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JANAINA RODRIGUES LENZI
ESTRATÉGIAS PARA CORTE DE CARGA
UTILIZANDO FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM
RELAXAMENTO DE RESTRIÇÕES
Dissertação apresentada como requisito
parcial para a obtenção do grau de Mestre, no
Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica da Universidade Federal do Paraná.
Orientadora: Dr.ª Thelma Solange Piazza
Fernandes.
Curitiba
2007
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Livros Grátis
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II
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III
AGRADECIMENTOS
O resultado deste trabalho não se deve somente ao meu esforço e dedicação, mas
também ao apoio de algumas pessoas, que devem ser citadas aqui com carinho. Assim, presto
os meus sinceros agradecimentos:
À Professora Doutora Thelma Solange Piazza Fernandes pela sua orientação e
dedicação, pelos seus ensinamentos, conselhos e palavras de incentivo durante todo o
desenvolvimento deste trabalho;
Aos meus pais, Leonildo Lenzi e Marili Rodrigues Lenzi, pela dedicação, carinho,
amor e compreensão durante todos os anos de minha vida e também durante todo este período
de mestrado;
Ao meu namorado, companheiro e amigo Rafael Terplak Beê, pelo seu
companheirismo e palavras de conforto nas horas difíceis, e também por toda sua contribuição
para que a realização deste trabalho fosse possível;
À Deus, que meu deu forças para seguir até aqui;
Ao Instituto de Tecnologia para o Desenvolvimento (LACTEC) pelo apoio financeiro
e pela infra-estrutura concedida para a realização deste trabalho;
Ao Professor Doutor Alexandre Rasi Aoki que participou da banca de qualificação e
da banca da defesa final desta dissertação, contribuindo através do seu conhecimento com
excelentes observações para a finalização do trabalho e também por toda sua cooperação e
apoio, juntamente com o LACTEC, para a concretização deste projeto;
À Professora Doutora Andréa Lúcia Costa pelas sugestões e contribuições feitas em
relação à este trabalho durante a pré-defesa e a defesa;
À Professora Doutora Elizete Maria Lourenço pela complementação dada à esta
dissertação na ocasião da defesa;
E a todos os outros que não foram mencionados aqui, mas que de alguma maneira
contribuíram e fizeram parte desta caminhada.
IV
SUMÁRIO
Lista de Tabelas.............................................................................................................................VII
Lista de Siglas..............................................................................................................................VIII
Lista de Símbolos............................................................................................................................IX
Resumo.........................................................................................................................................XIII
Abstract ....................................................................................................................................... XIV
CAPÍTULO I: Introdução................................................................................................................1
1.1 Introdução .....................................................................................................................................1
1.2 Objetivos .......................................................................................................................................3
1.3 Estrutura da Dissertação................................................................................................................4
CAPÍTULO II: Revisão Bibliográfica.............................................................................................5
2.1 Introdução .....................................................................................................................................5
2.2 Abordagens Via Fluxo de Carga ...................................................................................................6
2.3 Abordagens para Fluxo de Potência Ótimo...................................................................................7
2.3.1 O Método Proposto por Granville, Mello e Mello (1996) .......................................................10
2.3.2 O Método Proposto por Mikilita (2005) ..................................................................................11
2.4 Relaxamento de Restrições .........................................................................................................18
2.4.1 O Método Proposto por Oliveira et al. (2003)..........................................................................18
2.4.1.2 Relaxamento da Capacidade de Transmissão .......................................................................19
2.4.1.3 Relaxamento dos Limites de Tensão.....................................................................................21
2.4.2 O Método Proposto por Mikilita (2005) .................................................................................22
2.5 Métodos Via Pontos Interiores....................................................................................................24
2.6 Considerações Finais...................................................................................................................28
CAPÍTULO III: Formulação Matemática do Corte de Carga ...................................................30
3.1 Introdução ...................................................................................................................................30
3.2 Modelo Linear ............................................................................................................................30
3.2.1 Modelo Linear do Fluxo de Carga (DC) ..................................................................................30
3.2.2 Formulação do Fluxo de Potência Linear com Corte de Carga................................................31
3.2.2.1 Redução da matriz B .............................................................................................................33
3.2.2.2 Problema a ser resolvido .......................................................................................................34
V
3.3 Modelo Não-Linear.....................................................................................................................34
3.3.1 Relaxamento de Restrições de Tensão .....................................................................................35
3.3.2 Relaxamento de Restrições de Fluxo de Potência Ativa nos Transformadores .......................36
3.4 Estágios de Corte de Carga .........................................................................................................37
3.5 Considerações Finais...................................................................................................................38
CAPÍTULO IV: Resultados39
4.1 Introdução ...................................................................................................................................39
4.2 Especificações Técnicas..............................................................................................................40
4.3 O Sistema Simulado....................................................................................................................41
4.4 Verificação Preliminar de Limites de Fluxo sob Contingência...................................................43
4.5 Estabelecimento de Estágios de Corte de Carga a partir de Relaxamento de Restrições de
Tensão e de Fluxo de Potência Ativa................................................................................................48
4.5.1 Simulação 1: Minimização de Corte de Carga.........................................................................49
4.5.2 Simulação 2: Minimização de Corte de Carga e relaxamento dos limites de tensão em até 3
% do limite mínimo...........................................................................................................................51
4.5.3 Simulação 3: Minimização de Corte de Carga, relaxamento dos limites de tensão em até 3 %
do limite mínimo e relaxamento dos limites de fluxo de potência ativa em até 20% dos limites
mínimo e máximo .............................................................................................................................55
4.5.4 Estabelecimento de Estágios de Corte de Carga ......................................................................58
4.6 Resultados de outras simulações.................................................................................................61
4.7 Desempenho do Preditor-Corretor ..............................................................................................62
4.8 Considerações Finais...................................................................................................................62
CAPÍTULO V: Conclusões ............................................................................................................64
5.1 Introdução ...................................................................................................................................64
5.2 Recomendações para Trabalhos Futuros.....................................................................................65
Referências Bibliográficas..............................................................................................................67
Apêndice A: Modelagem das Equações de Balanço de Potência Ativa e Reativa e do Ângulo
de Referência ...................................................................................................................................70
A.1 Representação das Equações de Balanço de Potência Ativa e Reativa na Forma Retangular ...70
A.2 Representação do Ângulo de Referência na Forma Retangular.................................................73
VI
Apêndice B: Formulações de FPO.................................................................................................74
B.1 O Problema de FPO....................................................................................................................74
B.2 Condições de Otimalidade..........................................................................................................76
B.3 Algoritmo Primal Dual de Pontos Interiores ..............................................................................77
B.4 Obtenção dos Pontos Estacionários............................................................................................77
B.5 Algoritmo de Solução do Problema............................................................................................81
Apêndice C: Formulação do Fluxo de Potência Linear com Corte de Carga ...........................82
C.1 Formulação baseada em variáveis de folga e barreira logarítmica.............................................82
C.2 Função Lagrangeana...................................................................................................................83
C.3 Condições de Otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker..................................................................83
C.4 Aplicação do Método de Newton às Condições de KKT...........................................................85
C.5 Atualização de x
k
e µ................................................................................................................88
C.6 Algoritmo para resolução do problema de otimização via Primal-Dual de Pontos Interiores....89
C.7 Inicialização das Variáveis .........................................................................................................90
Anexo A: Dados do Sistema de 291 Barras...................................................................................92
A.1 Introdução...................................................................................................................................92
Anexo B: Representação Gráfica do Sistema Utilizado.............................................................108
B.1 Introdução.................................................................................................................................108
B.2 Sistema da Região Sul ..............................................................................................................108
B.3 Sistema da Copel ......................................................................................................................110
B.4 Sistema da Região de Curitiba..................................................................................................111
VII
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 Limites de Tensão Fornecidos pelo ONS.......................................................... 40
Tabela 4.2 Correntes nos Enrolamentos de AT de alguns Transformadores ...................... 41
Tabela 4.3 Resultados para Corte de 100% em Todas as Áreas.......................................... 43
Tabela 4.4 Circuitos cujos Limites foram Atingidos........................................................... 44
Tabela 4.5 Resultados para Corte de Carga utilizando Modelo AC.................................... 45
Tabela 4.6 Limites de Tensão Violados .............................................................................. 45
Tabela 4.7 Limites de Fluxos violados................................................................................ 48
Tabela 4.8 Limites de Corte de Carga................................................................................. 48
Tabela 4.9 Cortes de Carga para Simulação 1..................................................................... 50
Tabela 4.10 Cortes de Carga para Simulação 2................................................................... 52
Tabela 4.11 Limites de tensão Violados para Simulação 2................................................. 53
Tabela 4.12 Cortes de Carga para Simulação 3................................................................... 55
Tabela 4.13 Limites de Tensão Violados para Simulação 3................................................ 57
Tabela 4.14 Limites de Fluxo Violados para Simulação 3.................................................. 58
Tabela 4.15 Resultados de Corte em Estágios..................................................................... 59
Tabela 4.16 Desempenho do Preditor-Corretor X Puro ...................................................... 62
Tabela A.1 Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores..................................... 92
Tabela A.2 Dados das Barras de Carga ............................................................................. 101
Tabela A.3 Dados das Barras de Geração ......................................................................... 107
VIII
LISTA DE SIGLAS
ONS: Operador Nacional do Sistema
FPO: Fluxo de Potência Ótimo
FC: Fluxo de Carga
KKT: Karush Kuhn Tucker
ANEEL:Agência Nacional de Energia Elétrica.
COPEL :Companhia Paranaense de Energia
ANAREDE: Programa de Análise de Redes
AC: Fluxo de Potência Não Linear
CC: Fluxo de Potência Linear
FLUPOT: Programa de Fluxo de Potência Ótimo
CEPEL: Centro de Pesquisas de Energia Elétrica
DC: Fluxo de Carga Ótimo Linearizado
ELETROSUL: Centrais Elétricas do Sul do Brasil
IX
LISTA DE SÍMBOLOS
a relação das magnitudes das tensões dos transformadores (a ∈
∈∈
∈
( nl x 1)
)
amin limite mínimo de relação de magnitude de transformação (amin ∈
∈∈
∈
( nl x 1)
)
amax limite máximo de relação de magnitude de transformação (amax ∈
∈∈
∈
( nl x 1)
)
A matriz de incidência barra-linha (A ∈
(nb x nl)
)
Ag matriz de incidência gerador-barra (nb x ng).
CC Corte de Carga
Af matriz de incidência barra final-linha (Af ∈
(nb x nl)
)
At matriz de incidência barra final-linha (At ∈
(nb x nl)
)
b
s
capacitor shunt das linhas (b
s
∈
(nl x 1)
)
B parte imaginária de
Y
&
que representa matriz de susceptância de barra (B ∈
∈∈
∈
(nb x nb)
)
B matriz de fluxo de carga DC (nb x nb);
D vetor que indica a parte imaginária da tensão referente à barra de referência (d
∈
∈∈
∈
[2nb x 1]
)
e
vetor da parte real da tensão (e ∈
(nb x 1)
)
ec vetor (nc x 1) unitário
ep vetor (ng x 1) unitário
et vetor (nl x 1) unitário
f
vetor da parte imaginária da tensão (f ∈
(nb x 1)
)
km
g condutância série do elemento entre as barras k e m
G parte real da matriz
Y
&
que representa matriz de condutância de barra (G ∈
∈∈
∈
(nb x nb)
)
H matriz Hessiana do Lagrangeano (H ∈
( nz x nz)
))
if vetor com as barras iniciais das linhas do sistema de transmissão (if ∈
(nl x 1)
)
it vetor com as barras finais das linhas do sistema de transmissão (it ∈
(nl x 1)
)
z vetor das variáveis de otimização do sistema elétrico
M
i
matriz auxiliar para obtenção de soma ao quadrado das partes reais e imaginárias da tensão
na barra i (M
i
∈
∈∈
∈
(2nb x 2nb)
)
nc número de barras a serem cortadas
nb número de barras do sistema
nl número de linhas do sistema
ng número de geradores do sistema
N matriz de zeros (N ∈
∈∈
∈
(nb x nb)
)
X
ndes número de restrições de desigualdade
nig número de restrições de igualdade
nz número total de variáveis de otimização
Pg geração de potência ativa (Pg ∈
∈∈
∈
(nbx1)
)
Pd demanda de potência ativa (Pd ∈
∈∈
∈
(nbx1)
)
i
Pd demanda de potência ativa na barra i
Pgmin vetor de limites mínimos de geração potência ativa (Pgmin ∈
∈∈
∈
(nb x 1)
)
Pgmax vetor de limites máximos de geração potência ativa (Pgmax ∈
∈∈
∈
(nb x 1)
)
Qgmin vetor de limites mínimos de geração potência reativa (Qgmin ∈
∈∈
∈
(nb x 1)
)
Qgmax vetor de limites máximos de geração potência ativa (Qgmax ∈
∈∈
∈
(nb x 1)
)
P injeção de potência ativa (P∈
∈∈
∈
(nb x 1)
)
im
Pl
fluxo de potência ativa que percorrem elementos na direção i-m (
im
Pl
∈
(nl x 1)
)
Plmin limite mínimo de fluxo de potência ativo (Plmin ∈
∈∈
∈
(nl x 1)
)
Plmax limite máximo de fluxo de potência ativo (Plmax ∈
∈∈
∈
(nl x 1)
)
Q
injeção de potência reativa (Q∈
∈∈
∈
(nb x 1)
)
Qg geração de potência reativa (Qg ∈
(nb x 1)
) )
Qd demanda de potência reativa (Qd ∈
(nb x 1)
)
i
Qd demanda de potência reativa respectivamente na barra i
im
Ql
vetor de fluxos de potência reativa que percorrem elementos na direção i-m
RF relaxamento nos limites de fluxo
RT relaxamento nos limites de tensão
rl
im
resistência série do elemento entre as barras i e m
im
lS
&
vetor de fluxos de potência aparente que percorrem elementos na direção i-m (
im
lS
&
∈
(nl x 1)
)
t
ij
fluxo na linha entre barra i e j
t
max
vetor dimensão (nl x 1) com os limites máximas nas linhas
u vetor das variáveis de otimização do sistema elétrico
Ul matriz diagonal com valores unitários nas posições referentes às barras que se deseja
limitar os valores de tensão
U
m
matriz de incidência de dimensão (nb x nc)
tensão
U
vetor unitário de dimensão (nb x 1)
U
fluxo
vetor unitário de dimensão (nl x 1 )
XI
V
&
tensão fasorial (
V
&
∈
∈∈
∈
( nb x 1)
)
i
i
VV
,
limite inferior e superior da magnitude de tensão.
t
i
ve
i-ésima linha da matriz Γ
ΓΓ
Γ
e
t
i
vf
i-ésima linha da matriz Γ
ΓΓ
Γ
f
i
v
min
limite mínimo de tensão na barra i.
Vmin limites de tensão mínima ao quadrado(Vmin ∈
(nb x 1)
)
Vmax limites de tensão máxima ao quadrado (Vmax ∈
(nb x 1)
)
W matriz Hessiana do Lagrangeano (W ∈
( nz x nz)
)
w
cc
índice de ponderação do corte de carga
fluxo
w índice de ponderação para relaxamento dos fluxos
tensão
w índice de ponderação para relaxamento das magnitudes de tensão
x vetor de tensão que contêm as componentes real e imaginária da tensão (x ∈
(2 nb x 1)
)
xl
im
reatância série do elemento entre as barras i e m
im
z
&
impedância série do elemento entre as barras i e m
im
y
&
admitância série do elemento entre as barras i e m
Y
&
matriz de admitância de barra (
Y
&
∈
(nb x nb)
)
Z
&
matriz de impedância de barra (
Z
&
∈
(nb x nb)
)
ε
εε
ε tolerância para o teste de convergência
t
vetor contendo o custo dos cortes por barras ( α
αα
α ∈
(nc x 1)
)
Γ
ΓΓ
Γ matriz identidade (Γ
ΓΓ
Γ ∈
∈∈
∈
(nb x nb)
)
Γ
ΓΓ
Γ
e
matriz composta pela justaposição da matriz identidade Γ
ΓΓ
Γ e a matriz de zeros N (Γ
ΓΓ
Γ
e
∈
(2nb x 2nb)
)
Γ
ΓΓ
Γ
f
matriz composta pela justaposição de uma matriz de zeros N e da matriz identidade Γ
ΓΓ
Γ (Γ
ΓΓ
Γ
f
∈
(2nb x 2nb)
)
θ
θθ
θ vetor de ângulos das barras (nb posições)
i
α
αα
α
custo de cada megawatt de carga cortada especificado para a barra i
δ
δδ
δ
vetor dos ângulos de fase das tensões em todas as barrasdo sistema elétrico
λ
λλ
λ multiplicadores de Lagrange associados às restrições
ij
F
λ
λλ
λ
multiplicadores de Lagrange associados às equações
XII
ϕ
ϕϕ
ϕ vetor de otimização que limita os valores de tensão mínimos nas barras
min
ϕ
ϕϕ
ϕ
indica percentagem que se deseja alterar de cada
i
v
min
fluxo
ϕ
ϕϕ
ϕ
vetor de otimização que limita os valores de fluxos mínimos e máximos dos circuitos
selecionados pela matriz U
fluxo
∆
∆∆
∆Pd valores dos cortes de carga a serem minimizados
∆
∆∆
∆Pdmax valores dos cortes de carga a serem minimizados
µ
parâmetro barreira
* em subscrito, representa valor conjugado de um número complexo
• em subscrito, representa valor ótimo de uma função
módulo de número complexo
∞
norma infinita de vetor
diag(I) matriz quadrada cuja diagonal principal é o vetor I negrito variáveis em negrito indicam
que se trata de um vetor ou matriz variável com ponto indica que se trata de número complexo.
XIII
RESUMO
O principal objetivo da operação de um sistema elétrico de potência é o suprimento
do seu mercado de energia atendendo requisitos de qualidade, continuidade e economia
tanto para operação normal quanto para emergência. Para tanto, devem ser realizados
estudos prévios que orientem o operador do sistema quanto às medidas corretivas que
restabelecem os critérios operacionais exigidos pelo despachante do sistema quando
ocorre algum tipo de contingência. Algumas dessas medidas se referem ao alívio de carga.
Assim, pretende-se nesse trabalho fornecer uma metodologia que otimize os cortes
de carga onde o analista possa ter uma visão das áreas mais problemáticas do sistema,
limitá-los conforme a importância dos mesmos e, através do relaxamento dos limites
mínimos de tensão e fluxos de potência ativa nos transformadores, estabelecer diferentes
estágios para os cortes de carga. Ou seja, propõe-se que, se for admitido que alguns limites
sejam violados por apenas algumas horas, possa-se cortar menos carga do que seria
necessário se essas violações não fossem admitidas. Se a contingência cessar dentro desse
intervalo ter-se-ão se poupado cortes de carga desnecessários admitindo-se apenas
pequenas violações. Essa metodologia foi testada em um sistema de 291 barras que é o
equivalente em carga pesada da rede elétrica da Companhia Paranaense de Energia e que
contém toda a rede de 525 kV, 230 kV, 138 kV e 69 kV, além das barras de fronteira.
Palavras-Chave
: Corte de Carga, Fluxo de Potência Ótimo, Relaxação de Limites.
XIV
ABSTRACT
The main objective of an electrical power system operation is the supplement of
its energy market taking care quality, continuity and economy requisites as much for
normal operation as for emergency. However, previous studies must be realized to guide
the system operator into the corrective measures that reestablish the operational criteria
demanded by the system dispatcher when occurs some kind of contingency. Some of these
measures are referring to the load curtailment.
Thus, the present work presents a methodology that optimize the load shedding
where the analyst can have a vision of most problematic areas of the system, can limit
them as their importance and, making relaxation of the minimum voltage limits and the
maximum active power flows through the transformers, can establish different stages for
the load shedding. Or either, if we admit that some limits are violated by only some hours,
it can be cut fewer loads than it would be necessary if these violations were not
considered. If the contingency analyzed stop inside some hours, it will be avoided
unnecessary load shedding, admitting only small violations.
This methodology was tested using a 291-bus system that is an equivalent of the
Copel Region and that contains all network of 525 kV, 230 kV, 138 kV and 69 kV,
beyond the frontier buses.
Keywords
: Load Shedding, Optimal Power Flow, Limits Relaxation
CAPÍTULO 1
Introdução
1.1 Introdução
Um Sistema Elétrico de Potência (SEP) é operado de modo a atender às
necessidades de energia elétrica dos consumidores da maneira mais econômica possível,
dentro dos padrões compatíveis de qualidade, continuidade e segurança. Sendo assim, a
operação do sistema deve ser realizada de maneira contínua e adequada, sempre com o
menor número de interrupções e com a capacidade de manter níveis aceitáveis de tensão e
freqüência.
Para diversas indisponibilidades de circuitos de transmissão, transformadores ou
unidades geradoras, a área de planejamento da operação de curto prazo tem, entre outras, a
função de fornecer aos operadores do sistema, medidas corretivas usuais como
desligamentos de circuitos, abertura de barramentos, redistribuição de cargas e re-
despacho de unidades geradoras, as quais possam restabelecer os critérios operacionais
pré-estabelecidos pelas Concessionárias e pelo Operador Nacional do Sistema (ONS). No
entanto, quando as mesmas não são suficientes para retornar o sistema a essas condições
devem-se realizar cortes de carga.
Diferentes metodologias já foram propostas para a obtenção desses cortes. Entre
elas, salienta-se a de GRANVILLE, MELLO e MELLO (1996) que formularam um
problema para minimização dos cortes de carga resolvido pelo Método dos Pontos
Interiores.
No Brasil, os estudos de corte de carga são feitos normalmente através de
simulações em programas tradicionais de fluxo de potência e a escolha das cargas a serem
cortadas é feita pela experiência do analista que efetua o estudo. As cargas a serem
cortadas são escolhidas de modo a levar o sistema a uma condição normal de operação e
com o menor desabastecimento de consumidores possível. Esse tipo de estudo exige
2
tempo e está sujeito a imperfeições devido a complexidade e tamanho dos sistemas
elétricos atuais.
Além dessa metodologia, existe um pacote computacional desenvolvido no Brasil
cujo nome é FLUPOT (SOTO, 2000), o qual realiza esse tipo de estudo através de um
Fluxo de Potência Ótimo (FPO), que minimiza o custo de corte de carga de tal forma a
corrigir violações operativas como sobrecargas em circuitos e problemas de tensão. O
corte de carga pode ser especificado para todas as barras ou para um subconjunto de barras
da rede, e é feito de tal forma a preservar o fator de potência. No entanto, uma limitação
desse algoritmo é não restringir os cortes por barramento, ou seja, o mesmo não possibilita
que se estabeleçam limites máximos para os cortes nas subestações, o que pode levar a
saída de operação de cargas importantes à sociedade.
MIKILITA (2005) propôs um algoritmo utilizando um FPO que corta as cargas
individualmente por áreas pré-selecionadas e pré-priorizadas, dentro de limites pré-
estabelecidos de corte por subestação. Estes valores máximos para corte de carga são
obtidos de uma lista de prioridades que envolvem a experiência do operador e a natureza
das cargas. Além disso, esse algoritmo é capaz de fazer um diagnóstico das barras
problemáticas em termos de níveis mínimos de tensão violados. A função objetivo do
problema é a minimização do custo do corte de carga e as restrições são os limites
operacionais do sistema elétrico.
Considerando-se as limitações dos métodos disponíveis e a importância desse tipo
de estudo, esse trabalho se propõe a aprimorar o algoritmo computacional para corte de
carga desenvolvido por MIKILITA (2005), com a introdução de diferentes critérios de
otimização concomitantes ao corte de carga tais como, o relaxamento dos limites de tensão
e dos limites de carregamento de transformadores, possibilitando o estabelecimento de
estágios de corte.
As metodologias já propostas na literatura prevêem que os cortes sejam realizados
todos simultaneamente. No entanto, muitas contingências são restabelecidas rapidamente e
os cortes de carga realizados acabam por ser muito severos se todos os requisitos
operacionais forem seguidos criteriosamente. O que se propõe nesse trabalho é que, se for
admitido que alguns limites de tensão sejam violados, por exemplo, em apenas 3% e que
haja sobrecarga de 20% em alguns transformadores por apenas uma ou duas horas (ou
como estabelecido pelos Procedimentos de Rede do ONS), pode-se cortar menos carga do
3
que seria necessário, se essas violações de limites não fossem consideradas. Se a
contingência cessar dentro desse intervalo ter-se-ão poupados cortes de carga
desnecessários admitindo-se apenas pequenas violações. Caso contrário, efetiva-se o corte
de carga que teria sido proposto sem se considerar os relaxamentos. Em resumo, esse
trabalho propõe o estabelecimento de vários estágios de corte de carga, sempre com o
intuito de minimizá-los.
Para viabilizar esse esquema de cortes de carga por estágio, foram implementadas
alterações no Fluxo de Potência Ótimo desenvolvido por MIKILITA (2005), de tal forma
que, concomitantemente ao corte de carga, seja possível fazer um alívio ótimo das
restrições de tensão e de fluxo nos transformadores, obtendo-se novos limites mínimos de
tensão (restritos a 3% do mínimo estabelecido) e novos limites de fluxo em
transformadores (restritos a 20% do máximo estabelecido) que possibilitam menos cortes
de carga. Esse alívio de limites é obtido a partir da penalização quadrática de fatores que
permitam a alteração dos mesmos.
Nesse trabalho, foi desenvolvido ainda um FPO baseado nas equações de balanço
de potência ativa lineares, cuja função objetivo é também minimizar os cortes de carga. A
implementação desse FPO teve como objetivo pré-diagnosticar as linhas e
transformadores problemáticos em termos de níveis máximos de fluxo, ou seja, pré-
diagnosticar linhas e transformadores congestionados que provocam cortes de carga.
Como no modelo linear as tensões nas barras são consideradas como tendo 1 pu de tensão,
os cortes que porventura sejam necessários são devido a apenas congestionamento nas
linhas e transformadores. Outro objetivo dessa formulação de fluxo de potência linear
(CC), foi obter resultados comparativos com o modelo (AC) desenvolvido por MIKILITA
(2005).
1.2 Objetivos
Em síntese, os objetivos desse trabalho são:
(i) minimizar os cortes de carga e aprimorar o progresso através do
relaxamento de restrições;
(ii) estabelecer estágios de corte de carga;
(iii) formular o modelo de Fluxo de Potência Linear (CC);
4
(iv) verificar o desempenho do método Preditor-Corretor.
1.3 Estrutura da Dissertação
A dissertação está dividida em cinco capítulos, conforme descrição abaixo.
O Capítulo 2 apresenta a base teórica do FPO, os principais métodos existentes
para estudos de corte de carga e os principais métodos para estudos de relaxamento de
restrições. Neste capítulo é ainda apresentada a formulação genérica da versão Preditor-
Corretor do Método de Pontos Interiores versão Primal–Dual.
No capítulo 3 é apresentado o modelo do Fluxo de Potência Linear (CC)
implementado no trabalho, assim como a formulação do modelo (AC) proposto por
MIKILITA (2005), com a introdução de diferentes critérios de otimização; relaxamento de
restrições e estabelecimentos de estágio de corte de carga.
No capítulo 4, apresentam-se os resultados das simulações aplicadas a um sistema
de 291 barras.
Por último, no Capítulo 5 são apresentadas conclusões e propostas para pesquisas
futuras.
No Apêndice A é descrito a representação das equações de balanço de potência
ativa e reativa na forma retangular, pois a mesma é utilizada no trabalho. No Apêndice B é
apresentada a formulação de um problema de otimização genérico, resolvido pelo Método
de Pontos Interiores versão Primal–Dual Puro. No Apêndice C descreve-se a formulação
do Fluxo de Potência Linear com Corte de Carga resolvido pelo Método dos Pontos
Interiores via Primal-Dual. No Anexo A estão descritos os dados do Sistema de 291
barras e no Anexo B a representação gráfica desse sistema.
5
CAPÍTULO 2
Revisão Bibliográfica
2.1 Introdução
Este capítulo tem como objetivo descrever as principais metodologias para corte de
carga e relaxamento de restrições de tensão e carregamento em transformadores.
As metodologias para corte de carga estão voltadas tanto para estudos em regime
permanente quanto para estudos de estabilidade (MOSTAFA et. al, 1996). Para estudos
em regime permanente, existem duas abordagens: via Fluxo de Carga e via Fluxo de
Potência Ótimo. Como nesse trabalho se está interessado na aplicação em regime
permanente, se fará um breve histórico sobre estudos nessa linha.
A área de planejamento da operação de curto prazo tem, entre outras, a função de
fornecer aos operadores e despachantes do sistema subsídios para que os mesmos possam
operá-lo dentro dos limites dos equipamentos em regime normal e em emergência. Esses
estudos verificam o comportamento do sistema em estado permanente e avaliam se os
níveis de tensão nos barramentos do sistema e os fluxos de potência nas linhas de
transmissão e transformadores para uma determinada configuração do sistema e uma
determinada condição geração-carga atendem aos critérios estabelecidos pelas
concessionárias e pelo Operador Nacional do Sistema (ONS).
Assim, para diversas condições de carga e diversas indisponibilidades de circuitos
de transmissão, transformadores ou banco de transformadores, ou ainda,
indisponibilidades de unidades geradoras, buscam-se medidas corretivas, tais como: re-
despacho de unidades geradoras, remanejamento de carga, desligamentos de circuitos,
abertura de barramentos, chaveamentos de capacitores e/ou reatores e controle de tensão
via ajuste de taps dos transformadores, que levem o sistema a atender aos critérios pré-
estabelecidos. Contudo, elas podem não ser suficientes para retornar o sistema a
condições que satisfaçam as restrições operacionais mínimas, sendo necessário realizar
cortes de carga, os quais devem ser os mínimos possíveis.
6
No entanto, admitindo-se pequenas violações nos níveis de tensão e nos limites de
fluxo de potência ativa nas linhas e transformadores é possível se diminuir ou até mesmo
zerar os cortes de carga necessários, como descrito em (OLIVEIRA et. al, 2003); e ainda
diagnosticar barras problemáticas e causadores dos cortes de carga como feito em
(MIKILITA, 2005). Esses trabalhos serão aqui detalhados, pois os mesmos serão
utilizados posteriormente num enfoque que envolve o estabelecimento de estratégias de
corte, a ser descrito no Capítulo 3.
As vantagens da abordagem via Fluxo de Potência Ótimo solucionado através do
Método dos Pontos Interiores versão Primal-Dual levaram à utilização da mesma nesse
trabalho. A fim de se aprimorar a direção de busca e acelerar a convergência do processo,
existe uma versão intitulada Preditor–Corretor e modelada em (MEHROTRA, 1992),
cujos resultados são bastantes satisfatórios. Esta formulação foi utilizada com sucesso em
(FERNANDES, 2004) e por isso foi utilizada nesse trabalho, cabendo assim, uma breve
descrição da mesma.
2.2 Abordagens Via Fluxo de Carga
O objetivo do cálculo de fluxo de carga é determinar o estado da rede elétrica
(tensão, ângulo de todas as barras da rede e os taps dos transformadores), e tendo os
valores de tensão e ângulo, as demais variáveis são calculadas.
O modelo do fluxo de carga é formulado através de um sistema de equações e
inequações algébricas não lineares. O cálculo do fluxo de carga é, em geral, realizado
utilizando métodos computacionais desenvolvidos especificamente para a resolução desses
sistemas de equações algébricas que constituem o modelo da rede. Existem diferentes
metodologias para a resolução de problemas de convergência de casos de fluxo de
potência. Todas buscam a determinação de um ponto de operação viável para o sistema
elétrico. Algumas proposições têm a finalidade de aumentar a robustez do método de
Newton-Raphson para a solução do fluxo de potência convencional. Essas metodologias,
baseadas em fluxo de carga com amortecimento, fornecem apenas uma solução viável
para as equações do fluxo de carga, sendo que o ponto de operação obtido pode estar
muito longe da especificação inicial. Dentre essas metodologias podem-se citar as
propostas abordadas por SASSON et al. (1971), IWAMOTO e TAMURA (1981),
7
SCUDDER (1981), DEHNEL e DOMMEL (1989), CASTRO e BRAZ (1997) e DUARTE
et al. (2000). Todos os algoritmos mencionados fornecem uma solução para o problema,
porém os resultados obtidos são bastante distintos entre si e não são soluções operacionais.
2.3 Abordagens para Fluxo de Potência Ótimo
Em termos de estudos em regime permanente, dentre as muitas aplicações do FPO,
destaca-se também a minimização do custo de corte de carga para eliminação de violações
operativas.
O objetivo da resolução de um FPO em um sistema de potência é definir um
conjunto de ações de controle que eliminem as violações operativas do sistema, tais como
violações no perfil de tensão de barras do sistema, violações no carregamento dos
circuitos, desbalanços entre carga e geração, dentre outras. Entre as ações de controle
realizadas pelo FPO, pode-se citar a atuação sobre a injeção de potência ativa e reativa dos
geradores, modificações nos taps dos transformadores e desligamentos forçados de cargas
do sistema. Dessa maneira, o FPO é uma ferramenta computacional muito importante na
análise de planejamento e operação de sistemas elétricos de potência.
O cálculo do fluxo de potência em uma rede de energia elétrica consiste
essencialmente na determinação do estado da rede e da distribuição de seus fluxos. A
função objetivo do FPO representa o aspecto que se deseja otimizar e sua formulação vai
depender do objetivo de estudo, por exemplo: minimização do custo de geração de energia
que reflete a operação econômica da rede; minimização de perdas ativas da transmissão;
minimização do corte de carga; mínimo desvio de uma solução pré-especificada; mínima
ação de controle; despacho de potência reativa; entre outros. As restrições a serem
satisfeitas pelo problema de FPO podem ser restrições de igualdade ou de desigualdade.
As restrições de igualdade são representadas pelas equações não lineares do fluxo
de potência correspondentes ao balanço de potência em cada nó da rede.
As restrições de desigualdade são as limitações impostas a uma variável:
- restrições físicas: limites de geração de potência ativa e reativa, limites nos
valores dos taps dos transformadores, limites de transmissão de potência ativa e
reativa nas linhas, etc.
- restrições operacionais: limites das magnitudes das tensões nas barras.
8
Assim, o objetivo do FPO é dar uma orientação ao operador ou analista do sistema
de potência de como determinados controles devem ser ajustados de modo que os centros
de geração, de consumo e os equipamentos que participam da transmissão estejam dentro
de suas capacidades estabelecidas.
Diferentemente de um problema clássico de Fluxo de Potência, que necessita da
especificação de algumas variáveis tais como: magnitudes de tensão e potência ativa
gerada nas barras de geração (barras PV), o FPO trata estas variáveis como passíveis de
ajustes. Para tanto, ele é apresentado como um problema de otimização, onde se procura
maximizar ou minimizar um índice de desempenho, atendendo simultaneamente a um
conjunto de restrições de igualdade e desigualdade.
Uma referência para este problema é o trabalho de CARPENTIER (1962), onde
formalmente foi apresentado um problema para minimizar custo de produção de energia,
considerando as equações de balanço de potência ativa e reativa como restrições de
igualdade e as limitações físicas dos equipamentos como restrições de desigualdade. Esta
formulação serve como um ponto de partida para os estudos posteriores, estabelecendo o
FPO como um problema que envolve três elementos básicos: as variáveis, as restrições e a
função objetivo.
O trabalho de HAPP (1977) apresenta uma revisão sobre o progresso inicial dado
aos problemas de despacho econômico e FPO, apresentando conceitos básicos sobre a
formulação dos mesmos, interpretação de custo incremental, fator de perdas e operação
multi-áreas. Nesse trabalho podem-se identificar alguns artigos que foram marcos na
evolução do FPO, como por exemplo: o de CARPENTIER (1962), já mencionado, e que
foi o primeiro a formular o problema em termos de programação não-linear, incluindo
limites de tensão, e o trabalho de DOMMEL e TINNEY (1968) que apresenta um método
iterativo que se baseia na direção do vetor gradiente reduzido, ou seja, determinam-se
ajustes nas variáveis de controle usando a direção definida pelo gradiente reduzido e, em
seguida, as variáveis dependentes são calculadas através da solução das equações do fluxo
de carga pelo Método de Newton-Raphson.
Revisões bibliográficas mais recentes também foram publicadas, tais como:
VARGAS, QUINTANA e VANELLI (1993), MOMOH, EL-HAWARY e ADAPA
(1999), QUINTANA, TORRES e PALOMO (2000), entre outras.
9
O Problema do Mínimo Corte de Carga é um caso particular de FPO, onde se
calcula uma solução real para as equações de fluxo de carga, e também uma solução
factível do ponto de vista operacional. Como são incluídas restrições operativas, não há
violação de limites operacionais do sistema nem superação de limites de equipamentos.
Diferentes metodologias foram propostas para a solução do problema, entre elas:
- HADJU et. al (1968) desenvolveram um algoritmo para minimizar o corte de
carga baseado no Método de Newton-Raphson e no Teorema de Kuhn-Tucker.
Primeiramente uma política de corte é obtida definindo-se as prioridades, depois é
feita a minimização do corte em cada barra.
- SUBRAMANIAN (1971) propôs uma abordagem baseada em sensibilidade para
resolver problemas de corte de carga. Um critério de importância foi usado para atribuir
diferentes prioridades às cargas e assim limitar o corte total. Porém o método omite os
limites operacionais e dos equipamentos.
- CHAN e SCHWEPPE (1979) propuseram um método que re-despacha geradores
além de cortar carga. A formulação penaliza tanto o corte de carga quanto desvios no
despacho das gerações. O problema não-linear de otimização foi linearizado e resolvido
usando-se um algoritmo de programação linear.
- MOSTAFA et. al (1996) formularam um FPO cujo esquema de corte de carga
está baseado na minimização da diferença entre a soma das gerações e a soma das
carga conectadas.
- GRANVILLE, MELLO e MELLO (1996) formularam um problema de
minimização dos cortes de carga, mantendo o fator de potência constante,
resolvendo-o pelo Método dos Pontos Interiores. No processo de cálculo, controles
como LTC dos transformadores e re-despacho de potência ativa podem ser
otimizados de forma a minimizar o corte de carga.
- BARBOZA e SALGADO (2001) propuseram um esquema de corte de carga
onde a minimização desses cortes é feita através da minimização de uma variável
γ
que
multiplica as direções de minimização
∆
Pd e
∆
Qd por barra. Assim, o valor de corte de
potência ativa e reativa para cada barra i vem a ser o valor
γ
.
∆
Pd
i
e
γ
.
∆
Qd
i
. O problema de
minimização também é resolvido pelo Método dos Pontos Interiores.
10
AFFONSO et. al (2003) utilizaram o corte de carga como última alternativa para
recuperar a margem de estabilidade de tensão depois que o re-despacho de potência ativa
e reativa não conseguem elevar a margem de estabilidade que basicamente estabelece o
quão longe o sistema se encontra do ponto de colapso de tensão.
No Brasil, os estudos de planejamento da operação de sistemas elétricos de
potência envolvendo corte de carga para situações de emergência são normalmente
realizados pelas empresas concessionárias de energia de maneira manual, ou seja,
utilizando-se ferramentas tradicionais de estudos de fluxos de potência e baseando-se na
experiência dos analistas que realizam os estudos, através da retirada de cargas num
esquema de tentativas até se obter o corte de carga ideal. Além desse mecanismo de
atuação, existe um pacote computacional FLUPOT (SOTO, 2000), que realiza esse tipo de
estudo utilizando um FPO para realização da minimização do custo de corte de carga. No
entanto, o algoritmo não é seletivo nos cortes, pois não é possível fixar limites máximos
dos mesmos nas barras candidatas a serem limitadas. Neste caso, cargas importantes
podem ser cortadas além de seu limite permitido.
Muitas subestações alimentam, além de cargas residenciais e comerciais, hospitais
ou cargas industriais muito importantes, cujo desabastecimento pode gerar prejuízos à
população e às linhas de produção. Assim, torna-se importante que parte das cargas em
uma mesma barra possam ser cortadas enquanto que em outras não. Essa questão está
atendida em MIKILITA (2005).
Dentre as formulações citadas, será dada ênfase aos trabalhos propostos por
GRANVILLE, MELLO e MELLO (1996) e MIKILITA (2005).
2.3.1 O Método Proposto por GRANVILLE, MELLO e MELLO (1996)
Este método foi implementado no programa FLUPOT do CEPEL e consiste na
minimização da seguinte função objetivo, de tal forma a corrigir violações operativas:
ii
Pd
i
c
Ii
CC
⋅⋅
∑
∈
=
min
(2.1)
..
as
0)()1(
=
−
θ
−
u
idi
PP
i
(2.2)
11
0)()1(
=
−
θ
−
u
idi
QQ
i
(2.3)
max
min
uuu
≤≤
(2.4)
onde
c
I : conjunto de barras especificadas como candidatas a corte;
i
: o custo de cada megawatt de carga cortada, especificado para a barra i;
i
Pd e
i
Qd : demandas de potências ativa e reativa, respectivamente, na barra i;
)(
u
i
P e )(
u
i
Q : equações de balanço de potência ativa e reativa, respectivamente, na barra
i;
i
: fração da carga a ser cortada em cada barra i;
u
: vetor das variáveis de otimização do sistema elétrico
u
= [Pg
T
;
V : vetor das magnitudes das tensões em todas as barras do sistema elétrico;
ângulos de fase das tensões em todas as barras do sistema com exceção da
barra de referência angular;
a : vetor dos taps dos tranformadores com comutação sob carga.
As duas primeiras restrições (2.2) e (2.3) são as restrições de igualdade que
representam as equações do balanço de potências ativa e reativa, respectivamente, na barra
i. A terceira restrição (2.4) representa os limites nas variáveis, ou seja, os limites
operacionais do sistema elétrico.
O conjunto de barras candidatas a corte (
c
I ) pode ser especificado como um
subconjunto de barras ou todas as barras da rede. O corte de carga
θ
pode ser calculado
para um conjunto especificado de barras ou para todas as barras da rede. O custo do corte
de carga
i
pode ser diferenciado por barra ou para um subconjunto de barras, porém, não
estão incluídos limites de cortes por barras ou por áreas do sistema nas restrições de
desigualdade.
O sistema formado pelas equações 2.1 a 2.4 é resolvido pelo Método de Pontos
Interiores versão Primal-Dual.
2.3.2 O Método Proposto por MIKILITA (2005)
Essa metodologia foi proposta com os seguintes objetivos: (i) pré-diagnosticar um
FPO divergente através da verificação de quais barras provocam a não convergência
12
devido a limites mínimos não atingidos; e, (ii) minimizar o corte de carga para casos de
FPO divergentes onde as medidas corretivas usuais já foram implementadas sem êxito.
Basicamente, quando se tem geração de potência suficiente, os fatores que levam à
divergência de um FPO são as impossibilidades de se atender níveis mínimos de tensão
nas barras e níveis máximos de carregamento nas linhas de transmissão e transformadores.
Para condições de emergências onde as medidas corretivas usuais já foram implementadas
sem que se consiga aliviar os carregamentos nas linhas e subtensões nas barras
problemáticas, é possível se fazer um pré-diagnóstico das causas de divergência referentes
aos limites de tensão, antes de se executar o alívio de carga propriamente dito. Assim, a
primeira função objetivo proposta por MIKILITA (2005) permite a obtenção de quais são
os limites mínimos de tensão violados.
Em seguida, com a informação de quais barras são problemáticas, pode-se utilizar
essa informação na seleção das áreas prioritárias cuja carga deve participar do processo de
corte de carga, restringindo, assim, o universo de busca e o esforço computacional.
A formulação matemática utilizada no problema para a representação complexa
das tensões nas barras é a forma retangular. Assim, a modelagem das equações de balanço
de potência ativa e reativa e do ângulo de referência para esta representação retangular
estão mostradas no Apêndice A.
Para que se processe o FPO cuja função objetivo é a minimização do corte de
carga, é preciso considerar o seguinte critério de otimização:
⋅=
t
CCmin
(2.5)
onde
t
: vetor de dimensão nc (número de barras a serem cortadas) contendo o custo dos
cortes por barras e
∆
∆∆
∆
Pd
é um vetor de dimensão (nc x 1) com os valores dos cortes a
serem minimizados.
As barras a serem cortadas estão armazenadas no vetor
Ic,
de dimensão (nc x 1).
Para que a variável
∆
Pd
possa modificar os valores de carga, esta é introduzida nas
equações de balanço de potência ativa e reativa, as quais podem ser compactamente
representadas por:
)a,x(P)(PdPg
=
−
(2.6)
13
)a,x(Q)
(QdQg
=
−
(2.7)
onde
x
: vetor de dimensão ( 2 nb x 1) que contêm as componentes real e imaginária do fasor
tensão na forma retangular ( Anexo A);
a
: vetor de dimensão (nl x 1) com os taps dos transformadores;
PdUPd)
(Pd
∆−=
m
0
(2.8)
QdUQd
Qd
∆−=
m
0
)( (2.9)
sendo
Pd
0
,
Qd
0
os valores iniciais das cargas,
∆
∆∆
∆
Pd
são os cortes minimizados e
U
m
é
uma matriz de incidência de dimensão (nb x nc), formada do seguinte modo:
][U
ijm
Um
=
onde
contráriocaso
jIcise
Um
ij
)(
,0
,1
=
=
(2.10)
O corte de potência reativa
∆
∆∆
∆
Qd
é feito de tal modo a se manter o fator de potência
da carga original, ou seja:
fptgQd
⋅
⋅
=
∆
)]}(cos[{ arcdiag (2.11)
onde
fp
: vetor de dimensão (nc x 1) dos fatores de potência da carga original.
As barras a serem cortadas podem ser agrupadas por áreas geográficas. Além da
priorização dos cortes através do vetor
α
αα
α
(custos dos cortes por barra), pode haver uma
segunda priorização das áreas que devem ser cortadas em detrimento de outras. Para se
modelar essa priorização, utiliza-se a matriz identidade
Uprior
de dimensão (nc x nc).
Porém, nas posições referentes às barras de uma mesma área, ao invés de valores
unitários, colocam-se pesos, de modo que quanto maiores os pesos relativos às barras de
uma determinada área, menores as chances das barras dessa área serem cortadas e quanto
menores os pesos, maiores as chances das barras dessa área serem cortadas.
Para se modelar essa segunda priorização, a função objetivo passa a ser:
Uprior
⋅⋅=
t
CCmin
(2.12)
14
As restrições de igualdade, para esse critério de otimização, são as equações de
balanço de potência ativa e reativa descritas nas equações (A.12) e (A.13) e o ângulo de
referência zero (equação (A.18)).
As restrições de desigualdade envolvem as limitações físicas e operacionais do
sistema como enumeradas a seguir.
a) Limites de geração
As potências ativas e reativas geradas devem estar dentro dos limites dos
geradores.
maxmin PgPgPg
≤
≤
(2.13)
maxmin QgQgQg
≤
≤
(2.14)
onde
min
Pg
e max
Pg
: vetores de dimensão (nb
×
1) contendo os limites mínimos e máximos
de geração de potência ativa, respectivamente;
min
Qg
e max
Qg
:vetores de dimensão (nb
×
1) contendo os limites mínimos e máximos
de geração de potência reativa.
b) Limites das Magnitudes de Tensão
Como não se trabalha com o fasor de tensão na forma polar, mas na retangular, é
preciso que se faça uma adequada representação dos módulos de tensão ao quadrado,
como se segue.
Para uma determinada barra i, o módulo ao quadrado da tensão é:
22
2
)()(
iii
feV
+=
&
(2.15)
Para que a equação (2.15) possa ser generalizada em função do vetor
x,
realizam-se
as seguintes operações:
i
T
i
e
=⋅
xve
(2.16)
onde
T
i
ve
: i-ésima linha da matriz
Γ
ΓΓ
Γ
e
(equação (A.7) no Apêndice (A)).
15
Portanto,
2
)()()()()(
i
T
ii
TT
i
TT
i
e
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
xvevexxvexve
(2.17)
Além disso,
i
T
i
f
=⋅
xvf
(2.18)
onde
T
i
vf
: i-ésima linha da matriz
Γ
ΓΓ
Γ
f
(equação (A.8) no Apêndice (A)).
Portanto,
2
)()()()()(
i
T
ii
TT
i
TT
i
f
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
xvfvfxxvfxvf
(2.19)
Somando as equações (2.16) e (2.17), tem-se
xMxxvfvfvevex
⋅⋅=⋅+⋅⋅
i
TT
ii
T
ii
T
)( (2.20)
onde
T
ii
T
iii
vfvfveveM
⋅+⋅=
: matriz auxiliar de dimensão (2nb
×
2nb), usada para obtenção
da soma ao quadrado das partes reais e imaginárias de cada componente de tensão na barra
i.
Para todas as barras tem-se, então:
xxVx
Mx
Mx
⋅=⋅
⋅
⋅
=
)(
V
V
nb
T
1
T
2
nb
2
1
Μ
&
Μ
&
(2.21)
onde
x
Mx
Mx
xV
⋅
⋅
⋅
=
nb
T
1
T
)(
Μ
: função matricial de dimensão (nb
×
2nb).
Portanto, a restrição que indica os limites na magnitude de tensão na barra i pode
ser escrita como:
maxmin
ii
T
i
VV
≤⋅⋅≤
xMx
(2.22)
16
onde min
i
V e max
i
V correspondem aos valores mínimo e máximo das magnitude de
tensão permitidos na barra i elevados ao quadrado. São vetores de dimensão (nb
×
1)
contendo os limites de magnitudes de tensão.
c) Limites de Taps de Transformadores
Os limites operacionais de
a
são:
max aamin a
≤
≤
(2.23)
onde
min a
e
max a
: vetores de dimensão (nl
×
1) contendo os limites mínimos e máximos das
relações de transformação das magnitudes das tensões, respectivamente.
A relação de transformação
a
afeta os elementos da matriz
Y
&
, bem como todas as
matrizes formadas a partir da mesma, ou seja,
G
e
B
. Tendo em vista que as equações de
balanço e potência ativa e reativa (equações (A.12) e (A.13)), as quais estão representadas
no Apêndice A, estão em função das matrizes
G
e
B
, pode-se então representá-las como:
)a,x(PPdPg
=
−
(2.24)
)a,x(QQdQg
=
−
(2.25)
d) Limites de Fluxos nas Linhas
Em (FERNANDES, 2004) está apresentada a expressão matricial genérica para o
vetor de fluxos de potência ativa circulando pelas linhas e transformadores:
]}VAt))tdiag()(Aft)diag(l . Y)[diag(VAfreal{diag(Pl
*T**T
im
&
&&
&&
−⋅⋅=
(2.26)
onde
im
Pl
: fluxo de potência ativa na linha im e na direção de i para m.
A equação (2.26) deve ser colocada em função do vetor
x,
assim utilizando-se das
equações (A.7) e (A.8), mostradas no Apêndice (A), tem-se que:
xxV
xfe
⋅=⋅+=
&&
)( j
(2.27)
Substituindo a equação (2.27) em (2.26) tem-se:
}]))()(()()[({
***
xAttAftlYxAfPl
xx
⋅⋅−⋅⋅⋅=
&
&&
&&
TT
im
diagdiagdiagdiagreal
(2.28)
ou,
17
),( axPlPl
imim
=
(2.29)
Os limites de fluxos de potência ativos circulantes pelas linhas de transmissão são:
maxPl)a,x(Pl
≤
im
(2.30)
onde
maxPl : vetor de dimensão (nl
×
1), contendo o limite máximo de fluxo de potência ativa.
Além das restrições de desigualdades descritas nas equações (2.13), (2.14), (2.22),
(2.23) e (2.30), têm-se ainda os limites dos cortes nas cargas:
≤
(2.31)
onde
max : vetor de dimensão (nc
×
1) contendo os limites máximos dos cortes por barra.
Tomando o critério de otimização e as restrições descritas anteriormente, o modelo
FPO para minimização do corte de carga pode ser expresso da seguinte forma:
)32.2(min Uprior
⋅⋅=
t
CC
s. a
),( axPPdPg
=
−
(2.33)
),(
axQQdQg
=
−
(2.34)
0xd =⋅
T
(2.35)
PgmaxPgPgmin
≤
≤
(2.36)
QgmaxQgQgmin
≤
≤
(2.37)
nbiVV
ii
T
i
,...,1maxmin =≤⋅⋅≤ xMx
(2.38)
amaxaamin
≤
≤
(2.39)
PlmaxPlPlmin
≤
≤
(2.40)
≤
(2.41)
18
2.4 Relaxamento de Restrições
O Fluxo de Potência Ótimo, como já foi citado, é uma ferramenta importante para
analisar as condições operacionais do sistema de potência, dado uma função objetivo e um
conjunto de restrições. Em algumas ocasiões o sistema não converge ou a solução tende a
oscilar porque os componentes da transmissão estão com sobrecarga.
Então, para que o algoritmo retorne à solução, existe uma técnica baseada no
relaxamento dos limites das restrições, ou seja, no relaxamento dos limites de fluxo de
potência ativa e dos limites de tensão. Essa técnica de relaxamento baseia-se no fato de
que os limites de operação do sistema de transmissão e magnitude das tensões não são
estritamente rígidos e portanto, podem ser relaxados.
A vantagem desta técnica sobre a técnica tradicional de corte de carga é que o risco
de operação com o mínimo percentual de limites ultrapassados, sem fazer qualquer corte
de carga, pode ser avaliado.
A seguir, serão apresentadas as principais metodologias existentes para
relaxamento de restrições em problemas de FPO.
2.4.1 O Método Proposto por OLIVEIRA et al. (2003)
Esta metodologia é utilizada para retornar o algoritmo à solução, em situações
onde ocorram problemas de convergência . A técnica proposta é baseada no relaxamento
dos limites de fluxo de potência ativa e dos limites de tensão. Para cada restrição ativa um
custo é associado à nova variável de relaxamento, a qual é incluída na função objetivo do
problema FPO. Isto significa que a convergência é alcançada através do mínimo alívio da
capacidade do circuito ou do limite de tensão. Os coeficientes de Lagrange, que estão
associados ao ponto de operação com carga pesada, são explorados para indicar o melhor
local para reforço do sistema.
Através da técnica de corte de carga a solução do problema de FPO é encontrada
movendo-se o ponto de operação do sistema para a fronteira da região viável. Nesta nova
condição de operação do sistema, os multiplicadores de Lagrange não refletem a condição
19
de operação desejada. Adicionalmente, se o ponto de operação desejado estiver longe da
fronteira da região viável, então a técnica do mínimo corte de carga poderá não convergir.
Para incorporar o modelo proposto, uma nova variável de relaxamento e uma nova
equação de restrição são introduzidas no problema de FPO. Adicionalmente, um custo de
relaxamento é associado a esta nova variável na função objetivo.
2.4.1.2 Relaxamento da Capacidade de Transmissão
O problema de Fluxo de Potência Ótimo pode ser formulado como:
)(
XfMin
(2.42)
..
as
0)(
=
Xh (2.43)
uXl
≤
≤
(2.44)
onde
X : vetor das variáveis de otimização, tais como, magnitude das tensões, ângulos de fase,
despacho de potência ativa e reativa, taps de transformadores, compensação série, etc.;
f(X) : função objetivo representa o mínimo corte de carga;
h(X): restrições de igualdade que incluem equações de balanço de potência ativa e reativa;
l e u : limites inferiores e superiores de X.
As restrições funcionais associadas com os limites de transmissão são dadas pela
inequação:
ijij
PP
≤
(2.45)
onde
j
i
P : fluxo de potência ativa (MW) no circuito conectado entre as barras i e j, considerando
positivo de i para j;
ij
P
: limite do fluxo de potência ativa no circuito i-j.
A restrição (2.45) pode ser reescrita como:
0
=
−
j
i
j
i
PY (2.46)
Sendo
j
i
Y uma variável de folga com limites dados por:
20
ijij
PY
≤≤
0 (2.47)
Um novo procedimento é incorporado ao modelo acima para permitir que o
algoritmo retorne à solução sempre que uma restrição de fluxo de potência estiver ativa.
Neste modelo, durante o processo iterativo, se uma restrição de circuito tornar-se ativa
então a capacidade do circuito correspondente pode ser relaxada através da introdução de
uma nova variável
j
i
RLX na equação (2.46), como mostrado na equação (2.48):
0
=
−
+
j
i
j
i
j
i
PRLXY (2.48)
Para evitar um excesso de relaxamento em um dado circuito, é necessário o usuário
impor limites rígidos para
j
i
RLX , por exemplo:
ijij
PRLX 1,00
⋅≤≤
(2.49)
Para garantir que o relaxamento ocorra somente em um pequeno número de
circuitos ou em nenhum deles, é necessário associar um alto custo para a variável
j
i
RLX ,
o qual é incorporado à função objetivo, equação (2.42), conduzindo à equação:
ijij
RLXXfMin C )(
⋅
+
(2.50)
onde
j
i
C : valor do custo de relaxamento do circuito i-j, definido pelo usuário.
Então, o problema pode ser reescrito como:
ijij
RLXXfMin C )(
⋅
+
(2.51)
..
as
0)(
=
Xh )(
λ
(2.52)
0
=
−
+
ijijij
PRLXY )(
ij
F
λ
(2.53)
ijij
PRLX 1,00
⋅≤≤
(2.54)
ijij
PY
≤≤
0 (2.55)
uXl
≤
≤
(2.56)
onde
λ
: multiplicadores de Lagrange associados às restrições (2.52);
ij
F
λ
: multiplicadores de Lagrange associados às equações (2.53).
21
2.4.1.3 Relaxamento dos Limites de Tensão
As restrições de limites de tensão podem ser expressas como:
ii
i
VVV
≤≤
(2.57)
onde
V
i
: magnitude de tensão na barra i;
ii
VV , : limite inferior e superior da magnitude de tensão.
Se em uma dada iteração o limite superior de restrição de tensão da barra i estiver
ativo, então a técnica de relaxamento proposta consiste em três passos:
(i) O limite superior é estendido para um dado valor limite,
/
i
V , de tal forma que a
restrição de tensão permaneça inativa, como mostrado na equação (2.58).
/
i
i
VV
≤
(2.58)
(ii) Uma nova equação com uma variável de folga
i
Yu é introduzida no problema
de FPO, a fim de garantir a inviolabilidade do limite superior de tensão
i
V , equações
(2.59) e (2.60).
0
=
−
ii
VYu (2.59)
i
i
VYu
≤≤
0 (2.60)
(iii) A equação (2.59) é substituída por (2.61) de maneira similar à equação (2.58).
0
=
−
+
iii
VRLXVYu (2.61)
Onde a variável de relaxamento de tensão,
i
RLXV , deve permanecer dentro de
limites restritos, como por exemplo:
i
i
RLXV V 04,00
⋅≤≤
(2.62)
E agora, o problema de FPO (2.51) pode ser reescrito como:
iiijij
RLXVCRLXXfMin C )(
⋅
+
⋅
+
(2.63)
..
as
22
0)(
=
Xh )(
λ
(2.64)
0
=
−
+
ijijij
PRLXY )(
ij
F
λ
(2.65)
0
=
−
+
iii
VRLXVYu (2.66)
ijij
PRLX 1,00
⋅≤≤
(2.67)
ii
VRLXV 04,00
⋅≤≤
(2.68)
ijij
PY
≤≤
0
(2.69)
ii
VYu
≤≤
0 (2.70)
uXl
≤
≤
(2.71)
onde
i
C : valor do custo de relaxamento do limite de tensão na barra i, definido pelo usuário.
Os componentes de custo da função objetivo mostrados em (2.63) são definidos
pelo usuário de maneira que o corte de carga seja evitado. Isto significa que f(X) deve ter o
componente de mais alto custo da função objetivo (2.63). Procedimento similar é adotado
para tratamento da violação do limite inferior de tensão.
A metodologia adotada aqui para a solução de (2.63) baseia-se na técnica de
pontos interiores associada à teoria primal-dual para atualização do parâmetro barreira.
2.4.2 O Método Proposto por MIKILITA (2005)
Semelhantemente ao que foi proposto em OLIVEIRA et al. (2003), MIKILITA
(2005) propõe um relaxamento nas restrições de tensão sem o processamento do corte de
carga a fim de se identificar os níveis mínimos de tensão violados os quais não permitem a
convergência do FPO e requerem o corte de carga.
Assim, antes de se processar o corte de carga, primeiramente, obtêm-se quais os
limites mínimos de tensão que impedem a convergência do FPO. Para tanto, faz-se uma
parametrização das restrições de tensão obtendo-se novos limites mínimos que
possibilitem a solução do mesmo. Essa função objetivo é modelada a partir da penalização
quadrática do vetor
ϕ
que possibilita a alteração dos limites mínimos nas barras (Vmin):
min Ul
t
(
ϕ
ϕϕ
ϕ
-U)
2
(2.72)
23
s. a nbi
i
,...,110
=
≤
ϕ
≤
(2.73)
nbiVv
iii
,...,min 1=≤⋅ϕ
&
(2.74)
onde
U é um vetor unitário de dimensão (nb x 1 );
ϕ
é uma variável de otimização que limita os valores de tensão mínimos nas barras
selecionadas pelo vetor Ul, que
é um vetor de dimensão (nb x 1) com valores unitários nas
posições referentes às barras que se deseja restringir os valores de tensão, sendo os demais
elementos nulos.
i
V
&
: magnitude tensão na barra i;
i
vmin : limite mínimo de tensão na barra i.
Cada componente do vetor
ϕ
está restrito aos valores de 1 a 0, ou seja, o valor
máximo 1 (valor ideal) implica em não alterações dos limites de tensão e o valor mínimo 0
implica em uma restrição de não negatividade aos valores de
i
vmin .
Para as posições j do vetor
ϕ
que se referem às barras cujos limites não são
selecionados para a parametrização, assume-se que
ϕ
j
= 1.
Como se utiliza a representação retangular para o fasor tensão, os limites mínimos
de tensão são representados da seguinte maneira:
maxmin
ii
T
ii
VV ≤⋅⋅≤⋅ xMx
ϕ
(2.75)
Os resultados da minimização dessa função objetivo permitem que se conheça a
priori, quais barras são problemáticas, ou seja, quais as barras do sistema que não
suportam os limites impostos pela operação e que não permitem a convergência do FPO.
De posse dessas barras, podem-se antever quais as regiões que serão cortadas ao se
minimizar a função de corte de carga (a ser formulada) e até mesmo avaliar a alternativa
de se manter ou não limites mínimos rígidos em barras radiais pela contrapartida de se
poder evitar cortes de carga.
As restrições de igualdade são as equações de balanço de potência ativa e reativa
modeladas como nas equações (A.12) e (A.13) e compactamente representadas por:
)x(PPdPg
=
−
(2.76)
)x(QQdQg
=
−
(2.77)
24
e o ângulo de referência zero (equação (A.18)).
As restrições de desigualdades são as já descritas em (2.13), (2.14), (2.23), (2.30),
(2.73) e (2.75).
Tomando o critério de otimização e as restrições descritas anteriormente, o Modelo
de FPO com relaxamento das restrições de tensão é expresso da seguinte forma:
min Ul
t
(
ϕ
ϕϕ
ϕ
-U)
2
(2.78)
s. a
)a,x(PPdPg
=
−
(2.79)
)a,x(QQdQg
=
−
(2.80)
0xd =⋅
T
(2.81)
PgmaxPgPgmin
≤
≤
(2.82)
QgmaxQgQgmin
≤
≤
(2.83)
nbiVV
ii
T
ii
,...,maxxMxmin 1=≤⋅⋅≤⋅ϕ
(2.84)
nbi
i
,...,110
=
≤
ϕ
≤
(2.85)
amaxaamin
≤
≤
(2.86)
PlmaxPlPlmin
≤
≤
(2.87)
2.5 Métodos Via Pontos Interiores
Os Fluxos de Potência Ótimo descritos anteriormente foram resolvidos pelo
Método dos Pontos Interiores. Inicialmente, essa classe de algoritmos foi indicada para
problemas de programação linear. No entanto, devido ao seu bom desempenho, este
método passou a ser aplicado também em problemas de programação quadrática, convexa
e problemas gerais de otimização não-linear como os FPO.
A metodologia utilizada consiste em transformar as restrições de desigualdade de
um problema de otimização, em restrições de igualdade através da introdução de variáveis
de folga não-negativas. Estas, por sua vez, são incorporadas à função-objetivo por meio de
uma função de penalização, denominada barreira logarítmica. A seguir, é montada a
função Lagrangeana para o problema modificado, considerando-se tanto as restrições de
25
igualdade originais quanto as restrições de desigualdade modificadas. As condições de
Karush Kuhn Tucker (KKT) ou condições necessárias de otimalidade de primeira ordem,
são derivadas com base nessa função Lagrangeana e o algoritmo de otimização objetiva
alcançar o ponto solução destas condições.
Portanto, pelo reconhecido alto grau de desempenho deste método e pelo fato das
formulações de FPO apresentadas nesse trabalho serem resolvidas por tal método, no
Apêndice B, será descrita a formulação do Método de Pontos Interiores via Primal-Dual
Puro para um problema de otimização genérico.
No entanto, existe outra formulação para o Primal-Dual de Pontos Interiores
apresentada em (MEHROTRA, 1992) e conhecida como Preditor-Corretor do Método
Primal-Dual de Pontos Interiores. A diferença fundamental entre o Primal-Dual e o
Preditor-Corretor consiste em que, quando da expansão em Série de Taylor para a
resolução do sistema não-linear, as derivadas parciais em relação às variáveis de folga são
tomadas até os termos de segunda ordem. Portanto, o novo sistema matricial a ser
resolvido pelo método de Newton é o seguinte:
∆⋅∆+⋅+µ−
∆⋅∆−⋅−µ−
∇
∇
∇
∇
−=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
maxmaxmaxmax
minminminmin
max
min
max
min
L
L
L
L
max
min
π
ππ
ππ
ππ
π
π
ππ
ππ
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
SSe
SSe
s
s
u
W
u
(2.88)
No entanto, o novo sistema (2.88) não pode ser resolvido devido à presença dos
termos
minmin
π
ππ
π∆⋅∆S
e
maxmax
π
ππ
π∆⋅∆S
no vetor do lado direito. Portanto, para se poder
estimar estes termos e o valor do parâmetro barreira
µ
a cada iteração k, esta é dividida em
duas etapas: (i) uma etapa de Predição e (ii) uma etapa de Correção.
Utilizando a versão do método Preditor-Corretor proposto em (GONDZIO, 1995),
na etapa de Predição a partir de um ponto z =[ u
T
T
T
)(
min
T
)(
max
T
s )(
min T
s )(
max
],
resolve-se o problema original de otimização sem se considerar a existência da função
barreira logarítmica, resultando o seguinte sistema matricial:
26
⋅
⋅
∇
∇
∇
∇
−=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
maxmax
minmin
max
p
min
p
max
p
min
p
p
p
L
L
L
L
max
min
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
S
S
s
s
u
W
u
(2.89)
onde
p
u
∆
,
p
λ
λλ
λ∆
,
min
p
π
ππ
π∆
,
max
p
π
ππ
π∆
,
min
p
s∆
,
max
p
s
∆
são as direções de atualização da etapa de
predição e que são utilizadas para calcular os termos de segunda ordem do lado direito da
equação matricial (2.88) e, também, para estimar dinamicamente o parâmetro barreira
µ
,
como proposto em (MEHROTRA,1992):
=
n
gap
gap
gap
2
~
2
~
µ
(2.90)
onde
gãp: é o gap de dualidade considerando o ponto predito;
gap: é o gap de dualidade sem atualizar as variáveis, calculado na equação (B.44).
O gãp é calculado da seguinte forma:
)
~
()
~
()
~
()
~
(
min
d
minTmin
pp
minmax
d
maxTmax
pp
max
π
ππ
ππ
ππ
π
ssss
∆⋅α+⋅∆⋅α+−∆⋅α+⋅∆⋅α+=
gãp
(2.91)
onde
p
~
α
e
d
~
α
são expressos como:
]1,
s
s
min,
s
minmin[
~
min
pi
min
pi
0s
max
pi
max
pi
0s
p
min
pi
max
pi
∆∆
=α
<∆<∆
s
(2.92)
]1,
min,
minmin[
~
min
pi
min
pi
0
max
pi
max
pi
0
d
min
pi
max
pi
∆
−
∆
−
=α
>∆<∆
(2.93)
Após os termos de segunda ordem e o parâmetro barreira serem obtidos, realiza-se
a etapa de Correção, resolvendo-se o sistema (2.94):
27
∆⋅∆+⋅+−
∆⋅∆−⋅−−
−=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
maxmaxmaxmax
minminminmin
max
min
max
min
c
pp
pp
c
c
c
c
c
π
ππ
ππ
ππ
π
π
ππ
ππ
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
SSe
SSe
0
0
0
0
s
s
x
W
µ
µ
(2.94)
A direção de atualização é então obtida pela soma dos resultados obtidos na predição
(2.88) e correção (2.94):
∆
∆
∆
∆
∆
∆
+
∆
∆
∆
∆
∆
∆
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
max
p
min
p
max
p
min
p
p
p
max
min
max
min
c
max
min
max
min
s
s
u
s
s
u
s
s
u
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
c
c
c
c
c
(2.95)
Tanto na etapa de Predição quanto de Correção, a matriz W se mantém constante. Após a
atualização das variáveis e multiplicadores de Lagrange, o parâmetro barreira é estimado
como na equação do apêndice (B.44).
Toda a seqüência do Preditor-Corretor está integrada ao algoritmo Primal-Dual de
Pontos Interiores, cujo algoritmo é o seguinte:
Algoritmo de Solução de Problemas de Otimização via Preditor-Corretor:
Passo 0: Inicializar as variáveis.
Passo 1: Calcular o gradiente da função Lagrangeana.
Passo 2: Testar critérios de convergência:
- Caso os critérios estejam satisfeitos, FIM. A solução ótima foi encontrada.
- Caso contrário, prosseguir ao Passo 3.
Passo 3: Calcular e fatorar a matriz W.
Passo 4: Etapa de predição:
- fazer µ igual a zero;
- recalcular o gradiente da função Lagrangeana;
- resolver a equação matricial (2.89), obtendo ∆z
p
;
28
- calcular os termos de segunda ordem do vetor do lado direito de (2.88) e
estimar dinamicamente o parâmetro barreira como em (2.90).
Passo 5: Etapa de correção:
- recalcular o vetor gradiente da função Lagrangeana substituindo µ e os
termos de segunda ordem;
- resolver a equação matricial (2.94), obtendo ∆z
c
.
- resolver a equação matricial (2.95), obtendo ∆z=∆z
p+
∆z
c.
Passo 6: Determinar o comprimento dos passos nos espaços primal e dual,
p
α
e
d
α
obtidos nas equações (B.36) e (B.37).
Passo 7: Calcular o ponto atualizado, z, usando ∆z,
p
α
e
d
α
.
Passo 8: Calcular o novo valor do parâmetro barreira através da equação (B.44) e
retornar ao Passo 1.
2.6 Considerações Finais
Este capítulo descreveu a formulação das principais metodologias para
minimização dos cortes de carga, metodologias para relaxamento de restrições e base
teórica do Método de Pontos Interiores na versão Preditor-Corretor.
Como pode-se observar, tanto a metodologia proposta por Oliveira et al. ( 2003)
quanto a metodologia proposta por este trabalho, propõe o relaxamento de restrições,
juntamente com o corte de carga. Porém, existem algumas diferenças entre as duas
metodologias. Em Oliveira et al.(2003) é admitido alívio de 4% nos limites de tensão em
todas as barras e admitido alívio de 10% nos limites de fluxo de potência ativa de todas as
linhas de transmissão e de todos os transformadores. Na metodologia proposta neste
trabalho é admitido relaxamento nos limites de tensão de barras pré-selecionadas e em
limites de fluxo de potência ativa apenas de transformadores pré-selecionados. Propõe–se
ainda que os limites de tensão sejam violados em até 3% do limite mínimo (ou qualquer
outro valor que seja mais conveniente) e que haja sobrecarga de até 20% (ou qualquer
outro valor que seja mais conveniente) nos transformadores selecionados. Além disso,
esses alívios de restrições estarão incorporados à proposta de MIKILITA (2005), que
limita os cortes de carga.
29
No próximo capítulo será apresentada a formulação do modelo de Fluxo de
Potência Linear (DC), assim como a formulação proposta em MIKILITA (2005),
adicionada de diferentes critérios de otimização, relaxamento de restrições e
estabelecimentos de estágio de corte de carga.
30
CAPÍTULO 3
Formulação Matemática do FPO
3.1 Introdução
Os objetivos deste capítulo são: (i) formular matematicamente o problema de
Fluxo de Potência Ótimo do Modelo Linear com o objetivo de pré-diagnosticar quais
barras devem ser aliviadas devido a limites de fluxos ativos atingidos em linhas e
transformadores; e, (ii) formular matematicamente o problema de Fluxo de Potência
Ótimo do Modelo Não-Linear já proposto por MIKILITA (2005), agora com a introdução
de diferentes critérios de otimização concomitantes ao corte de carga, como o relaxamento
de limites de tensão e de limites de carregamento de transformadores, possibilitando o
estabelecimento de estágios de corte, ou seja, o estabelecimento de estratégias a fim de
minimizar o corte de carga.
3.2 Modelo Linear
3.2.1 Fluxo de Carga Ótimo Linearizado (DC)
A resolução das equações não lineares de um Fluxo de Carga é bastante complexa
e custosa do ponto de vista computacional. Porém, um modelo aproximado, chamado
Fluxo de Carga Ótimo Linear ou DC, permite estimar com baixo custo computacional e
precisão aceitável a distribuição de fluxo de potência ativa em uma rede de transmissão.
Por isso, este modelo tem sido muito aplicado na análise de sistemas elétricos de potência,
tanto em planejamento como na operação de sistemas de energia elétrica.
O Fluxo de Carga Ótimo Linear apresenta resultados tanto melhores quanto mais
elevados são os níveis de tensão, não sendo aplicável para sistemas de distribuição em
baixa tensão, já que nestes sistemas os fluxos de potência ativa dependem de maneira
significativa das quedas de tensão. Nesse modelo, não se leva em consideração as
magnitudes das tensões nas barras, potências reativas e taps dos transformadores.
31
O Fluxo de Carga Ótimo Linear pode ser muito útil em etapas preliminares de
estudos de planejamento da expansão de redes elétricas, como na classificação de cenários
de operação com relação às violações de limites operacionais.
3.2.2 Formulação do Fluxo de Potência Ótimo Linear com Corte de Carga
A função objetivo do problema é uma função corte de carga CC:
t
cc
wCC
α
= ∆
∆∆
∆Pd (3.1)
onde
t
: é um vetor de dimensão nc (número de barras a serem cortadas) contendo o custo dos
cortes por barras.
∆
∆∆
∆Pd : um vetor de dimensão (nc x 1) com os valores dos cortes a serem minimizados.
cc
w : índice de ponderação desse critério de otimização.
As barras a serem cortadas estão armazenadas no vetor Ic, de dimensão (nc x 1).
Para que a variável ∆
∆∆
∆Pd possa modificar os valores de carga, esta é introduzida nas
equações de balanço de potência ativa linear, as quais podem ser compactamente
representadas por:
Ag )(PdPg
−
= B θ
θθ
θ (3.2)
onde
PdUPdPd ∆−=
m
0
)( (3.3)
onde
Ag: matriz de incidência gerador-barra (nb x ng), Ag
i,j
=1 se gerador i pertence a barra j; 0,
caso contrário;
Pg: vetor (ng x 1) de potência geradas, sendo ng o número de barras geradoras;
∆
∆∆
∆Pd: cortes de carga a serem minimizados (nc x 1);
B: matriz de fluxo de carga DC (nb x nb);
θ
θθ
θ: vetor de ângulos das barras (nb posições);
nb: número de barras do sistema.
Pd
o
: demanda de potência ativa inicial de dimensão (nb x 1)
32
U
m :
é uma matriz de incidência de dimensão (nb x nc), formada do seguinte modo:
][U
ijm
Um
=
onde
contráriocaso
jIcise
Um
ij
)(
,0
,1 =
= (3.4)
As restrições de desigualdade que quantificam as limitações dos equipamentos são:
(i) Limite de fluxo nas linhas de transmissão
O fluxo t nas linhas (Modelo Linearizado) é obtido da seguinte expressão:
t
ij
= ( θ
i
- θ
j
) / x
ij
(3.5)
onde
t
ij
fluxo na linha entre barra i e j
(θ
i
- θ
j
): diferença angular entre barras,
x
ij
: reatância da linha i-j.
Esta expressão pode ser generalizada para todo o sistema por:
t = X
-1
A
t
θ
θθ
θ (3.6)
onde
t: vetor de dimensão (nl x 1) de fluxo nas linhas;
X: matriz de dimensão (nl x nl) cuja diagonal é o vetor com reatância x
ij
;
A
: matriz de incidência barra-ramo de dimensão ( nb x nl), sendo que a
ij
= -1 se o ramo se
conecta à barra i e está orientado entrando nesta barra e a
j
i
= 1 se o ramo se conecta à barra
i e está orientada saindo desta barra;
θ
θθ
θ: vetor de ângulos nas barras com dimensão (nb x 1).
O fluxo nas linhas está limitado do seguinte modo:
-t
max
≤ t ≤ t
max
(3.7)
ou seja,
-X
-1
A
t
θ
θθ
θ - t
max
≤ 0 (3.8)
X
-1
A
t
θ
θθ
θ - t
max
≤ 0 (3.9)
onde
t
max:
é o vetor dimensão (nl x 1) com os limites máximos nas linhas.
33
(ii) Os limites de geração para cada barra geradora são:
Pg
min
≤ Pg ≤ Pg
max
(3.10)
onde
Pg
min
: vetor dos limites mínimos de geração;
Pg
max
: vetor dos limites máximos de geração;
ou seja,
-Pg + Pg
min
≤ 0 (3.11)
Pg - Pg
max
≤ 0 (3.12)
(iii) Limites nos Cortes de Carga
Conforme especificações das concessionárias, existem limites máximos que as
cargas podem ser submetidas, assim, os valores de ∆
∆∆
∆Pd devem ser limitados da seguinte
forma:
max
0
PdPd
∆≤∆≤
(3.13)
onde
max
Pd
∆
:contém os limites máximos de corte de carga.
As variações de carga são limitadas em zero para evitar que assumam valores
negativos.
3.2.2.1 Redução da matriz B
A matriz B das restrições de igualdade (equação 3.2) é uma matriz singular. Para
que se possa incluí-la nas equações de balanço do problema, escolhe-se uma barra de
referência (ref = barra de referência) e faz-se que θ
ref
= 0. Assim, a matriz B pode ser
reduzida pela retirada da coluna da barra de referência, passando a ser denominada B
red
com dimensão (nb x nred), onde nred = nb-1.
34
O novo vetor dos ângulos nas barras θ
θθ
θ’ passa a ser representado sem a posição
correspondente à barra de referência e a nova matriz de incidência A’, passa a ser
representada sem a linha correspondente à barra de referência.
3.2.2.2 Problema a ser resolvido
Com as modificações do item anterior, o problema a ser resolvido passa a ser o
seguinte:
min
t
cc
wCC = ∆
∆∆
∆Pd (3.14)
s.a
Ag
)(
0
PdUPdPg
∆−−
m
= B
red
θ
θθ
θ´
(3.15)
-Pg + Pg
min
≤ 0 (3.16)
Pg - Pg
max
≤ 0 (3.17)
-X
-1
(A’)
T
θ
θθ
θ’ - t
max
≤ 0
(3.18)
X
-1
(A’)
T
θ
θθ
θ’ - t
max
≤ 0 (3.19)
0
≤∆−
Pd
(3.20)
0
max
≤
∆
−
∆
PdPd
(3.21)
Resolve-se o problema acima com o Método Primal-Dual via Pontos Interiores,
cuja metodologia encontra-se no Apêndice C.
3.3 Modelo Não-Linear
Quando se tem geração de potência suficiente, os fatores que normalmente levam à
divergência de um FPO são as impossibilidades de se atender níveis mínimos de tensão
nas barras e níveis máximos de carregamento nas linhas de transmissão e transformadores.
35
Nessas situações, uma maneira de se obter convergência é a partir do alívio de carga ou
relaxamento desses critérios concomitantemente ao corte de carga.
Os limites de tensão nas barras da Rede Básica do sistema são definidos pelos
Procedimentos de Rede do Operador Nacional do Sistema (ONS, 2000). Mas, segundo o
ONS, o nível de tensão em qualquer barra pode ser inferior aos valores indicados nesses
procedimentos, desde que não sejam pontos de conexão com a rede Básica. Então, estudos
prévios, realizados pelas concessionárias de energia definem os níveis mínimos de tensão
nas subestações de carga, em regime normal e de emergência, de forma a atender os
limites de tensão exigidos nas barras de distribuição. Na maioria dos casos, os limites de
emergência são menores que os limites para condição normal de operação. No caso da
COPEL, por exemplo, nas barras que atendem indústrias diretamente em alta tensão (69
kV, 138 kV e 230 kV) a tensão mínima em condições normais é 0,93 pu e a tensão
mínima em condições de emergências é 0,90 pu.
Assim, a fim de se testar a metodologia, será considerado nesse trabalho que se
admite um relaxamento nos níveis mínimos de tensão em até 3%, em todas as barras.
Quanto ao carregamento dos transformadores, o ONS estabelece quanto e por
quanto tempo os transformadores podem ser operados em sobrecarga. Cada transformador
tem características distintas, a ser ilustrado no Capítulo 4. Simplificadamente, será
admitido que todos os transformadores podem assumir sobrecargas de até 20 %.
Conforme esse exposto, é admissível que alguns limites operacionais sejam
infringidos durante uma emergência, e baseado nesse fato, será apresentada, a seguir, a
formulação desses relaxamentos de tensão e de fluxo nos transformadores, sobre o FPO já
desenvolvido por MIKILITA (2005).
3.3.1 Relaxamento de Restrições de Tensão
A penalização quadrática de um vetor ϕ
ϕϕ
ϕ
tensão
possibilita a alteração dos limites
mínimos nas barras (Vmin):
2
)(min
tensãotensão
tensão
t
tensão
wCC UU −⋅⋅=
ϕ
(3.22)
36
s. a nbi
i
tensão
,...,11
min
=
≤
≤
ϕ
ϕ
(3.23)
nbiVv
ii
i
tensão
,...,1
=≤⋅
&
min
ϕ
(3.24)
onde
tensão
w : índice de ponderação para relaxamento das magnitudes de tensão;
tensão
U : vetor unitário de dimensão (nb x 1);
ϕ
tensão
: variável de otimização que limita os valores de tensão mínimos nas barras
selecionadas pelo vetor UI, que
é um vetor dimensão (nb x 1), com valores unitários nas
posições referentes às barras que se deseja restringir os valores de tensão, sendo os demais
elementos nulos;
i
V
&
: magnitude tensão na barra i;
i
vmin : limite mínimo de tensão na barra i;.
min
ϕ
: indica percentagem que se deseja alterar de cada
i
vmin . Para se relaxar o limite de
tensão mínimo até 3 %, deve-se utilizar
min
ϕ
=0,97.
Cada componente do vetor ϕ
ϕϕ
ϕ
tensão
está restrito aos valores de 1 a
min
ϕ
, ou seja, o
valor máximo 1 (valor ideal) implica em não alterações dos limites de tensão e o valor
mínimo
min
ϕ
implica que uma restrição não pode variar mais que (1-
min
ϕ
) %.
Para as posições j do vetor ϕ
tensão
,
que se referem às barras cujos limites não são
selecionados para a parametrização, assume-se que
ϕ
tensão
j
= 1.
3.3.2 Relaxamento de Restrições de Fluxo de Potência Ativa nos Transformadores
A penalização do vetor ϕ
ϕϕ
ϕ
fluxo
possibilita a alteração dos limites máximos de fluxos
circulantes pelas linhas
Plmax(
):
fluxofluxofl
wCC
ϕ
⋅⋅= Umin
(3.25)
s. a nliflfl
i
,...,10
max
=
≤
≤
ϕ
ϕ
(3.26)
nliPlmaxflPlmaxPlPlmaxflPlmax
iiiiiii
,...,1
=
⋅
+
≤
≤
⋅
−
−
ϕ
ϕ
(3.27)
37
onde
fluxo
w : índice de ponderação para relaxamento dos fluxos;
ϕ
ϕϕ
ϕ
fluxo
: variável de otimização que limita os valores de fluxos mínimos e máximos dos
circuitos selecionados pelo vetor U
fluxo
, que é um vetor de dimensão (nl x 1), com valores
unitários nas posições referentes aos transformadores que se deseja restringir os valores de
fluxo, sendo os demais elementos nulos.
i
Pl : fluxo de potência ativa circulante pelo circuito i;
i
Plmax : limite máximo de fluxo de potência ativa circulante pelo circuito i;
Cada componente do vetor
fluxo
ϕ
está restrito a valores maiores que zero. O valor
ideal é 1, que implica em não alterações dos limites de fluxo. Para as posições j do vetor
fluxo
ϕ
, que se referem às linhas e aos transformadores cujos limites não são selecionados
para a parametrização, assume-se que
fluxoj
ϕ
= 1.
max
fl
ϕ
: indica percentagem que se deseja incrementar de cada
i
Plmax , utilizou-se 0,20, ou
seja, não se deseja acrescentar o limite de fluxo máximo mais que 20 %.
3.4 Estágios de Corte de Carga
Resumidamente, os critérios de otimização que podem ser considerados são:
a) Minimização de Corte de Carga (CC)
Uprior ⋅⋅⋅==
t
wCCof
cc
..
(3.28)
b) Relaxamento nos Limites de Tensão ( RT)
=
=
RTof .
2
).(
tensãotensão
tensão
t
tensão
w UU −⋅⋅
ϕ
(3.29)
c) Relaxamento nos Limites de Fluxo ( RF)
fluxofluxofluxo
wRFof
ϕ
⋅⋅== U..
(3.30)
Levando-se em conta que o sistema possa operar com subtensões de no máximo
3% e sobrecargas nos transformadores de até 20%, é possível estabelecer estratégias para
corte de carga com o objetivo de minimizar esses cortes.
38
Assim, num primeiro estágio de corte, a função objetivo assume os seguintes
critérios de otimização:
RFRTCCof
+
+
=
.. (3.31)
ou seja, juntamente com a minimização do Corte de Carga (CC), faz-se o relaxamento dos
limites de tensão ( RT) e dos limites de fluxo de potência ativa ( RF), além de se limitar os
cortes máximos individuais conforme MIKILITA (2005).
Como os transformadores não podem ser sobrecarregados indefinidamente, se
houver persistência da contingência, ou seja, se a mesma não for restabelecida dentro de
poucas horas, deve-se retornar os limites de fluxos nos transformadores e assim completar
o corte de carga que seria necessário caso se minimizasse apenas o corte de carga. Para
tanto, simula-se novamente o caso utilizando-se agora:
CCof
=
.. (3.32)
3.5 Considerações Finais
Foram apresentadas duas formulações de Fluxo de Potência Ótimo, o Modelo
Linear e o Modelo Não-Linear.
Pretende-se utilizar os resultados do Modelo Linear para se escolher as barras
candidatas a corte de carga a serem utilizadas no Modelo Não-Linear.
No Modelo Não-Linear, a formulação proposta relaxa os limites mínimos e
máximos de fluxos em transformadores e os limites mínimos de tensão em barras pré-
selecionadas, além de limitar os cortes máximos individuais.
A partir desses relaxamentos, estabeleceu-se um critério para estabelecimento de
estágios de corte sempre com o propósito de mitigá-los.
No próximo capítulo serão apresentados os resultados numéricos pertinentes aos
FPO propostos.
39
CAPÍTULO 4
Resultados
4.1 Introdução
O objetivo deste capítulo é apresentar os resultados obtidos pelas metodologias
descritas no Capítulo 3 para um sistema elétrico de 291 barras. Esse sistema, basicamente
atendido pela Companhia Paranaense de Energia (COPEL), é um equivalente do estado do
Paraná, que contém toda a rede de 525 kV, 230 kV, 138 kV e 69 kV, além das barras de
fronteiras.
As metodologias foram desenvolvidas em MATLAB
®
versão 7.0.1 simulado em
um computador com processador AMD Sempron 2800, 2,0GHz, 512MB de memória
RAM com Sistema Operacional Windows XP.
No Anexo A, apresentam-se os dados de barras e ramos, assim como o diagrama
unifilar do sistema utilizado, no qual é possível visualizar sua localização dentro do
Sistema Interligado Brasileiro.
O sistema foi analisado na condição de carga pesada sob contingência. A principal
contingência simulada para se testar as metodologias foi a saída do transformador 525/230
kV da Subestação de Bateias. Essa contingência é bastante severa, levando o sistema a
apresentar violações nos limites das linhas de transmissão e transformadores, além de
tensões inadmissíveis nas barras do sistema. A fim de se contornar essas violações, foi
determinado o mínimo corte de carga para restabelecer a operação dentro dos limites
operativos.
A título de ilustração, ao final do capítulo, outras contingências também foram
simuladas tais como: a saída de um dos transformadores de 230/69/13,8 kV de 150 MVA
da Subestação do Uberaba entre as barras 820 e 2401 e a saída de um dos transformadores
de 230/69 kV de 150MVA da Subestação do Pilarzinho entre as barras 819 e 2387.
40
4.2 Especificações Técnicas
Os limites de tensão nas barras da Rede Básica do sistema são definidos pelos
Procedimentos de Rede do Operador Nacional do Sistema (ONS), a partir de estudos
mensais, quadrimestrais e anuais para diversas condições de carga. Na ausência desses
estudos podem ser utilizados os valores da Tabela 4.1 fornecidos pelo (ONS, 2000).
Tabela 4.1 - Limites de Tensão Fornecidos pelo ONS
Tensão Base Tensão Mínima Tensão Máxima
kV pu kV pu kV pu
69 1,0 65,6 0,95 72,5 1,05
88 1,0 83,6 0,95 92,4 1,05
138 1,0 131,0 0,95 145,0 1,05
230 1,0 218,0 0,95 242,0 1,05
345 1,0 328,0 0,95 362,0 1,05
440 1,0 418,0 0,95 460,0 1,05
500 1,0 475,0 0,95 550,0 1,10
525 1,0 500,0 0,95 550,0 1,05
765 1,0 688,0 0,90 800,0 1,046
Segundo o ONS, em qualquer condição de carga, o nível de tensão em qualquer
barra pode ser inferior aos valores indicados na Tabela 4.1, desde que não sejam pontos de
conexão com a rede Básica.
Estudos prévios, realizados pelas concessionárias de energia definem os níveis de
tensão mínimos nas subestações de carga, em regime normal e de emergência, para todos
os patamares de carga, de forma a atender os limites de tensão exigidos nas barras de
distribuição, os quais são definidos pela Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL).
Na maioria dos casos, os limites de emergência são menores que os limites para condição
normal de operação.
Quanto aos limites de transformadores, cada empresa define os limites para que o
ONS opere seus transformadores. A Tabela 4.2 apresenta alguns exemplos.
41
Tabela 4.2 - Correntes nos Enrolamento de AT de alguns Transformadores
Transformador Operação
Normal
Operação
Emergência
Duração da
emergência
Areia (ELETROSUL) 525/230 kV 739A 887A 30 minutos
Bateias (COPEL) 525 /230 kV 660A 836A 15 minutos
Campos Novos (ELETROSUL)
525/230 kV
370A 407A 2 horas
Cascavel Oeste (COPEL)
525/230 kV
660A 836A 15 minutos
Para os demais transformadores que atendem carga em 138, 34,5 e 13,8 kV, o
carregamento é monitorado pela imagem térmica, ou seja, temperatura do enrolamento,
sendo o limite de 105ºC em regime normal e de 115ºC em emergência. Em caso de
sobrecarga que não atinja a temperatura limite, não deve ultrapassar 40% da potência
nominal.
4.3 O Sistema Simulado
As barras do sistema da COPEL foram agrupadas nas seguintes áreas:
Área 1: barras de geração;
Área 2: barras de 230 kV e 525 kV (Rede Básica);
Área 3: barras de carga da região de Curitiba;
Área 4: barras de carga do interior do Estado do Paraná;
Área 5: barras de carga do litoral do Estado do Paraná;
Área 6: indústrias da região de Curitiba atendidas em tensão de 69 kV e acima;
No Anexo A estão representados graficamente o sistema da COPEL e também o
sistema da região de Curitiba.
As barras que atendem indústrias diretamente em alta tensão (69 kV, 138 kV e
230 kV) estão agrupadas na área 6, onde não se admite corte de carga em hipótese alguma.
Nessas barras os limites de tensão estipulados pela ANEEL que devem ser obedecidos
são:
- tensão máxima: 1,05 p.u.
42
- tensão mínima em condições normais: 0,93 p.u.
- tensão mínima em condições de emergências: 0,90 p.u.
Nas barras da área 2 (Rede Básica) os limites de tensão são os estipulados pelo
ONS (Procedimentos de Rede) e foram apresentados na Tabela 4.1.
As variáveis de controles do FPO são as seguintes:
- taps dos transformadores, que podem variar entre os limites máximos e
mínimos;
- potência reativa das usinas, que podem variar entre os limites máximos e
mínimos;
- potência ativa das usinas, que podem variar entre os limites máximos e
mínimos.
A emergência simulada foi a saída de um transformador de 525/230 kV de 600
MVA entre as barras 814 e 895 da subestação de Bateias que resulta em sobrecargas em
linhas de transmissão e transformadores das áreas 1 a 6.
Foram feitas diversas simulações a fim de se testar as metodologias propostas. O
objetivo das mesmas foi encontrar uma solução que forneça um ponto de operação viável,
ou seja, aquele em que sejam eliminadas as sobrecargas nos equipamentos e as subtensões
nas barras através de menores níveis de cortes de carga.
A seguir, serão apresentados os resultados relacionados à verificação preliminar de
limites violados sob contingências.
Inicialmente, serão apresentados os resultados obtidos para cortes de carga
realizados pelo Modelo Linear e a validação desses resultados através do Modelo Não-
Linear. Em seguida, serão mostrados os resultados alcançados com Estabelecimento de
Estágios de Corte de Carga a partir de Relaxamento de Restrições de Tensão e de Fluxo de
Potência Ativa no Modelo Não-Linear, assim como os resultados obtidos com a utilização
do Método Preditor-Corretor.
43
4.4 Verificação Preliminar de Limites de Fluxo sob Contingência
Preliminarmente, foi realizado, através do Modelo Linear apresentado no Capítulo
3, um diagnóstico das barras cujos níveis máximos de fluxo foram atingidos pela
ocorrência da emergência na Subestação de Bateias. Ou seja, pretendeu-se pré-
diagnosticar quais as barras devem ser aliviadas devido a limites de fluxos ativos atingidos
em linhas e transformadores.
Para a realização desse estudo, foram feitas as seguintes considerações:
(i) apenas as linhas que compõem a Rede Básica, ou seja, todas as linhas com
tensão maior ou igual a 230 kV tiveram seus fluxos de potência ativa
monitorados;
(ii) não foram considerados limites nos cortes;
(iii) as barras de todas as áreas foram candidatas à corte.
A Tabela 4.3 apresenta os cortes de carga realizados pelo Modelo Linear. Verifica-
se que a convergência só foi possível com o corte de 4,7081 p.u, ou seja, 6,5% da carga
original.
Tabela 4.3 - Resultados para Corte de 100% em Todas as Áreas
Barra Carga
original
(p.u.)
Corte de Carga
(p.u.)
Carga Resultante
(p.u.)
26 0,1800 0,1800 0,0000
127 2,4200 1,7641 0,6559
140 0,2830 0,2830 0,0000
144 0,4730 0,3703 0,1027
160 0,1900 0,1900 0,0000
176 0,5780 0,5780 0,0000
183 0,0010 0,0003 0,0007
187 0,6120 0,6120 0,0000
200 0,1570 0,1570 0,0000
258 0,1150 0,1150 0,0000
261 0,2200 0,1292 0,0908
264 0,2200 0,1292 0,0908
274 0,2000 0,2000 0,0000
Somatória 72,7326 4,7081 68,0245
44
A Tabela 4.4 apresenta os circuitos cujos limites máximos de fluxo estão ativados
mesmo após os cortes de carga. O caso convergiu com 22 iterações e o tempo da CPU foi
de 9,218 segundos.
Tabela 4.4 - Circuitos cujos Limites foram Atingidos
Circuitos
Ativados
Limite (p.u.) Fluxo Ativo (p.u.)
8 2,5084 -2,5084
59 4,8851 -4,8851
80 0,1715 0,1715
234 4,5046 -4,5046
371 4,5269 -4,5269
A fim de se validar os resultados obtidos pelo Modelo Linear, o mesmo sistema e
contingência foi simulado pelo Modelo Não-Linear descrito no Capítulo III. No Modelo
Linear as magnitudes de tensão não afetam os resultados de alívio de corte pois as mesmas
são supostas constantes e iguais a 1,0 pu. A fim de se incorporar essa limitação do Modelo
Linear, no Modelo Não-Linear foi considerado relaxamento irrestrito dos limites de
tensão, ou seja, as magnitudes de tensão foram liberadas no sentido de não interferirem no
corte de carga. Admitiu-se relaxamento das restrições de fluxo ativo nos circuitos em até
50 % dos seus limites máximos, ou seja, a função objetivo utilizada foi a de minimização
do corte de carga, juntamente com o relaxamento dos limites de tensão (sem limitação) e
relaxamento dos limites de fluxo de potência (em até 50 %). O caso convergiu com 49
iterações e o tempo da CPU foi de 186,0938 segundos.
45
Tabela 4.5 - Resultados para Corte de Carga utilizando Modelo AC
Barra Carga
original
(p.u.)
Corte de Carga
(p.u.)
Carga Resultante
(p.u.)
9 0,0023 0,0023 0,0000
140 0,2830 0,1201 0,1629
145 0,3320 0,2817 0,0503
158 0,2210 0,0701 0,1509
168 0,0960 0,0365 0,0595
169 0,2500 0,2142 0,0358
170 0,4810 0,0955 0,3855
171 0,1100 0,0541 0,0559
172 0,4420 0,0460 0,3960
177 0,2940 0,1235 0,1705
180 0,4200 0,4200 0,0000
184 0,1640 0,1640 0,0000
186 0,2840 0,1587 0,1253
188 0,1710 0,1710 0,0000
193 0,2460 0,2460 0,0000
196 0,4110 0,4110 0,0000
197 0,0970 0,0970 0,0000
210 0,5100 0,1451 0,3649
212 0,0720 0,0720 0,0000
239 0,1100 0,1100 0,0000
261 0,2200 0,0719 0,1481
264 0,2200 0,0880 0,1320
271 0,0420 0,0044 0,0376
Somatória 72,7326 3,2031 69,5295
A Tabela 4.6 apresenta os novos limites de tensão, ou seja, se os mesmos não
fossem relaxados o corte de carga seria bem maior.
Tabela 4.6 - Limites de Tensão Violados
Barra Tensão Mínima
Exigida (p.u.)
Tensão Mínima
Calculada (p.u.)
16 0,9500 0,9233
38 0,9500 0,8862
39 0,9500 0,8825
41 0,9500 0,8151
43 0,9500 0,9208
45 0,9500 0,8892
46 0,9500 0,9134
48 0,9500 0,9336
46
49 0,9500 0,9195
50 0,9500 0,8955
51 0,9500 0,9413
54 0,9500 0,9282
56 0,9500 0,8550
61 0,9500 0,9318
62 0,9500 0,8980
69 0,9500 0,9262
70 0,9500 0,8550
71 0,9500 0,9114
72 0,9500 0,9369
73 0,9500 0,9060
75 0,9500 0,9162
76 0,9500 0,8983
78 0,9500 0,9237
79 0,9500 0,8972
80 0,9500 0,9334
81 0,9500 0,9105
82 0,9500 0,9220
83 0,9500 0,9273
85 0,9500 0,9154
90 0,9500 0,9283
92 0,9500 0,9452
94 0,9500 0,8681
96 0,9500 0,9386
99 0,9500 0,8367
110 0,9500 0,9073
131 0,9500 0,9335
150 0,9500 0,9433
158 0,9500 0,9432
173 0,9500 0,9436
176 0,9500 0,9406
177 0,9500 0,9319
201 0,9500 0,9443
203 0,9500 0,9117
204 0,9500 0,9055
205 0,9500 0,8877
208 0,9500 0,9393
212 0,9500 0,9129
213 0,9500 0,9131
214 0,9500 0,8997
215 0,9500 0,9114
216 0,9500 0,9123
218 0,9500 0,9063
221 0,9500 0,9359
222 0,9500 0,8888
224 0,9500 0,8921
230 0,9500 0,8523
233 0,9500 0,8824
Tabela 4.6 - Limites de Tensão Violados
47
234 0,9500 0,9416
237 0,9500 0,9191
238 0,9500 0,9048
239 0,9500 0,9386
240 0,9500 0,9360
241 0,9500 0,8706
242 0,9500 0,9113
243 0,9500 0,9018
244 0,9500 0,9377
245 0,9500 0,8950
246 0,9500 0,9381
247 0,9500 0,9120
248 0,9500 0,8851
249 0,9500 0,9400
252 0,9500 0,9152
255 0,9500 0,8550
256 0,9500 0,8550
259 0,9500 0,9014
275 0,9500 0,9399
276 0,9500 0,8867
281 0,9500 0,9235
282 0,9500 0,9245
283 0,9500 0,9195
284 0,9500 0,9344
291 0,9500 0,9283
A Tabela 4.7 apresenta os circuitos cujos limites de fluxo de potência ativa
também tiveram que ser relaxados a fim de se minimizar o corte de carga. Na verdade,
esta tabela indica que os circuitos (8, 233, 234 e 371) são os mais exigidos em termos de
carregamento de fluxo ativo, pois neles o modelo impôs sobrecarga de 10 a 20% além do
máximo normal, a fim de se minimizar o corte de carga total, o qual foi apenas de 3,2031
p.u. Observando-se a Tabela 4.4 do Modelo Linear (que não admite relaxamento),
verifica-se que os circuitos (8, 59, 80, 234 e 371) estão com seus limites ativados, ou seja,
se no modelo linear se estivesse ativado o critério de relaxamento de fluxos, certamente
esses circuitos seriam sobrecarregados a fim de se diminuir o corte de carga que foi de
4,7081 pu (Tabela 4.4). Como há coincidência de muitos circuitos (8, 234 e 371) nos dois
casos, conclui-se que os resultados do Modelo Linear são coerentes.
No entanto, a utilização do Modelo Linear como um indicador de barras a serem
cortadas (limitando o universo de busca do Modelo Não-Linear) não se mostrou eficaz,
pois das 13 barras cujas cargas foram aliviadas, conforme a Tabela 4.3, apenas uma delas
foi efetivamente cortada (264) pelo Modelo Não-Linear que é um modelo mais completo.
Tabela 4.6 - Limites de Tensão Violados
48
Assim, conclui-se que o Modelo Linear não é eficaz no pré-diagnóstico de barras
candidatas a corte de carga. Salienta-se que para se chegar a esta conclusão, outras
contingências e outros sistemas foram simulados obtendo-se resultados análogos.
Tabela 4.7 - Limites de Fluxo Violados
Linhas Limites de Fluxo
(p.u.)
Fluxos Violados
Calculada (p.u.)
% de
Sobrecarga
8 2,5084 2,7993 11,5949
233 4,5282 5,5175 21,8482
234 4,5046 5,5022 22,1487
371 4,5269 5,3775 18,7906
4.5 Estabelecimento de Estágios de Corte de Carga a partir de
Relaxamento de Restrições de Tensão e de Fluxo de Potência Ativa
Na seqüência, serão apresentados resultados do Modelo Não-Linear
considerando-se as seguintes premissas:
- limites de 45% e 50% nos cortes máximos em algumas barras, conforme Tabela
4.8. A informação sobre quanto devem ser efetivamente esses limites máximos é obtida
pelo operador, que conhece a carga abastecida pelos diversos alimentadores que saem de
uma subestação. O critério para estabelecimento dessas porcentagens de cortes, foi o de
poupar por barra as cargas referentes a hospitais e indústrias importantes;
Tabela 4.8 Limites de Corte de Carga
Barras
% de Corte
180
45
158
45
201
50
145
45
189
50
186
50
188
50
193
50
146
45
158
45
167
45
170
45
184
50
196
50
49
- todas as áreas são selecionadas para corte geral, com exceção das indústrias
(área 6);
- limites mínimos e máximos de tensão em todas as barras. O limite de tensão
para a condição de emergência, fixado para as barras de carga e para as barras que
atendem indústrias diretamente em alta tensão é de 0,90 p.u. As barras da rede básica
tiveram seus limites fixos no valor mínimo de 0,95 p.u;
- limites mínimos e máximos de fluxo de potência em transformadores e linhas de
transmissão da Rede Básica;
- os critérios de otimização considerados foram:
(i) Simulação 1: minimização de corte de carga ( w
cc
=1)
(ii) Simulação 2: Minimização de Corte de Carga ( w
cc
=1) e relaxamento dos
limites de tensão em até 3 % do limite mínimo ( w
tensão
=1, ϕ
tensão
=0,97)
(iii) Simulação 3: Minimização de Corte de Carga (w
cc
=1), relaxamento dos
limites de tensão em até 3 % do limite mínimo ( w
tensão
=1, ϕ
tensão
=0,97) e relaxamento dos
limites de fluxo de potência ativa em até 20% dos limites mínimo e máximo ( w
fluxo
=1,
ϕ
fluxo
=0,20)
4.5.1 Simulação 1: Minimização de Corte de Carga ( w
cc
=1)
A Tabela 4.9 apresenta os cortes de carga requeridos, quando se respeita fielmente
todas as restrições operacionais do sistema. O corte total foi de 9,7759 p.u.
50
Tabela 4.9 – Cortes de Carga para Simulação 1 (w
cc
=1)
Barra Carga
original
(p.u.)
Corte de
Carga
(p.u.)
Carga Resultante
(p.u.)
Corte Máximo
Estipulado (%)
9 0,0023 0,0023 0,0000 100
38 0,2300 0,2300 0,0000 100
39 0,3800 0,1761 0,2039 100
41 0,2220 0,2220 0,0000 100
45 0,1030 0,0256 0,0774 100
50 0,2320 0,0035 0,2285 100
51 0,2080 0,0892 0,1188 100
56 0,4480 0,4480 0,0000 100
57 0,3530 0,0070 0,3460 100
61 0,2910 0,1547 0,1363 100
63 0,1810 0,0191 0,1619 100
67 0,4160 0,0706 0,3454 100
69 0,3790 0,3522 0,0268 100
70 0,3620 0,1169 0,2451 100
71 0,1810 0,0307 0,1503 100
73 0,3000 0,1241 0,1759 100
75 0,1480 0,0036 0,1444 100
76 0,5690 0,1680 0,4010 100
79 0,2250 0,1110 0,1140 100
83 0,3020 0,1369 0,1651 100
85 0,4550 0,0573 0,3977 100
96 0,1300 0,0804 0,0496 100
99 0,2070 0,0497 0,1573 100
136 3,8800 0,3435 3,5365 100
145 0,3320 0,1494 0,1826 45
146 0,2730 0,1228 0,1502 45
149 0,4850 0,4850 0,0000 100
150 0,3800 0,1242 0,2558 100
154 0,3370 0,3370 0,0000 100
155 0,1850 0,1850 0,0000 100
158 0,2210 0,0994 0,1216 45
169 0,2500 0,2500 0,0000 100
170 0,4810 0,1107 0,3703 45
171 0,1100 0,1100 0,0000 100
172 0,4420 0,0984 0,3436 100
173 0,1750 0,1750 0,0000 100
174 0,3960 0,3960 0,0000 100
175 0,2860 0,1287 0,1573 45
176 0,5780 0,1714 0,4066 100
177 0,2940 0,2503 0,0437 100
180 0,4200 0,1890 0,2310 45
182 0,1060 0,1060 0,0000 100
184 0,1640 0,0820 0,0820 50
185 0,4270 0,0072 0,4198 100
186 0,2840 0,1420 0,1420 50
51
188 0,1710 0,0855 0,0855 100
189 0,4370 0,2185 0,2185 50
193 0,2460 0,1230 0,1230 50
195 0,0480 0,0480 0,0000 100
196 0,4110 0,1849 0,2261 45
197 0,0970 0,0970 0,0000 100
201 0,1490 0,0745 0,0745 50
204 0,2670 0,0413 0,2257 100
210 0,5100 0,2058 0,3042 100
212 0,0720 0,0720 0,0000 100
217 0,0900 0,0174 0,0726 100
218 0,1340 0,0256 0,1084 100
221 0,2120 0,2120 0,0000 100
222 0,0240 0,0240 0,0000 100
230 0,1670 0,1188 0,0482 100
237 0,0610 0,0042 0,0568 100
238 0,1090 0,0752 0,0338 100
239 0,1100 0,1100 0,0000 100
241 0,1450 0,1450 0,0000 100
245 0,2420 0,2301 0,0119 100
247 0,5140 0,1617 0,3523 100
248 0,1810 0,0296 0,1514 100
259 0,0900 0,0372 0,0528 100
261 0,2200 0,1419 0,0781 100
264 0,2200 0,1439 0,0761 100
276 0,1630 0,0694 0,0936 100
282 0,1630 0,1105 0,0525 100
283 0,2270 0,2270 0,0000 100
Somatória 72,7326 9,7759 62,9567
4.5.2 Simulação 2: Minimização de Corte de Carga (w
cc
=1) e relaxamento dos limites
de tensão em até 3 % do limite mínimo ( w
tensão
=1, ϕ
ϕϕ
ϕ
tensão
=0,97)
Introduzindo-se o relaxamento de restrições, a função objetivo passa a ser a
minimização do corte de carga, juntamente com o relaxamento dos limites de tensão em
até 3% do limite mínimo em regime normal.
A Tabela 4.10 apresenta os cortes de carga requeridos para essa situação. O corte
total foi de 7,3104 p.u. O corte diminuiu de 9,7759 p.u. para 7,3104 p.u., ou seja, houve uma
diminuição em torno de 25% do corte originalmente calculado.
Tabela 4.9 – Cortes de Carga para Simulação 1 (w
cc
=1)
52
Barra Carga
original
(p.u.)
Corte de
Carga
(p.u.)
Carga Resultante
(p.u.)
Corte Máximo
Estipulado (%)
9 0,0023 0,0023 0,0000 100
38 0,2300 0,1320 0,0980 100
39 0,3800 0,2119 0,1681 100
41 0,2220 0,2220 0,0000 100
45 0,1030 0,0067 0,0963 100
51 0,2080 0,0892 0,1188 100
56 0,4480 0,3160 0,1320 100
69 0,3790 0,0580 0,3210 100
73 0,3000 0,0746 0,2254 100
76 0,5690 0,0312 0,5378 100
79 0,2250 0,0825 0,1425 100
96 0,1300 0,0151 0,1149 100
99 0,2070 0,0236 0,1834 100
145 0,3320 0,1494 0,1826 45
146 0,2730 0,1228 0,1502 45
149 0,4850 0,4850 0,0000 100
150 0,3800 0,1276 0,2524 100
154 0,3370 0,3370 0,0000 100
155 0,1850 0,1850 0,0000 100
158 0,2210 0,0994 0,1216 45
168 0,0960 0,0095 0,0865 100
169 0,2500 0,2500 0,0000 100
170 0,4810 0,1107 0,3703 45
171 0,1100 0,1096 0,0004 100
172 0,4420 0,1671 0,3436 100
173 0,1750 0,1750 0,0000 100
174 0,3960 0,3960 0,0000 100
175 0,2860 0,1287 0,1573 45
176 0,5780 0,2127 0,4066 100
177 0,2940 0,1706 0,0437 100
180 0,4200 0,1890 0,2310 45
182 0,1060 0,1060 0,0000 100
184 0,1640 0,0820 0,0820 50
185 0,4270 0,0072 0,4198 100
186 0,2840 0,1420 0,1420 50
188 0,1710 0,0855 0,0855 100
189 0,4370 0,2185 0,2185 50
193 0,2460 0,1230 0,1230 50
195 0,0480 0,0480 0,0000 100
196 0,4110 0,1849 0,2261 45
197 0,0970 0,0970 0,0000 100
Tabela 4.10 – Cortes de Carga para Simulação 2 (w
cc
=1 e w
tensão
=1,
ϕ
tensão
=0,97)
53
201 0,1490 0,0745 0,0745 50
204 0,2670 0,0364 0,2306 100
210 0,5100 0,2188 0,2912 100
212 0,0720 0,0720 0,0000 100
217 0,0900 0,0088 0,0726 100
218 0,1340 0,0217 0,1084 100
222 0,0240 0,0240 0,0000 100
230 0,1670 0,0902 0,0768 100
238 0,1090 0,0615 0,0475 100
239 0,1100 0,1100 0,0000 100
241 0,1450 0,1450 0,0000 100
245 0,2420 0,2312 0,0108 100
247 0,5140 0,0470 0,4670 100
248 0,1810 0,0197 0,1613 100
259 0,0900 0,0471 0,0429 100
261 0,2200 0,0903 0,1297 100
264 0,2200 0,1067 0,1133 100
276 0,1630 0,0557 0,1073 100
283 0,2270 0,0655 0,1615 100
Somatória 72,7326 7,3104 65,4222
A Tabela 4.11 apresenta as barras cujos níveis de tensão mínima foram
flexibilizados em até 3 % do mínimo em regime normal, ou seja, 0,95 p.u.
Tabela 4.11 - Limites de Tensão Violados para Simulação 2
Barra Tensão Mínima
Exigida (p.u.)
Tensão Mínima
Calculada (p.u.)
16 0,9500 0,9356
24 0,9500 0,9356
38 0,9500 0,9383
39 0,9500 0,9356
43 0,9500 0,9474
45 0,9500 0,9356
46 0,9500 0,9439
49 0,9500 0,9451
50 0,9500 0,9405
56 0,9500 0,9393
61 0,9500 0,9376
69 0,9500 0,9356
0 0,9500 0,9356
71 0,9500 0,9357
73 0,9500 0,9356
75 0,9500 0,9393
76 0,9500 0,9356
Tabela 4.10 – Cortes de Carga para Simulação 2 (w
cc
=1 e w
tensão
=1,
ϕ
tensão
=0,97)
54
78 0,9500 0,9470
79 0,9500 0,9356
81 0,9500 0,9420
82 0,9500 0,9429
83 0,9500 0,9490
85 0,9500 0,9375
90 0,9500 0,9498
92 0,9500 0,9415
94 0,9500 0,9356
96 0,9500 0,9356
99 0,9500 0,9364
110 0,9500 0,9389
115 0,9500 0,9356
180 0,9500 0,9356
203 0,9500 0,9398
204 0,9500 0,9356
205 0,9500 0,9356
212 0,9500 0,9363
213 0,9500 0,9421
214 0,9500 0,9422
216 0,9500 0,9356
218 0,9500 0,9356
221 0,9500 0,9363
230 0,9500 0,9356
237 0,9500 0,9427
238 0,9500 0,9356
241 0,9500 0,9417
242 0,9500 0,9438
243 0,9500 0,9383
245 0,9500 0,9356
247 0,9500 0,9356
248 0,9500 0,9356
252 0,9500 0,9423
255 0,9500 0,9391
256 0,9500 0,9393
259 0,9500 0,9426
276 0,9500 0,9356
281 0,9500 0,9356
282 0,9500 0,9366
283 0,9500 0,9376
284 0,9500 0,9378
291 0,9500 0,9498
Se fosse utilizado um FPO convencional (sem corte de carga), o mesmo divergiria
se o nível de tensão de 0,95 p.u. especificado anteriormente fosse mantido. As únicas
Tabela 4.11 - Limites de Tensão Violados para Simulação 2
55
alternativas para se resolver o problema de divergência, são o corte de carga ou
flexibilização dos níveis de tensão.
4.5.3 Simulação 3: Minimização de Corte de Carga (w
cc
=1), relaxamento dos limites
de tensão em até 3 % do limite mínimo ( w
tensão
=1, ϕ
ϕϕ
ϕ
tensão
=0,97) e relaxamento dos
limites de fluxo de potência ativa em até 20% dos limites mínimo e máximo ( w
fluxo
=1,
ϕ
ϕϕ
ϕ
fluxo
=0,20)
Para esta simulação, introduziu-se na função objetivo básica de minimização de
corte de carga, além do relaxamento de restrições de tensão, o relaxamento dos limites de
fluxo de potência ativa. São admitidas subtensões limitadas a 3% e sobrecargas nos
transformadores em até 20 % do regime normal de operação.
A Tabela 4.12 apresenta os cortes realizados para essa situação. O corte total foi de
6,3927 p.u. O corte diminuiu de 7,3104 p.u. para 6,3927 p.u. Houve uma diminuição no
corte de carga total em torno de 35% em relação ao corte originalmente calculado (9,7759
p.u.).
Tabela 4.12 - Cortes de Carga para Simulação 3 (w
cc
=1, w
tensão
=1,
ϕ
tensão
=0,97, w
fluxo
=1,
ϕ
fluxo
=0,20)
Barra Carga
original
(p.u.)
Corte de
Carga
(p.u.)
Carga Resultante
(p.u.)
Corte Máximo
Estipulado (%)
9 0,0023 0,0023 0,0000 100
38 0,2300 0,1302 0,0998 100
39 0,3800 0,2124 0,1676 100
41 0,2220 0,2220 0,0000 100
45 0,1030 0,0047 0,0983 100
56 0,4480 0,3195 0,1285 100
69 0,3790 0,0679 0,3111 100
73 0,3000 0,0713 0,2287 100
79 0,2250 0,0789 0,1461 100
99 0,2070 0,0205 0,1865 100
145 0,3320 0,1494 0,1826 45
146 0,2730 0,1228 0,1502 45
149 0,4850 0,4420 0,0430 100
154 0,3370 0,3370 0,0000 100
155 0,1850 0,1850 0,0000 100
158 0,2210 0,0994 0,1216 45
56
168 0,0960 0,0095 0,0865 100
169 0,2500 0,2500 0,0000 100
170 0,4810 0,1107 0,3703 45
171 0,1100 0,1100 0,0000 100
173 0,1750 0,1750 0,0000 100
174 0,3960 0,3960 0,0000 100
175 0,2860 0,1287 0,1573 45
177 0,2940 0,1064 0,1876 100
180 0,4200 0,1890 0,2310 45
184 0,1640 0,0820 0,0820 50
185 0,4270 0,0072 0,4198 100
186 0,2840 0,1420 0,1420 50
188 0,1710 0,0855 0,0855 100
189 0,4370 0,2185 0,2185 50
193 0,2460 0,1230 0,1230 50
195 0,0480 0,0480 0,0000 100
196 0,4110 0,1849 0,2261 45
197 0,0970 0,0970 0,0000 100
201 0,1490 0,0745 0,0745 50
204 0,2670 0,0251 0,2419 100
210 0,5100 0,2035 0,3065 100
212 0,0720 0,0720 0,0000 100
217 0,0900 0,0065 0,0835 100
218 0,1340 0,0115 0,1225 100
222 0,0240 0,0240 0,0000 100
230 0,1670 0,0921 0,0749 100
238 0,1090 0,0540 0,0550 100
239 0,1100 0,1079 0,0021 100
241 0,1450 0,1450 0,0000 100
245 0,2420 0,2216 0,0204 100
247 0,5140 0,0355 0,4785 100
248 0,1810 0,0131 0,1679 100
259 0,0900 0,0287 0,0613 100
261 0,2200 0,0805 0,1395 100
264 0,2200 0,0967 0,1233 100
271 0,0420 0,0397 0,0023 100
276 0,1630 0,0500 0,1130 100
283 0,2270 0,0821 0,1449 100
Somatória 72,7326 6,3927 66,3399
A Tabela 4.13, apresenta os limites de tensão relaxados para valores aquém de 0,95
p.u.
Tabela 4.12 - Cortes de Carga para Simulação 3 (w
cc
=1, w
tensão
=1,
ϕ
tensão
=0,97, w
fluxo
=1,
ϕ
fluxo
=0,20)
57
Tabela 4.13 - Limites de Tensão Violados para Simulação 3
Barra Tensão Mínima
Exigida (p.u.)
Tensão Mínima
Calculada (p.u.)
16 0,9500 0,9356
24 0,9500 0,9356
38 0,9500 0,9377
39 0,9500 0,9356
43 0,9500 0,9486
45 0,9500 0,9356
46 0,9500 0,9445
49 0,9500 0,9450
50 0,9500 0,9399
56 0,9500 0,9393
61 0,9500 0,9375
65 0,9500 0,9496
69 0,9500 0,9356
70 0,9500 0,9356
71 0,9500 0,9375
73 0,9500 0,9356
75 0,9500 0,9393
76 0,9500 0,9358
78 0,9500 0,9465
79 0,9500 0,9356
81 0,9500 0,9429
82 0,9500 0,9448
83 0,9500 0,9485
85 0,9500 0,9385
92 0,9500 0,9424
94 0,9500 0,9356
96 0,9500 0,9357
99 0,9500 0,9361
110 0,9500 0,9398
172 0,9500 0,9406
177 0,9500 0,9356
178 0,9500 0,9433
180 0,9500 0,9356
202 0,9500 0,9392
203 0,9500 0,9403
204 0,9500 0,9356
205 0,9500 0,9356
212 0,9500 0,9363
213 0,9500 0,9441
214 0,9500 0,9408
216 0,9500 0,9356
218 0,9500 0,9356
221 0,9500 0,9356
230 0,9500 0,9356
237 0,9500 0,9413
238 0,9500 0,9356
58
241 0,9500 0,9417
242 0,9500 0,9420
243 0,9500 0,9387
245 0,9500 0,9356
247 0,9500 0,9356
248 0,9500 0,9356
252 0,9500 0,9426
255 0,9500 0,9394
256 0,9500 0,9394
259 0,9500 0,9356
276 0,9500 0,9356
281 0,9500 0,9356
282 0,9500 0,9366
283 0,9500 0,9390
284 0,9500 0,9394
A Tabela 4.14 apresenta os transformadores cujos limites máximos foram
sobrepujados em torno de 12 %.
Tabela 4.14 - Limites de Fluxo Violados para Simulação 3
Linhas Limites de Fluxo Fluxos Violados
Calculada (p.u.)
% de
Sobrecarga
233 4,5282 5,0893 12,3914
234 4,5046 5,0755 12,6758
4.5.4 Estabelecimento de Estágios de Corte de Carga
Pelos resultados apresentados nos itens anteriores, e supondo-se que por poucas
horas seja possível o sistema operar com subtensões de até 3% e sobrecargas nos
transformadores de até 20%, pode-se estabelecer estratégias para corte de carga.
Na Tabela 4.15, observa-se que o valor total de corte de carga de potência ativa
necessário para se restabelecer os limites operacionais é de 9,7759 p.u. Tendo em vista
esse resultado, pode-se estabelecer um 1° Estágio de corte de carga, onde além de
introduzir relaxamento de restrições de tensão e dos limites de fluxo de potência ativa, são
admitidas subtensões de apenas 3% abaixo do limite mínimo e sobrecarga de 20% em
alguns transformadores. Com essa primeira estratégia, o resultado que se nota é o corte de
6,3927 p.u., ou seja, houve uma diminuição de 35% do corte originalmente calculado. Na
persistência da contingência, ocorre um 2° Estágio de corte, onde cortam-se os restantes
3,3832 p.u. que perfazem o corte total de 9,7759 p.u.
Tabela 4.14 - Limites de Fluxo Violados para Simulação 3
59
Feito isso, pode-se concluir que se a contingência for sanada no 1° Estágio de
corte, estabelece-se o ponto de operação anterior à contingência, poupando-se em torno de
35% de corte de carga.
Tabela 4.15 - Resultados de Corte em Estágios
Barra 1
o
Estágio de Corte
de Carga (pu)
Simulação 3
2
o
Estágio de Corte de
Carga (pu)
Sim.1 – Sim. 3
Corte Total (pu)
Simulação 1
9 0,0023 0,0000 0,0023
38 0,1302 0,0998 0,2300
39 0,2124 0,1676 0,3800
41 0,2220 0,0000 0,2220
45 0,0047 0,0983 0,1030
56 0,2320 0,0875 0,3195
51 0,0000 0,2080 0,2080
56 0,0000 0,4480 0,4480
57 0,0000 0,3530 0,3530
61 0,0000 0,2910 0,2910
63 0,0000 0,1810 0,1810
67 0,0000 0,4160 0,4160
69 0,0679 0,3111 0,3790
70 0,0000 0,3620 0,3620
71 0,0000 0,1810 0,1810
73 0,0713 0,2287 0,3000
75 0,0000 0,1480 0,1480
76 0,0000 0,5690 0,5690
79 0,0789 0,1461 0,2250
83 0,0000 0,3020 0,3020
85 0,0000 0,4550 0,4550
96 0,0000 0,1300 0,1300
99 0,0205 0,1865 0,2070
136 0,0000 0,8800 3,8800
145 0,1494 0,1826 0,3320
146 0,1228 0,1502 0,2730
149 0,4420 0,0430 0,4850
150 0,0000 0,3800 0,3800
154 0,3370 0,0000 0,3370
155 0,1850 0,0000 0,1850
158 0,0994 0,1216 0,2210
168 0,0095 0,0000 0,0095
169 0,2500 0,0000 0,2500
170 0,1107 0,3703 0,4810
171 0,1100 0,0000 0,1100
60
172 0,0000 0,4420 0,4420
173 0,1750 0,0000 0,1750
174 0,3960 0,0000 0,3960
175 0,1287 0,1573 0,2860
176 0,0000 0,5780 0,5780
177 0,1064 0,1876 0,2940
180 0,1890 0,2310 0,4200
182 0,0000 0,1060 0,1060
184 0,0820 0,0820 0,1640
185 0,0072 0,4198 0,4270
186 0,1420 0,1420 0,2840
188 0,0855 0,0855 0,1710
189 0,2185 0,2185 0,4370
193 0,1230 0,1230 0,2460
195 0,0480 0,0000 0,0480
196 0,1849 0,2261 0,4110
197 0,0970 0,0000 0,0970
201 0,0745 0,0745 0,1490
204 0,0251 0,2419 0,2670
210 0,2035 0,3065 0,5100
212 0,0720 0,0000 0,0720
217 0,0065 0,0835 0,0900
218 0,0115 0,1225 0,1340
221 0,0000 0,2120 0,2120
222 0,0240 0,0000 0,0240
230 0,0921 0,0749 0,1670
237 0,0000 0,0610 0,0610
238 0,0540 0,0550 0,1090
239 0,1079 0,0021 0,1100
241 0,1450 0,0000 0,1450
245 0,2216 0,0204 0,2420
247 0,0355 0,4785 0,5140
248 0,0131 0,1679 0,1810
259 0,0287 0,0613 0,0900
261 0,0805 0,1395 0,2200
264 0,0967 0,1233 0,2200
271 0,0397 0,1233 0,1630
276 0,0500 0,1130 0,1630
283 0,0821 0,1449 0,2270
Somatória 6,3927 3,3832 9,7759
Tabela 4.15 - Resultados de Corte em Estágios
61
4.6 Resultados de outras simulações
Neste trabalho, foram realizadas também outras simulações para outras
contingências com o mesmo sistema. Essas contingências foram simuladas pelo Modelo
Não-Linear. Para tanto, não foram considerados limites nos cortes de carga e as barras de
todas as áreas foram selecionadas para corte.
Como já mencionado anteriormente, as contingências simuladas foram a saída de
um dos transformadores de 230/69/13,8 kV de 150 MVA da Subestação do Uberaba e a
saída de um dos transformadores de 230/69 kV de 150MVA da Subestação do Pilarzinho.
Para a contingência na Subestação do Uberaba, adotando a função objetivo como
sendo só a minimização do corte de carga, a convergência não foi possível, pois os cortes
não foram suficientes para que as restrições fossem satisfeitas. Introduzindo-se o
relaxamento dos limites de tensão em até 3% do limite mínimo em regime normal, o corte
de carga total obtido foi de 5,8998 p.u. Como o valor da carga original era de 72,7326
p.u., a carga restante passou a ser de 66,8328 p.u. A seguir, foi introduzido à função
objetivo básica de minimização de corte de carga, além do relaxamento de tensão, o
relaxamento dos limites de fluxo de potência ativa. Foram admitidas agora subtensões
limitadas a 3% , juntamente com sobrecargas nos transformadores em até 20% e o corte de
carga total foi de 5,44569 p.u., ou seja, houve agora uma diminuição no corte de carga.
Para a contingência na Subestação do Pilarzinho, novamente, só com a
minimização do corte de carga, não houve convergência. Com a introdução do
relaxamento dos limites de tensão em até 3% do limite mínimo em regime normal, o corte
de carga total obtido foi de 5,3553 p.u. Como a carga original era de 72,7326 p.u., a carga
restante passou a ser de 67,3773 p.u. Na sequência, foi introduzido na função objetivo
básica de minimização de corte de carga, além do relaxamento de tensão, o relaxamento
dos limites de fluxo de potência ativa. Com essa nova função objetivo, o corte de carga
total foi de 4,7289 p.u.
62
4.7 Desempenho do Preditor-Corretor
A fim de se analisar os ganhos obtidos com a utilização do Método Preditor-
Corretor, a Tabela 4.16 apresenta os números de iterações e tempos de CPU dispendidos
pelo Método dos Pontos Interiores versão Primal-Dual Puro e versão Preditor-Corretor
para a Simulação 1.
Tabela 4.16 - Desempenho do Preditor-Corretor X Puro
Método dos Pontos
Interiores
Iterações Tempo da
CPU (s)
Versão Puro 65 294,3594
Versão Preditor-Corretor 22 108,75
Observa-se pela Tabela 4.16 que a versão Preditor-Corretor é bastante eficiente,
diminuindo o número de iterações e o tempo da CPU no processo de convergência desta
simulação.
4.8 Considerações Finais
A metodologia proposta foi testada a partir de um sistema elétrico real submetido
a uma emergência que acarreta sobrecargas em equipamentos como linhas de transmissão
e transformadores. Foram testadas as opções de corte de carga em áreas ou barras do
sistema.
As simulações tiveram como objetivo a avaliação das diferentes possibilidades
oferecidas pela metodologia para estudos de corte de carga.
Inicialmente foi realizada a verificação preliminar de limites de fluxo sob
contingências no Modelo Linear, ou seja, verificou-se em quais barras seria necessário o
corte de carga devido a limites de fluxos ativos atingidos em linhas e transformadores.
Com a realização da validação do Modelo Linear através de simulações realizadas no
Modelo Não-linear, pode-se concluir que o Modelo Linear não apresenta resultados
satisfatórios, pois das 13 barras onde ocorreu alívio de carga, apenas uma delas (264) foi
realmente cortada pelo Modelo Não-Linear.
63
Na seqüência, foram estabelecidos Estágios de Corte de Carga a partir de
Relaxamento de Restrições de Tensão e de Fluxo de Potência Ativa, a fim de minimizar os
cortes nas barras. E por fim, apresentou-se os resultados verificados para a Simulação 1
pela utilização do Método Preditor-Corretor. Esse método se mostrou bastante eficaz,
diminuindo o número de iterações e o tempo da CPU no processo de convergência.
Todas as simulações foram no sentido de dar suporte ao operador na decisão
sobre quais barras devem ser cortadas.
No próximo capítulo, serão apresentadas as conclusões referentes às
metodologias propostas neste trabalho.
64
CAPÍTULO 5
Conclusões
5.1 Introdução
Esse trabalho teve como objetivo realizar estudos de alívio ótimo de carga
na fase do planejamento de curto prazo. Nessa fase dos estudos é necessário se
elaborar estratégias que auxiliem o operador do sistema a recuperar os limites
operacionais quando em situações de emergência.
Como no Brasil os estudos de planejamento da operação de sistemas elétricos
relacionados à corte de carga em caso de contingências são normalmente realizados de
maneira manual pelas empresas concessionárias de energia elétrica, vislumbrou-se a
possibilidade de aperfeiçoá-los, utilizando técnicas de otimização.
A literatura apresenta várias possibilidades para esse aperfeiçoamento, dentre elas
destaca-se a metodologia proposta por MIKILITA (2005), que introduz ao problema
clássico do corte de carga: (i) limites aos cortes por barras, evitando que cargas que não
podem ser cortadas o sejam e, (ii) estudos de pré-diagnóstico de barras com problemas de
subtensão.
No entanto, mais aprimoramentos podem ser adicionados ao trabalho de
MIKILITA (2005), como desenvolvido nessa dissertação, tais como: (i) adição de
relaxamento das restrições de tensão e de fluxo nos transformadores, obtendo dessa
maneira novos limites mínimos de tensão e novos limites de fluxo em transformadores, os
quais possibilitam diminuição no corte de carga e estabelecimento de estágios para alívio
de carga e, (ii) estudos de pré-diagnóstico de barras candidatas a corte utilizando modelo
linear de FPO.
Em síntese, esse trabalho apresentou uma metodologia que utiliza a idéia de que se
for admitido que alguns limites de tensão sejam violados somente 3% (por exemplo) e que
ocorra sobrecarga de 20% em alguns transformadores por apenas uma ou duas horas (por
exemplo), pode-se cortar menos carga do que seria necessário se essas violações de limites
65
não fossem admitidas. Se a contingência for sanada dentro desse intervalo, ter-se-ão
evitados cortes de carga desnecessários admitindo-se apenas pequenas violações. Caso
contrário, realiza-se o corte de carga que teria sido proposto sem se considerar os
relaxamentos. De uma maneira geral, esse trabalho propõe o estabelecimento de vários
estágios de corte de carga, sempre com o intuito de minimizá-los.
Os resultados apresentados por essa metodologia, através da simulação do sistema
de 291 barras foram satisfatórios, validando-se a técnica proposta.
Baseando-se ainda em MIKILITA (2005), que propõe um diagnóstico das barras
problemáticas em termos de níveis mínimos de tensão não atingidos, implementou-se um
FPO linear que minimiza cortes de carga, cujo objetivo é o de identificar as barras
problemáticas em termos de carregamentos de circuitos. No modelo linear, os cortes que
por acaso sejam necessários, são devido a congestionamentos nos transformadores e nas
linhas. Deste modo, as barras cortadas podem ser identificadas como candidatas a corte
para o modelo não-linear, diminuindo-se o universo de busca para esse último. No entanto,
esse pré-diagnóstico não se mostrou eficaz pois as barras cortadas no modelo linear não
coincidem com as cortadas pelo modelo não-linear.
5.2 Recomendações para Trabalhos Futuros
Nesse trabalho, foram feitas algumas considerações que devem ser objeto de
estudos futuros:
- admitiu-se subtensões de até 3 % no relaxamento dos limites de tensão. As
conseqüências na utilização desse valor devem ser analisadas sob o ponto de
vista operacional e econômico, sendo que cada concessionária faz esses estudos
e determina as subtensões admissíveis (no caso da COPEL é admitido subtensão
de até 0,9 pu em algumas barras);
- admitiu-se sobrecarga de 20 % para todos os transformadores. No entanto, cada
transformador tem limites de sobrecarga próprios que devem durar por tempos
pré-estabelecidos ou que dependem da temperatura nos enrolamentos. Num
primeiro momento, deve-se fazer um levantamento desses dados a fim de se
admitir sobrecargas individualizadas por transformador; levando-se em conta os
dados dos fabricantes;
66
- considerou-se que o intervalo entre os estágios de corte sejam de duas horas.
Estudos sobre a duração dos estados de emergência devem ser realizados a fim
de se estabelecer convenientemente as durações dos estágios;
- foram estabelecidos apenas 2 estágios de corte, no entanto se for admitido que
as tensões sejam relaxadas por mais tempo, pode-se estudar a continuidade de
um terceiro estágio de corte.
Finalmente, como as sobrecargas nos transformadores não podem durar mais que
um determinado intervalo de horas ou minutos por dia sob o risco de se perder vida útil,
percebeu-se que no momento de uma contingência, um determinado transformador já pode
estar sobrecarregado e que esta sobrecarga já pode estar no seu limite diário. Ou ainda,
que para alguns transformadores a sobrecarga que se pode infringir depende da
temperatura vigente nos enrolamentos. Assim, vislumbra-se para um próximo
aperfeiçoamento da questão de cortes ótimos de carga, o desenvolvimento de um FPO em
tempo–real que monitore os tempos de sobrecarga e as imagens térmicas dos
transformadores, para a partir desses dados, se estabelecer estágios de cortes factíveis.
67
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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1324.
70
Apêndice A
Modelagem das Equações de Balanço de Potência Ativa e
Reativa e do Ângulo de Referência
A.1 Representação das Equações de Balanço de Potência Ativa e Reativa na Forma
Retangular (FERNANDES, 2004)
As equações de balanço de potência ativa e reativa são modeladas utilizando-se a
representação retangular dos fasores de tensão:
iii
fjeV
⋅+=
&
i =1,…, nb (A.1)
onde
e
i
: parte real da tensão
i
V
&
;
f
i
: parte imaginária da tensão
i
V
&
.
Considerando que
])()([
*
VYVPdPgP
&&&
⋅⋅=−=
diagreal
(A.2)
])()([
*
VYVQdQgQ
&&&
⋅⋅=−=
diagimag
(A.3)
onde
V
&
: vetor de tensão com dimensão (nb
×
1);
Y
&
: matriz de admitância de barra com dimensão (nb
×
nb)
P : vetor de dimensão (nb
×
1) contendo a injeção de potência ativa;
Q: vetor de dimensão (nb
×
1) contendo a injeção de potência reativa;
Pg: vetor de potência de geração ativa com dimensão [nb×1];
Pd: vetor de potência de carga ativa com dimensão [nb×1];
Qg: vetor de potência de geração reativa com dimensão [nb × 1];
Qd: vetor de potência de carga reativa [nb×1].
Substituindo-se nas equações (A.2) e (A.3) a representação na forma retangular da
expressão (A.1), obtém-se:
71
][)(][)( fGeBffBeGeP ⋅+⋅⋅+⋅−⋅= diagdiag
(A.4)
][)(][)( fGeBefBeGfQ ⋅+⋅⋅−⋅−⋅= diagdiag
(A.5)
onde
=
nb
e
e
Μ
1
e
: vetor de dimensão (nb
×
1) contendo a parte real da tensão;
=
nb
f
f
Μ
1
f
: vetor de dimensão (nb
×
1) contendo a parte imaginária da tensão;
G: parte real de
Y
&
, ou seja, matriz de condutância de barra com dimensão (nb
×
nb);
B: parte imaginária de
Y
&
, ou seja, matriz de susceptância de barra com dimensão (nb
×
nb);
As equações (A.4) e (A.5) podem ser expressas, de forma compacta, em função de
um vetor x, cujos elementos são as componentes real e imaginária das tensões de barra:
=
nb
nb
f
f
e
e
Μ
Μ
1
1
x
(A.6)
O vetor x possui dimensão [2nb × 1].
Para a obtenção dos vetores e e f a partir de x utilizam-se as seguintes matrizes:
=
e
(A.7)
e
=
f
(A.8)
sendo
72
=
1
1
1
Ο
(A.9)
ou seja,
Γ
ΓΓ
Γ : matriz identidade de dimensão (nb × nb);
: matriz nula de dimensão (nb × nb);
e
: matriz composta pela justaposição da matriz Γ
ΓΓ
Γ e da matriz
de modo que o vetor
formado pelas partes reais das tensões das barras,
e
, possa ser escrito por:
e =
⋅
e
x ( A.10)
f
: matriz composta pela justaposição da matriz Γ
ΓΓ
Γ e da matriz de
de modo que o vetor
formado pelas partes imaginárias das tensões das barras,
f
, possa ser escrito por:
f
=
⋅
f
x (A.11)
Utilizando-se as matrizes descritas anteriormente, podem-se representar as
equações (A.4) e (A.5) em função das variáveis Pg, Qg e x:
(i) Equações de balanço de potência ativa:
[
]
[
]
xGBxBGxPdPg
fe
⋅
⋅
+
−
⋅
=
−
})()({ diagdiag (A.12)
(ii)Equações de balanço de potência reativa:
[
]
[
]
xGBxBGxQdQg
ef
⋅
⋅
+
−
⋅
=
−
})()({ diagdiag (A.13)
As equações (A.4) e (A.5) são equivalentes às equações (A.12) e (A.13), as quais
podem ser representadas simplesmente como:
)x(PPdPg
=
−
(A.14)
)x(QQdQg
=
−
(A.15)
73
A.2 Representação do Ângulo de Referência na Forma Retangular (FERNANDES,
2004)
Uma barra é escolhida para ser referência angular com valor zero. Como a
representação escolhida para o fasor tensão é a retangular, esta referência implica que a
parte imaginária do valor de tensão na forma retangular é igual a zero.
0
=
ref
f
(A.16)
Para se representar a equação (2.16) na forma vetorial, define-se o vetor d do
seguinte modo:
[
]
01000
..................d
Μ
=
T
(A.17)
onde
d: vetor de dimensão [2nb × 1], com os nb primeiros elementos são nulos e os
subseqüentes também nulos, com exceção das posições correspondentes à barra de
referência que assume valor unitário.
Deste modo,
0xd
=⋅
T
(A.18)
74
Apêndice B
Formulações de FPO
B.1 O Problema de FPO
O problema de Fluxo de Potência Ótimo pode ser representado de forma genérica
como:
min f(u) (B.1)
s. a
g(u) = 0 (B.2)
h
min
≤ h(u) ≤ h
max
(B.3)
onde
u: vetor de variáveis de otimização composto pela geração de potência ativa e reativa,
tensões nas barras, taps de transformadores e outros.
f(u): função objetivo a ser otimizada;
g(u): vetor de restrições de igualdade que representam as equações de balanço de potência
ativa e reativa descritas;
h(u): vetor de restrições de desigualdade, composto pelos limites físicos e operacionais.
Para utilizar os métodos de Pontos Interiores aplicam-se ao problema (B.1)-(B.3)
os procedimentos descritos anteriormente.
a) Transformação das restrições de desigualdade em restrições de igualdade pela
introdução de variáveis de folga.
As restrições passam a ser representadas da seguinte maneira:
h(u) - h
min
– s
min
= 0 (B.4)
h(u) - h
max
+ s
max
= 0 (B.5)
Sendo que s
min
e s
max
são vetores de variáveis de folga estritamente positivas.
75
b) A fim de se representar as restrições de não negatividade das variáveis de folga,
o problema é modificado com a introdução da função barreira logarítmica na sua função
objetivo. A função barreira penaliza as estimativas de solução que se encontram próximas
aos limites das desigualdades, ou ainda, associadas às variáveis de folga próximas de zero.
O problema modificado passa a ser assim representado:
)]ln()[ln()(min
maxmin
i
ndes
i
i
ss
+µ−
∑
uf
(B.6)
sujeito a
g(u) = 0 (B.7)
h(u) - h
min
– s
min
= 0 (B.8)
h(u) - h
max
+ s
max
= 0 (B.9)
onde
ndes: número de restrições de desigualdade
µ
: parâmetro barreira (µ ≥ 0).
1.1.1 A função Lagrangeana associada a este problema é:
L(u,
,
min
,
max
,
min
s
,
max
s
)= f(u) -
)]ln()[ln(
maxmin
i
ndes
i
i
ss
+µ
∑
+ g(u) ⋅
T
+
+ (
min
)
T
[h(u) +
min
h
–
min
s
] + (
max
)
t
[h(u) -
max
h
+
max
s
]
(B.10)
onde
: vetor de dimensão (nig
×
1) composto pelos multiplicadores de Lagrange associados às
restrições de igualdade;
min
: vetor de dimensão (ndes
×
1) composto pelos multiplicadores de Lagrange
associados aos limites mínimos;
max
: vetor de dimensão (ndes
×
1) composto pelos multiplicadores de Lagrange
associados aos limites máximos;
nig : número de restrições de igualdade.
O novo problema de otimização passa a ser:
min L (u,
,
min
,
max
,
min
s
,
max
s
) (B.11)
76
sujeito a
min
s
≥ 0 ,
max
s
≥ 0 (B.12)
max
≥ 0 ,
min
≤ 0 (B.13)
sendo as restrições (B.12) e (B.13) impostas para que a equivalência com o problema
(B.1)-(B.3) seja mantida.
B.2 Condições de Otimalidade
Um ponto z =[ u
T
T
T
)(
min T
)(
max
T
s )(
min T
s )(
maxn
] é solução do problema
(B.11)-(B.13) somente se (LUENBERGER,1988):
a) Satisfaz as condições necessárias de otimalidade de primeira ordem, ou
condições de KKT (para que as expressões matemáticas presentes nas condições de KKT
e nos algoritmos descritos sejam compactas, neste capítulo, foi usado o operador ∇ para
representar derivadas parciais de funções):
[
]
[
]
0)
()u(h
)u(g)u(0z
uuuu
=+⋅∇+⋅∇+∇⇒=∇
maxmin
TT
f
(B.14)
0)u(g0)z(
u
=
⇒
=
∇
L (B.15)
0sh)u(h0)z(
min
=−−⇒=∇
minmin
L
π
ππ
π
(B.16)
0sh)u(h0)z(
max
=−−⇒=∇
maxmax
L
π
ππ
π
(B.17)
0
Se0)z(
min
s
=⋅−⋅µ−⇒=∇
minmin
L
(B.18)
0
Se0)z(
max
s
=⋅−⋅µ−⇒=∇
maxmax
L
(B.19)
0s0s ≥≥
maxmin
,
(B.20)
00
≥≤
maxmin
,
(B.21)
sendo
e = [ 1 1 1 ... 1]
T
, com dimensão (ndes × 1);
min
S e
max
S
: matrizes diagonais compostas pelos elementos de
min
s
e
max
s
,
respectivamente.
b) Se a Hessiana do Lagrangeano L´
77
L´(u,
,
min
,
max
)= f(u) + g(u) ⋅
T
+
T
A
h
A
(u) (B.22)
onde h
A
(u) é o vetor das restrições de desigualdades ativas e
T
A
é o vetor formado pelos
mutliplicadores de Lagrange associados a essas restrições, é definida positiva no espaço
nulo do Jacobiano formado pelas restrições de igualdade e restrições de desigualdades
ativas associadas a multiplicadores de Lagrange estritamente positivos.
O Método de Pontos Interiores se concentra em obter um ponto estacionário, isto é,
que satisfaça as condições necessárias de otimalidade do item (a). Para se garantir que o
ponto obtido seja um mínimo de global de (B.1)-(B.3) as condições suficientes do item (b)
devem ser testadas após a convergência do método.
No procedimento usado, entretanto, considera-se como ótimo o ponto solução das
condições de KKT.
B.3 Algoritmo Primal Dual de Pontos Interiores
Após a transformação das restrições de desigualdade em igualdades, por meio da
introdução de variáveis de folga e adição da função barreira logarítmica à função objetivo
como forma de garantir a não negatividade dessas variáveis, os passos seguintes consistem
em se obter os pontos estacionários da função Lagrangeana, utilizando-se o Método de
Newton, e estabelecer critérios para atualização do parâmetro barreira, para inicialização
das variáveis e teste de convergência.
B.4 Obtenção dos Pontos Estacionários
O primeiro passo na obtenção dos pontos que satisfazem a função Lagrangeana
consiste em se fazer uma estimativa desta solução pela linearização das equações (B.14)-
(B.19) utilizando-se o Método de Newton. Os incrementos obtidos em cada iteração deste
método não podem ser usados diretamente no vetor z, pois os mesmos podem violar as
restrições de desigualdade. Assim, esses incrementos devem ser testados e, se necessário,
modificados a fim de sempre se manter o vetor z dentro da região de factibilidade do
problema.
78
As etapas que devem ser seguidas a fim de se obter os pontos estacionários são as
seguintes:
a) Inicialização das Variáveis
A fim de se começar o processo de otimização, é necessário a obtenção de uma
estimativa inicial para as variáveis do problema. A escolha é feita de tal modo que as
variáveis sejam estritamente internas aos limites impostos pelas restrições de desigualdade
do problema. Para tanto, as variáveis u são inicializadas pela metade da soma de seus
valores máximos e mínimos; posteriormente, as variáveis de folga são calculadas a partir
das equações (B.16) e (B.17) e, arbitrando um valor inicial para o parâmetro barreira µ, os
multiplicadores de Lagrange associados às restrições de desigualdade são calculados a
partir de (B.18) e (B.19). Para os multiplicadores de Lagrange associados às restrições de
igualdade estimam-se valores quaisquer, como por exemplo, o vetor unitário.
b) Método de Newton
O sistema de equações (B.14) a (B.19) pode ser representado de forma compacta
como:
ρ(z) = 0 (B.23)
Tomando uma aproximação linear do sistema (2.35) no ponto z
•
tem-se:
z)z()z()zz(
z
z
∆∇+=∆+
•
••
ρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρ
(B.24)
como
z
∆
deve ser tal que =∆+
•
)( zz
ρ
ρρ
ρ 0, da expressão anterior tem-se que:
)z(z)z(
z
z
•
−=∆∇
•
ρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρ
(B.25)
Em termos das variáveis do problema, u,
,
min
,
max
,
min
s
,
max
s
, a equação (B.25)
pode ser escrita como:
79
[
]
[
]
∇
∇
∇
∇
∇
∇
−=
⋅−⋅µ−
⋅−⋅µ−
−−
−−
+⋅∇+⋅∇+∇
−=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
⋅
L
L
L
L
L
L
f
TT
max
min
min
s
s
u
uuu
Se
Se
sh)u(h
sh)u(h
)u(g
)()u(h)u(g)u(
s
s
x
W
max
maxmax
minmin
maxmax
minmin
maxmin
max
min
max
min
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
π
ππ
π
λ
λλ
λ
(B.26)
onde W é a matriz Hessiana de dimensão (nz × nz) , sendo que nz o número total de
variáveis em z, cuja expressão é:
−−
−
=
maxmax
minmin
][
][
][
max
min
maxmin
Π
ΠΠ
Π
Π
ΠΠ
Π
π
ππ
π
π
ππ
π
λ
λλ
λ
π
ππ
ππ
ππ
π
λ
λλ
λ
0S000
00S00
I0000
0I000
00000
00
W
u
u
u
uu
uuu
T
T
T
L
L
L
LLLL
(B.27)
com:
)u()()u()u(
uuuuuuuuuu
j
min
j
max
j
nig
i
ndes
j
ii
hgLL
2
1 1
222
f ∇⋅π+π+∇⋅λ+∇=∇=
∑ ∑
= =
(B.28)
[
]
T
T
LLL
)u(g][
u
uu
∇=∇==
2
λ
λλ
λλ
λλ
λ
(B.29)
[
]
T
T
LLL
minminmin
)u(h][
u
uuu
∇=∇==
2
π
ππ
ππ
ππ
π
(B.30)
[
]
T
t
LLL
maxmax
)u(h][
u
uuu
∇=∇==
2
max
π
ππ
ππ
ππ
π
(B.31)
min
LL
minminminmin
S
ss
−=∇=
2
π
ππ
π
(B.32)
max
LL
maxminmaxmax
S
ss
=∇=
2
π
ππ
π
(B.33)
min
LL
minminminmin
Π
ΠΠ
Π−=∇=
2
ssss
(B.34)
max
LL
maxmax
Π
ΠΠ
Π=∇=
2
ssss
maxmax
(B.35)
sendo
min
Π
ΠΠ
Π
: matriz diagonal composta pelos elementos de
min
max
Π
ΠΠ
Π
: matriz diagonal composta pelos elementos de
π
max
I : matriz identidade
80
c) Atualização das Variáveis Primais e Duais
A determinação do ponto ótimo se faz através de um processo iterativo. A cada
iteração, o sistema linear representado em (B.26) é resolvido, e, logo após, é determinado
o comprimento do passo nos espaços primal (
α
p
) e dual (
α
d
), de modo que:
- as variáveis de folga sejam todas positivas;
- os multiplicadores de Lagrange sejam tais que:
min
≤
0,
max
≥
0.
Desta forma,
α
p
e
α
d
são expressos como:
]1,min,minmin[
00
p
min
min
i
min
i
s
max
i
max
i
s
s
s
s
s
i
max
i
∆
−
∆
−
=α
<∆<∆
(B.36)
]1,
min,
minmin[
min
i
min
i
0
max
i
max
i
0
d
min
i
max
i
∆
−
∆
−
=α
>∆<∆
(B.37)
Após o cálculo dos passos primal e dual, a nova aproximação para a solução ótima
pode ser obtida pela seguinte atualização:
uuu
∆
⋅
α
⋅
σ
+
=
p
(B.38)
min
p
minmin
sss
∆⋅α⋅σ+=
(B.39)
max
p
maxmax
sss ∆⋅α⋅σ+=
(B.40)
λ
λλ
λ
λ
λλ
λ
λ
λλ
λ
∆
⋅
α
⋅
σ
+
=
d
(B.41)
max
d
maxmax
π
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
π ∆⋅α⋅σ+=
(B.42)
min
d
minmin
π
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
π ∆⋅α⋅σ+=
(B.43)
onde
σ
é uma constante que tem por finalidade garantir a interioridade da nova estimativa
de solução, sendo fixada em 0,9995.
d) Atualização do Parâmetro Barreira
O último passo dentro de cada iteração é recalcular o valor do parâmetro barreira
µ
. Com os valores de
min
,
max
,
min
s
,
max
s
, o cálculo do parâmetro
µ
é baseado no
decréscimo do
gap
de dualidade:
β
µ
⋅⋅
⋅−⋅
=
n
minTminmaxTmax
2
)()(
π
ππ
ππ
ππ
π
ss
(B.44)
81
onde
n
: número total de variáveis primais e duais
β
: fator de aceleração (
≥
1).
e) Critérios de Convergência
A solução do problema é encontrada quando as equações que representam as
condições de otimalidade (B.14) a (B.19) são satisfeitas e o
gap
de dualidade ou parâmetro
de barreira é nulo. Portanto, os critérios de convergência são:
µ
ε
µ
≤
(B.45)
L
L ε≤∇
∞
max
(B.46)
onde
∞
∇L
: representa a norma infinita do gradiente da função Lagrangeana
L
ε
e
µ
ε
: tolerâncias para o teste de convergência do método iterativo.
B.5 Algoritmo de Solução do Problema
A seguir é descrito o algoritmo para a solução do problema de otimização via
Método Primal-Dual de Pontos Interiores:
Passo 0 :
Inicializar as variáveis.
Passo 1:
Calcular o gradiente da função Lagrangeana através das equações (B.14)-
(B.19).
Passo 2
: Testar critérios de convergência:
- Caso os critérios estejam satisfeitos, FIM. A solução ótima foi encontrada.
- Caso contrário, prosseguir ao
Passo 3
.
Passo 3:
Resolver a equação matricial (B.26).
Passo 4:
Determinar o comprimento dos passos nos espaço primal e dual,
p
α
e
d
α
,
usando as equações (B.36) e (B.37).
Passo 5
: Atualizar todas as variáveis de acordo com equações (B.38) a (B.43).
Passo 6
: Atualizar o parâmetro barreira
µ
de acordo com (B.44) e retornar ao
Passo 1
.
82
Apêndice C
Formulação do Fluxo de Potência Linear com Corte de Carga
Resolução pelo Método Primal-Dual via Pontos Interiores
C.1 Formulação baseada em variáveis de folga e barreira logarítmica
O Método dos Pontos Interiores versão Primal-Dual requer a transformação das
restrições de desigualdade em restrições de igualdade, introduzindo-se variáveis de folga.
As restrições do problema formulado na seção 3.2.2.2 do Capítulo III passam a ser
representadas da seguinte maneira:
-Pg + Pg
min
+
sp
min
= 0 (C.1)
Pg
-
Pg
max
+
sp
max
= 0 (C.2)
-
X
-1
(
A’)
T
θ
θθ
θ
’
-
t
max
+
st
min
= 0 (C.3)
X
-1
(
A’)
T
θ
θθ
θ
’
-
t
max
+
st
max
= 0 (C.4)
0
min
=
+
∆
−
spdPd
(C.5)
0
max
=
+
∆
−
∆
mzx
spdPdPd
(C.6)
As variáveis de folga
st
min
,
st
max
,
sp
min
,
sp
max
,
spd
min
,
spd
max
devem ser
todas
≥
0.
A fim de se representar as restrições de não negatividade das variáveis de folga, o
problema é modificado com a introdução da barreira logarítmica na função
objetivo do problema. O objetivo da barreira é penalizar a função objetivo quando
as variáveis de folga se aproximam da barreira.
O problema modificado passa a ser assim representado:
Min
t
cc
w
α
∆
∆∆
∆
Pd
-
µ
µµ
µ∑
i=1,ng
(ln
sp
min
+ ln
sp
max
) -
µ
µµ
µ∑
i=1,nl
(ln
st
min
+ ln
st
max
)
-
µ
µµ
µ∑
i=1,nl
(ln
spd
min
+ ln
spd
max
) (C.7)
83
s.a
1.1.2
Ag Pg
– (
PdUPd
∆−
m
0
) =
B
red
θ
θθ
θ
’ (C.8)
-P
g
+ Pg
min
+
sp
min
= 0 (C.9)
P
g -
Pg
max
+
sp
max
= 0 (C.10)
-
X
-1
(
A’)
T
θ
θθ
θ
’
-
t
max
+
st
min
= 0 (C.11)
X
-1
(
A’)
T
θ
θθ
θ
’
-
t
max
+
st
max
= 0 (C.12)
0
min
=
+
∆
−
spdPd
(C.13)
0
maxmax
=
+
∆
−
∆
spdPdPd
(C.14)
1.1.3
C.2 Função Lagrangeana
A função Lagrangeana associada a este problema é:
L(Pg,θ
θθ
θ,λ
λλ
λ,π
ππ
π)=
t
cc
w
α
∆
∆∆
∆Pd
- µ
µµ
µ∑
i=1,ng
(ln sp
min
+ ln sp
max
)
- µ
µµ
µ∑
i=1,nl
(ln st
min
+ ln st
max
) - µ
µµ
µ∑
i=1,nl
(ln spd
min
+ ln spd
max
)
+ λ
λλ
λ
t
(- Ag Pg + PdUPd ∆−
m
0
+ B
red
θ
θθ
θ’)
+ π
ππ
πp
min
t
( -Pg + Pg
min
+ sp
min
) + π
ππ
πp
max
t
( Pg - Pg
max
+ sp
max
)
+ π
ππ
πt
min
t
( -X
-1
(A’)
T
θ
θθ
θ’ - t
max
+ st
min
) + π
ππ
πt
max
t
(X
-1
(A’)
T
θ
θθ
θ’ -t
max
+ st
max
)
+π
ππ
πpd
min
t
(
min
spdPd
+
∆
−
)+π
ππ
πpd
max
t
(
maxmax
spdPdPd
+
∆
−
∆
) (C.15)
As variáveis do problema primal são: θ
θθ
θ, Pg, st
min
, st
max
, sp
min
, sp
max,
spd
min
, spd
max.
As variáveis duais são os multiplicadores de Lagrange associados às restrições: λ
λλ
λ,
π
ππ
πt
min
, π
ππ
πt
max
, π
ππ
πp
min
, π
ππ
πp
max,
π
ππ
πpd
min
, π
ππ
πpd
max
.
C.3 Condições de Otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker
As condições necessárias de otimalidade de primeira ordem para este novo
problema de otimização são:
84
∇
Pg
L = – Ag
t
λ
λλ
λ - π
ππ
πp
min
+ π
ππ
πp
max
= 0 (C.16)
∇
θ
θθ
θ
L = (B’)
t
λ
λλ
λ - A’ X
–1
π
ππ
πt
min
+ A’ X
–1
π
ππ
πt
max
= 0 (C.17)
∇
Pd
∆
L = U −+⋅−
λ
t
cc
mw = 0 (C.18)
∇
λ
λλ
λ
L = - Ag Pg + PdUPd ∆−
m
0
+ Bred θ
θθ
θ’= 0 (C.19)
∇
π
ππ
πpmax
L = Pg - Pg
max
+ sp
max
= 0 (C.20)
∇
π
ππ
πpmin
L = - Pg + Pg
min
+ sp
min
= 0 (C.21)
∇
π
ππ
πtmax
L = X
-1
(A’)
t
θ
θθ
θ’ - t
max
+ st
max
= 0 (C.22)
∇
π
ππ
πtmin
L = -X
-1
(A’)
t
θ
θθ
θ’ - t
max
+ st
min
= 0 (C.23)
∇
π
ππ
πpdmax
L =
maxmax
spdPdPd
+
∆
−
∆
= 0 (C.24)
∇
π
ππ
πpdmin
L =
min
spdPd
+
∆
−
= 0 (C.25)
∇
spmax
L = - µ
µµ
µ + sp
max
π
ππ
πp
max
= 0 (C.26)
∇
spmin
L = - µ
µµ
µ + sp
min
π
ππ
πp
min
= 0 (C.27)
∇
stmax
L = - µ
µµ
µ + st
max
π
ππ
πt
max
= 0 (C.28)
∇
stmin
L = - µ
µµ
µ + st
min
π
ππ
πt
min
= 0 (C.29)
∇
spdmax
L = - µ
µµ
µ + spd
max
π
ππ
πpd
max
= 0 (C.30)
∇
spdmin
L = - µ
µµ
µ + spd
min
π
ππ
πpd
min
= 0 (C.31)
As equações (C.26) a (C.31) podem ser reescritas:
∇
spmax
L = - µ
µµ
µ ep + Sp
max
π
ππ
πp
max
= 0 (C.32)
∇
spmin
L = - µ
µµ
µ ep + Sp
min
π
ππ
πp
min
= 0 (C.33)
∇
stmax
L = - µ
µµ
µ et + St
max
π
ππ
πt
max
= 0 (C.34)
∇
stmin
L = - µ
µµ
µ et + St
min
π
ππ
πt
min
= 0 (C.35)
∇
spdmax
L = - µ
µµ
µ ec + Spd
max
π
ππ
πpd
max
= 0 (C.36)
∇
spdmin
L = - µ
µµ
µ ec + Spd
min
π
ππ
πpd
min
= 0 (C.37)
onde
ep : vetor (ng x 1) unitário;
et : vetor (nl x 1) unitário;
ec : vetor (nc x 1) unitário;
85
Sp
min
: matriz diagonal das variáveis sp
min
;
Sp
max
: matriz diagonal das variáveis sp
max
;
St
min
: matriz diagonal das variáveis st
min
;
St
max
: matriz diagonal das variáveis st
max
.
Spd
min
: matriz diagonal das variáveis spd
min
;
Spd
max
: matriz diagonal das variáveis spd
max
.
Devido ao fato do multiplicador de Lagrange λ
λλ
λ estar associado a uma
restrição de igualdade o mesmo não possui restrição de sinal, ou seja, λ
λλ
λ pode
assumir qualquer valor. Já as outras restrições implicam nas seguintes restrições de
sinal: π
ππ
πt
min
≥
≥≥
≥ 0, π
ππ
πt
max
≥
≥≥
≥ 0, π
ππ
πp
min
≥
≥≥
≥ 0, π
ππ
πp
max
≥
≥≥
≥ 0., π
ππ
πpd
min
≥
≥≥
≥ 0, π
ππ
πpd
max
≥
≥≥
≥ 0.
C.4 Aplicação do Método de Newton às Condições de KKT
Aplicando o Método de Newton às condições de KKT para resolução do
sistema por método iterativo, obtém-se o seguinte sistema de equacões
linearizadas:
H ∆x = - ∇
x
L (C.38)
A matriz H apresenta a estrutura a seguir:
86
(C.39)
onde
Ip: matriz diagonal do vetor ep;
It: matriz diagonal do vetor et;
Ic: matriz diagonal do vetor ec.
Os vetores ∆x e ∇
x
L são os seguintes:
1.1.3.1 0
0 0
-Ag
t
Ip -Ip
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
B
red
t
0 0
(
A’)
T
X
-1
-(
A’)
T
X
-1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 -Um
t
0 0 0 0
Ic -Ic
0 0 0 0 0 0
-Ag B
red
-
Um
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ip
0 0 0 0 0 0 0
0 0 Ip
0 0 0 0 0
-Ip
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ip
0 0 0 0
0
X
-1
(A’)
t
0 0 0 0 0 0 0 0 0
It
0 0 0
0
-X
-1
(A’)
t
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
It 0 0
0 0
Ic
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 Ic 0
0 0
- Ic
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 Ic
0 0 0 0
Sp
max
0 0 0
0 0
Π
ΠΠ
Πp
max
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Sp
min
0 0 0 0 0
Π
ΠΠ
Πp
min
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
St
max
0 0 0 0 0
Π
ΠΠ
Πt
max
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
St
min
0 0 0 0 0
Π
ΠΠ
Πt
min
0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 Spd
max
0 0 0 0
0
Π
ΠΠ
Πpd
max
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0
Spd
min
0 0 0
0 0
Π
ΠΠ
Πpd
min
87
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
=∆
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
spd
spd
st
st
sp
sp
Pg
x
(C.40)
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
∇
=∇
∆
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
pd
pd
Pd
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
spd
spd
st
st
sp
sp
Pg
x
(C.41)
88
C.5 Atualização de x
k
e µ
µµ
µ
A cada iteração, o sistema linear do item anterior é resolvido, sendo a próxima
etapa a determinação do comprimento do passo nos espaços primal e dual, de modo que:
- as variáveis de folga st
min
, st
max
, sp
min
, sp
max
, spd
max,
spd
min
sejam todas ≥
0.
- os multiplicadores de Lagrange sejam: πt
min
≥ 0, πt
max
≥ 0, πp
min
≥ 0,
πp
max
≥ 0, πpd
min
≥ 0, πpd
max
≥ 0,
α
p
= min { min
∆si<0
(–s
i
/ ∆s
i
) , 1} (C.42)
onde s corresponde ao vetor formado por sp
min
, sp
max
, sf
min
, sf
max
.
α
d
= min { min
∆πi<0
(–
π
i
/ ∆
π
i
) ,1} (C.43)
onde π corresponde ao vetor formado pelo multiplicadores πp
min
e πf
min
, πp
max
e πf
max
.
A nova aproximação para a solução ótima é feita por:
x
p
k+1
= x
p
k
+ σ α
p
. ∆x
p
k
(C.44)
x
d
k+1
= x
d
k
+ σ α
d
. ∆x
d
k
(C.45)
onde α
p
e α
d
garantem que as restrições de desigualdades não seja violadas e σ é uma
constante que tem por finalidade garantir a interioridade da nova aproximação, sendo
utilizado o valor 0,9995.
89
=∆
min
max
min
max
min
max
spd
spd
st
st
sp
sp
Pg
x
p
(C.46)
=∆
min
max
min
max
min
max
x
d
(C.47)
O último passo dentro de cada iteração é recalcular o valor do parâmetro
barreira µ. O cálculo do parâmetro é baseado no decréscimo no gap de dualidade :
µ = ( s
t
π ) / 2 nt β (C.48)
onde
nt: número de variáveis primais mais duais,
β: fator de aceleração ( ≥ 1)
C.6 Algoritmo para resolução do problema de otimização via Primal-Dual de Pontos
Interiores.
Passo 0 : Escolha µ
o
, valores iniciais para variáveis primais e duais. Faça k=0.
Passo 1: Calcule o valor das condições de otimalidade ( cálculo de ∇L ).
Passo 2: Se norma infinita de ∇L < tol = 10
-6
e µ < tol, FIM, a solução é x
k
. Caso
contrário, faça k= k+1 e vá ao Passo 3.
90
Passo 3: Resolução do Sistema Linear:
H
k
∆x
k
= - ∇L
k
(C.49)
Passo 4: Determine o comprimento do passo nos espaço prima e dual (α
p
e α
d
).
Passo 5 : Atualize todas as variáveis.
Passo 6: Atualize o parâmetro barreira µ.
Retorne ao Passo 1
C.7 Inicialização das Variáveis
A fim de se iniciar o processo de otimização, é necessário a obtenção de uma
estimativa inicial para as variáveis do problema. A escolha é feita de tal modo as variáveis
satisfaçam as restrições do problema, ou seja, estejam dentro da região viável do
problema, para tanto:
Pg
0
= (Pg
max
+ Pg
min
) /2 (C.50)
∆Pd
0
=
max
Pd
∆
/2 (C.51)
θ
0
= 0 (C.52)
µ
o
= 0,1 (C.53)
sp
min
0
= Pg
0
- Pg
min
(C.54)
sp
max
0
= Pg
max
- Pg
0
(C.55)
st
min
0
= t
max
(C.56)
st
max
0
= t
max
(C.57)
spd
min
0
=
max
Pd
∆
/2
(C.58)
spd
max
0
= -
max
Pd
∆
/2+
max
(C.59)
λ
0
= vetor unitário (C.60)
πp
min
0
= µ
0
(Sp
min
0
)
-1
ep (C.61)
πp
max
0
= µ
0
(Sp
max
0
)
-1
ep (C.62)
πt
min
0
= µ
0
(St
min
0
)
-1
et (C.63)
91
πt
max
0
= µ
0
( St
max
0
)
-1
et (C.64)
πpd
min
0
= µ
0
(Spd
min
0
)
-1
ec (C.65)
πpd
max
0
= µ
0
( Spd
max
0
)
-1
ec (C.66)
92
Anexo A
Dados do Sistema de 291 Barras
A.1 Introdução
Este apêndice apresenta os dados de ramos e barras do sistema de 291 barras.
Todos os valores estão em p.u. na base 100 MVA.
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
546 511 3,270 1,025 1,025
355,43
549 507 2,162 1,000 1,000
694,91
549 552 0,140 1,820 102,200
1518,97
550 549 10,780 0,850 1,187
139,20
551 553 0,010
633,18
551 611 0,630 3,610 11,750
317,94
551 1029 1,430 8,220 26,750
406,32
553 552 0,070 7,237 0,900 1,100
313,56
553 1031 3,772 19,340 333,000 0,904 0,904
292,55
611 612 0,130 0,720 2,360
108,28
611 615 0,430 2,480 8,070
308,17
613 512 6,740
97,26
613 612 23,430 0,857 1,048
14,54
615 514 2,8250 1,050 1,050
453,74
615 884 2,010 10,290 17,820
232,79
813 802 6,823 1,000 1,000
410,00
813 803 6,823 1,000 1,000
205,00
813 822 0,070 0,390 0,783
426,67
814 816 0,270 1,610 3,187
316,75
814 827 2,080 12,580 24,698
279,89
814 831 1,600 8,070 14,211
105,56
814 895 0,032 1,1460 0,945 1,155
550,80
814 2359 6,500 0,869 1,043
145,72
814 2359 6,500 0,869 1,043
145,72
814 9814 0,010
348,44
815 813 0,190 1,130 2,258
424,80
815 2368 17,850 0,8695 1,043
149,10
815 2368 17,600 0,8695 1,043
149,10
815 9342 40,830 0,8695 1,043
43,94
815 9342 40,510 0,8695 1,043
43,94
816 815 0,260 1,260 2,4310
415,27
816 819 0,340 1,640 3,160
271,75
816 821 0,510 2,620 4,540
148,43
816 822 0,300 1,820 3,624
186,61
816 2363 18,030 1,000 1,000
107,47
816 2363 18,320 1,000 1,000
107,47
93
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
816 9321 41,270 0,869 1,043
47,48
816 9321 41,470 0,869 1,043
47,48
816 9816 0,010
347,57
817 804 4,840 1,043 1,043
251,07
817 805 19,360 1,043 1,043
251,07
817 819 1,270 6,380 11,175
173,67
817 820 1,480 7,560 13,268
154,77
817 2373 6,490 0,869 1,043
146,15
817 9337 5,910 0,869 1,043
146,13
818 820 0,230 1,100 2,127
182,23
818 2353 0,350 1,680 3,236
201,09
818 9322 42,760 0,869 1,043
47,86
818 9322 42,760 0,869 1,043
47,86
819 2377 0,410 2,050 3,729
100,46
819 2387 18,840 0,869 1,043
124,83
819 2387 19,030 0,869 1,043
124,83
820 822 0,700 3,380 6,526
213,84
820 2401 19,110 0,869 1,043
123,58
820 2401 18,810 0,869 1,043
123,58
821 822 0,010
368,63
821 960 0,010 0,033
547,38
821 2399 0,240 1,420 2,840
113,44
821 2402 18,860 0,869 1,043
119,00
822 960 0,010 0,033
542,79
822 2353 0,380 1,880 3,629
230,86
822 2406 18,360 0,869 1,043
118,94
823 835 8,180 16,510 4,285
107,16
823 836 5,540 22,610 6,215
135,34
823 2454 5,010 14,180 3,916
11,22
824 800 0,840 1,024 1,024
1673,49
824 801 3,360 1,024 1,024
56,17
824 933 0,010 0,124 15,204
2178,73
824 933 0,010 0,126 15,428
2178,73
825 826 10,560 21,620 5,340
62,95
825 837 2,170 5,950 1,505
101,61
825 2420 35,970 0,826 1,000
16,89
826 832 3,550 7,250 1,796
100,86
826 833 8,180 16,750 4,146
37,58
827 884 0,590 8,090 14,140
280,42
827 2423 6,390 0,869 1,043
145,55
827 2423 6,360 0,869 1,043
145,55
828 888 5,670 16,480 4,4760
87,10
829 830 10,910 0,869 1,043
66,48
829 830 11,090 0,869 1,043
66,48
829 831 0,420 2,120 3,820
19,06
829 884 2,630 13,520 22,765
157,87
830 833 1,150 2,380 0,586
78,84
830 2417 0,820 3,310 1,139
137,40
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
94
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
830 2439 1,160 3,540 0,871
107,07
832 836 5,540 22,610 6,215
98,99
834 934 2,444 12,650 221,71
353,97
834 943 0,977 4,708 8,077
309,63
834 2424 0,010 0,040 0,066
106,78
834 9330 54,080 0,950 1,043
28,95
834 9331 99,360 0,950 1,043
28,76
835 837 4,700 11,050 82,820
101,95
838 851 3,150 9,640 2,370
6,11
838 874 7,130 21,720 5,383
71,54
838 2463 3,850 11,630 2,933
154,14
839 840 6,640 0,869 1,043
142,67
839 840 6,290 0,869 1,043
142,67
839 840 6,700 0,869 1,043
142,67
839 898 1,130 6,990 12,620
176,11
839 1047 1,220 7,690 13,810
137,37
839 2458 0,220 1,090 1,860
386,53
839 2458 0,170 1,030 2,054
328,52
840 841 4,100 12,550 3,133
135,46
840 850 3,250 20,190 4,731
158,59
840 854 1,690 5,090 1,297
159,80
840 2457 1,910 5,970 1,580
136,77
840 2463 5,280 15,570 4,014
140,75
841 850 2,560 7,780 1,930
93,87
842 845 3,090 9,110 2,401
159,47
842 848 2,230 6,640 1,726
158,21
844 850 2,470 15,310 3,589
162,10
844 858 0,790 3,130 0,926
140,81
844 2498 0,610 1,860 0,460
111,00
845 853 3,640 11,130 2,742
160,77
845 855 4,720 13,730 3,727
147,27
846 847 6,360 0,869 1,043
125,60
846 978 0,010
125,60
847 849 4,780 14,600 3,600
90,08
847 851 3,970 12,140 2,990
108,14
847 1091 0,900 4,360 1,095
22,85
848 854 6,540 19,300 5,083
158,93
848 855 4,660 14,240 3,518
156,36
848 873 18,480 0,826 1,000
40,69
849 857 4,640 9,500 2,350
50,96
850 858 4,940 15,860 4,088
93,91
852 853 20,530 0,869 1,043
55,01
852 853 20,330 0,869 1,043
55,01
852 1069 1,510 7,732 13,568
357,38
853 2442 3,400 10,380 2,558
45,97
853 9339 25,260 0,850 1,050
39,29
854 2451 36,00 0,826 1,000
26,27
854 2453 4,800 9,820 2,431
125,5
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
95
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
854 2457 0,840 2,710 0,740
139,66
856 810 1,400 1,024 1,024
1252,31
856 811 4,200 1,024 1,024
1252,31
856 933 0,052 0,654 80,493
2267,54
856 1060 0,056 0,697 85,746
2176,55
857 2453 0,230 0,470 0,117
125,86
859 869 6,710 14,180 3,300
86,62
859 870 2,870 6,070 1,410
96,31
860 866 2,580 7,530 2,029
131,57
860 871 0,860 1,770 0,435
108,03
860 2467 35,760 0,826 1,000
21,00
860 9860 0,290 0,840 0,229
164,97
860 9860 0,290 0,840 0,229
164,97
861 869 8,840 18,760 4,324
31,55
861 871 5,670 11,990 2,780
86,64
861 874 9,140 19,400 4,470
103,29
862 865 4,720 13,730 3,727
156,06
862 874 4,740 13,820 3,739
143,10
863 866 4,710 13,690 3,713
11,30
863 874 4,450 13,590 3,350
123,04
864 2470 0,690 1,450 0,345
117,88
864 2473 0,770 1,790 0,466
113,08
864 2493 1,230 2,830 0,692
122,98
865 546 1,890 5,490 6,008
321,81
865 870 6,290 19,190 4,720
159,62
866 2469 35,930 0,826 1,000
13,01
867 2473 3,550 7,640 1,821
60,57
867 2491 3,980 9,370 2,288
107,94
868 869 6,510 0,869 1,043
125,83
868 869 6,650 0,869 1,043
125,83
868 878 1,100 5,680 9,790
85,98
868 1031 0,010
121,92
869 899 0,290 1,270 0,484
175,18
869 2470 0,740 2,140 0,585
111,71
869 2493 0,110 0,240 0,054
165,51
873 2452 7,620 20,230 0,346
52,73
874 2465 6,260 18,220 4,940
47,89
875 877 0,010 0,010
25,45
875 2489 2,680 8,180 2,018
48,94
876 613 8,580 17,420 0,730
53,78
876 613 8,580 17,420 0,730
53,78
876 875 38,670 1,045 1,045
23,90
876 875 37,870 1,045 1,045
23,90
877 880 2,260 4,840 1,232
20,75
877 882 5,910 12,260 3,103
34,53
878 879 6,370 0,869 1,043
131,87
878 879 6,380 0,869 1,043
131,87
878 884 2,180 11,350 19,050
286,70
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
96
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
878 954 2,170 11,220 919,330
289,24
878 1028 0,575 3,3610 10,560
352,21
879 883 4,980 15,210 3,754
93,17
879 2483 1,200 3,400 0,860
128,71
879 2491 1,660 4,540 1,139
113,71
879 9879 0,010
104,08
880 887 10,480 21,480 5,413
82,45
881 885 2,720 8,150 2,099
96,72
881 890 3,700 11,140 2,834
94,55
882 887 6,270 12,930 3,254
94,26
883 888 3,880 11,810 2,915
102,37
884 2485 6,720 0,869 1,043
142,35
884 9333 7,400 0,869 1,043
147,15
886 887 5,880 0,869 1,043
147,29
886 887 6,330 0,869 1,043
147,29
886 1028 0,310 1,820 3,725
304,39
887 892 0,980 2,150 0,542
122,35
887 894 1,330 3,680 1,122
119,56
889 890 6,710 0,869 1,043
142,65
889 890 6,630 0,869 1,043
142,65
889 1029 0,010
303,37
890 892 1,400 4,040 1,130
159,34
890 894 0,730 2,670 0,843
133,80
890 2486 0,330 1,320 0,712
45,82
890 2492 0,670 2,060 0,542
96,37
891 892 0,300 0,610 0,160
94,85
891 893 0,010
94,85
892 9879 7,860 12,610 2,550
104,55
893 2492 1,110 3,090 0,566
121,63
896 897 0,050 0,730 78,060
2110,00
897 808 1,020 1,024
1543,85
897 809 4,080 1,024
1478,00
897 1060 0,076 1,171 124,580
94,74
898 848 6,360 0,869 1,043
1607,37
898 1047 0,150 0,890 1,631
144,75
933 895 0,200 2,550 312,720
323,29
933 955 0,162 2,048 250,170
2104,72
933 959 0,200 2,690 336,400
2470,33
933 999 0,159 2,012 245,770
2176,55
934 823 6,470 0,869 1,043
2133,44
934 829 3,460 18,070 30,150
145,48
934 933 0,031 1,207 0,922 1,127
318,55
934 1047 3,045 15,730 827,120
672,00
934 1047 3,041 15,710 827,090
306,88
934 9335 5,880 0,869 1,043
306,81
938 959 0,127 1,603 195,890
145,51
954 860 6,590 0,869 1,043
1163,45
954 1031 1,514 7,836 13,486
121,92
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
97
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
954 1047 5,051 17,770 730,600
316,74
954 1047 4,668 17,780 30,609
342,16
955 938 0,255 2,922 360,400
340,76
959 895 0,050 0,440 47,580
2429,06
960 834 2,210 11,470 519,690
308,57
960 959 0,032 1,163 0,945 1,155
566,03
960 959 0,031 1,166 0,945 1,155
563,07
960 1015 1,892 9,776 16,845
318,78
960 1015 1,895 9,704 17,029
318,81
978 1086 2,510 19,000 644,270
249,62
978 2458 0,590 7,630 33,406
306,99
999 66 0,001 0,010 1,135
2273,00
999 66 0,001 0,010 1,135
2273,00
999 66 0,001 0,010 1,135
2273,00
999 1027 0,110 1,394 170,280
2233,68
999 1060 0,154 1,940 236,970
1950,46
1028 1027 0,039 1,272 0,900 1,100
636,59
1028 1027 0,020 1,219 0,900 1,100
587,19
1029 1028 0,425 2,5030 7,770
283,37
1047 852 1,629 8,344 14,643
356,92
1047 919 0,024 2,269
786,27
1047 920 6,809
12,29
1047 921 0,108 3,391
391,62
1047 922 6,782
6,13
1047 1048 1,381 47,870 0,872 1,064
32,78
1047 1069 3,074 15,880 527,370
411,05
1048 2455 1,320 3,100 0,055
48,00
1060 925 0,008 1,136
1379,43
1060 926 0,034 4,545
28,09
2351 2354 1,010 3,030 0,770
145,13
2353 2354 10,400 0,869 1,043
63,34
2353 2354 10,870 0,869 1,043
63,34
2353 9332 40,210 0,869 1,043
45,28
2353 9332 40,180 0,869 1,043
45,28
2355 2395 1,360 2,600 0,046
11,02
2355 2402 1,800 7,940 0,155
118,29
2355 2404 2,110 4,040 0,070
36,64
2355 2462 0,950 4,160 0,084
82,84
2356 2387 2,840 8,770 0,134
79,40
2356 2387 2,840 8,770 0,134
79,40
2356 2392 4,110 11,900 0,231
75,87
2356 2400 2,030 5,900 0,101
65,63
2356 2405 2,030 5,900 0,101
63,82
2356 2414 2,290 4,610 0,075
47,58
2357 2387 1,740 4,970 0,102
69,11
2357 2387 1,830 4,960 0,113
69,43
2357 2408 0,660 3,250 0,080
127,80
2358 2363 2,030 6,260 0,095
82,06
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
98
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
2358 2368 1,830 5,640 0,085
91,78
2358 2368 1,830 5,640 0,085
86,79
2358 2397 0,670 3,890 0,062
83,43
2358 2397 0,670 3,890 0,062
89,25
2358 2404 4,080 8,210 0,151
3,31
2358 2422 1,460 4,230 0,072
87,31
2359 2364 0,390 1,160 0,330
66,52
2359 2375 1,070 2,450 0,699
49,85
2359 2378 3,640 10,760 2,858
80,35
2359 2391 0,620 1,910 0,546
66,23
2360 2365 0,570 2,740 0,068
91,24
2360 2397 0,650 3,170 0,078
130,63
2361 2401 1,950 5,690 0,095
55,97
2361 2412 3,750 11,110 0,194
89,25
2362 2368 0,340 0,990 0,016
77,89
2362 2370 1,250 3,990 0,066
78,61
2362 2406 3,210 9,360 0,154
14,33
2363 2366 3,640 12,280 0,235
83,81
2363 2381 3,240 11,110 0,212
86,73
2363 2393 15,300 35,640 0,595
59,00
2363 2396 14,030 28,720 0,444
52,92
2363 2422 0,580 1,670 0,028
86,92
2364 2391 0,410 1,300 0,378
64,73
2365 2401 2,090 6,980 0,130
80,24
2365 2401 2,090 6,980 0,130
80,24
2365 2408 0,440 2,130 0,053
9,96
2366 2387 2,010 6,670 0,141
54,87
2367 2350 43,500 1,072
1,67
2367 2374 6,480 13,430 0,204
2,34
2368 2411 0,270 0,830 0,013
68,86
2369 2396 7,790 15,650 0,248
56,88
2369 2414 5,680 11,450 0,184
48,48
2371 2402 2,620 5,350 0,081
57,73
2371 2406 2,400 5,310 0,083
58,19
2372 2386 0,630 2,770 0,065
89,42
2372 2397 0,580 2,920 0,066
115,02
2373 2384 5,150 14,970 4,074
161,62
2373 2410 7,690 23,180 6,187
158,98
2374 2352 16,660 1,097 1,097
39,99
2374 2376 11,010 22,030 0,36
26,92
2374 2397 31,030 54,940 0,854
36,66
2374 2397 31,030 54,940 0,854
36,66
2378 2389 4,650 14,210 3,497
159,44
2379 2390 4,410 12,920 3,567
126,07
2379 2410 0,810 2,900 0,938
195,80
2380 2382 14,430 42,420 0,800
22,51
2380 2401 1,170 5,510 0,089
51,76
2381 2387 1,790 6,410 0,143
37,42
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
99
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
2384 2390 2,470 7,190 1,969
57,58
2384 2416 0,190 0,830 0,317
90,78
2385 2407 1,070 2,800 0,070
76,87
2386 2394 0,310 1,400 0,039
88,62
2388 2401 3,830 11,130 0,190
56,05
2388 2402 2,400 6,990 0,111
88,86
2394 2401 0,660 3,020 0,084
120,41
2398 2401 3,560 10,700 0,170
80,33
2398 2401 3,560 10,700 0,170
80,33
2398 2409 7,120 6,390 0,088
63,89
2400 2401 1,900 5,510 0,094
46,78
2401 2407 1,700 4,920 0,079
71,02
2402 2403 2,870 8,370 0,134
23,59
2402 2406 0,100
181,66
2402 2412 1,800 5,410 0,099
75,37
2403 2411 0,410 1,190 0,019
24,05
2405 2407 0,200 0,590 0,009
65,92
2406 2462 0,870 3,870 0,071
117,90
2417 9437 0,860 2,720 0,755
108,52
2417 9437 0,860 2,720 0,755
108,52
2418 2439 1,490 4,550 1,119
48,86
2420 2446 6,890 13,200 0,234
50,44
2421 2423 1,760 5,130 1,395
157,71
2423 2426 0,090 0,280 0,069
168,19
2423 2435 84,800 0,826 1,000
9,46
2423 2440 0,570 1,750 0,437
168,85
2423 9323 82,960 0,850 1,050
17,52
2425 2432 0,820 3,890 0,064
89,14
2428 2434 39,480 32,740 0,426
14,86
2429 2485 5,220 15,990 3,910
44,31
2431 2432 50,320 0,826 1,000
51,95
2431 2432 47,520 0,826 1,000
48,95
2431 2432 48,120 0,826 1,000
51,95
2431 2485 7,780 16,450 3,821
94,88
2431 2485 5,240 15,230 4,136
163,89
2434 2435 45,400 1,000 1,000
10,64
2436 9437 2,560 7,470 2,021
105,42
2436 9437 2,560 7,470 2,021
105,42
2446 2449 5,880 11,270 0,200
54,79
2448 2449 37,700 72,240 1,280
54,82
2448 9800 0,400
54,82
2451 2456 75,370 76,950 1,040
38,30
2452 2455 13,480 24,730 0,385
35,00
2452 9800 19,820 60,560 0,031
55,99
2454 9800 18,520 53,920 0,915
41,13
2455 1061 17,970 42,210 0,760
11,77
2456 2469 64,380 65,730 0,890
26,78
2458 896 1,270 0,900 1,100
565,86
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
100
De Para r(%) x(%) b
s
(%) a mín a máx Limite (MW)
2460 2468 3,850 11,190 3,039
107,43
2460 2484 1,090 3,170 0,862
98,38
2461 2471 2,650 5,640 0,081
64,00
2466 2471 37,740 39,930 0,500
22,16
2467 2471 3,170 6,430 0,101
5,08
2469 2471 37,040 37,820 0,510
12,30
2470 2484 2,703 8,340 2,055
155,33
2471 2464 94,670 1,000 1,000
3,58
2485 2481 70,240 1,055
48,94
2498 2499 13,670 0,805 1,123
53,02
9333 2485 -0,820 1,000 1,000
49,41
9333 9334 42,610 1,000 1,000
49,98
9335 823 0,670 1,000 1,000
50,00
9335 9336 38,100 1,000 1,000
49,22
9337 2373 0,560 1,000 1,000
49,99
9337 9338 38,340 1,000 1,000
50,00
9339 9340 -1,500 1,000 1,000
49,99
9339 9341 16,180 1,000 1,000
49,81
9814 9816 0,270 1,610 3,187
50,00
9816 9815 0,340 1,710 3,003
49,9
831 9324 97,820 1,043
49,03
9324 9325 -8,450 1,000 1,000
39,81
9324 9326 39,120 1,000 1,000
149,94
831 9424 98,020 1,043
48,07
9424 9425 -8,780 1,000 1,000
143,03
9424 9426 39,620 1,000 1,000
57,76
829 9327 99,030 1,043
147,36
9327 9328 -7,630 1,000 1,000
57,40
9327 9329 37,600 1,000 1,000
33,06
829 9427 97,980 1,043
40,98
9427 9428 -8,550 1,000 1,000
40,98
9427 9429 38,920 1,000 1,000
40,98
Tabela A.1 - Dados das Linhas de Transmissão e Transformadores
101
Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga
Barra Nome Vmin
(pu)
Vmáx
(pu)
Pd
(MW)
Qd
(Mvar)
Shunt
(Mvar)
Área
66 IVAIPORA-525 0,95 1,05 -924,3 296,0 0 2
546 ROSANA---138 0,90 1,05 153,0 8,8 0 2
549 CAPIVARA-440 0,95 1,05 -572,7 -29,3 0 2
550 CAPIVARA-138 0,90 1,05 109,0 31,2 0 2
551 ASSIS--B-230 0,95 1,05 0,233 46,8 0 2
552 ASSIS----440 0,95 1,05 749,0 -203,5 -90,0 2
553 ASSIS-A--230 0,95 1,05 0 0 0 2
611 SALTGRD-Y230 0,95 1,05 0 0 0 2
612 SALTOGRDE230 0,95 1,05 0 0 0 2
613 SALTOGRDE-88 0,90 1,05 16,9 6,9 0 2
615 CHAVANTE-230 0,95 1,05 390,0 -32,7 0 2
813 GralhAzu-230 0,95 1,05 18,0 6,6 0 2
814 Bateias--230 0,95 1,05 0 0 0 2
815 CIndustr-230 0,95 1,05 0 0 0 2
816 CComprid-230 0,95 1,05 0 0 0 2
817 GPSouza--230 0,95 1,05 0 0 13,5 2
818 DISJoseP-230 0,95 1,05 0 0 0 2
819 Pilarzin-230 0,95 1,05 0 0 0 2
820 Uberaba--230 0,95 1,05 0 0 0 2
821 Umbara-2-230 0,95 1,05 0 0 0 2
822 Umbara-1-230 0,95 1,05 0 0 0 2
823 Areia----138 0,90 1,05 0 0 0 4
824 GBMunhoz-525 0,95 1,05 0 0 0 2
825 Guarapua-138 0,90 1,05 23,0 11,9 4,8 4
826 Irati----138 0,90 1,05 38,0 15,5 4,8 4
827 Jaguaria-230 0,95 1,05 0 0 0 2
828 Pitanga--138 0,90 1,05 22,2 11,3 2,4 4
829 PGrossaN-230 0,95 1,05 0 0 0 2
830 PGrossaN-138 0,90 1,05 0 0 0 4
831 PGrossaS-230 0,95 1,05 0 0 0 2
832 RioAzul--138 0,90 1,05 10,3 8,8 1,2 4
833 Sabara---138 0,90 1,05 18,0 8,8 4,8 4
834 SMateus--230 0,95 1,05 0 0 0 2
835 Socorro--138 0,90 1,05 10,9 3,2 0 4
836 UVitoria-138 0,90 1,05 40,5 25,0 9,6 4
837 VilaCarl-138 0,90 1,05 23,2 7,8 4,8 4
838 AChateau-138 0,90 1,05 20,8 9,7 2,4 4
839 Cascavel-230 0,95 1,05 0 0 0 2
840 Cascavel-138 0,90 1,05 30,5 9,3 2,4 4
841 CeuAzul--138 0,90 1,05 9,5 5,3 2,4 4
842 Vizinho--138 0,90 1,05 31,1 15,6 7,2 4
844 FIguacu--138 0,90 1,05 44,8 25,9 12 4
845 FBeltrao-138 0,90 1,05 35,3 13,6 4,8 4
846 Guaira---230 0,95 1,05 0 0 0 2
847 Guaira---138 0,90 1,05 14,6 6,7 2,4 4
848 FChopim--138 0,90 1,05 0 0 0 4
102
Barra Nome Vmin
(pu)
Vmáx
(pu)
Pd
(MW)
Qd
(Mvar)
Shunt
(Mvar)
Área
849 MCRondon-138 0,90 1,05 29,1 18,0 4,8 4
850 Medianei-138 0,90 1,05 40,3 18,4 7,2 4
851 Palotina-138 0,90 1,05 18,1 10,5 3,6 4
852 PBranco--230 0,95 1,05 0 0 0 2
853 PBranco--138 0,90 1,05 0 0 0 4
854 Pinheiro-138 0,90 1,05 44,4 16,0 7,2 4
855 Realeza--138 0,90 1,05 41,6 15,5 7,2 4
856 Segredo--525 0,95 1,05 0 0 0 2
857 Toledo---138 0,90 1,05 37,9 19,2 10,8 4
858 VYolanda-138 0,90 1,05 36,2 17,2 7,2 4
859 AlParana-138 0,90 1,05 18,1 10,4 2,4 4
860 CMourao--138 0,90 1,05 0 0 0 4
861 Cianorte-138 0,90 1,05 30,0 15,7 3,6 4
862 CGaucha--138 0,90 1,05 8,4 3,3 0 4
863 Goioere--138 0,90 1,05 14,8 6,3 4,8 4
864 JAlvorad-138 0,90 1,05 56,9 25,6 14,4 4
865 Loanda---138 0,90 1,05 19,6 9,8 0 4
866 Mambore--138 0,90 1,05 14,9 7,4 2,4 4
867 Mandagua-138 0,90 1,05 22,5 10,3 4,8 4
868 Maringa--230 0,95 1,05 0 0 0 2
869 Maringa--138 0,90 1,05 32,6 12,9 10,8 4
870 Paranava-138 0,90 1,05 33,4 12,7 7,2 4
871 SDumont--138 0,90 1,05 30,2 21,2 2,4 4
873 FChopim---69 0,90 1,05 0 0 0 4
874 Umuarama-138 0,90 1,05 45,5 21,0 7,2 4
875 Andira-B-138 0,90 1,05 18,8 13,0 4,8 4
876 Andira----88 0,90 1,05 0 0 0 4
877 Andira-A-138 0,90 1,05 0 0 0 4
878 Apucaran-230 0,95 1,05 0 0 0 2
879 Apucaran-138 0,90 1,05 29,2 18,4 7,2 4
880 Bandeira-138 0,90 1,05 16,1 8,4 2,4 4
881 BVParais-138 0,90 1,05 15,9 8,3 2,4 4
882 CProcopi-138 0,90 1,05 30,4 12,3 9,6 4
883 Faxinal--138 0,90 1,05 17,1 6,3 0 4
884 Figueira-230 0,95 1,05 0 0 0 2
885 Floresto-138 0,90 1,05 13,0 4,2 0 4
886 Ibipora--230 0,90 1,05 0 0 0 2
887 Ibipora--138 0,90 1,05 35,3 10,6 7,2 4
888 Ivaipora-138 0,90 1,05 20,7 8,3 2,4 4
889 LondrinC-230 0,95 1,05 0 0 0 2
890 Londrina-138 0,90 1,05 63,0 37,5 14,4 4
891 RDavidsB-138 0,90 1,05 19,3 10,2 0 4
892 VeraCruz-138 0,90 1,05 30 20,6 19,2 4
893 RDavidsA-138 0,90 1,05 21,7 11,7 12 4
894 Palermo--138 0,90 1,05 27,7 13,5 4,8 4
895 Bateias--525 0,95 1,05 -436,2 -205,0 0 2
896 CascavOe-525 0,95 1,05 0 0 0 2
Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga
103
Barra Nome Vmin
(pu)
Vmáx
(pu)
Pd
(MW)
Qd
(Mvar)
Shunt
(Mvar)
Área
897 SCaxias--525 0,95 1,05 0 0 0 2
898 FChopim--230 0,95 1,05 0 0 0 2
899 Horizont-138 0,90 1,05 37,6 14,3 0 4
933 Areia----525 0,95 1,05 5,3 0 0 2
934 Areia----230 0,90 1,05 0 0 0 2
938 Blumenau-525 0,95 1,05 937,0 -64,6 0 2
943 Canoinha-230 0,95 1,05 120,0 -9,3 0 2
954 CMourao--230 0,95 1,05 0 0 0 2
955 CNovos---525 0,95 1,05 815,0 -72,0 -100,0 2
959 Curitiba-525 0,95 1,05 4,4 0 0 2
960 Curitiba-230 0,95 1,05 0 0 0 2
978 Guaira-F-230 0,95 1,05 0 0 0 2
999 IvaiporE-525 0,95 1,05 3,1 0 0 2
1015 Joinvill-230 0,95 1,05 242,0 17,9 0 2
1027 Londrina-525 0,95 1,05 0 0 0 2
1028 LondrinE-230 0,95 1,05 0 0 0 2
1029 LondrinF-230 0,95 1,05 0 0 0 2
1031 MaringaF-230 0,95 1,05 0 0 0 2
1047 SOsorio--230 0,95 1,05 1,3 0 0 2
1048 SOsorio---69 0,90 1,05 1,3 0,8 0 2
1060 SSantiag-525 0,95 1,05 1539,0 8,2 0 2
1061 SSantiago-69 0,90 1,05 0,2 0 0 2
1069 Xanxere--230 0,95 1,05 388,0 -64,8 0 2
1086 Dourados-230 0,95 1,05 89,8 -22,3 27,0 2
1091 EldoradF-138 0,90 1,05 17,2 3,0 0 2
2351 FazIguac-138 0,90 1,05 28,3 18,0 0 3
2353 CAssobio-230 0,95 1,05 0 0 0 2
2354 CAssobio-138 0,90 1,05 0 0 0 3
2355 Araucaria-69 0,90 1,05 47,3 23,4 4,8 3
2356 Atuba-----69 0,90 1,05 33,2 18,1 7,2 3
2357 Bacacheri-69 0,90 1,05 27,3 9,7 4,8 3
2358 Barigui---69 0,90 1,05 38,1 11,4 9,6 3
2359 Bateias--138 0,90 1,05 0 0 0 3
2360 Batel-----69 0,90 1,05 48,5 17,7 0 3
2361 Boqueirao-69 0,90 1,05 38,0 8,1 0 3
2362 BOSCH-----69 0,90 1,05 13,5 4,0 0 6
2363 CComprido-69 0,90 1,05 0 0 0 3
2364 CLargo---138 0,90 1,05 18,0 9,7 7,2 3
2365 Capanema--69 0,90 1,05 33,7 12,5 19,2 3
2366 CentroCur-69 0,90 1,05 18,5 14,9 9,6 3
2367 Chamine---69 0,90 1,05 0 0 0 3
2368 CIndustri-69 0,90 1,05 0 0 30 3
2369 Colombo---69 0,90 1,05 22,1 5,7 4,8 3
2370 COCELPA---69 0,90 1,05 9,0 2,7 0 6
2371 ULTRAFERT-69 0,90 1,05 19.0 7,2 0 6
2372 GERDAU----69 0,90 1,05 0,6 0 0 6
Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga
104
Barra Nome Vmin
(pu)
Vmáx
(pu)
Pd
(MW)
Qd
(Mvar)
Shunt
(Mvar)
Área
2373 GPSouza--138 0,90 1,05 0 0 0 3
2374 Guaricana-69 0,90 1,05 0 0 0 3
2375 ITAMBE---138 0,90 1,05 4,6 0,4 0 6
2376 PIRIZAL---69 0,90 1,05 3,5 1,3 0 6
2377 CCPRB----230 0,90 1,05 16,1 0,1 0 6
2378 Lapa-----138 0,90 1,05 19,7 7,1 2,4 3
2379 Matinhos-138 0,90 1,05 9,6 7,4 12 5
2380 Guatupe---69 0,90 1,05 25,0 13,3 0 3
2381 Merces----69 0,90 1,05 48,1 33,0 9,6 3
2382 Morretes--69 0,90 1,05 11,0 3,9 2,4 3
2384 Paranagu-138 0,90 1,05 44,2 22,0 13,2 5
2385 Pinhais---69 0,90 1,05 17,5 6,5 0 3
2386 Parolin---69 0,90 1,05 39,6 14,4 4,8 3
2387 Pilarzinh-69 0,90 1,05 28,6 11,2 7,2 3
2388 PinheiriA-69 0,90 1,05 57,8 23,1 7,2 3
2389 TAF+Pien-138 0,90 1,05 29,4 13,1 0 3
2390 PLeste---138 0,90 1,05 11,8 5,1 2,4 5
2391 DICLargo-138 0,90 1,05 21,9 7,5 2,4 3
2392 4Barras---69 0,90 1,05 42,0 27,8 2,4 3
2393 CORN-PROD-69 0,90 1,05 7,0 0,3 0 6
2394 PLC+REF+D-69 0,90 1,05 10,6 3,6 0 6
2395 REPAR-----69 0,90 1,05 0,1 0 0 6
2396 RBranco---69 0,90 1,05 16,4 8,6 2,4 3
2397 SQuiteria-69 0,90 1,05 42,7 13,9 12 3
2398 SJPinhais-69 0,90 1,05 28,4 13,3 4,8 3
2399 SIGHURPOX230 0,90 1,05 61,2 22 0 6
2400 Taruma-L1-69 0,90 1,05 17,1 11,4 0 3
2401 Uberaba---69 0,90 1,05 43,7 16,2 16,8 3
2402 Umbara-A--69 0,90 1,05 0 0 0 3
2403 WMARTINS--69 0,90 1,05 0 0 0 6
2404 BERNECK---69 0,90 1,05 6,5 2,4 0 6
2405 Taruma-L2-69 0,90 1,05 24,6 16,9 4,8 3
2406 Umbara-B--69 0,90 1,05 0 0 0 3
2407 HUHTAMAKI-69 0,90 1,05 4,8 1,8 0 6
2408 AltGloria-69 0,90 1,05 41,1 24,2 0 3
2409 PROVIDENC-69 0,90 1,05 9,7 5,4 0 6
2410 Guaratub-138 0,90 1,05 22,4 13,7 4,8 5
2411 KRAF+NEWH-69 0,90 1,05 11,4 4,3 0 6
2412 Tatu+Furu-69 0,90 1,05 15,7 6,6 4,8 3
2414 Guaraitub-69 0,90 1,05 14,9 5,3 0 3
2416 Porto----138 0,90 1,05 25,2 10,5 0 6
2417 Belem----138 0,90 1,05 15,2 7,3 0 4
2418 Castro---138 0,90 1,05 26,7 10,4 4,8 4
2420 Guarapuav-69 0,90 1,05 0 0 0 4
2421 INPACEL--138 0,90 1,05 32,8 7,7 0 4
2422 VOLVO-----69 0,90 1,05 4,0 1,2 0 6
2423 Jaguaria-138 0,90 1,05 0 0 0 4
Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga
105
Barra Nome Vmin
(pu)
Vmáx
(pu)
Pd
(MW)
Qd
(Mvar)
Shunt
(Mvar)
Área
2424 XISTO----230 0,90 1,05 14,0 4,5 0 4
2425 KLABIN----69 0,90 1,05 51,0 18,8 0 4
2426 PISA-----138 0,90 1,05 78,3 7,6 0 4
2428 Senges----69 0,90 1,05 7,2 4,0 0 4
2429 SiCampos-138 0,90 1,05 20,6 12,0 2,4 4
2431 TelBorba-138 0,90 1,05 30,5 8,4 0 4
2432 TelBorba--69 0,90 1,05 28,6 8,3 40 4
2434 Jaguariai-69 0,90 1,05 0 0 0 4
2435 Jaguariai-34 0,90 1,05 9,0 3,4 0 4
2436 Palmeira-138 0,90 1,05 13,4 6,3 2,4 4
2439 BATAVIA--138 0,90 1,05 6,1 2,2 0 4
2440 PLACA-JGI138 0,90 1,05 10,8 0,9 0 4
2442 Clevelan-138 0,90 1,05 21,2 11,3 2,4 4
2446 CER+FOC---69 0,90 1,05 2,4 0,9 0 4
2448 Laranjei--69 0,90 1,05 17,4 8,0 2,4 4
2449 MSMARIA---69 0,90 1,05 13,8 1,0 0 4
2451 Pinheiros-69 0,90 1,05 0 0 0 4
2452 QIguacu---69 0,90 1,05 12,8 4,0 2,4 4
2453 SADIA----138 0,90 1,05 17,9 6,5 0 4
2454 CSEGREDO--69 0,90 1,05 12,3 3,2 2,4 4
2455 SOsorio-Y-69 0,90 1,05 0 0 0 4
2456 Ubirata---69 0,90 1,05 16,7 6,6 3,6 4
2457 Olimpico-138 0,90 1,05 33,4 14,9 0 4
2458 CascavOe-230 0,95 1,05 0 0 0 2
2460 AALEGRE--138 0,90 1,05 4 1,6 0 4
2461 SaltNatal-69 0,90 1,05 0 0 0 4
2462 PCONDGAS--69 0,90 1,05 0 0 0 3
2463 COPACOL--138 0,90 1,05 6,3 2,2 0 4
2464 Mourao-----2 0,90 1,05 6,1 1,8 0 4
2465 Altonia--138 0,90 1,05 10,9 3,4 0 4
2466 BarFerraz-69 0,90 1,05 11,0 8,5 0 4
2467 CMourao---69 0,90 1,05 0 0 0 4
2468 Colorado-138 0,90 1,05 14,5 7,0 2,4 4
2469 Mambore---69 0,90 1,05 0 0 0 4
2470 Maringa3-138 0,90 1,05 0 0 0 4
2471 Mourao----69 0,90 1,05 0 0 0 4
2473 JTropica-138 0,90 1,05 24,2 9,7 0 4
2481 Figueira---6 0,90 1,05 0 0 0 4
2483 Araponga-138 0,90 1,05 51,4 29,6 4,8 4
2484 Astorga--138 0,90 1,05 18,1 7,3 2,4 4
2485 Figueira-138 0,90 1,05 0 0 0 4
2486 JBandeir-138 0,90 1,05 31,2 17,7 4,8 4
2489 SAPlatin-138 0,90 1,05 17,1 5,9 4,8 4
2491 CristoRei138 0,90 1,05 16,5 5,1 0 4
2492 DXT+ATLAS138 0,90 1,05 7,1 2,9 0 4
2493 COCAMAR--138 0,90 1,05 12,4 4,3 0 9
2498 AcarayCF-138 0,90 1,05 0 0 0 4
Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga
106
Barra Nome Vmin
(pu)
Vmáx
(pu)
Pd
(MW)
Qd
(Mvar)
Shunt
(Mvar)
Área
2499 Acaray-CF-11 0,90 1,05 0 0 0 4
9321 CComprido-13 0,90 1,05 31,3 11,0 2,4 3
9322 DIND-SJP--13 0,90 1,05 11,5 3,2 0 3
9323 Jaguariai-13 0,9 1,05 9,0 3,8 0 4
9324 pgs-------T1 0,9 1,05 0 0 0 4
9325 pgs-----34T1 0,9 1,05 22,0 10,0 9,6 4
9326 pgs-----13T1 0,90 1,05 0 0 0 4
9424 pgs-------T2 0,90 1,05 0 0 0 4
9425 pgs-----34T2 0,90 1,05 22,0 10,0 9,6 4
9426 pgs-----13T1 0,90 1,05 0 0 0 4
9327 pgn-------T1 0,90 1,05 0 0 0 4
9328 pgn-----34T1 0,90 1,05 7,0 2,0 2,4 4
9329 pgn-----13T1 0,90 1,05 0 0 0 4
9427 pgn-------T2 0,90 1,05 0 0 0 4
9428 pgn-----34T2 0,90 1,05 30,0 5,0 9,6 4
9429 pgn-----13T2 0,90 1,05 4,2 2,0 4,8 4
9330 SaoMateus-34 0,90 1,05 7,3 2,5 0 4
9331 SaoMateus-13 0,90 1,05 4,8 1,7 0 4
9332 CASSOBIO--13 0,90 1,05 20,0 8,5 0 3
9333 Figueira-FIC 0,90 1,05 0 0 0 4
9334 Figueira--13 0,90 1,05 16,3 10,4 0 4
9335 Areia----FIC 0,90 1,05 0 0 0 4
9336 Areia-----13 0,90 1,05 2,2 0,6 0 4
9337 GPSouza--FIC 0,90 1,05 0 0 0 5
9338 GPSouza---13 0,90 1,05 3,8 1,1 0 5
9339 PBranco--FIC 0,90 1,05 0 0 0 4
9340 PBranco---34 0,90 1,05 16,3 6,2 0 4
9341 PBranco---13 0,90 1,05 22,7 9,9 9,6 4
9342 CIndustri-13 0,90 1,05 45,8 28,0 7,2 3
9437 MASISA---138 0,90 1,05 17,5 6,3 0 4
9800 LARANJ-Y--69 0,90 1,05 0 0 0 4
9814 BateiasF-230 0,95 1,05 0 0 0 2
9815 BateiasT-230 0,95 1,05 0 0 0 2
9816 CCompriF-230 0,95 1,05 0 0 0 2
9860 COAMO----138 0,90 1,05 8,0 0,6 0 4
9879 ApucaraF-138 0,90 1,05 0 0 0 4
Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga
107
Tabela A.3 - Dados das Barras de Geração
Barra Nome Vmin
(pu)
Vmáx
(pu)
Pgmáx
(MW)
Qgmín
(Mvar)
Qgmáx
(Mvar)
Área
507 CAPIVARA-4GR 0,95 1,05 580,0 -308,0 308,0 1
511 ROSANA---4GR 0,95 1,05 372,0 -144,0 144,0 1
512
S.GRANDE-
4GR
0,95 1,05 70,0 -32,0 42,6 1
514 Chavante-4GR 0,95 1,05 400,0 -200,0 200,0 1
800 GBMunhoz-4GR 0,95 1,05 1500,0 -800,0 800,0 1
801 GBMunhoz-0CS 0,95 1,05 0 0 0 1
804 GPSouza—4GR 0,95 1,05 260,0 -120,0 138,0 1
805 GPSouza—0CS 0,95 1,05 0 0 0 1
802 AraucarG-0GR 0,95 1,05 0 0 0 1
803 AraucarV-0GR 0,95 1,05 0 0 0 1
808 SCaxias--4GR 0,95 1,05 1210,0 -600,0 600,0 1
809 SCaxias--0CS 0,95 1,05 0 0 0 1
810 GNBraga--3GR 0,95 1,05 940,0 -300,0 399,0 1
811 GNBraga--0CS 0,95 1,05 0 0 0 1
919 SOsor1a4-3GR 0,95 1,05 540,0 -111,0 165,0 1
920 SOsor1a4-1CS 0,95 1,05 0 0 0 1
921 SOsor5e6-2GR 0,95 1,05 340,0 -168,0 168,0 1
922 SOsor5e6-0CS 0,95 1,05 0 0 0 1
925 SSantiag-4GR 0,95 1,05 1200,0 -440,0 420,0 1
926 SSantiag-0CS 0,95 1,05 0 0 0 1
2350 Chamine----6 0,90 1,05 11,6 -3,6 3,6 3
2352 Guaricana--6 0,90 1,05 13,6 -14 14 3
108
Anexo B
Representação Gráfica do Sistema Utilizado
B.1 Introdução
Este apêndice apresenta graficamente o sistema interligado da Região Sul, o sistema da
COPEL e o sistema da região de Curitiba.
B.2 Sistema da Região Sul
Neste mapa está representada a Rede Básica da Região Sul e suas interligações com as
outras regiões do Brasil.
109
110
B.3 Sistema da COPEL
Neste mapa está representado o sistema elétrico dentro do Estado do Paraná.
111
B.4 Sistema da Região de Curitiba
Neste mapa está representado o sistema elétrico da COPEL na região de
Curitiba. As áreas 3 e 6 estão situadas nesta região.
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