( PDF ) Ambiente computacional para identificação de sistemas nos domínios do tempo e da freqüência usando bases de funções ortonormais generalizadas

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BRUNO C

ESAR REGINATO

AMBIENTE COMPUTACIONAL PARA IDENTIFICAC¸

DE SISTEMAS NOS DOM

INIOS DO TEMPO E DA

FREQ

ENCIA USANDO BASES DE FUNC¸

OES

ORTONORMAIS GENERALIZADAS

CURITIBA

Setembro, 2008

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BRUNO C

ESAR REGINATO

AMBIENTE COMPUTACIONAL PARA IDENTIFICAC¸

DE SISTEMAS NOS DOM

INIOS DO TEMPO E DA

FREQ

ENCIA USANDO BASES DE FUNC¸

OES

ORTONORMAIS GENERALIZADAS

Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de

P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia de Produ¸c˜ao

e Sistemas da Pontif´ıcia Universidade

Cat´olica do Paran´a como requisito para a

obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Engenharia

de Produ¸c˜ao e Sistemas.

Orientador:

Gustavo Henrique da Costa Oliveira

Pontif

ıcia Universidade Cat

olica do Paran

a - PUCPR

CURITIBA

Setembro, 2008

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Ele contou at´e inﬁnito. 2 vezes.

(autor desconhecido)

Agradecimentos

Onipresen¸ca deﬁne Deus, por permitir que tudo acontecesse sempre da melhor forma,

garantindo vida e sa´ude, tanto minha, quanto das importantes pessoas aqui mencionadas.

Bastante espa¸co seria pouco para agradecer aos meus Pais, Vitorio e Helaine, pelo

amor e grande engajamento na minha educa¸c˜ao e forma¸c˜ao, sempre me acompanhando e

apoiando, mesmo `a distˆancia, em todos os passos de minha vida.

Realmente importante o incentivo e companherismo demonstrados pelos meus Irm˜aos,

F´abio Henrique e Paulo Vitor, em rela¸c˜ao a mim.

Imensamente grato `a minha Namorada, Gabriela, que me acompanha desde antes

de eu decidir pela gradua¸c˜ao em Engenharia Mecatrˆonica, portanto sendo sempre uma

conﬁdente e incentivadora em todas as minhas decis˜oes.

Gustavo ´e o nome dele: o Professor que deu a mim muitas oportunidades desde

2005, ainda na gradua¸c˜ao. Dedicou-se e teve muita paciˆencia em orientar-me durante o

desenvolvimento deste trabalho.

Amigos Emerson Donaisky e Jos´e Meissner, tornaram os anos de gradua¸c˜ao e mestrado

mais divertidos, pois compartilhamos as mesmas lutas, expectativas e conquistas.

Docente Nathan Mendes, que inicialmente foi co-orientador deste trabalho.

Outrossim agrade¸co: A PUCPR, pela bolsa de mestrado concedida `a minha pessoa.

A FINEP e CNPq pelo aux´ılio ﬁnanceiro e suporte para o desenvolvimento deste trabalho.

iii

Sum´ario

Lista de Figuras p. vi

Lista de Tabelas p. viii

Lista de S´ımbolos p. ix

Lista de Abreviaturas p. xii

Resumo p. xiv

Abstract p. xv

1 Introdu¸c˜ao p. 1

1.1 Deﬁni¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3

1.1.1 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3

1.1.2 Ortonormalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4

1.1.3 Bases de Fun¸c˜oes Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4

1.1.4 Fun¸c˜oes Internas e Filtros Passa-Tudo . . . . . . . . . . . . . . p. 6

1.1.5 Modelos em Espa¸co de Estados Ortogonais . . . . . . . . . . . . p. 6

1.2 Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7

1.3 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10

1.3.1 Bases de Fun¸c˜oes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

1.4 Estrutura da Disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

2 Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais p. 15

Sum´ario iv

2.1 Representa¸c˜ao de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.2.1 Fun¸c˜ao Interna com P´olo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.2.2 Fun¸c˜ao Interna com P´olos Complexos . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

2.2.3 Conex˜ao em S´erie de Fun¸c˜oes Internas . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2.2.4 Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais Generalizadas . . . . . . . . . . p. 25

2.3 Representa¸c˜ao de Sistemas MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

2.4 Identiﬁca¸c˜ao no Dom´ınio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

2.5 Identiﬁca¸c˜ao no Dom´ınio da Freq¨uˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

3 Sele¸c˜ao de P´olos p. 31

3.1 M´etodos para Sele¸c˜ao de P´olos em Modelos Lineares com Estrutura OBF p. 32

3.2 Parametriza¸c˜ao dos P´olos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

3.3 Deﬁni¸c˜ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

3.4 Localiza¸c˜ao

Otima Assint´otica dos P´olos . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

4 Softwares e Rotinas Desenvolvidas p. 40

4.1 Prepara¸c˜ao do Pacote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

4.2 IDENTGOBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

4.3 Rotina para C´alculo dos P´olos

Otimos para o Modelo . . . . . . . . . . p. 42

4.4 Otimizador de P´olos em Batelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

4.5 Valida¸c˜ao de Modelos GOBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

5 Exemplos e Aplica¸c˜oes p. 52

5.1 Sistemas El´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

5.1.1 Linha de Transmiss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

5.1.2 Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

5.1.3 Transformador BBC e ZTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

Sum´ario v

5.1.4 VCFP - Voice Coil-Driven Flexible Positioner . . . . . . . . . . p. 58

5.2 Sistemas T´ermicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

5.2.1 FF600 - Inverno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64

5.2.2 FF600 - Ver˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

5.2.3 FF600 - Modelo Uniﬁcado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

5.2.4 C´elula T´ermica Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

5.2.5 Outros Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73

6 Conclus˜ao p. 76

6.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

Referˆencias p. 81

Anexos p. 90

Lista de Figuras

2.1 Estrutura do Modelo Usando Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais . . . . . . p. 19

2.2 Estrutura do Modelo Usando Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais Generalizadas p. 27

2.3 Esquema de Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais em Sistema MIMO . . . . . p. 28

4.1 Interface Gr´aﬁca para Identiﬁca¸c˜ao GOBF . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

4.2 Guia para Identiﬁca¸c˜ao na Freq¨uˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

4.3 Interface Assistente para Aloca¸c˜ao de P´olos . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

5.1 Exemplo 1 - Linha de Transmiss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

5.2 Exemplo 2 - Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

5.3 Exemplo 3 - Transformador BBC (Identiﬁca¸c˜ao) . . . . . . . . . . . . . p. 57

5.4 Exemplo 3 - Transformador BBC (Valida¸c˜ao) . . . . . . . . . . . . . . p. 57

5.5 Exemplo 3 - Transformador ZTR (Identiﬁca¸c˜ao) . . . . . . . . . . . . . p. 58

5.6 Exemplo 3 - Transformador ZTR (Valida¸c˜ao) . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

5.7 VCFP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

5.8 Exemplo 4 - VCFP Tempo (Identiﬁca¸c˜ao) . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

5.9 Exemplo 4 - VCFP Erro Absoluto (Identiﬁca¸c˜ao) . . . . . . . . . . . . p. 60

5.10 Exemplo 4 - VCFP Tempo (Valida¸c˜ao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

5.11 Exemplo 4 - VCFP Freq¨uˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

5.12 Interface do software PowerDomus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62

5.13 Dimens˜oes do Ambiente Utilizado nas Simula¸c˜oes . . . . . . . . . . . . p. 63

5.14 Dados de Entrada para BESTest FF600 Inverno . . . . . . . . . . . . . p. 64

5.15 Sinal de Controle BESTest 600FF Inverno . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

5.16 Identiﬁca¸c˜ao BESTest 600FF Inverno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

Lista de Figuras vii

5.17 Valida¸c˜ao BESTest 600FF Inverno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

5.18 Dados de entrada para BESTest 600FF Ver˜ao . . . . . . . . . . . . . . p. 66

5.19 Sinal de controle BESTest 600FF Ver˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

5.20 Identiﬁca¸c˜ao BESTest 600FF Ver˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

5.21 Valida¸c˜ao BESTest 600FF Ver˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

5.22 BESTest 600FF Inverno com Controle - Modelo Uniﬁcado . . . . . . . p. 69

5.23 BESTest 600FF Inverno sem Controle - Modelo Uniﬁcado . . . . . . . . p. 69

5.24 BESTest 600FF Ver˜ao com Controle - Modelo Uniﬁcado . . . . . . . . p. 70

5.25 BESTest 600FF Ver˜ao sem Controle - Modelo Uniﬁcado . . . . . . . . . p. 70

5.26 Entradas do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71

5.27 Sa´ıdas do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71

5.28 Identiﬁca¸c˜ao do Subsistema Ventila¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72

5.29 Identiﬁca¸c˜ao do Subsistema Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72

5.30 Identiﬁca¸c˜ao do Subsistema Umidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73

5.31 Dados de Valida¸c˜ao para o Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75

6.1 Interface para Valida¸c˜ao de Modelos GOBF . . . . . . . . . . . . . . . p. 78

6.2 Interface para Otimiza¸c˜ao de P´olos em Modelos GOBF . . . . . . . . . p. 79

6.3 Sub-Interface da Otimiza¸c˜ao: Interface de M´ultiplas Simula¸c˜oes . . . . p. 80

viii

Lista de Tabelas

1.1 Polinˆomios utilizados nas estruturas de modelos lineares. . . . . . . . . p. 11

5.1 Resultados para Diferentes Estruturas de Modelos . . . . . . . . . . . . p. 74

Lista de S´ımbolos

(k) - base de fun¸c˜oes ortonormais, p. 4

f(k) - fun¸c˜ao n˜ao-nula, p. 5

- coeﬁcientes da representa¸c˜ao em s´eries de uma fun¸c˜ao ortonormal, p. 5

- p´olo de um sistema qualquer, p. 5

y(k) - sinal de sa´ıda de um sistema, p. 8

u(k) - sinal de entrada de um sistema, p. 8

ν(k) - sinal de perturba¸c˜ao aplicado a um sistema, p. 8

H(q) - fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema qualquer, p. 8

ς(k) - ru´ıdo branco presente na modelagem de um sistema, p. 8

G(q) - fun¸c˜ao de transferˆencia que modela a perturba¸c˜ao de um sistema qualquer, p. 8

µ - m´edia, p. 8

- variˆancia, p. 8

(k) - vetor de dados de um sistema, p. 9

θ - vetor de parˆametros, formado pelos coeﬁcientes de H(q) e G(q), para um modelo PEM,

p. 9

(k) - vetor de dados de um sistema, p. 9

(q) - fun¸c˜ao de transferˆencia de base, p. 13

H(q

−1

) - fun¸c˜ao de transferˆencia estritamente pr´opria no operador atraso q

−1

, p. 16

−1

- operador atraso, p. 16

(k) - conjunto de fun¸c˜oes ortonormais, p. 16

- coeﬁcientes da representa¸c˜ao em s´eries do sinal h(k), p. 17

(k) - sa´ıda da n-´esima fun¸c˜ao da base { φ

(k) }

∞

i=1

para a entrada u(k), p. 17

Lista de S´ımbolos x

n - limite superior do somat´orio para a representa¸c˜ao do sinal y(k), p. 17

˜y(k) - sa´ıda prevista do sistema, p. 17

G(z) - fun¸c˜ao de transferˆencia racional, p. 20

(z) - fun¸c˜ao interna qualquer, p. 20

- primeiro coeﬁciente real para a parametriza¸c˜ao de G

(z), p. 22

- segundo coeﬁciente real para a parametriza¸c˜ao de G

(z), p. 22

(t) e x

(t) - vetores de estados das fun¸c˜oes internas G

(z) e G

(z), respectivamente,

p. 23

(z)G

(z) - conex˜ao dos ﬁltros passa-tudo G

(z) e G

(z), p. 23

(z) - sistema com G

(z) e G

(z) conectados: G

(z)G

(z), p. 24

(z) - realiza¸c˜ao em cascata de n

fun¸c˜oes G(z), p. 25

- n´umero de realiza¸c˜oes em cascata da fun¸c˜ao G(z), p. 25

(k) - i-´esimo elemento do vetor de sinais ν

(k), p. 25

(k) - vetor de sinais, p. 26

(z) - transformada inversa de ν

(k), p. 26

(k) - sa´ıda da (im)-´esima fun¸c˜ao de base Φ

(z) : i = 1, . . . , n

, m = 1, . . . quando a

entrada ´e u(k), p. 26

- coeﬁcientes da representa¸c˜ao utilizando bases ortonormais, p. 26

- n´umero de fun¸c˜oes utilizado para o truncamento da realiza¸c˜ao em cascata das bases

(z), p. 26

- vetor contendo os elementos c

para i = 1, . . . , n

, p. 26

- vetor contendo os elementos l

para i = 1, . . . , n

, p. 26

L(k) - concatena¸c˜ao de l

(k), i = 1, . . . , n

, p. 26

C - concatena¸c˜ao de c

(k), i = 1, . . . , n

, p. 26

M - N´umero de sinais de entrada num sistema MISO ou MIMO, p. 27

Q - N´umero de sinais de sa´ıda num sistema MIMO, p. 27

- n´umero de termos utilizados para truncar a m-´esima s´erie de um sistema MIMO ou

Lista de S´ımbolos xi

MISO, p. 28

- vari´aveis utilizadas na parametriza¸c˜ao de p´olos, p. 36

ρ - taxa de convergˆencia do erro entre o modelo e o sistema, p. 38

xii

Lista de Abreviaturas

OBF - Orthonormal Basis Functions - Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais, p. xiv

FIR - Finite Impulse Response - Estrutura Resposta ao Impulso, p. xiv

ARX - Auto-Regressive with eXogenous Input - Esrutura Auto Regressivo com Entrada

Ex´ogena, p. xiv

ARMAX - Auto-Regressive Moving Average with eXogenous Input - Estrutura Auto Re-

gressivo M´edia M´ovel com Entrada Ex´ogena, p. xiv

GOBF - Generalized Orthonormal Basis Functions - Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais Ge-

neralizadas, p. xiv

SISO - Single-Input / Single-Output -

Unica Entrada,

Unica Sa´ıda, p. xiv

MIMO - Multiple-Input / Multiple-Output - M´ultiplas Entradas, M´ultiplas Sa´ıdas, p. xiv

IEEE - Institute of Electrical and Electronics Engineers, p. 1

PID - Controlador Proporcional-Integral-Derivativo, p. 2

CD - Compact Disc, p. 3

HVAC - Heating, Ventilation and Air Conditioning - Aquecimento, Ventila¸c˜ao e Condi-

cionamento de Ar, p. 3

PEM - Prediction Error Methods - M´etodos Baseados no Erro de Previs˜ao, p. 7

ARMA - Auto-Regressive Moving Average - Estrutura Auto Regressivo M´edia M´ovel,

p. 10

ARARX - Auto-Regressive with eXogenous Input - Estrutura Auto Regressivo Auto Re-

gressivo com Entrada Ex´ogena, p. 10

ARARMAX - Auto-Regressive Moving Average with eXogenous Input - Estrutura Auto

Regressivo Auto Regressivo M´edia M´ovel com Entrada Ex´ogena, p. 10

OE - Estrutura Output Error, p. 10

BJ - Estrutura Box-Jenkins, p. 10

Lista de Abreviaturas xiii

AR - Auto-Regressive - Auto-Regressivo, p. 11

VCFP - Voice Coil-Driven Flexible Positioner, p. 14

MISO - Multiple-Input-Single-Output - M´ultiplas Entradas -

Unica Sa´ıda, p. 27

MSE - Mean Squared Error - Erro M´edio Quadr´atico, p. 34

FPE - Final Prediction Error - Erro de Previs˜ao Final, p. 34

AIC - Akaike Information Criterion, p. 34

- Coeﬁciente de Correla¸c˜ao M´ultipla, p. 34

SQP - Sequential Quadratic Programming - Programa¸c˜ao Quadr´atica Sequencial, p. 46

PSO - Particle Swarm Optimization - Otimiza¸c˜ao por Nuvem de Part´ıculas, p. 46

BESTest - Building Energy Simulation Test, p. 63

xiv

Resumo

A identiﬁca¸c˜ao de sistemas ´e o procedimento para a representa¸c˜ao de modelos mate-

m´aticos a partir de dados experimentais. Os m´etodos de identiﬁca¸c˜ao mais usuais visam

determinar a estrutura, realiza¸c˜ao e os parˆametros do mo delo a ﬁm de, usualmente, mi-

nimizar o erro entre sua sa´ıda e a sa´ıda real do sistema. Diferentes tipos de estruturas

de modelos dinˆamicos podem ser utilizadas neste contexto. Dentre elas, destaca-se a uti-

liza¸c˜ao de Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais (Orthonormal Basis Functions) (OBF). Este

tipo de modelo, que teve seu ponto de partida com estudos que datam da d´ecada de 20,

teve grande impulso mais recentemente, com diversos resultados te´oricos e pr´aticos sendo

publicados na literatura especializada ap´os a d´ecada de 90. De fato, modelos formados por

bases de fun¸c˜oes ortonormais podem ser vistos como uma extens˜ao de modelos tipo Finite

Impulse Response (FIR) e possuem vantagens para a implementa¸c˜ao do procedimento de

identiﬁca¸c˜ao de sistemas. A principal delas ´e a preserva¸c˜ao de caracter´ısticas de modelos

tipo FIR, por´em com realiza¸c˜oes de modelos de sistemas dinˆamicos complexos requerendo

menos parˆametros, o que diminui a variˆancia da estima¸c˜ao de parˆametros. Uma das carac-

ter´ısticas comuns aos modelos FIR e OBF ´e a necessidade de sele¸c˜ao a priori do regressor

apropriado para a constru¸c˜ao do modelo. Esta fase ´e necess´aria e nem sempre f´acil de ser

implementada em modelos com estrutura Auto-Regressive with eXogenous Input (ARX)

ou Auto-Regressive Moving Average with eXogenous Input (ARMAX). Os modelos for-

mados por bases de fun¸c˜oes ortonormais racionais na representa¸c˜ao de sistemas dinˆamicos

se caracterizam tamb´em pela incorpora¸c˜ao, nas fun¸c˜oes da base, da(s) dinˆamica(s) domi-

nante(s) do sistema. Exemplos s˜ao as fun¸c˜oes de Laguerre e de Kautz, caracterizadas por

uma ´unica dinˆamica cada. Estas bases de fun¸c˜oes s˜ao completas no espa¸co de fun¸c˜oes

quadraticamente som´aveis permitindo, portanto, a representa¸c˜ao de qualquer sistema lin-

ear est´avel. Entretanto, as propriedades do modelo podem ser melhoradas atrav´es da

incorpora¸c˜ao de mais dinˆamicas na base. Um exemplo s˜ao as Bases de Fun¸c˜oes Ortonor-

mais Generalizadas (GOBF). Ao permitir a incorpora¸c˜ao de v´arias dinˆamicas `a base, a

parametriza¸c˜ao das fun¸c˜oes torna-se complexa. Este trabalho tem como objetivo apre-

sentar m´etodos de identiﬁca¸c˜ao de sistemas para modelos com estrutura formada pelas

GOBF, nos dom´ınios do tempo (para sistemas Single-Input / Single-Output (SISO) e

Multiple-Input / Multiple-Output (MIMO)) e da freq¨uˆencia (para sistemas SISO), estu-

dar formas de sele¸c˜ao dos parˆametros das fun¸c˜oes de base. As t´ecnicas s˜ao aplicadas

a sistemas dinˆamicos reais. Adicionalmente, uma ferramenta computacional (em ambi-

ente Matlab

) para utiliza¸c˜ao desta estrutura na identiﬁca¸c˜ao de sistemas ´e apresentada.

Palavras-Chave: Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas, Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais, Sistemas

Dinˆamicos, Bases de Laguerre, Bases de Kautz, GOBF, Software.

Abstract

System Identiﬁcation is a technique to obtain mathematical models of dynamic system

by using experimental data. A usual strategy related with system identiﬁcation methods

is based on obtaining the model structure, realization and parameters is such a way that

the error between the output system signal and the output model signal is minimized.

Diﬀerent structures of dynamic systems can be used in this context. One of them is

the Orthonormal Basis Functions (OBF) in the model structure. Such ideas started in

the middle of the twenties and have been receiving much attention recently, mainly after

the nineties, when many theoretical and practical results have been published on sp e-

cialized literature. In fact, models that uses orthonormal basis functions can be seen as

an extension of the Finite Impulse Response (FIR) models and presents advantages on

system identiﬁcation context. An important one is that OBF structure heritages good

FIR models properties but requires less parameter for the same approximation quality, so

decreasing the variation due to the parameters’ estimation. A common property of FIR

and OBF models that there is no need of an a priori selection of the model regressor. This

selection is necessary and not trivial to perform ARX or ARMAX structure. Some well

known basis function used for OBF Models are the Laguerre, Kautz and the one known

as Generalized Orthornormal Basis Functions. This work presents methods for system

identiﬁcation using GOBF, on time (for MISO/MIMO systems) and frequency (for SISO

systems) domains, and analyses the basis’ parameters selection. The techniques are ap-

plied to actual dynamic systems. Furthermore, a computation tool (based on Matlab



platform) is proposed for making easy the use of this structure on system identiﬁcation.

Keywords: System Identiﬁcation, Orthonormal Basis Functions, Dynamic Systems, La-

guerre Functions, Kautz Functions, GOBF, Software.

1 Introdu¸c˜ao

Identiﬁcar sistemas dinˆamicos signiﬁca calcular, aproximar ou obter modelo(s) matem´a-

tico(s) que representem determinado(s) tipo(s) de comportamento(s) do sistema que est´a

sendo estudado, numa determinada faixa ou regi˜ao de opera¸c˜ao (Aguirre, 2007). Derivada

do latim, a palavra modelo signiﬁca originalmente molde ou padr˜ao. Um modelo pode

ser visto como uma representa¸c˜ao idealizada de uma situa¸c˜ao real.

Os modelos fazem parte do cotidiano humano t˜ao normalmente quanto o ato de

falar ou andar. Qualquer ser humano possui certas habilidades que, uma vez aprendi-

das pelo c´erebro, p odem ser repetidas em situa¸c˜oes ou circunstˆancias similares. Isto ´e

poss´ıvel porque o ser humano tem um modelo mental n´ıtido daquilo que deve fazer, e

pode reproduzi-lo em ocasi˜oes similares.

O fato de criar e exercitar modelos mentais ´e tarefa antiga ao ser humano. Infelizmente

ainda n˜ao se tem conhecimento suﬁciente para decodiﬁcar os modelos mentais, que tanto

tempo levam para serem formados. De fato, o ser humano, como provedor de tecnologia,

precisa perpetuar seus conhecimentos, torn´a-los acess´ıveis a outras pessoas ou mesmo ser

capaz de reproduzi-los no tempo e modo que achar conveniente. Assim a necessidade

de criar modelos acaba sendo imprescind´ıvel e uma forma comum para a constru¸c˜ao de

modelos ´e a utiliza¸c˜ao de rela¸c˜oes e/ou representa¸c˜oes matem´aticas. Assemelhando-se aos

modelos mentais, que s˜ao formados por observa¸c˜ao e experiˆencia, os modelos matem´aticos

tamb´em podem ser constru´ıdos a partir de dados observados que descrevem o comporta-

mento do sistema em estudo.

Um modelo matem´atico pode ser deﬁnido como uma equa¸c˜ao (ou um conjunto de

equa¸c˜oes) que expressa as caracter´ısticas de um sistema f´ısico ou de um processo. Se-

gundo o Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), ”o modelo matem´atico

de um sistema ´e deﬁnido como um conjunto de equa¸c˜oes usado para representar um

sistema f´ısico”. Ressalta-se que nenhum modelo matem´atico de sistema f´ısico real ´e e-

xato, no entanto, pode-se melhorar a precis˜ao do modelo de um sistema aumentando a

1 Introdu¸c˜ao 2

complexidade de suas equa¸c˜oes, por´em, diﬁcilmente obt´em-se exatid˜ao.

A modelagem ou identiﬁca¸c˜ao ´e importante quando pretende-se projetar um sistema

novo, explicar o comportamento de um sistema j´a existente ou quando o teste experi-

mental ´e caro ou perigoso (Aguirre, 2007). Desta forma, a modelagem ´e um artif´ıcio

seguro, vi´avel e, comparativamente a ensaios destrutivos, de baixo custo. Ao ﬁnal do

procedimento, obt´em-se uma equa¸c˜ao (ou conjunto de equa¸c˜oes) que pode ser utilizada

para responder quest˜oes sobre o sistema sem a necessidade da realiza¸c˜ao de experimentos

pr´aticos al´em daqueles necess´arios para a obten¸c˜ao dos sinais de entrada(s) e sa´ıda(s)

do sistema. Atrav´es de um modelo, pode-se inferir como o sistema se comporta sob

determinadas condi¸c˜oes operacionais.

A modelagem ou identiﬁca¸c˜ao de sistemas ´e comumente utilizada em (Ljung e Glad,

1994):

i) Previs˜ao/Diagn´ostico: o modelo ´e aplicado para prever os estados, ou comportamento

dinˆamico, futuros de um sistema.

ii) Supervis˜ao: o modelo ´e utilizado em simula¸c˜oes onde avaliam-se as caracter´ısticas

operacionais do sistema, para ﬁns de projeto, treinamento ou tomada de decis˜ao.

iii) Otimiza¸c˜ao: o modelo ´e empregado em setores como escalonamento, manuten¸c˜ao e

economia de sistemas industriais para, por exemplo, maximizar produ¸c˜ao, minimizar

custos, etc.

iv) An´alise e projeto de sistemas de controle: o modelo ´e utilizado para sintonia de con-

troladores Proporcional-Integral-Derivativo (PID), s´ıntese de algoritmos de controle

adaptativo, robusto, preditivo, estima¸c˜ao de estados, etc.

Pode-se citar que as necessidades de controlar processos est˜ao vinculadas, principal-

mente, `a qualidade, economia e seguran¸ca. Quando aplicada ao controle de processos,

uma boa modelagem permite: i) Manter os processos industriais dentro de seus pontos

operacionais mais eﬁcientes; ii) Prevenir condi¸c˜oes inst´aveis no processo que poderiam

pˆor em perigo pessoas e/ou equipamentos; iii) Mostrar dados sobre o processo aos opera-

dores da planta, para que eles possam manter o mesmo em ritmo seguro e eﬁciente. De

fato, para ﬁns de controle de processos, usualmente n˜ao se pretende encontrar um modelo

matem´atico exato ou complexo, mas um mo delo adequado para a aplica¸c˜ao.

Diferentes setores industriais e/ou classes de sistemas utilizam modelagem e iden-

tiﬁca¸c˜ao de sistemas. Alguns exemplos s˜ao: manipuladores rob´oticos (Johansson et

1.1 Deﬁni¸c˜oes 3

al., 2000; Wernholt e Gunnarsson, 2004), colunas de destila¸c˜ao (El-Fandi et al., 1998),

trocadores de calor (Weyer et al., 2000; Duran e White, 1994), servomecanismos (Garcia,

1997), processos qu´ımicos em geral (Thompson e Kramer, 1994; Funkquist, 1997), leitores

de Compact-Disc (CD) (Callafon et al., 1994), sistemas de potˆencia (Lorito, 1998; Nunes,

2006), energia (Alessandri e Parisini, 1997), ediﬁca¸c˜oes (Freire, 2006), Heating, Ventila-

tion and Air Conditioning (HVAC) (Brus, 2005), biom´edicos (Westwick e Kearney, 2003;

Ludeman, 1993), bioqu´ımicos (Junichiro e Kenji, 2006; Bulsari e Saxen, 1991; Karnaukhov

e Karnaukhova, 2003), econˆomicos (Aguirre e Aguirre, 1998), ambientais (Bechmann et

al., 1999; Jorgensen, 1999), ve´ıculos a´ereos n˜ao-tripulados (Silveira, 2006), dentre outros

(Cubillos e Lima, 1997; Cubillos et al., 1996; Bohlin, 1994; Ohsaki et al., 2002).

A seguir, na se¸c˜ao 1.1, as deﬁni¸c˜oes relacionadas com este documento s˜ao descritas

e, na se¸c˜ao 1.2, alguns fundamentos sobre identiﬁca¸c˜ao de sistemas s˜ao apresentados. Na

se¸c˜ao 1.3 uma motiva¸c˜ao para a utiliza¸c˜ao de modelos com bases de fun¸c˜oes ortonormais ´e

apresentada e, na se¸c˜ao 1.4, as contribui¸c˜oes e estrutura deste documento s˜ao relacionadas.

1.1 Deﬁni¸c˜oes

1.1.1 Produto Interno e Norma

O produto interno entre duas fun¸c˜oes f(k) e g(k) ´e dado por:

f(k), g(k ) :=

∞



k=−∞

f(k)g

∗

(k), (1.1)

onde g

∗

(·) ´e o complexo conjugado de g( ·)

O produto interno entre duas fun¸c˜oes de transferˆencia F (z) e G(z) ´e deﬁnido por:

F (z), G(z) :=

2π



−π

F (e

∗

)dw, (1.2)

F (z), G(z) :=

j2π



F (z)G

∗

(1/z

∗

)

, (1.3)

onde G

∗

(·) ´e o complexo conjugado de G(·) e T ´e o c´ırculo unit´ario, isto ´e, {z, |z| = 1}.

A norma de uma fun¸c˜ao f(k) ´e dada por:

1.1 Deﬁni¸c˜oes 4

f(k) :=



f(k), f(k), (1.4)

e a norma de uma fun¸c˜ao de transferˆencia F (z) ´e deﬁnida por:

F (z) :=



F (z), F (z). (1.5)

1.1.2 Ortonormalidade

Ortonormalidade entre vetores de um determinado espa¸co vetorial consiste na pro-

priedade matem´atica que faz com que dois vetores sejam ortogonais entre si e normais.

Para que sejam ortogonais, seu produto interno deve ser zero e, para serem normais, de-

vem ter comprimento unit´ario (a norma de cada vetor ´e igual a um). Se um conjunto de

vetores formar uma base neste espa¸co vetorial e tais vetores forem ortonormais entre si,

tem-se uma base ortonormal. Portanto, uma base de fun¸c˜oes ortonormais ´e constitu´ıda de

um conjunto de fun¸c˜oes que s˜ao mutuamente ortogonais e normais. Uma base ortogonal

satisfaz somente a primeira condi¸c˜ao, no entanto, ´e poss´ıvel multiplicar escalares nesta

base para torn´a-la ortonormal.

E desta forma que usualmente as bases ortonormais s˜ao

constru´ıdas.

Duas fun¸c˜oes f(k) e g(k) s˜ao ortonormais em um intervalo (−∞, ∞) se forem orto-

gonais entre si e normais, isto ´e, se seu produto interno satisfaz `as seguintes condi¸c˜oes:

f(k), g(k) = 0, f(k) = g(k) = 1. (1.6)

Duas fun¸c˜oes de transferˆencias F (z) e G(z) s˜ao ortornomais se e somente se as

seguintes condi¸c˜oes forem mantidas:

F (z), G(z) = 0, F (z) = G(z) = 1. (1.7)

1.1.3 Bases de Fun¸c˜oes Completas

Seja {φ

(k)}

∞

i=1

um conjunto de fun¸c˜oes ortonormais. Este conjunto de fun¸c˜oes forma

uma base completa em um determinado espa¸co de fun¸c˜oes se qualquer fun¸c˜ao f(k) deste

espa¸co puder ser escrita como uma combina¸c˜ao linear das fun¸c˜oes da base, isto ´e:

1.1 Deﬁni¸c˜oes 5

f(k) =

∞



i=1

(k), (1.8)

onde

∞



i=1

f(k)φ

(k). (1.9)

Pode-se tamb´em escrever:

lim

n→∞

f(k) −



i=1

(k) = 0. (1.10)

Uma base ´e completa se nenhuma fun¸c˜ao n˜ao-nula f(k) puder ser encontrada, tal que

(Eykhoﬀ, 1974):

∞



k=0

f(k)φ

(k) = 0, ∀ i. (1.11)

De forma an´aloga, tem-se que uma base de fun¸c˜oes Φ

(z) ´e completa se qualquer

F (z), estritamente pr´opria, anal´ıtica em |z| > 1 e cont´ınua em |z| ≥ 1, puder ser escrita

conforme segue:

H(z) =

∞



k=1

(z), (1.12)

onde c

s˜ao os coeﬁcientes da expans˜ao em s´eries da fun¸c˜ao F (z).

No caso de bases de fun¸c˜oes racionais, isto ´e, Φ

(z) ´e racional, para obter aproxima¸c˜oes

que convirjam para o sistema real `a medida que o n´umero de fun¸c˜oes tende ao inﬁnito,

a condi¸c˜ao necess´aria e suﬁciente para a completude de tais bases est´a na equa¸c˜ao 1.13,

onde ξ

, i = 1, ..., n s˜ao os p´olos de Φ

(z) (Heuberger et al., 2005).

∞



i=1

(1 − |ξ

|) = ∞. (1.13)

1.1 Deﬁni¸c˜oes 6

1.1.4 Fun¸c˜oes Internas e Filtros Passa-Tudo

Seja H(z) uma fun¸c˜ao de transferˆencia, racional, assintoticamente est´avel, cujas pro-

priedades em termos de resposta em freq¨uˆencia s˜ao do tipo passa-tudo, completamente

determinada por seus p´olos, e

H(z)H(1/z)

∗

= 1. (1.14)

Esta fun¸c˜ao H(z) ´e denominada fun¸c˜ao interna.

1.1.5 Modelos em Espa¸co de Estados Ortogonais

Seja um sistema tipo passa-tudo, cuja realiza¸c˜ao m´ınima em espa¸co de estados ´e dada

por:



x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k).

(1.15)

A resposta ao impulso deste sistema ´e:

h(k) =



D, k = 0

k−1

B, k ≥ 0,

(1.16)

e, sendo o sistema passa-tudo, sabe-se que (Heuberger et al., 2005):

∞



k=1

h(k)h(k + j) =



1, j = 0

0, j ≥ 0.

(1.17)

Este resultado pode ser expresso como segue:

+ BB

= I

+ CC

= 1

+ AC

= 0,

(1.18)

que ´e equivalente a:

1.2 Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas 7



A B

C D



A B

C D



= I. (1.19)

A matriz da equa¸c˜ao 1.19 ´e denominada uma matriz ortogonal. Um sistema H(z),

cujas matrizes (A, B, C, D) da realiza¸c˜ao em espa¸co de estados satisfazem `a equa¸c˜ao 1.19,

´e tamb´em denominado ortogonal.

1.2 Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas

Os procedimentos envolvidos na elabora¸c˜ao de modelos matem´aticos s˜ao usualmente

classiﬁcados em (Soderstr¨om e Stoica, 1989; den Bosch e der Klauw, 1994; Ljung e Glad,

1994; Aguirre, 2007; Ljung, 1999; Coelho e Coelho, 2004; Arruda e Bastos, 2007):

i) Identiﬁca¸c˜ao Caixa-Branca: tamb´em conhecida como an´alise f´ısico-matem´atica, baseia-

se nas leis da f´ısica que caracterizam um sistema particular, como as leis de con-

serva¸c˜ao de massa, energia e momento (Woods e Lawrence, 1997);

ii) Identiﬁca¸c˜ao Caixa-Preta: tamb´em conhecida como an´alise experimental, baseia-se

nas medidas ou observa¸c˜oes do sistema, normalmente s˜ao coletados dados de entrada

e sa´ıda e, a partir destes, aplica-se um m´etodo de identiﬁca¸c˜ao para estimar o modelo

matem´atico que rege o sistema.

iii) Identiﬁca¸c˜ao Caixa-Cinza: mescla propriedades f´ısicas e an´alise experimental.

(Hellendoorn e Driankov, 1998; Abonyi et al., 2000; Lindskog, 1996)

Um estudo de caso comparando dois destes procedimentos pode ser encontrando em

(Lindskog e Sjoberg, 1995).

Os m´etodos mais conhecidos de identiﬁca¸c˜ao caixa-preta visam minimizar algum

´ındice de desempenho vinculado ao erro entre a sa´ıda do sistema e a sa´ıda do sistema pre-

vista pelo modelo. Tais m´etodos s˜ao conhecidos como Prediction Error Methods (PEM).

(Soderstr¨om e Stoica, 1989; den Bosch e der Klauw, 1994; Ljung e Glad, 1994; Aguirre,

2007; Ljung, 1999; Coelho e Coelho, 2004; Ljung, 2002).

A seguir, descrevem-se os princ´ıpios b´asicos da previs˜ao da sa´ıda em modelos de

sistemas lineares, visando apresentar a base dos m´etodos de identiﬁca¸c˜ao ditos PEM.

importante destacar que a identiﬁca¸c˜ao de sistemas n˜ao lineares ´e abordada por diversos

1.2 Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas 8

autores, por exemplo, (Campello, 2002; Campello e Oliveira, 2007; Giannakis e Serpedin,

2001; Petrick e Wigdorowitz, 1997; Billings, 1980), dentre muitos outros. Entretanto, a

identiﬁca¸c˜ao de sistemas n˜ao lineares n˜ao ´e abordada neste documento.

Para um sistema linear, deﬁne-se que o sinal de sa´ıda do sistema y(k) ´e modelado em

fun¸c˜ao do sinal de entrada u(k) e de um sinal de perturba¸c˜ao ν(k), conforme:

y(k) = H(q)u(k) + ν(k). (1.20)

Junto `a parcela relativa `a entrada do sistema na equa¸c˜ao previamente descrita, est´a a

fun¸c˜ao de transferˆencia, no operador avan¸co/atraso q, H(q). Admitindo que o espectro de

freq¨uˆencias da perturba¸c˜ao ν(k), presente no sistema, pode ser descrito pelo espectro de

freq¨uˆencias de um ru´ıdo branco

ς(k), ponderado por uma fun¸c˜ao de transferˆencia G(q),

tem-se:

y(k) = H(q)u(k) + G(q)ς(k), (1.21)

que ´e o mesmo que:

y(k) = H(q)u(k) + ς(k) + [G(q) − 1]ς(k). (1.22)

Isolando o ru´ıdo na equa¸c˜ao 1.21 e assumindo que G(q) possui inversa est´avel, obt´em-

se:

ς(k) = G

−1

(q)y(k) −G

−1

(q)H(q)u(k). (1.23)

Atrav´es da substitui¸c˜ao da equa¸c˜ao 1.23 em 1.22, e ap´os expans˜oes e simpliﬁca¸c˜oes,

chega-se a:

y(k) = G

−1

(q)H(q)u(k) + [1 − G

−1

(q)]y(k) + ς(k). (1.24)

Portanto, a melhor previs˜ao de y(k), considerando a informa¸c˜ao at´e k −1, ´e dada por

ˆy(k|k −1), onde:

Ru´ıdo branco ´e um sinal aleat´orio inteiramente descrito pelos momentos estat´ısticos de primeira e

segunda ordem, isto ´e, m´edia e variˆancia. Neste caso, assume-se m´edia µ igual a zero e variˆancia dada

por σ

(den Bosch e der Klauw, 1994).

1.2 Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas 9

y(k|k − 1) = ˆy(k|k − 1) + ς(k), (1.25)

ˆy(k|k −1) = G

−1

(q)H(q)u(k) + [1 − G

−1

(q)]y(k ). (1.26)

A equa¸c˜ao 1.26 pode ser reescrita como mostrado na sequˆencia, onde ϕ

(k) ´e o vetor

de dados (regressor com os sinais passados de u(k) e y(k)) e θ ´e o vetor de parˆametros

formados pelos coeﬁcientes de H(q) e G(q), onde

ˆy(k|k −1) = ϕ

(k)θ. (1.27)

Tal parametriza¸c˜ao permite a aplica¸c˜ao do m´etodo dos m´ınimos quadrados (Gauss,

1809) para a obten¸c˜ao dos coeﬁcientes que melhor representam o modelo.

O m´etodo dos m´ınimos quadrados surgiu em 1809, quando Gauss publicou um ar-

tigo (Gauss, 1809) demonstrando que a melhor maneira de determinar um parˆametro

desconhecido de uma equa¸c˜ao de condi¸c˜oes ´e minimizando a soma dos quadrados dos

res´ıduos (erros). Tal formula¸c˜ao foi feita no ﬁnal do s´eculo XVIII para previs˜ao de tra-

jet´oria de planetas e cometas a partir de observa¸c˜oes realizadas. Gauss estabeleceu que os

parˆametros desconhecidos de um modelo matem´atico deveriam ser selecionados de modo

que ”o valor mais prov´avel das grandezas desconhecidas ´e a que minimiza a soma dos

quadrados da diferen¸ca entre os valores atualmente observados e os valores calculados

multiplicados por n´umeros que medem o grau de precis˜ao, onde quanto mais precisa a

medida, maior a sua pondera¸c˜ao”.

Em outras palavras, o objetivo ´e encontrar θ que minimize o erro quadr´atico de

previs˜ao do modelo em rela¸c˜ao aos dados dispon´ıveis, isto ´e, deve-se estimar os parˆametros

θ a partir do vetor de dados ϕ

(k) coletados a ﬁm de minimizar o seguinte crit´erio de

custo (fun¸c˜ao objetivo):

V (ϕ, θ) =

N−1



k=0

(y(k) − ˆy(k|k − 1))

, (1.28)

1.3 Motiva¸c˜ao 10

V (ϕ, θ) =

N−1



k=0

(y(k) −ϕ

(k)θ)

. (1.29)

1.3 Motiva¸c˜ao

Uma forma de representar as fun¸c˜oes G(q) e H(q) (ver equa¸c˜ao 1.21) ´e atrav´es de

fun¸c˜oes polinomiais racionais, sendo que os coeﬁcientes dos polinˆomios s˜ao os parˆametros

do modelo conforme representa¸c˜ao a seguir.

A(q)y(t) =

B(q)

F (q)

u(t) +

C(q)

D(q)

ς(t). (1.30)

Os casos mais comuns, decorrentes da equa¸c˜ao 1.30, s˜ao (Ljung, 1999):

Finite Impulse Response (FIR);

Auto-Regressive with eXogenous Input (ARX);

Auto-Regressive Moving Average with eXogenous Input (ARMAX);

Auto-Regressive Moving Average (ARMA);

Auto-Regressive with eXogenous Input (ARARX);

Auto-Regressive Moving Average with eXogenous Input (ARARMAX);

Output Error (OE);

Box-Jenkins (BJ).

Estes s˜ao apresentados na Tabela 1.1 (Ljung, 1999). Os polinˆomios desta tabela est˜ao

no operador q, conforme a express˜ao

X(q) = X

+ X

−1

+ X

−2

+ . . . X

−nx

No caso da identiﬁca¸c˜ao param´etrica, o objetivo ´e encontrar os parˆametros de um

modelo, descritos atrav´es do vetor θ, que minimizam o erro de previs˜ao do modelo usando

um crit´erio tipo m´ınimos quadrados, por exemplo, a equa¸c˜ao 1.29. Estruturas do tipo

ARX podem ser utilizadas neste contexto e os resultados obtidos s˜ao freq¨uentemente

satisfat´orios.

1.3 Motiva¸c˜ao 11

Tabela 1.1: Polinˆomios utilizados nas estruturas de modelos lineares.

Polinˆomios Usados Nome do Modelo

B(q) FIR

A(q); B(q) ARX

A(q); B(q); C(q) ARMAX

A(q); C(q) ARMA

A(q); B(q); D(q) ARARX

A(q); B(q); C(q); D(q) ARARMAX

B(q); F (q) OE

B(q); F (q); C(q); D(q) BJ

Entretanto, alguns problemas podem surgir ao utilizar este tipo de estrutura. Um de-

les ´e que os parˆametros θ estimados ﬁcam correlacionados na presen¸ca de ru´ıdos ν(k) que

n˜ao podem ser modelados por uma estrutura Auto-Regressiva (AR) com os mesmos p´olos

da fun¸c˜ao transferˆencia do sistema. Devido a sua caracter´ıstica auto-regressiva, a estru-

tura ARX ´e tamb´em sens´ıvel `a escolha da ordem dos polinˆomios. Neste caso a recurs˜ao

de erros devido a uma m´a sele¸c˜ao da ordem do modelo pode comprometer a qualidade de

previs˜ao da sa´ıda, principalmente ao utilizar previs˜ao livre. Na verdade, a qualidade da

estima¸c˜ao de parˆametros pode ser aumentada quando utilizam-se ordens elevadas, mas

problemas num´ericos podem ocorrer em decorrˆencia disto, tais como cancelamentos de

p´olos e zeros. Por outro lado, a sele¸c˜ao de uma ordem mais baixa que a do sistema real

leva a uma polariza¸c˜ao dos parˆametros estimados. A fun¸c˜ao de custo que calcula o erro

de polariza¸c˜ao do modelo estimado pode ser derivada e ´e encontrada, por exemplo, em

(Heuberger et al., 2005).

Para contornar alguns destes problemas, podem-se utilizar estruturas mais complexas,

como ARMAX ou OE. Nestes casos, o modelo do ru´ıdo de medida ´e melhorado atrav´es

da inclus˜ao de um terceiro polinˆomio (o polinˆomio C(q)) ou deixa de estar vinculado aos

mesmos p´olos do modelo (o polinˆomio A(q)), respectivamente.

Os modelos com estrutura OE tˆem parˆametros da fun¸c˜ao H(q) independentes da repre-

senta¸c˜ao do espectro de freq¨uˆencias do ru´ıdo do sistema, isto ´e, G(q). N˜ao h´a polariza¸c˜ao

devido ao ru´ıdo, pois a entrada e ru´ıdo s˜ao n˜ao correlacionados. Existe uma melhora

na estima¸c˜ao param´etrica quando h´a uma sele¸c˜ao inadequada da ordem do modelo, pois

a fun¸c˜ao de custo do erro de polariza¸c˜ao n˜ao possui pondera¸c˜ao em altas freq¨uˆencias.

Uma limita¸c˜ao da estima¸c˜ao param´etrica de modelos com estrutura OE ´e que a solu¸c˜ao

1.3 Motiva¸c˜ao 12

via m´ınimos quadrados n˜ao ´e anal´ıtica e depende de m´etodos num´ericos de otimiza¸c˜ao

(Bazaraa et al., 2006). Estes m´etodos devem ser bem aplicados e iniciados, assim como ´e

necess´aria a utiliza¸c˜ao de bons m´etodos para valida¸c˜ao, a ﬁm de n˜ao recair em solu¸c˜oes

de m´ınimo local.

Um caso onde n˜ao ´e necess´aria a utiliza¸c˜ao de m´etodos num´ericos de otimiza¸c˜ao na es-

tima¸c˜ao de parˆametros de modelos OE ´e quando os parˆametros do denominador da fun¸c˜ao

de transferˆencia (p´olos) s˜ao assumidos conhecidos. Nestes casos, somente os parˆametros

do numerador devem ser calculados e o modelo ´e linear nos parˆametros estimados. Este

caso pode ser deﬁnido como fun¸c˜ao de transferˆencia com denominador ﬁxo. Uma subca-

tegoria de modelos com denominador ﬁxo bem conhecida e de f´acil obten¸c˜ao admite que

os p´olos do modelo encontram-se na origem do c´ırculo unit´ario discreto. S˜ao os modelos

FIR. Este tipo de modelo possui duas caracter´ısticas principais (Ljung, 1999): i) ´e uma

regress˜ao linear (caso particular do modelo ARX) e ii) possui as vantagens da estrutura

OE.

No entanto, modelos com estrutura FIR requerem elevado n ´umero de parˆametros para

representar um sistema, principalmente quando do per´ıodo de amostragem ´e pequeno

comparado `a sua dinˆamica, visto que ´e necess´ario esperar a convergˆencia da resposta

ao impulso. Al´em disso, sabe-se que a variˆancia dos parˆametros estimados do modelo ´e

proporcional ao n´umero de parˆametros, portanto ´e importante a busca de modelos mais

compactos para a representa¸c˜ao de sistemas dinˆamicos.

Uma forma de diminuir a quantidade de parˆametros mantendo a linearidade do modelo

em rela¸c˜ao aos parˆametros estimados para o caso OE ´e utilizar fun¸c˜oes de transferˆencia

com denominador ﬁxo com p´olos fora da origem e pr´oximos `a dinˆamica real do sistema.

A fun¸c˜ao de transferˆencia com denominador ﬁxo pode ser escrita, conforme segue:

H(z) =

B(z)

A(z)

+ ··· +

nb−1

A(z)

. (1.31)

1.3.1 Bases de Fun¸c˜oes Racionais

Do ponto de vista de bases de fun¸c˜oes racionais (bases com nb fun¸c˜oes), a equa¸c˜ao

1.31 pode ser escrita como segue:

H(q) =



i=1

(q), (1.32)

1.3 Motiva¸c˜ao 13

onde

(q) =

i−1

A(q)

, i = 1, ..., nb.

Ressalta-se que a fun¸c˜ao de transferˆencia de base, F

(q), tem resposta inﬁnita ao

impulso portanto n˜ao h´a diﬁculdades em descrever um sistema com longa resposta ao

impulso (mem´oria).

Infelizmente, na maioria dos processos n˜ao se sabe ao certo sobre a exata localiza¸c˜ao

dos p´olos do sistema ou mesmo suas constantes de tempo, ou seja, n˜ao h´a total conhe-

cimento de informa¸c˜oes a priori, portanto faz-se necess´ario obter modelos mais ﬂex´ıveis,

que levam em conta a incerteza da aloca¸c˜ao de p´olos.

Ainda vale ressaltar que fun¸c˜oes de bases com denominador ﬁxo j´a n˜ao s˜ao mais

ortogonais (exceto quando A(q) = q

, como exemplo, o caso FIR). Isso implica que a

modelagem pode ser numericamente m´a-condicionada. Isto deve-se ao fato de que o sinal

de entrada transformado ´e pr´e-ﬁltrado por um ﬁltro passa-baixa, portanto, que excita

menos que a entrada do sistema propriamente dita, por isso a importˆancia de uma sele¸c˜ao

adequeda da base de fun¸c˜oes (Ninness, 1998).

O ponto crucial quando se utilizam bases de fun¸c˜oes com denominador ﬁxo (portanto,

com p´olos ﬁxos) ´e como escolher a localiza¸c˜ao destes p´olos. Em princ´ıpio, deve-se escolhˆe-

los o mais pr´oximo poss´ıvel dos p´olos do sistema real.

No contexto de bases ortonormais, pode-se dizer que a proposta FIR cont´em todos

os p´olos ﬁxos na origem do c´ırculo unit´ario discreto, a base de Laguerre (Oliveira et

al., 1998; Sbarbaro, 1997) prop˜oe um p´olo real repetido nb vezes na base, em Kautz

(Kautz, 1954; Wahlberg, 1994) tem-se a estrutura que permite a utiliza¸c˜ao de um par de

p´olo complexo conjugado (sendo que o n´umero de bases deve ser m´ultiplo de dois, devido

ao par de p´olos). E, por ﬁm, a estrutura de Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais Generalizadas

(Heuberger et al., 1995; den Hof et al., 1995), onde pode-se incorporar um conjunto de

p´olos que podem ser reais ou complexos conjugados. Tais p´olos determinam o subespa¸co

onde seria poss´ıvel encontrar a melhor estima¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia. As bases

de fun¸c˜oes s˜ao apenas ferramentas para descrever o subespa¸co, n˜ao alterando a estrutura

b´asica do mesmo.

1.4 Estrutura da Disserta¸c˜ao 14

1.4 Estrutura da Disserta¸c˜ao

A presente disserta¸c˜ao de mestrado trata do estudo das Bases de Fun¸c˜oes Ortonor-

mais, tanto no dom´ınio do tempo quanto no da freq¨uˆencia. Descreve seus fundamentos

matem´aticos e chega ao problema de sele¸c˜ao p´olos para a base. Em virtude disso, apre-

senta um hist´orico sobre revis˜ao da sele¸c˜ao de p´olos, inclusive ressaltando alguns m´etodos

que prop˜oem algoritmos baseados em inteligˆencia artiﬁcial ou mesmo algoritmos h´ıbridos.

Visando facilitar a utiliza¸c˜ao por outras pessoas, um software para auxiliar o processo

de identiﬁca¸c˜ao foi desenvolvido e sua documenta¸c˜ao ´e apresentada para que sirva como

guia tanto para usu´arios quanto para poss´ıveis novos desenvolvimentos sobre a plataforma

j´a concebida.

Estudos de caso em v´arias ´areas, no dom´ınio do temp o e da freq¨uˆencia, experimentais e

acadˆemicos, s˜ao abordados usando a teoria apresentada, rotinas e m´etodos desenvolvidos,

evidenciando sua viabilidade e validade.

Esta disserta¸c˜ao de mestrado est´a organizada da seguinte forma:

Cap´ıtulo 2: Apresentam-se as bases de fun¸c˜oes ortonormais generalizadas, seus con-

ceitos e deﬁni¸c˜oes para sistemas SISO e MIMO. O problema de identiﬁca¸c˜ao nos dom´ınios

do tempo e da freq¨uˆencia s˜ao deﬁnidos.

Cap´ıtulo 3: O problema da sele¸c˜ao de p´olos ´e tratado focando a id´eia da otimalidade

devido ao truncamento das bases. Al´em de uma revis˜ao bibliogr´aﬁca sobre a sele¸c˜ao de

p´olos, apresenta-se uma forma de parametriz´a-los para facilitar sua sele¸c˜ao.

Cap´ıtulo 4: Apresenta-se a interface gr´aﬁca computacional j´a desenvolvida e discorre-

se sobre as rotinas ﬁnalizadas que auxiliam o usu´ario na identiﬁca¸c˜ao de sistemas usando

bases de fun¸c˜oes ortonormais.

Cap´ıtulo 5: Estudos de caso sobre aplica¸c˜oes de identiﬁca¸c˜ao GOBF s˜ao apresenta-

dos, tanto no dom´ınio do tempo quanto no da freq¨uˆencia, de transformadores, linhas de

transmiss˜ao, Voice Coil-Driven Flexible Positioner (VCFP) e sistemas t´ermicos.

Cap´ıtulo 6: A conclus˜ao ´e apresentada e propostas para trabalhos futuros tamb´em

s˜ao discutidas.

2 Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais

Conforme descrito no Capitulo 1, a estrutura de modelos formada por bases de fun¸c˜oes

ortonormais apresenta vantagens no contexto de identiﬁca¸c˜ao de sistemas. Somados a es-

tas vantagens, pode-se citar a redu¸c˜ao da polariza¸c˜ao dos parˆametros devido a dinˆamicas

n˜ao modeladas no modelo nominal, a possibilidade de alterara¸c˜ao on-line da complexidade

do modelo com um m´ınimo de perturba¸c˜ao nos parˆametros, a obten¸c˜ao de melhor previs˜ao

a horizonte longo com o modelo devido a estrutura OE (pois evita-se a realimenta¸c˜ao dos

erros de previs˜ao), a n˜ao necessidade do conhecimento do n´umero de termos passados rele-

vantes dos sinais de entrada/sa´ıda do sistema (em compara¸c˜ao com a sele¸c˜ao de estrutura

em modelos ARMAX), a robustez a estimativas pouco precisas do atraso de transporte

e a incorpora¸c˜ao de conhecimento a priori acerca dos p´olos, diminuindo o n´umero de

parˆametros a serem estimados.

O potencial de aplica¸c˜ao das bases de fun¸c˜oes ortonormais est´a presente em diversas

´areas da engenharia, que incluem circuitos, processamento de sinais, telecomunica¸c˜oes

e teorias de controle (Campello et al., 2007; Oliveira et al., 2007; Oliveira et al., 2005;

Wahlberg, 1994; Oliveira e Rocha, 2005; Oliveira et al., 1998; Sabatini, 2000; Heuberger et

al., 2005). Muitos problemas de modelagem de sistemas nestas ´areas s˜ao beneﬁciados pela

eﬁciente capacidade de representa¸c˜ao desta estrutura de modelo. As aplica¸c˜oes das OBF

ﬁguram em diferentes problemas tais como a modelagem de transformadores (Reginato

e Oliveira, 2007a), tanques pressurizados (Fischer e Medvedev, 1998), sistemas t´ermicos

(aquecimento e umidiﬁca¸c˜ao) (Bouzrara e Messaoud, 2002), manipuladores rob´oticos com

elos ﬂex´ıveis (Ziaei e Wang, 2004), estruturas treli¸cadas (Nalbantoglu et al., 2002) e

processos qu´ımicos (tais como produ¸c˜ao de papel) (Elnaggar, 1997), dentre outros.

Este cap´ıtulo trata da identiﬁca¸c˜ao de sistemas usando base de fun¸c˜oes ortonormais,

abordando inicialmente, na se¸c˜ao 2.1, a representa¸c˜ao de sistemas lineares e chegando, na

se¸c˜ao 2.2, `as deﬁni¸c˜oes para bases formadas por fun¸c˜oes internas. Tais fun¸c˜oes internas

s˜ao classiﬁcadas segundo seu tip o de parametriza¸c˜ao, ou seja, seus tipos de p´olos. Para

tanto, estudam-se fun¸c˜oes internas com p´olo real e com p´olos complexos. A partir destas

2.1 Representa¸c˜ao de Sistemas Lineares 16

fun¸c˜oes com uma dinˆamica, o estudo das conex˜oes entre fun¸c˜oes internas ´e realizado,

dando vez, por ﬁm, `as bases de fun¸c˜oes ortonormais generalizadas. Por conseguinte, na

se¸c˜ao 2.3, explicita-se a representa¸c˜ao de tais bases para sistemas MIMO. Finalmente, nas

se¸c˜oes 2.4 e 2.5, a estima¸c˜ao de parˆametros dos modelos ´e descrita, no dom´ınio do tempo

e no da freq¨uˆencia, respectivamente.

2.1 Representa¸c˜ao de Sistemas Lineares

Um sistema causal, linear e est´avel pode ser representado por

y(k) = H(q

−1

)u(k), (2.1)

e tamb´em pelo seguinte somat´orio de convolu¸c˜ao

y(k) =

∞



i=0

h(k − i)u(i). (2.2)

Nestas equa¸c˜oes, u(k) e y(k) s˜ao, respectivamente, os sinais de entrada e sa´ıda do

sistema e h(k) ´e a resposta ao impulso do sistema. H(q

−1

) ´e uma fun¸c˜ao de transferˆencia

racional, estritamente pr´opria, no operador atraso q

−1

, isto ´e:

H(q

−1

) =

B(q

−1

)

A(q

−1

)

. (2.3)

A fun¸c˜ao H(q

−1

) tamb´em pode ser deﬁnida pelos coeﬁcientes h

da equa¸c˜ao 2.4, que

s˜ao equivalentes aos coeﬁcientes de h(k), isto ´e, h

= h(i). ou

H(q

−1

) = h

−1

+ h

−2

+ h

−3

+ . . . . (2.4)

Caso h(k) possua energia ﬁnita, isto ´e, se

∞



k=1

(k) < ∞, (2.5)

ent˜ao h(k) pode ser desenvolvido em termos de um conjunto de fun¸c˜oes ortonormais

(k)= 1, 2, . . . (Oliveira, 1997). Tal conjunto ´e denominado base e cada fun¸c˜ao de base

´e tamb´em uma seq¨uˆencia discreta no temp o. Desenvolvendo h(k) em termos da base,

2.1 Representa¸c˜ao de Sistemas Lineares 17

tem-se a equa¸c˜ao 2.6, onde c

s˜ao os coeﬁcientes da representa¸c˜ao em s´eries do sinal h(k),

tal que

h(k) =

∞



i=1

(k). (2.6)

Substituindo a equa¸c˜ao 2.6 em 2.2, tem-se:

y(k) =

∞



i=1

∞



j=1

(k − i)u(i), (2.7)

y(k) =

∞



j=1

∞



i=1

(k − i)u(i). (2.8)

Na sequˆencia, deﬁne-se l

(k) como sendo a convolu¸c˜ao entre a n-´esima fun¸c˜ao da base

{ φ

(k) }

∞

i=1

para a entrada u(k), isto ´e (Oliveira, 1997):

(k) =

∞



i=1

(k − i)u(i), (2.9)

(k) = Φ

−1

)u(k), (2.10)

onde Φ

−1

) ´e a representa¸c˜ao de φ

(k) na forma de uma fun¸c˜ao racional no operador

atraso q

−1

. Portanto, obt´em-se:

y(k) =

∞



i=1

(k). (2.11)

Como, na pr´atica, n˜ao ´e poss´ıvel realizar este somat´orio at´e inﬁnito, ele ´e truncado

em n termos, obtendo-se a sa´ıda prevista do sistema ˜y(k), como apresentado a seguir.

˜y(k) =



i=1

(k). (2.12)

Portanto, o erro de aproxima¸c˜ao entre o sistema e o modelo com n termos ´e deﬁnido

por:

2.1 Representa¸c˜ao de Sistemas Lineares 18

(k) = y(k) − ˜y(k). (2.13)

Os co eﬁcientes c

da representa¸c˜ao em s´eries do sinal h(k) podem ser obtidos conforme

os passos a seguir:

1. Multiplicando-se a equa¸c˜ao 2.6 por φ

(k):

(k)h(k) =

∞



i=1

(k)φ

(k). (2.14)

2. Fazendo o somat´orio em k do resultado:

∞



k=0

(k)h(k) =

∞



k=0

∞



i=1

(k)φ

(k), (2.15)

∞



k=0

(k)h(k) =

∞



i=1

∞



k=0

(k)φ

(k). (2.16)

3. Uma vez que φ

(k) e φ

(k) s˜ao fun¸c˜oes ortonormais no intervalo [0, ∞[, seu produto

interno ´e zero para i = m (conforme eq. 1.7), logo obt´em-se:

∞



k=0

(k)h(k) = c

, (2.17)

∞



k=0

(k)h(k). (2.18)

Um modelo com estrutura formada por bases de fun¸c˜oes ortonormais pode ser repre-

sentado em blocos atrav´es da Figura 2.1.

Os exemplos usuais de fun¸c˜oes ortonormais racionais na vari´avel complexa z (da

Transformada Z) s˜ao apresentados a seguir (Makila e Partington, 1999; Oliveira et al.,

1996; Oliveira et al., 1998; Kautz, 1954; Morvan et al., 2000; Rosa et al., 2008).

O primeiro exemplo s˜ao as fun¸c˜oes de Laguerre, que utilizam como parˆametro apenas

1 p´olo real e s˜ao dadas por:

2.1 Representa¸c˜ao de Sistemas Lineares 19

Figura 2.1: Estrutura do Modelo Usando Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais

(z) =



1 − ξ

z − ξ



1 − ξz

z − ξ



m−1

, m = 1, . . . , (2.19)

onde ξ ´e um p´olo real. A base de fun¸c˜oes de Laguerre ´e adequada para a modelagem

de processos dinˆamicos com caracter´ısticas sobreamortecidas. As fun¸c˜oes de Kautz s˜ao

deﬁnidas atrav´es de um par de p´olos complexos conjugados e s˜ao dadas por:

(z) =

√

1 − c

z(z − b)

+ b(c − 1) − c



−cz

+ b(c − 1)z + 1

+ b(c − 1)z − c



m−1

, (2.20)

2m−1

(z) =



(1 − c

)(1 − b

+ b(c − 1)z − c



−cz

+ b(c − 1)z + 1

+ b(c − 1)z − c



m−1

(2.21)

m = 1, . . . ,

onde ξ ´e um p´olo complexo, b =

ξ + ξ

∗

1 + ξξ

∗

e c = −ξξ

∗

. A opera¸c˜ao ξ

∗

representa o

conjugado.

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas 20

As fun¸c˜oes ortonormais racionais deﬁnidas atrav´es de mais de um p´olo, sejam eles

reais ou complexos conjugados, s˜ao as fun¸c˜oes de Takenaka-Malmquist (Takenaka, 1925;

Malmquist, 1925), dadas por:

T M

(z) =



1 − |ξ

z − ξ

m−1



j=1



1 − ξ

∗

z − ξ



, m = 1, . . . , (2.22)

onde ξ

´e um p´olo real ou complexo.

Entretanto, conforme apresentado a seguir, bases de fun¸c˜oes ortonormais racionais

podem ser obtidas atrav´es de fun¸c˜oes denominadas Fun¸c˜oes Internas. As bases de fun¸c˜oes

de Laguerre e de Kautz s˜ao um caso particular das bases formadas por fun¸c˜oes internas.

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas

2.2.1 Fun¸c˜ao Interna com P´olo Real

Uma fun¸c˜ao de transferˆencia racional G(z) ´e chamada de ”interna” se for est´avel

e satisﬁzer a equa¸c˜ao 1.14, sendo assim um ﬁltro passa-tudo. Fun¸c˜oes internas bem

conhecidas e estudadas s˜ao as fun¸c˜oes que formam o modelo FIR, ie, z

−1

Um exemplo de fun¸c˜ao interna G

(z) com p´olo real ξ

, ou seja, ξ

= ξ

∗

, ´e dado pela

equa¸c˜ao:

(z) =

1 − ξ

z − ξ

, −1 < ξ

< 1. (2.23)

Nota-se que:

(z)G

−1

) =



1 − ξ

z − ξ



z − ξ

1 − ξ



= 1. (2.24)

Sendo y(z) = G

(z)u(z), a realiza¸c˜ao em espa¸co de estados de G

(z) ´e desenvolvida a

seguir.

(z − ξ

)y(z) = (1 − ξ

z)u(z), (2.25)

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas 21

y(k) = ξ

y(k − 1) − ξ

u(k) + u(k − 1). (2.26)

Deﬁnindo x



(k) = ξ

y(k − 1) + u(k − 1), obt´em-se:





(k + 1) = ξ

y(k) + u(k)

y(k) = x



(k) − ξ

u(k),

(2.27)





(k + 1) = ξ



(k) + (1 − ξ

)u(k)

y(k) = x



(k) − ξ

u(k).

(2.28)

Deﬁnindo x



(k) =



1 − ξ

x(k), obt´em-se:





1 − ξ

x(k + 1) = ξ



1 − ξ

x(k) + (1 − ξ

)u(k)

y(k) =



1 − ξ

x(k) − ξ

u(k),

(2.29)



x(k + 1) = ξ

x(k) +



1 − ξ

u(k)

y(k) =



1 − ξ

x(k) − ξ

u(k).

(2.30)

Portanto, a representa¸c˜ao ortogonal (veja em 1.1.5) em espa¸co de estados de G

(z),

isto ´e, (A

, B

, C

, D

), ou



x(k + 1) = A

x(k) + B

u(k)

y(k) = C

x(k) + D

u(k),

(2.31)

´e deﬁnida por:









1 − ξ



1 − ξ

−ξ



. (2.32)

Estas fun¸c˜oes s˜ao an´alogas `as Bases de Laguerre.

2.2.2 Fun¸c˜ao Interna com P´olos Complexos

Um exemplo de fun¸c˜ao interna G

(z) com p´olo complexo ´e dado pela equa¸c˜ao:

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas 22

(z) =

1 − ξ

∗

z − ξ

. (2.33)

Conectando-se em cascata duas fun¸c˜oes internas com p´olos complexos conjugados

entre si, conforme a equa¸c˜ao 2.33, tem-se o desenvolvimento a seguir. Seja

(z) =

1 − ξ

∗

z − ξ

(z) =

1 − ξ

z − ξ

∗

portanto, G

(z) ´e:

(z) =



1 − ξ

∗

z − ξ



1 − ξ

z − ξ

∗



(z) =

1 − (ξ

+ ξ

∗

)z + ξ

∗

− (ξ

+ ξ

∗

)z + ξ

∗

Para parametrizar esta representa¸c˜ao utilizando os coeﬁcientes reais b

e d

, deﬁnem-

se:

+ ξ

∗

1 − ξ

∗

, (2.34)

= −ξ

∗

. (2.35)

Neste caso, a seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia, que tamb´em ´e interna, ´e obtida:

(z) =

−d

+ b

− 1)z + 1

+ b

− 1)z − d

, −1 < b

< 1, −1 < d

< 1. (2.36)

Sua representa¸c˜ao em espa¸co de estados, conforme equa¸c˜ao 2.31, ´e dada por:





1 − b



1 − b

−b



, (2.37)

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas 23





1 − b



1 − d

−b



1 − d



, (2.38)





1 − d



, (2.39)

= −d

, (2.40)













1 − b



1 − b

−b



1 − b



1 − d

−b



1 − d



1 − d

−d







. (2.41)

Estas fun¸c˜oes s˜ao an´alogas `as Bases de Kautz.

2.2.3 Conex˜ao em S´erie de Fun¸c˜oes Internas

Quando pretende-se utilizar fun¸c˜oes internas que agrupam mais de uma dinˆamica,

pode-se conect´a-las em s´erie, conforme descrito a seguir.

Teorema 2.1 (Heuberger et al., 2005): Sejam duas fun¸c˜oes internas G

(z) e G

(z)

com vetores de estados x

(t) e x

(t), respectivamente. A representa¸c˜ao em espa¸co de

estados de G

(z) e G

(z) ´e, respectivamente:









A conex˜ao em s´erie G

(z)G

(z) tamb´em ´e uma fun¸c˜ao interna e ortogonal, com o

vetor de estados apresentado na equa¸c˜ao a seguir:

x(t) =



(t)



. (2.42)

A realiza¸c˜ao em espa¸co de estados da conex˜ao em s´erie possui as seguintes matrizes:

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas 24





, (2.43)





, (2.44)

= [D

] , e (2.45)

= D

. (2.46)

Tal resultado pode ser generalizado para conectar v´arios ﬁltros ortogonais passa-tudo.

Prova:

Para provar o teorema, deﬁnem-se os sinais de entrada e sa´ıda de G

(z) e G

(z) como

sendo u

(z), u

(z) e y

(z), y

(z), respectivamente. Combinando-se os estados x

(k), x

(k)

e a sa´ıda da conex˜ao em s´erie y

(k), obt´em-se







(k + 1)

(k)













I 0 0

0 A

0 C













(k)







Reescrevendo esta express˜ao, chega-se a:







(k + 1)

(k)













I 0 0

0 A

0 C













0 B

0 I 0

0 D













(k)













(k + 1)

(k)













0 B













(k)







Por ﬁm, tem-se o sistema G

(z) que ´e o sistema conectado G

(z)G

(z). O sistema

(z) tem representa¸c˜ao em espa¸co de estados conforme descrito pelas equa¸c˜oes 2.43 a

2.46. A representa¸c˜ao previamente apresentada tamb´em ´e ortonormal, pois ´e o produto

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas 25

de duas matrizes ortonormais.

Dessa forma, pode-se conectar em s´erie quantas fun¸c˜oes internas quanto desejado,

apenas calculando recursivamente as matrizes das equa¸c˜oes 2.43 a 2.46.

2.2.4 Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais Generalizadas

As bases de fun¸c˜oes ortonormais generalizadas (GOBF, Generalized Orthonormal Ba-

sis Functions) s˜ao bases de fun¸c˜oes racionais constru´ıdas a partir de fun¸c˜oes internas

e que incorporam a informa¸c˜ao de mais de uma dinˆamica (p´olo). Esta representa¸c˜ao

permite uma aproxima¸c˜ao de um sistema linear com menos parˆametros que o caso das

bases de Laguerre e Kautz, no entanto, aumentando a complexidade para a sele¸c˜ao de

seus parˆametros (p´olos), conforme o Cap´ıtulo 3 abordar´a especiﬁcamente. Al´em disso, as

bases previamente citadas s˜ao casos particulares de GOBF.

Seja G

(z) uma fun¸c˜ao dada pela realiza¸c˜ao em cascata de n

fun¸c˜oes G(z), cada uma

tendo um p´olo diferente (real ou complexo). G

(z) tamb´em ´e uma fun¸c˜ao interna. Estes

p´olos cont´em a informa¸c˜ao a priori sobre as dinˆamicas dominantes do sistema. A

qu´adrupla (A,B,C,D) ´e a representa¸c˜ao em espa¸co de estados de G

(z).

Seja φ

(k) o i-´esimo estado do vetor de estados ν

(k) de G

(z) quando o sinal de

entrada ´e um impulso, isto ´e:

(k + 1) = Aν

(k) + Bδ(k),

(2.47)

sendo δ(k) o impulso unit´ario, e

(k) =







(k)







. (2.48)

Seja V

(z) a Transformada Z de ν

(k), logo:

(z) = (zI − A)

−1

B. (2.49)

Assumindo uma concatena¸c˜ao em s´erie de fun¸c˜oes G

(z), tem-se que uma base de

fun¸c˜oes ortonormais pode ser deﬁnida por φ

(k), i = 1, . . . , n

e m = 1, . . .. Nesta repre-

2.2 Bases Formadas por Fun¸c˜oes Internas 26

senta¸c˜ao, φ

(k) ´e o i-´esimo elemento do vetor de sinais ν

(k) e V

(z) ´e a transformada

inversa de ν

(k), dada por:

(z) = (zI − A)

−1

m−1

(z), m = 1, . . . . (2.50)

Seja Φ

(z) a Transformada Z de φ

(k), para i = 1, . . . , n

e m = 1, . . .. Neste

contexto, deﬁnindo l

(k) como sendo a sa´ıda da (im)-´esima fun¸c˜ao de base Φ

(z) quando

a entrada ´e u(k), tem-se que o modelo com bases de fun¸c˜oes ortonormais ´e dado por:

y(k) =

∞



m=1



i=1

(k), (2.51)

onde c

s˜ao os coeﬁcientes da representa¸c˜ao utilizando bases ortonormais no sistema.

Truncando a realiza¸c˜ao em cascata das bases G

(z) em n

fun¸c˜oes, obt´em-se a equa¸c˜ao

2.52, que ´e representada pela ﬁgura 2.2, onde c

e l

s˜ao vetores contendo os elementos

e l

, respectivamente, para i = 1, . . . , n

˜y(k) =



m=1

(k). (2.52)

Neste caso, o erro de aproxima¸c˜ao do modelo ´e dado pela equa¸c˜ao 2.13, com n = n

Por ﬁm, deﬁnindo-se L(k) e C como sendo, respectivamente, a concatena¸c˜ao de l

(k) e

, i = 1, . . . , n

, a sa´ıda do modelo ´e dada pela equa¸c˜ao 2.53.

˜y(k) = C

L(k). (2.53)

A representa¸c˜ao em espa¸co de estados do modelo GOBF obtido ´e dada pela equa¸c˜ao

2.54 onde o vetor de estados e as matrizes A e B s˜ao obtidas utilizando n

fun¸c˜oes V

(z)

(m = 1, . . . , n

) do modelo, com os p´olos previamente alocados.

L(k + 1) = AL(k) + Bu(k). (2.54)

Para montar esta estrutura de matrizes A e B utilizam-se as fun¸c˜oes internas de

primeira e segunda ordem previamente apresentadas, que s˜ao an´alogas `as bases de La-

guerre e Kautz, respectivamente. Portanto, a estrutura GOBF consiste em agrupar, numa

mesma base, um conjunto de p´olos previamente alocados em qualquer parte do c´ırculo

unit´ario discreto. Assim, p´olos reais e complexos conjugados podem estar presentes na

2.3 Representa¸c˜ao de Sistemas MIMO 27

Figura 2.2: Estrutura do Modelo Usando Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais Generalizadas

mesma base, permitindo considerar v´arios modos do sistema, reduzindo a quantidade de

fun¸c˜oes necess´arias `a representa¸c˜ao de um determinado processo, possibilitando a redu¸c˜ao

da ordem (compacta¸c˜ao) do modelo.

2.3 Representa¸c˜ao de Sistemas MIMO

Para sistemas MIMO, com M sinais de entrada e Q sinais de sa´ıda, pode-se utilizar

a mesma id´eia previamente exposta. Para cada rela¸c˜ao entre uma entrada e uma sa´ıda,

h´a uma base distinta. Tal base tem seus p´olos alocados de acordo com conhecimento a

priori ou otimiza¸c˜ao, conforme ser´a prop osto mais `a frente. Portanto, para o sistema

mencionado, ter-se-´a M ×Q bases, cada uma tamb´em com n

e n

adequados a M-´esima

entrada e Q-´esima sa´ıda em quest˜ao, conforme apresentado na Figura 2.3.

Neste caso, o sistema MIMO pode ser decomposto em Q sistemas Multiple-I nput-

Single-Output (MISO), cada um com as mesmas M entradas. Para cada sistema MISO,

um conjunto diferente de bases de fun¸c˜oes ortonormais pode ser utilizado. A partir destas

2.4 Identiﬁca¸c˜ao no Dom´ınio do Tempo 28

Figura 2.3: Esquema de Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais em Sistema MIMO

deﬁni¸c˜oes, a sa´ıda ˜y(k) de cada modelo MISO, quando a m-´esima s´erie ´e truncada em n

termos, ´e dada pela equa¸c˜ao 2.55, tal que

˜y(k) =



j=1

(k). (2.55)

2.4 Identiﬁca¸c˜ao no Dom´ınio do Tempo

Num conjunto de dados de entrada e sa´ıda no dom´ınio do tempo, a identiﬁca¸c˜ao de

sistemas est´a baseada em encontrar o conjunto de n parˆametros do vetor C que minimiza,

no sentido do crit´erio dos m´ınimos quadrados, o seguinte erro de previs˜ao um passo `a

frente:

(k; C) = y(k) − C

L(k), (2.56)

onde C e L(k) representam, respectivamente, a concatena¸c˜ao de c

e l

(k), j = 1, . . . , n

Em poucas palavras, tem-se a sa´ıda do sistema em quest˜ao (y(k)) e, com base nas

sa´ıdas (V (k)) dos ﬁltros das bases de fun¸c˜oes ortonormais, estimam-se os coeﬁcientes (c)

que minimizam o erro entre a sa´ıda do sistema (y(k)) e a sa´ıda do modelo (˜y(k)).

2.5 Identiﬁca¸c˜ao no Dom´ınio da Freq¨uˆencia 29

Portanto, tem-se que um modelo representado pela regress˜ao linear

˜y(k) = ϕ

(k)θ,

onde

(k) =



(k) l

(k) . . . l

(k)



θ =



. . . c



em que ϕ(k) ´e o vetor de dados e θ ´e o vetor de parˆametros.

O objetivo ´e encontrar θ que minimize o erro quadr´atico de previs˜ao do modelo em

rela¸c˜ao aos dados dispon´ıveis, isto ´e

V (ϕ, θ) =

N−1



k=0

(y(k) −ϕ

(k)θ)

. (2.57)

O problema ´e linear nos parˆametros, sendo o algoritmo de m´ınimos quadrados (Gauss,

1809) utilizado para estimar os coeﬁcientes c

do modelo.

2.5 Identiﬁca¸c˜ao no Dom´ınio da Freq¨uˆencia

A identiﬁca¸c˜ao de sistemas baseada no dom´ınio da freq¨uˆencia se destaca, em rela¸c˜ao

a identiﬁca¸c˜ao no dom´ınio do tempo, por apresentar vantagens, tais como: f´acil redu¸c˜ao

de ru´ıdo, redu¸c˜ao do n´umero de dados e f´acil combina¸c˜ao de dados (Schoukens e Pin-

telon, 1991). Este problema, utilizando bases de fun¸c˜oes ortonormais generalizadas ´e

um assunto menos explorado quando comparado com a identiﬁca¸c˜ao no dom´ınio do

tempo. Entretanto, alguns trabalhos neste sentido pode ser encontrados em (Vries e

den Hof, 1998; Ak¸cay e Heuberger, 2001; Ninness, 1996; Cluett e Wang, 1992; Deschrijver

e Dhaene, 2006).

Seja H(e

) a resposta em freq¨uˆencia de um sistema, que pode ser obtida diretamente

ou estimada por meio da Transformada Discreta de Fourier (Aguirre, 2007), em proce-

dimento tamb´em conhecido como ETFE (Empirical Transfer Function Estimate). W

´e

um conjunto ordenado de N valores de freq¨uˆencias utilizados na descri¸c˜ao de H(·), isto ´e:

2.5 Identiﬁca¸c˜ao no Dom´ınio da Freq¨uˆencia 30

= {w

, . . . , w

}. (2.58)

Um sistema H, cuja resposta em freq¨uˆencia ´e H(e

), pode ser aproximadamente

representado por:

H(e

, θ) = φ

)θ, (2.59)

onde

θ =



··· c



) =



)

··· V

)



Portanto, a identiﬁca¸c˜ao no dom´ınio da freq¨uˆencia est´a baseada em obter θ que mi-

nimize o seguinte crit´erio:

θ = arg min



w∈W

H(e

) − φ

)θ

. (2.60)

Desta forma, a ´unica diferen¸ca na metodologia de identiﬁca¸c˜ao entre o dom´ınio do

tempo e o dom´ınio da freq¨uˆencia ´e a obten¸c˜ao dos coeﬁcientes θ, visto que as bases s˜ao

formadas de forma idˆentica `as do dom´ınio do tempo.

3 Sele¸c˜ao de P´olos

A sele¸c˜ao de p´olos em modelo com estrutura formada por bases de fun¸c˜oes ortonormais

n˜ao ´e, em princ´ıpio, um problema para a aplica¸c˜ao desta metodologia de identiﬁca¸c˜ao de

sistemas, pois, se a base selcionada for completa, qualquer resposta ao impulso est´avel

pode ser aproximada por inﬁnitas fun¸c˜oes da base independente da aloca¸c˜ao dos p´olos.

Na pr´atica, por´em, n˜ao ´e vi´avel tratar bases com inﬁnitas fun¸c˜oes. Portanto, a s´erie

que representa a expans˜ao da resposta ao impulso em fun¸c˜oes ortonormais deve ser trun-

cada e, a partir de ent˜ao, h´a a necessidade de uma sele¸c˜ao de p´olos criteriosa. Isto ´e

devido ao fato de que a convergˆencia da s´erie de fun¸c˜oes ´e fun¸c˜ao destes p´olos e, portanto,

pode se tornar mais r´apida atrav´es de sua sele¸c˜ao adequada.

De fato, para um determinado sistema, o erro decorrente do truncamento da s´erie

depende da sele¸c˜ao das fun¸c˜oes de base utilizadas e de seus parˆametros (isto ´e, os p´olos,

considerando bases de fun¸c˜oes racionais). Se o n´umero de fun¸c˜oes da s´erie (ordem de

truncamento) for grande, a sele¸c˜ao do(s) p´olo(s) n˜ao ´e, em princ´ıpio, crucial. Mas, para

um n´umero pequeno de fun¸c˜oes, tal sele¸c˜ao ´e importante a ﬁm de que a aproxima¸c˜ao do

sistema seja adequada. Portanto, para um dado modelo OBF, h´a um p´olo ou um conjunto

de p´olos que minimiza o erro de aproxima¸c˜ao. A sele¸c˜ao de p´olos passa a ser fator crucial

a partir do momento em que se pretende utilizar uma s´erie com poucas fun¸c˜oes de base.

Normalmente, nestes casos, o(s) p´olo(s) ´e/s˜ao selecionado(s) utilizando-se uma in-

forma¸c˜ao aproximada da dinˆamica do sistema. Por´em, solu¸c˜oes para auxiliar nesta

sele¸c˜ao, sejam elas anal´ıticas ou num´ericas, s˜ao desej´aveis. Este problema, aplicado `a

representa¸c˜ao de sistemas lineares e n˜ao lineares, vem sendo analisado por muitos au-

tores na literatura, veja (Heuberger et al., 2005; Silva, 2000) e referˆencias inclusas. Neste

documento, d´a-se enfase `a sele¸c˜ao de p´olos de modelos GOBF para sistemas lineares.

Neste sentido, o desaﬁo ent˜ao ´e encontrar os p´olos das fun¸c˜oes da base. Portanto,

tem-se um problema onde deseja-se identiﬁcar um sistema assumindo um dado conjunto

de p´olos para a base de fun¸c˜oes e um dado conjunto de fun¸c˜oes na base. Ao ﬁnal, deseja-

3.1 M´etodos para Sele¸c˜ao de P´olos em Modelos Lineares com Estrutura OBF 32

se encontrar o conjunto de p´olos que melhora a convergˆencia da s´erie, portanto tende a

melhor representar o sistema em quest˜ao para o dado n´umero de fun¸c˜oes na base.

Os modelos GOBF possuem uma estrutura mais ﬂex´ıvel de representa¸c˜ao em rela¸c˜ao

aos modelos FIR, Laguerre ou Kautz, uma vez que permitem a incorpora¸c˜ao de diferentes

dinˆamicas na base. Esta representa¸c˜ao foi descrita no Cap´ıtulo 2 deste documento. Tal

ﬂexibilidade permite melhorar a convergˆencia da s´erie, tornando-a mais r´apida e levando

a uma representa¸c˜ao adequada do sistema com um modelo com poucos parˆametros (em

rela¸c˜ao a um modelo Laguerre ou Kautz equivalente). Entretanto, esta estrutura mais

ﬂex´ıvel torna o problema de sele¸c˜ao de p´olos mais complicado.

Na se¸c˜ao 3.1, a seguir, um breve estado da arte sobre a sele¸c˜ao de p´olos ´e apresentado.

Na se¸c˜ao 3.2, uma representa¸c˜ao alternativa para as fun¸c˜oes internas ´e apresentada. Esta

representa¸c˜ao tem por objetivo tornar ﬂex´ıvel a sele¸c˜ao entre p´olos reais e p´olos complexos

em um modelo com estrutura GOBF. Quando o n´umero de dinˆamicas ´e superior a 1, isto

´e, no caso de modelos mais complexos que o caso Laguerre ou Kautz, ´e interessante que a

metodologia de sele¸c˜ao de p´olos n˜ao esteja restrita a uma determinada combina¸c˜ao entre

p´olos reais e p´olos complexos. A se¸c˜ao 3.3 apresenta a deﬁni¸c˜ao do problema para a

aloca¸c˜ao dos p´olos. Na se¸c˜ao 3.4, ´e apresentada uma metodologia para sele¸c˜ao dos p´olos

de um modelo GOBF quando algumas informa¸c˜oes sobre o sistema real a ser modelado

est˜ao dispon´ıveis.

3.1 M´etodos para Sele¸c˜ao de P´olos em Modelos Li-

neares com Estrutura OBF

Desde os primeiros trabalhos descrevendo a estrutura de modelos OBF, a quest˜ao da

sele¸c˜ao de p´olos foi colocada. Este problema pode ser classiﬁcado e abordado de diversas

formas. A seguir, alguns trabalhos referentes a sele¸c˜ao de p´olos presentes na literatura

s˜ao descritos, sem a pretens˜ao desta ser uma revis˜ao deﬁnitiva sobre o problema.

Apesar da resposta ao impulso de um sistema linear ser dominada pelo p´olo de maior

m´odulo (Heuberger et al., 2003), faz-se necess´ario selecionar os p´olos de um modelo OBF,

dessa forma, obtendo p´olos do modelo mais pr´oximos poss´ıveis dos p´olos do sistema.

Tal sele¸c˜ao vem sendo analisada por muitos autores na literatura, veja (Heuberger et

al., 2005; Silva, 2000) e referˆencias inclusas. Como apresentado em (de Hoog, 2001), o

problema de sele¸c˜ao de p´olos foi trabalhado em (Silva, 1995a; Silva, 1995b; Silva, 1996)

quando sabe-se que tais p´olos est˜ao em uma regi˜ao espec´ıﬁca do c´ırculo unit´ario discreto.

3.1 M´etodos para Sele¸c˜ao de P´olos em Modelos Lineares com Estrutura OBF 33

Em (Heuberger, 1991), e posteriormente desenvolvido em (van Donkelaar et al., 1998)

e (van Donkelaar, 2000), foi proposta a obten¸c˜ao de um modelo, num processo interativo,

no qual a cada passo uma nova fun¸c˜ao de base ´e gerada a partir da redu¸c˜ao do modelo

gerado no passo anterior.

Quando h´a um conhecimento a priori da(s) dinˆamica(s) do sistema, basta adicionar

ao modelo alguns p´olos pr´oximos de onde acredita-se que os p´olos do sistema est˜ao

(Wahlberg, 1991; Heuberger et al., 1995). Portanto, quando acredita-se que o sistema tem

um p´olo em z = 0.45, ent˜ao, por exemplo, um modelo com p´olos em z = 0.4, 0.42, 0.48, 0.5

pode ser estruturado (Ninness et al., 1999).

No entanto, nem sempre algum conhecimento a priori do sistema est´a dispon´ıvel,

portanto ﬁzeram-se necess´arios estudos mais criteriosos sobre a sele¸c˜ao de p´olos. Em

(Clowes, 1965), demonstrou-se como selecionar o p´olo de Laguerre para sistemas com

fun¸c˜oes transferˆencia racionais, assumindo-se que n˜ao h´a atraso de transporte no sistema

e que uma express˜ao anal´ıtica da resposta ao impulso do sistema est´a dispon´ıvel.

J´a em (Masnadi-Shirazi e Ahmed, 1991), uma solu¸c˜ao anal´ıtica para determinar o p´olo

´otimo de Laguerre ´e proposta, ainda assim, tal solu¸c˜ao tamb´em restringe-se `a aplica¸c˜ao

de um impulso na entrada do sistema. Com a mesma restri¸c˜ao de sinal de entrada, Fu

(Fu e Dumont, 1993a) discutiu a sele¸c˜ao do p´olo ´otimo de Laguerre, propondo um ´ındice

de minimiza¸c˜ao no qual o peso de cada coeﬁciente da expans˜ao de Laguerre ´e linearmente

ponderado. No entanto, a id´eia da fun¸c˜ao de minimiza¸c˜ao pode ser aplicada a outros

tipos de OBF, tais como Kautz (Morvan et al., 2000) e Generalizadas (Silva, 2005).

Alguns trabalhos, tais como (King e O’Canainn, 2000; Maione e Turchiano, 1985; Fu

e Dumont, 1993b), prop˜oem o uso de busca num´erica unidimensional para encontrar a

localiza¸c˜ao do p´olo ´otimo de Laguerre. Em (Wang e Cluett, 1994), uma solu¸c˜ao para o

p´olo de Laguerre para sistemas em temp o cont´ınuo ´e proposta.

Ainda para sele¸c˜ao do p´olo de Laguerre, apresenta-se em (Malti et al., 1998) a sele¸c˜ao

do(s) p´olo(s) para sistemas MISO (a partir de qualquer sinal de entrada), que ´e feita

atrav´es do m´etodo Newton-Raphson. J´a em (Bouzrara e Messaoud, 2002), onde ex-

clusivamente sistemas t´ermicos foram tratados, a otimiza¸c˜ao do p´olo de Laguerre, para

qualquer sinal de entrada, ´e feita baseada num m´etodo denominado Separable Nonlin-

ear Least-Square Methods onde um crit´erio normalizado utilizando o MSE ´e considerado

como ´ındice de minimiza¸c˜ao. Por ﬁm, em (Sabatini, 2000), um algoritmo h´ıbrido para

sele¸c˜ao do p´olo ´otimo de Laguerre, apenas para sistemas SISO, ´e apresentado. O algo-

ritmo h´ıbrido utiliza o algoritmo evolutivo denominado Algoritmo Gen´etico (AG) para

3.1 M´etodos para Sele¸c˜ao de P´olos em Modelos Lineares com Estrutura OBF 34

ﬁns de explora¸c˜ao, e, por ﬁm, o algoritmo Newton-Raphson como especializa¸c˜ao do re-

sultado obtido pelo AG. Tal trabalho, al´em da proposta inovadora at´e ent˜ao, comparou o

desempenho do algoritmo h´ıbrido proposto e outros dois (algoritmo gen´etico puramente

e outro algoritmo cl´assico de otimiza¸c˜ao), por ﬁm, mostrando que o algoritmo h´ıbrido

mostrou melhor desempenho para os casos estudados.

Para sistemas modelados com p´olos complexos conjugados (Kautz), um m´etodo para

c´alculo dos p´olos ´e apresentado em (Tanguy et al., 2002). O m´etodo apresentado n˜ao

requer que uma ordem inicial para o modelo seja dada, o que at´e ent˜ao ainda n˜ao havia

sido proposto. Em (Morvan et al., 2000) a sele¸c˜ao dos p´olos de Kautz tamb´em ´e discutida.

J´a em (Silva, 2000), um m´eto do para selecionar os p´olos de Laguerre ou Kautz foi proposto

atrav´es da procura de solu¸c˜oes em duas equa¸c˜oes n˜ao lineares, no entanto, n˜ao fazendo

compara¸c˜oes se o m´etodo tem desempenho superior aos que utilizam m´etodos num´ericos.

Conforme a complexidade dos sistemas aumenta, normalmente mais p´olos devem ser

agregados `as bases de fun¸c˜oes ortonormais, portanto a necessidade das GOBF, e, con-

seq¨uentemente, de sua sele¸c˜ao de p´olos. Para tanto, em (Nalbantoglu et al., 2002), um

m´etodo ´e aplicado para a sele¸c˜ao dos p´olos de um sistema GOBF que modela estruturas

ﬂex´ıveis de sistemas SISO, para qualquer sinal de entrada. J´a em (Ziaei e Wang, 2004),

aﬁrma-se que uma estrat´egia de otimiza¸c˜ao global para a sele¸c˜ao de p´olos, ap esar de

computacionalmente custosa, ´e mais apropriada que aquelas baseadas em m´etodos gradi-

ente, portanto utilizando o m´etodo denominado ”Direct”, que inicialmente foi proposto

em (Jones et al., 1993). Adicionalmente compara os resultados do algoritmo aplicado `a

sele¸c˜ao de p´olos de um sistema GOBF SISO, n˜ao restrito `a entrada impulso, aos modelos

PEM (Prediction Error Methods) como ARX e ARMAX, mostrando o melhor desem-

penho do modelo GOBF. E em (R. T´oth e den Hof, 2006) aplica-se o m´etodo Kolmogorov

n-width e agrupamento de dados (clusterization) Fuzzy c-Means (FCM) para a sele¸c˜ao

dos p´olos GOBF de sistemas SISO.

Uma metodologia para sele¸c˜ao dos p´olos ´e atrav´es da escolha de valores que minimizem

o erro de aproxima¸c˜ao do sistema real com o modelo. Alguns crit´erios para medir o erro

de aproxima¸c˜ao s˜ao: Mean Squared Error (MSE), Final Prediction Error (FPE), Akaike

Information Criterion (AIC), Coeﬁciente de Correla¸c˜ao M´ultipla (R

), dentre outros.

Um dos crit´erios de custo mais utilizados durante o desenvolvimento dos trabalhos

foi o MSE. Ressalta-se que qualquer outro ´ındice poderia ser minimizado ou maximizado,

dependendo do caso.

Deﬁnido o crit´erio de custo, sabe-se o espa¸co de busca: o c´ırculo unit´ario discreto.

3.2 Parametriza¸c˜ao dos P´olos 35

Resta a deﬁni¸c˜ao do n´umero de fun¸c˜oes de bases que ser˜ao utilizadas e o n´umero e tipo

de p´olos a serem utilizados em cada base.

Assumindo que, para um problema qualquer, a base de fun¸c˜oes possui 5 p´olos distin-

tos, tem-se a seguinte gama de possiblidades de tipos de p´olos que poderiam ser utilizados:

5 p´olos somente com componentes reais, 3 p´olos reais e um par de p´olos complexos conju-

gados ou 2 pares complexos conjugados e 1 p´olo real. Este tipo de distin¸c˜ao entre os p´olos

´e necess´aria para que se possa montar a base de acordo com as componentes previamente

deﬁnidas.

Analisar todas as combina¸c˜oes poss´ıveis ´e vi´avel para bases com poucos p´olos distintos,

por´em o problema tende a aumentar `a medida que o n´umero de p´olos distintos aumenta.

Visando contornar este tipo de problema, estudou-se uma forma de parametriza¸c˜ao dos

p´olos, proposta em (Heuberger et al., 2005).

3.2 Parametriza¸c˜ao dos P´olos

O problema de sele¸c˜ao de p´olos para fun¸c˜oes com mais de uma dinˆamica, ou mo de-

los GOBF, est´a relacionado com a sele¸c˜ao do n´umero e do tipo de p´olo (p´olo real ou

complexo). Por exemplo, no caso de fun¸c˜oes internas dadas pelas equa¸c˜oes 2.23 e 2.36,

concatenadas de forma a se obter um mo delo com 5 p´olos distintos, tem-se um leque de

op¸c˜oes, como mencionado previamente.

Uma base com n

p´olos distintos implica que n

parˆametros devem ser escolhidos,

na forma de p´olos reais ou componentes real e imagin´aria de p´olos complexos. Outros

problemas associados a esta representa¸c˜ao dos p´olos das bases de fun¸c˜oes s˜ao:

• A parametriza¸c˜ao n˜ao ´e ´unica, visto que qualquer permuta¸c˜ao dos p´olos recair´a no

mesmo modelo.

• No caso de p´olos complexos conjugados, o espa¸co de busca para um parˆametro ﬁca

em fun¸c˜ao de outro previamente selecionado, isto ´e, para que o p´olo ﬁque dentro do

c´ırculo unit´ario discreto, deve-se obedecer ao fato que o m´odulo deve ser inferior a 1.

Desta forma, dependendo do valor da componente real, a imagin´aria ﬁca limitada a

outro espa¸co de busca, e vice-versa.

Para contornar estes problemas, uma parametriza¸c˜ao relacionada ao algoritmo Schur

3.2 Parametriza¸c˜ao dos P´olos 36

aplicado a G

(z), que tamb´em est´a relacionado ao teste de estabilidade Schur-Cohn apli-

cado ao denominador de G

(z), ´e apresentada a seguir (Heuberger et al., 2005).

Para uma fun¸c˜ao G

(z) est´avel e causal, com p´olos reais e/ou complexos conjugados

e de ordem n

, existir˜ao n

parˆametros relacionados com os p´olos de G

(z), independente

se estes p´olos s˜ao complexos ou n˜ao.

Sejam N

(k) e D

(k) iguais a 1. Ent˜ao, uma fun¸c˜ao interna com n

p´olos pode ser

deﬁnida conforme segue:

(z) =

(z)

, (3.1)

sendo



(z)





1 −γ

−γ



k−1

(z)

k−1

(z)



, (3.2)

e γ

pertencente ao intervalo fechado entre −1 e 1.

Exemplo: Sejam duas fun¸c˜oes internas com 1 e 2 p´olos, respectivamente. Usando a

equa¸c˜ao 3.2, obt´em-se:

(z) =

1 − γ

z − γ

, (3.3)

(z) =

1 − γ

(1 − γ

)z − γ

− γ

(1 − γ

)z − γ

. (3.4)

Nota-se que, em 3.4, n˜ao est´a pr´e-deﬁnido se s˜ao dois p´olos reais ou um par complexo

conjugado. Esta especiﬁca¸c˜ao dep ende dos valores de γ

e γ

Desta forma, para uma fun¸c˜ao G

(z) com n

p´olos, existe uma parametriza¸c˜ao similar

`as equa¸c˜oes 3.3 e 3.4, obtida pela recurs˜ao da equa¸c˜ao 3.2. Portanto, existem γ

, k =

1, . . . , n

, parˆametros relacionados com os p´olos da base. A propor¸c˜ao entre p´olos reais e

p´olos complexos ser´a conseq¨uˆencia de um dado conjunto de valores para γ

Esta parametriza¸c˜ao facilita o procedimento de sele¸c˜ao de p´olos das fun¸c˜oes de uma

base com mais de uma dinˆamica. Isto ´e feito da seguinte forma. Deve-se, inicialmente,

deﬁnir a quantidade de dinˆamicas da base (n

) e, na sequˆencia, calcular os valores para γ

3.3 Deﬁni¸c˜ao do Problema 37

que otimizam um determinado crit´erio de sele¸c˜ao dos p´olos. Uma vez calculados, sabe-se a

localiza¸c˜ao (e tipo) dos p´olos da base. Logo, a vantagem ´e a n˜ao necessidade da deﬁni¸c˜ao

a priori dos tipos de p´olos para a base.

Como ser´a visto mais `a frente, apesar de ter-se tal parametriza¸c˜ao, para ﬁns de soft-

ware, o usu´ario pode optar ou n˜ao por utiliz´a-la, ou seja, caso opte por n˜ao utilizar, o

mesmo deve deﬁnir os tipos de p´olos presentes na base em quest˜ao.

3.3 Deﬁni¸c˜ao do Problema

Devido `a propriedade de completude das bases de fun¸c˜oes descritas no Cap´ıtulo 3,

qualquer p´olo ou conjunto de p´olos podem ser selecionados para o modelo, desde que

sejam est´aveis. No entanto, uma escolha adequada pode levar a uma representa¸c˜ao mais

eﬁciente do sistema, no sentido de uma convergˆencia mais r´apida para a s´erie.

Sejam y(k) o sinal de sa´ıda de um sistema linear e ˜y(k) o sinal de sa´ıda do modelo.

Para um dado n´umero n

de fun¸c˜oes de bases, formadas por n

p´olos deﬁnidos por p,

tem-se que a sa´ıda do modelo ´e dada por:

˜y(k; p) = C(p)

L(k; p), (3.5)

onde L(k; p) ´e a sa´ıda da base de fun¸c˜oes formada pelos p´olos p quando a entrada ´e u(k).

C(p) s˜ao os coeﬁcientes do modelo calculados usando uma base formada por fun¸c˜oes

internas com p´olos em p e ˜y(k ; p) ´e a sa´ıda do modelo.

Valores ´otimos para o conjunto de p´olos das bases podem ser deﬁnidos como sendo

aqueles que minimizam uma norma do erro entre a sa´ıda real e a sa´ıda do modelo.

Um exemplo, no dom´ınio do tempo, ´e o crit´erio formado pela norma 2, isto ´e:

J(p) =



k=1

(y(k) − ˜y(k; p))

, (3.6)

J(p) =



k=1



y(k) − C(p)

L(k, p)



, (3.7)

onde K ´e o n´umero de dados dispon´ıveis. No caso de sistemas MISO, com M entradas

3.4 Localiza¸c˜ao

Otima Assint´otica dos P´olos 38

(conforme 2.3), tem-se que diferentes bases de fun¸c˜oes podem ser utilizadas para repre-

sentar a rela¸c˜ao entre cada entrada e sa´ıda do sistema. Nestes casos, p ´e deﬁnido como

sendo a uni˜ao dos p´olos que deﬁnem cada uma destas bases de fun¸c˜oes. O crit´erio 3.7 ´e

ent˜ao dado por:

J(p) =



k=1



y(k) −



j=1

(p)

(k, p)



. (3.8)

Portanto, o problema de determinar os melhores p´olos para uma determinada base ´e

equivalente a:

∗

= argmin J(p)

s.to p ∈ Ω,

(3.9)

onde p

∗

´e a localiza¸c˜ao ´otima do p´olos para um determinado conjunto de entrada(s) e

sa´ıda(s) e Ω ´e o espa¸co dos p´olos est´aveis no plano Z.

Um desenvolvimento an´alogo pode ser realizado para o dom´ınio da freq¨uˆencia.

3.4 Localiza¸c˜ao

Otima Assint´otica dos P´olos

O erro entre o modelo do sistema formado por bases de fun¸c˜oes, com n (n = n

)

fun¸c˜oes, e o sistema real ´e dado pela equa¸c˜ao 2.13, re-escrita a seguir:

(k) = y(k) − ˜y(k), (3.10)

sendo

˜y(k) =



m=1

(k). (3.11)

Assume-se a seguir que, para n suﬁcientemente grande, a seguinte rela¸c˜ao ´e satisfeita

(Silva, 2005):

||ε

n+s

(·)|| ≈ ρ

||ε

(·)||, (3.12)

com 0 ≤ ρ < 1, onde ρ ´e a taxa de convergˆencia exponencial da norma do erro. Quanto

3.4 Localiza¸c˜ao

Otima Assint´otica dos P´olos 39

menor ρ, mais rapidamente o erro de aproxima¸c˜ao converge para zero.

Em (Silva, 2005) ´e mostrado que a taxa de convergˆencia ρ pode ser calculada em

fun¸c˜ao dos p´olos da base e dos p´olos do sistema real. Seja um sistema com n

p´olos em

, j = 1, . . . , n

, aproximado por um modelo com estrutura formada por uma fun¸c˜ao

interna G

, dada pela equa¸c˜ao 3.1, reescrita a seguir:

(z) =

(z)

. (3.13)

Os nb p´olos de G

(z) s˜ao deﬁnidos atrav´es de γ

, i = 1, . . . , nb, conforme a Se¸c˜ao

3.2. Seja γ um vetor contendo os nb valores de γ

. Portanto, a taxa de convergˆencia do

modelo, isto ´e ρ, em fun¸c˜ao de γ, ´e dada por:

ρ(γ) = max



(1/p

)

(1/p

)



. (3.14)

Esta equa¸c˜ao permite derivar uma t´ecnica, aplicada a sistemas SISO, para a aloca¸c˜ao

dos melhores p´olos para um sistema, desde que o n´umero de p´olos alocados seja menor do

que o n´umero de p´olos do sistema nominal e que a ordem do truncamento da s´erie ortonor-

mal tenda a inﬁnito. Em outras palavras, atrav´es da resolu¸c˜ao do seguinte problema de

otimiza¸c˜ao:

min

max



(1/p

)

(1/p

)



, (3.15)

pode-se chegar a valores para os p´olos da base que melhoram a taxa de convergˆencia do

modelo. A solu¸c˜ao do problema 3.15 deve ser realizada numericamente.

Este m´etodo, tal como ´e proposto, necessita do conhecimento dos p´olos nominais do

sistema.

4 Softwares e Rotinas

Desenvolvidas

Visando encapsular os conceitos apresentados ao longo deste documento, um software

em plataforma Matlab

 ´e apresentado neste cap´ıtulo a ﬁm de facilitar a identiﬁca¸c˜ao de

sistemas utilizando modelos com estrutura GOBF.

4.1 Prepara¸c˜ao do Pacote

Para deixar o pacote apto a ser utilizado no Matlab, o usu´ario deve extrair o arquivo

IDENTGOBF, com extens˜ao ZIP numa pasta qualquer do sistema. Supondo que o

caminho completo, depois de extra´ıdo, seja ”D:\MeusSoftwares\IDENTGOBF”, o usu´ario

deve ir at´e o Matlab e digitar a seguinte linha de comando:

addpath(genpath(’D:\MeusSoftwares\IDENTGOBF’))

4.2 IDENTGOBF

Ao entrar na interface principal, que ´e obtida digitando-se identgobf diretamente no

Matlab, o usu´ario deve selecionar um arquivo que cont´em seus dados para identiﬁca¸c˜ao,

seja ele no tempo ou na freq¨uˆencia. A interface principal ´e mostrada na ﬁgura 4.1

Ao selecionar o arquivo, o usu´ario deve especiﬁcar se a identiﬁca¸c˜ao ser´a no dom´ınio

da freq¨uˆencia ou n˜ao. Caso n˜ao especiﬁque, assume-se que a identiﬁca¸c˜ao ´e feita no

dom´ınio do tempo.

Caso a identiﬁca¸c˜ao seja feita no dom´ınio do tempo, o usu´ario deve selecionar a

vari´avel que cont´em os dados de entrada do sistema. A dimens˜ao desta vari´avel ´e N

×E

onde N

´e o n´umero de pontos coletados e E

´e a quantidade de entradas do sistema. A

vari´avel de sa´ıda deve ter dimens˜ao N

×S

, onde S

´e o n ´umero total de sa´ıdas do sistema.

4.2 IDENTGOBF 41

Figura 4.1: Interface Gr´aﬁca para Identiﬁca¸c˜ao GOBF

Como E

e S

n˜ao s˜ao limitados a 1, este software identiﬁca sistemas MIMO.

Caso a identiﬁca¸c˜ao seja feita no dom´ınio da freq¨uˆencia, dispon´ıvel somente para

sistemas SISO, o usu´ario deve assinalar o campo correspondente a essa op¸c˜ao. Em seguida,

caso n˜ao saiba como proceder, deve clicar na op¸c˜ao ”Troubleshooting” e em seguida na

op¸c˜ao ”Click Here”. Ent˜ao um guia para ajudar o usu´ario na especiﬁca¸c˜ao dos dados em

freq¨uˆencia ser´a apresentado, conforme ﬁgura 4.2.

Ap´os a sele¸c˜ao da entrada de dados, o usu´ario deve selecionar os p´olos e a ordem

do sistema. Caso isto esteja em vari´aveis do arquivo previamente selecionado (como as

provenientes do sistema de otimiza¸c˜ao de p´olos autom´atico, que ser´a apresentado pos-

teriormente), a op¸c˜ao ”Variable Input” deve ser selecionada. Caso o usu´ario ainda n˜ao

tenha p´olos nem ordens para o sistema, este deve selecionar a op¸c˜ao ”Manual Input”e

em seguida clicar no bot˜ao ”Start”para que a interface Wizard seja exibida, conforme a

4.3 Rotina para C´alculo dos P´olos

Otimos para o Modelo 42

Figura 4.2: Guia para Identiﬁca¸c˜ao na Freq¨uˆencia

ﬁgura 4.3.

Depois de conﬁgurar os parˆametros de projeto, o usu´ario deve selecionar como quer

analisar os resultados da identiﬁca¸c˜ao. Em tal painel, o usu´ario pode optar por: ver o

resultado gr´aﬁco da identiﬁca¸c˜ao, ver o erro de previs˜ao, obter o c´alculo do MSE e FPE,

salvar diversos parˆametros de projeto e resultados em arquivo e por ﬁm, pode tamb´em

chamar uma fun¸c˜ao feita pelo pr´oprio usu´ario. Ou seja, digita-se no campo apropriado

o nome da fun¸c˜ao e ent˜ao ela ´e chamada a partir da interface. Dentro desta fun¸c˜ao o

usu´ario pode manipular os dados de projeto e resultados como desejar, tal como salvar,

visualizar, deletar, dentre outros. E ao ﬁnal da sua fun¸c˜ao, ela p ode retornar um valor,

de acordo com sua necessidade, que ser´a apresentada no formul´ario principal do software.

4.3 Rotina para C´alculo dos P´olos

Otimos para o

Modelo

Conforme apresentado, nem sempre ´e vi´avel ao usu´ario testar diversos p´olos, princi-

palmente quando trata-se de sistemas MIMO. Para tanto, as teorias desenvolvidas sobre

sele¸c˜ao de p´olos em (Reginato e Oliveira, 2007b; Reginato e Oliveira, 2007a) foram tamb´em

4.3 Rotina para C´alculo dos P´olos

Otimos para o Modelo 43

Figura 4.3: Interface Assistente para Aloca¸c˜ao de P´olos

encapsuladas em rotinas dispon´ıveis ao usu´ario.

A rotina ´e chamada atrav´es de linha de comando, conforme deﬁnido a seguir:

otimiza

polos(entradas,saidas,ordem,polo ro,opcao,[x

])

entradas: matriz de entrada do sistema, com a dimens˜ao N

× E

. Caso seja uma

identiﬁca¸c˜ao no dom´ınio da freq¨uˆencia, a vari´avel aqui presente deve ser do tipo ”frd”.

Para obtˆe-la, o usu´ario pode utilizar a interface principal do software.

saidas: matriz de sa´ıda do sistema, com a dimens˜ao N

×S

. Caso seja uma identiﬁca¸c˜ao

no dom´ınio da freq¨uˆencia, esta vari´avel deve ser passada como [].

ordens: matriz de ordens do modelo GOBF do sistema, com a dimens˜ao E

× S

Para facilitar o entendimento, os parˆametros a seguir foram retirados da ordem de como

s˜ao passados `a fun¸c˜ao.

opcao: Admite apenas 2 valores: 0 ou 1. Caso opcao seja 1, ent˜ao o usu´ario est´a deﬁnindo

4.3 Rotina para C´alculo dos P´olos

Otimos para o Modelo 44

manualmente o tipo dos p´olos. Caso opcao seja 0, pede-se que a rotina encontre os

melhores p´olos, permitindo que sejam de qualquer tipo (Kautz, Laguerre ou GOBF),

conforme visto na se¸c˜ao 3.2.

polo

ro: matriz de ordens OBF do sistema, com a dimens˜ao E

× S

, sempre respeitando

o parˆametro deﬁnido no argumento opcao. polo

ro deve ser m´ultiplo de ordens.

]: parˆametro opcional. Cont´em o valor inicial para os p´olos, sempre respeitando o

parˆametro deﬁnido no argumento opcao. As otimiza¸c˜oes come¸cam com este ponto inicial,

caso deﬁnido pelo usu´ario.

Na sequˆencia, alguns exemplos de utiliza¸c˜ao da rotina otimiza polos s˜ao apresenta-

dos. Nestes exemplos, caso a identiﬁca¸c˜ao seja no dom´ınio do tempo, saidas deve ser

uma matriz N

× S

. Caso o dom´ınio da identiﬁca¸c˜ao seja a freq¨uˆencia, saidas deve ser

[].

Exemplos

1. Sistema SISO. Desejam-se 4 bases, sendo que 1 p´olo real repete-se nela.

otimiza

polos(entradas,saidas,4,1,1,[p

])

2. Sistema SISO. Desejam-se 4 bases, sendo que 2 p´olos reais repetem-se nela.

otimiza

polos(entradas,saidas,4,2,1,[p

])

3. Sistema SISO. Desejam-se 4 bases, com possibilidade de 4 p´olos reais distintos.

otimiza

polos(entradas,saidas,4,4,1,[p

])

4. Sistema SISO. Desejam-se 4 bases, com 1 par de p´olos complexo conjugados. Este

par acaba por estar presente 2 vezes na base.

otimiza

polos(entradas,saidas,4,1i,1,[p

])

5. Sistema SISO. Desejam-se 4 bases, com 2 pares de p´olos complexo conjugados.

Estes pares n˜ao repetem-se na base.

otimiza

polos(entradas,saidas,4,2i,1,[p

])

5. Sistema SISO. Desejam-se 8 bases, com 4 p´olos reais e 2 pares de p´olos complexo

conjugados. Estes pares n˜ao repetem-se na base.

otimiza

polos(entradas,saidas,8,4+2i,1,[p

. . . p

])

6. Sistema SISO. Desejam-se 4 bases, com apenas 1 p´olo. No entanto, quer-se que

4.3 Rotina para C´alculo dos P´olos

Otimos para o Modelo 45

a otimiza¸c˜ao encontre os melhores p´olos. Como quer-se apenas 1 p´olo, este pode apenas

ser real (Laguerre).

otimiza

polos(entradas,saidas,4,1,0)

7. Sistema SISO. Desejam-se 4 bases, com 2 p´olos. No entanto, ´e desej´avel que a

otimiza¸c˜ao encontre os melhores p´olos, podendo ser real (Laguerre) ou imagin´ario (Kautz).

Para este exemplo, caso os p´olos encontrados sejam reais, eles estar˜ao presentes 2 vezes e

caso sejam complexo conjugados, estar˜ao presentes apenas 1 vez.

otimiza

polos(entradas,saidas,4,2,0)

8. Sistema SISO. Desejam-se 6 bases, com 3 p´olos. No entanto, quer-se que a

otimiza¸c˜ao encontre os melhores p´olos, podendo ser real (Laguerre) ou imagin´ario (Kautz).

Para este exemplo, podem-se encontrar 3 p´olos reais distintos (ou iguais), ou ent˜ao 1 p´olo

real juntamente com 1 par de p´olos complexo cojugado. O conjunto de p´olos encontrado

estar´a presente 2 vezes na base.

otimiza

polos(entradas,saidas,6,3,0)

9. Sistema MIMO com 3 entradas e 2 sa´ıdas. Deseja-se:

- S

: Ordem 2 / 1 p´olo real presente 2 vezes na base;

- S

: Ordem 3 / 1 p´olo real e 1 par de p´olos complexo conjugados;

- S

: Ordem 4 / 2 pares de p´olos complexo conjugados;

- S

: Ordem 5 / 5 p´olos reais;

- S

: Ordem 10 / 1 p´olo real e 2 par de p´olos complexo conjugados: este conjunto

est´a presente 2 vezes na base;

- S

: Ordem 7 / 5 p´olos reais e 1 par de p´olos complexo conjugados.

otimiza polos(entradas,saidas,[2 3 4; 5 10 7],[1 1+1i 2i; 5 1+2i 5+1i],1)

10. Sistema MIMO com 3 entradas e 2 sa´ıdas. Deseja-se que os p´olos sejam otimizados

sem que seja deﬁnido o tipo de p´olo, ou seja, para cada rela¸c˜ao entrada × sa´ıda, diferentes

combina¸c˜oes de p´olos podem ser encontradas em fun¸c˜ao da ordem do modelo.

- S

: Ordem 2 / polo

ro: 1 - O algoritmo poder´a encontrar apenas 1 p´olo real, e

este estar´a presente na base por 2 vezes.

- S

: Ordem 3 /polo

ro: 3 - O algoritmo poder´a encontrar 3 p´olos reais ou 1 p´olo

real com 1 par de p´olos complexo conjugados.

4.3 Rotina para C´alculo dos P´olos

Otimos para o Modelo 46

- S

: Ordem 4 / polo ro: 2 - O algoritmo poder´a encontrar 2 p´olos reais (presentes

na base 2 vezes) ou encontrar 1 par de p´olo complexo conjugados (tamb´em repetidos na

base 2 vezes).

- S

: Ordem 5 / polo

ro: 5 - O algoritmo poder´a encontrar 5 p´olos reais, encontrar

1 p´olo real com 2 pares de p´olos complexo conjugados ou encontrar 3 p´olos reais com 1

par de p´olo complexo conjugados.

- S

: Ordem 10 / polo

ro: 5 - O algoritmo poder´a encontrar 5 p´olos reais,

encontrar 1 p´olo real com 2 pares de p´olos complexo conjugados ou encontrar 3 p´olos

reais com 1 par de p´olo complexo conjugados. Para quaisquer p´olos encontrados, eles

estar˜ao presentes na base por 2 vezes.

- S

: Ordem 7 / polo

ro: 7 - O algoritmo poder´a encontrar 7 p´olos reais, encontrar

1 p´olo real com 3 pares de p´olos complexo conjugados, encontrar 3 p´olos reais com 2

pares de p´olo complexo conjugados ou encontrar 5 p´olos reais com 1 par de p´olo complexo

conjugados.

otimiza polos(entradas,saidas,[2 3 4; 5 10 7],[1 3 2; 5 5 7],1)

N˜ao ´e poss´ıvel, para sistemas SISO ou MISO, mesclar o parˆametro opcao com 0 e

1. Portanto tal parˆametro tem dimens˜ao 1 × 1, assim n˜ao acompanhando dimens˜oes de

entradas e sa´ıdas do sistema.

Ap´os executar a linha de comando relativa `a otimiza¸c˜ao a ser feita, o usu´ario ser´a per-

guntado sobre qual tipo de otimiza¸c˜ao quer usar. Ele pode escolher entre 3 op¸c˜oes: apenas

Programa¸c˜ao Quadr´atica Sequencial (SQP) (op¸c˜ao 1), apenas Particle Swarm Optimiza-

tion (PSO) (op¸c˜ao 2) ou algoritmo H

IBRIDO (SQP+PSO) (Reginato e Oliveira, 2007b;

Reginato e Oliveira, 2007a) (op¸c˜ao 3).

Caso o usu´ario queira alterar parˆametros espec´ıﬁcos relativos ao algoritmo PSO ou

ao SQP, tais parˆametros encontram-se internos `as fun¸c˜oes, portanto n˜ao sendo poss´ıvel

sua altera¸c˜ao de forma externa.

Qualquer que seja o crit´erio para a obten¸c˜ao de p´olos, o algoritmo busca sempre

minimizar tal crit´erio. O crit´erio de erro ´e deﬁnido manualmente pelo usu´ario dentro da

fun¸c˜ao calcula

funcao gerenciamento. Tal fun¸c˜ao tamb´em pode ser a mesma fun¸c˜ao

deﬁnida na interface principal do software, no local ”My Custom Function”. Caso o

usu´ario queira uma fun¸c˜ao com outro nome, deve especiﬁcar tal nome na interface e,

quando utilizar a otimiza¸c˜ao, especiﬁcar tal nome dentro dos c´odigos fontes dos arquivos

envolvidos na otimiza¸c˜ao (esta ´ultima a¸c˜ao n˜ao recomend´avel).

4.3 Rotina para C´alculo dos P´olos

Otimos para o Modelo 47

A cada novo melhor valor da fun¸c˜ao custo, o resultado da otimiza¸c˜ao ´e salvo no

diret´orio de trabalho atual do Matlab (´e o diret´orio retornado pelo comando ’cd’). O

nome do arquivo ´e ’melhor.mat’. Caso, ao iniciar uma nova simula¸c˜ao, j´a exista um

arquivo com mesmo nome no mesmo diret´orio, o conte´udo ´e sobrescrito sem que o usu´ario

seja avisado.

O arquivo ”melhor.mat” cont´em as seguintes vari´aveis:

entradas: Matriz entradas deﬁnida pelo usu´ario;

saidas

: Matriz

saidas

deﬁnida pelo usu´ario;

ordem:

E a vari´avel ordem deﬁnida pelo usu´ario;

GLOBAL

tipo polos: Aparece apenas quando opcao ´e igual a 1, ´e a mesma vari´avel

polo

ro deﬁnida pelo usu´ario. Quando a opcao ´e igual a 0, esta vari´avel n˜ao existe e

aparece a vari´avel num

lambdas;

num

lambdas: Aparece apenas quando opcao ´e igual a 0, ´e a mesma vari´avel polo ro

deﬁnida pelo usu´ario. Quando opcao ´e igual a 1, esta vari´avel n˜ao existe e aparece a

vari´avel GLOBAL

tipo polos;

nome

criterio: Nome da fun¸c˜ao de custo deﬁnida pelo usu´ario, proveniente, por

padr˜ao, da fun¸c˜ao calcula

funcao gerenciamento;

criterio

minimizacao: Valor da fun¸c˜ao de custo que o usu´ario deﬁniu na fun¸c˜ao

calcula

funcao gerenciamento. Este ´e o menor valor obtido pela minimiza¸c˜ao;

algoritmo: Nome do algoritmo utilizado para a otimiza¸c˜ao, deﬁnido pelo usu´ario;

polos: P´olos otimizados que d˜ao como resultado o menor valor para a fun¸c˜ao custo

especiﬁcada, cujo valor da fun¸c˜ao custo est´a na vari´avel criterio

minimizacao;

gamas

que dao os polos: Quando a otimiza¸c˜ao ´e realizada com a opcao igual a 0,

s˜ao os valores da equa¸c˜ao 3.2 que d˜ao os p´olos encontrados em polos;

motivo

parada: String que informa qual o crit´erio de parada que ocasionou o t´ermino

do procedimento de otimiza¸c˜ao. Caso nenhum crit´erio de parada seja atingido, marca a

´ultima vez que o arquivo foi salvo. Isto pode ocorrer em situa¸c˜oes inesperadas como o

travamento do computador (ou mesmo do Matlab), queda do fornecimento de energia

el´etrica, etc.

4.4 Otimizador de P´olos em Batelada 48

4.4 Otimizador de P´olos em Batelada

As vezes ´e conveniente enﬁleirar (agendar) otimiza¸c˜oes de p´olos (as mesmas mostradas

na se¸c˜ao anterior). Tal necessidade vem `a tona principalmente quando se quer combinar

diversas ordens ou tipos de p´olos para um sistema qualquer.

Para tanto est´a deﬁnida uma fun¸c˜ao que permite ao usu´ario agendar v´arias otimiza¸c˜oes

de p´olos para um mesmo sistema, de forma que, ao acabar uma otimiza¸c˜ao, uma pr´oxima

otimiza¸c˜ao ´e iniciada, e assim sucessivamente, at´e que todas sejam conclu´ıdas. Tal a¸c˜ao ´e

desej´avel tamb´em para quando o computador que executa as otimiza¸c˜oes estar´a por longo

per´ıodo sem monitora¸c˜ao humana.

A rotina para otimiza¸c˜ao de p´olos em batelada d´a suporte para sistemas SISO e MISO.

Sistemas MIMO n˜ao s˜ao suportados de uma s´o vez, sendo ent˜ao necess´ario que o sistema

MIMO em quest˜ao seja desacoplado em S

sistemas MISO. A rotina identiﬁca sistemas

no dom´ınio do tempo ou da freq¨uˆencia.

Para chamar a fun¸c˜ao deve-se utilizar a seguinte linha de comando:

batelada(entradas,saidas,ordem,polo

ro,opcao)

A fun¸c˜ao rec´em apresentada possui os mesmos parˆametros da fun¸c˜ao de otimiza¸c˜ao

simples. No entanto, o ´unico diferencial ´e a forma de formata¸c˜ao de seus parˆametros.

As vari´aveis entradas e saidas possuem a mesma forma apresentada previamente.

A vari´avel ordem e polo

ro tem dimens˜oes B

× E

, onde B

´e o n´umero total de

identiﬁca¸c˜oes a serem realizadas.

Exemplos:

Para ilustrar de forma simples o mecanismo para um sistema MISO com 3 entradas,

pode-se exempliﬁcar que desejam-se 2 simula¸c˜oes em batelada.

1. Em todas as simula¸c˜oes, deﬁnirem-se-´a as componentes reais e/ou imagin´arias dos

p´olos. Os tipos de p´olos e ordens s˜ao dados por:

Simula¸c˜ao 1:

- S

- Ordem 4 / 2 pares de p´olos complexo conjugados;

- S

- Ordem 8 / 4 p´olos reais e 2 pares de p´olos complexo conjugados;

- S

- Ordem 3 / 3 p´olos reais.

4.4 Otimizador de P´olos em Batelada 49

Simula¸c˜ao 2:

- S

- Ordem 2 / 1 p´olo real (presente 2 vezes na base);

- S

- Ordem 6 / 3 pares de p´olos complexo conjugados;

- S

- Ordem 7 / 3 p´olos reais e 2 pares de p´olos complexo conjugados.

batelada(entradas,saidas,[4 8 3; 2 6 7],[2i 4+2i 3; 1 3i 3+2i],1)

2. Em todas as simula¸c˜oes, o usu´ario deixar´a que a otimiza¸c˜ao encontre os melhores

tipos de p´olos (permitindo unicamente ou a combina¸c˜ao de Laguerre e Kautz):

Simula¸c˜ao 1:

- S1 - Ordem 3 / polo

ro: 3;

- S1 - Ordem 2 / polo

ro: 1 (os p´olos estar˜ao presentes 2 vezes na base);

- S1 - Ordem 6 / polo

ro: 2 (os p´olos estar˜ao presentes 3 vezes na base).

Simula¸c˜ao 2:

- S1 - Ordem 4 / polo

ro: 2 (os p´olos estar˜ao presentes 2 vezes na base);

- S1 - Ordem 9 / polo

ro: 9;

- S1 - Ordem 20 / polo

ro: 4 (os p´olos estar˜ao presentes 5 vezes na base).

batelada(entradas,saidas,[3 2 6; 4 9 20],[3 1 2; 2 9 4],0)

Ao inserir os parˆametros para a identiﬁca¸c˜ao em batelada, o usu´ario ser´a perguntado

sobre o nome de t´ıtulo da simula¸c˜ao. Num exemplo pr´atico, caso o usu´ario insira o nome

’teste’, os resultados de cada otimiza¸c˜ao s˜ao gravados num total de B

arquivos com o

nome iniciando em ’teste

melhor caso 1’ e terminando em ’teste melhor caso B

’. Em

seguida ´e realizada a sele¸c˜ao do m´etodo de otimiza¸c˜ao que deseja-se utilizar. O m´etodo

selecionado ´e utilizado para todas as B

otimiza¸c˜oes.

Cada arquivo gerado possui as mesmas vari´aveis descritas na se¸c˜ao anterior. Os

arquivos tamb´em s˜ao gravados na pasta de trabalho atual do Matlab.

Quando cada arquivo B

´e gerado, no mesmo diret´orio onde ele se encontra, um

arquivo com nome ’resultados.csv’ tamb´em ´e gerado. Este arquivo cont´em a compara¸c˜ao

do crit´erio de custo (j´a ordenado de forma crescente) de cada arquivo B

j´a gerado, seguido

do respectivo nome do arquivo. Desta forma o projetista pode encontrar facilmente a

melhor estima¸c˜ao de parˆametros com base no menor valor da fun¸c˜ao custo presente no

4.5 Valida¸c˜ao de Modelos GOBF 50

arquivo ’resultados.csv’.

Ap´os qualquer tipo de otimiza¸c˜ao, seja ela utilizando a rotina batelada ou otimi-

polos, o arquivo com os resultados pode ser importado para o software ’identgobf’

para que os resultados sejam visualizados e o usu´ario tenha uma vis˜ao mais aprofundada

do modelo obtido.

4.5 Valida¸c˜ao de Modelos GOBF

Uma vez estimados os parˆametros do modelo GOBF, como em qualquer processo de

identiﬁca¸c˜ao de sistemas, deve-se partir para a etapa de valida¸c˜ao do modelo, que consiste

em utilizar novos dados de entrada (entradas

validacao) que, aplicados ao modelo,

devem produzir sa´ıda estimada compat´ıvel com a sa´ıda medida neste novo conjunto de

dados (saidas validacao).

Para utilizar a fun¸c˜ao de valida¸c˜ao de modelos GOBF, deve-se utilizar o comando:

[saidas

validacao estimada]=validacao gobf(entradas validacao,A,B,c)

A vari´avel entradas

validacao ´e a vari´avel de entrada para o processo de valida¸c˜ao

de dados. Deve ter a mesma dimens˜ao da vari´avel entradas do processo de identiﬁca¸c˜ao.

As vari´aveis A, B e c s˜ao as matrizes em espa¸co de estados do modelo GOBF j´a

identiﬁcado. Para sistemas SISO, s˜ao matrizes convencionais, tal qual estamos habituados

a manipul´a-las. No entanto, para sistemas MISO ou MIMO, o formato dessas vari´aveis

deve ser de acordo com aqueles salvos pela interface ’identgobf’ na etapa de identiﬁca¸c˜ao.

Esta fun¸c˜ao retorna a vari´avel saidas

validacao estimada que tem a mesma di-

mens˜ao da vari´avel saidas que foi utilizada na parte de identiﬁca¸c˜ao.

Por ﬁm, cabe ao usu´ario, de posse das vari´aveis saidas

validacao e

saidas

validacao estimada compar´a-las, visualiz´a-las e/ou aplicar algum c´alculo de

fun¸c˜ao de custo para determinar se o modelo GOBF ´e ou n˜ao v´alido para o sistema em

quest˜ao.

Ressalta-se que, para o c´alculo da saidas

validacao estimada, a saidas validacao

n˜ao ´e utilizada. Isto signiﬁca que o m´etodo utilizado ´e de previs˜ao a horizonte longo pois

os valores passados do sinal de sa´ıda n˜ao s˜ao utilizados (o modelo n˜ao ´e auto-regressivo).

Al´em disso, neste modelo n˜ao assume-se modelagem para o sinal de perturba¸c˜ao, ou seja,

n˜ao equipara-se aos m´etodos PEM que possuem polinˆomios C ou D diferentes de 1, tais

4.5 Valida¸c˜ao de Modelos GOBF 51

como ARMAX, ARARX e ARARMAX.

5 Exemplos e Aplica¸c˜oes

Neste Cap´ıtulo, alguns estudos de caso sobre identiﬁca¸c˜ao de sistemas dinˆamicos u-

sando modelos formados por bases de fun¸c˜oes ortonormais s˜ao apresentados. Tais estu-

dos de caso abordam o problema de identiﬁca¸c˜ao tanto no dom´ınio do tempo como da

freq¨uˆencia. Estes estudos de caso abordam, de uma parte, a quest˜ao da sele¸c˜ao de p´olos,

de outra parte, a identiﬁca¸c˜ao de sistemas MISO e SISO. No caso da sele¸c˜ao de p´olos,

o algoritmo apresentado em (Reginato e Oliveira, 2007b; Reginato e Oliveira, 2007a) ´e

utilizado. Ressalta-se que, para todos os exemplos aqui mencionados, todas os modelos

obtidos s˜ao modelos de previs˜ao livre, pois toda a t´ecnica apresentada neste documento

visa obten¸c˜ao de modelos GOBF utilizando previs˜ao livre.

5.1 Sistemas El´etricos

A determina¸c˜ao de modelos dinˆamicos de sistemas ´e um procedimento importante

em diversos campos da engenharia. Dentre estes campos, pode-se citar a ´area de sis-

temas el´etricos de potˆencia, com a modelagem de componentes como transformadores de

potˆencia ou linhas de transmiss˜ao. Modelos dinˆamicos permitem realizar an´alises e obter

resultados que seriam demorados, de alto custo ou mesmo invi´aveis se fossem efetuados

no sistema real. No caso espec´ıﬁco da ´area de sistemas de potˆencia, a determina¸c˜ao de

modelos de transformadores vem recebendo bastante aten¸c˜ao nas ´ultimas d´ecadas e di-

versas abordagens tˆem sido apresentadas na literatura, por exemplo, podem-se citar os

trabalhos (Vaessen, 1998; Gustavsen, 2004; Keyhani et al., 1998; Degeneﬀ et al., 1998).

Neste contexto, uma t´ecnica que vem sendo aplicada com bons resultados ´e a denominada

vector ﬁtting (Gustavsen e Semlyen, 1999).

Essa modelagem se faz necess´aria para o aprimoramento das simula¸c˜oes de transit´orios

el´etricos caracterizados por diferentes faixas de freq¨uˆencia e que envolvam a intera¸c˜ao

desses equipamentos com os demais componentes do sistema el´etrico. Estat´ısticas de

desempenho de transformadores tˆem apresentado um n´umero signiﬁcativo de falhas de

5.1 Sistemas El´etricos 53

causa desconhecida que podem estar potencialmente relacionadas `as tens˜oes transit´orias

originadas pela intera¸c˜ao dos transformadores com os outros componentes do sistema

el´etrico. O estudo dessa intera¸c˜ao requer, na maioria dos casos, a realiza¸c˜ao de simula¸c˜oes

de transit´orios cuja conﬁabilidade dos resultados depende diretamente da modelagem do

transformador. Um exemplo t´ıpico ´e o estudo dos transit´orios r´apidos (VFT) gerados

quando de manobras e curtos-circuitos em subesta¸c˜oes blindadas a SF6 e que atingem os

transformadores. O impacto dessas sobretens˜oes, de frentes muito r´apidas, ir´a depender da

resposta desses equipamentos a altas freq¨uˆencias e sua determina¸c˜ao implica na obten¸c˜ao

de modelos apropriados a essa condi¸c˜ao. Dessa forma, ´e de grande interesse para o

aprimoramento da an´alise de transit´orios decorrentes da intera¸c˜ao dos transformadores

com os demais componentes do sistema a obten¸c˜ao de modelos que representem esses

equipamentos em diferentes faixas de freq¨uˆencia.

No caso de linhas de transmiss˜ao, a expans˜ao do sistema el´etrico tem requerido con-

stru¸c˜oes que resultam em conﬁgura¸c˜oes com alto grau de assimetria e acoplamentos. Dessa

forma, modelos sem restri¸c˜oes quanto `a geometria ou natureza das linhas de transmiss˜ao

se tornam necess´arios. Modelos no dom´ınio de fases j´a est˜ao sendo propostos na litera-

tura e disponibilizados em programas de transit´orios eletromagn´eticos com objetivo de

retratar o comportamento dinˆamico desse componente diretamente sem a transi¸c˜ao para

o dom´ınio modal. Para isso, o aprimoramento de t´ecnicas de identiﬁca¸c˜ao torna-se de

grande interesse.

Nos ´ultimos anos, ocorreram algumas falhas de transformadores importantes no sis-

tema de tranmiss˜ao brasileiro. Em alguns casos, n˜ao foi obtido um diagn´ostico claro,

mas as evidˆencias apontam para as opera¸c˜oes de manobra como causa mais prov´avel. A

an´alise dessas ocorrˆencias motivou o desenvolvimento de simula¸c˜oes de transit´orios eletro-

magn´eticos com o objetivo de quantiﬁcar n˜ao apenas a amplitude, mas principalmente as

faixas de freq¨uˆencias t´ıpicas das tens˜oes transit´orias de alta freq¨uˆencia nos terminais dos

transformadores. Essas tens˜oes s˜ao geradas, por exemplo, nas manobras de energiza¸c˜ao de

transformadores em vazio, em subesta¸c˜oes de diferentes conﬁgura¸c˜oes e n´ıveis de tens˜ao.

Neste contexto, a modelagem de transformadores, assim como de outros componentes

do sistema el´etrico, pode ser feita analisando as caracter´ısticas f´ısicas destes equipamentos,

abordagem freq¨uentemente utilizada por fabricantes. Este procedimento, conhecido por

abordagem caixa branca, ´e realizado com modelos baseados na f´ısica ou ﬁrst principles

models. Os modelos s˜ao, em geral, descritos em termos de equa¸c˜oes diferenciais que

representam o equipamento e cuja solu¸c˜ao pode ser obtida analiticamente ou via simula¸c˜ao

5.1 Sistemas El´etricos 54

por computador, por exemplo, atrav´es de pacotes como MATLAB ou ATP/EMTP. Esta

metodologia ´e, muitas vezes, dif´ıcil de ser colo cada em pr´atica, tendo em vista que detalhes

construtivos dos equipamentos para determina¸c˜ao dos coeﬁcientes que caracterizam as

propriedades do componente n˜ao est˜ao dispon´ıveis ou s˜ao, muitas vezes, de conhecimento

exclusivo dos fabricantes.

5.1.1 Linha de Transmiss˜ao

Seja um sistema de 18

ordem, apresentado em (Gustavsen e Semlyen, 1999), criado

para simular o comportamento de um sistema com resposta em freq¨uˆencia suave. Uma vez

que a curva de resposta em freq¨uˆencia ´e suave, sem presen¸ca de picos de ressonˆancia, em

princ´ıpio n˜ao h´a necessidade da utiliza¸c˜ao de p´olos complexos conjugados para identiﬁcar

o sistema.

Um modelo com bases de Laguerre com um ´unico p´olo real localizado em 0.55, 15

fun¸c˜oes de base, p ossui MSE de 5.69 × 10

−6

e, com 50 fun¸c˜oes, MSE de 1.31 × 10

−8

(Oliveira, 2007). Atrav´es da utiliza¸c˜ao do m´etodo vector ﬁtting, modelos de 4

, 6

e 8

ordens obtidos possuem MSE de 5.04 × 10

−7

, 9.61 × 10

−10

e 3.84 × 10

−11

, respectivamente

(Gustavsen e Semlyen, 1999).

No caso de modelos GOBF, a sele¸c˜ao dos p´olos ´e mais complexa e um algoritmo de

otimiza¸c˜ao n˜ao linear, baseado no crit´erio de custo MSE ´e necess´ario para sua obten¸c˜ao.

Neste caso, a dimens˜ao da base, i.e. o n´umero de fun¸c˜oes n

, e a estrutura de cada fun¸c˜ao

da base, i.e., o n´umero de p´olos reais e o n´umero de p´olos complexos que forma cada

fun¸c˜ao, devem ser deﬁnidos a priori.

A otimiza¸c˜ao foi executada visando minimizar a fun¸c˜ao custo deﬁnida pelo MSE entre

a resposta em freq¨uˆencia do sistema e do modelo. Vale ressaltar que a identiﬁca¸c˜ao foi

feita inteiramente no tempo (ou seja, o vetor C do espa¸co de estados GOBF foi obtido

atrav´es de minimiza¸c˜ao no dom´ınio do tempo), apenas o crit´erio de custo utilizado foi no

dom´ınio da freq¨uˆencia. O crit´erio de custo foi assim deﬁnido para que ﬁcasse compat´ıvel

com resultados j´a publicados.

O sistema (de 18

ordem) foi modelado por GOBF com 4 fun¸c˜oes e 4 p´olos reais

distintos: 0.06, 0.25, 0.69 e 0.95 e est´a representado na ﬁgura 5.1. O respectivo MSE entre

as curvas ´e 1.441 × 10

−7

. Mais compara¸c˜oes sobre esta simula¸c˜ao podem ser encontradas

em (Reginato e Oliveira, 2007b), (Reginato e Oliveira, 2007a) e (Reginato e Oliveira,

2008b).

5.1 Sistemas El´etricos 55

Frequência (rad/seg)

Magnetude (dB)

Modelo GOBF − Linha de Transmissão

Sistema

Modelo

Figura 5.1: Exemplo 1 - Linha de Transmiss˜ao

5.1.2 Transformador

O sistema de 18

ordem, proposto em (Gustavsen e Semlyen, 1999), com curva de

resposta em freq¨uˆencia n˜ao suave, foi modelado por GOBF com p´olos complexos conju-

gados.

Em (Oliveira, 2007), isto ´e, com uma base formada por somente um par de p´olos

complexos conjugados de localiza¸c˜ao 0.061 + j0.64, s˜ao necess´arias 500 fun¸c˜oes de base

para uma aproxima¸c˜ao adequada, representada por um MSE de 3.88. O melhor mo delo

obtido por GOBF, com MSE de 1.44 × 10

−25

, reduziu a dimens˜ao do modelo previamente

mencionado em 96 porcento (de 250 mil elementos, o sistema passou a ter apenas 400) e

o MSE do erro de estima¸c˜ao foi levado a valores pr´oximos de zero, gerando resposta em

freq¨uˆencia conforme mostrado na ﬁgura 5.2.

Para que os valores obtidos fossem compat´ıveis com os j´a publicados, a identiﬁca¸c˜ao

foi feita no dom´ınio do tempo, mas o crit´erio de custo utilizado foi a minimiza¸c˜ao do MSE

na freq¨uˆencia.

Maiores detalhes sobre este estudo de caso podem ser encontrados em (Reginato e

Oliveira, 2007a) e (Reginato e Oliveira, 2008b).

5.1.3 Transformador BBC e ZTR

O setor de 345kV da subesta¸c˜ao Tijuco Preto tem um arranjo em disjuntor e meio

com barramentos de 700m, dez entradas de linhas de transmiss˜ao, quatro bancos de

5.1 Sistemas El´etricos 56

0 200 400 600 800 1000

100

120

140

160

180

Magnitude [p.u.]

Freqüência [10xkHz]

Modelo GOBF − Transformador

Sistema

Modelo

Figura 5.2: Exemplo 2 - Transformador

autotransformadores e quatro ilhas de bancos de capacitores em deriva¸c˜ao. Cada auto-

transformador de 765/345/20kV − 500MV A est´a localizado a cerca de 190m dos dois

disjutores que podem ser utilizados para a sua manobra. O modelo de dois fabricantes

destes transformadores, neste trabalho denominados de BBC e ZTR, s˜ao analisados.

Os dados de entrada e sa´ıda no dom´ınio do tempo s˜ao comuns em testes de curto

circuito em transformadores. Portanto, ser˜ao utilizados como base da identiﬁca¸c˜ao no

dom´ınio do tempo. A forma de onda 1, 2/50µs, compat´ıvel com o impulso atmosf´erico do

ensaio diel´etrico normalizado, ´e aplicada no prim´ario do transformador. A resp osta em

termos de corrente, tamb´em no prim´ario dos transformadores, pode ser visualizada, j´a

com a identiﬁca¸c˜ao nas ﬁguras 5.3 e 5.5. Portanto, o objetivo ´e obter uma representa¸c˜ao

da admitˆancia do transformador.

Para o Transformador BBC, ´e utilizada uma base de fun¸c˜oes formada com fun¸c˜oes

internas com 9 p´olos distintos, sendo 4 pares de p´olos complexos conjugados e 1 p´olo real,

totalizando um sistema de 9

ordem (n˜ao h´a repeti¸c˜ao de bases). O MSE do procedimento

de estima¸c˜ao de parˆametros do modelo identiﬁca¸c˜ao foi 1.48 × 10

−8

, conforme ﬁgura 5.3.

O procedimento de valida¸c˜ao ´e realizado atrav´es da curva de resposta em freq¨uˆencia.

A compara¸c˜ao entre a curva de resposta em freq¨uˆencia do sistema e a obtida atrav´es do

modelo calculado ´e apresentada na ﬁgura 5.4. Pode-se observar que a curva de resposta

em freq¨uˆencia do modelo est´a bem pr´oxima da curva do sistema real, validando assim o

modelo identiﬁcado.

Para o Transformador ZTR, ´e utilizada uma base de fun¸c˜oes formada com fun¸c˜oes

5.1 Sistemas El´etricos 57

0 0.5 1 1.5

x 10

−4

−2

−1

x 10

Resposta no Tempo do Trafo BBC

Corrente (A)

Tempo (s)

Sistema

Modelo Identificado

Figura 5.3: Exemplo 3 - Transformador BBC (Identiﬁca¸c˜ao)

Freqüência (Hz)

Magnetude (abs)

Resposta em Freqüência do Trafo BBC

Sistema

Modelo Identificado

Figura 5.4: Exemplo 3 - Transformador BBC (Valida¸c˜ao)

internas com 7 p´olos distintos, sendo 3 pares de p´olos complexos conjugados e 1 p´olo real,

totalizando um sistema de 7

ordem (n˜ao h´a repeti¸c˜ao de bases). O MSE do procedimento

de estima¸c˜ao de parˆametros do modelo identiﬁca¸c˜ao foi 9.32. Apesar de elevado (quando

comparado ao caso BBC), tal ´ındice de desempenho ainda ´e muito baixo, visto que a

amplitude dos sinais em quest˜ao est˜ao na ordem de dezenas de kiloamp´eres. Melhores

aproxima¸c˜oes na etapa de estima¸c˜ao podem ser obtidas, por´em comprometem a apro-

xima¸c˜ao do modelo como um todo se consideramos a etapa de valida¸c˜ao. A ﬁgura 5.5

cont´em a aproxima¸c˜ao do modelo obtido.

O procedimento de valida¸c˜ao ´e realizado atrav´es da curva de resposta em freq¨uˆencia.

A ﬁgura 5.6 cont´em uma compara¸c˜ao entre a resposta em freq¨uˆencia do sistema e do

5.1 Sistemas El´etricos 58

0 1 2 3 4 5

x 10

−5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1.5

2.5

x 10

Resposta no Tempo do Trafo ZTR

Corrente (A)

Tempo (s)

Sistema

Modelo Identificado

Figura 5.5: Exemplo 3 - Transformador ZTR (Identiﬁca¸c˜ao)

modelo obtido. Veriﬁca-se que, tamb´em no dom´ınio da freq¨uˆencia, o modelo apresenta

uma aproxima¸c˜ao satisfat´oria.

Freqüência (Hz)

Magnetude (abs)

Resposta em Freqüência do Trafo ZTR

Sistema

Modelo Identificado

Figura 5.6: Exemplo 3 - Transformador ZTR (Valida¸c˜ao)

Maiore informa¸c˜oes sobre as identiﬁca¸c˜oes dos Transformadores BBC e ZTR podem

ser obtidas em (Reginato e Oliveira, 2008c).

5.1.4 VCFP - Voice Coil-Driven Flexible Positioner

O simulador VCFP (Voice Coil-Driven Flexible Positioner), mostrado na ﬁgura 5.7,

´e um circuito anal´ogico que reproduz a dinˆamica de mecanismos de posicionamento pre-

sentes em unidades de disco r´ıgido.

5.1 Sistemas El´etricos 59

Figura 5.7: VCFP

O procedimento de identiﬁca¸c˜ao tem como primeiro passo a sele¸c˜ao da estrutura e dos

parˆametros das fun¸c˜oes da base. Tem-se como ponto de partida uma fun¸c˜ao interna com

dois parˆametros (dois p´olos reais ou um par complexo conjugado). Com uma base com

uma repeti¸c˜ao desta fun¸c˜ao, isto ´e, n

= 1, chegam-se aos seguintes p´olos ´otimos: 0.94 e

0.50. O MSE entre a sa´ıda do sistema e a previs˜ao livre ou paralelo-paralelo do modelo ´e

de 5.645 × 10

−3

A identiﬁca¸c˜ao dos parˆametros do modelo OBF realizada na sequˆencia gerou um

modelo cujo MSE entre a sa´ıda do sistema e a previs˜ao livre do modelo, calculado usando

dados de valida¸c˜ao, ´e de 8.14 × 10

−3

. Os sinais de sa´ıda do sistema e de previs˜ao podem

ser visualizados na ﬁgura 5.8. O valor do MSE desta previs˜ao ´e bem pequeno quando

comparado com a amplitude do sinal de sa´ıda, portanto, a correta aloca¸c˜ao dos p´olos

permitiu a adequada representa¸c˜ao de um sistema de ordem elevada utilizando-se poucos

(2) parˆametros, para melhor visualiza¸c˜ao, o erro absoluto entre a resposta do sistema e a

resposta do modelo ´e visualizado na ﬁgura 5.9.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−10

−5

Sistema e Modelo no Tempo

Corrente (A)

Tempo (s)

Sistema

Modelo

Figura 5.8: Exemplo 4 - VCFP Tempo (Identiﬁca¸c˜ao)

5.1 Sistemas El´etricos 60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

Erro

Tempo (s)

Erro Absoluto

Figura 5.9: Exemplo 4 - VCFP Erro Absoluto (Identiﬁca¸c˜ao)

Para ﬁns de compara¸c˜ao, a ﬁgura 5.10 apresenta a resposta em freq¨uˆencia do VCFP,

juntamente com a do modelo apresentado na ﬁgura 5.8. Nota-se que o modelo estimado

no dom´ınio do tempo aproxima de forma adequada a tendˆencia da resposta em freq¨uˆencia

real do sistema. Por´em, melhores aproxima¸c˜oes podem ser obtidas se a identiﬁca¸c˜ao for

realizada diretamente no dom´ınio da freq¨uˆencia.

Magnitude (dB)

−225

−180

−135

−90

−45

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Sistema

Modelo

Figura 5.10: Exemplo 4 - VCFP Tempo (Valida¸c˜ao)

Desta forma, parte-se para a identiﬁca¸c˜ao diretamente no dom´ınio da freq¨uˆencia. No

procedimento de identiﬁca¸c˜ao, utiliza-se a mesma estrutura da base do exemplo anterior,

isto ´e, uma fun¸c˜ao interna com dois parˆametros n

= 2. No modelo com somente uma

fun¸c˜ao interna, n

= 1, chega-se aos seguintes p´olos ´otimos: 0.8677 e 0.5673. No modelo

com 9 repeti¸c˜oes da fun¸c˜ao interna, chega-se aos seguintes p´olos: 0.4774 ±j0.303. A

5.2 Sistemas T´ermicos 61

resposta em freq¨uˆencia do sistema original e a dos modelos com 1 e 9 fun¸c˜oes (2 e 18

parˆametros) podem ser visualizadas na ﬁgura 5.11. Pode-se observar que a aproxima¸c˜ao

da resposta em freq¨uˆencia original ´e melhor que no caso da identiﬁca¸c˜ao no dom´ınio do

tempo. Nota-se, entretanto, que a ressonˆancia observada perto dos 10

rad/s ´e melhor

aproximada pelo modelo com mais fun¸c˜oes.

Magnitude (dB)

−225

−180

−135

−90

−45

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Sistema

Modelo 2 pólos e n

= 1

Modelo 2 pólos e n

= 9

Figura 5.11: Exemplo 4 - VCFP Freq¨uˆencia

5.2 Sistemas T´ermicos

Desde a crise energ´etica mundial no anos 70, programas de simula¸c˜ao de energia

em ediﬁca¸c˜oes vˆem sendo desenvolvidos nos Estados Unidos e Europa a ﬁm de reduzir

o consumo de energia el´etrica especialmente de sistemas HVAC. Em geral, o principal

objetivo de obter modelos para an´alises t´ermicas em ediﬁca¸c˜oes residenciais e comerciais

´e a melhora das condi¸c˜oes clim´aticas internas para os ocupantes e preven¸c˜ao de desperd´ıcio

de energia pelo sistema HVAC, o que gera custos.

Normalmente, os modelos s˜ao obtidos atrav´es da an´alise f´ısica do sistema (caixa-

branca) ou por processo de identiﬁca¸c˜ao (caixa-preta), menos usualmente modelos caixa-

cinza (jun¸c˜ao de an´alise f´ısica e identiﬁca¸c˜ao) s˜ao usados. Em geral, para casos de identi-

ﬁca¸c˜ao caixa-preta para estes tipos de sistemas, usam-se m´etodos de regress˜ao linear, a ﬁm

de relacionar a(s) entrada(s) com a(s) sa´ıda(s) do sistema. Exemplos que utilizam estes

tipos de m´etodos s˜ao apresentados em (Virk e Loveday, 1994; Freire et al., 2005b; Freire

et al., 2008; Freire, 2006).

Apesar de estes modelos normalmente obterem resultados fact´ıveis, o tipo de previs˜ao

5.2 Sistemas T´ermicos 62

realizado pelos modelos resultantes, quando estes possuem modelagem para o erro, n˜ao

´e uma previs˜ao livre, visto que, para a obten¸c˜ao da sa´ıda do modelo, utiliza-se a sa´ıda

real do sistema, mesmo na etapa de valida¸c˜ao. Portanto, uma regress˜ao linear com bons

parˆametros, utilizando-se desta metodologia, certamente possui resultados satisfat´orios.

Em contrapartida, os modelos GOBF, tal qual foram desenvolvidos durante todo

os trabalho, n˜ao utilizam-se da metodologia citada. Portanto garantindo uma previs˜ao

livre para o modelo, no entanto, diﬁcultando a obten¸c˜ao de resultados muito satisfat´orios

quando comparados com modelos obtidos atrav´es de t´ecnicas de regress˜ao linear.

A ﬁm de determinar modelos baseados em procedimentos de identiﬁca¸c˜ao de sis-

temas, dados de entrada e sa´ıda s˜ao necess´arios para experimentos e simula¸c˜oes. Para

os casos aqui estudados, os dados utilizados nos m´etodos de identiﬁca¸c˜ao foram obtidos

por simula¸c˜oes no software PowerDomus (Mendes et al., 2005). Em poucas palavras, o

PowerDomus, cuja interface ´e mostrada na ﬁgura 5.12, ´e um software orientado a objetos

que vem sendo desenvolvido pelo Curso de Engenharia Mecˆanica da Pontif´ıcia Univer-

sidade Cat´olica do Paran´a para simular o comportamento higrot´ermico de ediﬁca¸c˜oes,

considerando difus˜ao de vapor e migra¸c˜ao de capilaridade, dentre outros. As simula¸c˜oes

provenientes de tal software s˜ao utilizadas, por exemplo, em (Freire et al., 2005b; Freire

et al., 2005a; Freire et al., 2008; Freire et al., 2006; Freire, 2006; Donaisky et al., 2007)

Figura 5.12: Interface do software PowerDomus

Para deﬁni¸c˜ao dos sistemas a serem identiﬁcados, baseou-se em informa¸c˜oes obtidas no

Anexo 41 (IEA, 2003), que vem sendo desenvolvido pela Agˆencia Internacional de Energia

(IEA) (Judkoﬀ e Neymark, 1995). O estudo de caso em quest˜ao ´e para o modelo BESTest

600FF. A id´eia do anexo proposto pela Agˆencia Internacional de Energia ´e desenvolver, de

5.2 Sistemas T´ermicos 63

um modo compreens´ıvel e integrado, um conjunto de an´alises para programas de simula¸c˜ao

de ediﬁca¸c˜oes envolvendo m´etodos anal´ıticos, comparativos e emp´ıricos - Building Energy

Simulation Test (BESTest). Tais m´etodos ajudar˜ao a melhorar a qualidade dos programas

existentes no mercado.

O caso FF600 foi projetado a partir de materiais leves, isto ´e, menor in´ercia t´ermica.

A sigla ”FF”adicionada ao nome do caso proposto pela IEA signiﬁca free ﬂoating, ou seja,

temperatura interna variando livremente de acordo com as varia¸c˜oes clim´aticas externas,

isto signiﬁca que n˜ao h´a sistema de condicionamento de ar embutido. Assim sendo, um

aquecedor de potˆencia de 5000W ´e adicionado ao modelo de ediﬁca¸c˜ao para testes de

controle em malha fechada.

Os ambientes simulados possuem as seguintes caracter´ısticas: assumem-se as zonas

de dimens˜oes 8.0m × 6.0m × 2.7m de comprimento, largura e altura respectivamente,

possuindo duas janelas de 3.0m × 2.0m direcionadas para o sul, como apresentado na

ﬁgura 5.13.

Os sinais de entrada dispon´ıveis no sistema provenientes de vari´aveis clim´aticas s˜ao:

temperatura externa, umidade relativa externa e radia¸c˜ao solar total. Obtiveram-se estes

dados a partir de arquivos clim´aticos do tipo TRY. Esses arquivos possuem 8760 registros

correspondendo `as varia¸c˜oes de temperatura, umidade relativa, radia¸c˜ao solar direta e

difusa, velocidade do vento e dire¸c˜ao do vento para uma determinada cidade para todas

as horas do ano. Desta forma, utilizou-se uma interpola¸c˜ao linear aplicada aos dados para

que as simula¸c˜oes pudessem utilizar um passo de tempo menor. A ´unica entrada para

o sistema que n˜ao ´e proveniente dos arquivos clim´aticos utilizados ´e o sinal de controle

aplicado a um sistema de climatiza¸c˜ao. Por ﬁm, os sinais de sa´ıda s˜ao: temperatura e

umidade relativa internas. O sistema de climatiza¸c˜ao utilizado trata-se de um dispositivo

de aquecimento.

Figura 5.13: Dimens˜oes do Ambiente Utilizado nas Simula¸c˜oes

Para as identiﬁca¸c˜oes apresentadas, os dados do sistema foram gerados pelo PowerDo-

5.2 Sistemas T´ermicos 64

mus, com base nos dados de entrada da cidade de Denver (Estados Unidos da Am´erica).

Quando a esta¸c˜ao trabalhada ´e o ver˜ao, os dados s˜ao de 1 a 15 de julho, e quando in-

verno, s˜ao de 1 a 15 de dezembro. Para todos os casos, o per´ıodo de amostragem ´e de 60

segundos.

Ainda para qualquer esta¸c˜ao, os dados de entrada para os modelos s˜ao: temperatura

externa (

C), umidade relativa externa (-) e radia¸c˜ao solar total (kW/m

). Quando h´a

controle de temperatura, h´a uma quarta entrada no sistema, que ´e o sinal de controle

(kW ), proveniente do aquecedor. Para a identiﬁca¸c˜ao, considerou-se como sa´ıda apenas

a temp eratura interna (constituindo um sistema MISO), no entanto, o sistema tamb´em

possui a umidade relativa interna como sa´ıda (portanto o sistema, como um todo, ´e

MIMO).

Tanto para a esta¸c˜ao de ver˜ao, quanto para a de inverno, o procedimento de identi-

ﬁca¸c˜ao consistiu em considerar o sistema com as quatro entradas, ou seja, com o sinal de

controle. J´a a valida¸c˜ao ´e feita para os dados do sistema sem o sinal de controle, assim

sendo, o sistema da valida¸c˜ao apresenta apenas trˆes entradas.

5.2.1 FF600 - Inverno

Os dados de entrada do sistema s˜ao mostrados na ﬁgura 5.14. Quando o sistema est´a

em malha fechada, a entrada respectiva ao sinal de controle ´e apresentada na ﬁgura 5.15.

0 5 10 15

−40

−20

Temp. Ext (°C)

Inverno − Dados de Entrada

0 5 10 15

0.5

Umi. Ext. (−)

0 5 10 15

0.5

1.5

Rad. Sol. Tot. (kW/m²)

Tempo (Dias)

Figura 5.14: Dados de Entrada para BESTest FF600 Inverno

Aplicando-se o m´etodo proposto em (Reginato e Oliveira, 2007b; Reginato e Oliveira,

2007a) para a sele¸c˜ao de p´olos, com fun¸c˜ao de custo dada pelo MSE entre a curva de sa´ıda

5.2 Sistemas T´ermicos 65

0 5 10 15

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Sinal de Controle (kW)

Tempo (Dias)

Inverno − Sinal de Controle (quarta entrada)

Figura 5.15: Sinal de Controle BESTest 600FF Inverno

do sistema e do modelo, deﬁnindo-se que os p´olos para a modelagem de cada entrada

seriam apenas do tipo real, combinando-se as diversas ordens poss´ıveis entre 1 e 3 para

cada entrada, o modelo para o sistema foi obtido com 2 p´olos para a temperatura externa

(localiza¸c˜ao 0.9975 e 0.9953), 2 p´olos para a umidade relativa externa (apesar de ambos

estarem em 0.9998, h´a diferen¸ca em casas decimais subsequentes), 1 p´olo em 0.9929 para

a radia¸c˜ao solar total e, ﬁnalmente, 2 p´olos (em 0.9988 e 0.8990) para o sinal de controle.

Tanto o resultado da identiﬁca¸c˜ao, que ´e visto na ﬁgura 5.16, com MSE 1.3893, quanto

o da valia¸c˜ao, visto na ﬁgura 5.17, com MSE 2.1843, comprovam que os p´olos selecionados

representam bem as dinˆamicas do sistema.

0 5 10 15

Tempo (dias)

Temperatura (°C)

FF600 INVERNO − Com Controle

Power Domus

Modelo

Figura 5.16: Identiﬁca¸c˜ao BESTest 600FF Inverno

5.2 Sistemas T´ermicos 66

0 5 10 15

Tempo (dias)

Temperatura (°C)

FF600 INVERNO − Sem Controle

Power Domus

Modelo

Figura 5.17: Valida¸c˜ao BESTest 600FF Inverno

5.2.2 FF600 - Ver˜ao

Os dados de entrada do sistema na esta¸c˜ao ver˜ao est˜ao apresentados na ﬁgura 5.18.

Quando em malha fechada, observa-se na ﬁgura 5.19 que h´a pouco sinal de controle (no

restante do per´ıodo omitido graﬁcamente, o sinal ´e zero). Isto deve-se ao fato de que,

por ser ver˜ao, a temperatura j´a estava elevada, portanto n˜ao fazendo sentido o sinal de

controle (aquecedor) atuar sobre o sistema.

0 5 10 15

Temp. Ext (°C)

Verão − Dados de Entrada

0 5 10 15

0.5

Umi. Ext. (−)

0 5 10 15

0.5

1.5

Rad. Sol. Tot. (W/m²)

Tempo (Dias)

Figura 5.18: Dados de entrada para BESTest 600FF Ver˜ao

Seguindo o mesmo procedimento de identiﬁca¸c˜ao utilizado na esta¸c˜ao inverno, en-

contraram-se 2 p´olos (em 0.9996 e 0.7146) para a temperatura externa, outros 2 p´olos

(localizados em 0.9995 e −0.5556) para a umidade relativa externa, mais 2 p´olos (que,

5.2 Sistemas T´ermicos 67

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Sinal de Controle (kW)

Tempo (Dias)

Verão − Sinal de Controle (quarta entrada)

Figura 5.19: Sinal de controle BESTest 600FF Ver˜ao

apesar de estarem alocados aparentemente em 0.9873, possuem valores distintos quando

considerada maior precis˜ao num´erica) e, por ﬁm, 1 p´olo (em 0.9796) para o sinal de

controle.

O resultado da identiﬁca¸c˜ao ´e mostrado na ﬁgura 5.20, com MSE 1.3308, seguido

pelo resultado da valida¸c˜ao, na ﬁgura 5.21, com MSE 1.3588. Tais ﬁguras explicitam a

eﬁciˆencia do m´etodo de aloca¸c˜ao de p´olos tamb´em para sistemas t´ermicos.

Tanto o resultado da identiﬁca¸c˜ao, que ´e visto na ﬁgura 5.20, quanto o da valia¸c˜ao,

visto na ﬁgura 5.21, comprovam que os p´olos selecionados representam bem as dinˆamicas

do sistema.

0 5 10 15

Tempo (dias)

Temperatura (°C)

FF600 VERÃO − Com Controle

Power Domus

Modelo

Figura 5.20: Identiﬁca¸c˜ao BESTest 600FF Ver˜ao

5.2 Sistemas T´ermicos 68

0 5 10 15

Tempo (dias)

Temperatura (°C)

FF600 VERÃO − Sem Controle

Power Domus

Modelo

Figura 5.21: Valida¸c˜ao BESTest 600FF Ver˜ao

5.2.3 FF600 - Modelo Uniﬁcado

Anteriormente um modelo para o inverno era apresentado, e outro modelo tamb´em era

obtido para o ver˜ao. Neste caso, o objetivo foi obter apenas um modelo que representasse

ambas as esta¸c˜oes, com ou sem controle, assim facilitando a incorpora¸c˜ao do modelo em

pacotes de controle.

Para a fun¸c˜ao custo, utilizou-se a m´edia entre o MSE do caso ver˜ao com controle,

ver˜ao sem controle, inverno com controle e inverno sem controle.

O resultado foi obtido com a seguinte aloca¸c˜ao de p´olos: 1 p´olo em 0.9982 para a

temperatura externa, 3 p´olos em 0.9814, 0.9953 e 0.9994 para a umidade relativa externa,

1 p´olo para a radia¸c˜ao solar total (em 0.9934) e 2 p´olos em 0.9999 e 0.8840 para o sinal

de controle.

Os resultados da identiﬁca¸c˜ao para a esta¸c˜ao inverno com controle, inverno sem cont-

role, ver˜ao com controle e ver˜ao sem controle est˜ao mostrados, respectivamente, nas ﬁguras

5.22, 5.23, 5.24 e 5.25 e com MSE: 2.2668, 2.2562, 1.9403 e 1.6823, respectivamente.

Novamente o algoritmo de sele¸c˜ao de p´olos obteve ˆexito, mesmo tratando-se de um

sistema MISO, no qual dinˆamicas distintas tiveram de ser modeladas e algumas n˜ao-

linearidades estiveram presentes.

5.2 Sistemas T´ermicos 69

0 5 10 15

Tempo (dias)

Temperatura (°C)

FF600 INVERNO − Com Controle

Power Domus

Modelo

Figura 5.22: BESTest 600FF Inverno com Controle - Modelo Uniﬁcado

0 5 10 15

Tempo (dias)

Temperatura (°C)

FF600 INVERNO − Sem Controle

Power Domus

Modelo

Figura 5.23: BESTest 600FF Inverno sem Controle - Modelo Uniﬁcado

5.2.4 C´elula T´ermica Experimental

Nesta parte, o aparato experimental projetado em (Meissner et al., 2008), discorrido

em (Meissner, 2008) e utilizada em (Donaisky et al., 2008b; Donaisky et al., 2008a) tem

seus sistemas identiﬁcados atrav´es da t´ecnica GOBF.

O sistema a ser considerado ´e um sistema MIMO, possuindo 3 entradas e 3 sa´ıdas,

conforme as ﬁguras 5.26 e 5.27, respectivamente.

Para facilitar o processo de identiﬁca¸c˜ao, o sistema MIMO foi dividido em trˆes outros

subsistemas:

5.2 Sistemas T´ermicos 70

0 5 10 15

Tempo (dias)

Temperatura (°C)

FF600 VERÃO − Com Controle

Power Domus

Modelo

Figura 5.24: BESTest 600FF Ver˜ao com Controle - Modelo Uniﬁcado

0 5 10 15

Tempo (dias)

Temperatura (°C)

FF600 VERÃO − Sem Controle

Power Domus

Modelo

Figura 5.25: BESTest 600FF Ver˜ao sem Controle - Modelo Uniﬁcado

Subsistema SISO Ventila¸c˜ao: para a sa´ıda ”velocidade do ar”, a entrada ´e apenas

o ”controle de velocidade do ar”, ou seja, as outras entradas do sistema n˜ao afetam a

dinˆamica desta sa´ıda.

Subsistema MISO Temperatura: as trˆes entradas apresentadas est˜ao relacionadas `a

sa´ıda ”temperatura interna”.

Subsistema MISO Umidade: as entradas trˆes entradas tamb´em alteram o comporta-

mento da sa´ıda ”umidade relativa interna”.

Para todas as identiﬁca¸c˜oes, o algoritmo para sele¸c˜ao de p´olos apresentado em (Reginato

e Oliveira, 2007b; Reginato e Oliveira, 2007a) foi utilizado. Para os subsistemas cujas

5.2 Sistemas T´ermicos 71

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Sinais de Entrada do Sistema

Contr. Vel. Ar (%)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Contr. Temp. Int. (%)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

100

Contr. Umi. Rel. Int. (%)

Amostras

Figura 5.26: Entradas do Sistema

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Sinais de Saída do Sistema

Vel. Ar (m/s)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Temp. Int. (ºC)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

100

Umi. Rel. Int. (%)

Amostras

Figura 5.27: Sa´ıdas do Sistema

sa´ıdas s˜ao ventila¸c˜ao e temperatura, a fun¸c˜ao custo foi minimizar o MSE. J´a para o sub-

sistema Umidade, a fun¸c˜ao custo foi −1×R

, pois apresentou melhores resultados quando

comparada `a fun¸c˜ao custo MSE.

Para a sele¸c˜ao de p´olos feita para cada subsistema, houve combina¸c˜ao de diversas

ordens, repeti¸c˜oes e tipos de p´olos a ﬁm de encontrar o conjunto de p´olos que melhor

representasse cada subsistema, sendo aqui publicados apenas o melhor modelo obtido

analisando-se puramente a fun¸c˜ao custo em quest˜ao, ressaltando-se que em nenhuma

fun¸c˜ao custo houve pondera¸c˜ao de ordem para o modelo. Isto foi necess´ario pois, para a

otimiza¸c˜ao n˜ao se optou pela parametriza¸c˜ao utilizada na se¸c˜ao 3.2.

5.2 Sistemas T´ermicos 72

A melhor identiﬁca¸c˜ao para o subsistema de Ventila¸c˜ao obteve 1 p´olo real e 2 pares

de p´olos complexos conjugados. Este conjunto de p´olos foi repetido 8 vezes na base. O

resultado da identiﬁca¸c˜ao, cujo MSE foi 0.6744, est´a na ﬁgura 5.28.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Identificação Subsistema Velocidade do Ar

Amostras

Velocidade do ar (m/s)

Sistema

Modelo

Figura 5.28: Identiﬁca¸c˜ao do Subsistema Ventila¸c˜ao

J´a o subsistema de Temperatura teve cada uma de suas entradas modeladas por um

par de p´olos complexos conjugados, com cada p´olo repetindo-se 20 vezes na base (os

p´olos que modelam tais entradas diferem-se entre si). Desta forma, a otimiza¸c˜ao acabou

encontrando um modelo Kautz como sendo a melhor solu¸c˜ao do sistema MISO em quest˜ao.

Seu MSE foi de 0 .0674 e a resposta do modelo, sobreposta `a do sistema est´a na ﬁgura

5.29.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Identificação Subsistema Temperatura Interna

Amostras

Temperatura Interna (ºC)

Sistema

Modelo

Figura 5.29: Identiﬁca¸c˜ao do Subsistema Temperatura

Por ﬁm, a sele¸c˜ao de p´olos para o subsistema Umidade tamb´em obteve um modelo

5.2 Sistemas T´ermicos 73

com bases de Kautz para cada entrada do sistema. Os p´olos foram repetidos por 20 vezes

na base, fazendo com que a fun¸c˜ao custo ﬁcasse em −0.9732. O resultado da identiﬁca¸c˜ao

do subsistema mencionado ´e apresentado na ﬁgura 5.30.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

100

Identificação Subsistema Umidade Relativa Interna

Amostras

Umidade Relativa Interna (%)

Sistema

Modelo

Figura 5.30: Identiﬁca¸c˜ao do Subsistema Umidade

5.2.5 Outros Sistemas

Um estudo de caso envolvendo a sele¸c˜ao de p´olos em um sistema MISO ´e apresentado.

O sistema tem trˆes entradas e uma sa´ıda, e as fun¸c˜oes transferˆencia relacionando cada

entrada com a sa´ıda s˜ao dadas por:

y(z) =

0.1459z

+ 0.1313z

+ 0.02771z − 0.00423

− 1.7z

+ 1.753z

− 1.068z + 0.3161

(z)

−0.2548z

+ 0.1911z + 0.1822

− 1.4z

+ 0.6724z − 0.1539

(z)+

−0.6155z

+ 1.323z

− 0.7309z

− 0.02993z + 0.09752

− 1.96z

+ 1.552z

− 0.7342z

+ 0.2091z − 0.02205

(z)

+ξ(z)

onde y(z) ´e o sinal de sa´ıda e u

(z), i = 1, 2, 3 s˜ao os sinais de entrada. ξ(z) ´e um

sinal de perturba¸c˜ao, com distribui¸c˜ao normal, m´edia zero e desvio padr˜ao igual a 0.1.

Um conjunto de trˆes sinais de entrada (sinais aleat´orios, com 100 amostras, distribui¸c˜ao

normal, m´edia zero e desvio padr˜ao igual a 1) juntamente com a sa´ıda do sistema s˜ao

os dados necess´arios para a sele¸c˜ao dos p´olos. Para ﬁns de ilustrar a aplicabilidade do

m´etodo em diferentes bases, ﬁxou-se que a rela¸c˜ao entre u

e y ´e modelada utilizando-se

5.2 Sistemas T´ermicos 74

Tabela 5.1: Resultados para Diferentes Estruturas de Modelos

N´umero de Bases ´ındice (×10

−2

)

Kautz Lag. GOBF MSE FPE

10 6 12 0.639 1.14

8 8 8 0.678 1.11

10 7 8 0.695 1.16

10 6 8 0.703 1.15

8 7 8 0.725 1.16

8 6 8 0.727 1.14

6 4 9 1.11 1.64

6 4 8 1.17 1.69

6 4 6 1.46 2.01

4 3 8 1.97 2.66

4 3 6 2.15 2.80

a base de Kautz, entre u

e y a base de Laguerre e entre u

e y a base GOBF com 4 p´olos

reais (com possibilidade de serem distintos). Cada uma das trˆes bases foi constru´ıda com

oito fun¸c˜oes.

Os p´olos das trˆes bases foram selecionados utilizando-se o m´etodo proposto em (Reginato

e Oliveira, 2007b; Reginato e Oliveira, 2007a). Os valores obtidos para os p´olos s˜ao:

0.17 + 0.58i para a base de Kautz, 0.45 para a base de Laguerre e −0.3, 0.88, 0.13, 0.12

para base GOBF. O MSE entre a sa´ıda do sistema e a do modelo, utilizando-se previs˜ao

livre ´e 6.78 × 10

−3

Adicionalmente, na Tabela 5.1 encontram-se resultados da aproxima¸c˜ao do modelo

utilizando bases ortonormais com diferentes n´umeros de fun¸c˜oes.

Para a valida¸c˜ao do modelo, outro conjunto de dados foi gerado. Os novos sinais de

entrada possuem as mesmas caracter´ısticas daqueles utilizados para gerar os dados de

identiﬁca¸c˜ao. Para a valida¸c˜ao, o MSE entre a sa´ıda do sistema e a do modelo (tamb´em

utilizando previs˜ao livre) ´e 7.78 × 10

−3

. A Fig. 5.31 cont´em os sinais de sa´ıda e a previs˜ao

modelo, assim como o erro absoluto entre estes sinais. Estes resultados mostram que o

modelo obtido, com poucos parˆametros devido a sele¸c˜ao inicial adequada de p´olos para as

bases, ´e v´alido para representar o sistema. Mais detalhes sobre esta identiﬁca¸c˜ao foram

publicadas em (Reginato e Oliveira, 2007b; Reginato e Oliveira, 2008a).

5.2 Sistemas T´ermicos 75

0 20 40 60 80 100

−2

−1

Saídas do Sistema e do Modelo

Sistema

Modelo

0 20 40 60 80 100

0.05

0.1

0.15

0.2

Amostras

Erro Absoluto

Figura 5.31: Dados de Valida¸c˜ao para o Caso MIMO

6 Conclus˜ao

A id´eia de utilizar bases de fun¸c˜oes ortonormais na representa¸c˜ao de sistemas ´e um

campo antigo, por´em teve grande repercus˜ao ap´os a d´ecada de 90. Apesar de ter conheci-

mento amplo, ainda ´e explorado por poucos grupos de pesquisa no Brasil. Este conceito

vem sendo utilizado na representa¸c˜ao e modelagem de sistemas em diferentes ´areas da

engenharia.

Aliada `as caracter´ısticas e vantagens das bases de fun¸c˜oes ortonormais formadas por

fun¸c˜oes internas com v´arias dinˆamicas descritas neste documento, estudos apresentados

visam analisar e melhorar o desempenho dos modelos em quest˜ao. As frentes de estudo

foram divididas em duas partes: dom´ınio do tempo e dom´ınio da freq¨uˆencia. O desen-

volvimento matem´atico referente a ambos os dom´ınios foi ent˜ao descrito.

A ﬁm de facilitar a aplicabilidade, por terceiros, dos resultados em sistemas reais e

de interesse atualmente nos processos, foram desenvolvidas interfaces gr´aﬁcas e rotinas

computacionais que trabalham em conjunto, facilitando a aplica¸c˜ao desta estrutura de

modelos para sistemas dinˆamicos. O essencial para a obten¸c˜ao dos modelos foi encapsu-

lado em um ambiente computacional.

De fato, um passo importante na identiﬁca¸c˜ao de um sistema dinˆamico usando bases

ortonormais ´e a sele¸c˜ao dos p´olos das fun¸c˜oes. Isto ´e devido ao fato que as fun¸c˜oes de

transferˆencias geradas por tal m´etodo necessitam que seus p´olos sejam adequadamente alo-

cados para que a s´erie de fun¸c˜oes que represente o sistema possua uma boa convergˆencia.

Neste sentido, um algoritmo h´ıbrido, baseado em inteligˆencia artiﬁcial, foi utilizado para

que a aloca¸c˜ao dos p´olos fosse feita de maneira mais precisa e de forma a obter baixas

dimens˜oes para os sistemas estudados. Por ﬁm, diversos exemplos mostraram a aplica-

bilidade e validade da teoria, algoritmo e software propostos em diversas ´areas, tanto

no dom´ınio do tempo, quanto no da freq¨uˆencia. Todos os modelos (que s˜ao de previs˜ao

livre) obtidos permitem a aplica¸c˜ao GOBF em sistemas el´etricos, em particular linhas de

transmiss˜ao e transformadores, em sistemas SISO e MISO, em sistemas eletro-mecˆanicos

6.1 Trabalhos Futuros 77

e sistema t´ermicos s˜ao descritos, evidenciando a aplicabilidade dos resultados obtidos.

6.1 Trabalhos Futuros

Trabalhos futuros na ´area de identiﬁca¸c˜ao de sistemas usando bases de fun¸c˜oes ortonor-

mais incluem:

1. Compara¸c˜ao de desempenho entre modelos GOBF e outras estruturas para identi-

ﬁca¸c˜ao de sistemas j´a propostas.

2. Compara¸c˜ao entre o m´etodo de sele¸c˜ao de p´olos GOBF proposto e os j´a abordados

na literatura.

3. Estudo da inﬂuˆencia, na sele¸c˜ao de p´olos, dos parˆametros pertinentes aos algoritmos

utilizados para as otimiza¸c˜oes.

4. Flexibilidade para que possa ser utilizada a previs˜ao um passo a frente nas identi-

ﬁca¸c˜oes, o que pode ser desej´avel em alguns casos.

5. Sele¸c˜ao de p´olos na freq¨uˆencia com base na an´alise dos seus respectivos espectros,

de forma a pelo menos obter parˆametros iniciais para os algoritmos de otimiza¸c˜ao.

6. Apesar de conclu´ıdo para a ﬁnalidade `a qual foi proposto, o software pode agre-

gar mais interfaces, como as apresentadas nas ﬁguras 6.1, 6.2, 6.3. S˜ao interfaces semi-

acabadas e com linhas de c´odigo j´a embutidas, que necessitam ter seus parˆametros corre-

tamente lidos, formatados e enviados `as respectivas rotinas.

6.1 Trabalhos Futuros 78

Figura 6.1: Interface para Valida¸c˜ao de Modelos GOBF

6.1 Trabalhos Futuros 79

Figura 6.2: Interface para Otimiza¸c˜ao de P´olos em Modelos GOBF

6.1 Trabalhos Futuros 80

Figura 6.3: Sub-Interface da Otimiza¸c˜ao: Interface de M´ultiplas Simula¸c˜oes

Referˆencias

Abonyi, J., R. Babuska, H. B. Verbruggen e F. Szeifert (2000). Incorporating prior

knowledge in fuzzy model identiﬁcation. International Journal of Systems Science

31(5), 657–667.

Aguirre, A. e L. A. Aguirre (1998). Time series analysis of monthly beef cattle prices with

nonlinear autoregressive models. In: Applied Economics. Vol. 32. pp. 245–275.

Aguirre, L. A. (2007). Introdu¸c˜ao `a Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas: T´ecnicas Lineares e N˜ao

Linares Aplicadas a Sistemas Reais. 3 ed.. Editora UFMG. Belo Horizonte, MG,

Brasil.

Ak¸cay, H. e P. Heuberger (2001). A frequency-domain iterative identiﬁcation algorithm

using general orthonormal basis functions. Automatica 37(5), 663–674.

Alessandri, A. e T. Parisini (1997). Nonlinear modelling of complex large-scale plants using

neural networks and stochastic approximation. IEEE Transactions on Systems, and

Cybernetics - Part A 27(6), 750–757.

Arruda, G. H. M. e P. R. Bastos (2007). Enciclop´edia de Autom´atica. Chap. 1: Introdu¸c˜ao

`a Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas Dinˆamicos, pp. 24–55. Vol. 3. Edgard Bl¨ucher. S˜ao Paulo,

SP, Brasil.

Bazaraa, M. S., H. Sherali e C. M. Shetty (2006). Nonlinear Programming. John Wiley &

Sons, Inc. New York, EUA.

Bechmann, H., M. K. Nielsen, H. Madsen e K. P. Niels (1999). Grey-box modelling of

pollutant loads from a sewer system. Urban Water 1(1), 71–78.

Billings, S. A. (1980). Identiﬁcation of nonlinear systems - a survey. IEE Proceedings-D

Control Theory and Applications 127(6), 272–285.

Bohlin, T. (1994). A case study of grey box identiﬁcation. Automatica 30(2), 307–318.

Bouzrara, K. e H. Messaoud (2002). Robust identiﬁcation of thermal processes using

orthogonal function bases. Heat Transfer Research 33(7-8), 473–489.

Brus, L. (2005). Nonlinear identiﬁcation of a solar heating system. In: Proceedings of the

IEEE International Conference on Control Applications. Toronto, EUA. pp. 1491–

1497.

Bulsari, A. e H. Saxen (1991). Application of feed-forward neural networks for system

identiﬁcation of a biochemical process. In: IEEE International Joint Conference on

Neural Networks. Vol. 2. Singapura. pp. 1224–1229.

Referˆencias 82

Callafon, R. A., P.M.J. Van den Hof e D.K. De Vries (1994). Identiﬁcation and control

of a compact disc mechanism using fractional representations. In: Proc. 10th IFAC

Symposium on System Identiﬁcation. Dinamarca.

Campello, R. J. G.B. e G. H. C. Oliveira (2007). Enciclop´edia de Autom´atica. Chap. 4:

Modelos N˜ao Lineares, pp. 104–122. Vol. 3. Edgard Bl¨ucher. S˜ao Paulo, SP, Brasil.

Campello, R. J. G. B., G. H. C. Oliveira e W. C. Amaral (2007). Identiﬁca¸c˜ao e controle

de processos via desenvolvimentos em s´eries ortonormais. Parte A: Identiﬁca¸c˜ao. Sba

Controle & Automa¸c˜ao 18(3), 301–321.

Campello, R. J. G. B. (2002). Arquiteturas e Metodologias para Modelagem e Controle

de Sistemas Complexos utilizando Ferramentas Cl´assicas e Modernas. PhD thesis.

UNICAMP. Campinas, SP, Brasil.

Clowes, G. J. (1965). Choice of the time-scaling factor for linear system approximation

using orthonormal laguerre functions. In: IEEE Transactions on Automatic Control.

Vol. 10. pp. 487–489.

Cluett, W. R. e L. Wang (1992). Frequency smoothing using laguerre model. Control

Theory and Applications, IEE Proceedings D pp. 88–96.

Coelho, A. A. R. e L. S. Coelho (2004). Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas Dinˆamicos Lineares.

Editora UFSC. Florian´opolis, SC, Brasil.

Cubillos, F. A. e E. L. Lima (1997). Identiﬁcation and optimizing control of a roucher

ﬂotation circuit using an adaptable hybrid-neural model. Minerals Engineering

10(7), 707–721.

Cubillos, F. A., P. I. Alvarez, J. C. Pinto e E. L. Lima (1996). Hybrid-neural modeling

for particulate solid drying processes. In: Power Technology. Vol. 87. pp. 153–160.

Degeneﬀ, R. C., W. J. McNutt, W. Neugebauer, J. Panek, M. E. McCallun e C. C. Honey

(1998). Transformer response to system switching voltages. IEEE Trans. on Power

Apparatus and Systems.

den Bosch, P. P. J. Van e A. C. Van der Klauw (1994). Modeling, Identiﬁcation and

Simulation of Dynamical Systems. CRC Press. Londres, Inglaterra.

den Hof, P. M. J. Van, P. S. C. Heuberger e J. Bokor (1995). System identiﬁcation with

generalized orthonormal basis functions. Automatica 31(12), 1821–1834.

Deschrijver, D. e T. Dhaene (2006). Parametric identiﬁcation of frequency domain systems

using orthonormal rational bases. In: 14th IFAC Symposium on System Identiﬁcation

(SYSID 2006). pp. 837–842.

de Hoog, Thomas (2001). Rational orthonormal bases and related transforms in linear

system modeling. PhD thesis. Delft University of Technology, Delft - The Nether-

lands.

Donaisky, E., G. H. C. Oliveira e N. Mendes (2008a). Algoritmos PMV-MBPC para

conforto t´ermico em ediﬁca¸c˜oes: Aplica¸c˜ao em uma c´elula-teste. In: XVII Congresso

Brasileiro de Autom´atica (CBA’08). Juiz de Fora, MG, Brasil.

Referˆencias 83

Donaisky, E., G. H. C. Oliveira e N. Mendes (2008b). An´alise de desempenho de contro-

lador MBPC baseado em PMV aplicado a sistemas de aquecimento. In: V Congresso

Nacional de Engenharia Mecˆanica (CONEM’08). Salvador, BA, Brasil.

Donaisky, E., G. H. C. Oliveira, R. Z. Freire e N. Mendes (2007). PMV-based predictive

algorithms for controlling thermal comfort in building plants. In: Proc. of 16th IEEE

Conference on Control Applications (CCA’07). Suntec City, Singapore.

Duran, M. A. e B. S. White (1994). Bayesian estimation applied to eﬀective heat transfer

coeﬃcients in a packed bed. Chemical Engineering Science 50(3), 495–510.

Elnaggar, A. (1997). On line parameter estimation of the laguerre functions. In: Proc. of

the 36th Conference on Decision & Control. Vol. 2. pp. 1273–1276.

El-Fandi, M., I. A. Henderson e J. McGhee (1998). System identiﬁcation of a two input

two-output simulated distillation column using noninteracting multisymbol signals.

In: Proceedings of the 12th European Simulation Multiconference on Simulation.

Manchester, Reino Unido. pp. 176–179.

Eykhoﬀ, P. (1974). System Identiﬁcation : Parameter and State Estimation. John Wiley

& Sons. New York, EUA.

Fischer, B. R. e A. Medvedev (1998). Laguerre shift identiﬁcation of a pressurized process.

In: Proc. of the American Control Conference. Philadelphia, EUA. pp. 1933–1937.

Freire, R. Z., G. H. C. Oliveira e N. Mendes (2005a). Development of single-zone predictive

equations using linear regression for advanced controllers synthesis. In: Proc. of the

Nineth Building Simulation Conference (IBPSA’05). Vol. 1. Montreal, Canada.

Freire, R. Z., G. H. C. Oliveira e N. Mendes (2005b). Thermal comfort based predictive

controllers for building heating systems. In: Proc. of the 16th IFAC World Congress

(IFAC’05). Prague, Czech Republic.

Freire, R. Z., G. H. C. Oliveira e N. Mendes (2006). Non-linear predictive controllers for

thermal comfort optimization and energy saving. In: Proc. of the IFAC Workshop

on Energy Saving Control in Plants and Buildings. Bansko, Bulgaria.

Freire, R. Z., G. H. C. Oliveira e N. Mendes (2008). Development of regression equa-

tions for predicting energy and hygrothermal performance of buildings. Energy and

Buildings 40(5), 810–820.

Freire, R. Z. (2006). T´ecnicas avan¸cadas de controle aplicadas a sistemas de clima-

tiza¸c˜ao visando conforto t´ermico. Master’s thesis. Pontif´ıcia Universidade Cat´olica

do Paran´a. Curitiba, PR, Brasil.

Funkquist, J. (1997). Grey-box identiﬁcation of a continuous digester - a distributed-

parameter process. Control Engineering Practice 5(7), 919–930.

Fu, Y. e G. A. Dumont (1993a). An optimum time scale for discrete Laguerre network.

IEEE Transactions on Automatic Control 38(6), 934–938.

Referˆencias 84

Fu, Y. e G. Dumont (1993b). On determination of laguerre ﬁlter pole through step or im-

pulse response data. In: Proc. 12th IFAC World Congress. IFAC. Sydney, Australia.

pp. 5:303–307.

Garcia, C. (1997). Modelagem e simula¸c˜ao de processos industriais e de sistemas

eletromecˆanicos. EDUSP. S˜ao Paulo, SP, Brasil.

Gauss, C. F. (1809). Theoria Motus Corporum Coelestium: In Sectionibus Conicis Solem

Ambientium. F. Perthes and I.H. Besser.

Giannakis, G. B. e E. Serpedin (2001). A bibliography on nonlinear system identiﬁcation.

Signal Process 81, 533–580.

Gustavsen, Bjorn (2004). Wide band modeling of power transformers. IEEE Transactions

on Power Delivery 1(19), 414–422.

Gustavsen, B. e A. Semlyen (1999). Rational approximation of frequency domain re-

sponses by vector ﬁtting. IEEE Transactions on Power Delivery.

Hellendoorn, H. e D. Driankov (1998). Fuzzy Model Identiﬁcation: Selected Approaches.

Springer.

Heuberger, P.S.C. (1991). On Approximate System Identiﬁcation with System Based Or-

thonormal Functions. PhD thesis. Delft University of Technology, Delft - The Nether-

lands.

Heuberger, P. S. C., P.M.J. Van den Hof e B. Wahlberg (2005). Modelling and Identiﬁca-

tion with Rational Orthogonal Basis Functions. Springer Verlag.

Heuberger, P. S. C., P. M. J. Van den Hof e O. H. Bosgra (1995). A generalized orthonor-

mal basis for linear dynamical systems. IEEE Transactions on Automatic Control

40(3), 451–465.

Heuberger, P. S. C., T. J. Hoog, P. M. J. Van Den Hof e B. Wahlberg (2003). Orthonormal

basis functions in time and frequency domain: Hambo transform theory. Society for

Industrial and Applied Mathematics 42, 1347–1373.

IEA (2003). International energy agency - annex 41 - whole building heat, air and moisture

response moist-eng. Technical report. Modelling, Belgium.

Johansson, R., A. Robertsson, K. Nilsson e M. Verhaegen (2000). State-space system

identiﬁcation of robot manipulator dynamics. In: Mechatronics. Vol. 10. pp. 403–

418.

Jones, D. R., C. D. Perttunen e B. E. Stuckman (1993). Lipschitzian optimization without

the lipshitz constant. Journal of Optimization Theory and Application 79, 157–181.

Jorgensen, S. E. (1999). State-of-the-art of ecological modelling with emphasis on devel-

opment of structural dynamic models. Ecological Modelling 120, 75–96.

Judkoﬀ, R. D. e J. S. Neymark (1995). Building Energy Simulation Test (BESTEST) and

Diagnostic Method. Colorado National Renewable Energy Laboratory. NREL/TP-

472-6231.

Referˆencias 85

Junichiro, Y. e D. Kenji (2006). Bayesian system identiﬁcation method for biochemical

reaction systems. In: IPSJ SIG Technical Reports. pp. 35–40.

Karnaukhov, A. V. e E. V. Karnaukhova (2003). Application of a new method of nonlinear

dynamical system identiﬁcation to biochemical problems. Biochemistry 68(3), 253–

259.

Kautz, W. H. (1954). Transient synthesis in time domain. IRE Transactions on Circuit

Theory CT-1(3), 29–39.

Keyhani, A., S. W. Chua e S. A. Sebo (1998). Maximum likelihood estimation of trans-

former high frequency parameters from test data. IEEE Transactions on Power De-

livery.

King, J. J. e T. O’Canainn (2000). Optimum pole positions for laguerre functions models.

In: Electronics Letters. Vol. 5. pp. 601–602.

Lindskog, P e J. Sjoberg (1995). A comparison between semi-physical and black-box

neural net modeling: a case study. In: Proceedings of the International Conference:

Engineering Applications of Artiﬁcial Neural Networks, Helsinki, Finland. pp. 235–

238.

Lindskog, P. (1996). Methods, Algorithms and Tools for System Identiﬁcation Based on

Prior Knowledge. PhD thesis. Linkoping University, Sweden.

Ljung, L. e T. Glad (1994). Modeling of Dynamic Systems. Prentice Hall.

Ljung, L. (1999). System Identiﬁcation: Theory for the user. 2 ed.. Prenctice Hall, Inc.

Ljung, L. (2002). Prediction error estimation methods. Circuits, Systems, and Signal

Processing 21(1), 11–21.

Lorito, F. (1998). Identiﬁcation of a grey-box model of nonlinear current transformer for

simulations purposes. Control Engineering Practice 6, 1331–1339.

Ludeman, L. C. (1993). Blind nonlinear system identiﬁcation during ventricular ﬁbrilla-

tion. In: Proceedings of the Twelfth Southern Biomedical Engineering Conference.

pp. 309–311.

Maione, B. e B. Turchiano (1985). Laguerre z-transfer function representation of linear

discrete-time systems. Int. Journal of Control 41(1), 245–257.

Makila, P. M. e J. R. Partington (1999). Laguerre and Kautz shift approximations of

delay systems. International Journal of Control 72(10), 932–946.

Malmquist, F. (1925). Sur la d´etermination d’une classe de fonctions analytiques par leurs

valeurs dans un ensemble donn´e de points. In: Comptes Rendus du Sixi`eme Congr`es

des math´ematiciens scandinaves. Copenhague, Dinamarca. pp. 253–259.

Malti, R., S. B. Ekongolo e J. Ragot (1998). Dynamic siso and miso system approxima-

tions based on optimal laguerre models. IEEE Transactions on Automatic Control

43(9), 1318–1323.

Referˆencias 86

Masnadi-Shirazi, M. A. e N. Ahmed (1991). Optimum Laguerre networks for a class of

discrete-time systems. IEEE Transactions on Signal Processing 39(9), 2104–2108.

Meissner, J. W., N. Mendes, K. C. Mendon¸ca, L. M. Moura e M. Abadie (2008). Obten¸c˜ao

de curvas caracter´ısticas para simula¸c˜ao de condicionadores de ar. In: Mercofrio 2008.

Curitiba, PR, Brasil.

Meissner, J. W. (2008). Desenvolvimento de um aparato experimental para avalia¸c˜ao da

in´ercia higrosc´opica de materiais porosos de ediﬁca¸c˜oes. Master’s thesis. Pontif´ıcia

Universidade Cat´olica do Paran´a. Curitiba, PR, Brasil.

Mendes, N., R. C. L. F. Oliveira e G. H. Santos (2005). Energy eﬃciency and thermal

comfort analysis using the powerdomus hygrothermal simulation tool. In: Proc. of

the Nineth Building Simulation Conference (IBPSA’05). Vol. 1. Montreal, Canada.

pp. 9–16.

Morvan, R., N. Tanguy e L. C. Calvez (2000). Pertinent parameters for kautz approxi-

maion. Electronics Letters 36(8), 769–771.

Nalbantoglu, V., J. Bokor, G. Balas e P. Gaspar (2002). System identiﬁcation with gener-

alized orthonormal basis functions: An application to ﬂexible structures. In: Control

Engineering Practice. Vol. 11. pp. 245–259.

Ninness, B., H. Hjalmarsson e F. Gustafsson (1999). On the fundamental role of orthonor-

mal bases in system identiﬁcation. In: IEEE Transactions on Automatic Control.

Vol. 44. pp. 1384–1406.

Ninness, B. (1996). Frequency domain estimation using orthonormal bases. In: in Pro-

ceedings of the 13th IFAC World Congress. pp. 381–386.

Ninness, B. (1998). The utility of orthonormal bases. Technical Report EE9802. DECE /

University of Newcastle. Australia.

Nunes, M. F. (2006). Estudo comparativo sobre m´etodos de identiﬁca¸c˜ao para levan-

tamento de modelos a partir de dados de resposta em freq¨uˆencia. Master’s thesis.

Instituto Militar de Engenharia - IME. Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

Ohsaki, H., M. Morita e M. Murata (2002). On modeling round-trip time dynamics of the

internet using system identiﬁcation. In: 16th International Conference on Informa-

tion Networking.

Oliveira, G. H. C. e A. C. O. Rocha (2005). Identiﬁca¸c˜ao de linhas e transformadores

de sistemas el´etricos usando bases de laguerre e kautz. In: VII SBAI - Simp´osio

Brasileiro de Automa¸c˜ao Inteligente. S˜ao Luis, MA, Brasil.

Oliveira, G. H. C., G. Favier, G. Dumont e W. C. Amaral (1998). Uncertainties identiﬁ-

cation using laguerre mo dels with application to paper machine headbox. In: Proc.

of IEEE/IMACS on Computational Engineering in Systems Applications. Vol. 1.

Tunisia. pp. 329–334.

Oliveira, G. H. C., M. F. Amorim e K. Latawiec (2005). Multiple model identiﬁcation

and control of neonate incubators using laguerre basis. In: Proc. of the IFAC World

Congress. Prague/Czech Republic.

Referˆencias 87

Oliveira, G. H. C., R. J. G. B. Campello e W. C. Amaral (2007). Identiﬁca¸c˜ao e controle de

processos via desenvolvimentos em s´eries ortonormais. Parte B: Controle preditivo.

SBA Controle & Automa¸c˜ao 18(3), 322–336.

Oliveira, G. H. C., W. C. Amaral e G. Favier (1996). Controle preditivo de processos

com incertezas param´etricas modelados por ﬁltros de laguerre. In: Anais do 11

Congresso Brasileiro de Automatica. Vol. 2. S˜ao Paulo, SP, Brasil. pp. 947–952.

Oliveira, G. H. C. (1997). Controle Preditivo para Processos com Incertezas Estruturadas

baseado em S´eries de Fun¸c˜oes Ortonormais. PhD thesis. DCA/FEEC/Unicamp -

Campinas/SP/Brasil.

Oliveira, G. H. C. (2007). Modelagem de componentes de sistemas el´etricos de p otˆencia

usando bases de fun¸c˜oes ortonormais. EletroEvolu¸c˜ao 47, 37–45.

Petrick, M. H. e B. Wigdorowitz (1997). A priori nonlinear model structure selection for

system identiﬁcation. Control Engineering Practice 5(8), 1053–1062.

Reginato, B. C. e G. H. C. Oliveira (2007a). Bases de fun¸c˜oes ortonormais generalizadas na

modelagem de componentes do sistema el´etrico de potˆencia. In: Semin´ario Nacional

de Produ¸c˜ao e Transmiss˜ao de Energia El´etrica. Rio de Janeiro, Brasil.

Reginato, B. C. e G. H. C. Oliveira (2007b). On selecting the mimo generalized orthonor-

mal basis functions poles by using particle swarm optimization. In: Proc. of the

European Control Conference. Kos, Greece.

Reginato, B. C. e G. H. C. Oliveira (2008a). Algoritmo h´ıbrido para sele¸c˜ao de p´olos em

modelos formados por bases de fun¸c˜oes ortonormais generalizadas. In: CBA 2008 -

Congresso Brasileiro de Autom´atica. Juiz de Fora, MG, Brasil.

Reginato, B. C. e G. H. C. Oliveira (2008b). Bases de fun¸c˜oes ortonormais generalizadas na

modelagem de componentes do sistema el´etrico de potˆencia. EletroEvolu¸c˜ao 51, 18–

26.

Reginato, B. C. e G. H. C. Oliveira (2008c). Estudo de caso da modelagem de transfor-

madores do sistema furnas usando bases ortonormais. In: V Workspot- International

Workshop on Power Transformers. Bel´em, PA, Brasil.

Rosa, A., R. J. G. B. Campello e W. C. Amaral (2008). C´alculo de dire¸c˜oes de busca

exatas para otimiza¸c˜ao de ﬁltros de laguerre e de kautz. In: Congresso Brasileiro de

Autom´atica - CBA. Juiz de Fora, MG, Brasil.

R. T´oth, P. S. C. Heuberger e P. M. J. Van den Hof (2006). Optimal pole selection for

lpv system identiﬁcation with obfs, a clustering approach. 14th IFAC Symposium on

System Identiﬁcation pp. 356–361.

Sabatini, A. M. (2000). A hybrid genetic algorithm for estimating the optimal time scale

of linear systems approximations using laguerre models. IEEE Transactions on Au-

tomatic Control 45(5), 1007–1011.

Sbarbaro, D. (1997). Local laguerre models. In: Multiple Model Approaches to Modelling

and Control (R. Murray-Smith e T. A. Johansen, Eds.). Chap. 10, p. 257. Taylor &

Francis.

Referˆencias 88

Schoukens, J. e R. Pintelon (1991). Identiﬁcation of Linear Systems: A Practical Guideline

to Accurate Modeling. Pergamon.

Silva, T. O. (1995a). On the determination of the optimal pole position of Laguerre ﬁlters.

IEEE Trans. on Signal Processing 43(9), 2079–2087.

Silva, T. O. (1995b). Optimality conditions for truncated kautz networks with two period-

ically repeating complex conjugate poles. IEEE Transactions on Automatic Control

40(2), 342–346.

Silva, T. O. (1996). A n-width result for the generalized orthonormal basis function model.

In: Preprints of the 13th IFAC World Congress. S˜ao Francisco, EUA. pp. 375–380.

Silva, T. O. (2000). Optimal pole conditions for laguerre and two-parameters kautz mod-

els: A survey of known results. In: Proc. of the 12th IFAC Symposium on System

Identiﬁcation (SYSID). Vol. 2. Santa Barbara, EUA. pp. 457–462.

Silva, T. O. (2005). Modelling and Identiﬁcation with Rational Orthonormal Basis Func-

tions. Chap. Pole Selection in GOBF Mo dels, pp. 297–336. Springer.

Silveira, B. P. (2006). Identiﬁca¸c˜ao de sistemas no dom´ınio da freq¨uˆencia para aplica¸c˜ao

em ve´ıculos a´ereos n˜ao-tripulados. Tese de mestrado. Instituto Militar de Engenharia

- IME. Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

Soderstr¨om, T. e P. Stoica (1989). System Identiﬁcation. Prentice Hall.

Takenaka, S. (1925). On the orthogonal functions and a new formula of interpolation. In:

Japanese Journal of Mathematics II. pp. 129–145.

Tanguy, N., R. Morvam, P. Vilb´e e L. Calvez (2002). Pertinent choice of parameters for

discrete kautz approximation. IEEE Transactions on Automatic Control 47(5), 783–

787.

Thompson, M. L. e M. A. Kramer (1994). Modeling chemical processes using prior knowl-

edge and neural networks. AIChE Journal 40(8), 1328–1340.

Vaessen, P.T.M (1998). Transformer model for high frequencies. IEEE Trans. on Power

Delivery.

van Donkelaar, E.T., P.S.C. Heuberger e P.M.J. Van den Hof (1998). Identiﬁcation of a

ﬂuidized catalytic cracking unit: An orthonormal basis functions approach. In: In

Proceedings of the 1998 American Control Conference. pp. 1814–1817.

van Donkelaar, E.T. (2000). Improvement of Eﬃciency in Identiﬁcation and Model Pre-

dictive Control of Industrial Processes: A Flexible Linear Parametrization Approach.

PhD thesis. Delft University of Technology, Delft - The Netherlands.

Virk, G. S. e D. L. Loveday (1994). Model-based control for hvac aplications. In: Proc. of

The Third IEEE Conference on Control Applications. Glasgow, Esc´ocia. pp. 1861–

1866.

Vries, D. K. e P. M. J. Van den Hof (1998). Frequency domain identiﬁcation with gen-

eralized orthonormal basis functions. IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC

CONTROL 43(5), 656–669.

Referˆencias 89

Wahlberg, B. (1991). System identiﬁcation using laguerre models. IEEE Trans. on Auto-

matic Control 36, 551–562.

Wahlberg, B. (1994). System identiﬁcation using kautz models. IEEE Transactions on

Automatic Control 39(6), 1276–1282.

Wang, L. e W. R. Cluett (1994). Optimal choice of time-scaling factor for linear system

approximations using laguerre models. IEEE Transactions on Automatic Control

39(7), 1463–1467.

Wernholt, E. e S. Gunnarsson (2004). Nonlinear grey-box identiﬁcation of industrial robots

containing ﬂexibilities. Technical Report LiTH-ISY-R-2641. Department of Electrical

Engineering, Link¨oping University. SE-581 83 Link¨oping, Sweden.

Westwick, D. T. e R. E. Kearney (2003). Identiﬁcation of Nonlinear Physiological Systems.

Wiley-IEEE Computer Society Pr.

Weyer, E., S. G´abor e H. Katalin (2000). Grey box fault detection of heat exchangers. In:

Control Engineering Practice. Vol. 8. pp. 121–131.

Woods, R. L. e K. L. Lawrence (1997). Modeling and Simulation of Dynamics Systems.

Prentice Hall, Inc.. New Jersey, EUA.

Ziaei, K. e D. W. L. Wang (2004). Application of orthonormal basis functions for iden-

tiﬁcation of ﬂexible - link manipulators. In: Control Engineering Practice. Vol. 14.

pp. 99–106.

Anexos

Encontram-se em anexo:

1. Artigo publicado no European Control Conference (ECC 2007) [Kos, Gr´ecia / 2-5

de Julho de 2007] sob t´ıtulo On Selecting the MIMO Generalized Orthonormal

Basis Functions Poles by Using Particle Swarm Optimization.

2. Artigo publicado no XIX Semin´ario Nacional de Produ¸c˜ao e Transmiss˜ao de Energia

El´etrica (SNPTEE 2007) [Rio de Janeiro, Brasil / 14-17 de Outubro de 2007] sob t´ıtulo

Bases de Fun¸c˜oes Ortonormais Generalizadas na Modelagem de Componentes

do Sistema El´etrico de Potˆencia.

On Selecting the MIMO Generalized Orthonormal Basis Functions

Poles by Using Particle Swarm Optimization

Bruno C. Reginato and Gustavo H. C. Oliveira

Abstract— This paper deals with the problem of ﬁnding the

pole(s) in Orthonormal Basis Functions (OBF) models. In fact,

any stable system can be exactly represented by an inﬁnite

orthonormal functions series, assuming that the basis used

in such representation is complete. However, in practice a

truncated basis functions expansion is used. For certain basis

choice and ﬁxed number of functions, there is a pole or set

of poles that minimizes the truncation error. The problem is

then to ﬁnd such set. Therefore, the present paper is focused

on the problem of ﬁnding the basis functions poles when

more than one dynamic is involved, for instance, in SISO

Generalized Orthonormal Basis Functions (GOBF) models or

MIMO Laguerre, Kautz and/or GOBF models. It is proposed

and analyzed here the use of Particle Swarm Optimization

(PSO) for such problem. Simulation results presented shows

the validity of the proposed method.

Keywords - Linear Systems, System Identiﬁcation, Orthonor-

mal Basis Functions, Particle Swarm Optimization.

I. INTRODUCTION

In the last decade, the subject of using orthonormal

basis functions (OBF) in system identiﬁcation problems has

receiving a great interest in the literature [1], [2]. Such kind

of basis functions can be used to approximate stable transfer

functions and are particularly attractive for process control

applications in industries. However, the applications of OBF

aren’t restricted to this area. Many problems due to the prop-

erty that basis function models are linearly parametrized, can

be addressed by its efﬁcient representation or parametrization

of signals and systems.

In fact, any stable system can be exactly represented by

an inﬁnite series orthonormal basis functions, assuming that

the basis used in such representation is complete. However,

in practice, a truncated series expansion is used. For a

given system, the truncation error depends on the basis

class choice, the basis functions number and the functions

parameters, also refereed as functions pole(s), dynamic(s) or

time(s) scale. On OBF related issues, there is a compromise

between the number of expansion terms and the optimality

of the pole(s). If the expansion terms number is large,

the choice of the function pole(s) is not crucial. But, for

a limited number of expansion terms, such selection is

important to provide a good approximation. Moreover, by

limiting the number of these terms one can obtain simpliﬁed

mathematical representations and lower computational costs

Bruno C. Reginato and Gustavo H. C. Oliveira are with

the Industrial and Systems Engineering Graduate Program

(PPGEPS) of the Pontiﬁcal Catholic University of Paran

(PUCPR), R. Imaculada Conceic¸

ao 1155, Curitiba/PR/Brazil, Zip

Code 80215-901, e-mail: [email protected],

[email protected]

Gustavo H. C. Oliveira is the author for correspondence.

for simulations and processing. Therefore, for certain basis

choice and ﬁxed number of functions, there is a pole or set

of poles that minimizes the truncation error. The problem is

then to ﬁnd such set.

A well known class of OBF is the one based on functions

parametrized by one or more dynamics, such as the Laguerre

basis, Kautz basis [2], or Generalized Orthonormal Basis

Functions (GOBF) [3]. The problem of choosing the OBF

dynamic(s) or pole(s) for linear systems have been analyzed

by several authors in the literature, see for instance [4],

[2] and references included. Most of the solutions deals

with the problem of choosing the Laguerre or Kautz poles.

Usually, in these cases, the pole is selected by using a priori

knowledge of the dominant dynamic of the system. In [5],

an analytical solution for deriving the optimal Laguerre pole

is proposed. The solution is valid for certain class of system

and is based on the system impulse response. In [6], a

method to derive the optimum Laguerre functions pole is

discussed. The solution is also based on the process impulse

response knowledge and it is proposed a minimization index

where the weight in each Laguerre coefﬁcient is linearly

increased. Some works, such as [7], [8], [9], proposes the use

of numerical unidimensional search for seeking the Laguerre

pole optimal position. On the other hand, in [10], a method

based on the derivatives of each model coefﬁcient with

respect to the Laguerre pole, that does not require numerical

search and can be used for an arbitrary signal, is proposed.

On the other hand, the problem of choosing the pair of

complex poles in Kautz functions for linear systems have

been addressed, for instance in [11], [12], [13]. The MISO

case is addressed in [14], where the Newton Raphson’s iter-

ative technique is applied to compute the optimal Laguerre

pole. This method is not limited to the use of impulse

response signals.

The use of artiﬁcial intelligence techniques for selecting

the optimal OBF parameters is proposed, for instance, in

[15]. In this previously cited work, an hybrid method, linking

Genetic Algorithm and Newton-Raphson optimizer is used

for ﬁnding the Laguerre model pole on SISO systems based

on its impulse response. The hybrid algorithm incorporates

Newton-Raphson local optimizer for improving the conver-

gence to the global minimum point.

However, few results are available for Generalized Or-

thonormal Basis Functions, where the choice of more than

one dynamic is necessary. The present paper is focused

on the problem of ﬁnding the basis functions parameters

when more than one dynamic or pole is involved. Such case

can be, for instance, the selection of the GOBF poles in

a SISO model or the selection of Laguerre, Kautz and/or

GOBF poles in a MISO/MIMO model. Therefore, it is

proposed and analyzed the use Particle Swarm Optimization

(PSO) for such problem. PSO is a optimization technique

for continuous non-linear functions based on the movements

of a individuals group, each individual is called particle.

The poles selection aren’t constrained to the use impulse

response. This property is desirable in practice.

The paper is organized as follows. Section II contains a

review of the main issues related with orthonormal basis

functions for system modeling, including the MIMO case. In

Section III, the problem of ﬁnding the basis functions pole is

stated. For sake of comparison, Section IV contains a method

for obtaining asymptotically optimal pole locations for linear

systems. In Section V, the main aspects related with PSO

algorithm for optimization problems and its relation to the

paper focused are presented. Some application examples, for

SISO and MISO systems, are discussed in Section VI and,

ﬁnally, conclusions are addressed in Section VII.

II. GENERALIZED ORTHONORMAL BASIS FUNCTIONS

FOR SYSTEM MODELING

A SISO linear causal dynamic system, with ﬁnite memory,

can be described by its impulse response h(k), that is:

y(k) =

∞

∑

i=0

h(k − i)u(i) (1)

In this equation, u(k) and y(k) are the input and output sig-

nals, respectively, and h(k) is the system impulse response.

If h(k) has ﬁnite memory, it can be represented by a series

of orthonormal functions, as follows:

h(k) =

∞

∑

i=1

(k) (2)

where { φ

(k) }

∞

i=1

is a base of orthonormal functions and c

is the i-th series coefﬁcient. Let Φ

(z) being the Z transform

of φ

(k) and l

(k) the output of Φ

(z) when the input signal is

u(k). By using this deﬁnitions, the model output ˜y(k), when

the series is truncated in n terms, is given by:

˜y(k ) =

∑

i=1

(k) (3)

This model is linear in the parameters, so a least square

algorithm can be used to estimate the c

coefﬁcients.

Different orthonormal basis can be used in such con-

text, and they are usually constructed as a function of the

dominant system dynamic(s). An issue when deﬁning such

orthonormal basis is the choice of the number of different

modes in the base and its value. Two sets of such functions

which have been used frequently are the Laguerre and Kautz

functions. FIR structure can be viewed as a particular case

of Laguerre/Kautz basis. Generalized Orthonormal Basis

Functions (GOBF) are basis built by using more than one

mode or pole. Such ﬂexibility improves the convergence of

the series decomposition, leading to a more parsimonious

representation in relation to basis having only one mode.

Laguerre and Kautz basis are also a special case of the GOBF

ones. All these bases are complete in the Lebesgue space,

meaning that any stable system can be modeled using this

approach. The GOBF are constructed by using the deﬁnition

of inner functions, as follows: Deﬁning H

(z) as a transfer

function with all-pass behavior given by the ﬁlter

H(z) =

1 − p

∗

z − 1

(4)

where p

∗

is the conjugate of p

. Since H

−1

(z) = 1,

(z) can be called an inner function. Assuming G

(z) a

function given by the cascade realization of n

functions

(z), each one having different p

poles (real or complex

conjugated). These n

poles contains an a priori information

about the system dominant dynamics. The function G

(z) is

also an inner function.

An orthonormal basis function can be deﬁned by φ

i j

(k),

where φ

i j

(k) is the i-th element of the signals vector ν

(k)

and V

(z), i.e., the inverse transform of ν

(k), is given by:

(z) = (zI − A)

−1

j−1

(z), ∀ j = 1,... ,n

(5)

In this equation, the quadruple (A,B,C,D) is the

space state realization of G

(z). In this context, deﬁn-

ing l

i j

(k) as the output of the (i j)-th basis function

i j

(z) : i = 1, ... ,n

, j = 1, ... when the input is u(k). There-

fore, the model with orthonormal basis functions is given by:

y(k) =

∞

∑

j=1

∑

i=1

i j

(k) (6)

where c

i j

are the coefﬁcients of the representation using

orthonormal basis on the system. Truncating the cascade

realization of the functions G

(z) in n

functions, it is

obtained:

˜y(k ) =

∑

j=1

(k) (7)

In this equation, c

and l

are vectors containing the

elements c

i j

and l

i j

, respectively, for i = 1, ... ,n

. The

approximation error between the true system and the OBF

model can be deﬁned as:

(k) = y(k ) − ˜y(k)

where n = n

. Finally, deﬁning L(k) and C the concatena-

tion of l

(k) and c

, i = 1,.. ., n

, the model output is:

˜y(k ) = C

L(k) (8)

Therefore, the space state realization of the GOBF model

is given by:

L(k + 1) = AL(k) + Bu(k) (9)

where the state vector and the matrices A e B are obtained

using the number of functions V

(z) on the model, using the

previously selected poles locations.

For MIMO systems, with M input signals and Q output

signals, the same idea can be applied. In this case, the MIMO

system can be decomposed in Q MISO systems, each one

having M inputs. For each MISO system, a different set of

orthonormal basis functions can be deﬁned. By using this

deﬁnitions, the output ˜y(k) of each MISO model, when the

m-th series is truncated in n

terms, is given by:

˜y(k) =

∑

j=1

(k) (10)

III. PROBLEM STATEMENT

Due to the property of completeness, any pole or poles can

be selected to model a given stable linear process. However,

an adequate choice can lead to a more efﬁcient representation

of the system since the better the pole choice, the faster will

be the convergence of the series, then the number of basis

functions can be decreased (the smaller will be the number

of model parameters).

Let y(k) being the actual process output, ˜y(k) the model

output, for a given basis function number n

and p a vector

containing the basis poles. Therefore, one obtains:

˜y(k ) =

∑

j=1

(p)

(k, p) (11)

The optimal values for the set of basis dynamics can be

deﬁned as the ones that minimizes error between the actual

output the model output, that is, the following criterium:

J(p) =

∑

k=1

(y(k) − ˜y(k))

(12)

J(p) =

∑

k=1



y(k) −

∑

j=1

(p)

(k, p)



(13)

where K is the number of available data.

Therefore, the problem of ﬁnding the optimal basis dy-

namics is equivalent to:

∗

= argmin J(p)

s.to p ∈ Ω

(14)

where p

∗

is the optimal pole location for a given set of input

and output data and Ω is the space of all stable poles in the

Z plane.

IV. ASYMPTOTICALLY OPTIMAL POLE LOCATIONS

This section describes a method to ﬁnd the best poles

locations when this number is smaller than the nominal

system order and the truncation order tends to inﬁnity. This

technique for SISO systems, presented in [2], assumes an a

priori information about the transfer function of the nominal

system.

The rate of convergence of the model error can be deﬁned

as:

||ε

n+s

(·)|| ≈ ρ

||ε

(·)|| (15)

with 0 ≤ ρ < 1. So, the norm of the error of the approx-

imation has an exponential convergence factor of ρ. The

smaller is ρ, faster is the convergence to zero of the error of

the approximation. Knowing that the G

(z) function of the

GOBF model can also be parameterized by γ

coefﬁcients,

i = 1, .. .,n

, such as:



(z)





1 −γ

−γ



i−1

(z)

i−1

(z)



(16)

where N

(z) = D

(z) = 1. The optimal GOBF model param-

eterization, computed using the system actual poles p

, can

be obtained by ﬁnding the γ = [γ

,.. ., γ

], parameters that

minimizes the rate of convergence, which can be also given

by:

ρ(γ) = max



(1/p

)

(1/p

)



(17)

The minimization of ρ(γ) must be done numerically.

V. THE PSO ALGORITHM

The Particle Swarm Optimization (PSO) is a method for

optimization of continuous nonlinear functions. This method

was discovered by simulating simpliﬁed social model [16].

The potential solutions of such problems, called particles,

moves inside the solution space by following the current

optimum particles. PSO method exhibits some attributes

which are also encountered in a large class of evolutionary

computation based optimization algorithms [17].

In [18], making reference to ﬁsh schooling, it is suggested

that social sharing of information among individuals of the

same species offers an evolutionary advantage. Such hypoth-

esis was fundamental to the development of particle swarm

optimization (PSO) algorithms. An example is that birds and

ﬁsh adjust their physical movement to avoid predators, seek

food and mates or optimize environmental parameters such

as temperature.

While empirical evidence has accumulated that the al-

gorithm is a useful tool for optimization, there isn’t many

results related with its convergence. In [19], it is proposed a

generalized model for controlling the convergence properties

of the algorithm, such as applying coefﬁcients to various

parts of the formula in order to guarantee convergence, while

encouraging exploration. Although the convergence can be

achieved due to some coefﬁcient adjustments [19], [20],

[21], the real strength of the particle swarm derives from

the interactions among particles as they search the space

collaboratively.

The procedure for applying PSO method is (more details

can be found in [22]):

(a) Initialize a population (an array) by including m

particles. For each i-th particle, there is initial location x

i,0

in the solution space and velocity v

i,0

, which lies inside the

interval [−v

max

];

(b) Evaluate the optimization ﬁtness function for each

particle;

particle with an f

i,best

, which is the best ﬁtness value of

each particle. If this value is better than f

i,best

, then set the

current particle ﬁtness as the f

i,best

. Furthermore, if current

Fig. 1. The PSO Algorithm

value is better than g

best

, which is the value of the globally

best ﬁtness, then update g

best

;

(d) Update the velocity and the location of the i-th particle,

at iteration t, i.e., v

i,t

and x

i,t

, according to (18) and (19),

respectively:

i,t+1

= wv

i,t

+ c

rand

1,t

( f

i,best

− x

i,t

)

rand

2,t

best

− x

i,t

)

(18)

i,t+1

= x

i,t

+ v

(19)

where rand

1,t

and rand

2,t

are uniform distributed random

numbers between the interval [0,1].

(e) Go to step (b) until a stop criterion is achieved. Usually,

the stop criterion is based on the ﬁtness value or a predeﬁned

maximum number of iterations.

Therefore, the parameters of a standard PSO algorithm

includes: the number of iterations e

max

, the number of par-

ticles m, the dimension of the problem d, the inertia weight

w, acceleration constants c

and c

, maximum velocity v

max

and respectively variables range. A scheme describing the

PSO algorithm is shown in Fig. 1 [23].

In the present paper, we are interested in using the PSO

method for choosing the poles location in MISO or SISO

systems having GOBF structure. Therefore, the algorithm

parameters related with the Orthonormal Basis Function

(OBF) environment are the (i) dimension of the problem,

i.e., the size of x

(ii) the variables range and (iii) the ﬁtness

function.

The dimension of the problem is related to the number of

poles components are being optimized. For example, in the

case where a complex pole and real pole are optimized, the

problem dimension is 3. This is because x

i,1

represents the

real part of the complex pole, x

i,2

represents the complex

part of the complex pole and x

i,3

represents the real pole.

The variables range are deﬁned depending on the kind of

pole that is being optimized. If the pole related with j-th

component of x

is real, its range is set to [−0.9999,0.9999].

If it is related with a real part of a complex pole, its

range is set to [−0.9999,0.9999] and if it is related with

a imaginary part of a complex pole, its range is set to

[0,0.9999]. However, when combining the real and complex

parts of a pole, if the pole location is outside the unit circle,

the ﬁtness associated with this particle is set as a quite large

number to avoid selecting unstable poles.

The ﬁtness function was deﬁned as the MSE between the

actual output and the predicted output. The poles location

related to a minimum MSE is assumed the best one for a

given system identiﬁcation application.

The other PSO parameters are assumed, by default, as:

max

= 200, m = 300, v

max

= 4, c

= 2, c

= 2 and w = 0.9.

VI. EXAMPLES

In this section, two case studies of orthonormal basis

functions for SISO and MISO system identiﬁcation are

analyzed. Both contains results of PSO method application

for searching the optimal location of the basis functions

dynamics. The aim is to search for models having a more

compact representation while guaranteeing a good quality in

the approximation. The SISO case is related to the problem

of obtaining a black-box model for transmission lines in the

electrical power system.

A. Case study for a SISO system

Modeling the electrical power system equipments are

becoming more and more relevant in the last decade due

an increase in the need of obtaining an accurate description

of the whole system for predicting its transient behavior due

to several factors, for instance, changes in its conﬁguration

for responding a certain load demand or response to natural

phenomenons such as lightening. The models should be

accurate in a wide band of frequencies and be able to be

included in an electromagnetic transient programs.

An example of the above discussion is the problem of

modeling power system transmission lines. In [24], a nodal

model, having 18-th order, for the characteristic admittance

and propagation encountered in transmission lines is pro-

posed. This model has a smooth frequency response, so it

is appropriate for using OBF descriptions with real poles.

Table I contains the transfer function of such system, in terms

of poles and residues. The system impulse and frequency

responses are given in Fig. 2, recalling that impulse response

tests are quite often used in power systems applications.

The model structure is a GOBF realization with 4 func-

tions and 4 different real poles. So, its dimension for the PSO

optimization algorithm purpose is four. By using the system

impulse response and feeding the PSO algorithm with the

previously cited initial parameters; one obtains the following

values for the basis functions poles: 0.06, 0.25, 0.69 and

0.95. The MSE between the actual frequency response and

the model one is 1.44 × 10

−7

. For a sake of comparison, a

Laguerre basis modeling with optimal pole location (pole

equal to 0.55) for such system, requires 15 functions to

obtain a MSE of 5.69 × 10

−6

and 50 functions for a MSE

of 1.31 × 10

−8

. As it is expected, due to presence of more

than one dynamic, the GOBF structure leads to a more

TABLE I

POLE S AND RESIDUES FOR A TRA NSMISSION LINE MODEL

# Pole Residue # Pole Residue

1 -2000 1000 10 -34000 -12000

2 -4000 -1000 11 -44000 20000

3 -9000 7000 12 -48000 41000

4 -15000 12000 13 -56000 8000

5 -18000 5000 14 -64000 15600

6 -21000 -12000 15 -72000 -10000

7 -23000 -2000 16 -79000 -12000

8 -29500 1500 17 -88000 50000

9 -33000 31000 18 -93000 -2000

0 20 40 60 80 100

0.5

1.5

Impulse Response

Samples

0 200 400 600 800 1000

2.5

3.5

Frequency Domain Response

Fig. 2. Transmission Line Impulse and Frequency Responses.

efﬁcient representation, in terms of model dimension, in

relation to the Laguerre functions structure. Due to the use

of PSO algorithm, the identiﬁcation procedure is able to take

advantage of such more complex structure where an adequate

choice of poles is also a more complex task than in the

Laguerre case.

Different GOBF structures can also be used, generating

different approximations. For the sake of comparison be-

tween the previous presented cases, these results are sum-

marized in Table II.

An algorithm for obtaining the model parameterization is

described in Section IV. By using equation (17) and assum-

ing that the actual poles location are known, the OBF model

- with four different real poles - that minimizes the series rate

TABLE II

MODEL APPROXIMATION FOR DIFFERENT GOBF STR UCTURES.

# Number of Poles Number of Functions MSE

1 2 8 3.65 × 10

−6

2 3 6 7.89 × 10

−6

3 4 8 6.49 × 10

−9

TABLE III

FURTHER COMPARATIO NS

n MSE

ρ MSE

20 4.75 × 10

−21

3.78 × 10

−2

1.46 × 10

−19

28 2.27 × 10

−29

4.86 × 10

−2

1.32 × 10

−26

32 7.94 × 10

−32

5.96 × 10

−2

3.34 × 10

−29

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.3

−0.2

−0.1

0.1

0.2

0.3

0.9

0.8

0.7

0.1π/T

Rate of Convergence

PSO / n=20

PSO / n=28

PSO / n=32

Fig. 3. Poles Locations given by both methods

of convergence can be computed, where the optimal poles are

given by: 0.13, 0.53, 0.83 and 0.93. The rate of convergence

provided by this model (see equation (15)) is 2.941 × 10

−2

The two previously cited algorithms are based on different

objective functions. The PSO uses the MSE criterium and,

the other one, is based on the minimizing the rate of

convergence. However for a larger number of functions than

the ones presented in Table II, the results obtained by the

PSO algorithm can be quite similar to the ones computed

by equation (17). Table III contains the number of functions

used by the PSO algorithm, its model approximation (MSE

the computed rate of convergence and the model approxima-

tion by using the second method parameterization (MSE

On the one hand, it can be noted that the MSE provided

by the PSO-based method is slightly lower than the other

one, but on the other hand, although the rate of convergence

are similar in all cases, the lowest value is achieved by the

Section IV method. Moreover, by Fig. 3, it can be noted that

the poles obtained by the PSO related to Table III cases are

closer to the location given by the ones that minimize the

rate of convergence.

B. Case study for a MISO system

Following, a case study describing an application of PSO

method for choosing the basis dynamics in a MISO system

is presented. The original system has three inputs and one

output and the transfer functions relating each input with the

output is given by (20).

y(z) =

0.1459z

+ 0.1313z

+ 0.02771z − 0.00423

− 1.7z

+ 1.753z

− 1.068z + 0.3161

(z)

−0.2548z

+ 0.1911z + 0.1822

− 1.4z

+ 0.6724z − 0.1539

(z)

−0.6155z

+ 1.323z

− 0.7309z

− 0.02993z + 0.09752

− 1.96z

+ 1.552z

− 0.7342z

+ 0.2091z − 0.02205

(z)

+ξ(z)

(20)

where y(z) is the system output, u

(z) i = 1,2,3 are the

system inputs and ξ(z) is a disturbance signal, a random

signal with normal distribution, zero mean and standard

deviation 0.1. Note that all three subsystems have been

normalized in order to have unit gain. A set of three input

signals (random signals, 100 samples, normal distribution,

zero mean and standard deviation equal to 1) together with

the respective output signal are the data used for pole

selection and parameter estimation purpose. The relation

between u

and y is modeled by a Kautz basis functions,

the one between u

and y is modeled by a Laguerre basis

functions and the last one by a GOBF (having 4 real poles).

Each of the three basis is constructed with 8 functions.

The poles of the three basis are selected by using the PSO

algorithm. The algorithm initial parameters are the same as

previously mentioned. The dimension for this problem is

7. By using the PSO algorithm for the MISO system, one

obtains the following optimal poles positions: 0.17 + 0.58i,

for the Kautz basis; 0.45 for the Laguerre basis and −0.30,

0.88, 0.13, 0.12 for the GOBF basis. The MSE between

the actual output signal and the model output prediction

(multiple step ahead prediction, i.e. a parallel-parallel based

prediction) is 6.78 × 10

−3

For sake of comparison, Table IV summarizes the same

procedure, but using orthonormal basis with different number

of functions. Also, in the same Table, a comparison between

the FPE criterium of the OBF model with different number

of functions can be found.

For validation purposes of the MISO OBF model with all

basis having 8 functions and poles obtained by means of the

PSO method, another set of data is generated. The random

input signals have the same ﬁrst and second moments of

the data used for parameter estimation. The MSE between

the system output signal and the model output prediction

(parallel-parallel prediction) is 7.78 × 10

−3

. Fig. 4 contains

both signal plus the absolute error between them. All these

results suggest a quite good agreement between the model

and the actual system. Such agreement, with models having

a few number of functions, is possible due the appropriate

choice of the basis functions poles made by the PSO algo-

rithm.

VII. CONCLUSIONS

This paper was about the problem of ﬁnding the pole(s) in

Orthonormal Basis Functions (OBF) models. It was based on

the fact that any stable system can be exactly represented by

an inﬁnite orthonormal functions series, however, in practice

TABLE IV

APPROXIMATION RESULTS FOR DIFFERENT MODEL STRUCTURES.

Number of Functions Numeric Index

Kautz Laguerre GOBF MSE FPE

10 6 12 6.39 × 10

−3

1.14 × 10

−2

8 8 8 6.78 × 10

−3

1.11 × 10

−2

10 7 8 6.95 × 10

−3

1.16 × 10

−2

10 6 8 7.03 × 10

−3

1.15 × 10

−2

8 7 8 7.25 × 10

−3

1.16 × 10

−2

8 6 8 7.27 × 10

−3

1.14 × 10

−2

6 4 9 1.11 × 10

−2

1.64 × 10

−2

6 4 8 1.17 × 10

−2

1.69 × 10

−2

6 4 6 1.46 × 10

−2

2.01 × 10

−2

4 3 8 1.97 × 10

−2

2.66 × 10

−2

4 3 6 2.15 × 10

−2

2.80 × 10

−2

0 20 40 60 80 100

−2

−1

Actual and Predicted Output

Actual Output

Predicted Output

0 20 40 60 80 100

0.05

0.1

0.15

0.2

Samples

Absolute Error

Fig. 4. Validation data for the MISO Case.

a truncated basis functions expansion is used. For certain

parameter choice and ﬁxed number of functions, there is a

pole or set of poles that minimizes the truncation error. The

problem is then to ﬁnd such set.

Therefore, the present paper proposed and analyzed the

use of Particle Swarm Optimization (PSO) for such problem.

PSO methods can be used for optimization continuous non-

linear functions and, under certain conditions, the conver-

gence can be proved. It was shown that this solution is

appropriated for the cases where more than one dynamic is

involved in the basis functions poles, for instance, in SISO

GOBF models or MIMO Laguerre, Kautz and/or GOBF

models. In such cases, it is not easy to ﬁnd analytical so-

lutions for the optimal pole selection. Moreover, the method

is not constrained to the use of impulse response signals.

Simulation results shown the validity of the proposed

method. In the transmission line (SISO) case, the use of a

GOBF representation allows reducing the model parameters

in relation to the Laguerre and, an adequate pole selection

had an important role for such achievement. For a large

number of functions, it have been notice that the series rate

of convergence of the model with poles selected by a PSO

algorithm can be close to the optimal value. Moreover, the

poles positions were similar between them. In the MISO

case, it have been shown that the method can deal with the

choice of different basis functions parameters.

REFERENCES

[1] P. V. den Hof, B. Wahlberg, P. Heuberger, B. Ninness, J. Bokor, and

T. O. Silva, “Modelling and identiﬁcation with rational orthogonal

basis functions,” in Proc. of the 12th IFAC SYSID, vol. 2, 2000, pp.

445–456.

[2] P. Heuberger, P. V. den Hof, and B. Wahlberg, Eds., Modelling and

Identiﬁcation with Rational Orthogonal Basis Functions. Springer

Verlag, 2005.

[3] P. M. J. V. den Hof, P. S. C. Heuberger, and J. Bokor, “System iden-

tiﬁcation with generalized orthonormal basis functions,” Automatica,

vol. 31, no. 12, pp. 1821–1834, 1995.

[4] T. O. Silva, “Optimal pole conditions for laguerre and two-parameters

kautz models: Survey of known results,” in Proc. of the 12th IFAC

SYSID, vol. 2, 2000, pp. 457–462.

[5] M. A. Masnadi-Shirazi and N. Ahmed, “Optimum Laguerre networks

for a class of discrete-time systems,” IEEE Transactions on Signal

Processing, vol. 39, no. 9, pp. 2104–2108, September 1991.

[6] Y. Fu and G. A. Dumont, “An optimum time scale for discrete

Laguerre network,” IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 38,

no. 6, pp. 934–938, june 1993.

[7] J. J. King and T. O’Canainn, “Optimum pole positions for laguerre

functions models,” Electronics Letters, vol. 5, pp. 601–602, 2000.

[8] B. Maione and B. Turchiano, “Laguerre z-transfer function represen-

tation of linear discrete-time systems,” Int. Journal of Control, vol. 41,

no. 1, pp. 245–257, 1985.

[9] Y. Fu and G. Dumont, “On determination of laguerre ﬁlter pole

through step or impulse response data,” pp. 5:303–307, 1993.

[10] T. O. Silva, “On the determination of the optimal pole position of

Laguerre ﬁlters,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 43, no. 9,

pp. 2079–2087, 1995.

[11] T. O. e Silva, “Optimality conditions for truncated kautz networks

with two periodically repeating complex conjugate poles,” IEEE

Transactions on Automatic Control, vol. 40, no. 2, pp. 342–346, 1995.

[12] R. Morvan, N. Tanguy, and L. C. Calvez, “Pertinent parameters for

kautz approximaion,” Electronics Letters, vol. 36, no. 8, pp. 769–771,

2000.

[13] N. Tanguy, R. Morvam, P. Vilb

e, and L.-C. Calvez, “Pertinent choice

of parameters for discrete kautz approximation,” IEEE Transactions

on Automatic Control, vol. 47, no. 5, pp. 783–787, 2002.

[14] R. Malti, S. B. Ekongolo, and J. Ragot, “Dynamic siso and miso

system approximations based on optimal laguerre models,” IEEE

Transactions on Automatic Control, vol. 43, no. 9, pp. 1318–1323,

1998.

[15] A. M. Sabatini, “A hybrid genetic algorithm for estimating the optimal

time scale of linear systems approximations using laguerre models,”

IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, no. 5, pp. 1007–

1011, 2000.

[16] J. Kennedy and H. Eberhart, “Particle swarm optimization,” in Proc.

of the IEEE International Conference on Neural Networks, 1995, pp.

1942–1948.

[17] T. Back, U. Hammel, and H.-P. Schwefel, “Evolutionary computation:

Comments on the history and current state,” IEEE Transactions on

Evolutionary Computation, vol. 1, no. 1, pp. 3–17, 1997.

[18] E. O. Wilson, ISociobiology: The New Synthesis. Belknap Press,

1975.

[19] M. Clerc and J. Kennedy, “The particle swarm - explosion, stability,

and convergence in a multidimensional complex space,” IEEE Trans-

actions on Evolutionary Computation, vol. 6, no. 1, pp. 58–73, 2002.

[20] V. Kadirkamanathan, K. Selvarajah, and P. J. Fleming, “Stability

analysis of the particle dynamics in particle swarm optimizer,” IEEE

Transactions on Evolutionary Computation, vol. 10, no. 3, pp. 245–

255, 2006.

[21] T. I. C., “The particle swarm optimization algorithm: Convergence

analysis and parameter selection,” Information Processing Letters,

vol. 85, no. 6, pp. 317–325, 2003.

[22] X.-F. Xie, W.-J. Zhang, and Z.-L. Yang, “A dissipative particle

optimization,” in Proc. of the Congress on Evolutionary Computation,

vol. 2, 2002, pp. 1456–1461.

[23] E. Donaisky and L. dos Santos Coelho, “Planejamento de trajet

oria

em rob

otica m

ovel baseada em uma abordagem de otimizac¸

ao da

intelig

encia coletiva,” in VII Confer

encia Internacional de Aplicac¸

oes

Industriais, INDUSCON 2006, 2006.

[24] B. Gustavsen and A. Semlyen, “Rational approximation of frequency

domain responses by vector ﬁtting,” IEEE Transactions on Power

Delivery, vol. 14, no. 3, 1999.

(*) Rua Imaculada Conceição 1155 - CEP 81200-240 - Curitiba - PR - BRASIL

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BASES DE FUNÇÕES ORTONORMAIS GENERALIZADAS NA MODELAGEM DE COMPONENTES DO

SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA

Bruno César Reginato Gustavo Henrique da Costa Oliveira *

PPGEPS/CCET

Pontifícia Universidade Católica do Paraná

RESUMO

O presente trabalho aborda o problema da modelagem de componentes do sistema elétrico de potência e retoma

a proposta de utilização de bases de funções ortonormais para tanto. Esta abordagem permite a modelagem de

processos estáveis causais e possui caráter inovador no âmbito de sistemas de potência. O modelo final obtido

pode ser representado em espaço de estados, facilitando sua incorporação em pacotes computacionais. Mostra-

se, no presente trabalho, que a utilização das bases de funções denominadas GOBF ou Generalized Orthonormal

Basis Functions, além de preservar as propriedades gerais do modelo, possibilita realizações de ordem reduzida,

gerando modelos de menor dimensão que o caso de bases ortonormais clássicas isto é, aquelas construídas com

uma só dinâmica. Resultados de simulação em elementos como linhas de transmissão e transformadores ilustram

as propriedades do método.

PALAVRAS-CHAVE

Modelagem de sistemas, transitórios do sistema elétrico, transformadores elétricos, linhas de transmissão, bases

de funções ortonormais generalizadas.

1.0 - INTRODUÇÃO

A determinação de modelos dinâmicos de sistemas é um procedimento importante em diversos campos da

engenharia. Dentre estes campos, pode-se citar a área de sistemas elétricos de potência, com a modelagem de

componentes como transformadores de potência ou linhas de transmissão. Modelos dinâmicos permitem realizar

análises e obter resultados que seriam demorados, de alto custo ou mesmo inviáveis se fossem efetuados no

sistema real. No caso específico da área de sistemas de potência, a determinação de modelos de transformadores

vem recebendo bastante atenção nas últimas décadas e diversas abordagens têm sido apresentadas na literatura,

por exemplo, podem-se citar os trabalhos (1) (2) (3) (4). Neste contexto, uma técnica que vem sendo aplicada com

bons resultados é a denominada vector fitting (5).

Essa modelagem se faz necessária para o aprimoramento das simulações de transitórios elétricos caracterizados

por diferentes faixas de freqüência e que envolvam a interação desses equipamentos com os demais

componentes do sistema elétrico. Estatísticas de desempenho de transformadores têm apresentado um número

significativo de falhas de causa desconhecida que podem estar potencialmente relacionadas às tensões

transitórias originadas pela interação dos transformadores com os outros componentes do sistema elétrico. O

estudo dessa interação requer, na maioria dos casos, a realização de simulações de transitórios cuja

confiabilidade dos resultados depende diretamente da modelagem do transformador. Um exemplo típico é o

estudo dos transitórios rápidos (VFT) gerados quando de manobras e curtos–circuitos em subestações blindadas

a SF6 e que atingem os transformadores. O impacto dessas sobretensões, de frentes muito rápidas, irá depender

da reposta desses equipamentos a altas freqüências e sua determinação implica na obtenção de modelos

apropriados a essa condição. Dessa forma, é de grande interesse para o aprimoramento da análise de transitórios

decorrentes da interação dos transformadores com os demais componentes do sistema a obtenção de modelos

que representem esses equipamentos em diferentes faixas de freqüência.

No caso de linhas de transmissão, a expansão do sistema elétrico tem requerido construções que resultam em

configurações com alto grau de assimetria e acoplamentos. Dessa forma, modelos sem restrições quanto à

geometria ou natureza das linhas de transmissão se tornam necessários. Modelos no domínio de fases já estão

sendo propostos na literatura e disponibilizados em programas de transitórios eletromagnéticos com objetivo de

retratar o comportamento dinâmico desse componente diretamente sem a transição para o domínio modal. Para

isso, o aprimoramento de técnicas de identificação torna-se de grande interesse.

Neste contexto, a modelagem de transformadores, assim como de outros componentes do sistema elétrico, pode

ser feita analisando as características físicas destes equipamentos, abordagem freqüentemente utilizada por

fabricantes. Este procedimento, conhecido por abordagem caixa branca, é realizado com modelos baseados na

física ou first principles models. Os modelos são, em geral, descritos em termos de equações diferenciais que

representam o equipamento e cuja solução pode ser obtida analiticamente ou via simulação por computador, por

exemplo, através de pacotes como MATLAB ou ATP/EMTP. Esta metodologia é, muitas vezes, difícil de ser

colocada em prática, tendo em vista que detalhes construtivos dos equipamentos para determinação dos

coeficientes que caracterizam as propriedades do componente não estão disponíveis ou são, muitas vezes, de

conhecimento exclusivo dos fabricantes.

Os métodos denominados genericamente de identificação de sistemas (6), ou abordagem caixa preta, são

aqueles onde a modelagem é realizada a partir de dados experimentais, seja no domínio do tempo ou da

freqüência, que caracterizam o comportamento dinâmico do sistema. Neste contexto, uma estrutura de modelo

dinâmico que vem sendo aplicada com bons resultados em identificação de sistemas é a denominada Bases de

Funções Ortonormais (OBF – Orthonormal Basis Functions) (7). Na verdade, a idéia de utilizar bases de funções

ortonormais na representação de sistemas lineares data da década de 20, com o trabalho de Satoru Takenaka (8)

e Folke Malmquist (9). Posteriormente Lee em 1933 e 1960, Kautz em 1952, Ross em 1964, abordaram também

este problema (10). Uma grande revitalização nesta área ocorreu após a década de 1990, devido à expansão dos

fundamentos teóricos sobre os quais recaem as idéias previamente apresentadas. Veja, por exemplo, os trabalhos

(7) (11) (12) (13) (14).

Em (15), a utilização de modelos formados por bases de funções ortonormais no contexto de sistemas elétricos de

potência foi proposta. Esta abordagem permite aproximar processos estáveis causais e, apesar de ser conhecida

no contexto de controle de processos e servomecanismos, sua aplicação no âmbito de sistemas de potência

apresentou um caráter inovador. Através da estrutura OBF, o modelo final obtido pode ser descrito usando a

representação em espaço de estados, facilitando sua incorporação em pacotes computacionais do setor elétrico.

Mostrou-se, em (15), a boa aproximação entre a resposta em freqüência do modelo e do componente, onde as

bases de Laguerre apresentaram-se apropriadas para equipamentos cuja resposta em freqüência é suave, como

linhas de transmissão. Já as bases de Kautz, definidas através de pólos complexos, mostraram-se apropriadas

para equipamentos cuja resposta em freqüência apresenta picos de ressonância. Verificou-se também que o

método vector fitting pode ser visto como uma realização do modelo baseada em funções não ortonormais.

Apesar da boa adequação da estrutura de modelo utilizada ao problema proposto, os modelos resultantes

apresentaram ordem elevada devido ao fato das bases utilizadas serem definidas através de somente uma

dinâmica.

Assim sendo, o presente artigo propõe a utilização da base de funções denominada Bases de Funções

Ortonormais Generalizadas – Generalized Orthonormal Basis Functions GOBF (12) – no contexto da modelagem

de equipamentos do sistema elétrico de potência. Esta classe de bases, que possui como caso particular as bases

de Laguerre e Kautz, apresenta como principal característica o fato de poder ser definida por mais de uma

dinâmica ou pólo. Isto faz com que a realização do modelo em espaço de estados possua ordem reduzida em

relação aos casos citados anteriormente, melhorando a aproximação do modelo e facilitando sua implementação

em ambiente computacional.

O presente artigo está estruturado conforme descrito a seguir. Na Seção 2, os principais aspectos relacionados à

modelagem de sistemas lineares usando bases de funções ortonormais generalizadas são abordados. Na seção

3, discorre-se sobre representação utilizando bases de funções ortonormais generalizadas. Na Seção 4, exemplos

de simulação são apresentados e, finalmente, na Seção 5 o artigo é concluído.

2.0 - MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS USANDO BASES DE FUNÇÕES ORTONORMAIS

GENERALIZADAS

Nesta seção, a modelagem de sistemas dinâmicos usando bases de funções ortonormais é apresentada. Têm-se,

como foco principal, os sistemas dinâmicos lineares em tempo discreto, isto é, aqueles cujos sinais de entrada e

saída estão em função da variável independente k (onde k é um número inteiro) e cuja ferramenta de análise é a

Transformada Z. O objetivo é descrever a aplicabilidade do método na modelagem de componentes de sistemas

de potência.

Assim sendo, um sistema causal e linear pode ser caracterizado por uma função de transferência

)()()( zUzHzY

(1)

ou por sua resposta ao impulso, isto é:



∞

−=

)()()(

iuikhky

(2)

onde u(k) e y(k) são, respectivamente, os sinais de entrada e saída do sistema, h(k) é a resposta ao impulso do

sistema. Portanto H(z) é a Transformada Z de h(k). Uma vez que H(z) é estável, tem-se que h(k) possui memória

finita e, portanto, pertence ao espaço de funções Lebesque. Logo, este sinal pode ser representado pela seguinte

série de funções:



∞

)()(

kckh

(3)

Nesta equação, {

(k): i=1,...} é uma base de funções ortonormais e c

são os coeficientes da parametrização em

séries do sinal h(k). Substituindo a equação (3) na (2), tem-se:

 

∞

−=

0 0

)()()(

i m

mumkcky

(4)

Definindo l

(k) como sendo a convolução de

(k) com u(k) e

(z) como sendo a Transformada Z de

(k), tem-se

que l

(k) é a saída n-ésima função da base {

(z): i=1,...} quando a entrada é u(k). Com esta representação, a

saída do modelo (1), truncando a série em n elementos, é dada por:



∞

≈=

klcklcky

)()()(

(5)



Φ≈

zczH

)()(

(6)

As equações (1) e (6) são ilustradas pela Figura 1. Os coeficientes c

podem ser calculados conforme apresentado

a seguir:



∞

)()(

khkc

(7)

Várias bases de funções podem ser utilizadas no desenvolvimento em séries da resposta ao impulso h(k) e, neste

trabalho, aborda-se o problema quando a classe de funções ortonormais é definida através de um conjunto de

pólos fixos escolhidos a priori. Usualmente, estes pólos são selecionados a partir de um conhecimento aproximado

a respeito da(s) dinâmica(s) dominante(s) do processo.

A utilização de bases ortonormais com pólos fixos, em relação a bases não ortonormais de mesma estrutura (por

exemplo, a utilizada no vector fitting) apresenta vantagens tais como: melhora o condicionamento numérico do

problema de estimação paramétrica, permite a análise do erro de estimação, apresenta independência entre os

parâmetros para uma larga gama de sinais de excitação. A representação de sistemas através de bases de

funções ortonormais apresenta características importantes no contexto de identificação de sistemas, tais como:

reduz (ou elimina) a polarização dos parâmetros devido a dinâmicas não modeladas no modelo nominal, permite

alterar a complexidade do modelo on-line com um mínimo de perturbação nos parâmetros, melhora a previsão do

modelo devido a estrutura output error, pois evita-se a realimentação dos erros de previsão, não necessita do

conhecimento do número de termos passados relevantes dos sinais de entrada/saída do sistema (e.g., seleção de

estrutura em modelos ARMAX); apresenta robustez a estimativas pouco precisas do atraso de transporte.

Figura 1 - Estrutura do modelo usando bases de funções ortonormais.

Uma questão relevante na definição das bases ortonormais com pólos fixos é a seleção do tipo e da quantidade

de pólos distintos presentes na base. Neste contexto, as principais propostas podem ser resumidas em:

a. Base FIR (Finite Impulse Response): Esta base é composta por funções de transferência com pólos na

origem;

b. Base de Laguerre: Esta base é composta por funções de transferência formadas com um único pólo real;

c. Base de Kautz (13): Esta base é composta por funções de transferência formadas com um único par de pólos

complexos conjugados;

d. Unified Construction for Orthonormal Basis – UCOB (11): Esta base é composta por funções de transferência

formadas com mais de uma dinâmica, seja ela definida por pólos complexos ou reais;

e. Generalized Orthonormal Basis Functions – GOBF (12): Assim como a UCOB, esta base é composta por

funções de transferência formadas com mais dinâmica, seja ela definida por pólos complexos ou reais. É

também conhecida por OBGIF - Orthonormal Basis Generated by Inner Functions.

Todas estas bases citadas são completas no espaço de Lebesque, logo é possível aproximar qualquer sistema

cuja resposta ao impulso possua integral finita. Porém, é necessária a seleção do valor para os pólos da base.

Este não é um ponto crítico no procedimento de identificação, no entanto, uma escolha adequada pode levar a

uma convergência mais rápida da série (um modelo com poucos parâmetros). Neste sentido, diversos trabalhos

sobre seleção de pólos já foram apresentados na literatura, entre eles (15) (16) (17). Apesar de aumentar a

complexidade do problema de seleção do(s) pólos(s), quanto maior a informação a priori disponível sobre o

processo incorporada na base, maior a flexibilidade na caracterização da resposta em freqüência do sistema.

Aliada à escolha dos pólos, o número de funções de base também é importante para uma boa representação do

sistema. Em princípio, é necessário um somatório infinito na representação de um sistema dinâmico H(z) estável

(conforme a equação (5)). Entretanto, na prática, deve haver um truncamento deste somatório, o que determina

quantos termos são utilizados para a representação do sinal de resposta ao impulso do sistema, isto é, o número

de funções de base. Em resumo, há um compromisso entre o número de funções de base e a seleção dos pólos

das funções: quanto melhor(es) alocado(s) for(em) o(s) pólo(s), melhor será a convergência dos termos da série, e

menos funções na base serão necessárias para a adequada representação do sistema e vice-versa. Assim, a

convergência da série com bases GOBF tende a ser mais rápida (com menos funções de base) em relação às

bases de Laguerre e de Kautz.

3.0 - BASES DE FUNÇÕES ORTONORMAIS GENERALIZADAS NA REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS

LINEARES

Aliada às propriedades decorrentes da ortonormalidade, a utilização das bases de funções ortonormais

generalizadas (GOBF/OBGIF) agrega propriedades desejáveis à identificação de sistemas ao permitir a

combinação de vários modos reais e/ou complexos, o que proporciona vantagens, em relação às bases de

Laguerre e Kautz, tais como (12): consideração de vários modos do sistema, permitindo agregar à base diferentes

informações a priori do sistema, ou seja, diferentes pólos podendo estar combinados em uma mesma função da

base; redução da quantidade de funções necessárias para representação de um determinado sistema,

possibilitando, portanto, uma redução na dimensão do modelo. As principais características da estrutura de

modelos com GOBF/OBGIF são apresentadas a seguir.

Seja H

(z) uma função de transferência, com comportamento de filtro passa todas, dada por

)(

−⋅

⋅−

(8)

onde o p

* é o conjugado de p

. A função H

(z) é tal que: H

-1

(z)=1. Esta propriedade define uma função

denominada de função interna. Assuma, na seqüência, uma função G

(z) construída a partir da realização em

cascata de n

funções H

(z), cada uma contendo um pólo p

distinto, real ou em pares complexos conjugados.

Estes n

pólos representam a informação a priori do comportamento dinâmico do processo a ser inserida no

modelo. A função G

(z) é também uma função interna.

Uma base de funções ortonormais pode ser definida através da

(k), onde

(k) é o i-ésimo elemento do vetor de

sinais v

(k) e V

(z), ie, a transformada inversa de v

(k), é dada por:

(

)

)()(

)1(

zGBAzIzV

−

⋅⋅−=

, j=1,...,n

(9)

Nesta equação, a quádrupla (A,B,C,D) é a representação em espaço de estados de G

(z).

Neste contexto, pode-se definir l

(k) como sendo a saída da (ij)-ésima função da base {

(z): i=1,...,n

, j=1,...}

quando a entrada é u(k). Desta forma, o modelo com bases de funções ortonormais generalizada é dado por:



∞

= =

⋅=

1 1

)()(

ijij

klcky

(10)

onde c

são os coeficientes da representação em bases ortonormais do sistema. Truncando-se a realização em

cascata das funções G

(z) em n

funções, obtém-se:



⋅=

klcky

)()(

(11)

Nesta equação, c

e l

são vetores contendo os elementos c

e l

, respectivamente, para i=1,...,n

. A representação

deste modelo é dada pela Figura 2. Pode-se observar que a estrutura do modelo GOBF é semelhante ao

apresentado na Figura 1. Cada vetor l

da Figura 2, representa um conjunto de n

vetores l

da Figura 1.

Finalmente, definindo L como sendo a concatenação de l

, l

, ..., l

e c a concatenação dos vetores c

, c

, ..., c

obtém-se:

)()(

kLky

(12)

Portanto a representação em espaço de estados do modelo GOBF é dada por:











+=+

)(

)()()1(

kLy

kukLkL

(13)

onde o vetor de estados e as matrizes

são obtidos em função do número de funções V

(z) contidas no

modelo, em função dos pólos escolhidos a priori para o desenvolvimento das funções da base. O conjunto de

pólos pertencente ao problema pode ser selecionado através de métodos de otimização não linear, por exemplo,

sequential quadratic programming, ou alguma classe de algoritmos evolutivos como os Algoritmos Genéticos (18)

ou Particle Swarm Optimization (17).

Figura 2 – Estrutura do modelo usando bases de funções ortonormais generalizadas.

4.0 - EXEMPLO DE SIMULAÇÃO

Nesta seção, um exemplo de simulação ilustra o procedimento de identificação usando bases de funções

generalizadas para obtenção de modelos de componentes de sistemas elétricos de potência. Neste sentido,

alguns componentes do sistema elétrico possuem resposta em freqüência suave, i.e., sem picos de ressonância.

Um exemplo são as linhas de transmissão. Outros possuem resposta em freqüência não suave, por exemplo, os

transformadores de potência. Assim sendo, a seguir, dois casos são tratados: componentes com resposta em

freqüência suave e não suave.

A identificação do modelo é realizada através dos seguintes passos: a) Seleção da base de funções; b) Seleção

do número de funções da base; c) Seleção dos pólos da base escolhida; d) Estimação dos parâmetros da série; a

estimação é realizada através da resposta ao impulso do sistema real e e) Validação; a validação é realizada

comparando-se as respostas em freqüência do sistema real e do modelo obtido, dando origem ao índice MSE,

descrito na equação (14).

(

)



−

jkwYjkwY

MSE

)(

(14)

onde w

é o intervalo de discretização da resposta em freqüência, N é o total de amostras dos dados, Y é a

resposta em freqüência do sistema e

é a resposta em freqüência do modelo estimado.

4.1 Estudo de Caso 1: Linha de Transmissão (resposta em freqüência suave)

Seja um sistema de 18

ordem, apresentado em (5), criado para simular o comportamento de um sistema com

resposta em freqüência suave (uma linha de transmissão, conforme Figura 3).

Uma vez que a curva de resposta em freqüência é suave, sem presença de picos de ressonância, em princípio

não há necessidade da utilização de pólos complexos conjugados para identificar o sistema. Um modelo com

bases de Laguerre com um único pólo real localizado em 0,55, 15 funções de base, possui MSE de 5,69E-06 e,

com 50 funções, MSE de 1,31E-08 (15). Através da utilização do método vector fitting, modelos de 4ª, 6ª e 8ª

ordens obtidos possuem MSE de 5,04E-07, 9,61E-10 e 3,84E-11, respectivamente (5).

No caso de modelos GOBF, a seleção dos pólos é mais complexa e um algoritmo de otimização não linear,

baseado no critério de custo MSE é necessário para sua obtenção. Neste caso, a dimensão da base, i.e. o

número de funções n

, e a estrutura de cada função G

da base, i.e., o número de pólos reais e o número de pólos

complexos que forma cada função, devem ser definidos a priori. A Tabela 1 faz um comparativo dos melhores

resultados obtidos.

Analisando a Tabela 1, verifica-se boa aproximação do sistema utilizando baixas ordens. Comparando os valores

previamente citados com a Tabela 1, nota-se a utilização de GOBF, isto é, devido a presença de mais de uma

dinâmica no modelo, possibilitou a compactação dos modelos estimados e melhoria na aproximação obtida.

Figura 3 – a) Resposta em freqüência (suave) típica de uma linha de transmissão. b) Erro entre as curvas do

sistema e a do modelo

Tabela 1 – Resultados para a linha de transmissão

# Ordem N

MSE # Ordem N

MSE

1 4 4 0 1,441E-07 4 7 5 1 4,561E-12

2 5 3 1 9,511E-08 5 8 6 1 6,682E-13

3 6 2 2 4,596E-08

* N

é o número de pólos reais e N

é o número de pares de pólos complexos conjugados presentes na base

4.2 Estudo de Caso 2: Transformador (resposta em freqüência não suave)

Seja um sistema de 18

ordem, proposto em (5) e cuja resposta em freqüência é dada pela Figura 4. Uma vez que

a curva de resposta em freqüência é não suave, bases de funções com pólos complexos, devem ser utilizadas. A

Tabela 2 apresenta alguns resultados da aproximação do modelo com bases formadas por diferentes

combinações de pólos reais e complexos, cuja localização foi determinada através de um método de otimização

não linear (utilizando a mesma função custo e algoritmo de minimização citados previamente).

Figura 4 – a) Resposta em freqüência (não suave) típica de um transformador. b) Erro entre as curvas do sistema

e a do modelo

Em (15), isto é, com uma base formada por somente um par de pólos complexos conjugados de localização 0,061

+ j0,64, são necessárias 500 funções de base para uma aproximação adequada, representada por um MSE de

3,88. Através da Tabela 2, nota-se uma melhor compactação e aproximação dos modelos obtidos. Por exemplo,

no modelo identificado #1, a dimensão está reduzida em 96% (de 250 mil elementos, o sistema passou a ter

apenas 400) e o MSE do erro de estimação foi levado a valores próximos de zero.

Tabela 2 – Resultados para o transformador

# Ordem N

MSE # Ordem N

MSE

1 20 4 8 1,44E-25 4 16 2 7 1,98E-03

2 19 3 8 1,81E-25 5 14 0 7 3,57E-01

3 18 2 8 2,14E-10 6 13 5 4 5,12E-00

5.0 - CONCLUSÃO

A realização de simulações de sistemas elétricos com modelos confiáveis nas diferentes faixas de freqüência vem

se tornando cada vez mais relevante nos últimos anos. Para tanto, este trabalho apresentou a proposta de

utilização de modelos formados por bases de funções ortonormais, em particular as bases de funções ortonormais

generalizadas, na representação de componentes de sistemas elétricos de potência.

A utilização de bases ortonormais na modelagem de sistemas permite representar o componente de tal forma que

a estrutura do modelo é baseada no erro da saída e linear nos parâmetros, isto é, uma regressão linear, o que

preserva a convexidade do problema de identificação. Este trabalho apresentou os fundamentos desta técnica de

identificação, ressaltando os princípios mais importantes, a seleção da base de funções.

A representação final do modelo é feita no formato espaço de estados, o que facilita sua incorporação em

softwares de simulação dinâmica pré-existentes. Comparou-se o método proposto com a metodologia denominada

vector fitting e com o caso de bases de funções ortonormais formadas por uma única dinâmica (Laguerre e Kautz).

Em relação ao vector fitting, a utilização de bases ortonormais melhora a robustez numérica da estimação de

parâmetros e permite a análise dos erros de estimação. Em relação às bases de Laguerre e Kautz, a utilização da

estrutura GOBF permite uma redução na dimensão do modelo e aprimorando a qualidade da estimação obtida.

Exemplos de simulação ilustraram a modelagem de sistemas usando a metodologia proposta em componentes de

sistemas elétricos com resposta em freqüência suaves (eg, linha de transmissão) e não suaves (eg,

transformador). Para ambos os casos a presença de diferentes tipos de dinâmicas, proporcionada pelos modelos

GOBF, foi importante para a adequada representação dos sistemas, facilidade de incorporação dos modelos em

pacotes de simulação de transitórios e diminuição do custo computacional para a simulação dos modelos obtidos.

6.0 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

(1) Vaessen, P.T.M. Transformer Model For High Frequencies. IEEE Trans. on Power Delivery, vol. 3, no. 4, 1998.

(2) Gustavsen, B. Wide Band Modeling of Power Transformers. IEEE Trans. on Power Delivery, vol. 19, n. 1, 2004.

(3) Keyhani, A. and S. W. Chua, S. A. Sebo. Maximum Likelihood Estimation of Transformer High Frequency

Parameters From Test Data. IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 3, no. 4.1998.

(4) Degeneff R. C., W. J. McNutt, W. Neugebauer, J. Panek and M. E. McCallun, C. C. Honey. Transformer

Response to System Switching Voltages. IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. 101, no. 6.1998.

(5) Gustavsen, B. and A. Semlyen, Rational Approximation of Frequency Domain Responses by Vector Fitting,

IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 14, no. 3, 1999.

(6) Ljung, L. System Identification: Theory for the user. Prentice Hall, 2a ed., 1999.

(7) P. Heuberger, P. V. den Hof, and B. Wahlberg, Eds., Modelling and Identification with Rational Orthogonal

Basis Functions. Springer Verlag, 2005.

(8) Takenaka, S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolation. Japanese Journal of Mathematics

II, pp 129-145, 1925

(9) Malmquist, F. Sur la détermination d'une classe de fonctions analytiques par leurs valeurs dans un ensemble

donné de points. Comptes Rendus du Sixième Congrès des mathématiciens scandinaves (Kopenhagen) pp 253-

259, 1925.

(10) Ninness, B., Gibson, S. and Weller, S., Practical Aspects of Using Orthonormal System Parameterisations in

Estimation Problems, IFAC, United States of America, 2000.

(11) Ninness, B. and F. Gustafsson; A Unifying Construction of Orhonormal Bases for System Identification. Proc.

of the Control and Decision Conference. Pp. 3388-3393. Orlando, FL, USA. 1994.

(12) Van den Hof, P. M. J. and P. S. C. Heuberger and J. Bokor. System Identification with Generalized

Orthonormal Basis Functions. Automatica, vol 3, number 12, pp 1821-1834,1995.

(13) Wahlberg B and P. M. Makila. Approximation of Stable Linear Dynamical Systems using Laguerre and Kautz

Functions Automatica, vol. 32, no. 5, pp. 693-708, 1996.

(14) Wahlberg, B., System Identification Using Kautz Models, IEEE Trans. on Automatic Control, vol 39, number 6,

pp 1276-1282, 1994.

(15) Oliveira, G. H. C., Modelagem de Componentes de Sistemas Elétricos de Potência Usando Bases de Funções

Ortonormais. XVIII SNPTEE, Curitiba, 2005.

(16) Fu, Y. and G. A. Dumont, An Optimum Time Scale for Discrete Laguerre Network, IEEE Transactions on

Automatic Control, vol 38, number 6, pp 934-938, 1993.

(17) Reginato, B. C e Oliveira, G. H. C., On Selecting the MIMO Generalized Orthonormal Basis Functions Poles

by Using Particle Swarm Optimization, European Control Conference, Aceito para publicação, 2007.

(18) Sabatini, A. M., A Hybrid Genetic Algorithm for Estimating the Optimal Time Scale of Linear Systems

Approximations using Laguerre Models, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, no. 5, pp. 1007–1011,

2000.

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