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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
ESTUDO ÓTIMO DA LOCALIZAÇÃO DE VÁLVULAS
REDUTORAS DE PRESSÃO EM SISTEMAS DE
DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA CONSIDERANDO OBJETIVOS
MÚLTIPLOS
AGUSTÍN MARIO ERNESTO AR ANDIA PÉREZ
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Tecnologias Ambientais da Universidade Federal de
Mato Grosso do Sul, como requisito parcial para obtenção
do título de Mestre em Saneamento Ambiental e Recursos
Hídricos
ORIENTADOR: Prof. Dr. Peter Batista Cheung
Campo Grande, julho de 2008
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Livros Grátis
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Milhares de livros grátis para download.
A minha mãe, Mercedes.
O teu amor continua a florescer.
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AGRADECIMENTOS
A Deus, pela Presença.
Ao Professor Peter Batista Cheung, pela amizade, competência, es tímulo e dedicação
a este trabalho.
Ao Professor Robert Schiaveto de Souza, pela ajuda incondicional e a constante
disponibilidade.
À Empresa ELETROBRÁS, pela bolsa de estudo concedida no âmbito do Programa
de Eficiência Energética no Saneamento Ambiental (PROCEL SANEAR).
Aos meus filhos, Ivan André e Sebastian Camilo, por serem minha inesgotável fonte
de inspiração, alegria e conforto.
À minha mãe, Mercedes, por plantar sementes de amor no seu curto passo pela vida
e porque nunca esteve ausente.
Ao meu pai, Giuseppe, por ser o gestor de grandes mudanças, pelo idealismo, abne-
gação, incentivo e amor.
A Conceição, pela infinita compreensão, amizade e carinho.
Às minhas irmãs, Paola, Claudia e Alessandra, pela companhia, ajuda e amor.
A Francesca, pela companhia, apoio, consideração e imenso carinho.
A todos os colegas, professores e funcionários do Departamento de Hidráulica e
Transportes da UFMS, pela colaboração.
Enfim, a todos que de alguma maneira contribuíram para a realização deste trabalho.
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
LISTA DE SÍMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx
1 INTRODUÇÃO 1
2 OBJETIVOS 3
3 REVISÃO DA LITERATURA 4
3.1 Caracterização Funcional das Perdas e suas Causas . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.1 Componentes do balanço hídrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.2 Causas das perdas nos sistemas de distribuição de água . . . . . . . 7
3.1.3 Índices de perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3.1 Classificação dos índices de perdas . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3.2 Informações-chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.3.3 Índices de perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3.4 Indicadores de confiabilidade das informações chave . . . . 19
3.1.4 Breve Panorama dos Sistemas Brasileiros . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.4.1 Perfil dos sistemas de informação em serviços de saneamento 21
3.1.4.2 Indicadores de perdas no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.4.3 Estratégias de combate às perdas . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Perdas por Vazamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iii
iv
3.2.1 Avaliação de perdas reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Relação entre vazamentos e pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.3 Relação entre vazamentos e energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Estratégias de Gerenciamento e Controle de Perdas por Vazamentos . . . . 40
3.3.1 Controle de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1.1 Válvulas redutoras de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Setorização do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.3 Modelagem e simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.3.1 Determinação dos parâmetros do modelo de vazamentos . 56
3.4 Otimização multiobjetivo aplicada a sistemas de distribuição de água . . . 67
3.4.1 Fundamentos da otimização multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2 Algoritmos evolucionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.3 Algoritmos evolucionários multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 METODOLOGIA 88
4.1 Definição do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.1 Variáveis de decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 Resiliência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Simulação Hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 Modelo de análise de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.2 Módulo de Avaliação Hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Caracterização e Modelagem do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1 Levantamento de informações cadastrais . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Construção de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3 Calibração do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Otimização Multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.1 Método de Otimização Multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.2 Implementação do Algoritmo de Otimização . . . . . . . . . . . . . 101
4.5 Redes Exemplo para Validação do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6 Ferramentas, Materiais e Linguagens de Programação . . . . . . . . . . . . 108
v
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES 109
5.1 Análise da Rede 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.1 Execução do módulo de avaliação hidráulica . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.2 Etapa de otimização multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.1.3 Etapa de decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.4 Configuração das válvulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 Análise da Rede 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.1 Execução do módulo de avaliação hidráulica . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2 Etapa de otimização multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.3 Etapa de decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.4 Configuração da válvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 9
6 CONCLUSÕES 144
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
LISTA DE FIGURAS
3.1 Componentes do balanço hídrico para sistemas de distribuição de água,
segundo o padrão da IWA (LAMBERT, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Hipótese de distribuição de perdas de água em um sistema de abastecimento
(ARAUJO, 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Classificação dos índices de perdas (MIRANDA; KOIDE, 2003) . . . . . . 11
3.4 Informações chave para construção de índices de perdas (MIRANDA; KOIDE,
2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5 Água não faturada nas companhias estaduais de saneamento básico (SNIS,
2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Variação das perdas na Região Metropolitana de São Paulo (SILVA; CO-
NEJO; MARCKA, 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 Evolução das perdas em um setor do DF, antes e após da VRP (GONÇAL-
VES; ALVIM, 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.8 Comparação das faixas de pressão na RMSP (CONEJO; LOPES; MARCKA,
2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.9 Relação entre os Vazamentos e a Pressão (WRC, 1980) . . . . . . . . . . . 34
3.10 Linha de energia (LE) de um segmento de tubulação com vazamento (CO-
LOMBO; KARNEY, 2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.11 Vazamentos relativos em função da perda de carga relativa e da localização
do vazamento (COLOMBO; KARNEY, 2 00 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.12 Relação de energia como uma função da localização e da magnitude do
vazamento (η = 1, h
f
= 0, 5) (COLOMBO; KARNEY, 2002) . . . . . . . . 40
3.13 A abordagem de quatro métodos para o gerenciamento das perdas reais
(LAMBERT; FANTOZZI, 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.14 Modo genérico de funcionamento de uma válvula redutora de pressão de
tipo convencional (ARAUJO, 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
vi
vii
3.15 Modo de funcionamento ativo de diferentes sistemas de válvulas redutoras
de pressão (ARAUJO, 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.16 Setorização clássica em sistemas de distribuição de água (GONÇALVES;
ALVIM, 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.17 Setores e pontos de amostragem de pressão em um modelo de rede rede
simplificada (SOARES et al., 2 00 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.18 Classificação dos modelos de avaliação dos vazamentos (SOARES, 2003) . . 51
3.19 Espaço variável de decisão (ZITZLER, 1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.20 Espaço função objetivo (ZITZLER, 1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.21 Ilustração dos co njuntos Pareto ótimo global e local considerando um pro-
blema de minimização (ZITZLER, 1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.22 Esquema geral de um procedimento multiobjetivo (DEB, 2001) . . . . . . . 78
3.23 Esquema geral dos algoritmos genéticos convencionais (CHEUNG, 2004) . 80
3.24 Estrutura geral dos algoritmos genéticos multiobjetivo (CHEUNG, 2004) . 81
4.1 Módulo de Avaliação Hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Procedimento geral do SPEA (CHEUNG, 2004) . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3 Rede número 1 de dois circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 Rede número 2: numeração dos nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5 Rede número 2: numeração das tubulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Resultados da otimização multiobjetivo para os coeficientes do padrão de
demanda iguais a: (a) 0,61 e (b) 0,41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2 Resultados da otimização multiobjetivo para os coeficientes do padrão de
demanda iguais a: (a) 0,81 e (b) 1,23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Resultados da otimização multiobjetivo para os coeficientes do padrão de
demanda iguais a: (a) 1,13 e (b) 0,92. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Resultados da otimização multiobjetivo para os coeficientes do padrão de
demanda iguais a: (a) 1,03 e (b) 0,82. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5 Soluções Pareto para a Rede 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6 Algoritmo de decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7 Esquema para determinação de fração de vazamentos I
v,pos
. . . . . . . . . 121
viii
5.8 Localizações preliminares das VRPs na Rede 1, com fatores de consumo
(a) F
c
= 0, 61, (b) F
c
= 0, 41, (c) F
c
= 0, 81 e (d) F
c
= 1, 23 . . . . . . . . . 122
5.9 Localizações preliminares das VRPs na Rede 1, com fatores de consumo
(a) F
c
= 1, 13, (b) F
c
= 0, 92, (c) F
c
= 1, 03 e (d) F
c
= 0, 82 . . . . . . . . . 123
5.10 Localizações selecionadas para as VRPs na Rede 1 . . . . . . . . . . . . . . 124
5.11 Linha de Energia (LE) de uma tubulação com VRP . . . . . . . . . . . . . 127
5.12 Soluções Pareto para a Rede 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.13 Soluções Pareto para a Rede 2 com F
c
= 1, 00 . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.14 Soluções escolhidas na frente Pareto com F
c
= 1, 00 . . . . . . . . . . . . . 13 6
5.15 Localizações preliminares das VRPs na Rede 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.16 Localizações escolhida para uma VRP na Rede 2 . . . . . . . . . . . . . . . 139
LISTA DE TABELAS
3.1 Critérios de avaliação preliminar da eficiência do sistema . . . . . . . . . . 9
3.2 Componentes das perdas anuais inevitáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Critérios de avaliação preliminar da eficiência do sistema . . . . . . . . . . 17
3.4 Aplicação da escala de confiabilidade no gerenciamento de informações . . 20
3.5 Distribuição de perdas na RMSP em 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Comparação entre metas e índices de perdas verificados . . . . . . . . . . . 29
3.7 Distribuição de perdas na RMSP em 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8 Valores referenciais do expoente α para a relação entre vazamentos e pressão 36
4.1 Fórmulas para o cálculo da p erda de carga contínua em escoamento sob
pressão (sistema SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.2 Características físicas da rede número 1, de dois circuitos . . . . . . . . . . 103
4.3 Características físicas dos nós da Rede 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 Características físicas das tubulações da Rede 2 . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1 Coeficientes do padrão de demanda aplicados à Rede 1 . . . . . . . . . . . 109
5.2 Valores calculados pelo módulo de avaliação hidráulica para a Rede 1 em
período estendido de 24 h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 Vetores decisão das soluções Pareto A
1
, B
1
e C
1
. . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Vetores decisão das soluções Pareto A
2
, B
2
e C
2
. . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5 Vetores decisão das soluções Pareto A
3
, B
3
e C
3
. . . . . . . . . . . . . . . 116
5.6 Cálculo da fração de vazamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7 Vetores solução escolhidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.8 Coeficientes C po nderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.9 Resultados da simulação com C
1
= C
2
= 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
ix
x
5.10 Resultados da simulação com C
1
= C
2
= 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.11 Cálculo do coeficiente de perda de carga localizada m da tubulação 1 . . . 129
5.12 Cálculo do coeficiente de perda de carga localizada m da tubulação 2 . . . 130
5.13 Resultados da simulação com VRPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.14 Coeficientes do padrão de demanda aplicados à Rede 2 . . . . . . . . . . . 132
5.15 Valores calculados pelo módulo de avaliação hidráulica para a Rede 2 em
período estendido de 24 h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.16 Vetor de decisão que corresponde à solução Pareto escolhida . . . . . . . . 137
5.17 Diferentes alternativas analisadas no processo de decisão . . . . . . . . . . 138
5.18 Resultados da simulação with C
163
= 19, 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.19 Resultados da simulação with C
163
= 18, 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.20 Cálculo do coeficiente de perda de carga localizada m da tubulação 163 . . 142
5.21 Resultados da simulação para a Rede 2 com VRP . . . . . . . . . . . . . . 143
xi
LISTA DE ABRE VIATURAS E SIGLAS
AE Algoritmo Evolucionário
AG Algoritmo Genético
ANF Água Não Faturada
BABE Background and Bursts Estimates
CMP Custo Médio das Perdas Reais
DEX Despesa de Exploração
EE Estratégias de Evolução
EP Extensão Parcial da Rede
ET Extensão Total da Rede
IANFC Índice de Água Não Faturada em Termos de Custo
ILB Índice Linear Bruto de Perda
IPAL Índice de Perdas Aparentes por Ligação
IPD Índice de Perda na Distribuição
IPF Índice de Perda de Faturamento
IPL Índice de Perda por Ligação
IPRL Índice de Perdas Reais por Ligação
IPRP Índice de Perdas Reais por Ligação Associado à Pressão
IVI Índice de Vazamentos da Infra-estrutura
IWA International Water Association
LA Número de Ligações Ativas
LE Linha de Energia
LEM Learnable Evolution Model
xii
LEMMO Learnable Evolution Model Multiobjective
MOGA Multiobjective Genetic Algorithm
ND Número de Días
NPGA Nitched Pareto Genetic Algorithm
NSGA Non-dominated Sorting Genetic Algorithm
OOTEN Object Oriented Toolkit for EPANET
PAES Pareto Archived Evolutionary Strategy
PE Programação Evolucionária
PECOP Programa Estadual de Controle de Perdas
PEDOP Programa de Controle e Desenvolvimento da O peração
PG Programação Genética
PLANASA Plano Nacional de Saneamento
PMO Pressão Média de Operação na Rede
PNCDA Programa Nacional de Combate ao Desperdício de Água
PRAE Perdas Reais Anuais Existentes
PRAI Perdas Reais Anuais Inevitáveis
RMSP Região Metropolitana de São Paulo
SABESP Companhia de Saneamento Basico do Estado de São Paulo
SANASA Sociedade de Abastecimento de Água e Saneamento
SANEPAR Companhia de Saneamento do Paraná
SC Sistema Classificatório
SCADA Sistema de Controle e Aquisição de Dados
SIG Sistema de Informação Geográfica
SPEA Stength Pareto Evolutionary Algorithm
TMA Tarifa Média de Água
TPS Tempo de Pressurização do Sistema
xiii
VCMC Volume de Consumo Mal Contabilizado
VCNA Volume de Consumo Não Autorizado
VD Volume Disponibilizado
VE Volume Estimado
VEGA Vector Evaluated Genetic Algorithm
VEs Volume Especial
VEx Volume Exportado
VF Volume Faturado
VI Volume Importado
Vm Volume Micromedido
VNM Vazão Noturna Mínima
VO Volume Operacional
VOEX Volume Operacional Extraordinário
VP Volume Produzido
VPA Volume de Perdas Aparentes
VR Volume Recuperado
VRP Válvula Redutora de Pressão
VU Volume Utilizado
VVAZ Volume de Vazamentos em Redes
WRC Water Research Center
xiv
LISTA DE SÍMBOLOS
A matriz do sistema hidráulico
A área do orifício
a fração de vazamentos, parâmetro de ajuste
a
0
fração de vazamentos mínima
C demanda de consumo, coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams
c parâmetro de penalidade
c
1
coeficiente de vazamento que depende das características do sistema
c
2
coeficiente de vazamento do setor a ser determinado
C
d
coeficiente de descarga
C
e
coeficiente de descarga do emissor
D diâmetro da tubulação
d expoente que depende do diâmetro da tubulação
E
d
energia mecânica a jusante da tubulação
E
s
energia mecânica a montante da tubulação
f fator de fricção de Darcy-Weisbach, função objetivo
F função aptidão
f
c
fator de demanda
F
c
fator de consumo
g aceleração da gravidade
GER número máximo de gerações
H carga hidráulica
H vetor de energias nodais
xv
h perda de carga, energia em determinado nó
h
∗
energia desejável para atender a demanda
H
∗
pressão de calibração da válvula
H
gw
carga hidráulica no solo circundante à tubulação
H
d
carga hidráulica a jusante na tubulação
h
f
perda de carga relativa
h
F
relação entre perdas de carga com vazamento e sem vazamentos
H
J
pressão a jusante
H
l
carga hidráulica na tubulação
h
p
perda de carga hidráulica distribuida
H
s
carga hidráulica a montante na tubulação
h
v
perda de carga hidráulica localizada na válvula
H
f
perda de carga em uma tubulação sem vazamento
H
f
perda de carga em uma tubulação com vazamento
I
r
índice de resiliência
I
v
índice de vazamentos
J número de tubulações ligadas a um determinado nó
k coeficiente de qualidade da rede, número de objetivos, coeficiente de
perda de carga localizada (EPANET)
K coeficiente de descarga do orifício, padrão de demanda
K
f
coeficiente do emissor
K
v
coeficiente de perda de carga
L comprimento da tubulação
M número de tubulações ligadas a um determinado nó
m índice de tempo, coeficiente de pe rda de carga localizada
N número total de nós, tamanho da população
n expoe nte da vazão no termo de perda de carga
xvi
n
b
número de quebras
N
r
número de nós de referência
NN número de nós
NP número de tubulações da rede
NP N número de nós com carga hidráulica desconhecida
NR número de reservatórios
NT número de tubulações
NT O número total de nós (conhecido e desconhecido)
nu fator empírico de eficiência
nv número de válvulas calculadas
OF função objetivo
P
∗
int
energia dissipada na rede
P
∗
mx
máxima energia que pode ser dissipada para atender a demanda
P
av
pressão média
P
cal
pressão calculada
P
0
pressão a jusante
P
m
dimensão da população externa
P
r
probabilidade de recombinação
P
t
conjunto de soluções
P NA parcela não atendida da demanda
Q vazão
Q vetor de vazões
q vetor de demandas nodais
q
∗
demanda efetivamente aba stecida
q
1
taxa de vazamento
Q
d
vazão de demanda
xvii
Q
F
vazamentos totais
Q
L
vazamentos, vazão a través do orifício
q
f
vazamento em determinado nó
Q
T
vazão total
R coeficiente de resistência
r fator de resistência
S Strength (SPEA)
sgn sinal
T número total de intervalos da simulação
T D demanda total efetivamente abastecida
T DP demanda potencial total
T S vazão total abastecida
T S
∗
demanda total de referência
V parâmetro que representa a abertura da válvula, vazamentos,
número total de válvulas
v velocidad de escoamento
V D vetor decisão
x localização do vazamentos em uma tubulação, variável de decisão
X
f
conjunto factível de vetores decisão
X
p
conjunto Pareto ótimo
Z cota topográfica
α expoente de vazamentos
β expoente do orifício
δ desvío
δ
1
coeficiente para prevenir pressões negativas
∆H diferença entre cargas hidráulicas
rugosidade absoluta
xviii
γ fator de potência, peso
π
1
percentagem de vazamento
π
2
percentagem de vazamento na rede não modelada
ρ coeficiente de distribución espacial da demanda
τ idade da tubulação
θ constante de vazamentos po r unidade de superfíce de tubulação
RESUMO
ARANDIA PÉREZ, A. M. E. (2008). Estudo Ótimo da Localização de Válvulas Redutoras de
Pressão em Sistemas de Distribuição de Água Considerando Objetivos Múltiplos. Campo G rande,
2008. 159 p. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Brasil.
No Brasil, os sistemas de distribuição de água com elevados índices de vazamentos
apresentam-se, para o s prestadores de serviço de saneamento, como um problema de múl-
tiplas facetas: desperdício de energia de bombeamento, comprometimento da qualidade
da água distribuída, investimentos de capital para reabilitação do sistema ou para com-
bater a deterioração de estruturas e serviços públicos. Estudos têm demonstrado que os
vazamentos e m uma tubulação, a partir de fraturas ou orifícios, estão relacionados propo r-
cionalmente com a pressão de água. Nesse sentido, a otimização de um sistema hidráulico
de abastecimento, orientada ao controle de pressões, pode resultar em um conjunto de
procedimentos a serem implantados para efetivamente diminuir o nível dos vazamentos, os
custos de energia associados e dessa fo rma melhorar as condições do serviço. Este estudo
busca desenvolver uma metodologia que minimiza os vazamentos em sistemas de distribui-
ção de água através da localização ótima de válvulas redutoras de pressão sob a ótica de
otimização multiobjetivo. Para tanto, utiliza-se a combinação de um modelo computaci-
onal do sistema, um simulador hidráulico amplamente testado pela comunidade científica
internacional, o EPANET 2, e um programa de otimização multiobjetivo desenvolvido
para integrar o modelo e o simulador hidráulico em procura das soluções ótimas. Duas
redes, denominadas Rede 1 e Rede 2, foram estudadas, evidenciando-se, em ambas, que
a introdução dos vazamentos diminuiu consideravelmente a resiliência dos sistemas. As
curvas Pareto obtidas no processo de otimização permitiram encontrar as relações entre
vazamentos, resiliência e demanda. A partir dessas relações, determinaram-se as melhores
alternativas de localização de VRPs através de um algoritmo de decisão. A seguir, foi
proposta uma maneira de escolher a alternativa mais adequada para cada uma das redes
analisadas. Finalmente, fora m determinadas as configurações das VRPs em termos de
coeficientes de perdas de carga adimensionais, os quais podem ser utilizadas para escolher
os tipos de dispositivos a serem instalados.
Palavras-Chave: vazamentos, controle de pressão, otimização multiobjetivo, válvulas
redutoras de pressão.
xix
ABSTRACT
ARANDIA PÉREZ, A. M. E. (2008). Analysis of the Optimal Location of Pressure Reducing
Valves in Water Distribution Systems Considering Multiple Objectives. Campo Grande, 2008.
159 p. Master’s Thesis - Federal University of Mato Grosso do Sul, Brazil.
In Brazil, water distribution systems with high lea kage levels represent a problem
with multiple implications for water utilities. Leakage, which accounts for the dominant
component of water losses, produces negative effects from the economica l, as well as from
the operational perspectives: increase in pumping energy, compromise of water quality,
increase in costs for rehabilitation or for reducing the deterioration of surrounding struc-
tures and public services. Many studies have demonstrated that leakage through cracks
and orifices in a pipe increases propo rtionally with the increase of pressure. Therefore, op-
timization of a hydraulic distribution system through pressure control can lead to defining
policies for effectively reducing the leakage level, the energy costs associated and thus,
improving the service conditions. This study aims to develop a methodology to minimize
leakage in water distribution systems by means of determining the optimal location of
pressure reducing valves and following a multiobjective approach. In pursuing such pur-
pose, optimal solutions are searched through the combination of a computer model of the
system, a hydraulic s imulator, EPANET 2, which has been broadly tested by the inter-
national scientific community, and a multiobjective optimization program, developed to
integrate the network model and the hydraulic simulator. Two networks, named Network
1 and Network 2, were studied. In both cases, it was evidenced that introducing leakage
considerably reduced the resilience of the systems. The Pareto fronts obtained in the
optimization process allowed for determining the relationship between leakage, resilience
and demand. By knowing those relationships, the best alternative locations for PRVs were
established through the application of a decision algo rithm. A manner to select the most
suitable alternative was further proposed for each network. Finally, the configurations for
the PRVs were determined in terms of nondimensional head loss co efficients, which can
be used to select the type of PRV to be installed.
Keywo rds: leakage, pressure control, multiobjective optimization, pressure reducing
valves.
xx
1 INTRODUÇÃO
Os prestadores de serviços de saneamento freqüentemente calculam o balanço hídrico em
um sistema de distribuição de água como sendo a diferença entre o volume fornecido ao
sistema e o volume faturado. O resultado dessa diferença é o volume de perdas totais,
definido pela International Water Association (IWA) como a soma das perdas reais mais
as perdas aparentes. O componente dominante das perdas de água é, usualmente, a por-
ção correspondente aos vazamentos, que segundo valores médios encontrados em diversos
sistemas nacionais e internacionais, representam entre 40 e 60% das perdas totais de água
(GONÇALVES; ALVIM, 2005).
Os vazamentos produzem efeitos negativos tanto do ponto de vista econômico como
operacional. Sistemas com vazamentos precisam de maior energia de bo mbeamento para
compensar as perdas de pressão e aumentam o risco de intrusão de contaminantes, com-
prometendo assim a qualidade da água distribuída. Com freqüência, as perdas envolvem
altos investimentos de capital para reabilitação do sistema ou para combater a deteriora-
ção de estruturas e serviços públicos adjacentes.
A realidade a tual das empresas de água consiste basicamente em operar sistemas de
distribuição que foram projetados sob critérios convencionais de satisfação da demanda e
que atualmente correspondem a uma grande po rção de componentes envelhecidos. Os ín-
dices de perdas de água na Europa encontram-se entre 9 e 30% (LAI, 1991), nos Estados
Unidos entre 20 e 50% (BROTHERS, 2001) e em países não industrializados normal-
mente estão acima de 40% (LAI, 1991; CHOWDHURY; AHMED; GAFFAR, 1999). Isso
coloca os prestadores de serviços de água na categoria dos negócios com maiores volumes
de desperdício do seu produto acabado e pronto para a entrega. O grande desafio des-
sas empresas, p o rtanto, consiste em tornar sustentáveis suas atividades, apesar do fraco
desempenho dos sistemas de transporte de água.
2
O problema adquire dimensões elevadas quando se leva em consideraçã o a diminui-
ção progressiva das fontes de abastecimento de água e de energia. Frente a tais a spectos ,
os projetos que visam atender uma demanda crescente e com melhor qualidade de á gua ,
devem priorizar o uso racional dos recursos. Nesse sentido, os prestadores de serviço de
saneamento precisam adotar políticas de redução de perdas , as quais podem ser estrutura-
das nas experiências bem sucedidas. Visto que os vazamentos são os maiores componentes
de desperdício de água, um programa de redução de perdas deve priorizar alternativas
para minimizá-los a um custo baixo.
Estudos têm demonstrado que os vazamentos em uma tubulação, a partir de fra-
turas ou orifícios, estão relacionados proporcionalmente com a pressão de água. Se a
pressão aumenta, o volume de água perdida também aumenta. Além disso, os incremen-
tos de pressão afetam diretamente o número de rupturas que ocorrem nos sistemas de
distribuição. Embora não forneça uma resposta eficaz ao problema de perdas de ág ua, a
otimização de um sistema hidráulico de abastecimento, orientada ao controle de pressões,
pode resultar em um conjunto de procedimentos a serem implantados para efetivamente
diminuir o nível dos vazamentos, os custos de energia associados e dessa forma melhorar
as condições do serviço.
As ferramentas computacionais que têm sido desenvolvidas nas últimas décadas for-
necem possibilidades para análise do comportamento das redes hidráulicas através de
modelos matemáticos (SOUZA, 1994). Uma apropriada combinação entre um modelo
adequado do sistema, um simulador hidráulico versátil e um conjunto de rotinas de pro-
gramação pode resultar em uma análise bem sucedida do sistema que permita obter
conclusões a serem efetivamente implantadas para otimizar a operação do mesmo.
Este trabalho busca desenvolver uma metodolog ia que minimiza os vazamentos em
sistemas de distribuição de água através da localização ótima de válvulas redutoras de
pressão sob a ótica de otimização multiobjetivo. É utilizada a combinação dos três ele-
mentos citados a cima: (1) um mo delo adequado, baseado em informação real da topologia
e da operação do sistema; (2) um simulador hidráulico versátil, o EPANET 2, de utiliza-
ção pública, com códigos de programação abertos e amplamente testado pela comunidade
científica internacional; (3) um programa de otimização multiobjetivo desenvolvido para
interagir com o simulador EPANET, mediante ferramentas programação.
2 OBJETIVOS
Esta pesquisa tem como objetivo principal aplicar técnicas de otimização, baseadas em
algoritmos evolucionários multiobjetivo, para determinar a localização e a configuração de
válvulas redutoras de pressão em modelos de sistemas de distribuição de água, com o pro-
pósito de minimizar os vazamentos e maximizar a confiabilidade hidráulica e a eficiência
energética, simultaneamente.
Os objetivos específicos que devem ser buscados para alcançar o propósito geral são
definidos a seguir:
• Análise detalhada da literatura sobre as técnicas de otimização relacionadas com a
localização e configuração de válvulas redutoras de pressão e sobre relações entre
energia e vazamentos no s istema de distribuição de água.
• Estudo das funções objetivos, as quais relacionam a interação entre os dispositivos
de controle e o modelo do sistema de distribuição.
• Desenvolvimento de código computacional que integre o módulo de simulação hi-
dráulica e o módulo de otimização.
• Realização de simulações orientadas para investigar estudos de ca so reportados na
literatura.
3 REVISÃO DA L ITERATURA
A revisão bibliográfica deste trabalho está orientada ao contexto técnico-científico, dis-
ponível na literatura, ao desenvolvimento das aplicações. Julga-se, portanto pertinente,
analisar trabalhos relacionados com:
1. Caracterização das perdas e suas causas. Perdas por vazamentos e métodos de
cálculo, formas de controle das perdas reais através de estruturas de controle.
2. A problemática do desperdiço de água no contexto brasileiro, a partir de um pano-
rama geral dos sistemas públicos de abastecimento.
3. Relações entre energia mecânica e variáveis hidráulicas de sistemas de distribuição,
visando a obter uma função entre a eficiência energética e a hidráulica do modelo
de rede.
4. Otimização multiobjetivo aplicada a sistemas de distribuição, em procura das de-
finições de maximização e minimização quando se consideram objetivos múltiplos
e das estruturas dos algoritmos evolucionários necessários para obter as soluções
ótimas.
3.1 Caracterização Funcional das Perdas e suas Causas
Farley e Trow (2003) afirmam que as perdas de água estão presentes em todos o s siste-
mas de distribuição, e que o volume de água perdida é variável entre diferentes sistemas,
em função das características das tubulações, da p olítica operacional da companhia de
água, do nível da tecnologia e da regulação do setor. Além disso, esses autores observam
que os componentes das pe rdas e suas significâncias relativas mudam consideravelmente
quando se comparam índices de diferentes países e também de diferentes regiões de um
5
mesmo país. Uma das dificuldades de uma estratégia para o controle de perdas é, por-
tanto, compreender a relação entre os elementos que compõem as perdas, partindo de sua
caracterização. A seguir, apresenta-se a composiçã o do balanço hídrico das perdas em
sistemas de distribuição de água, seguindo o padrão internacional da International Water
Association (IWA). Posteriormente, descreve-se as causas principais das perdas.
3.1.1 Componentes do balanço hídrico
O padrão internacional do balanço hídrico foi apresentado originalmente por Lambert e
Hirner (2000), Alegre et al. (2000), como parte das publicações da IWA sobre perdas de
água e indicadores de desempenho nos sistemas de distribuição de água, no â mbito do
Grupo de Trabalho sobre Perdas de Água da entidade. Segundo Farley e Trow (2003),
antes desse trabalho, existia uma grande diversidade de formatos e denominações, que
impossibilitavam a padronização de uma terminologia comum aos volumes de água em
um sistema de distribuição. A Figura 3.1 apresenta os componentes do balanço hídrico
segundo a IWA.
FIGURA 3.1 - Componentes do balanço hídrico pa ra sistemas de distribuição de água,
segundo o padrão da IWA (LAMBERT, 2003)
Lambert (2003) define os componentes mais importantes da Figura 3.1 da seguinte
maneira: o volume fornecido ao sistema é o volume de água fornecido à parte do sistema
de abastecimento (setor) que se analisa. O consumo autorizado corresponde ao volume
de água consumida pelos usuários registrados, pelo prestador de serviços e por outros que
estão implícita ou explicitamente autorizados para o consumo. Inclui-se nesta categoria
6
a água exportada (se for o caso) e o volume de perdas por vazamentos e extravasamentos
posteriores ao hidrômetro do usuário. A Água Não Faturada (ANF), é a diferença entre o
volume fornecido ao sistema e o consumo autorizado. A composição da ANF depende do
consumo autorizado não faturado e das perdas de água . As perdas de água representam a
diferença entre o volume fornecido ao sistema e o consumo autorizado, as quais são classi-
ficadas em perdas aparentes e as perdas reais. As perdas aparentes consistem do consumo
não autorizado e das imprecisões nos hidrômetros (i.e., todo tipo de erros de medição do
consumo dos usuários). As perdas reais correspondem ao volume anual de água perdida
através de vazamentos no sistema, causados pelo rompimentos de adutoras, aberturas e
orifícios em tubulações, uniões e ligações de serviço e fissuras nas impermeabilizações de
reservatórios prévias a o hidrômetro do usuário.
Segundo Gonçalves e Alvim (2005), as perdas operacionais, causadas por procedi-
mentos como lavagem de filtros, lavagem e descargas de redes, descargas em hidrantes,
limpeza e extravasamentos em reservatórios, também pertencem à categoria de perdas
reais . Esses autores afirmam que, no contexto brasileiro, não está definido o uso do
consumo operacional na contabilização das perdas, motivo pelo qual a maioria das com-
panhias considera esse consumo como perda real.
Com relação ao consumo autorizado não faturado, Farley e Trow (2003) afirmam
que o mesmo representa normalmente um componente pequeno do balanço hídrico (menos
de 1% do volume fornecido ao sistema), incluindo items como: combate e treinamento
contra incêndios, descargas de adutoras e sistemas de esgoto, limpeza de tanques dos
prestadores de serviço, enchimento de carros-tanque, água tomada de hidrantes, limpeza
de ruas, irrigações de jardins municipais, fontes públicas, etc. A água para estes fins pode
ser faturada ou não faturada, medida ou não medida, de a cordo com as práticas locais.
A Companhia de Saneamento do Paraná (SANEPAR), apresenta um organograma
de como as p erdas podem estar distribuídas, em termos percentuais, em um sistema de
abastecimento. A Figura 3.2 ilustra os resultados da estimativa da SANEPAR, onde
observa-se que as perdas de água estão, na sua maioria, associadas às perdas reais nos
sistemas de condutos (i.e., rede de distribuição propriamente dita) e a erros de medição,
principalmente nas unidades consumidoras.
As experiências de técnicos da Sociedade de Abastecimento de Água e Sanea mento
(SANASA) de Campinas, São Paulo, estabelecem que a maior quantidade de ocorrências
7
FIGURA 3.2 - Hipótese de distribuição de perdas de água em um sistema de abastecimento
(ARAUJO, 2005)
de vazamentos está nos ramais prediais (entre 70 e 90% da quantidade total de ocor-
rências). Em termos de volume perdido, a maior incidência está nas tubulações da rede
distribuidora (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004).
A redução das perdas reais permite diminuir os custos de produção, mediante a
diminuição do consumo de energia, de produtos químicos e outros, e utilizar as instalações
existentes para aumentar a oferta sem necessidade de expansão do sistema produtor.
Por outro lado, a redução das perdas aparentes permite aumentar a receita tarifária,
melhorando a eficiência dos serviços prestados e o desempenho financeiro do prestador de
serviços (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004).
3.1.2 Causas das perdas nos sistemas de di stribuição de água
As causas e a magnitude das perdas, assim como a natureza da s ações para seu controle,
podem ser sensivelmente diferentes nos diversos componentes de um sistema de abasteci-
mento de água. É desejável que o controle de perdas seja feito por subsistema. Pode-se
dividir o programa de controle nos seguintes subsistemas: (1) adução de água bruta, que
compreende a captação e adução de água bruta; (2) tratamento, na ETA ou unidade
de tratamento simplificado; (3) reservação; (4) adução de água tratada, que consiste nas
adutoras e subadutoras de água tratada e instalações de recalque; e (5) distribuição, que
compreende a rede de água tratada e ramais prediais. Essa subdivisão facilita o diag-
8
nóstico das perdas no sistema de abastecimento e a orientação para ações preventivas e
corretivas.
A categoria número (5) das citadas acima, isto é, o sistema de distribuição de água
tratada e ramais, é a que corresponde ao escopo deste trabalho. As perdas reais que
ocorrem nos sis temas de distribuição de água são muitas vezes elevadas e se encontram
dispersas, fazendo com que as ações corretivas se tornem complexas, onerosas e de retorno
duvidoso, se não forem realizadas com critérios e controles técnicos rígido s.
Segundo Silva, Conejo e Marcka (2004), as prováveis causa s de rompimentos ou
falhas que provocam vazamentos na s redes hidráulicas, em função da fase de desenvolvi-
mento do sistema de distribuição, podem ser classificadas em quatro grupos: (1) plane-
jamento e projeto, (2) construção, (3) operação e manutenção, e (4) expansão, descritos
por esses autores na seguinte maneira:
As falhas presentes durante o planejamento e o projeto são causadas, principalmente,
por deficiências nas estimativas das demandas ao longo do tempo, falta de cálculo de tran-
sientes e não estabelecimento de regras para a futura operação dos sistemas. Na fase de
construção, as causas possíveis de falhas são o controle inadequado da qualidade dos ma-
teriais de construção e dos procedimentos de armazenamento, transporte e instalação; o
uso de ferramentas e equipamentos inadequados, a falta de treinamento dos operários e as
deficiências na fiscalização, constituem outras causas de futuros problemas originadas no
processo de execução de obras. A respeito da operação e manutenção, as falhas ocorrem,
principalmente, pela falta de uma adequada organização operacional e do estabelecimento
de políticas sólidas de manutenção preventiva e c orretiva. Finalmente, na etapa de ex-
pansão do sistema, os erros cometidos estão relacionados às manobras inadequadas que
continuamente devem ser realizadas pela ausência de um planejamento integral dos sis-
temas. A Tabela 3.1 apresenta a classificação das causas de falhas de acordo com Silva,
Conejo e Marcka (2004).
Covas (1998) identifica vários fatores que poderiam influenciar as perdas nos siste-
mas de distribuição de água. Em primeiro lugar, é mencionado que as pressões elevadas
na rede tornam o sistema suscetível à oco rrência de vazamentos bem como a freqüentes
rupturas por fadiga do material das tubulaçõ es e acessórios. Por outro lado, as inade-
quadas manobras operacionais podem propiciar a ocorrência de transientes ou golpe de
aríete, causando rupturas e desencaixe de tubos, e ntre outros efeitos de origem dinâ-
9
TABELA 3.1 - Critérios de avaliação preliminar da eficiência do sistema
Fase da falha Causa da falha Causa da ruptura
subdimensionamento sobrepressão
ausência de ventosas subpressão
Planejamento e cálculo de transientes sub e sobrepressão
projeto regras de operação sub e sobrepressão
setorização sobrepressão
treinamento sub e sobrepressão
construtivos
materiais
Construção peças
equipamentos
treinamento
enchimento sub e sobrepressão
esvaziamento subpressão
Operação manobras sub e sobrepressão
ausência de regras sub e sobrepressão
treinamento sub e sobrepressão
sem prevenção
mal-feita
Manutenção treinamento
interação operação/usuário
tempo de resposta
Expansão sem projeto sub e sobrepressão
sem visão conjunta sub e sobrepressão
Fonte: Silva, Conejo e Marcka (2004)
mica. As condições estruturais dos componentes do sistema, tais como materiais que os
conformam, tempo de instalação, qualidade da água (internamente) e proteção contra a
corrosão (externamente) podem também provocar vazamentos. O modo de construção,
quando não co nsidera o apropriado controle da qualidade do s materiais (quanto a resis-
tência e durabilidade), o correto assentamento das tubulações e a proteção das mesmas
com recobrimentos suficientes, leva a futuras rupturas por flexão ou torção dos compo-
nentes da rede. As características do solo, no qual estão assentadas as tubulações, são
determinantes para as perdas, principalmente quando ocorrem infiltrações freqüentes de
água, de qualquer origem, capazes de arrastar partículas finas do solo e assim causar as-
sentamentos diferenciais nas tubulações que debilitam as uniões. A freqüente passagem
de veículos pesados sobre os condutos pode danificá-los pelo efeito do esmagamento, em
algum tempo, quando o material que os conforma não apresenta a resistência suficiente.
Finalmente, a inexistência de um sistema de monitoramento e controle da rede, tipo SIG
10
(Sistema de Informação Geográfica) e/ou SCADA (Sistema de Controle e Aquisição de
Dados), que permita acessar às diversas zo nas de medição do sistema, dificulta as tarefas
de detecção e atenuação de perdas.
Lambert, Myers e Trow (1998) chegam a apontar que 45 a 75% dos vazamentos são
devido a rupturas nas tubulações, 11 a 37% deve-se à construção, 8 a 13% deve-se a falhas
nas uniões e de 5 a 6 % deve-se à corrosão. Esses autores afirmam que o volume de perdas
que é permitido em um sistema de distribuição está relacionado diretamente às políticas
da empresa prestadora de serviços, que podem ser classificadas em quatro grupos: (1)
recursos financeiros e humanos, como fatores significativos da abrangência e de efetividade
das ações de gestão e operação; (2) condiçõe s da infraestrutura, em termos da qualidade
dos materiais e da instalação, das pressões do sistema e das políticas de substituição e
reabilitação; (3) atitude institucional, que envolve o interesse dos governos e autoridades
municipais como fatores que influenciam diretamente a organização e operação da rede
e (4) políticas de controle de perdas, que determina o nível de atividade voltado ao
monitoramento e controle de perdas.
Arreguín-Cortes e Ochoa-Alejo (1997) identificam as causas e relacionam os vaza-
mentos, em sistemas de distribuição, com: qualidade da água, tecnologia e materiais
utilizados na construção da rede, pressões de operação, idade do sistema e as práticas
de operação e manutenção da companhia de águas. Esses autores indicam, ainda, que
os vazamentos ocorrem em uma rede quando as tubulações apresentam quebras longitu-
dinais e/ou circunferenciais, corrosão, uniões deficientes entre si, ou esmagamentos. As
fissuras circunferenciais são causadas por vibrações de cargas dinâmicas na superfície. As
quebras long itudinais são devidas à fadiga, defeitos de fabricação ou golpe de ariete. A
corrosão e as falhas em válvulas são defeitos relacio nados também com a fabricação dos
produtos. As uniões não estanques e os esmagamentos podem ser o resultado de práticas
inadequadas de construção.
Os materiais e equipamentos utilizados e os procedimentos adotados na implemen-
tação de um sistema de abastecimento estão co ntinuamente evoluindo, do ponto de vista
tecnológico. Com isso, a seleção de materiais e equipamentos, a inspeção, os procedimen-
tos construtivos e a fiscalização para o recebimento da obra têm um peso considerável
sobre a qualidade do sistema e sua vida útil, devendo ser valorizados para que as perdas
sejam desprezíveis em novos sistemas. A automação é outro item relevante, podendo ser
11
implementada gradualmente e s etorialmente, reduzindo a possibilidade de manobras e
operações inadequadas praticadas por operadores (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004).
3.1.3 Índices de perdas
Os índices ou indicadores de perdas devem oferecer bases seguras para o planejamento das
ações de redução e controle, possibilitar a análise de desempenho, permitindo a compara-
ção entre diferentes sistemas e operadores de serviços; bem como contribuir na definição
de políticas públicas para o setor saneamento (MIRANDA; KO IDE, 2003 ).
3.1.3.1 Classificação dos índices de perdas
As propostas apresentadas por Alegre et al. (2000) e Silva, Conejo e Marcka (2004) reco-
mendam organizar os indicadores em categorias, de acordo com a dificuldade de obtenção
dos dados que os compõem e com os objetivos da avaliação que se pretende fazer. Assim a
diversidade de indicadores pode ser agrupada em níveis básico, intermediário e avançado.
A Figura 3.3 apresenta os indicadores de perdas, de acordo com a anterior classificação ,
os quais serão posteriormente definidos.
FIGURA 3.3 - Classificação dos índices de perdas (MIRANDA; KOIDE, 2003)
12
De acordo com Silva, Conejo e Marcka (2004), o nível básico é composto por indica-
dores derivados de informações técnicas mínimas, exigíveis de todos os sistemas indistinta-
mente; fornece uma síntese da eficiência e da eficácia do operador. O nível intermediário,
segundo esses autores, compreende indicadores derivados de informações técnicas espe-
cíficas mais refinadas do que as utilizadas nos indicadores do nível básico; permite um
conhecimento mais pormenorizado que os indicadores do nível básico, para uma análise
mais profunda. Ainda Silva, Conejo e Marcka (2004), afirmam que o nível avançado
está composto por indicadores derivados de informações técnicas que, adicionalmente aos
atributos das anteriores (níveis básico e intermediário), envolvem um grande esforço de
monitoramento e controle operacional, utilizando técnicas e equipamentos mais sofistica-
dos; indicadores com maior detalhe específico, relevantes para a gestão do operador.
3.1.3.2 Informações-chave
As informações técnicas e gerenciais que compõem diretamente os índices de desempenho,
são denominadas informações-chave (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004). Tais informa-
ções são apresentadas na Figura 3.4 em correspondência com os níveis de classificação dos
índices de perdas aos que pertencem.
Nível básico
Silva, Conejo e Marcka (2004) definem as informações chave para os indicadores no nível
básico na maneira descrita a seguir. O volume disponibilizado (VD) é definido como
VD = VP + VEx + VIm (3.1)
onde VP, VEx e VIm são, respectivamente, os volumes produzido, exportado e impor-
tado. O volume produzido compreende os volumes efluentes das estações de tratamento
simplificado no sistema de abastecimento considerado; o volume importado representa os
volumes de água potável, com qualidade para pronta distribuição, recebidos de outras
áreas de serviço e/ou de outros agentes produtores; o volume exportado é constituído
pela água potável, com qualidade para pronta distribuição, transferida para outras áreas
de serviço e/ou para outros agentes distribuidores.
13
FIGURA 3.4 - Informações chave para construção de índices de perdas (MIRANDA;
KOIDE, 2003)
O volume utilizado (VU) é definido através da seguinte equação:
VU = Vm + VE + VR + VO + VEs (3.2)
onde Vm, VE, VR, VO e VEs são, respectivamente, os volumes micromedido, estimado,
recuperado, operacional e especial. O volume micromedido compreende os volumes de
água registrados nas ligações providas de medidores; o volume estimado corresponde à
estimativa de consumo a partir dos volumes micromedidos em áreas com as mesmas ca-
racterísticas da estimada, para as mesmas categorias de usuários; o volume recuperado
corresponde à neutralização de ligações clandestinas e fraudes; o volume operacional é
14
formado pela água utilizada em testes de estanqueidade e desinfecçã o das redes (adu-
toras, sub-adutoras e distribuição); e o volume especial compreende os volumes (prefe-
rencialmente medidos) destinados para corpo de bombeiros, caminhões-pipa, suprimentos
sociais e uso próprio nas edificações do prestador de serviços.
Silva, Conejo e Marcka (2004) definem também os restantes componentes dos índi-
ces de perdas: o volume faturado (VF) compreende todos os volumes de água medida,
presumida, estimada, contratada, mínima ou informada, f aturados pelo sistema comercial
do prestador de serviços. O número de ligações ativas (LA) representa as conexões de
serviço providas ou não de hidrômetro, que contribuem para o faturamento mensal. A
extensão parcial da rede (EP) compreende o comprimento de adutoras, sub-adutoras e
redes de distribuição, sem considerar os ramais prediais. A extensão total da rede (ET)
representa o comprimento total de adutoras, sub-adutoras, redes de distribuição e ramais
prediais. O número de dias (ND) é a quantidade de dias correspondentes aos volumes
trabalhados.
Níveis intermediário e avançado
O volume de perdas reais (PRAE) é definido por Miranda e Koide (2003) como o volume
de perdas reais de água no sistema em pressão, até o ponto de medição do usuário,
referente aos volumes operacionais extraordinários e aos vazamentos nas redes. Esses
autores representam o PRAE como
PRAE = VVAZ + VOEX (3.3)
onde VVAZ é o volume de vazamentos nas redes e VOEX o volume operacional extra-
ordinário. O volume de vazamentos nas redes é constituído pelas perdas físicas de água
causadas por vazamentos e rompimentos nas adutoras, redes e ramais prediais, até o
ponto de medição do usuário, com o sistema em pressão. O volume de usos operacionais
extraordinários representa aquele destinado à operação da rede e reservatórios, com ca-
ráter incidental, correspondendo a extravasões ocasionais em reservatórios, a comportas
mal fechadas, a usos operacionais superiores aos estritamente necessários e outros, com o
sistema em pressão.
Miranda e Koide (2003) definem também outro grupo de informações chave, de
acordo com a ordem estabelecida na Figura : O volume de consumo não autorizado
15
(VCNA) constitui o volume de água consumido sem autorização, que inclui usos em
ligações clandestinas, furto e usos ilícitos diversos. O volume de consumo mal contabilizado
(VCMC) compreende à estimativa de volumes de água consumidos mas não contabilizados
devido imprecisão ou mau funcionamento dos medidores, omissões e erros de leitura, regras
comerciais de limitação do consumo e política de esto rnos. O volume de perdas aparentes
(VPA) compreende os volumes de consumo não autorizado e/ou mal contabilizados (já
definido na seção 3.1.1).
O tempo de pressurização do sistema (TPS) é definido por Miranda e Koide (2003)
como a quantidade de horas em que o sistema está sob pressão, no período considerado na
análise, sem considerar interrupções devidas a avarias imprevistas do sistema, a reparações
correntes ou a trabalhos de reabilitação. A tarifa média de água (TMA), segundo esses
autores, é a tarifa média em R$/m
3
para consumidores diretos (residenciais, comerciais,
industriais, e públicos), excluídas receitas de venda de água no atacado. A pressão média
de operação na rede (PMO) é a pressão (m) correspondente à média noturna quando o
sistema está em pressão. O custo médio das perdas reais (CMP) representa o custo margi-
nal de longo prazo (R$ /m
3
), relativo à s origens próprias de água. A despesa de exploração
(DEX) representa os custos totais de operação e manutenção (R$/m
3
), incluindo custos
de pessoal, serviços de terceiros, energia elétrica, produtos químicos, taxas e impostos,
custos de água importada e outras despesas.
As perdas reais inevitáveis (PRAI ) foram definidas no início da seção 3.3. Segundo
Gonçalves e Alvim (2005), as PRAI expressam a perda mínima desejável para um sistema,
considerando as perdas ideais por ligação e por extensão da rede a uma dada pressão,
ou seja, a partir das características de cada sistema, podem-se calcular as perdas reais
inevitáveis específicas do mesmo. Os autores indicam que é recomendável utilizar fatores
de escala para o cálculo de PRAI, isto é, indicadores que relacionam volume perdido e as
características do sistema (extensão de rede, número de ligações, pressão, etc.). A Tabela
3.2 apresenta os fatores de escala propostos por Lambert et al. (1999 ).
Os valores da Tabela 3.2 são co eficientes na eq.(3.4), onde todos os termos foram
definidos anteriormente como informações chave.
P RAI = [18 · EP + 0, 8 · LA + 25 · (ET − EP )] ·
P MO
1000
(m
3
/dia) (3.4)
16
TABELA 3.2 - Componentes das perdas anuais inevitáveis
Componentes da
Infra-estrutura
Vazamentos
Inerentes
Rompimentos
Visíveis
Rompimentos
não Visíveis
PRAI
Total
Unidades
Rede 9,6 5,8 2,6 18,0 L/km/dia/m
Ramais até a
testada do lote
0,6 0,04 0,16 0,8 L/lig /dia/ m
Ramais após a
testada do lote
16,0 1,9 7,1 25,0 L/km/dia/m
Fonte: Lambert et al. (19 99 )
3.1.3.3 Índices de perdas
São definidos a seguir os índices de perda em correspondência com os níveis básico, in-
termediário e avançado, de acordo com a classificação ilustrada na Figura 3.3. Todos
os termos das equações para o cálculo dos índices representam as informações-chave que
foram anteriormente definidas e que estão resumidas na Figura 3.4.
Nível básico
De acordo c om Silva, Conejo e Marcka (2004), o índice de perda na distribuição (IPD)
relaciona o volume disponibilizado com o volume utilizado. Os autores afirmam que a
diferença entre esses dois volumes constitui uma parcela não contabilizada, que incorpora
o conjunto das perdas reais e aparentes no sistema de distribuição considerado, sendo
essas últimas em grande parte associadas aos desvios de medição (macro e micro). O IPD
é determinado através da seguinte equação:
IP D =
V D − V U
V D
· 100 (3.5)
Pela facilidade de cálculo, este índice de perdas é amplamente adotado no Brasil,
porém não deve ser utilizado isoladamente para medir desempenho (GONÇALVES; AL-
VIM, 2005). Entretanto, a título de análise superficial, podem se considerar os critérios
de avaliação preliminar apresentados na Tabela 3.3.
O índice de perda de faturamento (IPF) expressa, segundo Silva, Conejo e Marcka
(2004), a relação entre o volume disponibilizado e o volume faturado. Os autores indicam
que o IPF é uma composição de perdas reais e aparentes que, além daquelas atribuídas a
desvios de medição, incorporam volumes utilizados não cobrados, como o volume especial
17
TABELA 3.3 - Critérios de avaliação preliminar da eficiência do sistema
IPD Qualificação
IPD > 40% Sistema com mau gerenciamento
40% > IPD > 25% Sistema com gerenciamento de nível intermediário
IPD < 25% Sistema com bom gerenciamento
Fonte: Gonçalves e Alvim (2005)
e o volume operacional. Por isso, mesmo na perspectiva da maior precisão, em termos
estatísticos, dos valores de macro e micromedição, este indicador sempre estará expres-
sando uma parcela de volumes que não são fisicamente perdidos. Utiliza-se a eq.(3.6) para
calcular o IPF.
IP F =
V D − V F
V D
· 100 (3.6)
O índice linear bruto de perda (ILB), relaciona a diferença entre o volume disponibi-
lizado e volume utilizado à extensão parcial da rede. Esse indicador, de acordo com Silva,
Conejo e Marcka (2004), é válido para comparar o desempenho entre serviços, sempre que
indicadores de desempenho compatíveis sejam envolvidos. Esse indicador incorpora per-
das reais e aparentes, uma vez que não se controlam o s desvios sistemáticos de medição.
Devido à aplicação parcial da extensão das redes do sistema como denominador (pois não
foram incluídos os ramais prediais), obtém-se um valor mais conservador do que o índice
linear de perdas geralmente calculado em outros países, que incorpora as extensões dos
ramais prediais. Ainda Silva, Conejo e Marcka (2004), afirmam que os indicadores utili-
zados em outros países incorporam as perdas aparentes no numerador para determinar o
ILB e que a divulgação desse indicador deve ser feita com cautela, levando e m conta as
diferencias mencionadas. A seguinte equação permite calcular o ILB:
ILB =
V D − V U
EP · ND
(3.7)
Silva, Conejo e Marcka (2004) estabelecem que o índice de perda por ligação (IPL),
como o ILB, é um indicado r volumétrico de desempenho, mais preciso que os percentu-
ais. Relaciona a diferença entre volume disponibilizado e volume utilizado ao número de
18
ligações ativas. As magnitudes obtidas para esse indicador serão próximas às que seriam
obtidas em indicadores análogos usados no exterior, a não ser pelo fato de que a dife-
rença entre volume disponibilizado e volume utilizado expressa ainda uma parcela não
desprezível de perdas aparentes. Por isso, ainda que com menos distorções que o ILB,
este também não deve ser utilizado na comparação com índices calculados por prestadores
de serviços de outros países, os quais contem apenas as perdas reais. A eq.(3.8) permite
calcular o IPL.
IP L =
V D − V U
LA · ND
(3.8)
Nível intermediário
De acordo com Miranda e Koide (2003), o índice de perdas reais por ligação (IPRL)
relaciona o volume de perdas reais (PRAE), o número de ligações ativas e o tempo de
pressurização do sistema, na forma expressa pela seguinte equação:
IP RL =
24 · P RAE
LA · T P S
(3.9)
O índice de perdas aparentes por ligação (IPAL) relaciona o volume de perdas apa-
rentes, o número de ligações ativas e o número de dias correspondentes aos volumes
trabalhados, de acordo com a eq.(3.10) (MIRANDA; KOIDE, 2003).
IP AL =
V P A
LA · ND
(3.10)
O índice de água não faturada em termos de custo (IANFC) relaciona o volume de
consumo autorizado não faturado (soma dos volumes operacional, recuperado e especial),
o volume de perdas aparentes, a tarifa média de água, o volume de perdas reais, o custo
médio das perdas reais e a despesa de exploração, de acordo com a eq.(3.11) (MIRANDA;
KOIDE, 2003).
IANF C =
(V O + V R + V Es + V P A) · T MA + P RAE · CM P
DEX
(3.11)
19
Nível avançado
O índice de perdas reais por ligação associado à pressão (IPRP) relaciona o volume de
perdas reais, o número de ligações ativas, a pressão média de operação da rede e o número
de dias correspondentes a os volumes trabalhados, como expresso na eq.(3.12) (MIRANDA;
KOIDE, 2003).
IP RP =
P RAE
LA · P MO · ND
(3.12)
O índice de vazamentos da infra-estrutura (IVI) é conformado pela relação entre o
volume de perdas reais e o volume de perdas reais inevitáveis, de acordo com a eq.(3.13)
(MIRANDA; KOIDE, 2003).
IV I =
P RAE
P RAI
(3.13)
O IVI expressa o quanto um determinado sistema está próximo ou distante de uma
possível condição ideal da sua infra-estrutura. Os autores afirmam que utiliza-se o IVI
pode comparar a eficiência do gerenciamento das perdas reais entre operadoras e sistemas
de água, uma vez que o uso isolado do índice de perdas não permite uma avaliação em
sistemas com diferentes características. Sistemas com Índice de Vazamento na Infra-
estrutura próximo de 1 podem ser considerados como sistemas com bom gerenciamento
da infraestrutura, e a medida que o índice afasta de 1, o g erenciamento do sistema piora .
3.1.3.4 Indicadores de confiabilidade das informações chave
De acordo com Silva, Conejo e Marcka (2004), são indicadores de controle ou confiabilidade
aqueles que permitem avaliar a confiabilidade das informações chave, ma s que não figuram
diretamente na composição dos indicadores de perdas. Por exemplo, a confiabilidade do
volume utilizado dep enderá dos seguinte indicadores de controle: (1) macromedição na
saída das ETAs, (2) macromedição de volumes importados nas adutoras de água tratada,
(3) macromedição de volumes exportados nas adutoras de água tratada e (4) controle
sobre desvios sistemáticos de macromedição. Esses indicadores, basicamente, relacionam
os volumes que são medidos com os volumes totais de cada categoria e têm um valor entre 0
e 1 (ou entre 0 e 100%) associado a cada um deles. Para se obter um valor de confiabilidade
aplicável ao volume disponibilizado, é preciso obter um índice de macromedição com base
na média ponderada dos indicadores (1) a (3) que deve ser multiplicada pelo indica dor
(4). Assim, existem diferentes critérios para determinar os índices de confiabilidade para
20
cada uma das informações chave, que levam à obtenção de indicado res de confiabilidade
para cada índice de perdas.
O estudo detalhado da construção dos indicadores de controle não é o objetivo do
presente trabalho, portanto, simplesmente se indica, de acordo com a informação provida
por Silva, Conejo e Marcka (2004), que podem-se estabelecer quatro faixas de validade
de informações associa das ao conhecimento e statístico dos componentes das informações
que conformam os indicadores, conforme a Tabela 3.4.
TABELA 3.4 - Aplicação da escala de confiabilidade no gerenciamento de informações
Faixa de variação Condições de validade da info rmação
0,80 a 1,00 . . . . . . . Informação plenamente confiável para fins de previsão de de-
manda, planejamento de oferta e comparação entre serviços
0,60 a 0,79 . . . . . . . Informação parcialmente confiável, com restrições sobre o uso
para comparação entre serviços
0,30 a 0,59 . . . . . . . Aproximação de tendências, utilizável apenas para a fixação
imediata de prioridade internas, se m segurança sobre com-
portamentos futuros e inválida para fins de comparação entre
serviços
0 a 0,29 . . . . . . . . . . Informação não utilizável, é o mesmo que não tê-la
Fonte: Silva, Conejo e Marcka (2004)
3.1.4 Breve Panorama dos Sistemas Brasileiros
O governo federal criou em 1971 o Plano Nacional de Saneamento (PLANASA), como
instrumento para que os Estados brasileiros implementas sem, em suas cidades, sistemas
de abastecimento de água e de esgoto (OGERA; PHILIPPI, 2 00 5). Foram criadas, assim,
Companhias Estaduais de Saneamento Básico às quais foram concedidos os sistemas de
saneamento urbano (OGERA; PHILIPPI, 2005). Com esta nova forma de gestão, os servi-
ços de abastecimento de água no Brasil tiveram, de maneira geral, ganhos substantivos de
eficiência ao longo das décadas de 70 e 80. No entanto, com a extinção do PLANASA em
1986 (OGERA; PHILIPPI, 2005), uma crise de investimentos abateu-se sobre a maioria
dos serviços de a bastecimento, determinando uma paralisação ou uma drástica desacele-
ração do processo de crescimento (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004). Alguns serviços
conseguiram, apesar dessas restrições, continuar em uma trajetória de melhoria, enquanto
21
outros sofreram grandes perdas de uma capacidade técnica que ainda não havia amadure-
cido o suficiente (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004). Nessas condições, de acordo com
Silva, Conejo e Ma rcka (2004), não seria razoável adotar uma política generalizada de
incentivos à aquisição de instrumentos sofisticados de informação. Os autores afirmam,
ainda, que antes de se definir uma política específica nessa linha, é preciso definir o real
estágio de desenvolvimento dos serviços no que se refere à satisfação da demanda, e só a
partir daí traçar uma linha de açã o que atenda às necessidades detectadas.
3.1.4.1 Perfil dos sistemas de informação em serviços de saneamento
Silva, Co nejo e Marcka (2004) descrevem uma consulta preliminar, realizada em 1998 no
âmbito do Programa Nacional de Combate ao Desperdiço de Água (PNCDA). Segundo os
autores, a consulta foi dirigida a todas as companhias estaduais de saneamento do país e
aos dez maiores serviços municipais autônomos, com o propósito de conhecer preliminar-
mente as condições de trabalho dos serviços brasileiros no que diz respeito aos sistemas
de informação. A consulta foi realizada através de diversos questionários estruturados
em forma de fornecer informação a respeito dos tipos de instrumentos disponíveis, o pro-
pósito da sua utilização, até que ponto seriam integrados entre planejamento, operação
e comercialização, e com que estágio de desenvolvimento operacional básico (macro e
micromedição) conviveriam.
Os resultados da consulta do PNCDA foram classificados por área geográfica e ana-
lisados em números absolutos e percentuais, sendo estes últimos relativos aos totais, uma
vez que não se discriminaram os resultados pela natureza dos prestadores de serviço
(SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004). Segundo Silva, Conejo e Marcka (2004), tais resul-
tados revelam que uma proporção relativamente elevada de serviços já dispõe de sistemas
de georeferenciamento, mesmo que em caráter experimental. A proporção de serviços que
dispõe de alguma forma de SIG (cerca de 50%) é próxima à daqueles que possuem al-
guma forma, ainda que parcial, de macromedição (54%) e de setorização (58%). Por outro
lado, cruzamentos feitos a partir dos resultados da pesquisa indicam casos paradoxais de
serviços sem macromedição e sem setorização que dispõem de SIG e de dispositivos de
telecomando. Algumas tendências regionais foram também detectadas quanto à disponi-
bilidade e a consistência de instrumentos de informação .
22
Entre as tendências gerais, de acordo com Silva, Conejo e Marcka (2004), observou-
se que apenas um pequeno número de serviços (15% no total) dispõe de informações
cadastrais altimétricas e um número menor ainda (8%) de integração desta com sistema
de aquisição e controle de dados operacionais da rede. Segundo os autores, isso implica
que a grande maioria das bases digitalizadas existentes ainda não é utilizável para fins de
controle de perdas ocasionadas por pressões excessivas.
Na comparação entre serviços de capital e interior de estado, Silva, Conejo e Marcka
(2004) observam que os primeiros são os que concentram a maior proporção de instru-
mentos de controle avançado, 80% dos serviços de interior não dispõem de sistema geore-
ferenciado, contra apenas 36% das capitais. Quanto aos serviços autônomos, os dois que
enviaram resposta apresentam alto nível de acesso a informações avançadas. No entanto,
devido à exigüidade da amostra, não se p ode definir, nem em caráter preliminar, qualquer
tendência mais geral (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004).
Em relação aos dispositivos de aquisição e controle de dados (SCADA) e telemetria,
Silva, Conejo e Marcka (2004) afirmam que a assimetria em favor das capitais ainda é mais
acentuada, uma vez que a totalidade dos municípios de interior operados pelas companhias
estaduais de saneamento básico não os possui. No entanto, segundo esses autores, é
prematuro afirmar que isso implique qualquer desvantagem em termos de conhecimento
da realidade operacional dos prestadores de serviços. Certamente, o porte dos serviços
de interior é em média muito menor do que aquele das respectivas capitais, o que pode
tornar dispensável o uso de sistemas automáticos de aquisição e controle de dados e de
dispositivos telecomandados (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004).
3.1.4.2 Indicadores de perdas no Brasil
Com um propósito ilustrativo apresentam-se a seguir alguns dados referentes a perdas no
Brasil e no exterior. No caso brasileiro, são utilizados dados das companhias estaduais
(SNIS, 2006), conforme o gráfico da Figura 3.5. Observe-se que os percentuais de água
não faturada oscilam entre 24% e 83%. Na mesma fonte, o indicador de micromedição foi
relatado, ocorrendo uma variação entre 0 % e 67%.
Dados do exterior são apresentados por Silva, Conejo e Marcka (2004) para água
não faturada em percentagem e em vazão por quilômetro de rede. As variações relatadas
foram de 7% (Singapura, Suíça e Alemanha) até valores entre 25% e 30% (Grã-Bretanha,
23
FIGURA 3.5 - Água não faturada nas companhias estaduais de saneamento básico (SNIS,
2006)
Taiwan e Hong Kong), com um valor médio de 17%. Os autores comentam que segundo
o trabalho original da IWA tais valores, que foram informados por relatores de cada país,
podem estar subestimados. Para o Brasil, segundo o SNIS (2006) o índicador médio de
água não faturada é de 39,8%.
A respeito do indicador de perdas por quilômetro de rede, de acordo com Silva,
Conejo e Marcka (2004), existe uma enorme variabilidade do indicador de perdas por
quilômetro de rede, para diferentes países, com valores em torno de 0,5 m
3
/h/km no norte,
oeste e sul da Europa; 2 m
3
/h/km na Europa Oriental; e quase 4 m
3
/h/km no Extremo
Oriente. Ainda Silva, Conejo e Marcka (2004), afirmam que uma das dificuldades maiores
na comparação entre esses valores está na maneira como são considerados e incluídos os
ramais prediais, que podem ter extensão total maior do que as adutoras, subadutoras e
redes de distribuição. Além disso, esses autores afirmam que nos países em que há maior
controle tende-se a registrar nos indicadores lineares apenas as perdas reais, enquanto
naqueles onde os controles e a operação são mais precários, registram-se conjuntamente
perdas reais e aparentes, fazendo com que as diferenças e ntre eles aumente.
24
No g ráfico da Figura 3.6 apresenta-se a variação das perdas (reais e aparentes)
registradas por mais de vinte anos na R egiã o Metropolitana de São Paulo, para demonstrar
que esse indicador oscila sensivelmente tanto em termos de localização espacial quanto
em nível temporal.
FIGURA 3.6 - Variação das perdas na Região Metropolitana de São Paulo (SILVA; CO-
NEJO; MARCKA, 2004)
No período de 1977 a 1995, as perdas variaram entre aproximadamente 36% en 1977,
até quase 45%, em 1994 e 1995. Nesse intervalo, no entanto, as perdas (reais e aparentes)
foram reduzidas para aproximadamente 25% em 1983. Segundo Silva, Conejo e Marcka
(2004), a partir de 1995 a SABESP passou a desenvolver um forte programa interno de
redução de perdas, tendo atingido em 2001 valores pouco acima de 30%. Esses autores
afirmam que isso ilustra o fato que o tratamento das perdas deve ter caráter permanente
e ser considerado como um programa estratégico dos prestadores de serviços. Caso não se
adote tal política, as ações de combate a perdas nem sempre serão efetivas, e os resultados
positivos serão temporários (SILVA; CONEJO; MARCKA, 2004).
3.1.4.3 Estratégias de combate às perdas
Uma das ferramentas mais importantes no controle e redução de perdas é a regulação
de pressões através de Válvulas Redutoras de Pressão (VRPs). O controle de pressões
mediante este tipo de dispositivos deve assegurar as pressões mínimas e máximas per-
mitidas pa ra os consumidores finais, isto é, as pressões estática e dinâmica prefixadas
25
para garantir um adequado nível de atendimento (GONÇALVES; ALVIM, 2005). Como
um exemplo da efetividade do uso das VRP’s, apresenta-se na Figura 3.7 a evolução das
perdas em um setor do Distrito Federal (DF).
FIGURA 3.7 - Evolução das perdas em um setor do DF, antes e após da VRP (GON-
ÇALVES; ALVIM, 2005)
Gonçalves e Alvim (2005) observa as seguintes etapas no processo de controle de
perdas do setor do DF: (1) observa-se uma redução das perdas a partir de março de 1992,
data em que foi feita a primeira pesquisa e combate de vazamentos não visíveis, com a
utilização de equipamentos eletrônicos; (2) com o passa r do tempo, o nível de perdas,
inicialmente reduzido, retornou ao patamar inicial de março de 1992; (3) em meados de
1997 foi instalada uma VRP, reduzindo as perdas no setor e estabilizando-as praticamente
na mesma faixa.
Destaca-se, a seguir, um exemplo sobre as experiências de uma companhia estadual
brasileira para ilustrar ações no combate às perdas em sistemas de abastecimento de
água. As informações são extraídas do trabalho de Conejo, Lopes e Marcka (2004) e estão
relacionadas ao caso da Companhia de Saneamento do Estado de São Paulo (SABESP),
como um exemplo dos programas completos e abrangentes de companhias estaduais de
saneamento.
26
As primeiras ações de controle de perdas realizadas pela SABESP na Região Metro-
politana de São Paulo (RMSP) iniciaram-se na década de 70 com intervenções focalizadas
na micromedição, a pitometria e a pesquisa de vazamentos não visíveis. Em 1981 foi
implementado o plano estadual de controle de perdas (PECOP) e foi se tornando mais
abrangente em virtude de incrementos nos recursos financeiros. Em 1984 implantou-se o
programa de controle e desenvolvimento da operação (PEDOP) visando a uma ação global
de planejamento, controle e operação para reduzir as perdas. Este programa compreendia
8 subprogramas abrangendo reduçaõ e controle de vazamentos, micro e macromedição,
pitometria, desenvolvimento da o peração , revisão de critérios de projeto e construção,
cadastro e segurança dos sistemas.
Em 19 89 a SABESP iniciou um programa de investimentos de cinco anos, com o
objetivo de incrementar os índices de atendimento de água e esgotos além da eficiência
operacional da companhia, através da construção de novas instalações para o sistema de
abastecimento de água: barragens, estações de tratamento de água, adutoras, reserva-
tórios, redes, etc.; desenvolvimento operacional e institucional: macro e micromedição,
pitometria, atendimento ao público, cadastro técnico, desenvolvimento de programas de
manutenção e reabilitação, cadastro de consumidores, sistemas comerciais, faturamento e
cobrança.
Já no início da década de 90, a SABESP contratou a elaboração do Programa
de Redução de Águas Não Faturadas, com os objetivos de identificar o nível real de
perdas físicas e não físicas, com base nas medidas adequadas para sua redução, e de gerar
rápidos lucros financeiros. Paralelamente, entre 1991 e 1992, foi instituído o Programa
Piloto de Controle de Perdas, onde em dois setores de abas tecimento de água, Santana e
Água Branca, foram desencadeadas ações efetivas de troca de hidrômetros e pesquisa de
vazamentos não visíveis. Ainda em 1991, foi desenvolvido o Plano Global de Melhoria da
Macromedição do Sistema Integrado de Abastecimento de Água da RMSP. Neste período
foram também desenvolvidos os estudos de setorização em quase todos os setores de
abastecimento de água da RMSP, com diagnósticos e propostas bastante vinculadas às
ações pertinentes ao controle de perdas.
Através de uma consultoria externa a SABESP formatou, entre 1991 e 1993, um
programa de redução de águas não faturadas na RMSP. Naquela ocasião o índice de
perdas era de 40%, e a produção total de água de 52 m
3
/s. Os trabalhos do estudo foram
subdivididos em três fases:
27
• Fase 1: Pesquisa inicial e estruturação de um programa de ação imediata destinado
à constituição de um banco de dados;
• Fase 2: Pesquisa de campo em áreas previamente selecionadas (totalizando 50000
ligações) e análises complementares, de maneira a extrapolar os resultados para a
totalidade da RMSP;
• Fase 3: Proposições para uma estratégia geral de redução do volume de águas não
faturadas e de um programa de ação de dois anos.
Os levantamentos para diagnóstico da consultoria realizados em 1993 mostraram
uma distribuição das perdas, segundo suas várias o rigens, conforme apresentado na Tabela
3.5 a seguir.
TABELA 3.5 - Distribuição de perdas na RMSP em 1993
Tipo de perda Índice de Perdas (%)
Reais
Aparentes
Vazamentos 47,6 -
Macromedição - 5,3
Micromedição - 20,3
Habitações sub-normais 3,4 6,3
Gestão Comercial - 17,1
TOTAL 51,0 49,0
Fonte: Conejo, Lopes e Marcka (2004)
Os resultados do trabalho também forneceram informações úteis sobre ocorrência
de vazamentos (90% em ramais prediais), deficiências na macromedição em pontos de
venda de água não operado s pela SABESP, causas de s ubmedição nos hidrômetros, perdas
em habitações subnormais (favelas e áreas invadidas) e deficiências na gestão comercial.
Essas informações permitiram elaborar um diagnóstico e em função dele determinaram-se
as ações a planificar subdivididas em quatro categorias:
• Ações básicas fundamentais – abrangeram os temas de equacionamento dos pro-
blemas dos ramais prediais, macromedição dos volumes vendidos por atacado aos
municípios não operados pela SABESP, novo sistema informatizado de dados geren-
ciais, incluindo cadastro de consumidores.
28
• Ações referentes à redução de perdas físicas – compreenderam programas de pesquisa
de vazamentos não visíveis e a reparação de vazamentos em redes e ramais.
• Ações referentes à redução de perdas não físicas – substituição e adequação de
hidrômetros; cadastramento, medição e alteração de questões institucionais, no que
diz respeito a favelas e áreas invadidas; atualização do cadas tro de ligações e melhoria
do controle de campo.
• Ações referentes ao gerenciamento comercial – reformulação do sistema comercial,
descentralização efetiva das operações comerciais e melhoria dos procedimentos.
Todas essas ações em combinação com o incremento da capacidade de acompanha-
mento e de controle a nível central da SABESP constituíram a base da estratégia proposta
de redução e controle de perdas. A curto prazo, a estratégia dar-se-ia com a implantação
de um plano de ação de dois anos, para reduzir as perdas de 40% até um patamar de 28%.
A longo prazo, através de um outro plano de ação elaborado a partir da análise criteriosa
do plano de ação de dois anos e o estabelecimento de novas hipóteses de trabalho.
Em janeiro de 1995, profissionais da SABESP pertencentes a diversas entidades
associativas, elaboraram um Plano Alternativo visando à utilização de recursos próprios
da companhia na implantação e gerenciamento de um programa de redução de perdas
de água na RMSP. Tal plano veio como alternativa à proposta em desenvolvimento na
SABESP de tercerizar os trabalhos de redução de perdas na RMSP. O objetivo das ações
propostas fo i reduzir o índice de perdas para 30% em dois anos, chegando-se ao patamar
de 24% ao longo de cinco anos.
De acordo com Conejo, Lope s e Marcka (2004), o plano alternativo foca lizou nas
ações rotineiras e permanentes que a SABESP deveria desenvolver com a finalidade de
diminuir as perdas e elevar a qualidade da operação. Os autores indicam que essa carac-
terística da estrutura do plano levava a uma maior atenção atribuída às perdas aparentes
(65%) na redução global prevista, visto que uma redução mais significativa das perdas
reais dependeria de novos investimentos.
Segundo Conejo, Lopes e Marcka (2004), ao ser submetido a análise, o plano alterna-
tivo evidenciou a viabilidade de se conduzir o programa com recursos próprios, um retorno
financeiro excelente, maiores resultados nas perdas aparentes, a possibilidade de rápida
29
implementação, uma reformulação das práticas da empresa baseada no aproveitamento
da tecnologia e experiências disponíveis.
O programa de redução de p erdas finalmente adotado pela SABESP é derivado basi-
camente do Plano Alternativo e incorpora a maioria do s aspectos dos trabalhos elaborados
pela consultoria externa. Embora ainda se tenham índices elevados de perdas, o programa
apresenta resultados que já permitem uma avaliação numérica conclusiva, com indicado-
res qualitativos e quantitativos de ganhos substanciais de eficácia (CONEJO; LOPES;
MARCKA, 2004).
Com a finalidade de ilustrar os resultados obtidos através do plano de controle
de perdas adotado pela SABESP, apresenta-se na Tabela 3.6 uma comparação entre as
metas e os índices verificados. As informações nessa tabela, fornecidas por Co nejo, Lopes
e Marcka (2004), estão incompletas, mas nos três caso s em que existem informações para
realizar a comparação entre metas e índices alcançados, observa-se que os objetivos foram
cumpridos.
TABELA 3.6 - Comparação entre metas e índices de perdas verificados
Data Meta Índice Verificado
dez/95 39% 36,1%
dez/96 35% 34,3%
dez/97 — 33,5%
dez/98 31% —
dez/99 — —
dez/00 — —
dez/01 31% 31,0%
Fonte: Conejo, Lopes e Marcka (2004)
Segundo Conejo, Lopes e Marcka (2004), em 1998 estabeleceu-se o programa de
redução de pressões na rede de distribuição da RMSP, com a previsão de instalar 478
válvulas redutoras de pressão, das quais 135 já se encontravam instaladas ou em fase de
instalação naquela data. No ano 2001, de acordo com os autores, foi verificado que o
número de VRP’s instaladas superou ao número previsto inicialmente; no total, foram
instaladas 500 VRP’s, em uma extensão que cobre 22% da rede de distribuição da SA-
BESP, que permitiram alcançar uma vazão recuperada de 2900 L/s. Ainda Conejo, Lopes
e Marcka (2004), apresentam uma comparação entre as faixas de pressão para os anos 1998
e 2001, relativas às percentagens de área urbana da RMSP, na maneira ilustrada pela Fi-
30
gura 3.8. Observa-se que existe, nesse período de dois anos, uma diminuição de pressões
elevadas na rede.
FIGURA 3.8 - Comparação das faixas de pressão na RMSP (CONEJO; LOPES;
MARCKA, 2004)
Um novo levantamento da composição das perdas foi realizado em 2001, com os
resultados mostrados na Tabela 3.7. Verificou-se uma alteração na composição do índice de
perdas a respeito dos resultados da pesquisa de 1993 (Tabela 3.5) onde 51% correspondia
a perdas reais e 49% a perdas aparentes.
TABELA 3.7 - Distribuição de perdas na RMSP em 2001
Tipo de perda Índice de Perdas (%)
Reais
Aparentes
Macromedição - 3,2
Micromedição - 29,0
Gestão Comercial - 22,6
Vazamentos 45,2 -
TOTAL 45,2 54,8
Fonte: Conejo, Lopes e Marcka (2004)
3.2 Perdas por Vazamentos
Em função das definições apresentadas na seção 3.1.1, as perdas de água reais podem ser
classificadas em quatro categorias: (1) vazamentos em reservatórios, (2) extravasamentos
31
de reservatórios, (3) vazamentos em a dutoras e (4) vazamentos no sistema de distribuição.
A seguir são descritas as características das perdas reais, com ênfase na quarta categoria
citada, que é o objeto da presente pesquisa.
3.2.1 Avaliação de perdas reais
De acordo com Fanner (2004), a avaliação das perdas reais em sistemas de distribuição de
água, pode ser realizada utilizando os seguintes métodos: dedutivo, baseado no balanço
hídrico anual; indutivo, ou de vazões noturnas; análise de componentes; ou por uma
combinação de dois ou todos os anteriores.
Método dedutivo
O método dedutivo consiste em avaliar as perdas reais como sendo o volume restante
da subtração entre os volumes de consumo autorizado e as perdas aparentes, deduzidos
do volume total fornecido ao sistema. Farley e Trow (2003) advertem que, embora o
balanço hídrico deva ser sempre empregado, existem desvantagens quando se utiliza ex-
clusivamente essa análise para a avaliação de perdas reais, como: acumulação de erros
relacionados com os outros componentes do balanço hídrico; limitações referentes ao pe-
ríodo de dados (anterior a 12 meses), identificação de novos vazamentos não informados.
Além disso, o balanço hídrico não fornece informação sobre os componentes individuais
das perdas. Considerando essas incertezas, Lambert (2002), recomenda o uso de um soft-
ware que pode ser adequado à realidade das empresas e utilizado co m qualquer um dos
métodos de avaliação de perdas reais.
Fanner (2004) separa os componentes das perdas reais em dois grupos: rupturas
detectáveis, que podem ser controladas eficientemente através de adequadas e ativas ma-
nobras operacionais, e perdas de fundo, como aquelas que somente podem ser reduzidas
por meio do controle de pressões e da substituição de compo nentes da rede. É comentado,
também, que o método dedutivo não fornece informação necessária para o desenvolvimento
de estratégias apropriadas de controle de perdas, portanto, é recomendável combinar a
análise dedutiva com o s outros dois métodos de avaliação de perdas reais.
Método indutivo
O volume de perdas reais obtido pelo método dedutivo pode ser verificado independente-
mente através de cálculos indutivos, baseados na análise de vazões noturnas em pequenos
32
setores ou zonas do sistema de distribuição (OFWAT, 2001). Segundo Fanner (2004),
os setores podem ter sido estabelecidos previamente no sistema de distribuição ou ser
determinados com caráter temporário para efeitos da análise. O autor indica que a vazão
noturna mínima (VNM), em áreas urbanas, ocorre com freqüência entre as 02:00 e 04:00
horas, aproximadamente, onde as perdas reais representam a maior p ercentagem da vazão
total do sistema. A estimativa de perdas reais durante o período noturno é o resultado da
diferença entre a VNM e o consumo noturno autorizado (avaliado e medido) dos usuários
conetados ao sistema na zona que está sendo estudada (FANNER, 2004 ). A conversão
da taxa de vazamentos noturnos em vazamento médio diurno é efetuada multiplicando as
taxas noturnas por um fator de variação temporal, que considera a variação das pressões
médias e, portanto, das taxas de vazamento entre meia noite e meia noite (WRC, 1980).
Segundo Fanner (2004), as vantagens do método indutivo, são que o mesmo fornece
uma determinação independente do volume das p erdas reais e que, se a análise é realizada
ao longo de todo o sistema de distribuição, é possível delinear ações prioritárias de controle
para os setores com maiores níveis de perdas reais. São também identificadas, como
vantagens do método, o fato de fornecer informação para verificação cruzada com os
cálculos do balanço hídrico e que facilita a aquisição de dados de campo necessários para
determinar a relação entre pressão e vazamentos, além de informação sobre as condições da
infraestrutura. Como desvantagem do método indutivo, Fanner (2004) menciona que são
introduzidos erros na determinação dos consumos noturnos visto que eles são estimados
e que, na realidade, variam de uma noite para outra.
Gonçalves e Alvim (2005) consideram que a vazão mínima noturna é o principal
indicador do nível de perdas reais que está ocorrendo em um sistema e que, normalmente,
o consumo noturno é reduzido, principalmente em áreas residenciais, portanto, qualquer
alteração na vazão mínima de uma unidade de abastecimento pode significar oco rrência
de vazamentos. Esses autores observam que em locais, onde o abastecimento é irregular,
o método da vazão mínima no turna não fornece dados confiáveis sobre as perdas reais.
Método da análise de componentes
O método da análise de componentes avalia as perdas reais utilizando números, vazões
médias e tempos médios de duração de diferentes tipos de vazamentos e falhas (de fundo,
informados e não informados) em diferentes partes da infra-estrutura do sistema (adutoras,
reservatórios e conexões de serviço). Farley e Trow (2003) indicam que os números anuais
33
de reparos, assumidos como representativos do número de novos vazamentos e falhas,
são classificados em categorias diferentes, com diferentes vazões características. Segundo
esses autores, se o tempo de duração médio de cada categoria de vazamentos ou falhas
é avaliada de forma coerente, com base nas políticas do prestador de serviços, então o
volume anual perdido por todas as diferentes categorias pode ser avaliado. Em 1993, um
conceito internacional de avaliação, conhecido como Background and Bursts Estimates
1
(BABE), foi desenvolvido para o cálculo dos componentes de perdas reais baseado nos
parâmetros que os influenciam (LAMBERT, 1994).
De acordo co m Lambert (1994), na análise de BABE, considera-se que as perdas
reais são conformadas por: vazamentos em uniões e acessórios (vazamentos de fundo),
que quando são não-visíveis apresentam vazões muito baixas para a detecção sônica;
vazamentos e falhas informados, caracterizados por vazões elevadas e durações curtas;
vazamentos e falhas não informados, que apresentam vazões baixas e sua duração depende
da metodologia para controle ativo dos vazamentos.
3.2.2 Relação entre vazamentos e pressão
A relação direta existente entre pressão e vazamentos é bem conhecida (GERMANOPOU-
LOS; JOWITT, 1989; JOWITT; XU, 19 90; SAVIC; WALTERS, 1995; REIS; PORTO;
CHAUDHRY, 1997; VAIRAVAMOORTHY; LUMBERS, 1998; REIS; CHAUDHRY, 1999;
YAZBEK FILHO, 2003). Essa relação pode ser observada pela Figura 3.9, que foi cons-
truída com base em experimentos de campo realizados pelo National Water Council da
Grã Bretanha (GOODWIN, 1980). O gráfico apresenta os vazamentos expressos como um
índice, em lugar de um volume real de vazamentos, variando em função da pressão noturna
média. Pode-se observar nessa figura que a taxa de vazamentos aumenta proporcional-
mente com o incremento da pressão média de serviço, e que uma maior verticalidade
é apresentada para maiores pressões. Portanto, uma diminuição das altas pressões de
serviço resulta em diminuições consideráveis do s vazamentos (JOWITT; XU, 1990).
Farley e Trow (2003) afirmam que o índice de vazamentos em um sistema de dis-
tribuição depende da pressão introduzida por bombas e por reservatórios. Esses a utores
também indicam que a freqüência e os índices de fa lhas também estão relaciona dos dire-
tamente com a pressão, embora essa relação não esteja claramente estabelecida.
1
Estimações de Vazamentos Não-visíveis e Falhas.
34
FIGURA 3.9 - Relação entre os Vazamentos e a Pressão (WRC, 1980)
A maioria dos livros de hidráulica apresentam a relação física entre a pressão e a
vazão através de um orifício de pequenas dimensões e de parede fina, conhecida como a
lei dos orifícios. Porto (19 98 ) define orifício como uma abertura de perímetro fechado, de
forma geométrica definida (e.g., circular, retangular, ou triangular), realizada na parede
ou fundo de um reservatório ou na parede de um canal ou conduto em pressão, pela qual
o líquido em repouso ou movimento escoa em virtude da energia potencial e/ou cinética
que possui. A eq.(3.14) apresenta a formulação matemática da lei dos orifícios (PORTO,
1998):
Q
L
= C
d
A
2gH (3.14)
onde Q
L
é a vazão através do orifício (m
3
/s), C
d
o coeficiente de descarga (adimensional),
A a área do orifício (pequenas dimensões e parede fina, em m
2
), g a aceleração da gravidade
(m/s
2
) e H a pressão (m).
Vários autores (PUDAR; LIGGETT, 1992; LUVIZOTTO, 1998; ROSSMAN, 2000;
COLOMBO; KARNEY, 2002) admitem a hipótese de que os vazamentos possam ser
representados como orifícios de seção constante. Sob essa perspectiva, a vazão perdida
Q
L
pelo vazamento poderia ser determinada pela eq.(3.14).
Rossman (2000) define o conceito de emissores, como sendo dispositivos, localizado s
em determinados nós do sistema, que simulam o escoamento através de um bico ou ori-
fício que descarga água à atmosfera. O autor sugere utilizar a eq.(3.14) para modelar os
vazamentos em determinados nós do modelo hidráulico, porém realizando algumas modi-
ficações. Em primeiro lugar, os parâmetros dentro da raiz quadrada (i.e., com expoente
35
igual a 0,5) passam a ter um expoente α. Posteriormente, os termos C
d
, A e
√
2g são
agrupados em um único coeficiente C
e
(m
3−α
/s) denominado c oeficiente de descarga do
emissor. O resultado das modificações é a seguinte equação:
Q
L
= C
e
H
α
(3.15)
O EPANET utiliza a eq.(3.15) para simular vazamentos, desde que valores para o
coeficiente e o expoente α do emissor sejam especificados em determinados nós. Os emis-
sores são tratados pelo programa como propriedades do nó e não como um componente
separado da rede (ROSSMAN, 2000).
Tucciarelli, Criminisi e Termini (1999) sustentaram a hipótese de que os parâmetros
que governam os vazamentos são particulares de cada sistema e devem ser calibrados no
modelo para possibilitar estimativas razoáveis. A eq.(3.30), apresentada por esses autores,
relaciona os vazamentos com a pressã o e permite calcular os vazamentos distribuídos ao
longo da superfície das tubulações.
Q
Li
= (H
i
− Z
i
)
a
j∈J
i
π
2
D
ij
θ
ij
L
ij
(3.16)
onde Q
L
é o vazamento quantificado no nó i, H a ca rga hidráulica no nó i, Z a cota
topográfica referente ao nó i, a o expoente de perda que corresponde ao setor de vaza-
mentos do nó i, J
i
o número de tubulações ligadas ao nó i, D o diâmetro da tubulação, L
o comprimento da tubulação , θ a constante de vazamentos por unidade de superfície de
tubulação do trecho j ligado ao nó i.
Colombo e Karney (2002) apresentam o conceito de vazamento equivalente, como
sendo aquele localizado em um nó em particular o qual representa a existência de perdas
em algumas ou todas as tubulações vinculadas ao mesmo. Segundo esses autores, um
vazamento equivalente em uma tubulação pode representar todos os vazamentos existen-
tes em ela e apresentam a seguinte equação para determinar a perda de água em uma
tubulação com orifício único:
Q
L
= C
d
A[2g(H
l
− H
gw
)]
α
= C
e
∆H
α
(3.17)
36
onde Q
L
, C
d
, A e g têm os mesmos significados que na eq.(3.14); H
l
e H
gw
são as cargas
hidráulicas na tubulação e no solo circundante(m), respectivamente; ∆H a diferença entre
essas cargas (m); C
e
o coeficiente do emissor do EPANET (ROSSMAN, 2000) (m
3−α
/s)
e α o expoente do emissor.
Embora o valor de α normalmente adotado é 0,5, outros valores têm sido sugeridos.
Por exemplo, Goodwin (1980) identifica um valor de 1,18 para o expoente, com base em
experimentos de campo. Farley e Trow (2003) observam que, na prática, o expoente α na
eq.(3.15) se apresenta com valores superiores a 0,5. Em função de pesquisas realizadas no
Japão, no Reino Unido e no Brasil, entre 1977 e 1998, os a utores indicam que, em média,
os vazamentos decorrentes de pressão elevada, apresentam valores para α de 1,15 ao invés
de 0,5 . A Tabela 3.8 reproduz tais resultados, indicando a faixa de variações do expoente
em cada país e o valor médio obtido em cada caso.
TABELA 3.8 - Valores referenciais do expoente α para a relação entre vazamentos e
pressão
País
Número de setores Valor médio Faixa de variação
analisados de α de α
Reino Unido (1977) 17 1,13 0,70 a 1,68
Japão (1979) 20 1,15 0,63 a 2,12
Brasil (1998) 13 1,15 0,52 a 2,79
Fonte: (FARLEY; TROW, 2003)
3.2.3 Relação entre vazamentos e energia
A energia consumida pelas bombas é usualmente o maior componente dos custos operaci-
onais para o transporte da água. A energia dispendida nos vazamentos envolve uma carga
ambiental elevada e apresenta impactos na produção e no consumo de energia, que po-
dem ser comparáveis com emissões de gás estufa, chuva ácida e esgotamento dos recursos
(COLOMBO; KARNEY, 2002).
Colombo e Karney (2002) estabelecem relações entre os vazamentos e a energia
através de cálculos elementares, baseando-se nas equações da energia em hidráulica e a
função do orifício (eq. 3.17). A Figura 3.10 ilustra uma tubulação com comprimento L,
diâmetro D e fator de fricção de Darcy-Weisbach f, a qual apresenta um orifício localizado
a uma distância xL do extremo esquerdo. Por hipótese, as exigências de consumo são
satisfeitas de maneira que a vazão através do orifício Q
L
é compensada e a vazão exigida Q
d
37
é fornecida à pressão prescrita a jusante H
d
. Assim, a vazão a jusante do vazamento excede
Q
d
em Q
L
; além disso, a inclinação da linha de energia (LE) adota uma descontinuidade
em xL, com a parte a montante seguindo a linha pontilhada da Figura 3.10. A carga
total fornecida a montante, H
s
, deve coincidir com o início da linha de energia modificada
se se pretende manter a pressão no extremo de demanda do tubo, isto é, é preciso maior
energia a montante para atende a mesma demanda, quando existe um vazamento.
FIGURA 3.10 - Linha de energia (LE) de um se gmento de tubulação com vazamento
(COLOMBO; KARNEY, 2002)
A partir das suposições ilustradas na Figura 3.10, Colombo e Karney (2002) substi-
tuem a vazão Q
L
por uma fração da vazão de demanda, isto é, Q
L
= aQ
d
, na eq.(3.17), e
obtém a seguinte expressão para a:
a =
C
e
(H
l
− H
gw
)
α
Q
d
(3.18)
A carga hidráulica no vazamento, é determinada pela relação de H
l
, como sendo
H
l
= H
d
+ (1 − x )H
f
, onde H
f
é a perda de carga em um tubo sem vazamentos (Figura
3.10). Se a carga hidráulica no solo circundante, H
gw
, é assumida como sendo igual a zero
(em condições de solo não saturado), a expressão resultante para a fração de vazamentos
a/a
0
pode ser escrita na maneira seguinte:
a
a
0
= [1 + (1 − x)h
f
]
α
(3.19)
onde a
0
= C
e
H
α
d
/Q
d
é a mínima fração de vazamentos, que ocorre quando H
l
= H
d
, e
h
f
= H
f
/H
d
é a perda de carga relativa. A Figura 3.11 ilustra a forma em que a fração
de vazamentos a/a
0
varia em função de x e h
f
. Clara mente, enquanto a pressão no tubo
38
diminui, a fração de vazamentos se aproxima do valor unitário. Portanto, a respeito da
perda de água, se há ocorrência de vazamento, a posição a jusante (x = 1) em uma
tubulação horizontal (ou o ponto de meno r pressão) é a "melhor" posição para tê-lo .
Para x < 1, a/a
0
diminui com a diminuição de h
f
, devido a que a s pressões no vazamento
são menores, confirmando assim uma estratégia comum para o controle dos vazamentos
(COLOMBO; KARNEY, 2002).
FIGURA 3.11 - Vazamentos relativos em função da perda de carga relativa e da localização
do vazamento (COLOMBO; KARNEY, 2 00 2)
Em seguida, Colombo e Karney (2002) realizam a análise das relações de energia e
vazamentos. Para tanto, utilizam a equação de Darcy-Weisbach H
f
= fLQ
2
d
/(2gDA
2
),
que relaciona a perda de carga em uma tubulação sem vazamentos com a vazão que ela
transporta. Uma análise da geometria das linhas de energia é determinada da Figura 3.10
e estabelecem uma relação adimensional entre a perda de carga (H
f
) para um tubo com
vazamento, que descarga aQ
d
em um ponto xL, e a perda de carga (H
f
) para o mesmo
tubo sem vazamento. Assim, os autores definem a relação de carga por fricção, h
F
, como
sendo uma função linear de x e uma função quadrática de a:
h
F
=
H
f
H
f
= x(1 + a)
2
+ (1 − x) = 1 + ax(a + 2) (3.20)
onde observam que, enquanto x diminui, a perda de carga adicional imposta pelo va-
zamento também diminui devido a que uma maior porção do tubo transporta somente
a vazão de projeto. Entretanto, se a relação do orifício da eq.(3.19) é substituída na
39
eq.(3.20), a relação de carga por fricção torna-se uma função mais complexa da distância,
das propriedades do orifício e da perda de c arga relativa h
f
.
Continuando com a análise, Colo mbo e Karney (2002) afirmam que a diferença entre
a energia mecânica ofertada no extremo a jusante do conduto (E
d
) e aquela fornecida no
extremo a montante (E
s
) determina a energia consumida para alimentar o vazamento.
Expressando estes termos de energia como quantidades adimensionais é possível avaliar
a eficiência energética da tubulação vazante. Visto que a eficiência energética global
depende da eficiência do abastecimento (e.g., eficiência da bomba), um fator empírico de
eficiência, η, pode ser incorporado dentro da expressão de energia final, que utiliza as
eqs.(3.19) e (3.20):
E
d
E
s
=
ηγQ
d
H
d
γQ
d
(1 + a)(H
d
+ H
f
)
=
η
(1 + a){1 + [xa(a + 2) + 1]h
f
}
(3.21)
Segundo Colombo e Karney (2002), as eqs.(3.19 ) e (3.20) podem ser modificadas para
o caso de uma tubulação que contém múltiplos vazamentos, porém é sempre possível
trabalhar com um único vazamento equivalente. A Figura 3.12 mostra a resposta de
eficiência energética E
d
/E
s
às mudanças na fração de vazamentos para três diferentes
valores da distância fracionária x. Para valores menores de x, a relação de energia muda
levemente com x; entretanto, enquanto a se torna maior, a dependência de x é mais
perceptível. As taxas de diminuição são relativamente íngremes, refletindo a importância
do tamanho do vazamento sobre a eficiência energética (COLOMBO; KARNEY, 2002 ).
A localização de um vazamento no segmento de conduto, tem uma influência con-
siderável quando se compara a magnitude dos vazamentos com a pressão, como visto na
Figura 3.11. No entanto, quando se analisa a eficiência energética, tal localização se torna
menos relevante. A Figura 3.12 mostra que, para um caso hipotético em que η = 1 e
h
f
= 0, 5, mesmo para valores grandes da fração de vazamentos a, a posição relativa
do vazamento ao longo do tubo não altera de forma significativa o índice de eficiência
energética. Visto em forma numérica (Figura 3.12), a relação de energia para a = 0, 5
e x = 0, 25 é igual a 0,40; para o mesmo valor de a e x = 0, 75 a relação de energia
adota uma valor de 0 ,34. A proximidade desses valores de eficiência energética indica
que é possível obter aproximações a dequadas para este parâmetro sem levar em conta a
localização dos vazamentos e simplesmente supondo que o vazamento se encontra no meio
do conduto, isto é, fazendo x = 0, 5. Assim, uma vez que a localização do vazamento não
40
FIGURA 3.12 - Relação de energia como uma função da localização e da magnitude do
vazamento (η = 1, h
f
= 0, 5) (COLOMBO; KARNEY, 2002)
é mais uma variável do problema, a eficiência energética depende somente da vazão de
demanda, da vazão de perda (ambas representadas por a) e da pressão do sistema.
3.3 Estratégias de Gerenciamento e Controle de Perdas
por Vazamentos
Diversos trabalhos encontrados na literatura (LAMBERT, 2003; FARLEY; TROW, 2003;
MIRANDA; KOIDE, 2003; FANNER, 2004; LAMBERT; FANTOZZI, 2005; ARAUJO,
2005) referem-se à abordagem prática para o gerenciamento das perdas reais em sistemas
de distribuição de água, esquematizado pela Figura 3.13. Tal abordagem, segundo Farley
e Trow (2003), compreende as técnicas fundamentais para o controle de vazamentos,
denominadas os quatro pilares da gestão das perdas reais.
O volume das Perdas Reais Anuais Existentes (PRAE) no sistema de distribuição
é representado pelo retângulo maior e pode ser calculado através do ba lanço hídrico da
IWA. Segundo Lambert e Fantozzi (2005), esse volume apresenta uma tendência contínua
em aumentar, em função da ocorrência de novos vazamentos e falhas e da deterioração
progressiva do sistema de distribuição. Por outro lado, os autores afirmam que o volume
de PRAE pode ser controlado e reduzido através de uma apropriada combinação entre o
41
FIGURA 3.13 - A abordagem de quatro métodos para o gerenciamento das perdas reais
(LAMBERT; FANTOZZI, 2005)
controle de pressões, a rapidez e qualidade dos reparos, o controle ativo dos vazamentos
(localização de vazamentos e falhas não informados) e a gestão da infra-estrutura da rede.
Fanner (2004) indica que as perdas reais não podem ser eliminadas completamente
e define o conceito de Perdas Reais Anuais Inevitáveis (PRAI) como sendo o mínimo
volume anual de perdas reais que é tecnicamente factível de ser atingido em um sistema
adequadamente mantido e gerenciado. Valores específicos de PRAI, para o sistema que
se analisa, podem ser calculados utilizando a fórmula desenvolvida pelo primeiro Grupo
de Trabalho da IWA (LAMBERT et al., 1999). O s dados necessários para tal avaliação
são o número de ligações de serviço, o comprimento das tubulações, o comprimento das
tubulações de serviço e a pressão média de operação. Na Figura 3.13 as PRAI são repre-
sentadas pelo menor retângulo. Embora as PRAI sejam o limite que pode ser atingido na
redução de perdas, segundo Fanner (2004), para a maioria dos prestadores de serviços não
resulta econômico reduzir as perdas até esse nível, existindo, portanto, um nível interme-
diário que resulta apropriado, em termos econômicos, para ser atingido pela companhia
de águas. O nível econômico é ilustrado também na Figura 3.13 por meio do retângulo
de tamanho intermédio entre PR AI e PRAE.
Lambert e Fa ntozzi (2005) comentam que nos casos em que a água é muito escassa
ou demasiadamente cara, pode ser justificável, do ponto de vista econômico, atingir o nível
de PRAI. Os autores também mencionam que a fórmula de Lambert et al. (1999) para
42
o cálculo do PRAI pode ser aplicada em sis temas com mais de 5000 ligações de serviço,
pressões médias superiores a 25 m e mais de 20 ligações de serviço por km de tubulações.
Visto que dos quatro métodos para a redução das perdas reais, (Figura 3.13), o
controle de pressões é aquele que correspo nde ao escopo desta pesquisa, discutem-se então
a seguir os aspectos relevantes co m ele relacionados.
3.3.1 Controle de pressão
Na Figura 3.13 apresentaram-se quatro elementos-chave para combate aos vazamentos
em um sistema de distribuição. Segundo Farley e Trow (2003), a pressão normalmente
é o segundo fator mais importante na determinação dos níveis de vazamentos, precedido
pelas condições da infra-estrutura. No entanto, o controle de pressões é mais efetivo do
ponto de vista econômico do que a gestão da infra-estrutura.
Uma das ferramentas mais importantes para controle e redução de perdas reais é a
regulação de pressões através de Válvulas Redutoras de Pressão (VRPs). O controle de
pressões mediante este tipo de dispositivos deve assegurar as pressões mínimas e máximas
permitidas para os consumidores finais, isto é, as pressões estática e dinâmica pre-fixadas
para garantir um adequado nível de a tendimento (GONÇALVES; ALVIM, 2005).
Farley e Trow (2003) enumeram os benefícios referentes ao controle das pressões: (1)
redução dos vazamentos não visíveis e por falhas, pela relação direta existente entre pres-
são e vazamentos; (2 ) diminuição de certos tipos de consumo relacio nado com a pressão,
como aquele realizado por dispositivos conectados diretamente às tubulações de serviço
(e.g., torneiras, chuveiros, etc.); (3) diminuição da freqüência das rupturas; (4) provisão
de um atendimento mais constante aos usuários; (5) incremento da capacidade de com-
bate contra incêndios e (6) proteção dos acessórios a longo prazo. Os autores afirmam
que o controle de pressões compreende uma combinação de diversas técnicas e que um
programa adequado deve considerá-las para alcançar os benefícios citados acima.
Entre as técnicas descritas por Farley e Trow (2003) estão as seguintes: (1) ins-
talação de VRPs, (2) instalação de tanque em uma tubulação principal para criar uma
descontinuidade no gradiente hidráulico, (3) nova setorização, através da instalação de
novas tubulações e válvulas destinadas a abastecer áreas em diferentes formas; (4) con-
trole de adutoras; (5) combinação entre booster e VRPs, que pode resultar conveniente em
43
áreas elevadas; (6) controle do bombeamento, utilizando controladores de ligado lento ou
bombas de velocidade variável; (7) controle da entrada nos reservatórios, para controlar
a vazão de entrada em relação ao vo lume armazenado; (8) controles na saída dos reser-
vatórios, destinados a induzir uma baixa diminuição da pressão mas com efeitos sobre
uma grande área e (9) setores diurnos/noturnos, que alternam a abertura e fechamento
de válvulas em função do horário, atendendo a demanda com excesso de pressão no dia e
minimizando os vazamentos à no ite.
A seguir apresentam-se as características fundamentais para a modelagem de válvu-
las redutoras de pressão, que são os dispositivos de interesse para o controle de pressões
e redução de vazamentos no presente trabalho.
3.3.1.1 Válvulas redutoras de pressão
Segundo Araujo (2005), existem diversos tipos de VRPs: válvulas de mola, de pistão,
de diafragma, entre outros, cuja principal função é limitar a pressão a jusante sempre
que esta exceda um determinado valor. O autor descreve três estados de funcionamento
para as VRPs: ativo, passivo aberto e passivo fechado. O estado ativo ocorre quando
a pressão a jusante da válvula é demasiadamente elevada, provocando o acionamento do
dispositivo de obturação da válvula, o que aumenta a perda de carga localiza da e reduz o
valor da pressão a jusante até o valor pretendido H
VRP
. O estado passivo aberto ocorre
quando a pressão a montante, H
M
, é insuficiente e inferior à carga de configuraçã o da
VRP (H
VRP
); nessas condições, a válvula abre totalmente, mantendo a montante e a
jusante a mesma pressão e introduzindo somente a perda de carga localizada pela válvula
aberta. O estado passivo fechado consiste no fechamento total da VRP em condições de
inversão do esco amento, isto é, quando, por algum motivo, a pressão a jusante resulta
superior à pressão a montante. Nesse último caso, a VRP se comporta como uma válvula
de retenção. A Figura 3.14 ilustra os três estados de funcionamento de uma VRP.
Atualmente, de acordo com Araujo (2005), as VRP podem ser controladas em forma
mecânica ou eletrônica, de modo a funcionarem não apenas para um único valor de pres-
são, mas para diversos patamares de pressão definidos em função das variações da de-
manda de água, permitindo, assim, uma gestão mais eficiente dos níveis de serviço e um
melhor desempenho hidráulico do sistema. O autor identifica quatro sistemas básicos de
funcionamento de válvulas redutoras de pressão:
44
FIGURA 3.14 - Modo genérico de funcionamento de uma válvula redutora de pressão de
tipo convencional (ARAUJO, 2005)
Tipo 1 – VRP com carga constante
Neste sistema, a válvula reduz e estabiliza a pressão a jusante, mantendo-a constante e
igual a um determinado valor, pré-estabelecido (H
VRP
), qualquer que seja a pressão a
montante e a vazão no sistema (Figura 3.15a).
Tipo 2 – VRP com perda de carga constante
Neste sistema, a válvula reduz pressão a jusante através da introdução de uma perda
de carga localizada constante, independentemente da pressão a montante. A pressão a
jusante portanto da valvula, portanto, varia com a pressão a montante, mantendo fixo o
diferencial ∆H entre ambas (Figura 3.1 5b).
Tipo 3 – VRP com carga constante variável no tempo
O comportamento deste sistema e análogo ao da VRP com carga constante a jusante, no
entanto, a pressão é mantida constante por intervalos de tempo predefinidos, variando
de intervalo para intervalo (Figura 3.15c). A situação mais comum e a utilização de dois
patamares de pressão, um para o período diurno e o utro para o noturno.
Tipo 4 – VRP com carga ajustável automaticamente em função da variação dos consumos
Neste sistema, a válvula reduz a pressão a jusante em função da vazão de demanda ou
da variação de pressão em seções críticas de rede (seções com menores pressões). Caso
a pressão seja regulada pela vazão, é necessário equipar a válvula com um sistema de
medição de vazão, de tal forma que qualquer variação da vazão seja acompanhada pela
respectiva variação de pressão a jusante (desde que a pressão a jusante se mantenha
45
inferior à de montante). Caso a pressão a jusante seja controlada pela pressão nas seções
criticas, é necessário monitorar a pressão nessas seções, por um sistema de telemetria, em
simultâneo com o acionamento da valvula redutora de pressão.
FIGURA 3.15 - Modo de funcionamento ativo de diferentes sistemas de válvulas redutoras
de pressão (ARAUJO, 2005)
Araujo (2005) afirma que os dois primeiros esquemas de funcionamento das VRP
(tipo 1 e 2) enquadram-se nos sistemas redutores de pressão convencionais e os últimos
(tipo 3 e 4) nos sistemas não convencionais. A mesma válvula pode permitir qualquer um
dos diferentes tipos de funcionamento desde que seja equipada com um circuito piloto es-
pecífico para essa função. A grande vantagem das válvulas não convencionais, em especial
da VRP com carga ajustável ao consumo, é a uniformização da pressão no respectivo setor
da rede durante o dia sem prejuízo dos consumidores. Enquanto uma VRP convencional
exige que a pressão na rede seja elevada durante a noite pa ra assegurar o nível de serviço
mínimo durante a hora diurno de maior demanda, a VRP não convencional, e em especial
a VRP ajustável pela vazão, permite que a pressão da rede se ajuste aos consumos ao
longo do dia ajustando a pressão a jusante em função do consumo do sistema (funcionando
com pressões ba ixas durante as horas de menor consumo, e com mais elevadas durante o
horário pico).
A maneira de introduzir as válvulas em um modelo de rede depende principalmente
do procedimento utilizado para os cálculos hidráulicos. No modelo descrito por Jowitt
e Xu (1990), uma válvula é representada como um coeficiente (entre 0 e 1) da vazão
que passa através do conduto em que a válvula é incluída. Este tipo de representação
da abertura das válvulas fo i utilizada por outros autores (REIS; PORTO; CHAUDHRY,
46
1997; REIS; CHAUDHRY, 1999), que generalizam estes dispositivos sob a denominação
de válvulas redutoras de pressão, embora o tipo de modelagem sugere que as válvulas
regulem vazão. De qualquer forma, visto que a prioridade é adequar a modelagem às
ferramentas de cálculo, esse disp o sitivo de controle torna-se irrelevante, pelo menos na
etapa de otimização computacional.
O simulador EPANET 2.0 (ROSSMAN, 2000) considera as válvulas como trechos
da rede que limitam a pressão ou a vazão em um ponto específico da rede. É necessária a
introdução de dados para sua simulação como os nós inicial e final, o diâmetro, parâmetros
de controle na válvula (i.e., regras de funcionamento) e o seu estado em termos de abertura.
Como resultados da simulação, obtém-se valores de vazões e de perdas de carga. Os tipos
de válvulas que podem ser modeladas pelo EPANET são: (1) válvula redutora de pressão,
(2) válvula de alívio, (3) válvula de perda de carga fixa, (4) válvula reguladora de vazão,
(5) válvula de borboleta e (6) válvula genérica. Tal diversidade permite simular um
sistema com diferentes condições de operação, uma vez conhecidas as localizações, tipos e
configurações dos dispositivos por ele contidos. Porém, em um processo de otimização o
uso de válvulas como novos trechos na simulação pode levar a complicações na seqüencia
de procura das soluções ótimas, principalmente pela necessidade de incluir novos trechos
no modelo do sistema.
O problema de inclusão das válvulas, para fins práticos, pode ser abordado como
pseudo dispositivos, simulando seus efeitos como rugosidades incrementais nas tubulações.
Tal procedimento é adotado por Araujo , Ramos e Coelho (2006) em uma primeira etapa
da otimização, procurando a determinar o número e possível localização das válvulas de
controle no sistema. Em uma segunda etapa, estes autores determinaram as configurações
de abertura para diferentes tipos de válvulas. Com esta informação é possível estabelecer
a quantidade, a localiza ção e as configurações mais adequadas das válvulas que são econô-
mica e tecnicamente viáveis de serem implantadas no sistema. Na seção 3.3.3 se explica
com maiores detalhes o trabalho de Araujo, Ramos e Coelho (2006).
3.3.2 Setorização do sistema
Devido à grande extensão que uma rede de distribuição de água representa, além de nu-
merosas derivações e conexõ es, a divisão por setores, com a finalidade de se ter um melhor
gerenciamento do sistema, torna-se fundamental. A setorização possibilita identificar, em
47
maneira mais eficiente, os pontos da rede sujeitos à maior incidência de vazamentos (DAN-
TAS; GONÇALVES; MACHADO, 1999). A Figura 3.16 apresenta um esquema clássico
de setorização, onde o setor A é abastecido pelo reservatório elevado (zona alta) e o setor
B pe lo reservatório apoiado (zona baixa). Ambos os setores devem ter macromedidores
na entrada assim como hidrômetros para os consumidores finais. Dessa forma é possí-
vel compatibilizar entre a macromedição e a micromedição, fornecendo confiabilidade nos
índices de perdas para o gerenciamento.
FIGURA 3.16 - Setorização clássica em sistemas de distribuição de água (GONÇALVES;
ALVIM, 2005)
Segundo Gonçalves e Alvim (2005 ), cada setor de abastecimento pode ser subdivi-
dido em um ou mais subsetores, deno minados: zona de pressão, setor de macromedição,
distrito de medição temporária e setor de manobra, definidos por esses autores na seguinte
maneira:
A zona de pressão é a área abrangida por uma subdivisão da rede, na qual as
pressões estática e dinâmica obedecem a limites pré-fixados. O setor de macromedição
corresponde à parte da rede de distribuição delimitada e isolável cuja vazão é medida
continuamente através de macromedidor(es) instalado(s) na(s) linha(s) de alimentação
e de saída, quando houver transferência para outro setor. O controle está destinado a
acompanhar a evolução do consumo e avaliar as perdas de água na rede. O distrito de
medição temporária corresponde a uma parte delimitada e isolável da rede cuja vazão
48
é medida através de equipamentos portáteis ou de instalação provisória. Isso permite
acompanhar temporariamente o consumo e as perdas. O setor de manobra representa uma
menor subdivisão da rede, cujo abastecimento pode ser isolado sem afetar o abastecimento
do restante da rede.
Gonçalves e Alvim (2005) recomendam que todos os tipos de setores do sistema
sejam indicados e mantidos atualizados em mapas temáticos do cadastro técnico de redes
e apoiados com o cadastro comercial seja es tabelecida. O objetivo é contar com uma base
de dados única e disponível para os diversos setores da empresa. No Brasil, de modo
geral, os sistemas comerciais das empresas e autarquias evoluíram nos últimos anos e
desconsideram completamente as necessidades da operação e da Engenharia, situação que
precisa ser revertida (GONÇALVES; ALVIM, 2005).
Através da divisão em setores, o analista pode compreender e analisar com maior
facilidade os perfis de pressão e vazão, além dos problemas eventuais do sistema; tais
setores são mais fa cilmente controláveis do ponto de vista operacional e permitem a im-
plementação de sistemas de monitoramento e controle (FARLEY; TROW, 2003).
De acordo com Farley e Trow (2003), os setores podem ser criados como zonas de
pressão discretas, por exemplo, uma zona que não pode ser abastecida por gravidade pode
ser isolada por válvulas de contorno e atendida por um booster. Os autores indicam que
as zonas também podem ser criadas com a finalidade de separar as águas fornecidas por
diferentes fontes, para minimizar os problemas de qualidade.
Farley e Trow (2003) afirmam que em qualquer rede de distribuição, o fechamento
de muitas válvulas diminui a capacidade da rede e pode levar a problemas operacionais
ou de qualidade da água, portanto, sempre que seja possível, os limites dos setores devem
ser de origem natural ou geográfico (e.g., trilhos, rios, canais e rodovias principais), para
minimizar o número de tubulações que os atravessam. Ainda Farley e Trow (2003) indicam
que existe sempre um nível de redundância na rede para permitir a setorização sem causar
problemas de atendimento. Segundo esses autores, a zona ideal deve ter a s seguintes
características: uma única fonte, para minimizar os problemas de qualidade da água e
um único ponto de medição da água injetada, para maximizar a acurácia das informações
sobre vazão e vazamentos.
A seqüência para criar um setor, estabelecida por Farley e Trow (2003), é: (1)
identificar possíveis limites seto riais utilizando mapas, cadastros e inspeções de campo; (2)
49
realizar uma auditoria do setor proposto que inclua a verificação do estado e as co ndições
de válvulas propostas; (3) co nfrontar informações sobre as características do setor, como
ser número de propriedades, consumo industrial, etc.; (4) medir as vazões e pressões do
setor através da análise da rede ou testes em campo; (5) iso lar o setor e coletar dados
sobre vazões e pressões diurnas (6) calcular o tamanho necessário do macromedidor; (7)
avaliar o potencial de controle de pressão; (8) instalar os equipamentos; (9) marcar as
válvulas de co ntorno com um identificador claro.
Soares et al. (2004) realizaram o estudo em um dos 22 setores da rede de abaste-
cimento de Campo Grande, MS, com a finalidade de calibrar um modelo computaciona l
do sistema. O setor estudado é responsável pelo atendimento de aproximadamente 100
mil habitantes e foi escolhido devido aos índices de perdas reais e aparentes (48% em
média). Iniciou-se o estudo pela coleta de dados ca dastrais referentes às características
físicas de todos os componentes da rede. Posteriormente, construíram o modelo da rede
simplificada, desconsiderando diâmetros de tubulações inferiores a 150 mm, salvo algu-
mas exceções. O terceiro passo foi a divisão da rede simplificada em setores homogêneos,
em termos de rugosidades e parâmetros do modelo de vazamentos, de forma que as es-
timativas para cada setor de rede correspondam a um fator de ajuste global para esse
setor. Em seguida, foram instalados medidores de pressão e vazão na rede, de forma a
armazenar dados de campo simultaneamente com as informações relativas aos níveis dos
reservatórios. Por fim, foi realizada a calibração para estimar os parâmetros do modelo
de vazamentos.
O estudo de Soares et al. (2004 ) é citado como um exemplo da importância da
setorização para estudos destinados a melhorar o controle operacional do sistema de dis-
tribuição. A Figura 3.1 7 apresenta o setor analisado por Soares et al. (2004), que foi
dividido em cinco sub-setores, indicando-se também os pontos onde foram instalados me-
didores de pressão.
3.3.3 Modelagem e simulação
De acordo com Farley e Trow (2003), os modelos computacionais têm sido utilizados por
muitos anos para diversos propósitos relacionados com sistemas de distribuição de água
para abastecimento. Entre esses propósitos, pode-se mencionar a determinação de vazões
e pressões em pontos nodais de interesse, a simulação de parâmetros de qualidade da água
50
FIGURA 3.17 - Setores e pontos de amostragem de pressão em um modelo de rede rede
simplificada (SOARES et al., 2 00 4)
visando a determinar concentrações de substâncias químicas, o prognóstico de demandas
e a simulação de vazões de entrada e saída em reservatórios.
Esses autores ainda indicam que até recentemente não existiam técnicas para mo-
delar níveis de vazamentos, devido principalmente à falta de compreensão da mecânica
do desenvolvimento dos vazamentos, à disponibilidade de somente um conhecimento em-
pírico da relação entre vazamentos e pressão e à consideração dos vazamentos como um
elemento simples sem entender seus componentes individuais.
A partir da suposição que os vazamentos dependem das pressões, Soares (2003) clas-
sifica os modelos de vazamentos, em sistemas de distribuição de água, em duas categorias:
modelos de avaliação global e modelos de avaliação detalhada, na forma ilustrada pela
Figura 3.18.
Os modelos de caráter global caracterizam-se pelo uso da pressão média por zona
para o cálculo das perdas por vazamentos (SOARES, 2003). Destacam-se nesta ca tegoria
os modelos propostos por WRC (198 0), Lambert e Hirner (2000) e Lambert et al. (1999).
O primeiro foi baseado em estudos da variação dos vazamentos com a pressão noturna e
permitiu construir o gráfico da Figura 3.9. Os outros dois permitem avaliar o volume total
de vazamentos em cada um dos setores que compõem o sistema de distribuição. Burrows,
Tanyimboh e Tabesh (2000 ) utilizam a metodologia de avaliação global, mas comentam
51
FIGURA 3.18 - Classificação dos modelos de avaliação dos vazamentos (SOARES, 2003)
que a principal deficiência é a falta de capacidade do modelo para ser empregado em
simulações que admitem as demandas dirigidas pela pressão. Os modelos detalhados tanto
explícitos como iterativos permitem superar essa deficiência e podem ser incorporados
diretamente nas simulações hidráulicas (SOARES, 2003).
O trabalho de Germanopoulos e Jowitt (1989) foi o primeiro em incorporar os va-
zamentos explicitamente na formulação hidráulica de uma rede de distribuição. Nessa
proposta, foram pré-estabelecidos os parâmetros que relacionam a pressão e os vazamen-
tos para obter uma função que possa ser incorporada nas equações de continuidade dos
nós. Uma metodologia para minimizar os vazamentos indiretamente através da minimi-
zação das pressões excessivas da rede foi proposta. Para tanto, os autores incorporaram
válvulas de controle com localizações pré-determinadas visando a o timizar as configu-
rações das mesmas. O problema foi formulado como uma função objetivo linear e um
conjunto de restrições não lineares, por causa da não linearidade das equações de con-
tinuidade nos nós. O método da teoria linear foi utilizado para resolver o problema de
minimização do excesso de pressão e a solução consistiu em um conjunto de aberturas
ótimas das válvulas reguladoras de pressão, em observância das pressões nodais mínimas
para atendimento da demanda.
52
O modelo de Germanopoulos e Jowitt (1989) é formulado com base na e quação da
continuidade nodal:
j∈J
i
Q
ij
+ C
i
+ 0, 5
j∈J
i
Q
Lij
= 0 (3.22)
onde Q representa a vazão entre os nós i e j, J
i
é o número de tubulações conectadas ao
nó i, C a demanda de consumo no nó i e Q
L
é o vazamento na tubulação compreendida
entre os nós i e j. A relação entre vazamentos e pressão é representada pela eq.(3.23).
Q
Lij
= c
1
L
ij
[0, 5(H
i
− Z
i
+ H
j
− Z
j
)]
α
(3.23)
onde Q
L
é o vazamento ocorrendo no elemento de comprimento L entre os nós i e j, c
1
o
coeficiente de vazamento que depende das características do sistema (idade e deterioração
das tubulações e tipo do solo, dentre outras), H a energia no nó (i ou j), Z a cota
topográfica do nó (i ou j) e α o expoe nte de vazamentos. Germanopoulos e Jowitt (1989)
reportaram um valor de 1,18 para esse expoente, com base em investigações de campo
(WRC, 1980).
No caso em que uma válvula de controle está localizada entre os nós i e j, a relação
entre a vazão Q e a perda de carga H pode ser expressa pela eq.(3.24):
Q
ij
= V
k
· R
ij
· sg n(H
i
− H
j
) · |H
i
− H
j
|
0,54
(3.24)
onde V
k
é o parâmetro que representa a abertura da válvula k, R
ij
é o coeficiente de
resistência que resulta da formulação de Hazen-Williams, sgn(x) é 1 se x > 0 e -1 caso
contrário.
O problema de determinação das aberturas, V
k
, ótimas das válvulas, consiste em
minimizar o somatório das diferenças entre as cargas hidráulicas calculadas H
i
e as cargas
hidráulicas H
∗
i
necessárias para atender a demanda em um número N
r
pré-determinado
de nós de referência. A formulação do problema é apresentada a seguir.
53
Min
V
k
i∈N
r
(H
i
− H
∗
i
) (3.25a)
Sujeito a:
(a) equação da continuidade nos nós (3.22)
(b) aberturas máxima e mínima das válvulas:
V
mín
k
≤ V
k
≤ V
máx
k
(3.25b)
(c) carga hidráulica mínima para os nós:
H
i
≥ H
∗
i
(3.25c)
Os dados de entrada no modelo são as cargas hidráulicas nos nós ligados aos reserva-
tórios, a localização e as aberturas máximas e mínimas das válvulas, as demandas e cotas
topográficas dos nós, as características das tubulações da rede (comprimento, diâmetro e
coeficiente de rugosidade), a carga hidráulica mínima para atender a demanda nos nós,
e a relação entre pressão e vazamento da rede. As variáveis desconhecidas são as ca rgas
hidráulicas H
i
e as aberturas das válvulas V
k
incorporadas à rede.
Jowitt e Xu (1990) desenvolveram um algoritmo de otimização que melhora o tra-
balho apresentado por Germanopoulos e Jowitt (1989). Esses autores determinaram a
modulação ó tima das VRPs de localização conhecida, minimizando os vazamentos dire-
tamente. Além disso, a metodologia de linea rização sucessiva mostrou uma sistemática
mais apropriada que levou a soluções ótimas mais eficientes. A formulação do problema
é apresentada a seguir.
Min
V
k
ij∈R
(Q
Lij
) (3.26)
sujeito às mesmas restrições da formulação de Germanopoulos e Jowitt (1989 ) (eqs. 3.22,
3.25b e 3.25c) e onde R é o número de todos os pares de nós co nectados por uma tubulação.
Hindi e Hamam (1991a) apresentaram a primeira etapa de um modelo de redução de
vazamentos destinado a determinar as configurações de VRPs, sem perder de vista a ga-
rantia do atendimento. Os resultados dessa primeira etapa consistiram em um conjunto de
aberturas das válvulas para um conjunto conhecido de demandas e níveis nos reservatórios.
Em uma segunda etapa (HINDI; HAMAM, 1991b), o modelo desenvolvido foi utilizado
54
para minimizar vazamentos, considerando diversos padrões de demanda, representantes
da variação diurna do consumo. Os dois modelos desenvolvidos, com sistemáticas de
linearizações alternativas, foram testados na análise de diversos caso s de estudo.
Salgado, Rojo e Zepeda (199 3) incluíram um modelo de vazamentos e demandas
variáveis com a pressão para simular redes de distribuição de água utilizando o Método
Gradiente, desenvolvido originalmente por Todini e Pilati (1987). Nesse traba lho, foi
empregada a mesma formulação de vazamentos da eq.(3.23) e o modelo de demandas
dirigidas pela pressão segue a equação dos orifícios. O modelo foi submetido a testes
de convergência, utilizando um sistema hipotético e foi evidenciado que o novo método
apresentou resultados confiáveis.
Savic e Walters (1995) estudaram a localização de válvulas tipo on/off, as quais não
admitem modulações intermediárias. Consideraram a redução dos excessos de pressão na
rede, ao invés de considerar a redução dos vazamentos diretamente. Porém, o método não
explora todo o potencial de redução de vazamentos, mas consiste em uma ferramenta útil
na delimitação de setores de redes.
Como proposta para solucionar o problema de localização ótima de válvulas de con-
trole de pressão, Reis, Porto e Chaudhry (1997) adotara m um procedimento híbrido que
determina as localização de VRPs ajustáveis e as respectivas configurações, utilizando
Algoritmos G enéticos (AGs) e programação linear. Uma vez estabelecidas as localizações
das VRPs via AGs, os autores utilizaram o módulo de programação linear, segundo a
proposta de Jowitt e Xu (1990), para determinar as modulações ótimas das válvulas. O
modelo hidráulico foi implementado com base na teoria linear para desenvolver as avalia-
ções com base em um único padrão operacional relativo a níveis de água nos reservatórios
e fatores de consumo. A modulação das válvulas foi considerada em termos de variáveis de
abertura, que oscilavam entre 0 e 1. Um estudo dos efeitos da variação das demandas na
localização ótima das válvulas indicou combinações distintas de localização das válvulas
para diferentes padrões de demandas nodais e para diferentes demandas totais. Uma das
vantagens do uso de AGs na formulação é a variedade de soluções envolvendo um número
pequeno de válvulas.
Vairavamoorthy e Lumbers (1998) abordam a otimização das aberturas de VRPs
para uma localização pré-definida. O método de busca de soluções utiliza uma técnica ba-
seada em uma programação quadrática seqüencial que resolve uma série de sub-problemas,
55
visando a gerar a cada passo uma direção de busca que é usada para corrigir o vetor so-
lução. Esses autores consideraram e incorporaram duas funções objetivo no modelo de
otimização. A primeira minimiza o volume total de vazamentos:
min Z
1
=
NP
k=1
(Q
Lk
) (3.27)
onde NP é o número de tubulaçõe s da rede e Q
L
é calculado com a eq.(3.23) utilizando
um expoente α = 1, 18. A segunda função objetivo minimiza a soma dos quadrados dos
desvios entre a pressão dos nós e a pressão mínima requerida para esses nós:
min Z
2
=
NPN
i=1
(H
i
− H
∗
i
)
2
(3.28)
onde NPN é o número de nós com carga hidráulica desconhecida. As restrições para
as duas funções objetivo são: a equação da continuidade para cada nó, considerando a
relação entre pressão e vazamento, e os limites de abertura máximo e mínimo das válvulas.
Empregando a mesma formulação pré-estabelecida para o modelo de vazamentos,
Gueli e Pezzinga (1998) propõem a utilização de AGs em lugar de programação não linear
para a determinação das aberturas ótimas das VRPs destinadas a minimizar as perdas
por vazamentos. Essa proposta surgiu com o propósito de a umentar o grau de eficiência
na convergência.
O aspecto comum dos trabalhos citados anteriormente, sobre modelagem de vaza-
mentos, é que os parâmetros que relacionam a pressão e os vazamentos são pré-estabelecidos.
A seguir, comentam-se outras propostas para a determinação das rela ções pressão-vazamento.
Em um estudo realizado por Khadam, Shammas e Al-Feraiheedi (1991) na cidade
de Riad, Arabia Saudita, encontrou-se que as relações entre pressão e vazamentos não
apresentaram uma variação exponencial. O estudo foi efetuado com base em medições
das taxas de vazamentos para valores médios de pressão na rede de distribuição e através
de análises demográficas e de consumo por zonas. Essa não uniformidade das relações
pressão-vazamento reflete o caráter local dos parâmetros e aparentemente ocorreu devido
a diversos fatores como variações de pressão diurna de serviço, fadiga dos tubos devido a
bruscas variações térmicas, etc.
56
Arreguín-Cortes e Ochoa-Alejo (1997) apresentaram um método para determinar as
perdas de água em redes de distribuição, ligações domésticas, conexões não autorizadas
e medidores residenciais. Os autores basearam-se em técnicas de amostragem aleatória
estratificada, medição de perdas em ligações residenciais, observações de usuários com
baixo consumo mensal, verificação de hidrômetros e medidas hidrométricas em distritos
urbanos. Os resultados permitiram quantificar os volumes de perdas e suas causas, a lém
de fornecer informações úteis para o pla nejamento de estratégias de prevenção de perdas
adicionais. O método foi aplicado a sistemas de distribuição em quinze cidades mexicanas,
que apresentavam um índice médio de 36 % de perdas por vazamentos. Os autores pro-
puseram uma rela ção linear entre pressão e vazamentos, mas advertem que o s resultados
não deveriam ser extrapolados a outras cidades mesmo com características similares às
estudadas po r eles, visto que as condições operacionais, a idade do sistema, a pressão e
os materiais utilizados influenciam os vazamentos.
Com base em dados de campo e aplicando análises estatísticas para processá-los,
Lambert e Hirner (2000) desenvolveram outra metodologia para a determinação dos pa-
râmetros de modelo de vazamentos em redes de distribuição de água. Para o cálculo dos
vazamentos, os autores propuseram um estudo baseado em um balanço de massa, envol-
vendo o volume total de água que entra no setor da rede, o consumo de água autorizado
faturado e não faturado, e as perdas tanto reais como aparentes (como definido na se ção
3.1.1). O método avalia a e ficiência da rede com bas e na relaçã o entre a perda real, re-
gistrada pelo balanço de massa, e a perda real mínima do sistema. Esta última depende
do comprimento das linhas de distribuição, do número de conexões ligadas à rede, do
comprimento das conexões dos medidores prediais à rede de distribuição e de parâmetros
da rede baseados em análises estatísticas de vazamentos não identificados e quebras de
tubulações registradas e não-registradas com respectivos volumes perdidos, duração dos
vazamentos e pressão média a tuante (LAMBERT et al., 1999).
3.3.3.1 Determinação dos parâmetros do modelo de vazamentos
Um outro grupo de trabalhos se ocupa da determinação dos parâmetros do modelo de
vazamentos através de simulações de redes de distribuição. A seguir são citadas algumas
dessas propostas.
57
Tucciarelli, Criminisi e Termini (1999) desenvolveram um procedimento iterativo de
dois passos para estimar as perdas de água através de pequenos vazamentos em diferentes
áreas de uma rede de distribuição de água. O primeiro passo consiste na estimativa dos
parâmetros no modelo da rede, por meio da maximização de uma função objetivo igual
à soma dos quadrados da diferença entre as cargas hidráulicas e vazões observadas e seus
valores calculados para determinado número de nós e tubulações. Os parâmetros estima-
dos são, entre outros, os coeficientes e expoentes de perdas. Tais parâmetros fornecem o
valor de perdas de água por unidade de tempo em ca da área da rede, denominada zona.
O segundo passo consiste na otimização das aberturas de válvulas incorporadas na rede.
As restrições do problema são as cargas hidráulicas mínimas que devem ser atingidas nos
nós e as equações de continuidade.
O modelo de Tucciarelli, Criminisi e Termini (1999), utilizado no processo de cali-
bração, isto é, no primeiro passo, considera condições de regime permanente e combina
as equações de continuidade e de conservação da energia em um conjunto de N equações
algébricas:
M
i
j=1
H
j
− H
i
R
ij
|H
j
− H
i
|
− δ
1
Q
Li
− Cρ
i
= 0; i = 1, . . . , N (3.29)
onde N é o número total de nós, M
i
é o número de tubulações ligadas ao nó i, H a
carga hidráulica no nós i e j, Q
L
é a perda de água nas tubulações ligadas ao nó i, δ
1
é
igual a 1 ou zero se a carga hidráulica total no nó i é maior ou menor, respectivamente,
que a cota topográfica deste, C é a demanda total, ρ é um coeficiente de distribuição
espacial da demanda no nó i (restrição da demanda atendida). O termo Q
L
é calculado
com base na suposição de que as tubulações de um mesmo setor apresentam vazamentos
constantes por unidade de superfície da tubulação. A eq.(3.30) expressa algebricamente
essas suposições:
Q
Li
= (H
i
− Z
i
)
α
j∈J
i
π
2
D
ij
θ
ij
L
ij
(3.30)
onde Q
L
é o vazamento quantificado no nó i, Z a cota topo gráfica referente ao nó i, α
o exp oente de perda que corresponde ao setor de vazamentos do nó i, J
i
o número de
tubulações ligadas ao nó i, D o diâmetro da tubulação, L o comprimento da tubulação, θ
a co nstante de vazamentos por unidade de superfície de tubulação do trecho j ligado ao
58
nó i. O termo R
ij
da eq.(3.29) é o coeficiente de resistência da tubulação que vincula os
nós i e j e é determinado com a equação de Prandtl-Nikuradse:
R
ij
= R
0
(V
ij
) + 0, 0826
L
ij
λD
5
ij
(3.31)
sendo λ = 4
log
ε
ij
3, 71D
ij
2
(3.32)
onde R
0
(V
ij
) é a perda de carga localizada correspondente a uma possível válvula de índice
V
ij
na tubulação entre os nós i e j, e ε
ij
a rugosidade absoluta da tubulação entre os nós
i e j.
As perdas de água Q
L
em (3.30) podem ser calculadas a partir dos parâmetros
estimados C, α, θ e ε. A estimativa desses parâmetros pode ser realizada através de
medições das cargas hidráulicas totais e das vazões para determinados nós e tubulações,
respectivamente. Com essas medições o problema inverso deve ser resolvido visando a
minimizar as diferenças entre os valores medidos e os calculados.
Os autores comentam que procedimento mostrou-se preciso e estável após ser tes-
tado em alguns experimentos numéricos. Além disso, a estratégia proposta permite não
somente realizar medições em um modelo mais realista da rede, mas mudar as condições
da rede para obter informações à respeito de novas medições.
Martínez et al. (1999) construíram e calibraram um modelo dinâmico da rede de
distribuição de água para a cidade de Valência, Espanha, que abastece uma popula ção
de 1,5 milhõ es de habitantes através de 1500 km de tubulações, para tanto, o software
EPANET foi empregado como pacote de simulação. Os autores construíram um programa
computacional que possui modelos de qualidade da água, de vazamentos relacionados com
a pressão e de demanda dependente da pressão. O modelo diferencia os vazamentos na-
queles correspondentes às partes modelada e não modelada do sistema de distribuição. A
parte modelada da rede constitui o sistema simplificado, que considera somente as linhas
principais de distribuição (esqueleto). A parte não modelada, corresponde a tubulações de
menor diâmetro que são incluídas no modelo como demandas e vazamentos em determina-
dos nós da rede simplificada. Um estudo mais detalhado dos modelos pressão-vazamentos
e pressão-demanda do software pro duzido é apresentado por Martínez, Conejos e Vercher
(1999).
59
Martínez, Conejos e Vercher (1999) foram os pioneiros a construir hipóteses para
avaliação de vazamentos quando os seto res da rede são representados de maneira detalhada
e quando um nó representa um setor da rede. O s autores propõem uma integra ção das
relações pressão-vazamentos e pressão-demanda na formulação discreta pa ra resolução do
problema em cada instante m:
j∈J
i
k
ij
(m) (H
i
(m) − H
j
(m)) +
1
2
j∈J
i
q
1,ij
(m) + q
2,i
(m) + Q
d,i
(m) = 0; i ∈ J
d
(3.33)
onde k
ij
(m) = R
−0,5
ij
(m)|H
i
(m)−H
j
(m)|
−0,5
, q
1,ij
é a taxa de vazamento na rede modelada
e é dada por:
q
1,ij
= c
s
1
L
ij
P
av
ij
1,18
(3.34)
onde c
s
1
é uma constante dependente das características particulares da rede ou do setor s,
L é o comprimento da tubulação entre os nós i e j e P
av
é a pressão média na tubulação
entre os nós i e j.
A formulação para o cálculo da taxa de vazamentos na rede de distribuição modelada
baseia-se em que as perdas por vazamentos podem ser consideradas proporcionais ao
número de defeitos:
n
b
= k · L · D
d
· e
aτ
(3.35)
onde n
b
é o número de quebras ocorridas durante o intervalo [0, τ], k é um coeficiente que
depende do tipo e qualidade do material e da instalação, L e D são o comprimento e o
diâmetro da tubulação, respectivamente, d é um expoente cujo valor é 1 para diâmetros
pequenos (menores que 125 mm) e -1 para diâmetros maiores, a é um parâmetro de ajuste
da evolução temporal do número de quebras e τ é a idade da tubulação. Com a introdução
desses coeficientes e para um grupo de tubulações de igual material e idade, a eq.(3.34)
pode ser escrita da seguinte forma:
q
1,ij
= c · L
ij
· D
d
ij
· e
aτ
(P
av
ij
)
1,18
(3.36)
Se o vazamento no nó i é dado por
q
1,i
=
1
2
j∈J
i
q
1,ij
(3.37)
60
onde J
i
é o conjunto de to do s os nós conectados ao nó i, o vazamento médio durante o
período de simulação para a rede modelada no setor s, será dado por
q
s
1
=
1
T
T
k=1
i∈J
s
d
q
1,i
(k) (3.38)
onde q
1,i
(k) é o vazamento no nó i para o instante k, T é o número total de intervalos
considerados na simulação e J
s
d
é o conjunto de nós com demandas no setor s. Se se
considera que π
s
1
é a porcentagem de vazamento no setor s da rede modelada, o vazamento
médio pode ser escrito como
q
s
1
= π
s
1
1
T
T
k=1
i∈J
s
s
Q
s,j
(k) (3.39)
onde Q
s,j
(k) é a vazão controlada injetada no nó fonte j no instante k e J
s
s
é o conjunto
do nós do setor s. Assim, através da resolução das eqs.(3.38) e (3.39), o valor da constante
c
s
1
para o setor s pode ser obtido.
Para o cálculo da taxa de vazamento médio na rede não modelada, é proposta uma
expressão similar, através da substituição da porcentagem π
s
1
por π
s
2
:
q
2,i
= π
s
2
1
T
T
k=1
Q
c,i
(k) (3.40)
onde π
s
2
é a porcentagem de vazamento na rede não modelada no setor s e Q
c,i
(k) é a
vazão abastecida total no nó i para o instante (k). Entretanto, de acordo com a equação
de descarga através de um orifício,
q
i
= K
i
(P
i
− P
0
)
β
(3.41)
onde P
i
é a pressão a montante do orifício, P
0
é a pressão a jusante do orifício, β é um
expoente determinado experimentalmente e K
i
é o coeficiente de descarga do orifício que
depende do tipo e da forma deste. O vazamento é dado por
q
2,i
= K
i
1
T
T
k=1
P
β
i
(k) (3.42)
61
onde adota-se um valor de zero para P
0
e supõe-se que K
i
é constante ao longo do tempo.
A porcentagem π
s
2
, que corresponde aos vazamentos na rede não modelada no seto r
s é inserida através da s eguinte expressão:
i∈I
s
q
2,i
= q
s
2
= π
s
2
1
T
T
k=1
j∈J
s
Q
s,j
(k) (3.43)
Com a finalidade de distribuir o vazamento espacialmente sem fixar a percentagem
para cada nó, propõe-se expressar o vazamento total de cada nó proporcionalmente à
pressão atuante:
q
2,i
(k) = c
s
2
T
k=1
Q
c,i
(k)
P
β
i
(k) (3.44)
onde c
s
2
é o coeficiente de vazamento do setor a ser determinado. O vazamento médio no
período de simulação, de acordo com a expressão (3.44), será dado por
q
2,i
= c
s
2
T
k=1
Q
c,i
(k)
1
T
T
k=1
P
β
i
(k) (3.45)
Para a obtenção do coeficiente K
i
correspondente a cada nó, o valor da constante
c
s
2
para o setor deve ser obtido; para ta nto, substitui-se a eq.(3.45) na equação (3.43):
K
i
= c
s
2
T
k=1
Q
c,i
(k)
(3.46)
Assim, foi explicado o significado dos termos da eq.(3.33), exceto do último (Q
d,i
)
que corresponde à demanda efetivamente atendida.
Entre os modelos iterativos para avaliação de vazamentos, Hernández et al. (1999)
propuseram uma metodologia baseada no Método Gradiente (TODINI; PILATI, 1987).
O modelo foi desenvolvido a partir do código fonte do EPANET com dois objetivos princi-
pais: (1) introduzir uma técnica computacional de alto desempenho, destinada a acelerar
os processos de simulação; (2) introduzir a modelação de vazamentos e desenvolver um mó-
dulo de otimização paralelo para minimizar os vazamentos através do controle de pressões
na rede de distribuição. O processo iterativo para um determinado instante compreende
os seguintes passos:
62
1. Os vazamentos são supostos iguais a zero para cada nó.
2. As pressões na rede são determinadas utilizando o Método Gradiente.
3. Uma aproximação inicial dos vazamentos para cada nó i é obtida através da seguinte
expressão:
q
i
= K
i
p
1,1
i
(3.47)
onde q é o vazamento no nó i, p é a pressão no nó i e K
i
representa um coeficiente
de vazamento para ca da nó, suposto constante para longos períodos de tempo.
4. Os vazamentos são somados às vazões de demanda nos nós e novos valores de con-
sumo global são obtidos.
5. Volta-se ao passo 2. O processo iterativo termina quando os valores de vazamentos
em cada nó permanecem estáveis para determinado critério de convergência.
Os vazamentos foram minimizados para cada período da simulação, através do con-
trole de pressões com um número de VRPs, com base na suposição de que os vazamentos
podem ser minimizados para cada instante de tempo independentemente. Os autores
advertem que essa independência não pode ser considerada realista, desde que as confi-
gurações das válvulas para um determinado instante podem alterar as vazões de entrada
e saída nos reservatórios e, portanto, o estado da rede nos passos subseqüentes. No en-
tanto, essa suposição pode ser considerada razoável se se leva em consideração que as
VRPs usualmente controlam setores sem reservatórios.
Soares (2003) desenvolveu uma rotina computacional que considera as perdas por
vazamento e a dependência das demanda com a pressão, com vistas à calibração em
termos das rugosidades absolutas, demandas, diâmetros, cotas topográficas e parâmetros
do modelos de vazamentos, bem como a localização de componentes hidráulicos na rede.
Para tanto, o autor utilizou modelos inversos resolvidos com o suporte de um procedimento
híbrido que combina AGs e Método Simplex, e que interage com o modelo hidráulico do
simulador EPANET. O modelo utilizado por Soares (2003) admite que a vazão tota l
abastecida (T S) possa ser subdividida em demanda total efetivamente abastecida (T D)
e vazamentos (V ), e o balanço de massa correspondente passa a ser escrito como
T S = T D + V (3.48)
63
Supõe-se, ainda, que a distribuição espacial da demanda total seja conhecida e obedeça
a um mesmo padrão de variação temporal, o que reflete no fator multiplicador (F T )
da demanda total de referência T S
∗
, geralmente estabelecida com ba se nos consumos
mensais. A demanda potencial total (T DP ) pode ser expressa como
T DP = F T · T S
∗
(3.49)
Assim, a demanda potencial total corresp o nde à demanda efetivamente abastecida total
mais a parcela que deixa de ser atendida (P NA), devido às limitações impostas pelas
variações das pressões do modelo de demanda dirigida pela pressão :
T D = T DP − P NA (3.50)
Através da substituição das eqs.(3.49) e (3 .50 ) em (3.48), obtém-se
T S = F T · T S
∗
− P N A + V (3.51)
O fator F T pode ser obtido a partir dos valores estimados iniciais para P NA e V como
F T =
T S + P NA − V
T S
∗
(3.52)
onde P NA = (F T · T S
∗
− T D)
inicial
; para V
inicial
.
Assim, o novo fator multiplicador F T
2
no procedimento iterativo será
F T
2
=
T S + F T
1
· T S
∗
− T D
1
− V
1
T S
∗
(3.53)
onde F T
1
, T D
1
e V
1
são os valores na estimativa anterior para o fator multiplicador, a
demanda total efetivamente abas tecida e o vazamento total, respectivamente.
Araujo, Coelho e Ramos (2003) propuseram um método para estimar os parâmetros
associados aos vazamentos e descrever a demanda de uma forma mais razoável que as
decorrentes do uso das estimativas estáticas convencionais. O modelo desses autores
utiliza o simulador hidráulico EPANET e está baseado nas seguintes premissas:
64
• a única informação disponível são os registros contínuos de vazão fornecida ao setor
do sistema de distribuição;
• a demanda nodal é desconhecida e sua distribuição espacial é realizada com base em
uma avaliação qualitativa a partir de contagem de abonados ou análise da ocupação
do terreno; a demanda total é expressa como fração da vazão total de entrada no
sistema;
• os vazamentos dependem exclusivamente da pressão;
• o c oeficiente c de vazamentos é o mesmo para todas as tubulações do setor e é
independente da seção transversal das tubulações; e
• para o horário de vazão de entrada mínima, a vazão total pode ser dividida em
uma porcentagem devida aos vazamentos e uma porcentagem que corresponde à
demanda efetiva.
Assim, o método consiste nos seguinte passos:
1. A partir dos registros de vazão de entrada no sistema, encontra-se o temp o , t
mín
,
para o qual ocorre a menor vazão de entrada (usualmente a vazão mínima noturna).
2. Para esse tempo, Q
T,tmín
é a vazão total mínima e o vazamento total Q
F,tmín
pode
ser estimado como uma fração F dessa vazão, por exemplo 0,8:
Q
F,t
mín
= F · Q
T,t
mín
= 0, 8 · Q
T,t
mín
(3.54)
3. Através da aplicação de um AG, o programa encontra o valor de c para o qual se
verifica a seguinte relação:
Q
F,t
mín
=
N
i=1
q
f,i
=
N
i=1
P
1,18
i
· c ·
M
j=1
0, 5 · L
ji
= 0, 8 · Q
T,t
mín
(3.55)
onde q
f,i
é o vazamento no nó i para t
mín
, N o número de nós na rede, M o número
de tubulações ligadas ao nó i, L
ij
o comprimento da tubulação entre os nós i e j e
P
i
a carga hidráulica no nó i para t
mín
. O coeficiente c, assim estimado, permanece
como um valor fixo para o processo de simulação, visto que é uma cara cterística das
tubulações da rede.
65
4. Uma vez que c é determinado, pode ser calculado o valor dos vazamentos em função
da carga hidráulica para cada tempo t. Esse valor é distribuído uniformemente
entre as tubulações da rede e dividido entre seus nós inicial e final. A demanda nos
nós deve também ser realocada, para incluir o efeito dos vazamentos e satisfazer as
condições externas determinadas pelas medições de vazão de entrada.
5. As seguintes relações devem ser verificadas, onde Q
T,t
é a vazão total fornecida ao
sistema no tempo t, Q
T e,t
é a demanda efetiva na rede para o tempo t, q
bi
é a demanda
nominal ou demanda base (sem vazamentos) no nó i, f
c,t
é o fator da demanda no
tempo t (que reflete a forma do registro de vazões de entrada no sistema), P
i
é a
carga hidráulica no nó i para t = t
mín
e K
f,i
é o coeficiente emissor equivalente para
o nó i:
Q
T,t
= Q
T e,t
+ Q
F,t
(3.56)
K
f,i
= c ·
M
j=1
0, 5 · L
ji
(3.57)
Q
T,t
=
N
i=1
(q
bi,t
· f
c,t
) +
N
i=1
(K
f,i
· P
1,18
i,t
) (3.58)
6. Um padrão de demanda novo é determinado para cada nó de forma que as eqs.(3.57)
a (3.58) sejam satisfeitas (i.e., um novo valor para f
c,t
em cada nó e para cada tempo
t deve ser enco ntrado).
Na formulação do AG para os passos 3 e 5 a 6 anteriores, duas funções objetivo
são empregadas no processo de otimização com AG, a primeira é utilizada na etapa de
otimização de c:
Min f(∆Q
F
)
t
mín
=
F · Q
T,t
mín
− Q
F,t
mín
,Mod
F · Q
T,t
mín
(3.59)
Em uma segunda etapa, o padrão de demanda (f
c,t
) é recalculado com a seguinte
expressão:
Min f(∆Q
T,t
)|
H=t
mín
t=1
=
(Q
T,t
− Q
T,t,Mod
)
2
Q
T,t
H=t
mín
t=1
(3.60)
onde o índice Mod denota o valor calculado pelo modelo.
66
Cheung, Reis e Va n Zyl (2005) apresentaram um Modelo de Simulação Hidráulica
Dirigido Pela Pressão (MSHDP), através de intervenção direta sobre o código do EPA-
NET. Esses autores utilizaram a biblioteca OOTEN (VAN ZYL, 2003) para incluir os
vazamentos explicitamente, bem como as demandas variáveis com a pressão. Os resulta-
dos obtidos levam a considerar que o modelo é mais realista e direto que os anteriormente
desenvolvidos.
Araujo, Ramos e Coelho (2006) propuseram um método de duas fases para localiza-
ção e modulação de VRPs, com o objetivo de controlar os vazamentos para as condições
operacionais horárias variáveis do dia típico. A metodologia foi desenvolvida em duas
fases: (1) avaliação de uma função objetivo estabelecida para otimizar o número e a
localização das válvulas; (2) avaliação de uma outra função objetivo para o ajuste das
aberturas ótimas das válvulas.
A primeira fase foi executada permitindo-se que as rugosidades de todas as tubu-
lações fossem alteradas, simulando válvulas, com o propósito de minimizar as pressões
do sistema. Os trechos com maiores incidências de rugosidades alteradas (acrescidas)
eram considerados candidatos à implantação de VRPs. A metodologia proposta foi apli-
cada a um modelo de rede que operava em período estendido de 2 4 horas. A formulação
matemática para essa primeira etapa da otimização esteve baseada na seguinte função
objetivo:
Otimizar f(p
i
, nv)|
T
t=1
=
nv
t
N
i=1
P
cal,i,t
−P
mín
P
mín
2
· nv
t
+ nv
t
2
T
t=1
(3.61)
onde T é o número total de intervalos da simulação (normalmente igual a 24 intervalos
de 1 hora), N o número total de nós, P
cal,i,t
a pressão calculada no nó i para a hora
t, P
mín
a pressão mínima pré-estabelecida para qualquer nó da rede e nv
t
o número de
válvulas calculadas para o instante t (i.e., número de tubulações co m rugosidade maior
que a original).
A segunda fase da otimização permitiu determinar as modulações das VRPs em
termos do coeficiente de perda de carga (K
v
) ou da pressão a jusante (H
J
). A formulação
matemática, para esse componente da otimização, foi baseada na seguinte função objetivo:
67
Otimizar f(p
i
)|
T
t=1
=
1
N
i=1
P
cal,i,t
−P
mín
P
mín
2
T
t=1
(3.62)
onde T , N, P
cal,i,t
e P
mín
têm os mesmos significados que na eq.(3.61).
Os autores utilizaram o simulador hidráulico EPANET, considerando os nós da rede
como emissores, para impor vazamentos como função das pressões nodais. Para tanto,
utilizaram o procedimento proposto por Araujo, Coelho e Ramos (2003) de determinação
dos coeficientes dos emisso res. Supondo-se o percentual que os vazamentos representam
da vazão total abastecida, os coeficientes dos emissores são determinados para o padrão
operacional da hora de menor consumo (madrugada tipicamente) e empregados para as
24 horas do dia típico.
As soluções encontradas por Araujo, Ramos e Coelho (2006), em um estudo de
caso, permitiram construir diversos cenários alternativos para localização de VRPs. Os
autores verificaram que a es colha de adequados números e localizações de VRPs depende
da topologia e das características físicas do sistema e não necessariamente o maior número
de válvulas fo rnece a melhor solução.
3.4 Otimização multiobjetivo aplicada a sistemas de
distribuição de á gu a
A pesquisa operacional, desenvolvida originalmente com propósitos militares durante a
Segunda Guerra Mundial, tem demonstrado grande utilidade como ferramenta de reso-
lução de problemas complexos e, portanto, tem sido empregada nas diversas áreas do
conhecimento. Diversas técnicas foram propostas ao longo do tempo visando a modelar
problemas reais no contexto da análise sistêmica, em procura de soluções que satisfaçam
as necessidades da sociedade.
Sob a perspectiva sistêmica, um fenômeno real é modelado como uma função obje-
tivo a ser maximizada ou minimizada, considerando um conjunto de restrições. Técnicas
como a programação linear, não linear e dinâmica surgiram como ferramentas de busca
de so luçõe s para problemas de otimização. Essas técnicas de programação matemática
são formuladas utilizando uma única função objetivo que produz uma única solução,
68
motivo pelo qual vários pesquisadores (GOICOECHEA; HANSEN; DUCKSTEIN, 1982;
LOUCKS; STEDINGER; HAITH, 1981; COELLO, 1996; VELDHUIZEN, 1999; WALSKI
et al., 2003) têm questionado sua aplicação aos problemas reais de engenharia, principal-
mente na área de recursos hídricos, o nde os objetivos são múltiplos e conflitantes.
O procedimento que envolve mais do que um objetivo é conhecido como otimização
multiobjetivo e visa produzir um conjunto de soluções denominadas na literatura como
soluções ó timas Pareto ou soluções Trade-off (CHEUNG, 2004). Esse conjunto de soluções
ótimas abrange aquelas que se mostram como superiores a todas as alternativas no espaço
de busca, quando todos os objetivos são considerados.
Cohon (1978) classificou em dois grupos os algoritmos convencionais propostos na
literatura para tratar o problema multiobjetivo: técnicas de geração de soluções não do-
minadas, que têm apenas a função de produzir um conjunto de vetores soluçã o para que
o tomador de decisões possa escolher a solução que mais lhe convém; e técnicas basea-
das na preferência do decisor, que utilizam informações de preferência de cada objetivo e
iterativamente geram um conjunto de soluções ótimas. A maioria dessas técnicas multi-
objetivo transformam o problema de otimização de objetivos múltiplos em um problema
de otimização de objetivo único.
Muitos métodos de otimização desenvolvidos sob a perspectiva convencional, para
o planejamento e o gerenciamento de recursos hídricos, têm produzido soluções razoáveis
à tomada de decisões, porém existe interesse de vários pesquisadores (GOICOECHEA;
HANSEN; DUCKSTEIN, 1982; LOUCKS; STEDINGER; HAITH, 1981; WALSKI et al.,
2003; FRANCATO, 2002; CHEUNG; REIS; CARRIJO, 20 03 ; FORMIGA et al., 2003) em
identificar e considerar simultaneamente vários objetivos na análise e solução de proble-
mas desse tipo. Esses pesquisadores buscam modelos consistentes que definam em forma
explícita os objetivos múltiplos, que gerem várias soluções (estratégias) simultaneamente
com múltiplos valores (i.e. custo, benefício, vazamentos, confiabilidade) associadas para
cada solução, que permitam avaliar várias alternativas de projeto, operação e/ou reabili-
tação e selecionar aquela preferida pelo decisor, com conhecimento da compensação em
relação a cada objetivo.
São encontrados na literatura diversos trabalhos que abordam a otimização com
objetivos múltiplos para aplicações relacionadas com o planejamento e gerenciamento de
69
recursos hídricos, mas poucos deles consideram, entre esses objetivos, a minimização de
vazamentos. Citam-se, a seguir, alguns dos trabalhos encontrados.
Liberatore e Sechi (2005) apresentaram uma metodologia de o timização e simulação
híbridas para o projeto e gerenciamento de redes de distribuição da ág ua. Os autores
abordaram o problema de loca lizaçã o ótima de válvulas para minimizar os vazamentos
quando é preciso reabilitar redes existentes ou quando se pretende projetar novas tubu-
lações. Foram utilizadas, como base do trabalho, publicações prévias sobre métodos de
busca meta-heurísticos (FANNI et al., 19 99 ; LIBERATORE; SECHI; ZUDDAS, 2004; LI-
BERATORE; SECHI, 2004), para as novas aplicações desenvolvidas. O trabalho consistiu
em utilizar um procedimento meta-heurístico denominado Scatter-search, de forma a ana-
lisar um grande número de possíveis combinações, no conjunto de alternativas discretas,
sem utilizar as complexas estruturas matemáticas da abordagem clássica para projeto de
redes.
Além de identificar combinações ó timas de localizações e modulações de válvulas, a
aplicação desenvolvida por esse autores permite o dimensiona mento de novas tubulações,
determinar as configurações de bombas e obter diversas informações para a tomada de
decisões, considerando diferentes pa drões de demanda e vazão com a possibilidade de
inversão da direção do escoamento.
A formulação matemática da função objetivo do modelo é expressa co mo uma função
multiobjetivo baseada no método dos pesos:
min F O = γ
1
· F O
1
+ γ
2
· F O
2
(3.63a)
onde F O
1
=
V
j=1
f(H
∗
j
, D
j
)); (3.63b)
F O
2
=
K
d=1
N
i=1
c
i
(H
i,d
− H
máx
)
2
H
i,d
>H
máx
(3.63c)
onde H
∗
j
é a pressão de calibração da válvula j localizada na tubulação com diâmetro
D
j
, V o é o número de total de válvulas, K indica o padrão de demanda que está sendo
analisado, N representa o número de nós do sistema, H
i,d
é a carga hidráulica total no nó
i com padrão de demanda d e H
máx
indica a carga hidráulica máxima permitida no nó.
A função objetivo F O
2
introduz as restrições de pressão nos nós, através dos coeficientes
c
i
que penalizam àqueles nós com valores que excedem a pressão limite H
máx
. Os autores
70
observam que a adequada calibração dos parâmetros de penalidade c
i
, associados com
sobrecargas de pressão, tem uma importância estratégica para identificar o caminho das
atualizações do processo em procura das soluções ótimas.
Os autores também ressaltam que na função F O
1
o custo econômico das válvulas
está essencialmente vinculado ao número de válvulas e aos diâmetros D
j
das tubulações
em que estão localizadas. No entanto, os parâmetros de modulação das válvulas, H
∗
j
,
influenciam as penalidades nas cargas hidráulicas que aparecem na função F O
2
.
Jourdan et al. (2005) afirmam que embora diversos estudos utilizaram algoritmos
genéticos para modelar redes de distribuição de água, oferecendo resultados promissórios,
a desvantagem comum a todos os AGs é o uso extensivo do processo de avaliação da apti-
dão. Segundo esses autores, no projeto de sistemas hídricos, a avaliação da qualidade de
uma rede de distribuição de água exige uma simulação custosa em termos de tempo com-
putacional. No trabalho apresentado por Jourdan et al. (2005), é abordada a utilização
do aprendizado de máquina para a celerar a convergência de uma AG multi-objetivo no
contexto do projeto de sistemas de água em particular. Através de teste de um método de-
nominado LEMMO, em redes pequenas e grandes, os autores demonstraram que LEMMO
resulta promissor e factível como um meio para melhorar e acelerar significativamente o
processo de busca.
O método LEMMO funciona através da hibridização do algoritmo NSGA II (DEB et
al., 2000) com um algoritmo de indução de regras. O objetivo da hibridização é intensificar
intermitentemente a busca em áreas promissórias do espaço de busca. O LEMMO é uma
versão multiobjetivo do Learnable Evolution Model (LEM) (MICHALSKI, 2000), que
integra um componente de aprendizado simbólico dentro de um algoritmo evolucionário.
O LEM busca regras (ou outros modelos de predição) para descrever as diferenças entre
as melhores e as piores soluções em termos de desempenho, e gera novos indivíduos com
base nos formatos especificados em tais regras (JOURDAN et al., 200 5).
Os problemas para teste do algoritmo LEMMO, escolhidos por Jourdan et al. (2005),
são três, dois considerados de pequena escala e um de grande escala. O primeiro problema
está relacio nado com a reabilitação de uma rede de distribuição na cidade de Nova Iorque.
Consiste na escolha dos diâmetros ótimos de tubulações entre 15 diâmetros alternativos
e a opç ão adicional de não realizar nenhuma melhora. A função de custo relaciona o
diâmetro e o comprimento das tubulações em forma que uma enumeração completa de
71
todas a s possíveis alternativas exigiria 16
21
(1, 9343×10
25
) avaliações. O segundo problema
consiste em projetar uma rede de distribuição em Hanoi, Vietnam, com um reservatório
e 34 tubulações. Existem 6 diâmetros disponíveis e a pressão mínima necessária em cada
nó é de 30 m. A função de custo para este problema também relaciona o diâmetro e o
comprimento das tubulações e o espaço de busca associado é 6
31
= 1, 326×10
24
. O terceiro
problema consiste em projetar uma rede de distribuição com 535 nós, 635 tubulações e um
reservatório. O s diâmetros disponíveis são 20. O espaço de busca associado à função de
custo é 20
632
= 1, 78 × 10
822
. Nos três problemas, a o timização contempla a minimização
dos custos e do déficit de cargas hidráulicas nos nós.
Os resultados, segundo Jourdan et al. (2005), mostraram que o LEMMO é capaz de
melhorar sig nificativamente o desemp enho computacional além de reduzir o número de
avaliações necessárias para encontrar a frente Pareto. Segundo os autores, os resultados
também sugerem que as melhoras (redução do número de avaliações) parecem aumentar
em proporção com o tamanho do problema, portanto, podem resultar convenientes para
tratar problemas de grande escala.
Duarte et al. (2005) apresentaram um trabalho que examina o potencial de efici-
ência, em termos de custo, de esquemas de reabilitação e substituição para sistemas de
distribuição de água. As melhoras dos sistemas podem incluir a atualização de compo-
nentes existentes da rede ou o aumento de novas tubulações, válvulas, tanques e bombas.
Existem vários critérios conflitantes entre si. O trabalho compara os algoritmos evolucio-
nários multiobjetivo com a abordagem baseada em indicadores de performance, aplicando
ambos a um estudo de caso.
De acordo com os autores, os algoritmos evolucionários (AEs) têm demonstrado
formas únicas para lidar com problemas de o timização multiobjetivo. Ainda Duarte et al.
(2005), indicam que uma alternativa ou complemento ao uso das técnicas de otimização
multiobjetivo é a avaliação sistemática do desempenho do sistema, a partir de pontos
de vista relevantes, sob diferentes fatores de demanda e também ao longo de diferentes
períodos do dia.
O estudo de caso corresponde a uma rede de distribuição de água de uma vila
portuguesa, com o nome fictício de Vila Faia. O sistema é composto por dois reservatórios
de nível fixo, 85 nós e 105 tubulações. O comprimento total das tubulações é de 6422 m.
Todos os nós são atendidos por gravidade.
72
O problema multiobjetivo consiste em otimizar simultaneamente a máxima defici-
ência de pressão nos nós, os custos de capital e a máxima deficiência de velocidade nas
tubulações. Os objetivos são conflitantes pois não é possível melhorar um dois objetivos
sem prejudicar pelo menos um dos outros. A superfície trade-off ou de compromisso en-
tre custo, máxima deficiência de velocidade e máxima deficiência de pressão foi analisada
para a rede. A partir dessa análise foi construída a curva de compromisso que permite
comparar pares de objetivos, No caso da comparação entre custo e máxima deficiência de
velocidade, o primeiro apresenta uma tendência a aumentar enquanto a segunda diminui,
resultando a maior deficiência de velocidade para um custo de custo de reabilitação igual
a zero.
A avaliação de desempenho da rede de Vila Faia foi baseada na metodologia desen-
volvida por Co elho (1997), a qual utiliza curvas de penalidade para traduzir o compor-
tamento das variáveis através de índices de desempenho. Assim, são construídas curvas
desses índices para a pressão nos nós, a velocidade nas tubulações (global, mínima e má-
xima) e as flutuações de pressão. Com essas curvas, é possível construir novas curvas
para o sistema, que representam o comportamento da rede sob determinados padrões de
demanda. Para cada fator de demanda, são representados valores mínimos, meios, má-
ximos e quartiles para valores de desempenho, além do valor da média po nderada que
representam o comportamento global do sistema. A interpretação da forma das curvas do
sistema fornece subsídios para avaliar com maior facilidade os problemas que ocorrem na
rede, os quais não resultam tão evidentes através da análise dos resultados da simulação.
No caso estudado, os autores encontraram resultados semelhantes através dos dois
métodos utilizados e comentam que é importante realiza r futuros estudos de caso compa-
rativos.
3.4.1 Fundamentos da otimi zação multiobjetivo
Um problema de otimização multiobjetivo consiste em um número de funções objetivo a
serem minimizadas ou maximizadas simultaneamente, em observância de um conjunto de
restrições que devem ser satisfeitas. São apresentados a seguir os conceitos e termos da
otimização multiobjetivo de acordo co m Zitzler (1999). Este autor apresenta o conceito
geral para um problema de maximização e afirma que para problemas de minimização ou
mistos as definições apresentadas são semelhantes.
73
Definição 1 (Problema de Otimização Multiobjetivo) Sejam x o conjunto de n
variáveis de decisão, denominado vetor decisão e X o espaço que contém essas variáveis,
denominado espaço de decisão. Seja y o conjunto de k funções objetivo que se pretende
maximizar, pertencentes ao espaço objetivo Y . Seja g(x) o conjunto de m restrições em
função das variáveis de decisão. Um problema de otimização multiobjetivo é formulado
na maneira seguinte:
Maximizar
y = f(x) = (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
k
(x))
sujeito a
g(x) = (g
1
(x), g
2
(x), . . . , g
m
(x)) ≤ 0 (3.64)
sendo
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ X
y = (y
1
, y
2
, . . . , y
k
) ∈ Y
As restrições g(x) ≤ 0 determinam o conjunto de soluções factíveis. Uma solução
infactível é aquela que não satisfaz todas essas restrições e todos os limites de cada variável
de decisão. Por outro lado, uma solução factível é aquela que satisfaz todas as restrições
e todos os limites de cada variável de decisão.
Definição 2 (Conjunto Factível) Define-se o conjunto factível X
f
como aquele que
contém os vetores de decisão x que satisfazem às restrições g(x), isto é
X
f
= x ∈ X | g(x) ≤ 0 (3.65)
A imagem de X
f
, isto é, a região factível no espaço da superfície de resposta, é
denotada como Y
f
= f(X
f
) =
x∈X
f
{f(x)}.
Para um problema de objetivo único, a solução ótima global representa o valor
mínimo ou máximo da função objetivo que satisfaz todas as restrições. Entretanto, nos
problemas multiobjetivo obtém-se um ótimo global para cada função objetivo e resulta
pouco provável que a solução ótima de uma função seja igual à das outras funções. Embora
isso possa acontecer, geralmente os objetivos são conflitantes, e conseqüentemente, não é
possível otimizá-los simultaneamente. O que se pretende nos problemas multiobjetivo é
74
buscar uma relação satisfatória, denominada também compensatória, compatibilizada ou
de compromisso, entre as funções (CHEUNG, 2004).
O conjunto factível é completamente ordenado na otimização de objetivo único. Por
exemplo, dadas duas soluções a e b pertencentes ao conjunto X
f
podem-se apresentar dois
casos: f(a) ≥ f(b) ou f(b) ≥ f(a). A meta, portanto, é encontrar o valor da variável
independente que fornece um valor máximo ou mínimo de f. No entanto, quando múltiplos
objetivos são considerados, o conjunto X
f
não é geralmente totalmente ordenado, mas
parcialmente ordenado. Essa mudança é ilustrada pela Figura 3.19, que apresenta o
espaço de decisão para duas funções f
1
e f
2
que devem ser maximizadas. Observa-se
que o ponto B apresenta maior valor que C para ambas as funções f
1
e f
2
, portanto, a
solução representada pelo ponto B é melhor que aquela representada por C. Se C e D são
comparadas resulta que C é melhor que D devido a que o valor de C para f
1
é maior e
para f
2
as soluções dão o mesmo valor de f
2
.
FIGURA 3.19 - Espaço variável de decisã o (ZITZLER, 1999 )
Definição 3 Sejam dois vetores u e v,
u = v se e somente se ∀ i ∈ {1, 2, . . . , k} : u
i
= v
i
u ≥ v se e somente se ∀ i ∈ {1, 2, . . . , k} : u
i
≥ v
i
(3.66)
u > v se e somente se u ≥ v ∧ u = v
As relações ≤ e < são definidas similarmente.
75
Utilizando a notação da Definição 3, pode-se garantir na Fig ura 3.19 que como B
> C e C > D, isso implica que B > D. Por outro lado, quando B e E são comparados
entre si, não é possível determinar qual das duas soluções é superior, desde que B ≯ E
e E ≯ B. Embora E apresente maior valor de f
2
do que a solução B, quando observada
a função f
1
, a solução E tem menor valor que a solução B. A partir desta observação
se infere que duas variáveis de decisão quaisquer a e b podem ter três possibilidades nos
problemas multiobjetivo: f(a) ≥ (b), f(b) ≥ f(a), ou f(a) f(b) ∧ f(b) f(a). Essas
terminologias são utilizadas para classificar e ordenar diferentes situações.
FIGURA 3.20 - Espaço função objetivo (ZITZLER, 1999)
Definição 4 (Dominância Pareto) Dados dois vetores de decisão a e b, definem-se as
relações seguintes para problemas de maximização (, , ∼), que podem ser estendidas
por analogia para problemas de minimização (≺, , ∼):
a b
(a domina b) se e somente se f(a) > f(b)
a b (a domina fracamente b) se e somente se f(a) ≥ f(b) (3.67)
a ∼ b (a é indiferente a b) se e somente se f(a) ≯ f(b)
Na Figura 3 .20 o vetor solução B domina todo o espaço objetivo que contém as s o-
luções C e D, referenciada como a área retangular com o texto "Domina". Por outro lado,
a solução B é dominada pelo espaço objetivo que contém o vetor solução A, referenciado
76
com o texto "É dominado". Todas as outras soluções pertencentes ao espaço objetivo são
indiferentes em relação ao vetor solução B. Esse critério de dominância permite introdu-
zir o critério da otimalidade Pareto. O vetor solução A (Figura 3.20) não é dominado
por nenhum outro vetor soluçã o (C, D e E) no espaço objetivo. Soluções deste tipo são
denominadas Ótimas Pareto ou Não Inferiores (COHON, 1978).
Definição 5 (Otimalidade Pareto) Um vetor de decisão x ∈ X
f
é dito ser não domi-
nado, ao considerar um conjunto A ⊆ X
f
, se e somente se
a ∈ A : a x (3.68)
Essa relação simplesmente é omitida se estiver claro qual conjunto A é mencionado. Além
disso, x é dito ser ótimo Pareto se e somente se x é não dominado considerando X
f
.
A linha po ntilhada da Figura 3.19 contém todos os pontos que representam soluções
ótimas Pareto. Essas soluções são indiferentes entre si. Como já dito, nos problemas mul-
tiobjetivo não existe uma solução ótima, mas um conjunto de soluções compatibilizadas,
dentre as quais nenhuma pode ser considerada melhor que as outras, a não ser que alguma
informação de preferência seja especificada. O conjunto de todas as soluções ótimas Pa-
reto é denominado conjunto Pareto ótimo; os vetores (objetivo) correspondentes formam
a frente ou a superfície Pareto ótima.
Definição 6 (Frentes e Conjuntos Não Dominados) Seja A ⊆ X
f
; a função p(A)
fornece o conjunto de vetores de decisão não dominado em A:
p(A) = {a ∈ A|a é não dominado em A} (3.69)
O conjunto p(A) é o conjunto não dominado em A, o conjunto correspondente de vetores
objetivo f(p(A)) é a frente não dominada em A. Além disso, o conjunto X
p
= p(X
f
) é
denominado conjunto Pareto ótimo e o conjunto Y
p
= f(X
p
) é denotado frente Pareto
ótima.
O conjunto Pareto ótimo compreende as soluções de melhor compromisso. Entre-
tanto, semelhante à otimização de objetivo único, na otimização multiobjetivo também
existem os ótimos locais que constituem um conjunto não dominado dentro de uma certa
77
vizinhnaça. Isso corresponde aos conceitos de conjunto ótimo local e global apresentado
por (DEB, 2001).
Definição 7 Considere-se um conjunto de vetores de decisão A ⊆ X
f
.
1. O conjunto A é denotado como um conjunto ótimo Pareto se e somento se
∀a ∈ A : x ∈ X
f
: x a ∧ x − a < ε ∧ f(x) − f(a) < δ (3.70)
sendo que . é uma métrica de distância correspondente e ε > 0,δ > 0.
2. O conjunto A é denominado um conjunto Pareto ótimo global se e somente se
∀a ∈ A : x ∈ X
f
: x a (3.71)
FIGURA 3.21 - Ilustração dos conjuntos Pareto ótimo global e local considerando um
problema de minimização (ZITZLER, 1999)
A Figura 3.21 ilustra a diferença entre os ótimos global e local para um problema de
minimização. A frente Pareto ótima global é denotada com a linha pontilhada e a frente
Pareto ótima local é representada com a linha continua. Observa-se que um conjunto
Pareto ótimo não necessariamente contém todas as soluções ótimas Pareto.
Uma relação ideal para o procedimento de otimização multiobjetivo, é apresentada
por Deb (2001) e ilustrada na Figura 3.22. Este autor divide o processo em duas etapas, a
primeira referida à ge ração das soluções ótimas aplicando-se algum modelo de otimização e
a segunda tem como objetivo a escolha de soluções. Modelos de classificação das soluções,
78
baseados em uma ordem de preferência fornecida por decisores, podem ser aplicados na
segunda etapa.
FIGURA 3.22 - Esquema geral de um procedimento multiobjetivo (DEB, 2001)
3.4.2 Algoritmos evoluci onários
Segundo Zitzler (1999), o termo evolucionário é atribuído a uma classe de métodos de
otimização estocásticos que compartilham a mesma base conceitual, com a finalidade de
simular o processo de evoluçã o de qualquer sistema. Este autor menciona ainda que os
Algoritmos Evolucionários (AEs) foram originados a proximadamente em 1950 e que a
partir de 1970 várias metodologias foram propostas para sua aplicação.
De acordo com Cheung (2004), o s AEs s ão classificados em: Algoritmos Genéticos
(AGs), Estratégias de Evolução (EE), Programação Evolucionária (PE), Programa ção Ge-
nética (PG) e Sistemas Classificatórios (SCs). Todas essas técnicas operam um conjunto
de soluções simultaneamente (algoritmos populacio nais), que evolui por dois princípios bá-
sicos: seleção e variação. A seleção é baseada no princípio da seleção natural de Darwin
e representa a competição entre indivíduos de mesma espécie. A seleção é caracterizada
pela escolha de soluções candidatas dentro do conjunto de possíveis soluções e simulada
por um processo estocástico. As soluções são avaliadas em função da sua qualidade, de-
nominada valor aptidão ou fitness na literatura (GOLDBERG, 1989; MICHALEWICZ,
1992; GEN; CHENG, 1992). Dependendo da sua qualidade, cada solução recebe a chance
79
de se reproduzir um certo número de vezes. O outro princípio, a variação, imita a capa-
cidade natural das espécies de criar "novos" indivíduos. No caso dos AGs, esse princípio
é analogamente associado ao processo de recombinação e mutação.
A respeito de suas qualidades como métodos de busca, Srinivas e Deb (1995a ) afir-
maram que os AEs são robustos por buscarem pontos de inflexão em funções descontínuas,
multimodais e perturbadas em espaços complexos. Zitzler (1999) afirma que em virtude
da sua habilidade de manter múltiplas soluções em uma única simulação e pela facili-
dade em se explorar regiões do espaço através do princípio de variação (recombinação e
mutação), os AEs são extremamente adaptados ao problema de otimização multiobjetivo.
A literatura recente (REIS; PORTO; CHAUDHRY, 1997; CHEUNG, 2004; WAL-
TERS et al., 1999; SOARES, 2003; ARAUJO; RAMOS; COELHO, 2006) revela que nos
trabalhos aplicados a sistemas de distribuição de água para abastecimento maior atenção
foi dada aos algoritmos genéticos (AGs) convencionais. Para os propósito deste trabalho é
apresentada a seguir uma descrição sucinta dos AGs, cujos conceitos podem ser aprofun-
dados através da consulta de textos especializados (GOLDBERG, 1989; MICHALEWICZ,
1992; GEN; CHENG, 1992; DEB, 2001).
Os AGs são métodos de busca estocástica que imitam matematicamente os me-
canismos de evolução natural das espécies. Foram inicialmente desenvolvidas por John
Holland, nos anos 6 0 e 70, e po pularizados por um dos seus alunos (GOLDBERG, 1989).
Em termos biológicos, a evolução natural é o processo que ocorre nos cromossomos (ele-
mentos microscópicos das células nucleares) dos quais as informações hereditárias são
transmitidas para seus descendentes, a través dos genes. De acordo com a terminologia
dos AGs, cada "cromossomo " referido como string, representa uma possível solução para
o problema, e uma população de "cromossomos" representa um conjunto de possíveis
soluções.
O primeiro passo de um AG é a geração aleatória de um conjunto inicial de soluções
possíveis, denominado população. Cada indivíduo ou cromossomo dessa população é
representado por um vetor, cujos elementos são denominados genes, em analogia aos
componentes biológicos. Os genes representam as características de uma solução e podem
ser codificados através de números binários ou reais. A estrutura do AG f az com que os
cromossomos evoluam gradativamente através de sucessivas iterações, produzindo novas
gerações de indivíduos mais aptos ou capaze s em termos de um valor de aptidão ou fitness.
80
FIGURA 3.23 - Esquema geral dos algoritmos genéticos convencionais (CHEUNG, 2004)
A forma de avaliar as soluções (cromossomos), durante cada iteração (geração) é
através da função objetivo ou de uma função modificada (aptidão), que permite sua
classificação e ordenação enquanto soluções. Uma nova geração é formada através dos
processos de seleção, recombinação e mutação, cujas soluções com valor elevado da função
objetivo têm maior probabilidade de serem preservadas para a próxima geração. Para
se criar uma nova geração, novos cromossomos denominados filhos ou descendentes são
produzidos pela combinação de dois indivíduos pa is (cromossomos) da geração corrente,
utilizando os operadores genéticos de recombinação e mutação (modificação eventual dos
genes). Após várias iterações o algoritmo converge para uma solução ó tima ou quase
ótima do problema.
Diversas são as possibilidades de implementação dos AGs em termos da sistemática
de representação das soluções , dos operadores genéticos e dos parâmetros a serem adotados
como as probabilidades de recombinação e mutação, o número de indivíduos da população
de soluções e o critério de convergência. A Figura 3.23 apresenta a estrutura geral de um
AG, onde, a título ilustrativo, as soluções são representadas em código binário.
81
3.4.3 Algoritmos evoluci onários multiobjetivo
Cheung (2004) afirma que o paralelismo implícito, isto é, a possibilidade de se trabalhar
com várias soluções simultaneamente, faz dos AEs ferramentais poderosos na identificação
de múltiplas soluções ótimas em uma única simulação. Este autor indica, ainda, que os
objetivos dos métodos de otimização multiobjetivo referem-se à minimização da distância
entre a frente não dominada e a frente ótima Pareto, e à produção de soluções bem
distribuídas ao longo da frente. Para atingir esses objetivos, dois problemas devem ser
enfrentados: o primeiro está relacionado com os procedimentos de avaliação e seleção
dos AEs de forma a garantir uma busca eficiente; o segundo consiste em manter uma
diversidade da população de forma a evitar a convergência prematura.
FIGURA 3.24 - Estrutura geral dos algoritmos genéticos multiobjetivo (CHEUNG, 2004)
A estrutura dos AEs multiobjetivo (Figura 3.24) é similar à dos AGs convencionais
(Figura 3.23); a diferença está basicamente no estágio de avaliação, onde deve introduzir-
se uma modificação para que o AG busque, ao invés de uma solução, um conjunto de
soluções ótimas. Nos algoritmos genéticos multiobjetivo, primeiro, a população inicial é
classificada segundo os conceitos de dominância (Definição 4), e dessa forma, obtêm-se
os vetores de decisão que são não dominados. Esses vetores são as melhores combinações
da iteração corrente e têm alta probabilidade de se encontrarem na próxima iteração
(geração). A solução final compreenderá todos vetores de decisão não dominados da
última iteração.
82
São encontrados na literatura vários trabalhos que exploram as publicações na área
da otimização multiobjetivo: Tamaki, Kita e Kobayashi (1996) apresenta uma sucinta re-
visão das abordagens mais importantes; Fonseca e Fleming (1995) ressaltam os aspectos
interessantes da otimização multiobjetivo sob a perspectiva da computação evolucionária;
Coello (1998) fornece maiores detalhes sobre o funcionamento e aplicações dos métodos
existentes; Veldhuizen e Lamont (1999) aprofundam na análise e descrição das técnicas
multiobjetivo. A respeito da classificação dos métodos multiobjetivo, seguindo a linha do
trabalho de Fonseca e Fleming (1995), Coello (1996) identificou três categorias: (1) técni-
cas de funções agregadas, (2) técnicas baseados em um conjunto de soluções (po pulação )
sem considerar o conceito Pareto e (3) técnicas baseadas em um conjunto de soluções
considerando o conceito Pareto. Apresentam-se a seguir as características sobressalentes
desses três grupos da classificação.
Técnicas de funções agregadas
As técnicas de funções agregadas podem ser consideradas como uma evolução da oti-
mização clássica multiobjetivo. Essas técnicas incorporam os obje tivos através de una
combinação ponderada por pesos em uma função única; assim, uma série de combinações
de pesos permite gerar as soluções não dominadas. A obtenção da solução compatibilizada
decorre da sucessiva aplicação do algoritmo, levando em consideração as metas a serem
alcançadas, segundo a proposta do decisor.
Embora uma abordagem bas eada na formulação de uma única função objetivo re-
sulta vantajosa em termos da simplicidade de implementação, as técnicas de funções agre-
gadas apresentam sérios problemas relacionados, por um lado, à determinação de pesos ,
que geralmente é subjetiva, e por outro à geração de soluções alternativas, fundamentais
à tomada de decisão , que não são necessariamente obtidas como resposta. Na litera-
tura encontram-se várias aplicações que consideram os problemas de objetivos múltiplos
agregados em uma única função objetivo, cujo interesse principal foi gerar soluções não
dominadas, sem a preocupação de manter a diversidade da po pulação na frente Pareto.
(COELLO, 1998) apresenta também uma lista das abordagens de funçõ es agregadas
de maior transcendência: técnica dos pesos, técnica de programação por metas, técnica
de obtenção de metas, técnica de restrições-ε. Como exemplo do primeiro tipo de técnicas
cita-se o trabalho de (RICHARDSON et al., 1989), que contribui para o enquadramento
de pesos relativos às restrições inseridas como penalidades na função objetivo.
83
Um outro exemplo da técnica dos pesos foi publicado por Hajela e Lin (1992).
Esses autores desenvolveram um método de busca que inclui os pesos no vetor decisão e
utiliza técnicas de compartilhamento (GO LDBERG; RICHARDSON, 1987) para manter
a diversidade na população. Para cada objetivo considerou-se um peso w
i
∈]0, 1[, de
tal forma que
w
i
= 1; assim, o valor da avaliação é calculado como sendo w
i
f
i
(x),
isto é, a soma dos valores objetivos ponderados. Para a busca de soluções múltiplas em
paralelo foram adotados pesos variáveis. As técnicas de compartilhamento promovem a
diversidade da combinação de pesos e o algoritmo evolui simultaneamente através dessa
combinação.
Técnicas que não consideram o conceito Pareto
Pertencem a esta categoria aquelas técnicas alternativas que foram desenvolvidas para
superar as dificuldades relacionadas com as propostas agregativas. As técnicas mais so-
bressalentes são: o algortimo VEGA, a ordenação lexicográfica, o uso da teoria dos jogos,
o uso de gênero para identificar objetivos, a estratégia de ponderação de mínimos e máxi-
mos, o uso do teorema de contado, o algoritmo não generacional , o uso de pesos gerados
aleatoriamente e do elitismo.
A primeira abordagem em procura de tratar os objetivos separadamente nos AEs
foi apresentada por Schaffer (1984). Nessa abordagem, conhecida como VEGA (Vector
Evaluated Genetic Algorithm), em cada geração um número de sub-populações é gerado
através de uma seleção proporcional de acordo com cada função objetivo. Assim, para
um problema com k objetivos, k sup-populações de tamanho N/k seriam geradas, sendo
N o tamanho da população. As sub-populações são combinadas para obter uma nova
população de tamanho N, e os operadores genéticos convencionais são aplicados. O
método foi implementado em combinação com a seleção por avaliação proporcional.
Um dos problemas notados por Schaffer (1984) nas soluções do algoritmo VEGA
foi que no caso de superfícies trade-off côncavas a população mostrou a tendência em
dividir-se em grupos fortes em relação aos objetivos co nsiderados. Por analogia genética,
esse fenómeno é denominado especiação e, segundo Fonseca e Fleming (1995), é devido
a que pontos em superfícies côncavas do trade-off não podem ser encontrados através da
combinação linear dos objetivos utilizada pelo VEGA.
Kursawe (1991) formulou uma versão multiobjetivo das estratégia s evolutivas, ba-
seada no ordenamento lexicográfico. A seleção compreendia em um número de passos
84
igual ao número de funções objetivo. Em cada passo, um desses objetivos era escolhido
aleatoriamente de acordo com um vetor de probabilidade, e usada para eliminar uma
porção da po pulação corrente. Depois da seleção, os sobreviventes tornaram-se os pais da
geração seguinte. O mapa da superfície de compromisso foi produzido a partir dos pon-
tos avaliados durante a corrida. Este método resulta competitivo em relação ao VEGA
e às técnicas de funções agregadas, po rém apresenta a tendência a favorecer alguns dos
objetivos em particular quando muitos deles estão presentes no problema.
Técnicas que consideram o conceito Pareto
O conceito Pareto nas técnicas de otimização foi proposta originalmente por Goldberg
(1989), com a idéia de atribuir probabilidades de reprodução iguais a todos os indivíduos
não dominados da população. O método consiste em encontrar e classificar conjuntos de
indivíduos não dominados a serem retirados da competição nas sucessivas iterações.
Fonseca e Fleming (1995) propuseram um método levemente diferente de classifica-
ção, denominado MOGA (Multi Objective Genetic Algorithm), onde a categoria de um
indivíduo co rresponde ao número de soluções na população corrente pelas qual ele é do-
minado. Os indivíduos não dominados são , portanto, classificados na mesma categoria,
enquanto as soluções dominadas são penalizados de acordo com a densidade da popula ção
da região correspondente da superfície Pareto.
A deficiência mais importante do MOGA, segundo Fonseca e Fleming (1995), é que,
como ocorre com todas as outras técnicas de classificação baseadas no conceito de domi-
nância Pareto, seu desempenho depende de uma apropriada seleção do fator de comparti-
lhamento (fitness sharing). Esse fator é determinado pelas técnicas de compartilhamento,
que possibilitam a representatividade das soluções não dominadas de maneira distribuída
ao longo da superfície Pareto.
A seleção torneio baseada na dominância Pareto foi proposta por Horn, Nafpliotis
e Goldberg (1994) e foi denominada NPGA (Niched Pareto Genetic Algorithm). Es ta
técnica toma dois indivíduos em competição e um conjunto de indivíduos selecionados
aleatoriamente da população. O vencedor do torneio é a quele indivíduo que não é domi-
nado p o r algum membro do conjunto comparação. Se ambos os indivíduos sã o dominados
(ou não dominados), o resultado do torneio é decidido pela técnica de compartilhamento:
o competidor que obtiver menor número de indivíduos em seu nicho é selecionado para
reprodução. Na biologia, o nicho é definido por um grupo de indivíduos da mesma espé-
85
cie com características comuns. Analogamente, na otimização evolucionária faz-se uma
analogia ao processo de formação dos nichos. Vetores solução com valores de aptidão al-
tos (indivíduos fortes) podem produzir várias cópias de seus vetores na próxima geração,
causando a eliminação dos outros vetores solução pelo processo estocástico e, conseqüen-
temente,a p erda de diversidade na população. Com isso, diz-s e que toda a população é
aglomerada em um nicho de indivíduos ou converge para uma única solução (CHEUNG,
2004).
O algoritmo NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) foi proposto por
Srinivas e Deb (1995b). O processo de seleção é realizado em várias etapas. Em cada
etapa, às soluções não dominadas, que constituem uma frente não dominada, são atribuí-
dos os valores de aptidão fictícios. As soluções são compartilhadas com seus valores de
aptidão fictícios e excluídas do posterior processo de seleção. Finalmente, e a tribuído um
valor de avaliação fictícia inferior ao menor valor de aptidão compartilhada na frente não
dominada corrente. Esta avaliação fictícia é ajustada utilizando valores da técnica de com-
partilhamento (Sharing Fitness) nas frentes não dominadas. A classificação das soluções
acontece por frentes, e para cada frente são calculados os respectivos compartilhamentos.
Depois de atribuído o valor de aptidão fictício de cada solução pertencente a uma frente,
passa-se para próxima frente não dominada e o processo se repete até que toda população
seja classificada. Nos primeiros estudos de Srinivas e Deb (1995b) foi desenvolvido um
método de seleção combinado com operador de seleção estocástica convencional.
As principais vantagens do NSGA sã o que permite otimizar um número qualquer
de objetivos e que realiza o compartilhamento no espaço dos parâmetros em lugar de no
espaço objetivo; isso garante uma melhor distribuição e diversidade nas soluções. Por
outro lado, alguns a utores (COELLO, 1996) indicam que a principal desvantagem do
NSGA é sua ineficiência a respeito do MOGA, em termos computacionais e da qualidade
das frentes Pareto geradas, além de ser mais sensível ao valor do fator de compartilhamento
σ
share
.
Zitzler e Thiele (1998) introduziram uma nova abordagem à otimização multiobje-
tivo, denominada SPEA (Strength Pareto Evolutionary Algorithm). Apresenta-se como
uma combinação de técnicas existentes e novas destinada à obtenção do conjunto Pareto
ótimo. Por um lado, em f orma similar aos algoritmos MOEA, o SPEA mantém em forma
externa àqueles indivíduos que representam uma frente não dominada entre todas as so-
luções correntes, usa o conceito de dominância Pareto para atribuir valores escalares de
86
aptidão aos indivíduos, e realiza o agrupamento de indivíduos próximos para reduzir o
número total de indivíduos armazenados em forma externa, sem destruir as características
da frente Pareto. Por outro lado, o SPEA têm quatro particularidades: co mbina as três
técnicas acima em um único algoritmo; a aptidão de um membro da população é deter-
minada somente a partir dos indivíduos armazenados no conjunto externo, a dominância
entre indivíduos na população é irrelevante; todos os indivíduos no conjunto externo par-
ticipam da seleção; um novo método de elitismo Pareto é implementado para preservar a
diversidade da população.
Zitzler (1999) realizou uma comparação entre o desempenho do SPEA e diversos
algoritmos evolucionários multiobjetivo. Segundo este autor, o SPEA mostrou-se superior
às outras técnicas nas implementações tanto em problemas teste quanto em aplicações
reais em consideração, em termos de tempo computacional e acurácia nas soluções obtidas.
Knowles e Corne (2000) propuseram um algoritmo evolucionário simples denominado
PAES (Pareto Archived Evolution Strategy). Ao invés de utilizar parâmetros reais, esse
algoritmo usa codificação binária para criar soluções. No PAES, considerando um vetor
solução pai e um vetor solução filho, o segundo é comparado com o primeiro; se o vetor
solução filho domina o vetor solução pai, o filho é aceito como o próximo pai e o processo
iterativo continua. Por outro lado, se o pai domina o filho, o filho é descartado e uma
substituído por um novo vetor solução (filho) obtido através de mutação. Entretanto,
se nenhum dos dois vetores solução (pai e filho) domina o outro, a seleção é realizada
pela comparação de ambos com um conjunto das melhores soluções armazenado até esse
estágio do processo.
Baseando-se no ordenamento elitista por não dominância e aperfeiçoando o algo-
ritmo não elitista NSGA, Deb et al. (2002) propuseram o algoritmo NSGA II (Elitist
Non- Dominated Sorting Genetic Algorithm). O NSGA II trabalha com dois conjuntos
simultâneos em cada iteração, denominados população pai e população filha. Na primeira
iteração gera-se um conjunto inicial como nos AGs convencionais e ordena-se esse conjunto
considerando o níveis de não dominância, por exemplo, soluções com nível 1 são as melho-
res soluções do conjunto, soluções com nível 2 correspondem ao segundo melhor grupo, e
assim por diante. Cada solução recebe um valor de aptidão igual a seu nível de dominação
(frentes). São aplicados então os operadores de seleção (torneio), recombinação e muta-
ção, sucessivamente, para se obter a população filha. As duas populações têm a mesma
dimensão. Após isso, ambas as populações são unidas em um único conjunto temporário
87
(dimensão 2N). Realiza-se um ordenamento por não dominância desse conjunto tempo-
rário de forma a identificar os novo s níveis de dominação. Dado que apenas N soluções
podem estar contidas no próximo conjunto, então as N piores soluções são descartadas,
de acordo com um critério de seleç ão que considera uma técnica de compartilhamento
para garantir a diversidade da próxima po pulaçã o.
4 METODOLOGIA
Foram estabelecidos como objetivos deste trabalho a determinação, de maneira ótima, do
número, da localização e da config uração de válvulas redutoras de pressão em um modelo
de sistema de distribuição de água, visando a minimizar os vazamentos e maximizar
ambos, confia bilidade hidráulica e eficiência energética. A complexidade do problema
exige que o mesmo seja tratado por etapas, ou seja, partindo de casos mais simples até
aqueles que envolvem todos os objetivos.
Em primeiro lugar serão abordados os aspectos da localização e o número de válvu-
las, que serão assumidos sob um esquema de atribuição de rugosidades fictícias a todas as
tubulações do sistema. Nessa primeira etapa, sera definida a faixa de variabilidade para
os parâmetros físicos das tubulações e o algoritmo de otimização sera executado levando
a identificar aquelas tubulações candidatas à colocação de VRPs. A etapa seguinte com-
preenderá a determinação das mo dulações das VRPs que devera finalizar com a escolha
do tipo de válvula e a especificação de suas configurações opera cionais.
O problema de otimização é definido a seguir, através do estabelecimento das variá-
veis de decisão e das funções o bjetivo. Posteriormente são apresentadas as ferramentas
de simulação hidráulica, isto é, os modelos de redes, de vazamentos e de confiabilidade.
Finalmente, são apresentados os conceitos da otimização multiobjetivo e a descrição do
algoritmo evolucionário a ser utilizado no processo de otimização.
4.1 Definição do Problema
O problema de otimização é formulado como um problema não linear contínuo. A não
linearidade deve-se à natureza das funções matemáticas que descrevem a relação entre
a vazão e a energia para os elementos que conformam um sistema de distribuição. A
89
continuidade do problema é devida a que as variáveis de decisão devem ser definidas como
números reais. A formulação geral do problema de otimização multiobjetivo é a seguinte:
Min I
v
=
NN
i=1
Q
Li
NR
k=1
Q
k
=
NN
i=1
C
e,i
(H
i
− Z
i
)
α
NR
k=1
Q
k
(4.1)
Max I
r
=
NN
i=1
q
∗
i
(h
i
− h
∗
i
)
NR
k=1
Q
k
H
k
−
NN
i=1
q
∗
i
h
∗
i
(4.2)
Sujeito às eqs. de continuidade e conservação de massa
onde NN é o número total de nós, NR o número total de reservatórios, I
v
o índice de
vazamentos, Q
L
o vazamento quantificado no nó i, Q a vazão abastecida correspondente
ao reservatório k, C
e
o coeficiente do emissor no nó i, Z a cota topográfica referente ao
nó i, α o expoente de perda que corresponde ao setor de vazamentos do nó i, I
r
o índice
de resiliência, q
∗
a demanda efetivamente abastecida no nó i, h a energia do nó i, h
∗
a
energia desejável para que a demanda seja totalmente atendida e H a energia total do
reservatório k..
A função objetivo de vazamentos (eq. 4.1) utiliza o modelo de emissores de Rossman
(2000), descrito pela eq. (3.15), para realizar a avaliação de vazamentos em forma explí-
cita. A função objetivo de resiliência (eq. 4.2) considera a formulação de Todini (2000),
descrita na seção 4.1.2, para maximizar simultaneamente a confiabilidade hidráulica e a
eficiência energética de um modelo de sistema de distribuição de água.
4.1.1 Variáveis de decisão
As variáveis de decisão adotadas são os coeficientes de rugosidade das tubulações, que
simulam o efeito das VRPs. Em uma primeira etapa, é realizada a otimização do número
e localização das VRPs no sistema de distribuição. A simulação deve, portanto, partir das
rugosidades obtidas da calibração do modelo com relação ao sistema real, e permitir que
90
elas sejam alteradas no processo de otimização. Para explicar tal processo, apresenta-se
a seguir a equação de perda de carga em uma tubulação na forma em que é considerada
no EPANET.
H
i
− H
j
= h
ij
= rQ
n
ij
+ m Q
2
ij
(4.3)
em que H é a carga hidráulica nos nós extremos (i e j) da tubulação, h a perda de carga
total, r o fator de resistência, que depende da formulação utilizada (Hazen-Williams ou
Darcy-Weisbach), Q a vazão, n o expoente da vazão e m o coeficiente de perda de carga
localizada. A Tabela 4.1 apresenta as fórmulas e os expoentes para cálculo de perda de
carga.
TABELA 4.1 - Fórmulas para o cálculo da perda de carga contínua em escoamento so b
pressão (sistema SI)
Fórmula Termo de perda de carga Expoente da vazão
r n
Hazen-Williams 10, 7C
−1,852
ij
D
−4,87
ij
L
ij
1,852
Darcy-Weisbach 0, 083f
ij
(ε, D, q)D
−5
ij
L
ij
2
Na Tabela 4.1, C é o coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams, ε a rugosidade
absoluta (mm), f o fator de atrito, que depende de ε, d e Q, D o diâmetro da tubulação
e L o comprimento da tubulaçã o.
Analisando as relações existentes entre carga s hidráulicas e vazão, na eq.(4.3), é
possível enquadrar o problema como não linear. As variáveis de decisão são as rugo-
sidades das tubulações, que inicialmente têm valor conhecido e podem ser alteradas de
forma a aumentar o atrito no escoamento, isto é, menores coeficientes C ou, alternativa-
mente, maiores rugosidades absolutas ε. Os vetores decisão para ambas as formulações
são apresentados a seguir:
Hazen-Williams: V D
1
= [C
1
, C
2
, . . . , C
NT
] (4.4)
Darcy-Weisbach: V D
2
= [ε
1
, ε
2
, . . . , ε
NT
] (4.5)
A formulação de Hazen-Williams foi escolhida no presente trabalho para modelagem
hidráulica, portanto o tipo de vetor decisã o escolhido é 4.4. Assim, o resultado do primeiro
passo da otimização será um c onjunto de vetores contendo novos coeficientes de rugosidade
91
nas tubulações do sistema em estudo. Cada um desses vetores definira uma condição de
operação e todos eles permitiram estabelecer a relação ótima entre as funções objetivo.
4.1.2 Resiliência
De acordo com Todini (2000), o conceito de redundância topológica em redes de distri-
buição de água tem sido utilizado a través da implementação de tubulações que permitam
o fechamento de circuitos de maneira que existam rotas alternativas para abastecer um
determinado nó em caso de falhas. No entanto, se a demanda de água é satisfeita exa-
tamente em todos os nós da rede, tanto em termos de vazões como de cargas hidráulicas
de projeto, sempre que exista um incremento imprevisto de demanda ou uma falha de
tubulação, o escoamento será alterado e a rede original se encontrará operando em con-
dições de maiores perdas internas de energia. Em tal situação, pode tornar-se impossível
satisfazer as demandas às pressões mínimas exigidas.
Em conseqüência, resulta necessário aba stecer cada nó com um excedente de po-
tência (energia por unidade de tempo) que possa ser dissipada em caso de falhas. Esse
excedente permite definir a resiliência da rede de distribuição como a sua capacidade
intrínseca para superar falhas repentinas (TODINI, 2 00 0).
Todini (20 00 ) realiza a derivação matemática de um índice de resiliência a partir da
expressão
P
tot
= γ
NR
k=1
Q
k
H
k
(4.6)
onde P
tot
é a potência total disponível no ponto de entrada do sistema de distribuição, γ
é o peso es pecífico da água, Q
k
e H
k
são a vazão e a carga hidráulica, respectivamente,
correspondentes a cada reservatório k e NR é o número de reservatórios. A potência P
tot
pode também ser representada como
P
tot
= P
int
+ P
ext
= P
int
+ γ
NN
i=1
q
i
h
i
(4.7)
onde P
int
é a potência dissipada na rede e P
ext
, é a potência e ntregada aos consumidores,
q
i
e h
i
são a vazão e a carga hidráulica, respectivamente, em cada nó i e NN o número
total de nós.
92
A partir das anteriores expressões, o índice de resiliência I
r
é definido conforme a
seguinte equação:
I
r
= 1 −
P
∗
int
P
∗
máx
= 1 −
P
tot
− γ
NN
i=1
q
∗
i
h
i
P
tot
− γ
NN
i=1
q
∗
i
h
∗
i
(4.8)
onde P
∗
int
é a potência diss ipada na rede para satisfazer a demanda total, P
∗
máx
a potência
máxima que pode ser dissipada internamente de modo a satisfazer as restrições em termos
de demanda e carga hidráulica nos nós, q
∗
i
a demanda efetivamente abastecida no nó i,
e h
∗
i
a energia desejável para que a demanda seja totalmente atendida no nó i. Após
algumas substituições e operações algébricas, Todini (2000) obtém a eq.(4.9).
I
r
=
NN
i=1
q
∗
i
(h
i
− h
∗
i
)
NR
k=1
Q
k
H
k
−
NN
i=1
q
∗
i
h
∗
i
(4.9)
4.2 Simulação Hidráulica
São apresentados, a seguir, os seg uintes modelos utilizados no processo de otimização:
modelo de análise de redes e módulo de avaliação hidráulica.
4.2.1 Modelo de análise de redes
O EPANET utiliza um Método Híbrido Nó-Malha para resolver as equações da continui-
dade, da conservação da energia e da perda de carga em função da vazão, características do
equilíbrio hidráulico de uma rede em um dado instante. Esse método é melhor conhecido
como Método do Gradiente, como designado por Todini e Pilati (1987). De acordo com o
Método do Gradiente, a formulação de um problema de análise de redes de distribuição é
representada pela eq.(4.10).
A
11
.
.
. A
12
··· ··· ···
A
21
.
.
. 0
Q
···
H
=
−A
10
H
0
···
−q
(4.10)
93
onde Q
t
= [Q
1
, Q
2
, . . . , Q
NT
] é o vetor de vazões não conhecidas, H
t
= [H
1
, H
2
, . . . , H
NN
]
o vetor de energias, ambos desconhecidos, H
t
0
= [H
NN+1
, H
NN+2
, . . . , H
NT O
] o vetor das
energias nodais e q
t
= [q
1
, q
2
, . . . , q
NN
] o vetor de demandas nodais, ambos conhecidos.
NT representa o número de tubulações, NN é o número de nós de energia desconhecida,
NT O é o número total de nós da rede (energia conhecida e desconhecida), com isso, a
subtração NT O − NN representa o número de nós com energia conhecida e t denota o
operador de transposição. A
11
, A
12
, A
21
, 0 e A
10
representam matrizes do sistema. A
11
é definida conforme a eq.(4.11) para k ∈ [1, NT ], i ∈ [1, NT ] e j ∈ [1, NT ].
A
11
(k, k) = r|Q
ij
|
n−1
+ m|Q
ij
| (4.11)
onde r é a constante de perda de carga da tubulação e m o coeficiente de perda de carga
localizada.
A matriz A
12
, denominada matriz de incidência, descreve a topologia do sistema e
é definida pela eq.(4.12).
A
12
(i, j) =
−1 se a vazão do tubo deixa o nó i
0 se o tubo j não está conectado ao nó i
1 se a vazão do tubo j entra no nó i
(4.12)
A matriz A
21
é a transp osta de A
12
, isto é, A
21
= A
t
12
. A matriz 0 é nula e quadrada,
de ordem N N. A
10
é a matriz de incidência para os nós com energia conhecida, de ordem
NT × (NT O − NN), formada segundo os critérios da eq.(4.12).
Para resolver o sistema de equações não lineares (eq. 4.10) é necessário diferenciar
Q e H, obtendo-se dessa forma a eq.(4.13).
NA
11
.
.
. A
12
··· ··· ···
A
21
.
.
. 0
dQ
···
dH
=
dE
···
dq
(4.13)
onde N é uma matriz diagonal quadrada de ordem NT , cujos elementos representam
os expoentes de p erda de carga das respectivas tubulações. A solução do problema é,
94
portanto, obtida iterativamente através da resolução do seg uinte sistema de equações
lineares a cada passo:
dQ
···
dH
=
NA
11
.
.
. A
12
··· ··· ···
A
21
.
.
. 0
−1
dE
···
dq
(4.14)
sendo os diferenciais dQ, dH, dE e dq substituídos pela forma discreta:
dQ = Q
k
− Q
k+1
(4.15)
dH = H
k
− H
k+1
(4.16)
dE = A
11
Q
k
+ A
12
H
k+1
+ A
10
H
0
(4.17)
dq = A
21
Q
k
+ A
22
H
k
+ q
∗
(4.18)
Assim, após alguns procedimentos algébricos demonstrados por Todini e Pilati (1 987 ),
obtém-se as formulações explícitas para o método de ajuste simultâneo utilizado no EPA-
NET.
H
k+1
= −(A
21
N
−1
A
−1
11
A
12
)
−1
[A
21
N
−1
(Q
k
+ A
−1
11
A
10
H
0
) + (q − A
21
Q
k
)](4.19)
Q
k+1
= (I − N
−1
)Q
k
− N
−1
A
−1
11
(A
12
H
k+1
+ A
10
H
0
) (4.20)
4.2.2 Módulo de Avaliação Hidráulica
O módulo de avaliação hidráulica e das funções objetivo foi desenvolvido durante a pri-
meira etapa do processo de otimização. Esse módulo utiliza as ferramentas do toolkit de
programação do simulador hidráulico EPANET com a finalidade principal de avaliar as
funções objetivo. O algoritmo de implementação do módulo é representado através do
diagrama de fluxo da Figura 4.1.
O algo ritmo é composto por três rotinas ou módulos secundários, identificadas como
R1, R2 e R3 na Figura 4.1. A primeira rotina abre o avaliador hidráulico, lê os dados
globais da rede, a partir do arquivo de entrada de dados, e inicializa o avaliador hidráulico.
A segunda rotina executa a simulação hidráulica, lê os valores das variáveis de estado e
calcula os vazamentos e o índice de resiliência para todos os períodos da simulação. A
95
FIGURA 4.1 - Módulo de Avaliação Hidráulica
rotina R3 realiza os cálculos de valores médios g lobais, reporta os resultados e fecha o
simulador hidráulico.
Na rotina R3, a eq. (4.1) foi empregada para calcular os vazamentos considerando,
para tanto, valores fixos do coeficiente C
e
e do expoente α em todos os nós da rede.
Os valores desses parâmetros foram adotados como sendo os valores hipotéticos em um
modelo de rede calibrado. O índice de resiliência foi calculado utilizando a eq. (4.9), onde
adotou-se um valor fixo acima da elevação topográfica como a energia desejável (h
∗
) em
cada nó.
4.3 Caracterização e M odelagem do Sistema
Nesta seção são descritas, de forma sucinta, as diversas etapas envolvidas na constru-
ção de um modelo computacional que represente um sistema de distribuição de água, a
partir da coleta de informações sobre a configuração da rede até a pesquisa sobre regras
operacionais.
96
4.3.1 Levantamento de informações cadastrais
A coleta de informações refere-se à obtenção de fontes fidedignas sobre as características
físicas e operacionais da rede de distribuição, fornecidas pelos setores de projeto, operação
e manutenção da entidade que administra o sistema. Tais fontes podem ser divididas em
três grupos: (1) informações sobre a configuração física da rede, (2) informações sobre
consumo, e (3) regras operacionais.
A configuração física da rede é determinada a partir de plantas as-built em papel
e/ou digitalizadas, que compreendem a po sição , diâmetro nominal e material das tubu-
lações, além da informação topográfica. Resulta preponderante a obtenção de plantas
atualizadas do sistema e de toda informação adicional sobre ampliações e modificações
posteriores, com o propósito de reproduzir as condições reais do sistema com a maior
fidelidade possível. Devem obter-se também dados sobre reservatórios, bombas, válvulas,
poços e hidrântes. Outra informação útil é a idade das tubulações, que possibilita estimar
rugosidades.
Segundo Silva e Rocha (1999), a pesquisa do consumo de água deve ser realizada
em três segmentos distintos: (1) residencial; (2) não residencial, que engloba o comercial,
o industrial de pequeno porte e o público; (3) grandes consumidores. Esses autores apre-
sentam ainda procedimentos estatísticos para avaliação de demanda por amostragem, de
forma a estimar os consumos de água com razoável precisão. Na construção dos modelos ,
se procura os métodos práticos que minimizem o custo computaciona l.
Para o método proposto é necessário o cadastro de consumo que, para sistemas
do tipo que se analisa, vêm na forma de dados de micro e macromedição. Os volumes
micromedidos provém das leituras nos hidrômetros dos consumidores e os volumes ma-
cromedidos são obtidos dos registros de macro-medidores, quando instalados no sistema.
Esse tipo de informação está destinada mais à validação das informações do que à deter-
minação dos consumos, pois como visto na seção 3.1 os volumes medidos para faturação
não refletem o consumo real com precisão. Além do s volumes de demanda cadastrados,
são necessários dados sobre pesquisas da distribuição temporal do consumo e informa-
ção geográfica atualizada em forma de imagens aéreas da região atendida pela rede de
distribuição.
O último tipo de informações a serem coletadas, usualmente quando se tem uma
versão preliminar do modelo, estão relacionadas com o funcionamento do sistema de abas-
97
tecimento ou regras operacionais, que especificam os horário s de operação dos conjuntos
elevatórios e determinam as seqüências de ocorrência dos seus processos.
4.3.2 Construção de modelo
O simulador hidráulico EPANET será utilizado como módulo de avaliação hidráulica da
rede de distribuição de água. É preciso, portanto, estabelecer o procedimento adequado
para inserir as características físicas e o peraciona is levantadas em um modelo a ser criado
no ambiente do EPANET. Optou-se pelo uso da interface gráfica do EPANET visto que
contava-se com a informação física, topológica e operacional das redes a serem estudadas .
As redes hidráulicas foram traçadas começando pelos reservatórios e nós. Especificaram-
se, para os reservatórios de nível fixo, o valor de carga hidráulica e o padrão a ser aplicado
a ess a carga. No caso dos nós, forneceram-se como dados as cotas topográficas, as de-
mandas básicas, o padrão de demanda e os coeficientes dos emissores. Posteriormente,
traçaram-se as tubulações entre os nós respectivos e suas long itudes, diâmetros e coefi-
cientes de rugosidade foram especificados. Não foi necessário introduzir reservatórios de
nível variável nem bombas, devido a que os sistemas estudados enquadram-se se no tipo
de abastecimento por gravidade e contemplam somente reservatórios de nível fixo.
Depois de uma cuidadosa revisão, a etapa de modelagem das características físicas
do sistema foi concluída. A revisão foi orientada a verificar a correta correspondência
entre nós iniciais e finais com as respectivas tubulações. Além disso, verificaram-se todos
os parâmetros inseridos em reservatórios, nós, tubulações e padrões de demanda e de carga
hidráulica. A simulação hidráulica foi executada repetidas vezes para comprovar que não
existissem anomalias, e.g. pressões nega tivas, e que o nível de vazamentos atingido fosse
o desejado.
4.3.3 Calibração do modelo
A calibração foi definida por Cesario e Davis (1984) como o processo de ajuste minucioso de
um modelo até que simule condições de campo para um horizonte especificado e um nível
de acurácia estabelecido. A calibração consiste normalmente em ajustar os coeficientes de
rugosidade das tubulações, até que as pressões calculadas com o modelo sejam próximas
daquelas observadas no sistema real.
98
Em modelos simplificados, os parâmetros de calibração (coeficientes de rugosidade)
não correspondem diretamente com as características físicas dos condutos reais. No en-
tanto, os parâmetros de rugosidade são calibrados visando a superar discrepâncias entre
modelo e sistema. Em outras palavras, os parâmetros de calibraçã o são artifícios ma-
temáticos destinados a absorver to do tipo de incertezas a respeito da física do sistema
real. Além da rugosidade física das tubulações, os parâmetros de calibração do modelo
consideram: (1) diferenças entre modelo e sistema introduzidas através do processo de es-
queletização (e.g., um trecho simples que representa um conjunto de tubos e válvulas); (2)
diferenças devido a erros nos dados de entrada (e.g., configurações de válvulas incorretas);
(3) aproximações da demanda (e.g., ajustes dos coeficiente de rugosidade para eliminar
as diferenças entre pressões observadas e calculadas, devidas à estimações incorretas da
demanda); (4) vazamentos e água não faturada (quando não considerados explicitamente
no modelo); (5) o fato que o modelo não correlaciona a demanda com a pressão.
Aplicações com algoritmos evolucionários desenvolvidas podem ser utilizadas para
encontrar os valores mais adequados dos parâmetros de calibração. As técnica s de calibra-
ção não pertencem ao escopo deste trabalho, pois a a nálise está desenvolvida para atuar
sobre um modelo previamente calibrado. O leitor interessado no tema pode consultar os
trabalhos de Soares (2003) e Cheung (2004).
4.4 Otimização Multiobjetivo
4.4.1 Método de Otimização Multiobjetivo
O algoritmo escolhido para realizar a otimização multiobjetivo é o SPEA, que, conforme
comparações de desempenho realizadas por Zitzler (1999), tem se mostrado superior às
outras técnicas nas implementações tanto em problemas teste quanto em aplicações reais,
em termos de tempo computacional e acurácia nas soluções obtidas. A seguir descreve-se
a implementação do algoritmo SPEA, conforme fluxograma apresentado na Figura 4.2
Dados de entrada
Os dados de entrada são os seguintes: dimensão da população (POP), probabilidade
de recombinação (P
r
), probabilidade de mutação (P
m
), dimensão da população externa
(
P OP ) e número máximo de ge raçõe s (GER).
99
FIGURA 4.2 - Procedimento geral do SPEA (CHEUNG, 2 00 4)
Etapa 1 - População inicial
Geração da população inicial aleatória P
t
considerando o parâmetro de entrada POP.
Etapa 2 - População externa
Criação da população externa
¯
P
t
vazia de dimensão P OP (parâmetro de entrada).
Etapa 3 - Avaliação das funções objetivo
Cada vetor solução pertencente à população inicial P
t
é avaliado de aco rdo com as funções
objetivo consideradas. Esta etapa é denominada avalia ção das funções de avaliação ou
aptidão considerando objetivos múltiplos.
100
Etapa 4 - Avaliação das funções objetivo
A quarta etapa compreende os seguintes passo s: identificação das soluções não domi-
nadas da população P
t
, cópia das soluções não dominadas encontradas em P
t
para a
população
¯
P
t
, remoção das soluções não dominadas de P
t
e redução do conjunto externo
através do algoritmo de cluster. Esse algoritmo reduz a dimensão da população externa
corrente (POP
corrente
) para a dimensão limite (P OP ), fornecida nos dados de entrada
(sendo POP
corrente
> P OP ).
Etapa 5 - Convergência
Nessa etapa o algoritmo verificará seu critério de convergência. Em geral, adota-se o
número máximo de iterações para essa verificação. Se tal critério for satisfeito o algoritmo
segue para a etapa 11 e o processo é finalizado, caso contrário, o algoritmo segue para a
etapa 6.
Etapa 6 - Avaliação SPEA
O módulo de avaliação tem objetivo de atribuir valores de aptidão às soluções como
forma de prepará-las para o operador seleç ão. No SPEA, esse procedimento é realizado
sob duas etapas. Primeiro todos vetores solução i pertencentes à população externa (
¯
P
t
)
são classificados e recebem um valor de aptidão S
i
denominado na literatura internacional
como strength. Esse valor de aptidão, pa ra um dado vetor de solução i, é proporcional ao
número de soluções dominadas pela solução i na população corrente.
Posteriormente, calcula-se os valores de aptidão (F
j
) de todas as soluções j perten-
centes à população corrente (P
t
). Esse valor de aptidão é calculado como sendo a soma de
todos os valores de aptidão S
i
das soluções externas i que dominam vetores j da po pulaçã o
corrente.
Etapa 7 - Seleção
Nessa etapa o SPEA utiliza a técnica de seleção por torneio. Após todas as soluções,
pertencentes aos conjuntos externo e corrente, terem recebido seus respectivos valores de
aptidão (F ), os conjuntos P
t
e
¯
P
t
são unidos para ser aplicado o operador de seleção.
A seleção por torneio no SPEA é desenvolvida da seguinte forma: cria-se um conjunto
temporário (P
temp
) de dimensão n
populao
; seleciona-se aleatoriamente duas soluções (i e j)
pertencentes ao conjunto unificado (P
t
¯
P
t
); se F (i) < F (j) então i é incluso em (P
temp
),
101
caso contrário j é incluso em P
temp
, sendo a melhor solução aquela que apresenta menor
valor de a ptidão F .
Etapa 8 - Recombinação
Nessa etapa o SPEA se assemelha aos AEs simples. A recombinação é denominada opera-
dor de variação. Esse operador é aplicado como na estrutura geral dos AGs convencionais
simples (Figura 3.23).
Etapa 9 - Mutação
O operador de mutação também faz parte do processo de variação e é responsável pela
introdução de diversidade na população, que muitas vezes é perdida ao longo das iterações,
em outras palavras pode-se dizer que esse operador é responsável pela introdução de
material genético na população. Em geral, esse operador é aplicado como na estrutura
dos AGs convencionais apresentada pela Figura 3.23.
Etapa 10 - Nova população
Uma nova população é formada devido à aplicação dos operadores de recombinação e
mutação. Assim é necessário que uma nova avaliação seja realizada para ca da vetor
solução pertencente a essa nova po pulação , portanto, volta-se a etapa 3.
Etapa 11 - Resultados
Nessa etapa o algoritmo apresenta as soluções ótimas Pareto.
4.4.2 Implementação do A lgori tmo de Otimização
O esquema geral de otimização multiobjetivo, apresentado na Figura 3.22, foi implemen-
tado com a finalidade de resolver o problema de minimizar os vazamentos e maximizar
a confiabilidade hidráulica do sistema. A implementação foi realizada utilizando como
plataforma de acoplamento computacional a biblioteca MOMHLib++ (JASZKIEWICZ,
2001), e escolhendo como algoritmo de optimização o algoritmo SPEA (Figura 4.2). Como
processo de avaliação das funçõ es objetivo, dentro do algoritmo SPEA, foi utilizado o mó-
dulo de avaliação hidráulica, descrito na seção 4 .2.2.
A implementação do algoritmo de otimização foi desenvolvida em sucessivas eta-
pas. Durante a primeira etapa criou-se o módulo de avaliação hidráulica. Para tanto,
102
definiram-se as estruturas das funções computacionais que interagem com o modelo de
análise de redes do simulador EPANET. Posteriormente, essas funçõ es foram implementa-
das e testadas com o propósito de obter uma adequada utilização do simulador. A segunda
etapa consistiu na adequação do programa de otimização multiobjetivo que, embora já
implementado, precisava ser executado em uma outra plataforma de desenvolvimento de
software (Microsoft Visual Studio). A adequação foi testada com vários problemas de oti-
mização da literatura (DEB, 2001). A terceira e última etapa compreendeu a integração
das funções de avaliação hidráulica com as funções de otimização multiobjetivo. Sucessi-
vas operações de implementação e teste levaram à obtenção de um programa que integra
a análise de redes, o cálculo de índices de vazamentos e de resiliência e a determinação de
soluções não dominadas ou Pareto.
A respeito da funcionalidade do algoritmo implementado, o primeiro passo con-
siste em definir as ca racterísticas gerais do problema, dentro do módulo de definição do
programa de otimização multiobjetivo. Essas características são: o número de funções
objetivo, o número de variáveis de decisão e os limites máximo e mínimo das variáveis de
decisão. Além disso, deve ser especificado quais funções objetivo devem ser maximizadas
e quais minimizadas. O segundo passo compreende a configuração do módulo de avalia-
ção hidráulica, através da escolha dos arquivos de entrada e saída de dados da rede. O
terceiro passo co nsiste na saída dos resultados da otimização em forma de soluções não
dominadas que podem ser representadas em forma g ráfica.
4.5 Redes Exemplo p ar a Validação do Modelo
Duas redes são utilizadas para a validação do modelo de otimização. A primeira consiste
em um sistema simples de dois circuitos, extraído de Alperovitz e Shamir (1977). A
Figura 4.3 e a Tabela 4.2 apresentam a geometria do sistema e os parâmetros dos nós e
tubulações, respectivamente.
O s egundo sistema escolhido para testar a metodologia proposta é um setor da rede
de distribuição de Campo Grande, MS. Trata-se de uma rede hidráulica ramificada com
um reservatório de nível fixo, 71 nós e 70 tubulações. As Tabelas 4.3 e 4.4 contém as
características físicas dos nós e das tubulações da Rede 2, respectivamente. As Figuras
103
FIGURA 4.3 - Rede número 1 de dois circuitos
TABELA 4.2 - Características físicas da rede número 1, de dois circuitos
N
o
Tub. Comprimento Diâmetro C N
o
nó Cota Demanda
(m) (mm) (m) (l/s)
1 1000 500 130 1 210 Reserv.
2 1000 350 130 2 150 27,78
3 1000 350 130 3 160 27,78
4 1000 150 130 4 155 33,33
5 1000 350 130 5 150 75,00
6 1000 150 130 6 165 91,67
7 1000 350 130 7 160 55,56
8 1000 300
104
4.4 e 4.5 apresentam a topologia da rede com a numeração de nós e a numeração de
tubulações, respectivamente.
TABELA 4.3 - Características físicas dos nós da Rede 2
N
o
nó Cota Demanda N
o
nó Cota Demanda
(m) (l/s) (m) (l/s)
3 591,93 0,00 79 600,50 0,05
22 591,71 0,00 83 576,50 0,09
23 591,92 0,00 84 574,95 0,07
33 579,74 0,02 85 574,76 0,11
34 579,79 0,05 86 573,90 0,10
35 582,17 0,04 87 572,85 0,11
36 583,07 0,02 88 572,64 0,05
37 583,23 0,06 89 571,26 0,10
38 585,49 0,07 90 571,14 0,07
39 590,33 0,05 91 580,13 0,08
40 587,42 0,06 92 578,05 0,05
41 587,30 0,06 93 581,60 0,05
42 596,70 0,07 94 584,00 0,07
43 596,96 0,09 95 587,14 0,14
44 600,08 0,09 96 584,52 0,14
45 601,37 0,07 97 585,92 0,15
46 598,50 0,08 98 588,66 0,08
47 598,16 0,05 99 581,36 0,05
52 578,18 0,09 100 582,67 0,08
53 576,28 0,06 101 583,70 0,06
63 592,10 0,14 102 584,60 0,07
64 595,97 0,06 103 589,00 0,12
65 593,94 0,13 104 592,11 0,07
66 597,43 0,06 105 586,49 0,07
67 595,45 0,11 106 590,65 0,12
68 598,94 0,07 107 587,78 0,09
69 599,09 0,09 108 593,90 0,05
70 602,10 0,03 109 589,19 0,08
71 589,87 0,06 142 573,42 0,06
72 591,48 0,08 143 575,31 0,05
73 592,78 0,07 144 576,96 0,03
74 593,96 0,06 145 578,57 0,10
75 595,34 0,08 163 599,40 0,00
76 599,74 0,06 6 585,92 0,00
77 596,53 0,09 7 591,70 0,00
78 597,13 0,04 1 618,13 Reserv.
105
TABELA 4.4 - Características físicas das tubulações da Rede 2
N
o
Tub. Compr. Diâmetro C N
o
Tub. Compr. Diâmetro C
(m) (mm) (m) (mm)
16 7,00 100 140 72 135,93 50 140
17 3,44 100 140 73 133,60 50 140
27 11,06 50 140 74 140,33 50 140
28 129,53 50 140 75 133,57 50 140
29 9,56 50 140 76 133,23 50 140
30 130,97 50 140 77 142,14 50 140
31 129,27 50 140 78 131,99 50 140
32 10,03 50 140 102 1 44 ,16 50 140
33 9,91 50 140 103 141,11 50 140
34 130,27 50 140 104 143,16 50 140
35 126,59 50 140 105 141,75 50 140
36 13,10 50 140 124 8,73 100 140
40 159,38 50 140 131 19,67 180 150
48 161,91 50 140 132 48,68 180 150
49 138,57 50 140 133 51,83 180 150
50 142,30 50 140 156 60,10 100 140
51 139,83 50 140 157 59,91 100 140
52 134,61 50 140 158 60,34 100 140
53 135,50 50 140 163 60,03 100 140
54 134,40 50 140 164 60,08 180 150
55 136,91 50 140 165 58,48 180 150
56 131,69 50 140 166 61,49 180 150
57 135,25 50 140 167 51,81 180 150
58 135,34 50 150 168 59,19 100 140
61 132,50 50 140 169 53,12 100 140
62 130,35 50 140 170 67,21 100 140
63 131,48 50 140 171 60,58 100 140
64 132,00 50 140 172 59,61 100 140
65 142,08 50 140 173 59,96 100 140
66 132,10 50 140 174 60,31 100 140
67 144,14 50 140 175 59,84 100 140
68 141,17 50 140 176 60,16 100 140
69 140,03 50 140 177 44,32 100 140
70 129,73 50 140 4 7,00 100 140
71 130,57 50 140 1 35,00 180 150
106
FIGURA 4.4 - Rede número 2: numeração dos nós
107
FIGURA 4.5 - Rede número 2: numeração das tubulações
108
4.6 Ferramentas, Materiais e Linguagens de Programa-
ção
Para o desenvolvimento do presente trabalho, utilizou-se um microcomputador Centrino
Duo, com processador Intel de 1,83 GHz e 1,99 Gb de memória RAM. O computador está
equipado com os seguintes programas e linguagens de programação: Microsoft Visual
Studio, utilizado na compilação de linguagem C/C++; EPANET 2 (ROSSMAN, 2000),
para simulação hidráulica; biblioteca MOMHLib++ (JASZKIEWICZ, 2001), empregada
na otimização multiobjetivo; MATLAB, para execução de rotinas de programação com-
plementares e planilhas eletrônicas, utilizadas na preparação de tabelas.
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Os métodos descritos no capítulo 4 serão empregados no presente capítulo para determinar
o número, a localização e o ajuste de válvulas redutoras de pressão necessárias para reduzir
os vazamentos em dois sistemas de distribuição de água, utilizando, para tanto, informação
ótima sobre a confiabilidade hidráulica e a eficiência energética dos sistemas.
5.1 Análise da Red e 1
A primeira rede hidráulica estudada, denominada Rede 1, e com topologia e características
físicas definidas pela Figura 4.3 e a Tabela 4.2, representa um sistema de distribuição
extremamente simplificado pois não co ntém tanques de armazenamento, nem sistema de
bombeamento. São atribuídas a essa rede um padrão de demanda fixo para todos os
nós, com os fatores de consumo (F
c
) definidos na Tabela 5.1, a ssim como coeficientes
e expoentes dos emissores iguais em todos os nós, a maneira de atingir um nível de
vazamentos igual a 25% da demanda total.
TABELA 5.1 - Coeficientes do padrão de demanda aplicados à Rede 1
Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
F
c
0,61 0,61 0,41 0,41 0,41 0,41 0,81 0,81 1,23 1,23 1,13 1,13
Hora 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
F
c
0,92 0,92 0,92 0,92 1,03 1,03 0,92 0,92 0,82 0,82 0,61 0,61
Fonte: Savic e Walters (1995)
5.1.1 Execução do módulo de avaliação hidráulica
Inicialmente, o algo ritmo da Figura 4.1 foi executado considerando a rede sem vazamentos
e os valores do índice de resiliência foram registrados para cada período da simulação
110
hidráulica. Posteriormente, o mesmo procedimento foi desenvolvido para a rede com
vazamentos, sendo registrados, além do índice de resiliência, os vazamentos totais na
rede e m cada período da simulação. Atribuíram-se a todos os nós da rede valores do
coeficiente C
e
e do expoente α iguais a 1,58 e 0,5 , respectivamente. Esses valores foram
escolhidos arbitrariamente para obter um nível de vazamentos igual a 25%. A Tabela
5.2 apresenta os resultados gerados pelo módulo de avaliação hidráulica para ambos os
casos, sem vazamentos e com vazamentos. Observa-se, na Tabela, uma notória diminuição
dos valores do índice de resiliência em presença dos vazamentos a respeito do caso sem
vazamentos. Isso é devido, naturalmente, a que os vazamentos reduzem a capacidade do
sistema para atender eficientemente as e xigências da demanda de água.
5.1.2 Etapa de otimização multiobjetivo
Foram definidos para a Rede 1 duas funções objetivo, oito variáveis de decisão (coeficientes
de rugosidade das oito tubulações), limites entre 0 e 130 para as variáveis de decisão e
instruções para minimizar a função de vazamentos e maximizar a função de confiabilidade.
Visto que a simulação hidráulica foi realizada em período estendido e que existem
8 fatores de consumo diferentes dentro do padrão de demanda de água, obtiveram-se 8
curvas de soluções não dominadas ou soluções Pareto. Nas Figuras 5.1 à 5.4 apresentam-se
essas curvas como sendo as soluções da otimização multiobjetivo.
Todos os pontos encontrados em qualquer um dos g ráficos das Figuras 5.1 à 5.4
representam soluções não dominadas com um vetor decisão associado a elas. Cada um
dos vetores de decisão contém 8 valores de rugosidade para as 8 tubulações que fazem
parte da Rede 1. O aspecto comum mais notório entre as frentes Pareto encontradas é
que mostram uma relação aproximadamente linear e de proporcionalidade direta entre os
índices de resiliência e de vazamentos. Para explicar outros aspectos da relação entre esses
índices, apresentam-se, com propósitos ilustrativos, as Tabelas 5.3, 5.4 e 5.5 mostrando
os resultados da otimização pa ra as três soluções Pareto destacadas em cada uma das
Figuras 5.1(b), 5.2(a) e 5.2(b), respectivamente.
Em qualquer um dos gráficos das Figuras 5.1(b), 5.2(a) ou 5.2(b), um ponto A
representa a solução Pareto com ma ior índice de resiliência e de vazamentos, um ponto B
é uma solução com valores intermédios para ambos os índices e um ponto C é a solução
com os mínimos valores enco ntrados para ambos os índices.
111
TABELA 5.2 - Valores calculados pelo módulo de avaliação hidráulica para a Rede 1 em
período estendido de 24 h
Tempo F
c
Índice de Resiliência I
r
Vazamentos
(h) Sem Vazam. Com Vazam. Totais (l/s) I
v
0 0,61 0,921 0,299 87,216 0,315
1 0,61 0,921 0,299 87,216 0,315
2 0,41 0,962 0,239 88,870 0,411
3 0,41 0,962 0,239 88,870 0,411
4 0,41 0,962 0,239 88,870 0,411
5 0,41 0,962 0,239 88,870 0,411
6 0,81 0,866 0,332 85,176 0,253
7 0,81 0,866 0,332 85,176 0,253
8 1,23 0,710 0,329 79,560 0,172
9 1,23 0,710 0,329 79,560 0,172
10 1,13 0,752 0,338 81,070 0,187
11 1,13 0,752 0,338 81,070 0,187
12 0,92 0,830 0,340 83,885 0,227
13 0,92 0,830 0,340 83,885 0,227
14 0,92 0,830 0,340 83,885 0,227
15 0,92 0,830 0,340 83,885 0,227
16 1,03 0,791 0,342 82,469 0,205
17 1,03 0,791 0,342 82,469 0,205
18 0,92 0,830 0,340 83,885 0,227
19 0,92 0,830 0,340 83,885 0,227
20 0,82 0,863 0,333 85,064 0,250
21 0,82 0,863 0,333 85,064 0,250
22 0,61 0,921 0,299 87,216 0,315
23 0,61 0,921 0,299 87,216 0,315
Média 0,853 0,314 0.250
112
(a)
(b)
FIGURA 5.1 - Resultados da otimização multiobjetivo para os coeficientes do padrão de
demanda iguais a: (a) 0,61 e (b) 0,41.
113
(a)
(b)
FIGURA 5.2 - Resultados da otimização multiobjetivo para os coeficientes do padrão de
demanda iguais a: (a) 0,81 e (b) 1,23.
114
(a)
(b)
FIGURA 5.3 - Resultados da otimização multiobjetivo para os coeficientes do padrão de
demanda iguais a: (a) 1,13 e (b) 0,92.
115
(a)
(b)
FIGURA 5.4 - Resultados da otimização multiobjetivo para os coeficientes do padrão de
demanda iguais a: (a) 1,03 e (b) 0,82.
116
TABELA 5.3 - Vetores decisão das soluções Pareto A
1
, B
1
e C
1
Solução I
v
I
r
Vetor Solução (Coeficientes de Rugosidade C)
1 2 3 4 5 6 7 8
A
1
0.41 0.24 129.9 130.0 1 28 .1 124.3 130.0 65.4 130.0 130.0
B
1
0.35 0.12 127.4 7.4 110.1 60.0 126.0 94.5 116.1 54.5
C
1
0.30 0.01 89.2 95.3 3.4 78.6 58.3 92.2 34.2 110.4
TABELA 5.4 - Vetores decisão das soluções Pareto A
2
, B
2
e C
2
Solução I
v
I
r
Vetor Solução (Coeficientes de Rugosidade C)
1 2 3 4 5 6 7 8
A
2
0.25 0.33 130.0 126.2 1 28 .8 122.2 113.8 126.9 130.0 69.7
B
2
0.22 0.17 101.3 79.7 51.4 15.0 65.8 60.0 130.0 16.7
C
2
0.17 0.04 71.9 26.1 100.5 26.2 79.9 51.8 60.0 68.7
TABELA 5.5 - Vetores decisão das soluções Pareto A
3
, B
3
e C
3
Solução I
v
I
r
Vetor Solução (Coeficientes de Rugosidade C)
1 2 3 4 5 6 7 8
A
3
0.17 0.33 130.0 130.0 1 30 .0 73.1 129.0 119.8 130.0 111.2
B
3
0.15 0.16 108.7 83.6 130.0 73.4 91.6 55.7 49.8 60.0
C
3
0.13 0.00 56.4 129.0 117.2 62.3 99.6 91.5 69.2 48. 5
Nas Tabelas 5.3 à 5.5 os coeficientes de rugosidade em negrito são aqueles notavel-
mente inferiores aos originais (130) e podem indicar a necessidade de instalar VRPs nas
respectivas tubulações. Embora cada uma das soluções A
1
, A
2
e A
3
tenha um valor de
C em negrito, suas coordenadas (I
v
, I
r
) coincidem com os valores de I
v
e I
r
calculados
para a Rede 1 com vazamentos (ver Tabela 5 .2). Assim, por exemplo, nas horas 2, 3, 4 e
5 da Tabela 5.2 (i.e, quando F
c
= 0, 41), I
v
= 0, 411 e I
r
= 0, 239. Esses valores coinci-
dem com as coordenadas da solução A
1
da Tabela 5.3 apesar que existe uma considerável
diminuição do coeficiente de rugosidade da tubulação número 6 .
No entanto, os vetores de decisão da s soluções B e C (Tabelas 5.3 à 5.5) apresen-
tam vários coeficientes de rugosidade notavelmente alterados em diferentes tubulações ,
deixando perceber uma aparente relação direta entre o número e complexidade das alte-
rações e a diminuição dos índices I
v
e I
r
.
117
Com base nas observações anteriores, pode-se inferir que, para qualquer valor do
fator de consumo, a resiliência e também os vazamentos da Rede 1 são máximos quando
não se introduzem alterações nas rugosidades dos condutos. Portanto, se a procura é
orientada a maximizar a confiabilidade hidráulica e a eficiência energética do sistema
(ambas determinadas pelo índice de resiliência), não é preciso modificar o sistema através
da instalação de válvulas redutoras de pressão. Se, por outro lado, a procura é orientada
a reduzir os vazamentos, alterações do sistema através da instalação de VRPs, terão
como conseqüência a diminuição da confiabilidade hidráulica e da eficiência energética.
Além disso, o sistema comporta-se insensível à mudança das rugosidades em algumas das
tubulações e, portanto, não se justifica considerá-las como possíveis portadoras de VRPs.
Outras relações interessantes tornam-se apreciáveis quando se combinam todas as
frentes Pareto anteriores em um único gráfico, na maneira mostrada pela Figura 5.5. Em
primeiro lugar, as frentes Pareto se deslocam da direita para a esquerda na medida que
o fator de consumo, isto é, a demanda, aumenta. Isso sig nifica que, em geral, para uma
determinada condição operacional (ajuste das VR Ps) às maiores demandas no sistema
correspondem menores índices de vazamentos e maior confiabilidade hidráulica. As curvas
revelam também que a condição ótima de operação, em termos de resiliência, corresponde
ao fator de consumo com valor 1. Por um lado, abaixo desse valor, o índice de resiliência
diminui na medida que os vazamentos aumentam, por outro lado, para valores do fator
de consumo maiores que 1, o índice de resiliência diminui em função da diminuição dos
vazamentos.
5.1.3 Etapa de decisão
De acordo com a Figura 3.22, a segunda e ultima etapa de um procedimento multiobjetivo
é a etapa de decisão. Nessa etapa, as soluções ótimas encontradas previamente devem ser
analisadas cuidado samente a efeito de escolher aquela que satisfaz os critérios estabelecidos
pelo responsável da tomada de decisões. A análise de soluções alternativas deve estar
baseada no conhecimento profundo do sistema e da sua operação, visto que a seleção
de soluções deve lidar, normalmente, com objetivos conflitantes. No caso em estudo, as
frentes Pareto encontradas descrevem uma relação conflitante entre a maximização do
índice de resiliência e a minimização dos vazamentos. Resulta claro que se o objetivo é
reduzir os vazamentos, através da modificação das rugosidades das tubulações da rede, a
118
FIGURA 5.5 - Soluções Pareto para a Rede 1
confiabilidade hidráulica, dada pelo índice de resiliência, experimentará uma diminuição.
Conseqüentemente, não é possível satisfazer um do s objetivos sem sacrificar o outro.
Uma maneira hipotética de lidar com os objetivos conflitantes é apresentada a seguir,
sob uma abordagem que parte de três premissas fundamentais. A primeira é que, devido
à presença dos vazamentos, a rede hidráulica estudada encontra-se em uma condição de
operação inicial com baixo índice de resiliência e, portanto, baixa confiabilidade hidráulica
e baixa eficiência energética. A segunda premissa é que a fração de vazamentos, I
v
, que é
possível diminuir é relativamente pequena. Faixas ou janelas de diminuição de vazamentos
podem ser definidas para as 8 curvas anteriores (Figuras 5.1 - 5.4) entre a solução Pareto
com maiores índices I
v
e I
r
e a solução com menores índices I
v
e I
r
. Por exemplo, para a
hora de menor consumo (F
c
= 0, 41), essa a janela e determinada pelas soluções A
1
e C
1
com valores de I
v
0,41 e 0,30, respectivamente. Em forma semelhante, na hora de maior
consumo (F
c
= 1, 23), a faixa teórica de redução de vazamentos é 0,17 - 0 ,13 , determinada
pelas soluções A
3
e C
3
. A terceira premissa é que a resiliência do sistema sempre diminuirá
se qualquer medida de redução de vazamentos for adotada.
119
Essas premissas foram consideradas para projetar o algoritmo de decisão esquemati-
zado na Figura 5.6. O algoritmo contém duas etapas que precisam de um passo de decisão
para serem iniciadas. A primeira etapa precisa da escolha da fração de vazamentos a ser
diminuída. A segunda etapa representa um processo iterativo que deve receber como
dado de entrada a escolha das tubulações a serem modificadas em termos de rugosidade,
utilizando, para tanto, a informação sugerida no passo final da primeira etapa.
FIGURA 5.6 - Algoritmo de decisão
Antes de iniciar o algoritmo de decisão, foi calculada a fração de vazamentos que é
possível diminuir no sistema através de medidas de redução de pressão, como mostrado
pela Tabela 5.6. A Ta bela a presenta, com notação I
v,max
, os valores do índice de vaza-
mentos para a Rede 1 em estado original, e com notação I
v,min
, os valores mínimos do
índice resultantes da otimização. Esses valores são os valores extremos, superior e infe-
rior, das frentes Pareto e definem as janelas de diminuição de vazamentos. Além disso,
a Tabela contém os fatores de consumo e seus respectivos números de ocorrências no pe-
ríodo de 24 h. Com esses dados, as médias ponderadas de I
v,max
e I
v,min
são calculadas
para determinar a fração média de vazamentos que é possível diminuir, denotada como
120
I
v,pos
. A diferença entre as médias ponderadas
¯
I
v,max
e
¯
I
v,min
é I
v,pos
= 0, 0628 = 6, 28%.
Esse valor representa a máxima redução de vazamentos que é possível atingir no sistema
através da instalação de VRPs. Cabe ressaltar que se os vazamentos são diminuídos até
esse nível, se anula a resiliência do sistema e, portanto, não existe excedente de pressão
nos nós para atender eventualidades. Ainda na Tabela 5.6, calcula-se o índice médio de
resiliência
¯
I
r,max
que corresponde à rede original. O índice
¯
I
r,min
não é considerado na
Tabela porque é praticamente igual a zero.
TABELA 5.6 - Cálculo da fração de vazamentos
F
c
Oc. I
v,min
I
v,min
× Oc. I
v,max
I
v,max
× Oc. I
r,max
I
r,max
× Oc.
0,61 4 0,219 0,877 0,315 1,260 0,299 1,196
0,41 4 0,299 1,196 0,411 1,644 0,239 0,956
0,81 2 0,168 0,335 0,253 0,506 0,332 0,664
1,23 2 0,125 0,250 0,172 0,344 0,329 0,658
1,13 2 0,132 0,263 0,187 0,374 0,339 0,678
0,92 6 0,161 0,966 0,227 1,362 0,34 2,04
1,03 2 0,130 0,260 0,205 0,410 0,342 0,684
0,82 2 0,173 0,346 0,250 0,500 0,333 0,666
24 4,494 6,400 7,542
/24
¯
I
v,min
= 0,1872
¯
I
v,max
= 0,2500
¯
I
r,max
= 0,3143
Foi selecionado, para a Rede 1, um nível de redução de vazamentos igual a uma
quarta parte da fração I
v,pos
(1/4 de 6,2 8%), isto é, a redução de vazamentos que se
procura atingir, em período de 24 h, é 1,57%. A maneira de relacionar a fração escolhida
com os índices da Tabela 5.6 é esquematizada pela Figura 5.7, que combina as frentes
Pareto das Figuras 5.1 à 5.4, em maneira simplificada.
A escolha de um nível de redução de vazamentos permite encontrar uma solução
dominada em cada uma das frentes Pareto disponíveis. O esquema da Figura 5.6 repre-
senta a solução encontrada como S
p
. Dessa forma, para os horários de menor consumo de
água, com janela de vazamentos 0,41 - 0,30, a quarta parte de redução de I
v,pos
resulta na
solução com coordenadas I
v
= 0, 38, I
r
= 0, 17 (Figura 5.1(b)). No caso dos horários de
maior consumo, o nível de redução de vazamentos adotado resulta no ponto I
v
= 0, 16,
I
r
= 0, 24 da Figura 5.2(b). Uma análise semelhante permite encontrar as soluções Pareto
nos gráficos restantes relacionados com outros fatores de consumo.
121
FIGURA 5.7 - Esquema para determinação de fração de vazamentos I
v,pos
De acordo com a Figura 5.6, o passo seguinte no processo de decisão é encontrar
os vetores corresp ondentes às soluções Pareto determinadas. O resultado desse passo é
apresentado na Tabela 5.7.
TABELA 5.7 - Vetores solução escolhidos
F
c
Oc. I
v
I
r
Vetor Solução (Coeficientes de Rugosidade C)
1 2 3 4 5 6 7 8
0,61 4 0,29 0,23 83,5 130,0 112,6 38,3 100,2 13,6 130,0 13,9
0,41 4 0,38 0,18 67,7 130,0 129,6 21,7 130,0 60,0 32,1 2,4
0,81 2 0,23 0,23 98,3 50,9 97,2 93,6 12 3,1 67,4 89,5 60,0
1,23 2 0,16 0,24 110,5 91,0 111,1 100,8 118,8 105,9 119,4 60,0
1,13 2 0,17 0,23 95,9 115,7 116,8 60,0 84,0 62,0 78,6 75,0
0,92 6 0,21 0,25 97,2 69,4 118,6 12,5 130,0 60,0 114,1 61,9
1,03 2 0,19 0,23 112,7 60,0 105,4 60,0 121,0 94,2 95,5 99,7
0,82 2 0,23 0,23 129,9 121,9 123,1 103,3 39,2 39,0 103,4 18,2
Os fatores de consumo na Tabela 5.7 estão associados com um número de ocorrências
(Oc) durante o período de 24 horas. Esse número é utilizado como um peso no processo de
determinação do esquema preliminar de ajuste de VRPs. Isto é, a média ponderada dos
coeficientes de rugosidade nas tubulações é calculada utilizando os números de ocorrência
dos fatores de consumo, obtendo-se os resultados da Tabela 5.8.
122
(a) (b)
(c) (d)
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
3
4
5
6
7
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
FIGURA 5.8 - Localizações preliminares das VRPs na Rede 1, com fatores de consumo
(a) F
c
= 0, 61, (b) F
c
= 0, 41, (c) F
c
= 0, 81 e (d) F
c
= 1, 23
123
(a) (b)
(c) (d)
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
3
4
5
6
7
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
FIGURA 5.9 - Localizações preliminares das VRPs na Rede 1, com fatores de consumo
(a) F
c
= 1, 13, (b) F
c
= 0, 92, (c) F
c
= 1, 03 e (d) F
c
= 0, 82
124
TABELA 5.8 - Coeficientes C po nderados
Tubulação Coef. C
1 95,1
2 97,3
3 116,2
4 47,9
5 111,4
6 58,0
7 96,1
8 44,3
Com os resultados da Tabela 5.8 entra-se em uma nova etapa de decisão, onde é
necessário introduzir um critério para selecionar as tubulações a serem modificadas como
sendo potenciais ca ndidatas à instalação de VRPs. O critério adotado é modificar o coe-
ficiente de rugosidade nas tubulações dando preferência àquelas com maiores vazões. Na
Rede 1, as maiores vazões ocorrem, em ordem decrescente, nas tubulações 1, 2 e 3 (Figura
4.3). Mudanças do coeficiente de rugosidade nessas três tubulações terão maior efeito na
redução de pressões no sistema e, portanto diminuirão os vazamentos e a confia bilidade
hidráulica da rede com maior intensidade. Utilizando a Tabela 5.8 como guia, a primeira
tentativa de simulação considera a alteração dos coeficientes C nas tubulações 1 e 2 aos
valores 95 ambas, isto é, uma VRP fictícia é introduzida em cada uma dessas tubulações.
1
2
4
6
7
3
8
5
1
2
3
4
5
6
7
FIGURA 5.10 - Localizações selecionadas para as VRPs na Rede 1
125
TABELA 5.9 - Resultados da simulação com C
1
= C
2
= 95
Tempo Vazamentos Demanda I
v
I
r
(h) Totais (l/s) Total (l/s)
0 85,134 274,918 0,310 0,281
1 85,134 274,918 0,310 0,281
2 87,575 215,134 0,407 0,231
3 87,575 215,134 0,407 0,231
4 87,575 215,134 0,407 0,231
5 87,575 215,134 0,407 0,231
6 82,109 334,116 0,246 0,299
7 82,109 334,116 0,246 0,299
8 73,636 456,314 0,161 0,250
9 73,636 456,314 0,161 0,250
10 75,940 427,506 0,178 0,272
11 75,940 427,506 0,178 0,272
12 80,182 366,412 0,219 0,297
13 80,182 366,412 0,219 0,297
14 80,182 366,412 0,219 0,297
15 80,182 366,412 0,219 0,297
16 78,056 398,510 0,196 0,287
17 78,056 398,510 0,196 0,287
18 80,182 366,413 0,219 0,297
19 80,182 366,412 0,219 0,297
20 81,942 337,060 0,243 0,299
21 81,942 337,060 0,243 0,299
22 85,134 274,918 0,310 0,281
23 85,134 274,918 0,310 0,281
Média 81,471 336,071 0,277
Índice de vazamentos médio 0,242
A rede foi configurada com as novas características das tubulações e simulada em
período estendido de 24 horas, obtendo-se os resultados da Tabela 5.9. As novas médias
dos índices de vazamentos e de resiliência são , respectivamente, 0,242 e 0,277. A diminui-
ção média de vazamentos atingida é ig ual a apenas 0,8%. Considerando a baixa redução
de vazamentos atingida, propõe- se alterar as rugosidades das tubulaçõ es novamente até
atingir uma diminuição do valor médio de I
v
próximo do valor desejado (1,57%). O obje-
126
tivo é atingido mudando as rugosidades de ambas as tubulações 1 e 2 para 77. Desta vez,
os resultados obtidos são apresentados na Tabela 5.10.
TABELA 5.10 - Resultados da simulação com C
1
= C
2
= 77
Tempo Vazamentos Demanda I
v
I
r
(h) Totais (l/s) Total (l/s)
0 82,999 272,782 0,304 0,262
1 82,999 272,782 0,304 0,262
2 86,251 213,811 0,403 0,222
3 86,251 213,811 0,403 0,222
4 86,251 213,811 0,403 0,222
5 86,251 213,811 0,403 0,222
6 78,941 330,948 0,239 0,266
7 78,941 330,948 0,239 0,266
8 67,326 450,004 0,150 0,168
9 67,326 450,004 0,150 0,168
10 70,531 422,097 0,167 0,204
11 70,531 422,097 0,167 0,204
12 76,336 362,567 0,211 0,253
13 76,336 362,567 0,211 0,253
14 76,336 362,567 0,211 0,253
15 76,336 362,567 0,211 0,253
16 73,441 393,895 0,186 0,232
17 73,441 393,894 0,186 0,232
18 76,336 362,567 0,211 0,253
19 76,336 362,567 0,211 0,253
20 78,716 333,834 0,236 0,265
21 78,716 333,834 0,236 0,265
22 82,999 272,782 0,304 0,262
23 82,999 272,782 0,304 0,262
Média 78,039 332,639 0,239
Índice de vazamentos médio 0,235
O novo índice médio de vazamentos é 0,235, portanto foi atingida uma redução de
1,5%, que corresponde aproximadamente a uma quarta parte do 6,28% que é possível
diminuir na Rede 1. Claramente, existem muitas alternativas para encarar o problema
enquanto a decisões e somente se discute aqui uma dessa s alternativas com fins ilustrati-
vos. O asp ecto interessante da abordagem de otimização é que permite visualizar essas
127
alternativas através da explicitação das complexas relações existentes entre os parâmetros
e variáveis física s do sistema de abastecimento de água.
5.1.4 Configuração das válvulas
Nas etapas anteriores, as válvulas foram tratadas em forma fictícia, isto é, como incremen-
tos na rugosidade de determinadas tubulações. Na etapa seguinte, é preciso especificar
suas características com o propósito de obter o efeito equivalente de mudar as rugosidades.
Diferentes tipos de válvulas redutoras de pressão foram descritos an seção 3.3.1. Dentre
esses tipos, aquele mais a dequado deve ser selecionado, de acordo com as características
hidráulicas que são discutidas a seguir.
FIGURA 5.11 - Linha de Energia (LE) de uma tubulação com VRP
A Figura 5.11 ilustra as relações de energia que existem em uma tubulação com VRP.
Na situação em que a válvula não está presente, a diferença da energia entre os extremos
a montante e a jusante, H
i
− H
j0
, é simplesmente igual à perda de carga distribuída ao
longo da tubulação. Em presença da VRP, a linha de energia experimenta uma queda,
igual à perda de carga localizada da válvula. A perda de carga total na tubulação, h
ij
,
pode ser determinada utilizando a eq. (5.1).
H
i
− H
j
= h
ij
= h
p
+ h
v
(5.1)
onde h
p
e h
v
são as perdas de carga hidráulica distribuída na tubulação e localizada na
válvula, respectivamente. As relações entre essas duas variáveis e as variáveis de estado
foram estabelecidas na eq. (4.3) e na Tabela 4.1. A partir dessas relações, a válvula pode
ser descrita por um coeficiente de perda de carga localiza da m,
128
m =
h
v
Q
2
ij
(5.2)
O EPANET utiliza a seguinte equação para o cálculo de perdas de carga localizadas:
h
v
= k
v
2
2g
(5.3)
onde k é o coeficiente de perda do EPANET, v é a velocidade de escoamento e g é
a aceleração da gravidade. Realizando adequadas substituições e operações algébricas,
obtém-se a seguinte relação entre os coeficientes k e m:
k =
π
2
D
4
g
8
m =
π
2
D
4
g
8
h
v
Q
2
ij
(5.4)
A eq. (5.4) mostra que com os resultados de pressão nos nós i e j, de vazão Q
ij
e
com os dados geométricos de uma determinada tubulação, é possível calcular um valor
de k para cada período da simulação. A obtenção desses valores fornece a informação
necessária para estabelecer as configurações da válvula.
Em primeiro lugar, a tubulação 1 é analisada utilizando os valores de vazão e de
pressões nos nós extremos, ambos obtidos como resultado da simulação com as VRPs
fictícias (C
1
= C
2
= 77). Os termos de perda de carga e o coeficiente m são calculados
como mostrado na Tabela 5.11. O valor médio do coeficiente de perda de carga é 73,39,
que equivale a
¯
k = 55, 51 quando a eq. (5.4) é empregada.
O mesmo procedimento é realizado para a tubulação 2, obtendo-se os resultados
da Tabela 5.12. O valor médio do coeficiente m é, desta vez, 478,4, daí
¯
k = 86, 89
(eq. 5.4). Assim, a rede pode ser novamente simulada com os coeficientes de rugosidade
originais e inserindo perdas de carga localizadas nas tubulações 1 e 2, com os coeficientes k
calculados. A Tabela 5.13 apresenta os resultados finais levando em consideração as VRPs
nas tubulações 1 e 2. Os valores dessa Tabela são muito próximos aos valores da Tabela
5.10, portanto o efeito das VRPs introduzidas no modelo da rede resulta equivalente ao
efeito das rugosidades de tubulações modificadas. As VRPs a serem instaladas devem,
portanto, ser configuradas de maneira que seus coeficientes k de perda de carga localizada
tenham valores 5 5,5 e 86,9 para as tubulações 1 e 2, respectivamente.
129
TABELA 5.11 - Cálculo do coeficiente de perda de carga localizada m da tubulação 1
Hora H
i
(m) H
j
(m) Q
ij
(l/s) h
ij
(m) h
p
(m) h
v
(m) m (s
2
/m
5
)
0 250,00 240,97 272,78 9,03 3,43 5,60 75,24
1 250,00 240,97 272,78 9,03 3,43 5,60 75,24
2 250,00 244,25 213,81 5,75 2,19 3,57 78,00
3 250,00 244,25 213,81 5,75 2,19 3,57 78,00
4 250,00 244,25 213,81 5,75 2,19 3,57 78,00
5 250,00 244,25 213,81 5,75 2,19 3,57 78,00
6 250,00 237,08 330,95 12,92 4,91 8,01 73,12
7 250,00 237,08 330,95 12,92 4,91 8,01 73,12
8 250,00 227,18 450,00 22,82 8,67 14,15 69,87
9 250,00 227,18 450,00 22,82 8,67 14,15 69,87
10 250,00 229,73 422,10 20,27 7,70 12,57 70,53
11 250,00 229,73 422,10 20,27 7,70 12,57 70,53
12 250,00 234,70 362,57 15,30 5,81 9,48 72,14
13 250,00 234,70 362,57 15,30 5,81 9,48 72,14
14 250,00 234,70 362,57 15,30 5,81 9,48 72,14
15 250,00 234,70 362,57 15,30 5,81 9,48 72,14
16 250,00 232,17 393,89 17,83 6,78 11,06 71,26
17 250,00 232,17 393,89 17,83 6,78 11,06 71,26
18 250,00 234,70 362,57 15,30 5,81 9,48 72,14
19 250,00 234,70 362,57 15,30 5,81 9,48 72,14
20 250,00 236,87 333,83 13,13 4,99 8,14 73,02
21 250,00 236,87 333,83 13,13 4,99 8,14 73,02
22 250,00 240,97 272,78 9,03 3,43 5,60 75,24
23 250,00 240,97 272,78 9,03 3,43 5,60 75,24
Média 73,39
130
TABELA 5.12 - Cálculo do coeficiente de perda de carga localizada m da tubulação 2
Hora H
i
(m) H
j
(m) Q
ij
(l/s) h
ij
(m) h
p
(m) h
v
(m) m (s
2
/m
5
)
0 240,97 231,74 108,00 9,23 3,50 5,72 490,48
1 240,97 231,74 108,00 9,23 3,50 5,72 490,48
2 244,25 238,40 84,46 5,85 2,22 3,63 508,65
3 244,25 238,40 84,46 5,85 2,22 3,63 508,65
4 244,25 238,40 84,46 5,85 2,22 3,63 508,65
5 244,25 238,40 84,46 5,85 2,22 3,63 508,65
6 237,08 223,86 131,16 13,22 5,02 8,20 476,58
7 237,08 223,86 131,16 13,22 5,02 8,20 476,58
8 227,18 203,83 178,32 23,35 8,87 14,48 455,39
9 227,18 203,83 178,32 23,35 8,87 14,48 455,39
10 229,73 208,98 167,31 20,75 7,88 12,87 459,71
11 229,73 208,98 167,31 20,75 7,88 12,87 459,71
12 234,70 219,04 143,72 15,66 5,95 9,71 470,17
13 234,70 219,04 143,72 15,66 5,95 9,71 470,17
14 234,70 219,04 143,72 15,66 5,95 9,71 470,17
15 234,70 219,04 143,72 15,66 5,95 9,71 470,17
16 232,17 213,91 156,15 18,26 6,94 11,32 464,43
17 232,17 213,91 156,15 18,26 6,94 11,32 464,43
18 234,70 219,04 143,72 15,66 5,95 9,71 470,17
19 234,70 219,04 143,72 15,66 5,95 9,71 470,17
20 236,87 223,44 132,31 13,44 5,10 8,33 475,96
21 236,87 223,44 132,31 13,44 5,10 8,33 475,96
22 240,97 231,74 108,00 9,23 3,50 5,72 490,48
23 240,97 231,74 108,00 9,23 3,50 5,72 490,48
Média 478,40
131
TABELA 5.13 - Resultados da simulação com VRPs
Hora Vazamentos Demanda I
v
I
r
Totais (l/s) Total (l/s)
0 83,106 272,889 0,305 0,263
1 83,106 272,889 0,305 0,263
2 86,404 213,963 0,404 0,223
3 86,404 213,963 0,404 0,223
4 86,404 213,963 0,404 0,223
5 86,404 213,963 0,404 0,223
6 78,931 330,939 0,239 0,266
7 78,931 330,939 0,239 0,266
8 66,745 449,422 0,149 0,161
9 66,745 449,422 0,149 0,161
10 70,137 421,703 0,166 0,199
11 70,137 421,703 0,166 0,199
12 76,226 362,456 0,210 0,252
13 76,226 362,456 0,210 0,252
14 76,226 362,456 0,210 0,252
15 76,226 362,456 0,210 0,252
16 73,198 393,652 0,186 0,229
17 73,198 393,652 0,186 0,229
18 76,226 362,456 0,210 0,252
19 76,226 362,456 0,210 0,252
20 78,698 333,816 0,236 0,265
21 78,698 333,816 0,236 0,265
22 83,106 272,889 0,305 0,263
23 83,106 272,889 0,305 0,263
Média 77,950 332,550 0,2 37
Média dos Vazamentos 0,234
132
5.2 Análise da Red e 2
As características físicas e a topologia da Rede 2 foram definidas pelas Tabelas 4.3 e 4.4
e pelas Figuras 4.4 e 4.5. O padrão de demanda fixo atribuído a todos os nós da rede
compreende os fatores de consumo (F
c
) detalhados na Tabela 5.14. Com esta informação,
analisou-se a Rede 2 na maneira explicada nas seções s eguintes. Seguiram-se as mesmas
etapas descritas para a Rede 1: avaliação hidráulica da rede sem e com vazamentos,
otimização multiobjetivo, decisão e configuração das válvulas.
TABELA 5.14 - Coeficientes do padrão de demanda aplicados à Rede 2
Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
F
c
1,14 0,70 0,70 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,81 1,14 1,23
Hora 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
F
c
1,35 1,47 1,23 1,14 1,23 1,14 1,23 1,03 1,03 0,81 1,47 1,35
5.2.1 Execução do módulo de avaliação hidráulica
Implementou-se o algoritmo da Figura 4.1 para analisa r a Rede 2 sem vazamentos. Quanto
à análise da rede com vazamentos, especificaram-se valores dos parâmetros C
e
e α iguais a
0,0035 e 0,5, respectivamente, em todos os nós, para obter um índice de vazamentos médio
igual a 0,2048. Os resultados obtidos mediante o algoritmo de avaliação hidráulica para
ambos os casos, sem e com vazamentos, são apresentados na Tabela 5.15. Evidencia-se,
nesta Tabela, que o índice de resiliência da rede, em presença de vazamentos, é muito
menor daquele resultante da simulação sem vazamentos. Se esta mudança na resiliência
for comparada com a mudança observada para a Rede 1 (Tabela 5.2), verificar-se-á que,
como é lógico, a introdução de vazamentos tem um maior impacto na diminuição da
confiabilidade em uma rede ramificada que e m uma rede malhada.
5.2.2 Etapa de otimização multiobjetivo
Para realizar a otimização da Rede 2, foram especificadas duas funções objetivo, 70 va-
riáveis de decisão (coeficientes de rugosidade das tubulações da rede), limites entre 0 e
150 para as variáveis de decisão e instruções para minimizar a função de vazamentos e
maximizar a função de confiabilidade. Posteriormente, definiu-se o arquivo de entrada de
133
TABELA 5.15 - Valores calculados pelo módulo de avaliação hidráulica para a Rede 2 em
período estendido de 24 h
Tempo F
c
Índice de Resiliência I
r
Cálculo Índice de Vazamentos
(h) Sem Vazam. Com Vazam. Q
L
(l/s) Q
d
+ Q
L
(l/s) I
v
=
Q
L
Q
d
+Q
L
0 1,14 0,815 0,123 1,244 6,796 0,183
1 0,7 0,929 0,088 1,306 4,715 0,277
2 0,7 0,929 0,088 1,306 4,715 0,277
3 0,58 0,950 0,076 1,318 4,143 0,318
4 0,58 0,950 0,076 1,318 4,143 0,318
5 0,58 0,950 0,076 1,318 4,143 0,318
6 0,58 0,950 0,076 1,318 4,143 0,318
7 0,58 0,950 0,076 1,318 4,143 0,318
8 0,58 0,950 0,076 1,318 4,143 0,318
9 0,81 0,905 0,099 1,293 5,237 0,247
10 1,14 0,815 0,123 1,244 6,796 0,183
11 1,23 0,785 0,128 1,228 7,218 0,170
12 1,35 0,741 0,134 1,205 7,779 0,155
13 1,47 0,694 0,137 1,179 8,338 0,141
14 1,23 0,785 0,128 1,228 7,218 0,170
15 1,14 0,815 0,123 1,244 6,796 0,183
16 1,23 0,785 0,128 1,228 7,218 0,170
17 1,14 0,815 0,123 1,244 6,796 0,183
18 1,23 0,785 0,128 1,228 7,218 0,170
19 1,03 0,848 0,116 1,262 6,278 0,201
20 1,03 0,848 0,116 1,262 6,278 0,201
21 1,23 0,785 0,128 1,228 7,218 0,170
22 1,47 0,694 0,137 1,179 8,338 0,141
23 1,35 0,741 0,134 1,205 7,779 0,155
Média 0,842 0,110 1,259 6,149
Índice de vazamentos médio 0,2048
dados hidráulicos e executou-se o algoritmo de otimização, produzindo-se os resultados
que são sumarizados em um único gráfico, na Figura 5.12.
No caso da Rede 2, existem também 8 fatores de consumo dentro do padrão de
demanda, a cada um dos quais corresponde uma frente de soluções não dominadas ou
soluções Pareto. A Figura 5 .12 apresenta todas essas frentes, com a simbologia respectiva
para permitir diferenciá-las.
134
FIGURA 5.12 - Soluções Pareto para a Rede 2
Como visto anteriormente, as soluções não dominadas estão relacionadas com ve-
tores decisão que contêm valores dos coeficientes de rugosidade calculados no processo
de otimização. No caso da Rede 2, cada um dos vetores de decisão possui 70 elementos
devido a que a rede tem o mesmo número de tubulações.
Observa-se que, em modo semelhante ao observado na análise da Rede 1, nas frentes
Pareto da Figura 5.12 existe uma relação aproximadamente linear entre os índices de
resiliência e de vazamentos, onde I
r
é diretamente proporcional a I
v
.
Outras analogias entre os sistemas estudados tornam-se apreciáveis através da com-
paração dos resultados da otimização. Uma delas é que os índices de resiliência e de
vazamentos são máximos quando não se aplicam alterações sobre os coeficientes de ru-
gosidades das tubulações. Assim, como evidenciado no caso da Rede 1, para a Rede 2
é também válida a afirmação que qualquer alteração introduzida no sistema através de
VRPs impactará negativamente a resiliência do sistema. Portanto, deve se decidir quanto
é possível sacrificar em termos de resiliência quando se procura diminuir o nível de va-
zamentos através da instalação de VRPs. Uma outra analogia entre as redes analisadas
135
é que as frentes de soluções não dominadas, obtidas para a Rede 2, se deslocam tam-
bém de direita para esquerda, tornando-se mais inclinadas, na medida que o fator de
consumo, i.e., a demanda, aumenta. Notam-se, portanto, as mesmas relações inversa e
direta, respectivamente, entre demanda-vazamentos e demanda-resiliência.
Quanto às diferenças entre as frentes Pareto geradas para as Redes 1 e 2, observa-se
que as pendentes das curvas da segunda (Figura 5.12) apresentam-se inferiores àquelas
da primeira (Figura 5.5). Assim, por exemplo, a frente Pareto com F
c
= 0, 81 da Figura
5.12 tem uma inclinação menor que aquela da frente Pareto da Figura 5.5, também com
F
c
= 0, 81. Embora não conclusiva, esta observação coincide com a noção de que a redução
das perdas têm maior impacto positivo sobre a confiabilidade em um sistema malhado
que em um sistema ramificado.
Finalmente, se a condição operacional (ajuste de VRPs) da Rede 2 é mantida,
existe uma relação aproximadamente linear e inversa entre o índice de resiliência e o de
vazamentos quando o fator de consumo muda. Este comportamento é diferente daquele
observado no caso da Rede 1, que apresentou uma relação aproximadamente de segunda
ordem, com um valor máximo de resiliência quando F
c
= 1, 00. Assim, no caso da Rede
2, a relação entres estas três variáveis (demanda, vazamentos e resiliência) é mais simples:
quanto maior a demanda maior a resiliência e menores os vazamentos do sistema.
5.2.3 Etapa de decisão
O algoritmo de decisão da Figura 5.6 é válido para a Rede 2, devido a o fato que as
premissas utilizadas na sua construção podem ser aplicadas a esta rede. Portanto, inicia-se
o processo de decisão com a escolha do nível de vazamentos que se pretende alcançar. Para
tanto, observa-se, primeiramente, que as curvas da Figura 5.12 não contem soluções com
I
r
= 0, de maneira que não se dispõe de resultados, em forma de vetores de decisão, quando
a resiliência do sistema é nula. Isto leva a procurar uma outra abo rdagem, diferente da
utilizada na seção 5.1.3, que começa por produzir uma nova frente Pareto para o fator de
consumo médio.
A média ponderada do fator de consumo é
¯
F
c
= 1, 00 e para tal valor, a otimização
multiobjetivo gera as soluções não dominadas da Figura 5.13. Observa-se, nessa Figura,
que as soluções extremas são: (I
v
= 0, 1476; I
r
= 0, 0584) e (I
v
= 0, 2061; I
r
= 0, 1139).
Estas soluções são utilizadas para definir a fração de vazamentos máxima que pode ser
136
diminuída no sistema como sendo I
v,pos
= 0, 2061 −0, 1476 = 0,0585 = 5,85%. Com bas e
nesta fração, decidiu-se escolher um nível de redução de vazamentos igual a 2%.
FIGURA 5.13 - Soluções Pareto para a Rede 2 com F
c
= 1, 00
Para o nível estabelecido de redução das perdas estabelecido, o vetor solução deve
ser encontrado na frente Pareto da Figura 5.13. Assim, para o índice de vazamentos que
se procura alcançar com a instalação de VRPs, igual a I
v
= 0, 2061 − 0, 02 = 0, 1861,
encontra-se a correspondente solução ótima, como sendo (I
v
= 0, 1865; I
r
= 0, 0916). A
Figura 5.14 apresenta a maneira em que esses valores foram encontrados e a Tabela 5.16
exibe o vetor solução que corresponde à solução ótima escolhida.
FIGURA 5.14 - Soluções escolhidas na frente Pareto com F
c
= 1, 00
137
TABELA 5.16 - Vetor de decisão que corresponde à solução Pareto escolhida
Tub. N
o
Coef. C Tub. N
o
Coef. C Tub. N
o
Coef. C
16 82,34 61 133,90 132 1,86
17 80,16 62 80,90 133 60,35
27 53,89 63 73,28 156 100,60
28 106,48 64 136,42 157 140,68
29 7,68 65 126,75 158 88,57
30 78,54 66 150,00 163 19,69
31 99,25 67 60,00 164 110,10
32 60,00 68 109,64 165 82,35
33 76,86 69 101,48 166 76,54
34 36,20 70 56,01 167 126,03
35 61,63 71 11,21 168 9,05
36 95,53 72 73,06 169 150,00
40 92,28 73 60,00 170 93,05
48 65,71 74 54,15 171 140,71
49 137,18 75 60,00 172 25,78
50 121,38 76 7,76 173 123,39
51 60,00 77 134,73 174 125,82
52 71,30 78 9,18 175 143,06
53 109,47 102 92,36 176 127,11
54 58,66 103 15,50 177 130,22
55 60,00 104 129,89 4 68,59
56 72,94 105 148,59 1 31,80
57 35,87 124 150,00
58 111,62 131 100,76
Na Tabela 5.16, os coeficientes C de Hazen-Williams que equivalem a 40% dos ori-
ginais, como máximo (Tabela 4.4), foram ressaltados indicando que uma VRP pode ser
necessária na respectiva tubulação. Observa-se que o número total de valores de C ressal-
tados é 14 e, portanto, 14 válvulas poderiam ser necessárias. Tal número, naturalmente, é
oneroso para um setor do sistema de distribuição que abastece um número relativamente
pequeno de unidades domésticas e, portanto, estudaram-se outras a lternativas.
Na procura de alternativas, utilizou-se o conjunto de 14 localizações preliminares,
mostrado na Figura 5.15, e sub-conjuntos dele foram selecionados, considerando 5, 3, 2 e
1 VRPs em localizações consideradas estratégicas. Em todos os casos mantiveram-se os
138
valores do coeficiente de rugosidade da Tabela 5.16 e calcularam-se os índices de resiliência
e de vazamentos com F
c
= 1, 00. Dessa forma, obtiveram-se os resultados da Tabela 5.17.
64
63
62
61
40
66
70
71
72
73
75
102
103
104
105
65
28
67
27
30
68
69
31
74
29
32
77
48
49
50
76
78
52
53
54
55
56
34
33
35
36
51
1
57
58
133
158
157
156
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
16
17
4
124
163
164
165
166
167
131
132
FIGURA 5.15 - Localizações preliminares das VRPs na Rede 2
TABELA 5.17 - Diferentes alternativas analisadas no processo de decisão
N
o
Tub. Coeficiente de rugosidade C
14 VRPs 5 VRPs 3 VRPs 2 VRPs 1 VRP
27 53,8 9 140,00 140,00 140,00 140,00
29 7,68 140,00 140,00 140,00 140,00
34 36,2 0 140,00 140,00 140,00 140,00
57 35,8 7 140,00 140,00 140,00 140,00
71 11,2 1 140,00 140,00 140,00 140,00
74 54,1 5 140,00 140,00 140,00 140,00
76 7,76 140,00 140,00 140,00 140,00
78 9,18 140,00 140,00 140,00 140,00
103 15 ,50 140,00 140,00 140,00 140,00
132 1,86 1,86 140,00 140,00 140,00
163 19 ,6 9 1 9,6 9 19,69 19,69 19,69
168 9,05 9,05 140,00 140,00 140,00
172 25 ,7 8 2 5,7 8 25,78 25,78 140,00
1 31,8 0 3 1,8 0 31,80 150,00 150,00
I
v
0,1870 0,1874 0,1888 0,1895 0,1908
I
r
0,0922 0,0927 0,0949 0,0956 0,0969
Os resultados da Tabela 5.17 mostram que em função do aumento do número de
VRPs, os índices de resiliência e de vazamentos aumentam levemente. O incremento de I
v
faz com que a diminuição de vazamentos atingida seja menor quanto menor o número de
VRPs utilizadas. Dessa forma, pa ra o caso com 14 VRPs, a diminuição de vazamentos é
1, 91% (0, 2061−0, 1870 = 0, 0191), enquanto, para a alternativa com 1 VRP, a diminuição
139
de vazamentos é 1, 53%. Isso indica que o objetivo de diminuir os vazamentos da rede em
2% é praticamente atingido com 14 VRPs com os coeficientes C equivalentes detalhados
na Tabela 5.17. As outras alternativas, precisam de uma revisão dos ajustes equivalentes
das válvulas para atingirem o nível de vazamentos desejado.
Com ba se nos anteriores raciocínios a respeito do número, localização e ajuste equi-
valente das VRPs a serem instaladas na Rede 2, decidiu-se utilizar uma VRP na tubulação
163 mantendo, inicialmente, o ajuste preliminar da Tabela 5.17. A Figura 5.16 mostra
a localização escolhida e a Tabela 5.18 apresenta os resultados da simulação em período
estendido de 24 h.
64
63
62
61
40
66
70
71
72
73
75
102
103
104
105
65
28
67
27
30
68
69
31
74
29
32
77
48
49
50
76
78
52
53
54
55
56
34
33
35
36
51
1
57
58
133
158
157
156
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
16
17
4
124
163
164
165
166
167
131
132
FIGURA 5.16 - Localizações escolhida para uma VRP na Rede 2
O passo final no processo de decisão, é encontrar a modulação fictícia da VRP para
atingir o objetivo de redução dos vazamentos ao nível de resiliência considerado aceitável.
Para tanto, observa-se que o índice de vazamentos médio da Ta bela 5.18 é 0,1876 e, em
conseqüência, a redução de vazamentos é 0, 2061 − 0, 1876 = 0, 0185 = 1, 85%. Esse
resultado precisa ser melhorado através da modulação da rugosidade da tubulação 163.
Assim, após algumas tentativas, encontra-se que um coeficiente C
163
= 18, 3 permite
atingir o objetivo de diminuição de vazamentos. Os resultados da simulação em período
estendido, para essa nova modulação , são apresentados na Tabela 5 .19 , onde o índice
de vazamentos médio é 0, 1848 e, portanto, a diminuição de vazamentos resulta ∆I
v
=
0, 2048 − 0, 1848 = 0, 02 = 2%.
5.2.4 Configuração da válvula
Aplica-se a mesma metodologia descrita na seção 5.1.4 para determinar o coeficiente de
perda de carga da VRP que deverá ser instalada na tubulação 163. Assim, utilizando
140
TABELA 5.18 - Resultados da simulação with C
163
= 19, 63
Tempo F
c
Vazamentos Demanda I
v
I
r
(h) Totais (l/s) Total (l/s)
0 1,14 1,097 6,649 0,165 0,100
1 0,7 1,235 4,644 0,266 0,081
2 0,7 1,235 4,644 0,266 0,081
3 0,58 1,263 4,088 0,309 0,071
4 0,58 1,263 4,088 0,309 0,071
5 0,58 1,263 4,088 0,309 0,071
6 0,58 1,263 4,088 0,309 0,071
7 0,58 1,263 4,088 0,309 0,071
8 0,58 1,263 4,088 0,309 0,071
9 0,81 1,206 5,151 0,234 0,088
10 1,14 1,097 6,649 0,165 0,100
11 1,23 1,060 7,050 0,150 0,100
12 1,35 1,004 7,579 0,133 0,097
13 1,47 0,939 8,098 0,116 0,092
14 1,23 1,060 7,050 0,150 0,100
15 1,14 1,097 6,649 0,165 0,100
16 1,23 1,060 7,050 0,150 0,100
17 1,14 1,097 6,649 0,165 0,100
18 1,23 1,060 7,050 0,150 0,100
19 1,03 1,138 6,154 0,185 0,098
20 1,03 1,138 6,154 0,185 0,098
21 1,23 1,060 7,050 0,150 0,100
22 1,47 0,939 8,098 0,116 0,092
23 1,35 1,004 7,579 0,133 0,097
Media 1,129 6,020 0,089
Índice de vazamentos médio 0,1876
resultados da simulação em período estendido para a Rede 2, determina-se o coeficiente
médio de perda de carga
¯
k como mostrado na Tabela 5.20.
O valor médio do coeficiente de perda de carga localizada da Tabela 5 .20 ( ¯m =
483433, 87 s
2
/m
5
) deve ser substituído na eq.(5.4), junto ao diâmetro D e a aceleração da
gravidade g, para determinar o coeficiente
¯
k de perda de carga do EPANET. Desta forma,
calcula-se um valor
¯
k = 585, 08 que deve ser verificado através da simulação hidráulica.
141
TABELA 5.19 - Resultados da simulação with C
163
= 18, 30
Tempo F
c
Vazamentos Demanda I
v
I
r
(h) Totais (l/s) Total (l/s)
0 1,14 1,074 6,626 0,162 0,096
1 0,7 1,225 4,634 0,264 0,080
2 0,7 1,225 4,634 0,264 0,080
3 0,58 1,255 4,080 0,308 0,070
4 0,58 1,255 4,080 0,308 0,070
5 0,58 1,255 4,080 0,308 0,070
6 0,58 1,255 4,080 0,308 0,070
7 0,58 1,255 4,080 0,308 0,070
8 0,58 1,255 4,080 0,308 0,070
9 0,81 1,193 5,138 0,232 0,087
10 1,14 1,074 6,626 0,162 0,096
11 1,23 1,034 7,024 0,147 0,095
12 1,35 0,972 7,547 0,129 0,092
13 1,47 0,898 8,057 0,111 0,086
14 1,23 1,034 7,024 0,147 0,095
15 1,14 1,074 6,626 0,162 0,096
16 1,23 1,034 7,024 0,147 0,095
17 1,14 1,074 6,626 0,162 0,096
18 1,23 1,034 7,024 0,147 0,095
19 1,03 1,119 6,135 0,182 0,095
20 1,03 1,119 6,135 0,182 0,095
21 1,23 1,034 7,024 0,147 0,095
22 1,47 0,898 8,057 0,111 0,086
23 1,35 0,972 7,547 0,129 0,092
Media 1,109 5,999 0,086
Índice de vazamentos médio 0,1848
A tubulação 163 da Rede 2 foi substituída por dois meios trechos, com as mesmas
características mecânicas da tubulação original, conectados por uma VRP com coeficiente
de perda de carga fixo k = 585, 08. Posteriormente, a Rede foi simulada para calcular
vazamentos e resiliência, obtendo-se os resultados da Tabela 5.21. O índice de vazamentos
médio
¯
I
v
= 0, 1845, nesta Tabela, permite atingir uma redução no níve l de vazamentos
igual a 2, 03% de maneira que o objetivo diminuição de perdas foi atingido a um nível
muito aceitável.
142
TABELA 5.20 - Cálculo do coeficiente de perda de carga localizada m da tubulação 163
Hora H
i
(m) H
j
(m) Q
ij
(l/s) h
ij
(m) h
p
(m) h
v
(m) m (s
2
/m
5
)
0 608,08 618,05 4,53 9,96 0,23 9,73 474342,09
1 612,82 618,09 3,21 5,27 0,12 5,15 499154,31
2 612,82 618,09 3,21 5,27 0,12 5,15 499154,31
3 613,90 618,10 2,84 4,20 0,10 4,10 508228,84
4 613,90 618,10 2,84 4,20 0,10 4,10 508228,84
5 613,90 618,10 2,84 4,20 0,10 4,10 508228,84
6 613,90 618,10 2,84 4,20 0,10 4,10 508228,84
7 613,90 618,10 2,84 4,20 0,10 4,10 508228,84
8 613,90 618,10 2,84 4,20 0,10 4,10 508228,84
9 611,75 618,08 3,55 6,33 0,15 6,19 491831,71
10 608,08 618,05 4,53 9,96 0,23 9,73 474342,09
11 606,99 618,04 4,79 11,05 0,26 10,79 470433,87
12 605,48 618,03 5,13 12,54 0,29 12,25 465715,69
13 603,95 618,01 5,46 14,06 0,32 13,74 461421,29
14 606,99 618,04 4,79 11,05 0,26 10,79 470433,87
15 608,08 618,05 4,53 9,96 0,23 9,73 474342,09
16 606,99 618,04 4,79 11,05 0,26 10,79 470433,87
17 608,08 618,05 4,53 9,96 0,23 9,73 474342,09
18 606,99 618,04 4,79 11,05 0,26 10,79 470433,87
19 609,37 618,06 4,21 8,69 0,20 8,49 479543,88
20 609,37 618,06 4,21 8,69 0,20 8,49 479543,88
21 606,99 618,04 4,79 11,05 0,26 10,79 470433,87
22 603,95 618,01 5,46 14,06 0,32 13,74 461421,29
23 605,48 618,03 5,13 12,54 0,29 12,25 465715,69
Média 483433,87
Finaliza-se a análise da Rede 2, reiterando que a meta de diminuição de vazamentos
estabelecida foi atingida com uma VRP instalada na tubulação 163 (Figura 5.1 6) e com
coeficiente de perda de carga localizada m = 438433, 87 s
2
/m
5
, equivalente a k = 585, 08
no EPANET.
143
TABELA 5.21 - Resultados da simulação para a Rede 2 com VRP
Tempo F
c
Vazamentos Demanda I
v
I
r
(h) Totais (l/s) Total (l/s)
0 1,14 1,071 6,623 0,162 0,096
1 0,7 1,227 4,636 0,265 0,080
2 0,7 1,227 4,636 0,265 0,080
3 0,58 1,258 4,083 0,308 0,070
4 0,58 1,258 4,083 0,308 0,070
5 0,58 1,258 4,083 0,308 0,070
6 0,58 1,258 4,083 0,308 0,070
7 0,58 1,258 4,083 0,308 0,070
8 0,58 1,258 4,083 0,308 0,070
9 0,81 1,195 5,140 0,233 0,087
10 1,14 1,071 6,623 0,162 0,096
11 1,23 1,028 7,018 0,146 0,094
12 1,35 0,963 7,537 0,128 0,090
13 1,47 0,882 8,042 0,110 0,085
14 1,23 1,028 7,018 0,146 0,094
15 1,14 1,071 6,623 0,162 0,096
16 1,23 1,028 7,018 0,146 0,094
17 1,14 1,071 6,623 0,162 0,096
18 1,23 1,028 7,018 0,146 0,094
19 1,03 1,118 6,134 0,182 0,095
20 1,03 1,118 6,134 0,182 0,095
21 1,23 1,028 7,018 0,146 0,094
22 1,47 0,882 8,042 0,110 0,085
23 1,35 0,963 7,537 0,128 0,090
Media 1,106 5,996 0,086
Índice de vazamentos médio 0,1845
6 CONCLUSÕES
No presente trabalho, foi realizado um estudo sobre a localização de válvulas redutoras
de pressão em sistemas de distribuição de água, considerando objetivos múltiplos. O
algoritmo produzido integra as tecnologias dos algoritmos evolucionários multiobjetivo,
bem como a s de análise hidráulica de redes e as utiliza como ferramentas de busca e
decisão. No desenvolvimento da pesquisa, encontraram-se diversos resultados e obtiveram-
se conclusões que são apresentadas no presente capítulo, após um resumo do trabalho
desenvolvido.
Localizar VRPs em uma rede hidráulica foi considerado um problema de o timi-
zação multiobjetivo, onde a procura de soluções ótimas esta orientada à minimização
de vazamentos e à maximização da confiabilidade hidráulica e da eficiência energética.
Definiram-se duas funções objetivo: a primeira é um índice de vazamentos e a segunda
é um índice de resiliência. O índice de vazamentos relaciona o volume total de perdas
na rede com o volume total de água fornecido à rede. No entanto, o índice de resiliência
relaciona a energia dissipada no sistema de distribuição com a energia a e le fo rnecida,
representando simultaneamente um indicador de confiabilidade hidráulica e de eficiên-
cia energética. As va riáveis de decisão adotadas foram os coeficientes de rugosidade de
Hazen-Williams das tubulações, que podem ser alterados para obter efeitos sobre a perda
de carga hidráulica, equivalentes aos produzidos pelas VRPs.
O algoritmo ou módulo de avaliação hidráulica proposto permite utilizar o modelo
de análise de redes incorporado no simulador hidráulico EPANET eliminando, assim,
a necessidade de intervenção direta sobre o código fonte desse simulador. O algoritmo
utiliza funções do toolkit de programação do EPANET para fornecer dados de entrada,
modificar valores de parâmetros hidráulicos e calcular valores de variáveis de estado.
Finalmente, o algoritmo de avaliação determina valores para os índices de vazamentos e
de resiliência. Os vazamentos foram avaliados em forma explícita utilizando o modelo
145
de emissores (ROSSMAN, 2000), enquanto, a resiliência foi determinada com base na
formulação de Todini (2000).
Como ferramenta de otimização multiobjetivo, empregou-se uma biblioteca de estru-
turas de dados em linguage m de programação C++, denominada MOMHLib++ (JASZ-
KIEWICZ, 2001). A biblioteca fornece vários métodos de busca baseados em algoritmos
evolucionários multiobjetivo e permite adaptá-los a problemas de otimização. Dentre esses
métodos, foi escolhido o algoritmo SPEA, o qual, conforme comparações de desempenho
realizadas por Zitzler (1999), tem-se mostrado superior às outras técnicas nas implemen-
tações, em termos de tempo computacional e de acurácia nas soluções obtidas, tanto em
problemas teste quanto em aplicações reais.
A implementação dos problemas estudados precisou, assim, da definição de parâ-
metros dentro do módulo correspondente da biblioteca MOMHLib++. Além disso, foi
necessário integrar a estrutura da biblioteca com o algoritmo de avaliação hidráulica ou de
funções objetivo. Desta forma, conseguiu-se articular a interação entre os programas de
otimização, de análise de redes hidráulicas e de avaliação de vazamentos e de resiliência.
Estudaram-se duas redes, denominadas Rede 1 e Rede 2, para testar e discutir a
metodologia proposta. A primeira rede foi extraída de (TODINI, 2000) e consiste em um
sistema malhado simples, com dois circuitos e um reservatório de nível fixo. A segunda
rede representa um setor do sistema de distribuição de Campo Grande, MS e compreende
um reservatório de nível fixo, 71 nós e 70 tubulações, configurados em forma ramificada.
Realizou-se a simulação da Rede 1 inicialmente sem vazamentos e posteriormente
com parâmetros que levassem a obter um nível médio de pe rdas igual a 25%. Observou-se,
primeiramente, que a introdução do s vazamentos teve grande impacto sobre a resiliência
do sistema, fazendo com que seu valor médio diminuísse de 0,853 para 0,314. Evidenciou-
se, portanto, que uma rede com o nível de vazamentos especificado opera em condições
muito desvantajosas em relação à mesma rede sem vazamentos, no que diz respeito à
confiabilidade hidráulica e à eficiência energética.
A otimização da Rede 1 produziu 8 curvas de soluções não dominadas ou soluções
Pareto, devido ao fato que e xistiam 8 fatores de consumo dentro do padrão de demanda
dessa rede. Todas as curvas mostraram que a resiliência do sistema é diretamente pro-
porcional aos vazamentos e que a máxima resiliência e o máximo nível de vazamentos são
atingidos no estado em que nenhuma alteração é introduzida nas rugos idade das tubula-
146
ções. Observou-se também que os índices de vazamentos e resiliência do sistema são mais
sensíveis à mudança das rugosidades em algumas tubulações que em o utras.
Em face da combinação das frentes Pareto em um único gráfico, notou-se que,
para uma determinada condição operacional (ajuste das VRPs) às maiores demandas
no sistema, correspondem menores índices de vazamentos e maior resiliência. Além disso,
evidenciou-se que a condição ótima de operação, em termos de resiliência, corresponde
ao fator de consumo igual a 1. Quando esse fator é inferior a 1, o índice de resiliência
diminui na medida em que os vazamentos aumentam e, quando é superior a 1, o índice
de resiliência diminui em funçã o da diminuição dos vazamentos.
As frentes Pareto foram utilizadas como ferramentas de decisão na procura das me-
lhores localizações para VRPs na Rede 1 . Inicialmente, definiu-se a janela de diminuição
de vazamentos como sendo aquela fração das perdas que possa ser subtraída, através do
ajuste das rugosidades das tubulações, levando à situação extrema em que a resiliência da
rede é nula. A janela de vazamentos foi utilizada como base do cálculo do índice de perdas
que se procura atingir através do controle de pressão. Para este índice, encontraram-se
as soluções Pareto e os correspondentes vetores de decisão o u de rugosidades da s tubula-
ções. Com tal informação, propôs-se uma maneira de combinar as localizações sugeridas
pelas soluçõ es ótimas das diferentes curva s de soluções Pareto e, assim, foi encontrada
a localização e o número de VRPs necessárias para diminuir os vazamentos a o nível de
resiliência escolhido.
A etapa final do processo de decisão consistiu em determinar o ajuste equivalente
das VRPs. Para tanto, simulou-se a rede em período estendido, com os coeficientes
de rugosidade calculados no processo de otimização. Constatou-se que esses coeficientes
precisavam de um ajuste, o qual foi realizado através de tentativas que levaram à obtenção
do índice de resiliência buscado. Ressaltou-se que existem muitas alternativas de decisão a
fim de solucionar o problema e que foi discutida somente uma dessas alternativas visando
a ilustrar a metodologia proposta.
A análise da Rede 1 permitiu determinar as configurações das VRPs, na forma de
coeficientes de perda de ca rga, os quais podem ser diretamente relacionados com especi-
ficações técnicas dos fabricantes para a seleção dos dispositivos adequados. Começou-se
pela determinação da perda de carga produzida, devida ao incremento das rugosidade nas
tubulações portadoras de uma VRP. A seguir, determinou-se o coeficiente que ocasiona
147
essa perda de carga. A análise foi realizada em período estendido de 24 h e, portanto, o
coeficiente de perda de carga foi expressado em valor médio. Finalmente, calculou-se o
valor adimensional equivalente do coeficiente de perda de carga para simular a rede com
VRPs e verificar se a meta de redução de vazamentos foi atingida.
A Rede 2 foi analisada através dos mesmos procedimentos utilizados no caso da Rede
1, isto é, avaliação hidráulica da rede sem e com vazamentos, otimizaçã o multiobjetivo,
decisão e configuração das válvulas. Inicialmente, a rede foi simulada sem vazamentos
e, p os teriormente, com parâmetros nos nós que produzissem um índice de perdas igual
a 20%, aproximadamente. A introdução dos vazamentos na rede diminuiu a resiliência
do sistema com maior magnitude que no caso da Rede 1, embora o nível de vazamentos
fosse menor. Corroborou-se, portanto, a noção de que uma rede malhada apresenta maior
confiabilidade que uma rede ramificada.
A maior complexidade da Rede 2, em termos de números de variáveis de decis ão,
fez com que o tempo de processamento computacional, durante a otimização, fosse maior
daquele da Rede 1. Os aspectos comuns encontrados nas curvas de soluções ótimas da
Rede 2, em comparação com a Rede 1, foram, em primeiro lugar, que o número de frentes
Pareto foi o mesmo, uma vez que o número de fatores de consumo utilizado é igual a 8; em
segundo lugar, as curvas apresentaram uma relação linear e de proporcionalidade direta
entre os índices de vazamento e os de resiliência. Um terceiro aspecto em comum é que
os índices de resiliência e de vazamentos são máximos quando não se aplicam alterações
sobre os coeficientes de rugosidades das tubulações; assim, para a Rede 2 é também válida
a afirmação que qualquer alteração introduzida no sistema através de VRPs impactará
negativamente sobre a resiliência do sistema.
Quanto às diferenças encontradas entre as frentes Pareto dos sistemas estudados,
notou-se que as pendentes das curvas da segunda apresentam-se inferiores àquelas da
primeira. Essa observação coincide com a noção de que a redução das perdas têm maior
impacto p ositivo sobre a confiabilidade em um sistema malhado do que em um sistema
ramificado. Outra diferença diz respeito à relação entre demanda, vazamentos e resiliência,
quando a condição de ajuste fictício de VRPs é mantida constante. Esta relação, para a
Rede 2 é simplesmente linear: quanto maior a demanda, menores os vazamentos e maior
a resiliência do sistema. No entanto, para a R ede 1, a relação entre essas variáveis é mais
complexa: se aumentar o consumo, diminuirão os vazamentos; se aumentar a demanda,
148
aumentará a resiliência sempre que o fator de consumo for menor ou igual a 1; caso
contrário, a resiliência diminuirá.
No caso da Rede 2, o processo de decisão, quanto ao número e localização de vál-
vulas, foi abordado em maneira diferente daquele utilizado para a Rede 1. Inicialmente,
foi gerada uma única frente Pareto, que combina as 8 curvas produzidas no processo de
otimização, semelhante a uma "frente Pareto média". A nova curva obtida foi utilizada
para determinar a fração de vazamentos que é possível diminuir no sistema e, com base
nesta fração, escolheu-se o nível de redução de vazamentos que se pretende atingir através
da instalação de VRPs. Calculou-se o índice de vazamentos a ser alcançado após a re-
dução de perdas e encontrou-se o vetor de decisão contendo os coeficientes de rugosidade
que permitem alcançar tal índice. As rugosidades, assim determinadas, sugeriram a ne-
cessidade de instalar 14 VRPs na rede, número que foi considerado excessivo em relação
à magnitude do sistema. Foram estudadas, portanto, outras alternativas com 5, 3, 2 e 1
VRPs, localizadas em tubulações estratégicas. Finalmente, decidiu-se instalar uma VRP
na tubulação cuja rugosidade demonstrou produzir o maior impacto na mudança do índice
de vazamentos da rede.
A simulação em período estendido de 24 h mostrou a necessidade de ajustar no-
vamente o coeficiente de rugosidade da tubulação para atingir a nível de vazamentos
buscado. O novo valor deste coeficiente foi encontrado após algumas tentativas e passou-
se à etapa de configuração da válvula que foi realizada utilizando o mesmo método da
Rede 1. Em primeiro lugar, determinou-se a perda de carga hidráulica produzida pelo in-
cremento em rugosidade na tubulação portadora da VRP. Posteriormente, determinou-se
o coeficiente médio da válvula que ocasiona essa perda de carga. Finalmente, calculou-se
o valor adimensional equivalente do coeficiente de perda de carga e verificou-se, através
da simulação em período estendido com VRP, se a meta de redução de vazamentos tiver
sido efetivamente atingida .
De maneira geral, o algoritmo desenvolvido apresentou bons resultados, permitindo
integrar adequadamente diferentes ferramentas computacionais e, assim explicitar as com-
plexas relações existentes entre os parâmetros e variáveis físicas de sistemas de abasteci-
mento de água.
A abordagem do presente trabalho apresenta-se vantajosa em diversos aspectos, se
comparada com outras abordagens encontradas na literatura. Primeiramente, o processo
149
de otimização utiliza métodos de busca que têm demonstrado acurácia e eficiência compu-
tacional na determinação de so luções. Além disso, o fato de considerar múltiplos objetivos
permite superar as incertezas concomitantes à atribuição de pesos quando se utiliza um
objetivo único. Cabe ressaltar, também, a importância de relacionar as perdas por vaza-
mentos com a confiabilidade hidráulica e/ou a eficiência energética de uma rede em um
único gráfico de soluções ótimas para cada estado operacional. Permite-se a ssim, ao deci-
sor, de informar-se sobre a magnitude com que as perdas podem ser reduzidas e sobre o
efeito desta redução sobre a capacidade de atendimento do sistema. Com esta informação,
as decisões podem levar a optar pelo gerenciamento de pressões através da instalação de
VRPs e, com os métodos anteriomente descritos, a escolher a melhor maneira de realizar
o gerenciamento.
Recomenda-se, portanto, o uso do algoritmo proposto como ferramenta de decisão,
quando se procura reduzir os vazamentos em sistemas de distribuição de água reais. No
entanto, mencionam-se algumas futuras melhoras que p odem levar a um maior realismo
na implementação do algoritmo. Uma das melhoras diz respeito às demandas nos nós, as
quais são consideradas fixas e precisariam se adequar a um modelo de demandas dirigi-
das pela pressão (WAGNER; SHAMIR; MARKS, 1988). O outro aspecto que pode ser
aperfeiçoado é o cálculo do índice de resiliência para casos mais gerais em que existem
reservatórios de nível variável e bombas. Este aspecto pode ser melhorado simplesmente
através da incorporação da fórmula de Todini (2000) que relaciona potências entregada
e dissipada na presença de bombas. Contudo, a estrutura do algoritmo é considerada
adequada e flexível para as melhoras necessárias.
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