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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
TESE DE DOUTORADO
Estudo do Posicionamento de Atuadores
Piezelétricos em Estruturas Inteligentes
Autor: Aguinaldo Soares de Oliveira
Orientador: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior
09/2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
TESE DE DOUTORADO
Estudo do Posicionamento de Atuadores
Piezelétricos em Estruturas Inteligentes
Autor: Aguinaldo Soares de Oliveira
Orientador: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior
Curso: Engenharia Mecânica
Área de Concentração: Projeto e Fabricação
Tese submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica como parte
dos requisitos para obtenção do título de doutor em Engenharia Mecânica
Itajubá, 2008, MG – Brasil
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
TESE DE DOUTORADO
Estudo do Posicionamento de Atuadores
Piezelétricos em Estruturas Inteligentes
Autor: Aguinaldo Soares de Oliveira
Orientador: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior
Composição da Banca Examinadora:
Prof. Dr. Pablo Siqueira Meirelles
DMC/FEM/UNICAMP
Prof. Dr. Fernando José de Oliveira Moreira
SISTEMAS/SJK/EMBRAER
Prof. Dr. José Celio Dias
IEM/UNIFEI
Prof. Dr. André Garcia Chiarello
IEM/UNIFEI
Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior, Orientador.
IEM/UNIFEI
Itajubá, 26 de Setembro de 2008.
Dedicatória
A minha esposa Elizabete e a minha filha Lívia.
Agradecimentos
Ao Orientador, Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior, por sua orientação.
A CAPES, através do programa de bolsas, pelo apoio financeiro.
Ao programa de pós-graduação da UNIFEI pela oportunidade de desenvolver o meu
doutoramento.
A FAPEMIG pelo suporte financeiro através do projeto TEC-1670/05.
A todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuíram com o presente trabalho.
“O caminho do progresso não é nem fácil e nem rápido”
(Marie Curie)
Resumo
Oliveira, A. S. (2008), Estudo do Posicionamento de Atuadores Piezelétricos em Estruturas
Inteligentes, Tese de doutorado, Instituto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de
Itajubá, 193 p.
O estudo do posicionamento de atuadores e sensores piezelétricos é uma parte
fundamental no projeto de estruturas inteligentes. O mau posicionamento de atuadores e
sensores piezelétricos pode causar a perda da controlabilidade do sistema. O propósito desta
tese é apresentar uma técnica de posicionamento para atuadores piezelétricos em uma
estrutura flexível, usando medidas de controlabilidade modal e espacial obtidas através do
método de elementos finitos e valores singulares. A técnica de decomposição em valores
singulares da matriz de controle é utilizada para se obter um índice que quantifica a
controlabilidade do sistema, de maneira a se posicionar os atuadores piezelétricos, onde o
sistema se torna mais controlável e observável, minimizando o esforço do controlador. É
desenvolvido um código computacional baseado na técnica combinacional, que simula as
posições possíveis para o elemento piezelétrico na estrutura de análise. Os resultados das
simulações são comparados aos resultados analíticos de maneira a se verificar o desempenho
deste código computacional e validação da técnica proposta.
Palavras Chaves
Posicionamento de atuadores piezelétricos, método de elementos finitos, análise de
valores singulares, estruturas inteligentes.
Abstract
Oliveira, A. S. (2008), Study of Piezoelectric Actuator Placement in Intelligent Structures,
PhD. Thesis, Instituto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itajubá, 193 p.
The evaluation of actuators and sensors placement is a fundamental part in an intelligent
structure design. The actuators and sensors misplacement could cause lack of controllability
system. The purpose of this thesis is to present a method to optimize the piezoelectric
actuators and sensors placement, in a flexible structure. It uses modal and spatial
controllability measurements to obtain through finite element method end singular values.
The singular values decomposition technique of control matrix was utilized with the propose
of to obtain an index that quantified the system controllability, such that the piezoelectric is
positioned where the system is more controlled and observables. It was developed, a computer
code according to the combinatorial method approach which simulated the possible places to
put the piezoelectric elements in flexible structures. The simulation results are compared with
the analytical results to check the computer code performance and to validate the propose
technical.
Key Words
Actuators placement, finite element method, singular analysis value, intelligent
structures.
ix
SUMÁRIO
Lista de Figuras __________________________________________________________xiii
Lista de Tabelas _________________________________________________________xviii
Simbologia_______________________________________________________________ xx
Letras Latinas____________________________________________________________ xx
Letras Gregas ___________________________________________________________xxiii
Sobrescrito______________________________________________________________xxiv
Subscrito _______________________________________________________________xxiv
Abreviaturas ____________________________________________________________ xxv
Siglas __________________________________________________________________ xxv
Capítulo 1 ________________________________________________________________ 1
INTRODUÇÃO ___________________________________________________________ 1
1.1
REVISÃO
DA
LITERATURA----------------------------------------------------------------------1
1.1.1 Posicionamento de Sensores e Atuadores Piezelétricos ---------------------------------------3
1.1.2 Modelagem de Estruturas Inteligentes -----------------------------------------------------------5
1.1.3 Projeto do Controlador -----------------------------------------------------------------------------7
1.2
MOTIVAÇÃO
DO
TRABALHO -------------------------------------------------------------------8
1.3
OBJETIVOS
DA
TESE-------------------------------------------------------------------------------9
1.4
CONTEÚDO-------------------------------------------------------------------------------------------9
Capítulo 2 _______________________________________________________________ 11
MODELAGEM DE VIGAS COM ATUADORES E SENSORES PIEZELÉTRICOS
INCORPORADOS ________________________________________________________ 11
2.1
MODELAGEM
DE
VIGAS
SEM
ELEMENTOS
PIEZELÉTRICOS
INCORPORADOS11
2.1.1 Solução Analítica para uma Viga Biapoiada---------------------------------------------------16
2.1.2 Solução Analítica para uma Viga em Balanço-------------------------------------------------19
2.2
MODELAGEM
DE
VIGAS
COM
ELEMENTOS
-------------------------------------------------
PIEZELÉTRICOS
INCORPORADOS ----------------------------------------------------------------21
x
2.3
EQUAÇÃO
DO
SENSOR
PIEZELÉTRICO
INCORPORADO
EM
UMA
VIGA ---------25
Capítulo 3 _______________________________________________________________ 28
FORMULAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS PARA PROBLEMAS DE
PIEZELETRICIDADE ____________________________________________________ 28
3.1
FUNDAMENTOS
DO
MÉTODO
DE
ELEMENTOS
FINITOS
PARA
O
MODELO
DE
VIGAS
TIMOSHENKO --------------------------------------------------------------------------------
29
3.2
ELEMENTOS
FINITOS
PARA
MEIOS
PIEZELÉTRICOS ----------------------------------37
Capítulo 4 _______________________________________________________________ 42
POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS PIEZELÉTRICOS EM ESTRUTURAS
FLEXÍVEIS______________________________________________________________ 42
4.1
POSICIONAMENTO
EM
VIGAS-----------------------------------------------------------------43
4.1.1 Solução Analítica-----------------------------------------------------------------------------------43
4.1.2 Solução por Elementos Finitos-------------------------------------------------------------------48
4.2
CRITÉRIO
DE
POSICIONAMENTO ------------------------------------------------------------51
4.3
O
PROGRAMA
COMPUTACIONAL
DESENVOLVIDO
-----------------------------------55
Capítulo 5 _______________________________________________________________ 60
VALIDAÇÃO DOS MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS ___________________ 60
5.1
MODELO
DE
VIGA
TIMOSHENKO
SEM
O
ELEMENTO
PIEZELÉTRICO ------------62
5.1.1 Viga Biapoiada -------------------------------------------------------------------------------------62
5.1.2 Viga Livre-Livre -----------------------------------------------------------------------------------65
5.1.3 Viga Engastada-Engastada------------------------------------------------------------------------67
5.1.4 Viga em Balanço -----------------------------------------------------------------------------------69
5.2
MODELO
DE
VIGA
DE
TIMOSHENKO
COM
O
ELEMENTO
PIEZELÉTRICO
INCORPORADO----------------------------------------------------------------------------------------71
5.2.1 Simulação do caso 1 -------------------------------------------------------------------------------71
5.2.2 Simulação do caso 2 -------------------------------------------------------------------------------74
Capítulo 6 _______________________________________________________________ 78
DETERMINAÇÃO DO POSICIONAMENTO ÓTIMO DOS ATUADORES
PIEZELÉTRICOS ________________________________________________________ 78
6.1
CASO
1
:
VIGA
BIAPOIADA----------------------------------------------------------------------79
6.1.1 Posições Ótimas para um Atuador sem Considerar o Efeito da Rigidez e Massa do
Atuador Piezelétrico -------------------------------------------------------------------------------------79
xi
6.1.2 Posições Ótimas para um Atuador Considerando-se o Efeito da Rigidez e da Massa do
Atuador Piezelétrico--------------------------------------------------------------------------------------81
6.1.3 Posições Ótimas Considerando Mais de Um atuador Piezelétrico--------------------------85
6.1.4 Posicionamento òtimo para Mais de um Modo de Vibrar------------------------------------87
6.2 CASO 2 : VIGA EM BALANÇO -----------------------------------------------------------------90
6.2.1 Posições Ótimas para um Atuador sem Considerar o Efeito da Rigidez e Massa do
Atuador Piezelétrico -------------------------------------------------------------------------------------90
6.2.2 Posições Ótimas para um Atuador Considerando o Efeito da Rigidez e da Massa do
Atuador Piezelétrico--------------------------------------------------------------------------------------91
6.2.3 Posições Ótimas Considerando Mais de Um atuador Piezelétrico--------------------------96
6.2.4 Posicionamento Ótimo para Mais de um Modo de Vibrar Considerando Mais de Um
atuador Piezelétrico sem Considerar a Massa e Rigidez do Atuador Piezelétrico---------------98
6.2.5 Posicionamento Ótimo para Mais de um Modo de Vibrar. Considerando Mais de Um
Atuador Piezelétrico e o Efeito da influência da Massa e Rigidez do Atuador Piezelétrico 100
6.3 CASO 3 : VIGA BI-ENGASTADA-------------------------------------------------------------103
6.3.1 Posições Ótimas para um Atuador Piezelétrico ---------------------------------------------103
6.3.2 Posições Ótimas para um Atuador Considerando o Efeito da Rigidez e da Massa do
Atuador Piezelétrico------------------------------------------------------------------------------------105
6.4 CASO 4 : VIGA LIVRE-LIVRE-----------------------------------------------------------------111
6.4.1 Posições Ótimas para um Atuador Piezelétrico ---------------------------------------------111
6.4.2 Posições Ótimas para um Atuador Considerando o Efeito da Rigidez e da Massa do
Atuador Piezelétrico------------------------------------------------------------------------------------113
6.5 CASO 5 : VIGA ENGASTADA-APOIADA --------------------------------------------------116
6.5.1 Posições Ótimas para um Atuador Piezelétrico ---------------------------------------------116
6.5.2 Posições Ótimas para um Atuador Considerando o Efeito da Rigidez e da Massa do
Atuador Piezelétrico------------------------------------------------------------------------------------118
6.6 CASO 6 : SIMULAÇÃO DE CONTROLE VIGA BIAPOIADA --------------------------121
6.6.1 Simulação Considerando Um Modo Um Atuador Piezelétrico e Uma Excitação Degrau
Unitário para o Primeiro Modo -----------------------------------------------------------------------121
6.6.2 Simulação Considerando Um Modo Um Atuador Piezelétrico e Uma Excitação Impulso
Unitário para o Primeiro Modo -----------------------------------------------------------------------125
6.6.3 Simulação Considerando Um Modo Um Atuador Piezelétrico e Uma Excitação
Harmônica Seno Unitário para o Primeiro Modo --------------------------------------------------129
xii
6.6.4 Simulação Considerando Um Modo Um Atuador Piezelétrico e Uma Excitação Degrau
Unitário para o Segundo Modo -----------------------------------------------------------------------133
6.6.5 Simulação Considerando Dois Modos e Dois Atuadores Atuadores Piezelétricos e Uma
Excitação Degrau Unitário Para o Primeiro e Segundo Modo -----------------------------------137
6.6.6 Simulação Considerando Três Modos e Três Atuadores Piezelétricos e Uma Excitação
Degrau Unitário Para o Primeiro, Segundo e o Terceiro Modo----------------------------------142
Capítulo 7 ______________________________________________________________ 148
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ____________________________________ 148
7.1 CONCLUSÕES_______________________________________________________ 148
7.2 SUGESTÕES E RECOMENDAÇÕES ___________________________________ 151
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS _______________________________________ 152
Apêndice A _____________________________________________________________ 163
CONCEITUAÇÃO SOBRE VALORES SINGULARES________________________ 163
Apêndice B _____________________________________________________________ 165
CONTROLE MODAL____________________________________________________ 165
Apêndice C _____________________________________________________________ 167
NÚMERO DE ELEMENTOS PIEZELÉTRICOS NECESSÁRIO PARA CONTROLAR
UM DETERMINADO MODO _____________________________________________ 167
xiii
Lista de Figuras
Figura 2.1 Diagrama de equilibrio de uma viga (Inmam, 1994) -----------------------------------12
Figura 2.2 Elemento infitesimal de viga (Inmam, 1994)--------------------------------------------13
Figura 2.3 Modos de vibrar para uma apoiada nas extremidades (biapoiada) -------------------19
Figura 2.4 Modos de vibrar para uma viga em balanço ---------------------------------------------21
Figura 2.5 Viga com elemento piezelétrico incorporado--------------------------------------------22
Figura 2.6 Relaçãoentre potencial aplicado e deformação------------------------------------------22
Figura 3.1 Elementos de viga ---------------------------------------------------------------------------30
Figura 4.1 Estrutura em blocos do programa computacional desenvolvido----------------------57
Figura 4.2 Diagrama do programa computacional de posicionamento desenvolvido-----------58
Figura 4.3 Procedimento de determinação do posicionamento ótimo-----------------------------59
Figura 5.1 Gráfico dos desvios relativos percentuais das frequências adimensionalizadas
Timoshenko para uma viga biapoiada -----------------------------------------------------------------64
Figura 5.2 Gráfico dos desvios relativos percentuais das frequências adimensionalizadas
Timoshenko para uma viga livre-livre -----------------------------------------------------------------66
Figura 5.3 Gráficos dos desvios relativos percentuais das frequências adimensionalizadas
Timoshenko para uma viga engastada-engastada ----------------------------------------------------68
Figura 5.4 Gráfico dos desvios relativos percentuais das frequencias adimensionalizadas
Timoshenko para uma viga em balanço ---------------------------------------------------------------70
Figura 5.5 Posicionamento de elementos piezelétricos incorporados viga em balanço caso 1 71
Figura 5.6 Gráfico de desvios relativos para o caso1------------------------------------------------73
Figura 5.7 Gráfico da viga do caso 1 com elementos piezelétricos incorporados ---------------74
Figura 5.8 Posicionamento de elementos piezelétricos incorporados a viga em balanço ------76
Figura 5.9 Gráfico de desvios para o caso 2 ----------------------------------------------------------77
Figura 6.1 a)Primeiro modo de vibrar; b)Índice de posicionamento ótimo ----------------------80
Figura 6.2 a)Segundo modo de vibrar; b)Índice de posicionamento ótimo ----------------------81
Figura 6.3 Posicionamento ótimo para o primeiro modo viga biapoiada com e sem atuador -82
Figura 6.4 Modo de vibrar para o primeiro modo viga biapoiada com e sem atuador----------82
Figura 6.5 Posicionamento ótimo para o segundo modo viga biapoiada com e sem atuadores 84
Figura 6.6 Modo de vibrar para o segundo modo viga biapoiada com e sem atuador ----------84
Figura 6.7 Posicionamento ótimo para o primeiro modo viga biapoiada com 2 atuadores ----86
Figura 6.8 Posicionamento ótimo para o segundo modo viga biapoiada com 2 atuadores-----87
xiv
Figura 6.9 Posicionamento ótimo para o primeiro/segundo modo viga biapoiada --------------88
Figura 6.10 Posicionamento ótimo para o primeiro,segundo terceiro modo viga biapoiada---88
Figura 6.11 a) Primeiro modo de vibrar; b) Índice de posicionamento ---------------------------90
Figura 6.12 a) Segundo modo de vibra; b) Índice de posicionamento ----------------------------91
Figura 6.13 Posicionamento ótimo para o primeiro modo viga em balanço com/sem atuador92
Figura 6.14 Modo de vibrar para o primeiro modo viga em balanço com e sem atuador ------92
Figura 6.15 Posicionamento ótimo para o segundo modo viga em balanço com/sem atuador 94
Figura 6.16 Modo de vibrar para o segundo modo viga em balanço com e sem atuador-------95
Figura 6.17 Posicionamento ótimo para o primeiro modo viga em balanço com 2 atuadores-96
Figura 6.18 Posicionamento ótimo para o segundo modo viga em balanço com 2 atuadores -97
Figura 6.19 Posicionamento ótimo para o primeiro/segundo modo viga em balanço ----------98
Figura 6.20 Posicionamento ótimo para o primeiro/segundo/terceiro modo viga em balanço 99
Figura 6.21 Posicionamento ótimo para primeiro/segundo/terceiro mdo viga em balanço com
atuador----------------------------------------------------------------------------------------------------100
Figura 6.22 Primeiro/segundo/terceiro modo viga em balanço com e sem atuador-----------101
Figura 6.23 Posicionamento ótimo para primeiro/segundo/terceiro modo viga em balanço com
e sem atuador --------------------------------------------------------------------------------------------101
Figura 6.24 a) Primeiro modo de vibrar; b) Índice de posicionamento ótimo para viga bi-
engastada -------------------------------------------------------------------------------------------------103
Figura 6.25 a)Primeiro/Segundo modo de vibrar b) Ìndice de posicionamento ótimo viga bi-
engastada -------------------------------------------------------------------------------------------------104
Figura 6.26 Índice de posicionamento ótimo para o primeiro modo viga bi-engastada com e
sem atuador ----------------------------------------------------------------------------------------------105
Figura 6.27 Índice de posicionamento ótimo para o primeiro/segundo modo viga bi-engastada
com e sem atuador --------------------------------------------------------------------------------------106
Figura 6.28 Primeiro/Segundo modo de vibrar viga bi-engastada com e sem atuador -------106
Figura 6.29 ìndice de posicionamento ótimo para o primeiro/segundo/terceiro modo viga bi-
engastada sem atuador----------------------------------------------------------------------------------107
Figura 6.30 Índice de posicionamento ótimo para o primeiro/segundo/terceiro modo viga bi-
engastada com atuador ---------------------------------------------------------------------------------108
Figura 6.31 Índice de posicionamento ótimo para o primeiro/segundo/terceiro modo viga
engastada com e sem atuador--------------------------------------------------------------------------108
Figura 6.32 Primeiro/segundo/terceiro modo viga bi-engastada com e sem atuador ---------109
xv
Figura 6.33 a) Primeiro modo de vibrar; b)Índice de posicionamento ótimo para viga em livre-
livre -------------------------------------------------------------------------------------------------------111
Figura 6.34 a) Índice de posicionamento do primeiro modo de vibrar de corpo flexível da viga
livre-livre com e sem atuador -------------------------------------------------------------------------112
Figura 6.35 Primeiro modo de vibrar flexível da viga livre-livre com e sem atuador --------113
Figura 6.36 a) Segundo modo de vibrar viga livre-livre;b) ìndice de posicionamento ótimo 114
Figura 6.37 Segundo modo de vibrar da viga livre-livre com e sem atuador ------------------114
Figura 6.38 Índice de posicionamento ótimo da viga livre-livre com e sem atuador ---------115
Figura 6.39 a) Primeiro modo de vibrar; b)Índice de posicionamento ótimo para viga
engastada-apoiada---------------------------------------------------------------------------------------116
Figura 6.40 Índice de posicionamento ótimo primeiro modo para viga engastada-apoiada -117
Figura 6.41 Primeiro modo de vibrar da viga engastada-apoiada com e sem atuador --------117
Figura 6.42 a)Segundo modo de vibrar viga engastada-apoiada; b) ìndice de posicionamento
ótimo------------------------------------------------------------------------------------------------------118
Figura 6.43 Segundo modo de vibrar da viga engastada-apoiada com e sem atuador --------119
Figura 6.44 ìndice de posicionamento ótimo da viga engastada-apoiada com e sem atuador119
Figura 6.45 Elementos da viga de controle simulada----------------------------------------------121
Figura 6.46 Malha aberta/fechada excitação degrau unit. 1 modo/1 atuador posição ótima-122
Figura 6.47 FRF excitação degrau unitário 1 modo/ 1 atuador posição ótima-----------------122
Figura 6.48 Força de controle devido a excitação degrau unitário 1 modo/1 atuador posição
ótima ------------------------------------------------------------------------------------------------------123
Figura 6.49 Malha aberta/fechada excitação degrau unitário 1 modo/1 atuador posição não
ótima ------------------------------------------------------------------------------------------------------123
Figura 6.50 FRF excitação degrau unitário 1 modo/ 1 atuador posição não ótima------------124
Figura 6.51 Força de controle devido a excitação degrau unitário 1 modo/1 atuador posição
não ótima-------------------------------------------------------------------------------------------------124
Figura 6.52 Malha aberta/fechada excitação impulso unit. 1 modo/1 atuador posição ótima126
Figura 6.53 FRF excitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição ótima ----------------126
Figura 6.54 Força de controle devido a excitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição
ótima ------------------------------------------------------------------------------------------------------127
Figura 6.55 Malha aberta/fechada impulso degrau unitário 1 modo/1 atuador posição não
ótima ------------------------------------------------------------------------------------------------------127
Figura 6.56 FRF excitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição não ótima-----------128
xvi
Figura 6.57 Força de controle devido aexcitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição
não ótima-------------------------------------------------------------------------------------------------128
Figura 6.58 Malha aberta/fechada excitação harmônica unitário 1 modo/ 1 atuador posição
ótima ------------------------------------------------------------------------------------------------------130
Figura 6.59 FRF excitação harmônica unitário 1 modo/1 atuador posição ótima -------------130
Figura 6.60 Força de controle devido a excitação harmônica unitário 1 mdo/1 atudor posição
ótima ------------------------------------------------------------------------------------------------------131
Figura 6.61 Malha aberta/fechada harmônica unitário 1 mdo/1 atuador posição não ótima-131
Figura 6.62 FRF excitação harmônica unitário 1 mdo/1 atuador posição não ótima----------132
Figura 6.63 Força de controle devido a excitação harmônica unitário 1 modo/1atuador posição
não ótima-------------------------------------------------------------------------------------------------132
Figura 6.64 Elementos da viga de controle simulada----------------------------------------------133
Figura 6.65 Malha ab./fechada excitação degrau unitário 2 modo/ 1 atuador posição ótima 134
Figura 6.66 FRF excitação degrau unitário 2 modo/1 atuador posição ótima------------------134
Figura 6.67 Força de controle devido a excitação degrau unitário2 modo/1 atuador posição
ótima ------------------------------------------------------------------------------------------------------135
Figura 6.68 Malha aberta/fechada degrau unitário 2 modo/1 atuador posição não ótima----135
Figura 6.69 FRF excitação degrau unitário 2 modo/1 atuador posição não ótima-------------136
Figura 6.70 Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modo/1 atuador posição
não ótima-------------------------------------------------------------------------------------------------136
Figura 6.71 Elementos da viga de controle simulada----------------------------------------------137
Figura 6.72 Malha aberta/fechada excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores posição não
ótima -----------------------------------------------------------------------------------------------------138
Figura 6.73 FRF excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores posição ótima--------------138
Figura 6.74 Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores para o
primeiro atuador na posição ótima -------------------------------------------------------------------139
Figura 6.75 Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modos/2atuadores para o
segundo atuador posição não ótima ------------------------------------------------------------------139
Figura 6.76 Malha aberta/fechada impulso unitário 2 modos/2 atuadores posição não ótima140
Figura 6.77 FRF excitação degrau unitário 2 modos/2atuadores posição não ótima----------140
Figura 6.78 Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores para
primeiro atuador piezelétrico posição não ótima ---------------------------------------------------141
Figura 6.79 Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores para o
segundo atuador piezelétrico posição não ótima ---------------------------------------------------141
xvii
Figura 6.80 Elementos da viga de controle simulada----------------------------------------------142
Figura 6.81 Malha/fechada excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores posição ótima -143
Figura 6.82 FRF excitação degrau unitário 3 modos/atuadores posição ótima ----------------143
Figura 6.83 Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3atuadores para o
primeiro atuador na posição ótima -------------------------------------------------------------------144
Figura 6.84 Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3atuadores para o
segundo atuador na posição ótima--------------------------------------------------------------------144
Figura 6.85 Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
terceiro atuador na posição ótima---------------------------------------------------------------------145
Figura 6.86 Malha aberta/fechada degrau unitário 3 modos/3 atuadores posição não ótima 145
Figura 6.87 FRF excitação degrau unitário 3 modos/3atuadores posição não ótima----------146
Figura 6.88 Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
primeiro atuador piezelétrico posição não ótima ---------------------------------------------------146
Figura 6.89 Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
segundo atuador piezelétrico posição não ótima ---------------------------------------------------147
Figura 6.90 Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
terceiro atuador piezelétrico posição não ótima ----------------------------------------------------147
xviii
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 Dados da viga biapoida---------------------------------------------------------------------18
Tabela 5.1 Propriedades geométricas e materiais da viga simulada-------------------------------61
Tabela 5.2 Frequências adimensionais Timoshenko para uma viga biapoiada ------------------63
Tabela 5.3 Desvios relativos das frequências adimensionais para uma viga biapoiada --------63
Tabela 5.4 Resultados para uma viga biapoiada simulada com 50 elementos -------------------64
Tabela 5.5 Frequências adimensionais Timoshenko para uma viga livre-livre------------------65
Tabela 5.6 Desvios relativos das frequências adimensionais para uma viga livre-livre --------65
Tabela 5.7 Resultados para uma viga livre-livre simulada com 50 elementos-------------------66
Tabela 5.8 Frequências adimensionais Timoshenko para uma viga engastada-engastada -----67
Tabela 5.9 Desvios relativos das frequências adimensionais da viga engastada-engastada----67
Tabela 5.10 Resultados para uma viga engastada-engastada simulada com 50 elementos-----68
Tabela 5.11 Frequências adimensionais Timoshenko para uma viga em balanço---------------69
Tabela 5.12 Desvios relativos das frequências adimensionais para uma vigaem balanço------69
Tabela 5.13 Resultados para uma viga em balanço simulada com 50 elementos----------------70
Tabela 5.14 Propriedades e dimensões do elemento piezelétricocaso 1 --------------------------71
Tabela 5.15 Propriedades geométricas e materiais da viga simulada caso 1 ---------------------72
Tabela 5.16 Frequências e desvios relativos encontrados para o caso 1 viga uniforme --------72
Tabela 5.17 Frequência e desvios relativos encontrados para o caso 1 viga com pzt-----------73
Tabela 5.18 Propriedades geométricas e materiais da viga simulada 2 com elementos
piezelétricos------------------------------------------------------------------------------------------------75
Tabela 5.19 Propriedades geométricas e materiais da viga simulada 2 com elementos
piezelétricos------------------------------------------------------------------------------------------------75
Tabela 5.20 Desvios encontrados em relação a frequência analítica para o caso 2--------------76
Tabela 6.1 Propriedades e dimensões do elemento piezelétrico -----------------------------------79
xix
Tabela 6.2 Posição ótima do primeiro modo de uma viga biapoiada------------------------------80
Tabela 6.3 Posição ótima do segundo modo de uma viga biapoiada------------------------------81
Tabela 6.4 Posição ótima do primeiro modo da viga biapoiada com e sem atuadores----------83
Tabela 6.5 Posição ótima do primeiro modo de uma viga biapoiada com e sem atuadores----85
Tabela 6.6 Posição ótima do primeiro modo de uma viga biapoiada com dois atuadores------86
Tabela 6.7 Posição ótima do segundo modo de uma viga biapoiada com dois atuadores------87
Tabela 6.8 Posição ótima do primeiro/segundo modo viga biapoiada ----------------------------88
Tabela 6.9 Posição ótima do primeiro/segundo/terceiro modo de uma viga em balanço-------89
Tabela 6.10 Posição ótima para o primeiro modo de uma viga em balanço----------------------90
Tabela 6.11 Posição ótima do segundo modo de uma viga em balanço --------------------------91
Tabela 6.12 Posiçao ótima do primeiro modo de uma viga em balanço com e sem atuadores93
Tabela 6.13 Posição ótima do segundo modo de uma viga em balanço com e sem atuadores 95
Tabela 6.14 Posição ótima do primeiro modo de uma viga em balanço com dois atuadores--97
Tabela 6.15 Posição ótima do segundo modo de uma viga em balanço com dois atuadores --98
Tabela 6.16 Posição ótima do primeiro/segundo modo de uma viga em balanço---------------98
Tabela 6.17 Posição ótima do primeiro/segundo/terceiro modo de uma viga em balanço-----99
Tabela 6.18 Posição ótima do primeiro/segundo/terceiro modo de uma viga em balanço com e
sem atuadores--------------------------------------------------------------------------------------------102
Tabela 6.19 Posição ótima para o primeiro modo de uma viga bi-engastada ------------------103
Tabela 6.20 Posição para o primeiro/segundo modo de uma viga bi-engastada---------------104
Tabela 6.21 Posição ótima do primeiro/segundo/terceiro modo de uma viga bi-engastada com
e sem atuadores------------------------------------------------------------------------------------------110
Tabela 6.22 Posição ótima do segundo modo de uma viga livre-livre --------------------------111
Tabela 6.23 Posição ótima do segundo modo de uma viga livre-livre com e sem atuadores 115
Tabela 6.24 Posição ótima do primeiro modo de uma viga engastada-apoiada----------------116
Tabela 6.25 Posição ótima do segundo modo de uma viga engastada-apoiada com e sem
atuadores -------------------------------------------------------------------------------------------------120
xx
Simbologia
Letras Latinas
A Área m
2
[a]
e
Matriz de mudança de coordenadas locais para globais
[A] Matriz dinâmica do sistema
Β
33
Impermeabilidade elétrica m/F
[B] Matriz de controle
[B
u
] Derivada da função de forma
[B
w
] Derivada da função de forma
b Largura m
[c
E
] Matriz de elasticidade para campo elétrico constantes N/m
2
C Constantes de integração
[c]
e
Matriz de amortecimento dos elementos N.s/m
[d] Matriz de constantes de deformações piezelétricas m/V
{D} Vetor deslocamento elétrico C/m
2
[C] Matriz de amortecimento nas coordenadas globais N.s/m
D
3
Carga elétrica por unidade de área C/m
2
d
31
Coeficiente piezelétrico indireto m/V
xxi
e
31
Constante de carga piezelétrico C/m
2
{E} Vetor campo elétrico V/m
f
i
(x,t) Força N
F Força externa N
{f
i
} Vetor de força externa N
{f
s
} Vetor de força externa pontual N
{f} Vetor de força externa de superfície N
G Módulo de elasticidade transversal N/m
2
[G] Matriz de ganho
H(.) Função de Heaviside
h Espessura m
h
31
Constante que relaciona a tensão de circuito aberto, dado uma
entrada de tensão
C/Fm
s
r
h
Distância da linha neutra da viga ao plano médio do sensor m
I Momento de inércia de área m
4
K
d
Constante dielétrica do material F/m
[K] Matriz de rigidez global N/m
[K
1
] Matriz de rigidez particionada N/m
[K
2
] Matriz de rigidez particionada N/m
[K
3
] Matriz de rigidez particionada N/m
[K
4
] Matriz de rigidez particionada N/m
φ
q
K
Matriz de rigidez cruzada piezelétrica e estrutural N/m
q
K
φ
Matriz de rigidez cruzada piezelétrica e estrutural N/m
[k]
e
Matriz de rigidez dos elementos N/m
[K
qq
] Matriz de rigidez estrutural N/m
[
φφ
K ]
Matriz de rigidez dielétrica N/m
L Comprimento m
m Momento induzido N.m
M Momento fletor N.m
[M] Matriz de massa kg
[m]
e
Matriz de massa dos elementos kg
[M
qq
] Matriz de massa estrutural kg
[M] Matriz de massa nas coordenadas globais kg
xxii
[M
1
] Matriz de massa nas coordenadas globais particionada kg
[M
2
] Matriz de massa nas coordenadas globais particionada kg
[M
3
] Matriz de massa nas coordenadas globais particionada kg
[M
4
] Matriz de massa nas coordenadas globais particionada kg
M Momento fletor N.m
[N
i
(x)] Matriz de funções de forma
[N] Matriz de valores singulares
q Coordenada generalizada
{q} Vetor de deslocamento m
{q
s
} Vetor carga elétrica do elemento C
{Q
s
} Vetor carga elétrica global C
[R] Matriz de ponderação
[S
r
] Matriz de Ricatti
T Energia Cinética J
T(x) Transformação de coordenadas
t Tempo s
u Deslocamento linear m
U Energia Potencial total J
{u} Vetor de controle
{v} Vetor de controle N
V Esforço cortante N
x Coordenada cartesiana
y Coordenada cartesiana
Y Módulo de Young N/m
2
w Deslocamento linear m
z Coordenada cartesiana
1,2,3 Referencial do elemento piezelétrico aos eixos 1,2,3
xxiii
Letras Gregas
β Freqüência natural adimensional
δ Variação
δ(x) Delta de Dirac
δ
ij
Delta de Kronecker
∆ Dilatação piezelétrica
ε
Deformação
{ε} Tensor deformação
θ Deslocamento angular rad
κ Coeficiente de cisalhamento
[Λ] Matriz diagonal de frequências
ν Coeficiente de Poisson
µ Raio de curvatura m
ξ
Constante de permissividade no vácuo F/m
[
ξ
ε
]
Tensor de constantes piezelétricas para deformação constantes F/m
[
ξ
σ
]-
Matriz de constantes piezelétricas para tensão mecânica constante F/m
ρ Densidade de massa ou massa específica kg/m
3
σ
Tensão normal N/m
2
σ
i
Valores singulares
φ
Potencial elétrico através dos eletrodos dos elementos
piezelétricos
V
{
}
φ
Vetor de potencial elétrico dos elementos piezelétricos V
χ
Matriz de modos modal
χ Modos de vibrar
ψ Deslocamento angular rad
Ω Volume m
3
ω Freqüência circular natural rad/s
τ Tempo s
η Coordenada modal no tempo
xxiv
Sobrescritos
T Transposta de uma matriz ou vetor
s Sensor
a Atuador
´ Primeira derivada espacial
´´ Segunda derivada espacial
˙ Primeira derivada temporal
˙˙ Segunda derivada temporal
Subscritos
Df Deformação flexional
d Deformação piezelétrica
elp Números de elementos piezelétricos
pe Relativo ao material piezelétrico
st Relativo à estrutura
x Direção do eixo coordenado
y Direção do eixo coordenado
z Direção do eixo coordenado
i Índice
e Elemento
u Coordenada linear
w Coordenada linear
θ Coordenada angular
xxv
Abreviaturas
ASAC Active Structural Acoustic Control
AVC Active Vibration Control
PVDF Fluorido de poliviniledo
PZT Titanato zirconato de chumbo
IMSC Independent modal space control
SVD Singular value decomposition
Siglas
IEM Instituto de Engenharia Mecânica
UNIFEI Universidade Federal de Itajubá
1
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Uma das tecnologias que vem sendo investigada para o controle ativo de vibrações em
estruturas flexíveis é a do uso de elementos piezelétricos, atuadores e sensores piezelétricos,
distribuídos ao longo da estrutura. De acordo com Crawley e De Luis (1987), Lee e Moon
(1990) e Lima Jr. (1999), os atuadores piezelétricos são usualmente feitos com materiais
cerâmicos enquanto que os sensores são feitos de polímeros. Dentre os estudos importantes
para viabilizar essa tecnologia, destaca-se o estudo do posicionamento de sensores e atuadores
piezelétricos tendo em vista a minimização do esforço e a estabilidade do sistema controlado.
De maneira geral, as técnicas de posicionamento são baseadas no grau de
controlabilidade e observabilidade do sistema, como por exemplo, a avaliação dos valores
singulares e autovalores das matrizes grammianas de controlabilidade e observabilidade
(Wang,2001).
1.1 REVISÃO DA LITERATURA
O controle ativo de vibrações é hoje uma realidade, pois os resultados obtidos são
efetivamente melhores que os do controle passivo (Clark et al., 1993). O controle ativo de
2
vibrações utilizando-se de materiais piezelétricos tem recebido muita atenção por parte dos
pesquisadores, isso porque os materiais piezelétricos são leves, resistentes e podem funcionar
como atuadores e sensores devido ao fato de apresentarem a propriedade da piezeletricidade
(Wang e Wang, 2001). Essa propriedade permite a conversão de energia mecânica em elétrica
e vice-versa (Tzou e Fu, 1994). O efeito direto da piezeletricidade foi descoberto pelos irmãos
Curie, em 1880, e o efeito inverso da piezeletricidade foi teoricamente previstos por Lippman,
com base em princípios termodinâmicos (Lima Jr., 1999) e (Rao e Sunnar, 1994). Seu uso em
aplicações de controle é relativamente recente, Bailey e Hubbard, (1985), Crawley e De Luis
(1987) e Moreira (1998). Uma explicação para esse fato seria a espera pela síntese e o
desenvolvimento de novos materiais piezelétricos que pudessem ser aplicados a essa
finalidade. Lima Jr. (1999) relata que esses desenvolvimentos, bem como sobre a base da
piezeletricidade, podem ser encontrados em Cady (1946). O efeito direto da piezeletricidade
consiste no desenvolvimento de um campo elétrico quando sujeitos a uma força ou pressão e
o efeito inverso apresenta uma deformação, quando sujeitos a um campo elétrico.
Atualmente, sistemas de estruturas flexíveis integrando estruturas, sensores, atuadores e
controladores são conhecidos como estruturas inteligentes de acordo com Lima Jr, (1999).
Entre os materiais que apresentam a propriedade da piezeletricidade tem-se as cerâmicas, PZT
(Titanato Zirconato de Chumbo) e os filmes plásticos, PVDF (Fluorido de Polivinilideno). As
cerâmicas possuem alta rigidez, portanto sendo mais aplicadas como atuadores, enquanto que
os polímeros são mais maleáveis e podem ser produzidos em formas geométricas complexas,
sendo por essa razão utilizados como sensores (Lee e Moon, 1990). Descobertos por Jaffet
em 1954, (Clark et al., 1993), os elementos piezelétricos são constituídos principalmente de
óxidos de chumbo, zircônio e titânio, e na sua fabricação, é aplicado um grande campo de
coerção que polariza a cerâmica, alinhando suas moléculas polarizadas na direção do campo
elétrico, propiciando assim as desejadas propriedades piezelétricas. Já o PVDF, cujas
propriedades piezelétricas foram descobertas por Kawai após 1960, é um polímero
piezelétrico robusto e maleável citado por Lima Jr. (1999).
O controle ativo de vibrações mecânicas usando a tecnologia de estruturas inteligentes
tem aplicações em muitas áreas, desde ótica ativa até fuselagem de aviões. Os atuadores
piezelétricos de cerâmicas são empregados também no controle acústico em estruturas ativas,
com a finalidade de reduzir o ruído de compartimentos e no controle ativo de vibrações
3
mecânicas, (Lee e Elliot, 2000) e (Li et al., 2002), isto se deve ao fato do desempenho desta
tecnologia ser superior ao tradicional controle passivo de vibrações mecânicas.
De acordo com Frecker (2003), o projeto de estruturas inteligentes tem cinco áreas
(posicionamento dos elementos piezelétricos, posicionamento mais o controlador, eletrônicos,
estrutura e a interface estrutura elemento piezelétrico), entretanto para efeito didático pode
ser dividido em três áreas, ou seja:
• Posicionamento de elementos piezelétricos, sensor e atuador;
• Modelagem de estruturas inteligentes e
• Projeto do controlador e eletrônica
1.1.1 Posicionamento de elementos piezelétricos
O estudo de posicionamento de sensores e atuadores piezelétricos é parte fundamental
em um bom projeto de estruturas inteligentes. O mau posicionamento de sensores e atuadores
sobre uma estrutura, na qual se deseja controlar ativamente as vibrações mecânicas, provoca a
perda da observabilidade e controlabilidade do sistema (Costa e Silva e Arruda, 1997). O
estudo de posicionamento de atuadores e sensores piezelétricos é um processo de otimização
desses componentes sobre uma estrutura flexível. O posicionamento ótimo visa também à
melhoria da capacidade de sensoriamento e atuação do sistema (Abreu et al, 2005).
O problema do posicionamento ótimo de sensores e atuadores, em estruturas flexíveis,
vem sendo estudado em duas linhas de pesquisas: Técnicas de posicionamento que visam
desenvolver a função que maximiza ou, dependendo da configuração adotada, minimiza a
função do sistema, chamadas de técnicas heurísticas, e as técnicas de posicionamento diretas,
entre as quais, as medidas de observabilidade e controlabilidade do sistema, obtidas através
dos autovalores das matrizes grammianas de obervabilidade e controlabilidade. Os
pesquisadores Padula e Kincaid (1999) fazem um exame dessas técnicas de acordo com o tipo
de aplicação e os métodos de otimizações empregados. Outras técnicas diretas possíveis são:
maximização da energia de dissipação e a maximização da energia de deformação, descritas
no trabalho de Friswell (2000). Dentre os estudos para viabilizar esta técnica, destaca-se a
otimização do posicionamento de sensores e atuadores piezelétricos tendo em vista a
4
estabilidade e o desempenho do sistema controlado conforme (Costa e Silva e Arruda, 1997) e
(Giovannetti, 2001).
Devido ao alto custo de soluções de grandes problemas de programação inteira, é
preferível considerar técnicas heurísticas de solução de posicionamento, as quais levam a
soluções de bom posicionamento com relativo baixo custo computacional. A desvantagem
dessas técnicas é que elas podem não levar a um mínimo ou máximo global e sim a um
mínimo ou máximo local, situação descrita por Chen et al. (1997). Com o mérito de robustez
e alta eficiência no tratamento de problemas com complexos multi-modelos e não-lineares, os
algoritmos genéticos têm sido reconhecidos por muitos pesquisadores como uma promissora
ferramenta no campo do controle ativo de vibrações mecânicas e no controle dos níveis de
ruídos, Simpson e Hansen (1996), Han e Jae-Jung (1999) e Silva et al. (2004) investigaram a
posição ótima de atuadores e sensores piezelétricos em placas compósitas, usando algoritmos
genéticos, mostrando experimentalmente a redução da vibração. O trabalho de Li et al.
(2003), também faz um estudo de posicionamento de atuadores piezelétricos empregados no
controle acústico em estruturas flexíveis, utilizando-se de um método de otimização através
de algoritmos genéticos. O desempenho da configuração otimizada obtida é satisfatório para
controlar freqüências na faixa de 100 Hz a 500 Hz em uma estrutura flexível.
Dada a importância da otimização do posicionamento de atuadores piezelétricos, grande
numero de pesquisadores tem dedicado esforços nessa área. Por exemplo, Gawronski (1997)
estuda o posicionamento de sensores e atuadores piezelétricos usando os modos de vibrar, a
observabilidade e controlabilidade modal. No trabalho de Moheimani (1999) a medida de
controlabilidade modal e espacial foi usada para encontrar o posicionamento ótimo de
sensores e atuadores piezelétricos. Nos trabalhos de: Oliveira e Lima Jr. (2005), Oliveira e
Lima Jr. (2004 a), Oliveira e Lima Jr. (2004 b), Oliveira e Lima Jr. (2003 a), Oliveira e Lima
Jr. (2003 b) e Oliveira e Lima Jr. (2003 c), faz simulações numéricas, através do método de
elementos finitos, considerando-se atuadores piezelétricos que aplicam momento ou força na
estrutura flexível, dependendo do qual grau de liberdade, angular ou linear, que a matriz de
controle se relaciona. As simulações são realizadas em estruturas dos tipos vigas e placas, em
diversas condições de contornos.
5
Outros estudos de posicionamento de atuadores e sensores piezelétricos estão nos
trabalhos de Friswell (2000), Wang e Wang (2001) e Oliveira e Lima Jr. (2003 a) onde os
autores propõem a decomposição em valores singulares da matriz de controle. Nesse método
a energia de ativação é minimizada, de maneira a obter um índice que quantifica as posições
onde a energia fornecida pelo controlador aos atuadores é mínima para excitar um
determinado modo. O trabalho de Wang e Wang (2001) visa a otimização do posicionamento
de atuadores e sensores tendo em vista a estabilidade e o desempenho do controlador. Nesse
trabalho, considera-se como medida ideal para manusear e verificar o grau de controlabilidade
e observabilidade do sistema os autovalores ou valores singulares das matrizes grammianas.
Para finalizar este tópico, cita-se o trabalho de Frecker (2003), onde é feita uma revisão
dos trabalhos referentes ao desenvolvimento de metodologias e métodos de otimização
aplicados aos projetos de estruturas inteligentes. Nessa revisão são citados diversos trabalhos
de outros pesquisadores como o de Adali et al. (2000), que considera uma viga onde a
máxima deflexão vertical é minimizada usando um par de atuadores e tomando-se à distância
entre eles uma variável de projeto. Outros trabalhos são os de Aldraihen et al. (2000) que
maximiza a controlabilidade ponderada de uma viga bi-apoiada e uma viga em balanço. O
trabalho de Barboni et al. (2000) consideram uma viga vibrando, onde o objetivo é maximizar
o deslocamento gerado por um par de atuadores e o trabalho de Bruant et al. (2001) otimiza o
posicionamento de sensores através da maximização do grammiano da matriz de
observabilidade e o posicionamento de atuadores através da minimização da energia
mecânica.
1.1.2 Modelagem de Estruturas Inteligentes
Neste item tem-se o trabalho de Craig (1981) que descreve os modelos de vigas
elásticas, segundo a teoria de Euler-Bernoulli e a teoria de Timoshenko que considera a
inércia de rotação e o efeito de cisalhamento; entretanto destaca-se o trabalho de Crawley e
De Luis (1987) que estudaram a modelagem unidimensional de elementos piezelétricos
incorporados ao corpo de vigas e formularam os momentos gerados por uma voltagem
aplicada aos elementos piezelétricos e Banks et al. (1995) que introduziram o efeito dos
atuadores piezelétricos nos modelos de placa e viga.
6
Um modelo analítico de viga de Timoshenko foi apresentado por Yang e Lee (1994),
considerarando a influência de elementos piezelétricos incorporados na estrutura suporte nos
parâmetros modais. Charette et al. (1997) apresentaram um modelo analítico e um estudo
experimental para as respostas de placas com elementos piezelétricos incorporados. A
formulação usada nesse trabalho é baseada nas equações de energia que permitem considerar
qualquer condição de contorno nas bordas da placa e levando em consideração o efeito
dinâmico da massa e rigidez dos elementos piezelétricos na resposta da placa. No trabalho de
Maxwell e Asokanthan (2002) faz-se uma modelagem usando a teoria de viga de Timoshenko
com elementos piezelétricos colados na estrutura. As freqüências naturais e os modos de
vibrar associados com movimento flexível são computados para vários arranjos de elementos
piezelétricos distribuídos sobre a estrutura suporte. Os efeitos dos arranjos sobre as
características modais são demonstrados usando como exemplo uma viga em balanço,
considerando-se somente propriedades passivas dos elementos piezelétricos e adesões
perfeitas destes com a estrutura suporte.
As equações diferenciais da piezeletricidade são complexas e, portanto soluções
analíticas são difíceis de serem obtidas. Desta maneira, técnicas de aproximação devem ser
empregadas para resolver essas equações. Entre elas, o método de elementos finitos é um dos
melhores procedimentos disponíveis para analisar estruturas complexas (Craig Jr., 1981),
sendo largamente utilizado como ferramenta de projeto e análise (Bathe, 1996). Um dos
primeiros trabalhos, empregando o método de elementos finitos, foi apresentado por Allik e
Hughes (1970), que propuseram um método geral de análise estático e dinâmico de estruturas
piezelétricas. No trabalho de Tseng (1989) foi empregado elemento hexaedro isoparamétrico
não-conforme, tendo oito nós e três graus de liberdade. Hwang e Park (1993) apresentaram
uma formulação, por elementos finitos, para o caso de uma placa laminada com sensores e
atuadores piezelétricos, apresentando modelos estáticos e dinâmicos aplicados no controle
ativo da estrutura e obtendo as equações de movimento usando a teoria clássica de placa,
modelo de Kirchhoff, e o elemento quadrilateral de quatro nós. Abrate (1998) usou uma
formulação clássica em elementos finitos para analisar as vibrações livres de uma placa
ortotrópica retangular. Os modelos de placa de Kirchhoff e Mindlin-Reissner foram estudados
no trabalho de Bathe (1996) que desenvolveu vários elementos finitos. Entretanto, Lima Jr. e
Arruda (1997) e Lima Jr. (1999) desenvolveram um programa computacional para a aplicação
do elemento trilinear de oito nós em estruturas com elementos piezelétricos incorporados. O
7
desenvolvimento da ciência da computação aliados à implementação de algoritmos robustos
da álgebra linear permitiu a rápida difusão da técnica de elementos finitos. Quando um corpo
flexível é modelado utilizando-se o método de elementos finitos, as matrizes de massa e
rigidez modais das equações de movimento conduzem a um grande número de equações
desacopladas de um grau de liberdade, o que não é mais problema em face deste
desenvolvimento dos recursos computacionais, (Ambrosio, 1992). Lima Jr. (1999) apresenta
uma metodologia para modelagem analítica e numérica de estruturas, com elementos
piezelétricos incorporados, obtendo modelos analíticos de Placa de Kirchhoff e Mindlin –
Reissner e de viga de Euler – Bernoulli e Timoshenko, a partir das equações de movimento de
casca, com a aplicação dos postulados de Love e da escolha apropriada dos raios de curvatura
e dos parâmetros de Lamé. Considerando-se que os atuadores são de materiais anisotrópicos o
trabalho de Cesnik C. e Ortega M. (2001) fazem análise de vigas compósitas com atuadores
anisotrópicos.
1.1.3 Projeto do Controlador
O projeto do controlador é a parte final em um projeto de estrutura inteligente. O
controlador deve ser estável e robusto o suficiente para responder de modo adequado a uma
excitação na estrutura a qual se deseja controlar ativamente as vibrações mecânicas (Silva et
al., 2004).
No trabalho de Lee e Elliot (2000), duas estratégias de controle são abordadas. A
primeira envolve o controlador PID convencional na qual o ganho de realimentação é ajustado
para dar uma resposta rápida, em malha fechada, a uma dada excitação de entrada. A segunda
estratégia de controle é baseada na arquitetura do modelo de controle interna. A
implementação prática desse trabalho utilizou um processador digital de trinta e dois bits com
ponto flutuante, e as medições de desempenho de malha fechada foram comparadas com o
modelo teórico previsto.
As estruturas inteligentes são expostas a flutuações de temperaturas e mudanças na
geometria. Estes efeitos causam variações da dinâmica que conduz a degradações no
desempenho do controlador utilizado. Pai et al. (1998) investigaram o controle de saturação
8
não-linear, o controle de ressonância interna não-linear e o controle de realimentação da
posição linear, para o caso de excitações pseudo-estático e de vibrações transientes em uma
viga em balanço, usando cerâmicas de elementos piezelétricos como atuadores e sensores. A
ferramenta de desenvolvimento utilizada foi o software de modelagem simulink e o
controlador dSPACE DS1102 . O controlador híbrido constituído de um controlador de
saturação e um controlador de realimentação de posição mostrou-se robusto e eficiente para
controlar tanto excitações transientes como periódicas. Moreira (1998), Abreu e Ribeiro
(2003) e Abreu (2003) projetaram e avaliaram o desempenho de um controlador H∞, para
suprimir as vibrações mecânicas em uma viga em balanço. O controlador H∞ garante um alto
nível de rejeição a perturbações externas, portanto um bom desempenho e robustez.
Entre os controladores ótimos, destaca-se o regulador quadrático linear (LQR). A
desvantagem desse tipo de controlador é que ele pressupõe que todos estados do sistema são
medidos, o que nem sempre ocorre. O trabalho de Balamurugan e Narayanan (2002) usa um
controlador ótimo quadrático linear e investiga o desempenho deste tipo de controlador no
controle de vibração em vigas.
1.2 MOTIVACÃO DO TRABALHO
A necessidade de desenvolver este trabalho decorre do fato de que o controle ativo de
vibração e ruído está se tornando uma ferramenta importante na melhoria e desenvolvimento
de novos equipamentos. Os requisitos governamentais cada vez mais rigorosos e
consumidores exigentes no controle dos níveis de vibração e ruídos dos equipamentos, aliados
a materiais cada vez mais leves e de excelente desempenho estrutural, estão impondo de
forma contundente o desenvolvimento de novas tecnologias. Nesse cenário, o controle ativo
de vibração e ruído se apresenta com uma alternativa viável e necessária a esse
desenvolvimento.
Dentro desse contexto, o posicionamento é parte fundamental e integral em um bom
projeto de controle ativo de vibrações de estruturas flexíveis, sob pena de inviabilizar o
mesmo sob o ponto de vista econômico.
9
1.3 OBJETIVOS DA TESE
Realizar um estudo teórico sobre uma técnica de posicionamentos de elementos
piezelétricos, em estruturas flexíveis, usando medidas de controlabilidade modal e espacial.
Implementar um código computacional que permita posicionar elementos piezelétricos
em estrutura do tipo viga, segundo a técnica proposta.
1.4 CONTEÚDO
O trabalho está distribuído nos capítulos que seguem da seguinte forma:
No capítulo 1 faz-se um levantamento bibliográfico do tema, dividindo-se o assunto em
três áreas, posicionamento de elementos piezelétricos, modelagem de estruturas inteligentes e
o projeto do controlador. Desta forma o assunto pode ser mais bem explorado no ponto de
vista didático.
A modelagem de vigas com atuadores e sensores incorporados a partir do modelo de
viga Euler-Bernoulli é feita no capítulo 2. Deduzem-se as equações dinâmicas a partir da
teoria da elasticidade e da segunda lei de Newton. É feita também a dedução da equação do
sensor.
O capítulo 3 faz-se a formulação da técnica de elementos finitos para problemas de
piezeletricidade e a descrição da técnica de elementos finitos utilizada, descrevendo-se as
funções de interpolações e as matrizes de massa e rigidez. Também é feita a descrição das
matrizes de rigidez, devido ao efeito da piezeletricidade, a partir do principio de Hamilton.
No capítulo 4 trata da descrição do posicionamento de elementos piezelétricos em
estruturas flexíveis, descrevendo a técnica de posicionamento utilizada e o programa
10
computacional desenvolvido. São mostrando detalhes do comportamento do espaço de
controlabilidade, a sua equivalência entre a matriz grammiana e a matriz de controle e os seus
fluxogramas e algoritmos.
No capítulo 5 faz-se a validação dos modelos em elementos finitos empregados, através
da comparação dos seus resultados com os dos modelos analíticos. Os resultados do programa
desenvolvido são comparados com os resultados encontrados na literatura técnica para
diversas condições de contorno. São feitas simulações com e sem elementos piezelétricos
anexados a estrutura suporte.
No capitulo 6 são mostrados os resultados das simulações da controlabilidade, para um
modo e mais de um modo simultaneamente e para mais de um atuador, em vigas em diversas
condições de contorno. Também são realizados estudos da influência dinâmica dos elementos
piezelétricos nos parâmetros modais na estrutura suporte e a verificação do posicionamento
ótimo, na condição livre e forçada, através da decomposição modal e controle por meio do
controlador clássico LQR, linear quadratic regulator.
No capitulo 7 são dadas as conclusões e recomendações para trabalhos futuros.
Em seguida são apresentadas as referências bibliográficas utilizadas na elaboração deste
trabalho.
No apêndice A é mostrada a teoria dos valores singulares que foi utilizada para se
posicionar elementos piezelétricos em uma estrutura flexível.
No apêndice B é descrito o controle modal utilizado nas simulações do posicionamento.
No apêndice C é deduzida a expressão de cálculo do número de elementos piezelétricos
necessário para controlar um determinado modo.
11
Capítulo 2
MODELAGEM DE VIGAS COM ATUADORES E
SENSORES PIEZELÉTRICOS INCORPORADOS
Neste capítulo, faz-se a dedução das equações dinâmicas de viga obtidas através da
teoria da elasticidade e da segunda Lei de Newton. Em seguida, introduz-se na equação
dinâmica o efeito da presença dos atuadores e sensores piezelétricos de maneira a se obter as
equações que descrevem o comportamento da estrutura com elementos piezelétricos
incorporados.
2.1 MODELAGEM DE VIGAS SEM ELEMENTOS
PIEZELÉTRICOS INCORPORADOS
Do cálculo diferencial, a curvatura de uma curva plana em um dado ponto é:
3
2
2
2
2
1
1
+
=
dx
dw
dx
wd
µ
(2.1)
12
Sendo w o deslocamento transversal e x a variável espacial. Segundo a teoria de viga
desenvolvida por Jacob Bernoulli (1654-1705), a curvatura apresentada pela linha elástica, em
qualquer ponto, é proporcional ao momento fletor naquele ponto (Han et al., 1999).
Nesse modelo a linha elástica tem inclinação muito pequena, de modo que o seu
quadrado pode ser desprezado em face da unidade, então a equação (2.1) reduz-se a:
2
2
1
dx
wd
=
µ
(2.2)
Logo o momento fletor de uma viga em função de uma deslocamento w(x,t) é:
( ) ( )
( )
2
2
2
2
,
)()(,
,,
x
txw
xIxYtxMou
xIxY
txM
x
txw
∂
∂
==
∂
∂
(2.3)
Com: M(x,t) o momento, Y(x) o módulo de elasticidade e I(x) o momento de inércia de
área. Um modelo de vibração flexional em vigas, isto é, considerando-se apenas movimentos
na direção perpendicular ao comprimento da viga, representado por w(x,t), e sujeito a um
carregamento dinâmico, que gera momento fletor e esforço cortante, é mostrado na figura 2.1.
Tomando-se um elemento infinitesimal de comprimento dx a uma posição x da
extremidade direita da viga, e colocando-se os esforços atuantes, de modo que o elemento
esteja em equilíbrio dinâmico, obtém-se a figura 2.2.
Figura 2.1 – Diagrama de equilíbrio de uma viga (Inmam, 1994).
h
b
x
dx
w(x,t)
f(x,t)
z
x
y
L
A(x)
13
Figura 2.2 – Elemento infinitesimal de viga (Inmam, 1994).
Com: V(x,t) o esforço cortante, ρ(x,t) a massa específica e A(x) a área .
Nesse modelo faz-se as seguintes considerações:
- O comprimento da viga é consideravelmente maior que as outras dimensões (L/b≥10,
L/h≥10);
- O material é elástico e linear, isto é, obedece à lei de Hooke;
- O efeito do coeficiente de Poisson é desprezado;
- A seção transversal é simétrica em relação aos eixos coordenados, de modo que a linha
neutra e os eixos dos centróides coincidem;
- O plano perpendicular à linha neutra permanece perpendicular após a deformação, isto é,
não existe cisalhamento;
- Os deslocamentos angulares são pequenos.
Aplicando-se a segunda Lei de Newton no elemento infinitesimal considerado, e
tomando-se apenas forças, tem-se:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
,
,,
,
,
t
txw
dxxAxdxtxftxVdx
x
txV
txV
∂
∂
=+−
∂
∂
+
ρ
(2.4)
Aplicando-se novamente a segunda Lei de Newton agora para o momento agindo no
elemento infinitesimal dx, ao longo do eixo z em torno ponto Q, tem-se:
Q
V(x,t)
dx
w(x,t)
M(x,t)
f(x,t)
( ) ( )
2
2
,
t
txw
dxxAx
∂
∂
ρ
dx
x
txV
txV
∂
∂
+
),(
),(
dx
x
txM
txM
∂
∂
+
),(
),(
x
x+dx
y
x
z
14
( )
( ) ( )
( )
[ ]
0
2
,
,
,,
,
, =+
∂
∂
++−
∂
∂
+
dx
dxtxfdxdx
x
txV
txVtxMdx
x
txM
txM
(2.5)
A equação (2.5) pode ser simplificada para:
( )
0
2
,,
,
,
2
=
+
∂
∂
+
+
∂
∂
dx
txf
x
txV
dxtxV
x
txM
(2.6)
Se
dx
é muito pequeno, então
dx
2
tende à zero, logo a equação (2.6), do momento, pode ser
aproximada para:
( )
x
txM
txV
∂
∂
−=
,
, (2.7)
Substituindo a equação (2.7) na equação (2.4), obtém-se:
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
,
,,
t
txw
dxxAxdxtxfdxtxM
x
∂
∂
=+
∂
∂
−
ρ
(2.8)
Finalmente substituindo a equação (2.3) na equação (2.8) e dividindo-se toda expressão por
dx, tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
( )
txf
x
txw
xIxY
xt
txw
xAx ,
,,
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
ρ
(2.9)
Admitindo-se que a área da seção transversal, o módulo de elasticidade longitudinal, o
momento de inércia de área e a massa específica são constantes, a equação dinâmica
resultante é conhecida como equação de Euler-Bernoulli.
( )
txf
x
txw
YI
t
txw
A ,
,,
4
4
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
ρ
(2.10)
As seguintes condições de contornos para as extremidades da viga são possíveis:
15
0,0:
2
2
==
∂
∂
w
x
w
apoiada (2.11)
0,0:
3
3
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
x
w
x
w
livre (2.12)
0,0: ==
∂
∂
w
x
w
engastada (2.13)
0,0:
3
3
=
∂
∂
=
∂
∂
x
w
x
w
deslizante (2.14)
Utilizando-se das condições de contorno para uma viga apoiada nas extremidades,
definida pela equação (2.11), considerando que a área da seção transversal, o módulo de
elasticidade e o momento de inércia de área são constantes, ao longo da viga, e considerando-
se uma solução usando a separação de variáveis, tal que:
tTxtxw
χ
=,
(2.15)
Tem-se substituindo na equação (2.10):
( )
( )
A
YI
c
tT
tT
x
x
c
iv
ρ
ω
χ
χ
==−=
222
,
&&
(2.16)
A parte temporal da equação (2.16) é:
0)()(
2
=+ tTtT
ω
&&
(2.17)
Tem solução harmônica do tipo:
tBtsenAtT
ωω
cos)(
11
+=
(2.18)
Sendo que as constantes A
1
e B
1
são determinadas pelas condições iniciais.
16
O termo espacial da equação (2.16) torna-se:
( )
xA
dx
xd
YI
χρω
χ
2
4
4
= (2.19)
Definindo-se a variável β como:
YI
A
ρω
β
2
4
= (2.20)
Substituindo a equação (2.20) na equação (2.19), tem-se a seguinte equação correspondente
aos autovalores:
( ) ( )
0
4
4
4
=− xx
dx
d
χβχ
(2.21)
A equação (2.21) tem a seguinte autofunção como solução:
xcoshCxsenhCxcosCxsenCx
ββββχ
4321
+++= (2.22)
2.1.1 Solução Analítica Para Uma Viga Biapoiada
Aplicando-se as condições de contorno da equação (2.11) em x=0 , na equação (2.22),
obtém-se:
42
00 CC +==
χ
(2.23)
42
00 CC +−==
′
′
χ
(2.24)
Estas condições conduzem a C
2
=C
4
=0.
Aplicando-se as mesmas condições de contorno na outra extremidade da viga, x=L,
obtém-se:
17
LsenhCLsenCL
ββχ
31
0 +== (2.25)
LsenhCLsenCL
βββχ
31
2
0 +−==
′′
(2.26)
O fator β
2
na equação (2.26) não pode ser zero, pois neste caso a freqüência seria nula, então o
valor entre parênteses deve ser nulo. Adicionando-se e subtraindo-se as equações (2.25) e
(2.26), produzem-se as relações:
02
3
=LsenhC
β
(2.27)
02
1
=LsenC
β
(2.28)
Considerando-se a condição não trivial (C
3
=0 e C
1
≠0) para as equações (2.27) e (2.28),
obtém-se:
K
,2,1; == iiL
i
πβ
(2.29)
Determinando-se o valor de β na equação (2.29), substituindo na equação (2.20) e resolvendo-
a para o valor de ω, tem-se:
K,2,1,
2
=
= i
A
YI
L
i
i
ρ
π
ω
(2.30)
Então a autofunção se torna:
( )
=
L
xi
senCx
π
χ
1
(2.31)
O valor de
C
1
é obtido através da normalização, de acordo com a equação (2.32):
( )
1
0
2
=
∫
dxxA
L
i
χρ
(2.32)
Portanto:
18
1
2
0
2
1
=
∫
dx
L
xi
AsenC
L
π
ρ
(2.33)
Resolvendo-se a integral encontra-se C
1
:
AL
C
ρ
2
1
= (2.34)
Substituindo-se a equação (2.34) na equação (2.31) tem-se os modos de vibrar para uma
viga biapoiada,
( )
=
L
xi
sen
AL
x
π
ρ
χ
2
(2.35)
os quais são apresentados na forma de gráfico na figura 2.3 com os dados da tabela 2.1
Tabela 2.1 Dados da viga biapoiada
Grandeza Valor Unidade
Comprimento L 1,5 m
Largura b 0,075 m
Altura h 0,075 m
Densidade ρ 7800 kg/m
3
Módulo de Young Y 210x10
9
N/m
2
19
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Modo de vibrar para uma viga biapoiada
Posição (x/L)
χ
(x)
1o. modo de vibrar
2o. modo de vibrar
3o. modo de Vibrar
Figura 2.3 – Modos de vibrar para uma viga apoiada nas extremidades (biapoiada).
2.1.2 Solução Analítica Para Uma Viga em Balanço
Considerando-se novamente a área da seção transversal, o módulo de elasticidade e o
momento de inércia de área constante e impondo-se as condições de contorno apropriadas
para uma viga em balanço, fixa em uma extremidade e livre na outra, descritas pelas equações
(2.12) e (2.13) e substituindo na equação (2.22), encontra-se:
00
42
=+= CC
χ
(2.36)
00
31
=+=
′
CC
χ
(2.37)
Então a equação (2.22) se reduz a:
xxCxsenhxsenCx
ββββχ
coshcos
21
−+−=
(2.38)
Aplicando-se as condições de contorno para x=L, resultam as relações:
0coscos
21
=+++=
′
′
LLCLsenhLsenCL
ββββχ
(2.39)
20
0coshcos
21
=−−+=
′
′
′
LsenhLsenCLLCL
ββββχ
(2.40)
Resolvendo-se para C
2
em função de C
1
e substituindo na equação (2.38), obtém-se:
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
{
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
}
xxLL
xsenhxsenLsenhLsen
LsenhLsen
C
x
ββββ
ββββ
ββ
χ
coshcoscoshcos
)(
1
−++
−−
−
=
(2.41)
Escrevendo-se as equações (2.39) e (2.40) na forma matricial, vem:
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
=
−−+
++
0
0
2
1
C
C
LsenhLsenLcoshLcos
LcoshLcosLsenhLsen
ββββ
ββββ
(2.42)
O determinante da matriz da equação (2.42) deve ser igual a zero para uma solução não
trivial, logo:
{
}
{
}
0
2
=+−+−+ LcoshLcosLsenhLsenLsenhLsen
ββββββ
(2.43)
A equação (2.43) é a equação característica, que simplificando conduz:
1−=LcoshLcos
ββ
(2.44)
As três primeiras raízes da equação (2.44) obtidas numericamente, são:
855,7694,4875,1=L
β
(2.45)
Substituindo esses valores na equação (2.41), com o valor da C
1
dado pela equação
(2.37), fez-se a simulação de uma viga em balanço, com as mesmas características
apresentadas na tabela 2.1, para o primeiro, o segundo e o terceiro modo de vibrar, mostrados
na figura 2.4.
21
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Modo de vibrar para uma viga cantilever (em balanço)
Posição (x/L)
χ
(x)
1o. modo de vibrar
2o. modo de vibrar
3o. modo de Vibrar
Figura 2.4 – Modos de vibrar para uma viga em balanço.
2.2 MODELAGEM DE VIGAS COM ELEMENTOS
PIEZELÉTRICOS INCORPORADOS
Considera-se uma estrutura flexível do tipo viga com atuadores piezelétricos
incorporados que aplicam momentos concentrados, como mostrado na figura 2.5. Utilizando-
se a teoria de Euler-Bernuolli obtém-se a equação do movimento considerando-se o momento
induzido e escrevendo-se o momento de flexão em função do deslocamento transversal
(Dimitriadis et al., 1991):
( )
2
2
4
4
2
2
,
,
,,
x
txm
txf
x
txw
YI
t
txw
A
x
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
ρ
(2.46)
A relação entre deformação e tensão no elemento piezelétrico resultante da aplicação de
um potencial elétrico, conhecido como efeito piezelétrico inverso, é de acordo com Wang
(2001):
pe
a
xpex
h
eY
φ
εσ
31
−= (2.47)
22
Com:
3131
dYe
pe
= (2.48)
Figura 2.5 – Viga com elemento piezelétrico incorporado.
A figura 2.6 mostra o elemento piezelétrico quando é aplicado um potencial elétrico na
direção 3 coincidente com a direção do eixo z da viga da figura 2.5, resultando uma
deformação nas direções 1 e 2.
Figura 2.6 – Relação entre potencial elétrico aplicado e deformação.
Da teoria da elasticidade, a relação entre a tensão de flexão e o momento aplicado é:
1
3
2
+
P
PZT
L
pe
∆L
pe
h
pe
b
pe
_
a
φ
+
∆b
pe
_
23
a
nx
x
I
cm
=
σ
(2.49)
Com: c
n
a distância entre a linha neutra da viga e a linha neutra do atuador piezelétrico.
Então a expressão do momento fletor devido a força axial na superfície da viga é:
( )
a
pe
a
x
x
hh
I
m
+
=
2
1
σ
(2.50)
Usando-se o teorema de eixos paralelos pode-se transferir o momento de inércia de área do
elemento piezelétrico para o eixo x:
( )
2
3
2
1
12
++=
a
pe
a
pepe
a
pepe
a
hhhb
hb
I (2.51)
Como a espessura do piezelétrico é muito pequena em relação a espessura da estrutura,
despreze-se a primeira parcela da equação (2.51) conduzindo a:
( )
2
4
a
pe
a
pepe
a
hh
hb
I +=
(2.52)
Substituindo-se a equação (2.52) na equação (2.50), tem-se:
a
pe
a
pe
a
pexx
hhhbm +=
2
1
σ
(2.53)
Substituindo-se as equações (2.47) e (2.48) na equação (2.53), tem-se:
+
−=
2
31
a
pe
a
pe
a
x
a
pe
a
pe
a
pex
hh
h
dhbYm
φ
ε
(2.54)
A deformação pode ser relacionada com o deslocamento vertical w(x,t), pela equação:
24
2
2
,
2
x
txwh
x
∂
∂
−=
ε
(2.55)
Então:
( )
+
−
∂
∂
−=
2
,
2
31
2
2
a
pe
a
pe
a
a
pe
a
pe
a
pex
hh
h
d
x
txwh
hbYm
φ
(2.56)
Como o atuador piezelétrico não ocupa toda a extensão da viga, usa-se a função de Heaviside
para representar esta condição. A função de Heaviside é definida como:
( )
<
≥
=−
1
1
1
0
1
xx
xx
xxH
(2.57)
Então:
( )
( ) ( )
[ ]
2131
2
2
22
,
2
xxHxxH
hh
hbd
hh
x
txwh
hbYm
a
pe
aa
pe
a
pe
a
pe
a
pe
a
pe
a
pex
−−−
+
−
+
∂
∂
−=
φ
(2.58)
Derivando-se a equação (2.58) duas vezes em relação à x e substituindo-se o resultado na
equação (2.46), resulta:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )
[ ]
2
21
2
31
21
4
4
4
4
2
2
2
,
,
22
,,
x
xxHxxH
hh
hbdYtxf
xxHxxH
x
txw
hh
h
hbY
x
txw
YI
t
txw
A
a
pe
a
pe
aa
pe
a
pe
a
pe
a
pe
a
pe
a
pe
∂
−−−∂
+
−
=−−−
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
φ
ρ
(2.59)
A equação (2.59) representa o comportamento dinâmico de uma viga com elementos
piezelétricos incorporados.
25
2.3 EQUAÇÃO DO SENSOR PIEZELÉTRICO
INCORPORADO EM UMA VIGA
A equação do sensor piezelétrico é proveniente da equação da piezeletricidade e da
relação de tensão e deformação da viga. Considera-se que a espessura do material piezelétrico
é muito menor do que a espessura da viga, então a deformação do sensor piezelétrico é
constante e igual à deformação da superfície da estrutura (Lima Jr., 1999).
A voltagem através dos eletrodos pode ser obtida integrando-se o campo elétrico
através da espessura do sensor piezelétrico:
∫
=−=
s
pe
h
s
pe
s
EhdzE
33
φ
(2.60)
Sendo que:
( )
331
33
3
1
DeE
x
+−=
ε
ξ
σ
(2.61)
com a constante de permissividade dielétrica definida por:
sd
K
ξξ
σ
=
33
(2.62)
Sendo que a
ξ
s
é a constante de permissividade no vácuo é igual a (
8,85x10
-12
F/m
) e
K
d
é a
constante dielétrica do material.
Substituindo-se a equação (2.61) na equação (2.60), tem-se:
s
pex
s
heD
+−=
ε
ξξ
φ
σσ
31
33
3
33
11
(2.63)
Fazendo-se:
σ
ξ
33
31
31
e
h =
(2.64)
26
e substituindo-se a equação (2.64) na equação (2.63), tem-se:
s
pex
s
hhD
+−=
ε
ξ
φ
σ
313
33
1
(2.65)
Resolvendo-se a equação (2.65) em D
3
, tem-se:
−=
s
pe
s
x
h
hD
φ
εξ
σ
31333
(2.66)
Com D
3
sendo definido como carga elétrica por unidade de área (C/m
2
).
Integrando a equação (2.66) ao longo da superfície do eletrodo, tem-se a carga
superficial total.
s
pe
A
s
pe
s
x
A
s
pe
dA
h
hdAD
σ
ξ
φ
ε
33313
∫∫
−= (2.67)
A tensão de circuito aberto pode ser obtida fazendo-se a carga igual a zero, então:
∫∫
−=
A
s
pe
s
pe
s
s
pe
A
x
dA
h
dAh
φ
ε
31
0
(2.68)
Resolvendo-se a equação (2.68), tem-se:
∫ ∫
=
A A
s
pex
s
pe
s
pe
s
dAhdA
h
ε
φ
31
(2.69)
Então:
∫
=
A
s
pex
s
pe
s
pe
s
dAhA
h
ε
φ
31
(2.70)
Explicitando-se a equação (2.70) em função da voltagem no sensor, tem-se:
27
∫
=
A
s
pex
s
pe
s
pe
s
dA
A
hh
εφ
31
(2.71)
Sendo que:
2
2
x
w
h
r
sx
∂
∂
−=
ε
(2.72)
Com h
r
s
igual a distância do plano neutro da viga até o plano neutro relativo ao sensor e h
31
é
a constante que relaciona o potencial elétrico de circuito aberto a uma dada tensão (C/Fm).
Substituindo a equação (2.72) na equação (2.71), tem-se que a equação do sensor é igual
a:
∫
∂
∂
−=
A
s
pe
s
pe
r
s
s
pe
s
dA
x
w
A
hhh
2
2
31
φ
(2.73)
Como pode ser observado na equação (2.73), a integração depende das condições de
contorno e da área efetiva do sensor. Ela mostra que o sinal de saída do sensor é proporcional
à inclinação das extremidades do sensor. Conseqüentemente o sinal do sensor é igual a zero se
as inclinações das extremidades forem iguais. Esse é o caso dos modos anti-simétricos de uma
viga simplesmente apoiada nas extremidades com uma camada de sensor piezelétrico
simetricamente distribuído.
28
Capítulo 3
FORMULAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS PARA
PROBLEMAS DE PIEZELETRICIDADE
Neste capítulo, faz-se a descrição do método de elementos finitos empregado para
solucionar a equação de viga, descrevendo-se a metodologia utilizada para obtenção das
matrizes de massa e rigidez e a transferência de coordenadas do referencial do elemento
local para o global. Também são feitas as inclusões de elementos piezelétricos nas matrizes
de massa e de rigidez, visando-se obter as matrizes globais com estes elementos
incorporados.
29
3.1 FUNDAMENTOS DO MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS EM VIGAS PARA O MODELO TIMOSHENKO
O processo de discretização que tem como objetivo a obtenção das matrizes de massa
e rigidez do sistema e é baseado na aproximação da solução procurada por uma expansão
em série finita:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ){ }
tqxNtqxNtxu
T
i
n
i
i
==
∑
=1
,
(3.1)
Com:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
T
n
xNxNxNxN K
21
=
(3.2)
( ){ }
(
)
( )
( )
=
tq
tq
tq
tq
n
M
2
1
(3.3)
Quanto mais termos forem adicionados à série, melhor a aproximação em relação à
solução procurada.
A função de forma ou interpolação
(
)
xN
i
deve satisfazer as seguintes condições:
- Ser linearmente independente entre si;
- Ser contínua e ter derivada contínua pelo menos até uma ordem abaixo da ordem de
derivação do funcional de energia;
- Satisfazer as condições de contorno geométricas.
As equações de Lagrange para sistemas discretizadas com
n
graus de liberdade,
descritos pelos deslocamentos independentes
q
i
é dada por (Meirovitch, 1986):
30
niQ
q
U
q
T
q
T
dt
d
i
iii
,,2,1 K
&
==
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
(3.4)
Onde, Q
i
é a força generalizada.
Para modelar o campo de deslocamento do elemento de viga, utiliza-se o vetor nodal
da seguinte maneira:
{
}
[
]
T
jjjjiiii
wuwuq
ψθψθ
= (3.5)
Figura 3.1 – Elemento de viga.
O elemento de viga é modelado com seção transversal constante.
O elemento finito utilizado tem dois nós, com quatro graus de liberdade por nó. As
matrizes de elemento tem ordem oito, incluindo quatro deslocamentos lineares e quatro
deslocamentos angulares.
A figura 3.1 mostra a representação gráfica do vetor nodal da viga. Este vetor pode
ser decomposto em dois grupos, segundo as direções y e z respectivamente:
{
}
[
]
T
jjiiu
uuq
ψψ
= (3.6)
L
u
i
θ
i
y
u
j
θ
j
x
z
w
i
ψ
i
w
j
ψ
j
a
φ
31
{
}
[
]
T
jjiiw
wwq
θθ
= (3.7)
As funções de interpolação que satisfazem as condições geométricas de contorno para
o modelo adotado são as seguintes:
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
[
]
T
xNxNxN
21
=
(3.8)
Onde:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
T
xlxlxlxlxN
43211
= (3.9)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
T
xlxlxlxlxN
87652
=
(3.10)
Com as funções de interpolação iguais a:
( )
3
3
2
2
1
23
1
L
x
L
x
xl +−=
(3.11)
( )
2
32
2
2
L
x
L
x
xxl −+−=
(3.12)
( )
3
3
2
2
3
23
L
x
L
x
xl −=
(3.13)
( )
2
32
4
L
x
L
x
xl −=
(3.14)
( )
3
3
2
2
5
23
1
L
x
L
x
xl +−=
(3.15)
32
( )
2
32
6
2
L
x
L
x
xxl +−= (3.16)
( )
3
3
2
2
7
23
L
x
L
x
xl −=
(3.17)
( )
2
32
8
L
x
L
x
xl +−=
(3.18)
Os deslocamentos lineares u(y,t) e w(z,t) e angulares θ(y,t) e ψ(z,t) são obtidos de
forma aproximada a partir desta discretização:
(
)
(
)
[
]
{
}
u
T
qxNtyu
1
, = (3.19)
( ) ( )
[ ]
{ }
u
T
qxN
dx
d
tyu
dx
d
1
, ==
ψ
(3.20)
(
)
(
)
[
]
{
}
w
T
qxNtzw
2
, =
(3.21)
( ) ( )
[ ]
{ }
w
T
qxN
dx
d
tzw
dx
d
2
, ==
θ
(3.22)
A energia cinética da viga é expressa no modelo contínuo por:
( )
( )
∫∫
+++=
LL
dx
I
dxwu
A
T
0
22
0
22
22
θψ
ρρ
&
&
&&
(3.23)
sendo ρ é a massa específica (kg/m
3
), A a área da seção transversal (m
2
), I é o momento de
inércia de área da seção transversal em relação a linha neutra e L o comprimento (m).
Aplicando-se as equações (3.19) a (3.22) na equação (3.23), tem-se:
33
{ }
[ ][ ]
{ } { }
[ ][ ]
{ }
( )
{ }
[ ] [ ]
{ } { }
[ ] [ ]
{ }
dxq
dx
Nd
dx
Nd
q
I
dxq
dx
Nd
dx
Nd
q
I
dxqNNqqNNq
A
T
L
w
T
T
w
L
u
T
T
u
L
w
TT
wu
TT
u
∫∫
∫
+
++=
0
22
0
11
0
2211
22
2
&&&&
&&&&
ρρ
ρ
(3.24)
Trabalhando-se a equação (3.24), obtém-se:
{ }
[ ]
{ } { }
[ ]
{ } { }
[ ]
{ }
{ }
[ ]
{ }
w
T
w
u
T
uw
T
wu
T
u
qMq
qMqqMqqMqT
&&
&&&&&&
4
321
2
1
2
1
2
1
2
1
+++=
(3.25)
Com:
[ ] [ ][ ]
−
−
−−−
−
==
∫
22
22
1
0
11
422313
221561354
313422
135422156
4202
LLLL
LL
LLLL
LL
AL
dxNN
A
M
T
L
ρρ
(3.26)
[ ] [ ][ ]
−−−
−
−
−
==
∫
22
22
0
222
422313
221561354
313422
13542215
4202
LLLL
LL
LLLL
LLL
AL
dxNN
A
M
L
T
ρρ
(3.27)
[ ]
[ ] [ ]
−−
−−
−−−
==
∫
22
2
22
0
11
3
433
33634
343
336336
302
LLLL
LLL
LLLL
LL
L
I
dx
dy
Nd
dy
Nd
I
M
L
T
ρρ
(3.28)
34
[ ]
[ ] [ ]
−−
−−
−−
−
==
∫
22
2
22
0
22
4
433
33634
343
336336
302
LLLL
LLL
LLLL
LL
L
I
dx
dy
Nd
dy
Nd
I
M
L
T
ρρ
(3.29)
As matrizes [M
1
] e [M
2
] são as matrizes de massa clássica, [M
3
] e [M
4
] são as
matrizes responsáveis pelo efeito da inércia de rotação.
Substituindo-se a equação (3.25) na equação (3.4), (Lalanne e Ferraris, 1990), tem-se:
( )
qMM
q
T
q
T
dt
d
&&
&
][][
3412
+=
∂
∂
−
∂
∂
(3.30)
As matrizes de massa dos elementos [M
12
] e [M
34
] são obtidas posicionando-se cada
elemento das matrizes das equações (3.26) a (3.29) de acordo com seu grau de liberdade,
então:
[ ]
−
−−−
−
−
−−−
−
−
−
=
22
22
22
22
12
4002230013
0422003130
0221560013540
2200156130054
3001340022
0313004220
0135400221560
1300542200156
420
LLLL
LLLL
LL
LL
LLLL
LLLL
LL
LL
AL
M
ρ
(3.31)
[ ]
−−
−−
−−−
−
−−
−−
−
−−−
=
22
22
22
22
34
4003003
0430030
0336003360
3003630036
0034003
0300430
0336003360
3003630036
30
LLLL
LLLL
LL
LL
LLLL
LLLL
LL
LL
L
I
M
ρ
(3.32)
35
Portanto a matriz de massa total do elemento é obtida através da equação:
[
]
[
]
[
]
3412
MMm
e
qq
+=
(3.33)
A energia potencial ocorre devido à flexão da viga e pode ser escrita como:
dx
x
w
I
x
u
I
Y
U
L
yz
∫
∂
∂
+
∂
∂
=
0
2
2
2
2
2
2
2
(3.34)
sendo Y (N/m
2
) o modulo de elasticidade longitudinal, I
y
e I
z
(m
4
) são os momentos de
inércia de área da seção transversal em relação à y e a z.
Aplicando-se as equações (3.19) e (3.21) na equação (3.34), e considerando-se uma
viga simétrica
1
I
y
= I
z
= I, obtém-se:
{ }
[
]
[
]
{ } { }
[
]
[
]
{ }
dxq
dx
Nd
dx
Nd
qq
dx
Nd
dx
Nd
q
YI
U
L
w
T
T
wu
T
T
u
∫
+=
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
(3.35)
Substituindo-se as funções de interpolações, equações (3.9) e (3.10), na equação
(3.35), obtêm-se:
{ }
[ ]
{ } { }
[ ]
{ }
w
T
wu
T
u
qKqqKqU
21
2
1
2
1
+=
(3.36)
Com:
1
Nas simulações eliminando-se um grau de rotação é possível simular vigas de seção não simétrica.
36
[ ]
[ ] [ ]
−
−
−
−−−
==
∫
22
22
32
1
2
0
2
1
2
1
4626
612612
2646
612612
LLLL
LL
LLLL
LL
L
YI
dx
dx
Nd
dx
Nd
YIK
T
L
(3.37)
[ ]
[ ] [ ]
−
−−−
−
−
==
∫
22
22
3
0
2
2
2
2
2
2
2
4626
612612
2646
612612
LLLL
LL
LLLL
LL
L
YI
dy
dx
Nd
dx
Nd
YIK
L
T
(3.38)
Substituindo-se a equação (3.36) na equação (3.4), (Lalanne e Ferraris, 1990), tem-se:
[ ] [ ]
( ){ }
qKK
q
U
21
+=
∂
∂
(3.39)
A matriz de rigidez clássica devido a flexão do elemento é obtida posicionando-se
cada elemento das matrizes das equações (3.37) e (3.38) de acordo com seu grau de
liberdade, então:
[ ]
−
−
−−−
−
−
−
−
−−−
=
22
22
22
22
3
0062006
04600260
0612006120
6001260012
20064006
02600460
0612006120
6001260012
LLLL
LLLL
LLL
LL
LLLL
LLLL
LL
LL
L
YI
k
e
qq
(3.40)
A força de superfície e dada por:
{ }
[ ]
{ }
∫
=
L
s
T
e
s
dxfNbf
0
(3.41)
37
E a força pontual é dada por:
{
}
(
)
ii
e
i
xxff −=
δ
(3.42)
As matrizes globais são obtidas através do somatório posicionando-se cada elemento
das matrizes dos elementos de acordo com seu grau de liberdade
[ ] [ ]
{ } { }
∑∑
==
==
n
e
e
ss
n
e
e
qqqq
fFmM
11
(3.43)
[ ] [ ]
{ } { }
∑∑
==
==
n
e
e
ii
n
e
e
qqqq
fFkK
11
(3.44)
O resultado das equações (3.43) e (3.44) são matrizes quadradas de ordem 4n onde n
é o número graus de liberdade.
[
]
{
}
[
]
{
}
{
}
{
}
siqqqq
FFqKqM +=+
&&
(3.45)
3.2 ELEMENTOS FINITOS PARA MEIOS PIEZELÉTRICOS
Neste item são determinadas as matrizes de rigidez piezelétrica e dielétrica e as
matrizes de massa e rigidez estrutural do elemento piezelétrico. Estas matrizes são
determinadas utilizando-se da mesma formulação em elementos finitos descrita no item
anterior.
38
A discretização do elemento piezelétrica é feita com elementos isoparamétricos com
quatro graus de liberdade, mostrada na figura 3.1.
Então definindo as aproximações nodais como:
( ) ( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
u
T
uu
T
qBqxN
dx
d
tyu ==
′
1
, (3.46)
( ) ( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
w
T
ww
T
qBqxN
dx
d
tzw ==
′
2
, (3.47)
( ) ( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
w
T
ww
T
qBqxN
dx
d
tzw
′
==
′′
2
2
2
,
(3.48)
A equação construtiva da piezeletricidade linear é (Lima Jr, 1999):
{
}
[
]
{
}
[
]
{
}
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{
}
EeD
Eec
T
E
ε
ξε
εσ
−=
−=
(3.49)
Sendo que:
[
]
[
]
[
]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
e c d
d c d
E
T
E
=
= −
ξ ξ
ε σ
(3.50)
Com: {σ}- tensor tensão mecânica; {ε}- tensor deformação; {E}- vetor campo; {D}- vetor
deslocamento elétrico; [c
E
]- matriz de elasticidade para campo elétrico constante; [e]-
matriz de constantes de tensões piezelétricas; [ξ
ε
]- tensor de constantes dielétricas para
deformação constante [ξ
σ
]- matriz de constantes dielétricas para tensão mecânica constante;
[d]- matriz de constantes de deformações piezelétricas
A energia potencial para materiais piezelétricos na forma de matriz, (Lima Jr., 1999)
é:
39
{ } { } { } { }
pe
T
pe
T
dDEdU
pepe
Ω−Ω=
∫∫∫∫∫∫
ΩΩ
δσδεδ
(3.51)
Substituindo a equação (3.49) na equação (3.51) é:
{ }
[
]
{ } { }
[ ]
(
)
{ }
[ ]
{ }
[
]
{ }
(
)
pe
T
T
pe
E
T
dEeEdEecU
pepe
Ω−−Ω−=
∫∫∫∫∫∫
ΩΩ
ε
ξεδεδεδ
(3.52)
Sendo que:
(
)
t,zwz
x
′
′
−=
ε
(3.53)
Com a aproximação por elementos finitos, a relação cinemática, na forma matricial é:
{
}
[
]
[
]
{
}
{
}
iwu
qBzB
′
−=
ε
(3.54)
Já para o domínio utilizado, a equação constitutiva da piezoeletricidade linear obtém-
se:
{
}
[
]
{
}
{ }
[ ]
[ ]
{ }
333331
EEDDee
,Yc
xpe
E
x
====
===
εε
ζζ
σσεε
(3.55)
Reescrevendo a energia potencial, com auxílio das equações (3.54) e (3.55), é:
{
}
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
{
}
{ }
[ ] [ ]
( )
[ ]
{ }
{ }
[ ]
[ ] [ ]
( ) { }
{ }
[ ] [ ]
{ }
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Ω−
Ω
′
−+
Ω
′
−+
Ω
′
−
′
−=
pe
pe
pe
pe
V
ipe
TT
i
V
ipewu
TT
i
V
ipe
T
wu
T
i
V
ipewupe
T
wu
T
i
dBB
qdBzBeB
dBeBzBq
qdBzBYBzBqU
φξδφ
δφ
φδ
δδ
φ
ε
φ
φ
φ
33
31
31
(3.56)
40
Fazendo com que
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
dxBBLdAY
h
hdxBBdAYk
w
T
wpepe
pe
u
T
upepeq
∫∫
′
+−=
1
0
31
1
0
31
2
φ
(3.57)
[ ]
−
−
=
10
01
2
33
pe
pe
e
h
LA
k
ε
φφ
ξ
(3.58)
A carga elétrica é
{ }
[ ]
∫
−=
L
q
T
e
s
bdxNq
0
σ
φ
(3.59)
Com
[
]
φ
N
a função de interpolação do potencial elétrico
Cada uma dessas matrizes de elementos é montada de forma a se obter o sistema de
matrizes globais:
[
]
{
}
[
]
{
}
[
]
{
}
{
}
{
}
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
=+
+=++
sq
isqqqqq
QKqK
FFKqKqM
φ
φ
φφφ
φ
&&
(3.60)
No sensor piezelétrico não existe voltagem aplicada (Q
S
=0), então o potencial
elétrico gerado pelo sensor é:
{
}
[
]
[
]
{
}
iqs
qKK
φφφ
φ
1−
−= (3.61)
Substituindo a equação (3.61) na equação (3.60) tem-se o sistema global de equações
para uma viga com atuador piezelétrico que é:
[
]
{
}
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
{
}
{
}
elisqqqqqq
FFFqKKKKqM ++=−+
−
φφφφ
1
&&
(3.62)
41
Com a força elétrica dada por:
{
}
[
]
[
]
{
}
sqel
QKKF
1−
−=
φφφ
(3.63)
42
Capítulo 4
POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS
PIEZELÉTRICOS EM ESTRUTURAS FLEXÍVEIS
Neste capítulo, faz-se a dedução analítica da resposta do sistema a partir da equação
dinâmica da estrutura flexível com elementos piezelétricos incorporados. São determinadas
características dinâmicas como, freqüências naturais e modo de vibrar, da estrutura flexível
com elementos piezelétricos incorporados. Portanto é determinada a solução da equação
diferencial da viga com elementos piezelétricos incorporados analiticamente e numericamente
através do método de elementos finitos. É demonstrado o critério de posicionamento através de
um índice de controlabilidade relacionando-o com a matriz grammiana. Também são descritos
os diversos módulos, diagramas e fluxogramas, do programa computacional de posicionamento
de atuadores piezelétricos desenvolvido.
43
4.1 POSICIONAMENTO EM VIGAS
4.1.1 Solução Analítica
A equação dinâmica de uma viga de Euler-Bernoulli com elementos piezelétricos
incorporados, deduzida no capítulo 2, equação (2.59) é aqui reproduzida.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
21
2
2
31
21
4
4
4
4
2
2
2
,
,
22
,,
xxxxH
x
hh
bdYtxf
xxHxxH
x
txw
hh
h
hbY
x
txw
YI
t
txw
A
a
pe
aa
pe
a
pe
a
pe
a
pe
a
pe
a
pe
−−−
∂
∂
+
−
=−−−
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
φ
ρ
(4.1)
A resposta do sistema é escrita usando a expansão modal através da equação (4.2):
( ) ( ) ( )
∑
=
=
n
i
ii
txt,xw
1
ηχ
(4.2)
Substituindo a equação (4.2) para um modo particular i na equação (4.1), tem-se:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
21
2
2
6
21
4
4
5
4
4
2
2
xxxxH
x
Ct,xf
xxHxxH
x
tx
C
x
tx
YI
t
tqx
A
iiiiii
−−−
∂
∂
+
=−−−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ηχηχχ
ρ
(4.3)
sendo que [H(x-x
1
)-H(x-x
2
)] é a função de Heaviside que limita a ação do atuador a uma janela
de tamanho definido, C
5
e C
6
são constantes definidas por:
+
=
22
5
a
pe
a
pe
a
pe
a
pe
hh
h
hbYC
(4.4)
Sendo que:
44
+
−=
2
316
a
pe
aa
pe
a
pe
hh
bdYC
φ
(4.5)
Diferenciando-se a equação (4.3), tem-se:
( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
21
2
2
6
21
4
4
5
4
4
xxHxxH
dx
d
Ct,xf
xxHxxH
dx
xd
tqC
dx
xd
tYIqtqxA
i
i
i
iii
−−−+
=−−−++
χχ
χρ
&&
(4.6)
Multiplicando-se pela autofunção χ
j
(x) e integrando-se ao longo do comprimento de viga, tem-
se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
dxxxHxxH
dx
d
xCdxt,xfx
dxxxHxxH
dx
xd
xtqC
dx
dx
xd
xtYIqdxxxtqA
L
j
L
j
L
i
ji
L
i
ji
L
iji
21
2
2
0
6
0
0
21
4
4
5
0
4
4
0
−−−+
=−−−
++
∫∫
∫
∫∫
χχ
χ
χ
χ
χχχρ
&&
(4.7)
Através do princípio da ortogonalidade dos modos, (Meirovitch, 1986), tem-se:
( ) ( )
ij
L
ij
dxxxA
δχχρ
=
∫
0
(4.8)
e
( )
(
)
iji
L
i
j
dx
dx
xd
xYI
δω
χ
χ
2
0
4
4
=
∫
(4.9)
Com:
45
≠
=
=
ji
ji
ij
0
1
δ
(4.10)
Substituindo-se as equações (4.8), (4.9) na equação (4.7) e considerando-se a equação
(4.10), obtêm-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+=+
216
2
, x
dx
d
x
dx
d
Ctxftqtq
iiiiii
χχω
&&
(4.11)
Com:
( ) ( ) ( )
dxtxfxtxf
L
ii
,,
0
∫
=
χ
(4.12)
e
(
)
(
)
(
)
11
xxHxx
ii
−=
χχ
(4.13)
Sendo:
( )
(
)
( ) ( )
[ ]
0
21
4
4
0
5
=−−−
∫
dxxxHxxH
dx
xd
xqC
i
L
ji
χ
χ
(4.14)
e
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
−=−−−
∫
21621
0
2
2
6
x
dx
d
x
dx
d
CdxxxHxxH
dx
d
xC
ii
L
i
χχχ
(4.15)
Para o caso de mais de um atuador a equação (4.11), torna-se:
46
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−++
−+
+
−+=+
21622216
12116
2
pipiii
iiiiii
x
dx
d
x
dx
d
Cx
dx
d
x
dx
d
C
x
dx
d
x
dx
d
Ct,xftqtq
χχχχ
χχω
K
&&
(4.16)
Para escrever a equação (4.16) no espaço de estado, é necessário fazer a introdução do
seguinte vetor de estado, (Kwon, 1997):
{ }
(
)
{
}
( ){ }
=
t
t
z
i
i
η
η
&
(4.17)
Com:
{
}
[
]
T
n
q
ηηη
K
21
=
(4.18)
e
{
}
[
]
T
n
q
ηηη
&
K
&&
&
21
=
(4.19)
Considerando-se que o número de atuadores é p, então:
{ }
[
]
T
a
pa
a
a
a
a
kkku
φφφ
K
21
=
(4.20)
Com:
+
−=
2
31
a
pe
a
pe
a
pea
hh
bdYk
(4.21)
Escrevendo-se então a equação (4.16) na forma de espaço de estado e considerando-se a
existência de forças ou perturbações externas, tem-se:
{
}
[
]
{
}
[
]
{
}
(
)
{
}
tfuBzAz
e
++=
&
(4.22)
47
Com:
[ ]
[
]
[
]
[ ] [ ]
Λ−
=
0
0 I
A
(4.23)
e
[ ]
[
]
[ ]
=
a
B
B
0
(4.24)
Sendo que:
[ ]
=
n
ap
n
a
n
a
apaa
apaa
a
BBB
BBB
BBB
B
L
MOMM
L
L
21
22
2
2
1
11
2
1
1
(4.25)
e:
( ) ( )
−=
21 pnpn
n
ap
x
dx
d
x
dx
d
B
χχ
(4.26)
As forças externas, calculadas pela equação (4.12), é definida como:
( )
{
}
( ) ( ) ( )
[
]
T
ne
tftftftf K
21
=
(4.27)
e
[ ]
=Λ
2
2
2
2
1
00
0
00
00
n
ω
ω
ω
K
OMM
K
K
(4.28)
48
4.1.2 SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS
A equação dinâmica de uma estrutura com elementos piezelétricos incorporados,
modelados por elementos finitos de acordo com a equação (3.62) é dada por:
[
]
{
}
[
]
{
}
{
}
{
}
{
}
elisqq
FFFqKqM ++=+
*
&&
(4.29)
Com:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
qqqq
KKKKK
φφφφ
1
*
−
−=
(4.30)
A resposta do sistema pode ser escrita pela superposição modal através da relação:
(
)
{
}
[
]
(
)
{
}
ttxq
ηχ
=,
(4.31)
Aplicando-se a equação (4.31) na equação (4.29), obtém-se:
[
]
[
]
(
)
{
}
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
FtKtM
*
qq
=+
ηχηχ
&&
(4.32)
Com:
{
}
{
}
{
}
{
}
elis
FFFF ++=
(4.33)
Pré-multiplicando-se a equação (4.32) por
[
]
T
χ
, tem-se:
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
[
]
{
}
FtKtM
T
*
T
qq
T
χηχχηχχ
=+
&&
(4.34)
Ou de outra forma:
[
]
(
)
{
}
[
]
(
)
{
}
{
}
FttI =Λ+
ηη
&&
(4.35)
49
sendo que:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
==
100
010
001
K
MOMM
K
K
IM
qq
T
χχ
(4.36)
e
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
==Λ
2
2
2
2
1
*
00
00
00
n
T
K
ω
ω
ω
χχ
K
MOMM
K
K
(4.37)
sendo que:
{
}
[
]
{
}
FF
T
χ
=
(4.38)
{
}
[
]
{
}
FF
T
el
χ
=
(4.39)
{
}
[
]
{
}
FF
T
i
χ
=
(4.40)
{ }
{ }
[ ]
{ }
{ }
i
iqq
T
i
i
M
χ
χχ
χ
1
=
(4.41)
Escrevendo-se a equação (4.34) na forma da equação (4.22) e considerando-se a força pontual,
obtém-se:
{ }
[
]
[
]
[ ] [ ]
(
)
( )
[
]
[ ]
{ }
{ }
[
]
[ ]
{ }
+
+
Λ−
=
iel
FI
u
FI
t
tI
z
00
0
0
η
η
&
&
(4.42)
50
Com:
[ ]
[
]
[
]
[ ] [ ]
Λ−
=
0
0 I
A
(4.43)
e
[ ]
[
]
[ ]
{ }
=
el
FI
B
0
(4.44)
{ }
[
]
[ ]
{ }
=
i
e
FI
F
0
(4.45)
As matrizes [M
qq
] e [K
*
] representam a massa e rigidez do conjunto estrutura mais
elementos piezelétricos, enquanto que {F} é formado pelo vetor da força aplicada pelo
elemento piezelétrico e forças externas. Este vetor é de muita importância na determinação do
índice de controlabilidade, pois é ele que irá gerar as possíveis combinações de posições para
os elementos piezelétricos na estrutura flexível (método direto), influenciando desta forma na
matriz de controle [B] que é usada para se determinar o índice de controlabilidade do sistema.
O vetor de coordenadas nodais é expresso da seguinte forma:
{
}
[
]
T
jjjjiiii
wuwuq
ψθψθ
=
(4.46)
Com u e w são deslocamentos lineares enquanto que θ e ψ são os deslocamentos angulares.
Os vetores de força para os nós i e j, terão então a seguinte forma:
{
}
[
]
T
zyi
mmF 000000=
(4.47)
e
{
}
[
]
T
zyj
mmF 000000=
(4.48)
51
Onde m
y
m
z
são os momentos produzidos pelos elementos piezelétricos.
As equações (4.47) e (4.48) mostram que os elementos piezelétricos têm ação somente
nos graus de liberdade relacionados aos deslocamentos angulares. Isto ocorre porque estes
elementos piezelétricos aplicam momento de flexão na estrutura suporte. Com as combinações
do vetor {F
i
} e {F
j
} é possível obter todas as combinações de forças aplicadas destes elementos
piezelétricos na estrutura suporte. Desta forma, tem-se a matriz de controle [B] e, através da sua
decomposição em valores singulares, o índice de controlabilidade do sistema.
4.2 CRITÉRIO DE POSICIONAMENTO
O conceito de controlabilidade de sistemas é proveniente da teoria de controle. Esta
teoria é utilizada para determinar se um sistema pode ser controlado dado à existência de um
controlador, no caso, o atuador piezelétrico. Através da matriz [A] e da matriz de controle [B] é
possível estabelecer se o sistema pode ser controlado ou não. O objetivo é definir a medida da
quantidade de controlabilidade do sistema através de um índice. Este índice deve indicar a
quantidade de energia fornecida ao atuador piezelétrico incorporado à estrutura suporte onde se
deseja controlar a vibração, considerando-se uma dada entrada de controle (Wang, 2001).
Da equação (4.22), a força de controle aplicada na estrutura pode ser definida como:
{
}
[
]
{
}
uBf
c
=
(4.49)
Pré-multiplicando-se a equação (4.49) pelo seu transposto, tem-se:
{
}
{
}
{
}
[
]
[
]
{
}
uBBuff
TT
c
T
c
=
(4.50)
Decompondo-se em valores singulares a matriz de controle [B], tem-se:
[
]
[
]
[
]
[
]
T
USVB =
(4.51)
Com:
52
[
]
[
]
[
]
IVV
T
=
(4.52)
e
[
]
[
]
[
]
IUU
T
=
(4.53)
onde [I] é a matriz identidade e as matrizes [V] que tem ordem 2nx2n, [U] ordem pxp e [S]
2nxp, sendo p o número de atuadores e n o número de graus de liberdade do sistema.
Substituindo-se a equação (4.51) na equação (4.50), tem-se:
{
}
{
}
{
}
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
{
}
uUSVVSUuff
TTT
c
T
c
=
(4.54)
Simplificando-se vem:
{
}
{
}
{
}
[
]
[
]
[
]
{
}
uUSUuff
TT
c
T
c
2
=
(4.55)
Comparando-se a equação (4.55) com a equação (4.50), tem-se:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
TT
USUBB
2
=
(4.56)
Sendo que:
[ ]
=
0000
000
000
000
2
2
2
2
1
2
KK
KK
MKMOMM
KK
KK
p
S
σ
σ
σ
(4.57)
Assumindo-se um novo vetor de controle {v}, tal que:
53
{
}
[
]
{
}
uUv
T
=
(4.58)
Pré multiplicando-se a equação (4.58) por [U], tem-se:
{
}
[
]
{
}
vUu =
(4.59)
Tomando-se o transposto da equação (4.59), tem-se:
{
}
{
}
[
]
TTT
Uvu =
(4.60)
Substituindo-se as equações (4.59) e (4.60) na equação (4.55), tem-se:
{
}
{
}
{
}
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
{
}
vUUSUUvff
TTT
c
T
c
2
=
(4.61)
Ou simplificando-se:
{ } { } { }
[ ]
{ }
∑
=
==
k
i
ii
T
c
T
c
vvSvff
1
22
2
σ
(4.62)
O valor σ
i
é o n-ésimo grau de controlabilidade do sistema e está relacionado a entrada de
controle {u} ou {v} é sua magnitude é função da localização do elementos piezelétricos. Isto
ocorre porque a controlabilidade do sistema é proporcional a quantidade de energia aplicada
(Wang, 2001).
Quando o sistema é assintoticamente estável, tem-se que a matriz grammiana de
controlabilidade [W
c
(t
0
,t
1
)] que transfere o estado x(t
0
)=x
0
no tempo t
0
para o estado x(t
1
)=x
1
, se
aproxima da matriz grammiana de controlabilidade de estado estacionário [W
c
] satisfazendo a
seguinte equação (Ogata, 1994):
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
τ
ττ
deBBeW
T
A
t
T
A
t
c
∫
∞→
=
1
1
0
lim
(4.63)
Em estruturas flexíveis levemente amortecidas, tem-se:
54
[
]
[
]
[
]
Iee
T
AA
=
ττ
(4.64)
A matriz [B] não depende do tempo, então é:
[ ] [ ][ ]
∫
=
T
T
c
dBBW
0
τ
(4.65)
Os valores singulares da matriz grammiana de controlabilidade de um grupo de estados
no tempo t
1
para uma condição inicial nula no tempo t
0
devido a uma entrada são os mesmos
que os valores singulares da matriz de controle na seguinte forma, (Giovannetti, 2001):
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
{
}
[
]
{
}
TT
c
vSvBBsvdWsvd
2
==
(4.66)
Se os valores singulares são arranjados na forma decrescente, então os vetores {v}
correspondem às direções mais e menos controláveis, enquanto que seus graus de
controlabilidade são dados pelos máximos e mínimos valores singulares respectivamente. Neste
caso, a energia mínima de esforço do controlador (Ogata, 1994) dada por:
{
}
{
}
[ ]
( )
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
n
n
T
n
T
n
i
T
c
T
mim
uu
uuuu
Wsvd
uu
E
σσσ
+++==
∑
=
K
2
22
1
1
11
(4.67)
sendo que o denominador da equação (4.64) é o grammiano da matriz de controlabilidade.
Dessa forma, as posições ótimas dos atuadores piezelétricos implicam as posições onde a
energia do controlador é usada de maneira mais efetiva para uma dada entrada de controle,
minimizando-se o esforço do controlador e economizando-se o consumo de energia do sistema.
O índice de posicionamento então é dado por:
[ ]
∏
=
=Ω
p
i
i
1
σ
(4.68)
55
O produtório da equação (4.68) ocorre quando se tem mais de um atuador piezelétrico a
se posicionar na estrutura suporte. Neste caso há a influência da posição de um atuador sobre
outro, na determinação do posicionamento ótimo. O índice de posicionamento é o maior valor
do produto dos índices de posicionamento para cada posição dos atuadores piezelétricos na
estrutura suporte.
4.3 O PROGRAMA COMPUTACIONAL DESENVOLVIDO
Uma das contribuições deste trabalho é o desenvolvimento de um programa para
modelagem de estrutura do tipo viga, em diversas condições de contorno, com elementos
piezelétricos incorporados, posicionamento ótimo destes elementos nestas estruturas e de
um sistema de controle que simula a viga em condições de malha aberta, malha fechada
com o elemento piezelétrico posicionado em um ponto ótimo da estrutura e com o elemento
piezelétrico posicionado em uma posição não ótima da estrutura. A figura 4.1 mostra a
interação entre os três módulos do programa computacional desenvolvido em plataforma
matlab©.
56
Figura 4.1 – Estrutura em blocos do programa computacional desenvolvido.
O programa de posicionamento de elementos piezelétricos utiliza a técnica modal,
onde o posicionamento ótimo é encontrado para a máxima deformação modal para um
modo de vibrar específico. Esta técnica de posicionamento e de controle é denominada de
IMSC (Independent Modal Space Control), técnica esta que combina a decomposição
modal com a clássica lei de controle LQR (Linear Quadratic Regulator), (Carvalhal et al.,
2005). O controle do ganho para cada modo pode ser encontrado resolvendo-se a equação
de segunda ordem de Ricatti.
O fluxograma da figura 4.2 mostra o diagrama simplificado da modelagem em
elementos finitos da estrutura flexível utilizada com elementos piezelétricos incorporados e
o seu posicionamento através da decomposição em valores singulares da matriz de controle
[B].
Modelagem em
Elementos Finitos
Condições de
Contorno
Tipo de
Estrutura
Posicionamento
Valores
Singulares
Força do
Elemento
Controlador de
Sistema
Malha Fechada
Posição
Ótima
Posição
Não
Ótima
Malha Aberta
Saída de resultados
57
Quando existem mais modos que atuadores ou elementos piezelétricos, o índice de
posicionamento é o resultado de um produtório de acordo com a equação 4.65.
Figura 4.2 – Diagrama do programa computacional de posicionamento desenvolvido.
Dados Geométricos do
Material
Cálculo da Matriz Massa e Rigidez
[M
qq
] e [K
*
]
Cálculo dos Autovalores e do
autovetores [χ] e [Λ]
Normalização de Massa
{ }
{
}
[
]
{
}
{ }
i
i
qq
T
i
i
M
χ
χχ
χ
1
=
Representação Modal/Estado
[
]
(
)
{
}
[
]
(
)
{
}
{
}
FttI =Λ+
ηη
&&
{ }
[
]
[
]
[ ] [ ]
(
)
( )
[
]
[ ]
{ }
{ }
[
]
[ ]
{ }
+
+
Λ−
=
iel
FI
u
FIt
tI
z
00
0
0
η
η
&
&
Cálculo de [B] e svd([B])
[ ]
[
]
[ ]
{ }
=
−
FI
B
1
0
[
]
[
]
[
]
[
]
T
USVB =
58
O posicionamento ótimo é influenciado pelo número de elementos piezelétricos
incorporados a estrutura suporte. Portanto deve–se adotar um procedimento que faça uma
primeira aproximação do posicionamento ótima e em seguida refaça a determinação deste
posicionamento ótimo de acordo com a influência destes elementos no modo de vibrar da
estrutura. Este procedimento é mostrado na figura 4.3.
Figura 4.3 – Procedimento de determinação do posicionamento ótimo.
No capitulo 6 é feito um estudo da influência no números de atuadores ou elementos
piezelétricos nos parâmetros modais da estrutura suporte.
Dados Geométricos
Posicionamento Ótimo
Cálculo do Número de
Elementos Piezelétricos
Verificação da Influência no
Modo de Vibrar
Fim
Sim
Não
59
Os elementos piezelétricos adicionam massa e rigidez as matrizes de massa e rigidez
da estrutura suporte, e com isso podem modificar a posição ou as posições ótimas destes
elementos.
No apêndice C é realizado um estudo do número de atuadores ou elementos
piezelétricos necessários para se controlar um determinado modo. Neste estudo é
demonstrada uma expressão de cálculo do número de elementos piezelétricos, baseado na
deformação flexional da estrutura suporte e da energia de deformação piezelétrica dos
elementos piezelétricos.
60
Capítulo 5
VALIDAÇÃO DOS MODELOS DE ELEMENTOS
FINITOS
Neste capítulo, se faz a validação do modelo de viga de Timoshenko, em elementos
finitos, com e sem elemento piezelétrico incorporado, comparando-se os resultados
encontrados, no caso de vigas com elementos piezelétricos, com os resultados encontrados
por Maurini et al. (2006) e Kusculuoglu et al. (2004). São simuladas vigas em quatro
condições de contorno, a saber: extremidades apoiadas, livre-livre, engastada-engastada e
extremidade livre e outra engastada. É calculado as freqüências adimensionais e os desvios
relativos possibilitando desta forma validar o código computacional desenvolvido.
61
As propriedades geométricas e de materiais da viga simulada são apresentadas na
tabela 5.1
Tabela 5.1 Propriedades geométricas e materiais da viga simulada
Grandeza Valor Unidade
Comprimento L 1,5 m
Largura b 0,075 m
Espessura h 0,075 m
Massa Específica ρ 7800 kg/m
3
Módulo de Young Y
Coeficiente de Poisson ν
Coeficiente de Cisalhamento κ
Módulo de Elasticidade Transversal G
Área A
Momento de Inércia I
210x10
9
0,3
0,833
80x10
9
5,625x10
-3
2,6367x10
-6
N/m
2
-
-
N/m
2
m
2
m
4
Calcula-se as cinco primeiras freqüências naturais para uma viga nas condições de
contorno apoiada-apoiada, livre-livre, engastada-engastada e engasta-livre, com as
propriedades e dimensões apresentadas pela tabela 5.1. Em seguida, determinam-se as
freqüências naturais adimensionalizadas, encontradas no programa de elementos finitos
desenvolvido, equação (5.1) e equação (5.2), e os respectivos desvios. Simulando-se a viga
com malhas com cinco, dez, vinte e cinqüenta elementos com a finalidade de levantamento
dos desvios relativos. Os resultados das freqüências adimensionalizadas e dos desvios
relativos para uma viga biapoiada, são apresentados respectivamente nas tabelas 5.2 e 5.3.
O gráfico de desvio relativo é mostrado na figura 5.1. A tabela 5.4 mostra os resultados
encontrados para a simulação da viga biapoiada com 50 elementos. Nesta primeira parte
das simulações, são simuladas vigas com h/L igual a 0,05.
O mesmo procedimento é utilizado em vigas nas condições de contorno livre-livre,
engastada-engastada e em balanço com as mesmas propriedades e dimensões dadas pela
tabela 5.1. Também são feitas simulações de dois casos com uma viga em balanço com
elementos piezelétricos incorporados.
62
5.1 MODELO DE VIGA TIMOSHENKO SEM O ELEMENTO
PIEZELÉTRICO
O modelo de viga de Timoshenko considera o efeito da inércia de rotação e do
cisalhamento. Do ponto de vista da geometria, o cisalhamento é importante quando a
espessura não é pequena em comparação ao comprimento da viga, isto é, quando esta
relação é maior do que 1/10 (Lima Jr., 1999). Para freqüências superiores ao segundo
modo, o modelo de Euler-Bernoulli não fornece bons resultados e o modelo de Timoshenko
deve ser usado, independente da geometria da viga (Lima Jr. E Arantes, 2000).
As freqüências adimensionalizadas e os desvios relativos percentuais são definidos
pelas equações (5.1) e (5.2).
YI
A
L
ii
ρ
ωλ
22
=
(5.1)
( )
Re % 100
teórico fem
teórico
Desvio lativo x
λ λ
λ
−
= (5.2)
5.1.1 Viga Biapoiada
A tabela 5.2 mostra as freqüências adimensionais de Timoshenko para uma viga
biapoiada.
63
Tabela 5.2 Freqüências adimensionais de Timoshenko para uma viga biapoiada
FEM - Número de Elementos de Viga - h/L=0,05
λ
i
i Teórica
1
5 10 20 50
1 3,13498 3,1360 3,1358 3,1358 3,1358
2 6,23136 6,2446 6,2380 6,2372 6,2371
3 9,25537 9,3236 9,2784 9,2727 9,2716
4 12,1813 12,3970 12,2377 12,2156 12,2111
5 14,9926 16,3391 15,1064 15,0451 15,0323
Tabela 5.3 Desvios relativos das freqüências adimensionais para uma viga biapoiada
Desvio Relativo (%) - Numero de Elementos de Viga – h/L=0,05
i
5 10 20 50
0,0325 0,0262 0,0262 0,0262
0,2121 0,1066 0,0937 0,0921
0,7372 0,2488 0,1872 0,1754
1,7707 0,4630 0,2816 0,2446
1
2
3
4
5
8,9811 0,7590 0,3502 0,2648
A tabela 5.3 mostra os desvios relativos para a viga biapoiada. O gráfico 5.1 mostra
os desvios relativos e a tabela 5.4 apresenta os resultados para a simulação de 50 elementos,
cujos desvios são os mais baixos.
____________________________
1
O valor teórico é calculado por Lee e Schultz, (2004) com a relação h/L=0,05
64
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Modos de 1 a 5
Desvio relativo - %
Gráfico do desvio relativo das frequências adimensionais para uma viga biapoiada
5 elementos
10 elementos
20 elementos
50 elementos
Figura 5.1 – Gráfico dos desvios relativos percentuais das freqüências adimensionalizadas
de Timoshenko para uma viga biapoiada.
Tabela 5.4 Resultados para viga biapoiada simulada com 50 elementos
FEM (50 elementos)
Viga biapoiada h/L=0,05
i Freqüência (Hz) λ
i
1 78,3115 3,1358
2 309,8120 6,2371
3 684,6150 9,2716
4 1187,5000 12,2111
5 1799,6000 15,0323
Para a quinta freqüência o desvio relativo diminui a partir de 6 elementos de
simulação.
65
5.1.2 Viga Livre-Livre
As tabelas 5.5 e 5.6 mostram as freqüências naturais adimensionalizadas e os desvios
relativos respectivamente para uma viga livre-livre.
Tabela 5.5 Freqüências adimensionais de Timoshenko para uma viga livre-livre.
FEM - Número de Elementos de Viga h/L=0,05
λ
i
i Teórica
1
5 10 20 50
1 4,70873 4,7117 4,7101 4,7101 4,7100
2 7,75404 7,7779 7,7638 7,7617 7,7612
3 10,7332 10,8136 10,7629 10,7526 10,7503
4 13,6040 13,6664 13,6669 13,6379 13,6306
5 16,3550 17,7913 16,4754 16,4012 16,3830
Tabela 5.6 Desvios relativos das freqüências adimensionais para uma viga livre-livre
Desvio Relativo (%) - Numero de Elementos de Viga
i
5 10 20 50
0,0631 0,0333 0,0291 0,0270
0,3079 0,1259 0,0988 0,0923
0,7491 0,2767 0,1807 0,1593
0,4587 0,4624 0,2492 0,1955
1
2
3
4
5
8,70000 0,7380 0,2825 0,1712
A figura 5.2 mostra o gráfico dos desvios relativos. Para a quinta freqüência o desvio
relativo diminui a partir de 6 elementos de simulação. A tabela 5.7 apresenta os resultados
para a simulação com 50 elementos.
66
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Modos de 1 a 5
Desvio relativo - %
Gráfico do desvio relativo das frequências adimensionais para uma viga livre-livre
5 elementos
10 elementos
20 elementos
50 elementos
Figura 5.2 – Gráfico dos desvios relativos percentuais das freqüências adimensionalizadas
de Timoshenko para uma viga livre-livre.
Tabela 5.7 Resultados para uma viga livre-livre simulada com 50 elementos
Freqüência calculada FEM (50 elementos)
Viga livre-livre h/L=0,05
i Freqüência (Hz) λ
i
1 176,6795 4,7100
2 479,7308 7,7612
3 920,4023 10,7503
4 1479,7000 13,6306
5 2137,6000 16,3830
67
5.1.3 Viga Engastada-Engastada
As tabelas 5.8 e 5.9 mostram as freqüências naturais adimensionalizadas e os desvios
relativos para uma viga engastada-engastada. A tabela 5.10 apresenta os resultados para
simulação com 50 elementos.
Tabela 5.8 Freqüências adimensionais de Timoshenko para uma viga engastada-engastada
FEM - Número de Elementos de Viga h/L=0,05
λ
i
i Teórica
1
5 10 20 50
1 4,68991 4,6976 4,6960 4,6958 4,6957
2 7,70352 7,7438 7,7253 7,7231 7,7226
3 10,9341 10,7730 10,6924 10,6812 10,6789
4 13,4611 13,6685 13,5638 13,5283 13,5209
5 16,1590 17,9933 16,3362 16,2511 16,2328
Tabela 5.9 Desvios relativos das freqüências adimensionais da viga engastada-engastada
Desvio Relativo (%) - Número de Elementos de Viga i
5 10 20 50
0,1640 0,1299 0,1256 0,1235
0,5229 0,2827 0,2542 0,2477
1,2490 0,4915 0,3863 0,3642
1,5407 0,7629 0,4992 0,4442
1
2
3
4
5
11,3516 1,0966 0,5700 0,4567
68
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
2
4
6
8
10
12
Modos de 1 a 5
Desvio relativo - %
Gráfico do desvio relativo das frequências adimensionais para uma viga engastada-engastada
5 elementos
10 elementos
20 elementos
50 elementos
Figura 5.3 – Gráfico dos desvios relativos percentuais das freqüências adimensionalizadas
Timoshenko para uma viga engastada-engastada.
Tabela 5.10 Resultados para uma viga engastada-engastada simulada com 50 elementos
Freqüência calculada FEM (50 elementos)
Viga engastada-engastada h/L=0,05
i Freqüência (Hz) λ
i
1 175,6071 4,6957
2 474,9711 7,7226
3 908,2200 10,6789
4 1456,0000 13,5209
5 2098,6000 16,2328
69
5.1.4 Viga em Balanço
As tabelas 5.11 e 5.12 mostram as freqüências adimensionalizadas e os desvios
relativos, respectivamente e os resultados teóricos são os encontrados no trabalho de Han e
Jae-Jung (1999). A tabela 5.13 apresenta os resultados para simulação com 50 elementos.
Tabela 5.11 Freqüências adimensionais de Timoshenko para uma viga em balanço
FEM - Número de Elementos de Viga h/L=0,05
λ
i
i Teórica
2
5 10 20 50
1 1,8732 1,8735 1,8735 1,8735 1,8735
2 4,6624 4,6674 4,6660 4,6658 4,6658
3 7,7322 7,7626 7,7463 7,7441 7,7437
4 10,6904 10,7932 10,7273 10,7165 10,7143
5 13,5397 13,6675 13,6165 13,5827 13,5753
Tabela 5.12 Desvios relativos das freqüências adimensionais para uma viga em balanço
As freqüências adimensionalizadas foram calculadas pela equação (5.1) e o gráfico
dos desvios relativos, mostrado pela figura 5.4, calculado pela equação (5.2).
_______________________________
2
O valor teórico é calculado por Han et al. (1999) com a relação h/L=0,05
70
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Modos de 1 a 5
Desvio relativo - %
Gráfico dos desvios relativo das frequências adimensionais para uma viga em balanço
5 elementos
10 elementos
20 elementos
50 elementos
Figura 5.4 – Gráfico dos desvios relativos percentuais das freqüências adimensionalizadas
de Timoshenko para uma viga em balanço.
Tabela 5.13 Resultados para uma viga em balanço simulada com 50 elementos
Freqüência calculada FEM (50 elementos)
Viga em balanço h/L=0,05
i Freqüência (Hz) λ
i
1 27,9530 1,8735
2 176,3744 4,6658
3 477,5605 7,7437
4 914,2443 10,7143
5 1467,7000 13,5753
71
5.2 MODELO DE VIGA TIMOSHENKO COM ELEMENTO
PIEZELÉTRICO INCORPORADO
5.2.1 Simulação do caso 1
Com a finalidade de validar o programa computacional com elementos piezelétricos
incorporados foi simulada uma viga em balanço com estes elementos piezelétricos
incorporados na parte superior e inferior da viga suporte, conforme figura 5.5.
Figura 5.5 Posicionamento de elementos piezelétricos incorporados viga em balanço caso 1
Os dados geométricos e de materiais dos elementos piezelétricos e da viga por
Maurini (2006) são dados pelas tabelas 5.15 e 5.14, respectivamente.
Tabela 5.14 Propriedades e dimensões do elemento piezelétrico caso 1.
Grandeza Valor unidade
Módulo de Young, Y
pe
62x10
9
N/m
2
Comprimento, L
pe
36,5x10
-3
m
Largura, b
pe
Espessura, h
pe
Coeficiente piezelétrico, d
31
Massa específica
17,6x10
-3
0,267x10
-3
-320x10
-3
7800
m
m
m/V
kg/m
3
L
5
47,5
b
L
pe
h
pe
b
pe
h
mm
72
Tabela 5.15 Propriedades geométricas e materiais da viga simulada caso1
Grandeza Valor Unidade
Comprimento L 201x10
-3
m
Largura b 20x10
-3
m
Espessura h 2,82x10
-3
m
Massa Específica ρ 2700 kg/m
3
Módulo de Young Y
Coeficiente de Poisson ν
Coeficiente de Cisalhamento κ
Coeficiente de piezelétrico indireto d
31
69x10
9
0,33
0,833
390x10
-11
N/m
2
-
-
m/V
Para o caso 1 a viga é simulada com 201 elementos. Os resultados encontrados são
comparados com os resultados encontrados por Maurini (2006). A tabela 5.16 mostra as
freqüências encontradas por Maurini (2006), as freqüências encontradas pelo código
computacional desenvolvido e os seus respectivos desvios relativos para a viga uniforme,
sem elementos piezelétricos incorporados. A tabela 5.17 mostra os valores encontrados por
Maurini (2006) e pelo autor, para a mesma viga com elementos piezelétricos incorporados
A diferença maior nas freqüências mais altas é devido ao modelo adotado por Maurini
(2006) ser o de Euller-Bernoulli, enquanto que o do autor é o modelo de Timoshenko.
Tabela 5.16 Freqüências e desvios relativos encontrados para o caso 1 viga uniforme
Ordem Maurini (Hz) Autor (Hz) Desvio relativo (%)
1
2
3
4
57,6071
361,0170
1010,86
1980,88
57,59885
360,65888
1008,47018
1972,24733
0,0143
0,0992
0,2364
0,4358
73
Tabela 5.17 Freqüências e desvios relativos encontrados para o caso 1 viga com pzt
Ordem Maurini (Hz) Autor (Hz) Desvio relativo (%)
1
2
3
4
66,6859
363,590
1001,24
1954,99
66,53105
363,08246
999,0631
1943,99
0,2322
0,1396
0,2168
0,5739
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Modos de 1 a 4
Desvio relativo - %
Desvio relativo encontrado para o caso 1
Viga uniforme (sem pzt)
Viga com pzt
Figura 5.6 – Gráfico de desvios relativos para o caso 1.
O gráfico da figura 5.6 mostra os desvios relativos da tabela 5.16 referentes a viga
sem elementos piezelétricos incorporados, denominada de viga uniforme e os dos desvios
relativos da tabela 5.17, que são os valores de uma viga com elementos piezelétricos
incorporados, conforme geometria e configuração mostrada na figura 5.5.
A figura 5.7 mostra o gráfico do primeiro modo de vibrar da viga do caso 1, com e
sem elementos piezelétricos incorporados. Desta maneira é possível verificar que estes
elementos alteram os parâmetros modais da estrutura suporte.
74
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Viga em Balanço - Modo(s) no. 1
Posição x/L
Modo(s)
Normalizado
s/ pzt
c/pzt
Figura 5.7 – Gráfico da viga do caso 1 com elementos piezelétricos incorporados.
5.2.2 Simulação do caso 2
É simulada uma viga em balanço com a configuração mostrada na figura 5.8 e com as
propriedades geométricas e de materiais da viga e do elemento piezelétrico dadas pelas
tabelas 5.18 e 5.19, respectivamente. No trecho com elemento piezelétrico incorporado
tem-se que (h+h
pe
)/L
pe
é igual a 0,3133.
75
Tabela 5.18 Propriedades geométricas e materiais da viga simulada 2 com elementos
piezelétricos.
Grandeza Valor Unidade
Comprimento L 0,1524 m
Largura b 0,0254 m
Espessura h 0,000794 m
Massa Específica ρ 2799 kg/m
3
Módulo de Young Y
Coeficiente de Poisson ν
Coeficiente de Cisalhamento κ
Módulo de Elasticidade Transversal G
Coeficiente de piezelétrico indireto d
31
7,37739x10
10
0,3
0,833
80x10
9
390x10
-11
N/m
2
-
-
N/m
2
m/V
Tabela 5.19 Propriedades e dimensões do elementos piezelétricos caso 2.
Grandeza Valor Unidade
Comprimento L
pe
0,10922 m
Largura b
pe
0,022352 m
Espessura h
pe
0,001378 m
Massa Específica ρ 7800 kg/m
3
Módulo de Young Y
Coeficiente de piezeletricidade
Coeficiente de Poisson
3,1302x10
10
171x10
-12
0,3
N/m
2
m/V
-
Para o caso 2 a viga é simulada com 100 elementos. Na tabela 5.20 são apresentadas
às freqüências calculadas pelo código computacional desenvolvido e as freqüências
análiticas encontradas por Kusculuoglu et al. (2004), assim como o desvio relativo.
76
Figura 5.8 – Posicionamento de elementos piezelétricos incorporados à viga em balanço
caso 2.
Tabela 5.20 Desvios encontrados em relação a freqüência analítica para o caso 2
Ordem
Timoshenko
analítico (Hz)
FEM
Autor (Hz)
Desvio
Relativo
(%)
1
2
3
4
5
24,3500
266,68120
773,72130
1402,0000
2056,3000
20,98859
295,26849
807,42735
1452,83157
2151,97680
13,8046
10,7196
4,3564
3,6256
4,6599
O gráfico da figura 5.9 mostra os desvios relativos entre as freqüências calculadas
analiticamente pelo modelo de Timoshenko e as encontradas pelo programa de computador
desenvolvido.
PZT
L
pe
L
h
pe
b
b
pe
h
(L-L
pe
)/2
77
Figura 5.9 – Gráfico de desvios relativos para o caso 2
78
Capítulo 6
DETERMINAÇÃO DO POSICIONAMENTO ÓTIMO
DOS ATUADORES PIEZELÉTRICOS
Neste capítulo são mostrados os gráficos dos primeiros modos de vigas em diversas
condições de contorno. São feitas simulações do posicionamento ótimo para um modo
individualmente e, para mais de um modo, simultaneamente, através do código computacional
de posicionamento ótimo desenvolvido neste trabalho, que se utiliza da teoria de elementos
finitos e de sistemas de controle. São feitas também simulações de elementos piezelétricos
posicionados em posições ótimas e não ótimas, no domínio do tempo e da freqüência , livre e
forçada, com a finalidade de verificar-se a efetividade do posicionamento.
Uma análise dinâmica do comportamento modal de uma estrutura flexível com elementos
piezelétricos incorporados é realizada com a finalidade de se verificar a influência destes
elementos piezelétricos nos parâmetros modais da estrutura suporte.
Todas as simulações foram realizadas com a viga de dimensões e propriedades
mecânicas, conforme tabela 5.1. Já os atuadores ou elementos piezelétricos têm dimensões e
propriedades mecânicas apresentadas na tabela 6.1.
79
6.1 CASO 1: VIGA BIAPOIADA
6.1.1 Posições Ótimas para um Atuador sem Considerar o Efeito da
Rigidez e Massa do Atuador Piezelétrico.
A viga biapoiada foi modelada com cem elementos finitos. Após os cálculos tomam-se os
primeiros modos de vibrar e seus respectivos índices de posicionamentos que são mostrados
nos gráficos das figuras 6.1 e 6.2 e nas tabelas 6.2 e 6.3 são mostrados os valores numéricos das
posições ótimas. Nas simulações, os modos de vibrar e os índices de posicionamento não
consideram o efeito da rigidez e da massa do elemento piezelétrico incorporado.
Tabela 6.1 Propriedades e dimensões do elemento piezelétrico.
Grandeza Valor unidade
Módulo de Young, Y
pe
130x10
9
N/m
2
Comprimento, L
pe
0,150 m
Largura, b
pe
Espessura, h
pe
Coeficiente piezelétrico, d
31
Massa Específica ρ
0,0750
0,010
390x10
-11
7800
m
m
m/V
kg/m
3
80
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
Posição x/L
Modo(s)
Normalizado
Viga Biapoiada - Modo(s) no. 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-3
Posição x/L
Índice de Posicionamento
Figura 6.1 – a) Primeiro modo de vibrar; b) Índice de posicionamento ótimo.
O gráfico da figura 6.1 mostra o primeiro modo de vibrar de uma viga biapoiada e o seu
respectivo gráfico do índice de posicionamento obtido, através dos valores singulares, descrita
no capítulo 4.
A tabela 6.2 apresenta o valor numérico da posição ótima para o posicionamento de um
atuador piezelétrico cujos valores foram retirados da figura 6.1.
Tabela 6.2 Posição ótima para o primeiro modo de uma viga biapoiada.
Posição ótima (x/L) Posição ótima (m)
0,50 0,750
Os gráficos da figura 6.2 mostram o segundo modo de vibrar da mesma viga com o seu
respectivo índice de posicionamento.
81
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Posição x/L
Modo(s)
Normalizado
Viga Biapoiada - Modo(s) no. 2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Posição x/L
Índice de Posicionamento
Figura 6.2 – a) Segundo modo de vibrar; b) Índice do posicionamento ótimo
A tabela 6.3 mostra os valores numéricos relativos as posições ótimas para o segundo
modo de vibrar da viga biapoiada, conforme figura 6.2.
Tabela 6.3 Posição ótima do segundo modo de uma viga biapoiada.
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
0,25 0,75 0,375 1,125
6.1.2 Posições Ótimas para um Atuador Considerando-se o Efeito da
Rigidez e da Massa do Atuador Piezelétrico
Considera-se aqui a influência da rigidez e da massa do elemento piezelétrico no
posicionamento. Tem-se como objetivo verificar esta influência no posicionamento dos
atuadores piezelétricos. O atuador piezelétrico é posicionado a 0,5L, a partir da extremidade
esquerda da viga, colocados um na parte superior e outro na parte inferior. A figura 6.4 mostra
o índice de posicionamento ótimo da viga com e sem elementos piezelétricos incorporados para
o primeiro modo de vibrar da viga biapoiada.
82
Figura 6.3 – Posicionamento ótimo para primeiro modo viga biapoiada com e sem atuador.
Figura 6.4 – Modo de vibrar para primeiro modo viga biapoiada com e sem atuador.
83
No gráfico da figura 6.3 verifica-se que os elementos piezelétricos incorporados à
estrutura suporte, não alteram a posição ótima, apesar de alterar a forma do modo, isto se deve
ao fato dos elementos piezelétricos estarem centrados em relação ao modo que ocorre a 0,50 do
comprimento da viga. O gráfico da figura 6.4 mostra a diferença entre o primeiro modo de
vibrar da viga biapoiada com e sem elementos piezelétricos incorporados. Nota-se que houve
uma alteração do modo devido ao elemento piezelétrico.
A tabela 6.4 mostra as posições ótimas para viga biapoiada com e sem elementos
piezelétricos incorporados para o primeiro modo.
Tabela 6.4 Posição ótima do primeiro modo de uma viga biapoiada com e sem atuador.
Posição ótima sem atuador Posição ótima com atuador
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,44 0,660 0,50 0,750 0,54 0,810
Comprimento do atuador
Posição 3 – Posição 1
0,5 0,750
0,150 m
O gráfico da figura 6.5 mostra o posicionamento ótimo para uma viga biapoiada no
segundo modo, com e sem elementos piezelétricos incorporados. Os elementos são
posicionados a 0,25 e 0,75 do comprimento da viga, conforme tabela 6.3.
No gráfico da figura 6.5 nota-se que existe uma diferença entre as curvas de índice de
posicionamento devido a presença dos elementos piezelétricos. Na mesma figura observa-se
que as posições ótimas 0,25L e 0,75L não se alteram com a consideração do efeito da massa e
da rigidez. Isto se deve a simetria dos modos.
A figura 6.6 mostra o gráfico do segundo modo de vibrar da viga biapoiada com e sem
elementos piezelétricos incorporados. Assim como no primeiro modo de vibrar, a massa e
rigidez dos elementos piezelétricos, neste caso altera o modo.
84
Figura 6.5 – Posicionamento ótimo para segundo modo viga biapoiada com e sem atuador.
Figura 6.6 – Modo de vibrar para segundo modo viga biapoiada com e sem atuador.
85
A tabela 6.5 mostra as posições ótimas para viga biapoiada com e sem elementos
piezelétricos incorporados para o segundo modo.
Tabela 6.5 Posição ótima do primeiro modo de uma viga biapoiada com e sem atuador.
Posição ótima sem atuador 1 Posição ótima com atuador 1
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,19 0,285 0,25 0,375 0,29 0,435
Comprimento do atuador 1
Posição 3 – Posição 1
0,25 0,375
0,150m
Posição ótima sem atuador 2 Posição ótima com atuador 2
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,70 1,050 0,75 1,125 0,80 1,193
Comprimento do atuador 2
Posição 3 – Posição 1
0,75 1,125
0,150 m
6.1.3 Posições Ótimas Considerando Mais de Um Atuador Piezelétrico.
Com a finalidade de se verificar o posicionamento ótimo em uma viga biapoiada foi
realizada simulação do posicionamento ótimo com dois atuadores piezelétricos para o primeiro
e segundo modo de vibrar, respectivamente.
O gráfico da figura 6.7 mostra o posicionamento ótimo para o primeiro modo de vibrar
da viga, considerando a condição de se posicionar dois atuadores piezelétricos.
86
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
Posição x/L
Modo(s)
Normalizado
Viga Biapoiada - Modo(s) no. 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
2
3
x 10
-3
Posição x/L
Índice de Posicionamento
atuador 1
atuador 2
Figura 6.7– Posicionamento ótimo para primeiro modo viga biapoiada com 2 atuadores.
A tabela 6.6 mostra as posições ótimas para esta simulação.
Tabela 6.6 Posição ótima do primeiro modo de uma viga biapoiada com dois atuadores
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
Atuador 1 Atuador 2 Atuador 1 Atuador 2
0,50 0,50 0,750 0,750
O gráfico da figura 6.8 mostra o posicionamento ótimo para o segundo modo de vibrar da
viga biapoiada, considerando-se dois atuadores piezelétricos.
87
Figura 6.8 – Posicionamento ótimo para segundo modo viga biapoiada com 2 atuadores.
A tabela 6.7 mostra as posições ótimas para o segundo modo de vibrar da viga biapoiada
com dois atuadores piezelétricos.
Tabela 6.7 Posição ótima do segundo modo de uma viga biapoiada com dois atuadores.
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
Atuador 1 Atuador 2 Atuador 1 Atuador 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0,25 0,75 0,25 0,75 0,375 1,125 0,375 1,125
6.1.4 Posicionamento Ótimo para Mais de um Modo de Vibrar
Realizaram-se simulações com o intuito de se verificar a possibilidade de se posicionar o
elemento piezelétrico para mais de um modo, simultaneamente.
O gráfico da figura 6.9 mostra o posicionamento ótimo para a viga biapoiada,
considerando-se o primeiro e segundo modo de vibrar.
88
Figura 6.9 – Posicionamento ótimo para primeiro/segundo modo viga biapoiada.
A tabela 6.8 mostra as posições ótimas da viga biapoiada considerando-se o primeiro e
segundo modo.
Tabela 6.8 Posição ótima do primeiro/segundo modo de uma viga biapoiada.
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
1 2 1 2
0,30 0,70 0,450 1,050
Os gráficos da figura 6.10 mostram o primeiro, o segundo e o terceiro modos de vibrar e
os respectivos índices de posicionamento, considerando-se todos estes modos de vibrar
simultaneamente. A simulação foi realizada considerando-se três atuadores ou elementos
piezelétricos.
89
Figura 6.10 – Posicionamento ótimo para primeiro, segundo e terceiro modo viga biapoiada.
A tabela 6.9 mostra os valores das posições ótimas para viga biapoiada considerando-se o
primeiro, segundo e o terceiro modo da viga com três atuadores piezelétricos.
Tabela 6.9 Posição ótima do primeiro/segundo/terceiro modo de uma viga biapoiada.
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
1 2 3 1 2 3
0,22 0,50 0,78 0,330 0,750 1,170
90
6.2 CASO 2: VIGA EM BALANÇO
6.2.1 Posições Ótimas para um Atuador sem Considerar o Efeito da
Rigidez e da Massa do Atuador Piezelétrico.
As figuras 6.11 e 6.12 mostram o primeiro e o segundo modos de vibrar para uma viga
em balanço sem elementos piezelétricos incorporados e os seus respectivos índices de
posicionamento ótimo, cujas posições são mostradas pelas tabelas pelas tabelas 6.10 e 6.11.
Figura 6.11 – a) Primeiro modo de vibrar; b) Índice de posicionamento ótimo.
Tabela 6.10 Posição ótima para o primeiro modo de uma viga em balanço.
Posição ótima (x/L) Posição ótima (m)
0,01 0,015
91
Figura 6.12 – a) Segundo modo de vibrar; b) Índice do posicionamento ótimo.
Tabela 6.11 Posição ótima do segundo modo de uma viga em balanço.
Posições ótimas Posições ótimas (m)
0,01 0,53 0,015 0,795
6.2.2 Posições Ótimas Considerando o Efeito da Rigidez e da Massa do
Atuador Piezelétrico
Agora, simulou-se a viga considerando a massa e a rigidez do atuador piezelétrico, de
forma a verificar sua influência no índice de posicionamento. Desta maneira, obtêm-se o
primeiro modo da viga em balanço, com dois elementos piezelétricos, co-posicionados a 0,01 L
ou 1% do seu comprimento da viga, um na parte superior e outro na parte inferior, conforme
tabela 6.10. A figura 6.13 mostra o índice de posicionamento ótimo da viga com e sem
elemento piezelétrico incorporado para o primeiro modo de vibrar da viga em balanço. A figura
6.14 mostra o primeiro modo de vibrar para a viga em balanço.
92
Figura 6.13 – Posicionamento ótimo para primeiro modo viga em balanço com e sem atuador.
Figura 6.14 – Modo de vibrar para primeiro modo viga em balanço com e sem atuador.
93
Verifica-se no gráfico da figura 6.14, que os modos de vibrar da estrutura com e sem
elementos piezelétricos incorporados não são exatamente iguais devido ao acréscimo da massa
e da rigidez do atuador piezelétrico à estrutura suporte. No gráfico da figura 6.13 verifica-se
que o trecho com elemento incorporado há uma diminuição da controlabilidade, devido à massa
e a rigidez adicional dos elementos piezelétricos, contudo sua posição ótima não foi alterada.
Tabela 6.12 Posição ótima do primeiro modo de uma viga em balanço com e sem atuador.
Posição ótima sem atuador Posição ótima com atuador
x/L m Posição 1 Posição 3
x/L m x/L m
0,01 0,015 0,11 0,165
Comprimento do atuador
Posição 3 – Posição 1
0,01 0,015
0,15 m
A tabela 6.12 mostra a posição ótima para a viga em balanço com e sem elementos
piezelétricos incorporados para o primeiro modo. Também é dado o comprimento do elemento
piezelétrico.
O gráfico da figura 6.15 mostra o índice de posicionamento para o segundo modo de
vibrar da viga em balanço com e sem elemento piezelétricos incorporados.
Para a viga em balanço, a posição 1 é definido pela extremidade esquerda do atuador
piezelétrico, a posição 2 é o centro do atuador piezelétrico e a posição 3 a direita do atuador
piezelétrico.
94
Figura 6.15 – Posicionamento ótimo para segundo modo viga em balanço com e sem atuador.
Os elementos piezelétricos são posicionados na parte superior e inferior da viga em
balanço, posicionados conforme tabela 6.11 a 0,01 e a 0,53 do comprimento da viga.
O gráfico da figura 6.16 mostra o segundo modo de vibrar da viga com e sem elemento
piezelétrico ou atuador piezelétrico incorporados. Neste caso a rigidez e a massa do elemento
ou atuador piezelétrico, adicionadas à estrutura suporte, também como aconteceu com o
primeiro modo, mudam a configuração do modo de vibrar.
No gráfico do índice de posicionamento da figura 6.15 há uma diminuição da
controlabilidade na região onde o elemento ou atuador piezelétrico está posicionado na
estrutura suporte.
A tabela 6.13 mostra a posição ótima para a viga em balanço com e sem elementos
piezelétricos incorporados para o segundo modo. Também é dado o comprimento do elemento
piezelétrico.
95
Figura 6.16 – Modo de vibrar para segundo modo viga em balanço com e sem atuador.
Tabela 6.13 Posição ótima do segundo modo de uma viga em balanço com e sem atuador.
Posição ótima sem atuador 1 Posição ótima com atuador 1
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,01 0,015 0,06 0,09 0,11 0,165
Comprimento do atuador 1
Posição 3 –Posição 1
0,01 0,015
0,150 m
Posição ótima sem atuador 2 Posição ótima com atuador 2
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,48 0,720 0,54 0,810 0,58 0,870
Comprimento do atuador 2
Posição 3 – Posição 1
0,53 0,795
0,150 m
96
6.2.3 Posições Ótimas Considerando Mais de Um Atuador Piezelétrico.
Com a finalidade de se verificar o posicionamento ótimo para uma viga em balanço no
caso de se posicionar mais de um atuador piezelétrico, foi feita simulação do posicionamento
ótimo com dois atuadores para o primeiro modo e para o segundo modo de vibra
respectivamente.
O gráfico da figura 6.17 mostra o modo de vibrar e o posicionamento ótimo para o
primeiro modo da viga em balanço, considerando a condição de se posicionar dois atuadores
piezelétricos.
A tabela 6.14 mostra as posições ótimas para o primeiro modo de vibrar da viga em
balanço.
Figura 6.17 – Posicionamento ótimo para primeiro modo viga em balanço com 2 atuadores.
97
Tabela 6.14 Posição ótima do primeiro modo de uma viga em balanço com dois atuadores.
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
Atuador 1 Atuador 2 Atuador 1 Atuador 2
0,01 0,02 0,015 0,030
O gráfico da figura 6.18 mostra o modo de vibrar e o índice de posicionamento para o
segundo modo da viga em balanço.
A tabela 6.15 mostra as posições ótimas da viga em balanço considerando-se dois
atuadores piezelétricos.
Figura 6.18 – Posicionamento ótimo para segundo modo viga em balanço com 2 atuadores.
Tabela 6.15 Posição ótima do segundo modo de uma viga em balanço com dois
atuadores.
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
Atuador 1 Atuador 2 Atuador 1 Atuador 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0,01 0,53 0,02 0,53 0,015 0,795 0,030 0,795
98
6.2.4 Posicionamento Ótimo para Mais de um Modo de Vibrar
Considerando Mais de Um Atuador Piezelétrico Sem Considerar a Massa
e Rigidez do Atuador Piezelétrico.
Com o intuito de se verificar a influência de um modo sobre o outro no posicionamento
do atuador piezelétrico, foi simulado o posicionamento da viga em balanço considerando-se
mais de um modo de vibrar.
O gráfico da figura 6.19 mostra o índice de posicionamento ótimo pra a viga em balanço
considerando-se o primeiro e o segundo modo de vibrar com dois atuadores piezelétricos.
Figura 6.19 – Posicionamento ótimo para primeiro/segundo modo viga em balanço.
A tabela 6.16 mostra os valores numéricos das posições ótimas para uma viga em
balanço na condição de vibrar entre o primeiro e segundo modo de vibrar.
Tabela 6.16 Posição ótima do primeiro/segundo modo de uma viga em balanço.
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
Atuador 1 Atuador 2 Atuador 1 Atuador 2
0,06 0,46 0,015 0,690
99
O gráfico 6.20 mostra o índice de posicionamento ótimo para uma viga em balanço
considerando o primeiro, o segundo e o terceiro modo com três atuadores piezelétricos.
Figura 6.20 – Posicionamento ótimo para primeiro/segundo/terceiro modo viga em balanço.
A tabela 6.17 mostra as posições ótimas para viga em balanço considerando-se o
primeiro, segundo e terceiro modo de vibrar sem considerar a influência da rigidez e da massa
do atuador piezelétrico.
Tabela 6.17 Posição ótima do primeiro/segundo/terceiro modo de uma viga em balanço
Posições ótimas – (x/L) Posições ótimas (m)
Atuador 1 Atuador 2 Atuador 3 Atuador 1 Atuador 2 Atuador 3
0,01 0,31 0,65 0,015 0,465 0,975
100
6.2.5 Posicionamento Ótimo para Mais de um Modo de Vibrar.
Considerando Mais de Um Atuador Piezelétrico e o Efeito da Influência da
Massa e da Rigidez dos Atuadores Piezelétricos.
A influência do atuador piezelétrico foi verificada através das simulações mostradas pela
figura 6.21, que mostra o índice de posicionamento ótimo para uma viga em balanço
considerando o primeiro, o segundo e o terceiro modo, simultaneamente, com a massa e da
rigidez do elemento piezelétrico. A figura 6.22 mostra o primeiro, o segundo e o terceiro modo
de vibrar da viga com e sem atuador piezelétrico. A figura 6.23 mostra os índices de
posicionamento da estrutura com e sem atuadores piezelétricos.
Figura 6.21 – Posicionamento ótimo para primeiro/segundo/terceiro modo viga em balanço
com atuadores piezelétricos.
101
Figura 6.22 – Primeiro/segundo/terceiro modo viga em balanço com e sem atuadores.
Figura 6.23 – Posicionamento ótimo para primeiro/segundo/terceiro modo viga em balanço
com e sem atuadores
102
A tabela 6.18 mostra os valores numéricos das posições ótimas para o primeiro, o
segundo e o terceiro modo de vibrar da viga em balanço com e sem atuadores piezelétricos.
Tabela 6.18 Posição ótima do primeiro/segundo/terceiro modo de uma viga em balanço com e
sem atuador.
Posição ótima sem atuador 1 Posição ótima com atuador 1
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,01 0,015 0,06 0,09 0,11 0,165
Comprimento do atuador 1
Posição 3 –Posição 1
0,01 0,015
0,150m
Posição ótima sem atuador 2 Posição ótima com atuador 2
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,25 0,375 0,30 0,450 0,35 0,525
Comprimento do atuador 2
Posição 3 – Posição 1
0,31 0,465
0,150 m
Posição ótima sem atuador 3 Posição ótima com atuador 2
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,58 0,870 0,63 0,945 0,68 1,020
Comprimento do atuador 2
Posição 3 – Posição 1
0,65 0,975
0,150 m
Verifica-se pela figura 6.23 que a massa e a rigidez dos atuadores piezelétricos deslocam
o índice de posicionamento para a direita, isto ocorre porque, como observado pela figura 6.22,
há uma alteração dos modos de vibrar com e sem atuadores piezelétricos.
103
6.3 CASO 3: VIGA BI-ENGASTADA
6.3.1 Posições Ótimas para um Atuador Piezelétrico.
A figura 6.24 mostra o primeiro modo de vibrar, considerando-se um atuador piezelétrico
sem elementos piezelétricos incorporados e o seu respectivo índice de posicionamento ótimo,
cujas posições são mostrada pela tabela 6.19.
Figura 6.24 – a) Primeiro modo de vibrar; b) Índice de posicionamento ótimo para viga em bi-
engastada.
Tabela 6.19 Posição ótima para o primeiro modo de uma viga bi-engastada.
Posição ótima (x/L) Posição ótima (m)
0,01 0,50 0,99 0,015 0,750 1,485
A figura 6.25 mostra o primeiro e o segundo modo de vibrar da viga bi-engastada,
considerando-se dois atuadores piezelétricos e o seu respectivo índice de posicionamento.
104
Figura 6.25 – a) Primeiro/Segundo modo de vibrar b) Índice de posicionamento ótimo para viga
em bi-engastada.
A tabela 6.20 mostra os valores numéricos encontrados para esta simulação.
Tabela 6.20 Posição ótima para o primeiro/segundo modo de uma viga bi-engastada.
Posições ótimas (x/L) Posições ótimas (m)
Atuador 1 Atuador 2 Atuador 1 Atuador 2
0,01 0,36 0,79 0,22 0,64 0,99 0,01 0,54 1,17 0,33 0,96 1,49
Com a finalidade de se verificar o efeito da massa e da rigidez do atuador piezelétrico, foi
simulada uma viga bi-engastada com três atuadores piezelétricos posicionados de acordo com a
tabela 6.19. O gráfico da figura 6.26 mostra o índice de posicionamento para o primeiro modo
de vibrar de uma viga com e sem elemento piezelétricos incorporados
Nesta simulação verifica-se que não há alteração da posição ótima porque os atuadores
piezelétricos estão centrados em relação ao modo.
105
Figura 6.26 –Índice de posicionamento ótimo para o primeiro modo viga em bi-engastada com
e atuador pzt
6.3.2 Posicionamento Ótimo para Mais de um Modo de Vibrar.
Considerando Mais de Um Atuador Piezelétrico e o Efeito da Massa e da
Rigidez dos Atuadores Piezelétricos.
Foi feita uma simulação da viga bi-engastada considerando o primeiro e segundo modo,
com e sem atuador piezelétrico incorporado a estrutura suporte. A figura 6.27 mostra o índice
de posicionamento para esta simulação, com atuadores piezelétricos posicionados de acordo
com a tabela 6.20.
106
Figura 6.27 –Índice de posicionamento ótimo para o primeiro/segundo modo viga em bi-
engastada com e sem atuador
Figura 6.28 –Primeiro/segundo modo de vibrar viga bi-engastada com e sem atuador
107
A figura 6.28 mostra os modos de vibrar da viga bi-engastada considerando o primeiro e
o segundo modo, verifica-se a influência da massa e rigidez do atuador piezelétrico que faz
com que o índice seja deslocado uma parte para a direita e a outra, devido à simetria, para a
esquerda.
Figura 6.29 –Índice de posicionamento ótimo para o primeiro/segundo/terceiro modo viga bi-
engasatada sem atuador.
O gráfico da figura 6.29 mostra o índice de posicionamento para uma viga bi-engastada
considerando o primeiro, o segundo e o terceiro modo com a condição de se posicionar três
atuadores piezelétricos. Nesta simulação a viga não está com atuadores piezelétricos
incorporados. Nesta condição verifica-se apenas a influência de modo um sobre o outro.
O gráfico da figura 6.30 mostra esta mesma simulação, porém considerando-se a
influencia da massa e da rigidez dos atuadores piezelétricos, posicionados de acordo com a
tabela 6.19.
108
Figura 6.30 –Índice de posicionamento ótimo para o primeiro/segundo/terceiro modo viga bi-
engastada com atuador.
Figura 6.31 –Índice de posicionamento ótimo para o primeiro/segundo/terceiro modo viga bi-
engastada com e sem atuador.
109
O gráfico da figura 6.30 mostra os modos de vibrar e o índice de posicionamento da viga
considerando o primeiro, o segundo e o terceiro na condição de posicionar três atuadores
piezelétricos.
A figura 6.31 mostra os gráficos dos índices de posicionamentos para a viga, com e sem
elementos piezelétricos incorporados, onde se verifica a influência destes elementos
piezelétricos no índice de posicionamento, isto porque os modos de vibrar são alterados pela
massa e pela rigidez acrescentada pelos atuadores piezelétricos. Esta condição é verificada no
gráfico da figura 6.32.
Figura 6.32 –Primeiro/segundo/terceiro modo viga bi-engastada com e sem atuador.
A tabela 6.21 mostra os valores numéricos de uma viga bi-engastada considerando o
primeiro, o segundo e o terceiro modo, com e sem atuadores piezelétricos.
110
Tabela 6.21 Posição ótima do primeiro/segundo/terceiro modo de uma viga bi-engastada com e
sem atuador.
Posição ótima sem atuador 1 Posição ótima com atuador 1
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,01 0,015 0,06 0.09 0,11 0,165
Comprimento do atuador 1
Posição 3 –Posição 1
0,01 0,015
0,150 m
Posição ótima sem atuador 2 Posição ótima com atuador 2
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,45 0,675 0,50 0,750 0,55 0,825
Comprimento do atuador 2
Posição 3 – Posição 1
0,5 0,750
0,150 m
Posição ótima sem atuador 3 Posição ótima com atuador 2
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,89 1,335 0,94 1,410 0,99 1,485
Comprimento do atuador 2
Posição 3 – Posição 1
0,99 1,485
0,150 m
111
6.4 CASO 4: VIGA LIVRE-LIVRE
6.4.1 Posições Ótimas para um Atuador Piezelétrico.
A figura 6.33 mostra o primeiro modo de vibrar de corpo flexível e o seu respectivo
índice de posicionamento.
Figura 6.33 – a) Primeiro modo de vibrar; b) Índice de posicionamento ótimo para viga em
livre-livre.
A tabela 6.22 mostra os valores numéricos para a posição ótima do primeiro modo de
vibrar de corpo flexível da viga livre-livre.
Tabela 6.22 Posição ótima para o primeiro modo de uma viga livre-livre.
Posição ótima (x/L) Posição ótima (m)
0,50 0,750
112
Figura 6.34 – a) Índice de posicionamento do primeiro modo de vibrar de corpo flexível da viga
livre-livre com e sem atuador.
A figura 6.34 mostra o índice de posicionamento para o primeiro modo flexível da viga
livre-livre, com e sem atuadores piezelétricos incorporados.
A figura 6.35 mostra o primeiro modo de vibrar, da viga com e sem elementos
piezelétricos incorporados. No gráfico da figura 6.35 verifica-se que os modos não são
exatamente iguais, embora o gráfico de posicionamento da figura 6.34 mostra que a posição
ótima não se altera.
113
Figura 6.35 – Primeiro modo de vibrar flexível da viga livre-livre com e sem atuador.
6.4.2 Posições Ótimas Considerando Mais de Um Atuador Piezelétrico e a
Influência da Massa e da Rigidez dos Atuadores Piezelétricos.
A figura 6.36 mostra o segundo modo de vibrar da viga livre-livre e o seu respectivo
índice de posicionamento. Para esta simulação não foi considerada a influência da massa e da
rigidez do atuador piezelétrico.
A figura 6.37 mostra o segundo modo de vibrar da viga livre-livre, considerando-se o
efeito da massa e da rigidez do atuador piezelétrico. Observa-se que os modos não são
exatamente iguais.
A figura 6.38 mostra o índice de posicionamento para o segundo modo de vibrar da viga
livre-livre com e sem atuadores piezelétricos co-posicionados, de acordo com a tabela 6.23, que
mostra os valores numéricos das posições ótimas com e sem atuadores piezelétricos.
114
Figura 6.36 – a) Segundo modo de vibrar viga livre-livre; b) Índice de posicionamento ótimo.
Figura 6.37 – Segundo modo de vibrar da viga livre-livre com e sem atuador.
115
Figura 6.38 – Índice de posicionamento ótimo da viga livre-livre com e sem atuador.
Tabela 6.23 Posição ótima do segundo modo de uma viga livre-livre com e sem atuador.
Posição ótima sem atuador 1 Posição ótima com atuador 1
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,24 0,360 0,29 0,435 0,34 0,510
Comprimento do atuador 1
Posição 3 – Posição 1
0,29 0,435
0,150m
Posição ótima sem atuador 2 Posição ótima com atuador 2
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,66 0,990 0,71 1,065 0,76 1,140
Comprimento do atuador 2
Posição 3 – Posição 1
0,71 1,065
0,150 m
116
6.5 CASO 5: VIGA ENGASTADA-APOIADA
6.5.1 Posições Ótimas para um Atuador Piezelétrico.
O gráfico 6.39 mostra o primeiro modo de vibrar da viga engastada-apoiada com o seu
respectivo índice de posicionamento.
A tabela 6.24 mostra os valores numéricos da posição ótima para o primeiro modo de
vibrar da viga engastada-apoiada.
Figura 6.39 – a) Primeiro modo de vibrar; b) Índice de posicionamento ótimo para viga
engastada-apoiada.
Tabela 6.24 Posição ótima para o primeiro modo de uma viga engastada-apoiada
Posição ótima (x/L) Posição ótima (m)
0,02 0,62 0,023 0,932
117
Figura 6.40 – Índice de posicionamento ótimo primeiro modo para viga engastada-apoiada.
Figura 6.41 – Primeiro modo de vibrar da viga engastada-apoiada com e sem atuador.
118
A figura 6.40 mostra os gráficos dos índices de posicionamentos ótimos do primeiro
modo de vibrar da viga engastada-apoiada com e sem elementos piezelétricos. Verifica-se que
há um deslocamento para a direita do gráfico com elemento piezelétrico em relação ao gráfico
sem elemento piezelétrico
Os gráfico da figura 6.41 mostra o primeiro modo de vibrar da viga engastada-apoiada
com e sem elemento piezelétrico. Verifica-se que os modos não são iguais.
6.5.2 Posições Ótimas Considerando Mais de Um Atuador Piezelétrico e a
Influência da Massa e da Rigidez dos Atuadores Piezelétricos.
A figura 6.42 mostra o primeiro e segundo modo de vibrar para viga engastada-apoiada e
o seu respectivo índice de posicionamento.
Figura 6.42 – a) Segundo modo de vibrar viga engastada-apoiada; b) Índice de posicionamento
ótimo.
119
Figura 6.43 – Segundo modo de vibrar da viga engastada-apoiada com e sem atuador.
Figura 6.44 – Índice de posicionamento ótimo da viga engastada-apoiada com e sem atuador.
120
A figura 6.43 mostra o segundo modo de vibrar da viga engastada-apoiada considerando-
se o efeito da massa e da rigidez do atuador piezelétrico. Observa-se que os modos são
diferentes.
A figura 6.44 mostra o índice de posicionamento para o segundo modo de vibrar da viga
engastada-apoiada, com e sem atuadores piezelétricos co-posicionados de acordo com a tabela
6.25, que mostra os valores numéricos das posições ótimas com e sem atuadores piezelétricos.
Tabela 6.25 Posição ótima do segundo modo de uma viga engastada-apoida com e sem pzt.
Posição ótima sem atuador 1 Posição ótima com atuador 1
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,01 0,015 0,06 0,11 0,115
Comprimento do atuador 1
Posição 3 – Posição 1
0,01 0,015
0,150m
Posição ótima sem atuador 2 Posição ótima com atuador 2
x/L m Posição 1 Posição 2 Posição3
x/L m x/L m x/L m
0,70 1,050 0,75 1,125 0,80 1,200
Comprimento do atuador 2
Posição 3 – Posição 1
0,75 1,125
0,150 m
121
6.6 CASO 6: SIMULAÇÃO DE CONTROLE DA VIGA
BIAPOIADA
Com a finalidade de se verificar a efetividade do posicionamento ótimo foram feitas
simulações de controle, utilizando controle ótimo do tipo regulador quadrático linear,
posicionando-se os atuadores piezelétricos em posições ótimas e não ótimas de acordo com a
Figura 6.45.
6.6.1 Simulação Considerando Um Modo Um Atuador Piezelétrico e Uma
Excitação Degrau Unitário Para o Primeiro Modo.
Nesta simulação foi considerada uma excitação do tipo degrau unitário, sendo que esta
excitação foi aplicada no meio do comprimento da viga. O atuador piezelétrico é posicionado,
considerando-se o primeiro modo de vibrar da viga biapoiada, no elemento 6 para a posição
ótima e posicionado no elemento 1, a partir da extremidade esquerda da viga para a posição não
ótima, conforme as posições dos elementos mostradas na figura 6.45.
O atuador piezelétrico aplica momento na estrutura, ou seja, momento nos graus de
liberdade angulares.
As figuras 6.46, 6.47 e 6.48 mostram os gráficos das simulações com o atuador
posicionado na posição ótima do primeiro modo de vibrar da viga biapoiada, para as condições
de malha aberta, malha fechada no tempo, função resposta em freqüência e força de controle
respectivamente.
As figuras 6.49, 6.50 e 6.51 mostram os gráficos das simulações com o atuador
posicionado na posição não ótima do primeiro modo de vibrar da viga biapoiada, para as
condições de malha aberta, malha fechada, função resposta em freqüência e força de contole,
respectivamente.
Tabela 6.45 Elementos da viga de controle simulada.
122
Figura 6.46 – Malha aberta/fechada excitação degrau unitário 1 modo/1 atuador posição ótima.
Figura 6.47 – FRF excitação degrau unitário 1 modo/1 atuador posição ótima.
123
Figura 6.48 – Força de controle devido a degrau unitário 1 modo/1 atuador posição ótima.
Figura 6.49 – Malha aberta/fechada excitação degrau unitário 1 modo/1 atuador posição não
ótima.
124
Figura 6.50 – FRF excitação degrau unitário 1 modo/1 atuador posição não ótima.
Figura 6.51 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 1 modo/1 atuador posição
não ótima.
125
6.6.2 Simulação Considerando Um Modo Um Atuador Piezelétrico e Uma
Excitação Impulso Unitário Para o Primeiro Modo.
Nesta simulação foi considerada uma excitação do tipo impulso unitário, sendo que esta
excitação foi aplicada no meio do comprimento da viga. O atuador piezelétrico é posicionado,
considerando-se o primeiro modo de vibrar da viga biapoiada, no elemento 6 para a posição
ótima e posicionado no elemento 1, a partir da extremidade esquerda da viga para a posição não
ótima, conforme figura 6.45.
As figuras 6.52, 6.53 e 6.54 mostram os gráficos das simulações com o atuador
posicionado na posição ótima do primeiro modo de vibrar da viga biapoiada, para as condições
de malha aberta, malha fechada no tempo, função resposta em freqüência e força de controle,
respectivamente.
As figuras 6.55, 6.56 e 6.57 mostram os gráficos das simulações com o atuador
posicionado na posição não ótima do primeiro modo de vibrar da viga biapoiada, para as
condições de malha aberta, malha fechada, função resposta em freqüência e força de controle,
respectivamente.
126
Figura 6.52 – Malha aberta/fechada excitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição
ótima.
Figura 6.53 – FRF excitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição ótima.
127
Figura 6.54 – Força de controle devido a excitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição
ótima.
Figura 6.55 – Malha aberta/fechada impulso degrau unitário 1 modo/1 atuador posição não
ótima.
128
Figura 6.56 – FRF excitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição não ótima.
Figura 6.57 – Força de controle devido a excitação impulso unitário 1 modo/1 atuador posição
não ótima.
129
6.6.3 Simulação Considerando Um Modo Um Atuador Piezelétrico e Uma
Excitação Harmônica Seno Unitário Para o Primeiro Modo.
Nesta simulação foi considerada uma excitação do tipo harmônica seno unitária, sendo
que esta excitação foi aplicada no meio do comprimento da viga com uma freqüência de 66,8
Hz, portanto um valor menor que a primeira freqüência natural da viga biapoiada que é de 78,3
Hz. O atuador piezelétrico é posicionado, considerando-se o primeiro modo de vibrar da viga
biapoiada, no elemento 6 para a posição ótima e posicionado no elemento 1, a partir da
extremidade esquerda da viga para a posição não ótima, conforme figura 6.45.
As figuras 6.58, 6.59 e 6.60 mostram os gráficos das simulações com o atuador
posicionado na posição ótima do primeiro modo de vibrar da viga biapoiada, para as condições
de malha aberta, malha fechada no tempo, função resposta em freqüência e força de controle,
respectivamente.
As figuras 6.61, 6.62 e 6.63 mostram os gráficos das simulações com o atuador
posicionado na posição não ótima do primeiro modo de vibrar da viga biapoiada, para as
condições de malha aberta, malha fechada, função resposta em freqüência e força de controle,
respectivamente.
130
Figura 6.58 – Malha aberta/fechada excitação harmônica unitário 1 modo/1 atuador posição
ótima.
Figura 6.59 – FRF excitação harmônica unitário 1 modo/1 atuador posição ótima.
131
Figura 6.60 – Força de controle devido a excitação harmônica unitário 1 modo/1 atuador
posição ótima.
Figura 6.61 – Malha aberta/fechada harmônica unitário 1 modo/1 atuador posição não ótima.
132
Figura 6.62 – FRF excitação harmônica unitário 1 modo/1 atuador posição não ótima.
Figura 6.63 – Força de controle devido excitação a harmônica unitário 1 modo/1 atuador
posição não ótima.
133
6.6.4 Simulação Considerando Um Modo Um Atuador Piezelétrico e Uma
Excitação Degrau Unitário Para o Segundo Modo.
Nesta simulação foi considerada uma excitação do tipo degrau unitário, sendo que esta
excitação foi aplicada no meio do comprimento da viga. O atuador piezelétrico é posicionado,
considerando-se o segundo modo de vibrar da viga biapoiada, no elemento 3 para a posição
ótima e posicionado no elemento 1, a partir da extremidade esquerda da viga para a posição
não ótima, conforme figura 6.64.
As figuras 6.65, 6.66 e 6.67 mostram os gráficos das simulações com o atuador
posicionado na posição ótima do segundo modo de vibrar da viga biapoiada, para as condições
de malha aberta, malha fechada no tempo, função resposta em freqüência e força de controle,
respectivamente.
As figuras 6.68, 6.69 e 6.70 mostram os gráficos das simulações com o atuador
posicionado na posição não ótima do segundo modo de vibrar da viga biapoiada, para as
condições de malha aberta, malha fechada, função resposta em freqüência e força de controle,
respectivamente.
Figura 6.64 - Elementos da viga de controle simulada.
134
Figura 6.65 – Malha aberta/fechada excitação degrau unitário 2 modo/1 atuador posição ótima.
Figura 6.66 – FRF excitação degrau unitário 2 modo/1 atuador posição ótima.
135
Figura 6.67 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modo/1 atuador posição
ótima.
Figura 6.68 – Malha aberta/fechada degrau unitário 2 modo/1 atuador posição não ótima.
136
Figura 6.69 – FRF excitação degrau unitário 2 modo/1 atuador posição não ótima.
Figura 6.70 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modo/1 atuador posição
não ótima.
137
6.6.5 Simulação Considerando Dois Modos e Dois Atuadores Piezelétricos
e Uma Excitação Degrau Unitário Para o Primeiro e Segundo Modo.
Nesta simulação foi considerada uma excitação do tipo degrau unitário, sendo que esta
excitação foi aplicada no meio do comprimento da viga. Os dois pares de atuadores
piezelétricos são posicionados, considerando-se o primeiro e o segundo modo de vibrar da viga
biapoiada, nos elementos 3 e 9 para as posições ótimas e posicionados nos elementos 5 e 6, a
partir da extremidade esquerda da viga para as posições não ótimas, conforme figura 6.71.
As figuras 6.72, 6.73, 6.74 e 6.75 mostram os gráficos das simulações com os atuadores
posicionados na posição ótima do primeiro e do segundo modo de vibrar da viga biapoiada,
para as condições de malha aberta no tempo, malha fechada, função resposta em freqüência e
força de controle para o primeiro e para o segundo atuador piezelétrico, respectivamente.
As figuras 6.76, 6.77, 6.78 e 6.79 mostram os gráficos das simulações com os atuadores
co-posicionados na posição não ótima do primeiro e do segundo modo de vibrar da viga
biapoiada, para as condições de malha aberta, malha fechada, função resposta em freqüência e
força de controle para o primeiro e para o segundo atuador piezelétrico, respectivamente.
Figura 6.71 - Elementos da viga de controle simulada.
138
Figura 6.72 – Malha aberta/fechada excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores posição
ótima.
Figura 6.73 – FRF excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores posição ótima.
139
Figura 6.74 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores para o
primeiro atuador na posição ótima.
Figura 6.75 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores para o
segundo atuador na posição ótima.
140
Figura 6.76 – Malha aberta/fechada degrau unitário 2 modos/2 atuadores posição não ótima.
Figura 6.77 – FRF excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores posição não ótima.
141
Figura 6.78 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores para o
primeiro atuador piezelétrico posição não ótima.
Figura 6.79 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 2 modos/2 atuadores para o
segundo atuador piezelétrico posição não ótima.
142
6.6.6 Simulação Considerando Três Modos e Três Atuadores Piezelétricos
e Uma Excitação Degrau Unitário Para o Primeiro, Segundo e o Terceiro
Modo.
Nesta simulação foi considerada uma excitação do tipo degrau unitário, sendo que esta
excitação foi aplicada no meio do comprimento da viga. Os três pares de atuadores
piezelétricos são posicionados, considerando-se o primeiro, segundo e o terceiro modo de
vibrar da viga biapoiada, nos elementos 3, 6 e 9 para as posições ótimas e posicionados nos
elementos 1, 2 e 11, a partir da extremidade esquerda da viga para as posições não ótimas,
conforme figura 6.80.
As figuras 6.81, 6.82, 6.83, 6.84 e 6.85 mostram os gráficos das simulações com os
atuadores posicionados na posição ótima do primeiro, segundo e do terceiro modo de vibrar da
viga biapoiada, para as condições de malha aberta, malha fechada no tempo, função resposta
em freqüência e força de controle para o primeiro, para o segundo atuador e para o terceiro
atuador piezelétrico, respectivamente.
As figuras 6.86, 6.87, 6.88, 6.89 e 6.90 mostram os gráficos das simulações com os
atuadores posicionados na posição não ótima do primeiro, segundo e do terceiro modo de vibrar
da viga biapoiada, para as condições de malha aberta, malha fechada, função resposta em
freqüência e força de controle para o primeiro, para o segundo e para o terceiro atuador
piezelétrico, respectivamente.
Figura 6.80 - Elementos da viga de controle simulada.
143
Figura 6.81 – Malha aberta/fechada excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores posição
ótima.
Figura 6.82 – FRF excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores posição ótima.
144
Figura 6.83 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
primeiro atuador na posição ótima.
Figura 6.84 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
segundo atuador na posição ótima.
145
Figura 6.85 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
terceiro atuador na posição ótima.
Figura 6.86 – Malha aberta/fechada degrau unitário 3 modos/3 atuadores posição não ótima.
146
Figura 6.87 – FRF excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores posição não ótima.
Figura 6.88 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
primeiro atuador piezelétrico posição não ótima.
147
Figura 6.89 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
segundo atuador piezelétrico posição não ótima.
Figura 6.90 – Força de controle devido a excitação degrau unitário 3 modos/3 atuadores para o
terceiro atuador piezelétrico posição não ótima.
148
Capítulo 7
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
7.1 CONCLUSÕES
Neste trabalho é apresentado o desenvolvimento de uma técnica para se posicionarem
elementos piezelétricos em estruturas flexíveis. Este posicionamento consiste em uma parte
importante dentro de um projeto de estruturas inteligentes. A finalidade de se usar uma
técnica de posicionamento de elementos piezelétricos em estruturas flexíveis é para minimizar
o esforço do controlador. Em outras palavras pretende-se tornar de maneira mais eficiente o
controle ativo em estruturas flexíveis. A técnica de posicionamento desenvolvida baseia-se
nas análises de controlabilidade dos sistemas dinâmicos e pode ser aplicada independente do
tipo ou da estratégia de controle adotada.
A técnica desenvolvida é baseada na decomposição dos valores singulares da matriz de
controle. Esses valores singulares estão relacionados com a força de controle e assim com a
energia do controlador. Este presente trabalho utiliza um método de posicionamento direto.
Nesse método, diferentemente dos métodos baseados em técnicas heurísticas de otimização,
149
são feitas simulações de todas as combinações possíveis de posições do elemento na
estrutura flexível. Um índice de quantificação baseado na controlabilidade do sistema
determina a posição ótima dentre todas as combinações simuladas.
A vantagem dessa técnica é que a solução encontrada é sempre a global, diferentemente
de métodos heurísticos que, dependendo da função objetivo, podem encontrar uma solução
local dentro do espaço de soluções. A desvantagem é que é necessário na sua formulação o
conhecimento dos parâmetros modais da estrutura a ser controlada, requerendo desta forma
conhecimento mais profundo da estrutura.
Para realizar estas simulações foram desenvolvidos vários programas computacionais
em elementos finitos que consideram o elemento piezelétrico como um elemento finito
posicionado nó a nó, aplicando nestes mesmos nós momentos concentrados nos graus de
liberdade referentes aos deslocamentos angulares. Os modelos finitos de Timoshenko, que
utiliza quatro graus de liberdades por nó, desenvolvido neste trabalho apresentou bons
resultados. A precisão satisfatória destes resultados validados no capítulo 5, obtidos por meio
da comparação com os valores calculados numericamente e retirados da literatura
especializada, é mostrada nas tabelas 5.2 a 5.17.
Baseado na expressão matemática para o número de atuadores piezelétricos, conclui-se
que não existe um número ótimo de elementos piezelétricos, pois o ótimo está relacionado a
uma condição ideal. Nesse caso, o número de elementos piezelétricos depende das dimensões
do elemento piezelétrico e das suas propriedades. Assim, o número de elementos piezelétricos
em estruturas inteligentes é uma das condições de projeto.
Quando a massa e a rigidez adicionadas pelos atuadores ou elementos piezelétricos na
estrutura suporte, não forem suficientes para uma alteração significativa do modo de vibrar, as
suas posições ótimas não se alteram. Esta situação pode ser observada através dos gráficos de
modos anti-simétricos de vibrar, mostrados nas figuras 6.16, 6.22 6.43, onde a alteração do
modo de vibrar da estrutura, com e sem atuadores piezelétricos, não altera as suas posições
ótimas, condições estas apresentadas pelos gráficos das figuras 6.15, 6.21 e 6.42. Para o caso
de um modo simétrico, não há alteração do modo de vibrar, condição mostrada pelos gráficos
das figuras 6.4, 6.6, 6.28 e 6.32 e da mesma forma as suas posições ótimas, gráficos das
figuras 6.3, 6.5, 6.27 e 6.31, não se alteram. As tabelas 6.4, 6.5, 6.12, 6.18, 6.23 e 6.25
150
mostram as posições ótimas de estruturas, com e sem atuadores piezelétricos, onde as
posições 1, 2 e 3 são as extremidades esquerda, o meio e a extremidade direita do atuador
piezelétrico. Posições estas devido ao efeito dos atuadores piezelétricos na controlabilidade.
Outra conclusão é que o número de ótimos é função do modo. Esta situação é
apresentada pelos gráficos das figuras 6.1 e 6.2.
A técnica de posicionamento modal é coerente, pois a controlabilidade dos modos
superiores são maiores que a dos inferiores. Esta condição é verificada se o número de
atuadores ou elementos piezelétricos é menor que o número de modos de acordo com o
gráfico da figura 6.10.
A técnica de posicionamento apresentada neste trabalho mostrou bons resultados. A sua
efetividade de posicionamento pode ser verificada pelos gráficos de controle do capítulo 6. Os
gráficos 6.46 e 6.47 mostram, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da freqüência,
que o controle com o atuador piezelétrico na posição ótima foi mais efetivo que o controle
realizado com os atuadores piezelétricos na posição não ótima, de acordo com os gráficos
6.49 e 6.50. O gráfico da figura 6.47 mostra uma diminuição da amplitude do primeiro modo,
comprovando sua eficiência no controle deste modo.
As figuras 6.47, 6.53 e 6.59, mostra uma diminuição na amplitude o primeiro modo
quando o sistema está em malha fechada, demonstrando que realmente é a posição ótima de
acordo com a figura 6.45, tanto em uma excitação impulso, degrau e seno.
O gráfico da figura 6.66, mostra o controle para os atuadores piezelétricos posicionados
de acordo com posição ótima mostrada pela figura 6.64. Pode-se verificar uma diminuição da
amplitude para o segundo modo.
Os gráficos das figuras 6.48, 6.54, 6.60, 6.67, mostram a força de controle utilizada,
verifica-se que não é atingida a tensão de breakdown dos elementos piezelétricos.
Como conclusão final, podemos afirmar que foi apresentada uma metodologia de
posicionamento de atuadores piezelétricos que funciona em uma viga em várias condições
modais e de contorno.
151
7.2 SUGESTÕES E RECOMENDAÇÕES
Aplicar a presente técnica da decomposição em valores singulares da matriz de controle,
desenvolvida neste trabalho, em estruturas mais complexas, tais como: placas e cascas;
Aplicar a técnica de estruturas com camadas viscoelásticas, introduzidas pela presença
de camadas de atuadores piezelétricos do tipo polímeros na estrutura suporte;
Estudar outras técnicas de posicionamento, como por exemplo: técnicas heurísticas
baseadas em algoritmos genéticos, e comparar os resultados encontrados com a técnica direta
empregada neste trabalho;
Estudar o efeito da anisotropia das camadas de atuadores piezelétricos e sua influência
na matriz de rigidez destes elementos;
Aplicar o método de otimização topológica para projetar simultaneamente a estrutura e
o atuador piezelétrico.
152
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163
Apêndice A
CONCEITUAÇÃO SOBRE VALORES SINGULARES
A decomposição em valores singulares (SVD) é uma poderosa técnica em análise e
cálculo de matrizes. Usando-se o (SVD) da matriz, ao invés da própria matriz original, tem
–se a grande vantagem desta matriz de (SVD) ser mais robusta e ter menos erro numérico.
Adicionalmente, o (SVD), expõe a estrutura geométrica da matriz, um importante aspecto
em muitos cálculos de matrizes. A matriz pode ser descrita como uma transformação de um
vetor de um espaço a outro. Os componentes do (SVD) quantifica o resultado de troca entre
a geometria adjacente daqueles vetores.
O (SVD) é empregado em uma variedade de aplicações desde de mínimos quadrados
a problemas de sistemas de equações lineares. Cada uma destas aplicações explicita a
propriedade chave do (SVD), a sua relação com a ordem da matriz e a sua habilidade de
aproximar matrizes de uma certa ordem. Muitos aspectos da álgebra linear utilizam-se da
determinação da ordem da matriz, fazendo-se do (SVD) uma importante técnica
amplamente usada.
164
A decomposição em valores singulares e o associado conceito de condicionamento
são ferramentas de suma importância em métodos numéricos e analise numérica. É uma
transformação linear do tipo homotética que altera o módulo do vetor sob transformação.
Uma matriz [A] do tipo m por n (real ou complexa) pode sempre ser escrita como :
[
]
[
]
[
]
[
]
VSUA = (A.1)
Sendo que [U] e [V] são ortogonais (unitárias) e [S] diagonal. As colunas da matriz m
por m [U] são os autovetores da matriz [A] [A]
T
enquanto que as colunas da matriz n por n
[V] são os autovetores da matriz [A]
T
[A]. Alem disso os chamados valores singulares, que
são os elementos da diagonal de [S], são as raízes quadradas dos autovalores não nulos de
matriz[A] [A]
T
e da matriz [A]
T
[A].
A idéia geométrica fundamental que permeia a decomposição em valores singulares é
obter duas bases ortonornais nas quais a transformação linear possa ser escrita como uma
aplicação que associa elementos de uma base em múltiplos de elementos a outra. A análise
da solução de sistemas lineares pode ser feita com base na decomposição em valores
singulares. Através da equação (A.1) e supondo-se que m = n e que todos os valores
singulares de [A] sejam não nulos. Para resolver-se o seguinte sistema:
[
]
{
}
{
}
yxA = (A.2)
Faz-se:
{
}
[
]
[
]
[
]
{
}
yUSVx
1−
=
(A.3)
Como a matriz [S] é diagonal, [S]
-1
é bastante simples de ser calculada. Basta inverter
os elementos da diagonal da matriz [S]. Por outro lado, se alguns dos valores singulares
estiverem próximos de zero, isto significa que o sistema de equações é potencialmente
instável e que pequenas alterações no lado direito da equação (A.2) podem levar a um
distanciamento da solução do sistema.
165
Apêndice B
CONTROLE MODAL
O projeto do controle modal independente é baseado na teoria de analise modal. A
equação global dada pela equação (3.62) é reproduzida pela equação (B.1):
[
]
{
}
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
{
}
{
}
elisqqqqqq
FFFqKKKKqM ++=−+
−
φφφφ
1
&&
(B.1)
A resposta do sistema, para um modo particular i, pode ser escrita pela superposição
modal através da relação:
(
)
{
}
[
]
(
)
{
}
ttxq
i
ηχ
=, (B.2)
Aplicando-se a equação (B.2) na equação (B.1), obtém-se:
[
]
[
]
(
)
{
}
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
)(
*
tFtKtM
iiqq
=+
ηχηχ
&&
(B.3)
A equação (B.3) pode ser expressa, na formulação de espaço de estados, como:
166
{
}
[
]
{
}
[
]
{
}
uBzAz +=
&
(B.4)
O vetor de controle pode ser escrito, quando se usa realimentação de estados, como:
{
}
[
]
{
}
zGu −= (B.5)
Com: [G] a matriz de ganho ótimo de realimentação. O ganho ótimo satisfaz a
equação:
[
]
[
]
[
]
[
]
r
T
SBRG
1−
=
(B.6)
Com: [S
r
] a matriz de Ricatti e [R] uma matriz de ponderação. A matriz de ganho de
realimentação ótima pode ser particionada para representar os ganhos ótimos referentes aos
deslocamentos e as velocidades.
Então, tem-se:
[
]
[
]
qq
GGG
&
= (B.7)
Considerando-se nenhuma força externa atuando no sistema, a equação (B.1), torna-
se:
[
]
{
}
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
[
]
{
}
uBqKKKKqM
qqqqqq
=−+
−
φφφφ
1
&&
(B.8)
Substituindo-se as equações (B.7) e (B.5) na equação (B.8), tem-se:
[
]
{
}
[
]
[
]
{
}
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
0=+++
+
qGBKqGBqM
qqqq
&&&
&
(B.9)
Sendo que:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
qqqq
KKKKK
φφφφ
1
−
+
−= (B.10)
167
Apêndice C
NÚMERO DE ELEMENTOS PIEZELÉTRICOS
NECESSÁRIO PARA CONTROLAR UM DETERMINADO
MODO
O número de elementos piezelétricos necessários ou requeridos em um projeto de
estrutura inteligente é resultante do quociente entre a energia de deformação flexional
elástica da estrutura e a energia potencial interna do elemento piezelétrico. Esta energia de
deformação flexional, (Craig 1981), é:
{ }
[
]
{ }
i
T
idf
KU
χχ
*
2
1
=
(C.1)
A energia potencial interna devido ao efeito dielétrico da camada piezelétrica,
(Kusculuoglu et al., 2004), é expresso como:
168
( )
∫
Ω
Ω= dDEU
dp 33
2
1
(C.2)
Para o elemento piezelétrico tem-se:
a
pepepe
E,hbL
φ
==Ω
3
(C.3)
E das equações (2.48) e (2.66), com a tensão medida nos eletrodos igual a zero, efeito
indireto, e densidade superficial de cargas constante, tem-se:
31313
dYeD
pe
==
(C.4)
Substituindo-se a equação (C.4) e (C.3) na equação (C.2), tem-se que a energia
interna do elemento piezelétrico é:
31
2
1
dhbLYU
a
pepepepedp
φ
= (C.5)
O número de elementos piezelétricos é dado por:
dp
df
elp
U
U
n = (C.6)
A energia de deformação de flexão da viga é calculada de acordo com a deformação
modal, especifico para um determinado modo de vibrar, onde os seus valores máximos
representam os locais de posicionamento ótimo para os elementos piezelétricos de acordo
com Bin et al. (2000).
A energia de deformação do elemento piezelétrico é calculada através da
deformação piezelétrica devido ao coeficiente piezelétrico indireto.
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