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3ONTIFÍCIA 8NIVERSIDADE &ATÓLICA
DO RIO DE JANEIRO
/DXUD)UDQoD0DUTXHV%DUERVD
&RQWULEXLo}HVSDUDR&RQWUROH(VWDWtVWLFRGH
3URFHVVRVFRP0~OWLSORV&DQDLV
'LVVHUWDomRGH0HVWUDGR
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia de Produção da PUC-Rio
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Engenharia de Produção.
Orientador: Eugenio Kahn Epprecht
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
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3ONTIFÍCIA 8NIVERSIDADE &ATÓLICA
DO RIO DE JANEIRO
/DXUD)UDQoD0DUTXHV%DUERVD
&RQWULEXLo}HVSDUDR&RQWUROH(VWDWtVWLFRGH
3URFHVVRVFRP0~OWLSORV&DQDLV
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Engenharia de Produção da PUC-Rio.
Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo
assinada.
'U(XJHQLR.DKQ(SSUHFKW
Orientador
Departamento de Engenharia de Produção - PUC-Rio
'UD/LQGD/HH+R
Departamento de Engenharia de Produção - Poli / USP
'UD0{QLFD%DUURV
Departamento de Engenharia de Produção - PUC-Rio
3URI-RVp(XJHQLR/HDO
Coordenador (a) Setorial do Centro Técnico Científico – PUC - Rio
Rio de Janeiro, 28 de fevereiro de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou
parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e
do orientador.
/DXUD)UDQoD0DUTXHV%DUERVD
Graduou-se em Ciências Econômicas pela Universidade Federal
de Juiz de Fora em 2005. Obteve o Título de Especialista em
Métodos Estatísticos Computacionais pela Universidade Federal
de Juiz de Fora em 2006.
Ficha Catalográfica
CDD 658.5
Barbosa, Laura França Marques
Contribuições para o Controle Estatístico de
Processos com Múltiplos Canais./ Laura França Marques
Barbosa ; orientador: Eugenio Kahn Epprecht. – 2008.
124 f. : il. (col.) ; 30 cm
Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial) –
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 2008.
Inclui Bibliografia.
1. Engenharia Industrial – Teses. 2. Controle
Estatístico de Processos. 3. Processos Multicanal. 4.
Gráfico de Controle de Grupos. 5. Medidas de
Desempenho. I. Epprecht, Eugênio Kahn. II. Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Engenharia Industrial. III Título.
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Aos meus pais, Maurício e Malu,
ao meu irmão Villy e à minha avó
Belkiss.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
$JUDGHFLPHQWRV
Ao orientador Eugênio Kahn Epprecht, pela confiança, dedicação,
disponibilidade, e sugestões. Pela contribuição em minha formação e pela
oportunidade de uma excepcional orientação.
A todos os funcionários do DEI e à CAPES, pelo suporte financeiro.
À professora Jane Azevedo da Silva pelo incentivo à iniciação ao curso de
Mestrado.
Ao Léo, pela incansável ajuda, pelo companheirismo e, principalmente, pela
paciência.
A todos os meus tios que sempre participaram de todas as minhas conquistas e,
um agradecimento especial à tia Teres e ao Tio Simas, fundamentais para a
concretização do Mestrado.
Ao meu irmão e aos meus pais, pelo amor, carinho. Pela formação que me
proporcionaram e pelo apoio em todas as minhas decisões. Pela confiança, pelo
otimismo que sempre me passaram. Por tudo que vocês representam pra mim.
A todos os meus amigos pela força de sempre.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
5HVXPR
Barbosa, Laura França Marques; Epprecht, Eugênio Kahn (Orientador).
&RQWULEXLo}HV SDUD R &RQWUROH (VWDWtVWLFR GH 3URFHVVRV FRP 0~OWL SO RV
&DQDLV. Rio, 2008. 12
4 p. Dissertação de Mestrado – Departamento de
Engenharia de Produção, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro.
Processos com diversos canais em paralelo são muito comuns na indústria;
um exemplo são operações de enchimento, encontradas nas indústrias
farmacêutica, alimentícia, cosmética e de bebidas. O método clássico para o
controle estatístico desse tipo de processos, as JURXSFKDUWV (Boyd, 1950), é pouco
eficiente, por não considerar que uma parcela da variação nestes processos é
comum a todos os canais. Mortell e Runger, em 1995, propuseram um esquema
alternativo que leva este fato em conta. No ano seguinte, Runger, Alt e
Montgomery propuseram um outro esquema. A presente dissertação propõe um
terceiro esquema para o controle de tais processos. O seu modelo formal
detalhado, as expressões para cálculo dos limites de controle e a análise de seu
desempenho são contribuições originais. As probabilidades de sinal e o número
esperado de amostras até a sinalização de alterações na média da parcela
individual de um dos canais foram obtidas analiticamente e/ou por simulação, e
utilizadas para comparação de desempenho com o esquema de Mortell e Runger.
Os resultados demonstram a superioridade do esquema proposto para a detecção
de variações superiores a um desvio-padrão na média da parcela individual de um
canal do processo. Para detectar variações menores, nenhum dos dois esquemas é
eficiente. O esquema de Runger HWDO. (1996) tem, para o caso de alteração em um
canal apenas, desempenho igual ou inferior a ambos. Assim, o esquema aqui
proposto revela-se o mais eficiente de todos. Uma série de extensões e questões
em aberto para pesquisa futura são indicadas.
3DODYUDVFKD YH
Controle Estatístico de Processos; Processos Multicanal; Gráfico de
Controle de Grupos; Medidas de Desempenho.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
$EVWUDFW
Barbosa, Laura França Marques; Epprecht, Eugênio Kahn (Advisor).
&RQWULEXWLRQVWR6WDWLVWLFDO&RQWURORI0XO W L SOH 6WUHDP3URFHVVHV. Rio,
2008. 12
4 p. M.Sc. Thesis – Departamento de Engenharia de Produção,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Processes with several streams in parallel are very common in industry.
Filling operations, such as the ones found in the pharmaceutical, cosmetics, or
food and beverage industries are a typical example. The classical scheme for the
statistical control of multiple-stream processes (MSP) is the group chart (Boyd,
1950). Its efficiency is impaired by its underlying model of the process not
considering that part of the variation in MSP is common to all streams. In 1995,
Mortell and Runger (M&R) proposed an alternative scheme which takes this fact
into account. In the next year, Runger, Alt and Montgomery proposed another
scheme. This dissertation proposes a third scheme for statistical control of MSP.
The detailed mathematical model, the expressions for establishing the control
limits, and the performance analysis here are original contributions. The
probabilities of a signal and average run lengths in the case of shifts in the mean
of one individual stream were obtained either analytically or by simulation and
compared with the ones of M&R’s scheme. The results show the superiority of the
proposed scheme for signaling shifts greater or equal to one standard deviation.
For smaller shifts, neither scheme can be said to be really efficient. As to the
scheme proposed by Runger et al. (1996), it is in some cases slower and in some
cases just as fast as M&R’s, so the proposed scheme is the fastest of all. A number
of extensions and open issues are indicated for future research.
.H\ZRUGV
Multiple Stream Processes; Statistical Process Control; Group Charts;
Performance Analysis.
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6XPiULR
,QWURGXomR
1.1. Estrutura do Trabalho .............................................................................................................. 17
7pFQLFDVGH&(3SDUD3URFHVVRV0XOWLFDQDO
2.1.*URXS&KDUWV ........................................................................................................................... 19
2.2. Métodos Alternativos às *URXS&KDUWV ................................................................................... 24
0pWRGRGH0RUWHOOH5XQJHU
5XQJHU$OWH0RQWJRPHU\
&ROEHFN
3DVVRV
(VTXHPD3URSRVWR
3.1. Modelo do Processo................................................................................................................. 39
3.2. Decomposição das Observações .............................................................................................. 40
3.3. Tipo de Causa Especial Considerada....................................................................................... 43
3.4. Medidas de Desempenho ......................................................................................................... 44
3.5. Gráficos de Controle para o Nível-Base .................................................................................. 45
3.6. Gráficos de Controle para as Diferenças em Relação ao Nível-Base ...................................... 49
&RQVLGHUDo}HV,QLFLDLV
'LVWULEXLo}HVHP&RQWUROHGDV'LIHUHQoDV&DOFXODGDV
/LPLWHVGH&RQWUROH
3.7. Medidas de Desempenho sob Presença de Causa Especial...................................................... 57
$QiOLVHGH'HVHPSHQKR
4.1. Definição dos Eventos de Interesse ......................................................................................... 63
4.2. Obtenção de Medidas de Desempenho .................................................................................... 65
4.3. Resultados................................................................................................................................ 71
4.4. Precisão dos Resultados da Simulação .................................................................................... 88
4.5. Desempenho em Relação ao Esquema de Runger HWDO. (1996)............................................... 89
&RQFOXV}HV
5HIHUrQFLDV
$SrQGLFH$±'HWDOKDPHQWRGR0pWRGRGH)DWRUHVGH&RUUHomR
$SrQGLFH%±&RYDULkQFLDHQWUH
⋅
H H
⋅⋅
H
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$SrQGLFH&±&RUUHODomR
ρ
HQWUHGXDVGLIHUHQoDVFDOFXODGDV
TXDLVTXHU
⋅
H
ˆ
H
⋅
H
ˆ
SDUD
M
L
≠
$SrQGLFH'±*HUDGRUGH1~PHURV$OHDWyULRV,QGHSHQGHQWHVH
1RUPDOPHQWH'LVWULEXtGRV
$SrQGLFH(±3URJUDPDH6XE5RWLQDV8WLOL]DGDVQD
6LPXODomR
$SrQGLFH)±&RPSDUDomRGRV10$ ¶VSDUDRV*UiILFRVGDV
'LIHUHQoDVHP5HODomRDR1tYHO%DVHH5 GH05
$SrQGLFH*±&RPSDUDomRGDV3UREDELOLGDGHVGH6LQDOYHUGDGHLUR
SRUpP³LQFRUUHWR´SDUDR(VTXHPDGH05
)RP(B ∩
HSHOR
(VTXHPD3URSRVWR
AB)P(O ∩∪
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/LVWDGH)LJXUDV
Figura 4.1 – Representação Esquemática para o Modelo de Simulação
Utilizado. ................................................................................................................71
Figura 4.2 - Comportamento do NMA
1
para o Gráfico R
t
e das Diferenças
(NMA
0
= 100).........................................................................................................75
Figura 4.3– Comportamento do NMA
1
para o Gráfico R
t
e das Diferenças
(NMA
0
= 200).........................................................................................................76
Figura 4.4– Comportamento do NMA
1
para o Gráfico R
t
e das Diferenças
(NMA
0
= 370,38)....................................................................................................77
Figura 10.1 – Geração de Números Aleatórios do Excel....................................... 105
Figura 10.2 – Geração de Números Aleatórios: Seqüência de Halton
(base 2) ................................................................................................................. 105
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/LVWDGH7DEHODV
Tabela 2.1 – Comprimento de Corrida significativo (número de valores
máximos ou mínimos consecutivos) para um único canal de um PMC.....................20
Tabela 2.2 – NMA
0
para Processos sob Controle com Critério de
Corridas em PMC....................................................................................................23
Tabela 2.3 – Limites de Controle para os Quatro Métodos.......................................32
Tabela 2.4 – Comparação dos Limites de Controle obtidos por Simulação
(Método 4) e Limites de Controle exatos (obtido por 2.10)......................................35
Tabela 3.1– Erro da Expressão (3.22b) no cálculo do NMA
0
global e valores
de k que levam aos valores nominais de NMA
0
’s para processo com três canais
(V 3).....................................................................................................................55
Tabela 4.1 – Justificativa para o cálculo dos NMA
1
’s associados aos eventos
(probabilidades) de interesse. ..................................................................................66
Tabela 4.2 – Metodologia de Cálculo para as Probabilidades
Consideradas...........................................................................................................68
Tabela 4.3- NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em Relação ao Nível-Base
e Gráfico 5 de M&R com uma observação por canal (Q= 1)...................................73
Tabela 4.4 – Diferença percentual entre os NMA
1
’s para Gráficos das
Diferenças e 5 de M&R.......................................................................................... 80
Tabela 4.5– Probabilidade de algum canal não afetado sinalizar sem que o
próprio canal afetado sinalize ..................................................................................83
Tabela 4.6 – Probabilidade de qualquer canal sinalizar ou nível-base sinalizar,
sem que o canal afetado sinalize..............................................................................85
Tabela 4.7 – Probabilidade de o nível-base sinalizar sem que o Gráfico 5
sinalize....................................................................................................................87
Tabela 4.8– Limites para NMA’ s simulados........................................................... 89
Tabela 4.9 – NMA
1
’s para os Esquemas de Mortell e Runger (1995) e de
Runger HWDO(1996) para alterações em apenas um dos canais do processo
e NMA
0
= 200.........................................................................................................89
Tabela 7.1 – Detalhamento para o cálculo correto do LSC
4
s
....................................99
Tabela 9.1 – Cálculo da Correlação entre
⋅
H
ˆ
e
⋅
H
ˆ
para processos com
diferentes números de canais................................................................................. 103
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
Tabela 10.1 – Comparação das Funções de Inversão da Normal Padrão................. 106
Tabela 12.1- Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em
Relação ao Nível-Base e Gráfico de 5 de M&R (n = 2) ........................................ 115
Tabela 12.2 - Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em
Relação ao Nível-Base e Gráfico de 5 de M&R (n = 3) ........................................ 116
Tabela 12.3 - Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em
Relação ao Nível-Base e Gráfico de 5 de M&R (n = 4) ........................................ 117
Tabela 12.4 - Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em
Relação ao Nível-Base e Gráfico de 5 de M&R (n = 5) ........................................ 118
Tabela 13.1 – Probabilidade de Sinal Verdadeiro, porém “incorreto”, para o
Esquema de M&R e pelo Esquema Proposto (n=2) ............................................... 120
Tabela 13.2 - Probabilidade de Sinal Verdadeiro, porém “incorreto”, para o
Esquema de M&R e pelo Esquema Proposto (n=3) ............................................... 121
Tabela 13.3 - Probabilidade de Sinal Verdadeiro, porém “incorreto”, para o
Esquema de M&R e pelo Esquema Proposto (n=4) ............................................... 122
Tabela 13.4 - Probabilidade de Sinal Verdadeiro, porém “incorreto”, para o
Esquema de M&R e pelo Esquema Proposto (n=5) ............................................... 123
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
13
1
Introdução
A busca pela qualidade é uma preocupação atual e crescente de muitas
organizações, que desejam, além da conquista de uma vantagem competitiva em
relação aos seus concorrentes, atender a consumidores cada vez mais exigentes. A
preferência declarada desses consumidores por produtos e serviços de maior
qualidade torna crescente a importância do uso de métodos estatísticos, que deixam
de ser uma ferramenta com aplicação apenas no setor industrial, passando também
aos setores de saúde, ambiental, administrativo e sócio-econômico.
O Controle Estatístico de Processo (CEP) envolve um conjunto de ferramentas
como gráfico de controle, diagrama de dispersão, histograma, gráfico de Pareto,
dentre outras. O CEP é uma poderosa ferramenta na redução da variabilidade
existente nos processos e aumento da sua capacidade, pois trabalha com a idéia de
uma intervenção imediata à detecção de um problema, permitindo que o processo seja
continuamente monitorado.
Desde que foram criados, em 1942, por Walter A. Shewhart
1
, os gráficos de
controle se tornaram uma das ferramentas mais utilizadas em CEP. Os gráficos de
controle são instrumentos que permitem não só visualização da evolução de um
processo e de sua variabilidade, como também, o monitoramento de algumas de suas
características de qualidade, como a média de uma medida ou proporção de unidades
defeituosas, que são plotadas juntamente com determinados limites de controle. Seu
principal objetivo consiste na redução da variabilidade do processo através da
detecção de padrões não aleatórios de comportamento. O princípio em que se baseiam
é a distinção entre dois tipos de causas de variação dos processos: as chamadas causas
1
Engenheiro da empresa de telefonia Bell Laboratories, desenvolveu os gráficos de controle para
aplicação industrial, sobretudo para evitar a produção de unidades defeituosas. Também em 1942, o
CEP ganhou reconhecimento mundial quando utilizado na indústria bélica dos Estados Unidos durante
a Segunda Guerra Mundial, sendo considerado segredo de estado pela nação americana.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
14
comuns ou inerentes ao processo (variações aleatórias naturais e inevitáveis) e as
denominadas causas especiais (variações significativas, não aleatórias, que deslocam
e/ou alargam a distribuição da variável aleatória, comprometendo o bom desempenho
do processo). Na presença de causas especiais, um processo é considerado fora de
controle. A partir da constatação da presença dessas causas uma investigação deve ser
realizada imediatamente para identificação e diagnóstico, permitindo ações para sua
eliminação de modo que o processo volte a operar sob controle estatístico (apenas na
presença das causas comuns).
Os gráficos de controle para variáveis são em geral os mais utilizados, com
destaque para o gráfico da média (gráfico de
X
) para monitoramento da tendência
central de característica de qualidade mensuráveis e para os gráficos baseados na
amplitude (gráfico de R) e no desvio-padrão (gráfico de S), para monitoramento da
variabilidade de tal tipo de característica.
Os gráficos de controle convencionais “de Shewhart” são pouco sensíveis para
a detecção de variações de pequenas magnitudes nos parâmetros controlados. Neste
caso, os gráficos do tipo CUSUM (Soma Cumulativa) e EWMA (Média Móvel
Ponderada Exponencialmente ou Exponentially Weighted Moving Average) são os
mais recomendados, pois utilizam informações acumuladas sobre a característica de
qualidade controlada, possibilitando uma maior rapidez na detecção de pequenos
descontroles do processo.
Todos os gráficos de controle convencionais devem satisfazer duas premissas
para que possam ser utilizados como ferramentas que possibilitem concluir se o
processo está ou não sob controle estatístico. São elas:
1. As observações da característica de qualidade considerada devem
apresentar distribuição normal, ou aproximadamente normal; e
2. As observações da característica de qualidade considerada devem ser
independentes, ou seja, não podem apresentar autocorrelação.
Ao formalizar os gráficos de controle, Shewhart estabeleceu como condição
para sua aplicação apenas que as observações da característica de qualidade
considerada fossem independentes e identicamente distribuídas, o que significa que as
amostras devem ser retiradas de forma aleatória de um processo que originalmente
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
15
esteja sob controle estatístico. Quando tal condição é violada, isto é, quando as
observações do processo possuem autocorrelação, há um aumento do risco de alarme
falso (probabilidade de uma observação cair fora dos limites de controle quando o
processo está sob controle), comprometendo a credibilidade dos resultados. (Wheeler,
1995 e Costa et al., 2005)
Já suposição da normalidade não foi uma exigência feita por Shewhart. A prova
é que gráficos de R, S e por atributos aplicam-se a estatísticas que não seguem uma
distribuição normal. Wheeler (1995) discute bem essa questão.
Processos autocorrelacionados são freqüentes no setor industrial, sobretudo nas
indústrias química e metalúrgica, que apresentam processos contínuos e por batelada,
e também em processos discretos com elevado nível de automatização. Para o
controle desses tipos de processos, os gráficos de controle destinados a dados
independentes e identicamente distribuídos (i.i.d). não podem ser aplicados
diretamente, sendo necessárias adaptações (essencialmente na forma de seus limites),
ou então, o uso de outras técnicas. Algumas dessas técnicas são discutidas por
Montgomery (2004), dentre as quais pode-se destacar a abordagem que ajusta aos
dados do processo modelos de séries temporais como ARIMA (modelos auto-
regessivos integrados de média móvel) ou EWMA, e aplica gráficos de controle aos
resíduos do modelo.
Fica claro, portanto, que antes de se iniciar o controle estatístico de um
processo, é necessário conhecer as características do mesmo para que ferramentas
adequadas sejam implementadas e que resultados válidos sejam gerados.
Os gráficos de controle convencionais, assim como as demais ferramentas
tradicionais de CEP, foram desenvolvidos para o monitoramento de processos com
apenas uma ou poucas características de qualidade provenientes de uma única saída.
No entanto, processos multicanal (PMC) também chamados processos de fluxo
múltiplo (PFM) são muito comuns no setor industrial. Nesse tipo de processo, um
mesmo produto é produzido simultaneamente (ou quase) em diversos canais em
paralelo, como por exemplo, em operações de enchimento, encontradas nas indústrias
farmacêutica, alimentícia, cosmética e de bebidas.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
16
Também são considerados PMC (pelo menos para fins de modelagem
matemática e de CEP) processos em que diversos valores de uma mesma variável,
como a espessura, por exemplo, são medidos em diversos pontos de uma mesma
unidade do produto ou em diversas posições de um processo contínuo. Tais processos
podem ser encontrados em algumas etapas de fabricação de automóveis e aeronaves,
galvanização do aço e na produção de papel.
Nesse tipo de processo é necessário realizar o controle simultâneo da
característica de qualidade nos diversos canais (sejam eles diferentes canais ou
diferentes posições) em um mesmo instante de tempo.
As group charts ou gráficos de controle de grupos, propostos por Boyd (1950),
constituem a técnica clássica, a mais conhecida, para o controle de PMC. Podem ou
não ser usadas com um critério suplementar desenvolvido por L.S Nelson (1986),
denominado runs control scheme, ou critério de corridas. Tais métodos representam a
base para o desenvolvimento posterior de diversas técnicas que procuram superar
algumas de suas limitações como, por exemplo, o fato de não considerarem que uma
parcela da variação em PMC é comum a todos os canais.
Mortell e Runger (1995) propuseram um método alternativo para o
monitoramento de PMC que elimina grande parte das limitações associadas ao
esquema clássico. Atribuem a variabilidade de um PMC a duas fontes de variação
distintas. Uma, comum a todos os canais e outra, referente à variação individual de
cada canal e, para o controle dessas duas fontes de variabilidade, propõem o uso de
dois gráficos distintos:
• Um gráfico para a média de todos os canais em cada instante de tempo
e,
• Um gráfico para a amplitude entre os canais, que consiste na diferença
entre o maior e o menor valores observados dentre todos os canais num
dado instante de tempo.
Reconhecem ainda, como uma possível técnica alternativa, trabalhar com uma
group chart das diferenças de cada canal em relação a média de todos os canais. Tal
esquema foi posteriormente adaptado por Passos (2005), para aplicação em um
processo real (cujos diversos canais apresentavam médias e desvios-padrão
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
17
diferentes). Passos (op. cit.) propôs ainda, como uma possível alternativa ao seu
esquema, uma group chart de diferenças padronizadas de cada canal em relação ao
nível médio. A análise teórica de desempenho desta técnica foi sugerida como uma
extensão ao seu trabalho.
A presente dissertação foi motivada pela proposta de prosseguimento indicada
por Passos (2005), e tem como propósito inicial a realização de uma análise de
desempenho de um esquema de controle de PMC formado por um gráfico de controle
para a média de todos os canais, e uma group chart para as diferenças de cada canal
em relação à média. Vale destacar que os resultados de tal análise de desempenho
também se aplicam ao caso das diferenças padronizadas.
Além do propósito inicial, o trabalho desenvolve a comparação do desempenho
do presente esquema com o do gráfico da amplitude proposto por Mortell e Runger,
(1995) apontando sob quais condições práticas cada uma das alternativas é mais
indicada.
A contribuição do trabalho vai além da apresentação detalhada do modelo
formal utilizado para controle estatístico de processos com múltiplos canais, das
expressões para cálculo dos limites de controle e da análise do seu desempenho, dado
que pelos resultados apresentados pode-se concluir pela superioridade do modelo
aqui proposto em relação ao esquema de Mortel e Runger.
1.1.
Estrutura do Trabalho
Esta dissertação está dividida em cinco capítulos, dos quais esta introdução é o
primeiro, e sete Apêndices.
O Capítulo 2 revê conceitos fundamentais para o Controle Estatístico de
Processos Multicanal, apresentando algumas técnicas alternativas às group charts
tradicionais para controle desse tipo de processo.
O Capítulo 3 apresenta o detalhamento do modelo formal utilizado para
controle de processos com múltiplos canais e as expressões para cálculo dos limites
de controle e para as medidas de desempenho obtidas analiticamente.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
18
No Capítulo 4 são apresentados os resultados para o esquema de controle
proposto assim como a comparação de seu desempenho com o esquema de controle
desenvolvido por Mortell e Runger (1995).
No Capítulo 5 são apresentadas as principais conclusões do trabalho, bem como
algumas sugestões para trabalhos futuros.
Após as Referências bibliográficas (Cap 6), vários apêndices apresentam alguns
desenvolvimentos matemáticos mais longos ou demonstrações, documentam códigos
de programas e rotinas utilizados, e reúnem algumas tabelas de resultados da análise
mais extensas e que, se fossem incluídas no corpo da dissertação, prejudicariam o
fluxo da exposição.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
19
2
Técnicas de CEP para Processos Multicanal
Este capítulo apresenta as técnicas existentes na literatura para o controle de
processos multi-canal. Ao mesmo tempo, os conceitos fundamentais subjacentes são
apresentados, na forma dos diversos modelos e hipóteses básicas assumidas por cada
uma das técnicas. Como poderá ser observado são poucos os trabalhos existentes
sobre o controle desse tipo de processo, tema ainda pouco explorado na literatura.
2.1.
Group Charts
O uso de gráficos de controle individuais para cada fluxo seria uma alternativa
pouco viável para o controle de PMC, sobretudo quando se trabalha com um grande
número de canais, dada a sobrecarga da produção, exibição e interpretação simultânea
dos diversos gráficos gerados.
Uma alternativa viável são os gráficos de controle de grupos ou group charts
pela sua facilidade de elaboração e interpretação. Uma group chart apresenta,
resumidamente, em um único gráfico, informações da característica de qualidade
controlada provenientes de todos os fluxos. Tais gráficos foram desenvolvidos por
Boyd (1950) e permanecem como a técnica convencional para controle desses tipos
de processos, sendo o procedimento padrão recomendado nos livros de CEP como
Montgomery (2004), Pyzdek (1992) e outros.
A idéia básica do gráfico de controle de grupos consiste na plotagem apenas
dos valores extremos das estatísticas consideradas (maior e menor valor para a
estatística em questão entre todos os fluxos em uma determinada amostragem).
Estando estes pontos dentro dos limites do gráfico, todos os demais também estarão.
Esse conceito pode ser aplicado tanto para o gráfico da média (
X
) quanto para o
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
20
gráfico da amplitude (R). Cada valor plotado deve ser identificado no gráfico pelo
número do canal a que corresponde para facilitar as análises posteriores.
Pyzdek (1992) destaca que para se aplicar CEP em PMC é importante fazer a
distinção entre dois tipos de causas especiais: aquelas que afetam todos os canais,
afastando-os do alvo, e aquelas que afetam um ou poucos canais. Geralmente essas
causas possuem origens diferentes e sua distinção facilitará tanto a identificação
quanto a solução do problema de falta de controle.
Os gráficos de controle de grupos são capazes de monitorar simultaneamente os
dois tipos de causas especiais comuns aos PMC. Uma mudança global no processo
(que afete todos os canais), será detectada quando, no gráfico de controle de grupos,
houver pontos excedendo seus limites. Já a sensibilidade do gráfico baseado apenas
nesse critério de detecção (“ponto fora dos limites de controle”) para causas afetando
apenas um canal é reduzida.
Para verificar se uma causa especial compromete apenas o desempenho de um
canal em particular, o gráfico de controle de grupos pode adotar uma regra
suplementar de decisão baseada no critério de corridas. Segundo esse critério,
proposto inicialmente por L.S Nelson (1986), uma série significativamente longa de
valores extremos provenientes de um mesmo canal é interpretado como um sinal fora
de controle. Assim, se um canal produzir a leitura máxima ou mínima por r vezes
consecutivas, esse canal é considerado como fora de controle. O valor de r é
determinado em função do número (s) de canais de um processo. Uma combinação de
valores para (r,s) é apresentada por Pyzdek (1992, p.215):
Tabela 2.1 – Comprimento de Corrida significativo (número de valores máximos ou
mínimos consecutivos) para um único canal de um PMC.
Número de Canais (s)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Comprimento de corrida significativo (r)
7 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3
Fonte: Pyzdek (1992)
De acordo com a Tabela 2.1, para um processo com cinco canais por exemplo,
se um mesmo canal apresentar valor máximo ou mínimo por quatro vezes
consecutivas, este estará fora de controle.
O número médio de amostras observadas até que ocorra um sinal no gráfico de
controle é denotado por NMA (Costa et al., 2004). Existem dois tipos de NMA. O
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21
primeiro, conhecido por NMA sob controle, ou NMA
0
, representa o número médio de
amostras observadas até que ocorra um alarme falso, quando o processo encontra-se
sob controle. O segundo, conhecido por NMA fora de controle, ou NMA
1
, representa
o número médio de amostras observadas entre o momento em que a causa especial
ocorreu e o momento em que esta é detectada.
Uma alternativa para se escolher o valor crítico de r é calcular o NMA
0
para
diferentes valores de r e adotar o valor de r correspondente ao menor NMA
0
aceitável
dentre os calculados.
L.S Nelson (1986), apud P.R Nelson (1986) fornece o seguinte resultado: para
um processo com s canais idênticos, o número médio de amostras necessárias para
gerar r vezes consecutivas o valor máximo (ou mínimo) por um mesmo fluxo, quando
o processo está sob controle estatístico, é dado por:
-
s
-s
NMA
r
1
1
0
=
(2.1)
Por exemplo, se um processo contém cinco canais e um mesmo canal
apresentar o valor máximo ou mínimo por quatro vezes consecutivas, seu NMA
0
,
será:
156
1
5
1 5
4
0
-
-
NMA ==
(2.2)
o que significa que, estando o processo sob controle estatístico, espera-se que um
mesmo canal gere um valor máximo (ou mínimo) no gráfico de controle quatro vezes
consecutivas em média, apenas uma vez a cada 156 amostras.
Assim como os gráficos de controle convencionais, o uso de group charts
também exige que o processo em análise apresente determinadas características, ou
seja, para uso do gráfico de controle de grupos é necessário que:
• Não haja autocorrelação ou correlação cruzada entre os canais; e
• Todos os canais tenham a mesma distribuição (e com mesma média e
mesma variância), e estejam ajustados em um mesmo valor-alvo. Caso a
média varie de canal para canal, mas a amplitude permaneça constante,
Pyzdek (1992) menciona que pode ser construído um gráfico de controle
de grupos para as diferenças de cada canal em relação à sua média. É
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22
evidente que dificilmente serão encontrados valores exatamente iguais
para as médias e as dispersões (amplitude) dos diversos canais, havendo,
portanto, uma diferença entre estes. Mas é importante que tais diferenças
não sejam significativas, porque se houver um canal muito diferente dos
demais, este produzirá sempre valores extremos, escondendo mudanças
sofridas pelos outros canais.
Na prática, essas premissas muitas vezes não são verificadas. Além disso, os
gráficos de controle de grupos, em sua forma clássica, apresentam uma série de
desvantagens que os torna uma ferramenta de aplicação limitada, como por exemplo,
o fato de não serem muito práticos quando o processo apresenta o número de canais
muito grande, dado que todos os canais devem ser considerados a cada período de
amostragem. Uma possível solução para esse tipo de problema é alternar observações,
coletando a cada instante de amostragem, observações de apenas parte dos canais, de
maneira cíclica. Ver Ott e See (1973). Outra desvantagem é uma limitação do critério
de corridas de L.S Nelson (1986), quando há mais de um canal fora de controle
simultaneamente. Neste caso, os valores extremos podem se alternar entre esses
canais, impedindo que seja gerada uma seqüência suficientemente longa (de
comprimento igual ou menor que r) de máximos ou mínimos oriundos de um só
canal, como sinal de descontrole.
Outra desvantagem, mencionada por Montgomery (2004, p.288), do critério de
corridas está relacionada ao fato de o NMA
0
do mesmo ser discreto.
A Tabela 2.2 mostra, em função do número de canais do processo (para
diversos valores de r), o número médio de amostras até que se observe uma seqüência
de r valores máximos ou mínimos consecutivos de um mesmo canal, supondo o
processo em controle (todos os canais com a mesma média e mesma variância).
Valores consideráveis para o NMA
0
de um esquema de CEP costumam variar
entre 200 e 500. O valo de 370 é um “padrão”, que corresponde ao NMA
0
nominal no
gráfico de
X
com limites de
σ
3
. O valor de 200 é o mínimo recomendado quando se
deseja uma grande sensibilidade do gráfico de controle. Já o valor de 500, é o
máximo que se vê em trabalhos de pesquisa.
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23
Tabela 2.2 – NMA
0
para Processos sob Controle com Critério de Corridas em PMC
Número de Comprimento de Corrida Significativo (r)
Canais (s) 2 3 4 5 6 7
2 3 7 15 31 63 127
3 4 13 40 121 364 1093
4 5 21 85 341 1365 5461
5 6 31 156 781 3906 19531
6 7 43 259 1555 9331 55987
7 8 57 400 2801 19608
137257
8 9 73 585 4681 37449
9 10 91 820 7381 66430
10 11 111 1111 11111
15 16 241 3616 54241
20 21 421 8421
30 31 931 27931
50 51 2551
100 101
10101
Fonte: própria
É fácil observar que, para vários valores de s, e um NMA
0
de 370, por exemplo,
o critério de corridas não fornece NMA
0
’s nesta faixa e muito menos, o valor exato.
Considere, por exemplo, um processo com 10 canais. Os valores mais próximos de
370 são 111 ou 1111 amostras. A adoção dos parâmetros associados ao menor NMA
(r = 3) acarretará um grande número de alarmes falsos. Por outro lado, a escolha dos
parâmetros associados ao maior NMA (r = 4) implicará na retirada de um grande
número de amostras até que a situação real de fora de controle seja detectada,
aumentando assim o tempo de detecção. Maiores NMA
0
’s correspondem também a
maiores NMA
1
’s. Assim, o valor selecionado para r consiste num trade-off entre o
número de alarmes falsos produzidos pelo gráfico e o tempo de detecção de uma
causa especial; mas, dependendo do número de canais do processo, pode-se não
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24
chegar a uma boa solução de compromisso. Isso pode ocorrer para qualquer valor de
NMA
0
especificado como desejável, não apenas para 370.
2.2.
Métodos Alternativos às Group Charts
2.2.1.
Método de Mortell e Runger
Reconhecendo as limitações do esquema de corridas e do cenário de validade
dos seus pressupostos, bem como dos pressupostos do gráfico controle de grupos
clássico, Mortell e Runger (1995), desenvolveram um esquema de controle para PMC
em que há correlação cruzada entre os canais.
Para controlar os dois tipos de causas comuns aos PMC (aquelas que afetam
todos os canais simultaneamente e aquelas que afetam um único canal), os autores
citados utilizaram um modelo que decompõe a variabilidade do processo em duas
partes, e propuseram controlar separadamente, por meio de dois gráficos de controle
distintos, cada uma dessas partes.
O modelo de processo por eles adotado é:
tjk
e A Y
t
tjk
++=
µ
(2.3)
onde
Y
tjk
= variável aleatória que representa a o valor esperado da k-ésima observação
do canal j no instante t.média do subgrupo
2
do canal j no instante t;
µ = média global do processo (constante);
A
t
= variável aleatória normalmente distribuída com média igual a zero e
variância igual a σ
a
2
, que representa o valor esperado das medidas de todos os
canais no instante de tempo t. Pode ser interpretada como a parcela da variação
que é comum a todos os canais (nível-base);
2
Os subgrupos representam um conjunto de dados gerados por um único canal quase num mesmo
instante de tempo. Considere, por exemplo, um processo de cinco canais, sendo que, a cada
amostragem, amostras de duas unidades são retiradas de cada um dos canais do processo. Nesse caso,
para cada amostragem, tem-se cinco subgrupos de tamanho dois, sendo que estas duas unidades
advindas de um mesmo canal foram amostradas em instantes muito próximos (que podem, para efeito
de modelagem, ser considerados como um mesmo instante t).
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25
e
tjk
= variáveis i.i.d para t, j
∀
, com média zero e variância igual a σ
2
, que
representa o desvio da média do canal j em relação à média de todos os canais
no instante t. Pode ser interpretada como a parcela de variação individual de
cada canal.
Daqui em diante, por simplicidade, será adotada a nomenclatura M&R para
representar a referência Mortell e Runger (1995).
Para a detecção de mudanças comuns a todos os canais (mudanças em A
t
),
M&R utilizam uma variação do gráfico de controle de Shewhart, no qual a estatística
plotada Y
t
representa a média dos subgrupos de todos os canais
=
∑
=
s
j
j
t
t
s
Y
Y
1
.
Como conseqüência, este gráfico apresentará limites de controle mais estreitos do que
as group charts, para um mesmo NMA
0
, o que o torna uma ferramenta mais sensível
à detecção de causas especiais que afetem a média de todos os canais
simultaneamente. De fato, pelo modelo apresentado em (2.3) a variância de
tj
Y
é igual
a
n
YV
atj
2
2
)(
σ
σ
+=
, e uma group chart tem seus limites baseados nessa variância,
enquanto a estatística
t
Y tem variância dada por
ns
YV
at
2
2
)(
σ
σ
+=
. Note-se que, a
cada instante t, A
t
assume um único valor; por isso a componente
2
a
σ
da variância não
é reduzida ao se calcular Y
t
como a média dos s valores de Y
tj
nos diversos (s) canais.
Para detectar alterações na componente do processo referente a um canal
individual (ou em mais de uma dessas componentes individuais dos canais), isto é,
mudanças nos parâmetros dos se
tj
' , eles utilizam a amplitude das médias dos fluxos
no instante t para detectar mudanças na média de um ou poucos canais, denotada por:
j
ttjt
MinYMaxYR −=
(2.4)
onde,
tj
MaxY = máximo valor obtido dentre as médias de todos os subgrupos;
tj
MinY = mínimo valor encontrado dentre as médias de todos os subgrupos.
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26
O gráfico da amplitude tem a característica de ser sensível apenas a variações
que afetem os canais individualmente e não a variações na parcela A
t
, comum a todos
os canais. De fato, em (2.4) as parcelas )(
t
A+
µ
em
tj
MaxY e em
tj
MinY se anulam
mutuamente, o que resta é
Max
(
j
t
e )-
Min
(
j
t
e ). Desta maneira, a parcela
2
a
σ
da
variância de
tj
Y é eliminada, o gráfico de
t
R tem desempenho superior às group
charts, principalmente quando a variação nas médias do processo ao longo do tempo
é superior à parcela de variação individual de cada fluxo, ou seja, quando
2
2
σσ
>
a
.
No mesmo artigo, M&R propuseram também a abordagem do resíduo máximo
como alternativa ao uso de
t
R
como variável de controle. Para obter o resíduo
máximo subtrai-se a média global (
t
Y ) de todos os canais da máxima média
observada em todos os canais ( )max(
tj
Y ). Se este resíduo estiver abaixo do limite
superior de controle, LSC, todos os demais resíduos também estarão. Análise
semelhante é válida para o resíduo mínimo comparado com o limite inferior de
controle, LIC, não sendo necessário, portanto, plotar os resíduos de todos os canais.
Da mesma forma que o gráfico de R
t
, o gráfico de controle dos resíduos máximos e
mínimos (que corresponde a uma group chart dos resíduos) é insensível a variações
na parcela comum A
t
, sendo, portanto, uma forma de isolar a variação dos se
tj
' . Com
isso, os limites do gráfico dos resíduos se tornam mais estreitos que os limites de uma
group charts dos sY
tj
' , tornando tal gráfico, portanto, mais sensível a alterações na
média de algum canal individualmente.
Através de estudos analíticos e simulações, M&R compararam o desempenho
de diversos esquemas de controle para detectar mudanças que afetem um ou poucos
canais. Gráfico de Shewhart, CUSUM e EWMA (com constantes de amortecimento
iguais a 0,1; 0,3 e 0,8) da estatística
t
R foram comparados ao esquema de corridas e
ao CUSUM do resíduo máximo. Para cada método foram considerados processos
com 2, 3, 5, 10 e 20 canais, sendo que a média de um dos canais foi alterada de 0 para
0,5; 1; 1,5 e 2, e o desempenho dos diversos esquemas, foi então comparado.
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27
Não houve uma uniformidade dos resultados: o esquema de melhor
desempenho variou conforme o número de canais do processo e a magnitude da
mudança sofrida pelo canal; a saber:
• O gráfico de Shewhart apresentou o pior desempenho para mudanças
menores que
σ
2
, não sendo indicado, portanto, para detecção de
pequenas variações.
• O gráfico de EWMA com fatores de ponderação menores apresentou
melhor desempenho na detecção de pequenas mudanças, enquanto o
gráfico EWMA com fatores de ponderação maiores apresentou melhor
desempenho na detecção de mudanças maiores. Ainda assim, e, apesar
da escolha de um fator correto de ponderação torná-lo um candidato
viável para a detecção de mudanças em um ou poucos canais, seu
desempenho foi inferior ao desempenho do CUSUM e do esquema de
corridas.
• O CUSUM que utiliza a estatística
t
R
como variável de controle
apresentou melhor desempenho tanto para poucos canais e grandes
mudanças, como para muitos canais (acima de 20) e pequenas
mudanças.
• O esquema de corridas apresentou melhor desempenho tanto para
poucos canais e pequenas mudanças como para muitos canais (acima de
20) e grandes mudanças.
Desta forma, os autores apresentam um esquema de controle que sintetiza em
um par de gráficos as informações provenientes de todos os canais de um processo, o
que permite o controle de dados que apresentem correlação serial no nível-base.
O trabalho de Mortell e Runger (1995) representa um grande passo, ao
reconhecer explicitamente em seu modelo as duas parcelas independentes do valor da
variável medida em cada canal – parcela comum e parcela individual do canal – e
também ao propor esquemas de controle que decomponham as medidas nessas duas
parcelas para monitorá-las separadamente. Todos os trabalhos posteriores seguem
essa linha.
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28
2.2.2.
Runger, Alt e Montgomery
Como visto na seção anterior, M&R apresentaram uma alternativa ao gráfico de
controle de grupos tradicional que garante a superação de algumas de suas limitações.
O método de controle descrito baseia-se no modelo apresentado pela equação (2.3).
Runger, Alt e Montgomery (1996) aproveitam o modelo de PMC descrito por
M&R (Y
tj
= µ + A
t
+ e
tj
) e descrevem uma técnica de controle para PMC com dados
autocorrelacionados baseada na Análise de Componentes Principais, PCA. (“... PCA
is a statistical technique for transforming a set of s random variables into a new set
of s Principal Components Variables, PCVs, that are mutually independent, where
each PCV is a linear combination of the original variables” - Runger, Alt e
Montgomery 1996, pag. 2993).
Tratam os processos multicanais como um caso particular de processos
multivariados e, assim como M&R, utilizam dois gráficos de controle distintos para
monitorar as diferentes fontes de variação desse tipo de processo.
O primeiro gráfico de controle monitora a variável “primeira componente
principal” que é, fundamentalmente, a média de todos os canais num determinado
instante de tempo. Este gráfico é responsável por detectar causas especiais que afetem
todos os canais, e nada mais é que o gráfico do “nível-base”
t
Y sugerido por M&R
para o controle desse tipo de causa.
O segundo gráfico de controle se baseia na estatística T
2
de Hotelling
(estatística utilizada para o controle da média de processos multivariados, análoga à
estatística
X
, do caso univariado) dos outros s-1 componentes principais, onde s
representa o número de canais do processo. Este gráfico corresponde ao gráfico de S
2
(qui-quadrado), e é responsável pelo monitoramento de causas especiais que afetem a
uniformidade entre canais. Um sinal nesse gráfico é resultado de uma causa especial
que tenha alterado a média de um ou alguns canais. É, essencialmente, um gráfico de
Shewhart, no qual a decisão de controle é baseada apenas nos dados mais recentes e,
apresenta a vantagem de ser insensível às mudanças que afetem a média global do
processo.
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29
Os autores sugerem ainda a aplicação de um esquema EWMA a fim de obter
uma melhoria no desempenho gráfico de S
2
para a detecção de pequenas mudanças. O
gráfico resultante, MEWMA, é uma extensão do EWMA univariado, porém com
abordagem um pouco diferente da abordagem MEWMA tradicional para processos
multivariados: no MEWMA proposto, primeiro os dados são amortecidos e só depois
incorporados à estatística S
2
, enquanto no MEWMA convencional a estatística S
2
é
amortecida. Os autores constatam que, à medida que o número de canais aumenta,
obtêm um grande aumento da sensibilidade do gráfico de S
2
a pequenas variações,
especialmente quando o shift (magnitude da mudança sofrida pelo canal) ocorre em
mais da metade dos canais do processo, caso em que seu desempenho é maximizado.
Embora esse esquema de controle possa ser apresentado e compreendido dentro
dessa formalização de CEP multivariado, no caso particular do modelo de processo
multicanal considerado, o fato de haver apenas uma componente principal e o fato de
todas as parcelas residuais dos canais possuírem, por hipótese, o mesmo desvio-
padrão, faz com que (como se viu) o gráfico de T
2
degenere em um gráfico de S
2
, já
preexistente, ainda que pouco utilizado pela indústria (que prefere o gráfico de S que
é totalmente equivalente). Assim, o esquema de Runger et al. (1996) pode ser
compreendido como semelhante ao esquema de M&R, controlando a “uniformidade”
entre canais por um gráfico de S
2
no lugar de um gráfico da amplitude R.
2.2.3.
Colbeck
Colbeck (1999) apresenta quatro métodos distintos para controle de dados
provenientes de um processo multicanal e compara o seu desempenho através de
estimativas para NMA
0
e NMA
1
, geradas por simulações computacionais.
O critério adotado para análise do desempenho baseia-se na idéia de que
quando o processo está sob controle não é esperado observar com freqüência sinais
fora de controle, pois estes seriam alarmes falsos. Assim, é desejável que o método
analisado apresente valores altos para NMA
0
. Por outro lado, quando o processo está
fora de controle, o ideal é que esta situação seja detectada o quanto antes. Neste caso,
é desejável que o método analisado produza valores baixos para NMA
1
. Desta forma,
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30
o método de controle ideal seria aquele que produzisse ao mesmo tempo o maior
valor para NMA
0
e o menor valor para NMA
1
.
O primeiro método proposto consiste em estabelecer os limites para as group
charts em função da média e do desvio-padrão das distribuições do máximo e
mínimo de uma amostra da normal padrão. Colbeck (1999) obtém estes parâmetros
por simulação de Monte Carlo e demonstra que, apesar do formato das distribuições
dos valores máximo e mínimo não se distanciar muito do formato de uma distribuição
normal, sua média é diferente de zero e seu desvio-padrão diferente de um. A
implicação disso é que os limites resultantes são mais afastados da linha média que os
limites que os limites do gráfico de controle de grupos tradicionais, principalmente
quando há um grande número de canais.
O segundo método, intitulado “Fatores de Correção”, leva em conta que a taxa
de alarme falso global é maior que a taxa de alarme falso de cada canal
individualmente, e com base neste modelo, determina os limites de controle que
produzirão uma taxa de alarme falso global especificada; tais limites variam em
função do número de canais do processo. O Apêndice A apresenta o detalhamento
deste método e aponta um erro diagnosticado em seu desenvolvimento.
O terceiro método utiliza o gráfico de controle de grupos tradicional com
“limites de três sigma”, independentes do número de canais que compõem o
processo. Este método foi apresentado como uma referência de comparação para as
medidas de desempenho dos outros métodos a serem testados.
O quarto método, denominado “Limites de Controle Simulados” determina
experimentalmente, por simulação de Monte Carlo, os valores para os limites de
controle que produzam uma taxa de alarme falso global especificada (no caso de
0,27%).
Os limites de controle resultantes dos quatro métodos podem ser visualizados
na Tabela 2.3. Os termos LSC
i
s
e LIC
i
s,
utilizados para cálculo dos limites de controle
dos métodos um, dois e quatro, representam os limites de controle superior e inferior
respectivamente, para o i-ésimo método (i =1, 2 e 4) para processos com s canais (s =
2 até 10). É nestes termos que reside a peculiaridade de cada método. Para o método
um, por exemplo, são limites de
σ
3
calculados a partir das médias e dos desvios-
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31
padrão das distribuições dos valores máximos e mínimos plotados no group chart.
Colbeck extrai os valores de
max
µ
,
min
µ
e
minmax
σ
, que variam em função do número
de canais do processo, da distribuição de máximos e mínimos de amostra de tamanho
n de uma distribuição normal padrão, tabelada por Godwin (1949).
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32
Tabela 2.3 – Limites de Controle para os Quatro Métodos
MÉTODO ANALISADO LIMITES DE CONTROLE
LIMITES DE CONTROLE
i
s
1-Distribuição dos
Máximos e Mínimos
2- Fatores de Correção
−Φ=
−
2
1
12
p
LSC
s
−Φ=
−
2
1
12
p
LIC
s
onde
Φ
representa a
distribuição acumulada da
normal padrão.
3- Group Charts
Tradicional
4- Limites de Controle
Simulados
4
s
LSC = limite superior de
controle estimado para um
processo normal padrão, via
simulação
Fonte: Própria
Vale ressaltar que, para o método dos fatores de correção a probabilidade p
presente nas fórmulas dos limites de controle representa a probabilidade de alarme
falso por um canal individual, calculada a partir da probabilidade de alarme falso
global 0,0027 e em função de s.
n
LSCLSC
S
σ
µ
1
+=
µ
=
LC
n
LICLIC
s
σ
µ
1
+=
mínmáxmáxs
LSC
/
1
3
σµ
+=
mínmáxmíns
LIC
/
1
3
σµ
−=
n
LSCLSC
s
σ
µ
2
+=
µ
=
LC
n
LICLIC
s
σ
µ
2
−=
n
LSC
σ
µ
3+=
µ
=
LC
n
LIC
σ
µ
3−=
n
LSCLSC
s
σ
µ
4
+=
µ
=
LC
n
LICLIC
s
σ
µ
4
−= 44
ss
LSCLIC =
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33
Quando a média e o desvio-padrão do processo em questão forem
desconhecidos, devem ser substituídos por suas estimativas, o que implica numa
alteração dos limites de controle que passariam a ser escritos da seguinte forma:
+=
nd
R
LSCXLSC
i
s
2
(2.5)
XLC =
(2.6)
−=
nd
R
LICXLIC
i
s
2
(2.7)
No caso da group chart tradicional em particular, os termos LSC
i
s
e LIC
i
s
devem ser substituídos pelo valor 3.
Valores de NMA
0
e NMA
1
dos métodos propostos foram calculados a partir de
simulações computacionais para que seus desempenhos pudessem ser comparados.
O Método 1, que utiliza a distribuição dos máximos e mínimos para cálculo dos
limites de controle, apresentou um bom NMA
1
e NMA
0
considerado aceitável. O
Método 2, que utiliza fatores de correção, apresentou valores de NMA
0
muito altos
mas um pobre poder de detecção indicado por altos valores de NMA
1
. Isso se explica
devido ao erro de Colbeck no cálculo dos limites, ver Apêndice A. A group chart
tradicional, (Método 3), apesar de demonstrar um excelente potencial associado ao
NMA
1
, teve um NMA
0
considerado inaceitável, ou seja, produz muitos alarmes falsos
quando o processo está sob controle (o que já era de se esperar, dado que a taxa de
alarme falso global é maior que a individual, e cresce com o número de canais). Por
fim, o Método 4, dos limites de controle simulados apresentou o melhor desempenho
tanto em termos de NMA
0
quanto de NMA
1
.
Esses resultados e conclusões, porém, são conseqüências de vários erros e
equívocos. Sem dúvida, os limites de
σ
3
só poderiam levar a uma taxa de alarmes
falsos que cresce com o número de canais; Colbeck mostrou isso. Porém, o método
dos fatores de correção só não resultou no NMA
0
desejado devido ao erro de cálculo
cometido pelo autor.
Quanto ao Método 1, que considera as distribuições do máximo e do mínimo, a
grande diferença encontrada por Colbeck entre os NMA
0
’s obtidos e os desejados
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34
deve-se ao uso de limites de controle baseados na média e no desvio-padrão das
distribuições, o que é inadequado, pois as distribuições são assimétricas. A
semelhança visual, observada por Colbeck (1999), do seu histograma (gerado por
simulação) com a forma de uma distribuição normal é enganosa: nas caudas
(justamente na região além dos três desvios-padrão) a diferença é muito grande. O
autor deveria trabalhar com limites baseados nos quantis das distribuições
(
)
2
1 de quantis
α
−
. Neste caso, seus limites coincidiriam com os limites calculados
com fatores de correção (se tivessem sido calculados corretamente), pois os eventos
“máximo e mínimo dentro dos limites” e “todos os pontos dentro dos limites” são
equivalentes. Ele ignorou as expressões das distribuições acumuladas de máximo e
mínimo, que são construídas exatamente a partir das equivalências entre os eventos
“ bX
i
≤max ” e
( )
I
n
i
i
bX
1=
≤ e entre os eventos “ aX
i
≤min ” e o complemento de
( )
I
n
i
i
aX
1=
> .
Portanto, seria desnecessário trabalhar com as distribuições de máximo e
mínimo, pois chegar-se-ia aos limites estabelecidos pelo método dos fatores de
correção. Por exemplo, a distribuição acumulada do máximo é:
[
]
s
xX
bFbF )()(
max
=
(2.8)
onde,
s = ao número de canais do processo e, fazendo
−=
−
2
1
1
max
α
X
Fb
então
[ ]
−=
2
1)(
α
s
x
bF
∴
−=
−
s
x
Fb
1
1
2
1
α
(2.9)
o que significa que ambos os métodos levam ao mesmo limite.
Fica claro então, porque os limites obtidos por simulação forneceram melhor
resultado: neles Colbeck (1999) não comete nenhum erro. Apenas, possuem a
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35
imprecisão inerente à simulação. Seus valores exatos poderiam ter sido calculados
pelo método de fatores de correção.
A Tabela 2.4 a seguir apresenta os valores dos limites superiores de controle
estimados,
4
s
LSC , obtidos para 0027,0
=
α
e os valores exatos para os mesmos,
calculados por:
Φ=
−
s
k
1
1
99865,0
(2.10)
Tabela 2.4 – Comparação dos Limites de Controle obtidos por Simulação (Método 4) e
Limites de Controle exatos (obtido por 2.10)
Número LSC exatos
de canais obtidos por (2.10)
4
s
LSC
2 3,21 3,23
3 3,32 3.35
4 3,40 3.41
5 3,46 3.47
6 3,51 3.51
7 3,55 3.55
8 3,58 3.59
9 3,62 3.62
10 3,64 3.65
Fonte: Própria
De qualquer forma, mesmo os limites corretamente corrigidos (calculados
como mostrado no Apêndice A), aplicam-se ao caso de observações independentes, o
modelo de processo adotado pela group charts tradicionais, e não consideram a
existência de correlação cruzada entre os valores dos diversos canais, em decorrência
da parcela comum de variação, situação que é mais típica dos processos multicanal
reais.
2.2.4.
Passos
Passos (2005) desenvolveu uma técnica para o controle estatístico de um
processo de enchimento com múltiplos canais de uma multinacional da região
Sudeste, que apresentava autocorrelação e correlação cruzada entre os canais.
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36
Para tanto, propôs a decomposição dos valores da característica de qualidade
em cada canal em duas parcelas: uma, representando o nível-base e outra,
representando a diferença individual de cada canal em relação ao nível-base. Tal
estratégia foi utilizada como alternativa para a eliminação da correlação cruzada
existente entre os canais (decorrente da parcela comum), fazendo com que cada uma
das parcelas correspondentes fosse apenas autocorrelacionada. Para monitorar essas
duas parcelas de variação foram utilizados dois pares de gráficos:
• Um par de gráficos de X (gráfico de observações individuais), e MR
(moving range) das médias (em cada instante de tempo) dos s canais,
para o monitoramento de variações no nível-base, a fim de detectar
mudanças que afetem o processo como um todo.
• Um par de group charts de X e MR para as diferenças calculadas de
cada canal em relação ao nível-base, a fim de detectar variações
individuais em um ou poucos canais. Esse par de gráficos corresponde
ao esquema de controle alternativo indicado por M&R (do “resíduo
máximo” e “resíduo mínimo”), porém com algumas particularidades no
que se refere aos limites de controle utilizados.
O processo em questão, além de apresentar correlação cruzada entre os canais e
correlação serial do nível-base, apresentou também correlação serial das diferenças
em relação ao nível-base, o que inviabilizou o uso das group charts tradicionais. Nem
mesmo o esquema proposto por M&R considerou a questão da correlação serial das
diferenças em relação ao nível-base, também não sendo uma alternativa viável para o
processo em questão. Desta forma, Passos (2005) trabalhou com uma adaptação das
group charts tradicionais, modificando as fórmulas de cálculo dos limites de controle
para considerar tal correlação.
Outra peculiaridade do processo analisado é que seus canais não tinham mesma
média e mesma variância, e que tais médias não foram ajustadas antes de se calcular
os limites de controle para as group charts. Na verdade, não havia a possibilidade de
ajuste individual dos canais, dado que, por se tratar de mangueiras, podiam no
máximo ser trocadas. Em contrapartida, a capacidade do processo, segundo a
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37
empresa, era alta. A alternativa adotada para controlar as diferenças em um mesmo
par de group charts foi usar, em cada group chart, o maior dentre os LSC’s
calculados para todos os canais individualmente (de acordo com seus parâmetros) e, o
menor dentre todos os LIC’s.
Especificamente, o procedimento adotado foi, a partir de uma série histórica de
observações individuais em cada um dos (20) canais:
• Estimar o nível-base a cada instante t, pela média aritmética das observações
individuais dos 20 canais;
• Calcular as diferenças de cada observação individual de cada canal em relação ao
nível-base;
• Estudar a série do nível-base e as 20 séries de diferenças, quanto a autocorrelação
e correlações cruzadas;
• Tendo sido identificadas autocorrelações, sendo porém as séries estacionárias,
estimaram-se as médias e desvios-padrão totais de cada série de dados (i.e., do
nível-base e de cada uma das 20 diferenças), diretamente a partir dos dados. Vale
a pena repetir que as séries de diferenças possuíam médias não nulas e distintas
entre si, bem como diferentes desvios-padrão;
• Com base nesses parâmetros, calcularam-se limites “de três-sigma” para gráficos
de observações individuais e de amplitude móvel para cada uma das séries de
diferenças e para o nível-base; conseqüentemente, obtiveram-se diferentes limites
para as diferentes séries (canais); vale ainda explicitar que, dada a autocorrelação,
os limites para os gráficos de observações individuais não foram calculados em
função da amplitude móvel média mas sim do desvio-padrão de longo prazo
obtido diretamente dos dados;
• Os gráficos de observações individuais possuíam dois limites (superior e inferior),
os de amplitude móvel, somente limite superior (ou pode-se considerar que todos
possuíam limite inferior em zero); em qualquer caso, chamando de LSC
j
e LIC
j
os
limites superior e inferior, respectivamente, calculados para o canal j, então os
limites adotados para a group chart de todos os canais foram:
)(
jchartgroup
LSCMaxLSC = para j = 1, 2, 3...s
(2.11)
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38
)(
jchartgroup
LICMinLIC = para j =1, 2, 3...s
(2.12)
As equações (2.11) e (2.12) valem tanto para a group chart de observações
individuais quanto para a de amplitude móvel, desde que com os limites LSC
j
e LIC
j
correspondentes a cada caso.
É fácil observar, pelas equações (2.11) e (2.12) que a distância dos limites de
controle à média de cada diferença individual (de cada canal), em número de desvios-
padrão das diferenças do canal em questão, variava de canal para canal, sendo, em
geral, maior que a distância obtida pelas fórmulas tradicionais de limites de
σ
3
ou de
probabilidade. A empresa justificou a escolha de tal procedimento pela simplicidade e
pela alta capacidade do processo.
Por essa mesma constatação de que a distância, para a maioria dos canais, era
superior a
σ
3
, Passos não se preocupou em “corrigir” a abertura dos limites: tal
correção seria desnecessária e mesmo excessiva.
A dissertação deixou em aberto a questão da avaliação do desempenho do
esquema proposto, que não pôde ser realizada por falta de tempo. Outra direção de
prosseguimento também indicada por Passos (2005), foi a avaliação da alternativa de
se trabalhar com group charts para as diferenças padronizadas (com média zero e
desvio-padrão um) em relação ao nível-base, o que permitiria o uso de limites de
controle com fatores de abertura (distância à média em número de desvios-padrão),
equivalentes para todos os canais.
A partir das direções de prosseguimento indicadas por Passos (2005), a presente
dissertação desenvolve um esquema de controle baseado nas diferenças de cada canal
em relação ao nível-base para processos cujos canais apresentem mesma média e
mesma variância, analisa o seu desempenho e compara-o com o desempenho do
esquema de M&R. O esquema também pode ser aplicado ao monitoramento das
diferenças padronizadas no caso de canais com diferentes médias e variâncias.
Apenas na interpretação dos resultados aqui presentes, para este caso é importante ter
em mente que um mesmo shift padronizado corresponde a diferentes magnitudes de
shift na unidade de medida da característica de qualidade para canais com diferentes
desvios-padrão.
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39
3
Esquema Proposto
Com base no modelo subjacente de processo e hipóteses admitidas, que
apresenta inicialmente, este capítulo desenvolve o esquema de controle proposto e as
expressões para cálculo dos seus limites de controle. Ele finaliza pelo modelo
matemático de medidas de desempenho para o caso de alteração em apenas um dos
canais, que é o foco deste trabalho e cuja detecção é o objetivo primordial do
esquema de controle proposto.
3.1.
Modelo do Processo
Seja um processo com s canais do qual, periodicamente, são tomadas n
observações (medidas) da característica de qualidade, x, em cada canal. Tanto o
esquema de CEP aqui proposto, como tal análise de desempenho, pressupõe que a j-
ésima medida da característica de qualidade efetuada no canal i no instante t,
tij
x , seja
representada pelo seguinte modelo:
tijttij
ebx += , ....2,1,0
=
t ; si ,...2,1
=
; nj ...2,1
=
(3.1)
onde
t
b representa o valor do nível-base real (componente comum a todos os canais)
no instante t, e
tij
e representa a diferença de cada canal em relação ao nível-base real
(j-ésimo valor da componente individual do canal i no instante t).
O nível-base pode ser constante (no caso de perfeita independência entre os
canais, não havendo componente comum de variação), ou variável. Neste último
caso, seus valores ao longo do tempo podem ser i.i.d. ou apresentar autocorrelação..
Aqui, supõe-se que para processos em controle, as diferenças dos canais em relação
ao nível-base são aleatórias e normalmente distribuídas com média nula, o que
significa que todos os canais apresentam o mesmo ajuste e mesma dispersão, isto é:
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40
),,0(~
2
σ
Ne
tij
j
∀
(3.2)
Além disso, supõe-se que os valores de
tij
e dos diversos canais num mesmo
instante de tempo sejam independentes (nenhuma correlação cruzada entre os se
ti
' ,
sendo toda a parcela de variação comum aos canais representada pelo nível-base e
sendo as diferenças, portanto, ruídos aleatórios). Assim, toda eventual autocorrelação
presente numa série de valores sucessivos da característica de qualidade x em um
mesmo canal será devida a autocorrelação do nível-base, dado que os se
ti
' não
exibem autocorrelação. Formalmente, tem-se que: Cov(e
tij
, e
tkl
) = 0, ∀ t, i, j, k, l,
desde que (i, j) ≠ (k, l), valendo inclusive para j=l desde que i≠k, e para i=k desde que
j≠l).
Este é o modelo considerado por M&R, e que parece representar bem um
grande número de processos multicanal reais. Correlação cruzada e autocorrelação
dos se
i
' podem surgir devido à presença de causas especiais, mas quando em
controle, grande número dos PMC reais pode ser bem representados pelo modelo
apresentado. Dos seus pressupostos, talvez o mais freqüentemente violado seja o de
que os se
i
' possuem média nula, ou seja, de que todos os canais possuem o mesmo
ajuste. Passos (2005) e Barros (2008) mostram processos reais em que isso não
ocorre.
3.2.
Decomposição das Observações
A idéia aqui proposta para o CEP consiste em controlar separadamente o nível-
base
t
b e as flutuações individuais dos canais,
tij
e . Como, porém, não é possível
medir diretamente
t
b nem
i
e , mas apenas
tij
x , torna-se necessário então, que
tij
x seja
decomposto.
Cada valor medido da variável de interesse (
tij
x ) em cada canal no instante t,
é, portanto, decomposto em uma “estimativa” ou “medida” de
t
b e em uma
“estimativa” ou “medida” de
tij
e , como será visto a seguir.
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41
As palavras “estimativa” e “medida” foram postas entre aspas, pois, a rigor, não
representam uma coisa nem outra. De fato, não se trata de estimativas de parâmetros,
pois aplicam-se a valores particulares, individuais, das variáveis aleatórias b e e;
porém tampouco se trata de medidas individuais, já que tais valores não podem ser
medidos diretamente, apenas “estimados”. Feita essa ressalva, daqui em diante será
usado o termo “estimativa”, por simplicidade.
É importante definir a notação não usual que será empregada no restante deste
trabalho. Utilizar-se-á um ponto (“.”) na posição de um índice de uma variável para
indicar a média aritmética dos valores de uma variável quando varia-se o índice em
questão. Por exemplo, dada a variável x
tij
, t = 1, 2, ...; i = 1, 2, ..., s; j =1, 2, ..., n;
então x
ti
. representa
∑
=
n
j
tij
x
n
1
1
e x
t
.. representa
∑∑
= =
s
i
n
j
tij
x
sn
1 1
1
. Tal notação difere da
usual, em que o ponto indica, não a média, mas sim o somatório dos valores da
variável, e na qual, para se indicar a média, é necessário, além do ponto no lugar
do(s) índice(s) que varia(m), uma barra horizontal sobre a variável (na notação usual,
as médias do exemplo seriam denotadas por
⋅ti
x e por
⋅⋅t
x ). Tal barra não será
empregada aqui, pois freqüentemente será usado o “chapéu” (“^”) para representar
estimadores, e o uso simultâneo do chapéu e da barra sobre uma variável
sobrecarregaria a notação. Como não haverá necessidade de referir-se a somatórios
(que só têm uso neste trabalho como passo intermediário do cálculo de médias), não
há risco de ambigüidade com a eliminação da barra, desde que o leitor tenha presente
que o ponto sempre indicará média aritmética.
a) Estimativa do nível-base no instante t
O valor
t
b do nível-base do processo no instante t poderá ser estimado por:
∑∑
= =
==
s
i
n
j
tijtt
x
ns
xb
1 1
1
ˆ
(3.3)
onde, relembrando,
tij
x representa o valor da j-ésima observação do canal i no
instante t.
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42
b) Estimativas de
tij
e e de
ti
e
A expressão (3.1) pode ser reescrita como:
ttijtij
bxe −=
(3.4)
Como já mencionado anteriormente, o valor exato de b
t
não é conhecido e, em
conseqüência, tampouco se conhece o valor exato de
tij
e . Assim, no lugar das
parcelas individuais dos canais,
tij
e , monitorar-se-ão suas estimativas
tij
e
ˆ
, dadas pelas
diferenças entre as observações em cada canal e o nível-base estimado:
ttijtij
bxe
ˆ
ˆ
−= (3.5)
A partir da equação (3.5) é possível escrever a estimativa da diferença média do
valor no canal i em relação a
t
b (o que equivale à estimativa do valor esperado de
tij
e ), como:
∑
=
⋅
=
n
j
tijti
e
n
e
1
ˆ
1
ˆ
(3.6a)
ou,
ttiti
bxe
ˆ
ˆ
−=
⋅⋅
(3.6b)
onde
∑
=
⋅
=
n
j
tijti
x
n
x
1
1
(3.6c)
Portanto, a estimativa de
ti
d e
ti
e pode ser calculada tanto por (3.5) e (3.6a)
como por (3.6c) e (3.6b).
Sintetizando: o modelo aqui proposto para CEP multicanal constitui-se de dois
“processos” independentes que utilizam dois gráficos de controle distintos para seu
monitoramento, um para o nível-base e outro para as diferenças em relação ao nível-
base, como será visto nas Seções 3.5 e 3.6 a seguir.
Antes de prosseguir, apresentar-se-ão algumas relações que serão úteis para os
desenvolvimentos mais adiante.
Substituindo-se (3.1) em (3.6c) é fácil ver que:
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43
⋅⋅
+=
titti
ebx (3.7a)
onde
⋅ti
e , ainda que não possa ser calculado diretamente pela expressão que se segue,
corresponde a:
∑
=
=
n
j
tijti
e
n
e
1
1
(3.7b)
E ainda, substituindo-se em (3.3) o somatório mais interno por
ti
x (de acordo
com 3.6c) e, em seguida, substituindo-se
⋅ti
x por (3.7a) chega-se a:
⋅⋅
+=
ttt
ebb
ˆ
(3.8)
onde
⋅⋅t
e ainda que não possa ser calculado diretamente, corresponde a:
∑
=
⋅⋅⋅
=
s
i
tit
e
s
e
1
1
(3.9)
3.3.
Tipo de Causa Especial Considerada
O presente trabalho analisa tanto o desempenho do esquema proposto, como o
desempenho do esquema proposto por M&R (para que comparações entre os dois
esquemas possam ser realizadas) apenas no que diz respeito à detecção de alterações
na média de um dos se
i
' : no caso de ela mudar de para um valor
δσ
, mantendo-se
neste valor até que haja uma intervenção no processo. Supõe-se que as variâncias
permaneçam inalteradas: alteração na dispersão do processo não está no escopo deste
trabalho. O caso de alterações no parâmetro do nível-base também não será analisado,
devido a três razões, a saber:
• Todos os três esquemas considerados (M&R, Runger et al. e o esquema
proposto) monitoram o nível-base da mesma forma: sua estimativa,
calculada através da média das observações de todos os canais, é
monitorada por alguma técnica de controle estatístico de processos
univariados: um gráfico de Shewhart, um par de gráficos de controle,
um esquema CUSUM ou EWMA, sendo que a escolha do tipo do
esquema a ser utilizado dependerá da presença ou não de autocorrelação
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44
em
t
b ; portanto, quanto ao monitoramento do nível-base, os esquemas
não diferem;
• Qualquer que seja o esquema de CEP univariado adotado para o
monitoramento do nível-base, não se trata de uma abordagem específica
para processos multicanal, e sim de gráficos e esquemas já conhecidos e
com o desempenho fartamente analisado;
• Todos os três esquemas de controle em análise neste trabalho separam
as componentes do processo e suas variações de tal forma que causas
especiais que afetem o nível-base não têm efeito sobre os (e
tij
) e suas
estimativas (a recíproca não é verdadeira, como será visto mais adiante).
3.4.
Medidas de Desempenho
Duas medidas de desempenho serão utilizadas na análise dos esquemas de
controle aqui estudados: a probabilidade de sinal, p (dada a presença de uma causa
especial que desloque a média de um canal em
δσ
unidades) e o número médio de
amostras até um sinal, NMA
1
.
Em processos univariados com observações i.i.d., utilizando-se gráficos de
Shewhart, o número de amostras até um sinal possui distribuição geométrica com
parâmetro p (igual à probabilidade de sinal, constante) de modo que o NMA
1
, o valor
esperado desta variável, é dado por:
p
NMA
1
1
=
(3.10)
No caso de múltiplos canais, porém, há diferentes sinais possíveis: sinal
associado ao canal que sofreu alteração, sinal associado a outros canais ou sinal pelo
gráfico do nível-base. Estes sinais, por sua vez, possuem diferentes probabilidades, de
modo que também podem ser definidos diferentes NMA
1
’s: número de amostras até
sinal associado ao canal afetado, número de amostras até qualquer sinal, por exemplo.
A situação de processos multicanal é mais complexa que a de processos univariados,
inclusive porque a ocorrência de um tipo de sinal pode levar à interrupção do
processo, impedindo assim que outros sinais possam vir a ocorrer (viola-se aqui a
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45
premissa da distribuição geométrica, de que as provas de Bernoulli sejam repetidas
independentemente até o primeiro sucesso). Vários desses NMA
1
’s deixam de ser
médias de uma distribuição geométrica, e não podem ser calculados por (3.10). Em
alguns casos pode nem fazer sentido falar em NMA. Além disso, passa a haver
dependência entre os diversos eventos “sinal” possíveis em um mesmo instante de
tempo (como será visto adiante).
É fácil observar que ocorrendo uma mudança de magnitude relativamente alta,
na média de um dos canais, ela afetará também a estimativa
t
b
ˆ
, dada por (3.3)
principalmente quando o processo é constituído de poucos canais. Assim, haverá uma
influência direta, tanto na probabilidade de o canal que sofreu a mudança sinalizar,
como na probabilidade de o gráfico do nível-base sinalizar e ainda, pelo viés
introduzido em
t
b
ˆ
que se refletirá nas diferenças estimadas (ver expressão 3.6b) na
probabilidade de outros canais sinalizarem.
Tendo em vista tudo acima exposto e a não independência entre os canais, as
probabilidades de sinal serão calculadas analiticamente para diversos tipos de sinal,
mas algumas serão obtidas por simulação. Além disso, não é possível trabalhar com
NMA para todas as probabilidades obtidas.
A dificuldade de se obter analiticamente a probabilidade de sinal e o NMA
1
também ocorre no caso do gráfico de R
t
proposto por M&R, dado que a distribuição
da amplitude relativa só se aplica ao caso em que os valores considerados (valores
provenientes dos diversos canais) constituem uma amostra aleatória de uma
distribuição normal, condição que não é satisfeita no caso de um único canal ter sua
média alterada.
3.5.
Gráficos de Controle para o Nível-Base
O gráfico de controle para o nível-base é utilizado a fim de monitorar causas
especiais que afetem o processo como um todo (todos os canais simultaneamente).
Como foi dito na Seção 2.3, não está no escopo do presente trabalho a análise
do desempenho do esquema proposto na detecção de causas especiais que afetem o
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46
nível-base (i.e., na sinalização de alterações nos parâmetros da parcela comum a
todos os canais). Porém o gráfico do nível-base também pode sinalizar alterações na
média da parcela individual de um dos canais, e neste contexto cabe aqui analisar o
seu desempenho.
O nível-base (ou parcela de variação comum a todos os canais) pode ser
autocorrelacionado ou não, o que permite que diversos esquemas de controle
estatístico sejam utilizados, para seu monitoramento: um gráfico de controle de
Shewhart, um gráfico de controle com “limites alargados” (Costa et al., 2005, Cap 6),
de CUSUM ou EWMA para os resíduos de um modelo de série temporal ajustado aos
dados, dentre outros.
Como se trata do primeiro trabalho sobre o método proposto, será considerado
o caso mais simples, de um gráfico de Shewhart (gráfico de
X
, pois
t
b
ˆ
é a média das
sn observações — n observações de cada um dos s canais — em cada instante de
amostragem). Outros esquemas de controle, como gráficos EWMA, CUSUM ou
outros, podem ser analisados como extensões posteriores, e o desempenho do gráfico
de Shewhart pode ser utilizado como referencial para avaliação dos ganhos de
desempenho que tais esquemas podem proporcionar.
O desempenho do gráfico do nível-base variará não apenas conforme o tipo de
esquema de controle adotado, mas também em função do valor da razão entre sua
variância e a variância das parcelas individuais de cada canal.
Como discutido anteriormente, o valor do nível-base,
t
b , não pode ser obtido
diretamente, o que faz com que a variável controlada pelo gráfico em questão seja sua
“estimativa”
t
b
ˆ
. Para cálculo dos limites de controle, é preciso que tanto o valor
esperado quanto a variância de
t
b
ˆ
sejam conhecidos.
Com o processo em controle,
t
b
ˆ
é um estimador não-viesado de
t
b ; portanto
seu valor esperado é igual a E(b
t
). Para fins de análise de desempenho não importa
qual seja o valor particular de E(b
t
), que, por simplicidade e sem perda de
generalidade, pode ser considerado nulo e, em conseqüência,
0)
ˆ
( =
t
bE (3.11)
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47
Cabe ressaltar que (3.11) vale com o processo em controle. Ocorrendo um
deslocamento na média de alguns dos se
i
' , um viés será introduzido em
t
b
ˆ
, como
será visto oportunamente.
De (3.8) ou (3.9), ou, alternativamente, substituindo-se a equação (3.1) em
(3.3), o valor “estimado” para o nível-base pode ser escrito como:
∑∑
= =
+=
s
i
n
j
tijtt
e
ns
bb
1 1
1
ˆ
(3.12)
e, a partir da equação (3.12), pode-se escrever a variância do valor estimado do nível-
base, como
(
)
( )
+=
∑∑
= =
s
i
n
j
tijtt
e
ns
VbVbV
1 1
1
ˆ
(3.13a)
(
)
( )
( )
2
2
1
ˆ
σ
ns
ns
bVbV
tt
+=
(3.13b)
(
)
ns
bV
bt
2
2
ˆ
σ
σ
+=
(3.13c)
A partir de (3.13c), os limites de “k-sigma” para o gráfico do nível base são
dados por:
ns
kLSC
b
2
2
σ
σ
++=
(3.14)
ns
kLIC
b
2
2
σ
σ
+−=
(3.15)
onde
(
)
2
1
α
−
Φ−=k
sendo
α
a probabilidade de alarme falso especificada e
Φ
a distribuição normal
padrão acumulada.
As equações (3.14) e (3.15) mostram que os limites do gráfico do nível-base
dependem da razão entre a sua variância (do nível-base,
2
b
σ
) e a variância das
parcelas individuais de cada canal,
2
σ
. A sensibilidade desse gráfico a deslocamentos
de magnitude δσ na média individual de um canal dependerá dessa razão, sendo tanto
maior quanto menor a razão
22
σσ
b
(porque os limites de controle em (3.14) e (3.15)
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48
serão tanto mais estreitos em relação a σ quanto menor for
2
b
σ
). Os dois casos
extremos são: quando a razão tende para infinito, caso em que o gráfico do nível-base
será completamente insensível a alterações nas parcelas individuais dos canais (neste
caso, a contribuição das parcelas individuais dos canais torna-se irrelevante para a
variabilidade do processo, mas cabe a perguntar se tal caso extremo existe na prática),
e quando o nível base é constante (canais perfeitamente independentes), e portanto
0
2
=
b
σ
. Este é o caso em que a sensibilidade do gráfico do nível-base a alterações
nas parcelas individuais dos canais é máxima. Sua análise, portanto, tem interesse,
pois fornece limitantes superiores para a probabilidade de sinalização de uma
alteração na parcela individual de um canal pelo gráfico do nível-base (no caso em
que este não seja constante).
De fato, no caso de o nível-base em controle ser constante (canais perfeitamente
independentes), não seria necessário o cálculo das diferenças em relação ao nível-
base (pois neste caso pode-se trabalhar diretamente com group charts convencionais
dos valores observados dos diversos canais, x
tij
, ou melhor, de suas médias, x
ti
.);
portanto a group chart aqui proposta (de diferenças em relação ao nível-base
estimado) perde sentido nesta situação. Ainda assim, pode ser vantajoso manter um
gráfico de controle para o nível-base, para indicar a ocorrência de causas especiais
que afetem todos os canais simultaneamente, pois ele deverá ter maior sensibilidade
que a group chart para sinalizar esse tipo de causa especial. E tal gráfico seria
sensível também, adicionalmente, a causas que afetassem apenas um dos canais.
Aqui será analisado o efeito da alteração na média da parcela individual de um
dos canais sobre o gráfico do nível-base apenas neste caso extremo em que o nível-
base, com processo em controle, assume um valor constante: ,bb
t
=
t
∀
. Embora este
não seja o caso que motivou este trabalho (pois a group chart de diferenças proposta
só tem sentido no caso em que o nível-base oscila, como recurso para filtrar a sua
variação), sua análise tem uma dupla utilidade: em primeiro lugar, repita-se, as
probabilidades de sinalização de alterações na parcela de um dos canais pelo gráfico
do nível-base que determinadas para este caso são limitantes superiores para os
valores exatos dessas probabilidades no caso geral em foco (lembrando que no caso
geral essas probabilidades variam de processo para processo, dependendo da razão
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49
22
σσ
b
); e no caso particular de canais independentes (caso em que se utilizaria uma
group chart convencional e um gráfico para o nível-base), estas probabilidades serão
exatas (mesmo não sendo tal caso o foco deste trabalho, trata-se de um resultado
adicional).
Neste caso, as equações (3.14) e (3.15) para os limites do gráfico do nível-base
simplificam-se para:
ns
kLSC
σ
+=
(3.14a)
ns
kLIC
σ
−=
(3.15a)
3.6.
Gráficos de Controle para as Diferenças em Relação ao Nível-Base
3.6.1.
Considerações Iniciais
A presente seção tem como objetivo descrever a group chart das diferenças,
esquema de controle proposto para monitoramento de causas especiais que afetem um
ou poucos canais, assim como estudar a distribuição em controle das diferenças
ti
e
ˆ
em relação ao nível-base (das observações individuais em cada canal, isto é, n = 1),
ou, de modo geral, das diferenças médias ⋅
ti
e
ˆ
(no caso em que cada instante de
tempo t são feitas diversas observações por canal), de modo a obter as expressões
necessárias para o cálculo de seus limites de controle.
É importante ressaltar que, apesar do uso das diferenças em relação ao nível-
base ter sido mencionado como um possível esquema de controle estatístico de
processo multicanal por M&R, e de tais diferenças terem sido efetivamente
empregadas em group charts em um processo real por Passos (2005), a presente
análise formal e as expressões dos limites de controle são, ao nosso conhecimento,
inéditas. Além de não apresentarem nenhuma fórmula, M&R não discutem aspectos
das distribuições das estatísticas empregadas. Passos (2005), por sua vez, defrontou-
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50
se com um processo em que as diferenças (
tij
e ), além de não serem identicamente
distribuídas (possuindo médias e variâncias distintas de canal para canal),
apresentavam um pequeno grau de autocorrelação em cada canal. A solução adotada,
por preferência da empresa, foi calcular limites para cada diferença
ti
e
ˆ
de cada canal
com base numa estimativa do seu desvio-padrão de longo-prazo,
i
σ
(de modo a levar
em conta o efeito da autocorrelação) e adotar para a group chart, o maior dos limites
superiores (
Max
i
LSC ) e menor dos limites inferiores (
Min
i
LIC ). Assim, o presente
modelo é, ao nosso conhecimento, original.
3.6.2.
Distribuições em Controle das Diferenças Calculadas
Para um processo sob controle, supõe-se que todos os
tij
e possuam distribuição
normal com média nula e desvio-padrão
σ
constante (ver equação (3.2)). Porém,
suas estimativas
tij
e
ˆ
não são calculadas por (3.4), subtraindo de
tij
x o nível-base
teórico, b
t
, que é desconhecido, mas sim por (3.5), subtraindo de
tij
x a estimativa do
nível-base,
t
b
ˆ
, que é a média dos diversos
tij
x . Como visto na Seção 3.2, tal
estimativa possui valor esperado igual a b
t
e variância igual a
ns
2
σ
.
É importante observar que apesar de, por hipótese do modelo, as parcelas
individuais
tij
e de cada canal (e suas médias
⋅ti
e , no caso de mais de uma observação
por canal, i.e., de n>1) serem independentes do valor do nível-base (
t
b ) e também
independentes umas das outras (
⋅ti
e independente de
⋅tk
e para
ki
≠
), as diferenças
médias estimadas
⋅ti
e
ˆ
em relação ao nível-base estimado
t
b
ˆ
são correlacionadas com
o valor do nível-base estimado (
t
b
ˆ
) e não são independentes umas das outras (
⋅ti
e
ˆ
não é independente de
⋅tk
e
ˆ
para
ki
≠
).
Substituindo-se a expressão (3.7a) e (3.8) em (3.6b), a diferença média em
relação ao nível-base estimado (
⋅ti
e
ˆ
) passa a ser escrita como:
⋅⋅⋅⋅
−=
ttiti
eee
ˆ
(3.16a)
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51
o que equivale a:
∑
=
⋅
−=
s
k
tktiti
e
s
ee
1
1
ˆ
(3.16b)
ou ainda a:
∑
≠
=
⋅
−
−
=⋅
s
ik
k
tktiti
e
s
e
s
s
e
1
11
ˆ
(3.16c)
Dado que, com o processo em controle,
⋅
n
Ne
ti
2
,0~
σ
, t,i
∀
(3.17)
e dada a independência dos
tij
e para diferentes valores de t, i e j, (que implica a
independência dos
ti
e para diferentes valores de t e i então:
⋅⋅
ns
Ne
t
2
,0~
σ
(3.18)
Portanto, o valor esperado da diferença média em relação ao nível-base
estimado, expresso em função da equação (3.16a), corresponde a:
(
)
(
)
(
)
⋅⋅⋅⋅
−=
ttiti
eEeEeE
ˆ
(3.19a)
É fácil perceber, a partir das expressões (3.16c), (3.17) e (3.18), que o valor
esperado de
⋅ti
e
ˆ
é nulo, isto é,
(
)
0
ˆ
=
⋅ti
eE
(3.19b)
Já a variância de
⋅ti
e
ˆ
pode ser obtida de duas formas distintas. Na primeira
forma, a variância é obtida em função da expressão (3.16a), como:
(
)
(
)
⋅⋅⋅⋅
−=
ttiti
eeVeV
ˆ
(3.20a)
(
)
(
)
(
)
(
)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−+=⋅
ttittiti
eeCoveVeVeV ,2
ˆ
(3.20b)
onde
( )
n
eV
ti
2
σ
=
⋅
(3.20c)
( )
ns
eV
t
2
σ
=
⋅⋅
(3.20d)
e, como demonstrado no Apêndice B,
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52
( )
ns
eeCov
tti
2
,
σ
=
⋅⋅⋅
(3.20e)
o que leva a:
( )
ns
s
eV
ti
2
1
ˆ
σ
−
=
⋅
(3.20f)
Na segunda forma, a variância de ⋅
ti
e
ˆ
pode ser calculada mais diretamente a
partir de (3.16a), e lembrando que os se
tk
' são independentes, por:
( ) ( )
n
s
sns
s
eV
ti
2
2
2
2
1
11
ˆ
σσ
−
+
−
=⋅
(3.21a)
que, se reduz simplesmente a:
( )
ns
s
eV
ti
2
1
ˆ
σ
−
=
⋅
(3.21b)
que é idêntica à expressão (3.20f).
Sintetizando: estando o processo sob controle, a diferença média em relação ao
nível-base estimado (
⋅ti
e
ˆ
) possui valor esperado zero e variância igual à
ns
s
2
1
σ
−
.
3.6.3.
Limites de Controle
Com base na distribuição de
ti
e
ˆ
(ou de
⋅ti
e
ˆ
no caso de n >1), os limites de
controle para as group charts das diferenças (ou das diferenças médias
⋅ti
e
ˆ
) podem
ser estabelecidos a ± k desvios-padrão da sua média (que foi vista ser nula com o
processo em controle), onde o valor de k deve ser estabelecido de forma a garantir
que a probabilidade de alarme falso seja suficientemente pequena. A partir de uma
probabilidade de alarme falso especificada, pode-se então, calcular o valor de k
correspondente.
Como s canais estão sendo considerados, a probabilidade de alarme falso total
)(
global
α
, pode ser muito maior que a probabilidade de alarme falso para cada canal
individualmente )(
individual
α
, fato que deve ser considerado ao se calcular os limites de
controle para o gráfico em questão.
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53
Suponha-se inicialmente independência entre os diversos se
ti
'
ˆ
⋅
(isto é,
⋅ti
e
ˆ
e
⋅tj
e
ˆ
independentes se
j
i
≠
). Já foi dito que
ti
e
ˆ
e
tj
e
ˆ
não são independentes; portanto
⋅ti
e
ˆ
e
⋅tj
e
ˆ
também não serão. Admita-se, porém, apenas provisoriamente, essa
hipótese, para fins de exposição. Chamando de
individual
α
e
global
α
as probabilidades de
alarme falso individual e global, respectivamente, a probabilidade de nenhum canal
sinalizar na presença de uma causa especial seria:
(
)
s
individualglobal
)1(1
αα
−=−
(3.22a)
o que permite que
individual
α
seja determinado, em função de um valor
global
α
especificado, por:
s
globalindividual
αα
−−= 11
(3.22b)
Assim, a partir de um valor especificado para
global
α
,
individual
α
pode ser obtido
pela equação (3.22b) acima, o que, por sua vez, permite o cálculo do parâmetro k,
como:
Φ−=
−
2
1
individual
k
α
(3.23)
Observe que na equação (3.23) o valor de
individual
α
é dividido por dois, o que
deve-se ao fato de tanto limite superior quanto o limite inferior de controle serem
considerados.
Tomando como exemplo um processo constituído de 20 canais, especificando-
se uma probabilidade total de alarme falso, 0027,0=
global
α
, ter-se-ia:
00014,00027,011
20
=−−=
individual
α
(3.24)
o que corresponde a um valor de k = 3,817.
O procedimento acima para determinação de k possui uma falha dado que
pressupõe que os se
ti
'
ˆ
⋅
sejam independentes, quando na verdade apresentam
correlação entre si. Para um processo com s canais, a correlação
ij
ρ
entre duas
diferenças médias calculadas quaisquer
⋅ti
e
ˆ
e
⋅tj
e
ˆ
(para
j
i
≠
) é:
jiji
s
ij
≠∀
−
−
= , , para
)1(
1
ρ
(3.25)
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54
A demonstração encontra-se no Apêndice C.
O efeito dessa correlação é fazer com que o valor real, exato, de
global
α
(que
pode ser calculado integrando-se a distribuição multivariada dos se
ti
'
ˆ
⋅
fora da região
s-variada definida pelos limites de controle determinados) seja menor que o valor
fornecido por (3.22a). Em outras palavras, a suposição de independência entre os
se
i
'
ˆ
leva à superestimação da probabilidade de alarme falso global.
No caso extremo de apenas dois canais (s = 2), a expressão (3.25) se reduz a:
1
)12(
1
−=
−
−
=
ij
ρ
(3.26)
De fato, como
b
ˆ
é a média dos sx
ti
'
⋅
, no caso de s = 2,
t
b
ˆ
equivale ao ponto
médio
(
)
2
21 ⋅⋅
+
tt
xx
e
⋅⋅
−=
21
ˆˆ
tt
ee ou,
(
)
2
ˆ
21
1
⋅⋅
⋅
−
=
tt
t
xx
e e
(
)
2
ˆ
12
2
⋅⋅
⋅
−
=
tt
t
xx
e .
Neste caso, os dois canais sinalizam sempre juntos,
individual
α
é igual a
global
α
e a
expressão (3.22b) não deve ser utilizada para compensar o efeito de o processo ser
constituído por mais de um canal.
No caso de um processo com três canais (s = 3), a correlação entre canais cai
(em módulo), para:
5,0
)13(
1
=
−
−
=
ij
ρ
(3.27)
Embora esta correlação leve a um valor de
global
α
menor que o fornecido pela
expressão (3.22b), essa redução já é menos significativa que no caso de dois canais.
Calculando, para vários valores de
global
α
especificados, os limites de controle
por (3.22b) e (3.23), com s = 3 (processo com três canais), e, em seguida, calculando
os valores exatos de
global
α
para uma group chart com esses limites, verifica-se que a
redução do
global
α
em relação ao especificado é da ordem de apenas 5%, sendo menor
para menores valores especificados de
global
α
. Pode-se também comparar os NMA
0
’s
exatos e especificados, o que é equivalente a comparar as probabilidades de alarme
falso, pois
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55
global
global
NMA
α
1
0
=
(3.28)
A Tabela 3.1 fornece o NMA
0
exato para alguns valores de NMA
0
especificados para processos com 3 canais.
Tabela 3.1– Erro da Expressão (3.22b) no cálculo do NMA
0
global e valores de k que
levam aos valores nominais de NMA
0
’s para processo com três canais (s = 3).
NMA
0
Especificado
Exato
Diferença
(%)
k que resulta no
NMA
0
especificado
100 106,622
6,62 2,917
200 209,995
5 2,947
370,38 385,89 4,19 3,129
Fonte: Própria
Os NMA
0
’s exatos da Tabela 3.1 foram obtidos por um programa
computacional que calcula a probabilidade de nenhum dos três canais sinalizar
integrando a distribuição normal trivariada na região dentro dos limites de controle.
Outro programa semelhante foi utilizado para o caso de um processo com dois canais,
confirmando que, neste caso,
individual
α
é igual a
global
α
.
No caso de três canais, a pequena magnitude do aumento no NMA
0
global com
o uso dos limites de controle determinados pelas expressões (3.22b) e (3.23) mostra
que elas podem ser utilizadas, dado seu pequeno impacto na prática e dado que os
limites assim determinados são conservadores (levam a uma freqüência de alarmes
falsos menor que o especificado:
α
menor, NMA
0
maior). Contudo, o poder do
gráfico evidentemente, será um pouco menor que no caso dos limites que
correspondam exatamente ao
global
α
(ou NMA
0
global) especificado. Assim, para
3
=
s
, buscou-se iterativamente, por tentativas, valores para k que levassem a valores
exatos de NMA
0
global iguais a 100, 200 e 370,38. Tais valores estão disponíveis na
Tabela 3.1 acima.
A expressão (3.25) mostra que, a correlação entre os diferentes se
ti
'
ˆ
⋅ diminui
(em módulo) com o aumento do número de canais (sendo igual a -1/3 no caso de
quatro canais, -1/4 no caso de cinco canais, e assim por diante); isso faz com que os
erros percentuais nos valores de NMA
0
(ou de
global
α
) calculados pela expressão
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56
(3.22b) se tornem cada vez menos relevantes (como já é sabido, menores que 5% já
para s = 4). Dessa forma, recomenda-se que, para
4
≥
s
os limites sejam
estabelecidos com base nas expressões (3.22b) e (3.23).
Como visto anteriormente, para um processo em controle, as diferenças médias
⋅ti
e
ˆ
são normalmente distribuídas (pois são combinações lineares de variáveis
aleatórias normalmente distribuídas) com média nula (expressão 3.19b) e desvio-
padrão igual a
n
s
s
σ
1−
(expressão 3.21b), o que permite que os limites de controle
para as diferenças
⋅ti
e
ˆ
sejam representados por:
n
s
s
kLSC
σ
1−
= (3.29)
n
s
s
kLIC
σ
1−
−=
(3.30)
onde:
s = número de canais;
n = número de diferentes medidas por canal em um mesmo instante de
tempo, isto é, o tamanho da amostra;
σ = desvio-padrão das diferenças reais em relação ao nível-base “teórico”, e
k é obtido da seguinte forma:
• Pela equação (3.23), com
individual
α
igual a
global
α
, no caso de processos
com dois canais (s = 2)
• Pela Tabela 3.1 caso o processo contenha três canais (s= 3), ou
• Pelas equações (3.22b) e (3.23), caso o processo tenha mais de três
canais (
3
>
s
)
Quanto a
σ
e às expressões (3.29) e (3.30), alguns comentários devem ser
feitos:
σ
é o desvio-padrão das diferenças reais em relação à
t
b ; se for
desconhecido, deve ser estimado. Todavia, como
t
b não é conhecido, o usuário
provavelmente poderá estimar o desvio-padrão dos se
ti
'
ˆ
⋅
, que têm como valor
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57
esperado
σ
ns
s 1−
. Neste caso, para cálculo dos limites de controle, basta multiplicar
essa estimativa por k.
Apenas no caso de
t
b ser constante (com o processo em controle) – situação
pouco comum – o desvio-padrão das diferenças reais poderá ser estimado
diretamente, pois coincidirá com o desvio-padrão dos
tij
x . Neste caso, porém, pode
não haver muito sentido em trabalhar com uma group chart das diferenças médias,
sendo mais coerente, portanto, trabalhar com uma group chart dos
⋅ti
x , dado que as
correlações cruzadas (que são devidas à variação da parcela comum b
t
)
desaparecerão, e cada valor corresponderá diretamente à medida (ou média das
medidas) da variável de interesse em cada canal.
As expressões (3.29) e (3.30) para os limites de controle possuem, portanto,
interesse essencialmente teórico. São úteis tanto para a compreensão do
funcionamento do group chart proposto, como para análises de desempenho do
esquema a partir de dados simulados. No caso da simulação, os dados gerados
correspondem a valores de
i
e , independentes, e a relação entre os limites de controle
e o desvio-padrão dos dados gerados é expressa pelas equações (3.29) e (3.30).
3.7.
Medidas de Desempenho sob Presença de Causa Especial
Se a média da parcela individual,
i
e , de um canal qualquer (mas de apenas um
canal), sofrer um deslocamento de
δ
desvios-padrão, que faça com que este canal
saia de controle, passando a ter média
δσµ
=
i
, permanecendo, porém, o desvio-
padrão inalterado, não apenas a diferença média estimada
⋅ti
e
ˆ
terá seu valor estimado
alterado, mas também o nível-base estimado (
t
b
ˆ
) e, em decorrência, as diferenças
médias estimadas
⋅tk
e
ˆ
dos demais canais ( , ...2 ,1 sk
=
ik
≠
). As alterações sofridas
por tais estatísticas afetarão as probabilidades de sinal da group chart de diferenças
(tanto a probabilidade de sinal associado ao canal afetado, quanto a probabilidade de
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58
sinais associados aos demais canais) e também a probabilidade de sinal pelo gráfico
do nível-base.
A seguir, serão apresentadas as alterações sofridas pelas estatísticas, assim
como as fórmulas que permitem o cálculo das probabilidades dos diversos tipos de
sinal na presença de uma causa especial, que altere a média da parcela individual
i
e de algum dos canais do processo.
a) Probabilidade de Sinal pelo Gráfico do Nível-Base no Caso de a Parcela
Individual de um Canal Sofrer o Efeito de uma Causa Especial
Como foi visto, a estimativa do nível-base é obtida pela expressão (3.3), que
pode ser expressa, equivalentemente, como:
∑
=
⋅
=
s
k
tkt
x
s
b
1
1
ˆ
(3.31a)
na qual
⋅⋅
+=
tkttk
ebx (3.31b)
que é idêntica à expressão (3.7a).
Substituindo-se (3.31b) em (3.31a), esta pode ser reescrita como:
∑
=
⋅
+=
s
k
tktt
e
s
bb
1
1
ˆ
(3.31c)
onde
∑
=
⋅
s
k
tk
e
1
pode ser, decomposta em duas parcelas:
∑∑
≠
=
⋅⋅
=
⋅
+=
s
ik
k
tkti
s
k
tk
eee
11
(3.31d)
O valor esperado do nível-base estimado pode ser obtido substituindo-se a
expressão (3.31d) em (3.31c), o que resulta na equação:
( )
++=
∑
≠
=
⋅⋅
s
ik
k
tktitt
ee
s
bEbE
1
1
ˆ
(3.32a)
sendo que:
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59
(
)
δσ
=
⋅ti
eE
(3.32b)
para o canal i, que sofreu a mudança, e,
(
)
0=
⋅tk
eE ,
∀
ik
≠
(3.32c)
para qualquer outro canal que não tenha sua média alterada.
E, finalmente, pelas expressões (3.32a), (3.32b) e (3.32c) é possível obter uma
expressão final para o valor esperado do nível-base estimado quando um dos canais
sofre um shift de
δσ
em sua média:
(
)
s
bbE
tt
δσ
+=
ˆ
(3.32d)
Na situação aqui considerada, 0=
t
b e, portanto:
(
)
s
bE
t
δσ
=
ˆ
(3.32e)
Estando o processo sob influência de uma causa especial responsável pela
alteração na média da parcela individual de um dos s canais do processo, a
probabilidade de sinal pelo gráfico nível-base é dada por:
(
)
(
)
[
]
ˆ
ˆ
1 LICbPLSCbPP
ttnb
<−<−=
(3.33)
Lembrando que (por 3.13d e 3.32c)
nss
Nb
t
2
,~
ˆ
σδσ
e substituindo LSC e LIC
da expressão anterior por suas equações correspondentes, (3.14) e (3.15), esta pode
ser reescrita como:
−−
Φ−
−
Φ−=
ns
s
ns
k
ns
s
ns
k
P
nb
σ
δσσ
σ
δσσ
1
(3.34a)
Simplificando-se chega-se a:
−−Φ−
−Φ−=
s
n
k
s
n
kP
nb
δδ
1
(3.34b)
que é a probabilidade de ocorrer um sinal no gráfico do nível-base, devido a uma
alteração na média da parcela individual de um dos canais.
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60
b) Probabilidade de Sinal Associada ao Canal Afetado pela Causa Especial:
Quando a parcela individual do canal i,
i
e , tem sua média deslocada para
δσ
, o
valor esperado da diferença média em relação ao nível-base estimado deste canal
⋅ti
e
ˆ
,
pode ser escrito, a partir da equação (3.16c), como:
( )
−
−
=⋅
∑
≠
=
⋅⋅
s
ik
k
tktiti
e
s
e
s
s
EeE
1
11
ˆ
(3.35a)
( ) ( ) ( )
∑
≠
=
⋅⋅⋅
−
−
=
s
ik
k
tktiti
eE
s
eE
s
s
eE
1
11
ˆ
(3.35b)
Lembrando que os valores esperados no membro direito de (3.35b) são:
(
)
δσ
=
⋅ti
eE
(3.36)
para o canal i que teve sua média alterada para
δσ
, e
(
)
0=
⋅tk
eE
∀
ik
≠
(3.37)
para os demais canais, que não tiveram sua média alterada pela presença da causa
especial, e substituindo esses valores em (3.35b) chega-se a:
δσ
−
=
⋅
s
s
eE
ti
1
)
ˆ
(
(3.38)
A probabilidade de um sinal na group chart associado ao canal que sofreu a
mudança é dada por:
(
)
(
)
[
]
LICePLSCePP
titi
ti
e
<−<−=
⋅⋅
⋅
ˆˆ
1
ˆ
(3.39a)
Lembrando que, por (3.15b) e por (3.38),
−
−
ns
s
s
s
Ne
ti
2
1
,
1
~
ˆ
σ
δσ
e
substituindo-se LSC e LIC na expressão anterior por suas equações correspondentes
(3.29) e (3.30), obtém-se:
−
−
−
−
−
Φ−
−
−
−
−
Φ−=
⋅
σ
δσ
σ
σ
δσ
σ
ns
s
s
s
ns
s
k
ns
s
s
s
ns
s
k
P
ti
e
1
)1(1
1
)1(1
1
ˆ
(3.39b)
que equivale, simplificando, a:
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61
−
−−Φ−
−
−Φ−=
⋅
s
sn
k
s
sn
kP
ti
e
)1()1(
1
ˆ
δδ
(3.39c)
c) Probabilidade de Sinalização por um Canal Diferente do Afetado pela Causa
Especial:
Considerando a diferença média em relação ao nível-base estimado para
qualquer outro canal k que não foi afetado pela causa especial como
ttktk
bxe
ˆ
ˆ
−=
⋅⋅
(3.40a)
seu valor esperado será:
(
)
(
)
(
)
ttktk
bExEeE
ˆ
ˆ
−=
⋅⋅
(3.40b)
Substituindo-se (3.31b) e (3.32d) em (3.40b), obtém-se que:
( ) ( )
+−+=
⋅⋅
s
beEbeE
ttkttk
δσ
ˆ
(3.40c)
onde ,
(
)
0=
⋅tk
eE para
ik
≠
(3.41)
para qualquer canal que não tenho sofrido alteração em sua média, portanto
( )
s
eE
tk
δσ
−=
⋅
ˆ
(3.42)
O valor da probabilidade de que, sob presença da causa especial considerada, a
group chart sinalize em qualquer outro canal que não tenha sido afetado pela causa é
dada por:
(
)
(
)
[
]
LICePLSCePP
tktk
tk
e
<⋅−<−=
⋅
⋅
ˆˆ
1
ˆ
(3.43a)
Mais uma vez, substituindo-se as expressões referentes aos limites da group
chart e lembrando que
−−
⋅
ns
s
s
Ne
tk
2
1
,~
ˆ
σδσ
, obtém-se:
−
+
−
−
Φ−
−
+
−
Φ−=
⋅
σ
δσ
σ
σ
δσ
σ
ns
s
sns
s
k
ns
s
sns
s
k
P
tk
e
1
1
1
1
1
ˆ
(3.43b)
que, simplificada, pode ser escrita como:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
62
−
+−Φ−
−
+Φ−=
⋅
)1()1(
1
ˆ
ss
n
k
ss
n
kP
tk
e
δδ
(3.43c)
⋅
tk
e
P
ˆ
é a probabilidade de sinalização por um canal não afetado pela causa
especial, para cada canal, individualmente. Se os valores de .
ˆ
tk
e fossem
independentes para os diversos canais ( ;...2,1 sk
=
ik
≠
), então o número de sinais
simultâneos por canais não afetados seguiria uma distribuição binomial, e a
probabilidade de sinal por algum (pelo menos um) canal não afetado seria dada por:
(
)
1
ˆ
11
−
⋅
−−
s
e
tk
P
(3.44)
Contudo, como os valores de .
ˆ
tk
e são correlacionados, essa expressão
superestima a probabilidade de sinal por um ou mais canal(is) não afetado(s) pela
causa especial.
O sinal em um canal que não foi afetado (dado que outro canal foi afetado pela
causa especial), que pode ser considerado alarme falso, também pode ser considerado
alarme verdadeiro quando a procura da causa especial que não é encontrada no canal
que sinalizou acabe levando a uma maior investigação que, finalmente, resulte na
descoberta da mesma no canal afetado. A conseqüência de tais sinais, portanto,
variará conforme a natureza do processo, a conduta da equipe (por exemplo,
investigar apenas o canal associado ao sinal, ou prosseguir na investigação) e o tipo
de testes de diagnóstico. Além disso, é diferente a situação de tal sinal ocorrer sem
que ocorra um sinal associado ao canal realmente afetado, ou ocorrer juntamente com
o sinal associado ao canal afetado, de modo que a própria probabilidade de sinal dada
por (3.44) deve ser interpretada cautelosamente.
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63
4
Análise de Desempenho
Neste capítulo o desempenho do esquema de controle proposto é comparado
com o do esquema proposto por Mortell e Runger (1995) na detecção de causas
especiais que afetem apenas a um dos canais do processo. Inicialmente é preciso
definir o que será considerado como sinal verdadeiro e como alarme falso, uma vez
que o esquema proposto pode produzir diferentes tipos de sinal: associado ao canal
afetado, associado a outros canais, associado ao nível-base e, além disso, podem
ocorrer combinações de sinais.
4.1.
Definição dos Eventos de Interesse
Considere a ocorrência de alteração na média da parcela individual do canal i,
ou seja,
δσ
=)(
i
eE , 0 ||
>
δ
, tornam-se de interesse, os seguintes eventos:
• Evento A: o canal i sinalizar;
• Evento O: sinal em qualquer canal k (para
ik
≠
)
• Evento B: o nível-base sinalizar.
Por “canal afetado sinalizar” entenda-se: ocorrer um sinal na group chart de
diferenças associado ao canal em questão, ou seja, o valor da diferença média
referente ao canal ser superior ao LSC ou inferior ao LIC. Por “outro canal qualquer
sinalizar” entenda-se analogamente, ocorrer um sinal na group chart associado a um
ou mais dos demais canais, não afetados pela causa especial.
Por “nível-base sinalizar”, entenda-se: ocorrer um sinal (ponto fora dos limites
de controle) no gráfico do nível-base, indicando que houve uma alteração na parcela
comum a todos os canais.
Os eventos A e O são não exclusivos, podendo ocorrer simultaneamente. Em
termos operacionais isso significa que é possível obter informações sobre todos os
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64
pontos que ultrapassarem os limites de controle da group chart. Imagina-se, por
exemplo, a implementação da group chart pelo lançamento de dados – valores
medidos nos canais – em uma planilha eletrônica, que efetuará os cálculos
automaticamente. Assim, independentemente da plotagem de um gráfico com os
pontos correspondentes às diferenças máxima e mínima, a planilha registrará todos os
valores de diferenças, e o uso do recurso de formatação condicional permite (pela
mudança da cor do fundo da célula ou dos caracteres) a imediata visualização de
pontos acima do LSC e pontos abaixo do LIC – inclusive com uma formatação
diferente para cada caso. Se fosse registrada apenas a informação referente às
diferenças máxima e mínima, então, quando a diferença
⋅ti
e
ˆ
no canal i, afetado pela
causa especial, tivesse valor acima do LSC, por exemplo, mas houvesse outro canal k
qualquer (não afetado pela causa especial) com um valor de
⋅tk
e
ˆ
por casualidade ainda
maior, o sinal seria associado apenas a este último (canal k), só o valor de
⋅tk
e
ˆ
seria
registrado, e o valor de
⋅ti
e
ˆ
acima do LSC não seria registrado. Desta forma, no
procedimento de só se registrarem dois valores, o máximo e o mínimo, a sinalização
por um canal não afetado pode impedir a sinalização pelo canal afetado na mesma
amostra. Não é esta a forma de operação da group chart que está sendo considerada
aqui.
Considera-se aqui, vale a pena repetir, que todos os valores fora dos limites de
controle são informação disponível e percebida – tornada perceptível pela forma de
implementar a group chart – de modo que os dados de uma mesma amostra podem
provocar mais de um sinal.
Um quarto evento também poderia ser apontado como de interesse: a
sinalização por parte de algum canal não afetado, sem que o canal afetado sinalizasse.
Trata-se do evento da diferença
A-O
, ou AO ∩ . Tal evento pode ser considerado
como um alarme falso ou como um alarme verdadeiro, dependendo da conduta
adotada: investigar apenas o canal que sinalizou ou (pelo menos no caso de não
encontrar nenhum problema com ele) investigar todos os canais, o que levaria,
espera-se, à identificação da causa especial. No caso da última política, qualquer sinal
pela group chart levaria à descoberta da causa especial, tornando-se também de
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
65
interesse o evento
OA
∪
, qualquer sinal: pelo canal afetado, por outro(s) canal(is) ou
ambas as coisas. Tal evento e suas implicações serão mais detalhados adiante.
Neste caso, a união de eventos
BOA
∪
∪
(incluindo o sinal pelo gráfico do
nível-base), também se torna um evento de interesse, assim como o evento
A B)(O ∩∪ , que representa a ocorrência de qualquer sinal que não seja pelo canal
afetado, e que também pode (analogamente ao evento AO ∩ ) também pode ser
considerado como um alarme falso ou verdadeiro, dependo da conduta adotada.
4.2.
Obtenção de Medidas de Desempenho
Como já apresentado no Capítulo 3, dois tipos de medidas de desempenho são
utilizadas para análise no caso de a parcela individual de um dos canais do processo
ter sua média alterada por uma causa especial: probabilidades de sinal e NMA
1
’s.
Interessa que as seguintes probabilidades de sinal num instante de amostragem t,
sejam calculadas:
• P(A) = probabilidade do canal que sofreu a mudança sinalizar;
• P(O) = probabilidade de qualquer canal sinalizar;
• P (
OA
∪
) = probabilidade de qualquer canal sinalizar;
• P ( AO ∩ ) = probabilidade de que algum canal não afetado sinalize sem
que o próprio canal afetado sinalize;
• P(
BOA
∪
∪
) = probabilidade de qualquer canal sinalizar ou de o
nível-base sinalizar, e
• P [( A B)O ∩∪ ] = probabilidade de qualquer sinal desde que não seja
pelo canal afetado.
Em conseqüência, interessariam também em princípio, os NMA
1
’s associados a
qualquer um dos eventos acima (A, B, O,
OA
∪
, AO ∩ ,
BOA
∪
∪
,
( A B)O ∩∪ ). Porém, para alguns tipos de eventos não faz sentido, ou não é
possível, definir um NMA
1
, pois o “número esperado de amostras até um sinal”
pressupõe que o processo de retiradas de amostras não seja interrompido antes que
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66
ocorra o sinal. Assim, se a ocorrência de um sinal de um tipo levar à interrupção do
processo (ou do monitoramento), deixa de ser possível ocorrer um sinal de outro tipo.
A Tabela 4.1, discrimina, de acordo com os critérios acima, os eventos para os
quais faz e não faz sentido calcular o NMA
1
associado, pela substituição da
“respectiva probabilidade” na expressão (4.1). Para alguns eventos, inclusive, pode
fazer sentido ou não, dependendo do caso, e para estes eventos a tabela indica qual o
caso em que faz sentido calcular o NMA
1
associado.
Tabela 4.1 – Justificativa para o cálculo dos NMA
1
’s associados aos eventos
(probabilidades) de interesse.
PROBABILIDADE
NMA
1
CORRESPONDENTE JUSTIFICATIVA PARA
(EVENTO)
EXISTE E É IGUAL A
1/p
O CÁLCULO DO NMA
1
A SIM
Este é o NMA
1
de interesse. Se o sinal de
outro canal (O) não levar à identificação
da causa
OA
∪
SIM
Tem interesse no lugar de NMA
A
no caso
de qualquer sinal na group chart de
diferenças levar à investigação e
eliminação da causa especial
AO ∩
NÃO
Pois a corrida é interrompida se o evento
A ocorrer antes que o AO ∩
BOA
∪
∪
SIM
Interessa no caso de tanto A como O
como B levarem à investigação e
eliminação da causa especial
[( A B)O ∩∪ ] NÃO
Pois a corrida é interrompida se o evento
A ocorrer antes que o [( A B)O ∩∪ ]
Fonte: Própria
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
67
A Tabela 4.1 mostra que os NMA
1
’s que têm sentido e são de interesse são
aqueles associados ao evento A, especificamente:
• NMA
A
: até o sinal pelo canal afetado pela causa especial. Este NMA
1
faz
sentido no caso de sinais por outros canais, sem que o canal afetado sinalize,
não levarem à identificação da causa especial; tais sinais por outros canais
seriam “alarmes falsos” e interessa comparar sua probabilidade de ocorrência
com a probabilidade de ocorrência de sinal no canal afetado. Porém, após o
“alarme-falso” o processo continuaria sendo monitorado, e a “corrida” de
amostras interrompida é retomada, até que o sinal pelo canal afetado ocorra;
•
OA
NMA
∪
: até um sinal qualquer no gráfico das diferenças em relação ao
nível-base, e
•
BOA
NMA
∪∪
: até um sinal qualquer pela group chart das diferenças em
relação ao nível-base ou pelo gráfico do nível-base.
Os NMA
1
’s associados aos eventos A,
OA
∪
e
BOA
∪
∪
, podem ser
calculados como:
)(
1
1
EP
NMA =
(4.1)
onde P(E) representa a probabilidade de ocorrência do evento E, que por sua vez pode
ser igual a A,
OA
∪
ou
BOA
∪
∪
, conforme o caso. A probabilidade P(A) pode
ser obtida analiticamente, porém, as probabilidades das uniões e interseções não
podem ser calculadas facilmente, pois os eventos não são independentes, de modo
que essas probabilidades serão obtidas por simulação. A Tabela 4.2, a seguir,
apresenta de forma sintetizada a metodologia utilizada para obtenção das
probabilidades associadas aos eventos de interesse.
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68
Tabela 4.2 – Metodologia de Cálculo para as Probabilidades Consideradas
PROBABILIDADE
CALCULADA
ANALÍTICAMENTE?
SIMULAÇÃO:
CONDIÇÃO PARA O
CONTADOR
EM FUNÇÃO DE
OUTRAS
PROBABILIDADES
P(A)
SIM, pela equação
(3.39c)
LSCd
i
>
ou
LICd
i
<
onde i = canal afetado
P(O)
∗
A equação (3.44) que
fornece um limitante
superior para P(O), dado
que não considera a
correlação entre os
sd
ti
' .
P(
OA
∪
)
NÃO
LSCd
k
>
ou
LICd
k
<
onde k = qualquer canal
P( AO ∩ )
NÃO
P(A)O)P(A
−
∪
P(B)
*
Depende da razão entre
b
σ
e
σ
. Calculada
apenas para o caso em
que 0=
b
σ
(nível-base
estático). E serve como
um limitante superior
para P(B)
LSCb >
ˆ
ou
LICb <
ˆ
P B)O(A
∪
∪
NÃO
LSCd
k
> ou LICd
k
<
ou
LSCb >
ˆ
ou
LICb <
ˆ
P[( A B)O ∩∪ ]
NÃO
P(A)B)OP(A
−
∪
∪
Fonte: Própria
∗
As probabilidades dos eventos O e B não serão explicitadas na dissertação. No entanto, serão
utilizadas no cálculo da probabilidade de eventos a eles associados.
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69
A simulação também foi utilizada para obtenção das probabilidades de sinal e
do NMA
1
do gráfico R da amplitude, de M&R. Com base em todas as probabilidades
e NMA
1
’s calculados, foi feita uma comparação de desempenho do esquema proposto
com o esquema de M&R, para:
• NMA
0
nos valores de 100, 200 e 370,38;
• Processos com s igual a 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 20 e 24 canais;
• Tamanhos de subgrupos, n, que variam de 1 a 5, e
• Para variações
δσ
na média de um dos se
i
' com
δ
assumindo os
valores: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5 e 4 .
Cabe ressaltar que a simulação forneceu valores para as diversas probabilidades
de sinal, que permitiram, a partir de (4.1), o cálculo dos NMA
1
’s correspondentes aos
diversos esquemas, sendo possível, portanto, determinar em quais circunstâncias cada
esquema de controle é mais apropriado.
Na simulação, para todos os esquemas analisados, o cálculo do NMA
1
foi
realizado da seguinte forma: depois de gerados os valores aleatórios normalmente
distribuídos e independentes pra os se
i
' , variações ou shifts foram somadas ao valor
gerado da variável
1
e (primeiro canal, sem perda de generalidade) e só então as
estatísticas
t
b
ˆ
,
tk
d ( sk ,...2,1
=
) e
t
R foram calculadas e comparadas com os
respectivos limites de controle para
1
=
σ
, 0=
t
b e
1
=
n
, a saber:
• Limites de controle para o gráfico do nível-base: dados por (3.14) e
(3.15);
• Limites de controle para o gráfico das diferenças em relação ao nível-
base estimado: dados por (3.29) e (3.30) com o valor de k como
indicado na Seção 3.6, e
• Limite superior de controle para o gráfico R da amplitude dado por:
)1(
1
,
α
−=
−
sw
FLSC
(4.2)
onde
sw
F
,
representa a distribuição acumulada da amplitude relativa
(
)
σ
R
w =
para
amostras de tamanho s (no caso o número de canais) e
α
representa a probabilidade
de alarme falso especificada.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
70
Este foi o procedimento adotado para amostras de tamanho
1
=
n
. Para outros
tamanhos de amostras, ao invés de se gerarem
1
>
n
valores de
e
para cada canal,
utilizou-se o artifício de somar ao valor de
1
e o shift multiplicado por n . Isso
equivale a considerar que os valores gerados são valores de
e
e não de
e
. Como
n
e
σ
σ
= , um shift de
δσ
unidades equivale a um shift de
e
n
σδ
. Tal
procedimento apresenta duas vantagens: economia de tempo de processamento e
maior homogeneidade das condições simuladas para a verificação do efeito do
aumento do tamanho da amostra.
O programa contabiliza o número de pontos fora de controle em cada esquema,
possibilitando assim obter as estimativas para as probabilidades de cada evento de
interesse, como:
N
c
p =
(4.3a)
onde N representa o número de elementos gerados para cada canal (160.000) e c, o
número de eventos observados. A partir dessas probabilidades, então, os valores dos
NMA
1
foram obtidos de acordo com (4.1), por:
c
N
NMA =
1
(4.3b)
Para a obtenção de valores simulados de
i
e para os diversos canais, foram
gerados 160.000 números aleatórios independentes, normalmente distribuídos, com
média 0 e desvio-padrão 1, sem perda de generalidade, para cada um dos canais que
compõem o processo. Para um processo com cinco canais, por exemplo, foi gerado
um total de 800.000 dados.
A Figura 4.1 esboça esquematicamente a lógica utilizada para o
desenvolvimento do modelo de simulação empregado, permitindo sua melhor
compreensão.
A simulação foi implementada no software Excel (Microsoft), através de
macros criadas em VBA (Visual Basic for Applications).
O Apêndice D expõe algumas informações importantes sobre os algoritmos da
seqüência de Halton Base e da Inversão de Moro, utilizados para geração dos
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
71
números aleatórios independentes e normalmente distribuídos. O Apêndice E
apresenta o programa utilizado para a simulação em linguagem VBA.
Gerados os valores aleatórios
normalmente distribuídos e
independentes pra os
se
i
'
Cálculo das estatísticas de
interesse
Comparação das estatísticas
com os respectivos limites
de controle
Estatística fora da região de
controle → ↑c
N
c
p =
Variações ou shifts (δσ)
foram somados ao valor
gerado da variável e
1
tk
d
t
b
ˆ
t
R
Para n = 1
e σ = 1
Figura 4.1 – Representação Esquemática para o Modelo de Simulação Utilizado.
4.3.
Resultados
A Tabela 4.3, a seguir, possibilita a comparação dos gráficos R
t
(de M&R) e do
gráfico das diferenças em relação ao nível-base, utilizados para detecção de causas
especiais que afetem um ou poucos canais. Os valores apresentados são resultados
dos NMA
1
’s para cada método, obtidos por simulação para NMA
0
’s de 100, 200 e
370,38, considerando o tamanho de subgrupo (número de observações por canal),
igual a um. A TABELA aqui APRESENTADA anteriormente era para N=5 estava
errado
Note que na Tabela 4.3, os NMA
0
’s simulados para os dois gráficos (que
correspondem aos NMA
1
’s para
0
=
δ
), são sempre muito próximos dos valores dos
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
72
NMA
0
predeterminados (para NMA
0
de 200, por exemplo, os NMA
1
para
0
=
δ
estão
sempre em torno de 200), o que valida os resultados da simulação.
A precisão dos NMA
1
’s e NMA
0
’s (semi-largura dos intervalos de confiança de
95%) obtidos na Tabela 4.3 é cerca de 10% no pior caso (para NMA’s estimados de
370,38); de 7% para NMA’s da ordem de 200 amostras; 5% para NMA = 100; 3%
para NMA’s em torno de 50; 2% para NMA = 20; e praticamente 0 para NMA
próximo a 1. O Cálculo desta precisão é detalhado na Seção 4.4.
Ainda na Tabela 4.3, as células destacadas em vermelho referem-se aos
mínimos valores obtidos para NMA
1
em cada caso, isto é, para um mesmo NMA
0
,
mesmo valor de
δ
e mesmo número de canais, o menor NMA
1
dos dois métodos. A
partir daí, é possível concluir que o gráfico das diferenças apresenta desempenho
superior ao gráfico R
t
para detecção de variações maiores ou iguais a
σ
5,1 . E, para
detecção de pequenas variações (até um desvio-padrão), o gráfico R
t
se mostra
superior ao método das diferenças, sendo que para
1
=
δ
, algumas vezes essa situação
é invertida.
É preciso considerar, porém, que nenhum dos dois gráficos é eficiente para
sinalizar alterações de magnitude de 0,5 ou 1 desvio-padrão na parcela individual de
um dos canais: para 5,0
=
δ
, os NMA
1
’s são aproximadamente iguais a 50% do
NMA
0
, e para
1
=
δ
, ainda são da ordem de 10% do NMA
0
. Portanto, na faixa de
valores de
δ
para os quais tais esquemas de controle podem ser considerados úteis, a
group chart das diferenças em relação ao nível-base mostra-se mais eficiente que o
gráfico de R
t
proposto por M&R.
No Apêndice F são apresentadas tabelas com valores de NMA
1
simulados para
diferentes tamanhos de subgrupos (2, 3, 4 e 5), que permitem que comparações
análogas à apresentada anteriormente sejam realizadas. Através da análise dessas
tabelas é possível verificar que, o ganho relativo (ou percentual) do método proposto
em relação ao de M&R aumenta com n.
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73
Tabela 4.3- NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em Relação ao Nível-Base e Gráfico R
t
de M&R com uma observação por canal
(n = 1)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
100,3
67,7
31,9
15,4
8,2
4,8
3,1
2,2
1,7
202,3
126,1
55,2
24,7
12,2
6,7
4,1
2,7
2,0
370,4
226,3
92,6
38,5
17,9
9,3
5,3
3,4
2,3
3
100,6
72,1
35,6
16,9
8,6
4,8
3,0
2,1
1,6
203,3
136,3
61,8
27,3
12,9
6,8
4,0
2,6
1,9
374,7
248,4
104,0
42,8
19,0
9,4
5,2
3,2
2,2
5
101,3
78,8
41,8
19,9
9,8
5,2
3,1
2,1
1,6
201,8
147,2
74,9
32,7
14,9
7,4
4,2
2,6
1,8
382,8
274,9
126,3
52,0
21,9
10,3
5,4
3,2
2,1
6
101,0
79,6
44,3
21,2
10,3
5,4
3,2
2,1
1,6
200,5
156,1
79,6
35,3
15,8
7,8
4,3
2,7
1,9
353,2
268,9
133,8
55,2
23,2
10,7
5,6
3,3
2,2
8
99,6
82,6
48,0
23,6
11,3
5,9
3,4
2,2
1,6
204,9
164,4
89,0
39,9
17,5
8,4
4,5
2,8
1,9
373,0
296,8
153,6
63,5
26,1
11,7
5,9
3,4
2,2
10
101,5
85,2
52,2
25,8
12,2
6,2
3,5
2,3
1,6
199,8
164,8
94,7
43,1
19,0
8,9
4,7
2,8
1,9
378,3
303,0
164,6
70,0
28,3
12,4
6,2
3,5
2,2
12
98,6
85,6
54,3
27,5
13,0
6,5
3,7
2,3
1,7
207,5
170,8
101,2
46,5
20,2
9,4
4,9
2,9
2,0
399,0
324,5
180,4
76,2
30,6
13,2
6,5
3,6
2,3
15
100,4
88,9
58,2
29,9
14,2
7,0
3,9
2,4
1,7
196,1
170,4
108,0
51,5
22,2
10,1
5,2
3,0
2,0
376,5
318,1
187,1
82,3
33,4
14,3
6,8
3,8
2,4
18
100,6
89,9
61,0
32,0
15,1
7,4
4,0
2,5
1,7
201,5
173,9
114,7
55,3
23,8
10,8
5,4
3,1
2,1
346,3
311,9
193,0
87,3
35,3
15,0
7,1
3,9
2,4
20
99,8
90,5
63,4
33,3
15,8
7,6
4,1
2,5
1,8
199,3
176,4
117,7
57,4
24,7
11,2
5,6
3,2
2,1
392,2
337,6
210,5
94,1
37,7
15,7
7,3
4,0
2,4
24
101,8
92,2
65,8
36,1
16,9
8,2
4,3
2,6
1,8
205,9
184,3
123,4
61,8
26,6
11,8
5,9
3,3
2,1
387,4
342,6
221,6
101,7
40,3
16,8
7,7
4,1
2,5
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
99,9
67,3
31,8
15,4
8,1
4,8
3,1
2,2
1,7
202,3
126,0
55,2
24,7
12,2
6,7
4,1
2,7
2,0
362,0
224,4
91,3
38,0
17,7
9,2
5,3
3,3
2,3
3
100,1
72,5
35,8
16,7
8,5
4,7
2,9
2,0
1,5
204,1
136,6
62,6
27,0
12,7
6,5
3,8
2,4
1,8
382,8
244,3
104,0
41,4
18,2
8,8
4,8
2,9
2,0
5
103,0
80,1
42,4
19,5
9,1
4,8
2,8
1,9
1,4
204,6
154,0
74,8
31,4
13,5
6,5
3,6
2,3
1,6
381,9
276,8
123,4
48,4
19,3
8,6
4,5
2,7
1,8
6
101,3
80,3
44,9
20,5
9,5
4,9
2,8
1,9
1,4
206,2
158,7
78,9
33,4
14,0
6,6
3,6
2,2
1,6
373,0
286,2
136,4
51,0
20,1
8,8
4,4
2,6
1,8
8
99,8
84,9
49,5
22,6
10,3
5,1
2,9
1,9
1,4
200,0
157,2
86,8
37,2
15,0
6,9
3,6
2,2
1,6
409,2
305,3
152,1
57,0
21,4
9,1
4,5
2,6
1,8
10
100,9
87,3
52,9
24,4
10,9
5,3
3,0
1,9
1,4
207,3
172,2
97,3
40,5
16,1
7,2
3,7
2,3
1,6
386,5
326,5
163,9
63,2
23,1
9,5
4,6
2,7
1,8
12
102,2
87,8
56,4
26,1
11,5
5,5
3,0
2,0
1,4
201,5
174,9
103,4
43,6
17,2
7,5
3,8
2,3
1,6
395,1
325,2
174,3
66,3
24,6
9,9
4,8
2,7
1,8
15
101,1
90,0
59,4
28,8
12,5
5,9
3,2
2,0
1,5
202,8
176,8
111,1
47,4
18,5
8,0
4,0
2,4
1,6
367,8
318,7
182,2
73,5
26,6
10,6
5,0
2,8
1,8
18
101,3
91,5
62,2
30,7
13,3
6,2
3,3
2,1
1,5
206,7
178,0
117,1
50,3
20,0
8,4
4,2
2,4
1,7
389,3
347,8
208,6
81,8
28,4
11,2
5,2
2,9
1,9
20
100,5
90,9
63,8
31,9
13,8
6,4
3,4
2,1
1,5
207,0
182,9
118,0
52,5
20,8
8,7
4,3
2,5
1,7
384,6
338,3
205,9
83,6
29,7
11,5
5,3
2,9
1,9
24
100,7
93,0
66,9
34,0
14,7
6,7
3,5
2,1
1,5
204,3
187,1
126,4
57,8
22,5
9,3
4,4
2,5
1,7
375,6
336,1
216,5
90,3
32,0
12,3
5,6
3,0
1,9
NMAo = 200
NMAo=370,38
NMAo = 100
NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base
Delta
NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R
Delta
NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base
Delta
NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R
Delta
NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R
Delta
Delta
73
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74
As Figuras 4.2, 4.3 e 4.4, a seguir, apresentam os perfis de NMA
1
(curvas
dos NMA
1
’s em função das diferentes magnitudes de alteração,
δ
), para os
gráficos R
t
e das diferenças, para
1
=
n
, para processos com diferentes números de
canais, quando NMA
0
é igual a 100, 200 e 370,38, respectivamente. Note que a
superposição das curvas só ocorre para
δ
igual a zero (quando,
independentemente do número de canais, todos os NMA’s obtidos devem ser
praticamente iguais ao NMA
0
especificado) e para
3
≥
δ
(pois em cada um dos
esquemas, para alterações de grande magnitude, os NMA
1
’s são praticamente
iguais a um, independentemente do número de canais).
Outro fato interessante de ser observado é que, em todos os gráficos, a curva
superior corresponde ao processo com maior número de canais (s =24), enquanto
a curva inferior corresponde ao processo com menor número de canais (s =2),
indicando que, em ambos os esquemas, o NMA
1
aumenta com o número de canais
do processo.
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75
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
120,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
NMA
1
para Gráfico R
t
(NMA
0
= 100)
s=2
s = 3
s=5
s=6
s=8
s=10
s=12
s=15
s=18
s=20
s=24
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
120,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
NMA
1
para Grãfico das Diferenças (NMA
0
= 100)
s=2
s = 3
s=5
s=6
s=8
s=10
s=12
s=15
s=18
s=20
s=24
Figura 4.2 - Comportamento do NMA
1
para o Gráfico R
t
e das Diferenças
(NMA
0
= 100)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
76
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
120,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
NMA
1
para Gráfico R
t
(NMA
0
= 200)
s=2
s = 3
s=5
s=6
s=8
s=10
s=12
s=15
s=18
s=20
s=24
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
120,0
140,0
160,0
180,0
200,0
220,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
NMA
1
para Gráfico das Diferenças (NMA
0
= 200)
s=2
s = 3
s=5
s=6
s=8
s=10
s=12
s=15
s=18
s=20
s=24
Figura 4.3– Comportamento do NMA
1
para o Gráfico R
t
e das Diferenças
(NMA
0
= 200)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
77
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
120,0
140,0
160,0
180,0
200,0
220,0
240,0
260,0
280,0
300,0
320,0
340,0
360,0
380,0
400,0
420,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
NMA
1
para Gráfico R
t
(NMA
0
= 370,38)
s=2
s = 3
s=5
s=6
s=8
s=10
s=12
s=15
s=18
s=20
s=24
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
120,0
140,0
160,0
180,0
200,0
220,0
240,0
260,0
280,0
300,0
320,0
340,0
360,0
380,0
400,0
420,0
440,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
NMA
1
para Gráfico das Diferenças (NMA
0
=
370,38)
s=2
s = 3
s=5
s=6
s=8
s=10
s=12
s=15
s=18
s=20
s=24
Figura 4.4– Comportamento do NMA
1
para o Gráfico R
t
e das Diferenças
(NMA
0
= 370,38)
Apesar de em algumas vezes, os NMA
1
’s dos dois gráficos terem valores
muito semelhantes, a superioridade do gráfico das diferenças em relação ao
gráfico R
t
pode ser comprovada pela Tabela 4.4, que apresenta a diferença
percentual entre o NMA
1
da group chart de diferenças e o NMA
1
do gráfico R
t
.
Note que as células em vermelho representam o quanto o NMA
1
do gráfico das
diferenças é inferior ao NMA
1
do gráfico R
t
, para uma mesma combinação de
δ
e
s (número de canais). Por exemplo, para um processo de 24 canais, um NMA
0
de
370,38, e um delta de
σ
3
, o NMA
1
obtido pelo gráfico das diferenças é 28,2%
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78
menor que o NMA
1
obtido pelo gráfico R
t
. Já as células em preto representam a
superioridade, quando é o caso, gráfico R
t
em relação ao gráfico das diferenças,
que é de no máximo 11,5% (para
δ
igual a
σ
5,0 e s igual a 18); ou seja, no caso
mais favorável ao gráfico R
t
, seu NMA
1
só é 11,5% inferior ao NMA
1
produzido
pelo gráfico das diferenças.
Na verdade, observando-se a Tabela 4.3 e as Figuras 4.1 a 4.3, pode-se
julgar que nenhum dos dois gráficos seja muito eficiente em nenhuma situação:
NMA
1
’s entre 1 e 2 só ocorrem para 4
=
δ
(deslocamentos muito grandes na
média). Essa conclusão, que se poderia ter a primeira vista, merece alguns
comentários:
• Tais resultados são para amostra de tamanho 1 (uma observação por
canal). Gráficos de observações individuais não são eficientes para
detectar pequenos deslocamentos da média, o que, aliás, é mais uma
motivação para o esquema proposto e o de M&R (a group chart
clássica seria muito menos eficiente). Essa baixa eficiência em
termos de NMA pode ser compensada com um intervalo de tempo
entre amostras curto, para se ter um “tempo” médio até o sinal
suficientemente curto. Outra alternativa é aumentar o tamanho da
amostra. As tabelas do Apêndice C, para n = 2, 3, 4 e 5, mostram a
significativa redução dos NMA
1
’s com o aumento do tamanho da
amostra. Ambas as alternativas têm suas vantagens e inconvenientes:
a redução do intervalo de tempo entre amostras, mesmo que não se
reduza o NMA
0
, reduz o “tempo” médio até um alarme falso. Já o
aumento do tamanho de amostra pode ser impraticável, dependendo
do número de canais do processo (uma alternativa para possibilitá-lo
seria amostrar apenas parte dos canais de cada vez, de maneira
alternada, mas isso corresponderia a um aumento do intervalo entre
amostras de cada canal, anulando a vantagem obtida com o aumento
de n). Outra alternativa são esquemas EWMA ou CUSUM – o que
fica como indicação para pesquisa futura.
• É importante lembrar, que a alteração em foco é na média de um dos
se
i
' (parcela individual de um dos canais). Se a variabilidade do
nível-base ao longo do tempo for da ordem da variabilidade
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79
individual dos canais, ou maior (i.e., se
σσ
≥
b
) – que é justamente
a situação para a qual os esquemas aqui analisados foram concebidos
– então, em termos do desvio-padrão total do processo
+
2
2
a igual
σσ
b
, um deslocamento de
δσ
em um
i
e
representa menos que
δ
desvios-padrão. Isso significa que, a menos
que o processo seja muito pouco capaz, a magnitude típica dos
deslocamentos relevantes na média dos
se
i
'
deve ser maior que no
caso de um “processo de Shewhart” univariado e monocanal. É
ainda possível que se tolere uma demora na detecção da causa
especial, uma vez que (como ela só afeta um dos canais), o aumento
por ela provocado na fração não conforme do processo é
inversamente proporcional ao número de canais.
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80
Tabela 4.4 – Diferença percentual entre os NMA
1
’s para Gráficos das Diferenças e
R
t
de M&R
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 -0,4% -0,6% -0,4% -0,3% -0,2% -0,2% -0,2% -0,1% -0,1%
3
-0,6%
0,5%
0,6%
-1,0%
-1,3%
-2,4%
-3,3%
-3,5%
-3,3%
5 1,7% 1,7% 1,4% -2,0% -6,5% -9,0% -10,4% -10,2% -8,7%
6 0,3% 1,0% 1,4% -3,7% -8,2% -10,8% -12,4% -12,0% -10,1%
8 0,2% 2,7% 3,2% -4,0% -9,0% -13,6% -14,9% -14,1% -11,8%
10
-0,6%
2,4%
1,3%
-5,5%
-10,9%
-15,1%
-16,2%
-15,4%
-12,7%
12
3,6%
2,6%
3,8%
-5,1%
-11,2%
-15,5%
-17,1%
-16,1%
-13,2%
15 0,7% 1,2% 1,9% -3,6% -11,9% -16,4% -18,2% -17,0% -14,0%
18 0,7% 1,8% 1,9% -3,9% -11,7% -16,5% -18,5% -17,4% -14,5%
20 0,7% 0,3% 0,7% -4,4% -12,6% -16,6% -18,7% -17,4% -14,6%
24
-1,1%
0,8%
1,7%
-5,8%
-12,8%
-17,5%
-19,0%
-18,1%
-15,1%
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 0,0% -0,1% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
3
0,4%
0,3%
1,3%
-1,2%
-2,0%
-3,8%
-4,9%
-5,2%
-5,0%
5
1,4%
4,6%
0,0%
-4,0%
-9,3%
-12,5%
-14,0%
-13,8%
-12,1%
6 2,8% 1,7% -0,9% -5,3% -11,0% -15,3% -16,6% -16,1% -13,9%
8 -2,4% -4,4% -2,5% -6,7% -14,0% -18,2% -19,6% -18,7% -16,0%
10 3,8% 4,5% 2,7% -6,0% -14,9% -19,0% -20,8% -19,9% -16,8%
12
-2,9%
2,4%
2,1%
-6,3%
-14,8%
-20,3%
-21,4%
-20,5%
-17,6%
15 3,4% 3,8% 2,9% -8,0% -16,4% -21,3% -23,1% -21,8% -18,5%
18 2,6% 2,3% 2,1% -9,1% -16,1% -22,0% -23,3% -22,2% -19,0%
20 3,9% 3,7% 0,2% -8,6% -15,7% -22,1% -23,6% -22,4% -19,3%
24
-0,8%
1,5%
2,4%
-6,4%
-15,6%
-21,6%
-24,0%
-22,8%
-19,6%
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 -2,3% -0,8% -1,4% -1,2% -1,1% -0,9% -0,7% -0,6% -0,5%
3
2,2%
-1,7%
-0,1%
-3,3%
-4,1%
-5,6%
-6,9%
-7,3%
-6,9%
5
-0,2%
0,7%
-2,3%
-7,0%
-11,9%
-15,9%
-17,8%
-17,3%
-15,5%
6 5,6% 6,4% 2,0% -7,7% -13,5% -18,4% -20,3% -19,7% -17,4%
8 9,7% 2,9% -1,0% -10,2% -17,9% -22,3% -23,9% -22,8% -19,9%
10 2,2% 7,8% -0,4% -9,7% -18,5% -23,3% -25,2% -24,0% -21,0%
12
-1,0%
0,2%
-3,4%
-13,1%
-19,6%
-24,8%
-26,2%
-25,0%
-21,7%
15
-2,3%
0,2%
-2,6%
-10,6%
-20,3%
-25,9%
-27,3%
-26,0%
-22,7%
18 12,4% 11,5% 8,1% -6,3% -19,5% -25,8% -27,2% -26,2% -22,7%
20 -1,9% 0,2% -2,2% -11,1% -21,2% -26,5% -27,9% -26,7% -23,3%
24
-3,1%
-1,9%
-2,3%
-11,2%
-20,6%
-27,0%
-28,2%
-27,2%
-23,6%
Delta
NMA
0
= 200
NMA
0
=370,38
NMA
0
= 100
Delta
Delta
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81
Como já dito anteriormente, é interessante calcular a probabilidade
)A(O P ∩
, de que algum canal não afetado sinalize sem que o próprio canal
afetado sinalize. Essa probabilidade pode ser calculada em termos dos eventos
OA
∪
e A, como:
O)A()( ∪=∩ PAOP
)A(P
−
(4.5)
onde:
P( O)A
∪
representa a probabilidade de qualquer canal sinalizar, que foi
obtida por simulação; ela corresponde ao inverso do NMA
1
das diferenças
em relação ao nível-base (NMA
1
para o gráfico das diferenças em relação
ao nível-base) fornecido pela Tabela 4.3, e
P(A) representa a probabilidade do canal afetado sinalizar, obtida
analiticamente por (3.39c).
Apesar de a probabilidade
)A(O P ∩
, resultante da equação (4.5) não poder
ser utilizada para cálculo de um NMA
1
correspondente, pois a corrida seria
interrompida assim que o canal afetado sinalizasse, ela é de interesse, pois
AO ∩ corresponde a um sinal verdadeiro (já que há uma causa especial), porém
“incorreto” (pois a sinalização, dependendo do processo em questão e,
principalmente da conduta adotada, não ocorre no canal afetado pela causa).
Assim, tal evento pode acarretar:
• Um custo de investigação do canal que sinalizou sem que a causa especial
seja encontrada, o que corresponde a um alarme falso. Apesar do custo
incorrido neste caso, o processo será reiniciado assim como seu
monitoramento, o que implica numa continuidade da seqüência de
amostras até o sinal verdadeiro pelo canal afetado. Neste caso, faz sentido
que o NMA
1
,
que é o componente médio dessa seqüência (average run
length) seja calculado através da probabilidade P(A) (expressão 3.39c)
como
)(
1
AP
, pois ele não será afetado pela probabilidade do evento O
(outro canal sinalizar);
• Um ajuste indevido do processo. Neste caso é importante conhecer a
probabilidade deste evento, que é desejável que seja bem baixa; ou
• Uma investigação do processo como um todo, até que seja localizado o
canal afetado. Neste caso faz sentido considerar como sinal verdadeiro o
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82
sinal em qualquer canal (evento OA
∪
) e talvez até mesmo pelo gráfico
do nível-base (
BOA
∪
∪
) e o NMA
1
pode ser calculado como
( )
OAP ∪
1
ou mesmo
( )
BOAP ∪∪
1
.
Os resultados para as probabilidades calculadas a partir da expressão (4.5)
para 1
=
n são fornecidos pela Tabela 4.5, a seguir. Como pode-se observar, os
valores para essas probabilidades são praticamente desprezíveis, atingindo no
máximo 2% em alguns casos (
3
=
s
e
δ
“grande”e NMA
0
= 100 ou 200), o que
permite que os custos citados anteriormente sejam desconsiderados, dada a
irrelevância da probabilidade em questão.
É interessante notar os valores nulos para 2
=
s . Não se trata de valores
muito pequenos, mas de zero, exatamente, pois, conforme foi visto no Capítulo 3
a correlação entre
1t
d e
2t
d é igual a –1, e os sinais sempre ocorrem junto. É fácil
mostrar que o sinal no nível-base também ocorre simultaneamente.
Os resultados para a probabilidade de que algum canal não afetado sinalize
sem que o próprio canal afetado sinalize quando 1
>
n também foram calculados,
mas como estas probabilidades apresentaram valores tão pequenos quanto ou
menores que as probabilidades obtidas para
1
=
n
, não serão apresentadas.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
83
Tabela 4.5–Probabilidade de algum canal não afetado sinalizar sem que o próprio
canal afetado sinalize
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
3 0,006 0,007 0,010 0,015 0,019 0,022 0,023 0,021 0,017
5 0,008 0,008 0,009 0,011 0,013 0,013 0,012 0,010 0,007
6 0,008 0,009 0,009 0,011 0,012 0,011 0,011 0,009 0,006
8 0,009 0,009 0,009 0,010 0,010 0,010 0,009 0,007 0,005
10
0,009
0,009
0,009
0,010
0,010
0,010
0,008
0,006
0,004
12
0,009
0,009
0,009
0,010
0,010
0,009
0,008
0,006
0,004
15
0,009
0,009
0,009
0,009
0,009
0,009
0,008
0,006
0,003
18
0,009
0,009
0,010
0,009
0,009
0,008
0,007
0,006
0,004
20
0,009
0,010
0,010
0,010
0,010
0,008
0,008
0,005
0,003
24
0,010
0,010
0,010
0,010
0,010
0,009
0,008
0,006
0,003
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
3
0,003
0,004
0,006
0,009
0,012
0,015
0,017
0,017
0,014
5
0,004
0,004
0,005
0,006
0,008
0,008
0,008
0,007
0,005
6
0,004
0,004
0,005
0,006
0,006
0,007
0,006
0,006
0,004
8 0,004 0,005 0,005 0,005 0,006 0,006 0,005 0,005 0,003
10 0,004 0,004 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,004 0,003
12 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,004 0,003 0,003
15 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,004 0,003
18 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,004 0,004 0,002
20 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,004 0,003 0,002
24
0,005
0,005
0,005
0,005
0,004
0,004
0,005
0,004
0,002
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
3 0,002 0,002 0,003 0,006 0,008 0,011 0,013 0,013 0,012
5 0,002 0,002 0,003 0,004 0,004 0,005 0,006 0,005 0,005
6 0,002 0,002 0,003 0,003 0,004 0,004 0,005 0,004 0,003
8 0,002 0,002 0,003 0,003 0,003 0,004 0,004 0,003 0,002
10 0,002 0,002 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
12 0,002 0,002 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,002
15
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,002
0,002
18
0,002
0,002
0,002
0,002
0,003
0,003
0,002
0,002
0,002
20
0,002
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,002
0,002
24
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,002
0,002
0,001
NMAo = 100
Delta
NMAo = 200
Delta
NMAo=370,38
Delta
Outra probabilidade de interesse seria a probabilidade P [ AB)O( ∩∪ ], que
representa a probabilidade de qualquer canal sinalizar excluindo o canal afetado,
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84
ou o nível-base sinalizar. Essa probabilidade pode ser calculada em termos dos
eventos
BOA
∪
∪
e A, como:
P(A)-B)OP(A ]AB)(O [ P ∪∪=∩∪
(4.6)
onde:
P( B)OA
∪
∪
representa a probabilidade de qualquer canal sinalizar (pelo
gráfico das diferenças) ou do nível-base sinalizar (pelo gráfico do nível-
base); corresponde ao inverso do NMA
1
obtido por simulação para sinais
no gráfico das diferenças ou no nível-base, isto é,
B)O(A
1
NMA
∪∪
e
P(A) representa a probabilidade do canal afetado sinalizar.
Os resultados para as probabilidades calculadas a partir da expressão (4.6)
para n =1 são fornecidos pela Tabela 4.6 a seguir. Esses resultados representam
limitantes máximos para P[
AB)O( ∩∪
]. Isso porque o cálculo da probabilidade
de sinal pelo gráfico do nível-base P(B) foi realizado para o caso extremo em que
o nível-base é considerado estático ( 0=
b
σ
). Conseqüentemente,
P[
AB)O( ∩∪
], assim como as probabilidades de todos os demais eventos que
contêm o evento B serão superestimadas.
Se por um lado, os resultados apresentados na Tabela 4.6 representam
limitantes superiores para P[
AB)O( ∩∪
] (probabilidade de que qualquer canal
sinalize, exceto o canal afetado), por outro lado, os resultados fornecidos pela
Tabela 4.5 para
)A(O P ∩
, podem ser interpretadas como limitantes inferiores
para P[ AB)O( ∩∪ ], pois correspondem ao caso em que P(B) é praticamente
nula.
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85
Tabela 4.6 – Probabilidade de qualquer canal sinalizar ou nível-base sinalizar, sem
que o canal afetado sinalize.
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 0,010 0,015 0,030 0,061 0,108 0,166 0,219 0,248 0,240
3 0,016 0,020 0,033 0,056 0,087 0,123 0,154 0,167 0,154
5 0,018 0,020 0,027 0,039 0,054 0,070 0,082 0,084 0,073
6 0,018 0,020 0,026 0,035 0,047 0,059 0,068 0,068 0,057
8 0,019 0,020 0,024 0,031 0,038 0,046 0,051 0,050 0,041
10 0,019 0,020 0,023 0,028 0,034 0,040 0,042 0,040 0,033
12 0,019 0,020 0,022 0,027 0,031 0,035 0,038 0,035 0,028
15 0,019 0,020 0,022 0,024 0,028 0,031 0,032 0,029 0,023
18 0,019 0,020 0,021 0,024 0,026 0,029 0,029 0,026 0,021
20 0,019 0,020 0,021 0,024 0,027 0,028 0,028 0,025 0,019
24
0,019
0,019
0,021
0,023
0,025
0,026
0,026
0,023
0,017
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 0,005 0,008 0,018 0,039 0,075 0,127 0,186 0,233 0,250
3 0,008 0,011 0,019 0,034 0,057 0,088 0,121 0,144 0,148
5 0,009 0,010 0,015 0,022 0,033 0,047 0,060 0,067 0,064
6 0,009 0,010 0,014 0,020 0,028 0,038 0,047 0,052 0,049
8 0,009 0,010 0,013 0,017 0,023 0,029 0,034 0,036 0,033
10 0,009 0,010 0,012 0,015 0,019 0,023 0,027 0,029 0,025
12 0,010 0,010 0,011 0,014 0,017 0,021 0,023 0,024 0,022
15 0,010 0,010 0,011 0,013 0,016 0,018 0,020 0,020 0,017
18 0,010 0,010 0,011 0,013 0,015 0,017 0,018 0,017 0,014
20 0,010 0,010 0,011 0,013 0,014 0,016 0,017 0,016 0,014
24
0,010
0,010
0,011
0,012
0,013
0,014
0,016
0,015
0,012
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2 0,003 0,004 0,011 0,026 0,053 0,097 0,154 0,210 0,245
3
0,004
0,006
0,011
0,022
0,039
0,063
0,094
0,122
0,135
5 0,005 0,006 0,008 0,014 0,021 0,032 0,043 0,052 0,055
6
0,005
0,005
0,008
0,012
0,018
0,026
0,034
0,040
0,041
8 0,005 0,006 0,007 0,010 0,014 0,019 0,024 0,027 0,027
10
0,005
0,005
0,007
0,009
0,012
0,016
0,019
0,021
0,021
12 0,005 0,005 0,006 0,008 0,011 0,014 0,016 0,017 0,016
15
0,005
0,005
0,006
0,007
0,009
0,011
0,013
0,014
0,013
18 0,005 0,005 0,006 0,007 0,009 0,010 0,011 0,012 0,011
20 0,005 0,006 0,006 0,007 0,008 0,010 0,011 0,011 0,010
24
0,005
0,005
0,006
0,006
0,008
0,009
0,009
0,010
0,008
Delta
NMAo = 100
Delta
NMAo = 200
Delta
NMAo=370,38
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86
A Tabela 4.7 a seguir, apresenta para o esquema de M&R, com n =1 a
probabilidade de o nível-base sinalizar sem que o gráfico R
t
sinalize. Para facilitar
a identificação de tal probabilidade, está será intitulada P(
R
B
∩
), e seu cálculo é
obtido por:
P(R)-B)P(R)RB P( ∪=∩
(4.7)
onde
B)P(R
∪
= probabilidade de sinal tanto pelo gráfico R
t
como pelo gráfico do
nível-base, calculada por simulação e,
P(R) = probabilidade de o canal afetado sinalizar (no gráfico do R
t
), também
obtida por simulação.
É interessante que os resultados dessa probabilidade sejam comparados com
os resultados apresentados na Tabela 4.6, já que corresponde a probabilidades de
eventos equivalentes (sinal verdadeiro porém “incorreto”) para métodos distintos.
Pela comparação das Tabelas 4.6 e 4.7 é possível observar que os valores da
probabilidade de sinal verdadeiro, porém “incorreto” é muito semelhante para os
dois esquemas. E ainda, essas probabilidades são relevantes apenas para processos
com poucos canais, e tendem a se tornar cada vez menos relevantes à medida que
se aumenta o tamanho de subgrupo amostral, n. Tal efeito pode ser visualizado no
Apêndice G que apresenta as probabilidades dadas por (4.6) e (4.7) para n = 2, 3,
4 e 5. Vale lembrar, que essas probabilidades são calculadas para o caso do nível-
base estático (
0=
b
σ
), e se reduzem pra
0≠
b
σ
, tanto quanto maior for
b
σ
. E
ainda, o caso em que
0≠
b
σ
refere-se ao caso ao qual os dois esquemas –
proposto e de M&R – se destinam: assim, as probabilidades aqui obtidas são
limitantes superiores para o pior cenário.
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87
Tabela 4.7 – Probabilidade de o nível-base sinalizar sem que o Gráfico R
t
sinalize.
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 0,010 0,015 0,030 0,061 0,108 0,166 0,219 0,249 0,240
3 0,010 0,013 0,023 0,041 0,069 0,102 0,133 0,150 0,146
5 0,010 0,012 0,017 0,027 0,042 0,059 0,074 0,082 0,079
6 0,010 0,011 0,016 0,024 0,036 0,049 0,061 0,067 0,064
8 0,010 0,011 0,015 0,021 0,028 0,038 0,046 0,049 0,047
10 0,010 0,011 0,013 0,018 0,025 0,032 0,037 0,040 0,037
12 0,010 0,011 0,013 0,017 0,021 0,027 0,032 0,034 0,031
15 0,010 0,011 0,012 0,015 0,019 0,023 0,026 0,028 0,025
18 0,010 0,010 0,012 0,014 0,018 0,021 0,023 0,024 0,022
20 0,010 0,010 0,012 0,014 0,017 0,020 0,022 0,022 0,020
24
0,010
0,010
0,011
0,013
0,015
0,018
0,019
0,020
0,018
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2 0,005 0,008 0,018 0,039 0,075 0,127 0,186 0,233 0,250
3 0,005 0,007 0,013 0,025 0,046 0,074 0,106 0,132 0,142
5 0,005 0,006 0,010 0,016 0,026 0,040 0,054 0,066 0,071
6 0,005 0,006 0,009 0,014 0,022 0,032 0,043 0,052 0,055
8 0,005 0,006 0,008 0,011 0,017 0,024 0,031 0,037 0,039
10 0,005 0,006 0,007 0,010 0,014 0,019 0,024 0,028 0,029
12 0,005 0,005 0,007 0,009 0,012 0,017 0,021 0,024 0,025
15 0,005 0,005 0,006 0,008 0,011 0,014 0,017 0,019 0,019
18 0,005 0,005 0,006 0,008 0,010 0,013 0,015 0,016 0,016
20 0,005 0,005 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,015 0,015
24
0,005
0,005
0,006
0,007
0,008
0,010
0,012
0,013
0,012
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2 0,003 0,004 0,011 0,026 0,053 0,097 0,154 0,210 0,246
3
0,003
0,004
0,008
0,016
0,031
0,053
0,083
0,112
0,132
5 0,003 0,003 0,006 0,010 0,017 0,027 0,040 0,052 0,060
6
0,003
0,003
0,005
0,009
0,014
0,022
0,031
0,040
0,046
8 0,003 0,003 0,004 0,007 0,011 0,016 0,022 0,028 0,031
10
0,003
0,003
0,004
0,006
0,009
0,013
0,017
0,021
0,023
12 0,003 0,003 0,004 0,005 0,008 0,011 0,014 0,017 0,018
15
0,003
0,003
0,003
0,004
0,006
0,008
0,011
0,013
0,014
18 0,003 0,003 0,003 0,004 0,006 0,008 0,009 0,011 0,012
20 0,003 0,003 0,004 0,004 0,006 0,007 0,009 0,010 0,010
24
0,002
0,003
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
NMAo = 100
Delta
NMAo = 200
Delta
NMAo=370,38
Delta
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88
4.4.
Precisão dos Resultados da Simulação
A semi-largura do intervalo de confiança bilateral simétrico de 95% para as
probabilidades de sinal, é dada por:
160000
)1(
96,1
pp −
=∆
(4.4)
onde
p
é a estimativa pontual de probabilidades de sinal e 160.000 é o número de
observações utilizadas a cada rodada da simulação.
A partir dos valores de
p
e de
∆
, podem ser obtidos os limites para o
intervalo de 95% de confiança para os NMA’s, substituindo-se p em (4.1) por
seus limites
(
)
∆+p
e
(
)
∆−p
. A Tabela 4.8 apresenta, para uma série de valores
de NMA, o valor do intervalo de confiança assim calculado. Para NMA’s obtidos
pela simulação iguais aos valores na primeira coluna da Tabela 4.8, as duas
colunas seguintes apresentam o intervalo de confiança de 95% para o valor
verdadeiro do NMA. No caso de NMA
0
’s especificado, porém, pode-se entrar
com p em vez de
p
na expressão (4.4) e, assim, as três primeiras linhas da tabela
fornecem um intervalo de probabilidade para os resultados da simulação. É
possível observar que, para um NMA
0
de 370,38, por exemplo, espera-se com
95% de confiança, que os resultados obtidos pela simulação estejam entre 338,5 e
408,9. É fácil ver que todos os valores de NMA
0
apresentados na Tabela 4.3 estão
dentro do intervalo esperado de variação com 95% de confiança.
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89
Tabela 4.8– Limites para NMA’s simulados
NMA NMA
(max)
NMA
(min)
370,38 338,5018 408,8866
200 214,8512 187,0692
100 105,1253 95,3512
50 51,7759 48,3419
30 30,8131 29,2287
20 20,4365 19,5818
10 10,1492 9,8551
5 5,0495 4,9515
2 2,0098 1,9902
1 1,0000 1,0000
Fonte: Própria
4.5.
Desempenho em Relação ao Esquema de Runger et al. (1996)
O esquema das diferenças aqui proposto, teve seu desempenho comparado
apenas com o desempenho do esquema de M&R (gráfico R
t
.) Comparações de seu
desempenho com o desempenho do esquema proposto por Runger et al. (1996)
não foram realizadas. Isso porque, para variações em apenas um canal (caso aqui
analisado), o desempenho do esquema de por Runger et al. (op. cit.) se mostrou
igual ou inferior ao desempenho do esquema de M&R. A Tabela 4.9, a seguir,
apresenta os NMA
1
’s de cada um dos esquemas para alterações de
σ
1 e
σ
2 na
média da parcela individual de apenas um dos canais do processo, para um NMA
0
especificado de 200 amostras.
Tabela 4.9 – NMA
1
’s para os Esquemas de Mortell e Runger (1995) e de Runger et
al (1996) para alterações em apenas um dos canais do processo e NMA
0
= 200
Runger et al
(1996)
M&R
δ
σ
1
σ
2
σ
1
σ
2
5 74 15 74 15
10 95 22 95 19
15 109 29 108 22
20 118 35 118 25
Fonte: Runger et al. (1996)
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90
Sendo, portanto, o desempenho do esquema aqui proposto superior ao
esquema de M&R, será, automaticamente, superior ao esquema de Runger et al.
(1996).
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91
5
Conclusões
Foi detalhada a proposta de um esquema de controle para processos com
múltiplos canais e duas fontes de variação, uma comum a todos os canais
(variação do nível-base) e outra, correspondendo a variações individuais de cada
canal em relação ao nível-base. O esquema consiste em um gráfico de controle
para o nível-base e uma group chart para as diferenças dos canais em relação ao
nível base. Embora tal esquema já tenha sido sugerido por Mortell e Runger
(1995) e um esquema parecido tenha sido empregado por Passos (2005), o modelo
formal do esquema, aqui detalhado, as expressões para cálculo de seus limites de
controle, e a análise de seu desempenho são contribuições originais deste trabalho.
O esquema teve seu desempenho analisado por medidas de sensibilidade
(probabilidades de sinalizar) e de rapidez de detecção (número médio de amostras
até o sinal) de alterações na média da parcela individual de um dos canais. Tais
medidas foram obtidas analiticamente e/ou por simulação computacional, e
também foram utilizadas para comparação de desempenho com o esquema
proposto por Mortell e Runger (op. cit.; daqui em diante abreviado por M&R) nas
mesmas condições.
A análise contemplou processos com diferentes números de canais,
diferentes tamanhos de subgrupos, diferentes probabilidades de alarme falso
especificadas e diferentes magnitudes de alteração na média da parcela individual
de um dos canais.
Os resultados obtidos demonstraram a superioridade do esquema proposto
na detecção de variações superiores a um desvio-padrão na média da parcela
individual de um canal do processo. Para variações menores, os esquemas foram
equivalentes em muitos casos, e na maioria dos demais, o esquema de M&R foi
ligeiramente superior; de qualquer forma, nenhum dos dois esquemas é eficiente
para estas alterações de pequena magnitude.
A análise limitou-se à situação “alteração apenas na média da parcela
individual de um dos canais”, pelas razões seguintes: se tais parcelas forem
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92
independentes (por hipótese, a parte comum é o nível-base) e a ocorrência de
causas especiais for esporádica, como deve-se esperar, então alterações nas
parcelas individuais de mais de um canal simultaneamente devem ser muito raras.
Alterações comuns aparecerão no nível-base. (A rigor, não é impossível imaginar
causas que comecem a afetar um canal e depois outro, e vão atingindo diversos
canais sucessivamente — por exemplo, impurezas que provoquem entupimentos;
mas isso deve começar primeiro por um canal, e acaba afetando o nível-base. Esta
situação não está no escopo do presente trabalho, e o desempenho do esquema
para tais casos ainda está em aberto para análise). Quanto a não se ter analisado o
desempenho do gráfico para o nível base, a razão é (além das limitações de
tempo) que o gráfico do nível-base é idêntico (em definição e utilização) em
ambos os esquemas, de modo que neste aspecto o desempenho de ambos os
esquemas é o mesmo; ou melhor, neste aspecto, não há dois esquemas de controle
distintos, apenas um. Além disso, trata-se de um gráfico convencional de
X
, cujo
desempenho já foi fartamente analisado na literatura. A possibilidade de
sinalização pelo gráfico do nível-base, considerada neste trabalho, é quanto a
causas especiais afetando a parcela individual de um dos canais, a que ele também
é sensível, embora não tenha sido concebido com este propósito (da mesma forma
que um gráfico de
X
também é sensível a aumentos na dispersão do processo). A
probabilidade de sinal pelo gráfico do nível-base, neste caso, depende da razão
entre as variâncias do nível-base e da parcela individual de cada canal; os valores
aqui calculados foram para o caso de nível-base estático (sem variação), situação
atípica. O propósito foi fornecer um sentimento desse efeito das alterações em um
canal sobre o gráfico, e os valores obtidos para este caso são portanto limitantes
superiores para as probabilidades de sinal. Quanto ao desempenho do gráfico do
nível-base na detecção de alterações no nível-base, esta é uma questão para
pesquisa futura. Como dito, trata-se de um caso de gráfico de
X
, mas há uma
peculiaridade, que é o fato de haver duas componentes de variação no processo.
Nenhum dos dois esquemas mostrou-se muito eficiente para detecção de
alterações menores de três desvios-padrão, mas valem algumas ressalvas: com o
aumento do tamanho de amostra, o desempenho melhora (ainda que, com grande
número de canais, possa não ser praticável trabalhar com mais que observações
individuais); outra opção é adotar (se for viável) intervalos de tempo entre
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93
amostras suficientemente curtos para garantir que, mesmo com NMA’s não muito
reduzidos, o tempo esperado até o sinal não seja demasiadamente longo; e, o que é
mais importante, talvez: dado que a variabilidade total do processo compõe-se de
duas parcelas, a variabilidade do nível-base e a variabilidade individual dos
canais, uma alteração, na média da parcela de um canal, da ordem de três desvios-
padrão (desta parcela) corresponde a uma alteração bem menor em desvios-padrão
do processo. Em conseqüência, é provável que na maioria das situações reais, as
alterações que sejam relevantes detectar na parcela de um canal sejam “grandes”,
da magnitude de três ou mais desvios-padrão. A magnitude relevante em cada
caso dependerá, evidentemente, da capacidade do processo, mas será tão maior
quanto maior for a razão entre o desvio-padrão do nível-base e o desvio-padrão
das parcelas individuais dos canais.
Finalmente, os esquemas foram comparados usando gráficos “de Shewhart”,
i.e., usando diretamente as estatísticas amostrais obtidas (o R
t
do esquema de
M&R e as diferenças em relação ao nível-base do esquema proposto). M&R já
haviam concluído pela superioridade do uso de sua estatística em esquemas
CUSUM e EWMA (em relação a usá-la em um gráfico de Shewhart); pode-se
também empregar CUSUM ou EWMA no esquema proposto. Como este é um
primeiro trabalho analisando tal esquema, o uso de gráficos de Shewhart permite
comparar o desempenho das duas estatísticas, e visualizar os efeitos de vieses e de
correlações entre as diferentes estatísticas, em cada esquema. É razoável esperar
que a estatística mais eficiente em um gráfico de Shewahrt seja também a mais
eficiente em um esquema CUSUM ou EWMA. A proposta e análise da
incorporação de esquemas CUSUM ou EWMA ao esquema proposto é uma
extensão que merece ser investigada.
O esquema proposto não foi comparado com o esquema de Runger et al.
(1996), que juntamente com o esquema de M&R, constituem praticamente os dois
únicos esquemas na literatura de controle de processos multicanal que levam em
conta a existência de duas fontes de variação (comum aos canais e individual),
porque tal esquema tem, para o caso de alteração em um canal apenas,
desempenho no máximo idêntico, e muitas vezes inferior, ao esquema de M&R.
Assim, o esquema aqui proposto, ao mostrar-se mais eficiente que o mais eficiente
da literatura precedente, revela-se o mais eficiente de todos.
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94
Além dessa maior eficiência na detecção de variações na média da parcela
individual de um dos canais do processo, o esquema proposto, por trabalhar com
as diferenças em relação ao nível-base, ainda apresenta uma vantagem adicional
em relação ao esquema de M&R, que será detalhada a seguir.
Para controle da dispersão das parcelas individuais dos canais, pode-se usar
uma group chart de S (ou de R) dos valores individuais de cada canal; tal group
chart poderia ser usada juntamente com a group chart das diferenças médias, mas
também poderia ser usada em conjunto com o esquema de M&R, no caso de
amostras com
1
>
n
. Porém, no caso de
1
=
n
(muito freqüente, senão o caso mais
freqüente em se tratando de PMC, em que o número de canais pode tornar
proibitiva a retirada de mais de uma medida por canal em cada amostra) tal group
chart de S ou R precisaria ser substituída por uma group chart de MR (amplitude
móvel) das diferenças. Não seria possível trabalhar com uma group chart de MR
das observações individuais de cada canal diretamente, pois uma parcela de
variação das observações de cada canal é devida à variação do nível-base, o que
reduziria a sensibilidade da group chart a aumentos na dispersão da parcela
individual em cada canal. Neste caso, só trabalhando com as diferenças é que se
poderia construir uma group chart de MR mais eficiente. Esta é mais uma
vantagem de trabalhar com as diferenças em relação ao nível-base.
A análise formal do desempenho de tal esquema fica como indicação para
pesquisa futura.
Outras questões em aberto, além das várias já mencionadas, são: como o
esquema proposto se aplicaria ao caso de canais com médias (e possivelmente
desvios-padrão) diferentes; qual o tamanho de amostra e intervalo entre amostras
ideais (projeto do esquema); e esquemas alternativos para os casos particulares de
processos com dois ou três canais; principalmente no caso de dois canais, em que
as estatísticas são totalmente correlacionadas.
Tal lista não esgota o número de questões abertas, que é muito grande. Este
trabalho apenas iniciou a investigação e expôs algumas dessas questões, que
podem dar origem a uma longa e desafiadora linha de pesquisa. Um dos maiores
pesquisadores atuais em CEP disse “generalization of the multiple-stream
methods is needed” (W. Woodall, comunicação pessoal, 2007).
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95
6
Referências
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97
7
Apêndice A – Detalhamento do Método de Fatores de
Correção
Esta abordagem considera que sendo α
individual
a taxa de alarme falso para
um canal em particular (igual para todos os canais), num processo com s canais
independentes, a taxa global de alarmes falsos para o conjunto de dados dos s
canais (α
global
), amostrados num determinado período de tempo será:
s
individualglobal
)1(1
αα
−−=
(7.1)
que é maior que o próprio valor de α
individual
. Desta forma, um gráfico de controle
de grupos, para representar uma taxa de alarme falso global de 0,0027, deve ser
construído substituindo-se o limite de controle tradicional de 3σ por um limite
dado em função de
σ
L
, onde L é determinado em função do número de canais do
processo, como o valor que leva a uma taxa de alarme falso individual que
satisfaça:
s
individual
)1(10027,0
α
−−=
(7.2)
Assim, a probabilidade do ponto máximo estar acima do limite superior de
controle ou o ponto mínimo estar abaixo do limite inferior quando o processo
encontra-se sob controle será:
(
)
(
)
[
]
s
individual
LICMínXLSCMáxXP )1(1ou
α
−−=<>
(7.3)
Desta forma, para se obter uma taxa de alarmes falsos global de 0,0027, a
probabilidade de um alarme falso para um único canal deverá ser:
s
individual
1
)9973,0(1−=
α
(7.4)
O limite superior de controle para o método em questão é dado por:
n
LSCLSC
s
σ
µ
2
+=
(7.5)
onde,
µ = média do processo
σ = desvio-padrão do processo
n = tamanho do subgrupo para cada canal
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2
s
LSC
=
−Φ
−
2
1
1
individual
α
, onde
Φ
é a distribuição normal padronizada.
O valor de p associado a um processo de dez canais, portanto seria:
10
1
)9973,0(1−=
individual
α
(7.6a)
00027,0=
individual
α
(7.6b)
o que implicaria num
999865,0
2
1
=
−
individual
Z
α
, e conseqüentemente, num
642,3
2
=
s
LSC
, que corresponde a
)999865,0(
1−
Φ
. Os limites de controle para tal
processo, ficariam sendo:
n
LSC
σ
µ
642,3+=
(7.7)
µ
=
LC (7.8)
n
LIC
σ
µ
642,3−=
(7.9)
É importante destacar que no decorrer da análise do trabalho demonstrado
por Colbeck (1999), foi diagnosticado um erro na equação (7.3) de Colbeck, que
utilizou:
(
)
(
)
[
]
[
]
s
individual
LICMínXLSCMáxXP )1(12ou
α
−−=<>
(7.11)
no lugar de (7.3), que resultou em:
s
p
1
)99865,0(1−=
(7.12)
Isso corresponde a trabalhar com o valor de alfa global dividido por dois. O
resultado final foram, naturalmente, NMA
0
’s cerca de duas vezes maiores que o
desejado.
A Tabela 7.1 apresenta o cálculo detalhado do termo
2
s
LSC correto que deve
ser utilizado para o cálculo dos limites de controle.
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99
Tabela 7.1 – Detalhamento para o cálculo correto do LSC
4
s
s
global
α
global
α
−1
individual
α
2
individual
α
corretosLSC
s
2
2
s
LSC
2
0,0027 0,9973
0,00135 0,00068 3,205
3,399
3
0,0027 0,9973
0,00090 0,00045 3,320
3,509
4
0,0027 0,9973
0,00068 0,00034 3,399
3,582
5
0,0027 0,9973
0,00054 0,00027 3,460
3,642
6
0,0027 0,9973
0,00045 0,00023 3,509
3,689
7
0,0027 0,9973
0,00039 0,00019 3,549
3,728
8
0,0027 0,9973
0,00034 0,00017 3,584
3,762
9
0,0027 0,9973
0,00030 0,00015 3,615
3,791
10
0,0027 0,9973
0,00027 0,00014 3,642
3,817
Fonte: Própria
As duas últimas colunas da tabela mostram que os valores de
2
s
LSC obtidos
pela fórmula utilizada por Colbeck são superiores aos valores corretos. A
implicação do uso dos valores superiores é que estes produzirão limites de
controle mais largos que os limites corretos, fazendo com que o processo seja
menos capaz de diagnosticar pontos fora de controle do que o processo que utiliza
os
2
s
LSC corretos (correspondentes aos NMA
0
global especificado).
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100
8
Apêndice B – Covariância entre ⋅
ti
e e
⋅⋅t
e
Da propriedade da covariância, tem-se que:
(
)
(
)
(
)
(
)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=
ttittitti
eEeEeeEeeCov ,
(8.1)
Na seção 3.2, foi visto que, para um processo sob controle,
⋅
n
Ne
ti
2
,0~
σ
(8.2)
e,
⋅⋅
ns
Ne
t
2
,0~
σ
(8.3)
o que reduz a equação (8.1) à:
(
)
(
)
⋅⋅⋅⋅⋅
=
ttitti
eeEeeCov ,
(8.4)
Fazendo:
∑
=
⋅⋅⋅
=
s
k
tkt
e
s
e
1
1
(8.5)
então:
∑
≠
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
+=
s
ik
k
tktiti
tti
s
ee
s
e
ee
1
2
(8.6)
e, conseqüentemente,
( )
( )
∑
≠
=
⋅⋅⋅
⋅⋅
+
=
s
ik
k
tktiti
tti
s
eeE
s
e
EeeE
1
2
(8.7a)
Mas, como
⋅ti
e e
⋅tk
e são independentes para
j
i
≠
, o segundo termo (lado
direito) da expressão acima se anula, fazendo com que esta se resuma à:
( )
=⋅⋅
⋅
⋅
s
e
EeeE
ti
tti
2
(8.7b)
Substituindo-se a expressão (8.7b) em (8.4), a expressão referente à
covariância entre
⋅ti
e
e
⋅tk
e
, passa a ser:
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101
( )
=⋅
⋅
⋅⋅
s
e
EeeCov
ti
tti
2
,
(8.8a)
( )
(
)
(
)
[
]
s
eEeV
eeCov
titi
tti
2
,
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
+
=
(8.8b)
A partir dos dados fornecidos por (8.2), é possível reescrever a equação
(8.8b) simplesmente como:
( )
(
)
s
eV
eeCov
ti
tti
⋅
⋅⋅⋅
=,
(8.9a)
( )
ns
eeCov
tti
2
,
σ
=⋅
⋅⋅
(8.9b)
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102
9
Apêndice C – Correlação
ij
ρ
entre duas diferenças
calculadas quaisquer
⋅ti
e
ˆ
e
⋅tj
e
ˆ
(para
j
i
≠
).
Foi visto que para qualquer canal i de um processo com s canais, a diferença
média em relação ao nível-base estimado é dada pela equação:
....
ˆ
ttiti
eee −=
(9.1a)
que pode ser desenvolvida em:
∑
=
⋅⋅⋅
−=
s
k
tktiti
e
s
ee
1
1
ˆ
(9.1b)
ou, alternativamente em:
⋅
≠
=
⋅⋅
∑
−+
−
=
tk
s
ik
k
titi
e
s
e
s
s
e
1
11
ˆ
(9.1c)
De (9.1c) é possível perceber que
⋅ti
e
ˆ
é uma combinação linear dos
⋅tk
e ,
∑
=
⋅
s
k
tkk
ea
1
, onde:
s
s
a
k
1
−
=
, para
ik
=
(9.2a)
s
a
k
1
−
= , para ik
≠
(9.2b)
Da forma semelhante, ⋅
tj
e
ˆ
será uma combinação linear dos
⋅k
e ,
∑
=
⋅
s
k
tkk
eb
1
,
com:
s
s
b
k
1
−
= , para jk
=
(9.3a)
s
b
k
1
−
= , para jk
≠
(9.3b)
Da propriedade de que, dadas duas combinações lineares U e V das mesmas
variáveis
⋅1t
e
,
⋅2t
e
,...
⋅tk
e
tais que
∑
=
⋅
=
s
i
tkk
eaU
1
e
∑
=
⋅
=
s
j
tkk
ebV
1
, a covariância
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103
entre U e V é igual a
∑
=
k
i
k
kk
ba
1
2
σ
, e dado que no presente caso
n
k
2
2
σ
σ
=
k
∀
(que representa a variância de
⋅tk
e
), então, a covariância entre
⋅ti
e
ˆ
e
⋅tj
e
ˆ
pode ser
escrita como:
( )
∑
≠
=
⋅
−
+
−
−
+
−
−
=⋅
s
jik
k
tjti
nsnss
s
nss
s
eeCov
,
1
2
2
22
11111
ˆ
,
ˆ
σσσ
(9.4a)
( )
n
s
s
n
s
s
eeCov
tjti
2
2
2
2
1
)2(
1
2
ˆ
,
ˆ
σσ
−+
−
−=
⋅⋅
(9.4b)
( )
n
s
eeCov
tjti
2
1
ˆ
,
ˆ
σ
−
=
⋅⋅
(9.4c)
Lembrando que
2
ˆ
1
σσ
s
s
i
e
−
=
⋅
,
∀
i, de modo que
n
s
s
ji
2
1
σ
σσ
−
=
, a
correlação entre
⋅ti
e
ˆ
e
⋅tj
e
ˆ
é pode ser escrita como:
ns
s
ns
tj
e
ti
e
2
2
ˆˆ
1
1
σ
σ
δ
−
−
=
⋅⋅
(9.5a)
−
−
=
⋅⋅
1
1
ˆˆ
s
tj
e
ti
e
δ
(9.5b)
A partir da expressão (9.5b), é possível obter o valor da correlação entre
⋅ti
e
ˆ
e
⋅tj
e
ˆ
para diferentes números de canais, como pode ser visto na Tabela 9.1 a
seguir.
Tabela 9.1 – Cálculo da Correlação entre
⋅ti
e
ˆ
e
⋅tj
e
ˆ
para processos com diferentes
números de canais.
tjti
dd
δ
, ij
∀
s
2 -1,00
3 -0,50
4 -0,33
5 -0,25
10 -0,11
20 -0,05
Fonte: Própria
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104
10
Apêndice D – Gerador de Números Aleatórios
Independentes e Normalmente Distribuídos
A geração dos números aleatórios normais padrão para os
se
i
'
foi baseada
em um método conhecido como seqüência de baixa discrepância. Particularmente,
utilizou-se a seqüência de Halton, que permite a geração da distribuição uniforme
multivariada (0,1) sem clusters (ou aglomerados). O conceito dessa metodologia
está associado à propriedade de gerar números sucessivos mais distantes possível
uns dos outros. Para isso utiliza como base um número primo diferente para cada
dimensão, que tem como função preencher os “gaps” deixados pelas seqüências
anteriores, o que faz com que seu desempenho na geração de números uniformes
se mostre bastante superior aos métodos tradicionais (de sorteio pseudo-aleatório),
principalmente para o caso multidimensional. Nas Figuras 10.1 e 10.2, é possível
comparar o desempenho em termos de aleatoriedade entre os números uniformes
obtidos pelo gerador do Excel (que utiliza um critério de sorteio pseudo-aleatório)
e os obtidos pela seqüência de Halton de base dois (para processos com dois
canais), respectivamente e perceber a superioridade deste último.
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105
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 10.1 – Geração de Números Aleatórios do Excel
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 10.2 – Geração de Números Aleatórios: Seqüência de Halton (base 2)
Já para geração de números normalmente distribuídos utilizou-se a
metodologia desenvolvida por Moro (1995), na qual, valores da distribuição
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106
normal são obtidos de números aleatórios com distribuição Uniforme (0,1), por
sua vez, obtidos a partir das seqüências de baixa discrepância pela inversa da
distribuição normal acumulada. A grande vantagem da Inversão de Moro em
relação aos métodos tradicionais de inversão da distribuição normal acumulada
está no seu bom funcionamento das caudas da distribuição. Métodos tradicionais
tendem a gerar valores muito extremos, como ocorre com a função de inversão
utilizada pelo Excel. A Inversão de Moro utiliza dois algoritmos distintos: um
para a região central da distribuição e outro para as caudas da distribuição
Normal, o que permite seu desempenho superior na inversão de pontos situados
nas caudas da distribuição. Como pode ser observado na Tabela 10.1 o
desempenho da função de inversão utilizada pelo Excel apresenta um baixo
desempenho nas caudas, principalmente para valores da Uniforme (0,1) menores
que 0,00001, o que não ocorre com a Inversão de Moro, que produz resultados
rigorosamente iguais aos valores exatos com uma precisão de cinco dígitos
decimais.
Tabela 10.1 – Comparação das Funções de Inversão da Normal Padrão
U
Inversão do
Excel
Valor
Exato
Inversão de
Moro
0,001 -3,09024 -3,09023 -3,09023
0,0001 -3,71947 -3,71902 -3,71902
0,00001 -4,26546 -4,26489 -4,26489
0,000001 -476837 -4,75342 -4,75342
0,0000003
-7,15256 -4,99122 -4,99122
0,0000002
-5000000 -5,06896 -5,06896
Fonte: Dias (2007)
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107
11
Apêndice E – Programa e Sub-Rotinas Utilizadas na
Simulação
Programa Principal
Sub CalculoNivelBase()
Dim N As Long 'número de observações para geração da normal
Dim s(11) As Integer 'vetor com número de canais (cada elemento do
'vetor é correspondente a 1 número de canal
's(3)=5)
Dim base(24) As Long 'base (nº primo) para a sequencia de Halton – 18
'pq é o número máximo de canais
Dim vtab As Double '1-alfa
Dim ARL0(4) As Integer 'vetor com o número de ARL0 utilizados
Dim a_3canais(4) As Double 'vetor com osvalores nominais para k obtido pela
'integral da normal trivariada
Dim xdelta As Double 'diferença entre os deltas consecutivos
Dim ndelta As Integer 'número de deltas utilizados
Dim d() As Double 'diferença entre o maximo e minimo das observações
Dim m() As Double 'nível base
Dim md() As Double
Dim c_d() As Long 'contador do número de alarmes para a diferença
'entre o máximo e mínimo
Dim c_m() As Long 'contador do número de alarmes para o nível base
Dim c_md() As Long
Dim c_dnb() As Long 'contador do número de alarmes para a diferença em
'relação ao nível base
Dim c_dnbm() As Long 'contador do número de alarmes para a diferença em
'relação ao nível base ou para a média
Dim c_s1() As Long
Dim c_s2() As Long
Dim c_ca() As Long
Dim ARL_d() As Double 'vetor com os ARL1`s para cada ARL0, s e delta
Dim ARL1_m() As Double
Dim ARL1_md() As Double
Dim ARL1_dnb() As Double
Dim ARL1_dnbm() As Double
Dim ARL1_ca() As Double
Dim ARL1_s1() As Double
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108
Dim ARL1_s2() As Double
Dim LSC_d As Double
Dim LSC_m As Double
Dim LIC_m As Double
Dim LSC_dnb As Double
Dim LIC_dnb As Double
Dim LSC_s1 As Double
Dim LIC_s1 As Double
Dim LSC_s2 As Double
Dim LIC_s2 As Double
Dim u() As Long 'semente para geração dos números aleatórios de
'cada canal (varia de 1 à 40 000)
Dim v() As Double 'número aleatório de cada canal
Dim z() As Double 'valor da normal(0,1) para cada canal
Dim a As Double
Dim a_ind As Double
Dim xARL0, xs, xn, i, j, k As Integer
Dim r As Double
Dim Tab_ARL1 As Worksheet
Dim flag_d As Boolean
Dim flag_m As Boolean
Dim flag_dnb As Boolean
Set Tab_ARL1 = Worksheets("Tab") 'Tab_ARL1 representa a sheet "Tab" do excel
N = Tab_ARL1.Range("N")
raiz_n = Tab_ARL1.Range("raiz_n")
ARL0(1) = Tab_ARL1.Range("ARL0_100")
ARL0(2) = Tab_ARL1.Range("ARL0_111")
ARL0(3) = Tab_ARL1.Range("ARL0_200")
ARL0(4) = Tab_ARL1.Range("ARL0_370")
s(1) = Tab_ARL1.Range("s_2")
s(2) = Tab_ARL1.Range("s_3")
s(3) = Tab_ARL1.Range("s_5")
s(4) = Tab_ARL1.Range("s_6")
s(5) = Tab_ARL1.Range("s_8")
s(6) = Tab_ARL1.Range("s_10")
s(7) = Tab_ARL1.Range("s_12")
s(8) = Tab_ARL1.Range("s_15")
s(9) = Tab_ARL1.Range("s_18")
s(10) = Tab_ARL1.Range("s_20")
s(11) = Tab_ARL1.Range("s_24")
base(1) = 2
base(2) = 3
base(3) = 5
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base(4) = 7
base(5) = 11
base(6) = 13
base(7) = 17
base(8) = 19
base(9) = 23
base(10) = 29
base(11) = 31
base(12) = 37
base(13) = 41
base(14) = 43
base(15) = 47
base(16) = 53
base(17) = 59
base(18) = 61
base(19) = 67
base(20) = 71
base(21) = 73
base(22) = 79
base(23) = 83
base(24) = 89
a_3canais(1) = 2.917
a_3canais(2) = 2.947
a_3canais(3) = 3.129
a_3canais(4) = 3.308
xdelta = 0.5 * Sqr(raiz_n)
ndelta = 9
ReDim d(1 To ndelta)
ReDim m(1 To ndelta)
ReDim md(1 To ndelta)
ReDim c_d(1 To ndelta)
ReDim c_m(1 To ndelta)
ReDim c_md(1 To ndelta)
ReDim c_dnb(1 To ndelta)
ReDim c_dnbm(1 To ndelta)
ReDim c_s1(1 To ndelta)
ReDim c_s2(1 To ndelta)
ReDim c_ca(1 To ndelta)
ReDim ARL1_d(1 To 4, 1 To 11, 1 To ndelta)
ReDim ARL1_m(1 To 4, 1 To 11, 1 To ndelta)
ReDim ARL1_md(1 To 4, 1 To 11, 1 To ndelta)
ReDim ARL1_dnb(1 To 4, 1 To 11, 1 To ndelta)
ReDim ARL1_dnbm(1 To 4, 1 To 11, 1 To ndelta)
ReDim ARL1_ca(1 To 4, 1 To 11, 1 To ndelta)
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110
ReDim ARL1_s1(1 To 4, 1 To 1, 1 To ndelta)
ReDim ARL1_s2(1 To 4, 1 To 1, 1 To ndelta)
For xARL0 = 1 To 4
a = 1 / ARL0(xARL0)
vtab = 1 - a
For xs = 1 To 11
If xs = 1 Then
a_ind = a
Else
a_ind = 1 - (1 - a) ^ (1 / s(xs))
End If
ReDim u(1 To s(xs))
ReDim v(1 To s(xs))
ReDim z(1 To s(xs))
LSC_m = -Application.WorksheetFunction.NormSInv(0.5 / ARL0(xARL0)) /
Sqr(s(xs))
LIC_m = Application.WorksheetFunction.NormSInv(0.5 / ARL0(xARL0)) /
Sqr(s(xs))
LSC_d = tabela(vtab, s(xs))
If xs = 2 Then
LSC_dnb = a_3canais(xARL0) * Sqr((s(xs) - 1) / s(xs))
LIC_dnb = -a_3canais(xARL0) * Sqr((s(xs) - 1) / s(xs))
Else
LSC_dnb = -Application.WorksheetFunction.NormSInv(0.5 * a_ind) *
Sqr((s(xs) - 1) / s(xs))
LIC_dnb = Application.WorksheetFunction.NormSInv(0.5 * a_ind) *
Sqr((s(xs) - 1) / s(xs))
End If
LSC_s1 = -Application.WorksheetFunction.NormSInv(0.5 * a)
LIC_s1 = Application.WorksheetFunction.NormSInv(0.5 * a)
LSC_s2 = -Application.WorksheetFunction.NormSInv(0.5 * a)
LIC_s2 = Application.WorksheetFunction.NormSInv(0.5 * a)
For i = 1 To s(xs)
r = Rnd()
u(i) = r * N
If u(i) = 0 Then u(i) = 1
Next
For j = 1 To ndelta
c_d(j) = 0
c_m(j) = 0
c_md(j) = 0
c_dnb(j) = 0
c_dnbm(j) = 0
c_s1(j) = 0
c_s2(j) = 0
c_ca(j) = 0
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Next
For xn = 1 To N
For i = 1 To s(xs)
v(i) = HaltonBaseb(base(i), u(i))
z(i) = Moro_NormSInv(v(i))
If u(i) = N Then
u(i) = 1
Else
u(i) = u(i) + 1
End If
Next
For j = 1 To ndelta
If j = 1 Then
z(1) = z(1) 'o delta está sendo somado sempre ao primeiro
'canal sendo que quando j=1 z(1)nãosofrerá shift
Else
z(1) = z(1) + xdelta
End If
'cálculo da diferença
xmax = Application.WorksheetFunction.Max(z)
xmin = Application.WorksheetFunction.Min(z)
d(j) = xmax - xmin
flag_d = False
If d(j) > LSC_d Then
c_d(j) = c_d(j) + 1
flag_d = True
End If
'cálculo da média
m(j) = Application.WorksheetFunction.Average(z)
flag_m = False
If m(j) > LSC_m Or m(j) < LIC_m Then
c_m(j) = c_m(j) + 1
flag_m = True
End If
If flag_d = True Or flag_m = True Then
c_md(j) = c_md(j) + 1
End If
'cálculo da diferença em relação ao nível base
flag_dnb = False
If (xmax - m(j) > LSC_dnb) Or (xmin - m(j) < LIC_dnb) Then
flag_dnb = True
c_dnb(j) = c_dnb(j) + 1
End If
If flag_m = True Or flag_dnb = True Then
c_dnbm(j) = c_dnbm(j) + 1
End If
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
112
If z(1) - m(j) > LSC_dnb Or z(1) - m(j) < LIC_dnb Then
c_ca(j) = c_ca(j) + 1
End If
Next j
Next xn
For j = 1 To ndelta
ARL1_d(xARL0, xs, j) = N / IIf(c_d(j) > 0, c_d(j), 1)
ARL1_m(xARL0, xs, j) = N / IIf(c_m(j) > 0, c_m(j), 1)
ARL1_md(xARL0, xs, j) = N / IIf(c_md(j) > 0, c_md(j), 1)
ARL1_dnb(xARL0, xs, j) = N / IIf(c_dnb(j) > 0, c_dnb(j), 1)
ARL1_dnbm(xARL0, xs, j) = N / IIf(c_dnbm(j) > 0, c_dnbm(j), 1)
ARL1_ca(xARL0, xs, j) = N / IIf(c_ca(j) > 0, c_ca(j), 1)
ARL1_s1(xARL0, 1, j) = N / IIf(c_s1(j) > 0, c_s1(j), 1)
ARL1_s2(xARL0, 1, j) = N / IIf(c_s2(j) > 0, c_s2(j), 1)
Tab_ARL1.Range("Tab_ARL1_d").Cells(xs, ((xARL0 - 1) * 9 + 1) +
(j - 1)) = ARL1_d(xARL0, xs, j) 'escreve no excel o valor do ARL1
'na celula do caso correspondente
Tab_ARL1.Range("Tab_ARL1_m").Cells(xs, ((xARL0 - 1) * 9 + 1) +
(j - 1)) = ARL1_m(xARL0, xs, j)
Tab_ARL1.Range("Tab_ARL1_md").Cells(xs, ((xARL0 - 1) * 9 + 1) +
(j - 1)) = ARL1_md(xARL0, xs, j)
Tab_ARL1.Range("Tab_ARL1_dnb").Cells(xs, ((xARL0 - 1) * 9 + 1) +
(j - 1)) = ARL1_dnb(xARL0, xs, j)
Tab_ARL1.Range("Tab_ARL1_dnbm").Cells(xs, ((xARL0 - 1) * 9 + 1) +
(j - 1)) = ARL1_dnbm(xARL0, xs, j)
Tab_ARL1.Range("Tab_ARL1_ca").Cells(xs, ((xARL0 - 1) * 9 + 1) +
(j - 1)) = ARL1_ca(xARL0, xs, j)
Tab_ARL1.Range("Tab_ARL1_s1").Cells(1, ((xARL0 - 1) * 9 + 1) +
(j - 1)) = ARL1_s1(xARL0, 1, j)
Tab_ARL1.Range("Tab_ARL1_s2").Cells(1, ((xARL0 - 1) * 9 + 1) +
(j - 1)) = ARL1_s2(xARL0, 1, j)
Next
Next xs
Next xARL0
End Sub
Funções Auxiliares
Function HaltonBaseb(b As Long, N As Long) As Double
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
113
'Returns the equivalent first van der Corput sequence number (used in Halton,
'Faure, Sobol)
Dim h As Double, ib As Double
Dim i As Long, n0 As Long, n1 As Long
n0 = N
h = 0
ib = 1 / b
Do While n0 > 0
n1 = Int(n0 / b)
i = n0 - n1 * b
h = h + ib * i
ib = ib / b
n0 = n1
Loop
HaltonBaseb = h
End Function
Function Moro_NormSInv(u As Double) As Double
' Calculates the Normal Standard numbers given u, the associated uniform number
'(0, 1)
' VBA version of the Moro's (1995) code in C
' Option Base 1 is necessary to be declared before this function for vector
'elements positioning to work
Dim c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9
Dim X As Double
Dim r As Double
Dim a As Variant
Dim b As Variant
a = Array(2.50662823884, -18.61500062529, 41.39119773534, -25.44106049637)
b = Array(-8.4735109309, 23.08336743743, -21.06224101826, 3.13082909833)
c1 = 0.337475482272615
c2 = 0.976169019091719
c3 = 0.160797971491821
c4 = 2.76438810333863E-02
c5 = 3.8405729373609E-03
c6 = 3.951896511919E-04
c7 = 3.21767881768E-05
c8 = 2.888167364E-07
c9 = 3.960315187E-07
X = u - 0.5
If Abs(X) < 0.42 Then
r = X ^ 2
r = X * (((a(4) * r + a(3)) * r + a(2)) * r + a(1)) / ((((b(4) * r + b(3))
* r + b(2)) * r + b(1)) * r + 1)
Else
If X > 0 Then r = Log(-Log(1 - u))
If X <= 0 Then r = Log(-Log(u))
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114
r = c1 + r * (c2 + r * (c3 + r * (c4 + r * (c5 + r * (c6 + r *
(c7 + r * (c8 + r * c9)))))))
If X <= 0 Then r = -r
End If
Moro_NormSInv = r
End Function
Function tabela(vtab As Double, s As Integer) As Double
Dim i As Integer
Dim w As Double
Dim a As Double
Dim b As Double
Dim c As Double
i = 6
Do While Not vtab < Worksheets("Tabela w").Cells(i, s)
i = i + 1
Loop
c = Worksheets("Tabela w").Cells(i - 1, s)
b = Worksheets("Tabela w").Cells(i - 1, 1)
a = (Worksheets("Tabela w").Cells(i, 1) - Worksheets("Tabela w").
Cells(i - 1, 1)) / (Worksheets("Tabela w").Cells(i, s)
- Worksheets("Tabela w").Cells(i - 1, s))
w = b + a * (vtab - c)
tabela = w
End Function
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115
12
Apêndice F – Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos
das Diferenças em Relação ao Nível Base e R
t
de M&R.
A seguir serão apresentadas os resultados obtidos por simulação para o
NMA
1
do gráfico R
t
, de M&R, e para o gráfico das diferenças em relação ao
nível-base, o que permite a comparação de seus desempenhos.
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116
Tabela 12.1- Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em Relação ao Nível-Base e Gráfico de R
t
de M&R (n = 2)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
100,3
50,1
17,4
7,1
3,5
2,1
1,5
1,2
1,1
202,3
91,4
28,3
10,5
4,8
2,6
1,7
1,3
1,1
370,4
157,3
44,4
15,1
6,4
3,3
2,0
1,5
1,2
3
100,6
54,8
19,1
7,4
3,5
2,0
1,4
1,2
1,1
203,3
100,4
31,2
10,9
4,7
2,5
1,6
1,3
1,1
374,7
177,4
49,5
15,9
6,3
3,1
1,9
1,4
1,1
5
101,3
62,8
22,5
8,3
3,7
2,1
1,4
1,1
1,0
201,8
115,9
37,6
12,4
5,0
2,5
1,6
1,2
1,1
382,8
208,1
60,6
18,1
6,7
3,1
1,8
1,3
1,1
6
101,0
64,6
24,2
8,8
3,8
2,1
1,4
1,1
1,0
200,5
124,1
40,7
13,2
5,2
2,6
1,6
1,2
1,1
353,2
210,2
64,3
19,1
6,9
3,2
1,8
1,3
1,1
8
99,6
68,1
26,8
9,5
4,0
2,2
1,4
1,2
1,0
204,9
131,6
46,0
14,5
5,5
2,7
1,6
1,2
1,1
373,0
231,5
74,0
21,3
7,4
3,3
1,9
1,3
1,1
10
101,5
71,9
29,3
10,3
4,2
2,2
1,5
1,2
1,0
199,8
136,1
49,4
15,6
5,8
2,7
1,7
1,2
1,1
378,3
246,2
81,2
23,0
7,8
3,4
1,9
1,3
1,1
12
98,6
73,9
31,1
10,9
4,4
2,3
1,5
1,2
1,0
207,5
143,4
53,3
16,7
6,0
2,8
1,7
1,2
1,1
399,0
264,0
88,3
24,6
8,1
3,5
1,9
1,3
1,1
15
100,4
77,5
33,6
11,9
4,7
2,4
1,5
1,2
1,0
196,1
145,5
58,9
18,1
6,4
2,9
1,7
1,3
1,1
376,5
266,2
96,6
26,8
8,7
3,6
2,0
1,4
1,1
18
100,6
79,1
36,3
12,6
4,9
2,4
1,5
1,2
1,1
201,5
150,2
63,3
19,5
6,8
3,0
1,7
1,3
1,1
346,3
264,5
100,8
28,3
9,1
3,7
2,0
1,4
1,1
20
99,8
81,3
37,6
13,1
5,0
2,5
1,5
1,2
1,1
199,3
155,9
66,2
20,2
7,0
3,1
1,8
1,3
1,1
392,2
287,8
109,8
30,0
9,4
3,8
2,0
1,4
1,1
24
101,8
82,5
40,6
14,1
5,3
2,5
1,6
1,2
1,1
205,9
163,8
71,5
21,8
7,4
3,2
1,8
1,3
1,1
387,4
293,6
118,1
32,3
9,9
4,0
2,1
1,4
1,1
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
99,9
50,0
17,3
7,1
3,5
2,1
1,5
1,2
1,1
202,3
91,4
28,3
10,5
4,8
2,6
1,7
1,3
1,1
362,0
155,6
43,8
14,9
6,3
3,2
2,0
1,4
1,2
3
100,1
54,6
19,0
7,3
3,4
2,0
1,4
1,1
1,0
204,1
100,9
31,1
10,6
4,5
2,4
1,6
1,2
1,1
382,8
172,6
48,4
15,1
5,8
2,9
1,7
1,3
1,1
5
103,0
64,2
22,3
7,7
3,3
1,9
1,3
1,1
1,0
204,6
118,8
36,7
11,2
4,3
2,2
1,4
1,1
1,0
381,9
207,8
56,9
15,7
5,5
2,6
1,6
1,2
1,1
6
101,3
66,0
23,6
8,0
3,3
1,8
1,3
1,1
1,0
206,2
124,5
39,2
11,6
4,3
2,2
1,4
1,1
1,0
373,0
217,4
60,6
16,2
5,5
2,5
1,6
1,2
1,1
8
99,8
70,4
25,9
8,5
3,4
1,9
1,3
1,1
1,0
200,0
130,3
43,4
12,3
4,5
2,2
1,4
1,1
1,0
409,2
236,7
67,3
17,2
5,6
2,5
1,5
1,2
1,0
10
100,9
73,4
28,0
9,0
3,6
1,9
1,3
1,1
1,0
207,3
142,6
47,8
13,0
4,6
2,2
1,4
1,1
1,0
386,5
260,6
76,1
18,2
5,8
2,6
1,5
1,2
1,0
12
102,2
74,9
30,3
9,6
3,7
1,9
1,3
1,1
1,0
201,5
147,3
51,6
13,8
4,7
2,2
1,4
1,1
1,0
395,1
270,7
78,6
19,3
6,0
2,6
1,5
1,2
1,0
15
101,1
79,8
33,1
10,3
3,9
2,0
1,3
1,1
1,0
202,8
153,7
55,1
14,9
5,0
2,3
1,4
1,1
1,0
367,8
273,5
87,6
21,0
6,3
2,7
1,6
1,2
1,0
18
101,3
81,4
35,3
11,0
4,0
2,0
1,3
1,1
1,0
206,7
153,8
59,6
15,9
5,2
2,4
1,5
1,1
1,0
389,3
292,5
96,5
22,7
6,6
2,7
1,6
1,2
1,0
20
100,5
81,8
36,9
11,3
4,1
2,0
1,3
1,1
1,0
207,0
161,0
61,8
16,5
5,3
2,4
1,5
1,1
1,0
384,6
293,0
99,3
23,3
6,8
2,8
1,6
1,2
1,0
24
100,7
84,4
39,1
12,1
4,3
2,1
1,4
1,1
1,0
204,3
166,8
67,1
17,7
5,6
2,5
1,5
1,1
1,0
375,6
296,8
107,7
25,0
7,1
2,9
1,6
1,2
1,0
NMAo=370,38
NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R
Delta Delta Delta
NMAo = 100
NMAo = 200
NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base
Delta Delta Delta
NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
117
Tabela 12.2 - Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em Relação ao Nível-Base e Gráfico de R
t
de M&R (n = 3)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
100,3
39,3
11,3
4,4
2,2
1,5
1,2
1,0
1,0
202,3
69,4
17,6
6,0
2,8
1,7
1,2
1,1
1,0
370,4
117,3
26,7
8,2
3,5
1,9
1,3
1,1
1,0
3
100,6
43,3
12,2
4,4
2,1
1,4
1,1
1,0
1,0
203,3
77,3
19,1
6,0
2,6
1,6
1,2
1,0
1,0
374,7
132,1
29,0
8,2
3,3
1,8
1,3
1,1
1,0
5
101,3
50,5
14,2
4,7
2,2
1,4
1,1
1,0
1,0
201,8
91,5
22,4
6,6
2,7
1,5
1,2
1,0
1,0
382,8
160,2
34,5
9,0
3,3
1,7
1,2
1,1
1,0
6
101,0
52,9
15,0
4,9
2,2
1,4
1,1
1,0
1,0
200,5
98,3
24,1
6,8
2,7
1,5
1,2
1,0
1,0
353,2
163,6
36,7
9,4
3,4
1,7
1,2
1,1
1,0
8
99,6
56,7
16,7
5,2
2,3
1,4
1,1
1,0
1,0
204,9
108,1
27,0
7,4
2,8
1,6
1,2
1,0
1,0
373,0
188,7
42,0
10,1
3,5
1,8
1,2
1,1
1,0
10 101,5 61,2 18,2 5,5 2,3 1,4 1,1 1,0 1,0 199,8 113,3 29,4 7,8 2,9 1,6 1,2 1,0 1,0 378,3 201,5 45,6 10,7 3,6 1,8 1,2 1,1 1,0
12
98,6
63,3
19,2
5,8
2,4
1,4
1,1
1,0
1,0
207,5
120,8
31,2
8,2
3,0
1,6
1,2
1,0
1,0
399,0
217,4
49,9
11,3
3,7
1,8
1,2
1,1
1,0
15 100,4 67,7 21,2 6,2 2,5 1,4 1,1 1,0 1,0 196,1 124,8 34,2 8,8 3,1 1,6 1,2 1,0 1,0 376,5 226,6 54,5 12,2 3,9 1,9 1,2 1,1 1,0
18
100,6
69,3
22,6
6,5
2,6
1,5
1,1
1,0
1,0
201,5
130,3
37,0
9,3
3,2
1,7
1,2
1,0
1,0
346,3
227,0
57,0
12,8
4,0
1,9
1,2
1,1
1,0
20
99,8
71,4
23,6
6,7
2,6
1,5
1,1
1,0
1,0
199,3
137,5
39,1
9,6
3,3
1,7
1,2
1,0
1,0
392,2
240,6
61,1
13,4
4,1
1,9
1,3
1,1
1,0
24
101,8
73,8
25,4
7,1
2,7
1,5
1,1
1,0
1,0
205,9
142,9
41,9
10,2
3,4
1,7
1,2
1,0
1,0
387,4
257,2
66,3
14,3
4,3
1,9
1,3
1,1
1,0
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
99,9
39,2
11,3
4,3
2,2
1,5
1,2
1,0
1,0
202,3
69,4
17,6
6,0
2,8
1,7
1,2
1,1
1,0
362,0
115,4
26,4
8,2
3,4
1,9
1,3
1,1
1,0
3
100,1
43,8
12,1
4,2
2,1
1,3
1,1
1,0
1,0
204,1
78,3
18,8
5,8
2,5
1,5
1,1
1,0
1,0
382,8
129,6
28,2
7,8
3,0
1,7
1,2
1,1
1,0
5
103,0
51,5
13,6
4,3
1,9
1,3
1,1
1,0
1,0
204,6
94,5
21,1
5,7
2,3
1,4
1,1
1,0
1,0
381,9
160,6
31,1
7,5
2,8
1,5
1,1
1,0
1,0
6
101,3
54,1
14,3
4,3
1,9
1,3
1,1
1,0
1,0
206,2
98,9
22,1
5,8
2,3
1,4
1,1
1,0
1,0
373,0
173,2
33,0
7,6
2,7
1,5
1,1
1,0
1,0
8
99,8
58,8
15,5
4,5
1,9
1,3
1,1
1,0
1,0
200,0
107,2
24,2
6,0
2,3
1,4
1,1
1,0
1,0
409,2
191,4
35,7
7,8
2,7
1,5
1,1
1,0
1,0
10 100,9 62,4 16,7 4,7 2,0 1,3 1,1 1,0 1,0 207,3 119,3 26,4 6,2 2,3 1,4 1,1 1,0 1,0 386,5 203,3 39,7 8,2 2,8 1,5 1,1 1,0 1,0
12
102,2
64,8
17,8
4,8
2,0
1,3
1,1
1,0
1,0
201,5
123,8
27,9
6,5
2,4
1,4
1,1
1,0
1,0
395,1
218,9
41,7
8,5
2,8
1,5
1,1
1,0
1,0
15 101,1 69,4 19,3 5,1 2,1 1,3 1,1 1,0 1,0 202,8 130,4 30,6 6,9 2,4 1,4 1,1 1,0 1,0 367,8 221,9 45,2 9,0 2,9 1,5 1,1 1,0 1,0
18
101,3
71,7
20,7
5,4
2,1
1,3
1,1
1,0
1,0
206,7
133,7
32,6
7,2
2,5
1,4
1,1
1,0
1,0
389,3
248,8
50,4
9,5
3,0
1,5
1,1
1,0
1,0
20
100,5
71,8
21,5
5,6
2,2
1,3
1,1
1,0
1,0
207,0
139,0
34,5
7,5
2,6
1,4
1,1
1,0
1,0
384,6
245,8
51,5
9,8
3,0
1,5
1,1
1,0
1,0
24
100,7
75,7
23,2
5,8
2,2
1,3
1,1
1,0
1,0
204,3
149,1
37,0
7,9
2,6
1,4
1,1
1,0
1,0
375,6
258,1
55,9
10,4
3,1
1,5
1,1
1,0
1,0
NMAo = 100
NMAo = 200
NMAo=370,38
NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R
Delta Delta Delta
NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base
Delta Delta Delta
117
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
118
Tabela 12.3 - Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em Relação ao Nível-Base e Gráfico de R
t
de M&R (n = 4)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
100,3
31,9
8,2
3,1
1,7
1,2
1,1
1,0
1,0
202,3
55,2
12,2
4,1
2,0
1,3
1,1
1,0
1,0
370,4
92,6
17,9
5,3
2,3
1,4
1,1
1,0
1,0
3
100,6
35,6
8,6
3,0
1,6
1,2
1,0
1,0
1,0
203,3
61,8
12,9
4,0
1,9
1,2
1,1
1,0
1,0
374,7
104,0
19,0
5,2
2,2
1,3
1,1
1,0
1,0
5
101,3
41,8
9,8
3,1
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
201,8
74,9
14,9
4,2
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
382,8
126,3
21,9
5,4
2,1
1,3
1,1
1,0
1,0
6
101,0
44,3
10,3
3,2
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
200,5
79,6
15,8
4,3
1,9
1,2
1,0
1,0
1,0
353,2
133,8
23,2
5,6
2,2
1,3
1,1
1,0
1,0
8
99,6
48,0
11,3
3,4
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
204,9
89,0
17,5
4,5
1,9
1,2
1,0
1,0
1,0
373,0
153,6
26,1
5,9
2,2
1,3
1,1
1,0
1,0
10
101,5
52,2
12,2
3,5
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
199,8
94,7
19,0
4,7
1,9
1,2
1,0
1,0
1,0
378,3
164,6
28,3
6,2
2,2
1,3
1,1
1,0
1,0
12
98,6
54,3
13,0
3,7
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
207,5
101,2
20,2
4,9
2,0
1,2
1,0
1,0
1,0
399,0
180,4
30,6
6,5
2,3
1,3
1,1
1,0
1,0
15
100,4
58,2
14,2
3,9
1,7
1,2
1,0
1,0
1,0
196,1
108,0
22,2
5,2
2,0
1,2
1,0
1,0
1,0
376,5
187,1
33,4
6,8
2,4
1,3
1,1
1,0
1,0
18
100,6
61,0
15,1
4,0
1,7
1,2
1,0
1,0
1,0
201,5
114,7
23,8
5,4
2,1
1,2
1,0
1,0
1,0
346,3
193,0
35,3
7,1
2,4
1,3
1,1
1,0
1,0
20
99,8
63,4
15,8
4,1
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
199,3
117,7
24,7
5,6
2,1
1,2
1,0
1,0
1,0
392,2
210,5
37,7
7,3
2,4
1,3
1,1
1,0
1,0
24
101,8
65,8
16,9
4,3
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
205,9
123,4
26,6
5,9
2,1
1,3
1,0
1,0
1,0
387,4
221,6
40,3
7,7
2,5
1,4
1,1
1,0
1,0
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
99,9
31,8
8,1
3,1
1,7
1,2
1,1
1,0
1,0
202,3
55,2
12,2
4,1
2,0
1,3
1,1
1,0
1,0
362,0
91,3
17,7
5,3
2,3
1,4
1,1
1,0
1,0
3 100,1 35,8 8,5 2,9 1,5 1,1 1,0 1,0 1,0 204,1 62,6 12,7 3,8 1,8 1,2 1,0 1,0 1,0 382,8 104,0 18,2 4,8 2,0 1,3 1,1 1,0 1,0
5
103,0
42,4
9,1
2,8
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
204,6
74,8
13,5
3,6
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
381,9
123,4
19,3
4,5
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
6 101,3 44,9 9,5 2,8 1,4 1,1 1,0 1,0 1,0 206,2 78,9 14,0 3,6 1,6 1,1 1,0 1,0 1,0 373,0 136,4 20,1 4,4 1,8 1,2 1,0 1,0 1,0
8
99,8
49,5
10,3
2,9
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
200,0
86,8
15,0
3,6
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
409,2
152,1
21,4
4,5
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
10
100,9
52,9
10,9
3,0
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
207,3
97,3
16,1
3,7
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
386,5
163,9
23,1
4,6
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
12
102,2
56,4
11,5
3,0
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
201,5
103,4
17,2
3,8
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
395,1
174,3
24,6
4,8
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
15
101,1
59,4
12,5
3,2
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
202,8
111,1
18,5
4,0
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
367,8
182,2
26,6
5,0
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
18
101,3
62,2
13,3
3,3
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
206,7
117,1
20,0
4,2
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
389,3
208,6
28,4
5,2
1,9
1,2
1,0
1,0
1,0
20
100,5
63,8
13,8
3,4
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
207,0
118,0
20,8
4,3
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
384,6
205,9
29,7
5,3
1,9
1,2
1,0
1,0
1,0
24
100,7
66,9
14,7
3,5
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
204,3
126,4
22,5
4,4
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
375,6
216,5
32,0
5,6
1,9
1,2
1,0
1,0
1,0
NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R
Delta Delta Delta
NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base
Delta Delta Delta
118
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
119
Tabela 12.4 - Comparação dos NMA
1
’s para os Gráficos da Diferença em Relação ao Nível-Base e Gráfico de R
t
de M&R (n = 5)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
100,3
26,8
6,3
2,4
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
202,3
45,5
9,1
3,0
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
370,4
74,4
12,9
3,8
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
3
100,6
29,8
6,4
2,3
1,3
1,1
1,0
1,0
1,0
203,3
51,0
9,4
2,9
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
374,7
83,5
13,4
3,6
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
5
101,3
35,2
7,2
2,3
1,3
1,1
1,0
1,0
1,0
201,8
61,5
10,6
3,0
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
382,8
103,3
15,1
3,7
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
6
101,0
37,4
7,5
2,4
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
200,5
66,5
11,2
3,0
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
353,2
108,7
16,0
3,8
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
8
99,6
40,8
8,2
2,5
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
204,9
74,8
12,2
3,1
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
373,0
124,6
17,6
3,9
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
10
101,5
44,7
8,8
2,6
1,3
1,1
1,0
1,0
1,0
199,8
78,5
13,1
3,2
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
378,3
135,7
18,9
4,1
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
12
98,6
46,8
9,3
2,6
1,3
1,1
1,0
1,0
1,0
207,5
84,5
13,9
3,3
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
399,0
146,3
20,2
4,2
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
15
100,4
50,8
10,1
2,7
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
196,1
92,4
15,1
3,5
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
376,5
159,5
22,2
4,4
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
18 100,6 53,2 10,7 2,8 1,4 1,1 1,0 1,0 1,0 201,5 98,0 16,2 3,6 1,5 1,1 1,0 1,0 1,0 346,3 164,8 23,3 4,5 1,7 1,1 1,0 1,0 1,0
20
99,8
55,1
11,1
2,9
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
199,3
101,7
16,8
3,7
1,5
1,1
1,0
1,0
1,0
392,2
179,2
24,3
4,7
1,7
1,1
1,0
1,0
1,0
24
101,8
58,3
11,8
3,0
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
205,9
108,5
18,1
3,8
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
387,4
188,7
26,3
4,9
1,8
1,1
1,0
1,0
1,0
s
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
2
99,9
26,7
6,3
2,4
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
202,3
45,4
9,1
3,0
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
362,0
73,3
12,8
3,8
1,8
1,2
1,0
1,0
1,0
3
100,1
29,8
6,3
2,2
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
204,1
51,3
9,1
2,7
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
382,8
82,7
12,8
3,4
1,6
1,1
1,0
1,0
1,0
5
103,0
35,4
6,6
2,1
1,2
1,0
1,0
1,0
1,0
204,6
61,8
9,4
2,5
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
381,9
100,9
13,0
3,0
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
6
101,3
37,5
6,8
2,1
1,2
1,0
1,0
1,0
1,0
206,2
65,1
9,7
2,5
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
373,0
108,3
13,2
3,0
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
8
99,8
41,7
7,2
2,1
1,2
1,0
1,0
1,0
1,0
200,0
72,5
10,2
2,5
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
409,2
122,4
14,0
3,0
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
10 100,9 44,6 7,6 2,2 1,2 1,0 1,0 1,0 1,0 207,3 80,0 10,8 2,6 1,3 1,0 1,0 1,0 1,0 386,5 132,9 14,8 3,1 1,4 1,1 1,0 1,0 1,0
12
102,2
48,0
8,0
2,2
1,2
1,0
1,0
1,0
1,0
201,5
85,5
11,4
2,6
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
395,1
142,1
15,7
3,1
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
15 101,1 51,1 8,6 2,3 1,2 1,0 1,0 1,0 1,0 202,8 93,4 12,3 2,7 1,3 1,0 1,0 1,0 1,0 367,8 152,1 16,9 3,2 1,4 1,1 1,0 1,0 1,0
18
101,3
54,2
9,1
2,3
1,2
1,0
1,0
1,0
1,0
206,7
98,3
13,0
2,8
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
389,3
170,0
18,1
3,3
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
20
100,5
55,7
9,4
2,4
1,2
1,0
1,0
1,0
1,0
207,0
100,8
13,5
2,8
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
384,6
167,5
18,6
3,4
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
24
100,7
58,8
10,1
2,4
1,2
1,0
1,0
1,0
1,0
204,3
108,3
14,3
2,9
1,3
1,0
1,0
1,0
1,0
375,6
181,6
20,0
3,5
1,4
1,1
1,0
1,0
1,0
NMAo = 100
NMAo = 200
NMAo=370,38
NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R NMA
1
para o Gráfico de R
t
de M&R
Delta Delta Delta
NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base NMA
1
para o Gráfico das Diferenças em Relação ao Nível-Base
Delta Delta Delta
119
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
120
13
Apêndice G – Comparação das Probabilidades de Sinal
verdadeiro, porém “incorreto”, para o Esquema de M&R
(
)RP(B ∩
) e pelo Esquema Proposto (
AB)P(O ∩∪
)
As probabilidades )RP(B ∩ e AB)P(O ∩∪ serão apresentadas a seguir
em uma mesma tabela, a fim de facilitar a comparação, para n = 2, 3, 4 e 5.
É importante lembrar, que os valores aqui apresentados são limitantes
superiores para as probabilidades em questão, sendo exatos para o caso do nível-
base estático (i.e. 0=
b
σ
).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
121
Tabela 13.1 – Probabilidade de Sinal Verdadeiro, porém “incorreto”, para o Esquema de M&R e pelo Esquema Proposto (n=2)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
0,01
0,02
0,05
0,12
0,20
0,25
0,22
0,15
0,07
0,00
0,01
0,03
0,09
0,17
0,24
0,24
0,18
0,10
0,00
0,01
0,02
0,06
0,13
0,21
0,25
0,21
0,13
3
0,01
0,02
0,04
0,08
0,12
0,15
0,13
0,09
0,04
0,01
0,01
0,02
0,05
0,09
0,13
0,14
0,10
0,06
0,00
0,00
0,01
0,04
0,07
0,11
0,14
0,12
0,07
5
0,01
0,01
0,03
0,05
0,07
0,08
0,07
0,05
0,02
0,01
0,01
0,01
0,03
0,05
0,07
0,07
0,05
0,03
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,05
0,06
0,05
0,03
6 0,01 0,01 0,02 0,04 0,06 0,07 0,06 0,04 0,02 0,01 0,01 0,01 0,02 0,04 0,05 0,05 0,04 0,02 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,04 0,02
8
0,01
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,04
0,03
0,01
0,00
0,01
0,01
0,02
0,03
0,04
0,04
0,03
0,01
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,03
0,03
0,03
0,02
10
0,01
0,01
0,02
0,03
0,04
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,02
0,01
12
0,01
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,03
0,02
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,01
15
0,01
0,01
0,01
0,02
0,03
0,03
0,02
0,01
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
18
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,02
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
20
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
24
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
0,01
0,02
0,05
0,12
0,20
0,25
0,22
0,15
0,07
0,00
0,01
0,03
0,09
0,17
0,24
0,24
0,18
0,10
0,00
0,01
0,02
0,06
0,13
0,21
0,25
0,21
0,13
3
0,02
0,02
0,05
0,10
0,14
0,17
0,14
0,08
0,03
0,01
0,01
0,03
0,06
0,11
0,15
0,14
0,10
0,05
0,00
0,01
0,02
0,04
0,08
0,12
0,14
0,11
0,06
5
0,02
0,02
0,04
0,06
0,08
0,08
0,06
0,03
0,01
0,01
0,01
0,02
0,04
0,06
0,07
0,06
0,04
0,02
0,00
0,01
0,01
0,02
0,04
0,05
0,05
0,04
0,02
6
0,02
0,02
0,03
0,05
0,07
0,07
0,05
0,03
0,01
0,01
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,04
0,03
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,03
0,04
0,04
0,03
0,01
8
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,05
0,04
0,02
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,03
0,03
0,02
0,01
10
0,02
0,02
0,03
0,04
0,04
0,04
0,03
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,03
0,03
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,01
0,01
12
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,00
15 0,02 0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,02 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00
18
0,02
0,02
0,02
0,03
0,03
0,03
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,01
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
20
0,02
0,02
0,02
0,03
0,03
0,02
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,01
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
24
0,02
0,02
0,02
0,03
0,03
0,02
0,02
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,01
0,01
0,01
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
Delta Delta Delta
NMAo = 100 NMAo = 200 NMAo=370,38
ESQUEMA DO RANGE, DE M&R (n=2)
ESQUEMA DAS DIFERENÇAS (n=2)
Delta Delta Delta
121
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
122
Tabela 13.2 - Probabilidade de Sinal Verdadeiro, porém “incorreto”, para o Esquema de M&R e pelo Esquema Proposto (n=3)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
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0,08
0,18
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0,00
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3
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0,00
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0,14
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0,00
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0,00
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8
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0,00
0,00
0,01
0,01
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0,00
0,00
0,00
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0,00
10
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0,03
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0,00
0,00
0,00
0,01
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0,00
0,00
0,01
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12
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0,03
0,03
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0,00
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18
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0,00
s
0
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0
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0
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2
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8
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0,00
0,01
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0,00
0,00
0,01
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0,00
0,00
10
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0,04
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0,00
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0,00
12
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18
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20
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0,00
0,00
NMAo=370,38
ESQUEMA DO RANGE, DE M&R (n=3)
ESQUEMA DAS DIFERENÇAS (n=3)
Delta Delta Delta
Delta Delta Delta
NMAo = 100 NMAo = 200
122
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
123
Tabela 13.3 - Probabilidade de Sinal Verdadeiro, porém “incorreto”, para o Esquema de M&R e pelo Esquema Proposto (n=4)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
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0
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0,00
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5
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0,00
0,01
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10
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0,04
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0,00
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0,00
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0,00
0,00
s
0
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2,5
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3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
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5
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0,00
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8
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0,00
0,00
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0,00
0,00
0,00
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12
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0,00
0,00
0,00
0,01
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0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
15
0,02
0,02
0,03
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
18
0,02
0,02
0,03
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
20
0,02
0,02
0,03
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
24
0,02
0,02
0,03
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
NMAo = 100 NMAo = 200 NMAo=370,38
NMA1 para o Gráfico do Range NMA1 para o Gráfico do Range NMA1 para o Gráfico do Range
Delta Delta Delta
ESQUEMA DAS DIFERENÇAS (n=4)
Delta Delta Delta
ESQUEMA DO RANGE, DE M&R (n=4)
123
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
124
Tabela 13.4 - Probabilidade de Sinal Verdadeiro, porém “incorreto”, para o Esquema de M&R e pelo Esquema Proposto (n=5)
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
0,01
0,04
0,13
0,24
0,20
0,08
0,01
0,00
0,00
0,00
0,02
0,10
0,22
0,23
0,11
0,03
0,00
0,00
0,00
0,01
0,07
0,20
0,25
0,14
0,04
0,01
0,00
3
0,01
0,03
0,08
0,15
0,12
0,04
0,01
0,00
0,00
0,01
0,02
0,06
0,13
0,13
0,06
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,04
0,10
0,13
0,08
0,02
0,00
0,00
5
0,01
0,02
0,05
0,08
0,07
0,02
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,03
0,06
0,06
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,05
0,06
0,03
0,01
0,00
0,00
6
0,01
0,02
0,04
0,07
0,05
0,02
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,03
0,05
0,05
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,05
0,03
0,01
0,00
0,00
8 0,01 0,02 0,03 0,05 0,04 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,04 0,03 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,03 0,02 0,00 0,00 0,00
10
0,01
0,01
0,03
0,04
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,03
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
12 0,01 0,01 0,02 0,03 0,03 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00
15
0,01
0,01
0,02
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
18 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00
20
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
24
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2
0,01
0,04
0,13
0,24
0,20
0,08
0,01
0,00
0,00
0,00
0,02
0,10
0,22
0,23
0,11
0,03
0,00
0,00
0,00
0,01
0,07
0,19
0,25
0,14
0,04
0,01
0,00
3
0,02
0,04
0,10
0,17
0,12
0,04
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,07
0,14
0,13
0,05
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,05
0,11
0,13
0,06
0,01
0,00
0,00
5
0,02
0,03
0,06
0,09
0,05
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,06
0,05
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,05
0,05
0,02
0,00
0,00
0,00
6 0,02 0,03 0,05 0,07 0,04 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,05 0,04 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,04 0,04 0,01 0,00 0,00 0,00
8
0,02
0,03
0,04
0,05
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,03
0,04
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,03
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
10 0,02 0,02 0,04 0,04 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,03 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00
12
0,02
0,02
0,03
0,04
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
15
0,02
0,02
0,03
0,03
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
18
0,02
0,02
0,03
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
20
0,02
0,02
0,03
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
24
0,02
0,02
0,02
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
NMAo=370,38
ESQUEMA DAS DIFERENÇAS DE (n=5)
Delta Delta Delta
Probabilidade de Qualquer Canal Sinalizar, Exeto o Canal Afetado - Esquema das Diferenças (n=5)
NMA1 para o Gráfico do Range NMA1 para o Gráfico do Range NMA1 para o Gráfico do Range
Delta Delta Delta
NMAo = 100 NMAo = 200
124
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0611762/CA
