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Dissertação de Mestrado
Aspectos do Eletromagnetismo de Partículas
Elementares Neutras na Mecânica Quântica
Relativística
Rodrigo Turcati
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas
Rio de Janeiro - 2008
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What I’m really interested in is whether God
could have made the world in a different way;
that is, whether the necessity of logical simplicity
leaves any freedom at all.
- Albert Einstein
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Aos meus Pais
i
Agradecimentos
• Agradeço a José Abdalla Helayël Neto, um ser humano único, o qual minhas
palavras não são capazes de expressar minha eterna gratidão.
• Agradeço aos meus pais, Alcir Uberti Turcati e Gladis Turcati, pelo seus esforços
em tornar tudo isso possível.
• Ao Helayël e ao Sebastião, por terem me dado a oportunidade de realizar este
trabalho.
• Ao Professor Accioly, pela participação no trabalho e pelas suas sugestões.
• Ao Jefferson, pelas discussões e contribuições relativas a esta dissertação.
• Ao Bruno e ao Martín, pela hospedagem.
• Ao Guillermo, pela ajuda no L
A
T
E
X.
• Aos amigos, Jefferson, Cristina e Bonilla, pelos momentos inesquecíveis que pas-
samos juntos neste mestrado.
• Aos peruanos do futebol de Quarta e do pessoal do futebol de Sábado.
• Aos amigos e familiares, Christian, Luciane, Daniel, Márcio, Loni, Pietro, Letícia,
Aline, Chico, Elenir e a todos que me apoiaram neste período.
ii
• Aos antigos companheiros da UFRGS e futuros colegas de trabalho, em especial
a Kelly e o Atitude.
• A todo grupo do LAFEX.
• Ao pessoal da República.
• Agradeço ainda aos amigos e colegas, Eduardo, Marcela, Stella, Mariana, Sandro,
Aline, Érico, Maria, Gabriel, Neel, Daniel, Mexicano, Vicente, Alexander, Alexis,
Zambrano, Ana Graice, Diego, André, Jô, Cristiana, Fernando, Nassif, Doria,
Milva, Aurora, Alan, Denis e Edney, e a todos que porventura eu tenha esquecido.
• À Capes, pelo apoio financeiro.
iii
Resumo
O objetivo desta dissertação é discutir cenários viáveis nos quais se possa verificar a
possibilidade de que partículas genuinamente elementares neutras adquiram momento
de dipólo magnético já a nível de Mecânica Quântica, e não como é usual em Teoria
Quântica de Campos, através de correções de loops. Procura-se, então, investigar o
papel do spin nas propriedades magnéticas das partículas, desvinculando-o da carga
elétrica. Para isto, adota-se a equação de Dirac para a descrição de férmions massivos
carregados, neutros ou, eventualmente, auto-conjugados de carga (férmions de Majo-
rana). Propõe-se o estudo sistemático de acoplamentos eletromagnéticos não-mínimos
e suas consequências no regime não-relativístico para a contribuição ao momento de di-
pólo magnético de partículas fermiônicas fundamentais. Situações onde há violação da
simetria de Lorentz, são igualmente contempladas. Enfoca-se também o caso de bósons
vetoriais massivos neutros e as situações em que estes possam revelar suas propriedades
magnéticas, apesar da ausência de carga elétrica, são discutidas.
iv
Abstract
The goal of this dissertation is to discuss viable scenarios in which we can check the pos-
sibility that neutral genuinely elementary particles acquire a magnetic dipole moment
at quantum-mechanical level and rather than as a loop effect in Quantum Field Theory.
We actually have in mind to evaluate the very role of the spin for the magnetic proper-
ties of the particles, trying to disconnect spin from electric charge. For that, we adopt
the Dirac equation for the description of massive charged, neutral or, eventually, self-
conjugated (Majorana-like) fermions. We propose a sistematic study of non-minimal
electromagnetic couplings and their consequences, in the non-relativistic regime, on the
magnetic dipole moment generation for fermionic particles. The discussion sets out also
in situations where Lorentz-symmetry breaking takes place. The investigation is also
pursued for massive neutral vector bosons and we contemplate situations in which a
non-trivial magnetic moment appears already at the tree-approximation, despite the
absence of an electric charge for the particles under consideration.
v
Sumário
Dedicatória i
Agradecimentos ii
Resumo iv
Abstract v
Sumário vi
Introdução 1
1 Acoplamentos de Férmions Massivos a Campos Tensoriais Externos
e Interações Não-Relativísticas 5
1.1 A Equação de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 O Limite Não-Relativístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Acoplamentos Eletromagnéticos Não-Mínimos do Férmion de Dirac . . 12
2 Fundamentos dos Modelos de Gauge com Quebra da Simetria de Lo-
rentz 16
2.1 A Eletrodinâmica de Maxwell-Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
vi
2.2 A Eletrodinâmica de Maxwell-Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 O Bóson Vetorial Massivo Neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 O Teorema CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Efeitos Quânticos Topológicos para Partículas Neutras e a Geração
de Momento Magnético 28
3.1 Fase Topológica: Uma Breve Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 O Férmion de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 A Violação de Lorentz para o Férmion de Majorana . . . . . . . . . . . 31
4 Considerações Gerais e Perspectivas Futuras 34
Referências Bibliográficas 39
vii
Introdução
O Modelo-Padrão da Física de Partículas descreve com grande precisão as partículas
fundamentais conhecidas na Natureza [1], e seus processos de interação. Estas partícu-
las apresentam quantidades físicas relevantes como massa, carga elétrica, spin, tempo
de vida e outros números quânticos ditados pelas simetrias SU(3), SU(2) e U(1). Além
dessas grandezas, outra propriedade revela-se importante para o entendimento dos pro-
cessos de interação das partículas: o momento de dipólo magnético,
−→
µ . Originalmente,
este conceito surgiu num contexto clássico, associado ao movimento orbitante de par-
tículas de massa m e carga q. Tal movimento faz com que a partícula carregada gere
uma corrente num circuito fechado, a partir do que se observa uma relação entre o
momento magnético e o momentum angular orbital,
−→
L , de acordo com a expressão
abaixo:
−→
µ ≡ g
q
2mc
−→
L ,
onde q e m referem-se à carga e à massa da partícula, respectivamente; o fator g é
denominado razão giromagnética. No contexto da física clássica, tem-se que g = 1.
Nos primórdios dos anos vinte, iniciaram-se as famosas experiências de Stern-
Gerlach sobre as estruturas atômica e sub-atômica da matéria [2] [3] [4]. Estes ex-
perimentos mostraram que os elétrons possuem um momentum angular intrínseco, o
1
spin,
−→
s . Desta maneira, o momento de dipólo magnético para partículas elementares
carregadas deveria ser expresso como:
−→
µ ≡ g
q
2mc
−→
s .
De tais estudos, ficou claro que o elétron apresenta g = 2, um valor que além de
não possuir contrapartida clássica, também não encontrava explicação na Mecânica
Quântica de Schrödinger.
Em 1928, Paul A. M. Dirac [5] propôs uma teoria física capaz de associar aspec-
tos quânticos e relativísticos a partículas microscópicas com spin-
1
2
. Um dos triunfos
de sua teoria foi a capacidade da mesma de explicar o fator giromagnético, g = 2,
do elétron. Contemporaneamente ao surgimento da Mecânica Quântica Relativística,
Dirac [6] introduziu, em seu clássico trabalho de 1927, a Teoria Quântica de Campos,
que propunha como fundamental na Natureza a existência de campos, cujas excita-
ções básicas fossem associadas as partículas constituintes da matéria e da radiação,
como é o caso dos fótons do campo Eletromagnético. No contexto da Teoria Quântica
de Campos, o pressuposto mais natural seria que as interações surgissem de acopla-
mentos mínimos entre os campos. No caso do eletromagnetismo, isto implica em um
acoplamento dos campos associados à matéria carregada com o quadrivetor potencial
A
µ
. Desta maneira, as derivadas espaço-temporais que compõem o termo cinético dos
campos, devem ser substituídas por derivadas covariantes, de acordo com a seguinte
prescrição:
∂
µ
φ −→ (∂
µ
+ ieA
µ
)φ ≡ D
µ
φ.
Nesta perspectiva, os trabalhos de Belinfate [7], Case [8], Fronsdal [9], Yang e Lee
[10] e Schiwnger [11], levaram a um resultado geral para partículas elementares eletri-
camente carregadas. Mostrou-se que o fator giromagnético associado a cada partícula
2
era inversamente proporcional ao seu spin, ou seja,
g =
1
s
.
Para a teoria de Dirac, que descreve partículas de spin-
1
2
, este resultado é cla-
ramente obedecido. Mas, para partículas de spin mais alto, evidências teóricas - e
oriundas de propriedades gerais das amplitudes de espalhamento e da unitariedade das
teorias quânticas de campos - permitiram concluir que g = 2 para qualquer partícula
relativística. De fato, Weinberg [12] mostrou, usando propriedades gerais da matriz-S
(ou matriz de espalhamento), que partículas elementares carregadas deveriam possuir
g ≈ 2, independentemente do spin. Este resultado incentivou a utilização de acopla-
mentos eletromagnéticos não-mínimos com o intuito de justificá-lo [13].
Por outro lado, recentemente, no estudo da unificação das interações fundamentais,
descortinou-se a possibilidade de ocorrerem a quebra de algumas simetrias considera-
das fundamentais na Natureza. Estas violações atualmente são amplamente estuda-
das no que se conhece como Física Além do Modelo-Padrão. Este é um contexto no
qual procura-se entender, entre outras questões, aspectos relacionados à fenomenolo-
gia, como os raios cósmicos, a variação da constante de estrutura fina e a anisotropia
da radiação cósmica de fundo. Um campo de estudos que permanece em aberto e esti-
mula o interesse da comunidade atualmente é a física dos neutrinos. Há um interesse
histórico em se saber como seria o seu comportamento no processo de interação com
campos magnéticos, se este em sua essência é um férmion de Dirac ou Majorana, e
sobre sua possível massa de repouso.
No contexto do modelo conhecido como Modelo-Padrão Estendido das Partículas
[14] [15], este trabalho propõe um estudo extensivo sobre a possibilidade de acoplamen-
tos que violem a simetria de Lorentz para partículas elementares neutras. A análise
consiste basicamente numa interpretação dos momentos magnéticos, oriundos de aco-
plamentos eletromagnéticos não-mínimos no limite de baixas energias, além da possibi-
3
lidade de ocorrência de um efeito do tipo-Aharonov-Casher. O procedimento adotado é
baseado na Mecânica Quântica Relativística. Tendo como propósito este tipo de inves-
tigação, organiza-se esta dissertação de acordo com a estrutura que segue: No Capítulo
1, será apresentada uma série de acoplamentos, entre os quais acoplamentos que violam
a simetria de Lorentz, e suas consequências no limite não-relativístico para o férmion
de Dirac. No Capítulo 2, aborda-se a mesma questão para bósons vetoriais massivos, e,
em conexão com a discussão de acoplamentos que violam a simetria de Lorentz, faz-se
uma discussão do teorema CPT. No Capítulo 3, focaliza-se a discussão no momento
magnético proveniente destes acoplamentos e discute-se a consequente fase quântica
topológica induzida para férmions de Majorana. Por último, no Capítulo 4, apresenta-
mos as Considerações Finais e Perspectivas Futuras, contextualizando a discussão no
ambiente da Astrofísica, e abordando pontos como a anisotropia da radiação cósmica
de fundo e questões ligadas à física dos neutrinos.
4
Cap
´
ıtulo 1
Acoplamentos de Férmions Massivos a
Campos Tensoriais Externos e Interações
Não-Relativísticas
Neste capítulo, será feito um estudo sobre a geração de momentos de dipólo magnético
para partículas elementares massivas carregadas de spin-
1
2
. Para tanto, serão consi-
derados acoplamentos de campos de natureza escalar, vetorial e tensorial ao campo
fermiônico. O procedimento adotado é baseado na Mecânica Quântica Relativística
[16]. Partindo-se da densidade de Lagrangeano fermiônico com os devidos acopla-
mentos propostos, trabalha-se a equação de Dirac e procede-se à análise do regime
não-relativístico da mesma para se chegar, então, a uma equação do tipo-Pauli. Ao
final, será discutida a situação em que o férmion de Dirac encontra-se sob a ação de
campos eletrostáticos e magnetostáticos externos.
5
1.1 A Equação de Campo
O ponto de partida é o Lagrangeano quadridimensional invariante de gauge para o
campo espinorial massivo carregado, acoplado minimamente aos potenciais eletromag-
néticos de Maxwell externos (representados pelo quadrivetor A
µ
) e a campos escalares,
vetoriais e tensoriais. Os acoplamentos com os vetores e tensores são de natureza não-
mínima. Adotando a métrica de Minkowski (η
µν
= diag(1, −1, −1, −1)) e o sistema de
unidades naturais ( = c = 1), tem-se:
L = Ψ(ıγ
µ
∂
µ
− m)Ψ − eΨγ
µ
ΨA
µ
+ f Ψγ
µ
γ
5
ΨH
µ
+ igΨΣ
µν
ΨS
µν
+
+hΨΣ
µν
γ
5
ΨG
µν
+ αΨΨϕ + βΨγ
5
Ψs, (1.1)
sendo que Ψ(
−→
x , t) ≡ Ψ é um espinor de quatro componentes
Ψ =
ψ
χ
. (1.2)
A fim de obter um melhor entendimento dos termos inclusos na densidade de La-
grangeano, é possível realizar uma análise dimensional de cada componente.
Inicialmente, analisando-se a ação
S =
d
4
xL, (1.3)
percebe-se que o elemento de integração possui dimensão de inverso na quarta da massa
(M
−4
). Desta maneira, a densidade de Lagrangeano, L, assim como suas componen-
tes, têm de possuir dimensão de massa na quarta potência (M
4
). Examinando o termo
de campo livre massivo, constata-se que o espinor Ψ tem de ter dimensão de massa
elevada a
3
2
(M
3
2
), pois a matriz de Dirac é adimensional e o termo ∂
µ
possui dimensão
de massa. O campo vetorial A
µ
e o pseudo-vetorial H
µ
também possuem dimensão
6
de massa. Sendo assim, como a matriz γ
5
é adimensional, as constantes de acopla-
mento e e f também são adimensionais. O aspecto adimensional destas constantes
faz com que estes acoplamentos sejam renormalizáveis sob o ponto de vista da Teoria
Quântica de Campos. Já os campos tensorial S
µν
e pseudo-tensorial G
µν
possuem di-
mensão de massa elevada ao quadrado (M
2
), o que acarreta, como consequência, que
as constantes de acoplamento g e h possuam dimensão de inverso da massa (M
−1
).
Desta maneira, estas constantes passam a definir acoplamentos não-renormalizáveis.
As componentes escalar ϕ e pseudo-escalar s são adimensionais, implicando assim que
as constantes α e β tenham dimensão de massa (M). Portanto, estes são acoplamentos
super-renormalizáveis.
Ainda analisando-se os termos do Lagrangeano, nota-se que o quadrivetor H
µ
e os
tensores S
µν
e G
µν
atuam como campos de fundo, ou seja, campos para os quais não
se tem acesso às respectivas fontes que os geram. Estes campos violam a simetria de
Lorentz do ponto de vista das transformações ativas no espaço-tempo de Minkowski,
ou seja, trata-se de uma transformação de pontos [17]. Estes campos de natureza
vetorial e tensorial são tomados como campos externos constantes. Em relação aos
campos escalares, estes descrevem o acoplamento dos férmions massivos com o campo
de Higgs, o que nada mais é que o acoplamento de Yukawa.
Uma vez compreendido o significado dos termos na densidade de Lagrangeano, faz-
se necessário a obtenção da equação de campo. Portanto, aplicando-se o Princípio
Variacional em relação ao espinor conjugado Ψ, obtém-se a equação de Dirac para o
férmion carregado eletricamente (férmion de Dirac):
(ıγ
µ
∂
µ
− m − eγ
µ
A
µ
+ f γ
µ
γ
5
H
µ
+ igΣ
µν
S
µν
+ hΣ
µν
γ
5
G
µν
+ αϕ + βγ
5
s)Ψ = 0. (1.4)
A fim de simplificar os cálculos para a obtenção das equações das respectivas com-
ponentes do espinor Ψ, muda-se a representação e, através de uma transformada de
7
Fourier, passa-se do espaço de configuração para o espaço dos momenta. Adota-se a
convenção:
Ψ(
−→
x , t) =
d
4
x
(2π)
4
˜
Ψ(
−→
p , ω)e
−ıx
µ
p
µ
. (1.5)
Desta maneira, a equação de campo fica expressa como:
(γ
µ
p
µ
− m − eγ
µ
˜
A
µ
+ f γ
µ
γ
5
˜
H
µ
+ igΣ
µν
˜
S
µν
+ hΣ
µν
γ
5
˜
G
µν
+ α ˜ϕ + βγ
5
˜s)
˜
Ψ = 0. (1.6)
Os elementos vetoriais e tensoriais são definidos de forma contravariante, sendo:
p
µ
≡ (E;
−→
p )
A
µ
≡ (φ;
−→
A )
γ
µ
≡ (γ
0
;
−→
γ )
H
µ
≡ (H
0
;
−→
H )
Σ
µν
=
1
2
[γ
µ
, γ
ν
].
Devido à natureza antissimétrica da matriz Σ
µν
, os campos S
µν
e G
µν
são tensores
antissimétricos. Portanto,
S
0i
=
−→
S
i
S
ij
=
ijk
S
k
G
0i
=
−→
G
i
G
ij
=
ijk
G
k
.
8
Com as definições acima apresentadas, tem-se que a equação de campo, em termos
de suas componentes espaço-temporais, fica expressa como:
(γ
0
E −
−→
γ ·
−→
p − m − eγ
0
˜
φ + e
−→
γ ·
˜
−→
A + fγ
0
γ
5
˜
H
0
− f
−→
γ · (γ
5
˜
−→
H ) +
+2ig
−→
γ · (γ
0
˜
−→
S
) + igγ
i
γ
j
ijk
˜
S
k
+ 2h
−→
γ · (γ
0
γ
5
˜
−→
G
) + hγ
i
γ
j
γ
5
ijk
˜
G
k
+
+α ˜ϕ + βγ
5
˜s)
˜
Ψ = 0. (1.7)
Utilizando a representação de Dirac das matrizes γ:
γ
0
=
1 0
0 −1
,
−→
γ =
0
−→
σ
−
−→
σ 0
, γ
5
=
0 1
1 0
, (1.8)
a equação de Dirac, expressa em termos de suas componentes espinoriais, assume a
forma:
(E − m − e
˜
φ −
−→
σ · (f
˜
−→
H − 2g
˜
−→
S + 2h
˜
−→
G
) + α
˜
φ)
˜
ψ =
= (
−→
σ · (
−→
p − e
˜
−→
A + 2ig
˜
−→
S
+ 2ih
˜
−→
G) − f
˜
H
0
− β˜s)˜χ (1.9)
(E + m − e
˜
φ −
−→
σ · (f
˜
−→
H + 2g
−→
˜
S − 2h
˜
−→
G
) − α
˜
φ)˜χ =
= (
−→
σ · (
−→
p − e
˜
−→
A − 2ig
˜
−→
S
− 2ih
˜
−→
G) − f
˜
H
0
+ β˜s)
˜
ψ. (1.10)
1.2 O Limite Não-Relativístico
O objetivo, como dito inicialmente, é o estudo deste sistema no limite não-relativístico.
Neste limite, a energia de repouso da partícula é da ordem da energia do sistema e
as energias originárias das respectivas interações são desprezíveis. Com isto, pode-se
fazer a seguinte aproximação:
9
E m
E e|
˜
φ|
E |
−→
σ ·
˜
−→
H |
E |
−→
σ ·
˜
−→
S |
E |
−→
σ ·
˜
−→
G
|
E | ˜ϕ|.
Escrevendo a componente espinorial de altas energias ˜χ (no espaço dos momenta)
em função da componente espinorial de baixas energias
˜
ψ, no limite de baixas energias,
tem-se,
˜χ =
1
2m
(
−→
σ · (
−→
p − e
˜
−→
A − 2ig
˜
−→
S
− 2ih
˜
−→
G) − f
˜
H
0
+ β˜s)
˜
ψ. (1.11)
Substituindo esta expressão na equação (1.9), obtém-se:
(E − m − e
˜
φ −
−→
σ · (f
˜
−→
H − 2g
˜
−→
S + 2h
˜
−→
G
) + α
˜
φ)
˜
ψ =
=
1
2m
[
−→
σ · (
−→
p − e
˜
−→
A + 2ig
˜
−→
S
+ 2ih
˜
−→
G) − f
˜
H
0
− β˜s)]
[
−→
σ · (
−→
p − e
˜
−→
A − 2ig
˜
−→
S
− 2ih
˜
−→
G) − f
˜
H
0
+ β˜s]
˜
ψ. (1.12)
Utilizando a relação,
(
−→
σ ·
−→
a )(
−→
σ ·
−→
b ) =
−→
a ·
−→
b + ı
−→
σ · (
−→
a ×
−→
b ), (1.13)
e aplicando a transformada de Fourier inversa na equação acima, mostra-se (no espaço
de configuração), após alguma álgebra, que:
10
ı
∂ψ
∂t
=
−→
Π
2
2m
−
−→
µ ·
−→
B + eφ + H
a
ψ. (1.14)
A equação (1.14) é uma equação do tipo-Pauli para a componente não-relativística
ψ. O termo
−→
µ ·
−→
B corresponde ao alinhamento do spin da partícula com o campo
magnético, interação esta proveniente do acoplamento eletromagnético mínimo, onde
−→
µ representa o momento de dipólo magnético do férmion de Dirac, este dado por:
−→
µ =
e
2m
−→
σ . (1.15)
O momentum canônico generalizado é dado por:
−→
Π =
−ı
−→
∇ − e
−→
A −
4gm
e
−→
µ ×
−→
S
−
4hm
e
−→
µ ×
−→
G
. (1.16)
O termo eφ representa a energia da interação eletrostática. A energia resultante
dos outros acoplamentos assume a seguinte forma:
H
a
= −
g
m
−→
∇ ·
−→
S
−
h
m
−→
∇ ·
−→
G −
2
m
g
2
−→
S
2
−
2
m
h
2
−→
G
2
+
2f
e
H
0
−→
µ · (ı
−→
∇ + e
−→
A ) +
+
4ıβ
e
s
−→
µ · (g
−→
S
+ h
−→
G) −
ıβ
e
−→
µ ·
−→
∇s +
ıf
e
−→
µ · (
−→
∇H
0
) +
(fH
0
)
2
2m
+
−
(βs)
2
2m
− αφ −
2m
e
−→
µ · (2g
−→
S − f
−→
H − 2h
−→
G
). (1.17)
Os respectivos campos externos, como previamente mencionado, são constantes.
Desta forma, a divergência e o gradiente destes campos são nulos. A aproximação
adotada considera termos até primeira ordem, desprezando coeficientes de ordem maior.
Desta maneira, o Hamiltoniano não-relativístico relativo às interações simplifica-se e
fica expresso como:
11
H
a
=
2f
e
H
0
−→
µ · (ı
−→
∇ + e
−→
A ) − αφ −
2m
e
−→
µ · (2g
−→
S − f
−→
H − 2h
−→
G
). (1.18)
1.3 Acoplamentos Eletromagnéticos Não-Mínimos do
Férmion de Dirac
Em 1928, Dirac [5] havia demonstrado a existência de um termo de momento de di-
pólo magnético para partículas fermiônicas elementares massivas quando acopladas
minimamente ao campo eletromagnético. A fim de observar como os campos exter-
nos aqui propostos alteram o momento obtido por Dirac, consideram-se acoplamentos
eletromagnéticos não-mínimos externos com o campo fermiônico. Para tanto, é pre-
ciso que os campos tensoriais sejam substituídos pelo campo eletromagnético, ou seja,
S
µν
= G
µν
= F
µν
. Estes acoplamentos configuram o que se conhece como acopla-
mentos de Pauli. Partindo para a equação de campo, tem-se que esta fica expressa
como:
(ıγ
µ
∂
µ
− m − eγ
µ
A
µ
+ fγ
µ
γ
5
H
µ
+ igΣ
µν
F
µν
+ hΣ
µν
γ
5
F
µν
+ αϕ + βγ
5
s)Ψ = 0. (1.19)
Para analisar a ação destes campos de fundo, inicialmente coloca-se um campo
eletrostático externo:
F
0i
=
−→
E
i
(1.20)
F
ij
= 0. (1.21)
Adotando o mesmo procedimento anteriormente desenvolvido, tem-se que na apro-
ximação de baixas energias, o Hamiltoniano não-relativístico é dado por:
12
ı
∂ψ
∂t
=
−→
Π
2
2m
−
−→
µ ·
−→
B + eφ + H
nm
ψ, (1.22)
onde agora o momentum generalizado tem por expressão:
−→
Π =
−ı
−→
∇ − e
−→
A +
4gm
e
−→
µ ×
−→
E
. (1.23)
O termo e
−→
A induz um efeito do tipo-Aharonov-Bohm [18]. A presença do termo
4gm
e
−→
µ ×
−→
E , o qual possui um rotacional não-nulo, é o responsável pelo aparecimento
de uma fase do tipo-Aharonov-Casher [19] na função de onda. Os efeitos quânticos
topológicos serão discutidos em mais detalhes no Capítulo 3. A presença do campo
eletrostático externo atua de forma a modificar a estrutura da partícula e dotar a
mesma com uma fase topológica oriunda unicamente da violação da simetria de Lorentz.
Analisando os termos de interação:
H
nm
=
2f
e
H
0
−→
µ · (ı
−→
∇ + e
−→
A ) − αϕ +
2m
e
−→
µ · (f
−→
H − 2h
−→
E ), (1.24)
o termo H
0
−→
µ ·(ı
−→
∇ +e
−→
A ) apresenta a peculiariedade de poder ser visto como uma corre-
ção na fase topológica quando se considera o limite de baixas energias (desprezando-se
termos de ordem igual ou superior a dois). Desta maneira, completando quadrados
com o elemento
−→
µ H
0
, o momentum generalizado não-relativístico pode ser reescrito
de forma a englobar este termo, implicando em que o momentum fique expresso como:
−→
Π =
−ı
−→
∇ − e
−→
A +
4gm
e
−→
µ ×
−→
E −
2mf
e
H
0
−→
µ
. (1.25)
As energias provenientes do acoplamento não-mínimo com o campo eletrostático,
agora ficam dadas por:
H
nm
= −αϕ +
2m
e
−→
µ · (f
−→
H − 2h
−→
E ). (1.26)
13
A equação (1.26) mostra o aparecimento de um alinhamento do spin do férmion
de Dirac com o campo eletrostático, caracterizando o surgimento de uma energia de
interação entre o momento de dipólo magnético e o campo eletrostático.
Para analisar a contribuição de uma eventual correção ao momento magnético do
férmion de Dirac, coloca-se o mesmo sob a ação de um campo magnetostático externo.
Para tanto, o tensor F
µν
tem suas componentes dadas por:
F
0i
= 0 (1.27)
F
ij
= −
ijk
−→
B
k
. (1.28)
Assim, o momentum canônico generalizado fica:
−→
Π =
−ı
−→
∇ − e
−→
A +
4hm
e
−→
µ ×
−→
B
. (1.29)
Novamente há a presença do termo e
−→
A , termo este originário do acoplamento mí-
nimo com o eletromagnetismo, ou seja, do acoplamento do campo fermiônico com o
quadrivetor potencial A
µ
. Assim como no caso com o campo eletrostático externo, há
aqui o aparecimento de uma fase originada do torque exercido pelo campo magnético
sob o momento de dipólo magnético. Os termos relativos à energia de interação ficam
expressos como:
H
nm
=
2f
e
H
0
−→
µ · (ı
−→
∇ + e
−→
A ) − αϕ +
2m
e
−→
µ · (2g
−→
B + f
−→
H ). (1.30)
Novamente, o aparecimento do termo
2f
e
H
0
−→
µ · (ı
−→
∇ + e
−→
A ) caracteriza a correção
da fase na função de onda neste limite. Portanto, a equação do tipo-Pauli neste caso é
dada por:
14
ı
∂ψ
∂t
=
1
2m
(−ı
−→
∇ − e
−→
A +
4hm
e
−→
µ ×
−→
B −
2mf
e
H
0
−→
µ )
2
ψ −
−→
µ ·
−→
B ψ + eφψ +
−αϕψ +
2m
e
−→
µ · (2g
−→
B ψ + f
−→
H )ψ. (1.31)
A equação acima mostra o alinhamento do spin do férmion com o campo magnético.
Este pode ser interpretado como devido ao aparecimento de um momento de dipólo
magnético proveniente da interação com um campo externo, o qual representa um
ajuste no momento do férmion de Dirac.
Fica claro da análise destes dois casos, que a realização de um acoplamento ele-
tromagnético não-mínimo causa uma correção no momento de dipólo magnético do
férmion carregado massivo. O spin do férmion também alinha-se com a componente
espacial do pseudo-vetor H
µ
em ambos os casos considerados. O campo escalar ϕ atua
como um termo potencial no sistema. Há, também, o surgimento de uma fase topo-
lógica quântica na função de onda fermiônica. Estes fenômenos mostram-se inerentes
a um cenário no qual ocorre a não preservação da simetria de Lorentz, quando tra-
tados para partículas elementares de spin-
1
2
massivas carregadas, levando-se em conta
aproximações até primeira ordem.
15
Cap
´
ıtulo 2
Fundamentos dos Modelos de Gauge com
Quebra da Simetria de Lorentz
Neste capítulo, será feito um estudo sobre a possibilidade da implementação de termos
que violem a simetria CPT, mas diferentemente do Capítulo 1, no qual se deu prio-
ridade ao setor fermiônico, este será contextualizado no setor vetorial. Inicialmente,
será apresentado o eletromagnetismo de Maxwell-Proca, o qual quebra a simetria de
gauge. Após, será visto o eletromagnetismo de Maxwell-Chern-Simons, o qual exibe a
propriedade de ser invariante de gauge, mas não preserva a simetria de Lorentz. Mais
adiante, será estudada a possibilidade de momentos de dipólo magnético de caráter
universal para bósons vetoriais massivos neutros provindos da inserção de um campo
vetorial externo. Ao final, será feita uma discussão qualitativa sobre o teorema CPT e
as consequências de sua violação no cenário do Modelo-Padrão.
16
2.1 A Eletrodinâmica de Maxwell-Proca
A teoria da Relatividade Restrita surge como consequência natural do estudo das pro-
priedades de simetria do eletromagnetismo de Maxwell. Com isso, a Mecânica New-
toniana tem de ser reformulada, e os conceitos de espaço e tempo adquirem um novo
significado. Neste paradigma, o propagador da interação eletromagnética, o fóton, vi-
aja a uma velocidade que é independente do referencial. Surgem como propriedades
desta teoria, a simetria de Lorentz - mais precisamente sobre transformações espaço-
temporais de observadores inerciais no espaço de Minkowski - e a invariância de Gauge,
esta última representada por:
A
µ
−→ A
µ
= A
µ
+ ∂
µ
χ. (2.1)
onde a função χ é uma função suave no espaço-tempo de Minkowski. A invariância de
gauge encontra-se intimamente ligada ao fato do fóton não possuir massa. Um aspecto
interessante a ser ressaltado, é que a relação de dispersão de um sistema mecânico
relativístico é quadrático na energia, e não mais proporcional a mesma, como era na
Mecânica de Newton, sendo dada por:
E
2
=
−→
p
2
+ m
2
. (2.2)
Através desta relação, conjectura-se a possibilidade de um eletromagnetismo no qual
o propagador seja um fóton massivo. Os efeitos de uma massa de repouso não nula
para este ente podem ser incorporados no eletromagnetismo através das equações de
Proca. Para analisar-se as consequências da inserção deste novo termo, será adotado o
formalismo Lagrangeano para a respectiva construção da dinâmica de Maxwell-Proca
dos campos elétricos e magnéticos. Com este intuito, coloca-se um termo massivo
na densidade de Lagrangeano de Maxwell, acoplado a correntes externas, da seguinte
maneira:
17
L = −
1
4
F
µν
F
µν
+
µ
2
2
A
µ
A
µ
− j
µ
A
µ
. (2.3)
Fica claro que a adição deste termo massivo no Lagrangeano para o campo vetorial
de spin-1 quebra a simetria de gauge. Aplicando-se o Princípio Variacional, onde
a variação é feita em relação à componente dinâmica A
µ
, tem-se que a equação de
campo fica expressa como:
∂
µ
F
µν
+ µ
2
A
ν
= j
ν
. (2.4)
As equações de Maxwell sem fonte permanecem inalteradas, enquanto que as com
fontes, são alteradas pelo incremento de um termo massivo, como mostra a relação
(2.4). Na notação vetorial, estas equações adquirem a seguinte forma:
−→
∇ ·
−→
E + µ
2
φ = ρ (2.5)
−→
∇ ×
−→
B + µ
2
−→
A =
−→
j + ∂
t
−→
E . (2.6)
Através da equação de campo (2.4), tirando a divergência da mesma (×∂
ν
), utilizando-
se as propriedades de antissimetria do tensor de Maxwell F
µν
, e impondo a conservação
da carga, ou seja:
∂
µ
j
µ
= 0, (2.7)
tem-se que:
∂
µ
A
µ
= 0. (2.8)
Este resultado mostra que o gauge de Lorentz no eletromagnetismo de Maxwell é
tido como uma condição subsidiária no eletromagnetismo de Maxwell-Proca, ou seja,
uma propriedade inerente ao sistema. Reescrevendo a equação de campo de maneira
18
adequada a fim de conseguir a equação da onda para o quadrivetor potencial A
µ
,
obtém-se:
( + µ
2
)A
µ
= 0, (2.9)
ou seja, o fóton propaga-se como uma onda massiva. Aplicando a transformada de
Fourier, tem-se que a relação de dispersão fica expressa como:
k
µ
k
µ
= m
2
−→ w =
−→
k
2
+ µ
2
. (2.10)
A questão a ser ressaltada deste último resultado é o fato de que o fóton não possui
uma velocidade universal independente do referencial. A velocidade c passa a ser
um limite o qual nenhuma partícula física pode alcançar. Mesmo assim, a simetria de
Lorentz é mantida, enquanto a invariância de gauge é quebrada pela adição desta massa
para o fóton. Embora seja quebrada a invariância de gauge, sabe-se que o princípio
de gauge pode ficar escondido por um mecanismo de quebra espontânea de simetria
proveniente de uma teoria mais fundamental.
2.2 A Eletrodinâmica de Maxwell-Chern-Simons
Uma vez compreendido como a quebra da invariância de gauge altera a dinâmica de
Maxwell através da introdução de um termo massivo, fica em aberto a questão de
como o eletromagnetismo seria modificado por uma teoria que não preserve a simetria
de Lorentz. Teorias físicas modernas que tendem a unificar as forças fundamentais,
dão preferência a cenários no qual há quebra de Lorentz do que a cenários onde exista
violação da invariância de gauge. Isto deve-se ao fato de que a conservação da carga é
muito mais fortemente estabelecida do que a violação de Lorentz. Existem indícios em
escalas astrofísicas que sugerem a possibilidade da não preservação da simetria de Lo-
rentz em altas energias. Fenômenos relacionados aos raios cósmicos [20], a anisotropia
19
da radiação cósmica de fundo [21], aos neutrinos [22], entre outros, são alguns exem-
plos. Contudo, não existem até hoje sinais que indiquem a violação da conservação da
carga elétrica.
No intuito de construir um eletromagnetismo invariante de gauge e que apresente
a peculiaridade de violar a simetria de Lorentz, considera-se o campo de Maxwell aco-
plado a um quadrivetor externo. Primeiramente, observam-se que os campos elétricos
e magnéticos podem dar origem a quantidades invariantes de Lorentz. A forma des-
tes invariantes é facilmente encontrada quando se utiliza o tensor de Maxwell. Estas
quantidades são expressas no formalismo covariante como:
F
µν
F
µν
= invariante (2.11)
F
µν
F
µν
= invariante, (2.12)
onde
F
µν
=
1
2
µναβ
F
αβ
é o dual do tensor de Maxwell.
O escalar (2.11), num formalismo Lagrangeano, fornece as equações usuais do ele-
tromagnetismo de Maxwell. Já o termo (2.12), quando aplicado ao mesmo formalismo,
não fornece dinâmica alguma, pois o mesmo aparece como uma derivada total no La-
grangeano quando se leva em conta a variação em relação aos potenciais. No início
da década de 90, S. M. Carrol, G. B. Field e R. Jackiw [23] propuseram a adição
deste escalar de Lorentz acoplado a um campo espaço-temporal θ(
−→
x , t). A adição
do termo θ
F F na densidade de Lagrangeano é equivalente, a menos de uma derivada
total, a colocar o termo -∂
µ
θ
µναβ
A
ν
F
αβ
. Este termo adicionado no Lagrangeano do
Eletromagnetismo de Maxwell dá origem ao que é conhecido como Eletrodinâmica de
Maxwell-Chern-Simons,
L
MCS
= L
Maxwell
+ L
CS
, (2.13)
onde o termo tipo-Chern-Simons quadridimensional fica expresso como:
20
L
CS
= −
1
2
p
α
A
β
F
αβ
, (2.14)
sendo p
µ
= ∂
µ
θ. Uma análise dimensional do termo de Chern-Simons mostra que, no
sistema de coordenadas naturais ( = c = 1), p
µ
possui dimensão de massa, sendo
definido como um quadrivetor constante da seguinte maneira:
p
µ
= (m,
−→
p ). (2.15)
A consequência mais imediata que aparece neste cenário, é que o quadrivetor cons-
tante p
µ
acoplando-se a campos fisicamente observáveis, faz com que haja uma direção
privilegiada no espaço-tempo, implicando claramente numa violação da simetria de
Lorentz, além de uma quebra da paridade.
O termo de Chern-Simons traz ainda outros efeitos. As equações de movimento
sem fonte permanecem inalteradas. Já as equações com fonte são alteradas da seguinte
maneira:
∂
µ
F
µν
= j
ν
+ p
µ
F
µν
, (2.16)
ou, em termos das componentes,
−→
∇ ·
−→
E = ρ −
−→
p ·
−→
B (2.17)
−→
∇ ×
−→
B − ∂
t
−→
E =
−→
j − p
0
−→
B +
−→
p ×
−→
E . (2.18)
Estas equações apresentam uma quadricorrente adicional, consequência da ação de
um campo vetorial externo. Examinando outros aspectos da mudança provocada por
esta quebra, analisa-se agora a relação de dispersão na ausência de fontes (j
µ
= 0):
(k
µ
k
µ
)
2
+ (k
µ
k
µ
)(p
ν
p
ν
) = (k
µ
p
µ
)
2
. (2.19)
21
Considerando o referencial de repouso de p
µ
, e p
0
(= m) do tipo-tempo, a corres-
pondente relação de dispersão fica expressa como:
w
2
= k(k ± m). (2.20)
A relação (2.20) mostra claramente que a introdução de um quadrivetor p
µ
na
dinâmica do sistema causa o surgimento de duas velocidades de propagação para o
fóton, dependendo de seu modo de polarização, uma clara evidência da violação da
simetria de Lorentz.
2.3 O Bóson Vetorial Massivo Neutro
Existem na literatura trabalhos que demonstram a possibilidade de um momento mag-
nético universal para partículas elementares massivas escalares e de spin-
1
2
[24] [25],
assim como para partículas fundamentais vetoriais massivas carregadas provenientes
da quebra da simetria de Lorentz [26], dado por:
−→
µ =
1
2
g
−→
v . (2.21)
Trata-se, em sequência, a mesma situação no caso de bósons vetoriais massivos
neutros, utilizando agora acoplamentos não-mínimos. Para se realizar esta violação,
adota-se neste trabalho, o termo de Chern-Simons igv
α
F
µα
. Este elemento apresenta
o acoplamento do tensor dual do campo eletromagnético com um vetor de fundo v
µ
.
Como este termo não viola a simetria de gauge, é possível realizar este acoplamento
diretamente na derivada covariante. Desta maneira, tem-se que para um bóson vetorial
massivo neutro, a equação de campo que governa sua dinâmica é dada por:
(∂
µ
+ igv
α
F
µα
)Z
µν
+ m
2
Z
ν
= 0, (2.22)
onde Z
µν
= ∂
µ
Z
ν
− ∂
ν
Z
µ
é a intensidade do campo.
22
A fim de entender de forma mais clara a dinâmica desta partícula, obtém-se a
condição subsidiária do sistema. Portanto,
∂
µ
Z
µ
+ igv
α
F
µα
Z
µ
= 0. (2.23)
Diferentemente do caso de Maxwell-Proca, no qual o gauge de Lorentz aparecia
como uma condição subsidiária, aqui a relação entre as componentes do campo bosô-
nico Z
µ
não fica totalmente clara. Independentemente da aparente complexidade apre-
sentada, investiga-se este campo vetorial sob a ação de um campo elétrico externo.
Trabalhando as componentes temporal e espaciais do campo Z
µ
, tem-se que no limite
não-relativístico:
Z
0
≈
−→
p
m
·
−→
Z −
g
m
(
−→
v ×
−→
E ) ·
−→
Z (2.24)
E
NR
Z
i
=
1
2m
[
−→
p +
g
2
(
−→
v ×
−→
E )]
2
Z
i
. (2.25)
Na aproximação de baixas energias, a componente temporal Z
0
(
v
c
−→
Z ) desaparece,
fazendo com que somente a componente espacial Z
i
possua dinâmica neste limite. Fica
evidente na equação (2.25) a aparição de uma fase não-trivial do tipo-Aharonov-Casher,
dada por
g
2
(
−→
v ×
−→
E ). Este resultado, quando comparado com outros existentes na litera-
tura, sugere que o aparecimento de uma fase na função de onda seja uma consequência
natural para qualquer partícula elementar, independentemente de seu spin, carregada
ou não, quando inserida no contexto da violação da simetria de Lorentz. A quantidade
1
2
g
−→
v pode ser interpretada como o momento de dipólo magnético adquirido pela par-
tícula neutra devido ao campo vetorial de fundo. Sendo assim, o termo igv
ν
F
µν
pode ser pensado como uma quantidade fundamental da mesma maneira
que o acoplamento mínimo com o quadrivetor potencial A
µ
. Para verificar-se
que a quantidade
1
2
g
−→
v é realmente um momento magnético, coloca-se a partícula sob
a ação de um campo magnetostático dado por:
23
F
ij
= −
ijk
−→
B
k
. (2.26)
Aplicando novamente a condição subsidiária para este caso, nota-se que no limite
fracamente relativístico as componentes do quadrivetor Z
µ
assumem a forma:
Z
0
≈
−→
p
m
·
−→
Z −
gv
o
m
−→
B ·
−→
Z (2.27)
E
NR
Z
i
=
−→
p
2
2m
Z
i
+
1
2
g
−→
v ·
−→
B Z
i
. (2.28)
Novamente, a componente temporal é desprezível neste limite, enquanto que a
componente espacial sobrevive. Na equação (2.28) fica evidente a aparição do momento
de dipólo magnético para o bóson vetorial massivo neutro, o qual possuiu um fator
giromagnético igual aos atribuídos a partículas escalares e de spin-
1
2
.
Outra caso interessante consiste na observação da possível contribuição de momento
magnético para partículas elementares massivas neutras de spin-1 oriundas do parâme-
tro adimensional k
F
. Este coeficiente surge no ambiente do Modelo-Padrão Estendido
das Partículas. Tem a propriedade de violar a simetria de Lorentz, mas mantém a trans-
formação CPT inalterada. Nos cenários de violação de Lorentz mais simples, espera-se
que este parâmetro seja constante, pois neste caso está garantido a conservação da
energia e do momentum. Possui as mesmas simetrias do tensor de Riemann, além de
traço duplo nulo, implicando em 19 componentes reais independentes. Quando inse-
rido na equação de campo do quadrivetor Z
µ
, sua estrutura fica modificada da seguinte
maneira:
D
µ
Z
µν
−
1
2
k
ναλρ
F
D
α
Z
λρ
+ m
2
Z
ν
= 0, (2.29)
onde a derivada covariante para o bóson neutro é dada por,
D
µ
= ∂
µ
+ igv
α
F
µα
. (2.30)
24
Analisando o limite não-relativístico da partícula acima, sob a ação de um campo
magnetostático externo, observa-se que a contribuição de momento magnético originada
pelo coeficiente k
F
é dada por:
−→
µ
ij
·
−→
B Z
j
, (2.31)
onde a n-ésima componente do momento magnético µ
ij
é expressa como:
(µ
n
)
ij
=
g
2
v
0
(k
F
)
nij0
, (2.32)
o que acaba introduzindo uma correção no momento magnético do bóson vetorial,
correção esta provinda do parâmetro k
F
.
2.4 O Teorema CPT
A simetria de Lorentz está ligada ao fato das leis físicas serem invariantes perante
transformações de translação e rotação. Trata-se de uma simetria global no espaço-
tempo de Minkowski, que é básica para a teoria da Relatividade Restrita e para o
Modelo-Padrão das Partículas. Na teoria da Relatividade Geral, ela é essencial no que
concerne aos observadores em queda livre (simetria local).
As operações discretas de conjugação de carga (C), paridade (P) e reversão tem-
poral (T) constituem uma simetria exata da natureza para campos livres. Em termos
de uma teoria física, onde são levadas em conta as interações, seria esperado que es-
tas simetrias fossem mantidas perante estas transformações. Contudo, em 1957, foi
observado a quebra da paridade em experimentos de decaimento-β, onde os elétrons
emitidos nesta reação apresentavam predominantemente uma quiralidade left-handed.
Posteriormente, foi observada quebra das outras simetrias. Embora estas transfor-
mações microscópicas, quando aplicadas individualmente, apresentassem violações, a
aplicação combinada destas três operações, conhecida como transformação CPT, surgiu
como uma invariância da natureza.
25
A união da simetria de Lorentz e da simetria CPT é conhecida como teorema CPT.
Serve como prescrição fundamental da Teoria Quântica de Campos. A validade deste
teorema garante, por exemplo, que partículas e antipartículas possuam as mesmas pro-
priedades como a massa, o tempo de vida, a carga e o momento magnético, entre outras.
As condições nas quais o teorema é válido, atuando sobre o formalismo Lagrangeano,
são as seguintes:
1. A validade da estrutura básica da Teoria Quântica de Campos é para operadores
de campos definidos localmente.
2. Invariância perante as transformações próprias de Lorentz. A teoria deve ser
quantizada com comutadores para campos com spin inteiro, e anti-comutadores
para spin semi-inteiro.
3. O Lagrangeano de interação deve ser Hermitiano, ou de forma mais geral, todos
os observáveis reais são representados por um produto de operados de campos
Hermitianos.
Recentemente, foi considerada por diversos autores a possibilidade de violação da
simetria de Lorentz. O procedimento baseado nesta tentativa foi proposto inicialmente
por Colladay e Kostelecky em 1989 [27], no cenário da Teoria de Cordas, onde havia a
possibilidade desta violação, esta gerada por mecanismos de quebra espontânea associ-
ados aos valores esperados no vácuo dos campos tensoriais de Lorentz. Posteriormente,
outras teorias incorporaram a possibilidade destas violações a nível fundamental, como
a Teoria de Campos Não-Comutativa [28], a Gravidade Quântica [29], os MultiUni-
versos [30], cenários de Mundos-Brana [31], a Supersimetria [32], a Gravidade Massiva
[33], entre outras. Este cenário apresenta-se inserido num corpo de estudos conhe-
cido como Física Além do Modelo-Padrão, que apresenta um ambiente para o estudo
das violações de Lorentz para sistemas envolvendo fótons [23] [34], correções radiati-
vas [35], férmions [36], neutrinos [37], defeitos topológicos [38], fases topológicas [24],
26
raios cósmicos [39], supersimetria [40] e outros aspectos relevantes da física moderna
[41] [42]. Trata-se de uma Teoria de Campos Efetiva, onde a estrutura de gauge do
Modelo-Padrão da Física de Partículas (SU(3) × SU(2) × U(1)) é mantida. Incorpora
a adição de todos os possíveis termos escalares formados pela contração dos operadores
que violam a simetria CPT, com coeficientes que controlam o tamanho dos efeitos,
ou seja, a escala no qual atua. O aspecto essencial a ser ressaltado neste ponto é a
possibilidade que uma teoria fundamental que descreva as interações fundamentais de
maneira unificada possa permitir violações da simetria de Lorentz na escala de Planck.
Deve-se observar que esta violação ocorre apenas quando é realizada uma transforma-
ção ativa de Lorentz, o que ocasionou uma nova nomenclatura para as mudanças de
coordenadas no espaço-tempo: as transformações de observador e partículas [17].
27
Cap
´
ıtulo 3
Efeitos Quânticos Topológicos para
Partículas Neutras e a Geração de Momento
Magnético
Neste capítulo, discutem-se os efeitos de fase topológica e a contribuição de momentos
magnéticos provenientes de acoplamentos que violam a simetria de Lorentz no setor
dos férmions de Majorana. Inicialmente, é feita uma revisão histórica sobre as fases na
função de onda em Mecânica Quântica. Posteriormente, acopla-se o férmion massivo
neutro a campos externos que quebram a invariância de Lorentz. Finalmente, estuda-
se a existência de propriedades magnéticas para férmions de Majorana causadas pelo
acoplamento eletromagnético não-mínimo destas partículas.
28
3.1 Fase Topológica: Uma Breve Revisão
O surgimento da Mecânica Quântica no início do século passado permitiu um melhor
entendimento da estrutura da qual é composta a matéria. Desde então, vários esforços
têm sido feitos para uma compreensão cada vez mais precisa da Natureza. Uma am-
pla variedade de pesquisas de cunho fundamental nesta área tem relevância na física
atual das interações fundamentais. Um destes campos de estudo diz respeito às fases
topológicas de partículas microscópicas. Fases topológicas em sistemas quânticos se
manifestam como uma fase relativa na função de onda das partículas. Este é um efeito
puramente quântico, que não possui uma contrapartida clássica.
Em 1959, Aharonov e Bohm [18], num estudo sobre as propriedades dos potenciais
eletromagnéticos na teoria quântica, mostraram a existência de efeitos dos potenciais
sobre partículas carregadas, mesmo em regiões de campos elétricos e magnéticos nulos.
Concluíram que estes efeitos dependiam da quantidade invariante de gauge, o quadri-
vetor potencial A
µ
. Este elemento seria responsável pela geração de uma fase na função
de onda da partícula, o que causaria uma alteração no padrão de interferência. Anos
mais tarde, este efeito foi observado experimentalmente.
Em 1984, Aharonov e Casher [19] estudaram a possibilidade de uma fase para
partículas neutras de spin-
1
2
. Mostraram que este mesmo fenômeno também seria
possível para partículas não-carregadas eletricamente, quando sob a ação de um campo
elétrico externo. O Hamiltoniano não-relativístico seria dado por:
H
NR
=
1
2m
(
−→
p −
−→
E ×
−→
µ )
2
−
µ
2
E
2
2m
. (3.1)
Aharonov e Casher mostraram que, no espaço tridimensional, a fase gerada na
função de onda é dada por e
i
H
d
−→
r ×
−→
µ ·
−→
E
. Em 1994, este efeito foi observado experi-
mentalmente [43] [44].
Em 1993, He e McKellar [45], e Wilkens [46] um ano mais tarde, analisaram um
29
caso similar ao efeito Aharonov-Casher, com a mudança do campo elétrico por um
campo magnético externo. Atualmente, este efeito é estudado dentro de várias outras
possibilidades.
3.2 O Férmion de Majorana
A possibilidade de que partículas elementares neutras de spin-
1
2
possam adquirir pro-
priedades magnéticas mensuráveis vem despertando interesse no âmbito do Modelo-
Padrão. Dentro deste panorama, procura-se investigar todas as possíveis fontes de
momento de dipólo magnético para férmions neutros, assim como um efeito quântico
topológico do tipo-Aharonov-Casher, estes avaliados no contexto da não preservação
da simetria de Lorentz. Para tanto, parte-se do Lagrangeano quadridimensional para
o férmion de Majorana acoplado a campos escalares, vetorial e tensorial da seguinte
maneira:
L = Ψ(ıγ
µ
∂
µ
− m)Ψ + fΨγ
µ
γ
5
ΨH
µ
+ hΨΣ
µν
γ
5
ΨG
µν
+ αΨΨϕ + βΨγ
5
Ψs. (3.2)
Os campos aqui propostos possuem uma diferença em suas respectivas interpreta-
ções quando comparados com o estudo feito no Capítulo 1. O primeiro termo cor-
responde ao termo de campo livre. Os termos H
µ
e G
µν
mostram o acoplamento do
férmion de Majorana a campos externos de natureza vetorial e tensorial respectiva-
mente. Já os campos escalares novamente representam o acoplamento de Yukawa. O
procedimento para a obtenção da equação de campo e a aproximação de baixas ener-
gias é similar ao desenvolvido no Capítulo 1. Consequentemente, a equação quântica
relativística fica expressa como:
(ıγ
µ
∂
µ
− m + fγ
µ
γ
5
H
µ
+ hΣ
µν
γ
5
G
µν
+ αϕ + βγ
5
s)Ψ = 0. (3.3)
30
No limite não-relativístico, a equação tipo-Pauli para a partícula neutra em questão
fica dada por:
ı
∂ψ
∂t
=
−→
Π
2
2m
+ H
nm
ψ, (3.4)
onde o momentum canônico generalizado é expresso como:
−→
Π =
−ı
−→
∇ − 2h
−→
σ ×
−→
G
, (3.5)
e o Hamiltoniano das interações é dado por:
H
nm
=
ıf
m
H
0
−→
σ ·
−→
∇ − αϕ +
−→
σ · (f
−→
H + 2h
−→
G
). (3.6)
3.3 A Violação de Lorentz para o Férmion de Majo-
rana
Atualmente, o Modelo-Padrão Estendido das Partículas permite associar propriedades,
como massa e momento magnético, para os neutrinos. Muitas questões relacionados
a sua natureza ficam em aberto, como por exemplo se este é um férmion de Dirac ou
Majorana. Nesta seção, pretende-se observar se este novo cenário permite a indução
de um momento de dipólo magnético para o férmion de Majorana. Para estudar este
efeito, considera-se um campo magnetostático externo (F
ij
= −
ijk
−→
B
k
) acoplado de
maneira não-mínima ao campo de Majorana. Adotando esta possibilidade, a equação
de campo para o férmion neutro fica expresso como:
(ıγ
µ
∂
µ
− m + fγ
µ
γ
5
H
µ
+ hΣ
µν
γ
5
F
µν
+ αϕ + βγ
5
s)Ψ = 0. (3.7)
31
Quando considerado o termo Σ
µν
γ
5
F
µν
, tem-se que na representação de Dirac, este
é equivalente a 2ı
−→
σ ·
−→
B . Poder-se-ia interpretar este acoplamento como a interação
do momento magnético do férmion de Majorana. Entretanto, como o operador acopla,
na verdade, as componentes forte e fraca do férmion relativístico, tal interpretação fica
invalidada. Desta forma, só após o limite não-relativístico ser tomado, é que será lícito
ver a contribuição de momento magnético. Analisando, então, a equação de Dirac para
o férmion de Majorana, no limite de baixas energias, tem-se que a equação tipo-Pauli
fica expresso como:
ı
∂ψ
∂t
=
1
2m
(−ı
−→
∇ + 2h
−→
σ ×
−→
B )
2
+
ıf
m
H
0
−→
σ ·
−→
∇ − αϕ + f
−→
σ ·
−→
H
ψ. (3.8)
Assim como no caso do férmion de Dirac, o termo
ıf
m
H
0
−→
σ ·
−→
∇ pode ser visto como
uma correção ao momentum canônico (em aproximações de primeira ordem), fazendo
com que a equação não-relativística seja expressa como:
ı
∂ψ
∂t
=
1
2m
(−ı
−→
∇ + 2h
−→
σ ×
−→
B − f H
0
−→
σ )
2
− αϕ + f
−→
σ ·
−→
H
ψ. (3.9)
Este resultado sugere que, para o caso de Majorana, não se configura a existência
de um momento de dipólo magnético, como interpretado no contexto deste trabalho.
Embora o spin da partícula interaja com a componente espacial do campo pseudo-
vetorial
−→
H , esta interação não caracteriza o aparecimento de um momento de dipólo
magnético, mas somente o alinhamento do spin do férmion de Majorana com a com-
ponente
−→
H . Este aspecto é fundamentalmente diferente do férmion de Dirac, que além
de apresentar um momento magnético na teoria quântica relativística, ainda traz even-
tuais correções quando inserido no ambiente do Modelo-Padrão Estendido. Contudo,
a partícula de Majorana apresenta propriedades magnéticas. O campo magnetostático
externo induz a criação de uma fase quântica topológica, a qual por sua vez sofre cor-
32
reções na aproximação de baixas energias, correções estas induzidas pela componente
temporal H
0
. Com o objetivo de explorar-se consistentemente a questão dos acopla-
mentos eletromagnéticos não-mínimos para partículas elementares massivas neutras de
spin-
1
2
, considera-se um campo eletrostático de fundo (F
0i
=
−→
E
i
). Desta maneira, no
limite não-relativístico, a equação será dada por:
ı
∂ψ
∂t
=
1
2m
(−ı
−→
∇ − f H
0
−→
σ )
2
− αϕ +
−→
σ · (f
−→
H − 2h
−→
E )
ψ. (3.10)
Aqui, diferentemente do caso relativo ao campo magnetostático, não há uma fase
induzida pelo campo eletrostático externo. No que se refere a efeitos quânticos topo-
lógicos, o que existe é apenas uma correção no limite de baixas energias e, assim como
no caso anterior, ela é induzida pela componente temporal H
0
. A novidade neste caso
consiste no alinhamento do spin do férmion com o campo eletrostático, provocando
o aparecimento de um termo de interação entre o spin e o campo externo. O campo
escalar ϕ atua meramente como um termo potencial para a partícula de Majorana.
Quando compara-se o férmion de Dirac e o de Majorana, o aspecto que se sobressai é
que para partículas elementares de spin-
1
2
, o momento magnético estaria ligado intima-
mente a carga elétrica. O férmion de Dirac, além de apresentar um momento de dipólo
magnético - consequência de um acoplamento mínimo com os potenciais eletromag-
néticos, quando inserido no cenário do Modelo-Padrão Estendido, ambiente este que
propicia acoplamentos eletromagnéticos não-mínimos - apresenta eventuais correções
causadas pela ação de campos externos. Já o férmion de Majorana não apresenta ne-
nhuma propriedade no que diz respeito à geração de um momento de dipólo magnético.
Vale ressaltar que esta interpretação somente é válida quando discutida no ambiente da
teoria de Dirac, e considerando acoplamentos eletromagnéticos não-mínimos que violem
a simetria de Lorentz. Este mesmo cenário, quando introduzido na Teoria Quântica de
Campos, pode mostrar resultados diferentes aos aqui apresentados.
33
Cap
´
ıtulo 4
Considerações Gerais e Perspectivas Futuras
Apesar do grande sucesso do Modelo-Padrão da Física de Partículas, a procura por uma
teoria que explique de maneira unificada as interações fundamentais motivou estudos
relacionados à violação do teorema CPT, levando à criação de uma área de conhecimen-
tos conhecida como Modelo-Padrão Estendido. Dentro deste panorama, este trabalho
analisou as contribuições de momento de dipólo magnético para partículas elementares
neutras num cenário onde não havia preservação da simetria de Lorentz, contextuali-
zado sob a perspectiva da Teoria Quântica Relativística, ou seja, sem a quantização dos
campos. Pequenas correções relativas ao momento magnético de partículas elementares
poderiam ser um indício de uma violação da simetria de Lorentz e da invariância CPT.
No Modelo-Padrão da Física de Partículas, as correções relativas ao momento mag-
nético são oriundas de efeitos de loops quânticos, estes realizados na Teoria Quântica
de Campos. Neste contexto, é preciso que os campos manifestem seu caráter quântico
para que seja notada qualquer diferença que o momento magnético apresente. Já no
contexto do Modelo-Padrão Estendido, o qual utiliza o aspecto da violação da simetria
de Lorentz, os efeitos de momento magnético apresentam-se já no âmbito da Mecâ-
nica Quântica Relativística. Embora quebras da simetria de Lorentz pareçam
manifestar-se em escalas de energias muito altas, seus efeitos podem ser
34
observados no limite de baixas energias. Este aspecto sugere a possibilidade
de que estas violações possuam um caráter fundamental no que se refere a
atribuição de propriedades físicas as partículas elementares.
Uma aplicação bastante interessante no que concerne ao estudo das violações da
simetria de Lorentz se encontra na Astrofísica. Em particular, no estudo da Radiação
Cósmica de Fundo. Na teoria do Big Bang, a Radiação Cósmica de Fundo é uma
relíquia dos primórdios do Universo, quando este possuía apenas 3 × 10
5
anos, época
na qual a radiação e a matéria bariônica separaram-se. Após esta disjunção, a matéria
pôde, através da atração gravitacional, formar aglomerados de estrelas, galáxias e até
mesmo estruturas maiores e mais complexas. Mas, para que estas estruturas fossem
factíveis, seriam necessárias perturbações primordiais nas distribuições de energia e
matéria, o que teria deixado uma espécie de impressão digital na Radiação Cósmica de
Fundo. Esta assinatura ficou conhecida como anisotropia da temperatura da Radiação
Cósmica de fundo. Foi descoberta em 1964 por Penzias e Wilson, e desde então vem
sendo utilizada amplamente para a compreensão da geometria e da dinâmica do Uni-
verso. Esta radiação, que é a mais antiga disponível para a observação, oferece uma
oportunidade de verificar-se a violação da simetria de Lorentz envolvendo fótons. No
intuito de explorar este cenário, introduz-se um termo tipo-Chern-Simons invariante
de gauge no Lagrangeano de Maxwell:
L = −
1
2
p
α
A
β
F
αβ
. (4.1)
O termo p
α
, como discutido na seção (2.2), estabelece uma direção preferencial no
espaço-tempo, e assim gera uma rotação na direção de polarização da luz. Esta rotação
é devida à diferença da velocidade dos dois modos, onde o vetor polarizado roda por
um ângulo φ, dado por:
∆φ = −
1
2
(p
0
− pcosθ)L, (4.2)
35
sendo L a distância percorrida. Este resultado é independente do comprimento de
onda do fóton. Como p
α
deve assumir valores pequenos, fontes astrofísicas a grandes
distâncias são de crucial importância para observar o efeito de polarização. Fica claro
que o acoplamento do fóton a um quadrivetor externo constante p
α
causa uma alteração
no seu modo de propagação. Isto é similar a uma onda eletromagnética propagando-se
em um meio anisotrópico. Este efeito é conhecido como birrefringência cósmica.
Este fenômeno também pode ser observado quando se adiciona à densidade de
Lagrangeano de Maxwell o parâmetro k
F
. Com isso, o Lagrangeano assume a seguinte
forma:
L = −
1
4
F
µν
F
µν
−
1
4
(k
F
)
κλµν
F
κλ
F
µν
. (4.3)
A dinâmica deste eletromagnetismo, em relação ao Eletromagnetismo usual de
Maxwell, fica modificado através de equações inomogêneas, estas dadas por:
∂
α
F
α
µ
+ (k
F
)
µαβγ
∂
α
F
βγ
= 0. (4.4)
A mudança resultante no estado de polarização da onda é determinado pela mu-
dança na fase, expressa da seguinte maneira:
∆φ = (p
0
+
− p
0
−
)t ≈ 2π∆v
p
L
λ
≈ 4πσ
L
λ
. (4.5)
Diferentemente ao caso anterior, no qual a mudança induzida na fase é dependente
somente da distância pela qual a radiação percorreu, o parâmetro k
F
induz a uma
alteração que depende inversamente do comprimento de onda. Este efeito de modifica-
ção do estado de polarização da radiação eletromagnética é similar ao Efeito Faraday,
onde a mudança nos dois modos de polarização ocorre quando a onda eletromagnética
atravessa um meio magnetizado. Contudo, enquanto no caso de Faraday a rotação do
plano de polarização é proporcional ao quadrado do comprimento de onda, o efeito
devio ao parâmetro k
F
é inversamente proporcional a este. Já no caso do termo do
36
tipo-Chern-Simons, este efeito independe do comprimento de onda, fazendo com que
estes efeitos possam ser distinguidos. É de fundamental importância perceber que é
a natureza birrefringente do vácuo que possibilita a existência destas mudanças nos
estados de polarização das radiações, estas provenientes de ambientes astrofísicos e
cosmológicos.
Outro campo de interesse das violações de Lorentz reside no estudo dos neutrinos.
Seu estudo é um dos aspectos que permite uma Física Além do Modelo-Padrão das
Partículas. Muito progresso tem sido feito no seu estudo, mas questões fundamentais
permanecem em aberto, como: a possibilidade de uma massa de repouso, a distinção
entre um férmion de Dirac e Majorana, entre outras. O neutrino é uma partícula ele-
mentar de spin-
1
2
que, por possuir uma seção de choque muito pequena na interação
nuclear fraca, é de difícil detecção. Quando inserido no contexto do Modelo-Padrão
Estendido, existe a possibilidade de considerar, além de uma massa para o mesmo,
uma interação eletromagnética através de um acoplamento não-mínimo. Há tempos a
comunidade científica interessa-se em observar possíveis efeitos causados aos neutrinos
quando sob a ação de campos eletromagnéticos. Neste cenário, seria possível prever
quantidades físicas mensuráveis no limite de baixas energias, como um momento mag-
nético associado ao neutrino.
Sabe-se que na Natureza encontramos exemplos de sistemas que violam a paridade,
a conjugação de carga e a reversão temporal. Contudo, na Teoria Quântica de Campos,
a simetria de Lorentz e a invariância sob transformações CPT são válidas sob condições
bem definidas, e nenhum caso de violação de CPT foi até hoje observado. Entretanto,
a violação deste teorema abre um caminho cuja meta seria a construção de uma teoria
capaz de explicar as interações de uma maneira unificada. Por isso, muitos estudos
e problemas ficam ainda em aberto, oferecendo a perspectiva de novas descobertas
no que se refere ao mundo das partículas. Entre estas possibilidades, se salienta o
estudo de partículas com diferentes spins, como o gráviton. Efeitos clássicos também
37
podem ser investigados, como a existência de uma força de Lorentz. Uma série de
questionamentos encontram-se ainda à procura de uma resposta satisfatória, tal como
a origem da violação das simetrias de Lorentz e CPT, problema este com solução já
encaminhada via teorias mais fundamentais, como as Teorias de Supercordas.
38
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