O estimador verdadeiramente dinâmico, estimação em tempo-real, requer

sistemas mais sofisticados de telemetria baseados no sincronismo na obtenção

de medidas através do GPS (Sistema de Posicionando Global) [11].

12

2.2.1. Observabilidade

Para uma adequada operação dos sistemas de potência, torna-se

necessário, obter uma estimação de estados confiável, que por sua vez,

depende do número, tipo e localização das medidas disponíveis.

Em primeiro lugar, o sistema deve ser observável para se obter uma

estimativa de todos os estados do sistema. Se houver medidas suficientes e se

essas estiverem distribuídas adequadamente através de toda a rede de tal

maneira que a estimação de estados seja possível, a rede é dita ser

observável. Se uma rede não for observável é ainda útil saber a parcela

conhecida que possa ter seus estados estimados, ou seja, determinar as ilhas

observáveis.

Nas partes observáveis da rede, a redundância de medição é definida

como a relação entre o número de medidas e o número dos estados, na

maioria dos casos, a redundância está na escala 1.7-2.2.

Assim, o primeiro passo para o sucesso de um estimador de estado é a

obtenção de um plano de medição confiável, isto é, um plano de medição que

atenda aos seguintes requisitos técnicos:

 Observabilidade e Confiabilidade: o número, tipo e localização dos

medidores e das UTR’s instaladas devem garantir a observabilidade do

sistema, mesmo com a perda simultânea de 1 ou 2 medidas quaisquer,

ou, até mesmo, com a perda de uma UTR;

 Detecção e Identificação de Erro Grosseiro: o nível de redundância

das medidas disponíveis deve garantir a ausência de medidas críticas e

de conjuntos críticos de medidas [12].

Todavia, possuir um plano de medição confiável não garante o sucesso

do estimador de estados. Isto porque, durante a operação de um sistema de

potência, podem ocorrer problemas no sistema de telemetria, acarretando a

perda de um número de medidas e/ou UTR’s. Em outras palavras, mesmo em

um sistema observável, as medidas fornecidas ao estimador de estados estão

sujeitas a erros grosseiros, o que pode inviabilizar o processo de estimação de

estados. Portanto, o estimador de estados deve ser robusto tanto para a perda

de medidas quanto para a ocorrência de medidas com erros grosseiros.

13

Em situações como essas, para que se torne possível uma estimação de

estados confiável, são necessárias as seguintes informações:

1. Se o sistema em análise continua observável;

2. Caso continue observável, é necessário verificar a existência de

medidas críticas e de conjuntos críticos de medidas;

3. Caso o sistema tenha perdido a observabilidade, determinar as

pseudomedidas necessárias à sua restauração, tornando o sistema

observável como um todo.

Existe um crescente interesse sobre a qualidade pobre de medidas

fornecidas pelo SCADA, medidas que, em geral, estão degradadas por erros

sistemáticos. Nisto, duas fontes de contaminação das medidas podem ser

previstas. A primeira deve-se a falta de calibração periódica dos instrumentos e

fatores como temperatura e ambiente que acarretam a deterioração da

exatidão do instrumento com tempo. A segunda fonte de erro nas medidas

refere-se às escalas em uso nos centros de operação, pois muitas vezes

trabalha-se com algum tipo de proporção incapaz de representar a não-

linearidade de alguns equipamentos como transformadores de corrente. Como

conseqüência, as medidas podem estar fortemente tendenciosas, tais medidas

são chamadas de outliers.

Outras fontes dos outliers incluem o enviesamento do tempo de medição,

sistema trifásico desequilibrado, falhas no instrumento de medição, fiação

incorreta, erros topológicos e paramétricos.

Há três tipos principais de algoritmos para a análise de observabilidade:

topológico, numérico e híbrido. O conceito do observabilidade topológica em

estimador de estados de sistemas de potência foi introduzido como exigência

parcial para obter a solução do sistema [13]. Os aspectos numéricos que

tangem a observabilidade foram realizados em [14] e uma análise de

observabilidade que faz uso de ambos aspectos: topológico e numérico foi

sugerido em [15], [16].

A inclusão de disjuntores, seccionadoras, ramos de impedância zero e

ramos com impedância desconhecidos no modelo generalizado de estimação

14

de estados tem motivado a extensão da definição de ilhas e observabilidade de

ilhas:

 Uma ilha é uma parte adjacente de uma rede com barras, linhas,

transformadores, chaves abertas, chaves fechadas e chaves com status

desconhecido como ramos.

 Uma ilha observável é uma ilha para a qual todos os fluxos dos ramos

podem ser calculados a partir das medições disponíveis independente

dos valores adotados como pseudomedidas [17].

O estimador de estados pode ser estendido para o restante do sistema de

interesse através da adição de pseudomedidas, que são baseadas na previsão

de carga e na programação da geração. Ao executar o estimador de estados

para este sistema aumentado, entretanto, deve-se ter cuidado a fim de evitar

que os estados estimados sejam corrompidos.

Por exemplo, considere o modelo C.C. para o sistema da Figura 2, onde

as reatâncias das linhas estão identificadas ao longo delas. Neste caso, há

quatro variáveis do estado (

k



,

1,2,3,4

k



) e quatro medidores (

1

0





,

12

P

,

1

P

e

2

P

). Se

x y



, o rank da matriz de Jacobiana é 4. Para

x y



o rank é 3 e neste

caso a matriz Ganho torna-se singular e o sistema não possui solução (embora

seja observável no sentido topológico). Os problemas numéricos podem

também ocorrer quando o valor de

y

se aproxima do valor de

x

, que pode

causar problemas numéricos levando a um sistema sem solução. Embora as

coincidências numéricas sejam relativamente raras, isto na prática ocorre [18].

15

Figura 2 – Exemplo: Modelo C.C.

Redundância Global de Medidas

Um índice bastante usado para qualificar o modelo de medição adotado é

referido como redundância global do sistema, definido por:

m

n





(2.2)

onde:

m

: representa o número de medidas disponíveis;

2 1

n N

  

: representa o número de estados estimados, sendo

N

o número de

barras do sistema.

Um índice adequado de redundância global de medidas associado às

técnicas de análise de observabilidade topológica permite obter pequenas

discrepâncias nos valores estimados em relação aos valores verdadeiros das

grandezas medidas. Por isto que o índice de redundância global quando

analisado isoladamente, não garante as condições mínimas de utilização de

métodos de identificação de medidas com erros grosseiros. Em trabalhos mais

recentes, o conceito de redundância global foi estendido ao problema de

redundância local de medidas [19], [20], [21].

Redundância Local de Medidas

O conceito de redundância local estabelece as condições mínimas e

necessárias para a correta identificação de erros grosseiros. Este conceito foi

x

y

x

2x

2

3

1

4

16

formalizado em EESEP (Estimação de Estados em Sistemas de Potência) por

Mili [22] e foi fundamentado inicialmente na teoria de estatística robusta por

Hampel [23].

O conceito de redundância local de medidas baseia-se nas definições de

conjunto fundamental e fração máxima de contaminação

,max

j

f

de medidas

associadas a cada estado [21], [22].

Define-se conjunto fundamental,





j i

Z z

 , como sendo o grupo de

medidas

i

z

associadas a cada variável de estado

j

x

. Portanto, o conjunto de

medidas que figuram em cada coluna da matriz Jacobiana é um conjunto

fundamental Assim, o número máximo de medidas com erros grosseiros

associadas a cada estado que pode ser processado por um estimador deve

obedecer a seguinte condição:

,max

1

2

j

m

f



 



 

(2.3)

onde

j

m

é o tamanho do

j

-ésimo conjunto fundamental

j

Z

, e a operação



 

 

representa a parte inteira do argumento.

A condição expressa na equação acima quando é respeitada permite aos

estimadores de estados obterem estimativas válidas na hipótese de que

medidas com erros grosseiros tenham sido corretamente identificadas.

Medidas Descartáveis

Considere um sistema composto por 6 barras mostrado na Figura 3. Uma

análise detalhada da observabilidade numérica deste sistema pode ser

encontrada em [25], [26].

17

Figura 3 – Sistema Exemplo de 6 barras

A análise de observabilidade (baseada somente na informação

topológica) encontrará duas ilhas observáveis e uma barra isolada, como

indicado na Figura 4. Isso porque a barra 4 tem ramos conectados não

observáveis - a medida de injeção da barra é descartável – fazendo com que

os fluxos de potência dos ramos 3-4 e 4-6 não possam ser determinados.

Assim a medida de injeção na barra 4 não ajuda em aumentar o tamanho da

ilha da barra 1 ou 2.

Após proceder a análise de observabilidade e ter detectado a presença de

duas ilhas observáveis, pode-se proceder por duas diferentes maneiras:

 Executar o estimador de estados para as ilhas da barra 1 e 2

separadamente e esquece-se sobre o nó não observável (barra 6);

 Introduzir pseudomedidas para tornar o sistema inteiro observável.

Se a segunda maneira for a escolhida, a medida descartada será uma

candidata natural para ser reintroduzida como uma pseudomedida; neste caso,

se for introduzida uma medida extra (injeção prevista na barra 3), além à

medida descartada, o sistema tornará inteiramente observável.

2

6

5

3

4

1

Medidor de fluxo

Medidor de injeção

18

Figura 4 – Ilhas Observáveis

Nenhuma pseudomedida é adicionada no caso do status desconhecido

de disjuntores e seccionadoras - há situações em que o status errado de um

dispositivo pode afetar a convergência do estimador de estados. Neste caso

pode ser preferível tratar esse status como desconhecido e prosseguir com

estimação dos estados, que pode ou não convergir para o status correto.

O sistema exemplo de 5 barras mostrado na Figura 5 representa parte de

um sistema real (conexão paralela de transformadores de três enrolamentos).

O algoritmo de observabilidade topológica facilmente encontrará que este

sistema de 5 barras é observável. Entretanto, a matriz Ganho correspondente

pode ser singular, isso acontece em algumas combinações de parâmetros dos

ramos, por exemplo, quando dois transformadores têm a mesma reatância. Em

termos práticos isto significa que o problema de estimação de estados não

possui solução, através da análise de observabilidade topológica. Este assunto

é crucial, porque o papel pretendido da análise de abservabilidade é selecionar

aquelas partes do sistema cujos estados não podem ser estimados.

Medida

Descartável

Ramos não

observáveis

2

6

5

3

4

1

Medidor de fluxo

Medidor de injeção

19

Figura 5 – Sistema Exemplo 5 barras

É importante observar que há outros tipos de medidas descartáveis. Uma

medida de fluxo em um ramo isolado forma uma ilha observável, mas em

situações normais há pouco valor em fazer a estimação de estados por ilhas.

Também, problemas numéricos não estão limitados a essas medidas.

Hoje em dia, são cada vez mais freqüentes redes observáveis excedendo

1300 barras, com uma diversidade de ferramentas de modelagem (ramos de

pequena impedância, linhas dc, capacitores em série, etc.), com muitos fatores

de ponderamento que afetam a estabilidade numérica da solução.

Enquanto os métodos de observabilidade não tiverem tratamento

prioritário, problemas de blindagem numérica continuarão a acontecer em cada

ciclo de estimação degradando o desempenho do estimador até que ações

corretivas estejam tomadas.

2.2.2. Tipos de Erros em Estimação de Estados

Tendo em vista as informações fornecidas ao processo de estimação de

estados em EESEP, o mesmo está sujeito a três tipos de erros:

 Erros Grosseiros: erros cujas magnitudes superam o limite de

3





;

 Erros Topológicos: erros devido a informações erradas dos estados

das chaves (disjuntores ou seccionadoras);

4

2

5

3

1

20

 Erros Paramétricos: erros causados por informações erradas de

parâmetros do sistema.

Erros Grosseiros

Os erros que se apresentam no intervalo de

3





são satisfatoriamente

filtrados pelo estimador de estado, devido à redundância das medidas. Erros

em medidas cujas magnitudes estão fora da faixa de

3





podem ser

considerados erros grosseiros. Estes erros não podem estar no conjunto de

medidas válidas porque comprometem o resultado do processo de obtenção

dos estados do sistema. Os erros grosseiros superiores a

20





costumam ser

identificados por algoritmos de pré-filtragem [27], o que diminui

consideravelmente o esforço computacional despendido pelo estimador na

etapa de processamento de erros grosseiros. As medidas com erros grosseiros

que se situam na faixa de

3





a

20





devem ser detectados e identificados

adequadamente. Para isto, vários métodos podem ser encontrados na literatura

[28], [29], [30], [31], [32].

A identificação e a classificação de medidas errôneas podem ser

consideradas uma saída adicional do estimador de estados, complementando

os resultados da análise de observabilidade, uma vez que as informações

sobre as medições rejeitadas e o motivo oferecem algum conhecimento sobre

a composição do conjunto de medição e possibilitam otimizar a localização e a

utilização da telemetria.

Com nível adequado da redundância, o estimador de estados pode

eliminar o efeito dos erros grosseiros ou ignorar provisoriamente algumas

medidas sem significativa perda da qualidade dos valores estimados.

Uma das técnicas para melhorar a redundância de medidas consiste em

acrescentar ao conjunto de telemedidas, informações sobre as condições de

carga de determinadas barras. Por exemplo, barras com injeções nulas são

informações que podem pertencer à classe de pseudomedidas a serem

adicionadas ao conjunto de medidas disponíveis. Estas informações permitem

melhorar as propriedades estatísticas dos estimadores por se tratar de uma

medida obtida na ausência de erros. Além disto, procedimentos como estes

permitem garantir que a condição necessária para a obtenção da solução única

21

para o problema de EESEP, através do método MQP (Mínimos Quadrados

Ponderados), seja assegurada quando o número de medidas disponíveis

m

for

maior, ou no mínimo igual ao número de estados

n

[28].

Detecção de Erros Grosseiros em Medidas

O método convencional de detecção de medidas errôneas baseia-se

comumente no teste de hipóteses que utiliza o índice





xJ

ˆ

, calculado no ponto

de solução. O índice





xJ

ˆ

representa a soma ponderada dos quadrados dos

resíduos para o modelo linearizado num ponto próximo à solução do problema.

O índice





xJ

ˆ

quando usado em um método de detecção de erros em

telemedidas, deve ser caracterizado estatisticamente tendo por base as

seguintes premissas:

 Consideram-se os erros de medição



como sendo normalmente

distribuídos, isto é,







,0 ;

 O modelo de medição é perfeitamente conhecido;

 O modelo linearizado de medição é obtido para um ponto

satisfatoriamente próximo à solução do problema.

As condições acima permitem formalizar o teste de hipóteses no qual o

índice





xJ

ˆ

se baseia, ou seja:



0

H

:





xJ

ˆ

tem uma distribuição Qui-Quadrada, com





m n



graus de

liberdade [63];



1

H

:

0

H

é falso.

O teste de hipóteses é implementado comparando-se o índice





xJ

ˆ

com

uma constante

K

, que é calculada tomando-se por base um determinado valor

de probabilidade de falso alarme

0



pré-fixada [33]. Assim, o limiar

K

é

calculado tomando-se:

22

0

2

( ),

m n

K







 (2.4)

onde

0

2

( ),

m n







é o percentil





0

1



 da distribuição Qui-Quadrada, com





m n



número de graus de liberdade.

Se





KxJ 

ˆ

, rejeita-se a hipótese de que não haja erros grosseiros, e se





KxJ 

ˆ

aceita-se a mesma.

Se a hipótese de que não haja EG’s for aceita, consideram-se confiáveis

os resultados obtidos pelo estimador de estados. Mas se essa hipótese for

rejeitada, importa identificar e eliminar as medidas que estejam com EG´s.

Quando o número de graus de liberdade,





 nm , a distribuição Qui-

Quadrada tende para a distribuição Normal.

Prova-se que para valores de





30 nm ,





2

( ); 0

, 2

m n

n n



  



   . A

equação de equivalência que permite converter a distribuição Normal numa

Qui-Quadrada é expressa por:

   

2

K m n K m n

     

(2.5)

Identificação de Medidas com Erros Grosseiros

Os métodos para detecção e identificação de EG’s baseados na análise

dos resíduos apresentam um bom desempenho para diversas situações, mas

possuem algumas limitações inerentes ao processo de estimação de estados

estática, que impossibilitam a detecção de EG’s em medidas críticas e a

identificação de EG’s em conjuntos críticos de medidas.

O processo de identificação de medidas com erros grosseiros realiza-se

por meio da análise dos resíduos normalizados.

Quando uma medida com EG é identificada, a mesma é eliminada do

conjunto de medidas, sendo necessário realizar uma nova estimação através

do novo conjunto de medidas. Assim, para situações em que ocorram EG’s

múltiplos esse processo torna-se muito pesado, pois, para cada medida com

23

EG que se elimine, torna-se necessário realizar uma nova estimação, até que

todas as medidas com EG’s sejam eliminadas, uma-a-uma.

Contudo, existem métodos que propiciam a eliminação de mais de uma

medida simultaneamente, reduzindo assim o tempo de processamento para a

detecção e identificação de medidas com EG’s [34].

Erros Topológicos

A estimação convencional é eficiente e funciona bem somente quando

determinadas suposições são válidas, de outra maneira podem severamente

funcionar mal. Para ilustrar um caso típico de erro topológico na múltipla

interação de dados com erros grosseiros. Os métodos de análise de erros

grosseiros tendem a classificar a vizinhança de dados bons como também

como erros grosseiros, e assim eliminá-los do processo de medição. Tão logo a

redundância local é perdida, as indicações de erros grosseiros desaparecem,

porém permanecem os erros de topologia.

Erros Paramétricos

É drástico o efeito de um erro de parâmetro, para o processo de EESEP,

normalmente intolerável, sendo, entretanto, menos evidente que os erros

grosseiros e topológicos [35], [36]. Os parâmetros do sistema podem estar

incorretos, oriundos de estimativas grosseiras do comprimento de linhas de

transmissão, alterações de projeto não atualizadas na base de dados,

preenchimento incorreto da base de dados, dados imprecisos fornecidos pelos

fabricantes dos equipamentos, variação dos parâmetros devido ao

envelhecimento dos componentes, etc.

Dentre os métodos desenvolvidos para o tratamento de erros de

parâmetros, destacam-se aqueles que aumentam o vetor de estados para

incluírem os parâmetros do sistema, como se eles fossem variáveis de estados

independentes. Assim, os parâmetros são estimados juntamente com os

ângulos e as magnitudes de tensão. Considerando o tratamento que se dá a

esse modelo aumentado, tais métodos podem ser divididos em dois grupos:

24

 Métodos que utilizam as Equações Normais: a limitação dos métodos

que utilizam as equações normais está relacionada a observabilidade,

isto é, raramente o número de medidas disponível é suficiente para

estimar todas as variáveis de estado “aumentadas”, uma vez que o vetor

de estados aumenta, mas o conjunto de medições continua o mesmo.

 Métodos que utilizam a Teoria do Filtro de Kalman: os métodos que

utilizam o Filtro de Kalman aumentam também o vetor de medidas,

através de pseudomedidas, que correspondem ao vetor de estados

aumentado estimado no instante anterior. Entretanto, a grande limitação

desse método está na determinação da matriz transição de estado. Na

maioria das pesquisas realizadas, essa matriz é considerada como

sendo uma matriz identidade, admitindo-se que o sistema seja quasi-

estático.

2.2.3. Medidas Críticas e Conjuntos Críticos de Medidas

A capacidade de um estimador em detectar ou identificar EG’s está

relacionada diretamente com o nível de redundância local das medidas. Essa

constatação motivou várias pesquisas relacionadas ao tema, sendo de

fundamental importância os trabalhos apresentados em [34],[57] os quais

introduziram, respectivamente, os conceitos de MC’s (Medidas Críticas) e de

CCM’s (Conjuntos Críticos de Medidas).

Medidas Críticas

Medida crítica é a medida que, quando perdida ou retirada do conjunto de

medidas, faz com que um sistema observável torne-se não-observável. Isto

acontece porque a medida crítica é a única medida que traz informação de uma

determinada variável de estado.

Analisando a estrutura da matriz Jacobiana, cujas linhas correspondem às

medidas e as colunas às variáveis de estado a serem estimadas, verificam-se

que as MC’s estão associadas às linhas linearmente independentes dessa

25

matriz. Como conseqüência, a retirada de uma dessas linhas causaria a

diminuição do rank dessa matriz.

Devido ao fato das MC’s representarem um risco para a observabilidade

de um SEP, a identificação desse tipo de medida é de grande importância para

a supervisão, pois essa tarefa torna possível ao projetista determinar onde e

que tipo de medidor deve ser instalado no sistema para garantir a ausência de

MC’s.

Conjuntos Críticos de Medidas

Conjunto crítico de medidas, também conhecido na literatura como

minimally dependent sets of measurements, ou bad data groups, pode ser

definido de duas formas [12]:

 Definição Numérica: os CCM’s são aqueles correspondentes as

submatrizes da matriz de covariância dos resíduos com rank igual a 1;

 Definição Topológica: CCM é o conjunto de medidas formado por

medidas não críticas, em que a eliminação de uma medida qualquer, a

ele pertencente, torne as demais medidas críticas.

A identificação dos CCM’s é importante para um desempenho confiável

do estimador de estados [37]. Isto porque, além desses conjuntos

representarem um risco para a observabilidade de um SEP, é impossível

identificar EG’s em medidas pertencentes a um CCM, já que apresentam

resíduos normalizados iguais [34].

26

2.3. ESTIMADORES DE ESTADOS ROBUSTOS

Estimadores robustos são aqueles que possuem comportamentos mais

estáveis mesmo sob desvios de suposições. Diversos conceitos propostos por

Hampel [39] permitem a análise da estabilidade de um estimador. Um desses é

a função influência, que descreve o efeito de um único outlier. Outro conceito

importante é o ponto de colapso

1





, que é definido como a máxima fração de

outliers que um estimador pode tratar. Estes conceitos permitem que se

projetem novas classes dos estimadores para exigências específicas. Até o

momento três gerações de estimadores robustos foram projetadas.

A primeira geração consiste nos Estimadores-M - Máxima

Verossimilhança. Esta classe foi proposta por Huber [40] e introduzida em

sistemas de potência por Merrill e Schweppe [41] e também por Handschin e

Schweppe [33] sob o nome de critérios não-quadráticos. Incluem-se como

casos especiais o Método dos Mínimos Quadrados Ponderados, em que

alguns outliers são rejeitados baseados no critério de ponderamento dos

resíduos, e o Método dos Mínimos Valores Absolutos Ponderados [42].

Entretanto, todos estes estimadores têm ponto de colapso zero, visto que

falham em rejeitar um único outlier quando este é um ponto de alavancamento,

chamado de ponto de alavancamento ruim. Em sistemas de potência, esses

pontos de alavamentos são comuns, e ocorrem geralmente associados a linhas

curtas de transmissão (baixa impedância) ou injeções em barramentos com

muita incidência de linhas.

A fim de limitar a influência de tais outliers, uma segunda família dos

estimadores foi proposta, os Estimadores-GM - Máxima Verossimilhança

Generalizada - [43]. Uma proposta feita por Handschin e Schweppe [33] na

área de sistemas de potência tratou em recolocar resíduos com pesos maiores

W

r

que os resíduos normalizados

N

r

em Estimadores-M. Embora este método

possa revelar a presença de um único ponto de alavancamento ruim, ele falha

mascarando múltiplos pontos de alavancamento. Em conseqüência, todos os

métodos baseados nos resíduos normalizados [43] [44] [45], incluindo

N

r

- o

teste da detecção tem um ponto de colapso

1/

m

(onde

m

é o número das

medidas).

27

Para superar estas deficiências, pesos mais robustos do que as entradas

diagonais da matriz de sensibilidade residual do estimador de Mínimos

Quadrados foram sugeridos em [43]. Entretanto, o ponto de colapso de tais

métodos não pode exceder

1/

n

(onde

n

é o número desconhecido a ser

estimado, que desaparece para sistemas grandes).

Uma terceira geração de estimadores robustos foi projetada recentemente

chamado de Estimadores de Elevado Ponto de Colapso [46], que fornecem a

solução correta mesmo se a metade das medidas redundantes forem pontos

de alavancamentos ruins. Esta é a quantidade máxima de dados ruins que um

estimador robusto pode tratar. Para um número maior, não se distingue dados

bons de ruins.

1

O conceito de ponto de colapso de um estimador deve ser entendido como sendo a

capacidade de produzir estimativas com desvios finitos na presença de pontos discrepantes.

2.3.1. Pontos de Alavancamento

Os pontos de alavancamento são definidos como os pontos de uma

regressão que estão distantes da nuvem de pontos no espaço fator e que

exercem uma influência anormalmente elevada na estimação de estados [47].

Em estimação de estados em sistemas de potência, o espaço fator é um

espaço

n

-dimensional que é composto pelas linhas transpostas

T

i

l

da matriz

Jacobiana

m n



. Os pontos de alavancamento de um modelo linearizado são

pontos da medida





,

i i

x y

cujo vetor l

i

define outliers no espaço fator [50].

28

Seja

( )

h x

H x

x







a matriz Jacobiana de dimensão

m n



. Considere que





1,...,

T

i

l i m

 seja o conjunto de

m

vetores-linha da matriz Jacobiana

ponderada

 

1

2

R H x



 . Cada um dos

m

vetores

i

l

define um ponto no espaço

fator

n

-dimensional de regressão. Há uma correspondência unívoca entre o

eixo das ordenadas desse espaço e as variáveis de estado. A principal

característica de cada vetor

i

l

é que têm poucos componentes diferentes de

zero. Isto significa que cada um deles está disposto em um subespaço vetorial

de dimensão muito menor que

n

, denominado de subespaço relevante dos

dados. Sua dimensão é igual ao número de elementos diferentes de zero

desse vetor. Por exemplo, a dimensão do subespaço relevante é igual a 4 para

medidas de fluxo de potência e geralmente não excede 14 para medidas de

injeção de potência, desde que

n

esteja na ordem de centenas. Quando o

modelo desacoplado é considerado, estas dimensões são reduzidas ainda

mais por um fator 2. Nesse caso, o vetor

i

l

das medidas de fluxo de potência

está disposto exatamente em um plano que passa pela origem. Este plano

contém os eixos associados aos ângulos de tensão nas barras terminais do

ramo cujo medidor esta localizado.

Na Figura 6(a) o erro está na direção de

x

(não é um ponto de

alavancamento), neste caso o método do Mínimo Valor Absoluto rejeita

automaticamente o outlier, sendo que o método do Mínimo Quadrado, por sua

vez, fornece as estimativas que são afetadas pelos erros grosseiros. Esta

propriedade tem servido como motivação para chamar o método do Mínimo

Valor Absoluto de robusto. No entanto, quando o método do Mínimo Quadrado

é utilizado, o erro pode ser corretamente identificado pelo critério de maior

resíduo normalizado e eliminado da estimação resultando, neste caso, nas

mesmas estimativas fornecidas pelo estimador de Mínimo Valor Absoluto.

Contudo, o mais complicado ocorre quando o outlier está no sentido do

espaço fator, isto é, o outlier é um ponto de alavancamento, como ilustrado na

Figura 6(b). Neste caso, o estimador de Mínimo Valor Absoluto considerará os

pontos de alavancamento como medidas perfeitas (medidas com resíduo zero).

29

Por isso, diz-se que o estimador de Mínimo Valor Absoluto perde sua robustez

quando os pontos de alavancamento estão presentes.

(a)

(b)

LS

–

Mínimos Quadrados L1

–

Mínimos Valores Absolutos

Figura 6 – Regressão linear,

y a b x

  

– em que as variáveis

a

e

b

são estimadas

(a) Outlier na direção de

y

; (b) Outlier na direção de

x

– ponto de alavancamento

Com isso pode se notar que há dois tipos de pontos de alavancamento. O

primeiro tipo consiste nos pontos de alavancamento ruins, que são pontos de

alavancamento contaminados por erros grosseiros em

i

x

e/ou em

i

y

. Eles

podem arruinar a função objetivo, que minimiza soma dos resíduos, em

qualquer estimador de estados - Estimadores-M. O segundo tipo consiste em

pontos de alavancamento bons, que realçam significativamente a exatidão dos

Estimadores-M sempre que não são subponderados. Por isso a necessidade

de identificar os pontos de alavancamento e classificá-los como bons ou ruins

[22], [48].

Embora a classificação dos pontos de alavancamento dependa somente

da variável independente

x

, sua classificação como dados bons ou maus

depende também dos valores medidos

i

y

, tanto quanto suas variâncias

correspondentes [49]. Considere os resultados apresentados na Tabela 1

obtidos a partir de um exemplo de regressão linear cujo modelo de medição é:

 

1

a

y x

b



 

  

 

 

(2.6)

30

onde

a

e

b

são os estados,

y

é o vetor contendo as observações e



é

o vetor que representa os erros aleatórios de medição. Na Tabela 1, a primeira,

segunda e terceira colunas representam os dados de regressão linear

mostrados na Figura 7. O exemplo de regressão linear considerado pondera

igualmente as medidas através de





1

2

1

i





 . A quarta coluna lista os

elementos da diagonal da matriz de covariâncias dos resíduos. A quinta coluna

relaciona o vetor de resíduos de estimação e a última coluna mostra os

resíduos normalizados. As duas últimas medidas listadas nesta tabela são

pontos de alavancamento ruins (medidas

6

b

e

7

b

).

Tabela 1 – Resultados do Exemplo de Regressão

Medida

n

eixo-x

Medidos





y

Estim

ados





ˆ

y

ii

W

i

r

i

n

r

1 1 0,5 1,5210 0,7243 -1,0208 1,1994

2 2 1,0 1,4660 0,7677 -0,4658 0,5316

3 3 1,5 1,4110 0,0026 0,0892 0,0996

4 4 2,0 1,3560 0,8289 0,6443 0,7077

5 5 2,5 1,3010 0,8466 1,1993 1,3034

6b 15 0,5 0,7510 0,5532 -0,2506 0,3370

7b 16 0,5 0,6960 0,4768 -0,1956 0,2833

O resíduo normalizado correspondente a cada medida não indica a

existência de erros grosseiros. Por outro lado, os efeitos dos pontos de

alavancamento ruins sobre os resultados da estimação podem ser vistos na

Figura 7. A reta tracejada indica o resultado da regressão linear se não fossem

consideradas as medidas

6

b

e

7

b

. Os valores estimados para os parâmetros

a

e

b

seriam onde

0,5

e

0

, o que resultaria no modelo de regressão linear:

onde

0,5 0

by x

 

. Dessa forma, os valores corretos estimados para as

medidas

6

a

e

7

a

seriam

7,5

e

8,0

, respectivamente. A linha traço contínuo

mostra o quanto os pontos de alavancamento ruins podem influenciar nos

resultados do problema de estimação. Assim é possível concluir que os

resíduos normalizados associados aos pontos de alavancamento ruins são

muito menores que os resíduos associados às outras medidas.

31

Figura 7 – Representação Gráfica do Modelo de Regressão

Neste caso, o modelo de regressão linear é o que resulta dos valores

estimados

by

, apresentados na Tabela 1.

O exemplo de regressão linear, considerando os pontos

6

b

e

7

b

,

0,055 1,576

by x

  

, indica que os métodos tradicionais de detecção e

identificação de erros grosseiros falham ao identificar medidas errôneas

classificadas como pontos de alavancamento, o que invalida completamente o

resultado de estimação. Portanto, as medidas classificadas como pontos de

alavancamento no problema de estimação de estados devem ser devidamente

identificadas e consideradas.

A Figura 8 ilustra uma situação mais dramática estudada originalmente

em [47]. No caso (a), os erros de medição são relativamente pequenos, e os

cinco primeiros pontos definem claramente uma tendência linear. Os dois

últimos pontos aparecem como pontos de alavancamento ruins com respeito a

esta tendência. O mesmo não é necessariamente verdadeiro no caso de (b), o

qual não possui uma tendência não tão bem definida como em (a), e onde

nenhum dos dados ruins seriam todos detectados desde que as estimativas

possam ser encontradas e compatíveis com todos os valores medidos (à

primeira vista 3



). No caso (a), Estimadores-M falharão em identificar pontos

de alavancamento ruins – os métodos utilizados classificarão quatro dos

primeiros cinco pontos medidos como dados ruins. Entretanto, uma abordagem

combinatorial poderá encontrar a solução desejada, isto é, uma solução que

rejeite somente dois dados ruins (pontos de alavancamento).

32

(a)

(b)

Figura 8 – Regressão linear,

y a b x

  

, com dois pontos de alavancamento – as variáveis

a

e

b

são estimadas e



é o desvio padrão da medida

y

.

Uma vez que as medidas classificadas como pontos de alavancamento

ocorrem normalmente em ramos de baixa impedância, pode-se contornar este

problema modelando esses ramos como ramos de impedância zero, com os

fluxos correspondentes considerados como variáveis de estados adicionais.

Estimadores de Escala ou Espalhamento

As distâncias definidas no espaço fator formado pelas linhas da matriz

Jacobiana devem possuir uma mesma base de comparação, permitindo

determinar quais medidas ou grupos de medidas estão discrepantes em

relação às demais. Neste sentido, as distâncias devem ser padronizadas por

um estimador de escala ou espalhamento. O estimador de escala mais

conhecido e utilizado é a variância

2



, que não é um parâmetro robusto porque

também é função de valores discrepantes. No entanto, existem estimadores de

escala de elevado ponto de colapso ou, simplesmente, estimadores de escala

robustos que, ao contrário da variância que mede o espalhamento dos pontos

em torno da média, os estimadores de escala robustos espelham a dispersão

dos pontos em torno da mediana [49].

Os estimadores de escala geralmente considerados são:

33



j

MAD

: Desvio Absoluto da Mediana (Median Absolute Deviation from

the Median)



j

S



j



A eficiência assintótica destes estimadores de escala é função do esforço

computacional dispendido. A Tabela 2 apresenta um quadro comparativo da

eficiência assintótica dos estimadores de escala considerados.

Tabela 2 – Estimadores de Escala Robustos

Estimador de Escala Mad

j

S

j



j

Eficiência Assintótica -



m

37% 58% 82%

A formulação matemática dos estimadores de escala

j

S

e

j



é

encontrada em [50], que também apresenta um exemplo numérico comparativo

do desempenho dos três estimadores de escala frente ao método tradicional,

este último baseado em resíduos normalizados.

Estimador de Escala – MADj

Na análise de sistemas elétricos, o estimador de escala

j

MAD

é o mais

indicado para estabelecer uma medida de dispersão que não sofre a influência

de medidas discrepantes [51]. A expressão do cálculo deste estimador de

escala é definida por:

1.4826 mediana

T

j k j j

MAD b h h

    (2.7)

onde

j

h

é a

j

-ésima linha da matriz Jacobiana e

k

b

é um fator de

correção introduzido para o caso em que o número de observações é

9



, [50].

Este parâmetro é definido conforme a Tabela 3:

34

Tabela 3 – Fator de Correção b

j

para j ≤ 9

k 2 3 4 5 6 7 8 9

b

j

1.196 1.495 1.363 1.206 1.200 1.140 1.129 1.107

Para

9

j



, tem-se:

0.8

j

bj

j





(2.8)

Cálculo dos Índices de Estatística de Projeção

O índice de projeção estatística de cada medida

i

Ep

pode ser

formalmente definido como sendo a maior distância resultante da projeção do

segmento de reta que une a

i

-ésima medida à mediana do conjunto de

medidas disponíveis, sobre todos os segmentos de reta igualmente obtidos

para as outras medidas [50]. Em face das características de esparsidade da

matriz Jacobiana, o esforço computacional é consideravelmente amenizado.

Neste sentido, além da esparsidade do problema, a simetria existente na matriz

de projeções deve ser explorada.

Em [51] sugere-se que o cálculo dos índices de estatística de projeção

pode ser realizado a partir da seguinte equação:

max

T

i j

j

l l

Ep

Es



 para j=1, 2, ... , m (2.9)

onde

l

é um vetor linha da matriz Jacobiana, já considerando a

ponderação relativa aos desvios-padrão das medidas, isto é, e

 

1

2

1

t

m

R H l l



   . O estimador de escala

j

Es

, correspondente à

j

-ésima

medida, tem a função de padronizar as projeções. O índice

i

Ep

determina o

quão distante cada linha da matriz Jacobiana está em relação ao conjunto

formado por todas as demais linhas dessa matriz. A maior vantagem deste

35

estimador de escala deve-se ao fato de pouco esforço computacional e maior

facilidade na implementação computacional.

Identificação de Pontos de Alavancamento

A identificação de medidas caracterizadas como pontos de

alavancamento baseia-se na comparação individual dos índices de projeção

estatística

i

Ep

com um valor correspondente a um limiar

i

b

. Ou seja, cada

medida tem um valor correspondente a um limiar que é função da distribuição

Qui-Quadrada

2

,97,5%





,cujo percentil de 97.5% e o número de graus de

liberdade



considerado é função do número de elementos não-nulos da

i

-

ésima linha da matriz Jacobiana [51]. Analiticamente, tem-se que a

i

-ésima

medida é considerada um ponto de alavancamento quando satisfaz a seguinte

condição:

2

,97,5%

i i

Ep b





  (2.10)

Modelagem de Pontos de Alavancamento

A incorporação de medidas caracterizadas como pontos de

alavancamento em problemas de regressão linear e não-linear é feita

atribuindo-se um peso adicional às medidas assim classificadas, além daqueles

referentes aos desvios-padrão das medidas [52].

O cálculo dos fatores de pesos adicionais para levar em conta possíveis

pontos de alavancamento é feito a partir da seguinte expressão:

2

min 1,

i

b

w

Ep

 

 

 



 

 

 

 

 

para i=1, 2, ... , m (2.11)

onde:

m

: número de medidas;

i

Ep

: índice de estatística de projeção correspondente à i-ésima medida.

36

i

b

: valor da distribuição Qui-quadrado

2

,97,5%





considerando um percentil de

97.5% e grau de liberdade



definido pelo número de elementos não nulos da

i

-ésima linha da matriz Jacobiana.

Nas medidas classificadas como pontos de alavancamento são atribuídos

pesos que variam entre 0 e 1.

2.3.2. Robustificando Estimadores – M

Os pesos





i i i

w w l

 dados pela equação (2.11) podem ser utilizados para

limitar a influência dos pontos da alavancamento nos Estimadores-M.

Isto pode ser conseguido através da análise da função objetivo de um

Estimador-M:

 

1

m

i

r

J x







 



 

 



(2.12)

onde









é uma função não-decrescente para resíduos positivos, e





0 0





. O índice





J x

é minimizado quando





0

J x

x







, produzindo:

1

0

m

i

r

l







 

 

 

 



(2.13)

onde













u u u

 

   é uma função impar (para exemplos típicos de









veja [53], [23], [54]).

O primeiro passo para a robustificação de um estimador-M é escolher um

limite da função









. Embora tal ação limite eficazmente a influência dos

outlying

i

z

com inlying

i

l

(conhecido como outliers verticais), nenhuma

proteção é dada contra os maus pontos de alavancamento.

37

De fato, estes últimos podem determinar completamente o ajuste - estes

resíduos podem permanecer pequenos sem considerar os valores de

z

.

Um meio para contornar esta dificuldade é multiplicar os vetores

i

l

em

(2.13) por uma função peso

i

w

que diminua o outlying

i

l

. Isto resulta no

formato Mallow dos Estimadores-GM [54]. A solução é dada por:

1

0

m

i

i i

i

r

w l







 

  

 

 



(2.14)

e minimiza

 

1

m

i

r

J x w







 

 

 

 



(2.15)

Um inconveniente óbvio de tal proposta é que os pontos de

alavancamento são subponderados sem restrições de seus resíduos, isto é,

sem restrições de ser um bom ou mau ponto de alavancamento. Mas bons

pontos de alavancamento melhoram significamente a exatidão das estimativas

e por isso, não devem ser subponderados. Isto pode ser conseguido usando

preferivelmente o formato Schweppe do Estimador-GM (2.12), (2.13). A

solução é dada por:

1

0

m

i

i i

i

i i

r

w l

w







 

  

 



 



(2.16)

e minimiza

 

2

1

m

i

i i

r

J x w

w







 

 

 



 



(2.17)

Na proposta original feita em [33], Schweppe sugere colocar

2

1

i ii

w

  

,

onde





1 1

1

2 2

t t

ii

R H H R H H R

 



        . Entretanto, neste trabalho será

38

utilizado o

i

w

dado por (2.11), porque este peso consegue tratar múltiplos

outliers. Para conseguir uma boa exatidão (eficiência estatística) quando os

erros dos medidores são gaussianos, a função de









é escolhida por ser

quadrática acima de um determinado valor, implicando que













i i i i i i

r w r w

  

  

. Isso conduz ao cancelamento de

i

w

implícito na

equação (2.16) e na função objetivo (2.17). Conseqüentemente, um ponto de

medição com pequeno resíduo normalizado,





i

S i i i

r r w



 

não é

subponderado mesmo sendo ponto de alavancamento ou não.

Para superar a dificuldade levantada pela existência de múltiplas soluções

não-robustas, pode-se fazer uso da função









de Huber, definida como:

 

sign

i

S

r

r c

r

c r

r c



















(2.18)

Que corresponde à função









dada por:

 

2

1

2

S

ii

i

S

r

r c

r

c

r c

c r















 





(2.19

Uma característica interessante deste estimador, denominado Estimador-

GM Schweppe-Huber ou Estimador SHGM, é que quando

0

c



, este se reduz

ao estimador de Mínimo Valor Absoluto Generalizado e quando

c

 

, este se

transforma no estimador de Mínimo Quadrado Ponderado - MQP. Como

resultado, se

c

for demasiado pequeno, os bons pontos de alavancamento

podem ser severamente subponderados. Se

c

for demasiadamente grande, a

tendência das estimativas, embora limitadas, podem ser significativas. Uma

boa escolha para

c

seria um valor que variasse de 1 a 3.

39

Figura 9 – Schweeppe Huber GM-Estimador comparado com o MQP

Definindo o estimador, é necessário derivar um algoritmo que encontre

uma solução para (2.17). Desse modo, utiliza-se o estimador de Mínimos

Quadrados Ponderados Modificado - MQPM porque é menos propenso a

problemas numéricos do que o método de Newton. Este algoritmo pode ser

derivado como segue:

Primeiro, a função de









em (2.16) é dividida e multiplicada por

i

S

r

,

fazendo com que o resultado matricial fique na seguinte forma:

1

0

t

H R Q r



   

(2.20)

Aqui





i

S

Q diag q r

 



 

,









i i i

S S S

q r r r





e





r z h x

  .

A primeira derivada da expansão da série de Taylor de





h x

sobre o

k

x

fornece:

















k k k

h x h x H x x x

    (2.21)

Finalmente substituindo (2.20) em (2.21), obtém-se:

     

1

1 1

t t

k k k k k k k

x H x R Q H x H x R Q r



 

 

        

 

 

(2.22)

Estimador

MQP

MQPM

domínio

40

onde o sobrescrito

k

denota a etapa da iteração.

Observe que a equação (2.22) é semelhante à equação do algoritmo

convencional MQP, exceto pela presença da matriz de pesos

Q

, que muda de

uma iteração para a seguinte. Os resultados de simulações mostram que este

algoritmo converge geralmente em poucas iterações (3 a 4 iterações) a partir

do flat start. Além disso, usando a matriz Jacobiana determinada no perfil plano

de tensões, o peso

i

w

necessita ser computado somente uma vez, que pode

ser feito off-line. (Contudo, é importante notar que este algoritmo é diferente do

sugerido em [33]).

Observação: a forma do Estimador Schweppe para o de Mínimo Valor

Absoluto Generalizado é definida por













i i i i i i

r w r w

  

  

e

















sign

i i i i i i

r w r r

   

   , que significa que (2.16) é idêntico a (2.13).

Conseqüentemente, a forma Schweppe reduz-se a de Mallows neste caso.

Como resultado, os pesos atribuídos pelo estimador de Mínimos Valores

Absolutos Generalizados aos bons pontos de alavancamento desaparecem

quando os pontos de alavancamento tornam-se extremos (por exemplo, em

grande parte reduzindo as linhas), implicando na eliminação virtual de um

conjunto de medições. Isto diminui o número dos outliers que podem ser

assegurados por este estimador.

41

As Transformações Ortogonais e o Problema dos Mínimos Quadrados

O Problema dos Mínimos Quadrados Linear surgiu originalmente da

necessidade de ajustar-se um modelo matemático linear a um conjunto de

observações. Uma das formas de se diminuir a influência de erros provenientes

dessas observações é utilizar-se um grande número de medidas, muito maior

que o número de variáveis a serem determinadas (variáveis de estado). O

problema resultante é um sistema de equações lineares sobre determinado,

com

m

equações e

n

variáveis de estado.

Há muitas formas de se definir a melhor solução para este problema. Uma

das maneiras mais simples e que leva a um problema computacional de fácil

solução, é definir o conjunto

x

das estimativas para as variáveis de estado

como sendo a solução do seguinte problema de otimização:

   

min

t

J A x b A x b

     

(2.23)

ou equivalentemente,

min

J A x b

  

(2.24)

onde o símbolo



denota a norma Euclidiana de um vetor. A matriz

A

é

denominada de Matriz de Observações e relaciona as variáveis de estado

x

com as observações contidas no vetor

b

.

Dentre as diversas maneiras pelas quais o problema (2.23) ou (2.24),

denominado de Problema de Mínimos Quadrados - MQ, as transformações

ortogonais estão entre as mais estáveis sob o ponto de vista numérico [55].

Uma matriz

Q

é ortogonal quando

t t

Q Q Q Q I

   

, onde

I

é a matriz

identidade. Uma importante propriedade das matrizes ortogonais é o fato de

que a norma Euclidiana de vetores aos quais são aplicadas é preservada.

Assim:

Q y y

  (2.25)

42

No contexto do Problema MQ, temos que:





Q A x b Q A x Q b A x b

          

(2.26)

Se

Q

for definida como uma transformação ortogonal que triangularize a matriz

A, isto é:

Q A R

 

(2.27)

onde

R

é uma matriz do tipo:

n

R

O



(2.28)

n

R

é uma matriz triangular superior de rank

n

e

O

é uma matriz nula de ordem





m n n

 

.

Portanto, o uso de transformações ortogonais permite que o Problema

MQ seja escrito como:

t

R x b

 

(2.29)

onde

t

b Q b

 

é o novo vetor do lado direito.

A equação (2.30) descreve um sistema triangular de equações de fácil

solução. As transformações ortogonais mais utilizadas na solução de um

Problema LS são as Reflexões de Householder e as Rotações de Givens

[55],[56].

O esforço computacional exigido pelas transformações ortogonais é

superior aos exigidos pela fatoração LU ou decomposição de Choleski [56].

Contudo, sua estabilidade numérica é bem superior. As Reflexões de

Householder operam a matriz

A

por colunas enquanto que as Rotações de

Givens operam por linha. Em Estimação de Estados em Sistemas de Potência,

o emprego de Rotações de Givens apresenta um desempenho melhor do que

43

as Reflexões de Householder já que a estrutura de dados comumente

encontrada nesta classe de Problema MQ é organizada por linhas [37].

Rotações de Givens Aplicadas ao Método MQPM

São duas as principais vantagens em usar rotações de Givens junto com

método MQPM. Primeiro, numérico: desde que a aproximação do MQPM seja

baseada nos fatores de ponderação da variância dos medidores através das

iterações, existe a possibilidade dos pesos vir a serem extensamente

propagados, aumentando assim as possibilidades de problemas numéricos na

solução através do método de mínimos quadrados [58], [59] - em tais

situações, métodos ortogonais exibem desempenho numérico superior [60],

[61], [62]. A segunda vantagem de empregar rotações de Givens é a habilidade

de eliminar uma medida em determinada iteração sem descartar a

possibilidade de resgate subseqüente [63]. De fato, atribuindo peso zero a uma

medida no método de Givens equivale a rejeitar seu efeito nas estimativas.

Contudo, a mesma medida pode ser reprocessada em uma iteração

subseqüente com um peso diferente de zero. Esta característica das rotações

ortogonais é particularmente vantajosa quando empregada junto com os

chamados estimadores com ponto de transição abrupto (estimadores AQC e

QC), desde que para estas medidas estimadas cujos resíduos padronizados

excederam o ponto de transição entre o segmento quadrático e constante da

função objetivo sejam atribuídos pesos zero. Em iterações posteriores,

entretanto, é possível que o resíduo se encontre dentro do segmento

quadrático da função objetivo, implicando que um peso diferente de zero possa

ser atribuído à mesma medida. Esta flexibilidade de comutar os pesos da

medida sem requerer nova fatoração é devido à propriedade reprocessamento

do método de Givens [60]. O algoritmo derivado é chamado de Método dos

Mínimos Quadrados com Reescalonamento Dinâmico Iterativo, ou LSIDR.

A opção pelo Método das Rotações de Givens com três multiplicadores

deve-se à sua robustez numérica e ao fato da matriz triangular resultante ser

diagonal unitária, fornecendo como subproduto, o somatório dos quadrados

dos resíduos necessário ao processamento de erros grosseiros. O método com

dois multiplicadores não é, por si só, numericamente estável [60], [64],

44

tornando-se necessário o uso de esquemas de controle para se evitar overflow

ou underflow durante a fatoração, como proposto em [56] e mais tarde adotado

por Vempati, Slutsker e Tinney. Além disso, a matriz triangular resultante não é

diagonal unitária, havendo a necessidade de calculo do somatório dos

quadrados dos resíduos e um pequeno esforço computacional adicional na

rotina de substituição reversa.

Equações Básicas

Baseado nas propriedades de matrizes ortogonais (

P

é ortogonal se

t t

P P P P I

   

, onde

I

é a matriz identidade) e a norma da matriz euclidiana

sob transformações ortogonais, isto é,

P y y

  , onde se pode concluir que:





P A x A x

P y y

   

  

(2.30)

Se

P

é definido de forma que triangulariza o peso da matriz Jacobiana,

y

P A T

P y T

 

 

(2.31)

onde

0

n

T

T 

(2.32)

e

y

T y

y





  





(2.33)

45

Na equação (2.33),

n

T

é uma matriz triangular superior de rank

n

e

O

é a

matriz nula de rank





m n n

 

. Similarmente,

y





e

y





, na equação (2.33, são

vetores de dimensão

n

e





m n



, respectivamente. Finalmente, a solução de

A x y

  

é encontrada através de simples procedimento substituição reversa,

através de:

n

T x y



  

(2.35)

Método dos Mínimos-Quadrados com Reescalonamento Dinâmico

Iterativo

O método MQPM é extensamente utilizado em regressão linear e suas

propriedades de convergência são bem conhecidas nas aplicações estatísticas

[65], [66], [67]. Em EESEP, este método foi primeiro explorado por Mili [34]. Em

realces deste trabalho o método MQPM faz uso de rotações de Givens para

resolver um problema de EESEP.

Os resíduos são incorporados no modelo de estimação após serem

padronizados como se segue:

i

S

i i

r

w







(2.36)

O denominador da equação (2.36) mostra que dois pesos distintos são

utilizados. O primeiro refere-se ao desvio padrão

i



dos erros dos medidores,

o segundo peso,

i

w

, é devido a aquelas medidas classificadas como pontos de

alavancamento [50].

46

2.4. SOLUÇÃO ITERATIVA DO PROBLEMA DE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS

Método de Equações Normais

A estimação de estado consiste no cálculo de variáveis de estado

desconhecidas, através de um conjunto de medidas não exatas. Logo, a

estimação obtida para as variáveis de estado desconhecidas também não será

exata.

Assim, o problema da estimação consiste em encontrar uma forma de

atingir a melhor estimativa, e para isto um dos critérios estatísticos existentes, o

que vem sendo mais utilizado em SEP, é o método dos Mínimos Quadrados

Ponderados.

Neste trabalho, considera-se por hipótese um modelo determinístico para

representar o sistema, isto é, admite-se que não existam erros nos parâmetros

do modelo. Tal representação é ilustrada pelo diagrama a seguir:

Figura 10 – Modelo Representativo do Sistema

Com relação a esse diagrama, podem-se escrever as equações não-

lineares para estimação de estado do sistema de potência como sendo:





z h x r

 

(2.37)

z

: vetor de medidas





1

m



;





h



: vetor de funções não-lineares que relacionam as medidas com as

variáveis de estado





1

m



;

x

: vetor de variáveis de estado





1

n



;

47

r

: vetor de erros de medidas





1

m



;

m

: número de medidas;

n

: número de variáveis de estado a serem estimadas.

O vetor

z

que armazena as quantidades medidas é organizado da

seguinte maneira:

v

t

u

z

p

q

 

 



 

 

(2.38)

em que

v

corresponde ao vetor de medidas de tensão;

t

corresponde ao vetor

de medidas de fluxo de potência ativa;

u

ao vetor de medidas de fluxo de

potência reativa e os vetores

p

e

q

referem-se às injeções de ativo e reativo,

respectivamente.

A razão pela qual o vetor de medidas

z

tem a estrutura acima não é

única. A principal motivação é a disposição assumida pelos elementos na

matriz de coeficientes do sistema de equações lineares resultante do problema

de EESEP. A estruturação de dados adotada favorece a fatoração da matriz

ˆ

x

G

(modelo clássico), ou ainda, da matriz

ˆ

x

H

(solução via métodos ortogonais,

por exemplo: Método de Givens), pois diminui o número de enchimentos (fill in)

durante o processo de fatoração das matrizes anteriormente referidas.

Os erros das medidas

r

são considerados como variáveis aleatórias

independentes, com distribuição Gaussiana de média zero [33]. Chamando de

R

a matriz de covariâncias dos erros das medidas, com dimensão

m m



, tem-

se:

2

1

2

m

R







(2.39)

48

onde,

2

i



é a variância do erro da medida

i

r

;

Através da aplicação da teoria de mínimos quadrados ponderados, a

melhor estimativa do vetor de variáveis de estado

x

, aqui designado por

ˆ

x

,

pode ser obtida determinando-se o valor de

x

que minimize o índice





J x

[38],

dado por:

 

1

2

t

J x r R r



   

(2.40)

ou

     

1

2

t

J x z h x R z h x



     

   

   

(2.41)

sendo

1

R



o inverso da matriz de covariância das medidas.

O índice





J x

é minimizado quando:





0

J x

x







(2.42)

ou

   

1

ˆ ˆ

0

t

H x R z h x



   

 

 

(2.43)

sendo





ˆ

H x

a matriz de primeiras derivadas das funções não-lineares do vetor





h x

calculada no ponto representado pelo vetor de variáveis de estados

estimados

ˆ

x

, que é representada por:

 





ˆ

x x

h x

H x

x









(2.44)

49

Linearização do Modelo de Medição

Desde que o índice





J x

seja representado por uma função quadrática,

expressa em termos de um vetor de equações não-lineares, a solução de

ˆ

x

exige a aplicação de um método iterativo que resolva uma equação linear a

cada iteração, de modo a calcular a estimativa corrente do vetor de variáveis

de estado através de sucessivas correções [38], dadas por:

1

k k k

x x x



  

(2.45)

No entanto, para a determinação da correção

k

x



, considera-se

inicialmente a linearização das equações





h x

em torno do ponto

k

x

,

representada pela expressão:













1

k k k k

h x h x H x x



  

(2.46)

Reescrevendo a equação (2.37) em relação às aproximações realizadas

em





h x

, obtêm-se o modelo linearizado:









k k k

z h x H x x r

    

(2.47)

ou ainda













k k k k

z x z h x H x x r

     

(2.48)

sendo





k

z x

 definido como vetor dos resíduos de medição. A partir do

modelo de medição linearizado, a função objetivo





J x



torna-se:

 

















1

t

k k k k k k

J x z x H x x R z x H x x



   

         

   

(2.49)

cujo mínimo é calculado a partir de

50





     

1

0

t

k k k k

J x

H x R z x H x x

x



 

 

      

 



(2.50)

Logo, a solução pode ser processada pela seguinte expressão:

       

1

1 1

t t

k k k k k

x H x R H x H x R z x



 

 

      

 

 

(2.51)

que é denominada Equação Normal:









1

t

k k k

H x R H x G



  

(2.52)

onde

G

representa a matriz ganho ou matriz de informação.

O processo iterativo começa a partir de uma estimativa inicial

0

x

, e a cada

iteração as correções nas variáveis de estado

k

x



são obtidas através da

equação (2.51). A atualização do vetor de variáveis de estado é obtida através

da relação iterativa representada na equação (2.45), até que o seguinte critério

de parada seja satisfeito:

max

i

x



 

(2.53)

no qual



denota uma tolerância previamente estabelecida. Assim, este critério

indica que o processo iterativo é encerrado quando a magnitude dos ajustes

nas variáveis de estado for desprezível.

51

2.4.1. Método de Gauss-Newton

Outra maneira de se obter a correção

k

x



é através do método de Gauss-

Newton [38]. Neste caso, a função





J x

é expandida em série de Taylor até o

termo de segunda ordem, em torno do ponto

k

x

ao longo da direção

x



:

   

2

1

2

k

t

k k

t

k k k k k k

x x

J x J x

J x x J x x x x

x x



 

 

         

 

 

(2.54)

sendo,





k

x x

J x

x





e





2

k

x x

J x

x





, o vetor das primeiras derivadas ou gradiente

de





J x

, e a matriz das segundas derivadas ou Hessiana de





J x

,

respectivamente.

Obtêm-se o mínimo da função





k k

J x x

  através da diferenciação da

mesma em relação à

x



e igualando o resultado à zero, da seguinte forma:

 

   

2

0

k

t

k k

k

x x

J x J x

J

x

x x x



 



   

   

(2.55)

ou

   

2

k

t

k k

k

x x

J x J x

x

x x



 

  

 

(2.56)

Sendo o gradiente de





J x

calculado a partir de:

52

 

   





 

1

2

k

t

k

x x

t

k

x x

z h x R z h x

J x

x x

J x

h x

R z h x

x x









 

       



   

 



 

 

 

 



 

      

 

 

 

 

(2.57)

tem-se:

 

1

2

k

t

k

t

k

x x

J x

H x R z

x







    



(2.58)

onde,





k

H x

e

z



conservam os mesmos significados descritos

anteriormente.

Aplicando-se um procedimento análogo para o cálculo da matriz das

segundas derivadas de





J x

, obtém-se:





 

2

1

2

k

t

k

x x

J x

h x

R z h x

x x x





 



 



 

     

 

 

 

  

 

 

 

(2.59)

Considerando-se desprezíveis as variações da matriz





k

H x

nas

proximidades da solução, ou seja:

 





h x

H x cte

x



 



(2.60)

logo,





   

2

1

2

k

t

x x

J x

H x R H x

x







    



(2.61)

53

Através da equação (2.61), a equação (2.55) é re-escrita como:

     

1 1

t t

k

H x R H x x H x R z

 

 

     

 

(2.62)

que é idêntica a equação obtida pelo modelo de medição linearizado –

Equação Normal.

Aspectos sobre a Equação Normal

No sistema linear expresso pela equação (2.51), a matriz

1

R



é diagonal.

Devido a isto, o produto matricial

1t

H R H



 

(matriz Ganho ou de Informação),

é aproximadamente duas vezes mais denso que a matriz

H

.

Se por um lado, a matriz

H

é esparsa, a matriz Ganho

G

possui número

reduzido de elementos não-nulos, o que impossibilita o uso de técnicas de

compactação e esparsidade empregadas na fatoração da matriz

H

. Todavia,

esta matriz é simétrica em estrutura e valor, e semi-definida positiva, o que

também facilita a sua fatoração.

O plano de medição, contudo, deve ser elaborado de modo que a

disposição, número e configuração das medidas disponíveis assegurem a não

singularidade da matriz

G

, ou seja, que o sistema seja observável.

Os elementos da matriz Jacobiana





k

H x

são obtidos derivando-se as

expressões de





h x

(equações de injeção de potência nas barras, fluxo de

potência nas linhas de transmissão, magnitudes das tensões, ou magnitudes

de corrente) em relação ao vetor de variáveis de estado

x

, formado pelas

tensões complexas nas barras do SEP. Apesar da simplicidade com que se

podem expressar analiticamente essas derivadas, o cálculo de seus valores

numéricos deve ser feito da forma mais eficiente possível, já que são

requisitadas inúmeras vezes na formulação convencional [38].

54

2.5. MODELO GENERALIZADO DE TRANSFORMADORES

O modelo equivalente de transformadores utilizados em estudos de fluxo

de carga e estimação de estados é composto por uma impedância

km

z

em série

e um autotransformador ideal no lado primário, com uma relação de

transformação dada por

km

t

. Tal modelo pode ser visualizado através da Figura

11:

(a)

(b)

Figura 11 – Modelo equivalente de transformadores

km

z

: impedância equivalente referida ao secundário do transformador;

km

I

: corrente elétrica que flui do primário para o secundário do transformador;

mk

I

: corrente elétrica que flui do secundário para o primário do transformador;

km

t

: tape referido ao secundário do transformador;

km

t

: tape referido ao primário do transformador;

Comumente os dados da rede são representados conforme a Figura 11

(b) [68], porém, para facilitar e simplificar o equacionamento de fluxo de

potência, a representação adotada neste estudo será a da Figura 11 (a). Se os

dados do transformador estão de acordo com a representação da Figura 11 (b),

basta converter a relação da seguinte forma:

55

1

km

t

 (2.63)

2.5.1. Tapes de Transformadores como Variáveis de Estado

O desempenho do software em tempo real para a monitoração e

otimização da segurança do sistema de potencia depende significativamente

da exatidão do modelo elétrico da rede e de seus parâmetros. As impedâncias

e susceptâncias das linhas e dos transformadores de tape fixo podem ser

considerados como parâmetros constantes. Por outro lado, os tapes de

transformadores que possuem controle local ou remoto podem ser modelados

como variáveis de estado.

A sensibilidade dos resultados do estimador de estados para ajustes

incorretos do PTT (Posição de Tape de Transformador) tem sido objeto em

diversos trabalhos [69], [70]. Alguns problemas causados pelos parâmetros dos

transformadores durante a execução do software de estimação de estados em

sistemas de potência em tempo real são relatados em [71]. O incorreto valor da

posição do tape pode degradar significativamente os resultados da estimação

de estados e causar detecção múltipla de dados com erros grosseiros em

medidas corretas conectadas em transformadores.

Duas principais aproximações para a estimação de PTT podem ser feitas:

ESEPT (Estimação Simultânea de Estados e de Posição de Tapes) [70] e os

métodos baseados na análise residual do estimador de estados [69], [72], [73].

Um método geral de estimação paramétrica [74] também pode ser unido ao

segundo grupo das aproximações. Um método independente do processo de

estimação de estados foi considerado em [75] e a aproximação do

reconhecimento é aplicada em [76].

Formulação do Problema

A estimação da posição do tape de transformador que usa a aproximação

ESEPT é baseado no aumento do vetor de estados. Tal operação contribui

56

para a não-linearidade das equações de fluxo e diminui a redundância local das

medidas. Conseqüentemente, as medidas adjacentes a transformadores

tornam-se freqüentemente críticas ou compõem pares críticos. Nestes casos a

detecção ou a identificação de erros grosseiros torna-se impossível sem o uso

de informações adicionais. As dificuldades no processamento de erros

grosseiros durante a estimação de estados e do PTT também foram indicadas

em [77].

Um outro problema, diretamente relacionado à redundância local das

medidas, é a capacidade de filtragem do algoritmo de estimação. A redução da

redundância local aumenta a sensibilidade das estimativas da posição de tapes

ao ruído das medidas. Dessa maneira, faz-se necessário primeiramente

executar uma filtragem das medidas adjacentes a transformadores (fluxo de

potencia reativa no transformador e injeções de reativo e magnitude de tensão

nas barras próximas ao transformador). O efeito do tape é tanto maior quanto

menor for a impedância do ramo ao qual ele está associado.

Na filtragem os resíduos normalizados são calculados e comparados com

um limiar. As medidas que correspondem aos resíduos normalizados que

excedem esse limiar são sinalizadas como dados suspeitos. Os grandes

resíduos filtrados podem ser causados tanto por um erro grosseiro na medida

quanto por uma mudança abrupta dos estados do sistema que não pode ser

prevista pelo modelo dinâmico. No caso de erros grosseiros, as medidas

suspeitas devem ser removidas da série de dados, enquanto que na mudança

abrupta de estados deve utilizado o algoritmo ESEPT porque essas medidas

contêm informações importantes acerca do estado do sistema. A fim de

discriminar a mudança de estado abrupta a partir da ocorrência de erros

grosseiros, o seguinte procedimento é utilizado:

 Se a medida, na base do resíduo normalizado filtrado, for sinalizada

como suspeita, é ainda utilizado o algoritmo ESEPT, porém sua

variância é aumentada de tal maneira que sua influência no resultado do

estimador de estados é limitada. Depois que o ESEPT é executado, a

detecção e eliminação de medidas com erros são realizadas. No início,

as medidas suspeitas são processadas.

57

 Se a medida estiver marcada como suspeita e seu resíduo normalizado

exceder o limiar, esta medida é classificada como erro grosseiro e

removida do conjunto de medidas. Senão considera-se como uma

medida correta. Tal procedimento permite a identificação correta de

dados com erros grosseiros nos pares críticos das medidas que são

utilizadas geralmente na estimação de PTT.

Atribuição de Pesos às Medidas de Posição de Tapes de Transformadores

O tape

km

t

é uma variável de estado do problema e tem de ser tratado

como tal. Caso não seja realizada a estimação desses valores, eles serão

tratados como parâmetros sem erro e, caso existam erros no valor fornecido ao

estimador, esses serão distribuídos entre as grandezas estimadas causando

erro no modelo (semelhante a um erro no parâmetro de uma linha, por

exemplo). São freqüentes casos em que a admitância do ramo do circuito

equivalente do transformador onde está o tape está alocado assume valores

elevados, tornado o problema muito mais sensível ao valor de

km

t

.

A seguir mostram-se os resultados obtidos (somente erros grosseiros)

sem estimação de tapes, ou seja, utilizando os tapes como parâmetros:

Ger.Pseudomedida

-----------------

Medido Gerado

------- --------

v 003 0.983 0.997

v 005 1.029 1.013

t 005-111 -8.700 3.000

t 005-105 -16.600 -5.700

q 104 0.000 12.800

A ponderação utilizada para a medida de tapes nesta simulação foram

iguais a

1000,0

.

Os resultados com estimação de tapes estão mostrados a seguir:

Medido Estimado Resíduo R.Norm.

------- -------- ------- --------

tap 002-102 0.981 0.998 -0.0174 0.000

tap 003-103 0.999 0.994 0.0048 0.000

tap 004-104 1.017 1.052 -0.3460 0.000

tap 005-105 1.024 1.065 -0.0408 0.000

58

Ger.Pseudomedida

-----------------

Medido Gerado

------- --------

v 005 1.029 1.013

u 005-111 6.300 15.500

Notar a redução nas medidas com erros grosseiros. Se aumentarmos as

ponderações dos tapes para

10000,0

, os resultados estão como mostrados a

seguir:

Medido Estimado Resíduo R.Norm.

------- -------- ------- --------

tap 002-102 0.981 0.995 -0.0141 0.000

tap 003-103 0.999 0.995 0.0044 0.000

tap 004-104 1.017 1.044 -0.0275 0.000

tap 005-105 1.024 1.033 -0.0091 0.000

Ger.Pseudomedida

-----------------

Medido Gerado

------- --------

v 005 1.029 1.014

t 005-111 -8.700 2.700

u 005-111 -16.600 -7.000

Notar que os resíduos nos tapes diminuem e aparece uma nova medida

com erro grosseiro. Se aumentarmos muito a ponderação dos tapes será

reproduzido o caso inicial em que o tape é considerado parâmetro.

59

2.6. MODELAGEM EM COORDENADAS POLARES

2.6.1. Equações de Fluxo de Potência

Generalizando o modelo equivalente de linhas de transmissão e

transformadores (em fase ou defasadores), obtêm-se o modelo da Figura 12

para fluxo de potência entre duas barras:

Figura 12 – Modelo



generalizado para equacionamento de fluxo de potência

onde

1:

km

t

representa a relação de transformação do autotransformador ideal,

e

j

km km

t a e



 

.

Com isso, a expressão generalizada de fluxo de potência da barra

k

para

barra

m

resulta:

(2.64)









 

   

2 2

cos sen

km km k km km k m km km km k m km km

sh

km km k km km km k m km km km k m km km

P a V g a V V g a V V b

Q a V b b a V V b a V V g

   

              

                

Já a expressão generalizada de fluxo da barra

m

para barra

k

fica:

(2.65)









 

   

2

cos sen

mk m km km k m km mk km k m km mk

sh

mk m km km km k m km mk km k m km mk

P V g a V V b a V V g

Q V b b a V V b a V V g

   

             

               

Observações

 Observe que o efeito do transformador está relacionado à barra

k

, isto

porque o transformador está conectado a esta barra. Assim, é de vital

importância observar que a relação

mk

a

não faz parte do

60

equacionamento, logo, deve-se tomar cuidado na hora de se

implementar os fluxos da barra

m

para a barra

k

.

 Na expressão generalizada de

km

Q

, o termo

2

km

a



aparece multiplicando

sh

km

b

, o que fisicamente não existe, porém, não é errado o seu uso, já que

se o dispositivo for uma linha de transmissão

km

a

vale

1

, não afetando de

forma errônea a expressão de fluxo reativo. Se o dispositivo envolvido

for um transformador,

sh

km

b

é igual à zero, ou seja, não causa nenhum

prejuízo a expressão.

2.6.2. Equações de Injeção de Potência

Para se obter o equacionamento das injeções de potência em barras,

primeiramente deve-se obter o valor líquido de injeção de corrente numa barra

genérica considerando todos os fluxos de corrente incidentes sobre ela. A

Figura 13 ilustra esta situação:

Figura 13 – Correntes incidentes possíveis numa barra genérica

k

.

Assim, para o caso geral, a seguinte equação é válida:

k

sh

k k km

m

I I I



 



(2.66)

para

1,2, ,

k N





, onde

k

é um nó genérico,

m

é um nó adjacente a

k

,



é o

conjunto de nós adjacentes a

k

, e

N

é o número de nós do sistema.

61

Através das relações complexas de corrente para linhas de transmissão e

transformadores (defasadores ou não) desenvolvidas na seção anterior,

esboça-se a forma unificada de fluxo de corrente da barra

k

para barra

m

:









2 sh j

km km km km k km km m

I a y jb E a y e E





        

(2.67)

Dessa forma

k

I

pode ser reescrita como:

   

2

k k

sh sh j

km k km km km k km km m

m m

I jb a y jb E a y e E





 

 

         

 

 

 

(2.68)

A equação (2.68) pode ser rearranjada na forma matricial como:

I Y E

 

(2.69)

sendo:



I

o vetor de injeção de corrente no nó, com dimensão

1

N



;



Y

a matriz de admitância do sistema, com dimensão

N N



;



E

o vetor de tensão no nó, com dimensão

1

N



.

Os elementos da matriz

Y

não pertencentes a diagonal principal, são

formados da seguinte forma:

j

km km km

Y a y e





    (2.70)

Já os elementos da diagonal principal de

Y

são:





2

k

sh sh

kk k km km km

m

Y y a y y



   



(2.71)

Assim, a forma matricial completa da injeção de corrente da barra

genérica

k

fica:

62

k

k kk k km m

m

k km m

m K

I Y E Y E

I Y E





   

 



(2.72)

onde

K

é o número de barras adjacentes à barra

k

, incluindo ela mesmo.

A matriz

Y

é comumente decomposta em parte real e imaginária, sendo

estas representadas respectivamente por

G

e

B

, ou melhor,

km km km

Y G j B

  .

Logo, a expressão da injeção de corrente resultante torna-se:





k km km m

m K

I G j B E



  



(2.73)

Da expressão de injeção de potência complexa em uma barra, segue o

equacionamento a seguir:

(2.74)

   

 

2

2 2

2 2 2

k

k k

k m

k k

k k k k k

j sh sh j

k k k km km km k km km m

m m

j

sh sh

k k k km km km k m km km

m m

sh

k k k k km km km

S P jQ E I

S V e jb a y jb E a y e E

S V jb a y jb V V a y e

S V jb V a g jb

 

  

 

 

 

  



 



   

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

          

 

 

      

 

    







cos sen

k

sh

km

m

k m km km km km km

m

jb

V V a g jb j

   



 



 

 

        

 



Separando-se a parte real da imaginária, tem-se:

(2.75)









 

   

2 2

cos sen

sen cos

k k

k

k k km km k m km km km km km

m m

sh sh

k k km km km km

m

k m km km km km km

m

P V a g V V a g b

Q V b a b b

V V a g b

   

 



 

           

 

 

      

 

 

 

        

 

 



63

Composição da Matriz Jacobiana

A composição da matriz jacobiana

H

depende diretamente da seqüência

ou posição das variáveis de estado e do vetor de medidas. A Figura 14 mostra

uma possível estruturação da matriz jacobiana.

(2.77)

2 3 1 2

2

1

N N km

km km km km km km

km

N N

k

m

km

mk

km

mk

k

m

k

m

V V V a

a a a a a a

a

V V V

V

t

H

u

p

q

  



 

 

     

 

     

 



















































































 

 





Figura 14 – Estrutura da Matriz Jacobiana para um Plano de Medição com Tapes de

Transformadores, Fluxos e Injeções de Potência e Magnitudes de Tensão

Em estimação de estado, a barra de referência é utilizada apenas como

referência angular, diferentemente do problema de fluxo de carga, para o qual

a barra de referência também serve para fazer o balanço de carga do sistema.

Assim, no problema de estimação pode-se escolher qualquer barra como

referência angular, porém, a coluna da matriz

H

referente ao ângulo de

referência deve ser eliminada do processo.

64

Derivadas Parciais

   

 

2

2 cos sen

sen cos

2 cos s

km

km k km k m km km km km

km

km k m km km km km

k

km

km k m km km km km

m

km

km k km km m km km km

k

P

a V g V V g b

a

P

a V V g b

P

a V V g b

P

a V g a V g b

V

   



   



 



 

           

 



 

        

 



 

         

 



          







   

2

en

cos sen

km

km k km km km km

m

P

a V g b

V

 

   

 



 



 

        

 



 

   

 

2

2 cos sen

sen cos

2 c

sh

km

km k km km k m km km km km

km

km k m km km km km

k

km

km k m km km km km

m

sh

km

k k km km km m km

k

Q

a V b b V V b g

a

Q

a V V b g

Q

a V V b g

Q

a V b b a V b

V

   



   





 

             

 



 

         

 



 

        

 



         



  



   

os sen

cos sen

km km km

km

km k km km km km

m

g

Q

a V b g

V

   

 

   

 



 

       

 



65

x

y

V

Vy

Vx



2.7. MODELAGEM EM COORDENADAS RETANGULARES

Se na abordagem em coordenadas polares a tensão em cada barra é

expressa em módulo e ângulo, nesta abordagem a tensão será dada a partir de

suas coordenadas no plano cartesiano

x y

. Assim para uma determinada barra

k

do sistema, a tensão é dada por

Vx

e

Vy

:

Figura 15 – Plano cartesiano

x y

onde se podem obter as seguintes relações entre as coordenada polar e

retangular:

2 2

V Vx Vy

 

1

tan

Vy

Vx





 (2.78)

Assim, substituindo as variáveis acima na equação (2.75), têm-se as

seguintes equações de fluxo e injeção neste tipo de coordenada.

66

2.7.1. Equações de Fluxo de Potência





 

2 2

km km k km km k km m km m

km k km m km m

sh

km km k km km km k km m km m

km k km m km m

P a V g a Vx g Vx b Vy

a Vy b Vx g Vy

Q a V b b a Vx b Vx g Vy

a Vy g Vx b Vy

         

     

           

     

(2.79)

2.7.2. Equações de Injeção de Potência





 

2 2

k k

k

k k

k

k k km km k km km m km m

m m

k km km m km m

m

sh

k k km km km k km km m km m

m m

k km km m km m

m

P V a g Vx a g Vx b Vy

Vy a b Vx g Vy

Q V a b b Vx a b Vx g Vy

Vy a g Vx b Vy

 



 



         

     

           

     

 



 



(2.80)

A aplicação do processo iterativo de Newton-Raphson na solução das

equações não lineares (2.79), referentes a todas as barras, resulta num outro

conjunto de equações semelhantes a (2.64), mas que cuja solução representa

as correções das componentes real e imaginária das tensões. Assim sendo, a

matriz Jacobiana difere da anterior, sendo calculada tomando-se as derivadas

parciais das equações de potência ativa e reativa em relação a estas novas

variáveis de estado.

67

Composição da Matriz Jacobiana

A composição da matriz jacobiana

H

, do mesmo modo que na forma

polar, depende diretamente da seqüência ou posição das variáveis de estado e

do vetor de medidas. A Figura 16 mostra uma possível estruturação da matriz

jacobiana.

(2.81)

2 3 1 2

2

1

N N km

km km km km km km

km

N N

k

m

km

mk

km

mk

k

m

k

m

Vy Vy Vy Vx Vx Vx a

a a a a a a

a

Vy Vy Vy Vx Vx Vx

V

Vy

V

Vy

t

Vy

t

Vy

H

u

Vy

u

Vy

p

Vy

p

Vy

q

Vy

q

Vy







     



     















































 







 



Figura 16 – Estrutura da Matriz Jacobiana para um Plano de Medição com Tapes de

Transformadores, Fluxos e Injeções de Potência e Magnitudes de Tensão

68

Derivadas Parciais

   

 

2

km

km k km k km m km m k km m km m

km

km k km km km m km m

k

km

km k km km k km

m

km

km k km km km m km m

k

km

km k k

m

P

a V g Vx g Vx b Vy Vy b Vx g Vy

a

P

a Vy g a b Vx g Vy

Vy

P

a Vx b a Vy g

Vy

P

a Vx g a g Vx b Vy

Vx

P

a Vx g

Vx



             



        



     



        



   



m km k km

a Vy b  

 

   

 

2

sh

km

km k km km k km m km m k km m km m

km

sh

km

k k km km km km m km m

k

km

km m km km k km

m

sh

km

k k km km km km m km m

k

Q

a V b b Vx b Vx g Vy Vy g Vx b Vy

a

Q

a Vy b b a g Vx b Vy

Vy

Q

a Vx g a Vy b

Vy

Q

a Vx b b a b Vx g Vy

Vx



               



          



     



          



km

km m km km k km

m

Q

a Vx b a Vy g

Vx

     



Neste caso, surge mais um conjunto de equações:

2 2

1

k

k k

k

k k

V

Vx

Vy

Vx Vy

V

Vy

Vx

Vx Vy



 







 





(2.82)

Ainda, se o sistema tivesse disponível medição fasorial, a derivada

dessas medidas em relação às novas variáveis de estado seriam:

69

2

1

k

k k

k

Vy

Vx

Vy

Vx

Vy

Vx









 

 

 

 



 



 

 

 

 

(2.83)

71

Capítulo 3

ANÁLISE DOS RESULTADOS

3.1. INTRODUÇÃO

Com o objetivo de comparar a eficiência numérica entre as abordagens

polar e retangular foi desenvolvimento um programa em ambiente Matlab 6.5 –

7.5 que possibilita, a partir de um mesmo conjunto de medição, estimar as

grandezas elétricas a partir das equações de fluxo na sua forma polar e

retangular.

Este programa, a partir de um conjunto de menus, permite escolher entre

os métodos MQP, utilizando equação normal de Gauss e o método MQPM,

utilizando equação normal de Gauss ou rotações de Givens.

Os diferentes algoritmos, estimadores e metodologias empregados são

necessários para comprovar a eficiência de uma abordagem frente à outra e

também para quantificar o quanto essas diferentes abordagens das equações

de fluxo sofrem influência do estimador e do algoritmo.

72

Figura 17 – Menu inicial do programa - arquivo de dados givsr005.dad

O programa desenvolvido possibilita ainda contaminar o conjunto de

medidas com ruído branco e adicionar erro grosseiro em medida selecionada, a

fim de verificar o comportamento desses estimadores, utilizando as equações

em suas diferentes abordagens na presença ou não de erros grosseiros.

Convém salientar que o programa não faz uso de técnicas de ordenação,

tão pouco de método de armazenamento compacto da matriz Jacobiana.

3.2. CARACTERÍSTICA DO SISTEMA 5 BARRAS - I

O primeiro sistema utilizado nesta etapa das simulações compreende

uma rede dotada de grande redundância de medidas, sem a existência de

conjuntos ou medidas críticas, Figura 18.

73

Figura 18 – Sistema 5 Barras - I

No plano de medição apresentado na Figura 18, as unidades terminais

remotas estão indicadas por (•).

Os parâmetros elétricos desse sistema encontram-se na Tabela 4.

Tabela 4 – Parâmetros do Sistema 5 Barras

Ramo Resistência

(pu)

Reatância

(pu)

Susceptância

(MVAr)

Posição do

Tape

1 – 2 1,00.10

-

2

5,00.10

-

2

1,25.10

-

1

1 – 3 1,00.10

-

3

2,50.10

-

1

1,10

2 – 4 1,00.10

-

3

2,50.10

-

1

1,05

3 – 4 2,40.10

0

1,08.10

+1

2,84.10

0

3 – 5 1,00.10

-

1

6,00.10

+1

1,26.10

-

1

4 – 5 4,15.10

0

1,42.10

+1

3,66.10

0

S

base

= 100 MVA

No relatório de saída do programa, mostrado a seguir, a coluna das

grandezas denominada “real” refere-se a grandezas obtidas através de um

fluxo de carga. Já a coluna denominada “medida” refere-se a grandezas

utilizadas no processo de estimação, sendo essas grandezas contaminadas ou

não por ruído branco e/ou por erros grosseiros.

5

4

1

2

3

74

3.2.1. Sistema 5 Barras – I  Sem Conjunto ou Medidas Críticas, Sem

ruído e Sem Erros Grosseiros  Simulação 1

MQP – Gauss

>>> RELATÓRIO COMPARATIVO - C. POLAR E C. CARTESIANA

Método MQP - Gauss

Estados Estimados

-----------------

C. Polar C. Cartesiana

--------------- ---------------

Barra V[pu] <[graus] V[pu] <[graus]

--------------- ---------------

001 1.0499 < 0.000 1.0499 < 0.000

002 1.0000 < 1.434 1.0000 < 1.434

003 1.0135 <-19.673 1.0135 <-19.550

004 1.0065 <-15.530 1.0065 <-15.441

005 1.0133 <-19.739 1.0133 <-19.609

C. Polar C.Cart.

-------- --------

Real Medido Estimado Estimado Var(i)

------- ------- -------- -------- -----------

tap 001-003 1.1000 1.0998 1.1000 1.1000 1.0000e-004

tap 002-004 1.0500 1.0501 1.0500 1.0500 1.0000e-004

v 001 1.0500 1.0500 1.0499 1.0499 2.1025e-006

v 002 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000e-006

v 003 1.0135 1.0135 1.0135 1.0135 2.0271e-006

v 004 1.0065 1.0065 1.0065 1.0065 2.0131e-006

v 005 1.0133 1.0133 1.0133 1.0133 2.0268e-006

t 001-002 -0.3026 -0.3026 -0.3024 -0.3024 1.0916e-004

t 001-003 1.3027 1.3027 1.3029 1.3029 1.0993e-004

t 002-001 0.3151 0.3151 0.3145 0.3145 2.6970e-004

t 002-004 1.1171 1.1171 1.1186 1.1186 2.6983e-004

t 003-001 -1.3032 -1.3032 -1.3029 -1.3029 2.2480e-004

t 003-005 1.9362 1.9362 1.9354 1.9354 2.2512e-004

t 004-002 -1.1186 -1.1186 -1.1186 -1.1186 4.7487e-004

t 004-005 0.4778 0.4778 0.4777 0.4777 4.7437e-004

t 005-003 -1.9349 -1.9349 -1.9351 -1.9351 1.2283e-004

t 005-004 -0.4670 -0.4670 -0.4672 -0.4672 1.2181e-004

u 001-002 0.4273 0.4273 0.4266 0.4267 1.1826e-004

u 001-003 0.0008 0.0008 0.0014 0.0013 3.8180e-004

u 002-001 -1.6787 -1.6787 -1.6800 -1.6801 1.0000e-004

u 002-004 -0.0394 -0.0394 -0.0396 -0.0397 1.2158e-004

u 003-001 0.4646 0.4646 0.4642 0.4644 1.0016e-004

u 003-005 -0.1673 -0.1673 -0.1673 -0.1673 1.1482e-004

u 004-002 0.3849 0.3849 0.3850 0.3851 1.0280e-004

u 004-005 -0.1873 -0.1873 -0.1874 -0.1874 1.0017e-004

u 005-003 0.0410 0.0410 0.0411 0.0411 1.0351e-004

u 005-004 0.1860 0.1860 0.1860 0.1861 1.0346e-004

p 001 1.0014 1.0014 1.0005 1.0005 1.9914e-004

p 002 1.4335 1.4335 1.4331 1.4331 3.0548e-004

p 005 -2.4011 -2.4011 -2.4023 -2.4023 6.7654e-004

q 001 0.4284 0.4284 0.4280 0.4280 1.1835e-004

q 002 -1.7208 -1.7208 -1.7196 -1.7197 3.9613e-004

q 005 0.2272 0.2272 0.2271 0.2272 1.0516e-004

C. Polar

Iterações: 3

SPQR: 5.3177e-002

C. Cartesiana

Iterações: 3

SPQR: 5.3239e-002

Tabela 5 – SPQR – Método  MQP - Gauss 

Iteração

SPQR – MQP - Gauss

Polar Retangular

1

353,6093

18.007,0206

2

0,1448

50,8630

3

0,0532

3

pol

H



0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

-20,0781

0,0000

3,7500

-4,5414

0,0000

-3,6452

0,0000

1,2409

0,0000

1,2852

0,0000

1,4322

0,0000

20,2801

0,0000

-3,3635

4,1598

0,0000

3,6696

0,0000

-3,6696

0,0000

1,1189

0,0000

1,1113

0,0000

1,1740

0,0000

3,6452

0,0000

-1,2409

0,0000

-1,2852

0,0000

-1,4322

0,0000

1.665,9521

0,0000

-1.665,9521

0,0000

275,8423

0,0000

-272,0577

0,0000

-3,6696

0,0000

3,6696

0,0000

-1,1189

0,0000

-1,1113

0,0000

-1,1740

0,0000

6,7428

-6,7428

0,0000

2,3837

-1,4242

0,0000

-1.665,3188

0,0000

1.665,3188

0,0000

-275,7720

0,0000

271,9882

0,0000

-6,4589

6,4589

0,0000

-2,3991

1,4603

0,0000

4,5407

0,0000

19,9389

-20,0812

0,0000

-1,3027

0,0000

3,4750

0,0000

-3,5965

0,0000

4,0109

0,0000

-3,5309

0,0000

-19,3183

16,9232

0,0000

1,1187

0,0000

-1,1187

0,0000

3,5933

0,0000

-3,6455

0,0000

3,7702

0,0000

-1,3027

0,0000

-3,4723

0,0000

4,5120

0,0000

-4,0078

0,0000

-275,7094

0,0000

275,7094

0,0000

1.643,3471

0,0000

-1.643,8870

0,0000

1,1187

0,0000

-1,1187

0,0000

-3,6702

0,0000

4,4075

0,0000

-3,8509

0,0000

-1,4433

1,4433

0,0000

6,3267

-6,6535

0,0000

279,5093

0,0000

-279,5093

0,0000

-1.643,0525

0,0000

1.643,3433

0,0000

2,4150

-2,4150

0,0000

-6,4164

6,7400

0,0000

-20,0781

-3,6452

0,0000

4,9909

-4,5414

1,2852

0,0000

1,4322

0,0000

23,9497

0,0000

-3,6696

0,0000

-3,3635

5,2786

0,0000

1,1113

0,0000

1,1740

0,0000

-1.665,3188

-6,4589

1.671,7777

0,0000

-275,7720

-2,3991

273,4485

0,0000

4,5407

-1,3027

0,0000

23,4138

-20,0812

-3,5965

0,0000

4,0109

0,0000

-2,4122

0,0000

-1,1187

0,0000

-19,3183

20,5164

0,0000

-3,6455

0,0000

3,7702

0,0000

279,5093

2,4150

-281,9242

0,0000

-1.643,0525

-6,4164

1.650,0833

0,0000

Figura 19 – Matriz Jacobiana na 3ª Iteração – Forma Polar das Equações

3

ret

H



0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

0,0251

0,0000

0,9997

0,0000

-0,3372

0,0000

0,9414

0,0000

-0,2679

0,0000

0,9634

0,0000

-0,3382

0,0000

0,9411

0,0000

-20,1865

0,0000

3,7489

-4,0373

0,0000

-3,8140

0,0000

1,2427

0,0000

1,4360

0,0000

20,3793

0,0000

-3,3618

3,6502

0,0000

3,6938

0,0000

-3,8066

0,0000

1,0271

0,0000

0,0955

0,0000

1,1751

0,0000

3,8140

0,0000

-1,2427

0,0000

-1,4360

0,0000

1.455,6367

0,0000

-1.456,1542

0,0000

814,5562

0,0000

-812,6998

0,0000

-3,6938

0,0000

3,8066

0,0000

-1,0271

0,0000

-0,0955

0,0000

-1,1751

0,0000

5,8207

-5,7805

0,0000

4,0936

-3,5883

0,0000

-1.455,0626

0,0000

1.455,5801

0,0000

-814,2880

0,0000

812,4316

0,0000

-5,5422

5,5020

0,0000

-4,0358

3,5304

0,0000

4,0373

0,0000

19,9386

-20,1865

0,0000

3,4591

0,0000

-3,8140

0,0000

3,9972

0,0000

-3,1048

0,0000

-19,3151

17,0017

0,0000

1,2089

0,0000

-0,0955

0,0000

3,5559

0,0000

-3,8066

0,0000

3,7636

0,0000

-2,7361

0,0000

-3,4698

0,0000

3,8258

0,0000

-4,0097

0,0000

-810,8006

0,0000

812,6998

0,0000

1.456,5524

0,0000

-1.456,1542

0,0000

1,0271

0,0000

-2,2526

0,0000

-3,6938

0,0000

3,9514

0,0000

-3,8495

0,0000

-3,0730

3,5883

0,0000

5,7048

-5,7805

0,0000

814,2880

0,0000

-816,1016

0,0000

-1.455,0626

0,0000

1.454,4257

0,0000

4,0358

-4,5286

0,0000

-5,5422

5,5475

0,0000

-20,1865

-3,8140

0,0000

4,9916

-4,0373

0,0000

1,4360

0,0000

24,0730

0,0000

-3,8066

0,0000

-3,3618

4,6772

0,0000

0,0955

0,0000

1,1751

0,0000

-1.455,0626

-5,5422

1.461,0822

0,0000

-814,2880

-4,0358

815,9620

0,0000

4,0373

0,0000

23,3976

-20,1865

-3,8140

0,0000

3,9972

0,0000

-1,8663

0,0000

-0,0955

0,0000

-19,3151

20,5576

0,0000

-3,8066

0,0000

3,7636

0,0000

814,2880

4,0358

-820,6605

0,0000

-1.455,0626

-5,5422

1.459,9732

0,0000

Figura 20 – Matriz Jacobiana na 3ª Iteração – Forma Retangular das Equações

77

3

pol

H



3

ret

H



Figura 21 – Esparsidade da matriz Jacobiana – Forma Polar e Retangular

3

pol

G



9,7087E+06

3,1755E+05

-3,8162E+05

0,0000E+00

7,5405E+05

-2,2714E+05

-2,6756E+05

1,4745E+05

0,0000E+00

9,4743E+03

8,6901E+04

3,1755E+05

4,1166E+10

2,2317E+07

-4,1188E+10

-3,7702E+05

3,0415E+05

-6,2912E+09

-1,1149E+07

6,3969E+09

-1,0264E+05

0,0000E+00

-3,8162E+05

2,2317E+07

7,8058E+05

-2,2950E+07

9,4961E+04

-1,3833E+05

-3,5099E+07

-2,4546E+05

3,5438E+07

0,0000E+00

-4,2570E+04

0,0000E+00

-4,1188E+10

-2,2950E+07

4,1211E+10

0,0000E+00

6,3262E+09

1,1353E+07

-6,4323E+09

0,0000E+00

7,5405E+05

-3,7702E+05

9,4961E+04

0,0000E+00

1,3649E+07

-1,2008E+07

-8,4683E+05

1,6554E+05

0,0000E+00

1,0289E+06

-1,9679E+05

-2,2714E+05

3,0415E+05

-1,3833E+05

0,0000E+00

-1,2008E+07

1,1936E+07

5,8091E+05

-4,2747E+05

0,0000E+00

-7,1320E+05

4,7210E+05

-2,6756E+05

-6,2912E+09

-3,5099E+07

6,3262E+09

-8,4683E+05

5,8091E+05

7,6344E+10

1,0123E+08

-7,6451E+10

-3,0604E+05

0,0000E+00

1,4745E+05

-1,1149E+07

-2,4546E+05

1,1353E+07

1,6554E+05

-4,2747E+05

1,0123E+08

2,0966E+06

-1,0252E+08

0,0000E+00

-3,0099E+05

0,0000E+00

6,3969E+09

3,5438E+07

-6,4323E+09

0,0000E+00

-7,6451E+10

-1,0252E+08

7,6561E+10

0,0000E+00

9,4743E+03

-1,0264E+05

0,0000E+00

1,0289E+06

-7,1320E+05

-3,0604E+05

0,0000E+00

3,8653E+05

0,0000E+00

8,6901E+04

0,0000E+00

-4,2570E+04

0,0000E+00

-1,9679E+05

4,7210E+05

0,0000E+00

-3,0099E+05

0,0000E+00

3,1957E+05

Figura 22 – Matriz Ganho na 3ª Iteração – Forma Polar das Equações

3

ret

G



9,6989E+06

3,8662E+05

-4,0470E+05

0,0000E+00

4,5132E+05

-1,6920E+05

-1,3010E+05

2,9137E+04

0,0000E+00

-9,2116E+03

9,9055E+04

3,8662E+05

4,8216E+10

4,3169E+07

-4,8315E+10

-6,5009E+04

7,7324E+04

-1,6335E+10

-3,4234E+07

1,6396E+10

7,8485E+03

0,0000E+00

-4,0470E+05

4,3169E+07

9,9233E+05

-4,4071E+07

4,6546E+04

-7,8107E+03

-4,9169E+07

-5,5117E+05

4,9533E+07

0,0000E+00

3,9851E+04

0,0000E+00

-4,8315E+10

-4,4071E+07

4,8416E+10

0,0000E+00

1,6460E+10

3,4749E+07

-1,6521E+10

0,0000E+00

4,5132E+05

-6,5009E+04

4,6546E+04

0,0000E+00

1,3641E+07

-1,2017E+07

-9,2109E+05

1,8456E+05

0,0000E+00

1,0255E+06

-1,9644E+05

-1,6920E+05

7,7324E+04

-7,8107E+03

0,0000E+00

-1,2017E+07

1,1941E+07

6,5051E+05

-4,4883E+05

0,0000E+00

-7,1089E+05

4,6872E+05

-1,3010E+05

-1,6335E+10

-4,9169E+07

1,6460E+10

-9,2109E+05

6,5051E+05

6,8392E+10

8,1542E+07

-6,8428E+10

-3,2191E+05

0,0000E+00

2,9137E+04

-3,4234E+07

-5,5117E+05

3,4749E+07

1,8456E+05

-4,4883E+05

8,1542E+07

1,8758E+06

-8,2585E+07

0,0000E+00

-3,0095E+05

0,0000E+00

1,6396E+10

4,9533E+07

-1,6521E+10

0,0000E+00

-6,8428E+10

-8,2585E+07

6,8466E+10

0,0000E+00

-9,2116E+03

7,8485E+03

0,0000E+00

1,0255E+06

-7,1089E+05

-3,2191E+05

0,0000E+00

3,8567E+05

0,0000E+00

9,9055E+04

0,0000E+00

3,9851E+04

0,0000E+00

-1,9644E+05

4,6872E+05

0,0000E+00

-3,0095E+05

0,0000E+00

3,1896E+05

Figura 23 – Matriz Ganho na 3ª Iteração – Forma Retangular das Equações

79

3

pol

G



3

ret

G



Figura 24 – Esparsidade da matriz Ganho – Forma Polar e Retangular

80

MQPM – Gauss

>>> RELATÓRIO COMPARATIVO - C. POLAR E C. CARTESIANA

Método MQPM - Gauss

Estados Estimados

-----------------

C. Polar C. Cartesiana

--------------- ---------------

Barra V[pu] <[graus] V[pu] <[graus]

--------------- ---------------

001 1.0499 < 0.000 1.0499 < 0.000

002 1.0000 < 1.434 1.0000 < 1.434

003 1.0135 <-19.673 1.0135 <-19.549

004 1.0065 <-15.530 1.0065 <-15.441

005 1.0133 <-19.739 1.0133 <-19.609

C. Polar C. Cartesiana

----------------------- -----------------------

Real Medido PA Estimado Q(i) PA Estimado Q(i) Var(i) w(i)

------- ------- -- -------- ----------- -- -------- ----------- ----------- -----------

tap 001-003 1.1000 1.0998 1.1000 1.0000e+000 1.1000 1.0000e+000 1.0000e-004 1.0000e+000

tap 002-004 1.0500 1.0501 1.0500 1.0000e+000 1.0500 1.0000e+000 1.0000e-004 1.0000e+000

v 001 1.0500 1.0500 1.0499 1.0000e+000 1.0499 1.0000e+000 2.1025e-006 1.0000e+000

v 002 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000e+000 1.0000 1.0000e+000 2.0000e-006 1.0000e+000

v 003 1.0135 1.0135 * 1.0135 1.0000e+000 * 1.0135 1.0000e+000 2.0271e-006 4.7759e-001

v 004 1.0065 1.0065 1.0065 1.0000e+000 1.0065 1.0000e+000 2.0131e-006 1.0000e+000

v 005 1.0133 1.0133 * 1.0133 1.0000e+000 * 1.0133 1.0000e+000 2.0268e-006 4.7379e-001

t 001-002 -0.3026 -0.3026 * -0.3024 1.0000e+000 * -0.3024 1.0000e+000 1.0916e-004 7.0034e-001

t 001-003 1.3027 1.3027 1.3029 1.0000e+000 1.3029 1.0000e+000 1.0993e-004 1.0000e+000

t 002-001 0.3151 0.3151 0.3145 1.0000e+000 0.3145 1.0000e+000 2.6970e-004 1.0000e+000

t 002-004 1.1171 1.1171 1.1186 1.0000e+000 1.1186 1.0000e+000 2.6983e-004 1.0000e+000

t 003-001 -1.3032 -1.3032 -1.3029 1.0000e+000 -1.3029 1.0000e+000 2.2480e-004 1.0000e+000

t 003-005 1.9362 1.9362 * 1.9355 1.0000e+000 * 1.9354 1.0000e+000 2.2512e-004 3.5221e-005

t 004-002 -1.1186 -1.1186 -1.1186 1.0000e+000 -1.1186 1.0000e+000 4.7487e-004 1.0000e+000

t 004-005 0.4778 0.4778 0.4777 1.0000e+000 0.4777 1.0000e+000 4.7437e-004 1.0000e+000

t 005-003 -1.9349 -1.9349 * -1.9351 1.0000e+000 * -1.9351 1.0000e+000 1.2283e-004 1.9217e-005

t 005-004 -0.4670 -0.4670 -0.4672 1.0000e+000 -0.4672 1.0000e+000 1.2181e-004 1.0000e+000

u 001-002 0.4273 0.4273 * 0.4266 1.0000e+000 * 0.4266 1.0000e+000 1.1826e-004 8.0592e-001

u 001-003 0.0008 0.0008 0.0014 1.0000e+000 0.0014 1.0000e+000 3.8180e-004 1.0000e+000

u 002-001 -1.6787 -1.6787 * -1.6800 1.0000e+000 * -1.6800 1.0000e+000 1.0000e-004 6.8753e-001

u 002-004 -0.0394 -0.0394 -0.0396 1.0000e+000 -0.0397 1.0000e+000 1.2158e-004 1.0000e+000

u 003-001 0.4646 0.4646 0.4642 1.0000e+000 0.4643 1.0000e+000 1.0016e-004 1.0000e+000

u 003-005 -0.1673 -0.1673 * -0.1673 1.0000e+000 * -0.1673 1.0000e+000 1.1482e-004 1.1931e-005

u 004-002 0.3849 0.3849 0.3850 1.0000e+000 0.3851 1.0000e+000 1.0280e-004 1.0000e+000

u 004-005 -0.1873 -0.1873 -0.1874 1.0000e+000 -0.1874 1.0000e+000 1.0017e-004 1.0000e+000

u 005-003 0.0410 0.0410 * 0.0411 1.0000e+000 * 0.0411 1.0000e+000 1.0351e-004 1.0756e-005

u 005-004 0.1860 0.1860 0.1860 1.0000e+000 0.1861 1.0000e+000 1.0346e-004 1.0000e+000

p 001 1.0014 1.0014 1.0005 1.0000e+000 1.0005 1.0000e+000 1.9914e-004 1.0000e+000

p 002 1.4335 1.4335 1.4331 1.0000e+000 1.4331 1.0000e+000 3.0548e-004 1.0000e+000

p 005 -2.4011 -2.4011 * -2.4023 1.0000e+000 * -2.4022 1.0000e+000 6.7654e-004 1.7724e-004

q 001 0.4284 0.4284 0.4281 1.0000e+000 0.4280 1.0000e+000 1.1835e-004 1.0000e+000

q 002 -1.7208 -1.7208 -1.7196 1.0000e+000 -1.7197 1.0000e+000 3.9613e-004 1.0000e+000

q 005 0.2272 0.2272 * 0.2271 1.0000e+000 * 0.2271 1.0000e+000 1.0516e-004 1.8299e-005

C. Polar

Iterações: 3

SPQR: 5.3186e-002

C. Cartesiana

Iterações: 4

SPQR: 5.2914e-002

81

MQPM – Givens

>>> RELATÓRIO COMPARATIVO - C. POLAR E C. CARTESIANA

Método IRLS - Givens