ads:
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
JOELMA IAMAC NOMURA
COMO SOBREVIVEM AS DIFERENTES NOÇÕES DE
ÁLGEBRA LINEAR NOS CURSOS DE ENGENHARIA
ELÉTRICA E NAS INSTITUIÇÕES
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2008
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
JOELMA IAMAC NOMURA
COMO SOBREVIVEM AS DIFERENTES NOÇÕES DE
ÁLGEBRA LINEAR NOS CURSOS DE ENGENHARIA
ELÉTRICA E NAS INSTITUIÇÕES
Dissertação apresentada à Banca
Examinadora da Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, como exigência parcial
para obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação
da Profa. Drª. Barbara Lutaif Bianchini.
São Paulo
2008
ads:
NOMURA, Joelma Iamac. Como sobrevivem as diferentes noções de Álgebra Linear nos cursos
de Engenharia Elétrica e nas Instituições. 2008. 138 p. Dissertação em Educação Matemática.
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo.
Página Linha Onde se lê Leia-se
25 9 atividade atividades
17 7 Decorrem-se Decorrem
25 9 atividade atividades
26 1 Deve-se Deve
29 9 Transposição Didática Teoria da Transposição Didática
36 8 Deve-se Deve
36 10 presidem norteiam
37 8 deixaria deixou
70 2 de entrevista piloto entrevista piloto
74 7 atitude atividade
98 8 A figura acima A Figura 3
98 9 baterias, quatro resistores baterias e quatro resistores
103 4 sistema linear sistema linear em
representação matricial
104 7 na figura na Figura 4
107 12 delas dessas aplicações
Acrescentar no Capítulo Referências
FAZENDA, I. C. A. Interdisciplinaridade, História, Teoria e Pesquisa. São Paulo: Papirus,
2006.
Banca Examinadora
____________________________________
____________________________________
____________________________________
A
utorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
DEDICATÓRIA
A Deus por me ter concedido equilíbrio e
saúde até o momento final.
A minha família pelo apoio contínuo na
busca de mais este sonho.
AGRADECIMENTOS
A minha orientadora, Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini, por
acreditar no meu trabalho e empenho, pelo estímulo constante e bom humor nas
orientações.
Às professoras da banca examinadora, Professora Doutora Silvia Dias de
Alcântara Machado, pela valiosa contribuição, sabedoria e críticas construtivas, e
Professora Doutora Leila Zardo Puga por me ter ingressado neste grupo de
pesquisa e me orientado nos primeiros dias de Mestrado.
Aos meus professores de graduação Professor Doutor Carlos Antonio
França Sartori e Professor Doutor Silvio Ikuyo Nabeta, exemplos de profissionais
da engenharia e verdadeiros mestres, que contribuíram com o direcionamento e
os primeiros passos dessa pesquisa.
Às professoras suplentes, Professora Doutora Renata Rossini pela
orientação, paciência e entusiasmo ao ler o trabalho e Professora Doutora Helena
Noronha Cury pela atenção e conhecimento que me incentivaram à investigação
deste tema.
À Professora Doutora Marlene Alves Dias, que direcionou e ajudou na
reformulação deste trabalho.
À Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho que me orientou,
apresentou idéias sobre o trabalho e sobre o Quadro Teórico utilizado nesta
pesquisa.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da PUC-SP, por todo incentivo e acompanhamento ao longo das
aulas e do curso.
A todos os professores que participaram das entrevistas.
Aos amigos do Mestrado, em especial aos integrantes do grupo GPEA,
pelas contribuições durante as reuniões de grupo.
A CAPES, pela bolsa de estudo, que permitiu maior dedicação ao
Programa de Pós-Graduação.
RESUMO
Esta pesquisa inserida no atual projeto denominado Em busca de situações
propícias para a aprendizagem de conceitos básicos de Álgebra Linear do Grupo
de Estudos de Educação Algébrica (GPEA) da Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo (PUC-SP), propõe encontrar elementos que respondam às questões
inerentes a esta investigação: Por que e Como deve ser lecionada a disciplina
Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica? A escolha deste tema
justifica-se pela importância da Álgebra Linear nas disciplinas que compõem um
curso de Engenharia Elétrica e na necessidade latente de mudança de enfoque
dado pelos professores que lecionam a disciplina. Assim, pretendemos trazer
elementos que justifiquem a reformulação de cursos que trabalham com
disciplinas matemáticas como a Álgebra Linear em graduações com este perfil.
Os resultados foram obtidos através de pesquisas bibliográficas, documentos
oficiais vigentes para os cursos de Engenharia Elétrica, entrevistas com
professores desta graduação e exercícios aplicados citados nas entrevistas. Para
sua análise, buscamos na Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Chevallard
(1999), articular as diversas noções expostas que constituem a tríade objeto-
pessoa-instituição. Dentre os resultados obtidos, verificamos que a aprendizagem
de conceitos de Álgebra Linear como Matrizes, Sistemas Lineares e
Transformação Lineares está atrelada às relações existentes com outras
disciplinas da graduação como Circuitos Elétricos, Processamento de Sinais,
Teoria Eletromagnética, dentre outras. Também pudemos identificar a busca pela
formação do engenheiro conceitual e generalista que prime por conhecimentos
matemáticos vinculados à pesquisa. Estaríamos, assim, obtendo informações
para responder a nossa pergunta inicial: Por que a Álgebra Linear deve ser
lecionada em uma graduação de Engenharia Elétrica? Mas como poderia ser
direcionado este ensino? Após análise das informações obtidas, percebemos que
a antecipação de determinados conteúdos específicos da graduação poderia ser
trabalhada através de exemplos propostos em livros atuais de Álgebra Linear.
Outra sugestão, apontada no discurso dos professores, faz referência a projetos
integrados que tratem a interdisciplinaridade inerente a este curso.
Palavras-Chave: Álgebra Linear, Engenharia Elétrica, Interdisciplinaridade, Teoria
Antropológica do Didático.
ABSTRACT
This research included in the current project called In Search of propitious
situations for learning basic concepts of Linear Algebra of Group's Studies of
Education Algebraic (GPEA) of the Pontifical Catholic University of São Paulo
(PUC-SP), proposes find elements that meet issues inherent in this research: Why
and how should be tauch the discipline Linear Algebra in a graduate of Electrical
Engineering? The choice of this subject is justified by the importance of Linear
Algebra in the disciplines that make up a course in Electrical Engineering and the
latent need of a change of focus given by teachers who teach the discipline.
Therefore, we want to bring elements that justify the reformulation of the course
that work with mathematical subjects such as Linear Algebra with graduations in
this profile. The results were obtained through bibliographic searches, official
documents applying for the courses of Electrical Engineering, interviews with
teachers of graduation and applied exercises cited in the interviews. For its
analysis, we sought in Anthropological Theory of the Didactic of Chevallard (1999),
articulate the various concepts which are exposed in the triad object-person-
institution. Among the results, we see that the learning of concepts of Linear
Algebra as Matrix, Linear Systems and Linear Transformation is geared to existing
relationships with others disciplines such as Electrical Circuits, Signal Processing,
Electromagnetic Theory, among others. It also could identify the search for the
formation of the conceptual and general engineer for that prime mathematical tied
to search. We thus getting information to reply to our original question: Why does
the Linear Algebra should be tauch in a graduate of Electrical Engineering? But
how education could be directed? After the analysis of the gotten information, we
perceive that the anticipation of certain content of the graduation could be worked
through examples offered in current books of Linear Algebra. Another suggestion,
pointing in the speech of teachers, refers to the integrated projects that address
the interdisciplinary inherent in this course.
Keywords: Linear Algebra, Electrical Engineering, Interdisciplinary,
Anthropological Theory of Didactic.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 15
CAPÍTULO 1: Fundamentação Teórica e Metodológica ...................................... 25
1.1. A Teoria Antropológica do Didático .................................................. 25
1.1.1. A Articulação com a Teoria das Situações Didáticas .......... 26
1.1.2. A Modelagem das Práticas Sociais ..................................... 28
1.1.3. Análise de uma Organização Praxeológica Didática e
Matemática .......................................................................... 32
1.2. Procedimentos Metodológicos ......................................................... 34
CAPÍTULO 2: Sobre documentos governamentais e institucionais do curso de
Engenharia Elétrica: Uma Análise da Relação Institucional
Esperada ...................................................................................... 39
2.1. As Diretrizes Curriculares para os cursos de Engenharia ................ 39
2.2. As Grades Curriculares .................................................................... 46
2.2.1. Universidade I ...................................................................... 49
2.2.2. Universidade II ..................................................................... 55
2.2.3. Universidade III .................................................................... 56
2.3. Análise da Relação Institucional Esperada ...................................... 57
CAPÍTULO 3: Entrevistas com professores da graduação em Engenharia Elétrica:
Uma Análise da Relação Institucional Real .................................. 63
3.1. Principais questões .......................................................................... 64
3.2. As Entrevistas .................................................................................. 68
3.2.1. Entrevista I - A entrevista-piloto ........................................... 70
3.2.2. Entrevista II .......................................................................... 72
3.2.3. Entrevista III ......................................................................... 75
3.2.4. Entrevista IV ........................................................................ 77
3.2.5. Entrevista V ......................................................................... 81
3.3. Análise da Relação Institucional Real .............................................. 83
CAPÍTULO 4: Análise da Organização Praxeológica do Objeto Matemático:
Sistema de Equações Lineares – Uma Análise da Relação
Institucional Existente ................................................................... 91
4.1. Análise da Organização Matemática do Objeto: Sistema de Equações
Lineares ............................................................................................ 93
4.1.1. Exemplo 1: Análise de Redes .............................................. 94
4.1.1.1. Tarefa .................................................................. 95
4.1.1.2. Técnica ................................................................ 95
4.1.2. Exemplo 2: Circuitos Elétricos ............................................. 97
4.1.2.1. Tarefa ................................................................ 100
4.1.2.2. Técnica .............................................................. 100
4.1.3. Discurso Teórico-Tecnológico das Tarefas e Técnicas de
ambos os Exemplos .......................................................... 104
4.2. Análise da Organização Didática do Objeto: Sistema de Equações
Lineares .......................................................................................... 105
4.2.1. O Capítulo Introdutório de Álgebra Linear ......................... 106
CAPÍTULO 5: Considerações Finais .................................................................. 109
REFERÊNCIAS .................................................................................................. 115
APÊNDICE ..........................................................................................................119
ANEXOS .............................................................................................................123
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Fluxo de um nó: f
1
+f
2
= 50................................................................... 94
Figura 2 – Fluxo através da rede de encanamento de água ............................... 95
Figura 3 – Circuito elétrico simples com três baterias e quatro resistores
conectados por fios............................................................................. 97
Figura 4 – Circuito elétrico com baterias indicando seu potencial elétrico ........ 100
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Relação entre disciplinas dos ciclos específicos e Álgebra Linear para
Engenharia I e Álgebra Linear para Engenharia II ........................... 55
Quadro 2 – Síntese do perfil do entrevistado, local da entrevista e sua
duração............................................................................................. 69
Quadro 3 – Síntese das principais idéias apresentadas nas entrevistas
realizadas ......................................................................................... 88
Quadro 4 – Livros analisados neste trabalho ....................................................... 92
Quadro 5 – O objeto matemático Sistema de Equações Lineares e sua
relação com disciplinas da Engenharia Elétrica ............................... 93
LISTA DE ABREVIATURAS
COBENGE – Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia
CREA – Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura
GPEA – Grupo de Pesquisa de Educação Algébrica
IES – Instituição de Ensino Superior
PNE – Plano Nacional de Educação
REENGE – Reengenharia do Ensino da Engenharia
TAD – Teoria Antropológica do Didático
TCLE – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
TSD – Teoria da Situação Didática
15
COMO SOBREVIVEM AS DIFERENTES NOÇÕES DE
ÁLGEBRA LINEAR NOS CURSOS DE ENGENHARIA
ELÉTRICA E NAS INSTITUIÇÕES
INTRODUÇÃO
Em dezembro de 2005, ao ingressar no Programa de Estudos Pós-
Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo (PUC-SP), deparei-me, a princípio, com uma certa dúvida sobre qual tema
motivaria minha atenção para estudo e que ao mesmo tempo pudesse instigar a
formação de novos pesquisadores.
A idéia foi trabalhar com o tema Álgebra Linear e, melhor ainda, associá-lo
a minha graduação em Engenharia Elétrica. Estaria, assim, frente a uma vastidão
de informações que poderiam resultar em um casamento perfeito e, sem dúvida,
eterno.
Coletas de informações, leituras sobre temas correlatos, livros e mais livros
sobre Álgebra Linear. E em todos eles, os mesmos relatos de dificuldades de
ensino e de aprendizagem e o número expressivo de evasão e de reprovação na
disciplina (CELESTINO, 2000).
De acordo com Lay (1997), a Álgebra Linear é, em sentido prático, uma
linguagem. E como qualquer língua estrangeira exige-se um trabalho diário e
contínuo para sua compreensão e apreensão.
16
E qual a participação da Engenharia Elétrica frente a este cenário? É o que
iremos compreender a partir da citação da Lay (1997) que inicia a nossa
investigação.
Era o final do verão de 1949. Wassily Leontief, professor de Harvard,
estava cuidadosamente inserindo o último cartão perfurado no
computador Mark II da universidade. Os cartões continham informações
sobre a economia americana e representavam um resumo de mais de
250.000 itens produzidos pelo Departamento de Estatística do Trabalho
dos EUA após dois anos de trabalho intenso. Leontief dividiu a economia
americana em 500 “setores”, como a indústria de carvão, indústria
automobilística, comunicações e assim por diante. Para cada setor, ele
escreveu uma equação linear que descrevia como o setor distribuía sua
produção com respeito aos outros setores da economia. Como o Mark II,
um dos maiores computadores de sua época, não podia lidar com o
sistema resultante de 500 equações e 500 incógnitas, Leontief precisou
resumir o problema em um sistema de 42 equações e 42 incógnitas. A
programação do computador Mark II para resolver as 42 equações de
Leontief levou vários meses de trabalho, e Leontief estava ansioso para
ver quanto tempo o computador levaria para resolver o problema. O
Mark roncou e piscou durante 56 horas até que finalmente produziu uma
solução (LAY, 1997, p. 1).
A citação acima, extraída do livro Álgebra Linear e suas aplicações de David
Lay, relata a vitória de Leontief na busca por um sistema que representasse um
modelo matemático de grande escala. Estamos aqui, discorrendo sobre um marco
histórico ocorrido em 1949, que hoje norteia pesquisas realizadas em muitas
áreas científicas e de negócios. Conforme Lay (1997) afirma
Hoje, a Álgebra Linear tem mais valor em potencial para os alunos, em
muitas áreas científicas e de negócios, do que qualquer outro assunto
em matemática em nível de graduação (LAY, 1997, p.1).
Mas como evidenciar as idéias da Álgebra Linear em graduações como as
Engenharias, instigando os alunos ao seu estudo?
Ontem, como aluna de Álgebra Linear, em uma graduação de Engenharia
Elétrica, talvez fizesse as mesmas perguntas que hoje escuto ao lecionar a
disciplina. Mas, professora, para que eu preciso estudar isso? Confesso, que essa
17
questão, ainda me causa um certo constrangimento por não ter todas as
respostas e uma certa inquietação por tentar buscá-las.
Como destaca Lay (1997) a importância da Álgebra Linear nas aplicações
tem crescido de modo diretamente proporcional ao crescimento do poder
computacional, em que cada nova geração de hardware e de software detona
uma demanda para capacidades ainda maiores.
Decorrem, deste motivo, as inúmeras investigações realizadas ao longo dos
últimos anos que relatam experiências e necessidades conjuntas de
universidades a respeito de um melhor aproveitamento de disciplinas
matemáticas como curso de serviço
1
. Conceitos se formam, metodologias são
investigadas e novas formas de apresentar as disciplinas básicas tornam-se
fatores imprescindíveis na formação de um profissional que deverá responder às
mais diversas exigências.
Assim, este trabalho inicia-se com a investigação de algumas obras
relacionadas ao tema de nossa pesquisa, que destacam a necessidade de
mudança de enfoque na apresentação de uma disciplina matemática como a
Álgebra Linear em um curso de Engenharia Elétrica.
Dentre as obras encontradas, evidenciamos os trabalhos de Cabral e
Baldino (2004) e o de Howson et al (1987). Ambos tratam sobre qual matemática
a ser ensinada como curso de serviço.
De acordo com Cabral e Baldino (2004), os professores de matemática
designados para lecionarem no elenco de disciplinas profissionais de engenharia,
não têm uma visão como as disciplinas matemáticas poderiam ser ministradas,
tornando-as cada vez menos úteis. Além disso, reforçam a necessidade de
1
Curso de serviço: a disciplina Álgebra Linear, conforme está descrita em nossa pesquisa é denominada curso de serviço,
uma vez que é ministrada na interface entre a matemática e suas aplicações (Howson, 1987).
18
diálogo e maior interação entre os professores de matemática e os de engenharia.
Já na obra de Howson et al (1987), os autores afirmam que o ensino da
matemática como curso de serviço deve ser considerado um fato, uma
necessidade social, não devendo ser reduzido a formas inferiores ou limitado a
campos específicos.
Howson et al (1987) ressaltam o importante papel de educadores
matemáticos frente a este cenário.
Em relação à Educação Matemática, os autores afirmam que este assunto é
importante, por pelo menos três razões: 1) Numericamente, pois envolve um
grande número de matemáticos lecionando em cursos não-matemáticos, como
Economia, Engenharias e Ciência da Computação; 2) Socialmente, corresponde
ao impacto da matemática em todos os aspectos do cotidiano; 3)
Intelectualmente, devemos observar sob diferentes ângulos, percebendo que os
diferentes aspectos provêm de campos matemáticos que podem ser inseridos em
uma variedade de situações cotidianas. Além disso, devemos levar em
consideração a diversidade de alunos e as diferenças entre as instituições de
ensino superior.
Assim, os autores entendem que os pesquisadores em Educação
Matemática podem auxiliar na reformulação e elaboração de diferentes métodos
de ensino. O pretendido equilíbrio a ser alcançado entre os conceitos e novas
metodologias faz com que a Matemática não seja considerada como mero
acumulado de conhecimentos, mas uma reconstrução permanente de escolhas e
novas investigações.
Os autores acrescentam que a Matemática necessária é aquela que
precisamos e que deverá ser suprida pela forma e/ou método o qual lhes serão
19
ensinados os conceitos. Caberá aos professores, distribuir de forma coerente, a
Matemática a ser ensinada e a que será praticada, aprimorando os assuntos a
serem tratados com os alunos, a ordem da apresentação e a forma como serão
apresentados ou ilustrados os conceitos matemáticos.
De acordo com Howson et al (1987), os professores de matemática ainda
desconhecem a relação entre as disciplinas básicas de formação como a
Matemática e a Física com as futuras disciplinas da graduação. Faz-se
necessário, portanto, que trabalhem próximos a seus colegas de disciplinas
futuras, através da discussão de tarefas que envolvam os conceitos, as
propriedades, as aplicações do objeto matemático em estudo com a realidade do
estudante.
Quando nos referimos a um curso de Engenharia Elétrica que,
particularmente atrai a atenção em nossa pesquisa, citamos a importância do
conhecimento matemático de um profissional que deverá ser capaz de tratar
matematicamente determinado problema, relacionando-o ao amplo aspecto de
tratamento com problemas reais do cotidiano. Tal aspecto é estudado na obra de
Cabral e Baldino (2004) em que os autores relatam suas experiências no curso de
Engenharia em Sistemas Digitais da universidade em que lecionam, citam que os
professores que compõem o curso
reconhecem que a demanda crescente pela inserção do país entre os
que detêm tecnologia de ponta define modos de trabalho inéditos e exige
que as grades curriculares, oferecidas para a formação dos profissionais
de Engenharia, sejam revistas. Um curso que atribui ênfase à
proficiência em Microeletrônica, por exemplo, requer que o aluno tenha
domínio do eletromagnetismo; logo, as equações de Maxwell, que
resumem o eletromagnetismo e articulam Física e Matemática, de
maneira privilegiada, tornam-se um dos objetivos decisivos das
disciplinas de matemática (CABRAL e BALDINO, 2004, p. 145-6).
Portanto, nos primeiros anos de formação, os alunos podem atingir objetivos
20
como este ou o curso perderá o foco inicial.
Dessa forma, a Matemática como curso de serviço representa uma
variedade interessante e ainda mal compreendida atividade entre as instituições
de ensino. Cabe aos educadores matemáticos, a compreensão dessas relações e
a integração de um trabalho conjunto entre profissionais de diferentes perfis.
Frente à evidência de que esses cursos devem passar por reformulações,
as duas obras anteriormente citadas enfatizam a necessidade da criação de
estruturas flexíveis nas graduações, ou seja, compostas por disciplinas que não
estejam presas ou condicionadas à rigidez de ementas pré-estipuladas. Além
disso, defendem a construção de um programa de estudos coerentemente
integrado e que assegurem a interdisciplinaridade
2
requerida e um maior vínculo
entre teoria e prática.
Com base na investigação de Cabral e Baldino (2004) e Howson et al.
(1987) sobre o papel da matemática como curso de serviço, elaboramos nossa
pesquisa com o objetivo de responder às seguintes indagações: Por que e Como
deve ser lecionada a disciplina Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia
Elétrica?
Para que respondêssemos as questões apontadas no objetivo deste
trabalho buscamos no Grupo de Pesquisa de Educação Algébrica (GPEA) do
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP,
desenvolver um aprofundamento teórico que pudesse contribuir e trazer novos
elementos às pesquisas já existentes ou que virão surgir.
Dentre os projetos encontrados no projeto maior do grupo intitulado “Qual a
Álgebra a ser ensinada na formação de professores?”, encontramos o projeto “Em
2
Interdisciplinaridade: de acordo com Fazenda (2006), a interdisciplinaridade busca um conhecimento universal, ou seja,
um conhecimento que não seja partido em campos ou áreas específicas.
21
busca de situações propícias para a aprendizagem de conceitos básicos da
Álgebra Linear”. Este projeto amplia a investigação do trabalho concluído em
2006 “Sobre o desenvolvimento da noção de base de um espaço vetorial”
estendendo o campo de investigação para todos os conceitos básicos de Álgebra
Linear.
Para esta investigação, adotamos como referencial teórico a Teoria
Antropológica do Didático (TAD) de Chevallard (1999). O postulado de base da
TAD admite, com efeito, que toda atividade humana regularmente realizada pode
ser descrita como um modelo único, que se resume com a palavra praxeologia.
Com base nesta teoria, buscamos articular as diversas noções expostas na
pesquisa, dentre elas a de objeto, pessoa e instituição.
De acordo com Chevallard (1999), a articulação dessas noções permite
pensar de maneira unificada um grande número de fenômenos didáticos que
surgem no final da análise da organização praxeológica do objeto matemático em
estudo.
Assim, entendemos que as respostas para as questões expostas seriam
obtidas a partir de uma análise da organização praxeológica formada pelo
conjunto objeto, pessoa e instituição. Conhecer o objeto, no sentido da teoria, é
estabelecer uma relação da pessoa ou da instituição com o mesmo.
Após estudo da TAD, assumimos como objeto, alguns conceitos
elementares presentes na disciplina Álgebra Linear; como pessoas, os
participantes de nossa investigação: professores e alunos; e como instituições, as
universidades selecionadas para pesquisa, além de documentos oficiais que
regulamentam um curso de Engenharia Elétrica: Diretrizes Curriculares para os
cursos de Engenharia e Grades Curriculares das universidades investigadas.
22
A articulação das noções objeto, pessoa e instituição foi estudada a partir da
investigação da
relação institucional esperada, via análise dos documentos
governamentais e institucionais de um curso de Engenharia Elétrica: Diretrizes
Curriculares para os cursos de Engenharia e Grades Curriculares disponíveis das
universidades investigadas; da
relação institucional real a partir de entrevistas
realizadas com professores da Engenharia Elétrica; e da
relação institucional
existente, via exercícios aplicados nos livros didáticos citados nas entrevistas.
Acrescentamos que a análise da relação institucional existente pretendeu
seguir os pressupostos da TAD em que são estabelecidas as noções de (tipo de)
tarefa, (tipo de) técnica, tecnologia e teoria. Na raiz da noção de praxeologia se
encontram as noções de tarefa e tipo de tarefas que de acordo com Chevallard
(1999) correspondem a construções institucionais. Chevallard (1999) acrescenta a
noção de técnica como a maneira de realizar as tarefas, constituindo o bloco
prático-técnico que se identificará genericamente com o que comumente se
denomina um saber-fazer um determinado tipo de tarefa. Por tecnologia, entende-
se como o discurso racional sobre a técnica, de modo a explicá-la e torná-la
inteligível. Por sua vez, o discurso tecnológico contém afirmações, mais ou menos
explícitas, sendo plausível alguma justificativa. Passa-se, então, a um nível
superior de justificação-explicação-produção que corresponde a teoria.
Os conceitos citados anteriormente sobre a Teoria Antropológica do Didático
serão detalhados no Capítulo 1: Fundamentação Teórica e Metodológica.
Portanto, uma das metas deste trabalho é trazer elementos que ressaltem a
necessidade de mudança no ensino tradicional da Álgebra Linear, respondendo
às questões apontadas anteriormente.
Para tanto, este estudo está distribuído em cinco capítulos.
23
A Introdução, apresenta o cenário enfrentado por disciplinas matemáticas
como cursos de serviço, o objetivo deste trabalho e as obras que incentivaram
esta investigação. O Capítulo 1 apresenta a Fundamentação Teórica adotada
para análise das informações obtidas assim como a Fundamentação
Metodológica, ressaltando as principais ferramentas de coleta de informações. O
Capítulo 2 destaca os documentos oficiais que fizeram parte da investigação da
relação institucional esperada, assim como sua análise. O Capítulo 3 apresenta
as questões elaboradas para as entrevistas realizadas com cinco professores
participantes desta pesquisa, o resumo das entrevistas e os principais elementos
identificados que trouxeram respostas às questões inerentes ao objetivo desta
investigação. A partir das informações coletadas no Capítulo 3, buscamos estudar
o objeto matemático Sistema de Equações Lineares via livros didáticos citados
nas entrevistas. Tal estudo é apresentado no Capítulo 4: Análise da Organização
Praxeológica do Objeto: Sistema de Equações Lineares – Uma Análise da
Relação Institucional Existente, em que discutimos a noção de Tarefa, Técnica,
Tecnologia e Teoria relativas à organização didática e matemática deste saber.
No Capítulo 5 apresentamos as Considerações Finais. Nestas, identificamos
os principais resultados alcançados e deixamos sugestões para futuras pesquisas
que possam dar continuidade a este trabalho.
25
CAPÍTULO 1: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E METODOLÓGICA
1.1. A Teoria Antropológica do Didático
A Teoria Antropológica do Didático, criada por Yves Chevallard (1992),
focaliza o estudo das organizações praxeológicas
3
didáticas pensadas para o
ensino e aprendizagem de organizações matemáticas.
A Teoria Antropológica do Didático (TAD) estuda as condições de
possibilidade e funcionamento de sistemas didáticos, entendidos como
relações sujeito-instituição-saber (em referência ao sistema didático
tratado por Brousseau, aluno-professor-saber) (ALMOULOUD, 2007, p.
111).
Assim, a TAD estuda o homem perante o saber matemático e mais
especificamente perante situações matemáticas, tendo como base a Teoria das
Situações Didáticas (TSD) de Brousseau (1986).
Ampliando o conceito de transposição didática, a TAD situa a atividade
matemática, e em conseqüência, a atividade do estudo em matemática, no
conjunto de atividades humanas e de instituições sociais, inserindo a didática no
campo da antropologia (Chevallard, 1999, p.1).
Para tanto, faz-se necessária a compreensão da tríade: objeto-pessoa-
instituição.
De maneira privilegiada encontram-se os objetos. Estes se constituem o
“material de base” da construção teórica considerada. Chevallard (1996) faz a
comparação com a teoria dos conjuntos no universo matemático contemporâneo,
sendo tudo, neste universo, conjunto. Já no universo a ser considerado do autor,
tudo é objeto, assim como as pessoas e as instituições.
Do ponto de vista da “semântica” da teoria, qualquer coisa pode ser um
objeto. Um objeto existe a partir do momento em que uma pessoa X ou
uma instituição I o reconhece como existente (para ela) (CHEVALLARD,
1996, p.127).
3
Organizações Praxeológicas: palavra formada por dois termos gregos que significam prática e razão. Ela reporta-se ao
fato de que uma prática humana, no interior de uma instituição, está sempre acompanhada de um discurso, mais ou menos
desenvolvido, de um logos que a justifica, a acompanha e que lhe dá razão (ALMOULOUD, 2007, p. 117).
26
Deve, portanto, existir uma relação entre o objeto e a pessoa ou o objeto e
a instituição.
Chevallard (1996) acrescenta uma outra noção, a noção de conhecimento.
Conhecer um objeto, no sentido da teoria apresentada é estabelecer uma relação
da pessoa ou da instituição com esse objeto. Dessa forma, o objeto só existe
porque é objeto de conhecimento.
Entende-se, portanto, que conhecer o objeto é conhecer o real
antropológico, ou seja, a própria matéria do conhecimento.
Chevallard (1996) afirma que uma instituição pode ser uma escola, uma
sala de aula, um curso, uma família. A cada instituição está associado um
conjunto de objetos chamado de conjunto de objetos institucionais que são os
objetos reconhecidos pela instituição, ou seja, para os quais existe uma relação
institucional.
Em contrapartida, introduz a noção de outro termo primitivo, familiar aos
leitores de La Transposition Didactique, o termo tempo institucional.
[...] a cada instante t, surgem novos objetos institucionais, enquanto
outros desaparecem. O mesmo acontece com as relações institucionais.
De uma maneira geral, todas as noções relativas à instituição dependem
do tempo institucional (CHEVALLARD, 1996, p.129).
Outras duas noções apresentadas derivam dos termos de contrato didático
e de meio, introduzidos por Guy Brousseau na Teoria das Situações Didáticas
(TSD). São as noções de contrato institucional e meio institucional. Por contrato
institucional designam-se o conjunto de pares entre os objetos e a relação
institucional dos objetos no tempo e por meio institucional, o subconjunto de
contratos formados pelos pares objetos e relação entre o objeto no tempo.
1.1.1. A Articulação com a Teoria das Situações Didáticas
Chevallard (1996) deixa explícito que a Teoria Antropológica do Didático se
articula com a Teoria das Situações Didáticas.
Primeiro ponto, deve ser claro que a teorização aqui apresentada apela
a uma teoria das situações didáticas, isto é, dos estados possíveis dos
sistemas didáticos e, de forma mais geral, a uma teoria das situações
institucionais. Dada uma instituição I, como assinalar, descrever,
27
caracterizar uma dada situação institucional, isto é, um certo estado de
I? O paradigma de resposta que a análise sistemática fornece conduz a
procurar descrever um estado através de um conjunto de variáveis
institucionais. A partir daí, podemos imaginar a possibilidade de elaborar,
ou pelo menos de esboçar, uma teoria das situações institucionais
relativa ao tipo de instituições de que I releva (CHEVALLARD, 1996, p.
143).
Assim, não há qualquer contradição entre a Teoria Antropológica do
Didático e a Teoria das Situações Didáticas. Chevallard acrescenta que a Teoria
das Situações Didáticas aparece como um complemento da Teoria Antropológica
do Didático e que, inversamente, a Teoria Antropológica do Didático permite situar
a Teoria das Situações Didáticas num espaço teórico mais vasto. Identifica-se,
portanto, a articulação existente entre ambas as teorias, complementando-se na
construção de uma ferramenta bem mais poderosa na construção de
conhecimentos.
A multiplicação de objetos, sujeita à análise didática de estilo antropológico
(Chevallard, 1996, p.143), também estará sujeita à análise concreta de situações
didáticas concretas.
Dessa forma, o discurso de Guy Brousseau (1986) parece tão complexo,
repleto de objetos e relações, não sendo possível explicá-lo por completo por sua
teoria oficial. Cabe explicá-la também através de uma dimensão antropológica do
objeto.
Para Chevallard, a Teoria das Situações Didáticas
tende a privilegiar o ponto de vista da economia e a deixar um pouco
para trás o ponto de vista da ecologia dos sistemas didáticos. Ou, para
dizê-lo mais concretamente, tende a centrar-se no funcionamento da
máquina, deixando um pouco de lado o estudo das condições de
possibilidade desse funcionamento (CHEVALLARD, 1996, p. 144).
A teoria antropológica forneceria, portanto, o conjunto de condições que
caracterizam as relações pessoais, alvo do processo didático.
No texto de Almouloud (2007, p. 111), sabemos que a Teoria das
Situações Didáticas foi estudada com o objetivo de modelar o processo de ensino
e de aprendizagem de conceitos matemáticos, e que ela provoca, pelo menos,
três rupturas de natureza epistemológica no campo da Educação Matemática:
1) Primeira: considera a Matemática como essência dos fenômenos didáticos;
28
2) Segunda: elabora uma ciência da educação desses fenômenos por meio
de modelos teóricos submetidos a um esquema experimental;
3) Terceira: supõe que em relação à visão clássica a respeito do saber
matemático, a teoria das situações traz a terceira ruptura epistemológica
fundamental e supõe que
[...] os conhecimentos matemáticos só podem ser compreendidos e
apreendidos por meio de atividades e problemas que podem ser
resolvidos pela mobilização desses conhecimentos. A matemática é,
antes de tudo, uma atividade que se desenvolve em situação que pode
ser modelada por um jogo cujo oponente é um meio antagônico
(ALMOULOUD, 2007, p.112).
Trata-se de uma atividade estruturada formada pelas fases de ação,
formulação e validação cujo protagonista é o aluno e as fases de devolução e
institucionalização cujo papel principal é do professor.
Assim, pode-se interpretar a transposição didática como uma noção que
desenvolve a tripla ruptura epistemológica provocada pela TSD, pois a noção de
transposição didática mostra que o saber matemático (saber científico, ensinado
ou a ensinar) está no centro de toda problematização didática (Almouloud, 2007,
p.112).
1.1.2. A Modelagem das Práticas Sociais
De acordo com Almouloud (2007, p.112), para introduzir a TAD, Chevallard
desenvolve a noção de transposição didática para distinguir os diferentes saberes
envolvidos no processo de ensino e de aprendizagem. Para Chevallard, uma
classe de objetos a ensinar obedece a regras precisas em que a passagem de um
objeto de saber a objeto de ensino recebe o nome de transposição didática.
Apresentaremos a seguir, um trecho do discurso de Brousseau a respeito
do saber matemático e a transposição didática.
O saber constituído apresenta-se sob formas diversas, por exemplo, sob
a forma de questões e de respostas. A apresentação axiomática é uma
apresentação clássica da matemática. Para além das virtudes científicas
que se lhe conhecem, ela parece estar maravilhosamente adaptada ao
ensino. Permite definir em cada instante os objetos estudados, com o
auxílio das noções anteriormente introduzidas, organizando assim a
aquisição de novos saberes com o auxílio das aquisições anteriores.
29
Promete, pois, ao estudante e ao seu professor um meio que lhes
permitirá ordenar a sua atividade e acumular, num mínimo de tempo, um
máximo de “saberes”, bastante próximos do “saber-sabedor”. Tem,
evidentemente, de ser completada com exemplos e problemas, cuja
solução exige a utilização destes saberes (BROUSSEAU, 1996, p.35).
Mais adiante Brousseau (1996) acrescenta que o saber constituído deve
estar relacionado com sua história, identificando as dificuldades e os problemas
que estiveram atrelados a sua construção. De acordo com palavras do autor, tais
dificuldades e problemas levam a colocação de novos problemas, além de
progressos de diferentes setores e rejeições de determinados pontos de vista.
Não devemos esquecer sua origem, sua motivação, levando-o ao contexto
escolar. Brousseau (1996) segue com a definição atribuída pelos epistemólogos
de transposição didática.
Mas esta apresentação apaga completamente a história destes saberes,
isto é, a sucessão das dificuldades e das questões que provocaram o
aparecimento dos conceitos fundamentais, a sua utilização para a
colocação de novos problemas, a intrusão de técnicas e de questões
resultantes dos progressos dos outros setores, a rejeição de
determinados pontos de vista, considerados falsos ou desadequados, e
as numerosas querelas a seu respeito. Ela mascara o “verdadeiro”
funcionamento da ciência, impossível de comunicar e de descrever
fielmente a partir de fora, para colocar no seu lugar uma gênese fictícia.
Para tornar mais fácil o seu ensino, isola determinadas noções e
propriedades do tecido de atividades em que elas tiveram a sua origem,
o seu sentido, a sua motivação e a sua utilização transpondo-as para o
contexto escolar. Os epistemólogos chamam a esta operação
transposição didática. Ela tem a sua utilidade, os seus inconvenientes e
o seu papel, inclusivamente para construção da ciência. É
simultaneamente, necessária e, num certo sentido, lamentável, e tem de
ser colocada sob vigilância. (BROUSSEAU, 1996, p.36)
De acordo com Almouloud (2007, p.113), a Teoria da Transposição
Didática faz uma análise epistemológica do objeto do saber sob o ponto de vista
didático, categorizando-o em:
- paramatemáticos: quando os objetos são utilizados como ferramentas
para descrever e estudar outros objetos;
- matemáticos: além de ferramenta de estudo para outros objetos
matemáticos, tornam-se ferramentas de estudo em si mesmos;
30
- protomatemáticos: apresentam propriedades utilizadas para resolver
problemas, sem contudo adquirir o status de ferramenta ou objeto para
o estudo de outros objetos.
Tal classificação, considerada insuficiente para Chevallard, levou-o a
desenvolver a TAD. De acordo com Almouloud (2007), Chevallard acrescenta a
noção de problemática ecológica e de estrutura ecológica dos objetos.
A problemática ecológica amplia o campo de análise e permite abordar
os problemas que se criam entre os diferentes objetos do saber a
ensinar. Nesta visão, os objetos têm inter-relações hierárquicas que
permitem identificar e analisar as estruturas ecológicas dos objetos.
(ALMOULOUD, 2007, p.113)
Por meio da problemática ecológica, o campo de análise sobre os objetos
do saber a ensinar é ampliado, estabelecendo-se inter-relações hierárquicas,
permitindo a identificação ecológica dos objetos. Para tanto, Almouloud (2007)
acrescenta a idéia de nicho, habitat, cadeia alimentar e ecossistema estabelecido
por Chevallard, com o objetivo de explicar tais relações.
Para a didática da matemática, do ponto de vista cognitivo, Chevallard
considera tudo como objeto, identificando os diferentes tipos, dentre eles, as
instituições, os indivíduos e as posições que estes ocupam nas mesmas. Afirma
que a existência de dado objeto está vinculada ao seu reconhecimento pelo
sujeito ou pela instituição. Além disso, acrescenta a noção de habitat de um
objeto matemático
[...] como sendo o tipo de instituição onde se encontra o saber
relacionado ao objeto de estudo, que por sua vez determinará seu nicho.
Lembremos que, em ecologia
4
, o termo habitat designa o lugar onde vive
uma espécie, enquanto nicho ecológico é o papel que o organismo
desempenha no ecossistema. O conhecimento de nicho ecológico
permite responder às seguintes questões: como, onde e à custa de
quem a espécie se alimenta, por quem é comida, como e onde descansa
e se reproduz (ALMOULOUD, 2007, p.114).
4
O termo ecologia foi criado por Haeckel em 1869 para designar o estudo das relações de um organismo orgânico ou
inorgânico, sejam elas positivas e amistosas ou negativas. O conceito evoluiu e hoje é entendido como o estudo das
relações dos organismos uns com os outros e com todos os fatores naturais e sociais constituintes do ecossistema
(ALMOULOUD, 2007, p. 114)
31
Chevallard (1999) estabelece as noções de (tipo de) tarefa T, (tipo de)
técnica ţ, tecnologia θ e teoria Ö que permitem modelar as práticas sociais e, em
particular, a atividade matemática.
Conforme explica Chevallard (1999), na raiz da noção de praxeologia, se
encontram as noções de tarefa e de tipo de tarefas. Na maioria dos casos, uma
tarefa (e o tipo de tarefas associado) se expressa por um verbo como dividir um
inteiro por outro, integrar uma função. A noção de tipo de tarefas supõe um objeto
relativamente preciso, como, por exemplo, calcular o valor de uma função em um
ponto, calcular o valor (exato) de uma expressão numérica contendo uma raiz ou
calcular o valor de uma expressão numérica contendo a letra x quando se dá a x
um valor determinado.
A seguir, Almouloud (2007) acrescenta que tarefas, tipo de tarefas são
delimitadas por práticas institucionais.
O problema de delimitar tarefas em uma prática institucional varia de
acordo com o ponto de vista da instituição na qual se desenvolve a
prática ou de uma instituição externa que observa a atividade para
descrevê-la com um objetivo preciso (ALMOULOUD, 2007, p.150).
Quanto à palavra técnica, Chevallard (1999) utiliza-a como uma “maneira
de fazer” a tarefa, não correspondendo, necessariamente, a um procedimento
estruturado e/ou algorítmico. Uma praxeologia relativa ao tipo de tarefas contém,
pois, um princípio, uma técnica relativa ao tipo de tarefas. Contém, assim, um
bloco prático-técnico que se identificará, genericamente, com o que comumente
se denomina um saber-fazer um determinado tipo de tarefas.
Geralmente, existe um número limitado de técnicas reconhecidas em uma
instituição, embora possa haver técnicas alternativas em outras instituições. Para
realização de dada tarefa (T), as técnicas pertinentes (ţ), ou a maneira de fazer,
podem ser rotineiras ou problemáticas. No início, a técnica é problemática, mas
com o tempo passa a ser rotineira. Isso quer dizer que para produzir técnicas é
necessário que haja uma tarefa problemática que estimule o desenvolvimento de
novas técnicas, e que estas respondam às questões colocadas pela tarefa. Dessa
forma, as técnicas são organizadas para que funcionem regularmente na
instituição.
32
Para existir em uma determinada instituição, uma técnica deve ser
compreensível, legível e justificada, delimitada por condições e restrições
ecológicas que justifiquem a existência das tarefas e técnicas nas instituições. Tal
justificativa é chamada por Chevallard (1999) por tecnologia da técnica, que
corresponde a um discurso lógico (logos) que lhe dá suporte. Da mesma forma,
toda tecnologia precisa de uma justificativa, é a teoria da técnica. É um nível
superior de justificativa-explicação-produção.
Assim, formaliza-se que uma praxeologia ou uma organização
praxeológica, está constituída de um bloco prático-técnico (T/ ţ), referente ao
saber-fazer e por um bloco tecnológico (θ/Ö) referente ao saber.
Chevallard (1999) define os termos organizações praxeológicas pontuais,
que relacionam um único tipo de tarefa T ao complexo (T/ ţ, θ/Ö) [tarefa, técnica,
tecnologia e teoria], locais que são centradas sobre uma tecnologia θ determinada
e depois em organizações regionais [Tij/ ţij/ θj/ Ö] formada ao redor de uma teoria
Ö.
As organizações praxeológicas globais correspondem a um complexo
praxeológico dado pelo conjunto de organizações regionais.
1.1.3. Análise de uma Organização Praxeológica Didática e Matemática
Para Almouloud (2007), algumas questões que possam responder sobre as
condições de “sobrevivência” de um saber (tecnológico/teórico) e de um saber-
fazer (técnico/prático) em analogia a um estudo ecológico, ajudam na
compreensão da organização matemática determinada por uma praxeologia. São
elas: Qual o habitat? Qual o nicho? Qual o papel deste saber ou saber-fazer na
cadeia alimentar?
De acordo com Chevallard (1999), a organização praxeológica associada a
determinado saber matemático divide-se em organização praxeológica
matemática e organização praxeológica didática ou, simplesmente, organização
matemática e organização didática.
A organização matemática de um tema de estudo Φ, corresponde ao
estudo da própria realidade matemática e a organização didática é a maneira
33
como pode ser construída essa realidade matemática. Há, portanto, forte relação
entre ambas organizações.
Almouloud (2007) acrescenta que
[...] quando se trata de um objeto relativo às práticas de ensino, deve-se
em primeiro lugar observar o objeto, depois descrevê-lo, analisá-lo e
avaliá-lo para, finalmente, desenvolver atividades que têm por objetivo o
ensino e aprendizagem desse objeto, categorizado da seguinte forma:
- a realidade matemática (organização matemática – OM);
- como se pode construir essa realidade (organização didática – OD)
(ALMOULOUD, 2007, p.124)
A seguir, Almouloud (2007), considerando as idéias apresentadas por
Chevallard, apresenta um conjunto de critérios explícitos para a realização de
uma avaliação a priori das organizações matemática e didática feita por um
professor. Assim, a análise dos tipos de tarefas segue os critérios:
1. Critério de identificação: verifica quais tipos de tarefas são
apresentados de forma clara e bem identificados;
2. Critérios das razões de ser: verifica quais razões de ser dos tipos
de tarefas são explicitadas ou, ao contrário, se esses tipos de
tarefas aparecem sem motivos válidos;
3. Critério de pertinência: verifica quais tipos de tarefas considerados
são representativos das situações matemáticas freqüentemente
encontradas, bem como se são pertinentes, tendo em vista as
necessidades matemáticas dos alunos. (ALMOULOUD, 2007, p.
126).
A avaliação das técnicas apóia-se nos mesmos critérios, devendo buscar
respostas para as seguintes questões:
1. As técnicas propostas são efetivamente elaboradas ou somente
esboçadas?;
2. São de fácil utilização?;
3. São imprescindíveis para o cumprimento do tipo de tarefas
proposto?;
4. São fidedignas e confiáveis, tendo em vista as condições de sua
utilização no cumprimento do tipo de tarefas proposto?
(ALMOULOUD, 2007, p.126)
Também é apresentado um conjunto de indagações para avaliar as
tecnologias ou a pertinência do bloco tecnológico-teórico. Seguem as questões:
1. Dado um enunciado, o problema de sua justificativa está somente
colocado ou é considerado tacitamente como pertinente, evidente,
natural ou ainda bem conhecido?
34
2. As formas de justificativas utilizadas são próximas daquelas
matematicamente válidas?
3. Essas justificativas são adequadas tendo em vista o problema
colocado?
4. Os argumentos utilizados são cientificamente válidos?
5. O resultado tecnológico de uma determinada atividade pode ser
explorado para produzir novas técnicas para resolver novas
tarefas? (ALMOULOUD, 2007, p.127).
Almouloud (2007) acrescenta que na TAD o objetivo de uma organização
didática é estabelecer uma relação pessoal com a organização matemática ou
modificar a relação existente, com o acréscimo de novas técnicas relacionadas ao
tipo de tarefa proposto, ou pela ampliação do discurso teórico-tecnológico.
Ressalta a importância do professor nos diferentes momentos de estudo,
desde seu primeiro encontro com a organização matemática, no estabelecimento
de tarefas e na condução de um estudo exploratório de um tipo de tarefas, na
organização da institucionalização e na realização do momento de avaliação.
Assim, à luz da Teoria Antropológica do Didático, buscamos articular as
diversas noções expostas na pesquisa, que compõem a tríade objeto-pessoa-
instituição e que estejam em consonância com o objetivo desta investigação. Para
tanto, os elementos que compõem a tríade farão parte da: a)
análise da relação
institucional esperada, realizada por meio de documentos governamentais e
institucionais de um curso de Engenharia Elétrica; b)
análise da relação
institucional real, realizada por meio de entrevistas com professores da
graduação; e c)
análise da relação institucional existente, dividida em análise
matemática e didática do objeto matemático Sistema de Equações Lineares. Tal
estudo estabeleceu as noções de (tipo de) tarefa, (tipo de) técnica, tecnologia e
teoria inerentes a este objeto matemático.
1.2. Procedimentos Metodológicos
Para a realização deste trabalho, iniciamos a investigação de outras
pesquisas que pudessem estar direta ou indiretamente relacionadas ao nosso
tema: Como sobrevivem as diferentes noções de Álgebra Linear nos cursos de
35
Engenharia Elétrica e nas instituições. Consideramos, portanto, a pesquisa
bibliográfica como fonte inicial de coleta de dados pertinentes a esta investigação.
De forma a atingir o objetivo da pesquisa, com respostas pertinentes às
questões: Por que e Como deve ser lecionada a Álgebra Linear em uma
graduação de Engenharia Elétrica? buscamos, inicialmente, nas pesquisas
bibliográficas, temas relacionados à disciplina de Álgebra Linear aplicada como
curso de serviço nas chamadas graduações não-matemáticas. Tal pesquisa
bibliográfica poderia destacar a reflexão e o relato de pesquisadores no âmbito da
investigação sobre qual Matemática a ser ensinada a engenheiros.
Com base na Teoria Antropológica do Didático, analisamos a relação
institucional esperada em uma graduação de Engenharia Elétrica em documentos
oficiais vigentes. A investigação das Diretrizes Curriculares para os cursos de
Engenharia constituiu-se no segundo passo para análise dos elementos que
constituem a tríade objeto-pessoa-instituição.
Também se constituiu na investigação da relação institucional esperada, a
análise das grades curriculares de três universidades brasileiras. Estas, de forma
análoga, às Diretrizes Curriculares para os cursos de Engenharia, poderiam
acrescentar elementos relacionados à formação deste profissional.
Nesta fase, a pesquisa documental pode se constituir numa técnica valiosa
de abordagem de dados qualitativos, seja complementando as informações
obtidas por outras técnicas, seja desvelando aspectos novos de um tema ou
problema.
Assim, a análise documental busca identificar informações factuais nos
documentos a partir de questões ou hipóteses de nosso interesse.
36
A busca pela relação institucional real constituiu-se na terceira fase de
nossa pesquisa, estudada a partir de informações obtidas por entrevistas
realizadas com professores da graduação de Engenharia Elétrica. Tais entrevistas
foram classificadas como semi-estruturadas pelo caráter específico e dirigido que
as questões atingiram.
De acordo com Foddy (1996), na entrevista semi-estruturada, quando se
pretendem respostas em função de determinadas dimensões, as questões devem
ser cuidadosamente definidas e apresentadas aos entrevistados. Portanto, o
investigador deve ter claro o tipo de informação que pretende obter sobre o
tópico, de forma que esta não fuja dos objetivos que norteiam à realização da
pesquisa.
Aplicadas às pesquisas qualitativas, as entrevistas semi-estruturadas
apresentam soluções para o estudo de significados subjetivos e tópicos em que
instrumentos fechados e formatos padronizados são incapazes de atingir.
Assim, as perguntas fechadas, moldadas por um leque de respostas
restritas e condicionadas às opções do entrevistador limitam a escolha de
respostas pelos inquiridos.
Conforme explica Foddy (1996), em sua grande maioria, o papel da
entrevista está limitado a mero instrumento de coleta de informações entre duas
pessoas, proporcionando verbalmente, ao entrevistador a informação necessária.
Nesta perspectiva, contempla-se o aspecto puramente neutro e a posição passiva
do entrevistado considerado como mero informante.
A organização do processo de interação entre entrevistador e entrevistado
se estabelece quando há emergência de significados, não só do conteúdo da fala,
37
mas também à situação de entrevista como um todo, à relação interpessoal que
se instalou, à história de vida do entrevistado e ao seu ambiente sócio-cultural.
O autor evidencia a importância de que ambos, entrevistador e inquirido
tenham equacionado a mesma idéia sobre o tópico discutido de forma a não
promover distorções nas análises efetuadas. Assim, o significado é construído na
interação entre entrevistador e inquirido a partir de um conhecimento organizado
de forma específica, percebendo-se a participação de ambos no resultado final.
O convite realizado aos professores participantes desta pesquisa deixou
claro qual o objetivo e abrangência das questões pertinentes a nossa
investigação, assegurando-lhes o caráter confidencial de nomes e instituições de
ensino nas quais ministravam suas aulas.
O registro das respostas foi realizado no momento da entrevista para maior
fidelidade e veracidade das informações. Também fizemos uso do gravador em
entrevistas cujos professores concordaram com sua utilização.
Já a quarta fase de nossa pesquisa buscou trazer elementos para a análise
da relação institucional existente via livros didáticos citados nas entrevistas. Tal
análise seguiu os pressupostos da TAD em que são estabelecidas as noções de
(tipo de) tarefa, (tipo de) técnica, tecnologia e teoria direcionadas ao estudo de
determinada atividade exposta nos livros didáticos. Estaríamos, assim,
conseguindo elementos que respondessem à questão: por que e como deve ser
lecionada a disciplina Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica?
39
CAPÍTULO 2: SOBRE DOCUMENTOS GOVERNAMENTAIS E
INSTITUCIONAIS DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA:
UMA ANÁLISE DA RELAÇÃO INSTITUCIONAL ESPERADA
2.1. As Diretrizes Curriculares para os Cursos de Engenharia
O cenário mundial destaca o ensino da Engenharia direcionado ao uso
intensivo da ciência e tecnologia e na formação de profissionais altamente
qualificados. Frente a este cenário, quando tratamos do conceito de qualificação
profissional, verificamos componentes associados às capacidades de coordenar
informações, interagir com pessoas, interpretar de maneira dinâmica a realidade,
não se limitando a solução de problemas de natureza exclusivamente técnica.
As reformas curriculares têm apresentado uma preocupação crescente em
equacionar problemas que, até então, privilegiam a mera acumulação de
conteúdos como garantia para a formação de um bom profissional.
Conforme apresenta o Parecer CNE/CES nº 1362/2001, o antigo conceito
de currículo, entendido como grade curricular que formaliza a estrutura de uma
graduação, é substituído por um conceito bem mais amplo, focado:
a) no conjunto de experiências de aprendizado pelo aluno, envolvendo
atividades complementares, tais como iniciação científica e
tecnológica, programas acadêmicos, visitas técnicas, etc.;
b) no processo participativo do aluno com papel ativo na construção de
seu próprio conhecimento;
40
c) na integração de um programa de estudos entre disciplinas do núcleo
de conteúdos básicos, conteúdos profissionalizantes e conteúdos
específicos que caracterizam a modalidade.
5
De forma a assegurar a abrangência dos conteúdos ministrados em um
curso de graduação de Engenharia, facultou-se às Instituições de Ensino Superior
(IES) ampla liberdade para a fixação do conteúdo necessário.
O Parecer CNE/CES nº 184/2006 destaca, na seção 3 intitulada Percurso
Institucional; Diretrizes Curriculares e a LDB, o Parecer CNE/CES nº 776/97. De
acordo com o Parecer CNE/CES nº 776/97, a SESU/MEC, através do edital nº
4197, as Instituições de Ensino Superior foram convocadas para encaminharem
propostas para a elaboração das diretrizes curriculares de graduação.
Diretrizes Curriculares têm por objetivo servir de referência para as IES
na organização de seus programas de formação, permitindo uma
flexibilização na construção dos currículos plenos e privilegiando a
indicação de áreas de conhecimento a serem consideradas, ao invés de
estabelecer disciplinas e cargas horárias definidas (PARECER CNE
/CES nº 184/2006, p. 11).
Portanto, podemos entender que a reformulação das Diretrizes Curriculares
visa contemplar diferentes formações e habilitações, possibilitando a definição de
múltiplos perfis profissionais.
6
O Parecer CNE/CES nº 184/2006 também faz referência à Lei nº 10.172,
de 9 de janeiro de 2001, que aprovou o Plano Nacional de Educação (PNE). Este
tem por objetivos:
5
Quando tratamos do termo modalidade, estamos nos referindo às especificidades das engenharias, dentre elas: civil,
mecânica, elétrica, química, dentre outras. As Diretrizes Curriculares versam sobre a Engenharia como um todo, não sendo
específicas a cada modalidade.
6
Destacamos no capítulo dedicado às entrevistas, questões que ressaltam o perfil do engenheiro elétrico que a instituição
visa formar. Diante do engenheiro de aplicação ou do engenheiro de desenvolvimento, podemos evidenciar o enfoque da
instituição nas disciplinas matemáticas que compõem o ciclo básico.
41
• a elevação global do nível de escolaridade da população;
• a melhoria da qualidade de ensino em todos os níveis;
• a redução das desigualdades sociais e regionais no tocante ao
acesso e à permanência, com sucesso, na educação pública, e;
• democratização da gestão do ensino público, nos estabelecimentos
oficiais, obedecendo aos princípios na elaboração do projeto
pedagógico da escola e a participação da comunidade escolar e local
em conselhos escolares ou equivalentes (PARECER CNE/CES nº
184/2006, p. 10).
De acordo com o mesmo Parecer, o Plano Nacional de Educação (PNE)
estabeleceu para a educação superior 23 (vinte e três) objetivos e metas. Dentre
eles, destacaremos o décimo primeiro:
Estabelecer, em nível nacional, diretrizes curriculares que assegurem a
necessária flexibilidade e diversidade nos programas de estudos
oferecidos pelas diferentes instituições de educação superior, de forma a
melhor atender às necessidades diferenciais de suas clientelas e às
peculiaridades das regiões nas quais se inserem (PARECER CNE/CES
nº 184/2006, p. 10).
O Parecer CNE/CES nº 184/2006 cita outro Parecer relacionado à questão
apresentada, o Parecer CNE/CES nº 583/01, que acrescenta
A CES/CNE decidiu adotar uma orientação comum para as diretrizes
que começa a aprovar e que garanta a flexibilidade, a criatividade e a
responsabilidade das instituições ao elaborarem suas propostas
curriculares (PARECER CNE/CES nº 184/2006, p. 11).
Foram propostas duas iniciativas:
1. A definição da duração, carga horária e tempo de integralização
dos cursos será objeto de um Parecer e/ou uma Resolução
específica da Câmara de Educação Superior
7
.
2. As Diretrizes devem contemplar:
a - Perfil do formando/egresso/profissional – conforme o curso, o
projeto pedagógico deverá orientar o currículo para o perfil
profissional desejado;
b - Competências/habilidades/atitudes;
c - Habilitações e ênfases;
d - Conteúdos curriculares;
7
O respectivo documento apresenta como carga horária mínima para um curso de Engenharia (independente da
modalidade) o total de 3600 horas.
42
e - Organização do curso;
f - Estágios e atividades complementares;
g - Acompanhamento e avaliação. (PARECER CNE/CES nº
184/2006, p. 11)
Quanto ao perfil do egresso, as Diretrizes Curriculares para os cursos de
engenharia estabelecem
O perfil dos egressos de um curso de engenharia compreenderá uma
sólida formação técnica, científica e profissional geral que os tornem
capazes de absorver e desenvolver novas tecnologias, estimulando a
sua atuação crítica e criativa na identificação e resolução de problemas,
considerando seus aspectos políticos, econômicos, sociais, ambientais e
culturais, com visão ética e humanística, em atendimento às demandas
da sociedade (PARECER CNE/CES nº 1362/2001, p. 3).
Conforme é destacado na citação acima, estimula-se a formação de um
profissional capaz de atuar na pesquisa e desenvolvimento de novas tecnologias.
Para tanto, a busca por uma sólida formação acadêmica e profissional,
fundamentada em disciplinas matemáticas, científicas e tecnológicas torna-se
evidente na construção de seus conhecimentos. A todo conhecimento associam-
se aspectos sociais, políticos, econômicos e ambientais que devem ser
considerados frente à formação deste profissional.
Para tanto, definem-se competências e habilidades relacionadas ao saber
matemático associado a aspectos sociais e naturais inerentes às graduações de
engenharia.
a) aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e
instrumentais à engenharia; b) projetar e conduzir experimentos e
interpretar resultados; c) conceber, projetar e analisar sistemas, produtos
e processos; d) planejar, supervisionar, elaborar e coordenar projetos e
serviços de engenharia; e) identificar, formular e resolver problemas de
engenharia; f) desenvolver e/ou utilizar novas ferramentas e técnicas; g)
supervisionar a operação e a manutenção de sistemas; h) avaliar
criticamente a operação e a manutenção de sistemas; i) comunicar-se
eficientemente nas formas escrita, oral e gráfica; j) atuar em equipes
multidisciplinares; k) compreender e aplicar a ética e responsabilidade
profissional; l) avaliar o impacto das atividades da engenharia no
43
contexto social e ambiental; m) avaliar a viabilidade econômica de
projetos de engenharia; n) assumir a postura de permanente busca de
atualização profissional (PARECER CNE/CES nº 1362/2001, p. 3).
Quanto à estrutura do curso, cada instituição de ensino superior (IES) deve
possuir um projeto pedagógico que contemple o perfil desejado do egresso e o
desenvolvimento de competências e habilidades esperadas, enfatizando a
interdisciplinaridade inerente ao curso.
Deverão existir os trabalhos de síntese e integração dos conhecimentos
adquiridos ao longo do curso, sendo que, pelo menos, um deles deverá
se constituir em atividade obrigatória como requisito para a graduação
(PARECER CNE/CES nº 1362/2001, p. 3).
Ressaltamos que a integração de conteúdos pode ser requerida nos
trabalhos interdisciplinares de final de módulo, também chamados de projetos
integrados e obrigatoriamente no trabalho de conclusão de curso.
Além disso, deverão ser estimuladas as atividades complementares, tais
como trabalhos de iniciação científica, projetos multidisciplinares, trabalhos em
equipe, desenvolvimento de protótipos, monitorias, participação em empresas
juniores e outras atividades empreendedoras.
Quando tratamos dos Conteúdos Curriculares presentes nas Diretrizes, as
disciplinas são agrupadas em torno de um núcleo de conteúdos básicos, um
núcleo de conteúdos profissionalizantes e um núcleo de conteúdos específicos
que caracterizam a modalidade.
As disciplinas matemáticas apresentam-se no núcleo de conteúdos básicos
e as disciplinas que estabelecem relações com Álgebra Linear são distribuídas
entre o núcleo de conteúdos profissionalizantes (por exemplo, Teoria
44
Eletromagnética) e o núcleo de conteúdos específicos (por exemplo, Sistemas e
Sinais I e II)
Verifica-se que o núcleo de conteúdos básicos deverá abranger cerca de
30% da carga horária mínima, o núcleo de conteúdos profissionalizantes cerca de
15% e o núcleo de conteúdos específicos o restante da carga horária mínima
exigida na graduação.
Salum (1999) aponta que a prática vigente nas Diretrizes Curriculares
sobre o ensino de Engenharia no país foi discutida anteriormente em projetos
como o REENGE (Reengenharia do Ensino da Engenharia), desde o início de
1995. Algumas discussões apontadas pelo REENGE merecem destaque como:
flexibilidade curricular, baixas cargas horárias, diversificação do perfil profissional,
interação entre ciclo básico e profissional, e valorização do conhecimento prático
adquirido dentro ou fora da escola.
De acordo com pesquisa realizada por Salum (1999), as modernizações
curriculares têm ocorrido mais em torno de conteúdos do que na forma com que
estes são articulados nos currículos, prejudicando a relação entre ensino e
aprendizagem.
Salum (1999) expõe uma experiência real retratada em um curso de
Engenharia de Sistemas Digitais, em que foi perceptível a necessária relação
entre as disciplinas matemáticas e as disciplinas que compõem os futuros ciclos
desta graduação. Assim, a autora afirma, as primeiras são essenciais para o
aprendizado das segundas. Além disso, a autora aponta uma falha na relação
entre ensino e aprendizagem, principalmente no que diz respeito à lógica da
seqüência do aprendizado e à forma com que os conteúdos são interligados.
Conforme destaca a pesquisa de Salum (1999)
45
Currículos formatados dessa maneira demonstram que as primeiras são
essenciais para o aprendizado das segundas, o que não deixa de ser
correto, mas, também, demonstram uma relação não temporal entre
esses conteúdos, o que não é, necessariamente uma verdade. Por outro
lado, um currículo que entremeie disciplinas de ciências básicas e
profissionais [...] está desmistificando a ciência básica, colocando-a no
que se chama de linguagem educacional, no contexto sócio-político do
aprendizado. Em outras palavras, essa última formatação do currículo
permite que o aluno perceba a importância e utilize a ciência na prática
profissional (SALUM, 1999, p. 113).
De acordo com Cury (2001), há a necessidade de contextualização e
reformulação de uma grade curricular que contemple as necessidades vigentes
apresentadas na Reformulação das Diretrizes Curriculares para os cursos de
Engenharia. A autora cita que é necessário incentivar a atuação crítica e a
criatividade na identificação e resolução de problemas, estimulando-se o
desenvolvimento do perfil crítico em cada disciplina do curso.
Ao abordar esses conteúdos, no entanto, não basta discorrer sobre eles,
apresentando-os dissociados do contexto. É importante questionar (e
estimular o questionamento por parte dos alunos) as relações do
assunto com a realidade, a sua aplicabilidade, as conseqüências dessas
aplicações e das simplificações que são feitas para ‘recortar’ o real e
submetê-lo aos modelos da disciplina em questão (CURY, 2001, p. 3).
Além disso, ressalta que
Se o futuro engenheiro deve aplicar conhecimentos matemáticos,
científicos e tecnológicos à engenharia, trabalhar em equipes
multidisciplinares e avaliar o impacto de suas atividades no contexto
social e ambiental, parece-nos que todas as disciplinas da grade
curricular deveriam enfocar essas exigências. Assim, não se pode mais
pensar em trabalhar o Cálculo, a Álgebra Linear
8
, a Geometria
Analítica, as Equações Diferenciais, etc, de forma compartimentada,
como se os conteúdos pudessem ficar ‘guardados’ na mente do aluno
esperando a hora em que alguma outra disciplina deles necessite
(CURY, 2001, p. 5).
Assim, conforme apontam as reformas curriculares, a contextualização faz-
8
Grifo nosso.
46
se necessária para as possíveis soluções científicas e tecnológicas,
principalmente nos países em desenvolvimento. Dessa forma, parte-se para a
necessidade de se formar um engenheiro crítico, vivenciando sua prática a partir
de conceitos fundamentados ao longo de sua formação acadêmica e profissional.
Para tanto, cabe às Instituições de Ensino Superior buscar a integração
entre as diversas áreas que compõem os ciclos básico, profissionalizante e
específico de uma graduação com este perfil, garantindo a contínua melhoria na
qualidade de ensino.
2.2. As Grades Curriculares
A formação de qualquer profissional de nível superior está fundamentada
na implementação de um currículo. De acordo com Ferreira (1999) a formação de
um currículo deve possuir embasamentos teóricos e também pressupostos
ideológicos.
A base teórica de um currículo de qualquer programa de formação, de nível
superior, está circunscrita às respostas inerentes às seguintes perguntas:
(a) Qual o perfil desejado para o profissional formado?
(b) Quais as competências e habilidades desejadas para este
profissional?
(c) Quais os conteúdos a serem contemplados na grade curricular?
(d) Qual a duração da formação?
(e) Como avaliar a qualidade do profissional formado?
47
Conforme cita Ferreira (1999), os desafios para a construção de um
currículo se iniciam no ensino médio, passam pelas peculiaridades das
Instituições de Ensino Superior (IES) e terminam nas exigências do mercado de
trabalho, que é a conseqüência do estado de desenvolvimento tecnológico
atingido pela sociedade.
De acordo com o autor, os dois principais pressupostos que norteiam a
concepção curricular, são: (a) nível de conhecimento do estudante ingressante no
ensino superior; e (b) mercado de trabalho a ser enfrentado pelo futuro
engenheiro. Estes pressupostos definem o currículo ideal, considerado uma
utopia.
Para o autor, o currículo ideal é aquele que é concebido com base em um
ingressante com sólidos conhecimentos dos conteúdos básicos do curso em
questão. No caso das engenharias, estes conhecimentos são: (a) Física; (b)
Química; (c) Matemática; (d) Desenho. Além disso, afirma que este currículo deve
ser concebido com base na identificação clara das tendências de mercado ao
qual o egresso se submeterá.
Ressaltamos que, em nossa pesquisa, somente o segundo pressuposto,
que norteia a concepção curricular sobre o mercado de trabalho a ser enfrentado
pelo futuro engenheiro, será discutido. Acreditamos que este pressuposto trará
respostas às questões pertinentes ao objetivo desta investigação. Não
trataremos, em nenhum momento, do primeiro pressuposto citado por Ferreira
(1999) sobre o nível de conhecimento do estudante ingressante no ensino
superior. Deixaremos claro que se trata de um assunto de grande importância e
que poderá ser explorado em futuras pesquisas do GPEA.
Assim, a construção de um currículo deve contar com a participação de
48
três interlocutores neste processo: (a) a Sociedade; (b) a IES de formação; (c) a
instituição regulamentadora do exercício profissional, que no caso das
Engenharias é representado pelo Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura
(CREA). Dessa forma, cabe à IES estar em consonância com as características
do ingressante e com a realidade do mercado de trabalho profissional a ser
enfrentado. Finalmente, a instituição regulamentadora da profissão recebe o
profissional formado, identifica sua qualidade e trabalha para valorizar o exercício
de sua atividade.
Ferreira (1999) afirma haver, portanto, três momentos na formação de um
profissional de ensino superior: (a) Antes: representa o papel da sociedade na
formação do estudante do ensino médio; (b) Durante: é representado pelas IES
que definem os conteúdos a serem contemplados nas grades curriculares, de
forma a detectar as tendências de mercado e adaptar-se a ele da maneira mais
adequada possível; (c) Depois: é representado pelo órgão regulamentador da
profissão que avalia a qualidade do profissional formado.
Os três momentos apresentados acima não devem ser definidos de
maneira independente. Apresentam fronteiras difusas que se influenciam umas as
outras.
Assim, após identificados os pressupostos que regem a construção de um
currículo em uma IES, estudamos a grade curricular do curso de Engenharia
Elétrica de três universidades brasileiras. Pretendíamos buscar elementos que
respondessem às questões: Por que e Como deve ser lecionada a Álgebra Linear
em uma graduação de Engenharia Elétrica? Para tanto, vamos estabelecer a
relação entre o que é proposto nas Diretrizes Curriculares para os cursos de
Engenharias, e as disciplinas pertencentes a esta graduação nas universidades
49
investigadas.
Quanto ao critério de seleção das universidades investigadas, partimos,
primeiramente, da escolha dos professores que fariam parte de nossa entrevista e
que será apresentada no Capítulo 3 deste trabalho. A seleção dos professores
levou à investigação das universidades em que lecionam.
Ressaltamos que os dados coletados das universidades foram, a princípio,
buscados na Internet. Quando não encontrados, contamos com a ajuda de
professores e alunos das próprias instituições para que obtivéssemos as
informações pertinentes ao currículo do curso de Engenharia Elétrica.
2.2.1. Universidade I
A primeira universidade investigada, fundada em 1893, tem caráter público,
sendo seus cursos de engenharia tradicionais no país.
A relação da Grade Curricular fornecida elenca um conjunto de disciplinas
distribuídas entre três ciclos, denominados: ciclo básico, ciclo da grande área da
Engenharia Elétrica (o qual podemos considerar como ciclo profissionalizante) e
ciclo específico. A formação completa do aluno ocorre no decorrer de cinco anos.
É importante salientarmos que a opção específica da área de Engenharia
Elétrica desta universidade é distribuída em cinco grandes áreas, a saber:
01. Automação e Controle;
02. Telecomunicação;
03. Sistemas Eletrônicos;
04. Energia e Automação;
50
05. Computação.
Apresentaremos os dados coletados das cinco opções específicas da
grande área Engenharia Elétrica.
Ressaltamos, também, que o ciclo básico comporta as disciplinas de todas
as Engenharias, sendo elas: Mecânica, Elétrica, Civil e Química. Portanto, as
disciplinas são apresentadas de forma generalizada, sem fazer distinção entre os
diferentes perfis de cursos.
No ciclo básico, a Álgebra Linear é distribuída entre Álgebra Linear para
Engenharia I e Álgebra Linear para Engenharia II que apresentam como objetivos
gerais em seu conteúdo programático
Apresentar como o método de escalonamento e suas aplicações para a
resolução de sistemas lineares, e as leis básicas do cálculo vetorial,
estudar geometria analítica em dimensão 3 e introduzir a linguagem
básica dos espaços vetoriais abstratos.
Mostrar como os Métodos de Álgebra Linear são utilizados para estudar
equações diferenciais lineares, equações de recorrência lineares,
classificação de cônicas e quádricas e outros assuntos importantes na
engenharia.
Estas disciplinas têm uma carga horária semanal de quatro horas/aula,
totalizando sessenta horas cada.
O ciclo básico apresenta o total de 915 horas, sendo que a carga de
Álgebra Linear para Engenharia I e Álgebra Linear para Engenharia II
corresponde a aproximadamente 13% de seu total. Neste ciclo, a disciplina
Mecânica A apresenta a Álgebra Linear para Engenharia I como pré-requisito,
com uma carga de quatro horas/aula por semana e sessenta horas totais.
No ciclo denominado Grande Área, a importância da Álgebra Linear é
destacada quando apresentada como pré-requisito das disciplinas Cálculo
51
Diferencial e Integral para Engenharia III e Cálculo Diferencial para Engenharia IV,
com quatro horas/aula, totalizando sessenta horas cada. Estes valores
representam 13% dentre às 900 horas deste ciclo.
Ciclo Específico: Energia e Automação
No ciclo específico de Energia e Automação a disciplina Sistemas e Sinais
I tem a Álgebra Linear para Engenharia II como pré-requisito. Mostraremos que
há um encadeamento entre as disciplinas, com a disciplina Sistemas e Sinais I
pré-requisito da disciplina Controle. Cada uma das disciplinas destacadas é
ministrada em quatro horas/aula semanais, totalizando sessenta horas. Esse valor
corresponde aproximadamente a 2,5% do total de 2385 horas deste ciclo.
Ciclo Específico: Sistemas Eletrônicos
A disciplina Álgebra Linear para Engenharia II consta como pré-requisito
para a disciplina Sistemas e Sinais I. Verificando o encadeamento entre as
disciplinas, Sistemas e Sinais I consta como pré-requisito de Sistemas e Sinais II
e de Controle I. A disciplina Sistemas e Sinais II apresenta-se como pré-requisito
de Projeto e Implementação de Filtros Digitais que é pré-requisito de Modelagem
de Processamento de Sinais. Cada disciplina destacada, neste ciclo específico, é
ministrada em quatro horas/aula semanais, totalizando sessenta horas. Cada
valor corresponde a 2,25% do total de 2670 horas deste ciclo.
Ciclo Específico: Telecomunicações
52
No ciclo específico de Telecomunicações, a disciplina Álgebra Linear para
Engenharia II, apresenta-se como pré-requisito para a disciplina Sistemas e
Sinais I. Sistemas e Sinais I consta como pré-requisito de Controle I, que por sua
vez, é pré-requisito de Laboratório de Controle. Cada disciplina é ministrada em
quatro horas/aula semanais, distribuídas em sessenta horas totais. Cada valor
corresponde aproximadamente a 2,36% do total de 2535 horas deste ciclo
específico.
Ciclo Específico: Automação e Controle
O ciclo específico de Automação e Controle apresenta a disciplina Álgebra
Linear para Engenharia II como pré-requisito de Sistema e Sinais I e
Programação Matemática Aplicada a Controle II. Sistemas e Sinais I é pré-
requisito de Controle I e esta última disciplina é pré-requisito de Controle
Multivariável e Laboratório de Projeto de Automação e Controle I. Todas as
disciplinas que relacionamos neste ciclo específico têm carga horária total de
sessenta horas, ministradas em quatro horas-aula/semanais. Cada uma
representa aproximadamente a 2,48% do total de 2415 horas deste ciclo
específico.
Ciclo Específico: Computação
A opção Computação divide-se no curso semestral e quadrimestral. O
curso quadrimestral, também chamado de Cooperativo, foi implantado em 1999,
53
com o objetivo de alternar módulos acadêmicos e módulos de estágios de forma a
assegurar experiência profissional ao aluno desde o início de sua formação.
O aluno alterna módulos acadêmicos e módulos de estágios, com a
duração de um quadrimestre cada. Além disso, o curso passa a ser
seriado e o aluno, para prosseguir no curso, cursando um determinado
módulo, necessita ser aprovado em todos os módulos anteriores.
(CUGNASCA, 2001, p. 4)
Neste ciclo específico, não há relação entre suas disciplinas e as
disciplinas de Álgebra Linear para Engenharia I e Álgebra Linear para Engenharia
II.
Dessa forma, podemos compreender a importância atribuída à disciplina
Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica, em suas diferentes
especificidades.
A Universidade I deixa claro o encadeamento necessário entre as
disciplinas que têm a Álgebra Linear para a Engenharia I e Álgebra Linear para
Engenharia II como pré-requisitos. A partir das grades curriculares podemos,
portanto, evidenciar algumas relações que serão futuramente destacadas na
análise final de nossa pesquisa.
A seguir, apresentamos um quadro que evidencia esta relação e que foi
construído a partir da grade curricular da universidade investigada.
A totalidade das grades curriculares é apresentada no Anexo deste
trabalho. As relações evidenciadas entre as disciplinas que têm a Álgebra Linear
para a Engenharia I e Álgebra Linear para Engenharia II como pré-requisitos são
destacadas em diferentes cores.
54
Disciplina Pré-requisito Carga
Horária
Total
Porcentagem em
relação à carga
horária total do ciclo
Ciclo Básico
Álgebra Linear para
Engenharia I
- 60 horas 6,55%
Álgebra Linear para
Engenharia II
- 60 horas 6,55%
Mecânica A Álgebra Linear para
Engenharia I;
Cálculo Diferencial e Integral
para Engenharia I
60 horas 6,55%
Grande Área
Cálculo Diferencial e
Integral para Engenharia
III
Cálculo Diferencial e Integral
para Engenharia II;
Álgebra Linear para
Engenharia II
60 horas 6,66%
Física para Engenharia
Elétrica IV
Física para Engenharia II;
Cálculo Diferencial e Integral
para Engenharia III
90 horas 10%
Cálculo Diferencial e
Integral para Engenhara
IV
Cálculo Diferencial e Integral
para Engenharia II;
Álgebra Linear para
Engenharia II
60 horas 6,66%
Ciclo Específico
Opção: Energia e
Automação
Sistemas e Sinais I Álgebra Linear para
Engenharia II
60 horas 2,52%
Controle Sistemas e Sinais I 60 horas 2,52%
Opção: Sistemas
Eletrônicos
Sistemas e Sinais I Álgebra Linear para
Engenharia II
60 horas 2,63%
Sistemas e Sinais II Sistemas e Sinais I 60 horas 2,63%
Controle I Sistemas e Sinais I 60 horas 2,63%
Projeto e
Implementação de
Filtros Digitais
Sistemas e Sinais II 60 horas 2,63%
Laboratório de Controle Controle I 60 horas 2,63%
Modelagem de
Processamento de
Sinais
Projeto e Implementação de
Filtros Digitais
60 horas 2,63%
55
Disciplina Pré-requisito Carga
Horária
Total
Porcentagem em
relação à carga
horária total do ciclo
Opção:
Telecomunicação
Sistemas e Sinais I Álgebra Linear para
Engenharia II
60 horas 2,36%
Controle I Sistemas e Sinais I 60 horas 2,36%
Laboratório de Controle Controle I 60 horas 2,36%
Opção: Energia e
Automação
Sistemas e Sinais I Álgebra Linear para
Engenharia II
60 horas 2,51%
Controle Sistemas e Sinais I 60 horas 2,51%
Opção: Computação
Não são evidenciadas
as relações entre as
disciplinas Álgebra
Linear para Engenharia I
e Álgebra Linear para
Engenharia II com
disciplinas deste ciclo.
Quadro 1: Relação entre disciplinas dos ciclos específicos e Álgebra Linear para Engenharia I e
Álgebra Linear para Engenharia II.
2.2.2. Universidade II
A universidade investigada apresenta caráter privado e seu primeiro curso
de Engenharia foi implantado em 1992. Suas aulas restringem-se ao período
noturno e sua grande especificidade relaciona-se ao setor de Sistemas
Eletrônicos.
No ano de 2007, o curso passou por uma reformulação, tanto em sua
grade curricular quanto na carga horária, que sofreu redução do total de 5040
horas distribuídas em seis anos para 4410 horas, agora distribuídas em cinco
anos.
56
No ciclo básico, a disciplina Álgebra Linear foi reduzida de 90 para 68
horas/aula, correspondendo a 1,54% da atual carga total.
Em sua grade curricular, a disciplina Álgebra Linear não consta como pré-
requisito de nenhuma outra, tanto do ciclo profissionalizante quanto específico.
Dessa forma, a análise da grade curricular não foi suficiente para que
pudéssemos estabelecer relações entre tópicos trabalhados da Álgebra Linear
com conteúdos específicos dos ciclos futuros. Para tanto, entrevistas com
professores do departamento de engenharia nos forneceram os dados que
relacionam as disciplinas.
A totalidade da grade curricular é apresentada no Anexo deste trabalho.
2.2.3. Universidade III
A terceira universidade investigada tem caráter privado e seu curso de
Engenharia foi fundado em 1957. Contudo, suas atividades acadêmicas iniciaram
em 1960 com o curso de Engenharia Civil. Nos anos de 1967, 1970 e 1975 foram
reconhecidos os cursos de Engenharia Mecânica, Eletrotécnica, Eletrônica e
Química.
Em 2001, cria-se o curso de Engenharia da Computação e em 2002 o de
Engenharia de Produção.
Em sua grade curricular, a disciplina Álgebra Linear encontra-se isolada,
sem qualquer relação com disciplinas que compõem os demais ciclos.
A totalidade da grade curricular é apresentada no Anexo deste trabalho.
57
2.3. Análise da Relação Institucional Esperada
Conforme apresentam as Diretrizes Curriculares para os cursos de
Engenharia é eminente a busca pela formação de um profissional crítico, capaz
de propor soluções que ultrapassem aspectos técnicos e tenha a ambição de
considerar os problemas em sua totalidade, numa cadeia de causas e efeitos de
múltiplas dimensões.
Para que esta proposta seja alcançada, devemos, portanto, considerar
aspectos inerentes a determinado saber matemático, dentre eles, aspectos
sociais, ambientais, políticos e econômicos. Assim, de acordo com a Teoria
Antropológica do Didático (TAD), faz-se necessária a análise da organização
praxeológica composta pela tríade objeto-pessoa-instituição através de uma
dimensão antropológica.
Quanto ao objeto, torna-se claro a ênfase atribuída às disciplinas
matemáticas relacionadas ao perfil do egresso e às competências e habilidades
esperadas na formação deste profissional.
Cabe às IES a responsabilidade pela construção de um currículo
embasado na identificação das tendências de mercado, participando de forma
ativa nos diferentes momentos de formação do egresso, como explica Ferreira
(1999).
Quanto às pessoas, as Diretrizes Curriculares tornam evidente o incentivo
pelo papel ativo do aluno na construção de seu próprio conhecimento. Em todo
momento, salienta-se a formação de um profissional capaz de atuar de forma
crítica na pesquisa e desenvolvimento de novas tecnologias em entidades
públicas e particulares. Faz-se necessário, portanto, uma sólida formação
58
acadêmica cuja maior responsável é a IES que o egresso faz parte. Também
podemos citar o papel ativo do professor frente às exigências do mercado de
trabalho e na busca por novas e melhores propostas de ensino diante das
perspectivas dos alunos.
De forma privilegiada encontra-se o papel da instituição. De acordo com
Chevallard (1999), a instituição pode ser uma escola, uma sala de aula, um curso,
uma família. A cada instituição associa-se um conjunto de objetos institucionais a
partir da relação institucional. Assim, em nosso capítulo, atribuímos o papel
institucional aos documentos oficiais que regem um curso de Engenharia como as
Diretrizes Curriculares, as Grades Curriculares das universidades investigadas, a
Sociedade que contempla os diferentes momentos de formação do estudante,
assim como o órgão regulamentador da profissão (CREA – Conselho Regional de
Engenharia e Arquitetura).
Do ponto de vista antropológico, os aspectos sociais, ambientais, políticos
e econômicos são tratados nas Diretrizes Curriculares quando idealizamos o perfil
do profissional que a IES deseja formar, as competências e habilidades
esperadas e as tendências de mercado. Em conjunto com a proposta das
Diretrizes Curriculares também é pertinente a análise das Grades Curriculares
das universidades investigadas.
Identificamos que a Universidade I estabelece relações em sua grade
curricular entre a disciplina Álgebra Linear e as demais disciplinas da graduação
em Engenharia Elétrica. Incentiva-se, portanto, competências e habilidades que
estejam relacionadas à aprendizagem de disciplinas básicas como a Matemática,
valorizando a formação do engenheiro fundamentado em conceitos teóricos e
práticos e que venha a estimular o crescimento da pesquisa em nosso país.
59
Na Universidade I observa-se a valorização pela diversidade do perfil
profissional entre as diferentes áreas específicas, a flexibilidade curricular, uma
expressiva interação entre os ciclos de formação, além do incentivo ao
conhecimento prático adquirido em estágios dentro e fora da instituição.
Assim, a articulação das diversas noções (objeto-pessoa-instituição),
diante da problemática ecológica, permite-nos pensar de maneira unificada o
papel da sociedade, como os órgãos regulamentadores da profissão, das IES,
dos alunos e professores frente à construção do saber.
Dessa forma, conseguimos identificar com o estudo deste capítulo,
elementos que respondessem à primeira questão: Por que a Álgebra Linear deve
ser lecionada em uma graduação de Engenharia Elétrica?
Identificamos como principal elemento, apontado nas Diretrizes
Curriculares e nas Grades Curriculares, a crescente preocupação quanto ao perfil
desejado do profissional que atenda as atuais tendências do mercado de trabalho.
Este profissional deverá possuir conhecimentos teóricos e práticos e estar apto a
trabalhar na pesquisa e desenvolvimento de novas tecnologias no país.
Além disso, deve-se enfatizar a integração de disciplinas dos diversos
ciclos, com o objetivo de promover o desenvolvimento de competências e
habilidades que estimulem a atuação crítica dos egressos.
Também pudemos observar a valorização pela formação de múltiplos
perfis profissionais através das diversas habilitações e ênfases dos cursos, além
da prática a estágios e às atividades complementares.
Para responder à questão: Como deve ser lecionada a disciplina Álgebra
Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica, encontramos elementos
propostos nas Diretrizes Curriculares e nas Grades Curriculares que destacam a
60
importância do processo participativo do aluno na construção de seu próprio
conhecimento. Para trabalhar melhor a integração de conhecimentos ao longo do
curso, ambos os documentos propõem projetos e atividades ao final de cada
módulo ou ao final da graduação.
Na análise das Grades Curriculares das universidades investigadas
pudemos observar tais atividades propostas nas disciplinas Projeto de Formatura
I e II (Universidade I), Orientação de Trabalho de Conclusão de Curso I e II
(Universidade II) e Trabalho de Integração (Universidade III).
Também deverão ser estimuladas atividades complementares como
trabalhos de iniciação científica, trabalhos em equipe, monitorias, dentre outras.
Ressaltamos que tais trabalhos poderão contemplar aspectos da disciplina
Álgebra Linear quando tratados em conjunto com disciplinas que relacionam seus
conteúdos, como é o caso de Sinais e Sistemas I e II e Circuitos Elétricos.
Salientamos que é atribuída total autonomia a IES pela construção de um
projeto pedagógico que contemple o perfil do aluno esperado assim como suas
competências e habilidades necessárias.
Ao finalizarmos este capítulo, nos deparamos com um grande número de
elementos que constituem a organização praxeológica formada pelo conjunto
objeto-pessoa-instituição. Contudo, não será possível a análise de todos os
elementos pertinentes a este tema.
Para que isso se torne possível, é necessária uma análise aprimorada
desses conceitos (objeto-pessoa-instituição) através de uma dimensão
antropológica e ecológica. Estaríamos, assim, estendendo tais conceitos a termos
como habitat, nicho ecológico, cadeia alimentar e ecossistema, que nos
61
possibilitariam responder sobre as condições de sobrevivência de determinado
saber.
63
CAPÍTULO 3: ENTREVISTAS COM PROFESSORES DA
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA: UMA ANÁLISE
DA RELAÇÃO INSTITUCIONAL REAL
Para a coleta de dados de nossa pesquisa, realizamos ao longo do
trabalho, cinco entrevistas, duas com professores de Álgebra Linear e três com
professores de disciplinas específicas
9
de graduações de Engenharia Elétrica.
Adotamos como critério de seleção dos professores participantes: o grau
de titulação, anos de experiência como docente e sua formação, envolvendo tanto
matemáticos quanto engenheiros. Acreditávamos que a diversidade em sua
formação poderia nos trazer diferentes visões e uma maior abrangência sobre os
assuntos abordados nas questões formuladas.
No encontro das entrevistas, os professores participantes receberam uma
carta de esclarecimento sobre o desenvolvimento da pesquisa e duas vias do
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido – TCLE (Apêndice) que foram lidos
antes de iniciarmos a entrevista. Após a leitura e explicação sobre a necessidade
deste procedimento (seguindo as recomendações do Comitê de Ética em
Pesquisa da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo) foi solicitado aos
professores que concordaram em participar, que assinassem e entregassem uma
via do TCLE.
Para registro dos dados, fizemos anotações e solicitamos a autorização
para gravação. Quando não houve a gravação, realizamos o registro dos dados
que julgamos pertinentes ao objetivo desta investigação. Assegurou-se a
confidencialidade dos nomes dos professores entrevistados assim como o nome
9
As disciplinas específicas da graduação em Engenharia Elétrica constituem-se nas disciplinas que fazem parte da ênfase
do curso, tais como: Circuitos Elétricos, Eletromagnetismo, Sinais e Sistemas, entre outras.
64
das universidades em que lecionam. A todos solicitamos aproximadamente uma
hora de disponibilidade para a realização da entrevista.
Assim, demos início à primeira entrevista em outubro de 2006. Para tanto,
convidamos um professor de uma disciplina específica da Engenharia Elétrica.
Esta entrevista, a qual denominamos de entrevista-piloto, nos forneceu
informações que respondessem às questões apresentadas, além de possibilitar a
readequação das questões envolvidas que seriam aplicadas nas entrevistas
subseqüentes.
Abaixo, elencamos as principais questões discutidas, assim como o
objetivo de cada. Ressaltamos que, face ao perfil de cada professor entrevistado,
sua formação, área de atuação e histórico de suas publicações, algumas
questões foram acrescentadas e/ou retiradas ao longo das demais entrevistas.
3.1. Principais Questões
As questões elaboradas foram divididas de acordo com as questões
apresentadas no objetivo deste trabalho:
Por que a Álgebra Linear deve ser lecionada em uma graduação de
Engenharia Elétrica?
1) Qual o papel da Álgebra Linear em um curso de Engenharia Elétrica?
Objetivo: Esta questão tem por objetivo identificar a importância da
disciplina matemática Álgebra Linear na formação do Engenheiro Elétrico e
seu impacto nas disciplinas do curso e em sua formação profissional.
65
2) Quais as disciplinas do programa de sua Instituição de Ensino que utilizam
a Álgebra Linear como pré-requisito ou que apresentam seus conceitos?
Objetivo: Identificar as possíveis relações entre a Álgebra Linear e demais
disciplinas dos ciclos futuros, de forma que estas sejam apresentadas aos
alunos que trabalham com disciplinas matemáticas desde o princípio de
sua formação.
3) Dentre as disciplinas citadas, quais conteúdos estão relacionados à
Álgebra Linear e em quais podemos dar um destaque especial na
Engenharia Elétrica?
Objetivo: Identificar os conteúdos de Álgebra Linear tratados e a ênfase
que deve ser dada a um conteúdo específico (por exemplo: autovalor e
autovetor).
4) Da mesma forma, como é vista a Álgebra Linear pelos professores de
disciplinas específicas do curso?
Objetivo: Identificar como os professores dos demais ciclos utilizam a
matemática em suas aulas.
5) De acordo com o perfil da universidade, qual engenheiro a universidade
pretende formar, o de aplicação ou o de desenvolvimento?
Objetivo: De acordo com o artigo Qual o papel da matemática nos cursos
de engenharia? Reflexões de um professor de matemática da autora
Adriana Kuehn existem dois tipos de engenheiros formados nas
universidades: os de aplicação e os de desenvolvimento. Os de aplicação
66
consistem em profissionais que farão uso de softwares e tabelas, precisam
apenas saber quando aplicar os conceitos envolvidos de maneira rápida e
fácil. Já os engenheiros de desenvolvimento precisam ter um
embasamento matemático forte, pois trabalharão em pesquisa. Dessa
forma, caberá ao engenheiro de desenvolvimento entender todas as
variáveis envolvidas no processo e saber quais fundamentos matemáticos
justificam o que está sendo estudado .
5.1) Qual a abrangência, o objetivo do curso?
Objetivo: Identificar o perfil do curso, se especialista ou generalista que
envolva uma visão sistêmica, ou seja, uma visão de todo o conjunto e de
diversas áreas, dentre elas a computação, sistema e controle, automação,
telecomunicações, dentre outras.
5.2) O que o mercado busca?
Objetivo: Verificar se as empresas e/ou centros de pesquisa em que o
futuro engenheiro irá atuar, buscam o profissional de aplicação ou o de
desenvolvimento, o especialista ou o generalista.
5.3) Onde o formado irá atuar?
Objetivo: Identificar quais as áreas em que o estudante e futuro
engenheiro poderá atuar. Exemplo: Telecomunicações, Indústria
Automobilística, Energia, Indústria de Componentes Eletrônicos,
Desenvolvimento de Software, etc.
67
5.4) Existem centros de pesquisa na região que possam absorver o
egresso?
Objetivo: Identificar se há centros de pesquisa que possam absorver os
futuros engenheiros de desenvolvimento em universidades públicas ou
particulares.
Como deve ser lecionada a disciplina Álgebra Linear em uma graduação
de Engenharia Elétrica?
6) Como deve ser direcionado o ensino da Álgebra Linear em uma graduação
de Engenharia Elétrica?
Objetivo: Identificar a necessidade de uma abordagem diferenciada deste
ensino, voltada para situações que possam ter ligação com problemas
(exemplos) das disciplinas subseqüentes.
7) Quais livros didáticos e científicos tratam do assunto para que eu possa
investigar como o conteúdo é trabalhado? O livro é considerado livro-texto
da sua instituição de ensino?
Objetivo: Os livros-texto citados nas entrevistas formaram nossa fonte de
verificação e validação das informações fornecidas pelos professores
entrevistados. Assim, iniciamos a fase de análise das mesmas.
8) Qual a sua opinião sobre o uso de softwares matemáticos no ciclo básico?
Objetivo: Verificar a contribuição do uso de um software matemático no
ensino e na aprendizagem da Álgebra Linear.
Antes de apresentarmos as entrevistas, destacaremos o quadro, a seguir,
que sintetiza o perfil de cada professor entrevistado, o local onde a entrevista foi
realizada, assim como o tempo de duração de cada uma delas.
3.2. As Entrevistas
9) Como trabalhar a Álgebra Linear nas engenharias já que estamos no ciclo
básico e, em uma única sala de aula encontramos alunos das diversas
disciplinas?
Objetivo: Tentar descobrir como melhor direcionar a disciplina Álgebra
Linear quando trabalhamos com universidades em que o ciclo básico é
comum e único a todas as engenharias. Somente no terceiro ano ocorre a
escolha da especialidade a ser seguida pelo futuro engenheiro.
9.1) Diante dessa situação, as aplicações precisam ser específicas de cada
curso?
Objetivo: Como podemos identificar contextos específicos de cada uma
das engenharias, quando trabalhamos com alunos de vários cursos?
68
69
Tópicos Professor I Professor II Professor III Professor IV Professor V
Tempo de
exercício no
magistério
15 anos 35 anos 36 anos 15 anos 20 anos
Formação Graduado em
Engenharia Elétrica na
área de Sistemas de
Potência; Mestre,
Doutor e Pós-Doutor
em Circuitos
Magnéticos,
Magnetismos e
Eletromagnetismos
Graduado e licenciado
em Matemática, Mestre
e Doutor em Educação
Graduado em
Engenharia Elétrica,
Mestre e Doutor em
Engenharia de
Sistemas
Graduado em
Engenharia Elétrica;
Mestre, Doutor e Pós-
Doutor em Sistemas
Elétricos de Potência
Graduado em Física e
em Matemática; Mestre
em Matemática e em
Educação Matemática;
Doutor em Matemática
Cargo atual Professor de
universidade pública e
particular
Professor de
universidade particular
Professor de
universidade pública e
particular
Coordenador da
graduação e professor
do programa de pós-
graduação em
Engenharia Elétrica
Coordenador da
graduação em
Engenharia Elétrica e
professor de pós-
graduação em
Educação Matemática
Local da
entrevista
Sala de reuniões da
universidade em que
leciona
Sala de reuniões do
Programa de Estudos
Pós-Graduados em
Educação Matemática
da PUC-SP
No campus da
universidade em que
leciona
Sala de reuniões da
universidade em que
leciona
Em sua casa
Duração de
entrevista
1 hora 1 hora 1 hora e 30 minutos 1 hora 1 hora
Quadro 2: Síntese do perfil do entrevistado, local da entrevista e sua duração.
70
3.2.1. - A Entrevista Piloto – Entrevista I
Na primeira entrevista realizada em outubro de 2006, a qual denominamos
entrevista piloto, o registro escrito das informações foi realizado enquanto o
professor discutia sobre as questões pertinentes ao objetivo de nossa pesquisa,
evidenciando o porquê e como deve ser lecionada a disciplina Álgebra Linear em
uma graduação com este perfil. A princípio, acreditávamos que esta entrevista
poderia nos orientar e levar a outras questões consideradas relevantes e
relacionadas ao tema da investigação.
Quando interrogado sobre o papel da Álgebra Linear em uma graduação
de Engenharia Elétrica, o professor entrevistado evidenciou algumas relações
existentes entre conceitos de Álgebra Linear com disciplinas dos demais ciclos
desta graduação: Teoria Eletromagnética e Processamento de Sinais. As relações
descritas entre a disciplina Álgebra Linear e Teoria Eletromagnética e
Processamento de Sinais nos forneceriam os primeiros elementos que
respondessem nossa primeira questão de pesquisa. Dentre os conceitos
fundamentais apresentados destacou a definição de campo eletromagnético
introduzida na disciplina Teoria Eletromagnética. Nesta disciplina, as chamadas
Equações de Maxwell descrevem a natureza dos campos eletromagnéticos em
termos de espaço e tempo, evidenciando relação com conceitos de análise
vetorial e diagonalização de matrizes.
71
Também podemos citar outros tópicos apontados no discurso do professor
entrevistado, como as séries Wavelets
10
na disciplina Processamento de Sinais e
seu impacto em compressão de sinais e imagens, cuja principal aplicação ocorre
no campo do armazenamento e transmissão de dados. Nesta disciplina evidencia-
se a utilização de produto vetorial interno entre a função de expansão e de
ponderação, além de soluções de equações matriciais para determinação dos
coeficientes do sistema, permitindo a interpretação da variabilidade observada.
Notemos que a mesma relação foi estabelecida na obra de Howson et al (1987)
citada na introdução deste trabalho.
O professor destacou a importância de apresentar a disciplina Álgebra
Linear ao aluno em um contexto que a relacione com disciplinas estudadas nos
primeiros anos de graduação. Assim, os professores estariam fornecendo
condições para a evolução de um aluno ingressante na faculdade, cujos
conhecimentos ainda estariam limitados e seriam desenvolvidos ao longo do
curso.
Dentre livros-didáticos de Teoria Eletromagnética citados, destacou o livro-
texto Eletromagnetismo de William Hayt adotado por duas universidades em que
leciona.
Ressaltou que algumas relações entre conceitos de Álgebra Linear podem
ser evidenciadas em softwares desenvolvidos para a disciplina Teoria
Eletromagnética por seus alunos da graduação e pós-graduação.
Dessa forma, a entrevista realizada respondeu às principais questões
pertinentes ao objetivo desta investigação, evidenciando a importância da Álgebra
10
Série Wavelets: Uma tecnologia de compactação que codifica imagens em um fluxo contínuo. Esta técnica criará
arquivos de dados 20% menores que os originais. As wavelets como área da matemática recebem atualmente muita
atenção devido à sua versatilidade de adaptação às inúmeras aplicações, incluindo compactação de dados para permitir
uma transmissão eficiente e aproximação precisa da informação, processamento de imagem (como os arquivos de
impressão digital), processamento de sinais (como a recuperação de registros), sismologia e a solução numérica de
equações diferenciais parciais (KOLMAN, 2006, p. 153).
72
Linear em disciplinas específicas da graduação. Acrescentamos que essa
entrevista contribuiu para a reformulação e ampliação do quadro de questões que
foram apresentadas aos demais professores entrevistados.
3.2.2. Entrevista II
O professor entrevistado concedeu-nos a permissão para que toda a
entrevista fosse gravada.
Ressaltamos que a entrevista com este professor foi motivada pelo
seguinte fator: suas obras publicadas, dentre elas livros e artigos, foram
fundamentais para a escolha do tema desta pesquisa e o desenvolver da mesma.
Dentre seus trabalhos, destacam-se assuntos inerentes ao ensino e
aprendizagem de disciplinas matemáticas em graduações de engenharia,
evidenciando experiências e práticas realizadas.
Dessa forma, havia grande interesse em conhecê-lo pessoalmente e
entrevistá-lo, pois, a partir de idéias advindas de seus trabalhos publicados,
tivemos uma visão mais abrangente dos assuntos a serem abordados em nosso
trabalho.
Inicialmente, discutimos o papel do professor de Matemática em um curso
de serviço e a separação existente entre professores de Matemática e de
Engenharia. O professor entrevistado citou haver uma deficiência, pelos
professores de Matemática, por reais aplicações existentes em um curso de
Engenharia o que poderá distanciar, cada vez mais, os professores dos diferentes
ciclos.
73
Nós professores de Matemática, às vezes, queremos fazer uma
aplicação. Só que a gente não sabe, não sabe, sabe as aplicações mais
comuns, mas não tem idéia do que realmente o aluno de engenharia
precisa daquele conteúdo, seja Álgebra Linear, seja Cálculo, qualquer
(Entrevistado II).
Quando questionado a respeito de por que a Álgebra Linear deve ser
lecionada em uma graduação de Engenharia Elétrica, destacou a importância de
aplicações na engenharia envolvendo conceitos de Álgebra Linear. Contudo,
afirmou que os professores de Matemática conhecem apenas as aplicações mais
comuns e que, muitas vezes, não têm idéia do que é, realmente, necessário para
um aluno desta graduação. Como professor de Matemática, ressaltou a falta de
tempo na elaboração de suas aulas assim como o medo de se expor frente aos
colegas dos futuros ciclos. Acredita que tal situação tem comprometido a
formação dos atuais engenheiros, levando-os a uma formação com pouco
interesse e aprofundamento em assuntos que envolvam a Matemática. Da mesma
forma, a falta de maior fundamentação Matemática nos conceitos abordados com
alunos deve-se, muitas vezes, ao seu ensino através de meras fórmulas aplicadas
à resolução de problemas.
Além disso, ressaltou a necessidade de uma maior formação teórica nos
alunos de Engenharia, de forma a torná-los aptos a ingressarem nos diversos
centros de pesquisa da região. Estaríamos, dessa forma, estimulando a formação
de futuros pesquisadores que, de acordo com o professor, correspondem, hoje, a
uma exceção.
[...] eu acho que precisa ter essa exceção, porque são esses que vão à
frente, esses que vão fazer coisas diferentes [...] (Entrevistado II)
Em outro trecho, cita
74
[...] eu não estou preparando essa parcela que o Brasil precisa, para não
continuar dependendo sempre da tecnologia que vem de fora e aqui nós
não desenvolvemos um grupo de pessoas que vai muito além, nós
vamos ficar sempre dependendo do que vier, certo? (Entrevistado II).
Dessa forma, apontou para o incentivo à formação do engenheiro de
desenvolvimento
11
, que, segundo o professor, é o engenheiro que trabalha com
engenharia maciça, ou seja, que precise de matemática.
[...] eu acho que tem gente que desenvolve pesquisa, sim, em
engenharia, engenharia maciça, quer dizer, engenharia que precise de
matemática (Entrevistado II).
Quando questionado a respeito de como deve ser este ensino, o professor
entrevistado ressaltou a importância de que os professores conheçam a área na
qual lecionam e que estejam em constante atualização com as mudanças
requeridas, seja através de uma atividade em sala de aula ou uma nova
metodologia de ensino.
Para tanto, citou a importância do trabalho com projetos e da modelagem
matemática que levam o aluno a entender com maior profundidade determinado
conteúdo matemático. O professor entrevistado apontou para a necessidade de
entender as conexões entre os diversos assuntos e, a partir dessas conexões,
trazer a matemática. Relatou a experiência de um colega professor que realiza
projetos com alunos em uma universidade de engenharia norte-americana.
Afirmou que os alunos fizeram “coisas espetaculares” a partir da busca de
diversos conhecimentos matemáticos necessários ao longo do projeto.
11
Engenheiro de desenvolvimento: o mesmo termo é apresentado em pesquisa de Kuehn (2005). De acordo com uma
entrevista realizada pela autora com professores de disciplinas específicas da engenharia, o engenheiro de
desenvolvimento é aquele que precisa de embasamento matemático forte, pois ele trabalhará em pesquisa. Dessa forma,
necessita entender e justificar todas as variáveis envolvidas em determinado processo.
75
[...] eu tenho achado que trabalhos com projetos, trabalhos com
modelagem seriam soluções para certas coisas. Para cursos, por
exemplo, cursos de serviço (Entrevistado II).
No final da entrevista, o professor destacou experiências positivas
vivenciadas em sala de aula com o uso de softwares matemáticos.
Usamos o Maple e o Matlab em uma disciplina da engenharia porque a
engenharia está exigindo que os alunos saiam com conhecimento de
Matlab (Entrevistado II).
Acreditamos que a entrevista realizada conseguiu abordar grande parte
das questões relacionadas a nossa pesquisa, motivando à futura investigação de
outros temas discutidos pelo professor entrevistado. Contudo, como apontou o
próprio professor no encontro inicial da entrevista, ele não estaria apto a discutir
sobre as aplicabilidades da Álgebra Linear frente às disciplinas específicas da
Engenharia Elétrica, pois como disse, sabia apenas as aplicações mais comuns,
mas não o que realmente necessitaria um aluno com este perfil.
Assim, continuamos nossa investigação em busca de outras experiências e
novos relatos que pudessem responder às questões apontadas.
3.2.3. Entrevista III
Nesta entrevista, realizada em maio de 2007, o professor entrevistado
destacou a importância das disciplinas matemáticas serem direcionadas a um
ambiente contextualizado e dirigido às principais necessidades da formação do
engenheiro elétrico. A partir da separação de disciplinas por institutos (Instituto de
Matemática, Física e Engenharia) na universidade em que leciona, problemas
foram enfrentados, pois os professores dos Institutos de Física e Matemática, ao
76
lecionarem suas disciplinas direcionaram o conteúdo igualmente a qualquer outra
área de formação. Assim, a mesma metodologia e conteúdo eram praticados em
uma graduação de Biologia, Economia ou Engenharia, e acredita que ainda hoje,
a mesma prática é exercida em grande maioria das universidades.
O professor disse entender o porquê da desmotivação e do não
reconhecimento, por parte dos alunos, da importância das disciplinas
matemáticas no ciclo básico de formação.
Lembrou-se da fala de um aluno de graduação em Engenharia Elétrica
sobre as aulas de Álgebra Linear: “Eu não agüento mais o professor falando que
essa matéria é boa para desenvolver o raciocínio”. O entrevistado afirmou ser
perceptível que o professor da disciplina de Álgebra Linear não estabelecia
relações com outras que compõem a graduação ao ministrar suas aulas.
Quanto às relações da Álgebra Linear com futuras disciplinas dos demais
ciclos destacou a disciplina Sinais e Sistemas I e II lecionada na graduação e pós-
graduação da universidade a que pertence.
Tal disciplina, também denominada Sinais e Sistemas Lineares I e II e
Processamento de Sinais por outras instituições de ensino, apresenta os aspectos
fundamentais da análise quantitativa e qualitativa de sinais. Entende-se por sinal
um conjunto de dados ou informação. Como exemplo, o professor entrevistado
citou um sinal de telefone ou televisão determinado por funções da variável
independente tempo. Os sinais podem ser posteriormente processados por
sistemas, os quais podem modificá-los ou extrair informação adicional. Assim, um
sistema é uma entidade que processa um conjunto de sinais (entradas)
resultando em um outro conjunto de sinais (saídas). A disciplina relaciona-se a
conceitos como a vetores, matrizes, valor característico de uma matriz (autovalor)
77
e vetor característico de uma matriz (autovetor), que são temas estudados em
Álgebra Linear.
Pudemos observar que a relação da Álgebra Linear com as disciplinas
Sistemas e Sinais I e II foi confirmada na análise da Grade Curricular da primeira
universidade investigada.
Assim como os demais professores entrevistados até essa data, destacou
a relação da Matemática com a pesquisa e com a formação completa do
estudante.
Acreditamos que esta entrevista trouxe-nos elementos que respondessem
às questões pertinentes à esta investigação, ressaltando o porquê e como deve
ser lecionada a Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica. Foi
reconhecido que o professor entrevistado enfatiza sua larga experiência ao
retratar as relações existentes entre a Álgebra Linear e disciplinas específicas
desta graduação como Processamento de Sinais e Sistemas e Sinais I e II. Ao
mesmo tempo, ressalta a importância pela formação de um profissional que
conhecesse a fundo os conceitos matemáticos e estivesse apto a encontrar a
solução matemática para o seu problema.
3.2.4. Entrevista IV
A quarta entrevista, realizada em julho de 2007, foi gravada e sua análise é
apresentada a seguir.
Demos início a nossa entrevista, questionando o professor a respeito do
papel da Álgebra Linear em um curso de Engenharia Elétrica. Nesta questão, o
professor destacou a importância das relações entre conceitos da Álgebra Linear
78
com outras disciplinas da graduação. Dentre elas, citou a operação com vetores
aplicada à Teoria Eletromagnética. Destacou que, com o advento do computador
e dos Métodos Numéricos, a Álgebra Linear tornou-se essencial por trabalhar com
grandes matrizes. Descreveu as Equações de Maxwell que traduzem fenômenos
relacionados a problemas físicos e tecnológicos, como o projeto de uma máquina
elétrica, um motor ou transformador. Tais problemas, resolvidos a partir das
Equações de Maxwell, trabalham com grandezas vetoriais equacionadas para
todo o domínio nas quais as forças atuam.
O professor ressaltou a importância das ferramentas numéricas para o
cálculo de campos eletromagnéticos, destacando a importância da análise vetorial
na disciplina de Teoria Eletromagnética.
Conforme apresenta um trecho da obra de Orsini (1993)
De acordo com essa teoria, os fenômenos eletromagnéticos são
descritos através de vetores do campo eletromagnético, sujeitos a
relações inicialmente postuladas sob a forma de um conjunto de
equações diferenciais vetoriais, as Equações de Maxwell (Orsini, 1993,
p. 1).
O professor acrescentou que, na natureza, os fenômenos eletromagnéticos
são regidos por equações diferenciais, as chamadas Equações de Maxwell. Para
tanto, deve-se considerar a análise vetorial e o cálculo vetorial como ferramentas
conhecidas.
Afirmou que o entendimento da disciplina Teoria Eletromagnética está
atrelado ao entendimento de grande parte das disciplinas do curso de Engenharia
Elétrica.
Outra disciplina, destacada que apresenta forte relação com a Álgebra
Linear, é a de Circuitos Elétricos. De acordo com o professor entrevistado, toda
79
resolução de circuitos elétricos de grandes dimensões, por análise nodal ou de
malha, é realizada através de sistemas matriciais.
Em uma teoria mais simples que a Teoria Eletromagnética, a dos Circuitos
Elétricos permite que os entes vetoriais da Teoria Eletromagnética sejam
substituídos por grandezas escalares.
Assim, verifica-se que o conceito de matrizes e sistemas lineares está
subjacente a teoria das redes e circuitos elétricos.
Também destacou a importância da Álgebra Linear nos Métodos de
Elementos Finitos aplicados à Engenharia Elétrica que só vieram a ser utilizados
com o avanço de métodos computacionais. Tais métodos computacionais
permitiram a generalização de suas aplicações advindas da resolução de
sistemas algébricos lineares e não lineares de grande dimensões.
Este mesmo fato foi citado pelo professor entrevistado que revela
Com a disseminação de ferramentas computacionais de modelagem, o
método dos elementos finitos, por exemplo, a Álgebra Linear apresenta
uma crescente importância. Isso porque, cada vez mais exige-se a
manipulação de sistemas de equações de dimensões elevadas e mal-
condicionadas (Entrevistado IV).
O professor entrevistado citou que os conteúdos apresentados sobre
Teoria Eletromagnética podem ser estudados nos livros Eletromagnetismo de
William Hayt e Lectures on Physics de Richard Feynman
12
.
Também destacou o livro Elementos Finitos e CAE: Aplicações em
Engenharia Elétrica, de Jean-Claude Sabonnadière e Jean-Louis Coulomb no
qual os autores descrevem o princípio do Método dos Elementos Finitos como
12
HAYT, W et al. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: LTC, 6ª edição, 2003.
FEYNMAN, R. P. et al. Feynman Lectures on Physics. Addison Wesley, 2005.
SABONNADIÈRE, J. C et al. Elementos Finitos e CAE: Aplicações em Engenharia Elétrica. Tradução:
José Roberto Cardoso. São Paulo: Aleph, 2003.
80
originário das técnicas de cálculo matricial das estruturas mecânicas discretas e
semi-discretas.
Discutimos, também, o perfil do engenheiro que a universidade busca
formar que, segundo o professor entrevistado, é um engenheiro conceitual e
generalista. Para tanto, o professor destacou ser necessária uma sólida formação,
embasada em conceitos fundamentados em disciplinas básicas como a
Matemática e a Física.
Quando questionado como deve ser o ensino da Álgebra Linear nesta
graduação, destacou a importância de apresentar exemplos aplicados para que a
disciplina possa ser melhor compreendida. Estaríamos, dessa forma, antecipando
determinados conteúdos de disciplinas específicas que estivessem ao alcance de
alunos em início de formação.
Eu acho que toda vez que você dá uma teoria, um exemplo é sempre
bem vindo [...]. Então, a idéia é sempre dar um exemplo, de preferência
um exemplo voltado à área que o aluno está inserido (Entrevistado IV).
Além disso, ressaltou o uso de softwares nas disciplinas em que a Álgebra
Linear esteja inserida.
Concluiu a entrevista afirmando que a Álgebra Linear é essencial, não só
para a Engenharia Elétrica, como para todas as Engenharias.
Acreditamos que a entrevista realizada respondeu às principais questões,
evidenciando a experiência do professor entrevistado frente aos assuntos
pertinentes à Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica. Assim,
como nas demais entrevistas, enfatizou a importância de uma formação completa
fundamentada em disciplinas básicas como a matemática e a física para que se
estimule a pesquisa e o desenvolvimento em nosso país.
81
3.2.5. Entrevista V
A quinta entrevista realizada em dezembro de 2007, foi gravada e sua
análise é apresentada abaixo.
Quando questionado sobre o papel da Álgebra Linear em uma graduação
de Engenharia Elétrica e como é vista a disciplina pelos demais professores do
curso afirmou que a Álgebra Linear assume o papel de ferramenta para as outras
disciplinas do curso, dentre elas, Circuitos Elétricos, Redes de Computadores,
Computação Gráfica e Princípios de Transformação de Sinais. Dentre os
conteúdos abordados destacou matrizes, transformações lineares e autovalor e
autovetor.
[...] Quando eu falo em Princípios de Transmissão de Sinal, eu falo de
Engenharia de Comunicações. A disciplina de redes usa bastante
transformação porque inclusive eles trabalham com a parte gráfica das
transformações (Entrevistado V).
Ressaltou a importância de livros como o de Álgebra Linear com
Aplicações de Bernard Kolman
13
, repleto de exemplos e exercícios aplicados
direcionados a conteúdos específicos de diversas graduações, dentre elas a
Engenharia Elétrica. Tais exemplos poderiam incentivar o aprendizado do aluno e
destacar a importância dos conceitos trabalhados de Álgebra Linear.
Ele pode ser direcionado, por exemplo, com o livro do Kolman. Ele é
simples e mais voltado para as aplicações dos cursos de informática.
[...]. Mas, se você der alguma aplicação, ao aluno vai perceber para que
serve aquilo e como é super importante (Entrevistado V).
13
KOLMAN, B. et al. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
82
Contrariamente ao livro apresentado, que orienta a resolução de exercícios
com o software Matlab, o professor entrevistado afirma que os alunos são
estimulados a desenvolver um software que trabalhe com conteúdos da Álgebra
Linear. É interessante que os alunos programem e não apenas usem o software
em si, como é o caso do Matlab.
A gente percebe que, se for para propor alguma coisa, que se proponha
para eles programarem, programar para eles calcularem uma matriz, por
exemplo (Entrevistado V).
Tal aplicação poderia estar sendo desenvolvida em um projeto integrado
em que os professores envolvidos trabalhassem a interdisciplinaridade inerente
aos conteúdos envolvidos.
[...] Se você trabalhar por projetos, aí você põe uma, duas ou três
disciplinas trabalhando com sua ênfase (Entrevistado V).
Para tanto, é necessário que haja uma flexibilização do conteúdo do
projeto integrado em que novas tecnologias e novos conhecimentos sejam
acrescentados. Além disso, destaca a participação de vários professores na
elaboração do projeto.
O diferencial é justamente quando você consegue fazer essa
flexibilização de conteúdo. [...]. O aluno não trabalha só com o professor
daquele projeto, ele vai procurar por outros professores. É bem
interdisciplinar (Entrevistado V).
Assim, o professor entrevistado não deixou nenhuma questão sem
resposta, abrangendo a todas as questões apontadas. Destacou sua experiência
como coordenador de um curso de Engenharia Elétrica e situações enfrentadas
em seu curso que estão diretamente interligadas ao tema de nossa pesquisa.
83
Acreditamos que grande maioria de nossas inquietações havia sido
sanada, porém outras iniciadas.
Assim, concluímos nossa fase de entrevistas com respostas pertinentes e
concisas às questões apontadas.
3.3.Análise da Relação Institucional Real
Para análise do Capítulo 3: Entrevistas com professores da graduação em
Engenharia Elétrica: Uma Análise da Relação Institucional Real, buscamos, nos
pressupostos da Teoria Antropológica do Didático (TAD), estabelecer a
articulação entre as noções de objetos, pessoas e instituições evidenciadas nos
discursos dos professores entrevistados e que respondessem a nossa questão:
Por que e Como a Álgebra Linear deve ser lecionada em uma graduação de
Engenharia Elétrica?
Dessa forma, assumimos como objeto, alguns conceitos elementares de
Álgebra Linear e conceitos específicos de disciplinas da Engenharia Elétrica,
evidenciados nas entrevistas. Como pessoas, assumimos os participantes de
nossa investigação: professores e alunos; e como instituições, as universidades
selecionadas para pesquisa, a graduação em Engenharia Elétrica, os documentos
oficiais que regulamentam os cursos de Engenharia Elétrica, a Sociedade
formada pelo órgão regulamentador da profissão (CREA – Conselho de
Engenharia e Arquitetura), além dos livros didáticos citados nas entrevistas.
Conforme afirma Chevallard (1999), um objeto existe a partir do momento
em que uma pessoa ou uma instituição o reconhece como existente,
estabelecendo, uma relação entre os termos objeto-pessoa-instituição.
84
A relação institucional real formaliza-se a partir do reconhecimento do
objeto pela instituição. Podemos dizer que, a aprendizagem ocorre quando a
relação institucional entre a pessoa e o objeto altera-se.
Os termos objeto, pessoa e instituição podem ser explicados através de
uma dimensão antropológica que lhe atribui uma problemática ecológica,
estabelecendo inter-relações hierárquicas e a identificação ecológica dos objetos.
Estaríamos, assim, associando a estes termos o conjunto de condições que
caracterizam as relações pessoais, alvo do processo didático.
Do ponto de vista ecológico, associam-se os termos habitat, nicho
ecológico, cadeia alimentar e ecossistema.
De acordo com Chevallard (1999), habitat corresponde ao tipo de
instituição em que se encontra o saber. Assim, entendemos que saberes
relacionados à disciplina de Álgebra Linear devem estar associados ao tipo de
instituição que promoverá o desenvolvimento e a compreensão deste saber
matemático. Como relatado anteriormente, estamos tratando por instituição, as
universidades presentes nos discursos dos professores entrevistados, a
graduação em Engenharia Elétrica, a Sociedade formada pelo órgão
regulamentador da profissão (CREA), assim como os livros didáticos citados e
que serão alvo de estudo no capítulo Análise do Complexo Praxeológico do objeto
matemático: Sistema de Equações Lineares.
Por nicho ecológico entendemos a função ou o papel desenvolvido pelo
saber matemático relacionado ao objeto de estudo. Assim, com base nas
entrevistas realizadas, conseguimos identificar o papel da Álgebra Linear como
85
ferramenta para descrever e estudar outros objetos pertencentes às disciplinas
específicas desta graduação, atribuindo-lhe o caráter paramatemático
14
.
Ainda a respeito da função ou papel da Álgebra Linear em uma graduação
de Engenharia Elétrica, seguindo a definição de nicho ecológico, segundo
Almouloud (2007), verificamos que, em todas as entrevistas realizadas, a
aprendizagem de conceitos de Álgebra Linear sempre esteve atrelada às relações
existentes com outras disciplinas da graduação, relações estas que devem ser
explicitadas ao aluno. Os conceitos fundamentais citados (matrizes, sistemas
lineares e transformações lineares), relacionaram-se com disciplinas específicas
como Teoria Eletromagnética, Circuitos Elétricos, Computação Gráfica,
Processamento de Sinais, dentre outras.
De acordo com a Teoria Antropológica do Didático, deve-se estudar o
homem perante o saber matemático e mais especificamente perante situações
matemáticas. A articulação das diversas noções (objeto, pessoa e instituição)
frente à problemática ecológica permite pensar de maneira unificada um grande
número de fenômenos didáticos, dentre eles as relações existentes entre as
disciplinas, o papel do professor e do aluno perante a construção do
conhecimento.
Nas entrevistas II e IV, os professores ressaltaram a importância da
formação de pesquisadores em nosso país, de forma que reduzíssemos a
dependência de tecnologia externa. Apresentamos, portanto, o perfil do
engenheiro que sua universidade pretende formar. Este assunto foi discutido
anteriormente no Capítulo 2 - Diretrizes Curriculares para os cursos de
14
A Transposição Didática faz uma análise epistemológica do objeto do saber sob o ponto de vista didático, categorizando-
o em: paramatemáticos: quando os objetos são utilizados como ferramentas para descrever e estudar outros objetos. Este
assunto foi discutido no Capítulo 1 – Fundamentação Teórica e Metodológica.
86
engenharia e Grades Curriculares das universidades investigadas: Uma Análise
da Relação Institucional Esperada. Segundo o professor IV, a universidade em
que leciona busca formar o engenheiro conceitual e generalista, embasado em
sólidos conhecimentos matemáticos.
Assim, esperamos ter conseguido responder, ao menos, parcialmente, por
que a Álgebra Linear deve ser lecionada em uma graduação como esta.
A busca por respostas a questão Como a Álgebra Linear deve ser
lecionada em uma graduação de Engenharia Elétrica? iniciou-se com a discussão
dos professores sobre possíveis aplicações que poderiam ser apresentadas
durante o ensino de conceitos de Álgebra Linear. Dessa forma, haveria a
antecipação de conteúdos que seriam tratados em disciplinas subseqüentes e
evidenciaríamos aos alunos sua importância, tanto na formação acadêmica
quanto profissional.
Os exercícios de aplicação poderiam ser apresentados a partir dos livros
didáticos citados nas entrevistas. Além de exercícios de aplicação, também
discutimos o papel de softwares na apresentação das relações entre assuntos
inerentes à Álgebra Linear e disciplinas específicas da graduação. É interessante
citar que dentre todos os professores entrevistados, apenas um apontou trabalhar
com softwares de fabricantes específicos. Todos os demais optaram em propor
como avaliação para os alunos, o desenvolvimento de softwares capazes de
integrar as disciplinas. Tal proposição, denominada projeto integrado pelo
professor V, é recomendada pelas atuais Diretrizes Curriculares para os cursos
de Engenharia. Assim, a construção de um projeto integrado possibilita entender
com maior abrangência os diversos conteúdos trabalhados entre as disciplinas.
87
Esperamos, dessa forma, ter encontrado alguns elementos que
respondessem à questão: Como a Álgebra Linear pode ser lecionada em uma
graduação de Engenharia Elétrica?
A seguir, apresentamos um quadro que sintetiza as principais idéias
obtidas nos discursos dos professores entrevistados.
88
Por que a Álgebra Linear deve ser
lecionada em uma graduação de
Engenharia Elétrica?
Como a Álgebra Linear deve ser
lecionada em uma graduação de
Engenharia Elétrica?
Entrevista I
a) devido à existência de relações entre
conteúdos da Álgebra Linear com
conteúdos específicos de diversas
disciplinas do curso.
Disciplinas citadas: Teoria
Eletromagnética, Processamento de
Sinais.
a) antecipação de determinados
conteúdos de disciplinas específicas
através de exercícios aplicados, de
forma a estabelecer conexões entre
diferentes assuntos;
b) uso de softwares desenvolvidos para
a disciplina Teoria Eletromagnética que
trabalhem conceitos fundamentais de
Álgebra Linear.
Entrevista II
a) devido à existência de relações entre
conteúdos da Álgebra Linear com
conteúdos específicos de diversas
disciplinas do curso.
Disciplinas citadas: Nenhuma;
b) necessidade de maior formação teórica
dos alunos de engenharia, direcionando-
os à formação de futuros pesquisadores.
a) antecipação de determinados
conteúdos de disciplinas específicas
através de exercícios aplicados, de
forma a estabelecer conexões entre
diferentes assuntos;
b) trabalhos com projetos e modelagem
nos chamados cursos de serviço;
c) uso de softwares como Maple e
Matlab.
Entrevista III
a) devido à existência de relações entre
conteúdos da Álgebra Linear com
conteúdos específicos de diversas
disciplinas do curso.
Disciplinas citadas: Sinais e Sistemas
Lineares.
a) antecipação de determinados
conteúdos de disciplinas específicas
através de exercícios aplicados, de
forma e estabelecer conexões entre
diferentes assuntos.
Entrevista IV
a) devido à existência de relações entre
conteúdos da Álgebra Linear com
conteúdos específicos de diversas
disciplinas do curso.
Disciplinas citadas: Circuitos Elétricos,
Métodos de Elementos finitos e Teoria
Eletromagnética;
b) formação do engenheiro conceitual e
generalista com sólida formação de
Matemática e de Física.
a) antecipação de determinados
conteúdos de disciplinas específicas
através de exercícios aplicados.
b) uso de softwares desenvolvidos para
a disciplina Teoria Eletromagnética que
trabalhem conceitos fundamentais de
Álgebra Linear.
Entrevista V
a) devido à existência de relações entre
conteúdos da Álgebra Linear com
conteúdos específicos de diversas
disciplinas do curso.
Disciplinas citadas: Circuitos Elétricos,
Física 2, Eletricidade, Computação
Gráfica, Princípios de Transformação,
Redes de Computadores, Engenharia de
Software;
b) Recomendação das Diretrizes
Curriculares para os cursos de
Engenharia;
c) o papel da Álgebra Linear como
ferramenta para outras disciplinas.
a) antecipação de determinados
conteúdos de disciplinas específicas
através de exercícios aplicados.
b) trabalho com projeto integrado no
final do semestre letivo envolvendo
conteúdo de diversas disciplinas;
c) Desenvolvimento de software que
trabalhe conteúdos de Álgebra Linear.
Quadro 3: Síntese das principais idéias apresentadas nas entrevistas realizadas.
89
Após a síntese das principais idéias apresentadas nas entrevistas
realizadas, observamos que é atribuída grande importância às questões inerentes
que relacionam disciplinas matemáticas como a Álgebra Linear com disciplinas
dos demais ciclos específicos de formação. A relação entre tais disciplinas deve
ser destacada desde o primeiro contato do aluno com a universidade,
identificando elementos comuns que envolvam conceitos, propriedades e
aplicações relativas à sua formação. Tais relações podem ser identificadas, em
um primeiro momento, através da antecipação de conteúdos relacionados às
disciplinas específicas como Circuitos Elétricos, Processamento de Sinais ou
mesmo em um exemplo de Redes de Computadores. Tais conteúdos poderiam
esclarecer a importância de disciplinas matemáticas nos primeiros anos de
graduação. Além disso, enfatizamos a necessidade conjunta de uma melhor
formação profissional dos atuais engenheiros, estimulando a pesquisa e o
desenvolvimento de novas tecnologias em nosso país.
91
CAPÍTULO 4: ANÁLISE DA ORGANIZAÇÃO PRAXEOLÓGICA DO
OBJETO MATEMÁTICO: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES – UMA
ANÁLISE DA RELAÇÃO INSTITUCIONAL EXISTENTE
Este capítulo tem o objetivo de analisar dois exercícios aplicados sobre
Sistemas de Equações Lineares à luz da Teoria Antropológica do Didático,
identificando a organização praxeológica formada pelo conjunto de tarefas,
técnicas, tecnologias e teorias que expõem o objeto matemático.
Para tanto, analisamos os exercícios aplicados em dois livros utilizados nos
cursos de Engenharia Elétrica, cuja referência completa é apresentada no Quadro
4.
1) Álgebra Linear de autoria de David Poole;
2) Introdução à Álgebra Linear com Aplicações de Bernard Kolman.
A escolha do primeiro livro justifica-se pelo interessante repertório de
exemplos de aplicações atuais com uma linguagem simples e didática
apresentada pelo livro, direcionada ao aluno ingressante na universidade.
Já a escolha do segundo livro justifica-se pela entrevista realizada em
dezembro de 2007, no qual o professor participante, coordenador de um curso de
Engenharia Elétrica, cita a importância de introduzir conceitos elementares de
Álgebra Linear a partir de livros com este perfil.
Assim como o autor Kolman (2006), Poole (2004) propõe o livro tentando
balancear teorias e aplicações.
92
Uma disciplina de Álgebra Linear voltada à preparação dos alunos para
disciplinas teóricas de nível mais avançado deve também expor esses
alunos às aplicações. Reciprocamente, uma disciplina de Álgebra Linear,
aplicada ou numérica deve mencionar alguns dos resultados teóricos
que justificam as técnicas.
15
E todos os estudantes de Álgebra Linear
devem pelo menos ganhar consciência dos métodos numéricos
empregados na prática para a resolução, com dados reais, de problemas
em grande escala (Poole, 2004, p. xii).
De acordo com Poole (2004), do ponto de vista pedagógico, não há dúvida
de que, para a maioria dos alunos de graduações com este perfil, exemplos de
aplicação devem preceder a abstração. É importante que os alunos vejam a
extensão impressionante de problemas aos quais a Álgebra Linear pode ser
aplicada.
Abaixo, apresentamos a referência dos livros trabalhados.
Nomeado nesta análise de Referência do livro
L1 POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson, 2004.
L2 KOLMAN, B. et al. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações.
Rio de Janeiro: LTC, 2006.
Quadro 4: Livros analisados neste trabalho.
Em ambos os livros, a apresentação de exemplos de aplicação é discutida
em seções que os autores denominam como Primeiro Contato com as Aplicações
ou, simplesmente, Aplicações. Não nos foi possível discutir todas as aplicações
presentes. Dessa forma, apresentaremos um único exemplo que trabalha o
conteúdo de Análise de Redes aplicado à disciplina Circuitos Elétricos no livro de
Poole (2004) e outro exemplo discutido no livro de Kolman (2006).
Abaixo, apresentamos um quadro que relaciona o objeto matemático
Sistema de Equações Lineares com os assuntos pertinentes à Engenharia
Elétrica discutidos em ambos os livros.
15
grifo nosso.
93
Livro
Objeto Matemático
Assuntos pertinentes à
Engenharia Elétrica
Algumas disciplinas
relacionadas da
Engenharia Elétrica
Análise de Redes Circuitos Elétricos, Redes
de Computadores
Jogos Lineares Finitos Circuitos Elétricos
L1
Sistema de Equações
Lineares
Cadeias de Markov Processos Estocásticos
Introdução à Codificação Teoria da Comunicação
Análise de Redes Circuitos Elétricos; Redes
de Computadores.
Cadeias de Markov Processos Estocásticos
Programação Linear Pesquisa Operacional
L2
Sistema de Equações
Lineares
Introdução às Wavelets Sinais e Sistemas
Lineares
Quadro 5: O objeto matemático Sistema de Equações Lineares e sua relação com disciplinas da
Engenharia Elétrica.
4.1. Análise da Organização Matemática do Objeto: Sistema de Equações
Lineares
A seguir, apresentamos um exemplo de aplicação do objeto matemático
Sistema de Equações Lineares, em Análise de Redes, discutido no livro de Poole
(2004). Salientamos que este assunto está diretamente relacionado à
compreensão de conceitos subjacentes à disciplina Circuitos Elétricos. Em
seguida, discutiremos um exemplo específico da disciplina de Circutos Elétricos
em que são destacados seus conceitos básicos e leis fundamentais. Os conceitos
básicos e leis fundamentais são constituintes da análise do discurso teórico-
tecnológico.
O exemplo 1, proposto por Poole (2004, p. 100) retrata o conceito inicial de
Análise de Redes que, posteriormente, será trabalhada como base teórica em
exemplos aplicados na disciplina Circuitos Elétricos. O exemplo 2, proposto por
94
Kolman (2006, p. 134) introduz as leis básicas e conceitos fundamentais para
análise de circuitos elétricos.
4.1.1. Exemplo 1: Análise de Redes
Redes aparecem em várias situações práticas de transporte, redes de
comunicação e redes econômicas, para mencionar algumas. São particularmente
interessantes os possíveis fluxos através de redes. Por exemplo, veículos fluem
através de redes de estradas, informação flui através de uma rede de dados, bens
e serviços fluem através de uma rede econômica.
Para nós, uma rede consiste em um número finito de nós (também
chamados junções ou vértices) conectados por uma série de segmentos
dirigidos, conhecidos como ramos ou arcos. Cada ramo é rotulado com um fluxo
que representa a quantidade de alguma mercadoria que pode fluir ao longo ou
através daquele ramo na direção indicada. (Pense em carros viajando ao longo de
uma rede de ruas de mão única). A regra fundamental que governa o fluxo
através da rede é a conservação de fluxo: Em cada nó, o fluxo de entrada é
igual ao fluxo de saída.
20
f
1
30
f
2
Figura 1: Fluxo de um nó: f
1
+ f
2
= 50
A Figura 1 mostra uma parte de uma rede, com dois ramos entrando em
um nó e dois saindo. A regra de conservação do fluxo implica que o fluxo de
entrada, f
1
+ f
2
unidades, deve coincidir com o fluxo total de saída, 20 + 30
unidades. Assim, temos a equação linear f
1
+ f
2
= 50 correspondente a esse nó.
95
Podemos analisar o fluxo através de uma rede inteira construindo as
equações e resolvendo o sistema de equações lineares resultante.
4.1.1.1. Tarefa
Descrever os possíveis fluxos através da rede de encanamento de água
em que o fluxo é medido em litros por minuto. A resolução do sistema que
descreve os possíveis fluxos é realizada pelo Método de Gauss-Jordan.
A
D
B
C
10
5
f
1
10
f
4
5
f
2
f
3
20
30
Figura 2: Fluxo através da rede de encanamento de água
4.1.1.2. Técnica
Escrevemos as equações que representam a conservação do fluxo de
cada nó. Depois, reescrevemos cada equação com as variáveis do lado esquerdo
e a constante do lado direito, obtendo um sistema linear na forma padrão.
34
32
21
41
20:_
305:_
10:_
15:_
ffDNó
ffCNó
ffBNó
ffANó
=+
=++
+=
+=
20
25
10
15
43
32
21
41
=−
=+
=−
=+
ff
ff
ff
ff
96
Usando o método de eliminação de Gauss-Jordan, reduzimos a matriz
completa:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
201100
250110
100011
151001
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
00000
201100
51010
151001
Vemos que há mais de uma variável livre, f
4
, e, portanto, temos infinitas
soluções. Fazendo f
4
= t e expressando as variáveis dependentes em termos de
f
4
, obtemos:
tf
tf
tf
tf
=
+=
−=
−=
4
3
2
1
20
5
15
Essas equações descrevem todos os possíveis fluxos e nos permitem
analisar a rede. Por exemplo, vemos que, se controlarmos o fluxo no ramo A de
modo que t = 5 L/min, os outros fluxos serão f
1
= 10, f
2
= 0 e f
3
= 25.
Podemos fazer ainda melhor: encontrar os fluxos máximos e mínimos cada
ramo. Cada um dos fluxos deve ser não negativo. Examinando a primeira e a
segunda equações, vemos que
15
≤
t
(caso contrário, f
1
seria negativo) e
(caso contrário, f
5≤t
2
seria negativo). A segunda dessas desigualdades é mais
restritiva que a primeira, por isso devemos usá-la. A terceira equação não traz
novas restrições para nosso parâmetro t, então deduzimos que
50
≤
≤ t
.
Combinando esse resultado com as quatro equações, vemos que
97
50
2520
50
1510
4
3
2
1
≤≤
≤≤
≤≤
≤≤
f
f
f
f
Com isso, temos uma descrição completa dos possíveis fluxos através
dessa rede.
4.1.2. Exemplo 2: Circuitos Elétricos
Objetivo: Introdução às leis básicas de análise de circuitos elétricos.
E1
d
c
b
R3
R1
E2
R2
e f
E3
_
+
R4
_
+
_
+
a
Figura 3: Circuito elétrico simples com três baterias e quatro resistores conectados por fios
Conceitos:
a) Baterias: Fonte de corrente direta (ou tensão) no circuito.
Representação:
+
_
+
_
98
b) Resistor: É um dispositivo, como uma lâmpada, que reduz a corrente
em um circuito convertendo energia elétrica em energia térmica.
Representação:
c) Fios: É um condutor que permite o fluxo livre de corrente elétrica.
Representação:
Um circuito elétrico simples é uma conexão fechada de resistores, baterias
e fios.
A Figura 3, mostra um circuito elétrico simples que compreende três
baterias e quatro resistores conectados por fios.
As quantidades físicas utilizadas quando se discute um circuito elétrico são
corrente, resistência e diferença de potencial elétrico que atravessa uma bateria.
Representações:
• Corrente: é representada por I e medida em Ampéres (A);
• Resistência: é representada por R e medida em Ohms (Ω);
• Diferença de potencial elétrico é representada por E e medida em
Volts (V).
A relação entre essas medidas é dada por:
V = I . R (Lei de Ohm) ±
99
Assume-se a diferença de potencial elétrico de uma bateria como positiva
quando medida de um terminal negativo (-) para um terminal positivo (+) e como
negativa quando medida de um terminal positivo (+) para um terminal negativo (-).
Assim, a diferença de potencial que passa por um resistor depende da
corrente que passa pelo resistor e sua resistência (Lei de Ohm).
Todos os circuitos consistem em ciclos de tensão e nós de corrente:
• ciclos de tensão: é uma conexão fechada dentro do circuito.
Exemplo:
afedcba
e
cfedc
afcba
→→→→→→
→→→→
→→→→
• nós de corrente: é um ponto onde três ou mais segmentos de fio se
encontram.
Exemplo: c, f.
As leis da física que governam o fluxo de corrente em um circuito elétrico
são a de conservação de energia e a de conservação de carga:
• A conservação de energia está contida na lei de Kirchhoff das
tensões: a diferença de potencial total medida em qualquer ciclo é
nula.
• A conservação de carga está contida na lei de Kirchhoff das
correntes: em qualquer nó, a corrente total que chega ao nó é igual
100
a corrente total que deixa o nó. Isso garante que a carga elétrica não
se acumule ou desapareça em um nó, de modo que o fluxo de
corrente através do nó é estacionário.
A figura, a seguir, mostra o circuito da figura com as baterias indicando seu
potencial elétrico, medido do terminal negativo para o positivo, e os resistores
com as resistências indicadas. O exemplo é discutido por Kolman (2006, p.134).
4.1.2.1. Tarefa
Determinar as correntes que atravessam cada segmento do circuito.
E
1
= 40V
I
1
b
a
R
1
=
5
Ω
E
2
= 120V
R
2
= 1
0
Ω
R
3
= 2
0
Ω
I
2
d
c
f e
E
3
= 80V
_
+
R
4
=
30
Ω
_
+
_
+
I
3
Figura 4: Circuito elétrico com baterias indicando seu potencial elétrico.
4.1.2.2. Técnica
Montar o sistema utilizando as Leis de Kirchhoff das Correntes e Tensões.
O sistema é resolvido pelo Método de Gauss.
Devemos usar:
(1) Lei de Kirchhoff das Correntes:
101
Atribuímos I
1
ao segmento , I
cbaf →→→
2
ao segmento , e I
cf →
3
ao
segmento
. Além disso, atribuímos arbitrariamente direções a
estas correntes como indicadas pelas flechas na figura. Se a direção atribuída for
correta, o valor calculado da corrente será positivo; se estiver incorreta, o valor
calculado da corrente será negativo. Esse último resultado indica que a direção
real da corrente é oposta à atribuída. Utilizando a lei de Kirchhoff das correntes (a
soma das correntes que chegam ao nó = a soma das correntes que saem do nó)
nos pontos c e f, temos:
fedc →→→
No nó C: I
1
+ I
2
= I
3
(01)
No nó F: I
3
= I
1
+ I
2
As duas equações contêm a mesma informação, portanto apenas uma
delas é necessária.
(2) Lei de Kirchhoff das Tensões:
A diferença de potencial medida em qualquer ciclo é nula.
Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões no ciclo fechado:
, resulta em:
afcba →→→→
162
016.2
080.10.5
0.10120.540
0).10()120().5()40(
0).()().()(
21
21
21
21
21
222111
−=−
=−+−
=−+−
=+−−
=+−+−++
=
+−+−++
II
II
II
II
IVIV
IREIRE
(02)
102
Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões no ciclo fechado
,
temos:
fedc →→→
20.5
20.5
020.5
0200.10.50
0120.10.3080.20
0)120().10().30()80().20(
0)().().()().(
32
32
23
23
233
233
22234333
=+
−=−−
=+−−
=+−−
=+−−+−
=+−+−++−
=++−+−+++−
II
II
II
II
III
III
EIRIREIR
(03)
Aplicando-se a Lei de Kirchhoff das Tensões no ciclo fechado
, temos:
afedcba →→→→→→
24.10
120.50.5
120.50.5
0120.50.5
0.3080.20.540
0).30(80).20().5(40
0).()().().()(
31
31
31
31
331
331
34333111
=+
−=−−
+−−
=+−−
=−+−−
=−++−+−+
=−+++−+−++
II
II
II
II
III
III
IREIRIRE
(04)
Perceba que a equação (04) é uma combinação linear da
).03(.2)02( EquaçãoEquação +
243.101
20.216310222.21
=+
+
−=++−
II
IIII
Portanto, a equação (04) é redundante e poderá ser omitida.
103
Em geral, um ciclo externo maior como
não
fornece informações novas se todos os seus ciclos internos, como
e , já tiverem sido incluídos.
afedcba →→→→→→
afcba →→→→ cfedc →→→→
As Equações (01), (02) e (03) resultam em um sistema linear em
representação matricial:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
510
021
111
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
I
I
I
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
20
16
0
em que a matriz dos coeficientes é: e a matriz completa é:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
510
021
111
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
20510
16021
0111
Resolvendo o sistema pelo Método de Gauss, temos:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
20510
16021
0111
32
LL ↔
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
16021
20510
0111
31
LL
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
16130
20510
0111
32
.3 LL −
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
441600
20510
0111
104
Resultamos no sistema:
I
1
+I
2
-I
3
= 0
I
2
+5.I
3
= 20
16.I
3
= 44
Portanto: I
1
= - 3,5 A; I
2
= 6,25 A e I
3
= 2,75 A.
O valor negativo de I
1
indica que sua direção verdadeira é oposta à
atribuída na Figura 4.
Em geral, para um circuito elétrico composto por baterias, resistores e fios
e com n valores distintos de corrente, as Leis de Kirchhoff das tensões e corrente
sempre resultarão em n equações lineares com uma única solução.
4.1.3. Discurso Teórico-Tecnológico das Tarefas e Técnicas de ambos os
Exemplos
Nos exemplos apresentados por Poole (2004) e Kolman (2006), evidencia-
se a aplicação do objeto matemático Sistema de Equações Lineares como
ferramenta para a resolução de problemas relativos às disciplinas da graduação
de Engenharia Elétrica. No primeiro exemplo, relacionamos o objeto matemático
Sistema de Equações Lineares com o assunto Análise de Redes inerente à
disciplina Circuitos Elétricos. Em um segundo momento, discutimos um exemplo
desenvolvido para a disciplina específica de Circuitos Elétricos. A escolha por
esta disciplina foi motivada não apenas pelos livros analisados como também
105
pelos discursos dos professores entrevistados discutidos no Capítulo 4. A
disciplina Circuitos Elétricos constitui-se em disciplina básica e fundamental para
esta graduação.
Como apresenta Chevallard (1999), a organização matemática de um tema
de estudo Φ, corresponde ao estudo da própria realidade matemática. Portanto,
entendemos a realidade matemática do objeto Sistema de Equação Linear, como
a extensão de suas técnicas de resolução, soluções dos sistemas e propriedades
às aplicações inerentes às diversas disciplinas.
Dentre as bases teóricas apresentadas para análise dos Circuitos Elétricos
evidenciamos a Lei de Ohm, Leis de Kirchhoff das Tensões e Correntes,
Resistência Elétrica, Tensão Elétrica, Intensidade de Corrente.
De acordo com o mesmo autor, quando se trata de um objeto relativo às
práticas de ensino, deve-se primeiro observá-lo e depois descrevê-lo, analisá-lo e
avaliá-lo para, finalmente, desenvolvermos atividades que têm por objetivo o
ensino e a aprendizagem desse objeto.
Acreditamos que a discussão dos exercícios de aplicação poderá nortear a
apresentação do objeto matemático Sistema de Equações Lineares dirigido às
disciplinas desta graduação. Estaríamos, assim, motivando o aluno na busca por
outras aplicações relacionadas às disciplinas específicas da graduação e
evidenciando a importância dos conceitos inerentes às disciplinas básicas como a
Álgebra Linear.
4.2. Análise da Organização Didática do Objeto: Sistema de Equações
Lineares
Para tal análise, propomos algumas questões:
106
1) As tarefas estão bem encadeadas?;
2) O que podemos dizer sobre a diversidade das tarefas?;
3) O discurso teórico-tecnológico encontrado no livro é suficiente para um
curso de Engenharia Elétrica?;
4) O discurso teórico-tecnológico no livro é compatível com as falas sobre
formação do engenheiro apresentadas pelos professores entrevistados?
4.2.1. O Capítulo Introdutório de Álgebra Linear
Conforme exposto por Chevallard (1999), a maneira como será realizado o
primeiro encontro com o objeto matemático Sistema de Equações Lineares é um
aspecto didático que merece apreciação.
Kolman (2006) e Poole (2004) enfatizam o aspecto dinâmico entre as
disciplinas de diversas graduações, dentre elas a Engenharia Elétrica com a
Álgebra Linear. Reforçam que o material foi elaborado para compor uma disciplina
voltada para alunos no primeiro ou segundo ano de cursos universitários, por isso,
a relação com conteúdos específicos ainda elementares e que estejam ao
alcance de alunos em fase inicial de formação.
De acordo com Kolman (2006), a experiência mostra que, para alunos do
segundo ano, as idéias abstratas devem ser introduzidas gradualmente e ter
bases sólidas.
Na apresentação conceitual, os autores pretenderam apresentar respostas
a alguns dos desafios: A abordagem expositiva tradicional é incompatível com um
aprendizado centrado no estudante? Pode a Álgebra Linear se tornar “enxuta e
107
viva”
16
? Dessa forma, os autores tentaram estar em consonância com a temática
“enxuta e viva”, incluindo demonstrações elementares e limitando o número de
teoremas no texto, resultando em obras autocontidas, como expõem os próprios
autores.
Os exemplos e exercícios são agrupados em três classes. A primeira
contém exemplos rotineiros. A segunda, exercícios teóricos que incluem
atividades que preenchem as lacunas de algumas das demonstrações e ampliam
o conteúdo do texto. Alguns deles pedem uma solução discursiva. A terceira
classe abrange exercícios para serem resolvidos com o Matlab ou outro pacote de
software apropriado. Já as aplicações são estendidas a diversos domínios, dentre
eles às Engenharias, à Ciência da Computação, à Economia ou à Biologia. A
quantidade dessas aplicações mostra a extensão de problemas aos quais a
Álgebra Linear pode ser aplicada estando em consonância com assuntos atuais
abordados na Engenharia Elétrica como Séries Wavelets ou a Teoria da
Codificação.
16
Esta expressão é identificada como “movimento de reforma” do cálculo, movimento este originado com a
obra Toward a lean and lively calculus, de R. G. Douglas (Washington, DC: Mathematical Association of
America, 1986). O mesmo sentimento é igualmente aplicável á Álgebra Linear (Poole, 2004, p. xi)
109
CAPÍTULO 5: CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para que respondêssemos as questões pertinentes ao objetivo de nossa
investigação, por que e como deve ser lecionada a disciplina Álgebra Linear em
uma graduação de Engenharia Elétrica? buscamos à luz do referencial teórico da
Teoria Antropológica do Didático (TAD) estabelecer a relação que norteia a tríade
objeto-pessoa-instituição inerente ao tema. Para tanto, investigamos o tema a
partir de elementos de análise em documentos oficiais, discursos de professores
e livros didáticos. As três etapas, anteriormente citadas, foram assim
denominadas: Análise da Relação Institucional Esperada, Análise da Relação
Institucional Real e Análise da Relação Institucional Existente.
Após análise dos documentos oficiais identificados como as Diretrizes
Curriculares para os cursos de Engenharia e Grades Curriculares das
universidades investigadas, constatamos que o estudo de disciplinas matemáticas
como a Álgebra Linear está diretamente relacionado à valorização de campos de
pesquisa e desenvolvimento de novas tecnologias. Conforme apontamos na
seção Análise da Relação Institucional Esperada é necessário que o profissional
atenda as atuais tendências de mercado de trabalho, tanto em conhecimentos
teóricos quanto práticos. Tais assuntos deparam-se com competências e
habilidades esperadas para este perfil.
Identificamos que na análise das Grades Curriculares das universidades
investigadas, a Universidade I deixou clara a relação existente entre a disciplina
Álgebra Linear e as demais disciplinas que compõem a graduação, dentre elas,
Sistemas e Sinais I e II, Controle, Projeto e Implementação de Filtros Digitais,
Modelagem de Processamento de Sinais, dentre outras. Apesar de não existir tal
110
relação explícita nas Grades Curriculares das demais universidades investigadas,
elas existem e foram apontadas nos discursos dos professores entrevistados.
Estaríamos, assim, respondendo por que deve ser lecionada a disciplina
Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica?
E como poderia ser direcionado este ensino?
Nos mesmos documentos encontramos elementos que ressaltaram a
importância do papel ativo do aluno e do professor na construção do
conhecimento, valorizado pela ação interdisciplinar decorrida de projetos e
atividades ao longo do curso.
Pudemos observar que as três universidades investigadas buscam estar
em consonância com o que é proposto pelos documentos oficiais.
Outra valiosa fonte de coleta de informações para nossa pesquisa foram as
entrevistas realizadas com professores da graduação em Engenharia Elétrica. A
diversidade de formação entre os professores entrevistados contribuiu para que
pudéssemos expandir e criar novas visões e/ou situações dos assuntos
abordados. Foi, sem dúvida, uma experiência única, pois o tema de nossa
pesquisa foi merecidamente debatido.
Em consonância com as Diretrizes Curriculares para os cursos de
Engenharia e as Grades Curriculares das universidades investigadas no Capítulo
2, os professores entrevistados também destacaram a importância da formação
de pesquisadores em nosso país, de forma a reduzir a dependência de tecnologia
externa. Entramos em um assunto, que, a princípio, não era alvo de discussão
nas entrevistas realizadas: o perfil do engenheiro que a universidade pretende
formar. Discutimos que, para a expansão dos centros de pesquisa e
desenvolvimento, as universidades devem formar o engenheiro conceitual e
111
generalista, embasado em conhecimentos matemáticos, dentre eles a Álgebra
Linear.
Evidenciamos nos discursos dos professores que algumas relações
existentes entre disciplinas matemáticas como a Álgebra Linear devem ser
explicitadas aos alunos. São elas: Teoria Eletromagnética, Circuitos Elétricos,
Processamento de Sinais, dentre outras.
Somos conscientes que não cabe ao professor de Matemática ter o
domínio completo de tais assuntos, pois tais disciplinas não fizeram parte de sua
formação acadêmica. Sabemos também que, tão pouco, serão acrescentadas
disciplinas como Computação Gráfica ou Processamento de Sinais na grade
curricular de uma licenciatura ou bacharelado em Matemática. Mas, deixamos
claro que, as relações entre a Álgebra Linear e disciplinas da Engenharia Elétrica
existem e são latentes nos livros atuais de Álgebra Linear. Cabe, portanto, ao
professor de Álgebra Linear conhecer algumas das aplicações e adotá-las como
prática comum em sua aula.
E como poderíamos criar condições propícias para este aprendizado em
um curso com este perfil?
Os professores entrevistados ressaltaram a importância da antecipação de
conteúdos tratados nas disciplinas subseqüentes, por meio de exercícios de
aplicação discutidos em sala de aula ou de softwares que estivessem ao alcance
dos alunos. Mais uma vez, citaram a importância do trabalho com projetos e
modelagem que instigassem a integração dos conteúdos trabalhados.
Em um terceiro momento, fizemos a análise do objeto matemático Sistema
de Equações Lineares à luz da Teoria Antropológica do Didático, identificando a
112
organização praxeológica formada pelo conjunto de tarefas, técnicas, tecnologias
e teorias que expõem o objeto matemático.
Nos exemplos apresentados por Poole (2004) e Kolman (2006), o objeto
matemático Sistema de Equações Lineares sempre esteve vinculado à idéia de
ferramenta para a resolução de problemas inerentes às disciplinas da Engenharia
Elétrica, o que condiz com o discurso do quinto professor entrevistado. Mas, para
que o objeto matemático possa ser aplicado como ferramenta é necessário que
compreendamos a sua realidade, como a extensão de suas técnicas de
resoluções, as possíveis soluções e propriedades.
Com base na análise das informações obtidas nas três etapas da pesquisa,
acreditamos que a apresentação de um curso de Álgebra Linear para a
Engenharia Elétrica precisa ser reformulado e a interação entre os professores
das diversas disciplinas reforçada.
Neste trabalho expusemos as principais idéias advindas tanto dos
documentos oficiais, discursos de professores e livros didáticos atuais,
evidenciando situações que nos revelam o porquê da mudança e como ela
poderá ser direcionada.
Sabemos que estamos longe de alcançar mudanças significativas nesse
sentido, mas, sem dúvida, um passo já foi dado.
Como sugestão para estudos futuros deixamos claro que existe uma
imensa lacuna entre as relações institucionais esperadas, reais e existentes.
Acreditamos que essa pesquisa constitui-se em um passo inicial para que as
mesmas sejam minimizadas.
Outra sugestão, que particularmente atrai minha atenção, é verificar na
prática como uma aula de Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia
113
Elétrica poderá ser estruturada com base nos exercícios de aplicação expostos
em livros como os apresentados em nossa investigação. Mas, como reagiriam os
professores de Matemática e os alunos frente a esta situação?
Acreditamos que a pesquisa realizada contribuiu para nosso crescimento,
enquanto professores e pesquisadores, e que poderá nortear algumas
reformulações tão necessárias nestas graduações.
115
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da matemática. Paraná: UFPR,
2007, p. 111 – 128.
BRASIL. MEC/Conselho Nacional de Educação. Parecer CNE/CES nº 1362/2001.
Diário Oficial da União de 25 de dezembro de 2002. Disponível em
<
http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/CES1362.pdf>. Acesso em: 22/02/2007.
BRASIL. MEC/Conselho Nacional de Educação. Parecer CNE/CES nº 184/2006.
Diário Oficial da União de Encaminhado para Homologação. Disponível em
http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/pces0184_06.pdf>. Acesso em:
22/02/2007.
BROUSSEAU, G. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In.: Brun,
J. Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996, p. 35 – 113.
CABRAL, T. C. B.; BALDINO, R. R. O ensino de matemática em um curso de
engenharia de sistemas digitais. In: Cury, H. N. et al. Disciplinas Matemáticas em
Cursos Superiores: Reflexões, Relatos, Propostas. Rio Grande do Sul:
EDIPUCRS, 2004. p. 139-183.
CELESTINO, M. R. Ensino-aprendizagem da Álgebra Linear: as pesquisas
brasileiras na década de 90. 2000. 114p. Dissertação de Mestrado (educação
Matemátcia) PUC-SP, São Paulo.
CHEVALLARD, Y. El análisis de las prácticas docentes em la teoria antropológica
de lo didáctico. Recherches em Didactique des Mathématiques, Vol. 19, nº 2, pp.
221-266, 1999.
116
CHEVALLARD, Y. Conceitos Fundamentais da Didáctica: As Perspectivas
trazidas por uma Abordagem Antropológica. In.: Brun, J. Didáctica das
Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996, p. 115 – 153.
CUGNASCA, P. S. Proposta de uma nova estrutura curricular para o curso de
Engenharia de computação (Cooperativo) da Escola Politécnica da USP. In:
CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2001, Porto Alegre.
XXIX COBENGE – CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA,
v.1. p. 115-120, 2001.
CURY, H. N. Diretrizes Curriculares para os cursos de engenharia e disciplinas
matemáticas: opções metodológicas. Revista de Ensino de Engenharia, v. 20, n.
2, p. 1-7, 2001.
FAZENDA, I. C. A. Interdisciplinaridade, História, Teoria e Pesquisa. São Paulo:
Papirus, 2006.
FERREIRA, R. S. Tendências Curriculares na formação do engenheiro do ano
2000. In: Formação do Engenheiro. In.: Bazzo, W. A. et al. Formação do
Engenheiro: Desafios da atuação docente, Tendências Curriculares, Questões
contemporâneas da educação tecnológica. São Paulo: UFSC, 1999, p. 129 - 142.
FODDY, W. Como Perguntar: Teoria e prática da construção de perguntas em
entrevistas e questionários. Portugal: Celta Editora, 1996.
HOWSON, A. G. et al. Mathematics as a Service Subject. A. G. Howson, J.- P.
Kahne (Eds.) ICMI Study Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1987.
KUEHN, A .Qual é o papel da matemática nos cursos de engenharia? Reflexões
de um professor de matemática. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE
ENGENHARIA, 2005, Campina Grande. Anais: Campina Grande-Pb: UFCG,
2005. CD-ROM.
117
KOLMAN, B. et al. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro:
LTC, 2006.
LAY, D. C. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
ORSINI, L. Q. Curso de Circuitos Elétricos. São Paulo: Edgard Blucher, 1993. v.1.
POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson, 2004.
SALUM, M. J. G. Os currículos de engenharia no Brasil – estágio atual e
tendências. In.: Bazzo, W. A. et al. Formação do Engenheiro: Desafios da atuação
docente; Tendências Curriculares, Questões contemporâneas da educação
tecnológica. São Paulo: UFSC, 1999, p. 107 - 127.
119
APÊNDICE
120
Carta de esclarecimento sobre o Projeto e a Pesquisa
PROJETO: COMO SOBREVIVEM AS DIFERENTES NOÇÕES DE ÁLGEBRA
LINEAR NOS CURSOS DE ENGENHARIA ELÉTRICA E NAS INSTITUIÇÕES
Pesquisa: EM BUSCA DE SITUAÇÕES PROPÍCIAS PARA A APRENDIZAGEM
DE CONCEITOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR
Pesquisadora: Joelma Iamac Nomura
Orientadora do Projeto e da Pesquisa : Profa. Drª. Barbara Lutaif Bianchini
Informações sobre o projeto e sobre a pesquisa:
A pesquisa a ser realizada faz parte da dissertação de mestrado em
desenvolvimento no Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).
O objetivo principal da pesquisa é verificar o porque e como deve ser
lecionada a disciplina Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica.
Todos as informações obtidas, em registros escritos, gravados ou filmados,
permanecerão em completo sigilo. Assegura-se a não divulgação de nomes dos
participantes e nem das instituições a que estão vinculados nos resultados da
pesquisa.
121
Projeto: COMO SOBREVIVEM AS DIFERENTES NOÇÕES DE ÁLGEBRA
LINEAR NOS CURSOS DE ENGENHARIA ELÉTRICA E NAS INSTITUIÇÕES.
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Eu, ________________________________________________________,
abaixo assinado, dou meu consentimento livre e esclarecido para participar como
voluntário da pesquisa supra citada, sob a responsabilidade da pesquisadora
Joelma Iamac Nomura, aluna do curso de Mestrado Acadêmico em Educação
Matemática da PUC-SP e da Professora Drª. Barbara Lutaif Bianchini, orientadora
da pesquisa e docente do Programa de Mestrado da PUC-SP.
Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:
1) O objetivo da pesquisa é estabelecer o porque e como deve ser lecionada
a disciplina Álgebra Linear em uma graduação de Engenharia Elétrica.
2) A realização desta pesquisa é fundamental para a produção de material
didático que apóie os professores de Álgebra Linear no ensino superior;
3) Os dados pessoais dos professores serão mantidos em sigilo e os
resultados obtidos com a pesquisa serão utilizados apenas para alcançar os
objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica especializada;
4) Poderei entrar em contato com os pesquisadores sempre que julgar
necessário. Com Joelma Iamac Nomura, pelo email [email protected]
e com a pesquisadora Profa. Drª. Barbara Lutaif Bianchini, pelo email
5) Obtive todas as informações necessárias para poder decidir
conscientemente sobre a minha participação na referida pesquisa;
6) Este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma
permanecerá em meu poder e a outra com os pesquisadores responsáveis.
São Paulo, 27 de Dezembro de 2007.
_______________________________________________
assinatura do participante
_______________________________________________
122
assinatura da pesquisadora
123
ANEXOS
124
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA ACONSELHADA DO CHAMADO CICLO BÁSICO E GRADE ÁREA DAS ENGENHARIAS –
UNIVERSIDADE I
Ciclo Básico
Carga Horária - Aula: 825 horas - Trabalho: 90 horas - Total: 915 horas
Física Geral e
Experimental para
Engenharia I (60h)
Introdução à
Computação para
Engenharia (60h)
Cálculo Diferencial e
Integral para Engenharia I
(90h)
Álgebra Linear para
Engenharia I (60h)
Geometria Gráfica
para Engenharia
(60h)
Introdução à
Engenharia (75h)
Física para Engenharia II
(60h)
Laboratório de Física para
Engenharia II (30h)
Cálculo Numérico
(60h)
Cálculo Diferencial e
Integral para Engenharia II
(60h)
Álgebra Linear para
Engenharia II (60h)
Representação Gráfica
para Engenharia (60h)
Mecânica A (60h)
Introdução à Ciência dos
Materiais para Engenharia
(60h)
Química Tecnológica
Geral (60h)
Grande Área
Carga Horária - Aula: 840 horas - Trabalho: 60 horas - Total: 900 horas
Circuitos Elétricos I
(60h)
Energia, Meio Ambiente e
Sustentabilidade (60h)
Fundamentos de
Engenharia de
Computação I (60h)
Cálculo Diferencial e
Integral para Engenharia
III (60h)
Física para Engenharia
Elétrica III (90h)
Instituições de Direito
(30h)
Física para Engenharia
Elétrica IV (90h)
Cálculo Diferencial e
Integral para Engenharia
IV (60h)
Fundamentos de
Engenharia de
Computação II (60h)
Introdução à
Eletromecânica e à
Automação (60h)
Circuitos Elétricos II
(60h)
Práticas de Eletricidade
e Eletrônica II (90h)
Introdução à Eletrônica
(60h)
125
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA ACONSELHADA DO CHAMADO CICLO ESPECÍFICO: ENERGIA E AUTOMAÇÃO -
UNIVERSIDADE I
Área Específica: Energia e Automação
Carga Horária - Aula: 2205 horas - Trabalho: 180 horas - Total: 2385 horas
Engenharia de
Comunicações
(60h)
Laboratório de
Eletricidade II
(60h)
Laboratório e Aplicações
de Mecânica dos Fluídos
(30h)
Fundamentos de
Mecânica das
Estruturas (30h)
Conversão
Eletromecânica de
Energia (60h)
Sistemas Elétricos de
Potência (60h)
Laboratório
Digital (60h)
Sistemas e
Sinais I (60h)
Laboratório de
Eletricidade I
(60h)
Laboratório de
Eletrônica
(60h)
Eletrônica
(60h)
Estatística I
(60h)
Introdução às
Ciências
Térmicas (60h)
Teoria
Eletromagnética (60h)
Projeto lógico Digital
(60h)
Laboratório de
Instalações Elétricas I
(30h)
Máquinas Elétricas I
(60h)
Instalações
Elétricas I (60h)
Introdução à
Automação de Sistemas
Elétricos (30h)
Controle
(60h)
Eletrônica de
Potência I (60h)
Introdução à
Economia (60h)
Sistemas de Potência
I (60h)
Instalações
Elétricas II (60h)
Máquinas Elétricas e
Seus Acionamentos
(60h)
Laboratório de
Sistemas de
Potência (30h)
Sistemas de Potência
II (60h)
Produção de
Energia (60h)
Eletrônica de
Potência II
(60h)
Laboratório de
Eletrônica de Potência
(30h)
Projeto de Formatura I
(60h)
Laboratório de
Máquinas Elétricas
(30h)
Qualidade e
Regulação de
Energia Elétrica
(
60h
)
Introdução à
Automação de
Sistemas
Industriais
(
30h
)
Estágio
Supervisionado
(195h)
Transporte de
Energia Elétrica
(60h)
Uso de Energia
Elétrica (60h)
Técnicas de
Otimização em
Engenharia de
Potência (30h)
Princípios de
Gestão de
Projetos (30h)
Projeto de Formatura
II (60h)
Laboratório de
Qualidade de Energia
(30h)
Laboratório de
Automação de
Sistemas Elétricos
(60h)
126
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA ACONSELHADA DO CHAMADO CICLO ESPECÍFICO: SISTEMAS ELETRÔNICOS –
UNIVERSIDADE I
Área Específica: Sistemas Eletrônicos
Carga Horária - Aula: 2010 horas - Trabalho: 270 horas - Total: 2280 horas
Engenharia de
Comunicações
(60h)
Ondas e Linhas (60h)
Sistemas e Sinais
II (60h)
Introdução a
Processos
Estocásticos (60h)
Laboratório de
Eletrônica II (60h)
Eletrônica II
(60h)
Eletromagnetis
mo (60h)
Sistemas e
Sinais I (60h)
Laboratório de
Eletrônica I
(60h)
Eletrônica I
(60h)
Laboratório de
Eletricidade I
(60h)
Laboratório
Digital (60h)
Projeto Lógico Digital
(60h)
Laboratório de
Eletricidade II (60h)
Organização de
Computadores (60h)
Princípios de
Desenvolvimento de
Algoritmos (60h)
Conversão
Eletromecânica de
Energia I (60h)
Propagação, Antenas
e Microondas (60h)
Introdução ao Projeto
de Cis Dedicados (60h)
Controle I
(60h)
Sistemas de
Comunicação
(60h)
Fundamentos de Redes
de Computadores (60h)
Tópicos de
Programação (60h)
Fundamentos de
Mecânica das
Estruturas (30h)
Noções de Mecânica
dos Fluidos (30h)
Projeto e
Implementação de
filtros Digitais (60h)
Projeto de Circuitos
Integrados Semi-
dedicados (60h)
Laboratório de
Contro
le (60h)
Projeto de
Formatura I (15h)
Projeto de
Formatura II
(120h)
Projeto de
Sistemas
Integrados (60h)
Eletrônica de Controle
Industrial (60h)
Introdução à
Economia (60h)
Modelagem em
Processamento de
Sinais (60h)
Automação Industrial
e Acionamento (30h)
Princípios de
Administração de
Empresas (60h)
Estágio
Supervisionado
(195h)
127
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA ACONSELHADA DO CHAMADO CICLO ESPECÍFICO: TELECOMUNICAÇÕES –
UNIVERSIDADE I
Área Específica: Telecomunicações
Carga Horária - Aula: 2235 horas - Trabalho: 180 horas - Total: 2415 horas
Eletromagnetismo
(60h)
Sinais e Sistemas
(60h)
Laboratório de
Eletricidade I
(60h)
Laboratório de
Eletrônica (60h)
Eletrônica (60h) Laboratório Digital I
(60h)
Laboratório de
Processamento Digital de
Sinais (60
h)
Laboratório de
Antenas e Microondas
(60h)
Projeto Lógico
Digital (60h)
Fundamentos de
Mecânica dos Fluidos
(30h)
Laboratório Digital II
(60h)
Noções de
Mecânica dos
Fluidos (30h)
Laboratório de
Eletricidade II (60h)
Introdução a Processos
Estocásticos (60h)
Ondas e
Linhas (60h)
Processamento
Digital de Sinais
I (60h)
Princípios de
Comunicações
(60h)
Microondas I (60h)
Comunicações
Digitais I (60h)
Laboratório de
Circuitos de
Comunicações (60h)
Controle I (60h)
Antenas e Propagação
(60h)
Processamento Digital
de Sinais II (60h)
Sinais de
Comunicação
(60h)
Laboratório de
Controle (60h)
Introdução à
Compatibilidade
Eletromagnética
(
60h
)
Princípios de
Televisão Digital
(60h)
Comunicações Ópticas
(60h)
Introdução aos
Processadores (60h)
Comunicações
Digitais II (60h)
Princípios de
Administração de
Empresas (60h)
Fundamentos de
Engenharia de
Sof
tware (60h)
Estágio
Supervisionado
(195h)
Laboratório de
Comunicações:
Ante-projeto de
Formatura
(
60h
)
Laboratório de
Comunicações:
Ante-projeto de
Formatura
(
60h
)
Redes de
Comunicações
de Alta
Velocidade
(
60h
)
Sistemas
Telefônicos
(60h)
Planejamento de
Sistemas de
Comunicações
(
60h
)
Fundamentos de
Sistemas de
Tempo Real
(
60h
)
Engenharia de
Sistemas de
Energia (60h)
Princípios de
Gestão da
Produção e
Lo
g
ística
(
60h
)
128
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA ACONSELHADA DO CHAMADO CICLO ESPECÍFICO: AUTOMAÇÃO E CONTROLE –
UNIVERSIDADE I
Área Específica: Automação e Controle
Carga Horária - Aula: 1875 horas - Trabalho: 180 horas - Total: 2055 horas
Modelagem e Controle
de Manipuladores (60h)
Princípios de
Instrumentação
Biomédica (60h)
Introdução à
Neurociência
Computacional (60h)
Sistemas Digitais em
Controle de Processos
(60h)
Controle de Processos
Industriais (60h)
Modelos de Sistemas
Biológicos (60h)
Tópicos de Controle
Avançado (60h)
Automação da
Manufatura (60h)
Introdução aos
Algoritmos em
Automação (60h)
Servomecanismos
(60h)
Projeto Lógico
Digital (60h)
Laboratório Digital I
(60h)
Eletrônica (60h)
Laboratório de
Eletricidade I
(60h)
Sistemas e
Sinais I (60h)
Introdução às
Ciências Térmicas
(60h)
Eletromagnetis
mo (60h)
Laboratório e Aplicações
de Mecânicas dos Fluídos
(
30h
)
Laboratório de
Eletricidade II
(60h)
Sistemas e
Sinais II
(60h)
Programação
Matemática Aplicada a
Controle (60h)
Fundamentos de
Mecânica das
Estruturas (30h)
Laboratório Digital II
(60h)
Estatística I (60h)
Laboratório de
Eletrônica
(60h)
Controle I (60h)
Fundamentos de Redes
de Computadores
(60h)
Fundamentos de
Engenharia de
Software (60h)
Conversão
Eletromecânica de
Energia (60h)
Modelagem e
Simulação (60h)
Modelos
Probabilísticos (60h)
Controle Digital
(60h)
Laboratório de
Controle (60h)
Engenharia de
Sistemas de Energia
(60h)
Engenharia de
Comunicações (60h)
Controle Não
Linear (60h)
Controle Multivariável
(60h)
Laboratório de Projeto
de Automação e
Controle I (60h)
Princípios de
Administração de
Empresas (60h)
Estágio
Supervisionado
(
195h
)
Laboratório
de Automação
(
60h
)
Princípios de Gestão da
Produção e Logística
(60h)
Laboratório de Projeto
de Automação e
Controle II (60h)
129
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA ACONSELHADA DO CHAMADO CICLO ESPECÍFICO: COMPUTAÇÃO – UNIVERSIDADE I
17
Área Específica: Computação
Carga Horária - Aula: 2175 horas - Trabalho: 420 horas - Total: 2595 horas
Noções de Ondas e
Eletromagnetismo
(60h)
Laboratório de
Eletricidade I
(60h)
Eletrônica
(60h)
Noções de Mecânica dos
Fluidos (30h)
Fundamentos de
Mecânica das Estruturas
(30h)
Criação e Administração
de Empresas de
Computação (60h)
Segurança da Informação
(30h)
Negócios em Tempo
Real (30h)
Laboratório Digital II
(60h)
Organização de
Sistemas Digitais
(60h)
Laboratório de
Fundamentos de
Engenharia de
Computação (60h)
Laboratório Digital I
(60h)
Projeto Lógico Digital
(60h)
Multimídia e Hipermídia
(60h)
Inteligência Artificial
(60h)
Laboratório de
Programação (60h)
Engenharia de Software
I (60h)
Estatística I (60h)
Laboratório de
Eletrônica (60h)
Engenharia de
Comunicações (60h)
Introdução a Redes
de Computadores
(60h)
Arquitetura de
computadores (60h)
Laboratório de
Engenharia de
Software I (60h)
Lógica
Computacional
(60h)
Engenharia de
Software II (60h)
Laboratório de
Processadores I
(60h)
Sistemas
Operacionais
(60h)
Laboratório de Redes de
Computadores (60h)
Laboratório de
Processadores
II (60h)
Introdução à
Economia (60h)
Estágio
Supervisionado II
(255h)
Estágio
Supervisionado I
(120h)
Redes de
Computadores
(60h)
Sistemas de
Controle (60h)
Linguagens e
Compiladores
(60h)
Requisitos de Sistemas
Computacionais (60h)
Laboratório de
Engenharia de
Software II (60h)
Conceitos Gerais
de Automação
(60h)
Projeto de Fomatura I
(60h)
Modelagem e
Simulação de Sistemas
Computacionais (60h)
Gerência, Qualidade e
Tecnologia de Software
(60h)
Projeto de Fomatura II
(120h)
Engenharia de
Informação (60h)
Princípios de
Administração de
Empresas (60h)
17
No ciclo específico de Computação nenhuma disciplina foi destacada pois não apresentam relação com a disciplina Álgebra Linear para Engenharia I e II.
130
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA ACONSELHADA DO CHAMADO CICLO ESPECÍFICO: COMPUTAÇÃO (COOPERATIVO) –
UNIVERSIDADE I
18
Área Específica: Computação –
Curso Cooperativo
Carga Horária - Aula: 2100 horas - Trabalho: 1980 horas - Total: 4080 horas
Engenharia de
Comunicações (60h)
Laboratório de
Eletricidade (60h)
Estatística I (60h)
Noções de Mecânica dos
Fluidos (30h)
Fundamentos de
Mecânica das Estruturas
(30h)
Criação e Administração
de Empresas de
Computa
ção (60h)
Inteligência Artificial
(60h)
Multimídia e Hipermídia
(60h)
Projeto Lógico Digital
(60h)
Laboratório Digital I
(60h)
Laboratório de
Programação (60h)
Segurança da Informação
(30h)
Negócios em Tempo
Real (30h)
Estágio Cooperativo
V (495h)
Estágio Cooperativo I
(510h)
Sistemas de
Controle (60h)
Introdução a Redes de
Computadores (60h)
Estágio Cooperativo II
(510h)
Laboratório Digital II
(60h)
Organização de Sistemas
Digitais (60h)
Engenharia de
Software I (60h)
Laboratório de Fundamentos
de Engenharia de
Computação (60h)
Eletrônica Aplicada
(60h)
Redes de
Computadores (60h)
Laboratório de
Processadores (60h)
Arquitetura de
Computadores
(60h)
Engenharia de
Software II (60h)
Laboratório de
Engenharia de
Software I (60h)
Laboratório de Redes
de Computadores
(60h)
Sistemas
Operacionais (60h)
Estágio Cooperativo
III (510h)
Introdução à Economia
(60h)
Conceitos Gerais de
Automação (60h)
Projeto de Formatura
(120h)
Estágio Cooperativo
IV (510h)
Modelagem e Simulação
de Sistemas
Computacionais (60h)
Projeto de Formatura I
(60h)
Laboratório de Engenharia
de Software II (60h)
Lógica Computacional
(60h)
Requisitos de Sistemas
Computacionais (60h)
Princípios de
Administração de
Empresas (60h)
Linguagens e
Compiladores (60h)
Engenharia de
Informação (60h)
Gerência, Qualidade e
Tecnologia de
Software (60h)
18
No ciclo específico de Computação nenhuma disciplina foi destacada pois não apresentam relação com a disciplina Álgebra Linear para Engenharia I e II.
131
GRADE CURRICULAR - UNIVERSIDADE II
DISCIPLINAS EM SEQUÊNCIA DEFINIDA – 1
o
. ao 3
o
. períodos – UNIVERSIDADE II
19
1
o
. Período
2
o
. Período
3
o
. Período
Cálculo Diferencial e
Integral I (68h)
Geometria Analítica
(68h)
Ciências do
Ambiente (34h)
Circuitos
Elétricos I (68h)
Introdução aos
Sistemas Eletro-
Eletrônicos (34h)
Expressão
Gráfica (34h)
Física Geral I
(85h)
Química
Tecnológica I (34h)
Matemática
Ciências Humanas,
Sociais e
Ambientais
Sistemas Elétricos
Analógicos
Cálculo Diferencial e
Integral II (68h)
Álgebra Linear (68h)
Cidadania e
Desenvolvimento
Científico (34h)
Circuitos
Elétricos II (68h)
Projeto Auxiliado
por Computador
(34h)
Física Geral II
(85h)
Química
Tecnológica II (34h)
Matemática
Ciências Humanas,
Sociais e
Ambientais
Sistemas Elétricos
Analógicos
Cálculo Diferencial e
Integral III (68h)
Circuitos Elétricos III
(85h)
Física Geral III
(85h)
Mecânica do Corpo
Sólido (51h)
Matemática
Sistemas Digitais e
Computacionais
Sistemas Elétricos
Analógicos
Sistemas Mecânicos,
Térmicos e Hidráulicos
Sistemas Digitais
I (68h)
Programação de
Computadores I
(68h)
Sistemas Mecânicos,
Térmicos e Hidráulicos
Sistemas Mecânicos,
Térmicos e Hidráulicos
19
Não estabelecemos cores para diferenciar as disciplinas, pois não houve relação identificada entre a Álgebra Linear e as mesmas.
132
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA DEFINIDA – 4
O
. AO 6
O
. PERÍODOS – UNIVERSIDADE II
4
o
. Período
Cálculo Diferencial e
Integral IV (68h)
Circuitos Elétricos IV
(85h)
Física Geral IV
(51h)
Fenômenos de
Transporte I (51h)
Introdução à
Ciência dos
Materiais (34h)
Sistemas Digitais
II (68h)
Matemática
Sistemas Digitais e
Computacionais
Sistemas Elétricos
Analógicos
Programação de
Computadores II(68h)
Sistemas Mecânicos,
Térmicos e Hidráulicos
5
o
. Período
Dispositivos e
Circuitos Elétricos I
(85h)
Fenômenos de
Transporte II (51h)
Sistemas
Microcontroladores
I (68h)
Conversão
Eletromecânica
de Energia I (68h)
Sistemas Digitais e
Computacionais
Sistemas Elétricos
Analógicos
Materiais Elétricos
(34h)
Sistemas Mecânicos,
Térmicos e Hidráulicos
Geração, Utilização,
Distribuição e
Utilização de Energia I
(68h)
Sistemas de Energia e
de Controle
Eletromagnetismo
(85h)
Sistemas de
Telecomunicações
6
o
. Período
Dispositivos e
Circuitos Elétricos II
(85h)
Sistemas
Microcontroladores
II (68h)
Conversão
Eletromecânica
de Energia II
(68h)
Sistemas Elétricos
Analógicos
Sistemas Digitais e
Computacionais
Geração, Utilização,
Distribuição e
Utilização de Energia
II (68h)
Sistemas de Energia e
de Controle
Sistemas de Controle I
(68h)
Eletromagnetismo
aplicado à
Engenharia
Elétrica (85h)
Sistemas de
Telecomunicações
133
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA DEFINIDA – 7
O
. AO 9
O
. PERÍODOS – UNIVERSIDADE II
7
o
. Período
8
o
. Período
9
o
. Período
Dispositivos e
Circuitos Elétricos III
(68h)
Eletrônica de
Potência I (68h)
Sistemas Elétricos
Analógicos
Sistemas de Energia e
Controle
Microondas e
Antenas (68h)
Princípios de
Comunicação I (68h)
Sistemas de
Telecomunicações
Metodologia
Científica para
Engenharia (34h)
Processamento de
Sinais I (68h)
Sistemas de
Controle II (68h)
Tópicos de
Probabilidade e
Estatística (51h)
Dispositivos e
Circuitos Elétricos IV
(68h)
Matemática
Sistemas Elétricos
Analógicos
Sistemas Digitais e
Computacionais
Sistemas Digitais
Reconfiguráveis (68h)
Sistemas de Energia e
Controle
Eletrônica de Potência
II (68h)
Sistemas de Controle
III (68h)
Princípios de
Comunicação II (68h)
Processamento de
Sinais II (68h)
Introdução ao
Pensamento Teológico
I (51h)
Empreendedorismo em
Engenharia (34h)
Ciências Humanas,
Sociais e
Ambientais
Sistemas Digitais e
Computacionais
Introdução à
Engenharia de
Software (68h)
Sistemas de Energia e
Controle
Automação e Robótica
I (85h)
Comunicações Digitais
I (68h)
Sistemas de
Telecomunicações
Sistemas de
telecomunicações I
(68h)
Disciplinas Associadas
Orientação de Trabalho
de Conclusão de Curso
I (34h)
Sistemas de
Telecomunicações
Disciplinas Associadas
134
DISCIPLINAS EM SEQÜÊNCIA DEFINIDA – 10
O
. PERÍODO – UNIVERSIDADE II
10
o
. Período
Introdução ao
Pensamento Teológico
II (51h)
Administração (34h)
Ciências Humanas,
Sociais e
Ambientais
Sistemas de Energia e
Controle
Automação e Robótica
II (85h)
Comunicações Digitais
II (68h)
Sistemas de
Telecomunicações
Sistemas de
Telecomunicações II
(68h)
Orientação de Trabalho
de Conclusão de Curso
II (34h)
Orientação de Estágio
(34h)
Disciplinas Associadas
Total de Atividades:: 69 - Total de carga horária de estágio: 160 horas - Total de Carga horária Exigida: 4410 horas.
135
DISCIPLINAS EM SEQUÊNCIA ACONSELHADA – UNIVERSIDADE III – Ênfase Telecomunicações
Planej. Estratégico em
Telecomunicações
Comunicações
Celulares
Comunicações Via
Satélite
Redes de
Comunicações
Nível 01
Cálculo Dif. e Int.
A
Geometria
Analítica
A
Älgebra Linear A
Cálculo
Numérico
Cálculo
Av
ançado A
Nível 02 Nível 03 Nível 04 Nível 05 Nível 06 Nível 07 Nível 08 Nível 09 Nível 10
Cálculo Dif. e Int.
B
Cálculo Dif. e
Int. C
Probabilidade
e Estatística
Química e
Laboratório (E)
Física Geral I
Física Geral II
Mecânica Geral
Lab. de Física
Geral II
Física Geral III
Lab. de Física
Geral I
Laboratório de
Física Geral III
Teoria
Eletromagnética
Ética e Legislação
Profissional
Resistência
dos Materiais
Materiais Elétricos
I
Circuitos Elétricos
A
Materiais
Elétricos II
Medidas
Elétricas
Conversão de
Energia A
Eletrônica
Básica
Circuitos
Elétricos B
Engenharia
Econômica
Fenômenos de
Transporte (E)
Eletrônica
Analógica I
Eletrônica Digital I
Ondas Guiadas
Comunicação
Analógica
Análise de Sist. de
Controle
Laboratório de
Circuitos Elétricos
Eletrotécnica
A
p
licada
Antenas e
Pro
p
a
g
a
ç
ão
Codificação de
Sinais
Eletrônica Digital
II
Comunicação
Di
g
ital
Laboratório de
Comunica
ç
ões
Projeto de Sist. de
Controle
Técnicas de Eletr.
Analó
g
ica
Engenharia
Ambiental
Comunicação de
Dados
Planej. de Redes
de Acesso
Laboratório de
Eletrônica Digital
Filtros
Eletrônica de
Potência
Processadores
Lab. de
Processadores
Processamento
Di
g
ital de Sinais
Planej. de Redes
Comutadas
Lab. de Proc. Digitais
de Sinais
Transmissão
D
igital
Eng. e Segurança do
Trabalho
Estágio Prof. (Eng.
Elétrica – Telecom)
Automa
ç
ão Industrial
Gerência de Redes de
Telecomunicações
Administração e
Organização de
Em
p
r
esas
Trabalho de Integração
(Telecom)
Desenho
Básico
Geometria
Descritiva
Desenho Técnico
(E)
Computação Básica e
Programação
Economia
Cultura Religiosa
I
Cultura Religiosa
II
Sociologia Gera I Filosofia II
Filosofia I /
Sociologia Geral
Lab. de Sistemas de
Controle
Matemática
Química
Física Específico Engenharia
Arquitetura
Informática
Economia
Contexto Social
136
DISCIPLINAS EM SEQUÊNCIA ACONSELHADA – UNIVERSIDADE III – Ênfase Eletrotécnica
Nível 01
Cálculo Dif. e Int.
A
Geometria
Analítica
A
Älgebra Linear A
Cálculo
Numérico
Cálculo
Avançado A
Cálculo Dif. e Int.
B
Cálculo Dif. e
Int. C
Probabilidade
e Estatística
Química e Lab. (E)
Física Geral I
Lab. de Física
Geral I
Física Geral II
Laboratório de
Física Geral II
Mecânica Geral
Física Geral III
Laboratório de
Física Geral III
Teoria
El
et
r
o
m
ag
n
ét
i
ca
Ética e Legislação
Profissional
Resistência
dos
Materiais
Materiais Elétricos
I
Circ. Elétricos A
Materiais
Elétricos II
Medidas
Elétricas
Conversão de
Energia A
Eletrônica
Básica
Circuitos
Elétricos B
Engenharia
Econômica
Fenômenos de
Trans
p
orte
(
E
)
Conversão de
Ener
g
ia B
Eletr. Analógica e
Digital
Análise de Sist. de
Controle
Laboratório de
Circuitos Elétricos
Sistemas de
Ener
g
ia I
Distribuição de
Ener
g
ia Elétrica I
Construção de
Má
q
uinas Elétricas
Máquinas Hidr. e
Térmicas
Instalações
Elétricas I
Eletrônica de
Potência
Projeto de Sistemas de
Controle
Sistemas de
Energia II
Distribuição de
Ener
g
ia Elétrica II
Linhas de
Transmissão
Centrais
Hidrelétricas
Instalações
Elétricas II
Máquinas
Elétricas
Laboratório de
Sistemas de Controle
Lab. de Eletrônica
de Potência
Sistemas de
Ener
g
ia III
Engenharia
Ambiental
Estágio
Profissional
Proteção de Sistemas
Elétricos
Centrais
Termelétricas
Instalações Elétricas
III
Sobretensões em
Sistemas Elétricos
Aplicação de
Telecomunicações
Instrumentação e
Controles Industriais
Trabalho de Integração
(Eletrotécnica)
Adm. e Organização de
Empresas
Engenharia e
Segurança do Trabalho
Desenho Básico
Geom. Descritiva
Desenho Técnico
Computação Básica e
Programação
Economia
Subestações
Economia
Informática
Arquitetura
Específico Engenharia Física
Química
Matemática
Nível 10 Nível 09 Nível 08 Nível 07 Nível 06 Nível 05 Nível 04 Nível 03 Nível 02
Contexto Social
Cultura Religiosa
I
Cultura Religiosa
II
Sociologia Gera I
Filosofia I /
Sociologia Geral
Filosofia II
137
DISCIPLINAS EM SEQUÊNCIA ACONSELHADA – UNIVERSIDADE III – Ênfase Eletrônica
Propagação
Radioelétrica
Laboratório de
Eletrônica de Potência
Sistemas
Multiplexados
Nível 01
Cálculo Dif. e
Int
eg
ral
A
Geometria
Analítica
A
Älgebra Linear A
Cálculo
Numérico
Cálculo
Avançado A
Cálculo Dif. e
Int
eg
ral B
Cálculo Dif. e
Integral C
Probabilidade
e Estatística
Química e Lab. (E)
Física Geral I
Lab. de Física Geral I
Física Geral II
Lab. de Física
Geral II
Mecânica Geral
Física Geral III
Laboratório de
Física Geral III
Teoria
Eletromagnética
Ética e Legislação
Profissional
Resistência
dos Materiais
Materiais Elétricos
I
Circ. Elétricos A
Materiais
Elétricos II
Medidas
Elétricas
Conversão de
Ener
gia A
Eletrônica
Básica
Circuitos
Elétricos B
Conversão de
Ener
g
ia B
Fenômenos de
Trans
p
or
t
e
(
E
)
Eletrônica
Analó
g
ica I
Eletrônica Digital
I
Ondas Guiadas
Comunicação
Analó
g
ica
Eletrotécnica
A
p
licada
Eletrônica
Analó
g
ica II
Amplificadores
O
p
eracionais
Eletrônica Digital
II
Comunicação
Di
g
ital
Laboratório de
Comunica
ç
ões
Proj. de Sist. de
Control
e
Engenharia
Econômica
Lab. de Eletrônica
Analó
g
ica
Lab. de Eletrônica
Digital
Filtros
Eletrônica de
Potência
Processadores
Laboratório de
Processadores
Lab. de Sistemas
de Controle
Engenharia
Ambien
t
al
Adm. e Organização
de Empresas
Eng. e Segurança do
Trabalho
Estágio Profissional
Elementos Irradiantes
Automação Industrial
Interfaces e
Periféricos
Desenho
Básico
Geometria
Descritiva
Desenho Técnico
(E)
Computação Básica e
Programação
Economia
Cultura Religiosa
I
Cultura Religiosa
II
Sociologia Gera I
Filosofia II
Filosofia I /
Sociologia Geral
Análise de Sist. de
Controle
Laboratório de
Circuitos Elétricos
Trabalho de Integração
(Eletrônica)
Programação de
Computadores (Eletrônica)
Contexto Social
Economia
Informática
Arquitetura
Específico Engenharia Física
Química
Matemática
Nível 10 Nível 09 Nível 08 Nível 07 Nível 06 Nível 05 Nível 04 Nível 03 Nível 02
138
B
A disciplina A é requisito especial da disciplina B (Exige aprovação na disciplina A ou: matrícula simultânea
na disciplina A vinculada à freqüência regimental mínima e grau G1 não inferior a 4 em período letivo
A
A
B
A disciplina A é pré-requisito da disciplina B (Exige aprovação na disciplina A como condição para
matrícula na disciplina B).
B
A disciplina A é co-requisito da disciplina B (Exige aprovação na disciplina A ou matrícula simultânea na
disciplina A como condição para matrícula
na disciplina B).
A
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
