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Bruno Alves Dassie
EUCLIDES ROXO E A CONSTITUIÇÃO DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA NO BRASIL
Tese de Doutorado
Tese apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Doutor pelo Programa de
Pós-Graduação em Educação da PUC-Rio.
Orientador: João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho
Rio de Janeiro
Abril de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410336/CA
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Bruno Alves Dassie
EUCLIDES ROXO E A CONSTITUIÇÃO DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA NO BRASIL
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção
do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação
em Educação da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão
Examinadora abaixo assinada.
Prof
o
. João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho
Orientador
PUC-Rio
Prof
a
. Ana Waleska Pollo Campos Mendonça
PUC-Rio
Prof
a
. Ana Teresa de Carvalho Correa de Oliveira
Universidade Veiga de Almeida
Prof
o
. Gert Schubring
Universität Bielefeld
Prof
a
. Maria Laura Mouzinho Leite Lopes
UFRJ
Prof
o
. Paulo Fernando Carneiro de Andrade
Coordenador(a) Setorial do Centro de Teologia e Ciências Humanas -
PUC-Rio
Rio de Janeiro, 30 de abril de 2008
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410336/CA
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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total
ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do
autor e do orientador.
Bruno Alves Dassie
Possui graduação em Licenciatura em Matemática pela
Universidade Federal Fluminense (1998) e Mestrado em
Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Rio
de Janeiro (2001). É Professor Auxiliar na Universidade
Estácio de Sá, Professor I no Colégio Estadual Guilherme
Briggs e Professor do Ensino Superior no Instituto
Superior de Educação do Rio de Janeiro. Atua
principalmente nos seguintes temas: História da
Matemática, História da Educação Matemática no Brasil,
Ensino de Matemática e Euclides Roxo.
Ficha Catalográfica
Dassie, Bruno Alves.
Euclides Roxo e a constituição da Educação
Matemática no Brasil / Bruno Alves Dassie; orientador:
João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho. - 2008.
271 f. il.: ; 30cm
Tese (Doutorado em Educação) – Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,
2008.
Inclui Bibliografia
1. Educação – Teses. 2. Euclides Roxo. 3. Educação
matemática - História. 4. Programas de ensino. 5. Livros
didáticos. 6. Formação do professor. I. Carvalho, João
Bosco Pitombeira Fernandes de. II. Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento
de Educação. III. Título.
CDD : 370
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410336/CA
A minha querida esposa Sheila, a minha mãe
Joana (in memoria) e ao meu irmão Franklin
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Agradecimentos
Em primeiro lugar, a Deus pela força nos momentos difíceis durante os anos de
curso.
Ao orientador e amigo João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho, pela
orientação, por todo o incentivo nas pesquisas e, em geral, por toda a formação
dada.
À amiga Regina Manso, colega de turma, pelas incansáveis leituras, estudos e
sugestões para a Tese.
À professor Maria Laura Mouzinho Leite Lopes, pela leitura e sugestões desde
o primeiro pré-projeto de Tese.
À professora Zaia Brandão, pela contribuição para um novo olhar do meu
objeto de pesquisa.
Ao professor Wagner Rodrigues Valente, pelas sugestões, orientações e,
principalmente, pela disponibilidade dada ao acesso do Arquivo Pessoal
Euclides Roxo – APER.
Aos demais professores da Banca de Doutoramento – Ana Waleska, Ana Teresa
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410336/CA
de Carvalho Correa de Oliveira e Gert Schubring – pelas sugestões feitas nos
exames de qualificação e pela disponibilidade para estar presente neste
momento tão importante da minha formação.
À professora e Gilda de La Rocque Palis, pela disponibilidade como suplentes
na Banca de Doutoramento.
À minha querida esposa, Sheila do Nascimento Dassie, pelo companheirismo
durante o processo de construção desta Tese e, principalmente, pelo carinho
dado à minha mãe durante as dificuldades que passamos.
Aos funcionários do Centro de Memória Institucional – CEMI – do Instituto
superior de Educação do Rio de Janeiro.
Ao amigo Mário Luiz Alves de Lima, pela ajuda, apoio e incentivo permanente.
Ao amigo José Roberto Julianelli, pelo empréstimo de alguns livros didáticos.
Aos diretores do Colégio Estadual Guilherme Briggs, pela compreensão em
diversos momentos.
À Universidade Estácio de Sá, pelo apoio financeiro nos anos iniciais do curso
de Doutorado.
À Nancy Ferreira da Silva, funcionária da Vice-reitoria Acadêmica da PUC-
Rio, pela atenção dada em diversos momentos.
Aos funcionários do Departamento de Educação e da Biblioteca da PUC-Rio,
pelo generoso atendimento.
Aos funcionários da Biblioteca do Instituto Superior de Educação do Rio de
Janeiro e da Biblioteca Popular da Glória.
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À amiga Cássia Sales, pela hospedagem e ajuda nas pesquisas em São Paulo.
Por fim, aos amigos que sempre estiveram presentes nesta caminhada.
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Resumo
Dassie, Bruno Alves; Carvalho, João Bosco Pitombeira Fernandes de.
Euclides Roxo e a constituição da Educação Matemática no Brasil.
Rio de Janeiro, 2008. 271p. Tese de Doutorado - Departamento de
Educação, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
O objetivo desta Tese é analisar como atuação de Euclides Roxo e suas
propostas para o ensino da matemática escolar em nível secundário, no período
entre as décadas de 1920 e 1940, contribuíram para a constituição da Educação
Matemática no Brasil. Este estudo foi separado em duas etapas. Num momento
inicial, para compreender como um engenheiro, por profissão, propôs inovações
para o ensino da matemática, a primeira parte desta investigação teve como
objetivo apresentar a trajetória de vida de Euclides Roxo, desde a sua entrada no
Colégio Pedro II, como estudante, até os primeiros anos de atuação como
professor nessa instituição e na Escola Normal. Na segunda parte, analisamos
como sua proposta de mudança curricular, inicialmente limitada ao Colégio
Pedro II, fundamentada em movimentos internacionais, atingiu a matemática
escolar e alterou de maneira significativa elementos que constituem o ensino
desta disciplina, como por exemplo, programas de ensino, livro didático e a
formação do professor. Dessa forma, foram estabelecidas algumas
características deste período a partir de etapas que envolveram as escolhas de
Euclides Roxo, visto como um indivíduo inserido numa rede de relações
interdependentes. A base documental desta pesquisa foi composta a partir do
Arquivo Pessoal de Euclides Roxo, de documentos do Centro de Memória do
Instituto Superior de Educação do Rio de Janeiro, de livros didáticos editados
no Brasil, e de pesquisas já realizadas sobre a temática. Esta Tese insere-se no
conjunto das pesquisas sobre História da Educação Matemática no Brasil,
contribuindo com uma análise mais detalhada de sua origem.
Palavras-chave
Euclides Roxo; história da educação matemática no Brasil; programas de
ensino; livros didáticos; formação do professor.
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Abstract
Dassie, Bruno Alves; Carvalho, João Bosco Pitombeira Fernandes de.
Euclides Roxo and the establishment of mathematics education in
Brazil. Rio de Janeiro, 2008. 271p. Tese de Doutorado - Departamento de
Educação, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The purpose of this thesis is to investigate how Eucli
des Roxos´s role in
the reform of secondary mathematics teaching in Brazil, during the 1920´s and
1930´s contributed to the establishment of mathematics education in Brazil.
This study has two parts. Initially, in order to understand how an engineer could
propose innovations in the teaching of mathematics it was necessary to study
his life, since he entered the Colégio Pedro II as a student through his first years
as a teacher in this institution and at the Escola Normal. After this, we analyze
how the curricular changes proposed by Euyclides Roxo, at first just for the
Colégio Pedro II and based on the international reform movements, altered
significantly the teaching of this subject, as for example, the curricula, text-
books, and teacher education. Thus, we were able to establish some
characteristics of this period, starting with Euclides Roxo viewed as an
individual in a mesh of interdependent relations. The documentary basis for
this research was composed of material from the “Arquivo Pessoal Euclides
Roxo”, “Centro de Memória do Instituto Superior de Educação do Rio de
Janeiro”, mathematics text-books used in Brazil, and of past researches on the
subject of the thesis, which belong to the area of the History of mathematics
education in Brazil, with the intention to offer some relevant contributions to
this area.
Key-Words
Euclides Roxo; history of mathematics education in Brazil; mathematics
curriculum; mathematics text-books; teachers’ formation of mathematics.
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Sumário
1 Introdução 18
2 Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 23
2.1. Euclides Roxo e sua importância para a Educação Matemática 24
2.2. Do Engenheiro ao Professor de Matemática 28
2.3. Do Professor de Matemática ao Educador Matemático 38
3 Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três
primeiras décadas do século XX 56
3.1. O ensino da matemática na escola normal 57
3.1.1. A Escola Normal do Distrito Federal e os programas de
Matemática: 1894 – 1929 57
3.1.2. Duas Teses de Concurso para a Escola Normal de
Pernanbuco 68
3.1.3. Geometria: observação e experiência, por Heitor Lyra da Silva 70
3.2. O ensino da matemática no ensino secundário 76
3.2.1. Os Congressos de Instrução Secundária e Superior 76
3.2.2. A atuação de Arthur Thiré 79
3.3. Algumas Considerações 86
4 Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino
da matemática no curso secundário 90
4.1. O primeiro movimento internacional de reforma do ensino da
matemática 90
4.2. As escolhas de Euclides Roxo 92
4.2.1. Fundamentos gerais 94
4.2.2. Fundamentos específicos 99
5 Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar,
do curso secundário, no Brasil na primeira metade do século XX 108
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5.1. O período entre 1915 e 1928 110
5.2. Os programas de ensino do Colégio Pedro II de 1929 a 1931 117
5.2.1. Os programas de ensino para o ano de 1929 119
5.2.2. Os programas de ensino para ano de 1930 125
5.2.3. Os programas de ensino para ano de 1931 132
5.3. Os programas de ensino da reforma Francisco Campos e da
reforma Gustavo Capanema 133
6 Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na
primeira metade do século XX 145
6.1. Os livros didáticos de matemática do Brasil anteriores a 1929 146
6.2. Os primeiros livros didáticos de Matemática do Brasil 154
6.2.1. Como se aprende mathematica, por Savério Cristófaro 155
6.2.2. Curso de Mathematica Elementar, por Euclides Roxo 159
6.2.3. Mathematica, por Cecil Thiré e Mello e Souza 168
6.2.4. Primeiro Ano de Mathematica, por Jacomo Stávale 172
6.3. Os livros didáticos para as reformas Campos e Capanema 174
6.3.1. Livros didáticos para a Reforma Campos 180
6.3.2. Livros didáticos para a Reforma Capanema 185
7 A formação de professores de Matemática na Universidade do
Distrito Federal e as novas orientações para o ensino da
Matemática 191
7.1. A criação do Instituto de Educação do Rio de Janeiro e a Escola
Secundária 191
7.2. O ensino da Matemática na Escola Secundária 194
7.2.1. A atuação de Euclides Roxo na Escola Secundária 194
7.2.2. Os cadernos de Darcy Carneiro Motta 198
7.3. A Universidade do Distrito Federal – UDF 206
7.3.1. A Escola de Ciências da UDF 210
7.3.2. A Escola de Ciências e a formação do professor de
Matemática 212
8 Considerações Finais 222
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9 Referências bibliográficas 228
Anexos 241
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Lista de figuras
Figura 1 – Euclides Roxo 25
Figura 2 – Folha de Rosto da 1ª edição do livro Lições de
Arithmetica de Euclides Roxo 51
Figura 3 – Folha de Rosto do livro Geometria: observação e
experiência de Heitor Lyra da Silva 71
Figura 4 – Ângulos formados por retas paralelas com transversal 74
Figura 5 – Ilustração para o teorema de Pitágoras 74
Figura 6 – Página 172, com gráfico de variação de temperatura 76
Figura 7 – Folha de Rosto do livro Exercícios de Arithmetica de H.
Costa, Euclides Roxo e O. Castro. 154
Figura 8 – Folha de Rosto do 2º volume da coleção Como se
aprende Mathematica de Savério Cristórfaro 157
Figura 9 – Folha de Rosto do 1º volume da coleção Curso de
Mathematica Elementar de Euclides Roxo 162
Figura 10 – Folha de Rosto do 2º volume da coleção Curso de
Mathematica Elementar de Euclides Roxo. 163
Figura 11 – Folha de Rosto do Curso de Mathematica – 3ª série, II
– Geometria de Euclides Roxo. 164
Figura 12 – Folha de Rosto do 1º volume da coleção Mathematica
de Cecil Thiré e Mello e Souza 168
Figura 13 – Capa da 1ª edição do 3º volume da coleção
Mathematica de Cecil Thiré e Mello e Souza 170
Figura 14 – Folha de Rosto do Primeiro Anno de Mathmematica de
Jacomo Stávale. 173
Figura 15 – A partir da esquerda: Cecil Thiré, Euclides Roxo e
Mello e Souza 175
Figura 16 – Capa da 1ª edição do 1º volume da coleção
Matemática: 2º ciclo dos Euclides Roxo, Roberto
Peixoto, Haroldo l. da Cunha e César Dacorso Netto. 189
Figura 17 – Página do caderno de exercícios 199
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Figura 18 – Página do caderno de exercícios 200
Figura 19 – Construção do gráfico da função y = 2
x
202
Figura 20 – Representação gráfica da função logarítmica 203
Figura 21 – Tabela com análise dos acréscimos para a função
y = x
2
205
Figura 22 – Interpretação geométrica do limite da razão dos
acréscimos 206
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Siglas
ABE - Associação Brasileira de Educação
APER - Arquivo Pessoal Euclides Roxo
CEMI - Centro de Memória Institucional
CPDOC - Centro de Pesquisa e Documentação de História do Brasil
FNFi - Faculdade Nacional de Filosofia
ICMI - International Commission on Mathematical Instruction
IMUK - Internationale mathematische Unterrichtskommission
PNLD - Programa Nacional do Livro Didático
UDF - Universidade do Distrito Federal
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Anexos
Autores e Obras citados por Euclides Roxo em A Matemática na Escola
Secundária
241
Carta-currículo de Roxo 244
Programas da reforma Francisco Campos 247
Programas da reforma Gustavo Capanema 249
Programas da Escola Secundária do Instituto de Educação 254
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Muitas vezes uma obra de arte só é percebida como
obra-prima quando começa a tocar os sentimentos de
pessoas de uma geração posterior à do produtor. Que
qualidades de uma obra, e que aspectos estruturais
da existência social e da sociedade de seu criador,
fazem com que este seja tido como “grande” por
gerações posteriores – algumas vezes a despeito da
falta de ressonância entre seus contemporâneos? É
uma questão em aberto, e que hoje em dia muitas
vezes ainda se disfarça de mistério insolúvel.
Norbert Elias, 1995, p. 57
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Introdução 18 18
1 Introdução
As pesquisas em história das disciplinas escolares nas duas últimas décadas
vêm sendo estimuladas no Brasil, trazendo à tona discussões sobre a trajetória
histórica dos saberes escolares. Tais investigações incorporam como fonte de
pesquisa produções do cotidiano escolar, como por exemplo, cadernos de alunos,
livros didáticos, provas escolares, documentos oficiais, programas de ensino, que
geralmente são encontrados em arquivos de instituições ou até mesmo em
arquivos pessoais. Em particular, pesquisas em historia da Educação Matemática
no Brasil também estão sendo estimuladas, e esta produção ganhou impulso a
partir do final da década de 1990. Tais pesquisas têm se intensificado e se
institucionalizado nos últimos anos, principalmente, na PUC-Rio, sob a orientação
do Prof. Dr. João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho, até recentemente na
PUC-SP, sob a coordenação do Prof. Dr. Wagner Rodrigues Valente, e na
UNICAMP, sob a orientação de Antonio Miguel e Maria Ângela Miorim.
O primeiro mapeamento das principais mudanças ocorridas no ensino de
matemática no Brasil foi feito por Maria Ângela Miorim em sua Tese de
Doutorado, intitulada O ensino de matemática: evolução e modernização,
posteriormente publicada em forma de livro, com o título Introdução à história da
educação matemática (Miorim, 1998). Neste trabalho a autora apresenta uma
visão geral do trajeto percorrido pelo ensino de Matemática, em particular, no
quarto capítulo, sobre o ensino de Matemática no Brasil. Tomando como
perspectiva o eixo da modernização, ela aborda as principais reformas
educacionais e as relações com o ensino de matemática no Brasil, desde a
Companhia de Jesus até a Reforma Francisco Campos, em 1931. Seu trabalho
abre um leque para diversas possibilidades de pesquisa, já que sua proposta foi
apresentar uma visão geral.
Nessa perspectiva, os trabalhos de Rocha (2001) e a pesquisa por mim
realizada (Dassie, 2001), ambos no Curso de Mestrado em Matemática, do
Departamento de Matemática desta instituição, ampliam as contribuições de
Miorim. A Matemática da escola secundária nas reformas Francisco Campos
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Introdução 19 19
(1931) e Gustavo Capanema (1942) são as respectivas temáticas destes trabalhos.
Em ambos, um aspecto é destaque: a atuação ímpar do professor catedrático do
Colégio Pedro II, Euclides de Medeiros Guimarães Roxo, nas discussões sobre o
ensino de Matemática na escola secundária. Desde 1929, por ocasião da reforma
curricular ocorrida no Colégio Pedro II, onde Roxo introduziu novas idéias para o
ensino de Matemática, integradas na então moderna corrente de renovação
pedagógica – Escola Nova – e no primeiro movimento internacional de reforma
curricular em matemática, que estavam sendo discutidos e implantados em vários
países desde o início do século XX (Carvalho et al, 2000). Uma simples
comparação entre os programas adotados até o final da década de 1920, no
Colégio Pedro II, como foi feito no quarto capítulo desta Tese, e os implantados
em 1929 nos dá uma visão das mudanças propostas por Euclides Roxo.
No entanto, observa-se, a partir de um olhar mais amplo em sua produção,
que suas propostas extrapolam mudanças nos programas de ensino do Colégio
Pedro II. Suas idéias alteram significativamente alguns elementos relacionados à
matemática escolar, como por exemplo, livros didáticos, abordagem de conteúdos,
metodologia de ensino e a formação dos professores. Portanto, o objetivo
principal desta Tese foi analisar como a atuação de Euclides Roxo alterou estes
elementos e contribuiu para a constituição da Educação Matemática no Brasil.
* * *
A partir do objetivo principal mencionado acima e das considerações de
Schubring (1983, 2005), sobre a constituição da Educação Matemática em
diversos países e as pesquisa em história da educação matemática,
respectivamente, optamos por separar esta pesquisa em duas partes, a primeira
delas constituída pelos três primeiros capítulos e, a segunda, pelos outros três da
seqüência.
Na primeira, as principais questões apresentadas têm como foco as relações
entre Euclides Roxo e sua época. Como um engenheiro por profissão tornou-se
um professor por ocupação? Como sua atuação como professor favoreceu a
elaboração de propostas para o ensino da matemática? Como o movimento
internacional de reforma curricular em matemática marca sua produção?
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Introdução 20 20
Nesta parte, a analise das origens da produção de Euclides Roxo não foi
afastada da relação existente entre indivíduo e sociedade. Para Schubring (2005,
p. 8), a “história da matemática trata dominantemente de idéias, de conceitos, o
ensino constitui uma realidade social que precisa de incomparavelmente mais
categorias sociais para revelar as dimensões desta realidade”. Portanto, as obras de
Norbert Elias – A sociedade dos indivíduos (1994) e Mozart: sociologia de um
gênio (1995) – foram as principais referências teóricas. Nas palavras de Elias
(1995), não devemos separar “o artista do homem”.
Na segunda parte, optamos pela análise de três dos elementos que
constituem a realidade do ensino, a saber, os programas de ensino, os livros
didáticos e o professor. Como a escrita de livros didáticos no Brasil foi
influenciada pela produção de Euclides Roxo? Que conteúdos foram inseridos no
ensino secundário? Que novas abordagens são dadas aos conteúdos? Como as
questões de ordem metodológicas passam a serem vistas? Qual a contribuição das
propostas de Euclides Roxo para a institucionalização do professor?
* * *
No primeiro capítulo apresentamos o percurso de vida de Euclides Roxo, da
entrada no Colégio Pedro II, como aluno, até os primeiros anos como docente
neste colégio e na Escola Normal. Em particular, mostro que a atuação de
engenheiros como professores pode estar articulada com as mudanças no mercado
de trabalho. Apresento também as mudanças na escolarização nas primeiras
décadas do século XX para verificar que a passagem de Euclides Roxo pela
Escola Normal é de suma importância para compreender as suas iniciativas como
um Educador Matemático, ou seja, como um professor que “tenta promover uma
educação pela matemática” e não “uma educação para a matemática”. (Fiorentini
& Lorenzato, 2006, p. 3 – 4, grifos do autor).
Em seguida, no segundo capítulo, apresentamos alguns indícios sobre o
ensino da matemática no Brasil e sobre propostas e alterações anteriores à década
de 1930, destacando que alguns pontos defendidos por Euclides Roxo, a partir de
1929, já eram objeto de discussão e de propostas implantadas no ensino da
matemática em determinados níveis de ensino, principalmente na escola normal.
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Introdução 21 21
No terceiro capítulo, apresentamos a fundamentação de Euclides Roxo para
as propostas de renovação do ensino da matemática na escola secundária. As
origens da produção de Euclides Roxo, como exposto nos capítulos anteriores,
não foi independente da sua existência social, mas suas experiências não são
necessárias para indicar quais foram as influências e categorias usadas por ele.
Nesse sentido, o primeiro movimento internacional de reforma curricular em
matemática é o marco para o estudo das propostas de Euclides Roxo. Este
capítulo encerra a primeira parte desta Tese.
A segunda parte inicia-se com as mudanças nos programas de ensino da
escola secundária no período entre as primeiras décadas do século XX até a
reforma Capanema, em 1942. Na análise dos programas de ensino foram
consideradas, a seqüência adotada, a seleção e distribuição dos conteúdos e,
conjuntamente, a abordagem dos conteúdos e a metodologia de ensino.
Em seguida, no quinto capítulo, mostramos as alterações ocorridas nos
livros didáticos na primeira metade do século XX. As análises foram feitas por
períodos, considerando as reformas de ensino. Foram consideradas a estrutura
editorial, a seleção, distribuição e abordagem dos conteúdos e a metodologia de
ensino.
No sexto e último capítulo, mostramos como as novas orientações para o
ensino da matemática foram articuladas com o processo de institucionalização do
professor de matemática na Universidade do Distrito Federal. Em particular, foi
exposto como as novas propostas de Euclides Roxo atingiram a Escola Secundária
do Instituto de Educação e a estrutura do curso de formação do professor de
matemática desta universidade.
Nesta segunda parte, as propostas de Euclides Roxo subsidiaram as análises.
* * *
Por fim, cabe observar que as fontes utilizadas nesta pesquisa foram
selecionadas entre documentos originais e outros trabalhos já realizados sobre a
temática. Sobre as fontes originais, destacam-se os livros didáticos publicados no
Brasil durante o período analisado, programas de ensino, decretos e documentos
do Arquivo Pessoal Euclides Roxo – APER –, que carregam a notação ER
seguido do tipo do documento e numeração atribuída, localizado atualmente no
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 04110336/CAPUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410336/CA
Introdução 22 22
Centro de Documentação do Grupo de Pesquisa de História da Educação
Matemática no Brasil – GHEMAT, localizado em Osasco, São Paulo, e do Centro
de Memória Institucional – CEMI –, localizado no Instituto Superior de Educação
do Rio de Janeiro. Sobre as pesquisas já realizadas, destacam-se os trabalhos
publicados, orientados e/ou coordenados pelos professores João Bosco
Pitombeira, Wagner Rodrigues Valente, Antonio Miguel e Maria Ângela Miorim.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 04110336/CAPUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410336/CA
Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 23 23
2 Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático
Com freqüência nos deparamos com a idéia de que
a maturação do talento de um “gênio” é um
processo autônomo, “interior”, que acontece de
modo mais ou menos isolado do destino humano do
indivíduo em questão. Esta idéia está associada a
outra noção comum, a de que a criação de grandes
obras de arte é independente da existência social de
seu criador, de seu desenvolvimento e experiência
como ser humano no meio de outros seres humanos.
Norbert Elias, 1995, p. 53
Não pode ser muito correto separar [...] o artista do
homem, retrospectivamente.
Norbert Elias, 1995, p. 14
As pesquisas que já foram realizadas sobre Euclides Roxo e as mudanças
propostas por ele para o ensino da matemática na escola secundária partem da
reforma implantada em 1929, no Colégio Pedro II, dando idéia que o processo de
produção dessas alterações foi dado de forma autônoma. No entanto, necessitamos
considerar que profissionais, como Euclides Roxo, fizeram uma opção
“existencial pela tarefa educativa” e que esta escolha “é um nó onde se enlaça a
história pessoal, a experiência de geração e a sua produção” (Nunes, 1998). Nesse
sentido, o objetivo deste capítulo é apresentar a trajetória de Euclides Roxo, desde
sua entrada no Colégio Pedro II, como aluno, até os primeiros anos dele como
docente, para então entender como um Engenheiro Civil, formado pela Escola
Politécnica do Rio de Janeiro, passou a se preocupar com o ensino e
aprendizagem da matemática e tentou romper com o ensino tradicional vigente na
escola secundária. Neste trajeto, sua passagem pela antiga Escola Normal (e
Instituto de Educação) do Distrito Federal é essencial para explicar que a origem
de sua produção não foi independente da sua existência social, mostrando que o
ensino superior não foi o único local e talvez nem o mais importante para a sua
formação intelectual.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 04110336/CAPUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410336/CA
Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 24 24
2.1. Euclides Roxo e sua importância para a Educação Matemática
1
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo nasceu em Aracaju, Sergipe, no dia
10 de dezembro de 1890 e faleceu no Rio de Janeiro, em 21 de setembro de 1950
2
.
Estudou no Internato do Colégio Pedro II, Rio de Janeiro, bacharelando-se
em 1909. Em 1916, formou-se em Engenharia Civil na Escola Politécnica do Rio
de Janeiro. Um pouco antes, em 1915 foi aprovado para o cargo de professor
substituto de Matemática do Colégio Pedro II, iniciando sua carreira como
docente. Posteriormente, em 1919, após o falecimento do professor Eugênio de
Barros Raja Gabaglia, ele foi nomeado professor catedrático, neste colégio. Em
1925, foi nomeado interinamente Diretor do Externato do Colégio Pedro II,
permanecendo no cargo até 1930, quando assumiu a diretoria do Internato. Além
disso, foi professor do Instituto de Educação e da Escola de Marinha Mercante;
diretor do ensino secundário do Ministério da Educação e Saúde, nomeado em
1937; participante do Conselho Nacional de Educação; membro da Comissão
Nacional do Livro Didático e posteriormente Presidente dessa comissão. Na
Associação Brasileira de Educação, atuou como sócio desde 1926, pertenceu ao
Conselho de Ensino Secundário como membro e como Presidente.
No final da década de vinte, impulsionado por movimentos internacionais
de renovação do ensino de Matemática, iniciados em 1908 com a criação da
Comissão Internacional de Ensino da Matemática, denominada na época de
IMUK
3
, atual International Commission on Mathematical Instruction (ICMI), e
pelos movimentos de mudanças no ensino brasileiro, Euclides Roxo, então Diretor
do Internato do Colégio Pedro II, propôs uma mudança na seriação, nos
programas e na metodologia do ensino da matemática desse colégio. Tais
transformações alteraram significativamente a estrutura da matemática escolar até
então presente na escola secundária. Mas, como podemos caracterizar a
1
O objetivo deste item é apresentar brevemente as mudanças que ocorreram no ensino da
matemática após das propostas de Euclides Roxo. Entraremos em detalhes sobre as informações
aqui apresentadas em outras partes desta Tese.
2
No momento de seu nascimento, o seu pai, o engenheiro João Baptista Guimarães Roxo,
estava em Aracajú trabalhando no projeto de construção da estada de ferro entre Aracajú e Simão
Dias (ER.T.3.018).
3
Denominada em alemão por IMUK (Internationale mathematische
Unterrichtskommission) e, em francês, por CIEM (Comission Internationale l’Enseignement
Mathématique).
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 25 25
matemática escolar antes das mudanças propostas por Euclides Roxo, para então
entender sua importância?
4
Figura 1 – Euclides Roxo (Foto publicada na Separata da Revista VERBUM, Tomo VIII,
Fascículo 1, 1951)
As pesquisas realizadas por Miorim (1995), Carvalho (1996), Valente (1997
e 2004a, 2004b), Beltrame (2000), Costa (2000) e Tavares (2002), por exemplo,
nos revelam algumas características relacionadas ao ensino da Matemática na
escola secundária até a segunda década do século XX. Entre elas, destacam-se:
não se estudava matemática em todos os anos do curso secundário; o ensino da
matemática era rigidamente compartimentalizado, ou seja, o ensino da aritmética,
da álgebra e da geometria (incluindo a trigonometria) era feito separadamente ao
longo dos anos; não havia um livro de matemática destinado a cada um dos anos,
mas sim um livro para cada ramo descrito acima; alguns livros didáticos que eram
indicados ou que simplesmente circulavam no Brasil, destinados ao ensino da
matemática, eram de autores estrangeiros; não havia orientações para os
professores ou alunos, por exemplo, de como os programas deveriam ser
executados (seqüência didática, abordagem dos conteúdos, metodologia, entre
4
Não entraremos em detalhes sobre a matemática escolar antes de Euclides Roxo. Apenas
desejamos caracterizar, de maneira geral, o ensino dessa disciplina para compreender a
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 26 26
outras questões) ou como os livros didáticos seriam utilizados; e, os professores
não tinham formação específica na área de ensino, já que não havia professor de
matemática por profissão. Em suma, a Matemática
dentro das estruturas tradicionais, costumava servir como um paradigma para o
pensamento lógico, de modo que os conceitos eram usualmente bastante
elementares e os métodos de ensino enfatizavam os aspectos formais; a Matemática
escolar tinha um caráter estático e desligado das aplicações práticas (Schubring,
1999, p. 30).
Em particular, segundo Romberg e Carpenter (1986),
Para as escolas, as conseqüências deste ponto de vista tradicional da matemática
são que a matemática fica divorciada das ciências e das outras disciplinas, sendo
depois separada em assuntos como aritmética, álgebra, geometria, trigonometria
etc. Dentro de cada assunto, idéias são relacionadas, separadas e reformuladas
numa ordem racional. Isto é seguido pela subdivisão de cada assunto em tópicos,
cada tópico em estudos, cada estudo em lições e cada lição em fatos específicos e
habilidades. Esta fragmentação da Matemática tem divorciado a matemática da
realidade e da investigação. A característica essencial da Matemática tais como
abstração, invenção, prova e aplicação é muitas vezes perdida (apud Lopes, 1990,
p. 46).
Euclides Roxo tenta romper com essa estrutura. Suas propostas foram
baseadas principalmente nas idéias reformistas que Felix Klein havia defendido na
Alemanha e vinham sendo veiculadas principalmente pelo IMUK. Segundo
Schubring (1999, p. 29 – 30), “além desse ter sido o primeiro movimento
internacional nesse sentido, foi também, na época, o único entre todas as
disciplinas escolares”.
Esta proposta representou uma profunda e radical mudança na estrutura da
Matemática no Colégio Pedro II, principalmente no que diz respeito à
metodologia, seleção de conteúdos e finalidades do ensino. Euclides Roxo propôs
a modificação de acordo com as principais características do movimento
reformista internacional:
1- TORNAR ESSENCIALMENTE PREDOMINANTE O PONTO DE VISTA
PSICOLÓGICO. - Significa isso que o ensino não deve depender unicamente da
matéria ensinada, mas deve atender antes de tudo ao indivíduo a quem se tem de
ensinar. Um mesmo assunto deve ser exposto a uma criança de seis anos de modo
diferente por que o é a uma de dez e a esta ainda de maneira diversa que a um
homem maduro. Aplicado particularmente ao ensino da matemática, esse princípio
geral nos conduz a começar sempre pela intuição viva e concreta e só pouco a
importância das mudanças operadas.
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pouco trazer ao primeiro plano os elementos lógicos e adotar, de preferência, o
método genético, que permite uma penetração lenta das noções.
2- NA ESCOLHA DA MATÉRIA A ENSINAR TER EM VISTA AS
APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA AO CONJUNTO DE OUTRAS
DISCIPLINAS, - procurando aliviar o estudante de uma grande sobrecarga de
estudo cujo interesse é puramente formalístico e tornar o ensino mais vivo e mais
produtivo.
3- SUBORDINAR O ENSINO DA MATEMÁTICA À FINALIDADE DA
ESCOLA MODERNA: - “tornar os indivíduos moral e intelectualmente aptos a
cooperarem na obra da civilização hodierna, essencialmente orientada para o
sucesso prático”. Daí decorre a necessidade de se terem em vista, no ensino da
matemática, as suas aplicações às ciências físicas e naturais e à técnica (Roxo,
1929, p. 7 – 8, grifos do autor).
Outras características também foram introduzidas no ensino da Matemática
na escola secundária: a fusão da aritmética, álgebra e geometria (incluindo a
trigonometria), sob a denominação matemática; introdução do conceito de função;
abandono da rígida didática euclidiana com a introdução de idéia de mobilidade
de cada figura; introdução de noções de coordenadas e de geometria analítica; re-
introdução de noções de cálculo infinitesimal
5
; introdução de recursos de
laboratório (réguas graduadas, compassos, transferidor, entre outros); e a
introdução do método histórico. Sua produção e suas ações após a reforma
implantada em 1929, no Colégio Pedro II, estiveram centradas nessas propostas.
Por exemplo, Euclides Roxo escreveu a coleção Curso de Matemática
Elementar. De acordo com o próprio Euclides Roxo (1929, p. 13), tanto os novos
programas de 1929, como esta coleção, representaram “a primeira tentativa, feita
no Brasil, para renovação dos métodos de ensino da Matemática, no curso
secundário, de acordo com o movimento de reforma”. Além dessa coleção, ele
escreveu uma série de artigos publicados no Jornal do Commercio e o livro A
Matemática na Educação Secundária, onde apresentou e fundamentou suas
propostas para o ensino de Matemática.
Posteriormente, participou ativamente na elaboração das propostas para o
ensino dessa disciplina nas reformas implantadas por Francisco Campos e
Gustavo Capanema, em 1931 e 1942, respectivamente.
Euclides Roxo atuou nas instâncias educacionais, apresentando uma
produção significativa relacionada ao ensino e à aprendizagem da matemática e
5
Para maiores detalhes sobre o ensino de Cálculo na escola secundária, ver Carvalho,
J.B.P.F. O cálculo na escola secundária: algumas considerações históricas. Caderno CEDES.
Campinas: Papirus, n. 40, p. 68-81, 1996.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 28 28
participou diretamente das principais reformas educacionais nas décadas de 1920
a 1940, período de grandes mudanças na sociedade brasileira. Como afirma Miceli
(2001),
As décadas de 1920, 1930 e 1940 assinalam transformações decisivas nos planos
econômico (crise do setor agrícola voltado para a exportação, aceleração dos
processos de industrialização e urbanização, crescente intervenção do Estado em
setores-chaves da economia etc.), social (consolidação da classe operária e da
fração de empresários industriais, expansão das profissões de nível público e
privado etc.), político (revoltas militares, declínio político da oligarquia agrária,
abertura de novas organizações partidárias, expansão dos aparelhos do Estado etc.)
e cultural (criação de novos cursos superiores, expansão da rede de instituições
culturais públicas, surto editorial etc.). (p. 77).
Mas, como explicar o interesse de um engenheiro pelo ensino da
matemática? Como esclarecer a gênese de sua produção nesta área?
2.2. Do Engenheiro ao Professor de Matemática
Euclides Roxo ingressa no Colégio Pedro II como estudante em 1904
6
.
Nesta ocasião, o ensino superior e o secundário estavam regulados pelo Decreto n.
3.890, de 1 de janeiro de 1901, denominado Código dos Institutos Oficiais de
Ensino Secundário e Superior, conhecido como Reforma Epitácio Pessoa
7
. Em
relação ao ensino secundário, esta lei não estabelecia o currículo e as demais
especificidades deste grau de ensino. Para isso, foi instituído um regulamento,
para o então denominado Ginásio Nacional (Colégio Pedro II). O Decreto n.
3.914, de 26 de janeiro de 1901, fixa, entre outras coisas, um currículo de seis
anos para o ensino secundário, composto pelas seguintes disciplinas: Português,
Latim, Grego, Francês, Inglês, Alemão, Aritmética, Álgebra, Geometria,
Trigonometria, Mecânica e astronomia, Física e química, História, História
Natural, História do Brasil, Geografia, Literatura, Lógica e Desenho
8
.
6
Valente, W.R. (org). Euclides Roxo e a modernização do ensino da matemática no Brasil.
Brasília: Editora da Universidade de Brasília, 2004a, p. 59.
7
Nóbrega, V. L. Enciclopédia da legislação brasileira. Tomo 1º. 3ª ed. Rio de Janeiro:
Livraria Freitas Bastos, 1968.
8
Silva, A educação secundária: perspectiva histórica e teórica. São Paulo: Editora
Nacional, 1969. (Atualidades Pedagógicas, v. 94), p. 259 – 260.
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Observa-se nesta reforma que os programas de matemática permaneceram
os mesmos das mudanças instituídas pelo Decreto n. 3251, de 8 de abril de 1899
9
.
Se o mesmo aconteceu com as demais disciplinas, a formação dada aos alunos, no
período em que Euclides Roxo cursou o ensino secundário, foi de caráter
enciclopédico
10
.
Algumas recordações do tempo de estudante são lembradas por Euclides
Roxo na comemoração do centenário do Colégio Pedro II
11
:
Lá de um longínquo rincão do triângulo mineiro, onde passei a infância aprendi a
admirar o Colégio Pedro II, para o qual meu pai me estimulava a entrar, dizendo
que era o melhor colégio do Brasil, o único mantido pelo governo federal. Ali,
desde os primeiros tempos do 2º Reinado, haviam lecionado e continuavam a
lecionar os maiores nomes do nosso magistério; dali haviam saído muitos dos
grandes homens de nossa Pátria. [...] O meu depoimento pessoal poderia estou
certo ser substituído por qualquer dos que passaram pelo Internato do grande
Ginásio, nas primeiras décadas deste século. Qual desses não se lembrará da bela
figura, física e moral de Silva Ramos? Com sua paixão pelos clássicos transmitia-
nos o gosto pelas boas leituras, “Só se aprende português, lendo boas leituras”.
Nunca adotou uma gramática. Os constantes exercícios de redação corrigidos e
comentados em aula, davam ensejos a comentários eruditos, a explicações valiosas
sobre a arte de escrever. [...] Contrastando com Silva Ramos, na maneira de julgar
e reprimir, Agostinho Gama era a própria personificação do rigor e da
intransigência. Considerado o professor mais rigoroso daquele tempo, inacessível a
qualquer pedido era inamolgável na linha de conduta que se traçara de só deixar
passar quem soubesse a matéria. E que matéria? A Matemática, ensinada como
naquele tempo se fazia, dentro da rígida estruturação euclidiana. Os zeros choviam
nas aulas do Gama; as turmas se dizimavam; as mais poderosas influências se
moviam para fazê-lo abrandar o seu julgamento, mas o mestre não cedia nunca. Era
o “terror” do nosso tempo. [...] Não se apresentava, entretanto, como exceção
destoante, Agostinho Gama sendo professor exigente e rigoroso. Outra não era a
norma geral dos mestres daquele tempo. Floriano de Brito, o profundo conhecedor
da língua de Racine não nos poupava esforços e atenção para as suas aulas, onde a
par do estudo da gramática de Halbout, da tradução do Teatro Clássico, e de
Lafontaine, tinhas o ditado, a versão e a redação em francês. [...] Não muito na
exigência, ficavam Guilherme Afonso para o inglês, Augusto Meschick para o
alemão, Hans Heilbom e Henrique Noronha para o grego, Oliveira de Menezes
para a Física, Fortunato Duarte para o latim. Grandes mestres todos esses, não só
por sua proficiência na matéria, mas ainda pelas altas aptidões com que alguns se
revelavam precursores das modernas diretivas pedagógicas. [...] Finalmente,
evoquemos um, que foi grande professor, quase sem dar aulas: João Ribeiro com
quem reunidos em volta da sua mesa, o reduzido grupo de discípulo, que éramos,
conversávamos longamente. Provocamo-lo com as nossas perguntas e ouvíamos
9
Beltrame, J. Os programas de ensino de matemática do Colégio Pedro II: 1837-1932. Rio
de Janeiro, 2000. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Departamento de Matemática,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
10
Silva, op. cit., p. 260, apresenta uma tabela com as disciplinas e as respectivas horas
semanais destinadas a cada uma das disciplinas.
11
ER.I.3.173. Este artigo também foi publicado na revista denominada Colégio Pedro II
cem anos depois, de Ignesil Marinho e Luiz Inneco. [ER.T.I.4.330].
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com avidez as suas interessantes e profundas dissertações, ditas
despreocupadamente, sobre os mais variados assuntos: ética, moral, etnografia,
ciências físicas e naturais, lingüística, filosofia, religião e até sobre história que era
a matéria que devia lecionar. [...] Cada uma dessas grandes figuras do magistério e
que lampejaram na primeira centúria do grande Ginásio do Brasil, mereceria como
tem sido feito para alguns, um demorado estudo crítico, um longo e documentado
panegírico acadêmico. Muito longe, do que merecem, estão pois, estas ligeiras
pinceladas com que procurei arrancar da trama de minha afastada adolescência, as
lembranças daqueles a quem devo não haver de todo fracassado em minha obscura
carreira de professor secundário.
E é esta a formação recebida por Euclides Roxo, inegavelmente
abrangente. Ele bacharelou-se em 1909.
Esta formação aliada a uma inclinação natural de Euclides Roxo pelas
disciplinas científicas, em particular a matemática, já que tinha alunos particulares
a quem ensinava esta ciência no externato durante sua formação escolar
12
, e, de
certa forma, a carreira do pai, o engenheiro civil João Baptista Guimarães Roxo
13
,
fizeram com que ele prestasse exame para a Escola Politécnica do Rio de Janeiro,
ingressando nesta instituição de ensino em 1912.
Sobre o exame para as escolas superiores, o Decreto n. 8.659, de 5 de abril
de 1911
14
, denominado Reforma Rivadávia, determina que o candidato, para
requerer a matrícula nas escolas superiores de ensino, deveria ter idade mínima de
16 anos e idoneidade moral (Art. 64). E para a concessão da matrícula, o
candidato passaria por um exame para verificar o desenvolvimento intelectual e a
capacidade para realizar eficientemente as matérias do curso. Este exame, seria
realizado em duas etapas. Uma prova escrita, para revelar a “cultura mental”, e
uma prova oral sobre línguas e ciências (Art. 65).
As especificidades de cada escola superior deveriam ser determinadas pelos
regulamentos especiais. Para esta escola de engenharia, no momento de entrada de
Euclides Roxo, estava em vigor o Regulamento da Escola Polytechnica do Rio de
Janeiro, Decreto n. 8.663, de 5 de abril de 1911. Segundo essa lei, o candidato
seria submetido a um exame de admissão “com o desenvolvimento da parte
12
Valente, op. cit., p. 59.
13
ER.I.4.234 e ER.T.1.005. No documento ER.T.3.018, Euclides Roxo descreve com muita
veemência a trajetória de vida de seu pai, demonstrando que ele foi um exemplo bastante
importante para a sua formação.
14
Nóbrega, V. L. op. cit.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 31 31
matemática que corresponda ao atual exame do curso anexo
15
” (art. 3º).
Provavelmente Euclides Roxo freqüentou o curso anexo entre os anos de 1910 e
1911, visto que ele ingressou na Escola Politécnica em 1912
16
.
Os cursos da Escola Politécnica eram os seguintes: Engenharia Civil,
Engenharia Industrial e Engenharia Mecânica e de Eletricidade. Euclides Roxo
optou pelo curso de Engenharia Civil. Com a duração de cinco anos, o curso tinha
a seguinte estrutura:
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
1ª Série
Geometria analítica e calculo infinitesimal;
Geometria descritiva e suas aplicações;
Física experimental.
2ª Série
Calculo das variações, mecânica racional;
Química inorgânica e noções de química orgânica;
Historia natural, com desenvolvimento da botânica sistemática;
Topografia, medição e legislação de terras.
3ª Série
Trigonometria esférica e astronomia teórica e pratica, geodésica;
Mecânica aplicada, cinemática e dinâmica aplicada, teoria da resistência dos
materiais, grafo-estática;
Mineralogia, geologia, paleontologia, noções de metalurgia.
4ª Série
O estudo dos materiais de construção e determinação experimental de sua
resistência; estabilidade das construções; tecnologia das profissões elementares e
do construtor mecânico;
Hidráulica, abastecimento d'agua e esgotos;
Estradas, pontes e viadutos.
5ª Série
Arquitetura civil, higiene dos edifícios e saneamento das cidades;
Maquinas motrizes e operatrizes;
Rios, canais, portos de mar e faróis;
Economia política, direito administrativo, estatística.
Mesmo sem ter a descrição dos programas que eram ministrados em cada
disciplina, observa-se a boa formação básica, para a época, em ciências exatas, em
particular, em matemática, que cada aluno adquiria
17
. Com efeito, o próprio
15
O regimento anterior localizado, o Decreto n. 3.926, de 16 de fevereiro de 1901, também
prevê exames preparatórios para a matrícula. As disciplinas exigidas eram: português, francês,
inglês ou alemão, geografia especialmente do Brasil, historia especialmente do Brasil, aritmética,
álgebra, geometria, trigonometria retilínea, álgebra superior, física e química, historia natural e
desenho geométrico (Art. 1º, das Disposições Gerais).
16
O documento ER.T.3.121, ou seja, o discurso de Euclides Roxo na posse da cátedra em
1919, no Colégio Pedro II, confirma a existência do curso anexo, visto que ele relata
acontecimentos desta época.
17
Um fato interessante ligado a essa afirmação é que nos regulamentos anteriores ao de
1911, ou seja, no Decreto n. 2.221, de 23 de janeiro de 1896, e no Decreto n. 3.926, de 16 de
fevereiro de 1901, além do diploma de engenheiro, dentro de sua especialidade, os alunos que
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Euclides Roxo no discurso de colação de grau de sua turma, como orador,
afirma
18
:
Antes de encararmos o futuro que se nos abre hoje, demos ainda um pouco dos
nossos desvelos ao que já começa de ser o objeto de nossas saudosas recordações.
Nem queremos que mais se entende do que isso – interesse carinhoso – o voto que
vamos formular, entre as emoções de uma despedida. Perdoai-nos, Srs.
Professores, e irreverência desta intromissão na vossa egrégia alçada, atento o amor
que o inspirou. É, o nosso voto, para que se mantenha e mesmo cada vez mais se
acentue, a orientação teórica do ensino nesta Escola, em que pese aos muitos que
nisso lhe vêem um defeito da tradição. Quando mais não fosse o amor da tradição,
esse sagrado amor das coisas que se engrandeceram através dos anos e que se não
desejam ver inteiramente transfiguradas, deveria desperta-nos este desejo. Não se
quebre a trajetória deste astro que vem brilhando no firmamento intelectual da
nossa Pátria, há para mais de um centenário, como o fanal transverberante da
ciência. [...] Não nos atrevemos a apreciar a conveniência de se fundarem escolas
de engenharia exclusivamente práticas. O que nos parece, porém, sobrepor-se a
qualquer dúvida é a necessidade irreprimível de, em um país como o nosso, onde
ao engenheiro se atulham problemas de magna dificuldade, manter-se uma
academia donde possam sair espíritos como os de St. Venaut e Boussinesq. A
engenharia moderna, dado o grau de seu desenvolvimento e de sua íntima
dependência com as mais transcendentes especulações teóricas, não se pode deixar
de amparar no estudo aprofundado das matemáticas puras e da física. Não se
concebe que no momento atual o engenheiro esteja separado do cientista.
Outro depoimento que indica este fato, o de Eugênio Gudin, ex-aluno da
Escola Politécnica no período de 1900 a 1905: “embora o ensino fosse em geral
deficiente, havia uma sólida formação matemático-filosófica nas disciplinas
básicas” (apud Teles, 1994, p. 468).
Das lembranças da Escola Politécnica nos restam as memórias de Francisco
Venancio Filho, relatadas por seu filho Alberto Venancio Filho (1995),
[Francisco Venancio Filho], ao ingressar na Escola Politécnica, em 1912, esta vivia
um momento de apogeu. Os grandes melhoramentos públicos, que caracterizaram a
presidência de Rodrigues Alves (1902 – 1906), a construção das primeiras usinas
hidrelétricas ofereciam facilidades, e atraiam para o mercado de trabalho os jovens
que dela saíam.
O curso de Engenharia que Francisco Venancio Filho realizou, com as deficiências
naturais da época, era ministrado por professores ilustres, como João Felipe
Pereira, que fora por período curto ministro das Relações Exteriores de Floriano
Peixoto, especialista em hidráulica; Sampaio Correia, paraninfo da turma e que a
ela ficou ligado até a morte, Nerval de Gouvêa, Francisco Cabrita, ‘este, símbolo
de severidade e justiça, que tanto influiu em minha carreira de professor’ e o Prof.
tivessem “aprovações plenas ou com distinções em todas as cadeiras, aulas e exercícios práticos de
um curso” teriam direito ao grau de bacharel em ciências físicas e matemática, o engenheiro civil,
de minas, industrial e mecânico, e o grau de bacharel em ciências físicas e naturais, o engenheiro
agrônomo (Art. 66).
18
ER.I.3.144.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 33 33
Julio Lohman que ‘me deu pela primeira vez a impressão de que havia na
aprendizagem alguma coisa além do conteúdo da matéria, naquelas aulas em que,
com Hidelbrando de Góis e Sena Caldas, via abrir-se o mundo da química
experimental’
[...]
Da turma de sua formatura, em 1916 ficaram amizades para o resto da vida, como
Euclides Roxo, que seguiu a mesma orientação do magistério, como professor de
matemática do Colégio Pedro II, Fernando Miranda Carvalho, engenheiro de
prestígio e que se destacou tanto no setor público como no setor privado, Paulo
Castro Maia, cede desaparecido no trágico desastre do Santo Dumont no Rio de
Janeiro, Teodoro Ramos, grande matemático e Lélio Gama, que se destacou na
astronomia. (p. 14 – 15).
Como citado acima, Euclides Roxo se formou pela Escola Politécnica em
1916
19
.
Sua carreira como professor inicia-se um ano antes de terminar o curso de
engenharia. Em 1915, Euclides Roxo foi aceito para o cargo de professor
substituto para o Colégio Pedro II. No entanto, boa formação em matemática
aliada com a não existência de uma escola de formação de professores não seriam
os únicos fatores para um engenheiro, no caso de Euclides Roxo, em fase de
conclusão de curso, tornar-se professor de matemática e, posteriormente, um
educador matemático. O destino individual de Euclides Roxo não pode ser visto
de maneira isolada, mas a partir do modelo das estruturas sociais da época.
Primeiro, devemos esclarecer as limitações de atuação no campo da
engenharia no período de formação de Euclides Roxo.
Teles (1994, p. 596) estabelece três épocas distintas em que houve avanços
na engenharia no Brasil. Entre elas, a primeira, por volta da década de 1860,
quando teve inicio o ciclo ferroviário, como definido pelo autor. E, a segunda, a
partir da década de 1910, quando se encontra a “vulgarização do emprego do
concreto armado nas construções”. O depoimento de Maurício Joppert da Silva
indica este fato
20
:
Quando me diplomei, nos primeiros meses de 1916, terminávamos a fase inicial de
construções de ferrovias no Brasil, e só as estradas de ferro forneciam aos jovens
engenheiros modestas oportunidades de colocação. Não se falava em estradas de
rodagem, as obras portuárias eram muito poucas como poucas eram as usinas
elétricas, as fábricas, as indústrias, em que os engenheiros pudessem ser
aproveitados (apud Teles, 1994, p. 595).
19
O documento ER.T.I.4.221 apresenta a lista com os formandos de 1916 da Escola
Politécnica publicada pelo Jornal do Commercio em 26 de abril de 1942.
20
Discurso de Maurício Joppert da Silva aos formandos de 1954 da Escola de Ouro Preto.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 34 34
Ainda relacionado ao campo de atuação, Teles também observa que os
engenheiros brasileiros lutavam ainda contra a concorrência dos estrangeiros.
Segundo ele,
já em 1916, o Eng. Luiz Rodolpho Cavalcanti de Albuquerque Filho queixava-se
das companhias estrangeiras no Brasil, onde “só estrangeiros ocupavam posições
de destaque, independente de seus méritos, havendo brasileiros somente em cargos
subalternos” (Teles, 1994, p. 595).
Ou seja, a atuação do engenheiro, em torno de 1916, ano que Euclides Roxo se
graduou, era limitada.
O segundo fato a destacar é que nas primeiras décadas da República o
ensino superior sofreu transformações que modificaram a situação dos diplomados
nesse momento.
A reforma Benjamim Constant, em 1891, “extinguiu o monopólio que o
poder publico exercia nessa área, restringindo a ingerência do poder central aos
encargos de inspeção e reconhecimento pelo Conselho de Instrução Superior”
21
e
permitiu que qualquer individuo ou associação de particulares fundasse cursos ou
estabelecimentos de ensino superior. Com isso, o acesso ao ensino superior foi
facilitado e o número de instituições cresceu. Cunha (2000) aponta dois motivos
para tais mudanças:
Um fator foi o aumento da procura de ensino superior produzido pelas
transformações econômicas e institucionais. Outro fator, este de caráter ideológico,
foi a luta de liberais e positivistas pelo “ensino livre”, e destes últimos contra os
privilégios ocupacionais conferidos pelos diplomados escolares (p. 157).
Mas, entre os motivos expostos, a vantagem dos concluintes do Colégio
Pedro II, dispensados dos exames preparatórios para o ingresso nos cursos
superiores, em relação a outras escolas secundárias era o maior embate
22
. Dessa
forma, os ginásios estaduais equiparados ao Colégio Pedro II teriam os mesmos
21
Miceli, S. Intelectuais à brasileira. São Paulo: Companhia das Letras, 2001, p. 115.
22
Cunha, Ensino superior e universidade no Brasil. In LOPES, E. M. T.; FARIA FILHO, L.
M.; VEIGA, C. G. 500 anos de educação no Brasil. 2ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2000.
(Coleção Historia, 6), p. 157.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 35 35
direitos. E, em 1901, “a equiparação foi estendida aos ginásios criados e mantidos
pelos particulares”
23
.
Nas palavras de Cunha (2000),
O resultado dessas medidas foi uma grande expansão do ensino superior,
alimentada pela facilitação das condições de ingresso. Assim, no período que vai
da reforma de 1891 até 1910, foram criadas no Brasil 27 escolas superiores: nove
de Medicina, Obstetrícia, Odontologia e Farmácia; oito de Direito; quatro de
Engenharia; três de Economia e três de Agronomia. [...] A função desempenhada
pelo sistema educacional escolar, como fonte fornecedora de diplomas garantidores
da posse dos conhecimentos “apropriados” aos cargos conferidores de maior
remuneração, prestigio e poder, chegou a ser ameaçada por aquele processo de
expansão/facilitação: os diplomas das escolas superiores tendiam a perder raridade
e, em conseqüência, deixavam de ser um instrumento de discriminação social
eficaz e aceito como legítimo (p. 158 – 9).
E segundo Miceli (2001),
esse conjunto de medidas legais propiciou uma desenfreada disseminação de
escolas superiores mantidas por particulares ou por instituições religiosas, e cuja
principal conseqüência consistiu em liquidar com a supremacia das faculdades
oficiais de São Paulo e do Recife na área do direito, do Rio de Janeiro e da Bahia
na área de medicina, da Escola Politécnica do Rio de Janeiro e da Escola de Minas
de Ouro Preto na área de engenharia (p. 116).
Em 1911, a reforma Rivadávia tentou conter essa ampliação criando os
exames de admissão aos cursos superiores para todos os alunos, mas somente esta
ação não foi suficiente. Quatro anos após, a reforma Carlos Maximiliano, em
1915, tentou corrigir as deformações implantadas. A aprovação nos exames de
admissão, rebatizados de exames vestibulares, não bastava mais para os alunos
egressos das escolas particulares. Os mesmos deveriam realizar provas no Colégio
Pedro II ou ginásios estaduais equiparados para recebimento de um certificado,
exigido para a entrada no ensino superior
24
. Segundo Cunha (2000, p. 161), o
número de alunos e de instituições do ensino superior continuou aumentando.
Em 1917, tais acontecimentos foram relatados por Paulo de Frontin, então
Diretor da Escola Politécnica do Rio de Janeiro, no discurso da cerimônia de
formatura da turma de Euclides Roxo
25
:
23
Id., Ibid., p. 158. Apesar deste fato, a Escola Politécnica do Rio de Janeiro exigia que o
aluno prestasse exames preparatórios.
24
Decreto n. 11.530, de 18 de março de 1915, Art. 78 e 79.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 36 36
Antes de iniciar a colação de grau aos engenheiros que concluíram seus cursos no
ano letivo, peço vênia para render ao Governo da República e especialmente a V.
Ex. como Ministro do Interior merecida homenagem pela promulgação do decreto
n. 11.530, de 18 de Março de 1915, que reorganizou o ensino secundário e
superior, e pelos excelentes e profícuos resultados da sua execução no curto
período decorrido de um biênio. [...] Na exposição de motivos que precede a lei
orgânica se declara: “Foi sempre um anseio da burguesia a aristocratização pelos
títulos”. O título acadêmico transformou-se no sonho dourado de quase todas as
famílias brasileiras. Os resultados foram a avalanche de matrículas nos cursos
superiores e as imensas levas anuais de doutores e bacharéis. Nova e lamentável
confusão de causas e efeitos faz nestas palavras o autor da lei orgânica. De fato, a
avalanche de matrícula nos cursos superiores adveio exclusivamente da
equiparação dos colégios de ensino secundário e as imensas levas anuais de
doutores e bacharéis provieram da falta do devido rigor nos exames procedidos nas
Faculdades oficiais ou equiparadas. Para o país nenhum mal resultaria da difusão
do ensino secundário e superior, se esta difusão fosse real e perfeita.
Outra iniciativa para conter a expansão foi dada em 1925, pela reforma João
Luiz Alves.
Miceli (2001, p. 116) destaca que esta reforma tentou controlar este “surto”,
limitando as matrículas para “restabelecer o equilíbrio entre a oferta de bacharéis
e a quantidade de postos disponíveis”.
O caráter seletivo/discriminatório dos exames vestibulares foi intensificado,
mediante a adoção do critério de numerus clausus. Pelo regime até então vigente,
não havia limites numéricos para admissão numa faculdade qualquer. Todos os
estudantes teriam direito à matrícula (Cunha, 2000, p. 161).
Mas, ainda segundo Miceli (2001, 116 – 117), “já se faziam sentir os efeitos
da situação inflacionária no mercado de diplomas superiores, em especial nas
profissões liberais tradicionais”, o mesmo ocorrendo nas “áreas do mercado de
trabalho em vias de expansão, como no caso dos postos de gestão em instituições
escolares”. A situação agravou-se quando os diplomados viram-se obrigados a
concorrer com a “nova geração de especialistas em áreas em vias de expansão
(cientistas sociais, educadores, psicólogos, economistas, estatísticos, etc.)” e com
os “profissionais de outros ramos do ensino superior”.
Dessa forma, a presença de engenheiros, como no caso de Euclides Roxo,
nas áreas de estudos sociais, do pensamento político, da produção de obras
pedagógicas, no exercício de cargos administrativos em instituições escolares ou
entidades e associações corporativas ou, então, assumindo trabalho executivo de
25
ER.I.3.144.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 37 37
implementar reformas da instrução em curso explica-se, de um lado pela formação
humanista e letrada que subsistia em escolas politécnicas desde os tempos do
Império e, de outro, pelas transformações por que passava o mercado de postos
destinados aos detentores de diplomas superiores. Ante as resistências que vinham
encontrando os projetos que visavam introduzir as ciências sociais no currículo dos
cursos jurídicos, os engenheiros dispunham de um mínimo de aptidões culturais
para se lançar em novas especializações do trabalho intelectual, tidas como
carreiras subalternas, incapazes de atrair os bacharéis em direito e desviá-los das
carreiras tradicionais (a representação parlamentar, a magistratura, o magistério
superior, o jornalismo) (Miceli, 2001, p. 117 – 118).
Assim, pode-se perceber neste período a trajetória profissional de Euclides
Roxo está diretamente ligada à situação do mercado de postos.
Um fato que pode reforçar essa hipótese é o registro, na Ata da Sessão da
Congregação da Escola Normal do Rio de Janeiro, de 19 de maio de 1914, do
pedido de Julio César de Melo e Souza, então aluno do 2º ano da Escola
Politécnica e possível colega de turma de Euclides Roxo
26
, para matrícula no 1º
ano do Curso Normal, sem a realização do exame de admissão
27
. Ou seja, de
alguma forma este aluno de engenharia buscou uma formação na área pedagógica,
talvez, como alternativa para sua atuação profissional.
Mas, não só Euclides Roxo e Julio César de Melo e Souza, são exemplos de
engenheiros que passaram a atuar no campo da educação. Francisco Venancio
Filho, já citado, Heitor Lira da Silva e Everardo Backeuser, fundadores da
Associação Brasileira de Educação, eram engenheiros; Vicente Licínio Cardoso,
partidário da Escola Nova, “e responsável pelo inquérito ‘O problema
universitário brasileiro’ [...] fundador da Federação Nacional das Sociedades de
Educação, era engenheiro e professor da Politécnica; J.G. Frota Pessoa, outro
militante das campanhas educacionais e autor de diversas obras pedagógicas”,
cursou parcialmente engenharia, antes de se dedicar ao direito
28
; Antonio Pereira
Caldas, professor de matemática na Escola Normal do Rio de Janeiro, era
engenheiro geógrafo e civil pela Politécnica, entre outros
29
.
Em suma, a relação entre o individuo Euclides Roxo e a sociedade, bem
como as mudanças não planejadas em sua vida também foram regidas por
26
Pelas informações do pedido (datas e período escolar) é possível que Euclides Roxo
conhecia Julio César de Melo e Souza, já que os dois freqüentavam a mesma instituição.
27
O pedido, como consta em Ata, p. 63, verso, e p. 64, foi negado.
28
Miceli, op. cit., p. 117.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 38 38
“[...] uma ordem oculta e não diretamente perceptível pelos sentidos. Cada pessoa
nesse turbilhão faz parte de determinado lugar. [...] Cada um dos passantes, em
algum lugar, em algum momento, tem uma função, uma propriedade ou trabalho
especifico, algum tipo de tarefa para os outros. [...] A ordem invisível dessa forma
de vida em comum, que não pode ser diretamente percebida, oferece ao individuo
uma gama mais ou menos restrita de funções e modos de comportamento possíveis.
Por nascimento, ele está inserido num complexo funcional de estrutura bem
definida; deve conformar-se a ele, moldar-se de acordo com ele e, talvez,
desenvolver-se mais, com base nele. Até sua liberdade de escolha entre as funções
preexistentes é bastante limitada. Depende largamente do ponto em que ele nasce e
cresce nessa teia humana [...] cada pessoa que passa por outra, como estranhos
aparentemente desvinculados na rua, está ligada a outras por laços invisíveis, sejam
estes laços de trabalho e propriedade, sejam de instintos e afetos. [...] Essa rede de
funções no interior das associações humanas, essa ordem invisível em que são
constantemente introduzidos os objetivos individuais, não deve sua origem a uma
simples soma de vontade, a uma decisão comum de muitas pessoas individuais [...]
Por baixo de cada um desses acordos cumulativos há, entre essas pessoas, uma
ligação funcional preexistente que não é apenas somatória” (Elias, 1994, p. 21 –
22, grifos nossos).
E mais,
nessa rede, muitos fios isolados ligam-se uns aos outros. No entanto, nem a
totalidade da rede nem a forma assumida por cada um de seus fios podem ser
compreendidas em termo de um único fio, ou mesmo de todos eles, isoladamente
considerados; a rede só é compreensível em termos da maneira como eles se ligam,
de sua relação recíproca. Essa ligação origina um sistema de tensões para o qual
cada fio isolado concorre, cada um de maneira um pouco diferente, conforme seu
lugar e função na totalidade da rede. A forma do fio individual se modifica quando
se alteram a tensão e a estrutura da rede inteira. No entanto, essa rede nada é além
de uma ligação de fios individuais; e, no interior do todo, cada fio continua a
constituir uma unidade em si; tem uma posição e uma forma singulares dentro dele
(Elias, 1994, p. 35).
2.3. Do Professor de Matemática ao Educador Matemático
Em agosto de 1915, Euclides Roxo é autorizado a lecionar no Colégio Pedro
II. De acordo com a legislação vigente, o Decreto n. 11.530, de 18 de março de
1915, denominado Reforma Carlos Maximiliano, o corpo docente das instituições
de ensino seria composto por professores catedráticos, professores substitutos,
professores honorários, professores simplesmente, e livres docentes (Art. 36). O
professor catedrático era responsável, entre outras coisas, por “indicar os seus
29
Antonio Pereira Caldas é um dos docentes que participaram da comissão composta para a
reforma dos programas da Escola Normal do Rio de Janeiro, em 1924, sob a presidência de
Carneiro Leão, que será citada na próxima parte deste trabalho.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 39 39
assistentes, preparadores e auxiliares” (Art. 37, d)
30
. Dessa forma, observa-se,
então, que a autorização de Euclides Roxo para lecionar no Colégio Pedro II, em
agosto de 1915, pode ter sido feita a partir de uma solicitação de um dos
professores catedráticos de matemática dessa instituição – Eugenio de Barros Raja
Gabaglia ou Joaquim de Inácio Almeida Lisboa –, já que, de acordo com a lei,
isso seria uma das atribuições dessa categoria
31
. Cabe lembrar que Raja Gabaglia
era professor da Escola Politécnica desde 1897
32
, onde Euclides Roxo ainda
cursava engenharia, e Almeida Lisboa foi seu professor, no curso anexo à Escola
Politécnica
33
. É mais provável que a indicação tenha sido de Almeida Lisboa,
como relata o próprio Euclides Roxo:
[...] indicou-me [Almeida Lisboa], ao então Diretor Mello Mattos, para substituí-lo
no Pedro II, quando eu mal saía do seu curso; e quando, em 1915, no regime do
decreto 11.530 (Lei Maximiliano) me inscrevi no concurso de título para professor
substituto, muito influiu para a minha classificação em 1
o
lugar, por unanimidade
de votos [...] (Roxo, 1931b).
O cargo exercido por Euclides Roxo não seria efetivo. No entanto, “havendo
professores idôneos” que se propusessem substituir, “sem vencimento
permanente, os catedráticos”, o diretor poderia propor sua nomeação, por três
anos, ao Ministro da Justiça e Negócios Interiores, com o aval da congregação do
estabelecimento (§1º, Art. 174). Isso aconteceu em 30 de dezembro de 1915,
quando Carlos Maximiliano Pereira dos Santos, então Ministro da Justiça e
Negócios Interiores, assina a nomeação para Euclides Roxo exercer, durante três
anos, a função de professor substituto de aritmética
34
.
De acordo com a legislação citada, o professor substituto deveria suprir,
“nos impedimentos temporários, qualquer dos catedráticos de sua seção; reger os
cursos que lhe forem designados pela Congregação, esgotando os programas
aprovados” e “auxiliar, quando necessário, os catedráticos durante as provas de
junho e agosto” (Art. 38).
As ações mais efetivas, relacionadas ao ensino, eram
reservadas ao professor catedrático. A este competia, também, “a elaboração do
programa do seu curso, a fim de ser aprovado pela Congregação 30 dias antes da
30
Nóbrega, op. cit., p. 180.
31
De acordo com o artigo 173, do decreto citado, o Colégio Pedro II teria, em cada seção
(Internato e Externato) dois professores de Matemática Elementar (Nóbrega, op. cit., p. 193).
32
Dr. Raja Gabaglia. Revista Didactica da Escola Polythecnica. n. 17, p. 3, out. 1919.
33
ER.T.3.121.
34
ER.T.2.012.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 40 40
abertura das aulas”
(Art. 37)
35
. Apesar deste fato, os programas implantados no
Colégio Pedro II, 1915, em foram elaborados por Arthur Thiré contradizendo o
artigo citado, já que o mesmo não era professor catedrático
36
. Dessa forma,
percebe-se que Euclides Roxo, como professor substituto, se encontrava numa
posição em que sua atuação era limitada.
Sua maior obrigação, então, era lecionar de acordo com um programa de
aritmética, dividido em oitenta lições, ao longo de três horas semanais, no
segundo ano do curso secundário. Tais lições versavam sobre números, operações
elementares, divisibilidade, múltiplos e divisores, frações ordinárias e decimais,
sistema métrico decimal, medida de volume e capacidade, raiz quadrada e cúbica,
razões e proporções e cambio
37
.
Com a morte do professor Eugenio de Barros Raja Gabglia, em 1919, ficou
vaga uma cátedra de matemática do Colégio Pedro II. Valente (2004a, p. 60 – 61)
relata que “o professor Arthur Thiré, no intuito de obter a vaga, pede sua
transferência para do internato para o externato”, mas “Euclides Roxo reage,
objetando que a vaga lhe pertencia em face da lei do Regulamento Interno do
Colégio Pedro II”. Ele ainda pondera “que é o substituto e assim se coloca em
primeiro lugar para a vaga aberta”. Com efeito, segundo a legislação federal, ou
seja, o decreto da Reforma Carlos Maximiliano, “o lugar de professor catedrático
será preenchido, mediante decreto, pelo substituto da seção em que se verificou a
vaga” (Art. 42)
38
. Então, Euclides Roxo assume a cátedra interinamente, a partir
de 31 de março de 1919
39
, e no mesmo ano mais precisamente em 1º de outubro,
ele é nomeado, pelo então presidente Epitácio Pessoa, professor catedrático do
Colégio Pedro II
40
. Em seu discurso de posse, Euclides Roxo apresenta uma breve
biografia de Eugenio de Barros Raja Gabaglia e relembra um professor do mesmo
colégio, que posteriormente se torna seu grande opositor, Joaquim Inácio de
Almeida Lisboa
41
.
35
Nóbrega, op. cit., p. 181.
36
Beltrame, op. cit.
37
Beltrame, op. cit..
38
Nóbrega, op. cit., p. 181.
39
ER.T.2.014.
40
ER.T.2.016.
41
ER.T.3.121.
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É com animo leve que os recebo [Congregação], certo de que a meu lado terei para
sustentar-me o animo e fornecer-me exemplo o meu ilustre mestre Dr. Almeida
Lisboa, a quem ao cabo de contas, creio que devo achar-me nesta cátedra. Foi
ouvindo as suas admiráveis lições do Curso Anexo à Escola Politécnica, que me
exerceu o gosto pelo estudo das matemáticas e nunca me faltou, daí por diante, o
estimulo de sua exemplar figura de cientista abalizado e elegante pré-locutor. O
muito que lhe devo ao guiar-me constantemente com esclarecimento valioso e
auxiliar-me com seu prestigioso apoio, fora um deslize não recordá-lo neste
momento, com expressões de gratidão.
Também em 1919, novos programas são elaborados para o ensino da
matemática no Colégio Pedro II. Desta vez, o responsável pela elaboração foi
Joaquim Inácio de Almeida Lisboa. Quanto aos conteúdos, temos praticamente a
mesma configuração de 1915, exceto pela distribuição da matemática ao longo
dos anos e pela indicação do livro de aritmética da coleção F.I.C., traduzido por
Raja Gabaglia. Almeida Lisboa foi o responsável pela elaboração dos programas
até 1922.
Entre 1915 e 1922 apenas duas pequenas sugestões estão registradas nas
Atas da Congregação do Colégio Pedro II. Ambas as propostas são feitas por
Arthur Thiré, professor de matemática do internado: uma delas o pedido de
diminuição dos conteúdos de álgebra, em 1920, e a outra o aumento do número de
aulas de aritmética, em 1922
42
.
Em suma, entre 1915 e 1922 não há nenhum registro de mudanças no ensino
de matemática, nem de propostas que tenham partido de Euclides Roxo.
Em 1923, novos programas são adotados no Colégio Pedro II, a partir do
Decreto n. 11.530, de 18 de marco de 1915. Em particular os de aritmética,
distribuídos ao longo dos dois primeiros anos, seguem a mesma seqüência do
novo livro indicado nos programas para esta disciplina, as Lições de Arithmetica
de Euclides Roxo. Cabe destacar que os programas foram aprovados em reunião
datada em 5 de abril de 1923, sem a presença de Joaquim de Almeida Lisboa, e
que os mesmos foram elaborados por Euclides Roxo, Arthur Thiré e Henrique
Costa
43
.
Dessa forma, podemos dizer que a partir de 1923 a atuação de Euclides
Roxo no Colégio Pedro II se torna mais efetiva em relação às discussões para o
42
Valente, op. cit., p. 59 e 67. Ambas as propostas serão citadas novamente, em mais
detalhes, no próximo capítulo.
43
Id., Ibid., p. 67.
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ensino da Matemática. E, em 1929, uma grande reforma no ensino dessa
disciplina vai ser operada nesta instituição a partir de suas propostas.
Contudo, como explicar tais mudanças? Como podemos analisar o interesse
de Euclides Roxo para as questões relativas ao ensino e aprendizagem da
matemática neste grau de ensino a partir de 1923? Somente a experiência durante
oito anos de atuação como professor na escola secundária – escola responsável,
junto com o ensino superior, pela formação da elite brasileira e,
conseqüentemente, conservadora de padrões tradicionais de ensino – é suficiente
para propor mudanças?
Em verdade, é necessário analisar outras práticas profissionais de Euclides
Roxo para que a experiência vivenciada por ele não seja desvinculada da sua
produção, pois
[...] a autonomia relativa da obra de arte e o complexo de problemas a ela
associados não nos eximem da obrigação de investigar a conexão entre a
experiência e o destino do artista criador em sua sociedade, ou seja, entre esta
sociedade e as obras produzidas pelo artista (Elias, 1995, p. 57).
* * *
As primeiras experiências de Euclides Roxo no magistério não se deram
somente no Colégio Pedro II. Três anos após sua entrada neste estabelecimento de
ensino secundário, ou seja, em 1918, ele passa a atuar na Escola Normal,
destinada à formação de professores primários, fundada em 1876, na cidade do
Rio de Janeiro, então denominado Município da Corte.
Sua entrada nesta instituição também está associada a uma indicação, como
ocorreu provavelmente no Colégio Pedro II, já que a lei vigente dava abertura a
tais contratações. Com efeito, em 1918 a Escola Normal era regida pelo Decreto
n. 1059, de 14 de fevereiro de 1916. O Art. 74 desta lei determinava que a
primeira turma formada para cada uma das disciplinas então existentes no curso
seria, de direito, do professor catedrático. As turmas suplementares poderiam, “a
juízo do prefeito”, ser de responsabilidade também dos catedráticos ou de
“docentes chamados a esta função pelo Diretor Geral de Instrução Pública”
44
.
44
ET.T.2.015. Entre 1918 e 1924, há registradas designações de docência para Euclides
Roxo. Mas, por exemplo, no ano de 1919, o Decreto n. 1330, de 7 de maio, que indica o quadro de
professores da Escola Normal para o ano mencionado não apresenta o seu nome. Outro fato que
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 43 43
Independente de que forma se deu o ingresso nessa instituição, Euclides
Roxo passou a lecionar, a partir de 1918, para um público distinto em relação aos
alunos do ensino secundário. Agora suas aulas seriam ministradas com o objetivo
de “preparar o candidato à carreira do magistério primário, para ensinar na aula
primária”. E, para isso, o ensino na Escola Normal deveria completar, melhorar ou
reformar a educação do aluno, ampliando os conhecimentos prévios e dando-lhes
outros, para exercer os futuros deveres, e tornar metódicos esses conhecimentos
“pelo modo por que os irá ensinar, como professor”
45
. Os programas, por
exemplo, de acordo com a legislação de 1916, citada anteriormente, deveriam ser
elaborados de acordo com orientações que valorizavam metodologias específicas
do ensino primário:
I – O ensino de cada matéria será sempre feito segundo método e gradação
semelhantes aos do ensino primário; se a instrução do aluno-mestre deve ser
completa, o método educativo deve ser o mesmo, para que ele ensine como lhe
ensinarem.
II – Os professores deverão, quanto possível, dar às suas lições caráter intuitivo,
prático e dedutivo, evitando que seja a memória, em vez do raciocínio, a base do
trabalho dos alunos.
III – O ensino será, tanto quanto possível, auxiliado por meios práticos e
elementares (Art. 6).
Euclides Roxo atuou nesta instituição como professor de Geometria (teórica
e prática) e/ou Trigonometria
46
. Pode-se perceber que sua ação, suas realizações,
corrobora para esta consideração é que em 17 de maio de 1919, sua designação para reger uma
turma de Geometria e Trigonometria retilínea, é assinada pelo então prefeito Paulo de Frontin.
Cabe lembrar que Paulo de Frontin foi diretor da Escola Politécnica no período em que Euclides
Roxo era estudante de engenharia desta instituição.
45
Art. 1, Decreto n. 1059, de 14 de fevereiro de 1916. O acesso ao ensino normal, de
acordo com o Art. 15 do mesmo decreto, seria feito por exame de admissão.
46
Tais registros encontram-se, no CEMI, em encadernações com a denominação de Livro
de Designação. Livro n. 90: p. 79 (verso) – designação para geometria teórica e prática, datado em
23/09/1918; e p. 103 (verso) – designação para trigonometria, datado em 23/05/1919. Livro n. 82:
p. 18 (verso) – designação para geometria, datado em 22/03/1921. A designação de 1919 citada
anteriormente encontra-se também no documento ER.T.2.015 do APER, datado em 17 de maio, do
respectivo ano, e assinado pelo então prefeito do Distrito Federal, Paulo de Frontin. A designação
de 1921 também está registrada em ER.T.2.017: documento assinado pelo então Diretor da
Instrução Pública. Nesta mesma instituição e período há, também, designações para Julio César de
Melo e Souza lecionar as mesmas cadeiras. Em 14 de janeiro de 1924, Euclides Roxo é designado
para a cadeira de Geometria (ER.T.2.020). Em 17 de dezembro de 1930 foi publicada no Jornal do
Brasil uma lista com os professores da Escola Normal, de 1911 até o ano corrente, onde a
nomeação de Euclides Roxo é datada em 23 de setembro de 1918 ([ER.I.4.310]).
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 44 44
em suma, seu modo de agir como professor deveria ser evidentemente diferente
quando comparado ao ensino secundário
47
.
Após sua entrada nesta instituição, diversas mudanças foram implementadas
no ensino normal. Já em 1919, o Decreto n. 1328, de 25 de abril, altera o plano de
ensino da Escola Normal, que passa a ser realizado em cinco anos. Em 1922, uma
nova mudança a partir do Decreto n. 2710, de 14 de setembro, reduz o curso para
quatro anos. Mas, ambos os decretos mantêm as orientações gerais de 1916.
Mas é a partir de 1922 que a escolarização no ensino normal é alterada de
maneira significativa. Segundo Nagle (2001),
a “velha” escola normal já não atendia mais, com a sua falta de conteúdo especial,
às novas exigências propostas pela escolarização; as escolas normais existentes
constituíam um curso de “humanidades” de segunda classe. Por isso, precisavam
ser refundidas de alto a baixo, de modo a “corrigir a orientação literária e
formalista do (seu) programa que, composto mais de ciências abstratas ou
descritivas, orna o espírito mas não o forma” (p. 281 – 282).
Em relação às mudanças ocorridas, Nagle (2001, p. 133 – 134) analisa a
escolarização, na Primeira República, nas suas variadas características a partir do
quadro de transformações ocorridas nos setores econômico, político, social e
cultural, e considera que “uma das maneiras mais diretas de situar a questão
consiste em afirma que o mais [sic] manifesto resultado das transformações
sociais mencionadas foi o aparecimento de inusitado entusiasmo pela
escolarização e de marcante otimismo pedagógico”. Ou seja,
de um lado, existe a crença de que, pela multiplicação das instituições escolares, da
disseminação da educação escolar, será possível incorporar grandes camadas da
população na senda do progresso nacional, e colocar o Brasil no caminho das
grandes nações do mundo; de outro lado, existe a crença de que determinadas
formulações doutrinárias sobre a escolarização indicam o caminho para a
verdadeira formação do novo homem brasileiro (escolanovismo) (Nagle, 2001, p.
134).
A importância dada à escolarização, uma “preocupação bastante vigorosa
em pensar e modificar os padrões de ensino e cultura das instituições escolares,
nas diferentes modalidades e nos diferentes níveis” (Nagle, 2001, p. 134), atingiu
47
Em particular, a análise dos programas de Matemática da Escola Normal dos primeiros
anos de atuação de Euclides Roxo e das reformas que serão citadas a partir desse momento, será
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 45 45
mais fortemente a escola primária e, conseqüentemente, a formação do professor
deste nível de ensino.
À medida que se torna a instituição mais importante do sistema escolar brasileiro –
a matriz onde se integram o humano e o nacional – a escola primária se transforma
no principal ponto de preocupação de educadores e homens públicos: procurou-se
justificar e difundir o seu caráter obrigatório, apesar do principio da ‘liberdade
espiritual’, ainda apregoado; procurou-se, em especial, mostrar o significado
profundamente democrático e republicano, quando comparada à escola secundária
e superior, pois é por meio dela que a massa se transforma em povo e contribuiu
para diminuir o fosso existente entre ‘povo’ e ‘elite’ – causa de muitos males – ao
fornecer a esta recursos mais sólidos de atuação. E o movimento que procurou
transformar o ensino normal no Brasil, nessa década, resultou, ainda da
superestimação da escola primária, pois as discussões, planos e reformas nesse tipo
de ensino foram freqüentes, mas com o objetivo de ajustá-lo às novas funções da
escola primária [...] a preocupação com o professorado primário estimulou ampla
discussão em torno da escola normal, e o motivo disso era um só: diante das
responsabilidades da escola primária, tornava-se necessária a reformulação dos
padrões de ensino na escola normal, a fim de que o novo professor tivesse
condições para executar a sua nova situação (Nagle, 2001, p. 152 e 281).
Mas, as características tradicionais das escolas secundárias e superiores,
articuladas com a formação da elite, foram mantidas.
Particularmente, o ensino primário e o ensino normal foram transformados,
na década de 1920, por iniciativas dos estados e do Distrito Federal, enquanto a
União “revelava exagerada moderação em alterar o ensino secundário e superior”
(Nagle, 2001, p. 166)
48
.
Ainda, segundo Nagle (2001), na instrução pública dos estados e do Distrito
Federal,
não houve apenas reforma, no sentido de alteração e ampliação [...]; houve
também, remodelação no sentido de introdução de novo modelo para a estruturação
das instituições e orientações das práticas escolares. Com efeito, tratou-se, no
decênio [década de 1920], de substituir o ideário educacional até então vigente,
pelos princípios da nova teoria educacional representada pelo escolanovismo (p.
244).
Ou seja,
feita no próximo capítulo para caracterizar as pequenas mudanças ocorridas no ensino dessa
disciplina.
48
Mas, como veremos mais adiante, o ensino da matemática na escola secundária é
significativamente alterado em 1929.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 46 46
o esforço para reformar a instrução pública [...] se processa juntamente com o
esforço para proceder à remodelação. Propõe-se o quadro da nova concepção de
infância, quando se ressalta a importância das características do desenvolvimento
“natural” do educando e, como, conseqüência, todo o esforço se faz para alterar o
papel do educador, a natureza do currículo, a noção de aprendizagem, os métodos e
técnicas de ensinar-aprender; enfim, procura-se reconstruir todo o aspecto interno
das instruções escolares (Nagle, 2001, p. 245).
A primeira reforma no Distrito Federal que tentou uma nova orientação para
o ensino em diversos níveis foi o projeto apresentado por Antonio Carneiro Leão,
então Diretor Geral da Instrução, em 1924. Todas as propostas desta reforma são
mencionadas por ele na obra O ensino na capital do Brasil, publicada no Rio de
Janeiro em 1926
49
.
Seu projeto, composto de quarenta e cinco artigos, acompanhado de uma
exposição de motivos apresentado ao prefeito, em novembro de 1924, incluía os
seguintes graus da instrução: jardim da infância, ensino noturno, ensino primário,
ensino profissional e ensino normal
50
.
O ensino primário seria realizado em sete anos, os quatro primeiros
compondo o Curso Fundamental e mais três para o Curso Complementar. Este
último curso daria acesso ao ensino secundário ou ao ensino normal. O ensino
normal, também dividido em duas etapas, seria realizado em cinco anos. Um
Curso Geral, de três anos, e o Curso de Professores ou especial, como
denominado pelo projeto, de dois anos, “cuja finalidade é ensinar a ensinar”
(Leão, 1926, p. 239)
51
.
A reforma não foi somente administrativa, mas também de ordem
pedagógica. Novos programas de ensino foram implantados, e nas palavras do
próprio autor do projeto, o espírito da reforma “foi integrar a escola nas realidades
correntes, tirá-la da margem da vida, fazendo a vida de todos os dias circular nas
49
Freqüentemente a primeira reforma no Distrito Federal citada foi a empreendida por
Fernando de Azevedo, em 1928. Mas, como observa Moreira (1955, p. 99 – 100), “antes de
Fernando de Azevedo, vinha já Carneiro Leão, que é um dos expoentes da renovação educacional
brasileira, se esforçando por dotar a Capital Federal de um sistema educacional que,
progressivamente, pudesse vir a atender os reais objetivos da educação. Era como uma
preparação”.
50
O Jardim de Infância daria acesso ao Curso Fundamental da Escola Primária. Este daria
acesso ao Curso Complementar da Escola Primária ou ao Ensino Profissional. Por sua vez, o Curso
Complementar do Ensino Primário daria acesso ao Curso Geral da Escola Normal ou ao Ensino
Secundário. O Curso Geral da Escola Normal daria acesso ao Curso de Professores da Escola
Normal e o Ensino Secundário à Universidade (Leão, 1926, p. 219).
51
Cabe observar que este reforma cria, para o curso especial, as disciplinas Metodologia e
prática de ensino e Pedagogia e ciência da educação (Leão, 1926, p. 239).
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 47 47
suas classes” (Leão, 1926, p. 42). Diversos pontos sobre as mudanças foram
discutidos entre os professores e os responsáveis pela reforma no denominado
Curso de Férias, ocorrido pela primeira vez em 1923. Nas palavras do próprio
Carneiro Leão (1926),
[...] logo que pude ver qual a diretriz aconselhável no nosso ensino procurei reunir
o professorado, para estabelecer com ele uma orientação que se pudesse
generalizar. A Diretoria de Instrução, então, auxiliada por um grupo de
especialistas estudiosos e pela boa vontade e cooperação do próprio magistério,
iniciou a reforma [...] Para melhor interesse nesse movimento e maior entusiasmo e
acerto nas medidas determinadas a administração ouviu todo o professorado. (p.
46).
Em relação à Escola Normal, os novos programas foram implantados já em
1924, provavelmente como conseqüência das discussões ocorridas em 1923.
A comissão responsável pela elaboração destes novos programas foi
presidida por Carneiro Leão e composta pelo então diretor da escola, José Rangel,
pelos professores catedráticos Manoel Bonfim e Aramis de Mattos e pelos
docentes Carlos Ferreira Porto Carrero, J. P. Fontenelle, Correggio de Castro e
Antonio Pereira Caldas, este último professor de matemática.
Na introdução dos programas, Carneiro Leão (1926) expõe, brevemente,
algumas diretrizes:
Uma leitura atenta dos programas que se vão seguir demonstra claramente os
intuitos da reforma. Ele quer obedecer a dois objetivos primordiais, um referente à
moderna orientação da educação popular, outro, à verdadeira preparação dos
professores. No primeiro caso visam os programas normais, como aliás devem
visar todos os outros – do jardim da infância às escolas primárias e técnico-
profissionais – as realidades da vida corrente. Hoje, escola alguma pode
permanecer à margem da vida. Precisam todas desembaraçar-se das idéias
impostas, vencer a grande muralha chinesa dos preconceitos e opiniões já feitas,
poder fazer pensar e agir por si. Foi o que se tentou na elaboração destes
programas. Buscou-se, em primeiro lugar, ministrar as disciplinas tendo em vista as
necessidades do ambiente escolar e social do Brasil; em segundo, estudar a criança
para ensaiar-se, enfim, com uma orientação prática no ensino de algumas
disciplinas, levar o mestre à possibilidade de determinar, mais tarde, pelo
conhecimento das aptidões individuais, a vocação profissional. Certamente, sem
nenhuma reforma mais profunda do próprio ensino normal não se pode conseguir
tudo quanto seria mister para uma casa de formar professores, sobretudo quando
há, neste momento, por todo o mundo, uma empolgante renovação de métodos e de
direção educativa. Parece, porém, progresso evidente, ao invés de dissertações
teóricas, de estudos de ciência pura, buscar-se, em todas as matérias, as
possibilidades de aplicação. De certo não creio no valor miraculoso dos programas:
a sua eficiência depende muito da competência, dedicação e entusiasmo dos
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 48 48
mestres. Depois o que se exige, aqui, é um pouco mais de espírito positivo, uma
maior preocupação experimental (p. 5).
A continuidade das propostas renovadoras foi dada pelo novo Diretor da
Instrução Pública, Fernando de Azevedo, em 1928. O Decreto n. 3281, de 23 de
janeiro de 1928, é considerado pelo próprio autor um marco na história da
educação brasileira
52
.
Segundo Venancio Filho (1935),
empolgado pelos problemas [Fernando de Azevedo], chamado em 1927, à direção
da instrução pública da capital, onde Carneiro Leão fizera uma intensa propaganda
das idéias renovadoras, resolve empreender uma reforma desde os alicerces do
edifício, construído sobre bases novas, que estivessem de acordo com as aquisições
da psicologia e com a situação social presente. Toda a reforma feita obedeceu a três
princípios fundamentais: escola única, escola do trabalho e escola comunitária.
Como era natural no Brasil, onde a capital política é a capital real, esta reforma
irradiou-se por todo o país, tendo sido talvez a primeira tentativa de ensaio de
escola nova de cateter oficial. No terreno das realizações tocou em todos os
problemas, desde a construção de prédios escolares, entre os quais o magnífico
palácio para a Escola Normal, todos em estilo tradicional brasileiro, até a formação
do professorado, que procurou separar do curso de cultura geral (p. 4 – 5).
A reforma englobava os seguintes graus do ensino: infantil, primário,
vocacional (curso complementar, anexo às escolas), normal, técnico-profissional e
doméstico.
O ensino primário seria realizado em cinco anos, seguido do Curso
Vocacional, que seria ministrado nos cursos complementares, durante dois anos.
Ou seja, é mantida a estrutura anterior de sete anos. A Escola Normal, de acordo
com o decreto citado seria um estabelecimento “destinado à formação
propedêutica e profissional dos mestres” que deveria ser organizado de tal
maneira que se constituísse um “centro de pesquisas pedagógicas” (Art. 87). Para
isso, o curso deveria preparar “técnicos de espírito aberto às novas idéias
educativas e capazes de contribuir para um constante aperfeiçoamento dos novos
métodos de ensino” (Parágrafo único, Art. 87). O curso, divido em ciclo geral ou
52
Nagle, J. Educação e sociedade na primeira república. Rio de Janeiro: DP&A Editora,
2001, p. 256; Brandão, Z. A intelligentsia educacional – um percurso com Paschoal Lemme: por
entre as memórias e as histórias da escola nova no Brasil. Bragança Paulista: IFAN-CDAPH.
Editora da Universidade de São Francisco, 1999, p. 25 – 29. A partir de um relatório municipal, o
decreto acima foi alterado e, em 22 de novembro de 1928, o Decreto n. 2940, passa a regular esta
reforma.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 49 49
propedêutico e ciclo especial ou profissional, teria a duração de cinco anos, três
destinado ao ciclo geral e dois para o profissional (Art. 89).
Não podemos afirmar que Euclides Roxo participou diretamente na
confecção dessas reformas e em particular na elaboração dos programas. No
entanto, não podemos negar que ele vivenciou tais movimentos renovadores. Sua
convivência com renomes da educação brasileira, bem como as reformas
propostas por esses intelectuais, são de vital importância para a constituição de um
novo olhar, uma mudança de habitus pedagógico
53
.
Por outro lado, Euclides Roxo também atuou em outras instâncias,
articulando também outras práticas.
* * *
Em 1923, como citado anteriormente, os programas de ensino do Colégio
Pedro II, na parte de aritmética, seguem a seqüência dada no livro Lições de
Arithmetica, de Euclides Roxo, também lançado em 1923. Esta publicação marca
o lançamento de Euclides Roxo no mercado editorial, seu primeiro sucesso neste
meio
54
. Segundo seu filho, Stélio Roxo
55
,
As mais antigas recordações que possuo de meu pai se originam em uma pequena
casa da Rua Barão de Petrópolis, em Santa Tereza, alugada com o fim de abrigar
um jovem casal e seu dois filhos – um casal também, enquanto se completavam as
obras da casa que faziam construir mais acima, nos Dois Irmãos. Esta construção,
de boa qualidade, tinha como principal fonte de recursos um livro de grande
aceitação, caso raro de “best-seller” em se tratando de um livro didático: as “Lições
de Aritmética”, adotado, por força do programa oficial, em todo o país, com o qual
já não competia o único bom livro que existia antes sobre o assunto – conhecido
pelo nome de seu autor: “Serrasqueiro”. Nenhuma outra obra ou atividade trouxe
jamais a meu pai receita igual. Pouco depois, integrado a comissão da Reforma
Campos, retirou ele do currículo da sua disciplina, a Aritmética Teórica, por
coerência com a nova orientação do ensino da Matemática que defendia e que
marcou também, a Reforma Capanema do qual ele participou. Este é um fato da
vida de Euclides Roxo, pouco conhecido, mas definidor de seu caráter e que
acredito merece esta referência.
53
Nunes, C. Historiografia comparada da escola nova: algumas questões. In Revista da
Faculdade de Educação, jan./jun. 1998, vol.24, no.1, p.105-125. Disponível em:
<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-
25551998000100008&lng=pt&nrm=iso>.
54
O contrato deste livro, entre Euclides Roxo e a livraria Francisco Alves, encontra-se em
ER.T.3.145.
55
Discurso de Stélio Roxo em 20 de setembro de 2002 por ocasião da inauguração do
APER. O primeiro trecho citado, um manuscrito, encontra-se em [ER.T.4.273]; o segundo,
digitada encontra-se em [ER.T.4.329].
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 50 50
O seu livro [Lições de Arithmetica] continuou por um bom tempo a ser adotado na
Escola Naval e em alguns estabelecimentos de ensino vinculados ao Ministério da
Educação.
Além do livro do Serrasqueiro, o Lições de Arithmetica de Euclides Roxo
também substituiu a aritmética da coleção F.I.C., adotada em diversos anos no
Colégio Pedro II.
O intuito de Euclides Roxo não era somente atender a demanda do Colégio
Pedro II. O fato citado anteriormente pelo seu filho sobre o aproveitamento do
livro em outras instituições era a sua intenção, como citado no prefácio.
As presentes “Lições de Arithmetica” se destinam aos alunos do Colégio Pedro II
e, em geral, a todos os candidatos a exames de preparatórios. Em alguns capítulos a
matéria tem, talvez, um desenvolvimento superior ao que se pode exigir nos
referidos exames; mas desse modo o compendio servirá também àqueles que
tenham de satisfazer as exigências para admissão às Escolas Politécnicas, à Militar
e à Naval. (Roxo, 1923, p. 5).
Em relação ao aspecto pedagógico, Euclides Roxo aponta, também no
prefácio, a influência de Jules Tannery, como citado a seguir:
Procuramos tornar bem claras e precisas a significação de cada operação elementar.
Não receamos, por isso, alongar um pouco, quando necessário, as definições,
fazendo-as seguir das propriedades relativas. Nesse ponto, como aliás, em quase
toda a obra, seguimos o plano e a orientação do grande mestre da pedagogia
matemática, Jules Tannery. A compreensão exata dessas definições e propriedades
tem muito mais importância que a demonstração e o enunciado das regras, o qual,
em rigor, podia ser suprimido e estivemos a pique de faze-lo: ninguém aprende
uma operação decorando a respectiva regra (Roxo, 1923, p. 6).
Jules Tannery, como cita Valente (2004a, p. 63 – 67), enquadra-se no
movimento de reforma do ensino francês dado entre o final do século XIX e início
do século XX.
Os próximos livros de Euclides Roxo destinados ao ensino da matemática
foram publicados a partir de 1926. São pequenos livretos apenas com exercícios,
em co-autoria com H. Costa e O. Castro, ambos professores do Colégio Pedro II.
Foram editados os Exercícios de Trigonometria, Exercícios de Geometria,
Exercícios de Álgebra, e Exercícios de Arithmetica
56
.
56
No início do ano de 1928, dois artigos compõem uma polemica entre Euclides Roxo e F.
Souza Lima sobre o livro Lições de Arithmetica. Ambos denominados de Questiúnculas de
Aritmética, foram publicados no Jornal do Commercio do dia 18/19 de fevereiro e 6 de março, por
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 51 51
Figura 2 – Folha de Rosto da 1ª edição do livro Lições de Arithmetica de Euclides Roxo
Em 1925, dois anos após o reconhecimento de Euclides Roxo como autor de
livros didáticos, pela publicação dos Lições de Arithmetica, ele torna-se diretor do
Colégio Pedro II. Em 19 de agosto de 1925, Euclides Roxo é nomeado
interinamente Diretor do Externato e, em 3 de março de 1926, sua nomeação é
assinada então Presidente da República Arthur da Silva Bernardes e o Ministro
Afonso Penna (Tavarez, 2002, p. 105).
Em relação ao ensino, este novo cargo assumido por Euclides Roxo é de
suma importância, pois a Congregação do Colégio Pedro II exerceu forte
influência nas discussões educacionais sobre o ensino secundário devido à relação
com Departamento Nacional de Educação, criado em 1925 a partir da reforma
Rocha Vaz. Com este setor, o Conselho Superior de Ensino, instituído na reforma
Carlos Maximiliano, em 1915, foi substituído pelo Conselho Nacional de
Educação, que seria responsável por “discutir, propor e emitir opinião sobre as
questões, que forem submetidas à sua consideração sobre o ensino público, pelo
Souza Lima e Roxo, respectivamente. Em resumo, Souza Lima indica possíveis erros na obra e
Roxo rebate tais considerações.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 52 52
Governo, pelo Presidente do Conselho ou por qualquer dos seus membros” (Art.
12)
57
. Este conselho foi subdivido em três seções. Uma delas, o Conselho do
Ensino Secundário e Superior, composto pelos
diretores das Faculdades da Universidade do Rio de Janeiro, dos diretores das
Faculdades de Medicina, e Farmácia e de Odontologia da Bahia, de Direito de São
Paulo e do Recife, da Escola Nacional de Belas Artes, do Colégio Pedro II, das
escolas oficializadas [...] e de outros estabelecimentos de ensino secundário e
superior, que venham a ser subordinados ao Departamento Nacional de Ensino.
(Art. 14, a).
Este conselho seria responsável entre outras coisas por “propor reformas e
melhoramentos necessários ao ensino”.
Dessa forma, as decisões, em particular, sobre o ensino secundário estavam
estreitamente vinculadas ao Colégio Pedro II. Com efeito, segundo Tavares (2002,
p. 112), a comissão do Ensino Secundário era presidida pelo Diretor da
Congregação do Colégio Pedro II e composta por catedráticos deste colégio. Além
disso, as decisões, como por exemplo, relatórios analisados, eram votados nas
sessões da Congregação do Colégio Pedro II e encaminhadas ao Conselho
Nacional de Educação. Em suma,
Embora o Conselho Nacional de Ensino já se apresentasse como órgão mediador
entre a Congregação e o Ministro, o que se pode constatar, lendo as atas [da
Congregação] é que o Colégio Pedro II ainda exerce sua função de órgão
determinador das questões para o ensino secundário (Tavares, 2002, p. 114).
Por exemplo, o parecer sobre a proposta de reforma do ensino secundário
elaborada, no final da década de 1920, por Figueira de Mello, da Faculdade de
Direito do Rio de Janeiro, foi organizado por Euclides Roxo
58
. Em artigo sobre
esta proposta, publicado em 5 de setembro de 1928, no jornal Tempo, de Rio
Grande, encontramos o seguinte relato
59
:
Tudo fez acreditar que vamos ter para muito breve, nova reforma do ensino
secundário, mas desta feita, por processo que culminará a verdadeira eficiência da
instrução fundamental.
Sobre a projetada reforma indicada pelo conhecido professor Dr. Figueira de Mello
deu parecer, [ilegível] oficialmente o ilustre diretor do Colégio Pedro II, Dr.
57
Nóbrega, op. cit., p. 118.
58
Este parecer foi publicado no Jornal do Commercio no dia 28 de agosto de 1928 e no
Diário Oficial no dia 2 de setembro do mesmo ano. O documento ER.T.3.139 é uma versão
manuscrita deste relatório.
59
ER.I.4.085.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 53 53
Euclides Roxo fazendo como era de se esperar de forma tão brilhante que o seu
trabalho foi unanimemente aprovado pelo Conselho Superior do Ensino.
O Dr. Euclides Roxo que é uma das figuras mais notáveis e autorizadas do
magistério nacional sugere ao governo que a nova reforma estabeleça a maior
concatenação entre os diversos grais de ensino – primário, secundário e superior –
de modo que fique garantida uma seqüência natural entre eles.
[...]
O Dr. Euclides Roxo é pessoalmente conhecido nesta cidade onde fez distintas
relações.
É autor de magníficas obras didáticas consagradas pelo juízo dos competentes e
adotadas em muitos estabelecimentos de ensino, inclusive o Ginásio Municipal
Lemos Junior, onde tem dado os mais eficientes resultados práticos e teóricos,
como as excelentes “Lições de Arithmetica”.
[...]
Moço ainda, o Dr. Euclides Roxo é, no magistério brasileiro, uma personalidade de
altos primores de cultura, talento e austeridade.
Além da experiência como autor de livros destinados ao ensino da
matemática na escola secundária, como Diretor do Colégio Pedro II e como
professor da Escola Normal, Euclides Roxo participou também de propostas no
meio educacional a partir da Associação Brasileira de Educação – ABE
60
.
Segundo Rocha (2001, p. 132), “O professor Euclides Roxo foi sócio da ABE
desde, pelo menos, o ano de 1926. Pertenceu ao Conselho Diretor, de outubro de
1929 até o mesmo mês de 1932. Participou da Seção de Ensino Secundário como
membro e como Presidente”. Nagle (2001) resume as ações da ABE, destacando
sua importância, da seguinte forma:
A ABE representou a primeira e mais ampla forma de institucionalizar a discussão
dos problemas da escolarização, em âmbito nacional; em torno dela se reuniram as
figuras mais expressivas entre os educadores, políticos, intelectuais e jornalistas, e
sua ação se desdobrou ma programação de cursos, palestras, reuniões, inquéritos,
semanas de educação e conferências, especialmente as conferências nacionais de
educação. Será por meio de tais iniciativas que a preocupação com os problemas
educacionais se alastra e se sistematizam as discussões. [...] .
As principais iniciativas da ABE foram as Conferencias Nacionais de Educação,
em número de três (p. 163).
Cunha (1981, p. 6, grifos do autor) destaca que a realização de encontros
sobre educação marca “um momento do processo de organização do campo
educacional: o momento da consciência da especialidade da educação, em
particular da educação escolar”. A partir das conferências “é possível assinalar a
60
Segunda Carvalho (1998, p. 53 e 100) a ABE foi fundada em 16 de outubro de 1924 por
treze intelectuais cariocas: Heitor Lyra da Silva, Mário Paulo de Brito, Delgado de Carvalho, Melo
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participação dos educadores na elaboração da política educacional do Estado,
configurando um movimento de baixo para cima e da periferia para o núcleo”.
Como veremos no próximo capítulo, Euclides Roxo participou do quarto
Congresso de Instrução Secundária e Superior, em 1922, apresentando propostas
para a renovação no ensino da matemática. Além disso, como localizado por
Rocha (2001), a proposta da ABE para a segunda Conferência Nacional de
Educação, realizada em novembro de 1928, na cidade de Belo Horizonte
61
,
apresenta uma sugestão para a estrutura do ensino secundário bem com programas
para a disciplina matemática com orientações metodológicas, que possivelmente
foram elaborados por Euclides Roxo. Com efeito, a hipótese levantada por Rocha
(2001, p. 133) sobre a possível participação de Euclides Roxo na elaboração
destes programas é reforçada por um dos documentos de seu arquivo pessoal, pois
o mesmo apresenta exatamente a lista de conteúdos apresentados pela ABE
62
.
Por fim cabe destacar a integração de Euclides Roxo com as novas
tendências em ensino de matemática, veiculadas em diversas publicações
internacionais, a partir dos registros das encomendas feitas que se encontram
citadas no seu arquivo pessoal e usadas por ele, posteriormente, no livro A
Matemática na Escola Secundária, publicado em 1937
63
. Segundo Valente
(2004a),
[...] a relação de Roxo com seus editores era muito estreita. Pro intermédio de
Paulo Mendes Viana, sócio minoritário da Editora Francisco Alves e por
intermédio também do professor de matemática, Roxo estava sempre atualizado
quanto às publicações de didáticos editados no exterior (p. 69).
* * *
Sirinelli (2003) considera duas acepções para o intelectual, “uma ampla e
sociocultural, englobando os criadores e os ‘mediadores’ culturais” e outra “mais
Leitão, F. Labouriau, Levi Carneiro, Branca Fialho, Othon Leonardos, Armanda Álvaro Alberto,
Francisco Venâncio Filho, Edgar Süssekind de Mendonça e Benevenuto Ribeiro.
61
A segunda Conferência Nacional de Educação suscitou um grande debate sobre o ensino
secundário, que pode ser encontrado em Silva (2004).
62
ER.T.3.013. Documento intitulado Esboço do programa de matemática para o curso
secundário de acordo com a distribuição de matérias adota pela Associação Brasileira de Ensino
[sic]. Os programas deste documento diferem do apresentado por Rocha (2001, p. 134 – 136)
apenas num item do segundo ano.
63
Os documentos ER.T.1.008 ao ER.T.1.010 apresentam listas com pedidos de livros de
diversos países. Em anexo a esta Tese, encontram-se a lista completa das referências bibliográficas
utilizadas por Euclides Roxo no livro citado. Mantemos as citações como no original, sem adequar
as atuais normas da ABNT.
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Euclides Roxo: do Engenheiro ao Educador Matemático 55 55
estreita e baseada na noção de engajamento na vida da cidade como ator”. Na
primeira acepção, “estão abrangidos tanto o jornalista como o escritor, o professor
secundário como o erudito”, na segunda, as modalidades específicas, como por
exemplo, os signatários de um manifesto. (p. 242 – 243). Mas, ainda de acordo
com Sirinelli (2003), a segunda acepção
não é, no fundo, autônoma da anterior, já que são dois elementos de natureza
sociocultural, sua notoriedade eventual ou sua “especialização”, reconhecida pela
sociedade em que ele vive [...], que o intelectual põe a serviço da causa que
defende (p. 243).
Assim, os elementos fundamentais considerados por Valente (2004a, p. 71)
para explicar as iniciativas de Euclides Roxo para propor mudanças no ensino da
matemática em 1929, no Colégio Pedro II – experiência como professor e diretor
do Colégio Pedro II; membro da comissão de ensino responsável pelos
programas; sucesso como autor das Lições de Arithmetica; e sua constante
pesquisa em relação aos movimentos internacionais, principalmente a partir das
publicações sobre o ensino da matemática em diversos países – bem como sua
experiência como professore da Escola Normal, como descrito anteriormente, são
suficientes para considerar Euclides Roxo um intelectual, como a acepção de
Sirinelli. Mas, um intelectual atuante no ensino da matemática, ou seja, um
educador matemático.
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
56
3 Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas
três primeiras décadas do século XX
Em todos os tempos, as idéias sobre educação e as
práticas de ensino têm apresentado variações. [...] A
partir de que data podemos marcar-lhes a presença?
De modo mais vivo, desde os últimos anos do
século passado [século XIX]. Em vários países,
muitos educadores então passaram a considerar
novos problemas relativos ao desenvolvimento das
crianças. Outros experimentaram variar os
procedimentos de ensino, ou logo transformar as
normas tradicionais da organização escolar, com
isso ensaiando uma escola nova, no sentido de
escola diferente das que existissem. [...] Não se
refere a um só tipo de escola, ou sistema didático
determinado, mas a todo um conjunto de princípios
tendentes a rever as formas tradicionais do ensino.
Lourenço Filho, 1978, p. 17
Nagle (2001) considera duas fases de penetração do escolanovismo no
Brasil. A primeira compreendendo o período entre o império e as duas primeiras
décadas do século XX. Nesta fase, segundo ele,
não [se] encontram nem a apresentação sistemática e ampla das idéias
escolanovistas, nem a criação de instituições escolares que possam denunciar o
aparecimento da nova modalidade de compreensão da escolarização. O que se
encontra nessa fase são apenas alguns antecedentes: de um lado, antecedentes no
sentido de modesta infiltração destes ou daqueles procedimentos, idéias ou
princípios; de outro, antecedentes no sentido de condição facilitadora para a mais
sistemática e ampla difusão posterior do ideário (p. 308).
A segunda fase, que compreende a década de 1920, é considerada por Nagle
(2001, p. 310) como o período de difusão e realizações. Mas, como esse processo
atingiu o ensino da matemática nos diversos níveis de ensino? Como tais
antecedentes contribuíram para as mudanças no ensino da matemática na escola
secundária após a década de 1920?
Como foi citado na introdução do capítulo anterior, as pesquisas até agora
realizadas sobre Euclides Roxo, devido aos objetivos a que se propõem, tratam o
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século XX
57
assunto a partir da reforma de 1929, no Colégio Pedro II, quando ele implantou
alterações significativas no ensino da matemática
1
. Mas, tais alterações não foram
autônomas se considerarmos a existência social de Euclides Roxo, como mostrado
no capítulo anterior, e algumas mudanças registradas no ensino da matemática
escolar, a partir da década de 1890, que pretendiam, como citado acima por
Lourenço Filho, “rever as formas tradicionais do ensino”. Dessa forma, o objetivo
deste capítulo é apresentar indícios de mudanças no ensino da matemática escolar
anterior à década de 1930. Apresentaremos tais alterações destacando que alguns
pontos defendidos por Euclides Roxo, a partir de 1929, já eram objeto de
discussão e de propostas implantadas no ensino da matemática em determinados
níveis de ensino, principalmente na escola normal. Ou seja, não foi na escola
secundária que pela primeira vez se manifestaram reflexões substanciais sobre o
ensino da matemática.
3.1. O ensino da matemática na escola normal
3.1.1. A Escola Normal do Distrito Federal e os programas de
Matemática: 1894 – 1929
A Escola Normal do Distrito Federal foi criada em 1876, pelo Decreto n.
6379 de 30 de novembro, objetivando a formação de professores para a escola
primária
2
. Em 1880, ocorreu a inauguração desta instituição. Entre as diversas
mudanças efetuadas inicialmente pelos decretos que regularam esta instituição
destaca-se a duração do curso normal, variando entre três e quatro anos.
Entre os programas localizados
3
, o mais antigo, datado em 1894, nos mostra
as alterações efetuadas neste nível de ensino a partir da reforma municipal
elaborada por Candido Barata Ribeiro
4
. As especificidades para a Escola Normal
1
Ver Dassie, B. A. A Matemática do curso secundário na Reforma Gustavo Capanema.
Rio de Janeiro, 2001. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Departamento de Matemática,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro., Rocha, J. L. da. A Matemática do curso
secundário na Reforma Francisco Campos. Rio de Janeiro, 2001. Dissertação (Mestrado em
Matemática) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro., Tavares, J.C. A Congregação
do Colégio Pedro II e os debates sobre o Ensino de Matemática. São Paulo, 2002. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) – Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo., e Valente (op. cit.).
2
Silveira, A. B. História do Instituto de Educação. Distrito Federal: [s.n.], 1954.
3
Estes programas encontram-se no CEMI.
4
Silveira, A. B. op. cit., p. 34.
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século XX
58
foram determinadas por um regulamento de 22 de agosto do mesmo ano, que iria
vigorar a partir de 1894
5
.
Em relação aos programas de matemática, possivelmente, esta reforma
adotou as alterações da reforma executada por Benjamin Constant Botelho de
Magalhães (1836-1891) em 1890, pelo Decreto n. 407, de 17 de maio, após ser
empossado na Pasta da Instrução, Correios e Telégrafos
6
. Em particular, no Curso
de Ciências e Letras os conteúdos de matemática foram divididos em aritmética,
álgebra, geometria preliminar, trigonometria, noções de cálculo e geometria geral
e elementos de mecânica racional. Os programas de 1894 apresentam esses
mesmos conteúdos, mas distribuídos nos dois primeiros anos. No primeiro, sob a
denominação Matemática Elementar, encontram-se os conteúdos de aritmética,
álgebra, geometria e trigonometria; e no segundo ano, sob a denominação de
Mecânica encontram-se as noções indispensáveis de Geometria Geral, a saber,
Geometria algébrica, Geometria diferencial e Geometria integral. Dessa forma,
observa-se que as mudanças implantadas no ensino da matemática neste período
na Escola Normal, seguem as mesmas orientações da reforma do ensino
secundário, quando este também foi reformado por Benjamim Constant. Em
relação à matemática do curso secundário, Rocha (2001) afirma que
As mudanças em relação ao ensino da matemática foram bastante significativas,
pois [...] foram incluídos o cálculo integral e diferencial, a geometria analítica e,
naturalmente, o estudo de funções, imprescindível ao estudo do cálculo. Este é um
marco na história do estudo da matemática, pois, pela primeira vez, programas de
matemática abrangiam conteúdos que foram, de certa forma, responsáveis pelo
grande desenvolvimento alcançado pelas ciências naturais, notadamente a física e a
química, a partir do século XVII (p. 16).
Quanto aos conteúdos do programa de 1894, podemos destacar algumas
características de acordo com os objetivos propostos para este capítulo.
Em aritmética eram estudadas as quatro operações, divisibilidade, números
primos, m.d.c e m.m.c., frações ordinárias e decimais, raiz quadrada e proporções
(estudo complementar). Não se encontra no programa de aritmética a teoria das
5
Este regulamento não foi localizado.
6
Esta reforma determinava que a Escola Normal era “um estabelecimento de ensino
profissional” que “teria por fim dar aos candidatos a carreira do magistério primário, a educação
intelectual, moral e prática necessária e suficiente para o bom desempenho dos deveres do
professor, regenerando progressivamente a escola pública de instrução primária” (Art. 1).
Conseqüentemente, o currículo tornou-se enciclopédico e foi subdividido em Curso de Ciências e
Letras e Curso de Artes.
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século XX
59
progressões nem a dos logaritmos, como era comum no ensino secundário
7
. Mas,
estes tópicos eram tratados no programa de Álgebra
8
. Dessa forma, surge também
no ensino normal, em 1893, a concepção algébrico-funcional do logaritmo, como
denominado por Miorim e Miguel (2002, p. 23).
Mas, são nos programas de álgebra que encontramos registros mais
significativos. Os tópicos iniciais listados indicam a articulação entre esta parte e a
Aritmética, mostrando assim um indício do que posteriormente será considerado
um dos principais pontos defendidos nas reformas do ensino da matemática na
escola secundária, que seguem a partir de 1929, a saber, a fusão dos diversos
ramos. Vejamos:
I – Resolução de alguns problemas sem auxílio de sinais: uso exclusivo do
raciocínio – Resolução dos mesmos problemas utilizada [sic] a notação gráfica:
emprego dos sinais como meio de simplificação – Fase algébrica, fase aritmética.
II – Problemas dando lugar a equações numéricas do primeiro grau a uma só
incógnita – Resolução das equações deste gênero – Exercícios e problemas.
III – Problemas dando lugar a equações simultâneas do primeiro grau – Redução ao
caso de uma só incógnita – Eliminação, seu destino e métodos – Exercícios e
problemas.
IV – Emprego das letras como meio de generalização – Extensão das regras
anteriormente estudadas à resolução das equações do primeiro grau a uma ou mais
variáveis – Fórmulas gerais, aplicações.
V – Transformação das fórmulas: necessidade das operações algébricas, seu estudo
elementar – Divisibilidade por x – a – Exercícios.
A seqüência determina uma passagem da aritmética para a álgebra pela
resolução de problemas, ou seja, a relação entre as grandezas envolvidas numa
situação-problema poderia ser expressa por uma linguagem simbólica
9
. As
operações algébricas, dessa forma, como citado no item V, surgem como
necessidade de manipular símbolos. Em termos metodológicos, a seqüência acima
se distingue da adotada no ensino secundário, que iniciava o programa de álgebra
com os tópicos monômio e polinômio, e os problemas do 1º grau, por exemplo,
7
Miorim, M. A.; Miguel, A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMat,
2002. (Séries Textos de História da Matemática, v. 9).
8
Parte dos programas: X – Progressões – Determinação das fórmulas do termo de uma
ordem qualquer e da soma de um certo número deles – Limite da soma dos termos de uma
progressão por quociente decrescente ao infinito – Apreciação sumária dos problemas que se
podem resolver com as duas equações então estabelecidas – Instituição da equação exponencial.
XI – Resolução da equação exponencial de primeira ordem – Instituição da teoria dos logaritmos –
Estudo especial do sistema de Briggs – Análise sucinta da construção de uma taboa de logaritmos
– Uso da taboa de Callet – Aplicações.
9
O primeiro capítulo dos Elementos de álgebra de Clairaut iniciasse exatamente dessa
forma.
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
60
surgiam apenas como aplicabilidade após o desenvolvimento dos conteúdos de
equações do 1º grau. Além disso, esta ordem se aproxima muito do que foi
defendido por Euclides Roxo, na parte referente à álgebra, tanto nas orientações
metodológicas de 1929, quanto nas de 1931. O programa de álgebra segue com o
estudo dos binômios, fórmulas gerais, cálculo indeterminado, equações do
segundo grau, equação irracional, progressões, equações exponenciais, logaritmo
e juros compostos e anuidades (estudo complementar), como era comum no
ensino secundário.
Para o estudo da geometria não há programas, pois a determinação era
seguir os Elementos de Lacroix, sendo que cada teoria deveria ser seguida de
aplicações práticas, gráficas e numéricas
10
. Ou seja, o caráter teórico não era o
único aspecto explorado no ensino da geometria. Em trigonometria não há
nenhuma diferença quando comparada ao ensino secundário. Os seguintes
conteúdos versavam nesta parte: linhas trigonométricas e fórmulas, tábuas
trigonométricas, resolução de triângulos e noções de trigonometria esférica. As
noções indispensáveis de Geometria Geral, precediam os Elementos de Mecânica,
que contemplam as noções de Cálculo Diferencial e Integral
11
. Tais conteúdos
caracterizam o caráter enciclopédico implantado pela reforma. Podemos então
observar que os mesmos não eram compatíveis com a formação proposta nos
cursos normais.
Na seqüência das reformas implantadas a partir da década de 1890, diversos
programas são publicados para a Escola Normal
12
. Podemos separar o conjunto de
programas em dois grupos. Um deles entre os anos de 1902 a 1914 e o outro, entre
1915 e 1929.
10
p. 8.
11
Os programas para esta parte eram: Geometria Algébrica: Síntese da geometria antiga –
Apreciação da concepção cartesiana – Geometria geral, seu objeto e sua divisão fundamental –
Estudo da linha reta e do plano – transformação de coordenadas – Número de pontos necessários à
inteira determinação de cada espécie de curva – Diâmetros – Centros – Curvas semelhantes –
Classificação das superfícies – Estudo das curvas do 2º grau. Geometria Diferencial: Exame das
concepções de Leibniz, de Newton e de Lagrange – Diferenciação das formações a uma só
variável independente – Diferenciação das formações a duas e mais variáveis independentes –
Séries e suas principais aplicações algébricas – Dupla teoria das tangentes e assíntotas – Teoria da
curvatura plana. Geometria Integral: Integrais imediatas – Idéias gerais sobre os métodos
empregados para integrar as fórmulas diferenciais – Retificação – Quadratura – Cubatura –
Apreciação sintética da geometria geral (p. 16, grifos nossos).
12
Para este período, encontram-se no CEMI os programas para os anos de: 1894, 1902,
1904, 1906, 1907, 1908, 1909, 1910, 1911, 1912, 1913, 1914, 1915, 1924, 1929.
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século XX
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Entre 1902 e 1914, os programas apresentam essencialmente os mesmos
tópicos. Em aritmética, ensinada no primeiro ano do curso, os seguintes conteúdos
eram ministrados: numeração e sistema decimal, operações fundamentais,
divisibilidade, m.d.c., números primos, operações com frações ordinárias e
decimais, quadrado e raiz quadrada, cubo e raiz cúbica, sistema métrico, razões e
proporções, progressões, e logaritmo. Em álgebra, no segundo ano, temos: termos
semelhantes, multiplicação e divisão algébrica, divisibilidade por xa
±
, binômio
de Newton, quadrado e raiz quadrada de expressões algébricas, expoentes
negativos e fracionários, permutações, arranjos e combinações, funções e suas
classificações, equações e suas classificações, sistema de equações,
indeterminações, soluções da equação ax + by = c, equações do 2º grau,
progressões, e logaritmos. Os conteúdos de geometria e trigonometria,
apresentados também no segundo ano, eram basicamente os seguintes: linhas
retas, ângulos, triângulos, perpendiculares, obliquas e paralelas, quadriláteros,
polígonos, proporcionalidade, semelhança, relações métricas no triângulo
retângulo, poliedros, círculos (inscrição e circunscrição de polígonos regulares e
retificação), quadraturas, cubaturas, linhas trigonométricas e fórmulas, tábuas
trigonométricas, e resolução de triângulos.
De maneira geral, os conteúdos listados nesses programas eram os mesmos
da escola secundária
13
, mas algumas particularidades podem ser destacadas.
Em geometria, em 1902, o livro indicado era a geometria de Clairaut; entre
1906 e 1910 a indicação era a geometria de Lacroix; entre 1912 e 1914, não há
indicação de livro. Entre os anos de 1906 e 1914, o livro de álgebra indicado era a
obra
Elementos de Álgebra, de José Joaquim de Queiroz
14
, professor da Escola
Normal
15
. Este livro apresenta simplificações na seleção e na abordagem dos
conteúdos, como citado pelo autor no prefácio
16
. Não há orientações para a
13
Ver Beltrame, op. cit.
14
Exemplar localizado: Queiroz, J.J. Elementos de álgebra. São Paulo: Livraria Francisco
Alves, 1924.
15
Os programas de 1912 registram os nomes dos professores da Escola Normal.
16
“Não há nestes ‘Elementos de Álgebra’ teoria alguma, que não se encontre na maior
parte dos livros, que tratam do mesmo assunto; pelo contrário, encontram-se nesses livros algumas
teorias, que não foram expostas nestes ‘Elementos’. Além disso certas teorias não tem aqui o
desenvolvimento, que lhes dão alguns autores. Esses dois fatos – exclusão de algumas teorias e
pequeno desenvolvimento dado a outras – foram os dois motivos, que mais me induziram a
publicar esta obra. Com efeito, sendo muito limitado o tempo, que se destina ao estudo desta
matéria nos Institutos quer municipais, que federais e estaduais, à exceção daqueles, cujo objetivo
é principalmente o ensino da Matemática, julguei conveniente compendiar o que há de mais útil
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século XX
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execução dos programas. Dessa forma, levando em consideração apenas a lista
com os tópicos de cada um dos anos, não se encontram registradas formas
distintas de ensinar matemática na escola normal quando comparadas com o
ensino secundário.
Em 1915, os programas apresentam, de maneira bem elementar, orientações
que valorizam o caráter utilitário. Neste ano, a Escola Normal foi regida pelo
Decreto n. 985, de 10 de outubro de 1914. Segundo este documento, o curso de
álgebra deveria ter um caráter prático, “abrangendo o estudo das quatro operações,
equações e problemas do 1º grau a uma ou duas incógnitas” (p. 5). E para o curso
de geometria, os conteúdos deveriam limitar-se ao “indispensável para o
conhecimento da igualdade, da semelhança e da equivalência das figuras planas e
dos corpos geométricos, e aos problemas correlativos, para os quais haverá uma
aula especial por semana”. Com efeito, segundo a introdução dos programas para
o ano de 1915, os conteúdos de geometria deveriam ser divididos em
teóricos,
com aula três vezes por semana, e
práticos, em uma aula por semana, onde seria
priorizada a resolução de problemas dependentes da régua e do compasso e dos
problemas que poderiam ser resolvido pelo cálculo (p. 51). O livro indicado era os
Éléments de Géométrie, de Lacroix. Para os conteúdos de aritmética, não havia
nenhum tipo de orientação especial.
Entre 1916 e 1923, não encontramos nenhum programa de ensino, apenas o
Decreto n. 1059, de 14 de fevereiro de 1916, citado no capítulo anterior. Esse
decreto regia a Escola Normal quando se deu a entrada de Euclides Roxo nessa
instituição
17
. Dessa forma, o ensino da matemática deveria seguir as orientações
desse documento e, novamente, encontramos registros de mudanças significativas
na concepção dos programas de matemática. De maneira geral, retomando o que
foi citado no capítulo anterior, os programas, de acordo com esse decreto,
deveriam ser confeccionados seguindo os métodos do ensino primário e o ensino
em relação às transformações algébricas e à resolução das equações do 1º e 2º graus, facilitando
quando possível, a compreensão dos teoremas, por meio de exemplos que traduzam seu enunciado.
O estudante, dos quais se exige a Matemática elementar, como simples estudo de preparo, não
precisam neste ramo dessa ciência de noções mais amplas do que as contidas neste livrinho.
Aqueles, que tiverem de prosseguir no estudo dessa matéria, lucrarão evidentemente em adquirir
noções bem claras sobre seus rudimentos”. (Queiroz, op. cit., p. 7 – 8).
17
Os professores da Escola Normal, listado no Decreto n. 1063, de 25 de março de 1916,
eram: José Joaquim de Queiroz, Amélia Mendes da Silva e Chistiano Baptista Franco, para
Aritmética e noções de Álgebra, e Francisco Carlos da Silva Cabrita e Roberto Nunes Lindsay,
para Geometria Teórica e Prática.
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século XX
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deveria, tanto quanto possível, ser auxiliado por meios práticos e elementares.
Para isso, então, o professor deveria explorar o “caráter intuitivo, prático e
dedutivo, evitando que seja a memória, em vez do raciocínio, a base do trabalho
dos alunos”. Dessa forma, em matemática encontramos as seguintes orientações
para os programas de ensino.
Em aritmética, além dos conteúdos presentes nos programas anteriores já
citados, encontram-se as “noções de álgebra indispensáveis, especialmente, do
método algébrico, de generalizações”. Novamente, como para o ano de 1894,
encontra-se uma articulação entre aritmética e álgebra. Além disso, outros
aspectos caracterizavam uma nova maneira de conduzir o ensino dessa disciplina:
Não esquecer do caráter indutivo, destinado a contar e a medir, que tem a
disciplina, o seu caráter educativo, que exercita a inteligência na atenção, na
concentração interior, no raciocínio lógico. Pensar dos meios materiais de instrução
ao cálculo mental, e só depois oral e escrito; justificação, meio empregado para
obter os resultados. No curso haverá constantes exercícios, até aulas inteiramente
dedicadas à resolução de problemas sobre a matéria dada: os problemas devem ser
práticos, para despertar o interesse da utilidade imediata; na maneira de os resolver
[sic] é que se põem à prova as aquisições de doutrina e os métodos educativos do
ensino.
Para o ensino da geometria, os programas deveriam contemplar o
“indispensável para o conhecimento das figuras planas e dos corpos geométricos e
estudo das suas condições de igualdades, semelhança e equivalência, dos
problemas correlatos, com o emprego dos processos de taquimetria”. Mas, além
disso, o curso deveria conter
aplicações práticas que facilitariam o trabalho
manual, as artes decorativas, a construção, o nivelamento e terraplanagem, e os
problemas relativos à medida de áreas e volumes. Mais uma vez ocorre a
valorização do aspecto prático e não somente o caráter teórico no ensino da
geometria.
Por fim, cabe observar que tanto a aritmética quanto a geometria deveriam
ser ensinadas simultanemante ao longo dos quatro anos de curso (Art. 4º) e que as
denominações para as disciplinas eram
Aritmética e noções de álgebra e
Geometria teórica e prática (Art. 3º).
As transformações ocorridas na escolarização a partir de 1920, citadas no
capítulo anterior, também produziram alterações significativas no ensino da
matemática na escola normal. A primeira reforma citada foi a elaborada por
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século XX
64
Carneiro Leão, em 1924. Acreditamos que o Curso de Férias realizado em 1923,
citado no capítulo anterior, foi decisivo para a confecção dos programas de
ensino, publicados em 1924. Relembrando as palavras de Carneiro Leão (1926, p.
46), “[...] logo que pude ver qual a diretriz aconselhável no nosso ensino procurei
reunir o professorado, para estabelecer com ele uma orientação que se pudesse
generalizar”.
Não há registro se Euclides Roxo participou dessas discussões, mas,
novamente, agora de forma explícita, as orientações sobre a articulação entre os
campos da matemática escolar, a partir da fusão da aritmética, álgebra e
geometria, estão registradas
18
. Na introdução do documento
19
, encontramos a
seguinte observação:
No programa das matemáticas, não se podendo reunir em um só corpo as diversas
partes constitutivas dessa ciência – Aritmética, Álgebra, Geometria – porque o
regulamento [Decreto n. 1059, de 14 de fevereiro de 1916] as separou em anos
diferentes, tentou-se manter, sempre que possível, o contato com os fatos concretos
e com as aplicações. É procurando fazer da observação e da experiência a base do
raciocínio que não só se há de criar o gosto pelo estudo fundamental das
matemáticas, mas se estabelecerá solidamente a formação intelectual (p. 5 – 6).
Dessa forma, a matemática ficou distribuída ao longo dos três anos do curso
da seguinte maneira: Aritmética, no primeiro ano, Álgebra, no segundo, e
Geometria, no terceiro. Mas apesar da separação, as propostas para o ensino
desses ramos estavam de acordo com as características gerais da reforma. Sob a
denominação
Matemática elementar, os diferentes conteúdos deveriam ser
apresentados de forma que
Ao estudo teórico indicado nestes programas deve corresponder o das aplicações
práticas, tão variadas quanto possível [...] O ponto de vista prático deverá estar de
acordo com os altos interesses didáticos e futuros das normalistas e com
metodologia indicada nos programas das escolas primárias (p. 37).
Quando aos conteúdos, temos que na parte de Aritmética e Geometria os
mesmos tópicos dos programas de 1902 a 1914, citados anteriormente, são
listados. E, mais uma vez, a articulação entre aritmética e álgebra está presente.
Nos programas de álgebra, as primeiras lições caracterizam esse aspecto:
18
No item 2.3 deste capítulo serão apresentadas, a partir de Valente (2007), as discussões
sobre a fusão dos ramos no 4º Congresso de Instrução Superior e Secundária, realizado em 1922.
19
Programas dos Cursos da Escola Normal para o ano de 1924.
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século XX
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1 – Revisão de um problema resolvido no curso de Aritmética [...] para se verificar
o esforço do calculista no encadeamento das condições do problema, isto é, para
seguir o fio do raciocínio através das palavras e expressões que é obrigado a repetir
freqüentes vezes na designação das relações existentes entre os números dados e os
pedidos. Resolução do mesmo problema empregada a mais simples linguagem ou
notação algébrica.
2 – Variantes do referido problema, quanto ao número de partes e aos excessos
numéricos correspondentes, para se mostrar a possibilidade de se chegar a uma
regra pela qual se pode resolver imediatamente e sem passar pelos detalhes do
raciocínio, todos os problemas semelhantes aqueles de que se trata e que dele
diferem apenas pelos valores dos números, dados, a possibilidade de se representar
por letras tais valores, quaisquer que sejam eles, e de se chegar a uma fórmula que
traduz a referida regra e que a generaliza.
3 – Dos problemas estudados tirar a noção elementar de equação, como igualdade
que se verifica para determinado valor da incógnita. Mostrar que problemas de
enunciados inteiramente diferentes, parecendo inconfundíveis, podem ser
traduzidos, por um mesmo tipo de equação [...].
4 – Generalização de tais problemas e, daí, a conveniência de estudo mais amplo,
mas sempre elementar, da linguagem e das operações algébricas (p. 44 – 45, grifos
no original).
A seqüência dos conteúdos segue com os mesmos tópicos contemplados nos
programas de álgebra, já descritos anteriormente.
A continuidade nas mudanças do ensino no Distrito Federal é dada pela
reforma, em 1928, elaborada por Fernando de Azevedo. E, novamente
encontramos fragmentos que delimitam mudanças importantes no ensino de
matemática. Na
Introdução Geral dos programas da Escola Normal para o ano de
1929, a seguinte observação é feita:
Os programas de Matemática só poderão ser modificados, ao jeito das idéias da
Reforma, em 1930, quando ao primeiro ano da Escola Normal chegarem os alunos
que ora freqüentam o curso complementar, em que a Matemática é ensinada em
conjunto. (p. 24)
20
O curso complementar era realizado em dois anos. Dessa forma, a turma que
atingisse em 1930 o primeiro ano na Escola Normal teria realizado o curso
complementar nos anos de 1928 e 1929, sendo, então, a matemática
ensinada em
conjunto desde o primeiro ano. Ou seja, a experiência do ensino concomitante dos
diferentes ramos da matemática escolar foi realizada já em 1928 no curso
complementar.
Os programas para o ano de 1929, mostram a distribuição e os conteúdos de
matemática que eram determinados para os dois anos desse curso. Apesar de
20
Os cursos complementares ao primário, como citado no capítulo anterior, eram anexados
aos colégios e tinham a duração de dois anos.
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século XX
66
extensos merecem transcrição completa, já que foi a primeira experiência, até
então registrada e realizada
21
, onde os diferentes ramos da matemática foram
ensinados simultaneamente
22
:
1º Ano
1 – Aritmética – Numeração dos números inteiros, decimais e frações ordinárias –
Numeração romana; numeração dos números complexos. Sistema métrico –
Enumeração das principais unidades.
Álgebra – Uso das letras na solução das questões simples de aritmética. Noções de
álgebra; princípios relativos às igualdades – Por em equação problemas a uma
incógnita; resolução de equação do 1º grau a uma incógnita.
Geometria – Noções preliminares, definições; emprego da régua e do compasso. A
reta; o plano. Figuras geométricas. Coordenadas de um ponto sobre uma reta e
sobre dois eixos.
Cálculo mental – Processos graduados de cálculo mental relativo à adição e à
subtração de números inteiros.
2 – Aritmética – Adição de números inteiros; de números decimais; de frações; de
números complexos; subtração de números inteiros, decimais, frações e complexos.
Sistema métrico – Medidas de comprimento, múltiplos e sub-múltiplos. Medidas
efetivas; itinerárias.
Álgebra – Por em equação e resolver problemas simples a uma e duas incógnitas –
Subtração de uma soma e de uma diferença.
Geometria – Perpendiculares e obliquas. Construção de perpendicular no meio de
uma reta. Diâmetro perpendicular à corda. Sistema axial – Paralelas.
Cálculo mental – Processos de multiplicação e divisão de um número por 2, 3, 4, 5
e 6.
3 – Aritmética – Princípios relativos à multiplicação – Multiplicação de números
inteiros; decimais; frações; complexos. Múltiplos e potências de um número.
Sistema métrico – Medida das superfícies; múltiplos e submúltiplos – Medidas
agrárias.
Álgebra – Multiplicação algébrica, multiplicação de um número por uma soma ou
diferença. Por em equação e resolver problemas a uma e duas incógnitas.
Geometria – Quadriláteros usuais – área e perímetro. Polígonos: área e perímetro.
Polígonos regulares – inscrição no círculo. Polígonos estrelados – Sistema central.
4 – Aritmética – Princípios relativos à divisão – Divisão dos números inteiros;
decimais; frações; complexos. Caracteres de divisibilidade de um número por 2 e
5; 4 e 25; 3 e 9.
Geometria – Circunferência; traçado de tangente; tangentes comuns; concordância;
concordâncias usuais de arcos e retas. Circunferências tangentes; concordâncias
usuais de arcos de circunferência. Polígonos. Circunferência; valor de (pi). Área do
círculo; da coroa e do setor circular.
Álgebra – Por em equação problemas simples do 1º grau a uma e duas incógnitas e
resolver as equações.
Cálculo mental – Multiplicação e divisão de um número por 50; por 25 e por 75;
por 12 = 3x4; por 15 = 3x5, etc.
2º Ano
5 – Aritmética – Porcentagens e suas aplicações. Proporções. Regra de três.
Sistema métrico – medidas de volume – múltiplos e submúltiplos.
21
Corregio de Castro, professor da Escola Normal, em seu artigo denominado Sugestões de
programas, publicado no Jornal do Commercio, em 10 de dezembro de 1931, confirma a execução
dos programas para os alunos do curso complementar, onde a “matemática elementar de conjunto”
foi ministrada, ou seja, conforme a distribuição a seguir apresentada.
22
p. 8 – 10.
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
67
Geometria – O cubo – Prisma reto e base retangular; volume; desdobramento da
superfície. O prisma. O cilindro: volume e desdobramento de superfície.
Álgebra – Resolução de equações a uma e duas incógnitas.
6 – Aritmética – Divisão proporcional – Regra de Sociedade. Sistema métrico –
medidas de capacidade – múltiplos e submúltiplos.
Geometria – Pirâmide regular – Cone reto de base circular; volume;
desdobramento da superfície. Esfera; área e volume.
Álgebra – Resolução de equações a uma e duas incógnitas.
7 – Aritmética – Juros – Descontos e comissões. Sistema métrico – medida de
massa e peso. Múltiplos e submúltiplos – medidas efetivas; densidade.
Álgebra – Resolução de equações do 1º grau a uma e duas incógnitas.
Geometria – Escalas – Noções de igualdade, semelhança e equivalência.
8 – Aritmética – Mistura e liga – Título – Cambio. Sistema métrico – moedas.
Álgebra – Progressões aritméticas e geométricas.
Geometria – Curvas usuais – Cônicas – geração.
9 – Aritmética – Máximo divisor e menor múltiplo comum – Raiz quadrada de
inteiros e decimais.
Álgebra – Logaritmos decimais
Geometria – Relações numéricas no triangulo. Tronco de pirâmide. Tronco de cone
– Volume; desdobramento da superfície. Noção do manejo da régua de cálculo.
Quanto aos conteúdos do curso normal,
[...] foi mantido, sem alteração, o programa anterior de Aritmética, sofrendo ligeiro
aumento o de Álgebra. Apenas o de Geometria foi objeto de modificação sensível.
Visou-se a [sic] finalidade prática que levava o aluno, não somente ao cálculo de
áreas e volumes, mas também às aplicações às ciências físicas. Daí a maneira
porque se expõe a trigonometria certos lugares geométricos e as noções de tangente
e normal (p. 24).
Novamente, valoriza-se o caráter prático, agora articulado com aplicações
em outras áreas do conhecimento
23
.
23
Em 1925, o Estado do Espírito Santo também reformou a instrução pública. O Decreto n.
6601, que regulou o ensino normal (denominado ensino secundário especial) e primário, também
apresenta características que valorizam aspectos práticos e a participação do aluno. O ensino da
matemática era dividido em aritmética, noções de álgebra e geometria. Algumas observações
podem ser destacadas: a) na escola normal, o professor no estudo da aritmética, tanto no primeiro
como no segundo ano, deveria sempre “esforçar-se no sentido de um objetivo prático, evitando,
tanto quanto possível, sobrecarregar a memória dos alunos com regras e teoremas” (p. 17); b) para
o curso complementar ao primário, anexo a escola normal, os programas de geometria sugerem a
construção de poliedros em cartolina para o estudo dos sólidos (p. 15); c) os programas de
geometria da Escola Modelo, também anexada a escola normal, sugere que os alunos, no estudo do
cubo e da esfera, tenham sempre em mãos os sólidos geométricos, “devendo ser comparados aos
objetos presentes e conhecidos, explicando-se o que seja face, lado do cubo, arestas, linhas, cantos,
ângulos, etc” (p. 7); d) no ensino de aritmética, também na Escola Modelo, “as definições e regras
decoradas” deveriam “ser evitadas, procurando-se, antes, despertar o raciocínio dos alunos por
meio de constante prática, pelo processo de questões úteis e ao alcance da inteligência infantil” (p.
23).
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
68
3.1.2. Duas Teses de Concurso para a Escola Normal de Pernanbuco
Em 1919, foram publicadas duas Teses de Concurso para professores da
Escola Normal de Pernambuco, sobre o ensino da geometria, que apresentam
orientações para o ensino da matemática que podem ser consideradas como novas
propostas para o ensino de certos conteúdos, e como novos elementos poderiam
ajudar este processo. As Teses, denominadas
O método experimental no ensino da
Geometria e Da sciencia Mathematica: sua metodologia, são de autoria de
Antonio de Menezes e Luiz Freire, respectivamente.
O trabalho de Antonio de Menezes, distribuído em vinte e cinco páginas,
discorre sobre novas metodologias e abordagens fundamentadas, principalmente,
em reformas pedagógicas estrangeiras, como por exemplo, a reforma dada por
Gustave Le Bon, na França. Sobre o ensino da matemática, ele considera que
Devemos ensinar pela experiência, substituindo os raciocínios efetuados sobre
símbolos, pela observação direta das propriedades que se vêem e se podem tocar.
O que torna a linguagem matemática tão difícil é o habito tão latino de passar
sempre do abstrato ao concreto, quando psicologicamente deve ser feito justamente
o contrário, pois quando os casos concretos estiverem acumulados suficientemente,
a crença por si mesma, isolará facilmente a idéia abstrata, oriunda dos fatos
concretos.
O princípio geral que defendemos, dar a noção experimental das coisas antes de
explicar as transformações dos seus símbolos, aplicar-se tanto ao ensino primário,
como o secundário e superior.
Nada é mais fácil que mostrar ao aluno, que os diversos sistemas de coordenadas
planas reduzem-se a conhecer as distâncias de um ponto a dois eixos fixos
quaisquer. Quando o aluno tiver compreendido que este ponto está completamente
determinado desde que ele conheça as distâncias horizontais e verticais do mesmo
a eixos fixos, será fácil fazer-lhe compreender que, em analítica, tais distâncias
chamam-se ordenada e abscissas, em geografia longitude e latitude e assim por
diante.
Sob nomes diferentes é sempre a mesma noção para sempre gravada no espírito.
[...]
As equações representativas dos diferentes fenômenos, exprimindo as relações das
coisas, constituem uma admirável linguagem, porém que apresenta, principalmente
no começo da instrução, o inconveniente de fazer perder a noção da natureza dos
fatos.
Existe em matemática um método gráfico representativo dos mesmos fenômenos,
ou antes a tradução das equações gerais cujo valor e eficiência tem revolucionado a
arte do engenheiro, pela clareza e simplicidade a que permitem chegar.
[...]
A vantagem inconteste de tais métodos, é dar uma fórmula concreto-simbólica aos
fenômenos abstratos que a análise nos apresenta. (p. 19 – 20).
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século XX
69
Luiz Freire foi mais extenso, redigindo sua Tese em sessenta e nova
páginas, dividida em três partes, denominadas
Das matemáticas, Metodologia
matemática, e Sob o ponto de vista do ensino.
Na última parte citada, ele também apresenta novas propostas para o ensino
da matemática. Vejamos:
Uma atenção desmedida na aprendizagem das proposições e suas respectivas
demonstrações: eis em que consiste [sic] os métodos seguidos no ensino das
matemáticas, nos países latinos.
Raramente apresentam a solução de problemas e nunca o exercício da
originalidade, isto é, o descobrimento da verdade por parte do aluno.
[...]
Apresentemos as matemáticas sob a forma concreta, pelo menos, para chegar ao
abstrato passemos principalmente pelo concreto, pois, tais ciências, ao contrário do
que geralmente se pensa, são experimentais.
[...]
Não se deve tratar, primeiramente, de mostrar ao aluno, por meio de figuras e
raciocínios, por que o quadrado construído sobre a hipotenusa de um triangulo
retângulo tem área igual à soma das dos construídos sobre os catetos do mesmo
triangulo, e, sim que ele o descubra por si mesmo efetuando a construção gráfica
correspondente e depois comparando convenientemente as usas partes.
É muito útil a introdução no ensino das matemáticas, mormente no elementar, do
método gráfico.
Se as expressões algébricas que traduzem as relações entre as diversas grandezas
de um fenômeno simbolizam, de um modo notável abreviado o raciocínio; se é
mesmo, de grande utilidade o seu conhecimento, também não podemos negar a
inconveniência que apresenta a sua consideração no começo do ensino, pela
dificuldade que há em fazer acompanhar às transformações das mesmas pelas
correspondentes dos fenômenos de que são tradutoras.
O método gráfico dá às grandezas valores figurados por linhas, que apesar de
continuarem a ser símbolos, ao espírito, no entretanto, se revestem de um aspecto
cuja clareza nunca é atingida pelos sinais das quantidades ou das operações.
Foi pelo emprego deste método na ciência do engenheiro que com grande
facilidade se tem conseguido os cálculos de pontes, coberturas, etc.
É principalmente no ensino da Geometria que se nota o desanimo e o desgosto dos
alunos, em especial os principiantes.
Segue-se, geralmente, o método dos geômetras gregos, e, este é fatigante e anti-
racional.
Segundo o método experimental, tratemos de uma proposição geométrica; por
exemplo, aquela que diz: a perpendicular levantada ao meio de uma reta, eqüidista,
em qualquer de seus pontos, das extremidades da reta.
O professor deve apresenta-la ao aluno do seguinte modo: por ele traçada a reta e
levantada a perpendicular ao meio da mesma, ainda o professor tomar diferentes
pontos sobre a perpendicular e ligando-os aos extremos da rata, manda então o
aluno medir as retas que partem dos diferentes pontos e em seguida comparar os
respectivos pares; de acordo com os resultados obtidos para cada caso tem o aluno
evidentemente que por si mesmo chegar à referida proposição.
Depois do conhecimento pelo aluno, por este modo, o enunciado das proposições,
natural é que se não desprezem as demonstrações, pois, o raciocínio nunca deve ser
posto de lado.
A prática das mesmas já será mais fácil, e, a memória só gozará então do seu
próprio caráter de faculdade secundária. (p. 66 – 69).
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século XX
70
Essas duas Teses, reforçam a hipótese de que algumas alterações no ensino
da matemática foram implantadas e difundidas, num primeiro momento, no ensino
primário e normal.
3.1.3. Geometria: observação e experiência, por Heitor Lyra da Silva
Heitor Lyra da Silva nasceu em 1879 e faleceu em 1926. Diplomou-se pela
Escola Politécnica do Rio de Janeiro, atuando em seguida em construções de vias
férreas, como por exemplo, dirigindo o projeto da Estrada de Ferro da Central do
Brasil junto com Aarão Reis. Na área pedagógica, seu nome figura entre os
fundadores da Associação Brasileira de Educação, instituição de grande valia para
a educação brasileira
24
. Sobre sua atuação, nos limitamos à descrição de Everardo
Backheuser (1946):
Antes de Carneiro Leão outros teriam dado brado de alarma. Dentre estes, e dos
que mais valor tinham – mais valor e mais nobre desinteresse – não é lícito olvidar
Heitor Lira. Sua ação nesta reforma da orientação pedagógica do ensino da
matemática foi notável menos pelas obras publicadas que pelo zelo persistente,
embora sempre modesto e oculto, que revelou junto aos que efetivamente a
ensinavam, quer nos cursos primários quer nos cursos de graus mais altos (p. 75 –
76).
Entre suas publicações, encontra-se o livro Geometria: observação e
experiencia, que foi publicada em 1923, no Rio de Janeiro, pela Livraria Editora
Leite Ribeiro. Este livro fazia parte da coleção denominada
Bibliotheca de
Educação Geral
. Os objetivos desta coleção são apresentados no prefácio, da
seguinte forma:
A Biblioteca de Educação Geral destina-se principalmente ao ensino elementar
(primário, profissional e secundário) de nosso país.
Ela será constituída por grupos ou séries de volumes, que serão manuais didáticos e
guias ou cadernos para trabalhos práticos de todas as matérias que, como por
exemplo as ciências físicas e naturais, comportem uma parte experimental.
Esses volumes, quer de um, quer de outro grupo, embora sob a responsabilidade
pessoal dos respectivos autores, obedecerão em conjunto a uma orientação geral
única, com os característicos [sic] da obra que a Biblioteca se propõe a realizar em
nosso meio escolar e social.
Tais característicos [sic] serão fundamentalmente os seguintes: simplificar os
programas, empregar linguagem correta mas sempre extremamente fácil, dar ao
ensino um cunho essencialmente nacional e objetivo, fazer a indução predominar
24
http://www.schwartzman.org.br/simon/rio/paim_rio.htm#_Toc527462770. Acesso em 19
maio 2007.
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
71
sobre a dedução, substituindo a memorização das palavras pelas dos fatos, tentar
melhorar quanto possível a parte material do livro procurando torná-lo atraente.
Como os livros de ensino elementar da Biblioteca não se destinam apenas alunos
das escolas primárias, profissionais e secundárias, mas também aos adultos das
classes populares que queiram melhorar sua instrução, e aperfeiçoas os
conhecimentos de sua profissão, não se deve estranhar que o plano da Biblioteca
exceda os limites dos programas daquelas escolas e contenha tudo que possa ser
útil a esta última classe de leitores.
O escopo principal da Biblioteca é portanto concorrer para que o ensino elementar
adquira uma feição objetiva e caracteristicamente brasileira, de modo a servir em
todas as classes e em todas as profissões para proporcionar aos que por ele tiverem
passado, um conhecimento mais perfeito do ambiente em que vivem e uma maior
capacidade de ação prática.
Só assim, não se limitando apenas ao aprendizado da leitura e da escrita, que é um
meio e não um fim, o ensino elementar será benéfico às classes populares, que nele
verão o caminho mais seguro de melhorar as suas condições de existência. De
outro modo, ele apenas concorrerá para aumentar o número dos incapazes e dos
revoltados.
A vitória sobre o analfabetismo que, de fato assim entendida, transformará o Brasil,
será ganha, menos decretando leis de instrução obrigatória, que poderão ficar no
papel, do que incutindo no povo a convicção da vantagem que terá em instruir-se,
fornecendo-lhe o que ler com agrado e proveito (p. 5 – 6, grifos nossos).
Figura 1 – Folha de Rosto do livro Geometria: observação e experiência de Heitor Lyra
da Silva
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século XX
72
Mas, como enquadrar essas idéias no ensino da geometria? Heitor Lyra,
como veremos, tenta romper com a forma como os conceitos geométricos eram
apresentados nos livros didáticos, ou seja, uma seqüência de definições seguida de
teoremas e demonstrações. Em alguns casos, o livro didático sequer propunha
exercícios.
Na
Introdução da obra, ele deixa claro que a metodologia aplicada na
confecção do livro difere da forma tradicional. Segundo Heitor Lyra,
O pequeno livro [...] é um compêndio a mais, porém um compêndio que tem a
pretensão de insinuar no ensino da Geometria elementar, a adoção de novos
métodos, aconselhados hoje em todos os modernos livros de pedagogia, mas ainda
não seguidos geralmente no Brasil. A exposição da matéria está feita segundo o
critério que já foi denominado dos círculos concêntricos, e que consiste em seguir,
em vez de uma ordem por assim dizer linear aberta, outra em que se fornece a
princípio um conhecimento superficial de toda a matéria e se volta depois a cada
parte, um segunda e mesmo uma terceira vez, para estudá-la com maior minúcia (p.
7, grifos do autor).
Em particular, sobre o ensino da geometria,
[...] não se faz primeiramente o estudo da Geometria plana para só depois abordar o
da Geometria no espaço. Ao menos no ensino elementar, não parece racional
semelhante ordem: é evidente que existem em Geometria plana numerosas
questões muito complexas do que outras de Geometria no espaço, e a tendência
moderna deve ser a de abolir essa divisão convencional. Demais, se se [sic] quer
fazer indução de fatos geométricos, é indispensável aludir desde o começo a
observação que só são possíveis sobre corpos, e muitas vezes só destes é que se
pode partir para o conhecimento de formas e relações de Geometria plana (p. 7 –
8).
E ainda,
procurou-se sempre dar à matéria um caráter concreto e intuitivo, incluindo nos
exercícios questões de interesse prático cujos dados e soluções fossem verossímeis
e úteis e se prestassem a verificações experimentais [...] Para dar ao ensino
científico elementar a vida e a vivacidade que ele deve ter, afim de que não se
transforme como tem sido feito em nosso país, e geralmente nos demais de língua
latina, em um simples exercício de memória, é preciso conduzir a inteligência do
aluno à observação direta dos fatos, só empregando a dedução para, dos princípios
observados, tirar os corolários mais importantes. Assim, muitos teoremas estão
enunciados sem demonstração, porque se entendeu que convém deixar o trabalho
de formulá-la, para ginástica intelectual dos alunos, em vez de apresentá-la já
pronta para ser apenas repetida de memória. Em outros casos, as demonstrações
são apenas esboçadas (p. 8).
O livro contém quarenta e dois capítulos, distribuídos em 179 páginas, que
versam sobre os principais tópicos de geometria plana e espacial. A única exceção
são os capítulos 40 e 41, que tratam de gráficos e perspectiva, respectivamente.
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século XX
73
A seqüência didática adotada e a abordagem dos conteúdos corroboram
positivamente para os aspectos metodológicos citados pelo autor na introdução do
livro – uso de círculos concêntricos, articulação entre geometria plana e espacial,
caráter concreto e intuitivo. Não há uma preocupação em demonstrar teoremas e
deduzir fórmulas, como citado anteriormente pelo próprio autor.
Quanto ao primeiro aspecto, o uso de círculos concêntricos, podemos
destacar, por exemplo, os sólidos geométricos, que são apresentados nos capítulos
6, 7, 9, 11, 12, 14 e 15, apenas de forma descritiva e, posteriormente, nos capítulos
30, 31, 32, 33, 34 e 35, onde são exploradas as classificações, bem como o cálculo
dos volumes. O mesmo acontece com o estudo dos ângulos, quadriláteros e
triângulos, nos capítulos 3 e 17, 8 e 23, 10 e 22, respectivamente. A articulação
entre geometria plana e espacial é favorecida pela seqüência dos capítulos
25
, que
não obedece à seqüência tradicionalmente utilizada no ensino secundário, onde o
estudo da geometria plana e espacial é feito separadamente.
Quanto à abordagem dada aos conteúdos, destaca-se:
em primeiro lugar, a diversidade de ilustrações que o autor apresenta ao
longo do texto, valorizando o caráter concreto (aplicabilidades práticas) e o meio
social. Por exemplo, entre as figuras, temos trenas, metro e esquadro de
carpinteiro, cavalete, relógio, bandeira nacional, moeda, bússola, pendulo, mapa; e
entre as imagens, um campo de futebol, a praia de Botafogo, o Palácio do Catete,
a Biblioteca Nacional, a Estrada de Ferro do Corcovado, os Arcos da Lapa, entre
outras. Tais imagens são recursos que sempre estão articuladas com os conceitos
exposto em cada capítulo;
em segundo lugar, a forma como o autor conduz o aluno a determinados
resultados ou propriedades.
Por exemplo, na página 67, quando o autor trata de duas retas paralelas
cortadas por uma transversal, temos a seguinte fala:
25
Os capítulos são os seguintes: Extensões geométricas; Dimensões – medidas; Ângulos;
Posições de retas e planos entre si; Posições de retas e planos em relação à terra; Cubo;
Paralelepípedo; Quadriláteros; Prismas triangulares; Triângulos; Pirâmide quadrangular; Cilindro;
Círculo; Cone; Esfera; Corpos de revolução; Medida de ângulos; Perpendiculares, obliquas e
paralelas; Problemas [de construção geométrica]; Propriedade das cordas tangentes; Noção de
área. Equivalência; Triângulos; Quadriláteros; Polígonos; Combinações de círculos e de arcos;
Curvas diversas; Semelhança; simetria; Noção de volume; Prismas em geral; Pirâmides em geral;
Poliedros em geral; Cilindros em geral; cones em geral; Esfera (complementos); Ângulo inscrito;
Polígonos regulares; Linhas proporcionais; Agrimensura; Gráficos; Perspectiva; Superfícies em
geral.
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século XX
74
A reta 2 pode ser considerada como sendo uma das posições da reta 1 que se
deslocou por um movimento de translação, o ponto M indo colocar-se em N [fig.
1]. Diz-se que uma figura tem movimento de translação quando todos os seus
pontos descrevem caminhos iguais e paralelos.
Figura 2 – Ângulos formados por retas paralelas com transversal
Observe que o uso de translação rompe com o caráter estático que era a
abordagem dada à geometria no ensino secundário. Outro exemplo é o trecho que
trata do teorema de Pitágoras (p. 87 – 88), cuja verificação é dada de forma
experimental.
Trace um ângulo reto tendo para lados 3 e 4. Complete o triângulo traçando a
hipotenusa. Sobre cada lado do triângulo faça um quadrado. Divida os três
quadrados em quadrados pequenos, tendo cada um o lado igual a 1. Compare o
número de quadrados que pertence à hipotenusa com a soma dos quadrados que
pertencem aos dois catetos.
Figura 3 – Ilustração para o teorema de Pitágoras
Repita essa experiência, construindo outros triângulos retângulos e calculando as
áreas dos quadrados que seriam formados sobre os lados de cada um deles.
O quadrado construído sobre a hipotenusa tem uma área igual à soma das áreas
dos quadrados construídos sobre os dois catetos.
Esta relação se chama relação de Pitágoras (Fig. 155).
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Esta propriedade dos triângulos retângulos pode também ser verificada, cortando
dois quadrados iguais, recortando um deles 4 triângulos retângulos iguais e
arrumando-os sobre o outro sem cobrir, o quadrado da hipotenusa, na segunda, os
quadrados dos dois catetos.
A área destes, é portanto equivalente à daquele (Fig. 156).
Outros exemplos poderiam ser dados, mas esses já são suficientes para
mostrar que a seleção dos conteúdos, a seqüência didática e a metodologia
empregada diferem da proposta tradicional de ensinar geometria, então vigente no
ensino secundário. Ou seja, Heitor Lyra, como ele mesmo afirma, tentou adotar
“novos métodos, aconselhados hoje em todos os modernos livros de pedagogia,
mas ainda não seguidos geralmente no Brasil” (p. 7)
26
. Em suma, o livro pode ser
considerado como um curso introdutório de geometria intuitiva.
O capítulo 40 que trata do uso de gráficos aparece isoladamente, mas como
foi observado no item anterior, o denominado
método gráfico já era citado por
Luiz Freire. O capítulo aborda a construção, introduzindo as noções de plano
cartesiano, e cita os possíveis usos, como por exemplo, no estudo da temperatura,
ou da pressão barométrica, ao longo das diversas horas do dia:
Suponha que se quer estudar a variação da temperatura em um determinado lugar
durante as diferentes horas do dia. Pode-se organizar uma tabela onde, ao lado da
indicação da hora, esteja a da temperatura, mas se se [sic] quiser ter uma impressão
mais clara do modo de variação, proceda-se da forma seguinte: Em uma folha de
papel milimetrado marcam-se em uma linha horizontal 24 pontos, de cm, em cm,
por ex. Sobre a vertical de cada um dos pontos marca-se a temperatura
correspondente, tomando por ex.: 4 cm para cada grau de temperatura. Ligando
depois as extremidades das verticais tem-se uma linha que se chama o gráfico de
temperatura no dia e no lugar considerados. Sempre que, como no ex. acima, uma
grandeza com a temperatura, depende de outra, como o tempo, pode-se construir
um gráfico que representa a variação do fenômeno (p. 173 – 174).
A abordagem dada, apesar de sucinta, aponta também para o conceito de
função como relação de dependência entre duas grandezas e sua representação
gráfica.
26
Os seguintes livros constam na bibliografia citada pelo autor: Géométrie élémentaire (De
Comberousse), Initiation Mathématique (Laisant), Cours abrégé de Géométrie (Carlo Bourlet),
Nouveaux Eléments de Géométrie (Ch. Meray), Elements of Geometry (Philips & Fisher),
Observational Geometry (W. Campbell), First Steps em Geometry (Wenthworth and Hill), School
Course in Geometry (W.G. Dobbs), Course Complet de Dessin Linéaire (L. Delaistre), Noções de
Geometria Prática (Olavo Freire), Elements de Topographie (Ed. Gabriel), Agrimensura (F.I.C.),
La sciense amusante (Tom Tit), Elements de Géométrie (Clairant [sic]), Geometria Elementar
(F.T.D.), Geometria (J. Palau-Vera). O volume utilizado nesta pesquisa foi usado por Lydia
Machado Weneck, em 1927, no quinto ano de algum dos níveis de ensino existente.
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século XX
76
Figura 4 – Página 172, com gráfico de variação de temperatura
3.2. O ensino da matemática no ensino secundário
3.2.1. Os Congressos de Instrução Secundária e Superior
A realização de congressos educacionais origina-se no período imperial, por
iniciativa do Estado, a partir do Decreto n. 1331-A, de 17 de fevereiro de 1854.
Nesta lei, o art. 76, determinada a realização “de duas Conferências Pedagógicas
por ano, uma ‘nas férias da Páscoa’, outra nas férias de dezembro, às quais
deveriam comparecer obrigatoriamente todos os professores públicos do
município”. Posteriormente, essas conferências foram transformadas nos
Congressos de Instrução, “abertos aos professores das escolas particulares, aos do
ensino superior e a delegados das províncias” (Cunha, 1981, p. 7 – 8).
Cunha (1981, p. 6) destaca a importância dessas conferências pois, apesar
dos “padrões verticalistas e centralistas” impostos pelas reformas educacionais no
Brasil,
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
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[...] é possível assinalar a participação dos educadores na elaboração da política
educacional do Estado, configurando um movimento de baixo para cima e da
periferia para o núcleo. As conferências de educação (ou de educadores) foram os
mecanismos que propiciaram essas participações.
E ainda,
Umas conferências foram acionadas pelo núcleo, de cima para baixo, buscando,
com a participação dos educadores, em geral professores das escolas públicas,
captar novas idéias, testar a aceitação de novas medidas, cooptar quadros dirigentes
e/ou desmobilizar iniciativas paralelas de organização. Outras, no entanto,
nasceram da iniciativa dos educadores, reivindicando participar da elaboração da
política educacional do Estado, a partir de suas entidades, organizadas no âmbito
da Sociedade Civil.
As conferencias de educação constituem um momento do processo de organização
do campo educacional: o momento da consciência da especialidade da educação,
em particular da educação escolar (grifo do autor).
O primeiro dos denominados congressos foi realizado em São Paulo, em
1911, entre os dias 15 e 24 de fevereiro, sob o título de
Congresso de Instrução
Secundária.
Diante da autorização legislativa, de dezembro de 1910, para que o governo federal
empreendesse uma reforma do ensino secundário e superior, partir do Estado de
São Paulo a iniciativa de convocação do I Congresso de Instrução Secundária, o
qual contou com o apoio do Ministério do Interior. Um dos objetivos do congresso
era “promover os meios de simplificar os estudos do curso secundário”, esperando
que as conclusões pudessem influir na reforma que haveria de vir (Cunha, 1981, p.
8).
O relatório deste encontro descreve as teses e as comissões que seriam
responsáveis pelas mesmas
27
. Entre os relatos, destaca-se a presença de Arthur
Thiré, professor de matemática do Colégio Pedro II, e as propostas aprovadas, em
particular, as referentes ao ensino da matemática. Arthur Thiré, acompanhado de
Alfredo Alexander, do Externato do Colégio Pedro II, participou das discussões
sobre a segunda tese, a saber, “promover a publicação duma obra de Geografia do
Brasil, organizada por Estados” (p. 4). As propostas aprovadas para o ensino da
matemática foram: reduzir os programas de álgebra, entre outros; introduzir o
cálculo diferencial e integral e a mecânica; aumentar para seis o número de aulas
semanais no terceiro ano do ensino secundário; e de maneira geral, selecionar para
o curso fundamental os conteúdos indispensáveis à vida prática e explorar o
caráter prático das matemáticas elementares (p. 32 – 36). Como veremos no
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século XX
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próximo item, Arthur Thiré tentará apresentar algumas dessas propostas para a
Congregação do Colégio Pedro II
28
.
O segundo e o terceiro congresso foram realizados, em Belo Horizonte e
Salvador, respectivamente
29
.
O quarto congresso realizou-se no Rio de Janeiro, nos meses de setembro e
outubro de 1922, sob a denominação
Congresso de Instrução Secundária e
Superior. “A iniciativa de convocação foi do governo federal, particularmente do
Ministro da Justiça e Negócios Interiores, com a finalidade geral de debater ‘a
unidade e o melhoramento da instrução em todo o Brasil’” (Cunha, 1981, p. 9).
Uma pequena publicação, com o mesmo título, apresentou,
antecipadamente, os regulamentos e teses
30
. Entre as teses, destaca-se a décima
quarta que tratava especificamente do ensino da matemática: “XIV – É
conveniente a introdução de certas noções relativamente modernas no estudo da
Matemática elementar (os números relativos em Álgebra e ainda em Aritmética,
os segmentos orientados em Geometria etc)?” (p. 19). No entanto, as discussões
mais pertinentes em relação ao ensino da matemática seguiram outro eixo
norteador, como mostrado por Valente (2007)
31
. Além disso, as discussões sobre
este tema tiveram a participação de Euclides Roxo e de Lysimaco Ferreira da
Costa, relator do parecer
32
. Segundo Valente (2007),
Especificamente a tese de número 14, que dizia respeito à modernização das
matemática, isto é, ao novo tratamento que deveria ser dado à Aritmética, Álgebra
e Geometria, ensejou muitas discussões e acabou subsidiando a proposta de, para o
primeiro ano do secundário, ser criado o ensino de Matemática Intuitiva. Uma
27
ESTADO de São Paulo. Relatório do 1º Congresso de Instrução Secundária. São Paulo:
Typ. Graphia do D.O., 1911.
28
Entraremos em mais detalhes deste congresso após o término da greve na Biblioteca
Nacional.
29
Como também citado por Cunha (p. 9) não encontramos informações sobre os mesmos.
30
Congresso de instrução secundária e superior. Que deverá se reunir no Rio de Janeiro em
1922. Regulamentos e Theses.
31
Em particular, as informações apresentadas para esta parte estão relatadas em Valente
(2007).
32
Sobre dados biográficos de Lysimaco Ferreira da Costa, ver Valente (2007) e
http://www3.sul.com.br/lysimaco/. Destaca-se, sua presença na reunião preparatória para a criação
da A.B.E.; sua atuação no Ginásio Paranaense e na Escola Normal, com a implantação, pela
primeira vez no Brasil, do método de medida da idade e capacidade mental dos alunos do curso
primário e do método e utilização do material de Maria Montessori, em 1923. Em particular, sobre
o ensino da matemática, destaca-se, a partir de 1907, a publicação de artigos sobre o ensino da
geometria, onde ele defende práticas pedagógicas intuitivas nas séries iniciais do curso secundário
(Valente, 2007, p. 10).
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século XX
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proposta inovadora, face às divisões tradicionalmente existentes em ramos
matemáticos separados (p. 9 – 10).
Essa proposta foi elaborada por Lysimaco da Costa, observando que tais
orientações metodológicas já estavam sendo recomendadas em diversos países,
mas que o Brasil não estava seguindo tais rumos. Sua defesa baseia-se no fato de
que no início da escolaridade secundária os alunos deveriam adquirir os
conhecimentos matemáticos a partir da observação e da experiência concreta.
Segundo ele,
Não se deve edificar logo, tão abstratamente, no espírito de meninos de dez e onze
anos mas, sim, dar-se-lhes uma base objetiva. (...) Coordenadas estas idéias, está
assim fundamentada a indicação quanto ao primeiro ano. Vem o programa, a título
de experiência, sob o ponto de vista do ensino da matemática sintética,
experimental, digamos, intuitiva, fornecer bases objetivas de observação para as
construções subjetivas posteriores. Não fica prejudicado o ensino, porque vem, em
seguida, o desenvolvimento lógico e analítico da matéria, como atualmente. (Anais,
1926. p. 861 apud Valente, 2007, p. 13 – 14).
A partir dessas discussões e dos temas relativos à seriação do curso
secundário, Euclides Roxo contrapõe e sugere que ao invés da
Matemática
Intuitiva seja constituída a disciplina Matemática para todos os anos do curso
secundário. Tal proposta foi derrotada e prevaleceu a proposta de Lysimaco da
Costa
33
.
No entanto, as idéias discutidas em ambos as conferências aqui citadas não
foram introduzidas no ensino secundário.
3.2.2. A atuação de Arthur Thiré
Como citado no item anterior, entre os representantes do Colégio Pedro II
no primeiro
Congresso de Instrução Secundária, encontra-se Arthur Thiré
34
.
33
Valente, 2007, p. 14 – 15.
34
“Arthur Thiré nasceu na cidade de Caen, na França, em 11 de novembro de 1853.
Estudou no Lycée e a seguir dedicou-se à Matemática Superior e à Engenharia de Minas na Escola
de Minas de Paris. Veio para o Brasil a convite do Imperador D. Pedro II, com 25 anos de idade,
para reger na Escola de Minas de Ouro Preto as cátedras de Mecânica e Construção Civil
(31/10/1878 a 17/06/1882). Mais tarde demonstra seu largo conhecimento técnico e científico ao
ocupar as cadeiras de Desenho e Geometria Descritiva (13/11/1878 a 01/09/1882), Estereotomia e
Madeiramento (contrato em 15/08/1882), Exploração de Minas e Metalurgia (13/08/1882 a
30/06/1887)”. Além disso, “foi diretor de mineração da ‘Société des Mines d’Or de Faria’, em
Sabará, Minas Gerais, no período de 1887 a 1892, tendo instalado a primeira transmissão de
energia elétrica que se fez no Brasil, numa distância de dois quilômetros, utilizando força motora
de uma aguada situada em nível baixo, à meia encosta de um morro, no fundo de um vale; em
1895; dirigiu a Colônia Agrícola de Barreiros, próxima a Belo Horizonte; em 1896, dirigiu o
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Apesar do mesmo ter participado das discussões no grupo responsável pela
confecção de um livro de geografia que expusesse conteúdos relativos ao Brasil,
ele era professor de Matemática desse colégio desde 1910. Baseado em alguns
registros, acreditamos que Arthur Thiré foi um dos poucos professores do ensino
secundário a defender mudanças para a disciplina matemática, antes das idéias
renovadoras serem implantadas por Euclides Roxo.
Com efeito, Arthur Thiré ao participar do primeiro congresso de instrução
ficou interado sobre o debate sobre o ensino secundário e, em particular, sobre as
discussões para o ensino da matemática na escola secundária brasileira. Além
disso, provavelmente motivado pelas propostas aprovadas no congresso citado, ele
fomenta as discussões sobre possíveis mudanças no ensino da matemática.
Segundo Braga (2006),
Arthur Thiré, francês, formado pela École Polytechinique, torna-se professor do
Colégio Pedro II, em 1910. Dois anos após o seu ingresso, em reunião da
Congregação, já manifesta aos demais professores interesse por uma atualização do
ensino no Colégio e propõe que se criem condições, junto ao governo, para que o
Dr. Raja Gabaglia participe como delegado do Brasil do congresso da CIEM a ser
realizado em Cambridge. Thiré aparentava estar atento às modernas concepções
sobre ensino que circulavam principalmente na França. (p. 68)
Outro fato relacionado ao congresso, foi que uma das propostas aprovadas, a
saber, a redução dos programas de álgebra, foi objeto de discussão na
Congregação do Colégio Pedro II:
No início dos anos de 1920, as atas da congregação mostram Arthur Thiré sendo
derrotado em suas sugestões para a modificação dos programas de matemática.
Suas sugestões diziam respeito, sobretudo, a uma diminuição dos conteúdos a
serem ensinados. Como por exemplo temos a proposta de Arthur Thiré de reduzir o
programa de álgebra. Levada à votação, Thiré perde por cinco votos contra nove.
Seu principal opositor era, na maioria das vezes o professor Joaquim Inácio de
Almeida Lisboa (Valente, 2004a, p. 59).
Centro Agrícola de Vargem Alegre, do governo do Estado do Rio de Janeiro; em 1897, atuou
como docente no Ginásio Fluminense, Petrópolis; em 1899, ingressou na Escola Politécnica de
São Paulo, como professor interino de Agronomia e Matemática, aí ficando por 2 anos (1899-
1901) exercendo o cargo de lente interino de Agronomia e Matemática, colaborando na criação e
organização do primeiro volume do ‘Anuário’, sendo por iniciativa sua apresentada à congregação
a idéia da criação desse periódico; livre docente de Geometria Analítica e Cálculo Infinitesimal da
Escola Politécnica do Rio de Janeiro, mais tarde Escola Nacional de Engenharia da Universidade
do Brasil, sendo aceito em sessão de Congregação de 15 de julho de 1913”. (Thiengo, 2008).
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século XX
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Temos ainda que o único relato sobre o ensino da matemática no Brasil
elaborado para o
L’enseignement mathématique
35
foi redigido por ele. Valente
(2004a) observa que
um pequeno texto de meia página, assinado por Arthur Thiré, na revista
L’enseignement mathématique, de 1913, noticia, sob o título “O ensino das
matemáticas no Brasil”, a realização de um congresso de ensino primário e
secundário em Belo Horizonte, durante os meses de setembro e outubro de 1912.
Thiré informa, também, que o congresso teve a participação de Everardo
Backheuser, professor da Escola Politécnica do Rio de Janeiro. Sumariando a
conferencia pronunciada por Backheuser, Thiré destaca que seu tema foi ‘O
método de Laisant no ensino intuitivo das matemáticas’, a partir da obra Iniciation
mathématiques. Thiré assinala que o auditório estava preparado para apreciar a
conferência de Backheuser, pois os alunos da escola normal da cidade estavam
bem informados das idéias modernas relativas aos métodos intuitivos no ensino (p.
58).
Numa outra perspectiva, a atuação de Arthur Thiré pode ser analisada a
partir dos livros didáticos escritos por ele, destinados ao ensino secundário, a
saber, três volumes de álgebra (2º, 3º e 4º ano), um de aritmética e outro de
trigonometria
36
. Acreditamos que tais livros tentaram romper com o caráter
puramente teórico presente na escrita dos textos didáticos
37
. Um fato que reforça
esta hipótese é a crítica elaborada por Almeida Lisboa, citado acima, das obras de
Arthur Thiré. O documento intitulado
Os livros de mathematica do Snr. Thiré:
parecer apresentado à Congregação do Gymnasio Nacional pelo lente de
mathemtica do Externato Pedro II, Joaquim Lisboa, apresenta uma severa análise
dos livros citados, mostrando, de certa forma, as idéias de Almeida Lisboa sobre o
ensino da matemática na escola secundária
38
.
Este documento foi elaborado por Almeida Lisboa a partir de um pedido da
Congregação do Colégio Pedro II, para atender a um requerimento do professor
Arthur Thiré, que objetivava se tornar catedrático sem o cumprimento de
concurso. Com efeito, tal recurso ela previsto em lei, como mostra, por exemplo,
o Art. 51, do Decreto n. 11 530, de 18 de março de 1915, conhecido como
35
O periódico L’enseignement mathématique foi criado em 1899, se tornando o órgão
oficial da comissão internacional sobre o ensino da matemática, criada no IV Congresso
Internacional de Matemática, ocorrido em 1908 em Roma.
36
Exemplares encontrados durante a pesquisa.
37
Não é nosso objetivo analisar as obras de Arthur Thiré, apenas desejamos mostrar que ele
tenta operar mudanças no ensino da matemática. Para maiores detalhes sobre Arthur Thiré e suas
publicações, ver Thiengo (2008).
38
Este documento faz parte do arquivo de Almeida Lisboa que foi doado por um de seus
filhos, ao Prof. Dr. João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho por um dos filhos.
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Reforma Carlos Maximiliano
39
: “Art. 51 – Será dispensado do concurso, pelo
voto de dois terços da Congregação confirmado pelo Conselho Diretor do Ensino,
o autor de obra verdadeiramente notável sobre o assunto de qualquer das cadeiras
de uma seção”.
Almeida Lisboa inicia sua análise citando este fato, articulando este tipo de
pedido nas escolas secundárias e superiores:
O Código de ensino confere às congregações a faculdade de dispensarem de
concurso o candidato de reconhecido saber, autor de extraordinário valor sobre
todas as matérias que pretende lecionar.
Esta disposição do Código é uma honra para as Congregações, dando-lhes o direito
de manifestarem eloquentemente a admiração que tributam ao talento, à ilustração,
à ciência de um candidato, que, por sua vez, encontra nesta homenagem rara
a
recompensa do muito esforço que empregou para atingir tão elevado grau de
erudição e notória competência.
Mas, se tais homenagens se tornarem vulgares, se elas forem feitas todos os dias, se
as Congregações se deixarem arrastar por sentimentos de amizade, então não
haverá mais distinção, porque não se distingui ninguém quando todos foram
distinguidos. Aqueles mesmo que dignamente mereceram a dispensa do concurso
ficarão confundidos com outros, que obtiveram por título diferente.
A dispensa de concurso não é favor, mas premio que nem sequer deve ser
suspeitado de injusto, e que, pela própria natureza da questão, tem de ser
excepcional: o Código não se refere à notória competência das centenas de
celebridades que encontramos nas ruas e que ninguém sabe explicar.
Ele supõe que as Congregações sejam guiadas por critério diferente daquele que
inventa notabilidades, e que elas reconheçam a falsa e a verdadeira ciência. Se, por
infelicidade, algum dia isso não for mais assim, as Congregações, por inúteis e
perigosas, têm de desaparecer.
Repelindo a pretensão de candidato que deseja ser dispensado do concurso, a
Congregação não lhe nega competência nem contesta de modo definitivo e
absoluto o valor de suas obras; é possível que existam esta competência e este
valor; mas a Congregação não os julga suficientemente provados. Revelando-os em
concursos, dissipando qualquer dúvida, o candidato será acolhido respeitosamente
por todos os membros da Congregação.
As Congregações devem temer a homenagem que prestam a um candidato,
dispensando-o de concurso, não só porque ela pode ser imerecida, mas também
porque, entre os concorrentes cujos nomes nada significam hoje, talvez aja algum
que esperava a nobre batalha que se ia ferir para revelar o seu extraordinário
preparo e sair da mediocridade em que vivia. Não dispensar o concurso é o
processo infalível de não errar, e é certamente o meio seguro de não desanimar
aqueles que, sem proteção, estudam com o único fim de, mais cedo ou mais tarde,
obter a cadeira de certa matéria a que dedicam precioso e longo tempo. Ainda não
têm obras publicadas, é verdade; mas, quem sabe se não devemos atribuí-lo a
dificuldade materiais?
A dispensa de concurso deve ser mais difícil no Gymnasio Nacional do que nas
Escolas de ensino superior. Nestas últimas, já se faz naturalmente uma seleção
entre os candidatos: são doutores em medicina os candidatos que se apresentam a
concurso na Escola de Medicina; são bacharéis em direito os que pretendem uma
39
Nóbrega, op. cit., p. 182.
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
83
cadeira na Faculdade de Direito; são engenheiros os concorrentes na Escola
Politécnica. Talvez seja injusto: um homem sem diploma algum pode conhecer
admiravelmente matéria de que se faz concurso em uma escola superior; mas é a
Lei.
No Gymnasio Nacional, para ser candidato a uma cadeira, basta ter idoneidade
moral.
Assim, em uma escola superior, os concorrentes, embora não tenham a mesma
ilustração, o mesmo método de estudo, a mesma orientação filosófica, são
entretanto cultores da mesma ciência, pertencem à mesma classe, tem a mesma
profissão, que são a ciência, a classe, a profissão dos membros da Congregação.
Em geral, os concorrentes conhecem-se mutuamente e são conhecidos da
Congregação, que portanto, sem as mesmas probabilidades de errar que existem na
Congregação do Gymnasio Nacional, pode declarar um candidato digno de ser
nomeado sem concurso, não por ser ele de competência inexcedível ou de
celebridade universal, mas por ser notoriamente o mais habilitado de todos os
concorrentes. Nos concurso do Gymnasio Nacional, aparecem nomes que ninguém
sabe de onde saíram, e dentre os quais surge muitas vezes o homem competente e
ilustrado, o mais competente e ilustrado dos candidatos (p. 1 – 4, grifo do autor).
Segue expondo as categorias que são usadas neste tipo de análise, nos
mostrando quais as suas preocupações em relação à escrita dos livros didáticos
direcionados ao ensino secundário:
Examinando as obras de um autor que pretende ser dispensado de concurso,
procuramos as suas qualidades pedagógicas e a sua erudição.
A erudição de um professor é tão essencial quanto a beleza de seu método de
ensino; refletindo bem, diremos até que não há verdadeiro método sem erudição,
porque não devemos confundir o método de ensino com a paciência
do professor,
qualidade passageira dependente de muitos fatores: o método, a que nos referimos,
não é esta propriedade que consiste em moer e remoer mil vezes a mesma
banalidade, mas o próprio espírito da ciência, salientando-se incessantemente nas
lições do mestre. O professor, mesmo de matéria elementar, ou melhor: sobre tudo
o professor, de matéria elementar tem de ser um homem cujos conhecimentos
precisam ir muito além das nações e transmitir aos seus alunos: ele deve dominar a
ciência toda, conhecer-lhe o espírito geral, a saber quais são as suas lacunas,
discutir a solidez de seus alicerces, e compreender até onde chega o rigor cientifico
de um raciocínio, para finalmente poder guiar o aluno com mão segura e forte, sem
hesitação e sem temores, abordando as dificuldades onde elas existem, ou
evidenciando-as, se julgar necessários para vencê-las. O professor que não estiver
nestas condições viciará provavelmente a jovem inteligência que lhe for confiada,
sobrecarregando-a de idéias falsas. O verdadeiro professor escolhe os exercícios,
não só entre os que têm imediata aplicação, mas também entre aqueles que mais
tarde o aluno encontrará nas partes mais elevadas da ciência, se aprofundar os seus
estudos: o mestre deve conhecer estas partes adiantadas da ciência. Nos livros de
ensino superior, o autor, pode revelar erudição, porque se dirige a inteligências já
formadas. Nos livros de instrução secundária, a única erudição que se nota é
geralmente o cuidado com que são evitadas as questões mais importantes; muitos
desses livros nem sequer são cursos ou tratados elementares, mas resumos do
menor número possível de pequeninas coisas que o aluno tem de saber para não ser
reprovado em exame. Não são livros, são gazuas com que os alunos abrem as
portas das Escolas Superiores. Os autores, seguindo os exemplos de seus leitores,
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podem pelos mesmos processos pretender penetrar nas Congregações. Evidente
que estamos tratando a questão de um modo geral.
Assim, dificilmente aparece em um livro secundário a erudição do autor. Quanto à
clareza da exposição, devemos distinguir entre a clareza da linguagem e a clareza
dos princípios tratados. Um livro impecável quanto às formas gramaticais pode ser
incompreensível sob o ponto de vista cientifico; é o que se observa, em geral nos
livros de matemática, quando excessivamente resumidos. A abundancia de
exemplos escolhidos, as múltiplas demonstrações de um mesmo teorema,
apresentando as questões sob vários aspectos e habituando o aluno a lidar com os
processos da ciência, são qualidades indispensáveis em um bom livro didático: não
as encontramos nas obras do Snr. Thiré.
Aliás a grande clareza que se nota em um livro de ensino pode não existir muitas
vezes nas lições orais do autor: as obras de Comberousse são um modelo de curso
de matemática elementar, reputado no mundo inteiro: as lições orais do mestre
eram completa antítese de seus escritos. É o mesmo fenômeno que se observa no
homem capaz de escrever admiráveis discursos e que entretanto, como orador, não
pode ser tolerado (p. 4 – 7).
Apesar de Almeida Lisboa já determinar o veredicto final sobre os livros de
Arthur Thiré, ele ainda utiliza o fato que entre as obras oferecidas para análise não
se encontra nenhum livro de geometria. Neste momento, Almeida Lisboa deixa
claro quais as características que deveria possuir uma obra didática destinada ao
ensino da matemática na escola secundária:
Vejamos os trabalhos que o Sr. Thiré apresenta para ser dispensado do concurso de
matemática do Ginásio Nacional: nota-se logo uma tremenda lacuna. Entres estas
obras, não há livro algum de Geometria! Entretanto a Geometria é o ramo principal
da matemática, o mais perfeito, o mais belo! É na Geometria que podem ser
admirado o rigor, o método, a harmonia, a concisão da matemática. Um grande
matemático é forçosamente geômetra. Os matemáticos gregos eram geômetras. Na
Escola de Platão, não admitia o filósofo que não fosse geômetra. A Geometria é o
modelo das ciências: algumas páginas de geometria poderiam provar mais
eloquentemente o talento e a erudição do Sr. Thiré do que todos estes livros que ele
nos oferece e cujo conjunto tem o imperdoável pecado de não abrangê-la. Ora, ela
é implacável: se a esquecer, ela fará sentir profundamente a sua absoluta
necessidade. Abandonada, já não diremos por um autor, mas por uma civilização,
ela surge de repente, mais poderosa do que nunca, mais útil do que dantes. Com a
criação da geometria analítica, os processos algébricos invadiram todo o domínio
matemático e ficaram esquecidos os métodos de Euclides: parecia extinta a
geometria grega! Mas, diz Darboux, a geometria é como o gigante Anteo que, ao
contato da terra, adquire novo vigor. Na ciência, brilha hoje com extraordinário
fulgor a geometria pura, mais bela e elegante do que outrora: a geometria moderna
de Charles, Poncelet, Sophus Lie, fez ressuscitar a geometria antiga (p. 8).
E, eis a sentença: “Desprezando a geometria, o Snr. Thiré perdeu o direito
de pretender ser nomeado sem concurso para uma cadeira de matemática do
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Ginásio Nacional” (p. 8)
40
. Mas, como este argumento está baseado numa visão
pessoal, Almeida Lisboa não deixa de analisar os livros e apresentar um relatório
com cerca de quarenta páginas sobre as obras de Arthur Thiré, alternando entre
comentários gerais e particulares e trechos recortados do próprio livro.
Logo no início ele, novamente desvaloriza os livros, afirmando que os
mesmos não tinham “absolutamente o menor valor”. Sua análise iniciasse a partir
do livro de aritmética, onde Almeida Lisboa julga que Arthur Thiré desejou imitar
“a magistral aritmética de Tannery, mas sem compreender”. Assim, ele critica a
abordagem dada para alguns conteúdos, como por exemplo, números, operações e
frações, e a ausência da teoria das progressões (p. 9 a 16). Ele segue com a crítica
dos volumes da Álgebra de Arthur Thiré (p. 17 a 47). Para ele, “seria fastidioso
citar-lhe todos os defeitos. A nossa impressão geral é que este curso nem ao
menos pode ser comparável ao de aritmética”. E mais,
Falta de orientação científica, confusão de princípios gerais, teorias fundamentais
apenas esboçadas, outras (as mais felizes) brilhando pela ausência, exercícios
privados de qualquer interesse didático, erros grosseiros em quase todas as páginas
– tais são as características deste curso de álgebra (p. 17).
Almeida Lisboa, nesta parte, apresenta uma análise minuciosa. Critica, entre
outras coisas, no livro destinado ao segundo ano, a definição dada para a álgebra
como a aritmética generalizada
41
(p. 17); os exemplos numéricos (p. 20); a falta de
rigor científico (p. 23); e, em particular, critica a abordagem dada em alguns
conceitos, como fração algébrica (p. 24), a análise indeterminada (p. 28) e séries
(p. 29). No livro para a terceira série, as críticas estão na mesma escala. Para ele,
Se imaginais [sic] que não pode existir álgebra superior sem os teoremas de Rolle,
de Fourrier, de Sturm, sem a teoria das funções simétricas, os métodos de
eliminação, os processos de separação de raízes, sem as teorias enfim que
constituem a verdadeira álgebra superior, se imaginais semelhante coisa, sois
dignos de lastima: a álgebra dos Snrs. Thiré e Kohly não trata de tais banalidades.
[...] O pequeno número de paginas dedicadas às diferentes teorias é prova
eloqüente da superficialidade com que são tratados tão importantes problemas.
Lendo o volume, linha a linha, aparece em cada frase a nulidade absoluta desta
álgebra sob o ponto de vista científico ou didático (p. 31).
Para o livro de trigonometria, Almeida Lisboa limita-se a afirma que
40
Almeida Lisboa considerava a geometria como “o puro esplendor da Matemática [...]
fruto inigualável da inteligência humana, prova dessa mesma inteligência”. Para maiores detalhes,
ver Lisboa (1922, p. 4 – 7).
41
No último item deste capítulo, comentaremos, em particular, esta crítica.
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Materialmente, o livro é antipático: lendo-o, ainda o achareis mais antipático...o
volume é leve, mas a ciência que encerra é nula...Peguemos estas poucas páginas
entre o polegar e o indicador: quando eles tiverem passado rapidamente ante os
nossos olhos, atiremos o livro no cesto dos papéis inúteis...É a crítica que merece
(p. 47 – 48).
Em suma, “O Snr. Thiré não pode ser dispensado de concurso. É possível
que ele seja um homem competente; mas a impressão que nos deixa a leitura de
suas obras é triste, dolorosa” (p. 48).
Não há registro de nenhum tipo recurso por parte de Arthur Thiré. Podemos
apenas transcrever um dos prefácios, para caracterizar brevemente a perspectiva
assumida por ele na confecção dos livros de álgebra:
Numa parte do público é corrente a opinião de ser a Álgebra uma matéria cujo
estudo é dificílimo e transcendente. Falando-se de um assunto complicado, e de
compreensão difícil, muita gente dirá: “Isto não se entende: isto é Álgebra”. Para
muitos, Álgebra é sinônimo de uma coisa incompreensível: parece ser uma ciência
ao alcance apenas de certos especialistas, como se o seu estudo fosse privado de
poucas inteligências privilegiadas.
Creio que esta opinião está errada, ou, pelo menos, muito exagerada, e, na redação
deste livro, procurei tratar o assunto com clareza. O meu intuito foi por a matéria
ao alcance dos alunos de inteligência ordinária.
Submetendo esta minha tentativa ao juízo do público, deixo aos competentes e
interessados (mestres e alunos) o decidir se consegui, ou não, o meu objetivo.
(Thiré, 1910, p.6).
3.3. Algumas Considerações
Como foi descrito no Capítulo 1 desta Tese, algumas pesquisas revelaram
características do ensino da matemática na escola secundária nas duas primeiras
décadas do século XX, resumidas em: não se estudava matemática em todos os
anos do curso secundário; o ensino da matemática era rigidamente
compartimentalizado; não havia um livro de matemática destinado a cada um dos
anos; alguns livros didáticos que eram indicados ou que simplesmente circulavam
no Brasil, destinados ao ensino da matemática, eram de autores estrangeiros; não
havia orientações para os professores ou alunos, sobre os programas e os livros
didáticos; e, não havia professor de matemática por profissão.
Mas, algumas idéias que tentavam romper tais características vinham sendo
difundidas nos diversos tipos de ensino, principalmente na escola normal
articulada com a escola primária. Entre essas iniciativas podemos ressaltar alguns
pontos.
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
87
No ensino normal, num primeiro momento, observamos que existia uma
articulação entre aritmética e álgebra, a partir da resolução de problemas e do uso
da álgebra como ferramenta de generalização. Em geometria, mais especialmente,
além do caráter teórico, era valorizado o caráter utilitário, a partir de aplicações
práticas, e a abordagem gráfica e numérica. Mas, além dessas questões
relacionadas aos conteúdos, a forma de apresentação também passou a ser
valorizada, fazendo do uso da observação e experimentação uma ferramenta
importante.
Essas características estavam, certamente, relacionadas ao uso do método
intuitivo, como, por exemplo, determinado pelo decreto de 1916, da Escola
Normal, citado anteriormente. Sobre esse procedimento, Faria Filho (2000) afirma
que
[...] por variadas vias, a discussão sobre os métodos, que enfocava a questão da
organização da classe, e o papel do professor como organizador e agente da
instrução vão dando lugar às reflexões que acentuam a importância de prestar
atenção aos processos de aprendizagem dos alunos, afirmando que “o professor
somente poderia ensinar bem se o processo de ensino levasse em conta os
processos de aprendizagem do aluno”. Essa inflexão no rumo dos debates se
articulará em torno do chamado “método intuitivo” e lançará luzes sobre a
importância da escola observar os ritmos de aprendizagem dos alunos. O assim
chamado “método intuitivo” deve essa denominação à acentuada importância que
os seus defensores davam à intuição, à observação, enquanto momento primeiro e
insubstituível da aprendizagem humana (p. 143).
Na Escola Normal era necessário ensinar aos futuros professores seguindo
os métodos da escola primária. Dessa forma, o eixo da escolarização, no ensino
normal, também se desloca dos conteúdos para o educando. Isso fomenta as
discussões sobre como proceder no ensino das disciplinas. Os métodos, então,
passam a ser considerados, junto com os conteúdos, elementos essenciais no
processo de formação dos futuros professores primários.
Num segundo momento, podemos observar as tentativas de fusão ou ensino
simultâneo dos diferentes ramos da matemática escolar em uma única disciplina
denominada
matemática. As discussões e propostas de Euclides Roxo no 4º
Congresso de Instrução Secundária e Superior, em 1922, são tratadas nas reformas
da Escola Normal, tanto em 1923 quanto em 1928, possivelmente em função do
congresso.
No ensino secundário, destaca-se a atuação de Arthur Thiré junto a
Congregação do Colégio Pedro II e a de Euclides Roxo no congresso de ensino
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
88
citado. E, no sentido de introduzir novos elementos no curso secundário, destaca-
se o
Lições de Arithmetica, de Euclides Roxo, já analisado por Valente (2000)
42
,
que também o considera como os primeiros sinais de modernização da matemática
escolar brasileira.
Diferente dos Elementos de Arithmetica por F.I.C., no qual, como norma, o
desenvolvimento da aritmética se faz com exemplos numéricos, nas Lições, e [de]
modo igual ao de Tannery
43
, a apresentação e o desenvolvimento dos conteúdos
utilizam notação literal. Esse passo é importante para a defesa [...] da idéia de fusão
dos ramos separados da tradicional matemática, particularmente da aritmética com
a álgebra. Além disso, ao seguir o plano de Tannery, Roxo ratifica pelo ensino o
papel das demonstrações no ensino, traduzindo, em sua Introdução, a advertência
também posta por Tannery: “A compreensão exata das (dessas) definições e
propriedades tem muito mais importância que a demonstração e o enunciado das
regras, o qual, em rigor, poderia ser suprimido” (1925, p. 6). Essas considerações
traduzem o esforço de reduzir o papel predominante da lógica demonstrativa,
dedutiva vigente na matemática tradicional, substituindo-a por um entendimento
mais significativo, isto é, por uma compreensão que busca ajuda na intuição”
(Valente, 2004a, p. 70 – 71).
Mas, renovar o ensino da matemática seguindo essas características
envolveu muito mais do que uma reformulação curricular. As concepções e ações
dos professores deveriam ser redefinidas, mas isso implicou reações. Dessa forma,
tais iniciativas não tiveram repercussão no ensino secundário. Arthur Thiré, por
exemplo, esbarra em concepções tradicionais de professores do Colégio Pedro II,
as mesmas destacadas por Euclides Roxo no congresso citado acima:
Sr. Presidente, na qualidade de professor de matemática do Pedro II e tendo sido
justamente, no seio da Comissão encarregada da redação das teses para o
Congresso, o autor desta a que se refere a parecer no. 4, tenho apenas a declarar
meu franco aplauso à brilhante defesa que fez o ilustre relator do trabalho do Sr.
Corregio de Castro, umas das nossas primeiras mentalidades, de quem tive a honra
de ser colega nos bancos de escola. Devo ainda declarar o seguinte: que o
programa de matemática do Pedro II está sendo exatamente objeto de uma
profunda modificação, no sentido de se adaptar à moderna orientação pedagógica.
Infelizmente, porém, são quatro os professores de matemática no referido Colégio
e não tem sido muito fácil colocarmo-nos todos de acordo, visto como há espíritos
mais ou menos doutrinários, que se apegam a uma ou outra orientação diferente. É
de esperar, entretanto, que cheguemos ao melhor resultado (Anais, 1926, p. 406
apud Valente, 2007, p. 12).
42
Valente, W.R. Os primeiros sinais de modernização da matemática escolar no Brasil.
Anais do III Encontro Luso-Brasileiro de História da Matemática. Coimbra, Portugal:
Departamento de Matemática, Universidade de Coimbra, 7 a 12 de fevereiro de 2000.
43
Leçons d’Arithmétiques.
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Algumas mudanças no ensino da matemática escolar nas três primeiras décadas do
século XX
89
Observa-se, então, que as mudanças no ensino da matemática implantadas
na escola normal foram favorecidas pelas discussões que vinham sendo realizadas
em torno da renovação do ensino e das concepções de aprendizagem, fatores
desconsiderados pela escola secundária, em particular pelos seus professores, até
o final da década de 1920. Mas, cabe lembrar que não havia cursos de formação
para professores secundários.
Não podemos deixar de destacar, também, que algumas características do
ensino da matemática, neste momento, apontam para uma aproximação com o
movimento da escola nova. Por exemplo, Vidal (2000) destaca que a escola
deveria “oferecer situações em que o aluno, a partir da visão (observação), mas
também da ação (experimentação) pudesse elaborar seu próprio saber” (p. 498). E
mais,
Nesse movimento, mais do que atualizar os princípios e as práticas educativas do
fim do século XIX, a escola nova promoveu, nos anos 20, rupturas nos saberes e
fazeres escolares. Não constituiu um novo “modelo escola”, mas produziu novas
“formas” e alterou a “cultura escolar” (Vidal, 2000, p. 515).
Podemos também citar Nagle (2001), para mostrar que as mudanças
ocorridas no ensino da matemática se enquadram nas alterações da escolarização
descritas por esse autor.
Ora, essa passagem, que se observa mais nítida e sistematicamente no movimento
reformista da década de 1920, representa uma alteração profunda na compreensão
do processo de aprendizagem, bem como revela determinadas preocupações que se
ajustam às características da mentalidade infantil. Evidentemente, tudo isso mostra
a rejeição de determinados fundamentos psicológicos da “escola tradicional” e abre
caminhos em direção à “escola nova”. [...] isso provoca mudanças nos elementos
que fazem parte da ambiência escolar, ou melhor, altera o conteúdo da
escolarização. [...] Numa primeira fase [...] transforma-se o sentido das antigas
práticas, aparecem novas, bem como são introduzidas novas atividades e alteradas
as existentes. Com isso, se desenvolve uma nova didática ou, mais amplamente, é
toda uma nova pedagogia que inicia sua trajetória no período, ao serem indicadas e
ressaltadas as condições para o funcionamento do novo modelo que deve
apresentar a situação de ensinar-aprender. [...] A nova didática e a nova pedagogia
que se desenvolvem na década de 1920 devem ser definidas, antes de tudo, pela sua
dimensão metodológica (p. 313 – 315).
Em suma, passa a existir a preocupação em como ensinar determinados
conteúdos ou tópicos. Mas, tais propostas/iniciativas descritas anteriormente para
o ensino da matemática eram idéias fragmentadas.
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
90
4 Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para
o ensino da matemática no curso secundário
Seja lá qual for o programa adotado, alguma teoria
de educação está nele implícita, governando-o,
orientando-o, emprestando-lhe o critério para a
avaliação dos resultados a que visa. Os objetivos
que a teoria determinar para a educação, esses, por
força, é que hão de governar a sua fatura, o seu
método e seu conteúdo.
Anísio Teixeira, 2000, p. 62
No capítulo 2 desta Tese apresentamos alguns elementos para considerar
Euclides Roxo um educador matemático. Mas, além disso, é necessário examinar
quais foram as categorias utilizadas por ele e quais foram suas influências para
propor mudanças no ensino da matemática do curso secundário. Dessa forma, o
objetivo deste capítulo é apresentar brevemente quais foram os fundamentos das
propostas de Euclides Roxo. Iremos descrever as principais categorias utilizadas
por ele a partir de sua própria produção. Como veremos, as propostas de Euclides
Roxo para o ensino da matemática na escola secundária não foram elaboradas a
partir de princípios superficiais e imediatistas. Os artigos publicados no Jornal do
Commercio, o livro A matemática na educação secundária, seus livros didáticos e
alguns documentos do seu arquivo pessoal mostram o quão ele foi cuidadoso e
que suas idéias estavam fundamentadas em bases sólidas.
4.1. O primeiro movimento internacional de reforma do ensino da
matemática
A partir da análise da produção de Euclides Roxo acima citada e sua
experiência no campo educacional observa-se que o primeiro movimento
internacional de reforma curricular em matemática, como definido por Schubring
(1999), dado a partir da criação da Comissão Internacional para o Ensino da
Matemática, em 1908, no IV Congresso Internacional de Matemática, em Roma,
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
91
é o marco para o estudo dos fundamentos de suas propostas para a educação
matemática. Segundo Schubring (1999),
Por volta do final do século XIX, nas grandes potências da Europa Ocidental e nos
Estados Unidos, o sistema de empregos e o mercado de trabalho tinham mudado
decisivamente em razão do grande impulso da indústria – e até mesmo por causa da
Revolução Industrial – experimentado nesses países. As estruturas dos sistemas
educacionais, as matérias de estudo e os métodos de instrução se viram desafiados
pelas dramáticas mudanças sociais. Como essas estruturas, matérias e métodos
tinham sido, em grande parte, herdados da época de uma sociedade mais ou menos
agrícola, estavam – no melhor das hipóteses – apenas adaptados, em alguns setores,
às demandas modernas.
Embora mudanças estruturais nos sistemas educacionais de alguns Estados
europeus já estivessem em andamento, as reformas curriculares, por volta de 1900,
estavam muito atrasadas. A instrução matemática era particularmente afetada pela
tensão social agora visível nos sistemas educacionais, tensão esta induzida elas
profundas transformações na sociedade em geral: dentro das estruturas tradicionais,
a matemática costumava servir como um paradigma para o pensamento lógico, de
modo que os conteúdos eram usualmente bastante elementares e os métodos de
ensino enfatizavam os aspectos formais; a matemática escolar tinha um caráter
estático e desligado das aplicações práticas. Por outro lado, a indústria e o
comércio demandavam não apenas uma instrução matemática mais ampla, como
também conhecimentos mais modernos e avançados que servissem de base para
aplicações técnicas.
Logo depois de 1900, ocorreram nessa direção, em alguns países, iniciativas de
reformas curriculares para as escolas secundárias. [...]
Dadas as tensões estruturais que afetaram o ensino da matemática nos países
industrializados, certamente foi uma idéia feliz a de estabelecer um comitê
internacional que pudesse acompanhar as comunicações sobre as reformas
curriculares. Na realidade, quando o comitê foi estabelecido em 1908, evoluiu para
se tornar o agente organizador e investigador de um movimento internacional da
reforma (Schubring, 1999, 30 – 31).
Diversos países foram convidados a participar desta comissão, inclusive o
Brasil. Algumas iniciativas adotadas por esta comissão, foram: estender os
trabalhos para todos os níveis de ensino, ao invés de se limitar ao ensino
secundário; coletar informações sobre o ensino da Matemática (organização,
finalidade e método) nos diversos países; e atuar como agente de mudanças,
difundindo a idéia da necessidade de uma reforma. Em particular, cada um dos
participantes foi orientado a montar subcomissões em seus países para preparar os
relatórios com as informações a respeito da situação do ensino de matemática. A
partir destes documentos, o comitê central da comissão organizou alguns estudos
comparativos e decidiu explorar oito deles: i) a fusão dos diferentes ramos da
matemática no ensino das escolas médias; ii) o rigor no ensino da matemática nas
escolas médias; iii) o ensino teórico e prático de matemática destinado aos
estudantes de ciências físicas e naturais; iv) a preparação matemática dos físicos
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
92
na universidade; v) a intuição e a experimentação no ensino de matemática nas
escolas médias; vi) os resultados obtidos na introdução do cálculo diferencial e
integral nas classes mais adiantadas dos estabelecimentos secundários; vii) a
preparação matemática dos engenheiros nos diferentes países; viii) a formação dos
professores de matemática para os estabelecimentos secundários
1
. Estas propostas
foram feitas entre 1911 e 1914, nos congressos de Milão, Cambridge e Paris.
A Primeira Guerra Mundial, de 1914 a 1918, interrompeu bruscamente o
excepcional crescimento das atividades da Comissão, e, consequentemente, o
movimento reformulador, que em apenas seis anos de existência identificou
questões-chaves para o ensino de Matemática, recolheu uma quantidade de
informações nunca antes, e nem depois, reunidas, propiciou o surgimento de uma
enorme quantidade de publicações sobre Educação Matemática e levou discussões
acerca desse tema aos mais variados países (Miorim, 1998, p. 75).
O Brasil foi representado neste congresso, apenas no ano de 1912, por
Eugenio de Barros Raja Gabaglia, mas sem nenhum tipo de envolvimento
significativo. A repercussão deste movimento no Brasil foi dada exatamente por
Euclides Roxo.
4.2. As escolhas de Euclides Roxo
A primeira observação que podemos destacar em relação as suas categorias
é a caracterização de um quadro histórico do ensino da matemática. Euclides
Roxo sempre apresenta uma trajetória do ensino da matemática desde o
Renascimento até o início do século XX. Neste percurso, ele inicia as discussões a
partir das tentativas que objetivaram um rompimento com o caráter lógico
dedutivo no ensino, influenciado principalmente pelos Elementos de Euclides, e
finaliza com o moderno movimento de reforma, no início do século XX.
Em particular, ao tratar das origens do moderno movimento de reforma,
Euclides Roxo inicia suas discussões a partir de Felix Klein e o movimento na
Alemanha, considerado por ele como o grande impulso das reformas
internacionais. Nesta parte específica, Euclides Roxo apresenta os característicos
do moderno movimento de reforma, como denominado no livro A matemática na
educação secundária, ou as principais tendências do movimento de reforma,
1
Schubring, G. O Primeiro Movimento Internacional de Reforma Curricular em
Matemática e o Papel da Alemanha: um estudo de caso na Transmissão de Conceitos. Zetetiké.
Campinas: CEMPEM, vol. 7, nº 11, p. 29-49, jan./jun. 1999.
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
93
como denominado no artigo do dia 7 de dezembro de 1930, publicado no Jornal
do Commercio.
As tendências, listadas por ele a partir de Felix Klein, foram:
1. Predominância essencial do ponto de vista psicológico;
2. Escolha da matéria a ensinar em dependência com as aplicações da
matemática ao conjunto das outras disciplinas;
3. Subordinação da finalidade do ensino às diretrizes da nossa época.
No artigo citado acima, Euclides Roxo associa estas três tendências com
outras três questões, a saber: metodologia, seleção da doutrina (ou seja, seleção
dos conteúdos) e finalidade do ensino, respectivamente.
Dessa forma, ele nos indica a estrutura utilizada na constituição das suas
propostas. As questões gerais enumeradas acima associadas às questões
particulares citadas no artigo delimitam as escolhas de Euclides Roxo.
Podemos, então, classificar tais categorias quanto a dois aspectos,
fundamentos gerais e fundamentos específicos, caracterizados a seguir.
Fundamentos gerais: nesta parte encontra-se o quadro histórico do ensino
da matemática e a categoria subordinação da finalidade do ensino às diretrizes da
nossa época, associada aos objetivos do ensino. Os capítulos do livro Esboço
evolutivo do ensino matemático, Os objetivos da educação matemática, além do
primeiro, sexto, oitavo e décimo artigo da série O ensino da matemática na escola
secundária, publicado no Jornal do Commercio, são as principais fontes para esta
parte.
Fundamentos específicos: nesta parte encontram-se as categorias
diretamente ligadas aos conteúdos, ou seja, escolha da matéria a ensinar em
dependência com as aplicações da matemática ao conjunto das outras disciplinas
e predominância essencial do ponto de vista psicológico, associadas,
respectivamente a seleção de conteúdo e a metodologia. Os capítulos Escolha e
organização da matéria, A noção de função como idéia axial do ensino, Curso
propedêutico de geometria intuitiva, Introdução do cálculo infinitesimal no curso
secundário e Importância das aplicações na educação matemática, além do
quarto, décimo segundo e décimo terceiro artigo, da série citada acima, são as
fontes para a primeira categoria listadas. Para a outra, temos os capítulos Intuição
e lógica na educação matemática e Conexão entre as várias partes da matemática
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curso secundário
94
e entre esta e as outras disciplinas do curso, além do segundo e terceiro artigo da
série. Especialmente, nesta parte, o prefácio do primeiro volume do Curso de
Matemática, de autoria de Euclides Roxo, também será considerado
2
.
4.2.1. Fundamentos gerais
4.2.1.1. Quadro histórico do ensino da matemática
A constituição de um histórico sobre o ensino da matemática pode ser
considerada na produção de Euclides Roxo como uma das formas de legitimar
suas iniciativas, pois mostra que as mudanças no ensino da matemática sempre
ocorreram, principalmente a partir do Renascimento pelas alterações na escrita
dos manuais em cada época.
Euclides Roxo inicia seu percurso discutindo a organização lógica no ensino
da matemática influenciada pelos Elementos de Euclides e a necessidade de
mudança:
A perfeição mesmo, que, desde cedo, o gênio de Euclides imprimira à
compendiação [sic] dos conhecimentos matemáticos dos gregos, grangeou [sic],
[...], para a sua obra, um tal prestígio, que um respeito quase religioso dificultava as
tentativas de alteração no modo de ministrar o ensino da geometria e de
incorporação à matemática dos conhecimentos aritméticos e algébricos, que se
desenvolviam durante o renascimento.
Corpo de doutrina de uma perfeição lógica admirável, não se podia discutir a
necessidade de fazer com que, o mais cedo possível, as crianças adquirissem
conhecimentos capazes, mais do que qualquer outro, de fortalecer-lhes o
raciocínio.
Tão exagerada preocupação de prematura organização lógica deu a tal ensino um
cunho quase que inacessível à maioria dos jovens. A dificuldade no estudo da
matemática tornou-se, por assim dizer, proverbial. “Poucos são os que dão para a
matemática”, chegou a quase um conceito acaciano.
Tal situação não poderia deixar de despertar a atenção daqueles que primeiro
deixaram de preocupar-se exclusivamente com o objeto do ensino (a disciplina ou
matéria a ser ensinada) para cuidarem um pouco do sujeito (o ser humano que deve
receber tal ensino) (Roxo, 1937, p. 40 – 41, grifos do autor).
No segundo capítulo do livro A matemática na educação secundária,
denominado Esboço evolutivo do ensino matemático, sua explanação pode ser
dividida em duas etapas: os precursores do movimento renovador e o movimento
renovador, propriamente dito.
2
Os capítulos do livro A matemática na educação secundária serão privilegiados nesta
apresentação.
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curso secundário
95
Na primeira parte, Euclides Roxo faz breves explanações separadamente
para cada país (França, Inglaterra e Alemanha), onde são citados Charles
Bouelles, Petrus Ramus, Antoine Arnaud, Clairaut, Legendre, John Perry, Felix
Klein, Charles Méray, Bechara Branford, Laisant e Jules Tannery, entre outros.
Observa-se, desde já, que a principal influência de Euclides Roxo foi Felix Klein.
Destaca-se, ainda, que ele não deixou de articular os movimentos particulares que
privilegiaram a melhoria do ensino da matemática com os movimentos de caráter
mais geral, sob a denominação nova escola, escola ativa e escola do trabalho
3
.
A segunda parte, sobre o movimento renovador, Euclides Roxo elege como
principal impulsionador das reformas o matemático alemão Felix Klein, iniciando,
assim, sua escrita a partir do movimento alemão. São citados a reunião de Breslau,
em 1904, informações sobre o denominado Plano Meranense
4
e sobre o
Selecionado alemão para o ensino da matemática e das ciências naturais. No
primeiro artigo da série publicada no Jornal do Commercio, Euclides Roxo
apresenta mais detalhes do movimento alemão, chegando a citar o livro de
Holzmüller. Breves descrições dos movimentos na França, Inglaterra e América
do Norte também são feitas, culminando no Congresso de Roma e na criação da
Comissão Internacional para o Ensino da Matemática.
Após este breve histórico, feito em cerca de dez páginas, Euclides Roxo
enumera as características, já citadas anteriormente, do movimento de reforma a
partir de Felix Klein. Como veremos adiante, essas características são os
principais fundamentos para as reformas propostas por Euclides Roxo no ensino
da matemática na escola secundária.
4.2.1.2. Subordinação da finalidade do ensino às diretrizes da nossa
época
Como indicado por Euclides Roxo esta característica do movimento
renovador está associada aos objetivos do ensino. Em particular, para ele, aos
objetivos do ensino da matemática. Três artigos do Jornal do Commercio e o
3
Roxo, A Matematica na Educação Secundaria. São Paulo: Companhia Editora Nacional,
1937. (Atualidades Pedagógicas, vol. 25), p. 46.
4
O documento ER.T.3.011 contém a lista de conteúdos do Programa de Meraner para os
ginásios.
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curso secundário
96
quinto capítulo do livro, a saber, Os objetivos da educação matemática
determinam as questões principais sobre este tema, na visão de Euclides Roxo.
Poderia parecer que, sendo a matemática uma das disciplinas mais antigas do curso
secundário, onde há séculos ocupa lugar de honra, seja descabido fazer-se em
relação à [sic] ela, a mesma pergunta que naturalmente surge quando se trata do
ensino de qualquer matéria: qual é o verdadeiro objetivo e o valor do ensino desta
disciplina?
Entretanto, como observa J. W. Young, é uma necessidade fundamental que cada
professor tenha idéia clara da função de sua matéria do currículo escolar e traga em
mente, a cada instante, como motivo determinante de todo o seu trabalho.
Os interesses do bom ensino exigem que o professor não apenas saiba o que
ensinar, mas também conheça a quem vai ensinar, para que o faz e como alcançará
o seu desideratum.
Eis porque, achamos indispensável fixar, de acordo com os mais modernos autores
de pedagogia matemática, entre os quais se acham alguns matemáticos, eminentes,
os verdadeiros objetivos da educação matemática na escola secundária. (Roxo,
1937, p. 97 – 98, grifos do autor).
A falta de compreensão da verdadeira finalidade do ensino da matemática
elementar contribuiu para que esta se fossilizasse como uma disciplina morta,
completamente árida e tediosa. (Roxo, 1931a).
Dessa forma, conduzido pela afirmação de Felix Klein – “A finalidade geral
do ensino depende extraordinariamente da diretriz cultural de cada época” (apud
Roxo, 1937, p. 99) – Euclides Roxo tece considerações sobre os objetivos da
matemática na escola secundária.
As primeiras reflexões que são feitas dizem respeito aos valores da
matemática, como disciplina escolar. Para ele, “a base para a determinação segura
dos objetivos educacionais de uma disciplina é a discriminação dos valores dessa
disciplina”. Esses valores são eleitos por ele a partir da “extensão social da
escola” e dos “valores de uma disciplina em si mesma”. Dessa forma, Euclides
Roxo discute, em conjunto, os valores científicos, filosóficos e estéticos e,
separadamente, os valores utilitários e educativos da matemática (Roxo, 1937, p.
101 – 102).
A partir de David E. Smith
5
, Euclides Roxo lista as razões
pelas quais o estudo da matemática não pode deixar de ser incluído entre as bases
educativas do cidadão moderno, razões que se exprimem por verdadeiros valores
da matemática, do ponto de vista científico, do filosófico, do estético e até do
moral (Roxo, 1937, p. 103).
5
Smith, D. E. Mathematics in the training for citizenship. In the 3d Y.B. of the N.C.T.M.,
1928.
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curso secundário
97
São elas:
a) a matemática pertence ao pequeno grupo de matérias – como ler, escrever,
geografia e história – que intimamente se relacionam com a quase totalidade dos
conhecimentos humanos, imprescindíveis à concepção de um homem culto.
b) a matemática tem um alto valor como disciplina mental.
c) a matemática é um dos caminhos mais seguros por onde podemos levar o
homem a sentir o que Byron chamava “o poder do pensamento, a mágica do
espírito”.
d) a matemática é uma das verdades eternas e como tal, pode produzir a elevação
do espírito [...].
e) pela matemática [...] torna-se o homem consciente da sua posição no universo
[...].
f) o próprio estudo da matemática dá à humanidade um alto senso religioso que se
não pode desenvolver completamente se ela [...].
g) a história da matemática é a história da raça humana. (Roxo, 1937, p. 103 –
104).
Quanto ao valor utilitário, em resumo, Euclides Roxo cita que
Tal valor resulta da importância prática dos fatos que estuda a matemática.
Afora a língua materna, nenhum assunto de estudo está tão intimamente ligado à
vida diária; nenhum outro é tão necessário ao êxito nas questões de ordem prática.
Com os progressos mecânicos e físico-técnicos da nossa época, acentua-se a
importância da matemática como verdadeiro arcabouço da nossa civilização, que,
sem ela, não se poderia nem mesmo conhecer (Roxo, 1937, p. 104).
No entanto,
Apesar desse enorme valor prático da matemática, forçoso é reconhecer [segundo
Young
6
] que “o cidadão pouca necessidade tem dos fatos matemáticos e mesmo
escassa oportunidade de usá-los, além dos mais simples elementos da aritmética”
(Roxo, 1937, p. 104 – 105).
Assim, Euclides Roxo, a partir dos valores utilitários, discute os valores
educativos diretos (aquisição de conhecimento), argumentando que a valorização
única destes valores não seria suficiente para justificar a presença da matemática
na educação secundária. A plena justificativa, segundo ele, encontra-se nos
valores educativos indiretos.
Portanto, a discussão dos valores educacionais indiretos pode ser
considerada a principal parte do capítulo, contendo as questões mais pertinentes
descritas por Euclides Roxo sobre os objetivos da educação matemática. Nesta
parte, ele amplia a finalidade que esta disciplina tinha na educação tradicional
mostrando que “[...] a tendência moderna no ensino, é contrária ao preconceito de
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curso secundário
98
que o professor de Matemática deve propor-se, como objetivo único, formar a
inteligência dos seus alunos e ensinar-lhes a raciocinar com rigor” (Roxo, 18 jan
1931). Ou seja,
[...] a influência educacional de um curso bem orientado de matemática não se fará
sentir apenas no desenvolvimento do raciocínio, pelo exercício da lógica dedutiva,
mas no desenvolvimento de todas as demais “faculdades” intelectuais. (Roxo,
1937, p. 110).
E ainda,
A mais forte justificativa para o estudo da matemática não está na aquisição de
fatos matemáticos, por mais importantes que sejam. Mais importantes ainda do que
a própria matéria das matemáticas é o fato de que esta exemplifica, o mais clara,
simples, tipicamente possível, certos modos de pensamento, idéias, conceitos,
hábitos, que são da mais alta importância para todos (Roxo, 1937, p. 113).
Essas competências e habilidades são listadas e resumidas por ele sob a
denominação de processos, de acordo com Hendrick
7
. São elas:
1. Precisão nos enunciados e na interpretação;
2. Generalização;
3. Aquisição e uso de uma linguagem simbólica;
4. Apresentação de assuntos científicos em forma completa e acabada;
5. Capacidade para abranger uma situação;
6. Hábito de tirar conclusões;
7. Sensação de descobertas próprias;
8. Amor ao conhecimento desinteressado;
9. Estimação do culto à verdade;
10. Fortalecimento do hábito de auto-crítica;
11. Contribuição para despertar o senso estético;
12. Desenvolvimento da capacidade de imaginação;
13. Cultivo do poder de atenção;
14. Fortalecimento dos hábitos de clareza e exatidão.
6
Young, J.W.A. The teaching of Mathematics in the elementary and the secondary school.
New York: 1929.
7
Hendrick, E.R. The reality of mathematical process. In the 3d Y.B. of the N.C.T.M.. New
York, 1928.
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
99
Em seguida, Euclides Roxo apresenta também os objetivos segundo os
professores franceses e discute, de forma mais ampliada, os objetivos da educação
matemática segundo o National Committe on Mathematical Requirement. Nos
artigos publicados no Jornal do Commercio, foi priorizado o Plano Meranense, e
o tema humanização do ensino da matemática, a partir de uma conferencia feita
por Cassius J. Keyser, da Universidade de Colúmbia, é tratado tanto no artigo
como no último capítulo do livro.
4.2.2. Fundamentos específicos
4.2.2.1. Escolha da matéria a ensinar em dependência com as
aplicações da matemática ao conjunto das outras disciplinas
A escolha da matéria a ensinar em dependência com as aplicações da
matemática ao conjunto das outras disciplinas associada à seleção dos conteúdos
determinou a inclusão de alguns tópicos ou blocos de conteúdo nas propostas de
Euclides Roxo.
Estas inserções estão associadas, segundo Euclides Roxo, aos objetivos do
ensino desta disciplina.
Sem dúvida, o critério fundamental para a escolha da matéria a ensinar, em uma
disciplina qualquer, deve ser determinado pelos objetivos que se tem em vista com
tal ensino.
No capítulo precedente [Os objetivos da educação matemática] procuramos fixar
esses objetivos, no que se refere à educação matemática. Dentro, porém, de tal
subordinação aos objetivos, há uma grande margem para escolha, convindo,
portanto, como observa Young, estabelecer critérios mais restritivos. O matemático
americano assim discrimina esses critérios:
1. Apresentar de modo mais claro e mais vantajoso o tipo matemático de
pensamento.
2. Ajudar a compreender melhor as leis da natureza.
3. Fazer ressaltar distintamente as relações matemáticas que existem no organismo
social e nas atividades da vida moderna e mostrar o auxilio que a matemática presta
na resolução dos problemas ali encontrados.
4. Dar suficiente capacidade na efetiva aplicação dos processos matemáticos tendo
em vista as futuras necessidades do aluno.
5. Permitir a organização da matéria em um todo homogêneo, de acordo com as
exigências da pedagogia científica. (Roxo, 1937, p. 138 – 139).
As principais inclusões foram: introdução do conceito de função, das noções
de cálculo infinitesimal, da idéias de mobilidade em figuras, das noções de
coordenadas e da geometria analítica e, de um curso propedêutico de geometria
intuitiva. Além disso, as noções de desenho projetivo e perspectiva e as aplicações
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
100
da matemática ao conjunto das outras disciplinas foram valorizadas
8
. Para cada
um dos itens acima, temos:
Introdução do conceito de função
Entre as mudanças metodológicas proposta por Euclides Roxo a mais
importante foi a articulação entre os conceitos de aritmética, álgebra e geometria a
partir da fusão desses diferentes ramos. Associada a esta mudança podemos
também classificar a introdução do conceito de função como a inclusão mais
importante entre as acima citadas. Com efeito, as noções de função para Euclides
Roxo deveria ser a idéia unificadora do ensino da matemática. Seus argumentos
novamente estão baseados em Felix Klein, como podemos verificar a seguir:
Foi Felix Klein o primeiro que, em 1893, perante o Congresso Internacional de
Matemática, reunido em Chicago, chamou a atenção dos professores de
matemática, para a conveniência de adotar-se como idéia axial, capaz de unificar o
ensino dessa matéria, o conceito de função.
[...]
Em outra ocasião, repisava as mesmas idéias e as defendia com calor.
“Sim meus senhores, estou plenamente convencido de que o conceito de função,
sob forma geométrica, deve ser a alma do ensino da matemática na escola
secundária! Em torno dessa noção, agrupam-se facilmente todos os assuntos a
ensinar em matemática e esta se vem, muitas vezes, ressentindo, até aqui, da falta
de uma conexão devidamente planeada [Felix Klein]” (Roxo, 1937, p. 178).
Além do argumento de idéia unificadora, Euclides Roxo discute a
importância do conceito de função associada aos objetivos da educação
matemática e na preparação para o ensino superior, e como idéia vivificadora do
ensino (Roxo, 1937, p. 179 – 181).
Introdução do cálculo infinitesimal
Dois argumentos são apresentados por Euclides Roxo, novamente baseados
em Felix Klein
9
, para a re-introdução do cálculo no ensino secundário brasileiro
10
.
8
Algumas inclusões são destacadas em estudos realizados por Euclides Roxo, como
mostram os documentos ER.T.020, ER.T.011, com programas meranenses e programas das
escolas secundárias da Prússia e Baviera, e E.R.T.041 com programas italianos. Em especial,
destacam-se o documento ER.T.010 e ER.T.3.027, que é a tradução de parte do sumário do livro
de Behrendsen, feita por Euclides Roxo, onde alguns conteúdos são associando ao primeiro,
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
101
O primeiro deles, está também associado ao ensino superior, como no caso das
funções. O argumento baseia-se na descontinuidade entre o curso secundário e o
superior, onde as noções de cálculo, como as de função, favoreceriam a
articulação entre estes dois níveis de ensino. O outro, é o reconhecimento do
cálculo infinitesimal como elemento de cultura geral.
Introdução das noções de coordenadas e geometria analítica
A introdução dessas noções, conseqüentemente, relaciona-se com as duas
precedentes.
Um curso propedêutico de geometria intuitiva
Euclides Roxo, baseado em Betz
11
, enumera e discute brevemente as
justificativas para a inclusão de noções de geometria intuitiva. São elas:
argumento histórico, prático, cultural, pedagógico e psicológico. Quanto aos três
primeiros, temos, segundo ele que
[...] ao argumento histórico, será necessário, ainda uma vez, lembrar que as
primeiras verdades matemáticas foram adquiridas pelas civilizações pré-helênicas
de maneira meramente experimental e intuitiva?
O argumento prático é o que mais repugnava aos humanistas: os problemas de
constrição, que surgem por toda parte neste mundo, que cada vez mais se
matematiza, exigem conhecimentos práticos de geometria, noções de forma,
tamanho e posição.
Mesmo nos seus aspectos mais simples, a geometria cultiva a capacidade de
visualizar, de construir e de apreciar as formas espaciais e a imaginação criativa,
que é o instrumento inspirador das obras primas das artes plásticas. Não seria este
um argumento de ordem cultural para por o mais cedo possível, ao alcance dos
educandos, a riqueza potencial da geometria?
Os argumentos pedagógicos e psicológicos apresentados por Euclides Roxo
estão diretamente associados à necessidade de recorrer à intuição no início do
segundo, terceiro e quarto ano, e o E.R.T.3.002, que é uma tradução feita por Euclides Roxo do
prefácio da sexta edição do livro citado.
9
Klein, F. und Riecke. Neue Beiträge zur Frage des mathematischen und physikalischen
Unterrichts na den höheren Schulen. Leipzig e Berlin, 1904. Klein, F. und Schimmck Rud. Der
mathematischen Unterrichts an den höheren Schulen. Leipzig, 1907. Alguns trechos desta última
conferência encontram-se traduzidos por Euclides Roxo no documento E.R.T.3.019.
10
Euclides Roxo também apresenta um breve relato sobre as noções de cálculo introduzidas
por Benjamin Constant. (Roxo, op. cit., p. 220 – 221).
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
102
curso secundário, ou seja, estes argumentos se baseiam em reflexões de ordem
metodológica. O cerne da questão encontra-se na necessidade de habilitar os
alunos, gradativamente, antes do estudo da geometria demonstrativa.
Ao estudante que enfrenta o estudo da geometria demonstrativa, sem possuir o
curso propedêutico de geometria intuitiva, deparam-se, simultaneamente,
dificuldades múltiplas. Com efeito, como observa W. Betz, do principiante
perplexo, espera-se que, em poucas semanas, 1) aprenda uma formidável lista de
conceitos e definições; 2) adquira a habilidade no manejo dos instrumentos
geométricos; 3) enfrente, em um domínio inteiramente novo, as satilezas [sic] de
um processo lógico, que nada o preparou para apreciar.
A geometria concreta deve, de qualquer modo, ser ensinada, desde as primeiras
séries, juntamente com a aritmética. A transição para a demonstração rigorosa não
deve ser abrupta, mas gradual. (Roxo, 1937, p. 198).
Sua análise é reforçada com a apresentação das iniciativas de introdução da
geometria intuitiva na França, Inglaterra, Alemanha e Estados Unidos.
Idéia de mobilidade em figuras
Esta inclusão está associada à introdução das primeiras noções de geometria
no ensino secundário a partir de uma apresentação intuitiva. A idéia de mobilidade
em figuras é uma tentativa de romper com o modelo estático da geometria
euclidiana.
Aplicações da matemática ao conjunto das outras disciplinas
A aquisição de conhecimentos teóricos, como posto na educação tradicional,
não habilitaria o aluno, segundo Euclides Roxo, a aplicá-los em alguma situação,
quando necessário. Dessa forma, é mister considerar as aplicações na educação
secundária. Duas razões para o uso de aplicações norteiam o seu discurso, os
argumentos psicológicos e a necessidade de articulação entre a matemática e
outras disciplinas no curso secundário, em particular, a física e a biologia.
Ainda em relação à seleção de conteúdos, Euclides Roxo destaca, por outro
lado, a necessidade de excluir alguns tópicos do ensino da matemática. Para ele,
11
Betz, W. The teaching of intuitive geometry. In 8th Y. B. of the N.C.T.M.. New York,
1933.
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
103
Imposto pela força da tradição existem [sic], nos programas de matemática e nos
compêndios clássicos, um grande número de assuntos, cujo estudo não se justifica,
nem do ponto de vista do valor educativo da matéria, nem pela necessidade de
compreender a significação geral da ciência, objetivo relevante na maneira atual de
entender o ensino de qualquer matéria.
Em suas diversas conferências, Felix Klein sempre insistia sobre a necessidade de
reduzir certas partes do programa, até então adotado, suprimindo teorias que se
cultivavam unicamente por sua significação formal, bem como certos problemas
complicados de construção, artifícios para resolução de equações, certos
desenvolvimentos trigonométricos massudos, etc. (Roxo, 1937, p. 139).
A aritmética teórica é o único conteúdo para o qual Euclides Roxo apresenta
argumentos a favor da exclusão. As demais defesas de exclusão de conteúdo, só
podem ser observadas quando nos voltamos para a elaboração dos programas de
ensino, que será discutida no próximo capítulo desta Tese.
4.2.2.2. Predominância essencial do ponto de vista psicológico
Enfim, esta categoria associa-se às questões de ordem metodológica, que foi
a principal mudança proposta por Euclides Roxo para a matemática escolar na
escola secundária. Em geral,
Quer-se, com isso, significar que o ensino não pode depender unicamente da
matéria a ensinar, mas deve atender, antes de tudo, ao indivíduo (Subjekt), a quem
se tem de educar. Um mesmo assunto será exposto a uma criança de seus anos e
uma de dez de modo inteiramente diferentes e muito outra será, ainda, a maneira
pela qual se explicará a um adolescente (Roxo, 1930d).
Em particular, alguns tópicos nortearam esta categoria, entre eles, intuição e
lógica no ensino da matemática, os recursos de laboratório, o método heurístico e
a conexão entre as várias partes da matemática escolar. Para cada um destes, tem-
se:
Intuição e lógica no ensino da matemática
A introdução de um curso de geometria intuitiva pode ser considerada uma
particularidade deste tópico, pois a idéia geral era iniciar com um curso de caráter
experimental, preparando o indivíduo para o trabalho posterior com a geometria
dedutiva.
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
104
Segundo a psicologia clássica, o ensino visava à formação e o desenvolvimento do
espírito em abstrato. Procurava-se obter, separadamente, a educação dos sentidos e
da linguagem, a da imaginação, a do raciocínio.
A matemática era então considerada a matéria adequada à educação do raciocínio
(no sentido de pensamento lógico) e era essa a principal finalidade do seu ensino,
senão a única, desprezadas as “aplicações utilitárias” como indignas da formação
humanística. Desse modo se justificava a apresentação da matéria, em estrutura
formal, desde as primeiras séries do curso. (Roxo, 1937, p. 68).
Dessa forma, para Euclides Roxo, o desenvolvimento do pensamento lógico
não estava em oposição ao uso da intuição. A idéia seria partir de conhecimentos
intuitivos e gradativamente chegar a uma organização lógica dos assuntos, como
afirma Klein, citado por Roxo:
Não se deve, entretanto, entender que se comece, desde cedo, com uma exposição
lógica e difícil, mas impõe-se completamente o método genético.
A intuição forma a base do conhecimento e, a princípio, só lentamente se penetra
na consciência lógica. Se é verdade que, há algum tempo atrás, predominou a
exposição sistemática, que se acentuava de modo inconveniente o formalismo, isso
se tem aos poucos modificado, de algumas décadas a esta parte. Hoje aquela
maneira de ensinar está excluída da escola alemã. (Klein apud Roxo 1937, p. 71,
grifos do autor).
Além desta associação feita entre intuição e método genético, Euclides
Roxo também considera o conhecimento prévio do educando como sendo a base
de conhecimentos intuitivos anteriormente adquiridos. Dessa forma, “como quer
que seja, deve-se começar deixando que o aluno pense a seu modo sobre os
problemas apresentados. Será depois mais fácil moldar-lhe o pensamento em um
tipo mais formal.” (Roxo, 1937, p. 73, grifos do autor).
Por fim, Euclides Roxo amplia o conceito de intuição considerando-o como
uma competência ou capacidade tão valiosa quanto o raciocínio.
Os recursos de laboratório
Os recursos de laboratório, como denominado no prefácio do primeiro
volume da coleção Curso de Matemática, foi apresentado por Euclides Roxo no
Jornal do Commercio, em 7 de dezembro de 1930, como método de laboratório,
denominação americana, segundo ele. Estes recursos ou método foram
considerados como uma maneira de despertar e favorecer o interesse dos alunos
para o ensino da matemática. Segundo Euclides Roxo (1930d)
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
105
[...] o método de laboratório se propõe a levar o estudante à descoberta dos fatos
matemáticos; apenas, ao invés de o fazer por meio de perguntas adequadas do
professor, utiliza as experiências executadas pelo aluno.
Realizando-se medidas e pesadas, determinam-se áreas, volumes, comprimentos e
ângulos, cada relação matemática é achada como conseqüência de um certo
número de tais experiências.
Esta proposta teria como conseqüência a introdução, no ensino da
matemática, de outros tipos de recursos didáticos, como citado no mesmo artigo.
Para esse fim tem sido empregada uma grande variedade de materiais e
organizados na América do Norte os laboratórios de Matemática, constituídos de
um modo geral, do seguinte aparelhamento: 1. Uma pequena biblioteca
especializada, em que haja vários compêndios, livros de história da Matemática, de
recreações matemáticas e diversos assuntos referentes a essa disciplina, tábuas de
logaritmos de 3 a 7 decimais, tábuas de juros, de fatores, de quadrados e raízes
quadradas e de inversos. 2. Quadros negros suficientes para acomodarem toda a
classe; esferas negras de diversos tamanhos; quadros negros em diedros, em
triedros tri retângulos e oitantes. 3. Modelos de sólidos. 4. Réguas de cálculo. 5.
Instrumentos topográficos. 6. Balanças. 7. Pêndulos. 8. Alavancas, polias,
parafusos. 9. Barômetro e termômetro. 10. Medidores de pesos específicos de
líquidos. (Roxo, 1930d).
Aliado a estes recursos, Euclides Roxo considera que a associação com o
método heurístico favoreceria a self-discovery, “além de concorrerem para dar
vivacidade e interesse ao ensino e um certo apoio concreto e, talvez, um tanto
divertido, ao raciocínio do adolescente, ajudando-o a galgar, o mais suavemente
possível, a íngreme rampa da abstração matemática” (Roxo, 1929, p. 10)
O método heurístico
O método heurístico é muito citado por Euclides Roxo na sua produção. Por
exemplo, no prefácio do livro de Geometria, terceiro volume da coleção Curso de
Matemática, ele destaca entre outras coisas, que “o ensino se fará [...] pela
solicitação constante da atividade do aluno (método heurístico), de quem se
procurará fazer um descobridor e não um receptor passivo” (Roxo, 1931i, p. 5).
Euclides Roxo apresenta as questões sobre este modo de proceder no artigo
do Jornal do Commercio de 7 de dezembro de 1930. Para ele,
[...] o método heurístico (do grego eurisko, eu acho) visa a colocar o aluno em
condições de descobrir, mas estabelecendo perguntas e problemas cujas respostas
não sejam óbvias, embora estejam dentro da capacidade do aluno.
É um método ao mesmo tempo que um modo, essencialmente ativo e construtivo, e
merece uma situação predominante na instrução matemática. Ele pode ser usado de
diversas maneiras: ou com um compêndio especialmente preparado e usado pelo
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
106
modo recitativo ou individual, ou com um compêndio comum, e desenvolvendo-se
o assunto geneticamente, devendo a classe trabalhar como um todo na descoberta
dos teoremas. (Roxo, 1930d).
Os “perigos e desvantagens” do método são apresentados e discutidos a
partir de Young. Em suma, Euclides Roxo afirma, novamente citando Young, que
“[...] o método heurístico está muito mais perto de atingir os ideais da instrução
matemática do que a simples ingestão passiva de qualquer corpo de doutrina
matemática [...]” (Roxo, 1930d).
A conexão entre as várias partes da matemática escolar
Entre as questões associadas à metodologia, a conexão entre as diversas
partes da matemática, a saber, aritmética, álgebra e geometria, é a mudança mais
importante proposta por Euclides Roxo. Com efeito, este princípio associa-se
diretamente com as questões de seleção de conteúdo, que por sua vez são as
alterações mais explícitas nos programas de ensino e na escrita dos livros
didáticos. Conseqüentemente, como o próprio Euclides Roxo afirmou
Foi esse um dos pontos da nova orientação que mais fortemente chocou os nossos
meios professorais e provocou, no mesmo, maior celeuma. Além de contrariar
diretamente, e de uma forma precisa, certas normas de há muito estabelecidas (e
nós sabemos como é difícil desarraigar um preconceito!), a execução desse
objetivo da reforma exigiu uma alteração no modo de seriar as matérias do curso
ginasial [...] (Roxo, 1930f).
Além disso, este princípio modificou a incumbência dos professores pois os
concursos, como por exemplo, para o Colégio Pedro II, eram específicos para
cada um dos ramos da matemática escolar.
O capítulo sete do livro A matemática na educação secundária, destinado a
este tema, apresenta basicamente argumentos a favor da fusão entre os ramos, a
partir de textos de Klein, Branford, Moore, Young, Duclot, Laisant, Boutroux e
Tannery, e a descrição da experiência norte-americana, principalmente pelas
iniciativas de Breslich para a execução desta diretriz. No artigo de 14 de
dezembro de 1930, Euclides Roxo resume claramente estas razões:
[...] deve-se abolir o princípio da pureza dos métodos e ensinar a matemática como
um organismo, cujas partes estão em viva e animada correlação, conservando,
como é fácil fazer, em todo o ensino, uma estreita conexão entra as diversas
modificações do pensamento matemático (KLEIN); só muito tarde o estudante
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Euclides Roxo e os fundamentos de suas propostas para o ensino da matemática no
curso secundário
107
aprende a apreciar a conexão absolutamente estreita entre as diferentes matérias
(álgebra, geometria, física) e deve queixar-se sinceramente do professor, que só no
fim do curso incentiva aquela íntima relação, depois de ensinar aquela disciplina de
maneira inconcebível (MOORE); a justaposição de matérias no currículo não
implica a assimilação harmoniosa das matérias pelo espírito do aluno; sem resultar
nenhuma confusão todos os ramos do estudo matemático podem ser misturados e
tornar-se essencialmente proveitosos de modo que o espírito vê as concepções e os
processos matemáticos à luz de um belo e poderoso conjunto, bem ordenado, ao
invés de uma coisa feita de retalhos e remendos (BRANFORD); a prática absurda
de apresentar a principiantes os ramos da matemática com a elaboração formal, que
é um indício inevitável do seu tratamento em assuntos separados conduz ao fato -
certamente pouco menos que um escândalo - (na Inglaterra) de se poder dar um
certificado de ensino secundário a um jovem que não tivesse a menor noção dos
poderosos e fascinantes métodos da trigonometria elementar (NUNN); cortada a
ciência em pequenas camadas, fazendo-se da Álgebra um ensino tão incompleto,
que dele se excluem as funções circulares, e consentindo o da Geometria em ditar e
recopiar Euclides, foi-se forçado a formar um amálgama compósito, sem seqüência
e sem ligação, a que se deu um nome particular (Trigonometria), pretensa ciência
que é como um hors-d'oeuvre sem grande importância, que os professores ensinam
quanto têm tempo e que os alunos assimilam de maneira duvidosa, ficando depois
de muito trabalho sem idéias precisas, nem sobre a Álgebra nem sobre a
Geometria; no fundo não há ciências matemáticas, (Álgebra, Geometria, etc.), pois
todas se auxiliam, se apoiam mutuamente e em certos pontos se confundem
(LAISANT); o medo das palavras e das barreiras que se puseram entre as diversas
partes da ciência, é, na verdade, bem extraordinário; embora admirando, como
convém, a pesquisa estética em uma exposição e o engenho dos que gostam de se
privar do que é cômodo, no ensino elementar, contudo, muito se deve sacrificar à
facilidade, e não recear um bocadinho de cálculo numa demonstração ou num
problema geométrico se assim tudo se facilita, e não há mal em que, esses ensinos,
que devem ser conduzidos paralelamente, se penetrem e se aclarem mutuamente
(TANNERY); a Aritmética, a Álgebra, a Geometria e a Trigonometria devem ser
ensinadas lado a lado, ajudando-se e iluminando-se mutuamente e não em
compartimentos estanques (YOUNG); são óbvias e importantes as interrelações
entre a Aritmética, a Álgebra e a Geometria, que o estudante deve apreender antes
que possa adquirir qualquer penetração real nos métodos matemáticos e que são
inevitavelmente obscurecidos por uma aderência estrita à concepção de matérias
separadas (NATIONAL COMMITTEE ON NATIONAL REQUIREMENTS).
(Roxo, 1930f).
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
108
5 Os programas de ensino e os conteúdos da matemática
escolar, do curso secundário, no Brasil na primeira metade
do século XX
As origens da matemática escolar como teoria escolar, ou seja, como um
conjunto organizado de conteúdos para orientar professores e alunos no ensino
elementar de matemática, foi pesquisada por Valente (1997), em sua Tese de
Doutorado publicada em livro
1
. Neste trabalho Valente utiliza como principal
fonte de pesquisa os livros didáticos. Ele estabelece algumas etapas que marcaram
a constituição da matemática escolar tradicional. Entre eles, destacam-se a
instalação da Academia Real dos Guardas-Marinha e da Academia Real Militar e
o processo de passagem da matemática tomada como saber técnico para um saber
de cultura geral.
Segundo Valente (1997, p. 102), “a criação da Academia Real Militar
estabelece no Brasil, a separação matemática escolar/matemática superior” e que a
“Academia Real dos Guardas-Marinha vai solidificando um programa de estudos
e conteúdos de nível elementar”.
Não havia programas de ensino nem, tampouco, uma organização e seriação dos
conteúdos a ensinar. Com a instalação no Brasil da Academia Real dos Guardas-
Marinha e com a criação da Academia Real Militar organiza-se o ensino da
matemática e surgem os primeiros programas de ensino. Tais programas [...]
encontram-se diretamente atrelados aos manuais de matemática em uso. (Valente,
1997, p. 102).
Mas “tanto uma como a outra dão contribuições decisivas para o que
podemos chamar de matemática escolar tradicional” (Valente, 1997, p. 102,
grifos do autor).
O outro momento citado acima é marcado com a criação dos cursos
superiores no Brasil:
Quando se estabelecem os cursos superiores no Brasil, principalmente a partir dos
cursos jurídicos criados em 1827, um novo ingrediente surge na construção da
1
Valente, W.R. Uma história da matemática escolar no Brasil, 1730 – 1930. São Paulo:
Annablume: FAPESP, 1999. A segundo edição é datada em 2002.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
109
matemática escolar. São os vestibulares. E é a partir dos exames preparatórios que
as matemáticas vão passar a integrar a cultura geral escolar. (Valente, 1997, p. 188,
grifo do autor)
Associado a este fato, Valente (1997) ainda destaca outros, como citado a
seguir:
O período dado pelo final da década de 20 e meados da década de 40 do século
passado [XIX] que inclui a constituição das escolas primárias, a criação dos cursos
jurídicos, o aparecimento dos liceus provinciais, enseja a elaboração e seleção do
que deve ser importante em matemática para a formação prévia, pré-universitária,
do futuro bacharel. (p. 112).
Mas, quais foram então os conteúdos de matemática selecionados para esta
formação?
Entre os liceus provinciais, destaca-se o Colégio Pedro II, criado em 1837
para servir de modelo para a instrução secundária. Em particular, seu primeiro
plano de estudo já define os conteúdos de matemática – Aritmética, Álgebra e
Geometria – bem como a seqüência que deveria ser adotada. A primeira alteração
em sua organização interna, em 1841, altera a seqüência dada por aritmética,
geometria e álgebra para aritmética, álgebra e geometria
2
. Quanto aos conteúdos
da matemática escolar citados acima, os programas de ensino deste colégio
determinam, particularmente para cada um dos três ramos, quais os tópicos
deveriam ser ensinados. A pesquisa de Beltrame (2000) analisa os programas do
Colégio Pedro II, desde a sua criação até 1932, e nos mostra as variações entre os
conteúdos e a distribuição ao longo dos anos. Para os anos de 1837 e 1849 não foi
encontrado nenhum programa, apenas tabelas com a distribuição das disciplinas
para o ano de 1838 e 1841, onde confirmamos a mudança na seqüência adotada,
citada acima a partir de Valente
3
. Entre os anos de 1850 e 1855, foram localizados
apenas os programas de exames parcelados, que de alguma forma, refletia os
programas de ensino para este período. O primeiro programa de ensino localizado
por Beltrame foi o de 1850.
De acordo com os nossos objetivos, seguiremos com a análise e
apresentação dos programas de ensino da matemática na escola secundária, a
partir do Colégio Pedro II, e do ingresso de Euclides Roxo nesta instituição como
2
Valente, 1997, p. 113 e 115.
3
Beltrame, op. cit., p. 11 e 14.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
110
professor. Os programas de ensino serão analisados a partir da seqüência adotada,
seleção, distribuição e abordagem e metodologia
4
.
5.1. O período entre 1915 e 1928
Euclides Roxo ingressa no Colégio Pedro II como docente em 1915. Desde
a sua entrada nesta instituição até 1929, onde propôs mudanças inovadoras para o
ensino da matemática, duas reformas atingiram o ensino secundário. A primeira
delas, a Reforma Carlos Maximiliano, exatamente em 1915, dada a partir do
Decreto n. 11530, de 18 de março, e a outra em 1925, a denominada Reforma
João Luiz Alves, implantada pelo Decreto n. 16782, de 13 de janeiro.
Em ambas as reformas, o Colégio Pedro II é o modelo de instituição para o
ensino secundário
5
, estabelecendo, entre outras coisas, os programas de ensino.
Neste período, esta instituição alterou a distribuição das disciplinas ao longo dos
anos – cinco ou seis –, de acordo com as reformas citadas e com sua organização
interna
6
. Dessa forma, encontram-se registrados programas de ensino para os anos
de 1915 a 1928
7
.
A seqüência adotada, nestes programas, para o estudo dos diversos ramos
da matemática era a seguinte: aritmética, álgebra e geometria (plana e espacial),
incluindo nesta última parte, a trigonometria.
Não há uma variação muito grande entre a seleção dos conteúdos nos
programas de ensino do intervalo de tempo delimitado, como verificado por
Beltrame (2000). Há apenas pequenas mudanças na distribuição interna de cada
um das partes. Dessa forma, a seguir encontra-se, em resumo, os diversos tópicos
selecionados para cada um dos ramos da matemática escolar, sendo as
especificidades apresentadas posteriormente.
4
Optamos por não separar as categorias abordagem e metodologia na análise dos
programas de ensino, pois, em diversos momentos elas se encontram mescladas ao longo das
orientações.
5
Não entraremos em detalhes sobre as condições de equiparações e as condições impostas
para o ensino privado.
6
Segundo Beltrame (op. cit., p. 83), os programas, a partir de 1899, deveriam ser
organizados trienalmente pela Congregação. Apesar disso, como mostrado também por Beltrame
(op. cit.), isso não aconteceu.
7
Beltrame, op. cit., p. 5 – 6. Em particular, as alterações encontram-se apenas nos
programas de 1915, 1919, 1923, 1926 e 1928, como analisado pela autora.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
111
Aritmética:
Número: primeira noção de número, unidade, quantidade, grandeza, números
inteiros;
Sistema de numeração: numeração falada e escrita, base;
Adição, subtração, multiplicação e divisão: definição e teoremas;
Divisibilidade: definições e teoremas, divisibilidade por 10
m
, 2
m
, 5
m
, 9, 3 e 11;
Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum: definição e teoremas;
Números primos: definição, decomposição de um número em fatores primos, crivo,
divisores de um número, teoremas;
Frações ordinárias: definição e termos, operações, número misto e frações
impróprias;
Frações decimais e números decimais: definição e notação, operações, conversões,
dízimas;
Sistema métrico decimal, medidas de grandezas, sistema monetário, números
complexos;
Quadrado, cubo e raízes: definições e teoremas, números incomensuráveis,
extração de raízes com aproximação;
Razões e proporções: definições e teoremas, números proporcionais, divisão
proporcional, regra de três, regra de sociedade;
Juros, capital, taxas, descontos, misturas e ligas, cambio;
Cálculo aritmético dos radicais.
Álgebra:
Definições preliminares, sinais, termos;
Expressões algébricas: valor numérico e operações;
Números negativos;
Monômios e polinômios: adição, subtração, multiplicação, divisão;
Frações algébricas: operações, denominadores irracionais;
Equações do 1º grau: resolução, discussão, problemas;
Sistemas do 1º grau: métodos de redução ao mesmo coeficiente, substituição e
comparação, método de Bézout, regra de Crammer, discussão;
Desigualdades do 1º grau;
Equações do 2º grau: resolução, discussão, problemas, equações biquadradas;
Sistemas do 2º grau;
Progressões aritméticas e geométricas;
Logaritmos;
Equações exponenciais;
Juros compostos e anuidades.
Geometria:
Geometria Plana
Definições preliminares, reta e plano;
Ângulos, retas perpendiculares e oblíquas e paralelas;
Triângulos: propriedades e casos de igualdade;
Polígonos: definições, soma dos ângulos internos e externos;
Quadriláteros: definições e propriedades;
Círculo e circunferência: definições e teoremas, cordas, arcos, ângulos, reta
tangente, quadriláteros inscritíveis;
Polígonos regulares: definições e teoremas, cálculo de Pi,
Figuras semelhantes, polígonos semelhantes;
Triângulos semelhantes, relações métricas no triangulo;
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
112
Áreas de figuras planas.
Geometria Espacial
Posições relativas entre retas e planos: diversos casos e teoremas;
Ângulos diedros e poliedros;
Poliedros: definições, poliedros semelhantes;
Prisma e pirâmide: volume e superfície lateral;
Corpos redondos: definições, sólidos de revolução;
Cilindro, cone e esfera: volumes e superfície lateral.
Trigonometria:
Linhas trigonométricas: definições e propriedades;
Redução ao primeiro quadrante;
Relações fundamentais: fórmulas;
Relações para soma, subtração, multiplicação e divisão de dois arcos;
Taboas trigonométricas: teoremas e construção, taboa de Callet;
Resolução de triângulos: triângulos retângulos e triângulos quaisquer.
Algumas observações podem ser feitas em relação à seleção dos conteúdos
para cada um dos ramos ao longo desses anos.
Em 1915, a segunda lição de álgebra propõe a resolução de problemas de
aritmética por processo algébrico, contrapondo as duas abordagens. Temos ainda,
nos programas de geometria, as noções sobre elipse, hipérbole e parábola.
Em 1919, as frações não eram citadas nos programas de aritmética. Ainda
nesse mesmo ano, diversos conteúdos de álgebra são tratados além dos descritos
anteriormente. São eles: noções sobre expressões indeterminadas, representação
gráfica de uma equação do 1º grau e o trabalho com gráficos de temperatura e
movimento de um trem, máximo divisor comum algébrico, noções sobre frações
contínuas, análise indeterminada do 1º grau, análise combinatória, binômio de
Newton, determinantes e séries.
Em 1923, a parte de aritmética reproduz exatamente a seqüência e os
tópicos abordados no livro Lições de Arithmetica, de Euclides Roxo, indicado
como livro texto nos programas entre 1923 a 1928. A única exceção é a troca na
ordem de apresentação dos tópicos números primos e m.m.c. A associação do
livro com os programas é tão marcante que o título de alguns capítulos é o mesmo
de alguns tópicos listados.
Essas variações na seleção dos conteúdos podem estar relacionadas com
questões pessoais. Observa-se que há uma relação entre a seleção dos conteúdos e
as concepções de cada um dos responsáveis pela sua elaboração, ou seja, os
programas nos mostram quais foram as escolhas de cada professor para a
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
113
matemática escolar dentre um corpo de conteúdos já definido. A análise de
Tavares (2002), que relata algumas discussões sobre o ensino da matemática, a
partir das Atas da Congregação do Colégio Pedro II, e a seleção dos conteúdos
nos livros didáticos de cada um dos responsáveis por esta elaboração, podem
reforçar esta afirmação. Em 1915, os programas foram assinados por Arthur
Thiré, em 1919, por Almeida Lisboa, e, em 1923, por Arthur Thiré, Euclides
Roxo e Henrique Costa.
Os conteúdos eram listados nos programas sob a forma de lições, como por
exemplo nos programas de 1915 e 1919, ou eram citados em tópicos, como em
1923, 1926 e 1928.
A distribuição ao longo dos anos dos diversos ramos era a seguinte. Em
1915: Aritmética (2º ano), Álgebra e Geometria plana (3º ano), Geometria
espacial e Trigonometria (4º ano); em 1919: Aritmética (1º ano), Álgebra (2º e 3º
ano), Geometria (3º ano), Geometria e Trigonometria (4º ano); em 1923:
Aritmética (1º e 2º ano), Álgebra (2º e 3º ano), Geometria (3º e 4º ano),
Trigonometria (4º ano); em 1926 e 1928: Aritmética (1º e 2º ano), Álgebra (3º
ano), Geometria e Trigonometria (4º ano). Em cada uma das reformas, o plano de
estudos destinava 3 horas semanais para cada uma das partes citadas
8
.
Observa-se que entre os anos de 1915 e 1925 os programas alocavam em
um mesmo ano mais de um dos ramos da matemática. Por exemplo, álgebra e
geometria, em 1915, 1919 e 1923, e aritmética e álgebra, em 1923. Mas, entre
1926 e 1928 isso não aconteceu. Podemos associar esta característica da
distribuição dos conteúdos com as reformas de ensino, em particular, com as
questões relacionadas aos exames de preparatórios ou parcelados.
A finalidade do curso secundário como preparação para o curso superior
sempre foi um ponto chave nas primeiras reformas do ensino durante a República.
A reforma Maximiliano, em 1915, adota a seriação dos estudos, ou seja, “os
alunos não poderiam prestar exames, de uma só vez, das matérias de mais de um
ano de curso”, como ocorria anteriormente (Silva, 1969, p. 275). Mas, a reforma
resgata os exames preparatórios para que os estudantes não matriculados em
8
Na distribuição dos tempos semanais, temos que no regime da reforma Carlos
Maximiliano, geometria plana, geometria espacial e trigonometria são consideradas três partes
distintas; na reforma Rocha Vaz geometria e trigonometria são consideradas apenas como uma
parte. (MARTINS, 1984, p. 88 e 94).
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
114
escolas oficiais obtivessem certificados do ensino secundário reconhecido, sem a
obrigatoriedade das séries. Segundo Nagle (2001, p. 190), “restabelece-se,
conseqüentemente, a duplicidade de regime de ensino secundário: o seriado para
os alunos do Colégio Pedro II e dos ginásios equiparados e o parcelado para os
alunos dos estabelecimentos particulares”. A reforma posterior, ou seja a reforma
Rocha Vaz em 1925, tenta romper com a finalidade estritamente preparatória do
ensino secundário, considerando-o como prolongamento do ensino primário,
objetivando um preparo fundamental e geral para a vida, com seriação obrigatória.
Mais uma vez, segundo Nagle (2001, p. 194), “uma das conseqüências dessas
idéias foi a generalização da seriação na escola secundária, que até então
constituía regime de exceção; portanto, foram abolidos os exames de preparatórios
ou os exames parcelados para estudantes não matriculados no Colégio Pedro II e
nos ginásios estaduais equiparados”. Vejamos os artigos 49 e 50 dessa lei:
Art. 49 – Constituem séries as provas de conclusão de estudo das matérias, nos
diversos anos do curso, assim discriminados: no 1º ano, instrução moral e cívica;
no 2º ano, geografia e corografia do Brasil e aritmética; no 3º ano, francês, inglês
ou alemão, álgebra e história universal; no 4º ano, geometria e trigonometria e
história do Brasil; no 5º ano, português, latim cosmografia, física, química, história
natural e filosofia.
Art. 50 – Não será permitido acesso a um ano qualquer sem a aprovação nas
matérias do ano anterior, quer nas que forem de simples promoção de um ano para
o outro, quer nas que constituírem provas de conclusão das diversas séries em cada
ano.
Dessa forma, não faria sentido fragmentar o ensino da aritmética, da álgebra ou da
geometria e distribuir ao longo de dois anos, por exemplo. Portanto, esta lei
determinou a distribuição dos ramos da matemática citada anteriormente
9
.
Algumas considerações também podem ser feitas, a partir dos programas,
sobre a abordagem e metodologia.
A característica mais marcante quanto a este aspecto é a separação rígida
entre os ramos da matemática escolar, limitando o tratamento dos conteúdos e a
articulação entre os diferentes significados de um mesmo conceito. O que ocorre
apenas, em alguns dos anos, é um acúmulo de conteúdos de dois desses ramos em
uma única série. A única exceção encontra-se, de forma isolada, nos programas de
9
Beltrame (op. cit., p. 5 – 6) registra a localização dos programas de ensino, classificando-
os pela vigência das reformas e mostra que os programas a partir da reforma Rocha Vaz só são
alterados em 1926. Beltrame (op. cit., p. 108) ainda confirma este fato, afirmando que os
programas de 1924 e 1925 são idênticos aos de 1923.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
115
1919, no tópico representação gráfica de uma equação do 1º grau e o trabalho
com gráficos de temperatura e movimento de um trem, já citado anteriormente.
Entre os anos de 1915 e 1925, não há registrado nenhuma orientação
significativa de como os programas deveriam ser executados. Apenas quatro notas
são apresentadas nos programas de 1919 junto aos tópicos adição e subtração,
multiplicação, divisão e divisibilidade
10
.
Entre os anos de 1926 a 1928, em particular para o primeiro ano e o ensino
de aritmética, há orientações para que os programas fossem executados de forma
que o ensino tivesse um caráter acentuadamente prático. Esta característica está
associada à distribuição dos conteúdos dada nos programas de 1926 e 1928. Parte
dos tópicos listados em 1923, para o primeiro ano, foi resumido para compor os
programas de aritmética do primeiro ano em 1926 e os conteúdos que estavam
alocados no primeiro ano, em 1923, foram deslocados para o segundo. Há então
uma repetição, mas a lista de conteúdos deixa claro como os tópicos deveriam ser
tratados. Por exemplo, encontramos em todos os tópicos o item exercícios.
A valorização do caráter prático, citado acima, pode estar associada às
discussões dadas nos congressos de ensino, descritos no capítulo 2 desta Tese, e
pode ter surgido como alternativa para a articulação entre os níveis de ensino,
determinada pelo artigo 47 da reforma Rocha Vaz, onde o ensino secundário,
como citado, foi considerado, também, um prolongamento do ensino primário.
Observa-se, então, que as escolhas, neste caso, deixaram de ser apenas
pessoais e seguem orientações dadas num âmbito mais amplo do que as
discussões internas na Congregação do Colégio Pedro II.
Outra observação pertinente é que nos programas de 1928, há orientações
para que no quinto ano fossem executados, quando possível, os programas de
exames da Escola Politécnica. Não sabemos se tal observação consta somente nos
programas de matemática, já que no quinto ano outras disciplinas seriam
ministradas, supostamente não havendo tempo destinado ao ensino de matemática.
As indicações de livros didáticos junto aos programas ainda era uma prática
comum, apesar de aleatória. Ou seja, em alguns programas encontram-se
indicações para alguns ou todos os ramos, em outros não.
10
Essas notas, elaboradas por Almeida Lisboa, valorizam o caráter teórico desses tópicos
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
116
Entre os livros indicados no período delimitado encontram-se
11
:
Aritmética – F.I.C. (1919)
Lições de aritmética – Euclides Roxo (1923 a 1928)
Questões de aritmética – Cecil Thiré (1926 a 1928)
Exercícios de aritmética – Henrique Costa, Euclides Roxo e O. Castro
(1926 a 1928)
Álgebra elementar – Serrasqueiro (1923 a 1928)
Lições de álgebra – Joaquim de Almeida Lisboa (1926 a 1928)
Exercícios de álgebra – Henrique Costa, Euclides Roxo e O. Castro (1926 a
1928)
Exercícios de álgebra – Cecil Thiré (1928)
Elementos de geometria – F.I.C. (1923 a 1928)
Apontamentos de geometria – Ferreira de Abreu. (1926)
Exercícios de geometria – Henrique Costa, Euclides Roxo e O. Castro.
(1926 a 1928)
Exercícios de trigonometria – Henrique Costa, Euclides Roxo e O. Castro.
(1928)
Trigonometria – F.I.C. (1923 a 1928)
Trigonometria elementar – Arthur Thiré (1923 a 1928)
Apesar da série de considerações feitas sobre os programas de ensino da
matemática para o Colégio Pedro II, entre os anos de 1915 e 1928, os conteúdos
de ensino são praticamente os mesmos. Além disso, os programas de matemática,
dos anos de 1925 a 1928, citados por Valente (2004b), do Ginásio de São Paulo,
uma das instituições oficiais equiparada, mostram que os conteúdos ministrados
foram essencialmente os mesmos dos programas do Colégio Pedro II. A única
diferença substancial encontrada foi na distribuição destes ao longo dos anos.
As grandes alterações ocorreram a partir de 1929, quando Euclides Roxo
propõe mudanças inovadoras que transformaram substancialmente a matemática
escolar no Brasil.
5.2. Os programas de ensino do Colégio Pedro II de 1929 a 1931
O ano de 1929 marca a seriação do Colégio Pedro II de forma significativa.
Em particular, de acordo com os nossos objetivos, a mudança pelo Decreto n.
18.564, de 15 de janeiro de 1929, cria, nas palavras de Rocha (2001), a disciplina
denominada Matemática, no curso secundário. Ou seja, reúne sob uma mesma
11
Entre parênteses encontram-se os anos que os respectivos livros estão indicados. Os
outros livros que circulavam no Brasil nesta época serão citados no próximo capítulo.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
117
denominação os conceitos até então estudados no ensino secundário. No entanto,
esta alteração não foi apenas uma união dos conteúdos de aritmética, álgebra e
geometria.
Segundo o próprio Euclides Roxo,
Entre nós, até 1929, o ensino de aritmética, o de álgebra e o de geometria eram
feitos separadamente. O estudante prestava, pelo regimen de preparatórios que
vigorou até 1925, um exame distinto para cada uma daquelas disciplinas. No
regimen Rocha Vaz, de curso seriado, continuou a vigorar o mesmo processo de
ensino e de exames inteiramente separados para as três matérias. Em 1928,
propusemos à Congregação do Colégio Pedro II, a modificação dos programas de
matemática, de acordo com a orientação do moderno movimento de reforma e a
conseqüente unificação do curso em uma única disciplina sob a denominação de
matemática, lecionada em 5 anos, passando de então por diante, a haver apenas
exames de matemática nas diversas séries do curso. (Roxo, [1937], p. 73 – 74,
grifos do autor).
Tais mudanças no ensino da matemática foram propostas em 14 de
novembro em 1927, na Congregação do Colégio Pedro II, por Euclides Roxo
12
.
Os novos programas de ensino foram aprovados em 27 de março de 1928 e, em 18
de junho do mesmo ano, a Departamento Nacional de Ensino e a ABE aprovaram
as novas orientações para o ensino secundário, em particular, as mudanças
propostas por Euclides Roxo
13
.
Considerada, por exemplo, por Miorim (1998) como uma mudança radical,
esta reforma não poderia ocorre de forma abrupta para todo o segmento do ensino
secundário. Portanto, como afirmado por Rocha,
[...] percebe-se que o objetivo era que os programas de matemática fossem
implantados de maneira gradual, sendo a implantação das inovações efetuada,
propositalmente
, de forma paulatina, a partir de um planejamento elaborado pelo
próprio Euclides Roxo. (Rocha, 2001, p. 33, grifo do autor).
Com efeito,
Na cadeira de matemática fez-se uma completa renovação, de acordo com as atuais
diretivas pedagógicas, quanto a essa disciplina, em quase todos os países
civilizados. Adotados somente para o 1º ano em 1929, será a nova orientação
estendida, em 1930, ao 2º ano e, assim sucessivamente, a todos os anos do curso.
(Roxo apud Rocha, 2001, p. 33).
12
A exposição de motivos apresentada a seguir e registradas nas Atas da Congregação do
Colégio Pedro II (Tavares, op. cit., p. 105) encontram-se também no documento ER.T.3.143.
13
Tavares, op. cit., p. 166.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
118
Outro fato que pode confirmar a intenção de implementar mudanças de
forma gradativa são os programas de ensino localizados. Rocha (2001) apresenta
os programas do ano de 1929, para o primeiro ano, e de 1930, para o primeiro e
segundo ano, mostrando que as diferenças entre os tópicos para o primeiro ano, de
1929 para 1930, pode caracterizar a intenção de implementar gradualmente as
mudanças. No ano de 1931, novos programas também foram elaborados, como
mostra um dos documentos do arquivo pessoal Euclides Roxo
14
. Neste documento
incompleto, nomeado por ele, como Programas para 1931, encontram-se algumas
orientações metodológicas e o início dos programas para o primeiro ano.
Comparando com os programas de 1930 para este ano, novamente encontramos
pequenas mudanças. No entanto, outra hipótese, que será discutida mais adiante,
pode ser feita.
Euclides Roxo justificou, para a Congregação do Colégio Pedro II, esta
alteração nos seguintes termos:
Considerando que urge adaptar entre nós os métodos de ensino da matemática
elementar introduzidos pela grande reforma que o Prof. Klein iniciou na Alemanha
há cerca de trinta anos e que já se acham adotados em quase todos os países
civilizados do mundo;
Considerando que um dos pontos capitais da nova orientação está em acabar com a
divisão da ciência matemática em partes distintas e separadas (Aritmética, Álgebra,
Geometria);
Considerando que, à luz das modernas idéias pedagógicas, “a ciência matemática
sob as suas três faces – numérica, simbólica e gráfica – é uma só e não é
conveniente, sob o ponto de vista didático, separa-la, por divisão estanque ou
dogmáticas, em aritmética, álgebra e geometria, mas antes convém, tanto quanto
possível, expor os mesmos princípios sob os três pontos de vista, dando forma
concreta ao ensino, procurando em uma palavra, fazer entrar a matemática ‘pelos
olhos’ até que o aluno se ache bastante exercitado para tratar as questões de um
modo abstrato” (Jorge Duclout, Prof. da Faculdade de ciências e da Escola Normal
de Buenos Aires);
Considerando que “a matemática é uma verdadeira unidade e como tal deve ser
desenvolvida desde o começo, sendo a Geometria o fluído unificador (uniting
fluid) que ocorre através do conjunto” (Benchara Branford);
Considerando que a atual seriação das matérias – Aritmética, Álgebra e Geometria
– no curso do Colégio Pedro II é como se vê antiquada, pois não permite a adoção
da orientação pedagógica atualmente aceita em quase todo o mundo;
Indicamos que a Congregação do Colégio Pedro II, usando das atribuições que lhe
confere o art. 195, letra g, de decreto 16732 A de 13 de janeiro de 1925, proponho
ao Governo modificar a distribuição das matérias do curso secundário do seguinte
modo: 1º o estudo da Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria se fará sob a
denominação única de – Matemática – do 1º ao 4º ano do curso;
14
ER.T.3.012.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
119
2º) Haverá exame de promoção de Matemática no 1º ano, no 2º e no 3º e exame
final no 4º ano.
Segundo Miorim (1998),
Esse decreto [Decreto n. 18564, de 15 de janeiro de 1929], entretanto, dizia
respeito à introdução das idéias modernizadoras apenas no Colégio Pedro II.
Apesar de essa instituição ser considerada um modelo para as demais escolas
secundárias, não se garantia que elas adotariam essas orientações
15
. (p. 92).
Portanto, a partir de 1929 uma nova estrutura vai se estabelecendo para a
matemática escolar no Brasil. Esta proposta para o ensino da matemática deve ser
considerada tão importante quanto as reformas que ocorreram na década de 1920
por iniciativas dos estados e não do poder central, mostrando que o ensino
secundário não foi tão intransponível.
A seguir, iremos analisar os programas de ensino deste período, utilizando
as mesmas categorias do item anterior
16
.
5.2.1. Os programas de ensino para o ano de 1929
Os programas para o primeiro ano do curso secundário do Colégio Pedro II
apresentados por Euclides Roxo e aceitos pela congregação deste colégio difere
em muitos aspectos dos programas até então analisados.
A seqüência adotada não apresenta mais a separação rígida entre os
conteúdos de aritmética, álgebra e geometria, apenas uma lista com os tópicos.
Mas, para favorecer a observação da seqüência proposta, podemos apresentá-lo a
partir da seguinte classificação
17
:
Geometria:
1. Noções de sólido geométrico, volume, superfície, linha e ponto. Noções de
segmento, de reta, de semi-reta, de plano, de semi-plano, de reta e de plano
horizontal e vertical, de perpendicularismo e paralelismo entre retas e planos
ministradas intuitivamente pela consideração dos sólidos geométricos.
2. Apresentação dos principais sólidos geométricos. O bloco retangular e o cubo;
discriminação das faces, das arestas e dos vértices.
15
Por exemplo, os programas de ensino, publicado pelo Estado de Pernambuco, para o
Ginásio Pernambucano, no ano de 1930, não apresentam nenhuma das mudanças feita no Colégio
Pedro II a partir 1929.
16
Devido à importância deste período, os programas de ensino, bem como as orientações
metodológicas serão comentadas detalhadamente.
17
Apud Rocha, op. cit., p. 34 – 35.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
120
3. As principais figuras planas consideradas a princípio como partes das
superfícies dos sólidos; quadrado, retângulo, triângulo, paralelogramo, losango,
trapézio, polígonos, círculo.
4. O círculo; raio, diâmetro, circunferência. Noção de simetria. A esfera. Círculos
máximos; equador, meridianos, paralelos, pólos, eixos. Outros sólidos de
revolução: o cilindro e o cone.
Geometria, aritmética e álgebra:
5. Comparação e medida dos segmentos. Uso do duplo-decímetro, do compasso e
do papel milimetrado. Recapitulação das unidades de comprimento do sistema
métrico decimal. Principais unidades do sistema inglês (milha, jarda, pé e
polegada).
6. Soma e diferença, múltiplos e submúltiplos de segmentos. Representação
algébrica dos números. Monômios lineares.
7. Perímetro dos polígonos: representação aritmética, algébrica e geométrica.
Polinômios lineares. Coeficiente. Termos semelhantes; redução. Valor numérico
dos polinômios.
Aritmética:
8. Recapitulação das quatro operações fundamentais com os números inteiros;
prática e processos de abreviação.
9. Operações com os números complexos; unidade de tempo. Moeda inglesa.
10. Os números qualificados ou relativos. A série numérica; representação gráfica.
Operações com os números positivos e negativos. Exercícios sobre redução de
termos semelhantes.
Aritmética e álgebra:
11. Uso dos gráficos. Representação por meio de barras ou diagramas de dados
estatísticos, geográficos, meteorológicos, etc. Gráficos representativos de uma lei
precisa.
12. Resolução de problemas. Exemplos muito simples de equações do primeiro
grau com uma incógnita, em que não haja mais de três termos.
Geometria:
13. Noção de ângulo e de rotação. Unidades e medida direta dos ângulos. Uso do
transferidor. Ângulos adjacentes. Soma dos ângulos formados sobre o plano, de
um lado de uma reta e em torno de um ponto. Ângulos suplementares e
complementares. Ângulos opostos pelo vértice. Exercícios com aplicações de
equações lineares.
Aritmética e álgebra:
14. Exercícios de expressões de um enunciado por meio de símbolos algébricos.
Geometria e álgebra:
15. Unidades de área. Área de um retângulo e de um quadrado. Noção de segunda
potência.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
121
16. Recapitulação das unidades de área do sistema métrico decimal. Unidades
agrárias do sistema métrico. O alqueire.
17. Multiplicação de um polinômio por um monômio e por outro polinômio
explicada graficamente. Explicação gráfica da formação do quadrado de um
binômio.
Aritmética:
18. Raiz quadrada. Extração da raiz quadrada de um inteiro.
Geometria e álgebra:
19. Medida dos volumes. Unidades de volume. Volume de um bloco retangular e
do cubo. Noção de 3ª potência.
20. Recapitulação das unidades de volume e de peso do sistema métrico decimal.
Unidades de capacidade. Principais unidades do sistema inglês; o galão e o pint; a
tonelada e a libra. Problemas sobre pesos e volumes.
21. Noção de potência (inteira) em geral. Base, grau, expoente. Valores numéricos
de monômios e polinômios de qualquer grau. Produto de potências de mesma base.
Multiplicação de monômios e polinômios de qualquer grau.
Aritmética
18
:
22. Múltiplos e divisores. Noção de número primo. Caracteres de divisibilidade
por 2, 5, 4, 25, 3, 9 e 11.
23. Decomposição em fatores primos. Cálculo mental; processos de abreviação.
24. Formação do m.d.c. e do m.m.c., pelos fatores primos, dos números e dos
monômios.
25. Frações ordinárias. A fração como expressão de um quociente. Comparação.
Redução ao mesmo denominador. Simplificação e redução à expressão mais
simples. As quatro operações. Explicações gráficas. Operações com frações literais
de denominadores monômios. Equações fracionárias simples: problemas que a
estas conduzem.
26. Frações decimais. Operações. Conversão de ordinária em decimal e vice-versa.
Noção de dízima periódica. Exercícios sobre transformações de unidades métricas.
A partir dessa nova seqüência, sem a separação rígida entre os ramos, e
principalmente da denominação matemática, podemos observar que a distribuição
dos conteúdos ao longo dos anos passou a ser articulada com a abordagem dos
conteúdos. Alguns conceitos, por exemplo, os sólidos geométricos, que eram
tratados nos anos finais no curso secundário, passaram a figurar também no
primeiro ano. Mas, como veremos, as orientações para a abordagem deste
conteúdo difere para os anos iniciais.
Observa-se, também, que novos conteúdos foram incluídos de acordo com
as propostas de Euclides Roxo, expostas no capítulo anterior. Portanto, em relação
18
No item 25 há uma pequena articulação com a álgebra.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
122
aos programas anteriores a seleção dos conteúdos foi parcialmente alterada,
ampliando o rol de conceitos que eram tratados no curso secundário. Os itens
incluídos, para o ano de 1929, foram: noção de simetria, gráficos e rotação.
Quantitativamente as inclusões foram poucas, mas as alterações metodológicas
são bastante significativas.
A seqüência adotada, algumas indicações nos programas e as orientações
metodológicas anexadas
19
favorecem a abordagem e metodologia nesses novos
programas.
As orientações gerais apresentadas por Euclides Roxo reforçam suas idéias
sobre a apresentação inicial da matemática no curso secundário. Segundo ele,
Na execução do presente programa deve-se evitar, completamente, no 1º ano, uma
explanação dedutiva constituída sobre base axiomática. Procurar-se-á dar ao
ensino, quanto possível, um caráter vivo e intuitivo, e os primeiros conhecimentos
serão adquiridos experimentalmente, ao mesmo passo que a mão e a vista se
exercitarão na observação e na avaliação das grandezas, com o uso da régua, do
compasso e do duplo-decímetro. Fica sendo assim a indução a base essencial para a
aquisição de conhecimentos matemáticos; só nos anos superiores se irá aos poucos
iniciando o aluno no método dedutivo e fazendo com que ele compreenda a
necessidade e a importância do raciocínio rigorosamente abstrato.
Dessa forma, o primeiro bloco de conteúdos de geometria representa a
intenção de Euclides Roxo de introduzir um curso de geometria intuitiva, para
promover um contato com idéias, formas e relações geométricas de maneira
experimental, como preparação para o trabalho dedutivo.
No começo do curso (§ 1 a 4) ministram-se intuitivamente pela consideração dos
sólidos geométricos, das paredes, assoalho e teto da sala e dos objetos que ela
contém, as noções dos principais conceitos geométricos; podem-se também,
utilizar aí, com vantagem, os modelos de papel ou cartolina construídos pelos
próprios alunos.
A partir dessas noções, os conceitos de medida de segmento e perímetro
seriam articulados com a representação algébrica, sendo os conceitos de número e
sistema métrico os fios condutores.
Ao passo que se procura fazer com que o estudante trave um conhecimento íntimo
e real com a noção e a medida dos segmentos, e se exercite no manejo do
compasso, do duplo-decímetro e do transferidor, educando ao mesmo tempo a vista
na avaliação de distâncias, fornece-lhe uma base concreta para os conceitos de
19
Apud Rocha, op. cit., p. 205 – 206.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
123
álgebra. Assim, números literais aparecem primeiro como representando
naturalmente comprimentos de segmentos não medidos. A noção do polinômio
linear (a+b+c+d) surge espontaneamente com a maneira de representar
algebricamente o perímetro de um polígono, tendo oportunidade de pôr em
confronto os três pontos de vista que correspondem aos três ramos da matemática
elementar (aritmético, algébrico e geométrico), considerando ainda a representação
aritmética (soma dos números resultantes das medidas dos lados realmente
efetuados pelos alunos), e a geométrica (segmento obtido pela justaposição de
segmentos iguais aos lados) do perímetro de um polígono (§ 6 e 7).
Pela consideração de vários segmentos iguais marcados uns em seguida aos outros,
chega-se à noção concreta de múltiplo e de coeficiente, de modo que a expressão
3a + 2b, por exemplo, deixa de ser para o estudante uma mera abstração ou um
símbolo vazio para despertar uma idéia real, qual a do comprimento que se obtém
marcando, uns em seguida aos outros, três segmentos de comprimento a e dois de
comprimento b.
Os segmentos orientados e a escala termométrica iriam conduzir
concretamente as noções de número relativo, sendo as operações tratadas
graficamente pela introdução da reta numérica como recurso didático.
O bloco correspondente aos itens 11 e 12, gráficos e resolução de
problemas, respectivamente, pode ser considerado como uma parte central nos
programas, pois a proposta de abordagem desses tópicos valoriza a articulação
entre aritmética e álgebra, introduzindo desde os anos iniciais do curso secundário
a idéia de dependência que conduzirá ao conceito de função, tão defendido por
Euclides Roxo. Além disso, a orientação para a resolução de problemas deixa
claro o método que deveria ser aplicado, valorizando o desenvolvimento do
raciocínio e não da técnica.
No traçado dos gráficos comerçar-se-á pela construção sobre papel milimetrado de
diagramas de elementos tabelados (geográficos, estatísticos, meteorológicos).
Depois passar-se-á aos gráficos representativos de uma lei precisa, que nesta fase
do curso será sempre da fórmula y = ax + b; assim o estudante, construindo o
gráfico da relação y = 5x, tomando vários valores de x (de preferência inteiro e
simples) e os correspondentes de y, notará que o gráfico é uma reta (§ 11).
Pela consideração de um problema muito simples, como este: “dividir um fio com
30 m de comprimento em duas partes, de modo que uma seja o quíntuplo da outra”;
resolvido primeiro aritmeticamente, faz-se ressaltar a vantagem de representar por
um símbolo x o pedaço menor e leva-se o aluno a estabelecer a equação 6x = 30,
que ele resolve imediatamente. Com alguns exemplos mais, que conduzem todos a
equações do mesmo tipo, que serão sucessivamente resolvidas, chegar-se-á a
acentuar a aplicação do axioma da divisão (números iguais divididos pelo mesmo
número dão resultados iguais).
As equações, como x + 3 = 28, em que há um termo conhecido do mesmo lado que
a incógnita, pode-se, com vantagem, considerar como traduzindo um problema de
pesada: em um dos pratos de uma balança, que está em equilíbrio, há um objeto de
peso desconhecido juntamente com um peso de 3 kg, no outro prato há peso no
valor de 28 kg. Se tirarem de ambos os pratos um peso de 3 kg. A balança continua
em equilíbrio; logo x = 25. Se tirarem de ambos os pratos um peso de 3 Kg, a
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
124
balança continua em equilíbrio logo x = 25. Dá-se, assim, uma significação
concreta ao princípio de que se pode subtrair o mesmo número de ambos os
membros de uma equação. Convém, nesta fase do curso, não estabelecer a regra de
transposição de termos de um membro para outro, que vem mecanizar o processo e
fazer esquecer, desde logo, a significação do mesmo; é preferível que o aluno
raciocine, dizendo que “subtraindo de números iguais o mesmo número, os
resultados continuam iguais”, o equilíbrio da balança se mantém.
Passa-se em seguida à consideração das equações do tipo x - 5 = 12, com aplicação
do axioma da adição e a equações fracionárias muito simples, x/3 = 8; x/2 + x/4 =
1/5, com aplicação do axioma da multiplicação.
Em seguida, os conteúdos de geometria são apresentados e novamente
articulados com a álgebra.
As noções de ângulo deveriam ser associadas à de rotação, “considerando
por exemplo os ponteiros de um relógio”. Dessa forma, “se abandona, desde já, a
rigidez das figuras geométricas, para considerá-las variáveis, sendo as suas partes
dependentes umas das outras, quanto à posição e à grandeza”. E ainda,
“experimental ou intuitivamente se demonstram as propriedades relativas aos
ângulos formados de um lado de uma reta e em torno de um ponto dos ângulos
opostos pelo vértice, etc.” A partir do conceito de ângulo, as noções de álgebra
deveriam ser retomadas, articuladas com a resolução de problemas, da seguinte
forma:
Como aplicação dessas propriedades, propõem-se problemas sobre determinação
de ângulos e que se resolvem por meio de equações simples do 1º grau com uma
incógnita.
Aproveitando o mesmo assunto concreto, o estudante será levado a exercitar-se na
expressão, em linguagem algébrica, de enunciados simples, como por exemplo:
“3/5 da soma de um ângulo de 23º e 16’ subtraídos do triplo do suplemento de
ângulo”, etc..., de modo que o aluno se vá habituando a utilizar a álgebra como um
meio natural de exprimir os fatos a respeito dos números e como uma linguagem
simbólica especialmente adequada a estabelecer as condições de um problema de
um modo natural e vantajoso. É a própria dificuldade crescente dos problemas que
justifica a necessidade de aprender a manipular os símbolos algébricos.
Os conceitos de área e volume deveriam ser abordados de forma que suas
particularidades fossem tratadas e as idéias de segunda e terceira potências
subsidiassem a abordagem dos monômios e polinômios.
A noção de 2ª potência deve surgir ligada à sua interpretação geométrica que é a da
expressão da área de um quadrado, do mesmo modo que a noção de 3ª potência se
apresentará com o cubo, procurando sempre que possível, de acordo com o que já
se viu acima, apoiar em base concreta, fornecida pela geometria, as noções
fundamentais da álgebra. De acordo com esta orientação, a multiplicação de um
polinômio por um monômio, como (a + b + c) x d, será explicada, considerando os
dois modos de exprimir a área de um retângulo de comprimento a + b + c e de
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
125
largura d, decomposto em três retângulos de comprimento a, b e c e todos com a
mesma largura d. Analogamente se explicarão a multiplicação de um polinômio
por outro e a formação do quadrado de um binômio.
Uma vez firmada em base concreta a noção de 2ª e de 3ª potência, pode-se passar à
noção de potência de qualquer grau e enfrentar o cálculo sobre monômios e
polinômios inteiros em geral.
Observa-se ao longo dos programas que na abordagem de um determinado
conteúdo há uma articulação entre o conhecimento novo e o já abordado. Este fato
é mais explícito, como foi apresentado, nas noções de álgebra.
O final do programa segue a mesma proposta dos programas anteriores do
Colégio Pedro II para o tratamento das frações, ordinárias e decimais, ou seja, a
apresentação das noções de múltiplos e divisores, números primos, m.m.c. e
m.d.c. precedendo a das frações. Apenas algumas observações nas orientações
tentam diferenciar a abordagem, valorizando a articulação indireta com os
conceitos de geometria já apresentados:
As propriedades das frações e as operações sobre as mesmas devem, ainda, ser
explicadas, tanto quanto possível, concretamente, pela consideração de segmentos
divididos ou de retângulos decompostos, de diferentes modos, em quadrículas.
Não há indicação de livros didáticos nos programas de 1929.
Portanto, observa-se que as mudanças na abordagem e na metodologia são
as principais alterações propostas por Euclides Roxo, pois grande parte dos
conteúdos selecionados para o primeiro ano já eram tratados no ensino
secundário.
5.2.2. Os programas de ensino para ano de 1930
5.2.2.1. Os programas para o primeiro ano
A primeira característica marcante nos programas para o ano de 1930 é a
diferença na seqüência dos conteúdos listados por Euclides Roxo para os
programas do primeiro ano. Como citado anteriormente, Rocha (2001) considera
que este fato justifica-se pela intenção de implantar gradativamente as mudanças
no ensino da matemática. Mas, as reações que ocorreram contra esta orientação,
como analisada também por Rocha (2001, p. 47 – 60; 95 – 122), também podem
justificar estas alterações no primeiro ano, bem como algum tipo de disputa
interna na Congregação do Colégio Pedro II.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
126
Analisando a seqüência adotada, vemos que há uma mudança grande em
relação aos blocos de conteúdos, como foram classificados nos programas de
1929, que favoreceu uma separação dos conceitos de aritmética, álgebra e
geometria. Apesar de extensos, achamos necessária a apresentação destes
programas a partir de uma nova classificação.
Aritmética:
1 - Noções preliminares. Numeração: numeração falada: numeração escrita.
Sistema decimal. Valor absoluto e relativo dos algarismos. Numeração romana.
2 - As quatro operações fundamentais com os números inteiros; prática e processos
de abreviação. Exercícios.
3 - Noção de múltiplo e divisor. Número primo. Números primos entre si.
Caracteres de divisibilidade por 10 e suas potências; por 2, 4 e 8; por 5 e 25; por 3
e 9; por 11. Exercícios.
4 - Máximo divisor comum. Processo das divisões sucessivas. Exercícios.
5 - Números primos. Crivo. Reconhecer praticamente se o número dado é primo.
Decomposição de um número em fatores primos. Cálculo mental; processo de abreviação.
Exercícios.
6 - Mínimo múltiplo comum. Caso em que os números são primos entre si.
Composição do mínimo múltiplo comum e do máximo divisor comum de dois ou
mais números, pela decomposição em fatores primos. Composição mental, em
casos fáceis, do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum. Exercícios.
7 - Frações ordinárias. Representação gráfica de uma fração. Propriedades das
frações ordinárias. Número misto. Redução de um número misto a uma fração
imprópria e vice-versa. Redução de frações ao mesmo denominador. Comparação.
Simplificação. Adição, subtração, multiplicação e divisão de frações ordinárias.
Exercícios.
8 - Frações decimais. Propriedades dos números decimais. Adição, subtração,
multiplicação e divisão de números decimais. Conversão de ordinária em decimal e
vice-versa. Noção de dízima periódica. Exercícios.
9 - Operações com os números complexos; unidades de tempo: moeda inglesa.
Exercícios.
Álgebra:
10 - Representação das quantidades por meio de letras. Termo. Coeficiente.
Monômios e polinômios lineares. Exercícios de expressão de um enunciado por
meio de símbolos algébricos.
11 - Números relativos ou qualificados. A série numérica; representação gráfica.
Adição, subtração, multiplicação e divisão de números relativos. Regras práticas.
Valor numérico de monômios e polinômios lineares. Exercícios.
12 - Termos semelhantes; redução. Adição de dois ou mais polinômios lineares.
Exercícios.
13 - Primeiras noções elementares sobre a equação do 1º grau dadas com auxílio da
resolução de problemas simples. Propriedades elementares das equações.
Resolução prática de uma equação numérica simples, sem denominador. Resolução
de uma equação numérica simples com denominador. Exercícios.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
127
Aritmética
20
:
14 - As unidades de comprimento do sistema métrico decimal. Principais unidades
do sistema inglês: milha, jarda, pé e polegada. Exercícios.
15 - Unidades de área. Regras de avaliação de área do quadrado, do retângulo, do
paralelogramo, do triângulo e do trapézio ministradas intuitivamente. Noção de
segunda potência. Exercícios.
16 - As unidades de área do sistema métrico decimal. Unidades agrárias do sistema
métrico. O alqueire.
17 - Multiplicação de um polinômio por um monômio e por outro polinômio
explicado graficamente. Explicação gráfica da formação do quadrado de um
binômio. Exercícios.
18 - Raiz quadrada. Raiz quadrada de um número inteiro a menos de uma unidade.
Raiz quadrada de um número inteiro ou decimal a menos de 0,1 0,01, de 0,001, da
unidade. Exercícios.
19 - Medidas dos volumes. Unidades de volume. Volume de um paralelepípedo
retângulo (bloco retangular) e do cubo. Noção de terceira potência. Exercícios.
20 - As unidades de volume e de peso do sistema métrico decimal. Unidades de
capacidade. Principais unidades do sistema inglês: o galão e o pint; a tonelada e a
libra. Exercícios.
Álgebra:
21 - Noção de potência inteira em geral. Base, grau, expoente. Valores numéricos
de monômios e polinômios de qualquer grau. Produto de potências da mesma base.
Multiplicação de monômios e polinômios de qualquer grau. Exercícios.
Geometria:
22 - Estudo intuitivo das principais formas geométricas. Noções de reta, segmento,
semi-reta.
Aritmética e álgebra:
23 - Noções sobre eixos coordenados. Coordenadas de um ponto; abscissa e
ordenada. Dadas as coordenadas determinar o ponto. Traçado de gráficos e
diagramas. Exercícios.
Observa-se também que ocorreram algumas alterações na seleção dos
conteúdos. Nas noções de geometria, primeiro bloco dos programas de 1929, os
itens 3 e 4 não constam nos programas de 1930; os itens de 5 a 7 e a maioria dos
tópicos do item 13 também não estão listados.
Quanto à distribuição dos conteúdos temos apenas uma mudança no item
13, de 1929. As noções de ângulo e de rotação foram deslocadas para o segundo
ano de 1930, como veremos.
20
As articulações entre aritmética e geometria contidas nesta parte era comum nos
programas de aritmética no tópico medidas de grandezas.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
128
A seqüência adotada, acima comentada, alterou significativamente a
abordagem dos conteúdos, na escrita dos programas. Apesar das instruções
permanecerem praticamente as mesmas, os blocos onde alguns conteúdos eram
articulados em 1929 desapareceram. Por exemplo, os itens de 5 a 7, já citados, o
12, sobre resolução de problemas, o 14, sobre a escrita de enunciados por
linguagem simbólica, e alguns que tratavam da multiplicação de polinômios a
partir da representação gráfica.
Por outro lado, nas orientações que tratam dos gráficos tornou-se mais
explícita a questão sobre o ensino das funções: “A representação gráfica das
variações sucessivas de grandezas (dados geográficos, estatísticos,
meteorológicos) constituirá uma boa introdução intuitiva à noção de função que
será desenvolvida nas séries seguintes”. E, sobre a introdução da álgebra a partir
da aritmética, Euclides Roxo reforça que esta passagem seja feita de maneira
natural, afirmando que
Tomando enunciados simples, far-se-á o estudante exercitar-se em traduzi-los na
linguagem algébrica, de modo que ele se vá habituando a utilizar a álgebra como
um meio natural de exprimir os fatos a respeito dos números e como uma
linguagem simbólica especialmente adequada a estabelecer as condições de um
problema de um modo natural e vantajoso. É a própria dificuldade crescente dos
problemas que justifica a necessidade de aprender a manipular os símbolos
algébricos.
Voltemos à hipótese sobre a nova estrutura dos programas, relacionada com
a intenção de Euclides Roxo de implantar gradativamente as mudanças.
Não há registrado uma reação pública contra as inovações implantadas por
Euclides Roxo por parte de Cecil Thiré e Julio Cesar de Melo e Souza. Mas,
algum tipo de disputa interna na Congregação pode ter levado ao fato, citado por
Tavares (2002, p. 116), de que os novos programas para o 1º e 2º ano elaborados
por Cecil Thiré, catedrático efetivo, e Melo e Souza, catedrático interino, fossem
aprovados na sessão de 14 de novembro de 1930. E, como observado, houve
mudanças praticamente em todos os itens analisados – seqüência, seleção,
distribuição e abordagem.
Por outro lado, as orientações metodológicas continuaram as mesmas, mas
precedidas de uma observação:
Fica ao critério do professor o modo de encadear as diferentes partes do programa e
bem assim o grau de desenvolvimento que dará às mesmas, de acordo com o
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
129
aproveitamento e o nível intelectual da turma. As noções de Geometria podem ser
dadas concomitantemente com o cálculo aritmético, e aulas intercaladas.
E mais, desta vez o principal livro didático indicado é o Curso de
Matemática Elementar, 1º volume, do próprio Euclides Roxo, que segue a mesma
seqüência dos programas de 1929. Além deste livro encontram-se indicados
Questões de Arihmética, por Cecil Thiré e Exercícios de Aritmética, por Costa,
Roxo e Castro. Ou seja, Euclides Roxo abre mão de uma escrita dos programas de
maneira inovadora, mas continua aconselhando, e de maneira indireta controlando
a abordagem dos conteúdos, pelas instruções metodológicas e pelo livro
didático
21
. Portanto, as mudanças de 1929 para 1930 não necessariamente estão
associadas a uma proposta de implantação gradativa das inovações no ensino da
matemática, com possíveis acertos para adaptação.
5.2.2.2. Os programas para o segundo ano
Os programas do segundo ano em 1930 foram direcionados aos alunos que
em 1929 cursaram o primeiro ano. Ou seja, tais programas dão continuidade aos
que apresentaram mais inovações. Dessa forma, observa-se que a lista de
conteúdos obedece a uma seqüência onde os conceitos de aritmética, álgebra e
geometria articulam-se ao longo dos programas. Seguindo os mesmos critérios,
podemos classificar os tópicos da seguinte forma.
Geometria:
1 - Noção de ângulo e de rotação. Ângulos adjacentes. Perpendicularismo de 2
retas. Ângulo reto. Soma de dois ou mais ângulos. Ângulos complementares e
suplementares. Unidades e medidas diretas do ângulo; uso do transferidor. Ângulos
formados em torno de um ponto e do mesmo lado de uma reta. Ângulos formados
em torno de um ponto.
2 - Triângulos. Classificação. Ângulos internos e externos. Alturas, medianas e
bissetrizes de um triângulo. Soma dos ângulos internos e dos ângulos externos
obtida experimentalmente. Exercícios.
3 - Noção de retas paralelas. Uso do esquadro.
4 - Estudo sucinto dos quadriláteros. Propriedades elementares do paralelogramo,
ministradas intuitivamente. Soma dos ângulos internos e externos de um
quadrilátero. Exercícios.
Aritmética, álgebra e geometria:
21
No próximo capítulo, sobre livros didáticos, iremos relacionar este fato com o surgimento
da coleção escrita por Cecil Thiré e Mello e Souza.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
130
5 - Noção de razão e de proporção. Noção de figuras semelhantes. Escalas. Razão
entre dois lados de um triângulo retângulo. Seno, cosseno e tangente de ângulo
agudo. Determinação indireta das distâncias. Uso das tabelas de senos, cossenos e
tangentes naturais. Exercícios.
Aritmética e álgebra:
6 - Equações lineares literais. Emprego das fórmulas para generalização de
problemas simples.
7 - Números proporcionais. Grandezas diretas e inversamente proporcionais. Regra
de três. Conversão de escalas termométricas. Exercícios.
8 - Porcentagem. Juros simples e desconto comercial. Fórmulas. Métodos
comerciais. Métodos dos números e dos divisores. Exercícios.
9 - Cálculo de rendas. Apólices e outros títulos. Exercícios.
Álgebra:
10 - Problemas simples do 1º grau com uma incógnita. Interpretação das soluções
negativas. Exercícios.
11 - Sistemas de equações lineares. Resolução de um sistema do 1º grau com duas
incógnitas pelos métodos de substituição, de comparação e de soma. Problemas.
12 - Representação gráfica da função linear com uma variável. Resolução gráfica
de duas equações lineares com duas incógnitas. Exercícios.
Aritmética:
13 - Problemas de divisão proporcional; regra de sociedade, de mistura e liga.
Exercícios.
14 - Câmbio. Variabilidade da taxa do câmbio. O par do câmbio. Estabilização.
Taxa de estabilização. Cálculo de mil réis ouro. Exercícios.
Álgebra:
15 - Divisão de potências da mesma base. O expoente zero. O expoente negativo.
Divisão de um monômio por outro monômio ou de um polinômio por um
monômio. Exercícios.
16 - Divisão de polinômios; regra prática. Exercícios.
17 - Fração algébrica. Simplificação. Adição, subtração, multiplicação e divisão.
Exercícios.
Quanto à distribuição dos conteúdos observa-se também, como citado para
os programas de 1929, uma associação direta com a abordagem. Vão
constituindo-se, dessa forma, os blocos de conteúdo para cada um dos anos do
ensino secundário.
Todos os conteúdos que constam neste programas já eram tratados no
ensino de matemática do curso secundário. Portanto, não há alteração significativa
na seleção dos conteúdos.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
131
Novamente, como em 1929, a seqüência adotada, as indicações na escrita
dos programas e as orientações metodológicas favorecem a abordagem e
metodologia, no segundo ano.
De maneira geral, o caráter intuitivo, aconselhado para o 1º ano, deveria
continuar a predominar, especialmente nas noções de geometria plana no início do
programa.
Ainda sobre a parte inicial de geometria, duas características na abordagem
dos conteúdos podem ser destacadas. Primeiramente, a questão da mobilidade das
figuras, a partir das noções de rotação, no tratamento de ângulos, e o uso de
esquadro, no tópico sobre retas paralelas. A segunda característica está associada
aos métodos de laboratórios: uso do transferidor, para medidas diretas de ângulos,
e a determinação da soma dos ângulos internos de um triângulo, obtida
experimentalmente.
O item 5 do programa, reflete as propostas de unificação, pois
As noções de razão e de proporção devem ser apoiadas em suas representações
gráficas (declive de uma reta que passa pela origem) e desde logo fortalecidas pelas
suas aplicações geométricas (figuras semelhantes). Os problemas de medida
indireta das distâncias constituem uma aplicação bastante viva e capaz de interessar
muito aos alunos, principalmente se resultar de medições feitas ao ar livre com
instrumentos topográficos rudimentares. Será esta uma ótima oportunidade para dar
noção das principais funções trigonométricas, de que se faz imediata aplicação
prática, tendo o ensejo de confrontar, na resolução de um mesmo problema, os três
métodos - algébrico, geométrico e trigonométrico
22
.
Os itens de 6 a 14, exceto o 12, que trata da representação gráfica das
funções, deveriam ser articulados da seguinte forma:
O estudo das proporções está naturalmente ligado ao das equações do 1º grau, que
se continuará a desenvolver com a resolução de equações literais. Estas surgem
espontaneamente da generalização de problemas simples, graças aos quais se
poderá fazer sentir o grande alcance do emprego das fórmulas, utilizadas, logo a
seguir, na resolução dos problemas da aritmética comercial.
A ainda, os exercícios
a serem resolvidos por equações ou regra de três sejam, quanto possível, tomados
da física (principalmente da mecânica): movimento, alavancas, termometria, etc.,
dentre os que, naturalmente, não exigem senão uma explicação ligeira e acessível
ao desenvolvimento mental dos alunos.
22
Em particular, Euclides Roxo (op. cit., p. 164 – 169) critica o papel da trigonometria no
ensino tradicional, vista como uma disciplina isolada.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
132
Em especial, para o item 12, citado acima, Euclides Roxo afirma que
A noção de função, já esboçada no 1º ano com o auxílio dos gráficos, pode ser
agora mais acentuada, estudando-se a representação gráfica de y = ax + b e
aplicando-a à resolução gráfica de um sistema de duas equações a duas incógnitas.
Aliás, em todo o curso não se deve perder de vista a grande vantagem que se pode
tirar das explicações gráficas e dos traçados de diagramas para o esclarecimento e o
apoio concreto de quase todas as verdades matemáticas.
Não há orientações para os itens de 15 a 17.
Para este ano, os livros didáticos indicados foram: Curso de Matemática
Elementar, 2º vol., por Euclides Roxo, Questões de Aritmética, por Cecil Thiré, e
Exercicios de Aritmética e Exercícios de Álgebra, por Costa, Roxo e Castro.
5.2.3. Os programas de ensino para ano de 1931
A idéia de implantar as mudanças no ensino da matemática de maneira
gradativa foi abortada com a implantação da reforma Francisco Campos, em 1931.
No entanto, os programas para desta reforma só foram promulgados em 30 de
julho de 1931. Assim, no ano de 1931, não sabemos exatamente quais foram os
programas adotados na turma que iniciou o curso secundário em 1929.
Cecil Thiré relata, nas atas da Congregação em 35 de maio de 1931,
exatamente esta confusão causada pela ausência de programas e a implantação da
reforma Campos
23
.
Por outro lado, um rascunho, denominado Programas para 1931, já citado,
encontra-se no arquivo de Euclides Roxo
24
. Neste documento incompleto,
contendo apenas a primeira página, encontram-se as orientações que indicam a
idéia de uma mudança gradativa, ao longo dos anos.
O ensino da Matemática terá no primeiro ano caráter acentuadamente prático e
intuitivo; só aos poucos se irá iniciando o aluno ao método dedutivo e fazendo com
que ele compreenda a necessidade e importância do raciocínio lógico.
Os assuntos a estudar nessa série, bem como na segunda e terceira, não serão
considerados como distribuídos em disciplinas independentes – Aritmética,
Álgebra, Geometria e Trigonometria – separadas por divisões estanques, mas antes
convém expor, tanto quanto possível os mesmos princípios dos três pontos de vista,
dando-se forma concreta ao ensino.
O aluno, no fim do ano, deverá estar ato a resolver questões que se relacionem com
os assuntos que se seguem. A ordem em que estes estão mencionados no programa
23
Tavares, op. cit., p. 167.
24
ER.T.3.012.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
133
não implica uma orientação a adotar, mas a relação abaixo visa tão somente de
limitar a soma de conhecimento que o aluno deve adquirir em cada série do curso.
Fica ao critério do professor o modo de encarar as diferentes partes do programa e
bem assim o grau de desenvolvimento que dará as mesmas.
No entanto, apenas parte dos programas para o primeiro ano aparece.
É possível que a lista de conteúdos ministrados no terceiro ano, em 1931,
tenha sido a mesma que foi promulgada pela reforma Francisco Campos, como
mostraremos a seguir.
5.3. Os programas de ensino da reforma Francisco Campos e da
reforma Gustavo Capanema
25
A Revolução de 30 deixa marcas em diversas esferas no Brasil. E na
educação não poderia ser diferente. Como citado por Fausto (2006),
As tentativas de reforma do ensino vinham da década de 1920, caracterizando-se
nesse período por iniciativas no nível dos Estados, o que correspondia ao figurino
da República federativa. [...].
A partir de 1930, as medidas tendentes a criar um sistema educativo e promover a
educação tomaram outro sentido, partindo principalmente do centro para a
periferia. Em resumo, a educação entrou no compasso da visão geral
centralizadora. Um marco inicial desse propósito foi a criação do Ministério da
Educação e Saúde, em novembro de 1930. (p. 336 – 337).
Em particular, esta mudança de rumo no Brasil, conseqüentemente na
educação brasileira, também altera as tensões na rede de relações pessoais. Em
particular, no caso de Euclides Roxo, este momento marca de forma contraditória
sua trajetória, pois ele assumiu o cargo de Diretor do Internato do Colégio Pedro
II, após sua exoneração
26
como Diretor do Internato deste mesmo colégio e após
declarar que “se a revolução vencesse, iria ser garçom de hotel em Nova York”
27
.
Vejamos como Stélio Roxo, filho de Euclides Roxo, relata este fato
28
:
Já na casa nova, lembro-me de um telefonema que ele [Euclides Roxo] recebeu, no
dia de seu aniversário: 10 de dezembro de 1930. Ao contrário das outras chamadas
daquele dia, esta o fez demorar-se ao aparelho. A casa estava cheia e só mais tarde
soubemos do que se tratava. Fora o novo Ministro da Educação e Saúde (esse era
agora o novo nome da Pasta), Francisco Campos, que insistia, em nome do
25
Os programas que serão citados encontram-se em anexo.
26
O documento ER.T.2.008 é um manuscrito da carta de Euclides Roxo para Getúlio
Vargas pedindo exoneração desta cargo.
27
[ER.T.4.316].
28
[ER.T.4.329]. Discurso de Stélio Roxo proferido no dia da inauguração do APER. São
Paulo: 20 set 2002, p. 3.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
134
Presidente Getúlio Vargas, em que ele se mantivesse no cargo de Diretor do
Colégio Pedro II, ao que meu pai se recusava, alegando serem notórias a razão e o
modo porque saíra, colocando-se abertamente contra o movimento revolucionário.
O Ministro disse que, em casos como aquele, o Presidente não faria escolhas por
critérios políticos. Por fim, foi, a custo, encontrada uma solução: ele assumiria a
Direção do Internato do Pedro II.
A partir deste momento Euclides Roxo assumiu diversos cargos na esfera
pública, mesmo tendo se declarado contra a revolução. Por exemplo, ......
Observa-se nesta trajetória exatamente as considerações de Miceli (2001).
Em muitos desses postos [cargos públicos] os intelectuais prestam serviço
estritamente burocrático e que não guardam, por vezes, nenhuma relação com o
trabalho intelectual como tal, que continuam a desenvolver paralelamente às suas
atividades funcionais. Em outros casos, os laços entre uma e outra atividade
permeiam a própria definição do trabalho intelectual. De qualquer maneira,
instaura-se uma situação de dependência material e institucional que passa a
moldar as relações que as clientelas intelectuais mantêm com o poder público,
cujos subsídios sustentam as iniciativas na área da produção cultural, colocam os
intelectuais a salvo das oscilações de prestígio, imunes às sansões de mercado, e
definem o volume de ganhos de parte a parte. (p. 215).
Elias (1994) caracteriza situações como esta a partir de dois atributos da
sociedade. Para ele,
Toda sociedade grande e complexa tem, na verdade, as duas qualidades: é muito
firme e muito elástica. Em seu interior, constantemente se abre um espaço para as
decisões individuais. Apresentam-se oportunidades que podem ser aproveitadas ou
perdidas. Aparecem encruzilhadas em que as pessoas têm de fazer escolhas, e de
suas escolhas, conforme sua posição social, pode depender seu destino pessoal
imediato, ou o de uma família inteira, ou ainda, em certas situações, de nações
inteiras ou de grupos dentre delas. Pode depender de suas escolhas que a resolução
completa das tensões existentes ocorra na geração atual ou somente na seguinte.
Delas pode depender a determinação de qual das pessoas ou grupos em confronto,
dentro de um sistema particular de tensões, se tornará o executor das
transformações para as quais as tensões estão impelindo, e de que lado e em que
lugar se localizarão os centros das novas formas de integração rumo às quais se
deslocam as mais antigas, em virtude, sempre, de suas tensões. Mas as
oportunidades entre as quais as pessoas assim se vê forçada a optar não são, em si
mesmas, criadas por essa pessoa. São prescritas e limitadas pela estrutura
especifica de sua sociedade e pela natureza das funções que as pessoas exercem
dentro dela. E, seja qual for a oportunidade que ela aproveite, seu ato se entremeará
com os de outras pessoas; desencadeará outras seqüências de ações, cuja direção e
resultados provisórios não dependerão desse indivíduo, mas da distribuição do
poder e da estrutura das tensões em toda esse rede humana móvel.
Nenhuma pessoa isolada, por maior que seja sua estatura, poderosa sua vontade,
penetrante sua inteligência, consegue transgredir as leis autônomas da rede humana
da qual provêm seus atos e para o qual eles são dirigidos. (p. 48).
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
135
Dessa forma, o processo de constituição dos blocos de conteúdos para o
ensino da matemática nos anos do curso secundário, que estavam sendo
implantados de forma gradativa, foi interrompido pela reforma Francisco Campos,
promulgada em 1931
29
. Esta reforma dividiu o ensino secundário em duas etapas,
a saber, o Curso Fundamental, de cinco anos, e o Curso Complementar, de dois
anos com três ramificações distintas
30
, e instituiu programas para todo o território
nacional. Mas, ainda temos Euclides Roxo como a principal figura na elaboração
das propostas para o ensino da matemática, pois participou diretamente desta
reforma, como citado por ele mesmo em uma carta de apresentação, em 1932
31
:
Convidado pelo Ministro Francisco Campos para elaborar os novos programas de
Matemática, baixados com o Decreto 19.890 de 18 de março de abril de 1931,
redigiu os programas e as instruções pedagógicas para o ensino dessa disciplina de
acordo com as modernas tendências e com os pontos de vista que foi o primeiro a
preconizar entre nós.
Trabalhou, junto ao Ministro Francisco Campos, em colaboração com os Profs.
Hahnemann Guimarães, Delgado de Carvalho e Lourenço Filho na elaboração do
anteprojeto da atual organização do ensino secundário.
Em relação ao ensino da matemática temos, segundo Dassie e Rocha (2003),
que
Nos novos programas, embora a matemática tenha passado a ser ministrada nas
cinco séries do Curso Fundamental, o que se observa de pronto é que não havia
nenhuma mudança substancial nos conteúdos apresentados, os quais, em alguma
época, já haviam feito parte, pelo menos oficialmente, dos programas do Colégio
Pedro II, inclusive o conceito de função e as noções de cálculo diferencial e
integral, que estiveram presentes nos programas instituídos pela Reforma Benjamin
Constant. A novidade estava na forma com que eles deveriam ser ensinados, bem
como na finalidade do ensino da matemática que se deveria ter em mente ao
ministrá-los aos alunos.
Comparando-se os programas e instruções da Reforma Campos com os que vinham
sendo gradualmente implantados a partir de 1929 no Colégio Pedro II, a impressão
que se tem é de que houve um certo recuo por parte de Euclides Roxo, em relação à
fusão dos ramos da matemática. Chega-se a essa conclusão principalmente pelo
fato de que, nos programas do Pedro II (e suas instruções), a divisão dos assuntos
era feita apenas com relação às séries do curso, não havendo a separação por ramos
da matemática. Já nos programas da reforma de 1931, a interação entre esses ramos
era paulatinamente implementada até se chegar à 5ª série, na qual os conteúdos
eram apresentados em conjunto.
29
O Decreto n. 19.890, de 18 de abril de 1931, dispõe sobre a organização do ensino
secundário.
30
Para os candidatos aos Cursos de Direito; aos Cursos de Medicina, Odontologia e
Farmárcia; e aos Cursos de Engenharia e Arquitetura.
31
ER.T.1.007. Carta de apresentação para concurso de títulos para ingresso no Instituto de
Educação. Esta carta encontra-se em anexo. Ver também ER.T.4.014. Para maiores detalhes sobre
o ensino da matemática nesta reforma, ver Rocha (2001).
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
136
Outro ponto que vale notar é que as instruções metodológicas da Reforma Campos
foram descritas de maneira mais geral, sem apresentar exemplos práticos de como
se deveria realizar essa fusão dos ramos da matemática, como vinha sendo feito nas
instruções referentes aos programas de 1929 e1930, do Colégio Pedro II. (p. 70).
Esta estrutura só foi modificada em 1942, quando a reforma Gustavo
Capanema foi implantada
32
. O curso secundário passou a ter duração de sete anos,
divididos também em duas partes, o Curso Ginasial, em quatro anos, e a
ramificação dos Cursos Clássico e Científico, com três anos.
Nesta reforma, por outro lado, Euclides Roxo foi apenas um dos
participantes na elaboração de propostas para o ensino da matemática. Dois
fatores corroboraram para isso. Um deles foi a constituição de um espaço de
debates, principalmente via imprensa escrita, a partir de 1929. Entre os artigos e
ensaios, destaca-se: Dacorso Neto (1937), Fontes (1930), Lima (1929), Godoy
(1937), Lisboa (1930, 1931a-f, 1936), Novo (1929, 1931), Reis (1931, 1934)
33
,
Vianna [1937], Vieira (1935, 1936a-b, 1937a-b), e o próprio Euclides Roxo. Além
disso, em setembro de 1929, foi publicado o primeiro exemplar da Revista
Brasileira de Mathematica Elementar
34
, criando especificamente um meio de
difusão da matemática e do seu ensino. Em sua maioria, o ensino de matemática é
o tema central e por diversas vezes as reformas implantadas no Brasil a partir de
1929 são alvos de críticas e elogios. Outro fator foi a tensão entre os diversas
interesses nos debates sobre a educação, como relata Horta (1994):
[...] movem-se [em torno dos temas educacionais], no período 1930 – 1945, no
Brasil, diferentes forças da sociedade civil e do Estado: os militares, que buscam,
em nome da segurança nacional, interferir diretamente na política educacional no
sentido de conformá-la à política militar do país; a Igreja, que luta pela introdução
e manutenção do ensino religioso nas escolas públicas e pela liberdade de ensino,
enquanto garantia a existência de suas escolas e, de uma forma mais ampla,
pressiona pelo atendimento de suas reivindicações por parte do Estado, e procura
tirar o máximo proveito do princípio de “colaboração recíproca” estabelecido pela
Constituição de 1934; os educadores, que se esforçam por conduzir o sistema
educacional brasileiro por caminhos novos, visando modernizá-los e adequá-lo às
exigências do desenvolvimento do capitalismo; finalmente, o próprio Estado, que
aproveita ao máximo as divergências existentes, reconciliando-as e arbitrando os
conflitos, para atender aos diferentes grupos das classes dominantes, mas que, em
última análise, procura colocar o sistema educacional a serviço de sua política
autoritária. (p. 3).
32
Decreto nº 42.449, de abril de 1942. Para maiores detalhes sobre o ensino da matemática
na reforma Capanema, ver Dassie (2001).
33
O artigo aqui citado foi publicado originalmente no jornal Minas Gerais, também em
1931.
34
Para maiores detalhes sobre este periódico, ver Dias (2002, p. 70 – 81).
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
137
Em especial, estas diversas instâncias se manifestam em relação ao ensino
da matemática por uma série de correspondências enviadas diretamente ao
Ministro Gustavo Capanema, como registradas por Dassie (2001).
A pesar do que foi exposto, Euclides Roxo ainda pode ser considerado o
principal mentor das propostas para o ensino da matemática na reforma
Capanema.
Seguindo nossos objetivos, a seguir encontra-se a análise dos programas de
ensino implantados por estas reformas
35
. Como, diferentemente de 1929, os
programas são decretados para todos os anos do curso secundário, a análise a
seguir não considera separadamente os diversos anos. E ainda, como o curso
complementar, implantado pela reforma Campos, era ministrado em anexo aos
cursos superiores e a partir de 1937 deixou de ser considerado obrigatório para o
ingresso nas universidades
36
, limitamos nossa apreciação aos cinco anos do curso
fundamental.
* * *
Os programas implantados pela reforma Campos para os dois primeiros
anos do curso secundário diferem muito pouco dos programas que estavam sendo
implantados no Colégio Pedro II. A única diferença encontra-se na seleção dos
conteúdos de geometria intuitiva para o primeiro ano: voltam a figurar as noções
de área e volume. Visivelmente, Euclides Roxo retoma a idéia de um bloco de
conteúdos para a geometria nos primeiros anos do curso, como em 1929.
Quanto à seqüência adotada, nos cinco anos do curso secundário, tais
programas são caracterizados pela separação dos blocos de conteúdos,
explicitadas nos programas. Para o primeiro ano Iniciação geométrica, Aritmética,
e Álgebra; para o segundo, Iniciação geométrica e Aritmética e Álgebra; no
terceiro e quarto, Aritmética e Álgebra e Geometria; e finalmente no quinto, um
único bloco denominado Aritmética, Álgebra e Geometria.
35
Para maiores detalhes sobre as reformas Campos e Capanema e o ensino da matemática,
ver Rocha (op. cit.) e Dassie (op. cit.), respectivamente.
36
Não encontramos o texto da lei que determina este fato. Apenas temos relatado nos
arquivos da UDF, localizados no CEMI.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
138
A alteração na seleção dos conteúdos é marcada pela introdução das noções
de análise combinatória e binômio de Newton, e de limite, derivada e integral no
quinto ano do curso, como mostra a seqüência a seguir:
Noções de análise combinatória.
Binômio de Newton (caso de expoente inteiro e positivo).
Derivada de um polinômio inteiro em x.
Noção de limite. Derivada de
x
. Derivada de seno de x, co-seno de x, tangente
de x e cotangente de x.
Interpretação geométrica da noção de derivada. Aplicação da noção de derivada ao
estudo da variação de algumas funções simples.
Processos elementares de desenvolvimento em série; convergência de uma série.
Desenvolvimento em série do seno, co-seno e tangente.
Problema inverso da derivação. Primitivas imediatas. Aplicação ao cálculo de
certas áreas. (apud Rocha, 2001, p. 170).
A distribuição dos conteúdos ainda pode ser considerada uma questão
associada à abordagem e metodologia. Dessa forma, a partir desta reforma
encontramos novas questões, em relação à reforma empreendida no Colégio Pedro
II, registradas nos programas e nas orientações metodológicas
37
.
Em aritmética, destaca-se uma orientação geral, que caracteriza bem alguns
processos que deveriam ser empregados:
Além do desembaraço nos cálculos, procurar-se-á desenvolver o senso da
percepção dos valores numéricos. O cálculo, oral ou escrito, será objeto de
constantes exercícios, nos quais deverá sobressair, pela sua importância, a prática
do cálculo mental.
Nos programas do terceiro ano, a parte destinada à geometria, inicia-se com
um “conjunto de proposições fundamentais que servem de base à Geometria
dedutiva”, caracterizando a intenção de Euclides Roxo de iniciar o tratamento da
geometria de forma intuitiva e depois de forma dedutiva. Assim, no estudo da
geometria no terceiro e no quarto ano seria predominante o caráter dedutivo.
Ao iniciar o estudo dedutivo da Geometria, o primeiro cuidado será o de fazer
sentir ao aluno o que significa uma demonstração, utilizando-se, como ponto de
partida, os próprios fatos inferidos intuitivamente no curso preparatório. É ainda a
partir das observações intuitivas que se deve estabelecer o conjunto dos axiomas
fundamentais indispensáveis à exposição lógica da Geometria .
Neste estudo ter-se-á em vista: a) o enunciado das proposições, sua demonstração e
aplicações; b) a compreensão e a justa apreciação do raciocínio dedutivo; c) o valor
da exposição clara e sucinta, do encadeamento lógico das idéias e da memória
matemática.
37
Apud Rocha (op. cit, p. 210 – 213).
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
139
Ainda em relação ao bloco de geometria, encontra-se no, no quarto ano, o
estudo das funções circulares, articulando, novamente, os conteúdos de
trigonometria com os dos outros ramos, não mais a considerando como uma
disciplina isolada.
A álgebra, como nos programas anteriores, deveria “mostrar-se como
linguagem simbólica eminentemente apta a exprimir, de maneira concisa, relações
entre as grandezas”. Em particular, o conceito de função continuaria a cumprir
suas finalidades na articulação entre os conteúdos.
A noção de função constituirá a idéia coordenadora do ensino. Introduzida, a
princípio, intuitivamente, será depois desenvolvida sob feição mais rigorosa, até ser
estudada na última série, sob ponto de vista geral e abstrato. Antes mesmo de
formular qualquer definição e de usar a notação especial, o professor não deixará,
nas múltiplas ocasiões que se apresentarem, tanto em Álgebra como em Geometria,
de chamar a tenção para a dependência de uma grandeza em relação a outra ou
como é determinada uma quantidade por uma ou por várias outras.
A representação gráfica e a discussão numérica devem acompanhar,
constantemente, o estudo das funções e permitir, assim, uma estreita conexão entre
os diversos ramos das matemáticas elementares.
Além disso, isolado ou unido à fórmula, o gráfico ainda desempenha papel notável
como instrumento de análise e de generalização, tal a vivacidade e o poder
expressivo deste meio de representação, sobretudo, no estudo das propriedades das
funções empíricas. Não há perder de vista, porém, em todo o curso que a
representação gráfica não é, por si mesma, o objetivo procurado, mas apenas um
meio de dominar visualmente a variação das funções.
Outro ponto em destaque quanto à abordagem dos conteúdos é a introdução
das noções de cálculo, no quinto ano, que favorece a articulação entre
praticamente todos os conteúdos tratados nos anos anteriores.
A introdução do método infinitesimal terá por fim fazer que o aluno tome
conhecimento do mais importante dos recursos matemáticos. O ensino das noções
do cálculo das derivadas procurará manter um meio termo, entre as razoáveis
exigências do rigor matemático a consideração das necessidades práticas, sem
desprezar o auxílio da explicação geométrica e intuitiva.
Uma característica negativa das orientações metodológicas é a separação
das instruções em relação a cada uma das partes da matemática escolar. As
orientações são redigidas especificamente para a aritmética, para a álgebra e para
a geometria.
Não há mais indicação de livros didáticos nos programas de ensino.
Em relação aos programas de ensino, a reforma Campos marca a
implantação das idéias de Euclides Roxo para todo o curso secundário. Além
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
140
disso, as orientações associadas aos programas determinam outro momento
importante para o ensino da matemática. As finalidades do ensino desta disciplina
para a escola secundária e os processos gerais para que tais objetivos fossem
atingidos foram descritos, tornando este documento a primeira orientação oficial
que traça diretrizes para a matemática escolar em âmbito nacional após a
consolidação da matemática escolar tradicional.
Apesar de extensas, tais orientações merecem transcrição completa.
O ensino da Matemática tem por fim desenvolver a cultura espiritual do aluno pelo
conhecimento dos processos matemáticos, habilitando-o, ao mesmo tempo, à
concisão a ao rigor do raciocínio pela exposição clara do pensamento em
linguagem precisa.
Além disso, para atender ao interesse imediato de sua utilidade ao valor educativo
dos seus métodos, procurará, não só despertar no aluno a capacidade de resolver e
agir, com presteza e atenção, como ainda favorecer-lhe o desenvolvimento da
faculdade de compreensão e de análise das relações quantitativas e especiais,
necessárias às aplicações nos diversos domínios da vida prática e à interpretação
exata e profunda do mundo objetivo.
Para que satisfaça tais finalidades, a princípio, deve o ensino da Matemática
acostumar o aluno à prática dos cálculos mentais, tornando-o seguro e
desembaraçado nas operações numéricas. É, pois, necessário que ele compreenda
bem o alcance e a natureza das operações elementares e adquira habilidade
crescente no modo de aplicá-las. Convém ainda que desenvolva o senso de
estimativa das grandezas e de apreciação do grau de exatidão dos cálculos sobre
valores aproximados. Enfim, pela prática freqüente das verificações dos exercícios
numéricos, cumpre ao professor estimular a confiança do discípulo em si mesmo.
Em seguida, visará o ensino da Matemática a habituar o estudante ao emprego,
com segurança, das idéias e dos conceitos que formam a estrutura do pensamento
quantitativo, exercitando-lhe a faculdade de discernir quando e em que condições
admitem os fenômenos naturais a aplicação dos processos matemáticos. Para isso,
é essencial que ele aprenda, analisando uma situação complexa, a fixar relações
lógicas entre os fatos, descobrindo e estabelecendo a lei geral que os rege cujas
propriedades e significação devem ficar bem compreendidas.
A exposição da matéria e a orientação metodológica, entretanto, devem subordinar-
se, sobretudo nas séries inferiores, às exigências da pedagogia, de preferência aos
princípios puramente lógicos. Ter-se-á sempre em vista, em cada fase do ensino, o
grau de desenvolvimento mental do aluno e os interesses para os quais tem maior
inclinação.
O ensino se fará, assim, pela solicitação constante da atividade do aluno (método
heurístico), de quem se procurará fazer um descobridor e não um receptor passivo
de conhecimentos. Daí a necessidade de se renunciar completamente à prática de
memorização sem raciocínio, ao enunciado abusivo de definições e regras e ao
estudo sistemático das demonstrações já feitas. Ao invés disso, deve a matéria ser
levada ao conhecimento do aluno por meio da resolução de problemas e de
questionários intimamente coordenados. Assim os problemas não se devem limitar
a exercícios dos assuntos ensinados, mas cumpre sejam propostos como processo
de orientar a pesquisa de teoremas e de desenvolver a presteza na conclusão lógica.
A propósito de alguns desses problemas, que revelam propriedades notáveis de
figuras geométricas, ou envolvem relações analíticas interessantes, é oportuno
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
141
mostrar que não figuram no corpo da doutrina didática porque não são
indispensáveis à sua exposição dedutiva.
Partindo da intuição viva e concreta, a feição lógica crescerá, a pouco e pouco, até
atingir, gradualmente, a exposição formal; ou por outras palavras, os
conhecimentos serão adquiridos, a princípio, pela experimentação e pela percepção
sensorial, e, depois, lentamente, pelo raciocínio analítico. Assim, quanto à
Geometria, o estudo demonstrativo formal deve ser precedido de um curso
propedêutico, destinado ao ensino intuitivo, de caráter experimental e construtivo.
A Matemática será sempre considerada como um conjunto harmônico cujas partes
estão em viva e íntima correlação. A acentuação clara dos três pontos de vista –
aritmético, algébrico e geométrico – não deve, por isso, estabelecer barreiras
intransponíveis, que impeçam o estudante de perceber as conexões entre aquelas
disciplinas.
Para dar unidade à matéria, estabelecendo-se essa estreita correlação entre as
diversas modalidades do pensamento matemático, será adotada, como idéia central
do ensino a noção de função, apresentada, a princípio, intuitivamente e
desenvolvida, nas séries sucessivas do curso, de modo gradativo, tanto sob a forma
geométrica como sob a analítica.
Como um desenvolvimento natural do conceito de função, será incluído na 5ª série
o ensino de noções fundamentais e iniciais do cálculo das derivadas, tendo-se não
só em vista a sua aplicação a certas questões, geralmente tratadas em matemática
elementar por processos artificiais, como ainda os problemas da mecânica e da
física. Essas noções não serão ensinadas como matéria à parte, mas entrelaçadas ao
corpo das demais disciplinas matemáticas.
Este acréscimo de matéria será compensado com a exclusão de certos tópicos de
interesse puramente formalístico, com o abandono de construções de importância
secundária e, ainda, de processos de cálculo desprovidos de interesse didático.
O assunto deverá, portanto, ser escolhido de modo que se ensinem exclusivamente
as noções e os processos que tenham importância nas aplicações práticas, ou sejam
necessárias à ligação íntima das partes que o constituem.
Da mesma forma, como conseqüência natural do estudo das relações métricas no
triângulo e, posteriormente, no desenvolvimento do conceito de função, deverão
ser expostas as definições e principais propriedades das linhas trigonométricas.
Essas noções, além do seu alcance nas questões da vida prática, ainda facilitam a
penetração na natureza dos métodos de medida indireta das grandezas.
O ensino da Matemática será sempre animado com a acentuação dos vínculos
existentes entre a matemática e o conjunto das demais disciplinas. Aludir-se-á
constantemente às suas aplicações no domínio das ciências físicas e naturais, bem
como no campo da técnica, preferindo-se exemplos e problemas que interessam às
cogitações dos alunos.
Desde cedo deverá o aluno acostumar-se a fazer, antes da resolução dos problemas,
uma idéia aproximada do resultado, por estimativa ou por meio de esboço gráfico.
Convém ainda que se habitue a ter a intuição, quer a respeito da possibilidade da de
resolução do problema, quer sobre a natureza e o número das soluções.
Também, desde o começo, será de toda a vantagem despertar a convicção de que,
não havendo no mundo objetivo medidas exatas, os cálculos sobre os valores
aproximados apresentam um limite de precisão, que se não deve esquecer na
interpretação dos resultados das questões práticas.
E, por fim, com o intuito de aumentar o interesse do aluno, o curso será
incidentemente entremeado de ligeiras alusões a problemas clássicos e curiosos a
aos fatos capitais da história da Matemática, bem como à biografia dos grandes
vultos desta ciência.
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
142
Observa-se ainda que, apesar de ser um documento datado em 1930, ele
registra diversos procedimentos, delimitando algumas categorias, que atualmente
se propõe para o ensino da matemática. Por exemplo, prática dos cálculos
mentais; desenvolvimento do senso de estimativa das grandezas; prática freqüente
das verificações dos exercícios; solicitação constante da atividade do aluno;
renuncia à prática de memorização sem raciocínio; conduzir a matéria ao
conhecimento do aluno por meio da resolução de problemas (problemas não se
devem limitar a exercícios dos assuntos ensinados; desde cedo deverá o aluno
acostumar-se a fazer, antes da resolução dos problemas, uma idéia aproximada do
resultado, por estimativa ou por meio de esboço gráfico); partir da intuição viva e
concreta até que, a pouco e pouco, atingir, gradualmente, a exposição formal; a
Matemática considerada como um conjunto harmônico cujas partes estão em viva
e íntima correlação [articulação entre os blocos de conteúdos]; o ensino da
Matemática será sempre animado com a acentuação dos vínculos existentes entre
a matemática e o conjunto das demais disciplinas; e, alusões a problemas clássicos
e curiosos a aos fatos capitais da história da Matemática, entre outros.
* * *
A reforma Gustavo Capanema é outro momento de grande importância. Em
relação aos programas de ensino, objeto de estudo deste capítulo, esta reforma
deixa delimitado, salvo pequenas exceções, os conteúdos que são selecionados
para os atuais níveis de ensino (Fundamental e Médio), bem com sua distribuição
ao longo dos anos.
Como citado anteriormente e descrito por Dassie (2001) a elaboração dos
programas para esta reforma foi permeada de debates envolvendo diversas
instâncias e interesses educacionais e políticos. Portanto, os programas decretados
podem ser considerados a resultante deste processo. A análise a seguir é
prejudicada pela não publicação das Instruções Metodológicas para o primeiro
ciclo do ensino secundário, apesar de terem sido elaboradas. Para o segundo ciclo,
não temos registro sequer de sua organização.
Quanto à seqüência adotada, a alternância entre os blocos de conteúdos
continua existindo, sendo que a separação entre os ramos da matemática escolar
volta a ser delimitada. Ou seja, Geometria intuitiva e Aritmética prática, nos dois
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
143
primeiros anos, Álgebra e Geometria dedutiva, no terceiro e no quarto ano,
Aritmética teórica, Álgebra e Geometria, nas três séries do segundo ciclo, sendo a
Trigonometria listada também para o primeiro e segundo ano e Geometria
analítica para o último ano.
A extensão do curso secundário para sete anos favoreceu a escolha de
conteúdos para compor os programas. Dessa forma, em relação à seleção dos
conteúdos, temos a inclusão, no segundo ciclo, da aritmética teórica, no primeiro
ano, das noções de vetor e projeção de vetores, no segundo ano, dos números
complexos, equações algébricas e geometria analítica, ambos no terceiro ano.
Exceto a aritmética teórica, os demais conteúdos figuravam nos programas no
Curso Complementar, da reforma Francisco Campos.
A distribuição dos conteúdos, neste caso, associa-se diretamente aos
debates já citados. Diversos tópicos, como visto em Dassie (2001), foram
alocados em determinados anos apenas como acordos, envolvendo interesses
pessoais. De qualquer forma, estes programas determinam nova uma distribuição
para o ensino da matemática no curso secundário. Em particular, a distribuição no
primeiro ciclo permanece, parcialmente, inalterada até hoje. Vejamos.
Primeiro ciclo
Primeira série: Geometria intuitiva: noções fundamentais, figuras
geométricas; Aritmética prática: operações fundamentais, múltiplos e divisores,
frações ordinárias, números complexos, frações decimais. Segunda série:
Geometria intuitiva: área, volumes; Aritmética prática: sistema métrico, potências
e raízes, razões e proporções, problemas sobre grandezas proporcionais. Terceira
série: Álgebra: números relativos, expressões algébricas, operações algébricas,
equações do 1º grau; Geometria dedutiva: introdução à geometria dedutiva, a reta,
o círculo. Quarta série
: Álgebra: equações e desigualdades do 1º grau, números
irracionais, equações do 2º grau. Geometria dedutiva: linhas proporcionais,
relações métricas nos triângulos, polígonos regulares, medições da circunferência,
áreas planas.
Segundo ciclo:
Primeira série: Aritmética teórica: operações fundamentais, divisibilidade,
números fracionários. Álgebra: polinômios, trinômio do 2º grau. Geometria: o
plano e a reta no espaço, poliedros. Segunda série: Álgebra: função exponencial,
binômio de Newton. Geometria: corpos redondos. Trigonometria: Vetor,
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5. Os programas de ensino e os conteúdos da matemática escolar, do curso secundário,
no Brasil na primeira metade do século XX
144
projeções, funções circulares, transformações, equações, resolução de triângulos.
Terceira série: Álgebra: séries, funções, derivadas, números complexos, equações
algébricas. Geometria: relações métricas, transformações de figuras, curvas
usuais. Geometria analítica: noções fundamentais, lugares geométricos.
Quanto à abordagem e metodologia, temos que, no primeiro ciclo, a lista
para os conteúdos de geometria caracteriza a mesma proposta da reforma Campos,
ou seja, uma abordagem intuitiva para os dois primeiros anos e um tratamento
dedutivo no terceiro e no quarto ano. De forma análoga, a aritmética no primeiro
ciclo caracterizaria uma abordagem prática, versus a teórica, no segundo ciclo. A
articulação entre aritmética e álgebra presente nos blocos de conteúdos da reforma
Campos não aparece mais. Dessa forma, pela lista de conteúdos, os conceitos de
aritmética e álgebra seriam tratados separadamente. A representação gráfica, tanto
defendida por Euclides Roxo, aparece apenas como discussão para a solução de
um sistema de equações do 1º grau. O estudo das funções é deslocado para o
segundo ciclo. Em relação às orientações para o primeiro ciclo, apesar de extensa,
poucas são as articulações e encaminhamentos descritos que difere da reforma
Francisco Campos. Elas são redigidas em cinco partes, a primeira contendo as
finalidades do ensino da matemática e os processos gerais, e as demais para cada
uma das séries. Em cada uma das séries, as orientações são divididas de acordo
com a distribuição dos conteúdos.
A separação rígida entre os conteúdos listados para o segundo ciclo
prejudica a articulação entre os conceitos. A noção de função como idéia
unificadora do ensino da matemática não prevalece nesses programas. Dessa
forma, o conceito de função vai se tornando um objeto da álgebra. As noções de
vetor são listadas como conteúdos da Trigonometria. Os conteúdos de geometria
analítica passam a figurar nos programas de forma isolada, no último ano. O único
bloco de conteúdo que apresenta articulações com outros é a parte de álgebra da
terceira série. Como citado, não foram publicadas orientações metodológicas para
o segundo ciclo nem há registro de nenhum rascunho para as mesmas.
Novamente não há indicação de livros didáticos nos respectivos programas.
Em suma, os programas para a reforma Gustavo Capanema são, ao longo de
todo o processo iniciado em 1929, os que menos apresentam inovações.
Mas, outro item decisivo no processo de ensino e aprendizagem é o livro
didático, tema do próximo capítulo.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
145
6 Os livros didáticos de matemática para a escola
secundária na primeira metade do século XX
1
No capítulo anterior analisamos as mudanças ocorridas nos programas de
ensino inicialmente no Colégio Pedro II e, em seguida, a partir das primeiras
reformas nacionais do ensino secundário. Vimos como as propostas de Euclides
Roxo foram alterando significativamente os programas de ensino, seja instituindo
novos conteúdos ou novas orientações para a abordagem dos conceitos. Entre elas,
destacam-se: a fusão dos diversos ramos da matemática escolar até então
existentes em uma única disciplina denominada matemática; o estudo de
geometria a partir de noções elementares, precedendo o tratamento dedutivo; a
introdução ou re-introdução de conceitos, como por exemplo, função, geometria
analítica, análise combinatória, cálculo integral e diferencial, noções de simetria e
rotação e representações gráficas; e a articulação entre os conceitos de aritmética,
álgebra e geometria, como por exemplo, noções de razão e proporção e
semelhança de figuras. Enfim, uma nova estrutura para os conteúdos selecionados
para o ensino secundário.
Neste capítulo iremos analisar os livros didáticos destinados ao ensino
secundário, que eram indicados ou simplesmente produzidos no Brasil a partir das
primeiras décadas do século XX, sob a ótica das mudanças ocorridas nos
programas de ensino. Valente (1997), como citado na introdução do capítulo
anterior, detecta que os livros num certo período determinaram os conteúdos de
ensino, tanto no nível elementar quanto no superior. Observa-se neste período, o
processo inverso, ou seja, temos que a partir de uma organização mais
sistematizada do sistema escolar, principalmente com a criação do Colégio Pedro
II, os programas de ensino passam a determinar os conteúdos para os livros
didáticos. Ou seja, os livros são alterados a partir das mudanças nos programas de
ensino.
1
A denominação livros de matemática neste título se refere aos livros para ensinar
matemática que foram utilizados no ensino secundário, sejam eles livros de aritmética ou livros
com a denominação matemática.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
146
Separamos a análise em três partes. A primeira, com os livros que precedem
a reforma do Colégio Pedro II, em 1929; a segunda parte com os primeiros livros
didáticos de matemática que surgiram a partir da fusão dos diferentes ramos, em
1929; e, por fim, os livros destinados à execução dos programas das reformas
Campos e Capanema.
Foram consideradas a estrutura editorial, a seleção, distribuição e
abordagem dos conteúdos e a metodologia de ensino.
6.1. Os livros didáticos de matemática do Brasil anteriores a 1929
A primeira característica que podemos citar sobre os livros didáticos de
matemática editados no Brasil neste período é que cada um deles era constituído
para contemplar um dos ramos da matemática escolar – aritmética, álgebra,
geometria, trigonometria –, não existindo um livro para cada uma das séries, de
acordo com a estrutura do curso secundário. Portanto, um livro de aritmética ou de
álgebra, por exemplo, poderia ser usado em dois anos ao longo do curso.
De maneira geral, podemos afirmar que os livros didáticos que tratavam os
conteúdos mantinham as mesmas características. Ou seja, a estrutura editorial, a
seleção, distribuição e abordagem dos conteúdos e a metodologia de ensino
seguiam, basicamente, os mesmos padrões. Assim, podemos apresentar
características gerais dessas obras
2
. Vejamos.
Quanto à estrutura editorial, tais livros eram organizados em capítulos, em
alguns casos agrupados em blocos denominados partes Cada capítulo, por sua
vez, era dividido em seções. Em cada uma das seções os conteúdos eram
apresentados em tópicos enumerados. Geralmente esta indexação não era
interrompida entre os capítulos. Por exemplo, alguns desses livros apresentavam
cerca de quatrocentos tópicos
3
. Esta forma de organização, com o auxilio de
números, auxiliava a localização de algum conteúdo já apresentado quando os
conceitos estavam sendo abordados e, também, caracterizavam o desejo de uma
organização sistematizada. As seções denominadas problemas ou exercícios eram,
geralmente, alocadas no final dos capítulos ou no final do livro. Uma exceção
encontrada foi a opção do autor André Perez y Marin em inserir esta seção ao
2
Quando necessário apresentaremos exemplos de alguns livros.
3
Em alguns casos, os exercícios também eram indexados.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
147
longo de cada capítulo. Outro bloco na estrutura editorial que se destaca é o
denominado Apêndice, que pode ser relacionado diretamente com a seleção dos
conteúdos. Não faz parte da estrutura editorial do livro, em sua maioria, a resposta
dos exercícios propostos. Em alguns casos, são publicadas separadamente as
soluções, com por exemplo, a Parte do Mestre, da coleção F.T.D e as Soluções
Arithmeticas, de Perez y Marin.
A seleção e distribuição dos conteúdos nos livros didáticos estavam
relacionadas à seleção dos conteúdos para os programas oficiais de ensino.
Devido ao papel de modelo exercido pelo Colégio Pedro II e aos objetivos do
ensino secundário, reduzido a um curso preparatório ao ensino superior, a maioria
dos livros didáticos registravam na própria capa que o volume contemplava a
matéria dos programas dos ginásios, do Colégio Pedro II, e dos exames de
admissão às escolas superiores. Dessa forma, observa-se que a seqüência adotada
nos livros didáticos era, quase sempre, a mesma dos programas de ensino
4
. Em
alguns casos, o autor, apresentava os conteúdos numa seqüência parcialmente
distinta dos programas do Colégio Pedro II, mas não deixavam de citar tais
programas na íntegra e, em seguida, fazer uma correspondência com os tópicos
que eram abordados no livro
5
.
Especialmente, para cada um dos ramos, outras observações podem ser
feitas em relação a este item analisado. A teoria das progressões e logaritmos,
apesar da predominância do caráter algébrico, ainda era tratada por alguns autores
nos livros de aritmética
6
. Nos programas do Colégio Pedro II, estes assuntos
figuraram no programa de aritmética somente até o ano de 1914. As frações
contínuas foram apresentadas por Marin e no livro da F.T.D.. Os apêndices
destacam-se neste item, pois apresentavam conteúdos que não eram comumente
propostos nos programas de ensino. Os livros da coleção F.I.C. distinguissem. Em
álgebra, são tratadas as noções sobre representação gráfica das funções algébricas,
os conceitos de análise combinatória e binômio de Newton, os logaritmos como
exponenciais e as equações exponenciais, as noções sobre séries, e um item bem
particular denominado soma das pilhas de balas. Em geometria, o apêndice é
dividido em quatro partes, contendo, por exemplo, polígonos estrelados, razão
4
Ver Beltrame (op. cit).
5
Ver Lições de Álgebra de André Perez y Marin, 1ª edição, 1918, p. 3 – 8.
6
Serrasqueiro (1926), Vianna (1929) e F.T.D. (1923).
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
148
anharmônica e harmônica, seções cônicas, helicóides, curvas planas diversas
7
,
teoremas de Guldin, fórmulas de Simpson, cubatura de madeira, volumes de
tonéis e abobadas. Em trigonometria, encontram-se algumas demonstrações de
fórmulas, a representação trigonométrica das expressões imaginárias e a resolução
trigonométrica da equação binômia.
Ainda quanto à seleção e distribuição dos conteúdos, temos: a coleção
F.T.D. destaca-se pela diversidade, pois editou diferentes versões para os ramos
da matemática ensinada no curso secundário
8
; os livros de Arthur Thiré,
destacam- se pela opção do autor de produzir os livros de álgebra selecionando os
conteúdos listados nos programas para cada um dos anos, e não um único
compêndio
9
; o livro Elementos de álgebra, de Marin, destaca-se na seleção e
distribuição dos conteúdos, pois apresenta, no corpo do texto, não em anexo,
conteúdos que não eram tratados nos demais, como por exemplo, combinações,
binômio de Newton, determinantes, séries, frações contínuas e análise
indeterminada, e, em anexo, um capítulo sobre teoria geral das equações. Uma
exceção bastante interessante é dada no livro Curso de Arithmetica de Augusto
Baillot, professor do então Ginásio Oficial da Capital de São Paulo, publicado em
1915. O livro, como registrado na capa, apresentada os conteúdos de aritmética,
Seguido das noções de álgebra necessárias à resolução das equações do primeiro
grau e de um suplemento em que se desenvolvem algumas teorias da aritmética, e
outras que os programas oficiais colocam no domínio desta ciência, não obstante
serem puramente algébricas.
Para esse autor,
7
O livro de geometria de Perez y Marin (1928) apresenta também algumas curvas no
apêndice.
8
Elementos de Arithmetica, curso secundário, programa do C. D. Pedro II, admissão às
escolas superiores; Elementos de Arithmetica, curso superior, programa de admissão a todas as
escolas superiores, teoria completa e muitos problemas de aplicação; Álgebra Elementar, curso
médio, programa dos Ginásios e de admissão às escolas superiores; Álgebra Elementar, curso
superior, admissão a todas as escolas superiores; Complementos de Álgebra, programas do 4º ano
ginasial; Geometria Elementar, curso médio, programa do 3o ano ginasial e de admissão a várias
escolas superiores; Geometria Elementar, curso superior, programa completo dos ginásios,
admissão a todas as escolas superiores; Trigonometria Elementar, programa do 4o ano ginasial e
de admissão às escolas superiores. Livros apresentados na lista contida no volume Geometria
elementar, curso médio, 1920. Valente (1997, p. 181 – 182) apresenta uma lista similar para o ano
de 1908.
9
Esta afirmação não contradiz o que foi citado anteriormente sobre a não existência de um
livro de matemática para cada série.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
149
Nas demonstrações das leis matemáticas representam-se as grandezas por símbolos
do alfabeto, afim de que elas sejam encaradas com máxima generalidade. Nas
últimas questões dadas na primeira parte deste curso, iniciamos o mais
simplesmente que nos foi possível o estudante no trato dessas expressões gerais.
Uma demonstração dada por meio de números particulares muitas vezes não
satisfaz plenamente o espírito do leitor: fica ele, não raro, supondo que haverá
talvez outros números para os quais a lei demonstrada não se verifica. Não se dá
porém isso se raciocinarmos com grandezas que podem ser quaisquer, como a, b, c,
d, x, etc. Claro é que as leis que se verificarem em relação a tais grandezas, serão
leis em relação a todo e qualquer número que a, b, c, etc, estiverem representando
(p. 253, grifos do autor).
Observa-se então que esta escolha favoreceu a articulação entre os conceitos
da aritmética e da álgebra.
De maneira geral, a abordagem dos diferentes conteúdos que eram tratados
no ensino secundário era prejudicada por não ocorrer uma articulação entre os
diferentes ramos da matemática escolar. Em particular, a articulação entre os
diferentes significados de um mesmo conteúdo, apresentado num volume, era
prejudicada, pois os livros seguiam uma seqüência determinada pelos programas
de ensino, ou seja, uma estrutura dada pela organização já definida para cada um
dos ramos. Em sua maioria, os conteúdos abordados num volume eram
apresentados de forma excessivamente fragmentada.
Quanto a cada uma das partes que compunha a matemática escolar,
podemos tecer alguns comentários sobre a abordagem de conteúdos.
Em aritmética, a diversidade de tópicos favorece a análise. Em particular, o
conceito de número era associado ao conceito de grandeza. Em alguns livros, de
forma muito tênue, as grandezas, no tratamento do conteúdo, era representada por
segmentos de reta
10
. Em particular, Euclides Roxo (1923) apresenta o conceito de
número a partir da idéia de coleção, ou seja, associa este conceito com a ação de
contar
11
. O sistema de numeração era tratado, separadamente, em dois itens:
numeração falada e numeração escrita. Nas operações básicas, um ou, no máximo,
dois enfoques eram valorizados. A adição era definida como a ação de reunir; na
subtração predominava a definição a partir da adição, como operação inversa,
sendo a idéia de retirar apresentada em alguns casos
12
. A multiplicação era
apresentada como a operação que, a partir de dois números, “forma um terceiro
10
Por exemplo, ver Vianna, 1929, p. 9; Perez y Marin, 1928, p. 12.
11
“Contar os objetos de uma coleção é procurar o número desses objetos” (p. 7, grifo do
autor).
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
150
que encerra tantas vezes o primeiro quantas unidades tem o segundo”
13
, ou,
explicitamente, como um caso particular da adição, onde todas as parcelas são
iguais
14
. Por fim, a divisão era dada a partir da multiplicação, como operação
inversa
15
. As frações, divididas em ordinárias e decimais, ou simplesmente
número decimal, eram definidas também a partir de grandezas. Por exemplo, “ao
resultado exato da comparação de duas grandezas, sendo uma delas considerada
como unidade, e na hipótese de ser a grandeza menor que a unidade, se dá o nome
de fração”
16
. Novamente, uma representação geométrica com segmentos de reta
era apresentada de forma tênue em alguns livros. As operações com frações são
tratadas sem nenhuma representação geométrica, a partir de regras para cada uma
das diversas possibilidades
17
. A conversão de frações ordinárias em decimais,
apesar do uso de símbolos, era tratada aritmeticamente
18
. Destaca-se o tratamento
dado no problema inverso apresentado pelo livro de aritmética, curso superior, da
coleção F.T.D., onde são apresentadas quatro soluções com enfoques distintos. Os
números incomensuráveis eram apresentados a partir dos quadrados e raízes
quadradas, sendo valorizado a determinação o cálculo aproximado ou exato e as
operações sobre radicais. As razões, apresentadas como quociente, e as
proporções, definidas como igualdade de razões, eram abordadas aritmeticamente
a partir das propriedades, apesar do uso de simbologia algébrica. Alguns capítulos
subseqüentes, que tratavam das regras de três, divisões proporcionais, juros,
descontos, câmbio, misturas e ligas, podem ser classificados como capítulos de
aplicação da teoria das razões e proporções. Tal fato fica caracterizado a partir da
12
No livro Elementos de Arithmetica: curso superior, da FTD, as duas formas são
apresentadas conjuntamente.
13
Obra citada na nota anterior, p. 24. Ver também, Vianna, obra citada, p. 34, e Perez y
Marin, obra citada, p. 42.
14
Serrasqueiro, Tratado elementar de Arithmetica, 1926, p. 15.
15
Nos programas de 1919, algumas observações quanto à abordagem das duas últimas
operações citadas foram feitas: 2 lições: Multiplicação. Teoremas. Nota: Além da definição de
multiplicação como soma de parcelas iguais, o professor insistirá sobre a definição mais geral de
multiplicação como sendo a pesquisa de um número de que se forma o multiplicando, como o
multiplicador se formou da unidade, definição esta que será aplicada na teoria dos números
fracionários. 3 lições: Divisão. Teoremas. Nota: O professor lembrará que as operações
precedentes, efetuadas sobre números inteiros, conduziam a números inteiros, enquanto a divisão
vai conduzir a uma nova generalização da idéia de número – o número fracionário. (apud
Beltrame, p. 213, grifos no original).
16
Vianna, 1929, p. 101, grifo do autor.
17
Por exemplo, soma de frações com o mesmo denominador, com denominadores
diferentes, multiplicação de inteiro por fração, de fração por fração, etc.
18
Destaca-se o tratamento dado no problema inverso apresentado pelo livro de aritmética,
curso superior, da coleção F.T.D., onde são apresentadas três soluções com enfoques distintos.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
151
denominação dada a alguns capítulos ou seções
19
. Esses capítulos e os dedicados
ao sistema métrico são os poucos momentos onde os conteúdos apresentam-se
contextualizados com questões de cunho social. Os conteúdos de divisibilidade,
m.d.c e m.m.c. e números primos poderem ser considerados como requisitos
necessários para o tratamento de outros tópicos. Dessa forma, nesses capítulos
eram valorizados os teoremas e as propriedades. O uso de símbolos era comum,
mas sem a exploração de processos algébricos.
Em álgebra não há muitas variações na apresentação dos conteúdos nos
livros didáticos do período considerado. De maneira geral, a abordagem dos
conteúdos está baseada unicamente na definição de álgebra, dada no início dos
livros, como a “ciência que tem por fim generalizar todas as questões que se
podem por sobre as quantidades
20
”. Dessa forma, valorizam-se os procedimentos
e técnicas algébricas, a partir da representação simbólica. Os livros sempre
apresentavam de início as noções preliminares, onde eram definidos, além da
álgebra como citado, os termos que seriam utilizados ao longo do livro, como por
exemplo, sinais algébricos, equações e expressão algébrica. Os números negativos
eram, geralmente, definidos como quantidades afetadas pelo sinal e interpretadas
a partir da idéia de oposto
21
. Em particular, os Elementos de álgebra da coleção
F.I.C. eram considerados por convenção, como números menores que zero
22
. Nos
capítulos dedicados aos cálculos algébricos, equações e sistema de equações do 1º
e 2º grau eram valorizadas as técnicas no tratamento dos conteúdos. Por exemplo,
a resolução de uma equação do 1º grau é feita, passo a passo, a partir dos
denominados princípios gerais das equações
23
. A resolução das equações do 2º
grau torna-se imediata a partir da fórmula deduzida algebricamente. Os itens
problemas de 1º grau e problemas de máximo e mínimo podem ser considerados
como aplicações dos conteúdos tratados. Em alguns livros, nesta parte, alguns
problemas propostos são contextualizados e outros articulados com a geometria.
19
Ver, por exemplo, o capítulo segundo do livro citado Elementos de Aritmética, da
coleção F.T.D., p. 255 e Serrasqueiro, obra citada, Livro Sexto, p. 274.
20
Elementos de Álgebra, F.I.C., 1926, p. 1.
21
Esta interpretação pode estar associada ao denominado Principio de Descartes,
apresentado, por exemplo pela coleção F.I.C., obra citada, p. 86: “Quando uma grandeza pode ser
contada em dois sentidos opostos, se concordarmos em considerar como positivas as grandezas
contadas num sentido, será então preciso considerar como negativas as grandezas contadas no
sentido contrário”.
22
Obra citada, p. 9.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
152
Os conteúdos sobre radicais, muitas vezes, eram tratados em capítulo isolados. Os
números complexos eram definidos como quantidades ou expressões imaginárias,
ou seja, expressões “que contêm um radical de grau par de uma quantidade
negativa”
24
. Em seguida, brevemente as operações eram apresentadas, bem como
a representação geométrica. Os tópicos juros, anuidades e amortizações, por
exemplo, também podem ser considerados como aplicações, desta vez da teoria
dos logaritmos.
A abordagem dos conteúdos nos livros de geometria caracteriza-se pelo
tratamento estático
25
. A validação das propriedades e teoremas é dada somente a
partir de demonstrações, sem nenhum tipo de apelo à intuição: “Teorema é uma
verdade que, para se tornar evidente, carece de demonstração”
26
. Ao longo dos
capítulos são apresentados, separadamente, os problemas de construção
geométrica e os de determinações de relações entre medidas por meio de
fórmulas. Apesar de poucas variações no tratamento do conteúdo, destacam-se
alguns pontos. A bissetriz de um ângulo, por exemplo, apesar de ser definida, no
inicio dos livros, é considerada também como um problema de construção
geométrica, seguida de justificativa. O denominado teorema de Tales é
demonstrado para os casos dos segmentos dados serem comensuráveis e
incomensuráveis. É positiva a demonstração do teorema de Pitágoras, dada a
partir das relações métricas num triângulo retângulo e a partir do conceito de área.
Há uma separação rígida entre Geometria Plana e Espacial.
A trigonometria, sempre apresentada após a geometria nos programas de
ensino, pode ser considerada apenas como uma ferramenta para a denominada
resolução de triângulos. As observações preliminares, por exemplo, apresentadas
por Serrasqueiro (1947), deixam claro esta função:
1. Trigonometria é a ciência que tem por objetivo o estudo das funções circulares, e
por fim especial a resolução dos triângulos. [...] 2. Resolver um triangulo é
determinar os valores numéricos de três dos seus elementos, quando são dados os
valores dos outros três. [...] 3. A geometria ensina também a resolver os triângulos;
23
Por exemplo, “Pode-se, sem alterar as soluções duma equação, aumentar ou diminuir os
seus dois membros duma mesma quantidade” (F.I.C., 1921, p. 43).
24
Elementos de Álgebra, Perez y Marin, p. 256.
25
O livro Elementos de Geometria, de Perez y Marin, terceira edição, ampliada, apresenta,
de forma sucinta, alguns tópicos que poderiam ser classificados como transformações geométricas,
como por exemplo, homotetia e simetria de poliedros, mas o livro não é datado. Sabemos apenas
que a primeira edição é de 1912.
26
Esta definição para teorema apresentada em F.I.C., p. 3, deixa clara a afirmação.
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século XX
153
mas o processo trigonométrico é muito mais vantajoso que o processo geométrico.
Com efeito, na trigonometria resolvem-se os triângulos por meio de fórmulas, que
dão os valores dos elementos desconhecidos do triangulo em função dos elementos
conhecidos; e por meio destas fórmulas podemos obter uma aproximação suficiente
e marcar um limite dessa aproximação. Na geometria, porém, resolvem-se os
triângulos por meio de processos gráficos, que em geral, dão uma aproximação
insuficiente; pois que esses processos estão submetidos a erros provenientes a erros
provenientes dos instrumentos com que se opera, e a erros pessoais do operador (p.
5 – 6, grifos do autor).
Dessa forma, temos apenas uma nova abordagem para este tópico da
geometria. Os conteúdos nos livros didáticos de trigonometria eram constituídos
nos primeiros capítulos para então serem usados nos problemas sobre triângulos,
apresentados nos capítulos finais. Tanto nos livros de geometria quanto nos de
trigonometria não há nenhuma referência ao processo histórico. E, em ambos os
ramos, ocorrem o uso de notações algébricas a partir da constituição de fórmulas.
A metodologia utilizada nos livros didáticos selecionados caracteriza-se
pela introdução dos conteúdos por meio de explanação teórica, seguida de
atividades resolvidas e propostas de cunho aplicativo
27
. Em detalhes, temos para
cada um dos conteúdos abordados a seguinte seqüência: noções preliminares,
definições, propriedades, teoremas (algumas vezes seguidos de corolários e
escólios), regras e exercícios. Esta seqüência variava de acordo com o autor e/ou o
conteúdo tratado. Por exemplo, na aritmética e na álgebra as regras eram comuns
no tratamento de tópicos que apresentavam procedimentos, como por exemplo,
somar duas frações ou na divisão de polinômios. E, em alguns casos, os
procedimentos ensinados eram fragmentados em diversos casos, que obedeciam a
uma seqüência crescente de dificuldades. Os livros não valorizavam os
conhecimentos extra-escolares e não apresentavam leituras complementares.
Destacam-se, positivamente, os grandes diálogos com o leitor na apresentação dos
conteúdos. Os exercícios, distribuídos ao longo de cada capítulo ou no final do
mesmo, cumpriam diversas funções na metodologia adotada. De maneira geral, as
atividades eram propostas para aplicações dos conteúdos tratados nos capítulos.
Entre as aplicações podemos citar teoremas a serem demonstrados e os exercícios
numéricos ou problemas a resolver. Observa-se que, quando a lista de exercícios
era alocada entre tópicos de um mesmo capítulo e não apenas no final, os
27
Categoria listada na ficha de avaliação do Programa Nacional do Livro Didático – PNLD
2008.
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século XX
154
exercícios serviam também para a fixação do conteúdo. Alguns exercícios eram
oriundos dos diversos tipos de exames. Alguns autores publicaram separadamente
livros de exercícios, como por exemplo, Cecil Thiré e Euclides Roxo.
Figura 1 – Folha de Rosto do livro Exercícios de Arithmetica de H. Costa, Euclides Roxo
e O. Castro.
6.2. Os primeiros livros didáticos de Matemática do Brasil
Com a nova estrutura para a matemática escolar implantada pelo Colégio
Pedro II, a partir de 1929, surgiu também um novo tipo de livro didático destinado
a esta disciplina. Para seguir as novas propostas os livros de aritmética, álgebra e
geometria não poderiam ser adotados, pois um dos pontos fundamentais da
reforma era a fusão dos ramos, ou seja, a matemática na educação secundária
deveria ser sempre considerada como um conjunto harmônico. Dessa forma,
novos livros didáticos deveriam ser editados para o ensino da matemática.
Três coleções surgem neste momento. Seguindo uma ordem cronológia de
publicação temos, Como se aprende mathematica, em dois volumes, de Savério
Cristófaro, publicada a partir de julho de 1929; o Curso de Mathematica
elementar, em três volumes, de Euclides Roxo, também a partir de setembro de
1929; e, Mathematica, em três volumes, de Cecil Thiré e Mello e Souza, em 1930.
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século XX
155
6.2.1. Como se aprende mathematica, por Savério Cristófaro
Em São Paulo, a iniciativa de publicar novos livros para o ensino da
matemática na escola secundaria coube a Savério Cristófaro, um dos fundadores
do Colégio Rio Branco, ainda em atividade na referida cidade. A coleção
denominada Como se aprende mathematica, primeira e segunda parte, foi
publicado pela Companhia Editora Nacional em julho de 1929 e julho de 1930,
respectivamente. Esta coleção, como registrado na capa dos dois volumes, estava
“de acordo com a atual orientação do Ensino de Aritmética, Álgebra, Geometria e
Trigonometria, adotado no Colégio Pedro II”. A segunda edição do primeiro
volume foi publicada em 1930, após a venda de 5000 exemplares em oito meses,
conforme registrado pelo autor no prefácio.
Causa estranhamento o fato de o livro ser publicado antes da coleção de
Euclides Roxo, mentor da proposta. Mas, no prefácio da 1ª edição, denominado O
novo programa, Savério Cristófaro deixa registrada a primazia da iniciativa nos
seguintes termos:
Temos o prazer de apresentar ao professorado dos cursos secundários o presente
trabalho. É o desenvolvimento do programa oficial de Matemática, para o primeiro
ano ginasial, aprovado pela congregação do Colégio D. Pedro II, e publicado a 24
de Março deste ano.
Lembramos a data, para mostrar que em tão curto espaço de tempo não nos teria
sido possível improvisar compendio desta natureza, se não tivéssemos, quase
pronta, toda a matéria que o compõe. Prova isto virmos, de há muito, seguindo a
orientação ora recomendada. Numa conferência, na Sociedade de Educação de São
Paulo, sobre o ensino das frações pelos processos gráficos, numérico e algébrico,
publicada no número 5 da revista da mesma Sociedade, deixamos patente nossa
orientação no ensino da Matemática (p. 5).
Esta parte é reforçada por um extenso trecho (p. 6 – 7) do prefácio de outro
livro de sua autoria, denominado Como se aprende Arithmetica.
Savério Cristófaro assume, ainda no prefácio, que os gráficos seriam o
grande eixo norteador para a fusão dos ramos. Segundo ele,
Sempre nos pareceu indispensável partir de noções que o aluno possa
imediatamente compreender e assimilar, colocando-lhe as questões ao alcance da
mão e dos olhos, aplainando-lhe, pela experiência e pela observação, o caminho
que ele deve percorrer, até o campo da abstração, onde se realizam as mais
generalizações do espírito.
Auxiliar poderoso, na aquisição dos primeiros conhecimentos, são [sic] os gráficos.
Interessam e estimulam pela clareza que projetam.
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século XX
156
Mas, a construção de gráficos requer os conhecimentos das primeiras noções de
Geometria. Sem elas, a representação gráfica das leis que se vão explicar, não teria
a nitidez necessária à compreensão dos escolares. O ensino do sistema métrico
ficaria mutilado sem as concepções geométricas exatas da linha, do plano e do
volume.
Com estas bases, facilmente se generalizam as questões aritméticas. Partindo do
gráfico – noção concreta – passando pelo número, chega-se, suave e seguramente,
aos graus mais altos da abstração e da generalização.
Deste modo, as três primeiras partes da Matemática – Aritmética, Álgebra e
Geometria – isto é, o estudo do cálculo aritmético e algébrico, e o da forma,
constituem um todo harmônico e lógico, que se deve aprender em conjunto, pelo
auxilio que respectivamente se prestam (p. 5 – 6).
A estrutura editorial desta coleção apresenta alguns elementos distintos da
demais até então analisadas. Em primeiro lugar, parte do prefácio da 2ª edição do
primeiro volume, é dedicada aos professores, como citado a seguir:
Agora, algumas sugestões aos professores que manusearem este livro.
A parte relativa à numeração é longa. E não costuma ser interessante aos que
iniciam o aprendizado da Matemática. Em nossas aulas, não a explicamos toda nos
primeiros dias. Acertadas as nossas preliminares, começamos o estudo das quatro
operações sobre inteiros, e, diariamente, nos primeiros minutos de cada aula,
explicamos, aos poucos, aquele capítulo.
Este volume abrange matéria que, dificilmente, poderia ser tratada dentro do ano
letivo. Cumprirá, neste caso, aos mestres, a escolha do que mais convier aos alunos
a seu cargo. No início do segundo ano, ao lado da recapitulação, que se impõe,
aproveitará o professor a oportunidade para completar os assuntos. (Cristófaro,
1930, p. 7 – 8).
Além disso, ao longo dos volumes diversas notas são colocadas pelo autor
no tratamento do conteúdo. Algumas dessas notas são direcionadas ao leitor, seja
ele o aluno ou o professor, e apresentam dicas de exercícios ou ampliam o
conteúdo com observações. Outras são destinadas somente ao professor contendo
orientações sobre um determinado conteúdo
28
.
A seleção dos conteúdos segue, da mesma forma que as demais publicações,
os programas oficiais do Colégio Pedro II. Neste caso, Cristófaro segue as
mudanças ocorridas de 1929 para 1930, alterando seu plano de ensino para o
primeiro ano, como observado por ele no prefácio da segunda edição do primeiro
volume:
Obedecemos, nesta edição, ao plano geral da primeira, apesar das pequenas
modificações, que a prática nos aconselhou. Conservamos as noções de Geometria
que nos parecem indispensáveis à clareza das representações gráficas. Suprimimos
os capítulos relativos às linhas de circunferência, às partes do círculo, aos
28
Por exemplo, Cristófaro, 1930b, p. 179.
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século XX
157
poliedros, em geral, e aos corpos redondos, pontos, que, aliás, já não figuram no
programa oficial do Colégio D. Pedro II, para o primeiro ano, e melhor ficam,
naturalmente, em outro lugar. Separamos também, em capítulos especiais, a parte
propriamente algébrica, da parte aritmética. (1930a, p. 7).
Figura 2 – Folha de Rosto do 2º volume da coleção Como se aprende Mathematica de
Savério Cristórfaro
Observa-se então que além da seleção dos conteúdos, a distribuição ao
longo do primeiro volume também foi alterada, seguindo as mudanças oficiais. No
entanto, segundo o autor, a unidade entre os três ramos seria motivada. As noções
de aritmética e álgebra na primeira edição foram separadas em duas partes,
noções de aritmética e noções de álgebra. No segundo volume o autor também
altera significativamente a distribuição dos conteúdos, como podemos verificar na
lista com os programas oficiais citados no final do livro seguido das respectivas
páginas que os mesmos foram tratados.
Observam-se duas formas distintas relacionadas à abordagem dos
conteúdos nesta coleção. Alguns conteúdos que já figuravam nas séries iniciais,
principalmente os de aritmética, não apresentam alterações significativas no
tratamento de cada tópico. Por outro lado, os novos conteúdos ou articulações
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século XX
158
propostas nos programas oficiais são tratados pelo autor, mas de maneira tênue,
dando a impressão que as orientações de Euclides Roxo não eram tão simples de
serem materializadas no livro didático. A representação gráfica tão citada por
Cristófaro significa, em alguns momentos, uma representação geométrica, e não o
tratamento com os eixos coordenados.
Em geometria, alguns tópicos de geometria espacial e plana são tratados de
maneira articulada. São significativas as relações entre planificação e a ação de
montar os sólidos, apresentada no primeiro volume. Cabe destacar, de forma
positiva, a exploração do ambiente da sala de aula, por um questionário, para a
revisão de alguns conceitos. As noções de rotação e translação não são tratadas,
apenas a rotação é citada no segundo volume.
Destaca-se em aritmética as articulações com a geometria a partir das
representações gráficas. Por exemplo, o uso da reta numerada e simetria,
problemas de divisibilidade e divisão proporcional com o uso de segmentos de
reta e escala a partir de malha quadriculada, uso de segmentos e retângulos no
tratamento das frações, e a representação do quadrado da soma de dois números
pela área de um quadrado subdividido. As noções de trigonometria são
apresentadas de forma isolada no segundo volume. Os processos algébricos não
atingem significativamente os conteúdos de aritmética.
Em álgebra, apesar de o autor iniciar, no primeiro volume, o tratamento das
noções de álgebra a partir da idéia de polinômio linear como representação do
perímetro, a articulação com a aritmética e a resolução de problemas não é feita.
No segundo volume, a abordagem da álgebra é isenta de articulações, como por
exemplo, o uso de áreas e a multiplicação de polinômios. Destaca-se nesta parte, a
utilização de balanças para a representação de equações e inequações do 1º grau.
Por outro lado, a representação gráfica de funções não favorece atribuição de
significados, pois apesar de existir um capítulo denominado Diagramas a relação
de dependência só é apresentada a partir de uma equação indeterminada onde
procedimentos algébricos são feitos para obter uma relação entre duas variáveis.
O conceito de função não é explorado no décimo capítulo do segundo volume,
apenas a representação de funções a partir da relação expressa de forma algébrica
com a construção de tabelas. Assim, o conceito de função não é tratado como
idéia central no ensino.
Quanto à metodologia de ensino, segundo Valente (2006),
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século XX
159
A análise do livro de Cristófaro, sob o crivo das orientações didáticas dadas pelas
Instruções, revela que o autor procura construir um texto didático sem
demonstrações, sem recursos à lógica dedutiva, para apresentação e
desenvolvimento dos conteúdos escolares (grifo do autor).
Mais uma vez, observa-se o desejo de seguir as propostas de Euclides Roxo.
O método heurístico, defendido nas mudanças, pode ser observado parcialmente
na seqüência de alguns exercícios. A utilização de instrumentos de construção
geométrica é estimulada parcialmente em alguns tópicos. Apesar do autor não
utilizar a translação no tratamento de retas paralelas cortadas por transversais, é
positivo o procedimento para utilização de papel transparente e sobreposição de
figuras. Destaca-se a denominação dada aos problemas de regra de três como
aplicações da aritmética às necessidades da vida social.
6.2.2. Curso de Mathematica Elementar, por Euclides Roxo
Uma conseqüência das propostas de renovação para o ensino da matemática
feitas por Euclides Roxo é a escrita de novos livros para esta disciplina. Portanto,
nada mais natural do que o próprio Euclides Roxo construir um livro, ou melhor,
uma coleção para atingir os objetivos da reforma. O Curso de mathematica
elementar, publicado a partir de setembro de 1929, materializa de forma ímpar os
programas e as orientações metodológicas que estavam sendo constituídas.
Euclides Roxo no prefácio da primeira edição do primeiro volume expressa
suas expectativas e também a primazia da iniciativa. Segundo ele,
O presente trabalho, primeiro volume de um curso que temos em vista publicar,
destina-se aos alunos da 1
a
série secundária e está redigido de acordo com o
programa aprovado, para aquela série, pela Congregação do Colégio Pedro II.
Tanto aquele programa, como este compêndio, representam a primeira tentativa,
feita no Brasil, para renovação dos métodos de ensino da matemática, no curso
secundário, de acordo com o movimento de reforma, cujas diretivas procuramos
acentuar.
Perante a nossa consciência de professor brasileiro, que há quatorze anos assiste,
nas suas aulas e nas bancas oficiais de exame, à demonstração de completa falência
dos antigos métodos, impunha-se-nos o dever iniludível deste árduo
empreendimento. Contamos com a resistência do meio, naturalmente hostil, por
comodismo e apego à tradição, a qualquer movimento inovador, principalmente
quando, como acontece com este, exige dos professores um certo esforço de
adaptação e maior atividade e trabalho nas aulas.
Daqueles, entretanto, que sincera e honestamente se interessam pela causa sagrada
do ensino, esperamos um valioso auxílio nesta bem intencionada iniciativa. O
modesto trabalho, que ora lhes apresentamos, ainda bastante imperfeito, só poderá
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século XX
160
tornar-se verdadeiramente útil, quando, em edições posteriores, for retocado de
acordo com as sugestões que nos fizerem e que receberemos reconhecidos.
Sentir-nos-emos, entretanto, recompensados, se, com este esforço, conseguirmos
despertas entre os professores brasileiros, seu alto interesse pelas questões tão
delicadas da pedagogia da matemática e fornecer-lhes estímulo para que se
empenhem na elaboração de compêndios mais dignos, do que este, dos ideais de
Klein e Poincaré. (Roxo, 1929, p. 13).
Segundo Carvalho (2004, p. 107), “O Curso de mathematica elementar
violenta toda uma tradição e era de se esperar que despertasse resistências”, como
o próprio Euclides Roxo previu acima
29
. Mas,
Apesar de algumas críticas que apareceram e às quais responderemos, em conjunto,
numa ocasião mais oportuna, foi verdadeiramente animador o acolhimento
dispensado a este trabalho pela grande maioria dos professores de matemática
elementar do Brasil, aos quais podemos acrescentar o juízo muito lisonjeiro de
alguns professores da Politécnica do Rio e de S. Paulo. A todos somos
reconhecidos pelo auxílio que nos prestam na causa do aperfeiçoamento do ensino
daquela disciplina, sempre tida pela mocidade como árida e difícil.
Muitos colegas de magistério dão-nos testemunho, ao qual juntamos o nosso, de
como uma vida nova agita a classe, em geral modorrenta na aula de matemática,
com a introdução de processos mais atraentes e intuitivos. Temos a impressão de
que, apesar das objeções que surgiram e das que ainda hão de surgir, contra a nova
orientação, plenamente vitoriosa nos principais países do mundo, há de ela
dominar entre nós, do mesmo modo que os modernos métodos para o ensino da
leitura expulsaram o antigo “b-a, bá” e com as mesma força irresistível, que
substituiu o automóvel aos tilburys e às caleças, a vitrola ao realejo, etc. (Roxo,
1930)
Por outro lado, não faltaram elogios. Manifestaram-se publicamente
Everardo Backheuser, Francisco Venancio Filho (1930), Paulo Mendes Viana
(1931) e a Associação Brasileira de Educação
30
.
A estrutura editorial desta coleção não apresenta mudanças significativas
em relação aos livros didáticos analisados anteriormente. Cabem apenas três
observações. Primeiro, devido às propostas metodológicas, que serão citadas a
seguir, a seção exercícios passa a figurar ao longo dos capítulos, permeada entre a
apresentação dos conceitos. E, em especial, no terceiro volume, temos no final de
29
Para maiores detalhes sobre esta coleção e as reações, ver Dassie (op cit.) e Carvalho
(2004).
30
Nota publicada pela Associação Brasileira de Educação no Jornal do Commercio em 25
de setembro de 1929 (ER.T.1.063) foi um pedido de Everardo Backheuser. Este nota também se
encontra publicada na revista SCHOLA, Ano I, n. 6, julho de 1930, p. 263. A resenha feita por
Francisco Venancio Filho (1930) do primeiro volume também se encontra na coletânea do mesmo
autor, denominada Notas de Educação, publicada em 1933, por Calvino Filho Editor, p. 39 – 42. A
resenha de Paulo Mendes Viana (1931) do terceiro volume se encontra também no APER,
documento ER.T.4.013.
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século XX
161
cada capítulo as leituras complementares, que constituem uma nova seção
31
. Por
fim, as imagens passam a figurar em praticamente todos os capítulos, contribuindo
para a compreensão dos conceitos.
Devido o livro ser de autoria de Euclides Roxo, principal mentor das
propostas, a seleção e distribuição dos conteúdos seguem as mesmas indicações
dos programas que foram implantados a partir de 1929, tornando os livros
extremamente distintos dos compêndios até então destinados ao ensino da
matemática no curso secundário. Sobre a seleção dos conteúdos, a exceção é
marcada pela inclusão do capítulo sobre números complexos
32
. No segundo
volume, o capítulo denominado Noção de função – Proporcionalidade, não era
uma das unidades listadas nos programas, mas as orientações indicam
explicitamente uma relação entre os conceitos de razão e proporção e funções.
Quanto à distribuição temos o deslocamento do capítulo sobre ângulos, do
primeiro volume para o segundo, com a inclusão de treze exercícios no final do
capítulo. O terceiro volume da coleção, publicado em 1931, denomina-se
Mathematica – III série – II Geometria. A indexação II – Geometria, num
momento inicial, não determina com precisão o seu significado. Mas, observa-se
pelo programa publicado para a reforma Campos que a segunda parte dos
programas para a terceira série era constituída por um bloco de geometria. E ainda
como veremos a seguir, os autores Cecil Thiré e Mello e Souza publicaram o
terceiro volume da coleção Mathematica apenas com a parte de álgebra.
Possivelmente, Euclides Roxo optou por escrever a parte de geometria, já que a
coleção dos dois autores citados foi publicada também em 1931, sendo que o
terceiro volume, como registrado em uma das páginas iniciais, se encontrava no
prelo.
31
Os documentos ER.T.3.081, ER.T.3.082, ER.T.3.083, ER.T.3.102 e ER.T.3.106, são
textos manuscritos para leituras complementares elaborados por Euclides Roxo. Segundo Viana
(1931), “[...] outro aspecto que muito recomenda o trabalho é o da intercalação das ‘leituras’.
Certamente não faltam para estas, na biografia dos matemáticos, na história dos princípios da
geometria, ou mesmo fora da matemática, assuntos interessantes que se relacionem imediatamente
ou remotamente com o texto. [...] Pois bem, o professor Roxo foi de uma grande felicidade na
organização das leituras de seu livro. São invariavelmente acessíveis à mentalidade do aluno,
prendem-se todas diretamente matéria já estudada e, no seu conjunto, dão ma idéia ligeira da
história da Geometria”
32
Esta denominação ainda não se refere aos números imaginários.
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162
Figura 3 – Folha de Rosto do 1º volume da coleção Curso de Mathematica Elementar de
Euclides Roxo
A abordagem dos conteúdos ao longo dos volumes reflete todas as
orientações prescritas por Euclides Roxo nas instruções metodológicas para a
execução dos programas do primeiro e do segundo ano. Euclides Roxo nos
mostra, em detalhes, como tratar os conteúdos seguindo suas orientações. A
abordagem é favorecida, principalmente, pela articulação entre os diversos ramos.
Em particular, destaca-se o uso de tabelas em diversos capítulos e a inserção de
noções de plano cartesiano e coordenadas. De acordo com as propostas de
Euclides Roxo, podemos separar os capítulos dos dois primeiros volumes em
blocos de conteúdos.
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século XX
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Figura 4 – Folha de Rosto do 2º volume da coleção Curso de Mathematica Elementar de
Euclides Roxo.
O curso propedêutico de geometria intuitiva proposto por Euclides Roxo
nos programas de ensino é dado nos capítulo 1 – 3 e 10, do primeiro volume, e
nos capítulos 1 – 4, do volume dois. Tais capítulos contemplam as orientações da
reforma apresentando as noções fundamentais de maneira informal, experimental
e intuitiva, valorizando, inclusive os conhecimentos prévios do aluno. Destaca-se
a articulação entre o espaço e o plano a partir dos sólidos geométricos e suas
faces, em particular, com o uso de planificações e movimentos de rotação para os
sólidos de revolução. O conceito de ângulo é tratado a partir de diferentes
significados: ângulos a partir do encontro de duas arestas, formado por duas semi-
retas, e como resultado de uma rotação. No capítulo sobre triângulos, segundo
volume, destacam-se: no tópico soma dos ângulos internos de um triangulo, as
orientações para que sejam recortados de um triângulo os três cantos para formar
ângulos adjacentes, uns aos outros, para induzir que tal soma é igual a 180º; e a
construção de triângulos dados as medidas dos lados e ângulos. No próximo
capítulo, o título Retas paralelas. Movimento de translação, deixa clara a forma
que o conteúdo foi tratado.
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século XX
164
O terceiro volume da coleção segue exatamente as propostas defendidas por
Euclides Roxo para a geometria após um bloco de conteúdos introdutórios, ou
seja, a apresentação dos conceitos de maneira dedutiva, como registrado no
prefácio:
O ensino da Geometria, que começou nos dois primeiros anos por um curso
intuitivo e experimental, atinge agora a fase da exposição formal. Ao iniciar este
estudo dedutivo, o nosso primeiro cuidado foi “fazer sentir o aluno o que significa
uma demonstração, utilizando como ponto de partida, os próprios fatos inferidos
intuitivamente no curso preparatório”.
Poderíamos ter reduzido um pouco mais o número de teoremas demonstrados,
aceitando sem prova dedutiva muitos daqueles fatos que no 1º e 2º ano foram
estabelecidos intuitiva ou experimentalmente. Receando, entretanto, parecer
demasiado inovador, demos as respectivas demonstrações que ficará a critério do
professor omitir, segundo as circunstancias (Roxo, 1931, p. 6).
Podemos dizer que este livro se trata de uma excelente introdução à
geometria dedutiva, sem exageros de rigor. As noções sobre deslocamento no
plano continuam figurando neste volume.
Figura 5 – Folha de Rosto do Curso de Mathematica – 3ª série, II – Geometria de
Euclides Roxo.
Os capítulos 4, 5, 12 e 13, do primeiro volume, e os capítulos 5 e 6, do
segundo, representam o bloco onde os conceitos são tratados de forma
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século XX
165
acentuadamente articulados, refletindo o desejo da fusão entre os diferentes ramos
da matemática escolar. No primeiro volume, a partir da medida de segmentos,
articulam-se os conceitos de número, unidade de medida, perímetro e polinômio
linear, com a introdução de simbolismo algébrico e noções de operações
algébricas. Os conceitos de área e multiplicação de polinômios são explorados,
valorizando, por exemplo, a representação geométrica do quadrado de um número
e a representação do binômio (a+b)
2
. Há uma associação destes conceitos com a
extração da raiz quadrada de um número, cujo enfoque é dado “muito mais na
compreensão do processo do que propriamente no procedimento de extração em
si” (Valente, 2005). No segundo volume, as razões são apresentadas como um
outro modo de comparar grandezas, ou seja, “em vez de subtrair a menor da
maior, procura-se saber quantas vezes a menor está contida na maior” (Roxo,
1930, p. 71). Em seguida, as figuras semelhantes são tratadas a partir do conceito
de razão e proporção. No capítulo destinado à determinação de distâncias,
destaca-se os diferentes processos apresentados, a saber, o gráfico, dada uma
escala, a medição direta com instrumentos, o processo algébrico, com o uso da
proporção, e o processo trigonométrico, introduzindo as noções de seno, cosseno e
tangente. Neste último, associasse os conceitos de trigonometria com os de
aritmética e álgebra.
O capítulo 7, do primeiro volume, denominado Uso dos gráficos, e o
capítulo 8, do segundo volume, nomeado de Noção de função –
Proporcionalidade, marca a abordagem das funções. O primeiro, é caracterizado
pelo tratamento da informação. A articulação entre dados numéricos, tabelas,
gráficos e linguagem algébrica é feita a partir de diferentes contextos, como por
exemplo, altitudes de picos, extensão territorial, populações, produção de
mercadorias, etc. Permeia todo o capítulo a idéia de relações entre grandezas, que
fundamenta o trabalho posterior com as funções. No segundo volume, a noção de
função é tratada no capítulo mais extenso do livro. A noção função é dada pela
noção de dependência.
Ao longo do capítulo o conceito de função é apresentado analiticamente, por
representação gráfica, algebricamente por uma expressão e aritmeticamente por
meio de tabelas. Destaca-se a discussão sobre dependência proporcional
articulando a representação gráfica e os conceitos de inclinação e declividade e a
proporcionalidade inversa articulada com as funções do tipo y = a/x. No capítulo
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século XX
166
11, deste segundo volume, os dois primeiros tópicos apresentam particularidades
da denominada função linear geral.
Outro bloco que caracteriza a abordagem dos conceitos a partir das novas
propostas é dado pelo capítulo 9, do primeiro volume, e pelos capítulos 7, 11 e 12,
do segundo. Nesta parte, encontram-se as articulações entre aritmética e álgebra,
principalmente pela resolução de problemas. O tratamento, bem conhecido hoje,
de denominar de x o número desconhecido é explorado desde o início do capítulo.
Destaca-se a valorização da verificação a partir da substituição do resultado
encontrado na equação dada. O recurso da balança, associado à idéia de equilíbrio,
é utilizado para apresentar algumas técnicas de resolução. Confronta-se a
resolução aritmética com a algébrica. O capítulo 7 do segundo volume é uma
continuidade desse capítulo, sendo que as equações literais também são
apresentadas. O capítulo 11, amplia a resolução de problemas articulando o
conceito de função, a partir do tratamento gráfico, geométrico e algébrico, com as
respectivas soluções. São utilizados diversos contextos, como por exemplo,
conversão de escalas termométricas, movimento uniforme, horários das estradas
de ferro e problemas da antiguidade. São discutidas as soluções negativas de
alguns desses problemas. Esta parte se encerra com o capítulo 12, sobre as
equações simultâneas, ou seja, os sistemas de equações. Os diversos tipos de
solução são discutidos gráfica e algebricamente, sendo apresentados os métodos
de adição/subtração, substituição e comparação. Os exemplos contextualizados
limitam-se aos exercícios propostos no final do capítulo.
Outras modificações nas abordagens dos conteúdos podem ser observadas
em alguns tópicos que eram tratados, principalmente, nos livros de aritmética,
como por exemplo, regra de três e divisão proporcional. Além do simbolismo
algébrico, já utilizado por alguns autores, os processos algébricos passam a
permear os conteúdos, principalmente na resolução dos problemas. Por exemplo,
no capítulo 9, do segundo volume, o processo denominado regra de três para a
resolução de problemas é apresentado de três maneiras distintas. Primeiro, com o
recurso da redução à unidade, caracterizando um procedimento aritmético. Após
isso, dois outros modos com ênfase algébrica, denominando de x o valor da
grandeza procurada, obtendo uma equação; e utilizando o fator de
proporcionalidade, articulado com funções do tipo y = ax. No tópico divisão
proporcional, do capítulo 13, do segundo volume, os exemplos são resolvidos
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século XX
167
aritmética e algebricamente. Até mesmo, o capítulo sobre ângulos é atingido por
processos algébricos, como por exemplo, na determinação dos valores de ângulos
dados por expressões algébricas.
Por fim, quanto à abordagem dos conteúdos, cabe observar que alguns
conceitos continuam sendo tratados da mesma forma que nos livros didáticos
anteriores. Dentre esses, podemos citar, as operações fundamentais, as frações, as
porcentagens e juros, os problemas de câmbio, e a divisão algébrica. Mas, alguns
destaques podem ser feitos, como por exemplo, o tratamento dado à fração.
Primeiro, definida a partir da unidade: “Quando a unidade é suposta dividida em
um certo número de partes iguais e se tomam uma ou mais dessas partes, o
resultado assim obtido chama-se uma fração” (Roxo, 1929, p. 281). Em seguida,
no item denominado Outro modo de considerar as frações, Euclides Roxo utiliza
um retângulo quadriculado 5 x 4, e representa a fração 4/5 a partir de uma coluna.
Além disso, a fração é considerada como medida de um segmento, com o auxilio
de representação geométrica, e como operador, nos problemas propostos.
O tratamento dos conteúdos na coleção foi favorecido, também, pela
metodologia utilizada. Podemos retomar as próprias palavras de Euclides Roxo:
O ensino se fará, assim, pela solicitação constante da atividade do aluno (método
heurístico), de quem se procurará fazer um descobridor e não um receptor passivo
de conhecimentos. Daí a necessidade de se renunciar completamente à prática de
memorização sem raciocínio, ao enunciado abusivo de definições e regras e ao
estudo sistemático das demonstrações já feitas. Ao invés disso, deve a matéria ser
levada ao conhecimento do aluno por meio da resolução de problemas e de
questionários intimamente coordenados. Assim os problemas não se devem limitar
a exercícios dos assuntos ensinados, mas cumpre sejam propostos como processo
de orientar a pesquisa de teoremas e de desenvolver a presteza na conclusão
lógica
33
.
Destaca-se ainda o uso de recursos didáticos, como por exemplo, os
instrumentos de medida e de construção geométrica, as orientações para a
construção dos modelos dos sólidos, o uso da reta numérica e as notas históricas
ao longo dos capítulos.
33
Orientações metodológicas para os programas da reforma Francisco Campos.
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século XX
168
6.2.3. Mathematica, por Cecil Thiré e Mello e Souza
A coleção Mathematica, de autoria de Cecil Thiré e Mello e Souza, é
composta por três volumes, destinados as três primeiras séries do curso
secundário. Os dois primeiros, foram publicados em 1931 e o terceiro em 1932.
Esta coleção está intimamente ligada à elaboração dos programas de ensino para o
ano de 1930 e pode ser considerada como uma reação contra as inovações
propostas por Euclides Roxo
34
. Como vimos no capítulo anterior, os programas
para o primeiro ano de 1930 sofreram modificações consideráveis em relação às
propostas originais de Euclides Roxo, em 1929, e que tais programas foram
elaborados pelos professores Cecil Thiré e Mello e Sousa. Considerando tais
programas e o índice do primeiro volume, podemos perceber que os dois autores
citados materializaram suas propostas nesta publicação.
Figura 6 – Folha de Rosto do 1º volume da coleção Mathematica de Cecil Thiré e Mello e
Souza
34
Apesar dos livros destinados ao primeiro e segundo ano terem sido publicados em 1931 e
o terceiro em 1932, as origens dessa coleção não se relaciona com os programas da reforma
Francisco Campos, pois os programas de tal reforma só foram publicados em junho desse mesmo
ano, a dedicatória no livro do primeiro ano é datada em novembro de 1930 e o terceiro volume,
anunciado, encontrava-se no prelo em 1931.
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século XX
169
No início do prefácio, do livro do 1º ano, os autores discorrem brevemente
sobre o ensino da matemática mostrando a preocupação com as novas tendências.
Em seguida os autores tecem duas críticas diretas as propostas de Euclides Roxo.
A primeira está relacionada com o ensino das “noções de”, abordagem defendida
para os primeiros anos do curso.
A nosso ver cabe também não pequena censura aos professores, que não sabendo
distinguir o ensino primário do ensino secundário, procuram aplicar ao curso
ginasial um sistema de ensino infantil, irrisório e inadequado ao desenvolvimento
mental dos alunos. É o caso, por exemplo, de um professor que procurará ensinar
aos alunos do primeiro ano secundário uma certa noção, como se estivessem diante
de uma classe da escola primária! Esse professor parecerá, sem querer, ridículo aos
olhos de seus discípulos e estes julgarão haver sofrido um lamentável retrocesso
em seus estudos (p. XIV).
A segunda crítica relaciona os programas de ensino, que já podem ser
considerados um retrocesso das idéias de Euclides Roxo, com a abordagem dada a
partir da fusão dos ramos da matemática: “Sem fugir ao programa oficial, que
seguimos pari-passu, procuramos abordar as diferentes partes da Aritmética,
Álgebra e Geometria, em conjunto, com simplicidade e máxima clareza, sem a
confusão de assuntos” (p. XV, grifos doe autores).
No prefácio do segundo volume, os autores mantêm a linha de ataque.
Não poucos autores [...] levados por uma lamentável ignorância e por um
descabido exagero, julgam modernizar a Matemática escrevendo compêndios
ridículos e pejados de erros crassos.
É evidente, porém, que num livro perfeito os conceitos devem ser apresentados
com rigor, impecáveis as definições e as teorias desenvolvidas com máxima
precisão e clareza. Do contrário daremos aos alunos noção falsa, não só da
Matemática como também da finalidade primordial desse estudo.
[...]
Convém acentuar que não há neste livro uma única linha traduzida ou decalcada de
outros compêndios (p. v – vi).
A estrutura editorial segue os mesmos padrões dos livros já citados. Cabe
observar que nos três volumes as leituras complementares no final de cada
capítulo já estavam presentes e relacionam-se com o futuro promissor de Mello e
Sousa na divulgação da matemática pela publicação de algumas obras.
Quanto à seleção dos conteúdos, os dois primeiros volumes contemplam os
programas de 1930, publicados para o Colégio Pedro II. O terceiro volume tem
uma especificidade, pois trata apenas dos conteúdos de álgebra, como registrado
na capa, e segue os programas do terceiro ano da reforma Campos, referentes à
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século XX
170
parte de Aritmética e Álgebra, exceto pela exclusão do item desigualdades do 2º
grau e a inclusão de números imaginários. Algumas alterações encontram-se na
distribuição dos conteúdos principalmente ao longo do segundo volume.
Figura 7 – Capa da 1ª edição do 3º volume da coleção Mathematica de Cecil Thiré e
Mello e Souza
Apesar de esta coleção propor seguir os programas oficiais que estavam
sendo implantados no Colégio Pedro II, posteriormente, adotados pela reforma
Campos, observa-se, desde os prefácios, que os autores optaram por orientações
distintas das propostas de Euclides Roxo. Dessa forma, a abordagem dos
conteúdos difere substancialmente das orientações metodológicas das reformas
citadas.
Em geral, não se observa a articulação entre os diferentes ramos da
matemática escolar, uma das principais alterações que vinha sendo proposta. As
alterações na distribuição dos conteúdos no segundo volume são feitas de forma
que se acentue a divisão rígida entre aritmética, álgebra e geometria, prejudicando
as possíveis articulações propostas na escrita dos programas. Por exemplo, as
equações lineares e o emprego de fórmulas para generalização de problemas,
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século XX
171
como citado nos programas, são deslocados para a parte final do livro. Dessa
forma, as proporções, por exemplo, são apresentadas antes das equações, o que
limita a abordagem deste conteúdo. O conceito de função não é explorado como
idéia axial do ensino. Portanto, principalmente no segundo volume, é possível
separar os capítulos em blocos de aritmética, álgebra e geometria.
Em particular, os conteúdos de geometria são apresentados de forma estática
e não atendem as necessidades de um curso propedêutico e intuitivo. Esta parte
inicia-se a partir dos conceitos de ponto, reta e plano. Os sólidos geométricos não
se articulam com os tópicos de geometria plana e são apresentados a partir de suas
definições. As noções de rotação e translação não são utilizadas nos capítulos de
ângulos e retas paralelas, respectivamente.
Em aritmética, os capítulos iniciais do primeiro volume perfazem cento e
oitenta páginas seguidas, sem nenhuma articulação com outros ramos. Os
capítulos sobre razão e proporção não destacam a relação entre duas grandezas de
forma a conduzir ao conceito de função por dependência nem se articulam com
processos algébricos. Os capítulos que sucedem, apesar de positivo a seleção dos
conteúdos (figuras semelhantes e medidas indiretas com noções de trigonometria),
podem ser considerados apenas como aplicações desses conceitos.
Nos capítulos de álgebra do primeiro e do segundo volume e o livro do 3º
ano, poucas são as articulações apresentadas. Assim, por exemplo, o conceito de
função torna-se um estudo isolado e passa a constituir um conteúdo
exclusivamente algébrico. Em particular, o capítulo VI do terceiro volume, trata
as funções y = x
m
, y = 1/x
m
e y =
x
apenas graficamente. O uso de áreas para a
multiplicação de polinômios é dado somente como uma forma de interpretar e não
como eixo condutor e articulador entre os conceitos. A representação gráfica de
sistemas de equações do 1º grau é feita apenas para dois exemplos.
A metodologia utilizada também difere das orientações propostas por
Euclides Roxo. Os conteúdos são introduzidos por explanação teórica, seguida de
atividades resolvidas e propostas de cunho aplicativo ou são introduzidos por um
ou poucos exemplo, seguido de alguma sistematização e depois de atividades de
aplicação
35
, tornando sucinta a apresentação dos conceitos. Alguns itens são
tratados superficialmente apenas para atender a lista de conteúdos dos programas.
35
Categorias retiradas do PNLD 2008.
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século XX
172
Em nenhum momento a coleção estimula o uso de instrumentos de construção
geométrica. Não há nenhum apelo à intuição. Destacam-se positivamente as
leituras sempre associadas aos conteúdos dos capítulos, como por exemplo, no
primeiro volume, a leitura sobre Viète e as notações algébricas e sobre Descartes,
sobre o plano cartesiano.
Esta coleção é substituída pela coleção Curso de Mathematica, onde,
inicialmente Euclides Roxo passa a co-autor, a partir do terceiro volume.
6.2.4. Primeiro Ano de Mathematica, por Jacomo Stávale
O livro Primeiro ano de mathematica, de Jacomo Stávale, foi publicado
pela Companhia Editora Nacional e sua primeira edição é datada em fevereiro de
1930
36
. Dessa forma, este livro também foi editado a partir das alterações nos
programas de ensino do Colégio Pedro II. Mas, Stávale também pretendeu atingir
outro publico, como registrado na capa dos exemplares: “para o primeiro ano dos
Cursos Ginasiais seriados e das Escolas Complementares anexas às Escolas
Normais”. Como citamos no segundo capítulo desta Tese, a “matemática em
conjunto” era ministrada nos cursos complementares da Escola Normal do Rio de
Janeiro, desde pelo menos 1928.
No prefácio da segunda edição, Stávale manifesta sua opinião em relação a
alguns pontos defendidos a partir da reforma de 1929. Segundo ele,
Já o disse na primeira edição: é muito útil o uso dos gráficos, mas é necessário
evitar-lhe o abuso. Não me é possível concordar com a interdição do método
dedutivo no primeiro ano ginasial. Os meninos que constituem esta classe não são
anormais; não são incapazes de raciocinar, como geralmente se supõe. São
criaturas que têm cérebro; que ainda não sabem pensar com acerto, mas às quais
devemos ensinar a pensar. O nosso dever é adestrá-las na arte de raciocinar e a
Matemática é uma excelente escola para desenvolver raciocínio. Eis por que, nestas
noções elementares de Matemática, há algumas aplicações simples do método
dedutivo.
Aos que me chamarem de retrogrado ou antiquado ou coisa que a valha
responderei que, compreendendo perfeitamente que os métodos antigos para o
ensino da Matemática devem ser profundamente modificados, não há, entretanto,
razão para exagerar a nova orientação e fazer do ensino da Matemática um
verdadeiro caos. Eu prefiro ficar entre as duas correntes, aproveitando o que há de
bom na escola antiga e na moderna. (1931, p. VII – VIII).
36
Informação registrada pelo autor no exemplar destinado ao primeiro ano das edições
posteriores a reforma Capanema. Esta coleção continua a ser publicada após a reforma Francisco
Campos, sob a mesma denominação, e após a reforma Capanema, sob a denominação Elementos
de Matemática.
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século XX
173
Figura 8 – Folha de Rosto do Primeiro Anno de Mathmematica de Jacomo Stávale.
Seguindo como nas análises anteriores, neste livro pode-se afirmar que não
há alteração significativa na estrutura editorial, apenas a localização das retas
numéricas, no capítulo sobre números negativos, nas margens da página,
possivelmente objetivando uma representação extensa.
A seleção dos conteúdos segue os programas de ensino de 1930.
A distribuição dos conteúdos ao longo do volume, quando comparada com
os programas do primeiro ano, dados em 1930, é parcialmente afetada. As noções
elementares de geometria, como denominadas pelo autor, são inseridas após o
tratamento das quatro operações, e todos os conteúdos classificados como
algébricos são deslocados para o final do livro.
A alteração de geometria citada acima, favoreceu, ao longo do volume a
abordagem de alguns conteúdos. A segunda lista de exercícios sobre as quatro
operações fundamentais é apresentada no final do capítulo das noções elementares
de geometria e contém diversos problemas que articulam os tópicos do capítulo
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século XX
174
com as operações, com por exemplo, representar graficamente o produto 8 x 5.
Além disso, encontram-se articulações no capítulo de quadrados e raízes e no
capítulo que introduz os conceitos algébricos, com a representação geométrica de
(5 + 3)
2
e de (8 – 3)
2
, e da multiplicação de polinômios, respectivamente. Ainda
quanto à abordagem, destaca-se: a solução gráfica de problemas, com o uso de
segmentos de reta subdivididos; e, o uso de notação algébrica num problema sobre
perímetro de um retângulo cujo comprimento é o triplo da altura, antes do capítulo
denominado Preliminares de álgebra. Os gráficos são tratados num pequeno
capítulo que iniciasse com a marcação de pontos no plano cartesiano e segue com
a representação gráfica de 2x+3, após uma reduzida exposição de exemplos sobre
função. Os capítulos com tópicos de aritmética, como por exemplo, divisibilidade,
números primos, frações ordinárias e decimais, não sofrem alterações, quando
comparados com os livros anteriores às mudanças do Colégio Pedro II.
Sobre a metodologia utilizada, teremos em seguida, ainda neste capítulo,
uma análise citada a partir de Valente (2005) que caracteriza a opção de Stávale
na escrita deste volume e do restante da coleção.
O segundo volume é datado em 1932, após a reforma Francisco Campos. É
possível que Stávale tenha interrompido a produção da coleção adianto a
publicação do segundo volume devido ao impasse causado pela promulgação da
reforma Campos e a não publicação imediata dos programas de ensino; mesmo
problema citado no capítulo anterior relatado nas Atas da Congregação do Colégio
Pedro II. Outra hipótese é que Stávale tenha se dedicado a escrita do livro
Geometria Plana, destinado ao “quarto ano dos cursos ginasiais e para as escolas
normais oficiais e livres”, publicado também pela Companhia Editora Nacional,
cujo prefácio é datado em janeiro de 1931.
6.3. Os livros didáticos para as reformas Campos e Capanema
Após a promulgação da reforma Campos e, posteriormente da reforma
Capanema, diversos autores se aventuraram na escrita de livros didáticos de
matemática para o curso secundário. Podemos citar, por exemplo, Agrícola
Algacyr Munhoz Maeder
37
, Ary Quintella, Bethlem, C. Calioli, Cesar Dacorso
Netto, Fernando Vasconcelos, Fernando Tinoco, Haroldo Lisboa da Cunha,
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
175
Isidoro Dumont
38
, Jacomo Stávale
39
, Léo Bonfim, Miguel Milano, Nicanor
Lemgruber, Roberto Peixoto e Thales Mello Carvalho.
Em particular, a coleção iniciada por Cecil Thiré e Mello e Souza passa a
ser denominada, após a reforma Campos, de Curso de Mathematica e Euclides
Roxo passa a co-autor, inicialmente a partir do terceiro volume, mas alguns anos
depois, o segundo volume, por exemplo, é re-elaborado pelos três autores e passa
também a compor essa coleção
40
. Após a reforma Capanema, esta coleção passa a
atender somente o primeiro ciclo e o nome é alterado para Matemática Ginasial.
Para o segundo ciclo, Euclides Roxo, Cesar Dacorso Netto, Haroldo Lisboa da
Cunha e Roberto Peixoto escrevem a coleção denominada Matemática – 2º ciclo.
Figura 9 – A partir da esquerda: Cecil Thiré, Euclides Roxo e Mello e Souza (Foto
publicada no Correio Popular de Campinas, em 6 de maio de 2001)
37
Lições de Matemática, para a reforma Campos e Curso de Matemática, para a Capanema.
38
Irmão Isidoro Dumont passa a ser o autor da coleção F.T.D., como registrado na capa dos
livros destinados ao Ciclo Ginasial.
39
Primeiro, Segundo, Terceiro, Quarto e Quinto de Mathematica, para a reforma Campos e
Elementos de Matemática, para a Capanema.
40
O documento ER.T.1.006 mostra um rascunho do contrato entre estes três autores.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
176
A partir deste momento passamos a ter, em larga escala, a publicação de
livros de matemática destinados ao ensino secundário, o que ocasionou uma
diversidade de idéias e princípios na elaboração dessas obras, quando comparados
com as propostas oficiais. Os prefácios, por exemplo, nos mostram as variedades.
Alguns trechos podem ser destacados:
O professor Fernando Tinoco pede-me que apresente ao público sua “Matematica
Elementar”; mas o público não me conhece e, assim a apresentação é desprovida de
valor. Felizmente a obra do professor Tinoco dispensa padrinhos.
Ele obedece, em princípios, ao que se chama enfatuadamente [sic] a moderna
orientação do ensino da matemática e é antes uma “orientação brasileira”, atestado
da lamentável decadência do ensino secundário que possuímos. Mas o professor
Tinoco, embora esforçado a seguir os programas oficiais, fingiu apenas que
adotava esta falsa diretriz dos nossos improvisados pedagogos, e, nas páginas do
seu trabalho, surgiram as verdadeiras demonstrações, os raciocínios perfeitos e os
métodos clássicos da matemática, abolidos do ensino oficial. Ele reage de verto
modo contra os livros de matemática que entre nós se multiplicam de fatos
isolados, de exercícios ridículos, sem espírito científico, livros que, envenenando a
mocidade, não lhe espiram nem o amor da ciência, nem o hábito de estudo, e
parecem especialmente destinados a alunos, e que só por decreto podem obter
aprovação. A Matemática Elementar do professor Tinoco é para estudantes que
querem estudar. (Tinoco, 1935, p. 3. Prefácio escrito por Almeida Lisboa)
A ânsia de escrever livros de acordo com os programas oficiais tem levado os
nossos escritores a cuidar de tudo menos da parte didática das suas obras, coisa que
repito a mais importante em trabalhos escolares, mormente quando eles se
destinam a estudantes que passam da fase do ensino primário para o secundário,
cujo raciocínio está longe de poder arcar com as responsabilidades de uma
transição brusca.
Que “a Natureza não dá saltos” é uma verdade muito antiga e muito repetida em
Pedagogia.
O meu “Curso de Matemática”, embora siga à risca o programa oficial da última
reforma – a qual, diga-se de passagem, não deixa dúvidas acerca da maneira
intuitiva por que deve ser ministrado o ensino de todas as disciplinas – visa corrigir
os senões das obras congêneres ultimamente editadas. Ele exige a mútua
colaboração de professores e alunos e dá-lhes as diretrizes indispensáveis à
consecução do fim colimado do desenvolvimento gradual do raciocínio, para a fácil
aquisição de idéias abstratas. Tal é o espírito da reforma.
Linguagem simples e exposição clara, sem preocupação outra que a de ser útil e a
de suavizar o trabalho dos senhores professores, eis em que se resume o meu
propósito, publicando este modesto trabalho. (Milano, 1933).
Sem dúvida alguma, é bela e útil a nova orientação dada ao ensino da Matemática
pela douta Congregação do Colégio Pedro II. Os quatro ramos da Matemática
Elementar, convêm que sejam ensinados paralelamente, desde o primeiro ano do
curso ginasial. Mas o ensino simultâneo destes quatro ramos não pode ser feito
atabalhoadamente, como pretendem alguns autores. É necessário que os jovens
estudantes tenham os seus conhecimentos perfeitamente classificados, assim como
se classificam os livros de uma biblioteca. (Stávale, 1932, p. VII. Prefácio da
primeira edição do segundo volume).
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
177
Além da diversidade exposta nesses prefácios, observa-se uma disputa pelo
mercado editorial a partir das diferentes concepções para o ensino da matemática,
pois todos os autores, a partir de críticas, se referem a outros. Um caso particular,
foi a polêmica entre Mello e Souza e Stávale, em 1933, analisada por Valente
(2003 e 2004)
41
.
Outra questão que marca este período em relação aos livros didáticos é a
criação da Comissão Nacional do Livro Didático, em 1938, pelo Decreto n. 1006,
de 30 de dezembro
42
. Esta lei determinava que a partir de 1 de janeiro de 1940, os
livros didáticos para serem adotados nas escolas pré-primárias, primárias,
normais, profissionais e secundárias deveriam ser avaliados e aprovados pelo
Ministério da Educação. Instala-se então no Brasil esta comissão, com este fim. A
comissão foi composta por membros de diversas instâncias, como por exemplo,
militares, educadores e representantes da igreja. Entre eles, Euclides Roxo,
responsável pela parte de matemática e, num determinado período, presidente
desta comissão.
Após a promulgação da reforma Capanema, uma carta de Euclides Roxo,
então presidente da comissão, para Gustavo Capanema, datada em 30 de
novembro de 1942, marca o processo de construção dos livros didáticos de
matemática no Brasil
43
. Euclides Roxo responde ao ministro sobre a distribuição
dos conteúdos nos livros didáticos, nos seguintes termos:
Exm
o
Sr. Ministro Gustavo Capanema.
Recebi o recado de V. Ex. recomendando-me acrescentasse às ‘Instruções
Metodológicas’ para os programas de Matemática, uma determinação a respeito da
maneira por que a matéria deverá ser distribuída em compêndios, podendo ser
adotado qualquer critério, menos o de um compêndio para cada série.
2. Acho-me, Sr. Ministro, na impossibilidade de redigir tal determinação porque
estou profundamente convencido de que o único critério aceitável, principalmente
para o caso da Matemática, é justamente o de um compêndio para cada série. Peço
41
A polêmica iniciou com a publicação de um artigo, em 2 de abril de 1933, onde Mello e
Souza apontava diversos erros no livro do primeiro ano de Stávale. A resposta de Stávale foi dada
num folheto intitulado Coisas da...Mathematica, também editado em 1933 (ER.T.4.024). O artigo
de Mello e Souza também foi publicado na Revista Brasileira de Matemática, em junho de 1933 e
no livro Matemática divertida e diferente de sua autoria (s/d, p. 175 – 181). Uma defesa de Stávale
feita por André Rocha, apresentada no início do folheto citado, também foi publicada e comentada
por Mello e Souza no livro mencionado acima (p. 181 – 189).
42
Para maiores detalhes sobre esta comissão ver Arquivo Gustavo Capanema – CPDOC /
FGV – G.C. 38.01.06 (série g).
43
Arquivo Gustavo Capanema – CPDOC/FGV – G.C. 41.09.03 II – 12 (série g). A carta
também se encontra no APER, documento ER.T.2.006.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
178
vênia para repetir aqui as razões em que se funda aquela minha convicção e as
quais já tive ensejo de expor verbalmente a V. Ex.
3. Apesar da forte oposição de algumas correntes reacionárias e soidisant
,
tradicionalistas, manteve V. Ex. o ensino simultâneo da Aritmética e da Geometria
nas duas primeiras séries, bem como o da Álgebra e da Geometria nas duas
últimas. Por outro lado, aos cortes e modificações sofridos pelo projeto de
‘instruções’ que tive a honra de apresentar a V. Ex. escapou, graças por certo, ao
fulgor da sua evidência meridiana, o preceito de que ‘A matemática será sempre
considerada como um todo harmônico, cujas partes estão em íntima correlação’.
4. Ora, como terá o estudante a idéia de que ‘A Matemática é um todo harmônico’
se ele recebe, para estudá-la dois compêndios: um de Aritmética, outro de
Geometria; ou um de Álgebra e outro de Geometria? Nem se diga que essa
separação, por assim dizer material, não poderá influir sobre a formação da
mentalidade infantil; seria desconhecer a psicologia da criança (11 a 13 anos),
negar o predomínio que, em seu espírito, ainda tem o concreto sobre o abstrato. Ao
procurar o seu compêndio para estudar ou para levá-lo ao colégio, ele não irá
procurar a ‘sua matemática’, mas sim a ‘sua álgebra’, a ‘sua aritmética’. Começará
a arraigar-se em seu espírito a idéia de que o mundo nos apresenta problemas de
Geometria e, não apenas, problemas de Matemática, em cada um dos quais terá de
distinguir uma fase ou um aspecto geométrico, outro algébrico, outro aritmético.
5. Outro efeito psicológico desastroso é a impressão de que os autores ou editores
separaram as duas partes unicamente para obrigá-lo a comprar dois livros, em vez
de um. Com efeito, perguntará o estudante, ‘porque fazem uma Aritmética e uma
Geometria separadas, e não fazem uma Taxonomia, uma Morfologia, uma Sintaxe,
ou uma Barologia, uma Termologia, uma Ótica também separadas?’ Esses homens
naturalmente querem vender dois livros em vez de um.
6. Há ainda os argumentos de ordem didática e metodológica. Uma vez que
salvamos (graças a quanto esforço, V. Ex. bem o sabe!) o salutar princípio de que
em cada série podem ser ensinadas ao menos duas das partes da Matemática é
natural que se formulem exercícios e problemas de recapitulação que envolvam
conhecimentos dessas duas partes e que só poderiam achar-se naturalmente
colocadas em um volume que tratasse de ambas.
7. Ainda do ponto de vista didático, a distribuição da matéria em um exemplar para
cada série permite uma melhor gradação nos processos e na linguagem, e sua mais
completa subordinação ao desenvolvimento intelectual e ao âmbito de interesses do
aluno.
8. Sendo ainda habitual entre nós, o que aliás é um bom sistema, darem-se em aula
exercícios orais e escritos dos que se acham propostos no compêndio, é melhor que
este contenha todo o programa da série, pois do contrário ficaria o professor
sempre sujeito à restrição de só tratar de Aritmética, ou só de Geometria, etc. em
cada aula, a não ser que obrigasse os alunos a trazerem diariamente, para a classe,
os dois compêndios.
9. Além dessas razões de ordem psicológica e de ordem didática, militam a favor
da adoção de um compêndio para cada série, outras razões de ordem econômica.
Admitindo-se, por exemplo, a hipótese de ser adotado um compêndio para a
Aritmética prática
e outro para a Geometria intuitiva, cada um destes com a matéria
da 1ª e da 2ª série, teria o estudante da 1ª série de despender de uma só vez, o dobro
(28 ou 30 cruzeiros ao invés de 15) do que iria gastar comprando um compêndio
que só contivesse toda a matéria da primeira série (Aritmética e Geometria).
Sabido como são pouco resistentes (para que não ultrapassem um preço accessível
a um estudante pobre) o papel e a encadernação dos nossos compêndios didáticos,
não raro acontecerá que o livro comprado no início da 1ª série se achará
imprestável no início da 2ª, o que, mais provavelmente ainda, acontecerá se o aluno
repetir a 1ª série. E os casos de perda do livro?
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
179
10. Não é só. Em caso de transferência na 2ª Série, o aluno irá encontrar em o novo
ginásio, um professor que não adote mais os compêndios que eram usados no
antigo; nova despesa.
11. Ainda mais. Dentro de um mesmo estabelecimento, há geralmente professores
de Matemática diferentes para as várias séries. Ou os professores da 1ª e da 2ª
seriam obrigados a adotar os mesmos compêndios, e bem assim os da 3ª e da 4ª, o
que seria um inconveniente cerceamento da necessária autonomia didática de que
deve gozar o professor, ou os alunos teriam de fazer uma despesa dobrada toda vez
que encontrassem na nova série um outro professor. E no caso de ser mudado o
professor de um colégio? Ou o novo professor terá que sujeitar-se a adotar o
compêndio indicado pelo seu antecessor ou forçará os alunos a uma despesa
dobrada. E se o novo professor for justamente o autor do compêndio adotado pelo
seu antecessor, na série precedente, como poderia ele evitar a mudança de
compêndio e a conseqüente despesa supérflua para os alunos, sem infringir o art.
25 do Dec. 1006 de 30.XII.1938?
44
12. São estes os principais argumentos que me ocorrem, Sr. Ministro, a favor de
uma distribuição por séries, em lugar da distribuição por matéria. Os argumentos
contrários à distribuição por série, que conheço através de apaixonada e
tendenciosa campanha de imprensa, quase que não mereceriam contestação se não
estivessem graças ao prestígio dos órgãos em que se conseguiram enquadrar as
publicações, produzindo seus maléficos efeitos. Um destes foi por certo o erro
pedagógico e didático em que inexplicavelmente incidiu o meu eminente amigo e
abalizado mestre, Prof. Souza da Silveira, determinando a adoção de uma
gramática única da 1ª à 4ª série ginasial, como se fosse possível adotar a mesma
linguagem e o mesmo modo de exposição para estudantes de 11 e 12 anos e para
outros de 14, 15 ou 16! Com a adoção dessa gramática única, o Brasil regride, após
todo o maravilhoso surto da pedagogia educacional neste século, a um estágio que
já havia ultrapassado há 50 anos, com a publicação das três gramáticas (curso
elementar, curso médio e curso superior) de João Ribeiro, que já naquela época se
fazia precursor, como em tantas cousas mais, de princípios didáticos vencedores
em nossos dias!
13. Os argumentos que têm sido apresentados em campanha de imprensa são: a) de
que a adoção de um compêndio por série sobrecarrega a economia do aluno; b) o
de que permite lucros fabulosos a autores e editores.
14. Quanto ao primeiro (a), já acima ficou provado que, justamente ao contrário, a
distribuição da matéria em compêndios por série só pode favorecer a economia do
aluno.
15. Ao segundo, quase me sinto vexado de ter de contestá-lo! Porque razão um
autor ou editor ganhará mais, vendendo também dois volumes um para a 1ª e outro
para a 2ª série, do que vendendo dois volumes, um de Aritmética para a 1ª série e
para a 2ª, outro de Geometria também para as duas séries? Mesmo que se
reduzissem esses volumes a um só, o seu preço não poderia deixar de ser
aproximadamente a soma dos preços daqueles dois. De uma coisa, porém, estou
certo, Sr. Ministro: os autores e editores, deste modo, ganhariam mais, graças à
inutilização de exemplares no decurso de uma série para outra, nos casos acima
apontados e em outros que, pela necessidade de resumir, deixamos de citar.
Queira, Sr. Ministro, acreditar na sinceridade com que procuro corresponder à
honrosa confiança de V. Ex. e aceitar os meus protestos de alta estima e grande
admiração.
44
Art. 25. A partir de 1 de janeiro de 1940, será vedada a adoção de livros didáticos de
autoria do professor, na sua classe, do diretor, na sua escola, e de qualquer outra autoridade escolar
de caráter técnico ou administrativo, na circunscrição sobre que se exercer a sua jurisdição, salvo
se esse livro for editado pelos poderes públicos.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
180
A partir da reforma Capanema temos também a produção de dois tipos de
coleções, pois foi necessário atender os dois ciclos do ensino secundário. Alguns
dos autores citados anteriormente, em sua maioria, dedicam-se a escrita de
coleções para um único ciclo.
6.3.1. Livros didáticos para a Reforma Campos
Alguns livros editados para atender os programas da reforma Francisco
Campos apresentam alguns elementos novos na estrutura editorial. Podemos
citar, por exemplo, listas de abreviaturas, com os símbolos ou siglas dos livros do
mesmo autor que são utilizados ao longo do texto, formulários, apêndices com
tabelas e índice remissivo. Em particular, as leituras da coleção de Cecil Thiré,
Mello e Souza e Euclides Roxo não são mais apresentadas no final dos capítulos,
como por exemplo na 7ª edição, publicada em 1938, do segundo volume.
Quanto à seleção e distribuição dos conteúdos, em todos os livros
analisadas os autores seguem os programas implantados pela reforma Campos,
para os cinco anos do curso secundário. Em particular, quanto à seleção, em
alguns dos livros analisados, os autores ainda citam que os conteúdos estão de
acordo com os programas do Colégio Pedro II, a pesar da reforma ter sido
instituída nacionalmente. A maior alteração encontrada foi observada na
distribuição dos conteúdos para o segundo ano. Como citamos no capítulo
anterior, a distribuição dos conteúdos estava articulada com a abordagem dos
conceitos na escrita dos programas. Além disso, uma pequena observação nas
orientações metodológicas dá abertura para modificações. Segundo este
documento, “a ordem em que é enumerada a matéria de cada série não é
obrigatória; serve apenas para mostrar como se podem subordinar os programas
dos cursos secundários às diretrizes metodológicas” estabelecidas pela reforma.
Observa-se então o desejo de alguns dos autores em seguir os programas,
apresentando nos livros praticamente todos os itens listados, mas não as
orientações. A maior modificação é feita no segundo ano do curso. O primeiro ano
já apresentava uma distribuição dividida em três blocos, a saber, iniciação
geométrica, aritmética e álgebra; no terceiro e no quarto ano, os conteúdos
selecionados para o bloco aritmética e álgebra já eram tópicos tratados na
álgebra; e no quinto ano os tópicos, apesar de serem apresentados em seqüência
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
181
sob uma única denominação, são facilmente classificados em um dos ramos. Mas,
no segundo ano o bloco denominado aritmética e álgebra apontava para
articulações, principalmente envolvendo os conceitos de função,
proporcionalidade e equações do 1º grau. Dessa forma, os livros do segundo ano
apresentam uma distribuição bem distinta das propostas no programa,
prevalecendo a separação dos capítulos em blocos de aritmética, álgebra e
geometria, e em alguns momentos trigonometria.
Para a análise da abordagem dos conteúdos, seguiremos a mesma separação
dada pelas orientações metodológicas para cada uma das partes em particular.
Em aritmética, não se observa de maneira significativa a utilização de
fracionamento de objetos ou de grandezas geométricas no tratamento das
operações com frações. Destaca-se de forma positiva, a articulação entre uma
aplicação do teorema de Pitágoras e o uso de aproximações num problema no
capítulo sobre radicais no livro do terceiro ano de Stávale; a multiplicação por
“processo do quadrilátero”, procedimento utilizado pelos hindus e árabes, e a
adição de frações com “processo gráfico” dada por Bethlem, no primeiro volume;
e a interpretação geométrica para potências de expoente dois e três, associadas a
área e volume, apresentadas por Maeder, também no primeiro volume. Quanto ao
uso de gráficos, tópico selecionado para a parte de aritmética do primeiro ano, os
livros objetivam o traçado dos gráficos a partir da marcação de pontos no plano
cartesiano. Apesar de a apresentação ser feita com bastante diálogo e com a
utilização de gráficos de barras, segmentos, setor e, inclusive, pictogramas e com
exemplos contextualizados, os livros não exploram de forma explícita a relação
entre as grandezas, ponto essencial para o conceito de função, tão objetivado pela
reforma. Destaca-se, a classificação dada em Maeder para pictogramas, como
“gráficos com figuras” e para funções, como “gráficos matemáticos” e, a
utilização de dados em tabelas encontrada em diversos livros.
Em álgebra, podemos separar a análise em blocos. Num momento inicial, a
proposta para a introdução de conceitos algébricos, a partir da utilização de
símbolos, é dada pela idéia de generalização, mas em sua maioria, os livros
principiam com as expressões algébricas. As orientações a seguir são pouco
observadas:
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século XX
182
[...] os conceitos fundamentais da Álgebra terão a base concreta da sua correlação
com a geometria intuitiva. Assim, os números literais e os polinômios do primeiro
grau serão introduzidos em conexão com as noções de distância, de perímetro, de
ângulo, e de medida da circunferência, ao passo que as avaliações de superfícies
fornecerão sentido real às expressões quadráticas e o cálculo dos volumes ao das
cúbicas.
Em alguns livros, as orientações acima se limitam à representação geométrica do
produto de polinômios.
A apresentação das equações contraria a orientação de que estas noções
deveriam surgir naturalmente da resolução de problemas simples da aritmética,
sendo dada diretamente ou a partir do conceito de igualdade, subdivido em
identidades e equações. A resolução de problemas, geralmente encontra-se em
tópicos isolados no final do capítulo de equações. Os itens que exploram a idéia
de “por um problema em equação” baseia-se no procedimento de atribuir a
notação x para a incógnita.
A noção de função não constitui a idéia coordenadora do ensino, como
proposto nas orientações metodológicas. A relação entre grandezas para a
introdução do conceito limita-se, na maioria dos livros, em apresentar uma
equação indeterminada a definir qual será a variável dependente e a independente.
O uso da representação gráfica é contrário ao encaminhamento dado nas
orientações metodológicas, como citado a seguir: “[...] em todo o curso que a
representação gráfica não é, por si mesma, o objetivo procurado, mas apenas um
meio de dominar visualmente a variação das funções”. Por exemplo, podemos
citar os livros em que apresentam a parábola apenas como a resolução gráfica de
uma equação quadrática, e, como observado em todos os livros analisados, a
representação da função y =
x
é dada pela parábola x = y
2
, sem nenhuma
observação sobre considerar as funções como unívocas ou plurívocas. Entre os
livros que apresentam a variação do trinômio ax
2
+ bx + c, destaca-se o tratamento
de Bethlem, no livro do terceiro ano. O autor considera o trinômio como função e,
após procedimentos algébricos, obtém
2
2
2
4
24
bacb
yx
aa
−
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎝⎠
, indicando que a
primeira parte é a variável e a segunda a constante. Dessa forma, o autor atribui
valores e analisa o crescimento e decrescimento para a construção dos gráficos e a
determinação do “maximum” e “minimum”.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
183
Estudo das funções y = x
m
, y = l / x
m
e y =
x
limita-se a construção dos
gráficos. Em sua maioria, a construção é auxiliada com o uso de tabelas. A função
exponencial não é tratada por todos os livros, mas marca de alguma forma a
abordagem dos logaritmos. Ou seja, os livros que apresentam a função
exponencial apresentam em seguida o capítulo dos logaritmos com uma
abordagem algébrica; os que não tratam a função citada, seguem com a teoria dos
logaritmos a partir de uma abordagem aritmética, associada às progressões. As
funções trigonométricas são abordadas a partir da variação das mesmas,
culminando na construção dos respectivos gráficos.
Em geometria, os conceitos que deveriam compor um curso propedêutico,
sendo abordados de forma intuitiva e experimental, foram apresentados pelos
autores, em sua maioria, a partir de definições, de maneira descritiva. Em geral, os
autores iniciam com as idéias de ponto, reta e plano e, apesar das figuras espaciais
também serem apresentadas, poucas são as articulações feitas com as figuras
planas. As idéias de mobilidade não são utilizadas e poucos autores lançam mão
dos recursos, como por exemplo, os modelos dos sólidos geométricos e
instrumentos de construção geométrica para uso dos alunos. A geometria, a partir
do terceiro ano é apresentada de forma dedutiva, como previsto na reforma e as
noções de trigonometria no segundo e no quarto ano passam também a figurar,
mas às vezes de forma isolada; alguns livros iniciam o estudo das razões
trigonométricas a partir do conceito de semelhança. É positivo o uso de “fatias”
para o tópico área do círculo e o volume do bloco retangular feita por Bethlem, no
livro do primeiro ano. Bethlem também se destaca pela indicação de recursos,
como por exemplo, dobradura e papel transparente para sobreposição de figuras;
pelo uso de malha quadriculada e as idéias de ampliação e redução na parte de
figuras semelhantes; e pelo uso de equações em problemas do capítulo de ângulos.
O grande bloco onde os conceitos de aritmética, álgebra e geometria são
bem articulados se encontra nos livros destinados ao quinto ano do ensino
secundário, onde as noções de cálculo diferencial e integral são tratadas. Além das
articulações feitas na apresentação dos conceitos de limite, derivada e integral,
alguns livros utilizam tais conteúdos como ferramenta no tratamento dos
conteúdos de geometria espacial selecionados para esta série, a saber, o cálculo de
volumes. O desejo de separar os conteúdos em blocos de aritmética, álgebra e
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século XX
184
geometria também atinge os livros do quinto ano. Por exemplo, o livro de Stávale
modifica a distribuição dada no programa e apresenta o estudo dos volumes dos
sólidos geométricos antes dos conteúdos de cálculo, limitando a abordagem aos
processos geométricos. Além disso, o estudo das seções cônicas se encontra no
capítulo denominado Noções de geometria analítica, apresentando-as somente a
partir do “lugar de uma equação”.
Algumas questões da
metodologia utilizada nos livros editados a partir da
reforma Campos são levantadas por Valente (2005), principalmente em relação ao
método heurístico. Devido à diversidade de coleções, citaremos a seguir alguns
trechos dessa análise para caracterizar os processos empregados pelos autores:
[...] o autor [Stávale] utiliza uma linguagem bastante clara, que recorre
constantemente à intuição, durante a discussão dos temas em estudo. [...] O autor
procura sempre estabelecer uma discussão com o leitor, de maneira a guiá-lo em
seus pensamentos através de questionamentos e soluções orientadas. [...] Algumas
vezes, Stávale estabelece regras a partir da análise dos resultados de exemplos
apresentados. [...] A resolução de problemas e exercícios pelo aluno está presente
em seu texto em todos os temas estudados mas, diferentemente do que está posto
na reforma, o aluno não é solicitado a realizar exercícios durante a exposição do
conteúdo trabalhado, para estabelecer regras ou teoremas a partir destes resultados
encontrados. A atividade do aluno fica restrita aos exercícios e problemas
elaborados ao final de cada tema. A intenção de utilizar a intuição, a
experimentação e indução durante as discussões com o leitor e os exercícios
propostos, mostra que o autor procura empregar o método heurístico como recurso
didático, tal como foi orientado pela reforma.
[...] [em Maeder] podemos perceber de um modo geral, que os capítulos são
iniciados por um problema, por um conhecimento prévio ou por um exemplo mais
simples que faça parte do cotidiano do aluno. A partir desta introdução, o autor
define o conceito em estudo e explica as notações que serão utilizadas durante o
capítulo. Em seguida, o autor cita a regra geral, um algoritmo ou uma fórmula. Isso
possibilita ao aluno que acompanhe o desenvolver dos capítulos sem ter a
preocupação de qual fórmula irá utilizar ou qual é a regra para resolver aqueles
problemas. [...] A apresentação dos capítulos é realizada de forma expositiva, tendo
o autor o cuidado de desenvolver passo a passo cada item que está sendo
desenvolvido.
[...] pode-se perceber, principalmente nos tópicos de Geometria do primeiro e
segundo ano, uma preocupação constante do autor [Bethlem] em utilizar a intuição
como recurso didático para a compreensão do aluno. A teoria estudada é explicada
com a ajuda de exemplos intuitivos e por meio de experimentações desenvolvidas
durante as exposições. [...] No entanto, [...] o autor expõe as noções a serem
estudadas sem o cuidado de estabelecer uma discussão com o leitor, através de
questionamentos ou sugestões na resolução dos problemas apresentados como
exemplos. Sua exposição é realizada sem a proposta da participação direta do aluno
[...]. A resolução de problemas pelo aluno fica orientada apenas ao final de cada
tema e não durante os estudos.
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século XX
185
[...] podemos perceber que a introdução de cada capítulo é feita pelos autores
[Euclides Roxo, Cecil Thiré e Mello e Souza] como uma narrativa, sem a
preocupação de estabelecer um diálogo com o aluno, uma vez que o conceito é
introduzido através de suas regras e propriedades.
Observa-se então, que tais autores, como os demais livros consultados, não
seguiram as instruções metodológicas, que orientavam para que o ensino fosse
feito
[...] pela solicitação constante da atividade do aluno (método heurístico), de quem
se procurará fazer um descobridor e não um receptor passivo de conhecimentos.
Daí a necessidade de se renunciar completamente à prática de memorização sem
raciocínio, ao enunciado abusivo de definições e regras e ao estudo sistemático das
demonstrações já feitas. Ao invés disso, deve a matéria ser levada ao conhecimento
do aluno por meio da resolução de problemas e de questionários intimamente
coordenados. Assim os problemas não se devem limitar a exercícios dos assuntos
ensinados, mas cumpre sejam propostos como processo de orientar a pesquisa de
teoremas e de desenvolver a presteza na conclusão lógica.
6.3.2. Livros didáticos para a Reforma Capanema
Os livros produzidos a partir de 1942, ano de promulgação da reforma
Capanema para o ensino secundário, apresentam pequenas mudanças
significativas quanto à
estrutura editorial. Na maioria das coleções analisados as
respostas dos exercícios estão presentes, sejam junto ao mesmo ou no final do
livro, separados por capítulo; as exceções são dadas por Stávale e Dumont
45
.
Destaca-se a coleção de Cattony, destinada ao primeiro ciclo, pois o autor
apresenta a bibliografia utilizada no final do volume
46
; algumas notas para o
professor feitas em notas de rodapé por Stávale; e a coleção de Lengruber e
Roberto Peixoto que deixa reservado na parte dos exercícios espaços para a
execução dos mesmos, caracterizando o livro consumível.
Em relação à
seleção de conteúdos, todas as coleções seguem exatamente os
programas implantados, tanto para o curso ginasial quanto para os cursos Clássico
e Científico. Cabe observar que apesar da separação dada no segundo ciclo as
coleções elaboradas para esta etapa não distinguiram os conteúdos, sendo sempre
destinadas aos dois cursos. Em particular, Thales Mello Carvalho, indica na
página que contém o nome do capítulo, os tópicos que seriam destinados ao curso
clássico e ao curso científico, e Maeder denomina o segundo ciclo de curso
45
Thales Mello Carvalho apresenta ao longo dos capítulos algumas resoluções de
exercícios de capítulos precedentes.
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século XX
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colegial, apresentando os programas do curso clássico, mas os conteúdos
selecionados contemplam o curso científico, o mais extenso. A
distribuição dos
conteúdos também respeita a ordem implantada pela reforma.
A
abordagem dos conteúdos nos livros didáticos para o primeiro ciclo não
sofreu mudanças significativas, pois os conteúdos selecionados para os quatro
primeiros anos na reforma Capanema já eram tratados também nos quatro
primeiros anos na reforma Campos. Assim, apesar de terem surgido novos
autores, a forma de apresentação dos conteúdos já possuíam um padrão. Como
observado por Fernando Vasconcelos no prefácio do volume destinado à primeira
série ginasial, “neste modesto trabalho em quatro séries, não há nada de novo”
(1946, p. 9). Podemos afirmar que, em algumas partes, a abordagem dos
conteúdos é prejudicada pela separação rígida, na escrita dos programas, entre os
blocos de conteúdo.
O ensino de geometria, nos livros das duas primeiras séries, continua
objetivando a apresentação de vários conceitos e resultados, sem uma
preocupação com rigor, antes de uma apresentação dedutiva, que é feita a partir do
livro destinado à terceira série. A maior diversidade no tratamento dos conteúdos
desta parte encontra-se no primeiro volume, onde as noções fundamentais e as
figuras geométricas são apresentadas. No segundo volume, a abordagem dos
conteúdos praticamente objetiva a determinação de fórmulas para o cálculo de
áreas e volumes. Em sua maioria, as fórmulas para o cálculo das áreas das figuras
planas são dadas por composição e decomposição das figuras e, na parte dos
volumes, as fórmulas são apresentadas sem explicação. De maneira geral, destaca-
se de forma positiva a coleção de Cecil Thiré, Mello e Souza e Euclides Roxo que,
além de destinar cerca de cem páginas para os conteúdos de geometria no
primeiro volume e cinqüenta no segundo, apresentam uma preocupação em dar
significado aos conceitos que estão sendo tratados, seja pelos exemplos que
exploram a experimentação e a intuição, dados em textos com fonte menor, ou
pelas imagens utilizadas (geração de superfícies com cartões, fio de prumo,
balanças, mapa do Brasil, entre outras). Ainda nesta coleção, no segundo volume,
as fórmulas para o cálculo dos volumes são deduzidas a partir do Princípio de
Cavalieri e o teorema de Pitágoras é apresentado no capítulo que trata de áreas.
46
Alguns autores indicam nas notas de rodapé a bibliografia utilizada.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
187
A partir do terceiro volume, as coleções apresentam a geometria plana a
partir de um tratamento dedutivo, seguindo um mesmo padrão. A única
diversidade encontrada foi observada nos livros da quarta série onde problemas de
construção geométrica se articulam com a solução de equações do segundo grau
47
.
Em aritmética, destacam-se as articulações com a geometria, como por
exemplo, o uso do quadrado ou retângulo e o bloco retangular para representar
algumas potências ou como recurso na apresentação da propriedade comutativa na
multiplicação
48
; a representação geométrica para (a+b)
2
é feita, por alguns autores,
no capítulo de potências; no capítulo de frações algumas representações com
segmentos são usadas para a introdução do conceito e, em particular, Stávale,
apresenta uma representação geométrica para o produto entre duas frações.
Destaca-se também na coleção de Stávale o uso de linguagem algébrica nos
capítulos de aritmética, principalmente no tratamento das propriedades das
operações. Por fim, cabe destacar a articulação com geometria feita por Maeder
no capítulo de razão e proporção.
Am álgebra, o estudo das funções se reduz à representação gráfica da função
linear, muitas vezes apenas como requisito para a representação analítica dos
sistemas de equações e inequações. Na coleção de Ary Quintella este fato é
explícito, pois o autor apresenta este tópico apenas como representação gráfica de
uma equação com infinitas soluções. Cecil Thiré, Mello e Souza e Euclides Roxo
ampliam este tópico articulando com um tratamento analítico da reta. Lemgruber
e Peixoto também valorizam este tópico, reservando cerca de doze páginas para a
representação gráfica de funções. Os números irracionais passam a compor um
capítulo, sendo o tratamento algébrico dos radicais feito a partir deste conceito.
Nos livros da reforma Campos, os números irracionais constituíam um tópico do
capítulo sobre radicais. Dessa forma, o tratamento aritmético dos radicais é feito
nos capítulos denominados potências e raízes, e o algébrico a partir do conceito
de número irracional. A representação gráfica da resolução de uma equação do
segundo grau não é mais apresentada no capítulo referente a este tópico. As
47
Os autores ensinam a construir dois segmentos, dados o produto entre eles, a soma ou a
diferença. Em seguida eles articulam estas construções com equações da forma x
2
+ px + q = 0.
Em particular, Lemgruber e Peixoto, após as construções, ainda apresentam a solução analítica de
equações deste tipo.
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
188
articulações com a geometria dada no tratamento dos polinômios, nos livros
didáticos após a reforma Campos, praticamente desaparecem. Por fim, no capítulo
sobre números negativos observa-se que os contextos, como por exemplo,
temperatura, saldo bancário e movimento uniforme, são utilizados por alguns
autores como aplicações e, por outros, como recurso para dar significado a este
conceito.
Quanto ao segundo ciclo, apesar de não terem sido sequer confeccionadas as
instruções metodológicas, parte das orientações para o curso complementar
destinados aos estudantes de engenharia da reforma Campos, dadas num
manuscrito de Euclides Roxo
49
, caracterizam, de maneira geral, a abordagem dos
conteúdos nos livros didáticos destinados ao segundo ciclo da reforma Capanema.
Segundo o documento,
O estudo da matemática nas duas séries do curso complementar da classe de
engenharia visa a desenvolver o educação matemática iniciada no curso
fundamental, no sentido de fortalecer o raciocínio dedutivo do estudante, em
dando-se maior precisão aos conceitos e maior rigor ao encadeamento lógico das
proposições.
A preocupação dominante deve ser a aquisição completa das idéias fundamentais e
dos princípios gerai que servem de base às teorias da matemática superior [...].
O arcabouço do grande edifício lógico deve aparecer claramente ao aluno, para
gravar-se nítida e profundamente em seu espírito, servindo-lhe de apoio a um
maior desenvolvimento da cultura matemática nos cursos superiores científicos e
ao domínio dos instrumentos de cálculo indispensáveis ao estudo das disciplinas
teóricas nos cursos de engenharia (p. 1 – 2).
Em particular, na álgebra alguns autores apresentam as inequações produtos
com a resolução a partir do quadro de sinais, como tratado atualmente nos livros
do Ensino Médio. A variação do trinômio do segundo grau é representada
graficamente e os polinômios são tratados também como funções. Alguns autores,
na parte destinada às noções de funções, apresentam exemplos com representação
gráfica de funções contínuas e descontínuas e com pontos de máximo e mínimo.
Para o tratamento das funções exponenciais os autores apresentam tópicos sobre
potências de expoente real. A função exponencial articula-se com a logarítmica
pelo conceito de função inversa, mas em geral, o tratamento é sucinto. A parte
48
Stávale utiliza o bloco retangular para mostrar que 3x4x6 = 3x6x4; Cecil Thiré, Mello e
Souza e Euclides Roxo, utiliza um retângulo subdivido para mostrar que 23x17 = 17x23
associando com a contagem de linhas e colunas.
49
ER.T.3.071
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
189
destinada à análise combinatória serve de base para a abordagem do binômio de
Newton. O capítulo de séries pode ser considerado como um curso introdutório de
análise matemática, em nível superior. Os conteúdos de trigonometria, dados a
partir das funções circulares, são tratados na parte de geometria. As razões
trigonométricas são apresentadas por alguns autores na parte destinada à resolução
de triângulos. As aplicações à topografia são inseridas no final desta parte. Os
vetores, objeto de um dos capítulos, também são utilizados no tratamento dos
números complexos.
Figura 10 – Capa da 1ª edição do 1º volume da coleção Matemática: 2º ciclo dos
Euclides Roxo, Roberto Peixoto, Haroldo l. da Cunha e César Dacorso Netto.
A diversidade na confecção dos livros didáticos para a reforma Campos,
citada anteriormente a partir dos prefácios torna-se ainda maior, pois como
indicado em Dassie (2001), as instruções metodológicas para ambos os ciclos não
foram publicadas, apesar das orientações para o primeiro terem sido
confeccionadas. Conseqüentemente, observa-se novamente uma diversidade na
metodologia, principalmente nas coleções para o primeiro ciclo. A única alteração
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Os livros didáticos de matemática para a escola secundária na primeira metade do
século XX
190
significativa ocorre na coleção de Cecil Thiré, Mello e Souza e Euclides Roxo,
pois as leituras no final dos capítulos não são mais apresentadas.
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
191
7 A formação de professores de Matemática na
Universidade do Distrito Federal e as novas orientações
para o ensino da Matemática
Em 1932, Anísio Teixeira, então Diretor Geral da Instrução Pública,
transformou a antiga Escola Normal do Distrito Federal em Instituto de Educação,
dividido em Escola de Professores e Escola Secundária. No entanto, o projeto era
mais amplo. Segundo Mendonça (2002, p. 26), o ápice do processo de
transformação era a criação de uma universidade. Então, em 1935, a Universidade
do Distrito Federal – UDF – foi criada, incorporando o Instituto de Educação.
Entre os cursos da UDF temos o de formação de professores de Matemática. Mas,
para analisar a relação entre esta formação e as novas propostas para o ensino da
matemática é necessário retomar a criação do Instituto de Educação e a Escola
Secundária. Dessa forma, neste capítulo iremos mostrar como as novas
orientações para o ensino da matemática foram executadas na Escola Secundária
do Instituto de Educação, a partir dos programas de ensino, da atuação do próprio
Euclides Roxo e de cadernos da década de 1930, e como foram articuladas com a
formação do professor de Matemática na UDF.
7.1. A criação do Instituto de Educação do Rio de Janeiro e a Escola
Secundária
Em 1932, o Decreto n. 3810 de 19 de março, extinguiu a Escola Normal do
Distrito Federal, criada pelo decreto de 30 de novembro de 1876, e criou o
Instituto de Educação. Este projeto foi elaborado por Anísio Teixeira, então
Diretor Geral da Instrução Pública do Distrito Federal. Na exposição de motivos,
ele destaca a importância dessa transformação, enfatizando a formação do
professor:
Exmo. Sr. Interventor
Dentro do plano geral já submetido a V. Ex. de reorganização e reajustamento do
sistema educacional do Distrito Federal, ocupa lugar de preeminência indiscutível
o projeto de reorganização da antiga Escola Normal, que ora entrego à apreciação e
aprovação de V. Ex.
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
192
Nenhuma reforma, como nenhum melhoramento de ordem essencial se pode fazer
em educação, que não dependa substancialmente do mestre a quem vamos confiar
a escola.
Em nossa preocupação, tão vivida hoje, pela educação popular e universal, não nos
temos apercebido de que, acima do número de escolar e do número de alunos
matriculados, importa a qualidade do mestre, o seu preparo cultural e técnico, as
suas condições de remuneração e de trabalho e os seus atributos de formação moral
e social.
[...]
A pessoa a quem vamos confiar as nossas crianças por várias horas durante o dia e
a quem vamos pedir, não que as guarde somente, mas que as eduque,
acompanhando e animando o seu desenvolvimento intelectual e mora, a par e passo
do seu desenvolvimento físico, deve possuir um coração e uma inteligência
superiormente formados, o conhecimento aperfeiçoado do seu mister e uma visão
social larga e harmoniosa.
A partir de então, o Instituto seria responsável em formar professores para a
instrução primária e secundária e manter cursos de continuação e aperfeiçoamento
para professor. Além desses cursos, este estabelecimento passaria a oferecer o
ensino secundário. Para isso, o Instituto de Educação ficou divido em Escola
Secundária e Escola de Professores (Art. 2º e 3º).
A Escola de Professores manteria cursos de dois, três ou quatro anos de
acordo com os cursos de formação de professores que seriam oferecidos (Art. 8º).
Esta escola seria composta por oito seções: Biologia Educacional e Higiene;
Educação; Matérias de Ensino; Desenho, Artes Industriais e Domesticas; Música,
Educação Física, Recreação e Jogos; e Prática de Ensino (Art. 9º).
A Escola Secundária teria finalidades específicas e distintas das escolas
secundárias, como por exemplo, o Colégio Pedro II, pois ela serviria também de
campo de experimentação para a prática docente dos alunos do curso de formação
de professores secundários (Art. 3º). O ensino seria ministrado em dois ciclos,
como foi estabelecido pela Reforma Francisco Campos: cinco anos de curso
fundamental e mais dois anos de curso complementar (Art. 4º).
No governo de Pedro Ernesto Batista foi expedido o Decreto n. 5000 de 11
de setembro de 1934, que consolidou a legislação sobre a Escola Secundária do
Instituto de Educação.
Segundo este decreto, as disciplinas do curso fundamental seriam as
mesmas estabelecidas pela Reforma Campos, em 1931, exceto pela presença das
disciplinas Trabalhos Manuais e Educação Física, nas três primeiras séries, e
Higiene e Puericultura e Educação Física nas duas últimas séries (Art. 3º). No
curso complementar, as disciplinas e as ramificações também foram mantidas
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
193
segundo a reforma citada, exceto pela introdução de uma nova subdivisão, de
apenas um ano de duração, a saber, candidatos à matrícula no curso de preparação
regular do magistério primário da Escola de Professores do próprio instituto
1
. Esta
parte do instituto seria composta por nove seções, com a seguinte divisão:
Português, Latim e Literatura; Francês, Inglês e Alemão; História da Civilização,
Geografia, Geofísica e Cosmografia; Matemática, Estatística aplicada à educação,
Noções de Economia e Estatística; Ciências Físicas e Naturais, Física, Química e
História Natural, Biologia Geral; Higiene e Puericultura, Psicologia, Higiene;
História da Filosofia, Sociologia, Economia e Direito, Psicologia e Lógica;
Desenho, Trabalhos Manuais; Música, Canto Orfeônico; e Educação Física.
Inicialmente o corpo docente da Escola Secundária seria composto por
professores da antiga Escola Normal que seriam submetidos a concurso de
títulos
2
. O Decreto n. 3.859 de 28 de abril de 1932 dispõe sobre este
aproveitamento
3
. Como foi citado no primeiro capítulo desta tese, Euclides Roxo
ingressou na antiga Escola Normal em 1918 e, dessa forma, poderia se candidatar
para o cargo de Professor Assistente, do recém criado Instituto de Educação. E
assim o fez, sendo aceito
4
. Euclides Roxo foi nomeado interinamente, em 29 de
abril de 1932, professor-assistente de Matemática, da Escola Secundária do
Instituto de Educação
5
. Sua atuação nesta instituição nos mostra que as novas
orientações para o ensino da Matemática do curso secundário, oficializadas pela
Reforma Francisco Campos, foram seguidas e que sua atuação no campo
educacional foi mais ampla, pois em 1935, este instituto foi incorporado à UDF.
1
O Parágrafo único do art. 4º determina que seria organizado, quando necessário, “um
curso complementar para os candidatos à matrícula na Faculdade de Educação, Ciências e Letras,
criada pelo Decreto Federal n. 19.852, de 11 de abril de 1932, bem como no curso de formação
regular do professorado secundário da Escola de Professores, os quais serão regidos por instruções
especiais baixadas pelo Diretor Geral do Departamento de Educação”. Não sabemos se tais cursos
foram implementados.
2
Art. 79, do Decreto n. 3810 de 19 de março de 1932.
3
ER.I.4.104.
4
O documento ER.T.1.007 é o manuscrito da carta-currículo apresentada por Euclides
Roxo.
5
ER.T.2.048. O documento ER.T.1.001 registra as seguintes denominações e as respectivas
datas de nomeação de Euclides Roxo para o Instituto de Educação: nomeação interina em 29 de
abril de 1932; nomeação efetiva em 30 de março de 1933; nomeação de adjunto em 7 de junho de
1933; e nomeação de professor em 30 de novembro de 1933.
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
194
7.2. O ensino da Matemática na Escola Secundária
7.2.1. A atuação de Euclides Roxo na Escola Secundária
A Reforma Francisco Campos estabeleceu um conjunto de orientações sobre
a organização didática e o regime escolar para todo o território nacional. Tais
normas também foram seguidas pela Escola Secundária do Instituto de Educação,
pois o reconhecimento oficial desta instituição dependia da execução dessa
legislação. Em particular, o Decreto n. 5000 de 11 de setembro de 1934
6
determina que
os programas referentes ao ciclo fundamental e ao ciclo complementar para os
candidatos à matrícula nos cursos jurídicos, de medicina, de farmácia, de
odontologia, de engenharia e de arquitetura obedecerão aos correspondentes
adotados pelas autoridades federais, considerados como um mínimo para ser
ministrado o ensino; serão respeitados, também, na organização de tais programas
e em sua execução, os métodos de ensino expedidos pelo Ministério da Educação e
Saúde Pública (§1º do Art. 71).
Considerar os programas oficiais “como um mínimo para ser ministrado o
ensino” possibilitou a elaboração dos programas de ensino com algumas
modificações. Dessa forma, esta escola elaborou e adotou programas de ensino
que seguiam as orientações da Reforma Francisco Campos, mas que de alguma
forma, continham pequenas especificidades. Em relação ao ensino da matemática
isso fica determinado pelos programas localizados
7
.
O conjunto de programas de matemática apresenta uma configuração
distinta dos programas instituídos pela Reforma Francisco Campos. Os conteúdos
são praticamente os mesmos, mas a distribuição é dada na forma de lições, oitenta
para cada ano. Dessa forma, os programas ficaram mais detalhados quando
comparado com a lista dos conteúdos ditada pela reforma citada. Outro fato que
deve ser observado, articulado com o anterior, é que a seqüência adotada é
justamente a seqüência dos tópicos de cada capítulo da coleção Curso de
Mathematica, de autoria de Euclides Roxo, Julio César de Melo e Souza e Cecil
6
Decreto que consolidou a legislação da Escola Secundária do Instituto de Educação.
7
Os programas de matemática para da Escola Secundária do Instituto de Educação
encontram-se em anexo.
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
195
Thiré, citada no capítulo 3 desta tese
8
. Nesta época, Euclides Roxo e Julio César
de Melo e Souza eram professores do Instituto de Educação.
Apesar das distinções observadas em relação aos programas oficiais e os
adotados na Escola Secundária do Instituto de Educação, as novas orientações
para o ensino da Matemática foram seguidas. Três fatos reforçam esta afirmação.
O primeiro deles está associado ao cargo exercido por Euclides Roxo na seção de
Matemática. Ele foi, pelo menos entre os anos de 1934 e 1937, o professor chefe
de Matemática. Em segundo lugar, um relato sobre a execução das novas
orientações foi apresentado pelo próprio Euclides Roxo, a partir de experiências
em sala de aula com suas turmas. Em terceiro, objetivo do próximo item, são os
cadernos da ex-aluna da Escola Secundária deste instituto, Darcy Carneiro Motta.
Em relação ao cargo de professor chefe, o decreto citado que consolida a
legislação desta escola determina que cada seção seria chefiada por um professor,
denominado professor chefe de seção. E em cada seção existiria um professor
chefe, que seria responsável pela “direção” de cada disciplina. Ou seja, uma
espécie de coordenador para cada uma das disciplinas da seção, “cabendo-lhe,
para bom desempenho de sua tarefa, superintender e acompanhar a execução dos
programas, em harmonia com o professor chefe de seção correspondente,
auxiliando-o e ao diretor na fiscalização do ensino” (Art. 23). As designações para
professores-chefes seriam “feitas pelo diretor do Instituto, dentre os professores
que requerem juntando provas das condições de exercícios do cargo, de
aperfeiçoamento cultural e técnico e de ensino” (Art. 24).
Tais condições e qualidades estavam reguladas pelo Art. 46, do mesmo
decreto. Analisando o referido artigo, observa-se uma lista de condutas
administrativas e escolares deveriam ser mantidas, como por exemplo,
assiduidade, pontualidade, zelo aos prazos para correção de provas e exercícios,
boa receptividade da classe – comprovada com assiduidade dos alunos e
aproveitamento –, interesse pelas atividades educativas extra-classe e vida social
da instituição.
Outras exigências listadas neste artigo nos remetem justamente ao perfil de
Euclides Roxo, professor do Instituto de Educação, como citado nesta Tese,
8
Um quadro comparativo entre os programas e a seqüência dada na coleção encontra-se em
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
196
desde, pelo menos, 1918. São elas: “publicação de trabalhos de uso recomendável
aos diversos cursos do Instituto, julgados convenientemente ao ensino e
aprovados pelo Conselho Técnico da Escola”, “publicação de obras de cultura
geral, julgadas de mérito pelo mesmo Conselho”, “interesse pela adaptação de
novos processos didáticos e capacidade para fazê-lo” e “execução perfeita dos
programas de ensino”. Ou seja, Euclides Roxo seria um bom candidato ao cargo
de professor-chefe da disciplina de Matemática, visto a própria carta de
apresentação para o reaproveitamento dos professores da Escola Normal para a
Escola Secundária do Instituto de Educação
9
.
Como citado, Euclides Roxo foi professor chefe de Matemática pelo menos
entre os anos de 1934 a 1937. Em 1934 ele foi nomeado interinamente pelo então
Diretor Geral do Departamento de Educação do Distrito Federal, Anísio
Teixeira
10
. Em 1936 ele foi nomeado pelo então Diretor do Instituto de Educação,
Lourenço Filho
11
. Tal fato está registrado, também, no periódico Arquivos do
Instituto de Educação, Volume I, número 2, de 1936, onde o corpo docente do
Instituto de Educação é listado na contracapa da publicação
12
. Além de Euclides
Roxo, citado como chefe, encontra-se Haroldo Lisboa da Cunha. No ano seguinte,
1937, o número 3, do mesmo volume deste periódico ainda o cita como chefe. Ou
seja, ele acompanhou, entre outras coisas, a execução dos programas de
matemática da Escola Secundária do Instituto de Educação.
O cargo de professor chefe não o dispensava das obrigações como professor
da Escola Secundária. O Relatório apresentado ao Sr. Diretor da Escola
Secundária sobre o curso de matemática realizado nas turmas 17 e 18 pelo
professor Euclides Roxo nos revela detalhes sobre as novas orientações para o
ensino da matemática e sua prática docente
13
. O documento é dividido em três
partes denominadas: orientações e programas, didática e dificuldades
encontradas na execução do programa e das suas diretrizes metodológicas. Na
primeira parte, Euclides Roxo observa que os programas desta instituição seguiam
anexo.
9
ER.T.1.007. Carta em anexo.
10
ER.T.2.055.
11
ER.T.2.061.
12
Para maiores detalhes sobre este periódico, ver Lopes, 2006, p. 105 – 164.
13
ER.T.3.116.
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
197
os padrões federais e destaca as vantagens das novas orientações, enfatizando a
oposição entre exposição dedutiva e intuitiva.
Em todo o curso procuramos seguir, tanto quanto possível, a orientação
metodológica e o programa, baixados em portaria de 30 de junho de 1931 pelo ex-
Ministro da Educação, o ilustre Dr. Francisco Campos.
Estamos inteiramente de acordo com essa orientação que, sujeita embora a
aperfeiçoamento, representa, sem dúvida, um grande passo no sentido de dar ao
ensino de matemática uma feição viva e moderna, de modo que essa disciplina,
deixando de ser, no curso secundário, uma árida e estéril exposição sistemática de
definições e teoremas, se possa melhor integrar um plano de educação progressiva.
Durante o meu curso deste ano, como em outras oportunidades, tive ensejo de
verificar as grandes vantagens da nova orientação, notadamente no que se refere à
globalização, ao maior apelo à intuição e ao caráter mais real dos problemas e
aplicações.
A preocupação de uma exposição rigorosamente lógica tem sido a principal causa
da dificuldade do ensino da matemática, considerada, por esse motivo, matéria
somente acessível a cérebros privilegiados. Não quero dizer que se suprima, do
ensino, o raciocínio matemático ou dedutivo. Este, porém, só pode ser exercitado
normalmente, por inteligências já desenvolvidas (17 ou 18 anos).
A criança de 12 anos não aceita e até repele porque lhe parece inútil, uma vez que,
para ela, as noções adquiridas intuitivamente têm a consistência de verdades
indestrutíveis.
O exercício do raciocínio dedutivo deve, pois, vir paulatinamente, à medida que a
criança, conduzida pelo mestre, vá, por si mesma, sentindo a necessidade.
Querer impô-lo, desde logo, pela simples razão de nos acharmos no curso
secundário, é uma violência bárbara e inútil, pois o aluno se defende como pode e,
mesmo que o obriguem a ter os olhos sobre a aridez do quadro negro, o seu
pensamento foge veloz para o verdor das realidades vivas.
A globalização do ensino de matemática permite, desde logo, tocar em questões de
mais interesse para a criança e encontrar um campo mais vasto par o exercício da
intuição matemática, enquanto se prepara o caminho para o raciocínio dedutivo,
que habilmente se pode ir infiltrando, aqui e acolá, sem a preocupação de querer
acorrentar o cérebro adolescente às cadeiras de uma exposição formal (p. 1 – 2).
Em seguida Euclides Roxo tece comentários sobre a forma como as
atividades escolares eram executadas para a transmissão dos conteúdos em suas
aulas. Segundo ele,
A solicitação constante da atividade das alunas foi, tanto quanto possível,
praticada, procurando levá-las, depois de exercícios conveniente [sic] escolhidos a
formularem, por si mesmas, as definições, as regras e as propriedades.
Apesar das dificuldades da aplicação desse processo e dos inconvenientes que
apresenta sob o ponto de vista de uma maior delonga na execução do programa,
não quisemos abrir mão das enormes vantagens que oferece, as quais são, afinal,
todas as do ensino ativo.
[...]
A matéria foi sempre exposta e fixada com o auxílio de numerosos exercícios
gradativos. Além dos exercícios resolvidos em aula, eram sempre passados alguns
como tarefa para serem feitos em casa. Essa norma foi invariavelmente seguida, e
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
198
não houve talvez meia dúzia de aulas em que não tivessem sido passados
exercícios para casa.
Esses exercícios, que geralmente eram de aplicações de mataria já ensinada,
podiam, uma vez ou outra, constituir também a primeira fase de iniciação
heurística (p. 2 – 3).
A terceira e última parte do documento trata de especificidades das turmas
em que Euclides Roxo lecionava. Entre as dificuldades para execução dos
programas, de acordo com as novas orientações metodológicas, segundo ele,
estavam: a falta de preparo básico, que segundo ele era conseqüência da falta de
articulação entre o ensino primário e secundário, a superlotação das classes e a
preocupação excessiva com as provas.
Em suma, as novas orientações para o ensino da matemática na escola
secundária, implantadas oficialmente pela Reforma Francisco Campos, foram
adotadas no Instituto de Educação e de forma bem particular, pois em algumas das
turmas a execução dessas instruções foi de responsabilidade do próprio Euclides
Roxo. Dessa forma, temos que as novas propostas para o ensino da matemática,
defendidas por ele, até pelo menos 1942, não foram pensadas apenas a partir das
teorias internacionais que vinham sendo difundidas, mas, também, pela prática
direta com os alunos da escola secundária, tornando seus argumentos, para a
introdução de novas metodologias no ensino da matemática, mais consistentes.
7.2.2. Os cadernos de Darcy Carneiro Motta
No item anterior, apresentamos dois argumentos que reforçam a hipótese de
que as mudanças para o ensino da matemática na Escola Secundária do Instituto
de Educação seguiram a as orientações implantadas pela Reforma Francisco
Campos. Conseqüentemente, o ensino da matemática em nível secundário nesta
instituição adotou as propostas de Euclides Roxo.
Outro fato que corrobora com este pode ser apresentado a partir dos
fragmentos de cadernos da aluna Darcy Carneiro Motta
14
, que cursou o ensino
secundário nesta instituição exatamente a partir do primeiro ano de
funcionamento. Ou seja, ela ingressou no Instituto de Educação em 1932,
finalizando o ensino secundário em 1936. Os fragmentos encontrados
15
14
Não foi possível localizar informações sobre esta ex-aluna.
15
Estes documentos fazem parte do acervo do CEMI.
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novas orientações para o ensino da Matemática
199
apresentam os conteúdos previstos nos programas e, dessa forma, mostram que as
novas orientações para o ensino da matemática foram também implantadas em
sala de aula, não ficando apenas no plano legal.
Os conteúdos de matemática encontram-se fragmentados em quatro
cadernos. O primeiro deles, de 1933, para o segundo ano do curso, apresenta
pequenos trechos, distribuídos em cinco páginas, que tratam de sistemas de
equações e divisão de polinômios, conteúdos correspondentes às lições 63 e 68,
respectivamente. Para o ano de 1935, temos dois cadernos. Um deles, foi
exclusivamente utilizado para exercícios. Neste, são registrados cento e vinte e um
exercícios que contemplam os conteúdos de equações biquadradas e irracionais,
problemas do 2º grau, progressões aritméticas e geométricas, função exponencial,
logaritmo, juros e polígonos inscritos e regulares. Como foi citado no item
anterior, os programas seguiam a mesma seqüência de tópicos dos livros da
coleção Curso de Mathematica, de Euclides Roxo, Julio César de Melo e Souza e
Cécil Thiré. Podemos observar, neste caderno, que os exercícios também seguiam
os mesmos padrões dos exemplos e exercícios apresentados nos volumes dessa
coleção.
Figura 1 – Página do caderno de exercícios (exercício n. 1)
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novas orientações para o ensino da Matemática
200
Figura 2 - Página do caderno de exercícios (exercícios ns. 108, 109 e 110)
Apesar dessa observação, o outro caderno de 1935 e um dos cadernos de
1936 caracterizam melhor as exposições em sala de aula das novas orientações,
pois apresentam a maneira como os conteúdos eram tratados no quarto e no quinto
ano do curso, respectivamente.
Para o ano de 1935, o caderno de conteúdo localizado pode ser dividido, de
acordo com o programa para o quarto ano, em duas partes. A primeira contempla
as lições de número 19 a 21, correspondentes à função exponencial e seus
gráficos, a segunda, trata dos logaritmos, percorrendo alguns itens entre as lições
de número 22 a 33.
O conceito de função, como relação de dependência entre duas grandezas,
era objeto de estudo do segundo ano, como mostra as seguintes lições
16
:
57ª lição – Funções – Constante e variável. Representação das constantes e
variáveis. Variável independente e variável subordinada. Constantes arbitrárias.
Constantes absolutas.
16
Programas do 2º ano para a Escola Secundária.
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novas orientações para o ensino da Matemática
201
58ª lição – Relação funcional. Função implícita – Função explícita. Acréscimo da
variável. Acréscimo da função. Função crescente – Função decrescente. Máximo
de uma função. Mínimo de uma função.
59ª lição – Gráfico de uma função. Representação gráfica de uma função linear.
60ª lição – Gráfico da função y = ax e y = a/x.
Dessa forma, a função exponencial foi apresentada de forma direta, sendo
apenas relembrado alguns conceitos expostos nas lições citadas acima.
29-5-935
Função: O tempo é uma função da velocidade. O peso dum corpo é uma função do
volume. A circunferência é uma função do raio. O juro é função do capital da taxa
e do tempo.
y = f(x), y é uma função de x
Função crescente: e = vt
Função crescente: uma vela acesa [sic].
x + y = 8 [função implícita]
y = 8 – x [função explícita]
31-5-935
Estudo das funções exponenciais.
Exemplos de grandezas constantes: valor de
π
; volume da terra, densidade de 1
[sic] corpo no estado normal. Grandezas variáveis: raio da circunferência; a
temperatura, altura duma árvore que se desenvolve, idade duma pessoa.
C = 2
π
R. A circunferência é uma função do raio.
R e C são variáveis
2 e
π
são constantes e absolutas.
y = ax + b, y é uma função de x, a e b são constantes arbitrárias.
100
cit
j =
, [100 é] constante e absoluta.
π
[é] constante e absoluta.
A intensidade da gravidade num certo lugar é absoluta e constante.
Função: y de x
y = f (x)
z = f (x,y)
[...]
y =
x
a , função exponencial. y é uma variável dependente. a é constante e
arbitrária.
a deve ser positivo e diferente de zero e não ser igual a unidade.
x [é] variável independente.
Os registros seguem com a apresentação da propriedade
p
q
p
q
aa= e com
um exemplo que pede a determinação dos valores da função y = 4
x
, sabendo que
x = 2, 1,
1
2
, 0, –
1
2
, –
1
2
[–1]. Após a resolução, o mesmo tipo de exercício é
proposto “para casa”, para as funções y =
8
x
e y =
1
4
x
[sic]. A apresentação do
conteúdo segue com a representação gráfica da função y = 2
x
. A resolução
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202
apresentada vem acompanhada de uma tabela em que os valores de x são,
respectivamente, 0, 1, 2, 3, – 1, – 2 e – 3. Esta parte do conteúdo é encerrada com
outro exemplo e com mais dois exercícios “para casa”. Cabe observar que os
exercícios pedidos coincidem com os exercícios feitos no caderno descrito
anteriormente.
Na parte que trata das funções logarítmicas, cabe destacar a construção do
gráfico dessa função a partir da função exponencial, ou seja, as funções são
descritas como funções inversas
17
. A seqüência apresentada no caderno é,
realmente, a lista de
lições para este conceito, citada no programa. Dessa forma,
novamente é possível observar uma correspondência com o livro do quarto ano da
coleção
Curso de Mathematica, dos três autores.
Figura 3 – Construção do gráfico da função y = 2
x
17
Não entraremos em detalhes sobre todos os tópicos abordados. Achamos que a exposição
de alguns itens é suficiente para a análise.
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novas orientações para o ensino da Matemática
203
Figura 4 – Representação gráfica da função logarítmica
Por fim, os cadernos para o ano de 1936, apresentam os conteúdos do quinto
ano do curso. Um deles, como em 1935, era exclusivo para exercícios. Neste
caderno, encontram-se trinta e oito exercícios que abordam tópicos de resolução
de triângulos e binômio de Newton.
O outro caderno encontrado é mais extenso (cento e sessenta e três páginas)
e contempla praticamente todas as lições do programa. Inicia com os conteúdos de
trigonometria (lições 1 a 17) e análise combinatória (lições 18 a 24). Em seguida,
a parte que iremos destacar, segue com os conteúdos de limite, derivada e
integral
18
.
A seqüência apresentada é seguinte: noção de limite, limite de uma função,
números incomensuráveis considerados como limite, determinação de limites,
função definida, função explícita, acréscimo de uma variável, representação
gráfica do acréscimo, razão dos acréscimos, declividade, função derivada,
determinação de derivadas, noção de diferencial, derivadas sucessivas, função
18
Optamos por esta parte, pois estes conceitos foram re-introduzidos no ensino secundário
a partir da Reforma Francisco Campos (Ver Carvalho, 1996 e Beltrão, 2001).
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204
crescente e decrescente (como variação da derivada), máximos e mínimos,
integral e, por fim, diferencial de uma área.
Este encadeamento contempla os conteúdos das lições 25 a 53 do programa
para o quinto ano do ensino secundário do Instituto de Educação. Nesta parte, a
aproximação entre a forma de apresentação dos conteúdos e o texto do quinto
volume da coleção
Curso de Mathematica, dos três autores, é dada de forma mais
explícita. Este fato pode ser justificado pela re-introdução desses conceitos no
ensino secundário. Limites, derivadas e integrais não eram conteúdos do ensino
secundário, conseqüentemente não eram apresentados nos livros didáticos
anteriores a Reforma Francisco Campos. As coleções produzidas posteriormente
a esta reforma, nesta caso em particular, a coleção
Curso de Mathematica,
tornam-se um
modelo para a apresentação desses conceitos. O professor, até
então, salvo exceções, também não ministrava aulas sobre os tópicos citados.
Dessa forma, o livro didático passa a ser um elemento essencial na sua prática.
Era necessário seguir um modelo.
A seguir, encontram-se algumas partes dos registros feitos pela aluna Darcy
Carneiro Motta, no quinto ano do ensino secundário:
10-6-936
Limite: lim
lim 0,9999... = 1
lim x = A
Limite é uma quantidade constante para a qual tende uma variável de tal sorte que
a diferença entre a constante e a variável seja cada vez menor, tendendo para zero.
A (constante), x (variável)
limite de x = A
lim (A – x) = 0
15-6-936
y = f(x), y é uma função de x.
Supondo q [que] x tende para 1 [uma] constante a
e q [que] y em conseqüência
tende para outra constante b, diz-se q [que] o limite de x é a e o [de] y é b.
2
4
2
x
y
x
−
=
−
, x = 1
41
3
21
y
−
==
−
.
15-7-936
[...]
Função definida.
Diz-se q [que] a função duma variável x é definida para certo valor real de x, q
do
a
função adquire um valor real finito e bem determinado.
Diz-se que 1 [uma] função é definida no intervalo a, b q
do
é definida para todos os
valores de x nesse intervalo.
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novas orientações para o ensino da Matemática
205
[sem data]
Na função linear o acréscimo da função é proporcional do acréscimo da variável. A
função linear se representa por uma linha reta: y = ax +b. Vamos juntar a x o
acréscimo ∆ x e teremos o acréscimo de y.
y + ∆ y = a (x +∆ x) + b
y + ∆ y = ax +a∆ x + b
ax + b + ∆ y = ax + a∆ x + b
∆ y = a∆ x
se dividirmos ambos os membros por
∆
x =
y
a
x
∆
=
∆
[sic].
A razão dos acréscimos é igual ao coeficiente de x [...].
A razão dos acréscimos na função linear é constante e igual à tangente
trigonométrica do ângulo formado pela reta representativa da função e o eixo do x
.
7-8-936
Interpretação geométrica do limite da razão dos acréscimos [...].
O limite da razão dos acréscimos determina a declinação da curva e portanto da
função q
do
∆ x tende p
a
[para] zero. A declinação de uma curva e portanto da
função depende de x e diz-se que a declividade é função de z. Como se trata de
função de outra função tem o nome de derivada [...].
Representa-se [sic] as funções derivadas por y’. Se tivermos a função y = x
2
, a
derivada será y’= 2x.
Figura 5 – Tabela com análise dos acréscimos para a função y = x
2
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206
Figura 6 – Interpretação geométrica do limite da razão dos acréscimos
7.3. A Universidade do Distrito Federal – UDF
A Universidade do Distrito Federal foi criada pelo Decreto nº 5.513, de 4 de
abril de 1935
19
, também por iniciativa de Anísio Teixeira, durante a gestão do
Prefeito Pedro Ernesto. Para o prefeito, a criação da universidade foi justificada a
partir de diversas considerações feitas na introdução do decreto, nas quais
destacamos:
Considerando que a Cidade do Rio de Janeiro constitui um centro de cultura
nacional de ampla irradiação sobre todo o país;
Considerando que a sua atual autonomia confere novas responsabilidades ao seu
governo, ampliando-se o âmbito de serviços e de ação pública;
Considerando que o desenvolvimento da cultura filosófica, científica, literária e
artística é essencial para o aperfeiçoamento e progresso da comunidade local e
nacional;
Considerando que à Cidade do Rio de Janeiro compete o dever de promover a
cultura brasileira do modo mais amplo e profundo que for possível;
Considerando que uma nova Universidade no Distrito Federal se pode compor
inicialmente de instituições de natureza diversa das mantidas pelo Governo
Federal;
19
Apud Fávero, M.L. Universidade e poder. Rio de Janeiro: Achiamé, 1980, p. 191 – 198.
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novas orientações para o ensino da Matemática
207
Considerando que o número de estudantes do Distrito Federal e dos que afluem dos
outros Estados ao centro de cultura do país é de tal ordem que justifica a existência
de mais uma Universidade;
Considerando que as instituições particulares superiores que se vêm fundando são
uma demonstração desta necessidade, que vai sendo, assim, atendida de forma
imperfeita e pouco eficiente;
Considerando que o Governo do Distrito Federal já mantém ensino de nível
primário, secundário e superior, este entretanto, restrito à Escola de Professores do
Instituto de Educação.
Mendonça (2002) contrapondo a criação da USP e da UDF, afirma que
[...] a USP foi criada mediante a incorporação de um conjunto de escolas superiores
já existentes. A única instituição efetivamente nova era a Faculdade de Filosofia,
de quem se esperava, como lembra Schwartzman (1979), que contaminasse
favoravelmente as demais escolas, modificando-lhes o espírito tradicional e
bacharelesco.
Já a situação da UDF é outra. Sua estrutura é radicalmente diferente das
universidades até então criadas no país, resultantes da agregação de escolas
profissionais tradicionais. E é a universidade como um todo que se propõe a
assumir o objetivo de se constituir em instituição de cultura. (p. 24).
Segundo Fávero (1980, p. 75 – 6), Anísio Teixeira pretendeu “proporcionar
mudança radical no meio universitário através de um projeto concreto”.
A Universidade de que precisamos são as que buscam [sic] o preparo do quadro
intelectual do país, que até hoje se tem formado ao sabor do mais abandono e mais
precário autodidatismo. Tais Universidades de fins culturais buscarão desenvolver
o saber em todos os seus aspectos, aspirando transformar-se em grandes centros de
irradiação científica, literária e filosófica do país” (Teixeira
apud Fávero, 1980, p.
78).
A função da Universidade é uma função única e exclusiva. Não se trata somente de
difundir conhecimento. O livro também as difunde. O livro também a conserva.
Não se trata somente de preparar práticos ou profissionais, de ofícios ou de artes. A
aprendizagem direta os prepara, ou, em último caso escolas muito mais singelas do
que universidades.
Trata-se de manter uma atmosfera de saber, para se preparar o homem que o serve
e o desenvolve. Trata-se de conservar o saber vivo e não morto, nos livros ou no
empirismo das práticas não intelectualizadas.
Trata-se de formular intelectualmente a experiência humana, sempre renovada,
para que a mesma se torne consciente e progressiva.
Trata-se de difundir a cultura humana, mas de fazê-lo com inspiração,
enriquecendo e vitalizando o saber do passado com a sedução, a atração e o ímpeto
do presente.
O saber não é um objeto que se recebe das gerações que se foram, para a nossa
geração; o saber é uma atitude de espírito que se forma lentamente ao contato dos
que sabem (Teixeira
apud Paim, 1981, p. 78 – 79).
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208
Mas, a UDF não foi criada somente para atender a formação do quadro
intelectual do país. A formação do professor para as escolas secundárias também
foi contemplada nesta proposta. Mendonça (2002) destaca que,
Na prática, a UDF acabou por se dedicar primordialmente à formação de
professores, até mesmo porque, pelas próprias restrições que lhe foram impostas
pelo governo federal, apenas puderam funcionar em seu interior cursos que
forneciam licença para o magistério das escolas secundárias, como evidenciam
tanto os editais de vestibular, quanto os relatórios de fim de ano da universidade.
(p. 35)
Assim, para abarcar essas duas formações, as finalidades da UDF seriam: a)
promover e estimular a cultura de modo a concorrer para o aperfeiçoamento da
comunidade brasileira; b) encorajar a pesquisa científica, literária e artística; c)
propagar as aquisições da ciência e das artes, pelo ensino regular de suas escolas e
pelos cursos de extensão popular; d) formar profissionais e técnicos nos vários
ramos de atividade que as suas escolas e institutos comportarem; e) prover a
formação do magistério, em todos os graus (Art. 2).
Para atingir tais objetivos a UDF seria composta pela Escola de Ciências;
Escola de Economia e Direito; Escola de Filosofia e Letras; e pelo Instituto de
Artes. O Instituto de Educação do Rio de Janeiro, antiga Escola Normal, criada
em 1876, passaria a compor o quadro de estabelecimentos desta universidade.
Nesta época, o instituto era composto pela Escola Secundária e pela Escola de
Professores. De acordo com o Art. 4, do decreto de criação da UDF, a Escola de
Professores teria “por fim prover a formação do magistério e concorrer, como
centro de documentação e pesquisa, para a formação de uma cultura pedagógica
nacional” e passaria a ser denominada de Escola de Educação.
Além disso, algumas instituições complementares, como definido pelo Art.
3, serviriam de campo “para experimentação pedagógica, prática de ensino,
pesquisa e difusão cultural”. Seriam elas: a Biblioteca Central de Educação; A
Escola-Rádio; a Escola Secundária do Instituto de Educação; a Escola Elementar
do Instituto de Educação; o Jardim de Infância do Instituto de Educação; uma
escola secundária técnica; uma escola elementar experimental; uma escola
maternal; e laboratórios e clínicas dos hospitais do Distrito Federal.
Esta estrutura justifica-se pelos vinte e sete cursos que a UDF iria manter:
habilitação ao magistério primário, secundário e normal, administração e
orientação escolar; extensão e continuação para professores; especialização em
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novas orientações para o ensino da Matemática
209
ciências médicas; auxiliares de medicina e técnicos de laboratórios; enfermagem e
visitadoras; ciências matemáticas, físico-químicas e biológicas; ciências sociais;
administração e funcionalismo; diplomática; direito; economia; estatística;
serviços sociais; filosofia e história do pensamento; biologia; literatura; história;
jornalismo e publicidade; biblioteconomia, arquivismo e museus; filosofia e
história da arte; música geral e aplicada; desenho e pintura; escultura; artes
plásticas; cinematografia coreográfica e dramática; e arquitetura paisagista (Art.
10)
20
.
Para ingressar na UDF os candidatos deveriam prestar o
Concurso de
Habilitação
. Os mesmos deveriam apresentar os seguintes documentos
21
: a)
certidão de idade mínima de 17 anos; b) certidão de identidade ou documento
equivalente; c) atestado de idoneidade moral; d) atestado de vacinação anti-
varíola; e) certificado de conclusão de curso secundário fundamental regular, ou
diploma de professor normalista reconhecido pelo Distrito Federal ou pelo Estado
que o tiver expedido; e f) recibo de pagamento de taxa de inscrição (p. 1)
22
. Em
particular, havia outras condições específicas de inscrição de acordo com os
cursos a que se destinavam os candidatos.
Os docentes seriam constituídos por
professores e assistentes que seriam
“professores nacionais ou estrangeiros de competência excepcional na matéria”
(Art. 13 e 14). Entre os reitores, temos registrado Anísio Teixeira (interino –
1935), Afrânio Peixoto (1935), Afonso Pena Junior (1936 – 1937), Lourenço
Filho (interino – 1937), Alceu Amoroso Lima (1938), Luiz Camillo Oliveira
Netto (interino – 1938) e José Baeta Vianna (1939).
Em seu discurso na formatura da primeira turma, em 1937, Afonso Pena
Junior, então reitor desta universidade, deixa claro os objetivos almejados por esta
instituição:
Essa universidade não é certamente um conjunto de escolas de tipo profissional,
distribuindo anualmente diplomas em maior número que o país pode consumir; é
20
As especificidades para o funcionamento da UDF foram apresentadas em regulamentos
denominados Instruções.
21
Instruções n. 21. Documento que regulou as condições dos candidatos ao Concurso de
Habilitação para o ano de 1938.
22
Cabe observar que para o ano de 1938 o certificado de conclusão do Curso
Complementar do ensino secundário, implantado pela Reforma Francisco Campos, não seria
necessário para a inscrição do candidato. Segundo o documento, este fato foi determinado por uma
portaria ministerial de 5 de novembro de 1937, que não foi localizada.
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novas orientações para o ensino da Matemática
210
precisamente um centro de alta intelectualidade, de orientação da inteligência e do
saber, de formação de professores, escritores, jornalistas, artistas e políticos, não
unicamente no preparo restrito e prático de médicos, bacharéis e engenheiros. Nela
será preparado o
homem culto, o que difere do homem diplomado (apud PAIM,
1981, p. 83, grifos do autor).
7.3.1. A Escola de Ciências da UDF
A Escola de Ciências da UDF seria “organizada de modo a facilitar a
formação de especialistas e pesquisadores, nos vários ramos de estudos gerais e
aplicados que comportar” e teria “por fim imediato habilitar profissionais e
técnicos e aperfeiçoar-lhes a cultura especializada” (Art. 5). Mais
especificamente, tal escola “organizada como centro de investigação e pesquisa”,
teria “por fim concorrer para a formação de professores, especialistas e técnicos
de ciências matemáticas, físicas e naturais e dos demais estudos que comportar,
acentuando gradualmente o caráter de estudos superiores e alta especialização”
23
.
Para isso, a Escola de Ciências foi composta por três seções: Ciências
Matemáticas, Ciências Físicas e Ciências Naturais.
Esta escola foi responsável pelos cursos de Ciências Matemáticas, Ciências
Físicas, Ciências Químicas e Ciências Naturais, bem como pelos cursos de
formação de professores secundários para as disciplinas de Matemática, Físicas,
Química e História natural.
Em 1936, a Escola de Ciências foi dirigida por Roberto Marinho de
Azevedo. Segundo Paim (1981),
Tendo sido entregue a direção da Escola de Ciências a Roberto Marinho de
Azevedo, participante ativo do movimento que deslocou o positivismo da Escola
Politécnica, fundador e diretor da Academia Brasileira de Ciências, pôde atrair um
grupo de professores plenamente identificados com a idéia de promover o estudo
desinteressado das ciências, na esperança de formar pesquisadores e também bons
professores para essas disciplinas. Assim, mobilizou Lélio Gama, da Escola
Politécnica e do Observatório Nacional, para dirigir os cursos de Matemática;
Lauro Travassos, do Instituto Oswaldo Cruz, para o Curso de Zoologia; Alberto
José Sampaio, do Museu Nacional, para o Curso de Botânica; e Djalma Guimarães,
do Serviço Geológico e Mineralógico, para o Curso de Mineralogia, todos
membros da Academia Brasileira de Ciências. Além destes, contou a escola com os
seguintes professores estrangeiros: Bernhard Gross, diplomado em física pela
Universidade de Stuttgart, e técnico do Instituto Nacional de Tecnologia; Alfred
Schaeffer, diplomado em química pela Universidade de Munich, professor da
Escola Técnica do Exército; Viktor Leinz, doutor em ciências pela Universidade de
Heidelberg e Otto Rothe, doutor em química. (p. 81).
23
Instruções n. 1. Documento datado em 12 de junho de 1935.
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novas orientações para o ensino da Matemática
211
O próximo diretor da Escola de Ciências foi Luiz Freire
24
.
Quanto ao corpo docente, um documento denominado
Relação de
Professores
25
para o ano de 1938, apresenta para a área de Matemática, além de
Lélio Gama, denominado
professor, Francisco Mendes de Oliveira Castro,
oriundo do ensino técnico secundário do Distrito Federal
26
, como assistente. Paim
(1981, p. 84) também cita a presença de Henrique de Almeida Fialho, como
adjunto, e de Silvio Pinto Lopes, como assistente, para o ano de 1938. Com
efeito, durante a gestão de Alceu Amoroso Lima como reitor, um ofício interno
para Ediwaldo Porto Carreiro comunica que a banca de exames de Matemática
para o concurso de habilitação do ano corrente seria composta por Silvio Pinto
Lopes, sob a presidência de Lélio Gama
27
.
Não encontramos a lista completa das disciplinas de Matemática que eram
ministradas nos cursos da Escola de Ciências, nem os professores responsáveis
por cada uma delas. Mas, entre os documentos do acervo do CEMI, há uma
indicação para Lélio Gama reger a cadeira de Análise Matemática
28
.
Outro dado interessante sobre a Escola de Ciências, destacado por Paim
(1981, p. 82), é que, no ano de 1936, ocorreu uma evasão de cerca de 40% dos
alunos desta escola, justificada pelo alto nível e rigor exigido pelos professores.
24
Paim, 1981, p. 84. Não encontramos registradas as datas dessas nomeações.
25
Este documento encontra-se no CEMI.
26
Paim, 1981, p. 81.
27
CEMI.
28
O convite, datado em 21 de dezembro de 1938, partiu da reitoria, nos seguintes termos:
“Exmo. Snr. Achando-se vaga a cadeira de Analise Matemática, da Faculdade de Ciências da
U.D.F., tenho a honra de convidar V. Excia para regê-la, como professor catedrático, no próximo
ano letivo de 1939, uma vez que, segundo tive prazer de saber, sendo o cargo em apreço em
comissão, não colide com as atuais funções de V. Excia. Excusando-me [sic] encarecer a V. Excia,
o que significa, para a U.D.F., a inclusão de seu nome os mais eminentes professores deste
estabelecimento, tomo a liberdade de solicitar-se a fineza de uma pronta de uma pronta resposta ao
objeto presente, afim de tomar as providencias necessárias, junto a Secretaria Geral de Educação e
Cultura. Valho-me do ensejo para apresentar a V. Excia os meus protestos de elevada consideração
e estima. J. Baeta Vianna.”
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novas orientações para o ensino da Matemática
212
7.3.2. A Escola de Ciências e a formação do professor de Matemática
Como foi citado, a Escola de Ciências era responsável por oito cursos e para
o ingresso nesta instituição, o candidato deveria prestar um Concurso de
Habilitação. Quanto aos conteúdos exigidos para esta prova, temos
29
:
1.
para o curso de Ciências Matemática e Ciências Físicas: Análise
algébrica, Álgebra superior, Geometria, Geometria analítica e Física;
2.
para o curso de Ciências Químicas: Noções de matemática, Física,
Química geral e inorgânica, Química orgânica;
3.
para o curso de Ciências Naturais: Física, Química geral e inorgânica,
Química orgânica, História natural;
4.
para o curso de professor de Matemática: Complementos de Matemática,
compreendendo: complementos de Álgebra, Álgebra Superior, Noções
de Geometria Descritiva e Elementos de Geometria Analítica; Física;
5.
para o curso de professor de Física: Complementos de Matemática,
compreendendo: complementos de Álgebra, Álgebra Superior, Noções
de Geometria Descritiva e Elementos de Geometria Analítica; Física;
Química inorgânica;
6.
para o curso de professor de Química: Física; Química Inorgânica e
Química Orgânica;
7.
para o curso de professor de História Natural: Física; Química
Inorgânica e Química Orgânica; História Natural (Zoologia, Botânica,
Mineralogia e Geologia).
Entre os programas de matemática localizados, temos o de Análise
algébrica, Álgebra superior, Geometria, Geometria analítica e Noções de
matemática. Acreditamos que a diferença entre os anos das instruções
encontradas, que determinam a distribuição citada anteriormente para as
disciplinas exigidas no exame, justifica a diferença entre as nomenclaturas de
Geometria Analítica e Elementos de Geometria Analítica e entre Complementos
de matemática e Noções de matemática. Dessa forma, acreditamos que os
29
Instruções n. 21, para o ano de 1938, p. 5 (a – c), Instruções n. 3, para o ano de 1935, p. 5
(d – f).
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213
programas de matemática exigidos para o ingresso no Curso de Formação do
Professor Secundário de Matemática seriam os seguintes:
Álgebra Superior:
Polinômios idênticos. Fórmulas de Taylor para os polinômios.
Teorema fundamental da Álgebra. Conseqüências. Raízes iguais. Redução de uma
equação com raízes iguais. Funções simétricas das raízes de uma equação. Raízes
comuns de duas equações. Resultantes de um sistema. Discriminação de uma
equação. Separação das raízes. Métodos de aproximações sucessivas para o cálculo
das raízes reais. Transformações clássicas de uma equação algébrica.
Geometria Analítica: Fórmulas para transformação de coordenadas cartesianas no
plano. Coordenadas polares. Problemas fundamentais sobre a linha reta; feixe de
retas; interações; paralelismo; ângulos; perperdicularismo; distâncias. Área de
triângulo. Equações cartesiana e polar da circunferência; tangentes à
circunferência. Interseção com uma reta. Equações reduzidas de elipse, da
hipérbole e da parábola. Transformações de coordenadas cartesianas no espaço.
Coordenadas cilíndricas. Problemas sobre linha reta no espaço; paralelismo;
interseção com um plano; ângulos. Distância de um ponto a um plano. Retas e
planos perpendiculares. Volume do tetraedro. Distancia de duas retas. Lugares
geométricos; generalidades sobre linhas e superfícies. Equações reduzidas das
superfícies de revolução de segundo grau.
Complementos de Matemática: Álgebra: Números irracionais. Números reais.
Expressões algébricas. Cálculo algébrico. Divisão por x – a. Fatoração. Frações
algébricas. Racionalização. Equações e sistemas de 1º e 2º graus. Desigualdades.
Progressões. Logaritmos. Números complexos. Noções de análise combinatória.
Fórmula do binômio. Noções da teoria dos limites. Séries. O número e. Noções
sobre derivadas, variações das funções, representação cartesiana.
Cabe observar que nenhum dos documentos localizados menciona os
conteúdos de Geometria como exigência para o ingresso no curso de formação de
professores. Outra observação pertinente, em relação aos programas citados, é que
os conteúdos exigidos nas disciplinas de Álgebra Superior e Geometria Analítica
são praticamente os mesmos do concurso de habilitação para a Escola Nacional de
Engenharia da Universidade do Brasil
30
. Dessa forma, podemos observar a
tentativa de uniformização em relação aos conteúdos de matemática exigidos para
exames em instituições superiores
31
.
Além da aprovação nos exames de habilitação, os candidatos deveriam ter
completado apenas o curso fundamental do ensino secundário. Os candidatos
30
Arquivo Pessoal Euclides Roxo, ER.I.4.038.
31
O documento ER.I.4.038 não contém apenas os Programas do Curso Complementar,
como consta no Inventário sumário do Arquivo Pessoal Euclides Roxo. Além desses programas,
encontram-se ainda os dois programas para o Exame de Vestibular, da Universidade do Brasil. Um
para o ano de 1930, da Escola Politécnica, e outro, não datado, para a Escola Nacional de
Engenharia. A reunião desses documentos, nos leva a crer que Euclides Roxo, autor dos programas
para o Curso Complementar, da Reforma Francisco Campos, buscou a integração entre ensino
secundário e superior a partir da articulação entre os programas de vestibular e os programas do
curso complementar.
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214
aprovados em outros exames para escolas superiores seriam dispensados do
exame de habilitação
32
. Tais orientações reforçam a idéia defendida anteriormente
sobre a uniformização dos conteúdos para os exames vestibulares.
A responsabilidade de formar professores secundários para as disciplinas de
Matemática, Física, Química e História Natural era da Escola de Ciências
articulada com a Escola de Educação. Nesse sentido, podemos entender o papel
desempenhado pelo Instituto de Educação no projeto de Anísio Teixeira, citado
por Mendonça (2002). Segundo essa autora,
[...] posteriormente o Instituto foi incorporado à UDF e transformado em Escola de
Educação, tendo, além da função de preparar professores para todos os graus de
ensino, o objetivo de constituir-se em “centro de documentação e pesquisa para a
formação de uma cultura pedagógica nacional” – conforme afirmava o próprio
decreto de criação universidade –, cultura essa que pudesse fundamentar o processo
de reconstrução da educação nacional. Atingia-se assim o ápice do esforço iniciado
com a transformação ampliativa da Escola Normal em Instituto, conforme Anísio
explicou na própria exposição de motivos que acompanhava o decreto de
reorganização da antiga Escola Normal (p. 51).
Ou seja, o papel da Escola de Educação da UDF difere da função
desempenhada pelo instituto de educação paulista, na criação da USP, que “se
restringia à instrumentação didática dos professores, cuja formação substantiva
ficava integralmente a cargo da Faculdade de Filosofia” (MENDONÇA, 2002, p.
25).
As
Instruções n. 1 determinavam que a formação de professores secundários
na UDF seria de três anos (Art. 12). As
Instruções n. 3, que regularam as
particularidades do curso de formação dos professores secundários da Escola de
Ciências, Economia e Direito e Filosofia e Letras para o ano de 1935, apresentam
as estruturas para tais cursos
33
. Em ambos, as disciplinas eram distribuídas de
acordo com a seguinte classificação: Cursos de Conteúdo, Cursos de
Fundamentos e Cursos de Integração Profissional. De acordo com este
documento, o curso de formação do professor de Matemática da UDF tinha a
seguinte estrutura:
1º ano
32
Instruções n. 3, p. 5.
33
As instruções desses cursos para o ano de 1937 apresentam apenas pequenas
modificações nas horas destinadas a cada curso.
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215
1. Cursos de Conteúdo (10 horas semanais):
a) Matemática
b) Física
2. Cursos de fundamentos (5 horas semanais):
a) Inglês ou Alemão (facultativo)
b) Desenho
2º ano
Cursos de Conteúdo (10 horas semanais):
a) Matemática
b) Física
Cursos de Fundamentos (6 horas no 1º período e 3 horas no 2º período):
a) Biologia Educacional (1º período)
b) Sociologia Educacional (2º período)
c) Filosofia (1º período)
3º ano
1. Cursos de Conteúdo (5 horas semanais):
a) Matemática (1º período)
b) História e Filosofia da Matemática (1º período)
2. Cursos de Integração Profissional (6 horas semanais, excluídas a prática
de ensino):
a) Introdução ao ensino (1º período)
b) Filosofia da Educação (2º período)
c) Psicologia do Adolescente (1º período)
d) Medidas Educacionais (2º período)
e) Organização e programas de ensino secundário
f) Prática de ensino.
Quanto aos conteúdos de Matemática o Art. 22, das
Instruções n. 1,
determinava que as cadeiras seriam Geometria Analítica, Análise Matemática e
Mecânica.
Duas observações devem ser destacadas quanto à confecção deste curso. A
primeira delas é sobre a incorporação, a partir do segundo ano, de diversas
disciplinas educacionais. Tal fato está associado às idéias de Anísio Teixeira sobre
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216
a formação do professor. Segundo Mendonça (2002, p. 91 e 93), “É certo que,
para Anísio, a formação do professor deveria ter sólida base científica”, entretanto
De forma alguma [...] a formação científica do professor iria restringir-se à sua
preparação didático-metodológica. Para o educador, as bases científicas do trabalho
docente compreenderiam fundamentalmente as ciências humanas e sociais
aplicadas à educação – biologia, psicologia, sociologia, história, estatística e
administração –, assim como a filosofia, que teria um papel absolutamente central,
porque integrador, na prática do professor e consequentemente uma posição
privilegiada em seu processo de formação.
A segunda observação é a presença de um curso de História e Filosofia da
Matemática, demonstrando que a importância dada a estes conteúdos na formação
do professor não é um tema recente.
A apresentação dos programas oficiais e das instruções normativas
referentes ao curso da UDF nos fornece apenas uma visão dessa história. Mas,
segundo Schubring (2005),
Uma abordagem tradicional é, sem dúvida, a análise dos programas do ensino.
Como os programas representam as
intenções – da parte de certos grupos
dominantes da comunidade educativa respectiva e, por outro lado, da política do
Ministério, uma agencia centralizadora, agindo alegadamente de uma maneira
benevolente – as realizações no ensino podem ser bastante diferentes e, assim, os
programas significam somente
um fator de importância variável. Analogamente, a
outra abordagem tradicional, a análise dos decretos do governo – frequentemente
ligada à análise dos programas – representa também somente um pequeno aspecto
do todo e não pode explicar suficientemente a situação real do ensino de uma
disciplina escolar e o papel dos seus professores. No entanto, há dois outros
assuntos que determinam muito mais decisivamente a realidade do ensino. O
primeiro são os
manuais [...] E o segundo assunto básico é o professor de
Matemática. Ele não constituiu um sujeito passivo que recebe os programas e os
faz aplicar mas ele representa a pessoa decisiva no processo de aprendizagem (p. 9,
grifos do autor).
Apesar de não estarmos tratando de uma disciplina escolar, mas de um curso
de formação de professores para o ensino secundário, podemos pensar de maneira
análoga as questões colocadas por Schubring. Ou seja, uma análise mais
consistente desse curso seria feita a partir de informações sobre a atuação do
corpo docente desta instituição. Quanto aos conteúdos de Matemática, nos
baseando nas poucas informações até o presente momento localizadas (corpo
docente e taxa de evasão, justificada pelas exigências do currículo ou dos
programas), não há dúvida de que houve uma boa formação conteudista. Mas,
como avaliar se os alunos desse curso, futuros professores de Matemática da
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217
escola secundária, tiveram uma boa formação nas questões relacionadas ao ensino
e aprendizagem da Matemática?
A resposta a esta questão pode ser, ao menos, parcialmente dada a partir de
alguns documentos do arquivo pessoal de Euclides Roxo
34
. Sua ligação com a
UDF origina-se exatamente no Instituto de Educação. Como já foi citado, esta
instituição foi incorporada à UDF pela Escola de Educação. Euclides Roxo era
professor de Matemática da Escola Secundária deste instituto e foi chefe de
Matemática. E, este último cargo era condição para que ele atuasse como
professor nos Cursos de Integração Profissional, do terceiro ano do curso de
formação de professores da UDF
35
.
Tal fato se concretiza, e, em 14 de dezembro de 1934, Euclides Roxo foi
nomeado como professor de
Prática do Ensino de Matemática
36
. Sua nomeação
foi assinada por Lourenço Filho, então Vice-Reitor da UDF. Cabe lembrar que os
cursos da UDF se iniciaram no segundo semestre de 1935, sendo que,
possivelmente, Euclides Roxo foi o primeiro professor desta disciplina para o
curso de formação de professores de Matemática
37
.
Um documento de seu arquivo pessoal denominado
Organização e prática
do ensino secundário
nos mostra as orientações que os professores deveriam
seguir nesta parte do curso
38
. Segundo o documento, esta disciplina teria como
objetivo ministrar “aos futuros professores os princípios de ordem geral,
referentes à organização e finalidade dos estudos secundários e, bem assim, levá-
los a exercitar esses princípios na prática real do ensino”. Para isso, o curso seria
dividido em duas partes, uma denominada Geral, de organização e outra
denominada Prática.
Nas aulas sobre Organização, os conteúdos contemplados seriam os mesmos
para todas as turmas, independentemente da especialização
39
. Eram eles:
34
Arquivo Pessoal Euclides Roxo – APER.
35
ER.T.3.024. O item 5, desse documento, que será citado a seguir, registra que: “As aulas
de Prática, de cada grupo [...] deverão ser dirigidas por professores da Escola Secundária do
Instituto de Educação, de preferência, pelos srs, Professores-chefes da disciplina” (grifos do autor).
36
ER.T.2.068.
37
Era comum que os documentos de nomeação fossem expedidos após o início das
atividades que o mesmo determinasse. Dessa forma, possivelmente, Euclides Roxo foi nomeado
interinamente, antes da data citada, para o cargo de professor de Prática de Ensino.
38
ER.T.3.024. O nome dado a este curso provavelmente articula as disciplinas Prática de
Ensino e Organização e programas de ensino secundário, do terceiro ano do curso.
39
No documento há uma lista com as seguintes especializações: Português e Literatura,
Latim, Inglês, Matemática, Física, Química, História Natural, Geografia, História e Sociologia.
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novas orientações para o ensino da Matemática
218
discussão dos objetivos gerais do ensino secundário; sua finalidade social; seus
processos gerais; a organização geral dos trabalhos de classe e as leis da
aprendizagem; adaptação do ensino às diferenças de turmas ou classes e às
diferenças individuais; a organização tradicional do trabalho escolar: a exposição
oral e o uso dos compêndios; a nova organização para o ensino: participação ativa
dos alunos nos trabalhos da própria classe; ensino por problemas, por projetos e
por planos individuais.
O trabalho de cada grupo nas aulas de Prática deveria contemplar os
seguintes pontos, agora pensados exclusivamente para cada uma das
especialidades: objetivos gerais do ensino da disciplina: informativos e
educativos; objetivos do ensino da matéria no atual programa do curso secundário;
interpretação prática desses programas; a dosagem da matéria pelas várias séries
do curso; sua correlação com outras disciplinas; pontos fundamentais e pontos
acessórios; andamento do programa em relação ao ano letivo; planejamento do
ensino; planejamento por trimestre, por mês, por semana, por dia; organização
prática de uma aula; distribuição lógica e distribuição metodológica; motivação,
desenvolvimento e sistematização das noções; a participação possível dos alunos,
em cada aula, nos exercícios individuais e coletivos; a parte expositiva e a parte
prática do ensino da disciplina; como distribuí-la; como ordenar, fazer realizar e
corrigir os exercícios dos alunos; os processos de ensino mais recomendáveis; a
observação, a experimentação, a discussão; marcha indutiva e marcha dedutiva; o
treino para fixação das noções fundamentais; os hábitos de trabalho a inculcar nos
alunos; como verificar o aproveitamento dos alunos: as argüições orais, os
exercícios escritos e os exames; exemplificação de exame e testes. Estes pontos
deveriam ser desenvolvidos a partir dos exercícios de
observação, de
planejamento de aulas e de participação no ensino, bem como de discussões das
observações de classe. Em relação a cada um deles, temos que os exercícios de
observação deveriam ser, quando possível, em turmas do próprio professor na
Escola Secundária e teriam por fim “levar os futuros professores à análise de
situação da classe: organização material, interesse dos alunos, marcha da aula”; os
de
planejamento feito pelos próprios alunos, indicariam os objetivos a alcançar, os
recursos de motivação de material, os tipos de exercícios e verificação dos
resultados; e os de
participação, deveriam ser entre os próprios alunos ou em
classes, na Escola Secundária, do professor de Prática.
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
219
Todas essas orientações deveriam ser seguidas por Euclides Roxo e por seus
alunos do curso de formação de professores da UDF e, em particular, essas
diretrizes teriam que ser executadas e articuladas com o ensino e aprendizagem da
matemática. Ou seja, as observações, os planejamentos, as participações e as
discussões em relação ao ensino da matemática na formação do professor
estiveram centradas nas propostas inovadoras defendidas por Euclides Roxo, pois,
além de ser professor de Prática de Ensino ele ministrava matemática em turmas
da Escola Secundária do Instituto de Educação. Com efeito, como mostram alguns
documentos do seu arquivo, a matemática em nível secundário era ministrada, no
Instituto de Educação, seguindo seus ideais defendidos desde 1929:
Em todo o curso procuramos seguir, tanto quanto possível, a orientação
metodológica e o programa, baixados em portaria de 30 de junho de 1931 pelo ex-
Ministro da Educação, o ilustre Dr. Francisco Campos. Estamos inteiramente de
acordo com essa orientação que, sujeita embora a aperfeiçoamento, representa, sem
dúvida, um grande passo no sentido de dar ao ensino de matemática uma feição
viva e moderna, de modo que essa disciplina, deixando de ser, no curso secundário,
uma árida e estéril exposição sistemática de definições e teoremas, se possa melhor
integrar um plano de educação progressiva. Durante o meu curso deste ano, como
em outras oportunidades, tive ensejo de verificar as grandes vantagens da nova
orientação, notadamente no que se refere à globalização, ao maior apelo à intuição
e ao caráter mais real dos problemas e aplicações [...] A solicitação constante da
atividade das alunas foi, tanto quanto possível, praticada, procurando levá-las,
depois de exercícios convenientemente escolhidos a formularem, por si mesmas, as
definições, as regras e as propriedades
40
.
Além disso, como foi mostrado anteriormente, o ensino da matemática no
curso secundário do Instituto de Educação seguiu as orientações da Reforma
Francisco Campos.
Portanto, os futuros professores de matemática da escola secundária,
formados pela UDF, vivenciaram as discussões sobre as novas orientações que
vinham sendo implantadas no Brasil a partir de discussões com o próprio Euclides
Roxo, mentor de tais propostas, e em experiências na própria sala de aula em nível
secundário.
A participação de Euclides Roxo nesse processo é de fundamental
importância, pois mostra que sua atuação foi mais ampla e que suas idéias
40
Trechos do Relatório apresentado ao Sr. Diretor da Escola Secundária sobre o curso de
matemática realizado nas turmas 17 e 18 pelo professor Euclides Roxo (ER.T.3.116). O
documento ER.T.3.140 também nos mostra as práticas seguidas por Euclides Roxo na disciplina
de Matemática desta escola.
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novas orientações para o ensino da Matemática
220
contribuíram também para a institucionalização de um novo campo, a saber, a
formação do professor de matemática. Sem dúvida, suas propostas ganharam
força a partir do curso de formação de professores da UDF. Entre os alunos deste
curso, encontra-se César Dacorso Netto, oriundo da Escola Politécnica e, então,
professor do Colégio São Bento, cujo requerimento de entrada na UDF foi feito
em 8 de julho de 1935. Possivelmente, ele foi aluno de Euclides Roxo no ano de
1937, na disciplina de Prática de Ensino. Dessa forma, a Escola Secundária do
Instituto de Educação articulou-se diretamente com a formação do professor de
matemática, servindo de
locus para a nova maneira de ensinar e aprender a
matemática escolar, que vinha sendo discutida e implantada no Brasil desde 1929.
O Decreto nº 1.190 de 4 de abril de 1939, criando a Faculdade Nacional de
Filosofia – FNFi –, determinava que a UDF estava extinta e que seus professores
e alunos seriam incorporados à nova Faculdade.
O depoimento a seguir de Maria Laura M. Leite Lopes, Professora Emérita
da UFRJ, coordenadora do Projeto Fundão – Setor Matemática –, apresenta esta
transição e a importância destas instituições na formação do professor de
Matemática para a Escola Secundária e, em particular, suas contribuições para o
campo da Educação Matemática:
O diretor da Escola de Ciências da UDF, em março de 1939, era Luiz Freire que
tinha sido meu professor na Escola Normal de Pernambuco. O vestibular para o
Curso de Formação de professores de Matemática já tinha sido realizado, quando
procurei a UDF. Entretanto, Luiz Freire aceitou a minha inscrição, contra o
parecer burocrático da secretaria, por eu ter sido aprovada, em 1938, nas
disciplinas Matemática e Física do Vestibular de Engenharia. Foram apenas 15 dias
de aulas! A UDF fechada, agora aluna da FNFi da Universidade do Brasil. O
professor Lélio Gama e seu assistente Henrique Fialho ministraram a disciplina de
Análise Matemática no primeiro ano do Curso. O Professor Luiz Freire e, depois,
Lélio Gama não continuaram na FNFi por razões burocráticas. O decreto de
criação da UDF assegurava o aproveitamento dos egressos dos seus cursos de
formação de professores como professores do ensino secundário do antigo Distrito
Federal. Mesmo depois da transferência da Capital e a criação do Estado da
Guanabara, no governo Carlos de Lacerda, foi cumprida uma ação judicial e
nomeados professores secundários aqueles que tinham apenas ingressado na UDF.
Desta maneira, fui nomeada em 1962, com data retroativa a 1º de março de 1943,
como professora de Matemática do Ensino Secundário do Estado da Guanabara.
Foi uma experiência muito enriquecedora porque a minha carreira, como
professora, tinha sido limitada à docência em geometria na FNFi, de monitora,
assistente, Livre Docente a Catedrática Interina. Presentemente, as realizações,
como coordenadora do Projeto Fundão no Instituto de Matemática da UFRJ,
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A formação de professores de Matemática na Universidade do Distrito Federal e as
novas orientações para o ensino da Matemática
221
auxiliada por meus colegas do Instituto, são, em parte, devido à minha experiência
como professora secundária
41
.
Além de uma formação específica em nível superior, a UDF determinou
novas condições para o ingresso dos professores nas instituições de ensino, como
afirmado acima. Com efeito, o Artigo 2 do Decreto 5.515, de 4 de abril de 1935
42
,
que regulava a carreira no Distrito Federal, determinava que só poderiam
ingressar na carreira de professor de escolas secundárias, os que se diplomassem
professores secundários por esta instituição
43
.
41
Depoimento concedido em 1º de março de 2007.
42
Apud Boletim de Educação Pública, ns. 1 e 2, jan/jun 1935, Rio de Janeiro: Companhia
Editora Nacional, 1926. (Publicação do Departamento de Educação).
43
O Art. 4º, deste Decreto, determinava que enquanto não existissem “professores
secundários diplomados pela Universidade do Distrito Federal” seriam “organizados concursos de
provas, válidos por três anos, para provimento de todas as vagas existentes ou que se venham a dar
no quadro de professores de escolas técnicas secundárias, regidos por instrução do Diretor Geral
do Departamento de Educação, aprovadas pelo Prefeito”. Temos, por exemplo, o edital para
“Concurso de títulos para provimento nos cargos de professor de francês, inglês e matemática”,
datado em 25 de janeiro de 1935 e assinado pelo então Diretor da Escola Secundária, do Instituto
de Educação, Mario de Brito, que determinava as condições para concorrer às vagas. O item 1
deste edital, limitava o concurso aos professores das Escolas Secundárias Técnicas [criadas pelo
Decreto 4979, de 16 de maio de 1934], mantidas pela Prefeitura do Distrito Federal. O item 2
apresentava a lista dos documentos que seriam exigidos: certidão de concursos de provas que os
candidatos teriam prestado para professor de qualquer estabelecimento oficial de ensino; certidão
de tempo de regência de turmas da disciplina, com desempenho satisfatório, em qualquer
estabelecimento oficial, mencionando a percentagem de freqüência verificada; os livros e
monografias científicos ou didáticos publicados; comprovante de comissões técnicas cabalmente
desempenhadas, que se relacionassem com a atividade de professor; e, prova de idade. Em
particular, para a vaga de matemática, a banca avaliadora foi formada por Alix [sic] Corrêa Lemos,
Euclides Roxo, José Paranhos Fontenelle, Lélio Gama e Sebastião Sodré da Gama, como
registrado nas quatro atas das reuniões (27/06/1935, 04/07/1935, 13/07/1935 e 10/09/1935)
presididas por Mario de Brito (Caderno de Atas localizado no CEMI). A classificação deste
concurso foi a seguinte: em primeiro lugar, Haroldo Lisboa da Cunha; em segundo, Agliberto
Xavier; em terceiro, Nicanor Lengruber; em quarto, Waldemar Pereira Cotta; e, em quinto, Mario
Vieira de Rezende.
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Considerações Finais 222
8 Considerações Finais
A partir das questões levantadas para a elaboração desta pesquisa, das
considerações sobre a atuação de Euclides Roxo e das diversas temáticas tratadas
nos capítulos desta Tese, podemos delimitar algumas características do ensino da
matemática no Brasil a partir da década de 1930.
Em primeiro lugar, observa-se que algumas propostas para o ensino da
matemática, anteriores a década de 1930, só ganharam impulso devido a Euclides
Roxo, um engenheiro por profissão e um professor de matemática por atuação,
formado pela Escola Politécnica do Rio de Janeiro num momento em que havia no
Brasil escolas de engenharia, mas esta área ainda era um campo limitado para
atuação. Dias (2001) resume este quadro, ou seja, a presença de engenheiros no
magistério, de maneira muito apropriada. Segundo ele,
O magistério, ao lado da medicina e da advocacia, já era considerada como uma
das profissões liberais no Brasil no século XIX, mas, como se sabe, eram os
médicos, engenheiros, advogados ou padres que lecionavam as diversas disciplinas
dos currículos escolares, fossem do nível secundário, fossem do nível superior, sem
que tivessem para isso nenhuma preparação especial, sem que lhes fosse exigido
qualquer tipo de credenciamento educacional específico, além da própria formação
científica obtida nas suas escolas e faculdades. A matemática até então pertencia ao
domínio dos conhecimentos do engenheiro. [...] Mas, a matemática e o seu ensino
não eram considerados como um conhecimento ou uma ocupação estranha à
engenharia ou às atividades do engenheiro. [...] No exercício da profissão, os
engenheiros encontravam empregos principalmente no serviço público, onde
ocupavam cargos técnicos, burocráticos ou de chefia nas diversas obras ou
repartições estatais. As possibilidades de emprego para engenheiros em serviço
técnicos especializados no setor privado não eram tão grandes, de modo que o
magistério era exercido paralelamente, nas escolas públicas ou nas particulares, no
ensino ginasial, secundário ou no superior, até mesmo nas aulas e cursos
particulares mantidos pelos próprios professores, assim como a atividade política
ou jornalística, em alguns casos. Note-se bem que o exercício do magistério pelo
engenheiro nem sempre tinha um caráter diletante, nem sempre era uma ocupação
que servia apenas para a obtenção de prestígio e status social, muito pelo contrário,
em muitas situações constituía-se em importante fonte de renda para o sustento de
si próprio ou da família (p. 193 – 194, grifo do autor).
Então, se considerarmos apenas a formação de Euclides Roxo numa escola
de engenharia, teríamos que pensá-lo como um autoditada trabalhando de forma
isolada, pois ele propõe inovações para o ensino da matemática. No entanto,
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Considerações Finais 223
considerando sua existência social, podemos afirmar que ele é fruto de suas
experiências como professor e intelectual, em contato com renomes da educação
brasileira, e inserido num contexto de mudanças educacionais. Escolanovismo e
ações correlatas, crescente produção didática no mercado editorial, criação no
Ministério de Educação e Saúde e as reformas nacionais, preocupações com a
formação dos professores, entre outros, foram fatos e temáticas presentes em
âmbito geral. Em particular, em relação ao ensino da matemática, temos as
reformas internacionais que culminaram na criação da Comissão Internacional
para o Ensino da Matemática, em 1908, e alguns indícios fragmentados no ensino
brasileiro, como mostrado no segundo capítulo. Entretanto, torna-se necessária
uma matriz para suas propostas. Nesse sentido, o Primeiro movimento
internacional de reforma curricular em matemática forneceu alicerces para as
ações de Euclides Roxo, constituindo as categorias mostradas no terceiro capítulo.
Temos então uma primeira característica deste momento de mudança na
matemática escolar no Brasil. As propostas inovadoras para o ensino da
matemática em sua forma sistematizada partem de um professor, sem formação
específica na área de ensino, e fundamentam-se no movimento internacional de
reforma; diferentemente do que aconteceu em âmbito internacional, onde
matemáticos estiveram à frente das reformas.
As inovações propostas por Euclides Roxo alteraram de maneira
significativa alguns elementos que constituem a matemática escolar mas, por
outro lado, esbarram em concepções distintas sobre o ensino dessa disciplina.
Observa-se, a partir de então, diversas manifestações, sejam elas contra ou a favor
das mudanças, que são dadas em artigos, ensaios, debates, disputas pelo mercado
editorial, outros tipos de manifestação pública ou em publicação de outros tipos de
literatura, como por exemplo, livros de divulgação
1
. Dessa forma, a análise da
correlação entre as alterações introduzidas no ensino da matemática associadas
com o meio social permitiu verificar relações entre transmissão de conhecimento,
1
Por exemplo, Euclides Roxo foi convidado pela Editora Globo, na primeira metade do ano
de 1942, para traduzir o livro Mathematics for the Million, de Lancelot Hogben. Seis documentos
não catalogados do APER registram este fato. Euclides Roxo não aceitou traduzir o livro, mas
posteriormente esta obra foi publicada no Brasil, traduzida por Paulo Moreira da Silva.
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Considerações Finais 224
receptor e grupos sociais, como destacado por Schubring (1999) ao tratar das
repercussões internacionais, e também conforme enfatiza Elias (1994):
Para vencer o reducionismo da idéia tradicional de transmissão, devemos conceber
“transmissão” como um processo de transformação no qual a parte essencial é
desempenhada pelo receptor. Isso significa que o receptor tem, de fato, um papel
ativo. Em geral, não há recepção passiva; pelo contrário, o conhecimento
transmitido é transformado pelos grupos sociais e culturais receptores de acordo
com os seus próprios conjuntos ou valores – usando um termo um tanto
problemático – de acordo com a sua identidade cultural. Dessa maneira, a
“transmissão” deve ser entendida como um processo bipolar: um pólo é o
conhecimento transmitido, e o outro sua transformação, segundo a “identidade
cultural” dos receptores (Schubring, 1999, p. 32 – 33).
É comum ouvirmos debater-se, atualmente, se a história é feita por grandes homens
isolados ou se todas as pessoas são intercambiáveis, não tendo a individualidade
pessoal menor importância na marcha da história. Mas a discussão entre esses dois
pólos ocorre num vazio. Falta-lhe o elemento que fornece a base para qualquer
discussão dos seres humanos e de seus modos de ser: o contato contínuo com a
experiência. Diante de uma alternativa desse tipo, não existe um simples “sim” ou
“não”. Até no caso daquelas pessoas que estamos acostumados a encarar como as
maiores personalidades da história, o meio em que e sobre o qual elas agiam. A
natureza específica de sua coexistência com outras pessoas facultou à sua
atividade, como à de todos os demais, certa margem e certos limites. A influência
de uma pessoa sobre outras, sua importância para elas, pode ser especialmente
grande, mas a autonomia da rede em que ela atua é incomparavelmente mais forte
(Elias, 1994, p. 51).
Dessa forma, considerando as ações de Euclides Roxo e suas propostas, as
tensões na rede de relações interdependentes, que ele estava inserido, influenciam
diretamente as mudanças no ensino da matemática no período analisado, levando
à instituição de fóruns de debates, a segunda característica presente neste
momento.
Os indícios registrados no Brasil de certas idéias internacionais, mas
difundidas de forma fragmentada e isolada, mostradas no segundo capítulo, como
por exemplo, algumas mudanças no ensino normal, novas propostas
metodológicas, debates em congressos de ensino e, de forma disjunta no Colégio
Pedro II ou em outros estabelecimentos de ensino, são exemplos da tentativa de
introduzir mudanças no ensino da matemática. No entanto, observa-se que estas
propostas/iniciativas não tiveram força suficiente para penetrar no sistema escolar
e alterar o ensino da matemática na escola secundária. A grande mudança no rumo
na matemática escolar no período analisado é dada pela implantação, no Colégio
Pedro II, em 1929, de novos programas para a primeira série do ensino
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Considerações Finais 225
secundário. Além de mudanças metodológicas, há a introdução de novos
conteúdos. Apesar de ter sido uma reforma interna, a influência desta instituição
de ensino ainda era tão marcante que a proposta de Euclides Roxo extrapolou os
limites do Colégio Pedro II. Caso contrário, qual a intenção em produzir livros
didáticos seguindo as novas orientações e sob a denominação Matemática, como
por exemplo, os livros de Cristófaro e Stávale? Qual o interesse de reproduzir os
novos programas de ensino, como foi feito pelos Irmãos Maristas (Tavares, 2002,
p. 116)? As oportunidades, as relações pessoais, a crescente atuação nas questões
ligadas ao ensino e os cargos assumidos por Euclides Roxo após a reforma de
1929 permitiram que ele continuasse à frente das mudanças no ensino da
matemática nas reformas realizadas no Brasil, em 1931 e 1942. Embora estas
reformas – Campos e Capanema – tenham sido impregnadas de interesses
políticos e negociações entre diversas instâncias sociais, as questões relacionadas
com o ensino da matemática, novamente, estiveram centradas em Euclides Roxo.
E, apesar das diversas alterações ocorridas desde a proposta de 1929 até 1942,
principalmente nos programas de ensino, como mostrado no quarto capítulo, este
período marca a instituição da disciplina Matemática e a inclusão de novos
conteúdos no ensino secundário, determinando a terceira característica deste
momento.
A nova organização dos tópicos sob a denominação Matemática e os novos
conteúdos introduzidos no curso secundário não foram dados sem a introdução de
orientações didáticas, pois entre as propostas de Euclides Roxo as questões de
ordem metodológica foram as mais significativas. Com efeito, as maiores reações
contra as mudanças foram norteadas exatamente por este aspecto. Desde 1929,
passando pela reforma Campos até a reforma Capanema, houve a preocupação de
Euclides Roxo em direcionar a execução dos programas e, de maneira indireta, a
produção de livros didáticos. Observa-se a tentativa de controlar, além da seleção
dos conteúdos, a abordagem e a metodologia de ensino, para que os novos
objetivos da matemática na educação secundária fossem atingidos. No entanto, a
larga produção de livros didáticos editados para atender as reformas mostra uma
diversidade nas escolhas dos diferentes autores para o tratamento dos conteúdos,
como descrito no quinto capítulo. Os blocos de conteúdos bem como as diferentes
formas de abordagem e metodologia vão se constituindo principalmente pelos
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Considerações Finais 226
livros didáticos, que, em parte, estão presentes na matemática escolar até os dias
de hoje. Dessa forma, as preocupações e a atenção dada ao tratamento dos
conteúdos, seja pelas orientações ou pelos livros didáticos, delimitam a quarta
característica.
Por fim, cabe observar que todas essas alterações no ensino da matemática
escolar também atingem a formação do professor, em particular no Rio de Janeiro,
como analisado no sexto capítulo para o caso da Universidade do Distrito Federal
– UDF. A articulação entre o Instituto de Educação e a UDF, já prevista na
reformulação da educação no Distrito Federal, proporcionou aos alunos dessa
universidade, discentes do curso de formação de professores de matemática, de
forma especial, o contato direto com as alterações que vinham sendo implantadas,
pois Euclides Roxo foi o professor responsável pela disciplina Prática do Ensino
de Matemática. Apesar da extinção precoce da UDF, as relações entre as
propostas defendidas por Euclides Roxo e a formação do profissional estão
presentes nos programas da disciplina Didática Especial de Matemática, do ano
de 1940, da Faculdade Nacional de Filosofia – FNFi. Apesar de não terem sido
executados, num momento inicial, como relata Maria Laura M. Leite Lopes
2
, a
lista de tópicos é bastante significativa:
1. A moderna formação do professor de matemática no país e no estrangeiro;
requisitos técnicos e pessoais; 2. Valor e contribuição específica do estudo da
matemática para a consecução dos objetivos gerais do curso secundário; 3.
Objetivos específicos do ensino da matemática no curso secundário; 4. Histórico da
introdução do estudo da matemática no currículo da escola secundária; 5. Estudo
comparativo do ensino da matemática no currículo secundário dos principais
países; 6. O ensino da matemática no currículo da escola secundária brasileira; seu
histórico e sua situação atual: o programa oficial, sua extensão, seriação e horário;
7. Estudo analítico e crítico do programa oficial para as três primeiras séries do
curso fundamental; 8. Estudo analítico e crítico do programa oficial para a quarta e
quinta série do curso fundamental; 9. Estudo analítico e crítico do programa oficial
para as séries do curso complementar; 10. Correlação do ensino da matemática
com as demais disciplinas do curso secundário; 11. Aplicação das leis gerais da
aprendizagem ao estudo da matemática, conclusões didáticas; 12. Peculiaridade e
problemas específicos da aprendizagem da matemática no curso secundário; 13.
Técnicas específicas de planejamento do ensino da matemática no curso
secundário. Plano de curso e planos de aula. Prática de planejamento; 14. O ensino
da matemática e a psicologia do adolescente; interesse e problemas específicos de
motivação; 15. O problema do método no ensino da matemática no curso
secundário; métodos tradicionais e métodos progressistas; 16. O material didático e
2
Depoimento concedido em 13 de dezembro de 2007.
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Considerações Finais 227
o livro texto no ensino da matemática no curso secundário; critérios de seleção. A
sala ambiente de matemática, sua organização e seu funcionamento; 17. O
interrogatório, o exercício e a tarefa no ensino da matemática; problemas e técnicas
específicas; 18. As diferenças individuais e o estudo dirigido; trabalho individual e
trabalho por equipes; 19. Verificação subjetiva e objetiva do aproveitamento em
matemática; critérios e normas práticas; 20. Observação e prática de ensino de
matemática em estabelecimentos de nível secundário.
Da mesma forma que na UDF, o decreto que organizava a FNFi, Artigo 51,
deliberava que a partir de 1 de janeiro de 1943 seria exigido o diploma de
licenciado, correspondente ao curso da disciplina a ser lecionada, “para o
preenchimento de qualquer cargo ou função do magistério secundário ou normal,
em estabelecimento administrado pelos poderes públicos ou por entidades
particulares”. Portanto, encontramos neste período alguns fatos importantes do
processo de institucionalização do professor de matemática articulado com as
novas propostas para o ensino da matemática, determinando a quinta
característica neste processo de mudança.
Influências do Primeiro Movimento Internacional de Reforma Curricular
em Matemática, reformulação de programas de ensino, introdução de novos
conceitos na matemática escolar, preocupações com o tratamento dos conteúdos,
crescimento e diversidade na produção de livros didáticos, surgimento de fóruns
de debates e articulação com a institucionalização da profissão, como tratados
nesta Tese, são elementos que extrapolam mudanças numa disciplina. Neste caso,
são elementos constituídos da relação entre Euclides Roxo e seu meio social. São
elementos que compõem um conjunto mais complexo: a constituição da Educação
Matemática no Brasil.
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. Programmas de ensino: horario, calendario escolar, distribuição
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provas mensais referentes ao ano de 1904. 2º Anno. Rio de Janeiro. Typographia
da Gazeta de Notícias, 1904.
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provavel do serviço na primeira semana de exames, quadros de faltas e notas de
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Anexos 241
Anexos
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2- AMOROSO COSTA, M.- Idéias fundamentais da matemática, Rio, 1929.
3- A
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4- A
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6- BAIN, A. - Education as a Science
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8- BENZ, H. E.- A Summary of scientific investigations of high school
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9- BETZ, WILLIAM- The Transfer of Training, with Particular Reference to
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10- BETZ, WILLIAM- The teaching of Intuitive Geometry, in 8th Yearbook of the
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11- BODES- Modern Educational Theories.
12- BOURLET, CARLO- Cours Abrégé de Géometrie, paris, 1909.
13- BOUTROUX, PIERRE- L’Idéal Scientifque des Mathématiciens, Paris, 1920.
14- B
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15- B
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16- BRESLICH E. R.- Senior Mathmematics, Chicago, 1928.
17- B
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28- B
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Anexos 242
27- DELGADO DE CARVALHO, C.- Sociologia Educacional, S. Paulo, 1933.
28- DEWEY, JOHN- Comment nous pensons, TRAD. DECROLY, PARIS, 1925.
29- DEWEY, JOHN- Vida e Educação (trad. de Anísio Teixeira), São Paulo.
30- DOUGLAS- Secondary Education.
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32- EMERSON, R. W.- La Conduite de la Vie.
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60- LEBESGUE, HENRI - Revue de l’Enseignement des Sciences, 1910.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 04110336/CAPUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410336/CA
Anexos 243
61- LE BON, GUSTAVE - psychologie de l’Éducation, paris, 1918.
62- LE CHATELIER, HENRI- Réponse à l’Enquête sur les bases de l’Enseignement
des Mathématiques, em l’Enseignement Scientifique, 25-9-1933.
63- LENES, N. J. - The Teaching of Arithmetic, New york, 929.
64- LIETZMANN, W. - Methodik des mathematischen Unterrichts, Leipzig, 1923.
64
a
- LOCKE, J. - Essai sur l’entendement humain.
65- LOURENÇO FILHO, MANOEL BERGSTRÖM- Introdução à Escola Nova, São
Paulo, 1930.
66- MAGALHÃES, LÚCIA E RIBEIRO, JOAQUIM - Estrutura e Aprendizagem, Rio,
1936.
67- MARIJON, A. - Conclusions de l’enquête sur l’enseignement scientifique,
dans l’Enseignement Scientifique, 25-10-934.
68- M
ATHEMATICAL ASSOCIATION- The Teaching of Geometry in Schools (A
Report prepared for the), Londres, 1925.
69- M
OORE, E. H. - Presidential address at the Annual Meeting of the American
mathematical Scoeity, New York, 1902.
70-MOREIRA, THIERS MARTINS- As Humanidades no Ensino Secundário,
Conferência publicada no “Jornal do Commércio”, de 15-10-1936.
71- ARDGOARD, M. A. - Introductory Calculus as a high School Subject, in the 3rd
Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics.
72- NASCIMENTO, ALBA CANIZARES- pratica de pedagogia Social, Rio, 1933.
73- NUN, PERCY - The Teaching of Algebra, Londres, 1914.
74- PASCAL, BLAISE- Pensées(Édition de 167), E. Flamarion, Paris, s.d.
75- PASTOR, REY, Curso Ciclico de Matemáticas, Madrid, 1933.
76- PICARD, ÉMILE- La Science Moderne et son état actuel, paris, 1909.
77- POINCARE, HENRI- Science et Méthode, Paris, 1916.
78- POINCARE, Henri, La Valeur de la Science, Paris, 1918.
79- POINCARE, HENRI, La Science et l’Hiphotèse, Paris, 1909.
80- RUSSEL, BERTRAND- The Principles of Mathematics, Cambridge University
Press, 1919.
81- SCHULTZE, ARTHUR- The Teaching of Mathematics in Secondary Schools,
New York, 1923.
82- S
ERGESCU, P. - Sur les traits caractéristiques des mathématiques
contemporaines en France, paris, 1935.
83- S
IMON, DR. MAX - Didatik und Methodik des Rechnens und der mathematik,
Munique, 1908.
84- S
MITH, DAVID EUGENE - mathematics in the traiing for Citizenship, in the 3rd
Year Book ot the National Council of Teachers of Mathematics.
85- S
MITH, DAVID EUGENE- History of Mathematics, Boston, 1923.
86- SMITH, DAVID EUGENE- Mathematics and Religion, inthe 6th Yearbook of the
National Council of Teachers of Mathematics.
87- SPRAGNER, E. - Formas de Vida.
88- STARCH, D.- Educational Psychology.
89- TANNERY, JULES- Science et Philosophie, paris, 1912.
90- TANNERY, JULES - Notions de Mathématiques, Paris, 1921.
91- TANNERY, JULES- Introduction à la théorie des fonctions d’une variable,
Paris, 1904.
92- THORNDIKE- Educational Psychology, 1919.
93- VAISSIERE - Psychologie Pédagogique.
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Anexos 244
94- VEN6ANCIO FILHO, F. - Biografia de Theodoro Ramos no “Jornal do
Commercio”de 10-1-1937.
95- WELLS, H. G. - Un Grand éducateur moderne - Sanderson, trad. de Mlle.
M.Bulis, paris, 1925.
96- WHEELER, R. H. AND PERKINS, F. T. - principles of Mental Development, New
york, 1932.
97- WINTER, MAXIMILIEN- la méthode historique dans la philosophie des
mathématiques, paris, 1911.
98- YOUNG, J. W. - Fundamental Concepts of Algebra and Geometry, 1925.
99- YOUNG, J. W. A. - The Teaching of Mathematics in the Elementary and the
Secondary Shcool, New York, 1929.
Carta-currículo de Roxo
Exm. Sr. Diretor do Instituto de Educação do Distrito Federal
1
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo, na finalidade de um dos docentes da
Escola Normal, a que se refere o Decreto n. 3405 de 30 de dezembro de 1930,
requer a V. Ex. sua inscrição na forma do art. 79 do Decreto 3807 [3810] de 19 de
março último no concurso de títulos para preenchimento das vagas de assistente
de Matemática, do quadro de que trata o art. 35 do mesmo decreto, apresentando
os seguintes títulos:
I. Foi habilitado para o cargo de docente da Escola Normal mediante prova
prestada perante uma junta constituída dos Profs. Ignácio do Azevedo Amaral,
Frederico Cabrita e D. Amélia Rieder.
II. Regeu, durante vários anos, aulas de Geometria na referida escola, com
bom aproveitamento por parte dos alunos.
III. Foi classificado em primeiro lugar em concurso de títulos para o cargo
de professor substituto de Matemática do Colégio Pedro II, julgado pela
respectiva Congregação, na conformidade do art. 174, §§1º e 2º do Decreto
11.530 de 18 de março de 1915 (Doc. n
o
1)
2
.
IV. Foi, em conseqüência dessa classificação, nomeado, por portaria
ministerial de 30 de dezembro de 1915, professor substituto de Matemática do
Pedro II (Doc. n
o
1).
V. Na conformidade do art. 42 do Decreto 11.530, já citado, e por decreto
de 1 de outubro de 1919, foi promovido a professor catedrático de Matemática do
Colégio Pedro II.
VI. Vem exercendo ininterruptamente, desde 30 de dezembro de 1915, o
magistério da Matemática no Colégio Pedro II, já tendo merecido em 8 de janeiro
de 1906 [1926], o acréscimo de 5% sobre seus vencimentos, correspondente a dez
anos de exercício efetivo no magistério, completados naquela data (Doc. n
o
2).
VII. Conta, portanto, cerca de 17 (dezessete) anos de ensino da Matemática
no Colégio Pedro II, onde tem regido aulas em todas as séries do curso, inclusive
a 6ª (curso vestibular para a Escola Politécnica), como se verifica dos relatórios da
Diretoria, juntos a este (Doc. n
os
3, 4, 5).
1
ER.T.1.007.
2
Esta carta é um rascunho manuscrito. No final de alguns itens, Euclides Roxo indica o número do
documento que comprova a afirmação. Alguns desses documentos fazem parte do APER e foram
enumerados com um lápis de cor azul, possivelmente pelo próprio Euclides Roxo.
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Anexos 245
VIII. É, há vários anos, professor de Aritmética e Álgebra na Escola da
Marinha Mercante deste Distrito, estabelecimento fiscalizado pelo Ministério da
Marinha (Doc. n
o
6).
IX. Publicou as seguintes obras didáticas:
Lições de Aritmética (7ª edição)
Curso de Matemática, Vol. I (2ª edição)
Curso de Matemática, Vol. II
Curso de Matemática, Vol. III
de cada uma das quais junto um exemplar (Docs. n
os
7, 8, 9 e 10).
X. Nas três últimas obras e no programa que apresentou, em 1929, par ao
Colégio Pedro II, imprimiu ao ensino da Matemática uma orientação inteiramente
nova entre nós, para pô-lo de acordo com as tendências da “escola nova” e do
movimento de reforma de Felix Klein.
XI. Sob manifestação de aplauso e da crítica elogiosa que mereceu pela sua
iniciativa de modernizar entre nós o ensino da Matemática, destaco os seguintes:
a) Voto unânime do Conselho Direto da Associação Brasileira de Educação
(Doc. n
o
11);
b) Carta do Prof. Everardo Backheuser, catedrático da Escola Politécnica;
c) Carta do Prof. Barbosa de Oliveira, catedrático da Escola Politécnica;
d) Artigo de crítica de João Ribeiro;
e) Carta do Prof. Jonathas Serrano;
f) Carta do Prof. Lélio Gama, da Escola Politécnica e do Observatório
Nacional (Docs. N
os
12, 13, 14, 15, 16).
XII. Publicou no “Jornal do Commercio” (números dos domingos de
dezembro de 1930, de janeiro e fevereiro de 1931) uma seqüência de nove longos
artigos sobre “O ensino da Matemática na Escola Secundária”, nos quais expõe,
documentadamente os pontos de vista e as diretivas do moderno movimento de
reforma iniciado por Felix Klein na Alemanha e que o candidato foi o primeiro a
procurar introduzir no Brasil (Documento n
o
17).
XIII. Publicou em colaboração com os Profs. Henrique Costa e Otavio de
Castro, os seguintes didáticos:
Exercícios de Aritmética
(5ª edição)
Exercícios de Álgebra
Exercícios de Trigonometria
de cada um dos quais junto um exemplar (Docs. N
os
18, 19, 20, 21).
XIV. Convidado pelo Ministro Francisco Campos para elaborar os novos
programas de Matemática, baixados com o Decreto 19.890 de 18 de março de
abril de 1931, redigiu os programas e as instruções pedagógicas para o ensino
dessa disciplina de acordo com as modernas tendências e com os pontos de vista
que foi o primeiro a preconizar entre nós. Tais instruções se encontram às pgs 51 a
60 do folheto “Organização do Ensino Secundário”. Junta uma carta do Prof
Hahnemann Guimarães, ex-assistente técnico do Ministro, na qual o mesmo atesta
o que acima foi afirmado (Docs. n
os
22 e 23).
XV. Exerceu ininterruptamente, de 19 de agosto de 1925 a 24 de outubro de
1930 (cinco anos e dois meses) o cargo de Diretor do Externato do Colégio Pedro
II, o qual só deixou de exercer por se haver espontânea e irrevogavelmente
exonerado na manhã do dia imediato ao da vitória da revolução (Docs. N
os
4, 5 e
24).
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Anexos 246
XVI. Foi, pelo Governo Provisório, nomeado Diretor do Internato do
Colégio Pedro II, cargo que vem exercendo ininterruptamente desde 10 de
dezembro de 1930 (a um ano e três meses).
XVII. A nomeação do requerente para a Diretoria do Internato foi
justificada pelo Gabinete do Sr. Ministro da Educação em nota fornecida à
imprensa e na qual se declara ter sido a sua escolha devida “unicamente ao fato de
haver dado provas de grande capacidade administrativa na direção do Externato” e
“por tratar-se de um disciplinador criterioso e moderno que empreendeu excelente
reforma técnica e material no estabelecimento a cuja frente se encontrava” (Doc
n
o
25).
XVIII. Apresentou circunstanciados relatórios sobre a sua administração no
Externato, um concernente aos anos de 1925 – 26 e outro aos anos de 1927 – 29
(Docs. n
o
4 e 5).
XIX. Foi, durante cinco anos, membro do antigo Conselho Nacional de
Ensino, tendo tomado parte, assiduamente, em mais de dez reuniões e tendo
sempre pertencido à Comissão de Ensino Secundário, na qual tem ocasião de
relatar inúmeros pareceres sobre questões de ensino (Docs. 26 e 27).
XX. Desses pareceres destaca um, que redigiu sobre um projeto de reforma
do ensino secundário, de autoria de Prof. Figueira de Mello (Doc. n
o
28).
XXI. Trabalhou, junto ao Ministro Francisco Campos, em colaboração com
os Profs. Hahnemann Guimarães, Delgado de Carvalho e Lourenço Filho na
elaboração do anteprojeto da atual organização do ensino secundário (Docs. n
o
23
e 29).
XXII. Exerce atualmente várias comissões técnicas no Ministério da
Educação: elaboração de programas para o curso complementar (Doc. n
o
30),
exame de documentos para obtenção de registro de professores (Doc. n. 31),
elaboração do Regimento do Colégio.
XXIII. Presidiu em 1926 uma comissão de inquérito na Escola Nacional de
Belas Artes (Doc. n
os
32 e 33).
XXIV. É, desde junho de 1929, membro do Conselho Diretor da Associação
Brasileira de Educação e, desde fevereiro de 1931, Presidente da Seção de Ensino
Secundário da mesma associação (Docs. n
os
34 e 35).
XXV. Ao deixar a diretoria do Externato do Colégio Pedro II, mereceu da
respectiva Congregação um voto de “agradecimento pelos relevantes serviços
prestados” (Doc. n
o
36).
XXVI. É bacharel em ciências e letras pelo Colégio Pedro II (antigo curso
de seis anos), com o prêmio “Pantheon”, tendo além disso feito o curso com
distinção em todos os exames do mesmo, fato absolutamente único nos exames
daquele estabelecimento.
XXVII. É engenheiro civil pela Escola Politécnica do Rio de Janeiro, com
várias distinções no curso, entre as quais a do exame vestibular, de Geometria
Descritiva e de Hidráulica, e com nove em Cálculo infinitesimal, Física e em
Mecânica Racional.
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Anexos 247
Programas da Reforma Francisco Campos
3
Primeira Série
Iniciação geométrica
Principais noções sobre formas geométricas; Área do quadrado, retângulo,
paralelogramo, triângulo e trapézio; circunferência e área do circulo; Volumes do
paralelepípedo retângulo, do cubo, do prisma triangular, do cilindro e do cone
circular (retos). Fórmulas;
Aritmética
Prática das operações fundamentais. Cálculo abreviado. Exercício de cálculo
mental; Noção de múltiplo e de divisor. Caracteres de divisibilidade;
Decomposição em fatores primos; aplicação ao m. d. c. e ao m. m. c.; Frações
ordinárias e decimais. Operações com as frações. Explicação objetiva pelo
fracionamento de objetos ou de grandezas geométricas; Sistema métrico decimal.
Prática das medidas de comprimento, superfície, volume e peso; Sistema inglês de
pesos e medidas; Quadrado e raiz quadrada de números inteiros e decimais;
aproximação no cálculo da raiz; Traçado de gráficos.
Álgebra
Símbolos algébricos; fórmulas; noção de expoente; Números relativos ou
qualificados. Operações. Explicação objetiva das regras dos sinais; Cálculo do
valor numérico de monômios e polinômios. Redução de termos semelhantes;
adição e subtração; Multiplicação de monômios e polinômios, em casos simples.
Explicação objetiva pela consideração de áreas; Potências de monômios.
Quadrado de um binômio; Primeira noção de equação com uma incógnita;
resolução de problemas numéricos simples.
Segunda Série
Iniciação geométrica
Noção de ângulo e de rotação; ângulos adjacentes, complementares,
suplementares, opostos pelo vértice; Medida dos ângulos. Uso do transferidor;
Paralelas e perpendiculares; problemas gráficos sobre seu traçado; Triângulos:
alturas, medianas, e bissetrizes; soma dos ângulos internos e externos; Estudo
sucinto dos quadriláteros; Noções sobre figuras semelhantes; escala; Medida
indireta das distâncias; Razões entre lados de um triângulo retângulo. Seno, co-
seno e tangente de ângulo agudo. Uso de tabelas de senos, co-senos e tangentes
naturais.
Aritmética e Álgebra
Noção de função de uma variável independente. Representação gráfica;
Estudo das funções y = ax e y = a/x; exemplos; Proporções e suas principais
propriedades; Resolução de problemas sobre grandezas proporcionais.
Porcentagens, juros, desconto (comercial), divisão proporcional, câmbio;
Equações do 1º grau com uma incógnita. Problemas. Interpretação das soluções
negativas; Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas. Problemas;
Representação gráfica da função linear de uma variável. Resolução gráfica de um
sistema de duas equações com duas incógnitas; Divisão algébrica. Expoente zero.
Expoente negativo; Decomposição em fatores; Frações algébricas. Simplificações.
Terceira Série
Aritmética e Álgebra
Equações e problemas de 1º grau com uma ou mais incógnitas.;
Desigualdade do 1º grau; Potências e raízes; Estudo das funções y = xm, y = l /
3
Apud Rocha, op.cit., p. 168 – 170.
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Anexos 248
xm e y =
x
; representação gráfica; Cálculo dos radicais. Expoentes fracionários;
Trinômio do 2º grau; Equação do 2º grau. Resolução gráfica; resolução analítica.
Discussão: propriedades das raízes; Desigualdades do 2º grau.
Geometria
Conjunto de proposições fundamentais que servem de base à Geometria
dedutiva. Noções sobre deslocamentos elementares no plano; translação e rotação
de figuras. Simetria; Estudo de triângulos; Estudo dos polígonos; soma dos
ângulos internos e externos; Noção e exemplares de lugar geométrico; Círculo;
propriedades dos arcos e cordas. Tangente e normal; Medidas dos ângulos; Linhas
proporcionais; linhas proporcionais no triângulo; Semelhança; homotetia;
Relações métricas no triangulo; Relações métricas no círculo. Média proporcional.
Quarta Série
Aritmética e Álgebra
Equações biquadradas e equações irracionais; Problemas do 2º grau;
discussão; Progressão aritmética. Propriedades. Interpolação; Progressão
geométrica. Propriedades. Interpolação; Estudo da função exponencial;
Logaritmos; propriedades. Uso das tábuas; Régua logarítmica; Juros compostos;
unidades.
Geometria
Polígonos regulares; relação métrica nos polígonos regulares; Medida da
circunferência; cálculo de pi (método dos perímetros); Áreas equivalentes; relação
entre áreas de figuras semelhantes; Retas e planos no espaço; Ângulos poliedros.
Triedros suplementares; Prisma e pirâmides; Cilindro e cone; Esfera. Seções
planas. Pólos; plano tangente; cone e cilindro circunscritos; Noção sobre geração
e classificação das superfícies; superfícies regradas, de revolução, desenvolvíveis.
As funções circulares; relações entre essas funções. Gráficos; Expressões da
tangente, cotangente, secante e co-secante em função do seno e co-seno e tangente
da soma de dois ângulos, do dobro de um ângulo, da metade de um ângulo.
Quinta Série
Aritmética, Álgebra e Geometria
Resolução de triângulos retângulos, prática das tábuas de logaritmos; Casos
simples de resolução de triângulos obliquângulos; Noções de análise
combinatória; Binômio de Newton (caso de expoente inteiro e positivo); Derivada
de um polinômio inteiro em x; Noção de limite. Derivada de
x
. Derivada de
seno de x, co-seno de x, tangente de x e cotangente de x; Interpretação geométrica
da noção de derivada. Aplicação da noção de derivada ao estudo da variação de
algumas funções simples; Processos elementares de desenvolvimento em série;
convergência de uma série; Desenvolvimento em série do seno, co-seno e
tangente; Problema inverso da derivação. Primitivas imediatas. Aplicação ao
cálculo de certas áreas; Volumes do prisma e do cilindro; da pirâmide, do cone e
dos respectivos troncos. Volume da esfera e suas partes; Estudo sucinto das seções
cônicas.
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Anexos 249
Programas da Reforma Gustavo Capanema
4
Programas do Primeiro Ciclo
Primeira Série
Geometria Intuitiva
Unidade I. Noções fundamentais: 1. Sólidos geométricos, superfícies,
linhas, ponto. 2. Plano, reta, semi-reta, segmento. 3. Ângulos. 4. Posições
relativas de retas e planos; paralelas; perpendiculares e oblíquas.
Unidade II. Figuras geométricas: 1. Polígonos; triângulos e quadriláteros. 2.
Círculo. 3. Poliedros; corpos redondos.
Aritmética Prática
Unidade III. Operações fundamentais: 1. Noção de número inteiro,
grandeza, unidade, medida. 2. Numeração. 3. Adição, subtração, multiplicação e
divisão de inteiros. 4. Cálculo mental e cálculo abreviado.
Unidade IV. Múltiplos e divisores: 1. Números primos; decomposição em
fatores primos. 2. Parte alíquota de duas grandezas; m. d. c. e m. m. c.
Unidade V. Frações ordinárias: 1. Frações de grandezas; noção de fração. 2.
Comparação, simplificação, redução ao mesmo denominador. 3. Operações
fundamentais. 4. Problemas sobre as frações de grandezas.
Unidade VI. Números complexos: 1. Unidades de ângulo e de tempo. 2.
Moeda inglesas e unidades inglesas usuais de comprimento. 3. Operações com os
números complexos.
Unidade VII. Frações decimais: 1. Noção de fração e de número decimal. 2.
Operações fundamentais. 3. Conversão de fração ordinária em decimal e vice-
versa.
Segunda Série
Geometria Intuitiva
Unidade I. Áreas: 1. Área de uma figura plana; unidade de área. 2. As
unidades legais brasileiras e as inglesas mais usuais. 3. Áreas das principais
figuras planas; fórmulas.
Unidade II. Volumes: 1. Noção de volume; unidade de volume. 2. Unidades
legais brasileiras e as inglesas mais usuais. 3. Volumes dos principais sólidos
geométricos; fórmulas.
Aritmética prática
Unidade III. Sistema métrico: 1. Diferentes espécies de grandezas; medição
direta e indireta; 2. Grandezas elementares; unidades fundamentais; noção de
grandeza composta. 3. Unidades legais de comprimento, área, volume, ângulo,
tempo, velocidade, massa, densidade; múltiplos e sub-múltiplos.
Unidade IV. Potências e raízes: 1. Definições. 2. Operações com potências.
3. Quadrado da soma de dois números. 4. Potências das frações. 5. Regra prática
para extração da raiz quadrada; aproximações no cálculo da raiz. 6. Uso de tábuas
para obtenção do quadrado, do cubo, da raiz quadrada e da raiz cúbica dos
números inteiros e decimais.
Unidade V. Razões e Proporções: 1. Razão de duas grandezas. 2.
Proporções; medidas. 3. Grandezas proporcionais.
Unidade VI. Problemas sobre grandezas proporcionais: 1. Divisão
proporcional. 2. Regra de três. 3. Percentagens. 4. Juros simples.
4
Apud Dassie, op.cit., p. 107 – 109, 152 – 156.
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Anexos 250
Terceira Série
Álgebra
Unidade I. Números relativos: 1. Noções concretas; segmentos orientados.
2. Operações.
Unidade II. Expressões algébricas: 1. Valor numérico e classificação das
expressões algébricas. 2. Monômios e polinômios; ordenação e redução de termos
semelhantes.
Unidade III. Operações algébricas: 1. Adição, subtração e multiplicação de
polinômios. 2. Produtos notáveis; potência inteira de um monômio. 3. Divisão por
um monômio. 4. Casos simples de fatoração .
Unidade IV. Frações algébricas: 1. Definição, propriedades. 2. Frações
racionais: simplificação, redução ao mesmo denominador, operações
fundamentais.
Unidade V. Equações do 1º grau: 1. Equação: identidade; equações
equivalentes. 2. Resolução e discussão de uma equação com uma incógnita.
Geometria dedutiva
Unidade VI. Introdução à geometria dedutiva: 1. Proposições geométricas;
hipótese, conclusão; demonstração. 2. Ponto, linha, superfície, reta, plano. 3.
Figuras geométricas; lugares geométricos; congruência.
Unidade VII. A reta: 1. Ângulos. 2. Triângulos; congruência de triângulos.
3. Perpendiculares e oblíquas; mediatriz e bissetriz como lugares geométricos. 4.
Teoria das paralelas. 5. Soma dos ângulos de um triângulo e de um polígono
convexo. 6. Quadriláteros; propriedades do paralelogramo, translação, trapézio. 7.
Construções geométricas
Unidade VIII. O círculo: 1. Determinação do círculo; posições relativas de
uma reta e um círculo. 2. Diâmetros e cordas. 3. Tangente; posições relativas de
dois círculos. 4. Deslocamentos no plano. 5. Correspondência entre arcos e
ângulos; ângulos inscritos, interiores e exteriores; segmento capaz; quadrilátero
inscritível. 6. Construções geométricas.
Quarta Série
Álgebra
Unidade I. Equações e desigualdades do 1º grau: 1. Coordenadas cartesianas
no plano; representações gráficas. 2. Resolução e discussão de um sistema de duas
equações com duas incógnitas. 3. Resolução gráfica de um sistema de duas
equações com duas incógnitas; interpretação gráfica da discussão; 4. Resolução de
desigualdades do 1º grau com uma ou duas incógnitas. 5. Problemas do 1º grau:
fases da resolução de um problema; generalização; discussão das soluções.
Unidade II. Números irracionais: 1. Grandezas incomensuráveis; noção de
número irracional, operações. 2. Raiz m-ésima de um número; radicais; valor
aritmético de um radical. 3. Cálculo aritmético dos radicais. 4. Frações irracionais;
casos simples de racionalização de denominadores.
Unidade III. Equações do 2º grau: 1. Existência das raízes no campo real;
resolução. 2. Relações entre os coeficientes e as raízes; sinal das raízes. 3.
Composição da equação dadas as raízes; aplicação a sistemas simples do 2º grau.
4. Problemas de 2º grau.
Geometria dedutiva
Unidade IV. Linhas proporcionais; semelhança: 1. Pontos que dividem o
segmento numa razão dada; definição da divisão harmônica. 2. Segmentos
determinados sobre transversais por um feixe de paralelas. 3. Linhas
proporcionais no triângulo; propriedades das bissetrizes de um triângulo; lugar
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Anexos 251
geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é constante. 4.
Semelhança de triângulos; semelhança de polígonos. 5. Construções geométricas.
Unidade V. Relações métricas nos triângulos: 1. Relações métricas no
triângulo retângulo. 2. Altura de um triângulo eqüilátero e diagonal do quadrado.
Unidade VI. Relações métricas no círculo: 1. Linhas proporcionais no
círculo. 2. Construções geométricas.
Unidade VII. Polígonos regulares: 1. Propriedades dos polígonos regulares;
expressão do ângulo interno. 2. Construção e cálculo do lado do quadrado, do
hexágono regular, do triângulo eqüilátero e do decágono regular convexo. 3.
Cálculo dos apótemas dos mesmos polígonos. 4. Lado do polígono de 2n lados em
função do de n lados. 5. Semelhança dos polígonos regulares. 6. Construções
geométricas.
Unidade VIII. Medição da circunferência: 1. Comprimento de um arco de
círculo. 2. Razão da circunferência para o diâmetro. 3. Expressões do
comprimento da circunferência e de um arco; o radiano.
Unidade IX. Áreas planas: 1. Medição das áreas das principais figuras
planas. 2. Relações métricas entre as áreas; áreas de polígonos semelhantes.
Teorema de Pitágoras.
Programas do Segundo Ciclo
Programas do Curso Clássico
Primeira série
Aritmética Teórica
Unidade I - A divisibilidade numérica: 1 - Teoremas gerais sobre
divisibilidade. 2 - Caracteres de divisibilidade. 3 - Teorias do m.m.c. e do m.d.c. 4
- Teoria dos números primos; aplicações.
Álgebra
Unidade II - Os polinômios: 1 - Operações algébricas sobre polinômios. 2 -
Teoria da divisão de polinômios. 3 - Divisão de um polinômio inteiro em x por x
± a; regra e dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Unidade III - O trinômio do 2º grau: 1 - Decomposição em fatores do 1º
grau; sinais do trinômio; desigualdades do 2º grau. 2 - Noção de variável e de
função; variação do trinômio do 2º grau; representação gráfica.
Geometria
Unidade IV - O plano e a reta no espaço: 1 - Determinação de um plano. 2 -
Intersecção de planos e retas. 3 - Paralelismo de retas e planos.4 - Reta e plano
perpendiculares. 5 - Perpendiculares e oblíquas de um ponto a um plano. 6 -
Diedros; planos perpendiculares entre si. 7 - Noções sobre ângulos poliédricos.
Unidade V - Os poliedros: 1 - Noções gerais 2 - Estudo dos prismas e
pirâmides e respectivos troncos; áreas e volumes desses sólidos.
Segunda Série
Álgebra
Unidade I - Progressões e logaritmos: 1 - Estudo das progressões aritméticas
e equações exponenciais simples.
Unidade II - O binômio de Newton: 1 - Noções sobre análise combinatória.
2 - Binômio de Newton.
Geometria
Unidade III - Os corpos redondos: 1 - Noções sobre geração e classificação
das superfícies. 2 - Estudo do cilindro e do cone; áreas e volumes desses sólidos. 3
- Estudo da esfera; área da esfera, da zona e do fuso esférico; volume da esfera.
Trigonometria
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Anexos 252
Unidade IV - Vetor: 1 - Grandezas escalares e vetoriais. 2 - Noção de vetor;
equipolência. 3 – Resultante ou soma geométrica de vetores. 4 - Vetores
deslizantes sobre um eixo; medida algébrica; teorema de Chasles.
Unidade V - Projeções: 1 - Projeção ortogonal de um vetor sobre um eixo. 2
- Teorema de Carnot. 3 - Valor da projeção de um vetor.
Unidade VI - Funções circulares: 1 - Generalização das noções de arco e de
ângulo; arcos côngruos; arcos de mesma origem e extremidades associadas. 2 -
Funções circulares ou trigonométricas; definição, variação, redução ao primeiro
quadrante. 3 - Relações entre as funções circulares de um mesmo arco. 4 - Cálculo
das funções circulares dos arcos de 30º, 45º e 60º.
Unidade VII - Resolução de triângulos: 1 - Relações entre os elementos de
um triângulo. 2 - Uso das tábuas trigonométricas. 3 - Resolução de triângulos
retângulos.
Terceira Série
Álgebra
Unidade I - Funções: 1 - Noção de função de variável real. 2 -
Representação cartesiana. 3 - Noção de limite e de continuidade.
Unidade II – Derivadas: 1 - Definição; interpretação geométrica e
cinemática. 2 - Cálculo das derivadas. 3 - Derivação das funções elementares. 4 -
Aplicação à determinação dos máximos e mínimos e ao estudo da variação de
algumas funções simples.
Geometria
Unidade III - Curvas usuais: 1 - Definição e propriedades fundamentais da
elipse, da hipérbole e da parábola. 2 - As secções cônicas. 3 - Definição e
propriedades fundamentais da hélice cilíndrica.
Geometria Analítica
Unidade IV - Noções fundamentais: 1 - Concepção de Descartes. 2 -
Coordenadas; abscissas sobre a reta; coordenadas retilíneas no plano. 3 - Distância
de dois pontos; ponto que divide um segmento numa razão dada. 4 -
Determinação de uma direção; ângulo de duas direções.
Unidade V - Lugares geométricos: 1 - Equação natural de um lugar
geométrico; sua interpretação. 2 - Passagem da equação natural para a equação
retilínea retangular. 3 - Equação da reta. 4 - Equação do círculo. 5 - Equações
reduzidas da elipse, da hipérbole e da parábola.
Programas do Curso Científico
Primeira Série
Aritmética Teórica
Unidade I - As operações aritméticas fundamentais: 1 - Teoria da adição, da
subtração, da multiplicação e da divisão, da potenciação e da radiciação de
inteiros. 2 - Sistemas de numeração.
Unidade II - A divisibilidade numérica: 1 - Teoremas gerais sobre
divisibilidade. 2 - Caracteres de divisibilidade. 3 - Teorias do m.d.c. e do m.m.c. 4
- Teoria dos números primos; aplicações.
Unidade III - Os números fracionários: 1 - Teoria das operações aritméticas
sobre números fracionários. 2 - Noções sobre cálculo numérico aproximado.
Erros. Operações abreviadas.
Álgebra
Unidade IV - Os polinômios: 1 - Operações algébricas sobre polinômios. 2 -
Teoria da divisão de polinômios. 3 - Identidade de polinômios; método dos
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Anexos 253
coeficientes a determinar; identidades clássicas. 4 - Divisão de um polinômio
inteiro em x por x ± a; regra e dispositivo de Briot-Ruffini.
Unidade V - O trinômio do 2º grau: 1 - Decomposição em fatores do 1º
grau; sinais do trinômio; inequações do 2º grau. 2 - Noção de variável e de
função; variação do trinômio do 2º grau; representação gráfica. 3 - Noções
elementares sobre continuidade e sobre máximos e mínimos.
Geometria
Unidade VI - O plano e a reta no espaço: 1 - Determinação de um plano. 2 -
Intersecção de planos e retas. 3 - Paralelismo de retas e planos. 4 - Reta e plano
perpendiculares. 5 - Perpendiculares e oblíquas de um ponto a um plano. 6 -
Diedros; planos perpendiculares entre si. 7 - Ângulos poliédricos; estudo especial
dos triedros.
Unidade VII - Os poliedros: 1 - Noções gerais. 2 - Estudo dos prismas e
pirâmides e respectivos troncos; áreas e volumes desses sólidos; Teorema de
EULER; noções sobre os poliedros regulares.
Segunda Série
Álgebra
Unidade I - A função exponencial: 1 - Estudo das progressões aritméticas e
geométricas. 2 - Noção de função exponencial e de sua função inversa. 3 - Teoria
dos logaritmos; uso das tábuas; aplicações. 4 - Resolução de algumas equações
exponenciais.
Unidade II - O binômio de Newton: 1 - Noções sobre análise combinatória.
2 - Binômio de Newton.
Unidade III - Determinantes: 1 - Teoria dos determinantes. 2 - Aplicação
aos sistemas de equações lineares; regras de Crammer; teorema de Rouché.
Unidade IV - Frações contínuas: Noções sobre frações contínuas.
Geometria
Unidade V - Os corpos redondos: 1 - Noções sobre geração e classificação
das superfícies. 2 - Estudo do cilindro e do cone; áreas e volumes desses sólidos. 3
- Estudo da esfera; área da esfera, da zona e do fuso esférico; volume da esfera.
Trigonometria
Unidade VI - Vetor: 1 - Grandezas escalares e vetoriais. 2 - Noção de vetor;
eqüipolência. 3 - Resultante ou soma geométrica de vetores.4 - Vetores
deslizantes sobre um eixo; medida algébrica; teorema de Chasles.
Unidade VII - Projeções: 1 - Projeção ortogonal de um vetor sobre um eixo.
2 - Teorema de Carnot. 3 - Valor da projeção de um vetor.
Unidade VIII - Funções circulares: 1 - Generalização das noções de arco e
de ângulo; arcos côngruos; arcos de mesma origem e extremidades associadas. 2 -
Funções circulares ou trigonométricas: definição, variação, redução ao primeiro
quadrante. 3 - Relações entre as funções circulares de um mesmo arco. 4 - Cálculo
das funções circulares dos arcos p/ n.
Unidade IX - Transformações trigonométricas: 1 - Fórmulas de adição,
subtração, multiplicação e divisão de arcos: aplicações. 2 - Transformação de
somas em produtos; aplicação ao cálculo numérico. 3 - Uso de tábuas
trigonométricas.
Unidade X – Equações trigonométricas: Resolução e discussão de algumas
equações trigonométricas simples.
Unidade XI - Resolução de triângulos: 1 - Relações entre os elementos de
um triângulo. 2 - Resolução de triângulos retângulos. 3 - Resolução de triângulos
obliquângulos. 4 - Aplicações imediatas à Topografia.
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Anexos 254
Terceira Série
Álgebra
Unidade I - Séries: 1 – Sucessões. 2 - Cálculo aritmético dos limites. 3 -
Séries numéricas. 4 - Principais caracteres de convergência.
Unidade II - Funções: 1 - Função de uma variável real. 2 - Representação
cartesiana.3 - Continuidade; pontos de descontinuidade; descontinuidades de uma
função racional.
Unidade III - Derivadas: 1 - Definição; interpretação geométrica e
cinemática. 2 - Cálculo das derivadas. 3 - Derivação das funções elementares. 4 -
Aplicação à determinação dos máximos e mínimos e ao estudo da variação de
algumas funções simples.
Unidade IV - Números complexos: 1 - Definição; operações fundamentais.
2 - Representação trigonométrica e exponencial.3 - Aplicação à resolução das
equações binômias.
Unidade V - Equações algébricas: 1 - Propriedades gerais dos polinômios. 2
- Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica; aplicação à
composição das equações. 3 - Noções sobre transformações das equações;
equações recíprocas; equações de raízes iguais.
Geometria
Unidade VI - Relações métricas: 1 - Teorema de Sewtart e suas aplicações
ao cálculo das linhas notáveis no triângulo. 2 - Relações métricas nos
quadriláteros; teorema de Ptolomeu ou Hiparco. 3 - Potência de um ponto; eixos
radicais; planos radicais.
Unidade VII - Transformações de figuras: 1 - Deslocamentos, translação,
rotação, simetria. 2 - Homotetia e semelhança nos espaços de duas e de três
dimensões. 3 - Inverso pelos raios vetores recíprocos.
Unidade VIII - Curvas usuais: 1 - Definição e propriedades fundamentais da
elipse, da hipérbole e da parábola. 2 - As secções cônicas. 3 - Definição e
propriedades fundamentais da hélice cilíndrica.
Geometria Analítica
Unidade IX - Noções fundamentais: 1 - Concepção de Descartes. 2 -
Coordenadas; abscissas sobre a reta; coordenadas retilíneas no plano. 3 - Distância
entre dois pontos; ponto que divide um segmento numa razão dada. 4 -
Determinação de uma direção; ângulo de duas direções.
Unidade X - Lugares geométricos: 1 - Equação natural de um lugar
geométrico; sua interpretação. 2 - Passagem da equação natural para a equação
retilínea retangular. 3 - Equação da reta. 4 - Equação do círculo. 5 - Equações
reduzidas da elipse, da hipérbole e da parábola.
Programas da Escola Secundária do Instituto de
Educação
5
1ª série
1ª lição – Principais noções sobre as formas geométricas: corpos,
superfícies, linhas e pontos.
2ª lição – Linhas – Classificação – Noções de semi-reta e de segmento
retilíneo.
3ª lição – As principais figuras planas: ângulos e polígonos.
5
Programas localizados no CEMI.
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Anexos 255
4ª lição – Corpos terminados por planos: poliedros. Simples discriminação
dos elementos de um poliedro: faces, arestas vértices, ângulos diedros, triedros ou
poliedros, com exclusão de qualquer propriedade.
5ª lição – Noção de prisma: suas espécies. Paralelepípedos: suas espécies.
6ª lição – Noção de pirâmide: suas espécies.
7ª lição – Principais noções sobre os corpos redondos: cilindro, cone e
esfera.
8ª lição – Noção de grandeza, de quantidade. Medida das grandezas. Idéia
de relações. Enumeração de grandezas que podem ser medidas ou não. Resultado
da comparação de grandezas homogêneas; definição de unidade e de número.
Origem do número inteiro, do fracionário e do misto.
9ª lição – Numeração. Seu objeto: exprimir, representar os números e
facilitar as combinações numéricas. Fim da numeração falada ou nomenclatura
dos números e da numeração escrita, simbólica ou emblemática. Vantagens desta
por eminentemente sintética e universal. Numeração espontânea.
10ª lição – Numeração sistemática. Necessidade da numeração sistemática
para a infinidade de números que se podem conceber. Noção de sistema de
numeração e de base.
11ª lição – Sistema décima. Formação das diversas ordens de unidade,
donde a lei da numeração falada entendendo-se previamente por lei o que há de
constante na variedade de um fato ou fenômeno. Enumeração das ordens e classes
de que um número inteiro se pode compor.
12ª lição – Numeração escrita; expresso um número por palavras, traduzi-lo
por símbolos, caracteres especiais ou algarismos, que obedecem à convenção
chamada lei da numeração escrita. Valor absoluto ou nominal de um algarismo;
valor relativo ou local.
13ª lição – Decomposição de um número em suas diversas ordens de
unidades ou em qualquer ordem de que ele se componha. Alteração que sobre um
número quando à sua direita se acrescenta ou se suprimem zeros. Importância do
zero e proscrição do clássico título de insignificativo dado a esse algarismo. Regra
para escrever e para ler um número.
14ª lição – Adição. Parcelas e soma ou total. Processos. Soma de números e
de segmentos. Propriedades da soma. Provas.
15ª lição – Subtração. Minuendo, subtraendo e resto, excesso ou diferença,
conforme o destino da subtração. Relação direta, entre o minuendo e o resto;
inversa, entre o subtraendo e o resto. Invariabilidade do resto quando se junta ou
se subtrai dos termos da subtração uma mesma quantidade. Processos.
16ª lição – Subtração de números de números e de segmentos. Propriedades
da subtração. Provas.
17ª lição – Multiplicação; seu sentido natural de repetição de um número
(parcela) ou multiplicando tantas vezes quantas são as unidades do outro número
dado (número de parcelas ou multiplicador). Processo espontâneo. Processo
sistemático abrangendo os três casos: número simples por simples, composto por
simples e composto por composto, salientando-se que cada produto parcial é
formado de tanto produtos elementares (ou de número simples) quantos são os
algarismos do multiplicando e o produto total de tantos produtos parciais quantos
são os algarismos do multiplicador.
18ª lição – Multiplicação de números terminados em zeros, precedido do
princípio de que o produto varia na razão direta de cada um dos seus fatores.
Produto de vários fatores. Propriedades da multiplicação. Multiplicação de
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Anexos 256
números e de segmentos. Área do quadrado. Volume do paralelepípedo
retangular. Provas da multiplicação.
19ª lição – Divisão. Estudo dos dois problemas da divisão em que o da
multiplicação se pode desdobrar. Variação do quociente. Lei fundamental da
divisão. Processos espontâneos da divisão.
20ª lição – Processos sistemáticos da divisão em cada um dos quatro casos.
21ª lição – Propriedades da divisão. Divisão de segmentos. Provas da
divisão.
22ª lição – Cálculo abreviado e exercícios de cálculo mental.
23ª lição – Potenciação. Potenciação de um produto. Produto de potências
da mesma base.
24ª lição – Monômios. Potenciação de uma potência. Divisão de potências
da mesma base.
25ª lição – Divisibilidade. Múltiplo de um número. Fator, submúltiplo,
divisor e parte alíquota. Princípios fundamentais da divisibilidade.
26ª lição – Todo número é múltiplo de 10, mais o algarismos das unidades,
donde, caracteres por 10 e por cada um dos seus fatores. Todo número é múltiplo
de 100, mais o número formado pelos seus dois últimos algarismos; donde,
caracteres por 4 e 25.
27ª lição – Todo número é múltiplo de 1.000, mais o número formado pelos
seus três últimos algarismos; donde, caracteres por 8 e 125.
28ª lição – Todo número é múltiplo de 10 mais 1, ou 11, mais a diferença
entre a soma dos valores absolutos dos seus algarismos de ordem ímpar e a dos de
ordem par, a contar da direita: donde, caractere por 11. Este princípio será
estabelecido, verificando-se previamente, pela divisão, 10, 100, 1.000 etc. são
alternadamente múltiplo de 11, menos 1 ou mais 1, como se terá feito com o
divisor 9.
29ª lição – Provas por um divisor: princípios em que se baseiam.
Interpretação da expressão: tirar nove fora. Razão da preferência desse divisor.
Comparação das provas por 9 e 11.
30ª lição – Números primos. Formação do clássico crivo de Eratóstenes.
Decomposição de um número em fatores primos.
31ª lição – Reconhecimento de um número primo.
32ª lição – Máximo divisor comum. Determinação pela decomposição em
fatores primos. M.D.C. de monômios.
33ª lição – Mínimo múltiplo comum. Formação pelos fatores primos.
M.M.C. de monômios.
34ª lição – Mínimo múltiplo comum. Formação pelos fatores primos.
M.M.C. de monômios.
35ª lição – Determinação do m.m.c. de dois números pelo maior divisor
comum.
36ª lição – Frações ordinárias. A fração como resultado da comparação entre
a grandeza e a unidade. A fração imprópria; números mistos. Comparação de
frações. Variação da fração na razão direta do numerador e na inversa do
denominador; donde, as regras para multiplicar ou dividir uma fração por um
número inteiro. Invariabilidade, quando se lhe multiplicam ou dividem ambos os
remos por um mesmo número. Noção de limite.
37ª lição – Redução ao mesmo denominador. Princípio fundamental. Regra
da redução multiplicando ambos os termos de cada uma pelos denominadores das
outras. Regras da redução pelo mínimo múltiplo comum. Emprego geral da
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Anexos 257
segunda regra; preferência da primeira somente no caso dos denominadores serem
primos entre si dois a dois; razão dessa preferência.
38ª lição – A redução ao mesmo denominador permite comparar, somar e
subtrair frações. Assim como se redizem frações ao mesmo denominador, assim
também se redizem ao mesmo numerador, o que apenas permite a comparação.
Dadas duas frações tornar o denominador da primeira igual ao denominador da
segunda.
39ª lição – Simplificação de uma fração. Princípios fundamentais. Regra da
divisão de ambos os termos por um divisor comum qualquer ou pelo máximo
comum divisor que a reduz à expressão mais simples ou a torna irredutível, sob
cujo aspecto deve sempre ser considerada uma fração qualquer, quer como
elemento de cálculo, quer como resultado, de qualquer operação.
40ª lição – Adição e subtração de frações. Definição. Gradação. Instituição
da regra para cada caso. Formulação da regra.
41ª lição – Multiplicação de fração como repetição ou adição de parcelas
iguais, quando o multiplicador for um número inteiro. Quando se torna como
multiplicador um fração não há multiplicação no sentido próprio; o que há de fato
é uma dupla avaliação em que se tomam do multiplicando tantas partes iguais
quantas são as indicadas pelo multiplicador; ou em que se procura um número
chamado produto que seja do multiplicando o que o multiplicador é da unidade.
Aí a regra da intitulada multiplicação de inteiro por fração ou de fração por fração.
42ª lição – Divisão de frações. Na divisão, o quociente deve ser tal que
multiplicado pelo divisor produza o dividendo, isto é, o dividendo deve ser uma
fração do quociente indicada pelo divisor; donde, o quociente igual ao dividendo
pelo divisor invertido. Se as frações dadas para dividir tiverem o mesmo
denominador, o quociente será evidentemente o mesmo que o dos numeradores.
43ª lição – Fração decimal concedida como uma extensão da escala
numérica a que obedecem os números inteiro, em que cada um dos algarismo que
se sucedem depois do das unidades continua a representar uma ordem dez vezes
menor que a precedente. Nomes dessas ordens e valores relativos dos respectivos
algarismos. Necessidade da vírgula e variação que sobre o número decimal como
o movimento da vírgula para a direita ou para a esquerda. Decomposição de uma
fração decimal propriamente dita ou de um número decimal em suas diversa
ordens de unidades. Leitura e escrita de números decimais.
44ª lição – Conversão da fração ordinária em decimal, isto é, estando a
unidade dividida em determinado número de partes (considerada na fração
ordinária) a quantos décimos, centésimos, etc. corresponderia se a mesma unidade
estivesse dividida em um número décuplo de partes iguais; daí, a regra prática.
Devendo ser irredutível a fração ordinária considerada, as multiplicações do
numerador e dos restos por 10, introduzirão no dividendo somente os fatores 2 e
5; daí, o princípio: a fração ordinária será convertida em decimal finita, quando o
seu denominador somente contiver os fatores primos 2 e 5. Havendo um fator
diferente, a decimal procurada será ilimitada ou infinita. Atendendo mais ser o
resto de cada divisão sempre menor que o divisor constante, o número de restos
diferentes será ilimitado, o que acarretará a repetição uniforme deles e, portanto, a
periodicidade da decimal procurada.
45ª lição – A fração decimal é limitada ou a finita que tem vários algarismos
decimais, está sempre compreendida entre duas decimais finitas ou duas de menor
número de algarismos decimais e, nos cálculos, tona-se uma destas por uma das
primeiras, cometendo-se um erro para menos ou para mais (por falta ou por
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Anexos 258
excesso) inferior a unidade da ordem do último algarismo decimal conservado,
sempre que o primeiro algarismo desprezado for inferior a 5. Sendo 5 ou maior
que 5, é preferível tomar o erro por excesso. Tudo isso se verificará praticamente
com mais de um exemplo.
46ª lição – Redução de números decimais à mesma denominação ou à
mesma espécie de unidades. Adição e subtração de decimais simplesmente, ou de
inteiros e decimais. Multiplicação de decimal por inteiro ou vice-versa e decimal
por decimal.
47ª lição – Divisão de números decimais. Vantagens do cálculo de números
decimais sobre o de frações ordinárias.
48ª lição – Dízimas periódicas. Periódicas simples: sua conversão na fração
ordinária geratriz, considerado-se como soma de parcelas finitas, cujo número vai
aumentando e de que se vão determinando as somas, verificando-se que elas
diferem apenas por um expoente (indicador então do número de parcelas) e que, à
medida que cresce esse número as somas tendem cada vez mais para uma
quantidade fixa, que é a geratriz. Daí, nova noção de limite e a regra para se
converter a periódica simples em fração ordinária.
49ª lição – Periódica composta: sua redução a periódica simples,
multiplicando-a tanta vezes por 10, quantos forem os algarismos decimais não
periódicos: reduzir esta fração ordinária que se fera tornar tantas vezes o menor
quantas se houver multiplicado; daí, a regra prática e a sua equivalente. Análise
dos resultados para se induzir: que a fração ordinária convertida em decimal dá
periódica simples, quando não existe no seu denominador nenhum dos fatores 2 e
5; dá composta, quando existe pelo menos uma vez um desses fatores.
50ª lição – Sistema métrico decimal. História sucinta dessa instituição,
obrigatória entre nós desde 1 de janeiro de 1874 pela lei de 26 de junho de 1862.
Razões de sua superioridade sobre o antigo sistema de pesos e unidades. Unidades
de comprimento seus múltiplos. Perímetro de um polígono; comprimento da
circunferência.
51ª lição – Medidas de superfície do sistema métrico decimal. Área.
Unidades de superfície do sistema métrico. Áreas do paralelogramo, do triângulo,
do trapézio, do polígono regular e do círculo.
52ª lição – Medidas de volume. Unidades de volumes. Volume do
paralelepípedo retangular e do cubo. Unidades de capacidade. Volume do prisma
triangular reto, do prisma reto qualquer ou do prisma obliquo. Volume da
pirâmide, do cilindro e do cone.
53ª lição – Peso, massa, densidade, peso especifico, tempo, ângulos,
velocidade e moeda.
54ª lição – Sistema inglês de pesos e medidas.
55ª lição – Noção de número complexo e de número incomplexo. Conversão
de complexo a incomplexo ou vice-versa e em fração ordinária de uma unidade
dada.
56ª lição – Operações sobre números complexo, diretamente, ou por
intermédio das frações ordinárias correspondente, com conclusão do clássico
processo das partes alíquotas para a multiplicação.
57ª lição – Números qualificados. Noção geral. Classificação dos números
relativos ou qualificados.
58ª lição – Operações sobre números relativos.
59ª lição – Noção de abscissa e ordenada. Coordenadas cartesianas. Traçado
de gráficos.
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Anexos 259
60ª lição – Cálculo do valor numérico de monômios e polinômios inteiros.
61ª lição – Redução de termos semelhantes.
62ª lição – Adição e subtração algébrica.
63ª lição – Multiplicação de monômios e polinômios em casos simples.
Explicações objetivas pela consideração de áreas.
64ª lição – Potencias de monômios. Quadrado de um binômio. Explicação
objetiva.
65ª lição – Noção elementar de equação, como igualdade que se verifica
para determinado valor da incógnita. Mostrar que problemas de enunciados
inteiramente diferentes, parecendo inconfundíveis, podem ser traduzidos por um
mesmo tipo de equação. Generalização de tais problemas e daí a conveniência da
linguagem e das operações algébricas.
66ª lição – Resolução de problemas numéricos simples, por meio de
equações.
67ª lição – Resolução de equações do 1º grau.
68ª lição – Raiz quadrada. Raiz cúbica ou comensurável. Raiz aproximada
ou incomensurável. Raiz a menos de uma unidade, por falta ou por excesso.
Interpretação de tais denominações, haurida de exemplos variados de números
menores de 100. Instituição da regra da raiz quadrada de um número inteiro maior
que 100. Condição para um algarismo da raiz ser forte, fraco ou verdadeiro. Prova
desta operação.
69ª lição – Raiz quadrada de uma fração ordinária, quando os seus termos
são quadrado; quando somente o denominador é; quando este não é previamente
se o torna quadrado, e, entretanto, se extrai a raiz quadrada aproximada do
numerador, quando este não é; razão dessa preferência. Tornar o denominador
quadrado, quando ele for número primo e quando não for.
70ª lição – Raiz quadrada da fração decimal, cuja regra será tirada da
extração da raiz da fração ordinária correspondente. Raízes aproximadas.
2ª série
1ª lição – Noção de ângulo e de rotação. Grandezas de um ângulo.
Comparação de ângulos. Igualdade de dois ângulos. Bissetriz. Noção de
perpendicular a uma reta. Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso. Ângulo de
meia volta; ângulo de uma volta. Ângulo saliente e ângulo reentrante.
2ª lição – Ângulos adjacentes. Ângulos adjacentes formados do mesmo lado
de uma linha reta. Ângulos suplementares. Igualdade de ângulos que tem o
mesmo complemento ou o mesmo suplemento.
3ª lição – Ângulos opostos pelo vértice. Ângulos formados em torno de um
ponto e do mesmo lado de uma linha reta. Ângulos formados em torno de um
mesmo ponto. Transferidor.
4ª lição – Perpendiculares e obliquas. Afastamento de uma oblíqua.
Segmentos perpendiculares. Oblíquas iguais. Mediatriz de um segmento. Simetria
em relação a uma reta.
5ª lição – Pontos da mediatriz. Propriedades. Distância de um ponto a uma
reta.
6ª lição – Retas paralelas – Ângulos formados por duas paralelas e uma
transversal. Postulado de Euclides.
7ª lição – Igualdade dos ângulos correspondentes e suas conseqüências:
igualdade dos ângulos alternos internos e dos alternos externos.
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Anexos 260
8ª lição – Relação existente entre os ângulos internos e os externos do
mesmo lado da transversal. Ângulos de lados paralelos.
9ª lição – Triângulo: seus elementos. Grandezas de um lado em relação à
soma dos outros dois. Classificação dos triângulos. Linhas notáveis do triângulo.
10ª lição – Triângulos iguais. Igualdade dos ângulos da base no triangulo
isósceles. Igualdade dos ângulos no triangulo eqüilátero.
11ª lição – Constância da soma dos ângulos internos de um triangulo ou lei
angular de Tales.
12ª lição – ângulo externo em relação aos internos não adjacentes.
Conseqüências da lei angular de Tales.
13ª lição – Quadriláteros – Perímetros de um quadrilátero – Diagonal.
Classificação dos quadriláteros. Soma dos ângulos interno de um quadrilátero.
14ª lição – Paralelogramo: lados opostos; ângulos opostos; ângulos que tem
um lado comum. Propriedades das diagonais do paralelogramo.
15ª lição – Propriedades das diagonais do retângulo, do losango e do
quadrado. Propriedade da base do trapézio.
16ª lição – Razão por diferença. Antecedente e conseqüente. Equidiferença.
Meios e extremos. Propriedade fundamental das equidiferenças, sua recíproca.
17ª lição – Equidiferença contínua. Média ou meia diferencia, ou média
aritmética. Média aritmética ponderada. Alternar, inverter e transpor uma
equidiferença.
18ª lição – Razão ou relação ou quociente entre dois números, expresso por
uma fração. Antecedente e conseqüente. Proporção ou igualdade de duas razões.
Meios e extremos. Propriedade fundamental das proporções, sua recíproca.
19ª lição – Quarta proporcional – Definição e determinação. Exercícios
variados.
20ª lição – Terceira proporcional – Definição e determinação. Exercícios
variados.
21ª lição – Proporção contínua – Média proporcional: definição e
determinação.
22ª lição – Alternar, inverter e transpor uma proporção.
23ª lição – Em toda proporção a soma dos dois primeiros termos está para o
primeiro ou para o segundo assim como a soma dos dois último está para o
terceiro ou para o quarto. Exercícios.
24ª lição – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a dos
conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente;
numa série de razoes iguais a soma de todos ou de alguns antecedentes está para a
dos conseqüentes respectivos, assim como qualquer antecedente está para o seu
conseqüente; enunciado adequado a duas ou mais frações iguais.
25ª lição – Multiplicando-se ordenadamente ou termo a termo várias
proporções, os produtos formarão uma só proporção. A média aritmética entre
duas quantidades é, em geral, maior que a média proporcional entre as mesmas
quantidades.
26ª lição – Números proporcionais. Definição. Coeficiente de
proporcionalidade. Determinação do coeficiente de proporcionalidade.
27ª lição – Números inversamente proporcionais. Definição. Propriedade
dos números proporcionais. Exercícios variados.
28ª lição – Grandezas diretamente proporcionais. Noção de grandezas
inversamente proporcionais. Grandezas direta e inversamente proporcionais a
várias outras.
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Anexos 261
29ª lição – Semelhança – Noção de figuras semelhantes – Polígonos
semelhantes. Ângulos homólogos – lados homólogos. Condições de semelhança
de polígonos – Razão de semelhança.
30ª lição – A reta que corta dois lados de um triangulo paralelamente ao
terceiro, determina um segundo triangulo, cujos lados são proporcionais aos do
primeiro. Triângulos semelhantes.
31ª lição – Casos de semelhança de triângulos.
32ª lição – Noção de escala. Exercícios.
33ª lição – Medida indireta das distancias. Noções preliminares. Seno de um
ângulo. Natureza do seno. Exercícios.
34ª lição – Cosseno de um ângulo. Natureza do cosseno. Exercícios.
35ª lição – Tangentes de um ângulo. Natureza da tangente. Exercícios.
36ª lição – Funções trigonométricas. Tábuas de senos, cossenos e tangentes
naturais.
37ª lição – Medida indireta das distancias. Problemas variados.
38ª lição – Regra de três. Termos principais e relativos. Regra de três
simples. Regra de três simples direta: relação dos principais igual a dos relativos.
Problemas.
39ª lição – Regra de três simples e inversa: relações dos principais iguais à
inversa dos relativos. Problemas.
40ª lição – Regra de três composta, subdividida em tantas regras de três
simples quantas as circunstancias de que depende o valor da incógnita.
41ª lição – Método de redução à unidade. Preferência deste último método.
42ª lição – Resolução da regra de três composta. Método prático.
43ª lição – Noção de porcentagem. Definição. Cálculo da porcentagem com
o auxílio de uma regra de três simples. Fórmulas da porcentagem.
44ª lição – Cálculo prático da porcentagem. Cálculo da taxa de
porcentagem. Razão sob forma de porcentagem. Taxa de porcentagem sob forma
de fração irredutível.
45ª lição – Fórmula do principal. Determinação do principal diminuído da
porcentagem. Caso em que o principal aparece aumentado da porcentagem. Caso
em que o principal aparece diminuído da porcentagem.
46ª lição – Regra de juros. Capital, taxa, tempo e juro: dadas três dessas
quantidades, determinar o valor da quarta.
47ª lição – Interpretação de algumas taxas que abreviam os cálculos, como
1, 10, 20, 25, 50%. Juros por anos, por meses, por dias. Cálculos, do capital ou do
juro quando for dada a soma dessas quantidades, além da taxa e do tempo.
48ª lição – Desconto. Definição. Desconto comercial. Fórmulas. Valor
nominal.
49ª lição – Desconto racional. Definição. Valor atual.
50ª lição – Câmbio. Noção de cambio. Sua necessidade. Interpretação de
câmbio ao par e de câmbio a tantos. Redução da moeda estrangeira em moeda
brasileira.
51ª lição – Redução da moeda brasileira em moeda estrangeira.
52ª lição – Divisão proporcional. Noção preliminar. Parâmetros de
proporcionalidade. Divisão proporcional.
53ª lição – Divisão em partes inversamente proporcionais. Divisão de um
número em partes inversamente proporcionais a números dados.
54ª lição – Aplicação da divisão proporcional; regra de sociedade.
55ª lição – Equações numéricas e literais. Definição. Resolução.
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Anexos 262
56ª lição – Resolução de problemas. Soluções positivas e negativas.
57ª lição – Funções – Constante e variável. Representação das constantes e
variáveis. Variável independente e variável subordinada. Constantes arbitrárias.
Constantes absolutas.
58ª lição – Relação funcional. Função implícita – Função explícita.
Acréscimo da variável. Acréscimo da função. Função crescente – Função
decrescente. Máximo de uma função. Mínimo de uma função.
59ª lição – Gráfico de uma função. Representação gráfica de uma função
linear.
60ª lição – Gráfico da função y = ax e y = a/x.
61ª lição – Resolução de problemas variados do 1º grau.
62ª lição – Generalização de problemas. Interpretação de soluções.
63ª lição – Noção de sistema de equações. Sistemas equivalentes. Método
de eliminação. Método de eliminação por adição.
64ª lição – Método de eliminação por substituição.
65ª lição – Método de eliminação por comparação. Sistema geral de duas
equações com duas incógnitas.
66ª lição – Resolução gráfica de um sistema de duas equações do 1º grau
com duas incógnitas.
67ª lição – Divisão algébrica: dado um produto e um fator, achar o outro
fator; donde a regra dos sinais e em seguida a dos monômios. Origem do expoente
zero, sua interpretação Origem do expoente negativo, sua interpretação.
68ª lição – Divisão de um polinômio por um monômio: regra, baseada na
consideração de que um polinômio é uma soma e que para dividir uma soma basta
dividir cada parcela. Por um fator em evidencia: regra correspondente. Divisão de
dois polinômios.
69ª lição – Decomposição em fatores. Decomposição imediata.
Decomposição por agrupamento.
70ª lição – Frações algébricas – Simplificação – Redução ao mesmo
denominador – Operações.
3ª série
1ª lição – Igualdade. Identidade. Equação. Incógnita. Raízes. Equações
equivalentes. Classificação das equações: algébricas e transcendentais; racionais e
irracionais; inteiras e fracionárias. Equações numéricas e literais. Grau de uma
equação algébrica racional e inteira. Classificação das equações algébricas e
inteiras pelo seu grau. Equações completas e incompletas.
2ª lição – Princípios em que se baseia a resolução da equação do 1º grau de
uma incógnita – Primeiro principio de equivalência e suas conseqüências.
Segundo principio de equivalência e suas conseqüências. Segundo principio de
equivalência e suas conseqüências.
3ª lição – Interpretação da expressão: resolver uma equação. Resolução.
Fases da resolução.
4ª lição – Estudo da resolução de tipos diferentes de equações numéricas do
1º grau de uma incógnita.
5ª lição – Estudo da resolução de variados tipos de equações literais.
6ª lição – Resolução de problemas do 1º grau de uma incógnita.
7ª lição – Problemas – Soluções positivas e negativas com as
correspondentes interpretações.
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Anexos 263
8ª lição – sistemas de equações do 1º grau. Definição de equações
simultâneas e de sistemas equivalentes. Transformação de um sistema de duas
equações do 1º grau de duas incógnitas no sistema equivalente.
9ª lição – Estudo e aplicação do método de eliminação por adição.
10ª lição – Estudo e aplicação do método de eliminação por substituição.
11ª lição – Estudo e aplicação do método de eliminação por comparação.
12ª lição – Sistemas de três equações de três incógnitas. Sua transformação
no sistema final equivalente.
13ª lição – Tipo geral a que fica reduzida toda equação do 1º grau de uma,
duas ou três incógnitas. Resolução do sistema geral de duas equações de duas
incógnitas.
14ª lição – Regra de Cramer para a escrita das fórmulas gerais.
15ª lição – Extensão da regra de Crames ou aplicação da regra de Sarrus ao
sistema geral de três equações de três incógnitas.
16ª lição – Problemas variados, dando lugar a sistemas de três incógnitas.
17ª lição – Problemas variados, dando lugar a sistemas de equações de três
incógnitas.
18ª lição – Resolução de sistemas de equações pelo emprego de artifícios de
cálculo.
19ª lição – Discussão de problemas, especialmente do problema dos
correios.
20ª lição – Desigualdades. Definições. Sentido das desigualdades.
Propriedades das desigualdades: 1ª) Somando ou subtraindo a mesma quantidade
aos dois membros de uma desigualdade, resulta uma desigualdade no mesmo
sentido; 2ª) Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma desigualdade por
uma quantidade positiva, resulta uma desigualdade no mesmo sentido; 3ª)
Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma desigualdade por uma
quantidade negativa, resulta uma desigualdade de sentido contrário.
21ª lição – Operações das desigualdades. Somando membro a membro
desigualdades do mesmo sentido, resulta uma desigualdade no mesmo sentido das
propostas; subtraindo membro a membro desigualdades de sentido contrário,
resulta uma desigualdade no sentido da que serviu de minuendo.
22ª lição – Inequações. Princípios de equivalência. Resolução.
23ª lição – Sistemas de inequações de uma só incógnita.
24ª lição – Potencias. Propriedades. Potenciação. Potenciação de monômios.
Quadrado de polinômios.
25ª lição – Raízes – Propriedades. Radiciação. Radiciação de monômios –
Raízes quadradas de polinômios.
26ª lição – Estudo da função
m
yx
=
; representação gráfica.
27ª lição – Estudo da função
m
1
y
x
= ; representação gráfica.
28ª lição – Estudo da função
yx= ; representação gráfica.
29ª lição – Radicais. Radicais equivalentes – Radicais semelhantes –
Simplificação de radicais.
30ª lição – Introdução de fatores sob radical. Radicais de forma fracionária.
Racionalização.
31ª lição – Radicais homogêneos – Resolução de radicais ao mesmo índice.
Comparação de radicais.
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Anexos 264
32ª lição – Adição e subtração de radicais. Multiplicação e divisão de
radicais.
33ª lição – Potências e raízes de radicais. Expoentes fracionários.
34ª lição – Números imaginários ou complexos – Principais noções:
unidades imaginárias, imaginário puro e número complexo da forma a + bi.
Números complexos conjugados. Estudo elementar das operações com números
complexos.
35ª lição – Equações do 2º grau de uma incógnita. Definição. Resolução das
equações incompletas.
36ª lição – Resolução da equação completa do 2º grau. Método dos árabes.
37ª lição – Resolução da equação
2
ax bx c 0
+
+=. Método de Viéte.
38ª lição – Discriminante. Discussão da equação do 2º grau.
39ª lição – Forma mais simples da equação completa do 2º grau. Leis de
composição da equação.
40ª lição – Resolução gráfica e analítica da equação do 2º grau.
41ª lição – Trinômio do 2º grau. Definição. Raízes do trinômio.
Decomposição do trinômio.
42ª lição – Variações do trinômio. Representação gráfica.
43ª lição – Inequações do 2º grau. Definição – Resolução.
44ª lição – Proposições fundamentais que servem de base à geometria.
45ª lição – Deslocamentos elementares no plano; translação e rotação de
figuras.
46ª lição – Simetria – Figuras simétricas em relação a um ponto. Centro de
simetria. Figuras simétricas em relação a uma reta. Eixo de simetria.
47ª lição – Triângulos: seus elementos. Linhas notáveis. Grandeza de um
lado em relação à soma dos outros dois. Lei triangular de Tales.
48ª lição – Igualdade de triângulos – Três casos: um lado e dois ângulos
iguais, dois lados e o ângulo compreendido iguais, três lados iguais. Estudo dos
dois primeiros casos. Verificação do principio: Em triângulos iguais a iguais
ângulos se opõem lados iguais e vice-versa.
49ª lição – Triângulos isósceles. Em todo triangulo isósceles os ângulos da
base são iguais. Todo triangulo eqüilátero é eqüiângulo. Terceiro caso de
igualdade de triângulos; sua redução ao segundo pela propriedade de que em todo
triangulo isósceles os ângulos da base são iguais.
50ª lição – Alturas, medianas, bissetrizes e mediatrizes de um triângulo.
Pontos de intersecção.
51ª lição – Polígonos, suas denominações. Decomposição de um polígono
em triângulos; número destes. Soma dos ângulos internos de um polígono;
fórmula. Caso do polígono regular. Fórmula do valor de um ângulo.
52ª lição – Soma dos ângulos externos de um polígono. Número de
diagonais de um polígono convexo; fórmula.
53ª lição – Quadriláteros convexos. Classificação. Propriedades do
paralelogramo.
54ª lição – Propriedades do retângulo. Propriedades do losango.
Propriedades do quadrado.
55ª lição – Trapézio – Definição. Classificação – Propriedades.
56ª lição – Noção e exemplos de lugares geométricos.
57ª lição – Circunferência. Círculo. Principais linhas a considerar no círculo.
Divisão convencional da circunferência. Propriedades dos arcos e cordas.
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Anexos 265
58ª lição – Propriedade da perpendicular baixada ao meio de uma corda;
suas conseqüências.
59ª lição – Noção de tangente e de normal. Propriedade da tangente ao
circulo deduzida da consideração de ser a tangente a posição limite de uma
secante em movimento de translação e da corda, que essa secante contém, manter-
se perpendicular ao raio. Distancia de um ponto à circunferência.
60ª lição – Proporcionalidade dos ângulos centrais e dos arcos
correspondentes. Medida de um ângulo pela comparação com o reto que o contém
ou que nele é contido e dos arcos correspondentes. Medida do ângulo central.
Ângulo inscrito e sua medida.
61ª lição – Ângulos inscritos no mesmo semi-circulo ou em um mesmo
segmento. Medida do ângulo de segmento. Ângulo excêntrico e sua medida.
62ª lição – Linhas proporcionais – Divisão harmônica.
63ª lição – Linhas proporcionais no triangulo.
64ª lição – Semelhança – Definições – Triângulos semelhantes. Casos de
semelhança de triângulos.
65ª lição – Condições de semelhança de dois polígonos. Relação dos
perímetros.
66ª lição – Conseqüências da semelhança dos triângulos. Propriedades da
perpendicular baixada do vértice do ângulo reto de um triangulo retângulo sobre a
hipotenusa.
67ª lição – Quadrado da hipotenusa de um triangulo retângulo (teorema de
Pitágoras), valor da hipotenusa e de um cateto. Avaliação da diagonal de um e da
altura de um triangulo eqüilátero.
68ª lição – Homotetia – Definições. Homotetia direta e inversa. Simetria e
homotetia.
69ª lição – Relações métricas no circulo. Proposições fundamentais.
70ª lição – Potencia de um ponto em relação a um círculo. Exercícios.
4ª série
1ª lição – Equação biquadrada. Definição. Forma geral da equação
biquadrada. Resolução algébrica – Resolução ou transformada. Discussão.
2ª lição – Resolução de tipos diferentes de equações biquadradas.
3ª lição – Propriedades das raízes da equação biquadrada: soma das raízes;
soma dos quadrados das raízes; produto das raízes. Leis de composição da
equação.
4ª lição – Decomposição do trinômio biquadrado.
5ª lição – Equações irracionais – Definição – Transformação por elevação à
potência – Raízes estranhas.
6ª lição – Resolução da equação irracional da forma
AB
=
.
7ª lição – Resolução da equação irracional da forma
ABC
=
+ .
8ª lição – Resolução da equação irracional da forma
ABCD
+
=+.
9ª lição – Transformação do radical
AB± na soma de dois radicais
simples.
10ª lição – Problemas do 2º grau.
11ª lição – Progressão aritmética – Definição – Notação. Duplo aspecto em
que as progressões aritméticas podem ser consideradas. Termo geral de uma
progressão aritmética.
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Anexos 266
12ª lição – Propriedade das progressões aritméticas. Soma dos termos de
uma progressão aritmética.
13ª lição – Interpolação aritmética.
14ª lição – Problemas sobre progressões aritméticas.
15ª lição – Progressão geométrica. Definição – Notação. Classificação.
Determinação do termo geral.
16ª lição – Interpolação geométrica. Exercícios.
17ª lição – Progressão geométrica decrescente ilimitada; limite do último
termo. Soma dos termos de uma progressão geométrica. Dedução da fórmula: lim
a
S
1q
=
−
.
18ª lição – Problemas sobre progressões geométricas.
19ª lição – Função exponencial. Definição – Natureza do expoente.
Propriedades da função exponencial.
20ª lição – Gráfico da função
x
ya
=
, sendo a > 1.
21ª lição - Gráfico da função
x
ya
=
, sendo a < 1.
22ª lição – Importância da teoria dos logaritmos. Logaritmos considerados
como termo de uma progressão aritmética, começando por zero, correspondentes
aos de uma progressão geométrica, começando por 1. Noção de sistema de
logaritmos. Base de um sistema. Numero infinito de sistemas. Sistema geral dos
logaritmos. Logaritmo da unidade – Logaritmo da base. Logaritmo de zero.
Logaritmo do infinito.
23ª lição – Módulo de um sistema de logaritmos. Sistema de logaritmos
neperianos. Sistema de logaritmos vulgares. Nova noção de logaritmo de um
número sendo o expoente ao qual se deve elevar a base do sistema afim de ter esse
número. Identidade entre os logaritmos algébricos e aritméticos.
24ª lição – Propriedades fundamentais dos logaritmos. Noção de
cologaritmo.
25ª lição – Logaritmos decimais. Logaritmos das potências de 10. Quando
multiplicamos ou dividimos um número por 10m o seu logaritmo aumenta ou
diminui de m. Logaritmo decimal de um número. Característica e mantissa.
Determinação da característica.
26ª lição – Logaritmos decimais negativos. Preparar um logaritmo negativo.
Tomar negativo o logaritmo preparado. Logaritmos de números decimais que só
diferem pela colocação da vírgula.
27ª lição – Operações com logaritmos de característica negativa. Tábua de
logaritmo.
28ª lição – Determinação do logaritmo de um número inteiro menor que
10.000.
29ª lição – Determinação do logaritmo de um número inteiro maior que
10.000.
30ª lição – Interpolação – Uso das tabelas de partes proporcionais.
31ª lição – Determinação do logaritmo de um número decimal.
32ª lição – Determinar o número correspondente a um logaritmo dado.
33ª lição – Operações por meio de logaritmos.
34ª lição – Equação exponencial. Definição – Resolução por meio de
logaritmos.
35ª lição – Juros compostos; anuidades.
36ª lição – Polígonos inscritos e circunscritos à circunferência.
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Anexos 267
37ª lição – Polígonos regulares. Classificação em convexos e estrelados.
Dividindo uma circunferência em
n partes iguais, as cordas que unem os pontos
de divisão consecutivos formam um polígono regular inscrito, e as tangentes pelos
pontos de divisão formam um polígono regular circunscrito, ambos com
n lados.
38ª lição – Todo polígono regular é inscritível e circunscritivel à
circunferência.
39ª lição – Elementos dos polígonos regulares. Centro. Raio. Apótema.
Ângulo interno. Ângulo cêntrico [sic]. Valor do ângulo cêntrico [sic]. Relação
entre os ângulos interno e cêntrico [sic].
40ª lição – Polígonos regulares e estrelados: sua construção. Construção dos
polígonos regulares estrelados inscritos. Número de polígonos regulares de
n
lados.
41ª lição – Principais polígonos regulares. Simetria nos polígonos.
42ª lição – Inscrição de polígonos regulares no circulo. Divisão da
circunferência em partes iguais. Construção do quadrado. Expressão do lado do
quadrado. Apótema do quadrado.
43ª lição – Lado do hexágono regular. Construção do hexágono regular e do
triangulo eqüilátero. Expressão do lado do triangulo eqüilátero. Expressão do
apótema do triangulo.
44ª lição – Cálculo do apótema de um polígono regular. Lado do polígono
regular de 2n lados.
45ª lição – Lado do octógono regular convexo. Expressão do lado do
dodecágono regular convexo.
46ª lição – Lado do decágono regular convexo.
47ª lição – Semelhança dos polígonos regulares do mesmo número de lados;
proporcionalidade dos seus perímetros aos apótemas e aos raios dos círculos
circunscritos.
48ª lição – Circunferência considerada como limite de um polígono regular
inscrito. Relação entre a circunferência e o diâmetro. O número
π
. Noção do
cálculo de seu valor, considerado como limite dos valores dos semi-perímetros
dos polígonos regulares inscritos na circunferência de raio
um.
49ª lição – Retificação da circunferência e dos arcos. Radiano. Arcos
semelhantes.
50ª lição – Noção de área e de figuras equivalentes. Relação entre as áreas
de dois retângulos. Área do retângulo. Área do quadrado. Unidades de superfícies.
51ª lição – Paralelogramo equivalente ao retângulo da mesma base e da
mesma altura. Área do paralelogramo. Área do triangulo; caso particular do
triangulo eqüilátero.
52ª lição – Trapézio equivalente ao triangulo da mesma altura e de base
igual à soma das bases do trapézio. Área do trapézio. Propriedade da paralela
eqüidistantes das bases de um trapézio; outra expressão da área do trapézio.
53ª lição – Área do polígono pela decomposição em triângulos. Área do
círculo. Área do setor circular. Área do segmento circular.
54ª lição – Relação entre as áreas de dois círculos. Soma de dois círculos e
sua interpretação geométrica. Reflexões análogas para o caso de áreas de duas
figuras semelhantes.
55ª lição – Retas e planos no espaço. Plano e semi-plano. Determinação do
plano. Geração do plano. Posições relativas de duas retas. Posições relativas de
dois planos, ângulo de duas direções no espaço.
56ª lição – Retas e planos perpendiculares. Retas e planos paralelos.
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Anexos 268
57ª lição – Ângulos diedros. Projeção ortogonal. Projeção de uma reta sobre
um plano. Projeção de um segmento de reta sobre um plano. Projeção de retas
paralelas. Ângulo de uma reta e um plano. Linhas de maior declive de um ponto.
58ª lição – Ângulos poliédricos.
59ª lição – Poliedro. Definição. Diagonal de um poliedro. Classificação dos
poliedros. Secção plana de um poliedro. Prisma. Classificação. Paralelepípedos.
Determinação da diagonal de um paralelepípedo retângulo. Diagonal do cubo.
60ª lição – Área lateral de um prisma reto. Área total. Desenvolvimento de
um prisma.
61ª lição – Pirâmide. Definição. Classificação. Pirâmide regular. Tronco de
pirâmide. Secção plana de pirâmide. Área lateral da pirâmide regular. Área total.
Área lateral da pirâmide regular.
62ª lição – Poliedros regulares.
63ª lição – Cilindro; sua geração. Prisma regular inscrito num cilindro.
Cilindro considerado como limite de um prisma regular. Área lateral do cilindro.
Área total do cilindro. Tronco de cilindro.
64ª lição – Com; sua geração. Pirâmide regular inscrita num cone. Cone
considerado como limite de uma pirâmide regular. Área lateral do cone. Área
total. Tronco de cone; área lateral.
65ª lição – Esfera; sua geração. Superfície esférica. Seções planas da esfera.
Plano secante e plano tangente À esfera. Zona esférica.
66ª lição – Área da superfície gerada por uma reta que gira em torno de
outra fixa, no mesmo plano. Caso da reta móvel ser paralela ao eixo. Caso da reta
móvel ser obliqua ao eixo, não o encontrando. Caso da reta móvel ser paralela ao
eixo. Caso da reta móvel ser obliqua ao eixo, encontrando-o.
67ª lição – Área descrita por uma linha poligonal regular que toma um
movimento de rotação em torno de um eixo traçado no seu plano, passando pelo
seu centro, e sem corta-la; seção da zona esférica. Área da esfera.
68ª lição – Noção sobre geração e classificação das superfícies. Superfícies
desenvolvíveis: cilíndrica, cônica e de aresta de reversão. Superfícies reversas.
Superfícies de revolução. Superfícies canais.
69ª lição – Funções circulares – Variações das funções circulares.
Representação gráfica das variações trigonométricas.
70ª lição – Relações trigonométricas fundamentais. Operações sobre arcos.
5ª série
1ª lição – Resolução de triângulos. Resolução geométrica. Resolução
trigonométrica. Trigonometria; definição. Classificação dos triângulos.
2ª lição – Relações nos triângulos retângulos. Relações angulares – Relações
entre os lados. Relações entre os lados e os ângulos. Elementos secundários.
Projeção de um segmento.
3ª lição – Relações nos triângulos obliquângulos: Soma dos ângulos.
Relação entre os lados de um triângulo e os senos dos ângulos opostos. A relação
entre um lado qualquer de um triângulo e o seno do ângulo oposto é igual ao
diâmetro do círculo circunscrito.
4ª lição – Em todo triangulo, o quadrado de uma lado é igual a soma dos
quadrados dos outros dois, menos o duplo produto destes pelo cosseno do ângulo
por eles compreendido. Caso particular em que A = 90º. Expressão do cosseno.
5ª lição – Teorema das tangentes.
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Anexos 269
6ª lição – Tábuas trigonométricas. Tábuas naturais. Tábuas logarítmicas.
Descrição das tábuas.
7ª lição – Determinar o logaritmo de uma das funções trigonométricas de
um ângulo.
8ª lição – Dado um logaritmo trigonométrico, achar o ângulo.
9ª lição – Resolução dos triangulo retângulos. Noções preliminares.
Resolver um triangulo retângulo dados a hipotenusa e um ângulo agudo.
10ª lição – Resolver um triângulo retângulo, dados cateto e um ângulo
agudo.
11ª lição – Resolver um triângulo retângulo dados os dois catetos.
12ª lição – Resolver um triângulo retângulo, dados a hipotenusa e um cateto.
13ª lição – Resolução de triângulos obliquângulos – Noções preliminares.
Resolver um triângulo sendo dados um lado os dois ângulos adjacentes.
14ª lição – Resolver um triângulo sendo dados dois lados e o ângulo por eles
formado.
15ª lição – Resolver um triângulo dados os três lados.
16ª lição – Resolver um triângulo dados dois lados e o ângulo oposto a um
desses lados.
17ª lição – Discussão do quarto caso.
18ª lição – Análise combinatória – Preliminares. Noção de coordenação
matemática. Classificação das coordenações. Arranjos. Notação dos arranjos.
Determinação do número de arranjos simples. Arranjos com repetição.
19ª lição – Permutações – Notação das permutações. Cálculo do número de
permutações simples. Permutações com repetição.
20ª lição – Combinações – Notação das combinações. Cálculo do número de
combinações simples. Fórmula das combinações em fatoriais.
21ª lição – Números binomiais – Notação dos números binomiais
simétricos. Propriedades dos números combinatórios. Binomiais extremos.
22ª lição – Potenciação de binômios. Produto de binômios com um termo
comum. Lei do número de termos. Lei dos expoentes. Lei dos coeficientes. Lei do
último termo.
23ª lição – Binômio de Newton. Lei do número de termos. Lei dos
expoentes. Lei dos coeficientes. Fórmula do binômio de Newton.
24ª lição – Termo geral do binômio. Os termos eqüidistantes dos extremos
no desenvolvimento do binômio têm coeficientes iguais. A soma dos coeficientes
do desenvolvimento do binômio é igual a potencia
m
2 . A soma dos coeficientes
dos termos de ordem par é igual a soma dos coeficientes dos termos de ordem
ímpar.
25ª lição – Noção de limite. Definição de limite de uma variável.
Infinitamente pequeno. Diferença entre a variável e o limite. Infinitamente grande.
O inverso de um infinitamente grande.
26ª lição – Formas de crescimento. Limite de uma função. Limite de uma
variável. Limite comum de duas variáveis. Número incomensurável. Expressões
idênticas. Limite comum.
27ª lição – Proposições sobre limites.
28ª lição – Determinação dos limites. Formas singulares. Formas ilusórias.
29ª lição – Exercícios numéricos relativos à determinação dos limites de
certas expressões.
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Anexos 270
30ª lição – Limite de
n
1
1
n
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
. Numero
e. Limite de
x
sen x
.
31ª lição – Constante e variável. Acréscimo de uma função. Notação dos
acréscimos. Representação gráfica do acréscimo de uma função. Continuidade de
uma função. Função descontínua.
32ª lição – Classificação das funções.
33ª lição – Acréscimo de uma variável. Acréscimo de uma função. Notação
dos acréscimos. Representação gráfica do acréscimo de uma função. Continuidade
de uma função. Função descontínua.
34ª lição – Razão dos acréscimos ou quociente das diferenças. Caso da
função linear. Significação do coeficiente
a. Significação geométrica da razão dos
acréscimos.
35ª lição – Limite da razão dos acréscimos. Declividade de uma curva.
Declividade de uma função. Interpretação geométrica do limite dos acréscimos.
Derivada de uma função. Notação das derivadas.
36ª lição – Derivada de uma função. Determinação da derivada de uma
função.
37ª lição – Derivada de uma soma. Derivada de um produto. Derivada de
uma constante.
38ª lição – Derivada de x. Derivada de
m
x . Exercícios.
39ª lição – Derivada de um quociente. Exercícios.
40ª lição – Derivada de uma função de função. Exercícios.
41ª lição – Derivada de uma raiz. Exercícios.
42ª lição – Diferencial. Derivada parcial. Exercícios.
43ª lição – Derivada do seno. Exercícios.
44ª lição – Derivada das funções: com x [sic], tg x e cot x. Exercícios.
45ª lição – Derivadas sucessivas de uma função.
46ª lição – Função crescente. Função decrescente. Sinal da derivada.
47ª lição – Máximo de uma função – Mínimo de uma função. Máximos e
mínimos de uma função.
48ª lição – Valor máximo de uma função. Determinação do máximo de uma
função.
49ª lição – Valor mínimo de uma função. Determinação do mínimo de uma
função.
50ª lição – Determinação de máximos e mínimos. Exercícios.
51ª lição – Primitivas imediatas. Fator constante.
52ª lição – Diferencial de uma área. Integral definida. Cálculo da integral
definida.
53ª lição – Integral definida como limite da soma. Aplicação ao cálculo de
certas áreas.
54ª lição – Noção de volumo. Corpos de volumes iguais e formas diversas.
Relação entre volumes de dois paralelepípedos retângulos. Volume do
paralelepípedo retângulo. Volume do cubo. Unidade de volume.
55ª lição – Equivalência de um prisma oblíquo a um prisma reto. Volume de
um paralelepípedo qualquer.
56ª lição – Decomposição do paralelepípedo em dois primas triangulares
equivalentes. Volume do prisma triangular. Decomposição de um prisma qualquer
em prismas triangulares. Volume de um prisma qualquer.
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Anexos 271
57ª lição – Seção feita numa pirâmide por um plano paralelo à base. Volume
da pirâmide.
58ª lição – Volume do tronco de pirâmide.
59ª lição – Volume do cilindro. Relação entre os volumes de dois cilindros
semelhantes.
60ª lição – Volume do cone. Relação entre os volumes de dois cones
semelhantes.
61ª lição – Volume do tronco de cone.
62ª lição – Volume dos sólidos de revolução.
63ª lição – Volume da cunha esférica, do segmento esférico e do setor
esférico.
64ª lição – Volumes da esfera. Relação entre os volumes de duas esferas.
65ª lição – Curva; definição. Ramo de uma curva. Classificação das curvas.
Curvas do 2º grau. Seções cônicas.
66ª lição – Elipse. Eixos e centro. Relação entre os eixos e a distancia focal.
Excentricidade. Círculos da elipse. Equação da elipse. Área da elipse.
67ª lição – Hipérbole. Eixos, centro e vértice da hipérbole. Excentricidade
da hipérbole. Equação da hipérbole. Assíntotas da hipérbole.
68ª lição – Parábola. Eixo e vértice. Equação da parábola.
69ª lição – Processos elementares de desenvolvimento em série;
convergência de uma série.
70ª lição – Desenvolvimento do seno, cosseno e tangente.
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