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NEIDE DA FONSECA PARRACHO SANT’ANNA
PRÁTICAS PEDAGÓGICAS PARA O ENSINO DE FRAÇÕES
OBJETIVANDO A INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
Tese de Doutorado
Tese apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-
Graduação em Educação da PUC-Rio.
Orientador: Gilda de La Rocque Palis
Co-orientador: Maria Apparecida Campos Mamede Neves
Volume I
Rio de Janeiro
Maio de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
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Neide da Fonseca Parracho Sant’Anna
Práticas Pedagógicas para o ensino de Frações
Objetivando a Introdução à Álgebra
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção
do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em
Educação da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão
Examinadora abaixo assinada.
Profª. Gilda de La Rocque Palis
Orientadora
PUC-Rio
Profª. Maria Apparecida Campos Mamede Neves
Co-orientadora
PUC–Rio
Prof. Celso Braga Wilmer
PUC-Rio
Profª. Elizabeth Belfort da Silva Moren
UFRJ
Profª. Lílian Nasser
UFRJ
Profº Paulo Fernando Carneiro de Andrade
Coordenador (a) Setorial do Centro de Teologia e Ciências Humanas -
PUC - Rio
Rio de Janeiro, 16 de maio de 2008.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
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Todos os direitos reservados. É proibida a
reprodução total ou parcial do trabalho sem
autorização da universidade, da autora e do
orientador.
Neide da Fonseca Parracho Sant’Anna
Graduou-se em Matemática na UFRJ. Ingressou
no curso de pós-graduação em Matemática na
PUC-Rio, obtendo o título de mestre em 2001.
Tem experiência na docência de Matemática no
ensino básico e no ensino superior. Participa de
Projeto de Pesquisa em Educação Matemática,
bem como possui trabalhos publicados nesta área.
Ficha catalográfica
CDD: 370
Sant’Anna, Neide da Fonseca Parracho
Práticas pedagógicas para o ensino de
frações objetivando a introdução à álgebra /
Neide da Fonseca Parracho Sant’Anna ;
orientadoras: Gilda de La Rocque Palis e
Maria Apparecida Campos Mamede Neves. –
2008.
328 f. : il. ; 30 cm
Tese (Doutorado em Educação)–
Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.
Inclui bibliografia
1. Educação – Teses. 2. Ensino de
álgebra. 3. Pré-álgebra. 4. Educação básica. I.
Palis, Gilda de La Rocque. II. Neves, Maria
Apparecida Campos Mamede. III. Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Educação. IV. Título.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
À minha família, Annibal, João Paulo, Leonardo Augusto e Ana
Luiza, Julia e Lucas, esposo, filhos, nora e netos, pelo apoio incondicional em
todos os momentos.
Ao meu pai Luiz e à minha mãe Dalva em memória.
À minha irmã Wanda, pela ajuda silenciosa, em tantos momentos
com quem venho compartilhando as etapas vencidas e à amiga Maria Ciema,
pelas sábias palavras de conforto e estímulo.
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Ao meu Deus, autor e consumador da minha vitória e que me
ensinou, passo a passo:
A considerar atentamente na lei perfeita, lei da liberdade e nela
perseverar, não sendo ouvinte negligente, mas operosa praticante, tornando-
me bem-aventurada no que realizo.
(Tiago 1:25)
Obrigada meu Deus.
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Agradecimentos
À querida amiga e orientadora Professora-doutora Maria Apparecida C. Mamede
Neve, sempre presente e atenta em todos os momentos, principalmente nos mais
difíceis dessa caminhada.
À amiga e orientadora Professora-doutora Gilda de La Roque Palis, fornecendo
subsídios sem os quais não teríamos chegado às conclusões tão almejadas.
À Professora-doutora Elizabeth Belfort da S. Moren pelo incentivo e sugestões.
À amiga Professora-doutora Lilian Nasser pela orientação, carinho, atenção, apoio
e confiança ao longo desse percurso.
Ao Professor-doutor Celso B. Wilmer pelo apoio e confiança.
Ao Professor-doutor João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho pela
compreensão inestimável.
À amiga Professora-doutora Flavia Soares, sempre pronta a dar seu valioso e
escasso tempo para colaborar diante das dificuldades advindas nesta caminhada.
À amiga Professora e mestre Mercedes Mercy, pela ajuda e confiança desde o
início desse curso.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
Aos integrantes do Projeto Fundão - UFRJ, em particular a querida Professora
Emérita do Instituto de Matemática, Maria Laura Mouzinho Leite Lopes pelo
carinho e constante incentivo.
À amiga Professora Vera Maria Ferreira Rodrigues, Secretária de Ensino, hoje
Diretora Geral do Colégio Pedro II, sempre presente e atenta às dificuldades
características de uma Intuição de Ensino do porte do Colégio Pedro II.
À direção da Unidade Escolar Centro, Prof. Flavio de Oliveira Norte, a equipe de
Matemática, em particular à Professora Ana Lúcia, Professora Ana Patrícia e ao
Professor Francisco Roberto durante todo processo.
A toda equipe da Secretaria da Unidade Escolar Centro, pela constante presteza
em fornecer dados necessários ao desenvolvimento da pesquisa.
A equipe do Setor de Supervisão e Orientação Pedagógica – SESOP, pela ajuda
inestimável junto aos alunos e pais ao longo deste trabalho.
Ao Professor Geraldo Pinto Vieira, Chefe do Departamento de História do
Colégio Pedro II, no período de 1985 a 1990, que com sua incansável dedicação
possibilitou-me ter ao alcance um material de difícil acervo.
À Professora-doutora Vera Lucia Cabana Q. Andrade Coordenadora do Núcleo de
Documentação e Memória - NUDOM do Colégio Pedro II e, em particular, a
Bibliotecária Elizabeth Monteiro da Silva.
A todos que contribuíram direta e indiretamente na realização desse trabalho....
........ muito obrigada.
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Resumo
Sant`Anna, Neide da Fonseca Parracho; Palis, Gilda de La Rocque .
Práticas Pedagógicas para o ensino de Frações objetivando a
introdução à Álgebra. Rio de Janeiro, 2008. 328p. Tese de Doutorado -
Departamento de Educação, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro.
A idéia central desta tese foi trabalhar o conceito de fração, identificando a
fração como número e representando esse número na reta numérica, tendo como
base as recomendações e experiências realizadas por Kathleen Hart, e
principalmente Hung-Hsi Wu. Um conjunto de atividades foi desenvolvido,
constituindo uma proposta de ensino de frações, posta em prática em turmas do
sétimo ano e oitavo ano do Colégio Pedro II durante os anos letivos de 2006 e
2007. Parte substancial da tese é dedicada à descrição dos procedimentos
metodológicos desenvolvidos para a aplicação dos princípios teóricos defendidos
e de aspectos da implementação desses procedimentos em sala de aula. Grande
número de exemplos das atividades realizadas é apresentado, dando-se destaque
às resposta dos alunos às mesmas. O acompanhamento da evolução dos alunos é
amplamente documentado. Os resultados são avaliados tanto do ponto do vista
global quanto do ponto de vista de grupos diferenciados de alunos em diferentes
níveis de qualificação prévia. O encaminhar de todo o trabalho investigativo leva
a duas conclusões essenciais: a familiarização com o campo algébrico é alcançada
com mais facilidade quando o conceito de fração é trabalhado na forma proposta;
o envolvimento com as atividades e a compreensão pelos alunos da construção
que estavam realizando em relação aos conceitos propostos devolvem o interesse
das crianças pela aprendizagem da Matemática, fundamental para o êxito de
qualquer proposta pedagógica.
Palavras-chave
Ensino de Frações; Pré-álgebra; Educação Básica.
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Abstract
Sant´Anna, Neide da Fonseca Parracho; Palis, Gilda de La Rocque.
“Pedagogical practices for teaching fractions aiming at the introduction
to algebra”. Rio de Janeiro, 2008. 328 p. Tese de Doutorado -
Departamento de Educação, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro.
The main idea of this thesis was to work on the concept of fraction,
identifying the fraction as a number and representing it in the line, taking as basis
the recommendations and experiments of Kathleen Hart, and, mainly Hung-Hsi
Wu. A set of activities was developed, generating a proposal for teaching
fractions, led to practice in classes of students of 7
th
and 8
th
grade of Colegio
Pedro II during the school years of 2006 and 2007. A substantial part of the thesis
is devoted to the description of the methodological procedures developed for the
implementation of the theoretical principles defended and of aspects of the
implementation of these procedures in the classroom. Large number of examples
is given of the activities performed, emphasis being given to the response of the
students. The monitoring of the progress of the students is widely documented.
The results are evaluated from the global point of view and considering distinct
groups of students at different levels of prior qualification. The development of all
the research work led essentially to two conclusions: the familiarization with the
algebraic field is more easily reached when the concept of fraction is dealt in the
proposed way; the involvement of the students with the activities and their
understanding of the construction that they were doing with the concepts proposed
returned them the interest for learning mathematics, the key to the success of any
educational proposal.
Keywords
Fractions Teaching; Pre-algebra; Basic Education
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Sumário
1Introdução..................................................................................................19
2 Fundamentos Teóricos.............................................................................25
2.1. Introdução.............................................................................................25
2.2. Dificuldades na Aprendizagem de Frações ........................................27
2.2.1.No Brasil.............................................................................................27
2.2.2 No Exterior..........................................................................................33
2.2.2.1 Os Resultados sobre Frações no Programa CSMS .......................35
2.3. Proposta de Wu....................................................................................37
2.4. Álgebra.................................................................................................40
2.5. Conclusão.............................................................................................47
3 Caminhos metodológicos.........................................................................49
3.1. A Instituiçao..........................................................................................51
3.1.1 Grupo Estudado ................................................................................54
3.2 Instrumento para comparação: sobre o começar e o terminar.............55
3.2.1 Origem - época do instrumento: a que ele se propõe .......................55
3.2.2 Retomada da Avaliação em 2007......................................................57
3.3 Instrumentos de coleta de dados da proposta......................................57
3.4 Procedimentos da realização da proposta............................................58
3.5 Registro do Professor............................................................................58
4 Procedimentos Didáticos Implementados e seua evolução.....................59
5.Análise comparativa dos Testes Diagnósticos: principais
constatações sobre o desempenho...........................................................93
5.1 Análise da Primeira Questão.................................................................93
5.2 Análise da Segund
a Questão..............................................................100
5.2 Análise da Terceira Questão...............................................................104
5.4 Análise da Quarta Questão ................................................................108
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5.5 Análise da Quinta Questão..................................................................109
5.6 Análise da Sexta Questão...................................................................114
6 Análise e Resultados do Experimento em 2006....................................120
6.1 Primeiro trimestre ...............................................................................120
6.2 Segundo trimestre ..............................................................................144
6.3 Terceiro trimestre................................................................................150
7 Análise da proposta pelos resultados em 2007 ....................................177
8 Avaliação Global....................................................................................209
8.1 Análise da Evolução do Desempenho do aluno..................................209
9 Conclusões e Recomedações................................................................222
9.1 Recomendações para Projetos Futuros..............................................224
9.2 A Implementação e a Prática........................................................... ..226
10 Referências..........................................................................................229
Anexos......................................................................................................235
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Lista de figuras
Figura 5.1..................................................................................................95
Figura 5.2..................................................................................................95
Figura 5.3..................................................................................................96
Figura 5.4..................................................................................................96
Figura 5.5..................................................................................................96
Figura 5.6..................................................................................................97
Figura 5.7..................................................................................................97
Figura 5.8..................................................................................................98
Figura 5.9..................................................................................................98
Figura 5.10................................................................................................99
Figura 5.11................................................................................................99
Figura 5.12..............................................................................................100
Figura 5.13..............................................................................................102
Figura 5.14..............................................................................................102
Figura 5.15..............................................................................................103
Figura 5.16..............................................................................................103
Figura 5.17..............................................................................................104
Figura 5.18..............................................................................................104
Figura 5.19..............................................................................................105
Figura 5.20..............................................................................................106
Figura 5.21..............................................................................................106
Figura 5.22..............................................................................................107
Figura 5.23..............................................................................................107
Figura 5.24..............................................................................................108
Figura 5.25..............................................................................................111
Figura 5.26..............................................................................................111
Figura 5.27..............................................................................................112
Figura 5.28..............................................................................................112
Figura 5.29..............................................................................................113
Figura 5.30..............................................................................................113
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Figura 5.31..............................................................................................116
Figura 5.32..............................................................................................117
Figura 5.33..............................................................................................118
Figura 5.34..............................................................................................119
Figura 6.35..............................................................................................121
Figura 6.36..............................................................................................122
Figura 6.37..............................................................................................122
Figura 6.38..............................................................................................123
Figura 6.39..............................................................................................124
Figura 6.40..............................................................................................125
Figura 6.41..............................................................................................125
Figura 6.42..............................................................................................126
Figura 6.43..............................................................................................127
Figura 6.44..............................................................................................128
Figura 6.45..............................................................................................130
Figura 6.46..............................................................................................131
Figura 6.47..............................................................................................132
Figura 6.48..............................................................................................134
Figura 6.49..............................................................................................135
Figura 6.50..............................................................................................136
Figura 6.51..............................................................................................137
Figura 6.52..............................................................................................137
Figura 6.53..............................................................................................138
Figura 6.54..............................................................................................139
Figura 6.55..............................................................................................140
Figura 6.56..............................................................................................141
Figura 6.57..............................................................................................142
Figura 6.58..............................................................................................143
Figura 6.59..............................................................................................143
Figura 6.60..............................................................................................146
Figura 6.61..............................................................................................147
Figura 6.62..............................................................................................148
Figura 6.63..............................................................................................148
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Figura 6.64..............................................................................................149
Figura 6.65..............................................................................................150
Figura 6.66..............................................................................................151
Figura 6.67..............................................................................................152
Figura 6.68..............................................................................................153
Figura 6.69..............................................................................................154
Figura 6.70..............................................................................................154
Figura 6.71..............................................................................................155
Figura 6.72..............................................................................................156
Figura 6.73..............................................................................................156
Figura 6.74..............................................................................................157
Figura 6.75..............................................................................................158
Figura 6.76..............................................................................................159
Figura 6.77..............................................................................................160
Figura 6.78..............................................................................................162
Figura 6.79..............................................................................................162
Figura 6.80..............................................................................................163
Figura 6.81..............................................................................................164
Figura 6.82..............................................................................................165
Figura 6.83..............................................................................................165
Figura 6.84..............................................................................................166
Figura 6.85..............................................................................................167
Figura 6.86..............................................................................................167
Figura 6.87..............................................................................................168
Figura 6.88..............................................................................................168
Figura 6.89..............................................................................................169
Figura 6.90..............................................................................................170
Figura 6.91..............................................................................................170
Figura 6.92..............................................................................................171
Figura 6.93..............................................................................................172
Figura 6.94..............................................................................................172
Figura 6.95..............................................................................................173
Figura 6.96..............................................................................................174
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Figura 6.97..............................................................................................175
Figura 6.98..............................................................................................176
Figura 7.99..............................................................................................179
Figura 7.100............................................................................................180
Figura 7.101............................................................................................180
Figura 7.102............................................................................................181
Figura 7.103............................................................................................183
Figura 7.104............................................................................................184
Figura 7.105............................................................................................185
Figura 7.106............................................................................................185
Figura 7.107............................................................................................186
Figura 7.108............................................................................................186
Figura 7.109............................................................................................187
Figura 7.110............................................................................................188
Figura 7.111............................................................................................188
Figura 7.112............................................................................................191
Figura 7.113............................................................................................193
Figura 7.114............................................................................................194
Figura 7.115............................................................................................194
Figura 7.116............................................................................................195
Figura 7.117............................................................................................196
Figura 7.118............................................................................................196
Figura 7.119............................................................................................197
Figura 7.120............................................................................................197
Figura 7.121............................................................................................198
Figura 7.122............................................................................................199
Figura 7.123............................................................................................200
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Lista de quadros e gráficos
Quadro 3.1: Modificações das questões do 1º e 2º teste diagnóstico.....56
Quadro 4.1:Conteúdos programáticos da 6ª série (turma 604)
da Unidade Escolar Centro.......................................................................59
Quadro 4.2: Conteúdos programáticos da 6ª série da Unidade
Escolar Centro (demais turmas)...............................................................60
Quadro 4.3: Conteúdos programáticos da 8º ano da Unidade
Escolar Centro (801,803 e 805)................................................................87
Quadro 5.1:Resultados relativos à 1ª questão do teste diagnóstico.......94
Quadro 5.2:Resultados relativos à 2ª questão do teste diagnóstico.....101
Quadro 5.3:Resultados relativos à 3ª questão do teste diagnóstico.....105
Quadro 5.4:Resultados relativos à 3ª questão do teste diagnóstico
examinado a luz do erro mais frequente.................................................105
Quadro 5.5:Resultados relativos à 4ª questão do teste diagnóstico.....109
Quadro 5.6: Resultados relativos à 5ª questão do teste diagnóstico....110
Quadro 5.7:Resultados relativos à 6ª questão do teste diagnóstico.....115
Quadro 6.1:Desempenho dos alunos – 1º teste individual 12/05............120
Quadro 6.2:Desempenho dos alunos – 1ª Prova Trimestral 21/07.........133
Quadro 6.3:Desempenho dos alunos no final do 2º trimestre ................144
Quadro 6.4:Desempenho dos alunos – 2ª Prova Trimestral 22/09.........144
Quadro 6.5:Desempenho dos alunos –1º teste individual 3ºtrimestre....150
Quadro 6.6:Desempenho dos alunos – Prova Única .............................161
Quadro 7.1:Desempenho dos alunos – na 5ª questão ...........................178
Quadro 7.2:Desempenho dos alunos – na 6ª questão............................179
Quadro 7.3:Desempenho dos alunos – na 7ª e 8ª atividade...................182
Quadro 7.4:Desempenho dos alunos – na 3ª questão -7ª atividade.......184
Quadro 7.5:Desempenho dos alunos – na 2ª questão-8ªatividade.........186
Quadro 7.6:Desempenho dos alunos – na 3ª questão- 8ªatividade........187
Quadro 7.7:Desempenho dos alunos – na 4ª questão-8ª atividade........189
Quadro 7.8:Desempenho dos alunos – Prova única de 2007.................192
Quadro 7.9:Desempenho dos alunos – Prova de Avaliaçao Final..........200
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Quadro 8.1:Origem dos alunos da turma da turma 604 ........................210
Quadro 8.2:Desempemho final das turmas da 5ª série de 2005............211
Quadro 8.3:Dempenho da 1ª certificação de 2006 ...............................212
Quadro 8.4: Dempenho da 2ª certificação de 2006 ..............................213
Quadro 8.5: Dempenho da 3ª certificação de 2006...............................213
Quadro 8.6: Dempenho final da 6ª série de 2006................................214
Quadro 8.7: Médias do 1º trimestre de 2006..........................................215
Quadro 8.8: Médias do 2º trimestre de 2006 .........................................216
Quadro 8.9: Médias do 3º trimestre de 2006..........................................216
Quadro 8.10: Médias finais do ano letivo de 2006.................................217
Gráfico 8.1:Comparação entre o desempenho do 1º trimestre da
turma 803: antigos alunos da 604 x novos alunos...............................
217
Gráfico 8.2:Comparação entre o desempenho do 2º trimestre da
turma 803: antigos alunos da 604 x novos alunos..................................218
Gráfico 8.3: Comparação entre o desempenho do 3º trimestre da
turma 803: antigos alunos da 604 x novos alunos .................................219
Gráfico 8.4: Comparação entre o desempenho anual da
turma 803: antigos alunos da 604 x novos alunos .................................219
Gráfico 8.5: Comparação entre o desempenho final da
turma 803: antigos alunos da 604 x novos alunos..................................220
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Lista de anexos
Anexo 1 - 1º Teste diagnóstico............................................................... 235
Anexo 2 - 2º Teste diagnóstico................................................................242
Anexo 3 - Definição de fração segundo Wu:
Exercícios complementares................................................................... 249
Anexo 4 - 1º teste individual - 1º trimestre – 2006................................. 263
Anexo 5 - Lista de exercícios de apoio - junho – 2006.......................... 271
Anexo 6 - Lista de Exercícios - julho – 2006.......................................... 281
Anexo 7 - Prova da 1ª certificação - julho – 2006...................................289
Anexo 8 - Prova da 2ª certificação - setembro – 2006............................294
Anexo 9 - Teste individual – 3º trimestre - outubro – 2006.....................301
Anexo 10 - Prova Única - dezembro – 2006...........................................309
Anexo 11 - Prova Avaliação Final (PAF) – 2006.................................... 313
Anexo 12 - Atividades 7ª- 8ª atividades - 2007:
Reta Numérica - Expressões Algébricas 2007........................................317
Anexo 13 - Calendários Escolares - 2006 -2007.....................................322
Anexo 14 - Relação de Conteúdos - Gráficos - 2006 -2007....................325
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1
introdução
A motivação principal que nos levou a desenvolver este trabalho de
pesquisa foram as dificuldades encontradas pelos alunos em apreender os
conceitos e procedimentos algébricos. Alunos que apresentavam um bom
desempenho enquanto trabalhavam com questões no campo aritmético, quando
diante de problemas envolvendo procedimentos algébricos, não conseguiam
resolver as questões propostas. Estes mesmos alunos que, havia tão pouco tempo,
resolviam com facilidade problemas aparentemente tão similares no campo
aritmético, tropeçavam e não conseguiam ir adiante.
A partir destas constatações levantamos algumas questões que pudessem
nortear nossa pesquisa:
• Onde se encontra a dificuldade em passar do campo aritmético para
o campo algébrico?
• Que erros se repetem em diferentes séries e em diferentes países?
• Que conteúdos propiciam essa passagem?
• Qual o momento mais propício para explorar esta passagem?
Procurando respostas para estas questões, passamos a pesquisar a literatura
que pudesse nos ajudar. Desta forma chegamos aos principais autores que
fundamentaram este trabalho, especialmente Hung Hsi Wu, do Departamento de
Matemática da Universidade de Berkeley.
Das pesquisas de Wu, extraímos as idéias de trabalhar o conceito de fração
como medida de segmento de reta e empregar o estudo de frações como uma
rampa que leva o estudante suavemente da aritmética para a álgebra. Segundo WU
(2000), quando a abordagem de frações é defeituosa, a rampa desmorona, e os
estudantes precisam escalar a parede da álgebra não com uma inclinação suave,
mas como um ângulo reto.
Wu, durante muitos anos, vem propondo uma nova visão para o ensino de
Matemática escolar, em que o ensino de frações tem importância fundamental.
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1
Introdução
20
Sua proposta inclui a idéia básica de trabalhar o conceito de fração como medida
de comprimento de segmento de reta. Wu pensa que a reta numérica pode ser
aproveitada de tal maneira a levar o aluno a realizar um melhor aprendizado
posterior na Álgebra. A expectativa é que, ao ser introduzido no campo algébrico,
utilizando o ensino de frações, no 7º ano, o aluno consiga desenvolver a abstração
a ponto de conseguir superar as dificuldades que, de um modo geral, atingem os
alunos nessa etapa do processo de aprendizagem.
Segundo Wu, um dos primeiros momentos onde o aluno realmente tem
condições de compreender a computação de frações, geralmente na 5ª série e 6ª
série
1
, seria o momento adequado no currículo escolar para começar a enfatizar o
componente abstrato matemático. Desta maneira se está dando ao aluno uma
vantagem na etapa correspondente à introdução à álgebra. Ainda segundo este
autor, a capacidade de se abstrair, essencial na Álgebra, deve começar a ser
desenvolvida tão cedo quanto possível ao longo do currículo escolar, onde o
ensino de frações constitui oportunidade especialmente adequada para esse fim,
por meio de atividades que permitam realizar esta transição de maneira suave
(WU, 2002).
Para poder avaliar essas premissas de Wu, tomamos como caminho de
desenvolvimento da pesquisa uma estratégia de ensino, levada à prática na sala de
aula partindo de sua proposta.
Esta estratégia de ensino tem dois componentes principais:
1º) Introduzir o conceito de fração como medida de
comprimento de segmento de reta, visando a conduzir o aluno à
compreensão da fração como número.
(2º) Introduzir o aluno no campo algébrico, utilizando o
ensino de frações, levando-o a superar as dificuldades com a
linguagem simbólica e a abstração que, de um modo geral, o
atingem nesta etapa de aprendizagem.
Assim o trabalho em que está ancorada esta tese se desenvolve em torno de
uma hipótese básica, fundamentada principalmente no trabalho de Wu:
1
As séries 5ª e 6ª do Ensino Fundamental passaram a ser denominadas de 6º ano e 7º ano do
Ensino Fundamental, respectivamente, segundo nova nomenclatura do MEC 2006/2007.
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Introdução
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“A criança, se consegue apreender o conceito de fração
como número usando a reta numérica e trabalhando com
padrões numéricos e generalizações, então consegue dar o
salto para a representação simbólica, chegando à abstração e
iniciando-se no campo algébrico com mais facilidade”.
Dentro desta visão estabelecemos os seguintes objetivos finais para a nossa
pesquisa:
• Desenvolver atividades para levar o aluno a reconhecer fração
como número, usando como modelo a representação na reta
numérica;
• Empregar fração como conteúdo facilitador na passagem para
a Álgebra;
• Trabalhar padrões numéricos para atingir generalizações;
• Desenvolver uma proposta de ensino de matemática, dentro de
um conteúdo programático regular, que inclui esta abordagem
de fração.
O experimento docente se desenvolveu em duas fases no Colégio Pedro II,
Unidade Escolar Centro. A primeira etapa se realizou em 2006, em uma turma do
atual 7º ano do Ensino Fundamental, turma 604. A proposta, então implementada
e acompanhada em todo o seu processo, contemplou dois campos, o aritmético,
por meio do ensino de frações como medida de comprimento de segmento de reta,
e o algébrico, por meio de atividades que levassem os alunos a identificarem
padrões numéricos e buscarem generalizações.
Logo após esta etapa foram elaboradas atividades baseadas nos trabalhos de
Joy Darley, as quais possibilitaram avaliar se o aluno foi capaz de atingir, ou não,
as expectativas propostas. Esta segunda etapa se desenvolveu em 2007, numa
turma de 8º ano do Ensino Fundamental, turma 803, teve como principal objetivo
avaliar se o aluno foi capaz de atingir as expectativas da proposta.
As atividades desenvolvidas na turma de pesquisa, baseadas nas sugeridas
por H. WU (2002) e K. HART (1981), entre outros, em ambas as etapas,
acompanharam o conteúdo programático regular estabelecido pelo Departamento
de Matemática do Colégio, contendo algumas inversões na ordem dos tópicos
previstos para as demais turmas da série.
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Introdução
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Ao mesmo tempo em que se desenvolviam estas atividades com os alunos,
se realizava uma pesquisa exploratória que acompanhou todo o processo
realizado. Neste contexto, a pesquisa objetivou planejar, implementar, registrar e
analisar criticamente o que consideramos uma nova abordagem para o ensino de
frações que toma como referência a reta numérica, e cujo objetivo é permitir ao
aluno superar as dificuldades encontradas na passagem do campo aritmético para
o campo algébrico.
A pesquisa bibliográfica inicial envolveu a busca de textos, dissertações,
teses, dentro e fora do Brasil, que nos pudessem fundamentar melhor. O resultado
deste trabalho está registrado no Capítulo 2.
Após a busca pela fundamentação teórica, que pudesse reafirmar a
importância da validação da nossa hipótese para o ensino da Matemática,
procuramos explicitar a perspectiva teórica em que nos apoiamos. Para podermos
nos situar diante das dificuldades na aprendizagem de frações no Brasil,
associamos estes resultados, aos apresentados na análise do Sistema Nacional de
Avaliação da Educação Básica (SAEB), também discutidos nesse capítulo.
No capítulo 3, descrevemos os caminhos metodológicos percorridos para
colocarmos nossas premissas em prática. Neste capítulo fomos desde a descrição
da experiência em sala de aula, com a apresentação dos conteúdos empregados e
da forma de tratá-los, até a identificação do contexto no qual foi realizado e o
grupo de alunos selecionados para participar do mesmo.
O Capítulo 4 apresenta detalhadamente os procedimentos didáticos
adotados na experiência, o desenvolvimento da sua implementação e sua
evolução.
No Capítulo 5, tratamos da análise dos testes diagnósticos aplicados à
turma da pesquisa, os quais tiveram como principal objetivo avaliar o conteúdo de
fração retido pelos alunos nas séries anteriores. No 1º teste diagnóstico,
procuramos saber como o aluno se encontrava ao iniciarmos a experiência e no 2º
teste diagnóstico, realizado um ano depois, avaliamos os efeitos desse estudo.
Participaram deste 2º teste diagnóstico os alunos da antiga turma 604, como
também os que se integraram à nova turma 803, em 2007.
O Capítulo 5 inclui a análise comparativa dos testes diagnósticos e suas
principais constatações e descreve os resultados obtidos por cada aluno em cada
questão. Além disso, como mais uma fonte de contribuição ao estudo do tema,
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Introdução
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apresenta uma avaliação comparativa entre o desempenho dos novos alunos e os
antigos alunos da turma 604 na segunda fase da pesquisa.
Os testes foram elaborados tomando por base aqueles desenvolvidos por
Kathleen Hart, na Inglaterra, na década de 70 do século passado. Nesta análise,
verificamos como os erros registrados por aqueles alunos da mesma faixa etária
dos nossos, se repetem ainda hoje.
O Capítulo 6 descreve o desempenho individual dos alunos, em cada
atividade desenvolvida ao longo da experiência, disposto em correspondência com
o conteúdo proposto em cada uma das atividades dos alunos da turma da pesquisa,
turma 604 em 2006. O capítulo está dividido em seções, cada uma tratando de um
dos trimestres em que é dividido o ano letivo para fins de avaliação de
aprendizagem.
O Capítulo 7 trata da verificação, no ano seguinte, da validade do emprego
da nova proposta metodológica. Para que pudéssemos saber se, de fato, estávamos
no caminho certo, era necessário avaliar, depois de decorrido um prazo mais
longo, se tinha-se consolidado a aprendizagem de frações. Ao mesmo tempo,
visava-se avaliar até que ponto a abordagem adotada vinha facilitar, mais adiante,
a aprendizagem dos conceitos algébricos. Nesta perspectiva, descrevemos neste
capítulo as atividades desenvolvidas paralelamente ao conteúdo programático
estabelecido pelos professores do Departamento Pedagógico de Matemática, em
sua programação regular, para o ano letivo de 2007. Relatamos também como se
deu o desempenho dos alunos envolvidos na pesquisa neste período.
O Capítulo 8 apresenta uma série de avaliações globais dos resultados do
trabalho desenvolvido ao longo da pesquisa. Neste capítulo são apresentados
dados estatísticos descritivos da amostra de alunos estudada, identificando
quantos eram oriundos de Escola Pública ou de Escola Particular, uma vez que,
sua origem sinalizava a média de notas de entrada no Colégio Pedro II. Os dados
analisados neste capítulo incluem os resultados do exame de admissão ao Colégio
em 2005, a avaliação do desempenho ao longo de 2006 e a avaliação das
conseqüências constatadas no final do ano letivo de 2007.
Finalizando o estudo, o Capítulo 9 destaca como foi atingido o objetivo da
experiência, que era, como já dissemos, oferecer uma nova abordagem para o
ensino de frações tomando como referência a reta numérica, e como, dessa forma,
o aluno conseguia vencer as dificuldades encontradas na passagem do campo
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Introdução
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aritmético para o campo algébrico. Nesse último capítulo são apresentadas,
também, propostas de possíveis desenvolvimentos futuros para a consolidação do
que realizamos, bem como sugestões de encaminhamento para a formulação de
um conteúdo programático e uma metodologia de ensino baseada naquela descrita
nesta tese.
Resumindo, este estudo mostrou que é possível aplicar nossa proposta
pedagógica enfrentando as dificuldades “reais” do dia-a-dia dentro de um colégio
numa sala de aula, ao longo do período escolar, seguindo o conteúdo
programático regular. Verificamos que os alunos tornaram-se gradualmente
capazes de representar corretamente na reta numérica uma fração, reconhecer
fração como número, identificar a unidade de medida, resolver problemas com
mais facilidade e, finalmente, superar as dificuldades no tratamento algébrico.
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Fundamentos Teóricos
2.1. Introdução
Neste capítulo, procuramos explicitar a perspectiva teórica em que nos
apoiamos. O objetivo dessa pesquisa é oferecer indícios ou pistas tais que, por
meio de uma nova abordagem do conceito de frações que toma como referência a
reta numérica, o aluno possa vencer as dificuldades encontradas na passagem do
campo aritmético para o campo algébrico.
Ao longo dos anos não têm faltado tentativas da comunidade de educação
matemática para melhorar o ensino de frações (HART, 1981; NUNES, 1997;
GIMENEZ, 1998; LAMON, 1999; BEZUK & CRAMER, 1986 LAPPAN &
BOUCK, 1998; ROMANATTO, 1997, MOREIRA, 2004; DARLEY, 2007, entre
outros). Exploraremos mais adiante as contribuições de cada um destes trabalhos,
mas há muito ainda a ser feito.
A fundamentação teórica sobre a qual se desenvolveu esta proposta de
ensino está apoiada, principalmente, no trabalho sobre frações de Wu.
Hung-Hsi Wu, professor desde 1973 do Departamento de Matemática da
Universidade de Berkeley, envolveu-se com a Educação Matemática a partir de
1992, motivado por suas observações das dificuldades do ensino de matemática
nas escolas. Wu propõe trabalhar o conceito de fração como medida de segmento
de reta, bem como identificar fração como um número e fazer sua representação
na reta numérica.
Segundo Wu, existem pelo menos dois gargalos na educação matemática
no Ensino Fundamental: o ensino de frações e a introdução à álgebra. E, na
orientação que propõe para o ensino de frações, enfatiza a clareza dos conceitos
como um caminho para facilitar, adiante, a introdução à álgebra. Ele aponta áreas
problemáticas tanto na teoria como na prática do ensino de frações, que podemos
brevemente descrever como segue:
(1) O conceito de fração nunca é definido claramente e sua
afinidade com os números inteiros não é enfatizada suficientemente.
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Fundamentos Teóricos
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(2) As complexidades conceituais associadas ao emprego de
frações são enfatizadas desde o início em detrimento do conceito
básico.
(3) As regras das operações aritméticas com frações são
apresentadas sem relacioná-las às regras das operações com números
inteiros, com os quais os alunos têm familiaridade.
(4) Em geral, explicações matemáticas de quase todos os
aspectos essenciais do conceito de fração ficam faltando.
Destacamos, também, K. Hart, da Universidade de Londres, que publicou
resultados de sua pesquisa sobre frações no Capítulo 5 de Hart (1981). Uma
terceira pesquisa a citar é a de T. Nunes, na Universidade de Oxford. Suas obras
refletem sua constante preocupação em relação ao desenvolvimento do raciocínio
matemático das crianças. Entre outras obras suas, podemos citar o livro Crianças
Fazendo Matemática (1997), escrito em parceria com Peter Bryant.
Para promover atividades adequadas que pudessem ajudar elevar o nível
de compreensão dos alunos nos apoiamos na teoria de Pierre van Hiele, da
Universidade de Utrecht, Holanda. Em sua teoria, van Hiele sugere que as
crianças progridem por meio de uma seqüência hierárquica de níveis de
compreensão enquanto aprendem Geometria, e que a linguagem, o insight e o tipo
de experiências vivenciadas desempenham papéis especiais nesse
desenvolvimento. Tempos mais tarde sugere que esta mesma teoria pode ser
aplicada a outros tópicos matemáticos ou a outros campos de ensino. Outra teoria
em que nos apoiamos foi a de T. Carpenter, da Universidade de Wisconsin, USA,
cujos textos apontam o que temos embutido como uma das principais
características de nossa proposta didática: “aprender e ensinar com
entendimento”.
No campo algébrico procuramos identificar as dificuldades dos alunos
quando se iniciam em álgebra. Entre outros, podemos destacar L. Booth, do
Department of Pedagogic and Scientific Studies in Education James Cook
University of North Queensland. Booth utiliza como principal estratégia em sua
pesquisa a identificação dos erros. Mais adiante nos detivemos nas pesquisas de
C. Kieran, da Universidade de Quebec, Canadá. Sua pesquisa envolve duas
abordagens diferentes entre os principiantes em álgebra. Segundo Kieran, uma das
abordagens focaliza as operações dadas, é a abordagem aritmética. A outra
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Fundamentos Teóricos
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focaliza as inversas das operações dadas; é a abordagem algébrica. A abordagem
aritmética traduziu-se pelo uso de procedimentos de resolução como substituição
por tentativa e erro. A abordagem algébrica caracterizou-se pelo procedimento de
resolução de equações por transposição de termos para o outro membro.
Destacamos ainda os autores J. Gimenez e R. Lins que defendem a
introdução do pensamento algébrico em crianças numa faixa etária menor que a
habitual. Além desses autores, em uma segunda etapa da pesquisa, utilizamos,
para elaborar as atividades destinadas a avaliar nossos resultados, empregamos a
tese de J. Darley, University of South Carolina, USA.
Nas seções seguintes, aprofundamos a discussão das dificuldades
encontradas pelos alunos na aprendizagem de frações, confrontando a abordagem
de Wu para o tratamento das mesmas com as de outros autores. Finalmente
tratamos das dificuldades da introdução à Álgebra.
2.2. Dificuldades na Aprendizagem de Frações
2.2.1. No Brasil
Para que possamos nos situar diante das dificuldades na aprendizagem de
frações no Brasil, partimos dos resultados apresentados na análise do Sistema
Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB).
Fazendo um recorte nos temas do SAEB, por exemplo, no Tema III,
(Relatório SAEB-2001, p.25-30) que trata de números e operações/álgebra e
funções, podemos verificar, através das amostras representativas do alunado
brasileiro de 4ª série e 8ª séries do Ensino Fundamental e da 3ª série do Ensino
Médio, que as dificuldades se assemelham.
Existe um razoável consenso entre os professores de que essas
dificuldades decorrem de uma ênfase na simples memorização de regras e técnicas
nas séries iniciais. Dentre as dificuldades dos alunos percebe-se que a ordenação
de números, as operações de multiplicação e divisão de frações não são bem
solidificadas. Os alunos da 4ª série do Ensino Fundamental apresentam
dificuldades tanto nos procedimentos quanto na resolução de problemas. À
medida que caminhamos para a amostra referente à 8ª série, as operações vão se
tornando mais complexas, envolvendo o domínio de regras e sinais de operações
com números decimais, o índice de acerto em contrapartida vai diminuindo.
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Fundamentos Teóricos
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Avançando para o Ensino Médio elas acabam se intensificando. Vê-se claramente
que os conceitos fundamentais que já deveriam estar construídos passam ao largo.
Em 07/02/2007, o órgão de imprensa do Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), publicou os resultados de
atualização do panorama de qualidade da educação básica. O que podemos
constatar é que os avanços são pequenos tanto em matemática quanto na língua
portuguesa.
Esta análise baseada no SAEB nos permite vislumbrar a situação
educacional caótica em que vivemos, mas não é a única. Olhando para o que
acontece nos vestibulares discursivos, ou, se a tudo isto juntarmos a nossa prática
pedagógica diária e as constantes reclamações dos professores, nos damos conta
da gravidade da situação do nosso sistema educacional.
Em particular o conteúdo de frações tem dado margem a um número
enorme de pesquisas dentro da Educação Matemática, tal é a sua relevância.
Várias teses têm tratado desse conteúdo. Entre estas, por exemplo, consideremos a
de Mauro Carlos Romanatto. Um dos resultados desta tese aparece no artigo
“Número Racional: uma teia de relações”. Nele, o autor ressalta que:
O número racional é um assunto considerado importante na
escolaridade básica de matemática e o modo como se apresenta para os
alunos tal tópico tem se revelado na maioria das vezes como um obstáculo
para a sua plena compreensão. Um dos aspectos que pode justificar tal
situação é a própria complexidade com que esse assunto se manifesta. O
número racional deve ser entendido como uma teia de relações nas quais
noções, princípios e procedimentos matemáticos distintos são construídos ou
adquiridos por meio de diferentes contextos. Este estudo pressupõe que a
plena compreensão do número racional passa por um trabalho significativo
em todos os contextos em que tal assunto está presente. Isso porque, em cada
contexto, a noção de número e as operações matemáticas devem ser
reconceitualizadas em relação ao número natural. Relações como medida,
quociente, razão, operador multiplicativo, probabilidade e número são
“personalidades” que o número racional assume, representadas por notações,
da forma a/b, decimal e percentual (p.37).
Concordamos com o que foi colocado neste artigo por Romanatto. Ele
menciona a necessidade de que “[...] em cada contexto, a noção de número e as
operações matemáticas devem ser reconceitualizadas em relação ao número
natural [...]”. A cada momento do processo ensino e aprendizagem referente a
este tópico, observamos a forma abrupta como é feita a passagem dos números
naturais para os racionais, como se um não tivesse nada a ver com o outro. E,
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Fundamentos Teóricos
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como bem colocou Romanatto em seu artigo, isto deve ser tratado como uma teia
de relações.
Outra fonte de pesquisa que utilizamos e que aponta a complexidade desse
conteúdo é a tese de doutorado de Plínio Cavalcanti Moreira (2004), cujo foco é o
conhecimento matemático voltado para a licenciatura e a prática docente. No
capitulo III, p. 94, ao tratar da construção dos números racionais positivos nas
salas de aula, o autor ressalta que o mesmo é visto como extremamente simples,
enquanto as pesquisas mostram que sua construção pode ser considerada uma das
mais complexas. Este fato é ratificado por MA (1999), citado por vários
pesquisadores. Em particular, WU (2001, p.7), diz:
O livro de Ma, Sabendo e Ensinando Matemática Elementar, que abre novos
caminhos, acabou com o mito de que a matemática básica é simples. Em nenhum lugar
neste livro a observação da autora fica mais evidente do que no ensino de frações.
Frações são difícies não apenas para os alunos, mas também para seus professores, que de
certa maneira, são eles mesmos vítimas de uma pobre educação matemática.
Ainda dentro das considerações de Moreira, (p.94), encontramos BEHR et
al., (1983, p.91), que reforça estes argumentos:
Os conceitos associados aos números racionais estão entre as idéias
mais complexas e importantes que as crianças encontram ao longo dos
primeiros anos de escolarização. A importância desses conceitos pode ser
vista a partir de diferentes perspectivas: (a) do ponto de vista prático, a
habilidade de lidar com esses conceitos aumenta enormemente a capacidade
da criança de compreender e manejar uma série de situações dentro e fora da
escola; (b) de uma perspectiva psicológica, os números racionais constituem
um cenário rico para um contínuo desenvolvimento intelectual; (c) do ponto
de vista da matemática, o entendimento dos números racionais provê os
fundamentos sobre os quais as operações algébricas elementares podem ser
desenvolvidas.
As afirmações tanto de Ma e Behr quanto de Romanatto e Moreira
fundamentam a nossa hipótese, no sentido que o trabalho desenvolvido com os
números racionais, em particular com os racionais positivos, deve ser de tal ordem
que proporcione ao aluno a possibilidade de desenvolver sua capacidade de
abstração. Como foi colocado especificamente por Behr “o entendimento dos
números racionais provê os fundamentos sobre os quais as operações algébricas
elementares podem ser desenvolvidas”. É como tal que sustentamos que ajuda o
aluno na sua introdução no campo algébrico.
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Fundamentos Teóricos
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Por outro lado, podemos citar o estudo feito por Merlini, que, em sua
dissertação, se propõe responder à seguinte questão de pesquisa (MERLINI, 2005,
p.12):
Quais estratégias de resolução alunos de 5ª e 6ª série utilizam frente a
problemas que abordam o conceito de fração, no que diz respeito aos cinco
diferentes significados de fração propostos por Nunes et al. (2003): número,
parte-todo, quociente, medida e operador multiplicativo?
Respondendo à sua questão de pesquisa, MERLINI (2005, p. 209), após
pontuar as principais estratégias de resolução encontradas nas respostas dos
alunos da amostra tomada como referência, tende a concluir que não houve
regularidade no desempenho dos alunos ao lidar com qualquer um dos
significados, isto é, para um mesmo significado encontramos diferentes estratégias
de resolução utilizadas pelos alunos.
Segundo MERLINI (2005, p. 203), este dado é relevante e preocupante se
aceitamos a idéia de VERGNAUD (1983) de que o conhecimento deve emergir
dentro de uma variedade de situações e cada situação, normalmente, não pode ser
analisada com ajuda de apenas um conceito: “[...] uma situação, por mais simples
que seja, envolve mais de um conceito e, em contrapartida, um conceito não pode
ser apropriado com base na vivência de uma única situação” (MERLINI, 2005,
p. 203).
Nestas condições, conclui [MERLINI] “o modo do ensino do conceito de
fração abordado nas escolas, privilegiando alguns significados (Parte-todo, e
Operador multiplicativo), em detrimento de outros, não garante que o aluno
construa o conhecimento desse conceito” (p.209).
Mais adiante, a autora ainda destaca que:
os resultados obtidos pelos alunos da 5ª e 6ª séries no significado
Parte-todo estão muito aquém do esperado, conclui que, pelo menos na
população estudada, a maneira como o processo de ensino tem sido feito,
oferece pouco recurso para favorecer a construção do conceito de fração
(MERLINI, 2005, p.209).
Uma outra pesquisa que vem reforçar nossa hipótese é descrita na
dissertação de mestrado de Alexandre Notari: “Simplificação de Frações
Aritméticas e Algébricas: Um Diagnóstico Comparativo dos Procedimentos”,
(2002) cujo estudo desenvolveu-se em uma classe do Ensino Fundamental, 8ª
série, e em outra do Ensino Médio, 1ª série, em duas escolas estaduais da cidade
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Fundamentos Teóricos
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de São Paulo. Sua pesquisa investiga os procedimentos utilizados pelos alunos do
Ensino Fundamental e do Ensino Médio, na simplificação de frações aritméticas e
algébricas, buscando, por um lado, verificar se estabelecem relações de
equivalência entre a fração dada e a fração obtida pela simplificação e, por outro
lado, conhecer as manifestações dos sistemas conceituais aritméticos e algébricos
no tratamento dessas expressões. NOTARI (2002) teve como uma das metas de
sua pesquisa produzir um diagnóstico sistemático dos principais erros e
dificuldades manifestados por esses alunos na simplificação de frações aritméticas
e algébricas.
Em suas conclusões, (NOTARI, 2002, p.84) aponta um grande número de
erros nas atividades de simplificação das frações algébricas, os quais revelam a
incompreensão das regras formais que regulamentam as transformações. Entre
eles há predominância de erros devidos a uma generalização de regras de uma
situação para outra, sem uma análise das condições que validam esta
generalização.
Além das teses e dissertações citadas, encontramos vários livros que vêem
reforçar nossa crença. Podemos citar, por exemplo, Números–Linguagem
Universal, trabalho oriundo da equipe do Projeto Fundão, Terezinha Nunes &
Peter Bryant, entre outros.
O livro “Números – Linguagem Universal” teve como objetivo principal
propor situações de ensino onde fossem orientados os processos de raciocínio dos
alunos para que os conceitos básicos sobre frações, números decimais, inteiros
relativos e racionais fossem adquiridos com compreensão. Sem pretender ignorar
os resultados obtidos pelos grandes matemáticos, que sistematizaram os conjuntos
numéricos, e as relações entre elas, a equipe acredita, baseada em experiências de
sala de aula, ser necessário o entendimento pelo aluno do processo de construção
desses conceitos (p. 12). As atividades propostas estão diretamente relacionadas
com os estudos de vários pesquisadores, nos quais também a nossa pesquisa se
apoiou, tais como: BRASIL (1977, 1979), CARRAHER (1986), HART (1981),
HART & RUDDOCK (1985), HIEBERT & BEHER (1988) e SANTOS (1993). A
equipe do Projeto Fundão, ao elaborá-lo, planejou situações didáticas que
explorassem os novos conjuntos numéricos, levando em conta os problemas de
aquisição dos novos conceitos e tentando minimizar o impacto de tais dificuldades
no processo de aprendizagem dos alunos.
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Pode-se ver, ainda, no livro de Terezinha Nunes e Peter Bryant, cujo
propósito é apresentar uma descrição do raciocínio matemático das crianças, como
elas pensam sobre problemas matemáticos e o que a matemática significa para
elas. No capitulo 8 (p.191), referente a “Compreendendo Números Racionais” os
autores colocam que:
Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças
parecem ter uma compreensão completa das frações e, ainda assim, não a
têm. Elas usam os termos fracionais certos; elas falam sobre frações
coerentemente; elas resolvem alguns problemas fracionais; mas diversos
aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências
podem ser tão enganosas que é possível que alunos passem pela escola sem
dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba.
Uma forma comum de apresentar as crianças às frações é mostrar-
lhes todos divididos em partes, alguns dos quais distinguidos do resto, por
exemplo, pintados. As crianças são informadas que o número total de partes
é o denominador, então, o número de partes pintadas é o numerador. Esta
introdução, junto com alguma instrução sobre algumas regras para calcular,
permite que as crianças transmitam a impressão de que sabem muito sobre
fração.
O trabalho interessante de KERSLAKE (1986) com adolescentes de 12 a 14 anos
mostra o mesmo. Essas crianças se desempenharam muito bem em julgamento sobre a
equivalência de frações nos itens registrados (Figura 1)
Todos os alunos entrevistados produziram frações equivalentes para os diagramas
e pareceram muito familiarizados com o problema; alguns alunos acrescentaram que, se
você remove a linha, os diagramas parecem iguais, e que era assim que eles sabiam que
as frações eram as mesmas.
No entanto, diversas partes de pesquisa demonstraram que a impressão de
crianças raciocinando com sucesso sobre frações poderia ser falsa. Por exemplo, no
Brasil, CAMPOS et al. (1995) foram capazes de mostrar bastante claramente que este
modo de introduzir frações, pode na realidade, conduzir as crianças a erro. [...] (NUNES
& BRYANT, 1997, p.191).
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2.2.2. No Exterior
Investigando agora fora do Brasil, verificamos que as preocupações dos
pesquisadores em Educação Matemática em relação ao tópico de frações
ultrapassam nossas fronteiras. Vários trabalhos sobre frações têm sido
apresentados em quase todos os encontros relacionados à Educação Matemática.
As dificuldades de compreensão desse conteúdo desafiam-nos a encontrar
soluções. Nos encontros de Psychology of Mathematics Education (PME), há
vários grupos de pesquisadores voltados para esta área de interesse. Entre eles,
podemos citar alguns artigos como: “Locating Fraction on a Number Line” de
MARKKU HANNULA (2003)
1
. Este artigo, baseado numa pesquisa com 3067
alunos finlandeses, da quinta à sétima série e uma entrevista com 20 alunos,
examinou a compreensão de estudantes quanto a frações. Duas tarefas
representaram uma específica fração (3/4) em diferentes contextos: como parte de
uma barra de oito pedaços (contexto de área) e como a localização em uma reta
numérica. Os resultados sugerem que a compreensão dos alunos evoluiu muito da
quinta para a sétima série. No entanto, comparações de Parte para o Todo
dominam fortemente o pensamento dos estudantes e estes têm dificuldade em
perceber a fração como um número na reta numérica, mesmo na sétima série.
Outro artigo que fez parte da fundamentação de nossa pesquisa foi “The
Usefulness of performance assessment in Student’s Understanding of Fractions in
Korea”, (PME -27)
2
de JI-WONSON (2003). Esse estudo teve como proposta
examinar a maneira como a avaliação de desempenho afeta a compreensão
conceitual de frações. Ao se referir a HIEBERT (1986), o estudo subdivide a
compreensão de frações em conhecimento conceitual e conhecimento
procedimental.
Outro artigo de interesse em nossa fundamentação foi o encontrado no
PME 27 (2003) “Goal Sketches in Fraction Learning”
3
. Este artigo investiga como
o conhecimento conceitual do valor de frações de alunos da 5ª série e da 7ª série
(correspondem ao nosso Ensino Fundamental) muda à medida que a
1
Artigo “Locating Fraction on a Number Line” de Markku S.Hannula. University of Turku,
Department of Teacher Education. PME 27, vol. 3, p.17-24., 2003.
2
Artigo de Ji-Won Son-Michigan State University, apresentado no PME-27, vol. 1 – p. 253, 2003.
Trabalho baseado nas considerações do NCTM-2000.
3
Goal Sketches in Fraction Learning: Artigo de Dr. Catherine Sophian & Sâmara Madrid-
University of Hawai ´I at Mänoa, apresentado no PME 27, vol. 4, p.231-235, 2003.
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Fundamentos Teóricos
34
aprendizagem dos alunos progride. Para tal, pediu-se a alunos de 5ª e 7ª séries
para resolver problemas em que teriam que encontrar uma fração entre duas
frações dadas, e depois, avaliar soluções para problemas semelhantes que eram
modelados por eles. Quando as frações dadas apresentavam o mesmo
denominador ou o mesmo numerador, uma estratégia simples é manter o valor
comum e escolher um valor intermediário para o outro componente. Alunos da 5ª
série usaram esta estratégia, tanto nos problemas que apresentavam o mesmo
numerador como naqueles com o mesmo denominador, e julgaram-na “muito
esperta” quando foi modelada. Alunos da 7ª série transformaram as frações com o
mesmo numerador em frações com o mesmo denominador, e frequentemente
julgaram a estratégia de escolher um denominador intermediário como sendo “não
esperta”.
Como anteriormente colocado por HIEBERT e CARPENTER (1992) em
“Learning and Teaching with Understanding”, as autoras ressaltam que:
Enquanto muitos alunos nos Estados Unidos, e mesmo professores,
consideram a aprendizagem de matemática como basicamente uma questão
de aprender procedimentos computacionais, psicólogos educacionais e
educadores matemáticos concordam que a aprendizagem de matemática
precisa ter um embasamento conceitual.
Voltando-nos agora para as considerações do National Council of Teacher
of Mathematics (NCTM), encontramos as mesmas preocupações. Por exemplo, no
NCTM (2000, p.33), cujo foco estava voltado para frações [...] “os alunos
precisam solidificar seu entendimento de frações como número”. Em 2007, o
NCTM tratou dos Pontos Focais de Currículo de Matemática desde o Pré-Jardim
até à oitava série com as seguintes considerações:
A decisão de organizar o ensino em torno de pontos focais assume que a
aprendizagem de matemática é cumulativa, com o trabalho nos níveis mais adiantados
solidificando e aprofundando o que os estudantes aprenderam nos níveis anteriores, sem
repetitivos e ineficientes re-ensinos (NCTM, 2007, p.33).
Um dos trabalhos apresentados a este NCTM foi o de Darley (2007). Este
descreve a elaboração e análise de atividades baseadas no em sua tese de
doutorado (DARLEY, 2005), fazendo a ligação entre frações, reta numérica e, por
fim, relacionando-os com tarefas algébricas.
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35
2.2.2.1 Os Resultados sobre Frações do Programa CSMS
Usamos, especialmente, os resultados que HART (1981) disponibiliza
sobre frações, para elaborar o primeiro teste diagnóstico que deu início a nossa
pesquisa de campo e que foi reaplicado no início do ano letivo de 2007 com
pequenas alterações. Este livro é o resultado de cinco anos de pesquisa realizada
pela equipe de Matemática do programa Conceitos na Matemática Secundária e
Ciências (CSMS)
4
. Ele visa estabelecer hierarquias de compreensão para 11
tópicos importantes que aparecem no currículo de Matemática da Escola
Secundária no Reino Unido (UK). Escritos tanto para professores como para
especialistas em currículos de matemática, ele fornece muitos insights para as
dificuldades que as crianças enfrentam quando tentam resolver problemas
matemáticos.
Esse relatório se baseia em um dos mais extensos programas de testes e
avaliação em Matemática que foi realizado na Grã-Bretanha. As crianças foram
entrevistadas usando itens produzidos para os tópicos individuais.
Aproximadamente 10 000 crianças foram avaliadas usando os itens em forma de
testes escritos.
Dez dos capítulos tratam de tópicos matemáticos específicos. Cada um
descrevendo os métodos usados pelas crianças para resolver problemas, os erros
que fizeram e os níveis de compreensão na hierarquia antes de apontar as
implicações deste tópico para o ensino. Mais um capítulo é dedicado a
comparações entre hierarquia e outro a implicações gerais para o ensino da
Matemática.
O capítulo referente a Frações (p.66-81) (identificando e operando com
elas) tem por base dois testes aplicados pelo grupo de Matemática CSMS, um a
alunos de 12 e 13 anos e outro a alunos de 14 e 15 anos. A abordagem
desenvolvida nesse capítulo parte do princípio de que o tópico de frações
necessita de sua própria linguagem específica e se conjeturou que a linguagem
que poderia fazer parte da experiência comum dos alunos de 3ª e 4ª séries (14 e 15
anos) não teria sido necessariamente ensinada na 1ª e 2ª séries (12 e 13 anos).
4
Concepts in Secondary Mathematics and Science (CSMS): Dez mil crianças, de idades entre 12 a
16 anos, foram avaliadas na pesquisa realizada pela equipe de Matemática do programa Conceitos
na Matemática Secundária e Ciências. Entre os itens objeto dos testes, incluía-se o tópico de
frações.
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As questões formuladas para crianças mais jovens poderiam todas ser
resolvidas com sucesso pela adição e subtração. O trabalho para crianças mais
velhas contém alguns itens em comum com este trabalho, mas também envolve
problemas que requerem multiplicação e divisão, por exemplo, questões sobre a
área de um retângulo. Cada teste deste trabalho apresenta problemas e, além disso,
um conjunto de cálculos, designado para tratar os problemas.
Considerando especialmente importante a percepção resultante dessa
investigação de que
[...] a criança se sente relativamente segura quando trabalha dentro
dos números inteiros e com as restrições impostas por eles. O fato de que
algumas restrições não se aplicam dentro do conjunto das frações e que as
frações são inventadas para estender o sistema numérico além de contagem,
frequentemente escapa deles. (HART, 1981.p.67,68).
Deste modo, esta pesquisa mostra a importância de trabalhar o tópico de
frações no contexto dos números e, em vários momentos, deixa claro que a
criança não conceitua fração como um número, um objeto bem determinado. E vai
mais adiante, ao sustentar que, para a criança atingir este conhecimento, é
necessário que sejam trabalhadas questões referentes a frações equivalentes e à
ordem nas frações.
Segundo HART
5
, embora ainda hoje, 2007, existam muitas pesquisas
sobre frações as dificuldades sobre este tópico permanecem. Isto sugere que estas
dificuldades se originem antes do estudo de frações e, portanto, que uma das
prováveis causa dessa situação é a transição do conjunto de números naturais para
o conjunto de frações.
Depois de passarmos por estas leituras, primeiro nos reportando à
construção do conceito de fração, e, procurando compreendê-las, encontramos um
ponto comum nas respectivas conclusões: Os alunos não conseguiram apreender o
conceito de fração. Após um sério e árduo trabalho para que este objetivo fosse
alcançado, os resultados ficaram aquém da expectativa dos pesquisadores.
Outro ponto de consenso é o caminho escolhido pelos pesquisadores para
que o aluno atinja este objetivo. Diz respeito aos múltiplos significados com que a
fração é apresentada aos alunos, ora como número, ora como parte-todo,
quociente, medida, ora como operador multiplicativo. Isto se dá na tentativa de
5
Depoimento via registro postal.
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Fundamentos Teóricos
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fazê-los “melhor” compreender seu significado. Dessa forma são utilizadas
estratégias de resolução de problemas, quer pelo professor quer pelo livro
didático, que acabam, por fim, induzindo aos alunos a também utilizá-las.
Nossa proposta é, em vez de acumular diferentes aproximações através de
vários conceitos imprecisos, construir o conceito de fração de forma precisa a
partir da reta numérica utilizando o conceito de medida, fundamentada na
proposta de H. Wu, que argumenta e defende este caminho.
2.3. A Proposta de Wu
Ao lermos os trabalhos de Wu, encontramos propostas de soluções para as
dificuldades enfrentadas pelos alunos, que foram detectadas também por nós ao
longo de nossa prática docente e discutidas nas teses e dissertações mencionadas
na seção anterior.
Em um de seus trabalhos, WU (2002) propõe uma nova abordagem para o
ensino do conceito de frações. Uma de suas idéias básicas é trabalhar o conceito
de fração como medida de comprimento de segmento de reta (2002, p. 6-7).
Tomando como referência a reta numérica, Wu mostra como esta pode ser
aproveitada de tal maneira a levar o aluno a realizar um melhor aprendizado na
álgebra. A expectativa é que, ao ser introduzido no campo algébrico, por meio do
ensino de frações, no 7º ano, o aluno consiga abstrair-se a ponto de conseguir
superar as dificuldades que, de um modo geral, atingem os alunos nessa etapa do
processo de aprendizagem.
Segundo WU (2002, p.122), um dos primeiros momentos onde o aluno
realmente tem condições de compreender a computação de frações - geralmente
no 6º e 7º anos – seria o momento adequado no currículo escolar para começar a
enfatizar o componente abstrato matemático e fazer da abstração o elemento
central do ensino na sala de aula.
Desta maneira estar-se-ia dando ao aluno uma vantagem na etapa
correspondente à introdução à álgebra. A capacidade de se abstrair, essencial na
álgebra, deve ser desenvolvida tão cedo quanto possível ao longo do currículo
escolar. E o ensino de frações constitui oportunidade especialmente adequada para
esse fim.
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38
Dando à abstração seu devido lugar no ensino de frações, estaremos
facilitando a passagem dos alunos para a álgebra. Mas, para isto, “os professores
devem ter conhecimento matemático para orientar seus alunos neste assunto
bastante sofisticado” (WU, 2002, p.122).
WU (2001, p.1), ressalta que o interesse na Educação Matemática pelo
ensino de Álgebra tem tido grande repercussão e vem colocando este ensino em
evidência. Ressalta que
[...] há os que atravessam o portão de entrada com êxito e vão
continuar avançando, enquanto que outros não irão, serão deixados
permanentemente para trás – a taxa alta de fracasso em álgebra,
especialmente entre alunos pertencentes a classes menos favorecidas, tornou-
se com razão uma questão de preocupação social geral.
Muitas soluções de natureza pedagógica têm sido propostas, incluindo o
ensino do “pensamento algébrico” começando no jardim de infância ou 1ª série.
Wu defende, neste artigo, que:
[...] a despeito de não importar o quanto se introduz do “pensamento
algébrico” nas séries inicias e a despeito de como os méritos que tais
exercícios possam ser, a taxa de fracasso em álgebra continuará sendo alta a
menos que nós radicalmente mudemos o ensino de frações e números
decimais.
Neste mesmo artigo, WU (2001, p.1) complementa que:
O estudo de frações fornece uma rampa que leva o estudante
suavemente da aritmética para a álgebra. Mas quando a abordagem de
frações é defeituosa, a rampa desmorona, e os estudantes precisam escalar a
parede da álgebra não com uma inclinação suave, mas como um ângulo reto
(90º). Não é de surpreender que muitos não consigam. Para compreender
por que frações têm o potencial para ser o melhor tipo de “pré-álgebra”, nós
devemos primeiro considerar a natureza da álgebra e o que a faz diferente
da aritmética dos números inteiros.
Segundo WU (2001), ao serem introduzidos na álgebra, os estudantes
precisam vê-la como a aritmética generalizada. Desta forma, a Álgebra aparece
como uma extensão, uma versão mais abstrata e mais geral das operações
aritméticas com números inteiros, frações e decimais. Generalidade, aqui,
significa que a álgebra vai além do cálculo de medidas concretas e, em vez disso,
foca nas propriedades que são comuns a todos os números sob discussão, sejam
eles frações positivas, números inteiros, etc. Por exemplo, enquanto, na aritmética
de números inteiros, 5 + 4 = 9, por exemplo, tem um sentido concreto único, na
Álgebra igualdades semelhantes se referem a todos os números, o tempo todo.
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Abstração, a outra característica da Álgebra, vai de mãos dadas com a
generalidade. Para Wu, neste mesmo artigo (p.1):
Não se pode definir abstração da mesma maneira que não se pode
definir a poesia, mas, grosso modo, ela é a qualidade que focaliza a cada
instante uma propriedade particular excluindo outra. Na álgebra,
generalidade e abstração são expressas por notação simbólica. Da mesma
maneira que não há poesia sem linguagem, não há generalidade ou abstração
sem notação simbólica. A fluência com manipulação simbólica é, portanto,
uma parte integral de proficiência em álgebra.
Uma idéia mais clara de como o estudo de frações se insere na preparação
para a Álgebra se extrai de WU (2005, p.1)
6
, onde o autor identifica, no currículo
do Ensino Fundamental de 5ª a 8ª séries, três tópicos principais: números
racionais, introdução à álgebra e geometria básica, e explicita, com certo detalhe,
o que se deve objetivar que os alunos saibam, nesse momento, sobre cada um
desses tópicos. Discute ainda quão longe, no seu entender, precisamos ir antes que
possamos esperar implementar estas idéias.
WU (2005, p.1) destaca que a importância dos números racionais no
Ensino Fundamental (de 5ª e 7ª série) vem do fato de que o que os alunos
aprendem nesse momento sobre estes tópicos teria de lhes bastar até, pelo menos,
os primeiros anos da faculdade. Para a maioria, isto se aplica ainda mais por que o
que eles aprendem nas 5ª a 7ª séries será tudo o que eles vão aprender acerca de
números racionais para o resto de suas vidas. Neste estágio, os alunos ainda não
estão prontos para o tipo de sofisticação matemática que é necessário para a
completa compreensão dos números racionais e mesmo assim devem aprender
bastante deste tópico para poderem funcionar nas séries seguintes e na vida.
O assunto de frações é conhecido por ser uma fonte de, nos termos de Wu,
“mathphobia” (medo de matemática). Se isto não constitui um motivo suficiente
para ensinar frações melhor, WU (2005, p.2) cita outro: “a compreensão de fração
é o passo crítico na compreensão de números racionais porque frações
constituem a primeira introdução à abstração” (2005, p. 2).
A forma que Wu propõe para lidar com este problema fica mais clara no
seguinte texto:
Enquanto a intuição sobre números inteiros pode ser baseada na
contagem dos dedos, a aprendizagem de frações exige antes de tudo uma
6
Key Mathematical Ideas in Grades 5-8. Texto de autoria de H. Wu, apresentado no NCTM de
2005, em abril de 2005.
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substituição mental para seus dedos. Precisamos de modo claro dizer o que é
uma fração. Uma fração tem de ser um número, e, portanto a definição de
uma fração como ‘parte-de-um-todo’ não serve. O aluno precisa ver que as
frações são a extensão natural dos números inteiros, de maneira que as
operações aritméticas +, -, x, e
÷
de números inteiros podem ser estendidas
de maneira natural para as frações. (WU, 2005, p.2)
Atualmente não se diz à maioria dos alunos o que significa multiplicar
duas frações. Wu cita Kathleen Hart: “Como podemos multiplicar dois pedaços de
pizzas?” (HART [2000]). Wu sustenta, então, que definir uma fração (ou qualquer
número racional) como um ponto da reta numérica através do processo de partição
serve admiravelmente para efetuar esta transição. Por exemplo, dividindo ao meio
a metade de um segmento de reta, é fácil perceber que a metade de ½ é ¼.
O objetivo a ser atingido no ensino de frações consiste menos em capacitar
os alunos para realizar as quatro operações de frações com facilidade que em
habilitá-los a usar estas operações para resolver problemas:
Sendo permitido o uso de calculadora para executar as 4 operações,
o aluno minimamente hábil em computação não deve ver diferença, por
exemplo, entre
5
4
3
2
+ e
29
17
68
357
+ . Ele também é capaz de calcular a
divisão
49
28
15
23
sem dificuldade (WU, 2005, p.2).
Para WU (2005, p.3), o ensino de frações fornece a oportunidade para
familiarizar o aluno com a representação simbólica. Deste modo, os alunos podem
ser gradual e lentamente acostumados ao uso de símbolos. Símbolos e
generalidade caminham juntos. O ponto de vista de Wu é que evitar o uso de
símbolos antes da Álgebra e jogar um monte de símbolos sobre os alunos ao
começar o ensino de Álgebra é uma estratégia educacional ruim.
2.4 Álgebra
Outra importante parcela da revisão bibliográfica realizada diz respeito à
introdução da álgebra no Ensino Fundamental. Na busca de uma literatura que
venha ao encontro da fundamentação de nossa hipótese, encontramos duas
questões concentrando a atenção dos pesquisadores no processo ensino-
aprendizagem da álgebra no Ensino Fundamental: uma diz respeito à introdução
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precoce da álgebra no Ensino Fundamental, a outra é quanto à apresentação da
álgebra como aritmética generalizada.
Há uma corrente de autores que sustenta e aponta caminhos e estratégias
viáveis a serem aplicadas em alunos de 5ª e 6ª séries do Ensino Fundamental, para
que a aprendizagem de conteúdos de Álgebra tenha aí seu início. Como exemplos
de tais autores podemos citar KIERAN (1989, 1992, 1995), BOOTH (1984,
1995), USISKIN (1995), LINS e GIMENEZ (2001), LINS e KAPUT (2004), etc.
Outra corrente, em contrapartida, diverge dessa linha de ação. Entre estes
destacamos KAPUT (1996). Este autor considera a Álgebra como generalização e
formalização de regularidades e condições e, de modo especial, mas não
exclusivamente, como raciocínio aritmético generalizado e raciocínio quantitativo
generalizado. Em decorrência, atribui o fracasso escolar no campo da álgebra à
formalização precoce da linguagem algébrica. Assim, afirma:
[...] têm sido demonstrado que os esforços para relacionar a
experiência dos estudantes aos formalismos, depois de estes terem sido
introduzidos, não têm obtido resultados satisfatórios (KAPUT, 1996, p.89).
Sustenta ainda que esse processo de generalização não se inicia nos
primeiros anos do Ensino Fundamental nem se finaliza neles, aparecendo também
nos níveis mais complexos do pensamento matemático como, por exemplo, na
teoria dos números algébricos e na criação de modelos matemáticos avançados.
Anos mais tarde, no 12
th
ICMI Study, Kaput, num trabalho desenvolvido
com LINS (2004, p. 48) apresenta, como veremos mais abaixo, um novo ponto de
vista sobre o raciocínio algébrico e uma visão mais ampla do ensino de álgebra,
que permite que essa introdução possa ocorrer mais cedo. O objetivo desse estudo,
segundo KAPUT e LINS (2004), é ajudar professores de álgebra a avançar na
tarefa de criar novas abordagens no ensino da álgebra que incorporem tanto as
práticas antigas que se mostram frutíferas como as novas possibilidades oferecidas
pela tecnologia disponível e por recentes teorias sobre cognição e a aprendizagem.
Para chegar a isto, rediscutem o sentido da expressão ensino de álgebra, buscando
poder ir além de uma caracterização centrada em conteúdo.
LINS e GIMENEZ (2001, p. 9) mostram como a Álgebra e a Aritmética se
relacionam, sem que isso implique em caracterizar a Álgebra como uma
Aritmética generalizada. Na visão deles, hoje a Álgebra Escolar representa o mais
severo corte da educação matemática escolar e a explicação para isso não está em
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Fundamentos Teóricos
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que sua introdução na 6ª série ou 7ª série é precoce para a maioria dos alunos, que
não teriam alcançado o nível de desenvolvimento intelectual requerido.
Argumentam que, se isso fosse verdade, a única solução seria adiar a introdução
da álgebra; essa solução foi adotada em outros países, na Inglaterra, por exemplo,
com resultados negativos. E, dizem LINS e GIMENEZ (2001, p.10):
Nossa leitura da produção de significados para a álgebra e para a
aritmética sugere exatamente ao contrário: é preciso começar mais cedo o
trabalho com álgebra, e de modo que esta e a aritmética desenvolvam-se
juntas, uma implicada no desenvolvimento da outra.
Por sua vez na leitura de BOOTH (1988, p.23), encontramos o seguinte
comentário: “A Álgebra é uma fonte de confusão e atitudes negativas
consideráveis entre alunos”. Esta constatação provém do resultado de um
levantamento, feito na Inglaterra, de recordações de adultos sobre suas
experiências em não aprender matemática na escola (Universidade de Bath, 1982).
BOOTH (1988) tenta descobrir o que torna a álgebra difícil, buscando
identificar os tipos de erros que os alunos comumente cometem nesta matéria e
investigar as razões desses erros:
Este caminho foi escolhido pelo grupo que desenvolveu o projeto de
pesquisa Strategies and Errors in Secondary Mathematics (SESM), levado a
efeito no Reino Unido de 1980 a 1983 (BOOTH, 1984). Esta pesquisa
envolveu alunos da oitava à décima série (idade de treze a dezesseis anos)
que vinham estudando álgebra no contexto de um programa de matemática
integrada deste a sétima série. Os mais novos geralmente já haviam
trabalhado com itens como simplificação de expressões algébricas, fatoração
(nos casos mais simples), resolução de equações lineares simples,
substituição de fórmulas, etc. Os mais velhos em geral haviam estudado
também frações algébricas e expoentes, equações quadráticas e sistemas de
equações, gráficos envolvendo igualdades e desigualdades, além de fatoração
e simplificações mais complexas. A despeito de idade e experiência em
álgebra, verificaram-se os erros semelhantes em todas as séries.
Entrevistas com os alunos que cometiam esses erros mostraram (BOOTH,
1988) que muitos destes podiam ter origem nas idéias dos alunos sobre aspectos
como:
O foco da atividade algébrica e a natureza das “respostas”;
O uso da notação e da convenção em álgebra;
O significado das letras e das variáveis;
Os tipos de relações e métodos usados em aritmética (BOOTH, 1988, p.23).
O parágrafo anterior confirma o que aponta o estudo desenvolvido no
Brasil (SAEB, 2001), onde é constatada a semelhança dos erros entre alunos
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desde as séries iniciais, 4ª série do Ensino Fundamental, (trabalhando com
expressões numéricas) como alunos da 8ª série do Ensino fundamental e alunos da
3ª série do Ensino Médio. De acordo com o Relatório do Sistema Nacional de
Avaliação da Educação Básica, SAEB (2001, p.15):
Ao contrário da simples reprodução de procedimentos e de acúmulo de
informações, os professores que ensinam Matemática devem considerar a resolução de
problemas como o eixo norteador da atividade matemática. A resolução de problemas
possibilita o desenvolvimento de capacidade como observação, estabelecimento de
relações, comunicação (diferentes linguagens), argumentação e validação de processo,
além de estimular formas de raciocínio como intuição, indução, dedução e estimativa.
Esta opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha
significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para
desenvolver estratégias de resolução.
KIERAN
(1995, p.104.), desenvolve a pesquisa sobre os alunos que estão
iniciando o estudo da álgebra. Ela enfatiza que a álgebra muitas vezes é vista
como “aritmética generalizada”. Segundo ela, essa expressão sugere que as
operações aritméticas são generalizadas a expressões envolvendo variáveis.
Assim, expressões como x + 3 ou 2y + z são consideradas no mesmo sentido de,
por exemplo, 5 + 3 ou 2.7 + 8, uma vez que x, y e z representam números. Na
aritmética, um símbolo de adição entre dois números sempre indica que as duas
parcelas devem ser somadas. Mas seu significado em álgebra nem sempre é esse.
Por exemplo, na equação 2x+5 = 13, o símbolo de adição em álgebra não significa
que os termos numéricos dados no primeiro membro, 2 e 5, devam ser somados.
Segundo Kieran, a principal diferença entre a aritmética e a álgebra é a
distinção entre as operações utilizadas no processo de resolver equações e as
operações indicadas nessas equações. Nesta pesquisa ela aponta duas abordagens
diferentes observadas entre seis alunos da sétima série, com treze anos de idade,
que participaram de uma experiência de ensino durante três meses. A abordagem
aritmética focalizava as operações dadas e a outra focaliza as inversas das
operações dadas. A abordagem aritmética traduziu-se no uso de procedimentos de
resolução como substituição por tentativa e erro. A abordagem algébrica
caracterizou-se pelo procedimento de resolução de equações por “transposição de
termos para o outro membro”.
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Em um outro artigo, KIERAN (1989, p. 33) “The Early Learning of
Algebra: A Structural Perspective” diz que:
No reconhecimento do uso de estruturas, entendemos estar a parte
central da álgebra do Ensino Médio. Visto que a álgebra escolar pode ser
considerada como sendo a formulação e a manipulação de afirmações gerais
sobre números, as experiências prévias das crianças com a estrutura de
expressões numéricas na escola elementar deveriam ter um importante
efeito sobre sua capacidade de compreender a álgebra.
Por sua vez, USISKIN
(1995, p.13-15) em “Concepções sobre a álgebra da
escola média e utilizações das variáveis” diz que:
Num compêndio de aplicações da aritmética, concluem Usiskin e
Max Bell, que é impossível estudar aritmética adequadamente sem lidar
implicitamente ou explicitamente com variáveis. O que é mais fácil, “O
produto de qualquer número por zero é zero” ou “Para todo n, n.0 = 0”? A
superioridade da linguagem algébrica sobre o português (por exemplo) nas
descrições de relações numéricas se deve a similaridade das duas sintaxes.
A descrição algébrica assemelha-se a descrição numérica; a descrição em
língua portuguesa não.
USISKIN (1988) destaca a importância da Álgebra, mesmo que seja vista
simplesmente como Aritmética Generalizada. Chama a atenção para o fato de que:
“Historicamente, a invenção da notação algébrica em 1564 por François Viète
teve efeitos imediatos. Em cinqüenta anos a geometria analítica foi inventada e
trazida a uma forma avançada. Em cem anos surgiu o cálculo” (USISKIN, 1988,
p.14).
Mais recentemente, Rômulo Lins e James Kaput, liderando um grupo de
estudos no 12
th
ICMI Study Conference Proceedings (2004) “The Future of the
Teaching and Learning of Algebra”, avançam suas posições no capítulo 4, “The
Early Development of Algebraic Reasoning: The Current State of the Field”
(Desenvolvendo o raciocínio algébrico mais cedo: o estado atual da situação).
Neste capítulo, o foco principal foi a abordagem precoce da álgebra, defendida
pelos membros desse grupo.
A relevância desse estudo se concentra na constatação de que as crianças
mais novas podem ter melhor desempenho em matemática do que se acreditava
antes, possibilitando a adoção de objetivos mais ambiciosos para as séries iniciais.
Isto não significa, diz LINS & KAPUT (2004, p. 47- 48), “ensinar a mesma velha
álgebra escolar da maneira usual a criança mais nova, apresentar-lhes novas
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maneiras de pensamento algébrico e mergulhá-las na cultura da álgebra”.
Complementando,
[...] este trabalho fornece uma base para o entendimento do desenvolvimento
precoce do raciocínio algébrico e uma visão mais ampla do ensino da álgebra, em que isto
possa ocorrer. Seu intento é ajudar professores de álgebra a avançar na tarefa de criar
novas abordagens no ensino da álgebra que incorporem tanto as práticas antigas que se
mostram frutíferas como as novas possibilidades oferecidas pela tecnologia disponível e
por recentes pontos de vista sobre a cognição e a aprendizagem.
Para melhor entendimento do que significa o ensino precoce da álgebra, os
autores analisam esta expressão buscando ir além de uma caracterização centrada
no conteúdo. Segundo eles,
existem muitas dificuldades em definir álgebra, especialmente se nós
procuramos definições epistemológicas fechadas, uma vez que o conceito de
álgebra depende de muitos fatores culturais, e outros que variam muito de
comunidade para comunidade e mesmo dentro de uma mesma comunidade
(LINS & KAPUT, 2004 p.48).
O grupo aponta duas características do pensamento algébrico. O primeiro
envolve atos de generalização deliberada e a expressão de generalidade. O
segundo envolve, normalmente como um esforço isolado, raciocínio baseado nas
formas de generalizações sintaticamente estruturadas, incluindo ações
sintaticamente e semanticamente orientadas. Para eles, esta é
uma caracterização das formas amplas de raciocínio algébrico que
nos ajudam a discutir formas de pensamento algébrico apropriadas para
crianças novas, e as condições que possam promovê-las. Entre tais
condições, por exemplo, está a necessidade de integração maior entre tópicos
matemáticos diferentes, a fim de promover o desenvolvimento do
pensamento sobre formas algébricas que resultariam em maior capacidade
dos alunos para resolver problemas (LINS & KAPUT, 2004, p.48).
Para estes autores,
o pensamento algébrico amplia o poder do aluno fornecendo-lhe
instrumentos que permitam um grau maior de certos tipos de generalidade; é
claro que isto já era aceito como verdade, por um bom tempo, só que desta
vez estamos considerando a capacidade de alunos mais novos do que o
normal (LINS & KAPUT, 2004, p.48).
O tema desse capítulo, “Álgebra mais cedo”, engloba tanto uma
orientação para os lados (como integrar o ensino de álgebra com os outros tópicos
em todos os níveis escolares) como para frente (as implicações de ensinar álgebra
mais cedo para as séries seguintes). Em outras palavras, em vez de restringir o
ensino de álgebra a algumas séries apenas ou a uma seqüência estreita de cursos
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ou ambientes de aprendizagem, podemos examinar a possibilidade de criar um
novo mundo de álgebra desde o começo.
Segundo LINS e KAPUT (2004), atualmente existem dois entendimentos
do que quer dizer “álgebra mais cedo”.
O primeiro entendimento, amplamente aceito por muitos anos, se refere à
primeira vez que aos alunos são introduzidos à álgebra na escola. Por muitos
motivos diferentes - às vezes tradição, posições teóricas dominantes ou pelo
impacto de estudos publicados, era provável que este primeiro encontro
acontecesse quando os alunos tinham 12-13 anos, em outros casos até mais
velhos.
O segundo entendimento, que ganhou terreno recentemente e muito
devagar na comunidade de educação matemática, leva a álgebra mais cedo a se
referir à introdução do raciocínio algébrico numa idade muito mais precoce, às
vezes até para crianças de sete anos. A abordagem adotada por LINS e KAPUT
(2004) tem como foco a promoção do desenvolvimento do pensamento algébrico
e não o ensino e aprendizagem de pequenos pedaços específicos de conteúdo de
álgebra. Qualquer conteúdo ou atividade que seja útil para ajudar o professor a
atingir esse objetivo poderia fazer parte do ensino precoce da álgebra mais cedo.
Para LINS e KAPUT (2004), a maior aceitação do segundo ponto de vista
tem a ver com o fato de que a comunidade de educadores matemáticos se deu
conta apenas recentemente de que as crianças mais novas são capazes de fazer
muito mais do que se supunha previamente. Mudanças nas posições sobre o
conceito de aprendizagem e da maneira como o ensino formal deve ser organizado
para integrar esses novos pontos de vista, levaram a uma concepção mais
esclarecida sobre a maneira como os educadores matemáticos percebiam o
trabalho das crianças.
Ao ser visto como um processo de longo prazo, o ensino da álgebra
começou a incorporar a idéia de que o processo de adquirir familiaridade com
aspectos específicos de atividades algébricas (por exemplo: fórmulas e notação
literal, assim como expressões contendo operações indicadas) era tão relevante
como dominar as estruturas sintáticas de formalismo tradicional. Mais ainda,
sustentam esses autores que um começo precoce no ensino de álgebra não é
apenas possível, mas necessário, e se concentrará a atenção nas formas diferentes
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2
Fundamentos Teóricos
47
de como proceder neste ensino de álgebra precoce e também nas suposições
chaves que as sustentam.
WU (2005, p.3) vai mais adiante:
Atualmente, há um grande esforço para colocar “o pensamento algébrico” em
todas as séries. Se eu entendo bem, este termo significa procurar padrões e trabalhar com
manipulações e tecnologia. A intenção é louvável, mas este tipo de pensamento algébrico
não é suficiente para promover o aprendizado de álgebra de uma perspectiva matemática;
ele precisa ir além, na direção de usar os símbolos fazendo cálculos com eles quando isto
é natural. Eu sugiro, por exemplo, que, nas séries iniciais, ao invés de escrever 15 + ---- =
22, se experimente escrever, ‘encontre um número x de maneira que 15 + x = 22’.
Quando ensinar a adição de frações, diga aos alunos que a fórmula
bd
bcad
d
c
b
a
+
=+ é
válida para toda fração
d
c
e
b
a
, e o resultado disto é uma identidade para quaisquer
números inteiros a, b, c, e d (bd
≠
0). Este é um tipo de pensamento algébrico que o aluno
precisa.
Concordamos com Usiskin, Lins e Gimenez e outros pesquisadores aqui
mencionados em que a álgebra não é só uma aritmética generalizada. O que
pretendemos é usar a generalização, na resolução de problemas de Aritmética para
enfrentar as dificuldades. É consenso entre todos esses pesquisadores, os alunos
não conseguem ultrapassar essas dificuldades quando introduzidos no campo
algébrico sem uma preparação prévia. O que pretendemos demonstrar é que
podemos começar a enfrentar mais cedo os erros universais por eles cometidos.
Esta preparação pode ser feita ao lidarmos com a generalização que ocorre na
passagem dos números inteiros para os números fracionários. É essa idéia, de nos
valermos de conteúdos específicos para ajudar o aluno a alcançar um patamar
mais elevado de abstração, que pretendemos desenvolver ao longo desta
dissertação.
2.5. Conclusão
Neste capítulo, apresentamos uma revisão da bibliografia em que
baseamos a experiência relatada nos capítulos seguintes. Discutimos, também,
amplamente relatos das dificuldades encontradas pelos estudantes tanto na
aprendizagem de frações quanto na introdução á Álgebra e tratamos de alguns
erros detectados na prática e nas formas de lidar com eles.
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2
Fundamentos Teóricos
48
Para concluirmos gostaríamos de chamar a atenção para o que diz Ubiratan
D’Ambrosio em seu livro Educação Matemática - Da Teoria à Prática (p.79):
Entre teoria e a prática persiste uma relação dialética que leva o
indivíduo a partir para a prática equipado com uma teoria e a praticar de
acordo com essa teoria até atingir os resultados desejados.
Toda teorização se dá em condições ideais e somente na prática serão
notados e colocados em evidência certos pressupostos que não podem ser
identificados apenas teoricamente. Isto é, partir para a prática é como um
mergulho no desconhecido. Pesquisa é o que permite a interface interativa
entre teoria e prática.
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3
CAMINHOS METODOLÓGICOS
Esta pesquisa se originou, como já destacado na Introdução, da angústia
provocada tanto nos professores quanto nos alunos pelas dificuldades encontradas
por estes na fase de introdução dos conceitos algébricos, nas 7ª e 8ª séries do
Ensino Fundamental.
Professora regente do Colégio Pedro II, desde a década de 70, trabalhava
com o Ensino Básico e, principalmente, com turmas do Ensino Médio. Anos mais
tarde, sendo Coordenadora de Disciplina, passei a me envolver com turmas do
Ensino Fundamental. Foi possível detectar, através de quadros estatísticos
apresentados pelo Serviço de Supervisão e Orientação Pedagógica (SESOP) do
Colégio, que nas séries 7ª e 8ª o índice de reprovação estava além do limite
suportável estabelecido pelo Colégio, de 20%. Mais tarde, assumindo a Chefia do
Departamento de Matemática da instituição, verifiquei que, de um modo geral,
este quadro se repetia nas demais Unidades. O que fazer para resolver esta
situação, ou pelo menos minimizá-la?
Tentamos soluções isoladas nas séries referidas e até conseguíamos alguns
resultados positivos, mas eram soluções paliativas. Tempos depois, após várias
leituras, já tendo iniciado o doutorado, deparei com trabalhos em que o
matemático H. Wu, da Universidade da Califórnia, Berkeley, apresentava algumas
propostas para lidar com essas dificuldades. Com a leitura desses trabalhos, meu
desafio tornou-se colocá-las em prática na sala de aula. As outras fontes citadas no
capítulo anterior vieram então juntar-se a essa.
A proposta de trabalho básica de Wu consiste em aproveitar o ensino do
conteúdo de fração como medida de comprimento de segmento de reta para
conduzir o aluno à compreensão da fração como número, levando-o naturalmente
a perceber as restrições do conjunto dos números inteiros e como as frações
estendem o sistema numérico. Nesse processo de generalização, confia-se que o
aluno vai desenvolvendo a capacidade de abstração necessária nas etapas
seguintes da aprendizagem de Matemática. Dessa forma, nossa premissa é que o
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3
Caminhos Metodológicos
50
conceito de frações, assim colocado, se constitui como um facilitador nesta
construção.
Nessa perspectiva, propus-me a investigar as seguintes questões:
1. É possível verificar que se o aluno consegue construir o conceito de
fração como número usando a reta numérica e a generalização de
padrões numéricos, então consegue dar o salto para a representação
simbólica, chegando à abstração?
2. A introdução ao campo algébrico é realizada com mais facilidade
quando o conceito de fração é trabalhado como número usando a
reta numérica?
3. O trabalho de construção de fração como número usando a reta
numérica pode influenciar positivamente no desempenho global do
aluno em Matemática?
Um dos primeiros passos a ser dado para colocar em prática esta nova
abordagem era a escolha da série onde melhor pudéssemos introduzir este
conceito. O desafio seguinte foi conciliar a proposta curricular do Departamento
Pedagógico de Matemática, inserida no Projeto Político Pedagógico do Colégio
1
,
com a do projeto inovador, uma vez que, ao final do ano letivo, os alunos são
submetidos a uma prova única, por disciplina, na Unidade Escolar. Nossa escolha
recaiu na antiga 6ª série, na qual os baixos índices de aprovação estavam aliados
ao fato de ser essa a série, segundo a nossa programação, onde se inicia o trabalho
envolvendo termo desconhecido e os conceitos de variável e incógnita.
Passamos, então, a planejar essa experiência pedagógica. Para essa etapa,
nos apoiamos nos princípios da avaliação iluminativa, cuja principal preocupação
prende-se à descrição e a interpretação em lugar da mensuração e da predição. Os
objetivos da avaliação iluminativa são os de estudar programas inovadores, com
as seguintes características:
• Como este funciona;
• Como é influenciado pelas diversas situações escolares nas quais é
aplicado;
1
Projeto Político Pedagógico (PPP): Este documento representa a expressão de um processo
democrático de discussão e elaboração, após terem sido ouvidas as vozes de todos os segmentos da
comunidade do Colégio Pedro II presentes às reuniões.
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3
Caminhos Metodológicos
51
• Quais as suas vantagens e desvantagens na opinião de seus principais
interessados; e,
• Quais condições mais afetam as tarefas intelectuais e as experiências
acadêmicas dos alunos.
Este desenho metodológico afinou muito bem com a pesquisa que
queríamos desenvolver, pelo fato de ela ser avaliativa de uma proposta de ensino
não usual.
3.1. A instituição
O Colégio Pedro II tem uma tradição de paradigma da escola púbica de
massa e de boa qualidade. Essa tradição está assentada em uma atenção aos
conteúdos programáticos, especialmente na área da Matemática, iniciada por
Euclides Roxo.
Euclides Roxo foi um ardoroso reformador do Ensino da Matemática no
Brasil, tendo colaborado nas Reformas Francisco Campos
2
e Gustavo Capanema
3
.
Introduziu em ambas os métodos que sempre preconizou e que estão contidos em
seu livro “A Matemática na Escola Secundária”
4
(1937). Neste livro, Capítulo
VII, aponta a necessidade da conexão entre as várias partes da Matemática e entre
esta e as outras disciplinas do curso, destacando em particular, o ensino paralelo
da aritmética, da álgebra e da geometria.
Pertencia a várias associações culturais, entre as quais a Associação
Brasileira de Educação (ABE). Foi Presidente da Comissão Nacional do Livro
Didático
5
. Frutos desse trabalho, encontramos várias obras no campo da
Matemática, do Prof. Euclides Roxo, bem como alguns trabalhos de contribuição
à solução dos nossos problemas de ensino. Dentre as obras de Roxo, podemos
2
Reforma Francisco Campos, 14 de abril de 1932: Consolida as disposições sobre a organização
do ensino secundário.
3
Reforma Gustavo Capanema, 9 de abril de 1942: Por essa Lei, foram instituídos no ensino
secundário um primeiro ciclo de quatro anos de duração, denominado ginasial, e um segundo ciclo
de três anos.
4
“A Matemática na Educação Secundaria”: Euclides de Medeiros Guimarães Roxo – Catedrático
de Matemática do Colégio Pedro II. Biblioteca Pedagógica Brasileira - Atualidades Pedagógicas –
Série 3ª, vol. 25 Edições da Companhia Editora Nacional - São Paulo, 1937.
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3
Caminhos Metodológicos
52
destacar: “Lições de Arithmetica”
6
, 1924. Este livro de Matemática elementar,
mostra desde seu inicio a constante preocupação de Euclides Roxo em relação ao
processo de ensino-aprendizagem. Isto pode ser observado neste trecho
(Introdução p. 6):
Procuramos deixar bem clara e precisa a significação de dada operação
elementar. Não receamos, por isso, nos alongar um pouco, quando
necessário, as definições, fazendo-as seguir das propriedades relativas. [...] A
compreensão exacta dessas definições e propriedades tem muito mais
importância que a demonstração e o enunciado das regras, o qual, em rigor,
podia ser supprimido e estivemos a pique de fazê-lo: ninguém aprende uma
operação decorando a respectiva regra.
No fim de cada capitulo encontrará o leitor um certo numero de exercícios
resolvidos; são problemas typos e análogos aos que costumam ser propostos
nas provas escriptas de exames [...].
No capítulo X deste mesmo livro, Euclides Roxo trata de frações
ordinárias.
Chama de grandeza tudo o que é suscetível de aumento ou
diminuição; a mais simples espécie de grandeza existente é o comprimento
de uma reta limitada, isto é, um segmento. [...] Dela nos serviremos para
estabelecer concretamente a nova noção de numero. Se uma certa grandeza
contém exatamente uma segunda grandeza da mesma espécie, diz-se que a
primeira grandeza é um múltiplo da segunda. Reciprocamente, a segunda
grandeza é um submúltiplo ou uma parte alíquota da primeira.
Assim, se, dado os segmentos de reta AB e PQ, na figura abaixo,
pudermos marcar, por exemplo, 3 segmentos iguais a AB, uns em seguida
aos outros, a partir de P até Q, diremos que o segmento PQ contém AB 3
vezes exatamente e que AB é uma parte alíquota de PQ; é um terço ou o
terço de PQ.
Podemos exprimir este fato, dizendo que o numero 3 é a medida de
PQ, quando se toma AB para unidade de comprimento.
Suponhamos agora que, tomando ainda o segmento AB por unidade
de comprimento, queremos medir RS e que não seja possível aplicar AB
sobre RS um numero exato de vezes. Experimentamos então proceder do
seguinte modo: dividiremos AB em um certo numero de partes iguais, em 5
partes, por exemplo; uma dessas partes será, pelo que vimos, um quinto de
AB. Pode acontecer que o comprimento RS contenha uma dessas partes um
número inteiro de vezes, 9, por exemplo; diremos então que RS é igual a
5
Em 13/01/44, a Portaria 468, do Ministério da Educação e Saúde, referindo-se ao Decreto Lei
6339 de 11/03/44 criou a Comissão Nacional de Livro Didático e a Portaria 466, de 13/10/44
instituiu Euclides Roxo como seu presidente.
6
“Lições de Arithmetica”: Euclides de Medeiros Guimarães Roxo – Catedrático de Matemática do
Colégio Pedro II. Compendio oficialmente adotado pelo Collegio Pedro II -2ª edição, 1924.
Para polêmicas sobre a obra “Lições de Arithmetica”. Ver Euclides Roxo e a modernização do
ensino de Matemática no Brasil, Capítulo 3 – J. B. Pitombeira.
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3
Caminhos Metodológicos
53
nove quintos da unidade, 9/5, ou seja, que a relação do segmento RS para
AB é a fração (que se enuncia nove quintos), ou ainda, que o numero 9/5 é a
medida de RS quando se toma AB para unidade.
A partir daí Roxo define fração como “a medida de uma grandeza que
contém uma ou mais das partes iguais em que se dividiu a unidade” (ROXO,
1924, p.123-124).
Após definir fração ordinária, Euclides Roxo frisa que esta denominação é
reservada às frações cujo numerador e denominador são números inteiros. Após
comparar dois segmentos comensuráveis, apresenta a definição de razão:
A razão de duas grandezas (ou de uma grandeza para outra) é uma
fração cujo numerador exprime quantas vezes a medida comum está contida
na primeira grandeza e cujo denominador exprime quantas vezes a medida
comum está contida na segunda.
Pode-se dizer também que a razão da primeira grandeza para a
segunda é uma fração que serve de medida á primeira grandeza quando se
toma a segunda para unidade (ROXO, 1924, p.229).
A ênfase dada por Euclides Roxo ao ensino de frações como medida de
grandezas continua objeto de muitos estudos e pesquisas na literatura da Educação
Matemática. Neste contexto se situa esta proposta de tese, de introduzir o conceito
de fração como medida de comprimento de segmento de reta visando à
compreensão de fração como número.
Acreditamos que no momento em que se deixa de aprofundar o conceito de
fração e suas implicações para outros conteúdos matemáticos, acentua-se a
fragilidade dos conteúdos programáticos na passagem do campo aritmético para o
campo algébrico. Disto resultam as dificuldades apontadas nas pesquisas a este
respeito. Entretanto, temos clareza de que elas não se restringem apenas ao
Colégio Pedro II, ou ao Brasil. Temos encontrado vários estudos, em países como
os Estados Unidos, Inglaterra, França, Holanda, dentre outros, que apontam as
mesmas dificuldades em alunos dessa faixa etária. É necessário que retornemos a
ousar fazer experiências metodológicas, de criar estratégias pedagógicas esperadas
e reclamadas pela sociedade brasileira.
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Caminhos Metodológicos
54
3.1.1 Grupo estudado
A pesquisa foi desenvolvida no Colégio Pedro II, Unidade Escolar Centro
(UEC), sito à Rua Marechal Floriano, 80, Centro do Rio de Janeiro. Desenvolveu-
se em sala de aula regular, de 6ª série. A Unidade Escolar contava, em 2006, com
três turmas de 6ª série (602, 604 e 606). A pesquisa foi desenvolvida na turma
604, escolhida aleatoriamente. Era composta de 35 alunos com idade média de 12
anos, sendo 20 meninas e 15 meninos. Desses 35 alunos, 29 provinham da própria
Unidade, sendo 25 oriundos da turma 504, 1 da turma 502 e 2 da turma 506, 1
aluno repetente da 6ªsérie. Uma aluna veio transferida da Unidade Escolar
Humaitá II. Os outros 5 vieram transferidos por Mandado de Segurança.
Sendo também professora regente da turma em 2006, contamos com suporte
técnico-pedagógico da Direção da Unidade, bem como seu Diretor, Prof. Flavio
de Oliveira Norte, do Setor de Supervisão e Orientação Pedagógica (SESOP), da
Secretaria de Ensino, órgão que coordena todo o processo de ensino-
aprendizagem do Colégio. Contamos também com o apoio de um estagiário,
licenciando de Matemática da Universidade do Rio de Janeiro (UFRJ). Este
estagiário, quando iniciou seu trabalho junto à turma, foi devidamente esclarecido
quanto ao trabalho que estava sendo desenvolvido e como deveríamos juntos atuar
com o aluno em sala de aula. Além disso, também teria a função de observar,
registrar as dificuldades dos alunos.
Na segunda etapa da pesquisa de campo, tivemos a colaboração da
Professora Ana Patrícia Trajano de Souza, Coordenadora de Matemática em 2007.
Colaborou no sentido de organizar e abrir espaço para que as atividades não
previstas no conteúdo programático regular pudessem acontecer. Também
contamos com a participação da Professora Eliana Giambiagi, que passou em
2007, a ser professora regente da turma da pesquisa, 803 em 2007 (604 em 2006).
Atuou como elemento facilitador na aplicação das atividades extraordinárias
desenvolvidas. Esta turma, 803, foi formada por 28 alunos oriundos da antiga 604
e de outros dez alunos, da própria Unidade Escolar ou transferidos de outra
Instituição de Ensino.
As aulas de Matemática semanais nesta turma eram em número de 4, sendo
duas na segunda-feira e as outras duas na sexta-feira.
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3
Caminhos Metodológicos
55
O início dessa pesquisa se deu em 07/04 de 2006, pois o Colégio Pedro II
havia passado por um período de greve e, por este motivo, o ano letivo de 2006
começou em 05/04. Tivemos um total de 108 aulas dadas. De 29/05/2006 a
02/07/2006 o Colégio esteve em nova greve. Retomamos em 03/07. Por este
motivo as atividades se estenderam até 02/2007. A Prova Única
7
, estabelecida
segundo o sistema de avaliação do Colégio, se deu em primeiro de dezembro de
2006. Os alunos que obtêm média inferior a sete (7,0), se submetem a uma nova
avaliação, prova de avaliação final (PAF)
8
, realizada nesse ano letivo em fevereiro
do ano seguinte (2007). Caso não alcancem grau cinco, ficam reprovados. O
sistema de avaliação atual do Colégio é baseado, ainda, em certificações
trimestrais. Em anexo, encontram-se os calendários previstos para 2006 e 2007.
3.2. O instrumento para comparação: sobre o começar e o terminar
Como instrumento de comparação entre as situações inicial e final,
aplicamos, logo no início do ano de 2006, um teste diagnóstico (Cf. Anexo 1),
replicado, no início do ano letivo seguinte, 2007, com pequenas alterações (Cf.
Anexo 2). Modificamos a ordem das questões, bem como acrescentamos uma
questão que também trazia no seu bojo o objetivo bem definido da nossa proposta
de pesquisa. Estes dois testes foram comparados e analisados. Os resultados são
apresentados no capítulo 5.
Ao longo do ano letivo foram aplicadas outras avaliações individuais ou em
dupla.
3.2.1 Origem - época do instrumento; a que ele se propõe.
O primeiro teste diagnóstico, aplicado em 07 de abril de 2006, teve como
objetivo principal identificar o que o aluno reteve das séries anteriores do
conteúdo de frações. Era composto de 6 (seis) questões, subdivididas num total de
9 (nove) itens. Compareceram a este primeiro teste 31 dos 35 alunos da turma. A
sua elaboração foi baseada nos testes desenvolvidos por Hart (1981).
7
Prova Institucional (PI): Prova Única por série em cada Unidade Escolar do Colégio Pedro II. Os
alunos que alcançam média sete (7,0) são aprovados e entram em férias.
8
Prova de Apoio Final (PAF): Os alunos que não atingem média anual sete (7,0), fazem esta
prova. Caso não alcancem grau cinco, ficam reprovados.
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Caminhos Metodológicos
56
O segundo teste, aplicado em 16/03, na primeira semana do início do ano
letivo de 2007, teve como objetivo principal avaliar o avanço do aluno em relação
ao tópico de frações, tomando como parâmetro de comparação o primeiro teste
diagnóstico. Foi composto de 6 (seis questões), subdivididas num total de 10
itens. Foi alterada a ordem das questões. Transformamos a 2ª questão do 1º teste
em um item da 1ª questão (d) do 2º teste, bem como, acrescentamos uma questão,
sobre o mesmo tópico explorado, levando em conta o amadurecimento dos alunos
após um ano de estudo. Tivemos 28 alunos da turma 604 participando deste
segundo teste. Dos dez novos alunos que passaram a compor a turma 803 em
2007, 9 participaram deste segundo teste, pois, um aluno desse grupo faltou.
Os resultados foram tabulados e as comparações estatísticas entre os dois
testes diagnóstico estão no Capítulo 5.
As modificações feitas por questão aparecem destacadas no quadro abaixo:
Quadro 3.1 – Modificações das questões do 1º e 2º teste diagnóstico
Questões antigas Questões novas
1 3
2 1 [d]
3 4
4 5
5 6
6 [a, b, c] 1 [a, b, c]
Um dos fatos, apontado detalhadamente na análise descrita no capítulo 5, é
que os nossos resultados em 2006 se assemelharam aos de Hart (1981).
Para confrontar nossos resultados com os de Hart no final da década de 70,
início de 80, na Inglaterra, contatamos a pesquisadora que nos enviou o seguinte
depoimento (abril de 2007):
Professores ainda estão ensinando frações e as crianças ainda continuam
falhando no entendimento de frações. Podemos observar esta situação
levando em consideração os resultados NAEP
9
(USA) e os testes do PISA
10
(via registro postal).
Esta avaliação de Hart em 2007, mais uma vez, reafirma, para nós, a
necessidade de ensinar fração com significado.
9
NAEP: National Assessment of Educational Progress.
10
PISA: Programa Internacional de Avaliação de Alunos.
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Caminhos Metodológicos
57
3.2.2 Retomada da Avaliação em 2007
Dando continuidade ao trabalho em 2007, para avaliar a eficácia da
estratégia proposta, aplicamos uma seqüência de atividades, baseadas nos
trabalhos de Darley (2005, 2007) “Arithmetic and Algebra Connections (Fractions
and Rational Expressions)” e o artigo “Understanding Fractions as Numbers and
Connections to Algebraic Properties, 2007”.
As atividades dessas aulas foram desenvolvidas ora individualmente, ora em
dupla, permitindo identificar o crescimento de cada aluno envolvido na pesquisa.
Cada uma das atividades atendia a um objetivo específico. Incluíam tarefas com
frações usando a reta numérica, tarefas de álgebra e finalmente tarefas
combinando esses dois conteúdos.
3. 3. Instrumentos de coleta de dados da proposta.
Foi distribuído, para cada aluno, o material com o qual trabalhamos: o
caderno de campo, onde o aluno registrava a correção de provas e testes, uma
pasta onde guardavam as folhas que foram distribuídas ao longo da pesquisa e, o
livro didático
11
trabalhado paralelamente, “Matemática para todos”, 6ª série, de
Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis, Editora Scipione, utilizado na pesquisa.
Este livro faz parte da coleção adotada pelo Colégio Pedro II no Ensino
Fundamental do 6º ano ao 9º ano. Esta coleção é a que mais se aproxima da nossa
proposta pedagógica: ajuda o aluno no desenvolvimento do raciocínio, favorece o
modo de pensar independente e contribui para que aprenda a tomar decisões.
Além disso, convida os leitores a pensar, em vez de dar receitas prontas, propõe
problemas ao invés de enfatizar exercícios repetitivos e mecânicos, procura
relacionar a matemática com diversos aspectos do mundo em que vivemos. É um
material que exige que o leitor se concentre, raciocine e trabalhe. Foi usado
adequando-o, sempre que necessário, ao nosso trabalho da pesquisa.
11
O livro didático é adotado segundo consulta interna aos professores do Departamento de
Matemática, de acordo com a proposta do mesmo, baseado no Projeto Político Pedagógico (PPP)
do Colégio.
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Caminhos Metodológicos
58
3. 4. Procedimentos da realização da proposta.
Durante todo o ano, foram feitos registros no caderno-diário, pontuando o
que foi planejado juntamente com o que realmente foi implementado, como
também atividades acadêmicas desenvolvidas no Colégio, tais como, “Semana da
Cultura”, Olimpíadas de Matemática: Olimpíada Brasileira das Escolas Publicas -
OBMEP; Olimpíada Brasileira de Matemática – OBM. Foram registradas,
também, as alterações devidas a paralisações, greves, etc.
Além dos dois testes diagnósticos aplicados em abril de 2006 e em março de
2007, realizamos ao longo do ano letivo, um total de quinze outras avaliações,
entre elas, testes individuais, testes em dupla, trabalhos em grupo, incluindo neste
total a prova institucional (PI), bem como a prova de avaliação final (PAF).
Os exercícios propostos tiveram como objetivo desenvolver no aluno o
pensamento algébrico - considerando como ponto de partida o conceito de fração
como medida de comprimento. Demos ênfase a frações equivalentes, ordenação
na reta numérica e operações numéricas, empregando a definição assim formulada
em cada atividade.
A idéia básica dos exercícios e problemas oferecidos em testes, provas e
desafios ao longo do ano letivo foi, sempre, aproveitar o conteúdo de frações
como rampa para o aluno desenvolver seu pensamento algébrico. Quando
introduzidos na álgebra, os estudantes precisam perceber os aspectos em que ela
generaliza a Aritmética. Desta forma, a Álgebra aparece como uma versão mais
abstrata e mais geral das operações aritméticas com números inteiros, frações e
decimais. Há aí generalização no sentido de que a álgebra vai além do cálculo de
números específicos e em vez disso foca nas propriedades que são comuns a todos
os números sob discussão, sejam eles frações positivas, números inteiros, etc.
3.5. Registros do Pesquisador
Além de documentado na forma referida acima, o desenvolvimento do
programa foi registrado, aula após aula, em meu controle próprio como professora
regente da turma. Estes registros constituíram a base para as análises
desenvolvidas e apresentadas nos capítulos seguintes.
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4
Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
Fizemos uma alteração na ordem do conteúdo programático respeitado pelas
demais turmas da série, organizando os conteúdos de modo a colocar o ensino de
frações em uma posição central. Começamos com a conceituação de fração na reta
numérica, trabalhamos este conceito nas relações de equivalência e ordem e
operações e finalmente desenvolvemos diferentes formulações para o mesmo
conceito.
Os Quadros abaixo permitem visualizar as alterações efetuadas. O Quadro
4.1 mostra a ordem em que trabalhamos, na aplicação da nossa proposta. O
Quadro 4.2 apresenta a organização seguida pelas outras turmas.
Quadro 4.1 – Conteúdos Programáticos da 6ª série (turma 604)
2006
1º trimestre
2º trimestre
3º trimestre
Conteúdos
P
R
O
G
R
A
M
Á
T
I
C
O
S
• Reta numérica: conceito
de fração como unidade
de medida;
• Unidade de medida
associada à área de um
quadrado unitário;
• Frações equivalentes e
ordem;
• Porcentagem;
• Operações com frações:
adição e subtração;
• Padrões numéricos;
• Números decimais e
suas operações.
• Medidas (instrumentos
e unidades de medida,
sistema métrico, medindo
o tempo)
•Números relativos e suas
operações;
• Proporcionalidade;
•Multiplicação e divisão
de números fracionários;
• Usando letras;
• Equações.
• Áreas e volumes;
•Geometria
tridimensional.
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
60
Quadro 4.2 - Conteúdos programáticos da 6ª série (demais turmas)
2006
1º trimestre
2º trimestre
3º trimestre
Conteúdos
P
R
O
G
R
A
M
Á
T
I
C
O
S
•Números naturais;
•Números decimais e
frações;
•Formas geométricas;
•Medidas (instrumentos e
unidades de medida,
sistema métrico, medindo
o tempo)
• Proporcionalidade.
•Números positivos e
negativos e suas
operações;
•Construções
geométricas;
• Usando letras;
• Equações;
• Porcentagem.
• Áreas e volumes;
•Geometria
tridimensional.
O trabalho em sala de aula teve início em abril de 2006. O Colégio Pedro II
havia passado por um longo período de greve no ano anterior, 2005
1
. No primeiro
contato com a turma 604, em 07/04/2006, os alunos foram informados de que
seria desenvolvido com eles um trabalho de pesquisa ao longo do ano. Logo após
os esclarecimentos das dúvidas suscitadas, foi aplicado um teste diagnóstico,
resolvido individualmente por cada aluno (Cf. Anexo1).
Este primeiro teste diagnóstico teve como objetivo identificar o que o aluno
reteve da aprendizagem das séries anteriores sobre o conteúdo de frações. Dois
aspectos foram considerados:
• O domínio do conceito e sua significação prática;
• A familiarização com os procedimentos envolvendo operações com
frações.
O teste foi elaborado tomando por base o trabalho desenvolvido por
Kathleen Hart no livro Children’s Understanding of Mathematics: 11-16. A
análise dos resultados desse teste permitiu constatar que, embora o trabalho de
Hart, publicado em 1981, tenha sido desenvolvido com crianças da Escola
Secundária do Reino Unido no período de 1974-1979, os erros cometidos por eles
se repetem com alunos no Brasil em 2006. As crianças dessa faixa etária
continuam apresentando o mesmo tipo de erro. A análise das questões, adiante,
1
A greve se estendeu de 29/08 a 01/12, reiniciando as aulas em 05/12 e terminado em 17/03/2006.
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4
Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
61
estabelece um paralelo entre os comentários em Hart (p. 66-81) e as dificuldades
que os alunos revelam nesse teste.
Para a composição do teste, foram elaboradas questões sobre frações
equivalentes, ordem de frações e operações de frações. O teste foi composto de
seis questões, subdivididas em um total de nove itens. Cada questão está associada
a pelo menos um aspecto conceitual ou a um aspecto procedimental. O primeiro
tipo de associação, identificado aqui como conceitual ou teórico, ocorre quando a
questão visa avaliar se um determinado elemento do conceito de fração é
dominado pelo aluno. O segundo tipo, denominado como procedimental ou
prático, visa identificar a presença de uma determinada atividade que pode ser
usada para que o aluno adquira corretamente o conceito de fração ou para
antecipar a introdução à Álgebra.
No primeiro caso, identificamos os elementos conceituais que, de acordo
com a análise de Wu, devem ser enfatizados para que o conceito de fração seja
corretamente adquirido e empregado de modo a ampliar a capacidade de abstração
e generalização do aluno. Esta conceituação consiste em que fração é um número
e mede uma relação a uma unidade de medida.
No segundo caso, separamos três tipos de atividades que podem ser
preferencialmente usadas na prática do ensino de frações para favorecer a
realização dos objetivos de ensino do conceito de fração referidos acima:
operações com frações, problemas com frações e notação de unidades de medida
com letras.
Os resultados desse teste, e de sua replicação em 2007 (Cf. Anexo 2), estão
descritos e analisados no capítulo 5.
Identificadas por meio do teste a situação dos alunos, o objetivo deste
primeiro momento do trabalho foi que o aluno conseguisse reconhecer fração
como número. Para tanto, foram desenvolvidas atividades trabalhando o conceito
de fração como medida de comprimento de segmento de reta.
Uma característica que merece atenção nesta apresentação de fração é que
frações e números inteiros são tratados em pé de igualdade. Evita-se, deste modo,
uma descontinuidade conceitual perturbadora para os alunos iniciantes. O
caminho natural para que esta continuidade ocorra está na ênfase na noção de
frações equivalentes e na ordem no conjunto de frações. Essas considerações estão
fundamentadas nas pesquisas de Hart, (p.66), que verifica que a familiaridade com
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
62
esses tópicos de fração serve como facilitador para a compreensão de fração como
número.
Na primeira aula depois do teste diagnóstico, em 10/04, segunda-feira, com
o desempenho dos alunos no teste já avaliado e tabulado, relembramos o conjunto
dos números naturais, representando-os na reta numérica. Algumas atividades
foram desenvolvidas com os alunos em sala de aula já incluindo itens sobre
frações. Outra coletânea de folhas avulsas foi entregue com problemas para serem
resolvidos em casa. Deste modo, consecutivamente, durante as aulas que se
seguiram fizemos a correção dos exercícios tendo sido trabalhada a introdução do
conceito de fração como medida de comprimento de segmento de reta. Por não
constar no livro texto, este conteúdo foi entregue, a cada aluno, em folhas avulsas
e numeradas de 1 a 13, para que pudessem tê-lo documentado e guardado em suas
pastas (Cf. Anexo 3).
Em nova leva de exercícios sobre o mesmo tema, a ênfase foi em questões
relativas à identificação da unidade de medida. O não reconhecimento da unidade
de medida em vários problemas sobre este conteúdo é um dos erros mais
apontados por Kathleen Hart e Wu.
Estes exercícios foram resolvidos em dupla. Ao final destas aulas foi
marcada uma nova avaliação, individual, para 12/05.
Nas duas aulas seguintes, começamos agora a desenvolver a noção de
unidade de medida não apenas por meio da unidade na reta numérica, mas,
também, empregando figuras geométricas, tais como o quadrado unitário, o
círculo, etc.
O teste previsto para o dia 12/05 foi aplicado, com o comparecimento total
dos alunos. Um dos objetivos era verificar se, após ter sido trabalhado o conceito
de fração como medida de comprimento de segmento de reta, o aluno conseguia
reconhecer fração em medidas de área, usando como unidade a área do quadrado
unitário. Este teste constou das sete questões descritas abaixo (Cf. Anexo 4).
Análise detalhada das respostas dos alunos está desenvolvida no Capítulo 6.
1ª questão:
Responda:
Qual é maior: Um oitavo de três quintos ou um terço de oito quintos? Justifique.
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63
Esta questão apresentou elevada taxa de respostas insatisfatórias. Sua
dificuldade decorre, para o aluno que tenta resolver aplicando as regras
operacionais, exigir que efetue o produto de fração por fração. Se o aluno segue a
alternativa de fazer a representação na reta numérica, fortalece a compreensão da
fração como número.
A 2 ª questão trata diretamente de representação de fração na reta numérica:
2ª questão:
Represente na reta numérica e escreva na forma de número misto a fração
230
459
.
Ao contrário da questão anterior, esta apresentou alta taxa de acertos. Esta
questão pode ser considerada fácil. Já havíamos trabalhado bastante, a esta altura,
a representação da uma fração na reta numérica. Acertaram a questão
integralmente 22 alunos (65%) e apenas 3 erraram (8,9%), os demais acertaram
parcialmente esta questão.
3ª questão:
Eu estou lendo um livro que tem vários capítulos, todos com o mesmo número de
páginas. Ao terminar um capítulo verifico que acabara de ler a página 246.
a) Supondo que o capítulo que eu acabei de ler seja o sexto e que o livro tem 10
capítulos, quantas páginas teria o livro?
b) Supondo que o livro tenha 492 páginas e 6 capítulos, quantos capítulos ainda
não li?
A 3ª questão apresentou, também, um alto índice de acerto, que pode ser
atribuído ao seu caráter concreto, que facilita a identificação da unidade de
medida. O item (a) apresentou um percentual de acerto de 67,65% enquanto, no
item (b), o percentual de acerto foi de 70,59%.
4ª questão:
Helena está a
4
3
do caminho de casa para a escola depois de ter andado
5
2
2
milhas.
a) Qual a distância, em milhas, entre sua casa e a escola?
b) Se uma milha são 1600 metros, quantos metros Helena ainda tem de caminhar,
do ponto em que está até a escola?
Já na 4ª questão o índice de acerto não foi satisfatório. Os itens (a) e (b)
apresentaram o mesmo percentual de acerto, de apenas 26,47%. Esta questão
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apresenta dificuldade tanto para o aluno que tenta uma abordagem conceitual
quanto para aquele que recorre ao domínio dos recursos operacionais.
5ª questão:
Maria e João saem de casa com dinheiro no bolso. Maria gasta a terça parte do
que leva e João gasta metade do que leva. Pode acontecer de João voltar para casa
com mais dinheiro que Maria? Se a sua resposta é afirmativa, determine
precisamente em que casos isso pode acontecer.
A 5ª questão teve como objetivo verificar se o aluno consegue perceber a
necessidade de identificar a unidade para resolver o problema. Esta questão já
fizera parte do teste diagnóstico inicial. Neste teste, aumentamos seu grau de
dificuldade em relação àquele teste. Agora o aluno deveria procurar determinar os
casos em que o fato poderia acontecer.
A maioria dos alunos conseguiu responder corretamente, inclusive
explicando, por meio de exemplos numéricos, o porquê de João poder voltar para
casa com mais dinheiro que Maria. A dificuldade ficou por conta de determinar o
limite entre as quantias de Maria e João em que esta situação ocorreria.
A 6ª questão foi adaptada do trabalho de Wu (2002, p.19, 20). Ele cita que a
mesma foi aplicada em um teste de psicologia, onde o autor menciona a
dificuldade que as pessoas têm em reconhecer se as figuras estão ou não divididas
em três partes iguais. No nosso teste, apenas dois alunos conseguiram comparar
corretamente e visualizar que a primeira figura estava dividida em três partes
iguais, enquanto que a segunda figura não está dividida em três partes iguais.
6ª questão:
Os dois círculos abaixo têm a mesma área. Os ângulos XOY, YOZ e ZOX são
iguais. Também são iguais os segmentos de 0 a I, de I a II e de II a III.
Como você compara a seção hachurada XOY do primeiro círculo com a seção
hachurada ABCD do segundo?
1ºcírculo 2ºcírculo
Outra questão que merece destaque é a sétima. Passamos a trabalhar fração
agora considerando como unidade de medida o quadrado unitário. Esta questão
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apresenta um grau de dificuldade elevado. Os alunos neste início do ano ainda não
se tinham habituado a atribuir à devida importância à identificação da unidade de
medida. O percentual de acerto do item (a) foi de 44% e o do item (b) de 18%.
7ª questão:
Suponha que a unidade 1 agora é a área da região hachurada da figura.
Escreva as frações abaixo representando a área hachurada de cada figura, levando
em conta a unidade acima e, dê uma breve explicação de sua resposta.
2
(a) figura (1)
Resposta:
(b) figura (2)
Resposta:
Na aula imediatamente a seguir, em 15/05, encorajamos os alunos a
copiarem no “caderninho da pesquisa”, cada questão e sua resolução, mesmo que
tivessem acertado.
Em 22/05 iniciamos o trabalho com o capítulo 3 do livro, que tratava de
padrões numéricos (p.46). Para desenvolvermos este capítulo usamos como
2
Fonte: Chaper 2: Fractios. H.Wu, 2002, p.18.
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
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estratégia leitura do texto, apresentação no quadro, e, paralelamente, contamos
com a participação dos alunos que faziam o fechamento de varias idéias que o
texto sugeria. O tema recorria a conteúdos desenvolvidos em séries anteriores,
como seqüências de números inteiros, múltiplos e divisores. Em seguida
formamos duplas para resolverem uma bateria de exercícios que o livro contém
(p.46-60). Para casa foram propostos exercícios do mesmo capítulo.
Optei por oferecer uma bateria maior de exercícios para casa, porque havia
sido anunciada uma greve que efetivamente aconteceu, só se retornando em 3 de
julho.
Durante o período de greve preparamos uma coletânea de folhas extras para
que os alunos trabalhassem com padrões numéricos. Somente parte da turma
compareceu para receber o material.
Durante este período foram entregues listas de exercícios de revisão (Cf.
Anexo 5).
a) 1ªlista-05/06/2006: “Pensando em seqüências”;
b) 2ªlista-12/06/2006: Padrões numéricos; número
composto e decomposição em fatores primos;
c) 3ªlista-30/06/2006: padrões numéricos e seqüências
usando figuras geométricas.
A Secretaria de Ensino, órgão que coordena todo o processo de ensino-
aprendizagem das Unidades Escolares do Colégio sugeriu aos professores que a
primeira semana de volta às aulas, isto é, de 3 a 7 de julho de 2006 fosse um
período de revisão. Assim sendo, após o retorno, optei por uma revisão de frações.
Nas aulas subseqüentes trabalhamos números decimais. Para este
desenvolvimento, utilizamos o conceito de fração e o princípio posicional do
sistema de numeração. Procuramos integrar o conteúdo de números decimais às
suas aplicações tais como aos sistemas de medidas de comprimento, áreas e
capacidade. Aproveitamos, também, para trabalhar porcentagens ligadas ao
cotidiano dos alunos.
Uma das nossas preocupações nesta pesquisa era incentivar a descoberta e a
discussão entre os alunos para chegarem naturalmente às devidas conclusões. Para
complementar o nosso objetivo foi entregue aos alunos nova coletânea de folhas
avulsas (Cf. Anexo 6). Além de utilizar o livro texto (p.63-94), nos apoiamos
também no livro para-didático “Números - Linguagem Universal”, do Projeto
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67
Fundão. Este livro tem como objetivo, entre outros, ajudar o professor a
identificar os inúmeros problemas que as crianças enfrentam ao trabalhar
inicialmente com números naturais e as quatro operações, também com frações e
decimais.
Nas duas semanas subseqüentes continuamos a desenvolver o conteúdo de
números decimais. Nova bateria de exercícios foi oferecida além dos contidos no
livro texto.
Faz parte do sistema de avaliação da Unidade Escolar Centro uma semana
de provas por trimestre. Todas as aulas são suspensas e duas provas ocorrem por
dia. A prova de Matemática da 1ª certificação foi realizada em 21/07 (Cf. Anexo
7).
O conteúdo estabelecido para esta avaliação foi: a) frações na reta numérica;
unidade de medida levando em conta o quadrado unitário; b) números decimais e
sistema de medida de comprimento, áreas e capacidade; c) padrões numéricos e o
conjunto dos números inteiros.
Esta prova, desenvolvida em duas aulas de 45 min cada, foi elaborada com
sete questões e 16 itens. Continha também um desafio não obrigatório, porém,
computado como ponto extra, cujo objetivo é estimular o raciocínio mental.
Dentre as questões elaboradas para a prova de 21/07 podemos destacar a 1ª
questão, adaptada do trabalho de Wu
3
, em que trabalhamos com:
a) Fração equivalente considerando como unidade de medida o quadrado
unitário, fazendo correspondência com a reta numérica.
b) Representação da fração na reta numérica.
1ª questão:
a) Sem fazer cálculos, somente utilizando a figura acima, mostre que
2
5
6
15
= são frações equivalentes. Indique sua posição na reta numérica.
3
Esta questão foi retirada do capitulo 2 do livro Fractios. H.Wu, 2002, p.29.
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b) Agora, somente usando a reta numérica, represente a fração abaixo, sem
precisar repartir a unidade em 195 partes iguais:
195
52
.
A taxa de acerto nesta questão ficou em torno de 62 %. Comparando com a
7ª questão do 1º teste individual de 12/05, elaborada com o mesmo objetivo, isto
é, considerando o quadrado unitário como unidade de medida, pode-se observar
que a maioria da turma conseguiu, neste momento, lidar com uma unidade de
medida não usual.
Outra questão importante foi a 3ª questão.
3ª questão:
a) Paula mora em um quarteirão quadrado cuja área é de 10 000 m
2
.
- Quanto mede um lado do quarteirão?
- Paula costuma dar 5 voltas por dia nesse quarteirão. Quanto ela anda por
dia? E nos cinco dias úteis de uma semana?
b) Com 48 ripas e meia de madeira, cobre-se exatamente o rodapé de uma
sala de 38,8m de perímetro. Qual a medida de cada ripa usada?
4
A 3ª questão teve como objetivo, no primeiro item, empregar unidade de
área e no segundo item tratar de medida de comprimento envolvendo números
decimais. Este problema, envolvendo números decimais e divisão, provocou um
desempenho insatisfatório.
Tanto a 4ª questão quanto a 5ª questão tiveram como objetivo trabalhar
padrões numéricos e generalizações (BOOTH, 1984, p. 26), como preparação para
a descoberta de “termo desconhecido” (raciocínio abstrato)
5
.
4
Esta questão foi retirada do livro Números: Linguagem Universal. Instituto de Matemática/UFRJ
- Projeto Fundão. Coordenação de Vânia Maria P. dos Santos & Jovana Ferreira de Rezende,
1996–exercício 4, p.106.
5
Esta questão foi retirada do livro de Lesley R.Booth, Álgebra: Children’s Strategies and Errors,
1984, p.98.
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4ª questão:
a) O que você pode escrever a respeito do perímetro das figuras abaixo:
Todos os lados têm comprimento 7.
Há ao todo 19 lados.
Resposta:
b) Agora parte da figura abaixo está escondida.
Todos os lados têm comprimento 5.
Há ao todo n lados.
Resposta:
A seguir temos a 5ª questão, que teve os mesmos objetivos:
5ªquestão:
a) Uma espaçonave viaja em “estágios” os quais têm todos a mesma distância.
Se cada “estágio” tem quatro anos–luz de comprimento, o que você poderia
escrever sobre a distância percorrida pela nave em 97 estágios? (ano luz: unidade
de distância que equivale à distância percorrida pela luz, no vácuo, em um ano, à
razão de aproximadamente 300 000 km por segundo.)
b) Se cada estágio tem 11 anos-luz de comprimento, o que você poderia escrever
sobre distância percorrida pela nave em y “estágios"?
6
6
Esta questão foi retirada do livro de Lesley R. Booth : Álgebra: Children´s Strategies and Errors ,
1984, p.98.
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A 7ª questão trabalhou com unidade de capacidade, envolvendo operações
com números decimais.
7ª questão:
Num restaurante são gastas 40 latas de óleo com 0,6 litros cada uma mensalmente.
Quantos litros de óleo são gastos por mês nesse restaurante? Se o dono quiser
comprar esse óleo em latas de 4,5 litros, quantas latas deverá comprar no primeiro
mês? Nesse caso, quantos litros sobrarão a cada mês? Ele precisará comprar, todo
mês, a mesma quantidade de latas de 4,5 litros? Justifique sua resposta
7
.
No período seguinte, iniciamos uma revisão levando em conta as
dificuldades encontradas na prova anterior. Ainda por conta de dúvidas existentes
na turma resolvemos fazer uma revisão em pontos que entendemos representarem
dificuldade para os alunos. Aplicamos ainda um teste em dupla, computado para a
1ª certificação, cujo conteúdo se referia a números decimais e suas operações. Na
aula seguinte efetuamos a correção do mesmo.
Em função do Conselho de Classe (COC), as aulas regulares neste período
foram suspensas.
De 11/08 a 18/08 ocorreu o período de recuperação, Nessas aulas destinadas
ao apoio desenvolvemos a seguinte estratégia:
• Os alunos com notas inferiores a cinco (M
1ªCertif
< 5,0) receberam aulas extras
do professor-pesquisador. Foram refeitos os testes anteriores e distribuídas
folhas complementares com os conteúdos desenvolvidos até a primeira
certificação.
• Os alunos com média superior ou igual a sete (M
d1ªc
≥
7,0) na 1ª certificação
foram convidados a serem monitores dos alunos com média superior ou igual
a cinco e inferior a sete (5,0
≤
M
d1ªc
< 7,0) para ajudá-los nos conteúdos de
frações e números decimais. Mesmo não sendo obrigatório este apoio para
alunos com média superior a cinco e inferior a sete muitos deles quiseram
participar do estudo. O grupo de alunos mais fracos, isto é, com média inferior
a cinco ficou sob a responsabilidade da professora regente. Trabalharam com
as folhas suplementares preparadas para os alunos em recuperação.
• Ao final do período da 2ª certificação, estes alunos-monitores receberam como
“pagamento” deste auxílio um acréscimo de 10% a sua média nesta
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71
certificação. Deste modo, ao mesmo tempo em que estávamos desenvolvendo
a solidariedade em relação ao colega, estávamos também introduzindo o
conceito de porcentagem ligado ao dia-a dia do aluno de forma natural.
A prova de recuperação ocorreu no fim de agosto. Na aula de 11/08
introduzimos formalmente o conteúdo de “Medidas”, fazendo um
acompanhamento paralelo com o livro texto (p. 78-94, capítulo 3).
Em aulas subseqüentes demos continuidade ao conteúdo de medidas
utilizando os exercícios propostos no livro texto (p.78-94) e complementado com
exercícios em folhas avulsas. Nestes exercícios trabalhamos com unidades de
medida de comprimento, unidades mais comuns de medida de massa, unidades de
medida de tempo.
Após essas aulas, marcamos um novo teste em dupla, contemplando os
seguintes conteúdos: números decimais, destacando o conceito de fração e o
princípio posicional do sistema decimal de numeração; integração de números
decimais a sistemas de medida de tempo, comprimento, área e capacidade;
padrões numéricos ligados a frações, números decimais e sistemas de medida.
Este teste foi composto de 14 questões e 35 itens. Os resultados mostraram
um bom desempenho dos alunos: 3 (8,8%) notas menores que 5; 14 (41,2%) notas
maiores ou iguais a 5 e menores que 7 e 17 (50%) notas iguais ou superiores a 7.
Na 29ª aula, em 01/09, o estagiário da UFRJ dirigiu a execução de um
trabalho em dupla pelos alunos, contendo exercícios de revisão preparada por nós,
já que não estaríamos presentes. O conteúdo da lista envolveu números decimais,
integrando-os com sistema de medidas de comprimento, áreas e capacidade;
porcentagem a partir de exemplos em jornais e revistas; proporcionalidade direta e
inversa. Esse trabalho constou de 14 questões e 30 itens que reviam questões
envolvendo os conteúdos do teste em dupla anterior por se tratarem assuntos que
representam pontos de estrangulamento no processo de aprendizagem dos alunos.
Após fazermos a correção dos problemas tanto do teste de 28/08 como da
lista de exercícios de 01/09, foram entregues os gabaritos para cada aluno da
turma da pesquisa para servirem como mais uma fonte de material de estudo.
Em 04/09 introduzimos os números inteiros, positivos e negativos, na reta
numérica, aproveitando o conhecimento desenvolvido com os números naturais na
7
Esta questão foi retirada do livro Números: Linguagem Universal, do Projeto Fundão. 1996,
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reta numérica. O livro texto foi utilizado como suporte de tal forma que os
exercícios e exemplos do cotidiano serviram para facilitar a compreensão dos
alunos nesse conteúdo.
Nas aulas seguintes fizemos a correção dos exercícios propostos,
intensificando o que já havia sido feito anteriormente com os números naturais em
relação à representação desses números na reta numérica.
Dando continuidade ao desenvolvimento desse conteúdo trabalhamos ordem
entre os números inteiros, adição e suas propriedades utilizando a reta numérica.
Nova bateria de exercícios foi proposta. Nas aulas que precederam a prova
trimestral, trabalhamos com a turma dividida em duplas, aulas de monitoria
procurando solidificar o conteúdo que estava sendo ministrado.
A prova de matemática correspondente à 2ª certificação ocorreu em 22/09
(Cf. Anexo 8). Foi elaborada contendo números decimais, integrando-os às
aplicações nos sistemas de medida de comprimento, área, massa e capacidade.
Foram elaboradas 16 questões e 61 itens. Os alunos tiveram um bom desempenho
nesta avaliação. Tivemos como resultados: 5 (14,8%) notas menores que 5; 6
(17,6%) notas maiores ou iguais a 5 e menores que 7 e 23 (67,6%) notas iguais ou
superiores a 7.
A 1ª questão foi composta de 4 itens. Trabalhamos com a unidade de massa
onde o aluno deveria trabalhar com “balança de pratos” estimando o “peso” de
cada mercadoria comprada
8
. O principal objetivo desta questão era dar
continuidade à preparação para a resolução de equações, desenvolvendo a “idéia
de equilíbrio”.
1ª questão:
Dona Lourdes é feirante e todo sábado vai ao Mercadão de Madureira comprar as
mercadorias para vender e pede para entregar em sua barraca. Eis a cópia da lista
do sábado passado.
Mercadoria Peso
Chuchu 5 kg
Cenoura 10 kg
Cebola 12 kg
Pimentão 4 kg
Aipim 15 kg
Batata
exercício 7, p.109.
8
Questão extraída do Material didático apresentado na oficina oferecida pela Equipe do Projeto
Fundão: “Álgebra na Escola Básica: Significado? Mecanização?”, no 4º Encontro Estadual de
Educação Matemática do Rio de Janeiro (4º EEMAT, 2006).
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Quando a mercadoria chega, ela precisa conferir os pesos. Ela possui vários pesos
de diferentes valores: 5 pesos de 2 kg, 2 pesos de 1 kg, 4 pesos de 500g e 3 pesos
de 100g.
a) Ela colocou o saco de chuchu num dos pratos da balança. Indique os pesos que
ela deve colocar no outro prato para que ela confira o peso.
b) Para agilizar o trabalho ela resolveu colocar mercadorias nos dois pratos. Com
que pesos ela deve completar os pratos para equilibrar a balança? Isto basta para
ela conferir os pesos das mercadorias compradas?
c) Ela esqueceu quantos quilos de batata tinha comprado. A figura indica como
Dona Lourdes equilibrou a balança. Quanto pesa o saco de batata?
d) Quando Dona Lourdes foi conferir o peso do pimentão, ela observou que a
balança ficou desequilibrada. Como você explica o que ocorreu?
Na 2ª questão trabalhamos com a unidade de medida de superfície,
operações envolvendo decimais que culminavam com o cálculo do preço de cada
mercadoria adquirida.
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2ª questão:
Rafael está fazendo uma reforma em sua casa. Para isso, comprou material de
construção. Porém, a nota fiscal molhou com a chuva e ele quer recuperar o que
ficou apagado.
MERCADORIA PREÇO UNITÁRIO VALOR
3 sacos de cimento R$ 21,20 R$
20 m
2
de piso R$ R$ 218,00
Latas de tinta R$ 108,70 R$ 434,80
TOTAL R$
Complete a nota com os valores que faltam e depois responda de quanto foi o
troco, se o pagamento dessa compra foi feito com R$ 800,00.
Na 3ª questão trabalhamos novamente unidade de medida de massa.
Nas questões 4, 5 e 6 trabalhamos com operações de números decimais,
enquanto a 7ª questão envolveu porcentagem.
7ª questão:
A venda de um mesmo tipo de fogão está sendo anunciada em duas lojas:
Em qual das duas lojas esse fogão sai mais barato?
a) De quanto foi a diferença, em reais, de uma loja para a outra?
Compre seu fogão com
de desconto Fogões com de desconto.
Fogão: R$ 400,00 Compre já!!!!
A 8ª questão foi elaborada com o objetivo de fazer o aluno representar na
reta numérica números decimais e números fracionários.
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8ª questão:
Observe a reta numerada:
Marque:
A – se o número estiver entre 0 e 1
B – se o número estiver entre 1 e 2
C – se o número estiver entre 2 e 3
D – se o número estiver entre 3 e 4
E – se o número for maior que 4
( ) 0,5 ( ) 0,25 ( ) 4,095 ( )
3
9
( )
2
1
( ) 1,38 ( ) 3,02 ( ) 3,1 ( )
10
5
( )
4
3
( )
1000
97
( ) 0,987 ( )
100
4095
( )
10
789
( )
6
21
A 9ª questão trabalhou com unidade de medida de temperatura enquanto a
10ª questão com unidade de medida de capacidade. A 11ª e a 16ª questões
trabalharam respectivamente com unidades de massa e capacidade. Por sua vez da
12ª a 15ª questões trabalhamos com números inteiros positivos e negativos.
Ao final da semana de provas fizemos a correção da prova trimestral e a
seguir continuamos trabalhando as operações com números inteiros. Nova bateria
de exercícios foi oferecida.
A seguir, introduzimos o conceito de proporcionalidade, utilizando
grandezas direta e inversamente proporcionais. Utilizamos como suporte o livro
texto (p.117-131). Retornamos à porcentagem, utilizando frações equivalentes e a
sua representação decimal.
Nas aulas seguintes prosseguimos com o estudo da noção de
proporcionalidade fazendo a correção dos deveres. Com a “Semana da Cultura”.
tivemos uma pequena suspensão das aulas.
Ao retornarmos às aulas regulares, trabalhamos com as operações de
multiplicação e divisão de números inteiros, além de uma nova bateria de
exercícios do livro texto. (p.173-185). Mais uma vez aproveitando a reta
numérica, desenvolvemos as operações de multiplicação e divisão de números
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76
inteiros usando a orientação à direita do zero e à esquerda do zero na reta
numérica facilitando a compreensão dessas operações.
Em 27 de outubro foi ministrada a prova de recuperação, como sempre em
turno oposto às aulas regulares.
Em 30/10, aplicamos um teste individual com consulta da pasta, elaborado
com 15 questões e 77 itens, visando à avaliação da aprendizagem dos seguintes
conteúdos: problemas e exercícios envolvendo o conceito de proporcionalidade
direta e inversa, grandezas diretas e inversamente proporcionais, porcentagem.
Complementamos as questões do teste com um desafio, tendo, mais uma vez, o
objetivo de desenvolver o raciocínio lógico (Cf. Anexo 9). Tivemos, como
resultado final dessa avaliação, 14 notas (44%)
≥
7,0, 10 notas (31%) entre 5,0 e
7,0 e 8 notas < 5,0.
A 1ª questão trabalhou proporcionalidade, com o objetivo de verificar se o
aluno compreendia se as grandezas comparadas eram proporcionais ou não, como
vemos abaixo:
1ª questão
9
:
As tabelas abaixo apresentam preços de dois estacionamentos de carros
localizados em lugares diferentes: Complete os espaços que estão apagados na
tabela.
9
Extraída do livro: “Matemática na vida e na escola”, 6ª série. Ana Lúcia Bordeaux, et al. Editora
do Brasil, 1999.
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77
a) No estacionamento do Shopping Sol, quando o tempo de permanência dobra, o preço
também dobra? E quando triplica?
b) E no Shopping Lua, isso também acontece?
c) Se um colega seu tivesse contado a você que pagou R$8,00 para estacionar durante 4h
no Shopping Sol, você saberia o preço de uma hora nesse estacionamento?
d) E se você soubesse apenas o preço pelo período de três horas no Shopping Lua,
poderia saber o preço de uma hora?
e) Em qual desses estacionamentos o preço total a pagar e o tempo de estacionamento são
proporcionais? Justifique sua resposta.
Uma das colunas a ser completada envolvia proporcionalidade. Se o número
de horas dobrasse, a quantia a ser paga também dobrava. Se o número de horas
triplicava, a quantia também triplicava. E assim por diante (raciocínio
multiplicativo). Em uma outra coluna a ser completada, a quantia a ser paga
aumentava de certa quantidade fixa (raciocínio aditivo).
Os alunos obtiveram bom desempenho nesta questão, o que indicou um bom
entendimento no conceito de proporcionalidade.
A 2ª e 3ª questões trabalharam o conceito de escala. A 2ª questão item (a)
apresentou 24 acertos em 32 enquanto o item (b) apresentou 18 acertos em 32. A
3ª questão o desempenho do item (a) foi de 18 em 32 e a do item (b) 10 em 32.
A 4ª e 5ª questões trabalharam o conceito de grandezas diretamente
proporcionais.
4ª questão:
a) Dona Maria está vendendo na feira saquinhos com 3 maçãs ao preço de R$ 5,00.
Antonio é dono de uma confeitaria e vai precisar de 36 maçãs para fazer algumas
tortas. Quanto Antonio vai gastar com dona Maria para comprar as maçãs que
necessita? Nessa atividade por que não é conveniente achar o preço de cada maçã e
depois o valor de 36? Justifique sua resposta.
b) Felipe queria economizar gasolina. Para isso, ele anotou quantos litros colocava no
carro e o preço que pagava em dezembro de 2001. Examine a tabela e responda:
1. É possível, fazendo cálculos, prever o preço que
Felipe pagaria por 48 l de gasolina? Em caso afirmativo
calcule esse valor.
2. É possível, fazendo cálculos, prever quantos litros de
gasolina ele colocaria com R$ 36,00? Em caso
afirmativo, calcule o número de litros.
3. Qual o preço de 80 l ?
4. Quantos litros poderia comprar com a metade desse
valor?
5. Essas duas grandezas são ditas grandezas..........
10
10
Extraído do livro Extraído do livro texto: ”Matemática é tudo”. Luiz Roberto Dante, Editora
Ática, 6ªsérie, p.232, 2002.
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5ª questão:
Sr. José dono da Padaria Pão Quente, anotou a quantidade de filões pequenos produzidos
em função da quantidade de farinha de trigo gasta por ele. Examine a tabela e responda às
perguntas:
a) É possível prever quantos filões pequenos serão fabricados com 100 kg de farinha?
Explique e calcule.
b) É possível prever quantos quilogramas de farinha de trigo serão necessários para
fabricar 1800 filões pequenos?
c) Podemos concluir que essas grandezas são diretamente proporcionais?
11
Tanto na 4ª quanto na 5ª questão, o desempenho dos alunos foi bastante
satisfatório. Já a 6ª questão, que trabalhou com unidade de superfície envolvendo
comparação de material de construção, não suscitou um bom desempenho. Mais
uma vez se apresenta a dificuldade em trabalhar com operações com decimais.
6ª questão:
Alfredo colocou lajotas no piso de seu banheiro, que mede 3m por 3m, e gastou
R$ 30,00. Agora ele quer colocar o mesmo tipo de lajota na cozinha, que mede
4,5m por 4m. Quanto Alfredo vai gastar na compra das lajotas?
Na 7ª questão o aluno tinha que identificar se havia compreendido se as
grandezas envolvidas eram ou não proporcionais. O desempenho nesta questão foi
muito bom. Tivemos apenas três alunos errando esta questão.
11
Extraído do livro texto: ”Matemática é tudo”. Luiz Roberto Dante, Editora Ática, 6ªsérie, p.232,
2002.
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79
7ª questão:
Veja ao lado que bela promoção Cíntia viu no mercado.
Complete a tabela abaixo e responda a questão:
Nessa situação, o preço a pagar é diretamente proporcional à quantidade de
sabonetes? Explique.
12
A 8ª questão trabalhou o conceito de proporção, além de identificar o fator
de proporcionalidade entre os resultados da tabela. A taxa de acerto entre os dois
itens foi de regular para bom.
8ª questão:
A indústria onde Júlia trabalha pretende oferecer aulas de ginástica para diminuir
a tensão de seus funcionários. Como as aulas serão dadas de acordo com a faixa
de idade, a empresa fez uma pesquisa para saber quantos empregados tinham mais
de 40 anos. Chegou aos seguintes resultados:
Dois em cada 15
operários
da fábrica têm mais
de 40 anos de idade.
Nessa proporção,
haverá: 4 em 30,
6 em 45 e assim
por diante.
Complete a tabela com base nesta situação:
Número de operários
com mais de 40 anos
2
4
6
12
Número total de
operários
15 30 45 150
12
Extraído do livro texto: ”Matemática é tudo”. Luiz Roberto Dante, Editora Ática, 6ªsérie,
p.234,2002.
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
80
a) Agora escreva e simplifique as frações formadas pelos valores correspondentes,
obedecendo sempre a mesma posição: por exemplo:
15
2
, que é chamado de fator
de proporcionalidade ou razão. Podemos também representar
15
2
por 2:15
b) O que você observou em relação aos resultados encontrados?
13
Da 9ª à 14ª questões continuamos a trabalhar com proporção e regra de três.
A média de acertos da turma em relação a essas questões apresentou-se elevada,
com exceção da 13ª questão, cujo resultado não foi satisfatório.
13ª questão:
Resolva:
a) Em um relógio, enquanto o ponteiro das horas faz um giro de 30º, o dos
minutos gira 360º. Qual é o giro do ponteiro das horas quando o ponteiro dos
minutos gira 60º?
b) Para a festa junina, um grupo de 15 crianças fez certo número de bandeirinhas
em 6horas. Em quantas horas um grupo de 20 crianças, trabalhando no mesmo
ritmo, faria a mesma quantidade de bandeirinhas?
Na 15ª questão trabalhamos com operações de números inteiros. Neste caso,
a maioria da turma apresentou resultado satisfatório.
Na aula seguinte, fizemos a correção do teste e iniciamos o capítulo 11 do
livro texto (p.189-201) que se refere a “Usando letras em matemática”.
A partir de então, trabalhamos figuras planas e tridimensionais. O livro texto
também foi utilizado para trabalharmos com áreas e volumes (p.204-219). Como
aplicação de áreas com figuras planas, também seguindo a seqüência do livro
texto, trabalhamos com o Tangram, onde aparecem polígonos como triângulos
retângulos, isósceles. Outra forma geométrica que também aparece e de grande
importância é o quadrilátero, onde é possível identificar vários tipos como o
quadrado, retângulo, o losango, enfim os paralelogramos de um modo geral,
definindo a partir daí as suas respectivas propriedades. Logo a seguir trabalhamos
13
Extraído do livro texto: ”Matemática é tudo”. Luiz Roberto Dante, Editora Ática, 6ªsérie, p.236,
2002.
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
81
com sólidos geométricos como o cubo e blocos retangulares. Além desses sólidos,
que ajudam na visualização, foi oferecida uma série de exercícios.
A seguir trabalhamos com letras para achar números (termos)
desconhecidos. Aplicamos uma bateria de exercícios, seguindo, mais uma vez, o
livro texto (p.223-230). Quando iniciamos a resolução de equações, seguimos
também a orientação do livro texto (p.230-238) e listas elaboradas em folhas
avulsas seguindo a apostila do Projeto Fundão: “Álgebra na Escola Básica:
Significado? Mecanização?”
14
Seguindo os trabalhos, propusemos uma lista de exercícios em sala de aula
resolvidos em duplas, abordando os seguintes conteúdos: porcentagem, operação
com decimais, potências e equação. O objetivo era que, ao discutirem suas
dúvidas com seus pares, pudessem, entre eles, dirimi-las ou minimizá-las.
Seguiu-se uma aula dupla extra para esclarecimentos gerais de dúvidas que
ainda pudessem ter persistido após as aulas anteriores.
Em final de novembro, completando a série de avaliações antes da prova
institucional (prova única por Unidade Escolar), aplicamos um teste individual
contemplando somente o conteúdo de equações. Este teste era composto de 10
equações e um desafio. Dessa vez o desafio envolvia o conteúdo de equações sob
a forma de quadrado mágico. Culminando o período regular de aulas do ano
letivo, fizemos a correção desse teste. Como resultado, tivemos 24 notas
superiores ou iguais a cinco (5,0), sendo que 14 maiores ou iguais a sete (7,0) e 9
notas inferiores a cinco (5,0).
Em 1º de dezembro de 2006, foi realizada a Prova Única (P U) por Unidade
Escolar, que corresponde à prova trimestral da 3ª certificação (Cf. Anexo 10). Esta
avaliação é de vital importância no processo de avaliação, pois, como já
colocamos anteriormente, todas as turmas da mesma série na Unidade Escolar são
submetidas à mesma prova. Deste modo se mede comparativamente o
desempenho das turmas que receberam tratamento diferenciado ao longo do ano.
Esta prova colocava em cheque todo o trabalho desenvolvido de forma
diferenciada em relação às outras turmas. O resultado global da turma nesta prova
correspondeu à expectativa: 6 (17,65%) notas menores que cinco, 10 (29,41%)
14
Material didático apresentado na oficina oferecida pela Equipe do Projeto Fundão: “Álgebra na
Escola Básica: Significado? Mecanização?”, no 4º Encontro Estadual de Educação Matemática do
Rio de Janeiro (4º EEMAT, 2006).
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maiores ou iguais a cinco e menores que sete e 18 (52,94%) iguais ou superiores a
sete.
Esta prova constou de 9 questões e 24 itens Os conteúdos com o quais
elaboramos esta prova foram: frações, números inteiros: positivos e negativos,
números decimais, operações envolvendo cálculos e problemas utilizando estes
números; unidades de medida: medidas de grandezas como comprimento,
superfície, massa, capacidade, tempo, ângulo e temperatura; proporcionalidade:
direta e inversa; resolução de equações.
A 1ª questão tratou do cálculo de razão, em particular velocidade média. A
turma apresentou um ótimo desempenho, tanto no item (a) quanto no item (b).
Questão 1: VALOR: 1,5
A distância entre Fortaleza e Salvador é de aproximadamente 1380 km.
Responda:
a) Paula foi de Fortaleza a Salvador em seu carro em 15 horas. Qual foi a
velocidade média com que ela fez essa viagem?
b) O mesmo percurso, de ônibus, a uma velocidade média de 75 km por hora,
levaria quanto tempo?
Por sua vez a 2ª questão envolveu não apenas proporção, como também
porcentagem e divisão de decimais. Podemos classificar esta questão como difícil.
Os vários conteúdos envolvidos representam de um modo geral, pontos de
estrangulamento principalmente nesta fase, como por exemplo, divisão com a
idéia dos “quantos cabem”. O índice de acerto não foi satisfatório.
Questão 2: VALOR: 1,0
João vende água sanitária em garrafas de 500m l , 1 l e 2 l . Para obter água
sanitária, mistura “cloro” (na verdade hipoclorito) com água. Para cada 1 litro de
cloro usa 2,5 litros de água. João comprou 20 litros de cloro, e depois da
misturá-los com água, na proporção acima, colocou 20% em garrafas de 500m l ,
24% em garrafas de um litro, e o restante nas garrafas de dois litros. Quantas
garrafas de cada tipo existem?
A 3ª questão envolveu grandezas diretamente proporcionais, no item (a), e,
no item (b), grandezas inversamente proporcionais. Obtivemos um bom
desempenho dos alunos.
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Questão 3: VALOR: 1,0
Faça o que se pede em cada item.
a) Numa escola, 10 litros de leite são servidos igualmente para 50 alunos.
Complete a tabela, de modo que a quantidade de leite e o número de crianças
sejam grandezas diretamente proporcionais.
Leite
(litros)
1 4 6 10 11 60
Crianças
(número)
50
b) Um prêmio em dinheiro vai ser dividido entre os funcionários que tiveram
melhor desempenho durante o ano. Complete a tabela de modo que o número de
funcionários e a quantia que cada um receberá sejam grandezas inversamente
proporcionais.
Funcionários
(números)
2 4 8 10 16
Quantia
(R$)
6 000
A 4ª questão trabalhou cálculos, no item (a) tratamos de números decimais e
no item (b) com números fracionários.
Questão 4: VALOR: 1,0
Resolva as expressões:
(a) – 2,8 – ( 4 – 1,2) + 4.( – 3 + 1) (b)
2 5 3 2
3 6 4 5
.
÷ − + −
A 5ª questão teve como objetivos avaliar o conceito de proporcionalidade e
a habilidade de operar com fração e trabalhar com medida de capacidade.
Questão 5: VALOR: 1,0
Dona Vita, cozinheira de uma empresa, deseja fazer gelatina suficiente para 60
pessoas. Utilizará pacotes de gelatina que contém 85g de pó e seguirá a receita
abaixo que serve 4 pessoas.
Despeje o conteúdo do pacote num recipiente.
Adicione
4
1
de litro de água fervendo.
Mexa bem até dissolver por completo.
Adicione mais
4
1
de litro de água (fria ou gelada)
Deixe na geladeira até tomar consistência.
(a) Determine a menor quantidade de pó de gelatina que Dona Vita precisa.
(b) Quantos litros de água Dona Vita utilizará para fazer a gelatina para essas 60
pessoas?
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A 6ª questão trabalhou com volumes e áreas, levando em conta as
respectivas unidades de medida.
Questão 6: VALOR: 1,5
Uma piscina tem o formato de paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 24m
x 12m x 1,5m. No chão da piscina serão colocados azulejos retangulares de
dimensão 15 cm x 15cm. Assim responda os itens abaixo.
(a) Qual o volume, em litros, da piscina?
(b) Quantos azulejos serão necessários para revestir o chão da piscina?”
A 7ª questão lidou com resolução de equações.
Questão 7: VALOR: 1,5
Resolva as equações.
(a) 3.(2x + 1) – 3 = 5x + 8 (b) – 3,2x + 5 = 0,8x – 3
A 8ª questão trabalhou com a parte visual e a observação do aluno,
envolvendo formas geométricas e unidades de medida de área.
Questão 8: VALOR: 1,0
Um terreno quadrado está dividido em treze lotes: cinco quadrados idênticos e
oito retângulos idênticos. Para cercar um lote quadrado gasta-se exatamente 48 m
de cerca.
Responda:
(a) Qual a área total dos lotes quadrados?
(b) Quantos metros de cerca serão necessários para cercar um dos lotes
retangulares?
24 m
12 m
1,5 m
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A 9ª questão foi adaptada da prova 1 (questão 1) do vestibular da
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ-2006/2007).
Questão 9: VALOR: 1,0
Para comprar um computador, Zezinho pediu ajuda a seus familiares. O tio deu
5
1
do dinheiro; a avó ajudou com 18% do preço do computador; uma tia contribuiu
com 0,14 do total; os pais do Zezinho pagaram o resto. (adaptada UFRJ)
a) Determine a porcentagem do valor do computador assumida pelos pais de
Zezinho.
(b) Considerando que a avó tenha contribuído com 108 reais, qual o preço do
computador pago por Zezinho?
Antes dos resultados desta prova serem encaminhados à Secretaria da
Unidade Escolar, faz parte do sistema de avaliação do Colégio oferecer ao aluno
oportunidade de “ver” sua prova, em data prevista no calendário escolar. Antes de
efetivarmos a “vista de prova”, a resolvemos com a presença de todos os alunos
em sala de aula, uma vez que um grupo desses alunos ainda deveria ser submetido
a uma outra avaliação.
Para que o aluno seja aprovado neste primeiro momento necessita alcançar
média igual ou superior a sete (7,0). Em caso contrário, é encaminhado
automaticamente para a Prova de Avaliação Final (PAF). Nesta nova avaliação,
deve alcançar, no mínimo, média cinco (5,0). Neste ano letivo, por motivo de
paralisações e greves anteriores, o aluno freqüentou, no período de 18 a 22 de
dezembro, aulas de apoio, num total de 8 aulas. Ao final desse período, antes de
saírem de férias, os alunos receberam duas listas de apoio contendo exercícios e
problemas abrangendo os conteúdos trabalhados ao longo do ano, a 1ª lista,
composta de 18 questões e a 2ª lista, composta de 32 questões. Em data
combinada, antes da prova de apoio, foi realizado um encontro para tirar dúvidas e
entregar os gabaritos das duas listas. Em fevereiro de 2007, após um período de
férias previsto no calendário especial de pós-greve, o aluno foi submetido a nova
PAF (Anexo 11) para ser aprovado ou não definitivamente.
Esta avaliação se deu em 02 de fevereiro de 2007 e precisou abordar os
pontos nodais necessários para que se possa decidir se o aluno tem condições de
superar as dificuldades naturais da série seguinte. Dentre eles podemos indicar:
frações; números inteiros: positivos e negativos; operações envolvendo cálculos e
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problemas; unidades de medida como comprimento, superfície, massa,
capacidade, tempo, ângulo e temperatura; proporcionalidade: direta e inversa e
resolução de equações. Foi composta de 9 questões e 14 itens.
Dentre os 12 alunos que se submeteram a esta PAF, 6 foram aprovados e 6
reprovados. Dos 6 alunos reprovados, três vieram transferidos de outra Instituição
de Ensino por mandado de segurança (MS). Estes e mais um apresentaram baixo
rendimento ao longo de todo o ano, visto que o quinto, por motivos familiares,
desistiu de comparecer ao Colégio antes de completar o ano letivo e o sexto
conseguiu ser aprovado em Matemática, porém, não alcançou média em duas
outras disciplinas (Inglês e Geografia), por isso foi reprovado na série.
Em 2007, demos andamento à segunda etapa da pesquisa. Esta segunda
etapa teve como objetivo principal verificar a consolidação os resultados
produzidos.
A turma 604, 6ª série em 2006, agora em 2007 passou a ser turma 803, 8º
ano do Ensino Fundamental. Dos 35 alunos oriundos da turma 604 uma aluna já
havia sido transferida pela família em julho de 2006 e 6 alunos foram reprovados.
A nova turma assim constituída foi formada pelos 28 alunos que iniciaram a nossa
pesquisa em 2006 e mais 10, dos quais 6 são repetentes do Colégio na 7ªsérie, 3
vieram transferidos por mandado de segurança (MS) e 1 transferido da turma 602
da própria Unidade Escolar (6ª série em 2006).
O livro texto continuou sendo o da mesma coleção utilizado nas séries
anteriores, “Matemática para todos”
15
, de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis.
A autora, que, em 2006, era também professora regente da turma 604, agora
na turma 803 em 2007, passou à posição de observadora. A professora Eliana
Giambiagi assumiu a regência dessa turma em 2007. Em colaboração com a
pesquisadora, esta professora aplicou a parte complementar da pesquisa.
Para verificar a evolução de cada aluno em identificar a fração como
número, iniciamos o ano letivo de 2007 replicando, na primeira semana de “volta
às aulas”, o 1º teste diagnóstico, em 16 de março de 2007, na turma da pesquisa,
tomando como parâmetro de comparação o resultado do primeiro teste
diagnóstico do ano anterior.
15
“Matemática para todos” faz parte da coleção utilizada desde a 5ª série (6º ano do Ensino
Fundamental) até a 8ªsérie (9º ano do Ensino Fundamental), da Editora Scipione.
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
87
Como já explicado no capítulo anterior, o novo teste apresentou pequenas
alterações, tais como mudança da ordem de algumas questões, bem como o
acréscimo de uma questão igualmente atendendo aos objetivos da proposta
pedagógica que estava sendo avaliada.
Em seguida, para dar continuidade à pesquisa acrescentamos ao ensino do
conteúdo programático proposto para 2007, realizado normalmente pela
professora regente da turma 803 (no 8º ano), uma seqüência de 13 aulas. Nestas
aulas, tínhamos como finalidade rever as operações com frações (adição,
subtração, multiplicação e divisão) fazendo um paralelo com as expressões
algébricas (Cf. Anexo 12).
O Quadro 4.3 abaixo permite visualizar o desenvolvimento de atividades em
paralelo às atividades regulares planejado para a turma 803. Este quadro apresenta
o conteúdo programático original e o conteúdo programático acrescido nesta
turma em 2007.
Quadro 4.3 - Quadro de Conteúdos Programáticos do 8º ano da Unidade Escolar Centro
(801, 803 e 805). 8º Ano (7ª Série)
2007
1º trimestre
(12/03/2007-29/05/2007)
2º trimestre
(30/05/2007-11/09/2007)
3º trimestre
(12/09/2007-04/12/2007)
Conteúdos
P
R
O
G
R
A
M
Á
T
I
C
O
S
• Cap.6: (Ângulos,
Paralelas e Polígonos);
• Cap. 4 (Aplicações da
Matemática);
• Cap. 5 (Retomando a
Álgebra);
• Cap. 7 (Potências e
Raízes)
• Cap. 8 (Simetrias)
• Cap. 11 (Cálculo
Algébrico).
• Cap. 12 (Áreas e
Volumes)
• Cap.13 (Sistemas
de Equações)
Mais detalhadamente, descrevemos a seguir os conteúdos tratados nas
atividades dessa complementação.
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88
Conteúdos programáticos complementares do 1º trimestre:
• A 1ª atividade tinha como objetivo principal retomar a definição de
fração, fazendo um paralelo com instruções de álgebra e reta numérica.
• A 2ª atividade tinha como objetivo explorar frações equivalentes
seguindo a mesma instrução da 1ª atividade.
• A 3ª atividade teve como objetivo rever frações com
denominadores iguais, seguindo a mesma estratégia das anteriores.
• A 4ª atividade tratava de comparação de frações com
denominadores diferentes, sendo, de forma semelhante, feito um paralelo
com expressões algébricas.
Conteúdos programáticos complementares do 2º trimestre:
Complementamos com quatro outras atividades:
• A 5ª atividade tratou de adição de frações com denominadores
diferentes, desenvolvida a exemplo das atividades anteriores.
• A 6ªatividade, nos mesmos moldes, reviu a multiplicação de um
número inteiro por uma fração.
• A 7ª atividade tratou de multiplicação de fração por fração.
• A 8ª atividade tratou de divisão de fração, a qual foi subdividida
em duas partes: divisão de uma fração por um número inteiro e divisão de
fração por fração.
No 3º trimestre utilizamos como estratégia oferecer aos alunos listas com
problemas e exercícios com o objetivo de trabalhar a parte conceitual dos
conteúdos programáticos já desenvolvidos.
Nessas aulas os problemas e exercícios propostos, como veremos a seguir,
tinham como principal característica identificar se o aluno alcançou ou não os
objetivos estabelecidos em nossa pesquisa, isto é:
(1º) O conceito de fração como medida de comprimento de segmento de
reta, visando a conduzir o aluno à compreensão da fração como número.
Acreditamos que além de facilitar a aprendizagem, esta passagem do número
inteiro para o fracionário permite trabalhar a generalidade e, deste modo,
desenvolver no aluno a capacidade de abstração;
(2º) A expectativa de que o aluno, ao ser introduzido no campo algébrico,
por meio do ensino de frações, consiga desenvolver a capacidade de abstração a
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89
ponto de superar as dificuldades que de um modo geral o atingem nesta etapa de
aprendizagem (WU, 2002).
Esses exercícios foram aplicados ora individualmente, ora em dupla,
permitindo identificar o crescimento de cada aluno envolvido na pesquisa. Cada
uma das oito atividades, distribuídas em aulas, atendia a um objetivo específico.
Estas atividades permitiram, por meio das tarefas propostas, demonstrar que é
possível caminhar do campo aritmético para o campo algébrico, de forma natural,
apoiando-nos no conteúdo de frações; da mesma forma que mostramos ser
possível passar do conjunto dos números inteiros para o conjunto das frações de
forma suave. Desta maneira, foi confirmada a validade das premissas do trabalho.
O desenvolvimento dessas aulas é detalhado a seguir.
Nas duas aulas iniciais, em 18/5/2007, os alunos resolveram
individualmente a bateria de exercícios e problemas propostos. O objetivo
específico da primeira aula foi o de rever o conceito de fração na reta numérica
enquanto o da segunda foi o de rever frações equivalentes. Os exercícios finais,
tanto da primeira aula quanto da segunda, faziam a ponte com expressões
algébricas. A seguir foi feita a correção das mesmas com a participação dos
alunos.
A 3ª atividade foi dividida em duas partes. A primeira, ministrada em 21/5,
tratou de frações com o mesmo denominador. Trabalhamos a seguir com frações
algébricas com o mesmo denominador. A segunda parte dessa aula reviu frações
impróprias. E, de forma análoga trabalhamos paralelamente com expressões e
problemas envolvendo expressões algébricas que ultrapassavam a unidade de
comprimento. Em 25/5 demos prosseguimento a esta atividade, culminando com a
correção dos exercícios. Iniciamos a 4ª atividade que tratava de comparação de
frações com denominadores diferentes. Semelhantemente, foi feito um paralelo
entre frações com denominadores diferentes e expressões algébricas com
denominadores diferentes, bem como problemas sinalizando esta situação. A 5ª
atividade trabalhou a adição de frações com denominadores diferentes e
novamente seguimos a mesma estratégia das aulas anteriores, isto é, fazendo um
paralelo com as expressões algébricas.
A 6ª atividade tratou da multiplicação de um número inteiro por uma fração.
Como estratégia, iniciamos esta atividade em sala de aula e propusemos uma outra
parte para casa. A correção se deu na aula seguinte.
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
90
Os trabalhos foram todos recolhidos para que pudéssemos analisá-los. Em
aulas subseqüentes foi entregue a cada aluno o gabarito para que pudessem
estudar para o teste que iria compor a média final da 2ª certificação.
Em 29/6 foi aplicado um teste individual, cujos conteúdos trabalhados
foram expressões algébricas, divisão e, simetria. A pesquisadora apresentou duas
questões para este teste (5ª e 6ª questões).
As questões sugeridas foram:
5) Efetue e simplifique sempre que possível:
a)
7 6 13
x x y
x y x y
−
+
− −
, para x
≠
y b) F = 4 (n – n
2
+5) – 3n(n –5)
6) a) Uma pizza grande no Papa’s Pizza é dividida em c fatias iguais. Cada pessoa
come, em média, b fatias. Que parte de uma pizza grande cada pessoa como em
média?
b) Na terça-feira, o Papa’s Pizza não sabia exatamente quantas pessoas
estariam vindo ao restaurante e decidiu preparar d pizzas. Quantas pessoas, em
média, poderiam comer pizzas, na terça-feira, nessa pizzaria?
Estas questões foram analisadas e corrigidas em sala de aula com a turma
em 06 de julho de 2007. A fim de que tivéssemos este material documentado,
cada teste foi xerocado e entregue aos alunos. Logo a seguir, 07 de julho, os
alunos entraram em férias completando o 1º semestre do ano letivo de 2007.
As duas últimas atividades, 7ª e 8ª, trabalhadas em dupla, foram realizadas
no final de agosto. A 7ª tratou de multiplicação de fração por fração e a 8ª tratou
de divisão de fração. Esta era composta de quatro etapas: 1. Dividir fração por
número inteiro; 2. Instrução de barra de fração e reta numérica; 3. Exercícios para
efetuar divisão com números e 4. Exercícios envolvendo números e letras.
É bom lembrar que ao longo do todo período letivo o conteúdo
programático continuou a ser desenvolvido, bem como a turma foi submetida a
outras avaliações para compor cada uma das certificações estabelecidas em cada
trimestre previsto pelo Departamento de Matemática, alinhado ao Projeto Político
Pedagógico do Colégio Pedro II.
No 1º trimestre tivemos as seguintes avaliações:
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
91
1. Teste diagnóstico, replicado em 16/03/2007, cujo objetivo principal era
verificar neste momento o crescimento do conhecimento do aluno, tomando como
parâmetro o 1º teste diagnóstico aplicado no início de 2006;
2. Teste em dupla, aplicado em 19/03/2007, com o objetivo de trabalhar o
conceito de ângulos, retas paralelas cortadas por transversais envolvendo cálculo
algebrico; polígonos.
3. Teste em dupla em 02 e 04 de abril, com o objetivo de trabalhar ângulos,
paralelas e polígonos;
4. Teste individual, em 13/04/2007, trabalhando o conceito de potências e
raízes, polígonos envolvendo calculo algébrico;
5. Prova trimestral em 11/05/2007, com o objetivo de retomar o cálculo
algébrico, trabalhar potências e raízes.
O Conselho de Classe (COC), encerrando as atividades do trimestre,
ocorreu em 28/29 de maio.
No 2º trimestre realizamos as seguintes avaliações:
1. Inicialmente, foi aplicada uma série de testes e exercícios em dupla, nas
aulas de 18/05, 21/05 e 25/05.
2. A seguir, em 22/06, foi aplicado um teste em dupla com o objetivo de
trabalhar os quadriláteros e suas propriedades. Outros dois testes foram aplicados,
um em dupla e outro individual, também trabalhando polígonos, em particular os
quadriláteros, envolvendo o cálculo algébrico e, o conceito de simetria.
3. A prova trimestral dessa 2ª certificação ocorreu em 24/08, levando em
conta simetrias e propriedades das figuras geométricas, envolvendo fatoração com
cálculo algébrico.
4. Em 31/08, novo teste em dupla foi aplicado à turma pela pesquisadora.
Foi elaborado envolvendo multiplicação de fração por fração, divisão de uma
fração por um número inteiro. De forma análoga às atividades anteriores,
iniciamos as atividades trabalhando com números fracionários e depois passamos
a propor atividades envolvendo expressões algébricas com denominadores
diferentes. Os resultados apresentados pelos alunos foram muito bons como
mostraremos no capítulo 7.
O término do trimestre ocorreu em 10/09, quando foi realizado o 2º COC.
O 3º trimestre se iniciou em 12 de setembro. Por se tratar de um período
curto em dias, foram realizadas somente duas avaliações, um teste em dupla, que
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Procedimentos Didáticos Implementados e sua Evolução
92
ocorreu em 19 de outubro e uma outra avaliação também em dupla, realizada em
várias etapas, culminando em 14 de novembro. A seguir, em 21 de novembro,
ocorreu a 3ª Certificação que corresponde a Prova Única da Unidade Escolar. De
acordo com o sistema de avaliação da instituição, previsto no calendário escolar,
foi feita a “vista de prova” em 28/11. A prova foi corrigida no quadro e a seguir o
aluno verificava se há alguma dúvida na correção. Concluindo, a PAF foi aplicada
em 12 de dezembro.
Os resultados apresentados ao final desses dois anos de pesquisa foram
muito significativos, como demonstrado nos capítulos seguintes pelo
acompanhamento do desempenho individual dos alunos e pela análise global dos
desempenhos.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais
constatações sobre o desempenho
Tendo em vista que todo o processo de implementação da proposta e seu
acompanhamento permitiram uma coleta muito grande de dados, optamos
apresentá-los de forma sucessiva. Neste capítulo nos dedicamos à análise
comparativa dos dois testes diagnósticos realizados, inicial e final, utilizando
exemplos de respostas de alunos que permitem avaliar como a abordagem adotada
foi elaborada por eles (Anexo 1 e Anexo 2).
Preferimos trazer inicialmente os resultados obtidos por cada aluno em cada
questão. Essa análise permitiu constatar, como será demonstrado a seguir, que os
erros registrados são o que se pode qualificar de “erros universais”. Aconteceram
na década de 70 na Inglaterra e continuam acontecendo nessa proposta de ensino.
Foi possível, também, identificar, em questões envolvendo diferentes conceitos, a
evolução em decorrência da aprendizagem baseada na definição de fração como
número e da importância da referência à unidade de medida nessa definição.
Um aspecto que se deve registrar, preliminarmente, é que o 1º teste
diagnóstico não teve caráter de “dar nota”, visto que o objetivo era avaliar o
conteúdo de fração retido pelo aluno nas séries anteriores. Por outro lado, o 2º
teste, recebeu uma avaliação, e a nota atribuída serviu para compor o resultado da
primeira certificação.
A ordem das questões nos testes aplicados foi modificada. Além disso, a
segunda aplicação teve mais uma questão. A 2ª questão do 2º teste foi adicionada
visando a identificar mais completamente alguns atributos.
5.1. Análise da Primeira Questão
Vamos lembrar um pouco?
Resolva cada exercício abaixo. Justifique sua resposta:
1. Sombrear
6
1
da seção pontilhada do disco. Qual fração do disco inteiro deve ser
sombreada? (HART, p. 66)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
94
Os objetivos visados com esta questão foram:
• Verificar como o aluno consegue resolver um problema com frações,
explicitando seu raciocínio ou usando figura. De um modo geral este
tipo de exercício oferece dificuldades, pois o que está por trás é
4
3
6
1
de .
• Verificar se identifica a unidade que está sendo considerada: que o
que se deseja é
6
1
da “parte da figura sombreada” e o que esta parte
representa do disco inteiro.
Os exemplos trazidos ilustram não somente as diferentes dificuldades
encontradas, mas como elas foram superadas.
No Quadro 5.1 a seguir, pode-se comparar o desempenho dos alunos,
considerando os dois objetivos.
DESEMPENHO DOS ALUNOS NOS 2 TESTES
Quadro 5.1 - Resultados Relativos à Primeira Questão do Teste Diagnóstico
1º teste diagnóstico
(1ªquestão)
(2006)
2º teste diagnóstico
(3ªquestão)
(2007)
2º teste diagnóstico
(3ªquestão)
(2007)
1º objetivo (604)
31 alunos
1º objetivo (803/604)
28 alunos
1º objetivo (803/n604)
9 alunos
Sim 15(48%) Não: 16(52%) Sim 19(68%) Não: 9(32%) Sim: 4(44%) Não: 5(56%)
2º objetivo (604)
31 alunos
2º objetivo (803/604)
28 alunos
2º objetivo (803/n604)
9 alunos
Sim 18(58%) Não: 13(42%) Sim 16(57%) Não: 12(43%)
Sim: 4(44%) Não: 5(56%)
O grupo dos novos apresentou suas respostas com raciocínio muito parecido
aos dos alunos da antiga 604 quando iniciamos o estudo em 2006.
Um deles, em resposta à pergunta: “Que fração do disco inteiro foi
assinalada?”, não levou em conta o tamanho das partes e juntando a divisão inicial
com a nova divisão em 6 partes, chegou à resposta 1/7. Este tipo de erro foi
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
95
apontado também por Hart (1979) quando analisava esta questão na sua pesquisa
na Inglaterra.
Segue a análise de algumas respostas.
Beatriz: Tanto no 1º teste como no 2º teste (Figura 5.1 e Figura 5.2) respondeu
corretamente. No 1º teste, usou a forma icônica e apresentou a seguir o resultado.
Já no 2º teste além dessa forma, procurou, em linguagem informal, explicitar o
que havia feito, fazendo referência à mudança na unidade de medida.
Figura 5.1 - 1º Teste BEATRIZ (1)
Figura 5.2 - 2 º Teste BEATRIZ (3)
Daniel: Identifica no 1º teste a fração 1/6 corretamente, porém não consegue
concluir em relação ao disco inteiro, como mostra a Figura 5.3.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
96
Figura 5.3 - 1º Teste DANIEL (1)
Já no 2º teste, Figura 5.4, apresenta a solução utilizando a forma icônica
corretamente, indicando ter reconhecido as duas unidades consideradas, isto é, em
relação à parte hachurada e em relação ao disco inteiro.
Figura 5.4 - 2º Teste DANIEL (3)
Laís: No 1º teste usou a forma icônica para resolver a questão, atingindo os
objetivos propostos, como podemos observar na Figura 5.5 a seguir.
Figura 5.5 - 1º Teste LAIS (1)
Entretanto, no 2º teste avançou no sentido de compreender e explicitar não
apenas a unidade da parte hachurada, mas também em relação ao disco inteiro,
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
97
atingindo os objetivos da questão. Assinalou, na Figura 5.6, 1/6 da parte
hachurada e a seguir, fez um novo desenho, representando 1/8, levando em
consideração agora o disco inteiro. Completou a solução em linguagem corrente.
Figura 5.6 - 2º Teste LAÍS (3)
Mayra: No primeiro teste explicou com linguagem corrente cada uma das etapas
em relação à unidade a ser considerada corretamente. Primeiro levando em conta a
parte hachurada e depois o disco inteiro. (Figura 5.7)
Figura 5.7 - 1º Teste MAYRA (1)
No 2º teste usou uma forma icônica e linguagem informal. Primeiro
trabalhou em relação à unidade relativa à parte hachurada e sinalizou 1/6. Em
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
98
seguida tratou do disco inteiro representando também no desenho a solução
correta (Figura 5.8).
Figura 5.8 - 2º Teste MAYRA (3)
Thayane: No 1º teste explicou cada uma das divisões que estava fazendo em
relação a cada unidade, isto é, a parte hachurada e depois em relação ao disco
todo. Concluiu corretamente como se pode ver na Figura 5.9.
Figura 5.9 - 1º Teste TAYANNE (1)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
99
No 2º teste, Figura 5.10, ainda com mais segurança, utilizou a forma icônica,
fazendo para cada etapa de solução um desenho. Concluiu corretamente, atingindo
os objetivos propostos. Ao longo do ano foi excelente aluna.
Figura 5.10 - 2º Teste TAYANNE (3)
Thiago Rossi: No 1º teste identificou em
3
4
, na forma icônica,
1
6
, porém não
conseguiu completar quanto
1
6
representava do disco inteiro, o que podemos ver
na Figura 5.11. Durante o ano apresentou momentos de desanimo, provocado por
problemas familiares, entretanto, sempre que solicitado mostrou bom raciocínio.
Figura 5.11 - 1º Teste TIAGO (1)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
100
No 2º teste, respondeu usando a forma icônica, argumentando com
linguagem própria. Tanto em relação à primeira unidade a ser reconhecida, isto é,
da parte hachurada, quanto em relação ao disco inteiro concluiu corretamente.
Identificou a parte da figura a ser considerada para divisão (ou seja, três das
quatro partes do disco inteiro que estavam sombreadas), subdividiu-a ao meio.
Encontrou 6 partes iguais, sombreando uma delas (
1
6
). Finalmente, como mostra
a Figura 5.12, concluiu que, em relação ao disco todo, representava
1
8
.
Figura 5.12 - 2º Teste TIAGO (3)
5.2 Análise da Segunda Questão
2. Calcule 3
÷
5. Justifique seus cálculos. (HART, p.68)
O objetivo desta questão foi verificar se o aluno consegue dividir dois
inteiros, realizando os cálculos onde o dividendo é menor que o divisor, quando
não precisa identificar no enunciado concreto o conceito de fração.
O índice de acerto nesta questão foi satisfatório. Em 2006, dos 31 alunos
que participaram do teste, tivemos 9 alunos que acertaram efetuando
simplesmente a conta sem comentários, 18 efetuaram a conta com comentários e
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5
Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
101
apenas um disse: “não dá para dividir 3 por 5” e, por conta disso, inverteu a ordem
na divisão: 5
÷
3. Finalmente três (3) erraram. Em 2007, os resultados também
foram satisfatórios. Dos 28 oriundos da 604 em 2006, 15 acertaram somente
indicando a conta, 13 efetuando a conta com comentários, nenhum deles inverteu
a ordem ou errou.
Atribuímos o “não justificar o resultado” ao fato de esse cálculo estar numa
posição diferente do 1º teste. Este problema, quando proposto no 1º teste se
encontra numa única página, enquanto que no segundo teste aparece como último
item entre 4 outros. Dessa forma, quase naturalmente, o aluno “entende”
simplesmente como “fazer a conta”. Dos outros dez alunos que complementaram
a turma 803 (antiga 604), apenas um errou, 5 acertaram sem justificar, 3
justificaram e, 1 faltou. Observando o Quadro 5.2 a seguir podemos ver:
Quadro 5.2 - Resultados Relativos à Segunda Questão do Teste Diagnóstico
1º teste diagnóstico
(2ªquestão)
(2006)
2º teste diagnóstico
(1ªquestão -
1 d)
(2007)
2º teste diagnóstico
(1ªquestão -1 d)
(2007)
1º objetivo (604) -31 alunos 1º objetivo (803/604)-28 alunos 1ºobjetivo (803/n604) - 9 alunos
Sim 27(87%) Não: 4 (13%) Sim 28(100%) Não: 0(0%) Sim: 8(89%) Não: 1(11%)
2º objetivo (604) -31 alunos 2º objetivo (803/604)-28 alunos 2ºobjetivo (803/n604) - 9 alunos
Sim 18(58%) Não: 13 (42%) Sim 13(46%) Não: 15 (54%) Sim: 3 (33%) Não: 6(67%)
Apresentaremos agora algumas soluções de alunos para a questão 2, que
ilustram as dificuldades encontradas e como foram superadas. Inicialmente, o
aluno, embora aplicando a regra, não é capaz de justificar seu procedimento. À
medida que adquire maior domínio do conceito, começa a explicitar a regra.
Douglas: Neste 1º teste, o aluno entendeu que, por ser o dividendo menor que o
divisor, só seria possível efetuar a conta 3
÷
5 se invertesse o 5 com o 3, tal como
podemos ver na Figura 5.13. Por outro lado, como disse Kathleen Hart, (p.67):
[...] Passamos longo tempo ouvindo regras tais como: a multiplicação
sempre resulta em um número maior. Frases como estas levam as crianças a um
tipo de raciocínio errado como: 3
÷
5 só é possível se invertemos o 5 com o 3.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
102
Figura 5.13 - 1º Teste DOUGLAS (2)
No 2º teste, este aluno efetuou a operação de divisão corretamente. É um
aluno cujo desempenho, ao longo do ano letivo, foi melhorando, a tal ponto que já
no período da 2ª certificação havia se transformado em um aluno-monitor para
ajudar aos colegas. (Figura 5.14)
Figura 5.14 - 2º Teste DOUGLAS (1)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
103
Mayra: Esta aluna trabalha neste 1º teste com a forma procedimental. Passo a
passo vai mostrando os procedimentos que foram seguidos, até concluí-los
corretamente. (Figura 5.15)
Figura 5.15 - 1º teste - MAYRA (2)
No 2º teste, Figura 5.16, efetua a conta simplesmente. Para verificar se está
correta “tira a prova real” e indica o resultado.
Figura 5.16 - 2º teste - MAYRA (1)
Priscila: Em relação ao 1º teste, como vemos na Figura 5.17, a aluna responde
utilizando uma linguagem informal e conclui corretamente.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
104
Figura 5.17 - 1º teste - PRISCILA (2)
Já no 2º teste, Figura 5.18, a aluna faz a conta e, explica em linguagem
corrente a solução da questão. Este foi um comportamento que se repetiu na
turma.
Figura 5.18 - 2º teste - PRISCILA (1)
5.3. Análise da Terceira Questão
A 3ª questão objetivava avaliar se o aluno compreendia o significado do
resto da divisão.
3. Um pedaço de fita de 17 cm tem de ser cortada em 4 pedaços iguais. Marque a
resposta que você acha ser a mais certa para o comprimento de cada pedaço.
(a) 4 cm e resta 1 pedaço.
(b) 4 cm e resta 1 cm.
(c)
4
1
4 cm.
(d) cm
17
4
.
(HART, p.68)
Em 2006, dos 31 alunos foi possível verificar que quase 50% têm
dificuldades em identificar corretamente o significado do resto. Verificamos que a
maioria conseguiu encontrar o tamanho de cada pedaço de fita.
Examinando o Quadro 5.3 a seguir, verificamos a dificuldade da questão e
que em 2007 essa dificuldade diminuiu.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
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Quadro 5.3 - Resultados Relativos à Terceira Questão do Teste Diagnóstico
1º teste diagnóstico
(3ª questão)
(2006)
2º teste diagnóstico
(4ª questão)
(2007)
2º teste diagnóstico
(4ª questão)
(2007)
(604) - 31 alunos (803/604) - 28 alunos (803/n604) - 9 alunos
Atingiram o objetivo Atingiram o objetivo Atingiram o objetivo
Sim 15(48%) Não: 16(52%) Sim 15(54%) Não: 13(46%) Sim: 3(33%) Não: 6(67%)
Examinado mais detalhadamente, podemos constatar, no Quadro 5.4, a
incidência dessa dificuldade quando vemos os alunos assinalando o item (b) com
freqüência, mostrando mais uma vez que a determinação do resto é um ponto de
estrangulamento no tópico que está sendo estudado.
Quadro 5.4 - Resultados Relativos à Terceira Questão do Teste Diagnóstico
1º teste diagnóstico
(3ªquestão)
(2006)
2º teste diagnóstico
(4ªquestão)
(2007)
2º teste diagnóstico
(4ªquestão)
(2007)
(604) - 31 alunos (803/604) - 28 alunos (803/n604) - 9 alunos
Marcaram a letra c: 15 (48%) Marcaram a letra c: 15 (54%) Marcaram a letra c: 3 (33%)
Marcaram a letra a: 2(6,6%) Marcaram a letra a: 1 (3,5%) Marcaram a letra a: 1(11%)
Marcaram a letra b: 13(42%) Marcaram a letra b: 9 (32%) Marcaram a letra b: 3 (33%)
Marcaram a letra d: 1(3,4%) Marcaram a letra d: 3 (10,5%) Marcaram a letra d: 2 (23%)
É o que podemos observar nos exemplos a seguir.
Ana Paula: No 1º teste, como indica a Figura 5.19, a aluna raciocinou
corretamente quanto aos pedaços que deveriam ser cortados. No 2º teste (Figura 5.
20), além de explicar, indica na resolução como raciocinou.
Figura 5.19 - 1º teste - ANA PAULA (3)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
106
Figura 5.20 - 2 º teste - ANA PAULA (4)
Mayra: No 1º teste a aluna marcou o item (b), como vimos na Figura 5.21, não
conseguindo atingir o objetivo dessa questão. Entretanto, no 2º teste, Figura 5.22,
tenta justificar porque as outras respostas não são verdadeiras e assinala o item
(c).
Figura 5.21 - 1º teste - MAYRA (3)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
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Figura 5.22 - 2º teste - MAYRA (4)
Thayane: No 1º teste, como vemos na Figura 5.23, a aluna não conseguiu
identificar o significado do resto, embora efetue corretamente a conta, não soube
concluir e assinala o item (b).
Figura 5.23 - 1º teste - THAYANE (3)
No 2º teste, marca a resposta certa, Figura 5.24, efetua a operação de
divisão, consegue transpor o resultado para fração imprópria. Entretanto, no final,
ao voltar para a representação fracionária esquece de colocar o denominador.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
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Figura 5.24 - 2º teste - THAYANE (4)
5.4. Análise da Quarta Questão
4. Qual fração representa a parte sombreada? Justifique sua resposta.
(a)
(b)
• O objetivo desta questão foi verificar se o aluno consegue resolver sem
passar pela contagem do total e subtrair da parte hachurada.
O desempenho dos alunos no desenvolvimento desta questão foi satisfatório
desde o início, como vemos no Quadro 5.5, a seguir, demonstrando que os alunos
já conseguiam resolver problemas de frações que envolviam o conceito simples de
parte – todo. Esta questão passa sem exame dos desempenhos individuais por que
a evolução envolve, essencialmente, a visualização geométrica.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
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Quadro 5.5 - Resultados Relativos à Quarta Questão do Teste Diagnóstico
1º teste diagnóstico
(4ªquestão)
(2006)
2º teste diagnóstico
(5ªquestão)
(2007)
2º teste diagnóstico
(5ªquestão)
(2007)
(604) -31 alunos (803/604) - 28 alunos (803/n604) - 9 alunos
Item a Item a Item a
Conta o total e subtrai da
Parte hachurada
30 (97%)
Conta o total e subtrai da
Parte hachurada
28(100%)
Conta o total e subtrai da
Parte hachurada
8 (89%)
Não responde
0
Não responde
0
Não responde
0
Errado
1 (3%)
Errado
0
Errado
1 (11%)
Item b Item b Item b
Identificando a metade
11(36%)
Identificando a metade
5 (18%)
Id
entificando a metade
6 (67%)
Sem identificar a metade
19 (61%)
Sem identificar a metade
23 (82%)
Sem identificar a metade
2 (22%)
Errado
1 (3%)
Errado
0
Errado
1 (11%)
5.5. Análise da Quinta Questão
5. Maria e João ambos tem dinheiro para gastar em seu bolso. Maria gasta
4
1
da
sua quantia e João gasta
2
1
da sua. Maria pode gastar mais que João? Por que você
pensa assim?
Objetivo:
• Verificar se o aluno consegue perceber a necessidade de identificar a
unidade para resolver o problema.
Nesta questão, quando aplicada em 2006, dos 31 alunos, tivemos apenas 6
acertos. Desse total, 13 entenderam que: Maria tinha mais para gastar porque
gastou menos. Não levaram em conta a quantia que Maria e João levaram
inicialmente (isto é, a unidade a ser considerada). Outros 10 desse grupo
responderam NÃO, porque consideraram que, sendo ¼ < ½, ela não poderia ter
gasto mais. Ainda desse grupo, 1 raciocinou como se ambos tivessem a mesma
quantia e, finalmente 1 não fez. Quando replicamos o teste em 2007, do grupo dos
alunos oriundos da turma 604, isto é, dos 28 alunos, 24 acertaram a questão.
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5
Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
110
Apenas 2 entenderam que: Maria tinha mais para gastar porque gastou menos.
Igualmente 2 responderam NÃO, porque sendo ¼ < ½ ela não poderia ter gasto
mais.
Dentre os novos mais uma vez verificamos que apenas 1 acertou. Desse
grupo, 7 alunos que entenderam que: Maria tinha mais para gastar porque gastou
menos. Não levaram em conta a quantia que Maria e João levavam. Um
considerou que sendo ¼ < ½ ela não poderia ter gasto mais e um dentre eles não
fez. Houve uma falta.
Observando o Quadro 5.6, podemos ver a grande modificação ocorrida em
termos de acerto e erro desta questão.
Quadro 5.6 – Resultados Relativos à Quinta Questão do Teste Diagnóstico
1º teste diagnóstico
(5ªquestão)
(2006)
2º teste diagnóstico
(6ªquestão)
(2007)
2º teste diagnóstico
(6ªquestão)
(2007)
(604) - 31 alunos (803/604) - 28 alunos (803/n604) - 9 alunos
Entenderam que Maria tinha
mais para gastar por que gastou
menos. Não se deram conta da
quantia que cada um levou
(unidade), considerando só o
que gastaria após as compras.
13 (42%)
Entenderam que Maria tinha
mais para gastar por que gastou
menos. Não se deram conta em
relação à quantia que cada um
levou (unidade), e sim no que
gastaria após
as compras.
2 (7%)
Entenderam que Maria tinha
mais para gastar por que gastou
menos. Não se deram conta em
relação à quantia que cada um
levou (unidade), e sim no que
gastaria após as compras.
7 (78%)
Não, por que
2
1
4
1
< , ela não
poderia ter gasto mais.
10 (32%)
Não, por que
2
1
4
1
< , ela não
poderia ter gasto mais.
2 (7%)
Não, por que
2
1
4
1
< , ela não
poderia ter gasto mais.
1 (11%)
Depende da quantia
(identificou a necessidade de
saber qual a unidade).
6 (20%)
Depende da quantia
(identificou a necessidade de
saber qual a unidade).
24 (86%)
Depende da quantia
(identificou a necessidade de
saber qual a unidade).
1 (11%)
Raciocinou como se tivessem a
mesma quantia
1(3%)
Raciocinou como se tivessem a
mesma quantia
0
Raciocinou como se tivessem a
mesma quantia
0
Não fez
1(3%)
Não fez
0
Não fez
0
Nos exemplos que seguem podemos verificar o amadurecimento dos alunos
em relação às respostas apresentadas nesta questão comparando os anos letivos de
2006 e de 2007.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
111
Ana Carolina: Podemos constatar que no 1º teste, Figuras 5.25
,
não
conseguiu identificar a unidade que estava sendo considerada, somente se deteve
em comparar as frações ½ e ¼.
Figura 5.25 - 1º teste - ANA CAROLINA (5)
Entretanto, já no 2º teste, Figura 5.26
,
a aluna acertou, respondendo
simplesmente que dependia da quantia.
Figura 5.26 - 2º teste - ANA CAROLINA (6)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
112
Antonio: Este aluno, na realidade, está comparando as duas frações ½ e ¼ e
conclui, a partir daí, que Maria tem mais para gastar. Entretanto, no final diz: A
não ser que Maria ganhe muito mais que João. Não está seguro de sua resposta.
(Figura 5.27)
Figura 5.27 - 1º teste - ANTONIO (5)
No 2º teste, Figura 5.28, o aluno indica sua solução utilizando a forma
icônica, considerando quantias iguais. Depois, usando um exemplo numérico,
supõe que, se Maria possui uma quantia maior que João, mesmo gastando ¼ dessa
quantia, pode gastar mais que João gastando ½ da quantia dele. Chega à conclusão
correta. Entretanto, embora tenha raciocinado corretamente até aí, coloca em
linguagem corrente: Pode. É só a quantia que ela tem ser no mínimo o dobro que
a do João.
Figura 5. 28 - 2º teste - ANTONIO (6)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
113
Thiago Rossi: Este aluno, de um modo geral responde sucintamente seus
exercícios, embora os acerte em sua maioria, como, por exemplo, vemos na
Figura 5.29.
Figura 5.29 - 1º teste - THIAGO ROSSI (5)
Neste 2º teste, Figura 5.30, a exemplo do comentário inicial dessa questão,
responde com mais segurança. Utiliza linguagem corrente, enriquecendo com
dados numéricos para justificar sua resposta.
Figura 5.30 - 2º teste - THIAGO ROSSI (6)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
114
5.6. Análise da Sexta Questão
6. (a) Encontre quem é:
∆
∆
=
2
3
1
(b) Encontre quem é:
⊗
30
10
5
⊗
=
(c) Encontre quem são
⊗
e
∆
:
∆
=
⊗
=
10
14
7
2
O objetivo primordial dessa questão é verificar se o aluno domina o tópico
de frações equivalentes. Entendemos que o domínio dele é de suma importância
para que o aluno mais adiante domine o conceito de fração como número. Nos
itens (a) e (b), permite verificar, ainda, se o aluno domina a noção de frações
equivalentes e se trata a fração como um único objeto e não dois números inteiros
um na parte de cima e o outro na parte de baixo. No item (c), o objetivo é verificar
se usa a propriedade transitiva.
Os resultados desta questão são muito satisfatórios, tanto em relação ao item
(a) como ao item(b). Em 2006, dos 31 alunos tivemos 30 acertos e apenas 1 não
fez. Em 2007 todos os 28 alunos acertaram os dois itens. Sobre a primeira parte do
item c, do grupo de 2006, 26 acertaram, 3 erraram e 2 não fizeram. No ano letivo
de 2007, todos acertaram esta parte
.
Na segunda parte, em 2006, 15 acertaram
quando trabalharam este item usando fração equivalente ou a propriedade
transitiva. Dentre eles 12 erraram e 4 não fizeram. Por sua vez, em 2007, 21
acertaram, contra 7 erros.
No grupo dos alunos não oriundos da turma 604, 7 desses alunos acertaram
tanto o item a quanto o item b. Em cada um desses itens 1 errou e 1 não fez. Em
relação à primeira parte do item c, tivemos 3 acertos, 5 erros e, 1 não fez. Por
outro lado, na segunda parte, tivemos 4 acertos, 2 erros e 3 não fizeram.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
115
O desempenho dos alunos no desenvolvimento desta questão foi satisfatório
desde o início, demonstrando que os alunos já possuíam a habilidade operatória
envolvida, como podemos ver no quadro 5.7 a seguir.
Quadro 5.7 - Resultados Relativos à Sexta Questão do Teste Diagnóstico
1º teste diagnóstico
(6ªquestão) - (2006)
2º teste diagnóstico
(1ªquestão) - (2007)
2º teste diagnóstico
(1ªquestão) - (2007)
(604) - 31 alunos (803/604) - 28 alunos (803/n604) - 9 alunos
Item a Item a Item a
Acertou usando fração
equivalente
30 (97%)
Acertou usando fração
equivalente
28 (100%)
Acertou usando fração equivalente
7 (78%)
Errado
0
Errado
0
Errado/ outros 0 / 1
(11%)
Não fez
1 (3%)
Não fez
0
Não fez
1 (11%)
Item b Item b Item b
Acertou usando fração
equivalente
30 (97%)
Acertou usando fração
equivalente
28(100%)
Acertou usando fração equivalente
7 (78%)
Errado
0
Errado
0
Errado/ outros 0 / 1
(11%)
Não fez
1(3%)
Não fez
0
Não fez 1
(11%)
Item c
1
Item c
1
Item c
1
Acertou usando fração
equivalente
26 (84%)
Acertou usando fração
equivalente
28 (100%)
Acertou usando fração equivalente
3
(33%)
Errado
3 (10%)
Errado
0
Errado/ outros 2 / 3
(56%)
Não fez
2 (6%)
Não fez
0
Não fez
1(11%)
Item c
2
Item c
2
Item c
2
Acertou usando fração
equivalente ou
a prop. t
ransitiva
12 (38%)
Acertou usando fração
equivalente ou
a prop. transitiva
15 (54%)
Acertou usando fração equivalente
ou a prop. t
ransitiva
3
(33,5%)
Acertou usando parte da prop.
Transitiva
3 (10%)
Acertou usando parte da prop.
Transitiva
6 (21,5%)
Acertou usando parte da prop.
Transitiva
1(11%)
Errado: resposta o nº. 20;
8(27%)
Errado: resposta o nº. 20;
0
Errado: resposta o nº. 20;
0
Errado: resposta o nº. 21;
2 (6%)
Errado: resposta o nº. 21;
2 (7%)
Errado: resposta o nº. 21;
1(11%)
Errado: resposta.o nº. 22;
0
Errado: resposta o nº. 22;
1 (3,5%)
Errado: resposta. o nº. 22;
0
Errado: resposta o nº. 28;
2 (6%)
Errado: resposta o nº. 28
0
Errado: resposta o nº. 28
1(11%)
Errado: resposta o nº. 30
0
Errado: respo
sta o nº. 30
2 (7%)
Errado: resposta o nº. 30
0
Errou completamente
0
Errou completamente
2 (7%)
Errou completamente
0
Não fez.
4 (13%)
Não fez
0
Não fez
3 (33,5 %)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
116
Mostraremos a seguir alguns exemplos que nos indicam a evolução do
desenvolvimento dos alunos nesta questão.
Eduardo: Observamos que este aluno domina o conceito de frações equivalentes
desde o início do ano. Em cada etapa do processo de resolução tenta explicar em
linguagem corrente e em linguagem matemática a solução de cada item, como
mostra a Figura 5.31.
Figura 5.31 - 1º teste - EDUARDO (6)
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
117
No 2º teste, este aluno confirma que continua dominando este conceito.
Utilizando cálculos e descrevendo em linguagem corrente a solução de cada item
resolvido, como vemos na Figura 5.32.
Figura 5.32 - 2º teste - EDUARDO (1)
Priscila: Neste 1º teste, Figura 5.33, verificamos que a aluna consegue resolver
corretamente os dois primeiros itens. Entretanto, na 2ª etapa do item (c) não
consegue concluir, confundindo o raciocínio multiplicativo com o raciocínio
aditivo.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
118
Figura 5. 33 - 1º teste - PRISCILA (6)
Na Figura 5.34, observamos no item (a) que a aluna passou a dominar com
segurança o conceito de fração equivalente, utilizando também para justificar sua
solução usando a forma icônica. Já no item (b), utilizou o conceito de metade,
embora, também indique, neste mesmo item, o domínio do conceito fração
equivalente. No item (c) tanto na 1ª etapa quanto na 2ª etapa utilizou cálculos e a
forma icônica para justificar seu raciocínio.
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Análise Comparativa dos Testes Diagnósticos: principais constatações sobre o
desempenho
119
Figura 5. 34 - 2 º teste - PRISCILA (1)
Sintetizando, a análise comparativa do desempenho dos alunos no primeiro
teste aplicado em 2006 e na sua repetição em 2007 permitiu perceber a evolução
dos alunos na compreensão do conceito de fração como número. Verificou-se,
claramente, o resultado dessa melhor compreensão na análise de situações
concretas.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
Neste capítulo acompanhamos a aprendizagem dos alunos da turma 604 em
2006, realizado por meio das respostas às questões propostas nas provas aplicadas
durante o ano. A forma como os alunos respondem às questões é analisada em
busca de indicações de como se processa a aprendizagem. O capítulo está dividido
em seções, que tratam de cada um dos trimestres do ano letivo.
6.1. Primeiro trimestre de 2006
Dentro deste período, o 1º teste individual foi realizado em 12/05. Este teste
constou de sete questões subdivididas em um total de dez itens. Ocorreram 61,8%
das notas abaixo de 5, como indicado no quadro abaixo.
Quadro 6.1 Desempenho dos alunos – 1º Teste Individual- 12/05/2006
Nota do 1º teste individual
(1º trimestre)
Número de alunos Percentual de alunos
Nota < 5 21 61,8%
5
≤
Nota < 7
8 23,5%
Nota
≥
7
5 14,7%
Total: 34 Total: 100%
Da 1ª questão, que apresentou elevada taxa de respostas insatisfatórias,
destacamos as respostas abaixo. É importante observar que os alunos, de um
modo geral, não recorreram à forma procedimental, isto é, efetuar o produto e
comparar os resultados. Preferiram utilizar a reta numérica para a resolução da
questão, como destacamos em alguns dos exemplos a seguir.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
121
Ana Carolina
Figura 6.35 - 1ª questão-teste individual de 12/05 - ANA CAROLINA (1)
Na Figura 6.35, observamos que a aluna empregou a forma icônica para
resolver a questão. Primeiro mostrou o comprimento de
1 3
8 5
de
. A seguir, em
outro desenho, representou
8
5
. Utilizando uma outra representação, a partir do
comprimento de
8
5
, indicou, também nesta nova representação, o comprimento de
1 8
3 5
de
. A partir daí concluiu que
1 8
3 5
de
>
1 3
8 5
de
. Dessa forma, sem recorrer ao
cálculo, consegue, utilizando a representação na reta numérica, comparar
corretamente os produtos finais.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
122
Ana Paula
Figura 6.36 - 1ª questão-teste individual de 12/05 - ANA PAULA (1)
Esta aluna, usando a representação na reta numérica, como se vê na Figura
6.36, justifica sua resposta comparando por etapas:
Se
8
5
é maior que
3
5
e,
1
8
menor que
1
3
, então
1 8
3 5
de
>
1 3
8 5
de
.
Laleska
Figura 6.37 -1ª questão teste individual de 12/05 – LALESKA (1)
Para justificar sua resposta, Figura 6.37, a aluna utilizou a forma icônica
indicando a representação de
1 3
8 5
de
. Depois, usando uma outra representação,
mostra o comprimento de
1 8
3 5
de
. Conclui daí, que
1 8
3 5
de
é maior.
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
123
A 2ª questão, que tratou da representação de uma fração na reta numérica,
apresentou um excelente resultado. Consideramos importante mostrar alguns
exemplos que indicam a compreensão do conceito de fração como número por
parte dos alunos, bem como sua sinalização correta na reta numérica. Uma
observação importante a ser feita é que, de um modo geral, os alunos que
atingiram essa compreensão, ao final dos anos letivos de 2006 e 2007 passaram
por média (média igual ou superior a 7).
Daniel
Figura 6.38 – 2ª questão-teste individual de 12/05 – DANIEL (2)
Este aluno, como podemos ver na Figura 6.38, explicou cada etapa do seu
raciocínio, finalizando com a explicação do significado de
230
459
=
229
1
230
e sua
colocação correta na reta numérica.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
124
Mayra
Figura 6.39 – 2ªquestão-teste individual de 12/05 – MAYRA (2)
Pela explicação da aluna e pela colocação da fração na reta numérica
podemos perceber que identifica fração como um número. (Figura 6.39).
A 3ª questão apresentou, também, um alto índice de acerto, o que pode ser
atribuído ao seu caráter concreto, que facilita a identificação da unidade de
medida. Seguem-se alguns exemplos de resolução desta questão pelos alunos.
Ana Paula
No item (a) calculou o número de páginas de cada capítulo, a seguir o número
total de páginas do livro. No item (b) descobriu primeiro o número de páginas por
capítulo, depois por subtrações sucessivas, foi estabelecendo a correspondência
entre a quantidade de páginas e cada capítulo, concluindo daí o número de
capítulos lidos. Verificou que ao multiplicar 82 por 3, obteve como resultado 246,
que correspondia exatamente a metade do número de páginas do livro, chegando,
dessa forma, ao resultado correto (Figura 6.40).
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
125
Figura 6.40 – 3ª questão-teste individual de 12/05 – ANA PAULA (3)
Antonio
Figura 6.41 – 3ª questão-teste individual de 12/05 – ANTONIO (3)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
126
No item (a), descobriu quantas páginas tinha em cada capítulo. No item(b)
subtraiu o total de páginas do livro e percebeu ter lido exatamente a metade do
número de páginas. Daí concluiu que se o livro todo possui 492 e tendo lido a
metade faltavam exatamente 3 capítulos para concluir a leitura (Figura 6.41).
Na 4ª questão, o índice de acerto foi bastante inferior. Esta questão
apresenta dificuldade tanto para o aluno que tenta uma abordagem conceitual
quanto para aquele que recorre aos recursos operacionais.
O desempenho dos alunos nesta questão confirma as constatações de
Kieran (1981, 1999) sobre a dificuldade dos alunos em representar métodos
formais matemáticos e explicitar os procedimentos que usam para resolver
problemas. Mostraremos alguns exemplos do desenvolvimento desta questão,
onde vários alunos, embora tenham conseguido encontrar o resultado procurado,
neste período do ano tiveram comportamento similar ao descrito por Kieran.
Ana Paula
Figura 6.42 – 4ª questão-teste individual de 12/05 – ANA PAULA (4)
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
127
Esta aluna, apesar de ter tido um bom desempenho nesta avaliação,
apresentou dificuldades em representar métodos formais matemáticos para expor
seu raciocínio de forma concisa. Comportamento similar ao descrito por Kieran,
como comentado acima.
A aluna utilizou a seguinte representação matemática:
4
1
= 2
5
2
÷
3 =
5
4
+
5
4
+
5
4
=
5
12
= 2
5
2
+
5
4
= 3
5
1
. Chegou à conclusão:
Se
12
5
“equivale” a
4
3
, então
1
4
“equivale” a 2
5
2
÷
3, ou seja,
5
4
.
Por sua vez no item (b) colocou:
5
4
milhas = 1600
÷
5 x 4 = ? = 1280
metros. Tanto no item (a) como no (b) utilizou linguagem matemática imprecisa,
embora tenha concluído corretamente (Figura 6.42).
Ingrid Rani
Figura 6.43 – 4ªquestão-teste individual de 12/05 – INGRID RANI (4)
Esta aluna raciocinou corretamente, embora sua representação não seja
precisa, indo mais uma vez ao encontro do que foi exposto por Kieran (Figura
6.43).
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
128
Mayra
Figura 6.44– 4ª questão-teste individual de 12/05 – MAYRA (4)
Observando a Figura 6.44, verificamos que a aluna mostra dificuldade em
representar corretamente o que está “pensando”.
Fez a seguinte indicação:
12 16
4
5 5
+ =
(embora estivesse pensando em
12
5
+
4
5
=
16
5
)
Conhecendo
4
3
e sabendo que “corresponde” a
5
2
2
=
12
5
, deseja calcular
1
4
, pois,
o caminho todo equivale a
4
4
. Simplesmente divide 12 por 3, encontra 4, resto 0.
(Quando o que deveria estar indicado é
12
5
: 3 =
12 1 4
.
5 3 5
=
)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
129
Logo a seguir, divide 16 por 5, resto 1. Daí conclui que o resultado é
16
5
ou
1
3
5
.
Ou seja: Quando escreveu
12 16
4
5 5
+ = , estava pensando que:
12
5
+
4
5
=
16
5
=
1
3
5
.
Esta interpretação “4 no lugar de
4
5
” se “justifica”, pois no item (b), logo a seguir,
coloca
1
4
=
4
5
.
A 5ª questão já havia sido incluída no 1º teste diagnóstico e veio, mais tarde,
a fazer parte do 2º, com o mesmo enunciado. A dificuldade neste momento ficou
por conta da parte final da pergunta, acrescida nesta avaliação: Se a sua resposta é
afirmativa, determine precisamente em que casos isso pode acontecer.
Conforme analisado no Capítulo 4, a maioria dos alunos conseguiu responder
corretamente, inclusive explicando, por meio de exemplos numéricos, o porquê de
João poder voltar para casa com mais dinheiro que Maria.
A 6ª questão foi adaptada do trabalho de Wu (2002 p.19,20). Ele cita que a
mesma foi aplicada em um teste de psicologia, onde o autor menciona a
dificuldade que as pessoas têm em reconhecer se as figuras estão ou não divididas
em três partes iguais. No nosso teste, apenas dois alunos conseguiram comparar
corretamente e visualizar que a primeira figura estava dividida em três partes
iguais, enquanto que a segunda figura não está dividida em três partes iguais.
A 7ª questão apresentou um grau de dificuldade elevado. Mostraremos a
seguir alguns exemplos relevantes do desenvolvimento dessa questão. É
importante ressaltar que em cada um dos exemplos que seguem os alunos
transformaram a unidade dada, utilizando formas diferentes, segundo sua
observação.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
130
Ana Cristina
Figura 6.45 – 7ªquestão-teste individual de 12/05 – ANA CRISTINA (7)
Como vemos na Figura 45, a aluna em princípio transformou a unidade dada
de tal maneira que fosse possível fazer a comparação entre a figura a ser
avaliada e a unidade dada. Concluiu o item (a) corretamente. Usou o mesmo
raciocínio para o item (b).
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
131
Ana Paula
Figura 6.46 – 7ª questão-teste individual de 12/05 – ANA PAULA (7)
Esta aluna também transformou a figura a ser avaliada de tal forma que
pudesse comparar a unidade dada. Usou outra forma de transformar a unidade
dada diferente da que mostramos anteriormente. A partir de então concluiu o valor
da figura do item (a). Utilizou o mesmo raciocínio para resolver o item (b).
(Figura 6.46)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
132
Daniel
Figura 6.47 – 7ªquestão-teste individual de 12/05 – DANIEL (7)
Este aluno conseguiu visualizar de uma maneira diferente (Figura 6.47).
Primeiro transformando a unidade dada numa forma tal que pudesse comparar e, a
seguir concluir o que foi pedido, tanto no item (a) como no item (b).
Este primeiro trimestre teve o seu desenvolvimento afetado porque o corpo
docente do Colégio Pedro II iniciou no final de maio uma greve que durou até 3
de julho. Logo após o retorno, fizemos uma revisão de frações, padrões
numéricos. Nas aulas subseqüentes trabalhamos números decimais. Para este
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
133
desenvolvimento, utilizamos o conceito de fração e o princípio posicional do
sistema de numeração. Procuramos integrar o conteúdo de números decimais às
suas aplicações, tais como aos sistemas de medidas de comprimento, áreas e
capacidade. Aproveitamos, também, para trabalhar porcentagens ligadas ao
cotidiano dos alunos.
A avaliação seguinte foi a prova trimestral de Matemática realizada em
julho. Os objetivos estabelecidos para esta prova foram:
(a) trabalhar o conceito de números decimais apoiado no conceito de fração;
(b) integrar os conteúdos de números decimais às suas aplicações nos
sistemas de medidas de comprimento, áreas e de capacidade;
(c) trabalhar padrões numéricos e o conjunto de números inteiros.
Nesta prova ainda prevaleceram os desempenhos inferiores, como indicado
no quadro abaixo.
Quadro 6.2 Desempenho dos alunos – 1ª Prova Trimestral- 21/07/2006
Nota da 1ª prova
trimestral
Número de alunos Percentual de alunos
Nota < 5 15 44%
5
≤
Nota < 7
13 38%
Nota
≥
7
6 18%
Total: 34 Total: 100%
Dentre as questões elaboradas para a prova trimestral podemos destacar a 1ª
questão, adaptada do trabalho de Wu
1
. A taxa de acerto nesta questão ficou em
torno de 62 %. Comparando com a 7ª questão do 1º teste individual de
12/05/2006, elaborada com o mesmo objetivo, cujo percentual de acerto foi de
44% no item (a) e 18% no item (b), podemos observar que a maioria da turma
conseguiu, neste momento, lidar com uma unidade de medida não usual.
A seguir indicaremos alguns exemplos de soluções apresentadas nesta prova
trimestral por alguns alunos que apresentaram soluções relevantes para nosso
estudo.
1
Esta questão foi retirada do capitulo 2 do livro Fractios. H.Wu, 2002, p.29.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
134
Antonio
Figura 6.48 – 1ª questão - Prova Trimestral 21/07-ANTONIO (1)
Este aluno, usando a forma icônica resolve a 1ª parte da questão, a seguir
complementa corretamente a representação na reta numérica. Na 2ª parte da
questão indica a posição da fração
195
52
, ressaltando a unidade considerada, ou
seja,
195
195
(Figura 6.48). Aceitamos como solução a representação do aluno que
assinalou esta fração na reta numérica na posição “aproximadamente” menor que
a metade do intervalo [0,1].
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
135
Camila
Figura 6.49 – 1ªquestão - Prova Trimestral 21/07 - CAMILA (1)
Indicou corretamente que as frações
15 5
6 2
e
designam a mesma área, como
vemos na Figura 6.49. Logo a seguir conclui que representam frações
equivalentes, por ocuparem a mesma posição na reta numérica. Finalmente, por
aproximação, coloca a fração
195
52
na reta numérica na posição mais conveniente.
É importante ressaltar o “sentido de precisão” da aluna. Nota-se que reparte o
intervalo [0,1] em três partes iguais e assinala corretamente a fração
195
52
no
primeiro terço deste intervalo.
Tanto a questão 4 quanto a questão 5 tiveram como objetivo trabalhar
padrões numéricos e generalizações (Cf. BOOTH, 1984, p. 26).
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
136
Na questão 4, os itens (a) e (b) trabalharam padrões numéricos como
preparação para a descoberta de “termo desconhecido” (raciocínio abstrato)
2
.
Obtivemos nesta questão uma taxa satisfatória de acerto, de 68% em média em
relação aos itens (a) e (b). Por sua vez, a questão 5 também apresentou uma taxa
de desempenho satisfatória, 61,5% em média em relação ao item (a) e (b).
Embora, de um modo geral, como comentado anteriormente, a turma tenha
apresentado um bom desempenho, achamos esclarecedor trazer aqui alguns
exemplos dos desenvolvimentos dos alunos nesta questão,
Camila
Figura 6.50 – questão 4 Prova Trimestral 21/07- CAMILA (4)
Embora esta aluna no item (b) da questão 4 não tenha indicado (n x 5) é
possível perceber que assimilou a idéia de generalização no desenvolvimento
deste item. (Figura 6.50).
Na questão 5, esta aluna confirma este mesmo tipo de raciocínio, como
podemos constatar na Figura 6.51.
2
Esta questão foi retirada do livro de Lesley R.Booth, Álgebra: Children’s Strategies and Errors,
1984, p. 98.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
137
Camila
Figura 6.51 – questão 5 Prova Trimestral 21/07- CAMILA (5)
Cláudio
Figura 6.52 – 4ªquestão Prova Trimestral 21/07- CLÁUDIO (4)
Este aluno no desenvolvimento mostrou que ainda não tinha assimilado a
idéia de generalização. Sentiu necessidade de exemplificar para poder responder,
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
138
como podemos ver na questão 4, Figura 6.52, a seguir, acontece o mesmo em
relação à questão 5 (Figura 6.53).
Cláudio
Figura 6.53 – 5ª questão Prova Trimestral 21/07- CLÁUDIO (5)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
139
Mayra
Figura 6.54 – questão 4 Prova Trimestral 21/07- MAYRA (4)
Esta aluna, de forma clara e simples, no item (a), embora não tivesse sido
colocada explicitamente a quantidade de partes, 19, compreendeu como deveria
encontrar o resultado. No item(b), mesmo com o obstáculo colocado, conseguiu
perceber como deveria indicar a solução: 5xn. (Figura 6.54)
Comportamento semelhante se verifica na resposta à Questão 5 (Figura
6.55).
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Mayra
Figura 6.55 – questão 5 Prova Trimestral 21/07- MAYRA (5)
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141
A questão 7, por sua vez, trabalhou com unidade de capacidade, envolvendo
operações com números decimais. O índice de acerto da 1ª pergunta foi de 74%, o
índice de acerto da 2ª pergunta foi de 38%, para a 3ª pergunta ninguém apresentou
uma resposta completamente satisfatória.
Mostraremos exemplos de grupos de alunos que acertaram a 1ª pergunta, a
2ª e, entretanto, na 3ª pergunta não conseguiram concluir corretamente ou, ainda
que tendo a idéia correta, não conseguiram explicitá-la claramente.
1º grupo: Multiplicou 4,5 por 6, encontrou 27 e, a seguir complementou:
27
l
-24
l
=3
l
. A partir daí, entendeu equivocadamente que sobraram 3
l
e só
necessitava de 1,5
l
para completar a lata do mês seguinte (4,5
l
–3
l
=1,5
l
)
(Figura 6.56).
Ana Paula
Figura 6.56 – questão 7 Prova Trimestral 21/07- ANA PAULA (7)
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142
2º grupo Acertou o 1º item e o 2º item, porém, quando chegou ao 3º item,
cometeu o mesmo erro do primeiro grupo. Além disso, esqueceu que para operar
alterara a unidade de medida e respondeu com o número de litros multiplicado por
10. (Figura 6.57)
Priscila
Figura 6.57– questão 7 Prova Trimestral 21/07- PRISCILA (7)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
143
3ºgrupo: Não interpretou corretamente o resto porque, como o grupo anterior, não
percebeu que, ao multiplicar por dez o dividendo e o divisor, multiplicou também
o resto. Assim, considerou o resto igual a 15 (Figura 6.58).
Ana Carolina
Figura 6.58 – questão 7 Prova Trimestral 21/07- ANA CAROLINA (7)
4ºgrupo: Ao dividir 24 por 4,5, encontrou 5,33. A partir daí deduziu que
necessitava comprar 6 latas. A seguir subtraiu 5,33 de 6 e verificou o que sobrava
a cada mês 0,67. Concluiu que dentro de alguns meses poderia comprar menos
óleo, por que sobrava óleo. Apenas, não conseguiu explicitar claramente sua
justificativa porque não complementou dentro de quanto tempo isto deveria
acontecer (Figura 6.59).
Ana Cristina
Figura 6.59 – questão 7 Prova Trimestral 21/07- ANA CRISTINA (7)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
144
6.2 Segundo trimestre de 2006
O desempenho dos alunos no segundo trimestre foi muito melhor que o do
primeiro trimestre. No resultado final do trimestre, tivemos 4 (11,7%) médias
menores que cinco, 2 (5,9%) maiores ou iguais a cinco e menores que sete e 28
(82,4%) iguais ou superiores a sete.
Quadro 6.3 Desempenho dos alunos no final do 2º trimestre
Nota da 1ª prova
trimestral
Número de alunos Percentual de alunos
Nota < 5 4 11,7%
5
≤
Nota < 7
2 5,9%
Nota
≥
7
28 82,4%
Total: 34 Total: 100%
A prova de matemática correspondente à 2ª certificação, que constitui a
avaliação mais importante do trimestre, ocorreu em setembro e, teve os seguintes
objetivos: (a) operar com números decimais: adição subtração, multiplicação e
divisão; (b) integrar os conteúdos de números decimais às suas aplicações nos
sistemas de medida de comprimento, massa, áreas e capacidade; trabalhar o
conceito de números inteiros (positivos e negativos), utilizando a reta numérica.
Na elaboração desta prova, aproveitamos a associação dos números
decimais a medidas de comprimento, massa, capacidade, e permeamos com
questões que ajudam na compreensão de transitar pelas unidades quando possível
e /ou necessário; trabalhar os vários tipos de igualdade, quer tratando-se de
identidade ou equação, visando principalmente, mais adiante, a introdução de
equações.
O desempenho nesta prova foi o indicado no quadro abaixo.
Quadro 6.4 Desempenho dos alunos – 2ª Prova Trimestral- 22/09/2006
Nota da 2ª prova trimestral Número de alunos Percentual de alunos
Nota < 5 5 15%
5
≤
Nota < 7
6 18%
Nota
≥
7
23 67%
Total: 34 Total: 100%
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145
Trazemos aqui respostas a algumas questões que merecem ser analisadas:
A 1ª questão foi composta de 4 itens. Trabalhamos com a unidade de massa
onde o aluno deveria trabalhar com “balança de pratos” estimando o peso de cada
mercadoria comprada
3
. O principal objetivo desta questão era dar continuidade à
preparação para a resolução de equações, desenvolvendo a “idéia de equilíbrio”.
A taxa de acerto dessa questão foi satisfatória. No item (a) o percentual de acerto
ficou em torno de 88%. A dificuldade do item (b) ficou por conta de não saberem
justificar, quer em linguagem natural ou em linguagem corrente a segunda
pergunta do item: Isto basta para ela conferir os pesos das mercadorias
compradas?
Grande parte dos alunos, 79%, respondeu somente sobre o “peso” que
deveria ser colocado. Um grupo bem menor, 12%, conseguiu atingir o objetivo
proposto e, finalmente, 9% erraram. Os itens (c) e (d) apresentaram um percentual
de acerto semelhante, em torno de 65%.
Alguns exemplos de solução são bastante ilustrativos:
3
Questão extraída do Material didático apresentado na oficina oferecida pela Equipe do Projeto
Fundão: “Álgebra na Escola Básica: Significado? Mecanização?”, no 4º Encontro Estadual de
Educação Matemática do Rio de Janeiro (4º EEMAT, 2006).
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146
Priscila
Figura 6.60 – 1ªquestão Prova Trimestral 22/09- PRISCILA (1)
Não conseguiu concluir o item (b) de acordo com o objetivo da questão,
embora tenha resolvido todos os outros itens corretamente (Figura 6.60).
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
147
Virgínia
Figura 6.61 – 1ª questão Prova Trimestral 22/09 - VIRGÍNIA (1)
Embora tenha colocado as respostas corretas não conseguiu justificar o
porquê de não ser o suficiente para conferir os pesos das mercadorias como
mostra o item (d) (Figura 6.61).
Na 3ª questão trabalhamos novamente unidade de medida de massa,
envolvendo operação com decimais. Já a 4ª questão tratou de reforçar explicações
de regras e a buscar padrões. O índice de acerto da 3ªquestão ficou em torno de
67%. Por sua vez, o índice de acerto da 4ª questão, tanto no item (a) quanto no
item (b), também apresentou mesma taxa de acerto. A seguir daremos alguns
exemplos que mostram o desenvolvimento dado pelos alunos em cada.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
148
Camila
Figura 6.62 – Prova Trimestral 22/09- 3ª e 4ª questões – CAMILA (3)
Tanto na 3ª como na 4ª questão a aluna atingiu os objetivos propostos,
usando linguagem natural para justificar sua resposta (Figura 6.62).
Laís
Figura 6.63 – Prova Trimestral 22/09 - 3ª e 4ª questões – LAÍS (3)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
149
Resolveu a 3ª questão corretamente, utilizando frações equivalentes.
Embora não tenha acertado a 4ª questão, pois usou o raciocínio incorreto que diz:
“ao multiplicar um número por outro sempre tem que resultar um número
maior”. Tipo de raciocínio que quase sempre conduz ao erro (Figura 6.63).
Tanto na 8 ª questão quanto na 12ª questão, a taxa de acerto foi satisfatória.
Em média 73% e 76%, respectivamente. Os alunos nesta altura do ano letivo
sinalizavam, corretamente, na reta numérica, os números decimais e os inteiros
positivos e negativos. Seguem exemplos de respostas a essas questões.
Danielle
Figura 6.64 – Prova Trimestral 22/09 - 8ª questão – DANIELLE (8)
Conseguiu localizar corretamente na reta numérica, nos intervalos apresentados,
cada um dos pontos solicitados. (Figura 6.64)
Priscila
Esta aluna, como vemos na Figura 6.65, optou em utilizar letras para representar
na reta numérica, enquanto outros usaram números. O observamos é que os alunos
nesta altura do ano, de um modo geral, já trabalhavam com facilidade questões
que envolviam a representação de números inteiros na reta numérica.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
150
Figura 6.65 – Prova Trimestral 22/09 - 12ª questão – PRISCILA (12)
Logo após o Conselho de Classe que ocorreu nos dias 02 e 03 de outubro,
iniciamos o 3º trimestre.
6.3 Terceiro trimestre de 2006
O primeiro teste individual do terceiro trimestre ocorreu em outubro, com
consulta à pasta. Faltaram dois alunos. Neste teste foi avaliada a compreensão do
conceito de proporcionalidade, direta e inversa, grandezas direta e inversamente
proporcionais, além de trabalharmos o conceito de porcentagem.
Quadro 6.5 Desempenho dos alunos-1ºTeste Individual do 3ºtrimestre-30/10/2006
Nota da 1ª prova trimestral Número de alunos Percentual de alunos
Nota < 5 8 25%
5
≤
Nota < 7
10 31%
Nota
≥
7
14 44 %
Total: 32 Total: 100%
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
151
A 1ª questão trabalhou proporcionalidade. Teve por objetivo de verificar se
o aluno compreendia se as grandezas comparadas eram proporcionais ou não. O
desempenho nesta questão apontou o bom entendimento no conceito de
proporcionalidade. A taxa de acerto referente a completar a tabela com os preços
apagados foi em torno de 81%.
Outras duas questões que merecem destaque, a 4ª e a 5ª, porque em ambas
trabalhamos o conceito de grandezas diretamente proporcionais. Obtivemos no
item (a) da 4ª questão, apenas 12,5% dos alunos errando. Acertaram
completamente 16% e 71,5% acertaram parcialmente. A dificuldade ficou por
conta de saber expressar a resposta da 2ª parte da questão. Quanto ao item (b),
tivemos 34% de alunos errando este item, 50% acertando parcialmente e
finalmente 16% acertando todos os quesitos do item. Vejamos alguns exemplos da
4ª questão.
Beatriz
Figura 6.66 - Teste 30/10 - 4ª questão-BEATRIZ (4)
Esta aluna conseguiu perceber na 2ª parte do item (a) que, sendo 36 múltiplo
de 3, não era necessário encontrar a unidade e, simplesmente, multiplicar também
R$5,00 por 12, obtendo R$60,00. No item (b), conseguiu completar cada quesito
raciocinando corretamente (Figura 6.66).
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152
Camila
Figura 6.67 - Teste 30/10-4ª questão – CAMILA (4)
Tanto na 1ª parte do item (a) quanto na 2ª, identificou qual a melhor
estratégia a seguir. Percebeu que como 36 é múltiplo de 3, e que 36
÷
3 =12, então
multiplicou 12 x 5= 60. No item (b), errou o quesito 2, acertando os demais.
(Figura 6.67)
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153
Priscila
Figura 6.68 - Teste 30/10 - 4ª questão – PRISCILA (4)
Conseguiu responder corretamente a 1ª parte do item (a) e se atrapalhou na
2ª parte. Identificou a proporcionalidade entre 3 e 36 e fez a correspondência
correta com 5,00 e 60,00, porém não conseguiu justificar por que não era
conveniente achar o preço de cada maçã. Embora tenha respondido corretamente
cada quesito do item (b) na coluna que corresponde ao valor de R$36,00, colocou
200 ao invés de 20.(Figura 6.68).
Devemos, também, apresentar alguns desenvolvimentos de alunos na 5
a
Questão, na qual o desempenho foi satisfatório: no item (a) em torno de 78%, no
item (b) em torno de 66% e no item (c) de 72%.
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154
Beatriz
Figura 6.69 - Teste 30/10 -5ª questão – BEATRIZ (5)
Esta aluna descobriu o número (fator de proporcionalidade) pelo qual 25 foi
multiplicado para encontrar 100 e, a seguir multiplicou este mesmo número por
600, encontrando 2400. Tanto no item (b) como no item (c) utilizou o mesmo
raciocínio (Figura 6.69).
Camila
Figura 6.70 - Teste 30/10 - 5ª questão – CAMILA (5)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
155
Também conseguiu identificar o fator de proporcionalidade nos três itens.
Concluiu corretamente (Figura 6.70).
Priscila
Figura 6.71 - Teste 30/10-5ª questão – PRISCILA (5)
Identificou o fator de proporcionalidade existente entre os elementos da 1ª
linha e os da 2ª linha imediatamente abaixo. A partir daí completou corretamente
cada item solicitado (Figura 6.71).
Na 7ª questão, o aluno tinha que identificar se havia compreendido se as
grandezas envolvidas eram ou não proporcionais. O desempenho nesta questão foi
muito bom. Tivemos apenas três alunos errando, com um percentual de 9%,
demonstrando que a maioria dos alunos conseguiu assimilar o conceito de
proporcionalidade. Vamos a seguir apresentar alguns desenvolvimentos de alunos
que exibem o raciocínio utilizando a proporcionalidade.
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156
Cláudio
Figura 6.72 - Teste 30/10 - 7ª questão – CLÁUDIO (7)
Este aluno também conseguiu identificar com precisão que a situação
colocada na propaganda do mercado não caracterizava uma proporcionalidade
(Figura 6.72)
Ingrid
Figura 6.73 - Teste 30/10 - 7ª questão – INGRID (7)
Esta aluna compreendeu que, a partir do 5º sabonete, o preço não é obtido
multiplicando por 5, o que caracteriza não ser diretamente proporcional (Figura
6.73).
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157
Niander
Figura 6.74 - Teste 30/10 - 7ª questão – NIANDER (7)
Este aluno, embora não tenha conseguido preencher os espaços a serem
completados, mesmo assim identificou não haver proporcionalidade entre as
grandezas número de sabonete e preço (Figura 6.74).
Outra questão que merece destaque nesta avaliação é a 15ª questão. Nesta
questão trabalhamos com operações de números inteiros. Tivemos uma taxa de
acerto satisfatória. A análise do desempenho dos alunos individualmente nesta
questão nos parece muito importante.
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158
Ana Paula
Figura 6.75 - Teste 30/10 - 15ª questão – ANA PAULA (15)
Tanto no item (b) quanto no item (c) não levou em consideração a
prioridade entre as operações. Na 2ª parte da questão, embora tenha resolvido
corretamente não justificou (Figura 6.75).
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
159
Ingrid
Figura 6.76 - Teste 30/10 - 15ª questão - INGRID (15)
Em 12 itens acertou 10. Tanto no item (c) quanto no (f) teve o mesmo tipo
de erro (Figura 6.76).
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160
Lucas Simões
Figura 6.77 - Teste 30/10 - 15ª questão – LUCAS SIMÕES (15)
Este aluno, também em 12 acertou 10. No item (a) ao invés de multiplicar
por 2, multiplicou 0,02 pelo próprio 0,02, daí em diante carregou o erro. Já no
item (e), errou os sinais ao efetuar as operações solicitadas (Figura 6.77).
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161
Em dezembro, aconteceu a Prova Única, ocasião em que todas as turmas da
série fazem a mesma prova, que corresponde à prova trimestral da 3ª certificação.
Com esta avaliação completamos o conteúdo programático estabelecido a priori
para o ano letivo de 2006.
Quadro 6.6 Desempenho dos alunos – Prova Única -1º de dezembro de 2006
Nota da Prova Única Número de alunos Percentual de alunos
Nota < 5 6 17,65%
5
≤
Nota < 7
10 29,41%
Nota
≥
7
18 52,94%
Total: 34 Total: 100%
A 1ª questão teve como objetivo avaliar o domínio do conceito de
proporcionalidade, tratando do cálculo de razão e, em particular, velocidade
média. Este conceito fica solidamente estabelecido se o aluno se habitua a
identificar a unidade a que se refere cada medida. A turma apresentou um ótimo
desempenho, tanto no item (a) quanto no item (b). Estes resultados satisfatórios
obtidos indicam que, de fato, a aprendizagem desenvolvida com a metodologia
proposta conduziu a um domínio seguro deste conceito. No item (a) dos 34
alunos, 29 (85,3%) acertaram completamente e 5 (14,7%) acertaram parte da
questão. Quanto ao item (b) 20 (59%) acertaram completamente, 6(18%),
acertaram parte da questão e 8 (23%) erraram o item.
Mostraremos alguns desenvolvimentos de questões de alunos relevantes
para nosso estudo. Podemos ressaltar a Questão 1.
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162
Daniel
Figura 6.78 – Prova Única - 2006 - 1ª questão – DANIEL (1)
Este aluno, tanto no item (a) quanto no item (b), estabeleceu uma
correspondência entre as grandezas envolvidas, fazendo a redução à unidade de
medida. Deste modo, determinou o que estava sendo pedido corretamente,
embora, no item (b) não tenha feito a conversão do resto da operação para minutos
(Figura 6.78).
Lucas Simões
Figura 6.79 – Prova Única - 2006 - 1ª questão – LUCAS SIMÕES (1)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
163
Respondeu corretamente o item (a) e o item(b). Atingiu todos os objetivos
da questão, inclusive no momento de converter o resultado da operação para
minutos (Figura 6.79).
Priscila
Figura 6.80 – Prova Única - 2006 -1ª questão – PRISCILA (1)
Acertou os dois itens propostos, atingindo a todos os objetivos da questão.
No item (a) as contas que aparecem ao lado de 1380 dividido por 15, apenas
ajudam a concluir o que colocar no quociente, se 8 ou 9. No item (b), mostrou que
sabe trabalhar corretamente com as unidades de tempo (horas e minutos) (Figura
6.80).
A 2ª questão envolveu, não apenas proporção, como também porcentagem e
divisão de decimais. Podemos classificar esta questão como difícil. Os vários
conteúdos envolvidos representam, de um modo geral, pontos de estrangulamento,
principalmente nesta fase. Por exemplo, divisão com a idéia dos “quantos cabem”.
Tivemos uma taxa de erro em torno de 21% (7 erros), acertaram parcialmente
59% (20 acertos parciais), com 7 acertos totais, o que é muito bom, vista a
dificuldade que a questão encerra.
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
164
Daniel
Figura 6.81 – Prova Única - 2006 - 2ª questão – DANIEL (2)
Este aluno compreendeu perfeitamente a proporcionalidade que deveria ser
estabelecida para cada porção de volume da mistura a ser colocada em cada
garrafa (Figura 6.81)
1º calculou 20% de 20
l
= 4
l
; 1
l
= 2 vezes 500m
l
(1
l
=1000 m
l
).
1
l
= 500m
l
.2
→
4
l
= 500m
l
.8; 4
l
+2,5
l
.4
→
4
l
+10
l
= 14
l
→
14
l
.2 = 28.500m
l
→
28 garrafas de 500m
l
.
Para cada percentual usou o mesmo tipo de raciocínio, concluindo corretamente
cada uma das quantidades necessárias para encher as garrafas de acordo com o
volume pedido.
1 l : 16,8 l , que corresponde a 17 garrafas de 1
l
.
2 l : 19,6 que corresponde a 20 garrafas de 2 l .
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
165
Eduardo
Figura 6.82 – Prova Única- 2006 -2ª questão – EDUARDO (2)
Resolveu levando em conta os 20 litros de cloro comprados; estabeleceu
quantos de água seriam necessários. Calculou o percentual para cada litro da
mistura. E, a partir das informações dadas pelo enunciado, descobriu quantas
garrafas de cada tipo existiriam (Figura 6.82).
Laleska:
Figura 6.83 – Prova Única- 2006 - 2ª questão – LALESKA (2)
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
166
Estabeleceu a correspondência entre o cloro e a quantidade de água
necessária. Depois, foi calculando cada percentual dado de acordo com o volume
da mistura a ser colocada em cada garrafa. Na conclusão não levou em conta que
não podemos ter 16,8 garrafas. Deveria ter arredondado para 17 garrafas.
Raciocínio análogo para 19,6 garrafas
→
20 garrafas (Figura 6.83).
A 3ª questão envolveu grandezas diretamente proporcionais, no item (a), e,
no item (b), grandezas inversamente proporcionais. Novamente, obtivemos um
bom desempenho dos alunos. Dos 34 alunos, no item (a), 30(88,24%) acertaram
completamente a questão, 2(5,88), parte da questão e apenas 2 (5,88) erraram. No
item (b), 19(56%) alunos acertaram completamente, 4 (12%) acertaram parte da
questão, e 11(32%) erraram.
A 4ª questão envolveu expressões aritméticas. No item (a), tratamos de
números decimais e no item (b) com números fracionários. Nesta questão, no item
(a) tivemos 3 (8,83%) erros, 13 (38,23%) acertos parciais e 18 (52,94%) acertos.
Quanto ao item (b) tivemos 14 (41,17%) erros, 19 (55,89%) acertos parciais e 1
(2,94%) acerto. Este desempenho revela a dificuldade do cálculo formal e a
importância do desenvolvimento da abstração para a correta aprendizagem destes
conteúdos operacionais. Queremos destacar o desempenho da aluna Camila nesta
questão, onde mostra saber operar corretamente com números inteiros e
fracionários, como vemos na Figura 6.84.
Camila
Figura 6.84 - Prova Única- 2006 - 4ª questão – CAMILA (4)
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
167
Washington
Resolveu corretamente o item (a), entretanto, no item (b) ao efetuar a
multiplicaçao trocou o sinal. (Figura 6.85)
Figura 6.85 – Prova Única- 2006 - 4ª questão – WASHINGTON (4)
A 5ª questão teve como objetivos avaliar o conceito de proporcionalidade e
a habilidade de operar com fração, além de trabalhar com medida de capacidade.
O desempenho dos alunos nesta questão, tanto no item (a) quanto no item (b), foi
muito bom. No item (a) tivemos 29(85%) acertos e 5(15%) erros. O item (b), por
sua vez, apresentou 17(50%) acertos, 9(26%) acertos parciais e 8 (24%)erros.
Mais uma vez podemos observar pelas soluções dos alunos que, podendo buscar
concretamente a unidade de referência, trabalharam com proporcionalidade com
segurança. Muitos deles recorreram a frações equivalentes, chegando a conclusões
corretas.
Danielle
Figura 6.86 – Prova Única- 2006 - 5ª questão – DANIELLE (5)
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
168
Esta aluna conseguiu atingir os objetivos propostos, tanto no item (a) quanto
no item (b). Soube trabalhar corretamente com a proporcionalidade. Por outro
lado, identificou e trabalhou corretamente com as unidades de capacidade (Figura
6.86).
Eduardo
Figura 6.87 – Prova Única - 2006 - 5ª questão – EDUARDO (5)
Identificou que necessitava dividir 60 por 4 e, a seguir, calculou a
quantidade mínima de pó de gelatina gastaria. No item (b), à medida que calculou
a quantidade de água gasta para cada porção (4 pessoas), conseguiu saber quanto
de água gastaria para fazer gelatina para 60 pessoas (Figura 6.87).
.Priscila
Figura 6.88 – Prova Única - 2006 - 5ª questão – PRISCILA (5)
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
169
No item (a) estabeleceu a proporção correta entre
4 85
60 ?
e
, a seguir
encontrou a porção de pó necessária para fazer gelatina para 60 pessoas. No item
(b), transformou corretamente 0,5
l
em 500m
l
. Logo depois encontrou a
quantidade de pó para 60 pessoas. No final, não percebeu que estava trabalhando
com m
l
e, portanto, deveria reduzir para litro
l
, uma vez que o exercício
solicitava a resposta em litros (Figura 6.88).
A 6ª questão trabalhou com volumes e áreas. O objetivo era avaliar se o
aluno trabalhava as unidades de medida, levando em conta as respectivas unidades
de medida. O número de acertos nesta questão 11 (32%), com 20 (59%) acertos
parciais e 3 (9%) erros.
Destacamos alguns exemplos de desenvolvimentos feitos pelos alunos da
turma da pesquisa.
Ana Paula
Figura 6.89 – Prova Única - 2006 - 6ª questão – ANA PAULA (6)
No item (a), embora soubesse o conceito de volume errou na conta ao
multiplicar 288 por 1,5. Encontrou 632 m
3
, quando deveria ter encontrado 432 m
3
.
No item (b) mostrou saber lidar bem com as unidades de medidas e completou
corretamente este item (Figura 6.89).
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
170
Ingrid
Figura 6.90 – Prova Única - 2006 - 6ª questão – INGRID (6)
No item (a) trabalhou com unidade de capacidade, transformando m
3
em
dm
3
e a seguir transformou para litro corretamente. No item (b) também mostrou
saber trabalhar com unidade de comprimento e unidade de área (Figura 6.90)
Lucas Simões
Figura 6.91 – Prova Única - 2006 - 6ª questão – LUCAS (6)
No item (a) trabalhou corretamente com as unidades de medida, terminando
com êxito o seu raciocínio. Entretanto, no item (b), na 1ª parte deste item ainda
conseguiu transformar 288 m
2
para 28800 dm
2
corretamente; também 225cm
2
para 2,25 dm
2
; porém, na conclusão, quando efetuou a divisão para encontrar o
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
171
número de azulejos dividiu erradamente 2880000 m
2
por 2,25
2
dm
2
, misturando as
unidades de medida (Figura 6.91).
A 7ª questão visava avaliar se o aluno sabia operar com expressões
algébricas, lidar e resolver equações. O item (a) apresentou 25 (73,52%) acertos, 2
(5,9%) acertos parciais e 7 (20,58%) erros. Por sua vez, o item (b) apresentou 15
(44,1%) de acertos, 10(29,5%) acertos parciais e 9 erros (26,4%).
Os resultados desta questão também confirmam que o aluno pode ir
desenvolvendo seu raciocínio de tal maneira a alcançar os objetivos estabelecidos.
Seguem algus exemplos de desenvolvimento dos alunos que apresentaram
crescimeto e/ou dificuldades em algumas passagens dessa questão.
Ana Paula
Figura 6.92 – Prova Única - 2006 - 7 ª questão – ANA PAULA (7)
Resolveu o item (a) aplicando corretamente a propriedade distributiva.
Entretanto, no item (b), ao tentar resolver aplicando a idéia de equilibrio entre os
dois membros se atrapalhou. Vemos que conseguiu acertar da 1ª linha do
desenvolvimento para a 2ª linha, porém, da 2ª para a 3ª linha se confundiu e
acabou errando a conclusão da questão (Figura 6.92).
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
172
Daniel
Figura 6.93 – Prova Única - 2006 - 7 ª questão – DANIEL (7)
Trabalhou com a idéia de equilíbrio entre os membros, tanto no item (a)
como no item (b). Concluiu corretamente os dois itens (Figura 6.93).
Thayane
Figura 6.94 – Prova Única - 2006 - 7ª questão – THAYANE (7)
No item (a) mostra que sabe aplicar a propridade distributiva e operar com a
expressões algébricas, chegando ao resultado desejado. Confirma este raciocínio
também no item (b) (Figura 6.94).
A 8ª questão trabalhou apenas com a parte visual e a observação do aluno,
envolvendo formas geométricas e unidades de medida de área. Tivemos no item
(a) somente 9 (26,4%) acertos,13 (38,3%) erros e 12 (35,3%) acertos de parciais
da questão; enquanto o item (b) apresentou 15 (44%) acertos, 17 (50%) erros e
2(6%) acertos parciais.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
173
A 9ª questão foi adaptada da Prova 1 (Questão 1) do concurso vestibular da
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ-2006/2007). Envolve diversos
conteúdos que trabalhamos durante o ano. O desempenho dos alunos nessa
questão foi muito bom. No item (a), tivemos 24(70,6%) acertos, 5 (14,7%) erros e
5(14,7%) acertos parciais, enquanto, no item (b), 22 (64,7%) acertos para 9
(26,5%) erros e 3 (8,8%) acertos parciais.
Alguns exemplos de desenvolvimento dos alunos registram, não só o
desenvolvimento correto dessa questão, como algumas dificuldades ainda
encontradas.
Ana Paula
Figura 6.95 – Prova Única - 2006 - 9ª questão – ANA PAULA (9)
A exemplo de outros alunos resolveu transformar cada um dos números
dados em porcentagem:
1
20%
5
= ;
14
0,14 14%
100
= = . Somou esses resultados a
18%, e depois subtraiu de 100%, encontrando o percentual que os pais de Zezinho
tinham colaborado. Depois, no item (b) trabalhou com a unidade de medida:
Calculou a quanto correspondia 1%, isto é, 1%
→
6 (108
÷
18= 6). A seguir
mostrou que:
Se 1%
→
6 então 100%
→
6.100 = 600 reais (Figura 6.95).
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
174
Camila
Figura 6.96 – Prova Única - 2006 - 9ª questão – CAMILA (9)
No item (a) fez as transformações entre os números dados:
1 20
5 100
= ;
14
0,14
100
= . A seguir somou os percentuais 20%+18%+14%= 52%.
A partir daí, encontrou o percentual assumido pelos pais de Zezinho: 48%.
No item(b), representou:
18
108
100
= , quando na realidade, queria representar,
18
108
100
→ ; A seguir, calculou
1
108 18 6
100
= ÷ =
, quando na realidade deveria
representar
1
108 18 6
100
→ ÷ =
. Depois, escrevendo 14% = 14.1% = 14.6;
concluiu que
14
84
100
=
. Da mesma forma raciocinou em relação a 20%, e 48%,
encontrando respectivamente120 reais e 288 reais. Utilizando os resultados
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6
Análise e Resultados do Experimento em 2006
175
encontrados, chegou à conclusão da quantia que correspondia a 52%. Finalmente,
juntando o valor correspondente a 48% e o valor correspondente a 52%, chegou
ao preço do computador (Figura 6.96).
É importante notar que essas duas alunas trabalharam com o conceito
relativo à unidade, atingindo um dos principais objetivos da proposta desse
estudo.
Daniel
Figura 6.97 – Prova Única- 2006 - 9ª questão – DANIEL (9)
Este aluno raciocinou corretamente no item (a). Entretanto, ao somar as
parcelas 20+18+14 encontrou 62 ao invés de 52. No item (b) não concluiu, apesar
de indicar corretamente a proporcionalidade (Figura 6.97).
Este aluno teve excelente desempenho nesta Prova Única, confirmando o
seu aproveitamento ao longo do ano letivo de 2006.
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Análise e Resultados do Experimento em 2006
176
Lucas Simões
Figura 6.98 – Prova Única - 2006 - 9ª questão – LUCAS SIMÕES (9)
Este aluno, embora não tenha concluído corretamente o item (a), pois se
atrapalhou quando foi representar 0,14, apresentou um raciocínio correto para
calcular o que estava sendo solicitado:
1 2 20
20%
5 10 100
= = = ; 20% +18% =38%.
Como tinha errado a transformação de 0,14, quando subtraiu de 100%, encontrou
o resultado errado. Entretanto, no item (b), trabalhou com a unidade corretamente,
isto é:
18%
→
108; 1%
→
108
18
; 1%
→
6;
100%
→
1%.100; 100%
→
6. 100; 100%
→
600 reais
Também trabalhou com a unidade de medida (Figura 6.98).
Ao terminarmos a primeira etapa de análise dos desempenhos dos alunos
durante o ano letivo de 2006, já conseguimos verificar que os resultados estavam
atendendo aos objetivos estabelecidos a priori. No capítulo seguinte, damos
continuidade à análise, examinando as atividades desenvolvidas durante o ano
letivo de 2007, com o objetivo de avaliar se, de fato, a nova abordagem adotada
havia facilitado à aprendizagem dos conceitos algébricos.
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
Para que pudéssemos verificar a validade do emprego da nova proposta
metodológica, era necessário avaliar se, depois de decorrido um prazo mais longo,
tinha-se consolidado a aprendizagem de frações. Ao mesmo tempo, visava-se
verificar, até que ponto, a abordagem adotada viria a facilitar, mais adiante, a
aprendizagem dos conceitos algébricos. Nessa perspectiva, a proposta adotada foi
complementada, acrescentando-se, ao conteúdo programático proposto para 2007,
na turma 803 (no 8º ano), uma seqüência de 13 aulas que tinham como finalidade
rever as operações com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão)
fazendo um paralelo com as expressões algébricas. Isto nos permitiu realizar uma
avaliação comparativa da aprendizagem dos dois grupos, descritos no Capítulo 4,
de que a turma veio a ser composta.
Iniciamos o ano letivo com essa turma replicando o Teste Diagnóstico em
16/03/2007, cujo objetivo principal era verificar a evolução do aluno, tomando
como parâmetro o 1º teste diagnóstico aplicado no início de 2006. Estes dois
testes já foram analisados e comparados no Capítulo 5.
Ao longo do 1º trimestre, a turma desenvolveu o conteúdo programático
estabelecido pelo Departamento Pedagógico de Matemática. Outras avaliações
foram aplicadas, tais como testes em duplas, testes individuais e a Prova
Trimestral.
No 2º trimestre realizamos uma série de testes e exercícios em dupla,
sempre com o objetivo de avaliar se o trabalho desenvolvido em 2006 tinha
atingido a expectativa. Foram, ao mesmo tempo, desenvolvidas atividades
envolvendo operações com frações, fazendo ponte com as operações algébricas.
Essas atividades se estenderam até o 3º trimestre.
No final de junho foi aplicado um teste individual, cujos conteúdos foram
expressões algébricas, divisão e simetria. Dos 28 alunos oriundos da antiga turma
604, 24 alunos acertaram mais de 50% das questões do teste. Uma aluna faltou e
três ficaram abaixo de 50% do teste. Dos 10
novos tivemos 7 alunos acertando
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
178
50% do teste e três ficaram abaixo de 50%. Duas questões deste teste foram
incluídas nele por nossa iniciativa, as questões 5ª e 6ª, cujos objetivos eram,
respectivamente, avaliar o desempenho em relação ao cálculo de expressões
algébricas e divisão, que por sua vez também envolvia o cálculo algébrico. Estas
questões foram as seguintes:
5) Efetue e simplifique sempre que possível:
a)
7 6 13
x x y
x y x y
−
+
− −
, para x
≠
y b) F = 4 (n – n
2
+5) – 3n(n –5)
6) a) Uma pizza grande no Papa’s Pizza é dividida em c fatias iguais. Cada pessoa
come, em média, b fatias. Que parte de uma pizza grande cada pessoa como em
média?
b) Na terça-feira, o Papa’s Pizza não sabia exatamente quantas pessoas
estariam vindo ao restaurante e decidiu preparar d pizzas. Quantas pessoas, em
média, poderiam comer pizzas, na terça-feira, nessa pizzaria?
O desempenho dos alunos de cada grupo está resumido nos quadros abaixo.
Contamos os acertos em dois níveis: acerto total, para o caso de o aluno ter
chegado ao resultado final, e acerto parcial, para o caso de o aluno encaminhar
satisfatoriamente a solução, mas, não chegar ao resultado final. Esses quadros
evidenciam que, em ambas as questões, o desempenho dos alunos da turma 604 de
2006 foi melhor que o dos outros alunos.
Quadro 7.1. Desempenho na 5ª Questão
Questão 5
(turma 604-803)
Questão 5
(novos-803)
a) Acerto total: 5 ( 18,5%) a) Acerto total: 0
Acerto parcial: 15 (55,6% )
Acerto parcial: 7 ( 70%)
Erro: 7 (25,9%)
Erro: 3 (30%)
b) Acerto total: 5 (18,5%) b) Acerto total: 6 (60%)
Acerto parcial: 13 (48,2%)
Acerto parcial: 3 (30%)
Erro: 9 (33,3%) Erro: 1 (10%)
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
179
Quadro 7.2. Desempenho na 6ª Questão
Questão 6
(turma 604-803)
Questão 6
(novos-803)
a) Acerto total: 22 (81,5%) a) Acerto total: 7 (70%)
Acerto parcial: 0 Acerto parcial: 0
Erro: 5 (18,5%) Erro: 3 (30%)
b) Acerto total: 13 (48,2%)
b) Acerto total: 1 (10%)
Acerto parcial: 1 (3,6%)
Acerto parcial: 0
Erro: 13 (48,2%)
Erro: 9 (90%)
Destacamos a seguir alguns resultados da análise das soluções das duas
questões apresentadas pelos alunos da turma 604 que demonstram a sua segurança
no domínio dos conceitos tratados.
Camila
Figura 7.99 – Teste- 2007 - 5ª e 6ª questões - CAMILA (5-6)
Na 5ª questão, item (a), esta aluna não conseguiu completar a simplificação
corretamente. Entretanto, no item (b), utilizou a propriedade distributiva e
trabalhou com segurança com os termos semelhantes. Para resolver a 6ª questão,
tanto no item (a) como no item (b), mostrou compreender o conceito de divisão de
fração. Ainda neste item, pelo desenho informal que fez, mostrou dominar a
generalização, quando faz, rapidamente os desenhos da pizza e coloca a seguir os
pontinhos para indicar que continuam representando as pizzas (Figura 7.99).
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
180
Danielle
Figura 7.100 – Teste- 2007 - 5ª e 6ª questões – DANIELLE (5-6)
Esta aluna não conseguiu completar a simplificação no item (a). No item (b)
aplicou a propriedade distributiva, além de mostrar que sabe lidar com termos
semelhantes. No item (a) da 6ª questão, usou as letras sugeridas pelo enunciado do
problema e finalmente conclui corretamente. No item (b) indicou o que era pedido
por cálculos e parte por desenho, também concluindo corretamente (Figura 7.100).
Lucas Simões
Figura 7.101 – Teste - 2007 - 5ª e 6ª questões – LUCAS SIMÕES (5-6)
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
181
Na 5ª questão, item (a), mostrou saber trabalhar com termos semelhantes,
fatorar e finalmente simplificar. No item (b) aplicou a propriedade distributiva,
apenas esquecendo o n. Quanto à 6ªquestão, além de justificar pelo desenho, deu
um exemplo numérico, e a seguir voltou para a forma literal para concluir
corretamente segundo o enunciado do problema (Figura 7.101).
Priscila
Figura 7.102 – Teste - 2007 - 5ª e 6ª questões – PRISCILA (5-6)
No item (a) da 5ª questão, esta aluna operou corretamente, reduziu os termos
semelhantes da expressão algébrica e finalmente simplificou. De forma análoga,
no item (b) aplicou a propriedade distributiva e trabalhou bem com os sinais da
operação. Na 6ªquestão item (a) identificou quanto de pizza cada pessoa comeria.
No item (b) identificou por cálculos e deu exemplo numérico. Embora não tenha
completado esta resposta numérica, retornou para a forma literal, concluindo o
que estava sendo pedido na questão (Figura 7.102).
Outros testes foram sendo aplicados entrelaçando a parte geométrica e a
parte algébrica, envolvendo quadriláteros e suas propriedades, cálculo algébrico
relativo a polígonos e o conceito de simetria. A prova trimestral dessa 2ª
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
182
certificação ocorreu em 24/08, levando em conta simetrias e propriedades das
figuras geométricas, envolvendo fatoração com cálculo algébrico.
Em 31/08, portanto poucos dias depois, novo teste em dupla foi aplicado à
turma pela pesquisadora, desta vez contendo na sua elaboração multiplicação de
fração por fração, divisão de uma fração por um número inteiro. Este teste foi
desenvolvido em duas aulas consecutivas, disposto de forma análoga às atividades
anteriores, isto é, iniciamos as atividades trabalhando com números fracionários e
depois passamos a propor atividades envolvendo expressões algébricas com
denominadores diferentes.
Apresentamos, a seguir, a 7ª e 8ª aulas. Estas foram as últimas atividades da
seqüência. Algumas das atividades tiveram a duração de uma aula e outras a de
duas aulas, a numeração 7ª e 8ª correspondendo à ordem das atividades e não ao
tempo utilizado.
O desempenho dos alunos no conjunto dessas atividades é resumido no
Quadro 7.3. É importante ressaltar que, principalmente em questões onde os
alunos podiam optar na escolha da unidade, trabalharam com tranqüilidade nesta
escolha. De um modo geral, mesmos os erros encontrados, não recaíram neste
quesito. Esta turma absorveu a idéia de buscar a unidade a ser trabalhada, sem
ficar preso a procedimentos automáticos.
Quadro 7.3. Desempenho da 7ª e 8ª atividades.
7ª e 8ª
atividade
(turma604803)
7ª e 8ª
atividade
(turma604803)
7ª e 8ª
atividade
(novos-803)
7ª e 8ª
atividade
(novos-803)
Ma: média do
trimestre
Número de
alunos
% de alunos Número de
alunos
% de alunos
Ma < 5 2 7,41% 0 0%
5
≤
Ma < 7
11 40,74% 8 80%
Ma
≥
7
14 51,85% 2 20%
Examinamos a seguir o desempenho em cada questão separadamente. Na
primeira questão, praticamente toda a turma acertou o primeiro item. Mas, no
segundo item, 21 (77,8%) dos alunos antigos acertaram e 6 (22,2%) erraram,
enquanto, dos novos, 50% acertaram e 50% do grupo erraram.
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
183
7ª aula:
Multiplicando uma Fração por uma Fração:
1. Trabalhando em dupla
• Márcia encontrou dois terços de um sanduíche sobre a mesa. Ela decidiu
comer a metade dele. Quanto do sanduíche original ela comeu?
• João costuma andar de sua casa à escola que dista meio quilômetro de sua
casa. Ao completar dois terços do caminho que distância ele já andou?
Danielle
Figura 7.103–Teste - 31/08 -2007 - 7ª atividade -1ª questão - DANIELLE (1)
Representou na forma icônica o que estava sendo pedido na 1ª parte da
questão. Na 2ª parte da questão identificou corretamente a unidade de medida
utilizada (Figura 7.103).
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
184
Lucas Simões
Figura 7.104 – Teste 2007 - 7ª atividade - 1ª questão – LUCAS SIMÕES (1)
Este aluno trabalhou corretamente com a unidade de medida tanto na 1ª
parte do problema quanto na 2ª parte. Nesta 2ª parte, identificou a unidade de
medida quilômetros e sua correspondência em metros (Figura 7.104).
3. Trabalhando em dupla:
Os alunos deverão fazer as seguintes multiplicações:
1)
3 1
4 2
⋅
2)
p r
q s
⋅
3)
3
4
t
t p
⋅
+
4)
2
2
x y
x y
+
⋅
A segunda questão foi incluída com a respectiva solução como orientação
para as seguintes. O Quadro 7.4 resume o desempenho dos alunos nos 4 itens da
terceira questão. O bom desempenho dos alunos da antiga turma 604, em relação
aos novos demonstra que os mesmos conseguiram superar dificuldades que de um
modo geral surgem quando o aluno efetua produto de frações.
Quadro 7.4. Desempenho da Questão 3-7ª atividade
Questão 3
(turma 604-803)
Questão 3
(novos-803)
1. Acerto total: 27(100%) 1. Acerto total: 10(100 %)
2. Acerto total: 27(100%) 2. Acerto total 10 (100%)
3. Acerto total: 15 (55,6%)
3. Acerto total: 4(40%)
Acerto parcial 4 (14,8%) Acerto parcial: 1(10%)
Erro: 8 (29,6%) Erro: 5 (50%)
4. Acerto total: 16 (59,3%) 4. Acerto total: 1(10%)
Acerto parcial: 7 (25,9%)
Acerto parcial 4 (40%)
Erro: 4 (14,8%) Erro: 5 (50%)
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
185
A seguir mostraremos algumas soluções desenvolvidas pelo grupo desses
alunos.
Beatriz
Figura 7.105 – Teste - 2007 - 7ª atividade - 3ª questão – BEATRIZ (3)
No 1º item da 3ª questão resolveu corretamente, além de perceber que
multiplicar por ½ representa dividir por 2. Utilizou a forma icônica para indicar a
solução (Figura 7.105).
Marina
Figura 7.106 – Teste - 2007 - 7ª atividade - 3ª questão – MARINA (3)
Resolveu todos os itens corretamente, atingindo os objetivos da questão proposta.
(Figura 7.106)
8ªaula:
2ª questão:
• Benício e Davi têm quatro quintos de uma pizza. Que parte da pizza inteira
caberá a cada um se eles cortarem a pizza ao meio?
Solução:
4 4 2 4 1 4 1 2 2 1 2
2
5 5 1 5 2 5 2 5 2 5
⋅ ⋅ ⋅
÷ = ÷ = ⋅ = = =
⋅ ⋅
• José quer fazer hambúrgueres que pesam um quarto do quilo cada um. Quantos
hambúrgueres ele poderá fazer com um quilo de carne de hambúrguer?
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
186
Na 8ª aula, a parte inicial da questão foi resolvida pela pesquisadora, no
quadro da sala de aula junto aos alunos, a fim de que o conceito da divisão fosse
retomado. As proporções de acertos estão indicadas no Quadro 7.5. Outro ponto
que julgamos relevante ressaltar é que, embora a questão pudesse ser resolvida
rapidamente sem apresentar cálculos no desenvolvimento, a maioria dos alunos da
turma 604, optou em indicar cada passo da solução.
Quadro 7.5. Desempenho da Questão 2- 8ª atividade
Questão 2 (2º item)
(turma 604-803)
Questão 2 (2º item)
(novos-803)
Acerto 25 (92,59%) Acerto 9 (90%)
Erro: 2 (7,41%) Erro 1(10%)
Daniel
Figura 7.107 – Teste - 2007 - 8ª atividade - 2ª questão – DANIEL (2)
Trabalhou diretamente com a unidade dada, o quilograma, e a seguir
resolveu também o problema corretamente (Figura 7.107).
Danielle
Figura 7.108 – Teste - 2007 - 8ª atividades - 2ª questão – DANIELLE (2)
Em primeiro lugar transformou o quilograma para grama e depois resolveu
corretamente o problema (Figura 7.108).
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
187
3. Agora é a sua vez:
(a)
4
2
5
÷
= (b)
2
2
3
÷
=
(c) Faça o desenho e explique com palavras porque
1 1
2
5 10
÷ =
.
A Questão 3 envolveu divisão de uma fração por um número inteiro e
divisão de um número inteiro por uma fração. Tanto no item (a) quanto no item
(b) a maioria dos alunos respondeu corretamente. No último item foi solicitado
que o aluno fizesse o desenho e justificasse seu desenvolvimento. Todos, sem
exceção, responderam corretamente. Apresentamos, a seguir, alguns exemplos
desse desenvolvimento.
Quadro 7.6. Desempenho da Questão 3 – 8ª atividade
Questão 3
(turma 604-803)
Questão 3
(novos-803)
a) Acerto total 27(100%) a) Acerto total: 10(100 %)
b) Acerto 24 (89%) b) Acerto 9 (90%)
Erro 3 (11%) Erro 1(10%)
c) Acerto total 27(100%) c) Acerto total: 10(100 %)
Ana Carolina
Figura 7.109 –Teste - 2007 - 8ª atividade -3ª questão – ANA CAROLINA (3)
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
188
Resolveu corretamente todos os itens. No último item completou como foi
pedido, usando a forma icônica e a seguir justificando com expressão matemática
(Figura 7.109).
Ana Cristina
Figura 7.110 – Teste - 2007 - 8ª atividade - 3ª questão – ANA CRISTINA (3)
Usou a forma procedimental para resolver os dois primeiros itens. A seguir
no item (d) usou a forma icônica para mostrar o que tinha feito complementando
com linguagem informal (Figura 7.110).
Marina
Figura 7.111 – Teste- 2007 - 8ª atividade - 3ª questão – MARINA (3)
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
189
Utiliza a forma procedimental nos itens (a) e (b) e no item (d) usa a forma icônica
para mostrar a solução deste quesito complementando com linguagem informal.
(Figura 7.111)
4. Efetue as seguintes divisões e simplifique sempre que possível:
a)
1
12
4
÷
b)
2 1
3 6
÷
c)
a
x
b
÷
d)
p m
q n
÷
e)
3
2
a
a
+
−
f)
2 2
5
x y x y
p p
+ +
÷ g)
2
2
4
6
xy
x y
h)
x xy
x xz
+
+
i)
2
5 5
7 7
x x xy y
x y
− + −
+
j)
6 4 3 5
(16 ) (0,5 )
x y x yz
÷
l
)
2
2 10
5
y y
y
−
−
Nos 4 primeiros itens, o desempenho de ambos os grupos foi muito bom.
Entretanto, no item (e), onde pedíamos para resolver e simplificar, caso fosse
possível, a expressão
3
2
a
a
+
−
, nenhum aluno conseguiu encontrar o caminho a
seguir. Embora o grupo da turma 604 não tenha apresentado bom rendimento nos
5 últimos itens dessa questão, que envolve divisão de fração, por sua vez, o grupo
dos novos não conseguiu resolver nenhum deles, confirmando a dificuldade que a
mesma envolve. Em aulas posteriores trabalhamos as dificuldades que estes tipos
de exercícios apresentam.
Quadro 7.7. Desempenho da Questão 4 – 8ª atividade
Questão 4
(turma 604-803)
Questão 4
(novos-803)
a) Acerto 24 ( 89%) a) Acerto 9 (90%)
Erro
3 (11%)
Erro 1 (100%)
b) Acerto 23 ( 85,19% )
b) Acerto 10 (100%)
Erro 4 (14,81%) Erro 0
c) Acerto 25 (92,59%) c) Acerto 10 (100%)
Erro: 2 (7,41%)
Erro: 0
d) Acerto: 25 (92,59%) d) Acerto 10 (100%)
Erro 2 (7,41%) Erro 0
e) Acerto 0 e) Acerto 0
Erro 27 (100%) Erro 10 (100%)
f) Acerto 6 (22%) f) Acerto 1 (10%)
Acerto parcial 12 (45%) Acerto parcial 2 (20%)
Erro 9 (33%) Erro 7 (70%)
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
190
g) Acerto 19 (70,4%) g) Acerto 8 (80%)
Acerto parcial 4 (14,8%) Acerto parcial 0
Erro 4 (14,8%) Erro 2 (20%)
h) Acerto 0 h) Acerto 0
Acerto parcial 2 (7,41%) Acerto parcial 0
Erro 25 (92,59%) Erro 10
i) Acerto 2 (7,41%) i) Acerto 0
Acerto parcial 0 Acerto parcial 0
Erro 25 (92,59%) Erro 10 (100%)
j) Acerto 5 (18,5%) j) Acerto 0
Acerto parcial 18 (66,7%) Acerto parcial 0
Erro 4 (14,8%) Erro 10 (100%)
l) Acerto 2 (7,41%) l) Acerto 0
Acerto parcial 0 Acerto parcial 0
Erro 25(92,59%) Erro 10 (100%)
A seguir, um exemplo:
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
191
Lucas Simões
Figura 7.112 –Teste - 2007 - 8ª atividade -4ª questão-LUCAS SIMÕES (4)
Este aluno acertou 9 dos11 itens propostos. Tanto no item (e) como no item
(h) efetua erradamente a simplificação dos termos, embora tenha fatorado o item
(h), não conseguiu concluir corretamente a simplificação (Figura 7.112).
O 3º trimestre se iniciou em meados de setembro. Foram realizadas duas
avaliações, um teste em dupla, que ocorreu em outubro e uma outra avaliação
também em dupla, realizada em várias etapas, culminando em 14 de novembro. A
seguir, dias depois, ainda em novembro, ocorreu a prova da 3ª Certificação que
corresponde à Prova Única da Unidade Escolar. Os resultados obtidos, resumidos
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
192
no Quadro 7.8, apontaram o bom desempenho dos alunos da turma 803,
principalmente daqueles alunos oriundos da 604 em 2006.
Quadro 7.8 - Desempenho dos alunos na Prova Única - 2007
Resultados da
Prova Única
Turma-604-803
Resultados da
Prova Única
Turma-604-803
Resultados da
Prova Única
(novos-803)
Resultados da
Prova Única
(novos-803)
Ma: média da
Prova Única
(3º trimestre)
Número de
alunos
% de alunos Número de
alunos
% de alunos
Ma < 5 3 10,7 % 4 40%
5
≤
Ma < 7
7 25 % 2 20%
Ma
≥
7
18 64,3 % 4 40%
Após a média da 3ª certificação é calculada a média anual do aluno. Caso
obtenha média anual igual ou superior a 7,0 é aprovado. Dos alunos da antiga 604
tivemos um total de 14 alunos (50%) aprovados por média. Do grupo dos alunos
novos tivemos 1 aluno (10%). Os demais alunos da turma se submeteram a Prova
de Avaliação Final (PAF).
Esta prova foi elaborada com os seguintes conteúdos, tomando como
referência o livro texto: (a) Retorno à Álgebra (cap.5); (b) Ângulos, Paralelas e
Polígonos (cap.6); (c) cálculo Algébrico, incluindo Fatoração e Produtos Notáveis
(cap. 11); (d) Áreas e Volumes (cap. 12); (e) Sistemas de Equações (cap. 13).
Mostramos a seguir a resolução de questões da Prova Única, ressaltando
principalmente aquelas que envolvem cálculo aritmético e cálculo algébrico.
Apresentaremos exemplos de alunos que apresentaram ao longo do ano, tanto de
2006 como de 2007, um crescimento em relação ao seu desempenho.
Questão 1 (1,0p.)
a) Resolva o sistema abaixo:
−=−
−=
42
35
yx
yx
b) Escreva o seguinte problema como equações com duas incógnitas e, a seguir,
resolva o sistema:
Numa classe há 33 alunos e a diferença entre o dobro do número de meninas e o
número de meninos é 12. Quantas meninas e quantos meninos há na classe?
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
193
Danielle
Figura 7.113 – Prova Única – 2007 - 1ª questão – DANIELLE (1)
Observamos na Figura 7.113, o quanto esta aluna melhorou seu raciocínio
algébrico. Tanto no item (a) quanto no item (b), constatamos que consegue
resolver os sistemas propostos, trabalhando com segurança com termos
semelhantes e os sinais operatórios. Em ambos, os itens atingem os objetivos
estabelecidos. Alcançou nesta avaliação nota 6,05 em 7,0.
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
194
Marina
Figura 7.114 – Prova Única - 2007- 1ª questão – MARINA (1)
Outra aluna que também não havia conseguido passar por média em 2006.
A partir de 2007, foi melhorando seu desempenho a tal ponto que concluiu o ano
letivo de 2007 sendo aprovada por média. Observamos que tanto no item (a) como
no (b) consegue desenvolver os dois itens que envolvem cálculos algébricos com
segurança. Nesta prova de valor máximo 7,0 alcançou um total de 6,0 pontos.
(Figura 7.114)
Tayná
Figura 7.115 – Prova Única - 2007- 1ª questão – TAYNÁ (1)
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
195
Esta aluna também não havia conseguido passar por média em 2006. Agora
em 2007, teve um excelente desempenho. Podemos observar que tanto no item (a)
como no (b) consegue desenvolver os dois itens que envolvem cálculo algébrico
com segurança. É bom observar que esta aluna numa prova que valia 7,0,
conseguiu 5,5 (Figura 7.115).
Virgínia
Figura 7.116 – Prova Única - 2007- 1ª questão – VIRGÍNIA (1)
Esta aluna durante o ano letivo de 2006 não apresentou um bom
desempenho. Em 2007, continuou sendo uma aluna regular, porém, nesta prova
única, embora tenha obtido nota 4,95 em 7,0, avançou no raciocínio algébrico,
como podemos ver na 1ª questão da figura (Figura 7.116)
Questão 2 (1,5p.)
Calcule:
a)
2 0 5
4
( ) (8,333...) ( 2)
5
−
+ − −
b)
6 7 4
2
6 .6 .6
6
−
c)
4
3
16 0,027
−
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
196
Marina
Figura 7.117 – Prova Única - 2007- 2ª questão – MARINA (2)
Esta aluna veio melhorando seu desempenho, não apenas no cálculo algébrico,
mas, também em relação ao raciocínio aritmético (Figura 7.117).
Tayná
Figura 7.118 – Prova Única - 2007- 2ª questão – TAYNÁ (2)
Mais uma vez comprova, agora em relação ao cálculo aritmético, como seu
desempenho continuou a melhorar, obtendo os pontos integrais dessa questão
(Figura 7.118).
Questão 6
Calcule:
a) =−−+
9
1
2
6
1
3
2 a
a b) =÷ )9()15(
22
mnm c) =+−
2
)21)(52( xx
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
197
Danielle
Figura 7.119 – Prova Única – 2007 - 6ª questão – DANIELLE (6)
Embora, não tenha concluído corretamente o item (a), observamos que
acerta a simplificação no item (b) e, em relação ao item (c) consegue desenvolver
o produto notável e efetuando a seguir a propriedade distributiva (Figura 7.119).
Mayra
Figura 7.120 – Prova Única – 2007 - 6ª questão – MAYRA (6)
Conseguiu resolver todos os itens das questões envolvidas em cálculo
algébrico. No item (a) foi capaz de reduzir ao mesmo denominador e, trabalhou
corretamente com termos semelhantes. Por sua vez, no item (c), trabalha com
segurança com produtos notáveis e emprega a seguir a propriedade distributiva.
(Figura 7.120)
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
198
Questão 7 (0,9p.)
a) Fatore completamente e simplifique ao máximo =
+
+
xyx
yxx
66
22
2
23
b) Fatore completamente
=+−
3223
41616 xyyxyx
c) Resolva a equação
22
2)12(5)23( xxxx −=−−+
A seguir mostraremos exemplos relevantes ao nosso estudo.
Danielle
Figura 7.121 – Prova Única – 2007 - 7ª questão – DANIELLE (7)
No item (a) não simplificou completamente a expresso algébrica como era
pedido. Entretanto, no item (b), fatora, identifica o produto notável, porém troca o
sinal. E, no item (c), usa corretamente produtos notáveis, além de trabalhar com
termos semelhantes, e finalmente resolve equação (Figura 7.121).
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
199
Lauani
Figura 7.122 – Prova Única - 2007- 7ª questão – LAUANI (7)
Esta aluna pertence ao grupo dos alunos que apresentaram um desempenho
regular tanto em 2006 quanto em 2007. No item (a) a aluna não conclui a
simplificação. Entretanto, no item (b) observamos que consegue fatorar,
identificar o produto notável e concluir corretamente. No item (c), mais uma vez
desenvolve corretamente o produto notável, porém ao aplicar a propriedade
distributiva esquece de colocar a potência do termo (-10x
2
). Carrega o erro e
conclui a partir desse resultado (Figura 7.122)
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Análise da proposta pelos resultados em 2007
200
Marina
Figura 7.123 – Prova Única – 2007 - 7ª questão – MARINA (7)
Nesta questão item (a) fatora a expressão algébrica como é pedido, porém,
não completa a simplificação. No item(b) fatora parte da expressão, porém, não
conclui esta fatoração e, portanto, não chega ao resultado final. Entretanto, no
item (c), consegue resolver corretamente a equação (Figura 7.123).
Em dezembro ocorreu a última avaliação do ano letivo de 2007, Prova de
Avaliação Final, com um total de 23 alunos, desses 14 eram remanescentes da
604. Nesta prova (PAF) tivemos uma taxa de desempenho bom. No quadro abaixo
podemos observar o desempenho de ambos os grupos.
Quadro 7.9. Desempenho dos alunos na Prova de Avaliação Final
Resultados da
Prova de
avaliação final
Turma-604-803
Resultados da
Prova de
avaliação final
Turma-604-803
Resultados da
Prova de
avaliação final
(novos-803)
Resultados da
Prova de
avaliação final
(novos-803)
Ma: média da
prova final
Número de
alunos
% de alunos Número de
alunos
% de alunos
Ma < 5 2 14 % 1 11%
5
≤
Ma < 7
8 57 % 8 89%
Ma
≥
7
4 29 % 0 0%
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
201
O desempenho final dos alunos ao término do ano letivo de 2007 da turma
803 ficou da seguinte forma:
Total de alunos aprovados: 31;
Total de alunos aprovados por COC: 6
Total de alunos reprovados: 1
No capítulo seguinte são mostrados os gráficos indicando o desempenho
comparativo de ambos os grupos, isto é, os oriundos da turma 604 e os outros 10
alunos que vieram compor a turma 803.
Para analisar de forma sistemática a evolução constatada pontualmente ao
longo destes 3 últimos capítulos, dividimos os alunos em grupos de desempenho
distinto. O primeiro grupo ficou formado pelos alunos que apresentaram um bom
desempenho em 2006 e conseguiram ao final desse ano passar por média. Esses
alunos apresentaram um excelente desempenho em 2007 e, como conseqüência,
foram novamente aprovados por média. (Ana Paula, Camila, Daniel, Ingrid, Lucas
Simões, Mayra, Thayane e Priscila entre outros). Um segundo grupo identificado
foi aquele formado pelos alunos que mostraram dificuldades no aprendizado em
2006 e ao longo do ano foram superando estas dificuldades, de modo a
conseguirem no final desse ano letivo aprovação por média. Em 2007 mantiveram
seu bom desempenho e no final conseguiram também ser aprovados por média.
(Danielle e Laleska). Um terceiro grupo, ao final de 2006 foi aprovado mediante
prova final (PAF) e, conseguiu ao longo do ano de 2007 melhorar seu
desempenho de tal forma que, no final deste ano letivo, conseguiu passar por
média (Tayná, Marina). Identificamos depois um quarto grupo com características
bem definidas, formado por alunos que não passaram por média nem em 2006
nem em 2007 sendo aprovados após a PAF, como por exemplo, podemos citar,
Virginia. Além destes alunos analisamos separadamente os alunos da turma 803
de 2007 não oriundos da turma 604 de 2006. Uma do grupo, Yasmin passou por
média; os outros nove passaram ou por Prova de Avaliação Final ou por decisão
do Conselho de Classe. Destacamos ainda que alguns resultados de alunos do
primeiro grupo permitem deixar mais claro alguns pontos que mostram que a
metodologia experimentada efetivamente contribui para a solução de problemas
mais difíceis.
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
202
Ana Paula
2006 2007
1º
trimestre
8,0
2º
trimestre
9,5
3º
trimestre
9,3
Média
9,0
1º
trimestre
6,7
2º
trimestre
7,9
3º
trimestre
7,9
Média
7,5
Ana Paula, oriunda de escola particular, apresentou um excelente desempenho,
tanto em 2006 quanto em 2007. Verificamos que se destacou em questões
envolvendo o conceito de fração, como também em unidade de medida na reta
numérica, reconhecimento de fração como número, representação correta de
fração na reta numérica: operou corretamente com números inteiros e fracionários,
identificou a unidade a ser considerada dependendo do problema a que se refere.
Conseguiu lidar com grandezas proporcionais. Alcançou na Prova Única de 2006,
nota 8,7 em 10. Terminou este ano letivo de 2006 com média 9,0. Ao final de
2007, esta aluna concluiu o ano letivo com média 7,5.
Camila
2006 2007
1º
Trimestre
8,5
2º
Trimestre
10
3º
Trimestre
9,5
Média
8,8
1º
Trimestre
6,9
2º
Trimestre
8,5
3º
Trimestre
8,5
Média
8,0
Camila, oriunda de escola particular, é outra aluna que também teve um
desempenho muito bom tanto em 2006 quanto em 2007. Entre outras questões,
podemos destacar a 1ªquestão da prova de 21/7, 1ª certificação, que tratava de
identificar frações equivalentes e sua representação na reta numérica,
desenvolvida corretamente. Em outras avaliações trabalhou, também de forma
correta, com as operações de números inteiros e fracionários. Por sua vez, nas 3ª e
a 4ª questões da 2ª certificação, em 22/09, trabalhou com segurança com números
decimais. Na Prova Única de 2006, pudemos observar a 7ª questão, que tratou da
resolução de equações, desenvolvida pela aluna utilizando a idéia de equilíbrio
entre os dois membros. Sua média nesta prova foi 8,25 em 10. Em 2007,
continuou apresentando em excelente desempenho. Em vários desenvolvimentos
aplicou corretamente a propriedade distributiva e trabalhou com generalizações.
Terminou o ano letivo de 2006 com média 8,8. Em 2007, terminou o ano letivo
com média 8,0.
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
203
Daniel
2006 2007
1ºTRI
8,0
2º TRI
10
3º TRI
9,5
Média
8,7
1º TRI
6,4
2º TRI
7,8
3º TRI
7,3
Média
7,2
Daniel, aluno oriundo de escola pública, foi um dos alunos que apresentou
um dos melhores desempenhos, principalmente no raciocínio que utilizou em cada
questão proposta e, na forma de descrever cada um desses desenvolvimentos,
tanto em 2006 quanto em 2007. Quando começamos o ano em 2006, por ocasião
da aplicação do 1º teste diagnóstico, este aluno apresentou dificuldades em
completar a 2ª parte da 1ªquestão, na qual era necessário identificar a unidade em
dois momentos diferentes e resolver o problema proposto. Entretanto, o 2º teste,
mostrou como seu desempenho foi melhorando. Ao longo do ano letivo, à medida
que a pesquisa se desenvolvia foi mostrando seu potencial. Outra etapa que
apontou seu excelente desempenho foi, no teste de 12/05, identificar com clareza
fração como número, além de representar corretamente na reta numérica, assim
como com unidades não usuais, o círculo e o quadrado. Na Prova Única de 2006,
mostrou que sabia estabelecer a correspondência entre as grandezas proporcionais
envolvidas, fazendo a redução à unidade de medida. Completando a descrição do
desempenho deste aluno, destacamos como, também na Prova Única, trabalhou a
resolução de equações, usando com clareza e segurança a idéia de equilíbrio e
mostrou dominar perfeitamente o conceito proporcionalidade. Obteve nota 9,35
numa prova cujo valor máximo era 10. Em 2006, terminou o período letivo com
média 8,7 e, em 2007, terminou o ano letivo com média 7,2.
Ingrid
2006 2007
1ºTRI
9,0
2º TRI
10
3º TRI
10
Média
9,7
1º TRI
8,4
2º TRI
7,3
3º TRI
9,1
Média
8,3
Ingrid, também é oriunda de uma escola pública. Quando comparamos os
dois testes diagnósticos, podemos observar já a diferença que apresentou do 1º
para o 2º teste. À medida que fomos caminhando em 2006, esta aluna cada vez
mais foi mostrando melhor desempenho, como vimos no capítulo anterior. Mais
adiante, vemos como trabalhou com familiaridade com unidades de medidas não
usuais e sua desenvoltura em trabalhar com números inteiros e fracionários.
Terminou o ano letivo de 2006 com média 9,7. Apresentou também excelente
desempenho em 2007 e terminou o ano letivo com média 8,3.
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
204
Lucas Simões
2006 2007
1ºTRI
7,5
2º TRI
9
3º TRI
10
Média
8,9
1º TRI
8,6
2º TRI
7,6
3º TRI
8,9
Média
8,2
Lucas Simões, oriundo de escola particular, apresentou um excelente
desempenho tanto em 2006 como em 2007. No 1º teste diagnóstico verificamos
que ainda não estava seguro em trabalhar com frações equivalentes, porém no 2º
teste resolveu com segurança o que não havia conseguido realizar no teste
anterior. À medida que caminhamos com os conteúdos programáticos
estabelecidos para 2006, em cada avaliação este aluno foi demonstrando maior
segurança. Pudemos constatar este fato, primeiro, em relação à representação de
fração na reta numérica e no trabalho com expressões aritméticas. Quando
atingimos a Prova Única de 2006, verificamos que seu desempenho cada vez ficou
melhor, quer se tratando de proporcionalidade, quer se tratando de unidades de
medidas de capacidade. Ainda nesta avaliação, na questão referente a equação,
continuou a resolver com segurança. Quando foi tratada a culminância dos
conteúdos estabelecidos para levar a bom termo a nossa proposta pedagógica, este
aluno continuou respondendo satisfatoriamente ao que foi proposto. Terminou o
ano letivo de 2006 com média final de 8,9, enquanto a média final do ano letivo
de 2007 foi de 8,2.
Mayra
2006 2007
1ºTRI
7,5
2º TRI
9,0
3º TRI
9,0
Média
8,6
1º TRI
6,4
2º TRI
6,3
3º TRI
8,0
Média
7,0
Outro exemplo deste grupo é a aluna Mayra, cuja origem é uma outra escola
pública municipal. Ao longo desses dois anos, mostrou ser capaz de superar as
dificuldades iniciais e por seu esforço conseguiu tanto em 2006 como em 2007
passar por média. Em relação ao primeiro teste diagnóstico, na 1ª questão,
explicou em linguagem corrente cada uma das etapas da busca da unidade a ser
considerada, primeiro levando em conta a parte hachurada e depois o disco
inteiro. Já no 2º teste usou a forma icônica e linguagem informal. Observamos que
avançou no sentido de identificar a unidade de medida considerada, como também
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
205
a representação correta de uma fração na reta numérica. Outro indicativo, mais
adiante, do seu bom desempenho no campo algébrico foi a 1ª prova trimestral de
2006. Tanto na 4ª questão quanto na 5ª questão desta prova, vimos que apropriou
a idéia de “generalização”. Alcança, nesta avaliação média 9,0 em 10. Ao final de
2006 sua média final é de 8,6. Finaliza o ano letivo de 2007 com média final 7,0.
Priscila
2006 2007
1ºTRI
7,5
2º TRI
9,5
3º TRI
10
Média
9,1
1º TRI
9,1
2º TRI
8,5
3º TRI
9,0
Média
8,9
Priscila, oriunda de escola particular, não apresentou, no início da aplicação
dos testes diagnósticos, intimidade com a unidade de medida. Entretanto, pouco a
pouco, foi absorvendo o conteúdo ministrado. Na 2ª questão do1º teste, tanto
quanto no 2º na questão correspondente, utiliza a forma procedimental e executa
corretamente a operação solicitada. Na 6ªquestão do 1º teste diagnóstico, na 2ª
etapa, confundiu o raciocínio multiplicativo com o aditivo; entretanto, na questão
correspondente do 2º teste conseguiu resolver corretamente, mostrando ter
aprendido este conceito. À medida que caminhamos no ano letivo de 2006, essa
aluna vai se firmando nos conteúdos ministrados. Quando da aplicação de
exercícios envolvendo proporcionalidade, confirma esta percepção ao desenvolver
corretamente a 5ª questão da Prova Única de 2006, questão que envolveu os
conteúdos de fração e suas respectivas operações, frações equivalentes e
proporcionalidade, além de trabalhar com medida de capacidade. Terminou o ano
letivo de 2006 com média 9,1. Em 2007, ao longo de todo ano letivo suas médias
trimestrais são respectivamente, 9,1; 8,5 e 9,0. Sua média final é 8,9.
Thayane
2006 2007
1ºTRI
8,0
2º TRI
9,0
3º TRI
10
Média
9,1
1º TRI
9,2
2º TRI
7,7
3º TRI
8,0
Média
8,3
Outra aluna que merece destaque é Thayane, também oriunda de escola
pública, que mostrou desde o 1º teste diagnóstico e confirmou no 2º teste, saber
trabalhar na busca da unidade. Reconheceu fração como número, representou
corretamente uma fração na reta numérica, identificando sua localização. Em
questões nas quais era necessário operar com os números decimais, o faz
corretamente, além de identificar regras e padrões também envolvendo números
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
206
decimais. No teste de 30/10/2006, na 5ª questão envolvendo proporcionalidade,
percebeu corretamente o fator de proporcionalidade, além de conter outros
conteúdos que foram indicados por nós como importantes para o bom
desempenho no campo algébrico. Por sua vez, na 15ª questão deste mesmo teste,
envolvendo operações com números inteiros, em doze itens errou apenas um. Na
Prova Única, observa-se que soube aplicar a propriedade distributiva e operar com
expressões algébricas. Como resultado final, nesta prova, alcançou média 9,6.
Terminou este ano letivo com média final de 9,1. Mais uma vez, verificamos que
o bom desempenho em questões envolvendo os conceitos de fração como ponto
na reta numérica, reconhecimento da fração como número, saber trabalhar com
frações equivalentes, resultou em um excelente desempenho quando passamos a
trabalhar com expressões algébricas. Em 2007, terminou o ano com média final
8,3.
Danielle
2006 2007
1ºTRI
6,5
2º TRI
7,0
3º TRI
7,4
Média
7,0
1º TRI
7,0
2º TRI
7,1
3º TRI
8,4
Média
7,7
As respostas de uma aluna do segundo grupo, Danielle, aluna oriunda de
escola pública, também evidenciam claramente o desenvolvimento da
aprendizagem. Logo que iniciamos o ano de 2006, no 1º teste diagnóstico
identificou a unidade, porém não conseguiu trabalhar com frações equivalentes.
No 2º teste, em 2007, já se mostra capaz de identificar frações equivalentes. No 1º
teste diagnóstico, mostra que ainda não domina o conceito de fração equivalente,
mas, quando chega ao 2º teste, observamos que resolveu corretamente e com
segurança os itens relativos ao mesmo conceito. Utiliza a forma icônica para
justificar cada item e complementa com cálculos para indicar a solução.
Na análise das avaliações desempenho, verificamos que não começou bem o
ano letivo de 2006. No 1º teste individual em maio de 2006, obteve nota 2,0 em
10. Mesmo assim, Danielle, na 2ªquestão desse teste, conseguiu representar na
reta numérica a fração
459
230
corretamente, mostrando que dera mais um passo no
sentido de reconhecer fração como número. O período que seguiu foi de
turbulência no Colégio, com paralisações e greves. Várias listas de problemas e
exercícios foram oferecidas durante o período de greve. Esta aluna compareceu
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
207
sempre para receber estas listas. Já na 1ª prova trimestral, 21/7, foi se sentindo
mais segura e conseguiu nesta avaliação, nota 6,75 em 10. Participou de encontros
de monitoria, e por ocasião do teste em dupla conseguiu melhorar seu
desempenho. Na 2ª certificação, prova de 22/09, Danielle marcou os números,
quer decimais ou fracionários, na reta numérica, identificando sua posição. Na 3ª
certificação de 2006, identificamos também a evolução dessa aluna, observando
ter sido capaz de trabalhar com proporcionalidade e unidades de capacidade.
Concluiu o ano letivo de 2006 com média 7,0. Ao longo do ano de 2007, ficou a
cada trimestre evidenciado como seu desempenho foi melhorando, concluindo o
ano letivo com média final de 7,7.
Laleska
2006 2007
1ºTRI
7,0
2º TRI
9,0
3º TRI
8,7
Média
8,3
1º TRI
7,4
2º TRI
6,9
3º TRI
9,2
Média
8,0
Laleska, aluna oriunda de escola pública, quando iniciamos a aplicação do 1º
teste diagnóstico, usava representações incorretas para indicar a divisão entre
frações. No 2º teste ainda não conseguia representar satisfatoriamente seu
pensamento. Entretanto, mais adiante, conseguiu trabalhar com a transformação
de fração para a representação decimal. Esta aluna concluiu o ano letivo de 2006
com média final de 8,3 e, em relação ao ano letivo de 2007 sua média final foi de
8,0.
Virginia
2006 2007
1ºTRI
5,5
2º TRI
7,0
3º TRI
6,0
Média
5,6
1º TRI
4,9
2º TRI
6,5
3º TRI
7,6
Média
6,4
No quarto grupo, com características bem definidas, formado por alunos que
não passaram por média nem em 2006 nem em 2007, podemos citar a aluna
Virgínia. Seu desempenho durante este período pode ser classificado como
regular. Veio transferida de um colégio particular para o Colégio Pedro II por
Mandado de Segurança. Ao final do ano letivo de 2006, concluiu o mesmo com
média final de 5,6. No decorrer de 2007, como vimos acima, conseguiu trabalhar
com sucesso questões que tratavam de abstração, bem como desenvolveu
corretamente questões envolvendo cálculos algébricos. Na 3ª certificação de 2007
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7
Análise da proposta pelos resultados em 2007
208
conseguiu alcançar média 7,6. Foi para a Prova de Avaliação Final (PAF) e
terminou o ano letivo com média 6,4.
Nossa pesquisa, a partir da constatação de K. Hart e H. Wu da importância
de o aluno conceituar a fração como número, empregou consistentemente a
representação da fração na reta numérica. Ao mesmo tempo, na reta numérica,
percebemos que fica mais fácil a identificação da unidade de referência e da sua
importância na determinação do valor da fração. A análise desenvolvida neste
capítulo mostrou que tanto os alunos dos grupos de pior desempenho inicial
quanto os outros, todos se beneficiaram dessa construção, que lhes permitiu usar
com segurança crescente as noções de frações equivalentes e proporcionalidade.
Na prova da 3ª certificação de 2007 pudemos destacar alunos que tendo
apreendido o conceito de fração como número e, consequentemente a importância
da unidade de medida de referência, souberam trabalhar com frações equivalentes.
Os alunos do grupo da turma 803 que não provinham da antiga 604 encontraram
maiores dificuldades. Gradativamente, foram melhorando, à medida que
adquiriram segurança no uso do conceito de fração. Entretanto, seu desempenho
em álgebra foi como os dos alunos dos outros grupos, melhor do que aquele que
estamos acostumados a observar nesta série.
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8
Avaliação Global
Complementando a análise qualitativa de todo o processo realizado,
constante dos capítulos anteriores, cremos que seja muito útil apresentar uma
síntese que ofereça um panorama de todo o caminho percorrido, de 2006 a 2007,
por meio do acompanhamento do desempenho global da turma alvo da
experiência em sala de aula. Os dados analisados incluem desde os resultados do
exame de admissão ao Colégio, em 2005, até as a avaliação das conseqüências
remotas, em 2007, da aprendizagem realizada em 2006.
8.1 Análise da Evolução do Desempenho dos alunos
Desde o início do estudo, com a 6ª série, turma 604, foram sendo
armazenados os dados necessários para a avaliação final aqui desenvolvida. Um
conjunto de dados colhidos inicialmente identifica a procedência dos alunos. Ao
ingressarem na 5ª série, é registrada a origem dos alunos, se oriundos de uma
escola pública ou particular e se tinham freqüentado algum curso preparatório
para o exame de admissão.
Para ingressarem no Colégio Pedro II, os alunos são submetidos a uma
mesma prova. Desta prova, resultam duas listas para classificação: uma dos
oriundos de escola particular e outra dos oriundos de escola pública.
a) Quando oriundos de escola particular, a média final de entrada é, de um
modo geral, maior que 7.
b) Quando oriundos de escola pública, a média final de entrada é, de um
modo geral, entre 5 (média mínima de entrada) e 7.
Ao longo do desenvolvimento da aprendizagem, observam-se, entretanto, já
no primeiro ano letivo, os alunos oriundos das escolas públicas apresentando um
desempenho equivalente ao dos alunos oriundos de escolas particulares.
Obtivemos, sobre os alunos da turma submetidos à experiência, os dados
fornecidos pelo Setor de Supervisão e Orientação Pedagógica (SESOP), da
Unidade Escolar Centro. O Quadro abaixo registra a origem dos alunos.
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8
Avaliação Global
210
Quadro 8.1 – Origem dos alunos da turma 604 no CPII
Origem dos alunos Número de alunos
Oriundos de Escola Particular: 8
Oriundos de Escola Pública: 15
Oriundos do Pedrinho 3
Transferido por Mandado de Segurança 5
Transferida de Unidade 1
Transferida pela família 1
Não identificado 2
Total: 35
Outra informação fornecida pelo SESOP diz respeito à avaliação do
desempenho final das três turmas da 5ª série em 2005. A turma 504, cuja maioria
dos alunos compôs a turma 604 em 2006, foi a de menor média no desempenho ao
final do ano letivo de 2005. Dos 35 alunos que compunham a turma 604, 25 eram
oriundos da turma 504, 1 da turma 502 e 2 da turma 506, 5 entraram por mandado
de segurança, 1 era repetente da turma 606 em 2005 e 1 transferido da Unidade
Escolar Humaitá II. O resultado dessa avaliação final é apresentado abaixo.
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8
Avaliação Global
211
Quadro 8.2 – Desempenho final das turmas de 5ª série de 2005
Lembramos que o primeiro contato nosso com a turma 604, alvo de nossa
pesquisa, foi em abril de 2006 e que, nessa ocasião, informamos aos alunos que
desenvolveríamos uma pesquisa ao longo do ano. Falamos também sobre as
diferenças que certamente aconteceriam na ordem dos conteúdos propostos para
aquela série, deixando claro que nem sempre os conteúdos estudados nesta turma
estariam em paralelo com os das outras turmas da mesma série. Foi-lhes
garantido, como de fato aconteceu, que, ao final do ano, deveriam estar aptos a
prestar a mesma prova, única por série, aplicada no final de cada ano letivo. Após
estes esclarecimentos, aplicamos o 1º teste diagnóstico.
Lembramos também que esse teste foi reaplicado, nas condições descritas
no Capítulo 5, à turma 803, constituída pelos alunos da antiga 604 aos quais se
juntaram mais 10 alunos e seus resultados já foram amplamente analisados.
Resta-nos, portanto, a análise dos resultados globais da aprendizagem
comparando os desempenhos de três grupos: os alunos da turma 604, em 2006, no
teste inicial e na repetição do teste no ano seguinte e o grupo de 10 alunos que
completou a turma 803.
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8
Avaliação Global
212
O Colégio produz, para cada certificação, um quadro demonstrativo que
permite comparar os desempenhos das turmas da mesma série. Este quadro, já na
primeira certificação, situa a turma 604 em posição similar às demais. Destaca-se,
entretanto, o menor número relativo de alunos com desempenho insatisfatório.
Quadro 8.3 – Desempenho da 1ª Certificação da 6ª série de 2006
A 2ª certificação teve início logo após o Conselho de Classe (COC) de
agosto de 2006. Em 1/9, levando em conta as dificuldades desse tópico, foi
aplicado novo trabalho em dupla, onde mais uma vez, foram revistos os conteúdos
do teste anterior. Para compor a média da 2ª certificação, a prova trimestral foi
aplicada em 22/9.
O quadro demonstrativo das turmas da 6ª série de 2006, a seguir, representa
a média de 2ª certificação, antes do apoio, bem como aponta o bom desempenho
dos alunos da turma 604 nesta etapa do ano letivo. Neste quadro, já se destaca,
além do pequeno número de alunos com desempenho inferior a 5, o elevado
número de alunos com desempenho superior a 7.
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8
Avaliação Global
213
Quadro 8.4 – Desempenho da 2ª Certificação da 6ª série de 2006
Depois de todo o caminhar descrito detalhadamente nos capítulos anteriores,
trazemos aqui o resultado da avaliação chamada prova única, que corresponde à
prova trimestral da 3ª certificação. Os alunos que alcançam média sete são
aprovados para a série seguinte.
O Quadro 8.5 a seguir apresenta este resultado:
Quadro 8.5 – Desempenho da 3ª Certificação da 6ª série de 2006
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
8
Avaliação Global
214
Os que não alcançam a média sete (7,0) são submetidos a mais uma
avaliação, denominada de Prova de Avaliação Final (PAF); a partir daí os alunos
receberam os resultados correspondentes a esta avaliação. Como já dissemos
também, o ano de 2006 foi atípico, devido às greves que intercalaram o ano letivo
e, por isso, os alunos tiveram uma semana de aulas de apoio. Logo depois
entraram de férias até 1º de fevereiro. Ao voltarem, em 2/2/2007, foram
submetidos a uma nova avaliação, na qual, para serem aprovados, necessitam
alcançar a média 5 (cinco). Vemos a seguir o quadro que aponta os resultados
finais das turmas da 6ª série no ano letivo de 2006. Este quadro confirma os
resultados registrados anteriormente, com maior número de alunos com notas
acima de 7 e menor número de alunos com nota inferior a 5 na turma 604.
Quadro 8.6 – Desempenho Final da 6ª série de 2006
Além dos quadros demonstrativos acima, elaboramos tabelas destacando por
cores, os resultados dos alunos que apresentavam médias em diferentes classes de
valores, em cada uma das avaliações propostas. Essa disposição facilitou
visualizar rapidamente, a evolução do desempenho dos alunos, na aprendizagem
de cada tópico do conteúdo programático ministrado durante o ano letivo entre
cada uma das três certificações. Identificadas as dificuldades, foi então possível ir
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8
Avaliação Global
215
ajustando a aplicação da metodologia. Além disso, foi possível formular medidas
preventivas para minimizá-las. E, principalmente, foi possível ir observando como
nossa proposta pedagógica se desenvolvia diante dos alunos em cada tópico.
O Quadro abaixo resume as médias dos alunos no primeiro trimestre, após o
apoio. Nesse trimestre trabalhamos os seguintes conteúdos:
Conteúdos do 1º trimestre:
a) Definição de fração como medida de comprimento de segmento de reta a
partir dos números inteiros;
b) Definição de fração como medida usando como unidade o quadrado
unitário;
c) Números decimais e sistema de medida de área e de capacidade;
d) Padrões numéricos e o conjunto dos números inteiros;
e) Integração dos conteúdos: números decimais e sistemas de medidas de
tempo, comprimento, áreas e capacidade:
Quadro 8.7 - Médias do 1º trimestre de 2006.
Ma: média do trimestre Número de alunos
Ma < 5 4
5
≤
Ma < 7
15
Ma
≥
7
15
Total: 34
O Quadro 8.8 resume as médias dos alunos nesse trimestre, após o apoio e a
2ª chamada:
Conteúdos do 2º trimestre:
a) Continuação da integração entre números decimais e sistemas de medida
de comprimento, áreas e capacidade;
b) Conceito de proporcionalidade; introdução do conceito de porcentagem a
partir de jornais e revistas;
c) Proporcionalidade direta e inversa; conceito de escala;
d) Grandezas diretamente e inversamente proporcionais;
e) Operações com números decimais: adição e subtração; multiplicação e
divisão;
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8
Avaliação Global
216
f) Números inteiros positivos e negativos e sua representação na reta
numérica;
g) Operações com números inteiros: adição e subtração;
h) Problemas sobre termo desconhecido e uso de letras.
Quadro 8.8 – Médias 2º trimestre de 2006
Ma: média do trimestre Número de alunos
Ma < 5 2
5
≤
Ma < 7
4
Ma
≥
7
28
Total: 34
O quadro a seguir resume o desempenho dos alunos no final do 3º
trimestre, após o apoio e a 2ª chamada:
Conteúdos do 3º trimestre:
a) Exercícios e problemas envolvendo números inteiros positivos e
negativos;
b) Medidas de comprimento, áreas e capacidade;
c) Grandezas diretamente e inversamente proporcionais;
d) Porcentagem;
e) Usando letras para resolver problemas – aplicação em formas geométricas;
f) Resolvendo equações;
g) Trabalhando figuras geométricas.
Quadro 8.9 - Médias do 3º trimestre de 2006
Ma: média do trimestre Número de alunos
Ma < 5 6
5
≤
Ma < 7
7
Ma
≥
7
21
Total: 34
Em relação ao resultado final, uma aluna abandonou o Colégio antes das provas
finais. Temos a seguir o Quadro 8.10 que apresenta o resultado final de 2006 da
turma 604:
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8
Avaliação Global
217
Quadro 8.10 - Médias finais do ano letivo de 2006
Ma: média do trimestre Número de alunos
Ma < 5 4
5
≤
Ma < 7
7
Ma
≥
7
22
Total: 33
Para dar continuidade à pesquisa, continuamos nossa experiência com a
turma 803 (no 8º ano) em 2007. Isto nos permitiu realizar uma avaliação
comparativa da aprendizagem dos dois grupos que compunham a turma 803: os
oriundos da turma 604 de 2006 e os 10 novos alunos que a completaram, oriundos
da própria Unidade ou transferidos de outra Instituição de Ensino. Os gráficos a
seguir mostram os resultados desta análise e como os alunos absorveram o
material que complementou nosso estudo.
Os conteúdos programáticos já foram detalhados em capítulos anteriores,
bem como as várias avaliações realizadas. Assim sendo, trazemos aqui o resultado
final dessa certificação, presente no gráfico abaixo que resume as médias dos
alunos na avaliação do desempenho ao final do 1º trimestre.
Verifica-se que, dos alunos da antiga turma 604, somente uma pequena
proporção, 5 alunos em 28, teve média abaixo de 5. Comparativamente aos alunos
novos, é evidente, não só a menor proporção de alunos com média abaixo de 5
quanto a maior proporção de alunos com média acima de 7 (25% nos da turma
antiga contra 10% dos novos).
Gráfico 8.1 - Comparação entre o desempenho do 1º Trimestre
da turma 803: Antigos alunos da turma 604 x Novos alunos.
0%
50%
100%
%
1 2
Antiga 604 - Novos
Primeira Certificação
>7
entre 5 e 7
<5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
8
Avaliação Global
218
Os resultados obtidos durante o segundo trimestre estão resumidos no
Gráfico 8.2, que permite comparar os dois grupos, observando o percentual das
médias referentes ao 2º trimestre.
Gráfico 8.2 - Comparativo do Desempenho do 2º trimestre da
turma 803: Antigos alunos da turma 604 x Novos alunos.
0%
50%
100%
%
1 2
Antiga 604 - Novos
Segunda Certificação
> 7
entre 5 e 7
< 5
Este gráfico revela, a exemplo do gráfico das médias finais do 1º trimestre, a
diferença de desempenho dos dois grupos, seja no percentual de médias abaixo de
5 (22% contra 40%), seja nas outras duas classes, nas médias compreendidas entre
5 e 7, com percentuais de 39% contra 20% e, nas médias acima de 7, com 39%
contra 20%. Estas diferenças evidenciam claramente o melhor desempenho dos
alunos da antiga turma 604, comparativamente aos novos.
O 3º trimestre foi um período curto em dias, tendo ocorrido, em novembro, a
prova da 3ª Certificação que corresponde a Prova Institucional da Unidade
Escolar.
No Gráfico 8.3, podemos observar os percentuais das médias referentes ao
3º trimestre. Vemos aí, comparativamente, o melhor desempenho dos alunos
oriundos da turma 604 em relação aos novos dessa turma. As médias tanto as que
estão abaixo de 5 (11% contra 40%), quanto as acima de 7 (64% contra 40%)
mostram claramente este resultado.
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Avaliação Global
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Gráfico 8.3 - Comparativo do Desempenho do 3º trimestre da
turma 803: Antigos alunos da turma 604 x Novos alunos.
0%
50%
100%
1 2
Antiga 604 - Novos
Terceira Certificação
> 7
entre 5 e 7
< 5
A média anual aponta os alunos que, por alcançarem média sete (7,0)
durante o ano, são aprovados, encerrando seu período letivo nesse momento.
Gráfico 8.4 - Comparativo do Desempenho Anual da turma 803:
Antigos alunos da turma 604 x Novos alunos.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
%
1 2
Antiga 604 - Novos
Média Anual
> 7
entre 5 e 7
< 5
Em dezembro, o 2º grupo, dos alunos que não atingiram a média sete, se
submeteu a uma nova avaliação, isto é, a Prova de Avaliação Final (PAF). Os
alunos que alcançaram média cinco (5,0) nesta avaliação foram promovidos à
série seguinte.
Os resultados, representados no Gráfico 8.5, mostram o bom desempenho
tanto do grupo que representa os antigos alunos da turma 604 como os novos que
passaram a compor a 803. É importante ressaltar nesta análise, este ponto: após
um ano de trabalho com o objetivo de elevar o nível dos alunos da turma 803,
principalmente em relação aos alunos não oriundos da 604, que vinham
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Avaliação Global
220
apresentando inicialmente um desempenho insatisfatório comparativamente ao
grupo da turma 604, tivemos como conseqüência um crescimento em ambos os
grupos.
Gráfico 8.5 - Comparativo do Desempenho Final da turma 803:
Antigos alunos da turma 604 x Novos alunos.
O crescimento dos dois grupos, representado nesse gráfico, nos reporta à
Teoria de van Hiele (1957). A tese de doutorado de Pierre van Hiele, na
Universidade de Utrecht, em 1957, com as aplicações didáticas de sua esposa
Dina van Hiele-Geoldof, sugere que os alunos progridem através de uma
seqüência hierárquica de níveis de compreensão enquanto aprendem Geometria e
que a linguagem, o insight e o tipo de experiências vivenciadas desempenham
papéis especiais nesse desenvolvimento. Em artigos subseqüentes, os van Hiele
sugerem que os níveis podem servir para orientar o ensino e a aprendizagem de
outros tópicos de Matemática. Este estudo serviu como suporte teórico para a tese
de doutorado da Profª. Lílian Nasser (1993), que trata do desenvolvimento do
aluno segundo os níveis de van Hiele, bem como para a nossa dissertação de
mestrado no tópico de funções (Sant’Anna, 2001).
De acordo com esta teoria:
1. Os níveis formam uma hierarquia;
2. O que está implícito num nível torna-se explicito no nível seguinte;
3. Cada nível tem símbolos lingüísticos próprios, e um conjunto de
relações características interligando-os;
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Avaliação Global
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4. Duas pessoas raciocinando em níveis distintos não podem compreender
uma à outra. Este desnível ocorre quando o professor tenta se comunicar
com seus alunos em seu próprio nível.
5. O progresso de um nível para o seguinte depende mais da experiência de
atividades adequadas do que da idade ou da maturação.
Os resultados da presente pesquisa permitem verificar, mais uma vez, que é
possível atuar no sentido de elevar o nível do aluno, dentro das proposições de
van Hiele. Além de observarmos a acentuada diferença entre o desempenho dos
alunos do grupo oriundo da turma 604 com o grupo não oriundo da 604, pode-se
também verificar o inegável valor agregado mesmo para esses alunos.
Os resultados apresentados demonstram que o baixo rendimento
apresentado pelo grupo de alunos não oriundos da turma 604, paulatinamente foi
se modificando, culminando com o aproveitamento total dos mesmos. É evidente
também, observando os gráficos e o desempenho individual dos alunos
examinado no capítulo anterior, que a melhora foi gradativa, e seus efeitos foram
surgindo mais para o final do segundo semestre. Ouso dizer que o trabalho aqui
apresentado confirma a hipótese de que, em educação, os comportamentos não se
modificam abruptamente, mas de forma lenta e gradativa.
A análise global dos resultados, apresentada neste capítulo demonstra
também que o trabalho de construção de fração como número usando a reta
numérica influenciou positivamente no desempenho global do aluno. Construindo
o conceito de fração como número, com o auxílio da representação na reta
numérica, o grupo de alunos estudado revelou, no ano seguinte, maior facilidade
em lidar com a representação simbólica.
Os excelentes resultados dos alunos em 2007 também demonstram
claramente que a familiarização com o campo algébrico é alcançada com mais
facilidade quando o conceito de fração é trabalhado como proposto nesta tese.
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Conclusões e Recomendações
Esta pesquisa contemplou dois campos, o aritmético, por meio de uma
metodologia de ensino de frações como número, e o algébrico, por meio de
atividades que levaram os alunos a identificarem padrões numéricos e
buscarem generalizações. O conjunto de atividades desenvolvidas seguiu
uma proposta de ensino apoiada no trabalho sobre frações de Wu, visando a
facilitar a introdução do aluno no campo algébrico. A idéia básica foi
trabalhar em profundidade o conceito de fração, identificando a fração como
número e representando esse número na reta numérica.
Os resultados que tínhamos antes de iniciar este estudo e que serviram
como ponto de partida para esta pesquisa sustentavam, exatamente, que esta
falta de preparação adequada, de um modo geral, leva aos resultados
caóticos registrados na verificação da aprendizagem de alunos envolvidos
em expressões algébricas que não sabem interpretar.
Muitas soluções de natureza pedagógica para antecipar o
desenvolvimento da abstração têm sido propostas, incluindo o ensino do
“pensamento algébrico” começando no jardim de infância ou 1ª série. Wu
defende, e eu concordo, que, a despeito de não importar o quanto se introduz
do “pensamento algébrico” nas séries iniciais e a despeito de que méritos
tais exercícios possam ter, a taxa de fracasso em álgebra continuará sendo
alta a menos que nós radicalmente mudemos o ensino de frações e números
decimais.
Em vários momentos, ficou clara a dificuldade dos alunos em
reconhecer fração como um número e como, ao vencer essa dificuldade e
associar à fração um conceito objetivo bem determinado, rapidamente eles
prosseguem no domínio de conceitos mais complexos. Para a criança atingir
este conhecimento, desenvolvemos uma série de atividades, envolvendo, por
exemplo, equivalência entre frações e ordem no conjunto das frações.
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Conclusões e Recomendações
223
Ao longo do trabalho, foi possível identificar como o êxito nessas
atividades refletiu o domínio da conceituação de fração como número. Pelas
dificuldades encontradas pelos alunos no desenvolvimento das atividades
propostas, quer na aprendizagem de frações quer nas atividades propostas na
introdução à álgebra, verificamos que os alunos que obtiveram melhor
desempenho no campo algébrico foram, como já dissemos, aqueles que
reconheciam fração como número, identificando sua representação na reta
numérica. Sobre esta base, operavam facilmente com frações equivalentes e
assimilavam muito bem o conceito de proporcionalidade, mesmo
envolvendo expressões mais gerais.
As atividades propostas utilizando o conceito de fração visaram
também facilitar o desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno. Ao
analisarmos os resultados dos alunos, constatamos que um dos principais
obstáculos ao desenvolvimento das operações algébricas situava-se na falta
de uma preparação adequada. A que preparação adequada nos estamos
referindo? A análise dos resultados coletados nos apontou que um dos
possíveis caminhos de uma preparação adequada seria aquele sobre o qual
desenvolvemos nosso estudo.
O conceito de fração quando colocado como medida de comprimento
de segmento de reta facilita a passagem dos números inteiros para os
números fracionários permitindo trabalhar a generalidade. Deste modo, se
vai desenvolvendo no aluno a capacidade de abstração. Este
desenvolvimento vem, mais tarde, facilitar a passagem do campo aritmético
para o campo algébrico.
Outro aspecto destacado por Wu e que constatamos ao longo de nossa
pesquisa diz respeito ao raciocínio simbólico. O ensino de frações fornece a
oportunidade para familiarizar o aluno com a representação simbólica. Deste
modo, os alunos podem ser, gradual e lentamente, acostumados ao uso de
símbolos. Procuramos paulatinamente usar símbolos, de tal forma que
quando propúnhamos um determinado exercício, mesmo trabalhando dentro
do campo aritmético, onde se pedia para calcular um termo desconhecido, já
utilizávamos uma representação simbólica, uma letra, por exemplo. Dessa
forma se vai, aos poucos, familiarizando o aluno com a linguagem algébrica
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Conclusões e Recomendações
224
e se evita colocar o aluno subitamente diante de um monte de símbolos
quando se inicia “oficialmente” na álgebra.
Isso, aliás, foi percebido; um dos momentos adequados no currículo
escolar para começar a enfatizar o componente abstrato das operações
matemáticas é, geralmente, na 5ª série e na 6ª série. Com esta preparação, se
está dando ao aluno uma vantagem na etapa correspondente à introdução à
álgebra. A capacidade de abstrair, essencial na álgebra, deve começar a ser
desenvolvida logo que possível ao longo do currículo escolar. E o ensino de
frações constitui oportunidade especialmente adequada para esse fim.
Outra constatação de grande importância neste estudo é o “momento”
quando se dá a passagem do campo aritmético para o algébrico. O salto não
se dá de forma abrupta. Não basta trabalhar exaustivamente com frações, no
campo aritmético, e, pensar que ao trabalhar com expressões algébricas a
transferência se dá automaticamente. Não é assim que ocorre. Na
experiência por nós desenvolvida, verificamos que o aluno deve realizar esta
passagem por meio de atividades que a facilitam. Na segunda parte da
pesquisa, em 2007, nas atividades em que, paralelamente a cada parte do
conteúdo de fração resgatado, se ofereciam exercícios com conteúdos
similares envolvendo expressões algébricas, o desempenho dos alunos
confirmava esta idéia. Paulatinamente os alunos iam percebendo que as
“regras” utilizadas para frações, no campo aritmético, também se aplicavam
a expressões algébricas, no campo algébrico.
9.1. Recomendações para Projetos Futuros
Os resultados deste trabalho nos sugerem uma linha de investigação
de possíveis alterações dos conteúdos programáticos ensinados ao longo do
segundo segmento do Ensino Fundamental. Esboçamos a seguir a indicação
de alguns pontos que seriam importantes de se investigar quanto à
possibilidade de alterações.
Não pretendemos defender uma programação que não deixe espaço
para estilos de ensinar. Estamos cientes que o sucesso no emprego de
qualquer conteúdo programático depende das suas interligações com toda a
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Conclusões e Recomendações
225
estrutura curricular. O que aqui ousamos indicar é o fato de que alguns
conteúdos podem ser melhor aproveitados.
Seguindo a linha de raciocínio defendida por Wu, validada em nossa
pesquisa, a programação proposta tem em vista, como já dissemos acima,
realizar o ensino de frações, preparando a inserção do aluno no campo
algébrico. Destacamos como isto ocorre naturalmente se trabalhamos o
conceito de fração como medida de comprimento de segmento de reta.
Iniciamos introduzindo os números inteiros na reta numérica tomando como
marco inicial o zero (0); e a partir daí, iniciando com a divisão do intervalo
unitário em partes iguais, chegamos à definição de fração.
Logo a seguir deve-se dar ênfase a frações equivalentes, ordenação na
reta numérica e operações numéricas, empregando a definição assim
formulada em cada atividade.
A partir daí a sugestão é trabalhar com padrões numéricos, para
chegar a leis de formação, usando seqüências com números inteiros, como
por exemplo, seqüência de números triangulares, seqüência de números
quadrados perfeitos, seqüência de números cúbicos, etc. Deve-se aproveitar,
sempre que possível, para fazer um trabalho em espiral, revendo conteúdos
que possam nos ajudar a atingir o nosso objetivo.
Propomos ainda que se trabalhe fração como medida de área, usando
como unidade de medida a área de um quadrado unitário. Seguindo nossa
proposta pedagógica, se introduzirão os números decimais a partir do
sistema de numeração e sua representação na reta numérica e, indo além,
fazendo conexão com medidas, quer de comprimento, superfície, massa,
capacidade ou tempo. O objetivo desta etapa, mais uma vez, é dar
significado preciso ao conteúdo que se está sendo proposto.
Estendendo o que fizemos em relação aos números inteiros e a reta
numérica, o aluno pode seguir a mesma orientação, agora tratando com os
números negativos e positivos. O tempo despendido na introdução dos
números inteiros e fracionários na reta numérica terá servido não apenas
para rever, mas, também para interligar esses conceitos com o novo
conteúdo proposto. As operações trabalhadas neste início são a adição e a
subtração, associadas a problemas do dia-a dia do aluno.
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Conclusões e Recomendações
226
Dando continuidade a esta programação introduzimos
proporcionalidade. A seguir trabalhamos com grandezas diretamente
proporcionais e depois com grandezas inversamente proporcionais.
Lembrando, mais uma vez, a necessidade de associarmos a problemas que
dêem significado ao que está sendo proposto.
Este conteúdo pode ser desenvolvido tomando como referência o livro
“Números-Linguagem Universal” (projeto Fundão, 1996), cujo trabalho
com números decimais e medidas atende satisfatoriamente a nossa proposta.
Um outro ponto que também se apresenta como um ponto de
estrangulamento no Ensino Básico é a Geometria, que deve, sem dúvida
alguma, fazer parte desse entrelaçamento. Um dos caminhos sugeridos é o
manuseio com as figuras planas e o operar com medidas das mesmas. Um
dos conteúdos que propicia tal manuseio é o de quadriláteros, onde, de
forma natural e simples, pode-se trabalhar com as propriedades das figuras.
À medida que tratamos com essas formas geométricas e suas
propriedades, trabalhamos com problemas envolvendo expressões
algébricas, e mais uma vez, observamos a necessidade de o aluno estar
familiarizado, não apenas com as figuras, mas também com propriedades
identificadoras de cada figura. Conhecidas as propriedades dos quadriláteros
e a partir daí as transformações no plano, podemos de maneira quase natural
trabalhar com a construção e congruência de triângulos. Este tópico assim
distribuído facilita o trabalho com a Geometria Espacial no Ensino Médio.
Como sugestão, indicamos o tratamento deste tópico oferecido no livro de
Geometria do Projeto Fundão (1997).
9.2. A Implementação e a Prática
É necessário destacar que os resultados registrados ao longo deste
trabalho refletem um aspecto do desenvolvimento do processo de ensino e
aprendizagem, propiciado pela abordagem adotada, mas independente dos
conteúdos ensinados ou a ordem do desenvolvimento dos mesmos. O ponto
que aqui julgo importante ressaltar é que a experiência realizada teve
também um fator que nem sempre, na disciplina Matemática, tem sido
muito desenvolvido: o vínculo positivo do professor com seus alunos,
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Conclusões e Recomendações
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parceiros que fomos da implementação de uma inovação. Assim sendo, foi
essencial que se desenvolvesse, ao longo das aulas, um ambiente de
investigação, de busca do conhecimento e, principalmente, de diálogo entre
mim e meus alunos, e entre os alunos entre si e também nas suas atividades
em equipe. Não tenho dúvidas em atribuir parte importante do sucesso da
metodologia adotada a essa dimensão do desenvolvimento do trabalho.
Ou seja, é importante registrar, quando chego ao fim desta tese, que
em toda a caminhada estiveram ativas as emoções, não apenas dos alunos,
mas minhas também: o medo de não conseguir dar conta, de não estar no
caminho certo, das dificuldades que nos rondavam o tempo todo. Um
trabalho, que, em princípio, tinha como expectativa acabar no primeiro ano,
acabou se estendendo por dois anos, por motivos que se foram tornando
óbvios: a necessidade de enfocar os resultados produzidos de diferentes
pontos de vista.
Atingiríamos os objetivos estabelecidos para a pesquisa? Efetivamente
conseguiríamos transpor o grande desafio: familiarizar os alunos com as
operações dentro do campo algébrico? A contrapartida foi a alegria que
compartilhamos, eu e meus alunos, ao ver o processo se desenvolvendo com
êxito. Não apenas pelos resultados quantitativos obtidos, parciais ou finais,
mas pela felicidade no dia-a-dia de cada etapa que parecia inicialmente
intransponível para alguns deles. Esse trabalho era algo que representava um
grande desafio na minha vida profissional, meu projeto dentro do
magistério; de também contribuir para que a Matemática ensinada fosse de
fato mais desejada em ser aprendida. Confesso que fui, como eles,
protagonista das dificuldades que marcaram suas vidas de estudantes.
Foi, portanto, esta a principal motivação deste trabalho e continua
sendo, de procurar encontrar saídas, não apenas para nossos alunos, mas
também para professores que, muitas vezes, não têm oportunidade de parar
seu trabalho e melhor se qualificar, para que possam desempenhar melhor
seu papel de ensinantes.
No início de março de 2008 participei de uma reunião de pais de
alunos que me acompanharam nesta jornada de dois anos consecutivos. Tive
o prazer de ouvir o depoimento de muitos deles, da alegria de verem seus
filhos, mais confiantes, com maior entusiasmo para começarem o ano letivo,
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Conclusões e Recomendações
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de saberem que podem vencer muitas das dificuldades que não acreditavam
poder enfrentar.
Tive, também, oportunidade de conversar com os alunos no final do
ano passado, 2007, depois do trabalho concluído, declarar o orgulho que
sentia de podermos juntos ter chegado a este ponto e sentir nesse momento o
carinho que nos uniu nesta jornada. No início de 2008, fiz questão de voltar
à turma deles, estar com eles, incentivando-os a continuar, mostrando que
vale a pena lutar por aquilo que acreditamos e sentir a satisfação de vencer
etapas que nos fortalecem para que possamos continuar.
Diante desse quadro, tenho clareza, que não foi em vão esta luta e as
incertezas nela envolvidas. É importante deixar registrado aqui, nas
conclusões desta tese, este depoimento sobre nossa caminhada, minha e
deles, de nossas lutas, incertezas, porém também etapas vencidas.
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10. Referências
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SISTEMA NACIONAL DE AVALIAÇAO DA EDUCAÇAO BASICA - SAEB:
Relatório Saeb - 2001 - Matemática. Brasília, 2002.
SOARES, Eliane Farias; FERREIRA, Maria Cristina Costa; MOREIRA, Plínio
Cavalcanti. Números racionais e reais: as concepções dos alunos e a formação
do professor. Relatório de pesquisa. Belo Horizonte: SPEC/UFMG, 1998.
SOARES, Eliana Farias; FERREIRA, Maria Cristina Costa; MOREIRA, Plínio
Cavalcanti. Números Reais: Concepções dos Licenciandos e Formação
Matemática na Licenciatura. Zetetiké, v. 7, n. 12, p. 95-117, 1999.
SOARES, Flavia dos Santos. Movimento da Matemática Moderna no Brasil:
Avanço ou Retrocesso? Rio de Janeiro, 2001. Dissertação (Mestrado em
Matemática), Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica do
Rio de Janeiro.
STAJN. P. O que precisa saber um professor de matemática? Uma revisão da
literatura americana dos anos 90. Educação Matemática em Revista. SBEM,
Ano 9, n. 11, Edição Especial, abril de 2002.
TROW, M.A., Methodological problems in evaluation of innovation. In:
Wittrock, M.C. e Wiley, D.E. (Eds), The evaluation of instruction. New York:
Holt, Rinchart and Winston, 1970, p.289-305
USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das
variáveis. In: Coxford, Arthur F., Shulte, Alberto P. As Idéias da álgebra. São
Paulo: Atual, 1995, p. 9-22.
VALENTE, Wagner Rodrigues (Org.) Euclides Roxo e a modernização do
ensino de Matemática no Brasil. Biblioteca do Educador Matemático. São
Paulo: SBEM, v. 1, 2003.
VAN HIELE, Pierre. The Didactics of Geometry in the Lowest Class of
Secondary School. Tese de doutorado, Universidade de Utrecht, 1957.
VERGNAUD, Gerard. Multiplicative Structure. In: LESH, R.; LANDAU, M.
(Eds) Acquisition of Concepts and Processes. Orlando: Academic Press. 1983.
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Seminário Internacional de Educação Matemática. Atas do 1º Seminário
Internacional de Educação Matemática, Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática/UFRJ 1995, p.1-26.
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de los programas de acción. Editorial Trillas México, 1978. Traducción: Francisco
Gonzáles Aramburo – Revisão técnica Fernando Arias Galicia et al.
WU, H. Chapter 1: Whole Numbers (Draft) Department of Mathematics #
3840- University of California, Berkeley- Berkeley, CA 94720-3840 (July 15,
2000; Revised September 3, 2002.
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234
WU, H. Chapter 2: Fractions (Draft) Department of Mathematics # 3840 -
University of California, Berkeley- Berkeley, CA 94720-3840. June 20, 2001;
Revised September 6, 2002.
WU, H. How to prepare students for algebra. Technical report # 3840
Department of Mathematics U. C. Berkeley, American Educator, Vol. 25, No. 2,
pp. 10- 17. Summer, 2001.
WU, H. On the learning of algebra. Technical report # 3840 Department of
Mathematics. C. Berkeley, May 25, 2000; revised Jan 17, 2001.
WU, H. Key Mathematical Ideas in Grades 5-8. Technical report # 3840
Department of Mathematics. C. Berkeley September12, 2005. Apresentado no
NCTM, 2005.
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October, 1999.
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235
Anexo 1: 1º Teste diagnóstico
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236
BOM
RETORNO
COLEGIO PEDRO II – MATEMÁTICA – 07 de abril de 2006
PROFª. NEIDE DA FONSECA PARRACHO SANT’ANNA
Aluno (a): ...............................
..............................................
Idade:.................
Turma: 604
No ano letivo de 2005 você estudou no CPII? ..............
Vamos lembrar um pouco?
Resolva cada exercício abaixo. Justifique sua resposta:
1. Assinale
6
1
da seção sombreada do disco. Qual fração do disco inteiro que deve
foi assinalada? (Hart, p. 66)
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua
resposta
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237
2. Divida 3 por 5. Justifique seu cálculo.
(Hart, p.68)
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua
resposta
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238
3. Uma fita de 17 cm deve ser cortada em quatro partes de igual comprimento.
Dentre as opções abaixo, qual delas expressa, da maneira mais precisa possível, o
comprimento de cada parte? Justifique sua resposta. (Hart, p.68)
(a) 4 cm e resta 1 pedaço.
(b) 4 cm e resta 1 cm.
(c)
4
1
4 cm.
(d) cm
17
4
.
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua
resposta
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239
4. Em cada item abaixo, que fração da superfície total de cada círculo representa a
superfície sombreada? Justifique suas respostas. (Hart, p. 69)
(a)
(b)
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua
resposta
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240
5. Maria e João, separadamente, tinham algum dinheiro para gastar. Maria gastou
¼ da sua própria quantia e João gastou ½ da quantia que ele possuía. É possível
que ela tenha gasto mais que ele? Por que você pensa assim? Justifique sua
resposta. (Hart, p.72)
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua
resposta
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241
6. Em cada item abaixo, calcule o valor de ∆ e
⊗
.
(a) Encontre quem é
∆
:
∆
=
2
3
1
(b) Encontre quem é
⊗
:
30
10
5
⊗
=
c) Encontre quem são
⊗
e
∆
:
2 10
7 14
⊗
= =
∆
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua
resposta
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242
Anexo 2: 2º Teste diagnóstico
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243
COLÉGIO PEDRO II – MATEMÁTICA
Profª. Neide da Fonseca Parracho Sant’Anna
Aluno (a): ............................................................................. Nº.:......
Idade:...............; Turma (2006):.................... ; Turma (2007):.........
BOA PROVA!
Instruções:
• Responda às questões nos espaços indicados.
• Não serão consideradas as respostas apresentadas em forma de rascunho ou
fora dos espaços determinados;
• Escreva seus cálculos e não os apague; eles indicam o seu raciocínio.
1. (a) Encontre quem é
∆
. (Justifique sua resposta).
∆
=
2
3
1
(b) Encontre quem é:
⊗
(Justifique sua resposta)
30
10
5
⊗
=
(c) Encontre quem são
⊗
e
∆
: (Justifique sua resposta)
∆
=
⊗
=
10
14
7
2
(d) Efetue: 3
÷
5 (Justifique sua resposta)
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244
2. Mandei ladrilhar o chão da piscina. Na figura abaixo, as partes sombreadas
mostram os lugares onde os ladrilhos já foram colocados. Que fração da área do
chão da piscina já está ladrilhada? Justifique sua resposta.
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245
3. Assinale
6
1
da seção sombreada do disco. Que fração do disco inteiro foi
assinalada?
(Justifique sua resposta)
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246
4. Uma fita de 26 cm tem de ser cortada em cinco partes de igual comprimento.
Dentre as opções abaixo, qual delas expressa de maneira mais precisa possível, o
comprimento de cada parte?
(Justifique sua resposta).
(a) 5 cm e resta 1 pedaço.
(b) 5 cm e resta 1 cm.
(c)
1
5
5
cm
(d)
5
26
cm.
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5. Qual fração representa a parte sombreada?
(a) (Justifique sua resposta).
(b) (Justifique sua resposta).
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248
6. Maria e João, separadamente, tinham algum dinheiro para gastar. Maria gastou
4
1
de sua própria quantia e João gasta
2
1
da quantia que ele possuía. É possível que
ela tenha gasto mais que ele? Por que você pensa assim?
Justifique sua resposta.
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249
Anexo 3: Definição de fração segundo Wu:
Exercícios complementares
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250
Vamos
recordar!
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
PROFESSOR: NEIDE DA F. PARRACHO SANT´ANNA
COORDENADORA ANA LUCIA
NOME: ____________________________ _ TURMA: 604
3ª aula: Fração -17/04/2006
• Reta numérica
Você já trabalhou com o conjunto dos números naturais
{0, 1, 2, 3, 4,....}
Agora vamos representá-los na reta numérica.
• Segmento de reta:
Considere dois segmentos de comprimentos iguais. Se deslizarmos um sobre o
outro irão se sobrepor.
1º) Desenhe uma reta.
2º) Marque sobre ela um ponto que será associado ao número zero (0).
3º) A partir dele (zero) para a direita marque o 1º segmento de reta. Obtemos
assim o 1º marcador na reta numérica.
4º) A partir desse 1º marcador, se deslizarmos o 2º segmento de reta, de tal modo
que o final do 1º coincida com o início do 2º, obteremos o 2º marcador. E assim
sucessivamente.
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251
De agora em diante, podemos representar os números naturais em uma reta, por
meio de infinitos pontos igualmente espaçados, à direita de um ponto escolhido
para representar o número zero (0). Os pontos marcados à direita representam,
sucessivamente, os números 1, 2, 3, 4... Assim, cada número natural está agora
identificado com a sua respectiva marca (ponto) na reta.
- A posição dos números inteiros vai sempre depender da escolha de dois
números:
o zero e o 1.
- Na reta, o segmento com extremidades no número zero (0) e no número um (1)
será representado pelo símbolo [0,1]. Chamaremos o segmento [0,1] de segmento
unitário. Seu comprimento vale 1 e será adotado por nós como unidade de
comprimento.
- A partir dessas informações podemos nomear os demais segmentos:
[0,1], [1,2], [2,3], [3,4],.......
Todos eles também têm comprimento 1 (isto é, medem uma unidade de
comprimento).
Depois de termos recordado um pouco sobre números inteiros e sua colocação na
reta numérica, vamos ver como podemos representar o conjunto:
{
3
0
,
3
1
,
3
2
,
3
3
,
3
4
,....}
Divida cada um dos segmentos de reta [0,1], [1,2] [2,3], [3,4],... em três
comprimentos iguais.
Assim cada um desses segmentos novos adquire dois pontos de divisão além seus
pontos à direita e à esquerda. A reta tem agora uma nova seqüência de marcadores
igualmente espaçados. Alguns deles coincidem com os marcadores
correspondentes aos números naturais.
Como cada segmento foi divido em três partes de igual comprimento, definimos
que:
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252
•
3
1
é o primeiro ponto de divisão à direita do zero (0).
O segmento [0, 1/3] tem comprimento 1/3.
•
3
2
é o segundo ponto à direita do zero (0)
O segmento [1/3, 2/3] tem comprimento 1/3 e o segmento [0, 2/3] tem
comprimento 2/3.
•
3
3
é o terceiro ponto à direita do zero (0)
O segmento [2/3, 3/3] tem comprimento 1/3 e o segmento [0, 3/3] tem
comprimento 3/3.
• 4/3 é o quarto ponto de divisão à direita do zero (0).
O segmento [3/3, 4/3] tem comprimento 1/3 e o segmento [0, 4/3] tem
comprimento 4/3.
• E assim por diante.....
.................................................................................................................
• Podemos escrever então que
3
m
é o m-ésimo ponto à direita do zero (0)
• Por convenção, nós também escreveremos 0 para representar
3
0
.
• Observe que
3
3
coincide com 1;
3
6
coincide com 2;
3
9
coincide com 3, e em
geral
3
3m
coincide com m para qualquer número m à direita de zero (0).
Observe que agora quem está fazendo o papel da unidade de medida é
3
1
.
Se ao final da 1ª marca à direita deslizarmos o segmento de comprimento
3
1
,
encontraremos
3
2
. Se tornarmos a repetir esta ação, ou seja, ao final da 2ª marca
deslizarmos o segmento de comprimento
3
1
, encontraremos
3
3
, e assim por
diante.
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253
E se deslizarmos o segmento
3
1
m vezes?
m.
3
1
=
3
m
, ou seja podemos dizer que
3
m
é m vezes
3
1
.
Cada
3
m
é chamado de “múltiplo de”
3
1
.
Isto é, uma fração é múltipla de outra quando é igual a um número inteiro de
vezes dessa outra.
Múltiplos de 1 Múltiplos de
3
1
Uma vez 1 = 1;
1 vez
3
1
=
3
1
Duas vezes 1 = 2;
2 vezes
3
1
=
3
2
Três vezes. 1 = 3;
3 vezes
3
1
=
3
3
Quatro vezes. 1 = 4;
e......
4 vezes
3
1
=
3
4
e.....
.................... Eme vezes 1 = m.....................................m vezes
3
1
=
3
m
Em ambos os casos, começamos fixando uma unidade de medida e colocando-a
na reta numérica à direita do zero (0).
Observe que apresentamos os múltiplos de 1 e a partir daí, trabalhamos com os
múltiplos de
3
1
, considerando
3
1
como a unidade de medida. Da mesma maneira
podemos também colocar agora
n
1
, para todo n inteiro e n
≠
0, no lugar de
3
1
, e
com o mesmo raciocínio para múltiplo de
n
1
. Isto é
n
m
é múltiplo de
n
1
, para todo
número inteiro m.
m.
n
1
=
n
m
(m vezes
n
1
).
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254
Nome(s) 1º:
2º: turma......... nº.:......
Leia e responda cada uma das atividades propostas com seu colega -
28/04/2006.
Vimos nos exercícios anteriores como representar uma fração na reta
numérica. Agora vamos pensar na fração
l
k
, onde k e l são números inteiros e l é
maior que 0.
Definição:
Sejam k, l números inteiros com l > 0. Divida cada segmento de reta [0,1],
[1,2], [2,3], [3,4],....... em l segmentos de comprimentos iguais. Supondo que isto
possa ser feito sem parar, estes pontos de divisão juntos com os números inteiros
positivos passam a formar uma seqüência infinita de marcadores igualmente
espaçados entre si na reta numérica. (no sentido que os comprimentos dos
segmentos entre os marcadores consecutivos são todos iguais). O primeiro
marcador à direita do zero (0) é por definição
l
1
. O segundo marcador à direita do
zero é por definição
l
2
, o terceiro é
l
3
e o que ocupa a posição k (chamamos de k-
ésimo) é
l
k
. O conjunto de todos estes
l
k
, para todos os números inteiros k e l ,
com l > 0, é o conjunto das frações. O número k é chamado de numerador e o
número l de denominador da fração
l
k
Observe que um número inteiro também é uma fração.
Isto significa que um número inteiro (que é representado por um ponto da
reta numérica) está entre os marcadores
l
k
por uma escolha apropriada de k
e l . Isto é verdade pela definição de fração porque os marcadores dos
números inteiros estão entre as marcas da fração.
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255
Lembrando que:
• concordamos em escrever 0 por
n
0
(para qualquer n > 0).
• na discussão de frações, por exemplo, com o denominador 3, que m é o mesmo
que
3
3m
para todo inteiro m.
• No caso especial de k ser múltiplo de l diremos que k = nl .
Veja os exemplos:
8
8
,
5
10
,
5
5
, uma vez 5 = 5; duas vezes 5 = 10; uma vez 8 = 8
Então se temos:
4
4
,3
3
,2
2
,1 ====
l
l
l
l
l
l
l
l
, vamos escrever que:
l
k
pode ser escrito na forma:
n
l
nl
= , para todo n, l , onde l > 0.
•
l
k
é o comprimento obtido pela concatenação de segmentos cada um de
medindo
l
1
ou seja
l
k
é a cópia de k vezes o comprimento
l
1
, onde l > 0
*- (k vezes
l
1
)
1. Agora é com você:
(a) Represente na reta numérica a fração
5
4
.
(b) Como você pode representar a expressão 4.
5
1
x 5 na reta numérica? Dê a
resposta utilizando somente a reta numérica, não pode fazer cálculos.
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256
2. Veja alguns exemplos de fração na reta numérica:
•
3
16
, sabemos que 15 = 5 x 3 e 18 = 6 x 3
15 < 16 < 18
3
16
é a cópia de 16 vezes o comprimento
3
1
.
•
17
84
=
17
16174
+
x
, sabemos que 84 = 4 x 17 + 16
17
84
é a cópia de 84 vezes o comprimento
17
1
.
• Agora é a sua vez:
3. Represente as frações abaixo na reta numérica:
(a)
13
12
,
13
22
,
13
40
.
(b)
11
8
,
11
23
,
11
30
.
(c)
23
5
,
23
46
.
(d)
43
128
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257
4. Veja a fração
17
84
, pode ser escrita:
17
84
=
17
16174
+
x
, ou
17
84
=
17
16174
+
x
como
17
84
=
17
16
4 , lembramos que
17
84
está depois de 4, mas antes de
5.
5. Seja a fração
14
297
.
(a) Na reta, essa fração localiza-se entre dois números naturais
consecutivos.
Quais?
(b) Represente de uma outra maneira esta fração, lembrando o exemplo
anterior.
6. E a fração
15
1029
(a) Na reta, essa fração localiza-se entre dois números naturais
consecutivos. Quais?
(b) Represente de outra maneira esta fração, lembrando o exercício
anterior.
7. A fração
13
879
se encontra entre os inteiros........... e ......Mostre uma outra
forma de representá-la.
8. E a fração
19
231
se encontra entre os inteiros...... e.......Mostre uma outra forma
de representá-la.
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258
Agora,
Pensando em uma fração, por exemplo,
n
m
, com n > 0, podemos escrever:
n
m
é uma fração e
n
m
=
n
kqxn
+
, 0 ≤ k < n ou
n
m
=
n
kqxn
+
como
n
m
=
n
k
q , lembramos que
n
m
está depois de q, mas antes de
q + 1.
A notação
n
k
q é chamada fração mista
ou
número misto
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Vamos recordar a unidade de medida
• Comprimento de um intervalo unitário [0,1]
Sejam k e l dois números inteiros, com l > 0. Então
l
1
é, por definição,
comprimento de uma parte quando a unidade é dividida em l partes iguais e
l
k
é, por definição, o comprimento de k dessas partes.
“Lembrem que cada unidade foi dividida em l partes iguais e cada pedacinho é
l
1
”.
Por exemplo:
•
7
2
é dois sétimos de 1.
•
5
4
é quatro quintos de 1.
• Vamos usar uma outra unidade de comprimento.
“Um pedaço de presunto com peso de 3 quilos”.
Assim o número 1, em vez de 3 kg, representa o peso desse pedaço de presunto.
- O número quatro é o peso de quatro pedaços do mesmo peso daquele pedaço.
- O que significa
3
1
do peso daquele pedaço?
De acordo com nossa definição, dividimos nossa unidade (três quilos de presunto)
em três partes de pesos iguais. (cada parte pesa 1 quilo). Numa linguagem
comum,
3
1
representa exatamente o que para nós significa a terça parte do pedaço
do presunto.
De uma maneira geral se nós resolvermos usar o peso de um objeto X como
unidade, então
7
5
significaria 5 partes de X depois de ter sido partido em 7 partes
de igual peso. Portanto, 5/7 é uma fração que usamos para designar cinco sétimos
do peso de X. Uma fração
7
5
pode ser
7
5
de um volume de um balde de água, o
volume de
7
5
de uma torta,
7
5
de um dólar, etc.
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260
• Podemos pensar na área de um quadrado unitário (isto é, um quadrado
cujo lado tem comprimento 1).
• Lembrando as figuras
(a) A área de um quadrado unitário é definida como sendo igual a 1.
(b) Se duas regiões são congruentes então suas áreas são iguais.
(c) Se duas regiões têm em comum somente parte de suas fronteiras, então a
área de sua união é a soma das áreas de suas partes individuais.
Considere os quatro triângulos (disjuntos) no interior do quadrado unitário
abaixo.
Pelo item (a) acima, a área de um quadrado unitário é definida como sendo igual
a 1.
Cada uma dessas regiões triangulares é congruente às outras.
Pelo item (c) acima, a soma das áreas dos quatro triângulos é igual ao valor da
área total do quadrado unitário, a qual, por definição, vale 1.
Esses quatro triângulos são congruentes uns aos outros.
Portanto, pelo item (b) acima, esses quatros triângulos têm a mesma área.
Assim, como esses quatro triângulos têm a mesma área, a área de cada um deles
vale ¼.
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261
Nome: turma......... nº.:.....
Atividades para casa - 28/04/2006 – 05/05/2006
Exercício 1.1 – se necessário use o verso do seu papel
Supondo que a área de um quadrado unitário vale 1, desenhe, para cada item abaixo,
duas figuras distintas que representem as frações dadas:
a)
6
5
; (b)
4
7
; (c)
4
9
.
Exercício 1.2
Considere a área total da região hachurada no quadrado abaixo. Suponha que essa
área vale 1.
Com base nisso, escreva as frações que representam as áreas das regiões hachuradas
em cada item abaixo:
1) Primeira figura
2) Segunda figura
3) Terceira figura.
(1)
Responda:.......
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262
(2)
Responda:.......
(3)
Responda:......
VOCÊ PODE AGORA RESPONDER ESTA PERGUNTA?
“Maria e João têm ambos dinheiro para gastar em seu bolso. Maria gasta
4
1
da
sua quantia e João gasta
2
1
do seu. Maria pode gastar mais que João? Por que
você pensa assim?”
Maria e João, separadamente, tinham algum dinheiro para gastar. Maria gastou ¼
da sua própria quantia e João gastou ½ da quantia que ele possuía. É possível que
ela tenha gasto mais que ele? Por que você pensa assim?
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263
Anexo 4: 1º teste individual – 1º trimestre - 2006
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264
Bom
teste!
COLÉGIO PEDRO II
1º TESTE DE MATEMÁTICA DA 6ª SÉRIE -12/05/2006
PROFª. NEIDE DA FONSECA PARRACHO SANT’ANNA
ALUNO: Nº. ....... TURMA:
1ª questão:
Responda:
Qual é maior: Um oitavo de três quintos ou um terço de oito quintos? Justifique.
2ª questão:
Represente na reta numérica e escreva na forma de número misto a fração
230
459
.
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua resposta.
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265
3ª questão:
Eu estou lendo um livro que tem vários capítulos, todos com o mesmo número de
páginas. Ao terminar um capítulo verifico que acabara de ler a página 246.
a) Supondo que o capítulo que eu acabei de ler seja o sexto e que o livro tem 10
capítulos, quantas páginas teria o livro?
b) Supondo que o livro tenha 492 páginas e 6 capítulos, quantos capítulos ainda
não li?
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua resposta.
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266
4ª questão:
Helena saiu a pé de casa para a escola e, ao ter andado
5
2
2
milhas, está
exatamente nos
4
3
do caminho.
a) Qual a distância, em milhas, entre sua casa e a escola?
b) Se uma milha equivale a 1600 metros, quantos metros Helena ainda tem de
caminhar, a partir do ponto onde ela está, até chegar à escola?
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua resposta.
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267
5ª questão
Maria e João saem de casa com dinheiro no bolso. Maria gasta a terça parte do
que leva e João gasta metade do que leva. Pode acontecer de João voltar para casa
com mais dinheiro que Maria? Se a sua resposta é afirmativa, determine
precisamente em que casos isso pode acontecer.
Faça os cálculos nos
espaços de cada item e
não os apague. Eles
justificam a sua resposta.
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268
6ª questão
Os dois círculos abaixo têm a mesma área. Os ângulos XOY, YOZ e ZOX têm a
mesma medida.
Os segmentos de O a I, de I a II e de II a III têm o mesmo comprimento.
Comparando-se as regiões hachuradas abaixo, qual delas tem a maior área:
o setor XOY (no primeiro círculo) ou a seção ABCD (no segundo)?
Resposta:
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269
7ª questão:
Suponha agora que a nova unidade de medida de área é a área da região
hachurada na primeira figura abaixo.
Adotando a unidade definida acima, escreva as frações correspondentes à área da
região hachurada em cada figura abaixo. Explique brevemente a sua resposta.
(a) figura (1)
Resposta:
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270
(b) figura (2)
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271
Anexo 5: Lista de exercícios de apoio - junho-2006
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272
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
Professor: Neide da Fonseca parracho sant´anna
Aluno: ............................................................. turma:............ nº.
Exercícios de revisão: 05 de junho de 2006
1
Pensando em seqüências
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...
O primeiro número dessa seqüência é o zero. O sucessor do zero é o 1, o
sucessor de 1 é o 2 e assim por diante.
Representa-se o sucessor de um número natural n por n+1.
Como sempre encontramos o sucessor de um número natural, dizemos que a
seqüência dos números naturais é infinita.
1. Agora considere x o representante de um número natural qualquer
a) o sucessor de x é.... d) o antecessor de x+5 é.....
b) o antecessor de x, para x
≠
0 é.... e) o antecessor de x – 5 é...
c) o sucessor do sucessor de x é.... f) o sucessor do antecessor de x é..
2. Da seqüência dos números naturais podemos destacar
• Seqüência dos números pares (por definição, os números múltiplos de 2):
Complete a tabela abaixo:
• Generalizando, um número natural par pode ser sempre representado
por......, em que n é um número natural.
Responda:
a) Se n = 155, qual o valor de 2n?
b) Se 2n = 1042, qual o valor de n?
c) Escreva os quatros números naturais pares que satisfazem às seguintes
condições: estão na ordem crescente, são consecutivos e o último deles é o
numero 12344.
3) Seqüência dos números ímpares
Complete a tabela:
1
Exercícios Baseados no Livro Didático de Luiz Roberto Dante-6º série, Capítulo 1. Editora
Ática, 1ª edição, 2002.
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273
Pensando em seqüências
• Todo e qualquer número ímpar pode ser escrito na forma........., onde n é
um número natural.
Responda:
a) Se n =120, qual o valor de 2n + 1?
b) Se 2n + 1 = 101, qual o valor de n?
c) Considere a seqüência dos números ímpares formados por três algarismos.
Quais são os três menores e os três maiores elementos dessa seqüência?
4) Seqüência dos números naturais quadrados perfeitos:
A seqüência abaixo é formada pelos números naturais quadrados perfeitos:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36,...
Escreva, em seu caderno, os próximos cinco números quadrados perfeitos.
Explique o seu procedimento.
• Generalizando, um número quadrado perfeito pode ser sempre
representado por n
2
(n elevado ao quadrado) ou por n vezes n, em que n é
um número natural.
5) Observe uma maneira de obter os números quadrados perfeitos a partir do 1.
1º número quadrado perfeito: Q
1
= 1 (1 . 1);
1 parcela
2º número quadrado perfeito: Q
2
= 1+3 = 4 (2 . 2);
2 parcelas
3º número quadrado perfeito: Q
3
= 1+3 + 5 = 9 (3 . 3);
3 parcelas
4º número quadrado perfeito: Q
4
= 1+3 + 5 +7 = 16 (4 . 4);
4 parcelas
• Utilizando este método, escreva os números quadrados perfeitos Q
5
, Q
6
, e
Q
7
. Q
5
= Q
6
=
Q
7
=
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274
6) Usando apenas uma multiplicação, responda:
a) Qual é o valor do 13º número quadrado perfeito?
b) Qual é o valor de Q
30
?
7) Seqüência de números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15,....
Os números triangulares também podem ser representados assim:
• O 1º número triangular por T
1
= 1;
• O 2º número triangular por T
2
= 1 + 2 = 3;
• O 3º por T
3
= 1 + 2 + 3 = 6;
• O 4º por T
4
= 1 + 2 + 3 + 4 = 10;
• O 5º por T
5
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
a) Represente agora o 6º, 7º e o 8º números triangulares.
b) Observe como a seqüência começou e escreva os dez primeiros números
triangulares.
c) Determine o valor do: 11º número triangular e do T
15
d) Sabendo que o 20º número triangular é 210, qual é o valor da soma?
1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8+ 9 + 10 + 11 + 12 + 13+ 14 +15+ 16+17+18+ 19+ 20+ 21+
22 +23?
8) Você achou trabalhosos os exercícios anteriores? Há uma maneira mais prática
de calcular o valor de um número triangular. Veja:
Calcule os números triangulares por este método:
a) T
40
b) T
30
c) T
21
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275
9) Escreva o valor das somas:
a) 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + .... + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 =
b) 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + .... + 97 + 98 + 99 + 100 =
10) Observe as duas possibilidades de divisões exatas com números naturais em
que o número 6 é o divisor ou o dividendo
Responda às questões:
a) 4 é divisor de 6? e) 148 é múltiplo de 6?
b) 3 é divisor de 6? f) 294 é divisível por 6?
c) 12 é múltiplo de 6? g) 2 é fator de 6?
d) 20 é múltiplo de 6? h) 858 é múltiplo de 6?
11) Fausto escreveu todas as multiplicações com dois números naturais cujo
produto é 20. Depois copiou, na ordem crescente, todos os fatores que
apareceram. Faça o mesmo que Fausto e depois responda. Como são chamados
esses números?
12) Considere a expressão a . b = 30, sabendo que a e b são números naturais.
Responda:
a) Uma das possibilidades para a e b é a = 2 e b = 15. Quais são as outras
possibilidades?
b) Escreva todos os números dessa atividade. Como são chamados esses
números?
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276
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
Professor: Neide da Fonseca parracho santánna
Aluno: .......................................................................... turma:............ nº.
Exercícios de revisão: 12 de junho de 2006
2
1) Observe os esquemas abaixo:
a) Construa mais duas etapas do processo descrito no retângulo acima.
b) Agora responda: Que números obtemos quando somamos dois números
triangulares consecutivos?
c) Existe, até 200, algum número quadrado perfeito cujos algarismos são todos
iguais?
2) Determine e indique a seqüência dos:
a) Divisores de 18:
b) Divisores de 9.
c) Divisores de 19.
DESAFIO:
Marcelo tem uma microempresa. No final do ano, ele precisou estimar a média
anual de vendas. Arredondou esse valor para a dezena de milhar mais próxima e
montou a tabela abaixo:
2
Extraído do Livro Didático de Luiz Roberto Dante, 6ª série, Capítulo 1. Editora Ática,1ªedição,
2002.
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277
a) Em 1998, a quantia estimada foi de R$60.000,00. A venda em 1998 pode ter
variado de quanto a quanto?
b) Qual pode ter sido a variação de vendas em 1999? E em 2001?
c) Observando os resultados dos itens anteriores, é possível descobrir um padrão?
d) Comparando as vendas de 1998 a 2001, qual das afirmações abaixo é
verdadeira?
• As vendas foram praticamente as mesmas.
• As vendas dobraram de 1998 para 2001.
Vamos verificar se um dado número é múltiplo de um outro número:
Marcelo e Vilma estão estudando juntos. Eles têm que responder várias perguntas
sobre seqüências de múltiplos e divisores.
Acompanhe o raciocínio de Marcelo e Vilma:
Eles desejam saber se 212 pertence à seqüência dos múltiplos de 3 e usaram o
seguinte raciocínio:
• 212 = 210 + 2
(3 . 70)
210 pertence, porém 212 não, pois uma das parcelas não é múltiplo de 3.
• 726 é divisível por 7? E o número 1 533?
726 = 700 + 21 + 6
7. 100 7. 2
Não, pois uma das parcelas não é múltiplo de 7.
1 533 = 1 400 + 70 + 63
7 . 200 7. 10 7. 9
Sim, pois há uma decomposição na qual todas as parcelas são múltiplos de 7.
Usando o mesmo procedimento de Marcelo e Vilma, verifique se:
a) 1 425 e 1934 pertencem à seqüência dos múltiplos de 3.
b) 1 737 e 1 246 estão na seqüência dos múltiplos de 7.
c) 1 316 e 825 são divisíveis por 4.
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278
3) Números primos e compostos:
Escreva a seqüência dos números primos até 20.
4) Número composto
Chama-se “número composto” todo número natural que não seja primo e que seja
maior que 1.
Escreva abaixo, P se o numero for primo e C se for composto.
a) 22 b) 23 c) 39 d) 53 e) 41 f)
2004
5. Decomposição em fatores primos:
Todo número natural pode ser expresso como um produto de números primos.
Por exemplo:
I. Decomponha cada um dos números compostos em um produto de fatores
primos.
a) 28 b) 60 c) 39 d) 900
II. Escreva o número composto cuja decomposição em fatores primos é dada por:
a) 2.2.11 b) 2.3.7 c) 2.2.3.3.5 d) 5.7.7
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279
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
PROFESSORES: MARCELO COUTO E NEIDE PARRACHO SANT’ANNA
COORDENADORA: ANA LUCIA
NOME: ......................................................... Nº.: ........ TURMA:........
Exercícios de revisão: 30 de junho de 2006
3
1. Você já conhece os números triangulares e os números quadrados.
Agora responda:
a) Escreva os oito primeiros elementos de cada uma das duas seqüências
acima.
b) O número 400 é ou não um número quadrado perfeito?Justifique.
c) Como os números quadrados perfeitos podem ser obtidos a partir dos
triangulares?
2. Números pentagonais
Observe as figuras:
a) Faça o desenho na folha abaixo e veja qual é o próximo numero
pentagonal.
3
Exercícios extraídos do Livro Didático, 6ª série, p.64-65. Professor Luiz Roberto Dante,
1ªedição, Editora Ática, 2002.
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280
b) É possível obter os números pentagonais a partir dos números quadrados e
dos números triangulares. Examine com atenção as figuras abaixo.
Descobriu a seqüência?
Faça uma tabela e preencha com os números triangulares, números quadrados e
números pentagonais.
Números triangulares 1 3 6 10 ..............................................................
Números quadrados 1 4 9 16 .............................................................
Números pentagonais 1 5 12 22 ............................................................
3. Números hexagonais
E os números hexagonais? Como obtê-los?
Examine as figuras, e descubra qual é o próximo número hexagonal.
......................
4. Desafio:
Convide um amigo para resolver este desafio:
Descubram como os números hexagonais podem ser obtidos a partir dos
números quadrados e triangulares. Escrevam em seguida a seqüência dos seis
primeiros números hexagonais
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281
Anexo 6: Lista de exercícios - julho - 2006
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282
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
Professor: Neide da Fonseca parracho santánna
Aluno: ........................................................... turma:............ nº.
Exercícios de revisão: 07 de julho de 2006
4
Trabalhando com números decimais:
Nas questões 1 e 2, abaixo, cada quadrado grande (um inteiro) representa a
unidade dividida em 100 (cem) partes iguais.
1. Pinte regiões correspondentes a:
a) 0,2 (em vermelho)
b) 0,6(em preto)
c) 0,16 (em azul)
— Divida em duas partes iguais a primeira região pintada. Qual o valor de cada
parte?
— Divida em três partes iguais a segunda região pintada. Qual o valor de cada
parte?
— Divida em quatro partes iguais a terceira região pintada. Qual o valor de cada
parte?
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283
2. Agora efetue: (Faça a ilustração no quadrado)
0,08
÷
4 = ; 0,12
÷
6= ; 0,24
÷
8 = ; 0,9
÷
3 =
Nas questões 3 e 4, abaixo, cada quadrado grande (um inteiro) representa a
unidade dividida em 10 (dez) partes iguais.
3. (a) Para efetuar a operação 0,2:4, primeiro pinte, no quadrado abaixo,
uma região correspondente a 0,2.
(b) Divida em quatro partes iguais a região pintada por você e contorne uma
delas.
Essa parte será maior, igual ou menor que um décimo?
(c) Escreva o número decimal que essa parte representa.
Por que o resultado deve ser expresso em centésimos?
4
Exercícios baseado no livro: Números - Linguagem Universal, Projeto Fundão, 1996
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284
4. Represente o número 0,04 no quadrado abaixo e determine 0,04
÷
5 =
5. observe que 0,2
÷
4 = 0,20
÷
4 = ..............
0,04
÷
5 = 0,040
÷
5 = ...............
Note que para dividir 0,2 por 4 você trocou 2 décimos por 20...................... Você
fez isso colocando um zero à direita do algarismo 2.
• Para dividir 0,04 por 5 você trocou 4..................... por .............milésimos.
• 0,04
÷
5 = 4 centésimos
÷
5 = ............ milésimos
÷
5 = .........milésimos.
Vamos armar as contas para os exercícios (3) e (4):
6. Observando os exemplos anteriores, resolva completando os espaços.
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285
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
Professor: Neide da Fonseca Parracho Sant´anna
Aluno: ......................................................... turma:............ nº.
Exercícios de revisão: 14 de julho de 2006
5
Exercícios de revisão: 14 de julho de 2006
1. Arme e efetue:
a) 6,2
÷
2 =
b) 5,1
÷
5 =
c) 1,47
÷
7 =
d) 6,12
÷
6 =
2. Arme e efetue até encontrar resto zero:
a) 0,9
÷
6 =
b) 2,32
÷
4 =
c) 1,02
÷
8 =
d) 3
÷
2 =
e) 11
÷
4 =
f) 1
÷
5 =
g) 2
÷
8 =
Usando números decimais, muitas divisões podem ser estendidas até obter resto
zero.
Você encontrou 1
÷
5 = 0,2 =
10
2
=
5
1
e também 2
÷
8 = 0,25 =
4
1
=
8
2
5
Exercícios baseados no Livro de Números – Linguagem Universal- Projeto Fundão
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286
3. Transforme em número decimal cada uma das frações abaixo, e a seguir
represente na reta numérica o resultado encontrado.
a)
5
7
b)
4
3
c)
8
12
4. Faça a conta até obter o quociente em décimos:
15
÷
4 - Quociente em décimos: ---------------------
Resto:
Continue a conta e responda:
Qual o quociente que você encontrou?
5. Determine o quociente e restos abaixo:
a) 1,628
÷
13 - Quociente em milésimos: ---------------------
Resto:
b) 3
÷
8 - Quociente em centésimos: ---------------------
Resto:
c) 1
÷
3 - Quociente em décimos de milésimos: ---------------------
Resto
6. Complete a tabela, onde:
D = dividendo
d = divisor
q = quociente
7. Agora vamos tratar da divisão com divisor sendo um número decimal:
a) 0,4
÷
0,2 = -------------
÷
2 = ----------------
b) 8, 4
÷
0,12 = ----------
÷
12 = -------------
c) 2,432
÷
0,13 = --------
÷
13 = ------------
d) 3
÷
0,15 = --------------
÷
---- = ----------
e) 45
÷
0,9 = ----------------
÷
---- = ---------
D
d
q
5
2
0,5
2,5
350
7
0,7 50
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287
8. Arme e efetue.
a) 1,5
÷
0,25 d) 0,453
÷
0,5
b) 121
÷
4,4 e) 23
÷
0,06
c) 0,25
÷
0,02 f) 0,35
÷
0,4
• O que você observou nos quocientes encontrados?
9. Vamos ao trabalho com quocientes aproximados de números decimais.
Complete a tabela, onde:
D = dividendo d = divisor q = quociente r = resto.
D
d
q
r
26 6 2
260 60 4
130 30 10
32 6 5,33
3,2 0,6 5,33
10 7 1
1000 700 300
10. Determine agora o quociente de 2,68 por 0,7 em centésimos. Para isso
arme a conta:
E observe: 2,68
÷
0,7 = 26,8
÷
7 =
Dividendo: 2,68 x 10 26,8
Divisor 0,7 x 10 7
Quociente ------------------------- o mesmo ---------------------
Resto: -------------------------- x 10 ---------------------
Depois que você encontrou o resto da divisão 26,8
÷
7, como você descobriu o
resto da divisão 2,68
÷
0,7? -------------------
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288
11. Determine os quocientes indicados e os restos correspondentes:
a) 0,463
÷
0,5 Q (em centésimos) =------------------------- Resto:- ----------
b) 23
÷
0,06 Q (em centésimos ) =-----------------------------Resto:--------
c) 4,63
÷
0,21 Q (em centésimos ) =-----------------------------Resto:-----------
d) 0,35
÷
0,4 Q (em centésimos ) =-----------------------------Resto:-----------
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289
Anexo 7: Prova da 1ª certificação - julho - 2006
.
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290
Boa Prova!!!
Faça com
calma!
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1.1.1.1.1.1.Prova de Matemática -1ªCertificação −6ª Série do E F−21-07-2006
PROFESSOR: NEIDE COORDENADORA ANA LUCIA
NOME: ________________________________Nº. ____ TURMA: 604
♦ Leia atentamente as questões antes de respondê-las.
♦ Nenhuma questão será aceita sem o desenvolvimento do raciocínio coerente
com a resposta dada.
♦ Não é permitido o uso de calculadora.
♦ Use caneta esferográfica azul ou preta.
♦ Não use corretivo e nem rasure a resposta.
QUESTÃO 1:
(VALOR: 1,5 pontos)
Se a área de um quadrado unitário vale 1,
2
1
2
2
5
= , então
2
5
é a área de dois e
meio quadrados unitários. A figura abaixo mostra três quadrados unitários
desenhados lado a lado, e a fração
2
5
é representada pela área dos cinco meios
quadrados (região hachurada).
Sem fazer cálculos, somente utilizando a figura acima, mostre que
15
6
e
5
2
são
frações equivalentes. Indique, na reta numérica, a posição dessas frações
equivalentes.
Agora, somente usando a reta numérica, represente a fração abaixo, sem precisar
repartir a unidade em 195 partes iguais:
195
52
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291
QUESTÃO 2:
(VALOR: 1,0 ponto)
A estrada entre duas determinadas cidades tem 300 km de extensão. Hoje, ao
deslocar-se da primeira cidade para a segunda, um viajante percorreu
3
1
da
estrada antes do almoço. Após o almoço, essa mesma pessoa já percorreu
5
2
do
resto do caminho.
(a) Para chegar à segunda cidade, que fração da estrada ainda lhe falta percorrer?
(b) Quantos quilômetros lhe faltam para completar a viagem?
QUESTÃO 3:
(VALOR: 2,0 pontos)
a) Paula mora em um quarteirão quadrado cuja área é de 10 000 m
2
.
• Quanto mede um lado do quarteirão?
• Paula costuma dar 5 voltas por dia nesse quarteirão. Que distância ela
costuma percorrer nessa caminhada diária? E nos cinco dias úteis de
uma semana?
b) Com 48 ripas e meia de madeira, cobre-se exatamente o rodapé de uma sala de
38,8m de perímetro. Qual a medida de cada ripa usada?
QUESTÃO 4:
(VALOR: 1,0 ponto)
a) O que você pode escrever a respeito do perímetro das figuras abaixo;
Todos os lados têm comprimento 7.
Há 19 lados ao todo.
Resposta:................................
b) Agora parte da figura ao lado está escondida.
Todos os lados têm comprimento 5
Há n lados ao todo.
Resposta:...................................
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292
QUESTÃO 5:
(VALOR: 1,0 ponto)
a) Uma espaçonave viaja em “estágios” que têm, todos a mesma extensão.
Se cada “estágio” tem quatro anos–luz de comprimento, o que você poderia
escrever sobre a distância percorrida pela nave em 97 estágios? (Obs.: Um ano
luz: unidade de distância que equivale à distância percorrida pela luz, no vácuo,
em um ano, à razão de aproximadamente 300 000 km por segundo.):
b) Se cada estágio tem 11 anos-luz de comprimento, o que você poderia escrever
sobre distância percorrida pela nave em y “estágios”?
QUESTÃO 6:
(VALOR: 2,0 pontos)
a) A média aritmética de um conjunto de 11 números é 45. Se o número 8 for
retirado do conjunto, a média aritmética dos números restantes será:...............
Justifique sua resposta.
b) Assinale a resposta correta, justificando sua resposta. Caso necessite faça o
desenho.
Em qualquer prisma, o número de arestas é:
( ) um múltiplo de 3; ( ) um múltiplo de 4 ; ( )um numero ímpar;
( ) maior que 10.
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293
QUESTÃO 7:
(VALOR: 1,5 ponto)
Num restaurante são gastos 40 latas de óleo com 0,6 litros cada uma
mensalmente. Quantos litros de óleo são gastos por mês nesse restaurante? Se
o dono quiser comprar esse óleo em latas de 4,5 litros, quantas latas deverá
comprar no primeiro mês? Nesse caso, quantos litros sobrarão a cada mês? Ele
precisará comprar, todo mês, a mesma quantidade de latas de 4,5 litros?
Justifique sua resposta
Este é o seu ponto extra (1,0). Você pode conseguir!
Desafio:
Figurinhas repetidas
Felipe e Sandro colecionam figurinhas, que colam em um álbum em que cabem
200 delas. Sandro aparece uma tarde com um monte de 500 figurinhas para trocar
com Felipe. Este afirma que no monte de Sandro existem triplicatas (3 figurinhas
iguais), o que é negado por Sandro. Felipe tem alguma razão para fazer esta
afirmação?
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294
Anexo 8: Prova da 2ª certificação - setembro - 2006
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295
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Faça com
Calma!
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
Prova de Matemática -2ª Certificação 6ª Série −22 de setembro 2006
Professor: Neide Coordenadora Ana Lucia
NOME: ______________________________ Nº. ____ TURMA: 604
♦
Leia atentamente as questões antes de respondê-las.
♦
Nenhuma questão será aceita sem o desenvolvimento do raciocínio coerente com a resposta dada.
♦
Não é permitido o uso de calculadora.
♦
Use caneta esferográfica azul ou preta.
♦
Não use corretivo e nem rasure a resposta.
1ªquestão:
Dona Lourdes é feirante. Todo sábado, ela vai ao Mercadão de Madureira, compra as
mercadorias para revender e pede para entregar em sua barraca. Eis a lista do sábado
passado.
Mercadoria Peso
Chuchu 5 kg
Cenoura 10 kg
Cebola 12 kg
Pimentão 4 kg
Aipim 15 kg
Batata
Quando a mercadoria chega, ela precisa conferir os pesos. Ela possui vários pesos de
diferentes valores: 5 pesos de 2 kg, 2 pesos de 1 kg, 4 pesos de 500g e 3 pesos de 100g.
a) Ela colocou o saco de chuchu num dos pratos da balança. Indique os pesos que
ela deve colocar no outro prato para que ela confira o peso.
b) Para agilizar o trabalho ela resolveu colocar mercadorias nos dois pratos. Com
que pesos ela deve completar os pratos para equilibrar a balança? Isto basta para
ela conferir os pesos das mercadorias compradas?
c) Ela esqueceu quantos quilos de batata tinha comprado. A figura indica como
Dona Lourdes equilibrou a balança. Quanto pesa o saco de batata?
d) Quando Dona Lourdes foi conferir o peso do pimentão, ela observou que a
balança ficou desequilibrada. Como você explica o que ocorreu?
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296
2ª questão:
Rafael está fazendo uma reforma em sua casa. Para isso, comprou material de construção.
A nota fiscal ficou molhada por causa da chuva e ele quer recuperar o que ficou apagado.
MERCADORIA PREÇO UNITÁRIO VALOR
3 sacos de cimento R$ 21,20
R$
20 m
2
de piso
R$
R$ 218,00
latas de tinta
R$ 108,70 R$ 434,80
TOTAL
R$
Complete a nota com os valores que faltam e depois responda de quanto foi o troco,
se o pagamento dessa compra foi feito com R$ 800,00.
3ª questão:
Que número vai parecer no visor “A PAGAR” da balança?
22,00 1,400
PREÇO 1 kg PESO kg A PAGAR
4ª questão:
Considere os cálculos abaixo:
A: 30,7. 5,21 = 15,9947 B: 2,25. 6,22 = 13,995
a) O cálculo A está errado. Explique por quê, sem efetuá-lo.
b) O cálculo B está correto, mas no produto aparecem 3 casas decimais. Por quê?
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297
5ª questão:
Efetue:
a) 13
÷
0,1 = e) 1
÷
0,5 =
b) 13
÷
0,001 = f) 3,5
÷
0,5 =
c) 1,3
÷
0,1 = g) 9
÷
0,5 =
d) 1,3
÷
0,01 = h) 8,5
÷
0,5 =
6ª questão:
Complete a tabela transformando a fração inicial em uma fração equivalente com
denominador 100 e, em seguida, escreva em forma de
porcentagem:
7ª questão:
A venda de um mesmo tipo de fogão está sendo anunciada em duas lojas:
Compre seu fogão com
de desconto
Fogões com de desconto.
Fogão: R$ 400,00 Compre já!!!!
a) Em qual das duas lojas esse fogão sai mais barato?
b) De quanto foi a diferença, em reais, de uma loja para a outra?
2
1
100
50
50%
4
3
25
16
10
7
50
41
É possível calcular
“de cabeça”.
TENTE
!
!!
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298
8ª questão:
Observe a reta numerada:
Marque:
A – se o número estiver entre 0 e 1
B – se o número estiver entre 1 e 2
C – se o número estiver entre 2 e 3
D – se o número estiver entre 3 e 4
E – se o número for maior que 4
( ) 0,5 ( ) 0,25 ( ) 4,095 ( )
3
9
( )
2
1
( ) 1,38 ( ) 3,02 ( ) 3,1 ( )
10
5
( )
4
3
( )
1000
97
( ) 0,987 ( )
100
4095
( )
10
789
( )
6
21
9ª questão:
Assinale a resposta correta justificando sua resposta:
Um canal de TV está anunciando a temperatura em duas capitais.
A diferença entre essas duas temperaturas é de:
a) 20,3º b) 23,3º c) 19,7º d) 22,3º
10ª questão:
O avô de Sara toma um remédio em que cada comprimido apresenta os componentes e as
quantidades especificadas abaixo.
6
a) Qual é a massa total de 12 comprimidos?
b) Escreva essa massa em gramas.
6
As questões 9 e 10 foram extraídas do livro texto: ”Matemática é tudo”. Luiz Roberto Dante,
Editora Ática, 6ªsérie, p.137 e p. 124, respectivamente, 2002.
3
2
1
0
4
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299
11ª questão
Cristina foi almoçar em um restaurante que serve comida a quilo. Sabendo que cada prato
“pesa” 400g e o preço de um quilo de comida é de R$ 12,00, quanto Cristina pagará pelo
almoço?
7
12ª questão:
No calendário cristão, o nascimento de Cristo é considerado o marco zero (0). Os fatos
acontecidos antes de Cristo têm os anos indicados pela sigla a.C. ou o sinal menos (-).
São, por isso considerados números negativos. Já os fatos acontecidos depois de Cristo
têm os anos indicados com d.C. ou com o sinal de mais (+), ou a sem sigla nem sinal. São
números positivos. Examine o diagrama abaixo, conhecido como a linha do tempo.
Coloque na reta numérica os seguintes pontos que indicam algumas datas importantes da
época do império Romano:
a) A: + 325 - O cristianismo torna-se religião oficial.
b) B: - 509 - Fundação da República.
c) C: + 395 - Divisão do Império em duas partes: Império Romano do Ocidente
(capital: Roma) e Império Romano do Oriente (capital: Constantinopla).
d) D: - 750 - Fundação de Roma.
e) E: -600 - Época em que viveu o filósofo e matemático grego Pitágoras.
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300
13ª questão:
Ao lado de cada afirmação abaixo, escreva se ela acontece às vezes, sempre ou
nunca. Dê pelo menos um exemplo de cada item para justificar sua resposta.
a)Um número inteiro negativo é menor do que um inteiro positivo. (------------)
b)Um número inteiro negativo é menor do que outro inteiro negativo. (------------)
c) Um número inteiro negativo é menor do que zero. (------------)
d)Um número inteiro positivo é menor que zero. (------------)
e)Um número inteiro positivo é menor do que outro inteiro positivo. (------------)
14ª questão:
Veja o que Mariana está respondendo a seu professor
Se um número inteiro é maior do
que +5, então seu oposto é menor
que - 5.
A afirmação dela está correta? Explique
15ª questão:
a) Use o recurso que achar melhor para efetuar estas adições:
• Adição de +1 e - 3; adição de - 3 e – 2; adição de +2 e + 4.
b) Calcule:
• – 4 + 9 + 6 – 4 – 3 =
• (+ 8) – (+9) + (+ 4) – (-1) =
• (-3) –(-2) – (+4) – (+1) + (+6) =
• - 6 – 5 – 3 – 2 + 9 – 1 =
• - 87 – 87 =
16ª questão:
A capacidade deste aquário é maior, igual ou menor do que 36 l ?
7
As questões 11ª e 12ª foram extraídas do livro texto: ”Matemática é tudo”. Luiz Roberto Dante,
Editora Ática, 6ªsérie, p. 134 e p. 141, respectivamente, 2002.
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301
Anexo 9: Teste individual – 3º trimestre – 2006
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302
Boa Prova!!!
Faça com
calma!
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
Prova de Matemática-individual –c/ consulta−6ªSérie do E F−30/10 2006
Professor: Neide Coordenadora Ana Lucia
NOME: ______________________________ Nº. ____ TURMA: 604
♦ Leia atentamente as questões antes de respondê-las.
♦ Nenhuma questão será aceita sem o desenvolvimento do raciocínio coerente com a resposta dada.
♦ Não é permitido o uso de calculadora.
♦ Use caneta esferográfica azul ou preta.
♦ Não use corretivo e nem rasure a resposta.
1ªquestão:
As tabelas abaixo apresentam preços de dois estacionamentos de carros localizados em
lugares diferentes: Complete os espaços que estão apagados na tabela.
a) No estacionamento do Shopping Sol, quando o tempo de permanência dobra, o
preço também dobra? E quando triplica?
b) E no Shopping Lua, isso também acontece?
c) Se um colega seu tivesse contado a você que pagou R$8,00 para estacionar
durante 4h no Shopping Sol, você saberia o preço de uma hora nesse
estacionamento?
d) E se você soubesse apenas o preço pelo período de três horas no Shopping Lua,
poderia saber o preço de uma hora?
e) Em qual desses estacionamentos o preço total a pagar e o tempo de
estacionamento são proporcionais? Justifique sua resposta.
8
8
Extraída do livro: “Matemática na vida e na escola”, 6ª série. Ana Lúcia Bordeaux, et al. Editora
do Brasil, p.226, 1999.
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303
2ªquestão:
Esta é a planta baixa do sitio do avô de Silvio.
A planta foi desenhada na escala:
1:300 ou
300
1
Observe a tabela abaixo e complete as informações apagadas. Use a régua para descobrir
as dimensões do terreno e de cada uma das partes listadas na tabela, observando as
legendas.
3ª questão:
Isaura está reformando sua cozinha. Vai colocar armários novos em uma parede de 4,10m
de largura por e 3m de altura.
Em uma revista viu este desenho de um armário:
Escala 1 para 30
.
a) Usando a régua, verifique se esse armário cabe na parede da cozinha de Isaura.
b) Se Isaura quiser colocar esse armário, com mais uma porta, nessa parede, ele caberá?
9
9
As questões 2 e 3 foram extraídas do livro: “Matemática na vida e na escola”, 6ª série. Ana Lúcia
Bordeaux, et al. Editora do Brasil,, p.236-237, 1999.
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304
4ª questão:
a) Dona Maria está vendendo na feira saquinhos com 3 maçãs ao preço de R$ 5,00.
Antonio é dono de uma confeitaria e vai precisar de 36 maçãs para fazer algumas
tortas. Quanto Antonio vai gastar com dona Maria para comprar as maçãs que
necessita? Nessa atividade por que não é conveniente achar o preço de cada
maçã e depois o valor de 36? Justifique sua resposta.
b) Felipe queria economizar gasolina. Para isso, ele anotou quantos litros colocava
no carro e o preço que pagava em dezembro de 2001. Examine a tabela e
responda:
1. É possível, fazendo cálculos, prever o preço que Felipe
pagaria por 48 l de gasolina? Em caso afirmativo calcule
esse valor.
2. É possível, fazendo cálculos, prever quantos litros de
gasolina ele colocaria com R$ 36,00? Em caso afirmativo,
calcule o número de litros.
3. Qual o preço de 80l ?
4. Quantos litros poderia comprar com a metade desse
valor?
5. Essas duas grandezas são ditas grandezas......
5ª questão:
Sr. José dono da Padaria Pão Quente, anotou a quantidade de filões pequenos produzidos
em função da quantidade de farinha de trigo gasta por ele. Examine a tabela e responda às
perguntas:
a) É possível prever quantos filões pequenos serão fabricados com 100 kg de
farinha? Explique e calcule.
b) É possível prever quantos quilogramas de farinha de trigo serão necessários para
fabricar 1800 filões pequenos?
c) Podemos concluir que essas grandezas são diretamente proporcionais?
10
10
Extraído do livro texto: ”Matemática é tudo”. Luiz Roberto Dante, Editora Ática, 6ªsérie,
p.232,2002.
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305
6ª questão:
Alfredo colocou lajotas no piso de meu banheiro, que mede 3m por 3m, e gastou
R$30,00. Agora ele quer colocar o mesmo tipo na cozinha, que mede 4,5m por 4m.
Quanto Alfredo vai gastar na compra das lajotas?
7ª questão:
Veja ao lado que bela promoção Cíntia viu no mercado.
Complete a tabela abaixo e responda a questão:
Nessa situação, o preço a pagar é diretamente proporcional à quantidade de sabonetes?
Explique.
11
8ª questão:
A indústria onde Júlia trabalha pretende oferecer aulas de ginástica para diminuir a tensão
de seus funcionários. Como as aulas serão dadas de acordo com a faixa de idade, a
empresa fez uma pesquisa para saber quantos empregados tinham mais de 40 anos.
Chegou aos seguintes resultados:
Dois em cada 15 operários
da fábrica têm mais de 40
anos de idade
Nessa proporção,
haverá : 4 em 30, 6
em 45 e assim por
diante.
Complete a tabela com base nesta situação:
Número de
operários com mais
de 40 anos.
2
4
6
12
Número total de
operários
15
30
45
150
a) Agora escreva e simplifique as frações formadas pelos valores correspondentes,
obedecendo sempre a mesma posição: por exemplo:
15
2
, que é chamado de fator de
proporcionalidade ou razão. Podemos também representar
15
2
por 2:15
b) O que você observou em relação aos resultados encontrados?
11
Extraído do livro texto: ”Matemática é tudo”. Luiz Roberto Dante, Editora Ática, 6ªsérie,
p.234,2002.
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306
9ª questão:
Em uma classe de 6ª série, há 5 meninos para 7 meninas. Escreva as razões:
a) De meninos para meninas. c) De meninos para o total da classe.
b) De meninas para meninos. d) De meninas para o total da classe.
Agora responda: Se nessa classe há 36 alunos, qual é o número de meninos?
10ª questão:
O coeficiente de proporcionalidade entre o comprimento de uma barra de ferro
(em cm) e seu “peso” (em g) é
50
3
.
a) Encontre o significado de
50
3
nessa situação.
b) Calcule o “peso” de uma barra de 42 cm.
c) Calcule o comprimento de uma barra que “pesa” 1 kg.
11ª questão:
a) Michele e Lúcio estavam brincando de decifrar charadas. Era a vez de Michele
perguntar: quem somos nós? Somos dois números, estamos na razão de 1 para 4 e nossa
soma é 35.
“Puxa como é difícil”, pensou Lúcio. Mas ele teve uma idéia para resolver esse problema
e acabou fazendo uma descoberta. Lúcio montou uma tabela com vários números na
razão 1: 4até chegar aos dois números com soma 35.
x 1
y 4
soma
x+y
b) Descubra agora quais são os dois números cuja soma é 40 e que estão na razão 2:3.
c)Um carrinho de corda percorreu, em um movimento uniforme, 30cm em 4
segundos.Quantos metros ele percorrerá em 5 minutos?
d) Um trem desloca-se a uma velocidade constante de 80 km/h. Quanto tempo demorará
para percorrer 200km?
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307
12ª questão:
a) Uma torneira despeja 6 l de água por minuto e gasta 3h para encher um tanque. Se ela
despejasse 12 l por minuto, em quanto tempo encheria o tanque?
b) Dois pintores levam 20 dias para pintar uma casa. No mesmo ritmo de trabalho,
quantos dias quatro pintores levariam para pintar essa casa?
13ª questão:
Resolva:
a) Em um relógio, enquanto o ponteiro das horas faz um giro de 30º, o dos minutos
gira 360º. Qual é o giro do ponteiro das horas quando o ponteiro dos minutos gira
60º?
b) Para a festa junina, um grupo de 15 crianças fez certo número de bandeirinhas em
6horas. Em quantas horas um grupo de 20 crianças, trabalhando no mesmo ritmo,
faria a mesma quantidade de bandeirinhas?
14ª questão:
Uma empresa monta ao final de cada semestre uma tabela que indica o saldo de seus
negócios (receita – despesa). A tabela abaixo mostra alguns valores do primeiro semestre
de 2006.
Mês
Janeiro.
Fevereiro.
Março
Abril
Maio
Junho
receita
60 000
72000
90000
80000
74000
despesa
70 000
55 000
62000
60000
64000
saldo
- 5 000
17000
Complete a tabela e responda:
a) Em que meses houve lucro?
b) Em que meses houve prejuízo?
c) Qual foi o saldo final do semestre?
d) Em que mês o lucro foi maior?
e) De abril a maio o saldo aumentou ou diminuiu? De quanto?
Em alguns meses
houve saldo
negativo, isto é
prejuízo.
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308
15ª questão:
I. Calcule as expressões:
a) 0,1 – 2. (- 0,02)
b) (-18)
÷
(- 3). (-2)
c) 1,2
÷
0,6. (-10)
d) 2. (- 3) + (- 4)
÷
(-2)
e) 6
2
÷
(- 4) + 2. (- 6)
f) 5
2
+16
÷
(3+ 5) – 2
2
g)
7)5).(3(
9)9(
22
+−−
−−
)7).(3(
)3).(4()3(
2
−−
−−+−
II. Efetue e compare os resultados escreva as conclusões:
a) (2+ 3)
2
= e 2
2
+ 3
2
=
b) (8- 2)
2
= e 8
2
- 2
2
=
c) (2 x 3)
3
e 2
3
x 3
3
=
d) (10
÷
2)
2
= e 10
2
÷
2
2
=
Desafio: Este é o seu ponto extra (1,0). Você pode conseguir!
Em seu aniversário, Carlos ganhou dinheiro para comprar um presente. Numa loja,
encontrou os preços indicados para quem comprasse dois objetos.
Para decidir o que comprar, Carlos pensou:
- Qual o objeto mais caro?
- R$50,00 daria para comprar 2 mochilas?
- Qual o objeto mais barato?
- Quanto o livro é mais caro do que a bola?
Ajude Carlos a responder essas perguntas e determine o preço de cada objeto.
12
12
Extraído do material didático “Álgebra na Escola Básica: Significado? Mecanização?”-Projeto
Fundão –Instituto de Matemática –CCMN –Universidade Federal do Rio de Janeiro. Setembro
2006.
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309
Anexo 10: Prova Única – dezembro – 2006
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310
Boa Prova!!!
Faça com
calma!
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
PPP PROVA ÚNICA DE MATEMÁTICA - 3ª CERTIFICAÇÃO − 6ª SÉRIE DO E F − 1 DEZ 2006
PROFESSORES: MARCELO COUTO E NEIDE PARRACHO SANT’ANNA
COORDENADORA: ANA LUCIA
NOME: ____________________________________ Nº. ____ TURMA: ____
♦ Leia atentamente as questões antes de respondê-las.
♦ Nenhuma questão será aceita sem o desenvolvimento do raciocínio coerente com a resposta dada.
♦ Não é permitido o uso de calculadora.
♦ Use caneta esferográfica azul ou preta.
♦ Esta prova contém 9 questões.
QUESTÃO 1: VALOR: 1,0
A distância entre Fortaleza e Salvador é de aproximadamente 1380 km. Responda:
a) Paula foi de Fortaleza a Salvador em seu carro em 15 horas. Qual foi a
velocidade média com que ela fez essa viagem?
b) O mesmo percurso, de ônibus, a uma velocidade média de 75 km por hora,
levaria quanto tempo?
QUESTÃO 2: VALOR: 1,0
João vende água sanitária em garrafas de 500m l , 1 l e 2 l . Para obter água
sanitária, mistura “cloro” (na verdade hipoclorito) com água. Para cada 1 litro de
cloro usa 2,5 litros de água. João comprou 20 litros de cloro, e depois da
misturá-los com água, na proporção acima, colocou 20% em garrafas de 500m l ,
24% em garrafas de um litro, e o restante nas garrafas de dois litros. Quantas
garrafas de cada tipo foram usadas por Joao?
QUESTÃO 3: VALOR: 1,0
Faça o que se pede em cada item.
a) Numa escola, 10 litros de leite são servidos igualmente para 50 alunos.
Complete a tabela, de modo que a quantidade de leite e o número de crianças
sejam grandezas diretamente proporcionais.
1.2.Leite
(litros )
1 4 6 10 11 60
1.3.Crianças
(número)
50
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311
b) Um prêmio em dinheiro vai ser dividido entre os funcionários que tiveram
melhor desempenho durante o ano. Complete a tabela de modo que o número de
funcionários e a quantia que cada um receberá sejam grandezas inversamente
proporcionais.
1.4.funcionário
s
(número)
2 4 8 10 16
1.5.Quantia
(R$)
6 000
QUESTÃO 4: VALOR: 1,0
Calcule as expressões:
(a) – 2,8 – ( 4 – 1,2) + 4.( – 3 + 1) (b)
2 5 3 2
3 6 4 5
.
÷ − + −
QUESTÃO 5: VALOR: 1,0
Dona Vita, cozinheira de uma empresa, deseja fazer gelatina suficiente para 60
pessoas. Utilizará pacotes de gelatina que contém 85g de pó e seguirá a receita
abaixo que serve 4 pessoas.
Despeje o conteúdo do pacote num recipiente.
Adicione
4
1
de litro de água fervendo.
Mexa bem até dissolver por completo.
Adicione mais
4
1
de litro de água (fria ou gelada).
Deixe na geladeira até tomar consistência.
(a) Determine a menor quantidade de pó de gelatina que Dona Vita precisa.
(b) Quantos litros de água Dona Vita utilizará para fazer a gelatina para essas 60
pessoas.
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312
QUESTÃO 6: VALOR: 1,5
Uma piscina tem o formato de paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 24m
x 12m x 1,5m. No chão da piscina serão colocados azulejos retangulares de
dimensão 15 cm x 15cm. Assim responda os itens abaixo.
(a) Qual o volume, em litros, da piscina?
24m . 12m. 1,5m = 432 m
3
(b) Quantos azulejos serão necessários para revestir o chão da piscina?
QUESTÃO 7: VALOR: 1,5
Resolva as equações.
(a) 3.(2x + 1) – 3 = 5x + 8 (b) – 3,2x + 5 = 0,8x – 3
QUESTÃO 8: VALOR: 1,0
Um terreno quadrado está dividido em treze lotes:
cinco quadrados idênticos e oito retângulos
idênticos. Para cercar um lote quadrado gastam-se
exatamente 48 m de cerca.
Responda:
(a) Qual a área total dos lotes quadrados?
(b) Quantos metros de cerca serão necessários para
cercar um dos lotes retangulares?
QUESTÃO 9: VALOR: 1,0
(adaptada UFRJ) Para comprar um computador, Zezinho pediu ajuda a seus
familiares. O tio deu
5
1
do dinheiro; a avó ajudou com 18% do preço do
computador; uma tia contribuiu com 0,14 do total; os pais do Zezinho pagaram o
resto.
(a) Determine a porcentagem do valor do computador assumida pelos pais de
Zezinho.
(b) Considerando que a avó tenha contribuído com 108 reais, qual o preço do
computador pago por Zezinho?
24 m
12 m
1,5 m
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313
Anexo 11: Prova de Avaliação Final (PAF) – 2006
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
314
Boa Prova!!!
Faça com
calma!
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR CENTRO
Prova Institucional de Matemática − 6ª Série do E.F. − 2 Fev. 2007.
PROFESSORES: NEIDE E MARCELO COORDENADORA: ANA LUCIA
NOME: __________________________________ N
O
_______ TURMA _______
♦ Esta prova contém 9 questões, leia-as atentamente antes de respondê-las.
♦ Nenhuma questão será aceita sem o desenvolvimento do raciocínio coerente com a resposta dada.
♦ Não é permitido o uso de calculadora.
♦ Use caneta esferográfica azul ou preta.
1) Uma turma da escola fez uma eleição para eleger seu representante. Três
candidatos concorreram à eleição: João, Rosa e Marcos. João teve
7
2
dos votos,
Rosa teve
5
3
dos votos. Quem ganhou a eleição? (valor 1,0)
2) Calcule as expressões a seguir: (valor 1,0)
(a)
3
2
x
5
3
-
5
1
x
5
1
= (b)
25,175,2
66.25,2
+
−
3) Abaixo temos uma disposição triangular formada por números, onde alguns são
desconhecidos. Sabe-se que os três números de cada lado desse "triângulo"
perfazem a mesma soma que os três
lados de qualquer lado. Determine o
valor de x. (valor 1,0).
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315
4) Com seis retângulos idênticos de dimensões a e b, formamos um retângulo
maior com um dos lados medindo 21 cm, como mostra a figura. Determine a área
do retângulo maior. (valor 1,0)
5) Verifique se as grandezas envolvidas nos problemas são diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais. A seguir, usando a regra de três,
descubra o valor da incógnita.
(valor 1,5)
a) Para andar uma distância de 560 km com uma velocidade de 80 Km/h, gasto
7h. Se precisar andar 800 km, a essa mesma velocidade, quanto tempo gastarei?
b) Para se construir um prédio de 3 andares, em 7 meses, serão necessários 16
homens. Agora, se for necessário construir este mesmo prédio em 120 dias,
quantos homens serão necessários?
6) Resolva as equações (valor 1,0)
a) 3.(3x +1) + 5 = 2.(3x –1) + 10 b)
2
53
−
x
-
3
5
+
x
=
5
7) Um bloco retangular de madeira tem 320 cm de comprimento, 60cm de largura
e 75cm de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas
faces, de modo a subdividi-lo em blocos também retangulares de 80 cm de
comprimento por 30cmde largura por 15 cm de altura. (valor 1,5)
a) Quantas peças foram obtidas?
b) Um metro cúbico dessa madeira
“pesa” aproximadamente 900
quilogramas. Qual é o “peso” de cada uma dessas peças?
a
b
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316
8) Leo, Gabriel e Rita resolveram montar um quiosque para vender sanduíches.
Para montar o quiosque Leo gastou R$120,00, Gabriel gastou R$ 98,00 e Rita
gastou R$ 90,00. Ao final da semana eles obtiveram um lucro de R$ 77,00.
Sabendo desses dados quanto cada um tem direito a receber, sendo a divisão
proporcional ao que foi gasto? (valor 1,0)
9) Se a área de um quadrado unitário vale 1, e
2
1
2
2
5
= , então
2
5
é a área de dois e
meio quadrados unitários. A figura abaixo mostra três quadrados unitários
desenhados lado a lado, e a fração
2
5
é representada pela área dos cinco meios
quadrados (região hachurada). (valor 1,0)
Sem fazer cálculos, somente utilizando a figura acima, mostre que
2
5
6
15
= são
frações equivalentes. Indique, na reta numérica, a posição dessas frações
equivalentes.
Agora, somente usando a reta numérica, represente a fração abaixo, sem precisar
repartir a unidade em 195 partes iguais.
195
52
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317
Anexo 12: Atividades de 7 – 8:
Reta numérica – Expressões algébricas
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318
COLÉGIO PEDRO II
PROFª.NEIDE DA F. P. SANT’ANNA E PROFª. ELIANA GIAMBIAGI
Coordenadora: Profª.Ana Patrícia Trajano de Souza
Aluno (a): ....................................................................... Nº......
Aluno (a):........................................................................Nº........
Idade:...............; Turma (2006):.................... Turma (2007):.........
INSTRUÇÕES:
• Responda às questões nos espaços indicados.
• Faça os cálculos e não os apague, eles justificam sua resposta.
Recordando e aprendendo: Exercícios gerais sobre fração, reta numérica e álgebra.
7ª aula:
Multiplicando uma Fração por uma Fração:
1. Trabalhando em dupla
• Márcia encontrou dois terços de um sanduíche sobre a mesa. Ela decidiu comer a
metade do que encontrou. Quanto do sanduíche original ela comeu?
• João costuma andar meio quilômetro de sua casa até a escola. Ao completar dois
terços do caminho que distância ele já andou?
2. Instrução de barra de fração e reta numérica:
(a)
1 2 1 2 1
2 3 2 3 3
⋅
⋅ = =
⋅
(b)
2 1 2 1 1
3 2 3 2 3
⋅
⋅ = =
⋅
0
1
3
2
3
1 0
1
6
1
3
1
2
3. Trabalhando em dupla:
Os alunos deverão fazer as seguintes multiplicações:
1.
3 1
4 2
⋅
2.
p r
q s
⋅
3.
3
4
t
t p
⋅
+
4.
2
2
x y
x y
+
⋅
a c ac
b d bd
⋅ =
1
2
de
2
3
2
2
de
2
3
1
3
de
1
2
2
3
de
1
2
3
3
de
1
2
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319
COLÉGIO PEDRO II
PROFª.NEIDE DA F. P. SANT’ANNA E PROFª. ELIANA GIAMBIAGI
Coordenadora: Profª.Ana Patrícia Trajano de Souza
Aluno (a): ........................................................ Nº.:......
Aluno (a):......................................................... Nº........
Idade:...............; Turma (2006):.................... Turma (2007):.........
INSTRUÇÕES:
• Responda às questões nos espaços indicados.
• Faça os cálculos e não os apague, eles justificam sua resposta.
Recordando e aprendendo: Exercícios gerais sobre fração, reta numérica e
álgebra.
8ªaula:
1. Dividindo uma fração por número inteiro:
(a) Qual é a metade de
1
3
?
1
3
÷
2 =
1
6
Observe que:
1
3
÷
2 =
1
6
ou podemos escrever:
1
3
x
1
2
=
1
6
(b) Quantas vezes
1
4
cabe em
1
2
?
Ou seja:
1
2
÷
1
4
= 2
Observe que:
1
2
÷
1
4
=
1
2
x 4 = 2
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320
2. Instrução de barra de fração e reta numérica:
a)
4 4 2 4 1 4 1 2 2 1 2
2
5 5 1 5 2 5 2 5 2 5
⋅ ⋅ ⋅
÷ = ÷ = ⋅ = = =
⋅ ⋅
A interpretação de partilhar por
a
c
b
÷
:
0
2
5
4
5
Grupo 1 Grupo 2 Cada grupo será de
2
5
. Observe: Somente partilhamos quando
dividimos por um número inteiro..
• Benício e Davi têm quatro quintos de uma pizza. Que parte da pizza
inteira caberá a cada um se eles cortarem ao meio aqueles quatro
quintos?
4 4 2 4 1 4 1 2 2 1 2
2
5 5 1 5 2 5 2 5 2 5
⋅ ⋅ ⋅
÷ = ÷ = ⋅ = = =
⋅ ⋅
• Certa pista mede dois terços de um quilômetro. Quantas vezes Julia
necessitará correr esta distância se precisa completar 2 quilômetros?
• Jose quer fazer hambúrgueres que pesam um quarto do quilo cada um.
Quantos hambúrgueres ele poderá fazer com um quilo de carne de
hambúrguer?
3. Agora é a sua vez;
(a)
4
2
5
÷
=
(b)
2
2
3
÷
=
(c) Faça o desenho e explique com palavras por que 3
÷
1
2
= 6.
(d) Faça o desenho e explique com palavras por que
1 1
2
5 10
÷ =
Partilhar
a
b
entre “c” grupo. Quanto cada grupo conseguirá?
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321
2. Efetue as seguintes divisões e simplifique sempre que possível:
a)
1
12
4
÷
b)
2 1
3 6
÷
c)
a
x
b
÷
d)
p m
q n
÷
e)
3
2
a
a
+
−
f)
2 2
5
x y x y
p p
+ +
÷
g)
2
2
4
6
xy
x y
h)
x xy
x xz
+
+
i)
2
5 5
7 7
x x xy y
x y
− + −
+
j)
2
5
xy
ab
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322
Anexo 13: Calendários Escolares - 2006 - 2007
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
323
1º CALENÁRIO ESCOLAR: 10-04-2006
2º CALENDÁRIO ESCOLAR – 12/07/2006
(depois do período de grave)
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324
CALENÁRIO ESCOLAR: 14-03-2007
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325
Anexo 14: Relação de Conteúdos - 2006 - 2007
Gráficos - 2007
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326
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS 2006 – 2007
2006 – 7º Ano
CONTEÚDOS DO 1º TRIMESTRE
DE 2006
CONTEÚDOS DO 2º
TRIMESTRE DE 2006
CONTEÚDOS DO 3º
TRIMESTRE DE 2006
a) Reta numérica: conceito
de fração
como unidade de medida;
b) Unidade de medida
as associada à área do
de quadrado unitário;
c) Frações equivalentes e
ordem ;
d) Porcentagem;
e) Operações
- frações: adi-
aa
-ção e subtração;
f) Padrões numéricos;
g) Números decimais e as
su operações.
a) Medidas (instrumentos
e unidades de medida,
sistema métrico); integra --
-ção entre números
decimais e sistemas de
medidas;
b) Números relativos e
suas operações: números
inteiros positivos e
negativos e sua
representação na reta
numérica;
c)Operações com números
inteiros: adição e
subtração;
d) Proporcionalidade:
direta e inversa, introdução
de porcentagem a partir de
jornais e revistas, escala;
e) Grandezas diretamente
e inversamente
proporcionais;
f) Operações com
números decimais: adição
e subtração, multiplicação
e divisão;
g) operações com
números fracionários:
multiplicação e divisão;
h)Problemas sobre termo
desconhecido e uso de
letras.
i) Equações.
a) Problemas
envolvendo números
inteiros positivos e
negativos;
b) Medidas de
comprimento, áreas e
capacidade;
c)Usando letras para
resolver problemas -
aplicação em formas
geométricas;
d) Resolvendo
equações;
f) Trabalhando com
figuras tridimensionais.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
327
2007- 8º Ano
CONTEÚDOS DO 1º
TRIMESTRE DE 2007
CONTEÚDOS DO 2º
TRIMESTRE DE 2007
CONTEÚDOS DO 3º
TRIMESTRE DE 2007
a) Ângulos formados por
paralelas; algumas
propriedades;
b) Polígonos: triângulos: soma
dos ângulos internos; soma das
medidas dos ângulos internos
de um polígono; (Cap.6)
c) Aplicações da Matemática
(Cap.4);
d) Retomando a álgebra (Cap.
5);
e) Potências e raízes (Cap.7)
Complementos programáticos
Aplicação de atividades:
• 1ª atividade tinha como
objetivo: retornar ao conceito de
fração, fazendo um paralelo
com instruções algébricas e a
reta numérica;
• 2ª atividade tinha como
objetivo explorar frações
equivalentes, seguindo a
mesma instrução da
1ªatividade;
• 3ª atividade teve como
objetivo rever frações com
denominadores iguais,
seguindo a mesma estratégia
das atividades anteriores.
• 4ª atividade tratava de
comparações com
denominadores diferentes,
onde de forma semelhante foi
feito um paralelo com
expressões algébricas.
Medidas (instrumentos e
unidades de medida, sistema
métrico, medindo o tempo);
Números relativos e suas
operações;
Proporcionalidade;
Multiplicação e divisão de
números fracionários;
e) Usando letras
f) Equações
Complementos programáticos
Complementando atividades
anteriores:
• 5ª atividade tratou de adição
com denominadores iguais e
diferentes, desenvolvida a
exemplo das atividades
anteriores;
• 6ª atividade, também
usando a mesma estratégia
das atividades anteriores
tratou de multiplicação de
um número inteiro por uma
fração;
• 7ª atividade tratou de
multiplicação de fração por
fração;
• 8ª atividade tratou 1º de
divisão de uma fração por
um número inteiro e num
2ºmomento de divisão de
fração por fração.
Áreas e volumes (Cap. 12)
Sistemas de equações (Cap.
13)
Complementos programáticos
Como estratégia neste
trimestre foram oferecidas
várias listas com problemas e
exercícios com o propósito do
aluno trabalhar a parte
procedimental dos conceitos.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
328
0%
20%
40%
60%
80%
100%
%
1 2
Antiga 604 - Novos
Primeira Certificação
>7
entre 5 e 7
<5
0%
20%
40%
60%
80%
100%
%
1 2
Antiga 604 - Novos
Segunda Certificação
> 7
entre 5 e 7
< 5
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2
Antiga 604 - Novos
Terceira Certificação
> 7
entre 5 e 7
< 5
0%
20%
40%
60%
80%
100%
%
1 2
Antiga 604 - Novos
Média Anual
> 7
entre 5 e 7
< 5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410356/CA
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