ads:
Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Ciˆencias Naturais e Exatas
Departamento de Matem
´
atica
A¸c˜oes Parciais de Grupos
e A¸c˜oes de Semigrupos Inversos
Daiana Aparecida da Silva Flˆores
†
Mestrado em Matem´atica - Santa Maria - RS
Orientador: Prof. Dr. Dirceu Bagio
†
Este trabalho teve apoio financeiro da CAPES.
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A¸c˜oes Parciais de Grupos e A¸c˜oes de Semi-
grupos Inversos
Este exemplar corresponde `a reda¸c˜ao final da
disserta¸c˜ao devidamente corrigida e defendida por
Daiana Aparecida da Silva Flˆores e aprovada
pela comiss˜ao julgadora.
Santa Maria, 05 de outubro 2008.
—————————————————————
Prof. Dr. Dirceu Bagio.
Orientador
Banca examinadora:
Prof. Dr. Dirceu Bagio (Orientador, CCNE - UFSM)
Prof. Dr. Antonio Paques (IM - UFRGS)
Prof. Dr. Maria de Lourdes Merlini Giuliani (CCNE - UFSM)
Prof. Dr. Jo˜ao Roberto Lazzarin (CCNE - UFSM)
Dissserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-
Gradua¸c˜ao em Matem´atica, UFSM, como requi-
sito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica.
i
ads:
Aos meus pais.
ii
Agradecimentos
A Deus, a quem devo tudo.
`
A minha fam´ılia que esteve ao meu lado em todos
os momentos. Em particular, ao meu pai e ao meu namorado Rafael pelo carinho,
compreens˜ao e incentivo. Aos colegas de P´os-Gradua¸c˜ao Paulo, Rodrigo, Rubens e,
em especial, `a Saradia por sua amizade e apoio. Ao curso de P´os-Gradua¸c˜ao em
Matem´atica da UFSM pela acolhida e aos professores que contribuiram na minha
forma¸c˜ao acadˆemica.
`
A CAPES (Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de
N´ıvel Superior) pelo incentivo financeiro. Ao professor Dirceu meu profundo agra-
decimento pela dedica¸c˜ao, objetividade e amizade na condu¸c˜ao da orienta¸c˜ao.
iii
Resumo
Iniciamos este trabalho apresentando alguns resultados bem conhecidos sobre
semigrupos inversos e a¸c˜oes parciais de grupos sobre conjuntos que ser˜ao utilizados
frequentemente nesta disserta¸c˜ao. Em seguida, dado um grupo G, constru´ımos um
semigrupo universal S(G), via geradores e rela¸c˜oes. Al´em disso, mostramos que as
a¸c˜oes parciais de G em um conjunto X est˜ao em correspondˆencia uma a uma com
as a¸c˜oes (globais) de S(G) em X. Esses resultados foram obtidos por R. Exel em
[9]. Em [14], J. Kellendonk e M. V. Lawson obt´em uma descri¸c˜ao expl´ıcita de S(G),
mostrando que o semigrupo universal S(G) nada mais ´e do que a expans˜ao de Birget-
Rhodes do grupo G, denotada por
G. Mais ainda, J. Kellendonk e M. V. Lawson
reobtiveram o resultado da correspondˆencia. Para finalizar, uma vez estabelecida
uma correspondˆencia uma a uma entre a¸c˜oes parciais de G em um anel R e a¸c˜oes
(globais) de
G em R, apresentamos resultados de [10] que relacionam o skew anel de
grupo parcial R
α
G e o respectivo skew anel de semigrupo associado R
α
G.
iv
Abstract
In this work we present some well known results on inverse semigroups and par-
tial actions of groups on sets which will be frequently utilized in this dissertation.
Furthermore, given a group G, we construct the universal semigroup S(G), via ge-
nerators and relations. Besides, we show that the partial actions of G on a set X
are in a one-to-one correspondence to the (global) actions of S(G) on X. These
results were obtained by R. Exel in [9]. In [14], J. Kellendonk and M. V. Lawson get
a description of S(G), showed that the universal semigroup S(G) is nothing more
than the Birget-Rhodes expansion of the group G, denoted as
G. Moreover, J. Kel-
lendond and M. V. Lawson retrieved the correspondence result. Finally, once it was
established a one-to-one correspondence between the partial actions of G on a ring
R and global action of
G on R, we present results from [10] which relate the partial
skew group ring R
α
G and the respective associated skew semigroup ring R
α
G.
v
Sum´ario
Sum´ario vi
Introdu¸c˜ao 1
1 Semigrupos inversos e a¸c˜oes 3
1.1 Semigrupos Inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 A¸c˜oes Parciais de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Globaliza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 A Correspondˆencia 20
2.1 O Semigrup o Universal S(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 O Teorema da Correspondˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Os Isomorfismos 31
3.1 A expans˜ao de Birget-Rhodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 S(G)
G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 R
α
G (R
α
G)/I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Referˆencias Bibliogr´aficas 48
vi
Introdu¸c˜ao
O conceito de semigrupo inverso ´e bastante recente na hist´oria da matem´atica,
data da d´ecada de 1950. Esse surgiu independentemente com V. V. Wagner [21] e
com G. Preston [17, 18, 19], em 1952 e 1954, respectivamente, como uma das formas
de solucionar o problema da caracteriza¸c˜ao abstrata dos pseudogrupos. O teorema
de Wagner-Preston mostra que todo semigrupo inverso pode ser considerado um
subsemigrupo do semigrupo das bije¸c˜oes parciais de X em X, denotado por I(X).
Ou seja, todo semigrupo inverso pode ser fielmente representado por bije¸c˜oes parciais.
Esse teorema ´e o an´alogo ao teorema de Cayley para a teoria de grupos. O leitor
interessado pode consultar [13, 15].
A no¸c˜ao de a¸c˜ao parcial ´e ainda mais recente. Essa no¸c˜ao apareceu independen-
temente em v´arias ´areas da matem´atica na d´ecada de 1990. Na teoria de ´algebra
de operadores, esse conceito proporcionou o aparecimento de poderosas ferramentas,
alavancando uma s´erie de novas descobertas, como por exemplo [1, 6, 7, 8, 16].
Em [4] M. Dokuchaev e R. Exel introduzem o conceito de a¸c˜ao parcial de um
grupo sobre um conjunto num contexto puramente alg´ebrico. Mais ainda, eles carac-
terizam as a¸c˜oes parciais α de um grupo G sobre um anel R que possuem envolvente
e constroem o skew anel de grupo parcial, denotado por R
α
G. Mostram tamb´em
que R
α
G nem sempre ´e associativo e encontram condi¸c˜oes suficientes para a sua
associatividade. Esse trabalho motivou muitos outros, como por exemplo [2, 5, 9,
10, 11, 12, 14].
Nesta disserta¸c˜ao, vamos estudar os resultados obtidos em [9, 10, 14] relacionando
a¸c˜oes parciais de grupos com a¸c˜oes de semigrupos inversos e o skew anel de grupo
parcial com o skew anel de semigrupo.
Nas se¸c˜oes 1 e 2 do primeiro cap´ıtulo relembramos defini¸c˜oes, exemplos e re-
sultados bem conhecidos na literatura sobre semigrupos inversos e a¸c˜oes parciais
de grupos. Entre outras coisas, apresentamos as defini¸c˜oes de duas importantes
1
classes de semigrupos, os semigrupos inversos E-unit´arios e os semigrupos F-inversos
e mostramos na Teorema 1.1.14 que todo semigrupo F-inverso ´e tamb´em E-unit´ario.
Na se¸c˜ao 3 do cap´ıtulo 1, exploramos a globaliza¸c˜ao de uma a¸c˜ao parcial sobre um
conjunto.
´
E bem conhecido que uma a¸c˜ao parcial de um grupo sobre um anel, em
geral, n˜ao pode ser globalizada (ver, [4]). No entanto, qualquer a¸c˜ao parcial de um
grupo sobre um conjunto tem uma globaliza¸c˜ao, conforme [14, Proposi¸c˜ao 3.3].
No segundo cap´ıtulo mostramos que para cada grupo G est´a associado um semi-
grupo universal S(G). Al´em disso, prova-se que as a¸c˜oes parciais de G sobre um
conjunto X est˜ao em correspondˆencia uma a uma com as a¸c˜oes (globais) de S(G)
sobre X. Esses resultados foram obtidos por R. Exel em [9]. Nesse trabalho R. Exel
n˜ao encontrou nenhum grupo G tal que S(G) fosse um semigrupo conhecido. A difi-
culdade em descrever S(G) est´a no fato que este ´e definido por geradores e rela¸c˜oes.
No entanto, em [14] J. Kellendonk e M. V. Lawson mostraram que o semigrupo uni-
versal constru´ıdo por R. Exel nada mais ´e do que a expans˜ao de Birget-Rhodes do
grupo G. Mais ainda, eles reobtiveram o resultado da correspondˆencia, dado pelo
Teorema 2.2.2. Nesse sentido, p odemos dizer que o trabalho de J. Kellendonk e M.
V. Lawson completa o de R. Exel.
No terceiro cap´ıtulo vamos explorar, entre outras coisas, alguns resultados obtidos
em [14]. Na se¸c˜ao 3.1 apresentamos a defini¸c˜ao de expans˜ao de Birget-Rhodes de
um semigrupo e demonstramos alguns resultados para o caso particular de grupos.
Mostraremos, por exemplo, que a expans˜ao de Birget-Rhodes de um grupo ´e um
mon´oide F-inverso e, portanto E-unit´ario. Na se¸c˜ao seguinte, mostramos que S(G)
G (onde
G ´e a expans˜ao de Birget-Rhodes de G, Proposi¸c˜ao 3.1.1) e apontamos,
explicitamente, qual ´e o isomorfismo. Para finalizar, na ´ultima se¸c˜ao exploramos a
rela¸c˜ao entre o skew anel de grupo parcial e o respectivo skew anel de semigrupo da
a¸c˜ao global associada a a¸c˜ao parcial (resultados provados em [10]).
2
Cap´ıtulo 1
Semigrupos inversos e a¸c˜oes
Neste cap´ıtulo apresentamos algumas defini¸c˜oes e resultados sobre semigrupos e
a¸c˜oes parciais de grupos que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores. Tais resulta-
dos, ap esar de serem cl´assicos, s˜ao apresentados para a comodidade do leitor.
O cap´ıtulo ser´a dividido em trˆes se¸c˜oes. Na primeira, exploramos conceitos e re-
sultados sobre semigrupos inversos. As demonstra¸c˜oes omitidas nessa se¸c˜ao podem
ser vistas em [15]. Na segunda, abordamos sobre a¸c˜oes parciais de grupos sobre con-
juntos. Na ´ultima, mostramos que toda a¸c˜ao parcial de um grupo sobre um conjunto
´e restri¸c˜ao de uma a¸c˜ao global (denominada globaliza¸c˜ao). Provamos tamb´em uma
propriedade universal da globaliza¸c˜ao constru´ıda.
1.1 Semigrupos Inversos
A no¸c˜ao de semigrupo ´e mais geral que o conceito de grupo, ou seja, todo grupo
´e um semigrupo. De qualquer forma, um semigrupo inverso aproxima-se, como es-
trutura, de um grupo. Nesta se¸c˜ao apresentamos alguns resultados sobre semigrupos
inversos que usaremos frequentemente neste trabalho.
Defini¸c˜ao 1.1.1. Um conjunto n˜ao-vazio S ´e um semigrupo se S tem uma opera¸c˜ao
bin´aria associativa. Se, al´em disso, existe 1
S
∈ S tal que 1
S
s = s1
S
= s, para todo
s ∈ S, ent˜ao dizemos que S ´e um mon´oide. Um semigrupo S ´e dito regular se para
todo a ∈ S, existe b ∈ S tal que aba = a e bab = b. O elemento b ∈ S ´e chamado um
inverso de a. Um subsemigrupo de um semigrupo S ´e um subconjunto n˜ao vazio de
S fechado com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de S.
3
Exemplos: (1) O conjunto N com a soma ´e um semigrupo. Mais ainda, N ´e um
mon´oide, com 1
N
= 0.
(2) No conjunto R defina a opera¸c˜ao max por x(max)y := max{x, y}. Com esta
opera¸c˜ao R ´e um semigrupo.
(3) Denote por M
n
(R) o conjunto de todas as matrizes n × n com entradas em R.
Ent˜ao (M
n
(R), +) e (M
n
(R), ·) s˜ao semigrupos.
(4) Seja H um conjunto n˜ao vazio. Defina S = H × H = {(i, j); i, j ∈ H} com a
seguinte opera¸c˜ao: (i, j)(l, k ) = (i, k). Facilmente mostra-se que com essa opera¸c˜ao
S ´e um semigrupo, isto ´e, que a opera¸c˜ao definida acima ´e associativa. Al´em disso,
dado a = (i, j) ∈ S tome b = (l, k) ∈ S qualquer, e note que aba = (i, j)(l, k)(i, j) =
(i, k)(i, j) = (i, j) = a e bab = (l, k)(i, j)(l, k ) = (l, j)(l, k) = (l, k) = b. Portanto, S
´e um semigrupo regular.
De maneira natural, dados S e T semigrupos, dizemos que h : S −→ T ´e
um homomorfismo de semigrupos se satisfaz h(s
1
s
2
) = h(s
1
)h(s
2
), para quaisquer
s
1
, s
2
∈ S.
Defini¸c˜ao 1.1.2. Sejam X um conjunto n˜ao vazio, S um semigrupo e i : X −→ S
uma fun¸c˜ao. Dizemos que o par (S, i) ´e um semigrupo universal sobre X se para
qualquer semigrupo T e qualquer fun¸c˜ao k : X −→ T , existe ´unico homomorfismo
de semigrupos
k : S −→ T tal que
k ◦ i = k.
Exemplo: Seja X um conjunto n˜ao vazio qualquer chamado, neste contexto, de
alfabeto. O conjunto X
∗
consiste de todas as sequˆencias finitas de elementos de X.
A sequˆencia vazia ´e denotada por 1. Um elemento n˜ao vazio padr˜ao de X
∗
´e da
forma x
1
x
2
....x
n
onde x
i
∈ X, para to do i = 1, 2, .., n. Esses elementos s˜ao chamados
palavras de X. A opera¸c˜ao bin´aria ´e chamada concatena¸c˜ao e definida em X
∗
como
segue: sejam x = x
1
x
2
....x
n
e y = y
1
y
2
....y
m
palavras em X
∗
ent˜ao sua concatena¸c˜ao
´e xy = x
1
x
2
....x
n
y
1
y
2
....y
m
. Definindo i : X −→ X
∗
por, i(x) = x, temos que o par
(X
∗
, i) ´e um semigrupo universal de X.
Lembremos que, dado um semigrupo S, um elemento s ∈ S ´e dito um idempotente
de S se s
2
= s. Denotaremos por E(S) o conjunto de todos os idempotentes de S.
Defini¸c˜ao 1.1.3. Um semigrupo regular S ´e chamado um semigrupo inverso se
quaisquer dois idempotentes de S comutam. Se, al´em disso, existe 1
S
∈ S tal que
1
S
s = s1
S
= s, para todo s ∈ S , ent˜ao dizemos que S ´e um mon´oide inverso.
4
Exemplos: (1) Sejam X e Y conjuntos n˜ao vazios. Uma fun¸c˜ao parcial de X em
Y ´e uma fun¸c˜ao f : A −→ B, onde A e B s˜ao subconjuntos de X e Y , respec-
tivamente. Denotaremos A por dom(f) e B por im(f). Considere f : X −→ Y
e g : Y −→ Z fun¸c˜oes parciais. Definimos a composi¸c˜ao dessas fun¸c˜oes parciais
por gf : X −→ Z uma fun¸c˜ao parcial com dom(gf ) = f
−1
(dom(g) ∩ im(f )),
im(gf) = g(dom(g) ∩ im(f)) e (gf)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ dom(gf). Com
esta opera¸c˜ao e restringindo-se as bije¸c˜oes parciais de X em X, obtemos um mon´oide
inverso, denotado por I(X) e chamado o mon´oide inverso sim´etrico de X (ver [15,
Proposi¸c˜oes 1.1.1 e 1.1.2]).
(2) Sejam G um grupo com elemento identidade 1 e P
1
(G) o conjunto de todos os
subconjuntos finitos de G contendo 1. Tome
G = {(A, g) ∈ P
1
(G) × G; g ∈ A},
com multiplica¸c˜ao dada por (A, g)(B, h) = (A ∪ gB, gh), onde gB = {gb; b ∈ B}.
Mostremos que
G com essa opera¸c˜ao ´e um mon´oide inverso. Observe que a multi-
plica¸c˜ao est´a bem definida, pois A ∪ gB ∈ P
1
(G) e como h ∈ B ent˜ao gh ∈ gB.
Da´ı, gh ∈ A ∪ gB. Portanto, (A, g)(B, h) ∈
G. Essa opera¸c˜ao ´e claramente associa-
tiva. Assim,
G ´e um semigrupo. Mais ainda, como ({1}, 1) ∈
G e (A, g)({1}, 1) =
({1}, 1)(A, g) = (A, g), para todo (A, g) ∈
G ent˜ao
G ´e um mon´oide. Temos tamb´em
que (A, g)(g
−1
A, g
−1
)(A, g) = (A, g) e (g
−1
A, g
−1
)(A, g)(g
−1
A, g
−1
) = (g
−1
A, g
−1
).
Logo,
G ´e um semigrupo regular. Vamos agora investigar como s˜ao os idempo-
tentes de
G. Seja (A, g) ∈
G tal que (A, g)(A, g) = ( A, g). Ent˜ao, (A, g)(A, g) =
(A ∪ gA, gg) = (A, g). De g
2
= g segue que g = 1. Portanto, os idempotentes
de
G s˜ao da forma (A, 1). Considere (A, 1) e (B, 1) idempotentes de
G. Ent˜ao,
(A, 1)(B, 1) = (A ∪ 1B, 1) = (A ∪ B, 1) = (B ∪ A, 1) = (B, 1)(A, 1). Como os
idempotentes de
G comutam, temos que
G ´e um mon´oide inverso.
Nem sempre ´e f´acil calcular os idempotentes de um semigrupo e mostrar que esses
comutam. O teorema a seguir fornece uma caracteriza¸c˜ao de semigrupos inversos.
Teorema 1.1.4. Seja S um semigrupo regular. Ent˜ao os idempotentes de S comutam
se, e somente se, todo elemento de S tem um ´unico inverso.
Prova: (⇒) Seja a ∈ S e suponha que u e v s˜ao inversos de a, isto ´e, a = aua, u =
uau e a = ava, v = vav. Ent˜ao, u = uau = u(ava)u = (ua)(va)u. Mas, (ua)(ua) =
(uau)a = ua, ou seja, ua ∈ E(S). Analogamente, va ∈ E(S). Por hip´otese os
idempotentes de S comutam. Da´ı, u = (ua)(va)u = (va)(ua)u = va(uau) = vau =
5
(vav)au = v(av)(au). Por´em, av, au ∈ E(S). Assim, u = v(av)(au) = v(au)(av) =
v(aua)v = vav = v. Logo, u = v e portanto a tem um ´unico inverso.
(⇐) Dados e, f ∈ E(S) mostremos que existe um inverso de ef que ´e idempotente.
De fato, seja x um inverso de ef, isto ´e, ef = (ef)x(ef ) e x = x(ef)x. Tome y = f xe
e note que yy = (fxe)(fxe) = f (xefx)e = fxe = y. Assim, y ∈ E(S). Al´em disso,
yefy = (fxe)ef(f xe) = fxe
2
f
2
xe = f(xefx)e = fxe = y e efyef = ef(fxe)ef =
ef
2
xe
2
f = efxef = ef. Logo, y ´e um inverso de ef. Conclu´ımos que y ´e o inverso
de ef requerido. Continuemos com os idempotentes e, f. Como S ´e um semigrupo
regular, tome x como sendo um inverso de ef. Pelo que foi feito acima, temos que fxe
tamb´em ´e um inverso de ef e ´e idempotente. Por hip´otese, o inverso de todo elemento
de S ´e ´unico. Assim, x = f xe ∈ E(S). Logo, x ´e inverso de si mesmo. Por outro lado,
ef ´e um inverso de x. Da´ı por hip´otese, tem-se x = ef ∈ E(S). Desta forma, E(S)
´e fechado com rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de S. Consequentemente, fe ∈ E(S). Observe
tamb´em que, ef(fe)ef = ef
2
e
2
f = efef = ef e fe(ef)fe = fe
2
f
2
e = fefe = fe.
Logo, fe ´e um inverso de ef e como ef ∈ E(S) temos que ef = fe. Portanto, os
idempotentes de S comutam. ✷
Do teorema acima, segue que os semigrupos inversos s˜ao precisamente os semi-
grupos S nos quais para cada elemento s ∈ S existe um ´unico elemento s
−1
∈ S tal
que s = ss
−1
s e s
−1
ss
−1
= s
−1
. O elemento s
−1
´e chamado o inverso de s em S. Um
subsemigrupo inverso de um semigrupo ´e um subsemigrupo fechado em rela¸c˜ao aos
inversos.
Observa¸c˜ao 1.1.5. Claramente temos que todo grupo ´e um semigrupo inverso. Em
[15, Proposi¸c˜ao 1.4.4] mostra-se que os grupos s˜ao precisamente os semigrupos in-
versos com exatamente um idempotente.
Proposi¸c˜ao 1.1.6. Seja S um semigrupo inverso. Ent˜ao:
(1) Se e ∈ E(S) ent˜ao e
−1
= e.
(2) Todo idempotente de S ´e da forma ss
−1
, para algum s ∈ S.
(3) (s
−1
)
−1
= s.
(4) Para qualquer e ∈ E(S) e s ∈ S temos que s
−1
es ∈ E(S).
(5) (s
1
s
2
· · · s
n
)
−1
= s
−1
n
· · · s
−1
2
s
−1
1
, n ≥ 2.
Prova: As demonstra¸c˜oes dos ´ıtens (1), (3) e (4) s˜ao imediatas. Para a prova do
item (2), note que ( ss
−1
)(ss
−1
) = (ss
−1
s)s
−1
= ss
−1
. Portanto, ss
−1
∈ E(S). Por
6
outro lado, considere e ∈ E(S) ent˜ao, pelo item (1), temos e = e
2
= ee = ee
−1
. No
item (5), basta provar para n = 2. Dados s
1
, s
2
∈ S, temos (s
1
s
2
)(s
−1
2
s
−1
1
)(s
1
s
2
) =
s
1
(s
2
s
−1
2
)(s
−1
1
s
1
)s
2
. Como os idempotentes de S comutam e pelo item (2), ss
−1
´e
idempotente para todo s ∈ S temos que (s
1
s
2
)(s
−1
2
s
−1
1
)(s
1
s
2
) = s
1
(s
−1
1
s
1
)(s
2
s
−1
2
)s
2
=
(s
1
s
−1
1
s
1
)(s
2
s
−1
2
s
2
) = s
1
s
2
. Analogamente mostra-se que (s
−1
2
s
−1
1
)(s
1
s
2
)(s
−1
2
s
−1
1
) =
s
−1
2
s
−1
1
. Portanto, (s
1
s
2
)
−1
= s
−1
2
s
−1
1
. ✷
Seja X um conjunto, o mon´oide inverso sim´etrico I(X) est´a ordenado parcial-
mente pela restri¸c˜ao, isto ´e, f ⊆ g se, e somente se, dom(f) ⊆ dom(g) e g(x) = f (x),
para todo x ∈ dom(f). Neste caso, dizemos que f ´e a restri¸c˜ao de g. Em [15,
Proposi¸c˜ao 1.1.4], mostra-se que f ⊆ g se, e somente se, existe 1
A
∈ I(X) tal que
f = g1
A
, onde 1
A
: A −→ A ´e dada por 1
A
(a) = a (chamamos 1
A
de identidade
parcial de I(X)). Observe que, 1
A
1
A
= 1
A
. Portanto 1
A
´e um idempotente de I(X).
Inspirados nessa caracteriza¸c˜ao defini-se a rela¸c˜ao ≤ em qualquer semigrupo in-
verso S por: s ≤ t se, e somente se, s = te, para algum e ∈ E(S).
No que segue, mostramos que essa ´e realmente uma rela¸c˜ao de ordem parcial em
S e, dentre outras coisas, que o lado em que o idempotente aparece ´e irrelevante.
Lema 1.1.7. Seja S um semigrupo inverso. S˜ao equivalentes:
(1) s ≤ t.
(2) s = ft, para algum f ∈ E(S).
(3) s
−1
≤ t
−1
.
(4) s = ss
−1
t.
(5) s = ts
−1
s.
Prova: (1) ⇒ (2) Sejam s, t ∈ S tais que s ≤ t. Ent˜ao, por defini¸c˜ao, existe
e ∈ E(S) tal que s = te. Por (3) da Proposi¸c˜ao 1.1.6, f = tet
−1
∈ E(S). Al´em disso,
ft = tet
−1
t = tt
−1
te = te = s. Ent˜ao, s = f t, com f ∈ E(S).
(2) ⇒ (3) Como s = ft temos por (4) e (5) da Proposi¸c˜ao 1.1.6 que s
−1
= (ft)
−1
=
t
−1
f
−1
= t
−1
f. Portanto, s
−1
≤ t
−1
.
(3) ⇒ (4) De s
−1
≤ t
−1
, segue que s
−1
= t
−1
e, para algum e ∈ E(S). Assim, s = et.
Logo, es = e(et) = e
2
t = et = s. Da´ı, ess
−1
= ss
−1
. Usando a comutatividade
dos idempotentes e que ess
−1
= ss
−1
, temos que s = ss
−1
s = ss
−1
(et) = ss
−1
et =
ess
−1
t = ss
−1
t. Portanto, s = ss
−1
t.
7
(4) ⇒ (5) Por hip´otese s = ss
−1
t e por (1) da Proposi¸c˜ao 1.1.6 temos que ss
−1
=
f ∈ E(S). Tomando e = t
−1
ft, ent˜ao te = t(t
−1
ft) = tt
−1
ft = ftt
−1
t = ft = s. E
pela Proposi¸c˜ao 1.1.6 (3), e ∈ E(S). Al´em disso, se = tee = te = s. Da´ı, s
−1
= es
−1
.
Assim, s = ss
−
1
s = (te)s
−
1
s = t(es
−
1
)s = ts
−
1
s. Portanto, s = ts
−
1
s.
(5) ⇒ (1) Temos que s = ts
−1
s e, como s
−1
s ∈ E(S), ent˜ao s ≤ t. ✷
As equivalˆencias do lema anterior, apesar de serem de simples demonstra¸c˜ao, s˜ao
importantes e ser˜ao utilizadas v´arias vezes neste trabalho.
Proposi¸c˜ao 1.1.8. Seja S um semigrupo inverso. Ent˜ao:
(1) A rela¸c˜ao ≤ ´e uma ordem parcial em S.
(2) Para quaisquer e, f ∈ E(S) temos que e ≤ f se, e somente se, e = ef = fe.
(3) Se s ≤ t e u ≤ v ent˜ao su ≤ tv.
Prova: Os ´ıtens (1) e (2) s˜ao imediatos. J´a para mostrar o item (3) sejam s, t, u, v ∈
S tais que s ≤ t e u ≤ v. Ent˜ao existem e, f ∈ E(S) tais que s = te e u = vf. Da´ı,
su = (te)vf = t(ev)f. Mas, tomando h = v
−1
ev ∈ E(S) temos vh = v(v
−1
ev) =
evv
−1
v = ev. Assim, su = t(vh)f = tv(hf). Como h, f ∈ E(S) ent˜ao hf ∈ E(S).
Portanto, su ≤ tv. ✷
A ordem definida acima ´e chamada ordem parcial natural de S. No caso particular
em que o semigrupo S ´e um grupo, a ordem parcial natural ´e a rela¸c˜ao de igualdade,
e vale a rec´ıproca (ver [15, Proposi¸c˜ao 1.4.10]). Assim, a ordem parcial natural nos
permite mensurar o “quanto”um semigrupo inverso se afasta de ser um grupo. O
item (3) da proposi¸c˜ao anterior mostra que a ordem parcial natural ´e compat´ıvel
com a multiplica¸c˜ao.
Dado um semigrupo S, uma congruˆencia em S ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia ρ
em S tal que se a ρ b e c ρ d ent˜ao ac ρ bd. Se S ´e um semigrupo inverso definimos
a seguinte congruˆencia em S: dados s, t ∈ S, s σ t se, e somente se, existe u ∈ S tal
que u ≤ s e u ≤ t. Denotemos por σ(s) a σ-classe de um elemento s ∈ S.
Teorema 1.1.9. Se S ´e um semigrupo inverso ent˜ao S /σ ´e um grupo.
Prova: Facilmente podemos ver que S/σ ´e um semigrupo inverso com a opera¸c˜ao
σ(s)σ(t) = σ(st). Para mostrarmos que esse semigrupo inverso ´e um grupo basta
verificarmos que S/σ tem somente um idempotente (ver Observa¸c˜ao 1.1.5). Seja
e ∈ E(S) e considere s ∈ S tal que e ∈ σ(s). Para qualquer f ∈ E(S) temos que
8
f σ e, pois ef ≤ e, f. Como f σ e, e σ s e σ ´e transitiva ent˜ao f σ s e assim, f ∈ σ(s).
Logo, os idempotentes de S est˜ao todos na mesma σ-classe.
Seja s ∈ S tal que σ(s)
2
= σ(s) ent˜ao σ(s
2
) = σ(s). Da´ı, s
2
σs. Logo, existe u ∈ S
tal que u ≤ s
2
e u ≤ s. Assim, usando o Lema 1.1.7 e a Proposi¸c˜ao 1.1.8, temos que
u
−1
u ≤ s
−1
ss. Ent˜ao, existe f ∈ E(S) tal que u
−1
u = fs
−1
ss. Como f, s
−1
s ∈ E(S)
segue que fs
−1
s ∈ E(S) e assim u
−1
u ≤ s. Lembremos que u
−1
u ≤ u
−1
u. Da´ı,
u
−1
u σ s. Ou seja, σ(u
−1
u) = σ(s) e u
−1
u ∈ E(S). Ent˜ao, sejam s, t ∈ S tais que
σ(s)
2
= σ(s) e σ(t)
2
= σ(t). Assim, pelo que foi feito acima existem e, f ∈ E(S) tais
que σ(s) = σ(e) e σ(t) = σ(f). Mas, σ(e) = σ(f). Ent˜ao, σ(s) = σ(t). Logo, S/σ
tem um ´unico idempotente e sendo assim S/σ ´e grupo. ✷
Observa¸c˜ao 1.1.10. (1) Se S ´e um grupo e s ∈ S ent˜ao σ(s) = {s}.
(2) A congruˆencia σ ´e chamada congruˆencia de grupo minimal, visto que se ρ ´e uma
congruˆencia em S tal que S/ρ ´e grupo ent˜ao σ ⊆ ρ (ver [15, Teorema 2.4.1]).
Defini¸c˜ao 1.1.11. Sejam S e T semigrupos inversos e ϕ : S −→ T um homomor-
fismo de semigrupos. O n´ucleo de ϕ ´e definido por Ker(ϕ) = {(a, b) ∈ S × S; ϕ(a) =
ϕ(b)} e a imagem de ϕ ´e definida por Im(ϕ) = {ϕ(s) : s ∈ S}.
Dado ϕ : S −→ T um homomorfismo de semigrupos ent˜ao verifica-se direta-
mente, a partir da defini¸c˜ao, que Ker(ϕ) ´e uma congruˆencia em S e que Im(ϕ) ´e um
subsemigrupo de T . Mais ainda, se ρ = Ker(ϕ) ent˜ao S/ρ ´e um semigrupo com a
opera¸c˜ao ρ(s)ρ(t) = ρ(st) e vale o teorema do homomorfismo, ou seja, S/ρ Im(ϕ)
(ver [15, Teorema 2.3.1]).
Exemplo: Pelo teorema anterior S/σ ´e grupo, onde S ´e um semigrupo inverso.
No in´ıcio dessa se¸c˜ao apresentamos o mon´oide inverso
G. Vamos investigar
G/σ.
Iniciamos definindo a seguinte fun¸c˜ao: ϕ :
G −→ G dada por ϕ(A, g) = g. Note
que ϕ ´e homomorfismo de semigrupos, pois ϕ((A, g)(B, h)) = ϕ(A ∪ gB, gh) =
gh = ϕ(A, g)ϕ(B, h), para todo (A, g), (B, h) ∈
G. Al´em disso, temos que ker(ϕ) =
{((A, g), (B, h)) ∈
G ×
G; ϕ(A, g) = ϕ(B, h)}. Ent˜ao, ((A, g), (B, h)) ∈ ker(ϕ) se,
e somente se, g = h. Mostremos que ker(ϕ) = σ. De fato, seja ((A, g), (B, h)) ∈
ker(ϕ). Ent˜ao g = h. Vamos verificar que (A, g) σ (B, g). Tome (A ∪ B, g) e note
que: (A ∪ B, g) = (A, g)(g
−1
B, 1) e (A ∪ B, g) = (B, g)(g
−1
A, 1). Lembremos que,
(g
−1
A, 1), (g
−1
B, 1) ∈ E(
G). Desse modo, temos que, (A ∪ B, g) ≤ (A, g) e (A ∪
B, g) ≤ (B, g). Logo, (A, g) σ (B, g). Por outro lado, se (A, g) σ (B, h) ent˜ao existe
9
(C, l) ∈
G tal que (C, l) ≤ (A, g) e (C, l) ≤ (B, h). Da´ı, existem (D, 1), (E, 1) ∈ E(
G)
tais que (C, l) = (A, g)(D, 1) = (A ∪ gD, g) e (C, l) = (B, h)(E, 1) = (B ∪ hE, h).
Logo, l = g = h. Portanto, ϕ(A, g) = g = h = ϕ(B, h). Assim, ((A, g), (B, g)) ∈
ker(ϕ). Como Im(ϕ) = G temos G = Im( ϕ)
G/ ker(ϕ) =
G/σ.
Defini¸c˜ao 1.1.12. Um semigrupo inverso S ´e dito F-inverso se cada σ-classe cont´em
um elemento m´aximo (em rela¸c˜ao a ordem parcial natural). Dizemos que S ´e E-
unit´ario se e ∈ E(S) e e ≤ s implicar que s ∈ E(S).
O teorema abaixo caracteriza os semigrupos inversos E-unit´arios, fazendo uma
conex˜ao entre esses e a congruˆencia de grupo minimal.
Teorema 1.1.13. Seja S um semigrupo inverso. Ent˜ao S ´e E-unit´ario se, e somente
se, σ(e) = E(S), para todo e ∈ E(S).
Prova: (⇒) Sejam e, f ∈ E(S) e considere a σ-classe σ(e). Ent˜ao f ∈ σ(e), pois
ef ≤ e, f. Logo, E(S) ⊆ σ(e). Por outro lado, seja s ∈ σ(e). Assim, existe u ∈ S
tal que u ≤ s e u ≤ e. Ent˜ao, existe f ∈ E(S) tal que u = ef ∈ E(S). Agora,
como u ≤ s, u ∈ E(S) e S ´e E-unit´ario temos que s ∈ E(S). Assim, σ(e) ⊆ E(S).
Portanto, σ(e) = E(S), para todo e ∈ E(S).
(⇐) Sejam e ∈ E(S) e s ∈ S tais que e ≤ s. Note que, e ≤ e. Assim, e σ s ent˜ao
s ∈ σ(e). Por hip´otese, σ(e) = E(S), para todo e ∈ E(S). Da´ı, s ∈ E(S). Portanto,
S ´e E-unit´ario. ✷
Do teorema anterior, segue que S ´e um semigrupo inverso E-unit´ario se a σ-classe
dos idemp otentes cont´em todos e somente idempotentes.
A seguir mostramos que semigrupos F-inversos s˜ao necessariamente E-unit´arios.
Teorema 1.1.14. Se S ´e um semigrupo F-inverso ent˜ao S ´e um mon´oide E-unit´ario.
Prova:
´
E f´acil ver que σ(e) ´e a identidade do grupo S/σ, onde e ∈ E(S). Suponha
que i ´e o elemento m´aximo de σ(e). Como E(S) ⊆ σ(e), ent˜ao i ´e maior que todos
os idempotentes de S. Mostremos que i ´e idempotente. De fato, i
−1
i ∈ E(S) e assim
i
−1
i ≤ i. Ent˜ao, ii
−1
i ≤ ii. Logo, i ≤ i
2
. Por outro lado, e ≤ i. Desta forma, e ≤ i
2
.
Como e ≤ e temos que i
2
∈ σ(e). Ent˜ao, i
2
≤ i. Portanto, i
2
= i.
Mostremos agora que i ´e o elemento identidade de S. De fato, seja s ∈ S. Ent˜ao,
is = i(ss
−1
s) = i(ss
−1
)s. Basta mostrar que i(ss
−1
) = ss
−1
. Observe que para todo
10
e ∈ E(S) temos e ≤ i. Assim, e = e
2
≤ ie. Al´em disso, como i ∈ E(S) ent˜ao ie ≤ e.
Portanto, ie = e. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.6 item (2) temos que ss
−1
∈ E(S). Logo,
i(ss
−1
) = ss
−1
. Ent˜ao, is = i(ss
−1
)s = (ss
−1
)s = ss
−1
s = s. Analogamente, si = s.
Conclu´ımos que S ´e um mon´oide inverso com identidade i.
Finalmente mostremos que todo elemento de σ(e) ´e idempotente de S. Seja
s ∈ σ(e). Ent˜ao, s ≤ i. Pelo Lema 1.1.7, temos que s = iss
−1
∈ E(S). Logo
a σ-classe dos idempotentes cont´em todos e somente idempotentes. Portanto, pelo
Teorema 1.1.13, S ´e um mon´oide E-unit´ario. ✷
1.2 A¸c˜oes Parciais de Grupos
Dado um conjunto Y n˜ao vazio e um grupo G com elemento neutro 1, uma a¸c˜ao
(global) de G sobre Y ´e um homomorfismo de grupos β : G −→ Y
G
, onde Y
G
´e o grupo das permuta¸c˜oes de Y . Ent˜ao, β(1) = Id
Y
e β(g)β(h) = β(gh), para
quaisquer g, h ∈ G. Analogamente, dizemos que G age sobre um anel (associativo
com unidade) R se β : G −→ Aut(R) ´e um homomorfismo de grupos, onde Aut(R)
´e o grupo dos automorfismos do anel R.
A no¸c˜ao alg´ebrica de uma a¸c˜ao parcial de um grupo sobre um conjunto X aparece
inicialmente em [4]. Em [14], defini-se a¸c˜ao parcial usando a no¸c˜ao de pr´e-morfismo.
Mostraremos nesta se¸c˜ao que a defini¸c˜ao dada em [14] ´e exatamente a defini¸c˜ao dada
em [4].
Sejam S e T semigrupos inversos. Uma fun¸c˜ao α : S −→ T ´e chamada de
pr´e-morfismo se satisfaz:
(1) α(s
−1
) = α(s)
−1
, para todo s ∈ S,
(2) α(s)α(t) ≤ α(st), para todo s ∈ S.
Se S e T s˜ao mon´oides ent˜ao o pr´e-morfismo α ´e dito unit´ario se vale:
(3) α(1
S
) = 1
T
.
No que segue, usaremos X para denotar um conjunto n˜ao vazio qualquer e G
para denotar um grupo com unidade 1.
Defini¸c˜ao 1.2.1. Uma a¸c˜ao parcial de um grupo G num conjunto X ´e um pr´e-
morfismo unit´ario de G para o mon´oide inverso I(X).
Seja α uma a¸c˜ao parcial de um grupo G num conjunto X. Assuma que a fun¸c˜ao
α : G −→ I(X) ´e dada por α(g) := α
g
: X
g
−1
−→ X
g
, onde para cada g ∈ G, X
g
´e
11
um sub conjunto de X e a fun¸c˜ao α satisfaz:
(1) α
1
= Id
X
, onde Id
X
´e a fun¸c˜ao identidade do conjunto X,
(2) α
−1
g
= α
g
−1
,
(3) α
g
α
h
≤ α
gh
, para todo g, h ∈ G.
Vamos analisar melhor o que significa a condi¸c˜ao (3) dada acima. Para todo
g, h ∈ G temos α
g
α
h
≤ α
gh
. Ou seja, dom(α
g
α
h
) ⊆ dom(α
gh
) e α
g
α
h
(x) = α
gh
(x),
para todo x ∈ dom(α
g
α
h
). Agora vejamos: dom(α
g
α
h
) = α
−1
h
(X
h
∩X
g
−1
). Portanto,
α
−1
h
(X
h
∩ X
g
−1
) ⊆ X
(gh)
−1
. Al´em disso, α
g
α
h
(x) = α
gh
(x), para todo x ∈ α
−1
h
(X
h
∩
X
g
−1
).
Isso mostra que a defini¸c˜ao de a¸c˜ao parcial de um grupo G num conjunto X dada
por [14] (Defini¸c˜ao 1.2.1) implica na defini¸c˜ao dada por [4] e apresentada abaixo.
Defini¸c˜ao 1.2.2. Sejam G um grupo e X um conjunto. Uma a¸c˜ao parcial de G em
X ´e um par α = ({X
g
}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
) onde para cada g ∈ G, X
g
´e um subconjunto
de X e a fun¸c˜ao α
g
: X
g
−1
−→ X
g
´e uma bije¸c˜ao satisfazendo:
(1) X
1
= X, α
1
= Id
X
,
(2) α
−1
h
(X
h
∩ X
g
−1
) ⊆ X
(gh)
−1
,
(3) α
g
α
h
(x) = α
gh
(x), para todo x ∈ α
−1
h
(X
h
∩ X
g
−1
) e para quaisquer g, h ∈ G.
Note que as condi¸c˜oes (2) e (3) da defini¸c˜ao acima estabelecem que a fun¸c˜ao
α
gh
´e uma extens˜ao da fun¸c˜ao α
g
α
h
e que α
−1
g
= α
g
−1
, para todo g ∈ G. Logo,
esta defini¸c˜ao implica a Defini¸c˜ao 1.2.1. A condi¸c˜ao (2) pode ser substitu´ıda por
uma condi¸c˜ao “aparentemente”mais forte (ver [4]). Assim, podemos reescrever a
defini¸c˜ao de a¸c˜ao parcial.
Defini¸c˜ao 1.2.3. Com a nota¸c˜ao da Defini¸c˜ao 1.2.2, temos que α ´e uma a¸c˜ao parcial
de G em X se para quaisquer g, h ∈ G valem:
(1) X
1
= X, α
1
= Id
X
,
(2
) α
g
(X
g
−1
∩ X
h
) = X
g
∩ X
gh
,
(3
) α
g
α
h
(x) = α
gh
(x), para todo x ∈ X
h
−1
∩ X
(gh)
−1
.
Exemplo: Sejam G = g; g
3
= 1 = {1, g, g
2
} e Y = {1, 2, 3, 4}. Considere β :
G −→ Y
G
, onde Y
G
´e o grup o das permuta¸c˜oes de Y , que associa para cada g ∈ G a
fun¸c˜ao β
g
: Y −→ Y , com β
1
= Id
Y
e β
g
= (234). Ent˜ao β ´e uma a¸c˜ao global de G
em Y . Seja X = {1, 2, 3} e defina X
g
= X ∩ β
g
(X). Calculando os X
g
’s, obtemos:
12
X
1
= X, X
g
= {1, 3} e X
g
2
= X
g
−1
= {1, 2}. Assim, α : G −→ I(X), que a cada
g ∈ G associa α
g
: X
g
−1
−→ X
g
, com α
g
= β
g
|
X
g
−1
, ´e uma a¸c˜ao parcial de G em X.
Esse exemplo ´e um caso particular de uma forma geral de construir exemplos de
a¸c˜oes parciais a partir de a¸c˜oes globais.
Exemplo: Sejam G um grupo, Y um conjunto e X ⊂ Y um subconjunto de Y .
Considere uma a¸c˜ao global β : G −→ Y
G
(onde Y
G
´e o grupo das permuta¸c˜oes de
Y ), dada por β(g) := β
g
. Defina, X
g
:= X ∩ β
g
(X) e α
g
: X
g
−1
−→ X
g
, com
α
g
= β
g
|
X
g
−1
, para cada g ∈ G. Assim, verifica-se facilmente que α ´e uma a¸c˜ao
parcial de G em X.
No caso em que X ´e um anel R com unidade, exigimos na defini¸c˜ao de a¸c˜ao parcial
de G sobre R que D
g
seja um ideal (bilateral) de R e que a fun¸c˜ao α
g
: D
g
−1
−→ D
g
seja um isomorfismo de ideais satisfazendo as condi¸c˜oes (1) − (3) da Defini¸c˜ao 1.2.2,
para to do g ∈ G.
Exemplos: (1) Seja K um anel com unidade 1 e considere T = K × K × K =
Ke
1
⊕ Ke
2
⊕ Ke
3
, onde e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1). Seja G = {1, g, g
2
}
e seja β : G −→ Aut(T ) uma a¸c˜ao global de G em T dada por: β
1
= Id
R
e
β
g
(e
1
) = e
2
, β
g
(e
2
) = e
3
, β
g
(e
3
) = e
1
. Tome e = e
1
+ e
2
∈ T e observe que e ´e um
idempotente central de T . Seja R = T e = K × K × {0} = Ke
1
⊕ Ke
2
e defina
D
g
:= R ∩ β
g
(R) e α
g
= β
g
|
D
g
−1
, para todo g ∈ G. Calculando os D
g
s obtemos:
D
1
= R, D
g
= Ke
2
e D
g
2
= D
g
−1
= Ke
1
. Ent˜ao, α
1
= Id
R
, α
g
: Ke
1
−→ Ke
2
´e dada por α
g
(xe
1
) = xe
2
e α
g
−1
: Ke
2
−→ Ke
1
´e dada por α
−1
g
(xe
2
) = xe
1
.
Verifica-se facilmente que α : G −→ I(R) ´e um pr´e-morfismo unit´ario. Portanto,
α = ({D
g
}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
) ´e uma a¸c˜ao parcial de G em R.
(2) Sejam G um grupo, R um anel e I < R um ideal bilateral de R. Considere
β : G −→ Aut(R), dada por β(g) := β
g
: R −→ R uma a¸c˜ao global de G em R.
Defina, para cada g ∈ G, D
g
:= I ∩ β
g
(I) e α
g
: D
g
−1
−→ D
g
, com α
g
= β
g
|
D
g
−1
.
Assim, verifica-se facilmente que α ´e uma a¸c˜ao parcial de G em I.
1.3 Globaliza¸c˜ao
Na se¸c˜ao anterior apresentamos exemplos de a¸c˜oes parciais de grupos sobre con-
juntos constru´ıdas a partir da restri¸c˜ao de a¸c˜oes globais. Surge ent˜ao a seguinte
13
quest˜ao: toda a¸c˜ao parcial de grupo ´e a restri¸c˜ao de uma a¸c˜ao global?
Nesta se¸c˜ao provaremos que toda a¸c˜ao parcial de grupo sobre um conjunto origina-
se pela restri¸c˜ao de uma a¸c˜ao global de grupo. Os resultados apresentados nesta se¸c˜ao
foram provados na se¸c˜ao 3 de [14]. Denotando por Y
G
o grupo das permuta¸c˜oes de
Y , temos a seguinte defini¸c˜ao
Defini¸c˜ao 1.3.1. Sejam G um grupo e α : G −→ I(X) (g −→ α
g
: X
g
−1
−→ X
g
),
um pr´e-morfismo unit´ario. Uma globaliza¸c˜ao de α ´e um par (ι, β), onde ι : X −→ Y
´e uma fun¸c˜ao injetora entre conjuntos e β : G −→ Y
G
(g −→ β
g
: Y −→ Y ), ´e um
homomorfismo de grupos tais que, para cada g ∈ G, temos:
(1) x ∈ X
g
−1
se, e somente se, β
g
(ι(x)) ∈ ι(X),
(2) α
g
(x) = ι
−1
β
g
ι(x), para todo x ∈ X
g
−1
.
O conceito de globaliza¸c˜ao (ou envolvente) de uma a¸c˜ao parcial de um grupo sobre
um anel foi considerado em [4, Defini¸c˜ao 4.2]. A pr´oxima observa¸c˜ao mostra que a
no¸c˜ao de globaliza¸c˜ao considerada acima, reflete exatamente a no¸c˜ao de globaliza¸c˜ao
de [4] quando trabalhamos com a¸c˜oes sobre conjuntos.
Observa¸c˜ao 1.3.2. Para cada g ∈ G, s˜ao equivalentes:
(a) x ∈ X
g
−1
se, e somente se, β
g
(ι(x)) ∈ ι(X),
(b) ι(X
g
−1
) = β
g
−1
(ι(X)) ∩ ι(X).
Assuma que (a) ´e satisfeita e mostremos (b). Seja y ∈ ι(X
g
−1
). Ent˜ao, y = ι(x), para
algum x ∈ X
g
−1
. Pelo item (1), segue que β
g
(ι(x)) ∈ ι(X). Logo, β
g
(ι(x)) = ι(z),
para algum z ∈ X. Assim, y = ι(x) = β
g
−1
(ι(z)) ∈ β
g
−1
(ι(X)) ∩ ι(X). Reciproca-
mente, seja y ∈ β
g
−1
(ι(X)) ∩ ι(X). Da´ı, y = β
g
−1
(ι(a)) = ι(b), com a, b ∈ X. Ent˜ao,
β
g
(ι(b)) = ι(a) ∈ ι(X). Por (a), temos que b ∈ X
g
−1
. Logo, y = ι(b) ∈ ι(X
g
−1
).
Portanto, ι(X
g
−1
) = β
g
−1
(ι(X)) ∩ ι(X).
Assuma que (b) ´e satisfeita e mostremos que (a) tamb´em ´e satisfeita. Seja x ∈ X
g
−1
.
Ent˜ao, ι(x) ∈ β
g
−1
(ι(X)). Assim, ι(x) = β
g
−1
(ι(y)), para algum y ∈ X. Logo,
β
g
(ι(x)) = ι(y) ∈ ι(X). Reciprocamente, seja x ∈ X tal que β
g
(ι(x)) ∈ ι(X). Logo,
β
g
(ι(x)) = ι(y), para algum y ∈ X. Ent˜ao, ι(x) = β
g
−1
(ι(y)) ∈ β
g
−1
(ι(X)) ∩ ι(X).
Por (b), segue que ι(x) ∈ ι(X
g
−1
). Mas, ι ´e injetora. Assim, x ∈ X
g
−1
. Portanto,
x ∈ X
g
−1
se, e somente se, β
g
(ι(x)) ∈ ι(X).
Seja α : G −→ I(X) ( g −→ α
g
: X
g
−1
−→ X
g
) um pr´e-morfismo unit´ario.
Agora contruiremos uma globaliza¸c˜ao para essa a¸c˜ao parcial de G em X. Sejam
14
g
1
, · · · , g
n
∈ G e x, x
∈ X. Escrevemos (α
g
n
, · · · , α
g
1
)x = x
se existem elementos
x
1
= x, x
2
, · · · , x
n+1
= x
∈ X tais que x
1
∈ dom(α
g
1
) = X
g
−1
1
e α
g
1
(x
1
) = x
2
, x
2
∈
dom(α
g
2
) = X
g
−1
2
e α
g
2
(x
2
) = x
3
, · · · , x
n
∈ dom(α
g
n
) = X
g
−1
n
e α
g
n
(x
n
) = x
n+1
.
Lema 1.3.3. Defina a rela¸c˜ao ∼ no conjunto G × X por (g, x) ∼ (g
, x
) se, e
somente se, existem g
1
, · · · , g
n
∈ G tais que g = g
g
n
· · · g
1
e (α
g
n
, · · · , α
g
1
)x = x
.
Ent˜ao ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em G × X.
Prova: Observe que dados g ∈ G e x ∈ X, temos que g = g1 e α
1
(x) = x, pois
α ´e pr´e-morfismo unit´ario. Portanto, (g, x) ∼ (g, x). Deste modo, ∼ ´e reflexiva.
Mostremos que ∼ ´e sim´etrica. De fato, se (g, x) ∼ (g
, x
) ent˜ao existem g
1
, · · · , g
n
∈
G tais que g = g
g
n
· · · g
1
e (α
g
n
, · · · , α
g
1
)x = x
. Da´ı, pela defini¸c˜ao, existem x
1
=
x, x
2
, · · · , x
n+1
= x
∈ X tais que α
g
1
(x
1
) = x
2
, α
g
2
(x
2
) = x
3
, · · · , α
g
n
(x
n
) = x
n+1
.
Note que, α ´e pr´e-morfismo unit´ario. Logo, α
g
−1
α
g
≤ α
g
−1
g
= α
1
= Id
X
, para
todo g ∈ G. Ou seja, α
g
−1
α
g
(x) = x, para todo x ∈ dom(α
g
−1
α
g
) = X
g
−1
. Assim,
temos que x
1
∈ X
g
−1
1
= dom(α
g
−1
1
α
g
1
) e α
g
1
(x
1
) = x
2
. Ent˜ao, x
1
= α
g
−1
1
(α
g
1
(x
1
)) =
α
g
−1
1
(x
2
). Temos ainda que, x
2
∈ X
g
−1
2
= dom(α
g
−1
2
α
g
2
) e α
g
2
(x
2
) = x
3
. Ent˜ao,
x
2
= α
g
−1
2
(α
g
2
(x
2
)) = α
g
−1
2
(x
3
). Continuando, obtemos α
g
−1
i
(x
i+1
) = x
i
, para todo
1 ≤ i ≤ n. Portanto, g
= gg
−1
1
· · · g
−1
n
e (α
g
−1
1
, · · · , α
g
−1
n
)x
= x. Ent˜ao, (g
, x
) ∼
(g, x).
Finalmente, mostremos que ∼ ´e transitiva. Suponha que (g, x) ∼ (g
, x
) e (g
, x
) ∼
(g
, x
). Assim, existem g
1
, · · · , g
m
∈ G e h
1
, · · · , h
n
∈ G tais que:
g = g
g
m
· · · g
1
e (α
g
m
, · · · , α
g
1
)x = x
, e g
= g
h
n
· · · h
1
e (α
h
n
, · · · , α
h
1
)x
= x
.
Da´ı, pela defini¸c˜ao, existem x
1
= x, x
2
, · · · , x
m+1
= x
∈ X e y
1
= x
, y
2
, · · · , y
n+1
=
x
∈ X tais que α
g
i
(x
i
) = x
i+1
e α
h
j
(y
j
) = y
j+1
, para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤
n. Portanto, (α
h
n
, · · · , α
h
1
, α
g
m
, · · · , α
g
1
)x = x
e g = g
h
n
· · · h
1
g
m
· · · g
1
. Logo,
(g, x) ∼ (g
, x
). ✷
Denote o conjunto das ∼-classes de equivalˆencia de G × X por X
(G)
e denote a
∼-classe de equivalˆencia contendo o elemento (g, x) por [g, x]. Al´em disso, (X
(G)
)
G
denota o grupo das permuta¸c˜oes de X
(G)
.
Lema 1.3.4. Considere a fun¸c˜ao β : G −→ (X
(G)
)
G
que associa para cada h ∈ G a
fun¸c˜ao β
g
: X
(G)
−→ X
(G)
dada por β
h
([g, x]) = [hg, x]. Ent˜ao β ´e uma a¸c˜ao global
de grupo bem definida.
15
Prova: Suponha que [g, x] = [g
, x
]. Ent˜ao, (g, x) ∼ (g
, x
). Portanto, exis-
tem g
1
, · · · , g
n
∈ G tais que g = g
g
n
· · · g
1
e (α
g
n
, · · · , α
g
1
)x = x
. Logo, hg =
hg
g
n
· · · g
1
e (α
g
n
, · · · , α
g
1
)x = x
. Da´ı, (hg, x) ∼ (hg
, x
) e [hg, x] = [hg
, x
]. As-
sim, β
h
([g, x]) = β
h
([g
, x
]). Logo, β est´a bem definida. Mostremos que β
h
1
β
h
2
=
β
h
1
h
2
, para quaisquer h
1
, h
2
∈ G. De fato, sejam h
1
, h
2
∈ G e [g, x] ∈ X
(G)
.
Ent˜ao, β
h
1
β
h
2
([g, x]) = β
h
1
(β
h
2
([g, x])) = β
h
1
([h
2
g, x]) = [h
1
(h
2
g), x] = [(h
1
h
2
)g, x] =
β
h
1
h
2
([g, x]). Al´em disso, β
1
([g, x]) = [1g, x] = [g, x]. Consequentemente, β
−1
h
= β
h
−1
e p ortanto β ´e uma a¸c˜ao global de G em X
(G)
. ✷
Denotando por β
G
(ι(X)) a a¸c˜ao de G sobre ι(X), com ι : X −→ X
(G)
dada por
ι(x) = [1, x], temos o seguinte resultado
Proposi¸c˜ao 1.3.5. Considere a fun¸c˜ao ι : X −→ X
(G)
dada por ι(x) = [1, x].
Ent˜ao β
G
(ι(X)) = X
(G)
e a fun¸c˜ao ι ´e injetiva. Al´em disso, para cada g ∈ G, temos:
(1) x ∈ X
g
−1
se, e somente se, β
g
(ι(x)) ∈ ι(X),
(2) α
g
(x) = ι
−1
β
g
ι(x), para todo x ∈ X
g
−1
.
Assim, (ι, β) ´e uma globaliza¸c˜ao de α.
Prova: Mostremos primeiro que β
G
(ι(X)) = X
(G)
. De fato, sejam g ∈ G e x ∈ X.
Ent˜ao β
g
(ι(x)) = β
g
([1, x]) = [g1, x] = [g, x] ∈ X
(G)
. Logo, β
G
(ι(X)) ⊆ X
(G)
. Seja
[g, x] ∈ X
(G)
ent˜ao [g, x] = [g1, x] = β
g
([1, x]) = β
g
(ι(x)). Assim, X
(G)
⊆ β
G
(ι(X)).
Portanto, β
G
(ι(X)) = X
(G)
. Agora, mostremos que ι ´e injetiva. Com efeito, se
ι(x) = ι(y) ent˜ao [1, x] = [1, y]. Da´ı, existem g
1
, · · · , g
n
∈ G tais que 1 = 1g
n
· · · g
1
e (α
g
n
, · · · , α
g
1
)x = y. Por defini¸c˜ao, existem x
1
= x, x
2
, · · · , x
n+1
= y ∈ X tais
que α
g
1
(x
1
) = x
2
, α
g
2
(x
2
) = x
3
, · · · , α
g
n
(x
n
) = x
n+1
= y. Observe que, α
g
1
(x
1
) =
x
2
∈ X
g
1
∩ X
g
−1
2
e dom(α
g
2
α
g
1
) = α
g
−1
1
(X
g
1
∩ X
g
−1
2
). Assim, x
1
∈ dom(α
g
2
α
g
1
).
Como α ´e pr´e-morfismo ent˜ao α
g
2
α
g
1
≤ α
g
2
g
1
. Logo, α
g
2
α
g
1
(x) = α
g
2
g
1
(x), para
todo x ∈ dom(α
g
2
α
g
1
). Desta forma, temos α
g
2
α
g
1
(x
1
) = α
g
2
g
1
(x
1
). Por outro lado,
α
g
2
α
g
1
(x
1
) = α
g
2
(α
g
1
(x
1
)) = α
g
2
(x
2
) = x
3
. Portanto, α
g
2
g
1
(x
1
) = x
3
. Temos ainda
que α
g
3
(x
3
) = x
4
∈ X
g
3
∩ X
g
−1
4
. Usando racioc´ınio an´alogo ao anterior, obtemos
α
g
3
g
2
g
1
(x
1
) = x
4
. Aplicando esse racioc´ınio sucessivas vezes, temos α
g
n
···g
2
g
1
(x
1
) =
x
n+1
. Como x
1
= x, x
n+1
= y e 1 = g
n
· · · g
2
g
1
ent˜ao α
1
(x) = y. Sendo α um
pr´e-morfismo unit´ario temos α
1
(x) = x. Logo, x = y. Portanto, ι ´e injetiva.
Mostremos que x ∈ X
g
−1
se, e somente se, β
g
(ι(x)) ∈ ι(X). De fato, seja x ∈ X
g
−1
.
Da´ı, ι(α
g
(x)) = [1 , α
g
(x)]. Por outro lado, β
g
(ι(x)) = β
g
([1, x]) = [g, x]. Por´em,
[g, x] = [1, α
g
(x)], pois g = 1g e α
g
(x) = α
g
(x). Logo, ι(α
g
(x)) = β
g
(ι(x)), para cada
16
g ∈ G. Assim, β
g
(ι(x)) ∈ ι(X). Reciprocamente, seja x ∈ X tal que β
g
(ι(x)) ∈ ι(X).
Ent˜ao, β
g
(ι(x)) = β
g
([1, x]) = [g, x] ∈ ι(X). Assim, [g, x] = [1, x
], para algum
x
∈ X. Da´ı, existem g
1
, · · · , g
n
∈ G tais que g = 1g
n
· · · g
1
e (α
g
n
, · · · , α
g
1
)x = x
.
Por defini¸c˜ao, existem x
1
= x, x
2
, · · · , x
n+1
= x
∈ X tais que α
g
i
(x
i
) = x
i+1
, para
todo 1 ≤ i ≤ n. Por racioc´ınio an´alogo ao usado para mostrar a injetividade obtemos
α
g
n
···g
1
(x) = x
. Mas, g
n
· · · g
1
= g. Ent˜ao, α
g
(x) = x
. Logo, x ∈ X
g
−1
.
Como vimos acima, para cada g ∈ G e para qualquer x ∈ X
g
−1
temos ι(α
g
(x)) =
β
g
(ι(x)). Assim, α
g
(x) = ι
−1
β
g
ι(x) e (ι, β) ´e uma globaliza¸c˜ao de α. ✷
Para estabelecer uma propriedade universal da constru¸c˜ao de (ι, β) definimos
a categoria Global como segue: um objeto de Global ´e uma globaliza¸c˜ao de α.
Se (k, ψ) e (k
, ψ
) s˜ao duas globaliza¸c˜oes de α ent˜ao um morfismo de (k, ψ) em
(k
, ψ
) ´e uma fun¸c˜ao ϕ : Y −→ Y
tal que ϕk = k
e ϕ(ψ
g
(y)) = ψ
g
(ϕ(y)) (onde,
k : X −→ Y e k
: X −→ Y
). Mostremos que a composi¸c˜ao de dois morfismos ´e um
morfismo. De fato, sejam ϕ
1
∈ Mor((k, ψ), (k
, ψ
)) e ϕ
2
∈ Mor((k
, ψ
), (k
, ψ
)).
Ent˜ao, temos que a fun¸c˜ao ϕ
1
: Y −→ Y
´e tal que ϕ
1
k = k
e ϕ
1
ψ
g
(y) = ψ
g
ϕ
1
(y) e
a fun¸c˜ao ϕ
2
: Y
−→ Y
´e tal que ϕ
2
k
= k
e ϕ
2
ψ
g
(y) = ψ
g
ϕ
2
(y). Assim, temos que
ϕ
2
ϕ
1
: Y −→ Y
, (ϕ
2
ϕ
1
)k = ϕ
2
(ϕ
1
k) = ϕ
2
(k
) = k
e (ϕ
2
ϕ
1
)ψ
g
(y) = ϕ
2
(ϕ
1
ψ
g
(y)) =
ϕ
2
(ψ
g
ϕ
1
(y)) = (ϕ
2
ψ
g
)(ϕ
1
(y)) = ψ
g
ϕ
2
(ϕ
1
(y)) = ψ
g
(ϕ
2
ϕ
1
(y)). Portanto, ϕ
2
ϕ
1
∈
Mor((k, ψ), (k
, ψ
)). Al´em disso, ´e f´acil verificar que Id
(k,ψ)
∈ Mor((k, ψ), (k, ψ)),
onde o morfismo ϕ ´e a Id
Y
, e que a composi¸c˜ao ´e associativa. Assim, Global ´e uma
categoria.
Lembremos que numa categoria C, um objeto A
0
da categoria ´e dito inicial se, e
somente se, para qualquer objeto A de C existe um ´unico morfismo f : A
0
−→ A.
Teorema 1.3.6. O par (ι, β) ´e um objeto inicial da categoria Global. Al´em disso,
se (k, ψ) ´e uma globaliza¸c˜ao de α, com k : X −→ Y , ent˜ao existe um mergulho de
X
(G)
em Y .
Prova: Seja ( k, ψ) um objeto qualquer de Global, onde k : X −→ Y e ψ : G −→
Y
G
. Lembremos que (ι, β) ´e um objeto na categoria Global tal que ι : X −→ X
(G)
´e dada por ι(x) = [1, x] e β : G −→ (X
(G)
)
G
associa para cada g ∈ G a fun¸c˜ao
β
g
: X
(G)
−→ X
(G)
dada por β
g
([h, x]) = [gh, x]. Defina ϕ : X
(G)
−→ Y por
ϕ([g, x]) = ψ
g
(k(x)). Mostremos que ϕ ´e o ´unico morfismo de (ι, β) para (k, ψ).
Mostremos primeiro que ϕ est´a bem definida. De fato, suponhamos que [g, x] =
[g
, x
]. Ent˜ao, existem g
1
, · · · , g
n
∈ G tais que g = g
g
n
· · · g
1
e (α
g
n
, · · · , α
g
1
)x = x
.
17
Da´ı, existem x
1
= x, x
2
, · · · , x
n+1
= x
∈ X tais que α
g
i
(x
i
) = x
i+1
, para todo
1 ≤ i ≤ n . Pela nossa suposi¸c˜ao, (k, ψ) ´e uma globaliza¸c˜ao de α . Ent˜ao, para cada
1 ≤ i ≤ n temos que α
g
i
(x) = k
−1
ψ
g
i
k(x), para cada g
i
∈ G e para todo x ∈ X
g
−1
i
.
Assim, como x
i
∈ X
g
−1
i
segue que ψ
g
i
(k(x
i
)) = k(α
g
i
(x
i
)) = k(x
i+1
). Portanto,
ψ
g
n
· · · ψ
g
1
(k(x
1
)) = k(x
n+1
). Como ψ ´e homomorfismo temos que ψ
g
n
···g
1
(k(x
1
)) =
k(x
n+1
). Mas, x
1
= x e x
n+1
= x
. Ent˜ao, ψ
g
n
···g
1
(k(x)) = k(x
). Logo, ϕ([g, x]) =
ψ
g
(k(x)) = ψ
g
g
n
···g
1
(k(x)) = ψ
g
(ψ
g
n
···g
1
(k(x))) = ψ
g
(k(x
)) = ϕ([g
, x
]). Da´ı, ϕ est´a
bem definida.
Agora mostremos que ϕ ´e um morfismo de (ι, β) para (k, ψ). Primeiro observe
que (ϕι)(x) = ϕ(ι(x)) = ϕ([1, x]) = ψ
1
(k(x)) = k (x). Portanto, ϕι = k. Temos
tamb´em que ϕ(β
g
([h, x])) = ϕ([gh, x]) = ψ
gh
(k(x)) = (ψ
g
ψ
h
)(k(x)) = ψ
g
(ψ
h
(k(x)) =
ψ
g
(ϕ([h, x])). Logo, ϕ ´e um morfismo de (ι, β) para (k, ψ). Resta mostrar a unicidade
de ϕ. Suponhamos que φ ´e um morfismo de (ι, β) para (k, ψ). Ent˜ao, φι = k e
φ(β
g
(x)) = ψ
g
(φ(x)), para cada x ∈ X
(G)
. Sejam x ∈ X e [g, x] ∈ X
(G)
. Ent˜ao,
φ(β
g
(ι(x))) = φ(β
g
([1, x])) = φ([g, x]). Por outro lado, φ(β
g
(ι(x))) = ψ
g
(φ(ι(x))) =
ψ
g
(k(x)) = ϕ([g, x]). Portanto, φ = ϕ.
Mostremos que ϕ ´e injetiva. Suponha que ϕ([g, x]) = ϕ([h, y]). Ent˜ao temos que
ψ
g
(k(x)) = ψ
h
(k(y)). Assim, ψ
h
−1
(ψ
g
(k(x))) = k(y). Mas, ψ ´e homomorfismo.
Portanto, ψ
h
−1
(ψ
g
(k(x))) = ψ
h
−1
g
(k(x)) = k(y). Da´ı, como ψ
h
−1
g
(k(x)) ∈ k(X)
ent˜ao x ∈ X
(h
−1
g)
−1
. Sendo (k, ψ) uma globaliza¸c˜ao de α, (k
−1
ψ
h
−1
g
k)(x) = y,
x ∈ X
(h
−1
g)
−1
e y ∈ X, segue que α
h
−1
g
(x) = y. Consequentemente, (g, x) =
(h(h
−1
g), x) ∼ (h, α
h
−1
g
(x)) = (h, y). Portanto, [g, x] = [h, y]. ✷
Exemplo: Sejam G = g; g
3
= 1 = {1, g, g
2
}, X = {1, 2, 3}, X
g
= {1, 3} e
X
g
−1
= {1, 2}. Considere α : G −→ I(X) dada por α
1
= Id
X
, α
g
: X
g
−1
−→ X
g
,
com α
g
(1) = 1 e α
g
(2) = 3, e α
g
−1
: X
g
−→ X
g
−1
, com α
g
−1
(1) = 1 e α
g
−1
(3) = 2
a¸c˜ao parcial de G em X. Vamos construir a globaliza¸c˜ao de α. Primeiramente vamos
calcular as ∼-classes de equivalˆencia em G × X. Ent˜ao, como (1, 1) ∼ (g
−1
, 1) (pois
1 = g
−1
g e α
g
(1) = 1), (1, 1) ∼ (g, 1) (pois 1 = gg
−1
e α
g
−1
(1) = 1), (1, 2) ∼ (g
−1
, 3)
(pois 1 = g
−1
g e α
g
(2) = 3), (1, 3) ∼ (g, 2) (pois 1 = gg
−1
e α
g
−1
(3) = 2) e (g, 3) ∼
(g
−1
, 2) (pois g = g
−1
g
−1
e α
g
−1
(3) = 2), as ∼-classes de equivalˆencia distintas
s˜ao: [1, 1] = {(1, 1), (g
−1
, 1), (g, 1)}, [1, 2] = {(1, 2), (g
−1
, 3)}, [1, 3] = {(1, 3), (g, 2)} e
[g, 3] = {(g, 3), (g
−1
, 2)}.
Ent˜ao, X
(G)
= {[1, 1], [1, 2], [1, 3], [g, 3]}, ι : X −→ X
(G)
, dada por ι(x) = [1, x] e
18
β : G −→ I(X
(G)
) que associa para cada g ∈ G β
g
: X
(G)
−→ X
(G)
dada por
β
g
([h, x]) = [gh, x]. Portanto,
β
1
= Id
X
(G)
,
β
g
([1, 1]) = [g, 1] = [1, 1],
β
g
([1, 2]) = [g, 2] = [1, 3],
β
g
([1, 3]) = [g, 3],
β
g
([g, 3]) = [g
−1
, 3] = [1, 2],
β
g
−1
([1, 1]) = [g
−1
, 1] = [1, 1],
β
g
−1
([1, 2]) = [g
−1
, 2] = [g, 3],
β
g
−1
([1, 3]) = [g
−1
, 3] = [1, 2],
β
g
−1
([g, 3]) = [1, 3].
Observe que sem levar em considera¸c˜ao os elementos de X
(G)
temos que β coincide
com β
: G −→ Y
G
, onde Y = {1, 2, 3, 4} e β
g
= (234).
19
Cap´ıtulo 2
A Correspondˆencia
O objetivo deste cap´ıtulo ´e provar que para cada grupo G est´a associado um
semigrupo inverso S(G) e que as a¸c˜oes parciais de G sobre um conjunto X est˜ao
em correspondˆencia uma a uma com as a¸c˜oes do semigrupo S(G) sobre X. Esses
resultados foram provados por R. Exel e compreendem as quatro primeiras se¸c˜oes de
[9].
2.1 O Semigrupo Universal S(G)
Nesta se¸c˜ao G denotar´a um grupo fixado com elemento identidade 1. Denotare-
mos os elementos do grupo com as letras s, t, · · · , pois estar´a asso ciado ao grupo
um semigrupo universal S(G) definido via geradores e rela¸c˜oes como segue. Para
cada elemento t ∈ G tomamos um gerador [t]. Para cada par de elementos s, t ∈ G
consideramos as rela¸c˜oes:
(1) [s
−1
][s][t] = [s
−1
][st],
(2) [s][t][t
−1
] = [st][t
−1
],
(3) [s][1] = [s ].
Note que como consequˆencia imediata de (1) e (3) obtemos [ t][t
−1
][t] = [t]. Disso
e de (2) segue que [1][s] = [s]. A rela¸c˜ao anterior nos d´a uma primeira indica¸c˜ao de
que S(G) ´e de fato um semigrupo inverso.
Exemplo: Seja G = s; s
2
= 1 = {1, s}. Ent˜ao, S(G) = {[1], [s], [s][s]}, pois
[s][s][s] = [s][ss] = [s][1] = [s].
De maneira geral, dado um grupo finito G, n˜ao ´e f´acil (ainda) calcular os ele-
20
mentos de S(G), visto que, em S(G) est˜ao todas as sequˆencias finitas da forma
[s
1
][s
2
] · · · [s
n
] com s
j
∈ G, para todo 1 ≤ j ≤ n e n ∈ N. Veremos no decorrer deste
cap´ıtulo, que cada elemento de S(G) possui uma ´unica decomposi¸c˜ao padr˜ao. Tal
decomposi¸c˜ao nos permitir´a construir outros exemplos, o que faremos no final desta
se¸c˜ao.
A proposi¸c˜ao abaixo segue diretamente da propriedade universal de semigrupos
definidos via geradores e rela¸c˜oes.
Proposi¸c˜ao 2.1.1. Dados um semigrupo S e uma fun¸c˜ao f : G −→ S satisfazendo
(1) f (s
−1
)f(s)f(t) = f(s
−1
)f(st),
(2) f (s)f(t)f(t
−1
) = f(st)f(t
−1
) e
(3) f (s)f(1) = f(s),
existe um ´unico homomorfismo
f : S(G) −→ S tal que
f([t]) = f(t).
Essa proposi¸c˜ao ser´a importante no decorrer deste cap´ıtulo, sendo usada sempre
que precisarmos mostrar a existˆencia de um homomorfismo de S(G) em S. Dados
S e T semigrupos inversos, dizemos que ϕ : S −→ T ´e um anti-homomorfismo se
ϕ(st) = ϕ(t)ϕ(s) para quaisquer s, t ∈ S. Al´em disso, se ϕ(ϕ(s)) = s, para todo
s ∈ S, ent˜ao ϕ ´e chamado um anti-homomorfismo involutivo.
Proposi¸c˜ao 2.1.2. Existe um anti-homomorfismo involutivo ∗ : S(G) −→ S(G)
tal que, para todo t ∈ G, [t]
∗
= [t
−1
].
Prova: Seja S(G)
op
o semigrupo oposto, o qual coincide com S(G) como conjunto e
possui multiplica¸c˜ao dada por: a·b = ba, para todo a, b ∈ S(G), onde ba corresponde
a multiplica¸c˜ao usual de S(G). Definimos ent˜ao, f : G −→ S(G)
op
dada por
f(t) = [t
−1
]. Sejam s, t ∈ G assim f (s
−1
)·f(s)·f(t) = [(s
−1
)
−1
]·[s
−1
]·[t
−1
] = [s]·[s
−1
]·
[t
−1
] = ([s
−1
][s]) · [t
−1
] = [t
−1
][s
−1
][s]. Pelo item (2) da defini¸c˜ao de S(G), obtemos
f(s
−1
) · f(s) · f(t) = [t
−1
s
−1
][s] = [(st)
−1
][s] = f(st)f (s
−1
) = f(s
−1
) · f(st). Usando
racioc´ınio an´alogo mostra-se que f (s)·f(t)·f(t
−1
) = f(st)·f(t
−1
) e f(s)·f(1) = f(s).
Portanto, a fun¸c˜ao f satisfaz as condi¸c˜oes (1) − (3) da Proposi¸c˜ao 2.1.1. Assim
existe ´unico homomorfismo ∗ : S(G) −→ S(G)
op
tal que (∗ ◦ [ ])(t) = f (t), ou
equivalentemente [t]
∗
= [t
−1
]. Vamos olhar o homomorfismo ∗ como fun¸c˜ao de S(G)
em si mesmo, e n˜ao no semigrupo oposto. Se s, t ∈ G ent˜ao ([s][t])
∗
= [s]
∗
· [t]
∗
=
f(s)·f(t) = [s
−1
]·[t
−1
] = [t
−1
][s
−1
] = [t]
∗
[s]
∗
. Al´em disso, ([t]
∗
)
∗
= (f(t))
∗
= [t
−1
]
∗
=
21
f(t
−1
) = [(t
−1
)
−1
] = [ t]. Assim, ∗ : S(G) −→ S(G) ´e um anti-homomorfismo
involutivo. ✷
A prop osi¸c˜ao que segue investigar´a os idempotentes de S(G ).
Proposi¸c˜ao 2.1.3. Dado t ∈ G considere ε
t
= [t][t
−1
]. Ent˜ao, para quaisquer
s, t ∈ G temos:
(1) ε
t
´e um idempotente auto-adjunto, isto ´e, ε
∗
t
= ε
t
= ε
2
t
;
(2) [t]ε
s
= ε
ts
[t];
(3) ε
t
e ε
s
comutam.
Prova: (1) Seja t ∈ G. Ent˜ao ε
2
t
= ([t][t
−1
])([t][t
−1
]) = ([t][t
−1
][t])[t
−1
] = [t][t
−1
] = ε
t
e ε
∗
t
= ([t][t
−1
])
∗
= [t
−1
]
∗
[t]
∗
= [(t
−1
)
−1
][t
−1
] = [t][t
−1
] = ε
t
. Logo, ε
∗
t
= ε
t
= ε
2
t
.
(2) Sejam s, t ∈ G. Ent˜ao ε
ts
[t] = [ts][s
−1
t
−1
][t] = [ts][s
−1
] = [t]ε
s
.
(3) Usando (2) obtemos ε
t
ε
s
= [t][t
−1
]ε
s
= [t]ε
t
−1
s
[t
−1
] = ε
t(t
−1
s)
[t][t
−1
] = ε
s
ε
t
. ✷
Proposi¸c˜ao 2.1.4. Todo elemento a ∈ S(G) admite uma decomposi¸c˜ao na forma
a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s]
onde n ≥ 0 e r
1
, r
2
, · · · , r
n
s˜ao elementos de G. Al´em disso, podemos assumir que:
(1) r
i
= r
j
para i = j;
(2) r
i
= s e r
i
= 1, para todo i = 1, 2, · · · , n.
Prova: Seja S um subconjunto de S(G) composto dos elementos a ∈ S(G) que
admitem uma decomposi¸c˜ao como acima. Como n = 0 ´e descartado, temos que cada
a = [s] pertence a S. Assim S = Ø. Para mostrarmos o resultado ´e suficiente verificar
que S ´e um subsemigrupo de S(G), pois os [s]’s s˜ao os geradores de S(G). Sendo
assim, sejam a = ε
r
[s] e b = ε
u
[t] em S. Mostremos que ab est´a em S. De fato, ab =
ε
r
[s]ε
u
[t] = ε
r
ε
su
[s][t]. Note que: [s][t] = [s][s
−1
][s][t] = [s][s
−1
][st] = ε
s
[st]. Assim,
ab = ε
r
ε
su
ε
s
[st]. Agora, se tomarmos a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] e b = ε
u
1
ε
u
2
· · · ε
u
m
[t].
Ent˜ao temos que,
ab = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s]ε
u
1
ε
u
2
· · · ε
u
m
[t] = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
su
1
[s]ε
u
2
· · · ε
u
m
[t] =
ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
su
1
ε
su
2
[s] · · · ε
u
m
[t] = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
su
1
ε
su
2
· · · ε
su
m
[s][t] =
ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
su
1
ε
su
2
· · · ε
su
m
ε
s
[st].
22
Logo quaisquer que sejam a, b ∈ S temos ab ∈ S e portanto S ´e um subsemigrupo
de S(G). Ent˜ao todo elemento de S(G) admite a decomposi¸c˜ao dada acima.
Resta mostrarmos a ´ultima parte da Proposi¸c˜ao. Como os ε
r
j
comutam entre si,
se tivermos r
i
= r
j
, i < j, ent˜ao
a = ε
r
1
· · · ε
r
i
· · · ε
r
j
· · · ε
r
n
[s] = ε
r
1
· · · ε
r
i
ε
r
j
· · · ε
r
j
· · · ε
r
n
[s] =
ε
r
1
· · · ε
2
r
i
· · · ε
r
j
· · · ε
r
n
[s] = ε
r
1
· · · ε
r
i
· · · ε
r
j
· · · ε
r
n
[s].
Al´em disso, note que: dado s ∈ G, temos [s]ε
1
= [ s][1][1] = [s][1] = [s]. Analoga-
mente, ε
1
[s] = [s]. Finalmente, suponha r
i
= s. Ent˜ao, ε
r
i
= [s][s
−1
] e, novamente
usando a comutatividade dos ε
r
’s, temos
a = ε
r
1
· · · ε
r
i
· · · ε
r
n
[s] = ε
r
1
· · · ε
r
i
· · · ε
r
n
ε
r
i
[s] = ε
r
1
· · · ε
r
i
· · · ε
r
n
[s][s
−1
][s] =
ε
r
1
· · · ε
r
i
· · · ε
r
n
[s].
Desta forma, podemos supor r
i
= r
j
para i = j, r
i
= 1 e r
i
= s, para todo i =
1, 2, · · · , n. ✷
Defini¸c˜ao 2.1.5. Se a ∈ S(G) est´a escrito na forma a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] e satisfaz
as condi¸c˜oes (1) e (2) da proposi¸c˜ao acima, dizemos que a est´a na forma padr˜ao.
A pr´oxima proposi¸c˜ao apresenta mais algumas evidˆencias de que S(G) ´e um
semigrupo inverso.
Proposi¸c˜ao 2.1.6. Para qualquer a ∈ S(G) existe a
∗
∈ S(G) tal que aa
∗
a = a e
a
∗
aa
∗
= a
∗
.
Prova: Seja a ∈ S(G) escrito na forma padr˜ao por a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s]. Lembre-
mos que ∗ ´e um anti-homomorfismo involutivo. Ent˜ao, a
∗
= (ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s])
∗
=
[s]
∗
ε
∗
r
n
· · · ε
∗
r
2
ε
∗
r
1
= [s
−1
]ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
. Logo,
aa
∗
a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s][s
−1
]ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] = a.
Agora, como ∗ ´e um anti-homomorfismo involutivo de S(G) em S(G) temos que
(aa
∗
a)
∗
= a
∗
. Assim, a
∗
(a
∗
)
∗
a
∗
= a
∗
. Portanto, a
∗
aa
∗
= a
∗
✷
A proposi¸c˜ao acima mostra que S(G) ´e um semigrupo regular. Para demonstrar-
mos que S(G) ´e de fato um semigrupo inverso, resta mostrar que os idempotentes de
S(G) comutam. Nossa pr´oxima proposi¸c˜ao caracterizar´a os idempotentes de S(G) a
partir da decomposi¸c˜ao padr˜ao. Para tanto definimos o homomorfismo de semigrupos
∂ : S(G) −→ G dado por ∂([t]) = t. Observe que dado a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] ∈ S(G)
ent˜ao, ∂(a) = ∂(ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s]) = r
1
r
−1
1
r
2
r
−1
2
· · · r
n
r
−1
n
s = s. Para cada a ∈ S(G)
dizemos que ∂(a) ´e o grau de a.
23
Proposi¸c˜ao 2.1.7. Um elemento a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] em S(G) ´e idempotente se, e
somente se, s = 1. Ou seja, E(S(G)) = ε
r
i
; r
i
∈ G, i ∈ N.
Prova: (⇒) Seja a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] em S(G) tal que a
2
= a. Assim, ∂(a
2
) =
∂(a). Mas, a
2
= ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s]ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
sr
1
[s]ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] =
ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
sr
1
ε
sr
2
· · · ε
sr
n
[s][s]. Logo, ∂(a
2
) = ∂(ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
sr
1
ε
sr
2
· · · ε
sr
n
[s][s]) =
ss = s
2
= ∂(a) = s. Da´ı, s
2
= s e como s ∈ G temos que s = 1. Portanto,
a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
.
(⇐) Se a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ent˜ao, a
2
= ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
= ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
= a.
Assim, a ∈ E(S(G)).
Portanto, E(S(G)) = ε
r
i
; r
i
∈ G, i ∈ N. ✷
Corol´ario 2.1.8. Se G ´e um grupo ent˜ao os idempotentes de S(G) comutam.
Prova: Segue diretamente da Proposi¸c˜ao 2.1.3 item (3) e da Proposi¸c˜ao 2.1.7. ✷
Usando a Proposi¸c˜ao 2.1.6 e o Corol´ario 2.1.8 temos que para cada grupo G,
S(G) ´e um semigrupo inverso.
Observa¸c˜ao 2.1.9. (1) Se e ´e um idempotente de S(G) e x ∈ S(G) ´e tal que
xe tamb´em ´e idempotente ent˜ao x ∈ E(S(G)). De fato, como e, xe ∈ E(S(G))
ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 2.1.7, e = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
e xe = ε
t
1
ε
t
2
· · · ε
t
m
. Suponha x =
ε
p
1
ε
p
2
· · · ε
p
l
[s] em S(G). Assim, 1 = ∂(xe) = ∂(x)∂(e) = s1 = s. Portanto, s = 1.
Da´ı, x = ε
p
1
ε
p
2
· · · ε
p
l
e assim x ∈ E(S(G)).
(2) Sejam e ∈ E(S(G)) e x ∈ S(G) tais que e ≤ x. Logo, pelo Lema 1.1.7, temos que
e = xe
−1
e = xe
2
= xe. Assim, xe ∈ E(S(G)) e pelo que vimos acima x ∈ E(S(G)).
Portanto, S(G) ´e um semigrupo E-unit´ario.
Num semigrupo inverso os idempotentes comutam entre si. No entanto, os idem-
potentes n˜ao s˜ao, necessariamente, centrais. Quando isso ocorre temos uma outra
classe de semigrupos.
Defini¸c˜ao 2.1.10. Um semigrupo inverso S ´e chamado semigrupo de Clifford se
E(S) ⊂ Z(S) = {s ∈ S ; st = ts para todo t ∈ S}.
Exemplo: Seja S um semigrupo inverso. Observe que E(S) ´e um subsemigrupo
inverso de S e que E(E(S)) = E(S) ⊂ Z(E(S)). Portanto, E(S) ´e um semigrupo
de Clifford, para todo semigrupo inverso S.
24
Observe que a classe dos semigrupos inversos cont´em a classe dos semigrupos
de Clifford. Mostraremos a seguir que apesar de S(G) ser um semigrupo inverso,
S(G) n˜ao ´e um semigrupo de Clifford. Para tanto precisamos primeiro mostrar que
a decomposi¸c˜ao padr˜ao de todo elemento a ∈ S(G) ´e ´unica. Por´em, resultados de
unicidade em estruturas alg´ebricas originadas por geradores e rela¸c˜oes s˜ao dif´ıceis de
serem estabelecidos, a menos que possamos encontrar uma separa¸c˜ao em fam´ılias de
representa¸c˜ao. Isso ser´a discutido abaixo.
Para n´os, uma representa¸c˜ao de S(G) significar´a qualquer homomorfismo de S(G)
em um semigrupo. Assim, a fun¸c˜ao ∂ : S(G) −→ G dada por ∂([t]) = t definida
anteriormente ´e uma representa¸c˜ao de S(G). Uma representa¸c˜ao mais interessante
de S(G) ser´a obtida na sequˆencia, com o aux´ılio da Proposi¸c˜ao 2.1.1. Sejam P
1
(G)
o conjunto de todos os subconjuntos finitos de G que cont´em o elemento identi-
dade 1 e F(P
1
(G)) = {φ : P
1
(G) −→ P
1
(G); φ ´e fun¸c˜ao}. Note que, F(P
1
(G))
com a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes ´e um semigrupo. Na pr´oxima proposi¸c˜ao
obtemos um homomorfismo de S(G) no semigrupo F(P
1
(G)), ou seja, uma outra
representa¸c˜ao de S(G). Assim, para cada t ∈ G, denotaremos por φ
t
a fun¸c˜ao
φ
t
: P
1
(G) −→ P
1
(G) dada por φ
t
(A) = tA ∪ {1}. Aqui, tA = {ta; a ∈ A}.
Observe que, como 1 ∈ A, podemos tamb´em escrever: φ
t
(A) = tA ∪ {1, t}.
Proposi¸c˜ao 2.1.11. Seja φ : G −→ F(P
1
(G)) a fun¸c˜ao que para cada t ∈ G
associa φ
t
: P
1
(G) −→ P
1
(G), dada por φ
t
(A) = tA ∪ {1, t}. Ent˜ao, existe ´unico
homomorfismo de semigrupos Λ : S(G) −→ F(P
1
(G)) tal que Λ([t]) = φ
t
.
Prova: Sejam s, t ∈ G e A ∈ P
1
(G). Ent˜ao, φ
s
−1
φ
s
φ
t
(A) = φ
s
−1
φ
s
(φ
t
(A)) =
φ
s
−1
φ
s
(tA∪{1, t}) = φ
s
−1
(φ
s
(tA∪{1, t})) = φ
s
−1
(s(tA∪{1, t})∪{1, s}) = φ
s
−1
(stA∪
{1, s, st}) = s
−1
(stA ∪ {1, s, st}) ∪ {1, s
−1
} = tA ∪ {1, s
−1
, t} ∪ {1, s
−1
} = tA ∪
{1, s
−1
, t}. Por outro lado, φ
s
−1
φ
st
(A) = φ
s
−1
(φ
st
(A)) = φ
s
−1
(stA ∪ {1, st}) =
s
−1
(stA ∪ {1, st}) ∪ {1, s
−1
} = tA ∪ {s
−1
, t} ∪ {1, s
−1
} = tA ∪ {1, s
−1
, t}. Logo,
φ
s
−1
φ
s
φ
t
= φ
s
−1
φ
st
. Usando racioc´ınio an´alogo, mostra-se que φ
s
φ
t
φ
t
−1
= φ
st
φ
t
−1
e
φ
s
φ
1
= φ
s
. Assim, a fun¸c˜ao φ satisfaz as condi¸c˜oes (1) − (3) da Proposi¸c˜ao 2.1.1.
Desta forma, existe um ´unico homomorfismo Λ : S(G) −→ F(P
1
(G)) tal que
Λ([t]) = φ
t
. ✷
Pela proposi¸c˜ao acima Λ : S(G) −→ F(P
1
(G)) ´e uma representa¸c˜ao de S(G).
Observe que, para quaisquer r ∈ G e A ∈ P
1
(G) temos: Λ(ε
r
)(A) = A ∪ {r}.
De fato, Λ(ε
r
)(A) = Λ([r][r
−1
])(A) = Λ([r])Λ([r
−1
])(A) = Λ([r])(Λ([r
−1
])(A)) =
25
Λ([r])(φ
r
−1
(A)) = Λ([r])(r
−1
A∪{1, r
−1
}) = φ
r
(r
−1
A∪{1, r
−1
}) = r(r
−1
A∪{1, r
−1
})∪
{1, r} = A ∪ {1, r} ∪ {1, r} = A ∪ {1, r}. Em particular, se a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s]
ent˜ao, Λ(a)({1}) = Λ(ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s])({1}) = Λ(ε
r
1
)Λ(ε
r
2
) · · · Λ(ε
r
n
)Λ([s])({1}) =
(Λ(ε
r
1
)Λ(ε
r
2
) · · · Λ(ε
r
n
))(Λ([s])({1})) = (Λ(ε
r
1
)Λ(ε
r
2
) · · · Λ(ε
r
n
))(φ
s
({1})) =
(Λ(ε
r
1
)Λ(ε
r
2
) · · · Λ(ε
r
n
))({s, 1}) = (Λ(ε
r
1
)Λ(ε
r
2
) · · · Λ(ε
r
n
−1
))(Λ(ε
r
n
)({s, 1})) =
(Λ(ε
r
1
)Λ(ε
r
2
) · · · Λ(ε
r
n
−1
))({r
n
, s, 1}) = {r
1
, r
2
, · · · , r
n
, s, 1}.
Baseada na existˆencia dessas duas representa¸c˜oes podemos provar a unicidade da
decomposi¸c˜ao padr˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.1.12. Qualquer que seja a ∈ S(G) admite uma ´unica decomposi¸c˜ao
padr˜ao a = ε
r
1
ε
r
2
· · · ε
r
n
[s] a menos da ordem dos ε
r
’s.
Prova: Como observamos acima, Λ(a)({1}) = {r
1
, r
2
, · · · , r
n
, s, 1} e temos tamb´em
que ∂(a) = s. Portanto, se tivermos outra decomposi¸c˜ao padr˜ao, a = ε
t
1
ε
t
2
· · · ε
t
m
[u]
ent˜ao, temos: ∂(a) = s e ∂(a) = u. Da´ı, s = u. Al´em disso, Λ(a)({1}) =
{r
1
, r
2
, · · · , r
n
, s, 1} e Λ(a)({1}) = {t
1
, t
2
, · · · , t
m
, u, 1}. Assim, {r
1
, r
2
, · · · , r
n
, s, 1} =
{t
1
, t
2
, · · · , t
m
, u, 1}. Logo, {r
1
, r
2
, · · · , r
n
}\{s, 1} = {t
1
, t
2
, · · · , t
m
}\{u, 1}. Por-
tanto, {r
1
, r
2
, · · · , r
n
} = {t
1
, t
2
, · · · , t
m
}. ✷
Agora vamos verificar que S(G) n˜ao ´e um semigrupo de Clifford. De fato, tome
a = ε
r
[s] ∈ S(G) e b = ε
t
∈ E(S(G)), com s = 1. Ent˜ao, ab = ε
r
[s]ε
t
= ε
r
ε
st
[s]
e ba = ε
t
ε
r
[s]. Assim, pela unicidade da decomposi¸c˜ao padr˜ao, segue que ab = ba
se, e somente se, s = 1(Absurdo!). Logo, b ∈ Z(S(G)). Portanto, S(G) n˜ao ´e um
semigrupo de Clifford.
Exemplos: (1) Seja G = s; s
3
= 1 = {1, s, s
2
}. Vamos construir o semigrupo
inverso S(G). Sabemos que todo elemento de S(G) admite uma ´unica decomposi¸c˜ao
padr˜ao (ver Proposi¸c˜ao 2.1.12). Da´ı, as possibilidades de elementos para S(G) s˜ao:
[1], [s], [s
2
] = [s
−1
],
ε
s
= [s][s
−1
],
ε
s
−1
= [s
−1
][s],
ε
s
[s
−1
] = [s][s
−1
][s
−1
] = [s][s],
ε
s
−1
[s] = [s
−1
][s][s] = [s
−1
][s
−1
],
ε
s
ε
s
−1
= [s][s
−1
][s
−1
][s] = [s][s][s].
Logo, S(G) = {[1], [s], [s
−1
], ε
s
, ε
s
−1
, ε
s
[s
−1
], ε
s
−1
[s], ε
s
ε
s
−1
}.
(2) Seja G o grupo de Klein, cuja t´abua ´e a seguinte:
26
1 s t st
1 1 s t st
s s 1 st t
t t st 1 s
st st t s 1
Vamos construir o semigrupo inverso S(G). Como todo elemento de S(G) admite
uma ´unica decomposi¸c˜ao padr˜ao e al´em disso ε
s
ε
t
= ε
t
ε
s
, para todo s, t ∈ G, ent˜ao
os elementos de S(G) s˜ao:
[1], [s], [t], [st ],
ε
s
= [s][s],
ε
t
= [t][t],
ε
st
= [st][st],
ε
s
[t] = [s][s][t] = [s][st],
ε
s
[st] = [s][s][st] = [s][t],
ε
t
[s] = [t][t][s] = [t][st],
ε
t
[st] = [t][t][st] = [t][s],
ε
st
[s] = [st][st][s] = [st][t],
ε
st
[t] = [st][st][t] = [st][s],
ε
s
ε
t
= [s][s][t][t] = [s][st][t],
ε
s
ε
t
[st] = [s][s][t][t][st] = [s][s][t][s] = [s][st][s],
ε
s
ε
st
= [s][s][st][st] = [s][t][st],
ε
s
ε
st
[t] = [s][s][st][st][t] = [s][s][st][s] = [s][t][s],
ε
t
ε
st
= [t][t][st][st] = [t][s][st],
ε
t
ε
st
[s] = [t][t][st][st][s] = [t][t][st][t] = [t][s][t],
ε
s
ε
t
ε
st
= [s][s][t][t][st][st] = [s][st][s][st].
Portanto S(G) = {[1], [s], [t], [st], ε
s
, ε
t
, ε
st
, ε
s
[t], ε
s
[st], ε
t
[s], ε
t
[st], ε
st
[s],
ε
st
[t], ε
s
ε
t
, ε
s
ε
t
[st], ε
s
ε
st
, ε
s
ε
st
[t], ε
t
ε
st
, ε
t
ε
st
[s], ε
s
ε
t
ε
st
}.
2.2 O Teorema da Correspondˆencia
Na se¸c˜ao anterior mostramos que S(G) ´e um semigrupo inverso. Agora mostra-
remos que as a¸c˜oes de S(G) sobre um conjunto X est˜ao em correspondˆencia uma a
uma com as a¸c˜oes parciais de G em X.
27
Nesta se¸c˜ao uma a¸c˜ao parcial de G em X ´e uma fun¸c˜ao α : G −→ I(X) satis-
fazendos as condi¸c˜oes da Defini¸c˜ao 1.2.3. A proposi¸c˜ao seguinte nos d´a condi¸c˜oes
necess´arias e suficientes sobre as bije¸c˜oes parciais para que uma fun¸c˜ao de G em
I(X) seja uma a¸c˜ao parcial de G em X ([9, Proposi¸c˜ao 4.1]).
Proposi¸c˜ao 2.2.1. Sejam G um grupo e X um conjunto. A fun¸c˜ao α : G −→ I(X)
´e uma a¸c˜ao parcial de G em X se, e somente se, para quaisquer s, t ∈ G temos:
(1) α
s
α
t
α
t
−1
= α
st
α
t
−1
,
(2) α
1
= Id
X
.
Neste caso, α tamb´em satisfaz:
(3) α
s
−1
α
s
α
t
= α
s
−1
α
st
.
Prova: (⇒) Assuma que α : G −→ I(X) ´e uma a¸c˜ao parcial de G em X. O item
(2) segue diretamente da defini¸c˜ao de a¸c˜ao parcial. Resta mostrar ent˜ao (1) e (3).
Mostremos que α
s
α
t
α
t
−1
= α
st
α
t
−1
, para quaisquer s, t ∈ G. Para tanto, mostremos
primeiro que dom(α
s
α
t
α
t
−1
) = dom(α
st
α
t
−1
). Com efeito, observe que α
t
α
t
−1
= Id
X
t
.
Assim, dom(α
s
α
t
α
t
−1
) = X
t
∩ X
s
−1
. Por outro lado, dom(α
st
α
t
−1
) = α
−1
t
−1
(X
t
−1
∩
X
(st)
−1
) = α
t
(X
t
−1
∩ X
(st)
−1
). Pela condi¸c˜ao (2)
da Defini¸c˜ao 1.2.3, obtemos que
dom(α
st
α
t
−1
) = X
t
∩X
t(st)
−1
= X
t
∩X
s
−1
. Portanto, dom(α
s
α
t
α
t
−1
) = dom(α
st
α
t
−1
).
Agora, seja x ∈ X
t
∩ X
s
−1
. Ent˜ao, pela condi¸c˜ao (3)
da Defini¸c˜ao 1.2.3 temos
que (α
s
α
t
α
t
−1
)(x) = α
s
(x) e (α
st
α
t
−1
)(x) = α
s
(x). Da´ı, α
s
α
t
α
t
−1
= α
st
α
t
−1
, para
quaisquer s, t ∈ G.
Mostremos que α
s
−1
α
s
α
t
= α
s
−1
α
st
. De fato, pelo que foi feito acima temos que
α
t
−1
α
s
−1
α
s
= α
t
−1
s
−1
α
s
. Al´em disso, lembremos que α
−1
t
= α
t
−1
. Ent˜ao α
s
−1
α
s
α
t
=
(α
t
−1
α
s
−1
α
s
)
−1
= (α
t
−1
s
−1
α
s
)
−1
= α
s
−1
α
st
.
(⇐) O item (1) da defini¸c˜ao de a¸c˜ao parcial segue diretamente das hip´oteses.
Tomando s = t
−1
em (1), temos que α
t
−1
α
t
α
t
−1
= α
t
−1
t
α
t
−1
= α
1
α
t
−1
= α
t
−1
.
Al´em disso, substituindo t por t
−1
, temos tamb´em: α
t
α
t
−1
α
t
= α
t
. Pela uni-
cidade do inverso, conclu´ımos que α
∗
t
= α
t
−1
. Defina X
t
= im(α
t
). Portanto,
dom(α
t
) = im(α
∗
t
) = im(α
t
−1
) = X
t
−1
. Ent˜ao, α
t
: X
t
−1
−→ X
t
como quer´ıamos.
Para quaisquer s, t ∈ G temos: α
t
−1
α
s
−1
= α
t
−1
α
s
−1
α
s
α
s
−1
= α
t
−1
s
−1
α
s
α
s
−1
. Em par-
ticular, os dom´ınios dessas fun¸c˜oes s˜ao iguais. Observe primeiro que dom(α
t
−1
α
s
−1
) =
α
−1
s
−1
(X
s
−1
∩ X
t
) = α
s
(X
s
−1
∩ X
t
). Por outro lado, como α
s
α
s
−1
= Id
X
s
ent˜ao
dom(α
(st)
−1
α
s
α
s
−1
) = X
s
∩ X
st
. Logo, α
s
(X
s
−1
∩ X
t
) = X
s
∩ X
st
e essa ´e exata-
mente a condi¸c˜ao (2)
da Defini¸c˜ao 1.2.3. Temos que dom(α
(st)
−1
α
s
α
s
−1
) = X
s
∩ X
st
28
e α
t
−1
α
s
−1
(x) = α
t
−1
s
−1
α
s
α
s
−1
(x), para todo x ∈ X
s
∩ X
st
. Substituindo s por s
−1
e t por t
−1
, obtemos dom(α
(st)
α
s
−1
α
s
) = X
s
−1
∩ X
s
−1
t
−1
e α
t
α
s
(x) = α
ts
α
s
−1
α
s
(x),
para todo x ∈ X
s
−1
∩ X
s
−1
t
−1
. Tome x ∈ X
s
−1
∩ X
s
−1
t
−1
. Como α
s
−1
α
s
= Id
X
s
−1
e
x ∈ X
s
−1
ent˜ao (α
t
α
s
)(x) = α
ts
(x), para todo x ∈ X
s
−1
∩ X
(ts)
−1
e essa ´e a condi¸c˜ao
(3)
da Defini¸c˜ao 1.2.3. Logo, α : G −→ I(X) ´e uma a¸c˜ao parcial de G em X. ✷
A proposi¸c˜ao anterior caracteriza as a¸c˜oes parciais de um grupo G num conjunto
X em termos da estrutura do semigrupo inverso I(X). No que segue, uma a¸c˜ao de
um semigrup o (de um mon´oide) S em um conjunto X significar´a um homomorfismo
de semigrupos (de mon´oide) de S em I(X). Agora estamos prontos para demonstrar
o principal resultado desta se¸c˜ao.
Teorema 2.2.2. Para cada grupo G e qualquer conjunto X existe uma corres-
pondˆencia uma a uma entre as a¸c˜oes parciais de G em X e as a¸c˜oes de S(G) em
X.
Prova: Primeiro mostremos que para cada a¸c˜ao parcial de G em X corresponde
uma ´unica a¸c˜ao de S(G) em X. Com efeito, dada uma a¸c˜ao parcial α de G em X,
pela proposi¸c˜ao anterior, temos que:
(1) α
s
−1
α
s
α
t
= α
s
−1
α
st
,
(2) α
s
α
t
α
t
−1
= α
st
α
t
−1
,
(3) α
s
α
1
= α
s
, para todo s, t ∈ G.
Assim, α satisfaz as condi¸c˜oes (1) − (3) da Proposi¸c˜ao 2.1.1. Portanto, existe um
´unico homomorfismo α : S(G) −→ I(X) tal que α([t]) = α
t
.
Reciprocamente, seja β : S(G) −→ I(X) um homomorfismo de mon´oide. Defina
α : G −→ I(X) por α(t) = α
t
= β([t]). Assim, temos α(1) = α
1
= β([1]) = Id
X
.
Al´em disso, α
s
α
t
α
t
−1
= β([s])β([t])β([t
−1
]). Como β ´e homomorfismo, obtemos:
α
s
α
t
α
t
−1
= β([s][t][t
−1
]) = β([st][t
−1
]) = β([st])β([t
−1
]) = α
st
α
t
−1
. Analogamente,
α
s
−1
α
s
α
t
= α
s
−1
α
st
. Assim, pela proposi¸c˜ao anterior, α ´e uma a¸c˜ao parcial de G em
X. Logo, pelo que foi feito anteriormente, temos que α : S(G) −→ I(X) dada por
α([t]) = α
t
´e a ´unica a¸c˜ao (global) de S(G) em X. Portanto, segue que α = β. ✷
Exemplo: Sejam G = s; s
3
= 1 = {1, s, s
2
}, X = {1, 2, 3}, X
s
= {1, 3} e
X
s
−1
= {1, 2}. Considere a a¸c˜ao parcial α : G −→ I(X) dada por α
1
= Id
X
,
α
s
: X
s
−1
−→ X
s
, com α
s
(1) = 1 e α
s
(2) = 3, e α
s
−1
: X
s
−→ X
−1
s
, com
α
s
−1
(1) = 1 e α
s
−1
(3) = 2. Vamos construir α : S(G) −→ I(X).
29
Lembremos que S(G) = {[1], [s], [s
−1
], [s][s
−1
], [s
−1
][s], [s][s], [s
−1
][s
−1
], [s][s][s]}. Pelo
Teorema 2.2.2 temos que α([t]) = α
t
, para todo t ∈ G. Ent˜ao, temos que α([1]) =
α
1
= Id
X
, α([s]) = α
s
, α([s
−1
]) = α
s
−1
, α([s][s
−1
]) = α
s
α
s
−1
= Id
X
s
, α([s
−1
][s]) =
α
s
−1
α
s
= Id
X
s
−1
, α([s][s]) = α
s
α
s
, α([s
−
1
][s
−
1
]) = α
s
−1
α
s
−1
e α([s][s][s]) = α
s
α
s
α
s
.
30
Cap´ıtulo 3
Os Isomorfismos
Iniciamos este cap´ıtulo construindo a expans˜ao de Birget-Rhodes de um semi-
grupo e mostramos tamb´em alguns resultados no caso particular de grupo (resulta-
dos obtidos em [20]). Na se¸c˜ao seguinte, provamos que o semigrupo universal S(G),
associado ao grupo G e constru´ıdo no cap´ıtulo anterior, ´e isomorfo a expans˜ao de
Birget-Rhodes de G ([15, Teorema 2.4]). Por fim, apresentamos resultados de [10]
que estabelecem um isomorfismo entre R
α
G e (R
α
G)/I, onde α ´e uma a¸c˜ao
parcial de G em R, α ´e a respectiva a¸c˜ao de
G em R e I ´e um ideal de R
α
G.
3.1 A expans˜ao de Birget-Rhodes
No cap´ıtulo 1 constru´ımos o mon´oide inverso
G e vimos que
G/σ G. Portanto G
´e imagem homom´orfica do semigrupo
G. Isso nos mostra que
G ´e uma expans˜ao (ver
[3]) do grupo G. Nesta se¸c˜ao, dado um semigrupo S construiremos um semigrupo
S
R
.
Em particular, quando S for igual a um grupo G teremos que
G
R
=
G. Provaremos
tamb´em que
G ´e um mon´oide F-inverso.
Seja S um semigrupo. Denotamos por S
1
o mon´oide constru´ıdo a partir de S
pela inclus˜ao de uma identidade (se necess´ario). Isto ´e, S
1
= S ∪ {1} e o produto
em S
1
´e o produto de S juntamente com: 1s = s1 = s, para todo s ∈ S
1
. Ent˜ao,
S
1
´e um mon´oide. Para qualquer sequˆencia finita (s
1
, s
2
, · · · , s
k
), s
i
∈ S, para todo
i = 1, 2, · · · , k, considere P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
) = {1, s
1
, s
1
s
2
, · · · , s
1
s
2
· · · s
k
}, onde 1 ´e a
identidade de S
1
.
31
Defina
S
R
= {(P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
), s
1
s
2
· · · s
k
); s
1
, s
2
, · · · , s
k
∈ S, k ≥ 1},
com multiplica¸c˜ao dada por:
(P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
), s
1
s
2
· · · s
k
)(P(t
1
, t
2
, · · · t
m
), t
1
t
2
· · · t
m
) =
(P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
) ∪ (s
1
s
2
· · · s
k
)P(t
1
, t
2
, · · · , t
m
), s
1
s
2
· · · s
k
t
1
t
2
· · · t
m
),
onde sU = {su; u ∈ U}, para todo s ∈ S e U ⊂ S.
Note que a multiplica¸c˜ao est´a bem definida, pois
(P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
), s
1
s
2
· · · s
k
)(P(t
1
, t
2
, · · · t
m
), t
1
t
2
· · · t
m
) =
(P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
, t
1
, t
2
, · · · , t
m
), s
1
s
2
· · · s
k
t
1
t
2
· · · t
m
) ∈
S
R
.
´
E f´acil ver que
S
R
com essa multiplica¸c˜ao ´e um semigrupo, ou seja, que a
opera¸c˜ao definida acima ´e associativa. Agora, considere η :
S
R
−→ S definida por
η((P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
), s
1
s
2
· · · s
k
)) = s
1
s
2
· · · s
k
. Mostremos que η ´e um homomorfismo
de semigrupos. Sejam (P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
), s
1
s
2
· · · s
k
), (P(t
1
, t
2
, · · · , t
m
), t
1
t
2
· · · t
m
) ∈
S
R
. Ent˜ao,
η((P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
), s
1
s
2
· · · s
k
))η((P(t
1
, t
2
, · · · , t
m
), t
1
t
2
· · · t
m
)) =
s
1
s
2
· · · s
k
t
1
t
2
· · · t
m
.
Por outro lado,
η((P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
), s
1
s
2
· · · s
k
)(P(t
1
, t
2
, · · · , t
m
), t
1
t
2
· · · t
m
)) =
η((P(s
1
, s
2
, · · · , s
k
) ∪ (s
1
s
2
· · · s
k
)P(t
1
, t
2
, · · · , t
m
), s
1
s
2
· · · s
k
t
1
t
2
· · · t
m
)) =
s
1
s
2
· · · s
k
t
1
t
2
· · · t
m
.
Portanto, η ´e um homomorfismo que ´e claramente sobrejetor. Consequentemente,
S
R
/ ker(η) S, onde Ker(η) ⊂
S
R
×
S
R
´e uma congruˆencia.
O semigrupo
S
R
constru´ıdo acima ´e denominado a expans˜ao de Birget-Rhodes do
semigrupo S. O leitor interessado nestas expans˜oes de semigrupos pode consultar [3]
ou [20].
Exemplos: (1) Seja S = {s
1
, s
2
, s
3
} com a seguinte opera¸c˜ao: s
1
s
2
= s
2
s
1
= s
2
,
s
1
s
3
= s
3
s
1
= s
3
, s
2
s
2
= s
2
, s
2
s
3
= s
3
s
2
= s
3
e s
3
s
3
= s
2
. Ent˜ao, S com essa opera¸c˜ao
´e um mon´oide inverso com 1
S
= s
1
. Note que, P(s
1
, s
i
1
, · · · , s
i
k
) = P(s
i
1
, · · · , s
i
k
).
Ent˜ao,
P(s
2
, s
i
1
, · · · , s
i
k
) =
P(s
2
) = {s
1
, s
2
}
P(s
2
, s
3
) = {s
1
, s
2
, s
3
}
32
Da mesma forma, P(s
3
, s
i
1
, · · · , s
i
k
) = {s
1
, s
3
, s
3
s
i
1
, · · · , s
3
s
i
1
· · · s
i
k
} e
P(s
3
, s
i
1
, · · · , s
i
k
) =
P(s
3
) = {s
1
, s
3
}
P(s
3
, s
2
) = {s
1
, s
3
, s
2
}
Portanto,
S
R
= {(P(s
1
), s
1
), (P(s
2
), s
2
), (P(s
2
, s
3
), s
3
), (P(s
3
), s
3
), (P(s
3
, s
2
), s
2
)}.
(2) Sejam H = {0, 1} e S = H × H = {(i, j); i, j ∈ H}. Ent˜ao, S ´e um semigrupo
regular com a seguinte opera¸c˜ao: (i, j)(k, l ) = (i, l). Da´ı, S = {s
1
= (0, 0), s
2
=
(0, 1), s
3
= (1, 0), s
4
= (1, 1)} e a t´abua de multiplica¸c˜ao de S ´e dada por:
s
1
s
2
s
3
s
4
s
1
s
1
s
2
s
1
s
2
s
2
s
1
s
2
s
1
s
2
s
3
s
3
s
4
s
3
s
4
s
4
s
3
s
4
s
3
s
4
Observe que s
i
1
s
i
2
· · · s
i
n
= s
i
1
s
i
n
. Ent˜ao,
P (s
1
, s
i
1
, s
i
2
, · · · , s
i
n
) =
P (s
1
)
P (s
1
, s
2
)
De forma an´aloga,
P (s
2
, s
i
1
, s
i
2
, · · · , s
i
n
) =
P (s
2
)
P (s
2
, s
1
)
P (s
3
, s
i
1
, s
i
2
, · · · , s
i
n
) =
P (s
3
)
P (s
3
, s
4
)
e
P (s
4
, s
i
1
, s
i
2
, · · · , s
i
n
) =
P (s
4
)
P (s
4
, s
3
)
Assim,
S
R
= {(P (s
1
), s
1
), (P (s
1
, s
2
), s
2
), (P (s
2
), s
2
), (P (s
2
, s
1
), s
1
), (P (s
3
), s
3
),
(P (s
3
, s
4
), s
4
), (P (s
4
), s
4
), (P (s
4
, s
3
), s
3
)}.
Proposi¸c˜ao 3.1.1. Para cada grupo G temos
G
R
=
G, onde
G = {(A, g) ∈ P
1
(G)×
G; g ∈ A} com multiplica¸c˜ao dada por: (A, g)(B, h) = (A ∪ gB, gh). Al´em disso,
G
R
´e um semigrupo F-inverso.
33
Prova: Seja (P(g
1
, g
2
, · · · , g
n
), g
1
g
2
· · · g
n
) ∈
G
R
. Assim, pela defini¸c˜ao dada acima,
(P(g
1
, g
2
, · · · , g
n
), g
1
g
2
· · · g
n
) = ({1, g
1
, g
1
g
2
, · · · , g
1
g
2
· · · g
n
}, g
1
g
2
· · · g
m
) ∈ P
1
(G) ×
G. Logo,
G
R
⊆
G. Por outro lado, seja (A, g) = ({1, g
1
, g
2
, · · · , g
k
}, g) ∈
G, com
g
k
= g. Ent˜ao,
(P(g
1
, g
−1
1
, g
2
, g
−1
2
, · · · , g
k
, g
−1
k
, g), g
1
g
−1
1
g
2
g
−1
2
· · · g
k
g
−1
k
g) =
({1, g
1
, g
1
g
−1
1
, g
1
g
−1
1
g
2
, · · · , g
1
g
−1
1
· · · g
k
g
−1
k
g}, g) = ({1, g
1
, g
2
, · · · , g
k
}, g) = ( A, g).
Da´ı,
G ⊆
G
R
. Portanto,
G
R
=
G.
Conforme visto no exemplo da p´ag. 9, σ = Ker(ϕ), onde σ ´e a congruˆencia de
grupo minimal e ϕ ´e a fun¸c˜ao de
G em G dada p or ϕ(A, g) = g. Ent˜ao, para
cada (A, g) ∈
G, a σ-classe de (A, g) ´e dada por {(B, g) ∈ P
1
(G) × {g}; g ∈ B}.
Observe que para qualquer (B, g) ∈ P
1
(G)×G, com g ∈ B, temos (B, 1)({1, g}, g) =
(B ∪{1, g}, g) = (B, g) e (B, 1) ∈ E(
G). Assim, (B, g) ≤ ({1, g}, g). Logo, ({1, g}, g)
´e o elemento m´aximo da σ-classe de (A, g). Portanto,
G ´e um mon´oide F-inverso. ✷
Como
G ´e um mon´oide F-inverso ent˜ao pelo Teorema 1.1.14 temos que
G ´e um
mon´oide E-unit´ario.
Exemplo: Seja G = g; g
3
= 1 = {1, g, g
2
}. Pela proposi¸c˜ao anterior, temos que
G
R
=
G. Ent˜ao,
G = {({1}, 1), ({1, g}, 1), ({1, g}, g), ({1, g
2
}, 1), ({1, g
2
}, g
2
), ({1, g, g
2
}, 1), ({1, g, g
2
},
g), ({1, g, g
2
}, g
2
)}. Al´em disso, as σ-classes distintas de
G s˜ao
C
1
= {({1}, 1), ({1, g}, 1), ({1, g
2
}, 1), ({1, g, g
2
}, 1)}, C
2
= {({1, g}, g), ({1, g, g
2
}, g)}
e C
3
= {({1, g
2
}, g
2
), ({1, g, g
2
}, g
2
)}.
No caso particular em que o semigrupo S ´e um grupo finito G, a caracte-riza¸c˜ao
dada p ela Proposi¸c˜ao 3.1.1, nos permite contar os elementos de
G.
Proposi¸c˜ao 3.1.2. Se G ´e um grupo finito de ordem n ent˜ao
G tem 2
n−2
(n + 1)
elementos.
Prova: Observe que existem 2
n−1
elementos da forma (A, 1) em
G. Da´ı, para g = 1
temos 2
n−2
elementos da forma (A, g). Como existem (n−1) possibilidades de escolha
para g = 1, temos no total 2
n−1
+ (n − 1)2
n−2
= 2
n−2
(n + 1). ✷
Na pr´oxima se¸c˜ao deste cap´ıtulo provaremos que
G S(G). Ent˜ao, o resultado
acima corresp onde `a [9, Teorema 3.3].
34
3.2 S(G)
G
Nesta se¸c˜ao vamos mostrar que o semigrupo universal associado a um grupo G
constru´ıdo por Exel em [9] ´e isomorfo a expans˜ao de Birget-Rhodes do grupo G.
Al´em disso, vamos reobter o Teorema 2.2.2. Esses resultados foram provados por J.
Kellendonk e M. V. Lawson na se¸c˜ao 2.1 de [14].
Na pr´oxima proposi¸c˜ao apresentamos uma generaliza¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2.1,
usando a no¸c˜ao de pr´e-morfismo.
Proposi¸c˜ao 3.2.1. Sejam G um grupo e S um mon´oide inverso. Ent˜ao uma fun¸c˜ao
α : G −→ S ´e um pr´e-morfismo unit´ario se, e somente se, as duas condi¸c˜oes
seguintes s˜ao satisfeitas:
(1) α(1) = 1,
(2) α(s)α(t)α(t
−1
) = α(st)α(t
−1
), para todo s, t ∈ G.
Prova: (⇒) Seja α : G −→ S um pr´e-morfismo unit´ario. Precisamos mostrar
a condi¸c˜ao (2), pois (1) segue diretamente do fato do pr´e-morfismo α ser unit´ario.
Como α ´e pr´e-morfismo ent˜ao, α(s)α(t) ≤ α(st), para quaisquer s, t ∈ G. Assim,
α(s)α(t)α(t
−1
) ≤ α(st)α(t
−1
) ≤ α(stt
−1
) = α(s). Da´ı, conclu´ımos que α(st)α(t
−1
) ≤
α(s). Portanto, existe e ∈ E(S) tal que α(st)α(t
−1
) = eα(s). Logo,
α(st)α(t
−1
)α(s)
−1
α(s) = eα(s)α (s )
−1
α(s) = eα(s).
Ent˜ao
α(st)α(t
−1
)α(s)
−1
α(s) = α(st)α (t
−1
). (3.2.1)
Por outro lado, como α(s)α(t)α(t
−1
) ≤ α(st)α(t
−1
) ent˜ao p elo Lema 1.1.7 temos
α(s)α(t)α(t
−1
) = α(st)α(t
−1
)(α(s)α(t)α(t
−1
))
−1
(α(s)α(t)α(t
−1
)) =
α(st)α(t
−1
)(α(t)α(t)
−1
)(α(s)
−1
α(s))(α(t)α(t)
−1
).
Observe que os elementos entre parˆenteses s˜ao idempotentes e S ´e semigrupo inverso,
ent˜ao eles comutam. Da´ı,
α(s)α(t)α(t
−1
) = α(st)α(t
−1
)(α(s)
−1
α(s))(α(t)α(t)
−1
α(t))α(t)
−1
=
(α(st)α(t
−1
)α(s)
−1
α(s))α(t)α(t)
−1
.
Usando 3.2.1, segue que α(s)α(t)α(t
−1
) = α(st)α(t
−1
)α(t)α(t)
−1
= α(st)α(t
−1
).
(⇐) Seja α : G −→ S uma fun¸c˜ao satisfazendo (1) e (2). Mostremos inicial-
mente que α(s)
−1
= α(s
−1
), para todo s ∈ G. Em α(s)α(t)α(t
−1
) = α(st)α(t
−1
),
substituindo s por t
−1
, obtemos α(t
−1
)α(t)α(t
−1
) = α(t
−1
t)α(t
−1
) = α(1)α(t
−1
) =
35
α(t
−1
). Por´em se substituirmos s por t e t por t
−1
, temos que α(t)α(t
−1
)α(t) =
α(tt
−1
)α(t) = α (1)α(t) = α(t). Portanto, pelo Teorema 1.1.4, α(t
−1
) = α(t)
−1
, para
todo t ∈ G. Mostremos que α(s)α(t) ≤ α(st), para quaisquer s, t ∈ G. De fato, pela
condi¸c˜ao (2) temos que α(s)α(t)α(t
−
1
) = α(st)α(t
−
1
). Da´ı, α(s)α(t)α(t
−
1
)α(t) =
α(st)α(t
−1
)α(t). Como foi mostrado anteriormente, α(t
−1
) = α(t)
−1
. Assim, temos
que α(s)α(t) = α(s)α(t)α(t
−1
)α(t) = α(st)α(t
−1
)α(t) = α(st)α(t)
−1
α(t). Mas
α(t)
−1
α(t) ∈ E(S). Portanto, α(s)α(t) ≤ α(st). Logo, α : G −→ S ´e um pr´e-
morfismo e da condi¸c˜ao (1) segue diretamente que α ´e unit´ario. ✷
Corol´ario 3.2.2. Sejam G um grupo, S um mon´oide inverso e α : G −→ S um
pr´e-morfismo unit´ario. Ent˜ao,
(1) α(s)α(t)α(t
−1
) = α(st)α(t
−1
),
(2) α(s
−1
)α(s)α(t) = α(s
−1
)α(st), para todo s, t ∈ G.
Prova: A condi¸c˜ao (1) ´e imediata da proposi¸c˜ao anterior. Substituindo s por t
−1
e t
por s
−1
em (1), obtemos α(t
−1
)α(s
−1
)α(s) = α(t
−1
s
−1
)α(s). Ent˜ao, α(s
−1
)α(s)α(t) =
(α(t
−1
)α(s
−1
)α(s))
−1
= (α(t
−1
s
−1
)α(s))
−1
= α(s
−1
)α(st). ✷
No caso particular em que o mon´oide inverso S ´e I(X), temos exatamente a
Proposi¸c˜ao 2.2.1 que foi provada por R. Exel em [9].
Vamos analisar a seguinte situa¸c˜ao: sejam S um mon´oide F-inverso e σ a con-
gruˆencia de grupo minimal. Ent˜ao, pelo Teorema 1.1.9, sabemos que S/σ ´e um
grupo, que denotaremos por G = S/σ. Seja s
g
o elemento m´aximo na σ-classe g.
Defina i : G −→ S por i(g) = s
g
. Denotemos por 1
S
a identidade do mon´oide
inverso S. Note que σ(1
S
)σ(t) = σ(1
S
t) = σ(t), para todo t ∈ S. Analogamente,
σ(t)σ(1
S
) = σ(t). Portanto, a identidade de G ´e a σ-classe do elemento 1
S
.
Como S ´e um mon´oide F-inverso ent˜ao, pela Teorema 1.1.14, S ´e E-unit´ario.
Assim, os elementos que est˜ao relacionados por σ com a identidade s˜ao somente
os idempotentes (ver Teorema 1.1.13). Isto ´e, σ(1
S
) = E(S). Al´em disso, dado
e ∈ σ(1
S
) temos que e ≤ 1
S
, pois e = e1
S
. Logo, 1
S
´e o elemento m´aximo de σ(1
S
).
Portanto, i(1) = 1
S
, onde 1 = σ(1
S
). Considere s
g
∈ g, onde g = σ(s) para algum
s ∈ S e s
h
∈ h, onde h = σ(t) para algum t ∈ S. Ent˜ao, s
g
σ s e s
h
σ t. Como σ ´e
uma congruˆencia segue que s
g
s
h
σ st, ou seja, s
g
s
h
∈ σ(st) = σ(s)σ(t) = gh. Assim,
s
g
s
h
≤ s
gh
, pois s
gh
´e o elemento m´aximo na σ-classe gh. Logo, i(g)i(h) ≤ i(gh).
Seja g ∈ G, onde g = σ(s) para algum s ∈ S. Se t ∈ σ(s) ent˜ao existe u ∈ S com
u ≤ s e u ≤ t. Pelo Lema 1.1.7, u
−1
≤ s
−1
e u
−1
≤ t
−1
. Da´ı, t
−1
∈ σ(s
−1
). Portanto,
36
t ∈ g se, e somente se, t
−1
∈ g
−1
. Mostremos que s
−1
g
= s
g
−1
. Lembremos que s
g
´e o elemento m´aximo na σ-classe g. Assim, s
g
∈ g e para todo t ∈ g, temos que
t ≤ s
g
. Pelo que vimos anteriormente s
−1
g
∈ g
−1
e como t ≤ s
g
, para todo t ∈ g
ent˜ao t
−
1
≤ s
−
1
g
, para todo t
−
1
∈ g
−
1
. Portanto, s
−
1
g
= s
g
−1
. Assim, i(g)
−
1
= i(g
−
1
).
Disto segue a pr´oxima proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 3.2.3. Sejam S um mon´oide F -inverso, σ a congruˆencia de grupo mini-
mal, G = S/σ e i : G −→ S que associa a cada g ∈ G o elemento m´aximo s
g
da
σ-classe g. Ent˜ao i ´e um pr´e-morfismo unit´ario.
Vamos considerar o caso particular onde S =
G, pois j´a mostramos na se¸c˜ao
1.1 (exemplo p´ag. 9) que
G/σ G. Al´em disso, na se¸c˜ao anterior provamos que
G ´e a expans˜ao de Birget-Rhodes do grupo G e que ´e um mon´oide F-inverso (ver
Proposi¸c˜ao 3.1.1). Na mesma proposi¸c˜ao mostramos que ({1, g}, g) ´e o elemento
m´aximo da σ-classe g. Portanto, i : G −→
G ´e dada por i(g) = ({1, g}, g).
Lema 3.2.4. O semigrupo
G ´e gerado pelos elementos i(g), onde g ∈ G. Em par-
ticular, se (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
), onde g = g
n
, ent˜ao
(A, g) = i(g
1
)i(g
−1
1
g
2
) · · · i(g
−1
n−1
g
n
).
Al´em disso, valem as seguintes equa¸c˜oes:
(1) i(s
−1
)i(s)i(t) = i(s
−1
)i(st),
(2) i(s)i(t)i(t
−1
) = i(st)i(t
−1
),
(3) i(s)i(1) = i(s),
(4) i(1)i(s) = i(s), para todo s, t ∈ G.
Prova: Seja (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
). Ent˜ao, temos que
({1, g
1
, · · · , g
n−1
}, g
n−1
)({1, g
−1
n−1
g
n
}, g
−1
n−1
g
n
) =
({1, g
1
, · · · , g
n−1
} ∪ g
n−1
{1, g
−1
n−1
g
n
}, g
n−1
g
−1
n−1
g
n
) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
) = (A, g).
Repetindo esse processo, obtemos que
(A, g) = ( {1, g
1
}, g
1
)
n
k=2
({1, g
−1
k−1
g
k
}, g
−1
k−1
g
k
) = i(g
1
)i(g
−1
1
g
2
) · · · i(g
−1
n−1
g
n
),
como quer´ıamos.
Os ´ıtens (1) e (2) decorrem da Proposi¸c˜ao 3.2.3 e do Corol´ario 3.2.2. J´a (3) e (4)
seguem diretamente da Proposi¸c˜ao 3.2.3. ✷
37
O lema acima mostra que i : G −→
G satisfaz as condi¸c˜oes (1) − (3) da
Proposi¸c˜ao 2.1.1. Da´ı, existe um ´unico homomorfismo de semigrupos
i : S(G) −→
G
tal que
i([g]) = i(g). Observe que
G ´e imagem homom´orfica do semigrupo uni-
versal S(G). De fato, dado (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
) um elemento de
G, pelo
Lema 3.2.4, (A, g) = i(g
1
)i(g
−1
1
g
2
) · · · i(g
−1
n−1
g
n
). Ent˜ao,
i([g
1
][g
−1
1
g
2
] · · · [g
−1
n−1
g
n
]) =
i([g
1
])
i([g
−1
1
g
2
]) · · ·
i([g
−1
n−1
g
n
]) = i(g
1
)i(g
−1
1
g
2
) · · · i(g
−1
n−1
g
n
) = (A, g).
O teorema abaixo implicar´a que temos de fato um isomorfismo.
Teorema 3.2.5. Sejam G um grupo e S um mon´oide inverso. Ent˜ao para cada
pr´e-morfismo unit´ario α : G −→ S existe um ´unico homomorfismo de mon´oide
α :
G −→ S tal que αi = α.
Prova: Seja (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
) um elemento de
G, com g = g
n
. De-
fina α :
G −→ S por α(A, g) = α(g
1
)α(g
1
)
−1
α(g
2
)α(g
2
)
−1
· · · α(g
n
)α(g
n
)
−1
α(g
n
).
Observe que α(g
j
)α(g
j
)
−1
∈ E(S). Assim, a defini¸c˜ao de α independe da ordem
dos elementos g
j
. Portanto, α est´a bem definida. Note que, ({1}, 1) ∈
G ent˜ao
α({1}, 1) = α(1)α(1)
−1
α(1) = α(1) = 1, pois α ´e um pr´e-morfismo unit´ario. Logo,
α leva a identidade de
G na identidade de S. Al´em disso, α(i(g)) = α({1, g}, g) =
α(g)α(g)
−1
α(g) = α(g). Portanto, αi = α.
Mostremos que α ´e homomorfismo de mon´oide. Considere (A, g), (B, h) ∈
G, onde
A = {1, g
1
, · · · , g
m
= g} e B = {1, h
1
, · · · , h
n
= h}. Pela defini¸c˜ao, temos α(A, g) =
α(g
1
)α(g
1
)
−1
· · · α(g
m
)α(g
m
)
−1
α(g) e α(B, h) = α(h
1
)α(h
1
)
−1
· · · α(h
n
)
α(h
n
)
−1
α(h). Agora vamos calcular α(A, g)α(B, h). Note que,
α(A, g)α(B, h) =
α(g
1
)α(g
1
)
−1
· · · α(g
m
)α(g
m
)
−1
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
· · · α(h
n
)α(h
n
)
−1
α(h).
Observe primeiramente que
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
α(h
2
)α(h
2
)
−1
· · · α(h
n
)α(h
n
)
−1
=
α(g)α(g)
−1
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
α(h
2
)α(h
2
)
−1
· · · α(h
n
)α(h
n
)
−1
=
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
α(g)
−1
α(g)α(h
2
)α(h
2
)
−1
· · · α(h
n
)α(h
n
)
−1
=
α(g)α(g)
−1
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
α(g)
−1
α(g)α(h
2
)α(h
2
)
−1
· · · α(h
n
)α(h
n
)
−1
=
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
α(g)
−1
α(g)α(h
2
)α(h
2
)
−1
α(g)
−1
α(g) · · · α(h
n
)α(h
n
)
−1
=
α(g)
n
p=1
α(h
p
)α(h
p
)
−1
α(g)
−1
α(g).
Agora vejamos,
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
α(g)
−1
α(g) = α(gh
1
)α(h
1
)
−1
α(g)
−1
α(g) =
α(gh
1
)(α(g)
−1
α(g)α(h
1
))
−1
= α(gh
1
)(α(g)
−1
α(gh
1
))
−1
= α(gh
1
)α(gh
1
)
−1
α(g).
38
Assim,
[α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
α(g)
−1
α(g)]α(h
2
)α(h
2
)
−1
α(g)
−1
α(g) =
α(gh
1
)α(gh
1
)
−1
[α(g)α(h
2
)α(h
2
)
−1
α(g)
−1
α(g)] =
α(gh
1
)α(gh
1
)
−1
α(gh
2
)α(gh
2
)
−1
α(g).
Continuando, obtemos
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
· · · α(h
n
)α(h
n
)
−1
= α(gh
1
)α(gh
1
)
−1
· · · α(gh
n
)α(gh
n
)
−1
α(g).
Da´ı,
α(A, g)α(B, h) =
α(g
1
)α(g
1
)
−1
· · · α(g
m
)α(g
m
)
−1
α(g)α(h
1
)α(h
1
)
−1
· · · α(h
n
)α(h
n
)
−1
α(h) =
m
k=1
(α(g
k
)α(g
k
)
−1
)
n
l=1
(α(gh
l
)α(gh
l
)
−1
)α(g)α(h).
Observe que α(g)α(h) = α(g)α(g)
−1
α(g)α(h). Pelo Corol´ario 3.2.2, temos α(g)α(h) =
α(g)α(g)
−1
α(gh). Assim,
α(A, g)α(B, h) =
m
k=1
(α(g
k
)α(g
k
)
−1
)
n
l=1
(α(gh
l
)α(gh
l
)
−1
)α(g)α(g)
−1
α(gh).
Como g = g
m
, temos α(A, g)α(B, h) =
m
k=1
(α(g
k
)α(g
k
)
−1
)
n
l=1
(α(gh
l
)α(gh
l
)
−1
)α(gh).
Por outro lado, (A, g)(B, h) = ({1, g
1
, · · · , g
m
}, g)({1, h
1
, · · · , h
n
}, h) = ({1, g
1
, · · · , g
m
}∪
g{1, h
1
, · · · , h
n
}, gh) = ({1, g
1
, · · · , g
m
, gh
1
, · · · , gh
n
}, gh). Por defini¸c˜ao,
α((A, g)(B, h)) =
α(g
1
)α(g
1
)
−1
· · · α(g
m
)α(g
m
)
−1
α(gh
1
)α(gh
1
)
−1
· · · α(gh
n
)α(gh
n
)
−1
α(gh) =
m
k=1
(α(g
k
)α(g
k
)
−1
)
n
l=1
(α(gh
l
)α(gh
l
)
−1
)α(gh).
Portanto, α((A, g)(B, h)) = α(A, g)α(B, h). Assim, α :
G −→ S ´e um homomor-
fismo de mon´oide.
Mostremos que nessas condi¸c˜oes α ´e ´unico. Suponha ϕ :
G −→ S um homomorfismo
de mon´oide tal que ϕi = α. Seja (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
) ∈
G. Pelo lema
anterior temos que (A, g) = i(g
1
)i(g
−1
1
g
2
) · · · i(g
−1
n−1
g
n
). Assim,
ϕ(A, g) = ϕ(i(g
1
)i(g
−1
1
g
2
) · · · i(g
−1
n−1
g
n
)) =
ϕ(i(g
1
))ϕ(i(g
−1
1
g
2
)) · · · ϕ(i(g
−1
n−1
g
n
)) = α(g
1
)α(g
−1
1
g
2
) · · · α(g
−1
n−1
g
n
).
Pelo Corol´ario 3.2.2, α(g
1
)α(g
−1
1
g
2
) = α(g
1
)α(g
1
)
−1
α(g
2
). Da´ı,
(α(g
1
)α(g
−1
1
g
2
))α(g
−1
2
g
3
) = α(g
1
)α(g
1
)
−1
α(g
2
)α(g
−1
2
g
3
) =
α(g
1
)α(g
1
)
−1
α(g
2
)α(g
2
)
−1
α(g
3
).
39
Continuando, obtemos ϕ(A, g) = α(g
1
)α(g
1
)
−1
· · · α(g
n
)α(g
n
)
−1
α(g
n
) = α(A, g). ✷
No caso em que o semigrupo inverso S ´e o mon´oide inverso sim´etrico I(X) ent˜ao
pelo teorema anterior, dado um pr´e-morfismo unit´ario α : G −→ I(X) (a¸c˜ao parcial,
ver se¸c˜ao 1.2) existe um ´unico homomorfismo de mon´oide α :
G −→ I(X) (a¸c˜ao
(global), ver se¸c˜ao 2.2) tal que α({1, g}, g) = α
g
. Reciprocamente, se β :
G −→
I(X) ´e a¸c˜ao (global) ent˜ao considere α : G −→ I(X) dada por α
g
= β({1, g}, g).
Mostremos que α ´e um pr´e-morfismo unit´ario. De fato, α
1
= β({1}, 1) = Id
X
. Al´em
disso,
α
g
α
g
−1
α
g
= β({1, g}, g)β({1, g
−1
}, g
−1
)β({1, g}, g) =
β(({1, g}, g)({1, g
−1
}, g
−1
)({1, g}, g)) = β({1, g}, g) = α
g
.
Analogamente, α
g
−1
α
g
α
g
−1
= α
g
−1
. Da´ı, α
−1
g
= α
g
−1
. Finalmente, sejam g, h ∈ G.
Ent˜ao, α
g
α
h
= β({1, g}, g)β({1, h}, h) = β(({1, g}, g)({1, h}, h)) = β({1, g, gh}, gh).
Mas, ({1, g, gh}, gh) ≤ ({1, gh}, gh), pois ( {1, g, gh}, gh) = ( {1, g}, 1)({1, gh}, gh) e
({1, g}, 1) ∈ E(
G). Ent˜ao temos que, β({1, g, gh}, gh) = β(({1, g}, 1)({1, gh}, gh)) =
β({1, g}, 1)β({1, gh}, gh). Portanto, α
g
α
h
= β({1, g}, 1)α
gh
. Assim, α
g
α
h
≤ α
gh
,
pois β({1, g}, 1) ∈ E(I(X)). Logo, α ´e pr´e-morfismo unit´ario. Al´em disso, α = β
(visto que α e β coincidem nos geradores de
G). Das observa¸c˜oes acima reobtemos
o Teorema 2.2.2.
Corol´ario 3.2.6. Para cada grupo G e qualquer conjunto X existe uma corres-
pondˆencia uma a uma entre as a¸c˜oes parciais de G em X e as a¸c˜oes de
G em X.
Tamb´em segue do Teorema 3.2.5 o isomorfismo entre S(G) e
G.
Corol´ario 3.2.7. A fun¸c˜ao
i : S(G) −→
G dada por
i([g]) = ({1, g}, g) ´e um
isomorfismo de mon´oides.
Prova: Defina α : G −→ S(G) por α(g) = [g]. Ent˜ao mostremos que α ´e um
pr´e-morfismo unit´ario. De fato, α(1) = [1] = 1
S
. Al´em disso, α(g)α(g
−1
)α(g) =
[g][g
−1
][g] = [g] = α(g) e α(g
−1
)α(g)α(g
−1
) = [g
−1
][g][g
−1
] = [g
−1
] = α(g
−1
). Logo,
α(g)
−1
= α(g
−1
). Mais ainda, dados g, h ∈ G temos α (g)α(h) = [g][h] e [g][h] ≤ [gh],
pois [g][h] = [gh][h
−1
][h] e [h
−1
][h] ∈ E(S(G)). Portanto, α(g)α(h) ≤ α(gh).
Fazendo S = S(G) e α : G −→ S(G) dada por α(g) = [g] no teorema ante-
rior, temos que existe um ´unico homomorfismo α :
G −→ S(G) tal que α(i(g)) =
α({1, g}, g) = [g], onde i : G −→
G ´e dada por i(g ) = ({1, g}, g). Desta forma,
(
iα)({1, g}, g) =
i(α({1, g}, g)) =
i([g]) = ({1, g}, g). Assim,
iα = Id
G
. Por outro
40
lado, (α
i)([g]) = α(
i([g])) = α({1, g}, g) = [g]. Logo, α
i = Id
S(G)
. Assim, o homo-
morfismo α ´e o inverso de
i. Portanto,
i ´e um isomorfismo. ✷
Observa¸c˜ao 3.2.8. (1) Seja a ∈ S(G) escrito na forma padr˜ao por a = ε
r
1
· · · ε
r
n
[s].
Ent˜ao,
i(a) =
i(ε
r
1
· · · ε
r
n
[s]) =
i(ε
r
1
) · · ·
i(ε
r
n
)
i([s]) =
i([r
1
][r
−1
1
]) · · ·
i([r
n
][r
−1
n
])
i([s]) =
i([r
1
])
i([r
−1
1
]) · · ·
i([r
n
])
i([r
−1
n
])
i([s]) =
({1, r
1
}, r
1
)({1, r
−1
1
}, r
−1
1
) · · · ({1, r
n
}, r
n
)({1, r
−1
n
}, r
−1
n
)({1, s}, s) =
({1, r
1
}, 1) · · · ({1, r
n
}, 1)({1, s}, s) = ({1, r
1
, · · · , r
n
}, 1)({1, s}, s) =
({1, r
1
, · · · , r
n
, s}, s).
Portanto, num elemento qualquer de S(G) a fun¸c˜ao
i : S(G) −→
G ´e dada por:
i(ε
r
1
· · · ε
r
n
[s]) = ({1, r
1
, · · · , r
n
, s}, s).
(2) Dado (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
) um elemento qualquer de
G, temos que
(A, g) = i(g
1
)i(g
−1
1
g
2
) · · · i(g
−1
n−1
g
n
) =
({1, g
1
}, g
1
)({1, g
−1
1
g
2
}, g
−1
1
g
2
) · · · ({1, g
−1
n−1
g
n
}, g
−1
n−1
g
n
).
Assim,
α(A, g) = α(({1, g
1
}, g
1
)({1, g
−1
1
g
2
}, g
−1
1
g
2
) · · · ({1, g
−1
n−1
g
n
}, g
−1
n−1
g
n
)) =
α({1, g
1
}, g
1
)α({1, g
−1
1
g
2
}, g
−1
1
g
2
) · · · α({1, g
−1
n−1
g
n
}, g
−1
n−1
g
n
) =
[g
1
][g
−1
1
g
2
] · · · [g
−1
n−1
g
n
] = [g
1
][g
−1
1
][g
2
][g
−1
2
] · · · [g
n−1
][g
−1
n−1
][g
n
] = ε
g
1
ε
g
2
· · · ε
g
n−1
[g
n
].
Portanto, num elemento qualquer de
G a fun¸c˜ao α :
G −→ S(G) ´e dada por:
α({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
) = ε
g
1
ε
g
2
· · · ε
g
n−1
[g
n
].
3.3 R
α
G (R
α
G)/I
Nesta se¸c˜ao vamos considerar a¸c˜oes parciais de grupos e a¸c˜oes de semigrupos
sobre an´eis. Uma a¸c˜ao de um semigrupo S em um anel R ´e um homomorfismo de
semigrupos β : S −→ I(R). Se S ´e um mon´oide inverso temos, para cada s ∈ S,
β
s
: E
s
−1
−→ E
s
um isomorfismo entre ideais bilaterais de R, β
1
S
= Id
R
e β
s
β
t
= β
st
,
para quaisquer s, t ∈ S.
Veremos a seguir que, dada uma a¸c˜ao parcial de G em R existe uma ´unica a¸c˜ao
(global) de
G em R. Uma vez estabelecida essa rela¸c˜ao entre a¸c˜oes parciais e a¸c˜oes
globais, vamos investigar qual ´e a rela¸c˜ao entre os respectivos skew’s.
Seja R um anel (associativo com 1). Ent˜ao, R ´e um conjunto n˜ao vazio e assim
I(R) ´e um semigrupo inverso. Dada uma a¸c˜ao parcial α = ({D
g
}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
) do
41
grupo G num anel R, sabemos pelo Teorema 3.2.5, que α :
G −→ I(R) dada
por α
(A,g)
= α
g
1
α
g
−1
1
· · · α
g
n−1
α
g
−1
n−1
α
g
n
, onde (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
), ´e uma
a¸c˜ao global de
G no conjunto R. Nos pr´oximos lemas, exibiremos resultados sobre
dom´ınio e imagem da a¸c˜ao de
G sobre o anel R.
Lema 3.3.1. Sejam α = ({D
g
}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
) uma a¸c˜ao parcial de G em R, (A, g) =
({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
) um elemento de
G e α :
G −→ I(R) dada por α
(A,g)
=
α
g
1
α
g
−1
1
· · · α
g
n−1
α
g
−1
n−1
α
g
n
. Se denotarmos dom(α
(A,g)
) = D
(A,g)
−1
e im(α
(A,g)
) =
D
(A,g)
ent˜ao temos:
(1) D
(A,g)
= D
g
1
∩ D
g
2
∩ · · · ∩ D
g
n
,
(2) D
(A,g)
−1
= D
g
−1
n
∩ D
g
−1
n
g
1
∩ · · · ∩ D
g
−1
n
g
n−1
,
(3) α
(A,g)
(x) = α
g
(x) para todo x ∈ D
(A,g)
−1
.
Prova: Temos que α
(A,g)
= α
g
1
α
g
−1
1
· · · α
g
n−1
α
g
−1
n−1
α
g
n
, onde (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
},
g
n
).
´
E f´acil verificar que α
g
i
α
g
−1
i
= Id
D
g
i
, para todo 1 ≤ i ≤ n − 1. Da´ı, da defini¸c˜ao
da opera¸c˜ao em I(R), segue que D
(A,g)
= D
g
1
∩ D
g
2
∩ · · · ∩ D
g
n
. Para a prova de (2),
note que D
(A,g)
−1
= dom(α
(A,g)
−1
) e (A, g)
−1
= ({1, g
−1
n
g
1
, · · · , g
−1
n
g
n−1
, g
−1
n
}, g
−1
n
).
Da´ı, α
(A,g)
−1
= α
g
−1
n
g
1
α
(g
−1
n
g
1
)
−1
· · · α
g
−1
n
g
n−1
α
(g
−1
n
g
n−1
)
−1
α
g
−1
n
. Do caso anterior, temos
D
(A,g)
−1
= D
g
−1
n
∩ D
g
−1
n
g
1
∩ · · · ∩ D
g
−1
n
g
n−1
. A prova de (3) ´e imediata, uma vez que
α
g
j
α
g
−1
j
= Id
D
g
j
, para todo 1 ≤ j ≤ n − 1. ✷
Pelo lema acima, D
(A,g)
´e um ideal bilateral de R, para qualquer (A, g) ∈
G.
Claramente, α
({1},1)
= Id
R
. Al´em disso, usando (2
) da Defini¸c˜ao 1.2.3 temos que
α
(A,g)
(D
(A,g)
−1
) = D
(A,g)
. Assim, α
(A,g)
α
(A,g)
−1
= Id
D
(A,g)
e α
(A,g)
−1
α
(A,g)
= Id
D
(A,g)
−1
.
Lema 3.3.2. Sejam (A, g) = ({1, g
1
, · · · , g
n
}, g
n
) e (B, h) = ({1, h
1
, · · · , h
m
}, h
m
).
Ent˜ao,
(1) D
[(A,g)(B,h)]
= α
g
(D
(B,h)
∩ D
g
−1
) ∩ D
(A,g)
,
(2) D
[(A,g)(B,h)]
−1
= α
h
−1
(D
(A,g)
−1
∩ D
h
) ∩ D
(B,h)
−1
.
Prova: Lembremos que (A, g)(B, h) = ({1, g
1
, · · · , g
n
, g
n
h
1
, · · · , g
n
h
m
}, g
n
h
m
). As-
sim, usando o Lema 3.3.1, temos D
(A∪gB,gh)
= (D
g
1
∩· · ·∩D
g
n
)∩D
g
n
h
1
∩· · ·∩D
g
n
h
m
=
D
(A,g)
∩ (D
g
n
h
1
∩ D
g
n
) ∩ · · · ∩ (D
g
n
h
m
∩ D
g
n
) = D
(A,g)
∩ α
g
n
(D
h
1
∩ D
g
−1
n
) ∩ · · · ∩
α
g
n
(D
h
m
∩D
g
−1
n
) = D
(A,g)
∩α
g
n
(D
h
1
∩· · ·∩ D
h
m
∩D
g
−1
n
) = D
(A,g)
∩α
g
n
(D
(B,h)
∩D
g
−1
n
).
Como g = g
n
segue (1). O item (2) segue de (1) e do fato que [(A, g)(B, h)]
−1
=
(h
−1
B, h
−1
)(g
−1
A, g
−1
). ✷
42
Pelo lema acima, dom(α
(A,g)
α
(B,h)
) = α
h
−1
(D
(A,g)
−1
∩ D
(B,h)
) = α
h
−1
(D
(A,g)
−1
∩
D
h
) ∩ D
(B,h)
−1
= D
[(A,g)(B,h)]
−1
= dom(α
(A,g)(B,h)
) e α
(A,g)
α
(B,h)
(x) = α
(A,g)(B,h)
(x),
para to do x ∈ D
[(A,g)(B,h)]
−1
. Portanto, α ´e uma a¸c˜ao de
G em R.
Por outro lado, dada uma a¸c˜ao β :
G −→ I(R) ((A, g) −→ β
(A,g)
: D
(A,g)
−1
−→
D
(A,g)
) considere α : G −→ I(R) dada por: α
g
: D
({1,g},g)
−1
−→ D
({1,g},g)
e α
g
=
β
({1,g},g)
. De forma an´aloga ao que fizemos na prova do Corol´ario 3.2.6, mostra-se
que α ´e uma a¸c˜ao parcial de G em R. Portanto, temos o seguinte teorema.
Teorema 3.3.3. Sejam G um grupo e R um anel. Existe uma bije¸c˜ao entre a¸c˜oes
parciais de G em R e a¸c˜oes de
G em R.
Considere uma a¸c˜ao parcial α = ({D
g
}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
) de um grupo G num anel
R. O skew anel de grupo parcial R
α
G ´e o conjunto
finita
g∈G
a
g
δ
g
; a
g
∈ D
g
,
onde δ
g
s˜ao s´ımbolos. A adi¸c˜ao ´e feita coordenada a coordenada, e a multiplica¸c˜ao ´e
dada por (a
g
δ
g
)(b
h
δ
h
) = α
g
(α
g
−1
(a
g
)b
h
)δ
gh
. Em [4], encontra-se condi¸c˜oes suficientes
para que o skew anel de grupo parcial seja associativo. Outros resultados sobre skew
anel de grupo parcial tamb´em podem ser encontrados na referˆencia citada acima.
Daqui por diante, usaremos α = ({D
(A,g)
}
(A,g)∈
G
, {α
(A,g)
}
(A,g)∈
G
) para denotar a
a¸c˜ao global de
G em R. Agora definiremos o skew anel da expans˜ao de Birget-Rhodes.
Defini¸c˜ao 3.3.4. Sejam R um anel e G um grupo. O skew anel da expans˜ao de
Birget-Rhodes
G ´e definido por
R
α
G =
finita
(A,g)∈
G
aδ
(A,g)
; a ∈ D
(A,g)
,
com a soma coordenada a coordenada e a multiplica¸c˜ao dada por (aδ
(A,g)
)(bδ
(B,h)
) =
α
g
(α
g
−1
(a)b)δ
(A,g)(B,h)
, onde a ∈ D
(A,g)
e b ∈ D
(B,h)
.
Note que a multiplica¸c˜ao acima est´a b em definida. Com efeito, como α
g
−1
(a)b ∈
D
g
−1
∩ D
(B,h)
ent˜ao α
g
(α
g
−1
(a)b) ∈ α
g
(D
g
−1
∩ D
(B,h)
). Al´em disso, α
g
(α
g
−1
(a)b) ∈
D
(A,g)
, pois a ∈ D
(A,g)
. Portanto, α
g
(α
g
−1
(a)b) ∈ α
g
(D
g
−1
∩ D
(B,h)
) ∩ D
(A,g)
. Por´em,
pelo Lema 3.3.2, temos que α
g
(D
g
−1
∩ D
(B,h)
) ∩ D
(A,g)
= D
[(A,g)(B,h)]
. Da´ı, segue
43
que α
g
(α
g
−1
(a)b) ∈ D
[(A,g)(B,h)]
. Desta forma a multiplica¸c˜ao est´a bem definida.
Al´em disso, o skew anel da expans˜ao de Birget-Rhodes de um grupo G tem unidade
1
R
α
G
= 1
R
δ
({1},1)
.
O teorema seguinte mostra sob que condi¸c˜oes o skew constru´ıdo acima ´e asso-
ciativo. Para tanto, precisamos introduzir alguns conceitos. Seguindo [4], o anel de
multiplicadores de um anel I, denotado por M(I), ´e o conjunto formado pelos pares
ordenados (L, R), onde L e R s˜ao fun¸c˜oes aditivas de I que satisfazem:
(1) L(ab) = L(a )b,
(2) R(ab) = aR(b),
(3) R(a)b = aL(b), para todo a, b ∈ I.
Dados (L, R), (L
, R
) ∈ M(I), as opera¸c˜oes que tornam M(I) um anel s˜ao (L, R) +
(L
, R
) = (L + L
, R + R
), (L, R)(L
, R
) = (L ◦ L
, R ◦ R
). Dizemos que L ´e um
multiplicador a esquerda de I e R ´e um multiplicador a direita de I.
Al´em disso, um anel I ´e dito (L, R)-associativo se, dados quaisquer dois multi-
plicadores (L, R) e (L
, R
) em M(I), temos R
◦ L = L ◦ R
.
Mais ainda, seja π : I −→ J um isomorfismo de ideais. Ent˜ao ´e f´acil verificar
que para (L, R) ∈ M(I) o par (π ◦ L ◦ π
−1
, π ◦ R ◦ π
−1
) ´e um elemento de M(J) e
temos o seguinte.
Proposi¸c˜ao 3.3.5. A fun¸c˜ao π : M(I) −→ M(J) definida por π(L, R) = (π ◦ L ◦
π
−1
, π ◦ R ◦ π
−1
) ´e um isomorfismo de an´eis.
O pr´oximo teorema fornece condi¸c˜oes suficientes para que o skew anel da expans˜ao
de Birget-Rho des seja associativo.
Teorema 3.3.6. Sejam G um grupo e R um anel. Se D
(A,g)
´e (L, R)-associativo
para todo (A, g) ∈
G ent˜ao R
α
G ´e um anel associativo.
Prova: Obviamente, R
α
G ´e associativo se, e somente se,
(aδ
(B,h)
bδ
(A,g)
)cδ
(C,l)
= aδ
(B,h)
(bδ
(A,g)
cδ
(C,l)
), (3.3.2)
com a ∈ D
(B,h)
, b ∈ D
(A,g)
e c ∈ D
(C,l)
. Iniciamos pelo lado esquerdo da igualdade
acima:
(aδ
(B,h)
bδ
(A,g)
)cδ
(C,l)
= α
h
(α
h
−1
(a)b)δ
(B,h)(A,g)
cδ
(C,l)
= α
h
(α
h
−1
(a)b)δ
(B∪hA,hg)
cδ
(C,l)
=
α
hg
[α
(hg)
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b))c]δ
(B∪hA∪hgC,hgl)
.
44
Observe que, α
h
−1
(a)b ∈ D
h
−1
∩ D
(A,g)
. Logo, α
h
(α
h
−1
(a)b) ∈ α
h
(D
h
−1
∩ D
(A,g)
).
Al´em disso, pelo Lema 3.3.1, D
(A,g)
⊂ D
g
. Assim, α
h
(α
h
−1
(a)b) ∈ α
h
(D
h
−1
∩ D
g
) e
como α ´e a¸c˜ao parcial, segue que
α
(hg)
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b)) = α
g
−1
(α
h
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b))) = α
g
−1
(α
h
−1
(a)b).
Da´ı,
α
hg
[α
(hg)
−1
(α
h
(α
h
−1
(a)b))] = α
hg
(α
g
−1
(α
h
−1
(a)b)c).
Mas, α
h
−1
(a)b ∈ D
g
∩ D
h
−1
. Logo, α
g
−1
(α
h
−1
(a)b) ∈ α
g
−1
(D
g
∩ D
h
−1
). Portanto,
(aδ
(B,h)
bδ
(A,g)
)cδ
(C,l)
= α
h
[α
g
(α
g
−1
(α
h
−1
(a)b)c)]δ
(B∪hA∪hgC,hgl)
. (3.3.3)
Por outro lado, temos
aδ
(B,h)
(bδ
(A,g)
cδ
(C,l)
) = aδ
(B,h)
(α
g
(α
g
−1
(b)c)δ
(A∪gC,gl)
) =
= α
h
(α
h
−1
(a)α
g
(α
g
−1
(b)c))δ
(B∪hA∪hgC,hgl)
. (3.3.4)
Comparando 3.3.3 e 3.3.4 e aplicando α
h
−1
, obtemos que 3.3.2 vale se, e somente se,
α
g
[α
g
−1
(α
h
−1
(a)b)c] = α
h
−1
(a)α
g
(α
g
−1
(b)c)
com a ∈ D
(B,h)
, b ∈ D
(A,g)
e c ∈ D
(C,l)
. Como α
(B,h)
−1
= α
h
−1
|
D
(B,h)
: D
(B,h)
−→
D
(B,h)
−1
´e um isomorfismo de ideais, ent˜ao a igualdade acima ´e equivalente a seguinte:
α
g
(α
g
−1
(ab)c) = aα
g
(α
g
−1
(b)c),
para quaisquer a ∈ D
(B,h)
−1
, b ∈ D
(A,g)
e c ∈ D
(C,l)
.
Considere as fun¸c˜oes R
c
: D
(A,g)
−1
−→ D
(A,g)
−1
dada por R
c
(x) = xc e L
a
:
D
(A,g)
−→ D
(A,g)
dada por L
a
(x) = ax. As fun¸c˜oes R
c
e L
a
assim definidas s˜ao
multiplicadores a direita de D
(A,g)
−1
e a esquerda de D
(A,g)
, respectivamente. Ent˜ao
a equa¸c˜ao anterior ´e equivalente a seguinte,
α
g
◦ R
c
◦ α
g
−1
◦ L
a
(b) = L
a
◦ α
g
◦ R
c
◦ α
g
−1
(b),
para quaisquer a ∈ D
(B,h)
−1
, b ∈ D
(A,g)
e c ∈ D
(C,l)
.
Pela Proposi¸c˜ao 3.3.5, temos que α
g
◦R
c
◦α
g
−1
´e um multiplicador a direita de D
(A,g)
e como este ´e (L, R)-associativo ent˜ao a ´ultima equa¸c˜ao ´e satisfeita. Portanto, a
multiplica¸c˜ao em R
α
G ´e associativa. ✷
45
Note que se D
(A,g)
´e (L, R)-associativo para todo (A, g) ∈
G ent˜ao D
g
´e (L, R)-
associativo para todo g ∈ G. De fato, basta notar que D
({1,g},g)
= D
g
. Consequente-
mente, quando assumimos que D
(A,g)
´e (L, R)-associativo para todo (A, g) ∈
G temos
que R
α
G e R
α
G s˜ao an´eis associativos.
Teorema 3.3.7. Sejam α = ({D
g
}
g∈G
, {α
g
}
g∈G
) uma a¸c˜ao parcial de um grupo G
num anel R e α = ({D
(A,g)
}
(A,g)∈
G
, {α
(A,g)
}
(A,g)∈
G
) a respectiva a¸c˜ao (global) de
G
em R. Suponha que os ideais D
(A,g)
s˜ao (L, R)-associativos. Ent˜ao,
R
α
G (R
α
G)/I,
onde I ´e o ideal de R
α
G gerado pelos elementos da forma aδ
(A,g)
− aδ
(B,h)
, com
(A, g) ≤ (B, h) e a ∈ D
(A,g)
.
Prova: Considere a fun¸c˜ao ϕ : R
α
G −→ R
α
G definida por ϕ(aδ
(A,g)
) = aδ
g
e
estendida por linearidade. Assim, claramente ϕ ´e um homomorfismo sobrejetor de
an´eis.
Tome I = aδ
(A,g)
− aδ
(B,h)
; a ∈ D
(A,g)
, (A, g) ≤ (B, h). Como (A, g) ≤
(B, h) ent˜ao (A, g) = (B, h)(C, 1), para algum (C, 1) ∈ E(
G). Logo, g = h e,
pelo Lema 3.3.2, temos D
(A,g)
⊂ D
(B,g)
. Como I ⊂ Ker(ϕ), temos que φ :
(R
α
G)/I −→ R
α
G dada por φ(aδ
(A,g)
) = aδ
g
, onde aδ
(A,g)
´e a classe de
aδ
(A,g)
, est´a bem definida. Por outro lado, seja ψ : R
α
G −→ (R
α
G)/I
dada por ψ(aδ
g
) = aδ
i(g)
, onde i(g) = ({1, g}, g), e estendida por linearidade.
Note que, D
i(g)
= D
({1,g},g)
= D
g
e da´ı ψ est´a bem definida. Mostremos que ψ
´e um homomorfismo de an´eis. De fato, sejam a ∈ D
(A,g)
e b ∈ D
(B,h)
. Ent˜ao,
ψ(aδ
(A,g)
bδ
(B,h)
) = ψ(α
g
(α
g
−1
(a)b)δ
(A∪gB,gh)
) = α
g
(α
g
−1
(a)b)δ
i(gh)
. Por outro lado,
ψ(aδ
(A,g)
)ψ(bδ
(B,h)
) = aδ
i(g)
bδ
i(h)
= aδ
i(g)
bδ
i(h)
= α
g
(α
g
−1
(a)b)δ
i(g)i(h)
. No entanto,
i(g)i(h) = ({1, g}, g)({1, h}, h) = ({1, g, gh}, gh) = ({1, g}, 1)i(gh) e ({1, g}, 1) ´e
um idemp otente de
G. Ent˜ao, i(g)i(h) ≤ i(gh). Portanto, α
g
(α
g
−1
(a)b)δ
i(g)i(h)
−
α
g
(α
g
−1
(a)b)δ
i(gh)
∈ I. Da´ı, α
g
(α
g
−1
(a)b)δ
i(g)i(h)
= α
g
(α
g
−1
(a)b)δ
i(gh)
. Logo, temos
que ψ ´e um homomorfismo de an´eis. Seja x = aδ
(A,g)
∈ (R
α
G)/I. Da´ı, ψφ(x) =
ψ(aδ
g
) = aδ
i(g)
= x, pois (A, g) ≤ i(g). Al´em disso, dado x = aδ
g
∈ R
α
G temos
φψ(x) = φ(aδ
i(g)
) = aδ
g
= x. Ent˜ao, ψ e φ s˜ao inversas uma da outra. Desta forma,
R
α
G (R
α
G)/I. ✷
Observa¸c˜ao 3.3.8. O teorema acima corresponde exatamente ao Teorema 3.7 de
[10], por´em usando
G ao inv´es de S(G). Tamb´em em [10], o anel (R
β
S(G))/I, onde
46
I = aδ
s
− aδ
t
; a ∈ D
s
e s ≤ t, ´e chamado de produto cruzado parcial. Portanto, o
Teorema 3.3.7 mostra que o skew anel de grupo parcial ´e isomorfo ao correspondente
produto cruzado parcial.
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