ads:
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Centro de Tecnologia e Ciências
Faculdade de Engenharia
Ricardo Gomes da Costa
Estudo dos modos de Plasmon em Fibras fracamente guiadas com camadas dielétricas
sobre Filme Metálico.
Dezembro/2008
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Ricardo Gomes da Costa
Estudo dos modos de Plasmon em Fibras fracamente guiadas com camadas dielétricas
sobre Filme Metálico.
Orientador: Prof. Dr. Antonio Romeiro Sapienza
Rio de Janeiro
2008
Dis
sertação apresentada, como requisito
para obtenção do título de Mestre, do
Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Eletrônica, da Universidade
Estadual do Rio de Janeiro. Área de
concentração:
Redes de Telecomunicações.
ads:
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ/REDE SIRIUS/CTC/B
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese.
Assinatura Data
C837 Costa, Ricardo Gomes da.
Estudo dos modos de Plasmon em fibras fracamente guiadas com
camadas dielétricas sobre filme metálico/ Ricardo Gomes da Costa. –
2008.
111 f.: il.
Orientador: Antonio Romeiro Sapienza.
Dissertação (mestrado) – Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, Faculdade de Engenharia.
Bibliografia: f.81
1. Filmes metálicos. 2. Comunicação ótica. 3. Fibras óticas. 4.
Plasmon (Física). I. Sapienza, Antonio Romeiro. II. Universidade do
Estado do Rio de Janeiro. Faculdade de Engenharia. III. Título.
CDU 539.216
Ricardo Gomes da Costa
Estudo dos modos de Plasmon em Fibras fracamente guiadas com camadas dielétricas
sobre Filme Metálico.
Aprovado em: ________________________________________________________
Banca Examinadora:____________________________________________________
________________________________________
Prof. Dr. Antonio Romeiro Sapienza (Orientador)
Faculdade de Engenharia da UERJ
________________________________________
Prof
a
. Dr
a
Paula Brandão Harboe
Faculdade de Engenharia da UFF/RJ
________________________________________
Prof. Dr. José Rodolfo Souza
Faculdade de Engenharia da UERJ
Rio de Janeiro
2008
Dis
sertação apresentada, como requisito
para obtenção do título de Mestre, ao
Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Eletrônica, da Universidade
Estadual do Rio de Janeiro. Área de
concentração:
Redes de Telecomunicações.
DEDICATÓRIA
À minha mulher e companheira, meu filho e meus pais pela paciência, apoio, esforço,
aprendizado, apoio e exemplo de fé durante todos os momentos.
AGRADECIMENTOS
A Antonio Romeiro Sapienza – Além de meu orientador, amigo, pela segurança,
confiança, disponibilidade, competência, inteligência e encorajamento.
A Prof
a
Paula Brandão Harboe (UFF/RJ)– Por sua presença na banca examinadora.
A José Rodolfo Souza – Professor do mestrado, pelo profissionalismo, apoio, críticas e
crédito ao trabalho, por sua presença na banca examinadora.
A Luiz Antonio Palmeira Monteiro (UVA/RJ)– Amigo, pelo apoio, incentivo e
confiança fornecidos durante esta empreitada.
Ao amigo Roberto Fontenele, amigos e colegas de trabalho – Pelo apoio,
companheirismo e incentivo durante o mestrado.
Existem pessoas que tem tudo que desejam, e outras que desejam tudo o que tem.
Todo exagero é vicioso, a virtude está no meio termo.
Chico Xavier.
RESUMO
COSTA, Ricardo Gomes da. Estudo dos modos de Plasmon em Fibras fracamente guiadas
com camadas dielétricas sobre Filme Metálico. Dissertação (Mestrado em Comunicações
Ópticas) – Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ), Rio
de Janeiro, 2008.
Neste trabalho são analisados os quatro modos de plasmon, ligados simétrico (S
b
) e
assimétrico (a
b
), fuga pelo núcleo (l
n
) e fuga pela cobertura (l
c
), que se propagam em uma
fibra óptica fracamente guiada envolta por um filme metálico. No filme metálico é depositada
uma camada dielétrica extra e acima desta, uma outra denominada cobertura. A análise será
desenvolvida para filmes metálicos de prata, paládio e ouro.
Esta estrutura é muito útil na confecção de sensores ópticos.
Figura 1 – Estrutura objeto deste trabalho, fibra óptica coberta por filme metálico, coberto por 2 camadas
dielétricas, a cobertura-2 e a cobertura-1 que é uma camada dielétrica extra entre a cobertura e o filme metálico.
Palavras-chave: Modos de Plasmon, modo TM
01
, equação de Helmholtz cilíndrico-circular,
índice efetivo dos respectivos modos, condições de fronteira, sensor óptico.
Cobertura-2
Cobertura-1
Núcleo
Filme
Casca
d
(K
0
r)
η
núcleo
η
4
= η
0
η
3
-ε
m
=η
2
2
η
1
ABSTRACT
In this work the four Plasmon modes are analyzed, the symmetrical (S
b
) and
asymmetrical bounded (a
b
); the core (l
n
) and covering leaky modes (l
c
), that propagate in
weakly guided optical fibers with a metallic film around that. In the metallic film a layer extra
dielectric is deposited and above this, another layer denominated covering. The analysis will
be developed for metallic films of the Silver, Palladium and Gold.
This structure is very useful to making optical sensors.
Illustration 1 - Structure object of this work. An optical fiber, covered by metallic film, envolved by two
dielectric layers, covering-2 and covering-1 that the last one is a extra dielectric layer between the covering and
the metallic film..
Key words - Plasmon Modes, TM
01
Formulation, cylindrical-circular Helmholtz equation,
respective modes effective index, borders conditions, optical sensors.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Estrutura objeto deste trabalho, fibra óptica coberta por filme metálico, coberto por
duas camadas dielétricas, a cobertura-2 e a cobertura-1 que é uma camada dielétrica extra
entre a cobertura e o filme metálico..........................................................................................8
Figura 2 – Amplitudes dos modos TM
e TM
ଵ
em estrutura de três regiões..........................16
Figura 3 - Guia de onda constituído por um filme metálico (µ0 Єm) e mais três regiões
dielétricas.................................................................................................................................19
Figura 4 - Guia de onda constituído por um filme metálico envolvido por duas regiões
dielétricas.................................................................................................................................19
Figura 5 - Equivalência entre a estrutura dielétrica e a de Linha de Transmissão..................22
Figura 6 - Esquema básico da Técnica da Ressonância Transversa, equivalência entre a
estrutura dielétrica e a de Linha de Transmissão com N fatias dielétricas..............................23
Figura 7 - Adaptação das impedâncias de ambos os planos na fronteira (A –A’)...................24
Figura 8 - Guia de onda planar constituído por três regiões dielétricas...................................30
Figura 9 - Modelo de Linha de Transmissão equivalente à estrutura dielétrica de três
regiões......................................................................................................................................30
Figura 10 - Guia de onda planar constituída por quatro regiões
dielétricas.................................................................................................................................33
Figura 11 - Modelo de Linha de Transmissão equivalente a estrutura dielétrica de quatro
regiões......................................................................................................................................33
Figura 12 - Fibra óptica fracamente guiada com quatro regiões externas ao núcleo - Estrutura
Real..........................................................................................................................................38
Figura 13 - Fibra óptica fracamente guiada com quatro regiões externas ao núcleo - Estrutura
equivalente...............................................................................................................................38
Figura 14 - Estrutura analisada - Fibra óptica fracamente guiada com quatro regiões externas
ao núcleo..................................................................................................................................49
Figura 15 - Limites superiores e inferiores da estrutura analisada..........................................50
Figura 16 – Característica dos modos na cobertura................................................................52
Figura 17 – Característica dos modos no núcleo....................................................................52
Figura 18 - Fluxo da geração dos dados.................................................................................54
Figura 19 - Arquivo de Entrada do programa.........................................................................55
Figura 20 - Arquivo de saída do programa.............................................................................56
Figura 21 - Índice de refração efetivo real – modos ligados – Gráfico comparativo.............57
Figura 22 - Índice de refração efetivo imaginário – modos ligados - – Gráfico
comparativo............................................................................................................................58
Figura 23 - Índice de refração efetivo real – modo de fuga pela cobertura e modo de fuga pelo
núcleo – Gráfico comparativo................................................................................................59
Figura 24 - Índice de refração efetivo imaginário – modo de fuga pela cobertura e modo de
fuga pelo núcleo – Gráfico comparativo................................................................................59
Figura 25 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Simétrico da
Prata.......................................................................................................................................62
Figura 26 - Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Ligado Simétrico da
Prata.......................................................................................................................................63
Figura 27 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Assimétrico da
Prata.......................................................................................................................................63
Figura 28 - Gráfico do índice de refração efetivo Imaginário – Modo Ligado Assimétrico da
Prata.......................................................................................................................................64
Figura 29 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pela Cobertura da
Prata.......................................................................................................................................65
Figura 30 - Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pela Cobertura da
Prata.......................................................................................................................................65
Figura 31 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pelo Núcleo da
Prata.......................................................................................................................................66
Figura 32 - Gráficos do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pelo Núcleo da
Prata.......................................................................................................................................67
Figura 33 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Simétrico do
Paládio...................................................................................................................................66
Figura 34 - Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Ligado Simétrico do
Paládio...................................................................................................................................68
Figura 35 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Assimétrico do
Paládio...................................................................................................................................69
Figura 36 - Gráfico do índice de refração efetivo Imaginário – Modo Ligado Assimétrico do
Paládio...................................................................................................................................70
Figura 37 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pela Cobertura do
Paládio...................................................................................................................................71
Figura 38 - Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pela Cobertura do
Paládio...................................................................................................................................71
Figura 39 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pelo Núcleo do
Paládio...................................................................................................................................72
Figura 40 - Gráficos do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pelo Núcleo do
Paládio...................................................................................................................................73
Figura 41 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Simétrico do
Ouro.......................................................................................................................................74
Figura 42 - Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Ligado Simétrico do
Ouro.......................................................................................................................................74
Figura 43 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Assimétrico do
Ouro.......................................................................................................................................75
Figura 44 - Gráfico do índice de refração efetivo Imaginário – Modo Ligado Assimétrico do
Ouro.......................................................................................................................................75
Figura 45 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pela Cobertura do
Ouro.......................................................................................................................................76
Figura 46 - Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pela Cobertura do
Ouro.......................................................................................................................................76
Figura 47 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pelo Núcleo do
Ouro.......................................................................................................................................77
Figura 48 - Gráficos do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pelo Núcleo do
Ouro.......................................................................................................................................78
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 15
CAPÍTULO 1 .................................................................................................................................... 18
1 TÉCNICA GENERALIZADA DA RESSONÂNCIA TRANSVERSA NA ANÁLISE DOS VALORES
ASSIMPTÓTICOS DOS MODOS DE PLASMON. ............................................................................... 18
1.1 Introdução ............................................................................................................................. 18
1.2 Justificativa da utilização da Técnica da Ressonância Transversa na análise dos modos de
Plasmon. ........................................................................................................................................ 19
1.3 Fundamento da Técnica da Ressonância Transversa. .......................................................... 23
1.4 Estrutura constituída por três regiões planares.................................................................... 29
1.5 Estrutura constituída por quatro regiões planares. .............................................................. 33
1.6 Conclusão .............................................................................................................................. 37
CAPÍTULO 2 .................................................................................................................................... 38
2 ESTUDO DOS MODOS DE PLASMON EM FIBRAS FRACAMENTE GUIADAS COM CAMADAS
DIELÉTRICAS SOBRE O FILME METÁLICO. ...................................................................................... 38
2.1 Introdução ............................................................................................................................. 38
2.2 Formulação sob a condição ܖ܍ܚ ൏ િܑ ܖ܍ܑ ............................................................. 38
2.3 Cálculo das equações características dos modos de plasmon .............................................. 46
2.3.1 Adaptações dos campos nas fronteiras ................................................................................ 46
2.4 Conclusão .............................................................................................................................. 52
CAPÍTULO 3 .................................................................................................................................... 53
3 VALIDAÇÃO DO MÉTODO E RESULTADOS ............................................................................ 53
3.1 Introdução ............................................................................................................................. 53
3.2 Implementação Computacional ............................................................................................ 53
3.3 Validação do Método ............................................................................................................ 57
3.3.1 Modos Ligados (simétrico a
b
e assimétrico S
b
) ..................................................................... 57
3.3.2 Modos de fuga ...................................................................................................................... 58
3.4 Conclusão .............................................................................................................................. 60
CAPÍTULO 4 .................................................................................................................................... 61
4 RESULTADOS OBTIDOS ATRAVÉS DA ANÁLISE DOS MODOS DE PLÁSMON EM FILME DE
PRATA, OURO e PALÁDIO, ENVOLVENDO FIBRA DE SÍLICA FRACAMENTE GUIADA. ..................... 61
4.1 Introdução ............................................................................................................................. 61
4.2 Análise gráfica dos modos de plasmon. ................................................................................ 61
4.2.1 Fibra fracamente guiada elaboradas com filme de prata .................................................... 61
4.2.1.1 Modo ligado simétrico ................................................................................................. 62
4.2.1.2 Modo ligado assimétrico .............................................................................................. 63
4.2.1.3 Modo de fuga pela cobertura ...................................................................................... 64
4.2.1.4 Modo de fuga pelo núcleo ............................................................................................ 65
4.2.2 Fibra fracamente guiada envolta por filme de paládio ........................................................ 67
4.2.2.1 Modo ligado simétrico ................................................................................................. 67
4.2.2.2 Modo ligado assimétrico .............................................................................................. 69
4.2.2.3 Modo de fuga pela cobertura ...................................................................................... 70
4.2.2.4 Modo de fuga pelo núcleo ............................................................................................ 71
4.2.3 Fibra fracamente guiada envolta por filme de ouro ............................................................. 73
4.2.3.1 Modo ligado simétrico ................................................................................................. 73
4.2.3.2 Modo ligado assimétrico .............................................................................................. 74
4.2.3.3 Modo de fuga pela cobertura ...................................................................................... 75
4.2.3.4 Modo de fuga pelo núcleo ............................................................................................ 77
4.3 Conclusão .............................................................................................................................. 78
5 CONCLUSÃO FINAL ............................................................................................................... . 79
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................ 81
APÊNDICE A ................................................................................................................................... 82
A. FORMULAÇÃO DOS MODOS TMN
M
....................................................................................... 82
A.1) CÁLCULO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL REDUZIDAS: ............................................................. 82
A.2) OBTENDO AS EQUAÇÕES APROPRIADAS PARA SE ANALISAR O MODO DIRETO
(
)
nm
zj
TMe
β
−
83
A.2.1) CÁLCULO DAS COMPONENTES DO CAMPO ELÉTRICO
(
)
zEE
z
T
r
r
,
......................................... 83
A.2.2) CÁLCULO DAS COMPONENTES DO CAMPO MAGNÉTICO
(
)
T
H
r
........................................... 84
A.3) MODO TM
0
→ (MODO EZ) ...................................................................................................... 85
APÊNDICE B ................................................................................................................................... 86
FUNÇÕES DE BESSEL ...................................................................................................................... 86
B.1) FUNÇÕES DE BESSEL ORDINÁRIAS .......................................................................................... 86
B.2) FÓRMULAS ASSIMPTÓTICAS ................................................................................................... 86
B.3) FUNÇÃO DE BESSEL MODIFICADAS ......................................................................................... 87
B.4) RELAÇÃO ENTRE AS FUNÇÕES DE BESSEL MODIFICADAS E ORDINÁRIAS ................................. 87
APÊNDICE C ................................................................................................................................... 89
B. CÁLCULO DO DETERMINANTE DA MATRIZ DOS MODOS DE PLASMON EM ESTRUTURAS DE
QUATRO REGIÕES.......................................................................................................................... 89
APÊNDICE D ................................................................................................................................. 101
C. ANÁLISE DOS CAMPOS DOS MODOS DE PLASMON LIGADOS EM ESTRUTURAS DE TRES
REGIÕES. ..................................................................................................................................... 101
ARTIGOS PUBLICADO E SUBMETIDO RELACIONADOS A ESTE TRABALHO ..................................... 104
15
INTRODUÇÃO
A motivação deste trabalho surgiu de uma solicitação dos professores Dr. Hypolito
José Kalinowski e Aleksander Paterno, do CEFET de Curitiba, que sugeriram a análise dos
modos de plásmon em fibra óptica recoberta por filme de paládio, com a intenção de otimizar
os sensores ópticos por eles desenvolvidos.
O estudo é baseado nos valores assimptóticos dos modos de plasmon em fibras ópticas
fracamente guiadas, cobertas por filmes metálicos, conforme apresentado na figura 1, abaixo.
Os metais apresentam a parte real da permissividade negativa. Esta característica é
devido ao acoplamento do campo eletromagnético incidente à densidade dos elétrons livres da
banda de condução do metal. A conseqüência deste acoplamento é o guiamento de ondas
evanescentes nas fronteiras entre o metal e os dielétricos que o circundam. Estas ondas são
conhecidas por ondas de Plasmon (“plasma” se refere aos elétrons livres da banda de
condução do metal, e o sufixo “on” ao substantivo; fóton, partícula). No metal, os elétrons
acoplados ao campo eletromagnético incidente oscilam dissipando energia por efeito Joule.
A evanescência é caracterizada pela redução exponencial da energia da onda nos
dielétricos fronteiriços ao filme metálico. Que é função da constante de atenuação da onda
que se propaga na direção longitudinal (z), própria da componente imaginária do nef.
Os valores assimptóticos da fibra óptica são aqueles referentes ao índice efetivo do
modo que se propaga numa estrutura cilíndrica de raio infinito. Essa estrutura tende a
estrutura planar de três regiões.
A análise dos modos de plasmon será efetuada pelo comportamento do nef (parte real
e imaginária) da estrutura, em função da variação das espessuras do filme metálico e da
Cobertura-2
Cobertura-1
Núcleo
Filme
Casca
d
(K
0
r)
η
núcleo
η
4
= η
0
η
3
-ε
m
=η
2
2
η
1
cobe
com
com
p
toda
(par
t
são
f
TM
0
liga
d
assi
m
plas
m
figu
r
ener
g
for
m
qual
rtura dielét
r
relação a
p
atível co
m
seção tran
s
O nef (p
t
e imaginár
i
f
unções dos
Os quat
r
, que em
fu
d
os simétric
Para id
e
m
ptótica d
a
m
on, são p
e
r
a percebe-
s
g
ia se verif
i
A meto
m
ulada com
No capí
t
obtêm-se
p
r
ica extra.
O
componen
t
m
a necessi
d
s
versal da e
s
arte real) é
i
a) é respo
n
respectivo
s
r
o modos
d
fu
nção do
c
o e assimét
r
e
ntificar os
a
fibra ópt
i
e
rtinentes
a
s
e a propr
i
i
ca na supe
r
Figura 2
dologia a
d
a seguinte
a
t
ulo 1, é a
p
p
rontament
e
O
nef é con
s
t
e longitud
i
d
ade da co
n
s
trutura.
responsáv
e
n
sável pela
s
modos de
d
e Plasmon
c
omportam
e
r
ico (S
b
e a
b
modos de
i
ca), evide
n
a
o TM
0
, co
n
i
edade fun
d
r
fície entre
o
d
otada nes
t
a
presentaçã
p
resentada
a
e
, os valor
e
s
iderado u
m
i
nal (z) da
n
stante de
p
e
l pela cons
constante
d
plasmon.
analisados
e
nto da co
m
b
), fuga pel
a
Plasmon,
n
ciando qu
e
n
forme apr
d
amental d
o
o
condutor
t
e trabalho
,
o:
a
técnica g
e
e
s assimptó
t
m
índice de
onda. Ess
a
p
ropagação
tante de fa
s
d
e atenuaç
ã
neste trab
a
m
ponente r
e
a
cobertura
será utiliz
a
e
as respe
c
esentado n
a
o
s modos
d
e a região
d
,
para an
á
e
neralizada
t
icos dos
m
refração h
o
a
condição
longitudin
a
s
e da propa
g
ã
o da mes
m
a
lho, são t
o
e
al são de
n
(l
c
) e fuga
p
a
do a estr
u
c
tivas prop
a
Figura 2
d
e plasmo
n
d
ielétrica”.
á
lise
d
os
m
da ressonâ
n
m
odos TM
01
o
mogêneo
d
de homo
g
a
l (β) ser c
o
g
ação da o
n
m
a. Os índi
c
o
dos natura
i
n
ominados
p
p
elo núcleo
u
tura plana
r
riedades d
o
abaixo. O
b
n
: “A conc
e
m
odos de
n
cia transv
e
, essenciai
s
1
6
d
a estrutura
,
g
eneidade
é
o
nstante e
m
n
da, e o ne
f
c
es efetivo
s
i
s do mod
o
p
or; modo
s
(l
n
).
r
(estrutur
a
o
modo d
e
b
servando
a
e
ntração d
e
plasmon
é
e
rsa, com
a
s
na anális
e
6
,
é
m
f
s
o
s
a
e
a
e
é
a
e
– Amplitudes dos modos ܶܯ
݆
e ܶܯ
ଵ݆
em estrutura de
três regiões.
17
do comportamento dos quatro modos de plasmon existentes nas fibras ópticas fracamente
guiadas, tema deste trabalho.
No capítulo 2, é desenvolvida a formulação apropriada à análise dos quatro modos de
plasmon, isto é, os respectivos índices efetivos em função da espessura do filme condutor e da
largura do dielétrico extra. Será evidenciado que alguns dos modos de plasmon existem até
certo limite na espessura do filme, abaixo do qual a característica evanescente do modo dá
lugar a de radiação.
No capítulo 3, a formulação desenvolvida, neste trabalho, é validada, confrontando-a com
os resultados obtidos, em estruturas constituídas por três regiões, publicados na literatura
pertinente.
Finalmente no capítulo 4, os modos de plasmon em fibras ópticas fracamente guiadas são
analisados em estruturas cobertas por um filme condutor metálico (prata, paládio e ouro),
sobre este é depositada uma camada dielétrica extra que por sua vez faz fronteira com a
cobertura externa. Fica evidenciado que o comportamento dos modos de plasmon,
apresentado em gráficos, sofre influência da cobertura extra sobre o filme condutor.
18
CAPÍTULO 1
1 TÉCNICA GENERALIZADA DA RESSONÂNCIA TRANSVERSA NA
ANÁLISE DOS VALORES ASSIMPTÓTICOS DOS MODOS DE
PLASMON.
1.1 Introdução
A Ressonância Transversa é uma técnica que permite encontrar, prontamente, a equação
de condicionamento ou dispersão dos modos que se propagam em estruturas planares sob a
condição
݀
݀ݕ
ൗ
=0, de forma muito simplificada, pois a estrutura apresenta extensões
infinitas na coordenada “y”, caracterizando a não propagação dos campos em “y” .
Neste capitulo são obtidas as equações apropriadas ao cálculo dos índices efetivos
relacionados aos valores assimptóticos dos modos de plasmon que se propagam nas fibras
ópticas fracamente guiadas.
Estas equações são elaboradas a partir da aplicação da técnica da ressonância
transversa em estruturas planares, uma vez que a estrutura circular tende a planar quando o
seu raio interno tende ao infinito. Esta é a condição assimptótica da fibra óptica.
A Ressonância Transversa é equivalente ao método clássico de casamento dos campos
nas fronteiras [(Guimarães e Sapienza-IMOC 2005) e Guimarães e Sapienza-SBMO 2005)].
A equação procurada, que rege a existência dos modos, entretanto, é obtida mais facilmente
por esta técnica do que se desenvolvida pelo método clássico.
Para generalizar o estudo e aplicação da técnica da ressonância transversa, este
capítulo constará do seguinte raciocínio:
Inicialmente, será apresentada a técnica da ressonância transversa generalizada para um
número qualquer de regiões, que será adaptada a uma estrutura planar constituída por três
regiões (Sapienza-2006 – et al), sendo duas dielétricas separadas por um filme condutor,
assim como para quatro regiões. Nesta estrutura ficará evidenciado que somente os dielétricos
fronteiriços ao filme são relevantes aos valores assimptóticos dos índices efetivos da estrutura.
19
1.2 Justificativa da utilização da Técnica da Ressonância Transversa na
análise dos modos de Plasmon.
Neste trabalho, as estruturas dielétricas básicas, empregadas na análise dos modos de
Plasmon, são vistas na Figura 2. Nela as regiões caracterizadas pelo dielétrico Є
m
, devem ser
entendidas como metais Є
m
= - Є
0
(Є
rm
+ j Є
jm
). Caso o dielétrico extra (µ
0
ε
2
), seja igual ao
da cobertura (µ
0
ε
1
), os resultados obtidos na analise do guia da Figura 3 tendem aos do guia
constituído por 3 regiões (Figura 4).
Figura 3 – Guia de onda constituído por um filme
metálico (µ
0
Є
m
) e mais três regiões dielétricas.
Figura 4 – Guia de onda constituído por um filme
metálico envolvido por duas regiões dielétricas.
As estruturas têm extensões infinitas na coordenada “y”, conseqüentemente, os
campos são independentes desta variável,
0=dyd
.
A coordenada “z” rege a direção da propagação da onda, excitada harmonicamente por
e
+jώt
.
Com a hipótese de
0=dyd
, as equações que regem os campos transversais, (E
y
, H
z
)
– Modo TE
y
e (H
y
, E
z
) – Modo TM
y
que se propagam nas estruturas, são idênticas às do modo
TEM em x, de uma linha de transmissão, como sugere o desenvolvimento, a seguir.
As formulações procuradas, isto é, as equações que regem as existências dos modos
TM
y
e TE
y
, são obtidas impondo que os campos, H
yi
(x,z) e E
yi
(x,z) (i=1, 2, 3, 4) satisfaçam
as equações de Helmholtz em cada região (i):
Modo TM
y
(
)
(
)
0,,
2
2
=+∇ zxHKzxH
i
yiyi
(1)
Modo TE
y
(
)
(
)
0,,
2
2
=+∇ zxEKzxE
i
yiyi
Pois
0=
dy
d
y
z
h
x
K
m
µ
0
ε
1
µ
0
ε
m
µ
0
ε
2
y
z
h
x
K
m
K
m
µ
0
ε
1
µ
0
ε
m
µ
0
ε
2
x
0
z
µ
0
ε
1
µ
0
ε
m
µ
0
ε
2
h
m
h
2
µ
0
ε
4
x
0
z
µ
0
ε
1
µ
0
ε
m
µ
0
ε
2
h
m
h
2
µ
0
ε
4
20
Pelo método da separação das variáveis
Modo TM
y
(
)
(
)
(
)
zZxHzxH
yyi
=
,
Modo TE
y
(
)
(
)
(
)
zZxEzxE
yyi
=
,
Substituindo em (1)
Modo TM
y
(
)
( )
0
2
2
2
=+ xHK
dx
xHd
yixi
yi
(2)
Modo TE
y
(
)
( )
0
2
2
=+ xEK
dx
xEd
yixi
yi
Onde o número de onda transversal da região (i);
22
β
−±=
ixi
kK
00
ε
KK
i
=
(3)
Onde K
i
é o número de onda transversal da região (i), β é a constante de fase e ε
0
é a
permissividade do meio.
Para ambos os modos, consideram-se as propagações caracterizadas por ondas diretas:
(
)
( )
0
2
2
2
=+ zZ
dz
zZd
β
(
)
zj
ezZ
β
−
=
(4)
Os campos elétricos são encontrados pelas equações de Ampére e Faraday.
Modo TM Modo TE
y
Equação de Ampére
Equação de Faraday
(
)
(
)
zxEjzxH
iiyi
,,
2
0
ηωε
=∧∇
(
)
(
)
zxHjzxE
iyi
,,
0
ωµ
=∧∇−
Onde:
( )
dx
dA
Z
dz
dA
xzxA
yy
y
+−=∧∇ ,
Portanto:
( )
(
)
dx
zxdH
j
zxE
yi
i
zi
,
1
,
2
0
ηωε
+
=
ܧ
௫
ሺ
ݔ
,
ݖ
ሻ
=
−
1
݆߱
ߝ
ߟ
ଵ
ଶ
ሺ
ܣ
݁
ା
ೣ
௬
−
ܤ
݁
ା
ೣ
௬
ሻ
( )
(
)
dx
zxdE
j
zxH
yi
zi
,
1
,
0
ωµ
−
=
(5)
ܪ
௫
ሺ
ݔ
,
ݖ
ሻ
=
+
1
݆߱
ߤ
ሺ
ܣ
݁
ା
ೣ
௬
+
ܤ
݁
ା
ೣ
௬
ሻ
η
i
- índice de refração na região i
ω - freqüência da onda
21
Observe que as equações do modo TE
y
podem ser obtidas aplicando o teorema da
dualidade nas expressões do modo TM
y
.
Como, para cada freqüência ώ, (K
xi
e β) são constantes, as primeiras equações de (5),
fornecem:
dxEjdH
ziiyi
2
0
ηωε
=
dxHjdE
ziyi 0
ωµ
−
=
Integrando as componentes dos campos, elétrico e magnético, têm-se:
∫
= dxEjdH
ziiyi
2
0
ηωε
∫
−= dxHjdE
ziyi 0
ωµ
(6)
Substituindo (6) na equação que rege os modos TM
y
e TE
y
respectivamente, obtêm-se
a formulação dos modos TM
z
e TE
z
condizentes com os modos TM
y
e TE
y
.
0
2
2
2
2
2
=++
yii
yiyi
HK
dz
Hd
dx
Hd
0
2
2
2
2
2
=++
yii
yiyi
EK
dz
Ed
dx
Ed
Substituindo por (6)
0
2
2
2
2
2
2
0
=
++
∫
dxEK
dz
Ed
dx
Ed
j
zii
zizi
i
ηωε
0
2
2
2
2
2
0
=
++−
∫
dxHK
dz
Hd
dx
Hd
j
zii
zizi
ωµ
Então:
0
22
=+∇
ziizi
EKE
0
22
=+∇
ziizi
HKH
0
2
2
2
=+
zixi
zi
EK
dx
Ed
0
2
2
=+
zixi
zi
HK
dx
Hd
(7)
K
xi
é dado pela equação(2).
As equações (2) e (7) relacionadas aos campos Transversais justificam a equivalência
da abordagem dos modos (TM
y
ou TE
y
) pela de tensão e corrente de uma linha de transmissão
na variável “x” (modo TEM em x); como apresentados a seguir:
Modo TM
y
(
)
(
)
2
2
2
+ xHK
dx
xHd
yixi
yi
(
)
( )
2
2
2
+ xEK
dx
xEd
zixi
zi
Modo TE
y
(
)
(
)
2
2
2
+ xEK
dx
xEd
yixi
yi
(
)
(
)
2
2
2
+ xHK
dx
xHd
zixi
zi
Logo, ambos os modos podem
melhor, pelas equações de uma Linha de Transmissão, suportando o modo TEM
é considerada uma linha de transmissão, como mostra a
(µ
0
ε
1
), são considerada
s linhas de transmissão infinitas.
Figura 5 –
Equivalência entre a estrutura dielétrica e a de Linha de Transmissão.
No modelo equivalente de L.T, o que diferencia o modo TM
impedâncias características dos trechos das Linhas. Estas impedâncias
impedâncias de ondas dos respectivos modos, ou sejam:
Linha de Transmissão (TEM
)
0=
(
)
(
)
xIxH
iyi
→
(
)
2
2
dx
xId
i
0=
(
)
(
)
xVxE
izi
→
(
)
2
2
dx
xVd
i
Linha de Transmissão (TEM
)
0=
(
)
(
)
xVxE
iyi
→
(
)
2
2
dx
xVd
i
)
0=
(
)
(
)
xIxH
izi
→
(
)
2
2
dx
xId
i
Logo, ambos os modos podem
ser formulados pelas equações dos telegrafistas, ou
melhor, pelas equações de uma Linha de Transmissão, suportando o modo TEM
é considerada uma linha de transmissão, como mostra a
Figura 5
. As regiões externas (µ
s linhas de transmissão infinitas.
Equivalência entre a estrutura dielétrica e a de Linha de Transmissão.
No modelo equivalente de L.T, o que diferencia o modo TM
y
impedâncias características dos trechos das Linhas. Estas impedâncias
impedâncias de ondas dos respectivos modos, ou sejam:
22
Linha de Transmissão (TEM
x
)
)
( )
0
2
=+ xIK
ixi
)
( )
0
2
=+ xVK
ixi
Linha de Transmissão (TEM
x
)
)
( )
0
2
=+ xVK
ixi
)
( )
0
2
=+ xIK
ixi
ser formulados pelas equações dos telegrafistas, ou
melhor, pelas equações de uma Linha de Transmissão, suportando o modo TEM
x
. Cada região
. As regiões externas (µ
0
ε
4
) e
Equivalência entre a estrutura dielétrica e a de Linha de Transmissão.
do TE
y
é o valor das
impedâncias características dos trechos das Linhas. Estas impedâncias
se identificam com as
Modo TM
y
c
Z
Modo TE
y
c
Z
A
explicação mais detalhada das impedâncias vistas na
– A.
1.3
Fundamento da Técnica da Ressonância Transversa.
Para melhor apresentar a Técnica da Ressonância Transversa, considere uma estrutura
constituída por várias fatias dielétricas
Figura 6 –
Esquema básico da Técnica da Ressonância Transversa
di
elétrica e a de Linha de Transmissão
Na Figura 6
relacionam aos modos TE
H
y
(x).
A aplicação da técnica se
2
0 i
xi
yi
zi
TM
K
H
E
Z
ηωε
+===
xizi
yi
TE
KH
E
Z
0
ωµ
===
explicação mais detalhada das impedâncias vistas na
equação (8)
encontra
Fundamento da Técnica da Ressonância Transversa.
Para melhor apresentar a Técnica da Ressonância Transversa, considere uma estrutura
constituída por várias fatias dielétricas
planares, mostrada na Figura 6.
Esquema básico da Técnica da Ressonância Transversa
, e
quivalência entre a estrutura
elétrica e a de Linha de Transmissão
com N fatias dielétricas
os sinais (േ
) entre as componentes da onda direta e da reversa se
relacionam aos modos TE
y
, caracterizado por E
y
(x) e o modo TM
A aplicação da técnica se
baseia nos seguintes procedimentos:
23
(8)
encontra
-se no Apêndice
Fundamento da Técnica da Ressonância Transversa.
Para melhor apresentar a Técnica da Ressonância Transversa, considere uma estrutura
quivalência entre a estrutura
com N fatias dielétricas
.
) entre as componentes da onda direta e da reversa se
(x) e o modo TM
y
, pela componente
24
i- Escolhe-se uma fronteira que dividirá a estrutura em dois semi-planos. Na Figura 6
é a seção (A – A’)
ii- Cada região dielétrica do plano superior é equivalente a uma L.T direcionada da
seção (A – A’) ao infinito, enquanto que os do plano inferior orientada, também, a
partir da referida seção, é dirigida em sentido oposto ao da seção superior, veja
Figura 6.
iii- A técnica consiste em rebater ambas as impedâncias das Linhas externas, sobre a
seção selecionada, e nela fazer o casamento das referidas impedâncias, como
mostra a Figura 7:
Figura 7 – Adaptação das impedâncias de ambos os planos na fronteira (A –A’)
A adaptação das impedâncias em (A – A’) se verifica, com a condição:
(
)
(
)
'' AAZAAZ
xixs
−
=
(9)
Pois, as impedâncias nas Figuras 5 e 6 são observadas, na fronteira (A – A’) em sentidos
opostos.
iv- A impedância característica da Linha de Transmissão, equivalente a cada região, é
encontrada partindo-se das seguintes considerações:
Modo TM
y
Modo TE
y
Regiões externas
(
)
xjKx
eye
e
eAxH
−
=
Regiões externas
(
)
xjKx
eye
e
eAxE
−
=
A’A
Z
xs
(AA’)
Z
xi
(x)
I
xs
(x)
I
xi
(x) V
xi
(x)
X
X
V
xs
(x)
25
Regiões Internas
(
)
xjKx
i
xjKx
iyi
ii
eBeAxH
+−
−=
Considerou-se o sinal (-) na onda reversa para que a
expansão do campo magnético, por ondas direta e reversa,
fique condizente com a expansão exigida pelas equações de
Maxwell.
Regiões Internas
(
)
xjKx
i
xjKx
iyi
ii
eBeAxE
+−
+=
A expansão clássica do campo elétrico por ondas diretas e
reversa exige que ambas sejam positivas (+).
Com auxílio da equação (5), obtêm-se as impedâncias características das Linhas de
Transmissão de ambos os modos.
Regiões Externas
( )
( )
( )
( )
xH
j
jK
xE
ye
e
xe
ze
++
−
=
2
0
ηωε
( )
( )
( )
( )
xE
j
jK
xH
ye
xe
ze
++
+
=
0
ωµ
Portanto:
(
)
( )
( )
( )
TMZ
K
xH
xE
e
c
e
xe
ye
ze
=
−
=
+
+
2
0
)(
ηωε
(
)
( )
( )
( )
TEZ
K
xH
xE
e
c
xe
zi
yi
=
+
=
+
+
0
)(
ωµ
Regiões Internas
( )
[
]
xjK
i
xjK
i
i
zi
xixi
eBeA
dx
d
j
xE
+−
−=
2
0
1
ηωε
( )
[
]
xjK
i
xjK
izi
xixi
eBeA
dx
d
j
xH
+−
+=
0
1
ωµ
Derivando
( )
[
]
xjK
i
xjK
i
i
xi
zi
xixi
eBeA
j
jK
xE
+−
+
−
=
2
0
ηωε
( )
[
]
xjK
i
xjK
i
xi
zi
xixi
eBeA
j
jK
xH
+−
−
+
=
0
ωµ
Portanto
ܧ
௭
ሺ
ݔ
ሻ
=
−
ቆ
ܭ
௫
߱
ߝ
ߟ
ଶ
ቇ
ሺ
ܣ
݁
ି
ೣ
௬
+
ܤ
݁
ା
ೣ
௬
ሻ
ܪ
௭
ሺ
ݔ
ሻ
=
൬
ܭ
௫
߱
ߤ
൰
ሺ
ܣ
݁
ା
ೣ
௬
−
ܤ
݁
ା
ೣ
௬
ሻ
ܪ
௬
ሺ
ݔ
ሻ
=
ሺ
ܣ
݁
ି
ೣ
௬
−
ܤ
݁
ା
ೣ
௬
ሻ
ܧ
௬
ሺ
ݔ
ሻ
=
ሺ
ܣ
݁
ା
ೣ
௬
+
ܤ
݁
ା
ೣ
௬
ሻ
A impedância característica das Linhas de Transmissão, equivalentes as regiões
dielétricas, que compõe a estrutura são:
26
(
)
( )
( )
( )
TMZ
K
xH
xE
xi
i
xizi
yi
=
−
=
+ 2
0
ηωε
(
)
(
)
( )
( )
TEZ
KxH
xE
xi
xizi
yi
==
+
0
ωµ
Assim: As impedâncias características das Linhas de Transmissão, equivalentes as
regiões que compõem o Guia de Onda em fatias dielétricas, são:
Modo TM
y
( )
(
)
(
)
( )
( )
−=
+
=
+
+
xH
xEK
TMZ
y
zp
p
xp
xp
2
0
ηωε
(10)
Modo TE
y
( )
(
)
( )
( )
( )
==
+
+
xH
xE
K
TEZ
zp
yp
xp
xp
0
ωµ
Onde p = (1, 2, 3, 4) as regiões da estrutura
Analisando as equações características de ambos os modos, equação (10).
I- O sinal (-) na impedância do modo TM
y
e o (+) do modo TE
y
estão coerentes
com o esperado pois:
Modo TM
y
(
)
( )
x
yp
zp
Z
H
E
−=
+
+
(
)
xHEYZHEHE
yzyzyz
−
=∧=
∧
**
))((
Onde: ܧ
௭
ሺାሻ
=−ܼ
௫
ܪ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
, então, ቀܧ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ ܪ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
∗
ቁ=ܼ
௫
หܪ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ห
ଶ
, portanto, uma potência que flui na
direção (+x)
Modo TE
y
(
)
( )
x
zp
yp
Z
H
E
+=
+
+
(
)
(
)
xHEHE
zyzy
+=
∧
*
*
ቀܧ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ ܪ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
∗
ቁ=
1
ܼ
௫
|
ܪ
௭
ܪ
௭
∗
|
ሺ+ݔԦሻ
II- A equação do modo TE
y
pode ser deduzida, diretamente, da equação do modo
TM
y
, aplicando, nesta, o teorema da dualidade.
III- Os modos de Plasmon, objetivo deste trabalho, são modos evanescentes,
localizados em cada região dielétrica. Portanto, é imprescindível que se
investigue o comportamento das impedâncias características em Linha de
Transmissão, com o modo TEM evanescente.
27
Para ambos os modos (TM
y
e TE
y
) tem-se:
a- Regiões Externas.
Na Figura 6, percebe-se que nas regiões externas (i=1, 7) as Linhas de Transmissão
são infinitas. Se as ondas propagantes forem evanescentes é necessário modelá-las de maneira
que se anulem no infinito.
Chamando ψ(x), tanto para a componente H
y
(x) – (Modo, TM
y
), como para E
y
(x) –
(Modo TE
y
), tem-se para as regiões externas (i=1, 7, veja Figura 6) somente ondas diretas:
ψ(x) = (H
y
(x) ou E
y
(x) ) se escrevem:
(
)
xjK
i
xi
eAx
−
=Ψ
(11)
Onde:
22
β
−±=
ixi
KK
número de onda transversal da região (i).
Se a onda for evanescente, significa que β > Ki, então:
ixi
jKK
α
0
−
=
onde
22
ii
nef
ηα
−=
Pela condição (11), a onda, satisfaz a imposição de Sommefeld no infinito, atende a
exigência de ondas reais, isto é, se anula no infinito, pois:
(
)
xjK
i
xi
eAx
−
=Ψ
ixi
jK
α
=
(
)
(
)
0≥=Ψ
−
xeAx
x
i
i
α
As impedâncias características passam a ser, pela equação (10)
( )
2
0
0
i
i
xi
jK
TMZ
ηωε
α
+
=
( )
i
xi
K
j
TEZ
α
ωµ
0
0
−
=
(12)
28
Observe que
===
π
ωµ
ωε
120
0
0
0
0
0
Z
K
K
b- Regiões Internas.
Pela Figura 6, vê-se que as regiões internas correspondem a trechos de linha de
Transmissão, de dimensões finitas. Com as hipóteses de Linha de Transmisão evanescentes
ou de filme-condutor, têm-se:
Filme-condutor
Regiões dielétricas sob a condição de
evanescência
(
)
mjmrm
j
ε
ε
ε
ε
+
−
=
0
Então:
(
)
mjmrm
jKK
εε
+−=
0
2
2
0
2
nefK=
β
i
K
>
β
O número de onda transversal se escreve:
22
β
−±=
mxm
KK
22
β
−±=
ixi
KK
Portanto
(
)
2
0
efjjKK
mjmrxm
ηεε
++±=
2
1
2
0
ηβ
−±= jKK
xi
Definem-se os parâmetros de evanescência, no filme condutor (α
m
) e nas regiões dielétricas
(α
i
).
29
(
)
mjmrm
jnef
εεα
++=
2
Onde
(
)
jr
jnefnefnef −=
(4º quadrante) ;
22
ii
nef
ηα
−=
(
)
(
)
jrjr
nefnefjnefnefnef .
222
α
−−=
(13)
Os números de onda, na direção x, no filme condutor (K
xm
) e nos dielétricos (K
xi
),
para situação de evanescência são:
mxm
jKK
α
0
±
=
ixi
jKK
α
0
±
=
(14)
Substituindo (13) em (14), considerando os sinais para que α
m
se situe no 1º quadrante
e α
i
no 4º quadrante.
[
]
(
)
jrmjjmrrm
nefnefjnefnef 2
22
−+−+=
εεα
(1º quadrante)
(
)
[
]
(
)
jrjiri
nefnefjnefnef 2
222
−−−−=
ηα
(4º quadrante)
Para as linhas de transmissão internas a estrutura, pode-se, na hipótese de
evanescência, escolher indiferentemente qualquer um dos sinais (±) da equação (14).
( )
m
m
m
m
cm
jKjK
Z
εωε
α
εωε
α
0
0
0
0
±=
−
±
=
2
0
0
i
i
ci
jK
Z
ηωε
α
±=
1.4 Estrutura constituída por três regiões planares.
Neste item, a teoria generalizada da ressonância transversa será adaptada a uma
estrutura de três regiões planares que é mostrada na Figura 8.
Figura
O modelo de linha de Transmissão equivalente ao guia de onda em fatias dielétricas,
suportando o modo TM
é mostrado na
Figura 9a
Figura 9 –
Modelo de Linha de Transmissão equivalente à estrutura dielétrica de três regiões.
A Técnica da Ressonância Transversa consiste em rebater na seção (AA’) a carga Z
e, nesta seção adaptá-
la a carga Z
Rebatendo a carga (Z
comprimento (h
m
), na seção (AA’).
A equação
(1) é reescrita, por um simples algebrismo.
Z
A
Z
xm
Z
x2
0
X
X
2
-
h
m
Z
x1
X
1
A
Z
xm
Z
x2
0
X
X
2
-
h
m
Z
x1
X
1
Figura
8 –
Guia de onda planar constituído por três regiões dielétricas.
O modelo de linha de Transmissão equivalente ao guia de onda em fatias dielétricas,
é mostrado na
Figura 9.
−
=
2
20
ηωε
xm
xm
K
Z
Modelo de Linha de Transmissão equivalente à estrutura dielétrica de três regiões.
A Técnica da Ressonância Transversa consiste em rebater na seção (AA’) a carga Z
la a carga Z
x1
.
Rebatendo a carga (Z
x2
), da Linha de Transmissão
de impedância característica (Z
), na seção (AA’).
( )
( )
( )
+
+
=
−=
mxmxxm
mxmxmx
xmhmx
hKjZZ
hKjZZ
ZZ
tan
tan
2
2
(1) é reescrita, por um simples algebrismo.
( )
(
(
+
+
−
=
−=
m
xm
xm
x
m
xm
xm
x
xmhmx
hK
Z
Z
j
hK
Z
Z
j
jZ
Z
tan1
tan
2
2
x
y
z
µ
0
ε
1
µ
0
ε
m
µ
0
ε
2
h
m
x
y
z
µ
0
ε
1
µ
0
ε
m
µ
0
ε
2
h
m
A’
m
A’
m
30
Guia de onda planar constituído por três regiões dielétricas.
O modelo de linha de Transmissão equivalente ao guia de onda em fatias dielétricas,
Figura 9b
Modelo de Linha de Transmissão equivalente à estrutura dielétrica de três regiões.
A Técnica da Ressonância Transversa consiste em rebater na seção (AA’) a carga Z
x2
de impedância característica (Z
xm
) e
(15)
)
)
m
m
31
Adaptando as impedâncias na seção (A A”)
(
)
mx
hxZZ
−
=
−
=
1
Portanto:
( )
( )
+
−
−=
mxm
xm
x
xm
x
mxm
xmx
hK
Z
Z
j
Z
Z
jhK
jZZ
tan1
tan
2
2
1
(16)
Aplicando em (15) a identidade trigonométrica
( )
BA
BA
BAg
tan.tan1
tantan
tan
+
−
=−
Tem-se:
−=
xm
x
mxm
xm
x
Z
Z
jhK
Z
Z
j
21
tan
(17)
Explicita-se o fator (K
xm
h
m
), na equação (17); com auxilio da função tang
-1
( ) em
ambos os lados
−=+
+
−−
xm
x
mxm
xm
x
Z
Z
jhKn
Z
Z
j
2
1
1
1
tantan
π
(18)
Sabendo-se que tan
-1
( j Z) = j tan
-1
(Z) a equação (18) se escreve:
mxm
xm
x
xm
x
hKn
Z
Z
j
Z
Z
j =+
+
−−
π
2
1
1
1
tanhtanh
(19)
Como o modo de Plasmon é o TM
0
, (n=0), na equação (19), portanto:
+
=
−−
xm
x
xm
x
mxm
Z
Z
j
Z
Z
jhK
2
1
1
1
tanhtanh
(20)
A seguir adapta-se a equação (20), a estrutura apropriada ao confinamento do modo de
Plasmon:
32
As regiões externas (1 e 2) suportam ondas evanescentes.
101
α
jKK
x
−
=
2
10
10
1
ηωε
α
jK
Z
x
+=
202
α
jKK
x
−
=
(21)
2
20
20
2
ηωε
α
jK
Z
x
+=
A região central é um filme condutor.
mxm
jKK
α
0
±
=
m
m
xm
jK
Z
εωε
α
0
0
±=
(22)
Observe que para os trechos de linhas equivalentes às regiões internas é indiferente a
escolha do sinal (±) do parâmetro transversal (K
xm
).
Substituindo (21) e (22) em (20), tem-se:
( )
+
±=±
−−
m
m
m
m
mm
jhKj
α
α
η
ε
α
α
η
ε
α
2
2
2
1
1
2
1
1
0
tanhtanh
Assim, é obtida a equação que rege a existência dos modos de Plasmon, em estruturas
com três regiões.
+
=
−−
m
m
m
m
m
m
h
α
α
η
ε
α
α
η
ε
α
2
2
2
1
1
2
1
1
tanhtanh
(23)
Onde:
(
)
m
m
hKh
0
=
espessura normalizada do filme condutor
(
)
mjmrm
j
ε
ε
ε
+
=
permissividade relativa do filme
A equação (23) é a expressão usada para analisar os respectivos modos de Plasmon,
em estrutura de três regiões.
Os valores assimptóticos de η
ef
= (η
efr
− jη
efi
) são calculados fazendo (α
m
h
m
) →
∞
em (23). Que fornece dois modos independentes:
33
ቆ
ߝ
ߙ
ଵ
ߟ
ଵ
ଶ
ߙ
ቇ
=1
e (24)
ቆ
ߝ
ߙ
ଶ
ߟ
ଶ
ଶ
ߙ
ቇ
=1
1.5 Estrutura constituída por quatro regiões planares.
Neste item são calculados os valores assimptóticos de uma estrutura planar constituído por
quatro regiões que é mostrada na Figura 10.
Figura 10 – Guia de onda planar constituída por quatro regiões dielétricas.
O modelo de linha de Transmissão equivalente ao guia de onda em fatias dielétricas,
suportando o modo TM, é mostrado na Figura 11.
Figura 11a Figura 11b
Figura 11 – Modelo de Linha de Transmissão equivalente a estrutura dielétrica de quatro regiões.
x
0
z
µ
0
ε
1
µ
0
ε
m
µ
0
ε
2
h
m
h
2
µ
0
ε
4
x
0
z
µ
0
ε
1
µ
0
ε
m
µ
0
ε
2
h
m
h
2
µ
0
ε
4
A’A
Z
xm
Z
x4
0
X
4
-h
m
Z
x1
X
1
Z
x2
X
2
0
0
-h
2
X
m
A’A
Z
xm
Z
x4
0
X
4
-h
m
Z
x1
X
1
Z
x2
X
2
0
0
-h
2
X
m
Z
x4
Z
x1
Z
x2
Z
xm
-h
m
-h
2
A’A
0
0
Z
x4
Z
x1
Z
x2
Z
xm
-h
m
-h
2
A’A
0
0
34
Rebatendo as impedâncias (Z
x2
e Z
x1
) na seção (A A’) pela Figura 11b.
( )
(
)
( )
+
+
=−=
mxmxxm
mxmxmx
xmmm
hKjZZ
hKjZZ
ZhxZ
tan
tan
4
4
(25)
( )
(
)
( )
+
+
=−=
2212
2221
222
tan
tan
hKjZZ
hKjZZ
ZhxZ
xxx
xxx
x
As equações (25) podem ser escritas:
( )
( )
( )
+
−
=−=
mxm
xm
x
xm
x
mxm
xmmm
hK
Z
Z
j
Z
Z
jhK
jZhxZ
tan1
tan
4
4
(26)
( )
( )
( )
+
−
=−=
22
2
1
2
1
22
222
tan1
tan
hK
Z
Z
j
Z
Z
jhK
jZhxZ
x
x
x
x
x
x
x
Aplicando a identidade trigonométrica em (26)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
+
−
=−
BA
BA
BA
tantan1
tantan
tan
As respectivas impedâncias se escrevem:
( )
−=−=
−
xm
x
mxmxmmm
Z
Z
jhKjZhxZ
4
1
tantan
(27)
( )
−=−=
−
2
1
1
22222
tantan
x
x
xx
Z
Z
jhKjZhxZ
Aplicando a Técnica da Ressonância Transversa.
Z
m
(x = - h
m
) = - Z
2
(x = - h
2
)
Assim.
−−=
−
−−
2
1
1
222
4
1
tantantantan
x
x
xx
xm
x
mxmxm
Z
Z
jhKjZ
Z
Z
jhKjZ
35
Simplificando.
−
−=
−
−−
2
1
1
22
24
1
tantantantan
x
x
x
xm
x
xm
x
mxm
Z
Z
jhK
Z
Z
Z
Z
jhK
Aplicando tan
-1
( ) em ambos os membros, com objetivo de explicitar o termo (K
xm
h
m
), tem-se:
−
−=
−
−−−
2
1
1
22
2
1
4
1
tantantantan
x
x
x
xm
x
xm
x
mxm
Z
Z
jhK
Z
Z
n
Z
Z
jhK
π
Portanto:
−
−
+=
−−−
2
1
1
22
2
1
4
1
tantantantan
x
x
x
xm
x
xm
x
mxm
Z
Z
jhK
Z
Z
Z
Z
jnhK
π
(28)
Sabendo-se que o modo de Plasmon é o TM
0
, n=0, a expressão (28) se escreve:
−
−
=
−−−
2
1
1
22
2
1
4
1
tantantantan
x
x
x
xm
x
xm
x
mxm
Z
Z
jhK
Z
Z
Z
Z
jhK
(29)
Adapta-se a equação (29) a estrutura apropriada ao modo de Plasmon.
As regiões dielétricas (i=1, 2, 4) suportam ondas evanescentes.
101
α
jKK
x
−
=
404
α
jKK
x
−
=
2
10
10
1
ηϖε
α
jK
Z
x
+=
Regiões externas
2
40
40
4
ηϖε
α
jK
Z
x
+=
(30)
202
α
jKK
x
−
=
2
20
20
1
ηϖε
α
jK
Z
x
+=
Região interna
O parâmetro K
x2
pode ser escolhido indiferentemente como K
x2
= ± jK
0
α
1.
Filme condutor.
mxm
jKK
α
0
±
=
( )
m
m
m
m
xm
jKjK
Z
εϖε
α
εϖε
α
0
0
0
0
m=
−
±=
36
Substituindo (30) em (29), obtêm-se.
( ) ( )
−−
±−
±=±
−−−
2
1
2
1
2
2
1
202
2
2
2
1
4
2
4
1
0
tantantantan
α
α
η
η
α
α
α
η
ε
α
α
η
ε
α
jhKjjhKj
m
m
m
m
mm
(31)
Aplicando as identidades trigonométricas em (31)
tan
-1
(jZ) = j tanh
-1
(Z)
tan(jZ) = j tanh(Z)
Tem-se:
( ) ( ) ( )
+
−
±−
±=
−−−
202
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
4
2
4
1
0
tanhtanhtanhtanh hKjjhKj
m
m
m
m
mm
α
α
α
η
η
α
α
η
ε
α
α
η
ε
α
Portanto:
( ) ( )
+
+
±=±
−−−
202
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
4
2
4
1
0
tanhtanhtanhtanh hKjhKj
m
m
m
m
mm
α
α
α
η
η
α
α
η
ε
α
α
η
ε
α
Simplificando, resulta na equação que rege a existência dos modos de Plasmon, em
estruturas com quatro regiões.
+
+
=
−−−
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
4
2
4
1
tanhtanhtanhtanh hh
m
m
m
m
m
m
α
α
α
η
η
α
α
η
ε
α
α
η
ε
α
(32)
Onde:
(
)
( )
→
=
=
20
2
0
hKh
hKh
m
m
Parâmetros Normalizados
A forma assimptótica da equação (32) é obtida com condição de ሺߙ
ℎ
ത
ሻ→∞
satisfeita quando:
ߝ
ߙ
ସ
ߟ
ସ
ଶ
ߙ
=1
ఌ
ఈ
మ
ఎ
మ
మ
ఈ
=1
exigindo que
ℎ
ത
ଶ
→∞
37
A segunda condição referente à h
ത
ଶ
→∞ reduz o guia de quatro regiões para três
regiões, confirmando a condição assinptótica complementar de
க
ౣ
మ
మ
మ
ౣ
=1.
Portanto, a condição assimptótica das estruturas com quatro regiões, recai
obrigatoriamente na das estruturas com três regiões.
O que mostra que o comportamento dos modos de plasmon em qualquer estrutura, de
três ou quatro regiões, dependem unicamente das regiões fronteiriças ao filme condutor, como
apresentado no apêndice D.
1.6 Conclusão
Neste capítulo, foram deduzidas, com o auxílio da técnica da ressonância transversa, as
equações 23 e 32 que regem as estruturas planares com 3 e 4 regiões. Este estudo é
fundamental na abordagem da análise a ser desenvolvida no capítulo 2. Verificou-se que os
valores assimptóticos relacionados às estruturas de quatro regiões são idênticos ao de três
regiões, uma vez que esses valores assimptóticos dependem unicamente das regiões
fronteiriças ao filme condutor.
Os valores assimptóticos da fibra óptica são os valores iniciais, calculados, sob os quais,
o comportamento dos modos de plasmon é caracterizado.
38
CAPÍTULO 2
2 ESTUDO DOS MODOS DE PLASMON EM FIBRAS FRACAMENTE
GUIADAS COM CAMADAS DIELÉTRICAS SOBRE O FILME
METÁLICO.
2.1 Introdução
Neste capítulo é apresentado o método utilizado na análise do comportamento dos
modos de plasmon em fibras ópticas fracamente guiadas, coberta por um filme metálico e
uma camada dielétrica extra depositada sobre o filme, uma segunda camada dielétrica de
extensão infinita, é sobreposta ao dielétrico extra, compondo assim, a estrutura com 4 regiões,
conforme ilustrado nas Figuras 12 e 13.
Figura 12 – Fibra óptica fracamente guiada
com quatro regiões externas ao núcleo -
Estrutura Real
Figura 13 – Fibra óptica fracamente guiada
com quatro regiões externas ao núcleo -
Estrutura equivalente
2.2 Formulação sob a condição ܖ܍
ܚ
<
൫
િ
ܑ
+ ܖ܍
ܑ
൯
Os modos de Plasmon são modos TM
0
(n=0), com simetria angular, que satisfazem em
cada região, ver Figura 13, i=(1,m,3,4), a equação de Helmholtz; em coordenadas cilíndricas
circulares,
∇
ଶ
ܧ
௭
ሺ
ݎ,ݖ
ሻ
+ ܭ
ଶ
ܧ
௭
ሺ
ݎ,ݖ
ሻ
=0 ݊≡0→ሺ
ௗ
ௗఏ
≡0ሻ
Cobertura-2
Cobertura-1
Núcleo
Filme
Casca
d
(K
0
r)
η
núcleo
η
4
= η
0
η
3
-ε
m
=η
2
2
η
1
Cobertura-2
Cobertura-1
Filme
(K
0
r)
η
1
η
4
η
3
ε
m
Casca
fator
(Y+fator)Y
39
ଵ
ௗ
ௗ
ቀ
ݎ
ௗா
ௗ
ቁ
+
ௗ
మ
ா
ௗ௭
మ
+ ܭ
ଶ
ܧ
௭
=0 ݅=1,݉,3,4
Pelo método de separação das variáveis:
ܧ
௭
ሺ
ݎ,ݖ
ሻ
=ܴ
ଵ
ሺ
ݎ
ሻ
ܼሺݖሻ
Portanto,
ଵ
ௗ
ௗ
ቀ
ݎ
ௗோ
ሺሻ
ௗ
ቁ
+
൫
ܭ
ଶ
− ߚ
ଶ
൯
ܴ
ሺݎሻ=0
ሺ33ሻ
Onde,
ܼ
ሺ
ݖ
ሻ
=݁
ିఉ௭
Como o filme metálico é um meio condutor, o número de onda transversal ܭ
௧
ଶ
=ሺܭ
ଶ
− ߚ
ଶ
ሻ
em (33) se escreve:
ۏ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
ߚ=ܭ
݂݊݁ ݂݊݁=݂݊݁
− ݆݂݊݁
ሺ
4
ܳݑܽ݀ݎܽ݊ݐ݁
ሻ
ܭ
=ܭ
ߟ
݅=1,3,4
݂݈݅݉݁ ݉݁ݐá݈݅ܿ
ܭ
=ܭ
ඥ
−ߝ̂
ߝ
=−ߝ
ߝ̂
ߝ̂
=
ሺ
ߝ̂
+ ݆ߝ̂
..
ሻ
Portanto
ܭ
௧
ଶ
=
ሺ
ܭ
ଵ
ଶ
− ߚ
ଶ
ሻ
=ܭ
ଶ
൫
ߟ
ଶ
− ݂݊݁
ଶ
൯
Considera-se
ܭ
௧
ଶ
=−ܭ
൫
݂݊݁
ଶ
− ߟ
ଶ
൯
Então:
൦
ܭ
௧
=݆ܭ
ට
݂݊݁
ଶ
− ߟ
ଶ
݅=1,3,4
ሺ
݈݀݅݁éݐݎ݅ܿݏ
ሻ
ܭ
௧
=݆ܭ
ඥ
݂݊݁
ଶ
+ ߝ̂
݅=݉ ሺ݂݈݅݉݁ ݉݁ݐá݈݅ܿሻ
Chamando
ߙ
=݂݊݁
ଶ
− ߟ
ଶ
݅=1,3,4
ሺ
݈݀݅݁éݐݎ݅ܿ − 2
ሻ
ߙ
=݂݊݁
ଶ
+ ߝ̂
݅=݉
ሺ
݂݈݅݉݁ ݉݁ݐá݈݅ܿ
ሻ
(34)
40
Tem-se
ܭ
௧
=݆ܭ
ඥ
ߙ
݅=1,݉,3,4
A equação de Helmholtz se escreve:
1
ݎ
݀
݀ݎ
൬
ݎ
ܴ݀
݀ݎ
൰
−
൫
ߚ
ଶ
− ܭ
ଶ
൯
ܴ
ሺ
ݎ
ሻ
=0
ݎ
ௗ
ௗ
ቀݎ
ௗோ
ሺ
ሻ
మ
ௗ
ቁ − ܭ
ଶ
൫݂݊݁
ଶ
− ߟ
ଶ
൯ݎ
ଶ
ܴ
ሺ
ݎ
ሻ
=0
(35)
Normaliza-se a equação (35) com relação à constante
ܭ
=ቀ
ఠ
௩
ቁ (ݒ − ݒ݈݁ܿ݅݀ܽ݀݁ ݀ܽ ݈ݑݖ ݊ ݁ݏܽç ݈݅ݒݎ݁ሻ. Considera-se a análise numa
freqüência fixa (ω); conseqüentemente, a equação (34) será:
ሺ
ܭ
ݎ
ሻ
ௗ
ௗ
ሺ
బ
ሻ
ቂ
ሺ
ݎܭ
ሻ
ௗோ
ሺ
ሻ
ௗ
ሺ
బ
ሻ
ቃ −
൫
݂݊݁
ଶ
− ߟ
ଶ
൯
ሺ
ܭ
ݎ
ሻ
ଶ
ܴ
ሺ
ݎ
ሻ
≡0
(36)
Portanto, a equação (36) pode ser especificada em função do raio normalizado
ݎҧ=
ሺ
ܭ
ݎ
ሻ
, ou seja:
ۏ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
ሺ
ܭ
ݎ
ሻ
݀
݀
ሺ
ܭ
ݎ
ሻ
ቈ
ሺ
ܭ
ݎ
ሻ
ܴ݀
ሺ
ݎ
ሻ
݀
ሺ
ܭ
ݎ
ሻ
−
ሾሺ
݂݊݁
ଶ
− ߟ
ଶ
ሻሺ
ܭ
ݎ
ሻ
ଶ
ሿ
ܴ
ሺ
ݎ
ሻ
≡0
ሺ37ሻ
ܭ
൜ݎҧ
݀
݀ݎҧ
ݎҧ
ܴ݀
ሺݎሻ
݀ݎҧ
൨ൠ −
ሺ
ߙ
ݎҧ
ሻ
ଶ
ሼ
ܭ
ܴ
ሺݎሻ
ሽ
=0
Tem-se a equação normalizada de Helmholtz do problema em equação.
ௗ
ௗ
ҧ
ቀ
ݎҧ
ௗோ
ሺ
ҧ
ሻ
ௗ
ҧ
ቁ
−
ሺ
ߙ
ݎҧ
ሻ
ଶ
ܴ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=0
(38)
41
ߙ
=
൫
݂݊݁
ଶ
− ߟ
ଶ
൯
(regiões dielétricas)
ߙ
=
ሺ
݂݊݁
ଶ
+ ߝ̂
ሻ
(Filme metálico)
ߝ̂
=ߝ̂
+ ݆ߝ̂
A solução da equação (38) são as funções de Bessel (apêndice B) modificadas de 1ª e
2ª espécie.
Assim, a modelagem dos quatros modos de plasmon que se propagam na estrutura são
modelados pelas equações a seguir, conforme a Figura 13.
Cobertura-2
ܴ
ସ
ሺ
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
=ܣ
ସ
ܨ
ସ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ௗ௦ ௨ ௨ ú
ி
రబ
ሺ
√
ఈ
ర
ҧ
ሻ
ୀ
బ
ሺ
√
ఈ
ర
ҧ
ሻ
ி௨ ௧௨
ி
రబ
ሺ
√
ఈ
ర
ҧ
ሻ
ୀூ
బ
ሺ
√
ఈ
ర
ҧ
ሻ
Cobertura-1
ܴ
ଷ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎҧ
൯
=ܣ
ଷ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎҧ
൯
+ ܤ
ଷ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎҧ
൯
(39)
Filme metálico
ܴ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
൯
=ܣ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
൯
+ ܤ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
൯
Núcleo ≈Casca ܴ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଵ
ݎҧ൯=ܣ
ଵ
ܨ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଵ
ݎҧ൯
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ܮ݅݃ܽ݀ݏ ݑ ݂ݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ܨ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
=ܫ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
ܨݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁
ܨ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
=ܭ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
O sistema de equações, generalizado, apropriado à análise dos modos de plasmon que
se propagam na referida estrutura, são as equações (39).
ݎҧ≥
ሺ
ܽ+ ݐ+ ℎ
ሻ
݇
ܧ
௭ସ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=ܣ
ସ
ܨ
ସ
൫
ඥ
ߙ
ସ
ݎҧ
൯
ሺ
ܽ+ ݐ+ ℎ
ሻ
݇
≥ݎҧ≥
ሺ
ܽ+ ݐ
ሻ
݇
ܧ
௭ଷ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=ܣ
ଷ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎҧ
൯
+ ܤ
ଷ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎҧ
൯
(40)
ሺ
ܽ+ ݐ
ሻ
݇
≥ݎҧ≥ܽ݇
ܧ
௭
ሺ
ݎҧ
ሻ
=ܣ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
൯
+ ܤ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
൯
ݎҧ≤ܽ݇
ܧ
௭ଵ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=ܣ
ଵ
ܨ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଵ
ݎҧ
൯
42
Todas as expressões em (40) devem ser multiplicadas pela componente
longitudinal ܼ
ሺ
ݖ
ሻ
=݁
ିఉ௭
. Considera-se a excitação harmônica ݁
ାఠ௧
O problema é solucionado adaptando-se as componentes tangenciais dos
campos nas respectivas fronteiras da estrutura. Portanto, é imprescindível que se
calcule as componentes do campo magnético (Apêndice A).
O formalismo, de ondas diretas, do modo TM (ou modo E
z
) é :
ܧ
ሬ
Ԧ
்
=
−݆ߚ
ܭ
்
ଶ
∇
்
ܧ
௭
ۏ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
ܪ
ሬ
ሬ
Ԧ
்
=
−݆߱ߝ
ߟ
ଶ
ܭ
்
ଶ
൫ܼ
Ԧ
∧ ∇
்
ܧ
௭
൯=
߱ߝ
ߟ
ଶ
ߚ
൫ܼ
Ԧ
∧ ܧ
்
൯ ሺ41ሻ
ܣ ݁ݍݑܽçã
ሺ
41
ሻ
é ݏ݈ݑܿ݅݊ܽ݀ܽ ݈݁ ݏ݁݃ݑ݅݊ݐ݁ ܽݎݐ݂݅íܿ݅
ܧ
ሺ
ା
ሻ
ܪ
ఏ
ሺ
ା
ሻ
=−
ܧ
ఏ
ሺ
ା
ሻ
ܪ
ሺ
ା
ሻ
=ܼ
்ெ
=
ߚ
߱ߝ
ሺ
42
ሻ
ߝ
=ߝ
ߟ
ଶ
ሺ
݈݀݅݁éݐݎ݅ܿ
ሻ
ߝ
=−ߝ
ߝ̂
ሺ
݂݈݅݉݁ ݉݁ݐá݈݅ܿ
ሻ
Como a solução independe da variável angular (pois n=0):
∇
=
݀
݀ݎ
ܽ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܧ
=
ିఉ
ି
బ
మ
ఈ
ௗா
ሺ
ҧ
ሻ
ௗ
(43)
A expressão (43) é escrita em função das variáveis normalizadas:
ܧ
=
൭
ఉ
బ
ൗ
൱
ఈ
ௗா
ሺ
ҧ
ሻ
ௗ
ሺ
ሻ
onde
ܭ
ݎ=ݎҧ
Então:
ܧ
=
ఈ
ௗா
ሺ
ҧ
ሻ
ௗ
ሺ
ሻ
(44)
43
As componentes dos campos magnéticos tangentes as fronteiras, são encontradas
substituindo (44) em (41);
ܪ
ఏ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
߱ߝ
ߚ
݂݊݁
ߙ
݀ܧ
௭
ሺݎҧሻ
݀ݎҧ
Ou melhor:
ܪ
ఏ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
൬
߱ߝ
ܭ
൰
ቆ
ߟ
ଶ
ߙ
ቇ
݀ܧ
௭
ሺݎҧሻ
݀ݎҧ
Reconhecendo a identidade ቀ
ఠఌ
బ
బ
ቁ=
ଵ
బ
ܼ
=
ට
ఓ
బ
ఌ
బ
=120ߨ
Tem-se:
ܪ
ఏ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
ଵ
బ
ቀ
ఎ
మ
ఈ
ቁ
ௗா
ሺ
ҧ
ሻ
ௗ
ҧ
(45)
Para o filme metálico ߟ
ଶ
=−ߝ̂
Substituindo (39) em (45) tem-se a componente do campo magnético nas diferentes
regiões da estrutura:
Cobertura-2
ܪ
ఏସ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
ܣ
ସ
ܼ
ቆ
ߟ
ସ
ଶ
ߙ
ସ
ቇܨ
ସ
ᇱ
൫
ඥ
ߙ
ସ
ݎҧ൯
ۏ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
݈݅݃ܽ݀ݏ ݑ ݂ݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁
ܨ
ସ
ᇱ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
=
√
ߙ
ସ
ܭ
ᇱ
൫−
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎ
ሻ
൯=−
√
ߙ
ସ
ܭ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
ܨݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ܨ
ସ
ᇱ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
=
√
ߙ
ସ
ܫ
ᇱ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎ
ሻ
=+
√
ߙ
ସ
ܫ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
Cobertura-1
ܪ
ఏଷ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
ଵ
బ
ቀ
ఎ
య
మ
ఈ
య
ቁ
ඥ
ߙ
ଷ
ቀ
−ܣ
ଷ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎҧ
൯
+ ܤ
ଷ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎҧ
൯ቁ
(46)
Filme metálico.
ܪ
ఏ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
ଵ
బ
ቀ
ିఌ
ො
ఈ
ቁ
ඥ
ߙ
ቀ
−ܣ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
൯
+ ܤ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
൯ቁ
(47)
44
Casca
ܪ
ఏଵ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
భ
బ
ቀ
ఎ
భ
మ
ఈ
భ
ቁ
ܨ
ଵ
ᇱ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
ۏ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
ௗ௦ ௨ ௨ ௧௨
ி
భ
ᇲ
ሺ
√
ఈ
భ
ҧ
ሻ
ୀ
√
ఈ
భ
ூ
భ
ሺ
√
ఈ
భ
ҧ
ሻ
ி௨ ú
ி
భ
ᇲ
ሺ
√
ఈ
భ
ҧ
ሻ
ୀି
√
ఈ
భ
భ
ሺ
√
ఈ
భ
ҧ
ሻ
(48)
No quadro 1 abaixo, vê-se a componente dos campos elétricos tangentes as respectivas
fronteiras.
ݎҧ≥
ሺ
ܽ+ ݐ+ ℎ
ሻ
݇
ܧ
௭ସ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=ܣ
ସ
ܨ
ସ
൫
ඥ
ߙ
ସ
ݎҧ൯
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ܮ݅݃ܽ݀ݏ
ݑ
݂ݑ݃ܽ
݈݁
݊
ú
݈ܿ݁
ܨ
ସ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
=ܭ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
ܨݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܥܾ݁ݎݐݑݎܽ
ܨ
ସ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎ
ҧ
ሻ
=
ܫ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎ
ҧ
ሻ
ሺ
ܽ
+
ݐ
+
ℎ
ሻ
݇
≥
ݎ
ҧ
≥
ሺ
ܽ
+
ݐ
ሻ
݇
ܧ
௭ଷ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
=
ܣ
ଷ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
൯
+
ܤ
ଷ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
൯
(filme metálico)
ሺ
ܽ
+
ݐ
ሻ
݇
≥
ݎ
ҧ
≥
ܽ
݇
ܧ
௭
ሺ
ݎҧ
ሻ
=ܣ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ൯ + ܤ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ൯
ݎҧ≤ܽ݇
ܧ
௭ଵ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=ܣ
ଵ
ܨ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଵ
ݎҧ൯
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ܮ݅݃ܽ݀ݏ
ݑ
݂ݑ݃ܽ
݈݁ܽ
ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ܨ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
=ܫ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
ܨݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁
ܨ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎ
ҧ
ሻ
=
ܭ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎ
ҧ
ሻ
Quadro 1 - Componentes dos campos elétricos tangentes as respectivas fronteiras
45
O quadro 2 abaixo mostra as componentes dos campos magnéticos, dos modos de
plasmon, tangentes as respectivas fronteiras.
ݎҧ≥
ሺ
ܽ + ݐ+ ℎ
ሻ
݇
ܪ
ఏସ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
ܣ
ସ
ܼ
ቆ
ߟ
ସ
ଶ
√
ߙ
ସ
ቇ
ܨ
ସଵ
൫
ඥ
ߙ
ସ
ݎҧ
൯
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ܮ݅݃ܽ݀ݏ
ݑ
݂ݑ݃ܽ
݈݁
݊
ú
݈ܿ݁
ܨ
ସଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎ
ҧ
ሻ
=
ሺ
−
ሻ
ܭ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎ
ҧ
ሻ
ܨݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܥܾ݁ݎݐݑݎܽ
ܨ
ସଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎ
ҧ
ሻ
=
ሺ
+
ሻ
ܫ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎ
ҧ
ሻ
ሺ
ܽ
+
ݐ
+
ℎ
ሻ
݇
≥
ݎ
ҧ
≥
ሺ
ܽ
+
ݐ
ሻ
݇
ܪ
ఏଷ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
=
1
ܼ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ൣ
−
ܣ
ଷ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
൯
+
ܤ
ଷ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
൯
൧
(filme metálico)
ሺ
ܽ
+
ݐ
ሻ
݇
≥
ݎ
ҧ
≥
ܽ
݇
ܪ
ఏ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
=
1
ܼ
ቆ
−
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ൣ
−
ܣ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
+
ܤ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
൧
ݎҧ≤ܽ݇
ܪ
ఏଵ
ሺ
ݎҧ
ሻ
=
ܣ
ଵ
ܼ
ቆ
ߟ
ଵ
ଶ
√
ߙ
ଵ
ቇ
ܨ
ଵଵ
൫
ඥ
ߙ
ଵ
ݎҧ
൯
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ܮ݅݃ܽ݀ݏ
ݑ
݂ݑ݃ܽ
݈݁ܽ
ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ܨ
ଵଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎ
ҧ
ሻ
=
ሺ
+
ሻ
ܫ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎ
ҧ
ሻ
ܨݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁
ܨ
ଵଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎ
ҧ
ሻ
=
ሺ
−
ሻ
ܭ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎ
ҧ
ሻ
Quadro 2 - Componentes dos campos magnéticos, dos modos de plasmon, tangentes as
respectivas fronteiras.
Para reduzir as equações, na análise que se segue, as notações das funções dos quadros
1 e 2 acima, serão abreviadas por:
(Quadro-1)
ܨ
ସ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
=ܨ
ସ
ܨ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
=ܨ
ଵ
(Quadro-1)
ܨ
ସଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
=ܨ
ସଵ
=ሺ−ሻܭ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ሻ
ܨ
ଵଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
=ܨ
ଵଵ
46
2.3 Cálculo das equações características dos modos de plasmon
Com o auxílio dos campos tangenciais as respectivas fronteiras dos quadros 1 e 2,
obtêm-se as equações características dos modos de plasmon que se propagam na estrutura,
vista na Figura 13.
2.3.1 Adaptações dos campos nas fronteiras
Os campos elétrico e magnético têm que satisfazer as seguintes condições nas
respectivas fronteiras:
݊ሬ
Ԧ
∧
൫
ܧ
ሬ
Ԧ
ሺାሻ
− ܧ
ሬ
Ԧ
ሺିሻ
൯ห
ி௧
ሺ
ሻ
=0
݊ሬ
Ԧ
∧
൫
ܪ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሺାሻ
− ܪ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሺିሻ
൯ห
ி௧
ሺ
ሻ
=0
Estas condições exigem que as componentes tangenciais dos referidos campos sejam
idênticas em cada fronteira, portanto:
Chamando:
ሺ
ܽ+ ℎ+ ݐ
ሻ
݇
=ݎҧ
ଶ
ሺ
ܽ+ ݐ
ሻ
݇
=ݎҧ
ଵ
(49)
ܽ݇
=ݎҧ
Tem-se:
ܧ
௭ସ
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
=
ܧ
௭ଷ
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
ܪ
ఏ
ସ
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
=
ܪ
ఏ௭
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
ൢݎҧ
=
ݎ
ത
ܿ2
=
ሺ
ܽ
+
ݐ
+
ℎ
ሻ
݇
0
Fronteira da cobertura 2
com a cobertura 1
ܧ
௭ଷ
ሺ
ݎҧ=ݎҧ
ଵ
ሻ
=ܧ
௭
ሺ
ݎҧ=ݎҧ
ଵ
ሻ
ܪ
ఏଷ
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ଵ
ሻ
=
ܪ
ఏ
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ଵ
ሻ
ൢݎҧ
= ݎ
ത
ܿ1
=
ሺ
ܽ+ ℎ
ሻ
݇
0
Fronteira da cobertura 1
com o filme metálico
ܧ
௭
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ሻ
=
ܧ
௭
ଵ
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ሻ
ܪ
ఏ
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ሻ
=
ܪ
ఏ
ଵ
ሺ
ݎ
ҧ
=
ݎ
ҧ
ሻ
ൢݎҧ
=
ݎ
ത
ܽ
=
ܽ
݇
0
Fronteira do filme
metálico com a casca da
fibra óptica
(50)
47
Substituindo as expressões dos campos dos quadros 1 e 2 em (50), resulta o sistema
apropriado à análise dos modos de plamon.
ܣ
ସ
ܨ
ସ
ሺ
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
=
ܣ
ଷ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
+
ܤ
ଷ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ܣ
ସ
ܼ
ቆ
ߟ
ସ
ଶ
√
ߙ
ସ
ቇ
ܨ
ସଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
=
1
ܼ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ൣ
−
ܣ
ଷ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
+
ܤ
ଷ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
൧
ܣ
ଷ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
+
ܤ
ଷ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
=
ܣ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
+
ܤ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
1
ܼ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ൣ
−
ܣ
ଷ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
+
ܤ
ଷ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
൧
=
1
ܼ
ቆ
−ߝ̂
ඥ
ߙ
ቇൣ−ܣ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
ଵ
൯ + ܤ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎҧ
ଵ
൯൧
ܣ
ଵ
ܨ
ଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
=
ܣ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
+
ܤ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
ܣ
ଵ
ܼ
ቆ
ߟ
ଵ
ଶ
√
ߙ
ଵ
ቇ
ܨ
ଵଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
=
1
ܼ
ቆ
−
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ൣ
−
ܣ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
+
ܤ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
൧
(51)
Rearrumando o sistema de equações (51):
ܣ
ଵ
ܨ
ଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
−
ܣ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
−
ܤ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
=
0
ܣ
ଵ
ቈ
ቆ
ߟ
ଵ
ଶ
√
ߙ
ଵ
ቇ
ܨ
ଵଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
−
ܣ
ቈ
ቆ
−
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
+
ܤ
ቈ
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
=
0
ܣ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
+
ܤ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ܣ
ଷ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ܤ
ଷ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
=
0
ܣ
ቈ
ቆ
−
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ܤ
ቈ
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
+
ܣ
ଷ
ቈ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ܤ
ଷ
ቈ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
=
0
ܣ
ଷ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
+
ܤ
ଷ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
−
ܣ
ସ
ܨ
ସ
ሺ
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
=
0
ܣ
ଷ
ቈ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
−
ܤ
ଷ
ቈ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
+
ܣ
ସ
ቈ
ቆ
ߟ
ସ
ଶ
√
ߙ
ସ
ቇ
ܨ
ସଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
=
0
(52)
48
O sistema de equação 52 é posto em forma matricial:
ܣ
ଵ
ܣ
ܤ
ܣ
ଷ
ܤ
ଷ
ܣ
ସ
A(1,1) A(1,2) A(1,3)
ܣ
ଵ
ܨ
ଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
−
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
−
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
A(2,1) A(2,2) A(2,3)
ܣ
ቆ
ߟ
ଵ
ଶ
√
ߙ
ଵ
ቇ
ܨ
ଵଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
−
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
A(3,2) A(3,3) A(3,4) A(3,5)
ܤ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
A(4,2) A(4,3) A(4,4) A(4,5)
ܣ
ଷ
=
0
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
A(5,4) A(5,5) A(5,6)
ܤ
ଷ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
−
ܨ
ସ
ሺ
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
A(6,4) A(6,5) A(6,6)
ܣ
ସ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
−
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ቆ
ߟ
ସ
ଶ
√
ߙ
ସ
ቇ
ܨ
ସଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
(53)
49
Onde:
Figura 14 – Estrutura analisada - Fibra óptica fracamente guiada com
quatro regiões externas ao núcleo
ߝ̂
=−
ሺ
ߝ
+ ݆ߝ
ሻ
- Permissividade relativa do filme
ݐ
ҧ
= ݐ
݇
- Espessura normalizada do filme condutor
ℎ
ത
ଷ
= ℎ
ଷ
݇
- Espessura normalizada do dielétrico extra sobre o filme condutor
ݎҧ
= ܽ ݇
- raio do (núcleo+casca) normalizado da fibra óptica
ݎҧ
ଵ
=
ሺ
ܽ+ ℎ
ሻ
݇
- raio normalizado da fronteira externa do filme
ݎҧ
ଶ
=
ሺ
ܽ+ ℎ
+ ℎ
ଷ
ሻ
݇
- raio normalizado da fronteira externa do dielétrico extra
As análises dos quatro modos de plasmon ቀ݂݊݁൫ݐ
ҧ
ℎ
ത
ଷ
൯ቁ em função das espessuras
normalizadas do dielétrico extra ൫ℎ
ത
ଷ
൯ e do filme condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
são feitas, substituindo as
condições dos respectivos modos (quadros 1 e 2) no sistema matricial - equação 53. O índice
efetivo
ሺ
݂݊݁
ሻ
procurado é aquele que anula o determinante da matriz.
No apêndice C foi obtida a equação pertinente à condição em que o determinante da
matriz é nulo. Esta é a equação que será utilizada na análise dos quatros modos de plasmon
que se propagam na estrutura com quatro regiões, mostrada na Figura 13. Deve-se frisar que,
considerando a região dielétrica extra, sobre o filme condutor
ሺ
ߟ
ଷ
ሻ
, idêntica ao da cobertura
ሺ
ߟ
ସ
ሻ
, esta formulação tende àquela de três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e (Rocha,
Sapienza et al -2007)].
Pela equação C.7 do apêndice C, tem-se a expressão apropriada à análise dos modos
de plasmon em estruturas constituídas por quatro regiões, relacionadas à Figura 14.
Cobertura-2
Cobertura-1
Filme
(K
0
r)
η
1
η
4
η
3
ε
m
Casca
fator
(Y+fator)Y
50
Na expressão resultante a análise dos modos de plasmon, da Figura 13, considera-se as
seguintes convenções:
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
=
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
=
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
=
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
=
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
=
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
=
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
=
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
=
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
=
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
=
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
Onde:
ሺ
ܽ
ሻ
→ Significa o limite inferior das respectivas regiões
ሺ
ܾ
ሻ
→ Significa o limite superior
De acordo com a figura:
Figura 15 – Limites superiores e inferiores da estrutura analisada
Considera-se também;
ሺ
ܨ
ଵ
ሻ
→
ሺ
ܨ
ଵଵ
ሻ
=
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
݈݅݃ܽ݀ ݑ ݂ݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ܫ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
→ܫ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
݂ݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁
ܭ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
→
ሺ
−1
ሻ
ܭ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
ሺ
ܨ
ସ
ሻ
→
ሺ
ܨ
ସଵ
ሻ
=
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
݈݅݃ܽ݀ ݑ ݂ݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁
ܭ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ଶ
ሻ
→
ሺ
−1
ሻ
ܭ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ଶ
ሻ
݂ݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ܫ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ଶ
ሻ
→ܫ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ଶ
ሻ
Os termos
ߛ
ሺ
݁=1,݉,3,4
ሻ
que aparecem na equação final têm as seguintes expressões:
ߟ
ଵ
(núcleo +casca)
ߝ
̂
(filme)
ߟ
ଷ
(região extra)
ߟ
ସ
(cobertura)
(b) (a) (b) (a) (b) (a)
ݎ
ҧ
ݎ
ҧ
ଵ
ݎ
ҧ
ଶ
51
ߛ
ଵ
=
ߟ
ଵ
ଶ
√
ߙ
ଵ
ߛ
=
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ߛ
ଷ
=
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ߛ
ସ
=
ߟ
ସ
ଶ
√
ߙ
ସ
Dielétricos ߙ
ோ
=
ට
ൣ݂݊݁
ଶ
− ൫ߟ
ோ
ଶ
+ ݂݊݁
ଶ
൯൧ − ݆൫ߙ ݂݊݁
− ݂݊݁
൯ ܴ=
ሺ
1,3,4
ሻ
4º quadrante
Filme: ൞
ߝ̂
=−
ሺ
ߝ
+ ݆ ߝ
ሻ
ߙ
=
ට
ൣ
ሺ
݂݊݁
ଶ
+ ߝ
ሻ
− ݂݊݁
ଶ
൧ − ݆
ሺ
ߝ
− 2 ݂݊݁
݂݊݁
ሻ
1
ݍݑܽ݀ݎܽ݊ݐ݁
E finalmente os parâmetros
ܣ=ሺ−1ሻߛ
൬
ܭ
ܽ ሺ2ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
൰ − ߛ
ଵ
൬
ܫ
ܽ ሺ2ሻ
ܫ
ܾ ሺ1ሻ
൰൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰൨
ܤ=ߛ
൬
ܫ
ܽ ሺ2ሻ
ܫ
ܾ ሺ1ሻ
൰ + ߛ
ଵ
൬
ܫ
ܽ ሺ1ሻ
ܫ
ܾ ሺ1ሻ
൰൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰൨
ܥ=ߛ
ଷ
൬
ܭ
ଷ
ܾ ሺ2ሻ
ܭ
ଷ
ܽ ሺ1ሻ
൰ + ߛ
ସ
൬
ܭ
ଷ
ܾ ሺ1ሻ
ܭ
ଷ
ܾ ሺ1ሻ
൰൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰൨
ܦ=ሺ−1ሻߛ
ଷ
൬
ܫ
ଷ
ܾ ሺ2ሻ
ܫ
ଷ
ܽ ሺ1ሻ
൰ − ߛ
ସ
൬
ܫ
ଷ
ܾ ሺ1ሻ
ܫ
ଷ
ܽ ሺ1ሻ
൰൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰൨
A solução procurada é o valor de ݂݊݁=൫݂݊݁
− ݆ ݂݊݁
൯ da estrutura, mostrada na
Figura 13, que satisfaça a equação 53:
ߛ
ଷ
ሺ
ܤ − ܣ
ሻ
ቂቀ
య
ሺ
ଶ
ሻ
య
ሺ
ଵ
ሻ
ቁ ܦ+ቀ
ூ
య
ሺ
ଶ
ሻ
ூ
య
ሺ
ଵ
ሻ
ቁ ܥቃ+ ߛ
ሺ
ܦ− ܥ
ሻ
ቂቀ
ூ
ሺ
ଶ
ሻ
ூ
ሺ
ଵ
ሻ
ቁ ܣ + ቀ
ሺ
ଵ
ሻ
ሺ
ଵ
ሻ
ቁ ܤቃ=0
ሺ54ሻ
As formulações modificadas na cobertura e no núcleo são vistas no quadro abaixo,
associado às Figuras 16 e 17 que apresentam os respectivos comportamentos característicos.
Formulação modificada (na cobertura)
Condição:
)(
22
3
2
ir
nefnef +<
η
)2(])[()º1(
ˆ
222
303 irri
nefnefjnefnefKQ +−+=
ηα
ou
)º1(
ˆ
)º2('
33
QjQ
αα
=
Modo Ligado
)'(
303
)('
3
rIAE
b
z
α
=
[ ]
)'(
31
3
2
3
30
)('
3
rIAjH
b
α
α
η
ωε
θ
=
Fuga pela Cobertura
)'(
303
)('
3
rKAE
l
z
α
=
[ ]
)'(
31
3
2
3
0
)('
3
rKjH
l
α
α
η
ωε
θ
−
=
52
Figura 16 – Característica dos modos na cobertura
Formulação modificada (no núcleo)
Condição:
)(
22
1
2
ir
nefnef +<
η
)2()]([)º4('
22
1
2
01 irir
nefnefjnefnefKQ −+−=
ηα
ou
)º1(
ˆ
)º4('
11
QjQ
αα
−=
Modo Ligado
)'(
101
)('
1
rIAE
b
z
α
=
[ ]
)'(
11
1
2
1
10
)('
1
rIAjH
b
α
α
η
ωε
θ
=
Fuga pela Cobertura
)'(
101
)('
1
rKAE
l
z
α
=
[ ]
)'(
11
1
2
1
10
)('
1
rKAjH
l
α
α
η
ωε
θ
−
=
Figura 17 – Característica dos modos no núcleo
2.4 Conclusão
Neste capítulo foi apresentada a formulação que rege o comportamento dos modos de
plasmon, sob a condição de modos evanescentes, assim como, aqueles referentes aos modos
radiados. A equação característica dos modos foi obtida pela técnica de casamento dos
campos nas respectivas fronteiras da estrutura, resultando em um sistema matricial. O valor
do ߟ
dos diferentes modos foi encontrado, anulando-se o determinante da matriz, a partir
dos valores assimptóticos referenciados no capítulo 1.
53
CAPÍTULO 3
3 VALIDAÇÃO DO MÉTODO E RESULTADOS
3.1 Introdução
Neste capítulo é apresentada a implementação computacional das coletas dos dados à
obtenção dos gráficos dos modos de plasmon.
Para validar a formulação desenvolvida, fez-se a confrontação dos resultados obtidos
neste trabalho, com aqueles encontrados na literatura pertinente [(Al-Bader e Intar-1992) e
(Rocha, Sapienza et al -2007)], em estruturas constituídas por três regiões.
3.2 Implementação Computacional
Baseando-se nas fórmulas dos limites inferiores e superiores, da estrutura, obtidas no
capítulo anterior, implementou-se um programa em linguagem Fortran que calcula os valores
assimptóticos das diferentes estruturas. Com os valores obtidos implementou-se um segundo
programa relacionado ao índice efetivo da estrutura. Este foi utilizado através da equação
(54), sob as seguintes condições:
- Modo ligado simétrico (s
(b)
): A análise tem início com o menor dos valores
assimptóticos da permissividade efetiva.
- Modo ligado assimétrico (a
(b)
): A análise deste modo se baseia no maior dos valores
assimptóticos da permissividade efetiva.
- Modo de fuga pelo núcleo (l
(n)
): Tem por base o maior dos valores assimptóticos da
permissivade efetiva
- Modo de fuga pela cobertura (l
(c)
): Inicia-se a análise deste modo com o menor dos
valores assimptóticos da permissividade efetiva.
Os parâmetro de entrada do programa se referem aos valores dos índices de refração
das diferentes regiões η
1
, η
3
e η
4
, a permissividade do metal (ε
m
), espessura normalizada do
dielétrico extra sobre o filme condutor (K
0
h),espessura normalizada do filme condutor (K
0
t),
raio normalizado do núcleo da fibra (K
0
a) e os valores assimptóticos da estrutura analisada
neste trabalho.
54
Os resultados obtidos através da programação em Fortran, são extraídos arquivos ‘.txt’
contendo valores de saída de nef
r
e nef
i
para valores de espessuras normalizadas do filme
condutor variando de 10 a 0,01.
Foi realizada então a exportação para o Excel convertendo o arquivo de saída de ‘.txt’,
obtido no Fortran, para uma base de dados.
A partir dos valores presentes no banco de dados foi possível a elaboração de gráficos
que viabilizaram a análise do comportamento dos modos em estruturas confeccionados por
filmes de Prata, Paládio e Ouro, que serão mostradas no capítulo 4.
Figura 18 – Fluxo da geração dos dados.
Os parâmetros de entrada do programa em Fortran, que calcula os índices efetivos dos
modos de plasmon são apresentados no Quadro 3.
Para efeito de registro, para cada valor atribuído, de espessura do dielétrico extra,
foram extraídos 2000 pontos com valores de nef
r
(parte real) e nef
i
(parte imaginária), sendo
consumidos aproximadamente 8 segundos de processamento par cada evento, utilizando-se
um processador Pentium Centrino 1.6Ghz e 1,5Gb de RAM, gerando um total de 745.450
Modo
K
0
t
Nef r
Nef i
Programa
Fortran
Microsoft Office
Excel 2007
Banco de dados de Saída
745.450 (registros)
Valores de η
1
, η
3
e η
4
Valores de ε
m
Valores de
K
0
h, K
0
h
3
e K
0
a
Valores
Assimptóticos
55
dispersao
fuga pelo nucleo
1.53d0 0.0d0
1.5d0 0.0d0
19.0d0 0.53d0
1.515d0 0.0d0
0.01d0
1.0d0 0.01d0 999.0d0
8.0d0
1.616d0 0.3093d-2
dispersao
fuga pela cobertura
1.53d0 0.0d0
1.50d0 0.0d0
19.0d0 0.53d0
1.515d0 0.0d0
0,01d0
1.0d0 0.01d0 999.0d0
8.0d0
1.597d0 0.2990d-2
pontos de análise. A análise de cada gráfico foi elaborada em aproximadamente 12 minutos,
através do aplicativo Excel 2007.
Parâmetros Detalhes
Tipo de Análise
Dispersão (Análise do índice de refração da
estrutura)
Gráfico (Índice de refração no metal)
Modo
- Ligado (simétrico e assimétrico)
- Fuga pelo núcleo
- Fuga pela cobertura
Número de pontos a calcular 1000
Espessura Normalizada do filme metálico
ݐ
ҧ
=
ܭ
ݐ
Espessura Normalizada do Dielétrico extra
ℎ
ത
=
ܭ
ℎ
Raio Normalizado do Núcleo
ݎ
ҧ
=
ܭ
ܽ
Valores iniciais do índice de refração
ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ߟ
ସ
=
1
,
53
݈݀݅݁
é
ݐݎ݅ܿ
݁ݔݐݎܽ
ߟ
ଷ
=
1
,
5
݊
ú
݈ܿ݁
ߟ
ଵ
=
1
,
515
Valores assimptóticos do filme metálico
Valores obtidos através do programa relativo
fazendo-se
ߟ
ସ
=
ߟ
ଷ
com raio infinito
semelhante a uma estrutura planar com as
mesmas características.
Permissividade do filme metálico
݂݈݅݉݁
݀݁
ݎܽݐܽ
ߝ
=
19
+
݆
0
,
53
݂݈݅݉݁
݀݁
݈ܽ
á
݀݅
ߝ
=
−
50
,
68
−
݆
42
,
8
݂݈݅݉݁
݀݁
ݑݎ
ߝ
=
−
77
,
2
+
݆
6
,
7
Quadro 3 – Parâmetros de entrada do programa
Um exemplo deste arquivo de entrada é visto na Figura 19:
Figura 19 – Arquivo de Entrada do programa
56
Cuja saída é o arquivo da Figura 20:
Figura 20 – Arquivo de saída do programa
analise = dispersao
modo = fuga pelo nucleo
n4r=0.15300000D+01 n4i=0.00000000D+00
n3r=0.15000000D+01 n3i=0.00000000D+00
emr=0.19000000D+02 emi=0.53000000D+00
n1r=0.15150000D+01 n1i=0.00000000D+00
(K0*espes3) ESPESSURA NORMALIZADA DA REGIAO SOBRE O FILME CONDUTOR=0.1000D-
01
(K0*h) ESPESSURA NORMALIZADODO FILME CONDUTOR
VALOR INICIAL =0.1000D+01 VALOR FINAL =0.1000D-01 NUM.PONTOS
=0.9990D+03
(K0*a) RAIO NORMALIZADO DO NUCLEO = 0.8000D+01
xguess(1)=0.1616D+01 xguess(2)=0.3093D-02
Respostas
-----------------------------------------
Ko*t nefr nefi
-----------------------------------------
1.000 0.1654304D+01 0.3590523D-02
0.999 0.1654306D+01 0.3590569D-02
0.998 0.1654308D+01 0.3590614D-02
0.997 0.1654310D+01 0.3590660D-02
0.996 0.1654313D+01 0.3590706D-02
0.995 0.1654315D+01 0.3590751D-02
0.994 0.1654317D+01 0.3590797D-02
0.993 0.1654319D+01 0.3590843D-02
0.992 0.1654321D+01 0.3590888D-02
0.991 0.1654324D+01 0.3590934D-02
0.990 0.1654326D+01 0.3590980D-02
0.989 0.1654328D+01 0.3591025D-02
0.988 0.1654330D+01 0.3591071D-02
0.987 0.1654332D+01 0.3591117D-02
0.986 0.1654335D+01 0.3591163D-02
0.985 0.1654337D+01 0.3591209D-02
0.984 0.1654339D+01 0.3591255D-02
0.983 0.1654341D+01 0.3591301D-02
0.982 0.1654343D+01 0.3591346D-02
0.981 0.1654346D+01 0.3591392D-02
0.980 0.1654348D+01 0.3591438D-02
0.979 0.1654350D+01 0.3591484D-02
0.978 0.1654352D+01 0.3591530D-02
0.977 0.1654354D+01 0.3591576D-02
0.976 0.1654357D+01 0.3591622D-02
0.975 0.1654359D+01 0.3591669D-02
0.974 0.1654361D+01 0.3591715D-02
0.973 0.1654363D+01 0.3591761D-02
0.972 0.1654366D+01 0.3591807D-02
0.971 0.1654368D+01 0.3591853D
-
02
3.3
Validação do Método
A validação da
formulação
se os resultados
obtidos neste trabalho,
1992) e (Rocha, Sapienza et al
apresentado nas figuras 21
As simulações s
ão realizadas
homogênea, portanto, o dielétrico extra e a cobertura tornam
conforme apresentado
no artigo de referência
al -2007)]
. Com esses dados a estrutur
Nos gráficos abaixo foram
pelos artigos [(Al-
Bader e Intar
encontrados pelo método desenvolvido neste
mencionados, sinalizados por “x”, são idênticos aos obtidos neste trabalho.
As referências apresentadas nos gráficos são
óptica e ݐ
ҧ
=ܭ
ݐ
espessura normalizada do filme
3.3.1 Modos Ligados
(simétrico a
Abaixo são vistos
os gráficos
Assimétrico (A), com os respectivos valores apresentados na literatura.
Figura 21 -
Índice de refração efetivo real
Validação do Método
formulação
desenvolvida nos capítulos anteriores,
obtidos neste trabalho,
com aqueles publicados no artigo
1992) e (Rocha, Sapienza et al
-2007)] que a
nalisa uma estrutura com 3 regiões
a 24.
ão realizadas
considerando-se
a região sobre o filme condutor
homogênea, portanto, o dielétrico extra e a cobertura tornam
-
se idênticos, isto é,
no artigo de referência
[(Al-Bader e Intar-
1992) e (Rocha, Sapienza et
. Com esses dados a estrutur
a analisada passa a ser aquela de 3 regiões.
Nos gráficos abaixo foram
confrontados os
pontos retirados dos dados fornecidos
Bader e Intar
-1992) e (Rocha, Sapienza et al -
2007)]
encontrados pelo método desenvolvido neste
trabalho. O
s valores apresentados pelos artigos
mencionados, sinalizados por “x”, são idênticos aos obtidos neste trabalho.
As referências apresentadas nos gráficos são
ܽത=ܭ
ܽ
raio normalizado da fibra
espessura normalizada do filme
(simétrico a
b
e assimétrico S
b
)
os gráficos
dos índices efetivos dos
modos ligados
Assimétrico (A), com os respectivos valores apresentados na literatura.
Índice de refração efetivo real
– modos ligados –
Gráfico comparativo
57
desenvolvida nos capítulos anteriores,
é feita comparando-
com aqueles publicados no artigo
[(Al-Bader e Intar-
nalisa uma estrutura com 3 regiões
, conforme
a região sobre o filme condutor
se idênticos, isto é,
η
3
=η
4
=1.5,
1992) e (Rocha, Sapienza et
a analisada passa a ser aquela de 3 regiões.
pontos retirados dos dados fornecidos
2007)]
, com os valores
s valores apresentados pelos artigos
mencionados, sinalizados por “x”, são idênticos aos obtidos neste trabalho.
raio normalizado da fibra
modos ligados
simétrico (S) e
Gráfico comparativo
Figura 22 -
Índice de refração efetivo imaginário
Nos
gráficos mostrados nas
simétrico, o índice de refração efetivo aumenta conforme diminui
metálico. Este comportamento ocorre tanto com a parte real como com a parte imaginária do
índice efetivo.
Já para o modo ligado assimétrico o com
decresce conforme
diminui a
3.3.2 Modos de fuga
Os gráficos
dos índices efetivos dos modos
mostrados a seguir:
Índice de refração efetivo imaginário
– modos ligados - –
Gráfico comparativo
gráficos mostrados nas
Figuras 21 e 22 verifica-se
que, para o modo ligado
simétrico, o índice de refração efetivo aumenta conforme diminui
metálico. Este comportamento ocorre tanto com a parte real como com a parte imaginária do
Já para o modo ligado assimétrico o com
portamento é inverso, o índice efetivo
diminui a
espessura do filme metálico.
dos índices efetivos dos modos
de fuga pela cobertura e pelo núcleo,
58
Gráfico comparativo
que, para o modo ligado
simétrico, o índice de refração efetivo aumenta conforme diminui
a espessura do filme
metálico. Este comportamento ocorre tanto com a parte real como com a parte imaginária do
portamento é inverso, o índice efetivo
de fuga pela cobertura e pelo núcleo,
são
Figura 23 -
Índice de refração efetivo real
modo de fuga pelo núcleo
Figura 24 -
Índice de refração efetivo imaginário
de ݐ
ҧ
)
e modo de fuga pelo núcleo
Índice de refração efetivo real
– modo de fuga pela cobertura
(nef crescente com a redução de
modo de fuga pelo núcleo
(nef decrescente com a redução de ݐ
ҧ
) –
Gráfico comparativo.
Índice de refração efetivo imaginário
– modo de fuga pela cobertura
(nef decrescente com a redução
e modo de fuga pelo núcleo
(nef crescente com a redução de ݐ
ҧ
) –
Gráfico comparativo
59
(nef crescente com a redução de
ݐ
ҧ
) e
Gráfico comparativo.
(nef decrescente com a redução
Gráfico comparativo
60
Nos gráficos das Figuras 23 e 24 observa-se que no modos de fuga pelo núcleo, o
índice de refração efetivo, nef
r
e nef
i
, diminui conforme se diminui a espessura do filme.
Já no modo de fuga pela cobertura vê-se que o índice efetivo, nef
r
e nef
i
, aumenta
conforme diminui a espessura do filme.
3.4 Conclusão
Confrontando-se os resultados obtidos pela formulação deste trabalho, com aqueles
referenciados na literatura, percebe-se uma perfeita concordância. A teoria desenvolvida,
portanto, pode ser considerada absolutamente confiável.
A análise dos modos de plasmon apresentados neste trabalho apresenta um
comportamento qualitativo característico do publicado na literatura do estudo de estruturas
compostas com três regiões, validando assim o método utilizado para obtenção dos resultados
deste trabalho.
A característica apresentada nos gráficos deste capítulo, quando comparada aos modos
das Figuras 16 e 17, representa fielmente o comportamento esperado nos quatro modos de
plasmon objeto da análise.
61
CAPÍTULO 4
4 RESULTADOS OBTIDOS ATRAVÉS DA ANÁLISE DOS MODOS DE
PLÁSMON EM FILME DE PRATA, OURO e PALÁDIO, ENVOLVENDO
FIBRA DE SÍLICA FRACAMENTE GUIADA.
4.1 Introdução
Neste capítulo são analisados os modos de plasmon nas superfícies de um filme
condutor (Є
m
) de espessura (t) depositado sobre fibras ópticas fracamente guiadas (η
1
) com o
raio (a). O filme condutor é recoberto por uma camada dielétrica extra (η
3
) de espessura (h)
que por sua vez faz fronteira com a cobertura (η
4
) infinita.
A análise dos índices de refração efetivos do modo de plasmon é realizada, em função
da espessura normalizada do filme condutor ݐ
ҧ
=ܭ
ݐ, para vários valores da largura
normalizada do dielétrico extra ℎ
ത
=ܭ
ℎ, vide Figura 13.
4.2 Análise gráfica dos modos de plasmon.
Com a teoria desenvolvida nos capítulos anteriores, foram analisados os modos de
plasmon, em fibras fracamente guiadas, elaboradas com filmes de Prata
ሺ
ߝ
=19+ ݆ 0,53
ሻ
,
de Paládio
ሺ
ߝ
=−50,68 − ݆ 42,8
ሻ
e de ouro
ሺ
ߝ
=−77,2 + ݆ 6,7
ሻ
.
4.2.1 Fibra fracamente guiada elaboradas com filme de prata
A estrutura apresenta os seguintes parâmetros:
ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ ߟ
ସ
=1,53
݈݀݅݁éݐݎ݅ܿ ݁ݔݐݎܽ ߟ
ଷ
=1,5
݂݈݅݉݁ ݀݁ ݎܽݐܽ ߝ
=19 + ݆ 0,53
݊ú݈ܿ݁ ߟ
ଵ
=1,515
ݎܽ݅ ݀ ݊ú݈ܿ݁ ݊ݎ݈݉ܽ݅ݖܽ݀ ܽത=
ሺ
ܭ
ܽ
ሻ
=8
ܧݏ݁ݏݏݑݎܽ ݊ݎ݈݉ܽ݅ݖܽ݀ ݀ ݂݈݅݉݁ ܿ݊݀ݑݐݎ ݐ
ҧ
=
ሺ
ܭ
ݐ
ሻ
=0,01 ܽ 1
62
Valores Assimptóticos –
݉ܽ݅ݎ
ሺ
1
ሻ
=1,616 − ݆ 0,3093 ݔ 10
ିଶ
݉݁݊ݎ
ሺ
2
ሻ
=1,597 − ݆ 0,2990 ݔ 10
ିଶ
4.2.1.1 Modo ligado simétrico
Foi analisado o modo ligado simétrico para as seguintes espessuras normalizadas do
dielétrico extra: ℎ
ത
= 0.01, 0.1, 0.6, 1.2, 2.44, 4.0, 5.0 e 10.0. A análise do modo
Simétrico ligado (S
b
) é mostrada nos gráficos das Figuras 25 e 26. Qualitativamente, o
comportamento é similar ao encontrado nas estruturas convencionais de três regiões
[(Al-Bader e Intar-1992) e (Rocha, Sapienza et al -2007)]. O que caracteriza a não
influência da cobertura extra sobre o referido modo, o índice de refração efetivo
diminui com a espessura do filme condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
.
Figura 25 – Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Simétrico da Prata
Nef r
63
Figura 26 – Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Ligado Simétrico da Prata
4.2.1.2 Modo ligado assimétrico
O modo ligado assimétrico é analisado com os mesmos parâmetros do item anterior (4.2.1.1),
os resultados são vistos, nos gráficos das Figuras 27 e 28, qualitativamente com
comportamento similar ao encontrado nas estruturas convencionais de três regiões [(Al-Bader
e Intar-1992) e (Rocha, Sapienza et al -2007)], indicando a não influência da cobertura extra
sobre o referido modo. O índice de refração efetivo aumenta conforme a espessura do filme
condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
.
Figura 27 – Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Assimétrico da Prata
Nef i
Nef r
64
Figura 28 – Gráfico do índice de refração efetivo Imaginário – Modo Ligado Assimétrico da Prata
4.2.1.3 Modo de fuga pela cobertura
O modo de fuga pela cobertura foi analisado com as seguintes espessuras
normalizadas do filme ݐ
ҧ
= 0.01, 0.1, 0.25, 5.0 e 10.0. A análise é mostrada nas Figuras 29
(ηefr) e 30 (ηefi). A parte real da permissividade efetiva deste modo (ηefr), apresentou um
comportamento diferente da estrutura constituída por três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e
(Rocha, Sapienza et al -2007)], como mostrada na Figura 29, já que convencionalmente o seu
comportamento é crescente com a diminuição da espessura do filme condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
, o que
caracteriza a influência do dielétrico extra no comportamento deste modo. Comprova-se,
assim, a influência do dielétrico extra fronteiriço ao filme condutor, no modo de fuga pela
cobertura. Já para o ηefi, mostrado no gráfico da Figura 30. Não há alteração qualitativa com
relação aos modos clássicos, próprios de estruturas com três regiões.
O que leva a crer que, a energia que flui, na cobertura como fuga, é retida na região
dielétrica extra, sobre o filme condutor, descaracterizando a fuga pela cobertura (η
4
).
Nef i
65
Figura 29 – Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pela Cobertura da Prata
Tc – é a espessura mínima que comporta o referido modo, abaixo do qual o modo não apresenta o
comportamento evanescente, tornando-se radiado. Portanto, sem interesse neste trabalho.
Figura 30 – Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pela Cobertura da Prata
4.2.1.4 Modo de fuga pelo núcleo
O modo de fuga pelo núcleo foi analisado com os seguintes valores para a espessura
normalizada do dielétrico extra:
ݐ
ҧ
= 0.01, 0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 4.2, 5.0, 7.0 e 10.0,
conforme os gráficos das Figuras 31 (ηefr) e 32 (ηefi).
Nef r
Tc Tc
Nef i
66
Para valores da espessura normalizada entre 0.01 e 0.1, a permissividade efetiva do
referido modo (ηefr e ηefi) apresentou um comportamento similar ao clássico da estrutura
constituída por três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e (Rocha, Sapienza et al -2007)].
Figura 31 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pelo Núcleo da Prata
Nef r
Nef i
67
Figura 32 - Gráficos do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pelo Núcleo da Prata
4.2.2 Fibra fracamente guiada envolta por filme de paládio
A estrutura apresenta os seguintes parâmetros:
ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ ߟ
ସ
=1,53
݈݀݅݁éݐݎ݅ܿ ݁ݔݐݎܽ ߟ
ଷ
=1,5
݂݈݅݉݁ ݀݁ ݈ܽá݀݅ ߝ
=−50,68 − ݆ 42,8
݊ú݈ܿ݁ ߟ
ଵ
=1,515
ݎܽ݅ ݀ ݊ú݈ܿ݁ ݊ݎ݈݉ܽ݅ݖܽ݀ ܽത=
ሺ
ܭ
ܽ
ሻ
=8
ܧݏ݁ݏݏݑݎܽ ݊ݎ݈݉ܽ݅ݖܽ݀ ݀ ݂݈݅݉݁ ܿ݊݀ݑݐݎ ݐ
ҧ
=
ሺ
ܭ
ݐ
ሻ
=0,01 ܽ 1
Valores Assimptóticos –
݉ܽ݅ݎ
ሺ
1
ሻ
=1,535 − ݆ 0,1760 ݔ 10
ିଵ
݉݁݊ݎ
ሺ
2
ሻ
=1,519 − ݆ 0,1707 ݔ 10
ିଵ
4.2.2.1 Modo ligado simétrico
Foi analisado o modo ligado simétrico para as seguintes espessuras normalizadas do
dielétrico extra:
ℎ
ത
= 0.01, 0.1, 0.6, 1.2, 2.44, 4.0, 5.0 e 10.0. A análise do modo Simétrico
ligado (S
b
) é mostrada na figuras 33 e 34. Qualitativamente, o comportamento é equivalente
Nef i
68
ao encontrado nas estruturas convencionais de três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e (Rocha,
Sapienza et al -2007)]. O que caracteriza a não influência da cobertura extra sobre o referido
modo, o índice de refração efetivo diminui com a espessura do filme condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
.
Figura 33 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Simétrico do Paládio.
Figura 34 - Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Ligado Simétrico do Paládio.
Nef r
Nef i
69
4.2.2.2 Modo ligado assimétrico
O modo ligado assimétrico é analisado com os mesmos parâmetros do item anterior
(4.2.2.1), os resultados são apresentados nos gráficos das Figuras 35 e 36, qualitativamente se
comportam similarmente ao encontrado nas estruturas convencionais de três regiões [(Al-
Bader e Intar-1992) e (Rocha, Sapienza et al -2007)], indicando a não influência da cobertura
extra sobre os referidos modos, o índice de refração efetivo aumenta conforme diminui a
espessura do filme condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
.
Figura 35 – Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Assimétrico do Paládio
Nef r
70
Figura 36 – Gráfico do índice de refração efetivo Imaginário – Modo Ligado Assimétrico do Paládio.
4.2.2.3 Modo de fuga pela cobertura
O modo de fuga pela cobertura foi analisado com as seguintes espessuras
normalizadas do filme condutor ݐ
ҧ
= 0.01, 0.1, 0.25, 5.0 e 10.0. A análise é mostrada nas
Figuras 36 (ηefr) e 37 (ηefi). A parte real da permissividade efetiva deste modo (ηefr),
apresentou um comportamento diferente da estrutura constituída por três regiões [(Al-Bader e
Intar-1992) e (Rocha, Sapienza et al -2007)], como mostrada na Figura 37, já que
convencionalmente o seu comportamento é crescente com a diminuição da espessura do filme
condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
, caracterizando a influência do dielétrico extra no comportamento deste modo.
Comprova-se, assim, a influência do dielétrico extra fronteiriço ao filme condutor, no modo
de fuga pela cobertura. Já para o ηefi, mostrado no gráfico da Figura 38. Não há alteração
qualitativa com relação aos modos clássicos, próprios de estruturas com três regiões.
O que leva a crer que, a energia evanescente se concentra somente na região dielétrica
sobre o filme condutor não incidindo na região da cobertura (η
4
).
Nef i
71
Figura 37 – Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pela Cobertura do Paládio.
Figura 38 – Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pela Cobertura do Paládio
4.2.2.4 Modo de fuga pelo núcleo
O modo de fuga pelo núcleo foi analisado com os seguintes valores para a espessura
normalizada do dielétrico extra:
ݐ
ҧ
= 0.01, 0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 4.2, 5.0, 7.0 e 10.0,
conforme os gráficos das Figuras 39 (ηefr) e 40 (ηefi).
Nef r
T
c
Nef i
72
Para valores da espessura normalizada entre 0.01 e 0.1, a permissividade efetiva do
referido modo (ηefr e ηefi) apresentou um comportamento similar, característico ao clássico
da estrutura constituída por três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e (Rocha, Sapienza et al -
2007)].
Figura 39 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pelo Núcleo do Paládio.
Nef r
T
c
Nef i
73
Figura 40 - Gráficos do índice de refração efetivo Imaginário – Modo Fuga pelo Núcleo do Paládio
4.2.3 Fibra fracamente guiada envolta por filme de ouro
A estrutura apresenta os seguintes parâmetros:
ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ ߟ
ସ
=1,53
݈݀݅݁éݐݎ݅ܿ ݁ݔݐݎܽ ߟ
ଷ
=1,5
݂݈݅݉݁ ݀݁ ݑݎ ߝ
=−77,2 +݆ 6,7
݊ú݈ܿ݁ ߟ
ଵ
=1,515
ݎܽ݅ ݀ ݊ú݈ܿ݁ ݊ݎ݈݉ܽ݅ݖܽ݀ ܽത=
ሺ
ܭ
ܽ
ሻ
=8
ܧݏ݁ݏݏݑݎܽ ݊ݎ݈݉ܽ݅ݖܽ݀ ݀ ݂݈݅݉݁ ܿ݊݀ݑݐݎ ݐ
ҧ
=
ሺ
ܭ
ݐ
ሻ
=0,01 ܽ 1
Valores Assimptóticos –
݉ܽ݅ݎ
ሺ
1
ሻ
=1,538 − ݆ 0,2029 ݔ 10
ିଶ
݉݁݊ݎ
ሺ
2
ሻ
=1,522 − ݆ 0,1968 ݔ 10
ିଶ
4.2.3.1 Modo ligado simétrico
Foi analisado o modo ligado simétrico para as seguintes espessuras normalizadas do
dielétrico extra: ℎ
ത
= 0.01, 0.2, 0.6, 1.2, 2.44, 4.0, 5.0 e 10.0. A análise do modo Simétrico
ligado (S
b
) é mostrada nas Figuras 41 e 42. Qualitativamente, o comportamento é similar ao
encontrado nas estruturas convencionais de três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e (Rocha,
Nef i
74
Sapienza et al -2007)]. O que caracteriza a não influência da cobertura extra sobre o referido
modo, o índice de refração efetivo diminui com a espessura do filme condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
.
Figura 41 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Simétrico do Ouro.
Figura 42 - Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Ligado Simétrico do Ouro.
4.2.3.2 Modo ligado assimétrico
O modo ligado assimétrico é analisado com os mesmos parâmetros do item anterior (4.2.3.1),
os resultados são vistos, gráficos das Figuras 43 e 44, qualitativamente com comportamento
Nef r
Nef i
75
similar ao encontrado nas estruturas convencionais de três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e
(Rocha, Sapienza et al -2007)], indicando a não influência da cobertura extra sobre o referido
modo, o índice de refração efetivo aumenta conforme diminui a espessura do filme condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
.
Figura 43 – Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Ligado Assimétrico do Ouro.
Figura 44 – Gráfico do índice de refração efetivo Imaginário – Modo Ligado Assimétrico do Ouro.
4.2.3.3 Modo de fuga pela cobertura
O modo de fuga pela cobertura foi analisado com as seguintes espessuras
normalizadas do filme ݐ
ҧ
= 0.01, 0.1, 0.25, 5.0 e 10.0. A análise é mostrada nas Figuras 45
Nef r
Nef i
76
(ηefr) e 46 (ηefi). A parte real da permissividade efetiva deste modo (ηefr) apresentou um
comportamento diferente da estrutura constituída por três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e
(Rocha, Sapienza et al -2007)], como mostrada na Figura 45, já que convencionalmente o seu
comportamento é crescente com a diminuição da espessura do filme condutor
ሺ
ݐ
ҧ
ሻ
, o que
caracteriza a influência do dielétrico extra no comportamento deste modo. Comprova-se,
assim, a influência do dielétrico extra fronteiriço ao filme condutor, no modo de fuga pela
cobertura. Já para o ηefi, mostrado no gráfico da Figura 46. Não há alteração qualitativa com
relação aos modos clássicos, próprios de estruturas com três regiões.
O que leva a crer que, a energia evanescente se concentra somente na região dielétrica sobre o
filme condutor não incidindo na região da cobertura (η
4
).
Figura 45 – Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pela Cobertura do Ouro.
Figura 46 – Gráfico do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pela Cobertura do Ouro.
Nef r
T
c
Nef i
77
4.2.3.4 Modo de fuga pelo núcleo
O modo de fuga pelo núcleo foi analisado com os seguintes valores para a espessura
normalizada do dielétrico extra: ݐ
ҧ
= 0.01, 0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 4.2, 5.0, 7.0 e 10.0,
conforme os gráficos das Figuras 47 (ηefr) e 48 (ηefi).
Para valores da espessura normalizada entre 0.01 e 0.1, a permissividade efetiva do
referido modo (ηefr e ηefi) apresentou um comportamento similar ao clássico da estrutura
constituída por três regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e (Rocha, Sapienza et al -2007)].
Figura 47 - Gráfico do índice de refração efetivo real – Modo Fuga pelo Núcleo do Ouro.
Nef r
Nef i
78
Figura 48 - Gráficos do índice de refração efetivo imaginário – Modo Fuga pelo Núcleo do Ouro.
4.3 Conclusão
Os resultados apresentados neste capítulo mostraram a dependência dos modos de
plasmon com o dielétrico fronteiriço ao filme condutor, o dielétrico extra, independente do
material utilizado na confecção do filme (prata, paládio ou ouro). Dentre estes, ficou
evidenciado que é o modo de fuga pela cobertura, o que é fortemente influenciado pela
camada dielétrica que superpõe ao filme.
A característica evanescente do modo de fuga pela cobertura foi modificada levando a
crer que a energia evanescente se concentra somente na região dielétrica sobre o filme
condutor não incidindo na região da cobertura (η
4
)
Já os modos ligados e o de fuga pelo núcleo não sofrem influência qualitativa do
dielétrico extra e comportam-se de forma convencional a de estrutura constituída por três
regiões [(Al-Bader e Intar-1992) e (Rocha, Sapienza et al -2007)].
Os modos de plasmon nas estruturas constituídas por filme de prata e de ouro,
apresentaram um comportamento qualitativo mais idêntico aos da estrutura clássica, de 3
regiões, do que o do filme de paládio.
Nef i
79
5 CONCLUSÃO FINAL
Neste trabalho foi apresentado o estudo dos modos de plasmon em estruturas
constituídas por fibras ópticas fracamente guiadas, compostas por 4 regiões externas ao
núcleo.
O estudo teve início, com a dedução das equações dos modos de plasmon em
estruturas planares com 3 e 4 regiões, pela técnica da ressonância transversa. Esta técnica
permite encontrar as equações mais simplificadamente do que pelo método convencional, o
do casamento dos campos nas fronteiras. Verificou-se que os valores assimptóticos das
estruturas de quatro regiões são idênticos aos obtidos em estruturas constituídas por três
regiões. Esta condição é compreensível, já que os modos de plasmon estão relacionados com
os meios fronteiriços ao filme condutor.
Os valores encontrados no capítulo 1 são fundamentais na abordagem do capítulo 2,
onde se deduziu o método apropriado à análise dos modos de plasmon em fibras ópticas
fracamente guiadas. Esta por sua vez, é coberta por um filme metálico superposto por uma
camada dielétrica extra. Uma segunda camada dielétrica de extensão infinita é depositada
sobre o dielétrico extra.
A formulação apresentada no capítulo 2 é a base da análise dos modos de plasmon,
sob a condição evanescente. Esta formulação relacionada à equação característica dos modos
de plasmon foi obtida, pela técnica do casamento dos campos nas fronteiras da estrutura
cilíndrica, resultando em um sistema matricial. O η
ୣ
dos diferentes modos foi encontrado
anulando-se o determinante da matriz, a partir dos valores assimptóticos obtidos no capítulo
1.
Com as equações, dos modos de plasmon, implementou-se um programa
computacional em Fortran, com o qual foram calculados os índices efetivos dos diferentes
modos; ligado simétrico (s
b
) e assimétrico (a
b
), fuga pelo núcleo (l
n
) e o modo de fuga pela
cobertura (l
c
).
A validação do método desenvolvido foi confirmada, no capítulo 3, pela perfeita
concordância entre os valores apresentados, neste trabalho, e os publicados na literatura
pertinente, que analisa uma estrutura com 3 regiões.
Na análise ficou evidenciado a relação dos modos de plasmon com o dielétrico extra
fronteiriço ao filme condutor, dentre os quais, o modo de fuga pela cobertura é o que
apresentou forte dependência com esta camada dielétrica. A camada dielétrica extra, retém a
80
energia, cuja concentração se encontra na superfície do filme condutor (o que caracteriza o
plasmon), reduzindo, portanto, a incidência desta energia na região, infinita, da cobertura.
O modo de fuga pela cobertura é fundamentado pela energia que flui pela camada
externa da estrutura, a cobertura. O dielétrico extra, concentrando uma parcela dessa energia,
conseqüentemente, modifica as características do referido modo, como ficou evidenciado
neste trabalho.
A continuidade deste trabalho, poderá ser conduzida para confrontar na prática, os
resultados encontrados nesta teoria, bem como, uma análise, incluindo o núcleo e a casca, em
fibras convencionais.
81
BIBLIOGRAFIA
(Sapienza-2006 – et al) - Análise de Onda de Plasmon superficial guiada por um
filme metálico – Dias, Antônio L. R.; Curi, Carla R.; Rodrigues, Guilherme
Augusto B.; Sapienza, Antonio R. – Projeto de Graduação – UERJ – 2006.
(Tamir-1986 – et al) Surface-Polariton Like Waves Guided by Thin, Lossy Films.
– J.J. Burke, G.J. Stegeman and T. Tamir – Physical Review – B – Vol. 33,
number 8 – April 1986 - pg 5186 to 5201.
(Al-Bader e Intar-1992) S.J. Al-Bader e M. Intar, “TM polarized modes on metal
coated dielectric cylinders”, Journal of Lightwave Technology, Vol. 10, no. 7, pp.
865-872, July 1992.
(Collin-1960) R. E. Collin – “Field Theory of Guided Waves” – Mac GraW-Hill
Book Company, 1960, Chapter -11, pp.458
(Guimarães e Sapienza-IMOC 2005) A. Sapienza e Marcelo F. Guimarães –
“Detailed Analysis of the surface Waves Guided by a thin Metal Film based en the
Transverse Ressonance Method – International Microwave and Optoelectronics
Conference (IMOC – 2005). Publicação em software do IMOC-2005.
(Al-Bader and Intar -1992) S.J. Al-Bader and M. Intar, “Azimuthally uniform
surface plasma modes in thin metallic cylindrical shell”, IEEE, Journal of
Quantum Electronics, Vol.28, no 2, pp. 525-533, February 1992.
(Guimarães e Sapienza - SBMO 2005) Marcelo F. Guimarães e Antonio Sapienza,
“Detailled analysis of the surface plasmon waves guided by a thin metal film based
in the transverse ressonance method” – Proceeding SBMO – 2005 – IEEE-MTT
International microwaves and optoelectronic conference, Vol.1, pp:162, 167, July
2005.
(Rocha, Sapienza et al -2007) Rafael A. N. Rocha, Jhonatan P. Farias, Flávia S.
Ferrari e Antonio Sapienza – Análise de Plasmon em um filme metálico cobrindo
uma fibra óptica fracamente guiada – Projeto de Graduação – UERJ – Junho-2007.
(Adams-M. J - 1981) Adams M. J – An Introduction to optical waveguides – John
Wiley & Sons – 1981, pp.67.
82
APÊNDICE A
A. FORMULAÇÃO DOS MODOS TMN
M
=
≠
→
0
0
z
z
mn
H
E
TM
A.1) Cálculo das equações de Maxwell reduzidas:
Parte-se das equações de Maxwell fasoriais, para regiões sem fontes: (collin – 1960)
2
0
0
magnético) fluxo de densidade de equação(0
Gauss) de equação(0
Faraday) de equação(
Ampére) de equação(
ηε
ωµ
εωε
=
=∇
=∇
−=∧∇
=∧∇
r
r
H
E
HjE
EjH
r
r
rr
r
r
Nas equações acima
ε
r
é a permissividade relativa do meio e
η
é o índice de refração
do meio.
Equação de Ampére Equação de Faraday
( )
zEEjHz
z
EjH
zTr0TT
r0
r
rrr
r
r
r
+=∧
∂
∂
+∇
=∧∇
εωε
εωε
Tr0T
zr0TT
EjH
z
z
zEjH
rr
r
r
r
r
εωε
εωε
=
∂
∂
∧
=∧∇
( )
T0zTT
0
HjzEEz
z
HjE
r
r
rr
r
r
r
ωµ
ωµ
−=+∧
∂
∂
+∇
−=∧∇
T0zTT
TT
HjzEE
z
z
0E
r
r
rr
r
r
ωµ
−=∧∇+
∂
∂
∧
=∧∇
Equação de Gauss Equação de densidade de fluxo Magnético
0E =⋅∇
r
z
E
E
z
TT
∂
∂
−=⋅∇
r
0H =⋅∇
r
0H
T
T
=⋅∇
r
Nas equações acima
T
E
r
e
T
H
r
são as componentes tangenciais do campo elétrico e
magnético, respectivamente.
z
r
é o vetor unitário na direção z.
83
A.2) Obtendo as equações apropriadas para se analisar o modo
direto
(
)
nm
zj
TMe
β
−
Onde β é a constante de fase.
A.2.1) Cálculo das componentes do campo elétrico
(
)
zEE
z
T
r
r
,
Partindo da equação
0=∧∇
T
T
E
r
:
(
)
(
)
T
T
T
T
T
T
T
T
EEE
r
r
2
∇−∇⋅∇=∧∇∧∇
(
)
T
T
T
T
T
EE ∇⋅∇=∇
r
2
Pela equação da onda Pela equação de Gauss
( )
0
0
0
222
2
22
2
2
22
=−+∇
=+
∂
∂
+∇
=+∇
T
T
TTT
TT
EKE
EKE
z
EKE
rr
rr
r
r
β
222
22
0
β
−=
=−=∇
KK
EKE
T
TTT
r
r
0
0
=
∂
∂
+⋅∇
=⋅∇
z
E
E
E
z
TT
r
r
z
E
E
z
TT
∂
∂
−=⋅∇
r
Nas equações acima K é o numero de onda e K
T
é o número de onda transversal.
Então, por
(
)
T
T
T
T
T
EE ∇⋅∇=∇
r
2
:
( )
( )
zT
T
T
zTTT
E
z
K
E
E
z
EK
∇
∂
∂
=
∇
∂
∂
−=−
2
2
1
r
r
Em ondas diretas, com
zj
ezZ
β
−
=)(
, temos:
zT
T
T
E
K
j
E ∇
−
=
2
β
r
(A.1)
84
A.2.2) Cálculo das componentes do campo magnético
(
)
T
H
r
Parte-se de:
( )
∇
∂
∂
=
=
∂
∂
∧
)3A(
1
)A2(
2
0
zT
T
T
TrT
E
z
K
E
EjH
z
z
r
rr
r
εωε
Substituindo-se (A3) em (A2):
( )
[ ]
( )
0
2
0
2
0
2
0
=
∇−∧
∂
∂
∇
∂
∂
=∧
∂
∂
∇
∂
∂
=
∂
∂
∧
zT
T
r
T
zT
T
r
T
zT
T
r
T
E
K
j
Hz
z
E
K
j
z
Hz
z
E
z
K
j
H
z
z
εωε
εωε
εωε
r
r
r
r
r
r
zT
T
r
T
E
K
j
Hz ∇=∧
2
0
ε
ωε
r
r
Obtendo
T
H
r
em função de
z
E
:
(
)
( )
( )
( ) ( )
zT
T
r
TT
zT
T
r
T
Ez
K
j
HzzHzz
Ez
K
j
Hzz
∇∧=⋅−⋅
∇∧=∧∧
r
r
rr
r
rr
r
r
rr
2
0
2
0
εωε
εωε
( )
zT
T
r
T
Ez
K
j
H ∇∧−=
r
r
2
0
ε
ωε
(A4)
A expressão de
T
H
r
pode ser expressa em função de
T
E
r
. Para onda direta,
substituindo (A1) em (A4), tem-se:
85
(
)
(
)
r
TM
T
TM
T
r
T
Z
Ez
Z
EzH
εωε
β
εωε
β
0
0
onde
11
=
∧=∧
−=
r
r
r
r
r
A.3) Modo TM
0
→ (modo ez)
A condição n = 0 torna os campos independentes de
θ
zj
z
erRzrE
β
−
= )(),(
( )
( )
rzT
T
T
zT
T
T
Ez
K
j
H
E
K
E
εη
ηωε
β
=⋅∇∧−=
⋅∇
−
=
2
2
2
0
2
2
r
r
r
r
E
az
K
jH
z
r
T
∂
∂
∧−= )(
2
2
0
r
r
r
η
ωε
θ
θθ
η
ωε
a
r
E
K
jH
z
T
r
r
∂
∂
−=
2
2
0
(A.1)
Ou então, no caso de regiões suportando somente uma onda direta ou reversa:
( )
( )
TT
T
T
T
T
zT
T
T
T
T
zT
zT
T
T
EzH
E
j
K
z
K
j
H
Ez
K
j
H
E
K
E
E
K
E
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∧=
−∧−=
⋅∇∧−=
−=⋅∇
⋅∇
−
=
β
ηωε
β
ηωε
ηωε
β
β
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
)(
ηωε
β
=
e
TE
Z
(
)
T
e
TE
T
Ez
Z
H
r
r
r
∧=
)(
1
86
APÊNDICE B
B. FUNÇÕES DE BESSEL
B.1) Funções de Bessel ordinárias
)()()()(
)()1()()()1()(
)2()2()1()1(
zHezHzHezH
zYzYzJzJ
n
inj
nn
inj
n
n
n
nn
n
n
−
−−
−−
==
−=−=
- J
n
é a função de Bessel de 1ª espécie, ordem n;
- Y
n
é a função de Bessel de 2ª espécie, ordem n;
- H
n
(1)
e H
n
(2)
são as funções de Hankel, ordem n.
B.2) Fórmulas Assimptóticas
[
]
[ ]
−−−
−−+
=
=
−−=−=
−−=+=
42
)2(
42
)1(
)2()1(
)2()1(
2
)(
2
)(
42
2
)()(
2
1
)(
42
cos
2
)()(
2
1
)(
ππ
ππ
π
π
ππ
π
ππ
π
nzj
n
nzj
n
nnn
nnn
e
z
zH
e
z
zH
nzsen
z
zHzH
j
zY
nz
z
zHzHzJ
zj
nnn
zj
nnn
ezjYzJzHezjYzJzH
−
≈−=≈+= )()()()()()(
)2()1(
{
}
)(),(),(),()(
)2()1(
zHzHzYzJzB
nnnnn
=
)()()(
)()()(
1
'
1
'
zBzB
z
n
zB
zBzB
z
n
zB
nnn
nnn
+
−
−+=
+−=
87
B.3) Função de Bessel Modificadas
)()(
)()(
zKzK
zIzI
nn
nn
=
=
−
−
I
n
é a função modificada de Bessel de 1ª espécie, ordem n.
K
n
é a função modificada de Bessel de 2ª espécie, ordem n.
B.4) Relação entre as funções de Bessel modificadas e ordinárias
)()()(
)()(
)()(
2
3
2
3
22
jzJjzI
zeJezI
zeJezI
n
n
n
j
n
nj
n
j
n
nj
n
−=
=
=
−
−
ππ
ππ
(B.1)
Portanto:
)()()('
)()()('
1
1
zIzI
z
n
zI
zIzI
z
n
zI
nnn
nnn
+
−
++=
+−=
)(
2
)(
)(
2
)(
2
)2(
2
2
)1(
2
zeHejzK
zeHejzK
j
n
n
j
n
j
n
n
j
n
π
π
π
π
π
π
−−
−=
=
Como
22
e
ππ
jj
ejej
−
−==
, temos, para qualquer valor de n inteiro:
)(
2
)(
)(
2
)(
)2(
)1(
2
)1(
)1(
2
jzHezK
jzHezK
n
nj
n
n
nj
n
−
+=
+=
+−
+
π
π
π
π
(B.2)
88
)()()(
)()()(
1
'
1
'
zIzI
z
n
zI
zIzI
z
n
zI
nnn
nnn
+
−
++=
+−=
)()()(
)()()(
1
'
1
'
zKzK
z
n
zK
zKzK
z
n
zK
nnn
nnn
+
−
−+=
−−=
89
Apêndice C
C. CÁLCULO DO DETERMINANTE DA MATRIZ DOS MODOS DE PLASMON EM ESTRUTURAS DE
QUATRO REGIÕES.
A formulação dos modos de plasmon, em estruturas de quatro regiões, foi desenvolvida no capítulo 2, e resultou na matriz mostrada na
equação 53 do referido capítulo. A solução procurada é o valor do ݂݊݁=
ሺ
݂݊݁
− ݆ ݂݊݁
ሻ
, índice efetivo da estrutura que anule o determinante
da matriz.
Este apêndice tem por objetivo calcular o determinante da matriz, equação C.1 deste Apêndice, relacionada à formulação do problema dos
modos de plasmon em estruturas constituídas por quatro regiões, Figura 11 do capítulo 2.
O sistema de equação, na forma matricial, equação C.1, é o seguinte:
ܨ
ଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
−
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
−
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
ܣ
ଵ
ቆ
ߟ
ଵ
ଶ
√
ߙ
ଵ
ቇ
ܨ
ଵଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ሻ
−
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
ܣ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ܤ
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ቆ
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
−
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
ܣ
ଷ
= 0
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
−
ܨ
ସ
ሺ
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
ܤ
ଷ
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
−
ቆ
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ቇ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
ቆ
ߟ
ସ
ଶ
√
ߙ
ସ
ቇ
ܨ
ସଵ
ሺ
ݎ
ҧ
ଶ
ሻ
ܣ
ସ
(C.1)
Os parâmetros de cada termo da matriz são definidos no capítulo 2.
90
Para simplificar a escrita da matriz, serão utilizados os seguintes parâmetros:
ߛ
ଵ
=
ߟ
ଵ
ଶ
√
ߙ
ଵ
ߛ
=
ߝ
̂
ඥ
ߙ
ߛ
ଷ
=
ߟ
ଷ
ଶ
ඥ
ߙ
ଷ
ߛ
ସ
=
ߟ
ସ
ଶ
√
ߙ
ସ
(C.2)
E as convenções ൝
ሺ
1
ሻ
→
ሺ
ܭ
ݑ ܫ
ሻ
ሺ
2
ሻ
→
ሺ
ܭ
ଵ
ݑ ܫ
ଵ
ሻ
Portanto:
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
=
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
൯
=
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
(C.3)
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
=
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
=
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
=
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ݎ
ҧ
ଵ
൯
=
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
=
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
=
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
=
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଵ
൫
ඥ
ߙ
ଷ
ݎ
ҧ
ଶ
൯
=
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
Quadro – C.3 – Notações simplificadas das funções de Bessel
As referências (a) e (b), no quadro - C.3 são atribuídas, também, às seguintes
convenções:
a limite inferior das regiões
b limite superior das regiões
Visualizadas em:
ߟ
ଵ
(núcleo +casca)
ߝ
̂
(filme)
ߟ
ଷ
(região extra)
ߟ
ସ
(cobertura)
(b) (a) (b) (a) (b) (a)
ݎ
ҧ
ݎ
ҧ
ଵ
ݎ
ҧ
ଶ
91
Com estas convenções o sistema matricial é escrito simplificadamente:
ܨ
ଵ
−
ܭ
ܽ
(1)
−
ܫ
ܽ
(1)
ܣ
ଵ
ߛ
ଵ
ܨ
ଵଵ
−
ߛ
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ߛ
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܣ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
−
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
−
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܤ
ߛ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
−
ߛ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ߛ
ଷ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
−
ߛ
ଷ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܣ
ଷ
= 0
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
−
ܨ
ସ
ܤ
ଷ
ߛ
ଷ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
−
ߛ
ଷ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ߛ
ସ
ܨ
ସଵ
ܣ
ସ
(C.4)
A solução do problema satisfaz a condição do determinante da matriz de (C.4) ser
nula.
Por conveniência, a matriz será reescrita trocando as posições das duas últimas linhas.
Assim, o determinante ficará multiplicado por (-1).
ܨ
ଵ
−
ܭ
ܽ
(1)
−
ܫ
ܽ
(1)
ߛ
ଵ
ܨ
ଵଵ
−
ߛ
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ߛ
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
−
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
−
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ߛ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
−
ߛ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ߛ
ଷ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
−
ߛ
ଷ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
= [M]
ߛ
ଷ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
−
ߛ
ଷ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ߛ
ସ
ܨ
ସଵ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
−
ܨ
ସ
92
Para se obter a expressão do determinante da matriz [M] com simetria de termos, será usado o seguinte artifício; dividem-se a 1ª coluna
por (F
10
), a 2ª coluna por (+K
m
a(2)), a 3ª coluna por (I
m
a(1)), a 4ª coluna por (K
3
b (1)), a 5ª coluna por (I
3
b (1)) e a 6ª coluna por (F40)
Ou seja:
1 -1 -1
ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
−
ߛ
൬
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
ߛ
൬
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
[M] = (-1)
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
−
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
−
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
1 1 -1
93
Somando-se a 1ª coluna com as 2ª e 3ª colunas, e a 6ª coluna com as 4ª e 5ª colunas, tem-se:
1 0 0
ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
−
ߛ
൬
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
+
ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
ߛ
൬
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
+
ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
−
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
−
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
0 0 -1
Logo o determinante da Matriz [M] será:
−
ߛ
൬
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
−
ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
൨
ߛ
൬
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
+
ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
൨
ܦ
=
ሺ
−
1
ሻ
∗
ሺ
−
1
ሻ
൬
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ቈ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
−
ቈ
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
94
Chamando:
ܥ
ଵ
=
−
ߛ
൬
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
−
ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
൨
ܥ
ଶ
=
ߛ
൬
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
൰
+
ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
൨
(C.5)
ܥ
ଷ
=
ቈ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
ܥ
ସ
=
−
ቈ
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
Dividindo-se as respectivas colunas da Matriz pelos termos das colunas da 2ª linha, tem-se:
൬
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
൰
ܥ
ଵ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ଶ
0 0
D =
1 1 -1 -1
ߛ
൬
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
൰
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
0 0
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ସ
(C.6)
Substituindo (C1, C2, C3, C4) de (C.5) em (C.6), com um simples algebrismo, o problema se resume no calculo do determinante de uma
matriz 3x3, ou seja:
൬
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
൰
ܥ
ଵ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ଶ
0 0
D =
1 1 -1 -1
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
0 0
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ସ
95
Substituindo (C1, C2, C3, C4) de (C.5) em (C.6), com um simples algebrismo, o
problema se resume no calculo do determinante de uma matriz 3x3, ou seja:
൬
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
൰
ܥ
ଵ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ଶ
0 0
D =
1 1 -1 -1
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
0 0
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
ସ
Simplificando os parâmetros da matriz:
1) Termo da 1ª coluna, 1ª linha
ܣ=൬
ܭ
ܽ ሺ1ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
൰ܥ
ଵ
=
ሺ
−
ሻ
ቆ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇቈߛ
ቆ
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ − ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
ܣ=
ሺ
−1
ሻ
ቈߛ
ቆ
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ − ߛ
ଵ
ቆ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
2) Termo da 2ª coluna, 1ª linha
ܤ=ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇܥ
ଶ
=ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇቈߛ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ + ߛ
ଵ
൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
ܤ=ቈߛ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ + ߛ
ଵ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
3) Termo da 3ª coluna, 4ª linha
ܥ=ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇܥ
ଷ
=ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇቈߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ + ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
ܥ=ቈߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ + ߛ
ସ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
96
4) Termo da 4ª coluna, 4ª linha
ܦ=ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇܥ
ସ
=ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ሺ
−1
ሻ
ቈߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ − ߛ
ସ
൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
ܦ=
ሺ
−1
ሻ
ቈߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ − ߛ
ସ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
A matriz, cujo determinante se deseja calcular se escreve:
ܣ
ܤ
0 0
D =
1 1 -1 -1
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
0 0
ܥ
ܦ
Diminuindo a 2ª coluna da 1ª coluna e a 3ª coluna da 4ª coluna, tem-se:
ܣ
ܤ
−
ܣ
0 0
D =
1 0 0 -1
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ
−
ߛ
ቈ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ߛ
ଷ
ቈ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
0 0
ܥ
−
ܦ
ܦ
97
Com auxílio da 2ª linha, o determinante se escreve pelo de matrizes (3 x 3):
2+ 1
ܦ=
ሺ
−1
ሻ
ሺ
1
ሻ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
ሾ
ܤ− ܣ
ሿ
0 0
−ߛ
ቈቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ + ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ ߛ
ଷ
ቈቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ + ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ −ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
0
ሾ
ܥ− ܦ
ሿ
ܦ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ې
4+ 2
ܦ=
ሺ
−1
ሻ
ሺ
1
ሻ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
ܣ
ሾ
ܤ− ܣ
ሿ
0
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ −ߛ
ቈቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ + ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ ߛ
ଷ
ቈቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ + ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
0 0
ሾ
ܥ− ܦ
ሿ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ې
98
Portanto:
1 + 1
ሺ
−1
ሻ
ܦ=
ሺ
−1
ሻ
ሺ
ܤ− ܣ
ሻ
ۏ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
ߛ
ଷ
ቈ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
−ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܦ
ے
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ې
+
3 + 3
ሺ
−1
ሻ
ሺ
ܥ− ܦ
ሻ
ۏ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ێ
ۍ
ܣ
ሾ
ܤ− ܣ
ሿ
ߛ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ
−ߛ
ቈ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ
ے
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ۑ
ې
O determinante se escreve:
ሺ
−1
ሻ
ܦ=
ሺ
ܤ− ܣ
ሻ
ቈߛ
ଷ
ܦ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+ ߛ
ଷ
ሺ
ܥ− ܦ
ሻ
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ሺ
ܥ− ܦ
ሻ
ቈ−ߛ
ܣ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ
− ߛ
ሺ
ܤ− ܣ
ሻ
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ
Simplificando tem-se:
ሺ
−1
ሻ
ܦ=ߛ
ଷ
ሺ
ܤ −ܣ
ሻ
ቈቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܦ+
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
− ߛ
ሺ
ܥ− ܦ
ሻ
ቈ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܣ +
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ
ܤ
99
A solução procurada é aquela que anula o determinante da matriz, assim;
ߛ
ଷ
ሺ
ܤ− ܣ
ሻ
ቈቆ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܦ+
ቆ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܥ
+ ߛ
ሺ
ܦ− ܥ
ሻ
ቈ
ቆ
ܫ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
ܣ +
ቆ
ܭ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ ሺ1ሻ
ቇ
ܤ
=0
Onde:
ܣ=
ሺ
−1
ሻ
ቈ
ߛ
ቆ
ܭ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
− ߛ
ଵ
ቆ
ܭ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
ܤ=
ቈ
ߛ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+ ߛ
ଵ
ቆ
ܫ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ቇ൬
ܨ
ଵଵ
ܨ
ଵ
൰
(C.7)
ܥ=
ቈ
ߛ
ଷ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
+ ߛ
ସ
ቆ
ܭ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܭ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
ܦ=
ሺ
−1
ሻ
ቈ
ߛ
ଷ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
2
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ
− ߛ
ସ
ቆ
ܫ
ଷ
ܾ
ሺ
1
ሻ
ܫ
ଷ
ܽ
ሺ
1
ሻ
ቇ൬
ܨ
ସଵ
ܨ
ସ
൰
100
Acrescendo as informações de (C.2) e (C.3)
ሺ
ܨ
ଵ
ሻ
→
ሺ
ܨ
ଵଵ
ሻ
=
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
݈݅݃ܽ݀ ݑ ݂ݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ܫ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
→ܫ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
݂ݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁
ܭ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
→
ሺ
−
ሻ
ܭ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ଵ
ݎҧ
ሻ
(C.7)
ሺ
ܨ
ସ
ሻ
→
ሺ
ܨ
ସଵ
ሻ
=
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
݈݅݃ܽ݀ ݑ ݂ݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁
ܭ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ଶ
ሻ
→
ሺ
−
ሻ
ܭ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ଶ
ሻ
݂ݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ
ܫ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ଶ
ሻ
→ܫ
ଵ
ሺ
√
ߙ
ସ
ݎҧ
ଶ
ሻ
101
Apêndice D
D. ANÁLISE DOS CAMPOS DOS MODOS DE PLASMON
LIGADOS EM ESTRUTURAS DE TRES REGIÕES.
Considere a estrutura assimétrica planar, figura D.1. Deseja-se estudar o comportamento
do campo magnético (H
y
(x)) dos respectivos modos de plasmon que se propagam ma
estrutura.
Figura D.1 – Geometria da estrutura assimétrica plana
Os modos ligados, simétrico e assimétrico, são modelados pelas seguintes componentes
do campo magnético:
ܪ
௬ଷ
ሺ
ݔ
ሻ
=ܣ
ଷ
݁
ିఈ
య
ሺ
௫ିௗ ଶ
⁄
ሻ
ݔ≥
݀
2
ܪ
௬
ሺ
ݔ
ሻ
=ܣ
ଶ
ܿݏℎߙ
൬ݔ+
݀
2
൰൨ + ܤ
ଶ
ݏ݁݊ℎߙ
൬ݔ+
݀
2
൰൨
|
ݔ
|
≥
݀
2
ሺ
ܦ1
ሻ
ܪ
௬ଵ
ሺ
ݔ
ሻ
=ܣ
ଵ
݁
ାఈ
భ
ሺ
௫ାௗ ଶ
⁄
ሻ
ݔ≤−
݀
2
Que resulta em campos elétricos com as seguintes componentes longitudinais:
ܧ
௭ଷ
ሺ
ݔ
ሻ
=
+݆ߙ
ଷ
߱ߝ
ଷ
ܣ
ଷ
݁
ିఈ
య
ሺ
௫ିௗ ଶ
⁄
ሻ
ݔ≥
݀
2
ܧ
௭ଶ
ሺ
ݔ
ሻ
=
+݆ߙ
߱ߝ
൜ܣ
ଶ
ݏ݁݊ℎߙ
൬ݔ+
݀
2
൰൨ + ܤ
ଶ
ܿݏℎߙ
൬ݔ+
݀
2
൰൨ൠ
|
ݔ
|
≥
݀
2
ܧ
௭ଵ
ሺ
ݔ
ሻ
=
−݆ߙ
ଵ
߱ߝ
ଵ
ܣ
ଵ
݁
ାఈ
భ
ሺ
௫ାௗ ଶ
⁄
ሻ
ݔ≤−
݀
2
x
0
z
η
3
- cobertura
ε
mr
- filme
d
/
2
- d
/
2
η
1
- núcleo
d
Adaptando-
se os campos nas fronteiras
permissividade relativa do filme cond
ܪ
௬
ቀݔ=−
݀
2
ൗ
ቁൌܪ
௬ଵ
ቀ
ݔ
ܧ
௭ଶ
ቀݔൌെ
݀
2
ൗ
ቁൌܧ
௭ଵ
ቀ
ݔ
ൌ
ܪ
௬ଷ
ቀݔൌ
݀
2
ൗ
ቁൌܪ
௬
ቀ
ݔ
ൌ
Portanto, no filme condutor
ܪ
௬
ሺ
ݔ
ሻ
ൌܣ
ଶ
ቊܿݏ݄ߙ
൬
ݔ
Nas regiões dielétricas, as equações dos campos magnéticos
obtidas, prontamente, substituindo (D
A equação (D
3) é valida para ambos modos ligados, o que diferencia um do outro são os
seus valores assimptóticos.
As amplitudes
dos campos dos modos
figura-2, [Adams. M. J –
1981].
O modo ܶܯ
foi traçado com auxílio da equação D3, considerando
Figura D.2
–
se os campos nas fronteiras
ቀݔൌ
ௗ
ଶ
݁ ݔൌെ
ௗ
ଶ
ቁ
permissividade relativa do filme cond
utor; têm-se:
ቀ
ݔ
ൌെ
݀
2
ൗ
ቁ ՜ ܣ
ଵ
ൌܣ
ଶ
ቀ
ൌ
െ
݀
2
ൗ
ቁ ՜ ܤ
ଶ
ൌെቆ
ߝ̂
ߟ
ଵ
ଶ
ቇ൬
ߙ
ଵ
ߙ
൰ܣ
ଶ
ቀ
ൌ
െ
݀
2
ൗ
ቁ ՜ ܣ
ଷ
ൌܣ
ଶ
ܿݏ݄
ሺ
ߙ
݀
ሻ
ܤ
ଶ
ݏ݁݊
Portanto, no filme condutor
o campo magnético se escreve:
൬
ݔ
݀
2
൰൨ െ ቆ
ߝ
ߟ
ଵ
ଶ
ߙ
ଵ
ߙ
ቇݏ݄݁݊ߙ
൬ݔ
݀
2
൰
൨
ቋ
Nas regiões dielétricas, as equações dos campos magnéticos
൫
ܪ
obtidas, prontamente, substituindo (D
2) em (D1), tornando-
os função (A2).
3) é valida para ambos modos ligados, o que diferencia um do outro são os
dos campos dos modos
ܶܯ
ଵ
e ܶܯ
(modo de plasmon) são vistas na
1981].
foi traçado com auxílio da equação D3, considerando
–
Amplitudes dos modos ܶܯ
e ܶܯ
ଵ
em estrutura de três regiões.
102
ቁ
; ߝ̂
ൌ
ሺ
ߝ
݆ߝ
ሻ
,
ሺ
ܦ2
ሻ
ݏ݁݊
݄
ሺ
ߙ
݀
ሻ
൨
ቋ
ሺܦ3ሻ
൫
ܪ
௬
ሺ
ݔ
ሻ
, ݅ൌ1,3൯ são
os função (A2).
3) é valida para ambos modos ligados, o que diferencia um do outro são os
(modo de plasmon) são vistas na
foi traçado com auxílio da equação D3, considerando
ܣ
ଶ
ؠ1
em estrutura de três regiões.
103
O comportamento dos amplitudes dos respectivos modos ܶܧ
,ܶܧ
ଵ
é mostrado na figura-
3, de acordo com [Adams – M. J.]
Figura D.3 – Amplitudes dos modos ܶܧ
e ܶܧ
ଵ
em estrutura de três regiões.
Observando as figuras D2 e D3 percebe-se a propriedade fundamental dos modos de
plasmon: “A concentração de energia se verifica na superfície entre o condutor e a região
dielétrica”.
A análise dos modos de fuga, pelo núcleo ou pela cobertura, é feita analogamente aos dos
modos ligados. Levando em consideração que:
ܯ݀ ݀݁ ݂ݑ݃ܽ ݈݁ܽ ܾܿ݁ݎݐݑݎܽ ܪ
௬ଷ
ሺ
ݔ
ሻ
=ܣ
ଷ
݁
ାఈ
య
൫
௫ା
ௗ
ଶ
ൗ൯
ݔ≥
݀
2
ܯ݀ ݀݁ ݂ݑ݃ܽ ݈݁ ݊ú݈ܿ݁ ܪ
௬ଵ
ሺ
ݔ
ሻ
=ܣ
ଵ
݁
ାఈ
భ
൫
௫ା
ௗ
ଶ
ൗ൯
ݔ≤−
݀
2
Os campos, nas demais regiões, são idênticos aos dos modos ligados.
O comportamento do campo magnético, no filme condutor é regido pela mesma equação
dos modos ligados, equação D3.
104
ARTIGOS PUBLICADO E SUBMETIDO RELACIONADOS A ESTE
TRABALHO
1. Influência da Cobertura Dielétrica Extra no Comportamento dos Modos de
Plasmon em Fibras Fracamente Guiadas – Costa, Ricardo G.;. Sapienza, Antonio
R.- Projeto de Mestrado – UERJ - 2008
Artigo submetido à SCIELO Chile em ‘Ingeniare. Revista chilena de ingeniería’ em
18 de setembro de 2008.
2. Surface Plasma Analysis on a Palladium Cylindrical Shell Covering Weakly
Guided Silica Optical Fiber - Antonio Sapienza, Rafael A. N. Rocha, Jhonatan Pache
Faria, Flávia S. Ferrari and Aleksander Paterno - UERJ – 2007.
105
Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ – Rio de Janeiro – Brasil - a_sapienza@osite.com.br
Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ – Rio de Janeiro – Brasil - ricgoco@
gmail.com
Influência da Cobertura Dielétrica Extra no Comportamento dos Modos de Plasmon em Fibras
Fracamente Guiadas.
Influence of the Extra Dielectric Covering in the Behavior of Plasmon Modes in weakly Guided
Fibers.
Antonio Romeiro Sapienza e Ricardo Gomes da Costa
RESUMO
Neste artigo, são analisados os modos de Plasmon em fibras ópticas fracamente guiadas em estruturas com quatro regiões. A
análise com a região extra dielétrica, sobre o filme metálico, foi essencial para se compreender o comportamento dos quatro
modos de Plasmon; os ligados simétrico (S
b
) e assimétrico (a
b
); fuga pelo núcleo (l
n
) e fuga pela cobertura (l
c
). Os modos de
Plasmon são, fundamentados no modo TM
01
. A equação de dispersão de cada um dos modos é obtida adaptando-se os campos
tangentes às respectivas fronteiras. A estrutura analisada é constituída por um filme metálico (Є
m
), rodeado pelo núcleo (η
1
), e
pela cobertura (η
4
). Entre a cobertura e o filme metálico é depositado um dielétrico extra (η
3
). São calculadas as curvas de
dispersão dos diferentes modos, em função do raio interno da fibra, espessura do filme condutor e da largura da cobertura extra. O
método adotado, neste atigo, é validado comparando-se os resultados encontrados, com os do método convencional aplicado a
uma estrutura constituida por três regiões.
Palavras chave – Modos de Plasmon, modo TM
01
, equação de Helmholtz cilíndrico-circular, índice efetivo dos respectivos modos,
condições de fronteiras entre duas regiões.
ABSTRACT
In this article, the Plasmon modes are analyzed in weakly guided optical fibers in four regions structures. The analysis with
the extra dielectric region, on the metallic film, was essential to understand the behavior of the four Plasmon modes; the
symmetrical (S
b
) and asymmetric bounded (a
b
); the core (l
n
) and covering leaky modes (l
c
). The Plasmon modes are, based in
the TM
01
formulation. The dispersion equation of each mode is obtained by adapting the tangent fields on the respective
structure bounds. The analyzed structure is constituted by a metallic film (Є
m
), surrounded by the core (η
1
), and for the
covering (η
4
). Between the covering and the metallic film an extra dielectric is deposited (η
3
). The dispersion curves are
calculated in function of the fiber internal ray, film thickness and the covering width. The validation method presented in this
article is obtained by confronting with the conventional method results applied in an optical fiber with three regions.
Key words - Plasmon Modes, TM
01
Formulation, cylindrical-circular Helmholtz equation, respective modes effective index,
borders conditions between two areas.
INTRODUÇÃO
Metais são materiais que apresentam a parte real da
permissividade negativa. Esta característica é devido ao
acoplamento do campo eletromagnético incidente à densidade
dos elétrons livres da banda de condução do metal. A
conseqüência deste acoplamento é o guiamento de ondas
evanescentes nas fronteiras entre o metal e os dielétricos que o
circundam. Estas ondas são conhecidas por ondas de Plasmon
(“plasma” se refere aos elétrons livres da banda de condução
do metal, e o sufixo “on” ao substantivo; fóton, partícula). No
metal, os elétrons acoplados ao campo eletromagnético
incidente oscilam dissipando energia por efeito Joule.
Portanto, o modelo eletromagnético dos metais, sob a ação de
ondas harmônicas da forma ( e
+jwt
) é caracterizado pela
permissividade:
Є
m
= - Є
0
(Є
mr
+ j Є
mi
) [1,2,3,4]
Neste artigo, são estudados os modos de Plasmon nas
superfícies de um filme condutor (Є
m
) de espessura (d)
depositado sobre fibras ópticas fracamente guiadas (η
1
) de
raio (a). O filme condutor é recoberto por uma região
dielétrica extra (η
3
) de espessura (h) que por sua vez faz
fronteira com a cobertura (η
4
) infinita, como mostra a Figura.-
1.
A abordagem é feita pela técnica clássica de casamento dos
campos nas respectivas fronteiras da estrutura.
Os quatro modos de Plasmon são, todos, naturais do modo
TM
01
, que em função do comportamento da componente
Real[H
θ
(r,z)] são denominados por; modos ligados simétrico e
assimétrico (S
b
e a
b
), fuga pela cobertura (l
c
) e fuga pelo
núcleo (l
n
). [5]
106
Os índices efetivos (nef
r
e nef
i
) dos respectivos modos de
Plasmon, são analisados em função do raio interno da fibra
(a), largura da cobertura (h), variando-se a espessura do filme
condutor (d).
Os resultados obtidos mostraram que o modo l
c
(fuga pela
cobertura) é fortemente influenciado pela região dielétrica
extra (η
3
) sobre o filme. Para espessuras normalizadas da
cobertura apresentadas até K
0
h = 10, o respectivo modo é
dependente da região extra (η
3
).
MODELO MATEMÁTICO
Equação de Helmholtz normalizada.
A estrutura em fibra óptica fracamente guiada com quatro
regiões, é vista na Figura.-1 (a,b).
1.a – Estrutura Real
1.b – Estrutura Equivalente.
Figura.-1 – Fibra óptica fracamente guiada com quatro regiões.
A fibra óptica apresentada na figura-1ª, como é fracamente
guiada, a análise dos modos de Plasmon é feita pela estrutura
equivalente, mostrada na Figura.-1.b. Os modos de Plasmon
são modos TM
01
, com simetria angular e evanescentes, pois,
(Real (nef) ≥ Real (η
max
)), portanto, satisfazem em cada
região, i=(1,m,3,4), vide Figura.-1.b, as seguintes equações de
Helmholtz em coordenadas cilíndricas circulares:
(
)
( ) ( )
0
2
=−
rRr
dr
rdR
r
dr
d
r
ii
i
α
(
)
4,3,,1 mi
=
r = (K
0
r) raio normalizado
h = (K
0
h) espessura normalizada da cobertura. (1)
Cuja solução fornece:
E
zi
(r,z) = A R
i
(r) e
-jβz
i=(1,m,3,4)
A equação (1) é a adequada ao cálculo dos modos
evanescentes nos sistemas circulares, onde:
Como são modos evanescentes da estrutura têm-se:
Consequentemente:
A equação (1) aplicada à Figura.-1.b, apresenta as seguintes
soluções: Considere o raio normalizado (K
0
r) = r.
Região dielétrica (η
4
): R
4
( α
4
r) = A
4
F
40
( α
4
r)
Cobertura extra (η
3
): R
3
((K
0
r)α
3
) = A
3
K
0
(α
3
r) + B
3
I
0
(α
3
r)
Filme metálico (Є
m
): R
m
((α
m
r) = A
m
K
0
(α
m
r) + B
m
I
0
(α
m
r)
Região do núcleo (η
1
): R
1
(α
1
r) = A
1
F
10
(α
1
r)
Cobertura-2
Cobertura-1
Núcleo
Filme
Casca
d
(K
0
r)
η
núcleo
η
4
= η
0
η
3
-ε
m
=η
2
2
η
1
Cobertura-2
Cobertura-1
Filme
(K
0
r)
η
1
η
4
η
3
ε
m
Casca
fator
(Y+fator)Y
β K
0
ηef⋅ ηef ηef
r
jηef
i
− 4
o
quadrante
(
)
K
i
K
0
η
i
⋅ i 1 3, 4,( ) Dielétricos( ) 3( )
K
m
K
0
ε
rm
−⋅ ε
rm
ε
mr
j ε
mi
⋅+
( )
FilmeMetálico( )
K
ti
( )
2
K
0
( )
2
− ηef
2
η
i
( )
2
−
⋅
K
ti
j K
0
⋅ α
i
⋅ α
i
nef
2
η
i
( )
2
− Dielétricos( )
4( )
K
tm
j K
0
⋅ α
m
⋅ α
m
nef
2
ε
rm
+ FilmeMetálico( )
2(
)
Z
0
µ
0
ε
0
120π
H
θi
r z,( )
j
Z
0
η
i
(
)
2
α
i
dE
zi
dr
6(
)
Ligados ou Fuga pela Cobertura
Fuga pelo Núcleo
I
0
α
1
r⋅
(
)
⋅
K
0
α
1
r⋅
( )
⋅
F
10
α
1
r⋅
(
)
⋅
Ligados ou Fuga pelo Núcleo
Fuga pela Cobertura
F
40
α
4
r⋅
(
)
⋅
K
0
α
4
r
⋅
(
)
⋅
5
(
)
I
0
α
4
r
⋅
(
)
⋅
107
8(
)
Os resultados desta análise são, portanto correspondentes aos
valores normalizados r = (K
0
r).
Cálculo das componentes dos campos eletromagnéticos
tangenciais as fronteiras.
Os campos elétricos e magnéticos tangentes às respectivas
fronteiras da estrutura, Figura.-1.b, são (E
zi
, H
θi
), que com
auxílio de (1) se escrevem.
r ≥ (a+d+h) k
o
E
z4
(r) = A
4
F
40
(α
4
r)
(a+d+h) k
o
≥ r ≥ (a+d) k
o
E
z3
(r) = A
3
Ko(α
3
r)+B
3
I
0
(α
3
r)
(a+d) k
o
≥ r ≥ a K
o
E
zm
(r) = A
m
K
o
(α
m
r)+B
m
I
0
(α
m
r)
r ≤ a K
o
E
z1
(r) = A
1
F
10
(α
1
r)
Onde: F
40
(α
4
r) e F
10
(α
1
r) são dados em (5) e (6).
Os campos magnéticos são:
r ≥ (a+d+h) k
o
( ) ( )
rF
Z
jA
rH
i 441
4
2
4
0
4
α
α
η
θ
=
(a+d+h) k
o
≥ r ≥ (a+d) k
o
( ) ( ) ( )
[ ]
rIBrKA
Z
j
rH
z 313313
3
2
3
0
αα
α
η
θ
+−
=
r ≤ a K
o
( ) ( )
rF
Z
jA
rH
i 111
1
2
1
0
1
α
α
η
θ
=
Onde:
Ligados ou fuga pelo núcleo → - K
1
(α
4
r)
F
41
(α
4
r) =
Fuga pela cobertura → I
1
(α
4
r)
e
Ligados ou fuga pela cobertura → I
1
(α
1
r)
F
11
(α
1
r) =
Fuga pelo núcleo → - K
1
(α
1
r)
Cálculo da equação característica dos modos de Plasmon.
A equação característica dos modos de Plasmon, Figura.-1.b,
é obtida pelo casamento dos campos nas respectivas fronteiras
normalizadas, ou seja:
Denominando:
r
2
= (a+d+h) k
o
r
2
= (a+d) k
o
i
i
i
n
r
α
2
=
(
)
4,3,,1 mi
=
vide eq. (2,3)
r
a
= a k
o
Resulta no sistema matricial:
A solução procurada é o valor de nef = (nef
r
– j nef
i
) que anula
o determinante da matriz (9). Trata-se, portanto, de um
problema relacionado a duas equações transcendentais, não
lineares:
Real [det] = 0
Imag [det] = 0
RESULTADOS
Os resultados, originais, apresentados, neste trabalho, são
obtidos com a participação do dielétrico extra, sobre o filme
metálico, vide Figura.-1.b.
A presença deste dielétrico esclareceu a dependência dos
respectivos modos de Plasmon com os meios dielétricos
fronteiriços ao filme condutor, evidenciando, que o modo de
fuga pela cobertura depende da espessura do dielétrico extra
ሺ
ߟ
ଷ
ሻ
em contato com a face externa do filme. Enquanto que os
modos ligados e o de fuga pelo núcleo não sofrem,
qualitativamente, influencia da espessura do dielétrico (η
3
)
sobre o filme condutor.
A estrutura analisada, Figura. 1.b, é constituída por uma fibra
de raio normalizado (K
0
a)=8 e η
1
=1.515. O filme metálico
utilizado foi a prata, com Є
rm
=19+j0.53, variando-se (K
0
d) de
0 a 1. A cobertura extra, η
3
=1.5, de espessura normalizada
(K
0
h) assumiu valores entre 0.001 e 10, o valor de (K
0
h) =10 é
considerado infinito. A região da cobertura da estrutura,
η
4
=1,53, é considerada de extensão infinita.
A análise tem início pelos cálculos dos valores assimptóticos
de nef. Isto é, os valores nef = (nef
r
– j nef
i
) quando o raio do
núcleo da fibra tende ao infinito (a → ∞). Os valores
assimptóticos dependem exclusivamente das regiões
dielétricas fronteiriças ao filme condutor (η
1
=1.515 e η
3
=1.5),
de acordo com [5, 6].
( )
pm
mipmmr
pr
coassimptótinef
εε
εεεε
ε
−
+−
=
22
(10)
( )
pm
pmi
r
i
nef
coassimptótinef
εε
εε
−
=
2
2
1
Onde
(
)
mimrm
j
εεε
+=
permissividade do filme condutor
p
ε
; p=1 região do núcleo e p=3 região da cobertura extra.
F
10
r
ca
(
)
γ
1
F
11
r
ca
( )
0
0
0
0
K
0
α
m
r
a
(
)
−
γ
m
K
1
α
m
r
a
( )
−
K
0
α
m
r
1
( )
γ
m
K
1
α
m
r
1
( )
0
0
I
0
α
m
r
a
(
)
−
γ
m
I
1
α
m
r
a
( )
I
0
α
m
r
1
( )
γ
m
− I
1
α
m
r
1
( )
0
0
0
0
K
0
α
z
r
1
( )
−
γ
z
K
1
α
z
r
1
( )
K
0
α
z
r
1
( )
γ
z
K
1
α
z
r
2
( )
0
0
I
0
α
3
r
1
( )
−
γ
z
− α
z
r
1
( )
I
0
α
z
r
1
( )
γ
z
− I
1
α
z
r
2
( )
0
0
0
0
F
40
r
2
( )
−
γ
4
F
41
r
2
( )
A
1
A
m
B
m
A
3
B
z
A
4
⋅ 0=
γ
9( )
108
Os valores assimptóticos da estrutura com o filme de prata
analisada neste trabalho, calculados por (10) são:
(
)
( )
210053,3616,1
11099,2597,1
3
3
−×−=
−×−=
−
−
soluçãojnef
soluçãojnef
Com estes valores assimptóticos de nef foram obtidas as
curvas de nef = (nef
r
– j nef
i
), função das espessuras do filme
(d) e da cobertura (h) mostradas nos gráficos 1, 2 e 3
As análises dos modos Simétricos e Assimétricos ligados (S
b
e
a
b
) são mostradas nos gráficos 1a e 1b. O comportamento do
η
ef
r
e
η
ef
i
para espessura da cobertura extra (
η
3
) de 0,01 a
2,44, são vistos nos gráficos 1.a e 1.b, enquanto que os de h
superiores a 4, são mostrados nos gráficos 1c e 1d. Estes
resultados são semelhantes aos encontrados na análise das
estruturas convencionais de três regiões [4,7]. O que
caracteriza a não influência da cobertura extra sobre os
referidos modos.
Grafico 1a – (η
efr
*
k
o
d) função de h. Os modos (S
b
e a
b
) se comportam de
forma convencional.
Gráfico 1b – (η
efi
x k
o
d) função de h. Os modos (S
b
e a
b
) se comportam de
forma convencional.
Gráfico 1c – (η
efr
*
k
o
d) função de h. Os modos (S
b
e a
b
) se comportam de
forma convencional.
Gráfico 1d – (η
efi
x k
o
d) função de h Os modos (S
b
e a
b
) se comportam de
forma convencional.
A análise dos modos de fuga pela cobertura (l
c
) é mostrada no
gráfico 2.a (
η
ef
r
) e 2.b (
η
ef
i
). A parte real da permissividade
efetiva deste modo (
η
ef
r
), apresentou um comportamento
diferente do convencional, conforme mostrada no gráfico 2.a,
referente a estrutura de três regiões, pois, o
η
ef
r
deste modo, é
crescente com a diminuição de (K
0
d). Comprova-se, portanto
a influência da cobertura extra (
η
3
) em contato com o filme
condutor, no modo de fuga pela cobertura. O que leva a crer
que, a energia evanescente se concentra somente na região
dielétrica sobre o filme condutor não incidindo na região (
η
4
),
consequentemente, descaracterizando a fuga pela cobertura. O
η
ef
i
, deste modo, é apresentado no gráfico 2.b. Este parâmetro
é, qualitativamente, idêntico ao das estruturas constituídas por
três regiões.
1,50
1,70
1,90
2,10
2,30
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
Ko*d
h = 2,44 ab h = 2,44 Sb
h = 1,2 ab h = 1,2 Sb
h = 0,6 ab h = 0,6 Sb
h = 0,2 ab h = 0,2 Sb
h = 0,01 ab h = 0,01 Sb
S
b
a
b
0,00E+00
5,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
2,50E-02
3,00E-02
3,50E-02
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Ko*d
h = 2,44 Sb h = 2,44 ab
h = 1,2 Sb h = 1,2 ab
h = 0,6 Sb h = 0,6 ab
h = 0,1 Sb h = 0,1 ab
h = 0,01 Sb h = 0,01 ab
a
b
S
b
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Ko*d
h = 10,0 ab h = 10,0 Sb
h = 4,0 ab h = 4,0 Sb
0,00E+00
2,00E-03
4,00E-03
6,00E-03
8,00E-03
1,00E-02
1,20E-02
1,40E-02
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Ko*d
h = 10,0 Sb h = 4,0 Sb
h = 10,0 ab h = 4,0 ab
a
b
S
b
a
b
S
b
109
Grafico 2.a – (η
efr
x k
o
d) função de h do modo fuga pela cobertura ( l
c
).
Grafico 2.b – (η
efi
x k
o
d) função de h do modo fuga pela cobertura ( l
c
).
Os modos de fuga pelo núcleo (l
n
) são analisados nos gráficos
3.a (ηef
r
) e 3.b (ηef
i
). Para valores da espessura normalizada
entre 0.01 e 0.1, a permissividade efetiva do referido modo
(ηef
r
e ηef
i
) apresentou um comportamento similar ao da
estrutura constituída por três regiões [4,7]. Para valores de
espessura superiores a 4.0, os parâmetros da permissividade
efetiva se comportaram conforme o gráfico 3.c e 3.d, também
coerenre com a estrutura clássica de três regiões. Por
conseguinte, para quaisquer espessuras do dielétrico extra,
estes parâmetros não sofrem a influência da respectiva região
extra sobre o filme condutor.
Grafico 3.a – (η
efr
x k
o
d) função de h, entre 0,01 e 0,1, do modo de fuga pelo
núcleo (l
n
).
Grafico 3.b – (η
efi
x k
o
d) função de h, entre 0,01 e 0,1, do modo de fuga pelo
núcleo (l
n
).
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Ko*d
h = 10,0 h = 0,25
h = 0,1 h = 0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Ko*d
h = 10,0 h = 0,25
h = 0,1 h = 0,01
0,0034
0,0039
0,0044
0,0049
0,0054
0,0059
0,0064
0,0069
0,0074
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Ko*d
h = 0,1 h = 0,075
h = 0,05 h = 0,025
h = 0,01
0,0034
0,0039
0,0044
0,0049
0,0054
0,0059
0,0064
0,0069
0,0074
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Ko*d
h = 0,1 h = 0,075
h = 0,05 h = 0,025
h = 0,01
110
Grafico 3.c – (η
efr
x k
o
d) função de h, entre 4,1 e 10, do modo de fuga pelo
núcleo (l
n
).
Grafico 3.d – (η
efi
x k
o
d) função de h, entre 4,1 e 10, do modo de fuga pelo
núcleo (l
n
).
VALIDAÇÃO DO MÉTODO
A validação do método desenvolvido neste artigo foi feita
confrontando-se os resultados obtidos, neste artigo, com os da
estrutura com três regiões, publicados em [4,7]. Para isso, fez-
se com que a espessura do dielétrico extra sobre o filme
condutor tendesse ao infinito (h → ∞). Conseqüentemente,
com essa consideração a estrutura se identifica com a de três
regiões, uma vez que com essas dimensões, a cobertura se
confunde com a região dielétrica extra η
3
= η
4
= 1.5.
As curvas nef
r
e nef
i
função da espessura do Filme (K
0
d) e da
cobertura dielétrica extra (K
0
h) para os modos ligados, são
vistos nos gráficos 4.a e 4.b. Enquanto que, os gráficos 5.a e
5.b se referem aos valores de nef
r
e nef
i
para os modos de fuga
pela cobertura e pelo núcleo. Nos gráficos 5a e 5b, como a
variação do nef
r
e nef
i
em função de h é mínima, as curvas de
sobrepõem. Os valores assinalados nas curvas são aqueles
fornecidos por [4,7].
Como podem ser observados nos resultados dos gráficos, os
valores confrontados entre as análises de [4,7] e os deste
artigo se confundem perfeitamente.
Gráfico 4.a – A parte real do índice dos modos ligados (a
b
e S
b
) versus a
espessura normalizada do filme.
Gráfico 4.b – A parte imaginária do índice dos modos ligados (a
b
e S
b
) versus
a espessura normalizada do filme.
1,480
1,500
1,520
1,540
1,560
1,580
1,600
1,620
1,640
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Ko*d
h = 10,0 h = 7,0
h = 5,0 h = 4,2
0,0000
0,0020
0,0040
0,0060
0,0080
0,0100
0,0120
0,0140
0,0160
0,0180
0,0200
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Ko*d
h = 10,0 h = 7,0
h = 5,0 h = 4,2
1,53
1,58
1,63
1,68
1,73
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
Ko*d
h = 10,0 ab h = 10,0 Sb
h = 1,2 ab h = 1,2 Sb
h = 0,01 ab h = 0,01 Sb
S
b
a
b
0,00E+00
2,00E-03
4,00E-03
6,00E-03
8,00E-03
1,00E-02
1,20E-02
1,40E-02
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Ko*d
h = 10,0 Sb
h = 10,0 ab
h = 0,1 Sb
h = 0,1 ab
h = 0,01 Sb
h = 0,01 ab
S
b
a
b
111
Gráfico 5.a – A parte real do índice dos modos de Fuga pelo núcleo (l
n
) e pela
cobertura (l
c
) versus a espessura normalizada do filme.. As linhas sólidas
representam o modo fuga pelo núcleo e as linhas pontilhadas representam o
modo fuga pela cobertura.
Gráfico 5.b – A parte imaginária do índice dos modos de Fuga pelo núcleo
(l
n
) e pela cobertura (l
c
) versus a espessura normalizada do filme. As linhas
sólidas representam o modo fuga pelo núcleo e as linhas pontilhadas
representam o modo fuga pela cobertura.
CONCLUSÃO
Os resultados originais apresentados neste artigo mostraram a
dependência dos modos de Plasmon com os dielétricos
fronteiriços ao filme condutor, evidenciado pela presença do
dielétrico extra. Destes, ficou claro que o modo de fuga pela
cobertura, é o fortemente influenciado pela camada dielétrica
extra que superpõe o filme, o comportamento do nefr deste
modo, é influenciado pela espessura da referida camada. Já os
modos ligados e de fuga pelo núcleo não são
descaracterizados pela presença do dielétrico extra e se
comportam de forma convencional ao da estrutura constituída
por três regiões[4,7].
AGRADECIMENTOS
Os autores são muito agradecidos ao Dr. José Ricardo
Bergmann (CETUC/PUC/RJ) por sua inestimável
contribuição e ao Prof. Luiz Antonio Palmeira Monteiro
(UVA/RJ), pelo apoio, incentivo e confiança fornecidos.
REFERÊNCIAS
[1] R. E. Collin – “Field Theory of Guided Waves” – Mac GraW-Hill Book
Company, 1960, Chapter -11, pp.458
[2] A. Sapienza e F. Guimarães – “Detailed Analysis of the surface Waves
Guided by a thin Metal Film based en the Transverse Ressonance Method
– International Microwave and Optoelectronics Conference (IMOC –
2005). Publicação em software do IMOC-2005.
[3] S.J. Al-Bader and M. Intar, “Azimuthally uniform surface plasma modes
in thin metallic cylindrical shell”, IEEE, Journal of Quantum Electronics,
Vol.28, no 2, pp. 525-533, February 1992.
[4] S.J. Al-Bader and M. Intar, “TM polarized modes on metal coated
dielectric cylinders”, Journal of Lightwave Tecnology, Vol.10, no 7, pp.
865-872, July 1992.
[5] J.J Burke, G. I. Stegeman and T. Tamir, “Surface – Polariton – like waves
guided by thin, lossy metal films” – Physical Review-B, volume 33,
number z, 1986, pp:5186-5201
[6] Marcelo F. Guimarães e Antonio Sapienza, “Detailled analysis of the
surface plasmon waves guided by a thin metal film based in the
transverse ressonance method” – Proceeding SBMO – 2005 – IEEE-MTT
International microwaves and optoelectronic conference, Vol.1, pp:162,
167, July 2005.
[7] Rafael A. N. Rocha, Jhonatan P. Farias, Flávia S. Ferrari e Antonio
Sapienza – Análise de Plasmon em um filme metálico cobrindo uma fibra
óptica fracamente guiada – Projeto de Graduação – UERJ – Junho-2007.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
