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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Daniela Milaneze Rodrigues
A compreensão de alunos, ao final do Ensino Médio,
relativa ao conceito de variável
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2008
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Daniela Milaneze Rodrigues
A compreensão de alunos, ao final do Ensino Médio,
relativa ao conceito de variável
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca
Examinadora como exigência parcial para
obtenção do título de MESTRE em Educação
Matemática pela Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, sob a orientação do
Prof. Doutor Benedito Antonio da Silva.
SÃO PAULO
2008
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Banca Examinadora
____________________________
____________________________
____________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:______________________________Local e data:_______________
Este trabalho é dedicado ao meu esposo,
pelo seu companheirismo, apoio, incentivo
e compreensão nos momentos em que
deixei de lhe dar atenção e carinho por
conta da dedicação à vida acadêmica.
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos...
... Ao meu orientador, Professor Benedito Antonio da Silva, por
aceitar a orientação desta pesquisa, pela disponibilidade prestada,
pelas correções, sugestões e discussões, que tanto contribuíram
para minhas reflexões como pesquisadora, pela paciência, atenção,
confiança e incentivo à conclusão do trabalho no momento em que
mais precisei.
... À minha família, por me amparar e me ajudar, da forma como foi
possível, a concluir esta etapa de minha vida acadêmica. Em
especial, agradeço à minha amada avó, Olézia, pela preocupação e
por me acalmar, muitas vezes, dizendo: “Já está acabando, falta só
mais um pouco”; ao meu pai que sempre diz: “O mérito é todo seu!”
(Mas sem o apoio e o incentivo que recebi de você para estudar, e
procurar fazer sempre o melhor, eu não teria realizado tudo o já fiz
até hoje); à minha mãe que cansou de perguntar: “Já terminou o
trabalho?” E cansou de ouvir: “Ainda não!” (Obrigada mãe, pela
força que você me deu quando eu pensei em desistir de tudo); ao
meu irmão, pelos conselhos e pelas dúvidas esclarecidas quanto à
redação do trabalho.
... Ao meu esposo, por todo o incentivo, companheirismo,
compreensão, carinho, paciência e amor.
... À professora Iole de Freitas Druck, por aceitar participar da
banca examinadora, pela docente exemplar que sempre foi, pelo
respeito, pelo carinho, pela consideração e pelas valiosas
sugestões e críticas realizadas na ocasião da qualificação. Sinto por
não ter condições de manter o contato que gostaria, mas sempre
lembrarei dos momentos que tivemos no IME.
... À professora Sonia Barbosa Camargo Igliori, pela grande
contribuição em minha formação no mestrado, pelas críticas e
questionamentos que despertaram tantas reflexões e me fizeram
amadurecer enquanto educadora, e por sua participação na banca
examinadora.
... À minha querida amiga Juliana, pela sua ajuda, por me
acompanhar durante toda a trajetória de desenvolvimento desta
pesquisa, por participar como observadora no momento da
aplicação do questionário, sempre se dispondo a me ouvir falar
sobre este trabalho. Obrigada, Jú, pelo apoio prestado, pelo
companheirismo, pelo incentivo, pela paciência em ler todo o meu
trabalho e me auxiliar na revisão e formatação. Enfim, obrigada pela
felicidade que sinto em ter sua amizade.
... Aos professores do Programa com quem tive o privilégio de
conviver e aprender. Sem dúvida, cada um a seu modo, contribuiu
para o meu crescimento profissional.
... A CAPES pelo apoio financeiro, pois sem ele, provavelmente,
não teria chegado até aqui.
... A Rose pelas conversas sobre o 3UV, pelas sugestões, pelas
questões que sempre levantávamos quando começávamos a falar
sobre nossas pesquisas, pelo apoio, incentivo, pela força, pela troca
de experiências; sem dúvida, tudo isso foi muito importante para a
finalização desta etapa.
... Ao Paulo por todo o material disponibilizado que contribui muito
para a fundamentação do trabalho.
... Aos meus queridos alunos, por participarem da pesquisa, pelos
momentos que tivemos ao longo dos três anos do Ensino Médio,
pela admiração, respeito e carinho que sempre recebi de vocês.
... À coordenação e direção da escola em que trabalho e a todos os
professores que, de alguma forma, se preocuparam comigo,
compreenderam meu cansaço e me incentivaram a não desistir de
meu objetivo.
... Aos colegas do G2, e àqueles com quem mais convive durante o
curso (Alexandra, Marcelo e Vanderlei), pelas conversas, troca de
conhecimentos e experiências.
... Aos meus amigos Lila e Ed, pela amizade, e a todos aqueles que
torceram para que eu conseguisse concluir esta grande tarefa.
RESUMO
A presente pesquisa teve como objetivo investigar a compreensão de alunos do
terceiro ano do Ensino Médio a respeito do conceito de variável. Para o seu
desenvolvimento, foi utilizada uma ferramenta teórico-metodológica denominada
modelo 3UV, elaborada pelas pesquisadoras Trigueros e Ursini (2001). Tal modelo
apresenta uma decomposição do conceito de variável em seus três principais usos
em álgebra elementar - incógnita, número genérico e variáveis relacionadas, ou
variáveis em relação funcional – e as habilidades essenciais à compreensão de cada
um deles para a aquisição do conceito de variável. Essa ferramenta serviu como
guia na elaboração de um questionário contendo 22 itens, envolvendo o emprego
dos três usos da variável. As questões formuladas exigiram as capacidades de
simbolização, manipulação e interpretação dos alunos relativas à variável em seus
três usos, juntamente com a mobilização das habilidades sugeridas no modelo 3UV.
Com base nos dados coletados, por meio do questionário e das entrevistas
realizadas após sua aplicação, observou-se que os estudantes não apresentaram
dificuldades em interpretar, simbolizar e manipular a variável como incógnita. Por
outro lado, a compreensão da variável como número genérico e em relação
funcional demonstrou lacunas, as quais estão diretamente relacionadas à falta de
explicitação de algumas das habilidades específicas de manipulação e de
interpretação apresentadas no modelo 3UV como necessárias à compreensão do
conceito. Dessa forma, tal investigação possibilitou o apontamento de dificuldades
dos alunos ao lidar com problemas em que o conceito de variável fazia-se presente,
indicando, para o desenvolvimento de futuras pesquisas, as habilidades que
deveriam ser melhor exploradas no processo de ensino para favorecer sua
compreensão.
Palavras-chave: Variável. Incógnita. Número genérico. Relação funcional.
Simbolização. Manipulação. Interpretação.
ABSTRACT
The aim of this research was to investigate the third year of high school students´
comprehension of the concept of variable. For its development, it was used a
theoretical framework called 3UV model formulated by researchers Trigueros e Ursini
(2001). The model involves a decomposition of the concept of variable in its three
main uses in elementary algebra – unknown, general number and related variables,
that is, variables in functional relationship – and the essential abilities to comprehend
each of them to acquire the concept of variable. This theoretical framework was used
as guideline in the design of a questionnaire with 22 items, in which the three uses of
variable were used. The questions demanded the capabilities of symbolization,
manipulation and interpretation from the students related to the three uses of
variable, jointly with the mobilization of the abilities that the 3UV model suggests.
According to data collected, through the questionnaire and the interviews, which
were realized after the application of the first, it was noticed that the students didn’t
show difficulties to interpret, symbolize and manipulate the variable as unknown. On
the other hand, the comprehension of the variable as a general number and as
related variables showed gaps related directly to the lack of mobilization of some
abilities of manipulation and interpretation present in the 3UV model as needed
abilities to the comprehension of the concept. Thus, this investigation helped to point
up the difficulties of the students to deal with problems related to concept of variable
and to indicate the abilities that should be better worked, in the teaching process of
the concept of variable, to provide its comprehension.
Keywords: Variable. Unknown. General number. Functional relationship.
Symbolization. Manipulation. Interpretation.
LISTA DE QUADROS
Quadro 1. Decomposição do conceito de variável..................................................... 29
Quadro 2. Habilidades necessárias à compreensão da variável em seus três
usos: incógnita, número genérico, variáveis relacionadas.................................... 33
Quadro 3. Relacionamento entre as habilidades descritas no quadro 2 e as
capacidades de simbolização, interpretação e manipulação da variável em
seus três usos.............................................................................................................. 34
Quadro 4. Programação do 1
o
ano do Ensino Médio................................................. 43
Quadro 5. Programação do 2
o
ano do Ensino Médio................................................. 44
Quadro 6. Protocolo da dupla D1- Questão 2. ............................................................. 70
Quadro 7. Protocolo da dupla D3 – Questão 2............................................................. 73
Quadro 8. Exercícios retirados do material didático da escola em que foi
desenvolvida esta pesquisa..................................................................................... 75
Quadro 9. Protocolo da dupla D4 – Questão 2 – item c) ........................................... 76
Quadro 10. Protocolo da dupla D6 – Questão 2. ......................................................... 78
Quadro 11. Protocolo do trio T7 – Questão 2- item a). .............................................. 80
Quadro 12. Protocolo do trio T7 – Questão 2 - itens b) e c)..................................... 81
Quadro 13. Protocolo da dupla D1 – Questão 3. ......................................................... 84
Quadro 14. Protocolo da dupla D5 – Questão 3. ......................................................... 89
Quadro 15. Protocolo do trio T7 – Questão 4 – item c). ............................................ 99
Quadro 16. Protocolo da dupla D1– Questão 4 – item d)........................................ 101
Quadro 17. Protocolo da dupla D3 – Questão 5 – itens c), d) e e)........................ 106
Quadro 18. Protocolo da dupla D4 – Questão 5 – itens c), d) e e)........................ 109
Quadro 19. Protocolo da dupla D5 – Questão 5 – itens c), d) e e)........................ 110
Quadro 20. Protocolo da dupla D6 – Questão 5 – itens c), d) e e)........................ 112
Quadro 21. Protocolo da dupla D1 – Questão 6 – itens b), c) e d). ...................... 117
Quadro 22. Protocolo da dupla D3 – Questão 6 – itens b), c) e d). ...................... 118
Quadro 23. Protocolo da dupla D4 – Questão 6 – itens b), c) e d). ...................... 120
Quadro 24. Protocolo da dupla D5 – Questão 6 – itens b), c) e d)........................ 121
Quadro 25. Protocolo da dupla D6 – Questão 6 – itens b), c) e d). ...................... 122
Quadro 26. Protocolo do trio T7 – Questão 6 – itens a), b), c) e d). ..................... 123
Quadro 27. Protocolo da dupla D1 – Questão 6 – itens e), f) e g)......................... 124
Quadro 28. Protocolo da dupla D2 – Questão 6 – itens e), f) e g)......................... 125
Quadro 29. Protocolo da dupla D3 – Questão 6 – itens e), f) e g)......................... 126
Quadro 30. Protocolo da dupla D4 – Questão 6 – itens e), f) e g)......................... 127
Quadro 31. Protocolo do trio T7 – Questão 6 – itens e), f) e g)............................. 128
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO......................................................................................................12
CAPÍTULO 1
PROBLEMÁTICA.......................................................................................................14
O PROBLEMA DE PESQUISA, SUA ORIGEM, SUA IMPORTÂNCIA.................16
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA...................................................22
2.1 O MODELO 3UV........................................................................................31
2.2 ALGUMAS APLICAÇÕES DO MODELO 3UV..........................................34
CAPÍTULO 3
O QUESTIONÁRIO....................................................................................................40
3.1 O QUESTIONÁRIO PILOTO.....................................................................40
3.2 A ESCOLA E OS ALUNOS ......................................................................41
3.3 A APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO.......................................................45
3.4 AS QUESTÕES E O MODELO 3UV.........................................................48
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DOS DADOS..............................................................................................64
4.1 QUESTÃO 1..............................................................................................64
4.2 QUESTÃO 2..............................................................................................69
4.3 QUESTÃO 3............................................................................................. 83
4.4 QUESTÃO 4..............................................................................................92
4.5 QUESTÃO 5............................................................................................103
4.6 QUESTÃO 6............................................................................................115
CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................132
REFERÊNCIAS........................................................................................................136
APÊNDICE...............................................................................................................139
ANEXO.....................................................................................................................142
12
APRESENTAÇÃO
A pesquisa apresentada neste relatório teve como objetivo investigar a
compreensão de alunos, na fase de conclusão do Ensino Médio, a respeito do
conceito de variável. Para tanto, elaboramos um questionário, contendo seis
questões, subdivididas em 22 itens, envolvendo os principais aspectos relativos ao
conceito de variável. Tais questões foram elaboradas com base no modelo teórico
denominado 3UV (O modelo dos três usos da variável) desenvolvido pelas
pesquisadoras María Trigueros e Sonia Ursini (2001).
O modelo 3UV apresenta uma decomposição do conceito de variável em três de
seus principais usos: incógnita, número genérico e variáveis em relação funcional.
Segundo Trigueros e Ursini, tal modelo pode ser utilizado como guia para:
- elaborar ferramentas que proporcionem o desenvolvimento de análises
diagnóstico a respeito da concepção de alunos e, também de professores,
sobre o conceito de variável;
- elaborar atividades de ensino relativas ao conceito de variável em álgebra
elementar;
- realizar a análise de livros didáticos e outros materiais de ensino relacionados
ao conceito.
Ao longo do capítulo II, apresentamos, de forma detalhada, o modelo 3UV, sua
origem, a descrição das habilidades essenciais à compreensão de cada um dos
usos da variável, e alguns exemplos de sua aplicação.
Salientamos que utilizamos o modelo 3UV como fundamentação teórico-
metodológica com o intuito de realizar uma análise diagnóstico da compreensão de
alunos do terceiro ano do Ensino Médio sobre o conceito de variável, sem nos
preocuparmos com suas demais aplicações.
A investigação foi desenvolvida com alunos de uma escola particular do Grande
ABC e contou com a participação de 15 estudantes. Para responder o questionário,
os participantes trabalharam em duplas e, por conta de seu número ímpar, formou-
se um trio. Após a aplicação do questionário, realizamos entrevistas com os
estudantes com o intuito de esclarecer alguns dados encontrados em seus
13
protocolos. A caracterização da escola e dos participantes da pesquisa é
apresentada no capítulo III, juntamente com a exposição de nosso instrumento de
investigação e dos procedimentos metodológicos utilizados.
Os resultados da pesquisa encontram-se no capítulo IV, em que expomos a
análise dos dados coletados com a aplicação do questionário e o que apuramos com
as entrevistas que complementaram as respostas dadas pelos alunos às questões.
Por fim, apresentamos na etapa do relatório denominada “Considerações
finais” as conclusões que formulamos com base no trabalho realizado e também
algumas sugestões para complementação dos estudos concernentes ao ensino e à
aprendizagem do conceito de variável.
A seguir, no capítulo I, intitulado “Problemática”, descrevemos o percurso que
nos motivou a desenvolver esta pesquisa, momento em que expomos, brevemente,
nossa caminhada acadêmico-profissional, as inquietações que nos levaram ao
problema da pesquisa e sua relevância para a área da Educação Matemática.
14
CAPÍTULO 1
PROBLEMÁTICA
Ao longo de nossa atividade pedagógica contracenamos com diferentes
personagens que desenham, aos poucos, cenas que ilustram características da
Educação Básica brasileira. Dentre eles encontramos professores de diferentes
áreas de ensino - alguns mais experientes, outros nem tanto - coordenadores,
orientadores, pesquisadores, mas os principais personagens, os que mais nos
despertam a atenção, são, sem dúvida, os alunos, cada um deles com suas
particularidades, suas habilidades, dificuldades, com comportamentos que nos
encantam e merecem, de fato, nossa atenção. Afinal, sem eles nosso papel de
educador perderia o sentido.
Nossa atuação em sala de aula iniciou-se durante nossa formação
secundária, quando cursávamos o magistério. Tivemos pouco contato com os alunos
da Educação infantil e das séries iniciais. Após concluirmos o primeiro ano de
licenciatura em Matemática, no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade
de São Paulo, começamos a estagiar numa escola da rede particular da região do
Grande ABC. Dois anos depois, estávamos lecionando para alunos do Ensino
Fundamental e do Ensino Médio e notamos uma motivação natural de nossa parte
ao lidarmos com os adolescentes na fase final da Educação Básica. A partir de tal
motivação, carregada de um certo desafio e ao mesmo tempo de muito entusiasmo,
nos mantivemos até os dias atuais lecionando para alunos do Ensino Médio.
É importante observar que nossa experiência mais desafiadora aconteceu nos
primeiros anos de trabalho quando lecionávamos para alunos da rede pública de
ensino no período noturno. Nessa fase, conhecemos a difícil realidade de quem
trabalha durante o dia e estuda à noite. Pessoas que, muitas vezes, não têm
disposição para aprender e nem ideais ou sonhos que valorizem a educação.
Porém, nosso desafio de ensinar nunca foi deixado de lado, mesmo em tais
circunstâncias. Após 11 anos de experiência, com diferentes grupos de alunos, na
faixa etária de 15 a 18 anos, pudemos observar algumas dificuldades comuns na
aprendizagem de determinados conteúdos matemáticos.
15
Notamos que o desempenho dos alunos ao resolver inequações do segundo
grau e no estudo de funções polinomiais de primeiro e segundo graus nem sempre
era satisfatório. Porém, antes de ingressarmos no curso de mestrado da PUC-SP,
não tínhamos elementos suficientes para sustentar nossas suspeitas a respeito dos
problemas, no processo ensino-aprendizagem, relacionados aos temas citados. Foi,
então, por meio de leituras de trabalhos de pesquisadores na área da Educação
Matemática e, também, pela troca de idéias entre colegas de nosso grupo de
pesquisa da PUC–SP - o G2
1
- que pudemos observar, novamente, os problemas
que já havíamos notado só que, dessa vez, sob uma nova perspectiva, a do
pesquisador iniciante.
Surgiram, assim, novas inquietações e questionamentos que foram pouco a
pouco sendo alimentados pelas discussões que desenvolvíamos entre nossos
colegas do G2.
Através do conteúdo de uma das discussões ocorridas no grupo, aliada as
nossas observações do desempenho dos alunos em sala de aula, começamos a
refletir sobre o conceito de variável e sobre nossa prática pedagógica ao
explorarmos esse conceito em distintas situações-problema presentes na
Matemática do Ensino Médio. Essa reflexão nos levou, ainda, a relacionar a
compreensão do conceito de função à compreensão do conceito de variável, dada à
importância da correspondência e dependência entre as variáveis no estudo de
funções.
Diante de nosso interesse sobre o papel das variáveis na aprendizagem
matemática, montamos uma espécie de subgrupo do G2 para pesquisarmos e
estudarmos a importância do conceito de variável na matemática da Educação
Básica. Nosso subgrupo era formado por três integrantes, cada um com uma
preocupação. Um deles interessou-se em investigar as concepções de professores
do Ensino Médio a respeito do conceito de variável, o outro estava preocupado com
a aprendizagem de alunos do Ensino Fundamental, enquanto nós pretendíamos
investigar a compreensão de alunos do Ensino Médio sobre tal conceito, por conta
de nossa vivência com esses alunos e pelo fato de acreditarmos que nessa fase da
1
O grupo G2 – Matemática no ensino superior: Didática do Cálculo – desenvolve estudos e
investigações científicas de caráter histórico,
epistemológico e didático,
explorando, entre outros, os
conceitos de função, limite, derivada e integral. Nas reuniões do grupo, seus integrantes recebem
orientações para o desenvolvimento de sua pesquisa, discutem e apresentam resultados, anseios e
limitações quanto ao desenvolvimento de seus trabalhos.
16
Educação Básica os estudantes enfrentam problemas, em diferentes contextos, nos
quais as variáveis assumem seus mais diversos usos.
Unindo nossa prática pedagógica aos estudos que desenvolvíamos no G2, e
mais especificamente, no subgrupo estabelecido, formulamos, então, nosso
problema de pesquisa, o qual descrevemos a seguir detalhando o percurso que
levou à sua elaboração.
O PROBLEMA DE PESQUISA, SUA ORIGEM, SUA IMPORTÂNCIA
Consideramos, dentre outros conceitos matemáticos presentes no Ensino
Médio, que a compreensão do conceito de variável é de grande importância para o
desenvolvimento de estudos posteriores no campo da Análise, do Cálculo e da
Álgebra.
A presença de variáveis nos mais diversos contextos da matemática torna
difícil sua definição e complexo o seu conceito. No Cálculo, e também na Análise,
reconhecer e compreender o papel das variáveis é fundamental no estudo de
funções, derivadas, limites, entre outros. Na Álgebra, a linguagem utilizada é
constituída de símbolos - tais como [ ], + , =, ,π,2 1, 0, -3, { } , >, ≤, entre outros - e
letras que assumem ora o papel de incógnita, ora o papel de parâmetro, ora o de
variável.
Segundo Caraça (1940, p. 1):
O conceito de variável apresenta, [...] , um duplo aspecto – o aspecto
simbólico, da letra ou símbolo tomados, e o aspecto substancial, do
conjunto que esse símbolo representa; esses dois aspectos são
inseparáveis, e a sua síntese é o conceito de variável.
Diante de nossa temática de interesse, buscamos, então, estudos realizados
a respeito do conceito de variável e sua presença no ensino e aprendizagem da
Matemática. Para tanto, fizemos, inicialmente, uma busca no Banco de Teses
EduMat do CEMPEM (Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em Educação
Matemática) da Faculdade de Educação da UNICAMP. Pesquisamos os títulos de
dissertações e teses produzidas no Brasil de 1971 até 2003 que estariam, de
alguma forma, relacionados ao nosso trabalho. Complementamos tal pesquisa
17
visitando as páginas, na internet, da CAPES e da PUC-SP em busca de trabalhos
mais recentes (2004 a 2008).
Escolhemos, assim, 34 trabalhos cujos títulos nos chamaram a atenção,
dentre os quais encontram-se o de Pelho (2003) e Christo (2006), que dão destaque
à compreensão das variáveis por alunos da Educação Básica, e o de Queiroz (2008)
que apresenta aspectos da compreensão de professores da Educação Básica a
respeito do conceito de variável.
Pelho, em sua dissertação, demonstrou preocupação com relação à
dependência das variáveis presentes numa relação funcional.
Algumas pesquisas realizadas sobre funções, nos levaram a conjeturar que
muitas das dificuldades ocorrem devido ao formalismo existente, sendo
necessário resgatar o caráter dinâmico deste conceito, por meio de
abordagens que proponham situações tais que permitam ao aluno
compreender o conceito de variável, expressar a dependência de uma
variável em relação a outra e identificar variável dependente e
independente. (PELHO, 2003, p. 27).
Christo, em seu trabalho, desenvolvido com alunos da 6
a
série do Ensino
Fundamental, cita Arcavi (1987 apud CHRISTO, 2006) o qual defende que a
compreensão do conceito de variável é a base para o aluno apreender a passagem
da aritmética à álgebra, sendo tal passagem necessária à matemática mais
avançada.
Prosseguindo em nossa busca por estudos realizados a respeito da
compreensão de alunos sobre o conceito de variável, encontramos um número
considerável de investigações desenvolvidas no México pelas pesquisadoras María
Trigueros e Sonia Ursini.
Em um de seus trabalhos, apresentado em 2001, no PME 25 (Conference of
the International Group for the Psychology of Mathematics Education), as
pesquisadoras descrevem o modelo teórico denominado 3UV:
O modelo tem por objetivo servir como ferramenta para realizar análises
diagnóstico a respeito da concepção de alunos, e também de professores,
sobre o conceito de variável, além de possibilitar a análise de livros
didáticos e permitir a elaboração de atividades de ensino que explorem os
três principais usos da variável em álgebra elementar: incógnita, número
genérico e variáveis relacionadas. (TRIGUEROS; URSINI, 2001, p. 327,
tradução nossa)
.
18
Observamos que as autoras utilizam o termo “variáveis relacionadas” quando
se referem às variáveis dependente e independente presentes numa relação
funcional.
Dentre alguns resultados das pesquisas realizadas por Trigueros e Ursini,
destacamos uma constatação encontrada num dos artigos escrito pelas autoras com
a participação de Reyes:
Uma possível explicação para a persistência das dificuldades dos
estudantes pode ser o fato de que atualmente as práticas de ensino no
nível médio reforçam cada um dos diferentes aspectos da variável
separadamente e de uma forma hierárquica, enfatizando sua manipulação
específica e técnicas ou regras de transformação. No entanto, diferentes
usos da variável compartilham o mesmo simbolismo, sintaxe e regras de
manipulação. Este fato deveria ser levado em conta, explicitamente, a fim
de evitar possíveis confusões e incompreensões. (REYES; TRIGUEROS;
URSINI, 1996, v. 4, p. 321, tradução nossa).
A partir de resultados das pesquisas realizadas por Trigueros e Ursini (1997,
1999, 2000, 2001) observamos que as dificuldades de compreensão do conceito de
variável e as interpretações dos alunos a respeito dos aspectos envolvidos nesse
conceito podem estar relacionadas às práticas de ensino dos professores, o que nos
leva a uma reflexão sobre como tal conceito é visto por eles e como abordam
situações, em sala de aula, envolvendo a presença de variáveis.
Em seu trabalho, Queiroz (2008) apresenta resultados que mostram as
dificuldades dos professores do Ensino Médio quanto à utilização e interpretação
das variáveis. O autor realizou suas análises baseando-se no modelo 3UV e
identificou problemas na compreensão dos professores quanto as variáveis em
relações funcionais e, em menor escala, como números genéricos. Nas situações
em que a variável assumia o papel de incógnita, os professores não apresentaram
dificuldades.
Além das pesquisas já citadas, temos também as de Tinoco et al (2007) que
defendem a noção de variável e a de equivalência como sendo duas noções
fundamentais para que o ensino da Álgebra contemple a generalização da
aritmética, a resolução de problemas, a variação de grandezas e o estudo das
estruturas matemáticas, além de contribuir com o desenvolvimento de uma
aprendizagem mais significativa para o aluno.
A falta de compreensão do conceito de variável pode ser a causa de
dificuldades encontradas por alunos, ao longo do Ensino Médio, no trato de
19
problemas que envolvem equações, inequações e funções. Nos PCN + Ensino
Médio (2002), encontramos sugestões que, novamente, despertam reflexões sobre a
importância do conceito de variável e a presença de seus diferentes usos na
Matemática.
Os conceitos de variação e igualdade podem ser explorados a partir de
situações envolvendo variáveis. Assim, uma equação como, por exemplo, y = 3x –2
poderia representar a lei de conversão de uma moeda em outra, numa casa de
câmbio, onde 3 seria a taxa de câmbio do dia, e 2, a tarifa fixa cobrada pela
operação. Ao apresentar uma equação dessa forma, o professor pode explorar o
conceito de variação e contribuir para a compreensão do relacionamento das
variáveis envolvidas num problema. Já a equação y = x
2
poderia ser interpretada
como a representação da área y de uma sala quadrada de lado x. Numa outra
situação, poder-se-ia investigar a igualdade 3x – 2 = x
2
, ou seja, para quais valores
de x a sentença é verdadeira. Ou, então, poderiam ser exploradas as curvas
representadas por tais equações a partir da interpretação geométrica do sistema
formado por elas. Assim, o conjunto solução do sistema
=
−=
2
23
xy
xy
representaria os
pontos de intersecção da reta de equação 3x – y – 2 = 0 com a parábola y = x
2
.
(PCN + Ensino Médio, 2002).
Tais exemplos mostram que a interpretação e o uso que é feito das variáveis
dependem do contexto do problema em que elas aparecem, o que deve ser levado
em conta quando se pretende explorar o conceito de variável.
A partir de nossa prática docente, com alunos do Ensino Médio, notamos que
muitos apresentam dificuldades na resolução de inequações do segundo grau.
Muitas vezes, os alunos tratam as inequações como equações e admitem que a
incógnita presente numa desigualdade, em ℜ, assume um número finito de valores
quando, em certos casos, a solução seria dada por um intervalo real. Percebemos a
angústia de nossos alunos e sua incompreensão, em casos como esse, quando
somos questionados sobre o que escrever como conjunto solução de uma
inequação. Os alunos perguntam: “Quando tenho que escrever x pertence aos reais
tal que x maior que ‘3’ ? Por que não posso colocar só x igual a ‘3’?”
Mesmo aqueles que resolvem, corretamente, uma inequação do segundo
grau parecem seguir, ou mesmo memorizar, um procedimento que percebem ser
válido para tratá-la. No entanto, percebemos em nossa prática de ensino que as
20
estratégias algébricas e aritméticas adotadas pelos alunos em busca da solução
para uma inequação do segundo grau distanciam os estudantes do seu significado.
Resultados da pesquisa de Blanco e Garrote (2007) desenvolvida com a
participação de 91 alunos do primeiro ano de educação pré-universitária, na
Espanha, na faixa etária de 16 a 17 anos, mostraram que muitos estudantes não
fazem diferenciações conceituais entre equações e inequações e que apresentam
dificuldades em resolver inequações e interpretar suas soluções. Além disso, os
autores observam que os alunos têm problemas para compreender um intervalo real
e o conceito de variável, principalmente, nas situações em que a variável deveria ser
interpretada como um número genérico.
A dificuldade enfrentada pelos alunos no momento de resolver uma
inequação é compreensível, pois para que o aluno compreenda, de fato, o que
representa o conjunto solução de uma inequação é preciso que ele mobilize dois
usos da variável: a variável como incógnita e a variável numa relação funcional.
Além disso, a relação de ordem deve estar clara para o aluno. Assim, para resolver,
em ℜ, a inequação x
2
- 5x + 6 > 0 é preciso que o aluno determine as raízes da
função que está associada a essa desigualdade, manipulando, assim, a variável
como incógnita, para, posteriormente, realizar o estudo do sinal da função,
identificando quais valores de x tornam a imagem da função estritamente positiva, ou
seja, y > 0 para x < 2 ou x > 3. Como tal dependência entre as variáveis não está
explícita na representação algébrica de uma inequação, a dificuldade aumenta,
fazendo com que o aluno se apóie naquilo que domina melhor, isto é, nos
procedimentos, ou técnicas, utilizados para resolver uma equação do segundo grau.
Admitindo-se, portanto, que o conceito de variável é de grande importância
para o ensino da Matemática e que para compreender tal conceito é necessário
saber diferenciar os usos da variável, integrá-los como aspectos de um mesmo
objeto matemático, simbolizá-los, manipulá-los e interpretá-los, faz-se, então,
pertinente a indagação de como os alunos, que estão concluindo o Ensino Médio,
compreendem esse conceito. Realizar uma investigação sobre a compreensão
desses estudantes relativa ao conceito de variável é o objetivo deste trabalho.
Para possibilitar tal diagnóstico, utilizamos o modelo 3UV como guia na
elaboração de um questionário com problemas em que a variável assume seus três
principais usos: incógnita, numérico genérico, variáveis relacionadas. Em algumas
questões, apresentamos elementos da Geometria com o objetivo de verificarmos de
21
que forma esses elementos influenciariam a interpretação dos alunos a respeito das
variáveis nelas presentes.
Nossa pesquisa contou, ainda, com o desenvolvimento de entrevistas com os
estudantes que participaram da aplicação do questionário. Nosso objetivo era
esclarecer, a partir de tais entrevistas, os dados coletados com o questionário e até
mesmo obter novos dados, a partir das falas dos alunos, quando esses estivessem
sendo entrevistados.
Para fundamentar nossas escolhas apresentamos, no próximo capítulo, a
fundamentação teórico-metodológica da pesquisa.
22
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA
A presença de variáveis nos mais diversos contextos da matemática,
empregadas com distintos significados, torna árdua a tarefa de definir tal objeto.
A complexidade presente em seu conceito pode ser notada nas palavras de
Caraça (2000, p. 120):
Quando dizemos, por exemplo: seja E o conjunto dos números reais do
intervalo (0,1), e seja x a sua variável, que queremos significar? Que o
símbolo x, sem coincidir individualmente com nenhum dos números reais
desse intervalo, é susceptível de representar a todos; é, afinal, o símbolo
da vida coletiva do conjunto, vida essa que se nutre da vida individual de
cada um dos seus membros, mas não se reduz a ela.
O caráter contraditório do conceito de variável – “a variável é e não é cada um
dos elementos de um conjunto” (ibid.) – seu duplo aspecto, o do símbolo e o da
substância, e seus possíveis e diferentes usos fazem com que sua compreensão
não seja algo trivial.
As primeiras investigações sobre a compreensão de estudantes da Educação
Básica a respeito do conceito de variável ganharam força nas décadas de 70 e 80,
com pesquisadores como Collis e Küchemann.
Em seu artigo intitulado Algebra, Küchemann (1981) observa que o vasto uso
do termo “variável” na aritmética generalizada é uma prática comum a qual tem
contribuído para encobrir tanto o significado desse termo quanto as diferenças de
significado que podem ser dadas às letras.
As pesquisas realizadas pelo autor inseridas no projeto Concepts in
Secondary Mathematics and Science (CSMS), com organização de Hart (1981),
trouxeram elementos para que pesquisadores como Trigueros e Ursini
complementassem os estudos sobre a interpretação das letras, em contexto
algébrico, e sua compreensão por alunos, e também por professores. A elaboração
do modelo 3UV, pelas autoras, sofreu influências da categorização proposta por
Küchemann a respeito das interpretações dos estudantes sobre as variáveis.
O autor elaborou e analisou um questionário de álgebra aplicado a estudantes
na faixa etária dos 13 aos 15 anos de idade, baseando-se em dois critérios: um
23
referente ao nível de complexidade das questões e o outro, aos significados que os
estudantes poderiam dar às letras.
Küchemann fundamentou a elaboração de suas questões baseando-se na
proposta de Collis. Para Collis (1975 apud KÜCHEMANN, 1981, p. 103), a
“complexidade estrutural” de uma questão pode ser caracterizada pelo número de
variáveis que a questão envolve e pela natureza dos elementos nela presentes.
Segundo ele, a principal distinção a ser feita quanto à natureza dos elementos é se
esses são números “pequenos”, “grandes”, ou, ainda, se são letras.
De acordo com Küchemann (ibid.), mais importante do que essa classificação
dos elementos é o argumento de Collis de que as dificuldades originam-se da
carência de significado desses elementos para os alunos. Assim, por exemplo, uma
criança de 8 anos pode aceitar facilmente uma expressão como 2+3, pois ela pode
relacionar os elementos, e sua combinação, diretamente à sua realidade cotidiana
(duas bolas e três bolas juntas resultam em cinco bolas). Porém, ela pode não
aceitar que uma expressão envolvendo números além de seu campo de verificação,
como 274+356, também dê um único resultado. Da mesma forma, na aritmética
generalizada, o alcance do significado dado pelos estudantes às variáveis é de
fundamental importância na determinação do nível de dificuldade das questões.
Analisando as respostas dadas pelos estudantes às questões por ele
formuladas, Küchemann (1981) identificou seis formas de interpretação e uso das
letras: letra avaliada, letra não usada, letra como objeto, letra como incógnita,
letra como número genérico, letra como variável.
Segundo o autor, as três primeiras categorias são as mais elementares e
representam formas de evitar a aritmética generalizada. As questões presentes em
seu instrumento de investigação, relacionadas a essas três interpretações, foram
puramente numéricas ou tiveram uma estrutura simples.
A categoria letra avaliada se aplica às respostas em que a letra é, desde o
princípio, designada como um valor numérico. Nesse caso, os estudantes evitam
realizar operações com a incógnita atribuindo a ela um valor específico. Vejamos
um exemplo de questão envolvendo essa interpretação.
“O que você pode dizer sobre a, se a + 5 = 8?” (ibid., p. 105, tradução nossa)
Quando os estudantes ignoram a letra, ou reconhecem sua existência, mas
sem dar a ela um significado, Küchemann classifica essa interpretação como letra
não usada. Tal categoria pode ser identificada numa questão como:
24
“Se a + b = 43, então a + b + 2 = ____.” (
KÜCHEMANN
, 1981, p. 106, tradução
nossa).
Quando os estudantes consideram as letras como rótulos para objetos ou
como objetos em si mesmos, identifica-se, então, a categoria letra como objeto.
Numa das questões de Küchemann, em que era solicitado o perímetro de
algumas figuras, o autor identificou nas respostas dos alunos a interpretação das
variáveis como objetos. Considerando a figura abaixo, como exemplo desse tipo de
questão, o autor identificou a seguinte resposta: “2u+ 2.5 + 1.6”
u u
5 5
6
Segundo o pesquisador, os estudantes interpretaram a variável u como um
rótulo para o lado da figura e não como um comprimento desconhecido de um de
seus lados.
De acordo com o autor, usar a letra como um objeto, implica em reduzir seu
significado de algo abstrato a algo concreto e “real”, o que leva os estudantes a
resolverem corretamente algumas questões que eles não conseguiriam se não
recorressem a essa interpretação. Porém, essa redução no significado das variáveis,
freqüentemente, ocorre quando não deveria. Isso acontece, particularmente, com
questões que envolvem “objetos” (lápis, frutas etc.), em que é essencial distinguir
entre os próprios objetos e os números que representam suas quantidades.
(
KÜCHEMANN
, 1981, p. 107, tradução nossa)
A interpretação da letra como incógnita pode ser observada quando o aluno
a considera como um número específico, porém desconhecido, podendo operar
diretamente com ela. Por outro lado, quando o aluno interpreta a letra como
representante de vários valores, ou compreende que ela pode assumir vários
valores, identifica-se, nesse caso, a categoria letra como número genérico. Essas
duas categorias, segundo Küchemann, podem ser entendidas como “dois lados
diferentes de uma mesma moeda” já que é provável que os estudantes encontrem
muitos problemas de álgebra em que será necessário passar de uma a outra
interpretação dependendo do que for momentaneamente mais conveniente na
resolução de um problema.
Para exemplificar sua observação, o autor apresenta a seguinte questão:
25
Cada lápis azul custa 5 pence e cada lápis vermelho custa 6 pence.
Comprei alguns lápis azuis e alguns vermelhos, gastando ao todo 90
pence. Se a é o número de lápis azuis e v o número de lápis vermelhos, o
que você pode escrever sobre a e v? (KÜCHEMANN, 1981, p. 107,
tradução nossa.)
Dentre as respostas encontradas pelo autor, destaca-se a seguinte:
“5a + 6v = 90”.
Segundo ele, os estudantes que deram essa resposta podem ter interpretado
as variáveis a e v como incógnitas, mas, ao mesmo tempo, podem ter percebido que
essa resposta representa todos os possíveis valores de a e v que satisfazem a
igualdade, o que, nesse último caso, corresponderia à interpretação das letras como
números genéricos.
O autor declara que a compreensão da letra como variável vai além do
reconhecimento das letras como incógnitas ou como números genéricos. Perceber a
letra como variável é compreender que ela representa um domínio de valores não
específicos e que existe uma relação sistemática entre dois determinados conjuntos
de valores.
Retomando o exemplo dado acima, Küchemann observa que reconhecer as
variáveis como incógnitas implica observar que para a relação 5a + 6v = 90 existe
um par específico de números que a torna verdadeira, porém essa observação é
essencialmente estática e não envolve a idéia de mudança. Por outro lado, quando
as letras a e v são interpretadas como números genéricos há uma percepção de que
elas mudam, mas não de como mudam. Para perceber como se processa essa
mudança é preciso ir além dessas duas interpretações, analisando a relação que
existe entre as variáveis a e v.
Um primeiro passo a partir do qual pode ser feita uma análise dessa relação
seria ordenar pares de números que satisfazem a sentença 5a + 6v = 90, como, por
exemplo, (0, 15), (6, 10), (12, 5), (18, 0). Analisando esses pares, percebe-se que
quando a aumenta, v diminui. Poderia-se ir mais longe ainda, descrevendo essa
variação da seguinte forma: o aumento em a é maior do que a (correspondente)
diminuição em v; ou um aumento em a de 6 é 1 a mais do que a correspondente
26
diminuição em v de 5, ou o aumento em a é
5
6
da diminuição em v, etc.
(
KÜCHEMANN
, 1981, tradução nossa).
Diante das seis interpretações das letras apresentadas, o autor estabelece
quatro níveis de compreensão relacionando-os com o grau de complexidade das
questões formuladas para o seu questionário de investigação. Ao classificar as
questões em cada nível de compreensão, Küchemann levou em conta a
complexidade estrutural e a natureza dos elementos presentes em cada uma delas.
As questões no nível 1 de compreensão apresentaram elementos puramente
numéricos ou, ainda, uma estrutura simples e exigiram o uso das letras como objeto,
letra avaliada ou letra não usada. Como exemplo de questão desse nível,
envolvendo apenas dados numéricos, o autor apresenta:
6 A = ______ (A representa a área da figura)
10
As questões, em nível 1 de compreensão, com uma estrutura simples nas
quais eram empregadas as interpretações da letra como objeto, letra avaliada ou
letra não usada são exemplificadas abaixo.
a) letra como objeto:
e e p = ______ (p representa o perímetro da figura)
e
b) letra avaliada:
a+ 5 = 8, a =______
c) letra não usada:
a+b = 43, a+b+2 = _____
Já as questões enquadradas no nível 2 apresentaram uma complexidade
maior do que as de nível 1, devido ao aumento no número de variáveis nelas
presentes, porém, também envolveram as categorias letra como objeto e letra
avaliada. Vejamos alguns exemplos de questões desse nível.
27
a) letra como objeto:
h h
p = ______ (p representa o perímetro da figura)
h h
t
b) letra avaliada:
m = 3n + 1, n = 4, m = _____
Nas questões de nível 3, exigia-se o uso das letras como incógnitas.
Exemplo: “O que você pode dizer sobre r se r = s+t e r+s+t = 30?” (
KÜCHEMANN
,
1981, p. 105, tradução nossa.)
Já as questões classificadas como de nível 4 tiveram maior complexidade que
as de nível 3, no que se refere à interpretação da letra como incógnita, e algumas
exigiram a interpretação das letras como números genéricos e variáveis. O problema
dos lápis azuis e vermelhos, citado anteriormente (Cf. p.25), representa uma questão
de nível 4 de compreensão.
De acordo com os resultados de sua pesquisa, Küchemann identificou que a
maioria dos estudantes de 13, 14 e 15 anos de idade estava nos níveis 1 e 2 de
compreensão (73%, 59% e 53%, respectivamente) e que esses não foram capazes
de lidar de forma adequada com questões em que as letras deveriam ser, no
mínimo, interpretadas como incógnitas, ou seja, com questões propriamente
algébricas.
As interpretações da letra como incógnita, como número genérico e como
variável foram consideradas por Trigueros e Ursini, em seus estudos, em busca da
elaboração de uma ferramenta de análise a respeito da compreensão de estudantes
dos níveis médio e superior, e também de professores, sobre o conceito de variável.
Segundo as autoras, essas categorias de interpretação são as mais relevantes para
uma compreensão significativa de problemas algébricos elementares. Porém, as
autoras não relacionaram essas três categorias a níveis de compreensão como fez
Küchemann. Além disso, ao contrário do pesquisador que utiliza a terminologia “letra
como incógnita”, “letra como número genérico” e “letra como variável”, as autoras
utilizam os termos “variável como incógnita”, “variável como número genérico” e
“variáveis em relação funcional”. A respeito da terminologia “variável como incógnita”
as autoras observam:
28
Há quem considere inadequada a terminologia “variável como incógnita”,
pelo fato de que uma incógnita representa um valor fixo. No entanto,
consideramos que a primeira percepção das letras, quando presentes em
problemas algébricos, é, ou deveria ser, a de símbolos que representam
qualquer valor e que só num segundo momento se define seu papel
específico no problema. Assim, por exemplo, frente a uma equação, se
toma consciência de que a variável representa valores específicos só
depois de se considerar, mesmo que mentalmente, as operações
necessárias que permitam perceber que se trata efetivamente de uma
equação e não, por exemplo, de uma tautologia. Por essa razão, nos
parece que o uso da terminologia “variável como incógnita” é adequado.
(TRIGUEROS; URSINI, 1998, p. 447-448, tradução nossa)
Observamos, ainda, que, para as autoras, o conceito de variável abrange
essas três diferentes nuances (incógnita, número genérico, variáveis em relação
funcional) as quais são consideradas por elas como as principais componentes do
conceito, o que pode ser justificado pelos estudos já realizados concernentes a esse
tema.
Baseando-se, parcialmente, na proposta de Dubinsky, para a construção de
conceitos matemáticos, as autoras apresentam o que seria uma “decomposição
genética” do conceito de variável.
Segundo Dubinsky (1991 apud REYES; TRIGUEROS; URSINI, 1996), para
entender a forma como os estudantes aprendem matemática é necessário analisar
os diferentes conceitos envolvidos nessa aprendizagem a fim de isolar seus
principais componentes e dar descrições explícitas de possíveis relações entre eles.
O produto dessa análise é chamado de decomposição genética do conceito. Tal
decomposição pode ser uma ferramenta útil para desenvolver pesquisas sobre a
compreensão dos estudantes em matemática e pode servir como um guia na
elaboração de estratégias de ensino.
Assim, as autoras defendem que a decomposição do conceito de variável em
incógnita, número genérico e variáveis relacionadas baseia-se, por um lado, num
minucioso estudo desse conceito e, por outro, nas já conhecidas dificuldades dos
estudantes ao lidarem com situações em que as variáveis estejam presentes.
Contrastando, em parte, com a decomposição genética proposta por
Dubinsky, a decomposição do conceito de variável, apresentada pelas
pesquisadoras, enfatiza apenas aqueles aspectos que parecem ser relevantes, sob
o ponto de vista de um especialista, para a construção desse conceito, e admite que
todos os aspectos considerados têm a mesma hierarquia. As autoras pontuam:
29
É importante observar que nós não pretendemos estabelecer estágios para
a aprendizagem deste conceito, nós preferimos indicar diferentes
características que podem ser construídas pelos estudantes de uma forma
não linear e que são importantes para se alcançar uma visão global do
conceito de variável. (REYES; TRIGUEROS; URSINI, 1996, v. 4, p. 316,
tradução nossa).
Para elas, compreender o conceito de variável implica na capacidade de
integrar seus diferentes aspectos e passar de um ao outro de forma flexível. Além
disso, para lidar com cada um deles é necessário ser capaz de simbolizá-los,
manipulá-los e interpretá-los.
O quadro seguinte apresenta os aspectos da decomposição do conceito de
variável, considerados pelas pesquisadoras, numa primeira tentativa de estruturar
uma ferramenta que tivesse, a princípio, o objetivo de favorecer a análise de dados
relativos à compreensão desse conceito por alunos e professores.
Quadro 1. Decomposição do conceito de variável. Baseado em REYES; TRIGUEROS; URSINI,
1996, p. 317, tradução nossa.
Simbolização Interpretação Manipulação
Incógnita
Simbolização de um termo
desconhecido em uma
situação particular e/ ou em
uma equação.
Interpretação de um símbolo
como uma incógnita presente
em equações nas quais ele
aparece uma ou mais vezes.
Fatorar, simplificar,
desenvolver, balancear
uma equação para tornar a
variável o sujeito dessa
equação.
Número genérico
Simbolização de um objeto
genérico envolvido em
métodos ou regras gerais,
deduzidos de padrões
numéricos e/ou geométricos,
ou em famílias de problemas
similares.
Interpretação de um símbolo
como um objeto genérico
presente em expressões
algébricas ou em regras
gerais.
Fatorar, simplificar e
desenvolver para
reorganizar uma
expressão.
Variáveis em
relação funcional
Simbolização de relações
funcionais a partir de uma
tabela, um gráfico ou um
problema em língua natural.
Interpretação da
correspondência entre
variáveis e de sua variação
conjunta dada por meio de
expressões algébricas,
tabelas ou gráficos.
Fatorar, simplificar,
desenvolver para
reorganizar uma
expressão; substituir
valores para determinar
intervalos de variação,
valores de máximo e
mínimo ou para analisar o
comportamento global da
relação.
30
Baseando-se nessa decomposição, as autoras elaboraram um questionário
com 65 questões, o qual foi aplicado a 164 alunos do primeiro ano dos cursos de
Economia, Administração, Contabilidade, Ciências Políticas e Relações
Internacionais, de uma universidade particular, no México, com o objetivo de
investigar a compreensão desses estudantes a respeito do conceito de variável.
Tal questionário teve sua origem numa versão piloto com 52 questões
aplicada a 73 estudantes de uma universidade particular, iniciantes em estudos
universitários, com o objetivo de identificar seu desempenho frente a problemas que
exigiam a interpretação, manipulação e simbolização da variável em seus três
principais usos: incógnita, número genérico e variáveis em relação funcional. Dessas
questões, 35 foram retiradas do questionário utilizado por Ursini (1994) em sua tese
de pós-doutorado, que por sua vez foi embasado em questões de projetos como o já
citado CSMS, o qual contou com a participação de Küchemann. As outras 17
questões foram elaboradas especialmente para abordar problemas em que as
variáveis apareciam em relações funcionais dadas por suas representações gráficas,
algébrica ou, ainda, na forma de tabelas.
A partir da Teoria Clássica dos Testes (Muñiz, 1992), as autoras analisaram
quantitativamente o questionário piloto e concluíram que, de forma geral, ele era
confiável e consistente para identificar a compreensão dos estudantes a respeito do
conceito de variável. Porém, algumas das questões relativas à variável como
incógnita não trouxeram dados que pudessem contribuir para a investigação
desejada. Dessa forma, as autoras decidiram modificá-las, apresentando um grau de
dificuldade maior naquelas questões em que a variável assumia esse uso. Além
disso, algumas questões em que se pedia uma leitura direta de uma tabela ou de um
gráfico, ou, ainda, uma interpretação do papel das variáveis na questão, foram
substituídas por outras, por não possibilitarem informações suficientes sobre o uso
da variável relacionado à decomposição considerada. (QUINTERO; REYES;
TRIGUEROS; URSINI, 1996)
Assim, em 1998, Trigueros e Ursini apresentaram, no artigo Dificuldades de
los estudiantes universitarios frente al concepto de variable, o questionário
2
com as
65 questões e uma nova decomposição do conceito de variável em que são
considerados os aspectos básicos para sua compreensão.
2
O questionário formulado pelas autoras encontra-se, na íntegra, em “Anexo” na página 142.
31
Inicialmente, a decomposição se baseou na forma como os pesquisadores
entendiam o conceito de variável e em nossa experiência como mestres e
como aprendizes com relação às construções mentais que considerávamos
necessárias para compreender esse conceito. [...] Essa decomposição foi
refinada a partir das informações que obtivemos de uma primeira análise
das respostas dos estudantes aos nossos instrumentos de investigação.
(TRIGUEROS; URSINI, 1998, p. 447, tradução nossa).
2. 1 O MODELO 3UV
A partir do refinamento na decomposição do conceito de variável, realizado
em 1998, as autoras elaboraram, em 2001, o modelo 3UV.
Segundo elas, dado o caráter multifacetado da variável seus diferentes usos,
freqüentemente, estão presentes em uma mesma situação, em um mesmo
problema, e tal fato deve ser levado em consideração durante o processo de ensino.
Do ponto de vista das autoras, desconsiderar os diferentes usos da variável dentro
de uma mesma situação-problema pode ser a causa de muitas dificuldades
enfrentadas pelos alunos quando esses iniciam seus estudos em álgebra. Já ao
contrário, considerar sua flexibilidade pode ser a fonte de uma compreensão mais
rica desse conceito.
O modelo 3UV apresenta uma decomposição da variável em seus três
principais usos (incógnita, número genérico, variáveis em relação funcional), de
forma delimitada, descrevendo as habilidades necessárias à compreensão de cada
um deles, o que permite verificar qual desses aspectos é o mais problemático para
os alunos e quais habilidades devem ser melhor exploradas para favorecer sua
compreensão.
Baseando-se, assim, em anos de estudos e pesquisas sobre o ensino e a
aprendizagem do conceito de variável, Trigueros e Ursini julgam que a compreensão
desse conceito, em nível elementar, poderia ser descrita em termos das seguintes
capacidades básicas:
• executar cálculos simples e operações com símbolos literais;
• desenvolver uma compreensão sobre a funcionalidade dessas operações;
•
distinguir os diferentes usos da variável;
• transitar entre os diferentes usos da variável de uma forma flexível;
32
• integrar os diferentes usos da variável como facetas do mesmo objeto
matemático. (TRIGUEROS; URSINI, 2001, tradução nossa).
Para cada um dos três principais usos da variável, presentes na
decomposição de Trigueros e Ursini, encontramos no modelo 3UV as habilidades
necessárias à compreensão de cada um deles. Tais habilidades envolvem a
interpretação, simbolização e manipulação de cada um dos usos da variável
considerados.
Segundo as autoras, para compreender a variável como incógnita é preciso
reconhecer e identificar em um problema a presença de algo desconhecido que
pode ser determinado ao serem consideradas as restrições e condições dadas no
enunciado. É necessário interpretar o símbolo, que representa a variável, como um
valor específico, e ter condições de encontrá-lo a partir de operações e
manipulações algébricas e aritméticas. Além disso, nas situações em que a variável
assume o papel de incógnita é preciso ser capaz de simbolizar as quantidades
desconhecidas estabelecendo, assim, equações que permitam encontrar o valor da
incógnita. Substituir o valor, ou valores, da variável que fazem das equações
sentenças verdadeiras também é uma habilidade presente no entendimento da
variável como incógnita.
Compreender a variável como número genérico, segundo Trigueros e
Ursini, implica em ser capaz de reconhecer padrões em seqüências numéricas ou
geométricas, em famílias de problemas e encontrar, ou deduzir, regras e métodos
gerais que os descrevem. Além disso, interpretar a variável como uma entidade
indeterminada que pode assumir qualquer valor, simbolizar uma regra, ou método
genérico, distinguindo os elementos variáveis dos constantes presentes num
problema, e manipular (simplificar, desenvolver) expressões algébricas também são
habilidades necessárias à compreensão da variável como número genérico.
Para compreender as variáveis em relação funcional é preciso reconhecer
nos problemas a correspondência e dependência das variáveis envolvidas e sua
variação conjunta, independentemente da representação dada, a qual pode ser
tabular, gráfica, verbal ou algébrica. Ainda segundo as pesquisadoras, a partir do
reconhecimento de uma existente relação entre as variáveis, o estudante deve ser
capaz de determinar o valor de uma variável dado o valor da outra, ou o intervalo de
variação de uma, dado o intervalo de variação da outra. Além disso, simbolizar uma
relação funcional e manipular essa relação de forma conveniente, para que se
33
possam observar as características da variação apresentada num problema,
também são habilidades necessárias à compreensão das variáveis em relações
funcionais.
No quadro abaixo, temos, de forma sintetizada, a decomposição da variável e
as habilidades, consideradas por Trigueros e Ursini, essenciais à compreensão de
cada um dos aspectos dessa decomposição.
Quadro 2. Habilidades necessárias à compreensão da variável em seus três usos: incógnita,
número genérico, variáveis relacionadas. (TRIGUEROS; URSINI, 2001, p. 328-329, tradução nossa).
Incógnita Número genérico
Variáveis relacionadas (ou, em
relação funcional)
I1-reconhecer e identificar numa
situação-problema a presença de
algo desconhecido que pode ser
determinado considerando as
restrições do problema;
G1- reconhecer
padrões, perceber
regras e métodos em
seqüências e em
famílias de problemas;
F1-
reconhecer a correspondência
entre as variáveis relacionadas
independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, problemas
verbais, expressões analíticas);
I2- interpretar o símbolo que
aparece na equação, como um
ente que pode assumir valores
específicos;
G2- interpretar um
símbolo como uma
entidade genérica ou
indeterminada que
pode assumir qualquer
valor;
F2- determinar os valores da variável
dependente dado o valor da
independente;
I3- substituir na variável o valor
ou valores que fazem da equação
uma sentença verdadeira;
G3- deduzir regras e
métodos gerais em
seqüências e famílias
de problemas;
F3- determinar os valores da variável
independente dado o valor da
dependente;
I4- determinar o termo
desconhecido que aparece na
equação ou nos problemas
executando as operações
algébricas e/ou aritméticas
requeridas;
G4- manipular
(simplificar,
desenvolver) a variável
simbólica;
F4- reconhecer a variação conjunta
das variáveis envolvidas em uma
relação independentemente da
representação utilizada (tabelas,
gráficos, expressões analíticas);
F5- determinar o intervalo de variação
de uma variável, dado o intervalo de
variação da outra;
I5- simbolizar o termo
desconhecido identificado numa
situação específica e usá-lo para
representar uma equação.
G5- simbolizar
afirmações genéricas,
regras ou métodos.
F6- simbolizar um relacionamento
funcional baseado na análise dos
dados de um problema.
34
Segundo as pesquisadoras, lidar com cada um dos três usos da variável
apresentados no modelo 3UV implica na capacidade de reconhecer a aplicação de
cada um deles em uma dada situação, operar com cada um de acordo com a tarefa
exigida pelo problema e utilizá-los simbolicamente para formular equações,
expressões algébricas genéricas ou relações funcionais em uma dada situação-
problema.
Podemos, assim, relacionar as habilidades apresentadas no quadro 2 (Cf. p.
33) com as capacidades de interpretação, simbolização e manipulação destacadas
na decomposição da variável no quadro 1 (Cf. p. 29) a fim de elucidar o refinamento
elaborado pelas autoras na construção de uma ferramenta que possibilitasse a
análise de dados relativos à compreensão do conceito de variável. Dessa forma,
construímos o quadro abaixo para expressar esse relacionamento.
Simbolização Interpretação Manipulação
Variável como
incógnita
I5 I1 e I2 I3 e I4
Variável como
número genérico
G5 G1, G2 e G3 G4
Variável em
relação funcional
F6 F1 e F4 F2, F3 e F5
Quadro 3. Relacionamento entre as habilidades descritas no quadro 2 e as capacidades de
simbolização, interpretação e manipulação da variável em seus três usos.
2. 2 ALGUMAS APLICAÇÕES DO MODELO 3UV
Para compreendermos de que forma tais habilidades podem ser mobilizadas
na resolução de um problema apresentamos, a seguir, alguns exemplos.
Exemplo 1: Um taxista cobra uma taxa fixa de R$ 10,00 mais R$ 1,50 por
quilômetro rodado para realizar viagens dentro de um mesmo município. Um
determinado passageiro tem R$ 25, 00 para pagar a corrida a esse taxista. Nessas
condições, quantos quilômetros ele poderá rodar dentro de seu município?
35
Para resolver essa questão, é preciso que o estudante mobilize,
primeiramente, a habilidade I1, ou seja, é necessário perceber que existe algo
desconhecido a ser determinado considerando-se as condições do problema. A
partir dessa percepção, ele poderá simbolizar o termo desconhecido por uma letra e
formular uma equação. Por exemplo: 10 + 1,5. x = 25. Dessa forma, o estudante
estaria mobilizando a habilidade I5. Ao interpretar x como algo que assume um valor
específico o estudante estaria mobilizando a habilidade I2.
De posse da equação formulada, pode-se resolvê-la empregando os devidos
procedimentos aritméticos, manipulando, assim, a variável como incógnita (I4). Ou
seja:
10 + 1, 5. x = 25
1,5. x = 25 –10
1,5. x = 15
x =
5,1
15
= 10.
Para verificar a validade da resposta encontrada, o estudante poderia, ainda,
mobilizar
I3
, isto é,
calcular 10+ 1,5. 10 e encontrar como resultado o montante que
o passageiro possui para pagar a corrida.
Vejamos, agora, um exemplo em que a variável assume o papel de número
genérico e a mobilização das habilidades, descritas no modelo 3UV, necessárias à
resolução do problema.
Exemplo 2
: Observe as seguintes igualdades e complete:
1+ 2 + 3 =
2
)4.3(
1+ 2 + 3 + 4 =
2
)5.4(
1+2 + 3 + 4 + 5 =
2
)6.5(
...
1 + 2 + 3 + ... +
n
=
36
Para resolver essa questão, é preciso que o aluno interprete a variável
n
como um número genérico (
G2
) e perceba um padrão, ou uma regra nas somas da
seqüência apresentada (
G1
).
A partir dessa percepção, o estudante pode deduzir que a soma de
n
elementos da seqüência 1, 2, 3, ... é igual à metade do produto de
n
por
n
+ 1 (
G3
)
e com isso simbolizar uma regra geral como, por exemplo, 1+ 2 + 3 + .... +
n
=
2
]1)+([
nn
(
G5
).
O aluno pode ainda, manipular a expressão
2
]1)+([
nn
escrevendo-a como
2
+
2
nn
(
G4
).
A seguir, apresentamos um exemplo envolvendo variáveis em uma relação
funcional.
Exemplo 3
: Considere a função f representada, graficamente, abaixo:
y
3 f
1
-1 2 5 x
a) Qual é a imagem de 4?
b) Determine x para f(x) = 1.
c) Escreva uma sentença algébrica para representar f.
d) Determine o conjunto imagem de f.
e) Classifique f quanto a sua monotonicidade.
Para resolver os itens dessa questão é preciso que o aluno reconheça, a
partir da representação gráfica de f, uma relação entre as variáveis
x
e
y
,
identificando, assim, a correspondência entre elas. (
F1
)
37
Especificamente, no item a) o estudante deve mobilizar a habilidade
F2
, ou
seja, dado o valor da variável independente calcular o da variável dependente. No
item b), é preciso mobilizar
F3
, isto é, calcular o valor da variável independente dado
o valor da variável dependente.
Já no item c), é necessário simbolizar uma relação entre as variáveis
x
e
y
, de
acordo com os dados apresentados no gráfico (
F6
). Nesse caso, o estudante
poderia escrever a seguinte relação:
f(x) =
>
≤+
2 x,3
2 ,1 xx
Para determinar o conjunto imagem de f, o aluno deve ser capaz de encontrar
o intervalo de variação de
y
considerando o intervalo de variação de
x
dado a partir
da representação gráfica apresentada na questão (
F5
).
Observando que para
x
≤
2 os valores de y aumentam, e para
x
> 2,
y
fica
constante, o aluno estaria mobilizando a habilidade
F4
, e poderia concluir que a
função f é crescente.
Pontuamos que nem todos os problemas envolvem, de forma separada, cada
um dos aspectos da variável, como apresentamos nos exemplos acima. Pelo
contrário, podemos verificar nos materiais didáticos utilizados no Ensino Médio que
muitos problemas, em contextos algébricos, exploram a variável em suas diferentes
nuances à medida que a mobilização de cada uma delas se torna necessária
durante as etapas de resolução do problema. Tal afirmação está embasada na
análise que fizemos do material didático utilizado, ao longo do Ensino Médio, pelos
alunos participantes de nossa investigação.
A fim de explorar, numa atividade de ensino, a diferenciação e integração dos
três usos da variável, Trigueros e Ursini (2001) apresentam um problema, elaborado
com base no modelo 3UV, e algumas questões direcionadoras para realizar tal
exploração. Tal problema foi
proposto a alunos do primeiro ano universitário de um
curso denominado pré-cálculo.
Para quais valores de x a área do retângulo abaixo varia entre 168 e 288?
Se o valor de x aumenta ou diminui o que acontece com a área?
(TRIGUEROS; URSINI, 2001, p. 331, tradução nossa).
6
(x+3)
2
12
38
De acordo com as autoras, nesse problema, a variável x tem que ser
reconhecida como um número genérico. É preciso, ainda, identificar que existem
quantidades desconhecidas a serem determinadas considerando-se os dados do
problema. Deve-se notar a dependência e correspondência entre os valores de x e
os valores da área do retângulo e analisar a variação conjunta dessas grandezas
para, assim, determinar os possíveis intervalos de variação de x. Diferentes
estratégias podem ser usadas para resolver o problema em questão e os alunos
podem mobilizar cada um dos usos da variável dependendo do seu conhecimento
anterior e de suas experiências ao longo da matemática escolar. (TRIGUEROS;
URSINI, 2001, tradução nossa)
De acordo com as autoras, algumas questões direcionadoras - tais como “O
que x representa no problema? Quantos valores x pode assumir?” - podem ser
formuladas para ajudar os estudantes a perceberem a variável x como um número
genérico (
G2
). Além disso, segundo as pesquisadoras, os estudantes têm a
tendência de usar fórmulas memorizadas para resolver problemas de áreas, sem
levar em conta os dados específicos presentes num problema. Assim, apresentar a
seguinte questão “Como você expressaria a área desse retângulo?” pode levar os
alunos a focalizarem sua atenção nos dados do problema e buscar uma
simbolização (
G5
) para a variável como número genérico, manipulando-a (
G4
) para
obter a expressão 6((x+3)
2
+ 12). (
ibid
.)
Duas outras questões sugeridas pelas autoras são: “Para quais valores de x a
área é igual a 168? Quando a área é igual a 288?”. Tais questões, segundo elas,
podem ser formuladas para ajudar os estudantes, que usam como ponto de partida
a estratégia comum de resolver as equações 6((x+3)
2
+ 12) = 168 e 6((x+3)
2
+12) =
288, a encontrar a solução para a inequação 168< 6((x+3)
2
+ 12) < 288.
Quando os estudantes usam essa estratégia eles, freqüentemente,
assumem que todos os valores entre as soluções obtidas das equações
tornam a inequação verdadeira. Mas nem sempre isso é verdade. [...] Em
termos dos usos da variável, responder essa questão implica formular as
equações do segundo grau (I5), desenvolver as expressões gerais (G4) e
resolver ambas as equações (I4). Como cada equação tem duas soluções,
os alunos precisam considerá-las e perceber que ambas são possíveis e
significativas de acordo com o problema dado (I3). (TRIGUEROS; URSINI,
2001, p. 332, tradução nossa).
39
Uma questão como “Para quais valores de x a área é maior que 168 e menor
que 288?”, segundo as pesquisadoras, leva os alunos, que adotaram a estratégia
citada anteriormente, a utilizarem as soluções das equações a fim de estabelecer os
intervalos apropriados para a variável x, ou seja, “ -9 < x < -7” ou “1< x < 3”.
De acordo com Trigueros e Ursini, uma outra possível estratégia para resolver
essa questão seria estabelecer uma relação funcional entre a variável x e a área do
retângulo (
F1
). Nesse caso, responder a questão implica em definir os intervalos de
variação para a variável dependente (
F5
) e determinar, a partir do gráfico da função,
os correspondentes intervalos para a variável independente. Diante dessa
estratégia, questões como “O que acontece com a área do retângulo quando x
varia? Como varia a área quando o valor de x aumenta/ diminui?” podem despertar
reflexões para que os alunos possam determinar os valores de uma variável quando
são conhecidos os da outra (
F2
-
F3
) e analisar a variação conjunta (
F4
) das variáveis
envolvidas no problema.
O mesmo problema, proposto pelas autoras, pode ser formulado usando
outras expressões ao invés de “(x+3)
2
”. Para estudantes que estão começando a
resolver problemas em contextos algébricos, pode-se utilizar apenas x ou, ainda,
x+1, enquanto que para alunos, que já tiveram anos de estudos em álgebra, poderia
ser utilizada uma expressão mais complexa como, por exemplo,
x
1
.
Com tais exemplos, procuramos apresentar uma das aplicações do modelo
3UV – a de ferramenta auxiliadora na elaboração de atividades de ensino -
ilustrando de que forma as habilidades descritas no quadro 2, da página 33, relativas
à compreensão da variável em seus três usos, podem ser mobilizadas e exploradas.
No próximo capítulo, apresentamos uma outra aplicação do modelo, a de ferramenta
direcionadora na formulação de instrumentos de investigação para realizar análises
diagnóstico a respeito da compreensão de alunos sobre o conceito de variável. Essa
foi a função do modelo empregada em nossa pesquisa.
40
CAPÍTULO 3
O QUESTIONÁRIO
Nesse capítulo, descrevemos o processo de elaboração de nosso instrumento
de investigação, citando os objetivos de cada questão, as habilidades descritas no
modelo 3UV necessárias a sua resolução e as mudanças que fizemos no piloto até
chegar à versão final do questionário. Apresentamos, ainda, características da
escola e dos alunos que participaram de nossa pesquisa.
3. 1 O QUESTIONÁRIO PILOTO
O questionário piloto foi composto por seis questões, as quais sofreram
algumas modificações após analisarmos os dados que conseguimos com sua
aplicação. Tanto o piloto quanto a versão final foram aplicados a alunos do terceiro
ano do Ensino Médio de escolas da rede particular de ensino do ABC. A escola em
que aplicamos o piloto fica na cidade de São Caetano do Sul. Já o questionário final
foi aplicado a alunos da cidade de São Bernardo do Campo.
Na ocasião do piloto, contamos com a participação de 3 duplas e 3 trios de
alunos e sua aplicação ocorreu durante o período normal de aulas; o que não foi
possível quando aplicamos a versão final.
Utilizamos uma aula de 50 minutos para a realização da investigação e não
contamos com a ajuda de um professor observador ou de gravadores, como fizemos
na aplicação do questionário final. Tal fato, sem dúvida, deve ser levado em conta,
pois notamos que muitos dados interessantes, que poderiam ser obtidos através das
conversas entre os alunos no momento da elaboração de suas respostas, foram
perdidos. Conseguimos anotar alguns pontos importantes da discussão entre alguns
estudantes, mas percebemos que sem a ajuda de um outro professor e a utilização
de gravadores perderíamos dados valiosos.
Esse relato demonstra uma das contribuições do piloto, pois quando tivemos
de pensar na aplicação da versão final tomamos alguns cuidados que anteriormente
41
não haviam sido considerados. Além disso, observamos que a reformulação de
algumas questões, ou, ainda, o acréscimo de certos itens na versão final do
questionário ocorreram graças aos resultados encontrados na ocasião da aplicação
do piloto. Assim, melhoramos e adequamos as questões para que pudéssemos
investigar a compreensão de alunos do Ensino Médio a respeito do conceito de
variável.
Antes da aplicação do piloto, fizemos uma análise das questões, refletindo
sobre sua formulação, objetivos e possíveis estratégias de resolução que os alunos
viriam a desenvolver. Após sua aplicação, reavaliamos essa análise e
aperfeiçoamos certos pontos a partir dos dados que encontramos nos protocolos dos
alunos investigados. Todas as mudanças realizadas serão apresentadas ao longo
desse capítulo.
O questionário, em sua versão final, pode ser encontrado em “Apêndice”, na
página 139.
3. 2 A ESCOLA E OS ALUNOS
Destacamos, nesta etapa do relatório da pesquisa, características da escola e
dos alunos que participaram de nossa investigação. Salientamos que esses alunos
estudaram durante os três anos do Ensino Médio na escola em que aplicamos o
questionário e que, portanto, todas as informações que apresentamos, a seguir, são
válidas na compreensão do histórico escolar desses estudantes no que se refere
aos assuntos abordados no ensino da Matemática nessa etapa da Educação Básica.
A escola em que aplicamos a versão final de nosso questionário é uma escola
particular bem conceituada na região do Grande ABC. Ela é reconhecida pelos
resultados de destaque que seus alunos apresentam em provas como o ENEM e
pelo considerável número de aprovações em vestibulares que dão acesso a cursos
em universidades públicas.
Os alunos do Ensino Médio têm 4 aulas de Matemática semanais durante o
primeiro e o segundo anos. No terceiro ano, o número de aulas sobe para cinco.
A organização do material didático, utilizado pela escola, é feita em divisões
chamadas de “frentes”. No primeiro e segundo anos, os alunos encontram a
programação de Matemática dividida em duas “frentes”, as quais são trabalhadas
42
pelos professores de forma paralela, ou seja, duas aulas semanais são dedicadas
ao ensino e à aprendizagem dos assuntos abordados na “frente 1” e duas aulas são
destinadas à “frente 2”. Já no terceiro ano, o material didático apresenta quatro
“frentes”. Para a “frente 1” são dedicadas duas aulas semanais e para as demais
“frentes” – 2, 3 e 4 – uma aula semanal para cada, perfazendo, assim, as cinco aulas
de Matemática previstas na grade curricular.
Ao longo do ano letivo, os alunos e professores do primeiro e do segundo
anos utilizam, nas aulas, 4 cadernos, dois no primeiro semestre e dois no segundo
semestre, os quais compõem o material didático da escola. Já os estudantes do
terceiro ano, além dos 4 cadernos utilizados durante o ano, recebem em novembro
dois cadernos de revisão com exercícios de vestibulares que são realizados em sala
de aula com a orientação dos professores até a última semana do ano letivo.
Apresentamos, a seguir, um quadro que sintetiza a programação do 1
o
ano do
Ensino Médio na disciplina Matemática.
Caderno 1
Potências e propriedades;
Raízes e propriedades;
Fatoração e produtos notáveis;
Simplificação de expressões algébricas;
1
o
semestre Frente 1
Caderno 2
Trigonometria no triângulo retângulo;
Arcos notáveis;
Trigonometria na circunferência;
Funções trigonométricas;
Equações e inequações trigonométricas;
Caderno 1
Conjuntos e operações;
Diagramas e relações binárias;
Função (definição, domínio, contradomínio e imagem);
Funções monotônicas; par; ímpar; periódica; limitada; sobrejetora; injetora;
bijetora;
Função composta;
Função inversa.
1
o
semestre Frente 2
Caderno 2
Equações do 1
o
e do 2
o
graus;
Sistemas de equações;
Problemas com equações e sistemas;
Noções de conjuntos numéricos;
Função polinomial do 1
o
grau e do 2
o
graus;
Vértice de parábola e conjunto imagem;
Inequações do 1
o
grau e do 2
o
graus;
Sistemas de inequações;
Inequações produto e quociente.
43
Caderno 3
Adição e subtração de arcos;
Lei dos senos e dos cossenos;
Seqüências numéricas;
Progressão aritmética (definição, propriedades e soma).
2
o
semestre Frente 1
Caderno 4
Progressão geométrica (definição, propriedades)
Soma dos termos de uma PG;
Soma dos infinitos termos de uma PG convergente;
Caderno 3
Função exponencial;
Equações e inequações exponenciais;
Logaritmos;
Função logarítmica;
Equações e inequações logarítmicas;
2
o
semestre Frente 2
Caderno 4
Função modular;
Equações e inequações modulares;
Razões e Proporções;
Divisão proporcional;
Regra de três simples e composta;
Porcentagem;
Juros simples e compostos.
Quadro 4. Programação do 1
o
ano do Ensino Médio. Fonte: Material didático da escola onde a
pesquisa foi realizada.
Com base no quadro 4, observamos que no primeiro ano do Ensino Médio os
alunos estudam assuntos pertinentes à aritmética, álgebra e trigonometria, sendo
que a maior parte dos estudos encontra-se em contexto algébrico.
Abaixo, apresentamos a programação do 2
o
ano.
Caderno 1
Matrizes;
Determinantes;
Sistemas lineares (Regra de Cramer; Escalonamento)
1
o
semestre Frente 1
Caderno 2
Discussão de um sistema linear;
Sistema linear homogêneo;
Fatorial e número binomial;
Análise Combinatória (Arranjos, Permutações e Combinações);
Probabilidade (definição; união e intersecção de eventos; lei binomial de
probabilidade).
1
o
semestre Frente 2
Caderno 1
Introdução à Geometria;
Paralelismo;
Triângulos (segmentos notáveis, condição de existência, congruência);
Polígonos;
Quadriláteros notáveis;
Linhas proporcionais (Teorema de Tales; Teorema das bissetrizes interna e
externa);
Semelhança de triângulos.
44
Caderno 2
Relações métricas no triângulo retângulo;
Lugares geométricos;
Pontos notáveis do triângulo;
Ângulos na circunferência;
Potência de ponto;
Área das figuras planas.
Caderno 3
Sistema cartesiano ortogonal;
Distância entre dois pontos;
Ponto médio de um segmento;
Estudo da reta;
Paralelismo e perpendicularismo;
Distância de ponto à reta.
2
o
semestre Frente 1
Caderno 4
Estudo da circunferência;
Posição relativa de reta e circunferência;
Estudo das cônicas (Elipse; Hipérbole; Parábola)
Caderno 3
Estudo de sólidos geométricos como prismas, pirâmides, cilindros, cones,
esferas e suas partes (áreas e volumes).
2
o
semestre Frente 2
Caderno 4
Troncos de cone e pirâmide (áreas e volumes)
Inscrição e circunscrição de sólidos;
Sólidos de revolução;
Retas e planos no espaço;
Diedros, triedros e poliedros;
Poliedros de Platão.
Quadro 5. Programação do 2
o
ano do Ensino Médio. Fonte: Material didático da escola onde a
pesquisa foi realizada.
Notamos que, ao contrário do que acontece no primeiro ano, a maioria dos
assuntos estudados pelos alunos, no segundo ano, encontra-se em contexto
geométrico. Assim, no segundo ano, a álgebra dá espaço à geometria e só volta a
ter seu domínio no terceiro ano.
A programação da escola para o terceiro ano, além de retomar todos os
assuntos trabalhados no primeiro e no segundo anos, comporta também o estudo
dos números complexos, dos polinômios, das equações algébricas - de grau maior
que dois - e das noções de Estatística descritiva. Nesse último estudo, os alunos
aprendem a calcular algumas medidas de tendência central, como a média, a
mediana e a moda, e algumas medidas de dispersão, como a variância e o desvio
padrão.
Diante da programação da escola, podemos observar que, ao longo dos três
anos do Ensino Médio, os alunos, que participaram de nossa investigação,
enfrentaram mais questões e problemas em contexto algébrico do que em outros
contextos. O conhecimento do material didático utilizado por eles, principalmente no
que se refere ao conteúdo de Álgebra, nos auxiliou na análise das respostas dadas
45
por esses estudantes às questões que propomos, as quais apresentamos no tópico
3. 4 desse capítulo.
3. 3 A APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO
A aplicação do questionário, em sua versão final, aconteceu no dia 07-11-07,
no período posterior ao das aulas normais dos estudantes que participaram da
pesquisa.
Fomos bem recebidos pelos responsáveis pela administração da escola onde
aplicamos nosso questionário de investigação. A coordenadora educacional se
sentiu lisonjeada por poder contribuir com nosso trabalho. Decidimos realizar a
investigação em nosso local de trabalho, pois sabíamos que seria mais fácil
conversar com os responsáveis pela escola, ter sua atenção e esclarecer a
importância de pesquisas na área educacional. Tal liberdade contribuiu, sem dúvida,
para a realização da pesquisa e ficamos gratos pelo apoio dos professores,
coordenadores e diretora da escola.
Na ocasião da aplicação, pedimos a autorização da coordenadora
educacional para utilizarmos uma das maiores salas da escola para que
pudéssemos dispor os alunos de forma que não ficassem muito próximos uns dos
outros, pois gravaríamos as discussões entre eles durante o momento em que
estivessem respondendo às questões.
Conseguimos, graças à ajuda de colegas do grupo G2 e também dos alunos
que se dispuseram a participar da pesquisa, gravadores para cada dupla
participante, para a professora-pesquisadora e, ainda, para a professora que
participou como observadora.
O convite aos alunos para participar de nossa pesquisa ocorreu uma semana
antes da aplicação do questionário. Numa sala de terceiro ano do Ensino Médio, de
48 alunos, passamos uma lista solicitando os nomes daqueles que estivessem
interessados em participar. Observamos que já conhecíamos os alunos.
Compúnhamos a equipe de professores que havia lecionado para eles durante os
três anos do Ensino Médio. Os estudantes que participaram da pesquisa
encontravam-se na faixa etária de 17 a 18 anos.
46
Quando questionamos os alunos sobre seu interesse em participar da
pesquisa, explicamos que trabalhariam em duplas para responder o questionário,
com isso, nossa intenção era que os voluntários formassem naturalmente seus
pares. Optamos pelo trabalho em duplas, pois acreditamos que a discussão entre
alunos, durante o desenvolvimento de uma tarefa, pode trazer dados interessantes
para análises diagnóstico.
Esclarecemos aos estudantes que a aplicação do questionário seria no dia
07-11-07, às 13h, o que possibilitaria, um intervalo para o lanche entre o final do
período de aulas e a nossa atividade. Alguns alunos, que já haviam demonstrado
certo interesse em participar da pesquisa, desistiram e não assumiram o
compromisso, pois no dia e horário agendados já tinham outras tarefas a fazer,
como cursos de idiomas e aulas de recuperação. Contudo, conseguimos 16 alunos
voluntários para participar de nossa investigação, o que resultaria em 8 duplas.
Como imprevistos sempre acontecem, no dia e horário marcados apareceram
15 alunos dos 16 que haviam se comprometido. Um deles ficou sem o parceiro de
classe e logo nos questionou se poderia se juntar a uma das duplas já formadas.
Seu interesse era notável, assim, não impossibilitamos sua participação. Após nosso
consentimento, ficamos, então, com 6 duplas e um trio.
Organizamos a sala com a ajuda da professora-observadora, colocando os
gravadores em posições estratégicas e solicitamos aos alunos que sentassem onde
queríamos para que ficassem longe uns dos outros. Explicamos que o objetivo da
disposição estratégica era potencializar a qualidade das gravações.
Observamos que a professora-observadora era nossa colega de trabalho, e,
assim como nós, já conhecia os alunos; trabalhamos em equipe quando os
estudantes estavam no segundo ano do Ensino Médio.
Orientamos os participantes da pesquisa sobre como usar os gravadores no
caso da fita terminar, como ligar e iniciar a gravação e como desligar. Após todas as
orientações e esclarecimentos sobre as gravações, perguntamos se havia alguma
dupla que não gostaria de ser gravada. Todos os alunos concordaram com a
gravação e, após o início da aplicação, notamos que eles se divertiam com o fato de
suas falas serem gravadas.
Começamos a aplicação às 13h 28min e encerramos às 15h 27min. Não
estipulamos um tempo limite para que os estudantes respondessem às questões,
mas acreditávamos que levariam 1h 30min, em média, para responder todo o
47
questionário. Preferimos não dar um limite de tempo para que eles não sentissem
uma pressão que pudesse inibir sua participação natural. Todas as duplas e o trio
entregaram o questionário após às 14h, sendo que a primeira dupla a finalizá-lo foi a
dupla que nomearemos por D2.
A dupla D2 entregou o questionário respondido às 14h 08min. Observamos
que os alunos dessa dupla estavam inquietos e sem muita paciência para pensar
sobre as questões. O histórico escolar dos integrantes de D2 aponta dificuldades em
Matemática durante os três anos do Ensino Médio. Por acompanharmos tais alunos,
ao longo do Ensino Médio, temos condições de avaliá-los e compreender suas
limitações e problemas na aprendizagem dos conteúdos matemáticos. Ambos
passaram por muitos processos de recuperação e concluíram os estudos na
disciplina com muita dificuldade. Acreditamos que tais observações serão úteis mais
adiante quando apresentarmos as respostas dessa dupla para cada uma das
questões.
O último protocolo foi entregue às 15h 07min pelo trio formado entre os 15
alunos que participaram como voluntários em nossa pesquisa. Ao finalizarem o
questionário, os integrantes do trio estavam agitados e nos questionaram sobre os
objetivos das questões respondidas por eles. Como pretendíamos realizar futuras
entrevistas com os participantes, para esclarecer os dados observados em seus
protocolos, decidimos, na ocasião da aplicação do questionário, não fazer
comentários sobre os objetivos das questões e sobre a intenção da pesquisa, assim
não correríamos o risco de influenciar os alunos no momento de dar suas respostas
durante as entrevistas.
Após a aplicação do questionário, passamos à etapa das entrevistas.
Analisamos, então, as gravações que fizemos no momento em que os alunos
respondiam as questões, e as respostas escritas dadas por eles. Com base nessa
análise, formularmos algumas perguntas que faríamos no momento das entrevistas
em busca de esclarecimentos sobre os dados coletados na ocasião da aplicação do
questionário.
Com o objetivo de tornar mais prática nossa escrita, usamos as notações D1,
para a dupla 1, D2, para a dupla 2, e assim por diante, até a dupla 6. O trio foi
denominado T7. Quando assumimos o papel de professora-pesquisadora utilizamos
a notação PP. Para a professora-observadora usamos PO.
48
3. 4 AS QUESTÕES E O MODELO 3UV
Com base nas reformulações que fizemos no piloto, a versão final de nosso
instrumento de investigação ficou composta por seis questões, subdivididas em 22
itens.
Abaixo, transcrevemos, a questão 1.
Tínhamos como objetivo para a questão 1 verificar a capacidade de
simbolização dos alunos. Assim, para resolver o item a), os alunos deveriam
mobilizar a habilidade
I5
, ou seja, simbolizar o termo desconhecido identificando-o
na situação dada e usá-lo para representar uma equação. No item b), seria
necessário mobilizar
G5
para simbolizar a sentença dada em língua natural. Para
responder o item c), os alunos deveriam mobilizar
F6
, expressando, assim, uma
relação entre duas quantidades desconhecidas.
Por influência dos enunciados da questão de Trigueros e Ursini (1998), que
tomamos por base para a elaboração da questão 1, no questionário piloto
escrevemos em todos os itens dessa questão a frase “representar um número
desconhecido”. Apesar de a expressão “desconhecido” não ter sido questionada
pelos alunos na ocasião da aplicação do piloto, decidimos retirar tal expressão dos
enunciados da versão final, pois imaginamos que poderíamos influenciar a
interpretação dos alunos a respeito do uso que estaria sendo feito da variável, já que
a palavra “incógnita”, muitas vezes, é substituída por “termo desconhecido”. Além
disso, nessa questão, optamos por não escrever “não calcule o número”, observação
essa utilizada pelas autoras no enunciado da questão que nos serviu de inspiração.
Embora, no item a), alguns alunos tivessem determinado o valor da incógnita,
na ocasião do piloto, acreditamos que esse fato não interferiu em sua interpretação
Questão 1: Escreva uma expressão algébrica para:
a) representar um número que multiplicado por 12 seja igual a 144.
b) representar um número dividido por 3 somado a 7.
c) representar um número que é igual a 15 mais um outro número.
49
a respeito da letra que, por ventura, utilizaram para representar a incógnita, por isso,
não incluímos a observação apresentada na questão das autoras.
A seguir, apresentamos nossas hipóteses quanto às possíveis estratégias de
resolução dos alunos para a questão 1.
No item a), a sentença dada exige o emprego da variável como incógnita.
Para responder esse item, pensamos que os alunos poderiam utilizar, por exemplo,
x para representar o número e escrever 12.x = 144, ou, ainda, x.12=144,
mobilizando, assim, a habilidade
I5
. Alguns alunos poderiam, ainda, determinar o
valor de x, isto é, 12x = 144
⇒
x = 12. Nesse caso, além de
I5
, os estudantes
estariam mobilizando também
I4
.
No item b), a sentença dada exige o emprego da variável como número
genérico. Os alunos poderiam utilizar, por exemplo, x para representar um número
qualquer e escrever
3
x
+ 7 (
G5
). Ou ainda, utilizariam uma outra variável para
representar o resultado de
3
x
e escreveriam erroneamente
3
x
= y + 7, mobilizando,
assim,
F6
. Essa última resposta encontra-se em nossa análise por conta do que
observamos no piloto, pois, antes de aplicarmos a primeira versão de nosso
questionário, não havíamos pensado que os alunos dariam tal resposta. Alguns
alunos, poderiam, ainda, formular a equação
3
x
+ 7 = 0 (
I5
) e determinar o valor de x
(
I4
).
Já no item c), temos a presença de variáveis relacionadas. Os alunos
poderiam escrever x = 15 + y (
F6
) para simbolizar uma relação entre as quantidades
desconhecidas. Alguns alunos poderiam tentar determinar x e y mobilizando para
isso as habilidades
F2
, ou
F3
, e
I4
, isto é, poderiam estabelecer valores para x, ou y,
e calcular, assim, o valor da outra variável.
50
Reproduzimos, abaixo, a questão 2
.
Nosso objetivo com essa questão era analisar a interpretação dos alunos a
respeito das variáveis x, y e t, ou seja, analisar qual uso (incógnita, número genérico,
variáveis relacionadas) da variável estaria sendo admitido pelos alunos, em cada
item da questão. Além disso, procuramos identificar quais seriam os campos de
variação, para cada uma das variáveis, que, possivelmente, estariam sendo
considerados pelos alunos a partir dos valores atribuídos, como exemplos, para as
variáveis. Pontuamos que, para atingir esse último aspecto de nosso objetivo,
recorremos a análise dos dados que obtivemos com as entrevistas para
complementar as informações que conseguimos a partir das respostas encontradas
no questionário.
Para responder os itens a) e c), os alunos deveriam mobilizar
G2,
interpretando, assim, y e t como números genéricos que podem assumir qualquer
valor. Poderiam citar como exemplos números racionais, irracionais, ou, ainda,
números complexos. Já no item b), é necessário mobilizar as habilidades de
interpretação
F1
e
F4
, ou seja, reconhecer a correspondência entre as variáveis x e
y e sua variação conjunta. Nesse caso, para dar exemplos, os alunos poderiam
mobilizar
G4
e
F5
. Ao manipular a relação 7y
2
= 2x –5 para isolar em um dos
membros da igualdade uma das variáveis, os alunos estariam mobilizando
G4
.
Após
tal manipulação, poderiam perceber que y pode assumir qualquer valor real, e que,
diante desse campo de variação, na relação dada, x pertence ao intervalo [
2
5
,
∞
[,
determinando, assim, o conjunto dos possíveis valores reais de x (
F5
). Poderiam,
ainda, citar, como exemplos, alguns pares de números que satisfazem a relação 7y
2
= 2x –5, mobilizando para isso as habilidades de manipulação
F2
(ou
F3
) e
I4
.
Nessa questão, na versão piloto, não havíamos solicitado aos alunos que
dessem exemplos dos possíveis valores que as variáveis poderiam assumir. Com
Questão 2
: Para cada uma das seguintes expressões, determine quantos valores as
letras apresentadas podem assumir. Dê exemplos desses possíveis valores.
a) y = y
b) 7y
2
= 2x - 5
c) t+3
51
isso, percebemos que sem solicitar tais exemplos não teríamos pistas para
identificar quais conjuntos numéricos estariam sendo considerados pelos alunos
como domínio das variáveis. Tal fato, ocorreu, novamente, por conta da influência da
questão de Trigueros e Ursini
3
que nos serviu de inspiração para a questão 2. Na
versão das autoras não eram solicitados os exemplos, pois as pesquisadoras não
tinham como objetivo identificar os campos de variação que estariam sendo
considerados pelos alunos para as variáveis em questão. Assim, nos questionamos:
como os estudantes estariam interpretando as variáveis presentes na questão 2?
Como elementos representativos dos inteiros? Ou do conjunto dos reais? Ou, quem
sabe, ainda, dos complexos? Os alunos identificam o domínio de variação das
variáveis? Antecipamos que conseguimos verificar quais eram os domínios de
variação considerados pelos alunos, para as variáveis presentes na questão 2,
analisando os dados encontrados em seus protocolos e suas respostas dadas no
momento das entrevistas realizadas.
Tínhamos como hipótese que os alunos poderiam escrever “infinitos” como
resposta para os itens a) e c), nos quais a variável assume o papel de número
genérico (
G2
), e que citariam, como exemplos, apenas números inteiros e positivos,
ou, ainda, incluiriam os negativos. Pensamos, também, que alguns alunos poderiam
citar alguns números decimais, racionais ou, até mesmo, números irracionais que
lhes fossem mais familiares como, por exemplo,
2
, 3 ,
π
. De modo geral, alguns
alunos poderiam pensar em y e t como variáveis reais, ou, até mesmo, como
variáveis complexas.
No item b), tínhamos por hipótese que alguns alunos poderiam tentar resolver
a equação (
I4
) aplicando algum procedimento algorítmico que lhes fosse de
conhecimento, como por exemplo, a utilização da “fórmula de Báskara”, nome com o
qual é, freqüentemente, apresentada. Pensamos nessa hipótese pela influência que
o termo do segundo grau poderia ocasionar. Outros estudantes poderiam, ainda,
responder “infinitos valores para x e y” e citar como exemplo números quaisquer,
sem dar atenção à relação de dependência entre as variáveis. Supomos, também,
que alguns alunos poderiam pensar nessa relação de dependência (
F1
) e citar
alguns pares de números reais que satisfizessem tal relação, estabelecendo valores
para uma das variáveis e determinando, assim, os da outra (
F2
, ou
F3
, e
I4
).
3
As questões de Trigueros e Ursini (1998), que nos serviram de inspiração para a elaboração das
questões 1 e 2, podem ser encontradas em “Anexo” na página 142.
52
Além disso, pensamos que alguns alunos poderiam pensar em x como
variável dependente e y independente, e outros, ainda, considerarem o contrário. Ou
seja, tínhamos como hipótese que encontraríamos nas respostas dos alunos, após
manipularem a expressão dada, as seguintes relações:
“y =
7
5-x2
±
, para x
≥
5/2, com x real”, ou, então, “x =
2
5+y7
2
”.
Nesse último caso, os alunos poderiam não perceber que x nunca assumirá,
em
ℜ
, valores menores que 5/2. Em ambos os casos, os estudantes poderiam,
ainda, citar que y pode assumir qualquer valor real. Para chegar a essas
conclusões, eles precisariam mobilizar as habilidades de interpretação
F1
e
F4
, e as
habilidades de manipulação
G4
e
F5
.
Apresentamos, a seguir, a questão 3.
Questão 3: Considere a função polinomial do 2
o
grau f(x) = x
2
- 6x + 8, definida em R com valores em
R, representada no gráfico abaixo.
Determine as abscissas a, b e x
c,
ilustradas na figura abaixo.
Tínhamos como objetivo para a questão 3 verificar a interpretação dos alunos
a respeito das variáveis
a
,
b
, x e
x
c
, e os procedimentos utilizados por eles na
manipulação dessas variáveis. Para tanto, observamos quais relações os alunos
estabeleceram entre as incógnitas
a
,
b
e
x
c
e as variáveis da função polinomial do 2
o
grau dada por f(x) = x
2
– 6x + 8. Contudo, tínhamos, ainda, por objetivo analisar a
influência da representação gráfica na interpretação dos estudantes a respeito das
variáveis apresentadas na questão.
53
Observamos que a questão 3 envolve, essencialmente, o uso da variável
como incógnita. Para resolvê-la, os alunos teriam de mobilizar as habilidades
I1
,
I2
e
F1
de interpretação, a habilidade
I5
de simbolização, e
F3
e
I4
como habilidades de
manipulação.
A variável x (independente), presente na função dada por f(x) = x
2
– 6x +8,
está associada a variável y (dependente), logo, para calcular o que se pede na
questão, os alunos deveriam reconhecer a correspondência entre essas variáveis
(
F1
) para, em seguida, mobilizar
F3
, isto é,
determinar os valores
da variável
independente dado o valor da dependente. Ao reconhecerem
a
,
b
e
x
c
como
incógnitas (
I1
),
os estudantes deveriam formular as equações x
2
– 6x + 8 =0 e x
2
–
6x + 8 = 3 (
I5
), e determinar o valor dessas incógnitas (
I2, I4
).
Nossas hipóteses, quanto às possíveis estratégias dos alunos para a
resolução da questão 3, eram as seguintes:
- Os alunos poderiam reconhecer
a
e
b
como incógnitas (
I1
), relacionado-as às
raízes da função dada por f(x) = x
2
– 6x + 8 (
F1
,
F3
), formular a equação x
2
– 6x + 8
= 0 (
I5
), e determinar, a partir de sua resolução, que
a
= 2 e
b
= 4 (
I2
,
I4
).
- Os alunos poderiam encontrar alguma dificuldade em relacionar
a
e
b
com x´e x´´,
ou x
1
e x
2,
notações comumente utilizadas para representar as raízes de uma
equação, ou os zeros de uma função.
- Os alunos poderiam relacionar
a
e
b
com os parâmetros que aparecem na
representação algébrica (f(x) = ax
2
+ bx + c) de uma função polinomial do 2
o
grau por
serem essas letras, geralmente, utilizadas em tal representação.
- Os alunos poderiam reconhecer
x
c
como incógnita (
I1
), identificar que a notação
f(x) representa y, substituir y por 3 (
F1
,
F3
) e, assim, resolver a equação 3 = x
2
– 6x
+ 8 (
I5
) para determinar
x
c
(
I2
,
I4
). Ao encontrarem duas soluções, 1 e 5, os alunos
poderiam analisar o gráfico de f e perceber que 1 não convém devido a localização
do ponto C, e, portanto,
x
c
= 5.
- Os alunos poderiam mostrar dificuldades em calcular a abscissa do ponto C da
parábola, já que C não representa um ponto de intersecção com os eixos
coordenados.
A seguir, reproduzimos a questão 4.
54
Nosso objetivo, com a questão 4, era verificar a capacidade de
interpretação, simbolização e manipulação dos alunos com relação à variável c
apresentada no problema.
Procuramos, nessa questão, explorar o uso da variável em uma relação
funcional. Assim, para resolvê-la os alunos teriam de mobilizar as habilidades
G5
, ou
F6
, de simbolização;
G2
,
F1
e
F4
, de interpretação; e as habilidades
I4
,
G4
e
F5
,
de
manipulação.
Inicialmente, os estudantes deveriam interpretar c como uma variável que
depende dos parâmetros explícitos 50 e 60, os quais representam as medidas dos
lados do retângulo dado no problema. Num segundo momento, deveriam notar que
a área do jardim depende da variável c. Ou seja, nesse último caso, c assume o
papel de variável independente na relação estabelecida entre a área do quadrado e
a medida de seu lado.
Observamos que no questionário piloto, as medidas dadas ao retângulo foram
3 e 4. Apesar de não termos recebido críticas dos alunos quanto a tais medidas,
Questão 4:
A área representada abaixo ilustra as medidas de um terreno retangular destinado à
construção de um condomínio, onde será colocado um jardim, de formato quadrado, com c
metros
de medida para seu lado. Analisando a figura que representa esta situação, responda às questões:
c
60
50
a) Como poderia ser repr
esentada, por meio de uma expressão algébrica, a área
destinada ao condomínio desconsiderando a área do jardim?
b) O que a letra c representa no problema?
c) Que valores c pode assumir?
d) Quais são os valores de c para os quais a área ocupada pelo jardim é menor
do que
16m
2
?
55
decidimos alterá-las por conta do contexto dado, para que ficassem mais adequadas
à realidade. Além disso, fizemos algumas modificações na redação do enunciado da
questão e reformulamos os itens a) e d) apresentados no piloto.
Quando aplicamos a primeira versão do questionário, muitos alunos nos
interrogaram sobre o significado da expressão “livre do jardim”, em tal ocasião,
apresentamos o seguinte enunciado:
“a) Represente, através de uma sentença matemática, a área destinada à
construção livre do jardim.”
Os alunos nos chamavam para confirmar o que haviam entendido por “livre do
jardim”. Eles perguntavam: “Professora, ‘livre do jardim’ é a área do condomínio
menos a do jardim?”
Para evitar problemas na interpretação do enunciado, reescrevemos o item a)
apresentando-o como se segue:
“a) Como poderia ser representada, por meio de uma expressão algébrica, a
área destinada ao condomínio desconsiderando a área do jardim?“
Pontuamos que o novo enunciado não trouxe dúvidas aos alunos no
momento de sua leitura e interpretação.
Quanto ao item d), com as alterações feitas nas medidas do retângulo,
tivemos de escolher uma nova medida para a área citada nesse item, de forma que
ficasse mais adequada ao contexto da questão. Mudamos de 4m
2
para 16 m
2
.
Para responder o item a), os estudantes deveriam mobilizar a habilidade de
simbolização
G5
, representando, dessa forma, a área solicitada como 3000 – c
2
.
Poderiam, ainda, utilizar uma outra variável e escrever, por exemplo, a relação A =
3000 – c
2
,
mobilizando, assim,
F6
. No item b), os alunos deveriam interpretar c como
um número genérico (
G2
). Para responder o item c), eles deveriam mobilizar as
habilidades
F1
e
F4
, ou seja, reconhecer que a variação de c depende das medidas
dos lados do retângulo e interfere na variação da área do quadrado (jardim); além
disso, deveriam notar que a medida da diagonal do quadrado depende de c e,
portanto, para determinar o intervalo de variação dessa variável (
F5
) seria
necessário pensar no intervalo de variação da diagonal. No item d), os alunos
deveriam mobilizar a habilidade de simbolização
G5
, para escrever c
2
< 16, e as
habilidades de manipulação
G4
,
I4
e
F5
para encontrar o intervalo que contém os
possíveis valores de c.
56
Nossas hipóteses, quanto às possíveis estratégias dos alunos para a
resolução da questão 4, eram:
-
No item a), os alunos poderiam escrever a seguinte expressão: 3000 – c
2
(
G5
). Ou
ainda, poderiam utilizar uma outra variável para representar a área em questão,
como, por exemplo, A = 3000 – c
2
(
F6
).
-
No item b), os alunos poderiam responder que c representa o lado do quadrado
que ilustra a superfície do jardim. Ou poderiam dizer que c representa a medida do
lado do quadrado, ou ainda que c representa um número positivo. Pensamos
também que alguns alunos responderiam que c representa um número real
estritamente positivo (
G2
).
- No item c), os alunos poderiam responder 0 < c
≤
50, ou ainda 0 < c < 50. Alguns
alunos poderiam, simplesmente, escrever c > 0, ou “c pode assumir só valores
positivos”. Talvez alguns alunos utilizariam as representações geométricas dadas e
deduziriam um valor para c compatível com a medida do lado do quadrado quando
comparassem esse com as medidas do retângulo. Pensamos, ainda, que alguns
alunos poderiam utilizar instrumentos de medida, como uma régua, para fazer
medições e comparações entre as medidas dadas e estimar um valor para c.
- Os alunos poderiam, também, utilizar como estratégia o cálculo da medida da
diagonal do quadrado, por conta da posição em que esse é apresentado na figura.
Ao reconhecerem que a medida da diagonal do quadrado depende de c (
F1
), os
estudantes poderiam concluir que sendo 50 o maior valor possível para a diagonal
do quadrado, então c
2
≤
50 (
F4
), ou seja, c
≤
2
250
. Ou, ainda, poderiam escrever
0 < c
≤
225
, determinando, assim, um possível intervalo de variação de c a partir
do maior intervalo possível de variação da diagonal do quadrado (
F5
).
- No item d), os alunos poderiam formular a seguinte inequação c
2
< 16 (
G5
),
manipular essa desigualdade (
G4, I4
) e chegar a seguinte resposta –4 < c < 4 (
F5
).
Poderiam, ainda, concluir, diante do contexto geométrico do problema, que esse
intervalo para c não é válido, e, então, escrever como resposta 0 < c < 4 (
F5
). Eles
poderiam, também, apresentar, de forma incorreta, a seguinte solução para a
inequação: c < ± 4. Outros poderiam formular a inequação c
2
< 16 e concluir apenas
que c < 4.
57
A seguir, apresentamos uma questão clássica sobre padrões, a qual
incluímos em nosso questionário como a questão de número 5.
Nosso objetivo, com a questão 5, era verificar se os alunos reconheceriam um
padrão na seqüência apresentada e se utilizariam variáveis para generalizar a
contagem dos quadradinhos que compõem o contorno das figuras.
Nessa questão, exploramos o uso da variável como número genérico, assim,
para responder os itens a) e b), os alunos deveriam mobilizar a habilidade
G1
, ou
seja, reconhecer um padrão, ou uma regra, na seqüência apresentada. A partir da
dedução de uma regra (
G3
), no item c), os alunos deveriam escrever uma sentença
genérica para simbolizá-la (
G5
). Ainda nesse item, poderiam mobilizar a habilidade
G4
a fim de manipular tal sentença. Para responder o item d), eles deveriam
perceber que a resposta dada no item c) satisfaz a questão e, dessa forma,
interpretar a variável, eventualmente utilizada na resposta do item anterior, como um
número genérico (
G2
). No item e), os alunos deveriam responder que ambos os
itens solicitam a mesma informação, porém de formas diferentes, mostrando, assim,
que interpretaram a variável, que representa a quantidade de quadradinhos do
contorno de uma figura qualquer da seqüência dada, como um número genérico
(
G2
).
Na ocasião do questionário piloto, a questão 5 era composta por 4 itens, o
item e) foi elaborado após observarmos, nos dados coletados com o piloto, que
Questão 5:
Observe como se forma a seqüência de figuras abaixo:
a) Desenhe a próxima figura. Quantos quadradinhos formam o contorno desta figura?
OBS: Considere como contorno da figura os quadradinhos que não estão em destaque.
b) Desenhe a 5ª figura. Quantos quadradinhos formam o contorno desta figura?
c) Escreva uma expressão que represente a quantidade de quadradinhos do contorno de uma figura
qualquer da seqüência.
d) Quantos quadradinhos existem no contorno de uma figura qualquer da seqüência dada?
e) Há alguma relação entre as respostas apresentadas por vocês nos itens c) e d)? Se houver, explique
tal relação.
58
muitos alunos não relacionaram os itens c) e d), apresentando respostas distintas a
esses dois itens que solicitavam a mesma coisa só que de maneiras diferentes.
Ao reformularmos o item c), utilizando, no item d), a palavra “Quantos”,
tínhamos a intenção de verificar se os alunos admitiam como resposta para tal
questão uma sentença com variáveis, e não um resultado numérico como,
geralmente, é esperado para questões formuladas com essa palavra. Dessa forma,
estaríamos identificando a interpretação dada pelos alunos às variáveis por eles,
eventualmente, utilizadas no item anterior. Assim, aqueles que apresentassem uma
sentença genérica como resposta para ambos os itens estariam considerando a
variável como número genérico. Com a inclusão do item e), procuramos estimular a
reflexão dos alunos sobre as respostas que foram apresentadas nos dois itens
anteriores, evidenciando, dessa forma, sua interpretação a respeito das variáveis por
eles utilizadas na questão.
Além do acréscimo do item e), alteramos o termo “figura genérica” por “figura
qualquer”, já que fomos questionados por muitos alunos sobre o significado de
“genérica”.
O termo “figura genérica” mostrou-se estranho aos alunos e esses o
substituíram por “qualquer”. Percebemos que alguns alunos atribuíram ao termo
“qualquer” o sentido utilizado no senso-comum, e não aquele que é esperado nos
processos de generalização em matemática. No entanto, decidimos utilizar “figura
qualquer” ao invés de “figura genérica”.
Observamos, ainda, que o item a) trouxe algumas dúvidas aos alunos no
momento em que foram respondê-lo, por isso acrescentamos a observação
“Considere como contorno da figura os quadradinhos que não estão em destaque” .
Nossas hipóteses, quanto às possíveis estratégias dos alunos para a
resolução da questão 5, eram:
- Para os itens a) e b), os alunos, a partir da análise das figuras e do desenho da
quarta e quinta figuras, responderiam 16 e 19 quadradinhos, respectivamente, sem
apresentar dificuldades, mobilizando, assim,
G1
.
- No item c), os alunos poderiam encontrar dificuldades em deduzir a regra (
G3
)
sugerida na seqüência. Alguns alunos poderiam pensar no cálculo da área do
quadrado e do retângulo que aparecem na seqüência e escrever, utilizando n como
a variável que representa a quantidade de quadradinhos no lado de cada figura, ou,
ainda, outra letra qualquer, n
2
– (n-1)(n-2) (
G5
) para representar a quantidade
solicitada. Ou poderiam, também, utilizar uma outra variável para representar a
59
quantidade de quadradinhos do contorno de uma figura qualquer da seqüência, ou
seja, Q = n
2
– (n-1)(n-2) (
F6
). Eles poderiam, ainda, manipular tal expressão (
G4
) até
chegar em Q = 3n – 2.
- Quanto ao item d), pensamos que alguns alunos repetiriam a resposta dada no
item c), demonstrando, assim, que interpretaram a variável, por eles eventualmente
utilizada, como um número genérico (
G2
). Devido à reformulação da pergunta
apresentada no item c), acreditamos que alguns alunos não perceberiam que a
resposta já havia sido dada no item anterior. A palavra “Quantos” no início da
pergunta poderia fazer com que os alunos associassem a resposta a um único
resultado numérico, ou, ainda, que relacionassem a quantidade de quadradinhos do
contorno das figuras com a seguinte seqüência numérica: 7, 10, 13, 16, ...,
reconhecendo, assim, uma regra (
G1
). A partir de tal seqüência, que constitui uma
progressão aritmética de razão 3, os alunos poderiam escrever o termo geral da P.A
da seguinte forma “a
n
= a
1
+ (n-1).r, onde a
1
= 7, r = 3 , n é a posição da figura na
seqüência dada”. Ao manipularem tal sentença (
G4
), poderiam, ainda, apresentar
como resposta final “a
n
= 7 + (n –1). 3 = 3n + 4 (
G5
).” Alguns alunos poderiam
escrever tal relação sem atribuir o devido significado à variável n utilizada na
expressão, isto é, poderiam interpretar, erroneamente, n como a variável que
representa o número de quadradinhos do contorno de cada figura, ao invés da
posição de cada figura na seqüência.
- No item e), imaginamos que todos os alunos responderiam sim, mas as
explicações dependeriam do que eles escreveriam nos itens anteriores. Para os
alunos que apresentassem respostas distintas nos itens c) e d), acreditamos que
esses tentariam igualar uma resposta a outra utilizando procedimentos algébricos
para justificar alguma relação. Já os alunos que respondessem aos itens c) e d)
apresentando uma única relação, imaginamos que diriam que os dois itens solicitam
a mesma coisa, porém de formas diferentes, o que demonstraria a interpretação da
variável, eventualmente por eles empregada, como um número genérico (
G2
).
60
Reproduzimos, abaixo, a questão 6.
Questão 6: Observe o retângulo abaixo com as medidas indicadas para os seus lados e responda às
questões:
6
(x+3)
2
12
a) Como poderia ser representada, por meio de uma expressão algébrica, a área desse retângulo?
b) Para quais valores de x a área do retângulo é menor que 288?
c) Para quais valores de x a área do retângulo é maior que 168?
d) Para quais valores de x a área do retângulo varia entre 168 e 288?
e) Se x aumentar, o que acontece com a área do retângulo?
f) E se x diminuir, o que acontece com a área do retângulo?
g) De acordo com o que vocês responderam nos itens anteriores, o que vocês pensam sobre o papel
do x nesta situação?
Nosso objetivo, com a questão 6, era verificar a interpretação, simbolização e
manipulação dos alunos com relação à variável x, e sua habilidade em mobilizar e
integrar os diferentes usos da variável descritos no modelo 3UV.
Procuramos, portanto, apresentar um problema que envolvesse a variável em
seus três usos (incógnita, número genérico e variável em relação funcional) . Assim,
para resolvê-lo, os alunos poderiam mobilizar as habilidades
I5
,
G5
e
F6
, de
simbolização;
I2
,
G2
,
F1
e
F4
, de interpretação; e as habilidades
I3, I4, I5
,
G4
,
F2
,
F3
e
F5
,
de manipulação; de acordo com a estratégia de resolução adotada.
Para responder o item a), os alunos deveriam mobilizar a habilidade de
simbolização
G5,
escrevendo a expressão [(x+3)
2
+ 12].6 para representar a área do
retângulo dado. Poderiam, também, associar à variável x a uma outra variável, por
exemplo A, e apresentar como resposta A = [(x+3)
2
+ 12].6, expressando, assim,
uma relação entre a variável A (área do retângulo) e a variável x (
F6
).
No item b), os alunos deveriam formular a desigualdade [(x+3)
2
+ 12].6 < 288
(
G5
), manipulá-la (
I4
,
I5
,
G4
), e encontrar o intervalo -9 < x < 3 (
F5
), a partir do
reconhecimento da variação conjunta (
F4
) das variáveis sugeridas no problema. De
forma análoga, no item c), eles deveriam escrever [(x+3)
2
+ 12].6 > 168 (
G5
),
manipular essa desigualdade (
I4
,
I5
,
G4
), e encontrar os possíveis valores de x que
61
satisfazem a desigualdade, ou seja, x < -7 ou x > 1 (
F5
), demonstrando, assim, o
reconhecimento da variação conjunta (
F4
) das variáveis sugeridas no problema.
No item d), os alunos deveriam fazer a intersecção entre os intervalos
encontrados nos itens anteriores e concluir que a área do retângulo varia entre 168 e
288 para –9 < x < -7 ou 1< x < 3 (
F5
).
Os estudantes poderiam, também, utilizar uma outra estratégia de resolução
para os itens b), c) e d). Construindo e analisando o gráfico da função A (x) = [(x+3)
2
+ 12].6 (
F6
), eles poderiam determinar os valores de x para os quais a área é igual a
168 e 288 (
F3
), ou seja, formulariam as equações [(x+3)
2
+ 12].6 = 168 e [(x+3)
2
+
12].6 = 288 (
I5
), determinado, em seguida, os valores de x que tornam as igualdades
verdadeiras (
I4
). Com isso, analisariam no gráfico construído, para quais valores de
x se verifica a desigualdade 168 < A(x) < 288 (
F4
,
F5
).
Para responder os itens e) e f), os alunos deveriam mobilizar a habilidade
F4
,
ou seja, reconhecer a variação conjunta das variáveis envolvidas no problema.
Nesse caso, deveriam notar que o menor valor possível para a área do retângulo
ocorre quando x = -3 e que para x > -3 ou x < -3 a área aumenta. Tal análise poderia
ser feita a partir do gráfico da função dada por A(x) = [(x+3)
2
+ 12].6, o qual para ser
construído exigiria desde a habilidade de simbolização da função A(x) = [(x+3)
2
+
12].6 (
F6
) e sua manipulação (
G4
) até o cálculo do vértice da parábola.
Para realizar esse cálculo, seriam necessárias as habilidades
I4
,
F1
e
F2
. Ao
reconhecer a correspondência entre a variável x e a área do retângulo (
F1
), os
alunos poderiam, a partir da manipulação da relação A(x) = [(x+3)
2
+ 12].6, chegar a
expressão A(x) = 6x
2
+ 36x + 126 (
G4
); calcular o x do vértice (x
v
) da parábola,
fazendo x
v
=
3 -=
2.6
36-
=
2a
b-
(
I4
); e daí encontrar o valor da variável dependente (
F2
)
calculando, para isso, o y do vértice (y
v
) , ou seja, y
v
= A (-3) = 6. (-3)
2
+ 36.(-3) +
126 = 72 (
I4
).
Para responder o item g), os alunos deveriam interpretar x como uma variável
da qual depende a área do retângulo. Para tanto, deveriam mobilizar a habilidade de
interpretação
F1
.
Pontuamos que, em nosso questionário piloto, havíamos utilizado a questão
elaborada por Trigueros e Ursini (2001), já apresentada na página 37, reproduzida,
novamente, a seguir:
62
Para quais valores de x a área do retângulo abaixo varia entre 168 e 288?
Se o valor de x aumenta ou diminui o que acontece com a área? (p. 331,
tradução nossa).
Muitos alunos encontraram dificuldades ao responder tal questão, pois essa
envolvia a mobilização da maior parte das habilidades necessária à compreensão do
conceito de variável. Tal observação, pode ser melhor fundamentada pelos
resultados obtidos na ocasião da aplicação do piloto. Das 3 duplas e 3 trios que
participaram dessa aplicação, apenas uma dupla concluiu corretamente a questão.
Um dos trios
desistiu da questão deixando como resposta: “? ñ sabemos”. Os
demais, conseguiram desenvolver parte da solução da questão, considerando
apenas o intervalo em que x era positivo. A importância dada aos elementos
geométricos foi maior do que aquela dada aos elementos algébricos, ou seja, os
alunos não deram a devida atenção à expressão (x+3)
2
deixando de observar que,
nesse caso, x poderia ser tanto positivo quanto negativo.
Assim, como não era de nosso interesse que os alunos entregassem as
questões sem respostas, reformulamos tal questão subdividindo-a em itens como
apresentamos na versão final do questionário.
Tínhamos por hipótese que as respostas dos alunos para o item a), poderiam
ser: “ [(x+3)
2
+ 12].6” (
G5
), “A = [(x+3)
2
+ 12].6” (
F6
), ou, ainda, “A(x) = [(x+3)
2
+
12].6 ”(
F6
).
Para os itens b) e c), pensamos que alguns alunos resolveriam as inequações do
segundo grau (
G5
,
G4
,
I4
,
F5
), formuladas por eles com o auxílio do que já havia
sido feito no item a), recorrendo à resolução de uma equação do segundo grau (
I5
,
I4
) e, no momento, de apresentar a resposta final utilizariam os sinais das
desigualdades.
Imaginamos também que eles poderiam utilizar uma representação gráfica
(
F6
) para fazer o estudo dos sinais das funções do segundo grau associadas às
inequações (
F4
,
F5
) e resolvê-las a partir da análise do estudo dos sinais das
funções. Alguns alunos poderiam, ainda, tentar substituir alguns valores numéricos
que satisfizessem as desigualdades (
I3
).
6
(x+3)
2
12
63
Acreditamos que para responder o item d), os alunos poderiam utilizar as
soluções encontradas nos itens b) e c) e determinar a intersecção dos intervalos
encontrados nesses itens (
F5
).
Para responder os itens e) e f), os alunos poderiam analisar o que já haviam
feito nos itens anteriores, ou, ainda, substituiriam valores numéricos para a variável
x. Supomos que alguns alunos poderiam representar graficamente a função dada
por f(x) = (x+3)
2
(
F6
) e estudar a variação da área do retângulo (
F1
,
F4
) a partir
dessa função. Imaginamos, ainda, que alguns alunos representariam graficamente a
função área dada por A(x) = [(x+3)
2
+ 12].6 (
F6
) e a partir da análise do gráfico (
F1
,
F4
) dessa função responderiam as questões.
Elaboramos o item g), de forma que a pergunta ficasse mais pessoal para que
os alunos pudessem ter a liberdade de expressar sua compreensão a respeito da
variável x explorada no problema. Apesar da subjetividade imposta à questão,
acreditamos que alguns alunos diriam que x representa uma variável da qual a área
do retângulo é dependente (
F1
). Outros poderiam dizer que x representa um número
positivo, ou o lado do retângulo, ou, ainda, um número qualquer.
Com a reformulação das questões, após a aplicação do piloto, com os
objetivos já definidos, com nossas expectativas e hipóteses quanto às respostas dos
alunos para tais questões fomos, dessa forma, a campo para efetivarmos a
aplicação do questionário final. Seguimos, então, em nossa trajetória de
apresentação da pesquisa, exibindo, no próximo capítulo, a análise dos dados
coletados em nossa investigação sobre a compreensão de alunos do Ensino Médio
a respeito do conceito de variável.
64
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DOS DADOS
Nesse capítulo, apresentamos a análise, com base no modelo 3UV, dos
dados coletados por meio do questionário de investigação e das entrevistas
realizadas com os alunos que participaram de nossa pesquisa.
4.1 QUESTÃO 1
Transcrevemos, abaixo, a questão 1 de nosso instrumento de investigação.
Com essa questão, pretendíamos verificar a capacidade de simbolização dos
alunos. Logo, para resolvê-la era necessário mobilizar as habilidades de
simbolização
I5
(simbolizar o termo desconhecido identificando-o na situação dada e
usá-lo para representar uma equação),
G5
(simbolizar uma afirmação genérica) e
F6
(simbolizar uma relação baseando-se nos dados da questão).
No item a), mobilizando a habilidade de simbolização
I5
,
os alunos das duplas
D4 e D6, e do trio T7, responderam: “12x = 144”.
D1 e D5 escreveram: “x.12 = 144”, o que também demonstra a mobilização de
I5
, porém percebemos uma diferença na ordem da escrita, ora 12x, ora x12. Nessa
última representação há a conservação da ordem dada no enunciado, enquanto que
na primeira aparecem as manipulações usuais, ou seja, o coeficiente numérico é
apresentado antes da variável.
A conversa entre os pares da dupla D4 e os da D6, durante a elaboração de
suas respostas para esse item, mostrou que mesmo não tendo calculado o valor de
x, pensaram em fazê-lo e discutiram se deveriam, ou não, apresentar tal valor.
Questão 1: Escreva uma expressão algébrica para:
a) representar um número que multiplicado por 12 seja igual a 144:
b) representar um número dividido por 3 somado a 7:
c) representar um número que é igual a 15 mais um outro número:
65
Apesar da grande insegurança, demonstrada em suas falas, optaram por não
escrever o que a dupla D3 escreveu. D3 respondeu: “12.x = 144 x =
12=
12
144
”.
Notamos, assim, que além de mobilizar a habilidade de simbolização
I5
, essa dupla
também mobilizou
I4
(determinar o termo desconhecido que aparece na equação) o
que demonstra uma necessidade de apresentar uma resposta numérica para a
questão.
Houve a mesma discussão entre os alunos do T7 sobre calcular, ou não, o
valor de x, porém um dos alunos do trio retomou o enunciado enfatizando o termo
“expressão algébrica” e o verbo “representar” o que levou os demais a concordarem
que não deveriam determinar o valor de x.
Até o momento, as respostas exibidas foram previstas em nossas hipóteses,
porém a dupla D2 apresentou algo que não esperávamos que acontecesse. A dupla
respondeu: “12”. Foi a única dupla que não utilizou variáveis para simbolizar as
sentenças descritas em língua natural. Adiantamos que todas as respostas dessa
dupla foram, essencialmente, numéricas. Porém, no item a), mesmo que os alunos
dessa dupla não tenham utilizado uma variável para representar o que era solicitado,
acreditamos que, ao apresentarem “12” como resposta, a noção de variável como
incógnita foi empregada por eles.
Com exceção da dupla D2, todos os estudantes utilizaram a letra x para
simbolizar a incógnita, no item a), o que demonstra a influência do uso que fazemos
dessa letra nos problemas e questões abordados em sala de aula.
Para o item b), encontramos como respostas de D1, D5 e D6: “
3
x
+ 7”, o que
demonstra a mobilização da habilidade de simbolização
G5
(simbolizar afirmações
genéricas, regras ou métodos). O trio T7 escreveu “
3
x
+7 =
3
21+x
”, mobilizando,
além de
G5
, a habilidade de manipulação
G4
.
Durante a conversa entre os alunos do T7, no momento em que respondiam a
esse item da questão 1, um deles comentou: “Nossa, mas é estranho fazer uma
coisa assim que não tem igual do outro lado!” . Com isso, observamos no comentário
de um dos integrantes do trio a insegurança ao escrever uma sentença genérica.
Já D3 respondeu: “
z=7+
3
x
”.
66
Em entrevista, questionamos o emprego da igualdade e o uso da variável z no
segundo membro. A seguir, transcrevemos o diálogo que tivemos com os alunos
dessa dupla, simbolizando por D3-1 e D3-2 as falas dos dois integrantes de D3, já
que as respostas partiram de ambos e houve até uma discussão entre eles.
PP: “O que esse z representa aqui? Por que vocês utilizaram o z? Poderia ficar só x
sobre ‘3’ mais ‘7’?”
D3-1: “Ah, é verdade!”
D3-2: “É a representação de qualquer número!”
D3-1: “O número é o x já.”
D3-2: “É, mas é porque vai dar um número diferente do x! .... Bom, não
necessariamente, né?”
D3-1: ”É ... Acho que sim!”
D3-2: “É!”
D3-1: “z é só o resultado que vai dar.”
A partir da discussão dos alunos, observamos que as pausas representadas
por .... demonstram intervalos em que eles pensam sobre o que escreveram e o que
estão dizendo. Percebemos, ainda, que eles chegam a um acordo, explicando que z
representa o resultado das operações envolvidas na expressão “
7+
3
x
” e que z não
pode assumir o mesmo valor que x. A fala dos integrantes de D3 demonstra que
esses estudantes interpretaram x como um número genérico (
G2
), e que
estabeleceram uma relação, por meio da igualdade formulada, entre as variáveis x e
z por eles adotadas, mobilizando, assim,
G5
. Apesar de tal interpretação, notamos
que os alunos sentiram a necessidade de escrever em sua resposta uma igualdade
ao invés da expressão
7+
3
x
.
Quanto à resposta de D4, para o item b) da questão 1, encontramos em seu
protocolo: “
7+
3
x
=
10=7+3=7+
3
9
”. Em entrevista, questionamos os alunos da D4
sobre o fato de substituírem o x por 9. Relemos com eles o enunciado da questão e
perguntamos:
PP: “Por que vocês substituíram o x por ‘9’ e fizeram esse cálculo?”
D4: “Para confirmar!”
PP: “Para confirmar?”
67
D4: “É! Porque a gente procurou um múltiplo de três para dar sempre um valor
exato.”
PP: “Mas o x só pode ser um múltiplo de três?”
D4: “Não! Mas é que a gente queria um valor exato, mas não precisa ser um valor
exato, pode ser qualquer um!“
PP: “Qualquer um?”
D4: “Espera aí, deixa eu pensar...”
PP: “Está correto escrever que x sobre ‘3’ mais ‘7’ é igual a ‘9’ sobre ‘3’ mais ‘7’?
Pensem no que vocês escreveram aqui.”
D4: “x não pode ser zero! ... Ah, não! Pode ser! Não pode ser embaixo.”
D4: “Na verdade, x pode ser qualquer valor. A gente só quis comprovar, por isso
usamos o ‘9’.”
PP: “Vocês quiseram comprovar dando um exemplo?”
D4: “É! E nós queríamos um número exato!”
Analisando a fala dos alunos da dupla D4, notamos que “número exato” se
referia a um número inteiro. Além disso, observamos que para eles x poderia
assumir qualquer valor, mas, no papel, substituíram um único valor para x de forma
que pudessem apresentar como resposta um número inteiro .
Percebemos, assim, a necessidade dos alunos de encontrar um valor para a
variável em questão, ou ainda, um resultado numérico para as operações realizadas
com a variável x. Nos estudos de Tinoco et al (2007, p. 14) com alunos de 6
a
, 7
a
e 8
a
séries do Ensino Fundamental encontramos resultados semelhantes; os autores
pontuam:
Em geral, os alunos não parecem admitir que o resultado de uma
contagem, de uma operação ou de uma medição possa ser dado por uma
expressão algébrica, principalmente se esta expressão tiver mais de um
termo. Daí a freqüência de respostas nas quais a variável é substituída por
um valor numérico, pelos mais diversos critérios.
Já os alunos de D2 responderam no item b): “6
÷
3 = 2+7 = 9”. Na gravação
da discussão ocorrida no momento em que respondiam a questão 1, observamos
que a dupla decidiu “pular” esse item e ir para o próximo. Após terem respondido o
item c), os alunos voltaram para o item b) e um deles achou que esse tinha relação
com o número 144 que aparecia no item a). Imediatamente, o outro discordou. Após
mais um tempo de discussão, os estudantes chamaram a professora-pesquisadora:
68
“Professora, essa questão aqui ‘representar um número dividido por 3 somado a 7’.
Nós não entendemos!”
A professora leu, com os integrantes de D2, o enunciado da questão, olhou o
que eles haviam respondido nos itens a) e c) e disse que deveriam representar o
que estava sendo solicitado, assim como pensaram numa representação para os
itens a) e c). Novamente, os alunos não pensaram numa representação envolvendo
variáveis, e sim apenas números. No item c), os integrantes de D2 responderam:
“10+5=15”.
Não podemos justificar as respostas da dupla D2, encontradas na questão 1,
como respostas que foram dadas sem atenção ao que estava sendo solicitado;
como havíamos cogitado a princípio; pois os alunos demonstraram um padrão de
reposta, todas elas foram numéricas. Antecipamos que, no protocolo dessa dupla,
apenas as respostas dos alunos para a questão 3 e para o item a) da questão 6
apresentam o emprego de variáveis, as demais respostas são todas numéricas,
mesmo em situações nas quais o uso de uma variável é necessário para representar
a solução da questão.
No artigo
The notion of variable in semiotic contexts different,
Malisani (2002)
traz resultados sobre uma de suas pesquisas desenvolvidas com alunos de 16 a 18
anos de idade, faixa etária correspondente a de nossos alunos no Ensino Médio,
destacando que, para esses alunos, a linguagem natural e/ou aritmética impera
como sistema simbólico em ausência de um adequado domínio da linguagem
algébrica.
Podemos observar que os resultados encontrados por Malisani (
ibid
) são
corroborados nas respostas dos alunos da dupla D2, pois identificamos que esses
estudantes não têm o domínio da linguagem algébrica, fazendo da linguagem
natural, e/ou aritmética, sua única forma de comunicação e expressão em
Matemática.
As demais duplas e o trio T7 responderam para o item c) “x = 15 + y”,
mobilizando, assim,
F6
(simbolizar uma relação baseando-se nos dados da
questão).
Essa resposta corresponde a uma de nossas hipóteses sobre as possíveis
soluções dos alunos para esse item da questão 1, porém pensamos que alguns
tentariam determinar os valores de x e y, o que não aconteceu. Tal fato, demonstra
que todos os alunos, com exceção dos integrantes de D2, interpretaram x e y como
69
variáveis relacionadas, simbolizando-as dessa forma, provavelmente, por influência
do uso de tais letras nos problemas e questões abordados em sala de aula.
Resumidamente, notamos, a partir da análise das respostas dos alunos
apresentadas na questão 1, que a maioria não apresentou dificuldades para
simbolizar as sentenças dadas em língua natural. Eles utilizaram variáveis como
incógnitas, números genéricos e em relação funcional, demonstrando, assim, que as
habilidades de simbolização
I5
,
G5
e
F6
,
necessárias à compreensão do conceito de
variável, podem ser mobilizadas pela maioria dos estudantes sem dificuldades.
Porém, observamos que, no momento de simbolizar afirmações genéricas
(
G5
), os integrantes das duplas D3 e D4 sentiram a necessidade de utilizar o sinal
de igualdade demonstrando a busca por algum resultado. Podemos, também, notar
tal fato na fala de um dos integrantes de T7: “Nossa, mas é estranho fazer uma coisa
assim que não tem igual do outro lado!”. Com essa observação, identificamos que,
das habilidades de simbolização apresentadas no modelo 3UV,
G5
deveria ser mais
explorada nas atividades de ensino e aprendizagem matemática. Com base na
análise do material didático utilizado, ao longo do Ensino Médio, pelos alunos que
participaram de nossa pesquisa, notamos que a maioria dos exercícios e problemas
propostos já apresentava, em seus enunciados, igualdades ou desigualdades, ou,
então, exigia em sua resolução o emprego de sinais como =, >, < na formulação de
sentenças algébricas necessárias ao desenvolvimento das questões.
4. 2 QUESTÃO 2
Reproduzimos, abaixo, a questão 2 .
Pretendíamos, com essa questão, analisar a interpretação dos alunos a
respeito das variáveis x, y e t, isto é, identificar qual uso (incógnita, número genérico,
Questão 2
: Para cada uma das seguintes expressões, determine quantos valores as letras
apresentadas podem assumir. Dê exemplos desses possíveis valores.
a) y = y
b) 7y
2
= 2x – 5
c) t+3
70
variáveis relacionadas) da variável estaria sendo admitido pelos alunos, em cada
item da questão. Procuramos, também, com os dados obtidos por meio do
questionário e das entrevistas realizadas identificar quais seriam os domínios de
variação que, possivelmente, estariam sendo considerados pelos alunos para as
variáveis presentes na questão. Pontuamos que, para alcançar esse último aspecto
de nosso objetivo, as entrevistas foram fundamentais, pois as falas dos alunos
revelaram mais sobre os conjuntos numéricos considerados como campos de
variação para x, y e t do que os dados que encontramos nos protocolos.
Além das habilidades de interpretação
G2
(interpretar um símbolo como uma
entidade genérica ou indeterminada que pode assumir qualquer valor),
F1
(reconhecer a correspondência entre as variáveis relacionadas) e
F4
(reconhecer a
variação conjunta das variáveis envolvidas em uma relação), a questão 2 envolve
habilidades de manipulação necessárias, no item b), para que se possa encontrar
possíveis valores para as variáveis relacionadas, x e y. Tais habilidades foram
citadas em nossa análise preliminar e podem ser reconhecidas, mais adiante, nas
diferentes estratégias utilizadas pelos alunos na busca desses possíveis valores.
Vejamos, a seguir, o protocolo da dupla D1, no que se refere a essa questão.
Quadro 6. Protocolo da dupla D1- Questão 2.
As respostas de D1, para os itens a) e c), foram, em parte, ao encontro das
hipóteses que levantamos no momento da análise preliminar das questões.
71
Pensamos que os alunos escreveriam “infinitos”, porém não imaginamos que
utilizariam igualdades para dar os exemplos. Notamos, novamente, a necessidade
dos estudantes de apresentar um resultado após o sinal de igual, mesmo que no
enunciado não apareça uma igualdade, como é o caso do item c).
Apesar de os alunos citarem que as variáveis y e t poderiam assumir infinitos
valores (
G2
), ao escreverem os exemplos utilizaram igualdades para fazê-los o que
nos faz pensar que o uso da variável como incógnita, para esses alunos, é muito
mais significativo que o de número genérico. Porém, observamos que no item b) a
presença de duas variáveis, numa única equação, fez com que os alunos
pensassem na relação de dependência entre elas demonstrando que a visão
estática apresentada nas respostas dos itens a) e c) adquiriu, nesse item, um certo
dinamismo, o que nos leva a concluir que os integrantes dessa dupla mobilizaram as
habilidades de interpretação
F1
e
F4
, isto é, perceberam a correspondência e
dependência entre as variáveis x e y e sua variação conjunta. Para dar exemplos, a
dupla atribuiu y como variável independente e x dependente. Assim, estabelecendo
alguns valores para y os alunos calcularam, em seguida, os correspondentes valores
de x, mobilizando, dessa forma, as habilidades de manipulação
F2
e
I4
; como
havíamos previsto em nossa análise preliminar.
Em entrevista com essa dupla, questionamos se haviam pensado que as
variáveis dadas na questão poderiam representar números irracionais, e a resposta
foi não. Os alunos disseram: “Nós só pensamos nos números inteiros e nas frações.”
Transcrevemos uma parte do diálogo que tivemos com a dupla:
PP: “Analisando o que vocês responderam para o item b), percebi que vocês
atribuíram alguns valores para y e depois calcularam os de x. Em algum momento
vocês pensaram em fazer o contrário, jogar valores para x e calcular os de y?”
D1: “Não!”
PP: “Por que isso? Se estivesse escrito ‘2x –5 = 7y
2’
, vocês acham que teriam feito o
contrário?”
D1: “Acho que sim!”
PP: “Então vamos pensar sobre isso agora. O x poderia ser zero?”
D1: “Sim!”
PP: “Vamos calcular então!”
Fizemos o cálculo com os alunos e mesmo antes de terminá-lo um deles já se
manifestou.
72
D1: “Ah, não! Daria negativo e não existe raiz quadrada de número negativo!”
PP: “Se nós estivermos pensando nos reais isso não é válido. Então, tudo
dependeria de como vocês estão olhando essas variáreis, vocês chegaram a pensar
nos números complexos quando começaram a atribuir valores?”
D1: “Não!”
Sobre o item c), perguntamos durante a entrevista:
PP: “O que significa t igual a alfa?”
D1: “Ai, não era alfa, era infinito! A gente esqueceu de arrumar.”
PP: “Infinito é um número?”
D1: “Pode ser qualquer número!”
PP: “Pode ser qualquer número? Então, representa qualquer número?”
Antes de responder a essa questão, houve uma pausa, os alunos pensaram
durante alguns instantes e depois um deles manifestou um “sim” bem tímido.
Analisando as respostas dadas pelos alunos, percebemos, de forma geral,
que a dupla D1 pensou no conjunto dos racionais como domínio de variação para as
variáveis presentes na questão 2.
Devido à utilização do símbolo
∞
nas respostas dos alunos, resolvemos,
então, conversar um pouco sobre o infinito, porém sem a pretensão de elucidá-lo em
poucas palavras, pois sabemos o quanto ele é abstrato, e, ao mesmo tempo,
fascinante. Mas acreditamos que esclarecemos que o símbolo de infinito não pode
ser utilizado para representar um elemento de um conjunto numérico, seja ele qual
for, e que a noção de infinito é utilizada quando nos referimos, por exemplo, a certos
conjuntos, como o conjunto dos números reais. Indicamos a leitura da revista
Scientific American
, n
o
15, cujo título é
As diferentes faces do infinito
e citamos,
resumidamente, o conteúdo de alguns artigos que os alunos poderiam encontrar
nessa edição da revista.
Quanto às respostas de D2, para o item a) da questão 2, encontramos: “1=1
infinito”. No item b), os alunos responderam: “29”; e, para o item c), escreveram: “5”.
Ao ouvirmos a gravação da discussão entre os alunos durante a resolução das
questões, notamos que eles “pularam” a questão 2 quando se depararam com os
itens b) e c) e, após responderem as demais questões, voltaram ao problema
deixado para trás e escreveram “29” e “5”, respectivamente. Em entrevista, os
alunos disseram que não sabiam o que responder nesses itens e para não deixar
73
em branco escreveram tais respostas. Não apresentaram nenhuma justificativa, por
meio de cálculos, para as respostas apresentadas. Conversamos com os alunos e
percebemos que interpretaram as variáveis, presentes na questão, como números
inteiros positivos. Os alunos não observaram nenhuma relação entre as variáveis x e
y, dadas no item b), e pouco quiseram falar durante a entrevista. Assim, notamos
que os integrantes dessa dupla não mobilizaram as habilidades de interpretação
G2
,
F1
e
F4
necessárias para responder a questão 2.
A dupla D3 apresentou, para o item a), algo semelhante ao que foi
encontrado no protocolo de D1. Novamente, encontramos igualdades nos exemplos
citados. Trazemos, a seguir, o protocolo de D3.
Quadro 7. Protocolo da dupla D3 – Questão 2
Com relação ao item a), observamos que, apesar de os alunos não
apresentarem, nos exemplos, números complexos, durante a conversa entre eles,
citaram esses números. Disseram que y poderia assumir qualquer valor, podendo,
até mesmo, ser um número complexo. Assim, notamos que os integrantes dessa
dupla interpretaram y como um número genérico (
G2
) cujo domínio de variação
poderia ser o conjunto dos complexos.
Sobre o item b), em entrevista com os alunos, perguntamos:
PP: “O que é S.P.I?”
D3: “Sistema Possível e Indeterminado.”
74
PP: “E isso é um sistema?”
D3: “Hahaha.... É verdade, né? É uma equação, né!”
PP: “Vocês atribuíram primeiro alguns valores para y e aí fizeram os cálculos para
determinar quais eram os valores de x correspondentes?”
D3: “Sim!”
PP: “Nesses exemplos, vocês pensaram em que números, só em números inteiros?”
D3: “É, na verdade a gente colocou que era infinitos valores.”
PP: “Mas em que conjuntos vocês pensaram?”
D3: “Acho que caberia qualquer conjunto aí. É, ... até os complexos caberia.”
PP: “Vocês pensaram em atribuir valores a y para calcular os de x, poderia ser o
contrário?”
D3: “Claro!”
PP: “Então eu vou atribuir um valor para x, por exemplo, ‘1’. E aí, o que acontece?
Sem hesitar, um dos alunos de D3 respondeu:
D3: “Vai dar um número complexo!”
PP: “E isso é possível?”
D3: “É possível!”
Deixamos em aberto, na questão 2, o domínio de variação de x, y e t, para,
justamente, identificar quais seriam os possíveis valores que estariam sendo
admitidos pelos alunos para tais variáveis. Podemos deduzir, pelas respostas
encontradas, que os integrantes de D3 entenderam que o domínio de variação de y
era o conjunto dos números complexos. O que nos leva a concluir que, para esses
alunos, x poderia representar um número real ou, ainda, um complexo. Assim,
notamos que os integrantes dessa dupla mobilizaram as habilidades de
interpretação
F1
e
F4
, e as habilidades
F2
e
I4
para determinar, no item b), alguns
possíveis valores para x e y. Quanto à resposta dada ao item c), em entrevista, um
dos alunos da dupla D3 mostrou-se indignado com a expressão “t+3”.
Transcrevemos o diálogo estabelecido, denominando por D3-1 e D3-2 cada
um dos alunos da dupla.
PP: “E aqui, no item c), vocês escreveram: ‘Não há resolução, pois não há
igualdade.’”
D3-1: “Isso! Não tem o igual, então pra mim não é nada!”
PP: “Esse t é nada?”
75
D3-1: “’t +3’, se você não põe uma igualdade eu acho que .... toda equação tem uma
igualdade, um igual, um menor, ou maior, ou menor igual, maior igual, algum sinal
para você poder sair daí.”
D3-1: “O t pode ser qualquer valor, mas você não pode jogar nada se não tem uma
igualdade.”
D3-1: “Mas se você fala ‘t mais três igual a zero’, aí, sim, você joga um número para
dar zero!”
PP: “Nesse caso, você tem um valor específico para t.”
D3-1: “Exatamente!”
D3-2: “Pode ser qualquer coisa!”
D3-1: ”Ai gente, se não tem uma igualdade, pra mim, não significa nada.”
Percebemos a necessidade do aluno de encontrar um resultado para a
variável t, e como esta não se encontrava numa equação, então a conclusão foi de
que t não poderia representar nada. Tal necessidade mostra a influência do uso da
variável como incógnita, o qual, sem dúvida, é mais explorado nos problemas
abordados em sala de aula do que aqueles em que a variável é apresentada como
número genérico em expressões como “t +3”.
Ao analisarmos o material didático utilizado pelos alunos que participaram de
nossa pesquisa, encontramos exercícios envolvendo expressões genéricas no
momento em que os estudantes estão recordando casos de fatoração para
posteriormente aplicá-los nos exercícios que envolvem simplificação de expressões
algébricas, ou, ainda, naqueles em que é exigida apenas a manipulação dessas
expressões. Porém o sinal de igualdade está presente na maioria deles, indicando
que o aluno deve fazer alguma manipulação, ou algum cálculo para encontrar um
resultado, mesmo que esse seja uma expressão. Vejamos alguns exemplos:
Quadro 8. Exercícios retirados do material didático da escola em que foi desenvolvida esta
pesquisa.
Simplifique as frações, supondo cada denominador diferente de zero:
a)
=
1 +2x -x
5-5x
2
2
b)
=
1-x
y+x+xy+x
2
2
Desenvolva a expressão (a-1)(a
2
+a+1) usando a propriedade distributiva.
76
Assim, é natural que a expressão “t+3” causasse estranheza aos alunos, pois
esses não tiveram a oportunidade de lidar com problemas em que a variável fosse,
de fato, explorada como um número genérico, limitando-se apenas ao trabalho de
manipulação de expressões genéricas e ao desenvolvimento de exercícios em que o
emprego de procedimentos aritméticos e algébricos é suficiente para sua resolução.
Em uma de suas pesquisas, os resultados encontrados por Trigueros e Ursini
(2001) mostraram que nem todos os professores fizeram diferenciações dos usos da
variável como incógnita e número genérico e que em uma expressão algébrica
adicionavam o sinal de igual transformando-a numa equação para encontrar o valor
da variável em questão (
G2
transformado em
I2
4
). Os alunos da dupla D3 não
fizeram isso, mas demonstraram nos diálogos que “não aceitaram” a expressão
algébrica “t+3” e que interpretaram t como uma incógnita, a qual só não foi
determinada, porque não havia uma igualdade.
Já a dupla D4 adotou a mesma estratégia que os professores que
participaram da pesquisa de Trigueros e Ursini. A resposta dessa dupla, para o item
c), foi:
Quadro 9. Protocolo da dupla D4 – Questão 2 – item c)
Novamente, podemos observar a influência do uso da variável como incógnita
na aprendizagem matemática desses alunos. Apesar de admitirem que a variável t
poderia assumir infinitos valores, o que corresponderia à interpretação dessa
variável como número genérico (
G2
), no momento de apresentar um exemplo, os
estudantes recorrem a uma igualdade, demonstrando, assim, a necessidade de
encontrar um valor específico para t (
I2
). As demais respostas dessa dupla trazem
dados semelhantes aos que já citamos, porém, para o item b), D4 escreveu:
“y = infinitos valores, x
≠
0 todos os outros valores.”
4
I2- interpretar o símbolo que aparece na equação, como um ente que pode assumir valores
específicos; G2: interpretar um símbolo como uma entidade genérica ou indeterminada que pode
assumir qualquer valor.
77
Os exemplos dessa dupla, para o item em questão, envolveram apenas
números inteiros, como os exemplos dados por D3. Durante a discussão entre os
integrantes da D4, no momento da resolução da questão 2, notamos que excluíram
o zero do domínio de variação de x, pois disseram que “7y
2
” teria que dar um
resultado positivo. Um dos alunos da dupla comentou, enquanto pensava em x igual
a zero: “só se y for complexo.” Após toda a discussão, os alunos decidiram excluir o
zero do campo de variação de x admitindo, assim, que o domínio das variáveis não
seria o conjunto dos complexos. Em entrevista, notamos que os alunos pensaram
em x e y como variáveis reais.
Da mesma forma, encontramos no protocolo da D5 respostas equivalentes as
que foram apresentadas nos protocolos das duplas D3 e D4. No entanto, no item b),
a dupla D5 atribuiu apenas números ímpares à variável y. Em entrevista,
questionamos os alunos dessa dupla sobre tal fato:
D5: “Se a gente colocasse o y como um número par as contas ficavam horríveis,
dava umas frações, e aí a gente ignorou.”
PP: “Vocês pensaram em números negativos?”
D5: “Não!”
PP: “Vocês pensaram em atribuir valores para o x e a partir daí calcular os de y?”
D5: “Sim, mas aí a gente fez e deu fração, e então a gente ignorou.”
PP: “Mas vocês consideram que essas frações são válidas? Ou seja, x e y poderiam
representar frações?”
D5: “Sim, poderiam.”
Notamos, novamente, a preferência dos alunos pelos números inteiros e
positivos. Na ocasião da resolução do questionário, D5 admitiu como domínio das
variáveis, x e y, apenas o conjunto dos inteiros positivos.
Observamos, também, que quando os alunos dessa dupla se depararam com
o item c), que apresentava a sentença “t+3”, ficaram intrigados, assim como os
integrantes de D3, e nos chamaram para perguntar se não deveria ser uma
igualdade. Dissemos que a sentença era “t+3” e nada mais. Os estudantes
continuaram demonstrando dúvida. Deixamos, então, que pensassem sobre esse
item sem dizer mais nada. Nos exemplos, eles apresentaram igualdades como “t =
1”, “t = 5” e escreveram “
∞
valores”.
Tal fato reforça o que já destacamos anteriormente, ou seja, a influência das
práticas de ensino na formação do conceito de variável pelos alunos que
78
participaram de nossa pesquisa. Em sua grande maioria, os problemas abordados
em sala de aula exploram o uso da variável como incógnita, sendo, portanto,
necessária a presença de problemas em que as variáveis possam assumir o papel
de número genérico, ou seja, problemas envolvendo generalizações da aritmética,
para que os estudantes possam compreender e aceitar expressões genéricas como
“t+3”.
A dupla D6 apresentou dados com características diferentes daquelas
apresentadas nos outros protocolos. Vejamos o protocolo de D6.
Quadro 10. Protocolo da dupla D6 – Questão 2.
Notamos que, no item a), o exemplo dado foi escrito por meio de uma
igualdade, o que demonstrou, a princípio, que os alunos da D6 interpretaram a
variável y como uma incógnita. Porém, na discussão que ocorreu durante a
elaboração da resposta, percebemos que os integrantes da dupla associaram a
variável y a conjunto numérico e pensaram até mesmo no conjunto dos números
complexos. Observemos o diálogo entre os alunos.
D1-6: “Nossa, y igual a y, pode ser milhares!”
D1-6: “Pode ser qualquer número! Porque um número é sempre igual a ele mesmo!”
D2-6: “Escreve o que, então?”
79
D1-6: “Coloca ‘qualquer número’, ou ‘todos os conjuntos’? Conjunto dos complexos.”
D2-6: “É, poderia ser!” (risos)
D1-6: “Põe ‘todos os conjuntos’?”
D1-6: “Põe ’todos os valores’.”
Notamos, através do diálogo entre os estudantes, que, para eles, o domínio
de variação de y poderia ser qualquer conjunto numérico, inclusive o dos complexos,
dessa forma, a dupla D6 interpretou a variável y como um número genérico (
G2
).
Já no item c), o exemplo dado por D6 não apresenta igualdade, reforçando a
percepção da variável como um número genérico. Novamente, os alunos
dispensaram um tempo discutindo o que escrever como resposta para esse item, e o
diálogo foi parecido com o que transcrevemos acima.
Observamos, neste ponto da análise, que as conversas entre os alunos,
durante a resolução das questões, trouxeram dados valiosos para complementar
àqueles que encontramos no papel e que sem esses dados não conseguiríamos
identificar quais foram os possíveis domínios de variação considerados pelos alunos
para as variáveis apresentadas na questão 2.
Dentre as respostas dadas pela dupla D6, a que mais nos chamou a atenção
foi a do item b). Os integrantes de D6 foram os únicos a escreverem o domínio real
de variação de x, expressando-o em língua natural.
Quando entrevistamos a dupla, notamos que os alunos haviam reconhecido a
correspondência (
F1
) e dependência entre as variáveis x e y e que mobilizaram as
habilidades
F2, F3
e
F4
5
encontrando, assim, o domínio de variação das variáveis
relacionadas. Porém, o termo “qualquer valor” dificultou nossa interpretação do
domínio de variação considerado, por eles, para as variáveis x e y. E mesmo durante
a conversa gravada entre os integrantes da dupla, na ocasião da resolução do
questionário, não conseguimos identificar quais seriam os conjuntos de variação por
eles considerados. Então, decidimos fazer algumas perguntas na entrevista para
que pudéssemos esclarecer nossa dúvida. Questionamos os estudantes sobre como
chegaram ao “2,5” e um deles respondeu:
5
F1:
reconhecer a correspondência entre as variáveis relacionadas independentemente da
representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões algébricas); F2- determinar
os valores da variável dependente dado o valor da independente; F3: determinar os valores da
variável independente dado o valor da dependente; F4- reconhecer a variação conjunta das variáveis
envolvidas em uma relação independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos,
expressões analíticas).
80
D6: ”É porque tem o cinco subtraindo, então se eu colocar um valor que dê menor do
que cinco vai ficar negativo e como o y está ao quadrado não pode dar um resultado
negativo.”
PP: “Vocês pensaram em y como sendo um número real?”
D6: “É, o y pode ser qualquer valor!”
PP: “Mas o que significa qualquer valor? Poderia ser um número complexo?”
D6: “Sim, mas aqui nós não pensamos nos complexos, só nos reais.”
Com base nesse diálogo, identificamos, assim, que os alunos de D6
interpretaram, no item b), x e y como variáveis reais.
Analisando a resposta do trio T7 para a questão 2, no que se refere ao item
a), percebemos que os alunos não utilizaram igualdades, o que demonstra a
interpretação da variável y como um número genérico (
G2
). No diálogo, durante a
elaboração da resposta do item a), pontuamos que um dos alunos, após ler o
enunciado da questão respondeu, imediatamente: “Reais!”. Em seguida, um outro
aluno completou: “Complexos!”, e, por fim, o terceiro integrante da dupla disse:
“Infinitos!”. Houve, então, uma discussão sobre o que escreveriam como resposta e,
após chegarem a um acordo, os alunos apresentaram os seguintes dados:
Quadro 11. Protocolo do trio T7 – Questão 2- item a).
Notamos, pelos exemplos citados, que os estudantes interpretaram y como
uma variável que poderia assumir valores reais, e observamos, ainda, na fala de um
dos integrantes do trio T7, que esse considerou que tal variável poderia representar
um número complexo.
Em entrevista, com os alunos do trio, questionamos a resposta dada no item
b). Os alunos disseram que haviam atribuído alguns valores a y para a partir daí
calcular os valores de x, mas que não haviam pensado o contrário. Talvez, devido ao
fato de aparecer primeiro na equação a variável y e depois a variável x, ou ainda,
pela influência que a letra x representa nos problemas e questões que os alunos têm
o hábito de resolver; já que x, geralmente, é a letra utilizada para simbolizar a
81
incógnita de um problema, ou seja, o valor a ser determinado, então, nada mais
natural do que determinar o valor de x.
Vejamos parte do diálogo dos alunos, enquanto discutiam o item b), e, ainda,
sua resposta para o item c).
Quadro 12. Protocolo do trio T7 – Questão 2 - itens b) e c).
T7-1:”Que loucura isso!”
T7-2: “Olha, y e x são números diferentes!”
T7 -1: “Então põe qualquer coisa!”
T7-3: “Ah, é?!”
T7-2: “É, acho que sim!”
T7-3: “Será que não tem que passar tudo para o mesmo lado?”
T7-2: “Calma... pode ser qualquer valor, qualquer coisa! Se a gente determinar um
valor para uma das incógnitas conseguimos calcular o valor da outra.”
T7-3: “É verdade!”
T7-1: “É claro que é verdade!”
T7-2: “Mas a gente tem que fixar uma e calcular a outra.”
T7-1: “É, óbvio, porque uma depende da outra!”
Notamos que os alunos reconheceram a correspondência entre as variáveis (
F1
),
porém não visualizaram o intervalo [5/2,
∞
[ como um possível campo de variação de
x, apenas disseram, durante a entrevista, que y poderia assumir qualquer valor real,
pois estava elevado ao quadrado.
Perguntamos, durante a entrevista, se, no item b), eles haviam pensado em
números complexos, e a resposta foi: “Não, a gente nem parou para pensar nisso, a
gente foi jogando valores e calculando.”
A busca por um resultado mostrou-se clara nos diálogos dos alunos e também
nos cálculos que apresentaram. Assim, apesar de observarem a dependência e
correspondência entre x e y (
F1
), e interpretarem tais variáveis como números reais
82
notamos que os integrantes de T7 trataram x e y como incógnitas, agindo
mecanicamente em busca de resultados numéricos, de forma pontual. Com isso,
tiveram certa dificuldade de reconhecer a variação conjunta de tais variáveis e não
explicitaram o intervalo [5/2,
∞
[ como o campo de variação de x (
F5
).
Já no momento em que os alunos chegaram ao item c), houve o seguinte
comentário:
T7-1: “t mais três? Isso não tem uma igualdade?”
T7-2: “É, acho que tem algum erro!”
T7-1: “Professora, aqui não tem igualdade?”
PP: “Não. É isso mesmo, t mais três!”
T7-1: “Ah, tá!”
T7-2: “Que bom! t mais três!” (risos)
T7-3: “Então vamos colocar qualquer valor, infinitos!”
T7-1: “Espera, vamos ler o enunciado de novo para ver se não tem alguma
pegadinha.”
Após uma pausa, o mesmo aluno que levantou a dúvida, respondeu:
T7-1: “Ah, acho que está certo.... sei lá. Vamos colocar os exemplos!”
Novamente, percebemos a insegurança dos alunos frente a uma sentença
genérica. A ausência do sinal de igual, na sentença dada, perturbou os integrantes
do trio T7, e esses preferiram citar como exemplos apenas números inteiros
positivos, ao contrário do que fizeram no item a), onde a igualdade trouxe certa
segurança aos alunos.
Apesar dos exemplos, encontrados no protocolo de T7 para o item c), serem
apenas números inteiros, seus integrantes admitiram, em entrevista, que t poderia
assumir qualquer valor real ou, ainda, ser um número complexo. Sobre esse item,
um dos alunos do trio comentou: “Nós escolhemos para citar como exemplos
números que gostamos mais. Cada um de nós escolheu um.”
De forma resumida, observamos que o item c), da questão 2, foi o que trouxe
mais dúvidas e insegurança aos alunos. Muitos acharam que deveria haver uma
igualdade para que a expressão “t+3” pudesse fazer algum sentido. Alguns não
aceitaram tal expressão como uma afirmação válida. Esse foi o caso da dupla D3
que escreveu: “não há resolução, pois não há igualdade”. Outros, acrescentaram o
sinal de igual em busca de um resultado, ou melhor, de um valor específico para t,
como fizeram os integrantes da D4. Pontuamos, ainda, que na maioria dos
83
exemplos citados pelos alunos houve a utilização de igualdades para representar os
possíveis valores que a variável t poderia assumir. Os únicos que não utilizaram
igualdades foram os alunos da dupla D6 e os integrantes do trio T7. Acreditamos
que essa falta de interpretação da variável como um número genérico e a
estranheza que uma expressão genérica como “t+3” causou aos alunos estão
relacionadas ao processo de ensino e aprendizagem, e aos problemas e exercícios
propostos no material didático utilizado por esses estudantes, o qual não apresenta
questões que explorem a análise e interpretação de expressões genéricas como a
que citamos.
Além disso, observamos que a interpretação dos alunos sobre o domínio de
variação das variáveis, apresentadas na questão, vai do conjunto dos naturais ao
dos complexos. A maioria dos alunos demonstrou sua preferência pelos números
inteiros e positivos, utilizando-os em seus cálculos e exemplos. Porém, alguns
estudantes admitiram em suas falas que o conjunto dos reais, e, também, o dos
complexos, poderiam ser campos possíveis de variação de x, y e t. Apesar de
admitirem tal possibilidade, apenas o trio T7 apresentou um exemplo mais ousado,
escrevendo no item a) “
π
”. Tal fato pode demonstrar que, em sala de aula, a
utilização dos números reais e complexos ainda é pouco explorada nas questões e
problemas trabalhados, o que justifica a preferência dos alunos pelos inteiros.
4. 3 QUESTÃO 3
Transcrevemos, abaixo, a questão 3.
Questão 3:
Considere a função polinomial do 2
o
grau f(x) = x
2
- 6x + 8, definida em R
com
valores em R, representada no gráfico abaixo.
Determine as abscissas a, b e x
c,
ilustradas na figura abaixo.
84
Pretendíamos com essa questão verificar a interpretação dos alunos a
respeito das variáveis
a
,
b
, x e
x
c
, e os procedimentos utilizados por eles na
manipulação dessas variáveis. Assim, observamos quais relações os alunos
estabeleceram entre as incógnitas
a
,
b
e
x
c
e as variáveis da função polinomial do 2
o
grau, dada por f(x) = x
2
– 6x + 8, e analisamos a influência da representação gráfica
na interpretação dos estudantes a respeito dessas variáveis. Essencialmente, a
questão 3 envolve o uso da variável como incógnita, porém é necessário que o
aluno mobilize a habilidade de interpretação
F1
, ou seja, que ele reconheça a
correspondência e dependência das variáveis presentes numa relação funcional e
que determine o valor da variável independente dado o da dependente (
F3
).
Apresentamos, abaixo, o protocolo da dupla D1 com suas respostas para a
questão 3.
Quadro 13. Protocolo da dupla D1 – Questão 3.
Observamos que D1 determinou, pelo procedimento da soma e produto, as
raízes da função dada (
I4
), denominando por x´e x´´ tais raízes, como havíamos
previsto em nossa análise preliminar das questões, e, no momento de apresentar a
resposta final, trocaram x´´e x´ por
a
e
b
, respectivamente, interpretando, assim, as
raízes da equação como os zeros da função denominados por
a
e
b
(
I2
).
Para tanto, os alunos mobilizaram, além de
I2
(
interpretar o símbolo que
aparece na equação, como um ente que pode assumir valores específicos), as
85
habilidades de interpretação
F1
(reconhecer a correspondência entre as variáveis
relacionadas independentemente da representação utilizada) e
I1
(reconhecer e
identificar numa situação-problema a presença de algo desconhecido que pode ser
determinado considerando as restrições do problema
),
e as habilidades de
manipulação
F3
(determinar os valores da variável independente dado o valor da
dependente) e
I4
(determinar o termo desconhecido que aparece na equação
executando as operações algébricas e/ou aritméticas requeridas).
Essa dupla mostrou em sua resposta algo que não havíamos pensado em
nossa análise preliminar. Os alunos esboçaram uma outra parábola e marcaram no
gráfico, entre
b
e
x
c,
“1”.
No momento em que discutiam o cálculo de
x
c
, um dos alunos da dupla falou:
D1-1: “Eu não sei explicar, mas acho que é assim, aqui vale ‘1’, porque não parece
que está no meio?”
D1-2: “É, mas como você vai justificar?”
D1-1: “Então, esse é o problema, eu acho que é isso, mas não sei explicar. Tem
uma fórmula para calcular esse ‘x
c
’, mas eu não lembro. Ele estaria no ‘5’.”
D1-2: “É, seria o vértice.”
D1-1: “É! Entendeu o que eu quis dizer?”
D1-2: “Entendi!”
D1-1: “Aqui, com certeza, é ‘1’! O que você acha?”
D1-2: “Eu acho que se estiver certo, a gente tá no caminho certo!”
Notamos pelo diálogo entre os alunos de D1 que a representação gráfica foi
decisiva no momento em que pensavam no cálculo de
x
c
. A partir da análise do
gráfico, os alunos agiram de forma intuitiva. Demonstraram consciência de que só a
intuição não bastava, pois disseram que não sabiam como justificar ou explicar o
que haviam intuído, porém, mesmo assim, deixaram como resposta “x
c
= 5”, sem
apresentar uma justificativa. Observamos, ainda, que os alunos associaram o cálculo
de
x
c
ao emprego de uma fórmula de que não se lembravam no momento da
resolução da questão.
Em entrevista, perguntamos como haviam encontrado a distância entre as
abscissas
b
e
x
c
.
D1-1: “A gente encontrou o ‘a’ e o ‘b’ e para encontrar esse ‘x
c
’ a gente pensou no x
do vértice.”
86
D1-2: “É, pra gente comprovar que ‘x
c
’ é o x do vértice, é como se a gente
deslocasse essa parábola para a direita, para comprovar que seria ‘1’ essa
distância.”
PP: “Mas onde está o x do vértice da parábola dada?”
D1-2: “Aqui no meio.”
PP: “Mas qual é a posição dele?”
D1-2: “Três.”
PP: “Por que?”
D1-2: “Porque se o ‘a’ é ‘2’ e o ‘b’ é ‘4’, então fica ‘1’ pra lá e ‘1’ pra cá, então o x do
vértice é ‘3’.”
PP: “Ah, vocês pensaram no eixo de simetria da parábola, é isso?”
D1-2: “É!”
PP: “Mas o que garante que a distância entre b e ‘x
c
’ também é ‘1’?”
D1-1: “É que a gente deslocou toda a parábola para a direita então o ‘x
c
’ vai ser o x
do vértice.”
PP: “E esse ‘3’ marcado no eixo y, vocês não utilizaram esse dado no momento de
resolver a questão?”
D1-2: “Não.”
Ficamos surpresos, e encantados, com o procedimento de resolução adotado
pela dupla D1. A dupla utilizou uma estratégia de resolução incomum para a questão
apresentada, porém, os alunos não conseguiram justificar matematicamente o que
haviam intuído. Como havíamos previsto, o ponto C, por não ser um ponto de
intersecção da parábola com os eixos coordenados, trouxe dificuldades aos alunos
no momento de resolver a questão.
Eles pensaram na translação da parábola, mas não souberam explicar que
transladando o gráfico em duas unidades para a direita, as posições das raízes
seriam transladadas para (4, 0) e (6, 0), e teríamos uma nova representação para a
função, a qual seria:
f(x) = (x-4).(x-6) = x
2
-10x+24.
A partir de sua representação algébrica, é possível calcular o x
v
, abscissa do
vértice da parábola transladada:
x
v
=
2.1
-(-10)
2
10
=
= 5.
87
A dupla D2, também, determinou
a
e
b
por meio do cálculo da soma e do
produto, denominando as raízes da função, dada por f(x) = x
2
– 6x + 8, como x
1
e x
2
.
Os alunos mobilizaram, portanto, as habilidades
F3
e
I4
e ao apresentarem a
resposta final, escreveram:
“x
1
= a = 2
x
2
= b = 4” (
I2
)
Assim, notamos que os integrantes dessa dupla interpretaram as raízes da
equação como os zeros da função, mobilizando, dessa forma, além de
I2
, as
habilidades
F1
e
I1
de interpretação. Observamos que eles haviam “pulado” a
questão 3, devido à representação gráfica apresentada no enunciado. No momento
de resolver a questão, disseram:
D2-1: “Nossa! Essa tem gráfico, eu não sei gráfico.”
D2-2: “Eu sei!”
D2-1:”Sério? Então faz!”
D2-2: “Não sei não, depois a gente faz.”
Antes de entregar o questionário, os alunos nos chamaram:
D2-1: “Professora, a gente não consegue, só falta essa.”
PP: “O que é pedido na questão?”
D2-1: “Para representar no gráfico.”
D2-2: “Não! É para determinar as abscissas ilustradas no gráfico.”
PP: “Certo! O que vocês acham que ‘a’ e ‘b’ representam?”
D2-1: “São os valores de ‘x
1
’e ‘x
2
’.”
PP: “Ou seja, são as raízes da função, não é?”
D2-1: “É!”
PP: “Como vocês podem, então, encontrar essas raízes, ou seja, como podemos
calcular o ‘x
1
’ e o ‘x
2
’?”
D2-1: “Ah, é só fazer soma e produto!”
D2- 2: “Eu ia falar isso!”
Percebemos que o fato de termos denominado as raízes da função por
a
e
b
dificultou a percepção dos alunos. Quando, no diálogo, utilizamos os termos citados
por eles, isto é, x
1
e x
2
, imediatamente, os estudantes pensaram num procedimento
para determinar tais raízes. Notamos que, para esses alunos, a questão 3 se
resumiu na aplicação de um procedimento algébrico, e que a relação de
dependência e correspondência (
F1
) entre as variáveis da função dada não foi
88
identificada por eles. Essa conclusão ficou evidente quando ouvimos a conversa dos
alunos no momento em que faziam os cálculos para determinar as incógnitas
a
,
b
e
x
c
. Para calcular
x
c
, os alunos analisaram o gráfico e concluíram:
D2-1: “Se aqui é ‘2’ e aqui é ‘4’, então ‘x
c
’ é ‘5’! É um pontinho só pra lá.”
D2-2: “Isso!”
Percebemos que os alunos de D2, assim como os de D1, não deram atenção
às informações apresentadas no eixo y, não relacionado a abscissa x
c
com a
ordenada 3.
Em entrevista, questionamos os integrantes de D2:
PP:” Por que ‘x
c
’ é igual a ‘5’? Como vocês calcularam?”
D2-1: “A gente não calculou, só olhou no gráfico!”
PP: “Mas pelo gráfico dá para concluir isso?”
D2-1: “É porque é um ponto depois do ‘4’.”
PP: “Mas não foi dada a escala do gráfico. Poderia ser ‘1,5’, ou ‘1,2’, por exemplo,
depois do ‘4’. E aí, dá para concluir o que vocês concluíram só olhando o gráfico?”
D2-1: “É, acho que não, mas normalmente é de ‘1’ em ‘1’, não é?”
PP: “Muitos gráficos são dados com essa escala, mas não podemos admitir que
todos sejam assim, não é?”
D2-1: “É.”
PP: “Vocês saberiam determinar ‘x
c
’ de outra forma?”
D2-1: “Não!”
D2-2: “É, eu também não sei!”
As duplas D3, D4, D6 e o trio T7 não apresentaram dificuldades em resolver
essa questão. Os alunos reconheceram a correspondência entre as variáveis x e y
(
F1
), identificaram na questão a presença de algo desconhecido que poderia ser
determinado considerando as restrições do problema (
I1
), interpretaram as raízes da
equação “x
2
– 6x + 8 =0” (
I5
), por eles formulada, como sendo as incógnitas
a
e
b
solicitadas na questão (
I2
), e calcularam essas raízes (
I4
) utilizando o procedimento
da soma e do produto. D3 nomeou as raízes por x
1
e x
2
, substituindo-as, no
momento de apresentar as respostas finais, por
a
e
b
. D4 e T7 utilizaram x´e x´´. D6
usou as representações x
I
e x
II
e depois substituiu-as por
a
e
b
.
Para determinar
x
c
, os alunos substituíram f(x) por 3, na função dada pela
representação “f(x)=x
2
-6x+8”, formulando, assim, a equação “x
2
-6x+8 =3” (
I5
) e
89
calcularam x
c
utilizando os procedimentos necessários (
I4
).
Com isso, os alunos
determinaram o valor da variável independente dado o valor da dependente (
F3
).
Notamos, dessa forma, que os integrantes das duplas D3, D4, D6 e do trio T7
reconhecerem a correspondência e dependência entre as variáveis presentes na
questão (
F1
), mobilizando, adequadamente, as habilidades necessárias a sua
resolução.
A dupla D5 também mobilizou tais habilidades, porém seu protocolo traz
dados diferentes dos que encontramos nos outros.
Quadro 14. Protocolo da dupla D5 – Questão 3.
Observamos que os alunos de D5, diferentemente dos demais, começaram a
pensar na questão observando no gráfico o ponto (0, 8). No diálogo da dupla, no
momento em que seus integrantes resolviam a questão, percebemos que calcularam
o valor de x quando y igual a 8, “confirmando” a informação que haviam observado
no gráfico. E pensando nessa relação de dependência e correspondência entre as
variáveis (
F1
) escreveram:
90
“f(x) = y
x
2
– 6x +8 = y
x
2
–6x + 8 = 3
x
2
– 6x + 5 = 0”
A princípio, os alunos tentaram resolver a equação x
2
– 6x + 5 = 0 utilizando o
método da “Soma e Produto das raízes”, mas como não conseguiam descobrir tais
raízes partiram para o cálculo do “delta” da equação. Apesar de terem apagado as
contas, identificamos o que fizeram por meio do áudio da gravação realizada no dia
da aplicação do questionário. Os alunos não lembravam, ao certo, qual era a fórmula
usada para calcular o delta da equação. Durante a conversa que tiveram no
momento da resolução da questão, percebemos que utilizaram “
∆
= -b
2
+4ac”. Além
do equívoco apresentado na fórmula, ocorreram, também, erros de cálculo. Um dos
integrantes da dupla dizia: “
∆
= -(-6)
2
+4.1.5 = 36+20 =56”. Ao encontrar 56 , o
aluno disse:
D5: “Que horror! Deve ter alguma coisa errada! Vamos tentar de novo por soma e
produto”.
Na segunda tentativa, os estudantes conseguiram determinar as raízes da
equação, encontrando, assim, “x
1
= 5” e “x
2
= 1”.
Seguros das respostas encontradas, analisaram o gráfico e decidiram que
x
c
deveria ser 5. Porém, percebemos que os alunos confundiram a abscissa do ponto C
com suas coordenadas, pois, quando foram apresentar as respostas finais,
escreveram: “x
c
= (5, 3)”. Durante a entrevista conversamos sobre esse fato e
notamos que os alunos compreendiam que
x
c
era apenas a abscissa do ponto C, e
não o ponto. Eles se justificaram dizendo que tal fato ocorreu por falta de atenção.
Em nossas hipóteses, quanto às estratégias de resolução dos alunos para a
questão 3, não pensamos que eles pudessem utilizar o x do vértice da parábola para
pensar nas raízes da função. A dupla D5 fez isso. Em entrevista, os alunos
disseram:
D5: “O x do vértice é o ponto médio entre as raízes da função.”
PP:”Mas como vocês sabem que ‘a’ e ‘b’ distam ‘1’ do x do vértice? Não poderia, por
exemplo, ser ’0,5’?”
Houve um momento de silêncio, e, após pensar um pouco, um dos alunos
respondeu:
91
D5: “Ah, é que se antes do ‘a’ é ‘1’ e depois do ‘b’ é ‘5’, e ‘3’ é a média das raízes
então ‘a’ só pode ser ‘2’ e ‘b’ ‘4’.”
Notamos que, na ocasião da elaboração das respostas, os alunos não haviam
pensado sobre a distância que estabeleceram entre as raízes e o x do vértice.
Decidiram que seria ‘1’ sem analisar, previamente, os valores que haviam
encontrado para as raízes da equação x
2
– 6x + 5 = 0. Com a pergunta que fizemos,
durante a entrevista, os alunos perceberam que saber o x do vértice não era
suficiente para determinar as raízes da função.
Concluímos que a facilidade dos cálculos com os números inteiros, aliada à
intuição dos alunos, os fez pensar que as raízes da função seriam 2 e 4.
Diante das respostas encontradas na questão 3, observamos que a
representação gráfica, dada no enunciado da questão, influenciou as estratégias de
resolução adotadas pelos alunos para determinar as incógnitas
a
,
b
e
x
c
. Porém,
mesmo com duas representações distintas da função considerada, os alunos de D1
e D2 não demonstraram perceber a relação de dependência e correspondência
entre as variáveis (
F1
), pois não relacionaram a abscissa do ponto C à ordenada 3
(
F3
). Pontuamos que os exercícios encontrados no material didático utilizado, no
Ensino Médio, por esses alunos exploram, em sua maioria, os pontos de intersecção
de uma função com os eixos coordenados. Assim, apesar de essas duplas não
demonstrarem que reconheceram a correspondência entre as variáveis,
conseguiram encontrar
a
e
b
pela influência dos exercícios já realizados em sua
aprendizagem matemática.
De forma geral, a maioria dos estudantes interpretou
a
,
b
e
x
c
como entes
que poderiam assumir valores específicos (
I2
), e determinou, por meio da
manipulação necessária, os valores dessas incógnitas (
I4
). Notamos, ainda, nas
respostas dos alunos, o emprego dos símbolos x´, x´´, x
1
, x
2
, geralmente utilizados
para representar as raízes de uma equação, ou os zeros de uma função do segundo
grau. Apesar de utilizarmos no enunciado uma representação não convencional para
as raízes da função, a maioria dos estudantes interpretou, corretamente, as variáveis
a
e
b
como incógnitas, associando-as aos zeros da função. Apenas as duplas D2 e
D5 não identificaram, imediatamente, que tais letras representavam às raízes da
função dada.
92
Assim, pontuamos que a variável como incógnita não apresenta dificuldades
para os alunos, pois esses mobilizaram as habilidades de interpretação, de
manipulação e de simbolização necessárias à sua compreensão.
4. 4 QUESTÃO 4
Transcrevemos, abaixo, a questão 4.
Nosso objetivo com essa questão era explorar a variável c numa situação que
envolvesse uma relação funcional e verificar a capacidade de interpretação,
simbolização e manipulação dos alunos diante dos dados do problema.
No que se refere ao item a), a dupla D1 respondeu:
“A = b. h
A = 60. 50
Questão 4:
A área representada abaixo ilustra as medidas de um terreno retangular destinado à
construção de um condomínio, onde será colocado um jardim, de formato quadrado, com
c
metros de medida
para seu lado. Analisando a figura que representa esta situação, responda às
questões:
c
60
50
a) Como poderia ser representada, por meio de uma expressão algébrica, a área dest
inada
ao condomínio desconsiderando a área do jardim?
b) O que a letra c representa no problema?
c) Que valores c pode assumir?
d) Quais são os valores de c
para os quais a área ocupada pelo jardim é menor do que
16m
2
?
93
A = 3000m
2
”
Em entrevista com a dupla, questionamos a resposta apresentada.
Observamos que a dupla D1 grifou, no momento em que resolvia essa questão, a
palavra “desconsiderando”
presente no enunciado. Durante a entrevista, lemos
novamente o enunciado e perguntamos:
PP: “A área que vocês calcularam representa o que é solicitado?”
D1: “Não, porque teria que tirar a área do jardim. E a gente ainda grifou isso!”
PP: “Eu percebi. Então como ficaria?
D1: “Seria ‘3000’ menos ‘c
2
’.”
Pelo diálogo, notamos que esses alunos não responderam corretamente o item
a) na ocasião em que elaboravam suas respostas no questionário, mas, em
entrevista, demonstraram que perceberam o erro.
A dupla D2 respondeu no item a) algo semelhante ao que a dupla D1 fez:
“B.h = 50. 60 = 3000m
2
”
Novamente, observamos uma resposta numérica, como as já apresentadas
nas outras questões por essa dupla, demonstrando que, de forma geral, os alunos
de D2 não utilizaram variáveis para representar o que era solicitado nos problemas,
mesmo que os enunciados fizessem menção à utilização de expressões algébricas.
Diante de tal fato, notamos a importância de trabalhos como os de Tinoco et al
(2007) em que os autores relatam os resultados de uma pesquisa a respeito do
desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica no ensino básico,
começando nas séries iniciais. Esses demonstram a necessidade de uma
aprendizagem e um ensino mais significativos em Álgebra. Os autores defendem
que a noção de variável e a de equivalência deveriam ser construídas desde as
primeiras séries do Ensino Fundamental, ao longo do estudo da aritmética.
Acreditamos que os alunos da dupla D2 não desenvolveram a noção de
variável durante o ensino básico, por isso não utilizam expressões com variáveis
como resultado de contagens ou de medições, pois para eles tais expressões não
são significativas. As experiências de Tinoco (1993; 1996) num projeto denominado
Projeto Fundão, do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de
Janeiro, mostram que atividades que exploram o pensamento proporcional podem
contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico, pois incluem senso de
co-variação, comparações múltiplas e inferência. Além disso, segundo a autora,
94
muitas situações do cotidiano e da escola elementar envolvem proporcionalidade o
que possibilita uma ponte adequada e necessária entre experiências e modelos
numéricos comuns e as relações mais abstratas tratadas em Álgebra. (Cf. TINOCO
et al, 2007, p. 4).
Como previmos em nossa análise preliminar, a dupla D3 e o trio T7 utilizaram,
além da variável c, presente no problema, uma outra letra, A, para representar o que
era solicitado no item a) e escreveram a sentença “A
c
= 3000 – c
2
”, mobilizando,
assim,
F6
(simbolizar um relacionamento funcional baseado na análise dos dados de
um problema).
A dupla D4 também escreveu algo semelhante à resposta anterior.
“Ac = 50.60 = 3000
A
T
= 3000 – c
2
”
Os alunos de D3, D4 e T7, além de mobilizarem a habilidade
F6
,
reconheceram a dependência e correspondência entre as variáveis presentes no
contexto do problema, o que caracteriza, nesse caso, o emprego da habilidade
F1
.
Já D5 respondeu:
“A
T
– A
J
= (50.60) – c
2
”
Nessa igualdade, observamos que os alunos dessa dupla não expressam o
relacionamento funcional que notamos nas duas respostas anteriores. Eles parecem
ter interpretado A
T
e A
J
como incógnitas que assumem, respectivamente, os valores
50.60 e c
2
e, identificado c como um número genérico (
G2
), mas não demonstraram,
nesse item, uma percepção do relacionamento entre a variável c e a área solicitada.
Já a dupla D6 escreveu a seguinte expressão “60. 50 – c
2
” demonstrando,
assim, o emprego da habilidade
G5
(simbolizar afirmações genéricas, regras ou
métodos) e a interpretação da variável c como um número genérico (
G2
).
As respostas apresentadas para o item b) foram:
D1: “A letra c representa um dos lados do quadrado.”
D2: “A área do jardim.”
D3: “O lado do quadrado que forma o jardim.”
D4: “Um lado do quadrado do jardim.”
D5: “O lado do terreno destinado à construção do jardim.”
D6: “Representa a medida do lado do jardim.”
T7: “O lado do jardim, c, representa a variável da qual depende o valor de A.”
95
A partir das respostas encontradas, observamos que a única dupla que
interpretou c de forma incorreta foi a dupla D2. Em entrevista, questionamos os
alunos sobre como calcular a área de um quadrado e um deles respondeu: “Lado
vezes lado.” Solicitamos, então, que calculassem a área do quadrado representado
na figura da questão 4 e o mesmo integrante da dupla disse: “c vezes c, c ao
quadrado.” Perguntamos, em seguida:
PP: “Então o que c representa no problema?”
D2: “O lado do quadrado.”
PP: “E por que vocês escreveram que c era a área do jardim?”
D2: “Acho que não prestamos atenção naquele dia.”
Uma outra resposta que nos chamou a atenção foi a do trio T7, que reforça o
que já havíamos identificado no item a). Os integrantes do trio reconheceram uma
relação funcional presente no problema e interpretaram c como uma variável
independente. Questionamos, em entrevista, o que a variável A, citada na resposta,
representaria na situação dada, já que no item a) eles haviam utilizado A
c
. Os alunos
responderam: “ ’A’ representa a área do jardim.”
A partir das respostas apresentadas no item b), concluímos que a importância
dada aos elementos geométricos fez com que a maioria dos alunos definisse c como
o lado do quadrado, não identificando essa variável como a representação de um
número, mas sim de um segmento. As únicas respostas que não indicam essa
interpretação são as da dupla D6 e do trio T7. Observamos que ao escreverem a
palavra “medida”, o que não apareceu nas demais respostas, os integrantes de D6
associaram à variável c a um número e não ao segmento que representa o lado do
quadrado. Ao expressar que c é a variável da qual depende a área do jardim, os
integrantes de T7 demonstraram, claramente, que interpretaram c como uma
variável relacionada e que mobilizaram, já no item b), a habilidade de interpretação
F1
(reconhecer a correspondência entre as variáveis relacionadas
independentemente da representação utilizada).
No item c) - “Que valores c pode assumir?” - encontramos algumas respostas
que não havíamos previsto na análise preliminar.
A dupla D1 respondeu:
“1
≤
c
≤
60”
96
Em entrevista, questionamos os alunos sobre o intervalo dado como resposta
e descobrimos que eles pensaram em c como um número inteiro. Perguntamos,
então:
PP: “c pode assumir um valor não inteiro?”
D1: “Ah, pode ser fração.”
PP: “Então c pode representar um número inteiro e também uma fração?”
D1: “Isso!”
PP: “Mais algum número?”
D1: “Acho que não.”
PP: “Por que maior ou igual a 1? ‘c’ não poderia ser ‘0,5’, por exemplo?”
D1: “Poderia, mas seria um jardim muito pequeno, só caberia uma flor.”
PP: ”Mas qual é a unidade de medida de c?”
Os alunos procuraram a informação no enunciado e um deles respondeu:
D1: “Está em metros. Ah, então até daria um jardim com algumas flores. (risos)”
PP: “E por que ‘60’ é o maior valor que c pode assumir?”
D1: “Porque é o maior lado do retângulo.”
PP: “Então a medida de c poderia ser, por exemplo, ‘54’ metros?”
D1: “Ah, não! Porque aí não caberia dentro do retângulo, porque a altura é 50
metros.”
PP: “A posição do quadrado na figura interfere no maior valor que c pode assumir?”
D1: “Acho que não!”
PP: “Vocês haviam pensado sobre isso?”
D1: “Não!”
Notamos pelo diálogo, que o contexto do problema influenciou a resposta de
D1, principalmente, no que se refere a uma possível medida para o lado do jardim,
visto que os alunos desprezaram os valores de c menores do que 1, pois acharam
que o jardim ficaria pequeno demais. Porém, a posição do quadrado não interferiu
na análise que a dupla fez dos possíveis valores que c poderia assumir.
Como já havíamos identificado no item b), a dupla D2, continuou pensando na
variável c como sendo a representação da área do quadrado (jardim) ao invés do
lado dessa figura, pois escreveu no item c):
“Qualquer um, sendo menor do que 60x50”
Dessa forma, os integrantes de D2 atribuíram a c uma medida de área e não
de comprimento. Logo, a falta de atenção que os alunos alegaram, quando
97
questionamos a resposta dada no item b), parece, na verdade, não ter relação com
a resposta dada de forma incorreta, pois os estudantes empregaram o mesmo
raciocínio nos dois itens.
D3 respondeu:
“c está entre 0 e 50 0 < c
≤
50”
Em entrevista com essa dupla, perguntamos:
PP: “O que c representa para vocês? c é um número inteiro?”
Seguem abaixo as respostas de seus integrantes:
D3-1: “Sim, só pode ser inteiro porque se você está trabalhando com uma figura
geométrica, então tem que ser inteiro!”
D3-2: “Não! Pode ser quebrado.”
O aluno 1 pensou um pouco e logo concordou com o aluno 2.
PP: “ ‘c’ pode ser, por exemplo, ‘ 3 ’?”
D3-1: “Pode.”
D3-2: “Na verdade, pode ser qualquer número real não negativo e diferente de zero.”
Notamos que a presença de elementos da Geometria, a princípio, influenciou
um dos alunos da dupla o qual não havia aceitado que c pudesse assumir valores
não inteiros. Mas com a discussão ocorrida no momento da entrevista, ele se
convenceu de que c poderia representar qualquer número real estritamente positivo.
Observamos, ainda, que, assim como os alunos de D1, os alunos de D3 não
pensaram na posição do quadrado na análise que fizeram para encontrar o intervalo
que representaria os possíveis valores de c.
Já a dupla D4 respondeu para o item c) algo que não havíamos previsto em
nossa análise preliminar:
“0 < c
2
< 3000
0 < c < 300”.
Em entrevista com essa dupla, perguntamos como haviam chegado ao 300.
Os alunos explicaram que multiplicaram a desigualdade por 30 para encontrar um
número que tivesse como raiz quadrada um resultado inteiro. Assim, fizeram
3000.30 = 90000 e 90000 = 300. Durante a entrevista, os alunos perceberam que
tal estratégia não era correta, pois não haviam multiplicado todos os membros da
desigualdade por 30, e sim apenas o 3000. Além disso, observamos que os
integrantes dessa dupla não analisaram criticamente o intervalo que encontraram
98
para a variável c, preocupando-se unicamente em utilizar procedimentos aritméticos
que lhes fossem convenientes para encontrar como resultado um número inteiro.
Perguntamos aos integrantes de D4:
PP: “c é um número inteiro?”
D4: “É, só pode ser inteiro e positivo.”
PP: “Por que?”
D4: “Porque ele está relacionado à área.”
PP: “c poderia ser, por exemplo, ½ ou 3 ?”
D4: “Ah, poderia, mas é difícil trabalhar com esses números.”
Percebemos nos cálculos da dupla, e no diálogo, que os alunos preferem os
números inteiros pela facilidade que esses trazem no momento de realizar
operações. Os estudantes admitem que c pode representar um número não inteiro,
mas no momento de citar exemplos ou fazer cálculos fazem opção pelos números
naturais. Além disso, percebemos que o contexto do problema, favoreceu essa
preferência, pois os alunos justificaram suas escolhas associando a variável c a
elementos geométricos como o lado de um quadrado, ou ainda, a área do jardim,
demonstrando, assim, que, provavelmente, houve uma certa influência do uso de
números naturais no processo de ensino e aprendizagem de Geometria pelo qual
eles passaram.
D5 respondeu:
“c
2
< 3000
c < 3000 ”
Durante a entrevista com a dupla, observamos que seus integrantes também
haviam pensado em c como um número inteiro estritamente positivo menor que
3000 , apesar disso não ter sido explicitado em sua resposta.
Também a dupla D6 respondeu:
“Tem que ser menor que a raiz quadrada de 3000
c < 3000
Sendo que, devem ser natural e diferente de 0 (zero).”
Observamos que as respostas acima não foram previstas em nossa análise
preliminar. Os alunos dessas duplas não perceberam que ao comparar a área do
quadrado (jardim) com a do retângulo estavam encontrando um intervalo
99
inadequado para a variável c. Tal estratégia seria válida se o terreno destinado à
construção do condomínio fosse quadrangular.
Na resposta de D6, identificamos que os alunos interpretaram c como um
número natural. Em entrevista, questionamos:
PP: “c tem que ser um número natural?”
D6: “É, porque como é área...”
PP: “Então não pode ser 2,5;
2
; 4/3...?”
D6: “Ah é! Só não pode ser negativo! Então a resposta seria: reais maiores do que
zero.”
Novamente, identificamos, na primeira resposta do diálogo, a associação,
realizada pelos alunos, dos números inteiros estritamente positivos com a presença
de elementos geométricos no problema.
Apresentamos, a seguir, a resposta de T7 para o item c) da questão 4.
Quadro 15. Protocolo do trio T7 – Questão 4 – item c).
Observamos que os integrantes do trio dispensaram um bom tempo durante a
resolução desse item por conta da posição do quadrado que representava o jardim.
Como havíamos previsto na análise preliminar, os alunos pensaram na diagonal do
quadrado em função de c para delimitar o intervalo de variação dessa variável (
F5
).
Diferentemente dos demais alunos que manifestaram em suas falas e
respostas a preferência por números inteiros positivos, os integrantes de T7
interpretaram c como um número real estritamente positivo pertencente aos
intervalos por eles determinados. Em entrevista, questionamos:
PP: “Independente da posição que o quadrado esteja e da localização dele no
retângulo, qual dos dois intervalos seria o mais adequado para representar os
possíveis valores de c?”
Os alunos discutiram e chegaram a conclusão de que o intervalo 0 < c
≤
25
2
seria o melhor, pois seria o “mais preciso”. Assim, o trio T7 mobilizou a
habilidade de interpretação
F4
(reconhecer a variação conjunta das variáveis
100
envolvidas em uma relação independentemente da representação utilizada) e a
habilidade de manipulação
F5
(determinar o intervalo de variação de uma variável).
De forma geral, os alunos mobilizaram a habilidade
F1
(reconhecer a
correspondência entre as variáveis relacionadas independentemente da
representação utilizada) para responder o item c) da questão 4. Porém, faltou
criticidade com relação aos resultados encontrados. Muitos estudantes não
demonstraram preocupação com o contexto do problema, e sim apenas com o
processo necessário para chegar a um intervalo para expressar os possíveis valores
de c, de preferência, utilizando números inteiros nos cálculos realizados. Além disso,
os elementos geométricos presentes no problema influenciaram as respostas dos
alunos, de maneira que todos admitiram para c apenas valores positivos.
Concluímos, ainda com relação ao item c), que o trio T7 encontrou o mais
preciso intervalo de variação de c, e que seus integrantes interpretaram c como um
número real. Os demais alunos apesar de citarem, durante as entrevistas, que a
variável c poderia assumir valores não inteiros, não explicitaram isso em suas
respostas e observamos que essa preferência ocorreu, em parte, por conta da
associação que os estudantes fizeram entre esses números e a presença de
elementos geométricos no problema. Tal fato pode ser verificado nas justificativas
que os alunos davam quando questionávamos a escolha do domínio de variação de
c como sendo o conjunto
dos inteiros estritamente positivos
.
Nos resultados da pesquisa de Trigueros e Ursini (2001) sobre a concepção
de professores do Ensino Médio a respeito do conceito de variável encontramos a
seguinte observação: “Sua descrição de intervalos era sempre feita em termos de
números inteiros, isto é, os professores têm dificuldades com a idéia de continuidade
na reta real (
F5
).” (TRIGUEROS; URSINI, 2001, p.331, tradução nossa.)
É compreensível, portanto, que alunos do Ensino Médio prefiram os números
inteiros, já que, em muitos casos, são esses os números preferidos de seus
professores, mesmo quando uma área da Matemática, como é o caso da Geometria,
favoreça o emprego de números irracionais de forma significativa nos problemas
trabalhados em sala de aula.
Quanto as respostas apresentadas para o item d), encontramos no protocolo
da dupla D1 os seguintes dados:
101
Quadro 16. Protocolo da dupla D1– Questão 4 – item d).
Observamos que apesar de não simbolizarem a desigualdade c
2
< 16 (
G5
), os
integrantes dessa dupla mobilizaram as habilidades de manipulação
G4
(manipular
a
variável simbólica) e
I4
(determinar o termo desconhecido que aparece na
equação)
determinando, assim, o intervalo de variação de c (
F5
).
Diante do intervalo apresentado no item d), perguntamos, em entrevista:
PP: “Quando vocês escreveram como resposta o intervalo ‘0 < c < 4’ vocês
pensaram em c como um número inteiro pertencente a esse intervalo, como fizeram
no item anterior?”
D1: “Sim, mas também valem as frações.”
PP: “Então, para vocês, c pode assumir valores inteiros ou, ainda, valores como
‘0,5’, ‘1/3’, etc?”
D1: “Isso!”
PP: “Em algum momento vocês pensaram em outros valores para c que não fossem
inteiros ou frações?”
D1: “Não.”
Observamos pelo diálogo que, novamente, os integrantes de D1 admitiram
que a variável c poderia assumir apenas valores inteiros ou fracionários, como já
haviam declarado no item c).
A interpretação de c como um número inteiro positivo também foi apresentada
pelos alunos das duplas D4, D5 e D6. Nos protocolos dessas duplas pudemos
visualizar as seguintes respostas:
Resposta de D4: “c < 4”
Resposta de D5: “{ 4, 3, 2, 1} “
Resposta de D6: “Deve ser menor que 4, sendo que natural e diferente de 0.“
102
Em entrevista com os integrantes dessas duplas, notamos que todos eles, na
ocasião da investigação por meio do questionário, pensaram em c como um número
natural pertencente ao intervalo 0 < c < 4. Porém, após os questionamentos que
fizemos no momento em que discutíamos o item c), durante as entrevistas, os fez
concluir que suas respostas para o item d) poderiam ser complementadas, ou seja,
que c poderia assumir outros valores além dos números inteiros estritamente
positivos menores do que 4.
Identificamos na resposta de D4, apresentada anteriormente, a mobilização
da habilidade de simbolização
G5
e de manipulação
F5
, enquanto que, nas demais
respostas, observamos, apenas, essa última habilidade, manifestada de formas
diferentes daquela que previmos na análise preliminar, quando tínhamos como
hipótese que os alunos utilizariam intervalos para representar suas respostas.
A dupla D3 escreveu como resposta o intervalo: “0 < c < 4”. Em entrevista,
questionamos os alunos sobre os possíveis valores que c poderia assumir e
recebemos como resposta que c poderia ser qualquer número real entre zero e
quatro. Acreditamos que essa reposta foi influenciada pela discussão que tivemos
com os integrantes dessa dupla quando os questionamos sobre a resposta dada no
item c), pois, a princípio, um dos alunos da dupla concluiu que c deveria ser inteiro e
positivo pois representava o lado do quadrado.
Novamente, ao contrário dos demais, os integrantes do trio T7 interpretaram c
como um número real. Em seu protocolo, encontramos a seguinte resposta:
“A
jardim
< 16m
2
0 < c < 4.”
Já a dupla D2 continuou a apresentar respostas puramente numéricas. Nesse
item da questão 4, os alunos responderam:
“2x7 = 14 m
2
.”
Novamente, notamos que os alunos interpretaram c como a área do quadrado
e durante a discussão entre eles, no momento em que respondiam o item d),
concluíram que precisavam apresentar dois números que multiplicados resultassem
num produto menor do que 16 e acreditaram, assim, que 14 representava um
possível valor para c. Percebemos, assim, que os alunos não mobilizaram a
habilidade
G2
, isto é, não interpretaram c como um número genérico, apresentando
apenas um possível valor, como um exemplo, de acordo com o entendimento que
tiveram, ou seja, o de que c representava a área do quadrado (jardim).
103
Diante dos dados encontrados no item d), concluímos que a maioria dos
alunos mobilizou a habilidade
F5
(determinar o intervalo de variação de uma
variável), porém, com exceção dos integrantes do trio T7, os estudantes
interpretarem c como um número inteiro estritamente positivo.
Notamos que o contexto do problema, com a presença de elementos
geométricos, influenciou a interpretação dos alunos a respeito dos possíveis valores
que c poderia assumir. Tal fato, pode estar relacionado ao processo de ensino e
aprendizagem, no âmbito da Geometria, pelo qual esses alunos passaram durante o
Ensino Médio. Novamente, observamos que tal área pode favorecer a exploração de
números irracionais de uma forma significativa para que os estudantes aceitem
melhor a existência desses números.
Ao contrário do que previmos na análise preliminar, poucos alunos
registraram em seus protocolos as manipulações necessárias para encontrar o
intervalo de variação de c. Provavelmente, pelo fato do item d) solicitar a resolução
de uma desigualdade simples ( c
2
< 16). Porém, mesmo assim, acreditamos que as
habilidades de manipulação
G4
e
I4
foram mobilizadas de alguma forma para que os
estudantes pudessem determinar o intervalo de variação de c (
F5
).
4. 5 QUESTÃO 5
Transcrevemos, a seguir, a questão 5.
Questão 5:
Observe como se forma a seqüência de figuras abaixo:
a) Desenhe a próxima figura. Quantos quadradinhos formam o contorno desta figura?
OBS: Considere como contorno da figura os quadradinhos que não estão em destaque.
b) Desenhe a 5ª figura. Quantos quadradinhos formam o contorno desta figura?
c) Escreva uma expressão que represente a quantidade de quadradinhos do contorno de uma
figura qualquer da seqüência.
d) Quantos quadradinhos existem no contorno de uma figura qualquer da seqüência dada?
e) Há alguma relação entre as respostas apresentadas por vocês nos itens c) e d)? Se houver,
explique tal relação.
104
Recordamos que nosso objetivo, com a questão 5, era verificar se os alunos
reconheceriam um padrão na seqüência apresentada e se utilizariam variáveis para
generalizar a contagem dos quadradinhos que compõem o contorno das figuras.
Dessa forma, procuramos explorar o aspecto da variável como número genérico.
Como havíamos previsto na análise preliminar, os alunos responderam os
itens a) e b) sem apresentar dificuldades, reconhecendo o padrão apresentado na
seqüência (
G1
). Todos os estudantes que participaram da investigação responderam
corretamente esses dois itens.
Diante do relacionamento existente entre as respostas dos itens c), d) e e),
apresentamos, a seguir, a análise dos três de forma conjunta para cada um dos
protocolos obtidos.
No item c), encontramos respostas distintas daquelas que havíamos previsto
na análise preliminar. A dupla D1 respondeu:
“2x – 2 + y = n
x = altura
y = largura
n = n
o
de quadradinhos”
Apesar de utilizarem variáveis para escrever uma expressão que
representasse a quantidade de quadrinhos de uma figura qualquer da seqüência
dada, os alunos não apresentaram uma sentença que possibilitasse esse cálculo a
partir da posição da figura na seqüência, pois seria necessário saber a altura e o
comprimento (“largura”) da figura para encontrar o número de quadradinhos de seu
contorno. Observamos que a altura e o que os alunos denominaram como largura
seriam medidas referentes ao quadrado. Conseguimos perceber isso, devido a
resposta dada por eles no item d), pois utilizaram a fórmula apresentada em c) e
substituíram x e y por 14, com a intenção de exemplificar o número de quadradinhos
da figura com medidas 14
x
14.
Em entrevista, questionamos:
PP: “Utilizando a sentença que vocês elaboraram, quantos quadradinhos haveria no
contorno da vigésima figura da seqüência?”
Os alunos pensaram um pouco e um deles respondeu:
D1: “É só substituir o x e o y por ‘20’.”
PP: “Vamos testar a fórmula que vocês elaboraram para calcular o número de
quadradinhos da primeira figura. O que devemos fazer?”
105
D1: “É só substituir por ‘1’ o x e o y.”
Fizemos os cálculos com os alunos e esses notaram que tal fórmula não
forneceria o número de quadradinhos do contorno da primeira figura.
Percebemos que os integrantes de D1 não deduziram, de forma correta, uma
regra para generalizar o padrão apresentado, não relacionando a posição de uma
figura qualquer da seqüência dada com a quantidade de quadradinhos de seu
contorno. Tal fato demonstra que eles não mobilizaram as habilidades
G3
(deduzir
regras e métodos gerais em seqüências e famílias de problemas) e
G5
(simbolizar
sentenças genéricas, regras ou métodos).
A resposta da dupla, para o item d), foi:
“2x – 2 + y = n
2.14 –2 +14 = n
28 – 2 +14 = n
26 +14 = n
n = 40
40 quadradinhos formam o contorno da nova figura.”
Questionamentos, em entrevista:
PP: “Qual seria a figura que contém 40 quadradinhos em seu contorno?”
D1: “A que tem medidas ‘14’ por ‘14’.”
PP: “Certo, mas qual seria a posição dela na seqüência? É a sexta? A sétima? A
oitava? Qual seria?”
Depois de algum tempo, um dos alunos disse:
D1: “Teria que ir calculando até chegar a ‘40’.”
PP: “Por que vocês escolheram ‘14’ para x e y? Não poderia ser ‘7’, ‘10’ ou qualquer
outro valor já que a questão solicita a quantidade de quadradinhos de uma figura
qualquer?”
D1: “Acho que poderia, é que a gente só quis dar um exemplo.”
A falta da generalização necessária à resolução da questão foi confirmada na
resposta dos alunos, no item e):
“A expressão representada no item c) foi necessária para responder (calcular)
o item d).”
Observamos, assim, pelas respostas e pelos diálogos, que esses estudantes
não utilizaram as variáveis como números genéricos (
G2
) e apesar de reconhecerem
um padrão na seqüência dada, não conseguiram generalizá-lo.
106
A resposta da dupla D2 para o item c) foi:
“24 quadradinhos”
Observamos, pela entrevista, que a intenção dos alunos era apresentar no
item c) o número de quadradinhos do contorno da figura seguinte àquela citada no
item b), porém, como cometeram erros no momento de realizar o cálculo,
responderam 24 ao invés de 22. Utilizando o mesmo raciocínio, apresentaram, no
item d), a resposta:
“Maior que 24”
No item e), escreveram a seguinte conclusão:
“Sim, pois na seqüência dada vai sempre aumentando o número de
quadradinhos; portanto a próxima tem que ser maior que 24.”
Diante das respostas encontradas, notamos que apesar de terem reconhecido
um padrão na seqüência (
G1
), os alunos não conseguiram generalizá-lo e não
utilizaram variáveis para expressar uma regra que descrevesse tal padrão. Tal fato
demonstra, novamente, a dificuldade dessa dupla em expressar respostas em
linguagem algébrica e a falta de compreensão do conceito de variável.
Já a dupla D3, como podemos observar em seu protocolo, relacionou a
quantidade de quadradinhos do contorno das figuras apresentadas na seqüência
com os termos de uma progressão aritmética de razão 3 e primeiro termo igual a 7.
Quadro 17. Protocolo da dupla D3 – Questão 5 – itens c), d) e e).
107
Observamos, novamente, respostas distintas nos itens c) e d) apesar de
solicitarem a mesma coisa. Como previmos na análise preliminar, acreditamos que a
palavra “quantos” no início da pergunta do item d) fez com que os alunos
associassem sua resposta a um único resultado numérico. Notamos que, no item c),
a dupla D3 utilizou a variável n para representar o número de quadradinhos no lado
de cada figura na seqüência, enquanto, no item d), os alunos admitem que n
representa a posição de cada figura na seqüência.
Em entrevista, questionamos:
PP: ”Utilizando a fórmula ‘a
n-2
= a
1
+ (n-3).r’, como podemos encontrar a quantidade
de quadradinhos que compõem o contorno, por exemplo, da vigésima figura dessa
seqüência?”
A dupla ficou em silêncio e após algum tempo de reflexão um dos alunos
respondeu:
D3-1: “Usando essa fórmula você precisa saber quantos quadradinhos forma o lado
da vigésima figura, mas com a fórmula ‘a
n
= a
1
+ (n-1).r’ você pode calcular direto a
quantidade de quadradinhos do contorno, é só substituir n por ‘20’.”
PP: “Vocês acham que a resposta do item c) se aplica a questão do item d)?”
D3-2: “Pensando bem agora, acho que poderia, porque falar ‘quantidade de
quadradinhos’ e ‘quantos quadradinhos’ é a mesma coisa. Quando respondemos
essa questão a gente pensou, no item c), na quantidade de quadradinhos que
formavam o lado de cada figura e, no item d), no número da figura na seqüência.”
PP: “O número da figura é a posição da figura na seqüência?”
D3-2: “Isso. Por exemplo, a quinta figura é a que tem 7 quadradinhos no lado, não é
a sétima que tem sete, assim dá para usar qualquer uma das fórmulas, porque a
posição é a quantidade de quadrados no lado menos ‘2’”.
PP: “Por que vocês deram como resposta, no item d), a quantidade de quadradinhos
do contorno da sétima figura? Não poderia ser da oitava? Da nona? Ou de qualquer
outra?”
D3-1: “Poderia, mas para mostrar melhor a gente deu um exemplo ao invés de
repetir a resposta do item c), porque senão ficaria muito pobre.”
Percebemos pelo diálogo que além de encontrar uma relação entre a posição
da figura na seqüência e a quantidade de quadradinhos que compõem o contorno de
uma figura qualquer, os alunos também pensaram na relação existente entre a
108
quantidade de quadrados no lado de cada figura e sua posição na seqüência. Essa
última relação pode ser identificada, claramente, na resposta do item e).
Notamos que, após nossos questionamentos durante a entrevista, os
integrantes da dupla perceberam que poderiam repetir no item d) a resposta dada
em c), mas na ocasião da resolução acharam melhor dar um exemplo numérico para
demonstrar a validade da fórmula considerada. Tal fato foi previsto na análise
preliminar. Acreditamos que a palavra “quantos”, apresentada no início do item d),
influenciou os alunos, os quais associaram a pergunta a uma resposta numérica,
demonstrando, assim, certa insegurança em apresentar a sentença do item c) como
uma possível resposta para a questão.
Apesar da resposta numérica, dada em d), acreditamos que os alunos
mobilizaram todas as habilidades necessárias à resolução da questão, pois
reconheceram o padrão (
G1
) na seqüência dada, deduziram uma regra (
G3
),
utilizaram a variável n como um número genérico (
G2
) e simbolizaram a
generalização do padrão apresentando a sentença ‘a
n-2
= a
1
+ (n-3).r’ (
G5
).
Mesmo não explicitando que n deveria ser maior ou igual a 3 na sentença
dada, percebemos que ao relacionarem a quantidade de quadrados no lado de cada
figura (n) com a posição da figura na seqüência, os integrantes de D3 fixaram esse
domínio para n, pois em seus diálogos a primeira figura ocupava a posição 1, a
segunda a posição 2, e assim por diante. Logo, se representarmos a posição por p,
temos, de acordo com a relação estabelecida pelos alunos, que p = n –2; e sendo p
um número natural maior ou igual a 1 fica determinado, assim, que n
≥
3.
A seguir, apresentamos o protocolo da dupla D4, no que se refere aos itens
c), d) e e).
109
Quadro 18
.
Protocolo da dupla D4 – Questão 5 – itens c), d) e e).
Observamos que essa dupla utilizou três variáveis para escrever uma
expressão que representasse a quantidade de quadradinhos do contorno de uma
figura qualquer da seqüência dada, porém na relação “T – P = C” a variável C não
está associada a posição da figura na seqüência, mas sim a quantidade total de
quadradinhos (T) que formam a figura e a quantidade daqueles que estão
destacados (P). Com isso, apesar de reconhecerem um padrão na seqüência (
G1
)
os alunos não conseguiram generalizá-lo, limitando-se apenas ao relacionamento
dos valores correspondentes a “T” e “P” para calcular o número de quadradinhos do
contorno.
Notamos que além da relação “T – P = C”, os integrantes de D4 também
escreveram “3L – 2 = C” relacionando, assim, a variável L (medida, em
quadradinhos, do lado de cada figura, como foi identificado na entrevista) com a
variável C. Em entrevista, questionamos:
PP: “Qual dessas sentenças representa a quantidade de quadradinhos de uma
figura qualquer dada na seqüência?”
110
D4: “As duas podem ser usadas para calcular a quantidade de quadradinhos. Mas
uma usa o número de quadradinhos que formam a figura toda e a outra o número de
quadradinhos no lado da figura.”
PP: “Por que L é igual a ‘10’ no item d)?”
D4: “Como era para calcular o número de quadradinhos de uma figura qualquer a
gente escolheu a que tem lado ‘10’ como um exemplo, mas poderia ser outro valor.”
PP: “Vocês acham que a resposta dada por vocês no item c) poderia ser aplicada ao
item d)?”
D4: “Na verdade, o item d) é uma aplicação do item c).”
PP: “O que seria uma aplicação?”
D4: “É como um exemplo.”
Notamos pelo diálogo, e também pela resposta dada pela dupla no item e),
que esses alunos também acreditaram que era necessário apresentar uma resposta
numérica em d), citando, para tanto, um exemplo. Percebemos, assim, que apesar
de dizerem que L poderia assumir outro valor além de “10”, os estudantes não
interpretaram a sentença 3L– 2 = C como uma possível resposta para o item d),
mostrando, dessa forma, que não chegaram a uma generalização do padrão
reconhecido e não conseguiram simbolizá-lo (
G5
) adequadamente. Tal fato
demonstra, novamente, uma falta de compreensão das variáveis como números
genéricos e a dificuldade dos alunos em generalizar padrões.
A dupla D5 apresentou o seguinte protocolo:
Quadro 19. Protocolo da dupla D5 – Questão 5 – itens c), d) e e).
111
Em entrevista, questionamos:
PP: “Utilizando a fórmula que vocês elaboraram, como eu poderia calcular, por
exemplo, a quantidade de quadradinhos da vigésima figura?”
Após o questionamento, a dupla ficou algum tempo em silêncio e, então,
decidimos perguntar, novamente:
PP: “Vocês disseram que A
T
representa a área total de cada figura e que A
P
a área
correspondente aos quadradinhos pintados, então utilizando essa sentença como eu
poderia calcular a quantidade de quadradinhos do contorno da vigésima figura?”
Depois do novo questionamento os integrantes de D5 se manifestaram:
D5-1: “Você teria que calcular ‘20’ ao quadrado e depois....”
D5-2: “Não dá! Porque é preciso saber quantos quadradinhos estariam pintados, e
isso a gente não sabe, só sabe o lado da figura toda.”
PP: “Mas a vigésima figura é aquela que tem vinte quadradinhos no seu lado?”
D5-1: “Não, porque a primeira já tem três quadradinhos no seu lado.”
D5-2: “Não dá, essa fórmula não funciona, está errada!”
Analisando a resposta dada em d), notamos que, novamente, os alunos não
apresentam uma generalização para representar o padrão presente na seqüência.
Em entrevista, eles notaram que suas fórmulas não eram eficientes, mas admitiram
como resposta para o item d) uma sentença genérica, o que os estudantes, das
duplas anteriormente citadas, não fizeram. Disseram, ainda, que os itens c) e d)
solicitavam a mesma coisa, e que poderiam trocar as respostas dadas em cada um
deles, pois a intenção era a mesma.
Observamos, assim, que apesar da dificuldade na generalização, os alunos
reconheceram, na seqüência, um padrão (
G1
), utilizaram variáveis como números
genéricos (
G2
) e, afirmações gerais (
G5
) para expressar suas respostas.
112
A seguir, apresentamos o protocolo de D6.
Quadro 20. Protocolo da dupla D6 – Questão 5 – itens c), d) e e).
Em entrevista, solicitamos que os alunos explicassem o significado da
expressão “C
x
+ 3 = C
x +1
”.
PP: “O que representa o C nessa sentença?”
D6: “É o contorno da figura.”
PP: “Então C
1
é o contorno da figura 1, C
2
o da figura 2, e assim por diante?”
D6: “Sim.”
PP: “Usando essa fórmula como poderíamos calcular a quantidade de quadradinhos
da figura ‘10’?”
D6: “Você precisaria descobrir o contorno da figura nove.”
PP: “Haveria outro jeito de fazer esse cálculo?”
D6: “A gente também pensou em outra forma de calcular, usando ‘x+3’.”
PP: “Mas esse ‘x’ da expressão que vocês apresentaram em d) não tem o mesmo
significado do ‘x’ utilizado em c), certo?”
D6: “Sim, no item c) representa o número da figura e no d) o número de
quadradinhos do contorno da figura anterior.”
PP: “Vocês disseram que existe relação entre as respostas dos itens c) e d), tentem
explicar, então, utilizando as expressões que vocês formularam, como elas se
relacionam.”
113
D6: “É que aqui a gente fez errado, na verdade, deveria ter usado um y para mostrar
uma outra coisa. O y seria o ‘x + 3’ e aqui a gente chamou de ‘C
x
’, que seria o
número de quadradinhos do contorno.”
No diálogo o “aqui” utilizado pela dupla se refere a resposta dada no item c).
Observamos que os alunos pensaram numa lei de recorrência para calcular a
quantidade de quadradinhos de uma figura qualquer e tentaram relacionar
algebricamente, utilizando uma outra variável que nomearam no momento da
entrevista por y, a sentença dada no item c) com a expressão do item d). Porém, os
alunos perceberam quando insistimos, novamente, no cálculo do número de
quadradinhos do contorno da décima figura, que a sentença formulada não era
eficiente, pois seria preciso conhecer o número de quadradinhos da nona, da oitava,
e assim por diante, até a primeira.
Os estudantes não conseguiram encontrar uma relação entre a posição da
figura na seqüência e a quantidade de quadradinhos do seu contorno, pois sua
atenção voltou-se ao número de quadradinhos do contorno de cada figura,
percebendo, assim, que dada a quantidade de quadradinhos do contorno de uma
figura qualquer somando-se três unidades encontraria-se o número de quadradinhos
do contorno da próxima figura.
Assim como a dupla D5, os integrantes de D6 tiveram dificuldades na
generalização. Reconheceram um padrão na seqüência (
G1
), utilizaram variáveis
como números genéricos (
G2
) e expressaram suas respostas, por meio de
afirmações genéricas (
G5
), porém não encontraram uma relação entre a posição de
cada figura na seqüência e a quantidade de quadradinhos de seu contorno.
Acreditamos que, em parte, essa dificuldade está relacionada ao processo de
ensino e aprendizagem vivenciado por esses alunos no Ensino Médio. Observamos
que, analisando o material didático utilizado por eles nas aulas de álgebra, e mesmo
nas de geometria, não encontramos questões envolvendo generalização de
padrões. Assim, é natural a dificuldade demonstrada pelos estudantes.
Provavelmente, eles teriam resolvido, com êxito, a questão 5 se, em suas aulas,
trabalhassem com problemas e questões que explorassem a generalização de
padrões, pois, apesar das respostas inadequadas, demonstraram ter a noção de
variável como número genérico o que, sem dúvida, é necessário para compreender
os processos de generalização.
114
O trio T7, assim como a dupla D3, relacionou o número de quadradinhos do
contorno das figuras dadas na seqüência com os termos de uma progressão
aritmética de razão 3 e primeiro termo igual a 7. Para o item c), responderam:
“A
n
= 7 + (n-1).3”
Observamos que, durante a resolução dessa questão, os alunos tentaram
generalizar o padrão utilizando as áreas dos quadrados e dos retângulos destacados
nas figuras, porém não conseguiram encontrar uma relação para expressar a
quantidade de quadradinhos do contorno de uma figura qualquer. Percebemos,
pelos diálogos que os componentes do T7 decidiram utilizar a seqüência numérica
“(7, 10, 13...)” para a partir dela expressar uma sentença que simbolizasse o padrão
reconhecido. Notamos, durante a entrevista, que os estudantes não ficaram
satisfeitos com a resposta formulada, pois queriam descobrir uma forma diferente de
simbolizar o padrão, sem utilizar o termo geral da progressão aritmética. Tal
insatisfação pode ser percebida na tentativa de apresentar, no item d), uma resposta
diferente daquela dada no item c), apesar de os alunos terem consciência de que
ambas as questões solicitavam o mesmo. No item d), responderam:
“A
L
= 7 + (L-1).3 Para uma figura L qualquer, sendo A
L
o n
o
de quadrados do
contorno.”
Questionamos:
PP: “Por que aqui vocês utilizaram L, não poderia ser exatamente a resposta dada
no item anterior? Qual é a relação entre essas duas respostas?”
T7: “A relação é de igualdade. Na verdade, poderia ser qualquer letra, a gente só
quis mudar um pouco a resposta, mas é mesma coisa.”
No item e), responderam:
“Sim, obtém-se o valor em d) utilizando a equação formulada em c).”
Pelo diálogo acima, e pelas respostas dadas, notamos que os alunos
interpretaram os itens c) e d) da mesma forma demonstrando, assim, que além de
reconhecerem o padrão presente na seqüência (
G1
), utilizaram as variáveis “n” e “L”
como números genéricos (
G2
), deduziram uma regra (
G3
), generalizando, assim, o
padrão observado e o simbolizaram através da sentença “A
n
= 7 + (n-1).3” (
G5
).
De forma geral, a dupla D3 e o trio T7 foram os únicos que mobilizaram as
habilidades necessárias à resolução da questão 5. Os demais alunos apresentaram
dificuldades de compreensão quanto a variável como número genérico e, apesar de
reconhecerem, não conseguiram generalizar o padrão presente na seqüência.
115
Acreditamos que essa dificuldade esteja relacionada, em parte, com a vivência
desses alunos nas aulas de Matemática do Ensino Médio, já que o material didático
utilizado por eles não apresenta problemas ou questões envolvendo a exploração da
observação e generalização de padrões, não havendo, assim, estímulos à
compreensão da álgebra como generalizadora da aritmética e ao uso da variável
como número genérico.
4. 6 QUESTÃO 6
Transcrevemos, abaixo, a questão 6.
Nessa questão, o objetivo era verificar a interpretação, simbolização e
manipulação dos alunos com relação à variável x, e sua habilidade em mobilizar e
integrar os três usos da variável apresentados no modelo 3UV.
No item a), as duplas D4, D5 e T7, mobilizaram a habilidade
F6
(simbolizar
um relacionamento funcional baseado na análise dos dados de um problema) e
responderam:
“A = [(x+3)
2
+12].6”
Questão 6
: Observe o retângulo a
baixo com as medidas indicadas para os seus lados e
responda às questões:
6
(x+3)
2
12
a) Como poderia ser representada, por meio de uma expressão algébrica, a área desse
retângulo?
b) Para quais valores de x a área do retângulo é menor que 288?
c) Para quais valores de x a área do retângulo é maior que 168?
d) Para quais valores de x a área do retângulo varia entre 168 e 288?
e) Se x aumentar, o que acontece com a área do retângulo?
f) E se x diminuir, o que acontece com a área do retângulo?
g) De acordo com o que vocês responderam nos itens anteriores, o que vocês pensam sobre o
papel do x nesta situação?
116
As duplas D3 e D1, além de
F6
, mobilizaram a habilidade de manipulação
G4
.
A
plicando a propriedade distributiva e realizando os cálculos possíveis, os alunos
escreveram:
“A = 6. [(x+3)
2
+12]
A = 6. [x
2
+ 6x + 9 +12]
A = 6.[x
2
+ 6x + 21]
A = 6x
2
+ 36x +126”
A dupla D6, escreveu:
“[(x+3)
2
+12].6”
Notamos, assim, que esses alunos mobilizaram a habilidade
G5
, ou seja,
simbolizaram a área do retângulo por meio de uma expressão genérica.
Já a dupla D2 respondeu:
“B.h (x+3)
2
.12.6 =”
Observamos que, durante a resolução desse item, um dos integrantes da
dupla, após ter lido o enunciado, disse:
D2-1: “A área do retângulo é base vezes altura, então é ‘(x+3)
2
’ mais 12 vezes 6.”
Enquanto um aluno dizia a resposta, o outro escrevia; porém, eles só
perceberam o erro cometido no momento em que estavam sendo entrevistados.
Quanto ao sinal de igual apresentado na resposta, um dos alunos disse:
D1-1: “Achei que deveria fazer algum cálculo, mas depois vimos que era só para
representar a área.”
Percebemos que as falas dos estudantes, na ocasião em que respondiam a
questão 6, demonstravam falta de paciência e um certo cansaço em responder o
questionário. Acreditamos, assim, que o desempenho dessa dupla na última questão
foi influenciado pela falta de disposição de seus integrantes em respondê-la.
Assim, com exceção da dupla D2, os alunos mobilizaram a habilidade de
simbolização (
G5
ou
F6
) necessária para responder o item a), como previmos na
análise preliminar.
Dividimos a análise dos demais itens da questão 6 em dois blocos. Um deles
formado pelos itens b), c) e d), devido ao relacionamento existente entre suas
117
respostas, e o outro referente aos itens e), f) e g) por envolverem, essencialmente,
as habilidades de interpretação
F1
e
F4
.
Começaremos analisando as respostas dadas, nos três primeiros itens
citados, pela dupla D1, cujo protocolo encontra-se a seguir:
Quadro 21. Protocolo da dupla D1 – Questão 6 – itens b), c) e d).
Observamos que os alunos mobilizaram a habilidade de simbolização
I5
para
formular as equações “288 = 6x
2
+ 36x + 126” e “168 = 6x
2
+ 36x + 126” e a
habilidade de manipulação
I4
, determinando, assim, as raízes dessas equações.
Porém, não encontraram o intervalo correto para que a área do retângulo variasse
entre 168 e 288.
A partir da entrevista com os integrantes dessa dupla, notamos que eles não
pensaram no intervalo de variação de x para que a área do retângulo fosse menor
que 288 e maior que 168, simplesmente escreveram os intervalos “-9
≤
x
≤
3” e
“-7
≤
x
≤
1” considerando as raízes encontradas nas equações.
Assim, notamos que os alunos não mobilizaram as habilidades
F4
(reconhecer a variação conjunta das variáveis) e
F5
(determinar o intervalo de
variação de uma variável, dado o intervalo de variação da outra), demonstrando, a
partir da resposta dada no item d), que não identificaram a correspondência (
F1
)
entre a variável x e a área do retângulo.
Em entrevista, percebemos que a dupla demonstrou mais atenção aos
procedimentos algébricos e aritméticos necessários para resolver as equações do
que à correspondência e dependência entre as variáveis sugeridas no problema.
118
As respostas, a seguir, são da dupla D2 para os itens b), c) e d),
respectivamente: “< 3”
“ > 1”
“ > 1 e < 3”
Novamente, podemos observar certa dificuldade desses alunos com a noção
de variável. Sem utilizar a variável x em suas respostas, apresentaram o que seriam,
para eles, intervalos possíveis para x, de acordo com as variações da área do
retângulo dadas nesses itens.
Para determinar tais “intervalos”, os alunos foram atribuindo valores para x e
fazendo os cálculos necessários para que a área do retângulo fosse, primeiramente,
menor que 288, depois maior que 168, e, por fim, fizeram a intersecção das
respostas encontradas nos itens b) e c) para responder o item d). Observamos que
os valores atribuídos a x foram todos inteiros e positivos.
Apesar da falta de simbolização e manipulação, relacionadas à variável x e a
área do retângulo, necessárias a resolução desses itens, os alunos demonstraram
uma percepção do relacionamento e da correspondência entre essas variáveis, o
que nos permiti concluir que mobilizaram, de alguma forma, a habilidade
F1
. Porém,
não reconheceram a variação conjunta (
F4
) de x e da área do retângulo,
relacionando alguns de seus valores de forma pontual. Assim, não identificaram os
intervalos de x para que 168 < A(x) < 288 (
F5
).
A seguir, apresentamos, o protocolo de D3.
Quadro 22. Protocolo da dupla D3 – Questão 6 – itens b), c) e d).
119
Os alunos mobilizaram as habilidades de simbolização (
G5
e
I5
) e
manipulação (
G4
e
I4
) necessárias à resolução dos itens em questão, porém
cometeram erros nos cálculos das somas das raízes das equações formuladas. Tal
fato influenciou na determinação dos possíveis intervalos de variação de x para que
a área do retângulo variasse nos intervalos solicitados em b) e c).
Apesar dos erros cometidos, notamos que os alunos reconhecerem a
correspondência entre as variáveis sugeridas no problema (
F1
), e demonstraram,
em suas falas durante a entrevista, e no esboço da parábola apresentada no item b),
que procuraram analisar a variação conjunta (
F4
) de x e da área do retângulo, porém
os erros cometidos nos cálculos influenciaram na determinação dos possíveis
intervalos de variação de x.
Após apontarmos os erros cometidos pela dupla, questionamentos, em
entrevista:
PP: “Considerando as raízes que vocês encontraram no item b), por que vocês
consideraram ‘x < -3’ como resposta para que a área do retângulo fosse menor que
288?”
D3: “Na verdade, seria no meio, entre ‘-3’ e ‘9’, mas como não estava dando certo, e
nós não conseguimos perceber onde estava o erro, nós fomos jogando valores para
x menores do que ‘–3’ e percebemos que para esses a área seria menor que 288.”
Observamos que, considerando o intervalo correto, (“-9 < x < 3”), os alunos
encontraram, de fato, alguns possíveis valores para x, já que há intersecção entre
esse intervalo e aquele considerado pela dupla.
Questionamos, ainda:
PP: “E aqui, no item c), qual deveria ser o intervalo a ser considerado? Vocês
pensaram nos sinais da função como fizeram no item b)?”
D3: “Sim, nós não marcamos, mas a gente pensou da mesma forma, e percebemos
que tinha algo errado de novo! O intervalo correto deveria ser onde é positivo o sinal
da função, ou seja, para fora.”
Pontuamos que o “para fora” utilizado pela dupla referia-se aos intervalos “x <
-7” e “x > 1”, já considerando as raízes corretas.
Um dos integrantes de D3, declarou durante a entrevista, que no item d)
tiveram uma confirmação de que algo estava errado nas respostas dadas nos itens
anteriores, porque não havia intersecção entre os intervalos determinados em b) e
120
c). Disse, ainda, que o cansaço fez com que desistissem de voltar nesses itens para,
novamente, tentar descobrir onde estava o erro.
Concluímos, assim, que se os integrantes de D3 tivessem determinado, de
forma correta, as raízes das equações formuladas teriam encontrado os possíveis
intervalos de x para que a área do retângulo variasse entre 168 e 288, mobilizando,
dessa forma,
F5
.
Apresentamos, a seguir, o protocolo da dupla D4.
Quadro 23. Protocolo da dupla D4 – Questão 6 – itens b), c) e d).
Observamos que os alunos formularam as equações “[(x+3)
2
+12].6 = 288” e
“[(x+3)
2
+12].6 = 168”, mobilizando, assim,
I5
, mas erraram nos cálculos quando
manipulavam (
I4
) a primeira sentença, encontrando como raízes “3, 5” e “–9,5”.
Contudo, acreditamos que os alunos mobilizaram as habilidades
F4
e
F5
, pois
relacionaram a variação da área do retângulo, no intervalo solicitado na questão,
com a variação de x.
Nossa crença está embasada nos dados observados no protocolo dessa
dupla e nos depoimentos que obtivemos na entrevista com os alunos. Questionamos
como haviam chegado aos intervalos “-9,5 < x < 3,5” e “x > 1” e os estudantes
disseram que após determinarem as raízes das equações atribuíram alguns valores
para x, “próximos” daqueles obtidos para as raízes, e fizeram os cálculos para
verificar quais deles satisfaziam as condições dadas para a variação da área do
retângulo. Porém, os alunos não perceberam que, também, para x < -7 a área do
121
retângulo assumiria valores menores que 168. Notamos, ainda, que, se a dupla
tivesse determinado, nos itens b) e c), os devidos intervalos de x teria concluído o
item d) corretamente, pois a intersecção entre os intervalos encontrados não
demonstrou ser um problema para os alunos.
A seguir, expomos o protocolo de D5.
Quadro 24. Protocolo da dupla D5 – Questão 6 – itens b), c) e d)
Quanto as respostas dessa dupla, observamos que os alunos apresentaram
dificuldades quanto à representação de intervalos, utilizando de forma incorreta os
sinais < e >. Notamos a mobilização das habilidades de simbolização;
G5
(simbolizar
afirmações genéricas, regras ou métodos); e de manipulação;
G4
(manipular -
simplificar, desenvolver - a variável simbólica) e
I4
(determinar o termo desconhecido
que aparece na equação ou nos problemas executando as operações algébricas
e/ou aritméticas requeridas); porém, em entrevista com os alunos, percebemos que
não relacionaram corretamente a variação da área do retângulo com a variação de x,
pois disseram que o intervalo “3 > x < -9” representava que x poderia assumir
valores menores que -9 e maiores que 3, e que “1 > x < -7” significava que a variável
admitiria valores menores que -7 e maiores que 1.
Com relação à intersecção desses intervalos considerados pelos alunos, eles
explicaram que substituíram valores para x maiores do que 3, e notaram que a área
do retângulo ficaria maior do que 288, logo desprezaram esse intervalo no momento
122
de fazer a intersecção. Assim, admitindo, de forma equivocada, que x poderia
assumir apenas valores menores do que –9, para que a área fosse menor que 288,
os alunos determinaram a intersecção desse intervalo com aquele considerado para
que a área fosse maior que 168, obtendo, assim, “x
≤
-9”. Além disso, no momento
da entrevista, observaram que não deveriam ter colocado o sinal “
≤
”, mas sim
apenas “x <-9”.
Portanto, apesar de demonstrarem que notaram a dependência entre as
variáveis sugeridas no problema, os estudantes não mobilizaram as habilidades
F4
e
F5
, ou seja, não identificaram a variação conjunta dessas variáveis.
Segue o protocolo da dupla D6.
Quadro 25. Protocolo da dupla D6 – Questão 6 – itens b), c) e d).
Analisando as respostas da dupla, observamos que a habilidade de
simbolização
G5
foi mobilizada no momento em que os alunos escreveram as
desigualdades “[(x+3)
2
+12].6 < 288” e “[(x+3)
2
+12].6 > 168”, porém cometeram
erros na passagem da inequação “(x+3)
2
< 36” para “x+3 < 6” e de “(x+3)
2
> 16” para
“x > 1”, admitindo apenas as raízes quadradas positivas de 36 e de 16 como limites
para os intervalos de x a serem determinados.
Além disso, notamos, assim como no protocolo da dupla D5, problemas na
representação de intervalos. Os integrantes de D6, bem como os da dupla anterior,
escreveram os extremos do intervalo, dado como resposta em d), em ordem
contrária à da reta real: “3 > x > 1”. Em entrevista, explicaram que tal intervalo
123
representava que a variável x poderia assumir valores maiores do que 1 e menores
do que 3.
Acreditamos que a preocupação dos alunos em empregar os procedimentos
aritméticos e algébricos necessários para resolver as inequações distanciou-os da
percepção da relação de correspondência e dependência entre as variáveis
sugeridas no problema. Dessa forma, demonstraram uma valorização dos processos
de manipulação (
G4
) em detrimento da análise e interpretação necessárias para
responder as questões. Os estudantes deixaram, portanto, de mobilizar as
habilidades
F4
e
F5
, não identificando a variação conjunta de x e da área do
retângulo.
Os únicos a resolverem, corretamente, os itens b), c) e d) foram os
integrantes do trio T7. Segue, abaixo, o protocolo com suas respostas.
Quadro 26. Protocolo do trio T7 – Questão 6 – itens a), b), c) e d).
Analisando as respostas desses alunos, podemos observar que eles
mobilizaram as habilidades de simbolização
G5
e
I5
, respectivamente, ao
formularem as inequações e equações necessárias ao desenvolvimento das
124
questões. Determinaram as raízes das equações, mobilizando, assim, as habilidades
de manipulação
G4
(manipular - simplificar, desenvolver - a variável simbólica) e
I4
(determinar o termo desconhecido que aparece na equação ou nos problemas
executando as operações algébricas e/ou aritméticas requeridas). Reconheceram a
correspondência entre a variável x e a área do retângulo, identificando a variação
conjunta dessas variáveis (
F4
) e estabeleceram os intervalos de x para que a área
do retângulo estivesse compreendida entre 168 e 288, mobilizando, dessa forma, a
habilidade de manipulação
F5
.
De forma geral, os alunos apresentaram dificuldades para reconhecer a
variação conjunta (
F4
) das variáveis sugeridas nos itens b), c) e d) da questão e
determinar o intervalo de variação de uma variável dado o da outra (
F5
). Tal fato,
como já citamos no capítulo II, demonstra a dificuldade dos estudantes na resolução
e interpretação da solução de uma inequação do segundo grau. Além disso, assim
como nos resultados da pesquisa de Blanco e Garrote (2007), identificamos que
existem problemas na compreensão dos alunos sobre intervalos reais. Tais
observações podem servir como alerta para que as habilidades
F4
e
F5
sejam mais
exploradas nas aulas de matemática em que o conceito de variável esteja presente,
o que inclui, sem dúvida, o ensino e aprendizagem das inequações.
Com os itens e), f) e g) tínhamos o objetivo de verificar a interpretação dos
alunos quanto a variação conjunta de x e da área do retângulo. Seguem os dados
coletados no protocolo de D1:
Quadro 27. Protocolo da dupla D1 – Questão 6 – itens e), f) e g).
Como já havíamos pontuado, essa dupla não mobilizou as habilidades de
interpretação
F1
e
F4,
no momento de resolver os itens b), c) e d), o que fez com
125
que concluísse, inadequadamente, que o intervalo de variação de x (
F5
), para que a
área do retângulo variasse entre 168 e 288, deveria ser “-9
≤
x
≤
3”. Diante dessa
falta de percepção da correspondência e variação conjunta das variáveis envolvidas
no problema, os alunos responderam os itens e), f) e g) sem analisar, devidamente,
a expressão (x+3)
2
e sua influência na composição da área do retângulo, o que pode
ser evidenciado em suas respostas quando admitem que “a área e o valor de x são
diretamente proporcionais”.
Percebemos, a partir dos dados coletados no protocolo de D2, uma conclusão
semelhante a dos alunos de D1.
Quadro 28. Protocolo da dupla D2 – Questão 6 – itens e), f) e g).
Apesar de manifestarem, de alguma forma, nas respostas dadas nos itens b),
c) e d) a mobilização da habilidade
F1
, os integrantes dessa dupla não mobilizaram
F4
, habilidade necessária, juntamente com
F1
, para que interpretassem de forma
correta a variação conjunta das variáveis sugeridas no problema. Assim como a
dupla D1, os integrantes de D2 parece não terem dado a devida atenção para o
termo (x+3)
2
, deixando, dessa forma, de observar que o menor valor possível para a
área do retângulo seria dado quando x fosse igual a –3, e que para valores menores,
e maiores que –3, a área aumentaria.
Já a dupla D3, como observamos em seu protocolo, demonstrou a percepção
da variação conjunta de x e da área do retângulo (
F4
).
126
Quadro 29. Protocolo da dupla D3 – Questão 6 – itens e), f) e g).
Certos de que havia algo errado nas respostas dos itens b), c) e d), como
demonstraram em entrevista, os alunos optaram por analisar a expressão (x+3)
2
para identificar sua influência na composição da área do retângulo. Questionamos:
PP: “Por que o ‘-3’ foi utilizado como referência na análise que vocês fizeram sobre a
variação de x e da área do retângulo?”
D3: “Porque para x igual a ‘-3’ aqui vai dar zero, então aí a área vai ser ‘6’ vezes ‘12’.
Agora se x for diminuindo, por exemplo, ‘-4’, ‘-5’, como aqui está ao quadrado o
número vai ficar maior, então a área aumenta. Porque quando for ‘-5’ vai dar ‘-2’, que
ao quadrado dá ‘4’. Se for ‘-6’ vai dar ‘-3’ que ao quadrado dá ‘9’, então vai
aumentando.”
Mesmo tendo citado, no momento de realizar os cálculos, apenas números
inteiros, os integrantes de D3 admitiram x como sendo uma variável real, o que pôde
ser notado em seu protocolo e em suas respostas aos nossos questionamentos
durante a entrevista.
Embora tivesse cometido erros nos cálculos, nos itens b) e c), essa dupla
reconheceu a correspondência entre as variáveis envolvidas no problema (
F1
) e a
sua variação conjunta (
F4
) manifestando, assim, as habilidades de interpretação
necessárias à resolução dos itens e), f) e g).
127
Segue, abaixo, o protocolo de D4:
Quadro 30. Protocolo da dupla D4 – Questão 6 – itens e), f) e g).
Observamos, a partir dos dados apresentados acima, que os alunos dessa
dupla, assim como os de D1 e D2, não notaram que a área do retângulo assumiria
seu menor valor quando x fosse igual a –3. Notamos que os estudantes não
analisaram a influência da variação de x sobre a variação da área do retângulo a
partir da expressão (x+3)
2
, mas sim, utilizaram a sentença “A = [(x+3)
2
+12].6”
formulada por eles, no item a). Dessa forma, não houve, nos itens e), f) e g), a
mobilização das habilidades de interpretação
F1
e
F4
pelos componentes de D4.
Nos protocolos de D5 e D6, também, encontramos as mesmas conclusões
apresentadas pelas duplas já citadas, excetuando-se aquelas dadas por D3.
Portanto, decidimos destacar, apenas, a resposta dos integrantes de D6, para o item
g), em que encontramos: “É uma grandeza responsável pela variação da área e é
diretamente proporcional à área.”
Pontuamos que a dupla D1 também explicitou em suas respostas que a
variável x e a área do retângulo eram grandezas diretamente proporcionais, o que
demonstra, além da falta de percepção desses alunos da variação conjunta das
variáveis dadas no problema (
F4
), que não houve uma análise da variação de x e
sua influência na variação do termo (x+3)
2
.
128
O trio T7 apresentou uma análise cuidadosa em suas respostas para os itens
e), f) e g), como se pode verificar em seu protocolo exposto abaixo.
Quadro 31. Protocolo do trio T7 – Questão 6 – itens e), f) e g).
Notamos que os alunos interpretaram, de forma incorreta, a variação conjunta
de x e da área do retângulo, pois não observaram que o menor valor da área seria
obtido para x = -3, e não para x = 0. No entanto, observamos que sua interpretação
foi mais cuidadosa do que aquela apresentada pelas outras duplas que não
concluíram corretamente esses últimos itens da questão 6. Em entrevista,
questionamos as respostas dadas pelo trio:
PP: “No item e), como vocês chegaram a essa conclusão?”
T7: “Para x maior do que zero, por exemplo, ‘1’, a área vai dar um valor. Quando eu
colocar 2 já vai dar um valor maior. Então, quando x aumenta, a área também
aumenta. Agora, para x menor do que zero, por exemplo, ‘-5’ vai dar um valor,
quando você colocar ‘-7’ vai dar maior, porque está ao quadrado. Então, quando x
diminui, aumenta a área”.
Notamos pelos valores atribuídos à variável x, que tais estudantes, no
momento da análise da variação conjunta de x e da área do retângulo, não
identificaram que o menor valor possível para a área do retângulo seria obtido
quando x fosse igual a –3. Porém, acreditamos que os alunos mobilizaram as
habilidades de interpretação
F1
e
F4
, pois reconheceram que à medida que x
aumenta, a área aumenta, e quando x diminui, a área também aumenta, só não
precisaram os intervalos corretos de x para que ocorresse essa variação conjunta.
No geral, analisando as respostas dos estudantes, nos itens e), f) e g) da
questão 6, identificamos que a maioria notou a dependência entre as variáveis
129
sugeridas no problema, porém não identificou a correspondência e a variação
conjunta de x e da área do retângulo, deixando, assim, de mobilizar as habilidades
de interpretação
F1
e
F4
necessárias
à resolução desses itens. Os alunos que
demonstraram uma percepção dessa variação foram os integrantes da dupla D3 e
os componentes de T7.
Salientamos que duas duplas e o trio T7 explicitaram que, pelo fato de as
medidas de x e da área do retângulo estarem relacionadas, tais medidas
representavam grandezas direta ou inversamente proporcionais, o que pode ser
resultado de “regras” utilizadas no ensino de grandezas proporcionais tais como:
“quando o aumento, ou a diminuição, de uma grandeza acarreta no aumento, ou
diminuição, da outra, as grandezas são diretamente proporcionais. Quando o
aumento (diminuição) de uma grandeza acarreta na diminuição (aumento) da outra,
as grandezas são inversamente proporcionais.” Essa simplificação na linguagem
natural não explicita a exigência da proporcionalidade.
Pelos resultados obtidos, notamos que nos itens do questionário em que era
necessário simbolizar equações, expressões algébricas ou, ainda, uma relação
funcional os alunos, no geral, não demonstraram dificuldades, mobilizando, assim,
as habilidades de simbolização
I5
(simbolizar o termo desconhecido identificado
numa situação específica e usá-lo para representar uma equação),
G5
(simbolizar
afirmações genéricas, regras ou métodos) e
F6
(simbolizar um relacionamento
funcional baseado na análise dos dados de um problema). Dentre essas,
acreditamos que a habilidade
G5
é pouco explorada nas questões e problemas
trabalhos em sala de aula, o que pode levar os estudantes a não aceitarem, como
afirmações matemáticas válidas, expressões genéricas, a exemplo “t+3”, sentindo a
necessidade de transformá-la numa equação
acrescentando o sinal de igualdade em
todas as expressões desse gênero.
Quanto as questões que envolveram a manipulação de equações,
desigualdades e expressões em busca da determinação de raízes, ou de intervalos
de variação de uma dada variável, notamos que naquelas em que a variável
assumia o papel de incógnita os estudantes não apresentaram dificuldades, porém
em situações em que a variável assumia o status de número genérico, ou estava
presente numa relação funcional, os alunos demonstraram problemas. Podemos
verificar tal constatação, com base nos dados coletados nos itens b), c) e d) da
questão 6. Das habilidades de manipulação
I4
(determinar o termo desconhecido
130
que aparece na equação ou nos problemas executando as operações algébricas
e/ou aritméticas),
G4
(manipular a variável simbólica),
F2
(determinar os valores da
variável dependente dado o valor da independente),
F3
(determinar os valores da
variável independente dado o valor da dependente) e
F5
(determinar o intervalo de
variação de uma variável dado o intervalo de variação da outra) que deveriam ser
mobilizadas pelos alunos ao responderem o questionário, pontuamos que aquelas
relacionadas à variável em relação funcional demonstraram ser as mais
problemáticas. Os estudantes têm dificuldade, principalmente, para determinar o
intervalo de variação de uma variável dado o intervalo de variação da outra (
F5
).
Além disso, notamos que o domínio de variação admitido e aceito pelos
alunos, muitas vezes, é o conjunto dos números inteiros. Apesar de encontrarmos
nos dados coletados, principalmente nas entrevistas, que as variáveis apresentadas,
por exemplo na questão 2, poderiam ter como domínio de variação o conjunto dos
números complexos, notamos que tais números não foram citados nos protocolos
dos alunos. O exemplo mais ousado que encontramos como um possível valor para
uma das variáveis citadas nessa questão foi “
π
”, dado pelos integrantes de T7.
Tal fato demonstra que, em sala de aula, a presença dos números inteiros é
marcante, o que, sem dúvida, influencia a interpretação dos alunos a respeito dos
possíveis domínios de variação das variáveis.
Com relação as habilidades de interpretação
I1
(reconhecer e identificar numa
situação-problema a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema),
I2
(interpretar o símbolo que aparece na
equação, como um ente que pode assumir valores específicos),
G1
(reconhecer
padrões, perceber regras e métodos em seqüências e em famílias de problemas),
G2
(interpretar um símbolo como uma entidade genérica ou indeterminada que pode
assumir qualquer valor),
G3
(deduzir regras e métodos gerais em seqüências e
famílias de problemas),
F1
(reconhecer a correspondência entre as variáveis
relacionadas independentemente da representação utilizada) e
F4
(reconhecer a
variação conjunta das variáveis envolvidas em uma relação), observamos que,
dentre essas,
G3
e
F4
foram as menos mobilizadas pelos alunos. Eles
demonstraram dificuldades em deduzir regras para simbolizar a generalização de um
padrão, quando a variável assumia o status de número genérico, e no
reconhecimento da variação conjunta das variáveis envolvidas em uma relação.
Além disso, de tais habilidades, identificamos que as únicas que foram mobilizadas
131
pelos estudantes sem dificuldades foram
I1
e
I2
, o que demonstra que
esses
identificam com facilidade a variável como incógnita. Tal fato pode ser observado
com base nos dados encontrados na questão 3, em que era necessário identificar a
presença de algo desconhecido na situação, formular equações e determinar suas
raízes. Lembramos que os alunos que encontraram dificuldades nessa questão
foram aqueles que não reconheceram a correspondência entre as variáveis
presentes na função dada (
F1
), demonstrando, assim, que não mobilizaram a
habilidade de interpretação necessária à compreensão das variáveis em relação
funcional.
132
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O modelo 3UV como ferramenta direcionadora na elaboração de nosso
instrumento de investigação, e de análise dos dados coletados a respeito da
compreensão dos alunos sobre o conceito de variável, possibilitou o alcance do
objetivo de nossa pesquisa.
A partir dos dados coletados com a aplicação do questionário, e com as
entrevistas realizadas, pudemos, tendo como base de análise o modelo 3UV,
identificar que os usos da variável como número genérico e em relação funcional
não são tão bem compreendidos pelos alunos quanto ao uso como incógnita. Tal
constatação encontra-se, também, nos resultados da pesquisa de Queiroz (2008)
realizada com professores do Ensino Médio sobre a compreensão desses docentes
a respeito do conceito de variável. Essa semelhança nos resultados confirma uma
de nossas conjecturas de que algumas das dificuldades apresentadas pelos alunos,
no que se refere a sua compreensão sobre esse conceito, estão relacionadas às
práticas pedagógicas, o que poderia ser investigado com mais profundidade por
futuros pesquisadores.
Além disso, identificamos as habilidades, relativas aos três usos da variável
apresentados no modelo 3UV, que deveriam ser melhor exploradas no processo de
ensino e aprendizagem para que o conceito de variável pudesse ser compreendido.
Percebemos que, muitas vezes, os alunos interpretam as variáveis como
elementos representativos do conjunto dos números inteiros demonstrando uma
certa resistência para aceitar números que não tenham essa característica. Suas
falas e os dados encontrados em seus protocolos revelam que seus números
“preferidos” são os inteiros positivos, apesar de alguns alunos citarem que o domínio
das variáveis, apresentadas na questão 2, poderia ser o conjunto dos números reais,
ou, ainda, o dos complexos. Mesmo nesses casos, notamos uma grande
insegurança dos educandos em citarem e aceitarem esses números. Observamos,
ainda, que alguns estudantes, como, por exemplo, os integrantes de D5, rejeitam as
frações.
Notamos, também, que a maioria dos alunos demonstrou a necessidade de
encontrar um resultado numérico para as operações realizadas com variáveis em
133
situações em que essas representariam números genéricos, interpretando-as,
muitas vezes, como incógnitas. Tal fato pode ser notado nas respostas que
encontramos nos itens a) e c) da questão 2 e, também, nos estudos de Trigueros e
Ursini (1998, 2001).
A relação de dependência e correspondência entre as variáveis de uma
função, dada sua representação algébrica e gráfica, não foi identificada por alguns
estudantes, como foi o caso dos integrantes das duplas D1 e D2, o que pode
demonstrar que o relacionamento entre variáveis não é devidamente explicitado no
estudo de funções.
Com base nos dados encontrados na questão 6, identificamos que, apesar de
a maioria dos alunos perceber a dependência entre as variáveis sugeridas nessa
questão, muitos não reconheceram a correspondência entre elas e não observaram
devidamente sua variação conjunta, o que demonstra a falta de mobilização das
habilidades de interpretação
F1
(reconhecer a correspondência entre as variáveis
relacionadas independentemente da representação utilizada) e
F4
(reconhecer a
variação conjunta das variáveis envolvidas em uma relação). Além dessas
habilidades, referentes à compreensão das variáveis em relação funcional, uma
outra pouco mobilizada foi a habilidade de manipulação
F5
.
A maioria dos estudantes que participou de nossa investigação demonstrou
dificuldades para encontrar, dada uma relação funcional, o intervalo de variação de
uma variável quando é conhecido o intervalo de variação da outra (
F5
).
As observações acima, referentes ao emprego de variáveis em relação
funcional, podem servir como alerta para que as habilidades anteriormente citadas
sejam mais exploradas nas aulas de matemática em que o conceito de variável
esteja presente, o que inclui, sem dúvida, o ensino e aprendizagem das funções e
inequações.
Observamos que os alunos conseguem simbolizar desigualdades e até
manipulá-las, mas têm dificuldades para interpretá-las. A maioria não percebe a
relação funcional que está implícita na resolução de uma inequação do segundo
grau, e interpretam a variável presente na desigualdade como uma incógnita capaz
de assumir um número finito de valores, quando na situação dada deveria
representar os elementos de um intervalo real. Tal resultado também foi apontado
por Blanco e Garrote (2007) em sua pesquisa desenvolvida com alunos do primeiro
ano de educação pré-universitária, na Espanha. Os autores observaram que os
134
alunos têm problemas para compreender um intervalo real e o conceito de variável,
principalmente, nas situações em que essa deveria ser interpretada como um
número genérico.
Com relação ao uso da variável como número genérico, a compreensão dos
alunos investigados apresentou lacunas. Acreditamos que, no processo de ensino e
aprendizagem desses estudantes, as habilidades necessárias a essa compreensão
não foram tão bem exploradas quanto àquelas relativas ao uso da variável como
incógnita, o qual não aparentou ser um problema para os educandos. Notamos que
os sujeitos investigados tiveram dificuldades para deduzir uma regra (
G3
) e
generalizar o padrão sugerido na questão 5. Além disso, a interpretação da variável
como um número genérico (
G2
) cedeu espaço à interpretação da variável como
incógnita, quando, em certos casos, como foi os dos itens a) e c) da questão 2,
deveriam tais variáveis ser interpretadas como números genéricos.
Porém, tais dificuldades parecem estar relacionadas às práticas de ensino
dos professores e ao material didático utilizado durante as aulas de Matemática.
Nossa crença está embasada, em parte, na análise que fizéssemos do material
utilizado, durante o Ensino Médio, pelos alunos pesquisados. Notamos que nele não
há questões ou problemas propostos que envolvam a observação e a generalização
de padrões, processos esses importantes para a compreensão do conceito de
variável. Logo, é natural que os estudantes tenham certa deficiência no
entendimento da variável como número genérico, já que algumas das habilidades
necessárias à sua compreensão não foram exploradas em sua aprendizagem.
Contudo, esperamos, ainda, alertar os professores sobre a importância de
trabalhar com o conjunto dos números reais de forma mais significativa,
apresentando, quando possível, suas características e problemas envolvendo a
aplicação de números não tão “bem comportados” como os inteiros.
Para finalizar, pontuamos que as considerações aqui apresentadas foram
elaboradas com base nos dados encontrados em nossa investigação com alunos
que estavam concluindo o Ensino Médio, no entanto, acreditamos que muitas delas
podem ser aplicadas ao ensino e a aprendizagem do conceito de variável nas séries
finais do Ensino Fundamental, e mesmo no superior, visto que tal conceito tem seu
espaço garantido nessas fases da Educação, pois a linguagem algébrica começa a
fazer parte do cotidiano escolar, em geral, na sétima série do Fundamental, e no
135
ensino superior esse conceito é de fundamental importância, não só para a Álgebra,
mas também para o Cálculo e para a Análise.
Essas considerações têm como objetivo despertar reflexões sobre a atuação
dos professores em sala de aula ao explorar situações em que a noção de variável
esteja presente, além de motivar o trabalho com problemas em que os diferentes
usos da variável possam ser relacionados. Quais atividades, questões ou problemas
poderiam favorecer a exploração dos três usos da variável (incógnita, número
genérico, variáveis em relação funcional) para estimular a compreensão desse
conceito? Como elaborar uma seqüência didática que envolva as habilidades
descritas no modelo 3UV ?
Tais questões poderiam incentivar o desenvolvimento de futuras pesquisas
que tenham por objetivo o ensino do conceito de variável. Deixamos, assim, nossa
sugestão para aqueles que se interessarem por estudos relacionados a essa
temática.
136
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138
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As idéias da álgebra
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Paulo: Atual, 1995. p. 9-22.
139
APÊNDICE
Questionário
Por favor, responda atentamente as questões abaixo. Sua participação nesta
pesquisa é de fundamental importância. Desde já agradecemos sua colaboração em
nosso trabalho.
Dupla:____________________
Questão 1
: Escreva uma expressão algébrica para:
a) representar um número que multiplicado por 12 seja igual a 144:
_________________________________________________________________
b) representar um número dividido por 3 somado a 7:
_________________________________________________________________
c) representar um número que é igual a 15 mais um outro número:
_________________________________________________________________
Questão 2
: Para cada uma das seguintes expressões, determine quantos valores as
letras apresentadas podem assumir. Dê exemplos desses possíveis valores.
a)
y = y
___________________________________________________________________
b)
7y
2
= 2x - 5
___________________________________________________________________
c)
t+3
___________________________________________________________________
140
Questão 3:
Considere a função polinomial do 2
o
grau f(x) = x
2
- 6x + 8, definida em R
com valores em R, representada no gráfico abaixo.
Determine as abscissas
a
,
b
e
x
c,
ilustradas na figura abaixo.
Questão 4:
A área representada abaixo ilustra as medidas de um terreno retangular
destinado à construção de um condomínio, onde será colocado um jardim, de
formato quadrado, com
c
metros de medida para seu lado. Analisando a figura que
representa esta situação, responda às questões:
a) Como poderia ser representada, por meio de uma expressão algébrica, a
área destinada ao condomínio desconsiderando a área do jardim?
b) O que a letra
c
representa no problema?
c) Que valores
c
pode assumir?
d) Quais são os valores de
c
para os quais a área ocupada pelo jardim é
menor do que 16m
2
?
c
60
50
141
Questão 5
: Observe como se forma a seqüência de figuras abaixo:
a) Desenhe a próxima figura. Quantos quadradinhos formam o contorno desta
figura?
OBS: Considere como contorno da figura os quadradinhos que não estão me
destaque.
b) Desenhe a 5ª figura. Quantos quadradinhos formam o contorno desta figura?
c) Escreva uma expressão que represente a quantidade de quadradinhos do
contorno de uma figura qualquer da seqüência dada.
d) Quantos quadradinhos existem no contorno de uma figura qualquer da seqüência
dada?
e) Há alguma relação entre as respostas apresentadas por vocês nos itens c) e d)?
Se houver, explique tal relação.
Questão 6
: Observe o retângulo abaixo com as medidas indicadas para os seus
lados e responda às questões:
6
(x+3)
2
12
a) Como poderia ser representada, por meio de uma expressão algébrica, a área
desse retângulo?
b) Para quais valores de x a área do retângulo é menor que 288?
c) Para quais valores de x a área do retângulo é maior que 168?
d) Para quais valores de x a área do retângulo varia entre 168 e 288?
e) Se x aumentar, o que acontece com a área do retângulo?
f) E se x diminuir, o que acontece com a área do retângulo?
g) De acordo com o que vocês responderam nos itens anteriores, o que vocês
pensam sobre o papel do x nesta situação?
s não
142
ANEXO
As questões de Trigueros e Ursini (1998) que influenciaram a elaboração de
nosso instrumento de investigação:
Cuestionario
NOMBRE______________________________MATRICULA_______
En este ejercicio, solamente escribe una fórmula. NO CALCULES el número.
1. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido multiplicado por 13 es
igual a 127.
2. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido multiplicado por la
suma del mismo número desconocido con 2 es igual a 6.
3. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido es igual a 6 más otro
número desconocido.
4. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido dividido por 5 y el
resultado sumado a 7.
Para cada una de las siguientes expresiones ¿cuántos valores puede tomar la
letra?
5.
x
x
+
=
+
2
2
6.
3
10
+
+
=
+
a
a
a
7.
x
x
=
8.
4
+
s
9.
x
x
x
+
=
+
5
10.
3
10
+
+
+
+
a
a
a
11. 7x
2
= 2x-5
12.
4 -x
x
2
= 3
13.
(
)
x
x
x
+
=
+
+
1
2
1
2
2
14.
4
1
2
+
=
+
x
x
x
(
)
143
X 5
4
Para cada una de las siguientes expresiones escribe los valores que piensas
que puede tomar la literal:
15.
13
27
2
30
5
x
x
x
+
−
=
+
16.
(
)
x
+
=
3
36
2
17.
4
2
+
=
x
18.
2=
x+1
10
2
Reduce las siguientes expresiones a una equivalente:
19.
(
)
(
)
x
x
2 2
1
2
+
−
=
20.
a
a
a
+
−
=
5
3
21.
y
y
y
y
2 2
2
4
5
8
+
+
−
−
=
El perímetro de una figura se calcula sumando la longitud de sus lados.
Escribe la fórmula que expresa el perímetro de la siguiente figura.
22.
Escribe una fórmula para calcular el área de las siguientes figuras:
23. 24.
144
25. En la siguiente figura, el polígono no es completamente visible. Debido a que no
sabemos cuántos lados tiene el polígono en total diremos que tiene N lados.
Cada lado mide 2 centímetros de longitud.
Observa las siguientes figuras:
Número de puntos
Figura #1 * 1
Figura #2 * * 4
* *
Figura #3 * * *. 9
* * *
* * *
Figura #4
26. ¿Cuántos puntos hay en la figura #4?
27. Dibuja la figura #5 y da el número total de puntos.
28. Dibuja la figura #6 y da el número total de puntos.
29. Imagínate que puedes seguir dibujando figuras hasta la figura #m. ¿Cuántos
puntos en total tendrá la figura #m?
Si para hacer las figuras del ejercicio anterior vas agregando puntos.
30. ¿Cuántos puntos agregas para pasar de la figura #1 a la #2?
31. ¿Cuántos puntos agregas para pasar de la figura #2 a la #3?
32. ¿Cuántos puntos agregas para pasar de la figura #m a la siguiente?
33. Escribe una fórmula que muestre cómo vas agregando puntos hasta llegar a la
figura #m.
145
Observa las siguientes igualdades:
34. Completa:
=n+...+3+2+1
....
2
)5.4(
=4+3+2++1
2
)4.3(
=3+2+1
Si
x
y
+
=
3
35. ¿Qué valores puede tomar x?
36. ¿Qué valores puede tomar y?
37. Si y=7, ¿qué les pasa a los valores de y cuando los valores de x aumentan?
Te encuentras en una papelería en donde se hacen fotocopias. Para evitarse
estar haciendo multiplicaciones el empleado elabora una tabla.
38. Complétala.
número de
copias
precio
5 6.25
10 12.50
15
25.00
25 31.25
35
62.50
100
39. Escribe la regla general si n denota el número de copias
Observa la siguiente tabla y contesta las preguntas.
40. Completa la tabla
41. Si aumenta el tiempo ¿qué le pasa a la velocidad, aumenta o disminuye?
tiempo velocidad
0 0 m/s
10 30 m/s
15
20 60 m/s
35
50
60
146
42. En una hoja aparte, sobre un sistema de coordenadas marca los puntos de la
tabla y únelos trazando aproximadamente una curva.
43. Escribe la regla general que asocia a los números de la lista de la izquierda con
los números de la lista de la derecha.
Considera la siguiente expresión y=3+x.
44. Si queremos que los valores de y sean mayores que 3 pero más pequeños que
10, ¿Qué valores puede tomar x?
45. Si x toma valores entre 8 y 15, ¿entre qué valores caerán los valores de y?
De las siguientes dos expresiones n+2 y 2xn
46. ¿Cuál es más grande?
47. Justifica tu respuesta.
El peso de la mercancía que se compra en el mercado se mide con una
báscula. En el puesto de Don Pachito, por cada kilogramo de peso la
charola de la báscula se desplaza 4 cm.
48. Encuentra una relación entre el peso de la compra y el desplazamiento de la
charola.
49. Si la charola se desplaza 10.5 cm al pesar una bolsa de manzanas ¿Cuantos
kilos pesa la bolsa?
Plantea los siguientes problemas y escribe para cada uno una fórmula que
permita resolverlos:
50. El área total de la siguiente figura es 27. Calcula el lado del cuadrado
sombreado.
51. Juan es 15 años mayor que Santiago. La suma de las dos edades es 41.
¿Cuáles son las edades de Juan y Santiago?
52. Rentar un automóvil cuesta N25.00 por día, más N$12 por kilómetro. ¿Cuántos
kilómetros, en un día, puede manejar Diego si solamente tiene N40.00?
147
Observa los siguientes datos de un experimento y contesta las preguntas.
x y
0 0
10
100
-15
225
25
625
20
400
-10
100
15
225
-20 400
53. Determina que pasa con el valor de y cuando el valor de x va creciendo.
54. ¿Para qué valor de x, alcanza y su valor máximo?
55. ¿Para qué valor de x z, alcanza y su valor mínimo?
56. Escribe la regla general que relaciona a la variable x con la variable y.
57. Si queremos que el valor de y esté entre 256 y 10000 ¿entre qué 0valores tiene
que estar x?
58. Si x toma valores entre -2 y 26 ¿entre qué valores estará y?
Dada la expresión 40 - 15x - 3y = 17y - 5x
59. ¿Qué valor tendrá y para x=16?
60. Para que el valor de y esté entre 1 y 5 ¿entre qué valores debe estar x?
61. Supón que x toma valores entre -5 y 5 ¿Para qué valor de x alcanza y su valor
máximo?
Dada la gráfica siguiente:
62. ¿Entre qué valores de x, los valores de y crecen?
63. ¿Entre qué valores de x, los valores de y decrecen?
64. ¿Para qué valor de x, se obtiene el valor máximo de y?
65. ¿Entre qué valor de x se obtiene el valor mínimo de y?
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