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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
“Convecção Natural em Placa Plana Vertical: Influência de Superfícies
Vizinhas no Coeficiente de Transferência de Calor”
Dissertação submetida à
U
NIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia.
Eng. ROSSANO RENIR COMUNELO
Florianópolis, abril de 2007.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
“Convecção Natural em Placa Plana Vertical: Influência de Superfícies
Vizinhas no Coeficiente de Transferência de Calor”
ROSSANO RENIR COMUNELO
ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE
MESTRE EM ENGENHARIA
ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA SENDO APROVADA EM SUA FORMA
FINAL.
Prof. Saulo Güths, Dr. Ing. (Orientador)
Prof. Fernando Cabral, Ph. D. (Coordenador)
BANCA EXAMINADORA
Prof. Vicente de Paulo Nicolau, Dr. - Presidente
Prof. Amir Antônio Martins de Oliveira Jr., Ph.D. Eng.
Prof. Antônio Carlos Ribeiro Nogueira, Dr.Eng.
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FICHA CATALOGRÁFICA
Comunelo, Rossano Renir, 2007
C741c
Convecção Natural em Placa Plana Vertical: Influência de Superfícies Vizinhas
no Coefiente de Transferência de Calor / Rossano Renir Comunelo - Orientador: Saulo Güths
Florianópolis: EMC - UFSC, 2007.
117f. : il.
Inclui Bibliografia.
Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) - Universidade Federal
de Santa Catarina. Centro Tecnológico.
1 - Convecção Natural 2 - Coeficiente de Troca por Convecção
3 - Simulação Numérica 4 - Experimentação Fluxímetros 5 - Título
621.402
Índices para catálogo sistemático:
1. Convecção Natural.
2. Placa Plana Vertical.
3. Experimetação em Ciências Térmicas.
4. Fluxo de calor.
5. Simulação.
Mamãe
1
, Papai, Digo, Tio Jair, Tia Erica e Terê.
pequena Cacá e pequeno Arthur.
1
in memoriam
Agradecimentos
Vale escrever que:
Agradeço a “Deus” meu querido “Deus” que me aguenta o dia inteiro.
Curvo-me muito grato ao professor Dr. Saulo Güths, pela orientação e conhecimentos
transmitidos e por dedicar seu tempo a explicar-me coisas úteis e sábias.
Assim também ao(s):
CNPq que disponibilizou os recursos financeiros para o andamento desta pesquisa.
POSMEC e aos professores associados pela aceitação do projeto.
Meus familiares, primos, primas, tios, tias, vovó, que dedicaram um pouquinho do seu
tempo para pensar e até mesmo se preocupar comigo.
Membros e ex-membros do LMPT
1
, Alexandre, Capico, Carelli, Damian, Danielle, Ede-
valdo, Eduardo, Emerich, Fabiano, Fred, Gerson, Gustavo, Gustavo (magrão), Hegele, Henri-
que, Humberto, Julia, Maria Teresa, Michelli,Sidney, Surmas, Victor. E professores, Dr. Bellini
e Dr. Vicente, Dr. Philippi e Dr. Celso.
Amigos e amigas Arlei e Silvana, Humberto (sacola), Makson, Sandro e Jaque, Rosália e
Pedro, Clerverton e Karla, Angela, Beto, às irmãs super poderosas: Eliane, Regiane e Luciane
e também, Alexsandre, Augusto, Clésio, Dalmo, Melchior, Luciano, enfim, muitos que também
se preocuparam e pensaram um pouquinho em mim.
Todos da turma de Engenharia Mecânica MECÂNICA97-2 que ajudaram-me, mesmo des-
cascando críticas zombeteiras e até mesmo construtivas.
E todos de boa vontade.
1
em ordem analfabética
Sumário
Lista de Figuras p.ix
Lista de Tabelas p.xiii
Lista de Símbolos p.xiv
Resumo p.xvi
Abstract p.xvii
1 INTRODUÇÃO p.1
1.1 Generalidades . . ................................ p.1
1.2 Objetivos .................................... p.2
1.3 Metodologia . . . ................................ p.3
1.4 Organização da Dissertação . . ......................... p.3
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA p.4
2.1 Convecção Natural . . . . . . ......................... p.4
2.1.1 O Trabalho de Simon Ostrach de 1952 . . . . . . ........... p.7
2.1.2 O Trabalho de Yogesh Jaluria de 1985 . . . . . . ........... p.9
2.1.3 Outros Trabalhos . . . ......................... p.9
2.2 Equações Matemáticas . . . . ......................... p.16
2.2.1 Equações Descritivas . ......................... p.16
2.2.2 Importantes Grupos Adimensionais .................. p.18
2.2.3 O Coeficiente de Troca “h” . . . . . .................. p.22
2.3 Métodos de Medição de Fluxo de Calor . . .................. p.23
2.3.1 Método Calorimétrico ......................... p.23
2.3.2 Campo de Temperatura ......................... p.24
2.3.3 Método Fluximétrico . ......................... p.24
2.3.4 Gradiente de Temperatura . . . . . .................. p.29
2.4 Métodos de Calibração do Fluxímetro a Gradiente Tangencial . . . . .... p.30
2.4.1 Duplo Simultâneo . . ......................... p.30
2.4.2 Transdutor Auxiliar . . ......................... p.32
3 O APARATO EXPERIMENTAL p.33
3.1 Montagem dos Fluxímetros e da Bancada . .................. p.33
3.2 Calibração dos Transdutores . ......................... p.40
3.2.1 Avaliação da Sensibilidade do Fluxímetro . . . . ........... p.40
3.3 Avaliação do Aparato Experimental . . . . .................. p.42
3.3.1 Gradiente de Temperatura na Placa Metálica . . ........... p.42
3.3.2 Avaliação do gradiente de temperatura na “caixa protetora” . . .... p.45
3.3.3 Transferência Radiativa ......................... p.46
3.4 Comparação Teórico × Experimental . . . .................. p.47
4 A MODELAGEM COMPUTACIONAL p.50
4.1 Parâmetros de Simulação . . . ......................... p.50
4.2 Casos Simulados ................................ p.52
4.3 Tamanho do Domínio . . . . . ......................... p.55
4.4 Tamanho e Discretização da Malha . . . . . .................. p.55
4.5 Condições de Contorno . . . . ......................... p.59
4.5.1 Condição de contorno de pressão prescrita × simetria ........ p.62
4.6 Comparação Numérico-Teórico ......................... p.65
5 AVALIAÇÃO DOS RESULTADOS p.69
5.1 A Mudança no Escoamento . . ......................... p.70
5.2 O Aumento da Temperatura na Face Posterior do Isolamento . . . . . .... p.74
5.3 Influência da Espessura da Placa . . . . . . .................. p.76
5.4 Influência da Altura da Placa . ......................... p.77
5.5 Aproximação da Parede Horizontal Inferior .................. p.81
5.6 Aproximação da Parede Vertical Posterior . .................. p.84
5.7 Aproximação Simultânea das Paredes Horizontal e Vertical . . . . . . .... p.88
6 CONCLUSÕES p.91
6.1 SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS . . . . . ........... p.92
Apêndice A -- Apêndice A p.94
A.1 Propagação de Erros . . . . . ......................... p.94
Apêndice B -- Apêndice B p.97
B.1 Materiais Utilizados na Confecção da Bancada Experimental . . . . . .... p.97
Referências p.98
Lista de Figuras
1 Convecção natural externa . . ......................... p.5
2 Placa em convecção natural: difusão e convecção. . . . . ........... p.6
3 Modelagem adotada por Elenbaas [1942]. . .................. p.6
4 Modelagem adotada por Ostrach [1952]. . . .................. p.7
5 Modelagem adotada por Jaluria [1985]. . . .................. p.10
6 Formação de uma canal genérico. . . . . . .................. p.11
7 Modelagem adotada por Kaiser, Zamora e Viedma [2004]. . . . . . . .... p.13
8 Modelagem adotada por Zamora e Hernández [1997]. . . ........... p.14
9 Problema resolvido numericamente por Liu e Tao [1996]. ........... p.16
10 Ilustração da hipótese do contínuo. . . . . . .................. p.17
11 Região de análise de Ostrach [1952]. . . . . .................. p.19
12 Efeito do número de Prandtl . ......................... p.21
13 Perfil de um transdutor do tipo calorimétrico. . . . . . . ........... p.23
14 Modo geral de medição do fluxo de calor em uma uma placa. . . . . . .... p.25
15 Perturbação das linhas de fluxo de calor . . .................. p.26
16 Perfil de um transdutor à termopilha soldada. . . . . . . ........... p.27
17 Vista de um transdutor à termopar depositado. . . . . . . ........... p.27
18 Perfil de transdutor à furo metalizado. . . . .................. p.28
19 Corte transversal de um fluxímetro a gradiente tangencial. . . . . . . .... p.28
20 Medição do fluxo de calor junto à placa. . . .................. p.29
21 Primeira etapa da calibração simultânea. . . .................. p.30
22 Segunda etapa da calibração simultânea. . . .................. p.31
23 Calibração com trandutor auxiliar. . . . . . .................. p.32
24 Perfil da montagem experimental: paredes próximas à placa plana. . . .... p.33
25 Corte transversal do dispositivo experimental. . . . . . . ........... p.34
26 Vista do dispositivo experimental. . . . . . .................. p.35
27 Vista da caixa de proteção. . . ......................... p.37
28 Vista frontal dos transdutores fixados na placa. . . . . . . ........... p.38
29 Vista frontal dos transdutores fixados na placa. . . . . . . ........... p.39
30 Constante de calibração, fluxímetro 2, em função da potência dissipada na
resistência aquecedora. . . . . ......................... p.41
31 Experimentação para estimar a sensibilidade de um fluxímetro. . . . . .... p.42
32 Modelo para a verificação da isotermia da placa. . . . . . ........... p.43
33 Gráfico da influência da condutividade térmica “k” na isotermia da placa. . . p.45
34 Esquema de montagem do termopar diferencial no interior da caixa protetora. p.46
35 Variação do coeficiente de troca teórico e experimental. . ........... p.48
36 Comparação teórico × experimental. . . . . .................. p.49
37 Modelo computacional da encastrada . . . . .................. p.52
38 Modelo computacional da placa livre . . . . .................. p.53
39 Modelo computacional de placa inferior próxima . . . . ........... p.53
40 Modelo computacional de placa posterior próxima . . . . ........... p.54
41 Modelo computacional de placas posterior e inferior próximas . . . . .... p.54
42 Dimensões do domínio computacional . . . .................. p.56
43 Esquema de crescimento da malha. . . . . . .................. p.57
44 Detalhe da construção da malha. Em destaque a placa plana. . . . . . .... p.58
45 Nusselt local para diferentes discretizações da malha. . . ........... p.60
46 Exemplo de “far field” utilizado em Kettleborough [1972]. . . . . . . .... p.61
47 “Far field” utilizado neste trabalho. . . . . . .................. p.61
48 Condições de contorno aplicadas à placa plana . . . . . . ........... p.62
49 Número de Nusselt: Pressão prescrita e simetria . . . . . ........... p.62
50 Campo de velocidades para condição de contorno de pressão prescrita .... p.63
51 Campo de velocidades para condição de contorno de pressão prescrita .... p.64
52 Modelagem da placa encastrada . . . . . . .................. p.66
53 Modelagem computacional da placa encastrada. . . . . . ........... p.66
54 Comparação simulado X teórico: caso da placa encastrada Ostrach [1952] . . p. 67
55 Comparação simulado X teórico: caso da placa encastrada Ostrach [1952] . . p. 68
56 Variação do coeficiente “h” para o caso da placa encastrada isotérmica com
H = 15,0 cm e ΔT = 20 K. ......................... p.69
57 Escoamento sobre a placa livre ......................... p.71
58 Campo de temperatura do ar: caso placa livre . . . . . . ........... p.72
59 Escoamento sobre a placa plana . . . . . . .................. p.73
60 Campo de temeratura do ar: caso placa plana . . . . . . ........... p.74
61 Comprativo entre o coeficiente convectivo “h” na placa livre e com superfí-
cies próximas, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K................... p.75
62 Modelagem por resistências equivalentes do aquecimento posterior. . .... p.76
63 Diferentes espessura da placa plana vertical isotérmica. . ........... p.77
64 Variação do número de Nusselt para diferentes espessuras da placa plana,
H = 15 cm e ΔT = 20 K............................ p.78
65 Variação do número de Nusselt para três espessuras de placa diferentes. . . . p. 79
66 Aproximação da parede vertical e parede horizontal, ΔT = 20 K ....... p.79
67 Aproximação da parede vertical, ΔT = 20 K ................. p.80
68 Linhas de fluxo . ................................ p.81
69 Modificação dos vetores velocidade, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K, y = 5 cm
p.82
70 Efeito da aproximação de parede horizontal, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K . . p.83
71 Efeito da aproximação de parede horizontal, H = 30,0 cm, ΔT = 20 K . . p.84
72 Modificação das linhas de fluxo, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K, b = 5 cm . . . p. 85
73 Aproximação da parede vertical, H = 15, 0 cm, ΔT = 20 K ......... p.86
74 Aproximação da parede vertical, H = 30 cm, ΔT = 20 K .......... p.86
75 Aproximação da parede vertical e horizontal, H = 45 cm, ΔT = 20 K . . . p.87
76 Aproximação da parede vertical e horizontal, H = 15, 0 cm, ΔT = 20 K . . p.88
77 Aproximação da parede vertical e horizontal, H = 30, 0 cm, ΔT = 20 K . . p.89
78 Aproximação da parede vertical e horizontal, H = 45, 0 cm, ΔT = 20 K . . p.90
Lista de Tabelas
1 Correlações do número de Nu
y
para o escoamento laminar sobre placa plana
vertical isotérmica ................................ p.15
2 Valores da calibração dos fluxímetros. . . . .................. p.40
3 Valores para a sensibilidade dos fluxímetros. .................. p.41
4 Propriedades dos materiais. . . ......................... p.44
5 Valores do coeficiente de troca de calor para comparação entre valores da
simulação e resultados Teóricos . . . . . . .................. p.68
6 Valores para análise de propagação de erros .................. p.96
7 Propriedades termofísicas dos materiais utilizados . . . . ........... p.97
Lista de Símbolos
Símbolos
x,y, z - Coordenadas no espaço (m).
d.d.p. - Diferença de potencial elétrico (V).
H - Altura da placa (m).
u - Componente da velocidade na direção x
m
s
.
v - Componente da velocidade na direção y
m
s
.
w - Componente da velocidade na direção z
m
s
.
k - Condutividade térmica de um material
W
mK
.
T - Temperatura podendo ser (K) ou
0
C
.
T
∞
- Temperatura avaliada no infinito podendo ser (K) ou
0
C
.
T
viz
- Temperatura das vizinhanças podendo ser (K) ou
0
C
.
a - Distância da placa à parede vertical (m).
b - Distância da placa ao chão (parede horizontal) (m).
h - Coeficiente de troca de calor por convecção
W
m
2
K
.
h - Coeficiente de troca de calor médio por convecção
W
m
2
K
.
k - Coeficiente de condutividade térmica
W
mK
.
k
f
- Coeficiente de condutividade térmica equivalente do fluxímetro
W
mK
.
s - Parâmetro de comprimento: espessura (m)
Pr - Número de Prandtl ().
Nu - Número de Nusselt ().
Nu - Número de Nusselt médio ().
Re - Número de Reynolds ().
Bo - Número de Boussinesq ().
Ra - Número de Rayleigh ().
Gr - Número de Grashof ().
F
- Velocidade adimensional ().
Gregos
α - Difusividade térmica () Coeficiente de dilatação térmica
K
−1
Poder termoe-
létrico
V
K
.
δ
T
- Espessura de camada limite térmica (m).
δ - Espessura de camada limite hidrodinâmica (m).
ρ - Densidade
kg
m
3
.
π - Número pi (rad).
ω - Velocidade angular
rad
s
.
∞ - Símbolo para crescimento infinito.
β - Coeficiente de expansão térmica de um gás
K
−1
.
υ - Volume específico
m
3
Kg
.
℘- Função de várias variáveis.
ℑ - Função de várias variáveis.
Φ
A
- Fluxo de calor (W).
Φ
B
- Fluxo de calor (W).
Φ
B
- Fluxo de calor (W).
Φ
B
- Fluxo de calor (W).
Θ - Temperatura adimensional ().
Resumo
“Convecção Natural em Placa Plana Vertical: Influência de Superfícies Vizinhas no
Coeficiente de Transferência de Calor”
Trata-se de um estudo numérico-experimental de convecção natural laminar de uma placa
plana vertical isotérmica em meio ao ar quiescente avaliando a influência de superfícies vizi-
nhas. O objetivo é estimar o coeficiente de troca de calor por convecção em função da aproxi-
mação de superfícies (lateral e inferior), e como essa aproximação pode ser descrita em termos
de parâmetros adimensionais, tais como Ra
L
e Nu
L
. A placa é aquecida por uma resistência
térmica mantendo-se sua temperatura superficial constante.
Na bancada experimental foi utilizada a tecnologia de transdutores de fluxo de calor à
gradiente tangencial para a leitura do fluxo de calor, sendo obtido o coeficiente de transferência
de calor por convecção, h
exp
. Para a solução numérica foi utilizado um código comercial em
CFD, ANSYS-CFX, para a simulação do caso proposto, efetuando-se dessa forma comparações
entre as duas soluções.
O efeito da espessura da borda de base reta é estudado computacionalmente apontando
assim qual influência desta no escoamento, na troca de calor e nos parâmetros adimensionais
característicos desse tipo de escoamento. A influência da altura da placa vertical aquecida é
avaliada numericamente e experimentalmente.
Os resultados mostram que o coeficiente de troca de calor por convecção natural é influ-
enciado por vários fatores sendo o mais importante a proximidade com uma parede adiabática
vertical posterior à face aquecida e sendo potencializada pela presença das duas placas planas
adiabáticas. As condições de contorno influenciam no campo de velocidade e, portanto, no
coeficiente de troca de calor.
Palavras chave: Placa vertical isotérmica, convecção natural, experimentação, superfícies
vizinhas, simulação.
Abstract
“Natural convection on a vertical plate: The influence of Neighboring surfaces on the heat
transfer coefficient.”
This is about an numerical and experimental study of laminar natural convection of an
isothermalverticalplainplateinwayto air evaluatingthe influenceofneighboringsurfaces. The
objective to guess the coefficient of exchange of heat for convection in function of the approach
of surfaces (lateral and inferior), andas this approach can be described interms of dimensionless
parameters, such as Ra
L
and Nu
L
. The warm plate for athermalresistance remaining its constant
superficial temperature.
In the experimental group of benches the technology of transducers of flow of heat at tan-
gential gradient for the reading of the flow of heat, being gotten the coefficient of transference
of heat for convection was used, h
exp
. For the numerical solution a commercial code in CFD
was used, ANSYS-CFX, for the simulation of the considered case, effecting of this form com-
parisons between the two solutions.
The effect of the thickness of the base edge straight line is studied computational thus
pointing which influence of this in the draining, the exchange of heat and characteristic the
dimensionless parameters of this type of draining. The influence of the height of the warm
vertical plate is evaluated numericamente and experimentally.
The resultsshow thatthe coefficient of exchange of heat for natural convectionis influenced
by some factors having been the most important proximity with a adiabatic wall vertical line
subsequent to the warm face and being powerfull for the presence of the two adiabatics plain
plates. The contour conditions influence in the field of speed and, therefore, in the coefficient
of heat exchange.
Keywords: Isothermal vertical plate, natural convection, neighboring surfaces, experi-
mentation, simulation.
1
1. INTRODUÇÃO
“...Quando lemos, outra pessoa pensa por nós:
só repetimos seu processo mental ...
Durante a leitura nossa cabeça é apenas
o campo de batalha de pensamentos alheios ...".
Arthur Schopenhauer
1
1.1 Generalidades
A convecção natural está presente em todos os processos de troca de calor, seja na indústria
ou no ambiente doméstico, no crescimento de cristais, na ventilação de ambientes fechados,
nos coletores de energia solar, no isolamento de reatores nucleares, no isolamento de cabines de
aeronaves, no resfriamento de recipientes de lixoradioativo e emmuitosoutros. Seja em cavida-
des regulares ou irregulares, conjugada ou não com convecão forçada, demostra que a indústria
e a academia estão, ambas, muito interessados na descrição e detalhamento do fenômeno.
Desde Schimidt e Beckamnn em 1930 apud. Ostrach [1952], Squire em 1930 apud. Lie-
nhard e Lienhard [2006], Eckert em 1930 apud. Lienhard e Lienhard [2006], Elenbaas [1942] e
Eckert e Soehngen em 1948 apud. Ostrach [1952], é grande o interesse no estudo de convecção
natural em ambientes fechados. As técnicas de estudo são das mais variadas possíveis, seja com
métodos numéricos ou experimentais. As correlações entre o coeficiente de troca térmica por
convecção “h” e parâmetros construtivos e operacionais tais como altura, meio circundante e
diferença de temperatura, estão disponíveis em vários manuais de engenharia como Rosehnow,
Hartnett e Cho [1998], Bejan [1995], e outros.
Uma simplificação para esse fenômeno, considerando uma placa livre vertical isotérmica é
também muito freqüente. Sendo usada em aplicações de engenharia, contudo, faz-se necessária
1
citado em Rubem Alves, Entre a Ciência e a Sapiência: O Dilema da Educação, São Paulo, Edições Loyola
1999
2
uma boa coleção de correlações matemáticas confiávies e prontas para fornecer dados relevantes
para projetos, como o coeficiente de transferência de calor
h
L
.
Uma placa plana vertical finita estando a uma temperatura conhecida e diferente do meio
que a envolve e sendo este um meio infinito de ar quiescente sujeito a uma força de corpo é uma
configuração padrão de Convecção Natural Externa. O meio é dito infinito porque de nenhuma
fronteira conhecida pode-se verificar a influência no escoamento, assim como do ponto de vista
das fronteiras também não é possível verificar a influência, nelas, da placa.
Um dos grandes desafios da engenharia é o incremento da transferência de calor, possibili-
tando a construção de equipamentos mais compactos e com menor custo.
O estudo da influência das fronteiras na transferência de calor por convecção natural tem
sua importância. Estudos preliminares, Güths [1998], Marcondes [1988], Mahajan e Gebhart
[1979] entre outros, mostraram que em certas configurações as fronteiras posteriores e infe-
riores de uma placa plana vertical isotérmica podem incrementar a transferência de calor de
uma maneira considerável. Da mesma forma, protuberâncias na superfície tais como aletas,
reentrâncias e rasgos modificam significativamente o escoamento e por fim o fluxo de calor,
podendo ser usadas para aumentar a troca.
Esse trabalho vem aprofundar o estudo desse fenômeno em particular, buscando compa-
rar as diferentes variáveis envolvidas em função da proximidade de uma placa plana vertical
isotérmica em relação às superfícies adiabáticas planas inferior e posterior.
1.2 Objetivos
Tem-se como objetivo geral avaliar a influência das fronteiras fixas impermeáveis, poste-
rior e inferior, na transferência de calor por convecção natural em uma placa plana vertical e
isotérmica, possibilitando que melhores convectores sejam projetados, utilizando os efeitos da
troca de calor para o ar.
Tem-se como objetivos específicos avaliar o desempenho de transdutores de fluxo de calor
a gradiente tangencial no estudo de transferência de calor por covecção natural e o emprego de
um software comercial ANSYS-CFX no estudo de convecção natural.
3
1.3 Metodologia
A transferência de calor por convecção natural em uma placa plana vertical isotérmica
é avaliada tanto experimentalmente quanto numericamente. Os resultados obtidos pelos dois
métodosserão inicialmentecomparados com a solução analíticaapresentada por Ostrach [1952]
para uma placa vertical isotérmica sem a influência da vizinhança.
A bancada experimental utiliza transdutores de fluxo de calor a gradiente tangencial cons-
truídos no LMPT (Laboratório de Meios Porosos e Propriedades Termofísicas dos Materiais) da
Universidade Federal de Santa Catarina, dispostos sobre uma placa metálica isotérmica aque-
cida a aproximadamente 20 K acima da temperatura do ar. A placa é aproximada das paredes
posterior e inferior, sendo avaliadas as modificações da transferência de calor na mesma. Um
sistema de aquisição é utilizado para a leitura do sinal produzido pelos transdutores e armaze-
nados em arquivo.
O mesmo procedimento é modelado e simulado computacionalmente utilizando-se um soft-
ware comercial sendo avaliada a concordância dos resultados. Vários casos são simulados de
forma a obter uma correlação entre a modificação da transferência de calor e o posicionamento
da placa em relação às paredes posterior e inferior.
1.4 Organização da Dissertação
No capítulo 2 é feita a revisão bibliográfica, onde os trabalhos importantes estão relaciona-
dos e brevemente resumidos, com atenção especial ao trabalho de Simon Ostrach de 1952, e de
Yogesh Jaluria de 1985. As equações que descrevem o fenômeno também são apresentadas e
alguns parâmentros adimensionais descritos, assim como o coeficiente de troca “h”.
No capítulo 3 a parte experimental é formulada e explicada. Os métodos de medição de
fluxo de calor, os transdutores de fluxo de calor e o aparato experimental são abordados. A
importânciada transferência radiativaédetalhadaneste capítulo. Enfim, osresultadosreferentes
a parte experimental são apresentados.
O capítulo 4 mostrará a formulação computacional, qual método escolhido para a solução,
osparâmetros selecionados para amodelagemdo problema, o tamanhododomínioe detalhes de
simulação. Por fim alguns resultados de simulação são apresentados e discutidos. No penúltimo
capítulo, uma avaliação dos resultados é exposta e por fim, são apresentadas, no capítulo 6, as
conclusões do presente trabalho.
4
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A palavra convecto are, do latim, significa carregar ou levar consigo. É uma maneira de
transportar calor ou massa. O fluido que envolve uma superfície pode se movimentar arrastando
energia térmica com sua massa. Este fenômeno é muito comum na natureza e em equipamentos
industriais e de uso cotidiano. Até mesmo para conforto térmico, quando em dia de muito calor,
o homem sempre procura uma brisa para se refrescar.
Chama-se convecção forçada quando o fluido é movimentado por ação de uma força ex-
terna. Essa força externa pode ser, por exemplo, um ventilador ou bomba hidráulica. Quando
o movimento do fluido é ocasionado somente por uma diferença local na densidade do fluido,
denomina-se convecção natural ou livre.
2.1 Convecção Natural
Um fluido quando aquecido tende a aumentar de volume. A Fig. 1 ilustra o chamado
“motor da convecção livre” e mostra um fluido que quando aquecido tende a aumentar de vo-
lume, fazendo uma parcela desse fluido se deslocar ascendentemente. Outra parcela, mais fria,
ocupará seu lugar dando origem ao movimento.
Pela equação de estado dos gases perfeitos, considerando que a pressão se mantém cons-
tante, o volume específico deve aumentar para compensar o aumento da temperatura. Por ocor-
rência da força de empuxo este volume é forçado a mover-se e desloca-se contra a força de
corpo. Uma outra massa de ar, mais fria, tenderá a ocupar o lugar vago. A camada ou parcela
de fluido mais fria vai se aquecer e começar novamente o movimento. Esse é o ciclo térmico da
convecção livre, onde a troca de calor se dá no sentido da placa para o escoamento e deste para
o reservatório, como mostra a Fig. 1.
Seguindo a convenção de sinais para os eixos da Fig. 2, a indicação de uma densidade
maior do fluido no infinito do que localmente, ρ
∞
> ρ, resulta em uma força F
empuxo
com sinal
positivo e por isso empurrará a porção de fluido para cima.
5
x
y
P
arede
A
quecida
T
g
T
8
0
y = H
y = 0
Aquecimento
Expansao
~
Duto Imaginario
´
Reservator
io
´
Resfriamento
e Compressao
~
Desaceleraçao
~
Ciclo Termico
´
Figura 1: Convecção natural externa
F
empuxo
= g·(ρ
∞
− ρ) (2.1)
Um esquema geral do tratamento teórico para o presente trabalho está na Fig. 2 indicando
duas camadas limites, uma térmica e outra hidrodinâmica, bem como os fluxos de quantidade
de movimento e energia se dissipando. Essa dissipação provoca perturbações nas camadas
adjacentes, formando assim as camadas limites térmica e hidrodinâmica.
Em 1930, Schimidt e Beckmann [1930] apud. Ostrach [1952] realizaram experimentos e
desenvolveramteorias a respeito da convecção natural, chegando a uma correlação bem definida
para o coeficiente de troca que está apresentada na Tab. 1.
Anos depois ( 1948), Eckert apud. Ostrach [1952], estendeu os experimentos de Schimidt
e Beckamnn considerando duas placas planas verticais, sendo que uma delas contém a face
aquecida frente a outra que é não aquecida.
A comunidade científica conheceu o trabalho de Elenbaas [1942] e este foi também um
importante trabalho experimental em convecção natural. Sua obra dedicou-se à análise da con-
vecção natural em placas planas paralelas verticais, aproximando-as. Como resultado, Elenbaas
modificou a relação de Rayleigh para Ra
∗
= Ra
b
L
c
que fornece duas assintotas bem definidas:
no regime de camada limite,Nu
bl
= 0, 6Ra
∗
1
4
, Ra
∗
→∞ e no regime de escoamento totalmente
6
u
x
μ
ρuv
ρuCpΔT
x
v
y
y
T
0
ρvCp ΔT
kT
μ
ρvv
kT
δ
T
δ
y
x
Figura 2: Placa em convecção natural: difusão e convecção.
desenvolvidoNu
fd
=
Ra
∗
24
, Ra
∗
→0. Com issoincentivou seus seguidoresa estudar o problema
com abordagem numérica, teórica e também com novas técnicas experimentais. Elenbaas mos-
trou que é possível um incremento do coeficiente de troca somente pela aproximação entre duas
placas planas verticais. Ele realizou a experimentação de aproximação entre duas placas planas
paralelas dipostas em convecção natural em configuração esboçada na Fig. 3.
TT
b
L
c
Figura 3: Modelagem adotada por Elenbaas [1942].
7
2.1.1 O Trabalho de Simon Ostrach de 1952
Ostrach [1952] resolveu o problema semi-analiticamente, utilizando uma solução por simi-
laridade onde escreveu os perfis de temperatura e velocidade para uma placa vertical isotérmica
exposta a um meio quiescente. Neste modelo, Ostrach agrupou as variáveis de forma a obter
uma solução por similaridade. Assim, similarmente, as variáveis u, v são correlatas com F
,
da mesma forma T com H e finalmente x, y com η. Onde u e v correspondem às velocidades
nos eixos horizontal x e vertical y, respectivamente, e T é a temperatura. A Fig. 4 mostra o
comportamento das variáveis de similaridade.
η
HF
Figura 4: Modelagem adotada por Ostrach [1952].
Ostrach [1952] começa sua análise com as equações descritivas na forma diferencial do
escoamento laminar viscoso em regime estacionário, compressível, com transferência de calor
e sujeito à uma força de corpo. O modelo bidimensional em coordenadas cartesianas passa por
simplificações e considerações, detalhadas no seu artigo, chegando-se ao grupo de Eq. 2.2 e
2.3:
F
+ 3FF
− 2F
2
+ H = 0,
H
+ 2PrFH
= 0,
(2.2)
onde,
8
F
=
Ux
ν
∞
2
√
Gr
x
,
H =
T −T
∞
T
0
−T
∞
,
η =
y
x
Gr
x
4
1
4
,
(2.3)
sendo que Gr
x
=
gβ(T
s
−T
∞
)x
3
ν
2
é o número de Grashof e Pr =
ν
α
, é o número de Prandtl. T
0
é a temperatura em que está submetida a placa plana aquecida.
O problema passa a ser unidimensional com F(η) e H(η) dependentes somente de η.A
análise recebe o nome de Análise por Similaridade sendo o campo F
responsável pela hidrodi-
nâmica, ou velocidades, e o campo H pela energia, ou temperaturas. As condições de contorno
são:
F( 0)=F
(0)=0 , H(0)=1,
F
(∞)=H(∞)=0.
(2.4)
Uma aproximação da solução pode ser escrita pela Eq. 2.5.
F
(η)=0,0018η
5
−0, 0309η
4
+ 0, 2037η
3
−0, 6114η
2
+ 0, 713η −0, 0018
Θ(η)=−0,0087η
3
+ 0, 1294η
2
−0, 6311η + 1, 0202
sendo que,
v(x,y)=
2ν
y
Gr
1
2
y
F
(η)
u(x,y)=−
νGr
1
4
y
y
√
2
3F (η) −ηF
(η)
T (x,y)=Θ (η)(T
sup
−T
∞
)+T
∞
.
(2.5)
O algorítimo de solução foi implementado por Lynn U. Albers apud Ostrach [1952] sendo
resolvido para vários número de Prantdl. Da solução pode-se conhecer o valor do número
de Nusselt médio Nu
av
=
hL
k
que relaciona o fluxo de calor na superfície do sólido com a
convecção no fluido, representado pela Eq. 2.6.
Nu
av
= 0,548[PrGr]
1
4
. (2.6)
9
O valor0,548 éencontrado quando se resolve a Eq. 2.3 com Pr = 0,72, valorcaracterístico
para o ar. Para óleo seria 0,555 e para o mercúrio aproximadamente 0, 33. Como relata Ostrach
[1952], para chegar-se ao Nu local é preciso tomar
3
4
do Nu
av
chegando-se a:
Nu
x
= 0,411[PrGr
x
]
1
4
ou
Nu
x
Gr
x
4
1
4
= 0, 581(Pr)
1
4
.
(2.7)
2.1.2 O Trabalho de Yogesh Jaluria de 1985
Jaluria [1985] modela computacionalmente a interação entre duas placas encastradas aque-
cidas, com fluxo de calor constante, distanciando-se progressivamente as placas entre si con-
forme esquema na Fig. 5.
Jaluria considerou, primeiramente, uma placa simples, isolada e com tamanho finito, fixa-
das à uma placa maior adiabática sem protuberâncias. Ele fez a comparação com a solução por
similaridade e conseguiu bons resultados para os perfis de temperatura e velocidade. Posterior-
mente, Jaluria acrescenta ao problema mais uma placa aquecida à mesma temperatura daquela
original. Desta vez, há interação entre as duasplumassendo que a interação modificao valordas
variáveis: temperatura e velocidade, alterando dessa forma a troca de calor. Jaluria infere que a
superfície horizontal inferior, mostrada na Fig. 5, não altera significativamente o coeficiente de
troca térmica. A superfície horizontal inferior na realidade é gerada, no código numérico, como
uma condição de contorno de parede sem escorregamento com o ar e adiabática.
2.1.3 Outros Trabalhos
Bodoia e Osterle [1962] resolveram computacionalmente o mesmo problema que Ostrach
[1952] se propôs a estudar. Desenvolveram, para tanto, um código computacional que apresen-
tou uma boa concordância com os resultados de Ostrach.
Um tratamento numérico foi dado por Milioli [1985] em se tratando de cavidades arbitrá-
rias. Neste trabalho, Milioli solucionou numericamente as equações de Navier e Stokes num
plano de coordenadas transformadas, descrevendo a geração desse sistema de coordenadas na-
tural, não-ortogonal, curvilíneo e generalizado, servindo para as cavidades fechadas sem uma
forma regular. Os resultados são adequados para os casos, servindo de termo comparativo para
soluções posteriores de mesma geometria. Em seu modelo utilizou a aproximação de Bous-
10
H
´
L
S
uperficies Adiabaticas
1
Placa Aquecida
y
x
L
Dominio de Calculo
´
´
´
Figura 5: Modelagem adotada por Jaluria [1985].
sinesq e utilizou o método PRIME para solução do acoplamento pressão - velocidade. Apro-
ximação Boussinesq é uma simplificação das equações que governa escoamento baseada na
suposição de que a variação da densidade não é importante para a dinâmica exceto quando a
densidade está associada com a gravidade.
Marcondes [1988] modelou e simulou o caso particular de uma chaminé em forma de “L”.
Este canal é formado quando se aproxima a parte do condensador de um refrigerador a uma
parede posterior. Esta modelagemé apresentada pela Fig. 6. Com esta configuração Marcondes
estabelece uma comparação para vários valores de espaçamento do canal “s” bem como a altura
da parede aquecida “H”.
Güths [1998] procurou descrever o que acontece com uma placa plana vertical isotérmica
quando próxima a uma parede posterior, levantando perfis de velocidade e temperatura assim
como o coeficiente de troca de calor por convecção h, utilizando técnicas CFD em computador
(pacote computacional Fluent). Neste trabalho, Güths [1998] verificou que há um acréscimo do
coeficiente de troca para certas distâncias entre a placa e uma parede posterior e/ou parede infe-
rior, para em seguida o coeficiente sofrer um decréscimo devido a uma restrição no escoamento
por entre a placa aquecida e parede posterior. Em seu trabalho teve maior peso a análise das
incertezas envolvidas na instrumentação e não foram apresentadas correlações utilizando parâ-
metros adimensionais e também não houve uma maior resolução na captura dos dados: fluxo e
temperatura.
11
s
H
h
´
S
Entrada
Isolada
T
Said
a
Figura 6: Formação de uma canal genérico.
Zamora e Hernández [2001] investigaram qual o espaçamento entre duas placas planas ver-
ticais dispostas lateralmente que proporcionam a melhor troca de calor. Assim como Elenbaas
[1942] utilizaram uma função para o número de Rayleigh modificado Ra
∗
= Ra
b
L
c
, sendo b o
espaçamento entre elas e L
c
o comprimento da placa. Da mesma forma, Rosehnow, Hartnett
e Cho [1998] utilizam para cavidades abertas com várias superfícies próximas e para canais
refrigerantes uma função para o número de Rayleigh modificado Ra
∗
= Ra
b
L
c
. Algumas cor-
relações para o número de Nusselt médio são testadas por Zamora e Hernández [2001] e entre
elas encontra-se a correlação estabelecida por Martin et al. apud Zamora e Hernández [2001].
Chegaram a conclusão de que quanto maior o número de Ra
y
que se quer operar, menor deve ser
a relação entre espaçamento b
optimum
e L
c
até um limite. Depois, a troca de calor é prejudicada.
A configuração estudada por Zamora e Hernández [2001] é semelhante a mostrada na Fig. 8.
Em um estudo numérico Desrayaud e Fichera [2002] descreveram o fenômeno de convec-
ção natural em um canal vertical com dois frisos transversais ao escoamento, formando uma
restrição e conseguiram correlacionar qual a posição dos frisos para se ter o melhor desempe-
nho na troca de calor. A altura dos frisos fica fortemente dependente do número de Rayleigh
(Ra
∗
). Em seus resultados foi demonstrado como varia o número de Nusselt (Nu) em função
do número de Rayleigh modificado (Ra
∗
) para os casos de frisos adiabáticos e isotérmicos e
esses últimos tiveram um melhor desempenho.
12
Com uma configuração semelhante à Desrayaud e Fichera [2002], Tanda [1997] investigou
a troca de calor de uma placa metálica com vários frisos quadrados tranversais ao escoamento.
Em adição aos experimentos, uma placa superfícies suaves foi analisada e posta a trocar calor
por convecção natural, sendo realizada a comparação dos resultados. Nos experimentos, Tanda
verifica que a presença dessesfrisos altera consideravelmentea troca de calor por formar regiões
de recirculação que são consideradas inativas na troca térmica. Verificou também que conforme
a placa é aproximada de uma superfície vizinha (superfície vertical lateral), o coeficiente tem
os maiores valores no começo da placa (para valores de x pequenos), decrescendo para os
menores valoresquando em alturasmais elevadas. Tanda concluiu queessas protusões regulares
e quadradas na placa anteriormente lisa, prejudicam a troca de calor por gerar regiões inativas e
recirculantes na troca térmica.
Laguerre e Flick [2004] analisaram experimentalmente e numericamente a convecção na-
tural em refrigeradores domésticos não ventilados e propuseram um modelo para quantificar a
troca de calor por convecção, condução e radiação nestes aparelhos, considerando paredes verti-
cais e superfícies próximas. Sem novas correlações, usaram as existentes para sua modelagem.
Uma investigação numérica em canais convergentes fez parte do trabalho de Kaiser, Za-
mora e Viedma [2004] que com uma aproximação bidimensional resolveram, com a ajuda de
códigos computacionais comerciais (FLUENT e PHOENICS) , as equações elípticas que des-
crevem o fenômeno conseguindo obter um relacionamento entre o número de Nusselt (Nu) e
parâmetros geométricos do canal. A Fig. 7 dá uma idéia do caso estudado por Kaiser et al.,
onde propuseram correlações para o número de Nusselt, conforme Eq. 2.8.
Nu =
Nu
n
fd
+ Nu
n
bl
1
n
. (2.8)
O número de Nusset, Nu, assim sugerido por Churchill e Usagi [1972], é uma soma de
parcelas referentes ao regime desenvolvido
Nu
fd
e regime de camada limite (Nu
bl
). O valor
de n é ajustado conforme os dados experimentais.
Kaiser, Zamora e Viedma [2004] confirmam novas correlações para o número de Nusselt
médio para canais convergentes isotérmicos e adiabáticos envolvendo parâmetros de operação
e construtivos.
Dias e Milanez[2004] estudaram o escoamento sobre uma placa plana vertical aquecida por
um fluxo de calor constante. Uma análise bi e tridimensional foi realizada e ambas comparadas
com a literatura. Neste trabalho eles adotaram um escoamento laminar e incompressível e as
propriedades do fluido constantes. Resolveram o problema numericamente e verificaram a exis-
13
γ
x
y
L
b
Figura 7: Modelagem adotada por Kaiser, Zamora e Viedma [2004].
tência de uma transição da pluma bi e tridimensional, mostrando a complexidade do fenômeno
onde os efeitos das duas dimensões não podem ser estudados separadamente. No entanto, a
simplificação de escoamento bidimensional é largamente utilizada sem perdas no conteúdo dos
resultados.
Zamora e Hernández [1997] analisaram a influência das propriedades do fluido na convec-
ção natural em um canal, mostrada na Fig. 8, levando em conta a variação da viscosidade e
condutividade térmica com a temperatura e resolveram numericamente alguns casos em que os
efeitos dessa variação são importantes. Conseguiram importantes resultados para a vazão em
massa no canal. O algoritmo de solução estava implementado em um pacote computacional
chamado PHOENICS, utilizando uma malha relativamente grosseira. Os autores afirmam que
essa discretização era adequada para resolver o problema apesar de não fornecerem parâmetros
da malha, mas somente o número de volumes. Descobriram que as variações nas proprieda-
des do fluido interferem na solução, mostrando resultados mais livres de recirculação, ou estas
se formam em posições mais a jusante na direção do escoamento principal, quando compa-
rado com os casos que utilizam o modelo de Boussinesq. Estudo semelhante foi realizado por
Clausing [1983].
Em Hernández e Zamora [2005] também encontra-se um resultado semelhante ao artigo de
14
b
L
c
´
y
x
´
´
´
Isotermic
a
Superfici
e
S
uperficie
A
diabatica
Figura 8: Modelagem adotada por Zamora e Hernández [1997].
Zamora e Hernández [1997], só que em canais verticais não uniformemente aquecidos. Neste
trabalho, também resolvido com o auxílio do software PHOENICS, foi utilizado o método dos
volumes finitos com interpolação de segunda ordem, que é usado também na grande maioria
dos trabalhos aqui relatados. Resultados esperados foram semelhantes ao artigo de Zamora e
Hernández [1997], e mostra que a troca de calor no canal pode ser aumentada se considerar a
variação das propriedades termo-físicas do fluido de trabalho.
As condições de contorno para a simulação nos dois trabalhos acima, bem como no trabalho
de Desrayaud e Fichera [2002], são aplicadas imediatamente à entrada e à saída e obedecem as
características de um escoamento num canal regido por convecção natural. Isto é brevemente
discutido em Desrayaud e Fichera [2002] e mais aprofundado em Maliska Maliska [1995]. A
observação é que não se deve prescrever vazão e pressão juntamente, uma vez que a vazão se
adequa ao gradiente de pressão do canal.
Uma introdução teórica em conjunto com as equações descritivas do fenômeno estudado,
estão bem detalhadas em Bejan [1995] e será o ponto de partida de toda a análise matemática
do problema em questão. Com um estilo romanceado, Burmeister [1993] explica brevemente o
efeito de um conjunto de placas paralelas finas e qual o melhor espaçamento entre elas, igual-
mente descrito em Bejan [1995]. No entanto os dois autores rapidamente discutem sobre o es-
paçamento horizontal ótimo e nada é falado sobre a influência da parede inferior ou o conjunto
delas. No trabalhode Churchill e Chu [1975] encontram-se várias correlações para escoamento,
tanto laminar quanto turbulento, de convecção natural em placa plana vertical. Eckert [1950]
coloca de uma forma explicativa as Eq. 2.12 à 2.15, assim como Bejan [1995].
Maliska [1995] provê as equações e técnicas necessárias para o entendimento e aplicação
15
da modelagem numérica e o manual do software CFX [2003] serve de referência para o uso do
software, bem como a solução dos problemas advindos do andamento das simulações.
Correlações para o Nusselt em uma placa plana vertical isotérmica existem em abundância
na literatura especializada. As principais são encontradas em vários trabalhos e livros podendo
ser vistas na Tab. 1.
Tabela 1: Correlações do número de Nu
y
para o escoamento laminar sobre placa plana vertical
isotérmica
Autor Correlação Nu
y
Schimidt et Beckmann em 1930 apud Ostrach [1952] h
y
= 4,2
(
T
surf
−T
∞
)
(yT
∞
)
1
4
Eckert [1950] Nu
y
= 0,536
Gr
y
4
1
4
Ostrach [1952] Nu
y
= 0,504
Gr
y
4
1
4
Lefevre [1956] Nu
y
= 0.387
Pr
Gr
y
4
1
4
Giblin [1974] Nu
y
= 0,52(Ra
y
)
1
4
Taine e Petit [1989] Nu
y
= 0,39(Ra
y
)
1
4
Outro trabalho interessante, também numérico, é de Liu e Tao [1996] em que mostram
a interação entre duas placas verticais lisas próximas trocando calor em uma caixa fechada
onde suas fronteiras participam do processo de troca. Compararam com correlações empíricas
propostas por Churchill apud. Liu e Tao [1996] e chegaram à conclusão que a troca de calor
foi prejudicada por conta da existência das paredes da caixa. Suas placas foram mantidas a
temperatura constante nas faces internas conforme Fig. 9.
Após buscas na literatura não foi encontrada configuração semelhante à desejada. Esta será
detalhada no capítulo 3 e difere substancialmente na localização da zona de aquecimento se
mostrando, a princípio, sem efeito algum na interação com paredes próximas mas, como será
visto, um aumento no coeficiente de troca poderá ser obtido.
16
TT
g
S
H
T
8
y
x
Figura 9: Problema resolvido numericamente por Liu e Tao [1996].
2.2 Equações Matemáticas
2.2.1 Equações Descritivas
Uma importante hipótese é chamada de Hipótese do Contínuo aonde pode-se afirmar que
as Eq. de Navier-Stokes são válidas.
Na Fig. 10 percebe-se que a densidade imprevisivelmente varia na medida que se diminui
o volume de análise, oscilando em função de flutuações moleculares.
O princípio da conservação da massa estabelece que para um volume de controle infinite-
simal:
dρ
dt
= −ρ(∇ ·v) (2.9)
Para a conservação da quantidade de movimento linear o primeiro postulado de Cauchy,
em Aris [1989], mostra que
d
dt
ZZZ
v(t)
ρ(v)dV =
ZZZ
v(t)
ρ(f)dV +
ZZ
s(t)
ρ(t
n
)dA (2.10)
17
~
~
~
D
ensidade
Medida
da densidade
Valor "Local" da densidade
Volume do fluido dado por instrumento
Variaçao por flutuaçoes moleculares
~
Variaçao associada
com a distribuiçao espacia
l
Figura 10: Ilustração da hipótese do contínuo.
ou, para um ponto infinitesimal no escoamento,
ρ
dv
dt
= ρf+
−→
∇ ·T. (2.11)
As quantidades em negrito representam campos tensoriais de primeira ou segunda ordem,
sendov o campode velocidades, f aforça de corpo, que nocaso é oprópriocampo gravitacional,
e T o tensor tensão, que depende fortemente da taxa de deformação de que um fluido está
sofrendo. Nos trabalhos de Aris [1989], Batchelor e S. [1994], Eckert e Drake [1987] entre
outros contém abordagens mais completas a cerca do assunto.
No entanto, as equações para a modelagem podem ser simplificadas, considerando um
fluido Newtoniano, incomprenssível e assumindo a hipótese de Boussinesq, obtendo-se para:
Conservação da Massa
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0, (2.12)
Conservação da Quantidade de Movimento
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
= −
∂P
∂x
+ ν
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
, (2.13)
18
u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
= −
∂P
∂y
+ ν
∂
2
v
∂x
2
+
∂
2
v
∂y
2
+ gβ (T −T
∞
) e (2.14)
Conservação da Energia
u
∂T
∂x
+ v
∂T
∂y
= α
∂
2
T
∂x
2
+
∂
2
T
∂y
2
. (2.15)
É importante ressaltar que no modelo teórico de Ostrach [1952] a hipótese de Boussinesq
foi utilizada o que resulta em adotar a densidadeρ e outras propriedades do fluidocontantes. Por
sua vez, a equação de conservação de quantidade de movimento na direção y assume o termo
gβ(T −T
∞
) que representa a força de flutuação. No modelo teórico considera-se o escoamento
como completamente resolvido já, na simulação, considera-se o regimente transiente.
2.2.2 Importantes Grupos Adimensionais
Bejan [1995] apresenta uma análise dimensional ou análise de escalas, agrupando os ter-
mos de forma a representar o fenômeno físico. As Eq. 2.12 à 2.14 são adimensionalizadas com
parâmetros conhecidos tais como altura da placa (H), diferença de temperatura (ΔT), força gra-
vitacional (g), assim como as propriedades termofísicas: difusividade térmica (α), viscosidade
dinâmica (ν), coeficiente de expansão (β) e outros não conhecidos mas que são dependentes
desses citados acima: velocidades (u)e(v), espessura da camada limite térmica e hidrodinâ-
mica, respectivamente (δ
T
)e(δ).
As equações da energia e de quantidade de movimento serão adimensionalizada em x, x ∼
δ
T
e y, y ∼ H. Seguindo com a análise da equação para a energia e considerando a Fig. 11,
u
ΔT
δ
T
, v
ΔT
H
∼ α
ΔT
δ
2
T
(2.16)
O primeiro grupamento de termos é referente às escalas convectivas e o segundo refere-se
à difusão do calor.
Da conservação da massa obtém-se a equivalência dimensional:
u
δ
T
∼
v
H
. (2.17)
Juntando-se esta com a Eq. 2.16 consegue-se extrair uma ordem de grandeza para a veloci-
19
δ
T
y
x
H
Figura 11: Região de análise de Ostrach [1952].
dade v:
v ∼
αH
δ
2
t
. (2.18)
Usando agora a equação da conservação quantidade de movimento descrita para a coorde-
nada y e selecionando as ordens de grandeza, obtém-se:
u
v
δ
T
, v
v
H
e
νv
δ
2
T
∼ gβΔT
. (2.19)
O primeiro grupamento, da Eq. 2.19, refere-se aos termos inerciais, que transportam um
fluxo de quantidade de movimento, o segundo grupamento responsabiliza-se por difundir o
movimento para outras camadas de fluido por atrito e o terceiro inclui uma força de corpo na
tentativa de quantificar a energia térmica que é dispendida para movimentar a massa de fluido.
Segue-se a análise dividindo os termos da Eq. 2.19 por (gβΔT) para que o termo de flutua-
ção seja referência. Descobre-se dessa forma um importante grupo adimensional Ra =
gβΔTH
3
αν
,
número de Rayleigh, segundo a equação abaixo:
H
δ
T
4
Ra
−1
H
Pr
−1
,
H
δ
T
4
Ra
−1
H
∼ 1
. (2.20)
20
O outro grupo de parâmetros importante é chamado de número de Prandtl (Pr) e descreve
uma relação entre a difusão de quantidade de movimento, quantificada por (ν), viscosidade, e
a difusividade térmica, α, Pr =
ν
α
. Esta propriedade dos fluidos é importante para classificar e
explicar porque as camadas limites (térmica e hidrodinâmicas) são diferentes, quando são com-
paradas entre si, para fluidos com capacidades de difusão (térmica e hidrodinâmica) diferentes.
A Fig. 12 mostra duas situações: Pr 1ePr 1. No primeiro caso, a difusão da quantidade
de movimento é facilitada conseguindo-se maiores valores para a camada limite hidrodinâmica
em relação à térmica. Já no segundo caso a difusão do calor é facilitada, conseguindo-se valores
maiores da camada limite térmica em relação à hidrodinâmica.
Cabe ressaltar uma consideração sobre o número de Pr. Ele informará até quando as for-
ças de flutuação efetivamente atuarão. Dessa forma para Pr 1 somente haverá difusão de
quantidade de movimento dentro da camada limite térmica, isto é, aonde há difusão térmica e o
efeito de flutuação. Para Pr 1 a difusão de quantidade de movimento (perturbação no campo
de velocidades) persiste mesmo que a camada limite térmica termine, e com ela as forças de
flutuação também. Outra ressalva é sobre a velocidade máxima v
max
na direção y, velocidade de
ascendência para o caso de placa mais aquecida que o ar, que nos dois casos irá existir somente
no interior da região de perturbação térmica.
Para o ar, (Pr ∼ 0,71), ascamadas limites são levementediferentes, sendo a camada limite
térmica maior que a hidrodinâmica.
Para o caso de o número de Prandtl ser menor que a unidade (Pr 1), tem-se as grandezas
relacionadas:
δ
T
= H (Ra
H
Pr)
−
1
4
, (2.21)
v =
α
H
(Ra
H
Pr)
1
2
, (2.22)
Nu =
hH
k
∼ (Ra
H
Pr)
1
4
. (2.23)
Neste ponto Grand e Vernier [1978] apud. Bejan [1995], ainda sugerem uma outra escala
chamada Número de Boussinesq,(Bo), que passa a ser um grupamento na forma Bo = Ra
H
Pr.
Ostrach [1952] em trabalho original lança mão, em suas análises e gráficos, da escala com-
posta pelo Número de Grashof, sendo conhecido por outra relação entre Ra e Pr, que passa a
ser Gr =
Ra
H
Pr
.
21
Pr >> 1
Δ T
δ
T
δ
v
Camada Aquecida
~
´
~
Camada nao Aquecida
Atrito ~ Inercia
Atrito ~ Flutuaçao
δ
T
v
T
´
Pr << 1
Δ
δ
v
~
~
Inercia ~ flutuaçao
Flutuaçao ~ Atrito
Figura 12: Efeito do número de Prandtl, Pr. Retirada de Bejan [1995].
22
Um detalhamento matemático do problema pode ser encontrado em Landau e Lifchitz
[1971] apud. Milioli [1985], (Apêndice C - O Fenômeno da Convecção Natural).
A condição de equilíbrio é:
∇P = ρg, (2.24)
ou ainda,
∂υ
∂s
P
s
−s
> 0. (2.25)
A variável υ, neste caso, é volume específico
1
ρ
, s é a propriedade entropia específica em
uma altura e s
a entropia em uma altura maior.
Depois de algumas considerações chega-se em:
dT
dy
>
−gT
c
p
υ
∂υ
∂T
P
. (2.26)
Segundo Landau e Lifchitz [1971], ocorrerá convecção natural se a temperatura T variar
com y e essa variação for maior que a quantidade
−gT
c
p
υ
∂υ
∂T
P
. Esta quantidade leva em conta a
força gravitacional o volume específico do meio e seu gradiente com a temperatura, bem como
a temperatura e o seu calor específico, todos relacionados conforme Eq. 2.26.
2.2.3 O Coeficiente de Troca “h”
A Lei de resfriamento de Newton prevê que a troca de calor é função simplificada da dife-
rença de temperaturas entre a placaeoar,segundo a proporção:
dQ
dA
∼ (T −T
∞
). (2.27)
Uma constante de proporcionalidade é estimada segundo a Eq. 2.28.
dQ
dA
(T −T
∞
)
= h. (2.28)
Dessa forma, uma vez conhecidas as parcelas do lado esquerdo é estabelecida uma relação
entre calor e diferença de temperaturas muito útil na indústria e academia. Esta relação é usada
23
quando se deseja estimar a troca de calor por convecção que uma superfície sofre por estar em
contato com o ar a uma temperatura diferente. A variável de interesse, “h”, é conhecida como
coeficiente de troca de calor por convecção.
2.3 Métodos de Medição de Fluxo de Calor
GONÇALVEZ JR. [2002], “... O transdutor é o modulo do Sistema de Medição que está
em contato com o mensurando, gera um sinal (mecânico, pneumático, elétrico ou outro), pro-
porcional ao mensurando segundo uma função bem definida, normalmente linear, baseada em
um ou mais fenômenos físicos. Em termos gerais, um transdutor transforma um efeito físico
em outro ...”.
A principal dificuldade na determinação do coeficiente de troca “h” está na medição do
fluxo de calor estabelecido entre a superfície e o fluido. Basicamente existem três métodos de
medição de fluxo de calor, descritos a seguir.
2.3.1 Método Calorimétrico
Nesse método é instalado um trocador de calor na superfície da placa. Circula no interior
dos seus tubos um fluido com propriedades térmicas conhecidas. Conhecendo-se a vazão e a
diferença de temperatura entre a entrada e a saída obtém-se o fluxo de calor. A Fig. 13 ilustra
um transdutor do tipo calorimétrico.
Isolante
´
T
2
T
1
Fluxo de Calo
r
agua saida
´
a
gua entrada
´
´
Termico
Figura 13: Perfil de um transdutor do tipo calorimétrico.
Assim, LA PICA, Rodone Volpes [1993] expõem uma investigaçãoexperimentalutilizando
o método calorimétrico para medir o calor trocado por uma placa vertical em ar quiescente.
24
Trata-se de um sistema aparentemente simples, mas que apresenta limitações para medições em
pequenas superfícies.
2.3.2 Campo de Temperatura
Alguns autores utilizam um método de medição do fluxo que se baseia no campo de tem-
peratura. Ramesh e Venkateshan [2001] utilizam interferometria para mapear, com grande de-
talhamento, o campo de temperaturas. Um interferômetro do tipo Mach-Zhender foi utilizado
para a experimentação de uma placa plana vertical dentro de uma caixa fechada, e consegui-
ram correlacionar o número de Nusselt médio
Nu
com o número de Grashof ( Gr). Segundo
os autores, as incertezas do interferômetro no cálculo do número de Nusselt são da ordem de
3%. Com este sistema de medição é possível visualizar as linhas de corrente e as isotermas de
temperatura. Trata-se, entretanto, de uma instrumentação relativamente complexa e restrita a
configurações onde o equipamento possa ser instalado.
2.3.3 Método Fluximétrico
Trata-se do método mais simples para medição do coeficiente de troca onde um fluxímetro
fixado sobre a superfície de medição mede o fluxo de calor trocado.
Existem vários tipos de transdutores de fluxo de calor, mas a quase totalidade utiliza como
princípio básico a medição do gradiente de temperatura gerado em um material isolante quando
sujeito a um fluxo de calor. A Fig. 14 mostra um esquema geral do funcionamento dos fluxí-
metros.
Para a medição desse gradiente de temperatura a ampla maioria dos fluxímetros vale-se
do efeito termoelétrico Seebeck, descrito por Thomas J. Seebeck: “é possível converter uma
diferença de temperatura em diferença de potencial”, provando o observado por Alessandro
Volta em 1800 apud. Güths [1994]: “O contato entre dois metais diferentes gera eletricidade.
O potencial de contato entre dois condutores, que dependem da natureza desses condutores,
dependem assim da temperatura.” descrito pela Eq. 2.29:
V =(α
2
− α
1
)(T
B
− T
A
). (2.29)
Com
V = força eletromotriz (V);
25
T
B
T
A
T
B
T
A
L
Δ
q’’
k
T
V
Cobre
Constantan Constantan
Figura 14: Modo geral de medição do fluxo de calor em uma uma placa.
26
q’’
Linhas de Fluxo
Transdutor
Fluxo desviado
Figura 15: Perturbação das linhas de fluxo de calor devido à presença do transdutor.
α
1
,α
2
= Poder termoelétrico dos materiais 1 e 2
V
K
;
T
A
, T
B
= Temperatura das junções A e B (K).
a) Termopilha soldada
A Fig. 15 ilustra a perturbação no escoamento e no fluxo de calor devido as dimensões e
propriedades do transdutor.
Para amplificar a diferença de potencial pode-se associar os termo-elementos em série for-
mando uma termopilha soldada, Fig. 16. A soldagem dos vários termopares é realizada e a
estrutura física de sustentação é feita normalmente por uma parede auxiliar de resina. As ra-
zões mais fortes para o pouco uso desse tipo de fluxímetro são: soldagem dos termopares muito
trabalhosa, grande espessura provocando uma leve, mas sensível perturbação do escoamento e
grande resistência térmica, que provoca desvio das linhas de fluxo de calor.
b) Termopar depositado
Para minimizar o trabalho de soldagem, foi desenvolvido um tipo de transdutor onde a
termopilha é formada pelo cobreamento parcial de uma espira de constantan. Nesta montagem
um fio de Constantan é enrolado em uma placa auxiliar de resina e de maneira alternada o cobre
é depositado sobre ele. Desta maneira constrói-se um certo número de termopares que gerarão
27
L
Constantan
Cobre
Parede Auxiliar de Resina
FLUXO DE CALOR
Junta Soldada
Figura 16: Perfil de um transdutor à termopilha soldada.
Fio de Constatan
FLUXO DE CALOR
Cobre Depositado
Parede Auxiliar de Resina
Figura 17: Vista de um transdutor à termopar depositado.
a diferença de potencial proporcional ao fluxo. A Fig. 17 ilustra este transdutor. A insuficiência
no desempenho deste transdutor é devido sua grande espessura, fonte de erro de medição.
c) Furo metalizado
A busca por transdutores mais finos levou ao desenvolvimento de circuitos a furos meta-
lizados. O substrato é perfurado mecanicamente e as células termoelétricas são formadas por
deposição seletiva de constantan e cobre. Trata-se de um sensor para utilização em pequenas
áreas de medição. O alto custo e a dificuldade de produção deixam o uso restrito e pouco
numeroso. A Fig. 18 mostra um esquema deste transdutor.
d) A gradiente tangencial
Outro tipo de transdutor foi apresentado por Thery, Güths et al. [1995]. Uma montagem
típica do fluxímetro do tipo “à gradiente tangencial” pode ser vista na Fig. 19. Nesta figura
percebe-se que as linhas de fluxo de calor são modificadas para gerar um gradiente de tempera-
28
ConstantamCobre
Figura 18: Perfil de transdutor à furo metalizado.
turas no sentido tangencial ao plano de medição.
V
C
onstantan
Adesivo
Kapton
ar
Kapton
FLUXO DE CALOR
Cobre
Cobre
300 μ
m
Diferença de Temperatura
Figura 19: Corte transversal de um fluxímetro a gradiente tangencial.
As diferenças de temperatura são medidas por termopares planares a eletrodos depositados
ligados em série. Cada um dos termopares converte a diferença de temperatura em f.e.m. See-
beck.Af.e.m. produzida é diretamente proporcional ao número de termoelementos distribuídos
sobre a superfície útil do sensor. A técnica utilizada por Güths [1994] permite a construção de
termopares desprovidos de soldas, pois as junções térmicas são formadas pelo depósito eletro-
lítico de cobre sobre uma base de constantan. Já o desvio das linhas de fluxo de calor é gerado
por pinos de cobre simplesmente apoiados e colados sobre os termoelementos, facilitando a fa-
bricação e possibilitando a construção de grandes superfícies de medição. A alta sensibilidade
é devida ao grande número de junções dos termoelementos.
29
A perturbação, causada no fluxo de calor, é um dos problemas tecnológicos da maioria dos
transdutores. São dois tipos de perturbações que o transdutor ocasiona: uma mostrada na Fig.
15 onde as linhas de fluxo de calor modificadas indicam a presença de um transdutor ou de uma
resistência a mais para o fluxo de calor deixar a placa aquecida. Por isso quanto menor esses
desvios melhor é o transdutor, uma vez que o fluxo desviado não é contabilizado e o transdutor
indicará um menor fluxo do que realmente acontece. Outro tipo de perturbação ocorre pela
modificação no escoamento do fluido, causada pela presença do sensor. A Fig. 15 dá uma idéia
da modificação nos fluxos de massa e de calor.
2.3.4 Gradiente de Temperatura
Uma outra forma de medição, porém pouco utilizada, é através da medição do gradiente de
temperatura do ar junto à placa. Como a velocidade do ar junto à placa é nula, o fluxo de calor
é apenas por condução Fig. 20. No entanto, se torna imprecisa justamente pela dificuldade de
se chegar muito próximo à parede, ocasionando correntes que modificam o escoamento.
~
X
T
8
T
Sonda para a mediçao da Temperatura
Figura 20: Medição do fluxo de calor junto à placa.
q
= −k
ar
∂T
∂x
x=0
. (2.30)
30
2.4 Métodos de Calibração do Fluxímetro a Gradiente Tan-
gencial
Serão apresentados dois métodos de calibração de transdutor de fluxo de calor. A acurácia
de um transdutor depende diretamente da confiabilidade de sua calibração. A calibração de
um fluxímetro baseia-se na imposição de um fluxo de calor conhecido, normalmente gerado
por efeito Joule em uma resistência aquecedora com a mesma área superficial do transdutor.
Existem basicamente dois métodos de calibração:
• Duplo simultâneo;
• Fluxímetro auxiliar.
2.4.1 Duplo Simultâneo
No método simultâneo, representado esquematicamente pela Fig. 21, dois trandutores com
dimensões idênticas são postos em contato superficial e submetidos a um fluxo de calor con-
siderado idêntico e conhecido. Num segundo momento, mostrado na Fig. 22, a resitência
aquecedora é posicionada entre os fluxímetros e um fluxo de calor conhecido é fornecido à
placa mediante a aplicação de uma d.d.p. nos terminais da mesma.
^
´
´
B
V
V
A
’
’
Fluximetro B
Fluximetro A
Resistencia Aquecedor
a
Placa Isotermica
´
Isolamento termico
´
Α
Φ
’
Β
Φ
’
L
eituras
Figura 21: Primeira etapa da calibração simultânea.
Um banho termostatizado garante a temperatura homogênea da placa isotérmica que sus-
tenta a montagem. A Eq. 2.31 relaciona o fluxo de calor com a tensão nos fluxímetros.
31
´
^
´
B
A
Α
Φ
Β
Φ
V
V
Fluximetro B
Fluximetro A
Resistencia Aquecedor
a
Placa Isotermica
´
Placa Isotermica
´
Figura 22: Segunda etapa da calibração simultânea.
q
i
=
c
i
ΔV
i
A
, (2.31)
q
i
é o fluxo de calor no fluxímetro i em
W
m
2
,
c
i
é a constante de proporcionalidade do fluxímetro i em
W
m
2
µV
,
ΔV
i
é a diferença de tensão entre os terminais do fluxímetro em (µV),
A é a área de geração da potência elétrica que deve ser igual a área do fluxímetro em
m
2
.
φ
A
= φ
B
,
P = Ri
2
= φ
A
.
(2.32)
c
A
V
A
= c
B
V
B
,
P = c
A
V
A
+ c
B
V
B
.
(2.33)
Cuja resolução é:
32
c
A
=
P
V
A
+
V
A
V
B
V
B
,
c
B
=
P
V
B
+
V
B
V
A
V
A
.
(2.34)
Onde,
V
A
,V
B
são as tensões produzidas na primeira configuração (µV),
V
A
,V
B
são as tensões produzidas na segunda configuração (µV),
c
A
,c
B
são as constantes de calibração de cada transdutor, A e B
W
µV
e
P = Ri
2
é a potência elétrica dissipada pela resistência elétrica (W).
2.4.2 Transdutor Auxiliar
´
^
´
V
V
Auxiliar
Fluxo perdido
Fluximetro Auxiliar
Fluximetro a Calibra
r
Placa Isotermica
´
Isolante
Potencia Dissipada
^
Resistencia
Figura 23: Calibração com trandutor auxiliar.
Este outro método utiliza um transdutor previamente calibrado, chamado de transdutor au-
xiliar, para medir o fluxo de calor perdido ao isolante, conforme mostrado na Fig. 23. Normal-
mente o fluxo de calor perdido pelo isolamento é inferiora5%dofluxo total. Dessa forma,
a pequena incerteza na constante de calibração do transdutor auxiliar pouco influencia o resul-
tado final. Para calibrar o fluxímetro auxiliar pode-se desprezar a fuga de calor ao isolante, ou
utilizar um processo iterativo, alternado-se a posição dos dois fluxímetros.
33
3. O APARATO EXPERIMENTAL
Neste capítulo apresenta-se a bancada experimental, a calibração dos transdutores e uma
avaliação dos parâmetros dimensionais do aparato. Também serão apresentadas as considera-
ções realizadas, os aparelhos utilizados e os materiais que foram empregados.
3.1 Montagem dos Fluxímetros e da Bancada
A Fig. 24 ilustra um esquema da bancada experimental idealizada.
b
~
x
a
q
’’
Regiao de Flutuaçao
~~
g
v
y
Regiao de Arraste Viscos
o
Fluxo Desviado
T
p
u
Isolamento (EPS)
Figura 24: Perfil da montagem experimental: paredes próximas à placa plana.
A Fig. 25 mostra esquematicamente a montagem dos fluxímetros. O dispositivo experi-
mental constitui-se de uma placa de alumínio com dimensões de 150 mm x 150 mm x 3 mm e
34
de faces lisas. Esta placa é aquecida por uma resistência elétrica plana de constantan e isolada
termicamente na face posterior. A resistência é alimentada por uma fonte de corrente contínua,
(0 − 30 V,1 A). Possui as mesmas dimensões da placa metálica e é isolada por uma placa de
EPS (poliestireno expandido), com 15 mm de espessura. Para medir o fluxo de calor da placa
foram fixados 5 transdutores de fluxo de calor, com dimensões de 5 cm × 2 cm, sobre a face
frontal da placa de alumínio.
´
´
Isolante termico,´
Polido
^
´
´
E
PS (esp. = 15 mm)
(esp. = 1 mm)Resistencia Aquecedora
Placa Aluminio (esp. = 3 mm)
Fluximetros (esp. = 0,5 mm)
Filme de Aluminio (esp. = 0,05 mm
)
Placa Aluminio (esp. = 1 mm)
Figura 25: Corte transversal do dispositivo experimental.
As temperaturas são medidas por termopares do Tipo T, AW G 26. A temperatura da placa é
medida por umtermopar plano fixado na região central da mesma. Este termopar é conectado de
forma diferencial com a o termopar que mede a temperatura do ar estando as junções protegidas
das trocas radiativas por um cilindro metálico de baixa emissividade. Esse mesmo termopar é
então conectado a um controlador do tipo PID (controlador proporcional integral derivativo), de
resolução igual a 0, 1
0
C, alimentado por uma fonte de corrente contínua, de potência máxima
de 30 W.
As Figs. 25 e 28 ilustram a montagem e o posicionamento dos fluxímetros sobre a placa
metálica.
35
Figura 26: Vista do dispositivo experimental.
36
A Fig. 26 mostra a montagem do dispositivo de medição do fluxo de calor por convecção
de uma placa encastrada. Esta placa é a configuração que mais se assemelha à configuração es-
tudada por Ostrach [1952]. Consiste numa placa metálica, onde estão fixados os 5 fluxímetros,
confinada entre duas placas de EPS verticais e dispostas nas laterais. A Fig. 28 mostra, em de-
talhe, a montagem da placa aquecida juntamente com os fluxímetros utilizados. Considerando a
configuração composta somente pela placa plana mais os fluxímetros, resistência e isolamentos
tem-se a condição de placa plana livre, sem influências de superfícies próximas. Entretanto,
ao levar em conta, nessa montagem, a placa de isolamento que está recoberta por um filme de
alumínio e posicionada no prolongamento da borda inferior da placa plana aquecida, tem-se a
configuração de placa encastrada, mais semelhante ao modelo teórico de Ostrach [1952].
Ao fundo da Fig. 26 percebe-se uma placa de alumínio escovado, com 4 mm de espessura,
verticalmente disposta. Na parte inferior também é percebida uma placa horizontal de mesmo
material. Estas placas serão utilizadas, em configurações posteriores, como superfícies próxi-
mas e que influenciarão no coeficiente de transferência de calor por convecção. Desta maneira
a placa plana aquecida, onde estão fixados os fluxímetros, é criteriosamente distanciada dessas
placas de alumínioescovado. A experimentação se procedeu com um isolamentocobrindo estas
duas superfícies. Nesta figura, Fig. 26, o isolamento não está presente mas o isolamento foi
utilizado no momento da experimentação.
A Fig. 27 mostra a caixa que protege todos os dispositivos de medição. Esta proteção se faz
necessário para que correntes convectivas não atrapalhem na medição do coeficiente de troca de
calor por convecção natural. Nesta figura também estão presentes os ventiladores, para auxiliar
no resfriamento adicional da superfície superior da caixa protetora, e a fonte utilizada para o
aquecimento da placa plana vertical experimentada.
Outro termopar é ligado, também de forma diferencial, para verificar o gradiente de tempe-
ratura na superfície da placa. Uma de suas juntas foi fixada na parte superior e outra na parte
inferior, conforme Fig. 28. Os sinais são adquiridos por um sistema de aquisição marca HP
Agilent modelo 34970A, com intervalo de varredura de 5 s.
Nesse estudo deseja-se avaliar a transferência de calor bidimensional. Dessa forma a placa
foi enclausurada entre duas placas laterais em EPS revestidas com uma película de alumínio
polido com o objetivo de reduzir as trocas radiativas. A Fig. 26 mostra as placas laterais de EPS
e no centro a placa aquecida com os transdutores. A presença das placas de EPS, também, tem
a função de evitar as correntes transversais de ar que possam influenciar a medição.
Todo o conjunto é inserido em uma caixa de alumíniopolido com dimensões de 1 mx 0,8 m
x 0, 6 m, com o objetivo de reduzir a influência do movimento de correntes de ar parasitas.
37
Figura 27: Vista da caixa de proteção.
38
Essas correntes convectivas podem influenciar negativamente a medição do fluxo de calor por
convecção natural na face frontal da placa plana vertical. Para minimizar o aquecimento do ar
interno foram instalados 2 ventiladores na superfície externa da caixa protetora, conforme visto
na Fig. 27.
O ambiente externo foi mantido a uma temperatura de 23
o
C com uma variação de 1
o
C no
intervalo de 10 minutos. Já a variação da temperatura interna foi inferior a 0,1
o
C.
Como acabamento superficial duas configurações foram implementadas: brilhante e negro.
Para a configuração brilhante uma película de alumínio polido (espessura igual 50 µm) foi
fixada sobre os fluxímetros e para o acabamento negro foi fixada uma folha de papel carbono
fosco.
A película de alumínio garante que as trocas radiantes sejam mínimas, uma vez que a emis-
sividade é estimada em ε = 0,05.
Por sua vez a configuração de corpo negro vai maximizar as trocas radiantes. A película
fixada apresenta uma absortividade estimada em α = 0,95.
´
´
´
´
II
I
´
Fluximetro 5
Fluximetro 4
Fluximetro 3
Fluximetro 2
Fluximetro 1
Termopar
es
Placa de Aluminio
´
Figura 28: Vista frontal dos transdutores fixados na placa.
A Fig. 29 ilustra melhor a montagem da placa plana aquecida e os fluxímetros utilizados
para medição do fluxo de calor por convecção. No centro da figura são fixados os fluxímetros
e um respectivo recobrimento aluminizado para minimizar as trocas radiantes. Ao lado direito
nota-se um recobrimento adicional para evitar flutuações no escoamento provenientes de im-
39
perfeições na motagem. Ao lado esquerdo encontram-se os cabos que ligam os fluxímetros
ao sistema de aquisição. Na execução do experimento estes estavam recobertos por uma fita
adesiva aluminizada para evitar turbulências ao escoamento.
Figura 29: Vista frontal dos transdutores fixados na placa.
É importante salientar um detalhe na montagem dos fluxímetros: entre cada transdutor há
pequenos espaços vazios chamados “gaps”. Estas películas têm também a função de minimizar
o efeito negativo destas imperfeições (provenientes da montagem dos fluxímetros), que possam
perturbar o escoamento.
Todos os sinais, produzidos nos termopares e fluxímetros, são adquiridos por um sistema
de aquisição marca HP Agilent modelo 34970A em modo diferencial. A aquisição dos dados
se dá a cada segundo e são salvos em arquivo para tratamento ulterior. Como os termopares
apenas medem uma diferença de potencial termoelétrico, indicando assim uma diferença de
temperaturas.
As superfícies vizinhas são em alumínio escovado. São placas de 4 mm de espessura,
largura de 20 cm e comprimento de 80 cm. São fixas e apoiadas em um suporte. A placa
plana com fluxímetros, resistência e termopares é móvel sendo posicionada na configuração
desejada. A Fig. 24 mostra que várias configurações podem ser adotadas mediante a variação
dos comprimentos a e b.
40
3.2 Calibração dos Transdutores
Como já mencionado, a exatidão de uma medição é fundamental e é diretamente depen-
dente da calibração do sensor. Cada fluxímetro possui sua constante de proporcionalidade.
A calibração procedeu-se de modo independente. Cada um dos 5 fluxímetros foi calibrado
utilizando-se o método do transdutor auxiliar, abordado na seção 2.4.2. A Fig. 23 indica a
montagem utilizada.
A Tab. 2 apresenta os valores da calibração de cada um deles.
q
= cV. (3.1)
Tabela 2: Valores da calibração dos fluxímetros.
Transdutor Sinal (µV) q (W) Fluxo
W
m
2
c
W
µV
Fluxímetro 5 7.420 5,48 5346,37 0, 72
Fluxímetro 4 15.170 5,48 5430,09 0, 36
Fluxímetro 3 13.750 5,49 5301,79 0, 39
Fluxímetro 2 14.400 5,45 54553,04 0,3308
Fluxímetro 1 7.675 5,49 5224,84 0, 68
A constante de calibração converge assitoticamente para umvalor estável para umapotência
dissipada pela resistência superior a 2000
W
m
2
. Esse efeito é evidenciado em Güths [1994] e é
devido à relação entre o fluxo de calor que atravessa o transdutor e as fugas laterais. Por isso
quanto maior o fluxo de calor dissipado na resistencia aquecedora, menor é a influência das
fugas de calor. A Fig. 30 indica a convergência da constante de calibração para um valor
estável em função da potência dissipada na resistência aquecedora.
3.2.1 Avaliação da Sensibilidade do Fluxímetro
Pode existir uma anisotropia superficial de medição do fluxo de calor, decorrente de falhas
no processo de fabricação. Com uma experimentação simples pode-se medir a sensibilidade de
um transdutor mediante uma imposição de um fluxo em diferentes regiões de sua superfície.
Uma resistência aquecedora, com dimensão menor que o transdutor testado, é sobreposta na
face superior em três posições: esquerda, centro e direita. Um fluxo de calor conhecido é
41
Figura 30: Constante de calibração, fluxímetro2, emfunção da potência dissipada na resistência
aquecedora.
imposto e é realizada a leitura do sinal do transdutor. O valor do fluxo de calor utilizado foi
de 1000
W
m
2
. O esquema pode ser visto na Fig. 31. Uma análise da Tab. 3 indica que os
fluxímetros não apresentam variação significativade sensibilidade ao longo da área de medição,
(esquerda−centro−direita).
Tabela 3: Valores para a sensibilidade dos fluxímetros.
Transdutor Esquerda
⎛
⎜
⎝
mV
W
m
2
⎞
⎟
⎠
Centro
⎛
⎜
⎝
mV
W
m
2
⎞
⎟
⎠
Direita
⎛
⎜
⎝
mV
W
m
2
⎞
⎟
⎠
Fluxímetro 5 0,145 0,149 0,147
Fluxímetro 4 0,269 0,261 0,265
Fluxímetro 3 0,280 0,284 0,286
Fluxímetro 2 0,331 0,327 0,326
Fluxímetro 1 0,213 0,211 0,205
42
~
´
Esquerda
DireitaCentro
Fluximetro
Sistema de aquisiçao
Figura 31: Experimentação para estimar a sensibilidade de um fluxímetro.
3.3 Avaliação do Aparato Experimental
Antes de explorar os resultados experimentais procurou-se avaliar diferentesfenômenosque
poderiam estar presentes no aparato e de alguma forma influenciar negativamente nos resultados
finais.
3.3.1 Gradiente de Temperatura na Placa Metálica
O modelo de convecção estudado é o da placa plana vertical isotérmica. Como o fluxo de
calor é gerado por uma resistência aquecedora (fluxo constante), a isotermia é obtida graças
a alta condutividade da placa de alumínio. Nessa seção é apresentada uma análise térmica
simplificada para avaliar a hipótese de isotermia no sentido vertical.
O modelo é unidimensional, regime permanente e baseado em resistências térmicas equi-
valentes. Consiste em duas pequenas partes consecutivas da placa, sendo a área de cada parte
igual a área de um fluxímetro, H ×W, H = 2,0 cm e W = 5,0 cm. Estima-se um coeficiente
de troca (baseado em medições prévias e literatura) e impõe-se um fluxo de calor
P = Ri
2
.
A temperatura interna de cada região da placa é estabelecida mediante um balanço entre essas
duas quantidades, bem como a temperatura nas suas superfícies (interna e externa). Dessa ma-
neira pode-se conhecer qual o ΔT existente entre duas alturas consecutivas da placa, e também
o gradiente no interior de cada região. O modelo é esboçado na Fig. 32 e procura-se conhecer
a diferença de temperatura ΔT = T
p1
−T
p2
K, plotado na Fig. 33.
De um balanço de energia para cada “nó” presente na Fig. 32 constrói-se um sistema de 8
equações e 8 incógnitas, que está descrito pela Eq. 3.2:
43
T
Pot
S
H
H
Env
Ta
Ta
1
Tp
Tp
Tf
Tf
1
Ts
1
1
2
2
2
Ts
2
Figura 32: Modelo para a verificação da isotermia da placa.
P·H =
T
e2
−T
p2
S
2k
p
H
,
P·H =
T
e1
−T
p1
S
2k
p
H
,
T
f2
−T
s2
s
2k
f
H
=
T
s2
−T
∞
1
h
2
H
,
T
f1
−T
s1
s
2k
f
H
=
T
s1
−T
∞
1
h
1
H
,
T
e2
−T
p2
S
2k
p
H
=
T
p2
−T
f2
S
2k
p
H
+
s
k
f
2H
+
T
p2
−T
p1
H
sk
p
,
T
e1
−T
p1
S
2k
p
H
+
T
p2
−T
p1
H
sk
p
=
T
p1
−T
p2
S
2k
p
H
+
s
k
f
2H
,
T
p2
−T
f2
S
2k
p
H
+
s
k
f
2H
=
T
f2
−T
f1
H
sk
f
+
T
f2
−T
s2
H
sk
f
,
T
p1
−T
f1
S
2k
p
H
+
s
k
f
2H
+
T
f2
−T
f1
H
sk
f
=
T
f1
−T
s1
s
2k
f
H
,
(3.2)
44
e com as variávies definidas:
ΔT
1−2
= T
p1
−T
p2
é a diferença de temperatura desejada em (K).
T
∞
= 298 K é a temperatura suficientemente longe da placa em (K).
k
f
é a condutividade do fluxímetro em
W
mK
.
k
p
é a condutividade da placa em
W
mK
.
T
f
é a temperatura do fluxímetro em (K).
T
p
é a temperatura da placa em (K).
S é a espessura da placa em (m).
s é a espessura do fluxímetro em (m).
T
e1
é a temperatura no ponto esquerdo inferior (K).
T
e2
é a temperatura no ponto esquerdo superior (K).
A Tab. 4 apresenta os valores das propriedades dos materiais envolvidos.
Tabela 4: Propriedades dos materiais.
Material Cond. Térmica
W
mK
Espessura (mm) Área
cm
2
Placa de Alumínio 400 4 15 x 15
Resistência Aquecedora − 1 15 x 15
Fluxímetro 1 1 2 x 5
Uma análise da Fig. 32, assim como no conjunto de Eq. 3.2, pode identificar os valores
de
H
sk
f
,
S
2k
p
H
e
1
h
2
H
como resistências à passagem do fluxo de calor imposto pelos gradientes
relativos.
Este sistema pode ser solucionado com auxílio de um programa de computador. O software
EES - Engineering Equation Solver que utiliza o método de solução por tentativa e erro foi
utilizado. Uma simulação com alguns valores de k
f
e k
p
é mostrada na Fig. 33. Embora o valor
da condutividade do fluxímetro influencie na diferença de temperatura da placa, essa diferença
é pequena para placas com grande valor de condutividade k
p
.
A condutividade térmica equivalente do fluxímetro utilizado foi cerca de k
f
= 1, 0
W
mK
ea
placa de alumínio possui k
p
= 400,0
W
mK
resultando em uma diferença de temperatura ΔT na
placa de 0,04
0
C. Trata-se de um valor bastante baixo, podendo então ser considerada válida a
45
Figura 33: Gráfico da influência da condutividade térmica “k” na isotermia da placa.
hipótese de isotermia.
3.3.2 Avaliação do gradiente de temperatura na “caixa protetora”
A caixa protetora deve possuir dimensões tais que permitam dissipar o calor carregado por
convecção natural, sem provocar um aumento na temperatura do ar interior. A dissipação do
calor será da placa aquecida para o ar próximo à placa e deste para regiões distantes da placa
aquecida.
Um aumento de temperatura do ar provocará efeitos de flutuação em outras áreas internasda
caixa e a condição de quiescência do ar não será mais mantida. Para issoprecisa-se dimensionar
a caixa protetora de modo que o escoamento, após a região de flutuação, se desenvolva até
distância tal que não interfira no escoamento que está se acelerando na região de flutuação.
Para avaliar o dimensionamento da caixa protetora instalou-se um termopar diferencial no
interior da caixa em diferentes pontos. A medição da diferença de temperatura do ar entre os
pontos A e B, na Fig. 34, mostra que há um aumento de apenas 1,0
o
C na temperatura do ar,
sendo este o valor máximo encontrado. O aumento não é significativo uma vez que a medição
em outras regiões apresenta ΔT da ordem de 0, 5
o
C. Isso indica que a caixa tem dimensões
compatíveis com o experimento.
46
A
B
1
m 0.15 m
0.8 m
Figura 34: Esquema de montagem do termopar diferencial no interior da caixa protetora.
3.3.3 Transferência Radiativa
Nesse estudo pretende-se comparar os resultados experimentais com os resultados teóricos
encontrados na literatura. Esses resultados referem-se unicamente ao coeficiente de troca de
calor por convecção. Entretanto as trocas térmicas convectivas, condutivas e radiativas estão
presentes no modelo experimental. A troca condutiva ocorre na região posterior e nas laterais
da placa aquecedora, sendo minimizado com o uso de isolantes do tipo EPS, considerada des-
prezível em função da baixa condutividade térmica desse material k
isol.
∼ 0,026
W
mK
. A parcela
condutiva a considerar está na troca entre placa aquecida e ar. Esta parcela é advectada for-
mando assim a troca térmica chamada convecção e seu valor é previsto pelo sinal elétrico que o
fluxímetro fornece. A troca radiativa, por sua vez, está presente e também faz parte do sinal do
fluxímetro.
Assim o coeficiente global de troca, h
t
, pode ser escrita conforme Eq. 3.3.
h
t
= h
r
+ h
c
,
q
t
= q
c
+ q
r
,
(3.3)
onde:
q
t
eh
t
são o fluxo de calor
W
m
2
e o coeficiente de troca total
W
m
2
K
,
47
q
c
eh
c
são o fluxo convectivo
W
m
2
e o coeficiente de troca convectiva
W
m
2
K
e
q
r
eh
r
são o fluxo radiativo
W
m
2
e o coeficiente radiativo
W
m
2
K
.
T
viz
é a temperatura das vizinhanças e define a temperatura em que temperatura estão todas
as superfícies vizinhas e o ar ao redor da placa. Neste caso a T
viz
= T
∞
. Diversos autores
preferem trabalhar com o fluxo de calor radiativo expresso conforme Eq. 3.4:
q
r
= h
r
(T
sup
−T
viz
), (3.4)
que fornece um coeficiente de troca segundo a equação:
h
r
= εσ (T
sup
+ T
∞
)
T
sup
2
+ T
∞
2
. (3.5)
A propriedade ε é a emissividade da superfície e σ = 5,67 10
−8
W
K
4
m
2
é a constante de
Stefan-Boltzmann. O coeficiente de convecção pode ser determinado por:
h
c
= h
r
−
q
(T
sup
+ T
∞
)
. (3.6)
A Fig. 35 mostra os resultados de um ensaio onde os fluxímetros foram recobertos por uma
película negra (película de carbono, com emissividade estimada em 0,95). Uma potência de
2000
W
m
2
foi aplicada na resitência elétrica fazendo com que o ΔT atingisse o valor de 20 K,
entre a placa metálicaeoar.Após descontada a parcela referente às trocas radiantes, os valores
puderam ser comparados com resultados teóricos apresentados por Ostrach [1952]. Nos dois
casos os valores de operação do experimento, ΔT e potência dissipada
Ri
2
, foram os mesmos
diferindo apenas na cor do acabamento superficial.
Na Fig. 35 os valores representam uma média na área correspondente de cada fluxíme-
tro. O valor médio do coeficiente proposto por Ostrach [1952] é também calculado na área
correspondente de cada fluxímetro, (2 cm × 5 cm), efetuando se a comparação. Nota-se boa
concordância entre os valores teóricos e experimentais para o caso de acabamento brilhante.
3.4 Comparação Teórico × Experimental
O caso teórico relatado por Ostrach [1952] é a solução por similaridade das equações sim-
plificadas para o caso bidimensional. Dessa forma, a experimentação do caso padrão conhecido
48
Figura 35: Variação do coeficiente de troca teórico e experimental.
por “placa encastrada” foi realizada e a Fig. 36 mostra os resultados dessa comparação, através
do número de Grashof, Gr
y
=
gβΔTy
3
ν
2
.
Deve-se ressaltar que o problema resolvido por Ostrach [1952] é modelado, aqui, experi-
mentalmente pela placa encastrada. Esta modelagem se assemelha muito com o caso teórico.
No entanto, observa-se uma boa concordância entre os valores teórico e experimentais. As dife-
renças entre os valores podem ser explicadas pelo fato de que na bancada as falhas de montagem
e operação permitem que fluxos de massa externos interfiram na medição dos fluxímetros. No
entanto, a tendência dos valores experimentais segue a tendência dos valores teóricos.
A Fig. 36 mostra os resultados experimentais e teóricos para o caso da placa encastrada. O
ΔT imposto foi de 20 K e a placa tem dimensões de 15 cm por 15 cm. Cada valor, referente
à experimentação, indicado no gráfico da Fig. 36 representa um valor médio na área de cada
fluxímetro. Para efetuar a comparação, foram tomados osvalores médios teóricos do coeficiente
em cada área correspondente.
A diferença nos valores do coeficiente diminui na medida que Gr
y
aumenta. Essa diferença
se deve à imperfeições de montagem e turblências causadas por ela e também por simplificações
adotadas no modelo teórico. O modelo de Ostrach [1952] limita-se ao interior da camada limite,
já no modelo experimental estão presentes fluxos de calor por todos os lados bem como efeitos
49
Figura 36: Comparação teórico × experimental.
de borda e outras imperfeições na montagem.
Pode-se verificar uma ótima concordânia entre os valores esperimentais e teóricos indi-
cando que no modelo experimental é verificado um comportamento semelhante ao previsto por
Ostrach [1952].
50
4. A MODELAGEM
COMPUTACIONAL
O código comercial ANSYS-CFX foi escolhido para a simulação dos casos uma vez que o
seu uso já está consolidado como ferramenta de engenharia por inúmeros grupos de Pesquisa e
Desenvolvimento. Estes, com sucesso, estão otimizando projetos em virtude do conhecimento
prévio qualitativo e quantitativo do escoamento, do campo de temperaturas, da taxa de calor
transferido no domínio do problema, das forças resistivas pela estrutura, enfim, de todas as
variáveis envolvidas no respectivo problema.
As equações diferenciais de conservação da massa, quantidade de movimento e energia
são discretizadas pelo método dos volumes finitos e resolvidas iterativamente chegando-se a
erros máximos da ordem de 10
−6
. As equações transientes foram resolvidas de forma a mostrar
aspectos de desenvolvimento dos campos de velocidade e de temperatura. Foi realizada uma
análise da discretização da malha, isto é, do tamanho do volume de controle, bem como uma
avaliação da espessura da placa e do tipo das condições de contorno.
A modelagem numérica é inicialmente comparada com resultados teóricos apresentados
por Ostrach [1952] e depois os vários casos são comparados com valores experimentais.
4.1 Parâmetros de Simulação
O problema possui uma escala de tempo relativamente baixa, da ordem de segundos. No
relatório final de simulação, produzido pelo software ANSYS CFX 10.0, são calculados os va-
lores médios de escala do problema em questão para algumas variáveis importantes tais como:
Reynolds, Rayleigh, tempo de flutuação, tempo médio de advecção, velocidades máximas e
mínimas entre outras. O tempo médio de advecção é determinado por
t =
L
v
, sendo respectiva-
mente L e
v um comprimento e uma velocidade característicos. Para o caso da placa encastrada
com altura igual a 15,0 cm e ΔT = 20 K, o tempo médio de advecção é de 2,1 s, que é o tempo
necessário para que uma partícula de fluido percorra uma vez o domínio. O tempo de flutuação
51
é entendido como o tempo necessário para uma parcela de fluido percorrer a distância total da
placa aquecida apenaseéde0,5 s, para o caso da placa encastrada. O tempo total de simulação
foi arbitrado em 15, 0 s. Esse tempo é suficiente para mais de cinco ciclos de passagem do ar
no domínio, podendo ser considerado como tempo suficiente para o escoamento encontrar um
regime quase estacionário. O número de Reynolds do escoamento, para esta placa encastrada, é
de Re ∼ 374 e o número de Rayleigh fica da ordem de Ra
y
∼ 10
6
, indicando que o escoamento
possui uma característica laminar
1
, e dessa forma nenhum modelo de turbulência foi adotado.
Já para o caso da placa livre comaltura de placa H = 45,0 cm o tempo médio de advecção é
de 3, 0 s, o número de Reynolds, Re = 778, oRayleigh, Ra = 1,35 10
7
e tempo de flutuação da
ordem de 0,7 s. Isso indica que o tempo escolhido de 15,0 s para um regime quase estacionário
é novamente coerente. Este caso é o que necessita mais recursos computacionais e possui
um número total de elementos volumétricos hexaédricos de 551.131 volumes, necessitando de
aproximadamente 6 horas de simulação quando se utilizando processamento paralelo em 16
computadores com 2,8 GHz de processamento e 1,5 MB de memória RAM cada.
A equação da conservação da quantidade de movimento em y pode ser escrita conforme Eq.
4.1:
u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
= ν
∂
2
v
∂x
2
+ gβ (T −T
∞
). (4.1)
O termo de flutuação gβ(T −T
∞
) é um termo fonte que representa a força de flutuação ou
força motriz do escoamento. Só existirá, portanto, enquanto existir diferença de temperatura.
O parâmetro β é avaliado como: β = −
1
ρ
∂ρ
∂T
P
, este valor representa uma expansão
térmica sofrida pelo gás à pressão constante. Para o ar seco com pequena variação de ΔT=
(T −T
∞
) T
∞
, o valor do coeficiente de expansão térmica fica da ordem de β ∼
1
T
.
O problema transiente foi resolvido com passo de tempo de 0,05 s e tempo total (real)
de 15,0 s, como já discutido. Ar seco com temperatura de 298, 0 K foi selecionado como
fluido de trabalho à pressão atmosférica, sendo a força de corpo a própria força gravitacional.
A temperatura de referência foi arbitrada em 298,0 K. O domínio é estacionário e nenhum
modelo para deformação da malha foi escolhido. As variáveis velocidade e pressão foram
iniciadas com valores de 0,0
m
s
e 0,0 Pa , e a temperatura com valor de 298,0 K. O esquema de
interpolação escolhido foi de segunda ordem, com o modelo Rhie Chow, para evitar problemas
com difusão numérica. O controle de convergência em cada passo de tempo é definido pelo
número de iterações em cada passo de tempo, que é de 10, e também pelo resíduo máximo que
1
Ra
y
< 10
9
para regime laminar, Rosehnow, Hartnett e Cho [1998] e Incropera e DeWitt [2003].
52
foi arbitrado em 10
−6
. Esse resíduo também influencia no critério de parada no tempo, ou seja,
ou o tempo total de 15,0 s é alcançado ou o resíduo máximo de 10
−6
.
4.2 Casos Simulados
Fronteiras Abertas
Placa Encastrada
A
diabatica
´
A
diabatica
´
Figura 37: Esquema em corte do domínio computacional: Modelo de placa encastrada.
Os casos simulados são representados nas Fig. 37 à Fig. 41. Em todos os casos estão
presentes: a placa plana e asfronteiras abertas. Nos casos em quese deseja conhecer a influência
das superfícies vizinhas a condição de contorno de parede foi adotada.
Na simulação, quando se quis modelar a placa livre foi utilizado a modelagem corres-
pondente à Fig. 38, para horizontal adiabática inferior a correspondente à Fig. 39, vertical
adiabática posterior a Fig. 40 e ambas as placas a Fig. 41.
53
Fronteiras abertas
Fronteiras aberta
s
Placa Livre
Figura 38: Esquema em corte do domínio computacional: Modelo de placa livre.
Placa Plana
Fronteiras Abertas
´
Parede Inferior Adiabatica
Figura 39: Esquema em corte do domínio computacional: Modelo de parede horizontal adiabá-
tica inferior próxima à placa plana vertical isotérmica.
54
Fronteiras Aberta
s
Placa Plana
Parede Posterior Adiabatica
´
Figura 40: Esquema em corte do domínio computacional: Modelo de parede vertical posterior
adiabática próxima à placa plana vertical isotérmica.
Placa Plana
Fronteiras Abertas
´
Paredes Inferior e Posterior Adiabaticas
´
Figura 41: Esquema em corte do domínio computacional: Modelo de parede inferior e posterior
próximas à placa plana vertical isotérmica.
55
4.3 Tamanho do Domínio
Uma questão importante de se tratar é o tamanho do domínio computacional. Deve-se
selecionar um tamanho mínimo mas que ainda caracterize o problema. No entanto, a malha
definirá a capacidade computacional exigida, pois para cada volume é preciso guardar as variá-
vies de fluxo (nas direções x, y, z) temperatura, densidade entre outras. Para os casos estudados
necessitou-se de 4 computadores com 2,8 GHz de clock e com 1, 5 GB de memória RAM tra-
balhando em paralelo, mas foram efetivamente utilizadas 16 máquinas diminuindo a carga para
cada uma delas e realizando o trabalho num tempo menor. Escolheu-se 16 máquinas para que
dois ou mais casos fossem simulados simultaneamente.
O modelo computacional para o domínio do problema físico variou de 1 m × 1 m, no caso
de placa plana com superfícies vizinhas muito próximas, até um máximo de 2 m × 2 m,no
caso da placa livre. Nestes dois casos os domínios escolhidos são suficientemente grandes para
caracterizar o problema, possibilitando que o ar movimente-se e prevenindo que as condições
de contorno influenciem negativamente o escoamento na região próxima à placa. A espessura
no modelo é sempre constante e igual a 1,0 mm, representando um modelo bidimensional. As
dimensões encontram-se na Fig. 42.
4.4 Tamanho e Discretização da Malha
A malha será obtida através da discretização de um domínio contínuo para a integração
das equações de continuidade, quantidade de movimento e energia. O espaçamento de malha
interfere na solução do problema. Uma discretização grosseira pode afetar substancialmente os
resultados a ponto de não poderem ser vistos como solução do problema, por outro lado uma
discretização fina resulta em um tempo computacional elevado. Assim, três graus de refino
de malha foram testados mantendo-se constantes as dimensões do domínio. As malhas foram
geradas com auxílio de ferramentas CAD de um módulo disponível do próprio pacote compu-
tacional ANSYS - CFX e respeitam regras simples: na direção z foi escolhido 1 volume apenas,
que serve de orientação para que o ANSYS - CFX assuma escoamento bidimensional; nas di-
reções x e y a malha segue uma função exponencial com a dimensão dos elementos variando
inicialmente de 0,2 mm e, até o final da aresta, de 25,0 mm.
A Fig. 43 mostra a ordem no crescimento da malha, ou seja, o espaçamentos entre os dois
nós consecutivos cresce na medida que seguimos a orientação de cada seta indicada nas linhas
geratrizes. Essas linhas são chamadas de geratrizes e orientarão o crescimento do espaçamento
56
´
0,1 cm ate 1,0 cm
de 1,0 m
ate 2,0
m
de 10,0 cm ate 45,0 cm
´
´
de 1,0 m ate 2,0 m
´
Figura 42: Esquema em corte do modelo computacional: dimensões do domínio.
57
x
y
Placa Plana
Sentido de crescimento
Figura 43: Esquema de crescimento da malha.
58
Figura 44: Detalhe da construção da malha. Em destaque a placa plana.
59
dos nós da malha.
A Fig. 44 ilustra a malha utlilizada para a discretização do domínio comutacional. Os
volumes foram escolhidos hexaédricos retangulares numa malha cartesiana ortogonal. A placa
aparece no centro com espessura de s = 5 mm. O tamanho dos volumes de controle varia de
200 µm, para próximo a parede e especialmente dentro da camada limite, até 2 cm numa região
distante 90 cm da zona de flutuação.
A discretização escolhida para o domínio foi a malha refinada e o número de volumes
hexaédricos gerados varia entre 180.000 (menor domínio) e 300.000 (maior domínio) volumes.
A Fig. 45 apresenta os resultados para diferentes graus de refino de malha. Verifica-se um
distanciamento do resultado analítico quando se escolhe uma malha com volumes maiores. A
malha dita como “muito grosseira” apresenta volumes da ordem de 10 mm × 10 mm × 1 mm,
fazendo com que nenhum volume de controle se localize integralmente no interior da camada
limite (espessura 3 mm). Muito embora a convergência tenha sido alcançada (resíduo máximo
∼ 10
−6
), os resultados divergem da solução teórica apresentada por Ostrach [1952]. A malha
refinada possui até 40 volumes no interior da camada limite, correspondendo a um tamanho
do volume de controle de 0,2 mm × 0,2 mm × 1, 0 mm. Os resultados estão de acordo com
a solução analítica e portanto esta malha é recomedada para a discretização do domínio. Já
uma malha intermediária com até 10 volumes na camada limite, fornece resultado levemente
distanciado do analítico.
4.5 Condições de Contorno
A aplicação das condições de contorno define a solução do problema. Uma condição no
contorno é uma restrição forte que impõem um valor específico para uma variável na fronteira
do domínio e que vai repercutir por todo o domínio.
As condições de contorno aplicadas no problema estão mostradas na Fig. 53 apresentando
as seguintes características:
• Pressão prescrita nas fronteiras abertas;
• Temperatura prescrita na placa plana e nas superfícies livres;
• Aderência nas parede (velocidade nula);
• Superfície adiabática nas paredes;
60
Figura 45: Nusselt local para diferentes discretizações da malha.
• Simetria na direção z;
Muitos autores indicam que a prescrição da pressão deve ser aplicada, para o caso de con-
vecção natural, suficientemente longe da região onde se quer estudar os efeitos de flutuação.
Designa-se, dessa forma, o “far field” como: quão grande é o domínio e quão longe estão apli-
cadas as condições de contorno. Nos casos simulados o “far field” é de 6 vezes a altura da
placa nas direções x e y, considerando uma placa com 15,0 cm de alturae3vezes para a placa
com 30,0 cm de altura. A Fig. 47 mostra o quanto longe foram aplicadas as condições de con-
torno para o caso da placa livre. No caso de parede próximas o “far field” só existe em alguns
sentidos.
Kettleborough [1972] evidencia o uso do “far field”, onde a aplicação das condições de
contorno do tipo fraca (derivadas nulas) fica distante da região de real interesse cerca de 150 s,
s definido pela Fig. 46, resultando em um tamanho do domínio considerável. A Fig. 46 exem-
plifica o modelo adotado por Kettleborough [1972]. Modelagem semelhante foi adotada neste
trabalho, como pode ser vizualizado na Fig. 47.
A Fig. 48 ilustra a condição de contorno aplicada na placa plana vertical. As condi-
ções de temperatura prescrita (T
sup
) e aderência (u = v = 0) são aplicadas na região frontal
61
30 s
s/2 s/2
y
x
5 s
30 s
150
s
Figura 46: Exemplo de “far field” utilizado em Kettleborough [1972].
180 s ou 6 H
3H ou 180 s
3H ou 180 s
s − espessura
180 s ou 6 H
H − altura
Figura 47: “Far field” utilizado neste trabalho.
62
Adiabatica
´
e
aderencia
^
e aderencia
^
u=v=0 m/s
Temperatura Prescrita, T = 318
K
u=v=0 m/s
Figura 48: Esquema em corte da placa plana e condições de contorno aplicadas.
Figura 49: Variação do número de Nusselt em duas situações de condição de contorno: pressão
prescrita e simetria, H = 30 cm, ΔT = 20 K.
da placa plana. Já na região posterior é imposto condição de isolamento
∂φ
∂η
= 0
e aderência
(u = v = 0).
4.5.1 Condição de contorno de pressão prescrita × simetria
Nas superfícies abertas à amosfera a condição de simetria poderia substituir a condição de
pressão prescrita. No entanto, a condição de contorno de simetria fornece um leve distancia-
mento dos valores teóricos para o coeficiente “h” e uma grande diferença na solução do campo
de velocidades. A Fig. 49 mostra a variação do número de Nusselt (Nu) para duas situações:
pressão prescrita nas fronteiras livres e outra de simetria nas mesmas.
63
Figura 50: Campo de velocidades para condição de contorno de pressão prescrita, ao final do
tempo de simulação.
64
Figura 51: Campo de velocidades para condição de contorno de simetria, ao final do tempo de
simulação.
65
Nos dois casos foram escolhidas as mesmas condições iniciais, espaçamento da malha,
condições de operação (ΔT = 20 K), propriedades do fluido, tempo total de simulação 15 s e
passo de tempo(Δt = 0,05 s). As Fig. 50 e 51 mostram as diferenças no campo de velocidades
quando se escolhe, apenas, condições de contorno diferentes: Simetria ou Pressão Prescrita.
No presente trabalho utilizou-se a condição de contorno de pressão pescrita em todas as
simulações realizadas.
4.6 Comparação Numérico-Teórico
Para comparar os resultados do código numérico com o respectivo resultado teórico foi es-
colhido o caso da placa plana vertical isotérmica encastrada. Esta configuração é caracterizada
neste trabalho como o caso de Ostrach, detalhado em Ostrach [1952]. Note que, há limitações
pois a sua solução é válida apenas para regiões internas à camada limite térmica e hidrodinâ-
mica. Este caso modelado por Ostrach [1952] é adotado como o caso modelo.
Na análise de Ostrach [1952] não é feita menção sobre a placa estar ou não encastrada, en-
tretanto na interpretação do texto pôde-se chegar a esta conclusão uma vez que a placa encontra-
se sem influências de bordas inicial e final. Na modelagem de Ostrach [1952] o que importa
é qual a sua altura e diferença de temperatura. A Fig. 52 mostra a placa encastrada modelada
como se ela fosse parte integrante de uma parede maior isolada.
A Fig. 53 ilustra a placa modelada computacionalmente,noteque ela não possui espessura e
é uma parte de uma superfície maior que se encontra isolada. A placa encastrada está hachurada
e encontra-se a uma temperatura de T
sup
maior que T
∞
.
As condições de contorno adotadas são: pressão prescrita com pressão absoluta de 1 atm
e temperatura prescrita de 25
o
C, nas superfícies superior, lateral direita e inferior; parede com
isolamento e aderência nas partes acima e abaixo da superfície hachurada; parede com tem-
peratura prescrita e aderência na superfície hachurada e finalmente simetria nas superfícies
indicadas para simular modelagem bidimensional, como exposto na Fig. 53.
Obteve-se sucesso na comparação entre os resultados teórico e os valores obtidos através da
simulação, mostrado pelas Figs. 55 e 54. Apesar da pequena diferença, ainda pode-se admitir
uma boa concordância entre os dois valores, indicando que o modelo computacional de placa
encastrada é adequado.
A fig. 54 mostra a variação do número de Nusselt pontual em 10 pontos igualmente espaça-
dos. O valor de Nusselt é inversamente proporcional a “y”, sua posição na placa, apresentando
66
Ar quiescente
T = 298 K
H
h
x
y
Placa Vertical Isolada Termicamente
Placa Vertical Encastrada
^
u=v=0
T = 318 K
e aderencia
Figura 52: Modelagem de placa plana utilizada por Ostrach [1952].
v = 0
v = 0
T prescrita = 318 K
Parede isolada
v = 0
~
P = 0 atm (relativa)
T = 298 K
Simetr
ia
Parede isolada
Pressao e Temperatura Prescritas
Figura 53: Modelagem computacional da placa encastrada.
67
comportamento inverso ao coeficiente de troca “h”.
Figura 54: Variação do número de Nusselt médio no caso da placa encastrada isotérmica.
A Fig. 55 mostra o comportamento do coeficiente de troca “h” com a altura “y” da placa
encastrada. Percebe-se a concordância entre os valores e o decaimento do coeficiente em função
da altura. A pequena diferença dos valores no início da placa indica que o modelo computaci-
onal de placa encastrada difere levemente do modelo proposto por Ostrach [1952]. Note que
o número de Nusselt (Nu) aumenta com a altura, uma vez que a relação
Nu
h
=
y
k
ar
o deixa
diretamente proporcional à altura ao contrário do coeficiente “h”.
A Tab. 5 apresenta os valores do número de Nusselt para comparação entre os resultados
teóricos e simulados.
68
Figura 55: Variação do coeficiente de troca “h” para o caso da placa encastrada isotérmica.
Tabela 5: Valores do coeficiente de troca de calor para comparação entre valores da simulação
e resultados Teóricos
Altura (cm) Simulado
W
m
2
K
Ostrach [1952]
W
m
2
K
Experimento
W
m
2
K
9 8,2 7,7 6,5
7 5,2 5,1 4,7
5 4,7 4,75 4,7
3 4,2 4,3 4,2
1 3,9 4,0 4,1
69
5. AVALIAÇÃO DOS RESULTADOS
Os resultados apresentados nesta seção são provenientes da experimentação e simulação
numérica de uma placa metálica vertical isotérmica e aquecida frontalmente em diferentes con-
figurações. As possíveisconfigurações são obtidas através da aproximação da placa plana aque-
cida a uma parede vertical, a uma base horizontal ou de ambas as paredes. O caso da placa livre
é uma referência para a troca de calor sem as perturbações provocadas pelas aproximações e o
caso da placa encastrada serve de comparação dos modelos experimental e computacional com
os resultados teóricos obtidos por Ostrach [1952].
Figura 56: Variação do coeficiente “h” para o caso da placa encastrada isotérmica com
H = 15, 0 cm e ΔT = 20 K.
Os gráficos apresentam a variação do número de Nusselt (Nu).OΔT = 20 K foi o
escolhido para a realização dos experimentos em bancada experimental. Na experimentação, a
70
escolha de um ΔT menor, ΔT = 5 K por exemplo, provocaria uma menor força de flutuação,
uma menor aceleração do fluido resultando num menor efeito da proximidade não permitindo
a rápida visualização do efeito desejado. Por sua vez, a escolha de um ΔT maior, ΔT = 40 K
por exemplo, provocaria outros efeitos tais como aquecimento excessivo do ar interno a caixa
protetora, bem como maoires perdas por outras formas de transferência de calor e possibilidade
de fugas de calor para o isolamento traseiro da placa plana, gerando um efeito convectivo por
diferença de temperatura na região entre a placa e a parede posterior vertical.
A Fig. 56 mostra a variação do coeficiente de transferência de calor por convecção natural
h
W
m
2
K
com a altura y (m). No eixo vertical encontra-se a representação gráfica dos fluxí-
metros e no eixo horizontal o valor do coeficiente. Percebe-se que h diminui na medida que y
cresce. Este comportamento se deve ao aquecimento do gás na medida que ascende na placa.
5.1 A Mudança no Escoamento
A influência das superfícies vizinhas é tal que modifica o escoamento nas proximidades da
placa vertical aquecida. Principalmente na região de entrada da placa plana, na borda de ataque
é onde se verifica uma mudança importante.
No caso de placa plana longe de qualquer vizinhança, configurando-se uma placa livre, o
fluxo de ar ascende e se divide em duas partes. A Fig. 57 mostra o campo de velocidades
próximo a placa. O campo de temperaturas é mostrado pela Fig. 58. Todo o movimento de
ar, indicado pelos vetores velocidade, foi ocasionado pelo empuxo gerado pelo ΔT imposto
na região frontal. Na região interna a camada limite o fluido é acelerado e o movimento fora
da camada limite existe para garantir a conservação da massa. Desta forma, o movimento de
fluido na parte de trás da placa aquecida é pequeno por causa do empuxo ocorrido na parte
frontal. Nesta dissertação define-se o escoamento ao redor da “placa livre” como escoamento
não perturbado por superfícies vizinhas. Por sua vez, o escoamento perturbado é aquele que
existe quando aproximamos a placa livre de superfícies vizinhas, conforme mostrado pela Fig.
59.
Quando duas superfícies são aproximadas à placa plana, tanto o escoamento quanto o
campo de temperaturas ficam modificados, conforme Figs. 59 e 60. Note que na Fig. 59 as
linhas esquerda e inferior indicam a presença de superfícies modeladas como “parede” pelo
software ANSYS-CFX 10.0. Esta condição de contorno restringe o escoamento forçando o
movimento confinado em um canal.
A alteração no escoamento promove uma modificação significativa na troca térmica, pelo
71
Figura 57: Escoamento próximo à placa livre, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K.
72
Figura 58: Campo de temperatura do ar no escoamento não perturbado próximo à placa livre,
H = 15, 0 cm, ΔT = 20 K.
73
Figura 59: Escoamento perturbado por superfícies vizinhas, a = 15,0 cm, b = 15,0 cm,
H = 15, 0 cm, ΔT = 20 K.
menos nos 5 cm iniciais, com maior variação do sinal dos fluxímetros.
Na Fig. 61 está a variação do coeficiente de troca térmica em função da altura da placa
plana vertical isotérmica. O gráfico indica uma alteração na troca térmica quando a placa se
aproxima de uma superfície vertical posterior vizinha. A placa de H = 15 cm de altura está à
1 cm da parede vertical.
74
Figura 60: Campo de temperatura do ar no escoamento perturbado pelas superfícies vizinhas,
a = 15, 0 cm, b = 15, 0 cm, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K.
5.2 O Aumento da Temperatura na Face Posterior do Isola-
mento
Esse trabalho consiste na análise de uma placa vertical aquecida em apenas uma das fa-
ces. Dessa forma a face posterior da placa foi isolada por uma placa de EPS, com 25 mm de
espessura. Nessa seção é apresentada uma análise da elevação da temperatura na face poste-
rior da placa, que pode gerar um movimento convectivo indesejável nesse estudo. Utilizou-se,
novamente, o sofware EES - Engineering Equation Solver para solucionar um modelo unidi-
mensional. Com o modelo de resistências equivalentes pode-se prever a qual temperatura se
eleva a face de isolante mediante um fluxo de calor imposto pela resistência.
75
Figura 61: Comprativo entre o coeficiente convectivo “h” na placa livre e com superfícies pró-
ximas, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K.
O conjunto de equações assim dispostas pela Eq. 5.1 é a modelagem das resistências equi-
valentes apresentadas na Fig. 62.
q
conv
=
(T
sup
−T
∞
)
1
h
,
P = q
conv
+
(T
i
−T
B
)
L
K
,
(T
i
−T
sup
)
l
k
+
(T
i
−T
B
)
L
K
= P,
(T
sup
−T
∞
)
1
h
=
(T
sup
−T
i
)
l
k
.
(5.1)
A Fig. 62 mostra a modelagem de uma porção da placa plana de comprimento equivalente
76
T
B
L/K
l/k
1/hT
i
T
sup
T
8
Figura 62: Modelagem por resistências equivalentes do aquecimento posterior.
a um fluxímetro, cerca de 20 mm. Discretizou-se de maneira simples tomando-se três pontos
principais. T
B
representa a temperatura na face externa do isolante. T
sup
a temperatura super-
ficial e T
i
a temperatura na interface placa-isolante. Não foi adotado modelo para resistência
térmica de contato uma vez que sem essa resistência a modelagem prevê um maior fluxo de
calor perdido para o isolante, aumentando mais ainda a temperatura naquela face.
Utilizando-se um coeficiente de troca (h) de 6, 72
W
m
2
K
,20mm de EPS, temperatura do ar
de 25
o
C ,eumΔT de 20 K, o acréscimo de temperatura, com base no sistema de equações 5.1,
(ΔT) na face posterior foi de apenas 0, 01 K. Trata-se de um valor muito pequeno, incapaz de
induzir movimento convectivo.
Para uma placa com altura igual a 150 mm, é necessario uma diferença de temperatura de
0,06 K para haver início de convecção, segundo aplicação da Eq. 2.26. Portanto, não é de se
esperar que movimentos de ar no interior do canal sejam oriundos da força motriz de flutuação
com variação densidade em função da temperatura. Conclui-se que o isolamente é adequado e
o movimento de ar no interior do canal é proveniente do arraste viscoso que existe quando ar,
aquecido, deixa a placa plana vertical.
5.3 Influência da Espessura da Placa
Com o objetivo de avaliar a influência da espessura da placa isotérmica vertical no coefi-
ciente de transferência de calor por convecção natural, foi realizada a simulação de diferentes
valores da espessura. A Fig. 63 ilustra as diferentes espessuras que foram objeto de simulação.
As condições de contorno, bem como condições iniciais e os parâmetros de simulação
foram reproduzidos para todos os casos e somente a espessura da borda foi modificada. A
Fig. 64 mostra o número de Nusselt variando em função da altura na placa “y”. Percebe-se
77
5
,0 mm 2,0 mm 1,0 mm
Figura 63: Diferentes espessura da placa plana vertical isotérmica.
que há pouca variação do parâmetro quando se utiliza para simulação espessuras de 1 mm,
2 mm e5mm. No caso teórico Ostrach [1952] não faz referência à espessura da placa, pois
está interessado em resolver o problema para o que acontece no interior da camada limite,
térmica e hidrodinâmica. Por outro lado, no caso real se tem a limitação física de não conseguir
espessuras muito delgadas. A espessura de 5 mm foi a escolhida por ser a espessura da placa
plana de alumínio utilizada.
As simulações referentes aos resultados da Fig. 64 consideram a placa vertical isotérmica
livre de influências de superfícies próximas, o caso da placa Livre.
5.4 Influência da Altura da Placa
Quanto maior é a altura da placa plana maior será o comprimento em que o fluido é ace-
lerado. Essa aceleração é diretamente proporcional ao gradiente de temperatura, à aceleração
gravitacional e inversamente à temperatura média, como pode ser visto na Eq. 4.1. Por outro
lado, o fluido, ao aquecer-se, diminui o seu gradiente de temperatura entre a placa por estar em
contato com a placa aquecida.
Com uma maior quantidade de movimento do fluido ao deixar a placa, maior será o arraste
viscoso proporcionado e por sua vez “arrastará” com mais intensidade o fluido que se localiza
atrás da placa. Mais porções de fluido se perturbarão na sua frente (placa) provocando maior
troca de calor. Por isso a altura da placa influencia no arraste do fluido e portanto no coeficiente
78
Figura 64: Variação do número de Nusselt para diferentes espessuras da placa plana,
H = 15 cm e ΔT = 20 K.
de troca “h”.
Foram simuladas geometrias com placas planas possuindo alturas diferentes tais como:
15,0 cm,30,0 cm e45,0 cm, os resultados encontram-se na Fig. 65.
A Fig. 65 mostra uma relação entre Nusselt médio,
Nu, e a altura da placa nos 10 cm
iniciais. O valor médio do número de Nusselt nos 10 cm iniciais varia em função da altura da
placa, pelo menos é o que a simulação do caso da placa livre indica. Apesar da teoria prever
que
Nu
0−L
, Eq. 5.2, é independente da altura total da placa, observa-se um ligeiro aumento do
valor de Nusselt médio em função da mesma.
Nu
0−L
=
1
L
Z
L
0
Nu(y) (5.2)
A altura da placa plana também influencia o espaçamento ótimo para a máxima troca tér-
mica da placa isotérmica perante superfícies próximas. Em um placa de maior altura espera-se
que o espaçamento ótimo seja mais distante das superfícies vizinhas, No entanto, com uma
placa com altura menor essa distância, para melhor troca de calor, seria menor.
O efeito da altura de placa também pode ser visto na Fig. 66 onde é mostrado que quando
79
Figura 65: Variação do número de Nusselt para três espessuras de placa diferentes.
Figura 66: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação simultânea de uma
parede posterior vertical e parede horizontal inferior e em função da altura total da placa aque-
cida, ΔT = 20 K.
80
se varia a altura de placa, para uma aproximação simultânea das superfícies vizinhas a = 5 cm
e b = 5 cm, se varia também a troca térmica encontrando-se valores maiores do coeficiente
para maiores valores da altura da placa.
A Fig. 67 representa a variação do coeficiente de troca “h” mediante aproximação de uma
parede vertical adiabática posterior para as três alturas totais de placa plana, H = 15 cm,
H = 30 cm e H = 45 cm. Percebe-se que quanto maior a altura da placa, maior é o aumento
no coeficiente de troca mediante a aproximação da superfície vizinha. Isso era esperado uma
vez que o fluido é por mais tempo acelerado na placa de maior altura, H = 45 cm, deixando
um arraste viscoso maior na região do canal.
Figura 67: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação de uma parede
posterior vertical, e em função da altura total da placa aquecida, ΔT = 20 K.
A Fig. 67 indicaque há um valoronde a curva, para H = 30 cm, encontra ummáximo. Este
valor é devido a interação entre a placa, deste tamanho, e a superfície vizinha, no caso um placa
adiabática vertical posterior a face aquecida. O movimento do ar estabelecido entre o “canal”
é tal que oferece uma condições para a máxima troca térmica. Diferentes alturas encontrarão
diferentes picos de máximo. O esperado é encontrar o valor de máxima troca térmica mais
distante da superfície vizinha conforme maior altura de placa adotada.
81
5.5 Aproximação da Parede Horizontal Inferior
As linhas de fluxo da Fig. 68 indicam movimentação da corrente de ar ao redor da placa
plana.
Figura 68: Linhas de fluxo no escoamento perturbado por uma superfície vizinha horizontal,
b = 5, 0 cm, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K.
Com a restrição formada entre a placa plana e a parede inferior horizontal o fluxo de ar
ao redor da placa é modificado, principalmente na região próxima ao primeiro fluxímetro, Fig.
69. A restrição não forma um canal mas impede que o movimento seja “padrão” (caso da placa
livre), aumentando o calor advectado pelo ar sobre a placa plana, pelo menos no início da placa.
No entanto, Jaluria [1985] informa que a influência de uma parede inferior não é sentida de
maneira expressiva.
82
Figura 69: Vetores velocidade modificados em função da aproximação de uma parede inferior
horizontal, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K, y = 5 cm.
A influência, isolada, da superfície horizontal inferior realmente é negativa para o coefici-
ente de troca, ou seja, a troca térmica é prejudicada. A Fig. 70 apresenta o efeito da aproxi-
mação de uma parede inferior horizontal no coeficiente de troca. O gráfico representa, em suas
coordenadas, o coeficiente “h” e uma aproximação
y
H
, H = 15 cm. Como era de se esperar
a aproximação de uma parede inferior horizontal reduz a troca térmica, fruto de uma redução
local da velocidade do fluido. Para este caso foram realizadas experimentações em bancada
e simulação numérica. A variação do coeficiente obtido experimentalmente e simulado está
registrado na Fig. 70.
A Fig. 70 ainda apresenta uma comparação entre os valores experimentais e simulados. Na
Fig. 70 é mostrado, em linha contínua, o coeficiente de troca experimental e simulado para o
caso da placa livre, que servem como referência para a visualização da modificação na troca
térmica em função da aproximação de uma parede inferior horizontal.
Nota-se um aumento da troca de calor e logo em seguida uma forte redução desta quando
se aproxima a placa plana de superfície horizontal inferior adiabática. Este efeito é mencionado
em Jaluria [1985].
Na Fig. 71 apresenta-se a variação do coeficiente de troca mediante aproximação da placa
83
Figura 70: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação de uma parede
inferior horizontal, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K.
plana em direção à uma parede horizontal inferior. Na figura são apresentados valores proveni-
entes da simulação em software e também experimentação em bancada. O mesmo que ocorre
para uma placa de altura total H = 15 cm ocorre para uma placa de altura H = 30 cm.O
pequeno aumento inicial é sentido por causa de restrições causadas pela configuração de monta-
gem. Tanto a simulação quanto a experimentação mostraram que o coeficiente de transferência
de calor por convecção é modificado pela presença de superfícies próximas à placa plana verti-
cal aquecida isotermicamente. O valor da reta contínua representa uma referência que é o caso
da placa livre das vizinhanças.
As Figs. 70 e 71, qualitativamente, indicam um comportamento do coeficiente de trans-
ferência de calor por convecção mediante a aproximação de superfície adiabática horizontal
inferior. Na experimentação, consegue-se uma aroximação da superfície adiabática com a utili-
zação de EPS revestido de papel aluminizado.
84
Figura 71: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação de uma parede
inferior horizontal, H = 30,0 cm, ΔT = 20 K.
5.6 Aproximação da Parede Vertical Posterior
A Fig. 72 indica a modificação na movimentação das massas de ar que ocorre quando se
aproxima a placa plana isotérmica da parede vertical posterior.
Há uma parcela do fluxo de ar que é deslocada para trás, sendo literalmente sugada pela
diferença de pressão existente no canal. Isto é causado pelo arraste viscoso na parte superior da
placa. Cabe ressaltar que esse efeito difere de um canal tipo chaminé, por não possuir a parte
aquecida internamente. O ar que deixa a placa aquecida ascende, arrastando a porção existente
entre a placa e a superfície vizinha. Dessa forma, esse efeito é reponsável por incrementar o
fluxo de massa de ar, com menor temperatura, na região da placa e por consequência o aumento
da troca de calor.
O gráfico na Fig. 73 mostra a variação do coeficiente de troca médio nos 10 cm iniciais. O
valor médio é calculado conforme Eq. 5.3:
¯
h =
∑
n
i
h
i
n
. (5.3)
85
Figura 72: Modificação das linhas de fluxo, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K, b = 5 cm.
Para se descobrir o valor do coeficiente médio de troca de calor,
¯
h, divide-se a placa em n
pontos e efetua-se a média proposta pela Eq. 5.3. Assim para para cada aproximação tem-se
o valor médio do coeficiente de troca térmica por convecção natural. Este método também é
realizado na experimentação diretamente através dos fluxímetros. Dessa forma, cada ponto do
gráfico da Fig. 73 é uma média de “n” valores do coeficiente de troca. Em todos os casos, o
valor de “n” foi assumido 100, dessa forma dispoê-se de 20 pontos em cada fluxímetro.
Da mesma forma vale explicação do efeito da aproximação da superfície vizinha vertical
posterior à placa plana. O efeito é evidenciado na Fig. 74.
Para a placa plana com altura de H = 45 cm foram realizadas apenas simulações. Os valo-
res para a variação do coeficiente estão mostradas na fig. 75. Na figura em questão novamente é
86
Figura 73: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação de uma parede
posterior vertical, H = 15, 0 cm, ΔT = 20 K.
Figura 74: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação de uma parede
posterior vertical, H = 30 cm, ΔT = 20 K.
87
percebido que o coeficiente de troca sofre um aumento significativo de valor. Em seguida sofre
uma diminuição por efeito de estrangulamento de fluxo. Para o caso da aproximação de super-
fície horizontal inferior, o coeficiente de troca tende a diminuir de valor, o que é evidenciado
em outras situações.
Para projeto, a variação experimentada pelo coeficiente de troca de calor por convecção
mostrado na Fig. 74, em torno de 1 % para o caso experimental e de 2 % para o caso simulado,
não é relevante, entretanto para visão científica temosum efeito interessante: o aumentoda troca
térmica mediante simples aproximação de uma placa plana aquecida de uma parede vertical
posterior sendo que a face aquecida é oposta à parede vertical. O lado oposto ao aquecido é
considerado como adiabático pelos dois modelos, experimental e simulado.
Novamente temos um aumento máximo para a troca térmica que é experimentado quando
aproximamos a placa plana da superfície vizinha correspondente. Este efeito, como já descrito,
é devido a restrições no fluxo de massa fazendo com que o aumento de velocidade provoque
um aumento da troca térmica para uma queda posterior.
Figura 75: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação des superfícies
vizinhas, H = 45 cm, ΔT = 20 K.
Para o caso ilustrado na Fig. 75 tem-se uma comparação entre os efeitos da parede adiabá-
tica posterior vertical e horizontal inferior. Percebe-se que a parede adiabática vertical posterior
88
influencia mais na troca térmica do que a parede adiabática inferior horizontal. Novamente o
aumento até um valor máximo do coeficiente de troca é oriundo de uma restrição ao fluxo de
massa e aumento da velocidade de escoamento.
5.7 Aproximação Simultânea das Paredes Horizontal e Ver-
tical
A Fig. 76 indica a modificação do coeficiente de troca, “h”, com uma aproximação simultâ-
nea das paredes adiabáticas, inferior e posterior. Essa aproximação se deu de forma discreta, ou
seja, foram escolhidos alguns valores para distanciamento entre as paredes. O gráfico na Fig. 76
indica as regiões de troca térmica. Esses resultados são oriundos da simulação em computador.
O valor médio do coeficiente de troca “h” é calculado conforme Eq. 5.3.
Figura 76: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação de uma parede pos-
terior vertical, distância a, e parede inferior horizontal, distância b, H = 15,0 cm, ΔT = 20 K.
A Fig. 76 apresenta a variação do coeficiente de troca em função de aproximação das
superfícies vizinhas. Percebe-se que ocorre um incremento do coeficiente de troca para uma
configuração de teste com a = 5 cm e b = 5 cm.
89
A parede posterior tem efeito mais positivo para a troca térmica. Uma vez aproximando-se
da placa plana, o efeito tende a aumentar a troca de calor por provocar um arraste viscoso maior
na região superior de saída do canal. Tal efeito produz uma maior movimentação de massas
de ar na região do canal, que por sua vez aumenta a movimentação na região frontal da placa
plana, aumentando assim a troca térmica.
Figura 77: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação de uma parede
posterior vertical e parede inferior horizontal, H = 30,0 cm, ΔT = 20 K.
Na Fig. 77 também nota-se uma região de maior troca térmica mediante aproximação
simultânea das paredes vizinhas inferior e posterior. A altura para o caso a placa plana foi de
30 cm eoΔT = 20 K. Porém, quando simula-se placa plana de maior altura tem-se uma região
de maior troca térmica levemente mais afastada das superfícies vizinhas. O que pode ser visto
também na Fig. 78.
As Figs. 76, 77 e 78 apresentam valores para o coeficiente de troca em função de aproxima-
ção simultânea de superfícies vizinhas. Os valores sinalizam que quanto maior a altura da placa
plana mais distante é seu ponto ótimo de operação. Para cada altura de placa temos um ponto
ótimo que é sistematicamente mais próximo da parede vertical posterior. Ou seja, cada vez que
se aumenta a altura da placa tende a se deslocar a região de maior troca para a direita. Isso se
deve ao aumento o arraste viscoso proporcionado pela placa aquecida na região superior.
90
Figura 78: Variação do coeficiente de troca “h” em função da aproximação de uma parede
posterior vertical e parede inferior horizontal, H = 45,0 cm, ΔT = 20 K.
O aumento no coeficiente de transferência de calor provocado pela simples aproximação
da placa plana isotérmica vertical em relação as paredes vertical posterior e horizontal inferior
é significativo pois o experimento mostra foi realizado com a face aquecida oposta à parede
adiabática vertical posterior e a face frente a esta parede isolada. A conclusão inicial seria
que como a face frontal a parede vertical está isolada nenhum aumento na troca térmica seria
possível. Os experimentos e as simulações, Figs. 76, 77 e 78, mostram que há um aumento
devido a esta aproximação. O baixo aumento do coeficiente é devido aos baixos valores de ΔT
e altura de placa H.
91
6. CONCLUSÕES
Neste trabalho foram usados métodos computacionais e experimentais. As soluções para o
escoamento (velocidade e temperatura) nas vizinhanças de uma placa plana vertical isotérmica
em diversas situações (placa livre, encastrada e próxima à superfícies adiabáticas) foram en-
contradas seguindo os critérios de simulação e experimentação recomendados pela literatura. O
questionamento inicial, de que é possível um incremento da troca de calor por convecção natu-
ral no modelo de placa estudado, foi respondido indicando um aumento no coeficiente de troca.
Por outro lado, em certas condições de arranjo da placa plana, a troca térmica ficou dificultada.
Com a configuração não convencional de uma espécie de canal formado pela superfície
vizinha e a placa plana isotérmica, Fig. 24, demonstrou-se que é possível aumentar a troca
térmica entre a placa vertical isotérmica e o ar em convecção natural somente pela aproximação
dessa placa com as paredes vertical e horizontal. As restrições físicas ao escoamento ao redor
da placa plana, formando fronteiras fixas, aumentam a velocidade do ar, incrementando, dessa
forma, a troca térmica média, ao menos nos 5 cm iniciais, como foi mostrado no capítulo 5. O
desvio no escoamento ao redor da placa plana, mostrado na Fig. 59, é a causa do aumento na
velocidade, e portanto, na troca de calor. O aumento segue uma relação inversa à aproximação,
inicialmente, para depois decair por causa da dificuldade na passagem do fluxo de massa.
No caso da placa se aproximando de uma parede inferior horizontal adiabática, a troca tér-
mica passa a ser menor do que o valor para placa livre depois de aumentar levemente. O caso da
placa se aproximando de uma parede posterior vertical indica que o valor da troca térmica au-
menta significativamentee depois segue para um valor próximo ao da placa encastrada. Quando
se aproximam ambas as paredes, vertical posterior e horizontal inferior, à placa plana o efeito
tende a aumentar ainda mais por causa do arraste viscoso, induzindo um fluxo no canal for-
mado, e uma leve restrição do fluxo mássico ocasionado pela restrição da parede inferior. Foi
possível compor uma mapa de troca térmica, Fig. 76, variando-se o distanciamento da placa
plana às superfícies vizinhas. Neste gráfico pode-se perceber que há uma região mais favorável
a troca térmica com o seu respectivo distanciamento.
92
Os efeitos de aproximação simultânea das paredes vizinhas tendem a aumentar a troca tér-
mica da placa plana. Essa potencialização da transferência de calor para o ar pode ser utilizada
em trocadores de calor de equipamentos eletrônicos. Em valores absolutos, a simples aproxi-
mação da placa plana em direção à superfícies vizinhas não representa um valor muito elevado,
no entanto, um ganho de cerca de 10% na troca térmica de equipamentos permutadores de calor
é um valor bem apreciado.
Os fluxímetrosforam calibrados com sucesso e a reprodutibilidade da constante de medição
foi observada. Os transdutores se mostraram eficientes em realizar a tarefa de medição do fluxo
de calor por convecção natural entre uma placa plana vertical isotérmica e o ar quiescente. A
sensibilidade dos transdutores foi suficiente para captar o baixo valor do coeficiente de troca
“h”. A montagem da bancada foi realizada com facilidade, baixo custo e o sistema operou com
efetividade.
O software de simulação ANSYS-CFX 10.0 foi útil e apto para a solução numérica do
escoamento obtendo-se valores muito próximos dos teóricos e relativamente próximo dos ex-
perimentais, mostrados na Fig. 54. A comparação com o caso teórico foi realizada e resultados
indicamque a modelagem escolhida para placa plana encastrada é coerente comOstrach [1952].
Os parâmetros de simulação escolhidos seguiram fiéis aos fenômenos físicos proporcionando
resultados confiávies, para a velocidade, temperatura, pressão e densidade.
Apesar de não obtida, a correlação envolvendo parâmetros dimensionais, hidrodinâmicos
e termo-físicos é possível de ser encontrada mediante uma série de testes com diversas condi-
ções de: espaçamento, altura de placa e ΔT. A expressão deve prever uma alteração da troca
térmica, partindo-se do valor para caso da placa livre passando por um máximo e decaindo
posteriormente por razões de estrangulamento de fluxo de massa.
6.1 SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS
O objetivo era encontrar uma parametrização para o problema descrito indicando um pos-
sível relacionamento entre troca térmica e variáveis: distância da parede “a”, distância do chão
“b”, altura da placa e ΔT. No entanto, a grande quantidade de testes, simulação e experimenta-
ção, necessários para a confecção de uma correlação foi um impedimento à conclusão.
Recomenda-se para um trabalho de maiores profundidade e tempo disponível a busca por
uma relação do tipo:
93
Nu = ℑ(a,b,H,ΔT,g,ν,ρ,Pr,...) (6.1)
ou
Nu = ℑ(Ra
∗
,Pr) (6.2)
onde
Ra
∗
= ℘(Ra,a,b,H) (6.3)
sendo
Ra =
ρgβΔTy
3
ν
2
(6.4)
A função ℘ será tal que deverá prever um aumento inicial de Ra
∗
, mediante uma aproxi-
mação da placa plana às superfícies vizinhas e um decaimento posterior de Ra
∗
em detrimento
de maior proximidade, o que ocasiona uma restrição ao fluxo de massa, diminuindo a troca
térmica.
94
APÊNDICE A -- Apêndice A
A.1 Propagação de Erros
Simplesmente consiste em derivadas parciais que somadasas suas contribuições correspon-
dem ao incremento da variável em questão. Segue a análise, sendo q o fluxo de calor medido
em
W
m
2
, definido como no Capítulo (2), V a voltagem em Volts (V), V
c
a voltagem em Volts
do fluxímetro na calibração (V), ΔT diferença de temperatura em (K), R a resistência elétrica
em Ohms (Ω), i corrente elétrica em (A), h coeficiente de troca de calor por convecção em
W
m
2
K
, c
f
constante de proporcionalidade do fluxímetro de fuga em
W
m
2
µV
, c constante de
proporcionalidade de um fluxímetro também medida em
W
m
2
µV
, A área de troca
m
2
e A
f
área de troca do fluxímetro de fuga também em
m
2
, então:
q = cV
h =
q
ΔT
h =
cV
ΔT
dh =
V
ΔT
dc +
c
ΔT
dV −
cV
ΔT
2
dΔT
(A.1)
c =
Ri
2
A
−c
f
V
f
V
c
dc =
i
2
A
V
c
dR +
2Ri
A
V
c
di −
Ri
2
A
2
V
c
dA +
V
f
V
c
dc
f
+
c
f
V
c
dV
f
−
Ri
2
A
−c
f
V
f
V
2
c
dV
c
(A.2)
95
c
f
=
0.95Ri
2
f
A
f
V
f
dc
f
=
0.95i
2
f
A
f
V
f
dR +
2×0.95Ri
f
A
f
V
f
di
f
−
0.95Ri
2
f
A
2
f
V
f
dA
f
−
0.95Ri
2
f
A
f
V
2
f
dV
f
(A.3)
A Tab. 6 mostra os valores de propagação de erros típicos para o problema em questão.
96
Tabela 6: Valores para análise de propagação de erros
Variável Valor Unidade
i
f
10 mA
R 10 Ω
A
f
0,001 m
2
V
f
14400 µV
i 10 mA
A 0,001 m
2
V 14400 µV
c 0,3308 W/µV
c
f
0,3308 W/µV
ΔT 20 K
V
c
14400 µV
dR 0, 1 Ω
di
f
0,001 mA
dA
f
0,0000005 m
2
dV
f
1 µV
dV 1 µV
dV
c
1 µV
di 0,01 mA
dA 0,0000005 m
2
dΔT 0,1 K
dc
f
0,02834 W/µV
dc 0, 82 W/µV
dh 0,0006 W/m
2
K
97
APÊNDICE B -- Apêndice B
B.1 Materiais Utilizados na Confecção da Bancada Experi-
mental
A Tab. 7 mostra as propriedades termo físicas dos materiais utilizados.
Tabela 7: Propriedades termofísicas dos materiais utilizados
Material Cond. Térmica
W
mK
Espessura (m) Área
m
2
EPS - Poliestireno Expandido 0.04 0.04 0.15 x 0.15
Placa de alumínio 247 0.004 0.15 x 0.15
Pasta térmica 100 < 0.001 −
Filme de alumínio 247 < 0.001 0.05 x 0.10
Resistência térmica − 0.001 0.15 x 0.15
Fluxímetro 150 0.002 0.02 x 0.05
98
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