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UFSC – UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
P
ROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Controle Misto de Vibrações em Viga Metálica
utilizando Neutralizadores Viscoelásticos e
Filtros Adaptativos: Caso Harmônico
Dissertação submetida à Universidade Federal de Santa
Catarina para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia
Mecânica
Jair Coan Júnior
Florianópolis, dezembro de 2005.
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II
Controle Misto de Vibrações em Viga Metálica
utilizando Neutralizadores Viscoelásticos e
Filtros Adaptativos: Caso Harmônico
Jair Coan Júnior
Essa dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
Mestre em Engenharia Mecânica
Especialidade Engenharia Mecânica, Área de Concentração Vibrações e Acústica,
sendo aprovada em sua forma final.
Prof. José João de Espíndola, PhD
(Orientador)
Eduardo Márcio de Oliveira Lopes, PhD
(Co-orientador)
Prof. José Antônio Bellini da Cunha Neto, Dr.Eng.
(Coordenador do Curso de Pós-Graduação)
Banca Examinadora:
Prof. Agenor de Toledo Fleury, Dr.
Prof. Carlos Alberto Bavastri, Dr.Eng.
Prof. Orlando José Tobias, Dr.Eng.
Prof. Raul Guenther, D.Sc.
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III
“Se eu pudesse deixar algum presente a você,
deixaria aceso o sentimento de amar a vida dos seres humanos.
A consciência de aprender tudo o que foi ensinado tempo afora...
Lembraria os erros que foram cometidos
para que não mais se repetissem.
A capacidade de escolher novos rumos.
Deixaria para você, se pudesse, o respeito àquilo que é indispensável:
Além do pão, o trabalho.
Além do trabalho, a ação.
E, quando tudo mais faltasse, um segredo:
O de buscar no interior de si mesmo a resposta e a força para encontrar a saída.”
(Mahatma Gandhi)
IV
Dedico este trabalho à minha família
Que sempre esteve ao meu lado
Dando-me apoio, incentivo e muito amor.
V
Agradecimentos
É com grande alegria que finalizo mais esta etapa de minha vida acadêmica. Com certeza,
devo prestar meus agradecimentos a muitas pessoas que, direta ou indiretamente, ajudaram de
alguma forma para que os resultados fossem alcançados e a missão fosse cumprida.
Primeiramente, agradeço a Deus pelo dom da vida. Agradeço a Ele pela oportunidade de
poder crescer e aprender a cada manhã que se inicia.
Agradeço e dedico este trabalho a toda a minha família. Vocês são um pedaço de mim e eu,
um reflexo do que vocês me ensinaram e do que vivenciamos durante minha vida. Obrigado aos meus
pais Jair e Telma pelo amor e compreensão. Ao meu irmão Sérgio, meu companheiro, amigo e
confidente de todos os momentos. Agradeço a minhas avós Leta e Dindinha, vocês são muito
especiais para mim. Quero agradecer do fundo do coração meus tios e primos, que sempre estiveram
do meu lado e acreditaram em mim. A meus afilhados, Ana Cristina Severo Martins e Gabriel Luiz
Gonçalves da Silva, suas vidas são referência para minha. Vocês dois me incentivam a buscar forças
para vencer as dificuldades e a lutar por meus objetivos.
Quero agradecer também a minha namorada e companheira Kariny Adriano, pelo amor,
carinho e paixão. Agradeço pela ajuda durante as provas domiciliares e também pela compreensão
durante os períodos de estudos.
À CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - pelo incentivo
financeiro para a realização deste trabalho.
Meus agradecimentos sinceros à equipe do PISA – LVA. Ao Professor José João de Espíndola,
pelos valiosos conselhos e excelente orientação. Ao meu amigo e co-orientador Eduardo Márcio de
Oliveira Lopes, agradeço pelas horas “perdidas” nos finais de semana e por sempre ter acreditado
nesse trabalho. Ao Professor Carlos Bavastri, referência para meu trabalho e que, mesmo a distância,
sempre se mostrou prestativo e interessado pelos resultados. Agradeço a Adriana, que me ajudou
sempre, da melhor maneira possível. Aos meus amigos de Laboratório, João, Amado, Izolda, Geraldo,
Petroneo e agora Wagner Jr, gostaria de agradecê-los por toda ajuda e companheirismo. Ao Parú,
incansável colega do LVA, agradeço de coração toda ajuda e disposição.
Aos colegas e amigos do LINSE, agradeço pela valiosa ajuda. Gostaria de agradecer,
especialmente, ao Professor Orlando Tobias, referência muito importante para este trabalho e ao
amigo Walter Gontijo, que sempre me ajudou e acreditou que conseguiríamos superar todos os
problemas com o DSP. Um abraço especial para nosso amigo alemão Frank Gitzinger.
Por último, agradeço a Analog Devices, tanto pelo auxílio na aquisição da placa de
processamento digital quanto pelo excelente suporte técnico oferecido.
VI
Índice
Agradecimentos.......................................................................................................................v
Índice....................................................................................................................................vi
Simbologia............................................................................................................................viii
Resumo............................................................................................................................... xiv
Abstract................................................................................................................................xv
Capítulo 1 : Introdução ............................................................................................................1
1.1 Controle Passivo de Vibrações por Materiais Viscoelásticos ..............................................1
1.2 Controle Ativo - Adaptativo de Vibrações........................................................................2
1.3 Controle Misto de Vibrações..........................................................................................4
1.4 Objetivo e Contribuição ................................................................................................4
1.5 Organização da Dissertação..........................................................................................4
Capítulo 2 : Neutralizadores Dinâmicos de Vibração....................................................................6
2.1 Sistemas de um Grau de Liberdade ...............................................................................6
2.2 Parâmetros Equivalentes para um NDV........................................................................11
2.3 Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade .................................................................13
2.3.1 Sistema Primário com Amortecimento Viscoso........................................................13
2.3.2 Adição de Neutralizadores Dinâmicos.....................................................................17
2.4 Controle Passivo por Neutralizadores Viscoelásticos ......................................................21
2.4.1 Caracterização de Materiais Viscoelásticos..............................................................22
2.4.2 Projeto Ótimo de Neutralizadores Viscoelásticos......................................................26
Capítulo 3 : Filtros Adaptativos................................................................................................30
3.1 Estrutura e Aplicações dos Filtros Adaptativos ..............................................................30
3.1.1 Estrutura Genérica ...............................................................................................30
3.1.2 Filtro Adaptativo FIR ............................................................................................31
3.1.3 Filtros IIR............................................................................................................32
3.1.4 Aplicações...........................................................................................................33
3.2 Controle Ativo-Adaptativo de Vibrações........................................................................35
3.3 Processo de Adaptação...............................................................................................38
3.3.1 Critério EQM........................................................................................................39
3.3.2 Princípio da Ortogonalidade ..................................................................................41
3.3.3 Métodos de Busca................................................................................................42
3.4 Algoritmo LMS...........................................................................................................43
3.4.1 Derivação do LMS ................................................................................................44
3.4.2 Estabilidade do Algoritmo LMS ..............................................................................45
3.4.3 Variantes do algoritmo LMS ..................................................................................48
3.5 Controle Feedforward e Algoritmo FXLMS.....................................................................50
VII
3.5.1 Derivação do Algoritmo FXLMS..............................................................................52
3.5.2 Estimação do Caminho Secundário ........................................................................53
3.5.3 Algoritmo FXLMS com Perdas................................................................................54
3.5.4 Caminho de Realimentação (
Feedback
)..................................................................54
Capítulo 4 : Metodologia.........................................................................................................56
4.1 Sistema Mecânico ......................................................................................................56
4.2 Controle Ativo............................................................................................................56
4.2.1 ADSP-21161N......................................................................................................57
4.2.2 Identificação e Controle........................................................................................61
4.3 Análise Modal Experimental ........................................................................................63
4.3.1 Identificação dos Parâmetros Modais.....................................................................65
4.4 Projeto do Neutralizador Viscoelástico..........................................................................69
4.5 Controle Misto ...........................................................................................................74
Capítulo 5 : Resultados ..........................................................................................................76
5.1 Controle Passivo ........................................................................................................76
5.2 Controle Ativo............................................................................................................79
5.3 Controle Misto ...........................................................................................................84
Capítulo 6 : Conclusões e Perspectivas Futuras.........................................................................89
Referências Bibliográficas.......................................................................................................91
Apêndice A: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto ...................................................................94
A.1 Descrição Matemática dos Sinais....................................................................................94
A.1.1 Sinais Determinísticos.............................................................................................94
A.1.2 Sinais Aleatórios ....................................................................................................95
A.2 Transformada Z ...........................................................................................................95
A.3 Sistemas Discretos .......................................................................................................97
A.4 Processos Estocásticos..................................................................................................98
A.4.1 Médias Estatísticas.................................................................................................98
A.4.2 Densidade Espectral de Potência...........................................................................100
A.4.3 - Ergodicidade .....................................................................................................100
VIII
Simbologia
Letras Romanas
A
: área de cisalhamento
b
: parâmetro real da derivada fracionária
0T
b : valor da variável
b
na temperatura
0
T
C
: matriz de amortecimento viscoso
C
: matriz de amortecimento viscoso do sistema composto
eq
C
: matriz de amortecimento viscoso equivalente
n
C : matriz de amortecimento viscoso com neutralizadores
p
c
: amortecimento viscoso do sistema primário com 1 gdl
()
eq
c Ω
: amortecimento equivalente do neutralizador
n
c : amortecimento viscoso do neutralizador
r
c
: amortecimento modal do r-ésimo modo
()dn
: sinal desejado
diag
: matriz diagonal
E
(z)
: transformada
Z
de
()en
x
E : energia do sinal
[
]
E
: valor esperado da variável aleatória
()en
: sinal de erro do sistema discreto
n
e : espessura do material viscoelástico
()ne
: vetor do sinal de erro do sistema discreto
0
()ne : vetor do erro de estimação dos coeficientes ótimos do filtro adaptativo
0
F : freqüência do sinal contínuo
()Fz
: função de transferência do caminho de
feedback
ˆ
()
F
z
: estimativa de
()Fz
()F Ω
: transformada de Fourier da força de excitação
f
: freqüência
c
f
: freqüência de corte
()
obj
f
x
: função objetivo
p
f
: força primária (excitação)
IX
s
f
: força secundária (cancelamento)
G
: módulo complexo de cisalhamento
H
G
: módulo vítreo de cisalhamento
I
G
: módulo imaginário de cisalhamento
L
G
: módulo elástico de cisalhamento
R
G
: módulo real de cisalhamento
()
H
z
: função de transferência do sistema discreto
()hn
: resposta impulsiva do sistema discreto
I
: matriz identidade
i
:
1−
K
: matriz de rigidez
()
n
K Ω : rigidez dinâmica do neutralizador
k
: rigidez do sistema primário com 1 gdl
()
eq
k Ω
: rigidez equivalente do neutralizador
n
k : rigidez do neutralizador
r
k
: rigidez modal do r-ésimo modo
L
: fator de forma
M
: matriz de massa
M
: matriz de massa do sistema composto
eq
M
: matriz de massa equivalente
n
M
: matriz de massa equivalente com neutralizadores
p
()
n
M Ω : massa dinâmica do neutralizador
m
: massa do sistema primário com 1 gdl
()
eq
m Ω
: massa equivalente do neutralizador
n
m : massa do neutralizador
r
m
: massa modal do r-ésimo modo
x
m : média do processo estocástico
N
: ordem do filtro adaptativo
s
N : ordem do vetor de coeficientes do caminho secundário
f
N
: ordem do vetor de coeficientes do caminho
feedback
n
: número de graus de liberdade (gdl) do sistema
ˆ
n
: número de graus de liberdade do sistema truncado
X
()Pz
: função de transferência do caminho primário
()P Ω
: transformada de Fourier de
()pt
x
P : potência de
()
x
n
ˆ
x
P
: estimativa instantânea de
x
P
()pt
: deslocamento da coordenada principal
p : vetor de correlação cruzada
Q : matriz dos autovetores de R
()Q Ω
: transformada de Fourier de
()qt
()qt
: deslocamento da coordenada generalizada
()qt
: velocidade da coordenada generalizada
()qt
: aceleração da coordenada generalizada
R : matriz de autocorrelação
Re
: parte real do número complexo
x
x
R
: densidade espectral de potência
r : freqüência normalizada
x
x
r : autocorrelação
x
y
r
: correlação cruzada
()Sz
: transformada
Z
de
()ns
ˆ
()Sz
: estimativa do caminho secundário
()Sz
s
: variável da transformada de Laplace
()ns
: resposta impulsiva do caminho secundário
j
s
: j-ésimo autovalor do sistema
T : temperatura
0
T : temperatura de referência
()T Ω : função transmissibilidade teórica
()
E
T Ω : função transmissibilidade experimental
2r
T
: energia cinética calculada na r-ésima coordenada generalizada
t: tempo
T
: transposto
[
]
tr
: traço da matriz
()un
: degrau unitário discreto
{
}
var
: variância
XI
()Wz
: transformada
Z
de
()nw
()nw
: vetor dos coeficientes do filtro adaptativo
0
()nw : vetor dos coeficientes ótimos do filtro adaptativo
()
i
wn: i-ésimo coeficiente do filtro adaptativo no instante
n
X
: amplitude do deslocamento
()
x
t
()X Ω
: transformada de Fourier de
()
x
t
()
n
X Ω : transformada de Fourier de ()
n
x
t
()
X
z
: transformada
Z
de
()
x
n
()nx
: vetor de amostras do sinal de entrada do sistema discreto
()
x
n
: sinal de entrada do sistema discreto
()
x
t
: deslocamento do sistema primário com 1 gdl
()
c
x
t : sinal contínuo
()
n
x
t : deslocamento do neutralizador
()
x
t
: velocidade do sistema primário com 1 gdl
()
n
x
t
: velocidade do neutralizador
()
x
t
: aceleração do sistema primário com 1 gdl
()
n
x
t
: aceleração do neutralizador
p
x
: posição de atuação da força primária
s
x
: posição de atuação da força secundária
()n
′
x
: vetor de entrada filtrado do sistema discreto
{
}
()
x
n
: processo estocástico
()
x
n
: média temporal de uma realização do processo estocástico
()Yz
: transformada
Z
de
()yn
()yn
: sinal de saída do sistema discreto
()yn
′
: sinal de saída filtrado do sistema discreto
()
n
Z Ω : impedância mecânica do neutralizador
z : variável da transformada
Z
: módulo
2
: norma 2
*
: complexo conjugado
∗
: convolução
XII
Letras Gregas
()
α
Ω
: receptância do sistema primário
ks
α
: receptância do sistema com excitação na coordenada generalizada e resposta
medida na coordenada generalizada
s
k
()
n
α
Ω : receptância do neutralizador
()
T
T
α
: fator de deslocamento de temperatura
β
: ordem da derivada fracionária
Δ
: variação
()n
δ
: impulso unitário discreto
Φ : matriz modal do sistema
ˆ
Φ
: matriz modal truncada do sistema
φ
: autovetor do sistema
j
φ
: j-ésimo autovetor do sistema
γ
: fator de ponderação
x
x
γ
: autocovariância
x
y
γ
: covariância cruzada
r
η
: fator de perda modal
G
η
: fator de perda de cisalhamento
Λ : matriz de autovalores do sistema
Λ : matriz de autovalores de R
λ
: autovalor
m
μ
: relação de massas do sistema composto
s
μ
: tamanho do passo de convergência
ν
: fator de perdas
ϖ
: tamanho do passo de convergência normalizado
θ
: fase do sinal contínuo
1
θ
: parâmetro do fator de deslocamento
T
α
2
θ
: parâmetro do fator de deslocamento
T
α
0
ρ
: densidade à temperatura de referência
r
τ
: potência dissipada na r-ésima coordenada generalizada
Ω : freqüência angular
a
Ω : freqüência de antiressonância do neutralizador
1
Ω
: freqüência natural do sistema primário com 1 gdl
XIII
j
Ω
: j-ésima freqüência natural do sistema
n
Ω : freqüência natural do neutralizador
r
Ω
: freqüência natural modal
red
Ω : freqüência reduzida
n
ξ
: razão de amortecimento do sistema composto
ot
n
ξ
: razão de amortecimento ótima do sistema composto
r
ξ
: razão de amortecimento modal do r-ésimo modo
Ψ : matriz modal ortonormalizada
r
ψ
: r-ésimo autovetor normalizado do sistema
ζ
: erro quadrático médio (EQM)
ˆ
ζ
: estimativa de
ζ
∂
: derivada parcial
∇
: gradiente
Abreviações
FIR : resposta ao impulso finita (
finite impulse response
)
FRF : função resposta em freqüência
:GDL
grau(s) de liberdade
I
IR : resposta ao impulso infinita (
infinite impulse response
)
LM S
: algoritmo de mínimos quadrados (
least mean square)
M
SE
: erro médio quadrático (
mean square error)
NDV
: neutralizador dinâmico de vibrações
SIMO
: sistema com única entrada e várias saídas (
single input multiple outputs
)
XIV
Resumo
Este trabalho apresenta o projeto e a implementação de um sistema de controle misto de
vibrações sobre uma viga metálica. Por controle misto de vibrações se entende uma abordagem que
utiliza, em conjunto, técnicas passivas e ativas de controle. Aqui, o controle misto, também conhecido
como controle híbrido, é implementado por meio de neutralizadores viscoelásticos e filtros
adaptativos. Os neutralizadores viscoelásticos são dispositivos que, fixados a um sistema mecânico de
interesse, reduzem as vibrações indesejadas a partir da aplicação de forças de reação e/ou dissipação
da energia vibratória. Para se encontrar os parâmetros ótimos dos neutralizadores viscoelásticos
empregados, quais sejam, massa e fator de perda, são utilizadas técnicas de otimização não-linear. Já
na implementação do controle ativo, recorreu-se a uma placa de processamento digital de sinais de
32-bits, com aritmética de ponto flutuante. O algoritmo de controle utilizado é o FXLMS, programado
em linguagem C, utilizando filtros adaptativos FIR. Dentro de uma câmara de temperatura controlada,
foram executados experimentos de controle em duas temperaturas distintas, sob excitação
harmônica. Os resultados decorrentes da união dessas duas abordagens de controle são discutidos e
as conclusões e perspectivas futuras são apresentadas.
palavras-chave: algoritmo FXLMS, controle misto de vibrações, filtro adaptativo, neutralizador
viscoelástico.
XV
Abstract
This work presents the project and implementation of a hybrid vibration control system over a
steel beam. The hybrid vibration control is an approach which combines passive and active control
techniques. In this case viscoelastic vibration neutralizers (also called viscoelastic vibration absorbers)
and adaptive filters are employed. The vibration neutralizers, when attached to a mechanical system
of interest, can reduce the vibration levels by applying reaction forces and/or dissipating vibratory
energy. To find the optimum neutralizer parameters, namely mass and loss factor, nonlinear
optimization techniques are used. The active control part is implemented via a 32 bit floating point
DSP (Digital Signal Processor). The control algorithm is the FXLMS adaptive algorithm, programmed in
C language and based on FIR filters. Control experiments were performed inside an environmental
chamber at two distinct temperatures, under harmonic excitation. The results obtained from the union
of those two control techniques are discussed and the conclusions and suggestions for future work are
shown.
keywords: adaptive filter, FXLMS algorithm, hybrid vibration control, viscoelastic neutralizer.
Capítulo 1 : Introdução
Existem diversas formas de se controlar vibrações indesejadas em um sistema mecânico de
interesse. Pode-se estabelecer que as três classes mais comuns de controle de vibrações são: controle
passivo, controle ativo e controle misto (híbrido, ou passivo-ativo).
O controle passivo de vibrações envolve, entre outras técnicas, a utilização de dispositivos que
aplicam forças de reação e/ou dissipam energia vibratória do sistema de interesse. Esses elementos,
conhecidos como neutralizadores dinâmicos de vibrações, não necessitam de potência externa para
sua operação. Pode-se também reduzir os níveis de vibrações em uma estrutura variando sua massa,
sua rigidez e/ou seu amortecimento. Pode-se ainda atuar sobre a excitação presente no sistema,
reduzindo sua amplitude ou alterando seu espectro
[2].
Entende-se por controladores ativos aqueles sistemas que podem determinar o estado
presente da estrutura vibrante e escolher uma ação de controle que a conduz para um estado
desejado, baseado em uma lei de controle previamente determinada
[7],[35]. Estes sistemas
necessitam de potência externa para o seu funcionamento. Quando uma estratégia de controle ativo
variável é empregada, de forma a garantir um desempenho ótimo, tem-se um controlador ativo-
adaptativo.
O controle misto de vibrações utiliza os elementos passivos em conjunto com uma estrutura
de controle ativo, tendo como principal objetivo a redução da quantidade de potência necessária para
se controlar o sistema de interesse
[16].
1.1 Controle Passivo de Vibrações por Materiais Viscoelásticos
No contexto do controle passivo de vibrações, os materiais viscoelásticos são amplamente
utilizados como meio de fornecer amortecimento às estruturas e, desta forma, reduzir suas vibrações
indesejadas
[34].
Um projeto eficiente de engenharia, envolvendo materiais viscoelásticos, necessita do
conhecimento detalhado do comportamento dinâmico desses materiais. Esse comportamento
claramente apresenta dependência tanto em relação a fatores de carregamento quanto a fatores
ambientais, tais como magnitudes dos carregamentos dinâmicos, freqüência de excitação e
temperatura ambiente, dentre outros. Na faixa linear, a freqüência e a temperatura são as duas
variáveis mais importantes
[25].
Para que se possa desenvolver corretamente uma estratégia de controle de vibrações,
utilizando materiais viscoelásticos, as duas propriedades dinâmicas básicas que precisam ser
conhecidas são o fator de perda do material e seu módulo dinâmico de elasticidade
[29]. Essas
propriedades são representadas, de forma bastante fidedigna, através do uso de derivadas
generalizadas, cujas ordens são números não inteiros, ou fracionários
[13].
Capítulo 1: Introdução 2
Dentre os dispositivos passivos projetados com materiais viscoelásticos, destacamos os
neutralizadores viscoelásticos de vibrações (ou absorvedores viscoelásticos de vibrações)
[34]. Um
neutralizador dinâmico de vibrações é um sistema que, fixado ao sistema vibrante de interesse, pode
reduzir ou controlar as vibrações, a partir da aplicação de forças de reação e/ou dissipação de energia
vibratória. Conseqüentemente, esses dispositivos podem ou não apresentar elementos que dissipem
energia, sendo denominados respectivamente neutralizadores MCK, quando o modelo de
amortecimento é viscoso, e MK, quando o modelo não possui amortecimento. Quando materiais
viscoelásticos são empregados, tem-se os neutralizadores viscoelásticos.
No caso de se utilizar os neutralizadores do tipo MK, pode-se ajustar os parâmetros massa e
rigidez de modo que a vibração do sistema principal tenda para zero. Isto é conseguido fazendo com
que a freqüência natural do neutralizador coincida com aquela de interesse do sistema primário. Esta
escolha para a freqüência do neutralizador, conhecida como sintonização, altera a resposta do sistema
composto (sistema primário + neutralizador), introduzindo duas novas freqüências naturais, ao redor
da freqüência natural original do sistema primário. Duas dificuldades são encontradas através desta
solução: a vibração do neutralizador será extremamente elevada, induzindo a possível ruptura do
mesmo por fadiga; grandes amplitudes de vibrações podem ser encontradas no sistema primário, se a
freqüência de excitação variar e coincidir com uma das novas freqüências naturais do sistema
composto (ressonância).
Na prática, procura-se introduzir amortecimento no neutralizador, para evitar os problemas
acima mencionados. Ainda assim, no procedimento clássico, os neutralizadores são sintonizados para
se controlar uma faixa estreita de freqüência em torno de uma freqüência natural específica do
sistema primário. Ou seja, o controle é realizado sintonizando um ou vários neutralizadores para um
determinado modo de vibrar da estrutura.
Em Bavastri
[2] e Bavastri e Espíndola [3], uma nova abordagem é proposta, passando-se a
trabalhar em uma faixa de freqüências, onde um neutralizador, ou uma coleção deles, pode controlar
vários modos de vibração dentro desta faixa.
Nesses mesmos trabalhos, além da apresentação de métodos para a sintonização ótima de
neutralizadores dinâmicos de vibrações utilizando materiais viscoelásticos, são ressaltadas algumas
vantagens do modelo viscoelástico em relação ao modelo viscoso. Em especial, destaca-se que aquele
modelo exibe excelentes propriedades dinâmicas na região de transição do material viscoelástico, que
permitem que se busque a redução de vibrações em uma ampla faixa de freqüências.
1.2 Controle Ativo - Adaptativo de Vibrações
O controle passivo de vibrações é relativamente simples e direto. É um tipo de controle
robusto, confiável e econômico, mas que possui algumas limitações. As forças de controle geradas por
elementos passivos dependem inteiramente da dinâmica natural dos sistemas envolvidos. Uma vez
determinados os valores de massa, amortecimento e rigidez, não se pode ajustar a ação de controle,
que é naturalmente gerada pelos dispositivos passivos. Caso condições não antecipadas se façam
Capítulo 1: Introdução 3
presentes, principalmente em sistemas complexos e de ordem elevada, o sistema de controle passivo
não terá como responder a elas
[32].
As desvantagens presentes na abordagem de controle passivo de vibrações podem ser
superadas utilizando-se o controle ativo. No controle ativo, as respostas do sistema de interesse são
constantemente monitoradas (por meio de sensores) e as ações de controle são aplicadas ao sistema
(por meio de atuadores), de forma a se conseguir um desempenho desejado em malha fechada
(sistema + controlador).
Como já comentado, os sistemas de controle ativo utilizam potência externa para o seu
funcionamento. Em algumas situações, a planta é monitorada continuamente e sua resposta medida
utilizando sensores, que realimentam essas informações para o controlador. Então, o controlador
compara o sinal medido com a resposta desejada e usa o erro para calcular a lei de controle a ser
aplicada ao sistema. Esse constitui um sistema de controle realimentado (ou
feedback control
).
Exemplos de aplicações desta estratégia de controle ativo podem ser encontrados em
[9], [18], [20] e
[32].
Uma outra possível configuração de controle ativo, também amplamente difundida, é o
controle
feed-forward
. Neste caso, a excitação, e não a resposta, é medida e utilizada para se gerar a
lei de controle
[9] e [32]. Vale lembrar que as duas abordagens podem ser utilizadas em um único
sistema de controle ativo.
Não raramente, o sistema físico em que se quer aplicar o controle varia com o decorrer do
tempo. Por exemplo, quando parâmetros internos da planta variam com as condições ambientais.
Nesse caso, o desempenho do sistema de controle ativo pode ser prejudicado.
Frente a este fato, uma certa robustez pode ser garantida se o sistema de controle puder
variar automaticamente seus próprios parâmetros, para compensar as variações na resposta da
planta, e, dessa forma, garantir a performance desejada. Este tipo de controle é denominado controle
adaptativo
[9].
Diferentemente do caso puramente ativo, o controle ativo-adaptativo possui a capacidade de
modificar a forma com que a lei de controle é calculada. Isso ocorre porque existe a possibilidade de
adaptação dos parâmetros do controlador, face às mudanças nas características do sistema primário.
O desempenho de sistemas de controle em tela é determinado, fundamentalmente, pelo
algoritmo de controle ou algoritmo de adaptação. O algoritmo mais utilizado em aplicações de
controle ativo-adaptativo de ruídos acústicos e vibrações é o LMS filtrado (ou FXLMS), uma variante
do clássico LMS (
Least Mean-Square
). Esse algoritmo, que pode ser implementado através de filtros
FIR (
Finite Impulse Response
) adaptativos, tem sido exaustivamente estudado por Tobias [39][40],
particularmente no tocante à obtenção de modelos analíticos para a predição de seu comportamento.
Capítulo 1: Introdução 4
1.3 Controle Misto de Vibrações
Como já antecipado, o controle misto de vibrações utiliza elementos passivos, em conjunto
com uma estrutura de controle ativo. Caso uma estratégia de controle ativo variável, implementada
através de filtros adaptativos, seja empregada, tem-se o controle passivo-adaptativo.
Crê-se que uma aplicação de interesse seria a que combina neutralizadores viscoelásticos e
controladores ativos-adaptativos. Os neutralizadores apresentam bons resultados na redução de
vibrações em uma faixa de freqüência. Contudo, o controle passivo implementado pelo uso de
neutralizadores de vibrações com materiais viscoelásticos tem um desempenho variável em relação à
temperatura e à freqüência de excitação.
Neste contexto, uma estratégia de controle adaptativo poderia atuar no sistema vibrante, de
forma também variável com a temperatura e com a freqüência desejada, mantendo o nível ótimo de
controle. O sistema adaptativo geraria uma ação de controle que, somada à atuação dos
neutralizadores, garantiria a redução das vibrações indesejadas do sistema primário em questão.
1.4 Objetivo e Contribuição
Este trabalho tem por objetivo projetar, implementar e testar um sistema de controle passivo-
adaptativo, ou seja, misto, combinando neutralizadores viscoelásticos e filtros adaptativos. Esse
sistema de controle misto atuará sobre um sistema mecânico simples, qual seja, uma viga metálica,
sob perturbações harmônicas.
Os neutralizadores serão projetados com base na abordagem introduzida por Bavastri
[2],
enquanto os filtros adaptativos serão desenvolvidos a partir do estudo apresentado por Tobias
[39]. A
utilização conjunta dos desenvolvimentos expostos nos trabalhos anteriormente mencionados, ao que
nos consta, ainda não foi feita. Desse caráter inovador e exploratório do presente trabalho decorre a
escolha de perturbações elementares como as harmônicas.
Acredita-se que, através do proposto acima, chegar-se-á a um sistema único de controle de
vibrações, em que a ação de controle adaptativa, incorporada posteriormente à ação de controle
passiva, garantirá a manutenção das condições ótimas, compensando as variações sofridas pelos
elementos viscoelásticos.
1.5 Organização da Dissertação
No Capítulo 2, será tratada a questão do aplicação de neutralizadores de vibrações em
sistemas de um e múltiplos graus de liberdade. Para isso, faremos uso da descrição por parâmetros
equivalentes generalizados. Será considerado, para fins de referência, o modelo de amortecimento
viscoso. Por fim, o projeto de neutralizadores viscoelásticos será detalhado e discutido.
Capítulo 1: Introdução 5
Já no Capítulo 3, será realizada uma revisão dos conceitos relativos aos filtros adaptativos e
suas aplicações. Lá, o algoritmo LMS será derivado e suas variantes mais importantes serão
apresentadas e discutidas. A parte final desse capítulo trata da identificação dos caminhos secundário
e de realimentação (
feedback
) e da questão do controle via filtros adaptativos FXLMS.
A metodologia utilizada durante o trabalho será exposta no Capítulo 4. Em particular, serão
apresentados os procedimentos para a construção do neutralizador viscoelástico, algumas
particularidades da placa de processamento digital de sinais e os problemas de implementação
relacionados ao controle ativo. Nesse capítulo, as montagens experimentais concebidas para os
experimentos de controle passivo, ativo e misto serão ilustradas e discutidas.
O Capítulo 5 discute e analisa os resultados dos experimentos de controle realizados durante
o presente trabalho.
No Capítulo 6, serão apresentadas as conclusões e as sugestões para trabalhos futuros.
O Apêndice A trata de conceitos relevantes à implementação dos filtros adaptativos. Conceitos
como a descrição matemática de sistemas e sinais em tempo discreto, transformada Z e processos
estocásticos são objetos de atenção desse apêndice.
Capítulo 2 : Neutralizadores Dinâmicos de Vibração
Neutralizador dinâmico de vibrações (NDV) é a denominação dada a um sistema que, fixado a
um sistema vibrante de interesse qualquer (sistema primário), pode reduzir ou controlar as vibrações
desse, pela aplicação de forças de reação e/ou dissipação de energia vibratória.
Tais mecanismos podem ou não apresentar elementos que dissipem energia, sendo
denominados respectivamente neutralizadores MCK e MC, quando o modelo de amortecimento é
viscoso, e MK, quando o modelo não possui amortecimento
[33].
Desde a sua invenção, o neutralizador dinâmico de vibrações tem sido uma importante
ferramenta, utilizada em diversos campos da engenharia com o objetivo de reduzir vibrações
indesejadas. Essas vibrações se fazem presentes, por exemplo, em máquinas, estruturas, linhas de
transmissão de energia elétrica e muitos outros sistemas mecânicos.
De especial interesse são os neutralizadores viscoelásticos que, como o próprio nome indica,
incorporam, de diversas formas, materiais extremamente úteis no controle passivo de vibrações,
conhecidos como materiais viscoelásticos.
Além do uso de neutralizadores puramente passivos, tem-se buscado também o
desenvolvimento de NDV’s denominados ativos, semi-ativos ou adaptativos. Nestes casos, o objetivo é
compensar a perda da eficiência daqueles dispositivos quando da variação nas condições de operação
do sistema primário. Esses neutralizadores dinâmicos de vibrações são amplamente discutidos em
[8],
[28] e [36] e não serão abordados nesse trabalho.
2.1 Sistemas de um Grau de Liberdade
1
O modelo matemático mais simples para a descrição da ação de neutralização é o de um
neutralizador dinâmico com um grau de liberdade, aplicado a um sistema primário também com um
grau de liberdade. A Fig. 2.1 mostra um exemplo deste modelo para o neutralizador MK.
No caso de se utilizar os neutralizadores do tipo MK, pode-se ajustar os parâmetros de massa
e rigidez de modo que a vibração do sistema principal tenda para zero. Isto é conseguido fazendo
com que a freqüência natural do neutralizador coincida com aquela de interesse do sistema primário.
Considerando a Fig. 2.1, pode-se escrever, na forma matricial, as equações do movimento do
sistema composto (sistema primário + NDV), como segue:
1
Um sistema é dito de um grau de liberdade quando somente uma coordenada física for suficiente
para descrever sua dinâmica.
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 7
Figura 2.1 - Neutralizador dinâmico MK com um grau de liberdade [23]
() ()
()
() ()
0
nn
xt xt
f
t
MK
xt xt
⎡⎤⎡⎤
⎡
⎤
+=
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣⎦⎣⎦
Determinando cada elemento das matrizes de massa e rigidez, tem-se:
0() ()
()
0() ()
0
nn
nn n n n
mxtkkkxt
f
t
mxt k k xt
+−
⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤
⎡
⎤
+
⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
=
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦
(2.1)
Aplicando a transformada de Fourier na Eq. (2.1), pode-se escrever a função resposta em
freqüência, definida como receptância, para o sistema primário e para o NDV
[23]:
()()
2
2
22
()
()
()
nn
nnn
km
X
F
kk m k m k
α
−Ω
Ω
Ω=
Ω
+−Ω −Ω−
n
(2.2)
()()
2
22
()
()
nn
n
nnn
F
kk m k m k
α
()
n
Xk
Ω
Ω=
Ω
+−Ω −Ω−
(2.3)
É fácil perceber que, fazendo /
nn
kmΩ= na Eq. (2.2), a amplitude de vibração do sistema
primário torna-se nula. Vale lembrar que este valor de freqüência corresponde a freqüência natural do
neutralizador . Assim, o projeto de um NDV não amortecido, ou do tipo MK, consiste na escolha
dos parâmetros e de maneira que o deslocamento do sistema primário seja nulo na freqüência
de excitação. Essa freqüência, nos casos de maior interesse, coincide com a freqüência de ressonância
do sistema primário ou está muito próximo dela.
n
Ω
n
m
n
k
Esta escolha para a freqüência do neutralizador, conhecida como sintonização, altera a
resposta do sistema composto (sistema primário + neutralizador), conduzindo a duas novas
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 8
freqüências naturais, ao redor da freqüência natural original do sistema primário
()
1
/kmΩ= . Isto
é mostrado na figura abaixo.
Figura 2.2 – Amplitude de vibração do sistema primário, com e sem NDV
()
1
/r =Ω Ω
O caso do NDV sem amortecimento é bastante eficiente na redução de vibração causada por
uma excitação de freqüência bem definida e constante. Contudo, duas dificuldades são encontradas
através desta solução: (a) a vibração do neutralizador será extremamente elevada, induzindo a uma
possível ruptura do mesmo por fadiga; (b) grandes amplitudes de vibrações podem ser encontradas
no sistema primário se a freqüência de excitação variar e coincidir com uma das novas freqüências
naturais do sistema composto (ressonância).
Na prática, procura-se introduzir amortecimento ao neutralizador, para se evitar os problemas
acima mencionados. A Fig. 2.3 mostra o modelo de um neutralizador com amortecimento viscoso (tipo
MCK), aplicado a um sistema de um grau de liberdade que também possui amortecimento viscoso.
A partir do esquema apresentado na Fig. 2.3, pode-se escrever a equação de movimento do
sistema composto como segue:
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 9
Figura 2.3 - Neutralizador dinâmico de vibrações com amortecimento viscoso MCK [23]
() () ()
()
() () ()
0
nn n
xt xt xt
f
t
MCK
xt xt xt
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡
⎤
++ =
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
0() () ()
()
0() () ()
0
nn nn
nn n n n n n n
mxtcccxtkkkxt
f
t
mxt c c xt k k xt
+− +−
⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤
⎡⎤
++
⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢
−−
⎣⎦
⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦
=
⎥
(2.4)
Após se aplicar a transformada de Fourier na Eq. (2.4) e se efetuar algumas manipulações,
pode-se escrever a resposta em freqüência do sistema primário e do neutralizador desta forma
[23]:
(
)
(
)
()( ) ( )
2
222 2
()
()
()
nn n
nn nn n n
km ic
X
F
km k m mk ik mm c
−Ω+ Ω
Ω
=
Ω
⎡⎤⎡
−Ω − Ω− Ω + − + Ω Ω
⎣⎦⎣
⎤
⎦
(2.5)
()( ) ( )
222 2
()
()
nnn
nn nn n n
F
km k m mk ik mm c
=
Ω
⎡⎤⎡
−Ω − Ω− Ω + − + Ω Ω
⎣⎦⎣
()XkicΩ+Ω
⎤
⎦
(2.6)
Definindo a razão de amortecimento do sistema composto como sendo
1
2
n
n
n
c
m
ξ
=
Ω
pode-se então, traçar o gráfico da magnitude da função resposta em freqüência, definida na Eq. (2.5),
para diferentes valores de amortecimento (vide Fig. 2.4).
A introdução de amortecimento no NDV amplia sua largura de banda de neutralização, em
contraste com o caso não-amortecido (ver Fig. 2.2). Porém, o preço a ser pago pela ampliação da
região de operação é o fato de que a amplitude de vibração do sistema primário não mais será
anulada na freqüência de interesse.
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 10
Uma forma bastante conhecida para se encontrar os parâmetros ótimos de massa, rigidez e
amortecimento do neutralizador MCK é através da técnica dos pontos fixos. Segundo este método, a
resposta do sistema composto para diferentes valores de amortecimento do sistema secundário (NDV)
passará sempre por dois pontos bem definidos, conhecidos como pontos fixos. Vale ressaltar que esse
método será consistente, do ponto de vista matemático, quando o amortecimento do sistema primário
for nulo. Estes pontos podem ser observados na Fig. 2.4, em e .
0,82r 1,15r
Figura 2.4 – Amplitude de vibração (sistema composto) para diferentes valores de amortecimento [23]
Pode-se demonstrar que o valor mínimo do módulo da resposta do sistema composto, medida
no sistema primário, é obtido quando os pontos fixos encontram-se na mesma altura e os picos da
resposta passam o mais perto possível deles
[34]. Os parâmetros otimizados são:
Relação de massas:
0,1 0,25
n
m
m
a
m
μ
==
Amortecimento:
()
3
81
ot
m
n
m
μ
ξ
μ
=
+
Rigidez:
2
1
1
nn
m
km
μ
⎛⎞
Ω
=
⎜⎟
+
⎝⎠
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 11
2.2 Parâmetros Equivalentes para um NDV
Antes de discutirmos a aplicação de um neutralizador dinâmico de vibrações em um sistema
com múltiplos graus de liberdade, serão introduzidos alguns conceitos bastante úteis chamados
parâmetros equivalentes generalizados
[33]. Estes parâmetros são extraídos a partir de quantidades
dinâmicas, calculadas na base do neutralizador.
Para a obtenção dos parâmetros equivalentes, considera-se o neutralizador MCK
esquematizado na Fig. 2.5.
Figura 2.5 – Representação do neutralizador MCK
Escrevendo as equações de movimento para a base (considerada como tendo massa
desprezável) e para a massa do neutralizador temos, respectivamente:
(
)
(
)
() () () () ()
nnnn
f
tcxtxt kxtxt=−+−
(2.7)
(
)
(
)
() () () () ()
nnnnnn
mx t c xt x t k xt x t=−+−
(2.8)
Aplicando a transformada de Fourier nas Eq. (2.7) e (2.8), pode-se obter uma função resposta
em freqüência que relaciona força e deslocamento, denominada rigidez dinâmica:
2
2
()
()
()
nn
nn
nn
kicF
Km
n
X
kmic
+
Ω
Ω
Ω=−Ω
Ω
−Ω + Ω
(2.9)
Sabendo que a impedância mecânica ()
n
Z
Ω
, que relaciona força e velocidade, e a massa
dinâmica , que relaciona força e aceleração, estão associadas com a rigidez dinâmica
()
n
M Ω ()
n
K
Ω
da seguinte forma:
2
() () ()
nn
KiZ M
n
Ω
=Ω Ω=−Ω Ω
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 12
pode-se escrever, a partir da Eq. (2.9), as seguintes expressões:
2
()
nn
nn
nn
kic
Zim
kmi
n
c
+
Ω
Ω=Ω
−
Ω+Ω
(2.10)
2
()
nn
nn
nn
Mm
kmi
n
kic
c
+
Ω
Ω=
−
Ω+Ω
(2.11)
Rigidez dinâmica, impedância mecânica e massa dinâmica são quantidades dinâmicas
características do neutralizador em questão, contendo todas as informações relevantes a seu respeito.
Essas mesmas quantidades podem ser obtidas a partir das representações equivalentes da
Fig. 2.6: massa equivalente e amortecedor equivalente ligado à terra (referencial inercial) ou mola e
amortecedor equivalentes, ambos ligados à terra.
Figura 2.6 – Dois possíveis sistemas equivalentes para o neutralizador MCK [33]
Para que o exposto acima se verifique, basta que:
{}
(
)
(
)
()
()
2
2
2
2
2
2
() Re ()
nn n n
eq n n
nn n
kk m c
kK m
km c
−Ω + Ω
Ω= Ω =−Ω
−Ω + Ω
(2.12)
{}
()
()
4
2
2
2
() Re ()
nn
eq n n
nn n
mc
cZm
km c
Ω
Ω= Ω =
−Ω + Ω
(2.13)
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 13
{}
(
)
(
)
()
()
2
2
2
2
2
() Re ()
nn n n
eq n n
nn n
kk m c
mMm
km c
−Ω + Ω
Ω= Ω =
−Ω + Ω
(2.14)
Ver-se-á adiante, de forma sucinta, a partir do exposto em [2] e [33], que as representações
equivalentes do neutralizador MCK são extremamente convenientes. Massa, rigidez e amortecimento
equivalentes são conhecidos como parâmetros equivalentes.
2.3 Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade
2.3.1 Sistema Primário com Amortecimento Viscoso
A equação dinâmica que governa o movimento de um sistema linear, invariante no tempo,
não giroscópico, não circulatório, com múltiplos graus de liberdade e com amortecimento viscoso,
é dada como segue:
()n
() () () ()
M
qt Cqt Kqt f t
+
+=
(2.15)
Uma possível solução para o problema acima, no caso de vibrações livres, ou seja,
() 0ft
=
,
é do tipo
()
s
t
ii
qt ae=
, para , ou:
1:i= n
= (2.16) () 1:
st
q t e para i n
φ
=
considerando que
φ
é um vetor das constantes .
1:in
a
=
Desta forma, substituindo (2.16) em (2.15), tem-se
2
0
st
sM sC K e
φ
⎡⎤
+
+
⎣⎦
=. Como
s
t
e
é
sempre diferente de zero, temos:
2
0sM sC K
φ
⎡⎤
+
+=
⎣⎦
(2.17)
A solução não trivial, isto é, com
0
φ
≠
, será possível se o determinante da matriz do sistema
for nulo, como segue:
2
det 0sM sC K
⎡
⎤
+
+=
⎣
⎦
(2.18)
Do polinômio formado na Eq. (2.18), obtém-se valores de . Assim, para cada valor de
2n s
j
s
, com , determina-se um vetor
1:2j= n
j
φ
, a menos de uma constante. As raízes
j
s
são
chamadas autovalores do sistema, enquanto os vetores
j
φ
correspondentes são os autovetores.
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 14
Os autovalores dependem somente das características do sistema, neste caso, características
inerciais, elásticas e dissipativas. Os autovalores podem assumir formas diferentes, dependendo
do problema em tela. Eles podem ser reais e distintos, reais e iguais e complexos conjugados. A cada
autovalor complexo do tipo
2n
jj
si
σ
ν
=+
, corresponde um outro, também complexo e conjugado,
*
jj
si
σ
ν
=−. A um par de autovalores complexos conjugados, corresponde um par de autovetores,
também complexos conjugados.
Embora os sistemas físicos reais sempre tenham amortecimento, o problema não amortecido
é de fundamental importância e por isso, ele será analisado na seqüência. O fato de se desconsiderar
a matriz de amortecimento facilita o cálculo do problema de autovalores, uma vez que as matrizes
envolvidas nesse caso são do tipo positiva definida. Esta propriedade não se verifica quando se
considera o sistema com amortecimento geral
[5].
Assim, considerando , a Eq. (2.17) toma a seguinte forma:
0C =
2
0sM K
φ
⎡⎤
+
=
⎣⎦
(2.19)
Demonstra-se que os autovalores do problema definido pela Eq. (2.19) são imaginários puros
e conjugados
[12]:
*
jj
jj
si
si
=
Ω
=
−Ω
(2.20)
Por esta razão, o problema de autovalores não amortecido é, normalmente, escrito como
segue:
2
KM
φ
φ
=Ω (2.21)
Pode-se visualizar, da equação acima, que os autovetores correspondentes a
j
s
e são
reais e iguais. A solução deste problema conduz diretamente aos valores de e
*
j
s
2
j
Ω
j
φ
, para
. Confunde-se muitas vezes, por esta razão,
1:j= n
2
j
Ω
com o j-ésimo autovalor do sistema,
quando na realidade o autovalor é dado conforme (2.20).
Em forma matricial, a solução completa é dada por:
(
)
[]
2
12
j
n
diag
φ
φφ
Λ= Ω
Φ= "
(2.22)
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 15
onde as freqüências
j
Ω
recebem o nome de freqüências naturais, ou freqüências próprias, do
sistema, enquanto que os
j
φ
são os autovetores correspondentes ou modos de vibrar. O conjunto de
matrizes acima é conhecido como modelo modal do sistema e as matrizes
M
e
K
formam o modelo
espacial.
É importante notar que a matriz de autovalores é única, diferentemente da matriz de
autovetores. Isto pode ser demonstrado de forma simples, uma vez que existirão infinitos vetores, a
menos de uma constante, que satisfazem a Eq. (2.21), para um dado valor de .
2
j
Ω
Do modelo modal, podemos escrever as seguintes relações, a partir da propriedade conhecida
como ortogonalidade
[12]:
(
)
()
T
r
T
r
M
diag m
Kdiagk
ΦΦ=
ΦΦ=
(2.23)
onde:
(
)
() (
1
2
rr
diag diag m diag k
−
Ω=⎡ ⎤
⎣⎦
)
r
r
Cada componente da expressão anterior é dado por
/
rr
km
Ω
=
. Os parâmetros e
são denominados, respectivamente, massa e rigidez modal do r-ésimo modo, com .
r
m
r
k
1:rn=
Normalizando-se cada autovetor através da raiz quadrada da massa modal, o sistema passa a
ser ortonormal e, com isso, as seguintes relações também serão válidas:
(2.24)
()
2
T
T
r
MI
Kdiag
ΨΨ=
ΨΨ= Ω
em que
1
r
r
m
r
ψ
φ
=
Do problema de autovalores para o sistema sem amortecimento, podemos concluir que a
matriz modal
Φ , Eq. (2.23), é capaz de diagonalizar as matrizes de massa e rigidez do sistema linear
considerado. Entretanto, para uma matriz de amortecimento qualquer, não existe nenhuma relação
que garanta que o produto seja diagonal.
T
CΦΦ
Contudo, a experiência demonstra que, no caso de estruturas vibrantes de baixo
amortecimento modal, o produto
T
C
Φ
Φ
é diagonal dominante [12]. Estes sistemas são ditos
classicamente amortecidos. Nestes casos, também pode-se considerar a matriz modal
Φ , definida em
(2.22), como a matriz modal do sistema amortecido.
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 16
Assim, a matriz de amortecimento clássico é caracterizada pela seguinte propriedade:
(
)
T
r
CdiagcΦΦ=
Ou seja, para este tipo de amortecimento, a matriz modal do problema não amortecido,
definida em (2.22), também diagonaliza a matriz de amortecimento
[5].
Para se ilustrar a importância do modelo modal, escreve-se a Eq. (2.15) no domínio da
freqüência através da transformada de Fourier. Desta forma, o sistema de equações para um sistema
linear com múltiplos graus de liberdade, no domínio da freqüência, é dado por:
(2.25)
2
() ()MiCKQ F
⎡⎤
−Ω + Ω + Ω = Ω
⎣⎦
sendo e a transformada de Fourier de
()F Ω ()Q Ω ()
f
t
e , respectivamente.
()qt
Realize-se a seguinte transformação de coordenadas:
() ()QP
Ω
=Ψ Ω
(2.26)
onde são as coordenadas físicas, também conhecidas como coordenadas generalizadas, e
as coordenadas principais que, geralmente, não têm sentido físico. Substituindo (2.26) em
(2.25) e pré-multiplicando esta ultima por
()Q Ω
()P Ω
T
Ψ
, obtém-se:
()
(
)
22
2(
rr r
I i diag diag P N
ξ
⎡
−Ω + Ω Ω + Ω Ω = Ω
⎣
)()
⎤
⎦
(2.27)
onde ,() ()
T
NFΩ=Ψ Ω
2
r
r
rr
c
m
ξ
=
Ω
e
1:rn
=
.
O espaço gerado por esta transformação recebe o nome de espaço modal e tem a
característica fundamental de que, nele, o sistema de equações está desacoplado. Isto significa que
se pode resolver, de forma individual, cada linha da Eq. (2.27), da mesma forma que para sistemas
simples com um grau de liberdade. Uma linha genérica
r
deste sistema de equações será:
r
2
2
2()
rr r r r
iP
ξ
⎡⎤
−Ω + Ω Ω +Ω Ω = Ω
⎣⎦
()N
Definindo a matriz como:
0
D
()
(
)
2
2
0
2
rr r
D I i diag diag
ξ
⎡
=−Ω +Ω Ω + Ω
⎣
⎤
⎦
as coordenadas principais podem ser calculadas. Assim:
(2.28)
11
00
() () ()
T
PDNDF
−−
Ω= Ω= Ψ Ω
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 17
Pode-se observar que a matriz é diagonal e, portanto, sua inversa é calculada
simplesmente pela inversão de cada elemento da diagonal. Esta matriz é denominada matriz resposta
em freqüência do espaço modal.
0
D
Pré-multiplicando a Eq. (2.28) pela matriz
Ψ
, obtém-se a resposta em coordenadas
generalizadas, como segue:
1
0
() ()
T
QDF
−
Ω
=Ψ Ψ Ω
(2.29)
Em analogia com sistemas de um grau de liberdade, define-se a matriz resposta em
freqüência em coordenadas físicas como:
1
0
()
T
D
α
−
Ω
=Ψ Ψ
Um elemento particular da matriz acima é:
2
2
1
()
2
n
kr sr
ks
r
rrr
i
α
ξ
=
ΨΨ
Ω=
−
Ω+Ω + ΩΩ
∑
(2.30)
A função ()
ks
α
Ω representa a resposta em freqüência do sistema que relaciona a resposta
na coordenada generalizada à excitação aplicada na coordenada .
k s
2.3.2 Adição de Neutralizadores Dinâmicos
Consideremos, agora, a aplicação de um neutralizador dinâmico de vibrações a um sistema
linear, com múltiplos graus de liberdade e amortecimento viscoso clássico.
Como vislumbrado no item
2.2, a adição de um neutralizador dinâmico segundo uma
coordenada generalizada , coordenada essa que tenha um sentido físico, pode ser representada
como a adição de uma massa equivalente e um amortecedor equivalente ligado à terra,
segundo essa mesma coordenada. Em outras palavras, o sistema primário “sente” o neutralizador
como uma massa equivalente e um amortecedor equivalente ligado à terra
r
q
eq
m
eq
c
[13].
Essa adição causa os seguintes acréscimos na energia cinética e na potência dissipada no
sistema
[33]:
2
2
1
()
2
reqr
TmqtΔ=
2
()
2
reqr
cqt
τ
Δ=
1
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 18
Conseqüentemente, as matrizes de massa e de amortecimento do sistema serão alteradas.
Agora, a equação que descreve o movimento do sistema composto, expressa em coordenadas
generalizadas absolutas, é dada por
[4]:
() () () ()
M
qt Cqt Kqt f t++ =
(2.31)
em que as matrizes de massa e amortecimento do sistema composto são dadas por:
eq
M
MM=+
eq
CCC=+
onde:
M
: Matriz de massa do sistema primário;
eq
M
: Matriz de massa equivalente;
C
: Matriz de amortecimento;
eq
C
: Matriz de amortecimento viscoso equivalente.
Abordemos, então, a adição de neutralizadores ao sistema de
n
graus de liberdade. Neste
caso, as matrizes do sistema são descritas por:
p
1
00 0 00
0000
00 00
00 0 0
00 0 00
eq
eq
eqp
nxn
m
MMM M
m
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=+ =+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
%
1
00 0 00
0000
00 00
00 0 0
00 0 00
eq
eq
eqp
nxn
c
CCC C
c
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=+ =+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
%
Aplicando a transformada de Fourier na Eq. (2.31), temos:
(2.32)
2
() ()MiCKQ F
⎡⎤
−Ω + Ω + Ω = Ω
⎣⎦
Vale a pena notar que os efeitos provenientes da adição dos neutralizadores apenas
modificam as matrizes de massa e de amortecimento do sistema composto. O vetor das coordenadas
generalizadas do sistema primário permanece inalterado
[13].
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 19
Chamando de a matriz modal do sistema, é possível realizar a seguinte transformação de
coordenadas:
Ψ
() ()QP
Ω
=Ψ Ω
(2.33)
O conceito de espaço modal pode ser aplicado para sistemas compostos (sistema primário +
neutralizadores), a partir dos autovetores do sistema primário, uma vez que a Eq. (2.32) é expressa
em função das coordenadas generalizadas do sistema primário apenas. Isso resulta do uso dos
parâmetros equivalentes
[2], [33].
É importante notar, entretanto, que, no espaço modal, o sistema composto não ficará
desacoplado, uma vez que esta transformação não diagonalizará as matrizes
M
e
C
, agora
compostas também pelos parâmetros equivalentes, em sua forma generalizada. Também é
importante notar que o modelo representado pela Eq. (2.32) pode ter milhares de graus de liberdade,
especialmente quando as matrizes são computadas via elementos finitos
[2].
Substituindo a equação (2.33) na Eq. (2.32) e pré multiplicando por , tem-se, a partir das
propriedades do autovetores, que:
T
Ψ
() ( ) ()
(
)
{
}
2 2
2(
eq r r eq r
I M i diag C diag P N
ξ
⎡⎤
⎡⎤⎡ ⎤
−Ω + Ω + Ω Ω + Ω + Ω Ω = Ω
⎣⎦⎣ ⎦
⎣⎦
)()
(2.34)
onde:
() ()
T
NF
Ω
=Ψ Ω
eq
M
e são as matrizes que contém os coeficientes (parâmetros) de massa e
amortecimento equivalentes no espaço modal.
eq
C
Podemos reescrever a Eq (2.34) como se segue:
{
}
12
() ()DDP N
+
Ω= Ω
onde
[]
()
(
)
{
}
() ()
{}
22
1
2
2
2
rr r
eq eq
D I i diag diag
DMiC
ξ
⎡
⎤
=−Ω +Ω Ω + Ω⎡⎤
⎣⎦
⎣
⎦
⎡⎤⎡⎤
=−Ω Ω +Ω Ω
⎣⎦⎣⎦
A resposta do sistema no espaço modal,
()P
Ω
, será:
{}
1
12
() ()PDDN
−
Ω
=+ Ω
donde se chega a:
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 20
{}
1
12
() ()
T
QDDF
−
Ω
=Ψ + Ψ Ω
(2.35)
A matriz de receptância do sistema composto, com múltiplos graus de liberdade, no espaço
físico, será:
{}
1
12
()
T
DD
α
−
Ω
=Ψ + Ψ
(2.36)
Truncamento
Como já comentado anteriormente, na prática, um sistema complexo pode apresentar um
número muito grande de graus de liberdade. Entretanto, geralmente, alguns poucos modos desse
sistema são importantes na composição de sua vibração. Estes modos são aqueles que se encontram
dentro de uma certa faixa de interesse. Portanto, a solução do problema de autovalores associado
pode se restringir a apenas dez a vinte autovalores e autovetores.
Assuma-se, então, a seguinte transformação de coordenadas:
ˆ
() ()
QP
Ω
=Ψ Ω
(2.37)
onde é a matriz modal truncada do sistema primário, de ordem . O número de graus de
liberdade é representado por
n
e representa o número de autovetores atualmente computados ou
medidos. Geralmente, .
ˆ
Φ
ˆ
nxn
ˆ
n
ˆ
nn<<
Substituindo a Eq. (2.37) em (2.32) e pré-multiplicando por
ˆ
T
Ψ
, obtém-se:
()
()
(
)
()
(
)
{
}
2
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
() ()
jeq jeq j
diag m M i diag c C diag k P N
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
−Ω + Ω + Ω + Ω + Ω = Ω
⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
(2.38)
com
ˆˆ
() ()
T
NF
Ω
=Ψ Ω
(2.39)
Os elementos das matrizes
ˆ
()
eq
M
Ω
e
ˆ
()
eq
C
Ω
podem ser escritos como:
(,)
1
ˆ
()
ii i
p
eq s r eq k s k r
i
Mm
=
Ω
=ΨΨ
∑
(,)
1
ˆ
()
ii i
eq s r eq k s k r
i
Cc
=
p
Ω
=ΨΨ
∑
A expressão (2.38) representa um sistema de equações, com , que pode ser
resolvido de forma bem mais expedita após calculadas as equações (2.13) e (2.14), que
correspondem aos parâmetros equivalentes generalizados dos neutralizadores. A equação (2.38)
ˆ
n
ˆ
n<<
n
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 21
mostra que, no espaço modal, o sistema de equações não é desacoplado. Isto é provocado ao se
introduzir, no sistema de equações, os efeitos da adição dos neutralizadores dinâmicos.
Em coordenadas generalizadas, de (2.38) e (2.39), mostra-se que a solução é:
1
ˆˆ
() ()
PDN
−
Ω
=Ω
(2.40)
ao passo que, em coordenadas físicas, a solução é:
1
ˆˆ ˆ
() ()
T
QDF
−
Ω
=Ψ Ψ Ω (2.41)
onde:
2
0
ˆ
ˆˆ ˆ
() ()
nn
DD M iC
=
−Ω Ω + Ω Ω
(2.42)
e
(
)
2
0
ˆ
ˆ
ˆ
jj
Ddiagkm ic
ˆ
=
−Ω+Ω (2.43)
Pode-se observar que a matriz
0
ˆ
D
é diagonal, enquanto que a matriz , que representa o
sistema composto, não o é. Se os autovetores são ortonormalizados através da matriz de massa, a
Eq. (2.42) toma a seguinte forma:
ˆ
D
(
)
2
2
0
ˆ
2
jj
Ddiag i
ξ
j
=
Ω−Ω+ ΩΩ (2.44)
Ressalta-se, da Eq. (2.40), que a matriz
1
ˆ
D
−
é a matriz resposta em freqüência no espaço
modal truncado do sistema composto. Conhecendo-se os parâmetros modais do sistema primário e as
características do neutralizadores adicionados, essa matriz pode ser calculada. Esse fato pode ser
generalizado para sistemas primários que apresentam amortecimento não viscoso
[3].
2.4 Controle Passivo por Neutralizadores Viscoelásticos
A partir da modelagem do sistema composto no espaço modal, pode-se optar por dois
caminhos, visando o controle de vibrações por meio dos neutralizadores dinâmicos: o controle modo-
a-modo e o controle em uma banda de freqüência.
O controle modo-a-modo foi aplicado por Silva
[33]. Naquela metodologia, despreza-se o
acoplamento do sistema e, desta forma, projeta-se um neutralizador ótimo para o modo desejado.
Isto é feito através de uma correlação direta com a teoria clássica, para sistemas com um grau de
liberdade (técnica dos pontos fixos, item 2.1).
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 22
Já o controle em uma faixa de freqüência é mais realista, à medida que o acoplamento do
sistema composto (equação 2.38) não é desprezado. Segundo essa metodologia, apresentada por
Bavastri em
[2], são utilizadas técnicas numéricas de otimização não-linear para se encontrar os
parâmetros ótimos dos neutralizadores, dentro da faixa de freqüência de interesse.
O presente trabalho interessa-se pelo controle passivo, via neutralizadores viscoelásticos de
vibração, ao longo de uma faixa de freqüência. Assim sendo, uma exposição compacta da
metodologia apresentada por Bavastri será feita, já particularizada para o uso de dispositivos
viscoelásticos.
O uso de dispositivos viscoelásticos, entre eles os neutralizadores, demanda o conhecimento
preciso das características dinâmicas do material viscoelástico empregado. Em especial, requer-se o
conhecimento de como essas características variam com a freqüência e a temperatura.
Assim sendo, serão feitas, preliminarmente, algumas considerações quanto à caracterização
de materiais viscoelásticos.
2.4.1 Caracterização de Materiais Viscoelásticos
Materiais viscoelásticos são amplamente utilizados como meio de fornecer amortecimento às
estruturas e, assim, reduzir suas vibrações indesejadas
[34]. Estes materiais apresentam excelentes
propriedades dinâmicas em sua região de transição, podendo possibilitar a redução de vibrações em
uma ampla faixa de freqüência.
Desta forma, esses materiais podem ser utilizados na construção dos neutralizadores
dinâmicos, fornecendo à estes dispositivos tanto amortecimento quanto rigidez. Os neutralizadores
viscoelásticos, via de regra constituídos de elementos de material viscoelástico juntamente com
elementos metálicos, podem controlar vibrações de maneira mais eficaz do que um sistema
secundário do tipo massa-mola
[2]. Além disso, sua simplicidade na construtiva deve ser destacada.
Contudo, como já antecipado, um projeto eficiente de engenharia envolvendo materiais
viscoelásticos necessita do conhecimento detalhado do comportamento dinâmico desses materiais.
Esse comportamento claramente apresenta dependência em relação a fatores tais como freqüência de
excitação, temperatura ambiente e magnitudes dos carregamentos dinâmicos, dentre outros. Na faixa
linear, a temperatura e a freqüência são as duas variáveis mais importantes
[25].
Caracterização Dinâmica Clássica
Um modo simples e consistente de se descrever o comportamento linear dos materiais
viscoelásticos é através da representação por módulos complexos. De acordo com esta abordagem, as
relações tensão-deformação de um material sob carregamento dinâmico podem ser representadas, de
forma compacta, por quantidades ou módulos complexos. Nesta abordagem, os módulos complexos
representam em sua parte real as características elásticas do material e, na parte imaginária, suas
características dissipativas. Assim, a tensão de cisalhamento
G
de um material, expressa em módulo
complexo, resulta em
[26]:
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 23
R
GG iG=+
I
(2.45)
onde é o módulo real de cisalhamento e
R
G
I
G
o módulo imaginário de cisalhamento.
Definindo o fator de perda de cisalhamento
G
η
como a razão entre a parte imaginária e a
parte real, pode-se reescrever a Eq. (2.45) como:
(
)
1
R
GG i
G
η
=+
(2.46)
Como os materiais viscoelásticos são dependentes da temperatura e da freqüência, é
apropriado escrever o módulo complexo de cisalhamento em função destas variáveis. Desta forma,
temos:
()
(
)
(
)
,,1
RG
GTG T i T
η
Ω= Ω + Ω,
⎡
⎤
⎣
⎦
(2.47)
Para que se possa desenvolver corretamente uma estratégia de controle de vibrações
utilizando materiais viscoelásticos, as duas propriedades dinâmicas básicas que precisam ser
conhecidas são exatamente o módulo real de cisalhamento e o correspondente fator de perda do
material
[29].
O conhecimento completo dessas propriedades dinâmicas, para um material viscoelástico de
interesse, é garantido após diversos ensaios experimentais, ao longo de amplas faixas de freqüência e
temperatura. Via de regra, o que resulta dos diversos procedimentos existentes é um conjunto de
curvas, em uma banda de freqüência característica do procedimento empregado, estando cada curva
associada a uma temperatura de ensaio, como ilustrado na Fig. 2.7.
Figura 2.7 – Gráficos das Propriedades Dinâmicas Medidas [26]
Classicamente, todas as abordagens existentes processam essas informações de temperatura
isoladamente para, numa segunda etapa, reuni-las e gerar uma representação completa.
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 24
Para diversos materiais de interesse, a chave para se obter uma caracterização dinâmica
ampla, a partir de dados experimentais limitados, é o assim chamado princípio de superposição
freqüência temperatura
[29]. Esse princípio estabelece que as diversas curvas de propriedades
dinâmicas podem ser superpostas, em uma temperatura de referência qualquer, por meio de
deslocamentos em freqüência apropriados, formando assim, duas curvas mestras únicas, uma para
cada propriedade.
Matematicamente, tem-se que:
00
0
() (,
Rred R
T
GG
T
)T
ρ
ρ
Ω= Ω
0
Gred G
() (,)T
η
Ω
η
=Ω
onde ()
red T
T
α
Ω= Ω é a freqüência reduzida,
T
α
é o fator de deslocamento (cujos os valores são
01
T
α
<<
para ,
0
TT>
1
T
α
=
para
0
TT
=
e
1
T
α
>
para
0
TT
<
), é a temperatura de
referência (em escala absoluta),
0
T
ρ
é a densidade e
0
ρ
é a densidade à temperatura de referência.
As expressões acima estabelecem que, exceto por um fator (
00
/TT
ρ
ρ
) para o módulo de
cisalhamento (via de regra desprezável), as propriedades dinâmicas obtidas a uma freqüência
Ω
e
temperatura são iguais às propriedades dinâmicas a uma freqüência composta e a uma
temperatura . Embora a temperatura de referência seja arbitrária, sua escolha, para um certo
conjunto de dados experimentais, terá influência na qualidade da representação final obtida
T
red
Ω
0
T
[26].
A determinação do fator de deslocamento
T
α
é de crucial importância para o processo de
consolidação das curvas. Tipicamente, o que se faz é estimar os valores que fazem com que as curvas
parciais se desloquem em freqüência, de tal modo que superposições completas sejam alcançadas na
temperatura de referência. De grande utilidade é o ajuste desses valores a uma equação empírica,
consistente com a experiência e conhecida como equação WLF (Williams-Landel-Ferry)
[26], qual
seja:
1
10
20
()
log ( )
T
TT
T
TT
0
θ
α
θ
−
=
+
−
(2.48)
onde
1
θ
e
2
θ
são parâmetros a serem determinados para cada material.
Uma vez consolidadas, as propriedades dinâmicas são exibidas, de forma padronizada, em
nomogramas, ou diagrama de freqüência reduzida. Esses nomogramas têm sido adotados tanto por
pesquisadores quanto por fabricantes de materiais viscoelásticos. Expressões paramétricas têm sido
ajustadas aos dados, de sorte que representações contínuas estejam disponíveis, tanto gráfica como
analiticamente. Um exemplo de nomograma é mostrado na Fig. 2.8.
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 25
Figura 2.8 - Nomograma de freqüência reduzida [26]
Abordagem por Derivadas Generalizadas
O módulo complexo de cisalhamento de um certo material viscoelástico pode, com o uso do
cálculo fracional, ser descrito por
[25]:
()
()
1()
LH
GGbi
G
bi
β
β
+
Ω
Ω=
+Ω
(2.49)
onde é o módulo elástico,
L
G
H
G
o módulo vítreo,
b
um parâmetro real e
β
a ordem da derivada
generalizada (ou fracionária) associada, sendo que
01
β
<
<
.
Em Espíndola
et al
[11], uma nova abordagem para caracterização de materiais viscoelásticos
é introduzida. Segundo essa abordagem, pode-se identificar um vetor de parâmetros
[
]
,,,
LH
xGGb
β
=
, que corresponda a um material de interesse.
O procedimento experimental subjacente consiste na excitação, ao longo de uma ampla faixa
de freqüência e em determinadas temperaturas, de um corpo de prova simples, composto por duas
massas, separadas por elementos elastoméricos. A excitação se dá apenas na massa externa e a
razão das respostas, capturada por acelerômetros fixados em cada uma das massas, fornece a função
transmissibilidade experimental
()
E
T Ω .
Numa segunda etapa, a função transmissibilidade, obtida numa certa temperatura, é
comparada à função transmissibilidade teórica
()T
Ω
correspondente. A partir daí, os dados
experimentais são ajustados de forma a se encontrar um vetor
x
que minimize a soma dos erros
quadráticos entre a transmissibilidade teórica e experimental.
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 26
A repetição desse procedimento em outras temperaturas resulta no levantamento de
parâmetros para toda a faixa de interesse. Esses parâmetros são, posteriormente, consolidados num
único vetor final de parâmetros, com o uso de um recurso gráfico conhecido como gráfico de Wicket.
O fator de deslocamento é calculado, nas temperaturas de ensaio, através de
[25]:
()
1/
0
() /
TT
Tbb
β
α
=
(2.50)
onde é o valor de b na temperatura de referência , de escolha arbitrária.
0T
b
0
T
Uma expressão geral para o fator de deslocamento pode ser obtida, ajustando-se os valores
encontrados como indicado acima à Eq. (2.48).
Generalizando a expressão (2.49), com o auxílio de (2.50), pode-se escrever:
[
]
[]
0
0
()
(,)
1()
LHTT
TT
GGbiT
GT
bi T
β
β
α
α
+
Ω
Ω=
+Ω
(2.51)
Esta expressão permite que o método complexo de cisalhamento seja calculado em qualquer
freqüência e temperatura de interesse, com o suporte de (2.48).
2.4.2 Projeto Ótimo de Neutralizadores Viscoelásticos
Um neutralizador viscoelástico simples, conectado a um sistema mecânico de interesse, pode
ser considerado como um sistema de um grau de liberdade
[4]. Nesse caso, o neutralizador tem uma
massa conectada à sua base através de um ou mais elementos de material viscoelástico (ver Fig. 2.9),
cuja rigidez complexa é dada por:
()
(
)
(
)
(
)
,, ,1
nR
,
G
K
TLGTLG T i T
η
Ω= Ω= Ω + Ω
⎡
⎤
⎣
⎦
(2.52)
em que
L
é um fator que depende da geometria dos elementos viscoelásticos [12].
Fig. 2.9 - Sistema de um grau de liberdade, com seu sistema equivalente
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 27
Mostra-se que a impedância e a massa dinâmica para o modelo da Fig. 2.9 são representadas
por dadas por
[3]:
()
(
)
()
2
,
,
,
n
n
n
im LG T
ZT
mLGT
−Ω Ω
Ω=
Ω− Ω
(2.53)
(
)
()
()
2
,
,
,
nn
n
LG T
MTm
mLGT
Ω
Ω=−
Ω− Ω
(2.54)
A variável T será, doravante, omitida, por brevidade.
A freqüência de antiressonância do neutralizador é definida de forma que, na ausência de
amortecimento, o denominador das expressões anteriores seja igual a zero, ou seja:
(
)
2
a
a
n
LG
m
Ω
Ω= (2.55)
Definindo-se a relação () ( )(,)
a
LG LG r T
Ω
=ΩΩ, as Eqs. (2.53) e (2.54) podem ser
escritas da seguinte forma:
()
(
)
(
)
() ()
2
1
1
a
nna
a
ri
Zim
ri
εη
εη
Ω+Ω
⎡
⎤
⎣
⎦
Ω=− Ω
−
Ω+Ω
⎡
⎤
⎣
⎦
(2.56)
()
(
)
(
)
() ()
2
1
1
nn
a
ri
Mm
ri
η
εη
Ω+Ω
⎡
⎤
⎣
⎦
Ω=−
−
Ω+Ω
⎡
⎤
⎣
⎦
(2.57)
em que () () ( )
a
rGGΩ= Ω Ω e
aa
ε
=
ΩΩ .
Os parâmetros equivalentes generalizados de massa e amortecimento viscoso são definidos
por:
(
)
(
)
{
}
Re
eq n
cZ
Ω
=Ω
(2.58)
(
)
(
)
{
}
Re
eq n
mM
Ω
=Ω
(2.59)
Com estes parâmetros equivalentes, os modelos da Fig. 2.9 são dinamicamente equivalentes,
como já exposto no item 2.2. Desta forma, a dinâmica do sistema composto (sistema primário +
neutralizador) pode ser formulada apenas em função das coordenadas generalizadas do sistema
primário, ainda que o neutralizador tenha acrescentado um grau de liberdade ao sistema composto.
Esta é a principal vantagem introduzida pelos parâmetros equivalentes generalizados.
Tendo sido definidos os parâmetros equivalentes generalizados, a adição de um ou mais
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 28
neutralizadores viscoelásticos a um sistema mecânico linear, com múltiplos graus de liberdade, se dá
como exposto no item 2.3.2. Lá também foi exposto que a formulação apresentada é flexível o
suficiente para permitir a descrição dos efeitos da aplicação de neutralizadores viscoelásticos, caso se
tenha, do sistema mecânico de interesse, simplesmente o seu modelo modal truncado (freqüências
naturais não amortecidas, fatores de perda modais e modos de vibrar numa faixa de interesse). Esse
modelo modal truncado pode ser obtido, por exemplo, através de uma modelagem por elementos
finitos ou como resultado de uma análise modal experimental
[14], como será o caso do presente
trabalho.
Considere-se, agora, o controle passivo de vibrações do sistema primário de interesse, ao
longo de uma certa faixa de freqüência. A fim de se determinar os parâmetros físicos ótimos dos
neutralizadores viscoelásticos, ou seja, aqueles parâmetros derivados de suas características
construtivas que conduzem, dentro de limites, aos melhores parâmetros equivalentes generalizados
para o controle em tela, lança-se mão da abordagem apresentada por Bavastri
[2] e Bavastri e
Espíndola
[3].
Por aquela abordagem, define-se, a partir das coordenadas generalizadas
P(Ω)
, uma função
objetivo tal que
(
)
:
n
obj
f
xR R→
(2.60)
com
()
12
2
(,)
obj
f
xmáxPx
Ω<Ω<Ω
=Ω (2.61)
onde
2
significa norma 2 e os limites inferior e superior da faixa de freqüência de
interesse.
1
eΩΩ
2
Desta forma, o problema de otimização será minimizar a função objetivo:
(
)
min
obj
f
x
(2.62)
sujeito às seguintes restrições de desigualdade
L
H
ii
i
x
xx
<
<
(2.63)
sendo
x
o vetor de projeto, cujas componentes são as freqüências de antiressonância de cada
neutralizador.
Para se encontrar a solução deste problema, emprega-se um algoritmo híbrido, que mescla
técnicas de otimização não linear, quais sejam, algoritmo genético e método Quase-Newton
[2]. O
algoritmo genético fornece uma aproximação inicial da variável de projeto
x
, que é passada como
ponto de partida para o método de Quase-Newton.
Capítulo 2: Neutralizadores Dinâmicos de Vibração 29
Como resultado, se obtêm as freqüências de antiressonância, também conhecidas como
freqüências naturais ótimas, dos neutralizadores.
Esclarece-se que, para sistemas de um grau de liberdade, a relação de massa entre o
neutralizador e o sistema primário deve ser definida por
0,1 0,25
n
m
m
a
m
μ
==
Em [33], foi proposta uma relação de massa modal para sistemas de múltiplos graus de
liberdade, para um controle modo a modo. Esta relação é:
2
1
i
p
nk
i
j
j
m
m
μ
=
Φ
=
∑
j
(2.64)
Posteriormente, em [2], esta relação foi utilizada para um controle em banda larga, definindo-
se a massa dos neutralizadores através de uma média aritmética. Isto é, calcula-se a massa dos
neutralizadores para cada modo dentro da faixa de freqüência, e posteriormente, toma-se o valor
médio. Esse procedimento é o que vem sendo usado.
Esclarece-se, ainda, que no cálculo das coordenadas generalizadas
P(Ω)
, a excitação pode ser
pontual ou distribuída. Nesse trabalho, foi usada excitação pontual, em que o vetor de excitação,
F(Ω)
, é definido com um valor unitário em uma coordenada generalizada preestabelecida e com
valores nulos nas restantes.
Capítulo 3 : Filtros Adaptativos
Os filtros adaptativos são elementos centrais nas ações de controle correspondentes e se
caracterizam pela capacidade de variar seus parâmetros, através de um algoritmo de adaptação, de
forma que eles convirjam a uma solução que minimize uma função custo, previamente determinada.
Esses filtros podem, dessa forma, manter sua sintonia, em especial diante de fatores externos, tais
como as variações dos sistemas que eles se destinam a controlar.
O desempenho de um sistema de controle ativo-adaptativo, implementado através de filtros
adaptativos, é determinado, fundamentalmente, pelo algoritmo de adaptação, ou algoritmo de
controle, utilizado. Dentre esses, podemos destacar o algoritmo LMS (l
east mean square algorithm
),
principalmente por sua simplicidade e robustez
[39], [40].
Na área de controle adaptativo de vibrações e ruído acústico, o algoritmo mais utilizado é uma
variante do LMS, conhecido como FXLMS (
filtered X LMS
) ou LMS filtrado. Nesse algoritimo, o sinal de
referência é filtrado, para compensar os efeitos de operações de filtragem presentes no caminho de
adaptação. Estas filtragens modificam substancialmente o comportamento do algoritmo.
Neste capítulo, serão apresentadas a estrutura e algumas das aplicações dos filtros
adaptativos, em especial aquela no controle de vibrações. Será realizada também a derivação do
algoritmo LMS. Ao final, as estruturas adaptativas de identificação e controle
feedforward,
utilizadas
durante esse trabalho, serão detalhadas e discutidas. As operações e relações mais utilizadas no
processamento digital de sinais subjacente são condensadas no Apêndice A.
3.1 Estrutura e Aplicações dos Filtros Adaptativos
3.1.1 Estrutura Genérica
O termo
filtro
refere-se comumente a qualquer dispositivo ou sistema que processa uma
mistura de partículas ou elementos presentes em sua entrada, de acordo com algumas regras, de
modo a gerar os elementos ou partículas correspondentes em sua saída. No contexto de sinais e
sistemas, as partículas ou elementos são as componentes em freqüência dos sinais e,
tradicionalmente, os filtros são projetados para reter todas as componentes em uma banda de
freqüência e rejeitar o restante das componentes do sinal a ser filtrado
[15].
Em relação à filtragem adaptativa de sinais, um filtro deve combinar os sinais de entrada de
modo que, em sua saída, seja obtida uma boa estimativa de um dado sinal desejado. A Fig. 3.1
mostra a estrutura genérica de um filtro adaptativo.
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 31
Figura 3.1 – Diagrama em blocos de um filtro adaptativo [15]
A função do algoritmo adaptativo é ajustar os coeficientes do filtro, a cada intervalo de
amostragem, de forma a minimizar o valor do sinal de erro , de acordo com uma função custo
apropriada.
()en
Dependendo de como é realizado o cálculo do sinal de saída , os filtros adaptativos são
freqüentemente classificados como filtros FIR (f
inite impulse response
) e filtros IIR (i
nfinite impulse
response
).
()yn
3.1.2 Filtro Adaptativo FIR
O filtro adaptativo FIR é o tipo de filtro mais utilizado nas aplicações de filtragem adaptativa.
Sua saída é calculada através de uma combinação linear entre as amostras presente e passadas
do sinal de entrada
()yn
()
x
n
, de acordo com a seguinte equação:
1
0
() ()( )
N
i
i
yn w nxn i
−
=
=
−
∑
(3.1)
Os fatores são os coeficientes do filtro e o comprimento do filtro adaptativo é dado por
. Os coeficientes do filtro podem variar no tempo, dependendo dos dados de entrada e do
algoritmo de adaptação utilizado. A Fig. 3.2 apresenta o diagrama de blocos correspondente.
()
i
wn
N
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 32
Figura 3.2 – Diagrama de blocos do filtro transversal FIR adaptativo
Em algumas aplicações, esses filtros são referenciados como filtros transversais, não-
recursivos ou de média móvel (MA, do inglês m
oving average
), embora exista a possibilidade de
implementá-los recursivamente
[10].
3.1.3 Filtros IIR
A saída de um filtro IIR é calculada através da seguinte equação:
(3.2)
()
1
10
()( ) ()( )
MN
ji
ji
yn a nyn j bnxn i
−
==
=−+
∑∑
−
onde e são, respectivamente, os coeficientes de realimentação e avanço. A Fig. 3.3
mostra um diagrama de blocos deste filtro.
()
j
an
()
i
bn
Estes filtros podem ser referenciados como filtros pólo-zero, recursivos ou auto-regressivos de
média móvel (ARMA, do inglês a
uto-regressive moving average
), embora os filtros ARMA sejam
aqueles derivados de uma excitação de ruído branco.
Aplicando a transformada
Z
na Eq. (3.2), temos (ver Apêndice A):
()() () ()
A
zY z BzX z
=
(3.3)
onde
11
1
( ) 1 ...
M
M
Az az a z
−− −
=− − −
11 1
01 1
( ) ...
N
N
Bz b bz b z
e
−
−−+
−
=+ ++
A Eq. (3.3) pode ser escrita como:
() ()
()
() ()
Yz Bz
Hz
X
zAz
==
(3.4)
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 33
Diferentemente do filtro FIR, durante o processo de adaptação, um filtro IIR pode ter seus
pólos localizados fora do círculo unitário, definido por
1z
=
. Isto faz com que o filtro se torne
instável. Além disso, a função custo (por exemplo, o erro médio quadrático, como função dos
coeficientes do filtro) de um filtro IIR geralmente possui vários mínimos locais, o que dificulta o
processo de adaptação. Por essas características, o filtro adaptativo IIR tem sua aplicação na
filtragem adaptativa ainda bastante limitada.
Figura 3.3 – Diagrama de blocos de um filtro IIR
Vale lembrar que tanto os filtros FIR quanto os filtros IIR podem ser implementados usando-
se estruturas denominadas de treliças. Tais estruturas, geralmente, são mais complexas, mas
apresentam bons resultados em determinadas aplicações
[15], [27].
3.1.4 Aplicações
Atualmente os filtros adaptativos são aplicados em diversos campos, como controle de
processos, comunicações, processamento de sinais de radar e sonar, cancelamento de interferência,
controle ativo de ruído e vibrações, engenharia biomédica e outros
[15].
A utilização de técnicas adaptativas em processamento de sinais foi desenvolvida
principalmente a partir das décadas de 50 e 60, nas áreas de equalização, codificação de voz, análise
espectral, cancelamento de ruído e lóbulos laterais em antenas. As aplicações podem ser divididas em
quatro grupos principais
[15], [38]:
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 34
Modelagem ou Identificação de Sistemas: O objetivo aqui é ajustar os parâmetros do
filtro adaptativo de forma que a sua resposta se assemelhe à do sistema a ser identificado,
permitindo, assim, a obtenção de um modelo para o processo desejado.
Pode-se citar, como exemplo, os reguladores auto-ajustáveis ou
self-tuning regulators
(STR),
presentes em modernos sistemas de controle, onde a planta é identificada
on-line
. Uma outra
aplicação seria o cancelamento de eco. Neste caso, o filtro adaptativo é utilizado para identificar a
resposta impulsiva de um caminho entre a fonte na qual o eco é originado e o ponto onde o eco
aparece. A saída do filtro adaptativo, que é uma estimativa do sinal de eco, pode então ser usada
para cancelar este efeito indesejado.
Modelagem Inversa: Também conhecida como deconvolução. Neste caso, o filtro
adaptativo deve identificar o modelo inverso da planta. A maior aplicação da modelagem inversa se dá
no campo de comunicações onde um modelo inverso, conhecido como equalizador, é utilizado para
diminuir a distorção nos canais de transmissão.
Predição Linear: Predição é uma técnica de estimação espectral, utilizada para a
modelagem de processos aleatórios correlacionados, com o objetivo de encontrar uma representação
paramétrica destes processos. O sistema ADPCM (a
daptive differential pulse code modulation
),
utilizado em telefonia, é um exemplo clássico de predição linear de sinais.
Cancelamento de Interferências: O papel do filtro adaptativo, nesta aplicação, é cancelar
um sinal ou ruído de interferência, presente em um dado sinal de entrada. Este sinal de entrada é
uma mistura do sinal desejado e da interferência a ser eliminada. A viabilidade desta idéia repousa
sobre a possibilidade de se obter o sinal diretamente da fonte de referência, onde a interferência é
originada.
Como exemplos desta aplicação, além do cancelamento de eco acústico e de eco em redes
telefônicas, destacamos o controle adaptativo de vibrações e ruído acústico.
O termo controle adaptativo de ruído acústico descreve a supressão de um campo sonoro não
desejado, através da superposição de outro campo sonoro de igual magnitude, porém com fase
invertida
[39]. A Fig. 3.4 apresenta um diagrama esquemático de um sistema de controle adaptativo
de ruído acústico em um duto. O ruído a ser cancelado viaja pelo duto e é medido pelo microfone de
referência, no ponto A. O sistema adaptativo recebe e processa esta entrada, gerando um sinal que
alimenta uma fonte secundária. Esta fonte, geralmente um alto-falante, irradia um sinal, denominado
de anti-ruído, no ponto B do duto. O ruído residual é medido pelo microfone de erro, no ponto C,
gerando o sinal de erro residual que é utilizado pelo algoritmo de adaptação.
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 35
Figura 3.4 – Diagrama esquemático do sistema de controle adaptativo de ruído em dutos [39]
A abordagem empregada no controle adaptativo de vibrações se assemelha bastante àquela
aplicada no controle de ruído. O objetivo continua sendo a aplicação de excitações controladas (no
caso, forças e momentos), com amplitudes e fases apropriadas, no sistema mecânico de interesse. No
entanto, são utilizados, ao invés de microfones, sensores piezelétricos, tais como acelerômetros, e ao
invés de alto-falantes, atuadores piezoelétricos ou excitadores eletromecânicos. Essa aplicação será
caracterizada na seqüência, em item próprio, dentro do contexto mais amplo do controle ativo de
vibrações.
3.2 Controle Ativo-Adaptativo de Vibrações
O objetivo geral do controle ativo de vibrações é reduzir os níveis de vibração em um sistema
mecânico, através da modificação automática da resposta estrutural destes sistemas
[17]. Um sistema
de controle ativo pode ser configurado de diversas formas, com diferentes equipamentos para as mais
diversas aplicações. Entretanto, os principais dispositivos, sempre encontrados nos sistemas de
controle ativo, são: sensores, utilizados para se detectar o sinal de vibração (sinal primário);
controladores, empregados para manipular e processar o sinal de vibração, gerando uma ação de
controle; e atuadores, que aplicam a ação de controle na estrutura, modificando sua resposta.
Os tipos de atuadores utilizados podem ser classificados como atuadores totalmente ativos e
atuadores semi-ativos. Os primeiros fornecem potência mecânica ao sistema, como os atuadores
eletromecânicos, eletrohidráulicos, eletromagnéticos, e também as cerâmicas piezelétricas. Estes
dispositivos atuam no sistema de controle como uma fonte secundária, que tem por objetivo cancelar
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 36
a resposta vibratória do sistema mecânico, através da interferência destrutiva com a resposta gerada
pela fonte primária de vibração.
Já os atuadores semi-ativos se comportam basicamente como dispositivos passivos,
armazenando ou dissipando energia mecânica do sistema. Suas propriedades passivas podem ser
ajustadas por meio de uma ação de controle, por isso esses elementos são utilizados nos sistemas de
controle ativo de vibrações. Estes dispositivos podem ser construídos utilizando, por exemplo, fluidos
eletro-reológicos ou ligas de memória de forma, sendo algumas de suas aplicações encontradas em
[16], [18], [30] e [41].
Controle Realimentado de Vibrações
Como já comentado, os sistemas de controle ativo utilizam potência externa para o seu
funcionamento. Geralmente, nesses sistemas de controle, a planta deve ser monitorada
continuamente e sua resposta medida por meio de sensores, que realimentam essas informações para
o controlador. Então, o controlador compara o sinal medido com a resposta desejada e usa o erro
para calcular a lei de controle a ser aplicada ao sistema. Esse constitui um sistema de controle
realimentado (ou
feedback control
), exemplificado na Fig. 3.5.
Figura 3.5 – Sistema de controle realimentado de vibrações [32]
Basicamente, o que diferencia os sistemas de controle ativo realimentado de vibrações é a
forma pela qual a ação de controle é calculada e como se obtém o modelo do sistema primário. Como
exemplos, podem ser citados o controle por meio das abordagens LMI (
linear matrix inequalities
) e
IMSC (
independent modal space control
) [20], o controle LQG ([31]), a identificação via ARMAX (
auto-
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 37
regressive moving average exogeneous model
) e o controle por alocação de pólos [6], e o controle
ótimo
[37].
Controle
Feedforward
de Vibrações
Diferentemente do controle realimentado de vibrações, os sistemas de controle
feedforward
de vibrações são projetados assumindo-se que o sinal de excitação, responsável pela vibração
indesejada no sistema mecânico, é conhecido ou pode ser, em alguma extensão, medido
[17], [35].
Existem duas situações em que o conhecimento do sinal de referência, devido à excitação da
fonte primária de vibrações, pode ser obtido. A primeira situação acontece quando o sinal de
perturbação é determinístico. Neste caso, o comportamento futuro do sinal pode ser totalmente
predito apenas observando algumas de suas amostras. Na prática, o sinal de referência é geralmente
obtido da fonte primária e utilizado para manter o sincronismo da fonte secundária, responsável pela
aplicação do sinal de cancelamento.
A segunda situação ocorre quando o sinal de perturbação se propaga em uma estrutura
mecânica e um sensor é utilizado para se detectar a perturbação incidente. Esse sensor de detecção
do sinal de referência não desempenha o mesmo papel do sensor de resposta, utilizado no caso do
controle realimentado de vibrações. A informação carreada por ele não será comparada com nenhum
padrão desejado e sim utilizada para gerar uma representação da excitação original.
Os componentes físicos de um sistema de controle
feedforward
de vibrações são ilustrados na
Fig. 3.6.
A principal diferença entre esse diagrama e aquele diagrama do sistema de controle
realimentado (Fig. 3.5) é que o controlador,
()
H
z
, processa uma representação da perturbação
original do sistema mecânico (devida à fonte primária). O sinal proporcional à resposta do sistema
mecânico, , não tem influência direta na ação de controle, mas pode ser utilizado para monitorar
o desempenho do controlador. A excitação original influencia o sistema mecânico via fonte primária
()en
p
f
.
Uma complicação potencial dos sistemas de controle
feedforward
ocorre quando o sinal de
cancelamento, gerado pela fonte secundária, é também medido pelo sensor de detecção do sinal
primário de excitação. A influência deste caminho de realimentação, ou
feedback path
, pode ser
compensada, como se verá no item 3.5.4.
Um sistema de controle ativo, implementado através de controladores (filtros) adaptativos, é
denominado sistema de controle ativo-adaptativo, ou simplesmente adaptativo. Na estratégia de
controle feedforward correspondente, são empregados filtros FIR, ao passo que na de controle
realimentado, lança-se mão de filtros IIR.
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 38
Figura 3.6 – Componentes de um sistema de controle
feedforward
[17]
3.3 Processo de Adaptação
Consideremos agora, a estrutura FIR adaptativa mostrada na Fig. 3.2. Nosso objetivo é
estimar o sinal desejado , a partir das amostras do sinal de entrada
()dn ()
x
n
. A saída do filtro é
e o erro de estimação é denotado por . Claramente, quanto menor for o erro de
estimação, melhor será o desempenho do filtro. Aproximando-se o sinal de saída do filtro do sinal
desejado, ter-se-á o sinal de erro se aproximando de zero. A saída do filtro, dada por (3.1), pode ser
reescrita em forma vetorial como:
()yn ()en
() ()()
T
y
nn= wxn (3.5)
sendo:
[
]
01 1
() () () ()
N
nwnwn wn
−
=w "
[
]
() () ( 1) ( 1)nxnxn xnN=− −x " +
Já o sinal de erro pode ser escrito como:
() () ()en dn yn
=
−
(3.6)
Ou, a partir de (3.5):
(3.7) () () ()()
T
en dn n n=−wx
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 39
Como o objetivo é se obter o menor erro possível, faz-se necessário encontrar os coeficientes
ótimos do filtro adaptativo. Para tanto, deve-se escolher uma função apropriada de estimação do erro,
conhecida como função custo, e então variar os parâmetros do filtro de forma a minimizar essa
função.
3.3.1 Critério EQM
Uma forma adequada de se reduzir o erro é buscar um conjunto de coeficientes que
diminuam o seu valor médio. Desta forma, a busca pelo mínimo se torna dependente unicamente das
relações estatísticas existentes entre os sinais
()
x
n
e e dos próprios coeficientes do filtro. Para
isto, lança-se mão do quadrado da Eq. (3.7), obtendo-se:
()dn
(3.8)
22
() () 2 () () () ()() () ()
TTT
en dn dn n n n n n n=− +xw wxxw
Tomando-se o valor esperado dos dois lados da Eq. (3.8) assumindo que os sinais
()
x
n
e
são estacionários, temos:
()dn
22
() () () () () () 2 () () ()
TT T
E
en Ed n nE n n n Edn n n
⎡⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=+ +
⎣⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
w xxw xw
(3.9)
Podemos, então, definir a função custo do processo de adaptação como sendo o erro
quadrático médio:
2
()
E
QM E e n
ζ
⎡
⎤
==
⎣
⎦
(3.10)
Utilizando as definições de autocorrelação e correlação cruzada, apresentadas no Apêndice A,
podemos reescrever a função custo como:
2
() 2 () () ()
TT
E
dn n n n
ζ
⎡⎤
=−+
⎣⎦
wpwRw
(3.11)
em que
(0) (1) ( 1)
(1) (0) ( 2)
() ()
(0)
(1) (2) (0)
xx xx xx
xx xx xx
T
xx
xx xx xx
rr rN
rr rN
En n
r
rN rN r
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎡⎤
==
⎣⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
−−
⎢
⎥
⎣
⎦
Rxx
"
"
#" #
"
() ()
T
E
dn n
⎡
⎤
=
⎣
⎦
px
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 40
Na Eq. (3.11),
ζ
é dado como a soma de termos quadráticos e lineares do vetor de
coeficientes . A curva típica do EQM em função deste vetor, chamada de superfície de
desempenho, tem o formato de um parabolóide. Este tipo de curva é especialmente interessante, pois
possui um único mínimo global, o que garante que o processo de busca pelo método do gradiente
seja convergente em direção a este mínimo
()nw
[38].
A matriz de autocorrelação tem um papel chave no projeto e análise dos filtros
adaptativos. Por isso, é importante relacionar algumas de suas propriedades, tais como:
R
1) A matriz de autocorrelação
R de um processo estocástico estacionário é simétrica, ou
seja, ;
T
=RR
2) A matriz de autocorrelação
R de um processo estocástico estacionário é Toeplitz, uma
vez que todos os elementos de qualquer diagonal paralela à diagonal principal são
iguais;
3) Todos os autovetores da matriz devem ser reais, desde que todos os seus
elementos sejam reais e simétricos. Além disso,
R é positiva semidefinida.
R
A Fig. 3.7 ilustra uma curva característica do EQM para um filtro com duas componentes.
Figura 3.7 – Exemplo de superfície da função custo EQM
A magnitude do EQM corresponde à potência do erro , que resulta da filtragem de
()en ()
x
n
pelos coeficientes . Se os coeficientes do filtro mudam, a potência contida no sinal de erro
também vai mudar. Isto é indicado pela mudança de magnitude do EQM no plano
()wn
01
() ()wn wn
−
.
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 41
Como a superfície de erro é quadrática, existe um conjunto de valores para e para os
quais o EQM será mínimo (
0
()wn
1
()wn
min
ζ
).
Para se encontrar os coeficientes do filtro adaptativo que minimizam a função custo
ζ
, é
necessário resolver o conjunto de equações que se obtém ao se igualar a zero as derivadas parciais
de
ζ
em relação a cada coeficiente do filtro. Isto é;
0 0,1,..., 1
i
com i N
w
ζ
∂
=
=
∂
−
(3.12)
Utilizando a definição de gradiente, podemos escrever, de (3.11), que:
22
ζ
∂
∇
== −
∂
Rw p
w
(3.13)
Igualando-se o gradiente da função custo a zero, tem-se que o vetor de coeficientes ótimos
, correspondente ao mínimo EQM, será dado por:
0
w
(3.14)
1
0
−
=wRp
A equação acima é conhecida como equação de Wiener-Hopf expressa na forma matricial.
Substituindo o vetor de coeficientes ótimo na Eq. (3.11), temos a expressão do erro quadrático médio
mínimo:
2
min
()
T
Edn
ζ
⎡
⎤
=−
⎣
⎦
pRp (3.15)
3.3.2 Princípio da Ortogonalidade
Derivando o EQM, dado pela Eq. (3.10), em relação aos coeficientes do filtro, tem-se que:
()
2 ( ) 0,1,..., 1
()
ii
en
Een comi N
wwn
ζ
⎡⎤
∂∂
=
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
=−
(3.16)
Como e é independente dos coeficientes do filtro, temos, de (3.5),
que:
() () ()en dn yn=− ()dn
() ()
(
ii
en yn
)
x
ni
ww
∂
∂
=
−=−−
∂∂
(3.17)
Substituindo (3.17) em (3.16), temos:
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 42
[]
2 ( ) ( ) 0,1,..., 1
i
Eenxn i comi N
w
ζ
∂
=− − = −
∂
(3.18)
Se os coeficientes do filtro são ajustados para o valor ótimo, então todas as derivadas parciais
descritas na Eq. (3.18) são iguais a zero. Conseqüentemente, se é o erro de estimação para os
coeficientes ótimos do filtro, então a Eq. (3.18) torna-se:
0
()en
[
]
0
( ) ( ) 0 0,1,..., 1Ee nxn i comi N
−
==−
(3.19)
Isto mostra que, para um conjunto ótimo de coeficientes do filtro adaptativo, o erro de
estimação é não-correlacionado com o sinal de entrada
()
x
n
. Isto é conhecido como o Princípio da
Ortogonalidade
[15].
Como um corolário do princípio de ortogonalidade, nota-se que a saída do filtro é
também não correlacionada com o erro de estimação, quando os coeficientes do filtro são os ótimos.
Ou seja,
()yn
[]
1
000,
0
()() () ( )
N
i
i
Ee nyn Ee n w xn i
−
=
⎡
⎤
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
[] [
00,0
0
()() ()( )
i
i
]
1N
E
enyn wEenxni
=
−
=
−
∑
(3.20)
Substituindo a Eq. (3.19) na Eq. (3.20), obtem-se:
[
]
0
()() 0Ee nyn
=
3.3.3 Métodos de Busca
Como mostrado na Fig. 3.5, o EQM é uma função quadrática dos coeficientes do filtro e pode
ser caracterizada como uma superfície parabolóide com concavidade positiva. O processo de ajuste
dos coeficientes, em busca do erro mínimo, corresponde a se caminhar nessa superfície, até se
encontrar o “fundo da tigela”. Vários algoritmos baseados no cálculo do gradiente podem ser
utilizados para essa tarefa, como, por exemplo, o método de Newton e o método
steepest descent
.
Estes algoritmos fazem uma estimativa local do gradiente da função erro e estabelecem um
movimento paulatino, para cima ou para baixo, ao longo da superfície. A seleção de um ou de outro
tipo de algoritmo depende, entre outros fatores, de sua velocidade de convergência e sua
complexidade computacional.
O método de Newton fornece uma convergência rápida, contudo este método requer uma
estimativa de , o que demanda um alto esforço computacional. Além disso, sob condições de não
1−
R
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 43
estacionaridade, a estimação da matriz
R
se torna mais difícil. Já o método
steepest descent
é uma
técnica iterativa que alcança o mínimo seguindo a direção em que a superfície de erro tem sua maior
taxa de diminuição, ou seja, sua direção de procura segue o negativo do gradiente.
Método
Steepest Descent
Este método é uma técnica iterativa, adequada para o projeto de um algoritmo, desde que a
superfície de erro seja quadrática em relação aos coeficientes do filtro
()nw
[24]. Este método tem
sido muito utilizado em programação linear e em problemas de minimização.
Fazendo
(0)
ζ
representar o valor do EQM para
0n
=
, com uma escolha arbitrária dos
coeficientes do filtro , o método em questão permite descer até o “fundo da tigela” de uma
maneira sistemática e encontrar, assim, os coeficientes ótimos .
(0)w
0
()nw
A idéia é se mover na direção tangente ao ponto inicial e desta forma, a cada iteração,
atualizar os coeficientes na direção do negativo do gradiente da função erro. Matematicamente, temos
que a equação de atualização dos coeficientes é dada por:
(1) ()
sk
kk
μ
ζ
+
=−∇ww (3.21)
onde
s
μ
é um escalar, chamado de passo de adaptação, e
k
ζ
∇
denota o vetor gradiente avaliado
no ponto . Substituindo (3.13) em (3.21), temos:
()k=ww
[
]
(1) ()2 ()
s
kk k
μ
+
=− −ww Rwp
(3.22)
Quando convergir para , ou seja, quando o mínimo for encontrado, o gradiente
será nulo e o processo de adaptação será interrompido. É importante ressaltar que a convergência
dos coeficientes do filtro é dependente do tamanho do passo de adaptação
()nw
0
()nw
s
μ
utilizado. Um valor de
passo relativamente grande pode resultar em divergência destas equações recursivas
[15].
Em implementações práticas, o método
steepest descent
dá lugar ao algorítimo LMS, descrito
no próximo item.
3.4 Algoritmo LMS
O algoritmo LMS, proposto primeiramente por Widrow e Hoff em 1960 [15], é o algoritmo
adaptativo mais utilizado na prática, devido a sua simplicidade e robustez.
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 44
3.4.1 Derivação do LMS
O algoritmo LMS convencional é uma implementação estocástica do algoritmo
steepest
descent
. Ele simplesmente subtitui a função custo
2
()
E
en
ζ
⎡
⎤
=
⎣
⎦
por sua estimativa instantânea
. Fazendo essa alteração na Eq. (3.21) e trocando o índice de iteração k pelo índice de
tempo n, temos:
2
ˆ
()
en
ζ
=
(3.23)
2
(1) () (
s
nne
μ
+= −∇ww )n
Sabemos que o i-ésimo elemento do vetor gradiente é dado por:
2
()en∇
2
() ()
2()
ii
en en
en
ww
∂∂
=
∂∂
(3.24)
Substituindo (3.6) no lado direito de (3.24) e tendo em vista que é independente dos
coeficientes do filtro, temos:
()dn
2
() ()
2()
ii
en yn
en
ww
∂∂
=−
∂∂
(3.25)
Substituindo a saída do filtro, , dada pela Eq. (3.1), na Eq. (3.25), decorre que
()yn
[24]:
2
()
2()( )
i
en
enxn i
w
∂
=
−
∂
−
n
(3.26)
que podemos generalizar como:
(3.27)
2
() 2()()en en n∇=−x
Finalmente, substituindo (3.27) em (3.23):
( 1) () 2 ()()
s
nnen
μ
+
=+ww x (3.28)
Deve-se notar que os coeficientes do filtro são dependentes no índice de tempo . Isto quer
dizer que o filtro adaptativo em questão é variante no tempo, uma vez que eles são continuamente
adaptados pela equação acima, com a finalidade de seguir eventuais variações estatísticas dos sinais
envolvidos. O algoritmo LMS muda os coeficientes do filtro para que o erro seja minimizado no
sentido quadrático médio, por isso o seu nome.
n
()en
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 45
3.4.2 Estabilidade do Algoritmo LMS
A análise da convergência do algoritmo necessita levar em conta o ajuste dos coeficientes do
filtro, ou vetor de coeficientes, a cada iteração. Para tanto, considera-se que a entrada do filtro
()
x
n
,
e vetor de coeficientes, , são sinais independentes entre si. Tomando-se o valor esperado de
ambos os lados da equação de atualização dos coeficientes, Eq. (3.28), temos:
()wn
[
]
[
]
[
]
( 1) () 2 ()()
s
En En Eenn
μ
+= +ww x
(3.29)
Substituindo em (3.29) as Eqs. (3.5) e (3.6), decorre que:
[
]
[
]
[
]
( 1) () 2 ()() 2 () () ()
T
ss
E
nEn Ednn Enn
μμ
n
⎡
⎤
+= + −
⎣
⎦
ww x xxw
(3.30)
Aplicando as relações de autocorrelação e correlação cruzada, já utilizadas anteriormente,
obtém-se:
[
]
[
]
[
]
(
)
(1) ()2 ()
s
E
nEn En
μ
+= + −wwpRw
(3.31)
[
]
[
(
)
]
(1) 2 ()2
s
s
En En
μ
μ
+=− +wIRwp
(3.32)
Utilizando a equação de Wiener-Hopf, Eq. (3.14), podemos reescrever (3.32) como sendo:
[
]
(
)
[
]
0
(1) 2 ()2
s
En En
μ
+=− +wIRw
s
μ
Rw
(3.33)
Realizando a seguinte translação de coordenadas no espaço de coeficientes:
0
() ()nn
=
−vww (3.34)
a Eq. (3.33) pode ser escrita como sendo:
[
]
(
)
[
]
(1) 2 ()
s
En En
μ
+=−vIRv
(3.35)
A matriz de autocorrelação R pode sempre ser decomposta segundo suas matrizes de
autovetores e de autovalores . Assim sendo, realizando-se uma outra transformação de
coordenadas do tipo , a Eq. (3.35) é expressa como:
Q Λ
() ()nn
′
=vQv
[
]
(
)
[
]
'( 1) 2 '( )
s
En En
μ
+=−Qv I R Qv
Como os sinais são estatisticamente estacionários, podemos pré-multiplicar os dois lados da
equação por e obter:
1−
Q
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 46
[
]
(
)
[
]
11
'( 1) 2 '( )
s
E
n
μ
−−
+= −vQIQQRQvEn
Sabendo que , temos:
1−
=RQΛQ
[
]
(
)
[
]
'( 1) 2 '( )
s
En En
μ
+=−vIΛ v
Após
n
iterações, tem-se que:
[
]
()
[
]
0
'( ) 2 '( )
n
s
E
nE
μ
=−vIΛ v n
(3.36)
onde é o vetor de condição inicial do vetor de coeficientes no novo sistema de coordenadas. Para
que convirja para , é necessário que convirja para 0. Ou seja,
0
'v
()wn
0
w
'( )nv
()
lim 2 0
n
s
n
μ
→∞
−
=I Λ
(3.37)
O limite da expressão (3.37) aplica-se para todos os elementos da matriz diagonal
2
μ
−
I Λ
.
Para se garantir a convergência, esses devem ter módulo menor que 1. Portanto, vale a seguinte
inequação:
12 1
si
μλ
−
<
ou
112 1
si
μ
λ
−
<− <
Se
s
μ
garante a convergência para o maior autovalor de , Λ
max
λ
, então a convergência
também será garantida para os demais autovalores, posto que
s
μ
é comum a todos. Assim, pode-se
encontrar a faixa de valores para
s
μ
, de modo que o algoritmo seja convergente:
max
1
0
s
μ
λ
<<
(3.38)
Esta restrição de estabilidade sobre o intervalo de
s
μ
não pode ser aplicada na prática pelo
fato de que o cômputo de
max
λ
é muito difícil quando o comprimento do filtro adaptativo é
grande. Conseqüentemente, é desejável se estimar o valor do maior autovalor através de um método
simples.
N
Sabe-se que
[24]:
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 47
[]
1
0
(0)
N
x
x
i
tr Nr
i
λ
−
=
==
∑
R
onde denota o traço da matriz .
[]
tr R R
Sabe-se ainda que:
1
max
0
(0)
N
ixx
i
Nr NP
λλ
−
=
≤= =
∑
x
onde
2
(0) [ ( )]
xxx
Pr Exn≡=
denota a potência de
()
x
n
.
Assim, a partir de (3.38), podemos escrever que:
1
0
s
x
NP
μ
<<
(3.39)
Este limite se aplica somente à convergência do valor esperado do vetor de coeficientes. Para
sinais com distribuição Gaussiana, a convergência do EQM requer que
[24]:
1
0
3
s
x
NP
μ
<<
Como a equação (3.39) fornece uma informação fundamental sobre como se selecionar o
tamanho do passo
s
μ
, podemos dizer que:
1) Uma vez que o limite superior para
s
μ
é inversamente proporcional a , valores
pequenos de
N
s
μ
são utilizados para filtros de alta ordem;
2) Como
s
μ
é inversamente proporcional à potência do sinal de entrada, sinais mais fracos
podem usar valores de
s
μ
maiores, enquanto sinais mais fortes devem usar valores
menores de
s
μ
. Uma estratégia possível é normalizar
s
μ
em relação à potência de
entrada
x
P .
3) Na prática, utiliza-se tipicamente:
0,01 0,1
s
x
x
NP NP
μ
<<
(3.40)
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 48
3.4.3 Variantes do algoritmo LMS
Existe uma série de variações do algoritmo LMS básico, apresentado acima. A motivação para
cada uma dessas variações é uma questão de aplicação prática, como, por exemplo, maior velocidade
de convergência, simplicidade de implementação ou robustez na operação. Essas outras variantes do
algortimo LMS continuarão a ser descritos para filtros transversais.
Algoritmo LMS Normalizado
O LMS normalizado, ou NLMS, pode ser visto como uma implementação especial do algoritmo
LMS básico, onde se leva em consideração a potência do sinal na entrada do filtro e se seleciona um
tamanho de passo normalizado, resultando em um algoritmo adaptativo estável e convergente. O
NLMS é caracterizado pela seguinte recursiva:
( 1) () 2 ()()()
s
nnnenn
μ
+
=+ww x
onde o tamanho do passo
s
μ
é variante no tempo e computado por [24]:
()
ˆ
()
x
n
NP n
ϖ
μ
=
sendo uma estimativa da potência de
ˆ
()
x
Pn
()
x
n
no tempo
n
e
ϖ
o tamanho de passo
normalizado, presente no seguinte intervalo:
02
ϖ
<
<
Algoritmo LMS com Perdas (
Leaky
LMS)
Para determinados tipos de excitação, a solução para a adaptação dos coeficientes no
algoritmo LMS pode se tornar divergente e os efeitos de precisão finita podem causar um crescimento
ilimitado do valor dos coeficientes. Claramente, uma divergência durante o processo de adaptação dos
coeficientes é extremamente indesejável em aplicações práticas.
Uma forma de evitar essa divergência é através do uso de um mecanismo de perdas ou
vazamento, ou do inglês
leaking
, usado durante o processo de adaptação. O algoritmo LMS com
perdas se caracteriza por:
(1) () ()(
s
nvnen)n
μ
+
=+ww x
1
(3.41)
onde
v
é chamado de fator de perdas e está contido no intervalo:
0v
<
≤
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 49
Dentro deste intervalo, o valor adequado de é determinado pelo projetista de forma
experimental, sempre tendo em vista um compromisso entre a robustez e a perda de desempenho.
v
Em aplicações de controle ativo de ruído e vibrações, a aplicação do algoritmo LMS para
minimizar as perturbações no sensor de erro leva a um outro problema. Altos níveis de ruído,
associados a baixas freqüências de ressonância, podem causar uma distorção não-linear por
sobrecarga na fonte secundária. Uma forma de solucionar este problema é introduzir restrições na
potência de saída do algoritmo. Por exemplo, um termo proporcional a saída do filtro ao quadrado
pelo ser adicionado na função custo, de modo que
[24]:
22
ˆ
() () ()
nen yn
ζγ
=+
onde
γ
é um fator de ponderação. Performance similar a essa pode ser obtida através da restrição
dos valores dos coeficientes do filtro, ou seja, gerando uma nova função custo do tipo:
2
ˆ
() () () ()
T
nen n n
ζγ
=+ww
Conseqüentemente, o gradiente estimado no tempo é:
n
[
]
ˆ
() 2 () () 2 ()nenen
ζ
∇=∇ +w
n
γ
ˆ
n
γ
w
)n
(3.42)
() 2()() 2 ()
nnen
ζ
∇=− +x
Substituindo a Eq. (3.42) em (3.23), sabendo que , temos:
2
ˆ
()
en
ζ
=
(1) ()2 ()()2 (
ss
nnenn
μ
μγ
+= + −ww x w (3.43)
Desenvolvendo a equação acima, podemos escrever que:
(
)
( 1) 1 2 () 2 ()()
ss
nn
μγ μ
+=− +wwennx
(3.44)
A menos de uma constante, a equação acima é igual à equação de atualização do algoritmo
LMS com perdas. Daí se infere porque o algoritmo LMS com perdas pode não só limitar o valor dos
coeficientes do filtro adaptativo como também limitar a potência de saída, evitando assim distorções
não-lineares.
Além das duas variações expostas acima, é de particular interesse o algoritmo LMS filtrado,
face ao seu uso no controle de vibrações. Esse algoritmo será, então, derivado e analisado na
seqüência, no contexto de interesse do presente trabalho.
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 50
3.5 Controle Feedforward e Algoritmo FXLMS
Consideremos, agora, o diagrama de blocos mostrado na Fig. 3.8.
No contexto do controle
feedforward
de vibrações, cujo esquema foi apresentado na Fig. 3.6,
temos que o sinal de entrada do sistema,
()
x
n
, é obtido a partir de um sensor localizado na posição
p
x
da viga. Este sinal, gerado pela força primária de vibração
p
f
, antecipa as características da
vibração a ser cancelada pela força secundária
s
f
, na posição
s
x
da viga. A posição
s
x
, no diagrama
da Fig. 3.8, corresponde ao somatório. O meio físico de propagação da vibração, correspondente à
extensão da viga da Fig. 3.6, é representado pela função de transferência .
()Pz
Como já exposto, o processo de adaptação requer que o gradiente do erro quadrático médio
seja aproximado pelo produto do valor instantâneo do sinal de erro com o sinal de entrada do
filtro, que é o sinal de referência
()en
()
x
n
. Assim, a utilização do algoritmo LMS supõe que o sinal de
erro esteja diretamente disponível, sendo originado pela diferença entre o sinal resultante da fonte
primária, propagado ao longo do sistema físico, , e a saída do filtro adaptativo, .
()dn ()yn
Figura 3.8 – Diagrama de blocos da aplicação do algoritmo LMS clássico
No entanto, as características particulares da configuração de um sistema de controle ativo-
adaptativo de vibrações fazem com que modificações no diagrama da Fig. 3.8 devam ser feitas, a fim
de considerar o que se segue. Em primeiro lugar, tem-se que o sinal de saída do filtro adaptativo não
pode ser empregado diretamente no cancelamento de vibrações. Ele deve antes, ser processado, de
modo a ser convertido num sinal mecânico analógico que, por sua vez, produz a ação desejada.
Tem-se ainda que o sinal de erro não pode ser acessado diretamente, mas sim como
resultado do uso de um sensor apropriado (vide Fig. 3.6), via de regra, um acelerômetro. Antes de ser
repassado ao algoritmo adaptativo, o sinal gerado pelo sensor deve ser condicionado e discretizado.
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 51
Essas operações podem ser visualizadas como se fossem executadas separadamente em cada uma
das parcelas que compõem o erro, quais sejam, os sinais oriundos das forças primária e secundária.
O exposto dá origem ao que chamamos de caminho secundário, que é composto pelas
respostas dos seguintes elementos: conversor digital-analógico (D/A) em série com o filtro adaptativo,
filtro de reconstrução, amplificador de potência, excitador eletro-mecânico (
shaker
), trecho da viga
que vai do
shaker
até o acelerômetro de erro, pré-amplificador, filtro anti-recobrimento e, finalmente,
conversor analógico-digital (A/D), que fornece o sinal de erro para o algoritmo. O caminho secundário,
denotado por , afeta o comportamento do algoritmo, podendo causar dificuldades no processo
de convergência
()Sz
[39].
Portanto, o efeito de deve ser compensado, a fim de se evitar a instabilidade do
algoritmo adaptativo. Existem várias configurações possíveis que podem ser utilizadas para se
compensar o efeito de . Uma delas propõe a inclusão de um filtro inverso , em série com
, a fim de remover seu efeito. Porém, a solução mais utilizada consiste na utilização de um filtro
, com resposta ao impulso igual à de , para filtrar o sinal de referência. Na prática, é
uma estimativa da resposta ao impulso .
()Sz
()Sz
1
()Sz
−
()Sz
ˆ
()
Sz ()Sz
ˆ
()
Sz
()Sz
Assim, o diagrama de blocos da Fig. 3.8 se transforma no diagrama da Fig. 3.9, que ilustra a
aplicação do algoritmo conhecido por LMS Filtrado ou FXLMS.
Figura 3.9 – Diagrama de blocos da aplicação do algoritmo LMS filtrado
Os diagramas das figuras 3.8 e 3.9, assim como outros do gênero bastante comuns na
literatura
[24], devem ser considerados com cuidado. Estritamete falando, a transformada Z é definida
para sistemas lineares e invariantes no tempo. Assim, sua aplicação ao sistema
W
seria questionável
(como também a e a , se esses fossem varáveis no tempo). Contudo, pode-se olhar para as
P
S
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 52
representações das figuras 3.8 e 3.9 como algo instantâneo, que retrata a situação num dado
momento. No momento seguinte, os sistemas serão diferentes e novas transformadas Z deveriam ser
tomadas.
3.5.1 Derivação do Algoritmo FXLMS
A consideração da função de transferência do caminho secundário logo após o filtro
adaptativo , controlado pelo LMS, nos fornece a seguinte expressão:
()Sz
()Wz
() () '()en dn y n
=
−
(3.45)
Na expressão anterior,
'( ) ( )* ( )yn sn yn
=
(3.46)
onde é a resposta impulsiva do caminho secundário no tempo e * denota a
convolução.
()sn ()Sz
n
Pode-se então escrever que:
() () ()* ()()
T
en dn sn n n
⎡
⎤
=−
⎣
⎦
wx
(3.47)
com:
[
]
01 1
() () () ()
N
nwnwn wn
−
=w "
[
]
() () ( 1) ( 1)nxnxn xnN=− −x " +
)n
Como já discutido, o objetivo do filtro adaptativo é minimizar o erro instantâneo
, sendo que, para tal, a equação de atualização dos coeficientes é dada pela Eq. (3.23),
qual seja:
2
ˆ
() ()
nen
ζ
=
2
(1) () (
s
nne
μ
+= −∇ww
De (3.47), tiramos que:
() ()*()en sn n
∇
=− x
(3.48)
Ocorre que, com a filtragem do sinal de referência (vide Fig. 3.9), tem-se que:
'( ) ( )* ( )
x
nsnxn
=
(3.49)
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 53
donde resulta que:
() '()en n
∇
=−x
(3.50)
Desta forma, o efeito do caminho secundário é compensado e o gradiente se torna:
(3.51)
2
() 2() '()en en n∇=−x
Substituindo a Eq. (3.51) na Eq. (3.23), obtemos a equação de atualização dos coeficientes do
filtro adaptativo segundo o algoritmo FXLMS, qual seja:
(1) ()2 ()'(
s
nnen)n
μ
+
=−ww x (3.52)
Salienta-se que a convergência do algoritmo FXLMS é agora determinada pelos autovalores da
matriz de correlação do sinal de referência filtrado, ao invés de o ser por aqueles da matriz de
correlação do sinal de referência não filtrado, como exposto no item 3.4.2, para o algoritmo LMS
clássico
[17].
3.5.2 Estimação do Caminho Secundário
O algoritmo LMS filtrado requer, para seu funcionamento, o conhecimento da resposta do
filtro , correspondente ao caminho secundário. Assumindo que as características de são
invariantes no tempo, é possível modelar sua resposta através de um procedimento preliminar
off-
line.
Concluindo esse procedimento, o modelo obtido é incluído no sistema para operação
normal.
()Sz ()Sz
ˆ
()
Sz
No procedimento
off-line
, um ruído branco,, é utilizado como sinal de entrada, uma vez que
ele possui densidade espectral constante para todas as freqüências. A montagem experimental para a
determinação da estimativa de é mostrada na Fig. 3.10
()Sz
[24].
A modelagem
off-line
é uma ferramenta muito útil para a determinação da resposta .
Entretanto, ela possui o problema de não acompanhar possíveis mudanças do caminho secundário.
Para os casos em que a resposta do caminho secundário possa ser variante no tempo, é desejável
realizar essa modelagem de forma contínua, com estimação em tempo real (
on-line
).
ˆ
()
Sz
Outra opção a ser empregada, ao invés da estimação contínua, é a estimação em
determinados intervalos de tempo. Supondo que varie lentamente, as adaptações do
controlador e do estimador do caminho secundário podem ser consideradas separadamente.
Considerações adicionais sobre a modelagem
on-line
do caminho secundário podem ser encontradas
em
ˆ
()
Sz
[39].
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 54
Figura 3.10 – Montagem experimental para a estimação do caminho secundário [24]
3.5.3 Algoritmo FXLMS com Perdas
Como já visto anteriormente, o uso do fator de perdas não reduz somente os erros numéricos
inerentes a uma implementação com precisão finita como também limita a potência de saída do filtro,
saída que é entregue à fonte secundária, evitando assim distorções não-lineares
[24].
Seguindo a derivação apresentada no item 3.4.3, pode-se, para o algoritmo conhecido como
FXLMS com perdas, expressar a equação de atualização dos coeficientes por:
(1) ()2 ()'(
s
nvn en)n
μ
+
=−ww x (3.53)
onde o fator de perdas
v
é um número positivo, dado por
12
s
v
μ
γ
=
− (3.54)
3.5.4 Caminho de Realimentação (
Feedback
)
O sistema de controle
feedforward
de vibrações, ilustrado na Fig. 3.6, utiliza um sensor de
referência, na posição
p
x
, que é responsável pela captação do sinal associado com a perturbação do
sistema vibrante,
()
x
n
. O algoritmo adaptativo processa essa entrada e gera o sinal elementar de
cancelamento, , que, através da fonte de secundária, tenta reduzir a vibração da viga no ponto
()yn
s
x
. O sistema ainda usa um outro sensor, o sensor de erro, que é responsável pela medição da
Capítulo 3: Filtros Adaptativos 55
vibração residual e fica localizado após o ponto de cancelamento. O sinal captado por esse sensor,
, é usado para a avaliação da performance do controle e para a adaptação dos coeficientes do
filtro adaptativo.
()en
Infelizmente, quando a ação de controle é aplicada pela fonte secundária, ela se propaga ao
longo da viga e é captada também pelo sensor de referência. Desta forma, a ação de controle não só
cancela a vibração no ponto desejado, minimizando o erro medido pelo sensor de erro, como também
corrompe o sinal
()
x
n
, medido pelo sensor de referência [24].
O acoplamento existente entre a ação de controle, gerada pela fonte secundária, e o sensor
de referência é chamado de caminho de realimentação ou de
feedback
. Este caminho introduz pólos
na resposta do modelo, resultando em uma possível instabilidade do algoritmo, principalmente se o
ganho de realimentação do próprio sistema a ser controlado se torna muito alto.
Dependendo da situação, o efeito do caminho de realimentação pode fazer com que o
sinal de referência se torne não estacionário durante o processo de adaptação. Contudo, quando o
tamanho de passo
()Fz
s
μ
é pequeno, o processo de convergência do algoritmo se torna mais lento e com
isso o algoritmo adaptativo pode compensar os efeitos do caminho de realimentação.
Uma forma prática de se compensar os efeitos do caminho de
feedback
é realizar um
processo de estimação (identificação) do mesmo, de maneira análoga ao realizado para o caminho
secundário. Assim, uma função de transferência
ˆ
()
F
z
pode ser encontrada, seguindo o mesmo
esquema mostrado na Fig. 3.10, e utilizada para se efetuar a compensação.
Um diagrama de blocos mais geral para a aplicação do algoritmo FXLMS, incluindo o caminho
de realimentação e sua compensação , é apresentado na Fig. 3.11.
()Fz
ˆ
()
Fz
Figura 3.11 – Diagrama de blocos do FXLMS com indicação do caminho de realimentação
Capítulo 4 : Metodologia
Este capítulo apresenta os métodos empregados durante os experimentos realizados ao longo
deste trabalho. Primeiramente, será apresentado o esquema de controle ativo utilizado, precedido
pela descrição do sistema mecânico escolhido para investigação. Na seqüência, a abordagem de
análise modal experimental será exposta. De posse dos parâmetros modais do sistema mecânico, a
execução do projeto do neutralizador dinâmico e os esquemas de controle misto serão abordados.
4.1 Sistema Mecânico
O sistema mecânico (ou sistema primário) escolhido para a aplicação das abordagens de
controle passivo-adaptativo foi uma viga de aço, cujas dimensões eram: 930 x 23 x 3 mm. A massa
total do sistema era de aproximadamente 0,5 kg.
Durante os experimentos, a viga foi, num primeiro estágio, apoiada sobre roletes metálicos,
na tentativa de se buscar a condição de contorno simplesmente apoiada. Num segundo momento, os
roletes foram travados e a viga passou a experimentar uma situação intermediária entre a
simplesmente apoiada e a duplamente engastada. Essa situação, de reprodução mais garantida, foi a
selecionada.
Para cada um dos experimentos (identificação, controle ativo, análise modal e controle misto),
considerou-se a viga dividida em 20 partes, conforme mostrado esquematicamente na Fig. 4.1.
Figura 4.1 – Esquema dos pontos de medição na viga
4.2 Controle Ativo
Com a finalidade de implementar, testar e avaliar a performance dos algoritmos de controle
ativo sobre o sistema mecânico, foi utilizada uma placa contendo um Processador Digital de Sinais –
DSP (
Digital Signal Processor
) produzido pela Analog Devices
®
.
Capítulo 4: Metodologia 57
4.2.1 ADSP-21161N
A placa EZ-KIT Lite ADSP 21161N (vide Fig. 4.2) possui um processador (ADSP 21161) de 32
bits, com aritmética de ponto flutuante e com uma velocidade de processamento (
clock
) de 100MHz.
Possui ainda 2 entradas stereo (RCA) e 4 saídas stereo (RCA), com faixa dinâmica de
aproximadamente 2V (pico), conversor AD (Analógico-Digital) modelo 1836, com freqüência de
amostragem selecionável entre 48kHz e 96kHz, conversor DA (Digital-Analógico) modelo 1852, dentre
outros componentes (para mais detalhes, ver
[1]).
Figura 4.2 – Placa de processamento digital de sinais EZ-KIT Lite 21161N [1]
Os algoritmos utilizados, tanto para a identificação de caminhos, quanto para o controle
propriamente dito, foram desenvolvidos em linguagem C, através da ferramenta VisualDSP 3.5++.
Este ambiente de desenvolvimento, que é parte integrante do EZ-KIT ADSP21161N, permite o projeto
de aplicações também nas linguagens de programação C++ e Assembly.
Além disso, no ambiente VisualDSP 3.5++, pode-se simular aplicações com o DSP sem a
necessidade de se utilizar a placa. O ambiente de desenvolvimento integrado IDDE do VisualDSP
3.5++, do inglês
Integrated Development and Debugging Environment
, proporciona um completo
controle sobre a edição, construção e
debug
dos projetos relacionados ao DSP. Neste ambiente
integrado, pode-se facilmente alternar entre essas fases de criação da aplicação, podendo-se ainda
graficar vetores ou variáveis de interesse. Um manual completo sobre este ambiente de programação
pode ser encontrado em
[1].
Como já mencionado, os algoritmos adaptativos LMS e FXLMS foram programados a partir do
ambiente VisualDSP 3.5++, na linguagem de programação C. Na verdade, antes da implementação
desses algoritmos, foi utilizado, como ponto de partida, um projeto integrante do ambiente VisualDSP
Capítulo 4: Metodologia 58
3.5++, chamado
CTalkthru_21161.dpj
. O objetivo original dessa aplicação seria única e
exclusivamente a repetição do sinal fornecido em uma das entradas do DSP para uma de suas saídas,
sem nenhum processamento adicional. Assim, a faixa dinâmica da placa pode ser testada, utilizando-
se um sinal de entrada conhecido.
Através da modificação do projeto de referência
CTalkthru
, os algoritmos de identificação e,
posteriormente, de controle, foram programados e depurados no ambiente VisualDSP 3.5++. O
fluxograma da Fig. 4.3 ilustra os passos do algoritmo de controle utilizado. Cabe enfatizar que todo o
algoritmo de controle é executado durante uma interrupção do DSP, período em que os sinais de
entrada permanecem inalterados e disponíveis.
Figura 4.3 – Fluxograma do algoritmo de controle
A primeira parte da aplicação desses algoritmos foi a fase de simulação, visando a
aprimoração e correção de eventuais problemas nos códigos. Para isso, utilizou-se um recurso de I/O
Capítulo 4: Metodologia 59
do simulador chamado
streams
. Este poderoso recurso de entrada e saída de dados permite, entre
outras coisas, a simulação de aplicações dedicadas pelo DSP, lendo arquivos de dados (com extensões
tipo dat, ou txt) como se fossem sinais amostrados diretamente em uma das entradas da placa. De
maneira similar, o uso das
streams
permite criar arquivos de saída com as mesmas extensões,
simulando a geração de sinais em uma das saídas do KIT. Instruções sobre o uso de
streams,
bem
como de outras ferramentas do VisualDSP 3.5++, podem ser encontradas no VisualDSP 3.5++ User’s
Guide for 32 Bits Processors, localizado em
[1].
Tendo testado os códigos em simulação, foram realizados os primeiros experimentos de
controle ativo utilizando a viga metálica. O
set-up
experimental para identificação e controle se parece
bastante com aquele utilizado em
[19]. A Fig. 4.4 mostra a disposição dos equipamentos durante os
ensaios de controle ativo.
Os equipamentos utilizados nos experimentos de controle ativo foram 2 excitadores eletro-
mecânicos (
shaker
) modelo BK 4810, 1 acelerômetro BK4393, com sensibilidade de 0,3132 pC/ms
-2
, 1
acelerômetro BK 4375, com sensibilidade de 0,316 pC/ms
-2
, 1 amplificador de potência BK 2706, 1
amplificador de potência BK 2718, 2 pré-amplificadores de carga, modelo BK 2635, além do analisador
de sinais dinâmicos HP 3567A e da placa EZ-KIT ADSP21161N.
Durante os experimentos, a questão da relação entre as amplitudes dos sinais de entrada e a
faixa dinâmica do DSP foi de fundamental importância. Nas primeiras tentativas, os pré-amplificadores
de carga foram utilizados com ganho ajustado em 1000 vezes. Mesmo assim, os sinais de vibração
( do processo de identificação, e
()dn ()
x
n
e dos experimentos de controle) ainda estavam
numa faixa de 500 mV, ou seja, aproximadamente ¼ da faixa dinâmica do DSP.
()en
Figura 4.4 – Experimento de controle ativo
Capítulo 4: Metodologia 60
A questão da amplitude dos sinais de entrada do DSP está diretamente relacionada com a
quantização do sinal analógico realizada pelos conversores A/D da placa. Quanto menor for a
amplitude do sinal em relação à faixa dinâmica, menor será a qualidade das informações amostradas,
e com isso, o desempenho dos algoritmos de identificação e controle será prejudicado diretamente.
De maneira análoga, se a amplitude do sinal de entrada ultrapassar a faixa dinâmica, ocorerá
saturação deste sinal e, conseqüente, perda de informações.
Após a pesquisa nos manuais e documentações disponíveis e também a troca de informações
com o departamento de assistência técnica da Analog Devices aqui no Brasil e nos EUA, conseguiu-se
resolver o problema de ajuste da faixa dinâmica e da amplitude dos sinais de entrada, utilizando um
recurso fornecido pela própria placa DSP.
Existem quatro canais no conversor AD1836A da placa, configurados como dois pares
estéreos independentes, um para cada entrada. Um desses pares pode ser programado via
software
para funcionar no modo PGA –
Programmable Gain Amplifier
. Neste modo de funcionamento, pode-se
ajustar um ganho relativo àquela entrada estéreo, que corresponde a duas entradas mono.
Os sinais de entrada podem, então, ser amplificados de 0 dB a 12 dB. Para alterar a placa
para o modo PGA, basta alterar a posição dos conectores, ou
jumpers,
7 e 8 da placa (ver Fig. 4.5),
conforme indicado no ADSP-21161N EZ-KIT Evaluation System Manual. Este documento também pode
ser encontrado em
[1].
Figura 4.5 – Localização dos jumpers da placa [1]
Efetuada a troca dos
jumpers
, os ganhos desejados para cada entrada puderam ser
ajustados, modificando-se um registro de controle identificado por
ADC_ControlRegister1
. A tabela 4.1
mostra como deve ser alterado cada
bit
da palavra de controle, de forma a ajustar o ganho na faixa
de 0 dB a 12 dB.
Capítulo 4: Metodologia 61
Tabela 4.1 - Bits de controle referents ao
ADC ControlRegister1
[1]
Nos experimentos, optou-se por ajustar o ganho da entrada PGA em 12 dB, fazendo:
ADC_CONTROL1 | WRITE_REG | 0x024.
Desta forma, durante a identificação e controle do sistema mecânico, todos os sinais
provenientes dos acelerômetros passaram a ser pré-amplificados com ganho de 100 vezes e depois
novamente amplificados na entrada correspondente do DSP em 12 dB.
Feito isto, os sinais na entrada da placa ficaram numa faixa de 1,5 V a 1,7 V de pico.
4.2.2 Identificação e Controle
Os primeiros experimentos com o DSP e a viga foram as identificações dos caminhos
secundário e de
feedback
. A Fig. 4.6 mostra o esquema utilizado nesta etapa.
Para a identificação do caminho secundário, um sinal de excitação, gerado pelo HP, era
enviado para o amplificador de potência de cancelamento (BK 2718) e para uma das entradas da
placa DSP. O sinal enviado ao BK 2718, após ser amplificado, era transmitido ao
shaker
de
cancelamento e excitava a viga na posição 2 (ver Fig. 4.1). O sinal de reposta era medido pelo
acelerômetro de erro (BK 4393), na posição 1, e enviado, após amplificação, para uma outra entrada
do DSP.
De posse destes dois sinais,
()
x
n
e , respectivamente, o algoritmo de identificação
encontrava o conjunto de coeficientes que melhor descrevia o caminho secundário, segundo o critério
LMS. Para avaliar a
performance
da identificação, o erro de identificação era enviado ao
analisador HP3567A.
()
s
dn
()en
Já para a identificação do caminho de realimentação, ou de
feedback
, o sinal foi
fornecido pelo pré-amplificador de carga conectado ao acelerômetro de referência (BK 4375), na
posição 19.
()
r
dn
Vale lembrar que, para a identificação de ambos os caminhos, o excitador de referência
permaneceu conectado à viga, embora não estivesse recebendo sinal algum. Isto se justifica pelo fato
de que, se a identificação fosse realizada sem a presença deste elemento, no momento em que
Capítulo 4: Metodologia 62
fôssemos controlar a viga, o sistema mecânico seria modificado e os coeficientes de ambos os
caminhos não estariam corretos.
Identificou-se a viga em duas freqüências diferentes, utilizando como excitação um sinal
senoidal puro de 80Hz e 300Hz. O módulo fonte do analisador foi ajustado para uma tensão de saída
de 1,5V de pico. Este valor de tensão foi definido em virtude da faixa dinâmica das entradas da placa
de DSP, que é de 2V de pico.
A partir da monitoração do sinal correspondete ao erro de identificação, os coeficientes
relativos a cada um dos caminhos foram salvos. Para que eles pudessem ser lidos pelo algoritmo de
controle, utilizamos a extensão
.h
(arquivo de cabeçalho). Neste arquivo, os valores dos coeficientes
eram ordenados em linhas e separados por vírgulas.
Figura 4.6 – Esquema para a identificação dos caminhos secundário e de redimentação
Tendo em mãos os arquivos com os coeficientes de cada um dos caminhos, os algoritmos de
controle puderam ser testados no sistema mecânico. Vale adiantar aqui que os melhores resultados
foram obtidos por meio do algoritmo FXLMS com perdas. O diagrama da Fig. 4.7 apresenta a
disposição dos equipamentos utilizados durante os experimentos correspondentes.
Um sinal de perturbação, gerado pelo HP3567A, era enviado para o amplificador de potência
de referência (BK 2706), excitando a viga na posição 19. Neste mesmo ponto da viga, o sinal primário
de vibração, captado pelo acelerômetro de referência, era amplificado e enviado para uma das
entradas do DSP.
Utilizando esse sinal,
()
x
n
, e também o sinal de vibração residual , captado pelo
acelerômetro de erro, o algoritmo de controle calculava a melhor ação de cancelamento . Este
sinal era enviado para o
shaker
de cancelamento, a partir de seu respectivo amplificador de potência,
e transferido ao sistema mecânico no ponto de conexão.
()en
()yn
Capítulo 4: Metodologia 63
Como resultado das excitações aplicadas na viga, o sinal de vibração residual era medido pelo
acelerômetro de erro e todo o ciclo se repetia.
Com a finalidade de se comparar o desempenho de cada experimento de controle ativo, os
espectros de potência do sinal de erro eram armazenados, ajustando-se o amplificador de potência de
cancelamento com ganho zero e com ganho máximo possível. A curva obtida para o caso de ganho
zero do amplificador corresponde ao sistema sem controle. A curva do sistema com controle era
obtida aumentando-se gradativamente a amplificação do sinal, até o ganho máximo possível.
Figura 4.7 – Esquema de controle ativo
4.3 Análise Modal Experimental
Visando o projeto do sistema de controle passivo por neutralizador viscoelástico, foi
necessário o conhecimento dos parâmetros modais (freqüências naturais, fatores de perda modais e
modos de vibrar) do sistema primário, qual seja, a viga metálica. A abordagem utilizada para se obter
esses parâmetros foi a da análise modal experimental
[14].
Para levantar cada uma das curvas de função resposta em freqüência requeridas, foram
utilizados 1 excitador eletro-mecânico (
shaker
) modelo BK 4810, 1 acelerômetro BK4393, com
sensibilidade de 0,3132 pC/ms
-2
, 1 amplificador de potência BK 2718, 1 célula de força BK8200, com
sensibilidade de 3,82 pC/N, 2 pré-amplificadores de carga, modelo BK 2635, um filtro analógico de
sinais WaveTek modelo 852, além do analisador de sinais dinâmicos HP 3567A. A disposição desses
equipamentos durante as medições está mostrada na Fig. 4.8.
Utilizou-se como sinal de entrada o sinal aleatório contínuo, fornecido pelo analisador
dinâmico de sinais HP. Como este sinal possui um espectro de potência aproximadamente plano em
Capítulo 4: Metodologia 64
uma faixa de 0 Hz a 51,2 kHz, fez-se o uso de um filtro passa-baixo, para limitar a excitação em uma
faixa mais estreita em freqüência.
Assim, para analisar o comportamento da viga até 800 Hz (região em que, por cálculos
teóricos aproximados para uma viga metálica com parâmetros distribuídos
[23], estariam os primeiros
oito a dez modos de vibração da viga), escolhemos a freqüência de corte
c
f
do filtro WaveTek como
sendo 1000Hz. A Fig. 4.9 mostra o espectro de potência do sinal de excitação com e sem a aplicação
do filtro.
Figura 4.8 – Disposição dos equipamentos durante a análise modal experimental
Figura 4.9 – Espectro de potência do sinal de excitação com e sem o filtro passa-baixa
Capítulo 4: Metodologia 65
Com esse sinal de excitação, ajustamos a amplitude em 3 V na saída do analisador. O sinal
era enviado para o excitador (
shaker
), conectado na posição 19 da viga, depois de passar pelo
amplificador de potência. O ajuste do amplificador era realizado conforme a amplitude do sinal de
resposta lido no analisador.
Na mesma posição 19, foi colocada a célula de força, reponsável pela medição do sinal de
força, a cada instante de tempo. Este sinal era condicionado em um pré-amplificador de carga com
ganho ajustado para 100 e enviado ao analisador.
O sinal de resposta do sistema foi medido através do acelerômetro, conectado a um outro
pré-amplificador de carga ajustado com ganho 100. Deslocando o acelerômetro da posição 1 até a
posição 19, recolhemos 19 funções resposta em freqüência para o cálculo dos parâmetros modais da
estrutura.
Durante as medições, utilizamos uma resolução de 1600 linhas na freqüência, em uma faixa
de 0 a 800 Hz, e um número de médias igual a 50.
4.3.1 Identificação dos Parâmetros Modais
Visando o projeto do netralizador dinâmico de vibrações, foram utilizadas as 19 funções
resposta em freqüência, levantadas durante a análise modal, para encontrar os parâmetros modais da
viga.
Para tanto, trabalhou-se com um método que enfatiza o domínio da freqüência, muito embora
o processamento pudesse ser realizado no domínio do tempo
[14].
O processamento dos dados foi realizado por meio do pacote de programas MODENT 2004,
desenvolvido pela ICATS (
Imperial College Analysis Testing and Software
) [22]. Este programa é
subdividido em módulos e aplicatvos. Neste trabalho, utilizamos o módulo MODENT e o aplicativo
FILTER_U. A Fig. 4.10 mostra todos os módulos e aplicativos fornecidos pelo pacote.
Figura 4.10 – Janela principal do MODENT 2004
Capítulo 4: Metodologia 66
O formato de saída das FRF’s do analisador é o de dados, com extensão
.dat
. Para que essas
curvas pudessem ser processadas no MODENT 2004, utilizamos um aplicativo fornecido pela HP,
chamado SDFTO58.exe, que realiza a conversão deste formato para a extensão
.frf
.
Desta forma, as 19 curvas puderam ser lidas no MODENT 2004, a partir do aplicativo
FILTER_U. A função deste aplicativo é juntar cada uma das FRF’s em formato
.frf
num arquivo único
com extensão
.crd (combine response data)
. Arquivos com a extensão
.crd
são utilizados pelo
MODENT 2004 no cálculo dos parâmetros modais de sistemas SIMO (
single input – multiple output
),
com múltiplas FRF’s. O diagrama mostrado na Fig. 4.11 ilustra os caminhos e formatos utilizados pelo
MODENT 2004 desde a geração das FRF’s (analisador) até o arquivo final com os parâmetros modais,
com extensão
.eig
.
Figura 4.11 – Diagrama com os caminhos utilizados no processamento dos parâmetros modais [22]
Módulo MODENT
É um programa iterativo, que pode ser utilizado para se gerar uma FRF a partir dos dados
modais de uma estrutura (freqüências naturais, amortecimento e constante modal) ou a partir de
dados espaciais como matrizes de massa, rigidez e amortecimento. Além disso, esse programa
também permite a análise de uma ou mais FRF’s, para a extração dos parâmetros modais. Como o
Capítulo 4: Metodologia 67
objetivo do nosso trabalho era modelar matematicamente o sistema primário, na faixa de freqüência
de interesse, utilizamos esta última função do MODENT.
Para o processamento de várias FRF’s com um único ponto de excitação, sistemas SIMO, o
MODENT 2004 fornece quatro algoritmos para a extração dos parâmetros modais. São eles: GLOBAL-
M, GRF-M, NLLS1-M e NLLS2-M
[22]. Cada um desses métodos necessita de um arquivo com
extensão
.crd
e as respectivas FRF’s para o seu funcionamento.
GLOBAL-M: Este método é baseado na decomposição em valores singulares (SVD) da matriz
do sistema, expressa em função das FRF’s medidas. As propriedades modais do sistema são extraídas
após a resolução do problema complexo de autovalores. Uma vantagem deste método é sua
habilidade de detecção de modos muito próximos. Teoricamente, para o processamento simultânedo
de N modos desejados, é necessário a análise de N FRF’s. Os parâmetros modais são então fornecidos
em N conjuntos (freqüências naturais, amortecimento e modos de vibrar), cada um deles
correspondente a um processamento independente.
GRF-M: Já este método é baseado no método de razão fracionária, onde os parâmetros
modais são determinados N vezes e o resultado final é fornecido através da média dos valores
encontrados. Basicamente, a FRF é expressa como a razão de dois polinômios, os zeros do numerador
fornecem as constantes modais e os valores de amortecimento enquanto os pólos do denominador
nos dão as freqüências naturais.
NLLS1-M e NLLS2-M: Ambos os métodos são baseados na minimização da diferença
existente entre os dados medidos e um modelo teórico contendo o número de modos fornecidos e
utilizando a técnica de mínimos quadrados não-linear (NLLS).
Todos esses métodos foram testados no processamento das FRF’s medidas. Os resultados
mais consistentes foram fornecidos pelo método GLOBAL-M.
Foram identificadas 7 freqüências naturais na faixa de 70Hz a 700Hz. Essas freqüências, e
seus respectivos fatores de perda e modos de vibrar, são apresentados nas equações abaixo:
2 [82.3821 138.4071 210.2711 299.1348 402.4697 522.7265 658.3140] (rad/s)
r
π
Ω= (4.1)
[0.0049 0.0098 0.0038 0.0033 0.0025 0.0020 0.0018]
r
η
= (4.2)
Capítulo 4: Metodologia 68
(4.3)
0.9094 -1.0643 1.5210 -2.1922 1.7811 -1.8413 2.1145
⎡⎤
1.3207 -1.8393 1.8900 -1.7885 1.4958 -0.8503 0.4561
1.6831 -1.9647 1.5062 -1.4550 -0.3304 0.9892 -1.9440
1.5089 -1.2869 0.1878 1.6332 -1.7743 1.8368 -1.0888
1.4615 -0.2993 -1.3
Φ=
715 1.7670 -1.4029 0.0336 1.5130
0.5860 0.9347 -1.7747 1.3744 0.5569 -1.8490 1.6439
-0.1689 1.7652 -1.4781 -0.7724 1.8986 -1.1851 -0.9420
-0.9829 1.9007 -0.1681 -1.6418 1.3011 0.8663 -2.0338
-1.5000 1.2273 1.2896 -1.6805 -0.6674 1.9849 0.2087
-1.5237 0.0859 1.8162 -0.3836 -1.9785 0.1665 2.0630
-1.4271 -0.9821 1.4851 1.5708 -1.0873 -1.7434 0.5055
-0.8749 -1.7958 0.0884 1.6181 0.8481 -1.2886 -1.8357
-0.2235 -1.8226 -1.2838 1.3004 2.0087 0.7820 -1.1991
0.6934 -1.1334 -1.7863 -1.3865 0.8399 2.0056 1.3306
1.1113 0.0729 -1.4248 -1.5053 -1.0126 0.3196 1.7360
1.5155 1.1012 -0.1506 -1.4060 -1.9714 -1.5871 -0.6807
1.7351 1.8483 1.1953 0.4334 -0.6562 -1.5203 -2.0315
1.7123 1.8686 1.6692 1.4761 1.1782 0.5993 0.0296
0.9641 1.2111 1.4580 1.4743 1.7545 1.8147 1.7388
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
As figuras 4.12 e 4.13 mostram o processamento das FRF’s através do método GLOBAL-M.
Figura 4.12 – Processamento das FRF’s através do método GLOBAL-M
Capítulo 4: Metodologia 69
Figura 4.13 – Análise individual das FRF’s através do método GLOBAL-M
4.4 Projeto do Neutralizador Viscoelástico
De posse dos parâmetros modais da estrutura, identificados via análise modal experimental,
iniciou-se o projeto do NDV.
Escolheu-se, para a redução de vibrações na viga, a faixa de freqüência de 190 Hz a 440 Hz.
Para essa faixa, utilizaram-se, além das freqüências naturais, dos fatores de perda e dos modos de
vibrar da própria faixa, os correspondentes a dois modos acima e dois modos abaixo. Estes modos
adicionais são de extrema importância no cômputo dos parâmetros característicos do neutralizador
dinâmico de vibrações
[2].
De forma geral, o neutralizador deve ser posicionado no ponto de maior deformação dos
modos que se deseja controlar
[2]. Decidiu-se, então, fixar o neutralizador na posição de número 2 da
viga (Fig. 4.1), indicada pelo asterisco da Fig. 4.14. Com base nos resultados obtidos na análise modal
experimental (vide Eq. (4.3)), a Fig. 4.14 mostra os modos desejados da viga, quais sejam, o quinto,
o sexto e sétimo, em função de seu comprimento.
Percebe-se que esta posição não coincide com nenhum nó dos modos de interesse. Caso isso
acontecesse a ação do neutralizador seria nula.
Com a localização do neutralizador definida, foi escolhido o tipo de material viscoeléstico a ser
utilizado na construção do NDV. O objetivo era empregar um material que apresentasse uma variação
razoável em suas características (fator de perda e modo de cisalhamento), frente à variação de
temperatura de 7 ºC a 25 ºC. Optou-se por utilizar a borracha butílica 45 SHORE A, cujo nomograma
é o da Fig. 4.15.
Capítulo 4: Metodologia 70
Figura 4.14 – Modos de vibrar da viga
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
G
R
η
G
Frequência Reduzida (Hz)
Módulo de Cisalhamento G (MPa) e Fator de Perda
η
G
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Frequência (Hz)
253
263
273
283
293
313
333
Temperatura (K)
Figura 4.15 – Nomograma do material viscoelástico utilizado na construção do NDV
Capítulo 4: Metodologia 71
Este material foi caracterizado no PISA-LVA, segundo a seguinte equação descritiva (vide Cap.
2):
()
()
()
0
0
,
1
LHT T
TT
GGbi T
GT
bi T
β
β
α
ω
α
+Ω
⎡
⎤
⎣
⎦
=
+Ω
⎡⎤
⎣⎦
(4.4)
com
()
(
)
()
1
10
20
T
TT
log T
TT
θ
α
θ
−−
=
+−
0
a
=
0,396
(4.5)
Para a borracha butílica em questão, os dados encontrados foram: ,
,
6
1,53 10
L
GP=
8
1,11 10
H
GPa
=
,
2
0
1,3410
T
b
−
=
para
0
273TK
=
,
1
15,1
θ
=
e
2
171
θ
=
.
β
Tendo definido a posição do neutralizador e o material viscoelástico a ser utilizado, segui-se à
fase de projeto do NDV, através do programa de otimização desenvolvido por Bavastri
[2]. Como
discutido no Capítulo 2, esse programa utiliza técnicas de programação não-linear para encontrar os
parâmetros ótimos dos neutralizadores, para uma dada estrutura.
O programa teve um arquivo de entrada, com extensão
.eig
, contendo os parâmetros modais
identificados. A faixa de freqüência de interesse, bem como o número de modos dentro dessa faixa,
os parâmetros do material viscoelástico e também a temperatura de projeto, 25 ºC, foram os outros
dados de entrada do programa de otimização.
Para a borracha butílica a 25 ºC, foram encontrados os seguintes parâmetros ótimos:
e
Ω= . A curva teórica da aplicação deste NDV no sistema
primário em questão é ilustrada na Fig. 4.16, a partir de arquivo de saída gerado pelo programa.
-2
3.35067 10
n
mkg=
248.6145 Hz
a
Analisando o resultado teórico, pode-se perceber que o NDV, ao ser fixado na estrutura, reduz
as freqüências de ressonância na faixa de interesse (190 Hz a 440 Hz) como desejado. Vale analisar
também que o controle passivo exerce um efeito benéfico em outras freqüências de ressonância da
estrutura, fora da faixa de interesse.
Com os parâmetros ótimos em mãos, o projeto do NDV foi realizado. O primeiro passo foi
calcular o fator de forma
L
para o neutralizador. Este fator de forma depende da forma geométrica
do dispositivo. Considere-se a seguinte relação para a rigidez (vide Cap. 2):
(
)
(
)
na a
KLG
Ω
=Ω
(4.6)
onde /
n
LAe= [12], para o caso de cisalhamento predominante, sendo
A
a área de cisalhamento e
a espessura do material viscoelástico.
n
e
Capítulo 4: Metodologia 72
Figura 4.16 – Curva teórica da aplicação do NDV sobre a viga apoiada
Temos que a freqüência de antiressonância do NDV é dada por (vide Cap. 2):
(
)
(
)
2
a
a
nn
KLG
mm
a
Ω
Ω
Ω= =
(4.7)
Isolando o fator de forma na equação (4.7), temos:
()
2
na
a
m
L
G
Ω
=
Ω
(4.8)
A massa e a freqüência do NDV foram fornecidos pelo programa de otimização. Já o valor do
módulo de cisalhamento para a freqüência
a
Ω
pode ser calculado através de (4.4), com os
parâmetros da borracha butílica. Substituindo esses valores na Eq. (4.8), obtivemos .
0.0165L =
A espessura do material viscoelástico disponível era
0,003
n
em
=
. Considerando o valor
encontrado para o fator de forma, encontrou-se a área de cisalhamento desejada
.
2
0,0000495 mA =
O fator de forma desejado foi obtido através da confecção de dois elementos de material
viscoelástico, cada um composto por um par de tiras, com as seguintes dimensões: 7x7x3 mm. Cada
par de tiras era separado por uma chapa de aço de dimensões 7x7x1 mm. Esses dois núcleos de aço
foram utilizados com o obejtivo de garantir o cisalhamento predominante do material viscoelástico.
O corpo do neutralizador foi feito em aço. Projetou-se um cilindro de raio 15 mm e altura 10
mm. Como a densidade do aço é 7850 kg/m
3
, a massa total do cilindro era de 0,0555 kg. Foi retirada
Capítulo 4: Metodologia 73
então, a porção de material necessária (cerca de 2,74x10
-6
m
3
) para que a massa desejada do
neutralizador (0,0335 kg) fosse obtida.
Na parte central do corpo do neutralizador, foi concebida uma haste de alumínio, com rosca
M5, responsável pela fixação do dispositivo na viga. Os elementos elastoméricos foram colados entre
a haste central e a massa de aço externa do neutralizador.
A forma final do dispositivo é apresentada na Fig. 4.17.
Figura 4.17 – Vista superior e corte frontal do NDV
Capítulo 4: Metodologia 74
4.5 Controle Misto
Já com os problemas de controle ativo solucionados, e com o neutralizador dinâmico de
vibrações construído, os experimentos de controle misto de vibrações foram iniciados.
Nessa fase do trabalho, a intenção principal era analisar o comportamento do sistema de
controle de vibrações da viga, face a variações de temperatura.
Para isso, escolheu-se investigar a resposta do sistema em duas temperaturas diferentes: em
25ºC, temperatura utilizada para projetar o controle passivo, e a 7 ºC.
Já em relação ao sinal de excitação, a viga foi identificada e controlada com uma excitação
senoidal dentro da faixa de interesse, em 292 Hz.
Era esperado que, frente à dessintonização do sistema de controle passivo, o sistema de
controle ativo-adaptativo fosse capaz de compensar essas variações e manter uma atenuação global
razoável sobre os níveis de vibração da viga.
Esses experimentos foram iniciados pela obtenção das FRF’s da viga, à temperatura ambiente
de 25 ºC, com e sem a presença do NDV na posição 2 da viga. As FRF’s foram levantadas excitando-
se a viga na posição 19 e lendo a resposta na posição 1. Finda essa fase, a viga foi colocada na
câmara de temperatura controlada e a temperatura foi ajustada para 7 ºC. Nessa temperatura,
repetiu-se o levantamento de FRF’s, com a presença do NDV. A Fig. 4.17 mostra a montagem
experimental.
Figura 4.17 – Levantamento de FRF’s utilizando a câmara de temperatura controlada
Logo depois, iniciamos o processo de identificação do sistema na freqüência de 292 Hz. Uma
vez identificado e controlado o sistema nessa freqüência, somente com o controle ativo, fixamos o
neutralizador dinâmico de vibrações na posição 2 da viga.
Com o controle adaptativo e com o NDV, foram levantados os espectros de potência do sinal
de erro para a freqüência de excitação, à temperatura ambiente de 25 ºC.
Capítulo 4: Metodologia 75
Em seguida, através da câmara, abaixou-se a temperatura do sistema completo (viga+NDV)
para 7 ºC. Então, os espectros de potência do sinal de erro foram novamente medidos para a
excitação em 292 Hz.
A Fig. 4.18 mostra o esquema do experimento de controle misto e a Fig. 4.19 ilustra a
montagem.
Figura 4.18 – Sistema de controle misto de vibrações
Figura 4.19 – Experimento de controle misto (interior da câmara)
Capítulo 5 : Resultados
Neste capítulo, serão apresentados e discutidos os resultados experimentais obtidos durante
este trabalho. Será adotado aqui, por conveniência de exposição, a seqüência controle passivo,
controle ativo e controle misto, e não a do Cap. 4, que corresponde a como o trabalho se
desenvolveu.
5.1 Controle Passivo
Pelo uso da montagem experimental utilizada na análise modal da viga, foram levantadas as
FRF’s do sistema com e sem o NDV, na temperatura ambiente de aproximadamente 25 ºC e a uma
temperatura mais baixa, de aproximadamente 7 ºC. Para isso, fez-uso da câmara de temperatura
controlada do PISA-LVA. Essas medições foram realizadas excitando-se a viga na posição 19 e
medindo-se sua resposta na posição 1.
Na Fig. 5.1, temos as seguintes FRF’s da viga na posição 1-19 (excitação na posição 19 e
resposta na posição 1): sem NDV à temperatura ambiente, com NDV à temperatura ambiente e com
NDV à temperatura mais baixa, bem distinta daquela de projeto do controle passivo. O NDV
encontrava-se na posição 2.
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-20
0
20
40
60
80
100
Freqüência [Hz]
Módulo da Inertância [dB]
Controle Passivo - pos. 19-1
Sistema sem NDV a 25,1°C
Sistema com NDV1 a 25,1°C
Sistema com NDV1 a 7,1°C
Figura 5.1 – FRF’s da viga, utilizando controle passivo, na posição 1-19
Capítulo 5: Resultados 77
Analisando as FRF’s na posição 1-19, percebemos que a resposta da viga com o NDV à
temperatura ambiente (temperatura de projeto) apresenta os menores picos dentro da faixa de
interesse (190 Hz a 440 Hz). Em outros picos de ressonância, a aplicação do NDV, a essa
temperatura, também apresenta um efeito benéfico.
Como era de se esperar, à temperatura mais baixa, o desempenho do NDV ficou prejudicado.
Apesar de reduzir os picos de ressonância, a resposta da viga com o neutralizador para a temperatura
de 7,1 ºC não apresenta o mesmo efeito redutor para as freqüências dentro da faixa de interesse.
Uma análise mais cuidadosa das FRF’s do sistema, próximo da freqüência de 300 Hz, ilustra a
dessintonização do NDV com mudança de temperatura.
A tabela 5.1 mostra os picos, em dB (ref.: 1m/s
2
N) das FRF’s, para algumas freqüências de
ressonância da viga, indicadas pelas FRF’s em tela. Vale destacar aqui que as freqüências de
ressonância do sistema mecânico com e sem o NDV são ligeiramente diferentes. Desta forma, para
fins de comparação, os dados mostrados na tabela 5.1 dizem respeito aos picos de ressonância do
sistema composto que se localizam próximos das freqüências de ressonância do sistema primário.
82 Hz 138 Hz
209 Hz 298 Hz 402 Hz 522 Hz 659 Hz
Sem NDV a 25,1 ºC 54,7 64,9 68,7 75,7 77,3 80,1 79,5
Com NDV a 25,1 ºC 52,7 52,6 49,9 47,6 51,9 61,8 67,8
Com NDV a 7,1 ºC 52,7 58,7 57,2 58,4 52,7 59,0 67,2
Tabela 5.1 – Picos das FRF’s com e sem controle passivo, em diferentes temperaturas, na posição 1-19
A análise da tabela 5.1 nos fornece uma idéia sobre o desempenho do controle passivo. Para
condições ótimas do neutralizador dinâmico, obtivemos reduções de 18,8 dB, 27,9 dB e 25,4 dB,
relativas aos três picos de ressonância dentro da faixa de interesse.
Com a dessintonização, na faixa de interesse, as reduções são menores, mas continuam
ocorrendo. Ou seja, mesmo fora de suas condições ótimas, o NDV ainda atua de forma benéfica.
Vale destacar que se o sistema composto for excitado em uma freqüência dentro da faixa,
mas fora de uma região de ressonância, o neutralizador dinâmico terá pouca ou nenhuma influência.
Entende-se, portanto, que para freqüências dentro da faixa de projeto do controle passivo, mas fora
de uma ressonância do sistema primário, o controle ativo pode se apresentar também como
alternativa.
As reduções previstas teoricamente pelo programa de otimização dos neutralizadores, na faixa
de interesse, foram: 35,2 dB, para 209 Hz; 38,7 dB, para 298 Hz; e 24,5 dB, para 402 Hz (vide Fig.
4.15). Essas reduções são, para as duas primeiras freqüências, bem superiores às obtidas
experimentalmente. A princípio, não teríamos uma explicação definitiva para esse fato. Contudo,
deve-se considerar que a montagem manual dos elementos viscoelásticos do neutralizador pode dar
margem a que esse apresente um desempenho aquém do esperado, o que não é o caso quando
empregada a montagem em prensas de injeção e vulcanização de elastômeros
[25].
Capítulo 5: Resultados 78
Expõe-se que as FRF’s previstas pela teoria e as obtidas experimentalmente não foram
sobrepostas aqui tendo em vista o fato de que foram levantadas com base em ganhos diferentes dos
sistemas de amplificação utilizados (fonte, filtro analógico, amplificador de potência e pré-
amplificadores de carga) num e noutro casos. Dessa forma, a superposição não é esclarecedora.
Por fins de comparação, conectamos o excitador eletromecânico (
shaker
) de cancelamento na
posição 2, e levantamos as FRF’s do sistema com e sem NDV, nas duas temperaturas já indicadas. As
três curvas são mostradas na Fig. 5.2.
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-20
0
20
40
60
80
100
Freqüência [Hz]
Módulo da Inertância [dB]
Controle Passivo (com excitador de cancelamento)- pos. 19-1
Sistema sem NDV a 25,1°C
Sistema com NDV1 a 25,1°C
Sistema com NDV1 a 7,2°C
Figura 5.2 – FRF’s da viga, com NDV e excitador de cancelamento, na posição 1-19
Como, nos experimentos de controle misto, os dois excitadores estariam conectados, a
intenção aqui foi a de observar a eficiência do NDV no sistema com essa configuração.
Pelas curvas apresentadas, podemos perceber que a viga se comporta como se uma fonte
adicional de amortecimento estivesse presente. Dessa forma, a redução proporcionada pelo
neutralizador é menor. Contudo, o estágio final de redução alcançado não apresenta alterações
significativas. Isso é melhor visualizado na Fig. 5.3. Nela, são comparadas as FRF’s do sistema com o
NDV, a 25,1 ºC, com e sem a fixação do excitador de cancelamento (excitador 2).
Capítulo 5: Resultados 79
Figura 5.3 – Comparação do controle passivo com e sem o excitador de cancelamento
5.2 Controle Ativo
Utilizando a placa de processamento digital de sinais, iniciaram-se os experimentos de
controle ativo de vibrações pelas identificações dos caminhos secundário e de
feedback
.
Ambos os caminhos foram identificados para dois sinais senoidais, um com freqüência de 80
Hz e outro de 300 Hz. Essas freqüências eram próximas de freqüências de ressonância da viga. Além
disso, utilizaram-se diferentes valores para o comprimento do filtro adaptativo durante as
identificações. Foram utilizados 2, 10, 20, 100, 200, 300, 500 e 1000 coeficientes para a identificação
de cada caminho nessas duas freqüências.
N
Visando obter um conjunto de coeficientes que pudesse descrever com qualidade os sistemas
em questão (caminhos de identificação), ajustamos o valor de
s
μ
em 10
-5
, para as identificações
realizadas com 10, 20, 100, 200, 300, 500 e 1000 coeficientes. Comprovou-se, aqui, que, quando o
algoritmo LMS é executado com um baixo valor para o parâmetro
s
μ
, o tempo de convergência
aumenta, mas, por outro lado, o erro residual de identificação diminui
[15].
Somente para o caso da identificação com apenas dois coeficientes, aumentamos o valor de
s
μ
para 10
-1
. Percebeu-se que, utilizando o valor anterior, 10
-5
, o processo de identificação se
tornaria muito demorado. A Fig. 5.4 mostra a convergência do erro na identificação do caminho de
feedback
do experimento, utilizando apenas 2 coeficientes, na freqüência de 80 Hz e com 0,1
s
μ
=
.
Capítulo 5: Resultados 80
Figura 5.4 – Erro na identificação do caminho de
feedback
em 80 Hz com N=2 e 1
s
μ
=
Já nas curvas da Fig. 5.5, nota-se que, para esses comprimentos de filtro maiores, o erro de
identificação converge em menos de 1s, mesmo com
s
μ
igual a 10
-5
, que é um valor relativamente
baixo.
O desempenho do controle ativo está diretamente relacionado com os parâmetros do
algoritmo FXLMS, tais como
s
μ
, o fator de
leaky
, o comprimento do controlador e também
com os coeficientes que descrevem o caminho secundário,
v N
s
N , e o caminho de
feedback
,
f
N
. Frente
a essa grande quantidade de variáveis, foram investigados quais os coeficientes do caminho
secundário e do caminho de
feedback
que forneceriam o melhor desempenho na redução de
vibrações da viga.
Começamos, então, utilizando somente os coeficientes do caminho secundário e fazendo
s
NN= , deixando os valores de 0,001
s
μ
=
e
0,999v
=
. Esses são valores empíricos, segundo os
quais o sistema mostrou-se bastante estável durante nossos experimentos.
Depois de definir os três melhores conjuntos de coeficientes para o caminho secundário, nas
freqüências de 80 Hz e 300 Hz, passou-se a controlar a viga também com os coeficientes do caminho
de
feedback
. Algumas das curvas de identificação dos caminhos para cada uma das freqüências, são
mostradas na Fig. 5.5.
Avaliando os resultados obtidos, pode-se perceber que os melhores casos foram obtidos
quando utilizou-se 100 e 200 coeficientes para a identificação do caminho secundário, a 80 Hz e 300
Hz, respectivamente. Já para o caminho de
feedback,
a melhor performance foi obtida com 1000 e
500 coeficientes, a 80 Hz e 300 Hz, respectivamente.
Capítulo 5: Resultados 81
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 5.5 – Erros na identificação dos caminhos secundário e
feedback
Com as melhores combinações para os coeficientes dos caminhos secundário e
feedback
definidas, foi investigado o melhor comprimento do filtro para cada uma das duas freqüências de
excitação, mantendo ainda constantes os parâmetros
s
μ
e
v
.
Para ambas as freqüências, foi testado
[2,10,100,300,400,500,600,1000]N
=
e
percebeu-se que, em todos os casos, houve redução de vibrações. Contudo, os melhores
desempenhos foram obtidos com
400N
=
, para 300 Hz, e
1000N
=
, para 80 Hz.
Tendo encontrado as melhores combinações de tamanhos de coeficientes para cada uma das
freqüências de excitação, ,
1000N =
100
s
N
=
,
1000
f
N
=
para 80 Hz e ,
400N =
200
s
N
=
,
para 300 Hz, começou-se a variar, primeiramente, o parâmetro
500
f
N =
s
μ
e posteriormente, ,
nos experimentos de controle.
v
Para a freqüência de excitação de 80 Hz, deixaram-se fixados
[
]
, , 1000,100,1000
sf
NN N
⎡⎤
=
⎣⎦
e
0,999v
=
e fez-se
s
μ
variar. A tabela 5.2 mostra as reduções
obtidas. Essas reduções foram calculadas com base nos valores do espectro de potência do sinal de
Capítulo 5: Resultados 82
erro, na freqüência de interesse, antes e depois de acionado o controle (as Figs 5.6 e 5.7, adiante,
ilustrarão o aqui explicado).
Similarmente, para a freqüência de 300 Hz, deixaram-se fixados
[
]
, , 400,200,500
sf
NN N
⎡⎤
=
⎣⎦
e
0,999v
=
e fez-se
s
μ
variar. A tabela 5.3 mostra as reduções
obtidas.
80
f
Hz=
Redução Obtida (dB)
0,0005
s
μ
=
37,6
0,001
s
μ
=
38,0
0,002
s
μ
=
33,3
Tabela 5.2 – Reduções obtidas variando
s
μ
, na freqüência de excitação de 80 Hz
300
f
Hz=
Redução Obtida (dB)
0,0005
s
μ
=
16,8
0,001
s
μ
=
19,0
0,002
s
μ
=
19,5
Tabela 5.3 – Reduções obtidas variando
s
μ
, na freqüência de excitação de 300 Hz
Selecionado o melhor valor para
s
μ
em cada um dos casos, qual seja, 0,001, fez-se variar.
As tabelas 5.4 e 5.5 mostram os valores de redução obtidos para a variação do fator de
leaky
.
v
80
f
Hz=
Redução Obtida (dB)
0,9985v =
41,8
0,999v =
38,0
0,9995v =
41,2
Tabela 5.4 – Reduções obtidas variando
v
, na freqüência de excitação de 80 Hz
Capítulo 5: Resultados 83
300
f
Hz=
Redução Obtida (dB)
0,9985v =
18,3
0,999v =
19,0
0,9995v =
19,3
Tabela 5.5 – Reduções obtidas variando , na freqüência de excitação de 300 Hz
v
Analisando todos os resultados obtidos, apresentados nas tabelas 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5, foram
selecionados, então, para cada uma das freqüências de excitação, os parâmetros que, segundo a
seleção acima exposta, proporcionaram o melhor desempenho do sistema de controle ativo de
vibrações, aplicado neste trabalho.
Para a freqüência de 80 Hz, a maior redução foi obtida para ,
1000N =
100
s
N
=
,
,
1000
f
N =
3
10
s
μ
−
=
e . O valor da redução foi de aproximadamente 42 dB. A Fig. 5.6
mostra as curvas para esse conjunto de parâmetros.
0,9985v =
Já para a freqüência de 300 Hz, a maior redução foi obtida para ,
400N =
200
s
N
=
,
, e . O valor da redução foi de aproximadamente 20 dB, como
ilustrado pela Fig. 5.7.
500
f
N =
3
210
s
μ
−
=⋅ 0,999v =
(a)
(b)
Figura 5.6 – (a) Espectro de potência do erro em dB (b) Zoom em 80 Hz
Capítulo 5: Resultados 84
(a)
(b)
Figura 5.7 – (a) Espectro de potência do erro em dB (b) Zoom em 300 Hz
Pode-se considerar que, para ambos os casos, as reduções obtidas foram bastante
significativas. Apesar de trabalhar em uma única freqüência, o controle ativo mostrou-se bastante
eficiente.
Os sinais mostrados nas figuras 5.6 e 5.7 foram captados pelo acelerômetro de erro, fixado na
posição 1 da viga. Durante os experimentos, percebeu-se que, quando o controle ativo era ligado, os
níveis de vibração da viga caíam em todos os pontos. Ou seja, não só o sinal proveniente do
acelerômetro de erro, mas também o sinal fonecido pelo acelerômetro de referência, fixado na
posição 19, diminuía.
Como já mencionado, essas curvas foram levantadas primeiramente sem a presença do
controle ativo sobre a viga. Posteriormente, o sinal de controle, gerado pela placa de DSP, era
gradativamente amplificado, através do amplificador de potência de cancelamento, e enviado ao
shaker
de cancelamento, conectado na posição 2 da viga (ver Fig. 4.6).
Por se tratar de um sistema eletro-mecânico, a amplificação, e conseqüentemente, a redução
obtida, têm certo limite. A partir de um determinado ponto de amplificação, ocorria uma saturação do
sistema de cancelamento (amplificador +
shaker
), gerando uma freqüência espúria no sinal de erro.
Tão logo o nível de amplificação fosse reduzido, essa freqüência estranha desaparecia do espectro do
sinal. Esse fato pode ser visualizado na Fig. 5.7 (a), no em torno da freqüência de 300 Hz.
5.3 Controle Misto
Por fim, foi investigado o controle misto de vibrações, pela aplicação do controle ativo e do
NDV, simultaneamente, na viga metálica.
Num primeiro momento, a viga foi controlada, de forma ativa, na freqüência de 292 Hz. Esta
é a freqüência de ressonância central da faixa de interesse, mesmo quando considerada a FRF do
sistema primário com o
shaker
de cancelamento conectado (vide Fig. 5.3).
Capítulo 5: Resultados 85
Nessa etapa, partindo dos melhores parâmetros encontrados para a freqüência de 300 Hz,
identificaram-se os caminhos secundário e de feedback e obteve-se uma boa performance de controle
com os seguintes parâmetros: ,
200
s
N =
500
f
N
=
,
500N
=
,
0,002
μ
=
e .
0,999v =
A Fig. 5.8 mostra o controle ativo aplicado à temperatura de 25,2 ºC. A redução obtida foi de
18,8 dB. Optou-se por utilizar, nesses últimos experimentos, uma janela flattop, fornecida pelo
analisador dinâmico de sinais. Este tipo de janelamento é indicado para os casos de leitura para
bandas estreitas em freqüência.
Com o objetivo de ilustrar o comportamento do controle ativo sobre a viga, ajustou-se o
ganho do amplificador de potência de cancelamento num valor conveniente e seguro e fez-se a leitura
do sinal de erro, sem a aplicação de controle. Depois de um certo período de tempo, o controle era
acionado. A Fig. 5.9 mostra a variação temporal do sinal de vibração, captado pelo acelerômetro de
erro.
Ainda na temperatura de 25,2
0
C, aplicou-se o neutralizador dinâmico sobre o sistema
primário na posição 2, com o
shaker
de cancelamento conectado. A força de perturbação aplicada
sobre o sistema, pelo
shaker
de referência, foi monitorada pela célula de força, colocada na posição
19 (vide Fig. 4.18).
A leitura do sinal de força foi realizada antes e depois da aplicação do NDV. Percebeu-se,
então, que, quando o NDV era fixado na estrutura, o sinal de força diminuía. Isto acontece pelo fato
de não se estar se utilizando uma fonte de força. Ou seja, o excitador eletromecânico é um sistema
realimentado, que não garante a aplicação de uma mesma força, frente a modificações no sistema em
que está atuando, ainda que alimentado por uma tensão constante.
(a)
(b)
Figura 5.8 – (a) Espectro de potência do erro em dB (b) Zoom em 292 Hz
Capítulo 5: Resultados 86
Figura 5.9 – Aplicação do controle ativo sobre a viga em 202 Hz
Buscando contornar esse problema, o ganho do amplificador de potência de referência foi
ajustado de forma a manter a força constante, depois da aplicação do NDV. Percebeu-se, então, que,
mantendo o sinal de força constante, conseguíamos efetuar a medição da performance do controle
passivo, tal como fazíamos para o ativo, de uma forma mais fidedigna. A Fig. 5.10 mostra o resultado
de controle passivo para o caso de excitação em 292 Hz, à temperatura de 25,2 ºC.
(a)
(b)
Figura 5.10 – (a) Espectro de potência do erro em dB para controle passivo (b) Zoom em 292 Hz
A redução obtida sem o ajuste da força de excitação foi de 5,45 dB. Ao se regular a força de
perturbação, após a fixação do NDV, foi obtido algo em torno de 14 dB.
Os dados de controle misto foram então levantados, seguindo o procedimento de ajuste da
força de excitação do sistema, através do amplificador de potência de referência.
Capítulo 5: Resultados 87
À temperatura de 25,2 ºC, e excitando a viga com uma perturbação harmônica de 292 Hz,
foram levantadas as curvas do espectro de potência do acelerômetro de erro, sem controle, com
controle passivo (mesma força de entrada) e com o controle ativo. Depois disso, essas curvas foram
levantadas à temperatura de 7,1 ºC.
As figuras 5.11 e 5.12 mostram os resultados do controle misto para as diferentes
temperaturas.
(a)
(b)
Figura 5.11 – (a) Espectro de potência do erro em dB para controle misto (b) Zoom em 292 Hz
(a)
(b)
Figura 5.12 – (a) Espectro de potência do erro em dB para controle misto (b) Zoom em 292 Hz
Os resultados de controle misto são compilados nas tabelas a seguir.
Capítulo 5: Resultados 88
Amplitude em 292Hz
[dB]
Redução Obtida
[dB]
Sem controle -11,78
Controle Passivo -26,14 14,36
Controle Misto -34,45 22,67
Tabela 5.6 – Reduções obtidas com controle misto a 25,2 ºC
Amplitude em 292Hz
[dB]
Redução Obtida
[dB]
Sem controle -12,03
Controle Passivo -18,86 6,83
Controle Misto -33,28 21,25
Tabela 5.7 – Reduções obtidas com controle misto a 7,1 ºC
Como esperado, o controle passivo teve sua performance prejudicada na temperatura mais
baixa. Contudo, o controle ativo compensou essa dessintonização e reduziu os níveis de vibração na
freqüência desejada, assegurando um valor global equivalente.
Capítulo 6 : Conclusões e Perspectivas Futuras
Das diversas formas existentes para se controlar os níveis de vibração em um sistema
mecânico de interesse, esse trabalho tratou da aplicação do controle passivo por neutralizadores
viscoelásticos e do controle ativo por filtros adaptativos FIR, além da aplicação especial e conjunta
dessas abordagens, o controle misto de vibrações. Para isso, utilizou-se um sistema mecânico simples,
qual seja, uma viga metálica.
Analisando os resultados de cada uma das abordagens utilizadas, pode-se concluir, de
maneira geral, que os objetivos foram alcançados e as expectativas satisfeitas.
Para o projeto do neutralizador viscoelástico, uma abordagem de controle passivo ótimo foi
utilizada. Os resultados confirmaram que, de forma simples, é possível se construir um dispositivo
passivo, capaz de reduzir as vibrações em um sistema mecânico de forma bastante eficaz.
Os resultados proporcionados pela aplicação do controle ativo foram bastante expressivos,
sobretudo para os casos de excitação do sistema em uma freqüência mais baixa (80 Hz). Acredita-se
que foi fundamental para esse desempenho a utilização de uma placa de processamento digital de
sinais com processador de 32-bits e aritmética de ponto flutuante.
Com a intenção de superar eventuais problemas originados pela dessintonização do controle
passivo, foram realizados experimentos utilizando as duas abordagens, em conjunto, no controle de
vibrações da viga. A dessintonização do controle passivo foi provocada pela mudança da temperatura
do sistema composto, o que afetou diretamente as propriedades do material viscoelástico do
neutralizador dinâmico.
Nessa situação, comprovou-se que a estratégia de controle mista adotada foi capaz de manter
a redução dos níveis de vibração da viga de forma consistente, ainda que limitada a perturbações
harmônicas. Assim, pode-se continuar contando com as vantagens do neutralizador viscoelástico,
baixo custo e alta eficácia, e utilizar o controle ativo, implementado pelos filtros adaptativos, para
manutenção da redução global de vibração, quando uma situação diferente da de projeto do
neutralizador se fez presente.
Acredita-se que, para os trabalhos futuros nessa área, a identificação dos caminhos
secundário e de realimentação e o controle ativo do sistema mecânico no domínio do tempo deveria
ser realizada em uma banda de freqüência, através de uma excitação tipo ruído branco. Dessa forma,
poder-se-ia buscar ampliar a abrangência dos sistemas ativo e misto de controle de vibrações.
Uma outra sugestão para os trabalhos futuros, envolvendo a utilização de controle misto, é a
medição da potência externa requerida para o controle. É de se esperar que, adotando uma estratégia
de controle mista, em alternativa a uma estratégia puramente ativa, ocorrerá uma redução na
potência externa necessária para se obter níveis equivalentes de redução de vibrações.
Por fim, sugere-se também a investigação do uso do controle misto abordado nesse
trabalho como alternativa ao uso isolado de neutralizadores dinâmicos de vibrações em baixas
Capítulo 6: Conclusões e Perspectivas Futuras 90
freqüências, região em que esses, via de regra, requerem massas mais apreciáveis para serem
eficazes.
Referências Bibliográficas
[1] Analog Devices, http://www.analog.com, acessado em 27 de julho de 2005.
[2] Bavastri, C. A., “Redução de Vibrações de Banda Larga em Estruturas Complexas por
Neutralizadores Viscoelásticos”, Tese de Doutorado, Universidade Federal de Santa
Catarina - UFSC, 1997.
[3] Bavastri, C. A., Espíndola, J. J., “Reduction of Vibrations in Complex Structures with
Viscoelastic Dynamic Vibration Absorbers, or Neutralizers.”, Proceedings of the X
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[6] Bu, X.
et al
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[7] Connor, J. J., “Introduction to Structural Motion Control”, Massachusetts Institut of
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[8] Cunha Jr, S. S., “Estudo Teórico e Numérico de Absorvedores Dinâmicos de Vibrações”,
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Suíça, pp. 41-48, 1998.
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[11] Espíndola, J. J., Silva Neto, J. M., Lopes, E. M. O., “On the Measurement of the
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Engenharia Mecânica, UFSC, Santa Catarina, 2003.
[13] Espíndola, J. J., Méndez, G. A., Lopes, E. M. O., Bavastri, C. A., “Design of Optimum
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Alloys”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 249, Nº 5, pp. 835-848, 2002.
Apêndice A: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
A.1 Descrição Matemática dos Sinais
A.1.1 Sinais Determinísticos
Qualquer sinal que possa ter o seu comportamento futuro antecipado, sem margem de
dúvida, é chamado de determinístico. No caso de sinais em tempo contínuo, essa antecipação pode
ser feita através de uma função do tempo, como, por exemplo:
(
)
0
() cos 2 ,
c
x t A F t para t
πθ
=+ −∞<<∞
(A.1)
Para sinais em tempo discreto, ou apenas sinais discretos, que, matematicamente falando,
são seqüências de números, a relação correspondente pode ser descrita por uma expressão do tipo:
() ,
n
x n a para n
=
−∞< <∞ (A.2)
O sinal acima é referenciado como seqüência exponencial. Outros sinais discretos importantes
são o impulso unitário e o degrau unitário, mostrados, respectivamente, nas equações (A3) e (A4).
10
()
00
n
n
n
δ
=
⎧
=
⎨
≠
⎩
(A.3)
10n ≥
()
00
un
n
⎧
=
⎨
<
⎩
(A.4)
Os sinais determinísticos podem ser ainda sub-divididos em sinais de energia ou de potência,
periódicos ou aperiódicos, de duração finita ou infinita, causais ou não-causais e pares ou ímpares
[27].
A energia total, ou simplesmente a energia, de um sinal discreto
()
x
n
é dada por:
2
() 0
x
n
Exn
∞
=−∞
=
≥
∑
(A.5)
A energia será zero se e somente se
() 0xn
=
para todo . A potência média, ou
simplesmente a potência, de um sinal
n
()
x
n
é definida como:
Anexo A: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 95
2
1
lim ( ) 0
21
N
x
N
nN
Px
N
→∞
=−
n
=
≥
+
∑
(A.6)
Um sinal com energia finita, ou seja, 0
x
E
<
<∞, é comumente chamado de sinal de energia,
ao passo que um sinal de potência é aquele onde
0
x
P
<
<∞. Nota-se que sinais de energia possuem
potência nula e sinais de potência têm energia infinita.
Um sinal discreto
()
x
n
é dito periódico, com período fundamental T , se
()()
x
nT xn+=
,
para todo . Se isto não ocorrer, o sinal é dito aperiódico. A potência de um sinal periódico é
dada por:
n
P
1
2
0
1
()
N
x
n
Px
N
−
=
=
∑
n
(A.7)
Um sinal
()
x
n
tem duração finita se
() 0xn
=
para
1
nN
<
e , onde e são
números inteiros finitos, com . Se
2
nN>
1
N
2
N
1
NN≤
2 1
N
=
−∞
e/ou
2
N
=
∞
, então o sinal
()
x
n
tem duração
infinita.
A seqüência
()
x
n
é dita causal se
() 0xn
=
para
0n
<
. Caso contrário,
()
x
n
é dito não-
causal.
Finalmente, o sinal
()
x
n
é dito par se
() ()
x
nxn
−
=
e ímpar se
() ()
x
nx−=−n
.
A.1.2 Sinais Aleatórios
Em contraste com os sinais determinísticos, existem muitos outros tipos de sinais que só
podem ter o seu comportamento futuro antecipado em termos probabilísticos. Esses sinais são
chamados aleatórios. Como exemplo, podemos citar a saída de um gerador de ruído e a altura das
ondas do mar em uma tempestade, dentre outros.
Os sinais aleatórios são matematicamente descritos como processos estocásticos e podem ser
analisados utilizando métodos probabilísticos. A teoria das probabilidades e os conceitos de variáveis
aleatórias e processos estocásticos fornecem a base teórica para o estudo dos sinais aleatórios
[27].
A.2 Transformada Z
A transformada bilateral de uma seqüência z
()
x
n
é definida como [10]:
() ()
n
n
X
zxn
∞
z
−
=−∞
=
∑
(A.8)
onde é uma variável complexa.
z
Anexo A: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 96
A transformada de uma seqüência atrasada ou adiantada no tempo tem uma forma
bastante simples, como por exemplo, a transformada de
z
(1xn )
−
é:
(1) 1
(1) () (
nm
nm
)
x
nz xmz zXz
∞∞
−−+−
=−∞ =−∞
−= =
∑∑
(A.9)
Freqüentemente, a transformada de uma seqüência pode ser representada como a razão
entre dois polinômios em :
z
z
()
()
()
Nz
Xz
Dz
=
(A.10)
Os pólos de
()
X
z
são as raízes do denominador, ou seja, são os valores de que irão fazer
e, conseqüentemente,
z
0D =
()
X
z
infinito. Os zeros de
()
X
z
são as raízes do numerador, aqueles
valores de que irão fazer e, conseqüentemente,
z
() 0Nz= ()
X
z
zero.
A região de convergência da transformada é a faixa de valores de na qual a série,
definida na equação (A.8), será convergente. Uma condição suficiente para a convergência é:
z z
()
n
n
xn z
∞
−
=−∞
<
∞
∑
(A.11)
A inversa de permite o cálculo da seqüência z
()
x
n
a partir do polinômio
()
X
z
. A inversa
pode ser calculada através da seguinte integral de contorno:
1
1
() ()
2
n
C
x
nXzz
i
π
−
=
∫v
dz
(A.12)
Dentre as importantes propriedades da transformada , destacamos a relação de Parseval,
que afirma que para qualquer par de seqüências
z
()
x
n
e
()yn
[15]:
**
1
() () () (1/ )
2
n
*1
x
ny n XzY z z dz
i
π
∞
−
=−∞
=
∑
∫
v
(A.13)
onde o símbolo asterisco, assim indicado, representa o complexo conjugado e a integral de contorno é
realizada sobre a interseção das regiões de convergência de
()
X
z
e . Se
**
(1/ )Yz
()
X
z
e
convergem sobre o círculo unitário
()Yz
1z
=
, então podemos escolher
i
ze
Ω
=
, e reescrever a equação
(A.13) como:
*
1
() () ( ) ( )
2
ii
n
*
x
ny n Xe Y e d
π
π
π
∞
ΩΩ
=−∞
−
=
Ω
∑
∫
(A.14)
Anexo A: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 97
Além disso, se para todo , então pode-se escrever que:
() ()yn xn=
n
2
*
1
() () ( )
2
i
n
x
ny n Xe d
π
π
π
∞
Ω
=−∞
−
=
Ω
∑
∫
(A.15)
Da equação acima, podemos concluir que a energia total contida em uma seqüência
()
x
n
,
dada por
2
()
n
x
n
∞
=−∞
∑
, pode ser obtida de maneira equivalente calculando-se a média de
2
()
i
Xe
Ω
em um ciclo.
A.3 Sistemas Discretos
Consideremos agora, um sistema discreto linear, invariante no tempo, com uma resposta
impulsiva . Sendo
()hn ()
x
n
a entrada deste sistema, podemos escrever sua saída como:
()yn
() ()*()yn xn hn
=
(A.16)
Aqui, o asterisco denota uma operação entre os sinais discretos, conhecida como convolução. A
convolução é definida pela seguinte equação:
()*() ()( )
k
x
nhn hkxnk
∞
=−∞
=
−
∑
(A.17)
A equação (A.16) sugere que qualquer sistema linear e invariante no tempo é completamente
caracterizado por sua resposta ao impulso, . Tomando a transformada de ambos os lados de
(A.16), obtém-se:
()hn
z
() () ()Yz XzHz
=
(A.18)
Esta equação mostra que a relação entrada-saída para um sistema linear e invariante no
tempo corresponde à multiplicação da transformada do sinal de entrada pela transformada da
resposta impulsiva do sistema.
z z
A transformada da resposta impulsiva
z
()
H
z
de um sistema linear e invariante no tempo é
conhecida como uma função de transferência. Esta função de transferência, quando avaliada sobre o
círculo unitário,
1z
=
, é a função resposta em freqüência do sistema discreto, denotada por
. Para uma freqüência particular
(
i
He
Ω
)
Ω
, (
i
He )
Ω
é o ganho do sistema (complexo, em geral),
quando sua entrada é um sinal harmônico da forma
in
e
Ω
[15].
Anexo A: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 98
A investigação das respostas dos sistemas discretos, devido a sinais de entrada específicos,
requer o cálculo do sinal de saída, ou sua medição, com a intenção de relacionar as características do
sistema, função impulsiva, e as características dos sinais de entrada. Uma ferramenta fundamental
para essa análise é a função correlação entre dois sinais. Esta função fornece uma medida
quantitativa de similaridade entre os sinais. A seqüência de correlação, ou correlação cruzada, entre
dois sinais
()
x
n
e é definida, para sinais de energia, como:
()yn
(A.19)
*
(, ) () ( )
xy
n
rnm xnym
∞
=−∞
=
∑
ao passo que, para sinais de potência, a correlação é dada por:
*
1
(, ) lim () ( )
21
xy
N
n
rnm xnym
N
∞
→∞
=−∞
=
+
∑
(A.20)
Quando os sinais são iguais,
() ()
x
nyn
=
, temos a função chamada de autocorrelação, que
correlaciona um sinal com ele mesmo. Para sinais de energia e potência, esta função é dada,
respectivamente, por:
(A.21)
*
(, ) () ( )
xx
n
rnm xnxm
∞
=−∞
=
∑
*
1
(, ) lim () ( )
21
xx
N
n
rnm xnxm
N
→∞
=−∞
=
+
∑
∞
(A.22)
A.4 Processos Estocásticos
O sinal de entrada de um filtro adaptativo e seu sinal de saída são, em geral, sinais aleatórios,
não conhecidos perfeitamente
a priori
[15]. Contudo, estes sinais apresentam algumas características
estatísticas que podem ser utilizadas para o ajuste ótimo dos coeficientes dos filtros. Como já
comentado, os sinais aleatórios são modelados como processos estocásticos e denotados, por
exemplo, por
{
}
()
x
n
.
A.4.1 Médias Estatísticas
Um processo estocástico é freqüentemente caracterizado pelas médias estatísticas de seus
elementos. Estas médias são chamadas de médias no
ensemble
e, geralmente, são dependentes no
tempo. Por exemplo, a média do n-ésimo elemento de um processo estocástico
{
}
()
x
n
é definida
como:
Anexo A: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 99
[
]
() ()
x
mn Exn=
(A.23)
onde
[
]
.E
denota o valor esperado da variável aleatória. Deve-se notar que, sendo em geral
dependente de , pode não ser possível obter tomando-se a média temporal de uma simples
realização do processo estocástico
{
()
x
mn
n
()
x
mn
}
()
x
n
, a menos que o processo seja ergódico. Ao invés disso, o
instante deve ser fixado e a média calculada a partir dos n-ésimos elementos de cada realização do
processo estocástico, ou seja, a média no
ensemble
.
n
Tendo definido a média, podemos calcular a variância de um processo estocástico através da
seguinte equação:
{}
[]
{
}
2
var ( ) ( ) ( )
x
xn E xn m n=−
(A.24)
Outras médias estatísticas bastante úteis são as funções de autocorrelação e de correlação
cruzada. A primeira pode ser definida como:
*
(, ) () ( )
xx
rnm Exnxm
⎡
⎤
=
⎣
⎦
(A.25)
Já a correlação cruzada entre dois processos estocásticos
{
}
()
x
n
e
{
}
()yn
é definida por:
*
(, ) () ( )
xy
rnm Exnym
⎡
⎤
=
⎣
⎦
(A.26)
Um processo estocástico
{
}
()
x
n
é dito estacionário no sentido amplo se:
1) Sua média é uma constante, independente de
n
; ()
x
mn
2) Sua variância
{
}
var ( )
x
n
for também uma constante, independente de ;
n
3) Sua autocorrelação depender somente de uma distância
1
lnn
2
=
−
, ou seja,
**
12 1 2
(,)( )() ()() ()()
xx xx xx
rnn rn n rl Exnlxn Exnxnl
⎡
⎤⎡
=−== + = +
⎤
⎣
⎦⎣ ⎦
(A.27)
Além das funções de autocorrelação e correlação cruzada, as funções de autocovariância e
covariância cruzada de um processo estacionário no sentido amplo podem ser definidas,
respectivamente, como:
2
() ()
x
xxx
lrlm
γ
=−
x
*
(A.28)
(A.29)
() ()
y
xy xy x
lrlmm
γ
=−
Anexo A: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 100
A.4.2 Densidade Espectral de Potência
A transformada da autocorrelação de um sinal é dada por:
z
() ()
k
xx xx
n
R
zrn
∞
z
−
=−∞
=
∑
(A.30)
Quando a função, definida na equação acima, é avaliada sobre o círculo unitário,
1z
=
,
temos a transformada discreta de Fourier da seqüência de autocorrelação . O resultado desta
operação é chamado de densidade espectral de potência, uma vez que reflete o conteúdo espectral
do processo estocástico, no domínio da freqüência. Deste modo, temos:
()
xx
rn
() ()
i
xx xx
n
in
R
erne
∞
Ω
−Ω
=−∞
=
∑
(A.31)
A.4.3 - Ergodicidade
Um processo estacionário
{
}
()
x
n
é dito ergódico se suas médias no
ensemble
, ao longo de
todas as realizações, são iguais às suas médias temporais ao longo de uma realização.
Na prática, assumir que um processo estocástico sob estudo é ergódico, em determinadas
situações, é uma alternativa importante e conveniente. Isto porque, para que seja possível a extração
das médias estatísticas de um dado processo, um número muito grande de realizações precisa estar
disponível, o que nem sempre é possível. Geralmente, se tem uma única realização do processo que
se quer estudar.
Existem diferentes graus de ergodicidade:
1) Processos ergódicos na média:
{
}
() ()
x
nExn=
(A.32)
onde indica a média temporal de uma realização.
2) Processos ergódicos em correlação:
{
}
*
() ( ) () ( )
*
x
nxnl Exnxnl
−
=−
(A.33)
3) Processos conjuntamente ergódicos:
{
}
*
()() ()()
*
x
ny n l Exny n l
−
=−
(A.34)
Vale lembrar que a ergodicidade implica em estacionaridade.
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