ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Análise do Comportamento Dinâmico de uma
Viga de Euler-Bernoulli Escalonada com
Apoios Elasticamente Variáveis
Autora: Janaína da Cunha Vaz
Orientador: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior
Itajubá, novembro de 2008
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Análise do Comportamento Dinâmico de uma
Viga de Euler-Bernoulli Escalonada com
Apoios Elasticamente Variáveis
Autora: Janaína da Cunha Vaz
Orientador: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior
Curso: Mestrado em Engenharia Mecânica
Área de Concentração: Projeto e Fabricação
Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica como
parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Mecânica.
Itajubá, novembro de 2008
M.G. – Brasil
ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Análise do Comportamento Dinâmico de uma
Viga de Euler-Bernoulli Escalonada com
Apoios Elasticamente Variáveis
Autora: Janaína da Cunha Vaz
Orientador: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior
Composição da Banca Examinadora:
Prof. Dr. Juan Francisco Camino dos Santos - DPM/FEM/UNICAMP
Prof. Dr. José Célio Dias - IEM/UNIFEI
Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior, Presidente - IEM/UNIFEI
Dedicatória
Aos meus pais Orlando e Silvania
e ao meu noivo Rodrigo.
Agradecimentos
Este trabalho não poderia ser feito sem a ajuda de diversas pessoas, às quais presto
minha homenagem:
Ao meu orientador, Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior, cuja orientação e dedicação
foram de fundamental importância.
Aos professores da UNIFEI: José Célio Dias, Marcos Theiss Neves e Marcos Aurélio de
Souza, pela colaboração no desenvolvimento deste trabalho.
Aos funcionários do Laboratório do IEM da UNIFEI, João Carlos Fernandes, Luiz
Fernando Rodrigues Alves, Wlamir Leandro O. Giffoni e Arley de Melo Rodrigues pelo
valioso auxílio nos testes experimentais.
À Elaine, pela verdadeira amizade, pelo convívio que se tornou inesquecível e
principalmente pela paciência, pois foi capaz de escutar nos momentos difíceis e dar bons
conselhos na hora exata.
À Val, amiga desde a graduação. Bons tempos que não voltam mais.
À Badi e ao Sr. Orlando, que sempre me acolheram com muito amor em sua casa.
Ao meu noivo, Rodrigo, pelo carinho, pelas palavras de apoio e pelo importante
incentivo acadêmico.
Aos meus pais, Orlando e Silvania, pois sempre acreditaram nos meus ideais.
A CAPES, pelo apoio financeiro através do programa de bolsas e a FAPMIG pelo
projeto TEC 1670/05.
Ao Programa de Pós-Graduação pela oportunidade de realizar o meu mestrado.
“Nenhum desenvolvimento tecnológico, por mais simples que seja,
dispensa o estudo teórico dos seus fenômenos.”
Vicente Gentil.
Resumo
VAZ, J. D. C. (2008), Análise do Comportamento Dinâmico de uma Viga de Euler-Bernoulli
Escalonada com Apoios Elasticamente Variáveis, Itajubá, 113p. Dissertação (Mestrado
em Projeto e Fabricação), Instituto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de
Itajubá.
Este trabalho apresenta uma metodologia baseada no modelo de viga de Euler-Bernoulli
para determinar as freqüências naturais e os modos de vibrar de vigas escalonadas com
variações das seções transversais e variações das constantes de rigidez dos apoios elásticos.
Inicialmente, apresentam-se resultados numéricos obtidos com um programa computacional
desenvolvido pela autora. Esse programa considera vigas escalonadas em n partes, com
diferentes apoios elásticos, constantes de rigidez e seções transversais, como retangular e
circular. Posteriormente, a fim de verificar a eficácia dos modelos teórico e numérico
propostos, realizam-se ensaios experimentais usando vigas de alumínio de seção circular e
com uma condição de contorno do tipo livre-livre.
Palavras-chave
Viga Escalonada, Seção Variável, Apoio Elástico, Freqüências Naturais, Modos de
Vibrar.
Abstract
VAZ, J. D. C. (2008), Analysis of the Dynamic Behavior of an Euler-Bernoulli Stepped Beam
with Elastically Variable Supports, Itajubá, 113p. MSc. Dissertation – Mechanical
Engineering Institute, Federal University of Itajubá.
This work presents a methodology based in the Euler-Bernoulli beam to determine the
natural frequencies and the mode shapes of stepped beams with variable cross-sections and
elastic supports. First, numerical results are performed by using a computational program
developed by the author. This computational program treats stepped beams with infinite step
changes in the cross-section, different elastic supports and different cross-sections like
rectangular and circular. After, experimental tests were carried out in aluminum beams with
circular cross-section, with two step changes in the cross-section and with free-free boundary
condition in order to check the efficiency of the proposed methodology.
Keywords
Stepped Beam, Variable Cross-Section, Elastic Support, Natural Frequencies, Mode
Shapes.
Sumário
DEDICATÓRIA ___________________________________________________________ 4
AGRADECIMENTOS______________________________________________________ 5
RESUMO_________________________________________________________________ 7
ABSTRACT ______________________________________________________________ 8
SUMÁRIO________________________________________________________________ 1
LISTA DE FIGURAS_______________________________________________________ 3
LISTA DE TABELAS ______________________________________________________ 5
LISTA DE FOTOS_________________________________________________________ 7
SIMBOLOGIA _____________________________________________________________I
LETRAS LATINAS _________________________________________________________I
LETRAS GREGAS ________________________________________________________II
SUBSCRITOS____________________________________________________________ III
ABREVIATURAS ________________________________________________________ III
SIGLAS _________________________________________________________________ III
CAPÍTULO 1 _____________________________________________________________ 1
INTRODUÇÃO ___________________________________________________________ 1
1.1 Revisão da Literatura----------------------------------------------------------------------------- 3
1.2 Contribuição do Trabalho ----------------------------------------------------------------------- 7
1.3 Conteúdo------------------------------------------------------------------------------------------- 7
CAPÍTULO 2 _____________________________________________________________ 9
MODELO DE UMA VIGA ESCALONADA EM DUAS PARTES _________________ 9
2.1 Análise Dinâmica de uma Viga Escalonada em Duas Partes Restrita Elasticamente em
Uma Extremidade e Livre na Outra -------------------------------------------------------------------- 9
2.2 Análise Dinâmica de uma Viga Escalonada em Duas Partes Restrita Elasticamente em
Ambas as Extremidades---------------------------------------------------------------------------------16
CAPÍTULO 3 ____________________________________________________________ 19
MODELO DE VIGA ESCALONADA EM INFINITAS PARTES_________________ 19
3.1 Análise Dinâmica de uma Viga Escalonada em Infinitas Partes --------------------------19
CAPÍTULO 4 ____________________________________________________________ 31
VALIDAÇÃO ____________________________________________________________ 31
4.1 Comparando Frequencias de Vigas Escalonadas em Duas Partes Independente de sua
Geometria-------------------------------------------------------------------------------------------------31
4.2 Comparando Frequencias de Vigas Escalonadas em até Quatro Partes para Diferentes
Seções Transversais: Retangular ou Circular --------------------------------------------------------33
4.3 Comparando Frequencias de Vigas Escalonadas com Vigas com Atuadores
Piezelétricos Incorporados------------------------------------------------------------------------------41
CAPÍTULO 5 ____________________________________________________________ 44
EXPERIMENTO _________________________________________________________ 44
5.1 Análise Experimental ---------------------------------------------------------------------------44
5.2 Descrição do Ensaio-----------------------------------------------------------------------------45
5.3 Frequências Fundamentais ---------------------------------------------------------------------48
5.4 Espectro de Freqüência -------------------------------------------------------------------------56
5.4.1 Viga Uniforme ---------------------------------------------------------------------------------56
5.4.2 Viga Escalonada -------------------------------------------------------------------------------57
CAPÍTULO 6 ____________________________________________________________ 60
RESULTADOS___________________________________________________________ 60
6.1 Freqüências Fundamentais Adimensionais de uma Viga Escalonada em Duas Partes -60
6.2 Freqüências Fundamentais Adimensionais de uma Viga Escalonada em Três Partes --64
6.3 Modos de Vibrar---------------------------------------------------------------------------------66
CAPÍTULO 7 ____________________________________________________________ 78
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS _______________________________ 78
7.1 Conclusões----------------------------------------------------------------------------------------78
7.2 Perspectivas Futuras-----------------------------------------------------------------------------79
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ________________________________________ 80
APÊNDICE A ____________________________________________________________ 83
MODELO DE VIGA UNIFORME___________________________________________ 83
A.1 Equacionamento do Modelo de Viga de Euler-Bernoulli----------------------------------84
APÊNDICE B ____________________________________________________________ 92
INSTRUMENTAÇÃO _____________________________________________________ 92
Lista de Figuras
Figura 2.1 – Viga escalonada em 2 partes e suportada elasticamente em uma extremidade---11
Figura 2.2 – Viga escalonada em 2 partes e suportada elasticamente em ambas as
extremidades ---------------------------------------------------------------------------------------------17
Figura 3.1 – Viga escalonada em n partes------------------------------------------------------------21
Figura 4.1 – Viga escalonada com três mudanças de seções de área,Naguleswaran(2002c)--34
Figura 4.2 – Viga Tipo 1--------------------------------------------------------------------------------35
Figura 4.3 – Viga Tipo 2--------------------------------------------------------------------------------37
Figura 4.4 – Viga Tipo 3------------------------------------------------------------------------------- 39
Figura 4.5 – Viga com materiais piezelétricos incorporados, Maurini et al. (2006)------------42
Figura 5.1 – Comportamento das três primeiras freqüências,
1,1 1,2 1,3
ˆˆ ˆ
, e
β
ββ
, de uma viga de
Euler-Bernoulli comparada a uma viga de Timoshenko.-------------------------------------------50
Figura 5.2 – Espectro de freqüência – viga uniforme, 30,044 mm
φ
-----------------------------56
Figura 5.3 – Espectro de freqüência – viga uniforme, 20,002 mm
φ
-----------------------------57
Figura 5.4 – Espectro de freqüência – viga escalonada – 1/2 L - 14,996 mm
φ
e 1/2 L -
20,005 mm
φ
---------------------------------------------------------------------------------------------57
Figura 5.5 – Espectro de freqüência – viga escalonada – 2/3 L - 14,967 mm
φ
e 1/3 L -
20,007 mm
φ
---------------------------------------------------------------------------------------------58
Figura 5.6 – Espectro de freqüência – viga escalonada – 1/3 L - 9,941 mm
φ
, 1/3 L -
14,976 mm
φ
e 1/3 L - 20,008 mm
φ
-----------------------------------------------------------------59
Figura 6.1 – Tipos clássicos de suportes elásticos---------------------------------------------------64
Figura 6.2 – 1º Modo de vibrar – viga contínua e escalonada--------------------------------------66
Figura 6.3 – 2º Modo de vibrar - viga contínua e escalonada--------------------------------------67
Figura 6.4– 3º Modo de vibrar - viga contínua e escalonada---------------------------------------68
Figura 6.5 – 1°Modo de vibrar - viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT==) e
restrita elasticamente na outra--------------------------------------------------------------------------68
Figura 6.6 – 2° Modo de vibrar - viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT==) e
restrita elasticamente na outra -------------------------------------------------------------------------69
Figura 6.7 – 3º Modo de vibrar - viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT==) e
restrita elasticamente na outra ------------------------------------------------------------------------69
Figura 6.8– 1º Modo de vibrar – viga contínua com condição de contorno variável-----------70
Figura 6.9 – 1º Modo de vibrar – viga escalonada 0,1I
=
com condição de contorno variável-
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------71
Figura 6.10 – 1º Modo de vibrar – viga contínua----------------------------------------------------72
Figura 6.11 – 1º Modo de vibrar – viga escalonada 0,1I
=
---------------------------------------72
Figura 6.12 – 1º Modo de vibrar – viga contínua ---------------------------------------------------73
Figura 6.13 – 1º Modo de vibrar – viga escalonada
1
0,1I = ---------------------------------------73
Figura 6.14 – Viga engastada-livre (
11
0RT
=
= e
22
RT
=
=∞) escalonada em três partes–
tipo 1: seção transversal retangular de altura constante---------------------------------------------74
Figura 6.15 – Viga engastada-livre (
11
0RT
=
= e
22
RT
=
=∞) escalonada em três partes–
tipo 2: seção transversal retangular de base constante----------------------------------------------75
Figura 6.16 – Viga engastada-livre (
11
0RT
=
= e
22
RT
=
=∞) escalonada em três partes–
tipo 3: seção transversal circular-----------------------------------------------------------------------75
Figura 6.17 – Viga livre-livre (
11 2 2
RTR T
=
===∞) escalonada em três partes – tipo 3: seção
transversal circular---------------------------------------------------------------------------------------76
Figura 6.18 – Viga engastada-deslizante (
11
0RT
=
= ,
2
0R
=
e
2
T
=
∞.) escalonada em três
partes – tipo 3: seção transversal circular-------------------------------------------------------------76
Figura 6.19 – Viga engastada-pinada (
11
0RT
=
= ,
2
R
=
∞e
2
0T
=
) escalonada em três partes
– tipo 3: seção transversal circular---------------------------------------------------------------------77
Figura A.1 – Viga uniforme engastada----------------------------------------------------------------86
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 – 1ª Freqüência natural – viga livre em uma das extremidades (
22
RT==∞) e
apoiada elasticamente na outra, cujas relações de momentos de inércia são:
1
0,1I = e
1
0,5I = -
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------32
Tabela 4.2 – 1ª Freqüência natural – viga livre em uma das extremidades (
22
RT==∞) e
apoiada elasticamente na outra, cujas relações de momentos de inércia são:
1
1I =
,
1
5I
=
e
1
10I = -----------------------------------------------------------------------------------------------------33
Tabela 4.3 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção retangular de altura
constante com duas mudanças de seções--------------------------------------------------------------36
Tabela 4.4 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção retangular de altura
constante com três mudanças de seções---------------------------------------------------------------37
Tabela 4.5 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção retangular de base
constante com duas mudanças de seções--------------------------------------------------------------38
Tabela 4.6 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção retangular de base
constante com três mudanças de seções---------------------------------------------------------------39
Tabela 4.7 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção circular com duas
mudanças de seções--------------------------------------------------------------------------------------40
Tabela 4.8 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção circular com três
mudanças de seções--------------------------------------------------------------------------------------41
Tabela 4.9 – Dados geométricos da viga com materiais piezelétricos incorporados, Maurini et
al. (2006)--------------------------------------------------------------------------------------------------43
Tabela 4.10 – Freqüências naturais em
()Hz
de uma viga com materiais piezelétricos
incorporados---------------------------------------------------------------------------------------------- 43
Tabela 5.1 – Desvio percentual entre freqüências obtidas por meio de Euler e Timoshenko--49
Tabela 5.2 – Desvio percentual entre valores experimentais e valores obtidos por meio dos
modelos de viga, segundo Traill-Nash & Collar (1953)--------------------------------------------50
Tabela 5.3 - Viga uniforme -
30,044 mm
φ
- Desvio (%) entre os valores experimentais e os
valores teóricos da primeira, segunda e terceira freqüência natural------------------------------53
Tabela 5.4 - Viga uniforme - 20,002 mm
φ
- Desvio (%) entre os valores experimentais e os
valores teóricos da primeira, segunda e terceira freqüência natural ------------------------------53
Tabela 5.5 - Viga escalonada - – 1/2 L - 14,996 mm
φ
e 1/2 L - 20,005 mm
φ
- Desvio (%)
entre os valores experimentais e os valores teóricos da primeira, segunda e terceira freqüência
natural------------------------------------------------------------------------------------------------------54
Tabela 5.6 - Viga escalonada – 2/3 L - 14,967 mm
φ
e 1/3 L - 20,007 mm
φ
- Desvio (%)
entre os valores experimentais e os valores teóricos da primeira, segunda e terceira freqüência
natural -----------------------------------------------------------------------------------------------------54
Tabela 5.7 - Viga escalonada – 1/3 L -
9,941 mm
φ
, 1/3 L -
14,976 mm
φ
e
1/3L
20,008 mm
φ
- Primeira freqüência natural---------------------------------------------------55
Tabela 6.1 – 1ª Freqüência natural – viga livre em uma das extremidades (
22
RT==∞) e
restrita elasticamente na outra--------------------------------------------------------------------------61
Tabela 6.2 – 1ª Freqüência natural – viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT==) e
restrita elasticamente na outra--------------------------------------------------------------------------62
Tabela 6.3 – 1ª Freqüência natural – viga restrita elasticamente nas extremidades ------------62
Tabela 6.4 – 1ª Freqüência natural – viga engastada (
11
0RT
=
= ) em uma das extremidades e
livre para rotação (
1
R =∞) na outra-------------------------------------------------------------------63
Tabela 6.5 – Viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT
=
= ), restrita elasticamente na
outra e com a relação de comprimentos
1
1/3L = ---------------------------------------------------- 63
Tabela 6.6 – Viga escalonada em três partes - seção transversal tipo 1---------------------------65
Tabela 6.7 – Viga escalonada em três partes - seção transversal tipo 2---------------------------65
Tabela 6.8– Viga escalonada em três partes - seção transversal tipo 3--------------------------- 65
Lista de Fotos
Foto 5.1 – Viga uniforme de alumínio:
30,044 mm
φ
----------------------------------------------45
Foto 5.2 – Viga uniforme de alumínio:
20,0024 mm
φ
---------------------------------------------46
Foto 5.3 – Viga escalonada de alumínio: 1/2 do comprimento
14,996 mm
φ
e 1/2 do
comprimento
20,0052 mm
φ
---------------------------------------------------------------------------46
Foto 5.4 – Viga escalonada de alumínio: 2/3 do comprimento
14,9672 mm
φ
e 1/3 do
comprimento
20,0068 mm
φ
---------------------------------------------------------------------------47
Foto 5.5 – Viga escalonada de alumínio: 1/3 do comprimento
9,9408 mm
φ
, 1/3 do
comprimento
14,9764 mm
φ
e 1/3 do comprimento
20,0084 mm
φ
------------------------------47
Foto 5.6 – Ensaio de flexão-----------------------------------------------------------------------------51
Foto B.1 – Vista lateral do acelerômetro fixado na viga----------------------------------------- --92
Foto B.2 – Vista frontal do analisador de sinais---------------------------------------------------- -93
Foto B.3 – Medição do diâmetro da viga------------------------------------------------------------- 94
Foto B.4 – Vista frontal da máquina para ensaio de flexão-----------------------------------------94
i
Simbologia
Letras Latinas
A
área da seção transversal da viga modelo uniforme. m
2
a
aceleração angular. rad/s
2
a
aceleração linear. m/s
2
{
}
b
vetor de incógnitas.
b
base de uma viga de seção retangular. m
B
constante de integração.
C
co-seno.
CH
co-seno hiperbólico.
c
velocidade de propagação do som no meio sólido. m/s
D
diâmetro da viga. m
d
constante da equação temporal.
e
distância entre os apoios de uma viga. m
E
módulo de elasticidade transversal. GPa
f
freqüência.
Hz
q
carga por unidade de comprimento da viga. N/m
F
força. N
[
]
H
matriz de coeficientes do sistema linear.
h
altura da viga. m
I
relação de momentos de inércia de área de trechos adjacentes de uma
viga escalonada.
I
momento de inércia de área. m
4
i
L
′
comprimento dimensional dos trechos da viga escalonada. m
i
L
Comprimento adimensional dos trechos da viga escalonada
L
comprimento total da viga. m
L
relação de comprimentos de trechos adjacentes de uma viga escalonada.
ii
M
momento fletor. Nm
m
massa. kg
n
número de trechos da viga.
T
k
constante de rigidez de translação. N/m
R
k
constante de rigidez de rotação. Nm
r
raio de giração. m
R
constante adimensional inversamente proporcional a rigidez de rotação.
S
seno.
SH
seno hiperbólico.
Τ
função do tempo.
T
constante adimensional inversamente proporcional a rigidez de
translação.
t
tempo. s
V
′
volume. m³
V
esforço cortante. N
v
deflexão. m
X
modo de vibrar.
x
eixo coordenado cartesiano.
y eixo coordenado cartesiano.
z eixo coordenado cartesiano.
Letras Gregas
α
relação entre momentos de inércia da viga escalonada.
β
relação de freqüências naturais de trechos adjacentes de uma viga
escalonada.
i
β
freqüência natural dimensional dos trechos da viga escalonada.
1/m
1,
ˆ
k
β
freqüência natural adimensional.
1,k
β
freqüência natural dimensional do primeiro trecho de uma viga
escalonada.
1/m
ρ
massa específica. kg/m
3
iii
∂
operador de diferença parcial.
ω
velocidade angular. rad/s
λ
índice de esbeltez.
δ
deflexão de uma viga. m
φ
diâmetro. mm
Subscritos
1 índice do primeiro trecho da viga.
2 índice do segundo trecho da viga.
j
b
Índice da constante de integração para uma viga com infinitos
escalonamentos.
i
índice de uma viga escalonada em
n partes.
k
índice que indica a k-ésima freqüência natural.
p
índice dos parâmetros de uma viga escalonada em infinitas partes.
x
eixo cartesiano.
y
eixo cartesiano.
z eixo cartesiano.
Abreviaturas
EDO Equação Diferencial Ordinária
GDL Grau de Liberdade
MEF Método dos Elementos Finitos.
Siglas
iv
IEM Instituto de Engenharia Mecânica.
1
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
A análise da resistência dos materiais na área da mecânica dos sólidos é fundamental no
dimensionamento de estruturas tanto na Engenharia Mecânica como na Engenharia Civil. A
partir da análise estática, determinam-se tensões e deformações nas estruturas sob
carregamento, incluindo seu próprio peso. Essas grandezas devem ficar numa faixa de valores
permissíveis a fim de garantir a segurança e a funcionalidade das estruturas. Considerável
esforço é despendido pelos engenheiros mecânicos e civis justamente para determinar os
carregamentos a que estão sujeitas as estruturas por eles dimensionadas. Poucos são os casos
em que soluções analíticas podem ser desenvolvidas nessa tarefa. Freqüentes são os casos
hiperestáticos e/ou com geometria variável, nos quais ferramentas numéricas são praticamente
indispensáveis. O Método de Elementos Finitos, por exemplo, foi desenvolvido nesse
contexto para a resolução de problemas complexos da mecânica estrutural, Rosa (1995).
Embora a análise estática seja a primeira a ser realizada, em muitos casos, ainda que
necessária, ela não é suficiente para assegurar a integridade das estruturas. De fato, na prática,
os carregamentos ou esforços costumam ser constituídos de uma parcela estática e outra
dinâmica. Esses esforços variáveis ou flutuações induzem vibrações, que além de alterar o
quadro geral de tensões e deformações causam ruídos, interferências em equipamentos ou
máquinas apoiadas nessas estruturas, instabilidades de operação, aceleração no desgaste,
redução na vida útil, etc. A resposta dinâmica de uma estrutura às excitações harmônicas
depende, essencialmente, das propriedades como rigidez, massa e amortecimento que
influenciam a freqüência natural e o modo de vibrar. Essas propriedades, por sua vez,
2
resultam da geometria, materiais, condições de vinculação ao meio externo. Assim, há
situações em que além da caracterização estática, os engenheiros devem investigar
características vibratórias e possíveis respostas dinâmicas sob variadas condições de
carregamento.
Em poucas palavras, pode-se definir resposta homogênea como aquela exibida por um
sistema quando sujeito a uma vibração livre devido às condições iniciais diferentes de zero ou
devido a uma excitação do tipo impulso. No campo das vibrações mecânicas, essa é sem
dúvida a principal característica a ser investigada nos sistemas em estudo, pois dela se extrai
as freqüências, fatores de amortecimento e modos de vibrar. O modo de vibrar, por sua vez,
refere-se ao aspecto geométrico “adimensional” da vibração livre, sendo importante para
caracterizar as regiões nodais e os ventres que se formam no movimento vibratório.
Toda análise dinâmica, independente de seu grau de sofisticação, tem sua base no
estudo do mais elementar modelo de sistema oscilatório, a saber, o sistema massa-mola de 1
grau de liberdade (GDL), cuja solução é a conhecida onda harmônica. Vibrações livres de
sistemas de vários GDL em princípio podem ser dadas como superposição de sistemas
harmônicos elementares, resultando daí a importância do modelo básico de 1 GDL.
Desenvolvimento matemático análogo é realizado quando se levam em consideração
dissipações naturais de energia mecânica (amortecimento) e forças externas (vibração
forçada), Zhaohui (2004).
O caso particular simplificado que talvez seja o mais instrutivo para a compreensão de
vibrações forçadas é o sistema massa-mola-amortecedor de 1 GDL sob a ação de uma força
externa harmônica. A aplicação direta da mecânica Newtoniana conduz às equações
diferenciais básicas para a análise desse movimento, cuja solução em regime permanente é na
forma de uma onda harmônica com a mesma freqüência angular da excitação externa, estando
defasada em relação a esta de acordo com o nível de amortecimento. O ponto importante é
que a amplitude do movimento resultante é inversamente proporcional à diferença entre a
freqüência natural do sistema e a freqüência da excitação externa. Ou seja, freqüências
forçantes distantes da natural não induzem oscilações de grande amplitude, enquanto que
freqüências próximas podem levar a deslocamentos proibitivos, fenômeno este conhecido
como ressonância. Posto isso, fica evidente a importância de bem identificar as freqüências
naturais nas estruturas reais da engenharia, para daí analisar aquelas que podem estar
3
próximas das induzidas pelos carregamentos externos, a fim de se evitar os fenômenos de
ressonância.
Neste trabalho, a atenção será dada ao estudo do comportamento dinâmico de vigas de
geometria variável. Esse interesse se justifica devido ao bom número de estruturas mecânicas
que podem ser aproximadas como vigas escalonadas, entre as quais se citam: eixos e rotores
de turbomáquinas, pás de turbinas, ventiladores e bombas, asas de aeronaves, pórticos,
carcaças de algumas máquinas, etc. Daí o interesse em se levar em consideração as principais
mudanças de seção, a fim de uma avaliação mais acurada das possíveis respostas dinâmicas.
De fato, para vigas de seção variável, ainda há espaço para diferentes tratamentos
numéricos como o método dos elementos finitos, ainda que boa parte deles baseie-se no
modelo teórico clássico de viga de Euler-Bernoulli.
O presente trabalho estuda o comportamento dinâmico de vigas contínuas e escalonadas
com diferentes condições de apoios elásticos. As propriedades dessas vigas escalonadas têm
sido investigadas por diversos autores devido a sua importância nos campos da engenharia
mecânica estrutural e em estruturas ativas.
1.1 REVISÃO DA LITERATURA
A análise de vigas escalonadas tem sido objeto de estudo por diversos autores devido a
sua importância na engenharia mecânica estrutural e no controle de estruturas ativas. Os
modelos de vigas ditos complexos podem ser trabalhados por meio de uma técnica analítica,
relativamente simples, como é o caso do modelo de viga de Euler-Bernoulli cujos resultados
são bastante satisfatórios. Uns dos precursores do estudo dessa técnica foram Taleb e
Suppiger (1961) que derivaram a equação da freqüência de uma viga escalonada para casos
clássicos de suportes e compararam a primeira freqüência fundamental da literatura com a
freqüência obtida pelo método da função de Cauchy. Também em Heidebrecht (1967)
encontra-se um método numérico para obter uma aproximação da primeira freqüência natural.
Levinson (1976) derivou a mesma equação da freqüência obtida por Heidebrecht (1967), mas
não apresentou nenhum resultado numérico. Ele concluiu que é possível estudar a vibração de
4
sistemas contínuos através de propriedades descontinuas em casos simples. Jang e Bert (1989)
deduziram a equação da freqüência de uma viga escalonada com condições clássicas de
contorno, como uma equação diferencial de quarta ordem e um determinante que deve ser
igualado a zero, já que se deseja obter uma solução não trivial de um sistema linear
homogêneo.
Em Inman (2000), encontra-se com mais pormenores o equacionamento do modelo de
viga de Euler-Beunoulli e suas freqüências juntamente com aplicações em casos clássicos. Da
literatura obtém-se a equação diferencial de quarta ordem que rege uma viga engastada-livre e
as condições clássicas de contorno adotadas nesses casos. De posse dessas ferramentas, é
possível trabalhar em casos mais complexos das quais não se encontram na literatura. Lima Jr
e Arantes (2000) estudaram a influencia do índice de esbeltez nas freqüências naturais obtidas
a partir dos modelos de Euler-Bernoulli, Vlasov e Timoshenko.
A análise da vibração de vigas com apenas uma mudança de seção e restrita
elasticamente em uma das extremidades encontra-se em Maurizi e Bellés (1993a). Esses
autores obtiveram uma equação diferencial ordinária (EDO) de quarta ordem, da viga citada,
usando o modelo de Euler-Bernoulli. Por meio da solução da equação homogênea e aplicando
o método da separação de variáveis é possível obter o modo de vibrar de cada trecho de uma
viga escalonada. As condições clássicas de contorno formam a chamada matriz dos
coeficientes que compõe o sistema linear homogêneo da qual se obtém as freqüências
naturais. Maurizi e Bellés (1993a) apresentaram uma tabela com a primeira freqüência natural
adimensional para casos clássicos de uma viga suportada elasticamente em apenas uma das
extremidades e livre na outra. Os parâmetros de rigidez de rotação e de translação variaram
entre zero e infinito. Trabalho similar pode ser encontrado em Maurizi e Belés (1993b). Um
caso semelhante é encontrado em Rosa (1994), pois o seu trabalho baseou-se em uma viga
com uma mudança de seção, porém neste caso, trabalha-se com diferentes condições de
apoios elásticos.
Posteriormente, Naguleswaran (2002a) considerou também um modelo de estrutura com
apenas uma mudança de seção, mas com condições clássicas de suportes em ambas as
extremidades. Do modelo relatado estudaram-se as três primeiras freqüências naturais, a
sensitividade e os modos de vibrar para três tipos diferentes de seção transversal de área: a
5
primeira seção considerada é uma seção retangular de altura constante, a segunda é uma seção
retangular de base constante e a terceira é uma seção circular.
Hong e Kim (1999) propõem um modelo de viga não uniforme suportado por dois
sistemas massa-mola. Dessa estrutura obtém-se uma matriz dinâmica, que é o produto da
inversa da matriz massa com a matriz de rigidez do sistema, por meio da teoria de viga de
Timoshenko aplicando a transformação de Laplace. Um método de análise modal
generalizado é também proposto e aplicado para a derivação da reposta em freqüência e da
resposta no tempo para qualquer estrutura do tipo viga em geral. Três exemplos são
apresentados para validar e ilustrar a metodologia aplicada. No primeiro exemplo numérico é
feito uma comparação entre o método proposto com o Método de Elementos Finitos (M.E.F.).
No segundo exemplo apresentam-se três vigas escalonadas suportadas por sistemas massa-
mola. O estudo numérico prova que a metodologia apresentada é bastante útil quando se
dispõe a fazer análises dinâmicas desse tipo de estrutura apresentada.
A análise modal de vigas com materiais piezelétricos incorporados, apresenta-se em
Maurini et al. (2006). O autor valida os resultados teóricos com os resultados obtidos pelo
M.E.F. usando a teoria de Euler-Bernoulli. Os resultados numéricos são, também, comparados
com os resultados experimentais.
A vibração livre de uma viga engastada com múltiplos escalonamentos é encontrado em
Jaworski e Dowell (2008). Eles comparam resultados experimentais com resultados teóricos,
sendo que esse último é obtido por meio da teoria de viga de Euler-Bernoulli, do método de
Rayleigh-Ritz, além do M.E.F. através do programa comercial (ANSYS®). O M.E.F é
também usado para investigar a viga de Timoshenko em um modelo de casca de duas
dimensões e em um modelo de um sólido de três dimensões. Detecta-se uma pequena
diferença na primeira freqüência natural entre os resultados teóricos de viga com os resultados
encontrados pelo M.E.F. e pelos dados experimentais.
Uma solução analítica para a resposta dinâmica de uma viga escalonada com uma
mudança de seção é oferecida em Koplow et al. (2006). Realizam-se alguns testes
experimentais em vigas do tipo livre-livre para comparar os resultados experimentais com os
teóricos.
6
Vibrações transversais de uma viga uniforme de Euler-Bernoulli com massas
concentradas são discutidas em Naguleswaran (2002b). O trabalho consiste de uma estrutura
com
n partes e carregada por n-1 massas, das quais, duas dessas massas são adicionadas as
extremidades. A técnica de autovalores desenvolvida para vigas clássicas com
n sistemas de
coordenadas possuem origens nas localizações de cada massa. As três primeiras freqüências
naturais de vigas (de 3 a 9 partes) com 16 combinações de condições clássicas de contorno
são tabeladas e a qualidade dos resultados pode ser julgada por meio dos métodos
apresentados.
Após estudar vigas com apenas uma mudança de seção Naguleswaran (2002c) vem
propor um método analítico para calcular as freqüências de uma viga, agora, com três
mudanças de seções. São adotadas condições clássicas de suportes: engastada, pinada,
deslizante e livre, bem como, condições gerais de apoio elástico. O trabalho apresenta um
programa para calcular os elementos do determinante e um programa para avaliar as raízes
desse determinante. Considerações especiais freqüentemente encontrados em aplicações da
engenharia são feitas para três tipos diferentes de seções transversais de vigas escalonadas: a
primeira seção é do tipo retangular de altura constante, a segunda seção é retangular de base
constante e a terceira é circular. As três primeiras freqüências fundamentais de vigas com
duas e três mudanças de seções são tabeladas por seletos parâmetros e 45 tipos diferentes de
apoios elásticos. Os resultados tabelados podem ser usados para julgar as freqüências
calculadas somente por métodos numéricos. Seguindo a mesma linha de trabalho
Naguleswaran (2003) vem por meio de um estudo um pouco mais aprofundado apresentar a
vibração e a estabilidade de uma viga de Euler-Beurnoulli com três mudanças de seções sob a
influencia de forças axiais.
A meta do trabalho de Dong et al. (2005) é investigar as características de vibração de
uma viga de compósito laminado escalonado de Timoshenko. Eles determinam a deformação
por cisalhamento, a rigidez de flexão e a rigidez de cisalhamento transversal de uma viga
laminada. A fim de relatar os efeitos causados pela deformação de cisalhamento e inércia de
rotação de uma estrutura escalonada, a teoria de viga de Timoshenko é, então, usada para
deduzir a função resposta em freqüência. Gráficos da freqüência natural e dos modos de
vibrar são apresentados ilustrando a influência que o parâmetro de localização exerce no
comportamento dinâmico da viga.
7
Os sucessos obtidos com a aplicação de um método analítico relativamente simples e
sem a utilização de malhas, como é caso do modelo de Euler-Bernoulli, sugerem que este
possa ser estabelecido como uma ferramenta padrão na investigação de problemas gerais de
vibração estrutural.
1.2 CONTRIBUIÇÃO DO TRABALHO
Baseado no modelo de Euler-Bernoulli, este trabalho tem como propósito apresentar
uma metodologia para o cálculo das freqüências naturais e os modos de vibrar de uma viga
escalonada em infinitas partes, com apoios elásticos e de geometria variável. Também foi
desenvolvido um programa computacional pela autora capaz de gerar as freqüências naturais
e os modos de vibrar dessa viga para diferentes tipos de seções transversais como retangular e
circular.
1.3 CONTEÚDO
No capítulo 1, faz-se uma revisão dos trabalhos publicados na área de modelagem de
vigas escalonadas e das ferramentas disponíveis na literatura para a análise dinâmica que
fornecem a freqüência natural e o modo de vibrar da estrutura.
No capítulo 2, faz-se um estudo inicial de vigas escalonadas em duas partes apoiadas
elasticamente nas extremidades. São analisadas suas características mecânicas e dinâmicas,
equacionamento de modelos simplificados, tais como, a obtenção da equação diferencial de
quarta ordem, as condições de contorno e a matriz dos coeficientes.
No capítulo 3, faz-se um estudo sobre vigas escalonadas em
n partes e apoiadas
elasticamente nas extremidades. Neste capítulo procura-se mostrar todo o equacionamento e
características importantes na obtenção das freqüências fundamentais adimensionais de
modelos mais complexos.
8
No capítulo 4, apresentam-se alguns resultados numéricos gerados pelo programa
computacional desenvolvido pela autora. Os resultados obtidos são referentes a vigas
escalonadas em duas e em três partes em condições variadas de apoios elásticos. Neste
capítulo mostram-se alguns dos modos de vibrar e das freqüências naturais mais relevantes
dentro do contexto abordado.
No capítulo 5, a validação dos resultados numéricos é feita mediante vigas escalonadas
em até quatro partes com diferentes seções de área: retangular ou circular. Além disso,
comparam-se os resultados da autora com os resultados da literatura que utilizam vigas com
materiais piezelétricos incorporados.
As conclusões da dissertação são apresentadas no capítulo 6, com comentários sobre
alguns dos resultados teóricos e experimentais, além de sugestões para trabalhos futuros.
No Apêndice A, é mostrado com mais pormenor todo o equacionamento do modelo de
vigas de Euler-Bernoulli, as considerações feitas para uma viga do tipo engastada-livre
uniforme, além do procedimento usado para obter as freqüências naturais e os modos de
vibrar.
9
Capítulo 2
MODELO DE UMA VIGA ESCALONADA EM DUAS
PARTES
Neste capitulo introduzem-se alguns conceitos básicos sobre a modelagem matemática e
o equacionamento de vigas escalonadas em duas partes, elasticamente apoiada em uma ou em
ambas as extremidades. Assim, elabora-se a análise de um modelo de viga com diferentes
condições de contorno e diferentes relações de momentos de inércia de área das quais se
obtém as freqüências naturais e os modos de vibrar.
2.1 ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA ESCALONADA EM
DUAS PARTES RESTRITA ELASTICAMENTE EM UMA
EXTREMIDADE E LIVRE NA OUTRA
Vigas são elementos estruturais largamente utilizados na engenharia e resistem a
esforços de flexão (momentos) e de cisalhamento. Elas são normalmente prismáticas e os
carregamentos são aplicados perpendicularmente ao seu comprimento, eixo longitudinal.
10
As vigas podem ser classificadas de acordo com sua estaticidade e de acordo com suas
vinculações. Com relação a estaticidade, elas podem ser divididas em isostáticas e
hiperestáticas: a primeira é caracterizada por apresentar um número de equações igual ao
número de variáveis, por outro lado, o segundo caso possui um número inferior ao número de
variáveis. As vinculações clássicas são: engastada, livre, pinada e deslizante.
Alguns dos tipos de carregamentos mais freqüentes na engenharia estrutural são: carga
concentrada, carga distribuída uniformemente, carga variando ao longo do comprimento de
forma linear e carga variando de forma não-linear.
As vigas escalonadas apresentam variações nas seções transversais de área. As
estruturas mecânicas ou civis classificadas como complexas e com diferentes seções de área
podem, como primeira aproximação, serem idealizadas como vigas escalonadas, como já
mencionadas no capítulo introdutório. O estudo das freqüências naturais e dos modos de
vibrar de uma viga escalonada é abordado ao longo deste trabalho.
A seguir, apresentam-se o cálculo das freqüências naturais de uma viga escalonada e
apoiada em, apenas, uma das extremidades.
A vibração livre de uma viga de Euler-Bernoulli escalonada em duas partes e com
rigidez de flexão e translação, como mostra a
Figura 2.1, é governada, como descrito no
apêndice A, pela equação (2.1).
2
() () 0, 1,2
iv
ii ii
i
Xx Xx i
c
ω
−==
(2.1)
Definindo,
2
2
4
2
i
i
ii
A
cEI
ρ
ω
ω
β
== (2.2)
Onde:
i
β
: freqüência natural referente a cada trecho de uma viga escalonada.
ω
: freqüência natural circular.
ρ
: massa específica.
11
E
: módulo de elasticidade longitudinal.
I
: momento de inércia.
A
: área da seção transversal.
A solução espacial da equação diferencial ordinária (2.1) para cada trecho da viga, é dada por:
1 1 1 11 2 11 3 11 4 11 1 1
() cos cosh 0
X
xBsenxB xBsenhxB x xL
β
ββ β
=+ + + ≤≤ (2.3)
2 2 5 22 6 22 7 22 8 22 2 2
() cos cosh 0
X
xBsenxB xBsenhxB x xL
β
ββ β
=+ + + ≤≤ (2.4)
Figura 2.1 – Viga escalonada em 2 partes e suportada elasticamente em uma extremidade.
Com:
11RT
kek: constantes de rigidez de rotação e translação, respectivamente.
1
A : área da seção transversal do primeiro trecho.
2
A : área da seção transversal do segundo trecho.
1
I
: momento de inércia do primeiro trecho.
2
I
: momento de inércia do segundo trecho.
1
L
′
: comprimento do primeiro trecho.
2
L
′
: comprimento do segundo trecho.
12
O comprimento adimensional de cada trecho da viga é a relação entre o comprimento
dimensional de cada trecho (metros) e o comprimento total da viga (metros).
i
i
L
L
L
′
=
(2.5)
Onde:
1
L
′
: comprimento dimensional dos trechos da viga (m).
L : comprimento total da viga (m).
i
L : comprimento adimensional dos trechos da viga.
As oito condições de contorno são apresentadas para uma viga apoiada elasticamente
em uma extremidade e livre na outra. Vale ressaltar que os eixos
12
x
ex estudados aqui,
possuem sentidos oposto, mas poderiam ser estudados com o mesmo sentido, já que o
resultado final não se altera com o sentido de tais eixos.
Nas extremidades:
Em
0
1
=x
,
Momento de flexão:
11
2
11 11
11
2
11
00
d() d()
dd
R
xx
Xx Xx
EI k
xx
=
=
= (2.6)
Força de cisalhamento:
1
1
3
11
1111
3
0
1
0
d()
()
d
T
x
x
Xx
EI k X x
x
=
=
=− (2.7)
Em
0
2
=x ,
Momento de flexão:
2
2
22
2
2
2
0
d()
0
d
x
Xx
EI
x
=
=
(2.8)
Força de cisalhamento:
2
3
22
2
3
2
0
d()
0
d
x
Xx
EI
x
=
=
(2.9)
13
Na junção:
Deflexão:
11 2 2
11 2 2
() ()
xL xL
Xx Xx
=
=
= (2.10)
Inclinação:
11 2 2
11 2 2
12
d() d()
dd
xL xL
Xx Xx
xx
=
=
=− (2.11)
Momento de flexão:
11 2 2
22
11 2 2
12
22
12
d() d()
dd
xL xL
Xx Xx
II
xx
=
=
= (2.12)
Força de cisalhamento:
11 2 2
33
11 2 2
12
33
12
d() d()
dd
xL x L
Xx X x
II
xx
=
=
=− (2.13)
As oito condições de contorno, Equação (2.6) a (2.13), fornecem o sistema linear de
equações homogêneas, representada pela matriz de coeficientes,
[
]
H , e o vetor de incógnitas,
{
}
b , cujos elementos são chamados de constante de integração.
22
33
11
11
22 2 2
11
11
12 2 1 2 2
11
11
11 2 2 11 2 2
11
11
11
11 2 2 112 2
11
11
00
() ()
11 11
33
00
() ()
11
11 11
() ( )
() ( )
()( )
()()
RL RL
TL TL
SSH CCH
CCH
SSH
CCH SSH
SSH
CCH
SSH CCH
CCH
SSH
SSH
CCH SSH
CCH
II
II
ββ
ββ
ββ
ββ
ββ
−
−
−+ −+
+−+
−
−−+ −−+
−
−
−+ +
−
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
B
B
B
B
B
B
=
(2.14)
Onde:
= sen
= cos
= senh
= cosh
ii
ii
ii
ii
i
i
i
i
S
C
SH
CH
L
L
L
L
β
β
β
β
(2.15)
14
2
1
1
I
I
I
=
(2.16)
1
1
11R
EI
R
kL
=
(2.17)
1
1
3
11T
EI
T
kL
=
(2.18)
2
1
1
β
β
β
= (2.19)
Onde:
1
β
: freqüência natural do primeiro trecho da viga escalonada.
2
β
: freqüência natural do segundo trecho da viga escalonada.
1
β
: relação das freqüências naturais dos trechos adjacentes.
1
I
: relação entre momentos de inércia de trechos adjacentes.
As oito equações obtidas pelas oito condições de contorno se reduzem a apenas seis
equações e por isso obtém-se uma matriz de coeficientes da ordem 6 6
x
. Isso se deve ao fato
das constantes de integração,
78
B
eB, se igualarem as constantes,
56
B
eB, respectivamente,
como apresentadas nas Equações (2.20) a (2.25).
Em
2
0x = ,
Momento fletor:
()
(
)
(
)
(
)
()
2 22 5 22 6 22 7 22 8
cos cosh 0EIsenxB xBsenhxB xB
ββ β β
−−+ + = (2.20)
()
(
)
(
)
(
)
()
256 7 8
0cos0 0cosh0 0EIsenB BsenhB B−−+ + = (2.21)
(
)
268 68
0EI B B B B
−
+=→= (2.22)
15
Força de cisalhamento:
()
(
)
(
)
(
)
()
2 22 5 22 6 22 7 22 8
cos cosh 0EI xBsenxB xBsenhxB
ββ β β
−++ + = (2.23)
()
(
)
(
)
(
)
()
256 7 8
cos 0 0 cosh 0 0 0EI B sen B B senh B−++ + = (2.24)
(
)
257 57
0EI B B B B
−
+=→= (2.25)
O sistema linear homogêneo é representado pela Equação (2.20), onde
[
]
H é a matriz
dos coeficientes e
{
}
b é o vetor de incógnitas. Para que esse sistema tenha uma solução não
trivial é necessário que
{
}
0b ≠
, o que implica que
[
]
(
)
det 0H
=
.
[
]
{
}
{
}
0Hb= (2.26)
(
)
1,
ˆ
det ( ) 0
k
H
β
=
(2.27)
A matriz
[
]
H é uma função da freqüência natural do trecho 1, que servirá como base
para o cálculo das freqüências dos demais trechos pelas Equações (2.28) a (2.30).
1
1
,1,,
i
iiii
i
in
β
ββββ
β
+
+
=→= = (2.28)
No cálculo do determinante da Equação (2.27) obtém-se a equação característica da
qual é possível determinar
k freqüências naturais referentes à k modos de vibrar.
Como
i
β
pode assumir diferentes valores para diferentes modos de vibrar aplica-se a
relação apresentada na Equação (2.29). Portanto teremos
k diferentes freqüências naturais
para
i
β
.
, -ésima freq.ik i k
ββ
= (2.29)
Onde:
k : k-ésima freqüência natural.
16
1: índice de
β
referente ao primeiro trecho da viga escalonada.
1, k
β
: k-ésima freqüência natural dimensional do primeiro trecho da viga escalonada,
(
)
1
m
−
.
L : comprimento total da viga (m ).
1,
ˆ
k
β
: k-ésima freqüência natural adimensional do primeiro trecho da viga escalonada.
A freqüência natural adimensional do trecho 1,
1,
ˆ
k
β
, pode ser relacionada com a
freqüência natural dimensional do trecho 1,
1, k
β
, pela Equação (2.30).
1, 1,
ˆ
kk
L
ββ
= (2.30)
Baseado na Equação (2.26) obtém-se os valores das freqüências naturais representados
por
1,
ˆ
k
β
, que satisfazem o determinante da matriz
[
]
H
.
2.2 ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA ESCALONADA EM
DUAS PARTES RESTRITA ELASTICAMENTE EM
AMBAS AS EXTREMIDADES
Agora, apresentam-se os cálculos das freqüências naturais de uma viga escalonada e apoiada
em ambas as extremidades. Todo o equacionamento para esse tipo de viga é baseado nas
mesmas condições apresentadas para uma viga escalonada em duas partes e apoiada
elasticamente em apenas uma extremidade. Sendo assim, da Equação (2.1) a (2.2), tem-se:
1 1 1 11 2 11 3 11 4 11 1 1
() cos cosh 0
X
xBsenxB xBsenhxB x xL
β
ββ β
=+ + + ≤≤ (2.31)
2 2 5 22 6 22 7 22 8 22 2 2
() cos cosh 0
X
xBsenxB xBsenhxB x xL
β
ββ β
=+ + + ≤≤ (2.32)
17
Figura 2.2 – Viga escalonada em 2 partes e suportada elasticamente em ambas as
extremidades.
Com:
12 1 2
,,
RR T T
kk kek constantes de rigidez de rotação e translação, respectivamente.
As condições de contorno referentes à extremidade esquerda e a junção da viga da
Figura 2.1 são iguais as da viga da Figura 2.2. Porém, a Figura 2.2 possui a extremidade
direita com apoio elástico e as Equações (2.33)e (2.34)apresentam as condições de contorno
para esse novo caso, o que possibilita a obtenção do sistema de equações lineares
homogêneas, Equação (2.35).
¾ Extremidade direita, Figura 2.2:
Em
0
2
=x ,
Momento de flexão:
22
2
22 22
22
2
22
00
d() ()
d
R
xx
Xx dXx
EI k
xdx
=
=
= (2.33)
Força de cisalhamento:
2
2
3
22
2222
3
0
2
0
d()
()
d
T
x
x
Xx
EI k X x
x
=
=
=− (2.34)
18
11 2
11 11
2
22
3
33
11
33 33
11 1 11 1
)
2
33 33
))
22 22
2
22
11
11
12
12 1 2
11
11
11
112
11
112 11 2
11
11
112
112 11 2
00
0
11
11 11
00
0
11
11
(
00
00
((
00
00
1
C
S
RL RL
TL TL
RL
TL TL
C
SSH
CCH
SSH
S
CCH
SSH
CCH
CCH
SSH
SSH
SSH
CCH
CCH
I
II
I
II
ββ
ββ
ββ
ββ ββ
β
ββ
β
ββ
β
ββ
−
−
−
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
1
2
11 2
3
4
5
6
2
7
3
8
)
2
2
12
11 2
11 2
0
0
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
C
S
RL
CH
SH
H
H
B
B
B
B
B
B
B
I
B
I
ββ
β
β
β
−
−
−
=
(2.35)
Onde:
2
2
22
2
2
3
22
R
T
EI
R
kL
EI
T
kL
=
=
(2.36)
19
Capítulo 3
MODELO DE VIGA ESCALONADA EM INFINITAS
PARTES
Neste capitulo introduz-se a modelagem matemática de vigas escalonadas em infinitas
partes seguindo o mesmo raciocínio do capítulo 2. Neste caso, será estudada uma viga
elasticamente apoiada em uma ou em ambas as extremidades. Os eixos que direcionam os
comprimentos dos diversos trechos da viga possuem um único sentido, diferentemente de
outros casos apresentados em que o último trecho apresentava uma inversão no sentido do
eixo. Assim elabora-se a análise de um modelo de viga com diferentes condições de contornos
e diferentes relações de momentos de inércia da qual se analisa as freqüências naturais e os
modos de vibrações.
3.1 ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA ESCALONADA EM
INFINITAS PARTES
A partir do estudo da teoria de vigas podem-se identificar as freqüências naturais e os
modos de vibrações de uma viga escalonada e apoiada elasticamente.
20
O equacionamento de uma viga de Euler-Bernoulli, em vibração livre e sem
escalonamento, é apresentado por (Inman, 2001). A partir desse modelo matemático que nos
fornece uma base teórica introdutória para casos mais complexos inicia-se, então, o estudo de
vigas do tipo escalonada em infinitas partes e com diferentes suportes elásticos nas
extremidades, conforme Figura 3.1, onde
n é o número de trechos da viga. No Apêndice A
apresenta-se com mais detalhes todo o equacionamento da viga de Euler-Bernoulli e a linha
de raciocínio utilizada para obter as equações que são mostradas neste capítulo.
A equação espacial da viga, é:
2
( ) ( ) 0 , 1,2,...,
iv
ii ii
i
X
xXxin
c
ω
−==
(3.1)
E definindo:
2
2
4
2
i
i
i
i
A
EI
c
ρ
ω
ω
β
== (3.2)
Com:
i
β
- freqüência natural dimensional (m
-1
).
A solução espacial para cada trecho da viga obedece à equação.
123 4
() s cos cosh 0
ii b iib iib iib ii ii
X
x BenxB xBsenhxB x xL
β
ββ β
=++ + ≤≤ (3.3)
com,
1,2,...,
in= : número de trechos da viga.
Para determinar os índices
j
b dos coeficientes
B
da Equação (3.3), define-se:
4( 1), 1,2,3 4
j
bj i j e=+×− = (3.4)
Para determinar o índice dos coeficientes do n-ésimo trecho da viga , deve-se fazer:
21
1, , 4
inej
=
= … (3.5)
e, substituindo a Equação (3.5) na Equação (3.4), tem-se:
1
2
3
4
14( 1)
24( 1)
4( 1)
34( 1)
44( 1)
j
bn
bn
bj n
bn
bn
=+× −
=
+× −
=+× −⇒
=
+× −
=
+× −
(3.6)
Figura 3.1 – Viga escalonada em
n partes.
Onde:
0,1,2,
ii
x
Li n≤≤ =
i
L : comprimento de cada trecho da viga.
i
A : área da seção transversal.
i
I
: momento de inércia.
As oito condições de contorno para uma viga escalonada em
n partes e com apoios
elásticos, são:
• Nas extremidades:
Em
0
1
=x ,
Momento de flexão:
1R
k
1T
k
2R
k
2T
k
1
x
2
x
3
x
1n
x
−
n
x
11
AI
22
AI
33
AI
11nn
AI
−
−
nn
AI
22
11
2
11 11
11
2
11
00
d() d()
dd
R
xx
Xx Xx
EI k
xx
=
=
= (3.7)
Força de cisalhamento:
1
1
3
11
1111
3
0
1
0
d()
()
d
T
x
x
Xx
EI k X x
x
=
=
=− (3.8)
Em
nn
x
L= ,
Momento de flexão:
2
2
2
() ()
nn nn
nn nn
nR
nn
xL xL
dX x dX x
EI k
dx dx
=
=
=
(3.9)
Força de cisalhamento:
3
2
3
() ()
nn nn
nn nn
nT
nn
xL xL
dX x dX x
EI k
dx dx
=
=
=− (3.10)
• Nas junções:
Deflexão:
11
11
0
() () , 2,,
pp p
pp pp
xL x
X
xXxpn
−−
−−
==
== (3.11)
Inclinação:
11
11
1
0
d() d()
dd
pp p
pp pp
pp
xL x
Xx Xx
xx
−−
−−
−
=
=
=− (3.12)
Momento de flexão:
23
11
22
11
1
22
1
0
d() d()
dd
pp p
pp pp
pp
pp
xL x
Xx Xx
II
xx
−−
−−
−
−
=
=
= (3.13)
Força de cisalhamento:
11
33
11
1
33
1
0
d() d()
dd
pp p
pp pp
pp
pp
xL x
Xx Xx
II
xx
−−
−−
−
−
=
=
=−
(3.14)
As constantes de integração,
b
j
B
, que compõem a Equação (3.3) formam o vetor de
incógnitas de ordem
4n . As oito condições de contorno, referentes às extremidades e as
junções, nos fornecem um sistema linear de equações homogêneas que formam a chamada
matriz de coeficientes. Para o caso de uma viga escalonada em “
n ” partes, a matriz de
coeficientes é da ordem 4 4
nx n.
Na seqüência apresenta-se uma generalização da matriz de coeficientes
[
]
H para uma
viga escalonada em
n partes.
• Das condições de contorno nas extremidades, têm-se:
1ª linha:
1
11
()1 ()0 0 0 0 0
11 11
RL RL
ββ
− … (3.15)
2ª linha:
33 33
11
11
00 0 0 0
11 11
TL TL
ββ
− … (3.16)
3ª linha:
(()()()
2 2 11 2 11 2 11
) 00LLLL
nnnn n nnnn nnnn n nnnn n
RSCSR CR SHCHR CHSH
βββββββ
−− −− −−
−+− − −
…
(3.17)
4ª linha:
24
333 3
((( (
2 11 2 11 2 11 2 11
))) )00LLSL LSH
nnn n n nnn n n nnn n n nnn n n
TCST CTCHSHT CH
ββ ββ ββ ββ
−− −− −− −−
−+ + + +
…
(3.18)
• Das condições de contorno nas junções da viga escalonada, têm-se:
5ª linha:
11 1 1 1 1 1 1
00 0S C SH CH S C SH CH−−− − … (3.19)
6ª linha:
11 1111111111
00 0 0SSHCSCHSH C CH
βββ β
−−−−− … (3.20)
7ª linha:
22 2 2
1 1 1 1 111 111 11 1 11 1
00 0IICI ICHSCSHCH S SH
ββ β β
−−−− − … (3.21)
8ª linha:
333 3
1 1 1 1 111 111 11 1 11 1
00 0IC IS I ISHCSCHSH CH
βββ β
−− −− … (3.22)
(4 3)
n − ª linha:
11 1 1 1 1 1 1
000
nn n n n n n n
S C SH CH S C SH CH
−− − − − − − −
−− − −… (3.23)
(4 2)
n − ª linha:
11 11 11 1111 11
000
nn nn nn nnnn nn
C S CH SH C S CH SH
βββ β
−
−−−−−−−−−−−
−−−−−…
(3.24)
(4 1)n − ª linha:
25
22 2 2
1 1 1 1 111 11 1 11 1 11 1
00 IS IC ISH ICH
nnn n nnnnnn nnnnnn
SCSHCH
ββ β β
−−
−−− −−−−−−− −−−−−−
−− −…
(3.25)
4n ª linha:
333 3
0
1 1 1 1 11 1 111 11 1 11 1
0 IC IS ICH ISH
nn n nnnn nnn nnn nnn
CSCHSH
βββ β
−− −
−− − −−−− −−− −−− −−−
−…
(3.26)
Ou então,
26
111 111
33
111 111
2222
333 3
222 2
1()1 ()000000000000
() 1 () 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(() ) () () () 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
() () () () 0
nn nn nn nn
nn nn nn nn
nn n n n n n n
nn nn n n n n
RL RL
TL TL
RLSC SRLCRLSHCHRLCHSH
TLCSTLSCTLCHSHTLSHCH
ββ
ββ
ββββ
βββ β
−
−
−+− − −
−+ + + +
11 1 11111
11 1 111
22
1 1 1 1 11 11
33
1 1 1 1 11 11
11 1
00 0 00 0 0 0 0 0 0
0000 0 0 0 0
0000000000
00 00000000
0000000000
0000 0 0 0 0
0000 0 0 0 0
00 0 00000
nn n n
S C SH CH S C SH CH
CSCHSH
SCSHCH II
CS CH SHII
SCSHCH
ββ
ββ
ββ
−− −
−−− −
−−−
−− −
− −
11 1 1 1
1111
1111
11 1 1
11
22
11
11
33
11
11
00 0 00000 0 0
00 0 00000 0 0
00 0 00000 0 0
nn n n
nnnn
nnn n
nn n n
nn
nn
nn
nn
nn
SCSHCH
CSCHSH
SCSHCH I I
CSCHSH I I
ββ
ββ
ββ
−− − − −
−−−−
−−−−
−− − −
−−
−−
−−
−−
−−
−−− −
−−−
−− −
−−
44nx n
(3.27)
27
1
1
;2,,
p
p
p
p
n
β
β
β
−
−
==… (3.28)
1
1
p
p
p
I
I
I
−
−
= (3.29)
Com,
1
p
β
−
: relação entre freqüências naturais de trechos adjacentes de uma viga escalonada,
1pp
e
β
β
−
: freqüências naturais dimensionais referentes aos trechos,
p
e 1
p
− , da viga
escalonada; (
1/m ).
1p
I
−
: relação entre momentos de inércia adjacentes;
1pp
I
eI
−
: momentos de inércia referentes aos trechos,
p
e
1
p
−
, da viga escalonada.
Antes de resolver o sistema de equações lineares, e para garantir que o determinante da
matriz de coeficientes seja nulo, deve-se fazer uma busca de raízes encontrando-se,
1,
ˆ
k
β
, que
são as freqüências naturais adimensionais. Com a solução do sistema de equações lineares
encontram-se os modos de vibrar da viga.
As vigas estudadas podem apresentar diferentes tipos de seções transversais de área, tais
como, seção retangular de altura constante, seção retangular de base constante e seção
circular. Portanto, quando se utiliza relações de momentos de inércia no desenvolvimento das
equações das condições de contorno, devem-se levar em consideração as relações
apresentadas a seguir.
¾ Tipo 1: seção retangular de altura constante.
1
2, , .
pp
hhh p n
−
=
==… (3.30)
1111 1
ppp p p
pppp p
Abh bhb
Abhbhb
−
−− − −
===
(3.31)
28
1
11
pp
p
pp
Ab
Ab
α
−
−−
==
(3.32)
33
33
11 1
11
12 12
12 12
pp p
pp
pp p
pp
bh bh
I
b
bh bh
I
b
−− −
−
−
=== (3.33)
1
1
p
p
p
I
I
α
−
−
= (3.34)
No Apêndice A encontra-se o equacionamento e hipóteses feitas para obter a expressão
da freqüência natural representado por
i
β
.
2
4
,1,2,,
i
i
i
A
in
EI
ρω
β
== (3.35)
4
2
4
1
4
11
4
4
2
111
1
1
1
1
p
p
ppp
pp
pppp
p
p
A
EI
AI
AI
A
EI
ρω
β
βα
βα
ρω
−
−−
−−−
−
−
== =×=×=
(3.36)
4
1
1
p
β
−
=
(3.37)
¾ Tipo 2: seção retangular de base constante.
1pp
bbb
−
=
= (3.38)
111 11
ppp pp
ppp pp
Abhbhh
Abhbhh
−
−− − −
===
(3.39)
1
11
pp
p
pp
Ah
Ah
α
−
−−
== (3.40)
29
33
3
3
1
33
3
11 1
11
12 12
12 12
pp p
pp
p
pp p
pp
bh bh
Ih
bh bh
Ih
α
−
−− −
−−
==== (3.41)
3
1
1
p
p
p
I
I
α
−
−
=
(3.42)
4
2
4
1
4
11
4
432
2
1111
1
1
11
p
p
ppp
pp
ppppp
p
p
A
EI
AI
AI
A
EI
ρω
β
βα
β
αα
ρω
−
−−
−−−−
−
−
== =×=×=
(3.43)
4
1
2
1
1
p
p
β
α
−
−
= (3.44)
¾ Tipo 3: seção circular.
2
2
1
2
2
1
11
4
4
p
pp
p
p
pp
D
AD
D
AD
π
α
π
−
−
−−
=== (3.45)
1
1
p
p
p
A
A
α
−
−
=
(3.46)
4
4
2
1
4
4
1
11
64
64
p
pp
p
p
pp
D
ID
D
ID
π
α
π
−
−
−−
=== (3.47)
2
1
1
p
p
p
I
I
α
−
−
= (3.48)
30
4
2
4
1
4
11
4
42
2
1111
1
1
11
p
p
ppp
pp
ppppp
p
p
A
EI
AI
AI
A
EI
ρω
β
βα
βαα
ρω
−
−−
−−−−
−
−
== =×=×=
(3.49)
4
1
1
1
p
p
β
α
−
−
=
(3.50)
31
Capítulo 4
VALIDAÇÃO
Este capítulo tem como objetivo validar os resultados obtidos pela autora, através do
programa computacional desenvolvido com os resultados disponíveis na literatura.
4.1 COMPARANDO FREQUENCIAS DE VIGAS
ESCALONADAS EM DUAS PARTES INDEPENDENTE
DE SUA GEOMETRIA
O programa computacional elaborado pela autora permite que se obtenham as
freqüências naturais e os modos de vibrar de uma viga escalonada em
n partes, com diferentes
apoios elásticos e de geometria variável. Os parâmetros de entrada desse programa são:
constante de rigidez, número de escalonamento, dimensão da seção transversal e o
comprimento de cada trecho da viga escalonada. De posse desses dados o programa é capaz
de gerar as freqüências naturais e os modos de vibrar. Cada trecho da viga escalonada é
separado por diferentes cores de acordo com os modos de vibrar.
32
Para fins de comparação, inicialmente, trabalha-se com uma viga escalonada em duas
partes e com diferentes condições de apoios elásticos em apenas uma das extremidades,
mantendo-se livre a outra extremidade. Esses resultados são comparados com os resultados
apresentados por Maurizi e Belles (1993a). O modelo teórico de viga que se utiliza em
Maurizi e Belles (1993a) é o modelo de viga de Euler-Bernoulli, o mesmo modelo utilizado
pela autora.
A Tabela 4.1 e a Tabela 4.2 apresentam as primeiras freqüências fundamentais para
uma viga com apenas uma mudança de seção. Essas freqüências naturais independem da
geometria da viga, mas dependem da relação entre os momentos de inércia
121
/
I
II=
. Os
diferentes apoios elásticos são representados por
R
eT pela facilidade de se trabalhar com
constantes adimensionais. Essas constantes são inversamente proporcionais a rigidez de
rotação e translação,
RT
kek, respectivamente.
Tabela 4.1 – 1ª Freqüência natural – viga livre em uma das extremidades (
22
RT==∞) e
apoiada elasticamente na outra para diferentes relações de momentos de inércia:
1
0,1I = e
1
0,5I = .
Autora Marurizi
11
R
T=
1
0,1I =
1
0,5I =
1
0,1I =
1
0,5I =
∞ 0 0 0 0
500 0,12125 0,09682 0,12125 0,09682
50 0,38278 0,30553 0,38278 0,30553
5 1,19003 0,94611 1,19003 0,94611
0,5 3,19308 2,49360 3,19308 2,49360
0,05 4,73087 3,76972 4,73087 3,76972
0,005 4,97010 4,01059 4,97010 4,01059
0 4,99750 4,03959 4,99750 4,03959
33
Tabela 4.2 – 1ª Freqüência natural – viga livre em uma das extremidades (
22
RT==∞) e
apoiada elasticamente na outra, cujas relações de momentos de inércia são:
1
1I =
,
11
5, 10II
=
= .
Autora Marurizi
11
R
T=
1
1I =
1
5I =
1
10I
=
1
1I
=
1
5I =
1
10I
=
∞ 0 0 0 0 0 0
500 0,08564 0,61640 0,05280 0,08564 0,61640 0,05280
50 0,27019 0,19440 0,16649 0,27019 0,19440 0,16649
5 0,83520 0,59891 0,51243 0,83520 0,59891 0,51243
0,5 2,18019 1,53526 1,30649 2,18019 1,53526 1,30649
0,05 3,27873 2,27567 1,92740 3,27873 2,27567 1,92740
0,005 3,49034 2,41974 2,04815 3,49034 2,41974 2,04815
0 3,51605 2,43734 2,06292 3,51605 2,43734 2,06292
4.2 COMPARANDO FREQUENCIAS DE VIGAS
ESCALONADAS EM ATÉ QUATRO PARTES PARA
DIFERENTES SEÇÕES TRANSVERSAIS:
RETANGULAR OU CIRCULAR
Em Naguleswaran (2002c) encontram-se as freqüências naturais de uma viga com até
três mudanças de seções e com condições clássicas de suportes: engastada, apoiada, deslizante
e livre, ver Figura 4.1. O modelo matemático da viga em questão foi desenvolvido usando a
teoria de viga de Euler- Bernoulli.
34
Figura 4.1 – Viga escalonada com três mudanças de seções de área, Naguleswaran (2002c).
Onde:
x: deslocamento longitudinal de cada trecho da viga.
y: deslocamento transversal de cada trecho.
L: comprimento de cada trecho, 0
≤
R
≤
1 ⇒ 0
≤
x
≤
RL
0: origem dos eixos: x e y.
k
r
: constante de rigidez de rotação.
k
t
: constante de rigidez de translação.
A comparação é feita a partir de vigas escalonadas e com diferentes seções transversais
de área: retangular ou circular. A Tabela 4.3 apresenta as três primeiras freqüências naturais
de uma viga de seção retangular de altura constante, a Tabela 4.4 apresenta as freqüências de
uma viga de seção retangular de base constante e a Tabela 4.5 de uma viga de seção circular.
As Tabelas, 4.3 a 4.8, apresentam os resultados gerados pela autora sob as mesmas
condições de apoios e de geometria em que se encontram as vigas apresentadas por
Naguleswaran (2002c). Vale ressaltar que a Tabela 4.3 a Tabela 4.8 referentes a uma viga
com apenas duas mudanças de seções possuem como parâmetros de dimensão para o diâmetro
de uma viga de seção circular e para vigas de seção retangular, os seguintes valores: 1,0
m
para o primeiro trecho, 0,80
m para o segundo trecho e 0,25 m para o terceiro trecho.
Adotou-se também, os seguintes parâmetros de comprimentos de viga: 0,25
m para o
primeiro comprimento, 0,3
m para o segundo comprimento e 0,45 m para o terceiro
comprimento. Nota-se que a soma de todos os comprimentos citados equivale a uma unidade,
adimensionalisando os resultados.
35
As vigas com três mudanças de seções possuem como parâmetros de dimensão para o
diâmetro de uma viga de seção circular e para vigas de seção retangular, os seguintes valores:
1, 0
m para a primeira seção transversal da viga, 0,80 m para a segunda seção, 0,65 m para a
terceira e 0,25
m para a quarta. Quanto aos comprimentos deste tipo de viga, adotou-se:
0, 25 m para o primeiro comprimento, 0,3 m para o segundo comprimento, 0, 25 m para o
terceiro e
0, 2 m para o quarto.
¾ Tipo 1: seção retangular de altura constante: h = const.
Figura 4.2 – Viga Tipo 1
Onde:
h: altura da seção retangular da viga.
b: base da seção retangular da viga.
A Tabela 4.3 compara as três primeiras freqüências fundamentais de uma viga com duas
mudanças de seções de área e com condições clássicas de suportes.
h
h
b
1
b
2
36
Tabela 4.3 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção retangular de altura
constante com duas mudanças de seções.
Autora Naguleswaran
1
R
1
T
2
R
2
T
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
0 0 0
0
4,59808 7,99230 10,93237 4,59808 7,99230 10,93237
0 0
∞
0 3,98751 7,24824 10,05924 3,98751 7,24824 10,05924
0 0 0
∞
2,80553 5,51936 8,64029 2,80553 5,51936 8,64029
0 0
∞ ∞
4,46944 4,77619 7,97117 4,46944 4,77619 7,97117
∞
0 0 0 3,62147 7,09001 10,26138 3,62147 7,09001 10,26138
∞
0
∞
0 2,96115 6,41646 9,33189 2,96115 6,41646 9,33189
∞
0 0
∞
1,48811 4,78826 7,74840 1,48811 4,78826 7,74840
∞
0
∞ ∞
4,05865 7,08509 10,23726 4,05865 7,08509 10,23726
0
∞
0 0 2,03991 5,31298 8,81343 2,03991 5,31298 8,81343
0
∞ ∞
0 1,50205 4,67839 7,97006 1,50205 4,67839 7,97006
0
∞
0
∞
3,34398 6,16659 9,51709 3,34398 6,16659 9,51709
0
∞
0 0 2,83322 5,42325 8,78487 2,83322 5,42325 8,78487
∞ ∞
0 0 1,37382 4,29261 7,95961 1,37382 4,29261 7,95961
∞ ∞ ∞
0 3,58748 7,20663 10,04428 3,58748 7,20663 10,04428
∞ ∞
0
∞
2,02607 5,41145 8,61218 2,02607 5,41145 8,61218
∞ ∞ ∞ ∞
4,62514 7,93631 10,90617 4,62514 7,93631 10,90617
A Tabela 4.4 compara as três primeiras freqüências fundamentais de uma viga, agora,
com três mudanças de seções e com condições clássicas de suportes.
37
Tabela 4.4 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção retangular de altura
constante com três mudanças de seções.
Autora Naguleswaran
1
R
1
T
2
R
2
T
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
0 0 0
0
4,54053 7,66031 10,80888 4,54053 7,66031 10,80888
0 0
∞
0 3,97252 6,99941 10,15323 3,97252 6,99941 10,15323
0 0 0
∞
2,57248 5,63072 8,76359 2,57248 5,63072 8,76359
0 0
∞ ∞
2,28469 5,13316 8,08297 2,28469 5,13316 8,08297
∞
0 0 0 3,63486 6,83813 10,01235 3,63486 6,83813 10,01235
∞
0
∞
0 3,09682 6,18383 9,34252 3,09682 6,18383 9,34252
∞
0 0
∞
1,48529 4,77480 7,96461 1,48529 4,77480 7,96461
∞
0
∞ ∞
4,31315 7,33089 10,24003 4,31315 7,33089 10,24003
0
∞
0 0 2,03566 5,25561 8,43005 2,03566 5,25561 8,43005
0
∞ ∞
0 1,55612 4,64930 7,75729 1,55612 4,64930 7,75729
0
∞
0
∞
3,16859 6,38971 9,25222 3,16859 6,38971 9,25222
0
∞
0 0 2,74426 5,85544 8,78862 2,74426 5,85544 8,78862
∞ ∞
0 0 1,45296 4,35361 7,60522 1,45296 4,35361 7,60522
∞ ∞ ∞
0 3,77438 6,93279 10,13313 3,77438 6,93279 10,13313
∞ ∞
0
∞
2,07263 5,53861 8,72535 2,07263 5,53861 8,72535
∞ ∞ ∞ ∞
5,05064 8,03610 10,96791 5,05064 8,03610 10,96791
¾ Tipo 2: seção retangular de base constante: b = const.
Figura 4.3 – Viga Tipo 2
h
1
h
2
b
b
38
A Tabela 4.5 compara as três primeiras freqüências fundamentais de uma viga com duas
mudanças de seções e com condições clássicas de suportes.
Tabela 4.5 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção retangular de base
constante com duas mudanças de seções.
Autora Naguleswaran
1
R
1
T
2
R
2
T
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
0 0 0
0
3,37467 5,39027 7,57021 3,37467 5,39027 7,57021
0 0
∞
0 3,09698 4,70076 7,20443 3,09698 4,70076 7,20443
0 0 0
∞
2,27086 3,66693 6,06704 2,27086 3,66693 6,06704
0 0
∞ ∞
1,91051 3,35379 5,36889 1,91051 3,35379 5,36889
∞
0 0 0 2,09077 5,06333 6,71411 2,09077 5,06333 6,71411
∞
0
∞
0 1,64092 4,36785 6,40669 1,64092 4,36785 6,40669
∞
0 0
∞
0,76296 2,93223 5,63318 0,76296 2,93223 5,63318
∞
0
∞ ∞
2,38127 5,03344 6,71429 2,38127 5,03344 6,71429
0
∞
0 0 1,32653 3,92770 5,63374 1,32653 3,92770 5,63374
0
∞ ∞
0 0,95097 3,57272 5,01493 0,95097 3,57272 5,01493
0
∞
0
∞
2,47944 4,20578 6,31552 2,47944 4,20578 6,31552
0
∞
0 0 2,02204 3,90129 5,61926 2,02204 3,90129 5,61926
∞ ∞
0 0 0,69135 2,37927 5,30588 0,69135 2,37927 5,30588
∞ ∞ ∞
0 1,92118 4,56113 7,11237 1,92118 4,56113 7,11237
∞ ∞
0
∞
1,02788 3,13190 5,99566 1,02788 3,13190 5,99566
∞ ∞ ∞ ∞
2,58073 5,28004 7,47286 2,58073 5,28004 7,47286
A Tabela 4.6 compara as três primeiras freqüências fundamentais de uma viga, agora,
com três mudanças de seções e com condições clássicas de suportes.
39
Tabela 4.6 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção retangular de base
constante com três mudanças de seções.
Autora Naguleswaran
1
R
1
T
2
R
2
T
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
0 0 0
0
3,54196 5,81163 8,48186 3,54196 5,81163 8,48186
0 0
∞
0 3,02686 5,42184 8,10835 3,02686 5,42184 8,10835
0 0 0
∞
2,24864 4,67662 6,62451 2,24864 4,67662 6,62451
0 0
∞ ∞
2,17847 4,23574 5,92195 2,17847 4,23574 5,92195
∞
0 0 0 2,74595 5,10046 7,79273 2,74595 5,10046 7,79273
∞
0
∞
0 2,24074 4,63823 7,43284 2,24074 4,63823 7,43284
∞
0 0
∞
0,82263 3,93483 6,12866 0,82263 3,93483 6,12866
∞
0
∞ ∞
3,66238 5,35976 7,77966 3,66238 5,35976 7,77966
0
∞
0 0 1,57406 3,99328 6,44533 1,57406 3,99328 6,44533
0
∞ ∞
0 1,31710 3,44878 6,08173 1,31710 3,44878 6,08173
0
∞
0
∞
2,67809 5,19487 7,09858 2,67809 5,19487 7,09858
0
∞
0 0 2,56278 4,59567 6,48589 2,56278 4,59567 6,48589
∞ ∞
0 0 0,76173 3,18169 5,65333 0,76173 3,18169 5,65333
∞ ∞ ∞
0 2,58284 5,23524 8,02344 2,58284 5,23524 8,02344
∞ ∞
0
∞
1,12378 4,47901 6,52987 1,12378 4,47901 6,52987
∞ ∞ ∞ ∞
4,07605 5,79084 8,38432 4,07605 5,79084 8,38432
¾ Tipo 3: seção circular.
Figura 4.4 – Viga Tipo 3
Onde:
D: diâmetro.
D
1
D
2
40
A Tabela 4.7 compara as três primeiras freqüências fundamentais de uma viga com duas
mudanças de seções e com condições clássicas de suportes.
Tabela 4.7 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção circular com duas
mudanças de seções.
Autora Naguleswaran
1
R
1
T
2
R
2
T
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
0 0 0
0
3,60940 5,32482 7,81534 3,60940 5,32482 7,81534
0 0
∞
0 3,46095 4,55454 7,48658 3,46095 4,55454 7,48658
0 0 0
∞
2,50056 3,73081 6,10024 2,50056 3,73081 6,10024
0 0
∞ ∞
2,02880 3,59685 5,29414 2,02880 3,59685 5,29414
∞
0 0 0 1,65176 5,17145 6,71526 1,65176 5,17145 6,71526
∞
0
∞
0 1,30967 4,36171 6,56606 1,30967 4,36171 6,56606
∞
0 0
∞
0,64063 2,75617 5,86510 0,64063 2,75617 5,86510
∞
0
∞ ∞
2,21508 5,13500 6,71537 2,21508 5,13500 6,71537
0
∞
0 0 1,01312 4,20848 5,45112 1,01312 4,20848 5,45112
0
∞ ∞
0 0,72038 3,91144 4,82339 0,72038 3,91144 4,82339
0
∞
0
∞
2,57137 4,34916 6,20368 2,57137 4,34916 6,20368
0
∞
0 0 2,06166 4,19033 5,42730 2,06166 4,19033 5,42730
∞ ∞
0 0 0,49658 1,89189 5,26926 0,49658 1,89189 5,26926
∞ ∞ ∞
0 1,54446 4,43732 7,35818 1,54446 4,43732 7,35818
∞ ∞
0
∞
0,84953 2,85446 6,05390 0,84953 2,85446 6,05390
∞ ∞ ∞ ∞
2,32137 5,23477 7,63563 2,32137 5,23477 7,63563
A Tabela 4.8 compara as três primeiras freqüências fundamentais de uma viga, agora,
com três mudanças de seções e com condições clássicas de suportes.
41
Tabela 4.8 – Freqüências naturais adimensionais de uma viga de seção circular com três
mudanças de seções.
Autora Naguleswaran
1
R
1
T
2
R
2
T
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
0 0 0
0
3,31284 5,73164 8,58414 3,31284 5,73164 8,58414
0 0
∞
0 2,93302 5,53728 8,33686 2,93302 5,53728 8,33686
0 0 0
∞
2,54342 5,00130 6,44322 2,54342 5,00130 6,44322
0 0
∞ ∞
2,51010 4,44542 5,81961 2,51010 4,44542 5,81961
∞
0 0 0 2,40348 4,86328 7,81806 2,40348 4,86328 7,81806
∞
0
∞
0 1,88817 4,61149 7,60874 1,88817 4,61149 7,60874
∞
0 0
∞
0,66734 4,21222 6,05005 0,66734 4,21222 6,05005
∞
0
∞ ∞
3,96743 5,17952 7,80941 3,96743 5,17952 7,80941
0
∞
0 0 1,41366 3,69092 6,39467 1,41366 3,69092 6,39467
0
∞ ∞
0 1,12083 3,32455 6,20788 1,12083 3,32455 6,20788
0
∞
0
∞
2,93749 5,41830 6,86277 2,93749 5,41830 6,86277
0
∞
0 0 2,87933 4,64564 6,42345 2,87933 4,64564 6,42345
∞ ∞
0 0 0,55143 2,71900 5,44898 0,55143 2,71900 5,44898
∞ ∞ ∞
0 2,13937 5,22801 8,21372 2,13937 5,22801 8,21372
∞ ∞
0
∞
0,88598 4,73198 6,32247 0,88598 4,73198 6,32247
∞ ∞ ∞ ∞
4,28630 5,59020 8,44836 4,28630 5,59020 8,44836
4.3 COMPARANDO FREQUENCIAS DE VIGAS
ESCALONADAS COM VIGAS COM ATUADORES
PIEZELÉTRICOS INCORPORADOS
Os sensores piezelétricos quando integrados a uma viga é capaz de detectar deformação
estrutural. Esses sensores provocam descontinuidade e mudança nas propriedades da viga:
adicionando massa, rigidez e novas propriedades elétricas. Os materiais cerâmicos podem ser
42
usados como sensores ou atuadores, pois apresentam como característica gerar tensão elétrica
quando deformados e vice-versa.
Maurini et al. (2006) estudaram diversos métodos numéricos para fazer a análise
dinâmica de uma viga submetida a ação de materiais piezelétricos e modelada pela teoria de
viga de Euler-Bernoulli. Posto isto, foi apresentado uma tabela com as quatro primeiras
freqüências naturais (em Hertz) de uma viga descontínua de alumínio com atuadores
piezelétricos integrados, ver Figura 4.5.
Figura 4.5 – Viga com materiais piezelétricos incorporados, Maurini et al. (2006).
Onde:
l
: comprimento de cada trecho.
X: deslocamento transversal.
V : voltagem.
h : altura da viga.
S: segmento.
ω
: largura da viga.
p: índice referente ao piezelétrico.
b: índice referente à viga sem sensores.
43
A Tabela 4.9 apresenta informações sobre os dados geométricos da viga submetida à
atuação dos piezelétricos, conforme a Figura 4.3.
Tabela 4.9 – Dados geométricos da viga sob a ação dos materiais piezelétricos, Maurini et al.
(2006).
Dimensões (mm) da viga com materiais piezelétricos incorporados
1
5, 0l =
2
36,5l =
3
6,0l
=
4
36,5l
=
5
117,0l =
201,0l =
17,6
p
w =
20,0
b
w
=
0,267
p
h
=
2,85
p
h =
Devido à descontinuidade da viga gerada pela atuação dos materiais cerâmicos é
possível, como primeira aproximação, comparar as propriedades deste tipo de estrutura com
relação às propriedades de uma viga escalonada pela simples mudança de seção. A validação
teórica feita aqui é baseada em vigas com diferentes tipos de materiais, mas semelhantes nos
parâmetros geométricos e nas condições de apoios elásticos, o que confere a ambas as vigas
semelhança também nas freqüências naturais, conforme Tabela 4.10.
Tabela 4.10 – Freqüências naturais em ( )
Hz de uma viga com materiais piezelétricos
incorporados.
1
()
f
Hz
2
()
f
Hz
3
()
f
Hz
4
()
f
Hz
Maurini et al. (2006) 66,69 363,59 1001,24 1954,99
Autora 66,43 370,11 1023,9 1994,7
Desvio 0,39% 1,76% 2,21% 1,99%
44
Capítulo 5
EXPERIMENTO
5.1 ANÁLISE EXPERIMENTAL
A parte experimental do presente trabalho foi realizada no Laboratório de Vibrações
Mecânica do IEM da Unifei. A finalidade dessa etapa consiste em levantar experimentalmente
as propriedades do sistema dinâmico em estudo buscando medir as freqüências fundamentais
de vigas uniformes e escalonadas a fim de comparar as freqüências (teórica) com as
freqüências medidas nos ensaios. Assim, realizaram-se cinco ensaios diferentes, com cinco
tipos de estruturas, a fim de variar consideravelmente os parâmetros de teste e verificar a
robustez dos resultados numéricos.
Foram ensaiadas cinco vigas de alumínio de extremidades livres com comprimento
médio de 321, 22
mm , das quais duas são vigas uniformes com diâmetros 30,044 mm
φ
e
20,002
mm
φ
. As demais vigas são escalonadas: a primeira possui metade do comprimento
com 14,996
mm
φ
e a outra metade com 20,005 mm
φ
; a segunda possui 2/3 do comprimento
com 14,967
mm
φ
e 1/3 do comprimento com 20,007 mm
φ
; e a terceira possui 1/3 do
comprimento com 9,941
mm
φ
, outro terço com 14,976 mm
φ
e o final com 20,008 mm
φ
.
Os valores dos diâmetros apresentados foram medidos com um micrômetro analógico e
referem-se às médias de algumas medições.
45
Na aquisição dos sinais utilizou-se um acelerômetro e um analisador de sinais.
Inicialmente, a estrutura é colocada em vibração livre por meio de uma força impulsiva. Em
seguida, o sinal fornecido pelo acelerômetro, adequadamente posicionado na viga, é
armazenado no analisador de sinais.
5.2 DESCRIÇÃO DO ENSAIO
Inicialmente, fez-se o ensaio de uma viga de alumínio, uniforme, com
321,22 mm
de
comprimento e com
30,044 mm
de diâmetro. A viga é fixada ao teto por meio de elásticos,
amarrados nas extremidades, simulando uma viga livre no espaço, conforme Foto 5.1. A
estrutura é colocada em oscilação mediante a aplicação de um impulso usando um martelo
instrumentado com o intuito de obter as freqüências fundamentais em Hz. O sinal captado
pelo acelerômetro, fixado à estrutura vibrante, é transmitido ao analisador de sinais. O
analisador é capaz de receber e armazenar um número bastante grande de sinais do
acelerômetro em curtos intervalos de tempo, permitindo a obtenção dos gráficos: resposta no
tempo e espectro de freqüência.
Foto 5.1 – Viga uniforme de alumínio:
30,044 mm
φ
.
Neste primeiro ensaio, aplicaram-se cinco diferentes forças impulsivas e adotou-se
aquela que foi capaz de gerar os resultados mais satisfatórios. A partir daí, gerou-se um
gráfico da resposta no tempo e outro do espectro de freqüência.
46
O segundo ensaio foi realizado usando uma viga de alumínio, uniforme, agora, com
321,22
mm de comprimento e com 20,002 mm de diâmetro, conforme Foto 5.2. Procedeu-se
da mesma maneira que a viga de diâmetro 30,044
mm
φ
para que de posse dos dados fosse
possível fazer uma primeira aproximação dos parâmetros dinâmicos da viga.
Foto 5.2
– Viga uniforme de alumínio: 20,0024 mm
φ
.
Posteriormente, realizaram-se os três últimos ensaios referentes as vigas escalonadas de
alumínio. O procedimento destes ensaios é semelhante ao primeiro teste como se apresenta
em: Foto 5.3, Foto 5.4
e Foto 5.5.
Foto 5.3
– Viga escalonada de alumínio: 1/2 do comprimento 14,996 mm
φ
e 1/2 do
comprimento 20,0052
mm
φ
.
47
Foto 5.4
– Viga escalonada de alumínio: 2/3 do comprimento 14,9672 mm
φ
e 1/3 do
comprimento
20,0068 mm
φ
.
Foto 5.5
– Viga escalonada de alumínio: 1/3 do comprimento
9,9408 mm
φ
, 1/3 do
comprimento 14,9764
mm
φ
e 1/3 do comprimento 20,0084 mm
φ
.
48
5.3 FREQUÊNCIAS FUNDAMENTAIS
Os ensaios no laboratório objetivaram a determinação das propriedades dinâmicas das
vigas como suas freqüências naturais. Essas grandezas são úteis para a previsão do
comportamento dinâmico da máquina em funcionamento e para o estabelecimento de regiões
seguras (aceitáveis) de operação, acima e abaixo das freqüências naturais. Para se determinar
essas freqüências em laboratório, excitou-se a estrutura em diferentes regiões com a ajuda de
um martelo instrumentado.
As Tabelas, (5.3) a (5.16), comparam os resultados obtidos nos ensaios com os valores
gerados pelo programa computacional. Há uma boa concordância entre os resultados teóricos
e os experimentais. As freqüências medidas em laboratório apresentam-se em Hertz, enquanto
que o programa computacional gera valores adimensionais,
1,
ˆ
k
β
, que é substituído na
Equação (5.1) para o cálculo das freqüências em
Hz e posterior comparação.
¾ Cálculo da freqüência natural:
2
1,
ˆ
k
k
EI
LA
β
ω
ρ
=
(5.1)
2
k
f
ω
π
= (5.2)
Onde,
k
ω
: k -ésima freqüência natural circular (rad/s)
1,
ˆ
k
β
: freqüência natural adimensional do primeiro trecho da viga escalonada.
k : índice que indica o modo de vibrar.
1: índice referente à freqüência do primeiro trecho da viga.
As Tabelas, 5.3 a 5.16, apresentam o índice de esbeltez,
λ
, e se verifica a concordância
com a seguinte relação 0,05
i
λ
≤ . O índice de esbeltez é a relação geométrica entre o menor
raio de giração da área da seção transversal e o comprimento da viga.
49
¾ Cálculo do índice de esbeltez:
0,1
i
i
i
r
L
λ
=≤
′
(5.3)
i
i
i
I
r
A
= (5.4)
De acordo com (Lima Jr & Arantes, 2000) e (Han et al., 1999) quando se utiliza do
modelo de viga de Euler-Bernoulli e a relação 0,05
i
λ
≤
é satisfeita, obtém-se ótimos
resultados no 1° modo de vibrar para uma viga uniforme. Os resultados obtidos mediante o
modelo de viga de Euler-Bernoulli concordam satisfatoriamente com os resultados
apresentados pelo modelo de Timoshenko, que é o modelo que apresenta melhor
concordância com os resultados experimentais, conforme Figura 5.1 e Tabela 5.1.
A Figura 5.1 apresenta o desvio ( %) entre os resultados obtidos pelo modelo de Euler-
Bernoulli e os de Timoshenko para diferentes valores de índice de esbeltez,
λ
. Analisando a
primeira freqüência natural adimensional,
1,1
ˆ
β
, observa-se que para a relação 0,05
i
λ
≤ , já é
possível obter bons desvios, em torno de 4%, como mostrado na Tabela 5.1. Entretanto, ao
analisar a segunda freqüência natural adimensional,
1,2
ˆ
β
, o desvio sobe para
aproximadamente 11%, que é um valor, também, bastante satisfatório e aceitável dentro dos
padrões da engenharia. Observa-se que quando a relação do índice de esbeltez cai para valores
como 0,04; 0,03; 0,02 ou 0,01, os desvios entre os modelos Euler-Bernoulli e Timoshenko
tendem a cair consideravelmente.
Tabela 5.1 – Desvio Percentual Relativo entre Euler-Bernoulli/Timoshenko -
viga livre-livre.
1,
ˆ
k
β
λ
Desvio %
1k
=
2k
=
3k
=
0,05
0,05
0,05
4,4
11,35
19,85
50
Figura 5.1
– Desvio percentual relativo para as três primeiras freqüências,
1,1 1,2 1,3
ˆˆ ˆ
,
e
β
ββ
, de
uma viga continua de Euler-Bernoulli comparada a uma viga de Timoshenko.
O desvio percentual dos valores experimentais em relação aos valores teóricos de
modelos como Euler-Bernoulli, cisalhamento e Timoshenko é apresentado na Tabela 5.2, de
acordo com Traill-Nash & Collar (1953) apud Han et al. (1999). Os ensaios experimentais
para o cálculo dos desvios da Tabela 5.2 basearam-se em vigas espessas, ao contrário das
vigas utilizadas nos ensaios deste trabalho. Porém, como primeira aproximação, a Tabela 5.2
pode ser utilizada para comparar e analisar a qualidade dos resultados da autora.
Tabela 5.2
– Desvio percentual entre valores experimentais e valores teóricos, segundo Traill-
Nash & Collar (1953).
Modelos de Viga 1ª Freqüência natural 2ª Freqüência natural
Euler-Bernoulli +14% a +26% +78% a +133%
Cisalhamento 0% a +3% -1% a +6%
Timoshenko -1% a +2% -1% a +6%
O módulo de Elasticidade,
E , é medido através do ensaio de flexão. Inicialmente adota-
se o valor do deslocamento que será aplicado na região central entre os apoios da viga. A
máquina (ver Figura 5.6) destinada ao ensaio de flexão é programada para que uma viga, com
51
uma esfera na ponta, desça e aplique a força necessária ao deslocamento desejado. A partir
daí, a máquina fornece o valor da deflexão (em milímetros) e a força (em Newton).
Foto 5.6 – Ensaio de flexão.
¾ Cálculo do módulo de elasticidade
3
48
Fe
E
I
δ
= (5.5)
Com,
451
3,85
10
240
FN
mm
Dmm
emm
δ
=
=
=
=
(5.6)
Onde:
δ
: deflexão.
e : distância entre os apoios da viga.
I
: momento de inércia.
D
: diâmetro da viga.
Portanto,
52
68,73EGPa
=
(5.7)
¾ Cálculo da massa específica:
m
V
ρ
=
′
(5.8)
VAL
′
=
(5.9)
2
4
D
A
π
= (5.10)
Com,
617,20
30,004
321,22
mg
Dmm
hmm
=
=
=
(5.11)
Onde:
ρ
: massa específica.
m : massa.
L : comprimento total da viga.
A : área.
V
′
: volume
D : diâmetro.
Logo,
3
2710,3 /kg m
ρ
= (5.12)
A Tabela 5.3 apresenta o desvio percentual entre os valores experimentais e os valores
calculados das freqüências, referente à viga continua de diâmetro 30,044 mm
φ
. Neste caso,
observa-se que o desvio apresentado para a primeira freqüência natural é bem pequeno e
insignificante.
53
Tabela 5.3 - Viga uniforme - 30,044 mm
φ
- Desvio (%) entre os valores experimentais e os
valores teóricos da primeira, segunda e terceira freqüência natural.
Viga Uniforme:
30,044 mm
φ
Índice de Esbeltez: 0,0233
λ
=
f
(Hz)
Valor
Experimental
Valor
Calculado
Desvio
%
1ª 1301 1305,3 0,33
2ª 3468,75 3598,1 3,60
3ª 6078,13 7002,5 13,20
A Tabela 5.4 apresenta o desvio percentual entre os dados experimentais e os
calculados, referente à viga uniforme de diâmetro 20,002 mm
φ
. Neste caso, observa-se uma
melhora no desvio percentual em relação à viga uniforme de diâmetro
30,044 mm
φ
. Isso se
deve a diminuição da rigidez e do raio de giração da estrutura, isto é, a diminuição do índice
de esbeltez.
Tabela 5.4
- Viga uniforme - 20,002 mm
φ
- Desvio (%) entre os valores experimentais e os
valores teóricos da primeira, segunda e terceira freqüência natural.
Viga Uniforme:
20,002 mm
φ
Índice de Esbeltez: 0,0156
λ
=
f
(Hz)
Valor
Experimental
Valor
Calculado
Desvio
%
1ª 875 869 0,69
2ª 2375 2395,5 0,86
3ª 4500 4662 3,48
A Tabela 5.5 apresenta desvios percentuais de valores relativamente baixos devido aos
efeitos da geometria, como por exemplo, a mudança da seção transversal ao longo da viga.
54
Tabela 5.5 - Viga escalonada – 1/2 L - 14,996 mm
φ
e 1/2 L - 20,005 mm
φ
- Desvio (%)
entre os valores experimentais e os valores teóricos da primeira, segunda e terceira freqüência
natural.
Viga Escalonada:
1
2
L -
14,996 mm
φ
e
1
2
L -
20,005 mm
φ
Índice de Esbeltez:
12
0,0233 e 0,0311
λ
λ
=
=
f
(Hz)
Valor
Experimental
Valor
Calculado
Desvio
%
1ª 709,4 646,4 8,88
2ª 2116 1947,5 7,96
3ª 3510 3641,8 3,62
A Tabela 5.6 apresenta as freqüências naturais de uma viga escalonada com os
diâmetros: 2/3 L -
14,967 mm
φ
e 1/3 L -
20,007 mm
φ
. Verifica-se que o comportamento
dinâmico dessa estrutura é semelhante ao apresentado pela viga escalonada - 1/2 L -
14,996 mm
φ
e 1/2 L -
20,005 mm
φ
.
Tabela 5.6 - Viga escalonada – 2/3 L -
14,967 mm
φ
e 1/3 L -
20,007 mm
φ
- Desvio (%)
entre os valores experimentais e os valores teóricos da primeira, segunda e terceira freqüência
natural.
Viga Escalonada:
2
3
L
- 14,967 mm
φ
e
1
3
L - 20,007 mm
φ
Índice de Esbeltez:
1
0,0175
λ
=
e
2
0,0467
λ
=
f
(Hz)
Valor
Experimental
Valor Calculado
Desvio
%
1ª 643,7 578,6 10,11
2ª 1870 1738 7,06
3ª 3792 3597 5,14
De acordo com os valores das freqüências naturais de uma viga escalonada com os
seguintes diâmetros: 1/3 L - 9,941 mm
φ
, 1/3 L - 14,976 mm
φ
e 1/3L 20,008 mm
φ
,
55
verifica-se que à medida que se aumenta o número de escalonamentos de uma estrutura ocorre
uma diminuição nos valores das freqüências, porém, haverá um aumento no desvio percentual
entre os valores experimentais e calculados.
Tabela 5.7 - Viga escalonada – 1/3 L -
9,941 mm
φ
, 1/3 L - 14,976 mm
φ
e
1/3L 20,008 mm
φ
- Primeira freqüência natural.
Viga Escalonada:
1
3
L
- 9,941 mm
φ
,
1
3
L
- 14,976 mm
φ
e
1
3
L
- 20,008 mm
φ
Índice de Esbeltez:
1
0,0232
λ
=
,
2
0,0350
λ
=
e
3
0,0467
λ
=
f
(Hz)
Valor
Experimental
Valor
Calculado
Desvio
%
1ª 587,1 518 11,77
2ª 1573 1375 12,58
Quando se trabalha com vigas escalonadas, o desvio percentual entre valores teóricos e
valores experimentais, tende a aumentar um pouco, mas os valores obtidos estão dentro do
esperado pela literatura. Uma viga escalonada com as seguintes características: (1/ 2)
L -
14,996 mm
φ
, (1 / 2) L - 20,005 mm
φ
, índice de esbeltez,
1
0,0233
λ
=
e
2
0,0311
λ
= ,
apresenta-se com um desvio percentual de 8,88%. Uma viga escalonada com as
características: (2 / 3)
L - 14,967 mm
φ
, (1 / 3) L - 20,007 mm
φ
, índice de esbeltez,
1
0,0175
λ
= e
2
0,0467
λ
= , apresenta-se com um desvio percentual de 10,113%. Já uma viga
escalonada com as características: (1/ 3)
L - 9,941 mm
φ
,(1/3)L - 14,976 mm
φ
,(1/3)L -
20,008 mm
φ
, índice de esbeltez,
1
0,0232
λ
=
,
2
0,0350
λ
=
e
3
0,0467
λ
=
apresenta-se com
um desvio percentual de 11,77%. Segundo (Han et al., 1999) é possível obter desvios
percentuais de 14% a 26% quando se compara os resultados teóricos obtidos a partir do
modelo de Euler-Bernoulli, com os resultados experimentais. Portanto verifica-se que os
resultados apresentados pela autora são bastante satisfatórios, pois os desvios se apresentam
com valores abaixo da margem estabelecida pela literatura.
56
5.4 ESPECTRO DE FREQÜÊNCIA
5.4.1 VIGA UNIFORME
Dos casos estudados, obteve-se em média 15 gráficos referentes ao espectro de
freqüência, dentre esses gráficos apresenta-se os 5 gráficos com as freqüências naturais mais
nítidas.
A Figura 5.2 apresenta as freqüências fundamentais em Hz de uma estrutura continua
com
30,044 mm
φ
. Utilizou-se nos ensaios um sinal de excitação impulsiva. A primeira
freqüência natural foi indicada no gráfico. O espectro de freqüência apresentado na Figura 5.2
possui amplitude na forma de decibel de aceleração.
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
X: 1301
Y: -5.682
Viga Contínua:
φ
30 (mm)
Freqüência (Hz)
dB (m/s
2
)
Figura 5.2 – Espectro de freqüência – viga uniforme, 30,044
mm
φ
.
Na
Figura 5.3 identificam-se os valores dos picos referentes às três primeiras
freqüências naturais de uma viga uniforme com um diâmetro de 20,002
mm
φ
. Observa-se
neste gráfico, que a primeira freqüência fundamental é consideravelmente inferior à
freqüência apresentada pela viga uniforme 30,044
mm
φ
, cerca de 32,7 %, devido a
diminuição do índice de esbeltez da viga quando se reduz o diâmetro da mesma.
57
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
X: 4500
Y: -6.802
X: 875
Y: -10.62
Viga Contínua:
φ
: 20 (mm)
Freqüência (Hz)
dB (m/s
2
)
X: 2375
Y: -38.38
Figura 5.3
– viga uniforme,
20,002 mm
φ
.
5.4.2 VIGA ESCALONADA
Analisando a Figura 5.4, percebe-se uma razoável diminuição nas três primeiras
freqüências em relação ao caso da viga uniforme 20,002
mm
φ
.
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
X: 709.4
Y: 0.9714
X: 2116
Y: -6.645
Viga Escalonada: L:50% -
φ
: 15 (mm) | L:50% -
φ
: 20 (mm)
Freqüência (Hz)
dB (m/s
2
)
X: 3510
Y: -32.64
Figura 5.4
– Espectro de freqüência – viga escalonada – 1/2 L - 14,996 mm
φ
e 1/2 L -
20,005 mm
φ
.
58
A Figura 5.4 quando comparada com a Figura 5.5 observam-se uma pequena variação
nos valores das freqüências, já que a viga escalonada - 2/3 L - 14,967
mm
φ
e 1/3 L -
20,007
mm
φ
- adquire melhor mobilidade em virtude da diminuição do raio de giração.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
X: 3792
Y: -7.664
X: 1870
Y: -16.72
Viga Escalonada: L:2/3 -
φ
15 (mm) | L:1/3 -
φ
20 (mm)
Freqüência (Hz)
dB (m/s
2
)
X: 643.7
Y: -12.83
Figura 5.5
– Espectro de freqüência – viga escalonada – 2/3 L - 14,967 mm
φ
e 1/3 L -
20,007 mm
φ
.
A última viga ensaiada em laboratório é escalonada com os seguintes comprimentos e
diâmetros:
1/3 L - 9,941 mm
φ
, 1/3 L - 14,976 mm
φ
e 1/3 L - 20,008 mm
φ
, conforme
Figura 5.6. Neste ensaio, encontrou-se dificuldade em captar as freqüências inerentes a esse
tipo de estrutura.
59
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
X: 587.1
Y: -26.26
X: 587.1
Y: -26.26
Viga Escalonada: 1/3 L -
φ
10 (mm), 1/3 L -
φ
15 (mm), 1/3L -
φ
20 (mm)
Freqüência (Hz)
dB (m/s
2
)
X: 1573
Y: -4.497
Figura 5.6
– Espectro de freqüência – viga escalonada – 1/3 L -
9,941 mm
φ
, 1/3 L -
14,976 mm
φ
e 1/3 L -
20,008 mm
φ
.
60
Capítulo 6
RESULTADOS
Neste capítulo apresentam-se as freqüências naturais e os modos de vibrar de vigas
escalonadas em duas e em três partes com as extremidades podendo ter apoios elásticos.
Os resultados apresentados neste capítulo foram gerados através de um programa
computacional desenvolvido pela autora e uma boa parte desses resultados não se encontra
disponíveis na literatura.
6.1 FREQÜÊNCIAS FUNDAMENTAIS ADIMENSIONAIS DE
UMA VIGA ESCALONADA EM DUAS PARTES
As freqüências naturais para diferentes tipos de apoios elásticos encontram-se nas
Tabelas 6.1 a 6.5. Inicialmente, variaram-se as condições de apoios e as relações dos
momentos de inércia para verificar a reação desse comportamento nas freqüências naturais e
nos modos de vibrar. As freqüências naturais obtidas nas Tabelas, 6.1 a 6.5, são baseadas nas
relações de momentos de inércia de trechos adjacentes,
121
/
I
II= , de uma viga escalonada
em duas partes, e independem do tipo de seção transversal da viga.
61
12
/2 6.1 6.4.L L L condição estabelecida para as tabelas a== ⇒ (6.1)
12
2
6.5.
33
LL
L e L condição estabelecida para a tabela==⇒
(6.2)
Na Tabela 6.1 encontram-se os resultados numéricos obtidos na determinação da
primeira freqüência adimensional de uma viga apoiada elasticamente em uma das
extremidades e livre na outra. Verifica-se na Tabela 6.1 que quando
1212
RRTT====∞
tem-se uma viga livre no espaço e as freqüências naturais são nulas para qualquer relação de
momento de inércia. Verifica-se também, que com a diminuição das constantes adimensionais
de rigidez do suporte elástico de apenas uma das extremidades, acarreta em um aumento
gradual das suas freqüências adimensionais.
Tabela 6.1 – 1ª Freqüência natural – viga livre em uma das extremidades (
22
RT==∞) e
apoiada elasticamente na outra.
1,1
ˆ
β
11
R
T=
22
R
T
=
1
0,1I =
1
1I
=
1
10I =
∞ ∞
0 0 0
500
∞
0,34821 0,29263 0,22976
5
∞
1,09088 0,91389 0,71583
0,05
∞
2,17505 1,81072 1,3883
0
∞
2,2355 1,8751 1,43628
Com,
1,1
ˆ
β
: primeira freqüência natural adimensional.
Na Tabela 6.2 encontra-se a primeira freqüência adimensional para uma viga engastada
em uma das extremidades e apoiada elasticamente na outra. Neste caso, procura-se diminuir
as constantes adimensionais de rotação e de translação da extremidade restrita elasticamente
(
22
R
T= ) para que no final da simulação obtenha-se uma viga do tipo biengastada
(
11 2 2
0RTRT== ==). Observa-se que à medida que se diminui as constantes
2
R
e
2
T , ou
62
seja, à medida que a viga torna-se mais rígida elasticamente o valor das freqüências naturais
tende a aumentar.
Tabela 6.2 – 1ª Freqüência natural – viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT==) e
apoiada elasticamente na outra.
1,1
ˆ
β
11
R
T=
22
R
T
=
1
0,1I =
1
0,5I =
1
1I
=
1
5I =
1
10I =
0
∞
2,2355 2,00987 1,8751 1,56119 1,43628
0 500 2,23663 2,01208 1,87866 1,57413 1,45941
0 50 2,24656 2,03147 1,90954 1,67694 1,62735
0 5 2,33168 2,1873 2,13952 2,20142 2,29838
0 0,5 2,70056 2,77289 2,87787 3,24695 3,40801
0 0,05 3,42543 3,83194 4,0691 4,56259 4,74954
0 0,005 3,88099 4,42004 4,65386 5,03687 5,20451
0 0 3,94537 4,50112 4,73004 5,095 5,26124
A Tabela 6.3 apresenta a primeira freqüência fundamental para uma viga
elasticamente apoiada nas extremidades. Da Tabela 6.3 observa-se que uma viga biengastada
não necessita possuir engaste perfeitamente rígido para que se conheça sua freqüência natural.
A primeira freqüência fundamental de uma viga, por exemplo, de coeficientes do tipo
11 2 2
0,005RTRT== == se assemelha a freqüência de uma viga biengastada.
Tabela 6.3 – 1ª Freqüência natural – viga apoiada elasticamente nas extremidades.
1,1
ˆ
β
11
R
T=
22
R
T
=
1
0,1I =
1
0,5I =
1
1I
=
1
5I =
1
10I =
500 500 0,38030 0,40560 0,42290 0,47410 0,50720
50 50 0,67610 0,72080 0,75160 0,84280 0,90160
5 5 1,19804 1,27564 1,32987 1,492563 1,59761
0,5 0,5 2,07401 2,21581 2,31092 2,588478 2,76574
0,05 0,05 3,21495 3,57102 3,74253 4,092002 4,28721
0,005 0,005 3,84151 4,36429 4,58437 4,949435 5,12274
63
A Tabela 6.4 apresenta a primeira freqüência fundamental para uma viga que possui o
GDL de rotação livre e o GDL de deslocamento com uma variação elástica em, apenas, uma
das extremidades. Enquanto que a outra extremidade é engastada.
Tabela 6.4
– 1ª Freqüência natural – viga engastada (
11
0RT
=
= ) em uma das extremidades e
livre para rotação (
1
R
=
∞ ) na outra.
1,1
ˆ
β
11
R
T=
2
R
2
T
I = 0,1 I = 1 I = 10
0
∞
500 2,23608 1,87752 1,45284
0
∞
5 2,29095 2,07840 2,19969
0
∞
0,05 3,32392 3,74517 3,88310
0
∞
0 3,49549 3,92660 3,93864
A primeira freqüência natural adimensional apresentada na Tabela 6.5 refere-se a uma
viga engastada em uma das extremidades e elasticamente apoiada na outra extremidade.
Observa-se que para uma viga cuja relação de comprimentos é do tipo
1
1/3L = , as
freqüências adimensionais tendem a aumentar com a diminuição da constante adimensional
22
R
eT.
Tabela 6.5 – Viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT
=
= ), restrita elasticamente na
outra e com a relação de comprimentos
1
1/3L = .
1,1
ˆ
β
11
R
T=
22
R
T
=
1
0,1I =
1
1I
=
1
10I =
0
∞
2,19672 1,87510 1,49054
0 500 2,19933 1,89639 1,63880
0 5 2,39841 2,76554 3,41741
0 0,05 3,81217 4,59726 5,64303
0 0 4,08201 4,73004 5,72787
64
6.2 FREQÜÊNCIAS FUNDAMENTAIS ADIMENSIONAIS DE
UMA VIGA ESCALONADA EM TRÊS PARTES
Trabalha-se, agora, com vigas escalonadas em três partes (ou seja, com duas mudanças
de seções) e a partir deste tipo de estrutura é feito o estudo das três primeiras freqüências
fundamentais para três tipos diferentes de seções transversais de área, como mencionado no
capítulo de validação: a viga tipo1 refere-se à seção retangular de altura constante; a tipo 2
refere-se à seção retangular de base constante e a tipo 3 refere-se à seção circular.
As dimensões adotadas para o cálculo das seções transversais de vigas dos Tipos 1, 2 e
3 são: 0,005
m para o primeiro trecho, 0,006 m para o segundo trecho e 0,009 m para o
terceiro trecho, esses valores citados são as bases de uma viga Tipo1 (seção retangular de
altura constante), as alturas de uma viga Tipo 2 (seção retangular de base constante) e os
diâmetros de uma viga Tipo 3 (seção circular). Adotou-se também, os seguintes parâmetros de
comprimentos de viga: 0,20
m para o primeiro comprimento, 0,30 m para o segundo
comprimento e 0,50
m para o terceiro comprimento.
As tabelas apresentam freqüências adimensionais para quatro casos diferentes de
condições clássicas de contorno. Na primeira linha de cada tabela representada por,
11
0RT== e
22
RT==∞, observa-se o caso de uma estrutura engastada-livre. Na segunda
linha observa-se o caso de um apoio elástico do tipo livre-livre,
11 2 2
RTR T== ==∞. Na
terceira linha tem-se o caso de uma viga com apoios elásticos do tipo engastada-deslizante
11
0RT==,
2
0R = e
2
T =∞. E, na quarta linha tem-se o caso de uma viga engastada-
pinada,
11
0RT==,
2
R =∞ e
2
0T = .
Figura 6.1 – Tipos clássicos de suportes elásticos.
65
Verifica-se na Tabela 6.7 que as três primeiras freqüências apresentadas para o caso tipo
2 (viga de seção retangular com base constante) são superiores aquelas apresentadas pela
Tabela 6.6, quando se adota as mesmas condições de suporte elástico.
Tabela 6.6 – Viga escalonada em três partes - seção transversal tipo 1.
Tipo 1
Condições de
Contorno Clássicas
R1 T1 R2 T2
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
Engastada-Livre 0 0
∞ ∞
1,66100 4,56222 7,84841
Livre-Livre
∞ ∞ ∞ ∞
0 4,77621 7,91134
Engastada-Deslizante 0 0 0
∞
2,20800 5,42355 8,62546
Engastada-Pinada 0 0
∞
0
3,80416 7,04505 10,1739
Tabela 6.7 – Viga escalonada em três partes - seção transversal tipo 2.
Tipo 2
Condições de
Contorno Clássicas
R1 T1 R2 T2
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
Engastada-Livre 0 0
∞ ∞
1,71452 5,16922 9,41405
Livre-Livre
∞ ∞ ∞ ∞
0 5,57601 9,51969
Engastada-Deslizante 0 0 0
∞
2,57846 6,32019 10,2630
Engastada-Pinada 0 0
∞
0
4,39742 8,43703 11,8825
Tabela 6.8– Viga escalonada em três partes - seção transversal tipo 3.
Tipo 3
Condições de
Contorno
Clássicas
R1 T1 R2 T2
1,1
ˆ
β
1,2
ˆ
β
1,3
ˆ
β
Engastada-Livre 0 0
∞ ∞
1,50383 4,93207 9,42708
Livre-Livre
∞ ∞ ∞ ∞
0 5,54988 9,59866
Engastada-
Deslizante
0 0 0
∞
2,42957 6,28097 10,1805
Engastada-Pinada 0 0
∞
0
4,18529 8,50978 11,7550
66
6.3 MODOS DE VIBRAR
As Figuras, 6.1 a 6.3, apresentam vigas escalonadas em duas partes baseadas nas
relações
11
10 0,1IeI== para a análise do modo de vibrar. As Figuras, 6.4 a 6.6,
apresentam o comportamento dinâmico de vigas uniformes com variações nos apoios
elásticos. As Figuras, 6.7 a 6.12, mostram o modo de vibrar de vigas contínuas em
comparação com vigas escalonadas em duas partes,
1
0,1I =
, sob as mesmas condições de
apoios elásticos. As Figuras, 6.13 a 6.18, apresentam os modos de vibrar de uma viga
escalonada em três partes sob as mesmas dimensões das vigas Tipo 1, 2 e3, utilizadas para o
cálculo das freqüências naturais das Tabelas, 6.6 a 6.8.
6.3.1 Comparando os modos de vibrar de vigas uniformes
e escalonadas em duas partes com
11
10 0,1eII
=
=
A Figura 6.2 mostra a diferença de comportamento dinâmico do 1° modo de vibrar de
vigas continua e escalonada. Nota-se que o deslocamento vertical da estrutura escalonada do
tipo
1
0,1I =
é superior que as demais, pois ela possui uma menor seção de área transversal no
segundo trecho da viga (
0,5 / 1xL≤≤
).
Figura 6.2 – 1º Modo de vibrar – viga contínua e escalonada.
67
A Figura 6.3 mostra a diferença de comportamento dinâmico do 2° modo de vibrar de
vigas continua e escalonada. Observa-se neste gráfico, que a amplitude do modo da estrutura
escalonada do tipo
1
10I =
é superior as demais, pois ela possui uma menor seção de área
transversal no primeiro trecho da viga (
0/0,5xL
≤
≤
).
Figura 6.3 – 2º Modo de vibrar - viga contínua e escalonada.
A Figura 6.4 mostra a diferença de comportamento dinâmico entre vigas continuas e
escalonadas no 3° modo de vibrar. Observa-se neste gráfico, que a amplitude do modo da
estrutura escalonada do tipo
1
10I
=
é superior as demais, no primeiro trecho da viga
(0 / 0,5
xL≤≤). Enquanto que no segundo trecho (0,5 / 1xL
≤
≤ ), a maior amplitude do
modo ocorre na estrutura escalonada do tipo
1
0,1I = .
68
Figura 6.4– 3º Modo de vibrar - viga contínua e escalonada.
6.3.2 Comparando os modos de vibrar de vigas uniformes
com variações nos apoios elásticos
Os gráficos das Figuras, 6.5 a 6.7, apresentam os modos de vibrar de vigas uniformes
do tipo biengastada, da qual se procura variar as constantes adimensionais de rotação e
translação deixando a extremidade da direita gradativamente menos rígida.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Viga contínua: biengastada até engastada-restrita elasticamente
x/L
1o. Modo de Vibrar
R2=T2=0
R2=T2=0.005
R2=T2=0.05
R2=T2=0.5
Figura 6.5
– 1°Modo de vibrar - viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT==) e
restrita elasticamente na outra.
69
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Viga contínua: biengastada até engastada-restrita elasticamente
x/L
2o. Modo de Vibrar
R2=T2=0
R2=T2=0.005
R2=T2=0.05
R2=T2=0.5
Figura 6.6
– 2° Modo de vibrar - viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT==) e
restrita elasticamente na outra.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Viga contínua: biengastada até engastada-restrita elasticamente
x/L
3o. Modo de Vibrar
R2=T2=0
R2=T2=0.005
R2=T2=0.05
R2=T2=0.5
Figura 6.7
– 3º Modo de vibrar - viga engastada em uma das extremidades (
11
0RT==) e
restrita elasticamente na outra.
70
6.3.3 Comparando os modos de vibrar de vigas uniformes
e escalonadas em duas partes com
1
0,1I
=
A Figura 6.8 e a Figura 6.9 apresentam os modos de vibrar de vigas contínuas e
escalonadas, respectivamente, sob as mesmas condições de apoios elásticos. A mudança das
condições de contorno (de biapoiada à livre-livre) é obtida variando-se as constantes
adimensionais de translação das extremidades e mantendo-se os GDL’s de rotação livre
(
12
RR==∞).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Viga: biapoiada até livre-livre
x/L
1o. Modo de Vibrar
T1= T2=0
T1=T2=0.05
T1= T2=1
T1= T2=inf
Figura 6.8– 1º Modo de vibrar – viga contínua com condição de contorno variável.
71
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Viga escalonada (duas partes): biapoiada até livre-livre
x/L
1o. Modo de Vibrar
T1= T2=0
T1=T2=0.05
T1= T2=1
T1= T2=inf
Figura 6.9 – 1º Modo de vibrar – viga escalonada 0,1I
=
com condição de contorno variável.
A Figura 6.10 e a Figura 6.11 apresentam o comportamento dinâmico de uma viga
contínua e escalonada, respectivamente. A mudança das condições de contorno (de livre-livre
à biengastada) é obtida variando-se as constantes adimensionais de rotação e translação das
extremidades.
Em uma viga biengastada não há deslocamento e nem inclinação nas extremidades
engastadas o que é possível verificar na curva de cor preta da Figura 6.10. Já para o caso de
uma viga do tipo livre-livre os coeficientes de rotação e de translação são infinitos
11 2 2
RTR T== ==∞.
72
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Viga: livre-livre até engastada-engastada
x/L
1o. Modo de Vibrar
T1=T2=R1=R2=inf
T1=T2=R1=R2=1
T1=T2=R1=R2=0.05
T1=T2=R1=R2=0
Figura 6.10 – 1º Modo de vibrar – viga contínua.
A partir de uma viga do tipo escalonada e livre nas extremidades, ver curva na cor
verde da Figura 6.11, observa-se que o deslocamento do primeiro trecho da viga é inferior ao
deslocamento apresentado no segundo trecho, como é de se esperar, já que
1
0,1I = . O mesmo
ocorre para o caso de uma viga escalonada e biengastada.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Viga escalonada (duas partes):livre-livre até engastada-engastada
x/L
1o. Modo de Vibrar
R1=R2=T1=T2=inf
R1=R2=T1=T2=1
R1=R2=T1=T2=0.05
R1=R2=T1=T2=0
Figura 6.11 – 1º Modo de vibrar – viga escalonada 0,1I = .
73
A Figura 6.12 e a Figura 6.13 apresentam o comportamento dinâmico – modos – de
vigas contínuas e escalonadas, respectivamente. A mudança das condições de contorno, de
engastada-livre a livre-livre, é obtida variando-se os coeficientes de rotação e translação de
uma das extremidades e mantendo-se os GDL’s de rotação e translação livre na outra.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Viga: engastada-livre até livre-livre
x/L
1o. Modo de Vibrar
R1=T1=0
R1=T1=0.05
R1=T1=1
R1=T1=inf
Figura 6.12 – 1º Modo de vibrar – viga contínua.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.035
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Viga escalonada (duas partes): engastada-livre até livre-livre
x/L
1o. Modo de Vibrar
R1=T1=0
R1=T1=0.05
R1=T1=1
R1=T1=inf
Figura 6.13 – 1º Modo de vibrar – viga escalonada
1
0,1I = .
74
6.3.4 Comparando os modos de vibrar de vigas do Tipo 1, 2
e 3 escalonadas em três partes
Os modos de vibrar de vigas escalonadas em três partes são apresentados nos gráficos,
Figura 6.14 a 6.19. As dimensões adotadas para o cálculo das seções transversais de vigas do
Tipo 1, 2 e 3 são: 0,005
m para o primeiro trecho, 0,006m para o segundo trecho e 0,009 m
para o terceiro trecho. Os comprimentos adotados para cada trecho são: 0,20
m para o
primeiro comprimento, 0,30
m para o segundo comprimento e 0,50m para o terceiro
comprimento. As diferentes cores apresentadas nas curvas dos gráficos representam diferentes
trechos da viga.
Verifica-se da análise gráfica das Figuras 6.14 a 6.16, que independente do tipo de
seção transversal de área adotada, modo de vibrar é semelhante para os três tipos
apresentados. Há, porém, algumas pequenas diferenças mais evidentes entre as figuras de
seção retangular e a figura de seção circular, já que o primeiro caso citado possui um
deslocamento transversal mais acentuado que o segundo caso.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Modos de Vibrar
x/L
Deslocamento Transversal
3° modo
1° modo
2° modo
Figura 6.14 – Viga engastada-livre (
11
0RT
=
= e
22
RT
=
=∞) escalonada em três partes–
Tipo 1: seção transversal retangular de altura constante.
75
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Modos de Vibrar
x/L
Deslocamento Transversal
3° modo
2° modo
1° modo
Figura 6.15 – Viga engastada-livre (
11
0RT
=
= e
22
RT
=
=∞) escalonada em três partes–
Tipo 2: seção transversal retangular de base constante.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Modos de Vibrar
x/L
Deslocamento Transversal
3° modo
2° modo
1° modo
Figura 6.16
– Viga engastada-livre (
11
0RT
=
= e
22
RT
=
=∞) escalonada em três partes–
Tipo 3: seção transversal circular.
Identifica-se nos gráficos, Figura 6.16 e Figura 6.17, que o modo de vibrar das curvas
do 1° modo e do 2° modo, da Figura 6.17, são semelhantes ao comportamento do 2° modo e
do 3° modo da Figura 6.16, respectivamente.
76
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Modos de Vibrar
x/L
Deslocamento Transversal
3° modo
2° modo
1° modo
Figura 6.17 – Viga livre-livre (
11 2 2
RTR T
=
===∞) escalonada em três partes – Tipo 3:
seção transversal circular.
A Figura 6.18 é livre para transladar na extremidade direita e fixa na outra extremidade.
Porém, quando se compara a figura engastada-deslizante à figura engastada-livre nota-se que
o segundo gráfico é superior nos deslocamentos transversais.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Modos de Vibrar
x/L
Deslocamento Transversal
3° modo
2° modo
1° modo
Figura 6.18 – Viga engastada-deslizante (
11
0RT
=
= ,
2
0R
=
e
2
T
=
∞ .) escalonada em três
partes – Tipo 3: seção transversal circular.
A Figura 6.19 é fixa na extremidade esquerda enquanto a extremidade direita é livre
para girar, mas não para transladar.
77
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Modos de Vibrar
x/L
Deslocamento Transversal
3° modo
2° modo
1° modo
Figura 6.19
– Viga engastada-pinada (
11
0RT
=
= ,
2
R
=
∞e
2
0T
=
) escalonada em três partes
– Tipo 3: seção transversal circular.
A avaliação dos modos de vibrar do capítulo de resultados é iniciada mediante vigas
com uma mudança de seção transversal e com as relações de momentos de inércia:
1
0,1I = e
1
10I =
.
No primeiro caso tem-se uma viga escalonada em duas partes cuja área da primeira
seção é dez vezes superior à área da segunda seção e, por isso, observa-se no gráfico dos
modos de vibrar que o ventre é mais acentuado no primeiro trecho da estrutura. Enquanto que
no segundo caso tem-se o contrário. Ainda neste capítulo apresentam-se seis gráficos
referentes a vigas escalonadas em três partes, ver Figuras 6.14 a 6.19. A análise gráfica da
Figura 6.14 a 6.16 mostram que independente do tipo de seção transversal de área estudado, o
comportamento dinâmico é semelhante para os três tipos apresentados. Há porém, algumas
pequenas diferenças mais evidentes entre as figuras de seção retangular e a figura de seção
circular, já que o primeiro caso citado possui um deslocamento transversal, nos nós, mais
acentuado que o segundo caso.
78
Capítulo 7
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS
7.1 CONCLUSÕES
Através deste trabalho foi possível verificar a eficácia do modelo matemático
proposto que é capaz de gerar bons resultados. Esse método elimina a necessidade do
uso de malhas na solução de problemas dinâmicos.
A validação dos resultados teóricos com a literatura foi efetiva, pois se verificou
concordância entre os valores gerados pelo programa computacional com os resultados
da literatura.
Convém ressaltar a dificuldade em se obter na literatura freqüências naturais de
vigas escalonadas acima de quatro partes. Tendo em vista esses fatores, a comparação
dos resultados da autora com a literatura foi feita a partir de vigas escalonadas em até
três partes com diferentes tipos de seções transversais: retangular e circular.
Através dos ensaios experimentais pode-se concluir que os desvios percentuais
obtidos nos três primeiros modos de vibrar estão dentro do esperado de acordo com
(Han et al., 1999), em torno de 12%, e dentro dos padrões aceitáveis na engenharia
mecânica.
79
7.2 PERSPECTIVAS FUTURAS
Tendo em vista o desenvolvimento matemático e simulações realizadas neste
trabalho como, por exemplo, em vigas com diferentes apoios elásticos, somente nas
extremidades, poder-se-ia futuramente estudar o comportamento dinâmico de vigas com
vários suportes elásticos ao longo do corpo da estrutura com o sistema mass-mola-
amortecedor.
Um outro estudo que se poderia realizar é submeter a estrutura a diferentes forças
externas em diferentes posições.
Pode-se, ainda, adicionar massas concentradas nas vigas, o que simula diversos
eixos e rotores de sistemas mecânicos e a influência dos acoplamentos na freqüência do
mesmo.
Uma outra proposta de trabalho é utilizar outros modelos matemáticos e como
sugestão, o modelo de Timoshenko. Neste caso, a viga é analisada segundo as forças de
cisalhamento e a inércia de rotação. Pode-se também, comparar os resultados teóricos
com simulações realizadas por meio do Método de Elementos Finitos.
Por fim, sugere-se que sejam realizados ensaios experimentais com outras
condições de contorno no intuito de validar os modelos teóricos desenvolvidos
variando-se os tipos de suportes elásticos e o número de escalonamentos. Propõe-se
também, trabalhar com vigas de diferentes seções transversais de área seja retangular ou
circular.
80
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BLEVINS, R. D. (1979), Formula for Natural Frequency and Mode Shape, Van Nostrand
Reinhold Company Inc., 15 ed., 492 p.
DONG, X. J., MENG, G., LI, H. G., YE, L. (2005), “Vibration analysis of a stepped
Laminated Composite Timoshenko Beam”,
Mechanical Research Communications, vol.
32, pp. 572-581.
HAN, S. M., BENAROYA, H., WEI, T. (1999), “Dynamics of Transversely Vibrating
Beams Using Four Engineering Theories”,
Journal of Sound and Vibration, vol. 225, n
5, pp. 935-988.
HEIDEBRECHT, A. C. (1967), “Vibration of Non-Uniform Simply-Supported Beams”,
Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society of
Civil Engineers
, vol. 93, pp. 1-15.
HONG, S. W., KIM, J. W. (1999), “Modal Analysis of Multi-Span Timoshenko Beams
Connected or Supported by Resilient Joints with Damping”,
Journal of Sound and
Vibration,
vol. 227, n 4, pp. 787-806.
INMAN, D. J. (2001). Engineering Vibration, 2° ed., Prentice Hall, New Jersey, USA. .
JANG, S. K., BERT, C. W. (1989), “Free Vibration of Stepped Beams: Higher Mode
Frequencies and effects of Steps on Frequency”,
Journal of Sound and Vibration, vol.
132, pp. 164-168.
81
JAWORSKI, J. W., DOWELL, E.H. (2008), “Free vibration of a cantivelered beam with
multiple steps: comparison of several theoretical methods with experiment”,
Journal of
Sound and Vibration
, vol 312, pp. 713 – 725. .
KOPLOW , M. A., ;BHATTACHARYYA, A., MANN, B. P. (2006), “Closed form
solutions for the dynamics response of Euler-Bernoulli beams with step changes in cross
section”,
Journal of Sound and Vibration, vol. 295, pp. 214 – 225.
LEVINSON, M. (1976), “Vibrations of Stepped strings and Beams Euler-Bernoulli”, Journal
of Sound and Vibration
, vol. 49, pp187 – 291.
LIMA JR., J. J. DE, ARANTES, R. FERREIRA (2000), “Estudo Dinâmico Adimensional
dos Modelos de Viga de Euler-Bernoulli, Vlasov e Timoshenko”,
Anais do IX
Congresso Chileno de Engenharia Mecânica e IV Congresso Nacional de Energia
,
Valparaiso, chile, 6p.
MAURINI, C., PORFIRI, M., POUGET, J. (2006), “Numerical Methods for Modal
Analysis of Stepped Piezoelectric Beams”,
Journal of Sound and Vibration, vol. 298,
pp. 918-933.
MAURIZI, M. J., BELLÉS, P. M. (1993a), “Free vibration of stepped beams elastically
restrained against translation and rotation at one end”,
Journal of Sound and Vibration,
vol. 163, n 1, pp. 188-191. .
MAURIZI, M. J., BELÉS, P. M. (1993b), “Natural Frequencies of One-Span with Stepwise
Variable Cross-Section”,
Journal of Sound and Vibration, vol. 168, n 1, pp. 184-188.
NAGULESWARAN, S. (2002a), “Natural Frequencies, Sensitivity and Mode Shape Details
of an Euler-Bernoulli Beam With One-Step Change in Cross-Section and with Ends on
Classical Supports”,
Journal of Sound and Vibration, vol. 252, n 4 pp. 751-767
NAGULESWARAN, S. (2002b), “Transversal Vibrations of an Euler-Bernoulli Uniform
Beam Carrying Several Particles”,
International Journal of Mechanical Sciences, vol.
44, pp. 2463-2478.
82
NAGULESWARAN, S. (2002c), “Vibration of an Euler-Bernoulli on Elastic end Supports
and with up to Three Step Changes in Cross-Section”,
International Journal of
Mechanical Sciences
, vol. 44, pp. 2541-2555. .
NAGULESWARAN, S. (2003), “Vibration and Stability of an Euler-Bernoulli Beam with up
to Three Step Changes in Cross-Section an Axial Force”,
International Journal of
Mechanical Sciences
, vol. 45, pp. 2563-2579.
NASCIMENTO, R. F. DO (2005), “Análise Dinâmica de Vigas Utilizando o Elemento
Finito de Timoshenko com Refinamento P-Adaptativo, Dissertação, Faculdade de
Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, 235p.
ROSA, M. A. (1994), “Free vibrations of stepped beams with elastic ends”, Journal of Sound
and Vibration
, vol. 173, n 4, pp. 563-567.
ROSA, M. A. (1995), “Free Vibrations of Stepped Beams with Flexible Ends, in the Presence
of follower Forces at the Step”,
Journal of Sound and Vibration, vol. 194, n 4, pp. 631-
635.
TALEB, N. J., SUPPIGERS, E. W. (1961), “Vibration of Stepped Beam”, Journal of Sound
and Vibration
, vol. 49, pp. 287-291.
THOMSON, W. T. (1978), “Teoria da Vibração – com aplicações”, Editora Interciência
Ltda, Rio de Janeiro - RJ, 462 páginas.
ZHAOHUI, Q. (2004), “An accurate method for transcendental eigenproblems with a new
criterion for eigenfrequencies”,
International Journal of Solids and Structures, vol. 41,
pp. 3225-3242.
83
Apêndice A
MODELO DE VIGA UNIFORME
Viga é uma estrutura linear que trabalha em posição horizontal ou inclinada, assentada
em um ou mais apoios e que tem a função de suportar os carregamentos normais à sua
direção.
Aparentemente o astrônomo italiano Galileo Galilei (1564-1642) foi o primeiro a
estudar a resistência dos materiais dando origem a Mecânica dos Materiais. Em sua última
publicação, Duas Novas Ciências (1638), discutia o problema da viga engastada carregada por
seu peso próprio com peso adicional, este problema é conhecido como o “Problema de
Galileu”, no qual sua análise obteve resultados incorretos e não foi resolvido de maneira
apropriada até 1855. Robbert Hooke (1635-1703) estudou a elasticidade dos materiais e
formulou em 1660 a lei conhecida por, “Lei de Hooke”, publicada em 1676. Como resultado
de seus estudos, inventou a mola espiral que substituiu o pêndulo dos mecanismos dos
relógios.
Em 1680, Edme Mariotte (1654-1684) desenvolveu, independentemente, essa mesma lei
e a aplicou às fibras de uma viga; observando que umas fibras se encurtavam e outras se
esticavam, desenvolvendo o conceito de “linha neutra”. O Problema de Galileo voltou a ser
estudado por James Bernoulli (1654-1705), que supôs que uma secção plana de uma viga,
permanece plana durante a flexão, mas não chegou a uma solução satisfatória, pois não deu
84
importância ao que hoje conhecemos como “linha neutra”. Em 1717, Johann Bernoulli (1667-
1748), irmão de James, enunciou o “Princípio dos Deslocamentos Virtuais”, que é o método
que ainda hoje aplicamos na determinação das deflexões elásticas em estruturas;
porteriormente, seu filho Daniel Bernoulli (1700-1782), estudou o problema da determinação
do gráfico elástica de barras flexionadas, e inspirou seu amigo Leonard Eüler (1707-1783), na
determinação das curvas elásticas em vigas e colunas, contribuições que utilizamos até hoje.
A viga é tratada como modelo unidimensional, fazendo-se a hipótese que o
comprimento é bem maior que as dimensões da seção transversal. Observa-se que a análise de
vigas é bastante comum em problemas de engenharia, tornando-se fundamental o estudo de
sua formulação. Para esta finalidade, geralmente, consideram-se os modelos de viga de Euler-
Bernoulli e de Timoshenko. A diferença básica entre estes modelos está relacionada ao fato
que a formulação de Euler-Bernoulli não considera a deformação de cisalhamento presente
nas seções transversais. Para incluir este efeito, deve-se considerar o modelo de Timoshenko,
(Nascimento, 2005).
A.1 EQUACIONAMENTO DO MODELO DE VIGA DE EULER-
BERNOULLI
Este Apêndice apresenta o equacionamento dinâmico do modelo de viga de Euler-
Bernoulli, ilustrada na Figura A.1. Neste caso, consideram-se as seguintes hipóteses:
• As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas
após a viga ser submetida à flexão;
• Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma seção transversal são pequenos
e iguais ao eixo da viga;
• O deslocamento lateral segundo o eixo z é nulo;
• Se
() ()
/10 /10bL e hL<< ou 0,05
λ
<
então, a influência de cisalhamento é
desprezível e a hipótese de seções planas é satisfeita;
• A inércia de rotação é desprezível e
• A viga é composta por material elástico linear, homogêneo e isotrópico sem
carregamento axial.
85
A vibração na viga de Euler-Bernoulli é, geralmente, chamada de vibração transversal, ou
vibrações de flexão. Esse tipo de vibração é facilmente percebido pelos humanos quando
sobre pontes, por exemplo. A Figura A.1 ilustra uma viga engastada com a direção da
vibração transversal indicada pela deflexão, ),(
txv , visto que ocorre no sentido do eixo y. A
viga em questão possui seção retangular, ( )
Ax, base, b , altura, h , comprimento L e rigidez
de flexão, ( )
EI x , de acordo com (Inman, 2001).
O momento fletor, ( , )
M
xt , que é apresentado na Equação (A.1).
2
2
(,)
(,) ()
vxt
Mxt EIx
x
∂
=
∂
(A.1)
com:
E
: módulo de elasticidade longitudinal (GPa)
)(
xI : momento de inércia de área com relação ao eixo z (m
4
)
),(
txv : deflexão ao longo do eixo y (m).
Através da 2ª Lei de Newton aplicada a um elemento infinitesimal de uma viga,
obtém-se o seguinte somatório de forças na direção y.
()
y
Fdmxt=
∑
(A.2)
(,)(,)(,) ()
Vx dxt Vxt qxtdx dmxt+− + =
(A.3)
2
2
(,) (,)
(,) (,) (,) ()
Vxt vxt
Vxt dx Vxt qxtdx Axdx
xt
ρ
∂∂
+−+=
∂∂
(A.4)
com:
),( txV
: esforço cortante (N).
ρ
: massa específica.
A : área da seção transversal.
(,)qxt
: força distribuída por unidade de comprimento.
86
Figura A.1 – Viga uniforme engastada.
Somatório de momentos:
[]
( ,) (,) (,) ( ,) 0
2
dx
M x dxt M xt qxtdx V x dxtdx+− + ++ =
(A.5)
2
(x,t) ( , )
(,) (,) (,) (,) 0
2
MdxVxt
M x t dx M x t q x t V x t dx dx
xx
∂∂
+−+++ =
∂∂
(A.6)
2
(,) (,) (,)
(,) ( ) 0
2
Mxt Vxt qxt
Vxt dx dx
xx
∂∂
+++ =
∂∂
(A.7)
Desprezando-se o termo diferencial de ordem superior (dx²
≅ 0) para o momento, tem-
se:
87
(,)
(,)
M
xt
Vxt
x
∂
=−
∂
(A.8)
Isso mostra que a força cortante é proporcional à derivada do momento fletor em
relação a
x. A substituição da expressão do momento fletor na Equação (A.4) produz:
[]
22
22
(,)
(,) (,) ()
vxt
Mxt dx qxtdx Axdx
xt
ρ
∂∂
−+=
∂∂
(A.9)
A substituição adicional da Equação (A.1) na Equação (A.9), dividindo-se toda a
expressão por
dx, leva a:
222
22 2
(,) (,)
() () (,)
vxt vxt
Ax EI x qxt
tx x
ρ
∂∂∂
+=
∂∂ ∂
(A.10)
Se nenhuma força externa for aplicada, ou seja,
q(x,t) = 0, e EI(x) e A(x) são admitidos
constantes ao longo da viga, a Equação (A.10) simplifica-se de modo que a vibração livre é
governada por:
24
2
24
(,) (,)
0,
vxt vxt EI
cc
tx A
ρ
∂∂
+==
∂∂
(A.11)
Observa-se que a equação da vibração livre, Equação (A.11), é uma equação
diferencial de quarta ordem, logo exigindo quatro condições de contorno ao se determinar a
solução. A presença das derivadas temporais de segunda ordem requer que sejam
especificadas duas condições iniciais, uma para a deflexão e outra para a inclinação.
As condições de contorno necessárias para se resolver a Equação (A.11) no contexto de
uma solução por separação de variáveis são obtidas examinando-se a deflexão
v(x,t), a
derivada da deflexão
xtxv ∂∂ /),(
, o momento fletor
22
/),( xtxvEI ∂∂ , e a força cortante
xxtxvEI ∂∂∂∂ /]/),([
22
em cada extremidade da viga, isto é, aplicando as devidas condições
de contorno.
88
Uma configuração comum é a viga em balanço, uma extremidade fixa e a outra livre,
conforme Figura A.1. Outra condição típica é quando os extremos são pinados representando
uma viga biapoiada.
Se uma viga em vibração transversal é livre em uma extremidade, não existem
restrições para a deflexão e a inclinação nesse ponto, mas as condições de contorno para a
força cortante e o momento fletor devem ser nulos.
momento fletor =
2
2
0
v
EI
x
∂
=
∂
(A.12)
força cortante =
2
2
0
v
EI
xx
∂∂
=
∂∂
(A.13)
Se, por outro lado, a extremidade da viga for engastada, a condição de contorno impõe
que a deflexão e a inclinação devem ser nulas nesse extremo:
deflexão =
0v
=
(A.14)
inclinação =
0
v
x
∂
=
∂
(A.15)
Em uma extremidade simplesmente apoiada (pinada), não existem restrições para a
inclinação e a força cortante e, a deflexão e o momento de flexão são nulos:
deflexão =
0v
=
(A.16)
momento fletor =
2
2
0
v
EI
x
∂
=
∂
(A.17)
Em um apoio deslizante, a inclinação é nula.
inclinação =
0
v
x
∂
=
∂
(A.18)
força cortante =
2
2
0
v
EI
xx
∂∂
=
∂∂
(A.19)
89
Outras condições de contorno são possíveis conectando-se as extremidades de uma
viga a uma variedade de dispositivos, sendo determinadas por balanços de força e de
momento.
Além das quatro condições de contorno, a solução da Equação (A.11) para a vibração
livre só pode ser calculada se duas condições iniciais forem especificadas.
00
(,0) (), (,0) ()vx v x vx v x
=
=
(A.20)
considerando-se que t = 0 é o tempo inicial. Sabe-se que
0
v e
0
v
não podem ser ambos nulos,
ou não haveria movimento resultante.
A solução da Equação (A.11) sujeita a quatro condições de contorno e duas condições
iniciais seguem os passos convencionais usados nos problemas de contorno e de valor inicial,
ou seja, são usadas para se obter um sistema de equações que determinam as constantes da
solução geral. Aqui será admitida a possibilidade de escrever a solução na forma de separação
de variáveis como a expressão a seguir:
(,) ()()vxt X x t
=
Τ (A.21)
Substituindo a Equação (A.21) na Equação (A.11) , obtém-se:
22
() ()
() ()
iv
Xx t
c
Xx t
ω
Τ
=
−=
Τ
(A.22)
onde as derivadas parciais foram substituídas por derivadas totais –
44
() /
iv
X
xdXdx= e
22
/ddtΤ= Τ
. Aqui, a escolha da constante de separação,
2
ω
, é feita de maneira que a
freqüência natural venha da equação temporal.
2
() () 0tt
ω
Τ
+Τ=
(A.23)
que é o lado direito da Equação (A.22).
A solução para essa equação é dada na forma:
90
12
() costdsentd t
ω
ω
Τ
=+ (A.24)
onde as constantes
1
d e
2
d serão determinadas usando-se as condições iniciais especificadas
e posteriormente combinando-as com a solução da equação em
x.
A equação em
x surge do rearranjo da Equação (A.22), o que leva a:
2
() () 0
iv
Xx Xx
c
ω
−
=
(A.25)
Definindo
:
22
4
2
A
cEI
ω
ρω
β
== (A.26)
β
: freqüência natural,
()
1
m
−
.
e assumindo para a Equação (A.25) uma solução na forma
x
Ae
σ
, a solução geral da Equação
(A.25) pode ser calculada na forma:
12 3 4
( ) sin cos sinh cosh
X
x B xB xB xB x
β
ββ β
=+ + + (A.27)
Aqui os valores para
β
e para três das quatro constantes de integração
123 4
,,
B
BBeBsão determinados a partir das quatro condições de contorno. A quarta constante
torna-se combinação das constantes
1
d e
2
d da Equação no tempo, que são, então,
determinadas a partir das condições iniciais.
Com a aplicação das condições de contorno na viga a ser modelada obtém-se um
sistema de equações lineares que é função de
1,
ˆ
k
β
e
{
}
b .
(
)
{} {}
1,
ˆ
0
k
Hb
β
=
(A.28)
1,
ˆ
k
β
: freqüência natural adimensional.
Com:
{}
[
]
1234
T
bBBBB= (A.29)
91
Fazendo-se:
(
)
(
)
1,
ˆ
det 0
k
H
β
=
(A.30)
Encontram-se os valores do
1,
ˆ
k
β
que satisfazem a Equação (A.30).
De posse dos valores do
1,
ˆ
k
β
é possível encontrar a solução do sistema da Equação
(A.28) que fornecem as constantes da Equação (A.27). Conhecendo os valores do vetor
{
}
b ,
obtêm-se os modos de vibrar
().
X
x
92
Apêndice B
INSTRUMENTAÇÃO
¾ Acelerômetro:
Descrição: Acelerômetro ISOTRON
Fabricante: ENDEVCO
Número do modelo: 256 HX – 100
Número do serial: 12152
Peso: 3,5 g
Sensitividade:
98,75 mv/g @ 100Hz 10g pk
10,07 mv/(m/s²) @ 100Hz 98 m/s² pk
Foto B.1
– Vista lateral do acelerômetro fixado na viga.
93
¾ Analisador de sinais:
Modelo: SR780
Network Signal Analyzer
SRS – Stanford Research Systems
Foto B.2
– Vista frontal do analisador de sinais.
¾ Micrômetro:
Faixa de operação: 0 – 25
mm
Fabricante: Mitutoyo
Resolução: 0,001 mm
Resolução adotada: 0,002
mm
Código: LME DID – 011
94
Foto B.3
– Medição do diâmetro da viga.
¾ Máquina para ensaio de flexão
Fabricante: EMIC
Capacidade máxima: 30 kN
Foto B.4 – Vista frontal da máquina para ensaio de flexão.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
