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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
ILCA MARIA FERRARI GHIGGI
CONTROLE DE SISTEMAS COM
ATRASOS NO TEMPO NA PRESENÇA
DE ATUADORES SATURANTES
Porto Alegre
2008
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ILCA MARIA FERRARI GHIGGI
CONTROLE DE SISTEMAS COM
ATRASOS NO TEMPO NA PRESENÇA
DE ATUADORES SATURANTES
Tese de doutorado apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul como
parte dos requisitos para a obtenção do título de
Doutor em Engenharia Elétrica.
Área de concentração: Automação e Instrumenta-
ção Eletro-Eletrônica
ORIENTADOR: Prof. Dr. João Manoel Gomes
da Silva Jr.
Porto Alegre
2008
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ILCA MARIA FERRARI GHIGGI
CONTROLE DE SISTEMAS COM
ATRASOS NO TEMPO NA PRESENÇA
DE ATUADORES SATURANTES
Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do
título de Doutor em Engenharia Elétrica e apro-
vada em sua forma final pelo Orientador e pela
Banca Examinadora.
Orientador:
Prof. Dr. João Manoel Gomes da Silva Jr., UFRGS
Doutor pela Universidade Paul Sabatier - Toulouse, França.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Pedro Luis Dias Peres, UNICAMP
Doutor pela Universidade de Paul Sabatier – Toulouse, França.
Prof. Dr. Daniel Ferreira Coutinho, PUCRS
Doutor pela Universidade Federal de Santa Catarina – Florianópolis, Brasil.
Prof. Dr. Alexandre Sanfelice Bazanella, UFRGS
Doutor pela Universidade Federal de Santa Catarina – Florianópolis, Brasil.
Prof. Dr. Walter Fetter Lages, UFRGS
Doutor pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica – São José dos Campos,
Brasil.
Prof. Dr. Renato Ventura Bayan Henriques, UFRGS
Doutor pela Universidade Federal de Minas Gerais – Belo Horizonte, Brasil.
Coordenador do PPGEE:
Prof. Dr. Arturo Suman Bretas
Porto Alegre, junho de 2008.
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a meu esposo Emerson e aos meus pais, em especial pela dedi-
cação e apoio em todos os momentos difíceis.
AGRADECIMENTOS
Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, PPGEE, pela oportunidade
de realização de trabalhos em minha área de pesquisa.
Ao meu orientador João Manoel Gomes da Silva Jr., por ter transmitido seus ensina-
mentos, pela paciência e pelas orientações feitas até o presente momento.
Aos membros da Banca Prof. Dr. Pedro Luis Dias Peres, Prof. Dr. Daniel Ferreira
Coutinho, Prof. Dr. Alexandre Sanfelice Bazanella , Prof. Dr. Walter Fetter Lages, Prof.
Dr. Renato Ventura Bayan Henriques, Prof. Dr. Carlos Eduardo Pereira e Prof. Dr.
Romeu Reginatto, por terem aceito ao convite, feito por mim e pelo Prof
o
João Manoel,
para compor a banca de desfesa da tese.
Aos colegas do PPGEE pelo seu auxílio nas tarefas desenvolvidas durante o curso e
apoio nas horas difíceis.
À CAPES pela provisão da bolsa de doutorado.
E principalmente a Deus, por ter me feito filha perfeita.
RESUMO
Neste trabalho, aborda-se o problema de estabilização de sistemas lineares com atra-
sos nos estados e sujeitos a ação de atuadores saturantes. Em particular, são propostos
métodos para a síntese de leis de controle estabilizantes do tipo realimentação de esta-
dos, realimentação dinâmica de saída, bem como para a síntese de compensadores de
“anti-windup” estáticos e dinâmicos.
Como objetivo de síntese consideram-se duas possibilidades, que o sistema esteja livre
ou não de perturbações. No primeiro caso, determina-se uma lei de controle estabilizante
de tal forma a maximizar um conjunto de condições iniciais admissíveis D. No caso do
conjunto D ser dado, a lei de controle estabilizante que se determina, deve garantir esta-
bilidade assintótica do sistema em malha-fechada para toda condição inicial pertencente
a D. No segundo caso, considerando-se os problemas de atenuação e tolerância à per-
turbação, as leis de controle são obtidas com o intuito de minimizar o ganho-L
2
entre a
perturbação e a saída regulada do sistema ou de maximizar o limite superior da norma L
2
das perturbações admissíveis, para as quais garante-se que as trajetórias do sistema em
malha-fechada permaneçam limitadas.
Condições locais e globais de estabilização são obtidas a partir da teoria de Lyapunov
e da modelagem por zona-morta da saturação, com a conseqüente aplicação de uma condi-
ção de setor generalizada. Em se tratando de sistemas contínuos, para que as condições
obtidas sejam dependentes do atraso, combinam-se estas ferramentas com a representação
do sistema através de sistema descritor. Já no caso de sistemas discretos, combinam-se es-
tas duas ferramentas com a utilização do Lema de Finsler. A utilização destas ferramentas
possibilita que as condições obtidas sejam na forma de desigualdades matriciais lineares
(LMI’s) ou quase lineares, permitindo assim, a formulação de problemas de otimização
convexos.
Palavras-chave: Sistemas de controles lineares, atraso no tempo, saturação, “anti-
windup”, controladores dinâmicos, LMIs.
ABSTRACT
In this work, we deal with the problem of stabilization of linear systems with delayed
state and saturating inputs. Specifically, methods are proposed for the synthesis of stabi-
lizing control laws of state feedback and dynamic output feedback types, as well as for
the synthesis of static and dynamic anti-windup compensators.
Regarding synthesis objectives two possibilities were considered, that the system is
free or not of disturbances. In the first case, the stabilizing control law is computed
considering the maximization of the set of admissible initial conditions D. In the case
the set D is given, this stabilizing control law should guarantee asymptotic stability of
the closed-loop system. In the second case, considering the problems of tolerance and
disturbance attenuation, the control laws are proposed in order to minimize the L
2
gain
between to disturbance and the regulated output of system, or in order to maximize the
bound on the admissible disturbances for which the trajectories are bounded.
Local and global conditions for stabilization are obtained from the theory of Lya-
punov and the modeling of the saturation by means of deadzone nonlinearities and the
consequent application of a modified sector condition. For continuous systems, in order
to obtain delay dependent conditions, these tools are combined with descriptor approach.
In the case of discrete-time systems, these two tools are combined with the utilization of
Finsler’s Lemma. The use of these leads to the conditions in the form of Linear Matrix
Inequalities (LMI’s) or almost linear, allowing the formulation of convex optimization
problems.
Keywords: linear control systems, time delay, saturation, anti-windup, dynamic con-
trollers, LMI’s.
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
LISTA DE SíMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 RESULTADOS PRELIMINARES E
FERRAMENTAS MATEMÁTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Estabilidade de Sistemas com Atrasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Teoremas de Estabilidade no Sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Condições de Estabilidade Dependentes x Independentes do Atraso . . . . 21
2.1.3 Estabilidade via Lema de Finsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4 Estabilidade Entrada-Estado do Sistema com Perturbação . . . . . . . . . 25
2.1.5 Estabilidade Entrada-Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Estabilidade Absoluta de Sistemas do tipo Lure . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Problema de Lure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Modelagens de Sistemas com Saturação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Modelagem Politópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Modelagem por Não-linearidade do tipo Zona-morta . . . . . . . . . . . 31
3 ESTABILIDADE DE SISTEMAS COM ATRASOS E SATURAÇÃO DE
CONTROLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Breve Estado da Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Análise de Estabilidade e Estabilização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Abordagem Proposta em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000) 37
3.2.2 Abordagem Proposta em (CAO; LIN; HU, 2002) . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Problema de Tolerância e Atenuação à Perturbação . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Abordagem Proposta em (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003) . . . . . . 43
3.4 Problema de “Anti-windup” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 Abordagem Proposta em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH;
GARCIA, 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 ESTABILIZAÇÃO POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS . . . . . . . 53
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Estabilização Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Condições Independentes do Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Condições Dependentes do Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.3 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Tolerância e Atenuação de Perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1 Resultados Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.2 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Exemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 ESTABILIZAÇÃO POR REALIMENTAÇÃO DINÂMICA
DE SAíDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2 Controlador Dinâmico Não Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.2 Síntese de Realimentação Dinâmica Estabilizante . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.3 Problemas de Optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Atenuação e Tolerância a Perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.1 Resultados Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.2 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Exemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 SíNTESE DE COMPENSADORES DE “ANTI-WINDUP” . . . . . . . . 92
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 “Anti-Windup” Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.2 Resultados Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.3 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.4 Exemplo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 “Anti-Windup” Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.2 Resultados Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.3 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.4 Exemplo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7 ESTABILIZAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS
COM ATRASOS VARIANTES NO TEMPO E
SATURAÇÃO NOS ATUADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Estabilização de Sistemas Discretos com Atrasos Variantes
no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.1 Caso Atrasos Variantes no Tempo e Lei de Controle v
k
= Kx
k
+ K
d
x
k−
τ
k
. 109
7.3.2 Caso Atrasos Variantes no Tempo e Lei de Controle v
k
= Kx
k
. . . . . . . 113
7.4 Estabilização de Sistemas Discretos com Atraso Incerto e Invariante no
Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5.1 Maximização do Conjunto C
φ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5.2 Maximização de
¯
h−h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.6 Exemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1 Perspectivas de Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2 Publicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Conexão realimentada de um sistema linear e um elemento não-linear. 28
Figura 2: Gráficos de setor de não-linearidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 3: Função zona-morta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 4: Comportamento do sistema em malha-fechada utilizando controla-
dor C-1 ou C-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 5: Comportamento dinâmico do sistema em malha-fechada utilizando
os controladores C-3 e C-4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Figura 6: Esquema “anti-windup”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Figura 7: Comportamento do sistema com e sem compensador de “anti-windup”.106
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Influência do atraso no raio do conjunto B
τ
(
δ
) para o caso indepen-
dente do atraso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Tabela 2: Influência do atraso no raio do conjunto B
2
τ
(
δ
) para o caso depen-
dente do atraso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Tabela 3: Influência do atraso
τ
= 1.5 no raio do conjunto B
τ
(
δ
). . . . . . . . 73
Tabela 4: Influência do atraso
τ
= 1 no raio do conjunto B
τ
(
δ
). . . . . . . . . 74
Tabela 5: Influência do atraso
τ
= 1.5 no raio do conjunto B
τ
(
δ
). . . . . . . . 74
Tabela 6: Relação do atraso com a norma L
2
e com o ganho-L
2
. . . . . . . . . 74
Tabela 7: Influência do atraso no raio do conjunto B
τ
(
δ
). . . . . . . . . . . . . 87
Tabela 8: Relação entre o limite para a norma L
2
e o limite superior para o
ganho-L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Tabela 9: Relação entre a perturbação e o ganho-L
2
. . . . . . . . . . . . . . . 100
Tabela 10: Tabela comparativa entre o limite para perturbação admissível (
ϖ
) e
a atenuação à perturbação (
√
γ
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Tabela 11: Relação entre intervalo de atraso e raio da bola de estabilidade do
Exemplo 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Tabela 12: Relação entre o de atraso e raio da bola de estabilidade do Exemplo 7. 117
LISTA DE SÍMBOLOS
= definido como.
∀ para todo.
∈ pertence ao.
⊂ subconjunto de.
→ tende para.
⇒ implica.
Σ somatório.
IA independente do atraso.
DA dependente do atraso.
R conjunto dos números reais.
R
n
conjunto de vetores reais de dimensão n.
R
m×n
conjunto das matrizes reais de dimensão m ×n.
ℵ conjunto dos números naturais.
I matriz identidade de dimensão apropriada.
I
n
matriz identidade de dimensão n ×n.
A
matriz transposta de A.
A > 0 matriz simétrica definida positiva.
A > B significa que A −B é uma matriz simétrica definida positiva.
Diag(·) matriz diagonal com elementos da diagonal principal epecificados em (·).
λ
(P) autovalor da matriz P.
λ
max
(P) autovalor máximo da matriz P.
λ
min
(P) autovalor mínimo da matriz P.
¯
σ
(P) máximo valor singular da matriz P.
· norma vetorial Euclidiana.
.
c
norma do sup de uma função.
x
t
(·) corresponde a restrição de x(·), no instante t, ao intervalo [t −
τ
,t], transladado
a [−
τ
,0], ou seja, x
t
= x(t +
θ
), ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
x
t
0
c
supremo da norma x(t
0
+
θ
), sendo
θ
∈ [−
τ
,0].
C
τ
espaço de Banach das funções vetoriais continuas x
t
0
, mapeadas do intervalo
[−
τ
,0] em ℜ
n
, ou seja, C ([−
τ
,0], ℜ
n
).
C
ν
τ
conjunto definido por C
v
τ
= {
φ
∈ C
τ
; ||
φ
||
c
< v, v > 0}.
L
q
2
espaço das funções quadrado integráveis, definidas de [0,∞) em ℜ
q
, ou seja,
x
2
2
=
∞
0
x(t)
2
dt.
∂
B fronteira do conjunto B.
X
0
região de atração, X
0
= {
φ
∈ C
τ
;lim
t→∞
x(t,
φ
) = 0}.
D conjunto de condições iniciais.
B
τ
(
δ
) conjunto das condições iniciais admissíveis, i.e., B
τ
(
δ
) = {
φ
∈ D;
φ
(
θ
)
2
<
δ
, ∀
θ
∈ [−
τ
,0]}.
E (P,
ρ
) conjunto elipsoidal, i.e., E (P,
ρ
) = {x ∈ ℜ
n
;x
Px ≤
ρ
}.
S considerando-se matrizes K e G ∈R
m×n
define-se, S = {x ∈R
n
;|(K −G)
(i)
x|<
u
0
(i)
, i = 1,..., m}
φ
k
conjunto dos termos da seqüência vetorial
φ
k
, no instante k, definida no intervalo
[−
τ
,0] em ℜ
n
, ou seja,
φ
k
= {
φ
(k −
τ
),
φ
(k −
τ
+ 1),...,
φ
(k)}.
C
τ
é o espaço das seqüências vetorias
φ
k
, mapeadas do intervalo [−
τ
,0] em ℜ
n
, ou
seja, C
τ
([−
τ
,0], ℜ
n
).
C
ν
τ
conjunto definido por C
v
τ
= {
φ
∈C
τ
; ||
φ
k
||
d
< v, v > 0}.
X
0
k
região de atração, X
0
k
= {
φ
∈C
τ
;lim
k→∞
x
k
(
φ
) = 0}.
D
k
conjunto de condições iniciais.
∆
φ
k
conjunto dos termos da variação da seqüência vetorial
φ
k
, ou seja,{
φ
(k −
τ
) −
φ
(k −
τ
−1),
φ
(k −
τ
+ 1) −
φ
(k −
τ
),...,
φ
(k) −
φ
(k −1)}.
φ
k
d
supremo da norma
φ
(k − j) , sendo −
τ
≤ j ≤0.
co{·} envelope de um conjunto convexo.
sat(·) função saturação definida em (22).
∗ o asterisco, utilizado em matrizes simétricas, representa o respectivo elemento
transposto da matriz.
• o ponto, utilizado em matrizes, representa que o elemento aí figurado não tem
relevância numérica.
✷ designação de fim de demonstração.
14
1 INTRODUÇÃO
Com o advento da Revolução Industrial, a tecnologia passou cada vez mais a fazer
parte da vida do ser humano. Este, por sua vez, exige que essas tecnologias se desen-
volvam, com o objetivo de trazer-lhe maior comodidade, segurança, informação, entre-
tenimento e comunicação, ou seja, para que produzam uma reestruturação do mundo do
trabalho e do lazer. Com isso, a indústria se vê obrigada a lançar mão de equipamentos
de alta tecnologia visando a busca de rendimento, produtividade, confiabilidade e de-
sempenho. Para que estes equipamentos atinjam o objetivo esperado, faz-se necessário
o desenvolvimento de técnicas de controle que levem em conta todas as particularidades
do sistema físico envolvido. Neste sentido, destaca-se o interesse pelo estudo de sistemas
físicos que estejam sujeitos a atrasos no tempo e saturação nos atuadores.
A saturação, em um sistema físico, nada mais é do que uma restrição de ordem tec-
nológica, física ou mesmo de segurança. Quando essa restrição é modelada para construir
o modelo matemático do sistema, ela se traduz na limitação do sinal de controle, entre
valores máximos e mínimos. Também pode se traduzir em limitações sobre as variáveis
de estado do sistema. O problema de restrições sobre a amplitude do sinal de controle
se faz presente em todos os sistemas de controle industriais. Como exemplos citam-
se saturações que ocorrem em: válvulas proporcionais, atuadores de aquecimento e/ou
resfriamento, amplificadores eletrônicos e circuitos de acionamento de motores. Mui-
tos problemas indesejáveis podem surgir em um sistema de controle devido à saturação.
Quando um sistema satura, ele passa a se comportar como se estivesse operando em malha
aberta. O comportamento não-linear pode causar uma degradação significativa no desem-
penho do sistema, tanto em regime permanente, com a perda do seguimento de referência
ou a não atenuação assintótica de perturbações constantes, como no período transitório,
com o aparecimento de respostas lentas e oscilatórias. Outro fato que se pode observar
caso tal não-linearidade não for levada em conta, é um efeito “windup” do controlador ou
ainda a ocorrência de ciclos limites, de instabilidade e de pontos de equilíbrio parasitas.
Por outro lado, o atraso no tempo é uma característica comumente encontrada em pro-
cessos biológicos, econômicos, físicos, químicos, fisiológicos, de dinâmicas populacio-
nais e ainda em diversos sistemas de engenharia, tais como sistemas mecânicos, sistemas
elétricos de potência, sistemas de telecomunicações, redes de comunicação de dados, etc.
A origem do atraso no tempo nestes sistemas pode ser intencional, quando é introduzido
de maneira a melhorar o desempenho do sistema, ou não intencional, quando o atraso
tem origem em uma característica intrínseca do sistema. É um fato bastante conhecido
que a presença de atraso no tempo em sistemas de controle freqüentemente causa ins-
tabilidade ou um desempenho indesejável (veja (KOLMANOVSKII; RICHARD, 1999),
(NICULESCU, 2001, vol. 269),(RICHARD, 2003) e suas referências).
A maioria dos sistemas citados acima, além de apresentarem atrasos no tempo, está
15
sujeita ainda a restrições nos atuadores. Tais fenômenos podem gerar conseqüências de-
sastrosas para o sistema de controle, como o surgimento de ciclos limites, pontos de
equilíbrio parasitas e instabilidade do sistema em malha-fechada. Dessa forma, o desen-
volvimento de técnicas de análise e síntese de sistemas de controle apresentando atrasos
e sujeitos à saturação nos atuadores tornou-se cada vez mais alvo de preocupação para
diversos pesquisadores, como se observa por exemplo nos seguintes trabalhos: (CHEN;
WANG; LU, 1988), (TISSIR; HMAMED, 1992), (OUCHERIAH, 1996), (NICULESCU;
DION; DUGARD, 1996), (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000), (CAO;
LIN; HU, 2002), (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003) e (TARBOURIECH; GOMES
DA SILVA JR.; GARCIA, 2004).
Com o objetivo de analisar a estabilidade destes sistemas, muitas são as abordagens
empregadas. Dentre elas, pode-se citar o critério de Popov, o qual fora utilizado in-
icialmente para sistemas do tipo SISO (“Single Input Single Output”) (GLATTFELDER;
SCHAUFELBERGER, 1983), o conceito de desigualdades de norma, que fora utilizado
por (CHEN; WANG; LU, 1988) e (TISSIR; HMAMED, 1992), o conceito de medidas
matriciais e a teoria da comparação, utilizada por (CHOU; HORNG; CHEN, 1989) no
projeto de compensadores de realimentação dinâmica, o conceito de modelagem politó-
pica do sistema, que fora utilizado por (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000),
(CAO; LIN; HU, 2002) e (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003). Em (TARBOURIECH;
GOMES DA SILVA JR.; GARCIA, 2004), foi apresentada uma nova metodologia para
tratar a saturação, utilizando uma condição de setor generalizada, a qual abrange a condi-
ção de setor clássica aplicada a sistemas não lineares. Esta nova metodologia permitiu a
formulação das condições de estabilidade na forma de Desigualdades Matriciais Lineares
(LMIs), mesmo levando-se em conta os efeitos não lineares provocados pela saturação
dos atuadores. A importância de tal formulação deve-se ao fato de que os algoritmos
empregados na solução de uma LMI são, em geral numericamente eficientes, como pode
ser visto em (BOYD et al., 1994).
Considerando-se a questão do atraso, dois tipos de condições de estabilidade podem
ser obtidos, um de estabilidade dependente e outro de estabilidade independente do atraso.
Outro fato importante em se tratando de estabilidade é o critério utilizado, ou seja, pode-
se utilizar o critério de Lyapunov-Razumikhin, que utiliza uma função de Lyapunov, e o
critério de Lyapunov-Krasovskii, que utiliza um funcional de Lyapunov (HALE; LUNEL,
1993).
Em relação à estabilidade de sistemas com atrasos e saturações, pode-se estar interes-
sado em garantir:
• Estabilidade global; ou seja, deseja-se que as trajetórias do sistema convirjam as-
sintoticamente para a origem, para toda condição inicial.
• Estabilidade local; ou seja, deseja-se que as trajetórias do sistema convirjam assin-
toticamente para a origem, para toda condição inicial definida em D. Neste caso,
define-se um domínio de estabilidade.
O fato de a estabilidade ser global/local pode depender muitas vezes do tipo de modela-
gem que é utilizado para a saturação, conforme poderá ser visto no Capítulo 2 da presente
tese.
Em se tratando de sistemas que estejam sujeitos à ação de perturbações, fica prati-
camente impossível determinar condições de estabilidade assintótica, pois a origem do
sistema pode deixar de ser um ponto de equilíbrio. Também as soluções do sistema per-
16
turbado podem não se aproximar da origem quando t → ∞, dessa forma, trata-se do pro-
blema da estabilidade entrada-estado. Considerando-se que a perturbação seja limitada
em norma L
2
, deve-se garantir que as trajetórias deste sistema permaneçam confinadas
em uma determinada região, a qual esta inclusa na região de atração do sistema. Outro
problema de interesse consiste na estabilidade entrada-saída. Neste caso, estuda-se o ní-
vel de atenuação e tolerância à perturbação que o sistema apresenta, também utilizando,
por exemplo, a norma L
2
.
Outro importante problema consiste em minimizar os efeitos do “windup” (diferença
entre os sinais de entrada do atuador e de saída do atuador) causados pela saturação.
Como conseqüência do “windup”, tem-se que o sistema deixa de responder de acordo
com o sinal de controle aplicado, provocando efeitos indesejáveis no desempenho do sis-
tema. A estratégia de “anti-windup” é a adição de uma estrutura (estática ou dinâmica)
a um sistema realimentado por uma lei de controle projetada, desprezando qualquer não-
linearidade do atuador, a fim de eliminar a diferença entre a entrada e a saída do atua-
dor, sempre que ela existir. A estratégia de “anti-windup” pode então ser vista como a
introdução de um laço adicional de realimentação para corrigir desvios entre os dois si-
nais. Este tópico é a base de muitos trabalhos, dentre as quais podem-se citar (TEEL;
KAPOOR, 1997), (KOTHARE; MORARI, 1999), (SAEKI; WADA, 2000), (CAO; LIN;
WARD, 2002), (GRIMM; TEEL; ZACCARIAN, 2003), (GRIMM et al., 2003), (GOMES
DA SILVA JR.; TARBOURIECH; REGINATTO, 2002), (GOMES DA SILVA JR.; TAR-
BOURIECH; GARCIA, 2004), (HU; TEEL; ZACCARIAN, 2005), (GOMES DA SILVA
JR.; TARBOURIECH, 2005).
A finalidade deste documento é apresentar um estudo sobre o problema de controle de
sistemas com atraso e saturação, bem como o desenvolvimento de novos métodos que pos-
sibilitem a determinação de estimativas da região de atração, a síntese de leis de controle
estabilizantes, assim como a síntese de malhas de “anti-windup” para sistemas com atra-
sos e saturação. Implicitamente nesta proposta está o uso de técnicas de LMIs, da utiliza-
ção da condição de setor generalizada e o uso de funcionais de Lyapunov-Krasovskii, na
busca de novas condições teóricas ou de condições teóricas menos conservadoras que as
encontradas atualmente na literatura.
O presente documento é dividido nos seguintes capítulos:
• Capítulo 2 - Apresenta-se uma breve revisão sobre os critérios de estabilidade para
sistemas com atrasos, utilizando-se funcionais de Lyapunov. Deseja-se, assim, ca-
racterizar os funcionais que serão utilizados para garantir as condições de estabi-
lidade e a obtenção de estimativas de região de atração. Além disto, enunciam-
se o Lema de Finsler, condições de estabilidade absoluta de sistemas tipo Lure,
baseadas nas condições de setor clássicas e na condição de setor generalizada, a
serem utilizadas para levar em conta os efeitos não lineares provocados pela satu-
ração de atuadores. Com o objetivo de obter-se condições dependentes do atraso
apresentam-se algumas formas utilizadas para reescrever o sistema, como exemplos
pode-se citar sistemas escritos com atrasos distribuídos, onde utiliza-se a fórmula
de Newton/Leibnitz e a representação através de sistema descritor. Apresenta-se
também um índice de atenuação e tolerância à perturbação, utilizando a norma L
2
.
Finalmente, apresentam-se duas maneiras utilizadas na literatura para modelar sis-
temas com saturação: politópica e por zona-morta (condição de setor).
• Capítulo 3 - Neste capítulo apresenta-se um breve estado da arte sobre a estabili-
dade de sistemas de controle lineares com atraso e saturação nos atuadores. Aqui
17
são formulados a maioria dos problemas que serão abordados nos Capítulos 4, 5,
6 e 7. Em particular, são apresentados os problemas de síntese, de tolerância e
atenuação à perturbação e de “anti-windup”. Para cada um dos problemas formula-
dos, alguns dos artigos encontrados na seção 3.1.1 são analisados criticamente, ou
seja, é mostrado como estes problemas são resolvidos, com a finalidade de poder
comparar com a resolução que se apresenta nos capítulos que seguem.
• Capítulo 4 - O objetivo deste capítulo é o de apresentar um estudo mais aprofun-
dado para o problema de síntese, definido no Capítulo 2, ou seja, dedica-se ao es-
tudo do problema de estabilização por realimentação de estados, tanto para o caso
independente como dependente do atraso, utilizando-se o funcional de Lyapunov-
Krasovskii, a função de Lyapunov-Rhazumikhin e a condição de setor generalizada,
apresentados no Capítulo 2. Para poder obter condições dependentes do atraso,
reescreve-se o sistema utilizando-se uma das formas apresentadas na seção 2.1.2.
As condições para estabilização globais e locais que se obtêm estão em forma de
LMIs. Em se tratando de estabilização local, determinam-se estimativas de regiões
de atração. Considerando que o sistema esteja sujeito à perturbação, faz-se uma
análise da estabilidade entrada-estado e da estabilidade entrada-saída. Para este
último caso, estuda-se o nível de atenuação e tolerância à perturbação que o sis-
tema apresenta. Utiliza-se a norma L
2
para ambas as análises. Com o objetivo
de mostrar-se como utilizar os Teoremas apresentados no Capítulo, formulam-se
problemas de otimização e apresentam-se exemplos.
• Capítulo 5 - Neste capítulo propõe-se uma metodologia de projeto de controladores
dinâmicos a fim de estabilizar o sistema por realimentação de saída. O controlador
que se projeta é do tipo não racional, ou seja, apresenta atrasos nos estados com
a adição de um termo estático de “anti-windup”, com os objetivos de amenizar os
efeitos negativos causados pela saturação dos atuadores e de aumentar a região de
atração do sistema em malha-fechada. Como considera-se a possibilidade de atua-
rem perturbações que sejam limitadas em norma L
2
, objetiva-se garantir a estabi-
lidade entrada-estado e entrada-saída. Analogamente ao Capítulo 4, formulam-se
problemas de otimização e apresentam-se exemplos.
• Capítulo 6 - Neste capítulo continua-se desenvolvendo a questão da estabilização
por realimentação de saída, porém, agora utilizam-se controladores estáticos e es-
tratégias de “anti-windup”, com o objetivo de amenizar os efeitos negativos causa-
dos pela saturação dos atuadores e para aumentar a região de atração do sistema em
malha-fechada. Considera-se neste caso um compensador dinâmico pré-calculado,
desconsiderando a presença de saturação. Num primeiro momento, trata-se então
do projeto de compensador estático de “anti-windup” acoplado a um controlador
racional dado. Num segundo momento, aborda-se o problema da estabilização
via controlador dinâmico não racional, também dado e, compensador dinâmico de
“anti-windup”, o qual será projetado. Para cada um destes problemas, formulam-se
condições de estabilização interna, entrada-estado e entrada-saída, para sistemas de
controle com atraso e saturação nos atuadores apresentando perturbação limitada
em norma L
2
. Também formulam-se problemas de otimização e apresentam-se
exemplos.
• Capítulo 7 - Visando apresentar como trabalhar a questão da estabilização para o
caso discreto, estuda-se o problema considerando-se atrasos incertos e variantes no
18
tempo, ou seja, atrasos que variam entre um valor mínimo e um valor máximo.
Utiliza-se a abordagem de Finsler, juntamente com um funcional de Lyapunov-
Krasovskii. Para obterem-se as condições de estabilização, para o caso em que o
atraso é variante no tempo e incerto, faz-se necessário o uso da desigualdade de Jen-
sen. Analogamente aos capítulos anteriores, formulam-se problemas de otimização
e apresentam-se exemplos.
• No último capítulo são apresentadas as conclusões juntamente com as contribuições
e futuros encaminhamentos que possam ser dados às pesquisas.
19
2 RESULTADOS PRELIMINARES E
FERRAMENTAS MATEMÁTICAS
O objetivo deste capítulo é o de apresentar alguns resultados preliminares e ferramen-
tas matemáticas que servem como base para os resultados a serem apresentados ao longo
da tese. Inicialmente, apresentam-se a função de Lyapunov-Razumikhin e o funcional
de Lyapunov-Krasovskii, bem como os teoremas de estabilidade, a definição da região
de atração associada aos sistemas com atrasos e o enunciado do Lema de Finsler. Para
o caso dos sistemas estarem sujeitos a perturbação limitada pela norma L
2
, define-se o
problema de estabilidade entrada-estado e entrada-saída e sua relação com a teoria de
Lyapunov. São apresentados também os problemas de atenuação e tolerância à perturba-
ção. Em seguida, enunciam-se condições de estabilidade para sistemas tipo Lure. Por fim,
apresentam-se as maneiras mais utilizadas para se modelar sistemas apresentando satura-
ção de controle. Nesta última seção, encontra-se também a modelagem por zona-morta e
a conseqüente aplicação da condição de setor generalizada, a qual é uma forte ferramenta
a ser utilizada ao longo deste trabalho.
2.1 Estabilidade de Sistemas com Atrasos
Lyapunov, em 1899, desenvolveu dois métodos para investigar a estabilidade de um
sistema. O primeiro método indireto de Lyapunov permite investigar a estabilidade local
de um sistema não linear através de seu modelo linearizado. O segundo método, conhe-
cido como método direto de Lyapunov, é baseado em um conceito análogo ao de energia.
Estes métodos são de grande relevância prática, pois servem de base para o projeto de
controladores estabilizantes para sistemas dinâmicos.
Destacam-se aqui duas maneiras de aplicar o segundo método de Lyapunov, a fim de
garantir a estabilidade de sistemas com atrasos:
• A primeira delas é interpretar a evolução das soluções no espaço das funções, o que
leva à formulação do chamado teorema de Lyapunov-Krasovskii.
• A segunda é interpretar a solução do sistema como evoluindo no espaço Euclidiano,
o que leva à formulação do teorema de Lyapunov-Razumikhin.
Abaixo apresentam-se estes dois teoremas de estabilidade, os quais são de funda-
mental importância na análise de estabilidade de sistemas com atrasos, bem como para a
síntese de controladores para estes sistemas. Com esse objetivo, seja a seguinte equação
diferencial funcional:
1
˙x(t) = f (t,x
t
) t ≥ t
0
. (1)
1
x
t
(·), corresponde à restrição de x(·), no instante t, ao intervalo [t −
τ
,t]
20
Devido à presença de atrasos, a solução de (1) não pode ser unicamente determinada
a partir dos valores das variáveis de estado do sistema no instante t = t
0
. Assim, a solução
a partir de um instante inicial t
0
é caracterizada de forma única pelo conhecimento dos
valores assumidos pelo vetor de estado no intervalo [t
0
−
τ
,t
0
], ou seja, a condição inicial
deixa de ser um ponto no espaço ℜ
n
para ser uma função nesse espaço.
Assim, a condição inicial x
t
0
∈ C
τ
que se utiliza é dada por uma função contínua
definida sobre o intervalo [−
τ
,0],
x
t
0
(
θ
) = x(t
0
+
θ
) =
φ
(
θ
),
θ
∈ [−
τ
,0]. (2)
2.1.1 Teoremas de Estabilidade no Sentido de Lyapunov
Teorema 1 (Lyapunov-Krasovskii) Sejam V
1
, V
2
e V
2
: ℜ
+
→ ℜ
+
, ou seja, são funções
tais que V
1
(r) > 0, V
2
(r) > 0 e V
3
(r) > 0, ∀r > 0. Se existir um funcional contínuo
V : ℜ ×D → ℜ, tal que:
1. V
1
(
φ
(0)) ≤V(t,
φ
) ≤V
2
(
φ
c
),
2.
˙
V(t,x
t
) ≤ −V
3
(x(t)).
Então a solução identicamente nula de (1) é uniformemente assintoticamente estável.
A demonstração e maiores comentários sobre este teorema podem ser encontrados, por
exemplo, em (HALE; LUNEL, 1993), (IVANESCU; DUGARD; DION, 2000),
(NICULESCU, 2001, vol. 269), (GU et al., 2003).
Note que neste caso, V : ℜ ×D → ℜ, sendo D ⊂ C
ν
τ
é definida sobre o espaço das
funções
φ
definidas no intervalo [t −
τ
,t], por isso costuma-se chamar na literatura Fun-
cional de Lyapunov.
Teorema 2 (Lyapunov-Razumikhin) Suponha que u, v, w e p : ℜ
+
→ℜ
+
sejam funções
contínuas, não decrescentes, u(s), v(s), w(s) positivas para s > 0. Se existir uma função
contínua V : ℜ ×ℜ
n
→ ℜ, tal que:
1. u(x ) ≤V (t,x) ≤ v(x
c
) ∀t ∈ ℜ, x ∈ℜ
n
;
2.
˙
V(t,x) ≤ −w(x(t)) se V (t +
θ
,x(t +
θ
)) < p(V(t,x(t))) ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
Então a solução identicamente nula de (1) é uniformemente assintoticamente estável.
Maiores detalhes sobre este teorema podem ser encontrados em (HALE; LUNEL, 1993),
(NICULESCU, 2001, vol. 269). Perceba-se que agora
2
V(·,·) é uma função, pois é
definida sobre o espaço vetorial euclidiano ℜ ×ℜ
n
.
2.1.1.1 Região de atração
Segundo (VIDYASAGAR, 1993), a Região de Atração do sistema (1) é dada por:
X
0
= {
φ
∈ C
τ
; lim
t→∞
x(t,
φ
) = 0},
ou seja, é o conjunto de condições iniciais
φ
, tais que as trajetórias correspondentes do
sistema (1), x(t,
φ
) convergem para zero.
Deve-se notar que, para um sistema genérico dado por (1), o cálculo analítico da região
de atração é, em geral, impossível. Neste caso, calculam-se estimativas para a região de
atração.
2
Nos próximos capítulos utiliza-se V (x(t)) quando V for uma função de Lyapunov-Razumikhin, para
evitar confusões.
21
2.1.2 Condições de Estabilidade Dependentes x Independentes do Atraso
Ao utilizar-se o segundo método de Lyapunov para garantir-se a estabilidade, pode-
se encontrar condições que sejam dependentes ou independentes do atraso. Para que as
condições sejam independentes do atraso, faz-se necessário que as condições de estabi-
lidade do sistema sejam garantidas, não importando o valor do atraso ao qual o sistema
esteja submetido. Já para o caso dependente do atraso, as condições de estabilidade
dependem explicitamente do valor do atraso.
2.1.2.1 Caso independente do atraso
Com o objetivo de exemplificar como se utiliza o funcional de Lyapunov-Krasovskii
para provar a estabilidade assintótica, considera-se o seguinte sistema linear
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) (3)
com o funcional de Lyapunov-Krasovskii dado por:
V(t,x
t
) = x
(t)Px(t) +
0
t−
τ
x
(
θ
)Sx(
θ
)d
θ
, P = P
> 0, S = S
> 0.
(4)
Este funcional pode ser utilizado para derivar uma condição suficiente de estabilidade
para o sistema. De fato, avaliando-se
˙
V(t,x
t
) ao longo das trajetórias de (3) tem-se que:
˙
V(t,x
t
) = x
(t)(A
P + PA + S)x(t) + x
(t)PA
d
x(t −
τ
) + x
(t −
τ
)A
d
Px(t)
−x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
).
Portanto, a condição 2 do Teorema 1 é satisfeita se for verificada a LMI:
A
P + PA + S PA
d
A
d
P −S
< 0,
que é independe do atraso
τ
. A condição 1 do Teorema 1 é também verificada, pois
tem-se:
λ
min
(P)
φ
(0)
2
≤V(t,
φ
) ≤ (
λ
max
(P) +
τλ
max
(S))
φ
2
c
.
2.1.2.2 Caso dependente do atraso
A fim de obterem-se condições dependentes do atraso, autores como (KOLMANOVS-
KII; RICHARD, 1999), (KHARITONOV; MELCHOR-AGUILAR, 2000), (NICULESCU,
2000) e (FRIDMAN, 2001) utilizam transformações do sistema original, juntamente com
o Teorema de Lyapunov, para analisar a estabilidade dependente do atraso de sistemas
com atraso no tempo. A seguir, são descritos dois destes métodos de transformação.
• O primeiro método utiliza a fórmula de Newton/Leibnitz,
t
t−
τ
˙x(
θ
)d
θ
= x(t) −x(t −
τ
). (5)
para tranformar o sistema (3) num sistema equivalente com atrasos distribuídos,
conforme segue,
˙x(t) = (A + A
d
)x(t) −A
d
0
−
τ
Ax(t +
θ
) + A
d
x(t +
θ
−
τ
)d
θ
. (6)
22
De acordo com (NICULESCU, 2001, vol. 269), a estabilidade de (6) implica na
estabilidade de (3), porém, a recíproca não é verdadeira. Um exemplo de funcional
de Lyapunov-Krasovskii (HALE; LUNEL, 1993) utilizado é dado por:
V(t,x
t
) = x(t)
Px(t) +
0
−
τ
t
t+
θ
[Ax(
β
) + A
d
x(
β
−
τ
)]
X
−1
[Ax(
β
)+
A
d
x(
β
−
τ
)]d
β
d
θ
+
t
t−
τ
x(
β
)
Sx(
β
)d
β
,
P = P
> 0, S = S
> 0 e X = X
> 0.
Derivando-se o funcional V (t,x
t
) com relação ao tempo e utilizando-se a relação
2u
v ≤ u
Mu + v
M
−1
v,
para eliminar os termos cruzados, tem-se:
˙
V(t,x
t
) ≤ x
(t)[
τ
P(A + A
d
) + (A + A
d
)
P +
τ
A
XA +
τ
PA
d
X
−1
A
d
P + S]x(t)
+2x
(t)A
XA
d
x(t −
τ
) +
τ
x
(t −
τ
)A
d
XA
d
x(t −
τ
) −x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
).
Escrevendo-se essa expressão na forma matricial, obtém-se:
˙
V(t,x
t
) ≤
x
(t)
x
(t −
τ
)
Γ
τ
A
XA
d
∗ A
d
XA
d
−S
x(t)
x(t −
τ
)
com Γ = P(A + A
d
) + (A + A
d
)
P + S +
τ
PA
d
X
−1
A
d
P +
τ
A
XA
Portanto, a condição 2 do Teorema 1 será satisfeita se a seguinte desigualdade ma-
tricial se verificar:
Γ
τ
A
XA
d
∗ A
d
XA
d
−S
< 0.
Pode-se transformar a desigualdade acima em uma LMI através da utilização do
complemento de Schur, ou seja,
P(A + A
d
) + (A + A
d
)
P +
τ
A
XA
d
+ S
τ
A
XA
d
τ
PA
d
∗
τ
A
d
XA
d
−S 0
∗ ∗ −
τ
X
< 0.
Observa-se assim que o atraso
τ
aparece explicitamente na condição LMI à ser sa-
tisfeita. Por outro lado, tem-se que a condição 1 do Teorema 1 é também verificada,
pois:
λ
min(P)
φ
(0)
2
≤V(t,
φ
) ≤ (
λ
max
(P) +
τ
2
2
λ
max
(A
X
−1
A)+
τ
2
2
λ
max
(A
X
−1
A
d
) +
τ
2
2
λ
max
(A
d
X
−1
A
d
) +
τλ
max
(S))
φ
2
c
.
• O segundo método que se utiliza, transforma o sistema (3) na forma de sistema
descritor, proposto em (K. TAKABA; KATAYAMA, 1995);
˙x(t) = y(t)
0 = −y(t) + (A + A
d
)x(t) −A
d
t
t−
τ
y(s)ds
(7)
e utiliza um funcional de Lyapunov-Krasovskii, da forma:
V(t, ¯x
t
) = ¯x(t)EP ¯x(t) +
0
−
τ
t
t+
θ
y
(t)Ry(s)dsd
θ
+
t
t−
τ
x
(s)Sx(s)ds
(8)
23
sendo
¯x(t) =
x(t)
y(t)
, E =
I
n
0
0 0
P = P
> 0, R = R
> 0 e S = S
> 0.
(9)
Abaixo apresenta-se uma adaptação do teorema proposto por (FRIDMAN; SHAKED,
2002a) para garantir condições de estabilidade dependentes do atraso, utilizando a repre-
sentação por sistema descritor. Analogamente ao comentário feito no item anterior, tem-se
que se o sistema (7) é estável então o sistema (3) também é, porém, a recíprocra não é
verdadeira.
Teorema 3 O sistema (3) com um atraso
τ
, é assintoticamente estável, se, para algum
escalar positivo
ε
, existirem matrizes simétricas definidas positivas P e Z ∈ ℜ
2n×2n
, S e
R ∈ ℜ
n×n
, tais que o seguinte conjunto de desigualdades matriciais seja satisfeito:
(i)
¯
A
P + P
¯
A +
τ
Z +
S 0
0
τ
R
+
0
¯
ε
A
d
0 0
P + P
0 0
¯
ε
A
d
0
−
¯
ε
P
¯
A
d
∗ −S
< 0
(ii)
R
ε
A
d
P
∗ Z
≥ 0
com
¯
A =
0 I
A + A
d
−I
,
¯
A
d
=
0
A
d
e
¯
ε
=
ε
−1.
Demonstração: Para demonstrar o Teorema 3, basta calcular a derivada do funcional de
Lyapunov-Krasovskii (9) com relação ao tempo e utilizar a relação:
−2
Ω
b
Na ≤
Ω
b
a
R M −N
∗ Z
b
a
,
com b = y(s), a = x(t), M =
¯
A
d
P e N =
ε
¯
A
d
P.
Esta majoração é sugerida em (MOON et al., 2001) e (FRIDMAN; SHAKED, 2002a),
com o objetivo de eliminar os termos cruzados. Obtém-se assim:
˙
V(t,x
t
) ≤ ¯x
(t)[
¯
A
P + P
¯
A +
τ
Z] ¯x(t) + 2x
(t)(
ε
−1)
¯
A
d
P¯x(t)−
2x
(t −
τ
)(
ε
−1)
¯
A
d
P¯x(t) + x
(t)Sx(t) + y
(t)
τ
Ry(t) −x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
).
Escrevendo-se essa expressão, em forma matricial, obtém-se
˙
V(t,x
t
) ≤
¯x(t)
x(t −
τ
)
Ξ
¯x(t)
x(t −
τ
)
,
sendo Ξ a matriz da desigualdade (i). Logo se (i) é verificada tem-se,
˙
V(t,x
t
) < 0.
Portanto, para que o sistema (3) seja assintoticamente estável dependente do atraso
τ
,
falta provar a condição 1 do Teorema 1, a qual é verificada pois:
λ
min(P)
φ
(0)
2
≤V(t,
φ
(
θ
)) ≤ (
λ
max
(P) +
τ
2
2
λ
max
(R) +
τλ
max
(S))
φ
2
c
.
✷
É importante notar que, para que (i) e (ii) sejam LMIs, é necessário fixar-se
ε
.
24
2.1.3 Estabilidade via Lema de Finsler
De acordo com (BOYD et al., 1994), o Lema de Finsler pode ser utilizado com o
objetivo de obterem-se novas condições de estabilidade em forma de LMI, diferentes das
condições já obtidas diretamente pelo Teorema de Lyapunov, porém equivalentes. Na
seqüência enuncia-se este Lema:
Lema 1 (Lema de Finsler) Seja
ξ
∈ ℜ
n
, Q = Q
∈ ℜ
n×n
e B ∈ ℜ
m×n
tais que
posto(B) < n. Então as seguintes assertativas são equivalentes:
i)
ξ
Q
ξ
< 0, ∀
ξ
tal que B
ξ
= 0,
ξ
= 0.
ii) B
⊥
QB
⊥
< 0.
iii) ∃
µ
∈ ℜ : Q −
µ
B
B < 0,
µ
> 0.
iv) ∃ R ∈ℜ
n×m
: Q + RB + B
R
< 0.
A prova do Lema 1 pode ser encontrada, por exemplo, em (OLIVEIRA; SKELTON, New
York: Springer-Verlang, 2001, v. 268.).
Na seqüência, enuncia-se um teorema que exemplifica a utilização do Lema 1 para
provar a estabilidade do sistema (3)
3
.
Teorema 4 Se existir uma matriz P ∈ ℜ
n
simétrica definida positiva, matrizes F, G, e
H ∈ ℜ
n
, satisfazendo a LMI abaixo
−F −F
FA −
G
+ P FA
d
−H
∗ GA+ A
G
+ Q GA
d
+ A
H
∗ ∗ HA
d
+ A
d
H
−Q
< 0
então, o sistema (3) é assintoticamente estável e além disso o funcional
V(t,x
t
) = x
(t)Px(t) +
t
t−
τ
x
(
θ
)Qx
(
θ
)d
θ
,
é um funcional de Lyapunov-Krasovskii para o sistema (3).
Demonstração: Seja V : ℜ ×D → ℜ, um candidato a funcional de Lyapunov-Kraso-
viskii, dado por
V(t,x
t
) = x
(t)Px(t) +
t
t−
τ
x
(
θ
)Qx(
θ
)d
θ
.
Calculando-se a derivada de V (t,x
t
) tem-se:
˙
V(t,x
t
) = ˙x
(t)Px(t) + x
(t)P ˙x(t) + x
(t)Qx(t) −x
(t −
τ
)Qx(t −
τ
).
(10)
Sejam ¯x(t), B e Q definidos por:
¯x
(t) =
˙x
(t) x
(t) x
(t −
τ
)
; B =
−I A A
d
e Q =
0 P 0
P Q 0
0 0 −Q
.
3
Outros exemplos da utilização do Lema de Finsler para obterem-se condições de estabilidade para
sistemas com atrasos e sujeitos a suturação nas entradas, inclusive para sistemas que possuam incertezas,
podem ser vistos em (VALMóRBIDA, 2006).
25
Se
˙
V(t,x
t
) em (10) for negativa ao longo das trajetórias do sistema, ou seja, se
¯x
(t)Q ¯x(t) < 0, ∀¯x(t) = 0 tal que B ¯x(t) = 0, (11)
pode-se aplicar o Lema 1. Assim, tem-se que (11) é satisfeita se existir uma matriz X tal
que:
Q + XB + B
X
< 0.
Definindo-se, X
=
F
G
H
e resolvendo-se
Q + XB + B
X
,
obtém-se a matriz da desigualdade matricial (4) do Teorema 4, o que garante que
˙
V(t,x
t
) < 0, ∀(t,
φ
) ∈ ℜ ×D.
Como
˙
V(t,x
t
) < 0 e
λ
min
(P)
φ
(0)) ≤
φ
(0)P
φ
(0) ≤V(t,
φ
) =
φ
(
θ
)P
φ
(
θ
) +
t
t−
τ
φ
(
θ
)Q
φ
(
θ
)d
θ
≤ (
λ
max
(P) +
τλ
max
(Q))
φ
c
,
pode-se concluir, a partir do Teorema 1, que V(t, x(t)) é um funcional de Lyapunov para
o sistema (3), e portanto, este é assintoticamente estável.
✷
2.1.4 Estabilidade Entrada-Estado do Sistema com Perturbação
Como um dos objetivos deste trabalho de tese é analisar a questão da atenuação e da
tolerância a perturbações, considera-se agora, que atue sobre o sistema (3) uma perturba-
ção. Seja então, o seguinte sistema:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + Bw(t)
z(t) = Cx(t) + Dw(t)
x
t
0
(
θ
) =
φ
(
θ
), ∀
θ
∈ [−
τ
,0],
(12)
sendo w(t) ∈ ℜ
p
uma perturbação e z(t) ∈ ℜ
q
a saída regulada.
Quando um sistema de controle está sujeito à ação de perturbações, não se pode espe-
rar que a solução do sistema perturbado se aproxime da origem quando t → ∞. O melhor
que se pode fazer é minimizar a influência desta perturbação na trajetória do sistema.
Neste caso, a idéia consiste em garantir que qualquer trajetória x(t,
φ
) seja limitada, para
perturbações w(t) também limitadas.
Em particular, neste trabalho, interessa-se por perturbações limitadas em energia, ou
seja:
w
2
=
t
0
w
(
τ
)w(
τ
)d
τ
≤
1
√
ϖ
, ∀0 < t,
1
ϖ
< ∞ (13)
logo, w(t) ∈ L
2
, ou seja, w é uma função quadrado integrável, cuja norma é menor que
1
√
ϖ
, com
ϖ
> 0.
Neste caso, a fim de fazer com que as trajetórias do sistema sejam limitadas, considera-
se um funcional de Lyapunov-Krasovskii, tal que
V(t,x
t
) > 0, V(t,x
t
0
) ≤
β
,
(14)
26
e que sua derivada no tempo, ao longo das trajetórias do sistema (12), satisfaça
˙
V(t,x
t
) ≤ w
(t)w(t) (15)
para todo w(t) sujeito a (13) e x
t
0
(
θ
) =
φ
(
θ
) ∈ D, ∀
θ
∈ [−
τ
,0], D é um conjunto de
condições iniciais, limitado e que pertence à região de atração de (12), ou seja D ⊂ X
0
.
Se (15) é satisfeita, aplicando-se a fórmula de Newton/Leibnitz a esta desigualdade,
obtém-se:
V(t,x
t
) −V (0,x
t
0
) ≤
t
t
0
w
(
τ
)w(
τ
)d
τ
, ∀x
t
0
∈ D e t ≥ 0.
Devido ao fato de assumir-se (13) e (14), pode-se escrever que:
V(t,x
t
) ≤
t
t
0
w
(
τ
)w(
τ
)d
τ
+V (0,x
t
0
) ≤
β
+
1
ϖ
.
Esta desigualdade garante que as soluções ou trajetórias são limitadas dentro de um
conjunto
E = {
φ
∈ C
τ
;V (t,x
t
) ≤
β
+
1
ϖ
},
ou seja, x
t
∈ E , ∀t ≥ 0.
2.1.5 Estabilidade Entrada-Saída
Em muitos problemas de controle, o sistema é representado como uma aplicação
entrada-saída, de uma perturbação w para uma saída controlada z. Caso a norma L
p
de w seja limitada z deve possuir uma norma L
p
limitada, para que o sistema seja dito
entrada-saída estável. Uma definição para a estabilidade entrada-saída é enunciada em
(VIDYASAGAR, 1993), a qual é dada abaixo:
Definição 1 Suponha que R seja uma relação binária em L
p
. Então, R é dito ser:
• L
p
-estável se:
(w, z) ∈ R, w ∈L
p
⇒ z ∈ L
p
.
• R é L
p
-estável com ganho finito: se R é L
p
-estável, e além disto existirem
γ
p
, b
p
∈
ℜ tais que:
(w, z) ∈ R, w ∈L
p
⇒ z
p
≤
γ
p
w
p
+ b
p
.
• R é L
p
-estável com ganho finito e zero bias: R é L
p
estável, e além disto exitir
γ
p
∈ ℜ tal que:
(w, z) ∈ R, w ∈L
p
⇒ z
p
≤
γ
p
w
p
.
Com o objetivo de se analisar a estabilidade entrada-saída, neste trabalho escolhe-se
a norma L
2
. Neste caso, considera-se que a entrada do sistema seja limitada em energia
e deseja-se que
z
2
≤
γ
w
2
,
γ
é então, dito um limite superior para o ganho-L
2
.
27
2.2 Estabilidade Absoluta de Sistemas do tipo Lure
2.2.1 Problema de Lure
Seja o seguinte sistema linear:
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
(16)
com x(t) ∈R
n
, u(t) e y(t) ∈ℜ
m
. A e B são matrizes constantes, tais que, (A,B) é controlá-
vel e (A,C) é observável.
Defina u(t) como sendo:
u(t) = −
ψ
(t,y) (17)
sendo
ψ
: [0,∞)×ℜ
m
→ℜ
m
uma função não linear, sem memória, descentralizada, contí-
nua por partes e localmente Lypschitz em y.
Sejam agora, a e b ∈ ℜ
m
, tais que a
(i)
< 0 < b
(i)
, ∀i = 1, ...,m, então pode-se definir
o seguinte conjunto:
Γ
={y(t) ∈ ℜ
m
;a
(i)
≤ y
(i)
(t) ≤ b
(i)
}, (18)
perceba-se que o conjunto Γ é conexo e contém a origem.
Se a função
ψ
satisfizer à condição (19), dada a seguir, então
ψ
é dita uma não-
linearidade de setor.
Definição 2 Sejam K
min
e K
max
matrizes diagonais, tais que K = K
max
−K
min
seja defi-
nida positiva. Então, ∀y ∈ Γ ⊂ ℜ
m
,
ψ
(t,y) é dita pertencer ao setor (K
min
,K
max
) se
[
ψ
(t,y) −K
min
y]
[
ψ
(t,y) −K
max
y] ≤ 0, ∀t ≥ 0. (19)
Se Γ está estritamente contido em ℜ
m
, diz-se que a condição de setor (19) é verificada
localmente, e se Γ = ℜ
m
esta é verificada globalmente.
Observação 1 O conjunto Γ definido acima é chamado de região de validade da condi-
ção de setor.
Fazendo-se a conexão do sistema (16) com a não-linearidade (17), satisfazendo (19),
obtém-se o seguinte sistema não-linear em malha-fechada:
˙x(t) = Ax(t) −B
ψ
(t,y(t))
y(t) = Cx(t).
(20)
O sistema (20), o qual pode ser observado na Figura 1, é conhecido na literatura como
sistema do tipo Lure e o estudo de sua estabilidade como problema de Lure ou problema
de estabilidade absoluta.
A partir da Definição 2, pode-se definir estabilidade absoluta (KHALIL, 1996).
Definição 3 O sistema (20) é dito:
• localmente absolutamente estável: se o sistema (20) é localmente assintoticamente
estável, para toda não-linearidade
ψ
, verificando localmente a condição de setor
(19);
• globalmente absolutamente estável: se o sistema (20) é globalmente assintotica-
mente estável, para toda não-linearidade
ψ
, verificando globalmente a condição
de setor (19).
28
V=0
Figura 1: Conexão realimentada de um sistema linear e um elemento não-linear.
Na Figura 2, representam-se os gráficos de setor de não-linearidades, na Figura 2(a)
representa-se um gráfico onde a não-linearidade
ψ
: ℜ → ℜ pertence ao setor (
α
,
β
)
localmente, pois o domínio de validade da condição de setor é dado por
Γ = {y ∈ℜ;a ≤y ≤ b}.
Já na Figura 2(b), representa-se um gráfico onde a não-linearidade
ψ
: ℜ → ℜ pertence
ao setor (
α
,
β
) globalmente, pois Γ = ℜ.
(a) Condição de setor verificada local-
mente.
(b) Condição de setor verificada
globalmente.
Figura 2: Gráficos de setor de não-linearidades.
2.3 Modelagens de Sistemas com Saturação
Os sistemas físicos reais apresentam restrições que se traduzem na possibilidade de
aplicação de sinais de controle limitados entre valores máximos e mínimos. Os sistemas
de controle que não levam em conta estes limites podem ter a ocorrência imprevista da
saturação, que pode levar o sistema à instabilidade ou ao aparecimento de respostas inde-
sejáveis, inerentes ao comportamento não linear do sistema em malha-fechada, tais como,
pontos de equilíbrio parasitas e ciclos limite. Logo, a modelagem das saturações, no sen-
tido de considerá-las explicitamente no projeto do controlador, é muito importante a fim
29
de que se evitem estes comportamentos indesejáveis, ou, pelo menos, que se avaliem
os seus efeitos sobre a estabilidade, o desempenho e a robustez do sistema em malha-
fechada.
Nas subseções que seguem, apresentam-se as definições dadas para cada um dos tipos
de modelagens, que são utilizadas na literatura, para sistemas sob saturação nos atuadores.
Para tanto, considere o seguinte sistema linear, sujeito a uma saturação de entrada,
˙x(t) = Ax(t) + Bsat(u(t)), (21)
com
u(t) = Kx(t)
sendo x(t) ∈ ℜ
n
o vetor de estado. A e B são matrizes reais constantes de dimensões
apropriadas. Suponha que sat(·) seja uma função vetorial tal que para cada i = 1,...,m
define-se:
sat
(i)
(Kx(t)) =
−u
0
(i)
se K
(i)
x(t) < −u
0
(i)
K
(i)
x(t) se −u
0
(i)
≤ K
(i)
x(t) ≤ u
0
(i)
u
0
(i)
se K
(i)
x(t) > u
0
(i)
. (22)
2.3.1 Modelagem Politópica
A representação da saturação através da modelagem politópica foi introduzida por
(MOLCHANOV; PYATNITSKII, 1989) para resolver problemas específicos do sistema
(21). Na área de sistemas com atrasos no tempo e saturação nos atuadores, também
são encontrados alguns trabalhos que utilizam a modelagem politópica para a saturação,
dentre estes se destacam: (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000), (CAO; LIN;
HU, 2002), (OUCHERIAH, 2003) e (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003).
2.3.1.1 Modelagem direta
Em seguida, descreve-se como reescrever a saturação utilizando o modelo politópico,
apresentado em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000).
Note que cada componente da função saturação pode ser escrita como:
sat(Kx(t)) = D(
α
(x(t)))Kx(t); D(
α
(x(t))) ∈ ℜ
m×m
, (23)
nesta equação D(
α
(x(t))) é uma matriz diagonal, na qual os elementos
α
(i)
(x(t)) são
definidos para cada iu(t)Kx(t) = 1,...,m como:
α
(i)
(x(t)) =
−u
0
(i)
K
(i)
x(t)
se K
(i)
x(t) < −u
0
(i)
1 se −u
0
(i)
≤ K
(i)
x(t) ≤ u
0
(i)
u
0
(i)
K
(i)
x(t)
se K
(i)
x(t) > u
0
(i)
(24)
e 0 <
α
(i)
(x(t)) ≤ 1. O coeficiente
α
(i)
(x(t)) pode ser visto como um indicador do grau
da saturação da i −ésima entrada do vetor de controle.
Utilizando essa representação, o sistema (21) é descrito por:
˙x(t) = (A + BD(
α
(x(t)))K)x(t). (25)
30
Considerando-se agora um conjunto compacto
4
S
0
⊂ℜ
n
, segue que ∀x(t) ∈S
0
pode-
se definir uma cota inferior para
α
(i)
(x(t)) como:
α
min
(i)
= min{
α
(i)
(x(t)); ∀x(t) ∈ S
0
}.
Portanto, ∀x(t) ∈ S
0
, tem-se
α
min
(i)
≤
α
(i)
(x(t)) ≤ 1.
Definam-se agora matrizes A
j
, j = 1,...,2
m
, como segue:
A
j
= A+ BD(
γ
j
)K, (26)
com D(
γ
j
) é uma matriz diagonal de escalares positivos
γ
j
(i)
para i = 1,...,m, o qual toma
valores 1 ou
α
min
(i)
. Logo, ∀x(t) ∈ S
0
, o sistema (21) pode ser representado pelo modelo
politópico
˙x(t) =
2
m
∑
j=1
λ
j
(x(t))A
j
x(t) (27)
com
2
m
∑
j=1
λ
j
(x(t)) = 1 e
λ
j
(x(t)) ≥ 0. Note que as matrizes A
j
são os vértices de um poli-
topo convexo de matrizes, e para x(t) ∈S
0
tem-se (A+BD(
α
(x(t)))K) ∈co{A
1
,..., A
2
m
}.
Note também, que
α
min
(i)
, i = 1, ...,m, define o conjunto poliédrico
S (K,u
α
0
)
= {x ∈ ℜ
n
; |K
(i)
x| ≤ u
α
0
(i)
, i = 1,...,m};
com u
α
0
(i)
=
u
0
(i)
α
min
(i)
, i = 1,...,m. O conjunto S (K,u
α
0
) é o maior conjunto no qual o modelo
(27) representa o sistema (21), e é chamado de região de validade da modelagem.
Dessa forma, o sistema (27) pode ser usado para analisar o comportamento do sis-
tema (21), se x(t) ∈ S (K, u
α
0
), ∀t ≥ 0. Neste caso, forçosamente S
0
⊆ S (K,u
α
0
), po-
rém x(0) ∈ S
0
não implica necessariamente que x(t) ∈ S (K,u
α
0
). Portanto, para que o
sistema (21) seja localmente estável, deve-se considerar que o conjunto S
0
seja positiva-
mente invariante. Assim, conclui-se, que o sistema (27) pode ser utilizado para represen-
tar o comportamento do sistema (21). Conseqüentemente, provando-se a estabilidade de
(27), está provada a estabilidade de (21).
2.3.1.2 Modelagem generalizada
Em (CAO; LIN; HU, 2002), apresenta-se uma generalização para o modelo politópico
apresentado na seção 2.3.1, a qual passa a ser descrita.
Seja H ∈ ℜ
m×n
, pode-se definir S (H, u
0
) como,
S (H,u
0
)
= {x ∈ ℜ
n
;|H
(i)
x| ≤ u
0
(i)
, i = 1,...,m}
e considerando-se matrizes
D
j
∈ ℜ
m×m
, j = 1,...,2
m
,
sendo D
j
uma matriz diagonal, com
d
ii
= 0 ou d
ii
= 1,
4
Compacto em ℜ
n
significa fechado e limitado.
31
Figura 3: Função zona-morta.
definindo-se
D
−
j
por D
−
j
= I −D
j
.
Pode-se enunciar o seguinte Lema:
Lema 2 Sejam K,H ∈ ℜ
m×n
. Se x(t) ∈ S (H,u
0
), então
sat(Kx(t)) ∈ co{D
j
Kx + D
−
j
Hx; j ∈ [1,2
m
]}.
Supondo-se que as hipóteses do Lema 2 sejam satisfeitas, então o sistema (21) pode ser
reescrito como:
˙x(t) =
2
m
∑
j=1
λ
j
(x(t))A
j
x(t), (28)
com
2
m
∑
j=1
λ
j
(x(t)) = 1 e
λ
j
(x(t)) ≥ 0, e A
j
= (A+ B(D
j
K + D
−
j
H)).
Percebe-se que esta maneira de representar politopicamente o sistema (21) é mais
geral do que a representação (27). A generalização reside no fato do produto das matrizes
D(
γ
j
)K poder ser escrito como uma soma de dois produtos de matrizes, D
j
K e D
−
j
H onde
H = Diag(
α
min
1
α
min
2
...
α
min
m
)K.
2.3.2 Modelagem por Não-linearidade do tipo Zona-morta
Com o objetivo de reescrever-se o sistema como uma conexão entre um sistema linear
e uma não-linearidade de setor (problema de Lure), utiliza-se uma função
ψ
: ℜ
m
→ ℜ
m
definida por:
ψ
(Kx(t)) = Kx(t) −sat(Kx(t)), (29)
com
ψ
(Kx(t)) =
ψ
1
K
(1)
x(t)
ψ
2
K
(2)
x(t)
···
ψ
m
K
(m)
x(t)
. Observe-se que:
ψ
(i)
K
(i)
x(t)
=
K
(i)
x(t) + u
0
(i)
se K
(i)
x(t) < −u
0
(i)
0 se −u
0
(i)
≤ K
(i)
x(t) ≤ u
0
(i)
K
(i)
x(t) −u
0
(i)
se K
(i)
x(t) > u
0
(i)
i = 1, ...,m (30)
é uma função zona-morta, a qual esta representada na Figura 3.
32
Utilizando-se (29), o sistema (21), pode ser reescrito como:
˙x(t) = (A + BK)x(t) −B
ψ
(Kx(t)), (31)
com A + BK Hurwitz
5
.
Observe que o sistema (31) encontra-se agora na forma de Lure, conforme visto na
seção 2.2. As seguintes condições de setor podem então ser utilizadas na prova de estabi-
lidade de (31).
2.3.2.1 Condição de setor clássica
Defindo-se o seguinte conjunto:
S (K,u
λ
0
)
= {x ∈ ℜ
n
; |K
(i)
x| ≤ u
λ
0
(i)
, i = 1,...,m}, (32)
com u
λ
0
(i)
=
u
0
(i)
1−
λ
(i)
e 0 ≤
λ
(i)
< 1, i = 1,..., m.
As seguintes considerações a respeito do conjunto S (K,u
λ
0
), levando-se encontra os
valores de
λ
(i)
, podem ser feitas:
•
λ
(i)
= 0 ⇒ S (K, u
λ
0
) = S (K,u
0
), então o conjunto S (K,u
λ
0
) corresponde a re-
gião de linearidade do sistema (31).
•
λ
(i)
→ 1, tem-se que S (K, u
0
) → ℜ
n
.
Observe-se que a função
ψ
, definida em (30) é uma não-linearidade sem memória,
descentralizada, contínua por partes e Lypschitz em x. Prova-se agora que
ψ
é uma não-
linearidade de setor.
De fato, se x(t) ∈ S (K, u
λ
0
), a função
ψ
(Kx(t)) verifica a condição de setor (19)
(KIYAMA; IWASAKI, 2000) (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH, 2003), com
K
min
= 0, K
max
= Λ,
Λ é uma matriz diagonal, com Λ
ii
=
λ
(i)
e y = Kx(t).
Logo, a condição de setor clássica, definida em (19), passa a ser definida por:
ψ
(Kx(t))[
ψ
(Kx(t)) −ΛKx(t)] ≤ 0, (33)
quando
ψ
for uma não-linearidade do tipo zona-morta.
Perceba-se que o conjunto S (K, u
λ
0
) corresponde ao conjunto Γ definido em (18),
portanto, a região de validade da condição de setor, quando
ψ
for uma não-linearidade do
tipo zona-morta, é definida por:
S (K,u
0
)
= {x ∈ ℜ
n
; |K
(i)
x| ≤ u
0
(i)
, i = 1,...,m}. (34)
Observação 2 De acordo com a Definição 2, se Λ = I, a condição de setor (33) é verifi-
cada globalmente, i.e. S (K, u
0
) = ℜ
n
.
5
Uma matriz quadrada A é dita Matriz Hurwitz se a parte real de todos os autovalores de A forem
estritamente negativos, isto é, Re[
λ
i
] < 0, para cada autovalor
λ
i
.
33
2.3.2.2 Condição de setor generalizada
Considerando o caso particular em que
ψ
é uma função zona-morta, em (GOMES
DA SILVA JR.; TARBOURIECH, 2003) é proposta uma generalização para a condição
de setor (33), a idéia básica consiste na substituição do produto das matrizes ΛK por uma
matriz G ∈ ℜ
m×m
livre.
Para enunciar a nova condição de setor, considera-se uma matriz G ∈ℜ
m×n
e define-se
o seguinte conjunto
S =
x ∈ ℜ
n
;|(K
(i)
−G
(i)
)x| ≤ u
0
(i)
, i = 1,...m
. (35)
O Lema que se enuncia abaixo fornece a condição de setor generalizada, o qual é válido
apenas para as não-linearidades do tipo zona-morta.
Lema 3 (Condição de setor generalizada) Considere a função
ψ
definida em (29). Se
x(t) ∈ S , a relação:
ψ
(Kx)T[
ψ
(Kx(t)) −Gx(t)] ≤ 0 (36)
é válida para ∀T > 0 ∈ ℜ
m×m
diagonal.
A demonstração do Lema, bem como seu enunciado, podem ser encontrados em (TAR-
BOURIECH; GOMES DA SILVA JR.; GARCIA, 2004).
Note que se G = ΛK, então (36) torna-se:
ψ
(Kx(t))T[
ψ
(Kx(t)) −ΛKx(t)] ≤ 0. (37)
Conclui-se assim que (33) é um caso particular de (36).
Observação 3 A utilização da condição (36), permite que se obtenham condições menos
conservadoras e em forma de LMIs, vide discussão detalhada em (GOMES DA SILVA
JR.; TARBOURIECH, 2005).
2.3.2.3 Aplicação de condições de setor à prova de estabilidade
Considera-se agora que o sistema (31) esteja sujeito a atrasos nos estados, ou seja,
˙x(t) = (A + BK)x(t) + A
d
x(t −
τ
) −B
ψ
(Kx(t)). (38)
Com o objetivo de garantir-se a estabilidade no sentido de Lyapunov para o sistema (38),
com
ψ
uma não-linearidade do tipo zona-morta, mostra-se na seqüência como podem ser
utilizados o funcional de Lyapunov-Krasovskii e a condição de setor generalizada (36).
Seja V : ℜ×C
ν
τ
→ ℜ um funcional de Lyapunov-Krasovskii, e
˙
V(t,x
t
) a derivada de
V ao longo das trajetórias do sistema. Do Lema 3, segue que se x(t) ∈ S a condição
(36) é verificada. Logo, aplicando-se a S -procedure (BOYD et al., 1994) à seguinte
desigualdade
˙
V(t,x
t
) −2
ψ
(Kx(t))T[
ψ
(Kx(t)) −Gx(t)] < 0
pode-se concluir que
˙
V(t,x
t
) ≤ 0, ∀x(t) ∈ S .
Assim, a condição 2 do Teorema 1 é satisfeita localmente. Para que a condição 2 do
Teorema 1 seja satisfeita globalmente, deve-se tomar G = K. Neste caso, então, (36) será
válida ∀x(t) ∈ ℜ
n
.
34
3 ESTABILIDADE DE SISTEMAS COM ATRASOS E SA-
TURAÇÃO DE CONTROLE
3.1 Introdução
Neste capítulo apresentam-se metodologias que servem de motivação e de base para
o desenvolvimento dos resultados a respeito da estabilização de sistemas com atraso e
saturação de controle, a serem vistos nos capítulos seguintes. Apresentam-se também, os
principais problemas e as respectivas técnicas utilizadas no trato destes sistemas.
Inicialmente, apresentam-se brevemente os primeiros e mais relevantes trabalhos que
foram feitos nos últimos anos na área de sistemas de controle com atraso no tempo e
saturação nos atuadores. Num segundo momento, apresentam-se alguns dos trabalhos que
têm uma ligação direta com esta tese. O objetivo dessa apresentação é o de poder realizar
comparações entre os métodos de análise e estabilização apresentados nestes trabalhos,
procurando destacar as principais diferenças que existem entre cada uma das abordagens,
seus pontos fortes e deficiências.
3.1.1 Breve Estado da Arte
Nas últimas duas décadas, vários pesquisadores têm se preocupado com o problema de
estabilização de sistemas com atraso no tempo e saturação nos atuadores, como exemplo
citam-se os trabalhos de (CHEN; WANG; LU, 1988), (CHOU; HORNG; CHEN, 1989),
(TISSIR; HMAMED, 1992), (NICULESCU; DION; DUGARD, 1996), (OUCHERIAH,
1996), (PARK; CHOI; CHOO, 2000), (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000),
(CAO; LIN; HU, 2002)) e (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2003a).
Nesses trabalhos, são propostas diversas maneiras de obterem-se condições de estabili-
dade, tanto em âmbito local como global. Descreve-se a seguir, sucintamente, a maneira
pela qual cada um dos autores supracitados obtém suas condições de estabilidade.
A desigualdade de norma é um dos critérios utilizados com o objetivo de tratar a sa-
turação. Seguindo esta abordagem, em (CHEN; WANG; LU, 1988) são propostas condi-
ções (dependentes e independentes do atraso) suficientes para garantir a estabilização
global dos sistemas lineares com atraso e saturação, utilizando realimentação de estados.
Em (CHOU; HORNG; CHEN, 1989) é desenvolvido um compensador de realimenta-
ção dinâmica de saída, com o objetivo de fornecer condições suficientes para estabilizar
globalmente sistemas incertos com atraso e saturação, através do conceito de medida de
uma matriz
1
e da teoria da comparação. Em (TISSIR; HMAMED, 1992) são fornecidas
condições de estabilidade assintótica independentes do atraso, utilizando o conceito de de-
sigualdade de norma e o conceito da medida de uma matriz. Os resultados obtidos neste,
1
Define-se
µ
(A) = lim
ε
→0
+
I+
ε
A−1
ε
, como sendo a medida de uma matriz A.
35
são menos conservadores que os obtidos em (CHEN; WANG; LU, 1988). Em (NICU-
LESCU; DION; DUGARD, 1996) é estudada a estabilização global robusta de sistemas
incertos com atraso e saturação. As condições obtidas são independentes do atraso. No
entanto, é obtido um limite superior para o atraso admissível. Também são obtidas condi-
ções dependentes do atraso, porém, somente para o caso em que não há restrições nas
entradas. Para obter as condições de estabilização são utilizados o Teorema de Lyapunov-
Razumikhin e equação de Riccati. No trabalho (OUCHERIAH, 1996) é proposta a síntese
de um observador linear assintótico com um grau de estabilidade pré-estabelecido, com o
objetivo de estabilizar globalmente o sistema. Neste é utilizada a equação de Lyapunov e
o funcional de Lyapunov-Krasovskii. Em (PARK; CHOI; CHOO, 2000) é apresentado um
método de “anti-windup” dinâmico, com o objetivo de minimizar os efeitos indesejáveis
produzidos pela saturação. Nesse trabalho são considerados atrasos apenas nas entradas
e saídas da planta.
Ressalta-se que as condições para estabilização obtidas até aqui tinham caráter global.
Somente em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000) são fornecidas condições
para a estabilização local, ou seja, os autores, através do método de síntese, procuram
caracterizar um conjunto de condições iniciais admissíveis. As condições introduzidas
são na forma de BMIs (Desigualdades Matriciais Bilineares). Para obter esta formulação,
utiliza-se um modelo politópico definido na Seção 2.3.1 e um funcional de Lyapunov-
Krasovskii. Além de garantir a estabilização local, as condições obtidas satisfazem al-
guma especificação de desempenho em função da taxa de decaimento.
Em (CAO; LIN; HU, 2002), baseado nas idéias de (TARBOURIECH; GOMES DA
SILVA JR., 2000), obtêm-se condições de estabilidade (independentes e dependentes do
atraso) utilizando a formulação politópica apresentada na seção 2.3.1.2, uma função de
Lyapunov-Razumikhin e um funcional de Lyapunov-Krasovskii. Devido à utilização do
modelo politópico 2.3.1.2, obtêm-se neste trabalho condições menos conservadoras que
em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000) e diretamente na forma de LMIs.
Já em (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003), a formulação politópica 2.3.1.2 é utilizada
para obter uma lei de controle de realimentação de estado que estabilize localmente o
sistema, que garanta um certo nível de desempenho pré-definida para perturbações limi-
tadas em amplitude
2
, e garanta que as trajetórias do sistema em malha-fechada sejam
limitadas. As condições para estabilização e ganho-L
2
do sistema são obtidas pela uti-
lização do funcional de Lyapunov-Krasovskii e pela representação via modelo descritor
do sistema, ao passo que as condições para encontrar o elipsóide que limita o conjunto
de estados que são atingíveis são obtidas via uma função de Lyapunov-Razumikhin. As
condições resultantes são expressas em termos de LMIs. É importante ressaltar que, de-
vido aos modelos politópicos utilizados em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR.,
2000), (CAO; LIN; HU, 2002) e (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003) para representar a
saturação, só é possível obterem-se condições para o caso de estabilidade local.
Nos artigos (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2004) e (TAR-
BOURIECH; GOMES DA SILVA JR.; GARCIA, 2004), é apresentada uma nova meto-
dologia para tratar a saturação, utilizando a representação por zona-morta e a condição
de setor generalizada, vista na seção 2.3.2.2. Essa nova maneira de tratar a saturação,
permite que tanto condições locais como globais sejam obtidas para a estabilidade de
sistemas com atraso e saturações, usando a modelagem por não-linearidade do tipo zona-
morta. Em tais artigos, foca-se o estudo e a caracterização de regiões de estabilidade
através de estratégias de “anti-windup”, que são utilizadas com o objetivo de maximizar
2
Um vetor x é limitado em amplitude quando x
x ≤
κ
, com x ∈ℜ
n
e
κ
∈ ℜ.
36
a região de condições iniciais admissíveis. As condições de estabilidade (dependentes e
independentes do atraso) são obtidas através dos funcionais de Lyapunov-Krasovskii e
são formuladas na forma de LMIs.
Nas seções subseqüentes apresentam-se detalhadamente os trabalhos
(TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000), (CAO; LIN; HU, 2002), (FRIDMAN;
PILA; SHAKED, 2003) e (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2004),
os quais têm uma relação direta com as abordagens adotadas na tese. Para isso, formulam-
se dois problemas:
• Análise de Estabilidade e Estabilização;
• Problema de Tolerância e Atenuação à Perturbação.
3.2 Análise de Estabilidade e Estabilização
Considere o seguinte sistema linear contínuo:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + Bu(t)
(39)
com condição inicial:
x
t
0
(
θ
) =
φ
(
θ
), ∀
θ
∈ [−
τ
,0], (t
0
,
φ
) ∈ ℜ
+
×C
ν
τ
,
sendo x(t) ∈ ℜ
n
e u(t) ∈ ℜ
m
respectivamente os vetores de estado e de controle e
τ
o
atraso no tempo. A, A
d
e B são matrizes reais constantes de dimensões apropriadas.
O termo u(t) é uma entrada de controle saturante, expresso como uma função linear
do estado, ou seja, u(t) = sat(Kx(t)), cada componente de u(t) é definida por:
(u(t))
(i)
=
−u
0
(i)
se K
(i)
x(t) < −u
0
(i)
K
(i)
x(t) se −u
0
(i)
≤ K
(i)
x(t) ≤ u
0
(i)
u
0
(i)
se K
(i)
x(t) > u
0
(i)
∀i = 1, ...,m. (40)
Sob estas suposições, tem-se o seguinte sistema não linear em malha-fechada:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + Bsat(Kx(t)). (41)
O sistema (41) é dito globalmente assintoticamente estável, se para toda condição in-
icial satisfazendo
φ
c
≤
ν
, para
ν
finito, as trajetórias do sistema convergem assintotica-
mente para a origem (NICULESCU; DION; DUGARD, 1996). A respeito da estabilidade
para o caso livre do atraso (
τ
= 0), em (LIN; SABERI, 1993) pode-se ver que a determi-
nação de um controle globalmente estabilizante somente é possível quando algumas supo-
sições de estabilidade são verificadas para o sistema em malha aberta (u(t) = 0), segundo
(LIN; SABERI, 1993), quando estas hipóteses não são verificadas, somente é possível
garantir estabilidade local confome pode ser visto em (TARBOURIECH; GOMES DA
SILVA JR., 2000). Por outro lado, o sistema (41) é dito localmente assintoticamente está-
vel, se para toda condição inicial
φ
∈C
τ
pertencente a uma determinada região no espaço
de funções, as correspondentes trajetórias do sistema (41) convergem assintoticamente
para a origem do sistema (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000).
Considerando-se o sistema (41), dois tipos de problemas podem ser formulados:
37
Problema 1 (Problema de Análise): Dado K, deve-se determinar conjuntos de condi-
ções iniciais admissíveis D, para os quais a convergência das trajetórias respectivas do
sistema saturado para a origem é garantida, isto é, ∀
φ
∈ D ⊂ C
ν
τ
, o sistema é assinto-
ticamente estável. Neste caso, D é dito uma estimativa da região de atração do sistema
em malha-fechada.
Problema 2 (Problema de Síntese): Dado um conjunto de condições iniciais admissíveis
D, no qual deseja-se garantir a estabilidade assintótica do sistema em malha-fechada,
deve-se determinar uma matriz K, tal que toda trajetória do sistema (41) inicializada
nesse conjunto convirja assintoticamente para a origem. Ou ainda, determinar K de
forma que se obtenha um conjunto de condições iniciais admissíveis o maior possível.
A seguir são descritas as abordagens propostas em (TARBOURIECH; GOMES DA
SILVA JR., 2000), (CAO; LIN; HU, 2002), (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003) e
(GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2004), para resolver os Proble-
mas 1 e/ou 2 acima.
3.2.1 Abordagem Proposta em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000)
Em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000) é tratado o problema da esta-
bilização de sistemas com atrasos nos estados e saturação nos atuadores. São fornecidas
condições suficientes para a estabilização local na forma de BMIs.
Para resolver o Problema 2, utiliza-se a representação politópica para a saturação,
conforme apresentado no Capítulo 2, seção 2.3.1. Assim, se x(t) ∈ S (K,u
α
0
) o sistema
(41) pode ser descrito pelo seguinte modelo politópico (2.3.1):
˙x(t) =
2
m
∑
j=1
λ
j
(t)A
j
x(t) + A
d
x(t −
τ
), (42)
A
j
= A+ BD(
γ
j
)K, D(
γ
j
) = Diag(
γ
j(i)
) i = 1, ...,m,
γ
j(i)
= 1 ou
α
min(i)
. (43)
Adicionalmente, a matriz de ganho K deve ser tal que o modelo linear do sistema (41)
seja estável com taxa de decaimento
β
.
Considerando um vetor
α
min
tal que cada componente
α
min(i)
, satisfaça 0 <
α
min(i)
≤1
i = 1, ...,m e, definindo o conjunto
J = {j ∈ [1,2
m
]; D(
γ
j
) = I
m
},
o que permite que se considerem todas as matrizes A
j
descritas em (43), exceto a matriz
A + BK, o seguinte teorema é enunciado como resultado principal.
Teorema 5 Se existirem matrizes W,R > 0 ∈ℜ
n×n
, Y ∈ℜ
m×n
e escalares positivos
α
min
(i)
,
i = 1, ...,m e
κ
soluções das desigualdades matriciais:
(i)
WA
+ AW +Y
B
+ BY + 2
β
W + R e
βτ
A
d
W
e
βτ
WA
d
−R
< 0
(ii)
WA
+ AW +Y
D(
γ
j
)B
+ BD(
γ
j
)Y + R A
d
W
WA
d
−R
< 0, ∀j ∈ J
(iii)
W
α
min(i)
Y
(i)
α
min(i)
Y
(i)
κ
u
2
0(i)
≥ 0, i = 1,..., m
38
então a matriz de realimentação de estado K = YW
−1
garante a estabilidade assintótica
do sistema (41) em malha-fechada, para toda condição inicial na bola:
B(
δ
) = {
φ
∈ C
ν
τ
;
φ
2
c
≤
δ
},
com
δ
=
κ
−1
λ
max
(W
−1
) +
τλ
max
(W
−1
RW
−1
)
.
Demonstração: Considerando o funcional de Lyapunov-Krasovskii,
V(t,x
t
) = x
(t)Px(t) +
t
t−
τ
x
(
θ
)Sx(
θ
)d
θ
, P,S > 0. (44)
• As desigualdades (i) e (ii) garantem que
˙
V(t,x
t
) < 0,
• A desigualdade matricial (i) garante a estabilidade do sistema com taxa de decai-
mento
β
e convergência exponencial dentro da região de linearidade do sistema.
• A desigualdade matricial (iii) garante que E (W
−1
,
κ
−1
) ⊂ S (K,u
α
0
). Utilizando-
se deste fato, juntamente com a desigualdade matricial (ii), garantem-se que as
trajetórias do sistema não saem do conjunto elipsoidal E (W
−1
,
κ
−1
) para t > 0, se
φ
∈ B
τ
(
δ
).
✷
Perceba-se que o Teorema 5 fornece condições para que sejam obtidos tanto a matriz de
ganho K quanto o raio da bola de condições iniciais B
τ
(
δ
), o qual depende do tamanho
do atraso
τ
. O conjunto B
τ
(
δ
) pode ser maximizado através minimização de
κ
ou da
minimização do termo
λ
max
(W
−1
)+
τλ
max
(W
−1
)R(W
−1
), porém essa minimização pode
ser difícil e as vezes até impossível de ser obtida diretamente. Assim, consideram-se
algumas BMIs, as quais impõem condições para maximizar os autovalores de W
−1
e R,
sugere-se dessa forma o seguinte problema de otimização:
min(
σ
1
+
εκ
)
sujeito a
σ
1
> 0,
σ
2
> 0, W > 0, R > 0,
κ
> 0;
σ
1
I
n
I
n
I
n
W
≥ 0;
σ
2
I
n
−R ≥ 0;
σ
1
≥
σ
2
;
e as desigualdades matriciais (i) (ii) e (iii) do Teorema 5.
Observe que na desigualdade (i), a bilinearidade não aparece diretamente em função de
Y e
α
min
, porém, ela econtra-se indiretamente no termo Y
D(
γ
j
)B
, uma vez que,
D(
γ
j
) = Diag(
γ
j
)
e para cada j = 1,...,2
m
γ
j
é formado pelas combinações de 1 ou
α
min
(i)
.
Logo, para poder obter-se a matriz Y e o vetor
α
min
, faz-se necessário resolver este pro-
blema de otimização iterativamente: primeiro fixa-se
α
min
(i)
∀i = 1,..., m e encontra-se Y ,
e depois fixa-se Y e encontra-se o vetor
α
min
.
39
3.2.2 Abordagem Proposta em (CAO; LIN; HU, 2002)
Em (CAO; LIN; HU, 2002), trata-se a questão da estabilidade do sistema (41), uti-
lizando a modelagem politópica generalizada para a saturação, vista na Seção 2.3.1.2,
um funcional de Lyapunov-Krasovskii, uma função de Lyapunov-Razumikhin e técnicas
de LMIs. As condições obtidas em (CAO; LIN; HU, 2002) são tanto dependentes como
independentes do atraso. Assim, como em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR.,
2000), também é obtida uma região de estabilidade B
τ
(
δ
) que serve como estimativa do
domínio de atração do sistema em malha-fechada. Com o objetivo de projetar uma lei
de controle linear no estado, tal que a estimativa do domínio de atração seja maximizada,
formula-se um problema de otimização com restrições em forma de LMIs.
Com o objetivo de fornecer as condições de estabilidade, considera-se a modelagem
generalizada 2.3.1.2, sendo:
A
j
= A+ B(D
j
K + D
−
j
H) j = 1, ...,2
m
, (45)
o conjunto S (H,u
0
) e o conjunto V como definidos no Capítulo 2. Num primeiro mo-
mento, são fornecidas condições de estabilidade independente do atraso, utilizando as
abordagens de Lyapunov-Razumikhin e Lyapunov-Krasovskii. Ambos os teoremas são
apresentados a seguir, respectivamente:
Teorema 6 Seja K ∈ ℜ
m×n
. Para uma matriz P > 0 ∈ ℜ
n×n
e um número
ρ
> 0, consi-
dere o conjunto
M
V
(
ρ
) = {
φ
∈ C
τ
;
φ
(
θ
) ∈ E (P,
ρ
) ∀
θ
∈ [−
τ
,0]}.
Se existirem duas matrizes H ∈ ℜ
m×n
e S > 0 ∈ ℜ
n×n
, tais que:
A
j
P + PA
j
+ PA
d
SA
d
P + P < 0 ∀j = 1,...,2
m
P ≥ S
−1
(46)
e E (P,
ρ
) ⊂S (H, u
0
), i.e., |h
(i)
x|≤1 ∀x ∈ E (P,
ρ
), i = 1,...,m, com A
j
definida em (45),
então a solução x(t) ≡ 0 é assintoticamente estável para o sistema (41) e o conjunto
M
V
(
ρ
) é um conjunto invariante dentro do domínio de atração.
Demonstração: A demonstração deste teorema pode ser encontrada em (CAO; LIN; HU,
2002). Segue-se com alguns comentários a respeito.
✷
Observação 4 Devido ao fato de utilizar-se uma função de Lyapunov-Razumikhin qua-
drática para garantir a estabilidade do sistema, obtém-se o elipsóide E (P,
ρ
) como esti-
mativa para a região de atração.
Observe-se que o conjunto M
V
(
ρ
) está contido no domínio de atração X
0
. Assim,
define-se uma nova variável
α
R
(E (P,
ρ
))
= sup{
α
> 0;
α
E (P,
ρ
) ⊂ X
0
},
a qual determina o tamanho do conjunto X
0
com respeito à E (P,
ρ
), definindo-se ainda
uma matriz G = HQ e x
1
,..., x
l
alguns pontos dados do ℜ
n
, tais que E (P,1) = co{x
1
,..., x
l
}.
Dessa forma, em (CAO; LIN; HU, 2002), formula-se um problema de otimização que
maximiza
α
R
(E (
ρ
,P)).
40
min
S≥Q>0.G
γ
.
sujeito a:
γ
x
(i)
x
(i)
Q
≥ 0, i = 1,..., l;
QA
+ AQ + A
d
WA
d
+ Q+
+B(D
j
KQ + D
−
j
G) + (D
j
KQ + D
−
j
G)
B
< 0, j = 1,...,2
m
;
1 g
(i)
g
(i)
Q
≥ 0 i = 1,...,m.
As condições, do problema de otimização, são utilizadas respectivamente com o ob-
jetivo de:
• maximizar o conjunto
α
(E (
ρ
,P)), através da maximização de
α
. Para isso, utiliza-
se E (Q,
γ
), sendo
γ
=
1
α
2
e Q = (
ρ
−1
P)
−1
;
• satisfazer a condição (46) do Teorema 6;
• garantir que E (P,
ρ
) ⊂ S (H,u
0
).
Utilizando o mesmo funcional de Lyapunov-Krasovskii que (TARBOURIECH; GOMES
DA SILVA JR., 2000), o seguinte Teorema, o qual fornece condições independentes do
atraso para que o sistema (41) seja estável, é obtido.
Teorema 7 Seja K ∈ ℜ
m×n
uma matriz de ganho. Para P, S > 0 e
ρ
> 0, considere o
conjunto:
L
V
(
ρ
) = {
φ
∈ C
τ
:
φ
(0)P
φ
(0) +
0
−
τ
φ
(s)S
φ
(s)ds ≤
ρ
}.
Se existir uma matriz H ∈ℜ
m×n
tal que a desigualdade abaixo acontece:
A
j
P + PA
j
+ S PA
d
A
d
P −S
< 0, j ∈ [1,2
m
]
e E (P,
ρ
) ⊂ S (H,u
0
), então a solução x(t) ≡ 0 do sistema (41) é assintoticamente está-
vel. Além disso, o conjunto L
V
(
ρ
) é um conjunto invariante dentro do domínio de atração
X
0
.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em (CAO; LIN; HU, 2002). Na
sequência são feitos comentários a respeito desta.
✷
Perceba-se que o conjunto
L
V
(
ρ
) = {
φ
∈ C
τ
:
φ
(0)P
φ
(0) +
0
−
τ
φ
(s)S
φ
(s)ds ≤
ρ
}
no Teorema 7, é uma estimativa do domínio de atração, e depende não apenas de P, mas
também de uma integração sobre o intervalo [−
τ
,0]. Isto faz com que a estrutura de
L
V
(
ρ
) seja mais complicada do que o conjunto invariante M
V
(
ρ
) no Teorema 6.
Devido ao fato da dificuldade em encontrar-se a medida do conjunto L
V
(
ρ
), encontra-
se uma estimativa para o conjunto de condições iniciais admissíveis, de maneira que seja
tratável em forma de LMIs.
41
Dessa forma, observe que
φ
(0)P
φ
(0) +
0
−
τ
φ
(s)S
φ
(s)ds ≤ (
λ
max
(P) +
τλ
max
(S))
φ
2
c
,
então o seguinte conjunto
B
τ
(
δ
) = {
φ
∈ C
τ
;
φ
2
c
<
δ
,
δ
=
1
λ
max
(P) +
τλ
max
(S)
},
pode ser tomado como estimativa para o conjunto de condições iniciais admissíveis, para
as quais a estabilidade do sistema em malha-fechada é garantida.
Assim, de maneira análoga ao proposto em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA
JR., 2000), propõe-se em (CAO; LIN; HU, 2002) o seguinte problema de otimização
convexo:
min
Q>0,X>0,G,
ρ
γ
.
sujeito a
γ
(1+
τε
)x
(i)
(1 +
τε
)x
(i)
(1+
τε
)Q
> 0, Q <
ε
X, i = 1, ...,l;
QA
+ AQ + A
d
XA
d
+
B(D
(i)
KQ + D
−
(i)
G)+
(D
(i)
KQ + D
−
(i)
G)
B
Q
Q −X
< 0,i = 1,...,2
m
;
1 g
(i)
g
(i)
Q
,1 = 1,...,m.
As condições do problema de otimização, são utilizadas respectivamente com o obje-
tivo de:
• maximizar o raio da bola B
τ
(
δ
), ou seja, maximizar a estimativa do conjunto de
condições iniciais admissíveis, sendo
γ
=
1
α
2
, Q = (
ρ
−1
P)
−1
e X =
ρ
S
−1
;
• satisfazer a condição (46) do Teorema 6, com G = HQ;
• garantir que E (P,
ρ
) ⊂ S (H,1).
Em (CAO; LIN; HU, 2002) é feita também uma análise para o caso dependente do
atraso, utilizando a função de Lyapunov-Razumikhin. Para poder fazer esta análise, o
sistema (41) é reescrito utilizando a abordagem por atrasos distribuídos (NICULESCU,
2001, vol. 269), ou seja,
˙x(t) = (A + A
d
)x(t) −A
d
t
t−
τ
˙x(s)ds + Bu(t).
Abaixo apresenta-se o teorema de estabilidade para o caso dependente do atraso.
Teorema 8 Seja K a matriz de ganho de realimentação de estado. Considere o elipsóide
E (P,
ρ
). Se existirem matrizes H ∈ ℜ
m×n
, P, P
1
,P
2
> 0 ∈ ℜ
n×n
e
τ
0
> 0 tais que ∀ j =
1,..., 2
m
:
ˆ
A
j
P + P
ˆ
A
j
+
τ
0
PA
d
(P
1
+ P
2
)A
d
P + 2
τ
0
P < 0
A
j
P
−1
1
A
j
≤ P
A
d
P
−1
2
A
d
≤ P
(47)
42
e E (P,
ρ
) ⊂ S (H, u
0
), então x(t) ≡ 0 do sistema (41) é assintoticamente estável depen-
dente do atraso. Além disso, para
τ
≤
τ
0
e para toda condição inicial
φ
(
θ
) ∈ E (P,
ρ
), ∀
θ
∈ [−
τ
,0], lim
t→∞
x(t) = 0.
Com
ˆ
A
j
definido por
ˆ
A
j
= A+ A
d
+ B(D
j
K + D
−
j
H).
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em (CAO; LIN; HU, 2002). Na
sequência são feitos comentários a respeito desta.
✷
Se Q =
ρ
P
−1
, G = HQ, A
j
= A + B(D
j
K + D
−
j
H) e
¯
A
j
= A + A
d
as desigualdades
acima são equivalentes às LMIs:
Q
¯
A
j
+
¯
A
j
Q +
τ
0
A
d
(P
1
+ P
2
)A
d
+ 2
τ
0
Q+
B(D
j
KQ + D
−
j
G) + (D
j
KQ + D
−
j
G)
B
< 0;
Q (AQ + B(D
j
KQ
+
D
−
j
G))
(AQ + B(D
j
KQ
+
D
−
j
G)) P
1
≥ 0;
Q QA
d
A
d
Q P
2
≥ 0,
onde P
1
e P
2
foram trocados por P
1
/
ρ
e P
2
/
ρ
.
Perceba-se que as desigualdades matriciais apresentadas acima são efetivamente LMIs,
o que não ocorre em (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000), onde é necessá-
rio fixar a priori
α
min
, conforme visto em na seção 3.2.1. Assim, é proposto o seguinte
problema de otimização convexa, para estimar o domínio de atração do sistema (41), para
qualquer atraso
τ
≤
τ
0
.
min
Q,P
1
,P
2
>0,G
γ
sujeito a:
γ
x
(i)
x
(i)
Q
≥ 0, i = 1,..., l;
1 g
(i)
g
(i)
Q
≥ 0 i = 1,...,m;
LMIs do Teorema 8.
Perceba-se que é possível trata-se também do problema de estabilização, para isto bata
tomar Y = KQ de forma a se obter LMIs em (47).
Deve-se perceber que a utilização da modelagem politópica, tanto a modelagem direta
2.3.1 como a modelagem generalizada 2.3.1.2, as quais foram utilizadas em (TARBOU-
RIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000) e em (CAO; LIN; HU, 2002) respectivamente,
para o problema:
• Apresentam a necessidade de testar a validade das LMIs para cada um dos vértices
do politopo;
• Não fornecem condições para estabilidade global.
Na seção 3.4.2, ver-se-á que estes problemas podem ser contornados através da utili-
zação da modelagem por não-linearidade do tipo zona-morta vista na seção 2.3.2.
43
3.3 Problema de Tolerância e Atenuação à Perturbação
3.3.1 Formulação do Problema
Considere-se o seguinte sistema:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + B
u
u(t) + B
w
w(t)
z(t) = Cx(t) + D
u
sat(Kx(t)) + D
w
w(t)
x(t
0
+
θ
) =
φ
x
(
θ
) ∀
θ
∈ [−h,0] t
0
∈ ℜ
+
,
φ
x
∈ C
v
h
(48)
com uℜ
m
uma entrada de controle sujeita a saturações.
u(t) = sat(Kx(t)),
sendo x(t) ∈ ℜ
n
o vetor de estado, w(t) ∈ L
q
2
[0,∞) um sinal de perturbação exógeno
e z(t) ∈ ℜ
p
a saída controlada, A, A
d
, B
u
, B
w
, C, D
u
e D
w
, são matrizes constantes de
dimensões apropriadas. Considera-se que D
w
= 0, t
0
= 0. Supõe-se ainda que e o atraso
seja variante no tempo, satisfazendo:
0 ≤
τ
(t) ≤ h (49)
˙
τ
(t) ≤ d < 1 (50)
considera-se que h e d sejam dados.
Conforme visto no Capítulo 2, há duas maneiras de analisar a estabilidade de sistemas
perturbados, uma delas é utilizando-se a estabilidade entrada-estado e a outra é a esta-
bilidade entrada-saída. Na seção 3.3.2 apresentam-se as conclusões e análises feitas em
relação ao artigo (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003).
Problema 3 (Problema de Tolerância a Perturbação) Determinar uma cota superior
para w
2
, tal que as trajetórias do sistema permanecem limitadas.
3.3.2 Abordagem Proposta em (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003)
Em (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003) é estudada a estabilização do sistema (48)
considerando perturbações limitadas em amplitude. Assim como em (TARBOURIECH;
GOMES DA SILVA JR., 2000) e em (CAO; LIN; HU, 2002), também modela-se a satura-
ção através de um politopo convexo de matrizes, utilizando o modelo politópico descrito
na seção 2.3.1.2. Com o objetivo de demonstrar a estabilidade dependente do atraso,
reescreve-se o modelo através de sistema descritor, ao invés de utilizar o modelo com
atrasos distribuídos, procurando diminuir o conservadorismo imposto pelas trajetórias
adicionais do modelo. Também utilizam-se o funcional de Lyapunov-Krasovskii, para
obter as condições de estabilidade.
Considerando o problema (48) e o conjunto S (H, u
0
), utiliza-se o Lema 2 e procede-
se de maneira análoga a (CAO; LIN; HU, 2002) para reescrever o sistema (48) com uma
representação politópica:
˙x(t) =
∑
2
m
j=1
λ
j
(t)A
j
x(t) + A
d
x(t −
τ
) + B
w
w(t)
z(t) =
∑
2
m
j=1
λ
j
(t)C
j
x(t) + D
w
w(t)
(51)
com
A
j
= A+ B
u
(D
j
K + D
−
j
H) e C
j
= C + D
u
(D
j
K + D
−
j
H) j = 1,...,2
m
,
44
2
m
∑
j=1
λ
j
(t) = 1,
λ
j
(t) ≥ 0 ∀t > 0,
ou de maneira equivalente
˙x(t) =
¯
A(t)x(t) + A
d
x(t −
τ
) + B
w
w(t)
z(t) =
¯
C(t)x(t) + D
w
w(t)
(52)
com
¯
A e
¯
C definidas por:
¯
A =
2
m
∑
j=1
λ
j
(t)A
j
e
¯
C =
2
m
∑
j=1
λ
j
(t)C
j
.
Com a finalidade de fornecer condições para a estabilização dependente do atraso para
o sistema (52), este sistema é reescrito utilizando-se a representação por sistema descritor,
ou seja:
˙x(t) = y(t)
0 = −y(t) + (
¯
A + A
d
)x(t) −A
d
t
t−
τ
(t)
y(s)ds + B
w
w(t)
x(s) =
φ
(s)
y(s) =
˙
φ
(s), s ∈[−h,0].
(53)
Considerando-se ainda o conjunto X
δ
, definido por:
X
δ
= {
φ
∈ C
τ
;
φ
c
≤
δ
1
,
˙
φ
c
≤
δ
2
},
apresenta-se o seguinte resultado.
Teorema 9 Quando w(t) ≡ 0, o sistema (48) com o atraso
τ
e sua taxa de variação
˙
τ
satisfazendo (49) e (50) é assintoticamente estável com X
δ
contido no domínio de
atração, i.e. X
δ
⊂ X
0
, se, para algum escalar positivo
ε
, existirem matrizes simétricas
definidas positivas Q
1
, S, R, Z
1
e Z
3
∈ ℜ
n×n
, e ainda matrizes Q
2
, Q
3
, Z
2
∈ ℜ
n×n
,
Y, G ∈ ℜ
m×n
e um escalar
β
∈ ℜ que satisfazem o seguinte conjunto de desigualdades:
(i)
Q
2
+ Q
2
+ hZ
1
Σ
j
hQ
2
0 Q
1
∗ −Q
3
−Q
3
+ hZ
3
hQ
3
(
ε
−1)A
d
S 0
∗ ∗ −hR 0 0
∗ ∗ ∗ −(1 −d)S 0
∗ ∗ ∗ ∗ −S
< 0, j = 1,...,2
m
(ii)
R 0
ε
RA
d
∗ Z
1
Z
2
∗ ∗ Z
3
≥ 0
(iii)
β
g
(i)
∗ u
2
0
(i)
Q
1
≥ 0, i = 1,..., m
e
(iv)
δ
2
1
[
¯
σ
(Q
−1
1
) + h
¯
σ
(S
−1
)] +
h
2
2
δ
2
2
¯
σ
(R
−1
) ≤
β
−1
sendo
Σ
j
= Q
3
−Q
2
+ Q
1
(A
+
ε
A
d
) + (Y
D
j
+ G
D
−
j
)B
u
+ hZ
2
, (54)
então a matriz do ganho de realimentação, que estabiliza o sistema é dada por K =YQ
−1
1
.
45
Demonstração: Em (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003) é utilizado o seguinte funcio-
nal de Lyapunov-Krasovskii, para demonstrar este Teorema:
V(t, ¯x
t
) = ¯x(t)E
˜
P¯x(t) +
0
−h
t
t+
θ
y
(t)R
−1
y(s)dsd
θ
+
t
t−
τ
(t)
x
(s)S
−1
x(s)ds
(55)
com, ¯x(t) =
x(t)
y(t)
, E =
I
n
0
0 0
,
˜
P =
P
1
0
P
2
P
3
e P
1
= P
1
> 0.
Este funcional permite que as condições obtidas sejam dependentes de h, valor máxi-
mo do atraso, e d, variação máxima para o atraso.
✷
Observe que para se ter LMIs em
(
i
)
e
(
ii
)
, é necessário fixar-se
ε
.
Comparando-se as abordagem de (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003) e de (CAO;
LIN; HU, 2002), percebem-se as seguintes diferenças:
• em (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003) utiliza-se o modelo descritor para obte-
rem-se condições dependentes do atraso, o que leva a uma redução do conservado-
rismo imposto pela representação por atrasos distribuídos utilizada em (CAO; LIN;
HU, 2002);
• essa representação para o sistema faz com que apareça a dependência de
˙
φ
no
conjunto de condições iniciais admissíveis.
Com o intuito de considerar o caso em que há perturbações limitadas em amplitude, atu-
ando no sistema, ou seja, para w(t) = 0, define-se o seguinte conjunto
W = {w ∈ ℜ
q
;w
w ≤ ¯w}.
Então, utilizando um sistema equivalente, com atrasos distribuídos (NICULESCU, 2001,
vol. 269), enuncia-se o Lema 4 abaixo, o qual é utilizado conjuntamente com o Teorema
10, com o objetivo de garantir condições para estabilidade entrada-estado.
Lema 4 Dados P > 0 ∈ ℜ
n×n
, K ∈ ℜ
m×n
e escalares positivos
β
e ¯w, as trajetórias do
sistema (48) permanecem dentro do elipsóide E (P,
β
) para todo w(t) ∈ W ,
φ
(
θ
) ≡ 0 e
um atraso
τ
que satisfaz (49), se existirem matrizes W ∈ ℜ
n×n
, G ∈ ℜ
m×n
e escalares
positivos
γ
k
, k = 0,...,3 e
λ
,
λ
1
e
λ
2
que satisfazem o seguinte conjunto de desigualdades
(i)
Ψ PB
w
PA
d
−W hW(A + B
u
(D
j
K + D
−
j
H)) hWA
d
hW B
w
∗ −
λ
2
I 0 0 0 0
∗ ∗ −
γ
0
P 0 0 0
∗ ∗ ∗ −h
γ
1
P 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −h
γ
2
P 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −h
γ
3
I
≤ 0,
(ii) (
λ
2
+
γ
3
h) ¯w
β
−
λ
1
≤ 0,
(iii)
β
g
(i)
P
∗ u
2
0
(i)
P
≥ 0, i = 1,..., m
com
Ψ = P(A + B
u
(D
j
K + D
−
j
H) + (A +B
u
(D
j
K + D
−
j
H)
P))+
W +W
+ (
λ
1
+ h(
γ
1
+
γ
2
))P, j = 1,...,2
m
.
46
Demonstração: A demonstração deste Lema pode ser encontrada em (FRIDMAN; PILA;
SHAKED, 2003). Na seqüencia seguem-se alguns comentários a respeito desta.
✷
Perceba-se que é necessário fixar-se
γ
k
, k = 0, ...,3, com o objetivo de obterem-se LMIs.
O Lema 4 garante condições para que as trajetórias x(t) do sistema em malha-fechada
permaneçam limitadas no elipsóide E (P,
β
), quando
φ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈[−
τ
,0]. Utilizando-
se o Teorema de estabilidade de Lyapunov-Razumikhin, tem-se que se a condição (i) for
satisfeita, então a desigualdade
˙
V(x(t)) +
λ
1
V(x(t)) ≤ 0, (56)
também é satisfeita e, uma vez que
λ
2
w
w + h
γ
3
¯w ≥ 0, pode-se escrever
˙
V(x(t)) +
λ
1
V(x(t)) −
λ
2
w
w −h
γ
3
¯w ≤ 0, (57)
agora utilizando-se a condição (ii) em (57), obtém-se
˙
V(x(t)) +
λ
1
(V (x(t)) −
β
−1
) +
λ
2
( ¯w −w
w) ≤ 0. (58)
Observe que esta desigualdade garante que
˙
V(x(t)) < 0, ∀x(t) ∈
∂
E (P,
β
) desde que
w ∈ W . Conclui-se assim que para
φ
(
θ
) = 0 as trajetórias ficam confinadas em E (P,
β
).
Similarmente ao Teorema 9, o teorema que é enunciado abaixo tem por objetivo obter
condições tanto para a limitação dos estados como para o ganho-L
2
. Para isso considera-
se a seguinte desigualdade:
˙
V(x(t)) + z
(t)z(t) −
γ
2
w
(t)w(t) < 0, (59)
sendo V dado por (55).
Teorema 10 Dados escalares positivos
γ
e ¯w, existe um ganho de realimentação de es-
tado K que estabiliza (48) internamente e implica em
J
= z
2
2
−
γ
2
w
2
2
< 0, ∀w = 0 ∈ W , x
t
0
=
φ
(
θ
) ≡ 0, ∀
θ
∈ [−
τ
,0] (60)
para todo atraso
τ
que satisfaz (49) e (50), se para parâmetros de ajuste
ε
e
¯
ε
existirem
matrizes simétricas definidas positivas Q
1
, S, R, Z
1
e Z
3
∈ℜ
n×n
, matrizes Q
2
, Q
3
∈ℜ
n×n
e matriz G ∈ ℜ
m×n
e ainda escalares positivos
β
,
γ
k
, k = 0,...,3 e
λ
que satisfazem as
seguintes desigualdades matriciais para j = 1,...2
m
(i)
Q
2
+ Q
2
+hZ
1
Σ
j
Q
1
hQ
2
Σ
2 j
0 0
∗ −
Q
3
+ Q
3
+hZ
3
0 hQ
3
0 B
w
(
¯
ε
−1)A
d
S
∗ ∗ −S 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ −hR 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −I 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
γ
2
I
q
0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −(1−d)S
< 0
47
(ii)
R 0
¯
ε
RA
d
∗ Z
1
Z
2
∗ ∗ Z
3
≥ 0
(iii)
Ψ
1 j
B
w
(1−
ε
)A
d
ε
h(AQ
1
+ B
u
(D
j
Y + D
−
j
G))
ε
hA
d
Q
1
ε
hB
w
∗ −
λ
I 0 0 0 0
∗ ∗ −
γ
0
Q
1
0 0 0
∗ ∗ ∗ −h
γ
1
Q
1
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −h
γ
2
Q
1
0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −h
γ
3
I
≤ 0
(iv)
β
g
(i)
∗ u
2
0(i)
Q
1
≥ 0, i = 1,..., m
com
Ψ
1 j
= (A+
ε
A
d
)Q
1
+ Q
1
(A
+
ε
A
d
) + B
u
(D
j
Y + D
−
j
G) + (Y
D
j
+ G
D
−
j
)
B
u
+
((
λ
+ h
γ
3
) ¯w
β
+
γ
0
+ h(
γ
1
+
γ
2
))Q
1
P,
Σ
j
como definido em (54) e Σ
2 j
= Q
1
C
+ (Y
D
j
+ G
D
−
j
)D
u
.
Assim, se existir uma solução, a matriz de ganho de realimentação que garante o desem-
penho desejado é dada por K = YQ
−1
1
.
Demonstração: A demonstração do Teorema pode ser encontrada em (FRIDMAN; PILA;
SHAKED, 2003). Na seqüencia seguem-se alguns comentários a respeito das condições
(i) −(iv).
✷
As condições (i) e (ii) fazem com que a lei de controle de realimentação de estados
garanta que as trajetórias do sistema permaneçam limitadas ao elipsóide E (P,
β
), para
todo w(t) ∈ W . Estas condições são obtidas utilizando-se a função de Lyapunov-Razu-
mikhin. Já as condições (iii) e (iv) são utilizadas com o objetivo de garantir o ganho-L
2
e são obtidas através da utilização do funcional de Lyapunov-Krasovskii.
3.4 Problema de “Anti-windup”
3.4.1 Formulação do Problema
Segundo (ZACCARIAN; NESIC; TEEL, 2005) a estratégia de “anti-windup” consiste
em projetar um compensador, o qual é conectado a um controlador existente em uma
planta que esta sujeita a entradas saturadas. Tal estratégia, é indicada para controladores
que tenham sido projetados sem considerar os efeitos da saturação, seu objetivo pode ser
recuperar da melhor maneira possível a performance do sistema.
A estratégia de “anti-windup” pode então ser vista como a adição de uma estrutura
(estática ou dinâmica) a um controlador pré-calculado ou projetado (sem levar em conta as
não-linearidades dos atuadores), de forma a minimizar os efeitos indesejáveis provocados
por estas não-linearidades no comportamento do sistema em malha-fechada.
48
Com o objetivo de formular o problema de “anti-windup”, considera-se o seguinte
sistema
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
(61)
com condições iniciais
x(t
0
+
θ
) =
φ
x
(
θ
), ∀
θ
∈ [−
τ
,0],
φ
x
∈ C
ν
τ
sendo y(t) ∈ℜ
p
o vetor de saída do sistema. Seja agora um compensador de estabilização
dinâmica de saída de ordem n
c
, dado por:
˙
η
(t) = A
c
η
(t) + B
c
y(t)
y
c
(t) = C
c
η
(t) + D
c
y(t)
(62)
com
η
(t) ∈ ℜ
n
c
o estado do controlador, u
c
(t) = y(t) ∈ ℜ
p
a entrada de controle e y
c
(t) ∈
ℜ
m
a saída de controle. Este controlador é projetado com o objetivo de garantir um
certo nível de desempenho e a estabilidade do sistema em malha-fechada, na ausência de
saturação de controle.
Considera-se que o sinal de controle é saturante,
u(t) = sat(y
c
(t)). (63)
Adiciona-se então um compensador de “anti-windup” estático, dado por:
E
c
(sat(y
c
(t)) −y
c
(t)), com E
c
∈ ℜ
n
c
×m
ao controlador, com o objetivo de amenizarem-se os efeitos de “windup” causados pela
saturação. Assim, o sistema em malha-fechada será dado por:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + Bsat(y
c
(t))
y(t) = Cx(t)
˙
η
(t) = A
c
η
(t) + B
c
y(t) + E
c
(sat(y
c
(t)) −y
c
(t))
y
c
(t) = C
c
η
(t) + D
c
y(t).
(64)
Problema 4 (Problema de anti-windup) Dado um conjunto de condições iniciais ad-
missíveis D, no qual deseja-se garantir a estabilidade assintótica do sistema em malha-
fechada, deve-se determinar um ganho de “anti-windup” E
c
de forma a:
• Aumentar a região de estabilidade (estimativa da região de atração) do sistema em
malha fechada,
ou
• Dado um conjunto D de condições iniciais admissíveis, garantir que toda a tra-
jetória do sistema inicializada em D convirja assintoticamente para a origem.
Na seção 3.4.2 descreve-se a abordagem apresentada em (GOMES DA SILVA JR.; TAR-
BOURIECH; GARCIA, 2004) e em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GAR-
CIA, 2006), a qual utiliza a estratégia de “anti-windup”, com o objetivo de aumentar a
região de estabilidade do sistema em malha-fechada.
49
3.4.2 Abordagem Proposta em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GAR-
CIA, 2004)
Com o objetivo de estimar e/ou maximizar o conjunto de condições iniciais para o
sistema (61) e ainda melhorar seu desempenho dinâmico, em (GOMES DA SILVA JR.;
TARBOURIECH; GARCIA, 2004) e em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH;
GARCIA, 2006), é sintetizado um laço de “anti-windup”, o qual é adicionado a um
controlador dinâmico pré-calculado. As técnicas empregadas garantem estabilidade local
ou global. Nesse trabalho, destaca-se a modelagem da saturação, por uma não-linearidade
tipo zona-morta (29), e a utilização da condição de setor generalizada, apresentada em
2.3.2.2. As condições fornecidas são tanto dependentes como independentes do atraso.
Para a obtenção de tais condições, utiliza-se um funcional de Lyapunov-Krasovskii.
Considerando o sistema (64), são definidos um vetor estendido e as seguintes matrizes,
respectivamente:
ξ
(t) =
x(t)
η
(t)
; A =
A + BD
c
C BC
c
B
c
C A
c
; A
d
=
A
d
0
0 0
;
B =
B
0
; R =
0
I
n
c
; K =
D
c
C C
c
.
Assim, o sistema em malha-fechada (64) é dado por:
˙
ξ
(t) = A
ξ
(t) + A
d
ξ
(t −
τ
) −(B + RE
c
)
ψ
(K
ξ
(t)) (65)
com condição inicial
ξ
(t
0
+
θ
) =
φ
(
θ
) =
x(t
0
+
θ
)
η
(t
0
+
θ
)
=
φ
x
φ
η
;
θ
∈ [−
τ
,0].
Sendo
ψ
(K
ξ
(t)) = y
c
(t) −sat(y
c
(t)) = K
ξ
(t) −sat(K
ξ
(t))
uma não-linearidade do tipo zona-morta, como definida em (29), satisfazendo então a
relação
ψ
(K
ξ
(t))T [
ψ
(K
ξ
) −F
ξ
] ≤ 0, ∀
ξ
∈ S (K −F,u
0
), ∀T > 0 diagonal, (66)
com
S (K −F,u
0
)
= {x ∈ ℜ
n
;|(K −F)
(i)
|x ≤ u
0
(i)
, i = 1,...,m}. (67)
Perceba-se que a equação (66) é uma condição de setor generalizada, conforme visto
no Capítulo 2.
Diferentemente de (CAO; LIN; HU, 2002) e (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003),
ao invés da função de Lyapunov-Razumikhin, em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOU-
RIECH; GARCIA, 2004), enuncia-se uma condição de estabilidade independente do
atraso, utilizando-se o seguinte funcional de Lyapunov-Krasovskii:
V(t,
ξ
t
) =
ξ
(t)P
ξ
(t) +
t
t−
τ
ξ
(
θ
)S
ξ
(
θ
)d
θ
com P = P
> 0, S = S
> 0.
50
Teorema 11 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas W e R ∈ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
,
uma matriz diagonal definida positiva G ∈ ℜ
m×m
, matrizes
Y ∈ ℜ
m×(n+n
c
)
e Z ∈ ℜ
n
c
×m
satisfazendo:
(i)
WA
+ AW + R A
d
W BG+ RZ −Y
∗ −R 0
∗ ∗ −2G
< 0
(ii)
W W K
(i)
−Y
(i)
∗ u
2
0(i)
≥ 0, i = 1,..., m
então, para E
c
= ZG
−1
, segue que todas as condições iniciais
φ
∈ B
τ
(
δ
), com
δ
=
1
λ
max
(W
−1
) +
τλ
max
(W
−1
RW
−1
)
(68)
as correspondentes trajetórias do sistema (65) convergem assintoticamente para a ori-
gem.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em (GOMES DA SILVA JR.; TAR-
BOURIECH; GARCIA, 2004). Na sequência faz-se alguns comentários a respeito desta.
✷
Agora, apresentam-se as condições obtidas por (GOMES DA SILVA JR.; TARBOU-
RIECH; GARCIA, 2004) para a estabilidade dependente do atraso do sistema (65). As-
sim como (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000), (CAO; LIN; HU, 2002)
em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2004) também reescreve-se o
sistema com atrasos distribuídos, ou seja:
˙
ξ
(t) = (A + A
d
)
ξ
(t) −(B + RE
c
)
ψ
(K
ξ
(t)) −
0
−
τ
A
d
A
d
ξ
(t +
β
−
τ
)d
β
−
0
−
τ
[A
d
A
ξ
(t +
β
) −A
d
(B + RE
c
)
ψ
(K
ξ
(t +
β
))]d
β
(69)
com condição inicial
ξ
(t
0
+
θ
) =
φ
(
θ
),
θ
∈ [−2
τ
,0].
Neste caso, o seguinte funcional de Lyapunov-Krasovskii é considerado:
V(t,
ξ
t
) =
ξ
(t)
P
ξ
(t) +
0
−
τ
t
τ
+
θ
ξ
(s)(A
X
−1
A + A
d
R
−1
A
d
)
ξ
(s)dsd
θ
+
0
−
τ
t
τ
+
θ
ξ
(s)(B + RE
c
)
H
−1
(B + RE
c
)
ξ
dsd
θ
sendo P, R
−1
, X
−1
e H
−1
matrizes definida positivas.
Teorema 12 Dado
τ
> 0, se existirem matrizes simétricas definidas positivas W, X,
R e H ∈ ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
, uma matriz diagonal definida positiva G ∈ ℜ
m×m
, matrizes
Y ∈ ℜ
m×(n+n
c
)
e Z ∈ ℜ
n
c
×m
satisfazendo:
(i)
W(A + A
d
)
+
(A + A
d
)W +
τ
A
d
(X +R + H)A
d
τ
WA
τ
WA
d
BG+
RZ −Y
0
∗ −
τ
X 0 0 0
∗ ∗ −
τ
R 0 0
∗ ∗ ∗ −2G
τ
(GB
+ Z
R
)
∗ ∗ ∗ ∗ −
τ
H
< 0
51
(ii)
W W K
(i)
−Y
(i)
∗ u
2
0
(i)
≥ 0, i = 1,..., m,
então, para E
c
= ZG
−1
, segue que para toda condição inicial
φ
∈ B
2
τ
(
δ
) com
δ
= (
λ
max
(W
−1
) +
3
τ
2
2
λ
max
(A
d
R
−1
A
d
) +
τ
2
2
λ
max
(A
X
−1
A)
+
τ
2
2
λ
max
((B + RE
c
)
H
−1
(B + RE
c
))YW
−1
2
)
−1
,
as trajetórias correspondentes ao sistema (65) convergem assintoticamente para a ori-
gem.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em (GOMES DA SILVA JR.; TAR-
BOURIECH; GARCIA, 2004).
✷
Observe-se que os Teoremas 11 e 12 garantem condições para estabilidade local. Com
o objetivo de garantirem estabilidade global, em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOU-
RIECH; GARCIA, 2004) são enunciados Corolários, respectivamente para o caso depen-
dente do atraso e independente do atraso. Para o caso de estabilidade global, os Teoremas
11 e 12 apresentam apenas a condição (i), sendo Y = KW. Convém destacar que os re-
sultados obtidos em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2004) são
válidos para atrasos invariantes no tempo.
3.5 Conclusão
Conforme visto neste capítulo, inicialmente os primeiros trabalhos tratavam da estabi-
lidade de sistemas com atraso no tempo e saturação nos atuadores, utilizando a estratégia
da desigualdade de norma ou de medidas matriciais para tratar a saturação, juntamente
com a equação de Riccati para garantir a estabilidade do sistema. Cabe ressaltar que os
atrasos eram considerados invariantes no tempo. As condições obtidas eram tanto de-
pendentes do atraso como independentes e eram garantidas somente em âmbito global.
Uma das desvantagens desses métodos é o fato das condições não serem convexas e outra
é o conservadorismo imposto pelo utilização da desigualdade de norma e pelas medidas
matriciais.
Num segundo momento, os trabalhos começam a utilizar funções de Lyapunov-Razu-
mikhin e funcionais de Lyapunov-Krasovskii, para garantir a estabilidade e estimar conjun-
tos de condições iniciais admissíveis. Com o objetivo de tratar a saturação de maneira a
garantir a estabilidade local, são utilizadas a modelagem politópica e a politópica gene-
ralizada para a saturação, com as quais obtêm-se condições em forma de BMIs e LIMs
respectivamente. Uma desvantagem que se tem com a utilização destas modelagenens é
o número de inequações que se resolve para garantir a estabilidade.
Somente numa terceira fase das pesquisas, é que consegue-se garantir a estabilidade
tanto num âmbito local quanto global e obterem-se condições na forma direta de LMIs,
isso graças à modelagem da saturação por função zona-morta e a conseqüente utilização
da condição de setor generalizada.
Viu-se também que se o sistema está sujeito a perturbações, então é utilizado como
hipótese o fato destas serem limitadas em amplitude, a fim de garantir a estabilidade
entrada-estado.
52
Outro fato que pôde ser percebido é que já havia preocupações com os efeitos de “win-
dup” causados pela saturação, então estes eram levados em conta através de estratégias
de “anti-windup”.
Percebeu-se também que nenhum dos trabalhos desenvolvidos até o presente mo-
mento obtém condições para estabilização local e global para sistemas em que o atraso
seja variante no tempo, bem como a possibilidade de considerar que as perturbações que
atuassem sobre o sistema fossem limitadas em norma L
2
.
Constatou-se também que não são encontrados na literatura trabalhos que investiguem
a estabilização por realimentação dinâmica de saída, bem como da síntese de compensa-
dores de “anti-windup” estáticos ou dinâmicos para sistemas apresentando atrasos nos
estados, capazes de garantir estabilidade entrada-estado e entrada-saída nos âmbitos lo-
cais e globais em forma direta de LMIs.
Em se tratando de sistemas discretos, também encontram-se questões ainda não in-
vestigadas como a formalização do problema da estabilização local e global, juntamente
com a possibilidade da estimativa de conjuntos de condições iniciais admissíveis, a partir
de LMIs, para o caso de atrasos variantes no tempo e/ou incertos.
Dessa forma, nos próximos capítulos procura-se atacar estes problemas, apresentando
condições na forma de inequacoes matriciais lineares (LMIs) ou quase lineares, o que
possibilita obter soluções a partir da resolução de problemas de otimizacao convexos.
53
4 ESTABILIZAÇÃO POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS
4.1 Introdução
Neste capítulo, apresentam-se os resultados obtidos em relação ao problema de sín-
tese, ou seja, o problema de estabilização por realimentação de estados. Para a obtenção
das condições de estabilização, utilizam-se funcionais de Lyapunov-Krasovskii e fun-
ções de Lyapunov-Razumikhin, a representação de sistema descritor (FRIDMAN; PILA;
SHAKED, 2003) e a condição de setor generalizada, vista na seção 2.3.2.2. Estas fer-
ramentas permitem que se obtenham condições tanto locais quanto globais, dependentes
ou independentes do atraso. Em particular, no caso de estabilização local, as condições
que se obtém fornecem estimativas da região de atração do sistema em malha-fechada.
Considerando-se que o sistema esteja sujeito a perturbações, determinam-se condições
para a estabilidade entrada-estado e entrada-saída, ou seja, estuda-se o nível de atenuação
e tolerância à perturbação. Para fazer este estudo utiliza-se a norma L
2
.
4.2 Estabilização Interna
Considere o sistema:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + Bu(t). (70)
Supõe-se que a entrada de controle esteja sujeita a saturações, ou seja
u(t) = sat(Kx(t)).
Utilizando a definição para
ψ
(Kx(t)), apresentada na seção 2.3.2, onde
ψ
é uma não-
linearidade do tipo zona-morta descentralizada, pode-se reescrever o sistema (70) como:
˙x(t) = (A + BK)x(t) + A
d
x(t −
τ
) −B
ψ
(Kx(t)). (71)
Assim, o objetivo deste capítulo é determinar uma matriz K, tal que toda trajetória
do sistema (70) inicializada em um conjunto D convirja assintoticamante para a origem.
Este problema pode ser visto como um problema de síntese, apresentado na seção 3.2.
Considera-se assim, dois tipos de conjuntos:
• B
τ
(
δ
)
= {
φ
∈C
τ
;
φ
2
c
<
δ
}, definido no espaço das funções definidas no intervalo
[−
τ
,0].
• E (P)
= {x ∈ ℜ
n
;x
Px ≤ 1}, definido no espaço ℜ
n
.
54
Considerando-se uma matriz G ∈ ℜ
m×n
, a definição do conjunto S = S (K −G, u
0
)
dada em (35) e através da utilizaçao Lema 3, enunciam-se teoremas que fornecem con-
dições de estabilização independente/dependente do atraso, para os casos local e global,
utilizando as abordagens de Lyapunov-Razumikhin e Lyapunov-Krasovskii.
4.2.1 Condições Independentes do Atraso
Assim como em (CAO; LIN; HU, 2002), enuncia-se um teorema baseado na aborda-
gem de Lyapunov-Razumikhin, o qual fornece condições necessárias de estabilidade do
sistema, para toda condição inicial
φ
(
θ
) = x(t +
θ
) ∈ E (P), ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
Por serem independentes do atraso, as condições obtidas implicam na possibilidade do
atraso poder ser variante no tempo e a estabilidade poder ser garantida para qualquer
valor do atraso.
Antes de enunciar-se o teorema, deve-se lembrar que para um sistema ser estável,
independentemente do atraso, faz-se necessário que as matrizes A + A
d
sejam Hurwitz e
que a matriz A −A
d
não seja estritamente instável (NICULESCU, 2001, vol. 269).
Teorema 13 (Razumikhin-Local - IA) Se existir uma matriz simétrica definida positiva
W ∈ ℜ
n×n
, uma matriz diagonal definida positiva U ∈ ℜ
m×m
, matrizes Y ∈ ℜ
m×n
e H ∈
ℜ
m×n
satisfazendo:
(i)
WA
+ AW +Y
B
+ BY +W + A
d
XA
d
−BU + H
∗ −2U
< 0
(ii) X −W > 0
(iii)
W Y
(i)
−H
(i)
∗ u
2
0
(i)
≥ 0 ∀i = 1,...,m
então, considerando-se K = YW
−1
para todas as condiço
˜
es iniciais
φ
, tais que
x(t
0
+
θ
) ∈ E (P), ∀
θ
∈ [−
τ
,0],
as trajetórias do sistema (71) em malha-fechada convergem assintoticamente para a ori-
gem.
Demonstração: Seja V : ℜ
n
→ ℜ definida por:
V(x(t)) = x
(t)Px(t). (72)
Considerando-se o conjunto S e o Lema 3, ∀x(t) ∈ S tem-se que:
˙
V(x(t)) ≤ 2x
(t)(A + BK)
Px(t) + 2x
(t −
τ
)A
d
Px(t)+
2
ψ
(Kx(t))(TG −B
P)x(t) −2
ψ
(Kx(t))T
ψ
(Kx(t)).
Utilizando-se a desigualdade 2u
v ≤ u
M
−1
u + v
Mv, tem-se:
˙
V(x(t)) ≤ 2x
(t)(A + BK)
Px(t) + x
(t −
τ
)Mx(t −
τ
) + x
(t)PA
d
M
−1
A
d
Px(t)−
2
ψ
(Kx(t))T
ψ
(Kx(t)) + 2
ψ
(Kx(t))(TG −B
P)x(t).
55
Seja:
ϒ = x
(t)[(A + BK)
P + P(A + BK) + PA
d
M
−1
A
d
P]x(t)+
2
ψ
(Kx(t))(TG −B
P)x(t) −2
ψ
(Kx(t))T
ψ
(Kx(t)).
Note-se que
˙
V(x(t)) ≤ ϒ + x
(t −
τ
)Mx(t −
τ
).
Se P = W
−1
e M
−1
= X, de (ii) obtém-se que
x
(t −
τ
)Mx(t −
τ
) < x
(t −
τ
)Px(t −
τ
)
e, portanto:
˙
V(x(t)) ≤ ϒ +V (x(t −
τ
)). (73)
Definindo-se P = W
−1
, U = T
−1
, K = YW
−1
, G = HW
−1
e X = M
−1
e pré e pós
multiplicando-se (i) por Diag(P, T) o resultado será:
(A + BK)
P + P(A + BK) + P + PA
d
XA
d
P −PB + G
T
∗ −2T
< 0. (74)
Assim, se (74) é satisfeita, segue que ϒ + x
(t)Px(t) < 0, logo existe
δ
> 0 tal que:
ϒ + x
(t)Px(t) < −2
δ
x
(t)Px(t) ⇔
ϒ + (1+
δ
)x
(t)Px(t) < −
δ
x
(t)Px(t).
(75)
Da abordagem de Razumikhin, conforme visto na seção (2.1.1), para provar-se a estabili-
dade do sistema é suficiente garantir que
˙
V(x(t)) ≤ 0
para x(t) tal que
V(x(t +
θ
)) <
ε
V(x(t)),
θ
∈ [−
τ
,0].
Neste caso, considerando-se
ε
= 1+
δ
, de (73) e de (75) tem-se que:
˙
V(x(t)) < −
δ
x
(t)Px(t) −
ε
x
(t)Px(t) + x
(t −
τ
)Px(t −
τ
),
(76)
e portanto
˙
V(x(t)) < 0, ∀x(t) ∈ S , se V (x(t +
θ
)) <
ε
V(x(t)),
θ
∈ [−
τ
,0].
(77)
Agora, pré e pós multiplicando-se a condição (iii) por Diag(P, I), tem-se:
P K
(i)
−G
(i)
∗ u
2
0
(i)
≥ 0 ∀i = 1,...,m.
Desta desigualdade, conclui-se que E (P) ⊂ S (BOYD et al., 1994). Da definição de
V(x(t)) tem-se:
λ
min(P)
x(t)
2
≤V(x(t)) ≤
λ
max(P)
x(t)
2
.
Por outro lado, ∀
φ
, tal que,
φ
(
θ
) = x(t
0
+
θ
) ∈ E (P), ∀
θ
∈ [−
τ
,0],
tem-se que x(0) ∈ S e então efetivamente
˙
V(x(t)) ≤ −
δ
V(x(t)) < 0, ∀t ≥ 0.
Logo, pelo Teorema de Razumikhin, conclui-se que a estabilidade assintótica da origem
é garantida ∀
φ
tal que x(t
0
+
θ
) ∈ E , ∀
θ
∈ [−
τ
,0] .
56
✷
Abaixo enunciam-se condições independentes do atraso para a estabilidade global do sis-
tema (71).
Corolário 1 (Razumikhin-Global - IA) Se existir uma matriz simétrica definida posi-
tiva W ∈ ℜ
n×n
, uma matriz diagonal definida positiva U ∈ ℜ
m×m
, matrizes Y ∈ ℜ
m×n
e
H ∈ ℜ
m×n
satisfazendo as desigualdades (i) e (ii) do Teorema 13, com H = GW, então,
considerando-se K = YW
−1
, a origem do sistema (71) é globalmente assintoticamente
estável.
Demonstração: É suficiente considerar-se H = GW na demonstração do Teorema 13.
Neste caso, a desigualdade do Lema 3 é verificada para todo x(t) ∈ ℜ
n
, e, portanto,
garante-se a estabilidade assintótica global da origem.
✷
Utilizando-se o Teorema de estabilidade de Lyapunov-Krasovskii, Teorema 1, enuncia-
se um resultado análogo ao do Teorema 13. Observe-se que para este caso a região de
estabilidade será dada por uma bola no espaço de funções sobre o intervalo [−
τ
,0], e não
mais por um elipsóide. Observe-se também que apesar da condição de estabilização ser
independente do atraso, a região de estabilidade dependerá do mesmo.
Teorema 14 (Krasovskii-Local - IA) Se existirem matrizes simétricas definidas positi-
vas W e R ∈ℜ
n×n
, uma matriz diagonal definida positiva U ∈ℜ
m×m
, matrizes Y ∈ ℜ
m×n
e H ∈ ℜ
m×n
satisfazendo:
(i)
WA
+ AW +Y
B
+ BY + R −BU + H
A
d
W
∗ −2U 0
∗ ∗ −R
< 0
(ii)
W Y
(i)
−H
(i)
∗ u
2
0
(i)
≥ 0 ∀i = 1,...,m
então, considerando-se K = YW
−1
, para todas as condiço
˜
es iniciais
φ
pertencentes ao
conjunto B
τ
(
δ
), com
δ
= (
λ
max
(W
−1
) +
τλ
max
(W
−1
RW
−1
))
−1
,
as trajetórias do sistema do (71) em malha-fechada convergem assintoticamente para a
origem.
Demonstração: Seja V : ℜ×D → ℜ definida por:
V(t,x
t
) = x
(t)Px(t) +
t
t−
τ
x
(
θ
)Sx(
θ
)d
θ
. (78)
A derivada de V (t, x
t
) ao longo das trajetórias do sistema é então dada por:
˙
V(t,x
t
) = 2(x
(t)(A + BK)
−
ψ
(Kx(t))B
+ x
(t −
τ
)A
d
)Px(t) + x
(t)Sx(t)−
x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
).
(79)
57
Pela desigualdade
x(t −
τ
) −S
−1
A
d
Px(t)
S
x(t −
τ
) −S
−1
A
d
Px(t)
≥ 0,
a qual é equivalente a
−x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
) + 2x
(t)PA
d
x(t −
τ
) ≤ x
(t)PA
d
S
−1
A
d
Px(t)
e, utilizando-se o Lema 3, ∀x(t) ∈ S segue que:
˙
V(t,x
t
) < 2(x
(t)(A + BK)
−
ψ
(Kx(t))B
+ x
(t −
τ
)A
d
)Px(t)+
x
(t)Sx(t) −x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
) −2
ψ
(Kx(t))T[
ψ
(Kx(t)) −Gx(t)].
(80)
Definindo-se agora K = YW
−1
, U = T
−1
, G = HW
−1
, R = WSW, W = P
−1
e pré e
pós multiplicando-se (i) por Diag(P,T, P), segue que a satisfação de (i) é suficiente para
garantir que:
2(x
(t)(A + BK)
−
ψ
(Kx(t))B
+ x
(t −
τ
)A
d
)Px(t) + x
(t)Sx(t)−
x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
) + 2x
(t)G
TB
ψ
(Kx(t)) −2
ψ
(Kx(t))T
ψ
(Kx(t)) < 0
e, portanto,
˙
V(t,x
t
) < 0, ∀x(t) ∈ S .
De (ii) segue-se que E (P) ∈ S (BOYD et al., 1994).
Seja agora, x
t
0
(
θ
) =
φ
(
θ
), ∀ ∈ [−
τ
,0], para
φ
∈ B
τ
(
δ
). Se
˙
V(t,x
t
) < 0, para t ≥ t
0
,
tem-se:
x
(t)Px(t) ≤V(t
0
,x
t
0
) ≤V(t,
φ
) = x
(t
0
)Px(t
0
) +
t
0
t
0
−
τ
x(s)
Sx(s)ds ≤
(
λ
max
(P) +
τλ
max
(S))
φ
2
c
≤ (
λ
max
(P) +
τλ
max
(S))
δ
= 1.
Logo segue que, se
φ
∈ B
τ
(
δ
), então
x(t) ∈ E (P) ⊂ S , ∀t ≥t
0
,
e, efetivamente,
˙
V(t,x
t
) < 0, ∀t ≥ 0.
Como
λ
min
(P)
φ
(t
0
)
2
≤V(t,
φ
) ≤ (
λ
max
(P) +
τλ
max(S))
φ
2
c
,
as condições do Teorema 1 são satisfeitas ∀
φ
∈ B
τ
(
δ
) e, por conseguinte, as correspon-
dentes soluções do sistema em malha-fechada convergem assintoticamente para a origem.
✷
Analogamente ao caso Razumikhin-Global, é possível enunciar condições de estabilidade
Global.
Corolário 2 (Krasovskii-Global - IA) Se existirem matrizes simétricas definidas positi-
vas W e R ∈ℜ
n×n
, uma matriz diagonal positiva U ∈ℜ
m×m
, matrizes Y e H ∈ℜ
m×n
satis-
fazendo a condição (i) do Teorema 14, com H = GW, então considerando-se K = YW
−1
,
a origem do sistema (71) é globalmente assintoticamente estável.
Demonstração: É suficiente considerar-se H = GW na demonstração do Teorema 14.
Neste caso, a desigualdade do Lema 3 é verificada para todo x(t) ∈ ℜ
n
, e, portanto,
garante-se a estabilidade assintótica global da origem.
✷
58
4.2.2 Condições Dependentes do Atraso
Como bem pode-se observar, os Teoremas 13 e 14 não apresentam nas LMIs a de-
pendência do atraso, ainda que a região de estabilidade seja dependente do mesmo. Para
elaborar condições dependentes do atraso nas LMIs, trabalha-se com o sistema transfor-
mado, o qual apresenta atrasos distribuídos.
Considerando-se o sistema (71) com
θ
∈ [−
τ
,0] e utilizando-se a fórmula de New-
ton/Leibnitz, obtém-se o sistema transformado, (NICULESCU, 2001, vol. 269):
˙x(t) = (A + BK + A
d
)x(t) −A
d
t
t−
τ
[(A+ BK)x(s) + A
d
x(s −
τ
) −B
ψ
(Kx(s))]ds−B
ψ
(Kx(t)),
(81)
com condição inicial x
t
0
(
θ
) =
φ
(
θ
), ∀
θ
∈ [−2
τ
,0], (t
0
,
φ
) ∈ ℜ
+
×C
ν
2
τ
.
Esta mesma transformação fora utilizada em (CAO; LIN; HU, 2002) e em (GOMES DA
SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2004) para obter condições de estabilidade de-
pendentes do atraso.
Teorema 15 (Krasovskii-Local - DA) Se existirem matrizes simétricas definidas positi-
vas W, P
1
, P
2
, P
3
e R ∈ℜ
n×n
, uma matriz diagonal definida positiva U ∈ℜ
m×m
e matrizes
Y e H ∈ ℜ
m×n
, satisfazendo:
(i)
Σ 0 H
−BU
τ
(WA
+Y
B
) 0 0
∗ −R 0 0
τ
WA
d
0
∗ ∗ −2U 0 0
τ
UB
∗ ∗ ∗ −
τ
P
1
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −
τ
P
2
0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 −
τ
P
3
< 0
(ii)
W Y
(i)
−H
(i)
∗ u
2
0
(i)
≥ 0 ∀i = 1,...,m,
com Σ = W (A + A
d
)
+ (A + A
d
)W + Y
B
+ BY + R +
τ
A
d
(P
1
+ P
2
+ P
3
)A
d
então con-
siderando-se K = YW
−1
, para todas as condições iniciais
φ
pertencentes ao conjunto
B
2
τ
(
δ
), com
δ
= (
λ
max
(W
−1
) +
τλ
max
(W
−1
RW
−1
) +
τ
2
2
λ
max
((A + BK)
P
−1
1
(A + BK))
+
τ
2
2
λ
max
(A
d
P
−1
2
A
d
) +
τ
2
2
λ
max
(B
P
−1
3
B)HW
−1
2
)
−1
,
as correspondentes trajetórias do sistema (71) em malha-fechada, convergem assintoti-
camente para a origem.
Demonstração: Seja
V(t,x
t
) = V
1
+V
2
+V
3
+V
4
+V
5
, com:
V
1
= x
(t)Px(t),
V
2
=
0
−
τ
x
(t +
θ
)Sx(t +
θ
)d
θ
,
V
3
=
0
−
τ
t
t+
θ
x
(
ζ
)(A + BK)
P
−1
1
(A + BK)x(
ζ
)d
ζ
d
θ
,
V
4
=
0
−
τ
t
t+
θ
x
(
ζ
−
τ
)A
d
P
−1
2
A
d
x(
ζ
−
τ
)d
ζ
d
θ
,
59
V
5
=
0
−
τ
t
t+
θ
ψ
(Kx(
ζ
))B
P
−1
3
B
ψ
(Kx(
ζ
))d
ζ
d
θ
.
Calculando-se
˙
V
1
, obtém-se:
˙
V
1
= 2(x
(t)(A + BK + A
d
)
−
ψ
(Kx(t))B
)Px(t) + 2
t
t−
τ
x
(
θ
)(A + BK)
A
d
Px(t)d
θ
+
2
t
t−
τ
(x
(
θ
−
τ
)A
d
+
ψ
(s)B
)A
d
Px(t)d
θ
.
(82)
Aplicando-se a majoração
−2
µ
ν
≤
µ
X
j
µ
+
ν
X
−1
j
ν
para j = 1,2,3, aos termos cruzados de (82), obtém-se:
˙
V
1
≤ (2x
(t)(A + BK + A
d
)
−2
ψ
(Kx(t))B
)Px(t) +
τ
x
(t)PA
d
(X
1
+ X
2
+ X
3
)A
d
Px(t)
+
0
−
τ
x
(t +
θ
)(A + BK)
X
−1
1
(A + BK)x(t +
θ
)ds +
0
−
τ
x
(t +
θ
−
τ
)A
d
X
−1
2
A
d
x(t +
θ
−
τ
)d
θ
+
0
−
τ
ψ
(Kx(t +
θ
))B
X
−1
3
B
ψ
(Kx(t +
θ
))d
θ
.
Calculando-se as derivadas de V
2
, V
3
, V
4
e V
5
, obtém-se:
˙
V
2
= x
(t)Sx(t) −x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
),
˙
V
3
=
τ
x
(t)(A + BK)
P
−1
1
(A + BK)x(t) −
t
t−
τ
x
(
θ
)(A + BK)
P
−1
1
(A + BK)x(
θ
)d
θ
,
˙
V
4
=
τ
x
(t −
τ
)A
d
P
−1
2
A
d
x(t −
τ
) −
0
−
τ
x
(t +
θ
−
τ
)A
d
P
−1
2
A
d
x(t +
θ
−
τ
)d
θ
,
˙
V
5
=
τψ
(Kx(t))B
P
−1
3
B
ψ
(Kx(t)) −
0
−
τ
ψ
(Kx(t +
θ
))B
P
−1
3
B
ψ
(Kx(t +
θ
))d
θ
.
Definindo-se P
−1
j
= X
−1
j
para j = 1,2,3, então,
˙
V(t,x
t
) ≤ 2x
(t)((A + BK + A
d
)
P)x(t) +
τ
x
(t)PA
d
(P
1
+ P
2
+ P
3
)A
d
Px(t) + x
(t)Sx(t)
−x
(t −
τ
)Sx(t −
τ
) +
τ
x
(t −
τ
)A
d
P
−1
2
A
d
x(t −
τ
) −2
ψ
(Kx(t))B
Px(t)+
τ
x
(t)(A + BK)
P
−1
1
(A + BK)x(t) +
τψ
(Kx(t))B
P
−1
3
B
ψ
(Kx(t)).
(83)
Se x(t) ∈ S , aplicando-se o Lema 3 e escrevendo-se (83) em forma de produto matricial,
tem-se
˙
V(t,x
t
) ≤ Θ
ΞΘ, com
Θ
=
x
(t) x
(t −
τ
)
ψ
(Kx(t))
e
Ξ =
(A + BK + A
d
)
P + P(A + BK + A
d
)+
S +
τ
PA
d
(P
1
+ P
2
+ P
3
)A
d
P+
τ
(A + BK)
P
−1
1
(A + BK)
0 −PB + G
T
∗
τ
A
d
P
−1
2
A
d
−S 0
∗ ∗
τ
B
P
−1
3
B −2T
.
Suponha que Ξ < 0, então, aplicando-se complemento de Schur, a LMI obtida seguida da
pré e pós multiplicação por
Diag(W, W, U, I, I, I)
e definindo-se ainda
R = WSW, P = W
−1
, T = U
−1
, H = GW e Y = KW,
60
obtém-se a LMI (i) do Teorema 15, o que permite concluir que:
˙
V(t,x
t
) < 0, ∀x(t) ∈ S .
A demonstração de que se
φ
∈ B
2
τ
(
δ
), então
˙
V(t,x
t
) < 0, ∀t ≥ t
0
, e as correspondentes
trajetórias do sistema (71) estão no conjunto E (P) ⊂ S é análoga à do Teorema 14.
Da definição de V(t,x
t
), pode-se concluir que:
λ
min(P)
φ
(0)
2
≤V(t,
φ
) ≤ (
λ
max
(P) +
τ
2
2
λ
max
((A + BK)
P
−1
1
(A + BK))+
τ
2
2
λ
max
(A
d
P
−1
2
A
d
) +
τ
2
2
λ
max
(B
P
−1
3
B)H
W
−1
2
+
τλ
max
(S))
φ
2
c
.
Com isso, V(t,x
t
) é um funcional de Lyapunov-Krasovskii. Logo,
∀
φ
∈ B
2
τ
(
δ
),
˙
V(t,x
t
) < 0
e as trajetórias do sistema convergem assintoticamente para a origem.
✷
Corolário 3 (Krasovskii-Global - DA) Se existirem matrizes simétricas definidas posi-
tivas W, P
1
,P
2
,P
3
e R ∈ ℜ
n×n
e uma matriz diagonal definida positiva U ∈ ℜ
m×m
, satis-
fazendo a condição (i) do Teorema 15, com H = GW, então considerando-se K = YW
−1
a origem do sistema (71) é globalmente assintoticamente estável.
Demonstração: A demonstração é análoga à do Corolário 2.
✷
Com o objetivo de diminuir o conservadorismo inserido pelos funcionais de Lyapunov
ao sistema transformado (81), uma nova representação do sistema, utilizando-se o modelo
de sistema descritor (FRIDMAN; SHAKED, 2002b), conforme visto na seção 3.3.2, é
considerada:
˙x(t) = (A + BK + A
d
)x(t) −B
ψ
(Kx(t)) −A
d
t
t−
τ
y(
θ
)d
θ
y(t) = ˙x(t)
(84)
com x
t
0
(
θ
) =
φ
(
θ
), ∀
θ
∈ [−
τ
,0], (t
0
,
φ
) ∈ ℜ
+
×C
ν
τ
.
Dessa forma, obtém-se o seguinte resultado:
Teorema 16 (Sistema Descritor - Local) Se existirem matrizes simétricas definidas po-
sitivas Q
1
,L
1
,L
3
,J,X ∈ ℜ
n×n
, matrizes Q
2
,Q
3
,L
2
∈ ℜ
n×n
e matrizes Y,H ∈ ℜ
m×n
, uma
matriz U ∈ ℜ
m×m
diagonal definida positiva e um escalar
ε
satisfazendo:
(i)
Q
2
+ Q
2
+
τ
L
1
Q
1
A
+Y
B
+Q
3
−Q
2
+
ε
Q
1
A
d
+
τ
L
2
0 H
Q
1
τ
Q
2
∗
−Q
3
−Q
3
+
τ
L
3
(1−
ε
)A
d
X −BU 0
τ
Q
3
∗ ∗ −X 0 0 0
∗ ∗ ∗ −2U 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −X 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
τ
J
< 0
61
(ii)
J J
0
ε
A
d
∗ L
≥ 0
(iii)
Q
1
Y
(i)
−H
(i)
∗ u
2
0
(i)
≥ 0 ∀i = 1,...,m
então, considerando-se K =Y Q
−1
1
, para todas as condiço
˜
es iniciais
φ
∈ C
ν
τ
satisfazendo
λ
max
(Q
−1
1
)
φ
2
c
+
τλ
max
(X
−1
)
φ
2
c
+
τ
2
2
λ
max
(J
−1
)
˙
φ
2
c
≤ 1,
(85)
as correspondentes trajetórias do sistema em malha-fechada (71) convergem assintotica-
mente para a origem.
Demonstração: Reescrevendo o sistema (71) na forma de sistema descritor, conforme
proposto em (FRIDMAN; SHAKED, 2002b), segue que:
I 0
0 0
˙x(t)
˙y(t)
=
0 I
A + BK + A
d
−I
x(t)
y(t)
−
0
A
d
t
t−
τ
y(s)ds −
0
B
ψ
(Kx(t)).
(86)
Define-se agora o seguinte conjunto de matrizes:
¯x =
x
y
, E = Diag(I, 0), P =
P
1
0
P
2
P
3
=
Q
1
0
Q
2
Q
3
−1
= Q
−1
.
Observe que se (i) é satisfeito, tem-se que −Q
3
−Q
3
< 0, o que implica que Q
3
é não-
singular. Se Q
1
> 0, segue que a matriz Q definida acima é inversível.
Considere o funcional de Lyapunov-Krasovskii
V(t,x
t
) = V
1
+V
2
+V
3
,
com
V
1
= ¯x
EP¯x,
V
2
=
t
t−
τ
x
(
θ
)Sx(
θ
)d
θ
,
V
3
=
0
−
τ
t
t+s
y
(
θ
)Ry(
θ
)d
θ
ds, e R, S > 0.
Calcula-se agora
˙
V(t,x
t
) ao longo das trajetórias do sistema. Para isso, define-se o
seguinte conjunto de matrizes:
¯
A =
0 I
A + BK + A
d
−I
;
¯
A
d
=
0
A
d
e
¯
B =
0
−B
,
segue que
˙
V
1
= 2¯x
(t)
¯
A
P¯x(t) −2
t
t−
τ
y
(s)
¯
A
d
P¯x(t)ds + 2
ψ
(Kx(t))
¯
B
P¯x(t).
Garantindo que
R M
∗ Z
≥ 0, obtém-se (MOON et al., 2001) que
−2
Ω
b
Na ≤
Ω
b
a
R M −N
∗ Z
b
a
.
62
Aplicando este resultado com
b = y(s), M =
ε
¯
A
d
P, N =
¯
A
d
P e a = ¯x(t)
obtém-se (FRIDMAN; SHAKED, 2002b):
˙
V
1
≤ 2 ¯x
(t)
¯
A
P¯x(t) + 2
ψ
(Kx(t))
¯
B
P¯x(t) +
t
t−
τ
y(s)
¯x(t)
R (
ε
−1)
¯
A
d
P
∗ Z
y(s)
¯x(t)
ds.
Note que considerando
J = R
−1
, L = Q
ZQ =
L
1
L
2
∗ L
3
,
e pré e pós-multiplicando (ii) por Diag(R,Q
−1
) e sua transposta respectivamente, segue
que
R
ε
¯
A
d
P
∗ Z
≥ 0.
Então, garantindo que (ii), é satisfeita e definindo
¯
ε
=
ε
−1, conclui-se que:
˙
V
1
≤ 2¯x
(t)
¯
A
P¯x(t) + 2
ψ
(Kx(t))
¯
B
P¯x(t) +
τ
¯x
(t)Z ¯x(t)
+
t
t−
τ
y
(s)Ry(s)ds + 2x
(t)
¯
ε
¯
A
d
P¯x(t) −2x
(t −
τ
)(
¯
ε
¯
A
d
P) ¯x(t),
˙
V
1
≤ 2¯x
(t)
¯
A
P¯x(t) + 2
ψ
(v
c
)
¯
B
P¯x(t) +
τ
¯x
(t)Z ¯x(t)
+
t
t−
τ
y
(s)Ry(s)ds + 2¯x
(t)
¯
ε
¯
A
d
P
0
¯x(t) −2 ¯x
(t −
τ
)
¯
ε
¯
A
d
P
0
¯x(t).
Agora calcula-se
˙
V
2
e
˙
V
3
˙
V
2
≤
τ
y
(t)Ry(t) −
t
t−
τ
y
(s)Ry(s)ds
= ¯x
(t)
0 0
0
τ
R
¯x(t) −
t
t−
τ
y
(s)Ry(s)ds.
˙
V
3
≤ x
(t)Sx(t) −x
Sx(t −
τ
)
= ¯x
(t)
S 0
0 0
¯x(t) − ¯x
(t −
τ
)
S 0
0 0
¯x(t −
τ
).
Suponha que x(t) ∈ S , do Lema 3, então
˙
V(t,x
t
) ≤
˙
V(t,x
t
) −2
ψ
(Kx(t))T(
ψ
(Kx(t)) −Gx(t)),
obtém-se,
˙
V(t,x
t
) ≤ 2¯x
(t)
¯
A
P¯x(t) + 2
ψ
(Kx(t))
¯
B
P¯x(t) +
τ
¯x
(t)Z ¯x(t)
+ ¯x
(t)
S 0
0
τ
R
¯x(t) + 2 ¯x
(t)
¯
ε
¯
A
d
P
0
¯x(t) −2 ¯x
(t −
τ
)
¯
ε
¯
A
d
P
0
¯x(t)
−¯x
(t −
τ
)
S 0
0 0
¯x(t −
τ
) −2
ψ
(Kx(t))T(
ψ
(Kx(t)) −Gx(t)).
ou equivalentemente
˙
V(t,x
t
) ≤
θ
Ξ
θ
, com
θ
e Ξ dados por:
θ
=
¯x
(t) x
(t −
τ
)
ψ
(Kx(t))
,
63
Ξ =
¯
A
P + P
¯
A +
τ
Z +
S 0
0
τ
R
+
¯
ε
¯
A
d
P
0
+
¯
ε
P
¯
A
d
0
−
¯
ε
P
¯
A
d
0
G
T
0
+ P
¯
B
∗
−S 0
0 0
0
∗ ∗ −2T
.
Suponha que Ξ < 0. Então pré e pós multiplicando por Diag(Q
,X,U) e sua trans-
posta, respectivamente, definindo-se
Q = P
−1
, S
−1
= X, R
−1
= J, U = T
−1
, GQ
1
= H e Y = KQ
1
e aplicando complemento de Schur à desigualdade matricial obtida, pode-se concluir que
esta é equivalente à condição (i) do Teorema 16. Logo, as condições (i) e (ii) garantem
que
˙
V(t,x
t
) < 0, contanto que x(t) ∈ S . Da definição de V (t,x
t
), pode-se concluir que:
λ
min
P
1
φ
(0)
2
≤
φ
(0)P
1
φ
(0) ≤V(t,
φ
) ≤
φ
(0)P
1
φ
(0) +
t
t−
τ
φ
(s)S
φ
(s)ds
+
0
−
τ
t
t+s
˙
φ
(s)R
˙
φ
(s)ds ≤ (
λ
max
P
1
+
τλ
max
S)
φ
2
c
+
τ
2
2
λ
max
R
˙
φ
2
c
.
Com isso, V(t,x
t
) é um funcional de Lyapunov-Krasovskii. Logo,
∀
φ
∈ C
ν
τ
,
˙
V(t,x
t
) < 0
e as trajetórias do sistema convergem assintoticamente para a origem.
✷
Corolário 4 (Sistema Descritor - Global) Se existem matrizes definidas positivas Q
1
,
L
1
, L
3
, X, J,∈ ℜ
n×n
, matrizes Q
2
, Q
3
, L
2
∈ ℜ
n×n
, H e Y ∈ ℜ
m×n
, uma matriz diagonal
U ∈ℜ
m×m
, e escalares
ε
e
γ
> 0, satisfazendo as desigualdades (i) e (ii) no Teorema 16,
com H = GQ
1
, então considerando-se K = Y Q
−1
1
a origem do sistema (71) é globalmente
assintoticamente estável.
Demonstração: A demonstração é análoga à do Corolário 2.
✷
4.2.3 Problemas de Otimização
Nesta seção, mostra-se como utilizar as condições apresentadas nos Teoremas 13, 14
e 16, para a maximização dos conjuntos E (P) ou B
τ
(
δ
), ou ainda a maximização do
atraso admissível para E (P) ou B
τ
(
δ
) dados.
4.2.3.1 Maximização do conjunto de estados iniciais admissíveis
A) Caso independente do atraso
• Lyapunov-Razumikhin: No caso do Teorema 13, utiliza-se uma função de
Lyapunov-Razumikhin para provar a estabilidade, sendo assim, o conjunto
de condições iniciais admissíveis é o elipsóide E (P). Para isso, considera-
se, por exemplo, a maximização do eixo menor de E (P), a partir do seguinte
64
problema
1
:
min
λ
W
sujeito às relações: (i), (ii), (iii) do Teorema 13 e
(iv)
λ
W
I I
I W
≥ 0.
(87)
• Lyapunov-Krasovskii: Para o Teorema 14, é necessário maximizar a bola
B
τ
(
δ
). A idéia neste caso é minimizar o valor de
(
β
1
λ
max
(W
−1
) +
β
2
λ
max
(R)),
com
β
1
e
β
2
parâmetros de ajuste. Isto pode ser indiretamente feito, conside-
rando o seguinte problema de otimização convexo:
min
β
1
λ
W
+
β
2
λ
R
sujeito às relações (i),(ii) do Teorema 14 e
(iii)
λ
W
I I
I W
≥ 0,
λ
R
I ≥ R.
(88)
B) Caso dependente do atraso
• Sistema escrito com atrasos distribuídos: Utilizando-se as condições do Teo-
rema 15, uma maneira de maximizar B
τ
(
δ
) é considerar o seguinte critério:
min
β
1
λ
max
(W
−1
) +
β
2
λ
max
R +
β
3
λ
max
((A+ BK)P
−1
1
(A + BK))+
β
4
λ
max
(A
d
P
−1
2
A
d
) +
β
5
λ
max
(B
P
−1
3
B)
.
Entretanto, tal critério não é convexo. Alternativamente esta minimização
pode ser indiretamente feita considerando-se o seguinte problema de otimiza-
ção convexo
2
:
min
β
1
λ
W
+
β
2
λ
R
+
β
3
λ
P
1
+
β
4
λ
P
2
+
β
5
λ
P
3
sujeito às relações (i),(ii), (iii) do Teorema 15 e
(iv)
λ
W
I I
I W
≥ 0,
λ
P
2
I A
d
∗ P
2
≥ 0,
λ
R
I ≥ R,
λ
P
1
I WA
+Y
B
∗ P
1
≥ 0,
λ
P
3
I B
∗ P
3
≥ 0.
(89)
• Sistema descritor: Com o objetivo de garantir a estabilidade do sistema (71)
em malha-fechada, pelo uso do Teorema 16, as condições iniciais
φ
precisam
verificar a condição (85). Dessa forma, assume-se que
φ
2
c
≤
δ
1
e
˙
φ
2
c
≤
δ
2
.
Neste caso, o objetivo é maximizar os limites para
δ
1
e
δ
2
. Formula-se assim
o seguinte problema de otimização
3
:
1
Note que a LMI (iv), bem como a LMI (iii) do problema (88) são equivalentes a
λ
W
≥
λ
max
(W
−1
).
2
Isto deve-se ao fato de que as LMI’s da condição (88) serem respectivamente equivalentes a
λ
W
≥
λ
max
(W
−1
),
λ
P
2
≥
λ
max
(A
d
P
−1
2
A
d
),
λ
R
≥
λ
max
(R),
λ
P
1
≥
λ
max
((A + BK)P
−1
1
(A + BK)) e
λ
P
3
≥
λ
max
(B
P
−1
3
B).
3
Neste caso, as LMI’s da condição (iv) são respectivamente equivalentes a
λ
Q
1
≥
λ
max
(Q
−1
1
),
λ
X
≥
λ
max
(X
−1
),
λ
J
≥
λ
max
(J).
65
min
β
1
λ
Q
1
+
β
2
λ
X
+
β
3
λ
J
sujeito às relações (i), (ii), (iii) e
(iv)
λ
Q
1
I I
I Q
1
≥ 0,
λ
X
I I
I X
≥ 0,
λ
J
I I
I J
≥ 0.
(90)
4.2.3.2 Maximização do atraso admissível para um dado conjunto de estados iniciais
admissíveis
A idéia aqui é encontrar o intervalo máximo do atraso [0,h], para o qual é possível
encontrar um conjunto de condições iniciais garantindo a estabilidade assintótica local.
Considera-se então o seguinte problema, para cada um dos Teoremas 14, 15 e 16:
maxh
sujeito as desigualdades matriciais dos respectivos Teoremas.
(91)
Por outro lado, considerando dado um conjunto de condições iniciais admissíveis para
as quais deve-se garantir estabilidade, pode-se calcular o máximo atraso tolerado. Neste
caso, restrições adicionais a (91) devem ser consideradas, para cada um dos casos, como
segue:
A) Caso independente do atraso:
• Lyapunov-Krasovskii: Mesmo que as LMIs do Teoremas 14 sejam indepen-
dentes do atraso, o conjunto de condições iniciais admissíveis é dependente,
então é possível calcular o atraso máximo h, visando a garantia de estabili-
dade especificamente para
φ
2
c
≤
δ
, com
δ
dado, a restrição (iii) de (88) e a
restrição
(
λ
W
+
τλ
R
)
δ
< 1
que devem ser adicionadas ao problema de otimização (91).
B) Caso dependente do atraso:
Para este caso, tanto as desigualdades matriciais quanto o conjunto de condições
iniciais admissíveis, depende do atraso h.
• Sistema escrito com atrasos distribuídos: Neste caso, calcula-se h, visando a
garantia de estabilidade especificamente para
φ
2
c
≤
δ
, com
δ
dado, a restri-
ção (iv) de (89) e a restrição
(
λ
W
+
τλ
R
+
τ
2
2
λ
P
1
+
τ
2
2
λ
P
2
+
τ
2
2
λ
P
3
G
2
)
δ
< 1
devem ser adicionadas ao problema de otimização (91).
Perceba-se que além de fixar h é necessário que se fixe
λ
P
3
. Assim, faz-se uma
busca iterativa em h e
λ
P
3
em uma busca sobre uma grade bidimensional, para
poder resolver este problema.
• Sistema descritor: Aqui o conjunto de condições iniciais admissíveis depende
também de
˙
φ
, assim, considerando calcular o máximo h, visando a garantia de
estabilidade especificamente para
φ
2
c
≤
δ
1
e
˙
φ
2
c
≤
δ
2
, com
δ
1
e
δ
2
dados,
a restrição (iv) de (90) e a restrição
(
λ
Q
1
+
τλ
X
)
δ
1
+
τ
2
2
λ
J
δ
2
< 1
devem ser adicionadas ao problema de otimização (91).
66
Observação 5 Se comparados os problemas de otimização acima com os obtidos em
(TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000) e em (CAO; LIN; HU, 2002), percebe-
se que estes são obtidos diretamente na forma de LMIs, as quais são em menor número.
Isto se deve ao fato de utilizar-se a condição de setor generalizada para não-linearidades,
tipo zona-morta, para modelar a saturação, ao ínves da abordagem politópica.
Observação 6 Em se tratando do caso de análise de estabilidade, no artigo (GHIGGI;
GOMES DA SILVA JR., 2006a) são apresentados exemplos com o objetivo de mostrarem-
se as vantagens obtidas com a utilização da função de Lyapunov-Razumikhin sobre o
funcional de Lyapunov-Krasovskii, no caso independente do atraso, e as vantagens do
Sistema Descritor sobre a representação do sistema com atrasos distribuídos, utilizando o
funcional de Lyapunov-Krasovskii. Para o caso de estabilização essas vantagens poderão
ser percebidas no Exemplo 1 a seguir.
4.3 Tolerância e Atenuação de Perturbações
4.3.1 Resultados Teóricos
Considere o seguinte sistema com atraso no tempo:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) −B
u
u(t) + B
w
w(t)
z(t) = Cx(t) −D
u
u(t) + D
w
w(t)
(92)
novamente supõe-se que a entrada esteja sujeita a saturações u(t) = sat(Kx(t)). Utilizando-
se a função zona-morta definida em (29) para modelar a saturação, têm-se:
˙x(t) = (A + B
u
K)x(t) + A
d
x(t −
τ
) −B
u
ψ
(Kx(t)) + B
w
w(t)
z(t) = (C + D
u
K)x(t) −D
u
ψ
(Kx(t)) + D
w
w(t)
(93)
sendo x(t) ∈ℜ
n
, w(t) ∈ℜ
q
os vetores do estado e da perturbação, respectivamente. z(t) ∈
ℜ
p
corresponde à saída medida e z(t) ∈ ℜ
r
é a saída regulada. A, A
d
, B
u
, B
w
, C, D
u
e
D
w
são matrizes constantes de dimensões apropriadas. Supõe-se que o par (A,B) seja
controlável e o par (C,A) seja observável.
τ
é o atraso no tempo, suposto constante e
conhecido.
Nesta seção, diferentemente do artigo (GHIGGI; GOMES DA SILVA JR., 2006a) e
da seção 4.2, considera-se que o sistema esteja sujeito a perturbações limitadas em norma
L
2
, ou seja, assume-se que
w
2
2
=
∞
0
w
(t)w(t)dt ≤
1
ϖ
. (94)
Conforme comentado no Capítulo 2, dois problemas são de interesse neste caso: a estabi-
lização estrada-estado e a estabilização entrada-saída. Sendo assim, o objetivo neste caso
consiste em calcular um ganho de realimentação, tal que:
• as trajetórias do sistema em malha-fechada permaneçam limitadas, considerando-se
um limite superior para a norma L
2
da perturbação;
• o ganho-L
2
entre a perturbação e a saída controlada seja minimizado.
Considera-se também que o atraso possa ser variante no tempo, neste caso assume-se que
0 <
τ
(t) ≤ h
˙
τ
(t) < d < 1.
(95)
67
Os resultados a seguir apresentados podem também ser encontrados em (GOMES DA
SILVA JR.; GHIGGI; TARBOURIECH, 2006).
Teorema 17 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas Q
1
,L
1
,L
3
,X, J ∈ ℜ
n×n
,
matrizes Q
2
,Q
3
,L
2
∈ ℜ
n×n
, H e Y ∈ ℜ
m×n
, uma matriz diagonal definida positiva U ∈
ℜ
m×m
e escalares positivos
ε
e
γ
, tais que as seguintes desigualdades sejam verificadas
(i)
Σ
1
Σ
2
H
−B
u
U
0
B
w
Σ
3
Q
1
0
hQ
2
hQ
3
∗ −(1 −d)X 0 0 0 0 0
∗ ∗ −2U 0 −UD
u
0 0
∗ ∗ ∗ −I D
w
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −
γ
I 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −X 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −hJ
< 0
(ii)
J J
0
ε
A
d
∗ L
≥ 0
(iii)
Q
1
Y
(i)
−H
(i)
∗
ϖ
u
2
0
(i)
≥ 0 ∀i = 1, ...,m
com
Σ
1
=
Q
2
+ Q
2
+ hL
1
Q
3
+ Q
1
A
+Y
B
u
−Q
2
+
ε
Q
1
A
d
+ hL
2
∗ −Q
3
−Q
3
+ hL
3
,
Σ
2
=
0
(
ε
−1)A
d
X
e Σ
3
=
Q
1
C
+Y
D
u
0
,
então, considerando que
φ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈ [−
τ
,0], ||w||
2
2
≤
ϖ
−1
e K = YQ
−1
1
1. as trajetórias do sistema (93) em malha-fechada permanecem limitadas no conjunto
E (Q
−1
,
ϖ
−1
)
={x ∈ ℜ
n
;x
Q
−1
1
x ≤
ϖ
−1
},
2. z
2
2
<
γ
w
2
2
,
3. se w(t) = 0, ∀t ≥t
1
≥ 0, x(t) converge assintoticamente para a origem.
Demonstração: Reescrevendo-se o sistema (48) na forma de sistema descritor, proposto
em (FRIDMAN; SHAKED, 2002b), segue que:
I 0
0 0
˙x(t)
˙y(t)
=
0 I
A + B
u
K + A
d
−I
x(t)
y(t)
−
0
A
d
t
t−
τ
(t)
y(s)ds−
0
B
u
ψ
(Kx(t)) +
0
B
w
w(t).
(96)
Defina:
¯x =
x
y
, E =
I 0
0 0
, P =
P
1
0
P
2
P
3
=
Q
1
0
Q
2
Q
3
−1
= Q
−1
.
68
Note que se (i) é satisfeito, tem-se −Q
3
−Q
3
< 0, o que implica que Q
3
é não-singular.
Como Q
1
> 0, segue-se que a matriz Q definida acima, é inversível.
Seja o funcional de Lyapunov-Krasovskii
V(t, ¯x
t
) = ¯x
(t)EP ¯x(t) +
0
−h
t
t+s
y
(
θ
)Ry(
θ
)d
θ
ds +
t
t−
τ
(t)
x
(
θ
)Sx(
θ
)d
θ
com S = S
,R = R
> 0.
Defina agora
ϒ =
˙
V(t,x
t
) −w
(t)w(t) +
1
γ
z
(t)z(t). (97)
Se ϒ < 0, obtém-se
T
0
ϒdt = V (T,x
T
) −V (0,x
0
) −
T
0
w
(t)w(t)dt +
1
γ
T
0
z
(t)z(t)dt < 0. (98)
Supondo-se que
φ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈[−
τ
,0], segue que V(0, 0) = 0 e, portanto, de (98) pode-
se concluir que:
• x
(T)Q
−1
1
x(T) ≤V(T,x
T
) <
ϖ
−1
, ∀T > 0, i.e. as trajetórias do sistema em malha-
fechada não saem do conjunto E (Q
−1
,
ϖ
−1
), para w(t) satisfazendo (94),
• para T →∞: z
2
2
<
γ
w
2
2
,
• se w(t) = 0, ∀t ≥t
1
≥ 0 ou se lim
t→∞
w(t) → 0, então
˙
V(t,x
t
) < −
1
γ
z
(t)z(t) < 0, o
que garante neste caso que x(t) → 0, quando t → ∞.
Calcula-se agora ϒ ao longo das trajetórias de (48). Para tanto, definem-se as seguintes
matrizes:
¯
A =
0 I
A + B
u
K + A
d
−I
,
¯
A
d
=
0
A
d
,
¯
B =
0
−B
u
e
¯
B
w
=
0
B
w
.
Considerando V
1
(t) = ¯x
(t)EP ¯x(t) então,
˙
V
1
(t) = 2¯x
(t)
¯
A
P¯x(t) −2
t
t−
τ
(t)
y
(s)
¯
A
d
P¯x(t)ds + 2
ψ
(Kx(t))
¯
B
P¯x(t) + 2w
(t)
¯
B
w
P¯x(t).
Garantido que
R M
∗ Z
> 0,
tem-se que
−2
Ω
b
Na ≤
Ω
b
a
R M −N
∗ Z
b
a
(MOON et al., 2001). Aplicando este resultado com
b = y(s), M =
ε
¯
A
d
P, N =
¯
A
d
P e a = ¯x(t)
(FRIDMAN; SHAKED, 2002b), obtém-se:
˙
V
1
(t) ≤ 2 ¯x
(t)
¯
A
P¯x(t) +
t
t−
τ
(t)
y(s)
¯x(t)
R (
ε
−1)
¯
A
d
P
∗ Z
y(s)
¯x(t)
ds+
2
ψ
(Kx(t))
¯
B
P¯x(t) + 2w
(t)
¯
B
w
P¯x(t).
69
Considerando-se
J = R
−1
, L = Q
ZQ =
L
1
L
2
∗ L
3
,
e pré e pós-multiplicando-se (ii), por Diag(R,(Q
)
−1
) e Diag(R,Q
−1
), segue que
R
ε
¯
A
d
P
∗ Z
> 0.
Então, garantindo que (ii) é satisfeita, conclui-se que:
˙
V
1
(t) ≤ 2 ¯x
(t)
¯
A
P¯x(t) + 2
ψ
(Kx(t))
¯
B
P¯x(t) + 2w
(t)
¯
B
w
P¯x(t) + h ¯x
(t)Z ¯x(t)+
t
t−h
y
(s)Ry(s)ds + +2x
(t)(
ε
−1)
¯
A
d
P¯x(t) −2x
(t −
τ
(t))(
ε
−1)
¯
A
d
P¯x(t).
(99)
Sejam
V
2
(t) =
0
−h
t
t+s
y
(
θ
)Ry(
θ
)d
θ
ds
e
V
3
(t) =
t
t−
τ
(t)
x
(
θ
)Sx(
θ
)d
θ
,
calculando-se agora
˙
V
2
e
˙
V
3
, obtém-se:
˙
V
2
(t) ≤ hy
(t)Ry(t) −
t
t−h
y
(s)Ry(s)ds
= ¯x
(t)
0 0
0 hR
¯x(t) −
t
t−h
y
(s)Ry(s)ds,
(100)
˙
V
3
(t) ≤ x
(t)Sx(t) −(1 −d)x
(t −
τ
(t))Sx(t −
τ
(t))
= ¯x
(t)
S 0
0 0
¯x(t) −
¯
dx
(t −
τ
(t))Sx(t −
τ
(t)).
(101)
Suponha que x(t) ∈S . Neste caso, usando-se o fato que
ψ
(Kx(t)) satisfaz a condição
(36) e levando-se em consideração que
z(t) =
C +D
u
K 0
¯x(t) −D
u
ψ
(Kx(t)) + D
w
w(t) = C
z
−D
u
ψ
(Kx(t)) + D
w
w(t)
obtém-se que
ϒ ≤
θ
Ξ
θ
, com
θ
= [ ¯x
(t) x
(t −
τ
(t))
ψ
(Kx(t)) w
(t)]
e
Ξ =
Γ
1
(
ε
−1)P
¯
A
d
G
T
0
+ P
¯
B −
1
γ
C
z
D
u
P
¯
B
w
+
1
γ
C
z
D
w
∗ −
¯
dS 0 0
∗ ∗
−2T
+
γ
−1
D
u
D
u
−
γ
−1
D
u
D
w
∗ ∗ ∗ (
γ
−1
D
w
D
w
−I)
com
Γ
1
=
¯
A
P + P
¯
A +
(
ε
−1)
¯
A
d
P
0
+
(
ε
−1)P
¯
A
d
0
+ hZ +
S 0
0 hR
+
1
γ
C
z
C
z
.
70
Aplicando-se complemento de Schur, nota-se que Ξ < 0 é equivalente à:
¯
Γ
1
(
ε
−1)P
¯
A
d
P
¯
B +
G
T
0
P
¯
B
w
C
+ K
D
u
0
I
0
0
hI
∗ −
¯
dS 0 0 0 0 0
∗ ∗ −2T 0 −D
u
0 0
∗ ∗ ∗ −I D
w
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −
γ
I 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −S
−1
0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −hR
−1
< 0
(102)
com
¯
Γ
1
=
¯
A
P + P
¯
A +
(
ε
−1)
¯
A
d
P
0
+
(
ε
−1)P
¯
A
d
0
+ hZ.
Definindo-se
Q = P
−1
, S
−1
= X, R
−1
= J, U = T
−1
, GQ
1
= H e Y = KQ
1
,
e pré e pós multiplicando-se (i) respectivamente por Diag(P,S,T, I, I,I,I) e sua trans-
posta, segue que (102) é equivalente à (i). Dessa forma, pode-se concluir que (i) e (ii)
asseguram que ϒ < 0, desde que x(t) ∈ S . Por outro lado, pré e pós multiplicando-se
(iii) respectivamente por Diag(P
1
,1) e sua transposta, segue que
P
1
K
(i)
−G
(i)
∗
ϖ
u
0(i)
> 0,
o que implica que E (Q
−1
1
,
ϖ
−1
) ⊂ S . Então, está garantido que as trajetórias do sistema
nunca saem de E (Q
−1
1
,
ϖ
−1
), e portanto ϒ < 0, se satisfeitas as desigualdades matriciais
(i),(ii) e (iii).
✷
Observação 7 Perceba-se que no Teorema 17 há a dependência de
¯
d, na posição (2,2)
da desigualdade matricial (i), isto deve-se ao fato de ter-se imposto a condição (95).
Abaixo enunciam-se condições que garantem que o sistema seja globalmente assinto-
ticamente estável e que o sistema seja L
2
-estável
4
, ∀w ∈ L
2
.
Corolário 5 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas Q
1
,L
1
,L
3
,X, J ∈ ℜ
n×n
,
matrizes Q
2
,Q
3
,L
2
∈ ℜ
n×n
, H e Y ∈ ℜ
m×n
, uma matriz diagonal definida positiva U ∈
ℜ
m×m
e escalares
ε
e
γ
positivos, tais que as desigualdades (i) e (ii) do Teorema 17
com H = GQ
1
, sejam satisfeitas, então considerando-se K = YQ
−1
1
, para todo w(t) ∈ L
2
tem-se que:
1. se w = 0:
a. as trajetórias do sistema (93) em malha-fechada permanecem limitadas.
b. z
2
2
<
γ
w
2
2
+V (0,0),
2. se w(t) = 0, a origem do sistema em malha-fechada é globalmente assintoticamente
estável.
4
Conforme visto na Definição 1 de L
p
-estável.
71
Observação 8 Considerando-se que a taxa de variação do atraso seja d ≥ 1, condições
semelhantes as do Teorema 17 podem ser obtidas. Basta considerar o seguinte funcional
de Lyapunov-Krasovskii:
V(t,x
t
) = ¯x(t)
EP¯x(t) +
0
−h
t
t+s
y
(
θ
)Ry(
θ
)d
θ
ds
com R > 0. Para este funcional e
ε
= 1, a condição (i) do Theorema 17 é simplificada e
torna-se independente de d, conforme abaixo:
(i)
Σ
1
H
−B
u
U
0
B
w
Σ
3
hQ
2
hQ
3
∗ 0 0 0 0
∗ −2U 0 −UD
u
0
∗ ∗ −I D
w
0
∗ ∗ ∗ −
γ
I 0
∗ ∗ ∗ ∗ −hJ
< 0
As condições (ii) e (iii), permanecem as mesmas.
4.3.2 Problemas de Otimização
A partir das condições do Teorema 17, podem ser formulados problemas de otimi-
zação para a determinação do ganho K com os objetivos de: maximizar a perturbação
admissível, minimizar o ganho L
2
e maximizar o limite superior para o atraso.
4.3.2.1 Maximização da perturbação admissível
Deseja-se neste caso, maximizar a tolerância à perturbação. Considerando w
2
2
<
1
ϖ
a
idéia é maximizar o limite da perturbação
1
ϖ
, para a qual pode-se garantir que as trajetórias
do sistema (93) permaneçam limitadas. Isto pode ser resolvido pelo seguinte problema de
otimização.
min
ϖ
sujeito às relações (i),(ii) e (iii).
(103)
Observação 9 Note que neste problema de otimização nenhuma restrição é imposta
sobre a varável
γ
, podendo essa assumir qualquer valor positivo.
4.3.2.2 Minimização do ganho L
2
Neste caso, deseja-se resolver o problema de atenuação à perturbação, ou seja, dado
um limite (1/
ϖ
) para a perturbação admissível, a idéia é minimizar o limite superior
√
γ
do ganho-L
2
;
min
γ
sujeito às relações (i),(ii) e (iii).
(104)
4.3.2.3 Maximizar o limite superior para o atraso
Dados o limite (1/
ϖ
) para a perturbação admissível, o limite mínimo (
√
γ
) para o
ganho-L
2
e a taxa de variação máxima d para o atraso, a idéia é encontrar o limite máximo
h do atraso para o qual pode-se garantir que as trajetórias do sistema (93) sejam limitadas
com um ganho-L
2
pré-especificado.
maxh
sujeito às relações (i),(ii) e (iii).
(105)
72
Observação 10 Considerando-se um
ε
fixo, as condições (i) and (ii) no Teorema 17 são
LMIs e os problemas de otimização, formulados aqui, são convexos. Assim, a solução
ótima para os problemas pode ser obtida através de uma procura iterativa, realizando
uma varredura unidimensional em
ε
. Por outro lado, devido ao produto entre h e as ma-
trizes Q, L e J, a solução do problema da maximização do limite para o atraso pode ser
obtido pelo aumento do valor de h iterativamente, e testando a factibilidade das condi-
tions (i), (ii) e (iii) no Teorema 17, as quais são LMIs para h e
ε
fixos.
4.4 Exemplos Numéricos
Exemplo 1 Considerando o sistema (71) dado por:
A =
1 1.5
0.3 −2
; A
d
=
0 −1
0 0
; B
u
=
10
1
e u
0
= 15;
τ
= 1, resolvem-se todos os problemas de otimização formulados na seção
4.2.3.
• Estabilização Independente do Atraso - Lyapunov Razumikhin:
Pela solução do problema (87), tem-se que o eixo menor do elipsóide mede 6644.7
e a matriz de ganho é dada por
K =
−7740.4−777.2
.
Perceba que nas condições do Teorema 13, bem como no problema de otimização
(87), não aparece a dependência do atraso.
• Estabilização Independente do Atraso - Lyapunov Krasovskii:
Pela solução do problema (88), tem-se que o raio da bola de estabilidade é dado
por 3102.1, sendo a matriz de ganho dada por
K =
−10493 −5363
.
Embora nem as condições no Teorema 14 e nem o problema (88) sejam dependentes
do atraso, tem-se que o raio que determina o conjunto de estabilidade é dependente
do mesmo. Esse fato pode ser percebido na Tabela 1, quanto maior o valor de
atraso permitido, menor será o raio do conjunto B
τ
(
δ
).
Tabela 1: Influência do atraso no raio do conjunto B
τ
(
δ
) para o caso independente do
atraso.
τ δ
1 3102.1
0.5 4731.9
0.25 6418.0
0.05 8976.7
0.01 9754.5
73
Observação 11 De acordo com o ilustrado na Tabela 1 pode-se concluir que para
atrasos pequenos, a solução do problema (88) é menos conservadora que a solução
problema de otimização (87).
• Estabilização Dependente do Atraso - Sistema com atrasos distribuídos:
Neste problema, além das condições do Teorema 15 serem dependentes do atraso,
a determinação do conjunto B
2
τ
(
δ
) também depende. Assim, considerando-se no
problema (89) que
β
i
= 1, i = 1,...,5, obtém-se que atrasos maiores implicam num
conjunto B
2
τ
(
δ
) menor, conforme mostrado na Tabela 2.
Tabela 2: Influência do atraso no raio do conjunto B
2
τ
(
δ
) para o caso dependente do
atraso.
τ δ
K
1 18.0091
−0.2717 1.6700
0.5 22.3491
−0.2675 1.6370
0.25 26.7949
−0.2634 1.5978
0.05 36.7597
−0.2446 1.3911
0.01 52.1778
−0.2166 1.0874
• Estabilização Dependente do Atraso - Sistema Descritor - Local:
Condiderando-se que
δ
1
=
δ
2
e
β
1
=
β
2
=
β
3
= 1 no problema (90), constroem-
se as Tabelas 3, 4, 5 que ilustram a dependência do atraso com o conjunto de
estabilidade, ou seja, quanto maior o atraso menor o raio da bola
B
τ
(
δ
) = {
φ
∈ C
ν
τ
;(
λ
max
(Q
−1
1
) +
τλ
max
(X
−1
) +
τ
2
2
λ
max
(J
−1
))
φ
2
c
≤ 1}.
Para cada caso tem-se o
ε
relacionado que permite que estes valores sejam maximi-
zados. Observa-se que, neste caso, é possível obterem-se soluções menos conserva-
doras para o tamanho do conjunto de condições iniciais admissíveis que nos casos
precedentes, confirmando a redução do conservadorismo imposto pela abordagem
de sistema descritor.
Tabela 3: Influência do atraso
τ
= 1.5 no raio do conjunto B
τ
(
δ
).
K
δ ε
−1511.8 −751.4
3.2705e ×10
3
0
−6.9950 −0.1507
3.0678 ×10
3
0.7
−5.8610 0.4098
2.7421 ×10
3
1
Observação 12 Perceba-se que em se tratando da obtenção de condições que sejam de-
pendentes do atraso, a utilização do Teorema 16, permite a obtenção de resultados menos
conservadores que os obtidos através da utilização Teorema 15.
74
Tabela 4: Influência do atraso
τ
= 1 no raio do conjunto B
τ
(
δ
).
K
δ ε
−2166.3 −1076.0
4.0682 ×10
3
0
−8.2354 −0.3135
5.6610 ×10
3
0.8
−7.0944 0.4605
6.1831 ×10
3
1
Tabela 5: Influência do atraso
τ
= 1.5 no raio do conjunto B
τ
(
δ
).
K
δ ε
−2612.8 −1298.2
5.3837 ×10
3
0
−16.5107 −1.3381
1.1221 ×10
4
1
−10.0244 0.6086
6.8040 ×10
3
1.4
Exemplo 2 Considere o sistema dado por:
A =
1 1.5
0.3 −2
; A
d
=
0 −1
0 0
; B =
10
1
;
C =
5 1
; B
w
=
0
0.5
;D
u
= 0;
τ
= 1.5;
ε
= 0.2; u
0
= 15; d = 0.
Resolvendo-se o problema de otimização (103), obtém-se que
5
ϖ
≥ 1.379 ×10
−5
, logo
w
2
≤ 269.2885. Para este valor de
ϖ
, resolve-se o problema (104), obtendo-se assim
γ
= 939.1233.
Na Tabela 6, apresenta-se como o atraso está relacionado com o limite para a norma
L
2
e com o ganho-L
2
, e é obtida fixando-se
1
ϖ
e
√
γ
e resolvendo-se o problema (105),
o valor máximo para h é obtido a partir de um problema de factibilidade.
Tabela 6: Relação do atraso com a norma L
2
e com o ganho-L
2
.
1
ϖ
√
γ
h
223.6068 26.4575 2.9706
0.0022 26.4575 14.0419
0.0022 8.3666 13.4801
Observando os resultados obtidos na 2
a
linha da Tabela com a 1
a
, perceba-se que à
medida que diminui-se o valor do limite para a norma L
2
da perturbação e mantém-se
fixo o valor do ganho-L
2
, o valor do atraso máximo aumenta. Observando agora os
resultados obtidos na 3
a
linha da Tabela com a 2
a
, perceba-se que à medida que mantém-
se o valor do limite para a norma L
2
e diminui-se o valor do ganho-L
2
, o valor do atraso
máximo diminui.
5
valor de
ε
utilizado para resolver (103), foi obtido atravéz de uma busca no intervalo [−1,2] com um
passo de 0.1.
75
4.5 Conclusão
Neste capítulo apresentaram-se os resultados obtidos em relação ao problema de rea-
limentação de estados. Num primeiro momento, trabalhou-se a questão da estabilização
interna, onde são apresentadas condições para estabilização local e global, via utilização
dos Teoremas de Lyapunov 1 e 2, tanto para o caso independente do atraso como para
o caso dependente do atraso, juntamente com problemas de otimização convexos. Num
segundo momento, consideraram-se a atuação de uma perturbação limitada em energia
sobre o sistema, dessa forma, apresentou-se condições locais e globais para que as tra-
jetórias do sistema em malha-fechada permanecessem limitadas.
Comparando-se agora os resultados obtidos com (FRIDMAN; PILA; SHAKED, 2003),
tem-se que, para obter condições com a finalidade de projetar um ganho K, neste trabalho
é utilizada a representação politópica mais geral (28) para a saturação, o que permite
que sejam obtidas apenas condições locais de estabilidade. Já na abordagem proposta
no Teorema 17, devido à utilização da condição de setor generalizada (36), obtêm-se
condições de estabilização tanto locais como globais. Outra desvantagem da utilização
do modelo politópico (28) é a grande quantidade de LMIs, as quais apresentam-se num
número de 2 ×2
m
+ m + 1, ao passo que no Teorema 17 encontram-se apenas 2 + m
LMIs. Considerando o problema de atenuação e tolerância à perturbação em (FRID-
MAN; PILA; SHAKED, 2003) para projetar o ganho K é necessário que se utilize a fun-
ção de Lyapunov-Rhazumikhin para a obtenção da constante
β
, utilizada para determinar
o conjunto dos estados atingíveis, juntamente com o funcional de Lyapunov-Krasovskii
para garantir (59), isso fornece as desigualdades matriciais (i), (ii), (iii) e (iv) do Teorema
10. Por outro lado, na abordagem aqui apresentada, as condições são menos complexas e
não há necessidade de que w seja limitado em amplitude, apenas em norma L
2
.
76
5 ESTABILIZAÇÃO POR REALIMENTAÇÃO DINÂMICA
DE SAÍDA
5.1 Introdução
Neste capítulo, propõe-se uma metodologia de projeto de controladores dinâmicos,
com o objetivo de estabilizar sistemas com atrasos e saturação de controle, por realimen-
tação de saída, e resolver problemas de atenuação e tolerância a perturbações. Como o
sistema apresenta atraso nos estados, considera-se que o controlador também apresente
atraso. Este tipo controlador dá-se o nome de controlador dinâmico não racional, caso
contrário, ele é chamado de controlador racional. Os controladores racionais têm sido
objeto de estudo de muitos pesquisadores, por exemplo, em (JEUNG et al., 1996), (ES-
FAHANI; PETERSEN, 1998), (CHOI; CHUNG, 1997), (IVANESCU et al., 2000). De
acordo com (OLIVEIRA; GEROMEL, 2004), a principal limitação encontrada no projeto
deste tipo de controlador é que alguns termos dos funcionais de Lyapunov-Krasovskii,
usados nas provas de estabilidade, devem ser fixados a priori ou serem escolhidos com
alguma estrutura particular de maneira a se obter condições tratáveis na forma de LMIs.
Com o objetivo de tratar essa limitação, em (OLIVEIRA; GEROMEL, 2004) considera-se
um contexto independente do atraso e mostra-se que estas restrições podem ser eliminadas
a partir da utilização do controlador não racional. Assim, motivados pela utilização desse
modelo de controlador para estabilizar o sistema, mais algumas transformações específi-
cas envolvendo termos de “anti-windup” e a condição de setor generalizada, aplicada à
função zona-morta, para modelar a saturação, obtém-se resultados diretamente na forma
de LMIs, os quais serão apresentados a seguir e encontram-se também publicados em
(GOMES DA SILVA JR.; GHIGGI; TARBOURIECH, 2008).
5.2 Controlador Dinâmico Não Racional
5.2.1 Preliminares
Considera-se o seguinte sistema linear com atraso no tempo e saturação nos atuadores:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + B
u
sat(v(t)) + B
w
w(t)
y(t) = C
y
x(t) +C
y,d
x(t −
τ
) + D
y,w
w(t)
z(t) = C
z
x(t) +C
z,d
x(t −
τ
) + D
z,u
sat(v(t)) + D
z,w
w(t)
(106)
sendo x(t) ∈ ℜ
n
, v(t) ∈ ℜ
m
, w(t) ∈ ℜ
q
os vetores do estado, do sinal enviado para o
atuador e da perturbação, respectivamente. y(t) ∈ ℜ
p
corresponde à saída medida e z(t) ∈
ℜ
r
é a saída regulada. A, A
d
, B
u
, B
w
, C
y
, C
y,d
, C
z
, C
z,d
, D
y,w
, D
z,u
e D
z,w
são matrizes
constantes de dimensões apropriadas. Supõe-se que o par (A, B) seja controlável e o par
77
(C, A) seja observável.
τ
∈ ℜ é o atraso no tempo, w é o vetor da perturbação, o qual
supõe-se limitado em energia i.e.,
w
2
2
=
∞
0
w
(t)w(t)dt ≤
1
ϖ
. (107)
Considera-se um controlador dinâmico não racional com estrutura proposta em (OLI-
VEIRA; GEROMEL, 2004), com a adição de um laço de realimentação estática de “anti-
windup”:
˙x
c
(t) = A
c
x
c
(t) + A
c,d
x
c
(t −
τ
) + B
c
u
c
(t) + E
c
(sat(v(t)) −v(t))
y
c
(t) = C
c
x
c
(t) +C
c,d
x
c
(t −
τ
) + D
c
u
c
(t)
(108)
com x
c
(t) ∈ ℜ
n
o estado do controlador, u
c
(t) a entrada do controlador e y
c
(t) a saída do
controlador. A
c
, A
c,d
, B
c
, C
c
, C
c,d
, D
c
e E
c
são matrizes com dimensões apropriadas. E
c
é a matriz de ganho de “anti-windup”.
Diferentemente do problema de “anti-windup”, descrito na seção 3.4, no presente
caso, o objetivo é projetar-se simultaneamente um controlador não racional e um ganho
de “anti-windup” estático, ou seja, deseja-se propor um método que calcule as matrizes
do controlar não racional, que leve em conta os efeitos causados pela saturação e o com-
portamento não linear do sistema em malha-fechada, de forma a resolver os problemas de
estabilização, de atenuação e tolerância à perturbação, os quais são enunciados abaixo:
• Estabilização: na ausência de perturbações, o controlador precisa garantir a esta-
bilidade do sistema para toda condição inicial iniciada em um conjunto D ⊂ X
0
.
Implicitamente a este problema, tem-se o fato de projetar um controlador com o
objetivo de maximizar o domínio de atração do sistema em malha-fechada.
• Atenuação e Tolerância à Perturbação: a idéia neste caso, consiste em garantir
que as trajetórias do sistema sejam limitadas para toda perturbação satisfazendo
(107) e, em adição deseja-se minimizar o ganho-
L
2
da perturbação
w
(
t
)
para a
saída regulada z(t).
Com o objetivo de colocar-se o sistema formado pela interconexão entre a planta e o
controlador, dada por v(t) = y
c
(t), u
c
(t) = y(t), numa forma mais compacta, define-se
convenientemente um vetor de estados aumentado
ξ
(t) =
x(t)
x
c
(t)
e as seguintes
matrizes:
A =
A + B
u
D
c
C
y
B
u
C
c
B
c
C
y
A
c
; A
d
=
A
d
+ B
u
D
c
C
y,d
B
u
C
c,d
B
c
C
y,d
A
c,d
;
B
u
=
B
u
0
; R =
0
I
; B
w
=
B
u
D
c
D
y,w
+ B
w
B
c
D
y,w
;
K
w
= D
c
D
y,w
; K
ψ
= 0; K =
D
c
C
y
C
c
; K
d
=
D
c
C
y,d
C
c,d
;
C =
C
z
+ D
z,u
D
c
C
y
D
z,u
C
c
; C
d
=
C
z,d
+ D
z,u
D
c
C
y,d
D
z,u
C
c,d
;
D
w
= D
z,w
+ D
z,u
D
c
D
y,w
; D
ψ
= −D
z,u
.
(109)
78
Assim, pode-se representar o sistema em malha-fechada por:
˙
ξ
(t) = A
ξ
(t) + A
d
ξ
(t −
τ
) −(B + RE
c
)
ψ
(y
c
) + B
w
w(t)
z(t) = C
ξ
(t) + D
ψ
ψ
(y
c
) + D
w
w(t)
(110)
sendo,
y
c
(t) = K
ξ
(t) + K
d
ξ
(t −
τ
) + K
w
w(t)
ψ
(y
c
(t)) = y
c
(t) −sat(y
c
(t)).
(111)
O sistema em malha-fechada admite as seguintes condições iniciais
φ
(
θ
) =
x
(t
0
+
θ
) x
c
(t
0
+
θ
)
=
φ
x
(
θ
)
φ
x
c
(
θ
)
, ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
Considera-se uma matriz G =
G
1
G
2
∈ ℜ
m×2n
, e define-se o conjunto
S
= {
ξ
∈ ℜ
2n
;|(K
(i)
−G
(i)
)
ξ
| ≤ u
0(i)
,i = 1,...,m}.
Assim, pode-se enunciar o seguinte Lema a respeito da não-linearidade
ψ
(y
c
), apresen-
tada na seção 2.3.2.
Lema 5 Se
ξ
(t) ∈ S , então a relação
ψ
(y
c
)
T
ψ
(y
c
) −[G K
d
0 K
w
]
ξ
(t)
ξ
(t −
τ
)
ψ
(y
c
(t))
w(t)
≤ 0
é verificada para toda matriz T ∈ℜ
m×m
diagonal definida positiva .
Demonstração: Considere r(t) = G
ξ
(t) + K
d
ξ
(t −
τ
) + K
w
w(t) segue de (111) que,
y
c
(t) −r(t) = (K −G)
ξ
(t) e portanto, ∀
ξ
(t) ∈ S tem-se que | y
c
(i)
(t) −r
(i)
(t) |≤ u
0
(i)
,
i = 1,...,m. Deste ponto em diante a demonstração segue os mesmos passos dados ao
Lema 1 de (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR.; GARCIA, 2004), com isso pode-
se concluir que
ψ
(y
c
)T[
ψ
(y
c
) −r(t)] ≤ 0.
✷
É importante notar que o Lema 5 apresenta a dependência do estado atraso
ξ
(t −
τ
) e
da perturbação w(t), além do vetor de estado
ξ
(t), ao passo que o Lema 3 depende apenas
do vetor de estado x(t).
5.2.2 Síntese de Realimentação Dinâmica Estabilizante
5.2.2.1 Resultados Teóricos
Como o objetivo de garantir-se a estabilização (local), enuncia-se o Teorema 18, com
condições independentes do atraso. Apesar deste fato, como será visto, a estimativa da
região de atração é dependente do atraso.
Teorema 18 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas X
0
, Y
0
, X
11
, X
22
∈ℜ
n×n
,
uma matriz diagonal definida positiva S ∈ℜ
m×m
, e matrizes X
12
,
ˆ
A,
ˆ
A
d
,
ˆ
B ∈ℜ
n×n
,
ˆ
C,
ˆ
C
d
,
Z
1
, Z
2
∈ ℜ
m×n
, Q ∈ ℜ
n×m
,
ˆ
D ∈ ℜ
m×p
, tais que as seguintes desigualdades matriciais
lineares sejam verificadas:
79
Σ
1
A +
ˆ
A
+
B
u
ˆ
DC
y
+X
12
A
d
X
0
+
B
u
ˆ
C
d
A
d
+
B
u
ˆ
DC
y,d
−B
u
S + Z
1
∗
Y
0
A + A
Y
0
+
ˆ
BC
y
+C
y
ˆ
B
+X
22
ˆ
A
d
Y
0
A
d
+
ˆ
BC
y,d
−Q + Z
2
∗ ∗ −X
11
−X
12
ˆ
C
d
∗ ∗ ∗ −X
22
ˆ
C
d
ˆ
D
∗ ∗ ∗ ∗ −2S
< 0 (112)
X
0
∗ ∗
I Y
0
∗
ˆ
C
(i)
−Z
1(i)
ˆ
D
(i)
C
y
−Z
2(i)
u
2
0(i)
≥ 0 i = 1,...,m (113)
com Σ
1
= AX
0
+ X
0
A
+ B
u
ˆ
C +
ˆ
C
B
u
+ X
11
, então, considerando-se w(t) = 0, ∀t > 0, o
controlador dinâmico (108) com
E
c
= −V
−1
0
Y
0
B
u
+V
−1
0
QS
−1
C
c,d
=
ˆ
D
D
c
= (
ˆ
C
d
−D
c
C
y,d
X
0
)(U
0
)
−1
C
c
= (
ˆ
C −D
c
C
y
X
0
)(U
0
)
−1
A
c
= V
−1
0
[
ˆ
A −(Y
0
AX
0
+Y
0
B
u
ˆ
C +V
0
B
c
C
y
X
0
)](U
0
)
−1
B
c
= V
−1
0
(
ˆ
B −Y
0
B
u
ˆ
D)
A
c,d
= V
−1
0
[
ˆ
A
d
−(Y
0
A
d
X
0
+Y
0
B
u
ˆ
C
d
+V
0
B
c
C
y,d
X
0
)](U
0
)
−1
,
(114)
as matrizes U
0
e V
0
verificam a igualdade V
0
U
0
= I
n
−Y
0
X
0
, garante que para toda condi-
ção inicial
φ
=
φ
x
φ
x
c
pertencente ao conjunto
Ξ
0
= {
φ
∈ C
ν
τ
;
φ
(0)P
0
φ
(0) +
0
−
τ
φ
(
θ
)(Π
−1
)
XΠ
−1
φ
(
θ
)d
θ
≤ 1} (115)
com
P
0
=
Y
0
V
0
V
0
•
; X =
X
11
X
12
X
12
X
13
e Π =
X
0
I
U
0
0
,
as trajetórias do sistema em malha-fechada (110) convergem assintoticamente para a
origem.
Demonstração: Semelhantemente a (OLIVEIRA; GEROMEL, 2004) utiliza-se o se-
guinte candidato a funcional de Lyapunov-Krasovskii
V(t,
ξ
t
) =
ξ
(t)P
0
ξ
(t) +
t
t−
τ
ξ
(
θ
)P
1
ξ
(
θ
)d
θ
(116)
com P
0
=
Y
0
V
0
V
0
•
and P
−1
0
=
X
0
U
0
U
0
•
. Segue que
˙
V(t,
ξ
t
) = 2
˙
ξ
(t)P
0
ξ
(t) +
ξ
(t)P
1
ξ
(t) −
ξ
(t −
τ
)P
1
ξ
(t −
τ
)
= 2[A
ξ
(t) + A
d
ξ
(t −
τ
) −(B
u
+ RE
c
)
ψ
(y
c
(t))]
P
0
ξ
(t) +
ξ
(t)P
1
ξ
(t)
−
ξ
(t −
τ
)P
1
ξ
(t −
τ
)
= 2
ξ
(t)A
P
0
ξ
(t) + 2
ξ
(t −
τ
)A
d
P
0
ξ
(t) −2
ψ
(y
c
(t))(B
u
+ RE
c
)
P
0
ξ
(t)
+
ξ
(t)P
1
ξ
(t) −
ξ
(t −
τ
)P
1
ξ
(t −
τ
).
(117)
80
Suponha que w(t) = 0, ∀t ∈ ℜ e que
ξ
(t) ∈ S , do Lema 5, segue que
˙
V(t,
ξ
t
) ≤
˙
V(t,
ξ
t
) −2
ψ
(y
c
(t))T (
ψ
(y
c
(t))−
G K
d
0
ξ
(t)
ξ
(t −
τ
)
ψ
(y
c
(t))
.
(118)
Segue que
˙
V(t,
ξ
t
) ≤
θ
(t)Ξ
θ
(t) com
θ
(t) =
ξ
(t)
ξ
(t −
τ
)
ψ
(y
c
(t))
e
Ξ =
A
P
0
+ P
0
A + P
1
P
0
A
d
−P
0
(B
u
+ RE
c
) + G
T
∗ −P
1
K
d
T
∗ ∗ −2T
. (119)
Define-se então uma matriz
Π =
X
0
I
U
0
0
(SCHERER; GAHINET; CHILALI., 1997), (OLIVEIRA; GEROMEL, 2004).
Note-se que da condição (113), segue que a matriz
I −Y
0
X
0
é não-singular,
o que implica que sempre é possível calcular matrizes não-singulares V
0
e U
0
verificando
a equação
V
0
U
0
= I −Y
0
X
0
.
Este fato garante que Π é não-singular.
Pré e pós multiplicando (119) respectivamente por Diag(Π
Π
S) e Diag(Π Π S)
com S = T
−1
, obtém-se:
Π
A
P
0
Π + Π
P
0
AΠ + Π
P
1
Π Π
P
0
A
d
Π −Π
P
0
(B
u
+ RE
c
)S + Π
G
−Π
P
1
Π Π
K
d
−2S
. (120)
Definindo
Π
P
1
Π = X =
X
11
X
12
X
22
e considerando
ˆ
A = Y
0
AX
0
+Y
0
B
u
D
c
C
y
X
0
+V
0
B
c
C
y
X
0
+Y
0
B
u
C
c
U
0
+V
0
A
c
U
0
,
ˆ
B = Y
0
B
u
D
c
+V
0
B
c
,
ˆ
A
d
= Y
0
A
d
X
0
+Y
0
B
u
D
c
C
y,d
X
0
+V
0
B
c
C
y,d
X
0
+Y
0
B
u
C
c,d
U
0
+V
0
A
c,d
U
0
,
ˆ
C = C
c
U
0
+ D
c
C
y
X
0
,
ˆ
D = D
c
,
ˆ
C
d
= C
c,d
U
0
+ D
c
C
y,d
X
0
,
Z
2
= G
1
, Z
1
= X
0
G
1
+U
0
G
2
e Q = Y
0
B
u
S +V
0
E
c
S,
(121)
segue que:
Π
P
0
AΠ =
AX
0
+ B
u
ˆ
C A + B
u
ˆ
DC
y
ˆ
A Y
0
A +
ˆ
BC
y
; Π
P
0
Π =
X
0
I
I Y
0
;
Π
P
0
(B
u
+ RE
c
)S =
B
u
S
Q
; Π
G
=
Z
1
Z
2
; Π
K
d
=
ˆ
C
d
C
y,d
ˆ
D
;
Π
P
0
A
d
Π =
A
d
X
0
+ B
u
ˆ
C
d
A
d
+ B
u
ˆ
DC
y,d
ˆ
A
d
Y
0
A
d
+
ˆ
BC
y,d
.
.
(122)
81
Como Π e S são matrizes não singulares e, se a condição (112) do Teorema 18 é
verificada, tem-se que
˙
V(t,
ξ
t
) < 0 acontece para as matrizes A
c
, A
c,d
, B
c
, C
c
, C
c,d
, E
c
e
D
c
definidas em (114), desde que
ξ
(t) ∈ S .
Pré e pós multiplicando-se agora a desigualdade (113) por
(Π
−1
)
0
0 1
e sua transposta respectivamente, e como
KΠ = [D
c
C
y
X
0
+C
c
U
0
D
c
C
y
] = [
ˆ
C
ˆ
DC
y
],
segue que a condição (113), garante que
E (P
0
) = {
ξ
∈ ℜ
2n
;
ξ
P
0
ξ
≤ 1} ⊂ S .
Considerando-se que
˙
V(t,
ξ
t
) < 0
e da definição do funcional V(t,
ξ
t
), segue-se que:
ξ
(t)P
0
ξ
(t) ≤V(t,
ξ
t
) ≤V(0,
ξ
0
) =
ξ
(0)P
0
ξ
(0) +
0
−
τ
ξ
(
θ
)
P
1
ξ
θ
(
θ
)d
θ
. (123)
Então, assegurando-se que a condição inicial
φ
∈Ξ
0
, pela definição dada em (115), segue-
se que
ξ
(t)P
0
ξ
(t) ≤ 1.
Dessa forma, é possível garantir-se que as trajetórias nunca saem do conjunto E (P
0
) ⊂S .
Logo, se as relações (112) e (113) são satisfeitas, obtém-se
˙
V(t,
ξ
t
) < 0, ∀
φ
∈ Ξ
0
,
e, do Teorema de Lyapunov-Krasovskii, as trajetórias correspondentes convergem assin-
toticamente para a origem.
✷
Suponha agora que o controlador tenha condição inicial nula, i.e.,
x
c
(0) = 0 e x
c
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
Esta hipótese sugere que o controlador esteja em equilíbrio, o que é razoável supor. Este
fato permite que se caracterize o domínio de condições iniciais admissíveis em função
dos estados da planta, conforme segue.
Note que a partir da demonstração do Teorema obtém-se:
ξ
(t)P
0
ξ
(t) ≤V(t,
ξ
t
) ≤V(0,
ξ
0
) =
ξ
(0)P
0
ξ
(0) +
0
−
τ
ξ
(
θ
)
P
1
ξ
θ
(
θ
)d
θ
=
x
(0) x
c
(0)
Y
0
V
0
V
0
•
x(0)
x
c
(0)
+
0
−
τ
[x
(
θ
) x
c
(
θ
)]
P
11
P
12
P
12
P
13
x(
θ
)
x
c
(
θ
)
d
θ
.
(124)
82
Supondo-se
φ
x
c
(
θ
) = 0, i.e.x
c
(t
0
+
θ
) = 0, ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
Então, da equação (124), segue que
ξ
(t)P
0
ξ
(t) ≤ ||
φ
x
||
2
c
(
λ
max
(Y
0
) +
τλ
max
(P
11
)). (125)
Por outro lado, como
Π
−1
=
0 (U
0
)
−1
I −X
0
(U
0
)
−1
,
segue que P
11
= X
22
.
Neste caso, a estabilidade do sistema em malha-fechada é garantida para toda condi-
ção inicial
φ
x
(
θ
) pertencente à bola
B
τ
(
δ
) = {
φ
x
∈ C
τ
;
φ
x
2
c
≤
δ
}
com
δ
=
1
λ
max
(Y
0
) +
τλ
max
(X
22
)
.
É importante notar que, os parâmetros que definem B
τ
(
δ
) podem ser obtidos direta-
mente da solução das LMIs (112) e (113). Assim, o objetivo de controle pode ser garantir
a estabilidade no conjunto B
τ
(
δ
) definido a partir dos estados da planta, sendo este tão
grande quanto possível. Este problema será visto na seção 5.2.3.
No caso do sistema (106) ser assintoticamente estável, pode-se aplicar o seguinte
Corolário, o qual garante condições suficientes para a estabilização global do sistema
em malha-fechada (110).
Corolário 6 Se existirem matrizes simétricas definidas positiva X
0
, Y
0
, X
11
, X
22
∈ℜ
n×n
,
uma matriz diagonal definida positiva S ∈ ℜ
m×m
, e matrizes X
12
,
ˆ
A,
ˆ
A
d
,
ˆ
B ∈ ℜ
n×n
,
ˆ
C,
ˆ
C
d
∈ ℜ
m×n
,
ˆ
D ∈ ℜ
m×p
e Q ∈ ℜ
n×m
tal que a desigualdade (112) do Teorema 18,
seja verificada, com Z
1
=
ˆ
C e Z
2
=
ˆ
DCy e ainda
X
0
I
I Y
0
> 0,
então o controlador dinâmico (108) com as matrizes definidas em (114), as matrizes U
0
e V
0
verificam V
0
U
0
= I −Y
0
X
0
, garante a estabilidade global assintótica da origem do
sistema em malha-fechada (110).
Demonstração: Considere G = K. Segue que a condição de setor
ψ
(y
c
)T
ψ
(y
c
) −
G K
d
0
ξ
(t)
ξ
(t −
τ
)
ψ
(y
c
(t))
≤ 0
é verificada ∀
ξ
(t) ∈ ℜ
2n
, assim segue a estabilidade assintótica global.
✷
5.2.3 Problemas de Optimização
Conside agora o caso em que o controlador dinâmico está em equilíbrio, ou seja,
x
c
(0) = 0 e x
c
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
Esta hipótese permite que se caracterize o conjunto de condições iniciais admissíveis. Na
seqüência, duas estratégias de otimização, as quais utilizam as condições enunciadas no
Teorema 18, são propostas com o objetivo de projetar o controlador.
83
5.2.3.1 Maximização do conjunto de condições iniciais admissíveis
A idéia consiste em calcular um controlador, com o objetivo de maximizar a bola
B
τ
(
δ
), i.e. como o objetivo de maximizar a estimativa da região de atração. Neste caso
o seguinte problema de otimização pode ser considerado:
min
λ
Y
0
+
τλ
X
22
sujeito a (112), (113) e Y
0
≤
λ
Y
0
I ; X
22
≤
λ
X
22
I.
(126)
5.2.3.2 Maximização para um dado conjunto de condições iniciais admissíveis
Considere agora um dado conjunto B
τ
(
δ
) de estados iniciais admissíveis. A idéia
consiste em calcular um controlador, com o objetivo de garantir a estabilidade para todas
as condições iniciais, satisfazendo ||
φ
x
||
2
c
≤
δ
. Neste caso, devem ser consideradas as
seguintes restrições:
Y
0
≤
λ
Y
0
I ; X
22
≤
λ
X
22
I e
λ
Y
0
I +
τλ
X
22
I ≤
δ
−1
.
(127)
Os seguintes critérios de otimização podem então ser utilizados:
• maximizar a taxa de decaimento na região de linearidade do sistema em malha-
fechada (TARBOURIECH; GOMES DA SILVA JR., 2000);
Para resolver este problema é necessário resolver o problema (128), fazendo uma
busca unidimensional em
β
(fixa-se
β
e resolve-se um problema de factibilidade
para as LMIs),
max
β
sujeito a (112), (113) e (129)
(128)
Σ
1
A +
ˆ
A
+
B
u
ˆ
DC
y
+X
12
e
βτ
A
d
X
0
+
B
u
ˆ
C
d
e
βτ
A
d
+
B
u
ˆ
DC
y,d
−B
u
S + Z
1
∗
Y
0
A + A
Y
0
+
ˆ
BC
y
+C
y
ˆ
B
+X
22
ˆ
A
d
e
βτ
Y
0
A
d
+
ˆ
BC
y,d
−Q + Z
2
∗ ∗ −X
11
−X
12
ˆ
C
d
∗ ∗ ∗ −X
22
ˆ
C
d
ˆ
D
∗ ∗ ∗ ∗ −2S
< 0,
(129)
com Σ
1
dado no Teorema 18.
• minimizar a cota superior para uma dada função custo (problema do custo garan-
tido).
Como função custo pode-se definir o seguinte funcional
ϒ =
∞
0
x
(t)Qx(t)dt, com Q = Q
≥ 0, Q ∈ℜ
n×n
,
o qual é utilizado para medir o desempenho do sistema em malha-fechada.
Suponha que as condições obtidas sejam suficientes para garantir que:
˙
V(t,
ξ
t
) +
1
κ
ξ
I
0
Q
I 0
ξ
< 0 (130)
84
perceba-se que integrando esta desigualdade sobre o intervalo [0,∞), é possível
obter-se:
ϒ <
κ
V(0,
ξ
0
) =
κ
V(0,
φ
) <
κ
, ∀
φ
∈ Ξ
0
. (131)
Dessa maneira, escrevendo-se a equação (130) em forma de produto matricial,
obtém-se:
Σ
1
A +
ˆ
A
+
B
u
ˆ
DC
y
+X
12
A
d
X
0
+
B
u
ˆ
C
d
A
d
+
B
u
ˆ
DC
y,d
−B
u
S + Z
1
X
0
˜
Q
1
2
∗
Y
0
A + A
Y
0
+
ˆ
BC
y
+C
y
ˆ
B
+X
22
ˆ
A
d
Y
0
A
d
+
ˆ
BC
y,d
−Q + Z
2
0
∗ ∗ −X
11
−X
12
ˆ
C
d
0
∗ ∗ ∗ −X
22
ˆ
C
d
ˆ
D
0
∗ ∗ ∗ ∗ −2S 0
∗ ∗ ∗ ∗ −2S −
κ
I
< 0,
(132)
logo a LMI (132) garante que a desigualdade (130) é satisfeita.
Pode-se assim, resolver o seguinte problema:
min
κ
sujeito a (132), (113).
(133)
Observação 13 É importante notar que as condições de estabilidade foram obtidas por
estratégias “independentes do atraso”, porém, o conjunto de condições iniciais admissí-
veis definido no Teorema 18, no qual a convergência assintótica é garantida, é dependente
do atraso.
5.3 Atenuação e Tolerância a Perturbações
5.3.1 Resultados Teóricos
Nesta seção está-se interessado em projetar o controlador dinâmico (108) com o ob-
jetivo de minimizar o ganho-L
2
da perturbação w(t) para a saída regulada z(t). Desde
que as entradas sejam limitadas, um objetivo importante que deseja-se garantir é a esta-
bilidade entrada-estado, ou seja, que as trajetórias do sistema sejam limitadas para toda
perturbação admissível e que o conjunto dos estados atingíveis esteja contido na região de
atração do sistema em malha-fechada. Considera-se agora que
φ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
Obtém-se assim tanto condições locais para a estabilidade entrada-estado para perturba-
ções satisfazendo (107) para um dado
ϖ
, como condições globais, as quais garantem que
as trajetórias sejam limitadas para toda perturbação L
2
. Tal resultado é formalizado no
Teorema subseqüente.
Teorema 19 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas X
0
, Y
0
, X
11
, X
22
∈ℜ
n×n
,
uma matriz diagonal definida positiva S ∈ℜ
m×m
, matrizes X
12
,
ˆ
A,
ˆ
A
d
,
ˆ
B ∈ℜ
n×n
,
ˆ
C,
ˆ
C
d
,
ˆ
D,
Z
1
, Z
2
∈ℜ
m×n
, Q ∈ℜ
n×m
e escalares positivos
γ
e
ϖ
tais que as seguintes desigualdades
matriciais lineares sejam verificadas
85
Σ
1
Σ
2
A
d
X
0
+ B
u
ˆ
C
d
A
d
+ B
u
ˆ
DC
y,d
−B
u
S + Z
1
B
u
ˆ
DD
y,w
+ B
w
Σ
3
∗
Σ
4
ˆ
A
d
Y
0
A
d
+
ˆ
BC
y,d
−
Q
+
Z
2
ˆ
BD
y,w
+
Y
0
B
w
Σ
5
∗ ∗ −X
11
−X
12
ˆ
C
d
0 Σ
6
∗ ∗ ∗ −X
22
C
y,d
ˆ
D
0 Σ
7
∗ ∗ ∗ ∗ −2S
ˆ
DD
y,w
−SD
z,u
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I Σ
8
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
γ
I
< 0
(134)
X
0
∗ ∗
I
2n
Y
0
∗
ˆ
C
(i)
−Z
1(i)
ˆ
D
(i)
C
y
−Z
2(i)
ϖ
u
2
0
(i)
≥ 0 i = 1, ...,m (135)
com
Σ
1
= AX
0
+ X
0
A
+ B
u
ˆ
C +
ˆ
C
B
u
+ X
11
,
Σ
2
= A +
ˆ
A
+ B
u
ˆ
DC
y
+ X
12
,
Σ
3
= X
0
C
z
+
ˆ
C
D
z,u
,
Σ
4
= Y
0
A + A
Y
0
+
ˆ
BC
y
+C
y
ˆ
B
+ X
22
,
Σ
5
= (C
z
+ D
z,u
ˆ
DC
y
)
,
Σ
6
= X
0
C
z,d
+
ˆ
C
d
D
z,u
,
Σ
7
= (C
z,d
+ D
z,u
ˆ
DC
y,d
)
,
Σ
8
= D
y,w
ˆ
D
D
z,u
+ D
z,w
.
então, considerando que
φ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈ [−
τ
,0] e que w
2
2
≤
ϖ
−1
, o controlador
dinâmico (108) com matrizes definidas como em (114), as matrizes U
0
e V
0
verificam
V
0
U
0
= I −Y
0
X
0
, é tal que:
1. quando w(t) = 0
a. as trajetórias do sistema (106) em malha-fechada permanecem limitadas no
conjunto
E (P
0
,
ϖ
−1
)
={
ξ
∈ ℜ
2n
;
ξ
P
0
ξ
≤
ϖ
−1
},
com
P
0
=
Y
0
V
0
V
0
•
P
−1
0
=
X
0
U
0
U
0
•
b. z
2
2
<
γ
w
2
2
2. se w(t) = 0, ∀t ≥ t
1
≥ 0, ou se lim
t→∞
w(t) → 0,
ξ
(t) converge assintoticamente
para a origem.
Demonstração: A demonstração deste Teorema segue os mesmos procedimentos das
demonstrações dos Teoremas 17 e 18.
✷
Semelhantemente ao resultado enunciado no Corolário 6, para os sistemas assintotica-
mente estáveis em malha aberta, o seguinte Corolário do Theorem 19 garante condições
suficientes para a solução do problema de atenuação à perturbação num contexto glo-
bal. Neste caso, pode ser garantido que as trajetórias do sistema em malha-fechada são
limitadas ∀w(t) ∈ L
2
e para toda condição inicial
φ
∈ C
v
τ
.
86
Corolário 7 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas X
0
, Y
0
, X
11
, X
22
∈ℜ
n×n
,
uma matriz diagonal definida positiva S ∈ℜ
m×m
, matrizes X
12
,
ˆ
A,
ˆ
A
d
,
ˆ
B ∈ℜ
n×n
,
ˆ
C,
ˆ
C
d
∈
ℜ
m×n
,
ˆ
D ∈ ℜ
m×p
, Q ∈ℜ
n×m
e um escalar positivo
γ
tal que a LMI (135) do Teorema 19,
seja verificada, com Z
1
=
ˆ
C e Z
2
=
ˆ
DC
y
e ainda,
X
0
I
I Y
0
> 0.
Então, o controlador dinâmico (108) com matrizes definidas como em (114), as matrizes
U
0
e V
0
verificam V
0
U
0
= I −Y
0
X
0
, é tal que:
1. quando w = 0
a. as trajetórias do sistema (106) em malha-fechada permanecem limitadas ∀
φ
∈
C
v
τ
e ∀w(t) ∈ L
2
.
b. z
2
2
<
γ
w
2
2
+
γ
V(0),
2. se w(t) = 0, ∀t ≥ t
1
≥ 0, ou se lim
t→∞
w(t) → 0,
ξ
(t) converge assintoticamente
para a origem.
Demonstração: Como no Corolário 6, é suficiente definir G = K.
✷
5.3.2 Problemas de Otimização
5.3.2.1 Maximização da tolerância à perturbação
Neste caso, a idéia é maximizar o limite superior da norma L
2
da perturbação w,
para as quais pode-se garantir que as trajetórias do sistema permaneçam limitadas. Então
resolve-se o seguinte problema de otimização:
min
ϖ
sujeito a (134), (135).
(136)
Note que, neste problema, não se está interessado nos valores de
γ
, que assumir va-
lores tão grandes quanto o necessário para garantir que a relação (134) seja verificada.
5.3.2.2 Minimização do ganho-L
2
Dado um limite 1/
ϖ
para as perturbações admissíveis, a idéia aqui é minimizar o
limite superior
√
γ
para o ganho-L
2
, i.e.:
min
γ
sujeito a (134), (135).
(137)
5.4 Exemplos Numéricos
Exemplo 3 Considere o sistema (106), descrito pelas seguintes matrizes, (OLIVEIRA;
GEROMEL, 2004):
A =
0 1
0 −3
; A
d
=
1 2.4
2.4 −2
; B
u
= B
w
=
1
0
; C
y
=
1 1
;
87
C
y,d
=
1 −1
; C
z
=
1 1
; C
z,d
=
0 0
; D
y,w
= −0.1; D
z,u
= 0.1; D
w
= 0.
Considerando u
0
= 15 e
τ
= 0.5, da resolução do problema de otimização (126), obtêm-se
as seguintes matrizes para o controlador:
E
c
=
−0.1687
−0.0775
;D
c
= −0.2184;C
c
=
139.4879 8.5998
;
C
c,d
=
−11.1815 7.1147
;
B
c
=
−0.1920
−0.4915
; A
c
=
−22.8999 −3.0566
−3.8965 −5.8943
; A
c,d
=
−1.7609 1.1204
−1.2804 0.8147
.
Supondo-se que o controlador tenha condições iniciais nulas, obtém-se o seguinte
valor ótimo de
δ
(raio da bola B
τ
(
δ
) é 0.7153).
A Tabela 7 ilustra os valores de
δ
obtidos da resolução de (126) considerando dife-
rentes valores de
τ
. Nesta é possível observar a relação entre o tamanho do atraso e da
região de estabilidade: quanto maior for o atraso, menor será a região de estabilidade.
Note também que através da condição de estabilidade, que é independente do atraso,
obtém-se o tamanho da bola de estabilidade (dada por
δ
), que depende diretamente do
atraso.
Tabela 7: Influência do atraso no raio do conjunto B
τ
(
δ
).
τ δ
3.8278 10
−10
3.8278
0.0001 3.8229
0.001 3.7927
0.01 3.5112
0.1 2.0313
0.5 0.7153
1 0.3958
10
10
4.4389 ×10
−11
Considerando agora o problema (136), o valor ótimo de
ϖ
é 0.4127, o que significa
que o limite máximo para a norma L
2
das perturbações admissíveis, para as quais é
possível calcular um controlador que garanta que as trajetórias sejam limitadas, é dado
por 1/
√
ϖ
= 1.5566. Por outro lado, considerando que o limite da norma L
2
ao qua-
Tabela 8: Relação entre o limite para a norma L
2
e o limite superior para o ganho-L
2
.
ϖ
√
γ
0.4127 31.0873
0.42 22.7528
0.5 9.8448
1 5.3435
10 3.9941
88
drado para as perturbações admissíveis seja dado por
ϖ
−1
, a Tabela 8 mostra os valores
obtidos para
√
γ
, resolvendo o problema (137) para valores diferentes de
ϖ
. Note que
neste caso, quanto maior for o valor de
ϖ
(i.e., quanto menor for o valor do limite para
as perturbações admissíveis), menor é o valor do limite superior para o ganho-L
2
de w
para z (i.e. maior é o índice de atenuação à perturbação).
Na seqüência, é feita uma comparação do comportamento do sistema em malha-
fechada, entre dois controladores dinâmicos diferentes.
• Controlador 1 (C-1): este controlador foi calculado através da resolução do pro-
blema (137), considerando
ϖ
= 0.4127, i.e., considerando que as perturbações
admissíveis são tais que w
2
< 1.5566. As matrizes do controlador calculado
são:
A
c
=
20.9371 −157.7763
5.6559 −39.4650
; A
cd
=
0.7432 −0.1276
0.1677 −0.0288
;
E
c
=
−4.5337
−1.1154
; B
c
=
−24.1281
−4.0523
;
D
c
= −0.2307; C
c
=
−5.3999 33.0519
; C
cd
=
0.1277 −0.0221
.
• Controlador II (C-2): corresponde ao controlador que minimiza o limite para o
ganho-L
2
sem levar em conta a saturação, i.e. ele é obtido através da solução do
seguinte problema de otimização:
min
γ
sujeito a
Σ
1
Σ
2
A
d
X
0
+ B
u
ˆ
C
d
A
d
+ B
u
ˆ
DC
y,d
B
u
ˆ
DD
y,w
+ B
w
X
0
C
z
+
ˆ
C
D
z,u
∗ Σ
3
ˆ
A
d
Y
0
A
d
+
ˆ
BC
y,d
ˆ
BD
y,w
+Y
0
B
w
(C
z
+ D
z,u
ˆ
DC
y
)
∗ ∗ −X
11
−X
12
0 X
0
C
z,d
+
ˆ
C
d
D
z,u
∗ ∗ ∗ −X
22
0 (C
z,d
+ D
z,u
ˆ
DC
y,d
)
∗ ∗ ∗ ∗ −I D
y,w
ˆ
D
D
z,u
+ D
z,w
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
γ
I
< 0 (138)
e
X
0
I
I Y
0
> 0.
sendo
Σ
1
= AX
0
+ X
0
A
+ B
u
ˆ
C +
ˆ
C
B
u
+ X
11
, Σ
2
= A+
ˆ
A
+ B
u
ˆ
DC
y
+ X
12
,
Σ
3
= Y
0
A + A
Y
0
+
ˆ
BC
y
+C
y
ˆ
B
+ X
22
.
Neste caso, o controlador não racional que se obtém, é dado pelas seguintes matrizes:
E
c
=
0
0
; C
c
=
0.8883 14.0327
; C
cd
=
0.1428 −0.0359
;
D
c
= 0.3075;B
c
=
−26.5999 1.4335
;
89
A
c
=
−9.3861 −71.3726
0.2387 −1.2499
; A
cd
=
0.6216 −0.1093
−0.0088 0.0025
.
Considere um sinal para a perturbação definido como segue:
w(t) =
α
se 0 < t ≤ T
0 se t > T.
(139)
Para T = 3.1, segue (através de simulação) que C-2 apresenta um comportamento
instável para perturbações com
α
> 2.0389, enquanto que C-1 se torna instável para
α
> 3.0478. Note que para o limite considerado no projeto de C-1 o valor máximo
admissível para
α
é dado por (t
ϖ
)
−0.5
= 0.8841, o qual reflete o conservadorismo do
limite garantido pela condição proposta. Por outro lado, o sistema em malha-fechada
com o controlador C-1 pode suportar uma perturbação 54% maior (em amplitude) do
que o controlador projetado, sem levar em conta a saturação dos atuadores.
Considerando agora T = 3.1,
α
= 3.0059, a Figura 4(a) ilustra o comportamento
do sistema em malha-fechada, com
τ
= 0.1 e u
0
= 15, considerando C-1 e C-2. Como
pode ser visto, o sistema em malha-fechada com C-2 apresenta um comportamento instá-
vel para a perturbação, enquanto que C-1 pode garantir a estabilidade do sistema.
Conforme pode ser visto na Figura 4(b), para C-1 o controlador satura, mas as tra-
jetórias convergem para zero depois de cessar a ação da perturbação.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
tempo
saida regulada (z(t))
Controlador C−1
Controlador C−2
(a) Gráfico da saída regulada.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
tempo
sinal de controle (u(t))
Controlador C−1
Controlador C−2
(b) Gráfico do sinal de controle.
Figura 4: Comportamento do sistema em malha-fechada utilizando controlador C-1 ou
C-2.
Exemplo 4 Considere o sistema (106) descrito pelas seguintes matrizes
A =
−3 1
0 −4
; A
d
=
2.5 0
0 0.5
; B
u
=
−1
3
;B
w
=
0.5
0
;
C
y
=
.5 1
; C
y,d
=
1 −1
; C
z
=
1 0
; C
z,d
=
0 0
;
D
y,w
= 0; D
z,u
= 0; D
z,w
= 0.
Como o sistema é assintoticamente estável em malha aberta, pode-se obter o seguinte
controlador:
90
• Controlador (C-3): Corresponde ao controlador que minimiza o limite para o
ganho-L
2
. O qual foi calculado através da aplicação do Corolário 7. O resultado
para o problema de otimização, neste caso, fornece como resultado
γ
= 1.0001 e
Cc =
0.0541 −2.0032
; C
cd
= 10
−3
×
−0.1092 0.0245
;
E
c
=
−1718.6
−3.9
; D
c
= 0.1966; B
c
=
−336.1652
−67.0616
;
A
c
=
−97.0 3441.4
−0.3 2.8
; A
cd
=
0.7001 −1.2728
0.1355 −0.9613
.
• Controlador (C-4): Corresponde ao controlador que minimiza o limite para o
ganho-L
2
, sem levar em conta a saturação. O qual foi calculado através da solu-
ção do problema de otimização (138), o resultado obtido é:
γ
= 0.0141 e
E
c
=
0
0
; D
c
= 3.2211; C
c
=
0.7885 −21.1575
;
C
cd
=
−0.0101 −0.3068
; B
c
=
−1491.6
−44
;
A
c
=
−375.8 9978.5
−1.3 27.9
; A
cd
=
5.0578 144.9260
0.2844 0.5768
.
Como no Exemplo 3, a Figura 5 mostra o comportamento dinâmico do sistema em malha-
fechada com o controlador (C-3), comparado com o comportamento dinâmico do contro-
lador (C-4), obtido sem considerar a saturação. Com este objetivo, considera-se u
0
= 1,
τ
= 1 e o sinal da perturbação definido em (139) com T = 1 e
α
= 5. Pode-se ver na
Figura 5(a) que o controlador projetado pela condição proposta pelo Corolário 7 faz com
que não ocorra sobrepassagem por zero e na Figura 5(b) observa-se que o esforço de
controle é menor.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
tempo
saida regulada (z(t))
Controlador C−3
Controlador C−4
(a) Gráfico da saída regulada.
0 10 20 30 40 50 60 70
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo
sinal de controle (u(t))
Controlador C−3
Controlador C−4
(b) Gráfico do sinal de controle.
Figura 5: Comportamento dinâmico do sistema em malha-fechada utilizando os contro-
ladores C-3 e C-4.
91
5.5 Conclusão
Neste capítulo, propôs-se uma metodologia de projeto de controladores dinâmicos
não racionais, como o objetivo de estabilizar, por realimentação de saída, sistemas com
atraso no tempo e saturação nos atuadores. Os controladores projetados apresentam uma
estrutura especial formada por um compensador linear mais um termo de “anti-windup”
estático. Paralelamente resolveram-se problemas de atenuação e tolerância a perturba-
ções, quando o sistema estivesse sujeito a perturbações. Para chegar-se a estes objeti-
vos utilizou-se a condição de setor generalizada, para funções do tipo zona-morta e um
funcional de Lyapunov-Krasovskii. Estas ferramentas permitiram que a partir de trans-
formações de variáveis apropriadas se obtivessem condições na forma direta de LMIs e
independentes do atraso.
O projeto de controladores não racionais apresenta a vantagem de não ser necessário
fixar a estrutura das matrizes do funcional de Lyapunov a fim de se obter condições na
forma de LMIs. Por outro lado, esse controlador apresenta a desvantagem de ter que se
conhecer o valor do atraso. Caso o atraso seja variante no tempo, tem-se um problema
de robustez, o qual é resolvido utilizando-se a representação do modelo como sugerida
por (IVANESCU et al., 2000), mais a representação do vetor de atraso aumentado por
ξ
τ
=
x(t −
τ
1
) x
c
(t −
τ
2
)
e o funcional de Lyapunov-Krasovskii dado por
V(t,
ξ
t
) =
ξ
(t)P
0
ξ
(t) +
t
t−
τ
1
x
(
θ
)P
1
x(
θ
)d
θ
+
t
t−
τ
2
x
c
(
θ
)P
1
c
x
c
θ
d
θ
,
assim é possível obterem-se condições na forma de LMIs independentes do atraso com
o conjunto de condições iniciais admissíveis dependente do atraso e dos autovalores das
matrizes Y
0
, P
1
e P
1
c
.
Quando se adiciona o laço de “anti-windup” ao controlador, permite-se que se leve
em conta os efeitos indesejados causados pela saturação, além de introduzir mais graus
de liberdade o que possibilita que se obtenham efetivamente condições LMIs, a partir de
transformações de variáveis apropriadas. A junção do controlador dinâmico não racional
com laço de “anti-windup”, é uma das contribuições que se pode citar desta tese, uma vez
que é inédita na literatura.
92
6 SÍNTESE DE COMPENSADORES DE “ANTI-WINDUP”
6.1 Introdução
Como visto na seção 3.4, o objetivo da estratégia de “anti-windup” é projetar um
ganho estático de “anti-windup” E
c
ou um compensador dinâmico de “anti-windup”, de
tal forma que os efeitos causados pela diferença entre a entrada do atuador e a saída sejam
minimizados. Na Figura 6, é possível observar-se a adição da estrutura de “anti-windup”
ao controlador, que tem como entrada a diferença entre a entrada e saída do atuador.
Neste capítulo, apresentam-se condições para o cálculo de ganhos estáticos “anti-
windup” e para o projeto de compensadores dinâmicos de “anti-windup”, para sistemas
apresentando atrasos variantes no tempo e incertos, nos estados, sujeitos à saturação de
controle.
Considerando que o sistema está sujeito à ação de perturbações limitadas pela norma
L
2
, o cálculo da estrutura de “anti-windup” deve garantir que as trajetórias do sistema per-
maneçam limitadas e que um certo nível de desempenho L
2
seja garantido para a saída
regulada. Os resultados obtidos são baseados na utilização de um funcional de Lyapunov-
Krasovski, na condição de setor generalizada. A partir destas ferramentas, condições em
forma de LMI’s são obtidas para garantir a estabilidade L
2
entrada-estado como também
a estabilidade assintótica do sistema em malha-fechada, tanto para o caso local como glo-
bal. Analogamente às seções anteriores, também formulam-se problemas de otimização
convexa com a finalidade de garantir dois objetivos de síntese: a maximização do limite
superior para a norma L
2
das perturbações admissíveis, para as quais as trajetórias perma-
necem limitadas (i.e. maximização da tolerância à perturbação); e, considerando-se dada
o limite superior da norma L
2
para a perturbação admissível, minimização do ganho L
2
entre a saída regulada e a perturbação (i.e. maximização da atenuação à perturbação).
Em particular, no caso estático, diferentemente das abordagens previamente apresen-
tadas na literatura (PARK; CHOI; CHOO, 2000), (ZACCARIAN; NESIC; TEEL, 2005),
considera-se o sistema apresentando atrasos variantes no tempo e a ação de perturbações
limitadas em energia. No caso dinâmico é proposta uma estrutura não racional, a qual, si-
milarmente aos resultados do capítulo precedente, permite obterem-se condições na forma
de LMIs. Diferentemente destas abordagens, estes resultados permitem considerar tam-
bém sistemas com atrasos nos estados e instáveis em malha aberta.
6.2 “Anti-Windup” Estático
Considera-se nesta seção a estrutura de “anti-windup” apresentada na Figura 6, com
y
a
= E
c
(sat(y
c
(t)) −y
c
(t)).
93
Controlador
Saturação
SistemaLinear
comatrasono
tempo
y
c
y
a
w
Z
AW
Compensador
Figura 6: Esquema “anti-windup”.
6.2.1 Formulação do Problema
Seja o seguinte sistema linear, com atrasos variantes no tempo nos estados:
˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
(t)) + B
u
sat(v(t)) + B
w
w(t)
y(t) = C
y
x(t) + D
y,u
u(t) + D
y,w
w(t)
z(t) = C
z
x(t) + D
z,u
u(t) + D
z,w
w(t)
(140)
com condição inicial x(t
0
+
θ
) =
φ
x
(
θ
),∀
θ
∈ [−h,0], t
0
∈ ℜ
+
,
φ
∈ C
v
τ
, sendo x(t) ∈
ℜ
n
, v(t) ∈ ℜ
m
, w(t) ∈ ℜ
q
os vetores de estado, do sinal enviado para o atuador e de
perturbação, respectivamente. y(t) ∈ ℜ
p
corresponde a saída de medida e z(t) ∈ ℜ
r
a
saída regulada. Considere ainda A, A
d
, B
u
, B
w
, C
y
, D
y,u
, D
y,w
, C
z
, D
z,u
e D
z,w
como sendo
matrizes constantes de dimensões apropriadas e
τ
(t) um atraso que varia lentamente no
tempo e satisfaz:
0 ≤
τ
(t) ≤ h
˙
τ
(t) ≤ d < 1.
(141)
Assume-se ainda que o vetor da perturbação w seja limitado em energia, como em (13) e
para algum escalar
ϖ
, 0 <
1
ϖ
< ∞, isto é,
w
2
2
≤
1
ϖ
. (142)
Considerando-se o sistema (140), assume-se um compensador dinâmico de saída de
ordem n
c
, definido como abaixo:
˙x
c
(t) = A
c
x
c
(t) + B
c,u
u
c
(t) + B
c,w
w(t)
y
c
(t) = C
c
x
c
(t) + D
c,u
u
c
(t) + D
c,w
w(t)
(143)
sendo x
c
(t) ∈ ℜ
n
c
o estado, u
c
(t) ∈ ℜ
p
a entrada e y
c
(t) ∈ ℜ
m
a saída do controlador.
Considera-se este controlador é pré-projetado com o objetivo de garantir um certo nível
de desempenho e a estabilidade do sistema em malha-fechada, sem considerar a presença
de saturação no controle. A interconexão entre o controlador (143) e o sistema (140) é
dada pelas seguintes relações
v(t) = y
c
(t) u
c
(t) = y(t). (144)
94
Esta interconexão é suposta ser bem definida (“well-posed”), i.e., (I −D
c,u
D
y,u
) e (I −
D
y,u
D
c,u
) são matrizes não singulares.
Com o objetivo de atenuar-se os efeitos indesejáveis de “windup”, causados pela sa-
turação da entrada, um termo “anti-windup”
y
a
= E
c
(sat(y
c
(t)) −y
c
(t)), E
c
∈ ℜ
n
c
×m
,
é adicionado ao compensador conforme segue (veja (TARBOURIECH; GOMES DA
SILVA JR.; GARCIA, 2004) e referências inclusas):
˙x
c
(t) = A
c
x
c
(t) + B
c,u
u
c
(t) + B
c,w
w(t) + E
c
(sat(y
c
(t)) −y
c
(t))
y
c
(t) = C
c
x
c
(t) + D
c,u
u
c
(t) + D
c,w
w(t).
(145)
Considerando-se as relações (144), define-se um vetor aumentado
ξ
(t) =
x
(t) x
c
(t)
∈ ℜ
n+n
c
, e as seguintes matrizes
A =
A + B
u
∆D
c,u
C
y
B
u
∆C
c
B
c,u
C
y
+ B
c,u
D
y,u
∆D
c,u
C
y
A
c
+ B
c,u
D
y,u
∆C
c
; A
d
=
A
d
0
0 0
;
B =
B
u
(∆D
c,u
D
y,u
+ I)
B
c,u
D
y,u
(∆D
c,u
D
y,u
+ I)
;
B
w
=
B
u
∆(D
c,u
D
y,w
+ D
c,w
) + B
w
B
c,u
D
y,u
∆(D
c,u
D
y,w
+ D
c,w
) + B
c,u
D
y,w
+ B
c,w
;
C =
C
z
+ D
z,u
∆D
c,u
C
y
D
z,u
∆C
c
; D
ψ
= −D
zu
(∆D
c,u
D
y,u
+ I);
D
w
= D
z,w
+ D
z,u
∆(D
c,u
D
y,w
+ D
c,w
); ∆ = (I −D
c,u
D
y,u
)
−1
; R =
0
I
;
K =
∆D
c,u
C
y
∆C
c
; K
ψ
= −∆D
c,u
D
y,u
; K
w
= ∆(D
c,u
D
y,w
+ D
c,w
).
Assim, o sistema em malha-fechada é representado por:
˙
ξ
(t) = A
ξ
(t) + A
d
ξ
(t −
τ
(t)) −(B + RE
c
)
ψ
(y
c
) + B
w
w(t)
z(t) = C
ξ
(t) + D
ψ
ψ
(v
c
) + D
w
w(t)
(146)
sendo,
y
c
(t) = K
ξ
(t) + K
ψ
ψ
(y
c
(t)) + K
w
w(t)
ψ
(y
c
(t)) = y
c
(t) −sat(y
c
(t)).
(147)
O sistema (146) admite uma condição inicial
ξ
(t
0
+
θ
) =
φ
(
θ
) =
x(t
0
+
θ
)
x
c
(t
0
+
θ
)
=
φ
x
(
θ
)
φ
x
c
(
θ
)
, ∀
θ
∈ [−h,0].
Supondo que o sistema está em equilíbrio, i.e.
φ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈[−h,0], e que uma per-
turbação “w” satisfazendo (142) atue no sistema para t ≥t
0
= 0, o problema que deseja-se
resolver é enunciado como segue:
Problema 5 Projetar um ganho E
c
de “anti-windup” com o objetivo de:
• garantir que as trajetórias do sistema em malha-fechada sejam limitadas.
• minimizar o ganho-L
2
entre w e z.
95
6.2.2 Resultados Teóricos
Com o objetivo de utilizar-se a condição de setor apresentada na seção 2.3.2.2, considera-
se uma matriz G ∈ ℜ
m×(n+n
c
)
, e define-se o conjunto
S
= {
ξ
∈ ℜ
n+n
c
;|(K
(i)
−G
(i)
)
ξ
| ≤ u
0(i)
,i = 1,...,m}.
Dessa forma, pode-se enunciar uma variação do Lema 3.
Lema 6 Se
ξ
(t) ∈ S , então a relação
ψ
(y
c
(t))
T
ψ
(y
c
(t)) −
G K
ψ
K
w
ξ
(t)
ψ
(y
c
(t))
w(t)
≤ 0,
com y
c
= K
ξ
(t) + K
ψ
ψ
(y
c
(t)) + K
w
w(t), é verificada para toda matriz T ∈ ℜ
m×m
dia-
gonal definida positiva .
Demonstração: A demonstração segue os mesmos passos da prova do Lema 5.
Com o objetivo de garantir-se a estabilidade entrada-estado e entrada-saída, ou seja,
resolver-se o Problema 5, enuncia-se o Teorema 20, com condições dependentes do atraso.
Estas condições têm como hipótese que o sistema em malha-fechada esteja em equilíbrio,
isto é,
ξ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈ [−
τ
,0].
Teorema 20 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas Q
1
, L
1
, L
3
, X, J ∈
ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
, matrizes Q
2
, Q
3
, L
2
∈ ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
, H ∈ ℜ
m×(n+n
c
)
, Y ∈ ℜ
n
c
×m
, uma
matriz diagonal definida positiva U ∈ ℜ
m×m
e escalares
ε
e
γ
> 0, tais que as seguintes
desigualdades sejam verificadas
(i)
Σ
1
0
−
¯
ε
A
d
X
H
−BU −RY
0
B
w
Q
1
C
0
Q
1
0
hQ
2
hQ
3
∗ −
¯
dX 0 0 0 0 0
∗ ∗ Σ
2
K
w
UD
ψ
0 0
∗ ∗ ∗ −I D
w
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −
γ
I 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −X 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −hJ
< 0
(ii)
J J
0
ε
A
d
∗ L
≥ 0
(iii)
Q
1
Q
−1
1
K
(i)
−H
(i)
∗
ϖ
u
2
0
(i)
≥ 0 ∀i = 1,...,m
com
Σ
1
=
Q
2
+ Q
2
+hL
1
Q
3
+ Q
1
A
−Q
2
+
ε
Q
1
A
d
+ hL
2
∗ −Q
3
−Q
3
+ hL
3
, Σ
2
= −2U +UK
ψ
+ K
ψ
U,
¯
ε
=
ε
−1 e
¯
d = 1−d, então, considerando-se que
φ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈ [−h,0], e que
||w||
2
2
≤
ϖ
−1
, E
c
= YU
−1
garante que o sistema em malha-fechada (146) é “well-posed”
e:
96
1. suas trajetórias do sistema permanecem limitadas no conjunto
E (Q
−1
1
,
ϖ
−1
)
={
ξ
∈ ℜ
n+n
c
;
ξ
Q
−1
1
ξ
≤
ϖ
−1
};
2. z
2
2
<
γ
w
2
2
;
3. se w(t) = 0, ∀t ≥t
1
≥ 0,
ξ
(t) converge assintoticamente para a origem.
Demonstração: A demonstração é similar à demonstração do Teorema 17, assim
apresenta-se a mesma de forma sucinta. Reescrevendo-se o sistema (146) na forma de
sistema descritor, conforme proposto em (FRIDMAN; SHAKED, 2002b), segue-se as-
sim:
I 0
0 0
˙
ξ
(t)
˙y(t)
=
0 I
A + A
d
−I
ξ
(t)
y(t)
−
0
A
d
t
t−
τ
(t)
y(s)ds −
0
(B + RE
c
)
ψ
(y
c
) +
0
B
w
w(t).
(148)
Definindo agora o vetor
¯
ξ
=
ξ
(t) y
(t)
e considerando as matrizes E e P e, o
mesmo funcional de Lyapunov-Krasovskii do Teorema 17, juntamente com o funcional
ϒ =
˙
V(t,x
t
) −w
(t)w(t) +
1
γ
z
(t)z(t)dt < 0.
Então, se ϒ < 0, tem-se que (i), (ii) e (iii) se verificam. Definindo-se as seguintes ma-
trizes,
¯
A =
0 I
A + A
d
−I
;
¯
A
d
=
0
A
d
;
¯
B = −
0
B + RE
c
e
¯
B
w
=
0
B
w
pode-se calcular ϒ ao longo das trajetórias do sistema, como no Teorema 17. Supondo-se
agora que
ξ
(t) ∈ S , então, pelo Lema 6 e levando-se em conta que
z(t) =
C 0
¯
ξ
(t) + D
ψ
ψ
(v
c
) + D
w
w(t)
obtém-se,
ϒ ≤
θ
Ξ
θ
,
com
θ
= [
¯
ξ
(t)
ξ
(t −
τ
(t))
ψ
(y
c
) w
(t)] e
Ξ =
Γ
1
(
ε
−1)P
¯
A
d
G
T
0
+ P
¯
B +
1
γ
C
0
D
ψ
P
¯
B
w
+
1
γ
C
0
D
w
∗ −
¯
dS 0 0
∗ ∗
−2T +
γ
−1
D
ψ
D
ψ
+
K
ψ
T + T K
ψ
γ
−1
D
ψ
D
w
+TK
w
∗ ∗ ∗ (
γ
−1
D
w
D
w
−I)
sendo,
Γ
1
=
¯
A
P + P
¯
A +
(
ε
−1)
¯
A
d
P
0
+
(
ε
−1)P
¯
A
d
0
+ hZ
+
1
γ
C
0
C 0
+
S 0
0 hR
.
97
Aplicando complemento de Schur, note que Ξ < 0 é equivalente a:
¯
Γ
1
(
ε
−1)P
¯
A
d
P
¯
B +
G
T
0
P
¯
B
w
C
0
I
0
0
hI
∗ −
¯
dS 0 0 0 0 0
∗ ∗ −2T + TK
ψ
+ K
ψ
T TK
w
D
ψ
0 0
∗ ∗ ∗ −I D
w
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −
γ
I 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − S
−1
0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −hR
−1
< 0
(149)
com
¯
Γ
1
=
¯
A
P + P
¯
A +
(
ε
−1)
¯
A
d
P
0
+
(
ε
−1)P
¯
A
d
0
+ hZ.
Considerando agora
Q = P
−1
, S
−1
= X, R
−1
= J, U = T
−1
, GQ
1
= H e Y = E
c
U,
pré e pós-multiplicando (i) respectivamente por Diag(P,S,T,I,I,I, I) e sua transposta
segue-se que (i) é equivalente à (149). Então, pode-se concluir que (i) e (ii) garantem
que ϒ < 0, desde que
ξ
(t) ∈ S , ∀t > 0.
Por outro lado, pré e pós-multiplicando (iii) implica que E (Q
−1
,
ϖ
−1
) ⊂ S . Então,
está garantido que as trajectórias do sistema nunca saem de S , e portanto ϒ < 0, garante
que (i),(ii) e (iii) são satisfeitas.
Se (i) é satisfeita segue que
−2U +UK
ψ
+ K
ψ
U < 0.
Este fato, dos Lemas 2 e 3 em (GRIMM et al., 2003), garante que o sistema em malha-
fechada (146) é “well-posed” quando
ψ
(y
c
) = 0, o que conclui a demonstração.
✷
Do Teorema 20, também obtêm-se condições de estabilidade global. Perceba-se que neste
caso não é necessário considerar-se uma cota superior para a norma L
2
de w e que o
resultado é válido para ∀
φ
∈ C
τ
, como se segue.
Corolário 8 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas
Q
1
,
L
1
,
L
3
,
X
,
J
,
V
∈ ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
, matrizes Q
2
, Q
3
, L
2
∈ ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
, H ∈ ℜ
m×(n+n
c
)
, Y ∈ ℜ
n
c
×m
,
uma matriz diagonal definida positiva U ∈ ℜ
m×m
, e escalares
ε
e
γ
> 0, satisfazendo
as desigualdades (i) e (ii) no Teorema 20, com H = KQ
1
, então para todo w(t) ∈ L
2
,
E
c
= YU
−1
garante que o sistema em malha-fechada (146) é “well-posed” e segue que:
1. suas trajetórias são limitadas;
2. z
2
2
<
γ
w
2
2
+V (0,0);
3. quando w = 0, a origem do sistema em malha-fechada (146) é globalmente assin-
toticamente estável.
98
Demonstração: É suficiente considerar-se G = K. Assim, a desigualdade do Lema 6
verifica-se para todo
ξ
(t) ∈ℜ
n+n
c
, logo para ∀w ∈L
2
a origem do sistema é globalmente
assintoticamente estável.
✷
Observação 14 Considerando-se que o atraso
τ
(t) seja tal que d ≥ 1, condições se-
melhantes ao Teorema 20 podem ser obtidas. Basta considerar o seguinte funcional de
Lyapunov-Krasovskii:
V(t,x
t
) =
¯
ξ
(t)
EP
¯
ξ
(t) +
0
−h
t
t+s
y
(
θ
)Ry(
θ
)d
θ
ds
com R > 0. Para este funcional e
ε
= 1, a condição (i) do Teorema 20 é simplificada e
torna-se independente de d, conforme abaixo:
(i)
Σ
1
H
−BU −RY
0
B
w
Q
1
C
0
hQ
2
hQ
3
∗ Σ
2
K
w
UD
ψ
0
∗ ∗ −I D
w
0
∗ ∗ ∗ −
γ
I 0
∗ ∗ ∗ ∗ −hJ
< 0
com Σ
1
e Σ
2
dados como no Teorema 20. Cabe chamar atenção que as condições (ii) e
(iii), permanecem as mesmas.
6.2.3 Problemas de Otimização
Analogamente à seção 4.3.2, formulam-se problemas de otimização com a finalidade
de mostrar-se como utilizar as condições do Teorema 20, com o objetivo de encontrar-se
E
c
para maximizar: a tolerância à perturbação e minimizar o ganho-L
2
.
6.2.3.1 Maximização da perturbação admissível
Considerando w
2
2
<
1
ϖ
a idéia é maximizar o limite da perturbação
1
ϖ
.
min
ϖ
sujeito às relações (i),(ii) e (iii).
(150)
6.2.3.2 Minimização do ganho L
2
Dado um limite (1/
ϖ
) para a perturbação admissível, a idéia é minimizar o limite
superior
√
γ
do ganho-L
2
;
min
γ
sujeito às relações (i),(ii) e (iii).
(151)
Observação 15 : Igualmente à Observação 10, considerando-se um
ε
fixo, as condi-
ções (i) e (ii) no Teorema 20 são LMIs e os problemas de otimização, formulados aqui,
são convexos. Assim, a solução ótima dos problemas é obtida através de uma procura
iterativa em uma busca unidimensional em
ε
.
Observação 16 Comparando-se os resultados do artigo (GOMES DA SILVA JR.; TAR-
BOURIECH; GARCIA, 2006) com os resultados apresentados neste capítulo, tem-se que
em (GOMES DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2006):
99
1. a síntese de “anti-windup” estático não permite que se considerem atrasos va-
riantes no tempo, além disso, a fim de obterem-se condições de estabilidade depen-
dentes do atraso, utiliza-se apenas o modelo de transformação de (NICULESCU,
2001, vol. 269);
2. o sistema não sofre a influência de perturbações, por isso não trata da estabilidade
entrada-estado e entrada-saída;
Observação 17 No sistema (140) pode-se considerar que a derivada do estado também
dependa do atraso
τ
, neste caso, tem-se um sistema do tipo neutro, ou seja,
˙x(t) + F ˙x(t −
τ
) = Ax(t) + A
d
x(t −
τ
) + Bu(t),
no qual assume-se
τ
constante e F < 1. Descrevem-se brevemente as principais dife-
renças na abordagem para este caso, as quais podem ser observadas também em (GHIGGI;
GOMES DA SILVA JR., 2006b),
• o funcional de Lyapunov apresenta um termo a mais
V
4
(t,
ξ
t
) =
t
t−
τ
(t)
y
(
θ
)Wy(
θ
)d
θ
, W > 0,
• a LMI (i) do Teorema 17, passa a apresentar a dependência de uma matriz cons-
tante F que acompanha o termo da derivada do estado com atraso, bem como a
dependência da matriz W do novo funcional de Lyapunov.
6.2.4 Exemplo Numérico
Considere o sistema (140) com os seguintes dados:
A =
1 1.5
0.3 −2
; A
d
=
0 −1
0 0
; B
u
=
10
1
; B
w
=
0 0.5
;
C
z
=
0 1
; C
y
=
5 1
D
y,w
= 0.1; D
z,u
= D
z,w
= D
c,w
= D
y,u
= 0;
u
0
= 15 ; h = 1 ; d = 0.5.
Através da resolução do problema de otimização (150) relativo ao Teorema 20, o valor
mínimo de
ϖ
, obtido com
ε
= 0.5, é 1.3642 ×10
−5
.
Para este caso, pode-se obter
γ
= 299.1772 e E
c
=
−61.3035 611.2292
.
Considerando o mesmo problema, mas forçando E
c
= 0, (i.e. sem considerar o compen-
sador de “anti-windup”), os valores que se obtêm são
ϖ
= 1.3660×10
−5
e
γ
= 353.67,
os quais mostram que o laço de “anti-windup” aumenta a atenuação à perturbação.
Na tabela 9, são mostrados os valores de
γ
(relativos à minimização do ganho-L
2
)
obtidos através da solução do problema (151) relativo ao Teorema 20, considerando valo-
res diferentes para
ϖ
.
Conforme esperado, quanto maior é o valor de
ϖ
(i.e. o menor limite para a perturba-
ção), menor é o valor de
γ
. Por outro lado, os valores de
ϖ
e
γ
são maiores para maiores
valores do atraso h.
100
Tabela 9: Relação entre a perturbação e o ganho-L
2
.
h = 1, d = 0.5 e
ε
= 0.5
ϖ γ
1.3642 ×10
−5
299.177
2×1.3642×10
−5
0.0677
5×1.3642×10
−5
0.0589
h = 0.5, d = 0.5 e
ε
= 0.9
ϖ γ
6.1433 ×10
−6
63.2549
2×6.1433×10
−6
0.0593
5×6.1433×10
−6
0.0572
6.3 “Anti-Windup” Dinâmico
Seguindo-se as idéias apresentadas em (GOMES DA SILVA JR.; GHIGGI; TARBOU-
RIECH, 2008), supõe-se agora que no esquema apresentado na Figura 6, o controlador de
realimentação de saída seja não racional e pré-calculado, desconsiderando a existência de
saturação, e o compensador de “anti-windup” seja dinâmico. Então, o objetivo torna-se
projetar um compensador de “anti-windup” dinâmico que corrija ou minimize os efeitos
causados pela diferença entre a entrada do atuador e a saída.
Os resultados aqui apresentados são também encontrados em (GHIGGI; BENDER;
GOMES DA SILVA JR., 2008).
6.3.1 Formulação do Problema
Considere o sistema (140) com
τ
(t) =
τ
, ∀t, ou seja, o atraso é considerado invariante
no tempo e suponha que um controlador de realimentação de saída, possivelmente não
racional (OLIVEIRA; GEROMEL, 2004), seja projetado desconsiderando-se a saturação,
conforme segue:
˙x
c
(t) = A
c
x
c
(t) + A
c,d
x
c
(t −
τ
) + B
c
u
c
(t)
y
c
(t) = C
c
x
c
(t) +C
c,d
x
c
(t −
τ
) + D
c
u
c
(t)
(152)
sendo x
c
(t) ∈ ℜ
n
c
é o estado do controlador, u
c
(t) = y(t) é a entrada do controlador e
y
c
(t) é a saída do controlador. As matrizes A
c
, A
c,d
, B
c
, C
c
, C
c,d
, D
c
são de dimensões
apropriadas.
Como a entrada da planta é limitada em amplitude, tem-se:
u(t) = sat(y
c
(t)). (153)
Com o objetivo de eliminar os efeitos indesejáveis causados pela saturação, é proposto
o seguinte compensador dinâmico não racional de “anti-windup”:
˙x
a
(t) = A
a
x
a
(t) + A
a,d
x
a
(t −
τ
) + B
a
ψ
(y
c
(t))
y
a
(t) = C
a
x
a
(t) +C
a,d
x
a
(t −
τ
) + D
a
ψ
(y
c
(t))
(154)
sendo x
a
(t) ∈ℜ
n+n
c
o vetor do estado do compensador, y
a
(t) a saída do compensador. As
matrizes A
a
, A
a,d
, B
a
, C
a
, C
a,d
e D
a
são de dimensões apropriadas.
101
A saída do compensador (154) é injetada no controlador (152), através do sinal y
a
.
Assim, a estrutura do controlador final torna-se:
˙x
c
(t) = A
c
x
c
(t) + A
c,d
x
c
(t −
τ
) + B
c
u
c
(t) + y
a
(t)
y
c
(t) = C
c
x
c
(t) +C
c,d
x
c
(t −
τ
) + D
c
u
c
(t).
(155)
Similarmente ao Problema 5, o objetivo do projeto do compensador de “
anti-windup
”,
com a estrutura dada em (154), é de garantir que as trajetórias do sistema sejam limitadas
para toda perturbação satisfazendo (15) e, em adição, garantir um limite superior para o
ganho-L
2
da perturbação para a saída regulada.
Sejam agora o vetor
ξ
(t)
=
x(t)
x
c
(t)
x
a
(t)
e as seguintes matrizes
A =
A 0
0 0
; A =
A + BD
c
C
y
BC
c
B
c
C
y
A
c
;
B
1
=
0
I
n
c
; B
1
=
0 B
1
I
a
0
;
C =
0 I
a
;
A
d
=
A
d
0
0 0
, A
d
=
A
d
+ BD
c
C
y,d
BC
c,d
B
c
C
y,d
A
c,d
;
K
1
=
A
a
C
a
; K
1,d
=
A
a,d
C
a,d
; K
2
=
B
a
D
a
;
B
ψ
=
B
0
; B =
B
0
;
B
w
=
B
w
0
; B
w
=
BD
c
D
y,w
+ B
w
B
c
D
y,w
;
C =
C
z
0
; C
z
=
C
z
+ D
z
D
c
C
y
D
z
C
c
;
C
d
=
C
z,d
0
; C
z,d
=
C
z,d
+ D
z
D
c
C
y,d
D
z
C
c,d
;
D
z,w
= D
z,w
= D
z,w
+ D
z
D
c
D
y,w
; D
ψ
= D
ψ
= −D
z
;
K =
K 0
; K =
D
c
C
y
C
c
; K
d
=
K
d
0
;
K
d
=
D
c
C
y,d
C
c,d
; K
w
= K
w
= D
c
D
y,w
, K
ψ
= 0.
A interconexão do sistema (140) com o controlador (155) e com o compensador de
“anti-windup” (154), gera o sistema (156) em malha-fechada,
˙
ξ
(t) = (A + B
1
K
1
C)
ξ
(t) + (A
d
+ B
1
K
1,d
C)
ξ
(t −
τ
)
−(B
ψ
−B
1
K
2
)
ψ
(y
c
) + B
w
w(t)
z(t) = C
ξ
(t) + C
d
ξ
(t −
τ
) + D
ψ
ψ
(y
c
) + D
w
w(t).
(156)
Reescrevendo a saída do controlador com o vetor
ξ
(t), tem-se que
y
c
(t) = K
ξ
(t) + K
d
ξ
(t −
τ
) + K
w
w(t). (157)
O sistema (156) tem condições iniciais expressas por:
φ
(
θ
) =
x(t
0
+
θ
)
x
c
(t
0
+
θ
)
x
a
(t
0
+
θ
)
=
φ
x
(
θ
)
φ
x
c
(
θ
)
φ
x
a
(
θ
)
,∀
θ
∈ [−
τ
, 0].
(158)
102
6.3.2 Resultados Teóricos
Considerando uma matriz G =
G
1
G
2
∈ ℜ
m×2(n+n
c
)
, analogamente à seção 6.2,
define-se um conjunto poliédrico S ⊂ℜ
2(n+n
c
)
e enuncia-se um lema para a condição de
setor generalizada.
Lema 7 Se
ξ
(t) ∈ S então a relação
ψ
(y
c
)
T
ψ
(y
c
) −
G K
d
0 K
w
·
ξ
(t)
ξ
(t −
τ
)
ψ
(y
c
(t))
w(t)
≤ 0
(159)
é verificada para toda matriz diagonal T ∈ ℜ
m×m
definida positiva.
Abaixo são apresentadas condições suficientes, na forma de LMI’s, para a existência
de um compensador dinâmico de “anti-windup” não racional (154) para o sistema (140)-
(155).
Teorema 21 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas X
0
, Y
0
, X
11
, X
22
∈
ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
, uma matriz diagonal definida positiva S ∈ℜ
m×m
, matrizes X
12
,
ˆ
A
a
,
ˆ
A
a,d
∈
ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
,
ˆ
C
a
,
ˆ
C
a,d
∈ℜ
(n
c
)×(n+n
c
)
, Z
1
, Z
2
, Q
1
, Q
2
∈ℜ
m×(n+n
c
)
, e escalares positivos
γ
e
ϖ
, tais que (i) e (ii) sejam verificadas,
(i)
Σ A +
ˆ
A
a
+ X
12
A
d
X
0
+ B
1
ˆ
C
a,d
A
a,d
−Q
1
+ Z
1
B
w
X
0
C
z
∗ Y
0
A + A
Y
0
+ X
22
ˆ
A
d
Y
0
A
d
−Q
2
+ Z
2
Y
0
B
w
C
z
∗ ∗ −X
11
−X
12
X
0
K
d
0 X
0
C
z,d
∗ ∗ ∗ −X
22
K
d
0 C
z,d
∗ ∗ ∗ ∗ − 2S K
w
−SD
ψ
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I D
z,w
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
γ
I
< 0
(ii)
X
0
∗ ∗
I
n+n
n
Y
0
∗
X
0
K
(i)
−Z
1(i)
K
(i)
−Z
2(i)
ϖ
u
2
0
(i)
≥ 0 i = 1, ...,m,
com Σ = AX
0
+ X
0
A
+ B
1
ˆ
C
a
+
ˆ
C
a
B
1
+ X
11
, então, considerando que
φ
(
θ
) = 0, ∀
θ
∈
[−
τ
,0] e que w
2
2
≤
ϖ
−1
, o compensador dinâmico de “anti-windup” (154) com ma-
trizes
A
a
= V
−1
0
[
ˆ
A
a
−(Y
0
AX
0
+Y
0
ˆ
C
a
)](U
0
)
−1
A
a,d
= V
−1
0
[
ˆ
A
a,d
−(Y
0
A
d
X
0
+Y
0
ˆ
C
a,d
](U
0
)
−1
B
1
B
a
= V
−1
0
(Q
2
+Y
0
Q
1
)S
−1
C
a
=
ˆ
C
a
(U
0
)
−1
C
a,d
=
ˆ
C
a,d
(U
0
)
−1
D
a
= (Q
1
+ BS)S
−1
(160)
sendo que as matrizes U
0
e V
0
verificam V
0
U
0
= I −Y
0
X
0
, são tais que:
1. quando w = 0
103
a. as trajetórias do sistema (140) em malha-fechada permanecem limitadas no
conjunto
E (P
0
,
ϖ
−1
)
= {
ξ
∈ ℜ
2(n+n
c
)
;
ξ
P
0
ξ
≤
ϖ
−1
}, com
P
0
=
Y
0
V
0
V
0
•
P
−1
0
=
X
0
U
0
U
0
•
;
b. z
2
2
<
γ
w
2
2
;
2. se w(t) = 0, ∀t ≥t
1
≥0, ou se lim
t→∞
w(t) →0,
ξ
(t) as trajetórias do sistema (140)
em malha-fechada convergem assintoticamente para a origem.
Demonstração: Os passos seguidos na demonstração são análogos aos dos Teoremas
20 e 18. Sendo considerado o funcional
V(t,
ξ
t
) =
ξ
(t)P
0
ξ
(t) +
t
t−
τ
ξ
(
θ
)P
1
ξ
(
θ
)d
θ
(161)
e as seguintes mudanças de variáveis:
ˆ
A
a
= Y
0
AX
0
+Y
0
B
1
C
a
U
0
+V
0
A
a
U
0
ˆ
C
a
= C
a
U
0
ˆ
A
a,d
= Y
0
A
d
X
0
+Y
0
B
1
C
a,d
U
0
+V
0
A
a,d
U
0
ˆ
C
a,d
= C
a,d
U
0
Z
1
= G
1
X
0
+ G
2
U
0
Z
2
= G
1
Q
1
= BS −B
1
D
a
S Q
2
= Y
0
Q
1
−V
0
B
a
S.
✷
O seguinte corolário pode ser aplicado quando o sistema em malha-aberta for assin-
toticamente estável. Neste caso, pode-se garantir que as trajetórias do sistema em malha-
fechada são limitadas para toda perturbação w(t) ∈ L
2
considerando condições iniciais
nulas.
Corolário 9 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas X
0
, Y
0
, X
11
, X
22
∈
ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
, uma matriz diagonal definida positiva S ∈ℜ
m×m
, matrizes X
12
,
ˆ
A
a
,
ˆ
A
a,d
∈
ℜ
(n+n
c
)×(n+n
c
)
,
ˆ
C
a
,
ˆ
C
a,d
∈ ℜ
(n
c
)×(n+n
c
)
, Q
1
, Q
2
∈ ℜ
m×(n+n
c
)
, e escalares positivos
γ
e
ϖ
tais que as LMIs (i) do Teorema 21 e
X
0
I
I Y
0
> 0,
sejam verificadas, com Z
1
= X
0
K e Z
2
= K, então o compensador dinâmico de “anti-
windup” (154) com matrizes definidas em (160), e com matrizes U
0
e V
0
verificando
V
0
U
0
= I −Y
0
X
0
, é tal que:
1. quando w = 0
a. as trajetórias do sistema (140) em malha-fechada permanecem limitadas para
todo
φ
ξ
(
θ
) ∈ C
v
τ
e para toda condição inicial;
b. z
2
2
<
γ
w
2
2
+
γ
V(0,0);
2. se w(t) = 0, ∀t ≥ t
1
≥ 0, ou se lim
t→∞
w(t) → 0,
ξ
(t) converge assintoticamente
para a origem.
104
6.3.3 Problemas de Otimização
Seguindo raciocínio análogo à seção 6.2.3, pode-se formular os seguintes problemas
de otimização:
6.3.3.1 Maximização da perturbação admissível
Considerando w
2
2
<
1
ϖ
a idéia é maximizar o limite da perturbação
1
ϖ
.
min
ϖ
sujeito às relações (i) e (ii).
(162)
6.3.3.2 Minimização do ganho L
2
Dado um limite (1/
ϖ
) para a perturbação admissível, a idéia é minimizar o limite
superior
√
γ
do ganho-L
2
;
min
γ
sujeito às relações (i), e (ii).
(163)
Observação 18 Perceba-se que se não forem considerados os termos não racionais, da-
dos por A
a,d
x
a
(t −
τ
) e C
a,d
x
a
(t −
τ
), na estrutura do compensador de “anti-windup”,
não será possível obterem-se condições de síntese em forma de LMIs. Estes termos intro-
duzem mais graus de liberdade as condições do Teorema 21, implicando numa redução
do conservadorismos.
Observação 19 Fazendo-se uma comparação entre os resultados obtidos e os artigos
(PARK; CHOI; CHOO, 2000) e (ZACCARIAN; NESIC; TEEL, 2005), tem-se que em
(PARK; CHOI; CHOO, 2000) é considerado que a planta está sujeita a atrasos na en-
trada e a saturação, é projetado um compensador de “anti-windup” para minimizar uma
função custo, dado como valor absoluto a diferença entre os estados do controlador,
considerando o atuador livre de saturação, e os estados do controlador, quando a planta
está sujeita a entradas saturadas e uma estrutura de “anti-windup”. Mostra-se que o
compensador resultante é ótimo e que estabiliza o sistema em malha-fechada global-
mente. É importante lembrar que este resultado se aplica somente a sistemas que são
assintoticamente estáveis em malha aberta e que não apresentem atrasos nos estados.
Em (ZACCARIAN; NESIC; TEEL, 2005), o controlador ótimo obtido em (PARK; CHOI;
CHOO, 2000) é estendido com o objetivo de considerar que o sistema esteja também su-
jeito a perturbações e a incertezas e esteja sujeito a atrasos nas saídas. As condições
são obtidas para a estabilidade global do sistema em malha-fechada. Por outro lado,
as técnicas de projeto de compensador, proposta nesta seção, aplicam-se a sistemas com
atrasos nos estados, que sejam estáveis ou instáveis, e as condições de estabilidade, para
o sistema em malha-fechada, são tanto locais quanto globais.
Observação 20 Comparando-se agora os resultados deste capítulo com os do capítulo
5, observe-se que aqui o controlador é dado, sendo projetado o compensador de “anti-
windup”, ao passo que em 6.2 projeta-se simultaneamente o controlador e o ganho está-
tico de “anti-windup”.
105
6.3.4 Exemplo Numérico
Exemplo 5 Considere o sistema (140) dado por:
˙x(t) = −0.1x(t) + 0.1x(t −
τ
) + u(t) + 0.1w(t)
y(t) = x(t)
z(t) = x(t)
(164)
e portanto
A = −0.1, A
d
= 0.1, B = 1, B
w
= 0.1
C
y
= 1, C
y,d
= 0, D
y,w
= 0
C
z
= 1, C
z,d
= 0, D
z
= 0, D
z,w
= 0.
(165)
Um controlador PI, descrito em equações de estado, por:
˙x
c
(t) = −0.2y(t)
y
c
(t) = x
c
(t) −2y(t)
(166)
implicando em
A
c
= 0, A
c,d
= 0, B
c
= −0.2
C
c
= 1, C
c,d
= 0, D
c
= −2.
(167)
Seja u
0
= 1 e
τ
= 1. Resolvendo-se o problema de maximização da tolerância à per-
turbação (163), obtém-se como limite para a perturbação w admissível o valor 1/
√
ϖ
=
113.7717 (o valor de
ϖ
é dado por
ϖ
= 7.7256 ×10
−5
). Obtêm-se também as matrizes
(168), que geram o compensador de “anti-windup” (154),
D
a
= −0.7495;C
a
=
0.4966 0.6401
C
a,d
=
0.0074 0.0030
;B
a
=
5.1913
3.6375
A
a
=
−2.7810 0.6633
−2.8824 −3.2606
;A
a,d
=
−3.4736 −0.3950
−0.6333 −0.2059
.
(168)
Tabela 10: Tabela comparativa entre o limite para perturbação admissível (
ϖ
) e a atenua-
ção à perturbação (
√
γ
).
ϖ
√
γ
7 ×10
−4
1.2122
7 ×10
−3
0.0242
7 ×10
−2
0.0142
7 ×10
−1
0.0135
7×10
2
0.0134
Na Tabela 5 são apresentados os resultados da atenuação à perturbação
√
γ
, calcu-
lados a partir da resolução do problema de minimização do ganho-L
2
, para diferentes
valores de
ϖ
(
1
√
ϖ
=tolerância a perturbação), que são atribuidos a priori. Percebe-se
que, quanto maior for o valor de
ϖ
, maior é o valor do limite superior
√
γ
, da norma L
2
da saída regulada.
Considere um sinal para a perturbação definido como segue:
w(t) =
α
se 0 < t ≤ T
0 se t > T
(169)
106
Para T = 0.01s,
α
= 113.7717, a Figura 7 ilustra o comportamento do sistema em
malha-fechada, com
τ
= 1 e u
0
= 1, considerando que o compesador (168) atue ou não no
sistema. Como pode ser visto, as trajetórias do sistema em malha-fechada com compen-
sador de “anti-windup” convergem mais rapidamente para a origem. Na mesma figura
é possível observar-se um gráfico da entrada u(t), correspondente à saída y(t). Como
era de se esperar, pode-se notar que o atuador permanece mais tempo saturado sem o
compensador de “anti-windup”.
0 10 20 30 40 50 60 70
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
tempo
saida (y(t))
com compensador de aw
sem compensador de aw
(a) Saída (y(t)).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sinal de entrada (u(t))
com compensador de aw
sem compensador de aw
tempo
(b) Entrada de controle (u(t)).
Figura 7: Comportamento do sistema com e sem compensador de “anti-windup”.
6.4 Conclusão
Nesta seção, apresentaram-se propostas para técnicas de projeto de compensador de
“anti-windup” estático ou dinâmico, para sistemas com atrasos nos estados e saturação
nos atuadores. Considerando que atuasse no sistema uma perturbação limitada pela
norma L
2
, a estrutura de “anti-windup” foi calculada com o objetivo de garantir que as
trajetórias do sistema permanecessem limitadas e que um certo nível de desempenho L
2
fosse garantido para a saída regulada. Os resultados foram obtidos diretamente na forma
de LMI’s, para garantir a estabilidade L
2
entrada-estado como também a estabilidade
assintótica do sistema em malha-fechada, tanto para o caso local como global.
Como vantagens para o caso estático, há de se falar a respeito da possibilidade de
considerarem-se atrasos que sejam variantes no tempo. Por outro lado, no caso em que a
estrutura de “anti-windup” é dinâmica, considera-se que o atraso é constante, podendo-
se considerar que o controlador pré-calculado seja não racional.
Em particular, os resultados foram estabelecidos para o caso de sistemas com atrasos
nos estados, caso que não poderia ser tratado com métodos previamente propostos na
literatura. A extensão para o caso de sistemas com atrasos sobre as entradas e/ou saídas
é, entretanto, praticamente direta.
107
7 ESTABILIZAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS
COM ATRASOS VARIANTES NO TEMPO E
SATURAÇÃO NOS ATUADORES
7.1 Introdução
Conforme visto no Capítulo 3, é grande na literatura a quantidade de trabalhos abor-
dando o problema de estabilidade e estabilização de sistemas contínuos no tempo com
atrasos. Já para sistemas discretos, tem sido dada menor atenção, notando-se um número
menor de artigos publicados para este caso. Uma das razões deve-se ao fato de que a
estabilidade dos sistemas discretos com atrasos nos estados, pode ser estudada através
da construção de um sistema aumentado livre de atrasos, com dinâmica equivalente a
do sistema original. Porém, se o atraso for muito grande, variante no tempo ou mesmo
desconhecido, então justifica-se o estudo deste tipo de sistema.
Visando abordar sobretudo estes dois últimos casos, trabalhos considerando sistemas
discretos no tempo vêm sendo propostos. Em (MAHMOUD, 2000), sistemas com atrasos
invariantes no tempo são investigados nos últimos anos. Em (CHEN; GUAN; LU, 2003)
condições independentes do atraso são propostas. Em (FRIDMAN; SHAKED, 2005a) a
técnica de sistema descritor é utilizada para a dedução de condições de estabilidade e de
estabilização para o caso de atrasos variantes no tempo, considerando abordagens depen-
dentes e independentes do atraso. Cabe ressaltar que essa abordagem leva a condições
de estabilização (síntese) na forma de BMIs. A estabilização de sistemas discretos no
tempo, com atrasos variantes no tempo, é considerada em (BOUKAS, 2006) por meio
de condições independentes do atraso. Em (LEITE; TARBOURIECH; PERES, 2004)
e (MIRANDA; LEITE, 2007) condições dependentes do atraso são apresentadas para a
análise e síntese. Nesses trabalhos, o atraso é considerado variante no tempo e as condi-
ções propostas utilizam variáveis de folga, resultando em condições convexas, na forma
de LMIs, também para a síntese de controladores robustos. Os trabalhos acima focam a
questão de estabilidade robusta, mas nenhum deles considera a possibilidade de saturação
nas variáveis de controle. Para sistemas discretos no tempo podemos citar apenas (TIS-
SIR; HMAMED, 1992), onde condições de estabilidade local são propostas, mas sem
uma caracterização consistente do domínio de condições iniciais admissíveis e apenas
para atrasos invariantes no tempo.
Assim, neste Capítulo, é considerado o problema de estabilização de sistemas discre-
tos com atrasos variantes no tempo e atrasos constantes, mas incertos, sujeitos à saturação
de controle. Considera-se uma abordagem baseada em funcionais de Lyapunov Krasovs-
kii, similar às propostas em (LEITE; TARBOURIECH; PERES, 2004) e (MIRANDA;
LEITE, 2007), mas usando explicitamente o Lema de Finsler, e a modelagem de satura-
108
ção usada em (GHIGGI; GOMES DA SILVA JR., 2006a). Condições na forma de LMIs
tanto para a garantia de estabilização global quanto local são apresentadas. Baseado nestas
condições, problemas de otimização convexos são propostos com o intuito de computar a
lei de controle no sentido de maximizar o domínio de condições iniciais admissíveis ou o
intervalo de atraso adimissível, para um conjunto de condições iniciais admissíveis dado.
Neste capítulo, tal conjunto será definido como:
C
φ
= {
φ
k
∈ D
¯
h
;
α
1
φ
k
2
d
+
α
2
∆
φ
k
2
d
< 1}
7.2 Formulação do Problema
Considere o sistema discreto no tempo, sujeito a atrasos, nos estados e entradas satu-
rantes dado por:
x
k+1
= Ax
k
+ A
d
x
k−
τ
k
+ Bsat(v
k
) (170)
com condição inicial
1
x
k
0
−j
=
φ
(k
0
− j), j ∈ [−
¯
h,0], e
φ
k
0
∈C
ν
¯
h
,
sendo x
k
∈ ℜ
n
o vetor de estados, v
k
∈ ℜ
m
a entrada de controle. A, A
d
e B são matrizes
reais constantes de dimensões apropriadas.
τ
k
é o atraso suposto, variante no tempo e
limitado por
1 ≤ h ≤
τ
k
≤
¯
h, (h,
¯
h) ∈ ℵ ×ℵ. (171)
Considera-se neste capítulo que possam ser empregadas duas leis de controle, do tipo
realimentação de estados:
v
k
= Kx
k
+ K
d
x
k−
τ
k
(172)
v
k
= Kx
k
, (173)
com K e K
d
∈ ℜ
m×n
. É importante observar que, a lei de controle (172), só pode ser
utilizada quando o atraso
τ
k
for conhecido para cada instante de tempo k, caso contrário,
utiliza-se a lei de controle (173). Comentários análogos a respeito da estabilidade local e
global, apresentados em 3.2, podem ser considerados. Assim, pode-se formular o seguinte
problema.
Problema 6 (Síntese) dado um conjunto de condições iniciais C
φ
, para que o sistema em
malha-fechada seja assintoticamante estável, determinar matrizes K e K
d
, tais que toda
trajetória do sistema (170), iniciando nesse conjunto, convirja assintoticamante para a
origem, ou ainda, determinar K e K
d
de forma que se obtenha uma estimativa para o
conjunto de condições iniciais admissíveis, o maior possível.
Desejando-se modelar a saturação, a fim de transformar o modelo não-linear em uma
forma tratável, utiliza-se a mesma função apresentada na seção 2.3.2, porém aplicada ao
caso discreto. Assim, definindo
ψ
(v
k
) = v
k
−sat(v
k
), pode-se reescrever o sistema (170)
como:
x
k+1
= (A+ BK)x
k
+ ( A
d
+ BK
d
)x
k−
τ
k
−B
ψ
(v
k
). (174)
Definindo-se K ∈ ℜ
m×2n
; G ∈ ℜ
m×2n
e
ξ
k
∈ ℜ
2n
, respectivamente por:
K =
K K
d
,G =
G G
d
e
ξ
k
=
x
k
x
k−
τ
k
,
1
D
ν
τ
conjunto definido por D
v
τ
= {
φ
k
∈ D
τ
; ||
φ
k
||
c
< v, v > 0}.
109
pode-se definir o seguinte conjunto poliédrico:
S
=
ξ
∈ ℜ
2n
;|(K
(i)
−G
(i)
)
ξ
| ≤ (u
0
(i)
)
2
;i = 1,...m
. (175)
Dessa forma, enuncia-se o Lema 8, o qual é uma versão do Lema 3 aplicado ao caso
discreto.
Lema 8 Se
ξ
k
∈ S , então a relação:
ψ
(v
k
)T[
ψ
(v
k
) −G
ξ
k
] ≤ 0
é verificada para ∀T > 0 ∈ℜ
m×m
diagonal.
7.3 Estabilização de Sistemas Discretos com Atrasos Variantes
no Tempo
Nesta seção, supõe-se que
τ
k
seja conhecido para cada instante de tempo k, assim,
consideram-se as leis de controle (172) e (173). Dessa forma, formulam-se condições
dependentes do intervalo de atraso para a resolução do Problema 6. A fim de atingir
este objetivo, utilizam-se um funcional de Lyapunov-Krasovskii, que considera a solução
do sistema como evoluindo no espaço das funções, a desigualdade de Jensen (GU et al.,
2003), aplicada ao caso discreto, e o Lema de Finsler.
7.3.1 Caso Atrasos Variantes no Tempo e Lei de Controle v
k
= Kx
k
+ K
d
x
k−
τ
k
Teorema 22 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas
˜
P,
˜
Q,
˜
Z ∈ ℜ
n×n
, uma
matriz U ∈ℜ
m×m
diagonal definida positiva e ainda matrizes
˜
F
3
,
˜
G
2
,
˜
G
3
,
˜
H
2
,
˜
H
3
,
˜
M
2
,
˜
M
3
,
M,
˜
N
2
,
˜
N
3
,
˜
R
2
,
˜
R
3
,
˜
V
2
,
˜
V
3
∈ ℜ
n×n
e H, H
d
, S ∈ ℜ
m×n
, Y e Y
d
∈ ℜ
m×n
satisfazendo as
LMIs (i) e (ii)
(i)
Σ
1
Σ
2
Σ
3
−
˜
M
2
−
˜
N
2
−
˜
R
2
Σ
4
−
˜
F
3
−
˜
V
2
∗ Σ
5
Σ
6
Σ
7
˜
N
2
+
˜
N
3
˜
R
2
+
˜
R
3
H
+ S
Σ
8
∗ ∗ Σ
9
−
˜
M
3
+
˜
H
2
−
˜
N
3
−R
3
H
d
−
˜
V
3
−
˜
H
3
∗ ∗ ∗ Σ
10
˜
N
2
˜
R
2
S
˜
V
2
−
˜
M
3
∗ ∗ ∗ ∗ −
˜
Z 0 0 −
˜
N
3
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
˜
Z 0 −
˜
R
3
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2U 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
˜
V
3
−
˜
V
3
< 0
(ii)
˜
P (Y −H)
(i)
∗ u
2
0
(i)
> 0 i = 1, ...,m
com,
Σ
1
=
˜
P + M
+ M Σ
2
= −AM
−BY
+
˜
F
3
−
˜
G
2
Σ
3
= −A
d
M
−BY
d
−
˜
H
2
−
˜
F
3
Σ
4
= BU −S
Σ
5
=
˜
G
2
+
˜
G
2
+
β
˜
Q −
˜
P +
˜
G
3
+
˜
G
3
Σ
6
=
˜
H
2
+
˜
H
3
−
˜
G
3
Σ
7
=
˜
M
2
+
˜
M
3
+
˜
G
2
Σ
8
= −
˜
G
3
+
˜
V
2
+
˜
V
3
Σ
9
= −
˜
Q −
˜
H
3
−
˜
H
3
Σ
10
=
˜
M
2
+
˜
M
2
+ (
¯
h + 1)
˜
Z
e
˜
P =
˜
P 0
0
˜
Q
, Y =
Y Y
d
e H =
H H
d
,
110
então, considerando-se K = Y(M
−1
)
e K
d
= Y
d
(M
−1
)
, para todas as condiço
˜
es iniciais
φ
k
0
∈ C
φ
, com
α
1
=
λ
max
(M
−1
˜
P(M
−1
)
) + (
−3
¯
h + 5h +
¯
h
2
−h
2
2
)
λ
max
(M
−1
˜
Q(M
−1
)
)
e
α
2
= (
¯
h
2
+
¯
h + 2h
2
)
λ
max
(M
−1
˜
Z(M
−1
)
),
as correspondentes trajetórias do sistema (174) convergem assintoticamente para a ori-
gem.
Demonstração: Seja V : ℵ×C
φ
→ ℜ, definido por V(k,
φ
k
) = V
k
=
∑
5
j=1
V
j,k
com:
V
1,k
= x
k
Px
k
,
V
2,k
=
∑
k−1
j=k−
τ
k
x
j
Qx
j
,
V
3,k
=
∑
1−h
m=2−
¯
h
∑
k−1
j=k+m−1
x
j
Qx
j
,
V
4,k
=
∑
−1
m=−
¯
h
∑
k−1
j=k+m
y
j
Zy
j
,
V
5,k
=
∑
k−1
j=k−
τ
k
y
j
Zy
j
.
Definindo-se y
j
= x
j+1
−x
j
, obtém-se
η
k
=
k−1
∑
j=k−
τ
k
y
j
= x
k
−x
k−
τ
k
. (176)
Tem-se então que
2
:
∆V
1,k
= V
1,k+1
−V
1,k
= x
k+1
Px
k+1
−x
k
Px
k
,
∆V
2,k
=
∑
k
j=k+1−
τ
k+1
x
j
Qx
j
−
∑
k−1
j=k−
τ
k
x
j
Qx
j
= x
k
Qx
k
+
∑
k−1
j=k+1−
τ
k+1
x
j
Qx
j
−x
k−
τ
k
Qx
k−
τ
k
−
∑
k−1
j=k+1−
τ
k
x
j
Qx
j
≤ x
k
Qx
k
+
∑
k−1
j=k+1−
¯
h
x
j
Qx
j
−x
k−
τ
k
Qx
k−
τ
k
−
∑
k−1
j=k+1−h
x
j
Qx
j
= x
k
Qx
k
+
∑
k−h
j=k+1−
¯
h
x
j
Qx
j
+
∑
k−1
j=k+1−h
x
j
Qx
j
−x
k−
τ
k
Qx
k−
τ
k
−
∑
k−1
j=k+1−h
x
j
Qx
j
= x
k
Qx
k
−x
k−
τ
k
Qx
k−
τ
k
+
∑
k−h
j=k+1−
¯
h
x
j
Qx
j
,
∆V
3,k
=
∑
1−h
m=2−
¯
h
∑
k
j=k+m
x
j
Qx
j
−
∑
1−h
m=2−
¯
h
∑
k−1
j=k+m−1
x
j
Qx
j
= (
¯
h −h)x
k
Qx
k
−
∑
k−h
j=k+1−
¯
h
x
j
Qx
j
,
∆V
4,k
=
∑
−1
m=−
¯
h
∑
k
j=k+1+m
y
j
Zy
j
−
∑
−1
m=−
¯
h
∑
k−1
j=k+m
y
j
Zy
j
≤
¯
hy
k
Zy
k
−y
k−
¯
h
Zy
k−
¯
h
−
∑
k−h
j=k+1−
¯
h
y
j
Zy
j
,
∆V
5,k
=
∑
k
j=k+1−
τ
k+1
y
j
Zy
j
−
∑
k−1
j=k−
τ
k
y
j
Zy
j
≤ y
k
Zy
k
−y
k−
τ
k
Zy
k−
τ
k
+
∑
k−h
j=k+1−
¯
h
y
j
Zy
j
.
Portanto,
∆V
k
≤ x
k+1
Px
k+1
−x
k
Px
k
−y
k−
¯
h
Zy
k−
¯
h
+ (1+
¯
h −h)x
k
Qx
k
−x
k−
τ
k
Qx
k−
τ
k
+(1+
¯
h)y
k
Zy
k
−y
k−
τ
k
Zy
k−
τ
k
.
(177)
Logo, se
ξ
k
∈ S , do Lema 8 segue que:
∆V
k
< ∆V
k
−2
ψ
(v
k
)T[
ψ
(v
k
) −G
ξ
k
]. (178)
2
Os cálculos para se obter ∆V
5
são análogos aos feitos para ∆V
2
.
111
Sejam agora,
ζ
, B e Q definidos como abaixo,
ζ
= [x
k+1
x
k
x
k−
τ
k
y
k
y
k−
¯
h
y
k−
τ
k
ψ
(v
k
)
η
k
];
B =
I −(A+ BK) −(A
d
+ BK
d
) 0 0 0 B 0
−I I 0 I 0 0 0 0
0 I −I 0 0 0 0 −I
;
Q =
P 0 0 0 0 0 0 0
∗
β
Q −P 0 0 0 0 G
T 0
∗ ∗ −Q 0 0 0 G
d
T 0
∗ ∗ ∗ (
¯
h + 1)Z 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −Z 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Z 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − 2T 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0
, (179)
com
β
= (
¯
h −h + 1).
Assim, através da aplicação do Teorema de Lyapunov-Krasovskii
3
, a estabilidade as-
sintótica do sistema (170), para um dado conjunto de condições iniciais C
φ
, pode ser
garantida se (178) for negativa ao longo das trajetórias do sistema, ou equivalentemente,
se
ζ
Q
ζ
< 0, ∀
ζ
= 0 tal que B
ζ
= 0. (180)
Aplicando-se então o Lema de Finsler (BOYD et al., 1994), tem-se que (180) é satisfeita
se existir
X
=
F
1
0 0 0 0 0 0 0
0 G
2
H
2
M
2
N
2
R
2
S
2
V
2
F
3
G
3
H
3
M
3
N
3
R
3
0 V
3
,
tal que,
Q + XB + B
X
< 0. (181)
Seja então Ξ = Q + XB + B
X
, dada por (182)
Ξ =
Γ
1
Γ
2
Γ
3
−M
2
−N
2
−R
2
Γ
4
−V
2
−F
3
∗ Γ
5
Γ
6
Γ
7
N
2
+ N
3
R
2
+ R
3
S
2
+ G
T Γ
8
∗ ∗ Γ
9
−M
3
+ H
2
−N
3
−R
3
G
d
T −V
3
−H
3
∗ ∗ ∗ Γ
10
N
2
R
2
S
2
V
2
−M
3
∗ ∗ ∗ ∗ −Z 0 0 −N
3
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Z 0 −R
3
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2T 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −V
3
−V
3
(182)
em que
Γ
1
= F
1
+ F
1
+ P, Γ
2
= −F
1
˜
A −G
2
+ F
3
,
Γ
3
= −F
1
˜
A
d
−H
2
−F
3
, Γ
4
= F
1
B −S
2
,
Γ
5
= G
2
+ G
2
−P +
β
Q + G
3
+ G
3
, Γ
6
= H
2
+ H
3
−G
3
,
Γ
7
= G
2
+ M
2
+ M
3
, Γ
8
= V
2
+V
3
−G
3
,
Γ
9
= −Q−H
3
−H
3
, Γ
10
= M
2
+ M
2
+ ( 1 +
¯
h)Z.
3
A formalização do Teorema de Lyapunov-Krasovskii, bem como do Teorema de Lyapunov-
Razumikhin para o caso de estabilidade de sistemas discretos, pode ser encontrada em (OLIVEIRA, 2008).
112
Definindo-se M = (F
−1
1
)
e pré e pós multiplicando Ξ por
M = Diag{M, M, M, M, M, M, U, M}
e sua transposta respectivamente, obtém-se a condição (i) do Teorema 22, com
˜
P = MPM
,
˜
Q = MQM
,
˜
Z = MZM
,
˜
G
2
= MG
2
M
,
˜
H
2
= MH
2
M
,
˜
M
2
= MM
2
M
,
˜
N
2
= MN
2
M
,
˜
R
2
= MR
2
M
,
˜
V
2
= MV
2
M
,
˜
F
3
= MF
3
M
,
˜
G
3
= MG
3
M
,
˜
H
3
= MH
3
M
,
˜
M
3
= MM
3
M
,
˜
N
3
= MN
3
M
,
˜
R
3
= MR
3
M
,
˜
V
3
= MV
3
M
, H = GM
, H
d
= G
d
M
, S = US
2
M
, T
−1
= U.
o que garante que ∆V
k
< 0, ∀x
k
∈ S .
Perceba-se que F
1
é efetivamente inversível, uma vez que Σ
1
< 0 e
˜
P > 0.
Pré e pós multiplicando-se agora, a condição (ii) do Teorema 22, por
Diag{M
−1
, M
−1
, I}
e sua transposta, respectivamente, seguida da aplicação do complemento de Schur, é
possível obter-se
ξ
k
P
ξ
k
−
1
(u
0
(i)
)
2
ξ
k
(K −G)
(i)
(K −G)
(i)
ξ
k
≥ 0 i = 1, ...,m,
(183)
o que implica em
ξ
(P) ⊂ S (BOYD et al., 1994). Suponha agora que
x
k
0
+ j
=
φ
(k
0
+ j), sendo
φ
k
∈C
φ
.
Então, considerando-se que ∆V
k
< 0, para k > 0.
Os valores
(
−3
¯
h + 5h +
¯
h
2
−h
2
2
) e (
¯
h
2
+
¯
h + 2h
2
),
utilizados na majoração (184), obtém-se através da aplicação da fórmula de soma para
uma progressão aritmética
S
n
=
(a
1
+ a
n
)
2
N,
sendo a
1
o primeiro elemento, a
n
o último elemento e N é o número de elementos do
somatório, logo, segue que:
ξ
k
P
ξ
k
= x
k
Px
k
+ x
k−
τ
k
Qx
k−
τ
k
≤V
k
≤V
k
0
=
φ
k
P
φ
k
+
∑
k−1
j=k−
τ
k
φ
j
Q
φ
j
+
∑
1−h
m=2−
¯
h
∑
k−1
j=k+m−1
φ
j
Q
φ
j
+
∑
−1
m=−
¯
h
∑
k−1
j=k+m
∆
φ
j
Z∆
φ
j
+
∑
k−1
j=k−
τ
k
∆
φ
j
Z∆
φ
j
≤
λ
max
(P)
φ
k
2
d
+
∑
k−1
j=k−
τ
k
λ
max
(Q)
φ
k
2
d
+
∑
1−h
m=2−
¯
h
∑
k−1
j=k+m−1
λ
max
(Q)
φ
k
2
d
+
∑
−1
m=−
¯
h
∑
k−1
j=k+m
λ
max
(Z)∆
φ
k
2
d
+
∑
k−1
j=k−
τ
k
λ
max
(Z)∆
φ
k
2
d
≤ (
λ
max
(M
−1
˜
P(M
−1
)
) + (
−3
¯
h+5h+
¯
h
2
−h
2
2
)
λ
max
(M
−1
˜
Q(M
−1
)
)
φ
k
2
d
+(
¯
h
2
+
¯
h+2h
2
)
λ
max
(M
−1
˜
Z(M
−1
)
)∆
φ
k
2
d
)
≤ (
α
1
φ
k
2
d
+
α
2
∆
φ
k
2
d
) ≤ 1.
(184)
113
Logo, se
φ
k
0
∈C
φ
segue que
ξ
k
P
ξ
k
≤ 1
e então,
ξ
k
∈
ξ
(P) ⊂ S , ∀k ≥0,
garantindo que a condição de setor é efetivamente válida, o que por sua vez assegura que
(ii) implica ∆V
k
< 0, para k > 0. Como
λ
min
(P)
φ
k
0
2
≤V
k
≤
α
1
φ
k
2
d
+
α
2
∆
φ
k
2
d
,
as condições do Teorema de Lyapunov-Krasovskii 1, aplicadas ao caso discreto, são sa-
tisfeitas ∀
φ
k
∈C
φ
e, por conseguinte, as soluções correspondentes do sistema convergem
assintoticamente para a origem.
✷
Na seqüência, enunciam-se condições para a estabilização global, utilizando-se as mesma
ferramentas empregadas no Teorema 22.
Corolário 10 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas
˜
P,
˜
Q,
˜
Z ∈ ℜ
n×n
, uma
matriz U ∈ ℜ
m×m
diagonal definida positiva e ainda matrizes
˜
F
3
,
˜
G
2
,
˜
G
3
,
˜
H
2
,
˜
H
3
,
˜
M
2
,
˜
M
3
, M,
˜
N
2
,
˜
N
3
,
˜
R
2
,
˜
R
3
,
˜
V
2
,
˜
V
3
∈ ℜ
n×n
e S, H, H
d
∈ ℜ
m×n
e Y e Y
d
∈ ℜ
m×n
satisfazendo
a condição (i) do Teorema 22, com H = KM e H
d
= K
d
M. Então, considerando-se K =
Y(M
−1
)
, as correspondentes trajetórias do sistema (174) convergem globalmente para a
origem, ou seja, a origem do sistema em malha-fechada (174) é globalmente assintotica-
mente estável.
7.3.2 Caso Atrasos Variantes no Tempo e Lei de Controle v
k
= Kx
k
Considera-se agora que a lei de controle utilizada dependa apenas do estado do sistema
no instante k, ou seja, v
k
= Kx
k
. Assim utilizando-se as mesmas ferramentas que na seção
anterior, obtêm-se condições semelhantes às do Teorema 22, basta tomarmos as matrizes
Y
d
= 0 e H
d
= 0. Na seqüência enuncia-se o Teorema que se obtém:
Teorema 23 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas
˜
P,
˜
Q,
˜
Z ∈ ℜ
n×n
, uma
matriz U ∈ ℜ
m×m
diagonal definida positiva e ainda matrizes
˜
F
3
,
˜
G
2
,
˜
G
3
,
˜
H
2
,
˜
H
3
,
˜
M
2
,
˜
M
3
, M,
˜
N
2
,
˜
N
3
,
˜
R
2
,
˜
R
3
,
˜
V
2
,
˜
V
3
∈ ℜ
n×n
e H, S ∈ℜ
m×n
, Y ∈ ℜ
m×n
satisfazendo a condição
(i) do Teorema 22 com Y
d
= 0 e H
d
= 0 e a condição (ii) dada abaixo:
(ii)
˜
P (Y −H)
(i)
∗ u
2
0
(i)
> 0 i = 1,...,m,
então, considerando-se K = Y (M
−1
)
, para todas as condiço
˜
es iniciais
φ
k
0
∈ C
φ
, com
α
1
=
λ
max
(M
−1
˜
P(M
−1
)
) + (
−3
¯
h + 5h +
¯
h
2
−h
2
2
)
λ
max
(M
−1
˜
Q(M
−1
)
)
e
α
2
= (
¯
h
2
+
¯
h + 2h
2
)
λ
max
(M
−1
˜
Z(M
−1
)
),
as correspondentes trajetórias do sistema (174) convergem assintoticamente para a ori-
gem.
Demonstração: A demonstração é análoga à do Teorema 22.
O corolário que garante condições globais de estabilidade pode ser obtido de maneira
semelhante ao Corolário 10, basta tomar Y
d
= 0 e H
d
= 0.
114
7.4 Estabilização de Sistemas Discretos com Atraso Incerto e Inva-
riante no Tempo
Nesta seção
τ
k
é considerado constante, mas incerto, e tal que, 0 ≤
τ
k
=
τ
≤h. Assim,
o sistema em malha fechada, obtido pela utilização da lei de controle (173) no sistema
(174), é dado por:
x
k+1
= (A+ BK)x
k
+ A
d
x
k−
τ
−B
ψ
(v
k
). (185)
Analogamente à seção 7.3, é possível formular condições, dependentes do “limite do
atraso h”, para a resolução do Problema 6. Para obter tais condições, são utilizados, além
de um funcional de Lyapunov-Krasovskii e o Lema de Finsler, a desigualdade de Jensen
(GU et al., 2003).
O conjunto S e o Lema 8 passam agora a ser definidos em função de matrizes K = K,
G = G e
ξ
k
= x
k
. Conseqüentemente, um novo teorema pode ser enunciado.
Teorema 24 Se existirem matrizes simétricas definidas positivas
˜
P,
˜
Q e
˜
Z ∈ ℜ
n×n
e U
uma matriz diagonal definida positiva, tal que U ∈ ℜ
m×m
e ainda matrizes
˜
F
3
,
˜
G
2
,
˜
G
3
,
˜
H
2
,
˜
H
3
,
˜
M
2
,
˜
M
3
, M,
˜
N
2
,
˜
N
3
,
˜
R
2
,
˜
R
3
∈ ℜ
n×n
e H e Y ∈ ℜ
m×n
satisfazendo as condições
(i) e (ii):
(i)
Σ
1
−AM
−BY
−
˜
F
3
−
˜
G
2
−
A
d
M
+
˜
F
3
−
˜
H
2
−
˜
M
2
˜
F
3
−
˜
N
2
BU −
˜
R
2
∗ Σ
2
˜
G
3
+
˜
H
2
−
˜
H
3
Σ
3
Σ
4
Σ
5
∗ ∗
˜
H
3
+
˜
H
3
−
˜
Q
˜
H
2
+
˜
M
3
˜
H
3
+
˜
N
3
˜
R
3
∗ ∗ ∗ Σ
6
˜
M
3
+
˜
N
2
˜
R
2
∗ ∗ ∗ ∗ Σ
7
˜
R
3
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2U
< 0,
(ii)
˜
P (Y −H)
(i)
∗ u
2
0
(i)
≥ 0 ∀i = 1,...,m
sendo
Σ
1
=
˜
P + M + M
, Σ
2
= −
˜
P +
˜
Q +
˜
G
2
+
˜
G
2
−
˜
G
3
−
˜
G
3
,
Σ
3
=
˜
G
2
+
˜
M
2
−
˜
M
3
, Σ
4
=
˜
G
3
+
˜
N
2
−
˜
N
3
,
Σ
5
=
˜
R
2
−
˜
R
3
+ H
, Σ
6
=
˜
M
2
+
˜
M
2
+ h
˜
Z,
Σ
7
=
˜
N
3
+
˜
N
3
−
1
h
˜
Z.
Então, considerando-se K = Y (M
−1
)
, para todas as condiço
˜
es iniciais
φ
k
0
∈ C
φ
, com
α
1
=
λ
max
(M
−1
˜
P(M
−1
)
+ h
λ
max
(M
−1
˜
Q(M
−1
)
)
e
α
2
=
h
2
2
λ
max
(M
−1
˜
Z(M
−1
)
)
as correspondentes trajetórias do sistema (185) convergem assintoticamente para a ori-
gem.
Demonstração: A prova do Teorema 24 é análoga ao Teorema 22, basta utilizar o fun-
cional de Lyapunov-Krasovskii dado por
4
:
V
k
= x
k
Px
k
+
k−1
∑
j=k−
τ
x
j
Qx
j
+
−1
∑
m=−h
k−1
∑
j=k+m
y
j
Zy
j
. (186)
4
A desigualdade de Jensen é dada por −hΣ
k−1
j=k−h
y
j
Zy
j
≤ −Σ
k−1
j=k−h
y
j
ZΣ
k−1
j=k−h
y
j
, para maiores detalhes
sobre a fórmula vide (GU et al., 2003).
115
Considerando-se as mesmas definições feitas no Teorema 22 para y
j
e
η
k
, calcula-se
∆V
k
juntamente com a utilização da desigualdade de Jensen, aplicada ao caso discreto,
tem-se que:
∆V
k
≤ x
k+1
Px
k+1
−x
k
Px
k
+ x
k
Qx
k
−x
k−
τ
Qx
k−
τ
+ hy
k
Zy
k
−
1
h
η
k
Z
η
k
A continuação da demonstração é análoga ao Teorema 22, basta aplicar o lema de Finsler
com as matrizes
ζ
, Q, B e X, dadas por:
ζ
=
x
k+1
x
k
x
k−
τ
y
k
η
k
ψ
(Kx
k
)
; B =
I −
˜
A −A
d
0 0 B
−I I 0 I 0 0
0 −I I 0 I 0
;
Q =
P 0 0 0 0 0
∗ Q −P 0 0 0 G
T
∗ ∗ −Q 0 0 0
∗ ∗ ∗ hZ 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −
1
h
Z 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2T
; X =
F
1
0 F
3
0 G
2
G
3
H
1
H
2
H
3
M
1
M
2
M
3
N
1
N
2
N
3
R
1
R
2
R
3
.
✷
Para este teorema, também é possível enunciarem-se condições para estabilização glo-
bal, análogas às do Corolário 10.
7.5 Problemas de Otimização
Nesta seção, discute-se como utilizar as condições apresentadas no Teorema 22, para
calcular os ganhos de realimentação em problemas de otimização. Cabe ressaltar que para
o Teorema 24, podem-se formular problemas de otimização análogos.
7.5.1 Maximização do Conjunto C
φ
Assumindo então que
φ
k
0
2
d
≤
δ
1
e ∆
φ
k
0
2
d
≤
δ
2
,
a idéia é maximizar
δ
1
e
δ
2
de forma a garantir que
α
1
φ
k
0
2
d
+
α
2
∆
φ
k
0
2
d
< 1.
Observe que
α
1
e
α
2
dependem das matrizes que verificam as condições (i) e (ii) dos
Teoremas 22, 23 e 24. Assim, este objetivo pode ser considerado indiretamente através
do seguinte problema de otimização convexo com restrições em forma de LMIs, em que
β
1
,
β
2
e
β
3
são constantes de peso e,
λ
˜
P
,
λ
˜
Q
e
λ
˜
Z
são limites superiores para os autovalores
das matrizes
˜
P,
˜
Q e
˜
Z respectivamente:
max
β
1
λ
˜
P
+
β
2
λ
˜
Q
+
β
3
λ
˜
Z
sujeito às relações (i), (ii), e
(iii)
λ
˜
P
I I
I
˜
P
≥ 0,
λ
˜
Q
I I
I
˜
Q
≥ 0,
λ
˜
Z
I I
I
˜
Z
≥ 0.
(187)
Perceba-se que maximizando
β
1
λ
˜
P
+
β
2
λ
˜
Q
+
β
3
λ
˜
Z
, está-se maximizando os autovalores
das matrizes P, Q e Z, conseqüentemente os valores de
α
1
e
α
2
, que por sua vez maximi-
zam o conjunto C
φ
.
116
7.5.2 Maximização de
¯
h −h
A idéia aqui é determinar o intervalo máximo do atraso (
¯
h−h), para o qual é possível
encontrar um conjunto de condições iniciais garantindo a estabilidade assintótica local.
Considera-se então o seguinte problema:
max(
¯
h −h)
sujeito as relações (i) e (ii).
(188)
Considerando o cálculo do máximo (
¯
h−h), visando a garantia de estabilidade especi-
ficamente para
φ
k
0
2
d
≤
δ
1
e ∆
φ
k
0
2
d
≤
δ
2
, com
δ
1
e
δ
2
dados, a restrição (iii) de (187)
e a restrição
(
λ
˜
P
+
−3
¯
h+5h+
¯
h
2
−h
2
2
λ
˜
Q
)
δ
1
+ (
¯
h
2
+
¯
h+2h
2
λ
˜
Z
)
δ
2
< 1
deve ser adicionada ao problema de otimização.
Observe-se que agora o problema não esta na forma de LMI, assim, para poder resolvê-
lo é necessário fixar (
¯
h −h) e resolver um problema de factibilidade até encontrar o má-
ximo (
¯
h −h).
7.6 Exemplos Numéricos
Exemplo 6 (Caso atraso variante no tempo) Considere o sistema (174), dado pelas se-
guintes matrizes:
A =
0.8 0
0.05 0.9
; A
d
=
−0.1 0
−0.2 −0.1
; B =
1
0.5
.
• Resolvendo-se (188), através de problemas de factibilidade de LMIs, com u
0
= 1 e
a lei de controle (172), obtém-se:
– um intervalo de atraso máximo igual a
¯
h −h ≤ 9 ×10
2
.
– para h = 2 e
¯
h = 100, obtém-se
K = [−0.4849 −0.3362] e K
d
= [0.1732 0.0488].
Este mesmo problema fora resolvido em (MIRANDA; LEITE, 2007), onde obtém-se
um intervalo máximo de atraso
¯
h −h ≤ 5×10
8
. Entretanto, cabe observar que em
(MIRANDA; LEITE, 2007), não é considerado que o sistema possa estar sujeito à
saturação nos atuadores.
Utilizando-se agora a lei de controle (173)
– obtém-se um intervalo de atraso [h,h + 12].
– para h = 1 e
¯
h = 13, obtém-se um ganho K =
−0.6436 −0.3589
.
• Resolve-se agora o problema (187), utilizando-se ambas as leis de realimentação
de estado. Os resultados, considerando-se
δ
=
δ
1
=
δ
2
são mostrados na Tabela
11.
Esta tabela, mostra um comparativo entre os valores obtidos para
δ
, nos casos em
que se resolve o problema de otimização (187), aplicado aos Teoremas 22 e 23.
Conclui-se que se o atraso
τ
k
for conhecido para cada instante de tempo k, então é
melhor que se utilize a lei de controle (172).
117
Tabela 11: Relação entre intervalo de atraso e raio da bola de estabilidade do Exemplo 6.
h
¯
h
δ
com K
d
δ
sem K
d
1 3 50.7633 33.2390
1 6 4.3574 3.6901
1 11 0.6649 0.4788
1 21 0.0921 infactível
1 51 0.0356 infactível
1 101 0.0072 infactível
1 121 0.0048 infactível
1 701 1.3238×10
−4
infactível
1 901 5.4514×10
−7
infactível
Tabela 12: Relação entre o de atraso e raio da bola de estabilidade do Exemplo 7.
h K
δ
1
0.0014 −0.6748
1.7370 ×10
6
5
0.0000 −8.8768
1.1923 ×10
3
10
0.6602 −7.2056
27.1877
20
194.0155 −60.9337
0.0078
40
135.2996 −36.0742
1.8876 ×10
−5
Exemplo 7 (Caso atraso constante) Considere o sistema dado por (FRIDMAN; SHA-
KED, 2005b):
A =
1 0
0 1.01
; A
d
=
−0.02 0.005
0 −0.01
; B =
0
0.01
.
• Resolvendo-se o problema (188) para as LMIs do Teorema 24, com u
0
= 1, obtém-
se um atraso máximo de h = 28, ao passo que em (FRIDMAN; SHAKED, 2005b),
obtém-se h = 71. Deve-se lembrar que em (FRIDMAN; SHAKED, 2005b) não se
considera a saturação. Por outro lado, considerando-se u
0
= 10
3
, obtém-se h = 72.
Neste caso se está considerando um limite grande para a saturação de forma de o
sistema passe a se comportar como se não houvesse saturação, podendo-se assim
comparar o resultado obtido com o resultado obtido em (FRIDMAN; SHAKED,
2005b).
• Resolve-se um problema de otimização análogo ao (187), porém aplicado ao Teo-
rema 24, para u
0
= 10. Os resultados obtidos, considerando-se
δ
=
δ
1
=
δ
2
, são
apresentados na Tabela 12. Observe que quanto maior o atraso h, menor será o
tamanho do conjunto das condições iniciais, i.e., menor o valor de
δ
.
7.7 Conclusão
Neste Capítulo, formaliza-se o problema de estabilização para sistemas discretos, com
atrasos nos estados e sujeitos à saturação nos atuadores, para dois casos.
118
• Caso atraso variante no tempo: aqui o atraso
τ
k
foi considerado conhecido para
cada instante de tempo k, e utilizou-se a lei de controle v
k
= Kx
k
+ K
d
x
k−
τ
k
. Dessa
forma, utilizando-se um funcional de Lyapunov-Krasovskii e o Lema de Finsler,
formulam-se condições, dependentes do intervalo de atraso, para a resolução do
Problema 6.
• Atraso incerto e invariante no tempo: considerou-se, neste caso, que
τ
k
satisfizesse
a inequação 0 ≤
τ
k
=
τ
≤ h. Assim, foi possível formular condições dependentes
do “limite do atraso h”, para a resolução do Problema 6.
Ressalta-se que o Problema 6 é formalizado tanto para a estabilização local quanto global
a partir de LMIs, o que de acordo com investigações realizadas, mostrou-se inédito na
literatura.
119
8 CONCLUSÕES
O enfoque principal desta tese foi o projeto de controladores para a estabilização, por
realimentação de estados e de saída, de sistemas com atrasos nos estados e saturação nos
atuadores. Neste contexto, metodologias baseadas em LMIs ou BMIs (no caso da utiliza-
ção de sistema descritor, mas com a formulação de problemas convexos), foram propostas
para o projeto de controladores, com o objetivo de obter condições de estabilização tanto
locais quanto globais para estes sistemas, bem como caracterizar conjuntos de condições
iniciais admissíveis e de obter condições de estabilização entrada-estado/entrada-saída
utilizando-se norma L
2
para sistemas sujeitos a perturbações. Estes resultados foram ob-
tidos através da utilização de função de Lyapunov Razumikhin e funcionais de Lyapunov-
Krasovskii, bem como o Lema de Finsler. Com o objetivo de tratar os efeitos não lineares
causados pela saturação, utilizou-se a modelagem por zona-morta e a conseqüente aplica-
ção da condição de setor generalizada, o que permitiu que fossem obtidas tantas condições
locais quanto globais para a estabilização. Também foram propostas estratégias de “anti-
windup” para tratar dos efeitos de “windup” causados pela saturação.
Na seqüência, tem-se um sumário dos resultados apresentados nesta tese.
• Projeto de controladores para estabilização do sistema por realimentação de esta-
dos:
Apresentaram-se condições para a resolução do problema de estabilização por rea-
limentação de estados, tanto para o caso independente como dependente do atraso,
utilizando-se funcionais de Lyapunov-Krasovskii, funções de Lyapunov-Rhazumi-
khin e a condição de setor generalizada. As condições para estabilização globais
e locais que foram obtidas estão em forma de LMIs. Em se tratando de estabili-
zação local, determinaram-se estimativas de regiões de atração. Considerando que
o sistema estivesse sujeito a perturbação, utilizou-se a norma L
2
para quantizar o
problema de estabilidade entrada-estado e entrada-saída. Resolveu-se problemas
de otimização com o objetivo de maximizar o nível de atenuação e tolerância a
perturbações do sistema.
Pode-se citar como contribuições:
– a formulação do problema de atenuação e tolerância à perturbação utilizando-
se a norma L
2
;
– a obtenção de condições em forma de LMIs para sistemas contínuos com atra-
sos variantes no tempo;
– a utilização do funcional de Lyapunov-Razumikhin para obterem-se condições
de estabilização independentes do atraso em forma de LMIs;
120
– a utilização do sistema descritor que potencialmente reduz a conservatividade
imposto pela representação do sistema com atrasos distribuídos.
• Estabilização do sistema por realimentação de saída:
Uma das contribuições que pode-se citar deste trabalho é o projeto de controladores
dinâmicos não racionais conjuntamente com laços de “anti-windup” estáticos, com
o objetivo de estabilizar, por realimentação de saída, sistemas com atraso no tempo
e saturação nos atuadores. A vantagem do projeto destes controladores está no
fato de não ser necessário se conhecer toda a estrutura das matrizes do funcional
de Lyapunov, porém é necessário que se conheceça o atraso. A adição do laço
de “anti-windup” ao controlador, permitiu se que se levassem em conta os efeitos
indesejados causados pela saturação.
Vale destacar que o projeto de controladores dinâmicos não racionais já vinha sendo
utilizado para estabilizar sistemas com atraso no tempo, porém não havia sido apli-
cado ainda a sistemas que estivessem sujeitos também a saturações de controle,
dessa forma utiliza-se a função zona-morta com a finalidade de modelar a satura-
ção e laços de “anti-windup” estáticos com o objetivo de atenuar os efeitos causados
pela saturação.
• Síntese de compensadores de “anti-windup”:
Apresentaram-se propostas para técnicas de projeto de compensador de “anti-win-
dup” estático ou dinâmico, para sistemas com atrasos nos estados e saturação nos
atuadores. No caso do compensador estático, houve a possibilidade de se considerar
que o atraso fosse variante no tempo, já para o caso dinâmico, considerou-se apenas
atrasos constantes. Neste último caso, consideraram-se também uma estrutura não
racional.
A estrutura de “anti-windup” foi calculada com o objetivo de garantir que as trajetó-
rias do sistema permanecessem limitadas e que um certo nível de desempenho L
2
fosse garantido para a saída regulada, para o caso em que atuasse sobre o sistema
perturbações limitadas pela norma L
2
.
Tanto para o caso de estabilização quanto para o caso de atenuação e tolerância
a perturbações, obtiveram-se condições locais e globais, diretamente na forma de
LMIs.
Os trabalhos anteriormente publicados, propunham técnicas de projeto de compen-
sadores de “anti-windup” dinâmicos para sistemas sujeitos a saturação de atuadores,
levando-se em consideração apenas atrasos nas entradas e saídas, e invariantes no
tempo.
• Projeto de controladores para estabilização de sistemas discretos com atrasos nos
estados e saturação nos atuadores;
Para obter condições de estabilização, consideraram-se duas possibilidades para o
atraso:
– Atraso variante no tempo: utilizou-se a abordagem de Finsler, juntamente com
o funcional de Lyapunov-Krasovskii;
– Atraso incerto: além do Lema de Finsler e do funcional de Lyapunov-Kra-
sovskii, utilizou-se a desigualdade de Jensen.
121
Analogamente ao caso contínuo, utilizou-se a função zona-morta, para tratar a satu-
ração e a conseqüente aplicação da condição de setor generalizada, permitindo que
se obtivessem condições locais e globais para a estabilização em forma de LMIs.
Em particular caracteriza-se o problema de estabilização local, com a definição de
uma região de condições iniciais admissíveis.
Destaca-se aqui, outra contribuição deste trabalho, o fato de terem-se obtido condi-
ções na formulação de LMIs para sistemas discretos com atrasos variantes no tempo
e saturação nos atuadores.
8.1 Perspectivas de Trabalhos Futuros
Com base nas técnicas apresentadas e nos resultados obtidos, deseja-se dar continui-
dade às pesquisas e/ou aprofundá-las. Assim, elencam-se abaixo tópicos específicos a
serem investigados.
• A investigação de novos funcionais de Lyapunov-Krasovskii para a análise e síntese
de sistemas com atrasos e saturação nos atuadores
Estudar e desenvolver novos métodos que possibilitem a síntese de leis de controle,
levando-se em conta explicitamente a possibilidade de saturação e a ocorrência de
atrasos (controle, estados e saídas), tanto variantes no tempo quanto incertos, que
assegurem estabilidade interna e externa ao sistema em malha-fechada. Utilizando-
se novos funcionais de Lyapunov-Kazoviskii, para obter condições de estabilidade
dependente do atraso menos conservadoras que as atuais. Considerar a possibili-
dade de incertezas na modelagem do sistema.
• Projeto de laços de “anti-windup” para sistemas discretos
Projetar compensadores de “anti-windup” estáticos ou dinâmicos, para sistemas
discretos saturados com atrasos que possam estar sujeitos a ação de perturbações
limitadas em norma L
2
.
• Saturações encadeadas
Saturações encadeadas (nested saturations) aparecem naturalmente em sistemas
contendo saturações na dinâmica do atuador (saturações em taxa de variação) (GOMES
DA SILVA JR.; TARBOURIECH; GARCIA, 2003b), (BATEMAN; LIN., 2003) e
também em sistemas controlados por realimentação dinâmica de saída, apresen-
tando tanto atuadores quanto sensores saturantes em amplitude.
Por outro lado, em um sistema de controle implementado digitalmente em redes
de comunicações industriais, atrasos no envio de dados do sensor ao controlador, e
do controlador para o atuador, ocorrem com freqüência. Se estes atrasos e satura-
ções não são levados em conta, perdas significativas de desempenho e mesmo de
estabilidade podem ocorrer.
Considerando então as saturações de sensores e atuadores e os atrasos, o comporta-
mento do seguinte sistema deve ser investigado
˙x(t) = A
0
x(t) + B
1
sat(A
1
x(t −
τ
1
(t)) + B
2
sat(Kx(t −
τ
2
(t)))
Com este intuito, pretende-se partir dos resultados recentemente propostos em (TAR-
BOURIECH; PRIEUR; GOMES DA SILVA JR., 2006) para sistemas sem atraso.
122
• Separação Quadrática - Caso discreto com atraso no tempo e saturação nos atua-
dores O método de separação topológica é investigado para os casos em que há uma
matriz incerta invariante no tempo interligada com uma transformação linear implí-
cita. Um separador quadrático independente da incerteza é mostrado para com-
provar sem perdamente o fechar-laço bem-posedness. Várias aplicações da análise
de sistema descritiva LTI então são dadas. Primeiro, alguns resultados conheci-
dos de estabilidade e posição de pólo de sistemas descritivos são demonstrados
de um novo modo. Em segundo lugar, as contribuições para análise de estabili-
dade robusta e análise de estabilidade de sistemas de atraso de tempo são expostas.
Esses comprovam ser novos mesmo quando em comparação com resultados de sis-
temas LTI habituais (não na forma descritiva). Todos os resultados são formulados
como desigualdade matriz linear (LMIs). Trabalhos utilizando o método da se-
paração quadrática com o objetivo de tratar a estabilidade de sistemas discretos
com atrasos no tempo, já vem sendo utilizados por diversos autores como: (PEAU-
CELLE; HENRION; ARZELIER, 2005), (GOUAISBAUT; PEAUCELLE, 2006a)
e (GOUAISBAUT; PEAUCELLE, 2006b). Porém, percebe-se que nestes trabalhos
não é considerado a possibilidade de que o sistema esteja sujeito a saturações nas
entradas.
Dessa forma, pretende-se investigar a possibilidade da aplicação do método de sepa-
ração quadrática para a estabilização de sistemas com atrasos e que estejam sujeitos
a saturações nas entradas.
• Desenvolver projetos práticos
Investigar e modelar matematicamente sistemas físicos, com o intuito de aplicar os
resultados obtidos. Um exemplo que pode-se citar é a aplicação em redes de TCP
IP.
8.2 Publicações
• GOMES DA SILVA JR, João Manoel; GHIGGI, Ilca; TARBOURIECH, Sophie
. L
2
Performance improvement through anti-windup design for time delay sys-
tems in the presence of saturating Inputs. In: IFAC - SYMPOSIUM on ROBUST
CONTROL (ROCOND’06), 5th , 2006, Toulouse. Proceedings... Toulouse: IFAC,
2006.
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