( PDF ) Contribuições à mecânica dos sistemas de massa variável

1

LEONARDO CASETTA

CONTRIBUIÇÕES À MECÂNICA DOS SISTEMAS DE

MASSA VARIÁVEL

São Paulo

2008

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

2

LEONARDO CASETTA

CONTRIBUIÇÕES À MECÂNICA DOS SISTEMAS DE

MASSA VARIÁVEL

Tese apresentada à Escola Politécnica da

Universidade de São Paulo para a obtenção

do título de Doutor em Engenharia

São Paulo

2008

3

LEONARDO CASETTA

CONTRIBUIÇÕES À MECÂNICA DOS SISTEMAS DE

MASSA VARIÁVEL

Tese apresentada à Escola Politécnica da

Universidade de São Paulo para a obtenção

do título de Doutor em Engenharia

Área de concentração: Engenharia

Mecânica

Orientador: Prof. Dr. Celso Pupo Pesce

São Paulo

2008

4

DEDICATÓRIA

À Ana, minha esposa, e à Clara, minha filha, que sempre me

trouxeram muita felicidade e paz.

5

AGRADECIMENTOS

À FAPESP, Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, pelo suporte

financeiro, através da bolsa de doutoramento, processo número 04/04611-5.

Menção especial de agradecimento ao assessor ad-hoc da FAPESP, pelo incentivo e

compreensão ao longo do desenvolvimento da pesquisa.

Aos Professores Benaroya, H., Mikhailov, G. K. e Šíma, V., por terem gentilmente

disponibilizado algumas de suas referências; e Irschik, H., Korobkin, A. A. e Miloh, T., por

terem incentivado a pesquisa sobre o tema aqui abordado.

À banca examinadora, pelo tempo despendido com a leitura dessa tese, de onde então

culminaram valiosas críticas e sugestões não apenas para esse trabalho, mas também para

futuros.

Em especial, ao meu orientador, o Prof. Dr. Celso Pupo Pesce. Durante esses quase cinco

anos de pesquisa, o Prof. Dr. Celso Pupo Pesce foi quem, acreditando na possibilidade de que

eu pudesse realizar um bom trabalho, envolveu-se em cada uma de nossas discussões. E foi

dessa forma que essa tese foi sendo construída, ou seja, através dessa nossa relação de

confiança, respeito e carinho.

Aos meus amigos (em ordem alfabética), Ana Dienn Coelho Rocha, Edileuza Salvani da

Silva, Edna Moratto Rodrigues de Lima, Helton Henrique dos Santos Bezerra, Janice

Rechulski, Marcos Alves Rabelo, Maria Regina Castro, Marilda Nagamini, Patricia Aguiar

Fidelis, Telma Ramos Trigo e Wilson Camargo da Silva, que me ajudaram na superação de

mais esse obstáculo. Em especial, agradeço ao meu amigo Luis Fernando Sper Cavalli, que

sempre será para mim um exemplo de uma pessoa tenaz, corajosa, lutadora e ao mesmo

tempo serena.

Por fim, deixo meus mais sinceros agradecimentos à minha família, em especial aos meus

pais e irmãos, cujo apoio foi indispensável para a conclusão desse trabalho.

6

PREFÁCIO

Antes do leitor iniciar a apreciação dessa tese, o autor gostaria de comentar como se deu

seu desenvolvimento.

O primeiro contato que o autor dessa tese teve com o tema ‘teoria de sistemas de massa

variável’ ocorreu durante seu programa de mestrado, realizado aqui nessa mesma Escola. À

época, o autor estudava o chamado ‘problema de impacto hidrodinâmico’, problema que é de

grande relevância para o processo de avaliação da segurança de estruturas marítimas, e que é

usualmente modelado a partir de um volume de controle; portanto, como um sistema de massa

variável. Sob o ponto de vista teórico, esse problema apresenta um aspecto bastante

interessante. Quando o campo de pressão é integrado sob a superfície molhada do corpo, o

resultado obtido, i.e. a força de impacto, não corresponde àquela expressão que advém da

aplicação da equação de Lagrange clássica.

Ocorre que em um dos primeiros trabalhos sobre a aplicação da equação de Lagrange a

problemas de hidrodinâmica, que é aquele devido à Lamb (1932, art. 136), mostra-se que,

quando um corpo está em contato com um líquido, as forças hidrodinâmicas sob as quais o

mesmo fica submetido podem ser obtidas a partir da formulação Lagrangeana. No entanto,

para o problema de impacto hidrodinâmico, essa técnica ‘falhava’

1

e um ‘aparente’ paradoxo

assim se estabelecia.

Foi então que em 2003, o orientador desse trabalho, então orientador do programa de

mestrado do autor, mostrou que, em verdade, não existe paradoxo se a chamada ‘equação de

Lagrange estendida’ (por ele demonstrada em PESCE, 2003) fosse aplicada ao problema.

Dentro da dinâmica de partículas, a equação de Lagrange estendida é aquela que deve ser

utilizada no caso em que a massa das partículas depende explicitamente das coordenadas e

velocidades generalizadas do sistema. Essa elegante solução para o aparente paradoxo foi o

quê, de início, motivou o autor dessa tese a prosseguir com a pesquisa sobre a teoria de

sistemas de massa variável; ou seja, a buscar respostas para perguntas como: por que razão a

______________

1

Na verdade, como será discutido no Capítulo 5, essa técnica é válida para esse problema, desde que o mesmo

seja reinterpretado de modo consistente com a teoria de Lamb (1932, art. 136).

7

equação de Lagrange estendida é adequada para o problema de impacto hidrodinâmico, e, a

equação de Lagrange demonstrada por Lamb (1932, art. 136), então considerada como um

resultado clássico, não?

O autor dessa tese então começou a levantar uma série de referências bibliográficas sobre

a teoria de sistemas de massa variável, procurando nelas a interpretação física adequada para

cada um dos termos envolvidos nas diferentes formas da equação de Lagrange. Mas ocorreu

que, em meio a essa pesquisa, uma nova questão surgiu: a aplicação da segunda lei de Newton

a sistemas de massa variável. As novas referências também apontavam para o fato de que

existiam muitos equívocos de interpretação na aplicação da segunda lei de Newton aos

sistemas de massa variável, se os termos nela envolvidos não fossem interpretados

adequadamente.

Nesse ínterim, o autor tomou conhecimento do importantíssimo trabalho de revisão de

Irschik e Holl (2004), que trata da teoria de sistemas de massa variável de um modo geral.

Além disso, em contato por correio eletrônico, o Prof. Dr. Mikhailov, atenciosamente, enviou

um de seus artigos sobre a história da mecânica de sistemas de massa variável, onde nele é

mostrada a evolução da concepção da segunda lei de Newton para esses sistemas. Assim, das

referências já anteriormente levantadas, do trabalho de Irschik e Holl (2004) e aquele de

Mikhailov (1975), o autor pôde construir uma espinha dorsal para a interpretação dos

principais fundamentos envolvidos na mecânica de sistemas de massa variável.

No entanto, questões sobre a maneira adequada de se empregar a equação de Lagrange a

sistemas de massa variável ainda não havia sido respondidas, e novas pesquisas, portanto,

ainda eram necessárias. O autor então tomou conhecimento de um outro trabalho de Irschik e

Holl (2002), onde a equação de Lagrange para um volume de controle é demonstrada. A partir

desse trabalho, elementos preciosos sobre essas questões foram extraídos. Mas, foi revisitando

o trabalho de Mikhailov (1975) que o aspecto mais curioso e interessante dessa tese surgiu.

Um dos primeiros problemas a serem interpretados como um problema envolvendo um

sistema de massa variável é o chamado ‘problema da corrente em queda’. O curioso é que,

assim como o problema de impacto hidrodinâmico, o problema da corrente em queda também

envolvia aparentes paradoxos no sentido da aplicação da equação de Lagrange.

Uma nova série de referências bibliográficas sobre esse primeiro problema foi então

levantada, e entre elas estava a de Cayley (1857), que é um dos primeiros trabalhos sobre a

aplicação da equação de Lagrange a sistemas de massa variável. E foi justamente a partir

8

dessa referência que os aparentes paradoxos envolvendo o problema da corrente em queda e o

problema de impacto hidrodinâmico puderam, pelo menos sob o ponto de vista do autor dessa

tese, ser interpretados e resolvidos de uma mesma e única maneira.

O leitor dessa tese assim a encontrará dividida em duas partes. A primeira, que

corresponde à parte teórica, encerra questões de interpretação do processo de variação de

massa e dos termos envolvidos, seja na segunda lei de Newton, seja na equação de Lagrange.

Na segunda parte, o problema da corrente em queda e o de impacto hidrodinâmico são

abordados como exemplos de aplicação daquilo que foi exposto na primeira parte. Vale aqui

também adiantar que, em razão dos diferentes assuntos abordados, i.e. o problema da corrente

em queda, o problema de impacto hidrodinâmico, a história da mecânica de sistemas de massa

variável, etc., a revisão bibliográfica dessa tese encontra-se apresentada ao longo dos

Capítulos, conforme o tópico em pauta.

Cumpre mencionar, por fim, recentíssima e relevante aplicação da teoria da dinâmica de

sistemas de massa variável: o estudo do movimento de colapso das duas torres gêmeas do

World Trade Center, tragicamente ocorrido em 11 de setembro de 2001. O artigo de Bažant e

Verdure (2007), por exemplo, aborda o problema sob a ótica da mecânica de sistemas de

massa variável. No entanto, apresentam dúbias equações sem um efetivo aprofundamento das

questões teóricas aqui abordadas, acomodando-se ao aparente paradoxo, mais uma vez

manifesto.

9

RESUMO

Desde 1814, quando então se deram seus primeiros estudos, a mecânica de sistemas de massa

variável tem se constituído como um ramo particular dentro da mecânica clássica. Suas

aplicações encontram-se espalhadas por diversas áreas do conhecimento e vão desde a

engenharia até a medicina, por exemplo. No entanto, apesar dessas aplicações de sucesso,

ainda hoje são encontradas na literatura discussões acerca dos fundamentos da mecânica de

sistemas de massa variável. Nesse cenário, figuram os chamados ‘aparentes paradoxos’ que

envolvem diferentes equações de movimento para um mesmo sistema de massa variável. É o

que pode ser encontrado, por exemplo, com relação ao ‘problema de Wagner’, no âmbito do

estudo do impacto de corpos sólidos contra superfícies de líquidos, e ao ‘problema da corrente

em queda’. Nessa tese, questões como essas serão abordadas. Mas o cerne do escopo do

presente trabalho é a apresentação de uma discussão de caráter mais geral e interpretativa

sobre a teoria e aplicação da mecânica de sistemas de massa variável, mantendo-se como foco

principal a contribuição para um melhor entendimento desse importante ramo da mecânica.

Para tal, resultados teóricos originais serão apresentados, e discussões e aplicações sobre os

mesmos serão feitas. Inicialmente, uma discussão sobre os primeiros trabalhos que

fundamentam a dinâmica de uma partícula de massa variável é feita. Nesse contexto,

interpretações originais do autor dessa tese são apontadas. Em seguida, a aplicação da

equação de Lagrange a sistemas de massa variável é abordada. Nesse cenário, esse autor

apresenta a chamada ‘equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa varia

com as coordenadas e velocidades generalizadas’. Esse também é um dos resultados originais

dessa tese. Por fim, é apresentada a extensão do princípio variacional para um líquido para um

volume de controle, que também é um resultado original desse trabalho. Dois problemas

clássicos dentro da teoria de sistemas de massa variável são então tratados, i.e. o problema da

corrente em queda e o problema de Wagner. Trata-se de dois problemas ‘aparentemente

paradoxais’. A resolução desses ‘aparentes paradoxos’ é abordada, o que também se constitui

em um dos resultados originais dessa tese. Uma breve discussão sobre o problema do colapso

das torres gêmeas do World Trade Center à luz da mecânica de sistemas de massa variável é

também feita.

Palavras-chave: Mecânica teórica. Sistemas de massa variável. Abordagem Lagrangeana.

Problema de Wagner. Problema de corrente em queda. Colapso das torres gêmeas do World

Trade Center. ‘Aparentes paradoxos’.

10

ABSTRACT

Since 1814, when the first researches on the topic were carried out, variable mass system

mechanics has become a particular branch within classical mechanics. Applied problems

involving variable mass systems are sparsely distributed over a wide range of different areas

of knowledge, and go from engineering to medicine, for example. However, despite these

successful applications, even today one can find in the specialized literature discussions on

the fundamentals of the variable mass system mechanics. In this scenario, ‘apparent

paradoxes’, which are based on different equations of motion for a same variable mass

system, figure out. In this sense, the Wagner’s problem, in the context of the study of the

impact of solid bodies into liquid surfaces, and the falling chain problem can be cited as

didactic examples. In this thesis, topics like this one will be treated. However, the main scope

of this work is to present a more general and interpretative discussion on both the theory and

application of the mechanics of variable mass systems, but keeping the focus on contributions

that enable a better understanding of such an important branch of mechanics. For that, original

theoretical results will be presented, as also discussions and applications of them. In the

beginning, a discussion on the first fundamental works about the dynamics of a variable mass

particle is done. In such a context, original interpretations of this author are pointed out. Then,

the application of Lagrange equations on variable mass systems is discussed. In this scenario,

this author shows the so-called ‘Lagrange equation for a control volume where mass varies

with generalized coordinates and velocities’. This is also an original result of this thesis. By

the end, an extension of a variational principle to a control volume is shown, also an original

result of this work. Two classical problems within the theory of variable mass systems are

then treated, i.e. the falling chain problem and the Wagner’s problems. Both are ‘apparently

paradoxical’ problems. The resolution of such ‘apparent paradoxes’ is addressed, what is also

an original result. Within the present context of the mechanics of variable mass systems, a

brief discussion on the problem of the collapse of the World Trade Center twin towers is also

done.

Keywords: Theoretical mechanics. Variable mass systems. Lagrangean approach. Wagner’s

problem. Falling chain problem. Collapse of the World Trade Center twin towers. ‘Apparent

paradoxes’.

11

LISTA DE FIGURAS

Descrição Pág.

Figura 2.1 - Agregação entre uma partícula de massa

m

e uma outra partícula de massa

µ

d inﬁnitesimal..... 10

Figura 2.2 - Agregação entre uma partícula de massa

m

e uma outra partícula de massa

µ

d

inﬁnitesimal.

Caso em que, após o choque, a identidade da partícula

µ

d é perdida. ............................................................... 13

Figura 2.3 - Interpretação de Tait e Steele (1856) para a dinâmica de uma partícula de massa variável........... 15

Figura 2.4 - Representação de fontes de

ψ

dentro do volume material

V

~

, e passagem de

ψ

através de

V

~

∂

. 18

Figura 2.5 - ‘Desaparecimento’ da partícula

µ

d

, que se encontra no exterior de V

~

(no instante de tempo

t

), e

‘surgimento’ dessa partícula no interior de

V

~

(no instante de tempo

tt d

+

), quando então é imediatamente

agregada pela partícula de massa

m

. A partícula ‘gerada’ não é interpretada como parte da partícula que a

gera. ...................................................................................................................................................................... 22

Figura 2.6 - O mesmo que a Fig. 2.5. Porém, a partícula ‘gerada’ é interpretada como parte da partícula que a

gera. ...................................................................................................................................................................... 22

Figura 2.7 - Partícula

µ

d , que se encontra no exterior de V

ˆ

no instante de tempo

t

, cruza a fronteira V

ˆ

∂ , e

atinge o interior de V

ˆ

no instante de tempo tt d

+

, quando então é imediatamente agregada à partícula de

massa

m

. Ao ser capturada, a partícula

µ

d

não é interpretada como parte da outra partícula........................ 27

Figura 2.8 - O mesmo que a Fig. 2.7. No entanto, ao ser capturada, a partícula

µ

d

é interpretada como parte

da outra partícula.................................................................................................................................................. 27

Figura 3.1 – Ilustração de um sistema de massa variável com a posição. Uma caneta movendo-se ao longo de

uma folha de papel. ............................................................................................................................................... 42

Figura 3.2 - Sistema de massa variável explicitamente com a posição. Um bloco movendo-se ao longo de uma

superfície áspera. .................................................................................................................................................. 55

Figura 3.3 - Um reservatório de líquido que é aberto e que se encontra preso na extremidade de uma haste que

gira. Sistema de massa variável explicitamente com a velocidade. ...................................................................... 61

Figura 3.4 - Movimento de um corpo não-deformável e totalmente submerso em meio líquido com uma

superfície livre. Meio líquido na cor cinza, corpo na cor branca. ........................................................................ 76

Figura 4.1 - Problema de Buquoy bidimensional.................................................................................................. 85

Figura 4.2 - Problema de Buquoy unidimensional................................................................................................ 86

Figura 4.3 - Fluxo de quantidade de movimento vertical para a porção enrolada da corrente (problema de

Buquoy para o caso em que 0

<

y

&

). .................................................................................................................... 89

Figura 4.4 - Problema de Buquoy com 0

=

F e y*(0) = 6. Solução de Šima e Podolský (2005) (Eq. (4.6a) e

aquela esperada a partir dos conceitos apresentados no Capítulo 2 (Eq. (4.7a)). ............................................... 90

Figura 4.5 - Problema de Cayley tridimensional.................................................................................................. 91

Figura 4.6 - Problema de Cayley unidimensional................................................................................................. 91

Figura 4.7 - Problema de Cayley. Solução de Souza e Rodrigues (2004), Eq. (4.15a) e a de Cayley (1857), Eq.

(4.11a). .................................................................................................................................................................. 94

Figura 4.8 - Instante de tempo imediatamente anterior ao abandono de um das extremidades fixas da corrente.

............................................................................................................................................................................... 95

Figura 4.9 - Instante de tempo imediatamente após o abandono de um das extremidades fixas da corrente....... 96

Figura 4.10 - Idealização usual do problema da corrente em U. ......................................................................... 97

Figura 4.11 - Esquematização dos três volumes de controle que compõe a corrente em U. ................................ 98

Figura 4.12 - Analogia entre o problema da corrente em U e o de um bloco (retângulo com listras) sendo

abaixado por meio de uma polia móvel. Note que jv y

A

&

= , )(

2

1

jiv

+

= y

B

&

e 0=

C

v ............................... 100

Figura 4.13 - Problema da corrente em ‘U’. Solução dada pela Eq. (4.26a) e aquela onde se considera que a

perna livre cai com aceleração constante e igual à da gravidade. ..................................................................... 101

Figura 4.14 - Velocidade da partícula e velocidade do elemento de massa antes de sua captura, nas possíveis

maneiras de isso ocorrer. .................................................................................................................................... 115

12

Figura 4.15 - Velocidade da partícula e velocidade do elemento de massa após sua ejeção, nas possíveis

maneiras de isso ocorrer. .................................................................................................................................... 115

Figura 4.16 - Superfície singular que ocorre dentro da corrente no problema de Buquoy. Definição dos volumes

V

ˆ

e

V

(

. ............................................................................................................................................................... 116

Figura 4.17 - Bola de neve que ao se movimentar captura um floco de neve. Definições dos volumes V

ˆ

e V

(

.117

Figura 4.18 – Esquematização do movimento de colapso da torre do World Trade Center. ............................. 121

Figura 4.19 – Simulação do avanço da frente de colapso (avalanche) da torre 1 do World Trade

Center. 2,0

=

K , 044,0

−

=

Φ

;

1364,0)0(*

=

y

. Comparação entre soluções das Eqs. (4.88a) (correta) e (4.89a).

............................................................................................................................................................................. 126

Figura 4.20 – Simulação do avanço da frente de colapso (avalanche) da torre 2 do World Trade

Center. 2,0

=

K , 044,0

−

=

Φ

;

2545,0)0(

*

=y

. Comparação entre soluções das Eqs. (4.88a) (correta) e (4.89a).

............................................................................................................................................................................. 126

Figura 5.1 - O primeiro ponto de contato entre o corpo e o líquido, i.e. em

0

=

t

. Sistema de coordenadas

Oxyz

. .................................................................................................................................................................. 130

Figura 5.2 - Regiões características do escoamento para pequenos valores de

ε

. ........................................... 131

Figura 5.3 - O seio do líquido e a descrição da elevação da superfície livre pela função

η

............................. 131

Figura 5.4 - Mapeamento do domínio líquido

b

V do problema de Wagner não-linear no domínio líquido

0

b

V do

problema de Wagner linear. Note que

0

F

S

não inclui os jatos e que a área do disco

0

B

S

rapidamente se expande.

............................................................................................................................................................................. 134

Figura 5.5 - Fluxo de líquido através da região da raiz do jato......................................................................... 138

Figura 5.6 – Desaceleração no impacto de uma esfera, segundo Eq. (5.33) (correta) e (5.34) (incorreta) para o

caso

15

2

=

R

F

e σ = 0,2 (

35,0)/(

≅

ρ

es

). .......................................................................................................... 142

Figura 5.7 - Desaceleração no impacto de uma esfera, segundo Eq. (5.33) (correta) e (5.34) (incorreta) para o

caso

15

2

=

R

F

e σ = 4,5 (

89,7)/(

≅

ρ

es

). .......................................................................................................... 143

Figura A.1 – Relação entre as posições de uma mesma partícula, sendo essas tomadas com relação a diferentes

referenciais inerciais.............................................................................................................................................164

Figura B.1 - Movimento e deformação de um volume material...........................................................................171

Figura B.2 - Movimento e deformação de um volume material com relação ao volume espacial que

instantaneamente coincide com o mesmo.............................................................................................................172

Figura B.3 - Movimento e deformação de um volume de controle móvel e deformável.......................................174

Figura B.4 - Movimento e deformação do volume material que é composto pelas partículas ﬁctícias...............176

Figura B.5 - Movimento e deformação de V

~

, volume material formado pelas partículas reais, com relação a

V

ˆ

, volume material composto pelas partículas fictícias, que também se movimenta e deforma. A priori, esses

volumes movem-se de modo diferente; mas são instantaneamente coincidentes.................................................177

Figura D.1 – Processo de ‘ejeção-captura’ de um elemento de massa entre dois subsistemas de massa variável.

Caso em que existe um estágio intermediário entre a ejeção e a

captura..................................................................................................................................................................185

13

LISTA DE SÍMBOLOS

ALFABETO ROMANO

(Obs.: caracteres em negrito correspondem a vetores)

A

: área através da qual ocorre fluxo de massa (Eq. (3.37))

a

: raio do disco

0

B

S (Seção 5.3.1)

B

: corpo (Apêndice B)

c

: constante de amortecimento (Eq. (3.14)); temperatura constante do sistema (a menos do

sinal) (Eq. (3.135))

tDD /(.) : derivada temporal de (.) no sentido descrito nas páginas 19 e 20

(.)d : elemento diferencial de (.)

E

: energia total do sistema (Eq. (2.48))

F

: força no sentido geral

R

F : parâmetro adimensional de velocidade de impacto (Eq. (5.33))

f : força por unidade de massa (Eq. (3.79))

g

: aceleração da gravidade

H

: altura inicial da torre (Fig. 4.18)

h : altura do bloco (Seção 3.2.1.1); altura da parte móvel não compactada (Fig. 4.18)

[.]i : fluxo de [.] (Fig. 2.4)

J : Jacobiano da transformação (Apêndice B)

K

: fator de compactação de massa definido como

cnc

σ

/ (Seção 4.6)

L

: comprimento da meia-cuia (Seção 3.2.2.1); comprimento molhado característico do corpo

(Eq. (5.1)); Lagrangeana (Eq. (3.114))

l : largura do bloco (Seção 3.2.1.1); raio da meia-cuia (Seção 3.2.2.1); comprimento total da

corrente (Capítulo 4)

M

: massa adicional (Eq. (5.16))

m

: massa no sentido geral

N

: força normal (Eq. (4.8))

n

: versor normal

O : ponto fixo ao redor do qual gira a haste que segura a meia-cuia (Seção 3.2.2.1)

14

p

: quantidade de movimento no sentido geral; pressão líquida (Eq. (5.8))

Q

: força generalizada (Eq. (3.1))

q

: coordenada generalizada (Eq. (3.1))

R

: distância da meia-cuia até o ponto

O

(Fig. 3.3); raio da esfera (Eq. (5.32))

r

: posição do bloco com relação ao sistema de coordenadas

xy

(Fig. 3.2); distância de um

ponto da superfície livre do líquido com relação ao sistema de coordenadas

'' yx

(Fig. 3.3)

S

: superfície no sentido geral ; entropia (Eq. (3.115))

[.]s

: fonte de [.] (Fig. 2.4)

T

: energia cinética no sentido geral

t

: tempo

U

: velocidade vertical do corpo de impacto (Fig. 5.1)

U

: energia interna do sistema (Eq. (2.48)); energia potencial gravitacional (Seção 4.6)

u

: velocidade do elemento de massa gerado em V

~

(Eq. (2.22))

V

: volume no sentido geral

V

: configuração de referência de

B

(Apêndice B)

v

: velocidade no sentido geral

V

∂

: assim como

S

, superfície no sentido geral (comumente atribui-se a

V

∂

o sentido de

superfície associada ao volume

V

)

1

)d( v

: incremento na velocidade de uma partícula que corre devido à ação de uma força

externa

F

(Eq. (2.12))

2

)d( v

: incremento na velocidade de uma partícula que ocorre devido ao seu impacto com um

elemento de massa (Eq. (2.15))

W

: trabalho (Eq. (3.132))

WTC: World Trade Center

w

: velocidade de um elemento de massa imediatamente anterior à sua captura (

1

w

, Eq.

(2.6)), ou imediatamente após sua ejeção (

2

w

, Eq. (2.6)) (Eq. (2.18)); ou conforme a

definição da Eq. (A.4) ou da (A.15), quando assim apropriadas

),,(),,(

321

ZYXXXX

≡

=

X : coordenadas Lagrangeanas (Apêndice B)

),,(),,(

321

zyxxxx

≡

=

x : coordenadas Eulerianas (Cartesianas no sentido geral) (Apêndice

B)

15

ALFABETO GREGO

α

&

: módulo da velocidade angular da haste que segura a meia-cuia (Seção 3.2.2.1)

β

: multiplicador de Lagrange (Eq. (3.122))

Γ

: torque aplicado com relação ao ponto

O

(Fig. 3.3)

γ

: ângulo formado entre a superfície livre do líquido e a horizontal (Fig. 3.3)

δ

: variação virtual (Eq. (3.114))

ε

: espessura do material expelido (Figs. 3.2 e 3.3); parâmetro do problema de Wagner (Eq.

(5.1))

ζ

: profundidade de penetração do corpo (Eq. (5.1))

η

: função que descreve a elevação da superfície livre (Fig. 5.3)

Θ

: temperatura do meio líquido (Eq. (3.127))

θ

: taxa de geração de massa (Eq. (2.20))

ι

: momento de inércia com relação ao ponto

O

(Eq. (3.107))

λ

: densidade [kg/m

2

] (Eq. (3.88))

µ

: função que descreve a variação da massa com o tempo (Eq. (3.26))

...14159,3

=

π

ρ

: densidade [kg/m

3

] (Eq. (2.19))

σ

: densidade [kg/m] (Eq. (3.62)); parâmetro adimensional (Eq. (5.33))

τ

: tensão na corrente (Eq. (4.29))

υ

: volume de controle fixo (Apêndice B)

)(t

υ

: volume de controle móvel (Apêndice B)

Φ

: força reativa que ocorre devido à ejeção ou agregação de massa (ver, por exemplo, Eq.

(4.17))

Φ

: força resistiva (adimensional) ao colapso de um andar no problema das torres do WTC.

φ

: potencial de velocidade (Eq. (3.125))

χ

: função que mapeia a coordenada Lagrangeana

X

de uma partícula em sua coordenada

atual

x

(Apêndice B)

x

xx

x

: função que descreve a posição e forma de

υ

∂

(Capítulo 6)

Ψ

: integral de

ρψ

em um determinado volume (Apêndice B)

ψ

: grandeza física qualquer por unidade de massa (Eq. (2.19))

16

SUBSCRITOS

at

: atrito (Seção 3.2.1.1)

B

: superfície molhada do corpo de impacto (Eq. (5.3))

b

: seio do líquido (Fig. 5.3)

c

: com relação à região compactada da torre (Seção 4.6)

cm

: centro de massa (Apêndices A.1 e A.2)

en

: porção enrolada da corrente (Seções 4.1 e 4.2)

es

: porção esticada da corrente (Seções 4.1 e 4.2); com relação à esfera (Eqs. (5.33) e (5.34))

F

: superfície livre (Figs. 5.3 e 6.1)

H

: superfície de ‘fundo’ (Fig. 6.1)

i

: com relação à i-ésima partícula de um sistema discreto de partículas (Capítulo 3)

j

: jato de líquido (Eq. (5.19)); uma das três coordenadas Lagrangeanas

j

X de uma partícula

(Capítulo 6)

k : com relação à k-ésima coordenada generalizada

k

q e a força generalizada

k

Q associada

(ver Eqs. (3.1) e (3.4))

l

: porção livre da corrente (Seção 4.3)

mov

: com relação à região móvel da torre (Eq. (4.74))

nc

: com relação à região não compactada da torre (Seção 4.6)

0

: inicial (ver, por exemplo, Eq. (3.62))

r

: porção em repouso da corrente (Seção 4.3)

ref

: velocidade do referencial móvel (Apêndice A.3)

rep

: com relação à região em repouso da torre (Eq. (4.75))

root

: raiz do jato (Eq. (5.19))

W

: superfície lateral (Fig. 6.1)

w

: domínio líquido como um todo (Eq. (5.19))

υ

: com relação a

)(t

υ

(Apêndice B)

SUPERESCRITOS

0

: com relação ao problema de Wagner linear (Fig. 5.4)

* : conforme definido no Apêndice A; função de Rayleigh alternativa (Eq. (4.44)); designação

de variável adimensional (Capítulos 4 e 5)

17

' : com relação ao referencial móvel

∂

ˆ

;

ˆ

V

: com relação ao volume das partículas fictícias (Apêndice B); derivada parcial associada

ao volume das partículas fictícias (Eq. (3.29)) (interpretação de Irschik e Holl (2002))

∂

~

;

~

V

: com relação ao volume das partículas reais (Apêndice B); derivada parcial associada

ao volume das partículas reais (Eqs. (3.1) e (3.29)) e derivada parcial associada ao volume

de controle cuja massa depende do tempo (Eq. (3.46)) (interpretação do autor dessa tese)

∂

(

;V

: com relação ao volume de controle cuja massa varia com as coordenadas e/ou

velocidades generalizadas (Seções 3.2.1, 3.2.2 e 3.2.3); derivada parciais associadas

K

(por exemplo):

K

por unidade de massa (ver, por exemplo, Eq. (3.29))

q

&

(por exemplo): derivada temporal de

)(tqq

=

(ver, por exemplo, Eq. (3.1))

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

∂

: símbolo para derivada parcial de um modo geral

∆

: operador de Laplace (ver, por exemplo, Eq. (5.2))

τ

: variável de integração na Eq. (3.41)

τ

: parâmetro (ver, por exemplo, Eq. (3.50))

∇

: operador gradiente (ver, por exemplo, Eq. (5.3))

OUTROS

2

ˆ

V∂

: superfície que define o trecho curvo da corrente (Fig. 4.11)

A

v ,

B

v e

C

v : velocidade de diferentes pontos do cabo em contato com a polia (Fig. 4.12)

1

v

,

2

v

: conforme definição no Apêndice D

A

y

,

B

y

,

T

y

: conforme definição na Figura 4.18

18

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................1

2 FUNDAMENTOS E BREVE HISTÓRICO SOBRE A DINÂMICA DE

PARTÍCULAS DE MASSA VARIÁVEL ......................................................................8

2.1 A equação geral de balanço, o teorema do transporte e os sistemas de massa variável.................. 17

2.2 A segunda lei de Newton para uma partícula de massa variável ...................................................... 28

2.3 Teorema trabalho-energia.................................................................................................................... 31

2.4 Discussão ................................................................................................................................................ 34

3 A ABORDAGEM DA MECÂNICA ANALÍTICA AOS SISTEMAS DE MASSA

VARIÁVEL ................................................................................................................36

3.1 Sistema de partículas e a equação de Lagrange ................................................................................. 37

3.2 Volume de controle e a equação de Lagrange..................................................................................... 45

3.2.1 Massa variável de forma explícita com as coordenadas generalizadas .............................................. 50

3.2.1.1 Exemplo ilustrativo de aplicação.............................................................................................. 54

3.2.2 Massa variável de forma explícita com as velocidades generalizadas................................................ 58

3.2.2.1 Exemplo ilustrativo de aplicação.............................................................................................. 60

3.2.3 Massa variável de forma explícita com as coordenadas e velocidades generalizadas........................ 66

3.3 Discussão ................................................................................................................................................ 67

3.4 O princípio de Hamilton e sistemas contínuos de massa variável..................................................... 68

3.4.1 O princípio variacional de Seliger e Whitham (1968)........................................................................ 69

3.4.1.1 Caso particular: líquido incompressível e invíscido, escoamento irrotacional e homoentrópico

74

3.4.1.2 Exemplo ilustrativo de aplicação.............................................................................................. 76

3.4.2 A expressão do princípio variacional de Seliger e Whitham (1968) em um volume de controle....... 79

4 O PROBLEMA DA CORRENTE EM MOVIMENTO VERTICAL E O

PROBLEMA DO COLAPSO DE EDIFÍCIOS............................................................84

4.1 O problema de Buquoy......................................................................................................................... 85

4.2 O problema de Cayley .......................................................................................................................... 90

4.3 O problema da corrente em ‘U’ ........................................................................................................... 95

4.4 O trabalho de Wong e Yasui (2006)................................................................................................... 102

4.5 Uma problemática no processo de transferência de massa entre as porções da corrente............. 114

19

4.6 O problema do colapso das torres gêmeas do World Trade Center ................................................. 119

5 O PROBLEMA DE IMPACTO HIDRODINÂMICO...........................................128

5.1 O problema de Wagner não-linear .................................................................................................... 130

5.2 O problema de Wagner linear............................................................................................................ 133

5.3 A aplicação da equação de Lagrange ................................................................................................ 135

5.3.1 O balanço de energia ........................................................................................................................ 137

5.4 Discussão .............................................................................................................................................. 144

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ................145

REFERÊNCIAS........................................................................................................148

APÊNDICES

A.1 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME MATERIAL COM FONTES

DE MASSA ESCRITA EM TERMOS DE SUAS POSIÇÕES E VELOCIDADES

CARACTERÍSTICAS (ver IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 152)....................................158

A.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME DE CONTROLE ESCRITA

EM TERMOS DE SUAS POSIÇÕES E VELOCIDADES CARACTERÍSTICAS (ver

IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 157-8)............................................................................161

A.3 INVARIÂNCIA GALILEANA DA SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA UMA

PARTÍCULA DE MASSA VARIÁVEL......................................................................164

B O CONCEITO DE PARTÍCULAS FICTÍCIAS DE TRUSDELL E TOUPIN (1960) E

O TEOREMA DO TRANSPORTE DE REYNOLDS GENERALIZADO...................169

C.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAGRANGE PARA UM SISTEMA DE

PARTÍCULAS DE MASSA DEPENDENTE DO TEMPO A PARTIR DO PRINCÍPIO

DE D’ALEMBERT (ver PESCE, 2003, p. 752)........................................................178

C.2 DERIVAÇÃO DE EXPRESSÕES AUXILIARES PARA O APÊNDICE C.1......182

D DISSIPAÇÃO DE ENERGIA NO PROCESSO ‘EJEÇÃO-RE-CAPTURA’ DE UM

ELEMENTO DE MASSA..........................................................................................184

1

1 INTRODUÇÃO

Na mecânica não-relativística, o termo ‘sistema de massa variável’ é utilizado para

designar um sistema cuja massa varia, no caso mais geral, com a agregação e a emissão de

matéria. O ramo da mecânica que estudo esse tipo de sistema é chamado de ‘mecânica de

sistemas de massa variável’, e pode ser considerado relativamente moderno. Enquanto a

mecânica, no sentido geral do termo, tem suas raízes no tratado de Aristóteles (384-322 a.C.),

‘Problemas da Mecânica’

2

, o reconhecimento da importância da mecânica de sistemas de

massa variável só começou a ocorrer de fato em meados do século 20

(3)

, quando Ivan

Vsevolodovitch Mechtcherskii

4

(1859-1935), matemático e mecanicista russo, dedicou as 160

páginas de sua dissertação de mestrado ao assunto.

Uma primeira motivação para a análise desse tipo de sistema é o fato de que muitos são os

problemas aplicados, pertencentes a diversas áreas do conhecimento, que são

convenientemente modelados a partir da consideração de um sistema de massa variável. Na

indústria de cabos, papel ou tecidos, os rolos, que são elementos fundamentais no processo de

fabricação desses produtos, são sistemas de massa variável. No caso da indústria têxtil, por

exemplo, o tecido pode ser visto como o entrelaçamento de diversos fios que, durante o

processo de fabricação, vão sendo desenrolados de seus respectivos rolos para então compor o

tecido. Segundo Cvetićanin (1993), a variação da massa dos rolos, que assim ocorre à medida

que o tecido é confeccionado, provoca a ação de forças reativas nos suportes dos mesmos,

devendo essas forças serem levadas em conta no dimensionamento do maquinário.

A mecânica de sistemas de massa variável também pode ser uma das vertentes de uma

pesquisa em medicina, por exemplo. De acordo com Lubarda e Hoger (2002, p. 4627), “A

análise do crescimento [ganho de massa] ‘modeladamente tensionado’ de tecidos vivos[..] tem

sido um importante tópico de pesquisa em biomecânica[...]” De fato, a biomecânica, que é o

ramo da mecânica que modela certos fenômenos biológicos, apresenta problemas bastante

______________

2

Nome original, em grego, Mηχανιχά προβληµατα.

3

Vale dizer que, no Brasil, um dos primeiros trabalhos nesse grande tema é a dissertação de mestrado de Hans I.

Weber (1968).

4

Nome original, em russo, Иван Всеволодович Мещерский.

2

interessantes envolvendo sistemas de massa variável. Um que merece destaque por seu

evidente apelo é o do crescimento de um tumor. Aliás, o estudo desse fenômeno vem se

tornando uma disciplina cada vez mais particular dentro da biomecânica, sendo hoje

divulgado em muitas publicações sob o nome de ‘mecânica do crescimento de tumores’.

Ambrosi e Mollica (2002, p. 1297) enfatizam que a descrição do crescimento de um tumor

requer a consideração de um grande número de efeitos biológicos. Uma das grandes

dificuldades nesse processo é a modelagem simultânea de dois efeitos, i.e. a variação da

massa do tumor e as tensões que a acompanham, esse segundo efeito causado, possivelmente,

ou pelo próprio crescimento do tumor ou por cargas externas.

Um outro problema clássico, onde os fundamentos da mecânica de sistemas de massa

variável encontram aplicação, é o conhecido ‘problema do foguete’, cuja mais recente e

importante motivação para análise surgiu com a corrida espacial que ocorreu entre as décadas

de 50 e 60. Uma aeronave do tipo foguete é aquela cujo movimento dá-se em virtude da

evacuação de gases. Considera-se um foguete ‘perfeito’ aquele cuja nuvem de gás, i.e. de

combustível queimado, é evacuada a uma velocidade relativa (com relação ao foguete)

constante (ver, por exemplo, GOWDY, 1995). Então, à medida que os gases são ejetados para

fora e para trás do foguete, o mesmo é propelido para frente. Essa força de propulsão, muitas

vezes também conhecida na literatura especializada como força de empuxo, tem seu módulo

dado pelo produto entre a taxa de variação temporal de massa do foguete, que é a taxa de

consumo do combustível, e a velocidade relativa de evacuação dos gases.

Note assim que o campo de aplicações da mecânica de sistemas de massa variável é, sem

dúvida, muito amplo. Basta ver, por exemplo, que em um recente trabalho de revisão sobre o

assunto, onde apenas na primeira parte são empregadas 96 referências bibliográficas, seus

autores comentam: “Entretanto, nós não podemos afirmar que nossa revisão está completa. A

literatura sobre o tópico tornou-se esparsamente distribuída sobre uma larga faixa de

diferentes áreas”. (IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 146).

Mas apesar dessas inúmeras e relevantes aplicações, é também importante frisar o porquê

de problemas como os acima mencionados devam assim ser tratados, i.e. modelados como

problemas envolvendo um sistema de massa variável. A primeira razão reside no simples fato

de ser o objeto de estudo de massa variável. No caso dos rolos da indústria têxtil, por

exemplo, não se deseja saber o que ocorre com o conjunto formado pelos rolos, fios enrolados

3

e tecido, que é um sistema de massa constante. O foco de atenção são apenas os rolos. Mas é

exatamente essa necessidade de se isolar uma determinada parte do sistema como um todo

que gera as problemáticas envolvidas no tratamento dos sistemas de massa variável.

Uma das dificuldades iniciais na análise da dinâmica de sistemas de massa variável deve-

se ao fato de que os princípios clássicos da mecânica foram originalmente escritos para

sistemas de massa constante, i.e. para o sistema como um todo (ver, por exemplo, McIVER

1973). Eke e Mao (2002), no entanto, apontam duas alternativas para se resolver essa

questão. A primeira alternativa é elaborar formalismos próprios aos sistemas de massa

variável, como: aquele que vem sendo construído por Mušicki (1992, 1993, 1996) apud

Mušicki (2004) e Mušicki (1999, 2000); aquele por eles próprios elaborado (ver EKE; MAO,

2002); e aquele de Shan-Jun; Wei-Guo e Pei-Tian (2005). A segunda alternativa consiste em

interpretar os sistemas de massa variável como sendo de massa constante, e assim torná-los

tratáveis pelos princípios já existentes. Em outras palavras, essa segunda técnica consiste em

propor relações de equivalência entre dois pontos de vista, i.e. aquele que considera o sistema

como um todo e aquele que considera apenas a porção de interesse, que é de massa variável.

O formalismo Lagrangeano também dispõe de um ferramental bastante rico para o

tratamento desses sistemas. Nele, a massa pode ser escrita, quando assim for conveniente,

como uma função de três ‘tipos’ de variáveis, i.e. tempo, coordenadas e velocidades

generalizadas (ver, por exemplo, IRSCHIK

5

; MUŠICKI, 2000 e PESCE, 2003). Embora seja

sempre verdade que, se a massa de um sistema varia, então, essa pode ser expressa como uma

função do tempo, a possibilidade de expressar a massa do sistema como uma função explícita

das coordenadas generalizadas, em alguns casos, e das velocidades generalizadas, em outros,

mostra-se extremamente conveniente. Pode-se dizer que isso equivale a estabelecer uma

‘equação constitutiva’ para o sistema de massa variável. Vale lembrar, como analogia, que, na

química, a velocidade de uma reação, que pode ser representada pela taxa de consumo de um

dos reagentes envolvidos, é uma função do tempo. No entanto, por diversas razões que não

serão aqui discutidas por fugirem ao escopo desse trabalho, é bastante conveniente escrever a

velocidade da reação como uma função de outras variáveis, i.e. da concentração dos reagentes

(ver, por exemplo, ATKINS, 1994, p. 861-97).

______________

5

Comunicação particular (2008).

4

Mas, afora as discussões acima levantadas sobre a mecânica de sistemas de massa

variável, seja no sentido de sua teoria, seja no de suas aplicações, ainda existe um ponto

bastante curioso a ser apontado. Embora hoje já se disponha de ferramentas suficientes para se

abordar determinados problemas práticos e razoavelmente complexos, como é o caso, por

exemplo, do crescimento de um tumor, ainda parecem existir questões de ordem bem mais

fundamental a ser reconsideradas. Um caso interessante é o chamado ‘problema da corrente

em queda’. Trata-se do primeiro problema abordado à luz da mecânica de sistemas de massa

variável, em 1814. Sua formulação é bastante simples. Deve-se obter a aceleração de uma

corrente verticalmente esticada que, sob a ação da gravidade, cai amontoando-se sobre uma

superfície horizontal. Nesse caso, o sistema de massa variável em questão é a porção vertical

da corrente em queda. Ocorre que, mesmo após quase dois séculos a contar de sua concepção,

são encontradas referências bibliográficas onde em cada uma delas é apresentada uma

diferente solução para esse problema, estando cada uma delas, inclusive, aparentemente

muito bem argumentada. É o caso, por exemplo, dos trabalhos de Cayley (1857) e Wong e

Yasui (2006). Outro problema onde errôneas interpretações levaram a diferentes soluções é o

da penetração de um corpo na superfície livre da água, o chamado problema de Wagner

(1931). Quando o corpo inicia sua penetração na superfície livre da água, jatos de líquido são

expelidos para fora do chamado ‘seio do líquido’. Logo, o seio do líquido pode ser visto como

um sistema de massa

6

variável. No entanto, a maneira adequada de se considerar esse fluxo de

líquido também é um foco atual de discussão, como mostram, por exemplo, os trabalhos de

Casetta e Pesce (2008), Pesce (2006) e Wu (1998).

Claramente, questões como essas apontam para o fato de que, de um modo geral, existe

uma corrente necessidade de se contribuir para adequadas interpretações do entendimento do

processo de variação de massa de um sistema. E esse é o objetivo principal dessa tese. Para

tal, a mesma foi estruturada em duas partes: parte teórica, objeto dos Capítulos 2 e 3; e de

aplicações, reservadas aos Capítulos 4 e 5.

No Capítulo 2, o leitor encontrará um levantamento dos principais fundamentos

envolvidos na análise da dinâmica de um sistema de massa variável. Esse Capítulo aborda

desde o primeiro trabalho sobre o assunto, que data de 1814, até os mais atuais, como é o de

Reynolds (1903) apud Irschik e Holl (2004) e o de Truesdell e Toupin (1960). Ao final do

Capítulo é feita uma breve discussão sobre o processo de agregação de massa, perda de

______________

6

O seio do líquido não só é de massa variável, mas também pode ser interpretado à luz do conceito de massa

adicional variável, como assim será discutido no Capítulo 5.

5

informação sobre o sistema, e aumento de sua entropia. Segundo o melhor conhecimento do

autor dessa tese, essa é uma vertente sobre os sistemas de massa variável ainda não explorada.

O Capítulo 3 trata da concepção e aplicação da equação de Lagrange a alguns sistemas de

massa variável. O Capítulo então se inicia com o trabalho de Cayley (1857), que é um dos

primeiros sobre o tópico e onde a equação de Lagrange para um sistema de partículas de

massa variável é demonstrada, e passa pelo de Irschik e Holl (2002), onde a equação de

Lagrange para um volume de controle é obtida através do conceito de partículas fictícias de

Truesdell e Toupin (1960). A partir desse trabalho de Irschik e Holl (2002), o autor dessa tese

mostra, heuristicamente, a equação de Lagrange para um volume de controle cuja massa varia

com as coordenadas e velocidades generalizadas do sistema. Esse é um dos resultados

originais dessa tese. Dois exemplos ilustrativos, um para o caso de um volume de controle

cuja massa varia com a posição, e outro para o caso de um volume de controle cuja massa

varia com a velocidade são então resolvidos. Infelizmente, não foi possível encontrar nenhum

problema onde se identificasse um volume de controle cuja massa variasse do modo mais

geral, i.e. com a posição e velocidade. Por fim, encerrando a parte teórica desta tese, um

importante resultado dentro da mecânica dos meios contínuos, i.e. o princípio variacional de

Seliger e Whitham (1968), que foi originalmente formulado para um sistema fechado, é

estendido para o caso de um volume de controle. Esse também pode ser visto como um dos

resultados original dessa tese.

No Capítulo 4, o problema da corrente em queda nas versões de Buquoy, Cayley e como

problema da corrente em ‘U’ são abordados. Para cada um dos casos, e sob a ótica dos

fundamentos apresentados nos Capítulos 2 e 3, as diferentes soluções encontradas na literatura

são discutidas. Atenção especial deve ser dada à Seção 4.4, onde o trabalho de Wong e Yasui

(2006) é minuciosamente discutido. É nessa Seção que, a partir dos fundamentos apresentados

nos Capítulos anteriores, mostram-se que assertivas consideradas pelos autores como

irrefutáveis podem estar incorretas. Essa discussão também é um dos resultados originais

dessa tese. É também no Capítulo 4 que o problema do colapso das torres gêmeas do World

Trade Center é discutido, sendo então mostrada a notável similaridade entre a equação de

movimento da torre em colapso e a de uma corrente em queda livre. O Capítulo 5 trata do

problema de Wagner. Nele é apresentada uma maneira consistente de se abordar o problema

frente à mecânica de sistemas de massa variável. Resultados originais obtidos são apontados

ao longo do Capítulo. O trabalho de Wu (1998), que, analogamente ao de Wong e Yasui

(2006), contrapõe alguns dos resultados apresentados, não será discutido, mas apenas

6

mencionado, haja vista a já publicação de dois artigos sobre o assunto, i.e. Pesce (2003,

2006).

O Capítulo 6 apresenta as conclusões obtidas ao longo dessa tese, assim como sugestões

para possíveis trabalhos futuros baseadas em extensões dos resultados conseguidos.

7

PARTE I:

A TEORIA DOS SISTEMAS DE MASSA

VARIÁVEL

8

2 FUNDAMENTOS E BREVE HISTÓRICO SOBRE A DINÂMICA DE

PARTÍCULAS DE MASSA VARIÁVEL

Em 1687, Sir Isaac Newton (1643-1727), em seu famoso trabalho de título ‘Philosophiae

Naturalis Principia Mathematica’, que é considerado uma das grandes obras-primas da

ciência, apresentou aquelas que são conhecidas por leis

7

de Newton. Anteriormente, René

Descartes (1596-1650), em seu trabalho ‘Principia Philosophiae’ de 1644, já havia mostrado

resultados semelhantes aos de Newton. Entre eles, por exemplo, estavam a lei da inércia, a lei

da conservação da magnitude da quantidade de movimento, e as assim chamadas ‘seis leis de

impacto’, i.e. relações entre o estado do sistema antes e após o choque entre dois corpos (ver

ARONS; BORK, 1964; DUGAS, 1988). No entanto, as leis de Newton não devem ser vistas

apenas como uma mera reconsideração do trabalho de Descartes. A abordagem Newtoniana

representa um novo ponto de vista, onde é o efeito das forças em cada um dos corpos do

sistema que é considerado (ver ARONS; BORK, 1964). Mais do que isso, segundo Knudsen e

Hjorth (2000), foi Newton quem estabeleceu o conceito de força e quantidade de movimento,

assim como uma relação entre esses.

O antigo conceito cartesiano de massa, que então a atrelava à noção de ‘res extensa’

8

, i.e.

a massa é um atributo inerente aos corpos extensos, foi também reformulado por Newton.

Para ele “[...]a quantidade de matéria é a medida da mesma que emerge de sua densidade e

meio conjuntamente[...]” (DUGAS, 1988, p. 201). Ainda segundo Dugas (1988), Newton foi

também o responsável pela introdução do conceito moderno de massa na mecânica não-

relativística, haja vista que:

[...]o conceito de massa de Newton pode ser considerado de maneira mais abstrata

como uma propriedade (escalar) matemática de um ponto do corpo (seu centro de

gravidade). Corpos extensos começaram a ser tratados como pontos materiais e esse

progresso desempenhou uma função muito importante na descrição das órbitas dos

planetas. (FILHO, 1986, p. 202)

______________

7

Usualmente, falam-se em três leis de Newton. No entanto, em alguns livros-textos, as leis de Newton são

apresentadas como sendo três leis e dois postulados, sendo esses dois últimos o de tempo e espaço absolutos;

ou ainda, como simplesmente, cinco leis de Newton (ver, por exemplo, KNUDSEN; HJORTH, 2000).

8

‘Coisa material’, em latim.

9

Para a análise do movimento dos planetas, Newton precisava observar a história do

movimento de um único ponto, e não a do sistema como um todo. Assim:

Parece ser muito possível que, motivado por essa necessidade, ele [Newton]

discerniu na [sua] terceira lei uma maneira de ‘separar’ ou ‘isolar’ um corpo

individual do resto do sistema com o qual está interagindo.

Dadas ações iguais e opostas em cada corpo (a Terceira Lei), a consistência com as

conhecidas leis de impacto demanda que essas ações contribuam com mudanças

iguais e opostas no momento [quantidade de movimento]. Assim, Newton pode

naturalmente ter obtido a II Lei: ‘a mudança no momento [quantidade de movimento

do corpo] é proporcional à força motora impressa; e é feita na direção da linha reta

em que a força é impressa’.

Recentemente, muitos autores têm comentado que ao usar o termo ‘força motora’,

Newton, na maioria das vezes, referia-se ao que nós agora chamamos de ‘impulso’.

(ARONS; BORK, 1964, p. 315)

Em suma, o trabalho de Newton fornece três importantes elementos para a análise da

dinâmica de uma partícula, i.e. 1) isolando-se a partícula do sistema como um todo, 2) e

reconhecendo-se as forças nelas atuantes, 3) é possível estabelecer uma relação causa-efeito

entre essas forças e a variação da quantidade de movimento dessa partícula.

A equação de movimento de uma partícula de massa constante que, entre os instantes de

tempo

tt d

+

e

t

, encontra-se sob a ação de uma força

F

pode ser dada por

9

ptF dd

=

, (2.1)

onde

mv

p

=

é a quantidade de movimento da partícula, sendo

m

e

v

, respectivamente, sua

massa e velocidade.

Claramente, nesse caso, a Eq. (2.1) pode ser alternativamente escrita como

vmtF dd

=

, (2.2)

i.e.

t

v

mF

d

= , (2.3)

______________

9

Por ora, e por simplicidade, atém-se ao movimento retilíneo; portanto, abstém-se da notação vetorial.

10

que é a forma em que a segunda lei de Newton, para uma partícula de massa constante, é

comumente apresentada.

Pode-se dizer que o nascimento da dinâmica de partículas de massa variável ocorreu em

1812, quando o matemático e inventor tcheco, Jiří František August Buquoy (1781-1851),

percebeu que, quando uma partícula sofre uma contínua variação de massa

10

, a equação a ser

considerada para a descrição de seu movimento não é mais a Eq. (2.2).

Segundo Trigg (1966a, b), a interpretação mais ‘coerente’ para a Eq. (2.1) é a de que o

incremento (por unidade de tempo) na quantidade de movimento do sistema como um todo é

igual à soma das forças nele atuantes. Considere então que, no instante de tempo

t

, o sistema

como um todo é formado por uma partícula de massa

m

, cuja velocidade é

v

, e por uma outra

partícula de massa inﬁnitesimal

µ

d

(11)

, cuja velocidade é

w

. Imagine que, no instante de

tempo

tt d

+

, as duas partículas agregam-se, passando então a se mover com a mesma

velocidade vv d

+

(ver Fig. 2.1).

Figura 2.1 - Agregação entre uma partícula de massa

m

e uma outra partícula de massa

µ

d

inﬁnitesimal.

Nesse caso, o incremento

pd

na quantidade de movimento do sistema como um todo é

dado por

______________

10

Termo empregado por Buquoy.

11

O símbolo

µ

é aqui utilizado para tornar clara a referência a uma outra partícula.

x

y

t

w v

tt d

+

vv d

+

µ

d

m

(partículas agregadas)

µ

d

+

m

x

y

t

w v

tt d

+

vv d

+

µ

d

m

(partículas agregadas)

µ

d

+

m

11

µ

d)(d)d()d)(d()()d(d vwvmwmvvvmtpttpp

−

=

+

−

+

=

−

+

=

. (2.4)

(12)

Logo, considerando-se que

F

é a força que, entre os instantes de tempo

tt d

+

e

t

, atua

no sistema como um todo, obtém-se, das Eqs. (2.1) e (2.4), a equação de movimento

apresentada por Buquoy, i.e.

µ

d)(dd wvvmtF

−

+

=

. (2.5)

(13)

Mas com exceção de Simeón Denis Poisson (1781-1840), as investigações de Buquoy

sobre a dinâmica de partículas de massa variável não despertaram a atenção de outros

importantes cientistas da época, entre eles, André-Marie Ampère (1775-1836), Augustin

Louis Cauchy (1789-1857), François Marie Charles Fourier (1772-1837), Pierre-Simon

Laplace (1749-1827), etc.

Poisson, em 1819, argumentou que a variação de massa de uma partícula, no caso mais

geral, deve ser vista como o resultado entre dois processos independentes entre si, i.e. a

adição e a subtração

14

de elementos de massa. E é bastante provável

15

que, a partir dessa sua

interpretação, Poisson tenha se deparado com a seguinte questão: para que o processo de

adição de massa seja independente do de subtração, e assim possam ocorrer ambos

simultaneamente, é necessário que os mesmos estejam associados a elementos de massa

diferentes, haja vista que, um mesmo elemento de massa não pode, pelo menos não

simultaneamente, ser adicionado à partícula e dela subtraído. Se assim, deve ter sido para

considerar adequadamente essa problemática que Poisson apresentou a equação de

movimento de uma partícula de massa variável na forma

2211

dd)(dd

µ

wwmvtF

+

−

=

, (2.6)

onde então é feita uma clara distinção entre a partícula a ser agregada e a partícula a ser

subtraída, ou seja, enquanto

1

d

µ

e

1

w correspondem, respectivamente, a massa e velocidade

______________

12

Os termos ‘

vdd

µ

’ e ‘ vmdd ’ foram desprezados.

13

Essa relação será demonstrada logo adiante.

14

E não apenas devido à adição de elementos de massa, como assim considerado por Buquoy.

15

Mikhailov (1975), por exemplo, não faz nenhuma consideração a respeito dessa questão.

12

da partícula a ser agregada,

2

d

µ

e

2

w

referem-se, respectivamente, a massa e velocidade da

partícula a ser subtraída.

Mas quando não há subtração de massa, a Eq. (2.6) reduz-se a

µ

d)(dd wmvtF

−

=

. (2.7)

(16)

Vale agora entender o porquê das Eqs. (2.5) e (2.7), que representam o mesmo fenômeno,

serem diferentes na forma. Ou seja, enquanto na Eq. (2.5) aparece o termo

µ

dv

, na Eq. (2.7),

esse termo é trocado por

mvd

. A Fig. 2.1 (correspondente à Eq. (2.5)) mostra que, em ambos

os instantes de tempo

tt d

+

e

t

, tanto a massa ﬁnal, quanto a massa inicial do sistema como

um todo pode ser representada por

µ

d

+

m

. Note então que, tanto no instante de tempo

t

,

quando as partículas estão separadas, quanto no instante de tempo

tt d

+

, quando as

partículas estão agregadas, é possível fazer uma distinção entre as partículas de massa

m

e

µ

d

.

Imagine agora que, quando a partícula

µ

d

é capturada no instante de tempo

tt d

+

, a

mesma não possa mais ser identiﬁcada

17

, pois, torna-se parte da outra partícula (ver Fig. 2.2).

Ou seja, no instante de tempo tt d

+

, a partícula

µ

d passa a representar um elemento de

massa da outra partícula, e assim sua identidade é perdida. Dessa forma, enquanto na

abordagem de Buquoy (ver Fig. 2.1) a massa do sistema como um todo é sempre igual a

µ

d

+

m

, na de Poisson (ver Fig. 2.2), a massa do sistema como um todo é

µ

d

+

m

no

instante de tempo

t

, e mm d

+

no instante de tempo tt d

+

. Logo, na abordagem de Poisson,

a Eq. (2.4) deve ser reinterpretada como

µ

d)d()d()d)(d()()d(d wmvwmvvvmmtpttpp

−

=

+

−

+

=

−

+

=

. (2.8)

Portanto, da Eq. (2.8) em (2.1), obtém-se a equação de movimento apresentada por

Poisson, i.e. Eq. (2.7). Mas como a massa do sistema como um todo se conserva, é necessário

______________

16

O subscrito ‘1’ foi omitido de

1

d

µ

apenas para simpliﬁcar a notação.

17

Imagine, por exemplo, que ambas as partículas são formadas por um mesmo material líquido, sendo, portanto,

miscíveis entre si.

13

que sua massa antes da transferência, i.e.

µ

d

+

m

, seja igual à sua massa após a transferência,

i.e.

mm d

+

. Em outras palavras, é necessário que

mmm dd

+

=

+

µ

, i.e.

mdd

=

µ

.

Interpretando-se essa relação como uma restrição, no sentido da mecânica analítica,

associada ao multiplicador de Lagrange ‘

v

’, i.e.

0)dd(

=

−

mv

µ

, pode-se reescrever a Eq.

(2.8) como

)dd(d)d(d mvwmvp

−

+

−

=

µ

, (2.9)

i.e

µ

d)(ddddddd vwvmmvvwvmmvp

−

=

−

+

−

+

=

, (2.10)

que é a própria Eq. (2.4) da abordagem de Buquoy!

Figura 2.2 - Agregação entre uma partícula de massa

m

e uma outra partícula de massa

µ

d

inﬁnitesimal.

Caso em que, após o choque, a identidade da partícula

µ

d

é perdida.

Isso mostra que a identidade da partícula

µ

d

, que então é perdida na abordagem de

Poisson, pode ser recuperada se à equação de movimento for adicionada a equação de

conservação de massa do sistema como um todo.

O próximo avanço na interpretação da dinâmica de partículas de massa variável foi

realizado por Tait e Steele (1856). Tanto na abordagem de Buquoy, como na de Poisson,

ainda que associadas a diferentes pontos de vista, a segunda lei de Newton foi aplicada em sua

x

y

t

w v

tt d

+

vv d

+

µ

d

m

(partículas agregadas)

mm d

+

x

y

x

y

t

w v

tt d

+

vv d

+

µ

d

m

(partículas agregadas)

mm d

+

14

forma original, i.e. Eq. (2.1). Ocorre então que, tanto o lado direito da Eq. (2.5), quanto o da

Eq. (2.7) (ou (2.6)) referem-se ao incremento na quantidade de movimento do sistema como

um todo, onde tanto a partícula de massa

m

com a de massa

µ

d

estão sendo simultaneamente

consideradas.

Em 1856, Tait e Steele então apresentaram uma primeira aproximação para se isolar

totalmente a partícula do sistema como um todo. Em seu livro, ‘A Treatise on the Dynamics

of a Particle’, Tait e Steele consideraram os “problemas com uma série contínua de impactos

[de elementos de massa] inﬁnitesimalmente pequenos cujo efeito é comparável ao de uma

força ﬁnita” (MIKHAILOV, 1975, p. 34). A idéia dos autores era a de considerar que a

variação na velocidade da partícula sujeita aos impactos é o resultado de dois fenômenos

independentes, o que signiﬁca “[...]estimar separadamente as mudanças na velocidade [da

partícula de massa

m

] produzida pela força ﬁnita [

F

] e pelos impactos [de elementos de

massa] no mesmo elemento de tempo [

td

], e somá-las para se obter o efeito real no

movimento naquele período” (MIKHAILOV, 1975, p. 34, grifo nosso).

Partindo da relação

21

)d()d(d vvv

+

=

, (2.11)

onde vd ,

1

)d( v e

2

)d( v são, respectivamente, o incremento total na velocidade da partícula, a

parcela desse incremento devido à ação da força externa

F

, e a parcela referente ao impacto

dessa partícula com um elemento de massa, Tait e Steele (1856) estariam apresentando uma

expressão envolvendo grandezas físicas associadas apenas à partícula de interesse. Mas sendo

os incrementos

1

)d( v e

2

)d( v independentes entre si, pode-se calcular um supondo-se a

inexistência do outro (ver Fig. 2.3).

Para o cálculo de

1

)d( v

, assume-se que a partícula está sob a ação da força externa

F

,

mas livre dos impactos de elementos de massa. Ou seja, é como se a massa da partícula fosse

constante. Para tal, basta então aplicar a segunda lei de Newton na forma da Eq. (2.2), i.e.

1

)d(d vmtF

=

, (2.12)

ou seja

15

m

tF

v

d

)d(

1

= . (2.13)

Figura 2.3 - Interpretação de Tait e Steele (1856) para a dinâmica de uma partícula de massa variável.

Para o cálculo de

2

)d( v

, deve-se imaginar que essa mesma partícula está agora livre da

ação da força externa

F

, mas sujeita ao impacto de um elemento de massa

µ

d

. Quando livre

da ação de forças externas, a soma entre as quantidades de movimento das partículas (a de

massa

m

e a de massa

µ

d

) antes e após a interação entre essas deve ser a mesma, ou seja

)]d()[d(d

2

vvmwmv

+

=

+

µ

, (2.14)

e então

m

vwv

µ

d

)()d(

2

−= . (2.15)

Por ﬁm, das Eqs. (2.13) e (2.15) em (2.11), chega-se a

x

y

tt d

+

t

vw

µ

d

m

tt d

+

t

v

m

:0d

=

µ

:0

=

F

µ

d

+

m

1

)d( vv +

2

)d( vv +

x

y

x

y

tt d

+

t

vw

µ

d

m

tt d

+

t

v

m

:0d

=

µ

:0

=

F

µ

d

+

m

µ

d

+

m

1

)d( vv +

2

)d( vv +

16

m

vw

m

tF

v

µ

d

)(

d

d −+= , (2.16)

de onde então se recupera a Eq. (2.5).

Embora a Eq. (2.5) tenha sido inicialmente demonstrada por Buquoy, sua forma vetorial,

i.e.

t

m

d

)(

d

µ

wv

v

F −+= , (2.17)

parece

18

ser devida ao matemático e mecanicista russo Ivan Vsevolodovitch Mechtcherskii

19

(1859-1935). Em sua dissertação de mestrado, defendida em 1897, em São Petersburgo,

Rússia, Mechtcherskii analisou o movimento de uma partícula de massa variável,

considerando diversas formas para a função-velocidade do elemento de massa a ser a ela

agregado. Entre essas funções, podem ser citadas, por exemplo, vw k

=

( .constk

=

), 0

=

w

e

const.

+

=

v

w

(ver MIKHAILOV, 1975, p. 38).

Em 1898, Mechtcherskii, valendo-se da equação de Poisson na forma

t

m

d

)(

d

)(

d

2

1

µ

wvwv

v

F −+−+= , (2.18)

(20)

analisou o movimento de uma partícula de massa variável, porém, agora, sujeita à adição e

subtração de elementos massa. Para esse caso mais geral, o matemático russo também

considerou diversas formas para as funções

1

w

,

2

w

,

td/d

1

µ

e

td/d

2

µ

(ver MIKHAILOV,

1975, p. 39).

Do ponto de vista histórico, vale mencionar que a equação de Mechtcherskii, como assim

Starjinski (1986, p. 499) denomina a Eq. (2.17), foi empregada nos chamados ‘primeiro e

______________

18

Segundo interpretação do trabalho de Mikhailov (1975).

19

‘Иван Всеволодович Мещерский’, em russo (nome original).

20

Aparentemente, foi o próprio Poisson quem, pela primeira vez, apresentou essa equação (em forma vetorial)

(ver MIKHAILOV, 1975, p. 34 e 39, Eqs. (3.2), (9.1) e (9.2)).

17

segundo problema de Ciołkowski

21

’. Nesses problemas, buscava-se, respectivamente, a

expressão para a velocidade de um foguete em lançamento vertical, ora livre, ora sob a ação

do campo gravitacional (ver STARJINSKI, 1986, p. 500-2).

Um próximo avanço para a dinâmica de sistemas de massa variável foi dado por Cayley

(1857), quem, através do princípio de D’Alembert, demonstrou a equação de Lagrange para

um sistema de partículas de massa variável. No entanto, esse é um tópico do Capítulo 3, onde

será tratado com mais propriedade. Mas buscando uma melhor completude para a

fundamentação até então apresentada, será discutido na Seção a seguir o importante papel que

a equação geral de balanço e o teorema do transporte de Reynolds desempenham na

compreensão da mecânica de sistemas de massa variável.

2.1 A equação geral de balanço, o teorema do transporte e os

sistemas de massa variável

Teoricamente, pode-se dizer que, essencialmente, existem duas diferentes maneiras de se

conceber um sistema de massa variável. Na primeira, o sistema é deﬁnido por uma superfície

fechada, que não permite o fluxo de massa através da mesma. É o chamado volume material.

Nesse caso, a variação da massa do sistema dá-se quando se imagina que suas partículas

possuem ‘fontes’ ou ‘sumidouros’ de massa. Ou seja, o aumento ou a diminuição da massa do

sistema não é interpretado como sendo devido à variação no número de partículas que o

mesmo encerra, mas sim em razão da variação da massa das partículas já existentes. Essa é

uma abordagem que é geralmente empregada quando não se deseja alterar o número de graus

de liberdade do sistema em análise.

______________

21

O nome Konstantin Edwardowicz Ciołkowski (1857-1935) é de origem polonesa. No entanto, são encontradas

referências onde esse é apresentado em russo, i.e. Константин Эдуардович Циолковский.

18

Um dos primeiros cientistas a empregar o conceito de fontes de massa foi Mechtcherskii,

ao estudar a estabilidade do sistema planetário. Imagine, por exemplo, que um determinado

planeta está sujeito ao impacto (inelástico) de meteoros. Supondo-se que o planeta não se

desfragmenta com os impactos, o mesmo pode ser modelado por um único e identiﬁcável

ponto que possui uma fonte de massa.

Dentro de um volume material, a quantidade física

ψ

qualquer varia segundo a chamada

equação geral de balanço (ver, por exemplo, IRSCHIK e HOLL, 2004, p. 146, Eq. (2.1)), i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅−=

VVV

VψiVψsVψ

t

~~~

~

d][

~

d][

~

d

~

n

ρρ

, (2.19)

onde V

~

é o volume material considerado,

][ψs

representa a fonte de geração de

ψ

em seu

interior, e

n

⋅

][ψi

é a passagem de

ψ

, ou ‘influx’

22

, através de V

~

∂ (ver Fig. 2.4).

Figura 2.4 - Representação de fontes de

ψ

dentro do volume material V

~

, e passagem de

ψ

através de

V

~

∂ .

______________

22

Daí o símbolo ‘i’ em i[.].

x

y

][

ψ

s

][

ψ

s

V

~

][

ψ

i

][

ψ

s

n

x

y

x

y

][

ψ

s ][

ψ

s

][

ψ

s ][

ψ

s

V

~

][

ψ

i ][

ψ

i

][

ψ

s ][

ψ

s

n

19

O operador td/(.)d

~

utilizado na Eq. (2.19) indica que a variação total de

ψ

é tomada com

respeito às partículas que compõe V

~

.

Tomando-se

1

=

ψ

na Eq. (2.19), obtém-se que

∫∫∫

≡=

VVV

VVsV

t

~~~

~

d

~

d]1[

~

d

~

θρρρ

, (2.20)

onde

θ

[1/s] é a freqüência de geração de massa no interior de

V

~

e

mV

V

=

∫

~

d

ρ

.

A equação de movimento de um volume material com fontes de massa é obtida tomando-

se

v

=

ψ

na Eq. (2.19), i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅−=

VVV

ViVsV

t

~~~

~

d][

~

d][

~

d

~

nvvv

ρρ

. (2.21)

O termo do lado esquerdo da Eq. (2.21) é a taxa de variação da quantidade de movimento

de V

~

com respeito às partículas que o compõe. O primeiro termo do lado direito representa as

fontes de quantidade de movimento no interior de V

~

. Segundo Irschik e Holl (2004, p. 151),

as possíveis fontes de quantidade de movimento no interior de um volume material são: 1)

geração de elementos de massa dotados de velocidade absoluta não-nula; 2) atuação de forças

volumétricas

23

3) e difusão de massa no caso de mistura multifásica. Nessa tese, problemas

onde esse terceiro efeito aparece não serão tratados. Assim, o primeiro termo do lado

esquerdo da Eq. (2.21) pode ser escrito como

∫∫∫

+=

VVV

VVVs

~~~

~

d

~

d

~

d][ fuv

ρρθρ

, (2.22)

onde

u

é a velocidade do elemento de massa no instante de tempo imediatamente após sua

______________

23

Como a gravitacional, por exemplo.

20

‘geração’, e f são as forças volumétricas [N/kg] que atuam nas partículas de V

~

. O segundo

termo do lado direito da Eq. (2.22) então representa a resultante

F

das forças atuantes em V

~

,

i.e.

Ff =

∫

V

~

d

ρ

. (2.23)

O segundo termo do lado direito da Eq. (2.21), i.e.

∫

∂

∂⋅

V

Vi

~

d][ nv

, refere-se à passagem de

quantidade de movimento através da superfície fechada

V

~

∂

. Ainda segundo Irschik e Holl

(2004, p. 151), esse termo é não-nulo se o tensor das tensões de Cauchy assim também não o

for. Nessa tese, esses casos também não serão considerados.

Por ﬁm, nas referidas condições, a equação de movimento de um volume material com

fontes de massa é

∫∫

+=

VV

t

~~

~

d

~

d

~

uFv

θρρ

. (2.24)

Como mostrado no Apêndice A.1, a Eq. (2.24) pode ser escrita em termos de posições e

velocidades características, i.e.

)(

d

~

d

2

d

~

d

*

2

2*

2

cmcm

cmcmcm

t

m

ttt

m

t

m rr

rr

wF

r

−−













+−+=

, (2.25)

onde

cm

r ,

w

e

*

cm

r estão deﬁnidos, respectivamente, como

∫

−

=

V

cm

Vm

~

1

~

drr

ρ

,

∫

−

=

V

Vtm

~

1

~

d)d/d

~

( uw

ρθ

e

∫

−

=

V

cm

Vtm

~

1*

~

d)( d/d

~

rr

ρθ

.

No caso particular em que: 1)

θ

é constante ao longo de V

~

, o que implica

θ

mtm =d/d

~

(ver Eq. (2.20)) e também

*

cmcm

rr = , 2) e as partículas de V

~

apresentam a mesma velocidade

v

, o que implica t

cm

d/drv

=

; a Eq. (2.25) pode ser simpliﬁcada para

21

t

m

t

m

d

~

)(

d

vw

v

F −−= , (2.26)

ou ainda

t

m

t

d

~

)(

d

~

wvF −= . (2.27)

Mas como já discutido anteriormente, embora algebricamente equivalentes, as Eqs. (2.26)

e (2.27) estão associadas a diferentes a pontos de vista. Enquanto, a Eq. (2.26) é obtida sob a

consideração de que o elemento de massa gerado não faz parte da partícula geradora, a Eq.

(2.27) decorre da interpretação de que o elemento de massa gerado é parte da partícula

geradora. Assim, a rigor, as Eqs. (2.26) e (2.27) devem ser respectivamente escritas como

t

m

d

)(

d

µ

vw

v

F −−= (2.28)

e

t

m

t

d

)(

d

~

µ

wvF −= , (2.29)

e então interpretadas, respectivamente, conforme as Figs. 2.5 e 2.6.

Porém, há também os problemas em que o sistema de interesse não é um conjunto

especíﬁco de partículas, mas sim uma determinada região do espaço. Quando assim, o

sistema é usualmente deﬁnido por uma superfície de controle, que permite fluxo de partículas

através da mesma. É o chamado volume de controle. Na maioria dos problemas práticos que

requer essa abordagem, as partículas envolvidas não apresentam fontes de massa, e assim, a

variação da massa do sistema ocorre pura e exclusivamente devido à variação do número de

partículas no interior do volume de controle. Basta imaginar, por exemplo, um reservatório

inicialmente cheio de areia. Se um furo é feito na porção inferior do reservatório, partículas de

areia começam a abandoná-lo e a massa nele contida a diminuir.

22

Mas existe uma diﬁculdade que é intrínseca ao tratamento desse tipo sistema. A questão é

que os princípios da mecânica foram desenvolvidos para um conjunto deﬁnido de partículas

(ver EKE; MAO, 2002, p. 124), ou seja, para sistemas compostos sempre pelas mesmas

partículas (ver McIVER, 1973, p. 249).

Figura 2.5 - ‘Desaparecimento’ da partícula

µ

d , que se encontra no exterior de V

~

(no instante de tempo

t

), e ‘surgimento’ dessa partícula no interior de V

~

(no instante de tempo tt d

+

), quando então é

imediatamente agregada pela partícula de massa

m

. A partícula ‘gerada’ não é interpretada como parte da

partícula que a gera.

Figura 2.6 - O mesmo que a Fig. 2.5. Porém, a partícula ‘gerada’ é interpretada como parte da partícula que

a gera.

x

y

t

tt d

+

w

µ

d

v

m

V

~

V

~

µ

d

+

m

vv d

+

x

y

t

tt d

+

w

µ

d

v

m

V

~

V

~

µ

d

+

m

vv d

+

t

tt d

+

w

µ

d

v

m

V

~

V

~

vv d

+

x

y

mm d

+

t

tt d

+

w

µ

d

v

m

V

~

V

~

vv d

+

x

y

mm d

+

23

Em 1903, o mecanicista e engenheiro irlandês, Osbourne Reynolds (1842-1912), em seu

trabalho de título ‘The Sub-Mechanics of the Universe’, apresentou um axioma que viria a

permitir o tratamento desse tipo de sistema à luz dos princípios clássicos da mecânica. Eis o

axioma de Reynolds:

‘AXIOMA I: Qualquer que seja a mudança na quantidade de uma entidade dentro de

uma superfície fechada, essa só pode ocorrer através de uma, ou das duas seguintes

maneiras: (1) pode ocorrer pela produção ou destruição da entidade dentro da

superfície, ou (2) pela passagem da entidade através da superfície’. No Artigo 14 da

memória, Reynolds formulou esse axioma para entidades escalares em três versões

matemáticas.

Primeiramente, Reynolds [5] tratou uma superfície de controle movendo-se a uma

velocidade diferente da velocidade das partículas localizada na superfície, e em sua

equação (13) ele obteve uma formulação que, pelo teorema da divergência, pode ser

identiﬁcada como sendo equivalente à Eq. (2.3a) [ver Eq. (2.30)] (IRSCHIK; HOLL,

2004, p. 147, grifo nosso)

Segundo Irschik e Holl (2004, p. 147), o estabelecimento de uma conexão entre o nome de

Reynolds e o conhecido teorema do transporte foi mérito de Truesdell e Toupin (1960), que,

através da introdução do conceito de partículas ﬁctícias, possibilitaram uma prova

matemática formal para as várias versões do então chamado ‘teorema do transporte de

Reynolds’. No Apêndice B, o autor dessa tese apresenta sua própria interpretação para o

conceito de partículas ﬁctícias de Truesdell e Toupin (1960).

Em sua forma generalizada (ver Apêndice B), o teorema do transporte de Reynolds é

dado por

∫∫∫

∂

∂⋅−−=

V

VV

t

V

t

ˆ

~

ˆ

d)

ˆ

(

~

d

~

ˆ

d

ˆ

nvv

ρψρψρψ

, (2.30)

onde V

ˆ

é o volume de controle que é instantaneamente coincidente com V

~

. Por sua vez,

nv

⋅

ˆ

é a velocidade normal da superfície de controle V

ˆ

∂ que, em geral, é diferente da

velocidade normal

n

v

⋅

da superfície material V

~

∂ .

O operador de diferenciação que é empregado em V

~

, i.e. td/(.)d

~

, é diferente daquele

utilizado em V

ˆ

, i.e. td/(.)d

ˆ

. A questão é que, embora ambos correspondam à taxa de

variação total de

ψ

em uma mesma região do espaço (haja vista que VV

~

ˆ

= ), tem-se que

24

ψ

ψψ

∇⋅+

∂

= v

t

d

~

, (2.31)

onde

ψ

∇

⋅

v

refere-se à convecção de

ψ

com as partículas reais, sendo

kji )/(.)

~

()/(.)

~

()/(.)

~

((.) zyx ∂∂+∂∂+∂∂≡∇

; e

ψ

ψψ

∇⋅+

∂

=

ˆ

d

ˆ

v

t

, (2.32)

onde

ψ

∇⋅

ˆ

v

está associado à convecção de

ψ

com as partículas ﬁctícias, sendo

kji )/(.)

ˆ

()/(.)

ˆ

()/(.)

ˆ

((.)

ˆ

zyx ∂∂+∂∂+∂∂≡∇

. Mas a partir desse ponto, o conceito formal de

partículas ﬁctícias será por ora ‘abandonado’, devendo

nv

⋅

ˆ

ser interpretado apenas como a

velocidade normal da superfície de controle

V

ˆ

∂

.

A equação de movimento em

V

ˆ

pode ser obtida tomando-se

v

=

ψ

na Eq. (2.30), i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅−−=

V

VV

t

V

t

ˆ

~

ˆ

d)

ˆ

(

~

d

~

ˆ

d

ˆ

nvvvvv

ρρρ

. (2.33)

Supondo-se que V

~

não apresenta fontes de massa, tem-se, das Eq. (2.24) e (2.33) que

(24)

∫∫

∂

∂⋅−−=

VV

t

ˆˆ

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

ˆ

nvvvFv

ρρ

. (2.34)

Como explica Thompson (1988, p. 40), a Eq. (2.34) mostra que o incremento na

quantidade de movimento de um volume de controle (lado esquerdo da Eq. (2.34)) decorre de

dois fatores: 1) atuação da força

F

(25)

nas partículas que instantaneamente encontram-se

dentro de

V

ˆ

(primeiro termo do lado direito da Eq. (2.34)), o que representa uma ‘geração’ de

______________

24

Equivalentemente, Grubin (1963) apresenta uma outra maneira de se obter essa equação a partir do teorema do

transporte de Reynolds.

25

Que pode ser vista como a resultante das forças atuantes no volume material.

25

quantidade de movimento no interior de

V

ˆ

, 2) e fluxo de quantidade de movimento através de

V

ˆ

∂ (segundo termo do lado direito), que ocorre quando partículas dotadas de velocidade

absoluta não nula

26

atravessam a superfície de V

ˆ

∂ .

De maneira análoga àquela empregada na obtenção da Eq. (2.25) a partir da Eq. (2.24),

tem-se, a partir da Eq. (2.34), que (ver Apêndice A.2)

)(

d

ˆ

d

2

d

ˆ

d

*

2

2*

2

cmcm

cmcmcm

t

m

ttt

m

t

m rr

rr

wF

r

−−













+−+= , (2.35)

onde, agora,

cm

r

,

w

e

*

cm

r

estão respectivamente deﬁnidos como

∫

−

=

V

cm

Vm

ˆ

1

ˆ

drr

ρ

,

∫

∂

−

∂⋅−−=

V

Vtm

ˆ

1

ˆ

d)

ˆ

()( d/d

ˆ

nvvvw

ρ

e

∫

∂

−

∂⋅−−=

V

cm

Vtm

ˆ

1*

ˆ

d)

ˆ

()( d/d

ˆ

nvvrr

ρ

.

No caso particular em que 1) as partículas no interior de V

ˆ

apresentam a mesma

velocidade t

cm

d/drv

=

, 2) e

*

cm

rr =

cm

, a Eq. (2.35) pode ser simpliﬁcada para

t

m

t

m

d

ˆ

)(

d

vw

v

F −−= (2.36)

ou

t

m

t

d

ˆ

)(

d

ˆ

wvF −= . (2.37)

Mas assim como as Eqs. (2.26) e (2.27) devem preferivelmente ser escritas na forma das

Eqs. (2.28) e (2.29), respectivamente, as Eqs. (2.36) e (2.37) também devem ser interpretadas

______________

26

Siegel (1972) argumenta que fluxo de massa não-nulo implica obrigatoriamente fluxo de quantidade de

movimento também não-nulo. Mas basta tomar 0

=

v em V

ˆ

∂ como um contra-exemplo. Nesse caso, o fluxo

de massa

∫

∂

∂⋅−

V

ˆ

d)

ˆ

( nvv

ρ

, de fato, é diferente de zero. No entanto, o fluxo de quantidade de movimento é

claramente nulo, i.e. 0

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

=∂⋅−

∫

∂V

Vnvvv

ρ

.

26

respectivamente como

t

m

d

)(

d

µ

vw

v

F −−= (2.38)

e

t

m

t

d

)(

d

ˆ

µ

wvF −= . (2.39)

Assim:

No presente contexto de um volume não-material [de controle], nós assim chegamos

a uma relação [Eq. (2.35)] para o movimento do centro de massa em completa

analogia com o resultado de Federhofer [65] para um volume material com fontes de

massa em seu interior, Eq. (3.18) [Eq. (2.25)]. (IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 157)

No entanto, apesar dessa analogia, existe uma diferença de interpretação entre as Eqs.

(2.29) e (2.39). A questão é que, no primeiro caso, a partícula

µ

d

‘desaparece’ do lado de

fora de V

~

e então ‘surge’ em seu interior, uma vez que

µ

d

não pode cruzar a fronteira V

~

∂

que é fechada. Já no segundo caso, a partícula

µ

d

atravessa a superfície

V

ˆ

∂

para chegar ao

interior de V

ˆ

. Nesse segundo caso, V

~

é o volume que, entre os instantes de tempo

tt d

+

e

t

,

encerra as duas e mesmas partículas (ver Figs. 2.7 e 2.8).

Faz-se agora notar que as Eqs. (2.28) e (2.38), embora advindas de diferentes abordagens,

são idênticas. Ocorre que, tanto na Fig. 2.5 como na 2.7, ﬁguras essas que estão associadas,

respectivamente, às Eqs. (2.28) e (2.38), o foco de atenção é sempre a mesma e única

partícula, i.e. a de cor escura. Como já discutido anteriormente, se, ao ser capturada, a

partícula

µ

d

é considerada como não pertencente à partícula de massa

m

, a identidade de

ambas as partículas é mantida. Ou seja, tanto a Fig. 2.5 como a 2.7 equivalem a um ponto de

vista em que é a identidade da partícula que importa, e não se a mesma é encerrada por um

volume material ou de controle.

E do mesmo modo em que

td/(.)d

~

é o operador associado a um volume material, e

td/(.)d

ˆ

o operador associado a um volume de controle, é possível também conceber um

operador relacionado a esse ponto de vista, onde é a identidade da partícula que é preservada.

27

É o chamado, segundo a terminologia de Shao-kai e Feng-xiang (1992, p. 857), operador para

‘derivada de solidiﬁcação total’, e que aqui será simbolizado por tDD /(.) .

Figura 2.7 - Partícula

µ

d

, que se encontra no exterior de V

ˆ

no instante de tempo

t

, cruza a fronteira V

ˆ

∂ ,

e atinge o interior de V

ˆ

no instante de tempo tt d

+

, quando então é imediatamente agregada à partícula de

massa

m

. Ao ser capturada, a partícula

µ

d

não é interpretada como parte da outra partícula.

Figura 2.8 - O mesmo que a Fig. 2.7. No entanto, ao ser capturada, a partícula

µ

d

é interpretada como

parte da outra partícula.

w

µ

d

v

m

µ

d

+

m

vv d

+

t

tt d

+

x

y

V

ˆ

V

ˆ

V

~

V

~

w

µ

d

v

m

µ

d

+

m

vv d

+

t

tt d

+

x

y

V

ˆ

V

ˆ

V

~

V

~

w

µ

d

v

m

vv d

+

t

tt d

+

x

y

V

ˆ

V

ˆ

V

~

V

~

mm d

+

w

µ

d

v

m

vv d

+

t

tt d

+

x

y

V

ˆ

V

ˆ

V

~

V

~

mm d

+

28

Se a identidade da partícula é mantida durante o choque, sua massa torna-se uma

constante entre os instantes de tempo tt d

+

e

t

, o que implica 0/

=

tm

D

. Sendo assim, a

Eq. (2.38) (ou (2.28)), pode ser apresentada como

t

m

t

d

)()(

µ

vwvF −−=

D

. (2.40)

Comparando-se então as Eqs. (2.39) e (2.40), ou, equivalentemente, as Eqs. (2.29) e

(2.40), vê-se que a taxa de variação da quantidade de movimento

v

p

m

=

da partícula

depende do ponto de vista, ou seja, a expressão para

tm d/)(d

ˆ

v

(ou

tm d/)(d

~

v

) é diferente

daquela para

tm DD /)( v

, onde

)d/d(/)( tmtm vv

=

DD

. Ou seja,

tm DD /)( v

é a derivada

temporal da quantidade de movimento de uma partícula cuja identidade é preservada após o

choque. Na Seção a seguir, essa questão será abordada, sendo apresentada, por ﬁm, qual deve

ser considerada a real extensão da segunda lei de Newton a uma partícula de massa variável.

2.2 A segunda lei de Newton para uma partícula de massa variável

Na década de 60, veriﬁcou-se um debate sobre a maneira adequada de se apresentar a

segunda lei de Newton para uma partícula de massa variável (ver ARMSTRONG, 1965;

ARMSTRONG, 1966; ARONS; BORK, 1964; BORK; ARONS, 1964; GADSDEN, 1964;

GADSDEN, 1966; LEITMANN, 1957; MERIAM, 1960; POMERANZ, 1964; THORPE,

1962; TIERSTEN, 1969; TRIGG, 1966a; TRIGG, 1966b; VAN DEN AKKER, 1964).

Essencialmente, a questão em pauta era se a segunda lei de Newton para uma partícula de

massa variável deveria ser escrita como

t

m

t

d

)(

d

wvF −=

(2.41)

29

ou como

)(

d

vF m

t

= , (2.42)

onde nenhuma menção adicional era feita sobre o operador de diferenciação utilizado. Por

essa razão, empregou-se nas Eqs. (2.41) e (2.42) o operador

td/(.)d

, que é livre de qualquer

diacrítico e deve então ser interpretado no sentido usual de derivada temporal.

Como pode ser concluído das discussões já feitas nesse Capítulo, a Eq. (2.42) é o caso

particular da Eq. (2.41) em que

0

=

w

. Além disso, a Eq. (2.42) não pode ser considerada

como uma extensão da segunda lei de Newton, porque não é invariante sob transformações

Galileanas (ver, por exemplo, PLASTINO; MUZZIO, 1992 e Apêndice A.3). A Eq. (2.41)

não só representa o caso mais geral em que a velocidade do elemento de massa a ser

capturado é não nula, como também é invariante sob transformações Galileanas (ver

Apêndice A.3). Mas, mesmo assim, existe ainda uma pergunta a ser respondida.

A questão é que qualquer uma das Eqs. (2.39), (2.29) ou (2.40) podem ser obtidas a partir

da Eq. (2.41). Basta interpretar

td/(.)d

coerentemente com cada caso. Mas qual dentre essas,

de fato, pode ser considerada como uma real extensão da segunda lei de Newton a uma

partícula de massa variável? Em outras palavras, qual dentre essas equações vale-se dos

conceitos originalmente empregados por Newton?

Inicialmente, deve-se lembrar que a Eq. (2.39) advém da Eq. (2.34), que é o teorema do

transporte de Reynolds para a quantidade de movimento. Note que a Eq. (2.39), quando

escrita como

)(

d

ˆ

d

vwF m

t

=+

µ

, (2.43)

pode ser interpretada da seguinte forma: a taxa de variação da quantidade de movimento de

uma partícula de massa variável (no sentido da Fig. 2.8), que é o lado direito da Eq. (2.43), é

igual à força (primeiro termo do lado esquerdo) nela atuante somada ao fluxo de quantidade

de movimento (segundo termo do lado esquerdo) para a mesma. O que deve então ser

distinguido é que esse termo de fluxo, ainda que apresente unidade de força, i.e. [N], não deve

30

ser interpretado como tal. Do Axioma I de Reynolds, tem-se que o termo de fluxo deve

possuir um signiﬁcado físico diferente do termo de geração. Ou seja, o termo de fluxo de

quantidade de movimento não deve ser ﬁsicamente interpretado como uma força, sendo essa

segunda o termo de geração de quantidade de movimento no interior de

V

ˆ

. Isso mostra que a

Eq. (2.43) não é uma relação causal entre forças e taxa de variação de quantidade de

movimento, conceito esse que deve estar imbuído na segunda lei de Newton. Logo, a Eq.

(2.43) não pode ser considerada como a extensão própria da segunda lei de Newton a uma

partícula de massa variável.

Seja agora a Eq. (2.29) sob a forma

)(

d

~

d

vwF m

t

=+

µ

. (2.44)

Equivalentemente à Eq. (2.43), o lado direito da Eq. (2.44) também representa a taxa de

variação da quantidade de movimento de uma partícula de massa variável, porém, no sentido

da Fig. 2.6. O segundo termo do lado esquerdo da Eq. (2.44) não é um termo de fluxo de

quantidade de movimento, mas sim uma fonte dessa grandeza devido à geração de elementos

de massa dotados de velocidade absoluta não nula. No entanto, enquanto

F

, que também é

uma fonte de quantidade de movimento, é uma força propriamente dita,

)d/(d t

µ

w

é uma

fonte de quantidade de movimento devido à geração de massa no interior de V

~

. Ou seja, a Eq.

(2.44) também não representa uma relação causa-efeito entre forças e taxa de variação de

quantidade de movimento, e, portanto, também não deve ser considerada como a extensão

própria da segunda lei de Newton a uma partícula de massa variável.

Considere agora a Eq. (2.40) na forma

t

mm

t

d

)(

d

)(

v

vvwF ==−+

D

µ

. (2.45)

Como sob o operador

tDD /(.)

a partícula é vista como de massa constante entre os

instantes de tempo tt d

+

e

t

, passa então a ser uma conseqüência direta da interpretação da

equação geral de balanço e do Axioma I de Reynolds, que os termos do lado esquerdo da Eq.

(2.45) devem ser forças propriamente ditas. Ou seja, se a massa do sistema é interpretada

31

como sendo instantaneamente constante, a única maneira de alterar sua quantidade de

movimento é através da aplicação de forças. Dessa forma, a Eq. (2.45) é uma relação causa-

efeito entre as forças

F

e

)d/(d)( t

µ

vw

−

e a taxa de variação da quantidade de movimento

da partícula de massa

.

const

m

=

entre os instantes de tempo

tt d

+

e

t

, i.e.

)d/d(/)( tmtm vv

≡

DD

. Ou seja, é a Eq. (2.45) que deve ser considerada como a extensão da

segunda lei de Newton a uma partícula de massa variável no sentido estrito do termo.

2.3 Teorema trabalho-energia

Seja agora a relação entre a potência transmitida ao sistema e a taxa de variação de sua

energia cinética associada a cada uma das Eqs. (2.29), (2.39) e (2.40).

Multiplicando-se escalarmente ambos os lados da Eq. (2.40) por

v

, obtém-se que

t

T

t D

D

=⋅













−+ vvwF

d

)(

µ

, (2.46)

onde

2

1

vmT = é a energia cinética da partícula, e, portanto,

)d/d(/ tmtT vv

⋅

=

DD

.

A Eq. (2.46) mostra que, sob esse ponto de vista, a potência associada às forças

F

e

)d/d)(( t

µ

vw

−

atuantes na partícula (lado esquerdo da Eq. (2.46)) é igual à taxa de variação

de sua energia cinética (lado direito). Ou seja, sob esse ponto de vista, a partícula é

interpretada como um sistema não-dissipativo, se

F

assim também não o for.

Por outro lado, Copeland (1982) demonstra que, associada à Eq. (2.39), tem-se a seguinte

relação entre a potência transmitida ao sistema e a taxa de variação de sua energia cinética

32

t

T

d

)(

d

ˆ

2

1

2

1

µµ

vwwvF −+−=⋅ . (2.47)

Supondo-se, por hipótese, que não há transferência de calor para V

~

, a primeira lei da

termodinâmica (ver, por exemplo, TESTER; MODELL, 1997, p. 48) estabelece que

t

U

t

T

t

E

d

~

d

~

d

~

+==⋅ vF , (2.48)

onde

E

é a energia total em

V

~

, expressa como a soma entre a energia cinética

T

e a energia

interna U .

Então, das Eqs. (2.47) e (2.48), e do teorema do transporte de Reynolds (ver Eq. (2.30))

com

2

1

v=ψ , i.e.

t

T

t

T

d

ˆ

d

~

2

1

µ

w−= , (2.49)

obtém-se que

t

U

d

)(

d

~

2

1

µ

vw −= . (2.50)

A Eq. (2.50) mostra que, quando uma partícula de massa

m

e velocidade

v

choca-se com

um elemento de massa

µ

d e velocidade

w

, a energia interna de V

~

sofre um incremento dado

por

µ

d)(

2

1

vw − . Segundo Sherwood (1983, p. 599) (ver também LEFF;

MALLINCKRODT, 1993, p. 125), isso também implica um aumento na temperatura de cada

uma das partículas. Assim, tem-se que, sob o ponto de vista correspondente ao operador

td/(.)d

ˆ

, parte do trabalho transmitido ao sistema não é a ele convertido em energia

mecânica, mas sim em energia interna. Isso mostra que, quando interpretada conforme a Fig.

(2.8), uma partícula de massa variável é, essencialmente, um sistema dissipativo.

33

Mas é interessante veriﬁcar que, no caso particular em que

vw

2

1

=

(ver, por exemplo,

COPELAND, 1982, p. 599), a Eq. (2.47) conduz à seguinte expressão

t

T

d

ˆ

=⋅ vF , (2.51)

que é a forma do teorema trabalho-energia para um sistema não-dissipativo. Note que a Eq.

(2.51) mostra que, nesse caso particular, todo o trabalho (por unidade de tempo) transmitido

ao sistema (de massa variável) é convertido em um aumento (por unidade de tempo) apenas

em sua energia cinética. Fisicamente falando, isso signiﬁca que, no caso particular em que

vw

2

1

=

, a energia mecânica dissipada durante o choque, i.e.

µ

d)(

2

1

vw −

, é balanceada

pelo ganho de energia mecânica que ocorre devido à captura do elemento de massa

µ

d

, i.e.

(

µ

d

2

1

w− ). Assim, o termo

µµ

dd)(

2

1

2

1

wvw −−

(27)

pode ser chamado de energia líquida

dissipada.

De modo análogo ao da obtenção da Eq. (2.47) a partir da Eq. (2.39), mostra-se, da Eq.

(2.29), que

t

T

d

)(

d

~

2

1

2

1

µµ

vwwvF −+−=⋅

. (2.52)

Na maioria dos livros textos, não se encontra a forma da primeira lei da termodinâmica

para um volume material com fontes de massa. Então, comparando-se a Eq. (2.52) com a Eq.

(2.48), recupera-se novamente a Eq. (2.50). Como já discutido para o caso de um volume de

controle, tem-se, de modo também análogo, que um volume material com fontes de massa,

quando interpretado conforme a Fig. 2.6, é um sistema dissipativo salvo se vw

2

1

=

.

______________

27

No Capítulo 3, será mostrado que a energia líquida dissipada no processo de aumento ou diminuição de massa

de um sistema corresponde à função dissipação de Rayleigh para um sistema de massa variável.

34

2.4 Discussão

Nesse Capítulo, foi apresentada uma breve discussão sobre as primeiras abordagens da

dinâmica de partículas de massa variável. Isso foi feito a partir de uma interpretação, que é

própria do autor dessa tese, dos trechos dos trabalhos de Buquoy, Poisson, Tait e Steele e

Mechtcherskii que se encontram no artigo de Mikhailov (1975). A contribuição de Cayley,

que indubitavelmente também deve ﬁgurar entre essas outras, será discutida no Capítulo

seguinte.

Uma primeira conclusão desse Capítulo, que essencialmente decorre essencialmente dessa

interpretação dos trabalhos acima citados, é a de que, embora as Eqs. (2.29), (2.39) e (2.40)

sejam algebricamente equivalentes, cada uma delas está associada a um diferente ponto de

vista. Enquanto nas duas primeiras, a identidade das partículas que compõe o sistema como

um todo é perdida após a interação entre elas, na terceira, a identidade dessas partículas é

preservada.

Também foi mostrado por esse autor que é possível transitar entre essas duas

interpretações, se a equação de conservação de massa for vista como uma restrição no sentido

da mecânica analítica. Esse é um resultado já bem explorado no contexto da mecânica do

contínuo por Seliger e Whitham (1968). Dentro dessa questão da identidade das partículas,

emerge o conceito de diferentes operadores de diferenciação para diferentes tipos de sistema

de massa variável. Esse é um procedimento que pode ser encontrado, por exemplo, nos

trabalhos de Irschik e Holl (2002, 2004), Shao-kai e Feng-xiang (1992) e Truesdell e Toupin

(1960).

Mas segundo o melhor conhecimento do autor dessa tese, pouca ênfase e quase nenhuma

discussão é feita sobre a diferença do signiﬁcado físico dos termos que compõe as Eqs. (2.29)

e (2.40), ou (2.39) e (2.40), principalmente no que se diz respeito à diferença entre a força

)d/(d)( t

µ

vw

−

e o fluxo (ou geração)

)]d/d([ t

µ

w

−

de quantidade movimento. Por essa

razão, essa questão foi explorada.

Um outro resultado decorre da análise da relação entre a potência transmitida e a taxa de

variação de energia cinética. A questão a ser observada é que, quando a identidade das

35

partículas é mantida, o sistema deve ser interpretado como não-dissipativo. No entanto,

quando a identidade das partículas é perdida, o inverso ocorre, ou seja, o mesmo sistema deve

ser interpretado como dissipativo. Frolov (1984, p. 62) argumenta que, no processo de

agregação de massa, uma outra conseqüência além do aumento da energia interna do sistema,

é o aumento de sua entropia. Esse seu argumento pode ser justiﬁcado pela clássica relação da

termodinâmica US d

~

d

~

Θ ≥ , onde

S

é a entropia do sistema e

Θ

sua temperatura absoluta.

O que é interessante de ser comentado é que Gilbert Newton Lewis (1930, p. 573), famoso

físico-químico americano, escreveu que “ganho em entropia sempre signiﬁca perda de

informação, e nada mais”. E é curioso constatar que esse conceito veriﬁca-se na dinâmica de

partículas de massa variável. No caso em que a identidade da partícula

µ

d

é perdida após o

choque (ver Figs. 2.6 e 2.8), vê-se, a partir da Eq. (2.50), que a energia interna do sistema

aumenta, e, portanto, também assim aumenta sua entropia. Ou seja, de acordo com Lewis,

esse passa a ser um resultado previsto, pois, quando a identidade da partícula

µ

d

é perdida,

uma informação sobre o sistema também é perdida, o que implica um aumento em sua

entropia. Por outro lado, quando a identidade da partícula

µ

d

é mantida após o choque (ver

Figs. 2.5 e 2.7), o sistema é interpretado como não-dissipativo, ou seja, sem aumento de

energia interna e entropia. Mas curiosamente, esse resultado também pode ser previsto pela

consideração de Lewis, haja vista que, se as identidades das partículas são mantidas, a

quantidade de informações sobre o sistema permanece a mesma, e logo, o sistema não deve

sofrer aumento de entropia.

36

3 A ABORDAGEM DA MECÂNICA ANALÍTICA AOS SISTEMAS DE

MASSA VARIÁVEL

Em 1788, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matemático e físico francês

28

, propôs, em

seu trabalho ‘Mécanique Analytique’, um formalismo matemático apropriado para a

mecânica, assim como um método analítico, por ele considerado geral, para a resolução de

problemas. Dugas (1988, p. 332-3) enfatiza que o ‘Mécanique Analytique’ representa a união

dos esforços realizados durante o século 18 para se desenvolver uma mecânica racionalmente

organizada.

Nas próprias palavras de Lagrange, seus objetivos eram:

Reduzir a teoria da mecânica e a arte de resolver os problemas associados para

formulas gerais, cujo simples desenvolvimento forneça as equações necessárias para

a solução de cada problema.

Unificar e apresentar, a partir de um único ponto de vista, os diferentes princípios

que, até então, têm sido encontrados para assistir na solução de problemas da

mecânica; apresentando a dependência mútua desses princípios e fazendo um

julgamento da validade desses e escopo possível[...].

Diagramas não serão encontrados nesse trabalho. Os métodos que eu explico nele

não requerem nem construções geométricas nem argumentos mecânicos, mas

somente as operações algébricas inerentes ao processo regular e uniforme. Aqueles

que amam Análise verão, com satisfação, a mecânica tornar-se um novo ramo dessa

e agradecer-me-ão por assim ter estendido seu campo. (DUGAS, 1988, p. 333)

O objetivo desse Capítulo é contribuir no preenchimento de uma importante lacuna na

abordagem Lagrangeana da dinâmica de sistemas de massa variável, em particular, na dos

sistemas contínuos de massa variável. A questão é que, segundo o conhecimento e

interpretação do autor dessa tese, Irschik e Holl (2002), nessa recente publicação, apresentam

a equação de Lagrange para um volume de controle cuja massa varia apenas com o tempo. A

questão é agora conceber a equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa

varia do modo mais geral, i.e. não só com o tempo, mas também com as coordenadas e

velocidades generalizadas. Esse é um dos resultados originais dessa tese. Vale mencionar que,

com relação a um sistema discreto de partículas, a equação de Lagrange, para o caso em que a

______________

28

Lagrange nasceu na Itália, e tem seu nome de batismo dado por Giuseppe Lodovico Lagrangia.

37

massa das partículas varia explicitamente com as coordenadas, é demonstrada,

independentemente, por Cvetićanin (1993) e Pesce (2003); esse último autor inclui o caso de

dependência com velocidades generalizadas. Exemplos de aplicação da equação de Lagrange

para um volume de controle onde a massa varia com as coordenadas e velocidades

generalizadas, serão aqui abordados. No final do Capítulo 4, uma discussão sobre a vantagem

de se empregar essa equação em alguns tipos de sistemas de massa variável será feita.

A Seção 3.4 complementa o presente Capítulo, com discussão acerca da aplicação do

Princípio de Hamilton a meios contínuos de massa variável, à luz do princípio variacional

demonstrado em 1968, por Seliger e Whitham, apresentando alguns resultados originais no

que tange à sua aplicação a volumes de controle.

3.1 Sistema de partículas e a equação de Lagrange

Essencialmente, essa Seção encontra-se dividida em duas partes. Na primeira, será

apresentada uma breve apreciação do importante trabalho de Cayley. Na segunda, o conceito

de massa explicitamente dependente de uma determinada variável (no caso, a posição) será

introduzido.

A equação de Lagrange para um sistema de partículas de massa constante, i.e.

kk

k

q

T

q

T

t

Q

∂

−

∂

=

~

d

~

&

, (3.1)

(29)

onde

∑

=

i

ii

mT

2

1

v

é a energia cinética do sistema de partículas,

i

m e

i

v , respectivamente, a

massa e a velocidade da i-ésima partícula desse sistema, e

k

Q a força generalizada associada

______________

29

Assim como

td/(.)d

~

,

k

q

&

∂∂ /(.)

~

e

k

q∂∂ /(.)

~

referem-se a variações com respeito às partículas de

V

~

.

38

à coordenada generalizada

k

q

; pode ser demonstrada a partir do conhecido princípio de

D’Alembert, ou seja

0

d

=⋅













−

∑

i

ii

i

t

m xF

v

δ

, (3.2)

sendo

i

F a força atuante na i-ésima partícula,

∫

= t

ii

dvx , e

i

x

δ

o deslocamento virtual da i-

ésima partícula.

Considere que

∑

∂

=

k

i

q

δδ

x

, (3.3)

sendo

k

q

δ

a variação virtual da coordenada generalizada

k

q .

Então, da definição para a força generalizada

k

Q , i.e.

∑

∂

⋅=

k k

i

ik

q

Q

x

F , (3.4)

e do fato de que as variações

k

q

δ

são independentes e arbitrários, mostra-se, a partir das Eqs.

(3.4), (3.3) em (3.2), como usualmente é feito, a equação de Lagrange em sua forma clássica,

que é a Eq.(3.1).

No Capítulo 2, viu-se que a real extensão da segunda lei de Newton a um sistema de

massa variável é aquela onde aparece o operador

tDD /(.)

, i.e. Eq. (2.40). Nessa equação,

todos os termos envolvidos são forças, o que então permite que a ela seja aplicado o princípio

de D’Alembert. Além disso, como já discutido no Capítulo 2, o ponto de vista associado ao

operador

tDD /(.)

é aquele onde a identidade das partículas envolvidas é mantida, o que

também é uma justificativa para o emprego do princípio de D’Alembert à Eq. (2.40).

39

Sendo assim, da Eq. (2.40) obtém-se que

0

d

)(

d

=⋅













−−−

∑

i

iii

i

tt

m xvwF

v

δ

µ

. (3.5)

Em 1857, Cayley então derivou a equação de Lagrange para um sistema de partículas de

massa variável a partir da Eq. (3.5). Para tal, inicialmente, Cayley (1857, p. 507-8) assume

que

∑∑

⋅













−

∂

−

∂

=⋅













−

k

kk

i

ii

i

qQ

q

T

q

T

tt

m

δδ

&

d

xF

v

, (3.6)

mas não faz qualquer consideração adicional sobre os operadores de diferenciação dessa

equação. No entanto, é da interpretação do autor dessa tese, que, se

)(tmm

ii

=

, então, para

que a Eq. (3.6) seja válida, é necessário interpretá-la como

∑∑

⋅













−

∂

−

∂

=⋅













−

k

kk

i

ii

i

qQ

q

T

q

T

tt

m

δδ

~

d

&

D

xF

v

(3.7)

(ver Apêndice C.1). Mas em vez de apresentar a equação de Lagrange para um sistema de

partículas de massa variável como sendo

∑

∂

⋅−−

∂

−

∂

=

i k

i

ii

i

kk

k

qtq

T

q

T

t

Q

x

vw )(

d

~

µ

&

D

(3.8)

(ver Eq. (C.17)), ou pelo menos na forma equivalente

∑

∂

⋅−

∂

−

∂

=

i

k

i

kk

k

qt

m

q

T

q

T

t

Q

x

w

d

~

d

~

&

(3.9)

(ver Eq. (C.13)); Cayley (1857) vale-se de uma outra abordagem para o termo

40

∑

⋅−

i

iiii

t xvw

δµ

)d/d)((

. O autor argumenta que, como as partículas

i

µ

d ’s não pertencem

ao sistema das partículas i’s, as coordenadas generalizadas

k

q que descrevem o estado do

sistema formado por essas segundas não podem ser empregadas para expressar a posição

daquelas primeiras. Considerando então por hipótese que )(

kii

q

&

vv

=

, e valendo-se da relação

∑

∂

=

k

i

q

&

x

v

, (3.10)

Cayley (1857, p. 508-9) obtém uma expressão alternativa à Eq. (3.8), i.e.

kkk

k

qq

T

q

T

t

Q

&&

∂

ℜ∂

+

∂

−

∂

=

~

D

, (3.11)

onde

( )

∑ ∑∑∑ ∑

∂

⋅













−

∂

=

∂

⋅−=ℜ

i k

k

i

l

ii

i k

k

i

ii

i

q

qt

q

qt

&&&

x

w

xx

wv 2

d

2

d

2

1

2

1

µµ

.(3.12)

Nos Capítulos 4 e 5, quando, respectivamente, os chamados ‘problema da corrente em

queda’ e o ‘problema de Wagner’ forem abordados, a consistência dessa interpretação

proposta para a equação de Cayley (Eq. (3.11)) a partir dos operadores de diferenciação

tDD /(.)

,

k

q

&

∂∂ /(.)

~

e

k

q∂∂ /(.)

~

tornar-se-á mais clara.

Da Eq. (2.50), vê-se ainda que a Eq. (3.12) pode ser escrita como

∑

−=ℜ

i

tt

U

d

~

2

1

µ

w . (3.13)

Note assim que a função

ℜ

pode ser entendida como a soma entre 1) a quantidade de

energia mecânica (por unidade de tempo) dissipada no processo de agregação de massa

41

(primeiro termo do lado direito da Eq. (3.13)), e 2) a quantidade de energia mecânica que é

carregada para fora do sistema, ou para dentro desse trazida (segundo termo do lado direito da

Eq. (3.13)). Ou seja,

ℜ

corresponde à energia mecânica líquida que é dissipada no processo

de variação de massa. Deve também ser observado que 1) e 2) estão relacionados a uma

mudança na velocidade do sistema, o quê, de certa forma, justifica a forma

k

q

&

∂

∂ℜ

/ do

termo. Assim, vê-se que

ℜ

desempenha o papel da função de Rayleigh para um sistema de

massa variável; podendo ainda ser imediatamente generalizada para

qCqw

&&

⋅⋅+

∑

−=ℜ

T

i

t

U

2

1

2

1

d

~

µ

, (3.14)

(30)

no caso da presença de forças de dissipação viscosa linear, onde C é a matriz de

amortecimento.

Mas dentro da mecânica analítica, a massa das partículas de um sistema pode, no caso

mais geral, ser uma função não só do tempo, mas também das coordenadas e velocidades

generalizadas, i.e. ),,(

kkii

qqtmm

&

=

(ver, por exemplo, CVETIĆANIN, 1993; MUŠICKI,

1999, 2000 e PESCE, 2003). A questão é que, se a massa das partículas depende de

k

q e/ou

k

q

&

, as Eq. (3.8), (3.9), ou (3.11) tornam-se impróprias. Imagine, por exemplo, uma caneta

sendo modelada como uma partícula. Suponha que essa caneta move-se, por hipótese, com

translação pura. Assim, enquanto se move e ‘risca’ a folha de papel, transfere tinta para essa

superfície (ver Fig. 3.1)

Trata-se, portanto, de uma partícula de massa variável. Como imediatamente após

abandonar a caneta, a tinta adere ao papel, então 0

=

w . Assim, se

F

é a força resultante que

movimenta a caneta, então, da Eq. (2.29), tem-se que

)(

d

~

mv

t

F =

, (3.15)

______________

30

Ver forma alternativa em, por exemplo, Rosof (1971, p. 1269).

42

onde

v

é a velocidade da caneta.

Mas é bastante conveniente expressar a massa da caneta como uma função da distância

por ela percorrida. Basta conhecer a quantidade de tinta que a caneta abandona por unidade de

comprimento percorrido, i.e.

σ

[kg/m]. Assim, se

0

m

é a massa inicial da caneta e

x

a

distância por ela percorrida, então xmxm

σ

−

=

0

)( . Note que se a Eq. (3.9) fosse nesse

problema empregada com

QF

=

,

q

x

=

,

0

=

w

, obter-se-ia

v

t

m

mv

t

v

x

m

mv

t

F

d

~

)(

d

~

)(

d

~

2

1

2

1

−=

∂

−= , (3.16)

que é uma equação diferente da Eq. (3.15).

Figura 3.1 – Ilustração de um sistema de massa variável com a posição. Uma caneta movendo-se ao longo

de uma folha de papel.

Pesce (2003) então mostra que se ),,(

kkii

qqtmm

&

=

, faz-se necessário reconsiderar a

dedução da equação de Lagrange a partir dos princípios de D’Alembert e dos Trabalhos

Virtuais, e assim as Eqs. (C.8) e (C.9) devem ser respectivamente reescritas como

[ ]

k

i

k

i

ii

kk

i

qt

m

q

m

qtqt

m

∂

⋅−













∂

−

∂

=













∂

∂ x

vvv

v

d

~

d

~

d

2

1

2

1

2

1

&&&

, (3.17)

[

]

2

1

2

1

2

1

~

i

k

i

ii

kk

i

q

m

qq

m vv

v

∂

−

∂

=

∂

, (3.18)

x

y

x

y

x

y

43

onde agora

∑

∂∂+∂∂+∂∂=

k

kki

k

kkiii

qqmqqmtmtm

&&&&

)/

~

()/

~

(/d/d

~

.

Logo, das Eqs. (3.17) e (3.18) em (C.5), obtém-se que

[ ] [ ]

k

i

k

i

ii

k

i

k

i

ii

kk

ii

i

qt

m

q

m

qq

m

t

m

qtqt

m

∂

⋅−

−

∂

+

∂

−













∂

−

∂

=

∂

⋅

x

v

vvvv

xv

d

~

d

~

d

~

d

2

1

2

1

2

1

2

1

&&

, (3.19)

o que implica

k

i

k i

i

k

i

k

i

kki k

k

ii

i

q

qt

m

q

m

q

m

tq

T

q

T

t

q

qt

m

δ

















∂

⋅+

















+

∂

−













∂

−

∂

−

∂

=

∂

⋅

∑ ∑∑ ∑

x

v

vv

xv

d

~

d

~

d

~

d

2

1

2

1

&&

.(3.20)

Assim, das Eqs. (3.20) e (C.4) em (C.3), chega-se a







∂

⋅







−+

















++

∂

−













∂

−

∂

−

∂

=

∑

k

ii

i

k

i

k

i

kk

k

qt

t

m

q

m

q

m

tq

T

q

T

t

Q

x

vw

vvv

d

)(

d

~

d

~

d

~

2

1

2

1

µ

&&

, (3.21)

i.e.

∑













∂

⋅+

∂

−













∂

−

∂

−

∂

=

i

k

i

k

i

k

i

kk

k

qt

m

q

m

q

m

tq

T

q

T

t

Q

x

wvv

d

~

d

~

d

~

2

1

2

1

&&

. (3.22)

Analogamente à Eq. (3.8), a Eq. (3.22) pode ser escrita sob o operador

tDD /(.)

. Para tal,

basta reconsiderar a Eq. (3.17) como

44

[ ]













∂

−

∂

=













∂

2

1

2

1

2

1

~

d

i

k

i

ii

kk

i

q

m

t

m

qtqt

m vv

v

&&&

D

. (3.23)

Pelo mesmo procedimento acima mostrado para a demonstração da Eq. (3.22), chega-se

agora a

∑













∂

⋅−+

∂

−













∂

−

∂

−

∂

=

i

k

i

ii

i

k

i

k

i

kk

k

qtq

m

q

m

tq

T

q

T

t

Q

x

vwvv )(

d

~

2

1

2

1

µ

&&

D

. (3.24)

Note assim que, com relação à Eq. (3.9), onde )(tmm

ii

=

, a Eq. (3.22), que é válida para

o caso mais geral em que

),,(

kkii

qqtmm

&

=

, apresenta dois termos adicionais, i.e.

∑













∂

i

k

i

q

m

t

2

1

~

d

~

v

&

e

∑

∂

i

k

i

q

m

2

1

~

v . Note agora que se a Eq. (3.22) for aplicada ao problema da

caneta anteriormente mencionado, obtém-se que

)(

d

~

)(

d

~

2

1

2

1

mv

t

v

x

m

v

x

m

mv

t

F =

∂

+

∂

−= , (3.25)

que é o resultado esperado (ver Eq. (3.15)).

Vale agora dizer que, se as funções )(tqq

kk

=

e )(tqq

kk

&&

=

forem a priori conhecidas,

então a massa das partículas do sistema pode ser escrita como uma função apenas do tempo,

i.e.

))(),(,()( tqtqtmtm

kkiii

&

=

µ

. (3.26)

Se assim, no problema da caneta, a Eq. (3.9) pode ser aplicada como

)(

d

~

)(

d

~

)(

d

~

2

1

mv

t

v

t

x

v

t

F ≡=

∂

−= µ

µ

µ , (3.27)

45

sendo

v

x

m

t

∂

=

~

d

~

µ

. (3.28)

3.2 Volume de controle e a equação de Lagrange

Irschik e Holl (2002) foram os primeiros a abordar a questão da associação da equação de

Lagrange a um volume de controle. Em suas próprias palavras, tem-se que:

Segundo nosso melhor conhecimento, o conceito de volume de controle ainda não

foi associado às equações de Lagrange na literatura. Desenvolvendo-se a extensão

desejada das equações de Lagrange, uso será feito do teorema do transporte de

Reynolds para um volume não-material [volume de controle], ver Truesdell e

Toupin [2, sec. 81], e das generalizações desse teorema com respeito a derivadas

parciais das quantidades transportadas para coordenadas e velocidades

generalizadas. Cobrirá a parte principal do presente artigo a derivação dessas

generalizações. (IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 232)

Para

2

1

v== T

ψ

, os autores (ver IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 242, Eqs. (4.12) e (4.15))

então consideram a seguinte generalização do teorema do transporte de Reynolds para a

derivada parcial com respeito à coordenada generalizada

k

q

∫∫∫

∂

∂⋅−

∂

+

∂

=

∂

V

k

V

k

V

k

V

q

TVT

q

VT

q

ˆˆ

~

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

ˆ

~

d

~

nvv

&

ρρρ

. (3.29)

É agora importante salientar a seguinte menção feita por Irschik e Holl (2002, p. 238):

“[...]as coordenadas generalizadas [

k

q ’s] da Seção 2 [do seu trabalho] podem ser também

usadas para o problema ﬁctício [i.e. para descrever o movimento de V

ˆ

]

31

, as dependências

______________

31

Vale lembrar que V

ˆ

é o volume das partículas fictícias. Daí o nome ‘problema fictício’.

46

funcionais, claro, sendo diferentes [

),,(

kk

qqtf

&

=

v

é diferente de

),,(

ˆ

kk

qqtg

&

=

v

, por

exemplo][...]”

Uma vez que V

ˆ

é instantaneamente coincidente com V

~

(ver Apêndice B), então

∫∫

==

V

VTVTT

ˆ

~

ˆ

d

~

d

ρρ

. (3.30)

Logo, da Eq. (3.29)

∫

∂

∂⋅−

∂

+

∂

=

∂

V

kkk

V

q

T

q

T

q

T

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

~

nvv

&

ρ

. (3.31)

Para a derivada parcial com respeito à velocidade generalizada, a generalização do

teorema do transporte de Reynolds apresentada por Irschik e Holl (2002, p. 243, Eq. (5.5))

corresponde a

∫

∂

∂⋅−

∂

+

∂

=

∂

V

kkk

V

q

T

q

T

tq

T

t

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

~

d

nvv

&&&

ρ

, (3.32)

onde não é encontrada, pelo menos não no trabalho original desses autores, nenhuma

distinção entre o operador de diferenciação total que aparece no lado esquerdo da Eq. (3.32) e

aquele que aparece no lado direito dessa equação. A questão é que, se assim for, a equação

kk

q

T

q

T

&&

∂

=

∂

ˆ

~

, (3.33)

que é apresentada pelos autores (IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 242, Eq. (4.16)), torna então

sempre nulo o segundo termo do lado direito da Eq. (3.32). Mas isso equivale a assumir que o

fluxo de quantidade de movimento

∫∫

∂∂

∂⋅−

∂

⋅=∂⋅−

∂

V

k

V

k

V

q

V

q

T

ˆˆ

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d)

ˆ

( nvv

x

vnvv

ρρ

&

47

também é sempre nulo. O que é impróprio. Além disso, os próprios autores, ao abordarem o

clássico problema do foguete como exemplo de aplicação, corretamente assumem que

0

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

≠∂⋅−

∂

∫

∂V

k

V

q

T

nvv

&

ρ

.

Ou seja, uma vez que o trabalho de Irschik e Holl (2002) é de caráter geral, o autor dessa

tese acredita fortemente que a Eq. (3.32) deva ser reinterpretada. Para tal, tome, inicialmente,

o teorema do transporte de Reynolds (na forma da Eq. (2.30)) com

k

qT

&

∂∂= /

~

ψ

, o que então

conduz a

∫

∂

∂⋅−

∂

+

∂

=

∂

V

kkk

V

q

T

q

T

tq

T

t

ˆ

d)

ˆ

(

~

d

ˆ

~

d

~

nvv

&&&

ρ

. (3.34)

Substituindo-se agora as Eqs. (3.31) e (3.34) em (3.1), obtém-se a equação de Lagrange

associada ao volume de controle V

ˆ

, i.e.

∫∫

∂∂

∂⋅−

∂

−∂⋅−

∂

+

∂

−

∂

=

V

k

V

kkk

k

V

q

TV

q

T

q

T

q

T

t

Q

ˆˆ

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

~

d

ˆ

nvvnvv

&&&

ρρ

, (3.35)

32

que é algo diferente daquela que é originalmente demonstrada por Irschik e Holl (2002, p.

243, Eq. (5.6)) a partir da consideração da Eq. (3.32) (no lugar da Eq. (3.34)), i.e.

∫∫

∂∂

∂⋅−

∂

−∂⋅−

∂

+

∂

−

∂

=

V

k

V

kkk

k

V

q

TV

q

T

q

T

q

T

t

Q

ˆˆ

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d)

ˆ

(

ˆˆ

d

~

nvvnvv

&&&

ρρ

. (3.36)

Entretanto, deixa-se bem claro que a consideração da Eq. (3.34) em vez da Eq. (3.32), e a

da Eq. (3.35) em vez da Eq. (3.36), em nada altera a validade dos resultados apresentados por

Irschik e Holl (2002). Inclusive, a reinterpretação aqui proposta permite que a consistência de

seus resultados fique ainda mais evidente.

______________

32

∫

∂∂⋅=

V

kk

VqQ

~

d)/( xf

, onde

f

é a força atuante em um elemento de massa

V

~

d

ρ

.

48

Irschik e Holl (2002, p. 245) argumentam que se pode assumir que

0

ˆ

d

ˆ

1

ˆ

d)

ˆ

(

ˆˆ

=∂













∂

=∂⋅−

∂

∫∫

∂∂ V

k

V

k

V

t

m

Aq

TV

q

T

&&

nvv

ρ

, (3.37)

onde

∫

∂

∂=

V

VA

ˆ

d , haja vista que, comumente, são consideradas as seguintes simplificações

0

d

ˆ

=













∂

t

m

q

k

&

, (3.38)

0=

∂

k

q

A

&

. (3.39)

Note que a hipótese dada pela Eq. (3.38) é equivalente a

0

ˆ

=

∂

k

q

m

, (3.40)

ou seja, a massa contida em V

ˆ

não depende das coordenadas generalizadas

33

, e, portanto,

pode ser interpretada como uma função apenas do tempo, i.e.

∫













=

t

m

tm

0

d

ˆ

)(

ˆ

τ

. (3.41)

Isso mostra que, na porção de V

ˆ

∂ onde ocorre o fluxo de massa, i.e. onde em V

ˆ

∂

nvnv

⋅

≠

⋅

ˆ

, tanto a posição das partículas reais quanto a das fictícias não dependem de

k

q .

______________

33

E, supostamente, também não das velocidades generalizadas.

49

Da Eq. (3.37), tem-se que

0)),,(

ˆ

(,0),,((0

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

=

∂

=

∂

⇒=∂⋅−

∂

∫

∂

kk

k

kk

k

V

k

qqt

q

qqt

q

V

q

T

&

&&

vvnvv

ρ

, (3.42)

o que implica

)(

ˆˆ

),(0)),(

ˆ

(,0)),(( ttqt

q

qt

q

k

xxxxxx ==⇒=

∂

=

∂

, (3.43)

kk

q

T

q

T

∂

=

∂

ˆ

~

. (3.44)

Assim, verifica-se que, quando a posição das partículas reais e fictícias imediatamente

localizadas em V

ˆ

∂ dependem apenas do tempo, a massa contida em V

ˆ

também depende

apenas do tempo, i.e. Eqs. (3.41) e (3.43). Veja que, de fato, a teorema do transporte de

Reynolds (para a variável tempo) com 1

=

ψ

e 0

=

θ

(ver Eqs. (2.20) e (2.30)) conduz a uma

relação, i.e

∫∫∫

∂∂

∂⋅−−=⇒=∂⋅−+

VVV

V

tt

m

VV

t

ˆˆˆ

ˆ

d)

ˆ

(

d

ˆ

0

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

ˆ

nxxnvv

ρρρ

. (3.45)

Note assim que os operadores de diferenciação

td/(.)d

ˆ

e

td/(.)d

estão associados com a

dependência temporal da massa em V

ˆ

. Além disso, a Eq. (3.35) sob a hipótese dada pela Eq.

(3.37) torna-se igual a

∫

∂

∂⋅−

∂

⋅+

∂

−

∂

=

V

kkk

k

V

qq

T

q

T

t

Q

ˆ

d)

ˆ

(

~

d

ˆ

nvv

x

v

ρ

&

, (3.46)

que é análoga à Eq. (3.9) para um sistema de partículas de massa dependente do tempo.

50

O objetivo agora é apresentar a forma da equação de Lagrange para um volume de

controle onde a massa nele contida varia do modo mais geral, i.e. não só com o tempo, mas

também com as coordenadas e velocidades generalizadas, onde então se faz

),,(

kk

qqmm

&

(

τ

=

.

Ou seja, para um volume de controle, qual é a equação análoga à Eq. (3.22)? A idéia é

estender o conceito já apresentado de que um sistema de partículas de massa variável com o

tempo, coordenadas e velocidades generalizadas, i.e.

),,(

kkii

qqtmm

&

=

, pode ser interpretado

como um sistema de partículas de massa apenas dependente do tempo, i.e.

))(),(,()( tqtqtmtm

kkiii

&

=

µ

. Para tal, basta conhecer a priori as funções )(tqq

kk

=

e

)(tqq

kk

&&

=

. Inicialmente, na Seção 3.2.1, o caso em que a massa no volume de controle varia

com a coordenas generalizadas será abordado. Em seguida, na Seção 3.2.2, aquele em que a

massa no volume de controle varia com as velocidades generalizadas. Por último, na Seção

3.2.3, o caso mais geral onde a massa no volume de controle varia tanto com as coordenas

quanto com as velocidades generalizadas.

3.2.1 Massa variável de forma explícita com as coordenadas generalizadas

Seja

V

(

um volume instantaneamente coincidente com V

ˆ

. Assuma que ),(

k

qτxx

(

=

é a

função que descreve a posição e forma de

V

(

∂

, sendo

τ

um parâmetro. Logo, um incremento

infinitesimal no valor de

k

q implica uma variação

kk

qq d)/(

∂

x

(

na posição e forma de V

(

∂ .

Então, seguindo a forma da expressão de Irschik e Holl (2002, p. 242, Eq. (4.13)), i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

k

V

k

V

k

V

q

ψVψ

q

Vψ

q

~~~

~

d

~

)d(

~

d

~

n

v

&

ρρρ

, (3.47)

que a partir da relação dada pela Eq. (C.23) também pode ser alternativamente escrita como

51

∫∫∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

k

V

k

V

k

V

q

ψVψ

q

Vψ

q

~~~

~

d

~

)d(

~

d

~

n

x

ρρρ

, (3.48)

concebe-se, em total analogia com as Eqs. (3.48), (B.11) e Fig. B.3 (ver Apêndice B), a

seguinte expressão para a variação em

V

(

∫∫∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

k

V

k

V

k

V

q

ψVψ

q

Vψ

q

(((

(

((

(

d)d(d n

x

ρρρ

. (3.49)

Considere agora a hipótese dada pela Eq. (3.45), que implica que a função x

ˆ

que descreve

a posição e forma de V

ˆ

∂ depende explicitamente do tempo, i.e.

)(

ˆˆ

txx

=

(ver Eq. (3.43)).

Mas sendo V

ˆ

e

V

(

instantaneamente coincidentes, é possível imaginar a seguinte relação

entre as funções x

ˆ

e

x

(

, i.e.

))(,()(

ˆ

tqtt

k

≡

=

τxx

(

. (3.50)

Ou seja, enquanto x

ˆ

é implicitamente dependente das coordenadas generalizadas, x

(

é

explicitamente dependente dessas. Sendo assim, pelo mesmo raciocínio que conduz a Eq.

(B.9) a (B.10), onde

υ

é fixo no tempo, escreve-se, a partir da Eq. (3.49)

∫∫∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

k

V

k

V

k

V

q

ψVψ

q

Vψ

q

ˆˆ

ˆ

d

ˆ

d

~

d n

x

(

ρρρ

, (3.51)

onde agora a posição e forma de V

ˆ

∂ não varia com

k

q .

Ou seja, V

ˆ

desempenha para V

(

a mesma função que

υ

(ver Apêndice B) desempenha

para V

~

. Nesse segundo caso, uma função

x

xx

x

que descreve a posição e forma de

υ

∂

não

depende do tempo, e, portanto, deve ser uma constante, i.e.

const.

=

x

xx

x

Já a função que

descreve a posição e forma de V

~

∂ é dependente do tempo, i.e.

)(txx

=

(considerando a

hipótese dada pela Eq. (3.42)). No entanto, como

υ

e V

~

são instantaneamente coincidentes,

52

então

x

xx

x

=

)(tx

no instante de tempo

t

considerado. Analogamente àquele primeiro caso,

tem-se que a função

)(

ˆˆ

txx

=

que descreve a posição e forma de V

ˆ

∂ não depende de

k

q , e,

portanto, é interpretada como implicitamente dependente de

k

q , ou explicitamente dependente

do tempo. Por outro lado, a função ),(

k

qτxx

(

=

que descreve a posição e forma de V

(

∂

depende de

k

q . Ainda de mesmo modo, ))(,()(

ˆ

tqtt

k

≡

=

τxx

(

.

Tome agora

1

=

ψ

na Eq. (3.51), i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

k

V

k

V

k

V

q

V

q

V

q

ˆˆ

ˆ

d

ˆ

d

~

d n

x

(

ρρρ

. (3.52)

Mas como

)(

ˆ

d

ˆ

tmV

V

=

∫

ρ

, a Eq. (3.52) fica

∫∫

∂

∂⋅

∂

=

∂

V

k

V

k

V

q

V

q

ˆ

dd n

x

(

ρρ

, (3.53)

o que implica

),(d

k

V

qmV τ

(

=

∫

ρ

, (3.54)

sendo

))(,()(

ˆ

tqtmtm

k

≡

=

τ

(

. (3.55)

Ou seja











⇒=

),(),(,

)(

ˆ

)(

ˆˆ

,

ˆ

kk

qmqV

tmtV

ττ

(

((

(

xx

. (3.56)

53

Considere agora

2

1

v== Tψ

na Eq. (3.51), i.e.

∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

kkk

V

qq

T

q

T

ˆ

2

1

ˆ

d

~

n

x

v

(

ρ

. (3.57)

Então, da Eq. (3.57) em (3.46), chega-se a

∫∫

∂∂

∂⋅−

∂

⋅+∂⋅

∂

+

∂

−

∂

=

V

k

V

kkk

k

V

q

V

qq

T

q

T

t

Q

ˆˆ

2

1

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

~

d

ˆ

nvv

x

vn

x

v

2

ρρ

(

&

, (3.58)

que é a equação de Lagrange associada a um volume de controle cuja massa depende

explicitamente de

k

q .

Mas assim como a Eq. (3.46) é análoga à Eq. (3.9), mostra-se que a Eq. (3.58) é análoga à

Eq. (3.22) com ),(

kii

qtmmm

=

, por exemplo. Verifique, por exemplo, que, no caso

particular em que

2

1

2

1

2

1

2

1

),(d)(

ˆ

d vvvv

k

VV

qmVtmV τ

(

()

=⇒=

∫∫

ρρ

, i.e. quando todas as

partículas de V

(

apresentam a mesma velocidade

v

, tem-se, da Eq. (3.57),

∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

⋅=

∂

⋅+

∂

V

kkk

k

V

qq

tm

q

qm

q

m

ˆ

2

1

2

1

ˆ

d)(

ˆ

),( n

x

v

vv

(

ρ

τ

. (3.59)

Mas como no instante de tempo considerado vale a Eq. (3.55), a Eq. (3.59) fica

2

1

ˆ

2

1

ˆ

d vn

x

v

k

V

k

q

m

V

q ∂

∂

=∂⋅

∂

∫

∂

(

ρ

. (3.60)

Assim, das Eqs. (3.60), (3.58) e (A.15), chega-se a

kkkk

k

qt

m

q

m

q

T

q

T

t

Q

∂

⋅+

∂

+

∂

−

∂

=

x

wv

2

d

ˆ

~

d

ˆ

2

1

(

&

, (3.61)

54

como se queria mostrar análoga à Eq. (3.22) com

),(

kii

qtmmm

=

.

3.2.1.1 Exemplo ilustrativo de aplicação

Antes de se iniciar com a abordagem desse problema, deixa-se claro que esse é um

exemplo bastante simples e que pode ser alternativamente resolvido pela aplicação da

segunda lei de Newton, como assim mostra a Eq. (3.79). O objetivo é o de se apresentar um

exemplo didático de aplicação da equação de Lagrange para um volume de controle onde a

massa varia explicitamente com a posição.

Seja então um bloco que é constantemente pressionado contra uma superfície áspera (ver

Fig. 3.2). Suponha que a consistência do bloco é tal que o mesmo não possa ser comprimido.

As dimensões iniciais do bloco são

l

e

0

h , sendo essas, respectivamente, sua largura e altura.

Considere que a força

if

[N/kg] empurra o bloco ao longo da superfície áspera, quando então

o mesmo se torna sujeito à ação da força de atrito )( i

−

at

f [N/kg]. À medida que o bloco

muda de posição, sua massa é continuamente depositada ao longo de seu trajeto, onde

permanece em repouso. Se a densidade linear

σ

[kg/m] do material abandonado é, por

hipótese, constante, então, a massa do bloco, quando localizado na posição arbitrária

r

(coordenada generalizada do sistema), pode ser convenientemente expressa por

σ

ρ

rhrhrm

−

=

ll

(

0

)()( , (3.62)

sendo

ρ

[kg/m

2

] a densidade do bloco que, por hipótese, também é constante, e

)(rhh

=

a

altura do bloco quando na posição arbitrária

r

.

Como após abandonarem o bloco, as partículas adquirem velocidade absoluta nula, não há

fluxo de quantidade de movimento a partir do bloco, e então, a Eq. (3.58) torna-se

∫∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

−

∂

=

∂

⋅−

VV

at

V

rr

T

r

T

t

V

r

ff

ˆ

2

1

ˆ

d

~

d

ˆ

d)( n

x

v

i

(

&&

ρρ

. (3.63)

55

Mas nesse problema, existe uma singularidade

34

na distribuição de velocidade dentro do

bloco. Ocorre que, a cada instante de tempo, no interior desse volume, há uma camada

ε

de

partículas que se encontra em contato com a superfície áspera, e, por isso, as partículas dessa

camada apresentam velocidade absoluta nula. Com exceção dessas, todas as outras partículas

em

V

(

apresentam velocidade dada por













∂

+=+= jijiv

r

h

t

r

t

h

t

r

d

. (3.64)

Figura 3.2 - Sistema de massa variável explicitamente com a posição. Um bloco movendo-se ao longo de

uma superfície áspera.

A questão é que, felizmente, essa singularidade ocorre no interior de

V

(

, e não através de

V

(

∂

. Assim, a energia cinética do bloco pode então ser calculada como

______________

34

Um tratamento formal a esse tipo de problemática pode ser encontrado em Irschik e Schlager (2004).

0

=

w

ε

h

r

l

superfície áspera

A

B

D

C

n

x ′

y ′

x

y

0

=

w

material

abandonado

ε

i

j

VV

ˆ

=

(

V

(

V

ˆ

tt d

+

t

at

f f

dm

0

=

w

ε

h

r

l

superfície áspera

AA

BB

DD

CC

n

x ′

y ′

x

y

x

y

0

=

w

material

abandonado

ε

i

j

i

j

VV

ˆ

=

(

V

(

V

ˆ

tt d

+

t

at

f f

at

f f

dm

A

V

ˆ

∂

A

V

ˆ

∂

B

V

ˆ

∂

B

V

ˆ

∂

C

V

ˆ

∂

C

V

ˆ

∂

D

V

ˆ

∂

D

V

ˆ

∂

56

2

1

2

1

2

1

)(d vvv mmV

V

(

l

(

≅−=

∫

ρερ

. (3.65)

Seja agora o cálculo de

∫

∂

∂⋅∂∂

V

Vr

ˆ

2

1

ˆ

d)/( nxv

(

ρ

, onde

∫∫∫∫∫

∂∂∂∂∂

+++=

DCBA

VVVVV

ˆˆˆˆˆ

(ver

Fig. 3.2).

0;;);0(,:

;;);(,:

ˆ

≡−==

∂

≤<+=

−==

∂

≤<+=−∂

vini

x

jix

vini

x

jix

r

yyr

r

hyyrV

A

(

εε

, (3.66)

hhyV

r

h

V

A

2

1

2

1

2

1

ˆ

2

1

)(d)1(

ˆ

d vvvn

x

v

ρερρρ

ε

−≅−=−=∂⋅

∂

∫∫

+

∂

(

; (3.67)

vjnji

x

jix ;;);'0(,)()'(:

ˆ

=

∂

+=

∂

≤≤++=∂

r

h

r

xrhxrV

B

(

l

(

, (3.68)

l

(

l

r

h

x

r

h

V

r

B

V

∂

=

∂

=∂⋅

∂

∫∫

∂

2

1

0

2

1

ˆ

2

1

'd

ˆ

d vvn

x

v

ρρρ

; (3.69)

0;;);0(,)(:

;;);(,)(:

ˆ

≡==

∂

≤<++=

==

∂

≤<++=−∂

vini

x

jix

vini

x

jix

r

yyr

r

hyyrV

C

(

l

(

l

(

εε

, (3.70)

hhyV

r

h

V

C

2

1

2

1

2

1

ˆ

2

1

)(d

ˆ

d vvvn

x

v

ρερρρ

ε

≅−==∂⋅

∂

∫∫

+

∂

(

; (3.71)

0:

ˆ

≡∂ v

D

V

, (3.72)

57

0

ˆ

d

ˆ

2

1

=∂⋅

∂

∫

∂

D

V

r

n

x

v

(

ρ

. (3.73)

Então, das Eqs. (3.73), (3.71), (3.69) e (3.67), obtém-se que

2

1

ˆ

2

1

ˆ

d vn

x

v l

(

r

h

V

r

V

∂

=∂⋅

∂

∫

∂

ρρ

, (3.74)

que da Eq. (3.62) também pode ser escrita como

2

1

ˆ

2

1

ˆ

d vn

x

v

r

m

V

r

V

∂

=∂⋅

∂

∫

∂

(

ρ

. (3.75)

Então, como

[ ]

r

tmrrtm

r

T

&

&&

∂

⋅=

∂

=

∂

∂ v

vv )(

ˆ

),()(

ˆ

~

2

1

, (3.76)

rt

tm

rt

tm

rt

m

r

tm

tr

T

t

&&&&&

∂

⋅+

∂

⋅+

∂

⋅=













∂

⋅=

∂

∂ v

v

vvv

v

d

)(

ˆ

d

)(

ˆ

d

ˆ

)(

ˆ

d

ˆ

~

d

ˆ

, (3.77)

[ ]

r

tm

r

m

r

rm

r

m

rrrm

r

T

∂

⋅+

∂

≡

∂

⋅+

∂

=

∂

=

∂

∂ v

vv

v

vvv )(

ˆ

)(),()(

2

1

2

1

2

1

(

&

(

(3.78)

(ver Eq. (3.55)), obtém-se, por fim, das Eqs. (3.78), (3.77), (3.75) e das relações dadas pelas

Eqs. (C.22) e (C.23) em (3.63), que

)(

d

ˆ

rm

t

FF

at

&

=− , (3.79)

58

sendo

∫

=

V

VfF

ˆ

d

ρ

e

∫

=

V

atat

VfF

ˆ

d

ρ

.

Note que a Eq. (3.79) é aquela que seria obtida da aplicação da segunda lei de Newton sob

a forma dada pela Eq. (2.34).

3.2.2 Massa variável de forma explícita com as velocidades generalizadas

Seja

V

(

um volume instantaneamente coincidente com

V

ˆ

, onde agora a função que

descreve a posição e forma de

V

(

∂

é dada por ),(

k

q

&

(

τxx

=

. Um incremento infinitesimal em

k

q

&

então implica uma variação

kk

qq

&&

(

d)/(

∂

x na posição e forma de

V

(

∂

.

A consideração de que a posição de uma partícula depende das velocidades generalizadas

não é usual dentro da abordagem clássica da mecânica analítica. Nessa, o caso mais geral

explorado é aquele em que a posição da partícula depende do tempo e das coordenadas

generalizadas (ver, por exemplo, IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 235, Eq. (2.2) e LANCZOS,

1970, p. 32, Eq. (18.3)). No entanto, assim como Irschik e Holl (2002, p. 234) supõe que a

posição de uma dada partícula pode ser propriamente descrita como ))(,()( tqtt

k

xxx

=

,

assume-se aqui que a função que descreve a posição e forma de V

(

∂ pode ser dada por

),(

k

q

&

(

τxx

=

. Assim, seguindo a forma da Eq. (3.57) e da extensão da Eq. (3.56), i.e.











⇒=

),(),(,

)(

ˆ

)(

ˆˆ

,

ˆ

kk

qmqV

tmtV

&

(

&

((

(

((

(

ττ

xx

, (3.80)

tem-se uma expressão análoga à Eq. (3.57), ou seja

∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

kkk

V

qq

T

q

T

ˆ

2

1

ˆ

d

~

n

x

v

&

(

&&

(

ρ

. (3.81)

59

Derivando-se a Eq. (3.81) sob o operador

td/(.)d

ˆ

, obtém-se

∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

kkk

V

qtq

T

tq

T

t

ˆ

2

1

ˆ

d

ˆ

~

d

ˆ

d

ˆ

n

x

v

2

&

(

&&

(

ρ

. (3.82)

Assim, da Eq. (3.82) em (3.46), mostra-se que

∫∫

∂∂

∂⋅−

∂

⋅+∂⋅

∂

−

∂

−

∂

=

V

k

V

kkk

k

V

q

V

qtq

T

q

T

t

Q

ˆˆ

2

1

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

ˆ

~

d

ˆ

nvv

x

vn

x

v

2

ρρ

&

(

&

(

, (3.83)

que é a equação de Lagrange associada a um volume de controle no qual a massa depende

explicitamente de

k

q

&

.

E, assim como a Eq. (3.46) é análoga à Eq. (3.9), e a Eq. (3.58) é análoga à Eq. (3.22) com

),(

kii

qtmmm

=

, a Eq. (3.83) é análoga à Eq. (3.22) com ),(

kii

qtmmm

&

=

. Para

verificar, basta proceder como anteriormente, assumindo que todas as partículas de

V

(

apresentam a mesma velocidade

v

, i.e.

2

1

2

1

),(d)(

ˆ

d vv

k

VV

qmVTtmVT

&

(

()

τ=⇒=

∫∫

ρρ

.

Nesse caso, a Eq. (3.81) torna-se

∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

⋅=

∂

⋅+

∂

V

kkk

k

V

qq

tm

q

qm

q

m

ˆ

2

1

2

1

ˆ

d)(

ˆ

),( n

x

v

vv

&

(

&&

(

&

(

ρ

τ

, (3.84)

e então, da relação análoga à Eq. (3.55), i.e.

))(,()(

ˆ

tqtmtm

k

&

(

≡

=

τ , (3.85)

a Eq. (3.84), após derivação sob o operador

td/(.)d

ˆ

, fica

60













∂

=∂⋅

∂

∫

∂

2

1

ˆ

2

1

d

ˆ

d

ˆ

vn

x

v

k

V

k

q

m

t

V

qt

&

(

&

(

ρ

. (3.86)

Por fim, das Eqs. (3.86), (3.83) e (A.15), mostra-se que

kkkk

k

qt

m

q

m

tq

T

q

T

t

Q

∂

⋅+













∂

−

∂

−

∂

=

x

wv

2

d

ˆ

d

ˆ

~

d

ˆ

2

1

&

(

&

(

, (3.87)

que é aquilo que se queria verificar.

3.2.2.1 Exemplo ilustrativo de aplicação

Exemplos envolvendo sistemas de massa variável explicitamente com a velocidade são

bastante difíceis de serem encontrados. O que será resolvido a seguir, inclusive, foi o único

que o autor dessa tese conseguiu conceber. No entanto, vale ressaltar que esse exemplo está

fundamentado em hipóteses bastante fortes, e, assim como aquele apresentado na Seção

3.2.1.1, também pode ser resolvido de um modo mais simples (ver Eq. (3.106)). Mas,

novamente, assim como na Seção 3.2.1.1, o objetivo aqui é o de se apresentar um exemplo

didático de aplicação da equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa varia

explicitamente com a velocidade.

Considere então um reservatório em forma de ‘meia-cuia’. Suponha que, inicialmente,

esse reservatório encontra-se completamente preenchido por um determinado líquido. Na

extremidade de uma haste que gira com velocidade

j

α

&

em torno de um eixo

jO

, o

reservatório encontra-se fixo (ver Fig. 3.3). Para a simplicidade da análise é interessante

considerar que as dimensões do reservatório são pequenas se comparadas ao comprimento da

haste, o que então permite assumir que todas as partículas líquidas apresentam a mesma

distância do eixo.

Considere então que as propriedades físicas do líquido são tais que, quando o reservatório

passa de uma velocidade angular a outra, a superfície livre desloca-se até sua nova posição de

equilíbrio de modo lento o suficiente a manter sua forma plana. Além disso, o líquido

61

V

(

V

ˆ

ε

R

i

j

x

y

k

r

n

l

tt d

+

t

líquido

abandonado do

reservatório

j

Γ

j

α

&

y ′

x ′

γ

V

(

V

ˆ

ε

R

i

j

x

y

k

r

n

l

tt d

+

t

líquido

abandonado do

reservatório

j

Γ

j

α

&

y ′

x ′

V

(

V

ˆ

ε

R

i

j

i

j

x

y

x

y

k

r

n

l

tt d

+

t

líquido

abandonado do

reservatório

j

Γ

j

α

&

y ′

x ′

γ

abandona o reservatório através de uma região de tamanho

0

→

ε

, analogamente ao

problema da Seção anterior.

Figura 3.3 - Um reservatório de líquido que é aberto e que se encontra preso na extremidade de uma haste

que gira. Sistema de massa variável explicitamente com a velocidade.

A aceleração centrípeta ( iR

2

α

&

− ) do reservatório, onde

R

é sua distância até o eixo,

determina a inclinação

γ

da superfície livre do líquido. Assim, verifica-se que a inclinação da

superfície livre do líquido depende explicitamente da velocidade angular do reservatório, que

é a velocidade generalizada do sistema. Por essa razão, como mostra a Fig. 3.3, a massa

contida no reservatório depende explicitamente da velocidade generalizada do sistema.

Quando a superfície livre do líquido apresenta uma inclinação

γ

arbitrária, a massa

contida no reservatório é dada por

62













−=

γλ

2

1

π

m l

(

, (3.88)

onde

L

ρ

λ

=

[kg/m

2

], sendo

ρ

[kg/m

3

] a densidade do líquido,

L

e

l

, respectivamente, o

comprimento e o raio da meia-cuia.

A dependência de

γ

com

α

&

é dada através da conhecida relação













=

g

R

2

arctan

α

γ

&

, (3.89)

sendo

g

a aceleração devido à gravidade.

Logo, a Eq. (3.88) fica

























−=

g

R

m

2

1

arctan

2

)(

απ

λα

&

l

&

(

. (3.90)

Sendo as dimensões do reservatório, por hipótese, muito menores que

R

, a velocidade de

arrastamento das partículas líquidas pode ser considerada a mesma e igual a

kijv RR

arr

α

&&

−

=

×

=

. (3.91)

Se a viscosidade do líquido for suficientemente alta, não apenas a movimentação da

superfície livre é lenta, como também a velocidade das partículas com relação ao reservatório

é bem menor que a velocidade de arrastamento dessas. Quando assim, pode-se assumir que a

velocidade de todas as partículas líquidas corresponde àquela dada pela Eq. (3.91), e logo, a

energia cinética em V

(

fica

2

4

1

2

1

2

1

2

1

)(arctan

2

dd R

g

R

mVVT

VV

α

απ

λλλ

&

l

(

(((

((

























−====

∫∫

vvv . (3.92)

63

A equação que descreve o movimento do líquido no reservatório pode ser obtida a partir

da reconsideração da Eq. (3.83) , i.e.

∫∫

∂∂

∂⋅−⋅×+∂⋅

∂

−

∂

−

∂

=

VV

t

TT

t

ˆˆ

2

1

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

ˆ

~

d

ˆ

nvvvrn

x

v

2

λ

α

λ

αα

Γ

&

(

&

(

, (3.93)

sendo

jΓ

Γ

=

a parcela do torque aplicado com relação ao eixo

jO

que causa a aceleração

angular do líquido no reservatório, e o quarto termo do lado direito

35

nulo devido ao fato de

que o líquido abandona o reservatório na direção radial, i.e.

0

=

×

vr

na região onde se dá o

fluxo. Nesse caso, a Eq. (3.93) torna-se

∫

∂

∂⋅

∂

−

∂

−

∂

=

V

t

TT

t

ˆ

2

1

ˆ

d

ˆ

~

d

ˆ

n

x

v

2

α

λ

αα

Γ

&

(

&

(

. (3.94)

Seja, por fim, o cálculo de

∫

∂

∂⋅∂∂

V

Vt

ˆ

2

1

ˆ

d)/()d/d

ˆ

( nxv

αλ

&

(

. Da Fig. 3.3, vê-se que, com

relação ao sistema de coordenadas

'' yx

, a função que descreve a posição da superfície

V

(

∂

é

)(sin)(cos jix

−

+

−

=

γ

rr

(

, (3.95)

i.e.

)(arctansin)(arctancos)(

22

jix −

























+−

























=

g

R

r

g

R

r

αα

α

&&

&

(

. (3.96)

Logo

______________

35

Ver Grubin (1963).

64





















−

























+

















































+

=

∂

)(arctancosarctansin

1

2

22

2

ji

x

g

R

g

R

g

R

g

Rr

αα

α

&&

&

(

. (3.97)

Então, como

jin

γ

cos)(sin

+

−

=

, (3.98)

i.e.

jin

























+−

























=

g

R

g

R

22

arctancos)(arctansin

αα

&&

, (3.99)

tem-se, da Eq. (3.97), (3.99) e (3.91), que

























+

−=

























+

−=∂⋅

∂

∫∫

∂

2

233

2

1

0

2

33

ˆ

2

1

d

1

ˆ

d

g

R

g

R

rr

g

R

g

R

V

α

αρ

α

αρ

α

ρ

&

l

&

(

l

n

x

v . (3.100)

Derivando-se então a Eq. (3.100) sob o operador td/(.)d

ˆ

, chega-se à expressão

procurada, i.e.













+

−













+

−=∂⋅

∂

∫

∂

422

42

422

2

1

ˆ

2

1

4

3)(

ˆ

d

ˆ

α

αρ

α

ρ

&

&&

l

&

(

Rg

R

Rg

gR

RV

t

V

n

x

v . (3.101)

Note agora da Eq. (3.90) e (3.91) que













+

−













+

−=













∂

422

42

422

2

1

2

1

4

3)(

d

ˆ

α

αρ

α

&

&&

l

&

(

Rg

R

Rg

gR

R

m

t

v

. (3.102)

65

Ou seja, de modo análogo ao problema apresentado na Seção anterior, onde se verificou

válida a Eq. (3.60), no presente problema, verifica-se válida a Eq. (3.86). Isso ocorre, pois, em

ambos os casos foi admitido que as partículas em

V

(

possuem todas a mesma velocidade.

Note, de fato, que, como todas as partículas de

V

(

possuem a mesma velocidade

v

, o que

implica

2

vmT

(

2

1

=

(em analogia com a Eq. (3.65) do problema anterior), tem-se

[ ]

α

αα

&

(

&

(

&&

(

&

(

&

(

∂

⋅+

∂

=

∂

=

∂

∂ v

vvv )()()(

2

1

2

1

m

T

, (3.103)

α

ααα

α

αα

&

(

&

(

&&

(

&

(

&

(

&

(

∂

⋅+

∂

⋅+

+

∂

⋅+













∂

=













∂

⋅+

∂

=

∂

v

vv

v

vv

v

vv

t

m

t

m

t

mm

t

m

t

T

t

d

)(

d

)(

d

ˆ

d

ˆ

)(

d

ˆ

d

ˆ

2

1

2

1

, (3.104)

[ ] [ ]

α

αα

α

∂

⋅=

∂

≡

∂

=

∂

∂ v

vvv )(

ˆ

)()(

ˆ

~

)())((

~

2

1

2

1

tmtmtm

T

&&&

(

. (3.105)

Por fim, das Eqs. (3.105), (3.104), (3.102), (3.101), (3.85) e das relações (C.22) e (C.23)

na Eq. (3.94), obtém-se que

36

)(

d

ˆ

2

αΓ

&

mR

t

= , (3.106)

i.e.

)(

d

ˆ

αΓ

ι

&

t

= , (3.107)

onde

2

mR

=

ι

é o momento de inércia do líquido com relação ao eixo

jO

.

______________

36

O torque total deverá incluir a taxa de variação da quantidade de movimento angular do sistema mecânico

completo.

66

3.2.3 Massa variável de forma explícita com as coordenadas e velocidades

generalizadas

Nesse último caso, que é uma combinação daqueles apresentados nas Seções 3.2.1 e 3.2.2,

deve-se considerar que a função que descreve a posição de

V

(

∂

é dependente tanto das

coordenadas como das velocidades generalizadas, i.e.

),,(

kk

qq

&

(

τxx

=

, onde, novamente,

))(),(,()(

ˆ

tqtqt

kk

&

(

tτ

=

xx

. Uma variação na posição e forma de

V

(

∂

pode ocorrer com um

incremento em

k

qd e/ou um incremento em

k

q

&

d , i.e.

kkkk

qqqq

&&

(

d)/(d)/(

∂

+

∂

xx . A Eq.

(3.80) assume aqui sua forma mais completa, i.e.











⇒=

),,(),,(,

),(),(,

)(

ˆ

)(

ˆˆ

,

ˆ

kkkk

kk

qqmqqV

qmqV

tmtV

&

(

&

((

(

&

(

&

((

(

((

(

ττ

xx

. (3.108)

Nesse caso em que ),,(

kk

qq

&

(

τxx

=

em

V

(

∂

, a Eq. (3.57) é tomada assumindo-se

k

q

&

fixo,

e a Eq. (3.82) considerada com

k

q fixo. A substituição dessas duas equações na Eq. (3.46) por

fim conduz a

∫

∫∫

∂

∂∂

∂⋅−

∂

⋅+

+∂⋅

∂

+∂⋅

∂

−

∂

−

∂

=

V

k

V

k

V

kkk

k

V

q

V

q

V

qtq

T

q

T

t

Q

ˆ

2

1

ˆ

2

1

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

ˆ

d

ˆ

d

ˆ

nvv

x

v

n

x

vn

x

v

ρ

ρρ

(

&

(

&

(

, (3.109)

que é a equação de Lagrange associada a um volume de controle onde a massa varia

explicitamente com as coordenadas e velocidades generalizadas. E, certamente, no caso

particular em que

2

1

vmT

(

= , das Eqs. (3.60) e (3.86) (e (A.15)) em (3.109), chega-se a

67

kkkkk

k

qt

m

q

m

q

m

tq

T

q

T

t

Q

∂

⋅−

∂

+













∂

−

∂

−

∂

=

x

wvv

d

ˆ

d

ˆ

d

ˆ

2

1

2

1

(

&

(

&

(

, (3.110)

cuja forma é análoga à equação de Lagrange para um sistema de partículas em que

),,(

kkii

qqtmmm

&

=

(ver Eq. (3.22)).

Sistemas cuja massa varia tanto com as coordenadas quanto com as velocidades

generalizadas são bem difíceis de serem concebidos. Por essa razão, o autor dessa tese optou

por explorá-los com mais acuidade em trabalhos futuros.

3.3 Discussão

Apresentou-se até então, de modo heurístico e a partir de argumentos físicos gerais como

os apresentados em Reynolds (1903) apud Irschik e Holl (2004, p. 147), Thompson (1988, p.

15-6) e Truesdell e Toupin (1960, p. 347), o teorema do transporte de Reynolds generalizado

a derivadas parciais com respeito às coordenadas e velocidades generalizadas, mas para um

volume de controle onde massa varia explicitamente com essas variáveis. Da disposição desse

resultado, e interpretando-se o resultado de Irschik e Holl (2002) (ver Eq. (3.35)) como a

equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa varia explicitamente com o

tempo, chegou-se à equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa varia

explicitamente com as coordenadas e velocidades generalizadas. Esse é um resultado original

dessa tese que então vem a contribuir para o entendimento da aplicação da equação de

Lagrange a sistemas de massa variável, em particular os contínuos.

Quando possível, a interpretação da massa de um sistema como uma função das

coordenadas e velocidades generalizadas possui uma vantagem na resolução de problemas.

No da caneta, por exemplo (ver Fig. 3.1), se a informação sobre a quantidade de tinta que é

depositada ao longo da folha de papel, que depende das propriedades físicas da tinta e do

modo em que a caneta foi construída, estiver disponível, torna-se possível, mesmo antes de se

68

resolver o problema, apresentar uma expressão para a massa da caneta. Isso implica que a

equação de movimento, i.e.

t

v

mv

x

m

F

d

~

2

+= , (3.111)

torna-se uma equação diferencial de primeira ordem em

v

com os coeficientes

xxm d/)(d

~

e

)(xmm

=

conhecidos. Note que se a massa da caneta for alternativamente interpretada como

uma função do tempo, i.e.

))(()( txmtm

=

µ

, a mesma torna-se dependente da própria

solução

)(txx

=

da equação de movimento, ou seja

t

v

mv

t

m

F

d

~

+= . (3.112)

3.4 O princípio de Hamilton e sistemas contínuos de massa

variável

O princípio de ação estacionária está associado a importantes nomes como o de Sir

William Rowan Hamilton (1805 - 1865). A aplicação do princípio de Hamilton estende-se

desde a mecânica clássica até a quântica, podendo ser concebido tanto para sistemas discretos

como para contínuos. A pretensão desse Capítulo está longe de ser a de se abordar o tema em

sua totalidade. Assim como no Capítulo 3 discutiu-se a extensão da equação de Lagrange a

sistemas de massa variável, no presente Capítulo, o mesmo será feito com o princípio de

Hamilton, também originalmente formulado para sistemas onde a identidade das partículas

deve ser mantida.

Na hidrodinâmica, essa problemática de se identificar a partícula aparece mesmo no

tratamento de volumes fechados. Basta, por exemplo, que se valha da descrição Euleriana do

69

escoamento. Como comentam Gabbai e Benaroya (2005, p. 1), “[...] o desenvolvimento de

princípios varicionais Eulerianos não tem sido sem desafios, que emergem principalmente da

necessidade de se ‘forçar’ a correspondência entre os princípios Eulerianos e Lagrangeanos.”

Um dos notáveis trabalhos sobre essa questão é o de Seliger e Whitham (1968). Nele é

demonstrada, para um sistema contínuo e fechado, a forma Euleriana do princípio de

Hamilton. O objetivo principal desta Seção é o de se discutir a generalidade do princípio

variacional de Seliger e Whitham (1968), estendendo-o então a um volume aberto, i.e. a um

volume de controle, e para o caso de escoamentos potenciais. Tal extensão constitui-se em um

resultado original dessa tese.

3.4.1 O princípio variacional de Seliger e Whitham (1968)

Supondo a ausência de forças outras que não aquela devido ao gradiente de pressão, em

coordenadas Lagrangeanas, a equação de variação de quantidade de movimento para um

líquido invíscido e incompressível é dada por (ver, por exemplo, BATCHELOR, 1967)

p

t

−∇=

∂

2

x

ρ

, (3.113)

onde

ρ

e

p

são, respectivamente, a densidade e a pressão do líquido, lembrando-se também

que ),( tXx

χ

=

(ver Apêndice B), onde

χ

é a função que mapeia a coordenada

Lagrangeana

X

da partícula em sua coordenada atual

x

.

De acordo com Seliger e Whitham (1968), o princípio variacional que recupera a Eq.

(3.113) pode ser dado por

70

( )

[ ]

0d

~

d/d

~

d

2

1

2

1

~

2

1

~

=−∂∂=

∫ ∫∫ ∫

t

V

t

V

tVUttVL x

ρδδ

, (3.114)

com

(37)

(

)

ρρΘ

d/dd

2

pSU +=

, (3.115)

sendo

Θ

a temperatura absoluta [K] do líquido,

S

[J/(Kg.K)] a entropia por unidade de

massa e temperatura; e

L

a densidade de Lagrange

Em coordenadas Eulerianas, a equação equivalente à Eq. (3.113) é

p

t

−∇=













∇⋅+

∂

vv

v

ρ

, (3.116)

onde

),( txvv

=

é o campo de velocidade.

Observando-se a Eq. (3.114), é natural sugerir

( )

0d

~

d

2

1

~

2

1

=−

∫∫

t

V

tVU

ρρδ

v (3.117)

como princípio variacional que conduziria à Eq. (3.116).

Ocorre que a variação da Eq. (3.117) com respeito a

v

conduz apenas ao resultado trivial

0

=

v

. Seliger e Whitham (1968) argumentam que uma solução para essa questão é adicionar,

através do método dos multiplicadores de Lagrange, restrições à Eq. (3.117), como a equação

de conservação de massa

0)( =⋅∇+

∂

v

ρ

t

, (3.118)

______________

37

Válida para processos reversíveis.

71

e a equação de conservação de entropia

(38)

(

)

(

)

0=⋅∇+

∂

SS

t

v

ρρ

. (3.119)

Adicionando-se, por meio dos respectivos multiplicadores de Lagrange

φ

e

η

, as

restrições dadas pelas Eqs. (3.118) e (3.119) à Eq. (3.117), obtém-se

0d

~

d)()()(

2

1

~

2

1

=

























⋅∇+

∂

+













⋅∇+

∂

+−

∫ ∫

t

V

tV

tt

U SS vvv

ρρηρ

ρ

φρρδ

. (3.120)

Mas embora a variação da Eq. (3.120) com respeito a

v

forneça

ηφ

∇+∇= Sv

, (3.121)

o campo de velocidades dado pela Eq. (3.121) ainda é bastante restritivo. De acordo com

Seliger e Whitham (1968, p. 5-6),

Se a entropia é constante, a distribuição de velocidade é o gradiente do potencial

η

φ

s

+

e somente escoamentos irrotacionais estão incluídos. Em alguns casos, como

o escoamento atrás de uma curva de choque, a vorticidade está associada com os

gradientes de entropia. Entretanto, em um escoamento incompressível simples, por

exemplo, deve ser possível ter escoamentos rotacionais. Essa foi uma grande

dificuldade até Lin (1963) apresentar o seguinte ponto. Mesmo que as coordenadas

Lagrangeanas

α

[

X

] não sejam requeridas explicitamente [na abordagem

Euleriana], os campos de velocidade considerados devem ser tais que as

coordenadas

α

possam ser encontradas. Na descrição Euleriana, as coordenadas

iniciais

),( trα

[

),(

1

txX

−

=

χ

] não mudam ao longo do caminho da partícula, e

assim, cada coordenada (

j

X ,

∀

3,2,1

=

j

) satisfaz 0/ =∇⋅+∂∂

jj

XtX v .

A idéia de Lin (1963) é usar essa equação como uma restrição adicional. É

novamente um pouco mais conveniente combinar a equação com a equação de

continuidade e usar 0)(/)( =⋅∇+∂∂

jj

XtX v

ρρ

.

Originalmente, Lin (1963) apud Seliger e Whitham (1968) sugeriu a utilização de três

restrições, i.e. uma para cada coordenada Lagrangeana

j

X da partícula. No entanto, Seliger e

Whitham (1968) mostram que a consideração de apenas uma dessas coordenadas (que será

______________

38

Válida para processos adiabáticos e reversíveis.

72

aqui, por simplicidade de notação, representada sem o subscrito

j

, i.e.

X

) é suficiente para

tal. Seliger e Whitham (1968) então propõem uma nova modificação para o princípio

variacional dado pela Eq. (3.120), adicionando a ela a equação de conservação (de identidade)

de

X

(39)

através do multiplicador de Lagrange

β

, ou seja

0d

~

d)()(

)()()(

2

1

~

2

1

=



















⋅∇+

∂

+



















⋅∇+

∂

+













⋅∇+

∂

+−

∫ ∫

tVXX

t

tt

U

t

V

v

vvv

ρρβ

ρρηρ

ρ

φρρδ

SS

. (3.122)

Supondo-se que as funções

)(

ρφ

,

)(

ηρ

S

e

)(

β

ρ

X

estejam prescritas nos instantes de

tempo

1

t

e

2

t

, tem-se então alternativamente que

0d

~

d

2

1

~

2

1

=













−−−−

∫ ∫

t

V

tV

t

X

t

S

t

U

β

ρ

η

ρ

φ

ρρρδ

v . (3.123)

Basta ver, por exemplo, das Eqs. (B.3) e (B.4) que

0d

d

~

d

~

d

~

d

~

d

)d(

2

1

2

1

2

1

~~

≡=













=

∫∫ ∫∫ ∫

t

V

t

V

t

tV

t

tV

t

Φ

δρφδ

ρφ

δ

. (3.124)

Por fim, tem-se que variações da Eq. (3.123) com respeito a

v

,

ρ

,

S

e

X

conduzem,

respectivamente, às seguintes equações

βηφ

∇+∇+∇= XSv

(3.125)













∇⋅+

∂

+













∇⋅+

∂

+













∇⋅+

∂

=

∂

−

β

η

φ

ρ

vvvv

t

X

tt

U S)(

2

1

(3.126)

______________

39

‘Conservação de

X

’ é uma expressão empregada por Seliger e Whitham (1968).

73

Θη

η

=













∇⋅+

∂

−=

∂

v

tS

U

(3.127)

0=













∇⋅+

∂

β

v

t

. (3.128)

Claro que

X

satisfaz a mesma equação que S e o termo

β

∇

X adicionado a

v

toma a mesma forma que

η

∇S [ver Eq. (3.125)]. Entretanto, o mesmo [i.e.

β

∇

X ]

permite que vorticidade introduzida inicialmente [i.e.

β

∇

×

∇

X ] seja separada da

vorticidade produzida por subseqüentes gradientes de entropia [i.e.

η

∇×∇S ].

(SELIGER; WHITHAM, 1968, p. 6)

Da Eq. (3.126), tem-se que

t

X

t

S

t

U

d

2

1

2

β

ρ

η

ρ

φ

ρρρ

ρ

−−−−=

∂

v

, (3.129)

o quê permite que a Eq. (3.123) seja reescrita como

0d

~

d

2

1

~

2

=













∂

∫∫

t

V

tV

U

ρ

ρδ

. (3.130)

Da relação termodinâmica, i.e. Eq. (3.115), é imediato que a Eq. (3.130) possa ser

reescrita como

0d

~

d

2

1

~

=

∫∫

t

V

tVp

δ

, (3.131)

de onde se conclui que, quando o volume considerado for fechado, sob a descrição Euleriana

do escoamento, a densidade de Lagrange pode ser dada apenas pela pressão do liquido!

74

A Eq. (3.131) é um princípio variacional para um líquido livre da interação com um

corpo. Para a inclusão desse efeito, i.e. a interação com o corpo, deve-se adicionalmente

considerar o trabalho

W

realizado pelo corpo no líquido (ver, por exemplo, MILOH, 1984),

i.e.

0dd

~

d

2

1

2

1

~

=+

∫∫∫

t

V

tWtVp

δδ

. (3.132)

Na Seção abaixo, as hipóteses usuais da hidrodinâmica clássica serão tomadas a fim de se

aplicar, a título de exemplo, a Eq. (3.132) ao caso do movimento de um corpo rígido em meio

líquido.

3.4.1.1 Caso particular: líquido incompressível e invíscido, escoamento irrotacional e

homoentrópico

Seja o caso particular em que o líquido é incompressível e inviscido, e o escoamento

irrotacional e homoentrópico, i.e.

.constS =

para essa última hipótese.

Sob essas considerações, o campo de velocidade pode ser dado por

φ

∇

=

v

, (3.133)

que será mostrado como sendo um caso particular da Eq. (3.125).

Então, da Eq. (3.125), tem-se que, para que a Eq. (3.133) seja válida, é necessário que

0=∇+∇

βη

XS

. (3.134)

Uma possível solução para a Eq. (3.134) é tomar

ct

−

=

η

, (3.135)

75

onde

.

const

c

=

(

0

>

c

) representa a temperatura (constante) do líquido (ver Eq. (3.127)); e

.const

=

β

(3.136)

Como o escoamento é irrotacional, sua vorticidade

ω

, i.e.

βη

∇×∇+∇×∇= XSω

, (3.137)

deve ser nula. De fato, note que as Eqs. (3.135) e (3.136) em (3.137) conduzem a

0

=

ω

.

As restrições dadas pelas Eqs. (3.135) e (3.136) simplificam a Eq. (3.123) para

0d

~

d

2

1

~

2

1

=













+−−

∫∫

t

V

tVcS

t

U

ρ

φ

ρρρδ

v . (3.138)

Como o líquido é incompressível, a Eq. (3.138) pode ser convenientemente escrita como

0d

~

d

2

1

~

2

1

=













+−−

∫ ∫

t

V

tVcS

t

U

φ

ρδ

v . (3.139)

Além disso, como o escoamento é homoentrópico e os processos envolvidos reversíveis,

então

0== SU

δδ

. (3.140)

Logo, a Eq. (3.139) torna-se

0d

~

d

2

1

~

2

1

=













−

∫ ∫

t

V

tV

t

φ

ρδ

v , (3.141)

76

i.e.

0d

~

d

~

dd

~

d

2

1

2

1

2

1

~

2

1

~

2

1

~

2

1

=













∇⋅∇+

∂

−

=













∇⋅∇−

∂

−∇⋅∇=













−

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

t

V

t

V

t

V

tV

t

tV

t

tV

t

φφ

φ

ρδ

φφ

φ

φφρδ

φ

ρδ

v

. (3.142)

Claramente, se houver interação do líquido com um corpo, tem-se que (ver Eq. (3.132))

0dd

~

d

2

1

2

1

~

2

1

=+













∇⋅∇+

∂

−

∫∫ ∫

t

V

tWtV

t

δφφ

φ

ρδ

. (3.143)

3.4.1.2 Exemplo ilustrativo de aplicação

Considere o movimento de um corpo não-deformável e totalmente submerso em meio

líquido (ver Fig. 3.4).

B

S

é a superfície de contato entre o corpo e o líquido,

F

S

a superfície

livre do líquido,

H

S a superfície de fundo e

W

S as superfícies laterais, i.e.

WHFB

SSSSV +++∂

=

~

Figura 3.4 - Movimento de um corpo não-deformável e totalmente submerso em meio líquido com uma

superfície livre. Meio líquido na cor cinza, corpo na cor branca.

n

B

S

F

S

H

S

W

S

x

y

n

B

S

F

S

H

S

W

S

x

y

x

y

77

Na presença de superfícies móveis, a variação do primeiro termo da Eq. (3.143) conduz a

(ver MILOH, 1984, p. 231, Eq. (6))

−













∇⋅∇+

∂

−∂⋅













+∇⋅∇+

∂

−=

=













+∇⋅∇+

∂

−

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

∂

2

1

2

1

2

1

d

~

dd

~

d

~

d

~~

2

1

~

2

1

t

V

t

V

t

V

tV

t

tVgh

t

tVgh

t

δφφ

δφ

ρδφφ

φ

ρ

φφ

φ

ρδ

nr

(3.144)

(40)

Da expressão para o trabalho virtual, i.e.

∑

=

k

kk

qQW

δδ

, (3.145)

da relação de Synge e Griffith (1959) apud Miloh (1984, p. 231, Eq. (7)),

∫

∑

∫

∂













+∇⋅∇+

∂

−

=∂⋅













+∇⋅∇+

∂

−

B

S

k

kk

S

Vqngh

t

Vgh

t

~

d

~

d

2

1

2

1

δφφ

φ

ρ

δφφ

φ

ρ

nr

, (3.146)

e assumindo-se que ambas as posições de

H

S

e

W

S tendem ao infinito, o que então implica

0

→

φ

e

0

→

∇

φ

nessas superfícies, a Eq. (3.144) torna-se

______________

40

A inclusão do termo )( gh

ρ

−

é elementar, sendo h a altura da superfície líquida em questão e com relação a

um estado de referência arbitrário e conveniente.

78

0d

~

d

~

d

~

d

2

1

2

1

2

1

~

2

1

2

1

=







+













∇⋅∇+

∂

−∂⋅













+∇⋅∇+

∂

−







∂













+∇⋅∇+

∂

−

∫

∑

∫ ∫∫

∫

∑

∫

tqQ

V

t

Vgh

t

Vqngh

t

k

kk

t

V

S

t

k

S

kk

F

B

δ

δφφ

δφ

ρδφφ

φ

ρ

δφφ

φ

ρ

nr

. (3.147)

Do teorema do transporte de Reynolds, i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅+−=

∂

−

VVV

VV

t

V

t

~~~

~

d

~

d

~

d nv

δφρδφρ

δφ

ρ

, (3.148)

e uma vez que 0)()(

21

=

tt

δφ

, chega-se a

∫ ∫∫ ∫

∂

∂⋅=

∂

−

2

1

2

1

~~

d

~

dd

~

d

t

V

t

V

tVtV

t

nv

δφρ

δφ

ρ

. (3.149)

Então, do teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky, i.e.

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

+∂⋅∇−=∇⋅∇−

∂

2

1

2

1

2

1

d

~

d∆d

~

dd

~

d

~~~

t

V

t

V

t

V

tVtVtV

φδφρφδφρδφφρ

n

, (3.150)

e da Eq. (3.149), a Eq. (3.147) torna-se

79

0d

~

d

~

d∆

~

d)(

~

d

2

1

~~

2

1

2

1

=







∂⋅













+∇⋅∇+

∂

−

−+∂⋅−∇−

−



























∂













+∇⋅∇+

∂

−

∫

∫∫

∫

∑

∫

∂

tVgh

t

VV

qVngh

t

Q

F

B

S

VV

t

k

S

kk

nr

nv

δφφ

φ

ρ

φδφρφδφρ

δφφ

φ

ρ

. (3.151)

Por fim, como

k

q

δ

,

δφ

e

nr

⋅

δ

são arbitrários e independentes entre si, as seguintes

equações são obtidas a partir da Eq. (3.151)

0∆

=

φ

em

V

~

(3.152)

sendo

222222

/(.)/(.)/(.)∆(.) zyx ∂∂+∂∂+∂∂=

0)(

=

⋅

∇

−

nv

φ

em

B

S

e

F

S

(3.153)

0

~

d

2

1

=∂













+∇⋅∇+

∂

−

∫

B

S

kk

Vngh

t

Q

φφ

φ

ρ

em

B

S

, (3.154)

0

2

1

=+∇⋅∇+

∂

gh

t

φφ

φ

em

F

S . (3.155)

3.4.2 A expressão do princípio variacional de Seliger e Whitham (1968) em um

volume de controle

Suponha ainda válidas as hipóteses da Seção 6.1.1. Considere então que V

ˆ

(ver Apêndice

B) é o volume das partículas fictícias instantaneamente coincidente com V

~

. Seja agora a

80

equivalência entre o princípio variacional dado pela Eq. (3.142), que é aquele considerado

aplicado a

V

~

, e aquele que será aqui escrito aplicado a

V

ˆ

.

Tome a Eq. (3.142) na forma

0d

~

d

2

1

~

2

1

=













−∇⋅∇

∫ ∫

t

V

tV

t

φ

φφρδ

. (3.156)

Como V

ˆ

e V

~

são instantaneamente coincidentes então

∫∫

∇⋅∇=∇⋅∇

V

VV

ˆ

2

1

~

2

1

ˆ

d

~

d

φφρφφρ

. (3.157)

No entanto, embora a densidade de energia cinética

φ

ρ

∇

⋅

∇

2

1

em ambos os volumes

seja a mesma, o operador gradiente que deve ser empregado em V

ˆ

, a rigor, é aquele

associado às partículas fictícias (ver Eqs. (2.31) e (2.32)), e, portanto,

∫∫

∇⋅∇=∇⋅∇

V

VV

ˆ

2

1

~

2

1

ˆ

d

ˆˆ

~

d

φφρφφρ

, (3.158)

i.e.

∫ ∫∫ ∫

∇⋅∇≡∇⋅∇

2

1

2

1

d

ˆ

d

ˆˆ

d

~

d

ˆ

2

1

~

2

1

t

V

t

V

tVtV

φφρδφφρδ

. (3.159)

Valendo-se agora da propriedade de permutação entre os operadores

(.)

δ

e

td/d(.)

,

escreve-se

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

=













=













2

1

2

1

2

1

d

~

d

~

d

~

d

~

d

~~~

t

V

t

V

t

V

tV

t

tV

t

tV

t

δφρ

δφ

ρ

φ

ρδ

. (3.160)

81

Então, aplicando-se o teorema do transporte de Reynolds (Eq. (2.30)) na Eq. (3.160),

chega-se a

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∂

∂⋅−+=

2

1

2

1

2

1

d

ˆ

d)

ˆ

(d

ˆ

d

ˆ

d

~

d

~

ˆˆ

~

t

V

t

V

t

V

tVtV

t

tV

t

nvv

δφρδφρδφρ

. (3.161)

Combinando-se agora as Eqs. (3.161) e (3.159) em (3.156) mostra-se que

0d

ˆ

d)

ˆ

(

d

ˆ

d

ˆˆ

d

~

d

2

1

2

1

2

1

ˆ

2

1

~

2

1

=∂⋅−−

−













∂

+∇⋅∇−=













∂

+∇⋅∇−

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∂

t

V

t

V

t

V

tV

t

tV

t

nvv

δφρ

φ

φφρδ

φ

φφρδ

, (3.162)

i.e.

0d

ˆ

d)

ˆ

(d

ˆ

d

ˆ

dd

2

1

2

1

2

1

ˆˆ

=∂⋅−−=

∫ ∫∫∫∫ ∫

∂

t

V

t

V

t

t V

tVtVptVp nvv

δφρδδ

. (3.163)

De mesmo modo, quando da interação de um corpo com o líquido, tem-se, das Eqs.

(3.163) e (3.132), que

0dd

ˆ

d)

ˆ

(d

ˆ

d

ˆ

2

1

2

1

2

1

ˆˆ

=+∂⋅−−

∫∫ ∫∫ ∫

∂

t

V

t

V

tWtVtVp

δδφρδ

nvv . (3.164)

A Eq. (3.164) corresponde ao princípio variacional de Seliger e Whitham (1968) escrito

para um volume de controle. Essencialmente como visto, a demonstração desse resultado

baseia-se na aplicação do teorema do transporte de Reynolds na restrição













−

∫

V

Vt

~

d)d/(d

φρ

que aparece no princípio variacional original (ver Eq. (3.141), por exemplo), i.e. aquele para

82

um sistema fechado. Tecnicamente falando, esse é o procedimento adotado por McIver (1973)

para a obtenção do princípio de Hamilton para sistemas mecânicos de massa variável.

Uma aplicação para a Eq. (3.164) é o problema de Wagner (ver Capítulo 5), quando a

mesma então assume a forma de

0ddd)(dd

2

1

2

1

2

1

=+∂⋅−−

∫∫ ∫∫∫

t

t S

brootj

t

t V

b

tFtVtVp

rootb

δζδφρδ

nvv . (3.165)

Mas como a Eq. (3.164) é equivalente à Eq. (3.132), deve-se lembrar que são as

quantidades físicas de

V

~

, volume que no caso representa o seio do líquido

b

V

e

adicionalmente os jatos, que se encontram prescritas nos instantes de tempo

1

t

e

2

t

. Sendo

assim, as equações que derivam da Eq. (3.165) devem ser equivalentes àquelas que derivam

da Eq. (3.132).

Juntamente com o anterior, o presente Capítulo encerra a primeira parte dessa tese, onde a

fundamentação da dinâmica de sistemas de massa variável é discutida a partir de uma

interpretação que é própria do autor, baseada em trabalhos clássicos; são apresentados, no

decorrer das discussões, resultados teóricos originais. Nos Capítulos seguintes, esses

conceitos serão empregados na rediscussão de dois problemas clássicos da mecânica, para os

quais existem aparentes paradoxos, i.e. o problema da ‘corrente em queda’ (Capítulo 4), e o

problema de ‘impacto hidrodinâmico’ sob a abordagem de Wagner (Capítulos 5).

83

PARTE II:

APLICAÇÕES:

O PROBLEMA DA CORRENTE EM

MOVIMENTO VERTICAL E O PROBLEMA DO

COLAPSO DAS TORRES GÊMEAS DO

WORLD TRADE CENTER

O PROBLEMA DE IMPACTO

HIDRODINÂMICO

84

4 O PROBLEMA DA CORRENTE EM MOVIMENTO VERTICAL E O

PROBLEMA DO COLAPSO DE EDIFÍCIOS

Um dos primeiros problemas práticos que foi abordado à luz da dinâmica de sistemas de

massa variável foi aquele que hoje é conhecido como ‘problema da corrente em queda’ (ver,

por exemplo, EKE; MAO, 2002, p. 124 e ŠIMA; PODOLSKÝ, 2005). Sua primeira versão,

apresentada em 1814, é devida à Buquoy, e refere-se ao movimento de uma corrente,

inicialmente amontoada sobre uma superfície horizontal, que então é puxada para cima a

partir de uma de suas extremidades. Resolver o problema significa obter a equação de

movimento da porção esticada da corrente, que é um sistema de massa variável. Em 1856,

Tait e Steele apresentaram em seu livro ‘A Treatise on the Dynamics of a Particle’ uma

segunda versão para o problema (ver WONG; YOUN; YASUI, 2007, p. 387, Fig. 2). Na

versão de Tait e Steele, existe, acima da porção amontoada, uma polia fixa e ideal, por onde

passa a porção esticada. O sistema de massa variável de interesse é, nesse caso, a porção da

corrente que se estende a partir da polia. Um ano após a publicação do trabalho de Tait e

Steele, Cayley, em seu artigo ‘On a Class of Dynamical Problems’, considerou uma terceira

versão do problema, utilizando-a como exemplo de aplicação da equação de Lagrange para

um sistema de massa variável (ver Capítulo 3). Pode-se dizer que o problema de Cayley é

uma versão modificada do problema de Buquoy.

Embora o problema da corrente em queda tenha sido inicialmente apresentado em meados

do século 19, ainda hoje são encontradas na literatura diferentes soluções para uma mesma

versão desse problema. Nesse Capítulo serão discutidas três versões: 1) a de Buquoy, 2) a de

Cayley, e 3) a da corrente em ‘U’. O objetivo é apresentar para cada uma dessas versões, e à

luz dos fundamentos discutidos nos Capítulos 2 e 3, a maneira adequada de se considerar o

processo de troca de massa entre as porções da corrente, e a de se obter a equação de

movimento para a porção de interesse.

85

4.1 O problema de Buquoy

Considere uma corrente, de densidade linear

σ

[kg/m], inicialmente em repouso e

enrolada sobre uma superfície horizontal de apoio. Suponha que, a partir do instante de tempo

0

=

t

, a corrente começa a ser puxada para cima, devido à ação de uma força vertical

jF F

=

que age em uma de suas extremidades. Em um instante de tempo

t

arbitrário,

observa-se a corrente então dividida em duas porções, i.e. a esticada e aquela ainda enrolada

(ver Fig. 4.1).

Figura 4.1 - Problema de Buquoy bidimensional.

Supondo-se que o comprimento da porção esticada é bem maior que a dimensão

característica da porção enrolada, o problema bidimensional representado na Fig. 4.1 pode ser

simplificado para sua versão unidimensional, como assim mostra a Fig. 4.2.

Como imediatamente antes de ser capturado pela porção esticada, os elementos de massa

da porção enrolada possuem velocidade nula, o fluxo de quantidade de movimento vertical

para a porção esticada também é nulo, i.e. 0

=

es

wy

&

σ

. Dessa forma, a quantidade de

movimento da porção esticada é

y

&

σ

no instante de tempo

t

, e

)d)(d( yyyy

&&

+

σ

no

instante de tempo tt d

+

seguinte. Para a aplicação da segunda lei de Newton a um sistema de

g

F

j

y

porção enrolada

porção esticada

gg

FF

j

y

jj

y

porção enrolada

porção esticada

86

massa variável, deve-se considerar as forças atuantes no sistema como um todo. Portanto, no

presente problema, deve-se considerar as forças atuantes na corrente como um todo. No

instante de tempo

t

, as forças que atuam na porção esticada são

jF

e a força peso

)( jyg

σ

−

.

Como a porção enrolada está em repouso, ou seja,

0

=

eses

vv

&

, a soma das forças que nela

atua é nula. Assim, no instante de tempo

t

, a soma das forças que atua na corrente como um

todo é j))(( gtyF

σ

−

. No instante de tempo tt d

+

seguinte, a porção enrolada perde um

elemento de massa, mas ainda permanece em repouso; e a porção esticada passa a sofrer a

ação da força (

jgyyF )d(

+

−

σ

). Ou seja, nesse instante de tempo, novamente, a soma das

forças atuantes na corrente como um todo continua sendo

j))(( gtyF

σ

−

.

Figura 4.2 - Problema de Buquoy unidimensional.

Portanto, da Eq. (2.37), tem-se que

)(

d

yy

t

ygF

&

σσ

=− , (4.1)

de onde então se obtém













+−=

y

g

y

F

y

2

&

&&

σ

. (4.2)

Como imediatamente antes de ser capturado, o elo da porção enrolada possui velocidade

nula, o fluxo de energia cinética para a porção esticada também é nulo. No entanto, como já

discutido no Capítulo 2, esse processo de captura do elo implica uma dissipação de energia,

i.e.

y

F

| y |

representação da

porção enrolada

y

F

| y |

representação da

porção enrolada

87

3

2

1

2

1

d

~

yyy

t

U

es

&&&

σσ

==













(4.3)

(ver Eq. (2.50)). O teorema trabalho-energia (ver Eq. (2.47)) aplicado à porção esticada então

se torna

3

2

1

2

1

d

)(d

)( y

t

yy

yygF

&

σ

+=− . (4.4)

Dividindo-se a Eq. (4.4) por

y

&

, e desenvolvendo-se a derivada que aparece no primeiro

termo de seu lado direito, recupera-se Eq. (4.1), como esperado.

Šima e Podolský (2005) (assim como também SOUZA, 2002), no entanto, argumentam

que a Eq. (4.1) deve ser considerada válida somente nos casos em que

0

>

y

&

, ou seja,

naqueles em que a porção esticada move-se para cima. Segundo esses autores, quando a

porção esticada é continuamente depositada sob a superfície horizontal, i.e. quando

0

<

y

&

, a

superfície reage contra a porção esticada aplicando-lhe uma força reativa que é igual a

j

2

y

&

σ

.

Segundo esses autores, se a porção esticada for solta a partir de uma determinada altura

0

yy

=

(com 0

=

F ), a Eq. (4.1) deve ser reinterpretada como

)(

d

2

yy

t

ygy

&&

σσσ

=− , (4.5)

de onde se obtém

gy

−

=

&&

, (4.6)

e que na forma adimensional fica

1

*

−=y

&&

, (4.6a)

88

onde

gytyy /d/d

2

**2*

&&&&

==

,

0

*

/ ygtt = , sendo

0

y

o comprimento inicial da porção

suspensa.

Por outro lado, da Eq. (4.2) com 0

=

F , obtém-se que

y

gy

2

&

&&

−−= , (4.7)

que na forma adimensional torna-se

*

2

*

1

y

&

&&

−−=

, (4.7a)

onde

0

*

/ yyy =

e

(

)

[

]

gyyytyy

00

***

/d/d

&&

== .

Ou seja, comparando-se as Eqs. (4.7) e (4.6), vê-se que, com relação à aceleração da

porção esticada, a abordagem de Šima e Podolský (2005) difere da usual pelo termo

)/(

2

yy

&

−

. Considere agora uma análise, que é própria do autor dessa tese, sobre os

argumentos daqueles autores para o caso em que 0

<

y

&

. Seja

t

o instante de tempo

imediatamente anterior ao contato do último

41

elo da porção esticada com a superfície

horizontal. No instante de tempo tt d

+

seguinte, esse elo choca-se com a superfície

horizontal, e imediatamente adquire velocidade nula. É quando esse elo passa a fazer parte da

porção enrolada.

Imediatamente antes de ser agregado pela porção enrolada, o último elo da porção

esticada possui velocidade

jy

&

. Nesse instante, as forças que atuam na porção enrolada são: 1)

a força peso ( jgy)(

−

l

σ

), onde )( y

−

l

σ

é a massa da porção enrolada, sendo l o

comprimento total da corrente, 2) e a força normal

jN N

=

devido ao contato da porção

enrolada com a superfície horizontal. Estando a porção enrolada constantemente em repouso

por hipótese, i.e. 0

=

enen

vv

&

, tem-se, da Eq. (2.41) que

______________

41

Definido como o elo que se encontra na iminência de se chocar com a superfície horizontal.

89

en

wygyN

&

l

σ

=

−

)(

, (4.8)

onde

en

wy

&

σ

é o fluxo de quantidade de movimento para a porção enrolada (ver Fig. 4.3).

Figura 4.3 - Fluxo de quantidade de movimento vertical para a porção enrolada da corrente (problema de

Buquoy para o caso em que

0

<

y

&

).

Por fim, como então jw y

en

&

=

, obtém-se, da Eq. (4.8) que

2

)( ygyN

&

l

σσ

+−= . (4.9)

Ou seja, o fluxo de quantidade de movimento para a porção enrolada implica em uma

força sobre ela agente dada por (

j

2

y

&

σ

−

). Dessa forma, para manter o equilíbrio da porção

enrolada, a superfície horizontal deve reagir contra a porção enrolada com uma força

jN

( 0

>

N ) não apenas para compensar a força peso ( jgy)(

−

l

σ

), mas também a força

(

j

2

y

&

σ

−

). Ou seja, a superfície horizontal reage com uma força

jN

contra a porção enrolada,

e não contra a porção esticada. Então, uma vez que a corrente não apresenta resistência à

compressão, a superfície horizontal não consegue transmitir aos elos da porção esticada

qualquer força. Dessa forma, tem-se que o argumento de Šima e Podolský (2005), i.e. o de

considerar que uma força j

2

y

&

σ

atua na porção esticada quando 0

<

y

&

, mostra-se

equivocado.

Por fim, mostra-se a diferença entre essa abordagem de Šima e Podolský (2005) e aquela

aparentemente correta, i.e. Eq. (4.7), plotando-se logo a seguir um gráfico

*

y versus

*

t .

0

≡

en

v

esen

vw

≡

porção esticada

porção enrolada

0

≡

en

v

esen

vw

≡

porção esticada

porção enrolada

90

0

1

2

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t*

y*

Eq. (4.7a)

Eq. (4.6a)

Figura 4.4 - Problema de Buquoy com 0

=

F e y*(0) = 6. Solução de Šima e Podolský (2005) (Eq. (4.6a)

e aquela esperada a partir dos conceitos apresentados no Capítulo 2 (Eq. (4.7a)).

4.2 O problema de Cayley

No problema de Cayley, a superfície horizontal apresenta uma abertura (ver Figs. 4.5a e

b). A partir do instante de tempo

0

=

t

, a corrente começa a ser puxada para baixo através

dessa abertura, haja vista a ação da força da gravidade que atua em sua porção esticada. Por

hipótese, o comprimento inicial

0

)0( yty

=

dessa porção deve ser não nulo. Como os elos

da porção amontoada encontram-se em repouso, tem-se, pela mesma razão apresentada na

Seção 4.1, que o fluxo de quantidade de movimento vertical para a porção esticada é também

nulo. Comparando-se o problema de Cayley com aquela versão do problema de Buquoy em

que a corrente é abandonada a partir de uma determinada altura, vê-se que a principal

diferença entre esses é a de que, enquanto no primeiro a força peso atua no sentido positivo de

y

, no segundo, contrariamente, essa força age no sentido negativo de

y

.

91

Figura 4.5 - Problema de Cayley tridimensional.

Figura 4.6 - Problema de Cayley unidimensional.

Da Eq. (2.37), tem-se que, no problema de Cayley, a equação de movimento da porção

esticada corresponde a

)(

d

yy

t

yg

&

σσ

= , (4.10)

de onde então se obtém

y

gy

2

&

&&

−= , (4.11)

i.e.

y

| y |

g

y

σ

y

| y || y |

g

y

σ

abertura na superfície

horizontal de apoio

g

| y |

abertura na superfície

horizontal de apoio

gg

| y |

92

*

2

*

1

y

&

&&

−=

, (4.11a)

sob as mesmas adimensionalizações da Seção anterior.

Nesse caso, da Eq. (4.11), tem-se como valor limite

3

lim

g

y =

&&

, (4.12)

(42)

i.e.

3

1

lim

*

=y

&&

, (4.12a)

ou seja, no problema de Cayley, a porção esticada da corrente cai com uma aceleração

inferior à da gravidade. Isso acontece, pois, a força reativa, que assim surge devido à captura

de elos em repouso, possui mesma direção, mas sentido contrário ao da força peso, i.e.

jvvvwΦ

2

))(d/d())(d/d( ytt

eseneseses

&

σµµ

−=−≡−= .

Souza e Rodrigues (2004), entretanto, abordam o problema de Cayley supondo que essa

força ))(d/d(

eseses

t vwΦ

−

=

µ

é a priori desconhecida. Dessa forma, a Eq. (4.10) é por eles

reinterpretada sob a seguinte forma

yyΦyg

es

&&

σ

=

+

. (4.13)

Então, juntamente com a Eq. (4.13), esses autores valem-se do teorema trabalho energia

(ver Eq. (2.47)) na forma

______________

42

Originalmente, essa solução foi demonstrada pelo próprio Cayley (1857), mas pode também ser encontrada em

trabalhos mais recentes, como, por exemplo, o de Chicón (2003), Jiménez et al. (2005) e Keiffer (2001).

93

(

)

2

1

d

)( yy

t

yyg

&&

σσ

= . (4.14)

Obviamente, dispondo-se das Eqs. (4.13) e (4.14), obtêm que

y

gy

2

1

&

&&

−= , (4.15)

i.e.

*

2

*

2

1

*

1

y

&

&&

−=

, (4.15a)

que conduz ao valor limite

2

lim

g

y =

&&

, (4.16)

i.e.

2

1

lim

*

=y

&&

(4.16a)

e

jΦ

2

1

y

es

&

σ

−= . (4.17).

Note que é evidente que o valor limite da aceleração da porção esticada que é prevista por

Souza e Rodrigues (2004), i.e.

2/g

, é significativamente diferente daquela obtida pelo

próprio Cayley, i.e.

3/g

. O mesmo ocorre com o valor da força

es

Φ , dada por

jΦ

2

1

y

es

&

σ

−= , i.e. a metade do valor esperado a partir da abordagem de Cayley.

94

A questão é que, como discutido no Capítulo 2, para que o teorema trabalho-energia

aplicado à porção esticada assuma a forma dada pela Eq. (4.14), é necessário que

yw

&

2

1

=

.

No entanto, isso não corresponde à situação do problema de Cayley, onde se verifica

0

≡

w

.

Nesse segundo caso, o teorema trabalho-energia deve ser aplicado como (ver Eq. (2.47))

(

)

3

2

1

2

1

d

yyy

t

yyg

&&&

σσσ

+=

, (4.18)

onde o segundo termo do lado direito representa a energia mecânica que é dissipada (por

unidade de tempo) no processo de transferência de massa para a porção esticada, i.e.

3

2

1

d

~

y

t

U

es

&

σ

=













. (4.19)

De fato, note que, dividindo-se a Eq. (4.18) por

y

&

, e desenvolvendo-se a derivada do

termo do lado direito dessa equação, obtém-se a Eq. (4.11), que é a equação obtida por

Cayley. E analogamente ao gráfico apresentado na Seção anterior, tem-se, agora

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

t*

y*

Eq. (4.11a)

Eq. (4.15a)

Figura 4.7 - Problema de Cayley. Solução de Souza e Rodrigues (2004), Eq. (4.15a) e a de Cayley (1857),

Eq. (4.11a).

95

4.3 O problema da corrente em ‘U’

Imagine uma corrente de comprimento

l

(ver Fig. 4.8) que se encontra inicialmente

pendurada por suas duas extremidades, formando um ‘U’. No instante de tempo 0

=

t , uma

das extremidades é solta, enquanto a outra permanece fixa (ver Fig. 4.9). A partir de então, a

‘perna’ livre da corrente começa a cair devido à ação da gravidade, transferindo massa para a

outra ‘perna’ em repouso.

Figura 4.8 - Instante de tempo imediatamente anterior ao abandono de um das extremidades fixas da

corrente.

SCHAGERL et al. (1997) argumentam que, basicamente, existem duas maneiras de se

abordar esse problema. Na primeira, considera-se que a energia da corrente como um todo é

conservada, quando então se obtém que a extremidade livre da corrente cai com uma

aceleração superior à da gravidade. Dessa abordagem, valem-se, por exemplo, Kucharski

(1941), Hamel (1949), Kuypers (1990) e Rosenberg (1991) apud SCHAGERL et al. (1997).

Na segunda abordagem, a transferência de massa da perna livre para a perna em repouso é

interpretada como uma série contínua de impactos totalmente elásticos.

Se assim, conclui-se, contrariamente, que a extremidade livre da corrente cai com uma

aceleração igual à da gravidade. Exemplos de trabalhos onde essa segunda abordagem é

empregada são os de Crellin, Janssens e Poelaert (1995) e Steiner e Troger (1995) apud

SCHAGERL et al. (1997). Ocorre que, experimentalmente, verifica-se que a extremidade

ggg

96

livre da corrente cai, de fato, com uma aceleração superior à da gravidade (ver, por exemplo,

SCHAGERL et al., 1997, CALKIN; MARCH, 1989, TOMASZEWSKI; PIERANSKI;

GEMINARD, 2006), o que remete à primeira abordagem.

Figura 4.9 - Instante de tempo imediatamente após o abandono de um das extremidades fixas da corrente.

Como discutido no Capítulo 2, a dinâmica de sistemas de massa variável encontra-se

essencialmente fundamentada no seguinte conceito: o processo contínuo de variação de massa

de um sistema pode ser interpretado como uma sucessão também contínua de impactos

inelásticos entre elementos de massa externos e o sistema em questão. Assim, quando a

segunda lei de Newton na forma da Eqs. (2.5) ou (2.7), ou mesmo o teorema trabalho-energia

na forma da Eqs. (2.46) ou (2.47), que foram deduzidos a partir desse conceito, são aplicados

a um dado sistema, automaticamente se está reconhecendo a validade dessa interpretação.

Essa é uma primeira razão para se questionar a ocorrência de impactos totalmente elásticos no

processo de variação de massa das pernas da corrente, e, portanto, também para se questionar

o resultado teórico por alguns considerado de que a extremidade livre da corrente cai com

uma aceleração igual à da gravidade.

Como nos problemas anteriores, os subsistemas da corrente são definidos separando-se os

elos que instantaneamente apresentam a mesma velocidade. No problema da corrente em ‘U’,

a rigor, três subsistemas devem ser identificados. São eles: 1) a perna livre, cujos elos

possuem velocidade jy

&

, sendo

y

a distância entre a extremidade livre e o ponto onde essa se

encontrava presa, 2) a perna em repouso, assim chamada por seus elos apresentarem

velocidade nula, 3) e o trecho curvo entre as pernas, cuja velocidade será discutida mais tarde

97

A Fig. 4.10 mostra a usual idealização do problema da corrente em U para um instante de

tempo

t

arbitrário, i.e.

Figura 4.10 - Idealização usual do problema da corrente em U.

Tome o caso em que

R

é bem menor que o comprimento da corrente. Em um instante de

tempo

t

arbitrário, o comprimento

l

da perna livre, que inicialmente então era dado por

l

2

1

,

passa a ser dado por

l

, e o comprimento da perna em repouso, que inicialmente também era

l

2

1

, passa a ser dado por

r

. Uma vez que l e

r

devem então satisfazer as equações i)

l

=

+

rl

e ii)

rly

=

+

, os mesmos podem ser respectivamente escritos como )(

2

1

yl

−

=

l

e )(

2

1

yr

+

=

l . A massa da perna livre então se torna

)(

2

1

ym

l

−

=

l

σ

(4.20)

e a da perna em repouso,

)(

2

1

ym

r

+

=

l

σ

. (4.21)

Precisa-se agora analisar o campo de velocidades da porção da corrente instantaneamente

localizada no trecho curvo. Considere então a corrente dividida em três volumes de controle,

como mostra a Fig. 4.11 abaixo.

| y |

y

R

l

r

g

| y |

y

R

l

r

| y |

y

R

l

r

gg

98

Figura 4.11 - Esquematização dos três volumes de controle que compõe a corrente em U.

Como estabelecido, a velocidade do volume de controle

5

2

4

2

3

2

1

22

ˆˆˆˆˆ

VVVVV ∂∪∂∪∂∪∂=∂ , que é não-deformável, é dada por jy

&

2

1

. Mas uma vez que a

densidade da corrente é constante, para que haja conservação da massa em

2

ˆ

V∂

, é necessário

que

[

]

[

]

0)

ˆ

()

ˆ

(

2

1

2

ˆˆ

=

⋅

−

+

⋅

−

∂∂ VV

nvvnvv . (4.22)

y

1

2

3

y

&

2

1

y

&

y

&

2

1

y

&

y

&

2

1

n

1

2

ˆ

V∂

2

ˆ

V∂

3

2

ˆ

V∂

4

2

ˆ

V∂

5

2

ˆ

V∂

i

j

y

1

2

3

y

&

2

1

y

&

y

&

2

1

y

&

y

&

2

1

n

1

2

ˆ

V∂

2

ˆ

V∂

3

2

ˆ

V∂

4

2

ˆ

V∂

5

2

ˆ

V∂

y

1

2

3

y

&

2

1

y

&

y

&

2

1

y

&

y

&

2

1

n

1

2

ˆ

V∂

2

ˆ

V∂

3

2

ˆ

V∂

4

2

ˆ

V∂

y

1

2

3

y

&

2

1

y

1

2

3

y

&

2

1

y

&

y

&

2

1

y

&

y

&

2

1

n

1

2

ˆ

V∂

2

ˆ

V∂

3

2

ˆ

V∂

4

2

ˆ

V∂

5

2

ˆ

V∂

i

j

i

j

99

Mas

0)

ˆ

(

)(

)

ˆ

(,)(

2

1

11

=⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

nv

nvnv

x

yy

&

&&

, (4.23)

onde

x

&

é a componente horizontal da velocidade da corrente quando em

2

ˆ

V∂

. Das Eqs.

(4.22) e (4.23) mostra-se então que yx

&&

2

1

=

, i.e. Logo, a velocidade do centro de massa de

um elo localizado em

2

ˆ

V∂

é dada por

)(

2

1

jiv

+

=

y

&

em

2

ˆ

V∂

. (4.24)

Note que esse é o caso análogo ao do movimento descendente de uma polia móvel, onde a

porção do cabo que se encontra imediatamente em contato com a polia representaria aqui o

trecho curvo entre as pernas (ver Fig. 4.12).

Sob o ponto de vista associado ao operador

td/(.)d

ˆ

, a única força que atua na perna livre

é aquela devido à ação da força da gravidade, i.e. jj gygm

l

)(

2

1

−

=

l

σ

. Uma vez que se está

escrevendo o balanço de quantidade de movimento para a direção vertical, tem-se que

yw

&

2

1

=

(ver Eq. (4.24)); e, portanto, da Eq. (2.37), tem-se que

[ ]

2

4

1

2

1

2

1

)(

d

)( yyy

t

gy

&&

ll

σσσ

+−=−

, (4.25)

de onde então se obtém a seguinte expressão (correta) para a aceleração da perna livre da

corrente, i.e.

y

gy

−

+=

l

&

&&

2

1

, (4.26)

100

que na forma adimensional fica

43

*

2

*

2

1

*

1

y

−

+=

&

&&

, (4.26a)

Em (4.26) foram aplicados os mesmos parâmetros de adimensionalização anteriores, a menos

do comprimento característico que agora é dado pelo comprimento total da corrente.

Figura 4.12 - Analogia entre o problema da corrente em U e o de um bloco (retângulo com listras) sendo

abaixado por meio de uma polia móvel. Note que

jv y

A

&

=

,

)(

2

1

jiv

+

= y

B

&

e

0=

C

v

.

Haja vista que

y

>

l

, a Eq. (4.26) mostra que, de fato, a extremidade livre da corrente

deve cair com uma aceleração superior à da gravidade, como assim verificado

experimentalmente por Schagerl et al. (1997), Calkin e March (1989) e Tomaszewski,

Pieranski e Geminard (2006). Por fim, a Fig. 4.13 mostra a diferença entre a solução dada por

______________

43

A singularidade prevista em y*=1 decorre da hipótese de ‘elo rígido’; não existirá se o problema for

equacionado de forma realista, quando a deformabilidade do corpo não poderá ser desprezada na presença de

forças reativas a elevadas desacelerações.

i

j

y

&

2

1

y

&

A

B

C

i

j

i

j

y

&

2

1

y

&

2

1

y

&

A

B

C

101

gy

=

&&

, e aquela dada pela Eq. (4.26).

A Eq. (4.25), quando colocada na forma da Eq. (2.40), i.e.

2

4

1

ygmym

ll

&&&

σ

+= , (4.27)

responde ainda à seguinte pergunta:

Uma vez que a perna livre move-se mais rápido que um corpo em queda livre, é

necessário que, no ponto mais baixo da corrente, uma força seja criada para puxar a

perna livre para baixo. Então, a seguinte questão deve ser respondida: Como é essa

força criada? (SCHAGERL et al., 1997, p. 159)

A questão é que, quando a perna livre, que possui velocidade y

&

, abandona um elo dotado

de velocidade

y

&

2

1

, a mesma sofre a ação de uma força vertical dada por

2

4

1

y

l

&

σΦ

=

(ver Eq.

(4.27)). Por possuir sinal positivo,

l

Φ

puxa a perna livre para baixo, o que então faz com que

essa apresente uma aceleração superior à da gravidade.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

t*

y*

Eq. (4.26a)

Acel. Constante ('g')

Figura 4.13 - Problema da corrente em ‘U’. Solução dada pela Eq. (4.26a) e aquela onde se considera que a

perna livre cai com aceleração constante e igual à da gravidade.

102

Analogamente, quando a perna em repouso, que possui velocidade nula, captura o elo

dotado de velocidade vertical

y

&

2

1

, também sofre a ação de uma força vertical dada por

2

4

1

)( y

t

m

r

rrr

&

σΦ

=−=

d

vw

(4.28)

(ver Eq. (4.21)). O sinal positivo de

r

Φ

implica que a tração

τ

(44)

na extremidade fixa da

corrente seja superior à força peso da perna em repouso. Veja que a Eq. (2.40) quando

aplicada à perna em repouso (

0

=

r

v

) conduz à

2

4

1

2

1

)( ygy

&

l

σστ

++= . (4.29)

4.4 O trabalho de Wong e Yasui (2006)

Dentre os mais recentes trabalhos sobre a dinâmica de uma corrente em queda está o de

Wong e Yasui (2006). Nele, os autores argumentam que:

[...] a transferência de um elo da porção enrolada [no problema de Cayley] para a

porção esticada envolve o mesmo processo de conservação de energia que opera na

perna livre [do problema da corrente em ‘U’], i.e. uma emissão ‘exoérgica’ de massa

é seguida por uma absorção ‘endoérgica’ de massa, que a contrapõe (WONG;

YASUI, 2006, p. 491).

Uma vez assim considerado, Wong e Yasui (2006, p. 491) mostram que “[..] o processo

completo de transferência de massa [entre as porções da corrente] conserva a energia

mecânica, quando a massa transferida tem a velocidade dada pela equação de movimento de

Lagrange.” Dessa forma, os autores concluem que:

______________

44

Positiva quando apontada para cima.

103

[... ] a formulação de Lagrange dá a ambas [a porção esticada da corrente no

problema de Cayley e a perna livre no problema da corrente em ‘U’] a mais simples

e mais completa descrição do movimento de ambas correntes em queda (WONG;

YASUI, 2006, p. 491).

Nas palavras de Tomaszewski, Pieranski e Geminard (2006, p. 776), por exemplo, o

trabalho de Wong e Yasui (2006) traz “Uma revisão crítica e detalhada da história dos

problemas da corrente em queda, em particular de algumas abordagens errôneas [...].” Além

disso,

[...][Wong e Yasui (2006)] localizam a fonte de erro [das outras abordagens] e

propõem uma abordagem Lagrangiana infalível para os problemas da corrente em

queda, concluindo que ‘o método de Lagrange fornece respostas definitivas com

uma facilidade sem igual, clareza e elegância’ (TOMASZEWSKI; PIERANSKI;

GEMINARD, 2006, p. 776).

No entanto, segundo a opinião do autor dessa tese, existe no trabalho de Wong e Yasui

(2006) uma questão que ainda merece uma análise criteriosa. Ocorre que os autores

recuperam resultados ‘supostamente’ corretos e esperados apenas quando abordam o

problema da corrente em ‘U’. No tratamento do problema de Cayley, os autores concluem que

a aceleração limite da porção esticada deve ser

2/g

, e não

3/g

, como até então era

esperado.

Seja então a abordagem de Wong e Yasui (2006) para o problema da corrente em ‘U’.

Tomando

y

como a coordenada generalizada do problema, os autores aplicam à perna livre a

equação de Lagrange em sua forma clássica, i.e.

y

T

y

T

t

F

ll

l

∂

−

∂

=

&

d

. (4.30)

Como

2

4

1

)( yyT

l

&

l −=

σ

é a energia cinética da perna livre, então

yy

y

T

l

&

l

&

)(

2

1

−=

∂

σ

(4.31)

yyy

y

T

t

l

&&

l

&

)(

d

2

1

2

1

−+−=

∂

σσ

(4.32)

104

2

4

1

y

T

l

&

σ

−=

∂

. (4.33)

Logo, sendo gyF

l

)(

2

1

−

=

l

σ

, das Eqs. (4.32) e (4.33) em (4.30), obtém-se a Eq. (4.25),

que fornece a expressão correta para a aceleração da perna livre da corrente, i.e.

2

4

1

2

1

2

1

])([

d

)( yyy

t

gy

&&

ll

σσσ

+−=−

. (4.34)

Considere agora a aplicação da segunda lei de Newton (ver Eq. (2.17), por exemplo) à

perna livre, e tome

w

como a priori desconhecido, ou seja

wyyy

t

gy

&&

ll

σσσ

2

1

2

1

2

1

])([

d

)( +−=−

. (4.35)

Comparando-se as Eqs. (4.34) e (4.35), vê-se claramente que yw

&

2

1

=

. Wong e Yasui

(2006) assim mostram que a velocidade

w

pode ser determinada unicamente pela equação de

Lagrange na forma clássica por eles considerada. Segundo os autores, para que o processo de

transferência de massa entre dois sistemas não provoque uma dissipação na energia mecânica

da corrente como um todo, a velocidade

w

de uma partícula que é emitida por um sistema e

agregada pelo outro deve ser igual

)(

21

2

1

vvw

+

=

(4.36)

(ver Apêndice D).

Suponha, por exemplo, que, em um determinado instante de tempo, um sistema com

velocidade

1

v

abandona uma partícula dotada de velocidade

w

. No instante de tempo

seguinte, essa partícula é capturada por um outro sistema cuja velocidade é

2

v

. Então, para

que não haja dissipação da energia mecânica do sistema como um todo, sendo esse definido

pelos dois sistemas e mais a partícula de velocidade

w

, é necessário que

w

obedeça à Eq.

(4.36). Assim, de acordo com a interpretação de Wong e Yasui (2006, p. 493-4), “[...] essa

105

velocidade média [Eq. (4.36)] não é acidental, mas é necessária para a conservação de

energia.”; “Em outras palavras, a conservação da energia cinética [do sistema como um todo]

é forçada quando

u

[

w

na simbologia aqui utilizada] tem esse valor médio.”

De fato, note que a Eq. (4.36) se verifica para o problema da corrente em ‘U’. Tomando-

se

0

2

=

v

, que é a velocidade da perna em repouso, e

yv

&

=

1

, que é a velocidade da perna

livre, conclui-se então que yw

&

2

1

=

, como assim era esperado.

Wong e Yasui (2006) então empregam a equação de Lagrange clássica também no

problema de Cayley, i.e.

y

T

y

T

t

F

eses

es

∂

−

∂

=

&

d

, (4.37)

sendo

ygF

es

σ

=

e

2

1

yyT

es

&

σ

=

. Assim,

yy

y

T

es

&

σ

=

∂

(4.38)

yyy

y

T

t

es

&&&

&

σσ

+=

∂

2

d

(4.39)

2

1

y

T

es

&

σ

=

∂

. (4.40)

Então, das Eqs. (4.40) e (4.39) em (4.37), obtém-se

2

1

)(

d

yyy

t

yg

&&

σσσ

−= , (4.41)

que é uma equação de movimento diferente daquela originalmente obtida por Cayley (ver Eq.

(4.10)), mas que equivale à Eq. (4.14) de Souza e Rodrigues (2004). Então, assim como

Souza e Rodrigues (2004), Wong e Yasui (2006) também concluem que a aceleração limite da

106

porção esticada deve ser dada por 2/

lim

gy =

&&

e não por 3/

lim

gy =

&&

.

Como a velocidade da porção esticada é

y

&

, e a da porção enrolada é nula, da Eq. (4.36),

os autores então também concluem que

yw

&

2

1

=

. Note que esse mesmo resultado poderia ser

obtido comparando-se a Eq. (4.41) com a segunda lei de Newton aplicada à porção esticada,

i.e.

wyyy

t

yg

&&

σσσ

−= )(

d

. (4.42)

Para Wong e Yasui (2006),

[...] a transferência de massa [no problema de Cayley] ocorre na borda da mesa

[superfície horizontal], seja essa em forma de quina ou arredondada, mas não é

óbvio qual é a velocidade de um elo no momento de transferência. A resposta a

partir da equação de movimento de Lagrange é que esta é também a velocidade

média

2/)(

21

vvu +=

[

2/)(

21

vvw +=

na notação aqui utilizada] das duas

partes da corrente (WONG; YASUI, 2006, p. 493).

Comparando-se a Eq. (4.41), obtida a partir da aplicação da equação de Lagrange

clásssica, com a Eq. (4.10), que é a equação de movimento segundo Cayley, Wong e Yasui

(2006) verificam que é o termo (

2

1

y

&

σ

− ) do lado direito da Eq. (4.41) não aparece no

tratamento de Cayley. Isso ocorre, pois, segundo Wong, Youn e Yasui (2007), Cayley teria

desconsiderado, de modo totalmente arbitrário, a dependência da energia cinética da porção

esticada com a coordenada generalizada

y

, quando então

2

1

/ yyT

es

&

σ

=∂∂ teria sido por ele

‘forçosamente’ assumido nulo. Ainda nas palavras de Mikhailov (1984) apud Wong, Youn e

Yasui (2007), esse critério de ‘diferenciação seletiva’ de Cayley não é usual e não fora

adotado por nenhum outro autor subseqüente a ele.

Por fim, Tomaszewski, Pieranski e Geminard (2006, p. 776) argumentam que, a partir

dessas considerações, “Wong e Yasui confirmaram o resultado [i.e. 2/gy

=

&&

],

reconsiderando a história da convicção errônea, que perdurou por um longo tempo, de que a

aceleração [da porção esticada] deveria ser igual a 3/g .”

Seja agora a argumentação de Cayley. Quando o mesmo resolveu o problema que leva seu

nome, assim também o fez através da aplicação da equação de Lagrange. No entanto,

107

diferentemente de Wong e Yasui (2006), que se valem da forma clássica dessa equação (ver

Eq. (4.37)), Cayley a emprega na forma por ele próprio demonstrada (ver Eq. (3.11)), i.e.

yy

T

y

T

t

F

eses

es

&&

∂

∂ℜ

+

∂

−

∂

=

D

. (4.43)

Para tornar mais clara a exposição a seguir, tome a forma alternativa

*

ℜ

da função de

Rayleigh

ℜ

onde, analogamente ao procedimento discutido no Capítulo 2, adiciona-se à

função de Rayleigh original, que para o problema de Cayley é dada por

2

1

)d/(d yt

&

µ

(ver Eq.

(3.12)), o termo

[

]

2

1

2

1

)d/(d)d/(d ytmyt

&&

+−

µ

. Ou seja, trata-se da condição

(

0dd

=

+

−

m

µ

) multiplicada por

2

)d/1( yt

&

,

2

1

2

1

2

1

*

d

y

t

m

y

t

m

y

t

&&&

=













+−+ℜ=ℜ

µ

. (4.44)

Nesse caso, a Eq. (4.43) é então transformada para

yy

T

y

T

t

F

eses

es

&&

∂

∂ℜ

+

∂

−

∂

=

*

D

. (4.45)

Esse procedimento em nada altera a solução de problemas. A diferença é que, enquanto

ℜ

conduz a equações de movimento escritas em termos de

tDD /(.)

,

*

ℜ

conduz a equações

de movimento escritas em termos de td/(.)d . No entanto, as equações obtidas são as

mesmas! E além disso, a rigor, a equação empregada por Cayley na resolução do problema é a

própria Eq. (4.45) e não a Eq. (4.43).

Então, para obter a equação de movimento da porção esticada da corrente a partir da Eq.

(4.45), Cayley indica com uma barra ‘_’ as variáveis que, segundo ele, devem estar ‘livres’ do

processo de diferenciação. Esse é o chamado ‘critério de diferenciação seletiva de Cayley’.

Para Cayley, a energia cinética da porção esticada deve ser dada por

2

1

yyT

es

&

σ

=

, e a função

*

ℜ

por

2

1

*

yy

&&

σ

=ℜ . Dessa forma, para o autor

108

yy

y

T

es

&

σ

=

∂

(4.46)

yyyy

ty

T

t

es

&&&

&

σσ

==

∂

)(

D

(4.47)

(45)

0=

∂

y

T

es

(4.48)

yy

y

&&

&

σ

=

∂

∂ℜ

*

. (4.49)

Cayley então argumenta que, após a derivação, a barra ‘_’ pode ser desconsiderada, i.e.

yy =

. Assim, das Eqs. (4.49), (4.48) e (4.47) em (4.45), chega-se à Eq. (4.10), de onde então

se obtém o resultado

3/gy

=

&&

. Note agora que, de fato, o critério de diferenciação seletiva

de Cayley considera que 0/

=

∂

yT

es

.

No entanto, existem dois argumentos que justificam o critério de diferenciação seletiva de

Cayley. Primeiramente, deve ser observado que, caso Cayley não tivesse empregado o critério

de diferenciação seletiva, o mesmo resultado, i.e. Eq. (4.10), teria sido por ele obtido. Tome as

formas ‘usuais’ para a energia cinética da porção esticada e a função

*

ℜ

, ou seja,

2

1

yyT

es

&

σ

=

e

2

1

*

yy

&&

σ

=ℜ

. Se assim for, as seguintes equações serão obtidas

yy

y

T

es

&

σ

=

∂

(4.50)

yyyy

ty

T

t

es

&&&

&

σσ

==

∂

)(

D

(4.51)

______________

45

Vale lembrar que sob o operador de diferenciação

tDD /(.)

, a massa do sistema é considerada

instantaneamente constante. Sendo assim, yytyy

&&&

σσ

=DD /)( .

109

2

1

y

T

es

&

σ

=

∂

(4.52)

22

2

1

*

yy

y

&&

&

σσ

+=

∂

∂ℜ

. (4.53)

Logo, das Eqs. (4.51), (4.52) e (4.53) em (4.45), recupera-se novamente a Eq. (4.10).

Assim, embora esse não tenha sido um dos resultados explícitos de seu trabalho, Cayley

mostrou que, se a massa de uma partícula varia explicitamente com a posição, no caso

y

σ

, a

função dissipação de Rayleigh associada deve ser dada por

2

1

*

yy

&&

σ

=ℜ .

Um segundo argumento que pode justificar o critério de diferenciação seletiva de Cayley

é que: a equação de Lagrange por ele demonstrada corresponde àquela para um sistema de

partículas cuja massa depende do tempo, i.e. )(tmm

ii

=

. Basta ver que na Eq. (3.7), o termo

de dependência da massa com a posição não aparece (compare com a Eq. (3.19)). Logo, a

massa da porção esticada, assim como sua taxa de variação temporal devem ser expressas,

respectivamente, como )()( tytm

es

σ

=

e )()( tytm

es

&&

σ

=

, ou seja, como funções temporais.

Então, a energia cinética e a função de Rayleigh tornam-se, respectivamente,

2

1

)(),( ytyytT

&&

σ

= e

2

1

*

)(),( ytyyt

&&&

σ

=ℜ , justificando assim a forma das Eqs. (4.48) e

(4.49).

Ou seja, o critério de diferenciação seletiva de Cayley, embora possa soar como arbitrário

e infundado, corresponde à interpretação alternativa e válida de que a massa da porção

esticada depende do tempo.

No entanto, ainda existe uma pergunta a ser respondida. Por que a abordagem de Wong e

Yasui (2006), que corresponde à aplicação da equação de Lagrange em sua forma clássica,

seria válida para o problema da corrente em ‘U’, mas não para o problema de Cayley?

Inicialmente, deve-se observar que, enquanto no problema da corrente em ‘U’, a corrente

se encontra dividida em três porções, no problema de Caley, a corrente está dividida em duas.

No problema da corrente em ‘U’, tem-se: 1) a perna livre, cujos elos possuem velocidade jy

&

,

110

2) a perna em repouso, cujos elos possuem velocidade nula e 3) o trecho localizado entre

essas pernas, que é chamado por alguns autores de ‘curva’, cujo elo apresenta velocidade

vertical dada por jy

&

2

1

. Por outro lado, no problema de Cayley, tem-se: 1) a porção esticada,

cujos elos apresentam velocidade

jy

&

e 2) a porção em repouso, cujos elos possuem

velocidade nula.

No caso do problema da corrente em ‘U’, o processo de transferência de massa entre a

perna livre e a perna em repouso dá-se em duas etapas: 1) no instante de tempo

t

, a perna

livre ejeta um elo e, 2) no instante de tempo

tt d

+

subseqüente, o mesmo é capturado pela

perna em repouso. Quando assim, como mostrado no Apêndice D, para que ocorra a

conservação da energia mecânica da corrente como um todo, a velocidade do elo ejetado pela

perna livre deve ser dada pela Eq. (4.36). No entanto, como discutido no Capítulo 2, esse

valor de yw

&

2

1

=

também garante que não ocorra dissipação da energia mecânica da perna

livre. E é por essa segunda razão que a equação de Lagrange clássica torna-se adequada para

descrever o movimento da perna livre. Lembre-se de que, escrevendo-se a massa da perna

livre como uma função de

y

(a coordenada generalizada do problema), i.e.

)()(

2

1

yym

l

−

=

l

σ

, a equação de Lagrange que deve ser a priori considerada é aquela em

sua forma ‘estendida’ (ver Eq. (3.22), por exemplo), ou seja

w

t

m

y

m

y

T

y

T

t

F

llll

d

2

1

−

∂

+

∂

−

∂

=

&

. (4.54)

Para o presente problema

)d/(d)/( tmyym

ll

=

∂

&

, e a Eq. (4.54) pode então ser

simplificada para

( )

y

m

wy

y

T

y

T

t

F

lll

&&

&

∂

−+

∂

−

∂

=

2

1

d

. (4.55)

Note da Eq. (4.55) que, sendo yw

&

2

1

=

, a aplicação da equação de Lagrange estendida a

esse caso específico leva exatamente a forma da equação de Lagrange clássica, ou seja

111

y

T

y

T

t

F

ll

∂

−

∂

=

&

d

. (4.56)

Tomando-se então gyF )(

2

1

−

=

l

σ

e

2

4

1

)(),( yyyyT

l

&

l

&

−=

σ

na Eq. (4.56) chega-se a

[ ]

2

4

1

2

1

2

1

)(

d

)( yyy

t

gy

&&

ll

σσσ

+−=− . (4.57)

Seja agora o problema de Cayley, onde a corrente encontra-se dividida em apenas duas

partes. Ou seja, um determinado elo ou está na porção enrolada, ou na porção esticada. Nesse

caso, o processo de transferência de massa então se dá em apenas uma única etapa, i.e. o elo

abandonado pela porção enrolada imediatamente passa a fazer parte da porção esticada.

Assim, no processo de ejeção de massa a partir da porção enrolada, a taxa de dissipação

da energia mecânica da corrente como um todo é

2

1

)(

d

~

enen

en

t

m

t

U

vw −=













. (4.58)

Mas como a velocidade da porção enrolada é nula, i.e. 0

=

en

v , e jvw y

esen

&

=

≡

é a

velocidade de um elo imediatamente após ter sido ejetado da porção enrolada, então

2

1

d

~

y

t

m

t

U

en

&

=













. (4.59)

No processo de captura de massa pela porção esticada, a taxa de dissipação da energia

mecânica da corrente como um todo é

2

1

)(

d

~

eses

es

t

m

t

U

vw −=













(4.60)

i.e.

112

2

1

d

~

y

t

m

t

U

es

&

=













, (4.61)

haja vista que jv y

es

&

=

é a velocidade da porção esticada, e 0

=

≡

enes

vw é a velocidade de

um elemento de massa imediatamente antes der agregado à porção esticada.

Mas como a massa da corrente como um todo é constante, i.e.

0

d

=+

t

m

t

m

esen

, (4.62)

obtém-se das Eqs. (4.62), (4.61) e (4.59) que

0

d

~

d

~

d

~

=













+













=

esen

t

U

t

U

t

U

. (4.63)

Ou seja, assim como no problema da corrente em ‘U’, no problema de Cayley, a energia

mecânica da corrente como um todo também se conserva. Além disso, a equação de Lagrange

que deve ser aplicada à porção esticada da corrente no problema de Cayley também é aquela

em sua forma estendida, i.e.

w

t

m

y

m

y

T

y

T

t

F

eseseses

d

2

1

−

∂

+

∂

−

∂

=

&

, (4.64)

pois a massa da porção esticada também depende da coordenada generalizada

y

.

No entanto, com relação à porção esticada, que é o sistema de massa variável em questão,

tem-se que

0

=

w

. Logo, a Eq. (4.64) torna-se

2

1

d

y

m

y

T

y

T

t

F

eseses

&

∂

+

∂

−

∂

=

(4.65)

i.e.

113

)(

d

yy

t

yg

&

σσ

= , (4.66)

que é a própria Eq. (4.10).

Para encerrar, vale dizer que, um ano após a publicação de seu trabalho sobre a aplicação

da equação de Lagrange ao problema de Cayley, Wong, Youn e Yasui (2007) mostram

experimentalmente que a aceleração limite da porção esticada é

gy )0010,03204,0(

lim

±=

&&

, ou

seja, um valor bastante próximo daquele analiticamente obtido por Cayley, i.e.

ggy 3333,03/

lim

≅=

&&

. Ou seja, a análise teórica de Wong e Yasui (2006) é por eles mesmos

demonstrada como equivocada!

Dessa Seção, conclui-se então que

i) Tanto no problema da corrente em ‘U’, quanto no de Cayley, a energia mecânica da

corrente como um todo se conserva;

ii) O argumento de Wong e Yasui (2006, p. 493-4) de que “[...] essa velocidade média

[Eq. (4.36)] não é acidental, mas é necessária para a conservação de energia.” é válido

apenas para o problema da corrente em ‘U’. No problema de Cayley, por estar a

corrente dividida em duas partes, a Eq. (4.36) torna-se sem sentido;

iii) Não faz sentido também o seguinte argumento de Wong e Yasui (2006, p. 494):

“Assim, o conhecimento da conservação de energia nos permite concluir que a

hipótese de Cayley de impactos inelásticos está incorreta.” No entanto, vale lembrar

que foi mostrado que em ambos os problemas, a hipótese de conservação da energia

mecânica da corrente como um todo é satisfeita, mesmo utilizando-se de um dos

principais fundamentos da dinâmica de sistemas de massa variável, i.e. o conceito de

impacto inelástico. Esse conceito encontra-se imbuído na extensão da segunda lei de

Newton a um sistema de massa variável.

iv) Não é correto afirmar que é da aplicação da equação de Lagrange clássica que se

obtém o valor de

w

. Essa é uma informação que deve ser obtida a priori e a partir da

idealização do problema em voga.

114

v) Por último, menciona-se novamente que, quando a massa de um sistema depende

explicitamente das coordenadas generalizadas, como ocorre no problema da corrente

em ‘U’ e no de Cayley, a equação de Lagrange a ser empregada é aquela em sua forma

‘estendida’.

4.5 Uma problemática no processo de transferência de massa

entre as porções da corrente

Dentro da mecânica de sistemas de massa variável, pode-se identificar uma problemática

que ocorre em uma determinada classe de problemas. Trata-se da satisfação das equações de

balanço nos casos em que os subsistemas de massa variável encontram-se separados por uma

superfície singular. Ou seja, se tal superfície é localizada em

x

ˆ

, então

)

ˆ

()

ˆ

(

−+

≠ xx

ψψ

. O

tratamento formal e completo dessa questão pode ser encontrado, por exemplo, em Irschik e

Schlacher (2005, p. 9-20). Pertencem a essa classe de problemas, por exemplo, o de Buquoy,

o de Cayley, e o da corrente em U. Mas, dentro dessa questão, existe ainda um outro problema

a ser considerado, que é a ‘aparente impossibilidade’ que determinados subsistemas possuem

de capturar elementos de massa de um outro subsistema. Entre esses figuram o problema de

Buquoy para o caso em que

ygF

σ

>

, o problema de Cayley, e os problemas do tipo ‘bola de

neve’.

Como discutido no Capítulo 2,

w

representa a velocidade do elemento de massa

µ

d no

instante de tempo imediatamente anterior à sua captura pela partícula de massa

m

, no caso

de aumento de massa da partícula; ou a velocidade desse elemento de massa no instante de

tempo imediatamente posterior à sua ejeção a partir da partícula de massa

m

, no caso de

diminuição de massa da partícula. Por simplicidade da análise, tome apenas os casos

unidimensionais. Considere então uma partícula dotada de velocidade

0

>

v

. Para que ocorra

aumento de sua massa, o elemento

µ

d a ser capturado, se localizado à frente da partícula,

deve possuir velocidade

v

w

<

; e, se localizado atrás, velocidade

v

w

>

(ver Fig. 4.14).

115

Contrariamente, a diminuição de massa da partícula ocorre se

µ

d

for dela ejetado para frente

e com velocidade

v

w

>

, ou, para trás, com velocidade

v

w

<

(ver Fig. 4.15).

Figura 4.14 - Velocidade da partícula e velocidade do elemento de massa antes de sua captura, nas

possíveis maneiras de isso ocorrer.

Figura 4.15 - Velocidade da partícula e velocidade do elemento de massa após sua ejeção, nas possíveis

maneiras de isso ocorrer.

x

y

v

m

vw

µ

d

w

µ

d

x

y

x

y

v

m

vw

µ

d

w

µ

d

x

y

v

m

w

µ

d

m

v

w

µ

d

x

y

x

y

v

m

w

µ

d

m

v

w

µ

d

m

v

w

µ

d

116

Seja então o problema de Buquoy para o caso em que a corrente é puxada para cima. A

análise a ser feita a seguir é análoga para o problema de Cayley. Na idealização do problema

de Buquoy, a porção enrolada da corrente apresenta velocidade nula, i.e. 0

≡

=

esen

wv ,

enquanto a porção esticada,

0

>

es

v

(quando se movimentando para cima). A questão é que o

elemento de massa

µ

d

e velocidade 0

=

es

w , quando na iminência de ser capturado, localiza-

se atrás da porção esticada (ver Fig. 4.16). Logo, essa é uma situação que não corresponde a

nenhuma daquelas representadas na Fig. 4.14.

Figura 4.16 - Superfície singular que ocorre dentro da corrente no problema de Buquoy. Definição dos

volumes V

ˆ

e V

(

.

Assim, é natural que se faça a seguinte pergunta: como um elemento de massa pertencente

à porção enrolada cruzará a superfície

S

V

ˆ

∂ ?

Em problemas do tipo ‘bola de neve’, uma problemática semelhante também ocorre.

Considere, por simplicidade

46

, que uma bola de neve rola sem escorregar, sofrendo,

concomitantemente, um contínuo aumento em sua massa (ver Fig. 4.17). Pode-se imaginar

que esse é um processo que ocorre devido ao fato de que, ao se mover, flocos de neve

continuamente grudam em sua superfície

47

. A questão é que essa captura dá-se no ponto de

contato da bola com o solo, i.e. onde tanto a bola de neve quanto o floco de neve apresentam

velocidade nula. Para um volume de controle, a equação de conservação de massa é dada por

______________

46

Um tratamento formal desse tipo de problema pode ser encontrado em Ong e O’Reilly (2004)

47

Um problema totalmente análogo é o do carretel que rola, sem escorregar, capturando elementos de linha.

V

ˆ

V

(

representação da

porção enrolada

superfície

singular

S

V

ˆ

∂

V

ˆ

V

(

representação da

porção enrolada

V

ˆ

V

(

representação da

porção enrolada

superfície

singular

S

V

ˆ

∂

superfície

singular

S

V

ˆ

∂

117

∫

∂

∂⋅−−=

V

t

m

ˆ

d)

ˆ

(

d

ˆ

nvv

ρ

. (4.67)

Logo, nesse caso, como 0

ˆ

=

vv em V

ˆ

∂ , então

0

d

ˆ

=

t

m

, (4.68)

o que é falso, haja vista o aumento de massa da bola de neve.

Figura 4.17 - Bola de neve que ao se movimentar captura um floco de neve. Definições dos volumes V

ˆ

e

V

(

.

Então, embora seja o problema da bola de neve um caso onde não há nenhuma superfície

singular como aquela apresentada na Fig. 4.12, ainda assim, a questão da ‘aparente

impossibilidade’ de captura de um elemento de massa por um sistema de massa variável

parece ocorrer.

velocidade

nula

V

ˆ

V

(

floco de neve

bola de

neve

velocidade

nula

V

ˆ

V

(

V

ˆ

V

(

floco de neve

bola de

neve

118

A fim de se abordar essa problemática, considere a Eq. (3.52), i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅

∂

+

∂

=

∂

V

k

V

k

V

k

V

q

V

q

V

q

ˆˆ

ˆ

d

ˆ

d

~

d n

x

(

ρρρ

. (4.69)

Mas como )(

ˆ

d

ˆ

tmV

V

=

∫

ρ

, então a mesma pode ser simplificada para

∫∫

∂

∂⋅

∂

=

∂

V

k

V

k

V

q

V

q

ˆ

dd n

x

(

ρρ

(4.70)

ou seja

∫

∂

∂⋅

∂

=

∂

V

kk

V

qq

m

ˆ

dn

x

(

ρ

. (4.71)

Em uma expressão análoga à Eq. (3.28), tem-se

k

q

m

t

m

&

(

∂

=

d

ˆ

, (4.72)

que a partir da Eq. (4.71) pode ser escrita como

∫

∂

∂⋅

∂

=

V

k

V

q

t

m

ˆ

d

ˆ

n

x

(

&

ρ

. (4.73)

A Eq. (4.73) mostra que uma maneira alternativa de se calcular a taxa de variação de

massa de um sistema é através do modo com que o sistema se deforma à medida que suas

coordenadas generalizadas mudam.

119

Assim, no caso do problema de Buquoy, em vez de se calcular a transferência de massa

através da superfície singular

S

V

ˆ

∂

, procede-se alternativamente calculando-se a taxa de

deformação da porção esticada da corrente (i.e.

V

(

∂

) com relação a V

ˆ

∂ (fixo) (ver Fig. 4.13).

O mesmo ocorrendo para o problema da bola de neve, i.e. em vez de se interpretar a

transferência de massa como flocos de neve grudando na superfície da bola de neve, calcula-

se sua taxa de deformação (i.e.

V

(

∂

) com relação a V

ˆ

∂ (fixo) (ver Fig. 4.14).

Como visto, o método alternativo acima discutido apresenta pelo menos duas vantagens.

A primeira é a de que, calculando-se a deformação de

V

(

∂

está se ‘ignorando’ a superfície

singular

S

V

ˆ

∂

, como já comentado no problema do bloco que se move sob uma superfície

áspera (ver Capítulo 3). A segunda é a de que o cálculo da variação de massa quando feito

através da deformação de

V

(

∂

envolve, quase sempre, uma área maior, e, portanto, do ponto

de vista computacional, pode gerar menos erros do que aquele feito através do trecho de V

ˆ

∂

por onde se dá a captura dos elementos de massa, que, em geral, envolve uma área bem

menor.

4.6 O problema do colapso das torres gêmeas do World Trade

Center

Neste Capítulo, o chamado ‘problema da corrente em movimento vertical’ foi abordado na

forma do problema de Buquoy, na do de Cayley e na forma do problema da corrente em U.

Para completá-lo, cumpre ainda mencionar um problema prático, de grande interesse e

atualidade, que pode ser visto como uma ‘quarta versão’ do problema da corrente em

movimento vertical: o problema do colapso vertical de edifícios, cujo mais contundente

exemplo é o das torres gêmeas do World Trade Center. Certamente esse é um problema

bastante complexo e sua análise envolve diversas áreas do conhecimento, como a engenharia

de estruturas, a ciência dos materiais, dentre outras. Mas o objetivo dessa Seção está longe de

pretender tratar o problema em sua completude e deixa de lado discussões acerca da

120

modelagem da carga resistiva ao colapso, por exemplo. No entanto, a análise a seguir, restrita

ao estudo do movimento, mostrará que o problema em questão guarda grande similaridade

com os problemas de corrente em movimento vertical.

Importante enfatizar que o equacionamento do movimento que modela o colapso da torre

do World Trade Center tem sido alvo de intensa discussão (ver, por exemplo, BAŽANT;

VERDURE, 2007 e SEFFEN, 2008). Como nos problemas anteriores, um dos principais

pontos levantados por esses autores refere-se à correta forma da equação de movimento e à

sua adequada interpretação, quando deduzida sob a ótica da mecânica de sistemas de massa

variável. Tal discussão reforça a atualidade e relevância do presente estudo.

O estudo a seguir refere-se à fase de movimento que antecede o empilhamento provocado

pelo acúmulo de material colapsado sobre o solo. Esta primeira fase é denominada pelos

autores Bažant e Verdure (2007) como ‘crush-down’. A segunda fase, i.e. a do empilhamento

de material colapsado, é denominada ‘crush-up’.

Considere então a seguinte idealização simplificada do problema do colapso de uma das

torres gêmeas do WTC. Os modelos em voga admitem que colapsos desta natureza ocorrem

devido à propagação de uma ‘frente de avalanche’ que se dá ao longo da torre e em direção à

sua base, a partir de um determinado pavimento, cuja resistência estrutural fora

suficientemente deteriorada. Em um instante de tempo arbitrário, a torre pode ser dividida em

duas regiões principais, i.e. a móvel e a em repouso (ver Fig. 4.18). A região móvel é aquela

que se localiza acima da frente de avalanche e a em repouso aquela que se encontra abaixo da

mesma. À medida que a frente de avalanche se propaga, massa da região em repouso é

transferida para a região móvel, com ela passando a se mover, compactada logo atrás da frente

de avalanche. A região móvel pode assim ser divida em duas regiões: a compactada, de

densidade

c

σ

(constante)

48

e volume variável, e a não compactada, de densidade

nc

σ

(também, por simplicidade, suposta constante) e de volume constante. Já a região em repouso,

não compactada, corresponde a uma região de densidade

nc

σ

(constante), mas de volume

variável. Pode-se visualizar o modelo como se a parte móvel ‘engolisse’ a parte em repouso,

através de uma superfície móvel: a frente da avalanche. Considere agora que o sistema de

interesse é a região móvel, e que, através da aplicação da equação de Lagrange, pretende-se

obter a equação que rege seu movimento.

______________

48

Não é parte do escopo do presente trabalho discutir com profundidade a validade dessa hipótese

simplificadora, a qual é adotada por Bažant e Verdure (2007), quanto por Seffen (2008).

121

A massa

mov

m

da região móvel pode ser convenientemente expressa por

)()(dd

ABcTAnc

y

c

y

ncmov

yyyyyym

B

A

T

−+−=+=

∫∫

−−

σσσσ

. (4.74)

Da Fig. 4.18, vê-se que, se

H

é a altura inicial da torre, então, a massa

rep

m da região em

repouso pode ser dada por

Figura 4.18 – Esquematização do movimento de colapso da torre do World Trade Center.

)(d

Bnc

H

y

ncrep

yHym

B

−==

∫

σσ

. (4.75)

Aplicando-se o princípio da conservação de massa na torre como um todo, tem-se, para

um instante de tempo arbitrário, a seguinte relação

)()(

ABcBTAncnc

yyyyHyH

−

+

−

+

=

σ

(4.76)

i.e.

H

y

A

y

B

y

T

h

j

g

REGIÃO MÓVEL

REGIÃO EM

REPOUSO

FRENTE DE

AVALANCHE

H

y

A

y

B

y

T

h

jj

gg

REGIÃO MÓVEL

REGIÃO EM

REPOUSO

FRENTE DE

AVALANCHE

122

0)()(

=

−

+

−

ABcBTAnc

yyyyy

σ

, (4.77)

onde

.consthyy

TA

=

−

é a altura da parte móvel não compactada.

Mas, como

c

σ

e

nc

σ

são supostamente constantes, então, tomando-se a derivada temporal

de ambos os lados da Eq. (4.77), obtém-se o vínculo cinemático

BA

yKy

&&

)1(

−

=

, (4.78)

onde

K

é o chamado ‘fator de compactação’ e é dado por

1/

<

=

cnc

K

σ

. Vale lembrar que,

para a obtenção da relação dada pela Eq. (4.78), foi admitido que

AT

yy

&&

=

. Essa consideração

decorre da hipótese de que a região não compactada apresenta volume constante, ou seja, que

a parcela móvel não-compactada desloca-se como um corpo rígido.

Durante o processo de transferência de massa da região em repouso para a região móvel,

as partículas da região em repouso, que apresentam velocidade absoluta nula, são capturadas

pela região compactada, quando então imediatamente adquirem velocidade

A

y

&

. Dessa forma,

como a região não compactada movimenta-se como um corpo rígido com velocidade

A

y

&

, a

energia cinética

mov

T da região móvel pode então ser expressa a partir da Eq. (4.74), i.e.

[

]

[ ]

2

1

2

1

2

1

2

1

)(

)()(

AAB

K

TAnc

AABcTAncAmovmov

yyyyy

yyyyyymT

&

&&

−+−=

=−+−==

σ

σσ

. (4.79)

Da Eq. (4.77) que expressa a conservação de massa do edifício como um todo, a Eq.

(4.79) pode ser escrita como

2

1

ABncmov

yyT

&

σ

= , (4.80)

que, a partir da Eq. (4.78), torna-se

123

2

1

)1(

BBncmov

yyKT

&

−=

σ

. (4.81)

A energia potencial gravitacional

mov

U é, por sua vez, dada por

[

]

))(1(

2

1

hyKHgU

Bncmov

−−+−=

σ

. (4.82)

Tome agora

B

y

como sendo a coordenada generalizada do problema. Como

mov

m depende

explicitamente de

B

y , a equação de Lagrange a ser adotada é a Eq. (3.22), na forma

w

t

m

y

m

y

U

y

T

y

T

t

F

mov

N

mov

B

mov

B

mov

B

mov

d

2

1

−

∂

+

∂

+

∂

−

∂

= v

&

. (4.83)

Em (4.83), 0

<

F , representa a força generalizada associada à resistência ao colapso

(49)

de

cada pavimento do edifício e que é aplicada à sua parte móvel, no sentido oposto à da

aceleração da gravidade.

Note que, no instante de tempo imediatamente anterior à captura de um elemento de

massa da região em repouso pela região móvel, a velocidade absoluta desse elemento é nula.

Logo,

0

=

w

. Por outro lado, a hipótese de descontinuidade de velocidade na fronteira

B

y

faz

com que

jv

A

y

&

=

.

Da Eq. (4.81), tem-se que

)(

d

)1(

d

)1(

22

BBnc

B

mov

BBnc

B

mov

yy

t

K

y

T

t

yyK

y

T

&

−=

∂

⇒−=

∂

σσ

. (4.84)

Por outro lado, da Eq. (4.79), mostra-se de imediato que

2

1

A

B

mov

B

mov

y

m

y

T

&

∂

=

∂

. (4.85)

______________

49

O modelo da força de resistência ao colapso foge ao escopo do presente texto (ver, por exemplo, BAŽANT;

VERDURE, 2007 e SEFFEN, 2008).

124

Da Eq. (4.82), chega-se a

Bnc

B

mov

yKg

y

U

)1( −−=

∂

σ

. (4.86)

Então, substituindo-se as Eqs. (4.84), (4.85), (4.86) em (4.83), chega-se a

FyKgyy

t

K

BncBBnc

+−=− )1()(

d

)1(

2

σσ

&

, (4.87)

que, se dividida por

Bnc

yK

2

)1( −

σ

, assume a seguinte forma

Bnc

B

yK

F

K

g

y

σ

2

)1(

1

−

+

−

+−=

&

&&

. (4.88)

Caso fosse aplicada a formulação usual da equação de Lagrange ao presente problema

(ver Eq. (3.1)), sem tomar em conta a variação de massa da parte móvel, que ocorre de forma

explícita com a posição, a equação de movimento obtida seria dada na errônea forma

Bnc

B

yK

F

K

g

y

σ

2

1

)1(

1

−

+

−

+−=

&

&&

. (4.89)

Vê-se que a Eq. (4.88) é similar à Eq. (4.7), que descreve o movimento da corrente em

queda sobre um plano horizontal (problema de Buquoy com a corrente em queda livre). A Eq.

(4.7) é prontamente recuperável da Eq. (4.88), bastando que se faça

0

=

F

e

0

=

K

e que

seja invertida a orientação da coordenada generalizada

B

y

, que no análogo problema de

Buquoy foi definida contrária à aceleração da gravidade.

As formas adimensionais das Eqs. (4.88) e (4.89) podem então ser escritas:

*2*

2

*

)1(1

1

yKKy

y

−

Φ

+

−

+−=

&

&&

, (4.88a)

125

e

*2*

2

*

2

1

*

)1(1

1

yKKy

y

−

Φ

+

−

+−=

&

&&

. (4.89a)

Nestas versões, o tempo adimensional é definido como

Hgtt =

*

e

0)(

<

=

Φ

PFgHF

nc

σ

é a correspondente forma adimensional da força resistiva ao

colapso, que segue naturalmente normalizada pelo peso do edifício,

gHP

nc

σ

=

.

Segundo Seffen (2008), o fator de compactação no caso do WTC tem magnitude próxima

de 20.0

≅

K . Tanto Bažant e Verdure (2007) quanto Seffen (2008) apresentam análises

paramétricas, variando a magnitude da força média resistiva de colapso, entre o valor nulo

(queda-livre) e aquele que impediria a propagação do colapso. Para os seguintes valores:

m407

=

H

,

t/m10770

3

×=

nc

σ

e

GN073,3

=

P

, o modelo de Bažant e Verdure (2007) indica

que o valor médio da força de resistência ao colapso variaria no intervalo

21,00

−

≥

Φ

>

.

Esses autores indicam ainda, como boa estimativa, o valor

044,0

−

≅

Φ

, correspondente a

cerca de 4,4% do peso total do edifício.

As figuras abaixo ilustram a variação do avanço da frente de colapso (‘crush-down’),

comparando as soluções das Eqs. (4.88a) e (4.89a). Ambas as torres tinham 110 andares. Por

referência, o avanço correspondente à ‘queda-livre’ (

0

≡

Φ

;

0

=

K

) é também apresentado. A

Figura 4.19 refere-se à torre 1 (denominação de SEFFEN, 2008), admitindo que o colapso

teria sido iniciado no 95

o

andar , i.e.

1364,0110/)15110()0(

*

=−=y

. Já, a Figura 4.20 refere-

se à torre 2, para a qual o colapso teria sido iniciado no 82

o

andar, i.e.

2545,0110/)28110()0(

*

=−=y

.

126

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

t*

y*

Eq. (4.88a)

Eq. (4.89a)

queda-livre

Figura 4.19 – Simulação do avanço da frente de colapso (avalanche) da torre 1 do World Trade Center. 2,0

=

K ,

044,0

−

=

Φ

;

1364,0)0(*

=

y

. Comparação entre soluções das Eqs. (4.88a) (correta) e (4.89a).

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

t*

y*

Eq. (4.88a)

Eq. (4.89a)

queda-livre

Figura 4.20 – Simulação do avanço da frente de colapso (avalanche) da torre 2 do World Trade Center.

2,0

=

K

,

044,0

−

=

Φ

;

2545,0)0(

*

=y

. Comparação entre soluções das Eqs. (4.88a) (correta) e (4.89a).

127

A frente de colapso atinge o solo quando

1

*

=y

. A Eq. (4.88a) prevê esta ocorrência em

72,1

*

≅t no caso da torre 1 e 44,1

*

≅t , no caso da torre 2; ou seja, respectivamente,

s1,11

≅

t

e

s3,9

≅

t

. Já, a Eq. (4.89a) prevê, correspondentemente,

s8,9

≅

t

e

s4,8

≅

t

. Uma

simples análise considerando os eventos como se fossem de ‘queda-livre’, avaliaria os tempos

de ‘crush-down’ como

s5,8

≅

t

e

s9,7

≅

t

, respectivamente, valores substancialmente menores

aos previstos pela Eq. (4.88a). Tanto Bažant e Verdure (2007) quanto Seffen (2008)

mencionam tempos de colapso da ordem de 11 segundos.

Como apontam esses autores, as incertezas de modelagem, que envolvem não apenas a

carga resistiva ao colapso, como o fator de compactação, permitem prever uma faixa de

variação para o tempo de colapso. O importante aqui é apontar as diferenças decorrentes da

adoção das duas distintas equações de movimento (4.88a) – correta e (4.89a) – errônea.

128

5 O PROBLEMA DE IMPACTO HIDRODINÂMICO

Nesse Capítulo será abordado aquele que é conhecido na literatura especializada como

‘problema de impacto hidrodinâmico’. Não se trata de um caso de sistema de massa variável

propriamente dito, i.e. sob os termos anteriormente apresentados, mas sim de ‘massa

adicional’ variável. Esse é um conceito que será propriamente discutido ao longo do Capítulo.

Mais do que isso, será mostrado que é justamente a interpretação adequada desse conceito de

massa adicional que permite que o problema seja tratado à luz da mecânica de sistemas de

massa variável. Vale lembrar agora que o problema de impacto hidrodinâmico, que

essencialmente trata do impacto de corpos contra a superfície livre da água, é um assunto

bastante complexo. E a pretensão desse Capítulo está longe de ser a de se tratar o problema

em sua completude. O objetivo aqui é discutir os pontos considerados fundamentais para que

o problema possa então ser abordado à luz da mecânica de sistemas de massa variável. A

motivação para essa investigação será apresentada ao longo do texto. Para tal, o Capítulo foi

estruturado da seguinte maneira: de início, apresenta-se o problema seguido de uma breve

revisão bibliográfica. É nessa parte que se pretende apenas elucidar algumas das dificuldades

envolvidas em seu tratamento. A partir daí, o problema será formulado na forma do chamado

‘problema de Wagner’. É dessa formulação que surge o conceito de massa adicional associada

ao corpo de impacto. Os resultados e interpretações originais iniciam-se a partir desse ponto.

O fenômeno do impacto de corpos contra a superfície livre da água é um problema

clássico dentro da hidrodinâmica. Seus primeiros estudos iniciaram-se com os pioneiros

trabalhos de Von Kármán (1929) e Wagner (1931), e foram estimulados pelo interesse no

‘pouso’ de hidroaviões que estavam sendo projetados pela primeira vez na década de 30. A

segunda guerra mundial também trouxe novos incentivos para pesquisas sobre o assunto, haja

vista o interesse pelos problemas de entrada e saída de projéteis da água. Nos dias de hoje, o

problema de impacto hidrodinâmico é parte fundamental do desenvolvimento de projetos de

navios, embarcações, plataformas de petróleo, etc., quando então recebe o nome mais geral de

problema de ‘slamming’ (ver, por exemplo, FALTINSEN; LANDRINI; GRECO, 2004).

Essencialmente, dentro da engenharia, o que motiva o estudo desse fenômeno é a avaliação

129

das cargas hidrodinâmicas que surgem durante a penetração dessas estruturas na superfície da

água, ou mesmo durante o choque de ondas contra as mesmas. A questão é que essas cargas

são bastante localizadas e de magnitude suficiente para provocar sérios danos estruturais.

O fenômeno de impacto hidrodinâmico está caracterizado por uma forte não

estacionariedade e por mudanças abruptas nas grandezas físicas envolvidas. Uma das

conseqüências visíveis desse seu aspecto é a emissão de um spray de líquido que ocorre nas

proximidades da região de contato sólido-líquido, durante o chamado estágio inicial de

penetração. Por essa razão, i.e. sua forte não-estacionariedade, experimentos sobre o

fenômeno são difíceis de serem conduzidos com boa acurácia (ver, por exemplo, DEAR;

FIELD, 1988; LIN; SHIEH, 1997; MAY, 1951 e MOGHISI; SQUIRE, 1981). No campo

teórico, a modelagem do problema também não é uma tarefa fácil. O estabelecimento preciso

do problema é muito complicado e pode incluir uma variedade de diferentes fenômenos

outros, como, por exemplo, a compressiblidade da água (ver, por exemplo, CAMPANA et al.,

1998 e KOROBKIN, 1992, 1994 e 1996), o chamado efeito ‘colchão-de-ar’ que ocorre

imediatamente antes do contato do corpo com a superfície líquida (ver, por exemplo,

KOEHLER; KETTLEBOROUGH, 1977 e VERHAGEN, 1967), as deformações mecânicas

do corpo (ver, por exemplo, HUA; WU; WANG, 2000; IAFRATI et al., 1998 e KIM et al.,

1996), e a entrada oblíqua do mesmo (ver, por exemplo, FRAENKEL; KEADY, 2004;

HOWISON; OCKENDON; OLIVER, 2004; JUDGE; TROESCH; PERLIN, 2004; MILOH,

1999 e TRILLING, 1950). Uma excelente e compreensiva revisão sobre o problema de um

modo geral pode ser encontrada em Korobkin e Pukhnachov (1988).

No entanto, a análise do problema pode ser bastante simplificada se as hipóteses de

líquido incompressível e invíscido, escoamento irrotacional e corpo rombudo, estritamente

convexo, rígido e que se move verticalmente forem adotadas. Além disso, quando se está

preocupado em se avaliar as cargas hidrodinâmicas máximas, pode-se ainda restringir a

análise do problema ao seu chamado ‘estágio inicial’, pois é durante esse estágio que elas

ocorrem. Ou seja, é nesse estágio que o corpo sofre uma grande desaceleração, podendo

inclusive os efeitos gravitacionais ser aí desprezados. O estágio inicial é aquele onde a

profundidade de penetração do corpo é bem menor que sua dimensão característica. Sob tais

hipóteses, o problema de impacto hidrodinâmico passa a receber o nome de problema de

Wagner não linear, e sua modelagem então conduz a um problema de contorno com

superfícies móveis, haja vista o movimento da superfície livre e o da superfície de contato

sólido-líquido.

130

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

),0,0( U

−

=

U

n

nn

corpo de impactocorpo de impacto

líquidolíquido

5.1 O problema de Wagner não-linear

Para a simplicidade da análise, considere que o líquido está inicialmente em repouso e

ocupa a metade inferior do plano

0

<

z

. No instante de tempo

0

=

t

inicial, o corpo toca a

superfície livre em um único ponto, que será tomado como a origem do sistema de

coordenadas (ver Fig. 5.1).

Figura 5.1 - O primeiro ponto de contato entre o corpo e o líquido, i.e. em

0

=

t

. Sistema de coordenadas

Oxyz .

A análise assintótica para pequenos valores do parâmentro adimensional 0

>

ε

(veja, por

exemplo, OLVER, 2003), que é dado pela razão entre a penetração

ζ

do corpo e seu

comprimento molhado característico

L

, i.e.

L

ζ

ε

= , (5.1)

mostra que o domínio líquido pode ser dividido em quatro regiões principais (ver Fig. 5.2).

São elas: a região externa de ordem )/1(

ε

, a região de ordem

1

, a raiz do jato de ordem )(

ε

e

a região do jato de ordem

)()/1(

ε

×

. A região do jato corresponde ao jato em si. A raiz do

jato é a área transversal através da qual o líquido é expelido da parte principal do domínio. A

região de ordem

1

é a pequena vizinhança da linha de contato onde a elevação da superfície

131

Jet root

Jet region

Outer region

)1(O

L

Penetration depth

região externaregião externa

região do jatoregião do jato

profundidade de

penetração

profundidade de

penetração

raiz do

jato

raiz do

jato

região de

ordem 1

região de

ordem 1

x

y

z

0

x

y

z

0

),,( tyxz

η

=

V

B

S

F

S

b

V

b

V

livre não é desprezível, pelo menos não no chamado problema de primeira ordem. E a região

externa está relacionada com o comprimento molhado característico do corpo.

Figura 5.2 - Regiões características do escoamento para pequenos valores de

ε

.

No problema de primeira ordem, os jatos são ‘cortados’ do domínio líquido, e somente o

chamado ‘seio do líquido’, i.e.

b

V , que é dado pelo domínio líquido como um todo a menos

dos jatos, é considerado. Além disso, assume-se que a fronteira da superfície

B

S de contato

sólido-líquido ocorre precisamente na superfície do corpo (ver Fig. 5.3), o que permite a

descrição da elevação da superfície livre

F

S

por uma função do tipo

),,( tyxz

η

=

.

Figura 5.3 - O seio do líquido e a descrição da elevação da superfície livre pela função

η

.

132

A formulação do problema de primeira ordem decorre da aplicação da condição da

irrotacionalidade do escoamento, i) incompressibilidade do líquido, ii) impermeabilidade do

corpo, iii) condição cinemática iv) e condição dinâmica da superfície livre, v) evanescência

tanto para o potencial de velocidade como para a elevação da superfície livre, juntamente com

as condições iniciais. São as equações que se seguem

0∆

=

φ

em

b

V (5.2)

0)(

=

⋅

−

∇

nU

φ

em

B

S

(5.3)

0=

∂

−

∂

+

∂

+

∂

zyyxxt

φ

η

φ

η

φ

η

em

F

S

(5.4)

0

2

1

=∇⋅∇+

∂

φφ

φ

t

em

F

S

(5.5)

,

φ

0

→

η

quando ∞→+

22

yx (5.6)

0)0,,(

=

tyx

φ

,

0)0,,(

=

tyx

η

. (5.7)

A força hidrodinâmica de impacto pode ser calculada integrando-se o campo de pressão

sob

B

S , i.e.

∫∫

∂













∇⋅∇+

∂

−=∂=

BB

S

b

S

b

V

t

Vp dd

2

1

nnF

φφ

φ

ρ

. (5.8)

Esse é o problema de Wagner não-linear, i.e. aquele dado pelas Eqs. (5.2) – (5.8).

133

5.2 O problema de Wagner linear

Entretanto, mesmo sob essas hipóteses simplificadoras, o problema de Wagner não-linear

ainda é bastante complexo para análises téoricas. Uma abordagem possível para essa

problemática é empregar o conceito de ‘impulso de pressão’ (ver, por exemplo, COOKER;

PEREGRINE, 1995 e PENG; PEREGRINE, 2000), onde a escala de tempo é considerada

suficientemente pequena para que tanto a superfície livre como a porção molhada do corpo

sejam interpretadas como colapsadas no plano horizontal (ver Fig. 5.4). Dessa forma, o

problema sofre uma grande simplificação, haja vista também que os termos convectivos

podem ser desprezados na equação de Bernoulli (ver OLIVER, 2003 e PESCE, 2006). Sendo

assim, tem-se

0∆

=

φ

em

0

b

V (5.9)

U

z

−=

∂

φ

em

0

B

S

(5.10)

z

t

∂

=

∂

φ

η

em

0

F

S

(5.11)

0==

∂

φ

t

em

0

F

S

(5.12)

,

φ

0

→

η

quando

∞→+

22

yx

(5.13)

0)0,,(

=

tyx

φ

, 0)0,,(

=

tyx

η

. (5.14)

134

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

x

y

z

0

F

S

0

F

S

B

S

0

B

S

V

0

V

b

V

b

V

0

b

V

0

b

V

Figura 5.4 - Mapeamento do domínio líquido

b

V

do problema de Wagner não-linear no domínio líquido

0

b

V do problema de Wagner linear. Note que

0

F

S

não inclui os jatos e que a área do disco

0

B

S

rapidamente

se expande.

Mas ainda que o problema tenha se tornado linear em suas condições de contorno, é

importante mencionar que a condição de contorno na região de contato sólido-líquido muda

da condição de Dirichlet

)0(

=

φ

para a condição de Neumann

)/( Uz

−

=

∂

φ

, o que

implica, tanto para o campo de pressão como para o de velocidade, uma singularidade

localizada no ponto de contato sólido-líquido. Essas singularidades são integráveis, o que

permite que a elevação da superfície livre seja então calculada a partir da Eq. (5.11), e a força

hidrodinâmica de impacto através da expressão

∫

∂

−=

0

00

d

B

S

b

V

t

F

φ

ρ

. (5.15)

135

No entanto, mesmo sob essas novas considerações, soluções analíticas para o problema de

Wagner linear, que agora é dado pelas Eqs. (5.9) – (5.15), são ainda restritas a geometrias

bastante específicas. Entre elas, por exemplo, estão as soluções de Bisplinghoff e Doherty

(1952) (cunha), Chuang (1969) (cone), Cointe e Armand (1987) (cilindro), Faltinsen e Zhao

(1997) (cone e esfera) e Miloh (1991) (esfera); Scolan e Korobkin (2000), Scolan e Korobkin

(2001) e Korobkin e Scolan (2002), sendo essas três últimas para o caso de linhas de contato

elípticas.

Um procedimento que é usual

50

, e de certa forma também intuitivo, é o de se expressar a

força hidrodinâmica de impacto através da massa adicional

b

M associada ao movimento

impulsivo do disco

0

B

S

, quando então a Eq. (5.15) passa a ser escrita corretamente como

t

UM

F

b

d

)d(

=

. (5.16)

Mas haja vista a semelhança dessa equação com aquelas que ocorrem dentro da dinâmica

de partículas de massa variável, é natural que se faça a seguinte pergunta: uma vez dispondo-

se da massa adicional, que no caso do problema de impacto hidrodinâmico é variável devido à

expansão do disco durante a penetração do corpo, qual é a correta aplicação da equação de

Lagrange ao problema?

5.3 A aplicação da equação de Lagrange

Um dos primeiros trabalhos sobre a aplicação da equação de Lagrange a problemas de

hidrodinâmica é aquele devido a Lamb (1932, art. 136 ). Nele, o autor demonstra que, uma

vez dispondo-se da energia cinética

T

do líquido, é possível calcular as forças que agem no

______________

50

Embora usual e também correto, esse é um procedimento que é comumente adotado sem maiores justificativas

(ver, por exemplo, FALTINSEN, 1990, p. 286).

136

corpo em contato com o mesmo através da seguinte expressão:

ζζ

∂

−

∂

=

TT

t

F

&

d

, (5.17)

sendo

ζ

a coordenada generalizada do corpo.

No problema de Wagner, a energia cinética do sub-sistema em questão é aquela do seio

líquido e é dada, portanto, por

2

1

UMT

bb

= . Logo, da aplicação da Eq. (5.17), chega-se a

U

t

M

t

UM

F

bb

d

)d(

2

1

−= . (5.18)

A questão é que essa não é a expressão esperada para a força de impacto (ver Eq. (5.16)),

sendo curioso também notar que esse mesmo resultado, i.e. Eq. (5.18), também pode ser

obtido quando a taxa de variação da energia cinética do seio do líquido é assumida como

sendo igual à potência transmitida pelo corpo de impacto tão somente ao seio do líquido, i.e.

tTFU

b

d/d

=

. Isso mostra que, durante a penetração do corpo, haja vista as hipóteses de

incompressibilidade do líquido e rigidez do corpo, energia cinética é, de alguma forma,

drenada para fora do seio do líquido (ver, por exemplo, KOROBKIN; PEREGRINE, 2000).

De fato, a análise assintótica do escoamento (ver, por exemplo, OLIVER, 2003) na vizinhança

da linha de contato sólido-líquido mostra que finas camadas de líquido são expelidas a partir

de seu seio, através da raiz do jato e em alta velocidade. E são esses jatos que, embora possam

ser desprezados na integração do campo de pressão sob a superfície de contato, como assim

feito na Seção 5.1 e 5.2, transportam para fora do seio do líquido uma quantidade significativa

de energia cinética. Mais do que isso, uma vez que a escala de tempo do problema é muito

pequena, o que impede a radiação de ondas a partir do corpo como forma de dissipação de

energia, que é o que ocorre em problemas de oscilação de corpos flutuantes em superfície

livre, os jatos são uma maneira de se aliviar o campo impulsivo de pressão causado pelo corpo

(ver PESCE, 2006)

De fato, como será mostrado na Seção seguinte, são as considerações adequadas sobre a

dissipação de energia através dos jatos que permitem a aplicação correta da equação de

Lagrange ao problema.

137

5.3.1 O balanço de energia

Considere que o seio do líquido é um volume de controle, cuja superfície permite o fluxo

de líquido apenas através da raiz do jato. Sendo assim, se

j

v

é a velocidade do jato, e

root

v

a

velocidade da raiz do jato (ver Fig. 5.5), então, do teorema do transporte de Reynolds, chega-

se a

b

S

rootjj

bw

V

t

T

t

T

root

∂⋅−+=

∫

d)(

d

2

1

nvvv

ρ

, (5.19)

onde

w

T

representa a energia cinética do domínio líquido como um todo, e

root

S

a superfície

transversal da raiz do jato.

Certamente, todo o trabalho realizado sobre o domínio líquido como um todo tem que ser a

ele convertido em energia cinética. Dessa forma, tem-se que

t

T

FU

w

d

=

. (5.20)

Então, da Eqs. (5.20) e (5.16) em (5.19), chega-se a

b

S

rootjj

b

VU

t

M

root

∂⋅−=

∫

d)(

d

2

1

2

1

nvvv

ρ

, (5.21)

que é uma expressão para o fluxo de energia através da raiz do jato em termos da variação da

massa adicional associada ao seio do líquido.

Esse é um resultado que já havia sido demonstrado para casos particulares por Molin,

Cointe e Fontaine (1996) (bidimensional), Scolan e Korobkin (2003) (tridimensional com

linha de contato elíptica) e Cointe et al. (2004) (tridimensional com corpo assimétrico). Aqui,

no entanto, nenhuma restrição foi feita, e, portanto, a expressão dada pela Eq. (5.21) pode ser

considerada de caráter geral. Além disso, a mesma confirma a previsão de Scolan e Korobkin

138

(Control surface defining

the bulk of the liquid)

(Liquid particle

leaving the bulk

of the liquid)

F

S

F

S

jatojato

corpocorpo

raiz do jato,

)(

root

S

raiz do jato,

)(

root

S

raiz do jato,

)(

root

S

‘zoom’‘zoom’

partícula

cruzando

root

S

partícula

cruzando

root

S

(2001) de que, no caso tridimensional geral, se a velocidade de penetração do corpo for

forçada a ser constante, i.e. .

0

constU ==

ζ

&

, sua energia passa a ser igualmente distribuída

entre o seio do líquido e os jatos. Para verificar, basta tomar

2

1

UMT

bb

= e novamente as

Eq. (5.20) e (5.21) na Eq. (5.19), ou seja

2

0

2

1

2

0

2

1

d

U

t

M

U

t

M

FU

bb

+=

. (5.22)

Figura 5.5 - Fluxo de líquido através da região da raiz do jato.

Essa demonstração e discussão da generalidade da Eq. (5.21) é um resultado original

dessa tese que já se encontra publicado em Casetta e Pesce (2005).

Mas a consideração de que existe um fluxo de energia a partir do seio do líquido fornece

139

um elemento crucial para a aplicação adequada da equação de Lagrange ao problema de

impacto hidrodinâmico. Como mostrado no Capítulo 3, a função de Rayleigh para um sistema

de massa variável pode ser dada pela soma entre o fluxo de energia cinética a partir do

sistema considerado e a taxa de variação de sua energia interna. No caso, como o líquido é

supostamente ideal, a função de Rayleigh torna-se precisamente o fluxo de energia cinética a

partir do seio do líquido, i.e. (ver Eq. (5.21))

2

1

2

1

*

d

ζ

&

t

M

U

t

M

bb

≡=ℜ . (5.23)

A aplicação da equação de Lagrage então decorre da consideração da Eq. (4.45), i.e.

ζζζ

&&

∂

∂ℜ

+

∂

−

∂

=

bb

TT

t

F

D

, (5.24)

de onde se obtém a Eq. (5.16)

Assim, tem-se que, quando apenas o seio do líquido é considerado, existe uma perda de

energia cinética através dos jatos que tem que ser levada em conta quando se pretende abordar

coerentemente o problema através da mecânica analítica de sistemas de massa variável.

Mas ainda existe uma pergunta a ser respondida. Por que a equação demonstrada por

Lamb (1932) não é válida para o caso? Inicialmente, deve-se lembrar que considerar apenas o

seio do líquido fere uma das hipóteses adotada por Lamb (1932), i.e. a de que todo o domínio

líquido deve ser levado em conta. Existe então uma maneira conveniente de se abordar o

problema de impacto hidrodinâmico através da Eq. (5.17). Convenientemente, pode-se então

definir a massa adicional como aquela associada ao domínio líquido como um todo, onde.

2

1

UMT

ww

= . Vale lembrar que a massa adicional, assim definida, dá a medida de energia

cinética do líquido como um todo, i.e. seio mais jatos. Nesse caso,

w

M também varia com a

profundidade de penetração do corpo. Entretanto, o jato é agora parte integrante do domínio

líquido, e, portanto, a função de Rayleigh para esse caso é nula. Logo, a Eq. (5.17) pode ser

empregada com

2

1

UMT

ww

= , i.e.

140

U

t

M

t

UM

F

ww

d

)d(

2

1

−= . (5.25)

Essa discussão sobre a aplicação da equação de Lagrange conforme a definição da massa

adicional também é um resultado original dessa tese que já se encontra publicado em Casetta

e Pesce (2006).

No entanto, desconhecedor dessas sutilezas, Wu (1998) considera que as Eqs. (5.25) e

(5.18) são equivalentes. Para justificar a Eq. (5.18), Wu (1998) assume que

0/

=

∂

t

φ

é

válida ao longo de toda a superfície livre, inclusive na raiz do jato. A questão é que, em uma

abordagem que se vale de argumentos de energia, isso não pode ser assumido como verdade,

pois, retornando-se à Eq. (5.5), isso implicaria 0

2

1

=

∇

⋅

∇

φ

em toda a superfície livre,

inclusive na raiz do jato. E de fato, sabe-se, da discussão anterior, que, na raiz do jato, o

líquido apresenta grande velocidade, e, portanto, 0

2

1

≠

∇

⋅

∇

φ

em

root

S .

Note que se tomado

0

2

1

=

∇

⋅

∇

φ

na raiz do jato, a Eq. (5.19) fica

t

T

t

T

bw

d

=

, (5.26)

o que equivale à desprezar a energia cinética transferida aos jatos

51

.

Logo, da Eq. (5.26) em. (5.20) chega-se à Eq. (5.18).

Para ilustrar, em termos práticos, a real diferença entre as Eqs. (5.18) e (5.16), considere o

caso do impacto hidrodinâmico de uma esfera em queda livre. Pode-se mostrar que, no

problema de Wagner, a massa adicional associada ao impacto de uma esfera contra a

superfície livre é determinada por

3

4

aM

b

ρ

= , sendo

ζ

Ra

2

3

= o raio do disco

0

B

S

,

ρ

a

densidade do líquido e

R

o raio da esfera (ver, por exemplo, CASETTA, 2004).

______________

51

Este ponto encontra-se discutido em detalhes em Pesce (2006).

141

Haja vista que

F

é a força que atua no sistema líquido, tem-se, pelo princípio da ação e

reação, que a força atuante na esfera deve ser dada por (

F

−

). Logo, se

m

é a massa da

esfera, então

F

t

U

m −=

d

. (5.27)

Assim, da Eq. (5.16) em (5.27), mostra-se que

t

UM

t

U

m

b

d

)d(

d

−=

. (5.28)

Do mesmo modo, da Eq. (5.18) em (5.27), chega-se a

U

t

M

t

UM

t

U

m

bb

d

)d(

d

2

1

+−= . (5.29)

As Eqs. (5.28) e (5.29) podem ser adimensionalizadas considerando-se

g

U

g

&

&&

==

ζ

*

(5.30)

0

*

U

t

==

=

ζ

&

, (5.31)

sendo RtUt /

0

*

= , e

R

ζ

=

*

, (5.32)

quando então respectivamente tornam-se

142

( )

2/3

*

3

1

*

2

*2

*

ζσ

ζζ

ζ

+

−=

&

&&

R

F

(5.33)

( )

2/3

*

3

1

*

2

*2

2

1

*

ζσ

ζζ

ζ

+

−=

&

&&

R

F

, (5.34)

sendo RgUF

R

2/

2

0

2

= e )/(57,0)/(

27

62

ρρρρσ

π

eses

≅= , onde

es

ρ

é a densidade [kg/m

3

] da

esfera.

Como claramente revelam as Fig. 5.6 e 5.7, considerar a equação incorreta (Eq. (5.34))

implica subestimar a desaceleração máxima a que a esfera fica submetida durante seu estágio

inicial de penetração na água. Do ponto de vista de projeto, isso significa subestimar as cargas

hidrodinâmicas máximas a que uma estrutura fica sujeita, o que pode ser extremamente

perigoso para sua segurança.

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

t*

d

2

ζ

*/dt*

2

Eq. (5.33)

Eq. (5.34)

Figura 5.6 – Desaceleração no impacto de uma esfera, segundo Eq. (5.33) (correta) e (5.34) (incorreta) para

o caso 15

2

=

R

F e σ = 0,2 ( 35,0)/(

≅

ρ

es

).

143

-2

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

t*

d

2

ζ

*/dt*

2

Eq. (5.33)

Eq. (5.34)

Figura 5.7 - Desaceleração no impacto de uma esfera, segundo Eq. (5.33) (correta) e (5.34) (incorreta) para

o caso 15

2

=

R

F e σ = 4,5 ( 89,7)/(

≅

ρ

es

).

144

5.4 Discussão

Existe uma questão bastante curiosa acerca do problema de Wagner: sua analogia com o

problema de Cayley (ver Capítulo 4). Embora o primeiro seja um problema de hidrodinâmica,

e o segundo um de mecânica propriamente dita, ambos são modelados a partir da

consideração de um sistema dissipativo de massa (massa adicional no primeiro caso) variável

com a posição. Além disso, a função de Rayleigh para ambos assume a mesma forma (ver

Eqs. (4.44) e (5.23)). Mas o curioso mesmo de ser notado é o fato de que, para ambos os

casos, foi encontrado na literatura o mesmo tipo de interpretação errônea no que se diz

respeito à aplicação da equação de Lagrange. Ou seja, em ambos os casos, a dissipação de

energia do sistema de interesse foi mal interpretada e a equação de Lagrange clásssica então

empregada de modo impróprio por Wu (1998), no caso do problema de Wagner, e por Wong

e Yasui (2006), no caso do problema de Cayley.

145

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Uma primeira e importante conclusão que pode ser extraída dessa tese é a de que a

mecânica de sistemas de massa variável depende fortemente da interpretação e resposta de

três perguntas: i) qual é o sistema de massa variável de interesse? ii) como se dá o processo de

agregação-ejeção de massa desse sistema de interesse? iii) qual o significado físico dos

termos envolvidos nas equações de movimento de um sistema de massa variável, equação

geral de balanço, teorema do transporte, etc.?

No Capítulo 2, foi apresentada uma análise de pontos relevantes dos primeiros trabalhos

que fundamentaram a dinâmica de sistemas de massa variável. Isso incluiu desde o trabalho

de Buquoy, de 1814, até o de Reynolds (1903) e Truesdell e Toupin (1960). Mas a principal

conclusão desse Capítulo é o fato de que, dependendo da maneira com que o processo de

agregação-ejeção de massa é interpretado, o sistema pode ser considerado como dissipativo

ou não; como um volume material com fontes de massa, ou um volume de controle, ou

sistema de massa instantaneamente constante. A análise apresentada nesse Capítulo foi feita a

partir do trabalho de Mikhailov (1975), deixando-se então como sugestão a leitura dos

trabalhos originais de Buquoy, Poisson, Tait e Steele, e Mechtcherskii, assim como também o

levantamento de novas referências sobre a história da mecânica de sistemas de massa

variável. Sem dúvida, isso pode vir a contribuir ainda mais para o entendimento dos

fundamentos desse ramo da mecânica.

No Capítulo 3, discutiu-se a concepção e aplicação da equação de Lagrange a sistemas de

massa variável. O trabalho de Cayley, um dos primeiros sobre o tópico, foi reinterpretado, e

uma interpretação física coerente para a chamada função dissipação de Rayleigh para sistemas

de massa variável foi apresentada. Nesse Capítulo, aparece claramente a questão da

interpretação física dos termos envolvidos nas diferentes formas da equação de Lagrange. É

então a principal conclusão desse Capítulo a de que, a partir da interpretação do trabalho de

Irschik e Holl (2002) como sendo a equação de Lagrange para um volume de controle cuja

146

massa varia com o tempo, pode-se demonstrar a equação de Lagrange para um volume de

controle cuja massa varia com as coordenadas e velocidades generalizadas. Sob esse aspecto,

uma sugestão para trabalho futuro, ao menos para fins didáticos, é a busca de exemplos

envolvendo sistemas cuja massa varia com a velocidade, que são bastante difíceis de ser

encontrados, e a de exemplos envolvendo sistemas cuja massa varia do modo mais geral, i.e.

com a posição e com a velocidade. Vale ressaltar que, segundo o melhor conhecimento do

autor dessa tese, acerca desse segundo caso, nenhum exemplo foi ainda encontrado.

Por fim, a parte teórica desta tese encerrou-se com a apresentação da extensão do

princípio variacional de Seliger e Whitham (1968), originalmente formulado para um volume

fechado, para um volume de controle, mas restrito a problemas potenciais. Esse resultado foi

obtido através do conceito de partículas fictícias de Truesdell e Toupin (1960), mas que,

essencialmente, baseia-se na técnica de McIver (1973) para a obtenção do princípio de

Hamilton para sistemas mecânicos de massa variável. Seliger e Whitham (1968),

implicitamente, adotam a hipótese de processo adiabático e reversível. Sendo assim, sugere-se

então a busca de princípios variacionais para volumes de controle cujos processos envolvidos

não sejam adiabáticos.

Na segunda parte dessa tese, buscou-se apresentar casos de aplicação para aquilo que foi

discutido nos Capítulos anteriores. E nesse sentido não podia haver exemplos melhores do

que o chamado ‘problema da corrente em queda’ e o ‘problema de Wagner’, problemas esses,

inclusive, de grande relevância prática. Enquanto o primeiro pode ser considerado como uma

importante peça no entendimento da dinâmica de correntes e cabos, o segundo está envolvido

no processo de avaliação da segurança de estruturas que se chocam com a superfície livre da

água. Mas o quê coloca esses problemas na posição de exemplo didático é o fato de que

ambos exigem um cuidado ‘especial’ no que diz respeito à interpretação do processo de

agregação-ejeção de massa, dissipação de energia, e aplicação da equação de Lagrange para

recuperação da equação de movimento associada. O quê bem pode ilustrar toda a dificuldade

em se interpretar consistentemente tais problemas é o que foi discutido nos Capítulos 4 e 5

sobre a aplicação da equação de Lagrange. Ou seja, se o sistema de massa variável de

interesse não for adequadamente considerado, a aplicação da equação de Lagrange conduz a

resultados significativamente incorretos, como assim foi mostrado para o problema de Cayley

e o de Wagner. Cumpre ressaltar que a tese permitiu resgatar a validade da análise de Cayley

147

(1857) para o problema que leva seu nome. Um outro interessantíssimo aspecto a ser notado é

o resultado ‘falso-positvo’ obtido por Wong e Yasui (2006), ao empregar a equação de

Lagrange clássica no problema da corrente em U. Na verdade, Wong e Yasui (2006) e Wu

(1998) cometem tautologias.

Ambos os problemas foram abordados a partir de uma série de hipóteses de idealização.

Sendo assim, sugere-se, por exemplo, abordar o problema da corrente em queda levando em

conta a dimensão de seus elos, suas possíveis formas, e as propriedades mecânicas dos

mesmos. Com relação ao problema de Wagner, questões acerca da compressibilidade do

líquido e da elasticidade do corpo de impacto também são sugeridas para ser incluídas em

trabalhos futuros.

A conclusão final dessa tese é a de que a mecânica de sistemas de massa variável como

aqui apresentada é, em sua essência, um ramo da mecânica que depende fortemente das

respostas às três perguntas mencionadas no início desse Capítulo. Exemplos didáticos e

práticos onde um sistema de massa variável possa ser identificado serão sempre concebíveis.

Veja, por exemplo, o problema do carretel, o da corrente em queda, o da bola de neve, etc.

Mas é também possível reconhecer um sistema de massa variável em problemas que

envolvem situações de risco. Um exemplo é o problema de Wagner, onde se está preocupado

com a avaliação da segurança de estruturas marítimas que se chocam contra a superfície da

água do mar. Outro que indubitavelmente é um notável exemplo de tais situações é o

problema do colapso vertical de edifícios, em particular o caso das torres gêmeas do World

Trade Center.

148

REFERÊNCIAS

AMBROSI, D.; MOLLICA, F. On the mechanics of a growing tumor. International Journal

of Engineering Science, v. 40, p. 1297-316, 2002.

ARMSTRONG, H. L. Rotation and angular acceleration. American Journal of Physics, v.

33, n. 6, p. 507, 1965.

______. On the form in which Newton’s law is expressed. American Journal of Physics, v.

34, n. 10, p. 982, 1966.

ARONS, A. B.; BORK, A. M. Newton’s law of motion and the 17

th

century laws of impact.

American Journal of Physics, v. 32, n. 4, p. 313-7, 1964.

ATKINS, P. W. Physical chemistry. Oxford, Oxford University Press, 1994.

BATCHELOR, G. K. An introduction to fluid dynamics. Cambridge, Cambridge

University Press, 1967.

BAŽANT, Z. P.; VERDURE, M. Mechanics of progressive collapse: learning from world

trade center and building demolitions. Journal of Engineering Mechanics, v. 133, n. 3, p.

308-19, 2007.

BISPLINGHOFF, R. L.; DOHERTY, C. S. Some studies of the impact of vee wedges on a

water surface. Journal of the Franklin Institute, v. 253, p. 547-61, 1952.

BORK, A. M.; ARONS, A. B. Newton’s law and variable mass. American Journal of

Physics, v. 32, n. 8, p. 646, 1964.

CALKIN, M. G.; MARCH, R. H. The dynamics of a falling chain: I. American Journal of

Physics, v. 57, n. 2, p. 154-7, 1989.

______. The dynamics of a falling chain: II. American Journal of Physics, v. 57, n. 2, p.

157-9, 1989.

149

CAMPANA, E. F. et al. Parametric analysis of slamming forces: compressible and

incompressible phases. In: 3

rd

INTERNATIONAL CONFERENCE ON

HYDRODYNAMICS, 1998, Seoul, South Korea.

CASETTA, L.; PESCE, C. P. The hydrodynamic impact problem: a variable mass systems

mechanics approach. (in review process) Journal of Engineering Mathematics, 2008.

______.; ______. The proper definition of the added mass for the water entry problem.

In: 21

st

INTERNATIONAL WORKSHOP ON WATER WAVES AND FLOATING

BODIES, 2006, Loughborough, United Kingdom.

______.; ______. A noticeable question of the water entry problem: the split of kinetic

energy during the initial stage. In: 18

th

INTERNATIONAL CONGRESS OF

MECHANICAL ENGINEERING, 2005, Ouro Preto, Brazil.

______. Investigações teóricas sobre o problema de impacto hidrodinâmico. 2004.

Dissertação (Mestrado) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, 2004.

CAYLEY, A. On a class of dynamical problems. Proceedings of the Royal Society of

London, v. 8, p. 506-11, 1857.

CHICÓN, R. Comment on “The falling chain and energy loss”, by David Keiffer. American

Journal of Physics, v. 71, n. 9, p. 951, 2003.

CHUANG, S. L. Theoretical investigations on slamming of cone-shaped bodies. Journal of

Ship Research, v. 13, n. 4, p. 276-83, 1969.

COINTE, R. et al. On energy arguments applied to the hydrodynamic impact force. Journal

of Engineering Mathematics, v. 48, p. 305-319, 2004.

______.; ARMAND, J. -L. Hydrodynamic impact analysis of a cylinder. Journal of Offshore

Mechanics and Arctic Engineering, v. 109, p. 237-43, 1987.

______.; PEREGRINE, D. H. Pressure-impulse theory for liquid impact problems. Journal of

Fluid Mechanics, v. 297, p. 193-214, 1995.

COPELAND, J. Work-energy theorem for variable mass systems. American Journal of

Physics, v. 50, n. 7, p. 599-601, 1982.

150

CVETIĆANIN, L. Conservation laws in systems with variable mass. Journal of AppLied

Mechanics, v. 60, p. 954-8, 1993.

DEAR, J. P., FIELD, J. E. High speed photography of surface geometry effects in liquid/solid

impact. Journal of Applied Physics, v. 63, n. 4, p. 1015-21, 1988.

DUGAS, R. A history of mechanics. New York, Dover Publications, 1988.

EKE, F. O.; MAO, T. C. On the dynamics of variable mass systems. International Journal

of Mechanical Engineering Education, v. 30, n. 2, p. 123-37, 2002.

FALTINSEN, O.; LANDRINI, M.; GRECO, M. Slamming in marine applications. Journal

of Engineering Mathematics, v. 48, n. 3, p. 187-217, 2004.

______.; ZHAO, R. Water entry of ship sections and axisymmetric bodies. In:

WORKSHOP ON HIGH SPEED BODY MOTION IN WATER, 1997, AGARD FDP and

Ukraine Institute of Hydromechanics, Kiev, Ukraine.

______. M. Sea loads on ships and offshore structures. Cambridge, Cambridge University

Press, 1990.

FILHO, J. B. B. Cartesian and Newtonian concept of mass. American Journal of Physics, v.

54, n. 3, p. 201-2, 1986.

FRAENKEL, L. E.; KEADY, G. On the entry of a wedge into water: the thin wedge and all-

purpose boundary-layer equation. Journal of Engineering Mathematics, v. 48, p. 219-52,

2004.

FROLOV, A. Kozyrev on possibility of decrease of mass and weight of the body under the

action of time active properties. New Energy Technologies, p. 62-4, 1984.

GABBAI, R. D.; BENAROYA, H. Hamilton’s principle for fluid structure interaction

and applications to reduced-order modeling. In: INTERNATIONAL DESIGN

ENGINEERING TECHNICAL CONFERENCES AND COMPUTERS AND

INFORMATION IN ENGINEERING CONFERENCES, 2005, California, United States..

GADSDEN, C. P. Laws of motion for variable mass systems. American Journal of Physics,

v. 34, n. 10, p. 987-8, 1966.

151

______. Newton’s law with variable mass. American Journal of Physics, v. 32, n. 1, p. 61,

1964.

GOWDY, R. H. The physics of perfect rockets. American Journal of Physics, v. 63, n. 3, p.

229-232, 1995.

GRUBIN, C. Mechanics of variable mass systems. Journal of the Franklin Institute, v. 276,

p. 305-12, 1963.

HOWISON, S. D.; OCKENDON; J. R.; OLIVER, J. M. Oblique slamming, planning and

skimming. Journal of Engineering Mathematics, v. 48, n. 3-4, p. 321-37, 2004.

HUA, J.; WU, J.; WANG, W. Effect of asymmetric hydrodynamic impact in the dynamic

response of a plate structure. Journal of Marine Science and Technology, vol. 8, n. 2, p. 71-

7, 2000.

IAFRATI, A. et al. Impact of rigid and elastic systems over the water surface. In: 2

nd

INTERNATIONAL CONFERENCE ON HYDROELASTICITY, 1998, Fukuoka, Japão.

IRSCHIK, H.; HOLL, H. J. Mechanics of variable-mass systems – part 1: balance of mass

and linear momentum. Applied Mechanics Review, v. 57, n. 2, p. 145-60, 2004.

______.; SCHLACHER, K. Advanced dynamics and control of structures and machines -

Courses and Lectures n. 444. Italy, Springer-Verlag, 2004.

______.; HOLL, H. J. The equations of Lagrange written for a non-material volume. Acta

Mechanica, v. 153, p. 231-48, 2002.

JIMÉNEZ, J. L. et al. Newtonian and canonical analysis of the motion of a rope falling from a

table. European Journal of Physics, v. 26, p. 1127-37, 2005.

JUDGE, C.; TROESCH, A.; PERLIN, M. Initial water impact of a wedge at vertical and

oblique angles. Journal of Engineering Mathematics, v. 48, n. 3-4, p. 279-303, 2004.

KEIFER, D. The falling chain and the energy loss. American Journal of Physics, v. 68, n. 3,

p. 385-6, 2001.

152

KIM, J. M. et al.. Coupled hydrodynamic impact and elastic response. In: 21

st

NAVAL

HYDRODYNAMICS SYMPOSIUM, 1996, Trondheim, Norway.

KNUDSEN, J. M; HJORTH, P. G. Elements of Newtonian mechanics. Germany, Springer-

Verlag, 2000. (Advanced Texts in Physics)

KOEHLER, B. R., KETTLEBOROUGH, C. F. Hydrodynamic impact of a falling body upon

a viscous incompressible fluid. Journal of Ship Research, vol. 21, n. 3, p. 165-81, 1977.

KOROBKIN, A. A.; SCOLAN, Y. -M. Asymptotic analysis of three-dimensional water

impact. In: 17

th

INTERNATIONAL WORKSHOP ON WATER WAVES AND FLOATING

BODIES, 2002, Cambridge, United Kingdom.

______.; PEREGRINE, D. H. The energy distribution resulting from an impact on a floating

body. Journal of Fluid Mechanics, v. 417, p. 157-81, 2000.

______. Acoustic approximation in the slamming problem. Journal of Fluid Mechanics, v.

318, p. 165-88, 1996.

______. Blunt-body impact on the free-surface of a compressible liquid. Journal of Fluid

Mechanics, v. 263, p. 319-42, 1994

______. Blunt-body impact on a compressible liquid surface. Journal of Fluid Mechanics, v.

244, p. 437-53, 1992.

______.; PUKHNACHOV, V. V. Initial stage of water impact. Annual Review of Fluid

Mechanics, v. 20, p. 159-85, 1988.

LAMB, H. Hydrodynamics. New York, Dover Publications, 1932.

LANCZOS, C. The variational principles of mechanics. New York, Dover Publications,

1970.

LEFF, H. S.; MALLINCKRODT, A. J. Stopping objects with zero external work: Mechanics

meets thermodynamics. American Journal of Physics, v. 61, n. 2, p. 121-127, 1993.

LEITMANN, G. On the equation of rocket motion. Journal of the British Interplanetary

Society, v. 16, n. 3, p. 141-7, 1957.

153

LIN, M.; SHIEH, L. Simultaneous measurements of water impact on a two-dimensional body.

Fluid Dynamics Research, v. 19, p. 125-48, 1997.

LUBARDA, V. A.; HOGER, A. On the mechanics of solids with a growing mass.

International Journal of Solids and Structures, v. 39, p. 4627-64, 2002.

MAY, A. Effect of surface condition of a sphere on its water-entry cavity. Journal of

Applied Physics, v. 22, n. 10, p. 1219-22, 1951.

McIVER, D. B. Hamilton’s principle for systems of changing mass. Journal of Engineering

Mathematics, v. 7, n. 3, p. 249-61, 1973.

MERIAM, J. L. Variable-mass dynamics. Journal of Engineering Education, v. 51, n. 3, p.

241-3, 1960.

MIKHAILOV, G. K. On the history of variable-mass system dynamics. Mechanics of Solids,

v. 10, n. 5, p. 32-40, 1975.

MILOH, T. On the oblique water-entry problem of a rigid sphere. Journal of Engineering

Mathematics, v. 25, n. 11, p. 77-92, 1999.

______. On the initial stage slamming of a rigid sphere in vertical water entry, Applied

Ocean Research, v. 13, n. 1, p. 43-8, 1991.

______. Hamilton’s principle, Lagrange’s method, and ship motion theory. Journal of Ship

Research, v. 28, n. 4, p. 229-37, 1984.

MOGHISI, M.; SQUIRE, P. T. An experimental investigation of the initial force of impact on

a sphere striking a liquid surface. Journal of Fluid Mechanics, v. 108, p. 133-46, 1981.

MOLIN, B.; COINTE, R.; FONTAINE, E. On energy arguments applied to the slamming

force. In: 11

st

INTERNATIONAL WORKSHOP ON WATER WAVES AND FLOATING

BODIES, 1996, Hamburg, Germany.

MUŠICKI, D. Extended Lagrangian formalism and the corresponding energy relations.

European Journal of Mechanics A/Solids, v. 23, p. 975-91, 2004.

154

______. Generalization of a new parametric formulation of mechanics for systems with

variable mass. European Journal of Mechanics A/Solids, v. 19, p. 1059-76, 2000.

______. General energy change law for systems with variable mass. European Journal of

Mechanics A/Solids, v. 18, p. 719-30, 1999.

OLIVER, J. M. Water entry and related problems. 2003. Tese (Doutorado) – Oxford

University, 2003.

ONG, J. J.; O’REILLY, O. M. On the equations of motion for rigid bodies with surface

growth. International Journal of Engineering Science, v. 42, p. 2159-74, 2004.

PENG, W.; PEREGRINE, D. H. Pressure-impulse theory for plate impact on water

surface. In: 15

th

INTERNATIONAL WORKSHOP ON WATER WAVES AND FLOATING

BODIES, 2000, Caesarea, Israel.

PESCE, C. P. A note on the classical free surface hydrodynamic impact problem. Reflections

and Outlooks, in honor of Theodore Y-T Wu; Ed. A. T. Chwang; M. H. Teng; D. T.

Valentine, Singapore, World Scientific Publishing, p. 390-407, 2006 (Advances in

Engineering Mechanics)

______. The application of Lagrange equations to mechanical systems with mass explicitly

dependent on position. Journal of Applied Mechanics, v. 70, p. 751-6, 2003.

PLASTINO, A. R.; MUZZIO, J. C. On the use and abuse of Newton’s law for variable mass

problems. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 53, p. 227-32, 1992.

POMERANZ, K. B. Newton’s law for systems with a variable mass. American Journal of

Physics, v. 32, n. 5, p. 386, 1964.

ROSOF, B. H. Hamilton’s principle and Nonequilibrium thermodynamics. Physics Review

A, v. 4, n. 3, p. 1268-74, 1973.

SCHAGERL, M. et al. On the paradox of the free falling folded chain. Acta Mechanica, v.

125, p. 155-68, 1997.

SCOLAN, Y. -M.; KOROBKIN, A. A. Energy distribution from vertical impact of a three-

dimensional solid body onto the flat free surface of an ideal fluid. Journal of Fluids and

Structures, v. 17, n. 2, p. 275-86, 2003.

155

______.; ______. Three-dimensional theory of water impact. Part 1. Inverse Wagner

problem. Journal of Fluid Mechanics, v. 440, p. 293-326, 2001.

______.; ______. Design of three-dimensional bodies subject to water impact. In: 15

th

INTERNATIONAL WORKSHOP ON WATER WAVES AND FLOATING BODIES, 2000,

Caesarea, Israel.

SEFFEN, K. A. Progressive collapse of the World Trade Center: simple analysis. Journal of

Engineering Mechanics, v. 134, n. 2, p. 125-32, 2008.

SELIGER, R. L.; WHITHAM, G. B. Variational principles in continuum mechanics.

Proceedings of the Royal Society of London, v. 305, p. 1-25, 1968.

SHAN-JUN, M.; WEI-GUO, G.; PEI-TIAN, H. The third-order Lagrange equation for

mechanical systems of variable mass. Chinese Physics, v. 14, p. 879-81, 2005.

SHAO-KAI, L; FENG-XIANG, M. The principles of least action of variable mass

nonholonomic nonconservative system in noninertial reference frames. Applied

Mathematics and Mechanics, v. 13, n. 9, p. 851-9, 1992.

SHERWOOD, B. A. Pseudowork and real work. American Journal of Physics, v. 51, n. 7,

p. 597-602, 1983.

SIEGEL, S. More about variable mass systems. American Journal of Physics, v. 40, n. 1, p.

183-5, 1972.

SOUZA, C. A.; RODRIGUES, V. H. Mass redistribution in variable mass systems.

European Journal of Physics, v. 25, p. 41-9, 2004.

______. Nonrigid systems: mechanical and thermodynamic aspects. European Journal of

Physics, v. 23, p. 433-40, 2002.

STARJINSKI, V. M.; Mecânica teórica. Moscou, Editora Mir, 1986.

ŠIMA, V.; PODOLSKÝ, J. Buquoy’s problem. European Journal of Physics, v. 26, p.

1037-1045, 2005.

156

TESTER, J. W.; MODELL, M. Thermodynamics and its applications. New Jersey,

Prentice-Hall, 1997.

THOMPSON, P. A. Compressible fluid-dynamics. New York, McGraw-Hill, 1972.

(Advanced Engineering Series)

THORPE, J. F. On the momentum theorem for a continuous system of variable mass.

American Journal of Physics, v. 30, n. 9, p. 637-40, 1962.

TIERSTEN, M. S. Force, momentum change, and motion. American Journal of Physics, v.

37, n. 1, p. 82-7, 1969.

TOMASZEWSKI, W.; PIERANSKI, P.; GEMINARD, J. -C. The motion of a freely falling

chain tip. American Journal of Physics, v. 74, n. 9, p. 776-83, 2006.

TRIGG, G. L. Laws of motion. American Journal of Physics, v. 34, n. 1, p. 71, 1966a.

______. Laws of motion. II. American Journal of Physics, v. 34, n. 10, p. 988, 1966b.

TRILLING, L. The impact of a body on a water surface at an arbitrary angle. Journal of

Applied Physics, v. 21, p. 161-70, 1950.

TRUESDELL, C.; TOUPIN, R. A. The classical field theories. Handbuch der Physik, v. II/1:

Prinzipien der klassischen Mechanik und Feldtheorie, p. 347, 1960.

VAN DEN AKKER, J. A. Newton’s law with variable mass. American Journal of Physics,

v. 32, n. 5, p. 387-8, 1964.

VERHAGEN, J. H. G. The impact of a flat plate on a water surface. Journal of Ship

Research, vol. 21, n. 3, p. 211-23, 1967.

VON KÁRMÁN, T. The impact on seaplane floats during landing. Washington, D. C.,

NACA/NASA Langley Research Center, 1929. Technical Note n. 321.

WAGNER, H. Landing of seaplanes. Hampton, NACA/NASA Langley Research Center,

1931. Technical Memorandum n. 622.

157

WEBER, H. I. Vibração de vigas com massa variável no tempo. 1968. Dissertação

(Mestrado) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1968.

WONG, C. W.; YASUI, K. Falling chains. American Journal of Physics, v. 6, p. 490-496,

2006.

______.; YOUN, S. H.; YASUI, K. The falling chain of Hopkins, Tait, Steele and Cayley.

European Journal of Physics, v. 28, p. 385-400, 2007.

WU, G. X. Hydrodynamic force on a rigid body during impact with liquid. Journal of Fluids

and Structures, v. 12, n. 55, p. 549-59, 1998.

158

A.1 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME MATERIAL

COM FONTES DE MASSA ESCRITA EM TERMOS DE SUAS

POSIÇÕES E VELOCIDADES CARACTERÍSTICAS (ver IRSCHIK;

HOLL, 2004, p. 152)

Seja

∫

=

V

cm

Vm

~

drr

ρ

, (A.1)

onde

cm

r é a posição do centro de massa das partículas de V

~

, e

r

a posição dessas partículas

medidas com relação a um referencial inercial.

Seja também

∫

=

V

Vm

~

d

ρ

(A.2)

e

∫

=

V

cm

V

t

m

~

d

~

rr

*

ρθ

, (A.3)

onde

*

cm

r é a posição do centro de massa dos elementos

µ

d

, que então são gerados a partir das

partículas que compõe o volume material V

~

.

Considere adicionalmente que (ver Eq. (2.24))

159

∫

=

V

t

m

~

d

~

uw

ρθ

. (A.4)

Derivando-se a Eq. (A.1) sob o operador td/(.)d

~

, obtém-se que

∫

=+

V

cm

V

tt

m

t

m

~

d

~

d

~

d

rr

r

ρ

. (A.5)

Da equação geral de balanço (ver Eq. (2.19)) para

r

=

ψ

, e assumindo-se que, nesse caso,

seus termos são

∫∫∫

+=

VVV

VVVs

~~~

~

d

~

d

~

d][ rvr

ρθρρ

(A.6)

e

0

~

d][

~

≡∂⋅

∫

∂V

Vi nr

, (A.7)

mostra-se que

∫∫∫

+=

VVV

t

~~~

~

d

~

d

~

d

~

rvr

ρθρρ

. (A.8)

Então, das Eqs. (A.8) e (A.5), chega-se a

∫∫

+=+

VV

cm

VV

t

m

t

m

~~

~

d

~

d

~

d

rvr

r

ρθρ

. (A.9)

Mas da Eq. (A.3) em (A.9), tem-se que

160

∫

=−+

V

cmcm

cm

V

t

m

t

m

~

*

~

d)(

d

~

d

vrr

r

ρ

. (A.10)

Por fim, derivando-se a Eq. (A.10) sob o operador td/(.)d

~

, e tomando-se as Eqs. (A.4) e

(2.24), obtém-se

)(

d

~

d

2

d

~

d

*

2

2*

2

cmcm

cmcmcm

t

m

ttt

m

t

m rr

rr

wF

r

−−













+−+=

, (A.11)

que é a Eq. (2.25).

161

A.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME DE

CONTROLE ESCRITA EM TERMOS DE SUAS POSIÇÕES E

VELOCIDADES CARACTERÍSTICAS (ver IRSCHIK; HOLL, 2004, p.

157-8)

Inicialmente, vale relembrar que, para esse caso,

V

~

é um volume material sem fontes de

massa em seu interior, e V

ˆ

é o volume de controle que é instantaneamente coincidente com

V

~

.

Seja então

∫

=

V

cm

Vm

ˆ

drr

ρ

(A.12)

(análoga à Eq. (A.1)), onde

cm

r é o centro de massa das partículas de V

~

que instantaneamente

se encontram no interior de

V

ˆ

,

r

a posição dessas partículas medidas com relação a um

referencial inercial, e

∫

=

V

Vm

ˆ

d

ρ

. (A.13)

Seja agora

∫

∂

∂⋅−=

V

*

cm

V

t

m

ˆ

d)

ˆ

(

d

ˆ

nvvrr

ρ

(A.14)

(análoga à Eq. (A.3)), sendo

*

cm

r a posição do centro de massa das partículas que

instantaneamente se encontram em V

ˆ

∂ .

162

Considere também que

∫

∂

∂⋅−=

V

t

m

ˆ

d)

ˆ

(

d

ˆ

nvvvw

ρ

(A.15)

(análoga à Eq. (A.4)).

Derivando-se ambos os lados da Eq. (A.12), agora sob o operador

td/(.)d

ˆ

, obtém-se que

∫

=+

V

cm

V

tt

m

t

m

ˆ

d

ˆ

d

ˆ

d

rr

r

ρ

(A.16)

(análoga à Eq. (A.5)).

E em vez de se considerar a equação de balanço, como na Eq. (A.8), toma-se o teorema do

transporte de Reynolds para

r

=

ψ

(ver Eq. (2.30)), i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅−−=

V

VV

t

V

t

ˆ

~

ˆ

d)

ˆ

(

~

d

~

ˆ

d

ˆ

nvvrrr

ρρρ

. (A.17)

Então, das Eqs. (A.17), (A.16) e (A.14), obtém-se que

∫

=−+

V

cmcm

cm

V

tt

m

t

m

~

d

~

)(

d

ˆ

d

rrr

r

*

ρ

. (A.18)

Como V

~

é um volume material que não possui fontes de massa, então, da Eq. (A.8) para

0

=

θ

, tem-se que

∫∫

=

VV

t

~~

~

d

~

d

~

vr

ρρ

. (A.19)

163

Logo, da Eq. (A.19) em (A.18) obtém-se que

∫

=−+

V

cmcm

cm

V

t

m

t

m

~

d)(

d

ˆ

d

vrr

r

*

ρ

(A.20)

(análoga à Eq. (A.10)).

Mas como V

~

é instantaneamente coincidente com V

ˆ

, a Eq. (A.20) pode ser

convenientemente escrita como

∫

=−+

V

cmcm

cm

V

t

m

t

m

ˆ

d)(

d

ˆ

d

vrr

r

*

ρ

. (A.21)

Derivando-se, então, ambos os lados da Eq. (A.21) sob o operador td/(.)d

ˆ

, e utilizando-

se as Eqs. (A.15) e (2.34), chega-se, por fim, à seguinte expressão

)(

d

ˆ

d

2

d

ˆ

d

*

2

2*

2

cmcm

cmcmcm

t

m

ttt

m

t

m rr

rr

wF

r

−−













+−+=

, (A.22)

que é a Eq. (2.35).

164

A.3 INVARIÂNCIA GALILEANA DA SEGUNDA LEI DE NEWTON

PARA UMA PARTÍCULA DE MASSA VARIÁVEL

Considere dois sistemas inerciais de referência. Para a simplicidade da análise, e sem

perda de generalidade, suponha que um desses sistemas é fixo e o outro então dotado de

velocidade de translação constante

ref

v . Assim, se

∫

= tdvx é a posição de uma partícula

com relação ao referencial fixo, e

∫

= t'' d vx é a posição dessa mesma partícula com relação

ao referencial móvel, então, da Fig. A.1, vê-se que

Figura A.1 – Relação entre as posições de uma mesma partícula, sendo essas tomadas com relação a

diferentes referenciais inerciais.

∫

+= t '

ref

dvx x , (A.23)

o que implica

ref

' v vv += , (A.24)

e também

x

y

x ′

y ′

x

x ′

∫

t

ref

dv

x

y

x

y

x ′

y ′

x ′

y ′

x

x ′

∫

t

ref

dv

165

t

'

t

d

d vv

= . (A.25)

Seja então a segunda lei de Newton para uma partícula de massa constante, i.e.

t

m

d

dv

F =

. (A.26)

Claramente, da Eq. (A.25) em (A.26), tem-se que

t

'

m

d

d v

F = . (A.27)

Ou seja, para uma particular de massa constante, a segunda lei de Newton é invariante sob

transformações Galileanas.

Considere agora a segunda lei de Newton para uma partícula de massa variável na forma

da Eq. (2.41). Das Eqs. (A.24) e (A.25), e tomando-se

w

com relação ao referencial móvel,

i.e.

ref

' vw w

+

=

, (A.28)

a Eq. (2.41) é então reescrita como

t

m

''

t

'

m

d

)(

d

vw

v

F −−=

, (A.29)

i.e.

166

t

m

''m

t

d

)(

d

w vF −= . (A.30)

Assim, tem-se que as Eqs. (A.29) e (A.30), expressões da segunda lei de Newton para

uma partícula de massa variável, onde nenhuma consideração é feita sobre os diferentes

operadores de diferenciação ou sobre a distinção entre as partículas envolvidas, são

invariantes sob transformações Galileanas.

Por outro lado, desenvolvendo-se a derivada do lado direito da Eq. (2.42), i.e.

t

m

t

m

d

v

F +=

, (A.31)

mostra-se, a partir das Eqs. (A.24) e (A.25), que

t

m

'

t

'

m

ref

d

)(

d

v v

v

F ++= , (A.32)

ou seja, a Eq. (2.42) depende da escolha do referencial inercial.

Seja agora cada uma das Eqs. (2.29), (2.39) e (2.40), quando então existe uma distinção

entre os operadores de diferenciação, e as partículas do sistema.

Da Eq. (2.29), tem-se

t

m

t

m

d

~

d

µ

wv

v

F −+= . (A.33)

Então, das Eqs. (A.24), (A.25) e (A.28) em (A.33), mostra-se que

t

'

t

m

'

t

'

m

refref

d

)(

d

~

)(

d

µ

vw v v

v

F +−++= . (A.34)

167

Note que o segundo e o terceiro termo do lado direito da Eq. (A.34) dependem da escolha

do referencial inercial, não podendo essa expressão ser reduzida a uma outra onde nenhum

dos termos envolvidos apresentem tal dependência. Por outro lado, se a restrição para se

recuperar a identidade da partícula, i.e.

0

d

~

d

=













−

t

m

t

µ

v , (A.35)

que é equivalente a

0

d

~

d

)( =













−+

t

m

t

ref

µ

v' v

, (A.36)

for adicionada à Eq. (A.34), tem-se a seguinte expressão













−++

+−++=

t

m

t

'

t

'

t

m

'

t

'

m

refref

ref

d

~

d

)(

d

)

(

d

~

)(

d

µµ

v vv

w v v

v

F

, (A.37)

que agora então pode ser reduzida a uma equação que é invariante sob transformações

Galileanas, i.e.

t

''

t

'

m

d

)(

d

µ

vw

v

F −−=

. (A.38)

Seja agora a Eq. (2.39) sob a forma

t

m

t

m

d

ˆ

d

µ

wv

v

F −+= . (A.39)

Das Eqs. (A.24), (A.25) e (A.28) em (A.39), obtém-se uma expressão análoga à Eq.

(A.34), i.e.

168

t

'

t

m

'

t

'

m

refref

d

)(

d

ˆ

)(

d

µ

vw v v

v

F +−++= , (A.40)

que também não é invariante sob transformações Galileanas, mas que pode ser reduzida à Eq.

(A.38), se a restrição para a recuperação da identidade da partícula, i.e.

0

d

ˆ

d

)( =













−+

t

m

t

ref

µ

v' v

, (A.41)

for a ela adicionada.

Finalmente, tome a Eq. (2.40) sob a forma

t

m

d

)(

d

µ

vw

v

F −+= . (A.42)

É imediato das Eqs. (A.24), (A.25) e (A.28) em (A.42) que

t

''

t

'

m

d

)(

d

µ

vw

v

F −+=

. (A.43)

Ou seja, a Eq. (2.40) é invariante sob transformações Galileanas.

169

B O CONCEITO DE PARTÍCULAS FICTÍCIAS DE TRUSDELL E

TOUPIN (1960) E O TEOREMA DO TRANSPORTE DE REYNOLDS

GENERALIZADO

Imagine um corpo

B

~

, móvel e deformável, que é composto por um conjunto bem

deﬁnido de partículas. Considere que

V

~

é a conﬁguração de referência de

B

~

. Em

V

~

, as

partículas de

B

~

apresentam coordenadas dadas por

(

)

(

)

ZYXXXX ,,,,

321

≡

=

X . São as

coordenadas Lagrangeanas dessas partículas. Porém, no instante de tempo tt d

+

seguinte,

haja vista seu movimento e deformação,

B

~

assume uma outra configuração, i.e. a

configuração atual V

~

. Quando assim, as partículas de

B

~

apresentam coordenadas Eulerianas

dadas por ),,(),,(

321

zyxxxx

≡

=

x . Assume-se que, em qualquer instante de tempo

t

, a

posição

x

de uma partícula de coordenada Lagrangeana

X

pode ser obtida a partir de uma

função

χ

, onde

(

)

t,Xx

χ

=

. A partir de

χ

, pode-se estabelecer uma relação entre um

elemento de volume

V

~

d da conﬁguração de referência do corpo e um elemento V

~

d de sua

conﬁguração atual. Essa relação é dada por

V

~

d

~

d JV = , (B.1)

onde

J

, o Jacobiano da transformação, é deﬁnido como

0]/det[

≠

∂

=

ji

XxJ . (B.2)

Seja agora

Ψ

uma quantidade física extensiva associada às partículas que compõe um

determinado corpo. No caso de

B

~

, tem-se então que

∫

=

V

~

d

ρψ

Ψ

, (B.3)

170

onde

),( tx

ψ

=

é o valor de

Ψ

por unidade de massa.

A taxa da variação total de

Ψ

com relação às partículas que compõe

B

~

corresponde a

∫

=

V

tt

~

d

~

d

~

ρψ

Ψ

. (B.4)

Da Eq. (B.1), a Eq. (B.4) pode ser reescrita como

∫∫∫













+==

VVV

t

J

t

JJ

t

V

t

~~~

~

d

~

)(

d

~

d

~

d

~

VV

ρψρψρψρψ

, (B.5)

haja vista também que

( )

∫∫

=

VV

J

t

J

t

~~

~

d

~

d

~

VV

ρψρψ

. (B.6)

Da deﬁnição de

td/(.)d

~

(ver Eq. (2.31)) e da relação

v⋅∇= J

t

J

d

~

(B.7)

(ver IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 148, Eq. 2.4b), a Eq. (B.5) torna-se

∫∫∫













⋅∇+

∂

=













⋅∇+

∂

=

VVV

V

t

J

t

V

t

~~~

~

d)()(

~

d)()(

~

d

~

vv

ρψρψρψρψρψ

V . (B.8)

Então, do teorema da divergência de Gauss-Green-Ostrogradsky, a Eq. (B.8) assume a

seguinte forma

171

∫∫∫

∂

∂⋅+

∂

=

VVV

VV

t

V

t

~~~

~

d

~

d)(

~

d

~

nv

ρψρψρψ

. (B.9)

A Eq. (B.9) assim estabelece que a variação total de uma determina grandeza associada à

V

~

(lado esquerdo) é o resultado entre dois fatores: 1) a variação dessa grandeza que ocorre

em cada uma das partículas de

V

~

(primeiro termo do lado direito), 2) e a variação dessa

grandeza que se dá com o movimento e/ou deformação de

V

~

(segundo termo do lado direito)

(ver Fig. B.1).

Figura B.1 - Movimento e deformação de um volume material.

Segundo Truesdell e Toupin (1960, p. 347, grifo nosso) o teorema do transporte pode ser

concebido a partir da Eq. (B.9), “Escolhendo-se o volume espacial

υ

[ﬁxo] que, no instante

de tempo

t

, é a conﬁguração do volume material [i.e. V

~

],” ou seja

∫∫∫

∂

∂⋅+

∂

=

υυ

υυ dd

~

d

~

nv

ρψρψρψ

t

V

t

V

. (B.10)

x

y

plano cartesiano

V

~

V

~

t

tt d

+

J

x

y

plano cartesiano

V

~

V

~

V

~

t

tt d

+

J

172

A Eq. (B.10) passa então a ter um signiﬁcado físico diferente daquele associada à Eq.

(B.9), i.e.

[...]a taxa da variação total de

ψ

em um volume material V

~

é igual à taxa da

variação total de

ψ

em um volume

υ

ﬁxo, que é a conﬁguração instantânea de

V

~

,

mais o fluxo de

v

ψ

para fora da fronteira. (TRUESDELL; TOUPIN, 1960, p. 347)

Ou seja, enquanto

∫

∂∂

V

Vt

~

d/)(

ρψ

representa a variação de uma grandeza que ocorre em

cada uma das partículas do volume material quando o mesmo assume a conﬁguração

V

~

,

∫

∂∂

υ

υd)/(

ρψ

t

é a variação dessa grandeza que ocorre em cada uma das partículas do volume

material, porém, quando o mesmo se localiza instantaneamente na porção

υ

do espaço, i.e.

V

~

=

υ

(ver Fig. B.2). Além disso, enquanto

∫

∂

∂⋅

V

~

dnv

ρψ

representa a variação dessa

grandeza devido ao movimento e deformação de V

~

,

∫

∂

∂⋅

υ

υdnv

ρψ

está associado à variação

dessa grandeza em razão do fluxo de

ρψ

através de

υ

∂

.

Figura B.2 - Movimento e deformação de um volume material com relação ao volume espacial que

instantaneamente coincide com o mesmo.

Ocorre que, em determinados problemas, o sistema de massa variável é preferencialmente

descrito por um volume de controle móvel e deformável, o que então inviabiliza o emprego da

Eq. (B.10), haja vista que nessa, por hipótese, o volume de controle em questão, i.e.

υ

, é ﬁxo.

x

y

plano cartesiano

V

~

t

υ

v

x

y

plano cartesiano

V

~

t

υ

v

173

Mas existem três maneiras de se sobrepor essa problemática, e então considerar um volume de

controle )(t

υ

móvel e deformável. A primeira decorre da abordagem heurística de Thompson

(1988):

Seja

)(t

υ

um volume móvel (não necessariamente um volume material) com

fronteira

)(t

υ

∂

e versor normal

n

que é positivo quando apontado para fora[...] Tal

volume móvel e arbitrário é freqüentemente chamado por volume de controle; a

fronteira não precisa em geral ser identiﬁcada com nenhuma fronteira física[...]

(THOMPSON, 1988, p. 15)

Segundo esse autor, a taxa da variação total de uma grandeza com relação a um volume de

controle móvel, i.e.

∫

)(

d)d/(d

t

υ

ρψ

(52)

, é o resultado entre dois fatores: 1) a variação de

ρψ

dentro de

)(t

υ

, o que corresponde à taxa de variação

∫

∂∂

)(

d/)(

t

υ

ρψ

(53)

, 2) e a variação de

ρψ

que ocorre devido ao fato de

)(t

υ

∂

englobar diferentes regiões do espaço físico ao longo

do tempo, o que implica uma taxa de variação

∫

∂

∂⋅

)(

d

tυ

υ

υnv

ρψ

, onde nv

⋅

υ

é a velocidade

normal de )(t

υ

∂

. Sendo assim (ver Fig. B.3)

∫∫∫

∂

∂⋅+

∂

=

)()()(

dd)(d

d

ttt

tt

υ

υυ

υ

υυυ nv

ρψρψρψ

. (B.11)

A segunda maneira de se considerar a taxa da variação total de uma entidade física em um

volume de controle móvel decorre da interpretação do Axioma I de Reynolds (ver Capítulo 2),

o que, segundo o próprio Thompson (1988, p. 16, nota de rodapé 1), é equivalente à

abordagem heurística por ele proposta. Note que o primeiro termo do lado direito da Eq.

(B.11) é a primeira das duas maneiras apresentadas por Reynolds, em seu Axioma I, para se

alterar uma entidade física dentro de uma superfície fechada. Já o segundo termo do lado

direito da Eq. (B.11) é equivalente à segunda maneira concebida por Reynolds, em seu

Axioma I, para se alterar uma entidade física dentro de uma superfície fechada, i.e. a

______________

52

O operador de diferenciação td/(.)d

υ

refere-se àquele que acompanha o volume de controle

)(t

υ

.

53

Note que, diferentemente de

υ

, onde

∫∫

∂∂∂∂ =

υυ

υυ d)/d/)( (

ρψρψ

tt , pois

υ

é ﬁxo; para )(t

υ

, tem-se que

∫∫

∂∂∂∂ ≠

)()(

d)/d/)( (

tt

υυ

ρψρψ

, haja vista que

)(t

υ

é móvel.

174

passagem de uma entidade física através da superfície

)(t

υ

∂

. A diferença é que, enquanto na

abordagem de Thompson (1988) é a superfície

)(t

υ

∂

que engloba diferentes regiões do

espaço, interpretando-se o Axioma I de Reynolds, é a entidade física em questão que

atravessa a superfície

)(t

υ

∂

. Ou seja, trata-se apenas de uma questão de ponto de vista.

Figura B.3 - Movimento e deformação de um volume de controle móvel e deformável

No entanto, segundo Irschik e Holl (2004) e Thompson (1988), a derivação do teorema do

transporte para um volume de controle móvel e deformável é dada por Truesdell e Toupin

(1960, p. 347), que, para tal, introduzem o conceito de partículas ﬁctícias. Essencialmente,

essa técnica consiste em imaginar

54

que o volume )(t

υ

, que é o espaço encerrado por )(t

υ

∂

, é

um volume material composto pelas partículas ﬁctícias. Considere então que

B

ˆ

é um outro

corpo que não

B

~

. Assim, enquanto esse segundo corpo é deﬁnido pelo volume material V

~

, e

então composto por partículas reais, aquele primeiro é deﬁnido pelo volume material V

ˆ

e

composto pelas partículas ﬁctícias. Mas qual é a real necessidade de se imaginar que o

volume de controle

)(t

υ

é um volume material? A questão é que, se assim, a Eq. (B.11) pode

ser demonstrada através de um procedimento matemático já bem estabelecido, não precisando

ser concebida heuristicamente como assim faz Thompson (1988), ou axiomaticamente, como

assim fez Reynolds. Note que Irschik e Holl (2004, p. 148) atribuem a Truesdell e Toupin

(1960) a associação formal entre o teorema do transporte e o axioma de Reynolds.

______________

54

Daí o nome partículas fictícias.

x

y

plano cartesiano

t

tt d

+

? J

)(t

υ

)d( tt

+

υ

x

y

plano cartesiano

t

tt d

+

? J

)(t

υ

)d( tt

+

υ

175

Como mostram Irschik e Holl (2002), faz-se necessário desenvolver um formalismo

próprio para as partículas ﬁctícias, não devendo ser esse confundido com aquele que é

aplicado às partículas reais.

Uma vez que pertencem a corpos diferentes, partículas reais e partículas ﬁctícias, a priori,

apresentam velocidades diferentes. Ou seja, se

v

descreve a velocidade de uma partícula real,

então v

ˆ

descreve a velocidade de uma partícula ﬁctícia. Por essa razão, o operador gradiente

∇

associado às partículas reais difere daquele ∇

ˆ

associado às ﬁctícias (ver Eqs. (2.31) e

(2.32)). Além disso, se

X

é a posição das partículas reais quando o corpo

B

~

assume sua

conﬁguração de referência

V

~

, e

x

a posição das partículas reais quando

B

~

assume sua

conﬁguração atual V

~

; então

X

ˆ

e

(

)

t,

ˆ

ˆˆ

Xx

χ

=

correspondem, respectivamente, à posição das

partículas ﬁctícias quando o corpo

B

ˆ

assume sua conﬁguração de referência

V

ˆ

, e à posição

das partículas ﬁctícias quando o corpo

B

ˆ

assume sua conﬁguração atual V

ˆ

.

Assim, a demonstração da Eq. (B.11) decorre da reinterpretação das Eqs: (B.1), i.e.

V

ˆ

d

ˆˆ

d JV = (B.12)

(ver também IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 240); (B.2), i.e.

0]

ˆ

/

ˆ

det[

ˆ

≠∂∂=

ji

XxJ ; (B.13)

(B.3), i.e.

∫

=

V

ˆ

d

ˆ

ρψ

Ψ

, (B.14)

onde agora ),

ˆ

( tx

ψ

=

; (B.8), i.e.

176

∫∫∫













⋅∇+

∂

=













⋅∇+

∂

=

VVV

V

t

J

t

V

t

ˆˆˆ

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

)(

ˆ

d

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

)(

ˆ

d

ˆ

vv

ρψρψρψρψρψ

V , (B.15)

o que então implica, do teorema da divergência de Gauss-Green-Ostrogradsky, que

∫∫∫

∂

∂⋅+

∂

=

VVV

VV

t

V

t

ˆˆˆ

ˆ

d

ˆ

d)(

ˆ

d

ˆ

nv

ρψρψρψ

, (B.16)

sendo essa equação análoga à Eq. (B.9) (ver Fig. B.4 abaixo).

Figura B.4 - Movimento e deformação do volume material que é composto pelas partículas ﬁctícias.

O teorema do transporte de Reynolds generalizado, i.e. para um volume de controle que

não obrigatoriamente é fixo, mas sim móvel e deformável, pode ser obtido supondo-se que,

instantaneamente, VV

~

ˆ

= , o que então implica

∫∫

∂

=

∂

V

t

V

t

~

ˆ

~

d)(

ˆ

d)(

ρψρψ

(B.17)

e

x

y

plano cartesiano

t

tt d

+

V

ˆ

V

ˆ

J

ˆ

x

y

plano cartesiano

t

tt d

+

V

ˆ

V

ˆ

J

ˆ

177

∫∫∫

∂∂

∂

∂⋅−=∂⋅−∂⋅

VV

V

VVV

ˆˆ

~

ˆ

d)

ˆ

(

ˆ

d

ˆ

~

d nvvnvnv

ρψρψρψ

. (B.18)

Então, das Eqs. (B.9, (B.16), (B.17) e (B.18), mostra-se o teorema do transporte de

Reynolds generalizado (ver Fig. B.5), i.e.

∫∫∫

∂

∂⋅−−=

V

VV

t

V

t

ˆ

~

ˆ

d)

ˆ

(

~

d

~

ˆ

d

ˆ

nvv

ρψρψρψ

, (B.19)

que agora pode ser alternativamente escrito, quando assim preferido, como

∫∫∫

∂

∂⋅−−=

)(

~

)(

d)(

~

d

~

d

t

V

t

V

tt

υ

υυ nvv

ρψρψρψ

. (B.20)

Figura B.5 - Movimento e deformação de V

~

, volume material formado pelas partículas reais, com relação

a V

ˆ

, volume material composto pelas partículas fictícias, que também se movimenta e deforma. A priori,

esses volumes movem-se de modo diferente; mas são instantaneamente coincidentes.

x

y

plano cartesiano

t

V

~

v

V

ˆ

v

ˆ

x

y

plano cartesiano

t

V

~

v

V

~

v

V

ˆ

v

ˆ

V

ˆ

v

ˆ

v

ˆ

v

ˆ

178

C.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAGRANGE PARA UM

SISTEMA DE PARTÍCULAS DE MASSA DEPENDENTE DO TEMPO A

PARTIR DO PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT (ver PESCE, 2003, p. 752)

Seja um sistema de partículas de massa dependente do tempo, i.e. )(tmm

ii

=

. Do

princípio de D’Alembert, tem-se então que

0

d

)(

d

=⋅













−−−

∑

i

iii

i

tt

m xvwF

v

δ

µ

. (C.1)

Para um sistema holônomo, o que implica

∑

∂

=

k

i

q

δδ

x

, (C.2)

a Eq. (C.1) torna-se

0

d

)(

d

=

∂

⋅













−−−

∑ ∑

i k

k

ii

iii

i

q

qtt

m

δ

µ

x

vwF

v

, (C.3)

onde

∑∑∑∑∑∑ ∑

=

∂

⋅=

∂

⋅=

∂

⋅

k

kk

k i

k

i

i k

k

i

i k

k

i

qQq

q

δδδδ

x

F

x

F

x

F . (C.4)

Considere agora o termo

∑ ∑

∂

⋅

i k

k

ii

i

q

qt

m

δ

xv

d

. Como

k

q

δ

’s são independentes entre si e

arbitrários, tem-se, para cada

i

,

k

ii

i

qt

m

∂

⋅

xv

d

.

179

Da Eq. (C.26), escreve-se que

k

i

k

i

k

ii

i

q

m

qt

m

qt

m

∂

−













∂

=

∂

⋅

2

1

2

1

d

d vvxv

&

. (C.5)

Tome por ora apenas o termo













∂

k

i

qt

m

&

2

1

d

v

. Pela regra da cadeia, a Eq. (C.5) pode ser

escrita como

k

i

k

i

k

i

qt

m

q

m

tqt

m

&&&

∂

⋅−













∂

=













∂

∂ v

v

vv

d

~

d

~

d

2

1

2

1

, (C.6)

e da Eq. (C.23) como

k

i

k

i

k

i

qt

m

q

m

tqt

m

∂

⋅−













∂

=













∂

∂ x

v

vv

d

~

d

~

d

2

1

2

1

&&

. (C.7)

Mas como )(tmm

ii

=

, a Eq. (C.7) pode ser convenientemente escrita como

[ ]

k

i

ii

kk

i

qt

m

qtqt

m

∂

⋅−













∂

=













∂

∂ x

vv

v

d

~

d

~

d

2

1

2

1

&&

. (C.8))

Isolando-se agora o segundo termo do lado direito da Eq. (C.5), tem-se analogamente

[

]

2

1

2

1

~

ii

kk

i

m

qq

m v

v

∂

=

∂

. (C.9)

Assim, das Eqs. (C.9) e (C.8) em (C.5), chega-se a

180

[

]

[

]

k

i

ii

k

ii

kk

ii

i

qt

m

q

m

qtqt

m

∂

⋅−

∂

−

∂

=

∂

⋅

x

vvv

xv

d

~

d

~

d

2

1

2

1

&

, (C.10)

o que implica

k

k i

k

i

kk

i k

k

ii

i

q

qt

m

q

T

q

T

t

q

qt

m

δδ

∑ ∑∑ ∑













∂

⋅−

∂

−

∂

=

∂

⋅

x

v

xv

d

~

d

~

d

&

. (C.11)

Por fim, das Eqs. (C.11) e (C.4) em (C.3), chega-se a

∑

∂

⋅













−+−

∂

−

∂

=

i k

ii

iii

i

kk

k

qtt

m

q

T

q

T

t

Q

x

vwv

d

)(

d

~

d

~

µ

&

. (C.12)

Mas, como discutido no Capítulo 2, sob o ponto de vista correspondente ao operador

td/(.)d

~

, ttm

ii

d/dd/d

~

µ

= . Logo, a Eq. (C.12) pode ser reescrita como

∑

∂

⋅−

∂

−

∂

=

i k

i

kk

k

qt

m

q

T

q

T

t

Q

x

w

d

~

d

~

&

. (C.13)

Sob o operador tDD /(.) , a Eq. (C.8) pode ser escrita como

[ ]

2

1

2

1

2

1

~

d

ii

kk

i

k

i

m

qtq

m

tqt

m v

vv

&&&

∂

=













∂

=













∂

D

. (C.14)

Assim, das Eqs. (C.9) e (C.14) em (C.5), escreve-se uma expressão alternativa para

k

ii

i

qt

m

∂

⋅

xv

d

, i.e.

[

]

[

]

2

1

2

1

~

d

ii

k

ii

kk

ii

i

m

q

m

qtqt

m vv

xv

∂

−

∂

=

∂

⋅

&

D

, (C.15)

181

de onde implica

k

k kki k

k

ii

i

q

T

q

T

t

q

qt

m

δδ

∑∑ ∑













∂

−

∂

=

∂

⋅

~

d

&

D

xv

. (C.16)

Assim, das Eqs. (C.16) e (C.4) em (C.3), chega-se a

∑

∂

⋅−−

∂

−

∂

=

i k

i

ii

i

kk

k

qtq

T

q

T

t

Q

x

vw )(

d

~

µ

&

D

. (C.17)

182

C.2 DERIVAÇÃO DE EXPRESSÕES AUXILIARES PARA O

APÊNDICE C.1

Assuma que ),(

kii

qtxx

=

. Assim,

∑

∂

=

k

i

q

δδ

x

. (C.18)

Mas, se ),(

kii

qtxx

=

, então ),,(

kkii

qqt

&

vv

=

, o que implica

∑∑

∂

+

∂

=

k

i

k

i

q

&

δδδ

vv

v

. (C.19)

Derivando-se a Eq. (C.18) sob o operador

td/d(.)

,obtém-se

∑∑

∂

+













∂

=

k

i

k

i

q

qt

&

δδδ

xx

v

d

, (C.20)

haja vista que

tt d/(.)dd/d(.)

δ

=

.

Tomando-se a diferença entre as Eqs. (C.19) e (C.20), mostra-se então que

0

d

=













∂

−

∂

+













∂

−













∂

∑∑

k

i

k

i

k

i

k

i

q

qq

q

qqt

&

δδ

vxvx

. (C.21)

Por fim, como

k

q

δ

’s são independentes entre si e arbitrários, e, portanto, assim também o

são

k

q

&

δ

’s, obtém-se da Eq. (C.21) que

183

k

i

k

i

qtq ∂

∂

=

∂

xv

d

(C.22)

k

i

k

i

qq ∂

∂

=

∂

xv

&

. (C.23)

E dessas duas últimas, mostra-se também que

k

i

k

ii

k

i

k

i

k

i

qtqtqtqtqt ∂

∂

⋅+

∂

⋅=













∂

⋅=













∂

⋅=













∂

∂ x

v

xvx

v

d

2

1

&&

(C.24)

k

i

k

i

k

i

qtqq ∂

∂

⋅=

∂

⋅=

∂

∂ x

v

d

2

1

. (C.25)

Logo das Eqs. (C.24) e (C.25), chega-se a

k

i

k

i

k

ii

qqtqt ∂

∂

−













∂

=

∂

⋅

2

1

2

1

d

d vvxv

&

. (C.26)

184

D DISSIPAÇÃO DE ENERGIA NO PROCESSO ‘EJEÇÃO-RE-

CAPTURA’ DE UM ELEMENTO DE MASSA

No Capítulo 2, mostrou-se que, quando um elemento de massa é agregado por uma

partícula de massa

m

, ocorre uma dissipação (ou aumento) de energia mecânica que é dada

por (ver Eq. (2.50))

t

m

t

U

d

ˆ

)(

d

~

2

1

vw −=

. (D.1)

Considere agora um volume material V

~

formado por dois subsistemas

1

ˆ

V

e

2

ˆ

V

que

trocam massa entre si. Como a taxa de variação da energia interna de V

~

é igual à soma entre

as taxas de variação da energia interna de cada um dos subsistemas, então

t

m

t

m

t

U

d

ˆ

)(

d

ˆ

)(

d

~

2

22

2

1

2

11

2

1

vwvw −+−= . (D.2)

Mas, da conservação de massa, tem-se que

0d/d

ˆ

d/d

ˆ

21

=+ tmtm

. Logo, a Eq. (D.2)

pode então ser escrita como

[ ]

t

m

t

U

d

ˆ

)()(

d

~

1

2

22

2

1

2

11

2

1

vwvw −−−= . (D.3)

Assim, para que não haja dissipação de energia mecânica em

V

~

, é necessário que

0)()(

2

22

2

1

2

11

2

1

=−−− vwvw . (D.4)

185

Um caso particular de interesse é aquele em que, no instante de tempo

tt d

−

, um

elemento de massa é ejetado do subsistema 1, sendo então capturado pelo subsistema 2 no

instante de tempo

tt d

+

(ver Fig. D.1). Isso implica que o instante de tempo

t

imediatamente

após a ejeção do elemento de massa do subsistema 1 também corresponde ao instante de

tempo

t

imediatamente anterior à sua captura pelo subsistema 2, i.e.

www

=

≡

21

. Logo, da

Eq. (D.4), tem-se que

)(

21

2

1

vvw

+

=

. (D.5)

Figura D.1 – Processo de ‘ejeção-captura’ de um elemento de massa entre dois subsistemas de massa

variável. Caso em que existe um estágio intermediário entre a ejeção e a captura.

1

v

2

v

1

m

2

m

tt d

−

11

dvv

+

w

2

v

t

11

dvv

+

22

dvv

+

tt d

+

µ

d

11

dmm

+

11

dmm

+

22

dmm

+

2

m

1

v

2

v

1

m

2

m

tt d

−

11

dvv

+

w

2

v

t

11

dvv

+

22

dvv

+

tt d

+

µ

d

11

dmm

+

11

dmm

+

22

dmm

+

2

m

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 