( PDF ) Atenuação de vibração estrutural utilizando fluido magnetoreológico

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UNI VERSI DADE ESTADUAL PAULI STA

“JÚLI O DE MESQUITA FI LHO”

Câmpus de Ilha Sol teira

unesp

Dissertação de Mestrado

Camilo Mesquita Neto

Dissertação apresentada à Faculdade de

Engenharia de Ilha Solteira da Universidade

Estadual Paulista “Jùlio de Mesquita Filho”,

como parte do requisito exigido para obtenção

do título de Mestre em Engenharia Mecânica

Orientador: Prof.Dr. Vicente Lopes Junior

Co-orientador: Prof. Dr. Michael J. Brennan

Ilha Solteira, fevereiro de 2008.

Cursos: Agronomia - Eng. Civil - Eng. Elétrica - Eng. Mecânica

Av. Brasil Centro, 56 - Cep: 15.385-000 - Fone (018) 762-3113 ramal 138

FAX (018) 762-2992

FEIS

Faculdade de Engenharia

Departamento de Engenharia Mecânica

Atenuação de Vibração Estrutural Utilizando

Fluido Magnetoreológico

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FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação

Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.

Mesquita Neto, Camilo.

M582a Atenuação de vibração estrutural utilizando fluido magnetoreológico /

Camilo Mesquita Neto. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2008.

101 f. : il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade

de Engenharia de Ilha Solteira, 2008

Orientador: Vicente Lopes Junior

Co-orientador: Michael J. Brennan

Bibliografia: p. 94-101

l. Fluido magnetoreológico. 2. Absorvedor de vibrações ajustáveis.

3. Viga sanduíche. 4. Campos magnéticos. 5. Método de predição de erros -

PEM.

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Dedicatória

Dedico este trabalho a minha família,

principalmente a meus pais Walter e Virginia

de Fátima, a meus irmãos Walter e Melina e

a minha namorada Vivian pelo apoio e

paciência.

AGRADECIMENTOS

A DEUS por me dar Saúde, bons amigos e uma família que sempre me apoiou.

Ao meu orientador Prof. Dr. Vicente Lopes Júnior pela oportunidade, confiança,

paciência e por sempre estar disponível quando preciso.

A minha família e principalmente a minha namorada Vivian Testa pelo apoio e

paciência.

Aos amigos e amigas do Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes (GMSINT), pelo

apoio, por compartilhar seus conhecimentos. Em especial agradecer aos amigos Douglas

Dominges Bueno, Rodrigo Borges Santos, Clayton Rodrigo Marqui e Fabrício César Lobato

de Almeida por sempre me incentivar e me ajudar nos momentos que surgiram dúvidas no

decorrer do projeto. Também, aos amigos Paulo Henrique Tozoni Palma, Samuel da Silva e

Adriana Tavares pelo apoio e pela amizade.

Aos professores Márcio Antonio Bazani e Amarildo Tabone Paschoalini, por

compartilhar parte de seus conhecimentos. Em especial ao professor Hermes Adolfo de

Aquino, do Departamento de Física e Química da UNESP/Ilha Solteira, pois com sua amizade

muito me incentivou e ajudou nos estudos.

Aos professores Antonio Eduardo Turra e Gilberto Pechoto de Melo que me ajudaram

a dar continuidade ao meu trabalho quando meu orientador esteve ausente.

À Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) e a CAPES

pelo suporte financeiro.

Aos técnicos do Departamento de Engenharia Mecânica que me ajudaram quando

necessário, principalmente Carlos José Santana e Reginaldo Cordeiro da Silva.

Aos amigos da república Kabulete pelo apoio, amizade e pelos momentos de

descontração.

Viva com simplicidade.

Porque complicar as coisas?

Você acabará atrapalhando sua própria vida,

porque as complicações nos atrasam. Seja

simples e eficaz.

A simplicidade olha a natureza sem colocar

óculos. Quando puder resolva as coisas sem

complicação, faça-o em seu próprio

benefício.

Busque na simplicidade a solução de todos

os seus problemas.

C. Torres Pastorino

MESQUITA NETO, C. Atenuação de Vibração Estrutural Utilizando Fluido

Magnetoreológico. 2008. Dissertação de Mestrado (Engenharia Mecânica) – Faculdade de

Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2008.

RESUMO

Neste trabalho é apresentado uma proposta de absorvedor de vibrações ajustável tipo viga

sanduíche utilizando fluido Magnetoreológico no centro. Para o desenvolvimento deste

projeto foi realizada uma revisão sobre os vários tipos de absorvedores e algumas aplicações.

Em seguida foi realizado um estudo sobre o comportamento do fluido magnetoreológico,

mostrando como este material inteligente varia suas propriedades quando submetido a um

campo magnético. O objetivo do estudo foi verificar as propriedades do sistema para

realização de um futuro controle, que é realizado através da variação do campo magnético.

Avaliou-se, também, a relação com a corrente elétrica, quais os parâmetros que o influenciam

e como podemos produzir um campo magnético com a intensidade desejada. Para avaliar as

características do sistema foi utilizado o modelo no programa Ansys, com o objetivo de se

verificar o comportamento do sistema. Para encontrar as características reais do sistema foi

utilizado o modelo na forma de espaço de estados modais, identificado através do método

PEM, Método de Predição de Erros (do inglês Prediction Error Methods  PEM). Os testes

experimentais foram realizados para se adquirir conhecimento do comportamento dinâmico

deste tipo de fluido e, verificar se há repetibilidade nas medidas.

Palavras-chaves: Fluido Magnetoreológico, Absorvedor de Vibrações Ajustáveis, Viga

Sanduíche, Campo magnético, Método de Predição de Erros – PEM.

MESQUITA NETO, C. Attenuation of structural vibration using magnetorheologic fluid.

2008. Master of Science (Mechanical Engineering) – Faculdade de Engenharia, Universidade

Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2008.

ABSTRACT

This work presents a proposal of a tunable vibrations absorber type sandwich beam, using the

Magnetorheologic fluid in the intermediate layer. For the development of this study a revision

of some types of absorber with some applications was carried out. After that, a study of the

behavior of the magnetorheologic fluid was carried through, showing as this intelligent

material tunable its properties when submitted to a magnetic field. The objective of this

analysis was to verify the properties of the system for implementation of a future control,

which is based on the variation of the magnetic field. It was realized an analysis of the

relation of the electric current and the parameters that influence it, in order to produce a

magnetic field with the desired intensity. The characteristics of the system were verified

through a mathematical model obtained with the software Ansys. The real characteristics of

the system were found through the identification method PEM, Prediction Error Methods,

using modal space states formulation. Experimental tests were carried out in order to obtain

know how of the dynamic behavior of this type of material.

Keywords: Magnetorheological Fluid, Tunable Vibrations Absorber, Sandwich Beam,

Magnetic Field, Prediction Error Methods – PEM.

Lista de Figuras

Figura 1.1 - Helicóptero Apache com canhão M230 que utiliza amortecedores com fluidos

MR. 21

Figura 2.1 - Fluido MR sem campo magnético (a), com campo magnético (b) -Lord Materials

Division, (2004) 26

Figura 2.2: Tensão de cisalhamento

( )



vs. Razão de deformação



para fluidos MR com

vários campos magnéticos (Srinivasan and D. M. McFarland 2001) 26

Figura 2.3: Três formas básicas da resposta do Fluido MR: (a) direct sheer mode(modo de

corte direto), (b) modo Válvula, (c) squeeze film mode(modo de filme comprimido), Milecki

(2001) 27

Figura 2.4: Características Tensão-deformação de fluidos MR (Srinivasan and McFarland

(2001)) 28

Figura 2.5: Propriedades de cisalhamento para o fluido MR [ Harland, 1999] 29

Figura 2.6: Elemento de corrente-comprimento

ids

produzindo um campo magnético

diferencial

no ponto P 30

Figura 2.7: Calculo do campo magnético produzido por uma corrente i em um fio reto

longo 31

Figura 2.8: (a) Fio no formato de arco com centro em C transportando uma corrente i. (b) Para

qualquer fio ao longo do arco, o ângulo entre as direções de

é igual a 90º. (c)

Determinação do sentido do campo magnético no centro de C devido à corrente no

fio 33

Figura 2.9: Usando a Lei de Ampère para determinar o campo magnético produzido por uma

corrente i em um fio reto longo. O laço de Ampère é um circulo concêntrico localizado do

lado de fora do fio 34

Figura 2.10: Esquema de um solenóide ideal – comprimento muito maior que seu

diâmetro 35

Figura 2.11: Representação de um corte vertical passando pelo eixo central em um

solenóide 35

Figura 2.12 - Linhas de campo magnético para um solenóide real de comprimento

finito 36

Figura 2.13: Aplicação da Lei de Ampère a um trecho de um solenóide ideal longo

transportando uma corrente i. O laço de Ampère é o retângulo abcd 36

Figura 3.1: Figura retirada do programa Ansys, representando a viga sanduíche 47

Figura 3.2: Figura retirada do programa Ansys, representando a viga sanduíche com

elementos diferentes 47

Figura 4.1: Dimensões da viga Sanduíche 58

Figura 4.2: Viga sanduíche utilizada nos testes experimentais 59

Figura 4.3: Figura esquemática da montagem experimental 59

Figura 4.4: Foto do Martelo de impacto e amplificadores 60

Figura 4.5: Foto do Acelerômetro PCB acoplado a viga sanduíche 60

Figura 4.6: Foto da Placa dSpace 1103 60

Figura 4.7: Dois solenóides, um de frente para o outro, para aplicação uniforme do campo

magnético 61

Figura 4.8: Dimensões do Núcleo utilizado 62

Figura 4.9: Gerador de corrente modelo PS 3003 D 62

Figura 4.10: Gráfico mostrando o comportamento da estrutura em função da variação do o

amortecimento do elemento 2 64

Figura 4.11: Gráfico da variação de amplitude para a primeira freqüência natural em função

do amortecimento 65

Figura 4.12: Foto do equipamento para medir o campo magnético – Gaussmeter 66

Figura 4.13: Figura esquemática com a posição dos pontos de medida do campo magnético,

sendo L = 35 mm e C = 55 mm 67

Figura 4.14: Foto da placa de acrílico entre os solenóides 67

Figura 4.15: Distribuição do Campo Magnético em relação aos Pontos de medida; (a) Vista

tridimensional; (b) vista lateral; (c) vista superior 68

Figura 4.16: Relação entre variação da distância entre solenóides e campo magnético; (a)

valor do campo no ponto 3A; (b) valor do campo no ponto 3D (centro do solenóide); (c) valor

do campo no ponto 3G 70

Figura 4.17: Foto da viga sanduíche no centro dos solenóides 73

Figura 4.18: FFT do sinal de entrada; (a) sinal bom; (b) sinal encontrado em vários casos e

que foram descartados 74

Figura 4.19: (a) Sinal de entrada (input); (b) Resposta ao impulso da viga sem

silicone 76

Figura 4.20: Gráfico da Função de Resposta em Freqüência de uma viga de acrílico 77

Figura 4.21: Gráfico da Função de Resposta em Freqüência da viga sanduíche com silicone,

sem o fluido magnetoreológico no centro 78

Figura 4.22: Gráfico da Função de Resposta em Freqüência da viga sanduíche com silicone,

sem o fluido magnetoreológico no centro 79

Figura 4.23: Gráfico da Função de Resposta em Freqüência para seis amostras com o fluido

magnetoreológico no centro das vigas e campo magnético igual a zero 80

Figura 4.24: FRF do absorvedor de vibrações ajustável (TVA) para diversas aquisições (a);

detalhes da variação do segundo modo de vibrar para o campo magnético do teste 2 (0.010

Tesla) 82

Figura 4.25: FRF do TVA para diversas aquisições; (a) FRF para o campo 13 (0.081); (b)

detalhes da variação do segundo modo de vibrar para o campo magnético do teste 13 (0.081

Tesla) 83

Figura 4.26: FRF média do TVA para os valores do campo magnético relativos aos testes de 0

a 5 85

Figura 4.27: (a) FRF do TVA para diversos valores do campo magnético; (b) zoom para

visualizar o comportamento do segundo modo de vibrar 86

Figura 4.28: FRF do TVA para ensaios realizados com valores iguais do campo magnético;

(a) ensaio para os campos magnético 1 e 25; (b) ensaio para os campos magnético 10 e 16 e

Lista de Tabelas

Tabela 4.1: Freqüência natural e propriedades utilizadas no modelo do programa Ansys 63

Tabela 4.2: Valores do amortecimento utilizado no programa Ansys para cada ensaio 64

Tabela 4.3 Pontos de Medidas de Campo Magnético no Núcleo do Solenóide 66

Tabela 4.4: Distribuição do Campo Magnético no núcleo 69

Tabela 4.5: Valores do Campo magnético e distância entre os solenóides 69

Tabela 4.6: Dados necessários para o cálculo teórico do campo magnético 71

Tabela 4.7: Comparação entre o campo magnético teórico e experimental para o

solenóide 71

Tabela 4.8: Valores do campo magnético e das respectivas corrente elétrica aplicada 81

Tabela 4.9: Valores de amortecimento para cada campo magnético estimados pelo método

PEM 87

Lista de Símbolos

()

diag

Matriz diagonal com elementos de A

na diagonal

TVA “T

uned Vibration Absorver”

EDOL Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

|| ||

Norma euclidiana

Letras Gregas



Tensão de cisalhamento

Viscosidade



Razão de deformação



Tensão de escoamento



Ângulo entre

e r



Vetor de parametrização



Vetor com valor estimado para o vetor θ



Constante de permeabilidade

I-ésima freqüência natural do sistema

I-ésimo modo natural ou forma dos modos

α Constantes

β Constantes

 Matriz modal



Matriz modal transposta

(ω) Espectro de entrada

(ω) Espectro do distúrbio adicionado v

Espectro cruzado entre e(t) e u(t)



Matriz de freqüências naturais

Fator de amortecimento do i-ésimo modo

ω Freqüência

Letras Latinas

Constantes

Matriz dinâmica

Matriz dinâmica A

na forma modal k

Matriz de entrada modal

Matriz de entrada do sinal de controle

Matriz de saída de deslocamento

Matriz de saída de velocidade

Matrizes de saída de deslocamento

Matrizes de saída de velocidade modal

D Matriz de amortecimento

Vetor deslocamento diferencial

Vetor linha

e(t) Ruído branco

f Função arbitrária

Módulo de cisalhamento complexo

Módulo de cisalhamento

Módulo de fator de perda

Módulo de cisalhamento no campo zero

Módulo de perda de campo

G(q, θ) Matriz relacionada com o sinal de entrada u(t)

H Força de campo magnético

H(q, θ) Matriz relacionada com o ruído e(t)

I Matriz identidade

K Matriz de rigidez

Medida de distância

M Matriz de massa

nd Número de graus de liberdade do sistema

P Valor do campo magnético

q(t) Vetor de deslocamento

r Vetor que se estende de

até P

Número de saídas

Matriz que transforma a variável de estado x

na variável x

s Número de entradas na estrutura

u(t) Vetor do sinal de entrada na estrutura

V Volume

Sub-domínio do volume V

v(t) Vetor do ruído da saída

x(t) Vetor de posição

(t)

Vetor de velocidade

Vetor de deslocamento modal

Vetor de velocidade modal

w(t) Vetor de entrada de distúrbios

Filtros para o modelo LTI - Linear Invariante no Tempo

y(t) Vetor de saídas

(t/t-1)

Vetor com valores de um passo adiante na predição da saída

Matriz com dados coletados em um tempo N

Matriz nula

Sumário

Capítulo 1 - Estado da Arte de Absorvedores de Vibração

1.1. Introdução 17

1.2. Organização do trabalho 23

Capítulo 2 - Conceitos Básicos Envolvidos na Proposta do TVA

2.1. Características dos fluidos MR 25

2.2 Conceitos Básicos sobre Magnetismo 29

2.2.1 Cálculo do Campo magnético devido a uma corrente 29

2.2.2 Cálculo do campo magnético devido a uma corrente em um fio reto

longo 31

2.2.3 Campo magnético devido a uma corrente em um arco circular de fio 32

2.2.4 Campo magnético fora de um fio reto longo com corrente 34

2.2.5 Solenóides 35

Capítulo 3 – Modelagem da Estrutura

3.1. Modelo Matemático – EDOL 38

3.2. Modelos Estruturais no Espaço de Estados 41

3.3 Modelagem por Elementos Finitos 44

3.4 Métodos de Identificação de Sistemas 48

3.4.1 Método de Predição de Erros 48

3.4.2. Parametrização de Modelos 50

3.4.3 Modelos Lineares 51

3.4.4 Modelo Linear Caixa –Preta 52

3.4.5 Técnica de Estimação 53

3.4.6 Propriedade de Convergência 54

3.4.7 Sistema Linear de Malha Aberta 55

3.4.8 Sistema Linear de malha fechada 56

3.4.9 Uso do Método de Predição de erro (PEM) 57

Capítulo 4 – Resultados Obtidos

4.1 Materiais 58

4.2 Resultados obtidos com o programa Ansys 62

4.3 Resultados obtidos experimentalmente 65

Capítulo 5 – Discussões Finais

5.1 Discussão 90

5.2 Conclusão 92

5.3 Propostas para trabalhos futuros 92

5.4 Artigos originados desta dissertação 93

Referências 94

Capítulo 1 - Estado da Arte de Absorvedores de

Vibração

1.1. Introdução

Nas últimas décadas tem aumentado o interesse de engenheiros e pesquisadores

no uso de sistemas de controle para atenuar os efeitos nocivos de vibrações causadas

pela própria dinâmica dos equipamentos ou por eventos sísmicos. Este controle pode ser

feito através de três formas, por um absorvedor passivo; semi-ativo; ou ativo.

O absorvedor passivo pode ser feito de duas formas. Em uma delas se considera

o material viscoelástico no sistema para diminuir a vibração,ou seja, isolar o sistema da

fonte de excitação. Um exemplo deste tipo de absorvedor é o coxim em um motor de

um automóvel, que isola a vibração do motor com relação ao chassi do carro. O outro

tipo de absorvedor é o denominado geralmente, por absorvedor dinâmico. Neste caso é

acoplada a estrutura um novo sistema que possui massa, amortecimento e rigidez. A

principal vantagem dos absorvedores passivos está no seu baixo custo e a desvantagem

é o fato de não possibilitarem uma alteração das suas propriedades (como massa, rigidez

ou amortecimento) para se adaptar as variações que podem ocorrer no sistema original.

Portanto só apresentam um bom desempenho para a faixa de freqüência que foram

projetados.

O absorvedor semi-ativo é similar ao passivo, no sentido em que remove energia

do sistema. Contudo, o sistema semi-ativo é capaz de mudar uma ou mais propriedades

em resposta a um sinal de comando (SRINIVASAN et al., 2001), ao contrário do

passivo, onde as propriedades são constantes. Por ter a capacidade de mudar as

propriedades do sistema, uma grande força dissipativa deve ser aplicada para retirar

energia do sistema com pequena energia de entrada. Absorvedores semi-ativos podem

apenas remover energia do sistema, portanto, são inerentemente estáveis. Um exemplo

de sistema semi-ativo é o absorvedor de choque com um orifício variável, que permite a

alteração do coeficiente de amortecimento quando necessário.

O sistema com absorvedor ativo é controlado por um computador através dos

sinais de entrada dos sensores. Diferentemente do sistema passivo e semi-ativo, o

sistema ativo é capaz de adicionar grande energia ao sistema. Um exemplo de sistema

ativo é o atuador eletromecânico, que gera uma força em resposta a um sinal de

retroação de velocidade ou deslocamento. A meta do absorvedor ativo é fornecer forças

de igual magnitude e em fase oposta à da vibração de entrada. Neste sentido, um

sistema de absorvedor ativo pode promover um melhor desempenho para atenuação de

ruído, por exemplo. Contudo, há desvantagens para sistemas ativos, pois são

dependentes do projeto e necessitam de sensores e processos para fornecer dados em

tempo real. Uma grande quantidade de energia é, freqüentemente, necessária para

operar o absorvedor ativo. Estas características necessárias para este tipo de absorvedor

tornam o projeto mais caro. Estabilidade é também uma questão importante para a

escolha do projeto de absorvedor ativo de vibrações.

Neste contexto, atenção especial tem sido dada para pesquisas e

desenvolvimento de sistemas de controle de vibrações semi-ativos, pois estes possuem

menor custo, não desestabilizam o sistema e precisam de um pequeno suprimento de

energia. Estes sistemas não oferecem apenas a confiabilidade do sistema de controle

passivo, mas também a versatilidade e adaptabilidade do sistema de controle ativo.

Vários equipamentos e materiais têm sido investigados para desenvolver estes novos

sistemas, dois destes novos matérias são o fluido magnetoreológico (MR) e o

eletroreológico (ER), que vêm sendo pesquisados e utilizados em aplicações de sistemas

de absorvedores semi-ativos. Estes dois fluidos possuem comportamentos similares. A

diferença entre fluidos MR e ER é que as propriedades do fluido MR são alteradas

quando ele é exposto a um campo magnético, enquanto, as propriedades de fluidos ER

são alteradas quando exposto a um campo elétrico. O número de estudos envolvendo

fluidos MR tem crescido de maneira significativa ultimamente, pois as características de

fluidos MR são consideradas mais benéficas que aquelas dos fluidos ER. Um estudo

apresentado por Lord Materials Division (2004) mostrou que existem três importantes

vantagens dos fluidos MR. Primeira, os fluidos MR exigem fontes de voltagem mais

baixa que fluidos ER. Segunda, fluidos MR são menos sensíveis a contaminação que os

fluidos ER. Por último, fluidos MR geralmente, suportam maiores tensões que fluidos

ER. Na proposta desta pesquisa serão enfocados apenas os fluidos MR.

O fluido MR consiste de um fluido base com micro partículas magnéticas em

suspensão (este fluido base pode ser água, óleo, silicone, ou qualquer fluido que tenha

por característica não reagir com o campo magnético nem com as partículas em

suspensão). Na presença de um campo magnético, as partículas magnéticas em

suspensão se alinham com o campo formando uma “corrente”, como mostrado na figura

(2.1). Este comportamento, em particular, é muito útil em absorvedores de vibrações,

uma vez que entre as partículas desta “corrente” há uma força de cisalhamento. Quando

esta estrutura é submetida a uma vibração, estas “correntes” se quebram, dissipando

energia, e o campo causa uma recomposição desta corrente. Esta continua quebra e

reconstituição das correntes permite ao fluido dissipar energia do sistema (KARNOPP

et al., 1984; SPENCER et al., 1997; JOLLY et al., 1998; SRINIVASAN et al., 2001).

Além das características citadas acima como resposta rápida e baixa necessidade de

energia, a capacidade de mudar a tensão, a ampla faixa de temperatura operacional e a

facilidade de implementação com baixo custo, em relação à sistemas de absorvedores

ativos, tornam este tipo de absorvedor uma ótima opção para projetos inovadores.

Várias aplicações que utilizam o fluido MR na forma de amortecedor em absorvedores

semi-ativos têm sido relatadas.

Na engenharia civil há uma grande preocupação em controlar a resposta das

estruturas as excitações nocivas causadas por eventos naturais, como terremotos e

ventos fortes. O sistema semi-ativo com amortecedor MR tem demonstrado ótimas

características para estes casos. Dyke et. al.(1996) demonstram experimentalmente a

habilidade do amortecedor MR para reduzir a vibração estrutural sobre uma ampla

variedade de condições de carregamentos. Yoshida e Dyke (2005) estudaram o

desempenho de um sistema de controle usando amortecedor MR quando aplicado a um

modelo numérico em escala completa para edifícios irregulares. Wu e Cai (2006)

estudaram a eficiência do amortecedor MR para controle de vibração em cabos sujeitos

a diferentes condições de carregamentos, incluindo corrente elétrica, freqüência de

excitação, tipos de onda de excitação e temperatura de trabalho. Cai et. al.(2006)

propuseram uma teoria linear para o problema de vibrações livres e forçadas em cabos

de pontes levemente inclinados com um sistema de amortecimento com massas

ajustáveis. Exemplo destes tipos de dispositivos estão atualmente implementados na

Ponte de Dong Ting Lake na China (AMAZING, 2003). Unsal et. al.(2006) trabalharam

com um modelo de absorvedor (isolador) de vibrações com 6 GL (graus de liberdade)

com controle semi-ativo para plataformas paralelas.

Na área automobilística há preocupação em melhorar o conforto,

controlabilidade e dirigibilidade dos veículos. Os sistemas de suspensão semi-ativas

com amortecedores MR estão sendo pesquisados e implementados. Simon (1998)

estudou o sistema de atenuação de vibração utilizando uma suspensão semi-ativa com

amortecedor de fluido MR em um veículo Scania Volvo VN. A proposta foi baseada no

controlador “skyhook”. Paré (1998) realizou um estudo teórico do fluido e do

amortecedor MR fabricado pela Lord© para um sistema de um grau de liberdade. Foi

proposto um modelo teórico e, via Matlab se efetuou o controle “Skyhook”, “ground-

hook” e híbrido. Simon e Ahmadian (2001) utilizaram o mesmo sistema de suspensão e

controle proposto por Simon (1998), mas agora para um veículo off-road (fora da

estrada) da Scania. Yao et. al.(2002) projetaram, fabricaram e desenvolveram um

modelo para estimar os parâmetros experimentalmente do amortecedor com MR, para

aplicação em uma suspensão de veículo utilizando o método de controle “Skyhook”.

Moura et. al.(2002) estudaram a utilização de suspensões ativa, semi-ativa com fluido

magnetoreológico e passiva para um modelo de meio veículo com 4 GL utilizando o

método de controle linear quadrático(LQR). Deivys (2003) faz uma comparação entre

três tipos de suspensão veicular: ativa utilizando a teoria de controle ótimo (LQR);

semi-ativa utilizando amortecedor com fluido MR e; a técnica de controle

continuamente variável baseado nas velocidades relativas entre carroceria e eixos. Zribi

e Karkoub (2004) propuseram um esquema de controle robusto para a suspensão de

carros considerando um modelo de meio veículo e a dinâmica do passageiro. Shen, et.

al.(2006(a)) investigaram três métodos de controle semi-ativo usando amortecedor com

fluido MR comercial. Os métodos foram o de deslocamento relativo limitado (LRD), o

método Rakheja-Sankar (R-S) modificado e o de controle “Skyhook” (MSK)

modificado.

Exemplos de aplicações destes sistemas de suspensão semi-ativa usando fluido

MR podem ser encontrados em veículos militares do exército Norte Americano

(MAGNETORHEOLOGICAL, 2004). Amortecedores similares, também, foram usados

em um helicóptero Apache AH 64 para controlar (absorver) a vibração provocada pela

força de recuo existente depois dos disparos, figura 1.1 (MAGNETORHEOLOGICAL

(MR) RECOIL, 2004). Shen et. al.(2006b) propuseram um sistema de suspensão semi-

ativa com amortecedor MR em uma locomotiva e compararam a eficiência deste

sistema com relação as suspensões passiva e ativa.

Figura 1.1: Helicóptero Apache com canhão M230 que utiliza amortecedores com

fluidos MR.

Na aeronáutica, Wereley et. al.(1999) compararam dois modelos de

amortecedores MR não lineares para aplicações no controle de vibrações da hélice em

rotores de helicópteros. Os testes experimentais foram realizados em um túnel de vento

utilizando um modelo em escala de 1/6 do rotor do helicóptero Comanche. Gandhi et.

al.(2001) investigaram a viabilidade de aplicar uma lei de controle robusto linear com

retro-alimentação para estabilizar o helicóptero e reduzir os efeitos de forças periódicas.

Na área de absorção de vibrações em sistemas mecânicos, o fluido MR está

sendo usado para controlar a vibração de rotores, principalmente, quando passam pela

velocidade crítica. Wang e Meng (2005) propuseram um modelo usando o modo de

cisalhamento da resposta do fluido MR para controle de vibrações de um rotor.

Carmignani e Rustighi (2006) apresentam um modelo teórico para a película de filme

do amortecedor MR. Resultados simulados foram mostrados para diferentes tipos de

fluido.

Outra aplicação interessante para o fluido MR é na área médica, no tratamento

de câncer. Nesta proposta de aplicação, o fluido é injetado no sangue pelas veias e

levado até o tumor. É aplicado um campo magnético externo na área do tumor para

formar a magnetização das partículas (óxido de ferro) do fluido MR. Estas minúsculas

partículas formam um sólido próximo dos pólos magnéticos e bloqueiam o fluxo de

sangue que chega ao tumor, fazendo com que ele necrose (FLORES ; LIU, 2002).

Diversas são as aplicações em próteses. O Rheo foi o primeiro sistema de joelho

artificial inteligente que tem a habilidade de aprender e se adaptar com os movimentos

dos usuários. O joelho usa o fluido MR entre as placas de aço que deslizam para gerar o

movimento. Com a aplicação de um campo magnético, pode-se controlar a espessura do

fluido. No Rheo, a espessura do fluido determina a resistência do joelho. Isso faz com

que o sistema bio-mecânico funcione próximo ao real, com um constante ajuste das

pressões. Desta forma pode-se reduzir as pressões, e assim a ausência de fluidos de altas

pressões elimina a necessidade de lacres e válvulas (CASUALTIES, 2005). Na página

da NASA podem ser encontradas outras aplicações que estão em desenvolvimento, ou

idéias para futuras aplicações.

Outro tipo de absorvedores de vibrações ajustáveis (TVA, em inglês “T

uned

Vibration Absorver”), são aqueles composto de estruturas acopladas, por exemplo, vigas

sanduíches. Esta estrutura é composta por duas vigas, que podem ser do mesmo material

ou não, que no seu interior possui um material com características ajustáveis,

possibilitando a alteração da rigidez ou do amortecimento do sistema. Vários autores

estudaram métodos para variar a rigidez do TVA. Flatau et. al. (1998) estudaram um

absorvedor de vibração magnetostrictive Terfenol-D e concluíram que a alteração do

campo magnético, com conseqüente variação na corrente no solenóide, causa mudanças

na rigidez do TVA. Tentor (2001) demonstrou a aplicabilidade de um TVA

eletromagnético cuja rigidez pode ser alterada pela variação de correntes. Morgan e

Wang (2002) desenvolveram um absorvedor de vibração adaptativo piezelétrico

multifreqüência cuja rigidez pode ser variada através de uma indutância variável ativa.

Hill e Snyder (2002) projetaram um TVA para controlar a radiação de ruído de um

transformador elétrico. O TVA consistiu em duas barras com massas nas extremidades.

A ressonância do absorvedor pôde ser alterada movendo as massas nas extremidades

das barras. Rustighi et. al. (2003) estudaram a liga de memória de forma (SMA) e

encontraram que mudança da temperatura do SMA ocasiona alteração no módulo de

elasticidade e, conseqüentemente, a rigidez do TVA. Jalili e Esmailzadeh (2003)

desenvolveram um TVA em uma viga bi-engastada utilizando massas concentradas. A

rigidez podia ser alterada movimentando as massas na viga. Carneal et. al. (2004)

propuseram um TVA para minimizar a radiação de som em chapas excitadas com

freqüência harmônica. Eles utilizaram um motor de passo para agir como uma massa

ativa. Para ajustar a freqüência do absorvedor, o motor de passo muda a rigidez do eixo

do suporte variando a distância entre o motor de passo e as extremidades. Harland et al

(2001) investigaram o controle passivo-adaptativo de vibração em uma viga composta

de duas placas elásticas e um núcleo central preenchido com fluido ER ou MR. A

vibração da viga pode ser controlada ajustando o campo elétrico ou magnético aplicado

ao fluido ER ou MR. Phani e Venkatraman (2003) investigaram o comportamento de

uma viga sanduíche com fluido ER no centro. As propriedades de amortecimento dos

elementos estruturais foram melhoradas mudando a amplitude do campo elétrico

aplicado.

Neste trabalho é estudado o comportamento de um absorvedor de vibrações

ajustável (TVA) do tipo viga sanduíche utilizando o fluido Magnetoreológico para

variar suas características, com o objetivo de estudar a viabilidade da utilização deste

dispositivo no controle de vibrações.

1.2. Organização do trabalho

Este trabalho está organizado da seguinte forma:

• No primeiro capítulo é realizada uma introdução sobre absorvedores de

vibrações, tipos de amortecimento, materiais com propriedades ajustáveis e,

exemplos de aplicações;

• O segundo capítulo apresenta um estudo sobre o fluido Magnetoreológico,

mostrando o comportamento e a forma como varia suas características quando

submetido ao campo magnético;

• O terceiro capítulo aborda os conceitos sobre campo magnético e a forma de se

obter um campo magnético ajustável. Neste capítulo também é apresentada a

modelagem da estrutura usando o modelo dinâmico de segunda ordem em

coordenadas física e modal, a realização no espaço de estados e, ainda, o modelo

representativo no programa Ansys. Neste capítulo são mostradas as vantagens da

metodologia proposta;

• No quarto capítulo são mostrados os resultados experimentais, apresentando o

comportamento do absorvedor e mostrando o estudo realizado para garantir que

o campo magnético seja uniforme na região onde o absorvedor se encontra.

• O capítulo cinco apresenta as conclusões finais do trabalho e sugestões para

trabalhos futuros.

Capítulo 2 - Conceitos Básicos Envolvidos na Proposta

do TVA

Neste capítulo são estudados os conceitos básicos utilizados na proposta de

construção do absorvedor de vibrações ajustável tipo viga sanduíche. Este absorvedor

consiste de duas vigas com o fluido magnetoreológico (MR) no seu interior. As

propriedades deste absorvedor serão ajustadas variando as propriedades do fluido MR.

Também é estudado como o fluido varia suas propriedades em função do campo

magnético aplicado e os conceitos eletromagnéticos.

2.1. Características dos fluidos MR

Srinivasan e McFarland (2001) mostraram que fluidos MR são suspensões de

micro partículas de polarização imersos em líquidos inertes. Os fluidos MR se

comportam como fluidos Newtonianos quando não existe campo externo.

Comportamento Newtoniano é quando a tensão de cisalhamento é proporcional ao

produto da viscosidade e da deformação. O comportamento do fluido MR muda de

Newtoniano para Bingham quando um campo magnético externo é aplicado.

Comportamento plástico de Bingham é quando a tensão de cisalhamento é proporcional

ao produto da viscosidade e da razão de deformação mais a tensão de escoamento. Os

modelos Newtoniano e de Bingham podem ser escritos nas seguintes formas:

Modelo Newtoniano:

 = v 

(2.1)

Modelo de Bingham:

(H)+

(2.2)

onde







são a tensão de cisalhamento, viscosidade, razão de deformação,

tensão de escoamento e força de campo magnético, respectivamente.

Quando existir um campo magnético aplicado a um fluido MR, as partículas se

alinham na direção do campo magnético aplicado e adquirem uma forma de corrente,

como mostrado na figura (2.1). Estas correntes são resistentes ao cisalhamento e causam

tensão de escoamento quando uma força de cisalhamento é aplicada. Pradeep (2001)

mostra que os fluidos MR podem desenvolver uma tensão de cisalhamento de até 100

KPa, dependendo da composição das partículas no fluido MR e a densidade de fluxo.

Figura 2.1: Fluido MR sem campo magnético (a), com campo magnético (b) -Lord Materials

Division, (2004).

A figura (2.2) mostra a tensão de escoamento dos fluidos MR em função do

campo magnético. Pode ser visto nesta figura que o campo magnético causa uma

mudança na tensão de escoamento dentro do fluido. Quanto maior o campo magnético,

maior o limite da tensão de escoamento que pode ser alcançada.

Figura 2.2: Tensão de cisalhamento

( )



vs. Razão de deformação



para fluidos MR

com vários campos magnéticos (SRINIVASAN ;MCFARLAND, 2001).

Tao (2001) mostra que o tempo de resposta de fluidos MR é geralmente de mais

ou menos 10 milisegundos. Isto significa que as partículas magnéticas se alinham em

forma de correntes 10 milisegundos depois que um campo magnético é aplicado.

Embora fluidos MR tenham um tempo de resposta rápido, este será maior quanto maior

for o campo magnético aplicado. Em geral, existem eletroímãs dentro do mecanismo do

fluido MR. Se um elevado campo magnético é exigido, os eletroímãs são pesados e

volumosos e, neste caso resultam em um tempo de atraso. Este tempo de atraso pode

causar problemas para aplicações que exijam campo magnético elevado.

Segundo Milecki (2001) e Yao et. al.(2002), fluidos MR respondem ao campo

magnético aplicado de três formas, que são mostradas na figura (2.3):





H =0

Força de

campo

magnético

crescente

 (H)

(H)

Figura 2.3: Três formas básicas da resposta do Fluido MR: (a) direct sheer mode(modo

de corte direto), (b) modo Válvula, (c) squeeze film mode(modo de filme comprimido)(

MILECKI, 2001).

Em modo válvula os pólos magnéticos são fixos e o fluido é forçado a passar

entre os pólos. Este tipo de sistema pode ser considerado para uso em amortecedores

com válvula de controle hidráulico, pois os pólos exercem a função de válvula a medida

que a intensidade do campo magnético varia, alterando a viscosidade do fluido que

passa entre os pólos. Já o modo de corte direto, possui um pólo móvel, que é adequado

para embreagens, freios e amortecedores. A última possibilidade, modo de filme

comprimido pode ser usado para controle de pequenos movimentos. Este pode ser

configurado para operação axial ou rotatória.

O comportamento de fluidos MR também pode ser descrito em termos de

modelos pré e pós-tensão de escoamento. Neste trabalho será considerado apenas o

modelo pré-tensão de escoamento. Este modelo é definido quando a tensão de

cisalhamento é proporcional à deformação de cisalhamento. A figura (2.4) ilustra o

comportamento destes modelos.

Figura 2.4: Características Tensão-deformação de fluidos MR (SRINIVASAN AND

MCFARLAND, 2001)).

Existem relativamente poucas pesquisas que buscam caracterizar as

propriedades dos fluidos MR no estado de pré-tensão de escoamento. As características

de cisalhamento na fase pré-tensão podem ser modeladas por:

* ' ''

G = G + jG

(2.3)

onde

G =G +AH

(2.4)

''"

G =G +AH

(2.5)

onde

*'"'

G ,G,G ,G ,

são módulo de cisalhamento complexo, módulo de

cisalhamento, módulo de fator de perda, módulo de cisalhamento no campo zero,

módulo de perda de campo, respectivamente e

123

A ,A ,A ,

são constantes

(HIRUNYAPRUK, 2004) .

Um modelo para descrever as propriedades de cisalhamento dos fluidos MR foi

proposto por Harland (1999). Este modelo tem a forma dada pela equação:

' 5 1.65 3

G = G" = 7.96×10 H + 4×10

(2.6)

A figura (2.5) mostra os valores do cisalhamento, dado em Pascal (Pa), em

função do campo magnético, dado em kOe/mm (Oerted), para um fluido eletroreológico

(HARLAND, 1999).

Figura 2.5: Propriedades de cisalhamento para o fluido MR (HARLAND, 1999).

2.2 Conceitos Básicos sobre Magnetismo

O objetivo desta seção é propor um dispositivo para fornecer o campo magnético

necessário para conseguir as variações das propriedades do fluido MR desejadas, e

avaliar a relação entre a corrente elétrica e o campo magnético. Esta análise é

importante porque em aplicações de controle é fornecido ao sistema corrente elétrica,

portanto, é necessário estabelecer a relação entre corrente elétrica e campo magnético.

2.2.1 Cálculo do Campo magnético devido a uma corrente

A figura (2.6) mostra a divisão de um fio em elementos diferenciais

. Defini-

se para cada elemento, um vetor

cuja direção é a do elemento

e o sentido é o

mesmo da corrente no elemento. Com isso, pode-se definir um elemento de corrente-

comprimento diferencial como

ids

Figura 2.6: Elemento de corrente-comprimento

ids

produzindo um campo magnético

diferencial

no ponto P.

A intensidade do campo magnético

produzida no ponto P por um elemento

ids

é dado por:

 ids.sen



dB=

r

(2.7)

onde



é o ângulo entre

e r, sendo r o vetor que se estende de

até P e



é uma

constante denominada constante de permeabilidade, cujo valor para o ar é próximo ao

do vácuo:

-7 -6

 = 4

×10 Tm A 1,26×10 Tm A

≈

(2.8)

Como a direção e o sentido de

são dados pelo produto vetorial

dsr

podemos escrever a equação anterior como (WALKER, 1996):



idsr

dB=

r

(2.9)

Esta equação e sua forma escalar são conhecidas como Lei de Biot-Savart e é

usada para o cálculo do campo magnético resultante

produzido em um ponto por

várias distribuições de corrente. O campo resultante produzido por todos os elementos

ids

é obtido através da integração de todos os

2.2.2 Cálculo do campo magnético devido a uma corrente em um fio reto longo

Para o caso de um fio reto longo o módulo do campo magnético diferencial

criado, no ponto P, pelo elemento de corrente ids é dado por:

 ids sen



dB=

r

(2.10)

Figura 2.7: Calculo do campo magnético produzido por uma corrente i em um fio reto

longo.

A direção e o sentido de

são os mesmos do vetor

dsr

, isto é,

perpendicular ao plano da figura apontando para dentro da página, figura (2.7), para

todos os elementos de corrente-comprimento nos quais o fio pode ser dividido. Assim

podemos determinar a intensidade do campo magnético produzido em P pelos

elementos de corrente-comprimento na metade superior do fio infinitamente longo

integrando-se dB de 0 a . De acordo com a equação (2.9) temos que o campo

magnético produzido pelo elemento de corrente da metade inferior do fio tem módulo,

direção e sentido idênticos ao campo da metade superior. Deste modo, para determinar

o módulo do campo total B no ponto P, multiplicamos o lado direito da equação (2.10)

por dois:

i

sen

ds

B=2 dB=

r

∞∞

∫∫

(2.11)

As variáveis , s e r nesta equação não são independentes e, estão relacionadas

por:

sen = sen( ) =

s +R

(2.12)

r= s +R

(2.13)

Com estas substituições e a solução da integral, temos:

2 2 32

2 2 12

i

B = ds

 (s R)

 i

R (s R ) 2R

∞







∫

(2.14)

Observa-se que tanto a metade superior quanto a metade inferior do campo

magnético em P é a metade deste valor, isto é:

i

R

(2.15)

2.2.3 Campo magnético devido a uma corrente em um arco circular de fio

A figura (2.8a) mostra um fio em forma de arco de círculo com ângulo central

(em radianos), raio R e centro C, transportando uma corrente i.

Como no exemplo do fio reto, cada elemento de corrente-comprimento

ids

fio produz um campo magnético de intensidade

em um ponto, neste caso no ponto

central C.

Figura 2.8: (a) Fio no formato de arco com centro em C transportando uma corrente i.

(b) Para qualquer fio ao longo do arco, o ângulo entre as direções de

é igual a

90º. (c) Determinação do sentido do campo magnético no centro de C devido à corrente

no fio.

Além disto, como mostra a figura (2.8b), qualquer que seja a localização do

elemento sobre o fio, o ângulo



entre os vetores

é de 90º e r é igual a R.

Assim,



ids.sen90 ids

dB==

 R 4R

(2.16)

Aplicando a regra da mão direita, figura (2.8c) em qualquer ponto ao longo do

fio concluímos que todos os campos diferenciais dB possuem a mesma direção e o

mesmo sentido que em C (perpendicular a página e para fora dela). Assim o campo total

em C é simplesmente a soma de todos os campos diferenciais dB.

Fazendo

ds = Rd

e usando a variável de integração

obtemos a equação:

 iiRd

B= dB= d

 R 4R

φφ

=φ

∫∫∫

(2.17)

Integrando, concluímos que a intensidade do campo magnético e dada por:

i

R

(2.18)

(a)

(b)

(c)

Observe que esta equação fornece o campo magnético apenas no centro de

curvatura de um arco circular de corrente. Ao se inserir os dados nesta equação, deve-se

ter cuidado de expressar

em radianos e não em graus.

2.2.4 Campo magnético fora de um fio reto longo com corrente

A figura (2.9) mostra um fio circular com a corrente saindo do plano da folha. O

campo magnético que fica em volta do fio possui a mesma intensidade em todos os

pontos eqüidistantes do fio, ou seja no raio r. Aproveitando este fato, podemos

posicionar o laço de Ampère com formato circular, ao redor do fio, com raio r. Então,

verifica-se que o campo possui a mesma intensidade em todos os pontos em cima do

laço. Resolvendo a integral no sentido anti-horário, conforme a figura (2.9), tem-se:

Figura 2.9: Usando a Lei de Ampère para determinar o campo magnético produzido

por uma corrente i em um fio reto longo. O laço de Ampère é um circulo concêntrico

localizado do lado de fora do fio.

Bds= B cos

 ds = B ds B(2)

∫∫∫

(2.19)

Podemos observar que a integral soma todos os comprimentos

ao longo do

laço circular, fornecendo assim o comprimento total do laço que é

r

(r referente ao

laço). Na seqüência utilizamos a regra da mão direita para determinar o sentido da

corrente, a qual fica positiva. E então completamos a Lei de Ampère com:

B(2

)=i

(2.20)

i



(2.21)

2.2.5 Solenóides

Utilizando a lei de Ampère, determina-se o campo magnético em um solenóide.

Solenóides são fios longos enrolados de forma bem aproximada, também são

conhecidos como bobinas. Considerando um solenóide que possua o comprimento

muito maior do que o seu diâmetro, figura (2.10).

Figura 2.10: Esquema de um solenóide ideal  comprimento muito maior que seu

diâmetro.

O Campo Magnético de um solenóide será a soma vetorial de todos os campos

magnéticos gerados pelas espiras que o formam. Em cada volta, se observarmos os

pontos que ficam muito próximos, o fio se comportará como um fio longo reto e as

linhas de campo magnético podem ser consideradas como círculos concêntricos. Dessa

forma o campo em pontos mais afastados do fio fica paralelo ao eixo do solenóide,

como podemos observar na figura (2.10).

Figura 2.11: Representação de um corte vertical passando pelo eixo central em um

solenóide.

Um solenóide será ideal se o seu comprimento for muito maior do que o seu

diâmetro e o campo magnético no seu interior é uniforme e paralelo ao seu eixo. O

campo magnético na parte de fora do solenóide, se forma hora para um sentido, na parte

de cima hora para outro sentido, na parte de baixo, o que acaba fazendo com que as

resultantes acabem se cancelando. No caso de um solenóide ideal, o campo externo é

nulo. Este comportamento pode ser assumido para o campo magnético de um solenóide

real. Na figura (2.12) se observa o campo em um solenóide real, onde vemos que o

mesmo é forte e relativamente uniforme em seu interior e fraco na sua parte externa.

Figura 2.12: Linhas de campo magnético para um solenóide real de comprimento

finito.

Aplicando a Lei de Ampère ao solenóide ideal que está representado na figura

(2.13) e, utilizando o laço de Ampère como uma área retangular de extremidades a b c

d, aplicamos a lei em cada segmento e, portanto, obtemos 4 integrais:

Figura 2.13: Aplicação da Lei de Ampère a um trecho de um solenóide ideal longo

transportando uma corrente i. O laço de Ampère é o retângulo abcd.

bcda

abcd

Bds=BdsBdsBdsBds

+++

∫∫∫∫∫

rrrrr

(2.22)

A primeira integral do lado direito representa o trecho de a até b, trecho este

localizado no interior do campo magnético e terá como resultado uma intensidade de

B.h, onde h é o tamanho do segmento onde foi aplicado o laço de Ampère. A segunda

integral, assim como a quarta, é nula pelo fato de que os elemento diferenciais vetoriais

ao longo desse trecho são perpendiculares ao campo

. A terceira integral é nula,

pois é calculada em um local onde o campo, por definição é nulo. Portanto, o lado

direito da Lei de Ampère é

⋅

No lado esquerdo da equação, para determinarmos a corrente resultante

env

(corrente envolvida pelo laço de Ampére), observamos que ela não será igual à corrente

i que circula pelo fio, pelo fato de que este fio passa várias vezes dentro do espaço

delimitado pelo laço. Chamando de n o número de voltas por unidade de comprimento,

ou seja, o número de voltas em que o fio passa pelo laço, então o laço envolverá um

número de voltas igual a

e, então, a corrente resultante será:

env

i = i(n h)

(2.23)

O campo magnético para um solenóide ideal terá então sua intensidade

representada por:

Bh=

 i n h

(2.24)

Ou ainda

 i n

(2.25)

Esta consideração, foi feita para um solenóide ideal, mas pode ser utilizada para

solenóides reais. Ainda, podemos destacar que a intensidade do campo é independente

do diâmetro ou do comprimento do solenóide. Este dispositivo é útil todas as vezes em

que se desejar criar um campo magnético uniforme conhecido e tem, portanto, diversas

aplicações.

Capítulo 3 – Modelagem da Estrutura

Pode-se estudar o comportamento de uma estrutura por dois caminhos, um é

através do modelo em elementos finitos e o outro é através do modelo na forma modal,

que nos possibilita identificar as propriedades do modelo real. Para o modelo em

elementos finitos representar fielmente a estrutura é necessário conhecer as

propriedades dos materiais utilizados e, também, conhecer o comportamento da

estrutura. Este tipo de modelo pode ser utilizado quando a estrutura ainda não foi

construída, ou é de difícil representação (uma estrutura difícil de identificar). No caso

de não se conhecer o sistema, ou seja, de não conhecer muito bem o material ou o

comportamento da estrutura, a alternativa para encontrar o modelo é utilizar métodos de

identificação que nos forneça o modelo do sistema na forma modal. Neste trabalho, o

estudo do comportamento da estrutura é realizado através do modelo modal

identificado.

O objetivo deste capítulo é fornecer as ferramentas para representar o modelo da

estrutura na forma modal, e além disso, representa-lo na forma de espaço de estado. A

importância do modelo na forma de espaço de estado está no fato de facilitar a

manipulação dos resultados encontrados para conseguir as propriedades do sistema.

3.1. Modelo Matemático - EDOL

Os modelos estruturais de segunda ordem descritos por equações diferenciais

ordinárias lineares (EDOL) são muito utilizados em problemas de dinâmica estrutural.

A representação do modelo depende da escolha das coordenadas. Alguns autores

utilizam estes modelos em coordenadas físicas, conhecidos como modelos físicos, no

entanto, neste trabalho os modelos são escritos em coordenadas modais e são

conhecidos como modelos modais.

Os modelos escritos em coordenadas físicas são formulados em termos de

deslocamento, velocidade e aceleração. Tais modelos são caracterizados pelas matrizes

de massa, de rigidez, de amortecimento e pelas matrizes de localização dos sensores e

atuadores. A forma mais utilizada para encontrar este modelo é via FEM (método de

elementos finitos) uma vês que na maioria dos casos as características da estrutura são

conhecidas, equação (3.1).

oq ov

(t) (t) (t) (t)

(t) (t) (t)

++=

Mq Dq Kq B u

y Cq Cq

&&&

(3.1)

onde q(t) é o vetor de deslocamento nd x 1, u(t) é o vetor do sinal de entrada na

estrutura s x 1, y(t) é o vetor de saídas r

x 1, M é a matriz de massa nd x nd, D é a

matriz de amortecimento nd x nd, K é a matriz de rigidez nd x nd. A matriz de entrada

do sinal de controle B

é nd x s, a matriz de saída de deslocamento C

é r

x nd e a

matriz de saída de velocidade C

é r

x nd. A matriz de massa é positiva definida e as

matrizes de amortecimento e rigidez são positivas semidefinidas. Também, nd é o

número de GL do sistema, r

é o número de saídas, s é o número de entradas na

estrutura.

Em geral as matrizes de massa e rigidez são estimadas em coordenadas físicas,

por exemplo, via MEF (KWON; BANG, 1997), sendo a matriz de amortecimento

proporcional a elas (BHASKAR, 1995). Em particular o amortecimento será estudado

neste trabalho. Deve-se lembrar que para este modelo MEF ser bem representativo, a

estrutura deve se comportar de forma linear e ter todas as propriedades conhecidas.

Quando não conhecemos a estrutura que será estudada, ou seja, quando não

sabemos se seu comportamento pode ser aproximado de um comportamento linear ou

quando não conhecemos as características da estrutura, uma maneira alternativa que

possibilita encontrar este modelo, é utilizar o modelo na forma modal que podem ser

obtidos via procedimentos de ensaio de identificação (MAIA et al., 1996). Outra

utilização para o modelo modal seria quando conhecemos a estrutura e temos o modelo

físico mas, a estrutura é muito complexa e queremos estudar apenas alguns modos,

então, através de uma transformação podemos obter o modelo modal a partir do modelo

físico. As idéias desta formulação são apresentadas a seguir.

Considerando o caso de vibrações livres da equação (3.1) para um sistema sem

amortecimento, sabe-se que a solução da EDOL (3.1) é da forma:

t

(t)

=q 

(3.2)

assim, substituindo em (3.1), tem-se (EWINS, 1984):

( )

tj2

=ω−

MK

(3.3)

A solução não trivial desta equação existe se:

( )

0MK =ω−

det

(3.4)

onde são encontrados n valores de

222

12n

, ,........,

ωωω

tal que esta equação seja satisfeita.

Estas soluções são conhecidas também como autovalores da equação (3.3), sendo n

menor ou igual à nd. A freqüência ω

é chamada i-ésima freqüência natural do sistema.

Substituindo ω

em (3.3) obtém-se as soluções correspondentes {φ

, φ

,... φ

} para cada

freqüência natural, φi é chamado de i-ésimo modo natural ou forma dos modos. Estas

soluções não são únicas, e podem ser normalizadas de várias formas. Comumente se

define a matriz de freqüências naturais (MAIA et al., 1996):

( )

n21

diag ,,,= L

(3.5)

E a matriz modal  (nd x n), que consiste dos n modos naturais da estrutura:

[ ]

=φφφ

 L

(3.6)

As matrizes modais de massa podem ser diagonalizadas através das seguintes

equações:

 

(3.7a)

 

(3.7b)

 

(3.7c)

A matriz D

é a matriz de amortecimento proporcional dada por:



D MK

(3.8)

Onde α e β são constantes. Pode-se introduzir uma transformação de coordenadas no

problema, q

(t), tal que:

(t) (t)

q

(3.9)

Assim, pré-multiplicando a equação (3.1) por 

e utilizando a transformação da

equação (3.8), obtém-se:

m m mm

mq m mv m

(t) 2 (t) (t) (t)

(t) (t) (t)

+ +=

 q Bu

y Cq Cq

&&&

(3.10)

sendo:

2 -1

 

(3.11)

-11

mm mmm

−

  D

(3.12)

A matriz de entrada modal B

é dadas por:

mm0

−

 B

(3.13a)

e C

são as matrizes de saída de deslocamento e velocidade modal,

respectivamente:

mq oq

=CC



(3.14a)

mv ov

=CC



(3.14b)

A matriz modal de saída equivalente é definida por:

m mq mv

−

=+CC

C

(3.15a)

que tem a seguinte propriedade:

m mq mv

−

=+CCC

(3.15b)

onde || ||

é a norma euclidiana.

3.2. Modelos Estruturais no Espaço de Estados

Em algumas aplicações como, por exemplo, na aplicação deste trabalho, para

conseguirmos os parâmetros modais da estrutura através do modelo modal, é mais

interessante utilizar o modelo na forma de espaço de estados. O modelo na forma de

espaço de estados também é bastante utilizado para controle e o método de identificação

que foi utilizado neste trabalho fornece a resposta nesta forma. A representação no

espaço de estados é determinada pelo trio de matrizes (A, B, C) e pelo vetor de estados

x(t), (MOREIRA, 1998).

Ressalta-se que a formulação no espaço de estados não é única, o que deve valer

são as relações de entrada-saída que sempre são mantidas independentemente da

formulação feita. Entretanto, faz diferença qual representação no espaço de estados é

escolhida para análise de um sistema e projeto do controlador, podendo facilitar ou

dificultar o processamento de informações. A seguir descreve-se a realização no espaço

de estados de modelos modais.

A modelagem de estruturas por MEF exige elevado número de graus de

liberdade. Com isto a ordem N da representação física é geralmente muito grande

(WANG et al., 1999), gerando dificuldades numéricas adicionais. Além disto, a

representação no espaço de estados física é menos utilizada em aplicações práticas de

controle em engenharia, uma vez que a estimativa de parâmetros modais é muito mais

fácil de ser implementada do que de parâmetros físicos. Uma forma alternativa é obter a

realização no espaço de estados a partir do modelo de segunda ordem na forma modal,

representado pela equação (3.16).

Definindo o vetor de estados modal:

(t) (t)

(t)

(t) (t)







(3.16)

A equação (3.16) pode ser reescrita como um conjunto de equações de primeira

ordem na forma da equação (3.17a):

(t) (t) (t)

(t) (t)

x Ax Bu

y Cx

(3.17a)

sendo as matrizes (A, B, C):

mq mv



= ==





−−



A B CCC

B 

(3.17b)

onde

é a matriz nula n x n e I e a matriz identidade de ordem n. Nesta realização x

o vetor de deslocamento modal e x

é o vetor de velocidade modal. A dimensão desta

representação é 2n, enquanto a representação física é 2nd, sendo, n<<nd.

Vale ressaltar que a equação (3.17b) não é uma representação modal, uma vez

que as equações não se desacoplaram. A realização no espaço de estados modal é

caracterizada por uma matriz de bloco diagonal, A

, e as matrizes de entrada e saída

relacionadas:

[ ]

diag( ), ,

m mi m m m m mn





= ==





AAB CCCC

(3.18)

sendo i = 1, 2, ..., n e A

, B

mwi

e C

são blocos 2 x 2, 2 x s, 2 x sd e r x 2,

respectivamente. Estes blocos podem ser arranjados de diversas formas diferentes

através da utilização de uma transformação linear. Isto pode ser feito usando a seguinte

matriz de transformação:







(3.19)

onde e

é um vetor linha com todos os elementos iguais a zero, exceto no i-ésimo.

Denota-se A

como sendo a matriz dinâmica A

na forma modal k. Em geral se

trabalha com quatro formas diferentes, portanto, k=1, 2, 3 ou 4. A matriz de

transformação R

transforma a variável de estado x

na variável x

r krk

, k,r 1,2,3 ou4

==x Rx

(3.20)

sendo:

( )

kr kri

diag=RR

(3.21)

Assumindo um amortecimento pequeno, i. e., ζi<<1, i=1,...,n, com j sendo a

unidade imaginária (GAWRONSKI, 1998), obtém-se:

12i 13i 14i

i ii

10 1 0 1j

j

1 0 1jj

−−

  

===

  

  

RRR

(3.22)

23i 24i 34i

iii ii

1 0 1j

 

  1 j 

−−

−

 



= ==

 





 

R RR

(3.23)

A transformação inversa pode ser derivada pelas seguintes relações:

kpi pji

−

(3.24a)

kji rji kri

, r, k, j 1,2,3,4.

==R RR

(3.24b)

Uma nova representação pode ser obtida da seguinte maneira, sendo R uma

matriz não singular:

-1 -1

,,= =Β=

A R AR B R C CR

(3.25)

Os blocos A

utilizados são geralmente de quatro diferentes formas

(GAWRONSKI, 1998). A seguir, apresentam-se estas formas e os respectivos estados

modais para cada realização:

• Forma Modal 1:

i mi

mii

i ii mii

ωζωω

  





−−

  

(3.26)

• Forma Modal 2:

miiii

mi i moi i mi mi i

moii i ii



, , sendo

 

 1) 



= = =+





− −−

  

A x q qq

(3.27)

• Forma Modal 3:

mii

i i i mi

2ζ

  





−ω −ω

  

(3.28)

• Forma Modal 4:

iiii

mi moi

mii

mi moi

iiii

j10

0 j1

ζζ



−ω+ω−

−











−ω−ω−



(3.29)

O vetor x da representação modal consiste de n componentes x

independentes

que representam o estado de cada modo. A forma 4 em geral não é muito interessante,

uma vez que é uma representação imaginária, o que aumenta as dificuldades numéricas

e analíticas. Porém ela pode ser usada como base para encontrar a representação de

qualquer estado na forma de representação 2, equação (3.27).

3.3 Modelagem por Elementos Finitos

No âmbito da Engenharia de Estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF)

tem como objetivo a determinação da dinâmica do sistema, estado de tensão e de

deformação de uma estrutura de geometria arbitrária sujeito a ações exteriores. Este tipo

de cálculo tem a designação genérica de análise de estruturas e surge, por exemplo, no

estudo de edifícios, pontes, barragens, etc. Quando existe a necessidade de projetar uma

estrutura, é habitual proceder-se a uma sucessão de análises e modificações das suas

características, com o objetivo de se alcançar uma solução satisfatória, quer em termos

econômicos, quer na verificação dos pré-requisitos funcionais e regulamentares.

Antes do aparecimento do MEF, a análise dos meios contínuos era efetuada por

resolução direta dos sistemas de equações de derivadas parciais que regem o fenômeno,

tendo em consideração as necessárias condições de restrição. Para facilitar a aplicação

desta técnica a problemas não elementares, era comum recorrer a séries de Fourier.

Devido à sua complexidade, estes procedimentos só eram aplicáveis a meios contínuos

homogêneos e de geometria simples. Para tentar ultrapassar algumas destas limitações,

era freqüente a substituição de derivadas exatas por aproximadas, calculadas com base

em grelhas de pontos (AZEVEDO, 2003). Da aplicação desta técnica resulta o método

das diferenças finitas, que, antes do aparecimento dos computadores, apresentava o

inconveniente de requerer a resolução de grandes sistemas de equações lineares. Para

evitar este inconveniente, foram propostos diversos métodos de relaxação baseados na

sucessiva diminuição de um conjunto de resíduos. Devido ao longo tempo de solução de

qualquer um destes métodos, tornava-se mais atrativa a substituição do problema real

por outro semelhante, de modo a se poder recorrer a resultados publicados em tabelas

ou ábacos.

Com o grande desenvolvimento que o MEF teve na década de 60 e com a

disponibilidade de computadores, passou a ser prática corrente a análise de estruturas de

geometria arbitrária, constituídas por múltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de

carregamento. Atualmente, o interesse se restringe ao de fornecer soluções teóricas de

problemas simples para validar métodos aproximados.

A formulação do MEF pode ser baseada no método dos deslocamentos, em

modelos de equilíbrio, ou em métodos híbridos e mistos (KWON; BANG, 1997). De

todos estes métodos, aquele que apresenta uma maior simplicidade e,

consequentemente, uma maior versatilidade é o método dos deslocamentos. Associados

ao método dos deslocamentos surgem muitos outros conceitos, como por exemplo, as

noções de grau de liberdade, deslocamento generalizado, força generalizada, equilíbrio,

matriz de rigidez, vetor solicitação, assemblagem, introdução de condições de apoio,

etc.

Quando surge a necessidade de resolver um problema de análise de uma

estrutura, a primeira questão que se coloca é a sua classificação quanto à geometria,

modelo do material constituinte e ações aplicadas (AZEVEDO, 2003).

A formulação do MEF requer a existência de uma equação integral, de modo

que seja possível substituir a integral sobre um domínio complexo (de volume V) por

um somatório de integrais estendidos a sub-domínios de geometria simples (de volume

). Esta técnica é ilustrada com o seguinte exemplo, que corresponde a integral de

volume de uma função f:

i=1

f dV fdV

∑

∫∫

(3.30)

Em (3.30) pressupõe-se que

i=1

V=V

∑

(3.31)

Se for possível calcular todas as integrais estendidas aos sub-domínios V

, basta

efetuar o somatório correspondente ao segundo membro de (3.30) para se obter a

integral estendida a todo o domínio. Cada sub-domínio V

corresponde a um elemento

finito de geometria simples (isto é., segmento de reta, triângulo, quadrilátero, tetraedro,

paralelepípedo). O somatório indicado em (3.30) vai dar origem à operação designada

assemblagem, ou montagem da matriz global.

A equação integral referida no início desta secção é proveniente da aplicação do

método dos resíduos ou de um princípio variacional. No caso da aplicação do MEF à

análise de estruturas, a formulação mais intuitiva é a que se baseia no Princípio dos

Trabalhos Virtuais (PTV) (AZEVEDO, 2003).

Neste trabalho, os conceitos do MEF foram utilizados para construir um modelo

para a viga sanduíche, utilizando o software Ansys. Esta análise não teve por objetivo

fornecer as características exatas do sistema, matrizes A, B, C e por este motivo não foi

realizado um ajuste do modelo, mas sim fornecer uma representação de como o sistema

se comporta, para verificar se a resposta encontrada experimentalmente é coerente.

A figura (3.1) mostra o modelo ensaiado. Neste modelo foi utilizado o elemento

Solid45 do programa Ansys, que possui 8 nós e três graus de liberdade por nós.

Figura 3.1: Figura retirada do programa Ansys, representando a viga

sanduíche.

Pode-se ver na figura (3.1) que a viga possui dois materiais diferentes, um

representa a chapa de acrílico e o outro o fluido MR com o silicone. Os dois materiais

foram representados com o elemento solid45, mas com propriedades diferentes para

cada um deles.

Figura 3.2: Figura retirada do programa Ansys, representando a viga

sanduíche com elementos diferentes.

O material 2 representa o fluido MR com o silicone e está representado na figura

(3.2) na camada intermediária. Neste elemento foi introduzida a propriedade de

amortecimento, que variou para simular o comportamento da viga quando variamos o

campo magnético e, por conseguinte, a viscosidade do material MR.

3.4 Métodos de Identificação de Sistemas

Durante estas últimas três décadas muitos estudiosos têm direcionado seus

esforços para o desenvolvimento de metodologias que resultem na identificação de um

modelo estrutural com boa representatividade das propriedades dinâmicas reais de uma

estrutura. O desenvolvimento dos computadores e dos equipamentos de aquisição e de

processamento de dados; além da aplicação da Transformada Rápida de Fourier (FFT –

do inglês Fast Fourier Transform) estimularam estes estudos. As técnicas de

identificação podem ser para sistemas SISO (uma - entrada e uma - saída; do inglês

simple-input simple-output); ou para sistemas MIMO (múltiplas - entradas e múltiplas -

saídas; do inglês multi-input multi-output). Os métodos de identificação, ainda, podem

ser classificados em dois grupos básicos: métodos no domínio do tempo; e métodos no

domínio da freqüência. Em geral, os métodos baseados no domínio do tempo fornecem

resultados melhores quando é grande a faixa de freqüência, ou seja, quando é grande o

número de modos presentes nos dados. Já os métodos no domínio da freqüência são

mais interessantes para a identificação de um número relativamente pequeno de modos

(MAIA et al., 1997).

Neste capítulo serão abordados unicamente os conceitos do método de predição

de erros (PEM), sendo este método utilizado para identificar sistemas SISO. O método

PEM foi utilizado neste trabalho para identificar o modelo modal da estrutura, pois

utiliza o sinal de entrada e de saída no domínio do tempo, sendo o sinal de entrada um

sinal qualquer. Além disto, este método fornece diretamente as matrizes A, B e C, ou

seja, fornece o modelo diretamente na forma de espaço de estado. O método PEM

utilizado neste trabalho, foi implementado usando as funções do toolbox do Matlab. A

teoria mostrada a seguir foi apresentada inicialmente em Ljung, (2002).

3.4.1 Método de Predição de Erros

Identificação de sistemas é na verdade construir modelos matemáticos de

sistemas dinâmicos usando dados de entrada e saída (input/output ). Isso pode ser feito

usando várias técnicas diferentes, neste trabalho é utilizado o Método de Predição de

Erros (Prediction Error Methods – PEM). Este método de estimação pertence a família

de modelos de parametrização arbitrários e tem similaridades com o método da máxima

probabilidade (LJUNG, 2002). As propriedades básicas do PEM são descritas a seguir.

A saída no tempo t é y(t) e a entrada é u(t). Estes sinais são vetores com

dimensões (finitas) arbitrárias. O caso de sinal de entrada nulo (

(t) 0

) corresponde a

série no tempo. Sendo,

{u(1),y(1),u(2),y(2).........u(N),y(N)}

dados coletados em

um tempo N. Os dados normalmente são obtidos em tempo discreto, contudo, pode-se

utilizar séries contínuas no tempo.

A idéia básica por trás da aproximação por predição de erros é descrever o

modelo como uma predição da próxima saída:

t -1

(t/t-1) = f( )

(3.32)

sendo que

(t/t -1)

denota um passo adiante na predição da saída, e f é uma função

arbitrária que descreve os dados passados.

Pode-se parametrizar a predição em termos de um parâmetro de dimensões

finitas, um vetor θ, por exemplo:

t -1

(t/

) = f( ,)

(3.33)

Para utilizar esta parametrização deve-se impor algumas condições de

regularidade (LJUNG, 2002).

Basicamente o método PEM funciona da seguinte forma; primeiro determina-se

um valor estimado para o vetor θ (denotado por



) através do modelo parametrizado

e, compara-se este vetor com os dados coletados Z

. O objetivo desta análise é

minimizar a distância entre os valores estimados

(1/

),....., (N/)

e os valores

coletados

(1),......... (N)

através de uma norma adequada.

Se a norma for escolhida de forma a igualar a função densidade de

probabilidade, a estimativa de



coincidirá com o da Estimativa da Máxima

Probabilidade.

O PEM tem um número de vantagens:

• Este método pode ser aplicado para um amplo espectro de parametrização de

modelos;

• Fornece modelos com propriedades assintóticas excelentes, devido sua

similaridade com a Máxima Probabilidade;

• Pode tratar sistemas que operam em malha fechada (“Closed loop”). Onde a

entrada é parcialmente determinada como saída realimentada, quando os dados

são coletados.

Como todo método, existem algumas desvantagens:

• Exige uma parametrização explicita do modelo. Para estimar, por exemplo, um

modelo linear arbitrário de ordem 5, algum tipo de parametrização que incluem

todos os modelos de quinta ordem devem ser introduzidos;

• A busca de parâmetros que fornecem uma melhor predição da saída adequada,

dependendo da ordem do sistema, pode ser demorada e envolve uma superfície

de pesquisa com muitos mínimos locais.

Nos tópicos que se seguem é mostrado de forma simplificada algumas

características do método PEM.

3.4.2. Parametrização de Modelos

O modelo geral de predição é dado por (3.33):

t-1

(t/

) = f( ,)

Um exemplo desta parametrização é assumir que a forma base do modelo é dada

por uma simples equação diferencial linear do tipo:

1 n1m

(t) + a (t -1)+......+ a (t -n) = b (t -1) +....+ b (t

-m)

yy yuu

(3.34)

Ignorando qualquer contribuição de ruídos para essa equação, ou assumindo que

o termo de ruído não pode ser previsto, a predição natural é:

1n1m



(t/) = -a (t -1)-......-a (t -n) +b (t -1)+....+

b (t - m)

yyyuu

(3.35)

onde

[

]

1n1n

= a .........a ....b .........b



(3.36)

Que corresponde a:

t-1T

f( , ) = (t)



(3.37)

[

]

(t) = - (t -1)........- (t-n)... (t-1)........

. (t-m)

y yuuϕ

(3.38)

Através desta parametrização, dependendo da relação entre

t -1

f( ,)



e Z

, pode-

se ter três possibilidades diferentes para encontrar o modelo estimado do sistema:

• Modelo Linear Invariante no Tempo (LTI).

t-1

f( ,)



é linear em

t-1

e não

depende explicitamente do tempo, podemos escrever na forma:

t -1

f( , ) = W (q, ) (t)+ W (q, ) (t)

  u

(3.39)

t-1 t-1

k=1 k=1

w (k) (t -k) w (k) (t -k)

∑∑

(3.40)

para alguns filtros LTI W

e W

que começam com um atraso. Onde, q é a variável de

operação.

• Modelo de Regressão Linear.

t-1

f( ,)



é linear em θ, mas possivelmente não

linear em Z

. A equação (4.3) é um modelo linear e um modelo de regressão

linear.

•

Modelo não Linear.

t-1

f( ,)



é não linear em Z

Neste trabalho não é abordado modelos não lineares mas, como mostrado acima,

o método PEM pode ser utilizado para encontrar o modelo deste tipo de sistema.

3.4.3 Modelos Lineares

O modelo de predição linear (3.39) é equivalente a assumirmos que os dados

tenham sidos gerados de acordo com:

(t) = (q,

) (t)+ (q,)e(t)

yGuH

(3.41)

onde e(t) é um ruído branco (que não pode ser previsto), H(q, θ) é uma matriz onde a

expansão em q

-1

começa com uma matriz identidade. Aqui, também, é assumido que

G(q, θ) contém uma defasagem. Esta equação pode ser reescrita da seguinte forma:

-1 -1

(t) = - (q,

) (t)+ (q,) (q,) (t)+e(t)





y IH yH Gu

(3.42)

O primeiro termo do lado direito apenas contém y(t-k),

≤

, que é predição

natural para y(t) baseada nos dados passados. Comparando a equação (3.39) com a

(3.42) podemos verificar que os filtros Wy e Wu são dados por :

-1

W (q,

) = I- (q,)





-1

W (q,

) = (q,) (q,)

(3.43)

É necessário que θ seja restrito a valores tal que os filtros H

-1

G e H

-1

sejam

estáveis. Note que a parametrização de G e H é de maneira bastante arbitrária. Por

exemplo, ela pode ser baseada no tempo contínuo, modelo no espaço de estados com

matrizes de parâmetros físicos, conhecidos ou desconhecidos, na entrada:

x(t) = (

)x(t)+ ()u(t)

(3.44)

y(t) = x(t)+v(t)

(3.45)

onde v(t) é o ruído de saída e o estado x(t) pode ter interpretação física, isto é, posição e

velocidade e θ corresponde as constantes desconhecidas do material, etc.

3.4.4 Modelo Linear Caixa -Preta

Algumas vezes, os sistemas ou subsistemas não podem ser modelados baseados

em percepções físicas. Esta dificuldade ocorre em sistemas muito complexo onde não é

conhecida a função que descreve seu comportamento, ou seja, em sistemas onde as

relações físicas são muito complexas e dificultam a elaboração do modelo. Para estes

sistemas é possível usar um modelo padrão, que por experiência é conhecido por ser

capaz de tratar uma ampla gama de sistemas mecânicos diferentes.

Uma aproximação que torna possível encontrar o modelo destes sistemas é

utilizar o o método denominada por modelo linear caixa-preta. Este método funciona da

seguinte forma:

-nk -nk-1 -nk-nb+1

1 2 nb

-1 -nf

1 nf

b q + b q +.....+b q

(q)

(q,) = =

(q) 1+f q +.....+f q

(3.46)

onde

(t) = (q,

) (t)

(3.47)

é uma notação compacta da relação é:

1 nf 1 nb

(t)+f (t -1) +.....+ f (t-nf) = b u(t -nk)+...+b u

(t-(nb+nk-1))

ηηη

(3.48)

Na equação acima a defasagem no tempo é de nk amostras.

Similarmente, a função de transferência do distúrbio pode ser escrita como:

-1 -nc

1 nc

-1 -nd

1 nd

1+c q +.....+c q

(q)

(q,) = =

(q) 1+d q +.....+d q

(3.49)

Portanto, o vetor de parâmetros θ contém os coeficientes b

, c

, d

e f

da função

de transferência. Este modelo é assim descrito por cinco parâmetros estruturais: nb, nc,

nf, nd e nk e é conhecido como modelo Box-Jenkinss (BJ).

Um caso especial importante é quando as propriedades do sinal do distúrbio não

são modeladas e o modelo do ruído H(q) é escolhido como H(q)=1; que implica em nc

= nd = 0. Este caso especial é conhecido como um modelo de erro de saída (Output

error) porque a fonte de ruído e(t) = v(t) será a diferença entre a saída real e a saída do

ruído livre.

Uma variação comum é usar o mesmo denominador para G e H:

-1 -na

1 na

(q) = (q) = (q) =1+ a q +....+ a q

FDA

(3.50)

Multiplicando ambos os lados das equações (3.45) a (3.48) por A(q) temos:

(q) (t) = (q) (t)+ (q)e(t)

AyBuC

(3.51)

Este modelo é conhecido como ARMAX. O nome é derivado do fato de A(q)y(t)

representar uma Auto Regressão e C(q)e(t) um movimento médio (Moving Avarage) do

ruído branco, enquanto B(t)u(t) representa uma entrada eXtra (uma variável eXogena).

O caso especial onde C(q) = 1 é chamado modelo ARX, que é muito utilizado.

3.4.5 Técnica de Estimação

Uma vez que o modelo da estrutura, isto é, a parametrização da função

f(,

)

foi definida e os dados Z

coletados, a estimativa dos parâmetros θ é conceitualmente

simples: basta minimizar a distância entre a saída predita (de acordo com os parâmetros

θ) e a saída medida:





 = argmin V ()

(3.52)

onde

t-1

t=1

) (y(t)-f( ,)

∑

(3.53)

onde

é uma medida de distância, como por exemplo

()

ε=ε

. A conexão entre o

método da máxima probabilidade é obtida por uma escolha particular da norma.

Assumindo que os dados são produzidos pela seguinte equação:

t -1

(t) = f( ,

)+e(t)

(3.54)

onde {e(t)} é uma seqüência randômica com variável independente com densidade da

função probabilidade p(x). Então, com

(x) = -logp(x)

, o critério (3.52) é o negativo do

logaritmo da função probabilidade para o problema estimado. Isso faz





igual a

estimativa da máxima probabilidade.

3.4.6 Propriedade de Convergência

Uma questão essencial é: Qual será a propriedade dos resultados estimados na

equação (3.52)? Isto depende naturalmente das propriedades dos dados registrados em

. Em geral é difícil caracterizar a qualidade exata de





. Uma forma de melhorar a

qualidade de





é melhorara suas propriedades assintóticas utilizando um número

maior de dados, ou seja, fazer N tendendo ao infinito. Este é um aspecto importante do

método de identificação geral da equação (3.52), que a propriedade assintóticas dos

resultados estimados possam ser expressos em termos gerais para modelos de

parametrização arbitrária.

O primeiro resultado básico é o que se segue:





→

quando

→∞

(3.55)

onde



*= argmin E ( (t,))

εl

(3.56)

quanto maior o número de dados avaliados, melhor será a convergência estimada para o

o valor θ*, que minimiza o valor da “norma” do erro de predição. Isto é de certo modo a

melhor aproximação possível do sistema real que é disponível sem o modelo estrutural.

A expectativa E da equação (3.56) é calculada com respeito a todos os distúrbios

randômicos que afetam os dados e, também inclui uma média sobre as propriedades da

entrada. Isso significa que θ* fará



y(t/

*)

uma boa aproximação para y(t) com respeito

a estes aspectos de sistemas que são melhorados quando utilizado bons sinais de

entrada.

A caracterização do limite estimado pode ser mais precisa no caso de um modelo

linear da estrutura.

3.4.7 Sistema Linear de Malha Aberta

Suponha que os dados reais tenham sido gerados por:

y(t) = G (q)u(t) + v(t)

(3.57)

onde u(t) e v(t) são independentes. Isso significa que a entrada u tem sido gerada em

malha aberta, isto é, independente de y. Considerando Φ

(ω) como espectro de entrada

e Φ

(ω) o espectro do distúrbio adicionado, v. Então a predição de erro pode ser escrito

como;

[ ]

(t,

) = (t)- (q,) (t)

(q,)

yGu

[ ]

= G (q)- (q,

) (t) + v(t)

(q,)

(3.58)

Pela relação de Parseval, a variância da predição de erro pode ser escrita como uma

integral sobre o espectro da predição de erro. Esse espectro, por sua vez, é obtido

diretamente da equação (3.58) então o limite de θ* na equação (3.56) pode ser definido

como:







 



() ()

 = argmin G -G dw + d



ωω





∫∫

(3.59)

Na equação acima, por simplicidade, foi adotado que



G=G(e,

)

e similarmente H

Se o ruído modelado

H(q,

) = H (q)

não depende de θ (como no caso do

modelo de erro na saída-) expressão (3.59), portanto mostra que o modelo resultante

G(e ,

)

dará a função da freqüência que é a mais próxima da verdadeira, em uma

norma quadrática da freqüência com função de ponderação:

()

Q( )=

H(e)

(3.60)

Isso mostra claramente que o ajuste pode ser afetado pelo espectro de entrada Φ

e pelo

ruído do modelo

3.4.8 Sistema Linear de malha fechada

Assumindo agora que os dados estão sendo gerados por (3.57) e a entrada tem

sido parcialmente determinada com realimentação da saída, da forma:

u(t) = r(t)-F (q)y(t)

(3.61)

E considerando que o ruído é descrito por:

v(t) = H (q)e(t)

(3.62)

onde e(t) é o ruído branco com variança λ. O sinal de referência r(t) é considerado

independente do ruído e(t). Usando este fato, junto com a relação de Parseval, obtém-se

o seguinte resultado:



u 0e







G+B-G+H-H

 = argmin d





∫

(3.63)

onde

 ue



(H -H)



(3.64)



 -



(3.65)

onde Φ

é o espectro cruzado entre e(t) e u(t), que no caso de (3.61) – (3.62) será:

F(e)H(e)

 ( ) = -

1+F (e )G (e )

ωω

(3.66)

o resultado da equação (4.32) contém informações importantes;

• Se existe um θ

tal que



H =H



G =G

, então este valor é sempre um

ponto de possível convergência. Se Φ

> 0 ∀ω (que de acordo com (3.66)

significa que u(t) não pode ser determinado inteiramente de e(t) por filtros

lineares), então isso é apenas um ponto de possível convergência.

• Se H

não pode atingir o valor H

( isto é, se H

é fixo como um modelo de erro

de saída), e

Φ≠

, então há sempre um erro permanente (bias) B

com relação

a função de transferência G

verdadeira. Portanto, é necessário que o modelo do

ruído possa ser, também, descrito corretamente no modelo da estrutura para se

obter uma função de transferência estimada no caso de malha-fechada sem erro

permanente.

Contudo, a principal conclusão é que o PEM, aplicado de uma maneira simples e

direta (straightforward), não sendo considerado possíveis efeitos de realimentação,

fornecerá estimativas sem erro permanente sempre que o sistema real estiver

representado no modelo. O único requisito é que a entrada u(t) não pode ser formada

apenas por e(t) filtros lineares invariantes no tempo.

3.4.9 Uso do Método de Predição de erro (PEM)

A família de métodos PEM tem a vantagem de ser aplicável a uma grande

variedade de modelos de estruturas. Ele também trata dados de malha fechada de uma

maneira direta e fornece os melhores resultados possíveis (matriz de covariância

mínima), desde que o sistema real esteja contido no modelo. As propriedades são

aproximadas quando o sistema verdadeiro não pode ser representado pelo modelo

estrutural.

A principal desvantagem do PEM é que a busca numérica em (3.53) pode ser

trabalhosa e necessita de uma boa estimativa inicial. Para múltiplas variáveis, o modelo

linear de caixa-preta para modelos no espaço de estados pode ser obtido de maneira

conveniente, combinando o uso do PEM com os chamados Métodos do Subespaço

(VAN OVERSCHE ; MOOR, 1996)

Capítulo 4 – Resultados Obtidos

Este capítulo tem o objetivo de mostrar como foi projetado e avaliado o

absorvedor tipo viga sanduíche. A proposta do absorvedor TVA foi avaliada através dos

resultados obtidos com o programa Ansys e da bancada experimental.

4.1 Materiais

A estrutura “sanduíche” utilizada nos testes experimentais é formada por duas

vigas de acrílico com dimensões 80x15x1mm. Este material foi escolhido por ser de

fácil manipulação e por não possuir propriedades magnéticas, ou seja, não interfere no

campo magnético aplicado. Entre as vigas há um vão (espaço vazio) de 3mm onde é

colocado o fluido Magnetoreológico, figura (4.1). Para o fluido ficar contido no interior

destas vigas, foi utilizado uma borracha de silicone, como a usada para vedar estruturas

como aquários, por exemplo. Esta borracha de silicone foi escolhida porque não reage

com o campo magnético e com o fluido, figura (4.2).

Figura 4.1: Dimensões da viga Sanduíche

Figura 4.2: Viga sanduíche utilizada nos testes experimentais

Para encontrar o modelo da estrutura foi utilizando o método de identificação

PEM, com excitação impulsiva. A figura (4.3) mostra um desenho esquemático da

montagem experimental utilizando o martelo de impacto. O ensaio foi realizado

utilizando um martelo de impacto PCB 086C20 figura (4.4), que fornece a energia de

entrada no sistema (excitação), e um acelerômetro da PBC modelo 352C22

Piezotronics

, figura (4.5), que fornece a resposta da estrutura. Para a aquisição do sinal

foi utilizada a placa da dSpace modelo 1103 figura (4.6) através do programa

Simulink/Matlab

. Com os dados medidos, pode-se encontrar a função de resposta em

freqüência (FRF) do sistema. Os parâmetros (características) da estrutura, incluindo o

coeficiente de amortecimento, foram estimados através do método de identificação

PEM. A rotina foi implementada no programa Matlab utilizando a função ident.

Figura 4.3: Figura esquemática da montagem experimental

Local onde o fluido é

colocado

Viga de acrílico

Borracha de

Silicone

dSpace

Viga de acrílico

Figura 4.4: Foto do Martelo de impacto e amplificadores

Figura 4.5: Foto do Acelerômetro PCB acoplado a viga sanduíche

Figura 4.6:Foto da Placa dSpace 1103

A variação das propriedades do fluido MR é obtida através da variação do

campo magnético, portanto, foi necessário montar um sistema que fornecesse este

campo. Depois de se avaliar algumas possibilidades, o uso de solenóides se mostrou a

melhor opção, uma vez que é relativamente fácil de ser construído e fornece uma boa

faixa de trabalho. Para a aplicação do campo foi necessário utilizar dois solenóides, um

de frente para o outro para garantir a uniformidade do campo magnético, figura (4.7).

Nesta configuração, como visto no capítulo 2, o campo magnético no centro do

solenóide é mais intenso e uniforme e na parte externa se dissipa. Esta distorção

aumenta quando a distância entre o ponto onde queremos o campo magnético e o

solenóide é aumentada. No entanto, utilizando a configuração com dois solenóides com

polaridade diferentes (um norte e outro sul), pode-se diminuir esta dissipação e manter a

faixa no centro do solenóide com um campo magnético uniforme. Além disso, esta

configuração é equivalente a se colocar dois solenóides em série e, portanto, o campo

magnético entre eles é a soma do campo magnético dos dois.

Na construção destes solenóides foi utilizados um fio de cobre esmaltado, como

os utilizado no enrolamento de motores elétricos e transformadores, e no centro foram

utilizadas chapas de aço-silício, encontradas em núcleo de transformadores. A figura

(4.8) mostra as dimensões do núcleo utilizado. Foi escolhido utilizar um núcleo de aço,

porque, como mostra a equação (2.25), o campo magnético depende da corrente, do

número de espiras e do coeficiente de permeabilidade magnético do meio. Como a

corrente elétrica é limitada pelo gerador de corrente elétrica, modelo PS 3003 D figura

(4.9), e o número de espiras estava limitado ao comprimento do fio disponível, a

alternativa foi encontrar um meio de propagação com um coeficiente de permeabilidade

que possibilitasse atingir um campo magnético com a magnitude desejada. O número de

espiras utilizado em cada solenóide foi de 370.

Figura 4.7: Dois solenóides, um de frente para o outro, para aplicação uniforme

do campo magnético.

Figura 4.8: Dimensões do Núcleo utilizado

Figura 4.9: Gerador de corrente modelo PS 3003 D

4.2 Resultados obtidos com o programa Ansys

Como mencionado no capítulo 3, o programa Ansys foi utilizado com o objetivo

de fornecer uma comparação entre o comportamento previsto pelo modelo no Ansys e o

obtido experimentalmente. Por não possuir as propriedades exatas da viga de acrílico,

do silicone e do fluido MR, foi utilizado algumas propriedades obtidas nos catálogos

fornecidas pelo fabricante como pontos de partida. A partir desta estimativa inicial, foi

realizado um ajuste para aproximar as propriedades do sistema real na faixa de interesse

ao sistema modelado. A tabela 4.1 mostra as propriedades utilizadas no programa Ansys

para aproximar as freqüências naturais obtidas experimentalmente das obtidas com o

modelo.

Tabela 4.1: Freqüência natural e propriedades utilizadas no modelo do

programa Ansys

Freqüências Naturais Propriedade do Acrílico Propriedade do Fluido MR

com o Silicone

38.9 Hz Densidade – 1450 kg/m

Densidade – 3570 kg/m

151.63 Hz Módulo de Elasticidade –

3.3x10

Módulo de Elasticidade –

5.4x10

216.72 Hz Coeficiente de Poisson –

0.39

Coeficiente de Poisson –

0.25

As freqüências naturais obtidas no Ansys diferem das medidas experimentais. A

diferença se deve, principalmente, ao fato de não conhecermos exatamente as

propriedades do acrílico, também ao fato do silicone não ser representado

separadamente, pois não temos dados sobre suas propriedades. Outro fator importante é

o fato do fluido MR apresentar um comportamento não linear e, por este motivo, de

difícil representação através do método de elementos finitos. Assim, o modelo no

programa Ansys foi utilizado apenas para comparar o comportamento da estrutura

qualitativamente.

Na figura (4.10) pode-se ver como o sistema se comporta quando variamos o

amortecimento do elemento 2, isto é, o elemento que representa o fluido MR com

silicone. A tabela 4.2 mostra os valores do amortecimento utilizado em cada ensaio.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Grafico com Amplitide da variação do Amortecimento - Ansys

amortecimento 0

amortecimento 1

amortecimento 2

amortecimento 3

amortecimento 4

amortecimento 5

amortecimento 6

Figura 4.10: Gráfico mostrando o comportamento da estrutura em função da variação

do o amortecimento do elemento 2.

Tabela 4.2: Valores do amortecimento utilizado no programa Ansys para cada ensaio.

Legenda Valor do Amortecimento (Ns/m)

Amortecimento 0 0

Amortecimento 1 0.0001

Amortecimento 2 0.00015

Amortecimento 3 0.0002

Amortecimento 4 0.0003

Amortecimento 5 0.0005

Amortecimento 6 0.001

A figura (4.11) mostra em detalhes a variação das amplitudes para a primeira

freqüência natural e, nota-se que o amortecimento interfere na amplitude de vibração e

não nas freqüências naturais do sistema.

25 30 35 40 45 50 55 60

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Gráfico da Amplitude em função da variação do Amortecimento - Ansys

amortecimento 0

amortecimento 1

amortecimento 2

amortecimento 3

amortecimento 4

amortecimento 5

amortecimento 6

Figura 4.11: Gráfico da variação de amplitude para a primeira freqüência natural em

função do amortecimento.

Com estes dados foi possível realizar a parte experimental, tendo uma idéia

prévia do comportamento esperado para o sistema. Deve-se destacar que os resultados

do programa Ansys foram obtidos utilizando as propriedades de sistemas lineares.

4.3 Resultados obtidos experimentalmente

Antes de iniciar a avaliação do comportamento da viga sanduíche, foi preciso

realizar o estudo sobre o campo magnético, para garantir um campo magnético

uniforme na região onde a viga será colocada. Com este estudo, também, foi possível

estimar o coeficiente de permeabilidade magnética do núcleo. O núcleo usado no

experimento foi reutilizado de um núcleo de um equipamento com defeito, substituindo

a bobina defeituosa pela bobina com 370 espiras. Como não se possuía a composição do

material do núcleo, foi necessário encontrar experimentalmente o coeficiente de

permeabilidade magnética do material. Para estas medidas foi utilizado um Gaussmeter

modelo MG2000-20, fabricado pela empresa Magnetos Gerais, figura (4.12). Estas

medidas possibilitaram a verificação da equação (2.25) para se obter uma relação

confiável entre corrente elétrica aplicada e campo magnético e, possibilitou ainda

verificar qual a relação entre campo magnético e distância entre os núcleos.

Para verificar se o campo magnético realmente é uniforme no centro do

solenóide, este foi dividido em 35 pontos, mostrados na tabela (4.3) e figura (4.13).

Nestes pontos foram realizadas medidas para se verificar como o campo magnético

varia entre estas posições. Estes pontos foram colocados (desenhados) em uma placa de

acrílico e esta placa posicionada entre os dois solenóides, figura (4.14). É importante

destacar que a corrente aplicada nos solenóides e a distância entre os solenóides se

manteve constante enquanto as medidas foram realizadas. A distância entre os

solenóides foi de 30 mm, mostrada na figura (4.7), e a corrente elétrica aplicada de 1A.

A figura (4.15) mostra a distribuição do campo magnético com relação ao núcleo.

Figura 4.12: Foto do equipamento para medir o campo magnético - Gaussmeter

Tabela 4.3: Pontos de Medidas de Campo Magnético no Núcleo do Solenóide

LinhaxColuna

A B C D E F G

1 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G

2 2A 2B 2C 2D 2E 2F 2G

3 3A 3B 3C 3D 3E 3F 3G

4 4A 4B 4C 4D 4E 4F 4G

5 5A 5B 5C 5D 5E 5F 5G

Figura 4.13: Figura esquemática com a posição dos pontos de medida do campo

magnético, sendo L = 35 mm e C = 55 mm.

Figura 4.14: Foto da placa de acrílico entre os solenóides

(a)

Placa de

Acrílico

(b)

(c)

Figura 4.15: Distribuição do Campo Magnético em relação aos Pontos de medida; (a)

Vista tridimensional; (b) vista lateral; (c) vista superior.

Através das figuras (4.15) (a), (b) e (c), podemos confirmar que o campo

magnético no centro do solenóide, possui uma distribuição aproximadamente uniforme.

Posição

onde a viga

foi colocada.

Como podemos ver na figura (4.15 c) a variação do campo entre os valores de 2 a 4 no

eixo vertical é bem pequena e está concentrada próxima das extremidade. Esta diferença

é menor que 0.004 (Tesla). A tabela 4.4 mostra os valores medidos nas posições no

centro do núcleo. O equipamento utilizado tem como valor de fundo de escala 0,002. A

viga será posicionada nesta região, entre os valores 2 a 4 no eixo vertical da figura

(4.15c), portanto, podemos considerar que a viga é submetida a um campo magnético

uniforme. Como esperado, nas extremidades do solenóide, onde há uma maior dispersão

das linhas do campo magnético, os valores são menores e, ao se aproximar do centro do

solenóide, onde há uma concentração das linhas de campo, tanto verticalmente como

horizontalmente, o campo aumenta, tendo o maior valor no centro.

Tabela 4.4: Distribuição do Campo Magnético no núcleo (Tesla)

Pontos para campo com 1A e distância de 30mm

LinhaxColuna A B C D E F G

1 0,014 0,018 0,02 0,02 0,02 0,018 0,016

2 0,018 0,022 0,024 0,024 0,024 0,022 0,02

3 0,02 0,024 0,024 0,026 0,024 0,024 0,02

4 0,018 0,022 0,024 0,024 0,024 0,022 0,02

5 0,016 0,016 0,018 0,02 0,02 0,018 0,014

Para se analisar a influência da variação da distância entre os solenóides sobre o

campo magnético, foram utilizados os mesmos pontos de medidas. O campo magnético

foi mantido constante e a corrente aplicada no solenóide foi de 1A. O valor do campo

obtido e da distância entre o solenóide estão na tabela 4.5.

Tabela 4.5: Valores do Campo magnético (Tesla) e distância entre os solenóides

Corrente no

Solenóide 1A Pontos onde foi feita a medida

Distância (mm) 1A 3A 5A 1D 3D 5D 1G 3G 5G

20 0,024 0,029 0,024 0,024 0,035 0,024 0,024 0,024 0,024

25 0,016 0,022 0,018 0,022 0,028 0,022 0,016 0,022 0,016

30 0,014 0,02 0,015 0,019 0,026 0,018 0,016 0,020 0,014

35 0,012 0,016 0,013 0,014 0,02 0,014 0,012 0,014 0,012

40 0,01 0,014 0,01 0,014 0,018 0,014 0,01 0,014 0,01

45 0,01 0,012 0,01 0,012 0,016 0,012 0,01 0,012 0,01

50 0,01 0,01 0,014 0,01 0,01

Utilizando os dados da tabela (4.5) e o software Excel, foram estimadas curvas

para mostrar a relação entre a variação da distância e a variação do campo magnético. A

figura (4.16) mostra a relação entre distância e campo magnético para os pontos 3A, 3D

e 3G.

Campo x Distância (Ponto 3A)

y = -7E-07x

+ 8E-05x

- 0,0039x + 0,0784

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0 10 20 30 40 50 60

Distância(mm)

Campo(Tesla)

(a)

Campo x Distância (Ponto 3D)

y = -1E-06x

+ 0,0001x

- 0,006x + 0,1095

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 10 20 30 40 50 60

Distância (mm)

Campo (Tesla)

(c)

Campo x Distância (Ponto 3G)

y = -5E-20x

+ 9E-06x

- 0,0011x + 0,0424

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 10 20 30 40 50 60

Distância (mm)

Campo (Tesla)

(c)

Figura 4.16: Relação entre variação da distância entre solenóides e campo magnético;

(a) valor do campo no ponto 3A; (b) valor do campo no ponto 3D (centro do

solenóide); (c) valor do campo no ponto 3G

Os gráficos mostrados nas figuras (4.16) mostram que a relação entre a distância

e a variação do campo magnético pode ser representada por uma equação do terceiro

grau do tipo:

y = ax + bx + cx +d

(4.1)

onde y é o valor do campo magnético e x a distância entre os núcleos e, a,b,c e d são

constantes. Comparando a equação (4.1) com as equações encontradas nos gráficos da

figura (4.16) podemos ver que os valores das constantes a,b,c e d, são valores pequenos,

da ordem de 10

-2

ou menores, o que mostra que para pequenas variações nas distâncias

o campo permanece praticamente constante.

De posse dos valores da permeabilidade magnética do núcleo, do número de

espiras e da corrente elétrica, mostrados na tabela (4.6), pode-se comparar o valor do

campo magnético encontrado através da equação (2.25) com os encontrados

experimentalmente, tabela (4.7).

Tabela 4.6: Dados necessários para o cálculo teórico do campo magnético

Número de Espiras 370

Permeabilidade Magnética do Núcleo

4,547e

−

± 0,2

e-5

Tm/A

Corrente Elétrica 0 a 2,4A

Tabela 4.7: Comparação entre o campo magnético teórico e experimental para o

solenóide.

Corrente(A)

Campo Magnético (Tesla)

- Calculado

Campo Magnético (Tesla)

- Experimental

Porcentagem

de Erro

0.55 0.009 0.010 11.10

0.83 0.014 0.015 7.14

1.0 0.017 0.018 5.88

1.2 0.020 0.020 0

1.7 0.029 0.28 -3.44

2.0 0.034 0.32 -5.88

2.5 0.042 0.38 -9.52

O valor da permeabilidade magnética do núcleo, mostrado na tabela (4.6), é um

valor médio experimental, uma vez que não se conhece, exatamente, o material do

núcleo utilizado. A tabela (4.7) mostra que o erro entre os valores estimados e

experimentais variam em função do campo magnético. Isto se deve ao fato do valor

4,547e

−

Tm/A ser um valor médio para a permeabilidade magnética. Um fator

importante que explica a variação do erro é o fato da escala do equipamento variar de

0,002 e, os valores impares experimentais são valores aproximados quando o

gaussmeter não estabilizava o valor do campo em um valor fixo. Esta tabela mostra que

a equação (2.25) nos fornece uma boa aproximação para o campo de apenas um

solenóide.

Neste trabalho, para calcular o valor do campo magnético utilizando a equação

(2.25), como os solenóides estão em série, bastaria multiplicar o valor encontrado por 2,

que fornece o valor do campo magnético no centro dos solenóides, ou seja, para 1 A o

valor será 0.034 Tesla. Se compararmos este valor com o encontrado na tabela (4.5), na

linha de 30mm na coluna do ponto 3G, vamos encontrar o valor experimental de 0,020.

Esta diferença ocorre porque na equação (2.25) não se considera a perda devido a

distância entre os solenóides.

O estudo do campo magnético foi importante, pois mostrou que para uma

distância fixa, como no caso deste trabalho, o campo magnético pode ser considerado

constante na região onde a viga foi posicionada. Também se verificou que a equação

(2.25) proporciona um resultado aproximado para o campo magnético na superfície do

solenóide e que é preciso ser levado em consideração o distanciamento dos núcleos.

Depois de se verificar que a região onde a viga sanduíche será colocada é uma

região com o campo magnético uniforme, foi iniciada a análise do comportamento do

absorvedor tipo viga sanduíche quando submetido a um campo magnético variável. A

figura (4.17) mostra a foto com a viga posicionada no centro dos solenóides, com a

distância entre eles de 30mm.

(a)

Viga Sanduíche com fluido MR

(b)

Figura 4.17: Foto da viga sanduíche no centro dos solenóides

Como citado anteriormente, a aquisição de dados foi realizada utilizando a placa

dSpace. Pelo fato do software da placa não possuir um programa específico para

aquisição de dados, foi preciso implementar este programa. Uma rotina, que neste caso,

apenas possibilitou a gravação do sinal no domínio do tempo. Foi utilizado um filtro

passa banda de 5 a 450 Hz, mas o programa possuía algumas limitações, como por

exemplo, não possui função para ajustar automaticamente a escala do sinal de entrada e

de saída. Este fato causou algumas dificuldades, pois para o tipo de teste realizado

(impacto) é difícil conseguir a mesma energia de entrada para todos os testes e foi

preciso realizar várias medidas para o mesmo teste até encontrar um valor de energia de

entrada que estivesse na escala pré-determinada. Como o objetivo do trabalho é avaliar

o comportamento do absorvedor, foi estipulado que para cada campo magnético será

utilizado (armazenado) 6 sinais de entrada e de saída. Com estes sinais foi possível

realizar um estudo sobre a repetibilidade do ensaio e também, assegurar que pelo menos

um destes sinais estivesse em boas condições. O processamento do sinal foi realizado

utilizando programas implementados no Matlab. A figura (4.18) mostra a Transformada

Rápida de Furrie (FFT ) de dois tipos de sinais de entrada obtidos experimentalmente.

No primeiro sinal a distribuição da energia é praticamente constante na faixa de

interesse, o que não acontece no segundo tipo de sinal.

Viga Sanduíche com fluido

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

x 10

-5

y-fft

Amplitude

Freq [Hz]

(a)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

x 10

-5

y-fft

Amplitude

Freq [Hz]

(b)

Figura 4.18: FFT do sinal de entrada; (a) sinal bom; (b) sinal encontrado em vários

casos e que foram descartados.

A figura (4.18) (a) mostra o sinal obtido em um dos ensaios considerado como

“bom” e a figura (4.18) (b) mostra o tipo de excitação encontrada nos casos que foram

descartados.

Com o sinal de entrada e saída foi possível encontrar a Função de Resposta em

Freqüência (FRF) do sistema e, utilizando o método de identificação PEM, foi possível

encontrar o modelo modal na forma de espaço de estados e, com este modelo, o

coeficiente de amortecimento para cada campo magnético aplicado.

Inicialmente, os testes foram realizados apenas em uma viga, com o objetivo de

se verificar quais as freqüências naturais do acrílico. Na seqüência foram realizados

testes na estrutura projetada, para as condições sem fluido MR, com fluido MR e,

finalmente, com o fluido MR considerando a variação do campo magnético.

A figura (4.19) mostra os resultados no domínio do tempo para a viga de

acrílico. Nota-se que o acrílico possui uma grande capacidade de amortecimento.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.005

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Sinal de Entrada (input)

Amplitude (A)

Tempo (s)

(a)

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

Sinal de Saida

Amplitude (A)

Tempo (s)

(b)

Figura 4.19: (a) Sinal de entrada (input); (b) Resposta ao impulso da viga sem silicone

Como se pode ver na figura (4.19) (b), o acrílico absorve a energia da excitação

em menos de 0,6 segundos. Esta alta capacidade de absorver energia dificultou a

visualização das freqüências naturais quando a viga foi submetida a uma excitação

randômica, através de um excitador eletro-mecânico (shaker). Por este motivo, a análise

do comportamento do sistema foi realizada através da resposta ao impulso. A figura

(4.20) mostra o gráfico da Função de Resposta em Freqüência (FRF) de uma viga

isoladamente.

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 500

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

FRF uma viga

Amplitude (dB)

Freq [Hz]

Figura 4.20: Gráfico da Função de Resposta em Freqüência de uma viga de acrílico

A freqüência natural do primeiro modo de vibrar é de aproximadamente 32 Hz;

também, pode-se ver que há outra freqüência, próxima de 270 Hz.

O próximo passo foi a realização dos testes para a viga sanduíche “colada” com

o silicone mas, sem introduzir o fluido MR. Este ensaio teve como objetivo comparar a

resposta da viga sem e com o silicone, para verificar qual influência do silicone no

sistema. A figura (4.21) mostra a FRF do sistema.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-10

-5

FRF viga com silicone sem o fluido no centro

Amplitude (dB)

Freq [Hz]

Figura 4.21: Gráfico da Função de Resposta em Freqüência da viga sanduíche com

silicone, sem o fluido magnetoreológico no centro.

Como esperado, quando se uniu as duas vigas com o silicone, houve uma

alteração nas freqüências naturais, decorrente do fato do novo sistema possuir a rigidez

de duas vigas de acrílico e a influência do silicone. Como a primeira freqüência natural

passou de 32 Hz para 50 Hz, isto mostra que a união das vigas com o silicone aumentou

a rigidez da estrutura.

Em uma terceira etapa, os testes foram realizados na mesma estrutura com

introdução do fluido MR, mas sem aplicar o campo magnético.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

-15

-10

-5

Viga com o fluido MR e sem Campo Magnético

Amplitude (dB)

Freq [Hz]

Figura 4.22: Gráfico da Função de Resposta em Freqüência para a viga sanduíche

com o fluido magnetoreológico no centro e campo magnético igual a zero.

A figura (4.22) mostra que a introdução do fluido MR provocou uma variação

nas características do sistema, mas diferentemente da introdução do silicone, a

introdução do fluido MR diminuiu a primeira freqüência de 50 Hz para 36 Hz. Isto

mostra que o fluido MR tem maior influência no acréscimo de massa ao sistema. A

figura (4.23) mostra a FRF do sistema para diversos testes nas mesmas condições. Nota-

se que o fluido MR também acrescentou uma característica não linear ao sistema, pois,

para a mesma configuração, a FRF não nos fornece o mesmo valor para a amplitude, ou

seja, não tem repetibilidade, o que é uma característica de sistemas não lineares.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

-40

-30

-20

-10

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Viga com o fluido MR e Campo Zero

amostra 1

amostra 2

amostra 3

amostra 4

amostra 5

amostra 6

Figura 4.23: Gráfico da Função de Resposta em Freqüência para seis amostras com o

fluido magnetoreológico no centro das vigas e campo magnético igual a zero.

Esta característica de não linearidade do fluido MR deveria ser encontrada

depois de aplicar o campo magnético, pois o fluido possui comportamento Newtoniano

antes do campo ser aplicado e, comportamento plástico de Bingham depois do campo

magnético ser aplicado. No entanto, a característica de não linearidade nesta fase é

atribuída ao sistema.

Na última fase de testes, procurou-se avaliar a influência da variação do campo

magnético na resposta do sistema. Inicialmente, a viga foi submetida a um campo

magnético que variou de 0 a 0,081 Tesla. Este campo magnético teve um aumento

gradual sem interrupções, ou seja, em momento algum o campo magnético foi

desligado. Na segunda fase, o campo magnético variou de 0,081 a 0 Tesla, similarmente

não houve interrupções no campo magnético aplicado. Nesta segunda etapa o objetivo

foi verificar se o fluido MR possui magnetização residual, o que seria um problema em

aplicações de controle de vibrações. A tabela (4.8) mostra o valor do campo magnético

e a corrente elétrica para cada teste realizado.

Tabela 4.8: Valores do campo magnético e das respectivas correntes elétrica aplicada

Teste

Corrente

Elétrica(A) Valor do Campo Magnético (Tesla)

0 0 0

1 0.15 0.004

2 0.30 0.010

3 0.45 0.014

4 0.60 0.018

5 0.75 0.022

6 0.90 0.026

7 1.05 0.030

8 1.20 0.034

9 1.35 0.037

10 1.50 0.041

11 2.00 0.054

12 2.50 0.066

13 3.00 0.081

14 2.50 0.066

15 2.00 0.054

16 1.50 0.041

17 1.35 0.037

18 1.20 0.034

19 1.05 0.029

20 0.90 0.024

21 0.75 0.020

22 0.60 0.016

23 0.45 0.014

24 0.30 0.010

25 0.15 0.006

26 0.00 0.000

As figuras a seguir mostram as respostas obtidas para diversos valores do campo

magnético. Uma característica importante encontrada nos ensaios foi o comportamento

similar a figura (4.23). Este comportamento se repetiu para todos os ensaios, o que

mostra que o fluido possui características não lineares. A figura (4.24) mostra a resposta

para um campo magnético de 0.010 Tesla e, a figura (4.25) a resposta para o campo

magnético de 0.0081 Tesla. Estas figuras mostram que o comportamento do fluido MR

foi similar para toda a faixa de campo magnético analisada.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

-30

-20

-10

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Viga com fluido MR e campo 2 de 0,010 Tesla

amostra 1

amostra 2

amostra 3

amostra 4

amostra 5

amostra 6

(a)

120 140 160 180 200 220 240 260 280

-10

-5

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Viga com fluido MR e campo 2 de 0,010 Tesla

amostra 1

amostra 2

amostra 3

amostra 4

amostra 5

amostra 6

(b)

Figura 4.24: FRF do absorvedor de vibrações ajustável para diversas aquisições (a);

detalhes da variação do segundo modo de vibrar para o campo magnético do teste 2

(0.010 Tesla).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-50

-40

-30

-20

-10

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Viga com fluido MR e campo 13 de 0,081 Tesla

amostra 1

amostra 2

amostra 3

amostra 4

amostra 5

amostra 6

(a)

155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Viga com fluido MR e campo 13 de 0,081 Tesla

amostra 1

amostra 2

amostra 3

amostra 4

amostra 5

amostra 6

(b)

Figura 4.25: FRF do TVA para diversas aquisições; (a) FRF para o campo 13 (0.081);

(b) detalhes da variação do segundo modo de vibrar para o campo magnético do teste

13 (0.081 Tesla).

Como podemos verificar nas figuras anteriores o fluido não apresentou o mesmo

valor de amplitude ou o mesmo amortecimento em todas as amostras. Podemos ver

também que em algumas amostras o valor se repetiu, por exemplo, na figura (4.25)(b) o

valor para as amostras 5,6 e 4 se repetiram com amplitudes próximas de 20 dB e, os

valores das amostras 1 e 3 também tiveram o mesmo valor de amplitudes próximas de

13 db.

Comportamento similar ocorreu em todos os ensaios, por este motivo foi

utilizado as amostras que se repetiram em maior número para avaliar o comportamento

da viga para cada ensaio.

Através destas curvas também podemos observar que o fluido não possui

magnetização residual, pois o valor de maior ou menor amplitude (amortecimento) não

dependem do tempo que o fluido ficou submetido ao campo magnético. Por exemplo,

na figura (4.25) (b) o maior amortecimento aconteceu para a primeira amostra e, a sexta

amostra teve um valor de amplitude maior que a primeira, isto mostra que um maior

tempo de exposição ao campo magnético não resultou em um maior amortecimento.

A figura (4.26) mostra a amplitude para os campos 0,1,2,3,4 e 5. Podemos ver

que de maneira geral quando aumentamos o campo magnético, aumentamos o

amortecimento. No entanto, pelo fato do fluido possuir um comportamento não linear,

notou-se que em alguns casos (como do campo 1) a amplitude de vibração foi menor

que em amostras submetidas a um campo maior.

120 140 160 180 200 220 240

-5

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Grafico com Amplitide para os Campos 0,1,2,3,4 e 5

Teste 0

Teste 1

Teste 2

Teste 3

Teste 4

Teste 5

Figura 4.26: FRF média do TVA para os valores do campo magnético relativos aos

testes de 0 a 5.

A figura (4.27) mostra as FRF média do TVA para os testes de 0 a 13, isto é, no

sentido de acréscimo do campo magnético.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-60

-40

-20

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Gráfico da Amplitude para Todos os Campos

campo 0

campo 1

campo 2

campo 3

campo 4

campo 5

campo 6

campo 7

campo 8

campo 9

campo 10

campo 11

campo 12

campo 13

(a)

150 160 170 180 190 200 210

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

Gráfico da Amplitude para Todos os Campos

campo 0

campo 1

campo 2

campo 3

campo 4

campo 5

campo 6

campo 7

campo 8

campo 9

campo 10

campo 11

campo 12

campo 13

(b)

Figura 4.27: (a) FRF do TVA para diversos valores do campo magnético; (b) zoom

para visualizar o comportamento do segundo modo de vibrar.

Podemos ver que de maneira geral, quando aplicamos um campo magnético no

fluido MR este varia suas propriedades e aumenta o amortecimento da estrutura. Este

fato mostra que é possível construir um absorvedor de vibrações com este material mas,

é necessária a identificação exata do material e do sistema.

Outra característica importante é o fato do fluido MR apenas influenciar no

amortecimento da estrutura, isso pode ser visto na figura (4.27a), uma vez que, quando

aumentamos o campo magnético podemos notar um aumento do amortecimento da

estrutura mas, as freqüências naturais permanecem as mesma. Esta é uma característica

importante de sistemas de controle semi-ativos, pois, como não fornecem energia ao

sistema, este tipo de controle sempre será estável.

A tabela 4.9 mostra os valores do amortecimento médio para cada campo

magnético. Para encontrar este amortecimento foi utilizado o modelo modal na forma de

espaço de estados obtido através do método de identificação PEM. Na tabela 4.9

podemos ver como o amortecimento varia com o campo magnético e, também observar

como o amortecimento variou de forma não linear, pois em alguns casos o aumento do

campo magnético não resultou em um aumento do amortecimento.

Tabela 4.9: Valores de amortecimento para cada campo magnético estimados pelo

método PEM

Campo

(Tesla)

Amortecimento 1º

modo

Amortecimento 2º

modo

0 0 0.0566 0.0592

1 0.004 0.0628 0.0599

2 0.010 0.0635 0.0622

3 0.014 0.0592 0.0641

4 0.018 0.0643 0.0621

5 0.022 0.0632 0.0625

6 0.026 0.0640 0.0615

7 0.030 0.0658 0.0615

8 0.034 0.0645 0.0609

9 0.036 0.0641 0.0631

10 0.041 0.0732 0.0639

11 0.054 0.0734 0.0713

12 0.066 0.1075 0.0704

13 0.081 0.1207 0.0781

14 0.066 0.1043 0.0735

15 0.054 0.0801 0.0675

16 0.041 0.0740 0.0671

17 0.037 0.0711 0.0646

18 0.034 0.0631 0.0648

19 0.029 0.0641 0.0619

20 0.024 0.0662 0.0646

21 0.020 0.0641 0.0637

22 0.016 0.0626 0.0655

23 0.014 0.0590 0.0618

24 0.010 0.0586 0.0604

25 0.060 0.0607 0.0621

26 0 0.0556 0.0602

Na tabela 4.9, nota-se, também que foram realizados 26 ensaios. Nos ensaios de

0 a 13, o campo magnético aumentou gradativamente e sem interrupções. Já nos ensaios

de 14 a 26 ocorreu o inverso, ou seja, o campo diminuiu sem interrupções. Estes ensaios

foram realizados com o objetivo de avaliar se o fluido MR apresenta uma magnetização

residual e, se o fluido MR se desmagnetiza rapidamente.

A figura (4.28) mostra algumas curvas comparando o valor da FRF quando

aumentamos e quando diminuímos o campo magnético.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-20

-10

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

FRF para os campos 1 e 25

campo 1

campo 25

(a)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-10

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

FRF para os campos 10 e 16

campo 10

campo 16

(b)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-20

-10

Freq [Hz]

Amplitude (dB)

FRF para os campos 3 e 23

campo 3

campo 23

(c)

Figura 4.28: FRF do TVA para ensaios realizados com valores iguais do campo

magnético; (a) ensaio para os campos magnético 1 e 25; (b) ensaio para os campos

magnético 10 e 16 e (c) ensaio para os campos magnético 3 e 23.

Nota-se nas figuras (4.28) que os valores de amplitudes e freqüências quando

aumentamos ou diminuímos o valor do campo magnético são similares. Isto mostra que

o fluido MR não possui magnetização residual e ainda que este se desmagnetiza

rapidamente. O comportamento observado nestas três curvas serve de exemplo para

todos os ensaios, sendo que na figura (4.28) (c) pode-se notar que as curvas não são

exatamente iguais em amplitude e que a diferença não passa de 1 dB. Como estas

curvas são uma média das amostras de cada ensaio e, o fluido MR apresenta

comportamento não linear, pode-se assumir que esta diferença de 1 dB é pequena.

Capítulo 5 – Discussões Finais

5.1 Discussão

Com o modelo no programa Ansys foi possível encontrar o comportamento

esperado para o sistema. Através do modelo foi possível verificar que variando apenas o

amortecimento da estrutura, pode –se variar as amplitudes de vibração e não varia as

freqüências naturais do sistema. Para um sistema com comportamento linear, sempre

que ocorre aumento no valor do amortecimento a conseqüência é uma diminuição na

amplitude de vibração do sistema. Através deste modelo foi possível representar o

sistema. Para melhorar a resposta e obter o comportamento real do sistema, basta

encontrar as propriedades físicas reais dos materiais utilizados.

Com relação ao fluido Magnetoreológico, foi possível verificar algumas das

características mostradas na teoria como: o fluido MR se magnetiza e desmagnetiza

rapidamente, não sendo necessárias grandes fontes de energia para realizar o controle

das propriedades do fluido MR e, também, que pequenas variações do campo magnético

promovem grandes alterações nas propriedades do fluido. Outra característica

importante encontrada foi o fato do fluido apresentar comportamento não linear, o que é

um problema, pois para encontrar um modelo que represente o comportamento deste

material é necessário levar em consideração estas não linearidades. O fluido mostrou ter

influência apenas sobre o amortecimento do sistema não variando sua freqüência

natural, o que é uma característica importante para fins de controle, pois o controle

semi-ativo não desestabiliza o sistema.

O fluido MR utilizado neste trabalho apresentou uma desvantagem, o fato do

fluido ser a base de água dificultou a reprodução dos ensaios, pois a água evapora com

facilidade e depois de construído o absorvedor, este deveria ser submetido a todos os

ensaios no mesmo dia, pois de um dia para o outro o fluido MR perde sua viscosidade

(água evapora) e, para continuar os ensaios seria necessário construir outra estrutura.

Pelas características apresentadas, foi possível demonstrar que este material

inteligente pode ser utilizado na construção de absorvedores de vibrações ajustáveis,

mas para isso será necessário encontrar um modelo matemático que descreva o

comportamento do fluido MR, levando em consideração seu comportamento não linear.

A utilização da viga sanduíche para realizar o estudo de um absorvedor ajustável

mostrou ser adequada, mas os materiais utilizados neste trabalho acrescentaram

dificuldades ao estudo. As principais dificuldades encontradas foram: a alta capacidade

de absorção de energia do acrílico e a dificuldade de reproduzir a estrutura.

A alta capacidade de absorção de energia do acrílico não permitiu que fossem

realizados ensaios utilizando um excitador eletromecânico, o que possibilitaria aplicar

ao sistema uma excitação com amplitudes conhecidas e iguais. A dificuldade de

reproduzir o sistema foi provocada pela utilização do silicone, já que para cada viga

construída a quantidade de silicone utilizada variava e, conseqüentemente, provocava

variações no volume de fluido MR.

O fato de se ter utilizado uma excitação impulsiva para estudar o comportamento

do fluido pode também ter influenciado os resultados obtidos. Como visto no capítulo 2,

o fluido MR apresenta três formas básicas de absorver energia: modo de corte direto,

modo válvula e modo de filme comprimido, figura (2.3). Como não é possível garantir

que a excitação foi aplicada com a mesma intensidade e na mesma posição para todos

os ensaios, dependendo da energia introduzida no sistema pode ter ocorrido excitações

de flexão pura, ou flexão e torção, se o ponto de contato do martelo não foi no eixo

mediano da viga. O fato de não garantir que a energia foi aplicada sempre na mesma

posição pode ter provocado a excitação de modos de vibrar de flexão ou de torção. No

caso de modos de flexão, o fluido responde dissipando energia pelo modo de corte

direto que é o comportamento desejado neste sistema e que proporcionaria as maiores

dissipações de energia. Já quando excitado com maior intensidade os modos de torção,

o fluido irá dissipar energia no modo de fluido comprimido, o que explicaria a menor

dissipação de energia em alguns casos.

Apesar de algumas dificuldades encontradas, o objetivo de se avaliar o

comportamento do absorvedor de vibrações ajustável foi atingido. Através deste estudo

é possível afirmar que a utilização do fluido MR na construção de absorvedores de

vibrações ajustável é viável, já que podemos fornecer ao sistema o campo magnético

desejado com uma corrente elétrica.

Para construir um modelo mais eficiente é necessário representar o silicone com

suas propriedades e, adicionar um elemento que mostre o comportamento não linear do

fluido.

Para projetar um controlador eficaz, será preciso encontrar um modelo para a

relação entre corrente elétrica e campo magnético, levando em consideração a distância

entre os solenóides e, também, um modelo para o fluido MR que leve em consideração

suas não linearidades. Outro ponto que deve ser considerado para melhorar o modelo é a

inclusão da influência do silicone.

5.2. Conclusão

O objetivo deste trabalho foi avaliar o comportamento do fluido MR, a relação

entre corrente elétrica e campo magnético e principalmente, estudar se é possível

construir um absorvedor ajustável de vibrações tipo viga sanduíche com estes materiais.

Através do estudo iniciado neste trabalho, foi possível verificar que utilizando

solenóides é possível conseguir o campo magnético desejado para controlar a estrutura.

Se utilizarmos materiais com grande permeabilidade magnética e, com um número de

espiras adequado, podemos conseguir um grande campo magnético com uma corrente

elétrica pequena. O fato de não precisar de grandes fontes de corrente elétrica é muito

importante para futuras aplicações de controle, pois quando se trabalha com controle, é

fornecido para o sistema corrente elétrica de controle e não campo magnético e, além

disto, esta corrente elétrica é limitada pela capacidade da placa de controle.

Outra característica importante do campo magnético que foi estudada é o fato do

campo magnético depender da distância entre os solenóides. Apesar de se ter mostrado

que pequenas variações na distância entre os solenóides não causam grandes variações

no campo magnético, para a implementação de controle, deverá ser encontrada qual a

relação entre o campo magnético e a distância entre os solenóides. Neste trabalho esta

relação foi encontrada de forma experimental, mas para fins de controle é necessário

saber esta relação para casos gerais, pois o campo magnético é função do número de

espiras, da permeabilidade do campo magnético, da corrente elétrica e da distância entre

o local onde desejamos saber o campo magnético e o solenóide.

5.3 Propostas para trabalhos futuros

Para novos trabalhos seria interessante repetir este estudo utilizando uma viga

com um perfil “oco” retangular ou cilíndrico, isso evitaria o uso do silicone. Utilizando

um perfil conhecido seria mais fácil separar o comportamento do fluido MR do

comportamento da viga. O material poderia ser acrílico ou um material não

ferromagnético como o alumínio, por exemplo. No caso de se utilizar o acrílico deveria

ser realizado um estudo para encontrar um comprimento que possibilite uma melhor

visualização da resposta do sistema. Conhecer as propriedades de todos os materiais

envolvidos no sistema facilita a modelagem e, possibilita encontrar um modelo (no

programa Ansys) que realmente represente a estrutura. Outra alteração que ajudaria

neste estudo é utilizar um elemento de fluido para representar o fluido MR, pois este

novo elemento possibilitaria estudar a interação fluido estrutura que ocorre no sistema.

Outra mudança interessante seria utilizar uma excitação com amplitude

conhecida, ou seja, usar um excitador eletromecânico para fornecer uma excitação

randômica ou senoidal para o sistema, com isto seria possível verificar se a excitação

impulsiva teve influência sobre o comportamento do fluido, pois com este tipo de

excitação poderíamos garantir que a excitação seria aplicada sempre no mesmo ponto e

com a mesma energia (amplitude).

Poderia ser estudada a influência da temperatura no comportamento do fluido e,

se possível, adquirir um novo fluido com composição diferente do utilizado neste

trabalho, para verificar se independente da composição o comportamento dos fluidos

magnetoreológico permanece o mesmo. A relação entre corrente elétrica e campo

magnético que considere a distância entre os solenóides, também, deve ser reavaliada

em trabalhos futuros.

5.4 Artigos originados desta dissertação

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Atenuação de Vibrações em edifícios devido a abalos sísmicos utilizando amortecedores

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MESQUITA NETO C.; SANTOS R. B.; BUENO D. D.; MARQUI C. R.; LOPES JUNIOR, V.

Controle semi-ativo de uma estrutura de dois graus de liberdade utilizando fluido MR. In:

BRAZILIAN CONFERENCE ON DYNAMICS, CONTROL AND THEIR APPLICATIONS, 6,

2007, São Jose do Rio Preto. 2007.

MESQUITA NETO C.; TAVARES M. A.; SANTOS R. B.; LOPES JUNIOR V. Identificação de

parâmetros de uma estrutura flexível de dois andares utilizando o método de predição de erros.

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Uberlândia, 2006.

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